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TRIGONOMETRÍA
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Triángulos Conceptos básicos y clasificación de triángulos. Un triángulo es un área plana delimitada por tres segmentos de recta. Los elementos del triángulo son: tres vértices, tres lados y tres ángulos. La suma de la medida de los tres ángulos internos es 180°. A cada ángulo interno del triángulo le corresponde un ángulo exterior. La medida de cada ángulo exterior es igual a la suma de la medida de los dos ángulos interiores no adyacentes. La suma de la medida de los tres ángulos exteriores es 360°. Clasificación de los triángulos según sus lados: Triángulo escaleno: Tiene sus tres lados diferentes. Triángulo isósceles: Tiene al menos dos de sus lados iguales. Triángulo equilátero: Tiene sus tres lados iguales. Clasificación de los triángulos según sus ángulos: Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto. Triángulo obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso. Triángulo acutángulo: Tiene sus tres ángulos agudos. Triángulo equiángulo: Tiene sus tres ángulos iguales.
Trigonometría Trigonometría, es la parte de la matemática que estudia las relaciones que existen entre los ángulos internos y los lados de un triángulo, y aplica dichas relaciones al cálculo del valor o medida de alguno de ellos. Círculo Trigonométrico: Es la circunferencia cuyo centro es el origen del sistema de ejes cartesianos o de coordenadas rectangulares y su radio mide la unidad. Ángulos: Es la región del plano comprendida entre dos semi-rectas que tienen el origen común llamado vértice. Las semi-rectas son lados del ángulo, siendo uno el lado inicial y el otro el lado final o terminal. El Ángulo Geométrico es siempre positivo, mientras que el ángulo trigonométrico puede ser positivo o negativo. Si se considera al ángulo como una rotación de una semi-recta; bien en sentido contrario al giro de las agujas del reloj (positivo) o en el mismo sentido (negativo). Lado Final o Terminal Vértice
a 0 o
+
b
boa
1
Lado Inicial
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Lado Inicial a 0
Vértice o
b Lado Final o Terminal
aob Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo. Sea el triángulo rectángulo ABC, en donde A y B son ángulos agudos y el ángulo C es recto, los lados “a” y “b” Se llaman catetos y el lado “c” se llama hipotenusa. En función del ángulo A, el lado “a” se llama cateto opuesto y el lado “b cateto adyacente. A b c
C a
B
El Seno del ángulo A (Sen A) en un triángulo rectángulo, es la razón que existe entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).
Sen A
Cat. opuesto a A hipotyenusa
a c
El Coseno del ángulo A (Cos A) en un triángulo rectángulo, es la razón entre el cateto adyacente al ángulo A (b) y la hipotenusa (c) de dicho triángulo.
Cos A
Cat. adyacente a A b hipotenusa c
La Tangente del ángulo A (Tan A) en un triángulo rectángulo, es la razón existente entre el cateto adyacente (b) y el opuesto (a) al ángulo.
Tan A
Cat. opuestoa A a Cat.adyacente a A b
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Las funciones inversas son: La Cotangente del ángulo A (Cot A) en un triángulo rectángulo es la razón existente entre el cateto adyacente (b) y el apuesto (a) al ángulo A. Cat. adyacente a A b Cot A Cat. opuesto a A a
La Secante del ángulo A (Sec A) es la razón que existe entre la hipotenusa (c) y el cateto adyacente (b) al ángulo A.
Sec A
hipotenusa c Cat. adyacente a A b
La Cosecante del ángulo A (Csc A) en un triángulo rectángulo es la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto a A.
Csc A
hipotenusa c Cat. opuesto a A a
Usaremos las siguientes abreviaturas para designar la hipotenusa y los catetos: Cateto opuesto = co Cateto adyacente = ca Hipotenusa = h Ejemplo 1: 1) Calcula las razones trigonométricas del ángulo α :
9cm
15 cm
12 cm Sen = co = 9 = 0.600 h 15
Cos = ca = 12 = 0.800 h 15
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Tan = co = 9 = 0.750 ca 12
Cot = ca = 12 = 1.333 co 9
Sec = h = 15 = 1.250 ca 12
Csc = h = 15 = 1.667 co 9
Cuando un triángulo tiene un ángulo recto (90°) y calculamos el cuadrado de cada uno de sus lados, entonces el cuadrado del lado más grande (llamado hipotenusa) es exactamente igual a la suma de los otros dos lados al cuadrado (llamados catetos). Esto se conoce como: TEOREMA DE PITÁGORAS: EN TODO TRIÁNGULO RESCTÁNGULO EL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA ES IGUAL A LA SUMA DEL CUADRADO DE LOS CATETOS. A
b
c
c
B a
c2 = a2 + b2 Cuando no conocemos el valor de todos los lados del triángulo podemos calcularlos mediante el Teorema de Pitágoras. Ejemplo 2: Calcula las razones trigonométricas Sen, Cos y Tan del ángulo C del siguiente triángulo: b = 8m C
A
a = 14m
c=?
B Usamos el Teorema de Pitágoras:
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a2 = b2 + c2 despejamos c, que es el valor desconocido c2 = a2 – b2 c = a2 – b2 c = (14)2 – (8)2 c = 196 – 64 c = 132 c = 11.489 Sen C = co = 11.489 = 0.821 h 14 Cos C = ca = 8 = 0.571 h 14 Tan C = co = 11.489 = 1.436 ca 8 Ejemplo 3: Del ejemplo anterior calcular los ángulos B y C. Usando la calculadora con la función inversa de Cos C C = 55.18° Los ángulos interiores de un triángulo son 180°, entonces el ángulo que falta es: B = 180° – 90° – 55.18° B = 34.82° Ejemplo 4: De un triángulo rectángulo se sabe que uno de sus ángulos agudos es 40º y que el cateto opuesto a éste mide 10m. Calcula el otro ángulo y los lados que faltan. B
c = 10m
a =? 40°
A
C
b=? El ángulo que falta sería B = 180 – 90 – 40
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B = 50° Como conocemos el ángulo C, podemos usar la tangente para calcular b Tan C = c b Tan 40° = 10 b Despejamos b b = 10 . Tan 40° En la calculadora obtenemos la tangente de 40° b = 10 . .8391 b = 11.918 Como nos falta el lado a que es la hipotenusa usamos la función: Sen C = c a Sen 40° = 10 a Despejamos a a = 10 . Sen 40° En la calculadora obtenemos la función inversa de Sen 40° a = 10 . .642788 a = 15.557
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