M ATEMATIKA uxbenik za peti razred osnovne {kole sa zadacima za ve`bawe
I deo
A
A
B
MATEMATIKA uxbenik za peti razred osnovne {kole sa zadacima za ve`bawe 1. deo
[TA SADR@I OVA KWIGA UVOD U TEME Skup prirodnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–7 Skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14–15 Geometrijski objekti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46–47 Deqivost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80–81 Ugao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120–121 SKUP PRIRODNIH BROJEVA [ta znamo o prirodnim brojevima . . . . . . . . 8–13 SKUPOVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skup, obele`avawe skupa, elementi skupa . . 16–17 Venov dijagram i zadavawe skupa . . . . . . . . . 18–19 Prazan skup. Jednakost skupova. Broj elemenata skupa . . . . . . . . . . . . . . . . . 20–22 Podskup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25–26 Presek skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30–32 Unija skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33–35 Razlika skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36–39 GEOMETRIJSKI OBJEKTI Ta~ka, prava, ravan, prostor . . . . . . . . . . . . 48–51 Poluravan, poluprava, du` . . . . . . . . . . . . . . 52–54 Izlomqena linija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59–61 Oblast, ugao, mnogougao . . . . . . . . . . . . . . . . . 62–65 Kru`nica, krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68–69 Kru`ni luk, tetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70–71 Kru`nica i prava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72–73
Deqivost dekadnim jedinicama. Deqivost sa 2 i sa 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91–93 Deqivost sa 3 i sa 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94–96 Deqivost sa 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97–98 Prosti i slo`eni brojevi. Rastavqawe brojeva na proste ~inioce . . . . . . . . . . 101–104 Zajedni~ki delilac i najve}i zajedni~ki delilac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105–106 Zajedni~ki sadr`alac i najmawi zajedni~ki sadr`alac . . . . . . . . . . . . . . 107–108 Primena deqivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114–116 UGAO Obele`avawe uglova. Vrste uglova . . . . . 122–124 Centralni ugao, kru`ni luk, tetiva. Preno{ewe ugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125–128 Upore|ivawe uglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131–133 Sabirawe i oduzimawe uglova . . . . . . . . . 134–135 Merewe uglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140–143 Sabirawe i oduzimawe uglova – kori{}ewe mere ugla . . . . . . . . . . . . . 144–145 Komplementni i suplementni uglovi . . . . 149–150 Susedni, uporedni i unakrsni uglovi . . . 151–152 Uglovi na transverzali . . . . . . . . . . . . . . . 155–156 Uglovi s paralelnim kracima . . . . . . . . . 157–158 ZAPAMTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43, 78, 117, 161 I TO JE MATEMATIKA . . . . . . . . . 44, 79, 118, 162
DEQIVOST
ISTRA@IVA^KI ZADATAK . . . . . . . . 45, 119, 163
[ta jo{ znamo o prirodnim brojevima . . . 82–84 Deqivost u skupu N0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85–88
REZULTATI I UPUTSTVA . . . . . . . . . . . . . . 164–173
3
UPUTSTVO ZA KORI[]EWE KWIGE Svako poglavqe po~iwe tekstovima koji predstavqaju uvod u temu koju }e{ obra|ivati na narednim ~asovima. Zanimqivosti iz sveta nauke i sporta o kojima se govori u tim tekstovima pomo}i }e ti da uvidi{ da je gradivo matematike povezano sa svakodnevnim `ivotom.
1 Svaka lekcija po~iwe zanimqivim zadatkom koji }e te podsetiti na ono {to zna{, a u vezi je s gradivom koje u~i{.
Mama je napravila spisak ku}nih poslova koje obavqaju Pera i Vera.
- sre;uje igra[ke - usisava - bri/e pra/inu
- baca ;ubre - kupuje hleb - usisava - sre;uje igra[ke
Koje sve ku}ne poslove obavqaju deca? ................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................
Ptica }e te podsetiti na ono {to je va`no, a {to ti mo`e pomo}i da re{i{ zadatak: na pravilo, postupak, redosled koraka u re{avawu i sli~no.
U crvenom okviru predstavqene su matemati~ke definicije.
4
SETI SE KAKO SE UPORE|UJU DU@I.
Broj je deqiv sa 3 ako je zbir wegovih cifara deqiv sa 3.
U plavom okviru navedeni su pravila, postupci, obja{wewa i primeri koji }e ti olak{ati re{avawe zadataka.
Mno`ewem brojioca i imenioca razlomka 2 3 sa 4 dobija se wemu jednak razlomak 8 . 12
⋅4 2 = 8 3 12 ⋅4
[EST BOJA, SASTOJI OD ETLOST SE TE – I TRI SUN^EVA SV PLAVE I @U . – CRVENE, VNE NARANXASTE NO I OS NE TRI STE, ZELE ^A BI QU NEBU – VIDETI NA IZVEDENE KAD MOGU VA SE DUGA. ONE SE PONE ZI NA A . TA POJAV . POSLE KI[E VA SPEKTAR DUGA NAZI U NAUCI SE
Na mestima ozna~enim spajalicom prona}i }e{ podatke iz raznih oblasti. Sazna}e{ kako su se neki pojmovi razvijali kroz istoriju, kako se koriste u drugim naukama ili u svakodnevnom govoru.
Ovako ozna~ena mesta slu`e ti za ra~un. ZAPAMTI Jedinica mere za ugao je stepen. Oznaka 1° ~ita se jedan stepen. 130°
Na ovim stranicama nalaze se osnovni pojmovi i pravila iz prethodnog poglavqa koja treba da zapamti{.
Ovde se nalaze zanimqivi zadaci koji nisu iskqu~ivo matemati~ki. Dobro razmisli, poku{aj i – vide}e{ da je zabavno.
40°
VRSTE UGLOVA o{tar
prav
tup
opru`en
ispup~en
pun
mawi od 90°
jednak 90°
izme|u 90° i 180°
jednak 180°
izme|u 180° i 360°
jednak 360°
I TO JE MATEMATIKA 1
Pod treba poplo~ati plo~icama kao {to je zapo~eto. a) Oboj odgovaraju}im bojama plo~ice oblika osmougla i kvadrata na celom podu. Koliko treba plo~ica oblika kvadrata? .............. Koliko treba celih plo~ica oblika osmougla? ..............
Nekada }e ti za re{avawe istra`iva~kih zadataka biti potrebni podaci koje mo`e{ prona}i u drugim kwigama ili na Internetu. Ponekad }e ti biti potrebna pomo} nastavnika ili roditeqa.
ISTRA@IVA^KI ZADATAK
Igor ima 9 sli~ica. Na svakoj sli~ici se nalazi ime, glavni grad i zastava po jedne dr`ave. Pomozi Igoru da re{i slede}e zadatke.
Japan (Tokio)
Srbija (Beograd)
Italija (Rim)
Nema~ka (Berlin)
Kina (Peking)
Rusija (Moskva)
Poqska (Var{ava)
Francuska Ma|arska (Pariz) (Budimpe{ta)
Odredi skup dr`ava: 1) na ~ijim se zastavama nalazi plava boja .......................................................................................................................................................................................................
5
SKUP PRIRODNIH BROJEVA Sigurno se niko od vas ne se}a kada je nau~io da broji. Poku{aj da zamisli{ kako bi svet izgledao kada ne bi postojali brojevi. Mogle bi da se koriste re~i malo , mnogo , ne ba{ mnogo i sli~ne. Brojevi su jedan od najgenijalnijih izuma svih vremena. Mo`da misli{ da su kompjuteri, svemirski brodovi, mobilni telefoni i drugi izumi boqi i mo}niji. Ali wih ne bi bilo bez kori{}ewa brojeva. SLIKE POKAZUJU DESET NAJVI[IH GRA\EVINA NA SVETU.
443 m Empajer stejt bilding Wujork, SAD, 1931
42 8 m TV toraw Menara Kuala Lumpur, Malezija, 1996
520 m kula Sirs ^ikago, SAD, 1974
452 m kule Petronas Kuala Lumpur, Malezija, 1996
450 m Centar Xon Henkok ^ikago, SAD, 1969
539 m TV toraw Ostankino Moskva, Rusija, 1967
50 8 m Tajpej 101 Tajpej, Tajvan, 2004
468 m TV toraw Perl [angaj, Kina, 1995
421 m oblakoder Jin Mao [angaj, Kina, 1997
555 m Toraw CN Toronto, Kanada, 1975
1. Na slikama su prikazane najvi{e gra|evine na svetu. Date su wihove visine i godine izgradwe. a) Pored najvi{e gra|evine upi{i broj 1, zatim 2 kod slede}e po visini i tako redom, od najvi{e do najni`e, to jest do broja 10. b) Napi{i redom godine podizawa ovih gra|evina, od najstarije do najmla|e. ......................................................................................................................................................................................................
v) Koje }e godine najstarija od ovih gra|evina proslaviti jedan vek postojawa? .......................................
6
2. Najvi{a zgrada na Balkanu je Poslovni centar U{}e. Visoka je 134 m i ima 25 spratova. Prose~na visina jednog sprata ove zgrade je: • mawa od 5 m •5m • ve}a od 5 m. Podvuci odgovor koji smatra{ ta~nim.
Zapadna kapija Beograda je od najvi{e zgrade na Balkanu ni`a za 19 m. Izra~unaj wenu visinu. .............................................................................................................................
Beogra|anka je gra|ena po~etkom sedamdesetih godina i dugo je bila najvi{a zgrada u ovom regionu. Wena visina iznosi jednu desetinu kilometra. Izra~unaj wenu visinu u metrima. .........................................................................................................................................................
Isto~na kapija Beograda ima 28 spratova. Prose~na visina jednog wenog sprata je oko 3 m. Kolika je pribli`na visina te zgrade? ..................................................................................................
Pore|aj ove zgrade po visini, od najni`e do najvi{e, i napi{i wihove nazive. ....................................................................................................................................................................
U narednom poglavqu obnovi}emo ono {to ste ve} u~ili o prirodnim brojevima.
7
[TA ZNAMO O PRIRODNIM BROJEVIMA Do sada ste u~ili da brojite, ~itate, zapisujete i upore|ujete prirodne brojeve. Savladali ste i operacije s prirodnim brojevima: sabirawe, oduzimawe, mno`ewe i deqewe. Na narednim stranama obnovi}ete gradivo iz prethodnih razreda.
Skup brojeva {1, 2, 3, 4, 5, 6... } naziva se skup prirodnih brojeva. Ozna~ava se sa N. Ako se skupu prirodnih brojeva doda broj 0, dobija se skup brojeva {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... }, koji se ozna~ava sa N0.
1
Kako se broj 1 112 102 zapisuje re~ima? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. a) sto jedanaest hiqada dve hiqade sto dva
KADA NE[TO BROJI[ ILI PREBROJAVA[, PRVI BROJ KOJI ]E[ UPOTREBITI JE 1.
b) milion sto dvanaest hiqada sto dvanaest v) sto jedanaest hiqada dvesta dva g) milion sto dvanaest hiqada sto dva.
2
Nastavi zapo~eto povezivawe. 754 sedamdeset pet hiqada pet stotina ~etiri 7 504 sedamsto pedeset hiqada pet stotina ~etiri 750 504 sedam hiqada pet stotina ~etiri 75 504 sedamsto pedeset ~etiri 7 500 504 sedam miliona petsto hiqada pet stotina ~etiri 7 050 504
Broj 1 je najmawi prirodni broj. Ne postoji najve}i prirodni broj.
3
Upi{i na linije prethodnika i sledbenika broja 1100. ................,
1 100, ................
Svaki prirodni broj ima svog sledbenika. To je broj za jedan ve}i. Svaki prirodni broj, osim jedinice, ima svog prethodnika. To je broj za jedan mawi.
8
4
U prazna poqa upi{i prethodnike i sledbenike kao {to je zapo~eto.
256
257
258
3 000 20 011
5
4 < 3 345?
Koje se sve cifre mogu upisati u prazno poqe tako da va`i 3 3 Odgovor: Mogu se upisati cifre ...........................
nejedna~ina
~itamo je
re{ewe nejedna~ine u skupu N
x<3
x je mawi od 3
1, 2
xâ&#x2030;¤3
x je mawi ili jednak 3
1, 2, 3
x>3
x je ve}i od 3
4, 5, 6, 7,...
xâ&#x2030;Ľ3
x je ve}i ili jednak 3
3, 4, 5, 6, 7,...
Skup prirodnih brojeva je ure|en. To zna~i da se za svaka dva prirodna broja mo`e odrediti koji je mawi, to jest koji je ve}i.
6
Na brojevnoj polupravoj odredi sve ta~ke koje odgovaraju brojevima do 8.
0
1
5
8
Za grafi~ko predstavqawe prirodnih brojeva koristi se brojevna poluprava. 1
7
2
3
4
5
Takmi~e se korwa~a i zec. Na osnovu crte`a izra~unaj i odgovori:
0
1
2
ciq
a) Koliko jedini~nih du`i ima od starta do ciqa? ................ b) Ako jednoj jedini~noj du`i na crte`u odgovara 3 m u prirodi, koliko metara iznosi rastojawe od korwa~e do zeca? ................ v) Korwa~i treba 2 minuta da pre|e 1 m. Koliko najmawe minuta treba da spava zec da bi ga korwa~a stigla? ................
9
8
Na grafikonu su prikazani odgovori posetilaca zoolo{kog vrta na pitawe o tome koju bi `ivotiwu voleli da imaju kao ku}nog qubimca.
Na osnovu grafikona popuni tabelu kao {to je zapo~eto.
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
ku}ni qubimac ma~ka pas papagaj ribice korwa~a hr~ak zec
j s k e ~ka pa paga bic wa~a r~a zec h i ma a r r ko p
9
Deci iz jednog obdani{ta postavqeno je pitawe o tome koliko {oqa mleka popiju u toku jednog dana. Rezultati ispitivawa dati su u tabeli. Dovr{i crtawe grafikona. broj popijenih {oqa mleka
broj dece
0 1 2 3 4 5 6
6 15 13 10 5 3 1
broj dece 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
10
1
2
3
4
5
6
broj {oqa mleka
Na grafikonu je dato vreme koje je Milena potro{ila za izradu doma}ih zadataka u toku pro{le nedeqe.
engleski jezik srpski geografija jezik istorija
matematika
a) Ako je za izradu doma}eg zadatka iz matematike Milena potro{ila 2 sata, koliko je ukupno vremena te nedeqe potro{ila za izradu svih doma}ih zadataka? ................................................ b) Proceni koji je deo vremena Milena potro{ila za izradu doma}ih zadataka iz matematike, geografije i istorije zajedno. Zaokru`i ta~an odgovor. â&#x20AC;˘ 3 ukupnog vremena 5
10
broj glasova 8
â&#x20AC;˘ 3 ukupnog vremena 4
â&#x20AC;˘ 2 ukupnog vremena 5
11
U prazno poqe upi{i znak T ako je jednakost ta~na, a ako nije ta~na, upi{i znak ⊥. 275 + 25 = 25 + 275
SVOJSTVO KOMUTACIJE Za bilo koje prirodne brojeve a i b va`i: a+b=b+a a⋅b=b⋅a
275 – 25 = 25 – 275 275 ⋅ 25 = 25 ⋅ 275
OVA SVOJSTVA NAZIVALI SMO ZAMENA MESTA SABIRAKA I ZAMENA MESTA ^INILACA.
275 : 25 = 25 : 275
12
Pove`i linijom izraze koji imaju istu vrednost. (42 ⋅ 16) ⋅ 10
100 – (101 –54) SVOJSTVO ASOCIJACIJE
(100 – 101) – 54
42 ⋅ (16 ⋅ 10)
(155 + 101) + 54
Za bilo koje prirodne brojeve a, b i c va`i: (a + b) + c = a + (b + c) (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
155 + (101 + 54) OVA SVOJSTVA NAZIVALI SMO ZDRU@IVAWE SABIRAKA I ZDRU@IVAWE ^INILACA.
240 : (60 : 2)
13
(240 : 60) : 2
Izra~unaj. 52 250 : 25 – 15 ⋅ 101 + 18 = ................................................................................................................
Brojevni izraz je sastavqen od brojeva, ra~unskih operacija i zagrada. Svaki brojevni izraz ima svoju vrednost, koju dobijamo kada se izvr{e sve ra~unske operacije koje se pojavquju u izrazu.
14
Dopi{i zagrade tako da dobije{ ta~an rezultat. a) 200 + 100 : 4 + 16 = 205 b) 200 + 100 : 4 + 16 = 91 v) 200 + 100 : 4 + 16 = 15
⋅
U BROJEVNOM IZRAZU PRVO RA^UNA[ I :, A ZATIM + I –. ZAGRADE MEWAJU REDOSLED (PRIORITET) RA^UNSKIH OPERACIJA.
11
izraz
a+b
naziv izraza zbir
15
a–b
a⋅b
a:b
razlika
proizvod
koli~nik
a
sabirak
umawenik ~inilac
deqenik
b
sabirak
umawilac ~inilac
delilac
Dat je zbir 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14. a) Kolika je wegova vrednost? Vrednost zbira je ................... b) Ako svaki sabirak datog zbira pove}a{ za 5, kolika je vrednost tako dobijenog zbira? Vrednost zbira je ................... v) Ako svaki sabirak datog zbira pove}a{ dva puta, kolika je vrednost tako dobijenog zbira? Vrednost zbira je ...................
OVA SVOJSTVA NAZVALI SMO MNO@EWE ZBIRA BROJEM. POKU[AJ OVO PRAVILO DA PRIMENI[ U ZADATKU 15 V).
SVOJSTVO DISTRIBUCIJE Za bilo koje prirodne brojeve va`i: a ⋅ t + b ⋅ t = (a + b) ⋅ t a ⋅ t + b ⋅ t + c ⋅ t = (a + b + c) ⋅ t Pravilo mo`e{ da primeni{ za 4, 5 ili vi{e sabiraka.
16
Zapi{i izraz pomo}u znakova operacija. a) Dvostruki zbir brojeva 23 i 46 zapisuje se .............................................................. b) Razlika broja 1 200 i dvostrukog broja 120 zapisuje se ..................................................................... v) Proizvod broja 24 i zbira brojeva 1 230 i 349 zapisuje se .............................................................. g) Zbir broja 567 i proizvoda brojeva 120 i 20 zapisuje se ..................................................................
17
Izra~unaj koli~nik zbira brojeva 51 i 37 i razlike brojeva 96 i 85. .....................
ZADATAK MO@E[ POSTUPNO DA RE[AVA[. 1. KORAK: IZRA^UNAJ ZBIR. 2. KORAK: IZRA^UNAJ RAZLIKU. 3. KORAK: IZRA^UNAJ KOLI^NIK.
12
18
19
Popuni tabelu. b
1
10
100
Popuni tabelu.
1 000 100 000
b + 2 ⋅ (b + 1)
a
5
4
2
b
2
8
2
2⋅a+b
20
Izra~unaj vrednost izraza 2 ⋅ (x + 4) kao {to je zapo~eto. x = 12,
2 ⋅ (12 + 4) = ...........................................
x = 21,
.......................................................................
x = 100, .......................................................................
21
Izraz 2 ⋅ (x + 4) naziva se izraz sa promenqivom. Vrednost izraza sa promenqivom zavisi od vrednosti promenqive i za wega pravimo tablicu vrednosti: x
1
2
3
4
5
...
2 ⋅ (x + 4) 10
12
14
16
18
Odredi povr{ine i obime datih pravougaonika.
crveni a = 6, b = 4
plavi a = 8, b = 2
`uti a = 3, b = 7
povr{ina a⋅b obim 2⋅a+2⋅b 2 4 8
7
6 3
22
Da bi popunio album, Petar treba da zalepi 300 sli~ica. Kesica koja sadr`i pet sli~ica prodaje se po ceni od 20 dinara. Ako se u jednoj kesici nalazi po jedan duplikat, koliko je najmawe novca Petru potrebno da bi popunio album? DUPLIKATI SU JEDNAKI PRIMERCI (ISTE SLI^ICE).
Odgovor: .......................................................................
13
SKUPOVI Stvari ili pojave svakodnevno grupi{emo ili svrstavamo po nekoj zajedni~koj osobini. Predmete koje u~i{ u {koli ~esto deli{ na lake i te{ke, izdvaja{ one koji su ti zanimqivi. U jelovnicima su jela svrstana u predjela, glavna jela, deserte, salate i sli~no. U~enici jedne {kole podeqeni su u razrede i odeqewa. Stanovnike na Zemqi mo`emo grupisati po starosnom dobu, po zemqama u kojima `ive, po obrazovawu, interesovawima i tako daqe. Nebeska tela Sun~evog sistema delimo na: planete, satelite, asteroide, komete i meteore. Kao {to vidite, postoji mnogo na~ina da se qudi, predmeti i pojave grupi{u. Mo`da niste to o~ekivali, ali se u takvim situacijama koristi matematika.
LISICA IZUZETNO JE PRILAGODQIVA. NASTAWUJE SKORO SVA PRIRODNA STANI[TA, OD SEVERNOG POLA DO PUSTIWA.
RAKUN @IVI NA SEVERNOAMERI^KOM KONTINENTU. VEOMA JE PRILAGODQIV I @IVI U BLIZINI NASEQENIH MESTA (KRADE @IVINU I SLI^NO). POZNAT JE KAO VELIKI ^ISTUNAC JER HRANU PRE JELA POTAPA U VODU. VUK WEGOVA VRSTA NEKADA JE BILA VEOMA RASPROSTRAWENA. @IVI U ^OPORU, KOJI SE NAJ^E[]E SASTOJI OD RODITEQA I WIHOVIH POTOMAKA. KADA POSTANU SNA@NI I SPRETNI, MLADI VUKOVI NAPU[TAJU ^OPOR I ODLAZE U POTRAGU ZA VLASTITOM TERITORIJOM.
14
PAS
BELI MEDVED
OD DALEKIH PREISTORIJSKIH VREMENA @IVI S QUDIMA, NAJ^E[]E KAO KU]NI QUBIMAC, ALI I KAO ^UVARKU]A, PAS OV^AR, SPASILAC, POLICIJSKI PAS I TAKO DAQE. PO POREKLU I GRA\I, DOMA]I PAS SPADA U MESOJEDE.
@IVI NA SEVERNOM POLU. VRLO JE SPRETAN, PA MO@E DA SE POPNE UZ STRME LEDENE STENE I DA PRESKO^I VE]E RASPUKLINE U LEDU. ODLI^AN JE PLIVA^. NAJKRUPNIJI JE MESOJED NA NA[OJ PLANETI.
VELIKI PANDA KOALA MRKI MEDVED REDAK JE I NASTAWUJE UGLAVNOM PRIRODNE REZERVATE, KAO [TO JE KOD NAS PLANINA TARA.
NASTAWUJE PLANINSKE DELOVE CENTRALNE KINE. SPADA U VEOMA UGRO@ENE VRSTE. RAZLOG TOME LE@I I U NA^INU WEGOVE ISHRANE – HRANI SE ISKQU^IVO BAMBUSOVIM MLADICAMA, KOJIH JE SVE MAWE.
OVAJ TORBAR @IVI ISKQU^IVO U AUSTRALIJI. @IVOT PROVODI U KRO[WAMA VISOKOG DRVE]A EUKALIPTUSA, ^IJE LI[]E JE WEGOVA JEDINA HRANA.
1. Za `ivotiwe sa slika kaza}emo da su u skupu S.
S = {pas, lisica, vuk, beli medved, mrki medved, rakun, veliki panda, koala} a) Na osnovu teksta i slika `ivotiwa napi{i nazive onih koje su u skupu: • P – skupu medveda; P = { ................................................................................................................................................} • M – skupu onih koje u ishrani koriste meso; M = { ............................................................................................ ....................................................................................................................................................................................................}
• B – skupu onih koje u ishrani koriste biqke; B = { ............................................................................................ ....................................................................................................................................................................................................}
b) Da li si nazive nekih `ivotiwa napisao i u skupu M i u skupu B? DA
NE
Ako si zaokru`io DA, napi{i nazive tih `ivotiwa u skupu I.
I = { ............................................................................................} v) Koje `ivotiwe jedu samo biqnu hranu?
K = { ............................................................................................} g) Koje `ivotiwe jedu samo meso? ......................................................................................................................................... d) Kako mo`emo da ih delimo po na~inu ishrane? .......................................................................................................
U narednom poglavqu nau~i}ete ne{to vi{e o skupovima i mo}i }ete da re{avate ovakve zadatke pomo}u skupovnih operacija.
15
SKUP, OBELE@AVAWE SKUPA, ELEMENTI SKUPA
O skupovima ste u~ili u prethodnim razredima. Izdvajawem i grupisawem nekih objekata formira se skup. Objekti mogu biti predmeti, bi}a, brojevi, slova, geometrijske figure... Skupovi se ~esto koriste u matematici, drugim naukama i u svakodnevnom `ivotu.
1
Po~ela je {kolska godina. Treba pospremiti radni sto. Napi{i nazive predmeta s radnog stola koji pripadaju: a) {kolskom priboru .............................................. .....................................................................................
b) igra~kama ............................................................... v) priboru za jelo ....................................................
2
Na osnovu slike navedi sportove s loptom. ...........................................................................................................
3
Koji su od brojeva napisanih na balonu: 25
11
4
b) mawi od 8, a ve}i od 3 .............................................................
21 15 3
6 PET JE NEPARAN BROJ, A ^ETIRI JE PARAN BROJ.
v) neparni brojevi druge desetice .......................................... 9 g) brojevi koje mo`e{ da podeli{ sa 3? .................................
U prethodnim primerima izdvojeni su predmeti, sportovi i brojevi i na taj na~in napravqeni su: • skup {kolskog pribora • skup igra~aka • skup pribora za jelo • skup sportova s loptom • skupovi brojeva.
16
7
2 a) parni brojevi prve desetice .................................................
4
Skup igra~aka iz primera 1 zapisuje se A = {lopta, auto, lutka}. Dopuni re~enice. Auto, ...................... i ...................... su elementi skupa A. [estar nije element skupa A. Skup A ima ...................... elementa.
Naziv skupa
Za zapis skupa koristi se velika zagrada.
B = {2, 4, 6, 8} Elemente skupa razdvajamo zarezom.
Skupovi su naj~e{}e obele`eni velikim slovima latinice A, B, C… Na primer: A = {1, 2, 3 }, B = {a, b}. Objekti koji ~ine skup nazivaju se elementi ili ~lanovi skupa. Na primer: brojevi 1, 2 i 3 su elementi skupa A. Re~enica Broj 1 je element skupa A u matematici se zapisuje 1 ∈ A. Oznaka ∈ ~ita se je element ili pripada. Re~enica Broj 4 nije element skupa A u matematici se zapisuje 4 ∉ A. Oznaka ∉ ~ita se nije element ili ne pripada.
5
Skup parnih brojeva prve desetice zapisuje{ B = {2, 4, 6, 8}. Dopuni re~enice. Broj 2 je ............................................ skupa B, {to zapisuje{ 2 ∈B. Broj 7 ................................................. skupa B, {to zapisuje{ 7 ∉B.
6
Neka je C skup koji ~ine tri reke u Srbiji ~ija imena po~iwu slovom T. Neka je D skup koji ~ine ~etiri grada u Srbiji ~ija imena po~iwu slovom K. Napi{i te skupove.
C = ............................................................................... D = ............................................................................... ...............................................................................
7
Dati su skupovi M = {b, c, d} i S = {a, b}. U prazna poqa upi{i znak T ako je re~enica ta~na, a znak ⊥ ako nije ta~na. b ∈M
d ∉S
c ∈S
b ∈S
a ∈M
SKUPOVI M I S ODRE\ENI SU NABRAJAWEM ELEMENATA.
Oznaka T ~ita se ta~no, a oznaka ⊥ ~ita se neta~no.
17
VENOV DIJAGRAM I ZADAVAWE SKUPA
1
SASTOJI ETLOST SE SUN^EVA SV OVNE SN O I TR : JA OD [EST BO – I TRI E UT @ AVE I – CRVENE, PL , TE ZELENE – QUBI^AS IZVEDENE TE. I NARANXAS GU KAD SE MO NE [E. TE BOJE PO KI E SL PO NEBU A. VIDETI NA UG D SE NAZIVA OVA POJAVA EKTAR. SP VA DUGA NAZI U NAUCI SE
Na slici izdvoj zatvorenom linijom skup osnovnih boja. Koje si boje izdvojio? ........................., ........................., ..........................
Skup B ~ine svi parni brojevi prve desetice. B = {2 2, 4, 6, 8} Taj skup mo`e se prikazati i ovako: 2 4 8 6 B Ovakav prikaz skupa naziva se Venov dijagram.
Venov dijagram je grafi~ki prikaz u kojem se: • skup predstavqa zatvorenom linijom • svaki element upisuje u wenu unutra{wost.
2
Skup B zadat je Venovim dijagramom na slici. Zapi{i skup B nabrajawem elemenata.
ime skupa zatvorena linija
3
i
A
Dopuni re~enicu. Ovakav crte` skupa A naziva se ............................. ...............................................
18
element skupa
e
u a
Dat je skup A = { , s, +, )} Pored svake ta~ke u oblasti zatvorene linije nacrtaj jedan element skupa A.
2
1
B
B = {..................................}
3
B
4
o
Prika`i Venovim dijagramom skup: a) A = {1, 5, 6, 9}
b) V = {F, E, M}
Dosad smo nau~ili nekoliko na~ina zadavawa skupova: 1. nabrajawem elemenata – na primer: A = {1, 5, 6, 9}, V = {a, m, p} 2. zapisivawem zajedni~ke osobine – na primer: • skup C ~ine svi prirodni brojevi mawi od 4 • skup D ~ine nazivi godi{wih doba
M
3. grafi~ki – pomo}u Venovog dijagrama, na primer: b a
v
U matematici se re~enica: Skup A ~ine svi prirodni brojevi mawi od 4, mo`e skra}eno zapisati i ovako: A = {x⏐ x ∈ N i x < 4}. Zapis A = {x⏐osobina} pravilno se ~ita:
A Skup A
5
{
=
je
skup
x
svih elemenata x
⏐
osobina
koji (takvih da)
}
imaju osobinu
a) Koriste}i prethodnu definiciju, pro~itaj i dopuni re~enicu. A = {n⏐n ∈N i n < 6} Skup A je skup svih elemenata n koji ..................................................................................................................... b) Napi{i skup A nabrajawem elemenata. A = ........................................................ v) Nacrtaj Venov dijagram skupa A.
6
a) Koriste}i prethodnu definiciju, pro~itaj i dopuni re~enicu.
B = {x⏐ x ∈N, x > 11 i x < 16} .......................................................................................................................................
koji (takvih da) su prirodni
brojevi ve}i od 11 i mawi od 16. b) Napi{i skup B nabrajawem elemenata. B = ...................................................... v) Nacrtaj Venov dijagram skupa B.
19
PRAZAN SKUP. JEDNAKOST SKUPOVA. BROJ ELEMENATA SKUPA RS \A M ASUBOTICA
Kikinda
O
B
R
a
U
Ba~ka Topola
Be~ej
J
a
M
~
U
k
SAD
a
D
...............................................................................................
t
I
Ruma
e
N
m
Pan~evo
Sava
Dr in a
Sava
A
BEOGRAD Smederevo
[
e
S
Kru{evac
Novi Pazar
Prokupqe
A
o
t o e
v) Napi{i skup E koji ~ine sve susedne dr`ave na{e zemqe ~ije ime po~iwe slovom E.
Gwilane Bosilegrad
a in
JA
[ar p
la n
M = ..............................................................................................
Pirot
E = ................................................................................................
o
I
S
a
v
Uro{evac Prizren
N
in
PRI[TINA
o
A
an
s
M
pl
Vrawe
\akovica
B
a
K
RA
h ija
GO \eravica
L
ar
Leskovac
Kosovska Mitrovica
Pe}
A
t
ava
A
T
Ni{
oplica
K
NI[
Brus
R
Trstenik
Prijepoqe
RN
GA
Kwa`evac Sokobawa
r ZlatarskoIvawica jez.
C
BU
v q
BOSN
a a
Priboj
a
r
j
bo
Zaje~ar
Jagodina
Kraqevo
i
b) Napi{i skup koji ~ine sve susedne dr`ave na{e zemqe ~ije ime po~iwe slovom M.
Negotin Bor
KRAGUJEVAC
Gorwi Milanovac ^a~ak
t
Kra j i n
o d i
Aran|elovac Topola Takovo
Majdanpek
m
a
la
...............................................................................................
Po`arevac
Smederevska Palanka
m
Lazarevac
Bajina U`ice Ba{ta
Dunav
o
u
Loznica
Z
Veliko Gradi{te
P
[abac
Vaqevo
C = ...............................................................................................
JA
Tam
S
I
Vr{ac
i{
F r u { k a 538 gora
[id r Sremska Mitrovica
N
a
HR
Ba~ka NOVI Palanka
n
Zrewanin
V
VATSKA
Senta Sombor
O
A I HERCEGOVINA
a) Napi{i skup C svih dr`ava s kojima se grani~i na{a zemqa.
B
V
1
KA
M
E AK
DO
NIJ
A
Skup koji nema elemenata naziva se prazan skup i ozna~ava se sa â&#x2C6;&#x2026; ili {}.
2
Na ~asu fizi~kog vaspitawa nastavnik je zapisao slede}e podatke u tabelu. Disciplina: tr~awe na 50 metara vreme (u sekundama)
Napi{i skupove ~iji su ~lanovi u~enice koje su 50 metara pretr~ale za:
Milena
13
ta~no 10 sekundi A = ..........................................................................
Jovana
10
ta~no 11 sekundi B = ..........................................................................
Vesna
11
Ivana
11
ta~no 12 sekundi C = ..........................................................................
Senka
10
du`e od 12 sekundi D = .....................................................................
Goca
13
ime
3 SKUPOVI A I B IMAJU ISTE ELEMENTE. ONI SU JEDNAKI.
a) Skup A ~ine slova re~i KOS, skup B slova re~i SOK. Napi{i elemente tih skupova. A = .............................. B = .............................. Slovo K je element skupova: ......, ....... Slovo O je element skupova: ......, ....... Slovo S je element skupova: ......, ....... Svaki element skupa A pripada i skupu ....... Svaki element skupa V pripada i skupu .......
20
Skupovi A i B su jednaki ako svaki element skupa A pripada skupu B i svaki element skupa B pripada skupu A. Pi{emo A = B.
4
Dati su skupovi A = {1, 2} i B = {2, 1}. Na liniji napi{i odgovaraju}i simbol, ∈ ili ∉. 1.......A, 2.......A, 1.......B, 2.......B. Da li skupovi A i B imaju iste elemente? ........... Da li su skupovi A i B jednaki? ...........
5
Dati su skupovi A = {1, 2} i B = {1, 1, 2} Da li skupovi A i B imaju iste elemente? ........... Da li su skupovi A i B jednaki? ........... Koliko elemenata ima skup B? ...........
• Redosled navo|ewa elemenata u skupu nije bitan. Elementi skupa mogu se navoditi proizvoqnim redom. Na primer: {a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} • Svaki element skupa navodi se samo jednom. Na primer: {1, 3, 5, 3, 7} = {1, 3, 5, 7} • Broj elemenata skupa je broj wegovih razli~itih elemenata. Na primer: broj elemenata skupa A = {0, 1, 2 } je tri.
6
a) Neka skup A ~ine slova re~i GITARA, a skup B slova re~i TIGAR.
b) Prika`i Venovim dijagramom skup A.
A = ................................... B = ................................... Da li su skupovi A i V jednaki? ............ Koliko elemenata ima skup A? ............ Koliko elemenata ima skup V? ............
7
Da li su skupovi A i B jednaki? a) A = {5, 6, 9}, B = {6, 9} ............ b) A = {a, n, p}, B = {a, m, p} ............
8
a) Navedi ~lanove skupova S, P, R.
SKUPOVI A I B NISU JEDNAKI AKO NEKI ELEMENT IZ SKUPA A NE PRIPADA SKUPU B, ODNOSNO AKO NEKI ELEMENT IZ SKUPA B NE PRIPADA SKUPU A. PI[EMO A ≠ B.
Skup S ~ine cifre broja 8 356. S = ......................................... Skup P ~ine cifre broja 6 483. P = ......................................... Skup R ~ine cifre broja 5 368. R = ......................................... b) Na linije upi{i = ili ≠ tako da dobije{ ta~na tvr|ewa.
S ....... P, S ....... R , P ....... R.
21
TRI ^LANA AV KOJI IMA MUZI^KI SAST TRIO. UP) NAZIVA SE (TRO^LAN I SK
9
a) Elementi skupa A su samoglasnici. A = {......, ......, ......, ......, ......} Koliko elemenata ima skup A? ........ b) Skup B ~ine jednocifreni prirodni brojevi. B = ........................................... Koliko ih ima? ........
Ako skup ima jedan element, ka`emo da je jedno~lan, ako ima dva elementa, ka`emo da je dvo~lan, a ako ima tri elementa, ka`emo da je tro~lan itd.
10
a) Skup A ~ine svi prirodni brojevi ve}i od 150 i mawi od 200. To se mo`e zapisati ovako:
A = {151, 152, 153, . . . , 199} Koliko elemenata ima skup A? .......... b) Skup B ~ine svi prirodni brojevi ve}i od 150. To se mo`e zapisati ovako:
B = {151, 152, 153, . . . }
ELEMENTE SKUPA A MO@E[ DA PREBROJI[, A ELEMENTE SKUPA B NE MO@E[. SKUP A JE KONA^AN SKUP, A SKUP B BESKONA^AN.
Koliko elemenata ima skup B? .................................................
Kona~ni skupovi su skupovi ~iji se elementi mogu prebrojati, a beskona~ni skupovi oni ~iji se elementi ne mogu prebrojati. Kada skup ima veliki broj elemenata, za zapisivawe wegovih elemenata ~esto se koristi znak â&#x20AC;Ś, bilo da je skup kona~an, bilo da je beskona~an.
11
Koriste}i znak ..., ispi{i date skupove. Skup B ~ine svi prirodni brojevi ve}i od 1 100, a mawi od 1 500. B = ........................................... Skup C ~ine svi prirodni brojevi {este stotine. C = ........................................... Skup D ~ine svi prirodni brojevi mawi od 1 000. D = ........................................... Skup A ~ine svi prirodni brojevi ve}i od 53. A = ...........................................
22
VE@BAWE 1
Dati su izrazi: a) 6 – 2
v) 3 ⋅ 2
b) 4 + 2
g) 9 – 1
d) 8 – 4
|) 4 ⋅ 2
Vrednosti izraza pod a), b) i g) ~ine skup K. Napi{i wegove elemente.
K = ................................. Vrednosti izraza pod v), d) i |) ~ine skup V. Napi{i wegove elemente.
V = ................................. Da li su ti skupovi jednaki? .............
2
U svakom od skupova A i B nedostaje po jedan element. Dopi{i ih tako da skupovi A i B budu jednaki.
A = {e, 1, ........., 55}
3
B = {m, ........., 1, e}
Pored svake jednakosti upi{i re~ TA^NO ako je jednakost ta~na ili re~ NETA^NO ako jednakost nije ta~na i objasni za{to je tako.
{34, 43} = {43, 34}
TA^NO
redosled navo|ewa elemenata nije bitan
{m, m} = {m}
{a, b, c} = {a, c}
{1, 2, 3, 4, 5} = {4, 3, 1, 5, 2}
{3, 3, c, 5, 5} = {5, 3, c}
{43} = {34}
4
Koliko elemenata ima svaki od datih skupova?
A = {10} .............
B = {21, 12} .............
C = {11, 1001, 101, 1} .............
D = {0} .............
SKUP {0} NIJE PRAZAN SKUP JER JE 0 WEGOV ELEMENT.
23
5
Vlada je napisao brojeve 2, 3 021, 15, 5, 23, 45, 5 567, 81. Odlu~io je da ih rasporedi u skupove jednocifrenih, dvocifrenih, trocifrenih i ~etvorocifrenih brojeva. Pomozi mu da svaki broj upi{e u odgovaraju}i dijagram.
jednocifreni brojevi
dvocifreni brojevi
trocifreni brojevi
~etvorocifreni brojevi
BROJ ELEMENATA PRAZNOG SKUPA JE NULA.
6
Koliko elementa ima: a) skup B, koji ~ine svi prirodni brojevi ve}i od 150, a mawi od 167 ................................ b) skup C, koji ~ine svi prirodni brojevi {este stotine ................................ v) skup D, koji ~ine svi prirodni brojevi mawi od 1 000 ................................ g) skup A, koji ~ine svi prirodni brojevi ve}i od 53? ......................................
7
Dati su skupovi A = {2, 4, 6 , 8, 10} i B = {4, 5 ,6}. Pored svakog iskaza napi{i da li je TA^AN (T) ili NETA^AN (â&#x160;¥). Svaki element iz skupa A je paran broj. ............................... Svaki element iz skupa A je mawi od 9. ............................... Svaki element iz skupa B je paran broj. ............................... Svaki element iz skupa B je mawi od 9. ............................... Neki elementi iz skupa A deqivi su sa 4. ............................... Neki elementi iz skupa A ve}i su od 10. ............................... Neki elementi iz skupa B deqivi su sa 2. ...............................
. MATEMATI^AR O ENGLESKI BI JE N AZ VE IK N PR XO KI REBIO GRAFI^ PRVI JE UPOT O I DANAS. IM ST RI KO SKUPOVA KOJI WEGOV RAD U SPOMEN NA U TU U KEMBRIX TE ZI NA UN IVER I VITRA@. AN AZ IK PR NAPRAVQEN JE
24
NA SVAKOJ OD OVIH ZASTAVA NALAZI SE CRVENO POQE. NA NEKIMA OD WIH POSTOJE TRI BOJE. NA NEKIMA SE NALAZI KRUG.
PODSKUP a) Zapi{i skup L koji ~ine nazivi muzi~kih instrumenata sa slike.
1
L = {........................................................................................................} b) Dovr{i Venov dijagram skupa L.
gitara violina harmonika
v) Zapi{i skup A koji ~ine nazivi `i~anih instrumenata sa slike.
A = {......................................................... g) U Venovom prikazu skupa L zatvorenom linijom izdvoj elemente skupa A.
SVI ELEMENTI SKUPA A PRIPADAJU SKUPU L. SKUP A JE PODSKUP SKUPA
L.
Skup A je podskup skupa B ako svaki element skupa A pripada i skupu B. Re~enicu Skup A je podskup skupa B kra}e zapisujemo A ⊂ B. Ako A nije podskup skupa B, onda se to zapisuje A ⊄ B.
GRAFI^KI PRIKAZ Ako skupovi A i B nisu prazni i A ⊂ B, tada se linija koja odvaja elemente skupa A nalazi unutar zatvorene linije koja predstavqa skup B.
AKO @ELI[ DA NAGLASI[ DA JE NEKI SKUP C NEPRAZAN, WEGOV VENOV DIJAGRAM MO@E[ PRIKAZATI OVAKO:
B A
C
2
Skup A ~ine sva slova re~i MAK, a skup B sva slova re~i KAMEN. Ispi{i elemente ta dva skupa.
A = {.................}
B = {.................................}
Nacrtaj Venov dijagram skupa B, a zatim zatvorenom linijom izdvoj elemente skupa A.
B
Da li svaki element skupa A pripada skupu B? ............. Da li svaki element skupa B pripada skupu A? ............. Zaokru`i ta~no tvr|ewe.
A⊂B
B⊂A
25
3
Dat je skup A = {4, 5, 6}. Odredi wegove podskupove koji imaju dva ~lana.
4
a skup slova re~i KOKOS je B = {.......................}. Zaokru`i sva ta~na tvr|ewa.
A1 = ........................
5
Skup slova re~i BIOSKOP je A = {.......................},
A2 = ........................
A⊂B
A=B
B⊂A
A3 = ........................
A≠B
A⊄B
B⊄A
Dat je skup A = {1, 3, 5}. Ispi{i sve wegove podskupove koji imaju: 0 elemenata ........................................................ 1 element ........................................................... (jedno~lani podskupovi) 2 elementa ........................................................... (dvo~lani podskupovi) 3 elementa ........................................................... (tro~lani podskupovi) Prazan skup je podskup svakog skupa (kra}e se pi{e ∅ ⊂ A). Svaki skup je podskup samog sebe (kra}e se pi{e A ⊂ A).
6
7
Posmatraju}i Venove dijagrame, zaokru`i ta~na tvr|ewa.
A⊂B
C⊂A
B⊂A
B⊂C
C⊂D
D⊂A
B 4
A
1
C
2 6
D 5
3
Svi podskupovi skupa T = {8, m, 2} su: TRO^LANI SKUP IMA 8 PODSKUPOVA.
∅, {8}, .........., .........., {8, m}, .............., .............. i {8, m, 2}
8
Svi dvo~lani podskupovi skupa C su: {2, 3}, {2, 5}, {2, 6}, {3, 5}, {3, 6}, {5, 6} Napi{i skup C nabrajawem wegovih elemenata. C = ............................................................................... Napi{i sve ostale podskupove tog skupa. ....................................................................................................... .............................................................................................................................................................................................
9
Koje tvr|ewe je ta~no? Upotrebi re~i „da“ ili „ne“ kao {to je zapo~eto.
∅ 4
3 ∈K ne
26
4 ∉K
∅ ∈K
{3} ⊂ K
{ } ⊂ K
{3} ∈ K
K
{3}
VE@BAWE 1
Elementi skupa Z su nazivi listopadnog drve}a. Ako naziv drveta pripada skupu Z, napi{i u tabeli , a ako ne pripada, napi{i ×, kao {to je zapo~eto.
hrast
×
jela
DIN I ARI[ JE JE ^ETINAR. NI D PA L ISTO E STAROST @ I ARI[ DOST 0 GODINA. OD 600-70 SKE PODNOSI NI I SNEG. RE TU RA TEMPE
breza lipa bukva omorika bor
2
a) Izdvoj crvenom linijom skup onih meseci ~iji nazivi po~iwu slovom j.
3
Napi{i skup D ~iji su elementi parni brojevi druge desetice. ............................................................. Zaokru`i slovo ispred ta~nih re~enica.
ja nu ar
feb rua r
apr il oktobar
a) Broj 14 je element skupa D. b) Broj 26 je element skupa D.
novembar ju l
j ma
de ce rt mb ma jun ar
v) Broj 8 nije element skupa D.
ust avg
g) Broj 20 nije element skupa D. septembar d) Broj 21 nije element skupa D.
b) Izdvoj linijom druge boje skup letwih meseci.
4
Na osnovu Venovog dijagrama zaokru`i ta~na tvr|ewa u tabeli.
S
Za svaki od datih brojeva odredi skup cifara i broj ~lanova tog skupa kao {to je zapo~eto. a) 4 322
A = {4, 3, .....}
b) 1 200
B = ...................... Skup B
........
v) 2 433
C = ......................
........
g) 20 002
D = ....................
........
d) 1 111
E = ......................
........
|) 2 100
F = ......................
........
t
m p
5
d k n
m ∈S
d ∉S
n ∈S
t ∈S
p ∉S
k ∉S
Skup A ima ........ elementa.
Koji su skupovi jednaki? ...... = ......, ...... = ......
27
6
Skupove A i B dopuni elementima tako da budu jednaki.
A = {3, 6, a, ....., .....}, B = {1, ....., 6, ....., s}
7
Re~ LETWIKOVAC ima ......... slova, a re~ MATEMATIKA ima ......... slova. a) Napi{i skup slova re~i LETWIKOVAC. ................................................................................... Broj elemenata tog skupa je .......... b) Napi{i skup slova re~i MATEMATIKA. ................................................................................... Broj elemenata tog skupa je .......... Da li skupovi slova tih re~i imaju isti broj elemenata? .........
8
9
Napi{i elemente skupova.
M = {x ⎜x ∈N i x < 2} = ...................
R = {x ⎜x ∈N i x > 1 348, x < 1 352} = ..................................................
P = {x ⎜x ∈N i x < 1} = ....................
L = {x ⎜x ∈N i x >18} = ..................................................
Nastavi kao {to je zapo~eto.
M = {6, 7, 8 ...} = {x ⎜x ∈N i x >5} P = {12, 13, 14 ...} = {x ⎜x ∈N ............................} S = {12, 13, 14} = ...................................................................
10
Dopuni Venov dijagram skupova K = {M, A, T, I, [} i S = {I, [}.
11
Na osnovu slike zaokru`i slovo ispred ta~nog tvr|ewa.
S
M
b) {21,17} ⊂ P v) {16,18} ⊂ M
I
12
M
a) 17 ⊂ M
K
17 15 16 21
P
18
g) {15,17, 21} ⊂ P
Dat je skup A = {r, o, s, a}. a) Podskupovi skupa A koji imaju dva ~lana su:
A1 = {r, o}, A2 = {r, ......}, A3 = {r, ......}, A4 = {o, ......}, A5 = ................, A6 = ................ b) Podskupovi skupa A koji imaju tri ~lana su: ..........................................................................................................................................................................................
Koliko ima tro~lanih podskupova datog skupa? ................
28
Teodora je ro|ena 19. 10. 1993. godine.
13
a) Neka je A skup cifara dana, B skup cifara meseca i C skup cifara godine Teodorinog ro|ewa. Napi{i wihove elemente.
14
Dat je skup A = {x ⎜x ∈N i x < 3}. a) Napi{i skup A nabrajawem elemenata.
A = ............................................. b) Napi{i skup A navo|ewem osobine koju imaju wegovi elementi.
A = ......................... B = .........................
Skup A ~ine .....................................................
C = .........................
................................................................................
b) Koliko elemenata ima skup B? .........
v) Nacrtaj Venov dijagram skupa A.
v) Koliko elemenata ima skup C? ......... g) Koji je od navedenih skupova podskup skupa C? .........
Skup B zadat je osobinom: Skup B ~ine svi prirodni brojevi mawi od 16, a ve}i od 11.
15
a) Napi{i skup B nabrajawem elemenata.
v) Nastavi zapo~eti zapis skupa B.
B = {x ⎜..................................................
B = {12, ............................................. b) Nacrtaj Venov dijagram skupa B.
g) Koliko elemenata ima skup B? .................................................................
B
16
Dat je Venov dijagram skupova C i D.
C
b) Pored ta~ne re~enice napi{i u tabeli znak T, a znak ⊥ pored neta~ne re~enice.
D R E
I
M
A K V
a) Elementi skupa C su: ......................................... Elementi skupa D su: .........................................
Slovo I pripada skupu D. Slovo E pripada skupu D. Slovo A pripada skupu C i slovo A pripada skupu D. Slovo R pripada skupu C i skupu D. Slovo K pripada skupu D.
29
PRESEK SKUPOVA
1
Nikola i Awa razgledaju izlog u kojem su izlo`ene majice. Nikoli se dopadaju majice naranxaste, plave i zelene boje, a Awi crvene, naranxaste i plave boje. I Nikoli i Awi dopadaju se majice ............................... i ............................... boje.
2
Majstor Mile i majstor Cole montiraju policu za kwige. Na slici je alat koji oni koriste. Majstor Mile ka`e: Ja koristim {rafciger, ~eki} i bu{ilicu. Majstor Cole ka`e: Ja koristim kle{ta, ~eki} i bu{ilicu. Zatvorenom linijom izdvoj skup M, alata koji koristi majstor Mile. Zatvorenom linijom izdvoj skup C, alata koji koristi majstor Cole. Navedi skup A ~iji su elementi nazivi alata koji koriste oba majstora. ............................................................................................................................
SKUP A NAZIVAMO PRESEK SKUPOVA M I C. TAJ SKUP ^INE ZAJEDNI^KI ELEMENTI SKUPOVA M I C.
Presek skupova A i B je skup svih elemenata koji pripadaju i skupu A i skupu B. Taj skup ozna~avamo sa A ∩ B. Elementi koji pripadaju skupu A i skupu B nazivaju se zajedni~ki elementi. Presek je skupovna operacija.
GRAFI^KI PRIKAZ Ako A ∩ B nije prazan skup, tada se Venovi dijagrami ta dva skupa crtaju tako da se delom poklapaju, kao {to je dato na slici. Osen~eni deo predstavqa skup A ∩ B.
A
Na primer: 1, 2, 3, 4} 2, 4, 5} A = {1 B = {2 2, 4} A ∩ B = {2
A
ZA OPIS PRESEKA DATIH SKUPOVA KORISTI SE VEZNIK I.
30
B
1 3
2 4
B 5
3
U slede}oj tabeli prikazan je Igorov raspored ~asova u petom razredu. ponedeqak
utorak
sreda
~etvrtak
petak
1. matematika
srpski
srpski
engleski
nema~ki
2. engleski
matematika
geografija
biologija
matematika
3. fizi~ko
istorija
tehni~ko
matematika
srpski
4. biologija
nema~ki
tehni~ko
muzi~ko
fizi~ko
5. srpski
likovno
engleski
srpski
engleski
6. muzi~ko
likovno
ZA PISAWE ELEMENATA SKUPOVA KORISTI SKRA]ENICE: MAT., SRP...
fizi~ko
a) Napi{i skupove predmeta koje Igor ima: ponedeqkom P = {...................................................................................................................................................................... utorkom U = {.............................................................................................................................................................................. sredom S = {................................................................................................................................................................................ ~etvrtkom C = {.......................................................................................................................................................................... petkom K = {................................................................................................................................................................................ Koji su skupovi jednaki? ....................................................................................................................................................... b) Napi{i skup predmeta koje Igor ima i utorkom i ~etvrtkom. ....................................................................... v) Napi{i elemente preseka skupova S i K. ................................................................................................................ g) Napi{i elemente skupa P ∩ U.
P ∩ U = .....................................................................................................................................................................................
4
Skupovi A i B dati su Venovim dijagramom. Odredi elemente slede}ih skupova:
A
B p
A = {................................................................................
t 8
u 5
B = {................................................................................
1
A ∩ B = {.......................................................................
31
REDOSLED KORAKA PRI CRTAWU VENOVOG DIJAGRAMA SKUPOVA KOJI IMAJU NEPRAZAN PRESEK Na primer: A = {2, 3, 8 } i B = {3, 4, 8, 9} 1. korak Elementi skupa A ∩ B = {3, 8 } upisuju se u zajedni~ki deo skupova A i B.
A
2. korak Element 2 upisuje se u skup A, a ne u skup A ∩ B.
B
A
B
3
3. korak Elementi 4 i 9 upisuju se u skup B, a ne u skup A ∩ B.
A
B
3
3
2 8
2 8
5
Dati su skupovi C = {a, b, c, d} i D = {e, d, m}. Upi{i wihove elemente u Venov dijagram.
6
Na osnovu slike dopuni re~enice.
8
C
Skupu E pripadaju: vaqak, ..........................., piramida i ............................
E
Preseku skupova E i M pripadaju: ........................... i ............................ [ta je skup M u odnosu na skup E? ............................ Skup A ~ine svi brojevi mawi od 20 koje mo`e{ da podeli{ sa 2 bez ostatka, a skup B svi brojevi mawi od 20 koje mo`e{ da podeli{ sa 3 bez ostatka. a) Ispi{i elemente tih skupova.
A = {....................................................
B = {................................................
b) Odredi elemente skupa A ∩ B.
A ∩ B = {........................................... v) Prika`i skupove A i B Venovim dijagramom.
8
Izvr{i nazna~ene skupovne operacije. a) {1, 2} ∩ {2, 3, 4} = ........................................... b) {5, 6, 7, 8} ∩ {6, 7, 8, 9} ∩ {4, 5, 6, 7} = ....................................................................................
32
9
D
Skupu M pripadaju: ........................... i ............................
7
4
M
UNIJA SKUPOVA
1
Mama je napravila spisak ku}nih poslova koje obavqaju Pera i Vera.
- sre;uje igra[ke - usisava - bri/e pra/inu
- baca ;ubre - kupuje hleb - usisava - sre;uje igra[ke
Koje sve ku}ne poslove obavqaju deca? ................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................
2
Elementi skupa A su slova re~i SREDA, a skupa B slova re~i DAN. Napi{i elemente tih skupova.
A = ......................................
SKUP S NAZIVAMO UNIJA SKUPOVA A I B.
B = ......................................
Napi{i skup S ~iji su elementi sva slova koja se koriste da bi se napisale obe re~i.
S = ......................................
Unija skupova A i B je skup svih elemenata koji pripadaju skupu A ili skupu B. Taj skup ozna~avamo sa A ∪ B. Svi elementi skupa A pripadaju uniji i svi elementi skupa B pripadaju uniji. Unija je skupovna operacija.
GRAFI^KI PRIKAZ
A
B
Osen~eni deo Venovog dijagrama predstavqa skup A ∪ B.
Na primer: A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 4, 5} A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} 2, 4} A ∩ B = {2
A
1 3
2 4
B
ZA OPIS UNIJE DATIH SKUPOVA KORISTI SE VEZNIK ILI.
5
33
3
^lanovi skupova P, U, S, C, K su odeqewa u kojima nastavnik biologije ima ~asove ponedeqkom, utorkom, sredom, ~etvrtkom i petkom. ponedeqak
utorak
sreda
~etvrtak
petak
1.
V1
/
VII2
VII1
V5
2.
V2
/
V1
V3
VII3
3.
/
V3
V2
VII5
VII4
4.
VII1
VII4
VII3
/
/
5.
VII2
V5
/
V4
/
6.
V4
VII5
/
/
/
a) Napi{i skup odeqewa u kojima nastavnik ima ~asove prva dva dana u nedeqi. .....................................................................................................................................................................................................
b) Napi{i elemente unije skupova S i K. .................................................................................................................... v) Napi{i elemente skupa P ∪ S.
P ∪ S = .........................................................................................................................................................................................
4
Dati su skupovi A = {11, 20, 21, 22} i K = {10, 20, 22}. Napi{i elemente skupa A ∪ K.
A ∪ K = ...........................................................
5
Na osnovu dijagrama napi{i elemente skupova.
M
R
M = ................................................................. R = ..................................................................
a 1
M ∪ R = ...........................................................
6
Napi{i elemente skupova E i F ako je:
34
o
7
Izvr{i nazna~ene operacije.
E ∪ F = {1, 2, 3, 4}
{1, 2} ∩ {1, 2} = .............................
1 ∈E, 1 ∈F,
{1, 2} ∪ {1, 2} = .............................
2 ∈E ∩ F, ZADATKE OVOG TIPA LAK[E ]E[ RE[AVATI AKO KORISTI[ VENOV DIJAGRAM.
7
3 ∈E, 3 ∉F, 4 ∉E.
E = ............................ F = ............................
{1, 2} ∪ ∅ = .................................... {1, 2} ∩ ∅ = ....................................
8
9
Za bilo koji skup A odredi: a) A ∪ A = .....................
v) A ∩ A = .....................
b) A ∪ ∅ = ....................
g) A ∩ ∅ = .....................
Na osnovu slike odredi elemente skupova. A B A ∪ B = .................................................... 4 7 A ∪ C = .................................................... 5 6 2 B ∪ C = .................................................... 1 3
C
10
Dovr{i Venov dijagram i upi{i elemente skupova. a) T = {4, m, 9}, S = {m, e, 3}
S
T
11
b) T = {4, m, 9}, R = {e, 3}
T
T
Na slici osen~i skup: a) C ∪ D
b) C ∩ D
D
U POMO]I VENOVI DIJAGRAMI TI MOG U U^EWU DRUGIH PREDMETA. AMTI[ NEKE KADA TREBA DA UO^I[ I ZAP RO DOB E, LIK SLI^NOSTI I RAZ AGRAM. JE DA KORISTI[ VENOV DIJ AWE O TOME KOJE NA PRIMER, ODGOVOR NA PIT VI]A I CARA INO VOJ SU OSOBINE MILO[A IDBA @EN MI PES U TE ENU POM DU[ANA ITE, LI^ RAZ E KOJ A DU[ANOVA SLI^NE, I NA^IN. DE] SLE NA ATI KAZ PRI MO@E[
D
C
12
v) T = {4, m, 9}, P = {m, 9}
C
Na slici osen~i skup: a) C ∩ Q ∩ R
C
b) (E ∩ F) ∪ G
Q
E
F
Milo/ Vojinovi]
hrabar
car Du/an
ose]ajan neoprezan
duhovit
R
G
poyrtvovan ponosan
lakoveran
mudar
35
RAZLIKA SKUPOVA
Jelena na pla`i koristi: nao~are za sunce, peraja, masku za rowewe, du{ek i loptu. Mihailo na pla`i koristi: ka~ket, loptu, du{ek i vodeni pi{toq.
1
Koje predmete koristi samo Jelena? ........................................................................................................
Koje predmete koristi samo Mihailo? ........................................................................................................
2
Dati su skupovi A = {R, I, B, A} i B = {R, A, K}. SKUP C NAZIVA SE RAZLIKA SKUPA A I SKUPA B.
Napi{i skup C ~iji su elementi slova koja pripadaju skupu A, a ne pripadaju skupu B.
C = ............................
Razlika skupova A i B je skup svih elemenata koji pripadaju skupu A, a ne pripadaju skupu B. Taj skup ozna~avamo sa A \ B. Razlika skupova je skupovna operacija.
GRAFI^KI PRIKAZ
A
B
Osen~eni deo predstavqa skup A \ B.
Na primer:
A = {1, 2, 3, 4}
A
B
1
B = {2, 4, 5} 3
2 4
5
A \ B = {1, 3} A B \ A = {5}
36
B
1 3
2 4
5
ZA OPIS RAZLIKE DATIH SKUPOVA KORISTI SE RE^CA NE.
3
Dati su skupovi A = {2, 3, 8} i B = {2, 4, 8, 9}. a) Odredi skupove A \ B i B \ A.
A \ B = ....................................
B \ A = ....................................
b) Obrazlo`i za{to je 3 â&#x2C6;&#x2C6; A \ B. ............................................................................................................................ v) Zapi{i re~ima matemati~ku re~enicu pod a). ............................................................................................................................................................................................
4
Dati su skupovi C = {11, r, 20, s} i D = {r, 20, a}. Napi{i elemente skupova C \ D i D \ C.
C \ D = .......................................
5
D \ C = ........................
Skupovi P, U, S, C, K odre|eni su predmetima koje Igor ima ponedeqkom, utorkom, sredom, ~etvrtkom i petkom. ponedeqak
utorak
sreda
~etvrtak
petak
1. matematika
srpski
srpski
engleski
nema~ki
2. engleski
matematika
geografija
biologija
matematika
3. fizi~ko
istorija
tehni~ko
matematika
srpski
4. biologija
nema~ki
tehni~ko
muzi~ko
fizi~ko
5. srpski
likovno
engleski
srpski
engleski
6. muzi~ko
likovno
fizi~ko
a) Napi{i skup predmeta koje Igor ima ponedeqkom, a nema petkom. ..............................................................................................................................................
b) Napi{i elemente razlike skupova K i P. ........................................................... v) Napi{i elemente skupa S \ C.
S \ C = {.............................................................................
6
Skupovi A i B dati su Venovim dijagramom. Napi{i elemente skupova.
B
A
A \ B = {............................................................................
maj jun avgust
april
jul
B \ A = {............................................................................ A â&#x2C6;Š B = {..........................................................................
7
Na osnovu slike napi{i elemente skupova.
A = ............................................
A \ B = .......................................
B = ............................................
B \ A = .......................................
A
B 1
4 3
7
5
37
8
a) Nacrtaj Venov dijagram skupova A i B ako zna{ da je:
A â&#x2C6;Š B = {R, A} A \ B = {U, @} B \ A = {N, C, I, S} b) Napi{i elemente skupova A i B.
A = .......................................
PRESEK, UNIJA I RAZLIKA SU SKUPOVNE OPERACIJE.
B = .......................................
v) Od elemenata skupa A mo`e{ da sastavi{ naziv jednog cveta. Kog? ........................................ g) Od elemenata skupa B mo`e{ da sastavi{ naziv jednog cveta. Kog? ........................................
9
Dovr{i Venov dijagram i upi{i elemente skupova. a) T = {a, m, 2}, S = {m, e, 2, 3}
T
10
S
b) M = {4, m}, R = {e, 4, m, 3}
v) L = {4, m, 9}, P = {m, 9}
R
P
a) Prika`i Venovim dijagramom skupove B i M iz zadatka 1 na strani 15. Za nazive `ivotiwa mo`e{ da koristi{ skra}enice.
b) Odredi elemente skupa B â&#x2C6;Š M = {....................................................................... Opi{i re~ima elemente ovog skupa. ............................................................................................................................. ........................................................................................................................................................................................................
v) Odredi elemente skupa B \ M = {....................................................................... Opi{i re~ima elemente ovog skupa. ............................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................
g) Odredi elemente skupa M \ B = {....................................................................... Opi{i re~ima elemente ovog skupa. ............................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................
38
11
Na osnovu slike odredi elemente skupova. B A a) A = ............................................. t a r B = ............................................. n e C = ............................................. s
z
b) A ∩ B = .............................................
B ∩ C = ............................................. C ∩ A = .............................................
C
v) A ∪ B = .....................................
g) (A ∩ B) ∩ C = ...................................
d) A \ (B ∩ C) = .................................
B ∪ C = .....................................
(A ∪B ) ∩ C = ...................................
C \ (A ∩ B) = .................................
C ∪ A = .....................................
12
(C ∩ A) \ B = .................................
Dati su skupovi A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {4, 6, 8, 9, 10} i C = {1, 2, 3, 4, 5}. Dopuni zapo~eti Venov dijagram skupova A, B, C. A A ∩ B ∩ C = {4}
B
A ∩ C = {2, 3, 4, 5} A ∩ B = ......................
3 4 2 5
B ∩ C = ......................
C
REDOSLED KORAKA PRI CRTAWU VENOVOG DIJAGRAMA TRI SKUPA 1. korak Odredi presek skupova A, B i C i wegove elemente upi{i u odgovaraju}i deo Venovog dijagrama. 2. korak Odredi preseke svaka dva skupa i u odgovaraju}e delove Venovog dijagrama upi{i wihove preostale elemente. 3. korak Dodaj one elemente koji su preostali u skupovima.
Jovana je za svoj ro|endan napravila ~okoladnu i vo}nu tortu. Pozvala je 20 svojih prijateqa. Svako od wih probao je najmawe jednu tortu. ^okoladnu tortu probalo je wih 15, a obe torte wih 6. Koliko je wenih prijateqa probalo vo}nu tortu? Nastavi da re{ava{ zadatak kao {to je zapo~eto. ^
C
9 6
V
^
13
C – ~okoladna torta V – vo}na torta Odgovor: ......................................................
OVAJ ZADATAK MO@E[ RE[ITI I PRIMENOM VENOVOG DIJAGRAMA, TAKO [TO ]E[, UMESTO NAVO\EWA ELEMENATA SKUPOVA, KAO [TO SI DO SADA RADIO, NAPISATI WIHOV BROJ.
39
VE@BAWE 1
Zapi{i slede}e skupove. a) Elementi skupa A su slova re~i MIKI. A = ................................... b) Elementi skupa B su slova re~i [IQA. B = ................................... v) A ∩ B = ...................................
2
Skupovi su zadati Venovim dijagramom. Zaokru`i slovo ispred ta~no odre|enih skupova A i B.
A
B p
a) A = {p, s}
t
B = {t, u, v}
z u r
b) A = {p, s, z, r} B = {t, u, v} v) A = {z, r}
s
v
B = {z, r, u, v}
g) A = {p, s, z, r} B = {z, r, u, t, v}
3
Na osnovu Venovog dijagrama odredi presek skupova A i B.
a)
A
B 4
3
b)
v)
A
A
1
2
2 1
B
3 4 B 4 2
A ∩ B =.......................................
4
3
.....................................................
.....................................................
Skupove K = {d , 2 , 4 , b , 6 , c} i L = {6 , a , c , 8 , 2 , 1} Marija je predstavila Venovim dijagramom.
K
L 8 4 d
Marija je zaboravila da upi{e neke elemente. Dovr{i zapo~eto upisivawe elemenata i pomozi joj da ispravno popuni Venov dijagram. b
5
Dopi{i elemente koji nedostaju slede}im skupovima.
K = {a , ......, ......, 3} L = {......, c, ......, ......} K ∪ L = {......, ......, ......, ......, 3, 4} K ∩ L = {5, v}
40
1
a
6 5
a) {3, 2}
7 5
b) {5, 6}
v) {1}
g) {5, 6, 1, 3, 2}
T
S
Skupovi S i T predstavqeni su Venovim dijagramom. Zaokru`i slovo ispred unije skupova S i T.
5 6
3
d) {5, 6, 1, 3, 5,6 }
1
2
Izvr{i nazna~enu operaciju. a) {E, B, O} ∪ {D, A, R, G} = {......................................................... b) {S, I, M, K, A} ∪ {M, I, L, K, A} = ..........................................................
8
b) Prika`i skupove Venovim dijagramom.
a) Dati su skupovi
E = {x ⎜x ∈N i 3 < x < 7} i M = {x ⎜x ∈N i 2 ≤ x < 7}. Napi{i skupove nabrajawem elemenata.
E = ................................. M = .................................
9
Napi{i skupove nabrajawem elemenata.
Odredi elemente skupova A, B i A ∩ B ako je dato: A ∪ B = {[, K, O, L, A} AKO TI JE LAK[E – CRTAJ. A \ B = {[} B \ A = {A, K}
a) S = ...........................................
A = .......................................
b) P = ...........................................
B = .......................................
v) S ∪ P = .................................... g) S ∩ P = .....................................
A ∩ B = .................................
Skupovi su dati opisno.
10
S = {x ⎜x ∈NO i x ≤ 4} P = {x ⎜x ∈N i x < 4}
d) S \ P = ....................................... |) P \ S = .......................................
11
Dati su skupovi A = {a, b, c, d, e}, A \ B = {b, d}, B \ A = {f}. Odredi elemente skupa B.
B = .................................
12
Odredi i napi{i elemente skupova ako je:
A – skup dvocifrenih brojeva ~iji je zbir cifara 4 B – skup dvocifrenih brojeva ~iji je proizvod cifara 2. a) A = .......................................................
b) B = .............................................
v) A ∪ B = .................................................
g) A ∩ B = .......................................
d) A \ B = ...................................................
|) B \ A = ........................................
ZBIR CIFARA BROJA 35 JE 3 + 5 = 8, A PROIZVOD CIFARA JE 3 ⋅ 5 = 15.
41
13
Za bilo koji skup B odredi: b) B \ ∅ = ................
a) B \ B = ................
14
v) ∅ \ B = ................
Na osnovu Venovog dijagrama upi{i u prazna poqa da za ta~ne re~enice ili ne za neta~ne.
1 ∈M 3 ∉P
M
5 7
1 8
9 ∈P ∩ S
9
{2, 5} ⊂ S 4
2
S
15
3
∅⊄M
P
2 ∈P ∩ S ∩ M
Pored svakog zapisa za dati osen~eni skup upi{i odgovaraju}i simbol: T ili ⊥.
M
N
a) (M \ P) ∪ N ....... b) (M ∪ N) \ P ....... v) (N \ P) ∪ M ....... g) (M \ P) ∪ (N \ P) .......
16
P
Zapi{i osen~eni skup pomo}u skupovnih operacija.
A
B
A
C
a) ..........................................
17
B
B
C
C
b) ..........................................
Na slici je Venov dijagram skupova M, P i S. Osen~eni skup je: b) M \ (P ∩ S) v) (P ∪ M) \ S g) (P ∩ M) \ S d) M \ S Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.
v) ..........................................
S
a) M ∩ P
42
A
M
P
18
U sportskoj hali sreli su se Aca, Bane, Filip, Igor i Stefan. Svaki od wih trenira ko{arku ili odbojku, a neki od wih treniraju oba sporta. Ako zna{ da: • Filip trenira ko{arku, ali ne trenira odbojku • Aca trenira ko{arku i odbojku • Stefan trenira odbojku, ali ne trenira ko{arku • Igor ide na treninge i sa Stefanom i sa Filipom • Bane ne trenira isti sport kao Stefan, rasporedi de~ake u odgovaraju}e skupove i odgovori na slede}a pitawa. Da li svaki de~ak trenira i ko{arku i odbojku? ............................. ko{arka
odbojka
Koji de~aci treniraju ko{arku, a ne treniraju odbojku? ..................................................................................................................
Koji de~aci treniraju samo jedan sport? ..................................................................................................................
19
Autobus sa u~enicima V1 kasnio je u hotel u kojem je trebalo da u~enici ve~eraju i no}e. Za ve~eru su mogli da dobiju pqeskavicu u lepiwi i pitu od jabuka. Ve~erali su svi u~enici V1. Petnaest u~enika naru~ilo je pqeskavicu u lepiwi i pitu od jabuka. Pqeskavicu u lepiwi naru~ila su 23 u~enika, a pitu od jabuka 20 u~enika. Koliko u~enika ima u tom odeqewu? Odgovor: U tom odeqewu ima ........... u~enika.
20
Od sto nastavnika u jednoj osnovnoj {koli 15 ne pije ni kafu ni ~aj. Samo kafu pije wih 45, a samo ~aj pije wih 20. Koliko nastavnika u toj {koli pije i kafu i ~aj? ..................................................................................................................
ZAPAMTI pojam
element skupa
podskup
presek skupova
unija skupova
razlika skupova
oznaka
x ∈ S, y ∉ S
A⊂B
A ∩B
A ∪B
A\B
y
S Venov dijagram
x
B
A
B
A
B
A
B
A
43
I TO JE MATEMATIKA 1
De{ifruj re~. RE^ KOJU SI DE[IFROVAO MA. NAPISANA JE HIJEROGL IFI HIJEROGL IFI SU STAROEGIPATSKO PISMO SA^IWENO OD RAZL I^ITIH SLIKA, OD KOJIH SVAKA PREDSTAVQA PREDMET, POJAM ILI GLAS.
...............................................
je slovo koje se pojavquje i u re~i MOST i u re~i PESAK.
FRANCUSKI NAU^NIK @AN-FRANSOA [AMPOL ION PRVI JE ODGONETNUO WIHOVO ZNA^EWE.
je slovo kojeg nema u re~i SAMBA, a ima ga u re~i MASKA.
IAKO SADA MO@EMO DA RASTUMA^IMO
je slovo kojeg nema u re~i BAKA, a ima ga u re~i BUKA.
[TA JE HIJEROGL IFIMA NAPISANO, NEMOGU]E JE ZNATI KAKO JE TAJ JEZIK ZVU^AO.
je slovo koje se pojavquje i u re~i KOPQE i u re~i [APA.
2
U tabeli prona|i {to vi{e pojmova koje si nau~io u radu sa skupovima. Ispi{i ih. P
R
I
P
A
D
A
U
P
R
E
U
J
S
N
^
Z
N
E
K
N
I
D
L
A
^
M
S
A
I
O
A
...............................................
E
L
U
K
E
P
J
N
...............................................
R
A
Z
L
I
K
A
A
...............................................
............................................... ...............................................
3
Re{i ukr{tenicu. 1
1. Kolekcija objekata izdvojenih na osnovu neke osobine naziva se... 2. Za grafi~ko predstavqawe skupa koristimo dijagram koji se naziva... 3. Objekat koji pripada skupu naziva se ~lan ili... 4. Elementi koji pripadaju i skupu A i skupu B obrazuju nov skup, koji se naziva... 5. Ako se napravi skup elemenata koji pripadaju skupu A ili skupu B, dobija se nov skup, koji se naziva...
44
2
4
5
3
ISTRA@IVA^KI ZADATAK Igor ima 9 sli~ica. Na svakoj sli~ici nalazi se ime, naziv glavnog grada i zastava jedne dr`ave. Pomozi Igoru da re{i slede}e zadatke.
Japan (Tokio)
Srbija (Beograd)
Italija (Rim)
Nema~ka (Berlin)
Kina (Peking)
Rusija (Moskva)
Poqska (Var{ava)
Francuska Ma|arska (Pariz) (Budimpe{ta)
Odredi skup dr`ava:
MO@E[ DA PI[E[ SAMO PO^ETNO SLOVO ZA NAZIV DR@AVE.
1) na ~ijim se zastavama nalazi plava boja ......................................................................................................................................................................................................................
2) na ~ijim se zastavama nalaze ta~no tri boje ......................................................................................................................................................................................................................
3) sa glavnim gradovima ~ija imena po~iwu na slovo B ................................................................................................... 4) na ~ijim se zastavama nalazi zelena boja .......................................................................................................................... 5) na ~ijim se zastavama nalazi `uta boja .............................................................................................................................. 6) na ~ijim se zastavama nalaze zelena ili `uta boja ....................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................
7) koje su u Evropi ............................................................................................................................................................................. 8) koje nisu u Evropi ........................................................................................................................................................................ 9) koje se nalaze u Evropi i na ~ijim zastavama postoje zelena poqa ......................................................................................................................................................................................................................
10) kroz koje proti~e Dunav. ........................................................................................................................................................... Ako ne zna{ odgovore na pitawa pod 7, 8, 10, potra`i kartu Evrope u geografskom atlasu. Neke od ovih zadataka mogao si da re{i{ primewuju}i skupovne operacije presek, uniju ili razliku. Prona|i ih i upi{i broj zadatka. Presek: .............................. Unija: .................................. Razlika: .............................
45
GEOMETRIJSKI OBJEKTI Re~ geometrija nastala je od gr~kih re~i gea (zemqa) i metrein (meriti ). Te re~i opisuju na~in na koji su qudi prvi put prakti~no primenili geometriju. U drevnom Egiptu, u kojem je reka Nil periodi~no plavila obale, geometrija je kori{}ena da bi se ponovo odredile me|e wiva, premerila poqa i konstruisale gra|evine. Takva primena geometrije do savr{enstva je razvijena u starom Egiptu, Asiriji i Vavilonu. Gr~ki matemati~ari sakupili su sva ta znawa i sistematizovali ih. Tales iz Mileta, koji je `iveo oko 600. godine pre nove ere, jedan je od za~etnika geometrije. Mnoga velika dostignu}a u umetnosti, nauci i tehnici ne bi bila ostvarena bez geometrije.
M AR KO VI ] A
A SK
KN EG IW E
LE
\E R
O M VA RO LE O M
AL EK SE
BU
IN
A
SIME
] [EVI
.................................................
A
LAJA I CARA NIKO
MA^VANSKA JARHA VA
MILO
2. Kojom je geometrijskom figurom prikazano zeleno ostrvo na Slaviji?
L PO TO
SOKOLSKA
I
.................................................
DA RA OG R T PE
RKOG
VA
S
MA GO
NA LI SU A R SK KU IW S VA VE PO NE TA U E M AJ A\ AN V I
1. U kojem se parku nalaze hram Svetog Save, spomenik Kara|or|u i Biblioteka Srbije?
L
HA RO XI VA PR GO O LS DA VO NO RD VA I JE VA TR N M S LA KA T
BR A] E
M AT EJ E PR O TE
ZO RK E
AD GR
M AT EJ E
BE
O
KR AQ A M AT EJ E PR OT E
BO\EW A R OSLO
BA BA
A
BULEVA
PR O TE
M IL UT IN A
SV ET O ZA RA
M IL UT IN A
KR AQ A
SK A AD A ]E V
LT VE
VA ]E NI E L KA
I MAKS
TI
A IN UL S R KA KU [ VI
A IN W [ VI
A
EV
R OSLO BO\EW A
EV
[
BULEVA
NE DI ] A
RE SA VS KA
M AR KO VI ] A SV ET O ZA RA
LI GR
NE NA SM DO IQ VI AN ]A KN I] EG EV IW A E ZO RK E
M IL O [ A KN EZ A
DE
[
O EG
KA
E IJ
RE SA VS KA
LA AR EM
IN A
I AN
UT
AD
EZ
IC AQ
M IL
KN
KR
A
Z RU
W
APO
I
KA
MUT
SA ND RA
HA XI
S
A
LA
IN
O
LE K
KA VS
UN
1
A
ANI
AN AA
KR
^KA
JNI
PATRI ]EVA
ZA D KNE
A[
M
AN
VA JE ZI EN AK M
2 SKERLI
KU
Posmatraj mapu i odgovori na pitawa.
Q
KA
3
RA
S
EG
VA RO E OL M
I]A KOV TAN B. S
VA
W
A MAL
KARA\OR\EV PARK
RK
A
VA JE ZI EN AK M A LSK AVA
O
KE
E
ER
VA
INA NEBOJ[
IJEG STAR I]A
OR
SAV
OHRIDSKA KRU[EDOLSKA
O
ST
EZ
TOG
R[
K
IW NEG
SVE
TI
PA
E
VA
EV
O
SAV
O
[
K
LE VA
UN
O
TOG
TI
BU
NA MAPI JE PRIKAZAN DEO BEOGRADA. U TOM DELU GRADA NALAZE SE NEKI OD WEGOVIH NAJZNA^AJNIJIH KULTURNOISTORIJSKIH SPOMENIKA: NARODNA BIBLIOTEKA SRBIJE (1), HRAM SVETOG SAVE (2), SPOMENIK KARA\OR\U (3), CRKVA SVETOG MARKA (4) I SKUP[TINA (5).
V
AR
KR
VA
EG
G NE
A
EV
IJ
KA
O
S
W
SVE
IN
UN
EV
A
R^
AL EK SA ND RA
KR
A
[
R GA
KA
LAN
O
BI
AN
E IJ
S
UN
KR
MI
A
EG
TA[MAJDAN
A
A AK OV N E IN AR ST A ^K O R I M
IL
KA
S
UN
QA
IN
E IJ
A
KR
KRA
AW
AR EM
IN AN
C
M
4 KR AQ A
A[
LAV
G JA
NO STA
IC AQ
[
NA
M I[ AR SK A
W
KR
RA
BU LE VA R
VE
M AS AR IK O VA
46
GA
ANA EV
I]
R AND
R[
A
SK
OV
K TA
5
AL EK SA ND RA
E IJ
KR AQ A
KA
VS
KO
TA
KA
SK IN
VS
AT
O
IL
BU LE VA R
RNAVE
ORLOVI]A PAVLA
STOJAN
A PROTI
]A
Slika 1
3. a) Navedi jednu od ulica koje povezuju Kara|or|ev park i Slaviju. ................................................. b) Ako 1 cm na mapi predstavqa 100 m u prirodi, koliko je pribli`no metara udaqen hram Svetog Save od Slavije? (koristi lewir) ....................................................... 4. a) Ako od hrama Svetog Save krene{ ulicom Svetog Save, nastavi{ ulicom Kwegiwe Zorke do Krunske, skrene{ levo i nastavi{ Krunskom do Resavske, skrene{ desno, a zatim ide{ Resavskom ulicom, sti}i }e{ do jednog od ve}ih beogradskih parkova. Napi{i wegovo ime. .......................................................
b) Na mapi olovkom ozna~i put kojim si se kretao. Koristi lewir. v) Taj put si predstavio: • izlomqenom linijom
• krivom linijom
• pravom linijom
Podvuci odgovor koji smatra{ ta~nim.
5. Hram Svetog Save i crkva Svetog Marka nalaze se: a) sa iste strane Bulevara kraqa Aleksandra b) na razli~itim stranama Bulevara kraqa Aleksandra v) na Bulevaru kraqa Aleksandra. ZGRADA NARODNE SKUP[TINE
Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.
6. Skup{tina (5) se nalazi na raskrsnici ............................................................................................
DOK STE POSMATRALI MAPU NA SLICI 1, ZAPRAVO STE SE BAVILI GEOMETRIJOM. ULICE NA MAPI, KAO I PROSTOR IZME\U WIH, PREDSTAVQENE SU: KRIVIM I PRAVIM LINIJAMA, KRUGOVIMA, TROUGLOVIMA, ^ETVOROUGLOVIMA, [TO SE MNOGO JASNIJE VIDI NA SLICI 2.
Slika 2
Na narednim stranama pro{iri}ete svoja znawa o geometrijskim figurama. U~i}ete o pravoj, polupravoj, du`i, mnogouglu, kru`nici.
47
TA^KA, PRAVA, RAVAN, PROSTOR
1
Na crte`ima su prikazani neki geometrijski objekti o kojima ste u~ili u prethodnim razredima. U prazno poqe pored svakog crte`a upi{i odgovaraju}i naziv, kao {to je zapo~eto.
otvorena kriva linija
Ta~ka je osnovni geometrijski objekat. Ta~ka nema du`inu, {irinu i visinu. Ta~ke se obele`avaju velikim slovima latinice A, B, C... Ta~ka se na crte`u predstavqa ovako: ×C B. •A
ZAMISLI DA SE TA^KA KRE]E I DA ZA SOBOM OSTAVQA TRAG. NA TAJ NA^IN DOBIJA SE LINIJA.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Linija je geometrijski objekat. Linija mo`e biti kriva ili prava. Prave linije crtaju se uz pomo} lewira.
Pravu liniju koju mo`emo neograni~eno da produ`avamo koriste}i lewir nazivamo prava.
LINIJA JE SKUP TA^AKA.
48
Prave se obele`avaju malim pisanim slovima latinice a, b, c, d... Ta~ka A pripada pravoj p i to se zapisuje A ∈ p. Ta~ka C ne pripada pravoj p i to se zapisuje C ∉ p.
C
A
p
2
Na osnovu crte`a upi{i odgovaraju}i znak, ∈ ili ∉. D A......p B......p C......p p C B......q C......q A......q B q A
D......p D......q
Neka prave m i n imaju zajedni~ku ta~ku A. Tada se ka`e da se prave m i n seku u ta~ki A.
3
m A
n
Na slici su date prave a i b. Ucrtaj ta~ke M, N, S i P tako da va`i: M∉aiM∉b N∈aiN∉b
b
S∈aiS∈b
a
P∉aiP∈b
Na crte`u ne mo`e{ da prika`e{ celu pravu, ve} crta{ samo wen deo. Pravu mo`e{ da produ`uje{ koliko ho}e{ koriste}i lewir.
4
Prave a i b se seku. Na|i i obele`i wihovu zajedni~ku ta~ku.
b a
a
Dve razli~ite ta~ke, E i F, odre|uju jednu pravu m.
5
Na osnovu crte`a pove`i pitawa sa odgovorima. D C A
b
b
a
E
F
m
Koliko razli~itih pravih koje sadr`e ta~ke A i C mo`e{ da nacrta{?
nijednu
Koliko razli~itih pravih mo`e{ da nacrta{ kroz ta~ku A?
jednu
Koliko razli~itih pravih koje sadr`e sve ta~ke, A, C i D, mo`e{ da nacrta{?
dve bezbroj
49
6
Ispod slike svakog geometrijskog objekta napi{i od kojih se povr{i sastoji, ravnih ili krivih.
..................................
..................................
..................................
..................................
Navedi nekoliko ravnih povr{i iz tvoje okoline. ..........................................................................................................................................................................................
RAVNA POVR[ JE DEO RAVNI.
Posmatraj jednu stranicu lista papira. Zamisli da taj list postaje sve ve}i i ve}i, da je veliki kao pod u~ionice, kao odbojka{ki teren, kao stadion, aerodrom i jo{ mnogo, mnogo ve}i. Tako bismo dobili ravan. Cela ravan ne mo`e da se nacrta, kao {to ne mo`e da se nacrta ni cela prava, ali mo`e da se nacrta jedan deo ravni. Taj deo naziva se model ravni, a u wemu mo`e{ da crta{ model prave. MODELI RAVNI
Ravan je geometrijski objekat. Obele`ava se malim gr~kim slovima α, β, γ..., kao na crte`u.
Ta~ka A pripada ravni α i to se zapisuje A ∈ α. Ta~ka B ne pripada ravni α i to se zapisuje B ∉ α. B
RAVAN JE SKUP TA^AKA.
α
50
A α
Tri razli~ite ta~ke koje ne pripadaju jednoj pravoj odre|uju jednu ravan. D
A α
7
B C
RAVAN α I TA^KA D VAN RAVNI α PRIPADAJU SKUPU TA^AKA KOJI NAZIVAMO PROSTOR. TO JE GEOMETRIJSKI OBJEKAT.
Nau~ili ste da kroz dve razli~ite ta~ke, E i F, mo`e{ da nacrta{ jednu pravu. Nacrtaj je. E E
1, 2 ... 100 ... 250... KWIGA IMA 300 STRANA, ALI RAVNI IMA VI[E.
F F
Koliko ravni sadr`i tu pravu? ............................
8
Na slici je crte` kocke. Kvadrat ABCD pripada ravni α. a) Koja temena kocke pripadaju ravni α? .......................
H
G
b) Koja temena kocke ne pripadaju ravni α? ....................... E
v) Sva temena kocke pripadaju: • pravoj
• ravni
Zaokru`i ta~an odgovor.
F C
D
• prostoru α
A
B
51
POLURAVAN, POLUPRAVA, DU@
1
Data prava i date ta~ke pripadaju istoj ravni. Dopuni re~enice. S jedne strane prave p su ta~ke A, C, ...................................
D
Ta~ke C i B su sa raznih strana prave p.
C
A
p
E F B
Ta~ke F i E su sa ................................................................... prave p. Ta~ke F i B su sa ................................................................... prave p.
Prava p ravni α deli tu ravan na dva dela. Poluravan je deo ravni α s jedne strane prave p, zajedno sa pravom p. Obele`avamo je pα. Prava p naziva se grani~na prava poluravni.
α p
p
Prava p ravni α odre|uje dve poluravni. Zajedni~ki deo te dve poluravni je prava p.
2
α
U ravni α date su prave p, q i ta~ka A. a) Oboj poluravan pα ~ija je grani~na prava p i kojoj pripada ta~ka A.
b) Oboj poluravan qα ~ija je grani~na prava q i kojoj pripada ta~ka A.
A
p q
3
poluravan pα
A
p q
α
α
Ta~ke A, B, N, P i M pripadaju pravoj a, kao {to je prikazano na crte`u. Upi{i u prazno poqe tabele znak T ako je iskaz ta~an ili ⊥ ako iskaz nije ta~an. A
B
N
P
M a
Ta~ke A i B su s jedne strane ta~ke N. Ta~ka M je sa iste strane ta~ke B kao i ta~ka A. S jedne strane ta~ke P su ta~ke B, N, M. Ta~ka N je izme|u ta~aka B i P.
52
4
Nacrtaj ta~ke B i C koje pripadaju datoj pravoj a i koje se u odnosu na ta~ku A nalaze sa: a) iste strane
b) raznih strana A
A
a
a
Ta~ka O prave p deli tu pravu na dva dela. Poluprava je deo prave p s jedne strane ta~ke O zajedno sa ta~kom O. Obele`avamo je Op.
p
O Op
Ta~ka O naziva se po~etna ta~ka poluprave.
Ta~ka O koja pripada pravoj p odre|uje na toj pravoj dve poluprave, Op1 i Op2. Zajedni~ka ta~ka polupravih Op1 i Op2 je ta~ka O.
5
p p1 O p2
Data je prava p i na woj dve razli~ite ta~ke, B i C. p B
C
a) Koliko na pravoj p ima razli~itih polupravih s po~etnom ta~kom B? .......... b) Koliko na pravoj p ima razli~itih polupravih s po~etnom ta~kom C? .......... v) Koliko ukupno na datoj pravoj p ima polupravih ~ije su po~etne ta~ke B i C? ..........
6
Zaokru`i DA ako date poluprave imaju zajedni~ku ta~ku ili NE ako nemaju zajedni~ku ta~ku. A
b
c
b
C p
B DA
NE
c
B DA
c NE
B
C DA
NE
POLUPRAVU MO@E[ DA PRODU@UJE[ KOLIKO HO]E[ SAMO S JEDNE STRANE KORISTE]I LEWIR.
53
7
Na slici su prava c i ta~ke E i F koje joj pripadaju. U prazno poqe tabele upi{i znak T ako je iskaz ta~an ili â&#x160;Ľ ako iskaz nije ta~an. Ta~ka F pripada polupravoj Ec2.
c c1
E
F
c2
Ta~ka F pripada polupravoj Ec1. Poluprave Ec1 i Fc2 ~ine pravu c.
ZAJEDNI^KI DEO POLUPRAVIH
Ec2 I Fc1 EF.
Poluprave Ec2 i Fc1 imaju zajedni~kih ta~aka.
PRIKAZANIH NA SLICI JESTE DU@
Du` je deo prave p izme|u ta~aka A i B, zajedno s ta~kama A i B. Obele`ava se AB ili BA. Ta~ke A i B nazivaju se krajwe ta~ke du`i.
8
p A
du` AB
p
Napi{i sve du`i odre|ene datim ta~kama na crte`u. D .......................................................................
Koliko ih ima? ..........
9
B
B C
TA^KE KOJE PRIPADAJU ISTOJ PRAVOJ NAZIVAMO KOLINEARNE TA^KE.
A
Dve du`i mogu da imaju zajedni~ku ta~ku, zajedni~ku du` ili da nemaju zajedni~kih ta~aka. Pove`i svaku sliku na kojoj su prikazane du`i AB i DC sa odgovaraju}im tvr|ewem, kao {to je zapo~eto.
A
C
E
B
D C
Date du`i nemaju zajedni~kih ta~aka. Date du`i imaju zajedni~ku ta~ku C. Date du`i imaju zajedni~ku du` DB.
A
D
B A B
D C
B
Date du`i nemaju zajedni~kih ta~aka. Date du`i imaju zajedni~ku ta~ku E.
A
D
C B
C
Date du`i imaju zajedni~ku du` AC. A
54
D
VE@BAWE 1
Maja, Oqa i Lara idu u istu {kolu. Na mapi grada ozna~ene su zgrade u kojima stanuju i {kola u koju idu. Ako se ulice na mapi predstave pravim linijama, a zgrade ta~kama, dobija se slede}i crte`. Oqina zgrada
Majina zgrada
q
[anti}eva ulica
Tolstojeva ulica
O
M
Gogoqeva ulica
Pu{kinova ulica
p
r
Larina zgrada
s
L [
[KOLA
Popuni tabele kao {to je zapo~eto. ta~ka
zgrada
M
Majina
prava
ulica Tolstojeva
O
[anti}eva
L
Pu{kinova
[
Gogoqeva
Na osnovu crte`a dopuni tvr|ewe. O ∈ ...... [kola se nalazi u Pu{kinovoj ulici. Napi{i ∈ ili ∉ tako da dobije{ ta~no tvr|ewe. [....... p
[.......s
RASKRSNICA JE PRESEK DVE ULICE.
[.......q.
Koje ulice ~ine raskrsnicu na kojoj se nalazi Majina zgrada? .................................... i .................................... Koja ta~ka je prese~na ta~ka pravih q i r? .............
2
Na crte`u obele`i sa M presek pravih a i b, sa P presek pravih a i c, sa Q presek pravih b i c.
b
a
c
55
3
Nacrtaj prave koje sadr`e stranice AB, DC, AD i BC pravougaonika ABCD i obele`i ih tim redom sa m, n, p, q. D
C
a) Koje su prave paralelne? ..................................................................
b) Koje su prave normalne? A
B
..................................................................
PARALELNE PRAVE m I n PRIPADAJU JEDNOJ RAVNI I NEMAJU ZAJEDNI^KIH TA^AKA.
4
ZAPIS ZAPIS
m⏐⏐n ZNA^I DA SU PRAVE m I n PARALELNE. m ⊥ p ZNA^I DA SU PRAVE m I p NORMALNE.
Koriste}i pribor za geometriju – trougao i lewir – nacrtaj i obele`i: a) pravu b tako da je a⏐⏐b i A ∈b
b) pravu c tako da je a ⊥ c i A ∈c
A
A
a
a
A
c A
b a
OVAKO SE CRTAJU PARALELNE PRAVE.
5
Nacrtaj pravu c i obele`i zajedni~ke ta~ke s pravama a i b ako va`i: a) c⏐⏐a
b) c⏐⏐b
b
b a
56
a
OVAKO SE CRTAJU NORMALNE PRAVE.
v) prava c se~e prave a i b
b a
a
6
Koliko poluravni odre|uju: b) dve paralelne prave? ...........
a) dve prave koje se seku? ........... a
b a
7
Koliko je polupravih odre|eno datim pravama ako je wihova ta~ka preseka po~etna ta~ka tih polupravih?
8
........
c
b
Date su ta~ke A, B, C, D i E u jednoj ravni. Nacrtaj poluprave Aa, Bb i Cc tako da B ∈ Aa, D ∈ Bb i E ∈ Cc. Obele`i zajedni~ke ta~ke tih polupravih.
a C b
E D A
9
B
Ta~ka M i prave a i b pripadaju istoj ravni. Nacrtaj prave p i q tako da: a) M ∈p, p⏐⏐a, M ∈q, q⏐⏐b
b) M ∈p, p ⊥ a, M ∈q, q ⊥ b
b
b
M
O
10
M a
O
a
Date su ~etiri ta~ke, A, B, C i D, u jednoj ravni. Nacrtaj sve du`i ~ije su krajwe ta~ke A, B, C ili D.
A
B
Koje su to du`i? ................................................................. Kojim du`ima pripada ta~ka D? ...................................... Koje dve du`i nemaju zajedni~ku ta~ku?
C
D
.................................................................................
57
11
Date su ta~ke A, B i C koje pripadaju pravoj d.
A
B
C d
a) Koliko ima du`i ~ije su krajwe ta~ke date ta~ke? ........ Napi{i ih. ......................................
b) Koliko ima polupravih ~ije su po~etne ta~ke date ta~ke? ........
12
Ta~ke D, E, F, G i H pripadaju pravoj d. Koliko je du`i odre|eno tim ta~kama? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. a) 4
13
b) 5
v) 10
E
F
G
d
Nacrtaj razli~ite du`i AB i CD tako da: b) imaju jednu zajedni~ku ta~ku
v) imaju zajedni~ku du`
a
a) Na osnovu crte`a navedi koliko je du`i odre|eno ta~kama preseka datih pravih.
b R
.........
b) Nacrtaj pravu d koja se~e sve tri date prave i obele`i preseke. Napi{i koliko je najvi{e du`i odre|eno ta~kama preseka ove ~etiri prave.
c P
.........
15
H
g) 20
a) nemaju zajedni~kih ta~aka
14
D
Q
U ravni α date su ta~ke A i B. a) Spoj ta~ke A i B linijom koriste}i lewir. Kako se naziva dobijeni geometrijski objekat? ..................
B A
b) Produ`i dobijenu liniju preko ta~ke B koriste}i lewir.
α
Kako se naziva dobijeni geometrijski objekat? ........................................ v) Nastavi da produ`ava{ prethodno dobijenu liniju preko ta~ke A. Kako se naziva dobijeni geometrijski objekat? ...................... g) Nacrtaj u ravni α ta~ku C koja ne pripada dobijenoj liniji. Oboj ta~ke ravni α koje su sa iste strane te linije kao i ta~ka C. Kako se naziva dobijeni geometrijski objekat? .........................................
58
PRAVA KOJA SADR@I TA^KE A I B ^ESTO SE NAZIVA PRAVA AB.
IZLOMQENA LINIJA q
1 M
p
Na slici je mapa na kojoj su predstavqene ulice (p, q, r, s), {kola (Š) i zgrade u kojima stanuju Oqa, Maja i Lara (O, M, L).
O
Na crte`u ozna~i sa A, B, C redom ta~ke preseka pravih r i p, pravih s i p, pravih s i q.
r
L
s
[
ZELENI PUT PRIKAZAN JE NADOVEZANIM DU@IMA LB I BA, BA I AM. TAJ PUT JE IZLOMQENA LINIJA OD TRI DU@I.
DU@I
MC I CŠ SU
NADOVEZANE DU@I. a) Idu}i ulicama: CRVENI PUT JE IZLOMQENA LINIJA • prevuci crvenom bojom najkra}i put od Majine OD DVE DU@I. zgrade do {kole • prevuci zelenom bojom put od Larine do Majine ku}e koji ne prolazi pored {kole i navedi kojim je du`ima prikazan taj put. ...................................................
b) Navedi du`i kojima je prikazan put od Oqine zgrade do {kole, a koji prolazi pored Majine ku}e. ....................................
Kakvu vrstu linije predstavqa taj put? .............................................
• Dve du`i su nadovezane ako imaju zajedni~ku samo krajwu ta~ku.
C
B
A
A
C B
• Izlomqenom linijom naziva se vi{e du`i koje ne pripadaju jednoj pravoj i koje su nadovezane tako da je druga du` nadovezana na prvu, zatim tre}a du` nadovezana na drugu i tako daqe, a pri tom svake dve uzastopne du`i ne pripadaju jednoj pravoj.
2
A
C
F
B
D
E
Na slikama su prikazane nadovezane du`i MN, NP, PQ i QR. Zaokru`i slovo ispred slika koje predstavqaju izlomqenu liniju. a)
b)
v) R
M N P Q R
P M N
Q
g) R
P
M M N
Q
R
P
d) Q P
M
N
N
R Q
Izlomqena linija MNPQ stranica M
Temena izlomqene linije su krajwe ta~ke nadovezanih du`i. Izlomqena linija ozna~ava se navo|ewem wenih temena, na primer: MNPQ. Stranice izlomqene linije su nadovezane du`i.
P
Stranice koje imaju zajedni~ko teme nazivaju se susedne stranice.
N Q teme susedne stranice
59
3
Na osnovu crte`a popuni tabelu. C
LINIJA ABCD JE OTVORENA IZLOMQENA LINIJA.
G H
LINIJA EFGH JE ZATVORENA IZLOMQENA LINIJA.
F
A D B
E ABCD
linija
EFGH
temena stranice susedne stranice
Izlomqena linija ~ije svako teme pripada dvema susednim stranicama jeste zatvorena izlomqena linija. Ozna~ava se navo|ewem wenih temena.
4
Na osnovu crte`a odgovori na pitawa. C
a) Koje su linije zatvorene? ........................................ b) Koje su linije otvorene? ........................................
S
B E
R
T
D P
A
v) Koliko temena ima linija FGHIJ? ............
Q
Koliko temena ima linija PQRST? ............ M
H
g) Koliko stranica ima linija FGHIJ? ............
L
G O F
I
Koliko stranica ima linija PQRST? ............
J N
d) Kod kojih linija nesusedne stranice imaju zajedni~ke ta~ke? ........................................
K
Prosta izlomqena linija je izlomqena linija ~ije nesusedne stranice nemaju zajedni~kih ta~aka. Na primer: M N
D
Q P
prosta otvorena izlomqena linija MNPQ
A
C B
prosta zatvorena izlomqena linija ABCD
Mnogougaona linija je prosta zatvorena izlomqena linija.
60
C A
B D
LINIJA ABCD NIJE PROSTA. WENE NESUSEDNE STRANICE AB I CD IMAJU ZAJEDNI^KU TA^KU.
5
Koje linije su mnogougaone linije? Zapi{i ih. .................................................................................................... D
A
K
T
J
P B
C
R
E
6
I
M
O
H V
U
N
G
Q
Y
X
S
Nacrtaj i obele`i mnogougaonu liniju: a) od tri du`i
b) od ~etiri du`i
v) od {est du`i
Linija je prosta ako iz bilo koje wene ta~ke olovku mo`emo pomerati po liniji samo na jedan na~in ili na dva na~ina.
7
Na svakoj od slika data je kriva linija. a
b
c
d
e
f
Napi{i slova kojima su ozna~ene: • otvorene linije ..................... • zatvorene linije ..................... • proste linije ..................... • izlomqene linije .....................
LINIJA NA CRTE@U NIJE PROSTA. OLOVKU IZ OZNA^ENE TA^KE MO@E[ DA POMERA[ PO LINIJI NA TRI NA^INA.
• mnogougaone linije .....................
61
OBLAST, UGAO, MNOGOUGAO
1
• Oboj plavom bojom na karti Vojvodine podru~je izme|u Dunava i Tise kojem pripada grad Vrbas.
SUBOTICA
Kikinda
Sombor
• Oboj zelenom bojom podru~je izme|u Dunava i Tise kojem pripada grad Zrewanin. • Oboj crvenom bojom podru~je izme|u Dunava i Save kojem pripada grad Ruma.
Vrbas sa Ti
Du
na
v
Zrewanin
NOVI SAD Vr{ac
Sremska Mitrovica
Ruma
OBOJENA PODRU^JA NAZIVAJU SE OBLASTI, A REKE SU GRANICE TIH OBLASTI.
Sava
BEOGRAD • Koji se gradovi na karti nalaze sa one strane Dunava i Tise na kojoj je Zrewanin? ZREWANIN I VRBAS SU U RAZLI^ITIM OBLASTIMA.
2
.................................................................................................
• Da li mo`e{ da ide{ iz Zrewanina u Vrbas a da ne pre|e{ granicu oblasti? ............
Prava p i ta~ke A, B, C, D, E i F su u ravni α. a) Koje se od datih ta~aka nalaze sa iste strane prave p kao ta~ka A? ............ b) Koje se od datih ta~aka nalaze sa iste strane prave p kao ta~ka B? ............ E
F D
B α
p
C
DEO RAVNI OBOJEN ISTOM BOJOM JE JEDNA OBLAST.
A
Prava p u prethodnom zadatku razdvojila je ravan α na dve oblasti. Prava p je granica tih oblasti. Te oblasti nemaju zajedni~ke ta~ke.
62
3
Poluprave Ap i Aq i ta~ke B, C, D, E, M i S pripadaju istoj ravni. Oboj zelenom bojom deo ravni ograni~en polupravama Ap i Aq kojem pripada ta~ka M. Oboj `utom bojom deo ravni ograni~en polupravama Ap i Aq kojem pripada ta~ka S. a) Koje se od datih ta~aka nalaze sa iste strane ugaone linije kao ta~ka M? ............ a) Koje se od datih ta~aka nalaze sa iste strane ugaone linije kao ta~ka S? ............ q B
S
C D
M
A
E
p
Poluprave Ap i Aq u prethodnom zadatku razdvojile su ravan Îą na dve oblasti koje nemaju zajedni~ke ta~ke. Te poluprave ~ine granicu tih oblasti.
Ugaonu liniju ~ine dve poluprave sa zajedni~kim po~etkom.
b
kraci ugla
Oblast ugla je deo ravni ograni~en ugaonom linijom. Jedna ugaona linija u ravni odre|uje dve oblasti koje nemaju zajedni~ke ta~ke.
oblast ugla teme O
Ugao je deo ravni koji ~ine ugaona linija i jedna od tih oblasti.
4
Ucrtaj ta~ke A, B, C, D, E, F, G tako da A, E i D pripadaju oblasti ugla, C i G ugaonoj liniji, a da B i F ne pripadaju uglu.
5
a
Koje od datih ta~aka pripadaju osen~enom uglu na crte`u? .............................
F G b
E
y A B
O
a
S
x
D
63
6
Ku}e na slici nalaze se izvan parka. Fontana je u unutra{wosti parka. Nacrtaj plavom bojom liniju koja je granica parka. Da li je nacrtana plava linija prosta? ....... Spoj de~aka i klupu linijom tako da ne prese~e{ granicu. Spoj de~aka i jednu zgradu. Da li si presekao granicu? .......
DE^AK I KLUPA PRIPADAJU ISTOJ OBLASTI, A DE^AK I ZGRADA PRIPADAJU RAZLI^ITIM OBLASTIMA.
oqa{wa oblas sp t tra{wa u n u obl ast
Svaka prosta zatvorena linija u ravni odre|uje dve oblasti koje se nazivaju unutra{wa oblast i spoqa{wa oblast. Ta linija naziva se granica.
granica
7
Na crte`u je pet izlomqenih linija. E
C
F
R S
P
D A
G
Q
V
I
Z
O
H
U
X
L B
M
N
K
Y
T
Zapi{i proste zatvorene izlomqene linije. ........................................................................................................ Kako se te linije nazivaju? ........................................................ Svaka od tih linija odre|uje jednu unutra{wu oblast. Oboj te oblasti.
Mnogougao ~ine mnogougaona linija i wena unutra{wa oblast.
E
Mnogougao ABCDE
D
A
stranica
teme B
64
C
U zavisnosti od broja stranica, mnogouglovi imaju i posebne nazive: trougao, ~etvorougao, petougao, {estougao, sedmougaoâ&#x20AC;Ś
8
U svaku sliku upi{i broj stranica, a ispod slike naziv datog mnogougla, kao {to je zapo~eto.
8
3
trougao
osmougao
..........................
..........................
..........................
..........................
..........................
..........................
Do sada smo u~ili o geometrijskim objektima u ravni; to su: prava, ravan, poluprava, poluravan, du`, izlomqena linija, mnogougaona linija, ugaona linija, ugao, mnogougao.
9
Nacrtaj pravu koja sadr`i ta~ku M i ~iji je zajedni~ki deo s datim trouglom: a) prazan skup
b) ta~ka
C
C
M
C
M
A
10
v) du`
B
M
A
B
A
B
Pet ta~aka u ravni su temena izlomqene linije. Nacrtaj: a) prostu otvorenu izlomqenu liniju
L
b) prostu zatvorenu izlomqenu liniju
L
N
K
M
L
N
K
P
v) otvorenu izlomqenu liniju koja nije prosta
M P
g) zatvorenu izlomqenu liniju koja nije prosta L
N
K
M P
N
K
M P
Zaokru`i mnogougaonu liniju.
65
VE@BAWE C
1
Na crte`u je data izlomqena linija ABCDE u jednoj ravni.
A E
Obele`i ta~ke u kojima se seku nesusedne stranice. Koliko ima takvih ta~aka? .................. B
D
2
Ta~ke K, L, M, N, P, S su temena izlomqene linije. Nacrtaj: a) prostu otvorenu izlomqenu liniju
L
S
S
N
K
b) prostu zatvorenu izlomqenu liniju
M
L
S
N
K
M
g) zatvorenu izlomqenu liniju koja nije prosta
L
S
N
K
P
v) otvorenu izlomqenu liniju koja nije prosta
N
K
M
P
L
P
M P
Zaokru`i mnogougaonu liniju.
3
Dopuni crte`: a) tako da dobije{ petougao ABCDE
A
b) tako da dobije{ osmougao ABCDEFGH
A
C B
4
B
Na osnovu crte`a u prazno poqe tabele upi{i znak T ili ⊥ kao {to je zapo~eto. B
b C
E
Oa
A
⊥
C
F O
∈ B
A
66
C
D
a
D E
Ob
oblasti ugla aOb T
5
b
Nacrtaj i obele`i ta~ke E, F, G koje pripadaju kracima ugla, ta~ke K, L, M koje pripadaju oblasti ugla i ta~ke N i P koje ne pripadaju uglu na slici.
O
6
a
b
Oboj razli~itim bojama oblasti koje nemaju zajedni~ke ta~ke, a granice tih oblasti odre|ene su polupravama Bc, Bb i pravom a na slici.
a B
Koliko ima oblasti? ..................
c
7
Koliko oblasti u ravni odre|uju: â&#x20AC;˘ jedna poluprava .................. â&#x20AC;˘ jedna prava .................. â&#x20AC;˘ dve poluprave sa zajedni~kim po~etkom? ..................
8
Nacrtaj trougao tako da presek s datim trouglom bude: a) ta~ka
b) du`
C
A
C
B
A
g) ~etvorougao
C
B
d) petougao
C
A
v) trougao
A
|) {estougao
C
B
A
B
C
B
A
B
Oboj preseke.
67
KRU@NICA, KRUG
1
TO^AK JE JEDAN OD IZUMA KOJI SU U NAJVE]OJ MERI UTICAL I NA RAZVOJ CIVIL IZACIJE. PRVI TO^AK NAPRAVQEN JE OD JEDNOG KOMADA DRVETA. TI TO^KOVI BILI SU VEOMA TE[KI, . A S VREMENOM JE SA TO^KOVA UKLAWANO SVE VI[E DRVETA - DOK NIJE NAPRAVQEN TO^AK S PRE^KAMA, KAKAV SE I DANAS KORISTI. TAJ TO^AK SE POJAVIO OKO 2000. GODINE PRE NOVE ERE. ZANIMQIVO JE TO [TO STARI EGIP]ANI NISU ZNALI ZA TO^AK IAKO SU DOBRO POZNAVALI MATEMATIKU I ASTRONOMIJU.
Zamisli svakodnevicu bez predmeta kru`nog oblika. Kako bi izgledala vo`wa bicikla ~iji su to~kovi kockasti?
Navedi jo{ tri predmeta koja koristi{, a koja su kru`nog oblika. ......................................................................................
2
Nacrtaj du`i AB i CD. Izmeri wihove du`ine. ⏐AB⏐ = ..........cm
⏐CD⏐ = ..........cm.
B A
DU@INE DU@I SU JEDNAKE:
C
3
LINIJU l NAZIVAMO KRU@NICA, A IZMERENU DU@INU POLUPRE^NIK KRU@NICE.
68
⏐AB⏐ = ⏐CD⏐
DU@I SU PODUDARNE:
D
Rastojawe izme|u ta~aka A i B je du`ina du`i AB. Du`inu du`i AB ozna~avamo sa ⏐AB ⏐ ili malim latini~nim pisanim slovom a, b... Du`i jednakih du`ina su podudarne.
AB I CD
⏐AB⏐ a
AB
CD
B
A
Uzmi metalni nov~i}, stavi ga na papir i opcrtaj. Dobio si liniju l. Savij papir tako da se delovi linije potpuno poklope, a zatim ra{iri papir. Ponovi postupak jo{ jedanput. Na papiru su sada tragovi dve prave koje se seku i koje seku nacrtanu liniju l. Ta~ku preseka pravih ozna~i sa A. Svaka od pravih se~e liniju l u dve ta~ke. Obele`i ih sa B, C, D, E. a) Izmeri i zapi{i. ⏐AB⏐= ..........mm, ⏐AD⏐= ..........mm, ⏐AC⏐= ..........mm, ⏐AE⏐= ..........mm. b) Nacrtaj proizvoqnu ta~ku M na liniji l, izmeri i zapi{i. ⏐AM⏐ = ..........mm. Rastojawe svake ta~ke nacrtane linije l od ta~ke A je ..........mm.
Kru`nica k je zatvorena kriva linija u ravni ~ije su ta~ke jednako udaqene od date ta~ke O te ravni.
kr
Krug K ~ine kru`nica i wena unutra{wa oblast.
u`nica krug
polupre~nik O r
centar
Data ta~ka O naziva se centar kru`nice (kruga).
O
Rastojawe od bilo koje ta~ke kru`nice do centra jeste polupre~nik kru`nice (kruga).
Kru`nica k sa centrom O i polupre~nikom r zapisuje se kao k(O, r). Krug K sa centrom O i polupre~nikom r zapisuje se kao K(O, r).
4
OZNAKA r POTI^E OD LATINSKE RE^I radius, [TO ZNA^I POLUPRE^NIK.
Nacrtaj kru`nicu sa centrom u ta~ki O i: a) polupre~nikom r
b) polupre~nikom od 20 mm
OVAKO SE CRTA KRU@NICA ^IJI JE CENTAR TA^KA O I NA KOJOJ JE TA^KA S.
r
O S O
5
O
Nacrtaj kru`nicu k1(A, ⏐AB⏐) i kru`nicu k2(B, ⏐AB⏐).
A
B
Obele`i zajedni~ke ta~ke kru`nica k1 i k2.
6
Izmeri polupre~nik, obele`i odgovaraju}e geometrijske objekte i zapi{i kao {to je zapo~eto.
7 k3
k1
Dat je krug K i ta~ke A, B, C, D, E i F u ravni. Spoj te ta~ke sa centrom O i na liniji upi{i odgovaraju}i znak, >, < ili =. ⏐OA⏐.........⏐OB⏐, ⏐OA⏐.........⏐OC⏐, ⏐OA⏐.........⏐OD⏐, ⏐OA⏐.........⏐OE⏐, ⏐OA⏐.........⏐OF⏐ A
A
E
F
S k1(A, 1 cm)
k2(S, ...........)
O ....................
D
B
C
TA^KE U RAVNI ^IJE JE RASTOJAWE OD CENTRA KRUGA O JEDNAKO POLUPRE^NIKU r ILI MAWE OD WEGA PRIPADAJU KRUGU.
69
KRU@NI LUK, TETIVA Na slici je prikazana mapa ostrva, a dva grada na obali ozna~ena su sa P i R.
1 P
Kojom bojom je obojen najkra}i put od mesta P do mesta R? R
........................... CRVENOM I QUBI^ASTOM BOJOM OBOJENI SU KRU@NI LUKOVI, A BRAON BOJOM TETIVA.
Kojom bojom je obojen najkra}i put obalom od mesta P do mesta R? ...............................
• Tetiva je du` ~ije krajwe ta~ke pripadaju kru`nici. • Kru`ni luk je deo kru`nice izme|u wene dve ta~ke, ukqu~uju}i i te dve ta~ke.
Kru`ni luk kru`nice k odre|en ta~kama A i B obele`ava se sa AB . Ta~ke A i B na kru`nici k odre|uju dva luka. B Dogovor je da se A zapis AB odnosi na mawi luk.
i u`n luk B kr A tetiva k
O
kru `n i luk
2
Nacrtaj i izmeri tetive AC, AB i AE. C
A TETIVA AB JE PRE^NIK KRU@NICE.
Pre~nik kru`nice je tetiva koja sadr`i centar kru`nice.
⏐AC⏐= ..........mm
Pre~nik je najdu`a tetiva. ^esto se obele`ava sa d ili 2r.
⏐AB⏐= ..........mm
O
⏐AE⏐= ..........mm
E B
A
Najkra}a tetiva je .........., a najdu`a tetiva je ...........
3
k pre~ni S
Dobro pogledaj sliku i odgovori. a) Koja ta~ka je centar kruga? ...............
B E
b) Koje ta~ke pripadaju kru`nici? .............................. F S
v) Koje ta~ke pripadaju krugu? ....................................... M
g) Koja du` je pre~nik kru`nice? ............... d) Koje du`i su tetive kru`nice? ...............
70
B
A
D C
OZNAKA d POTI^E OD GR^KE RE^I diametar, [TO ZNA^I PRE^NIK. DIJAMETRALAN ZNA^I SUPROTAN.
Nacrtaj kru`nicu k1(G, 22 mm).
4
Obele`i preseke nacrtanih kru`nica sa A i B. Za koju su kru`nicu du`i GA i GB tetive? .......... Da li je ⏐GA⏐ = ⏐GB⏐? ..........
k
G
O
Nacrtaj krug K(O, 20 mm) i ta~ku M na wegovoj kru`nici. Nacrtaj tetivu MN tako da je ⏐MN⏐= 25 mm.
5
POSTUPAK KOJIM SI DOBIO DU@I GA I GB MO@E TI POMO]I DA CRTA[ TETIVE ODRE\ENE DU@INE.
6
Date su kru`nica k(O, r) i ta~ke A, B i C. A
B
O C
O
k
Nacrtaj tetive odre|ene datim ta~kama. To su: CB, .......................... Koliko takvih tetiva mo`e{ da nacrta{? ..........
Kako se naziva tetiva CB? ................................
Majstor Bane treba da na metalnoj plo~i napravi dva kru`na otvora polupre~nika 15 cm. Pomozi mu da na crte`u odredi centre krugova i izra~una wihovo rastojawe. Obele`i centar prvog kruga sa A, a drugog sa B.
7
25 cm
25 cm
80 cm
25 cm
Rastojawe izme|u centara krugova je: ...............
130 cm
71
KRU@NICA I PRAVA
1
Na liniji ispod crte`a napi{i {ta je zajedni~ko za kru`nicu k i pravu: a) s
b) t D
C
v) m
t E
s m
O
O
k
O
k
.......................................
k
.......................................
.......................................
• Prava i kru`nica imaju najvi{e dve zajedni~ke ta~ke. • Se~ica je prava koja sa kru`nicom ima dve zajedni~ke ta~ke. • Tangenta je prava koja pripada ravni kru`nice i sa wom ima samo jednu zajedni~ku ta~ku.
2
b
Obele`i zajedni~ke ta~ke pravih a, b, c, d i kru`nice k. Koje prave su se~ice? ..........
a
d O
Koja prava je tangenta? ..........
3
U ZADATKU 1 PRAVA s JE SE^ICA KRU@NICE. PRAVA t JE TANGENTA KRU@NICE.
c
Nacrtaj ta~ke A, B, C tako da A ∈ k, B ∈ K, B ∉ k, C ∉ K. Nacrtaj prave a, b, i c koje sadr`e redom ta~ke A i B, B i C, B i O. Nacrtaj proizvoqnu pravu d kroz ta~ku B.
k
KROZ TA^KU KOJA PRIPADA UNUTRA[WOJ OBLASTI KRUGA MO@E[ DA NACRTA[ SAMO SE^ICU.
Koliko zajedni~kih ta~aka imaju k i d? .......... O
Koliko pravih u ravni kru`nice mo`e{ da nacrta{ kroz ta~ku B?
....................................
Kako se te prave nazivaju? ....................................
4
Nacrtaj polupravu Oa koja sadr`i ta~ku M. Nacrtaj pravu t tako da M ∈ t i t ⊥ Oa. Koliko zajedni~kih ta~aka imaju prava t i kru`nica k?
k M O
PRAVA t JE TANGENTA KRU@NICE k.
.....................
• Tangenta dodiruje kru`nicu. Zajedni~ku ta~ku nazivamo dodirna ta~ka. • Tangenta je normalna na dodirni polupre~nik.
72
5
Nacrtaj pravougaonik ABCD u kvadratnoj mre`i ako je ⏐AB⏐= 4 cm i ⏐BC⏐= 3 cm. Koliko je rastojawe od ta~ke D do stranice AB? ............... Koliko je rastojawe od ta~ke A do stranice BC? ............... Koliko je rastojawe izme|u ta~aka B i D? ............... RASTOJAWE OD TA^KE D DO PRAVE AB JE DU@INA DU@I AD.
6
Nacrtaj pravu m koja sadr`i ta~ku A tako da je m ⊥ a. Prese~nu ta~ku pravih a i m ozna~i sa B.
A
a) Proceni i napi{i koja je od du`i AB, AC, AD najkra}a. ............... C
b) Proveri merewem.
Ovako odre|uje{ rastojawe od ta~ke T do prave p: • Povuci normalu kroz ta~ku T na pravu p i obele`i prese~nu ta~ku sa S. • Du`ina du`i TS je rastojawe od T do prave p.
7
Odredi rastojawa od centra kruga do pravih a, b, c. Od koje je prave centar najudaqeniji? ...............
a
O
Kojoj je pravoj centar najbli`i? ............... Od koje je prave centar udaqen za polupre~nik? ...............
8
Nacrtaj tangente t1 i t2 kru`nice k redom u ta~kama A i B. U kakvom su polo`aju prave t1 i t2?
a
D
b
c
T S
p
RASTOJAWE OD CENTRA KRUGA DO TANGENTE JEDNAKO JE POLUPRE^NIKU.
k A
O
B
RASTOJAWE IZME\U TANGENTI t1 I t2 JE PRE^NIK KRU@NICE k.
........................................................................
9
a) Nacrtaj kru`nicu k(O, 2 cm) i tri paralelne prave a, b, c, udaqene od centra redom 1 cm, 2 cm i 3 cm. b) Na crte`u obele`i zajedni~ke ta~ke kru`nice k i pravih a, b i c.
73
VE@BAWE 1
C
Izmeri du`ine datih du`i u milimetrima i zapi{i ih.
⏐AB⏐= ..........
Koja du` ima najmawu du`inu? ..........
3
E
B
Na osnovu slike napi{i na liniji znak ∈ ili ∉ tako da dobije{ ta~an iskaz. B .......... K
E .......... k
O .......... k
G .......... K
S .......... K
A .......... k
F
A
Koja du` ima najve}u du`inu? ..........
2
D
B
⏐CD⏐= ..........
⏐EF⏐= ..........
k G
S
O A
E
Date su du`i AB, CD i poluprava Ox. Nacrtaj kru`nicu k1(O,⏐AB⏐) i k2(O,⏐CD⏐). Ozna~i sa E i F preseke poluprave Ox s kru`nicama k1 i k2. Da li je ta~ki O bli`a ta~ka E ili ta~ka F? ..........
B A
Upi{i znak > ili < tako da dobije{ ta~no tvr|ewe: ⏐OE⏐..........⏐OF⏐.
x
O C
D
Da li je AB
OE? ..........
Da li je CD
OF? ..........
Da li si mogao da odredi{ ta~ke E i F, a da ne crta{ cele kru`nice? .......... OVAJ POSTUPAK MO@E[ DA KORISTI[ KADA UPORE\UJE[ DU@I.
4
a) Uporedi du`ine datih du`i koriste}i postupak iz prethodnog zadatka. b) Upi{i du`ine tih du`i tako da dobije{ ta~ne nejednakosti. ⏐MN⏐ < ............ < ............ < ............
5
C E
A
N M
F
x
O
Na osnovu slike dopuni slede}a tvr|ewa. Zajedni~ki geometrijski objekat za kru`nice k1 i k2 je ........................ Zajedni~ki geometrijski objekat za krugove k1 i k2 je ........................
74
D
B
k2
k1 O2 O1
A
6
Nacrtaj k(O, 15 mm). U ravni kru`nice izaberi ta~ku A tako da je ⏐OA⏐ = 35 mm. Nacrtaj k1(A, 2 cm).
Nacrtaj du` EF, ⏐EF⏐= 2 cm, a zatim nacrtaj kru`nice k1(E, 15 mm) i k2(F, 20 mm).
7
F
O
Obele`i zajedni~ke ta~ke kru`nica k1 i k2 sa A i B.
Obele`i zajedni~ke ta~ke kru`nica k i k1.
Zaokru`i zajedni~ku tetivu kru`nica k1 i k2. EF K3
8
AB
EA
EB
FA
a) Popuni tabelu kao {to je zapo~eto. polupre~nik
K1 K2 O2
FB
K1
pre~nik
15 mm
K2
O3
K3
O1
b) Koliko je rastojawe izme|u centara kru`nica k2 i k3? ..............
9
Nacrtaj kru`nice k1(O, 15 mm), k2(O, 20 mm) i k3(O, 25 mm).
10
Proceni koja je ta~ka najbli`a ta~ki A. ........... Proceni koja je ta~ka najudaqenija od ta~ke A. ........... E C
D
O B A
Proveri svoj odgovor koriste}i {estar. KRU@NICE KOJE IMAJU ISTI CENTAR NAZIVAMO KONCENTRI^NE KRU@NICE.
75
11
Marko, Petar i Stanko su ispred protivni~kog ko{a. Ko je najudaqeniji od ko{a? ........................ M
Ko je najbli`i ko{u? ........................
12
Na osnovu slike odgovori na pitawa.
G A
J
E Nacrtaj k(E, 25 mm) i ta~ku M, M ∈ k. Nacrtaj tetive MN i MP tako da je ⏐MN⏐ = 30 mm, a ⏐MP⏐ = 30 mm.
B
O C
13
14
S
I
H
a) Koja je tetiva najkra}a? ........... b) Koja je tetiva najdu`a? ...........
P
D
F
Nacrtaj kru`nicu k(O, 2 cm) i tetivu AB du`ine 3 cm. Odaberi ta~ku M ∈ AB. Spoj ta~ku M sa centrom O. Dobijenu du` produ`i preko M do preseka sa kru`nicom i tu ta~ku ozna~i sa L.
O E
Da li je⏐OL⏐ > ⏐OM⏐? ...........
15
Na osnovu slike nastavi zapo~eto povezivawe.
k
M
MN
centar
A
tetiva polupre~nik
NB
A N
B
⏐AB⏐
pre~nik
⏐MB⏐
teme kru`ni luk
76
RASTOJAWE IZME\U CENTRA KRUGA I BILO KOJE TA^KE NA TETIVI MAWE JE OD POLUPRE^NIKA ILI JEDNAKO POLUPRE^NIKU.
16
Prave a i b su paralelne. Prava c je normalna na pravu a. Na slici obele`i zajedni~ku ta~ku pravih c i a sa M i zajedni~ku ta~ku pravih c i b sa N. Koriste}i pribor, proveri da li je prava c normalna i na pravu b.
c b
Dopuni jednakost. ⏐MN⏐ = .............
17
18
⏐MN⏐ JE RASTOJAWE
a
IZME\U PARALELNIH PRAVIH a I b.
b
Prave a i b su normalne. Nacrtaj pravu c, c⏐⏐a na rastojawu od 15 mm. Koliko takvih pravih mo`e{ da nacrta{? .........
a
b
Nacrtaj pravu c, c⏐⏐a na rastojawu od 25 mm i pravu d, d⏐⏐a na rastojawu od 2 cm. Koliko je rastojawe izme|u pravih c i d? ............. ili .............
a PRAVE c I d MO@E[ DA CRTA[ SA ISTE STRANE PRAVE a ILI SA RAZNIH STRANA PRAVE a.
19
Kroz ta~ku P nacrtaj se~ice a i b i tangentu t date kru`nice k.
P
Obele`i presek pravih i kru`nice. O [ta je presek kruga K i pravih a i b? .............................................................................
20
Nacrtaj pravu m koja je od ta~ke O udaqena 25 mm. Nacrtaj kru`nicu k(O, 25 mm). Dopuni re~enicu.
O
Prava m je ......................... kru`nice k.
77
ZAPAMTI ta~ka A
du` AB
prava a
poluprava Op O
a
A
poluravan bÎą
A Îą
b
B p
izlomqena linija ABCDEF
ugaona linija, ugao pOq q a l ug k a kr oblast ugla O krak ugla p teme ugla
C B D F
A
mnogougaona linija i mnogougao ABCDEF
E
F
G A
susedne strane
oblast E mnogougla D
B C temena
centar
78
O
kru`ni luk AB i tetiva AB
kr A
i u`n luk
tetiva O
se~ica s i tangenta t
se~ ica B enta tang
O
ast kr
a ug
polupre~nik r
krug K(O, r)
obl
kru`nica k(O, r)
s r
t
O
I TO JE MATEMATIKA 1
Pod treba poplo~ati plo~icama kao {to je zapo~eto.
a) Oboj odgovaraju}im bojama plo~ice oblika osmougla i kvadrata na celom podu. Koliko treba plo~ica oblika kvadrata? .............. Koliko treba celih plo~ica oblika osmougla? ..............
b) Koliko treba `utih plo~ica? .............. Koliko treba zelenih plo~ica? .............. Koliko treba sivih plo~ica? ..............
2
Na slici je 12 razli~itih figura (mnogouglova). Svaka od wih sastavqena je od pet jednakih kvadrata. Od wih mo`e{ da sklapa{ druge figure, na primer pravougaonik.
ISKORISTI PRILOG NA KRAJU KWIGE.
Koristi iste figure i popuni kvadratnu mre`u kao {to je zapo~eto.
79
DEQIVOST Brojeve koristimo da bismo brojali, merili, upore|ivali, da bismo odredili polo`aj nekih mesta. Oni se koriste svakodnevno i u najrazli~itijim situacijama – od obavqawa najjednostavnije kupovine do slo`enih nau~nih istra`ivawa. Prirodni brojevi imaju zanimqive osobine o kojima mo`da niste razmi{qali. Na primer, neki brojevi se mogu podeliti sa mnogo drugih brojeva, dok drugi imaju mali broj delilaca. U ovom poglavqu nau~i}ete ne{to vi{e o osobinama brojeva. 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
ATLETIKA JE JEDNA OD NAJRAZNOVRSNIJIH SPORTSKIH GRANA. ONA OBUHVATA TRKA^KE, BACA^KE I SKAKA^KE DISCIPLINE. ZBOG SVOJE SVEOBUHVATNOSTI NAZIVA SE KRAQICOM SPORTOVA.
DA BI SE NA NEKOM STADIONU MOGLO ODR@ATI ZVANI^NO ATLETSKO TAKMI^EWE, ON MORA IMATI: • TRKALI[TE PODEQENO NA OSAM KRU@NIH ATLETSKIH STAZA (DU@INA JEDNOG KRUGA ATLETSKE STAZE IZNOSI 400 • DEO ZA SKOKOVE I BACA^KE DISCIPLINE • VODENU PREPREKU ZA STIPL^EZ.
1. Koliko celih krugova pre|e trka~ na atletskoj stazi ako pretr~i: a) 800 m ............... v) 3 000 m ...............
b) 1 500 m ............... g) 5 000 m? ...............
m)
VERA NIKOLI] JE JEDINA NA[A ATLETI^ARKA KOJA JE USPELA DA OBORI SVETSKI REKORD U TRCI NA 800 m – 20. 7. 1968. GODINE U LONDONU OSTVARILA JE REZULTAT 2 MINUTA I 5 STOTINKI.
2. Koliko kilometara pretr~i trka~ u trci na: a) 10 000 m ............... km b) 42 000 m? ............... km
3. Mirko je na treningu bacio kladivo {est puta. Ukupna te`ina koju je tog dana bacio iznosila je 43 kg i 560 g. Kolika je te`ina kladiva? Te`ina kladiva je ....... kg ....... g.
80
U OVOJ DISCIPLINI IVAN GUBIJAN JE NA OLIMPIJSKIM IGRAMA U MELBURNU 1956. GODINE OSVOJIO 2. MESTO.
startna linija vodena prepreka
druga prepreka tre}a prepreka Tre}a prepreka
~etvrta prepreka
STIPL^EZ JE TRKA NA 3 000 M, KOJA PODRAZUMEVA 28 PRESKOKA PREKO PREPREKA I SEDAM PRESKOKA PREKO VODENE PREPREKE. PRELASCI PREKO VODENE PREPREKE SU NAJRIZI^NIJI I NAJSPEKTAKULARNIJI TRENUCI U TRCI.
linija ciqa prva prepreka
4. U trci stipl~ez u jednom krugu treba presko~iti ~etiri prepreke i jednu vodenu prepreku. Prepreke se nalaze na jednakom rastojawu jedna od druge. Koliko je rastojawe izme|u svake dve prepreke? Odgovor: ....................................................................................................................................
MARATON JE TRKA NA 42 km I 195 m. NAZIV JE DOBILA PO LEGENDI O GR^KOM VOJNIKU KOJI JE TR^AO OD GRADA MARATONA DO SPARTE DA BI SAOP[TIO VEST O POBEDI. TA TRKA OD TAKMI^ARA ZAHTEVA VELIKU IZDR@QIVOST I POSEBNU FIZI^KU PRIPREMU.
NA OLIMPIJADI U MELBURNU 1956. GODINE FRAWO MIHALI] OSVOJIO JE SREBRNU MEDAQU U MARATONU, [TO JE JO[ UVEK JEDAN OD NAJVE]IH USPEHA NA[IH ATLETI^ARA. ATLETI^ARKA OLIVERA JEVTI] POBEDILA JE NA BEOGRADSKOM MARATONU 2007. GODINE.
NA OVOM STADIONU U ATINI 1896. GODINE ODR@ANE SU PRVE OLIMPIJSKE IGRE SAVREMENOG DOBA. NA ISTOM STADIONU 394. GODINE ODR@ANA JE POSLEDWA ANTI^KA OLIMPIJADA.
U narednom poglavqu nau~i}ete neke osobine brojeva, pa }ete znati kako da: • primenite pravila deqivosti • odredite najve}i zajedni~ki delilac i sadr`alac • razlikujete proste i slo`ene brojeve. 81
[TA JO[ ZNAMO O PRIRODNIM BROJEVIMA 9. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, NAS KORISTIMO CIFRE NI KAD DE ZA PISAWE BROJEVA DA IVA SE A SA DESET CIFARA NAZ SISTEM ZAPISA BROJEV BROJEVNI SISTEM. . U EVROPU SU IH RE POREKLOM IZ INDIJE M SMATRA SE DA SU CIF U SVOJIM OSVAJA^KI PI ARA I DITERANA, KAO PRENEL I TRGOVCI S ME A POHODIMA. IM, ZA PISAWE BROJEV E SE NAZIVAJU ARAPSK OSIM TIH CIFARA, KOJ CIFRE. KORISTE SE I RIMSKE
1
Zapi{i ciframa broj koji je: a) za osam ve}i od pet hiqada dvesta tri ............................................................................................ b) za jedan mawi od dvesta trideset devet hiqada ............................................................................ v) neposredni sledbenik broja trideset tri hiqade ....................................................................... g) neposredni prethodnik broja milion i ~etiri hiqade .............................................................
U jeziku matematike za sastavqawe razli~itih brojeva koriste se cifre. Na primer, cifrom 3 zapisuje se broj tri, a broj trideset tri zapisuje se pomo}u dve cifre 3. U zavisnosti od mesta na kojem se nalaze, cifre imaju razli~ite vrednosti. To su mesne vrednosti cifara.
jed mi inic li e sto ona hiqtine a des da e hiq tic a e jed da i hiq nic ada e sto tin e des eti ce jed ini ce
Na primer, brojevi 304 825 i 4 508 320 mogu se prikazati u tabeli mesnih vrednosti:
4
3
0
4
8
2
5
5
0
8
3
2
0
U broju 304 825 cifra 4 nalazi se na mestu jedinica hiqada i ima mesnu vrednost 4 000, dok se u broju 4 508 320 cifra 4 nalazi na mestu jedinica miliona i ima mesnu vrednost 4 000 000.
2
AKO SE SLOVIMA U NEKIM RE^IMA ZAMENE MESTA â&#x20AC;&#x201C; RE^I ]E PROMENITI ZNA^EWE. NA PRIMER: SOK I KOS, PUT I TUP, REPA I PERA.
Odredi mesnu vrednost cifre 5 u slede}im brojevima: 35 281 ................................. 523 197 ................................. 1 326 757 .................................
3
Ako cifru desetice u broju 2 150 pove}a{ za 3, taj broj se: a) pove}ao za 3
b) pove}ao 3 puta
Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.
82
v) pove}ao za 30
g) pove}ao 30 puta
4
5
Kada u broju 2 345 zameni{ cifru jedinica hiqada i cifru desetica, dobija{ broj:
Odgovore napi{i rimskim ciframa. Kom veku pripada: a) 900. godina .........................
a) druge hiqade b) tre}e hiqade
b) 1499. godina .......................
v) ~etvrte hiqade
v) 1501. godina .......................
g) pete hiqade.
g) 2007. godina ........................
Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.
d) 1389. godina? ....................... Koja se poznata bitka odigrala 1389. godine?
DVADESETI VEK ZAVR[AVA SE 2000. GODINOM, A XXI VEK PO^IWE 2001. GODINOM.
......................................................................................
Posledwe dve cifre nekog broja ~ine wegov dvocifreni zavr{etak. On se ~ita i pi{e kao odgovaraju}i broj. Na primer:
6
7
154 000
0
154 001
1
154 002
2
154 010
10
154 020
20
154 067
67
Na linijama ispod svakog broja napi{i wegov dvocifreni zavr{etak. 23 143
13 240
302
1 000 024
824
23 400
35 000
............
............
............
............
............
............
............
a) Napi{i jedan petocifreni broj ~iji je dvocifreni zavr{etak 77. ....................... b) Napi{i neki ~etvorocifreni broj ~iji je dvocifreni zavr{etak 5. .......................
8
Popuni tabelu.
broj
zbir cifara
143
20 000
1 111 118
450 002
234 567
ZBIR CIFARA BROJA 72 JE: 7+2=9 PROIZVOD CIFARA BROJA 72 JE: 7 @ 2 = 14
proizvod cifara
83
9
a) Napi{i sve trocifrene brojeve ~iji je zbir cifara 3. .............................................................................................................................................
b) Napi{i sve trocifrene brojeve ~iji je proizvod cifara 3. .............................................................................................................................................
10
a) Napi{i najmawi {estocifreni broj ~iji je dvocifreni zavr{etak 28. ............................................. b) Napi{i najve}i petocifreni broj ~iji je zbir cifara 21, a dvocifreni zavr{etak broj 28. ..............................................
11
Re{i brojevnu ukr{tenicu tako {to }e{ u svako poqe upisati jednu cifru. Vodoravno 1. proizvod brojeva 123 i 21 5. najve}a cifra 6. dvocifreni zavr{etak broja 7 002 054 7. najmawi prirodni broj 8. zbir cifara broja 345 10. proizvod cifara 345 11. mesna vrednost cifre 2 broja 1 327 12. najve}i dvocifreni broj 13. proizvod cifara broja 210 135 704 14. najmawi dvocifreni broj 16. najve}i jednocifreni parni broj 17. mesna vrednost cifre 1 broja 21 870 Uspravno 1. najmawi jednocifreni parni broj 2. koli~nik brojeva 715 i 13 3. re{ewe jedna~ine 100 â&#x20AC;&#x201C; x = 16 4. cifra stotina broja 1 375 5. devet hiqada sto dvadeset 7. dvostruka vrednost broja 549 9. najve}i broj druge desetice 10. trostruka vrednost broja 23 14. polovina broja 20 15. dve iste cifre 18. cifra desetica broja 144 222 303
84
1
5
8
2
3
4
6
7
9
10
11
12
13
14
17
15
16
18
DEQIVOST U SKUPU No NAPRAVE OD 32 DO 40 VESLA^I U PROSEKU U TRCI NA 2 000 m U. ZAVESLAJA U MINUT TSKOM PRVENSTVU S KORMILAREM NA SVE U KATEGORIJI DVOJAC OSVOJIO JE TIM NA[ ) NU (ENGLESKA 2006. GODINE U ITO ZLATNU MEDAQU.
1
a) Koliko je posada u~estvovalo na takmi~ewu u veslawu ako se prijavilo: • 76 takmi~ara u kategoriji dvojac bez kormilara ......................... ^ETVERAC BEZ KORMILARA ^INI POSADA OD ^ETIRI ^LANA. SVE POSADE MOGU BITI S KORMILAREM ILI BEZ WEGA, A SAMO OSMERAC OBAVEZNO IMA KORMILARA I TO JE POSADA OD DEVET ^LANOVA.
• 64 takmi~ara u kategoriji ~etverac bez kormilara ......................... • 108 takmi~ara u kategoriji osmerac? ......................... b) Ako se prijavi 96 takmi~ara, u kojoj se kategoriji oni ne mogu takmi~iti? Zaokru`i broj ispred ta~nog odgovora. 1) osmeraca
2
2) ~etveraca
3) dvojaca
U odeqewu ima 23 u~enika. Nastavnik matematike `eli da organizuje kviz. Ekipe ~ine po 4 u~enika, a odre|uju se izvla~ewem imena iz {e{ira. a) Koliko najvi{e ekipa mo`e da u~estvuje u ovom kvizu? ......................... b) Koliko u~enika iz odeqewa nije raspore|eno ni u jednu ekipu? ......................... Ti u~enici }e biti voditeqi kviza.
3
a) Sko~ko pravi samo skokove du`ine 3 jedini~ne du`i. Odgovori na pitawa, dovr{i crte` i dopuni jednakosti. Da li Sko~ko mo`e da sko~i na broj 12? ............ 12 = ...... @ 3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
BROJ 12 JE DEQIV BROJEM 3. BROJ 14 NIJE DEQIV BROJEM 3. DEQEWEM BROJA 14 BROJEM 3 DOBIJA SE OSTATAK 2.
11
12
13
14
15
b) Koliko je skokova Sko~ko napravio? ............ v) Da li Sko~ko mo`e da sko~i na broj 14? ...........
4
14 = ...... @ 3 + ......
Izvr{i deqewa i dopuni jednakosti. 48 : 4 = ...............
35 : 9 = ...............
102 : 3 = ...............
281 : 18 = ...............
48 = 4 @ ....... + 0
35 = 9 @ ....... + 8
102 = .....................
281 = .....................
85
Koli~nik i ostatak pri deqewu dva broja odre|uju se na slede}i na~in: deqenik
delilac
koli~nik
376 : 12 = 31 –36 16 12 ostatak 4 Na osnovu prethodnog postupka deqewa, broj 376 mo`emo zapisati ovako: 376 = 12 @ 31 + 4 Deqewe broja a brojem b jeste odre|ivawe brojeva k i r tako da je a = b @ k + r i r < b (a, k, r ∈N0, b ∈N). ostatak
deqenik
a=b@k+r delilac
5
koli~nik
Nastavi kao {to je zapo~eto. a) 124 : 3 = 41 12 4 3 1
b) 4 592 : 3 = ...........
v) 2 004 : 3 = ...........
PRI DEQEWU SA 3 OSTATAK MO@E BITI 0, 1, 2, TO JEST OSTATAK JE UVEK MAWI OD DELIOCA.
deqenik
delilac
koli~nik
1245 : 15 = 83 –120 45 ostatak – 45 0 Na osnovu prethodnog postupka deqewa, broj 1 245 mo`e se zapisati ovako: 1 245 = 15 @ 83 Broj 1 245 je deqiv brojem 15 jer je ostatak 0.
Broj a je deqiv brojem b ako je u jednakosti a = b @ k + r ostatak r = 0, to jest a = b @ k.
86
Re~enicu Broj b je delilac broja a kra}e zapisujemo b⏐a. Ona zna~i jo{ i: • broj a je deqiv brojem b • broj b je ~inilac broja a • broj b se sadr`i u broju a • broj a je sadr`alac broja b. Na primer, re~enicu Broj 8 je delilac broja 56 kra}e zapisujemo 8 ⏐56. Ona zna~i jo{ i: • broj 56 je deqiv brojem 8 • broj 8 je ~inilac broja 56 • broj 8 se sadr`i u broju 56 • broj 56 je sadr`alac broja 8.
6
U prazna poqa upi{i T ako je tvr|ewe ta~no ili ⊥ ako je tvr|ewe neta~no.
7
Dopuni zapo~ete re~enice. • Broj 42 je deqiv brojem 7 jer je 42 = ..... @ .....
5⏐15
• Broj 7 je .............................. broja 42.
8⏐24
• Zapi{i pomo}u simbola ⏐ re~enicu: Broj 42 je deqiv sa 7. ..............................
4⏐14 20⏐10
• Broj 0 ne pripada skupu prirodnih brojeva. • Proizvod nule i bilo kojeg broja je nula, to jest 0 @ b = 0. • Broj nula je deqiv svim prirodnim brojevima, to jest 0 : b = 0, gde je b ∈N. • Nulom ne mo`emo da delimo.
8
9
Odredi koli~nik i ostatak i zapi{i u obliku jednakosti a = k @ b + r. a) 214 : 50
b) 372 : 6
..............................
..............................
v) 1 434 : 36
..............................
Kada podeli{ 58 sa 7, dobi}e{ ostatak 2. Zaokru`i slovo ispred ta~nog zapisa. a) 58 = 8 @ 2 + 7
b) 58 = 7 @ 2 + 8
v) 58 = 7 @ 8 + 2
g) 58 = 7 @ 8 – 2
87
10
Jovana je kupila 90 bombona za svoj ro|endan. U odeqewu ima 22 drugara i svakom je dala isti broj bombona. a) Koliko je najvi{e bombona dobio svako od wih? ........... b) Koliko je bombona ostalo Jovani? ...........
11
Nikola kupuje patike ~ija je cena 5 750 dinara, u nov~aniku ima samo nov~anice od 500 dinara. Koliko mu je najmawe nov~anica od 500 dinara potrebno da bi kupio patike? Nikoli treba najmawe ............ nov~anica.
12
Vlada na svom mobilnom telefonu ima kredit od 136 dinara. Slawe poruke ko{ta tri dinara. a) Koliko najvi{e poruka Vlada mo`e da po{aqe? ............ Koliki mu kredit u tom slu~aju ostaje? ............................... b) Koliko se dana Vlada dopisivao ako je dnevno u proseku slao pet poruka? ................................................
13 KADA PODELI[ DVA BROJA I DOBIJE[ OSTATAK NULA, ZAKQU^UJE[ DA SU BROJEVI DEQIVI.
Popuni tabelu ako je: a deqenik, b delilac, k koli~nik, r ostatak. a
b
k
r
a=b@k+r
42
5
8
2
42 = 5 @ 8 + 2
9
4
77
0
112 13 0
14
2006
Koji broj treba podeliti brojem 23 da bi se dobio koli~nik 10 i ostatak 22? Tra`eni broj je: ..............................
88
TIKE BILO JE ULTATA INDIJSKE MATEMA JEDAN OD NAJVA@NIJIH REZ IO JE RAZVOJ GU] OMO K AZA NAL PRO U. TAJ UVO\EWE SIMBOLA ZA NUL TEMA. DANA[WEG BROJEVNOG SIS ), [TO ZNA^I BQAVALA RE^ SUWA (SUNYA TRE U PO^ETKU SE ZA NULU UPO ). @ ( KOM TA^ NA EWE BILA ZAM PRAZNINA, DA BI KASNIJE U. POREKLO AVIO SE U INDIJI U IX VEK POJ – „0“ – SIMBOL ZA NULU U POTI^E NUL ZA BOL SIM DA JE U]E ZNAKA JE NEPOZNATO. MOG VO RE^I ON – KOJE JE PO^ETNO SLO OD GR^KOG SLOVA O - OMIKR TA. NI[ OUDEN (OUDEN), [TO ZNA^I
VE@BAWE 1
3
U prazna poqa upi{i T ako je tvr|ewe ta~no ili ⊥ ako je tvr|ewe neta~no.
2
Ispitaj deqewem ta~nost tvr|ewa i na liniji napi{i odgovaraju}i znak, T ili ⊥.
Broj 8 je delilac broja 96.
a) 3⏐27 .......
Broj 21 je delilac broja 12.
b) 81⏐243 .......
Broj 36 je sadr`alac broja 9.
v) 53⏐253 .......
Broj 5 je delilac broja 36.
g) 7⏐91 .......
Broj 7 se sadr`i u broju 77.
d) 100⏐10 .......
Odredi brojeve koji nedostaju u formuli a = b @ k + r kao {to je zapo~eto. a) a = 37, b = 9
b) a = 55, b = 5
v) b = 200, k= 4, r = 0
g) b = 7, k = 4, r = 3
37 : 9 = 4 – 36 1
37 = 9 @ 4 + 1
4
55 = ..........................
...................................
...................................
a) Zaokru`i brojeve koji su delioci broja 8. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
SVI DELIOCI BROJA 15 SU BROJEVI MAWI OD 15 ILI JEDNAKI BROJU 15.
b) Napi{i sve delioce broja 15. .................................................
5
Napi{i sve delioce: • broja 17 ................................................. • broja 20 .................................................
SVAKI BROJ JE DEQIV SA 1 I SA SAMIM SOBOM.
Koliko delilaca ima broj 20? .........
89
Skup svih delilaca nekog broja, na primer broja 48, mo`e se odrediti i na ovaj na~in: 1. korak 1 i 48 su delioci broja 48, 48 = 1 @ 48 {1, 48 } 2. korak 2 i 24 su delioci broja 48, 48 = 2 @ 24 {1, 2, 24, 48 } 3. korak 3 i 16 su delioci broja 48, 48 = 3 @ 16 {1, 2, 3, 16, 24, 48 } 4. korak 4 i 12 su delioci broja 48, 48 = 4 @ 12 {1, 2, 3, 4, 12, 16, 24 , 48 } 5. korak 5 nije delilac broja 48 6. korak 6 i 8 su delioci broja 48, 48 = 6 @ 8 {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 } 7. korak 7 nije delilac broja 48 8. korak 8 i 6 su delioci broja 48, 48 = 8 @ 6. Kako smo brojeve 6 i 8 ve} zapisali kao delioce broja 48, postupak odre|ivawa svih delilaca broja 48 je zavr{en.
6
Napi{i skup svih delilaca broja: a) 12 ............................................................... b) 42 ............................................................... v) 56 ............................................................... g) 102 .............................................................
7
a) Popuni tabelu kao {to je zapo~eto. broj skup svih delilaca broja 6
1, 2, 3, 6
zbir svih delilaca datog broja izuzev wega samog 1+2+3=6
12 28 128 496 b) Broj koji je jednak zbiru svojih delilaca, ne ra~unaju}i sam taj broj, nazivamo savr{en broj. Koji su od datih brojeva savr{eni? ...................................
90
DEQIVOST DEKADNIM JEDINICAMA. DEQIVOST SA 2 I SA 5
1
Moma `eli da kupi fotoaparat ~ija je cena 10 000 dinara. Ako u nov~aniku ima sedam nov~anica od 1 000 dinara, koliko mu je za tu kupovinu jo{ potrebno nov~anica od: a) 500 dinara ........................................................... b) 200 dinara ........................................................... v) 100 dinara? ...........................................................
2
Koji su od brojeva 20, 23, 200, 450, 3 000, 4 302, 12 300, 66 000, 810 008 deqivi sa: 10 ................................................................................................................... 100 ..................................................................................................................
DEKADNE JEDINICE SU 10, 100, 1 000, 10 000...
1 000? ................................................................................................................ Napi{i posledwu cifru u zapisu brojeva deqivih sa deset. ........ Napi{i posledwe dve cifre u zapisu brojeva deqivih sa sto. ........ Napi{i posledwe tri cifre u zapisu brojeva deqivih sa hiqadu. ........
Prirodni broj je deqiv s dekadnom jedinicom ako se zavr{ava sa najmawe onoliko nula koliko ih ima dekadna jedinica.
3
Koje su dekadne jedinice delioci datih brojeva? Popuni tabelu kao {to je zapo~eto. dekadna jedinica broj 1 500
10
100
1 000
10 000
da
da
ne
ne
420 753 000 BROJ JE DEQIV SA 10 000 AKO SE ZAVR[AVA SA NAJMAWE ^ETIRI NULE.
90 760 000 60 600 600
4
Kojim je dekadnim jedinicama deqiv broj: 1 710 ..........
100 800 ...........................
2 310 ..........
3 505 000 ...........................
203? ...........................
BROJ 203 NIJE DEQIV SA 10 JER MU POSLEDWA CIFRA NIJE NULA. BROJ 1 710 NIJE DEQIV SA 100 JER MU POSLEDWE DVE CIFRE NISU NULE.
91
5
a) Koriste}i svaku od cifara 0, 2 i 5, napi{i najmawi petocifreni broj deqiv brojem 100. ................... b) Koriste}i svaku od cifara 0, 2 i 5, napi{i najve}i petocifreni broj deqiv brojem 100. .....................
6
a) Deqewem proveri koji su od datih brojeva deqivi sa 2, pa ih zaokru`i. 73
62 BROJ DEQIV SA 2 JE PARAN BROJ. BROJ KOJI NIJE DEQIV SA 2 JE NEPARAN BROJ.
235 56 24
69 98 30
47 321 b) Posledwe cifre kod zaokru`enih brojeva su: ............................. Broj je deqiv sa 2 ako je wegova posledwa cifra 0, 2, 4, 6 ili 8.
7
a) Napi{i skup svih brojeva deqivih sa 2 koji zadovoqavaju nejednakosti: • 304 < m < 314
A = { ...................................................................}
• 4 195 < m ≤ 4 202
B = ......................................................................
b) Odredi A ∪ B. ............................................................................................... v) Koji od brojeva iz skupa A ∪ B je: • deqiv sa 10 ..................................................... • deqiv sa 100? ..................................................
8
9
10
Zaokru`i ta~na tvr|ewa.
10⏐9 000
2⏐22
250⏐10
100⏐6 700
2⏐784
3 456⏐2
1000⏐7 505 000
Napi{i skup svih cifara koje mogu da zamene u datom ~etvorocifrenom broju tako da va`i: a) 2⏐532
∈{......, ......, ......, ......, ......}
b) 2⏐5 32
∈{..............................................................}
v) 2⏐ 532
∈{..............................................................}
U samoposluzi je 300 kesica bombona od 250 g prepakovano u kese od 500 g. Koliko je kesa od 500 g potrebno da bi se prepakovale sve bombone? Odgovor: ......................................
92
2⏐455
11
a) Deqewem proveri koji su od datih brojeva deqivi sa 5 i zaokru`i ih.
OSTATAK PRI DEQEWU SA 5 MO@E BITI 0, 1, 2, 3 ILI 4.
b) Koristi rezultat pod a) i popuni tabelu kao {to je zapo~eto.
76
65
posledwa cifra u deqiv sa 5 zapisu broja da / ne 1 da / ne da / ne da / ne da / ne da / ne da / ne da / ne da / ne da / ne
broj 230
32
69
53 24
321 98
321 32 53 24 65 76 47 98 69 230
47
ostatak pri deqewu sa 5 1
Broj je deqiv brojem 5 ako mu je cifra jedinica 0 ili 5.
12
Zaokru`i brojeve deqive sa 5. 172
13
1 455
21 347
1 000
33 333
97 980
7 645
76 554
Dat je skup A = {23, 32, 340, 35, 66, 1 005, 80, 112, 85}. Napi{i elemente skupa: a) D, koji ~ine svi brojevi iz skupa A deqivi sa 2. ................................................................................... b) P, koji ~ine svi brojevi iz skupa A deqivi sa 5. ................................................................................... v) C, koji ~ine svi brojevi iz skupa A deqivi sa 10. .................................................................................
Ako je broj deqiv sa 2 i 5, onda je deqiv i sa 10.
i ev
deq ivi sa 2
vi broje deqiv i 5 sa
br oj
g) D â&#x2C6;Š P ........................................
Va`i i obrnuto. Svaki broj deqiv sa 10 deqiv je i sa 2 i sa 5. brojevi deqivi sa 10
14
Koje sve cifre mogu da stoje umesto u datom ~etvorocifrenom broju tako da: a) broj 235 bude deqiv i sa 2 i sa 5 ........................... b) broj 235 bude deqiv sa 5, a da ne bude deqiv sa 2 ........................... v) broj 235 bude deqiv sa 2, a da ne bude deqiv sa 5 ........................... g) broj 235 ne bude deqiv ni sa 2, ni sa 5? ...........................
93
DEQIVOST SA 3 I SA 9 NIJE KA PRAVILA: ; POGODAK S TE LI NEKA KO[ARKA[ 5 m 12 cm OD KO[A SE ZI LA NA WA ODNA BACA - LINIJA ZA SLOB PTU EN. PO N DA JE SI EBA DA UBACI LO DONO RA^ NBA LIGE TR IG , U IGRI KU EN OJ AR TR U TV AN OS K TAKOZV I VE]EG. POGODA IL [A - DA BI POSTIGAO KO OD SI cm A OD 7 m 24 A DVOJKA, DONO U KO[ S RASTOJAW KO[A), TAKOZVAN OD 7 m 24 cm OD G WE MA A AW OJ (S RAST m 25 cm. QENA OD KO[A 6 DVA POENA. JA ZA TROJKU UDA NI LI JE PI RO M TERENIMA U EV - NA KO[ARKA[KI
1
28m
U tabeli su prikazani rezultati na{eg poznatog ko{arka{a Pe|e Stojakovi}a koje je on ostvario u NBA ligi u sezoni 2003–2004. godine.
poeni ostvareni iz slobodnih bacawa
392
poeni ostvareni iz igre – dvojke
850
poeni ostvareni iz trojki
720
6m 15m
Pe|a Stojakovi}, SEZONA 2003–2004
Koliko je puta Pe|a pogodio ko{ da bi ostvario: a) 850 poena iz dvojki
b) 720 poena iz trojki?
..........................................................
..........................................................
v) Koliko je ukupno puta Pe|a pogodio ko{ u toj sezoni? .............................................................................
2
a) Podeli. 303 : 3 = 1....... 3
121: 3 = .......
432 : 3 = .......
87 : 3 = .......
98 : 3 = .......
b) Koristi rezultate koje si dobio pod a) i popuni tabelu kao {to je zapo~eto. broj 303 121 432 87 98
deqivost broja sa 3 da / ne da / ne da / ne da / ne da / ne
zbir cifara broja 3 + 0 +3 = 6 1 + 2 +1 = 4
Broj je deqiv sa 3 ako je zbir wegovih cifara deqiv sa 3.
94
deqivost zbira cifara broja sa 3 da / ne da / ne da / ne da / ne da / ne
324 21 343
3
Prona|i brojeve deqive sa 3. Po~ev{i od najmaweg, redom spoj ta~ke ozna~ene tim brojevima. Dobi}e{ jedan mnogougao. Koji? ........................................
392
10 003
675 851
4 351 975 3 273
4
BROJ 392 NIJE DEQIV SA 3 JER MU ZBIR CIFARA (14) NIJE DEQIV SA 3.
1 377
a) Podeli. 1 405 : 9 = 1 ....... â&#x20AC;&#x201C;9 5
216 : 9 = .......
9 864 : 9 = .......
97 : 9 = .......
b) Koristi rezultate koje si dobio pod a) i popuni tabelu kao {to je zapo~eto. broj
deqivost broja sa 9
zbir cifara broja
deqivost zbira cifara broja sa 9
1 405
da / ne
1 + 4 +5 = 10
da / ne
9 864
da / ne
da / ne
216
da / ne
da / ne
97
da / ne
da / ne
Broj je deqiv sa 9 ako je zbir wegovih cifara deqiv sa 9.
5
Napi{i tri ~etvorocifrena broja deqiva sa 9. ..........................., ..........................., ...........................
6
a) U tabeli zaokru`i brojeve deqive sa 3. 9 921
3 472 10 101
BROJ 52 296 NIJE DEQIV SA 9 JER MU ZBIR CIFARA NIJE DEQIV SA 9.
b) Koji su od zaokru`enih brojeva deqivi i sa 9? Napi{i ih. ...........................
7 550 52 296 10 602
br
i deqivi jev
3 sa
Broj deqiv sa 9 deqiv je i sa 3. Postoje brojevi deqivi sa 3 koji nisu deqivi sa 9. Skup brojeva deqivih sa 9 jeste podskup skupa brojeva deqivih sa 3.
o
5 076 60 304 5 217
brojevi deqivi sa 9
95
7
Dati su brojevi: 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 a) Zaokru`i `utom bojom brojeve deqive sa 3. b) Precrtaj crvenom bojom brojeve deqive sa 5. U NIZU DATIH BROJEVA ZAOKRU@EN JE SVAKI TRE]I BROJ, PO^EV[I OD PRVOG BROJA DEQIVOG SA 3. ZAOKRU@ENI BROJEVI SU SADR@AOCI BROJA TRI.
Dopuni re~enicu. U nizu datih brojeva precrtao si svaki ........................... broj, po~ev{i od prvog broja deqivog sa pet. v) Koji su od datih brojeva deqivi i sa 3 i sa 5? ...............................
8
Odredi skup svih cifara x i y tako da petocifreni broj: a) 32 1xx bude deqiv sa 3 x ∈ { ...........................} b) 84 y2y bude deqiv sa 9 y ∈ { ...........................}
9
a) Upi{i odgovaraju}e brojeve iz skupa {95, 315, 59, 1 710, 102, 3 552, 903} u Venov dijagram.
b) Objasni za{to u neke delove Venovog dijagrama ne mo`e da se upi{e nijedan broj. ..................................................................................................
brojev i
..................................................................................................
qivi sa 9 de
brojevi de
vi sa 3 qi
.................................................................................................. ..................................................................................................
PRO^ITAJ TEKST U PLAVOM OKVIR NA PRETHODNOJ STRANI.
ne
pa
10
96
rni ojevi br
Napi{i skup svih cifara koje mogu zameniti tako da ~etvorocifreni broj 300 bude deqiv: a) sa 2
b) sa 3
v) sa 5
g) sa 9
...............................
...............................
...............................
...............................
d) i sa 2 i sa 3
|) i sa 2 i sa 9
e) i sa 3 i sa 5
`) i sa 5 i sa 9
...............................
...............................
...............................
...............................
BROJ DEQIV I SA 2 I SA 3 DEQIV JE SA 6.
DEQIVOST SA 4 1
Jovan je ro|en 29. 2. 2004. godine. Po koji put }e Jovan 2016. godine proslaviti svoj ro|endan ako ga slavi svake prestupne godine? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. a) 2
2
b) 3
v) 4
g) 12
a) Zaokru`i sve brojeve u tabeli koji su deqivi sa 4. 1 21 41 61 81
2 22 42 62 82
3 23 43 63 83
4 24 44 64 84
5 25 45 65 85
6 26 46 66 86
7 27 47 67 87
8 28 48 68 88
9 29 49 69 89
10 30 50 70 90
11 31 51 71 91
12 32 52 72 92
13 33 53 73 93
14 34 54 74 94
15 35 55 75 95
16 36 56 76 96
17 37 57 77 97
18 38 58 78 98
19 39 59 79 99
20 40 60 80 100
b) Napi{i tri dvocifrena broja koja nisu deqiva sa 4. BROJ 36 JE DEQIV SA 2. WEGOV KOLI^NIK 18 TAKO\E JE DEQIV SA 2, PA JE BROJ 36 DEQIV SA 4. NA TAJ NA^IN MO@E DA SE PROVERI DEQIVOST SA 4 BILO KOG BROJA.
.................................................................
3
Popuni tabelu kao {to je zapo~eto. broj 104
226
1096
Da li je broj deqiv sa 4? 104 : 4 = 26 –8 24 –24 0 226 : 4 = ..........
da /ne
dvocifreni zavr{etak broja
Da li je dvocifreni zavr{etak deqiv sa 4?
4
da / ne
da / ne
da / ne
da / ne
da / ne
BROJ 100 JE DEQIV SA 4. WEGOV DVOCIFRENI ZAVR[ETAK 00 JE ISTO [TO I BROJ 0 KOJI JE DEQIV SA 4.
97
. BRUAR IMA 29 DANA NA. U TOJ GODIN I FE UP EST PR A. JE IN A IN GOD 2012. SVAKA ^ETVRTA GOD 2008, A NAREDNA JE NA GODINA JE BILA POSLEDWA PRESTUP [AVAJU VEKOVI VR ZA SE GODINAMA KOJIMA \U ME SU O [T TO JE ZANIMQIVO QIVE BROJEM 400. E GODINE KOJE SU DE UPNA GODINA. PRESTUPNE SAMO ON , DOK JE 2000. PREST NA UP EST PR JE NI A IN GOD 0. NA PRIMER: 190
FEB ‘0
PU S{ P S 8 N 1 23 4 56 11 12 13 147 158 9 10 18 192021 22 16 17 23 24 25 2627 28 29
Broj je deqiv sa 4 ako je wegov dvocifreni zavr{etak broj deqiv sa 4.
Zaokru`i brojeve deqive sa 4.
4 4 116
5
6
71 004
443
108 788
500
453 270
443 NIJE DEQIV SA 4 JER WEGOV DVOCIFRENI ZAVR[ETAK 43 NIJE DEQIV SA 4.
Napi{i skup svih cifara koje mogu da zamene u datom ~etvorocifrenom broju tako da: a) 4⏐34 2
∈ .......................................
v) 4⏐1 76
∈ .......................................
b) 4⏐520
∈ .......................................
g) 4⏐30
∈ .......................................
Odredi sve dvocifrene zavr{etke ab u broju 123ab tako da on bude deqiv sa 4 i da je 62 < ab ≤ 80. Odgovor: .......................................
7
Odredi sve cifre a i b u petocifrenom broju 57 a4b tako da on bude deqiv i sa 3 i sa 4. Dovr{i zapo~eto re{avawe zadatka. 1. korak Odredi cifru b tako da tra`eni broj bude deqiv sa 4. b=0 57a4b
b=4 b=8
2. korak Odredi cifru a tako da broj bude deqiv i sa 3. 5 + 7 + a + 4 + 0 = 16 + a
5 + 7 + a + 4 + 4 = 20 + a
a=2 57 a40
a=5
................................................ ................
a = ..... 57 a44
a = .....
57 a48
................ ................
a = .....
a = ..... ................
Ispi{i sve dobijene brojeve. 57 240, ..................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................
98
VE@BAWE 1
Dat je skup A = {48, 65, 104, 164, 215, 240, 277, 310, 602, 745}. Napi{i skupove: a) B = {x⏐x ∈ A i x je deqiv sa 2} .................................................................................................................................. b) C = {x⏐x ∈ A i x je deqiv sa 5} .................................................................................................................................. v) D = {x⏐x ∈ A i 10⏐x} ...................................................................................................................................................... g) Zaokru`i broj ispred ta~nog odgovora. 1) C ⊂ D
2
2) B ⊂ D
3) D ⊂ C
Dopuni re~enicu. a) Svaki broj deqiv sa 10 deqiv je i sa ...............................................................................
3
Napi{i najmawi trocifreni broj i najve}i ~etvorocifreni broj koji su deqivi sa 3 i ~ije su sve cifre razli~ite.
b) Svaki broj deqiv sa 100 deqiv je i sa ...............................................................................
4
Odredi sve vrednosti cifre c tako da dati broj bude deqiv sa 4. a) 2 7c0 .................................
Trocifreni broj .......................................................... b) 50 63c ............................... ^etvorocifreni broj ................................................ NULA JE DEQIVA SVAKIM BROJEM.
5
U {estocifrenom broju 15x 31y odredi sve cifre x i y tako da dobijeni broj bude deqiv i sa 2 i sa 5. x ∈ { ..................................................................
6
y ∈ { ..................................................................
Napi{i najmawi ~etvorocifreni broj koji je deqiv sa 9 i koji po~iwe cifrom 6. Tra`eni broj je: ................................................
7
Napi{i najve}i petocifreni broj koji po~iwe cifrom 4, ~ije se ostale cifre mogu ponavqati i koji je deqiv sa 9. Tra`eni broj je: .....................................
99
8
Izra~unaj koli~nik k i ostatak r pri deqewu broja 87 658 brojem 3. k = .............................., r = .................... Ostatak broja 87 658 pri deqewu sa 3 mo`e se na}i i na drugi na~in. 1. korak 8 + 7 + 6 + 5 + 8 = 34 2. korak
34 : 3 = 11 – 33 1 Ostatak pri deqewu broja 87 658 sa 3 je 1. Ostatak broja pri deqewu sa 3 isti je kao i ostatak zbira wegovih cifara pri deqewu sa 3.
9 OSTATAK PRI DEQEWU SA 9 MO@E BITI: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 I 8.
10
a) Koliki je ostatak pri deqewu brojeva 3 647 021 i 20 010 122 sa 3? Primeni pravilo o zbiru wihovih cifara dato u okviru.
b) Odredi ostatke pri deqewu istih brojeva brojem 9. Koristi prethodni postupak. • 3 647 021 ...............................
• 3 647 021 ...................................
• 20 010 122 ...............................
• 20 010 122 ................................
U petocifrenom broju 10 a8b odredi sve cifre a i b tako da dobijeni brojevi budu deqivi i sa 9 i sa 5.
11
Upi{i bar jedan broj u svaki deo Venovog dijagrama.
sadr`
brojevi de
sa 4
broja 3 ci ao
vi qi
.................................................................
100
br ojevi deqiv
i
ni
Dobijeni brojevi su:
sa 5
par
SETI SE KORAKA IZ 7. ZADATKA NA STRANI 98.
PROSTI I SLO@ENI BROJEVI. RASTAVQAWE BROJEVA NA PROSTE ^INIOCE RZALNI BIO UNIVE KAV BI TO BI]A. KA I NA L NT TA GE I I AP SKA INTEL CI SU SE Z Q I A ^N EM U NZ NA VATE VA ET GODINA OGLA DA SH OD TRIDES KOJI BI M PRE VI[E RU I EM . . SV VI TAVOM TI BROJE ]U BROJEVA JEZIK U ^I MORAJU BI ZITI POMO TO RA Z A I D SE SU E I S, MO@ JEV N IZ. ZAKQU^IL SVET OKO NA FIBONA^I I UJE, ^ITAV NAZIVA SE @ U … KI SLEDE] A 21 KR , O SV 13 : S DNOSTAVNO 1, 2, 3, 5, 8, SVE [TO NA 21… 1, JE = : JE 13 VA + O JE 8 O ^N + 5 = 8, IZOVA BR JU PRIL I 2 + 3 = 5, 3 ^UVEN IH N WEMU RE\A JEDAN OD ER: 1 + 1 = 2, BROJEVI U M I . SE U PR Z M I NA N JE . O KO DVA JEVOM PRAVILO P PRETHODNA IN IH FIBONA^I SABIRAWEM OD [I[ARK VE ^LANOVE NO [ JE A NA JEDNOJ DOBIJA SE G OD E VO D SP A JE U D Q ^I M O NA M E[ SA IZ FIBO VA VO IZBROJI JE I LAC“ SADA MO@ Q RO VA @ B A NA P Z AKO ET JE „PO MO NEKI OD KR ]E O I B NC O D SU , I SPIRALA 13 IL I 21. IH PLODOVA RIMER: 8, OVIH SEMEN EG N IZA, NA P W VI JE G N IZA: KE. BRO ONA^IJEVO MATEMATI VIMA FIB NO A ^L JU ODGOVARA “ ITD. RIRODNIJI 55, 89, 144 KO „NAJNEP KA NA NE \E VA NA JE JE PRO IZOVA BRO DO SADA NI A OD SVIH N , 17… , JER 13 O MOGL I D , 11 SM I 7, B 5, JU KO I I L D JE: 2, 3, RA RO AB RI OJAVA U P U^N ICI IZ N IJEDNA P IMA ZATO SU NA L . A M O GN Z I SI N . TIM QANA OPI[EMO ORUKU ZEM DALEKO JEVE KAO P A POSLATI M I P KO BA[ TE BRO ES EL MO -T O JE I KU D RA MO I OSLU[ SU MO]N IM UVEK ^EKA [ JO R. I U SVEM KU. NA[U PORU ODGOVOR NA
1
2
Kojim brojevima mo`e{ podeliti broj 11? .................................
BROJEVE 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… NAZIVAMO PROSTI BROJEVI.
Popuni tabelu kao {to je zapo~eto. broj
delioci broja
broj delilaca
Od datih brojeva napi{i one koji imaju: a) samo dva delioca
1
1
1
2
1,2
2
.................................
b) vi{e od dva delioca. 3
2 .................................
4 8
1, 2, 4 4
12 19
BROJ 3 JE PROST BROJ, A 12 JE SLO@EN BROJ.
24
101
Prost broj je prirodni broj koji ima samo dva delioca: 1 i sam taj broj. Slo`en broj je prirodni broj koji ima vi{e od dva delioca. Broj 1 ne ubrajamo ni u proste ni u slo`ene brojeve.
Na liniji pored svakog broja napi{i slovo P ako je broj prost ili slovo S ako je broj slo`en.
3
9 ........
21 ........
97 ........
Zaokru`i proste brojeve.
4
19 ........
121 ........
61 ........
224 ........
235
13
33 SETI SE PRAVILA DEQIVOSTI.
47 5 23
69
26
Napi{i proste brojeve mawe od 20.
5
JEDINI PARAN PROST BROJ JE 2.
........, ........, ........, ........, ........, ........, ........, ........
6
Od 6 plo~ica oblika kvadrata mo`e{ sastaviti samo dva pravougaonika razli~itih stranica.
B 6=6@1 6=6@1 6=2@3
A C
D
Broj 6 je napisan u obliku proizvoda na dva na~ina: 6=1@6 6 = 1 @ ........ 6 = ........ @ ........
102
6=3@2
6=2@3
Pravougaonici obele`eni slovima A i B, kao i pravougaonici obele`eni slovima C i D, jednakih su stranica i povr{ina, ali su u razli~itim polo`ajima.
Od 12 plo~ica oblika kvadrata sastavi sve pravougaonike razli~itih stranica. Nacrtaj svaki takav pravougaonik, kao u primeru 6.
7
Broj 12 napi{i u obliku proizvoda. 12 = ........ @ ........ 12 = ........ @ ........
12 = ........ @ ........
Napi{i broj 12 u obliku proizvoda prostih brojeva. 12 = ........ @ ........ @ ........
8
Nastavi zapo~eto povezivawe. 42
2@2@2@7
36
2@2@2@6
81
2@3@7
56
2@2@3@3
9
Zaokru`i slova ispred brojeva koji su napisani kao proizvodi prostih ~inilaca. a) 121 = 11 @ 11 b) 27 = 3 @ 9 v) 35 = 5 @ 7 g) 17 = 1 @ 17
48
Kada se neki broj rastavqa na proste ~inioce, na primer broj 30, mogu se koristiti slede}i koraci: 1. korak Broj 30 je deqiv sa 2. 30 = 2 @ 15 2. korak Broj 15 nije prost broj i deqiv je i sa 3 i sa 5. 30 = 2 @ 3 @ 5 3. korak Brojevi 2, 3, 5 su prosti brojevi.
10
Kra}i zapis prethodnog postupka: 30 15 5 1
2 3 5
30 = 2 @ 3 @ 5
Napi{i u obliku proizvoda prostih brojeva: a) broj 42 4 2 2
42 = 2 @ ..............
b) broj 315
v) broj 196
g) broj 243
3 1 5 3 1 0 5 3 3 5 7 1
.............................
PROSTE BROJEVE KOJIMA DELI[ NEKI BROJ MO@E[ DA BIRA[ BILO KOJIM REDOM. REDOSLED ^INILACA U PROIZVODU NIJE BITAN.
.............................
.............................
103
11
Rastavi broj 210 na proste ~inioce. Svaki broj mo`e se rastaviti na proste ~inioce i na ovaj na~in: 210 21 7
1. korak 210 = 21 @ 10
10 3
2
5
2. korak 210 = 7 @ 3 @ 2 @ 5
210 = ............................................
Skup svih delilaca nekog broja, na primer broja 140, mo`e se odrediti i na slede}i na~in. 1. korak Rastavqamo broj 140 na proste ~inioce. 140 70 35 7 1
PODSETI SE: SVAKI BROJ JE DEQIV SA 1 I SA SAMIM SOBOM.
12
2 2 5 7
2. korak Skup svih delilaca broja 140 ~ine: • prosti brojevi 2, 5, 7 • brojevi dobijeni kao proizvod dva ~inioca 2@2=4 2 @ 5 = 10 2 @ 7 = 14 5 @ 7 = 35 • brojevi dobijeni kao proizvod tri ~inioca 2 @ 2 @ 5 = 20 2 @ 5 @ 7 = 70 3. korak Tra`eni skup je: {1, 2, 5, 7, 4, 10, 14, 28, 35, 20, 70, 140}
a) Broj 75 rastavi na proizvod prostih ~inilaca. 75 = ............................................ b) Napi{i skup D svih delilaca broja 75.
D = ............................................
13
Pored svakog broja napisano je onoliko praznih poqa koliko dati broj ima delilaca. Popuni ih. a) 997
b) 998
v) 999
104
ZAJEDNI^KI DELILAC I NAJVE]I ZAJEDNI^KI DELILAC
1
Majstor Vlasta koristi cigle visine 21 cm, a majstor Zvonko koristi cigle visine 14 cm. Jedan pored drugog zidaju zidove. Koliko redova cigala treba da nani`e Vlasta, a koliko Zvonko, da bi visine wihovih zidova bile jednake?
Vlasta je nanizao ........... reda.
2
a) Dovr{i zapo~eto rastavqawe brojeva 8 i 12 na proste ~inioce. 8
2 2 2
12
1
b) Dopuni skupove D8 i D12 svih delilaca brojeva 8 i 12. • D8 = {1, ......., 4, .......}
2 2 3
D12 = {1, ......., ......., 4, .......,12}
• Napi{i skup D svih zajedni~kih delilaca brojeva 8 i 12. D = {......., ......., .......}
1
8 = ........ @ ........ @ ........
Zvonko je nanizao ........... reda.
12 = ........ @ ........ @ ........
• Najve}i broj iz skupa D je ........
BROJEVI 1, 2 I 4 DELE I BROJ 8 I BROJ 12.
Najve}i broj iz skupa D naziva se najve}i zajedni~ki delilac brojeva 8 i 12 i zapisuje NZD (8, 12) = 4.
Najve}i zajedni~ki delilac mo`e se odrediti i pomo}u skra}enog postupka prikazanog na brojevima 24 i 36.
24 12 6 3 1
2 2 2 3
24 = 2 @ 2 @ 2 @ 3
36 18 9 3 1
2 2 3 3
36 = 2 @ 2 @ 3 @ 3
24, 36 12, 18 6, 9 2, 3
2 2 3
Oznaka NZD zna~i: N – najve}i Z – zajedni~ki D – delilac
NZD (8, 12) = 2 @ 2 @ 3 = 12
Najve}i zajedni~ki delilac za dva prirodna broja ili vi{e wih jeste najve}i broj kojim je deqiv svaki od datih brojeva.
105
3
4
Koji je najve}i zajedni~ki delilac brojeva: a) 12 i 16
12, 16 6, 8
2 2
NZD (12, 16) = ........ @ ........ = ........
b) 75 i 60
75, 60 15, 20
5
NZD (75, 60) = ........ @ ........ = ........
Odredi:
Dva broja su uzajamno prosta ako je wihov najve}i zajedni~ki delilac broj 1. Na primer: 9 i 16 su uzajamno prosti jer je NZD (9, 16) = 1.
a) NZD (96, 64) = .......... b) NZD (25, 36) = ........
5
6
Koji je najve}i zajedni~ki delilac datih brojeva? Zaokru`i slovo ispred brojeva koji su uzajamno prosti. a) 9 i 8
b) 46 i 69
v) 111 i 123
NZD (9, 8) = ........
NZD (46, 69) = ........
NZD (111, 123) = ........
Odredi: a) NZD (8, 12, 20)
b) NZD (45, 75, 60)
NZD (8, 12, 20) = ........
7
Dve vre}e jabuka, jednu od 36 kg sorte deli{es i drugu od 42 kg sorte jonatan, treba prepakovati u mawe, jednake vre}e tako da u svakoj budu jabuke iste sorte. Izra~unaj najve}u koli~inu jabuka koju treba staviti u svaku mawu vre}u.
U svaku vre}u treba staviti ........ kg jabuka.
106
NZD (45, 75, 60) = ........
NEKE PROBLEMSKE ZADATKE MO@E[ DA RE[AVA[ PRIMENOM NAJVE]EG ZAJEDNI^KOG DELIOCA.
ZAJEDNI^KI SADR@ALAC I NAJMAWI ZAJEDNI^KI SADR@ALAC
1
a) Vera trenira ma~evawe svakog ~etvrtog dana u mesecu po~ev{i od 4. u mesecu. pon.
ut.
6 13 20 27
7 14 21 28
sr. 1 8 15 22 29
~et. pet. sub. ned. 2 3 4 5 9 10 11 12 16 17 18 19 23 24 25 26 30 31
Zaokru`i dane kojima Vera ima treninge. BROJEVI 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28… SU SADR@AOCI BROJA 4.
2
b) Popuni deo listi}a za loto tako {to }e{ precrtati svaki broj koji mo`e{ podeliti sa 5.
PRVIH SEDAM SADR@ALACA BROJA 5 SU: 1 @ 5, 2 @ 5, 3 @ 5, 4 @ 5, 5 @ 5, 6 @ 5, 7 @ 5
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37
2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39
Odredi: a) skup S6, ~iji su elementi prvih devet sadr`alaca broja 6.
S6 = {............................................................................................................... b) skup S8, ~iji su elementi prvih devet sadr`alaca broja 8.
S8 = {............................................................................................................... v) odredi skup S zajedni~kih sadr`alaca brojeva 6 i 8.
S = {................................................................................................................. g) najmawi broj iz skupa S je ........... Najmawi broj iz skupa S naziva se najmawi zajedni~ki sadr`alac brojeva 6 i 8 i zapisuje se NZS (6, 8) = 24.
Najmawi zajedni~ki sadr`alac mo`e se odrediti skra}enim postupkom prikazanim za brojeve 12 i 18.
12 6 2 1
2 3 2
12 = 2 @ 3 @ 2
18 9 3 1
2 3 3
18 = 2 @ 3 @ 3
12, 18 2 6, 9 3 2, 3 2 1, 3 3 1 NZS (2, 18) = 2 @ 3 @ 2 @ 3 = 36
BROJEVI 6 I 8 SADR@ANI SU U BROJEVIMA 24, 48….
Oznaka NZS zna~i: N – najmawi Z – zajedni~ki S – sadr`alac
Najmawi zajedni~ki sadr`alac za dva prirodna broja ili vi{e prirodnih brojeva jeste najmawi broj u kojem se dati brojevi sadr`e.
107
3
Izra~unaj najmawi zajedni~ki sadr`alac za brojeve: a) 25 i 30 25, 30 5, 6
4
b) NZS (100, 120)
b) 42 i 63 5 2
NZS (25, 30) = ............
42, 63 14, 21
3 7
NZS (42, 63) = ............
Najmawi zajedni~ki sadr`alac uzajamno prostih brojeva je wihov proizvod. Na primer, brojevi 9 i 16 su uzajamno prosti. NZS (9, 16) = 9 @ 16 = 144
5
Odredi: a) NZS (13, 17)
Odredi: a) NZS (24, 42)
6
.....................................
.................................... .
Zaokru`i slovo ispred ta~nog tvr|ewa. a) NZS (6, 10) = 30 b) NZS (12, 10, 20) = 240
NZS (24, 42) = ............ b) NZS (4, 12, 20)
NZS (4, 12, 20) = ............
7
Dve neonske reklame na restoranu ukqu~uju se istovremeno. Jedna trepne na svakih 9 sekundi, a druga na svakih 15. Koliko }e sekundi pro}i dok obe reklame ne trepnu istovremeno?
Obe reklame }e istovremeno trepnuti za sekundi. ............
108
NEKE PROBLEMSKE ZADATKE MO@E[ DA RE[I[ PRIMENOM NAJMAWEG ZAJEDNI^KOG SADR@AOCA.
VE@BAWE 1
2
3
4
Odredi najve}i zajedni~ki delilac brojeva: a) 20, 30
b) 18, 24
v) 15, 50, 75
NZD (20, 30) = ...........
NZD (18, 24) = ...........
NZD (15, 50, 75) = ...........
Odredi najmawi zajedni~ki sadr`alac brojeva: a) 9, 36
b) 18, 24
v) 7, 12, 28
NZS (9, 36) = ...........
NZS (18, 24) = ...........
NZS (7, 12, 28) = ...........
a) 11, 13
b) 150, 600
v) 70, 105, 140
NZS (11, 13) = ...........
NZS (150, 600) = ...........
NZS (70, 105, 140) = ...........
NZD (11, 13) = ...........
NZD (150, 600) = ...........
NZD (70, 105, 140) = ...........
Odredi NZS i NZD brojeva:
Zaokru`i slovo ispred ta~nog tvr|ewa. a) NZD (7, 49) = 7
b) NZD (28, 35) = 28
5
Zaokru`i slovo ispred ta~nog tvr|ewa. a) NZS (4, 8) = 32
b) NZS (5, 7, 9) = 315
109
6
Izra~unaj NZD i NZS za najve}i dvocifreni i najve}i trocifreni broj. NZD (............, ............) = ............ NZS (............, ............) = ............
7
a) Odredi NZD (42, 63).
b) Popuni prazna poqa koriste}i {emu pod a). • 42 = NZD (42, 63) @ • 63 = NZD (42, 63) @
NZD (42, 63) = ............
8
a) Odredi NZS (25, 45).
b) Popuni prazna poqa koriste}i {emu pod a). • NZS (25, 45) = 25 @ • NZS (25, 45) = 45 @
NZS (25, 45) = ............
9
Jelena ima dva vunena konca du`ine 132 cm i 168 cm. Treba da ih ise~e na jednake delove najve}e mogu}e du`ine kako bi napravila rese na svom {alu. a) Kolika je du`ina jedne rese? ..................................... b) Koliko resa Jelena mo`e ise}i od konca du`ine 132 cm? ..................................... v) Koliko resa Jelena mo`e ise}i od konca du`ine 168 cm? ..................................... g) Koliko je ukupno resa Jelena isekla? .....................................
1. KORAK: ODRE\IVAWEM NZD (132, 168) DOBI]E[ NAJVE]U DU@INU RESE NA KOJU MO@E[ SE]I OBA KONCA. 2. KORAK: POGLEDAJ KAKO JE URA\EN ZADATAK 7 B) NA OVOJ STRANI. DOBI]E[ REZULTAT POD B) I V). 3. KORAK: SABERI REZULTATE DOBIJENE POD B) I V).
110
10
Xak crvenog krompira od 45 kg i xak belog od 60 kg treba prepakovati u mawe, jednake kese ne me{aju}i vrste krompira. a) Izra~unaj najve}u koli~inu krompira koju mo`e{ staviti u svaku kesu. b) Koliko je takvih kesa dobijeno ovim prepakivawem?
60 kg
45 kg
a) U svaku kesu treba staviti ..................................... kg krompira. b) Dobijeno je ..................................... kesa.
11
Petar i Aca istovremeno startuju u vo`wi bicikla na kru`noj stazi u parku. Petar obi|e stazu za 8 minuta, a Aca za 6 minuta. a) Koliko minuta treba da pro|e da bi se Petar i Aca ponovo sreli na mestu s kojeg su po{li? ...........................................................................................................
b) Koliko je krugova obi{ao Petar, a koliko Aca, pre nego {to su se ponovo sreli? ...........................................................................................................
1. KORAK: ODRE\IVAWEM NZS (8, 6) DOBI]E[ VREME DO PRVOG PONOVNOG PETROVOG I ACINOG SUSRETA NA MESTU S KOJEG SU PO[LI. 2. KORAK: POGLEDAJ KAKO JE URA\EN ZADATAK 8 B) NA PRETHODNOJ STRANI. DOBI]E[ REZULTAT POD B).
12
Obim predweg to~ka traktora je 225 cm, a zadweg 375 cm. Koliku najmawu du`inu puta treba da pre|e vozilo da bi se oba to~ka okrenula ceo broj puta? .....................................
111
13
14
Na liniji napi{i sve vrednosti cifre x trocifrenog broja 28x tako da taj broj bude deqiv sa: a) 2
b) 3
v) 4
g) 5
.....................................
.....................................
.....................................
.....................................
Odredi najve}i ~etvorocifreni broj s razli~itim ciframa koji je deqiv brojevima 9, 2 i 5.
15
Zvezdice u sedmocifrenom broju 3 7 3 2 zameni istom cifrom tako da broj bude deqiv sa 3. Koje sve cifre mo`e{ napisati umesto ? .................................
Najve}i tra`eni broj je ...............
16
Nastavi da povezuje{ kao {to je zapo~eto. 10 NZD (100, 1 000)
17
100
NZD (10 000, 1 000)
1 000
NZD (10, 100)
10 000
NZD (10 000, 100 000)
100 000
NZD (10, 100) = 10 JER JE BROJ 10 DELILAC BROJA 100.
Nastavi da povezuje{ kao {to je zapo~eto. 100 000 NZS (100, 1 000)
18
10 000
NZS (10 000, 1 000)
1 000
NZS (10, 100)
100
NZS (10 000, 100 000)
10
Ana, Milica i Milena treniraju odbojku. Prvi zajedni~ki trening imale su 3. septembra. Ana trenira svakog ~etvrtog dana, Milica svakog drugog dana, a Milena svakog tre}eg dana. Koliko }e puta u septembru sve tri trenirati zajedno? Navedi datume.
NZS (10, 100) = 100 JER JE BROJ 100 SADR@ALAC BROJA 10.
po
ut
sr
~e
pe
su
ne
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
.............................................................................................
112
19
Kola~ je ispe~en u plehu du`ine 56 cm i {irine 48 cm. Treba ga ise}i na najve}e mogu}e komade kvadratnog oblika. Koliko je komada kola~a ise~eno?
Ise~eno je ..................................... komada kola~a.
20
Tri autobusa kre}u se razli~itim mar{rutama, a polaze sa iste po~etne stanice. Prvi pre|e put od po~etne do krajwe stanice i nazad za 1 h, drugi za 1 h 15 min, a tre}i za 2 h. S po~etne stanice u 5 h po{la su sva tri autobusa. U koliko sati su sva tri autobusa ponovo po{la sa po~etne stanice? ..............................................................
21
Pretpostavimo da u nekom udaqenom delu univerzuma postoji zvezda sa 4 planete koje kru`e oko we. Prva planeta napravi jedan krug oko zvezde za tri zemaqske godine. Drugoj planeti za to je potrebno 5 zemaqskih godina, tre}oj 8, a ~etvrtoj 12. Pretpostavimo da u jednom trenutku sve planete zauzmu polo`aj kao na slici. Posle koliko godina }e planete prvi put ponovo zauzeti taj polo`aj?
OVAKAV POLO@AJ PLANETA NAZIVA SE KONJUNKCIJA.
Isti polo`aj sve planete ponovo }e zauzeti posle ................ godina. SISTEMA A PLANETA SUN^EVOG JUPITER JE NAJVE] OKO , MA IM ISTRA@IVAWI I, PREMA NAJNOVIJ SECA. WEGA KRU@E 63 ME OTKRIO JE PITEROVA MESECA JU A E] ^ETIRI NAJV EO GAL ILEJ IL GAL K NI U^ NA KI SLAVNI ITALIJANS STOTINE GODINA. PRE SKORO ^ETIRI PO DOBILI SU IMENA GAL ILEJEVI MESECI , IO, STO LI KA D, ME NI A: GA GR^KIM BO@ANSTVIM ). EO IL GAL E EM IRSKE SOND EVROPA (SN IMCI SV
113
PRIMENA DEQIVOSTI – VE@BAWE 1
Napi{i dva uzastopna sadr`aoca broja 53 izme|u kojih se nalazi broj 250. Odgovor: ..............................................................
2
Iz skupa {1, 2, 3, 6, 8, 9,12, 15, 16, 24, 26, 32, 33, 48} izdvoj skup delilaca broja 96. Skup delilaca broja 96 je: ................................. .........................................................................................
3
Na liniji napi{i sve prirodne brojeve mawe od 20 koji se mogu izraziti u obliku proizvoda dva prosta broja.
Odgovor: ...............................................................................................................................................................................
4
Napi{i skup cifara koje mo`e{ staviti umesto u trocifrenom broju 1 8 tako da va`i 12⏐1 8.
∈ {........................................................................
5
Odredi cifre koje mogu da zamene x i y u petocifrenom broju 47 x5y tako da bude deqiv sa 15.
Dobijeni brojevi: 47 250, ................................. .......................................................................................
6
Odredi: a) NZD (60, 84)
b) NZS (60, 84)
Najmawi zajedni~ki sadr`alac mo`e se odrediti, ako je poznat NZD, kori{}ewem jednakosti: a ⋅ b = NZD (a, b) ⋅ NZS (a, b). Na primer, za brojeve 60 i 84 primeni slede}i postupak:
........................
........................
1. korak Odredi NZD (60, 84). 2. korak NZS (60, 84) = (60 @ 84) : NZD (60, 84).
114
7
a) Odredi x tako da je NZD (6, x) = 6 i x < 40. ...................................................................................... b) Odredi x tako da je NZS (45, x) = 45.....................................................................................................
8
Odredi tri uzastopna prirodna broja ~iji je proizvod 210.
TRI UZASTOPNA PRIRODNA BROJA SU: 2, 3, 4.
.........................................................
9
Odredi tri uzastopna neparna broja ~iji je proizvod 315. .........................................................
10
• TRI UZASTOPNA NEPARNA BROJA SU: 9, 11, 13. • TRI UZASTOPNA PARNA BROJA SU: 4, 6, 8.
Koji je najmawi broj, razli~it od jedinice, koji pri deqewu sa 15 i 18 ima ostatak 1? ............................
11
Kojim najve}im brojem treba podeliti brojeve 103 i 124 da bi ostaci redom bili 3 i 4? ............................
12
Jedna populacija cvr~aka izlazi iz zemqe svakih 13 godina, a druga svakih 17 godina. a) Koliko godina pro|e izme|u dva zajedni~ka pojavqivawa tih populacija cvr~aka iznad zemqe? ............................................................................................................
CVR^CI SU INSEKTI ^IJI @IVOTN I CIKLUS TRAJE JEDNU GODINU IL I VI[E. VE]I DEO @IVOTA PROVODE POD ZEMQOM. IAKO CVR^CI NISU [TETO^INE, WIHOVO ZAJEDNI^KO POJAVQIVAWE JE PRAVA NAJEZDA.
b) Da li jedan ~ovek mo`e da vidi dva puta tu pojavu? ...........................................................................................................
115
13
\or|e ima podlogu za slagawe kockica. Podloga je oblika pravougaonika {irine 12 cm i du`ine 20 cm. a) Zaokru`i brojeve ispred vrste kockica kojima \or|e mo`e da pokrije celu podlogu. b) \or|e `eli da prekrije plo~u kockicama kvadratne osnove. • Kolika je najve}a mogu}a stranica jedne takve kockice? .............. • Koliko je takvih kockica potrebno? .............. 1) 2) 3)
4)
14
Na trci formule 1 dva bolida su startovala istovremeno. Prvi jedan krug pre|e za 80 sekundi, a drugi za 90 sekundi. a) Posle koliko sekundi su se oba bolida prvi put sustigla na mestu s kojeg su po{la? ......................
ZA JEDAN KRUG STAZE RSKOJ \A MA U 1 U FORMUL UPNO IZNOSI 4 381 m. UK A, OV UG KR 70 SE VOZI 306 km. [TO JE OTPRIL IKE
b) Koliko je to minuta? ..............................
15
Igor i Du{ko treniraju tr~awe na 10 000 m. Igor pretr~i jedan krug za 75 sekundi, a Du{ko za 80 sekundi. a) Ako startuju istovremeno, posle koliko }e minuta opet zajedno pre}i startnu liniju? .................. b) Koliko }e krugova pretr~ati Igor, a koliko Du{ko, do prvog ponovnog susreta na startu? Igor: .................. Du{ko: .................. v) Da li }e pre prvog susreta na startu Igor jo{ jednom presti}i Du{ka? .................. g) Zaokru`i odgovor koji predstavqa pribli`no vreme trajawa trke. • mawe od 30 minuta
• ta~no 30 minuta
• vi{e od 30 minuta POGLEDAJ U UVODNOM PRIMERU NA STRANI 80 KOLIKA JE DU@INA JEDNOG KRUGA ATLETSKE STAZE.
116
ZAPAMTI
^INILAC (DELILAC) • broj koji deli dati broj bez ostatka Na primer, ~inioci (delioci) broja 24 su: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 24
1 @ 24
2 @ 12 3 @ 8
SADR@ALAC • broj koji sadr`i dati broj (koji je deqiv datim brojem) SLO@EN BROJ ima vi{e od dva ~inioca (delioca)
24 je sadr`alac za brojeve: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Svaki broj ima mnogo sadr`alaca. Na primer, sadr`aoci broja 3 su: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24...
Broj se mo`e rastaviti na PROSTE ~inioce: 24 = 2 @ 2 @ 2 @ 3
6@4
PROST BROJ ima samo dva ~inioca (delioca): jedinicu i sam taj broj. NZD • najve}i zajedni~ki delilac Na primer: 24 = 2 @ 2 @ 2 @ 3 18 = 2 @ 3 @ 3
NZS • najmawi zajedni~ki sadr`alac
UZAJAMNO PROSTI BROJEVI NZD dva uzajamno prosta broja je 1; NZS dva uzajamno prosta broja je wihov proizvod.
Na primer: 24 = 2 @ 2 @ 2 @ 3 18 = 2 @ 3 @ 3 NZS (24, 18) = 2 @ 3 @ 2 @ 2 @ 3 = 72 72 = 24 @ 3 72 = 18 @ 4
NZD (24, 18) = 2 @ 3 = 6 24 = 6 @ 4 18 = 6 @ 3
broj je deqiv sa PRAVILA DEQIVOSTI 2 posledwa cifra broja je 0
☺
posledwa cifra broja je 2, 4, 6 ili 8
☺
3
4
9
☺
10 ☺
☺
posledwa cifra broja je 5 dvocifreni zavr{etak broja je deqiv sa 4
5
☺
☺
zbir cifara broja je deqiv sa 3
☺
zbir cifara broja je deqiv sa 9
☺
☺
117
I TO JE MATEMATIKA JE KWIGU KAKO RE[ITI SLAVN I MATEMATI^AR XORX POQA NAPISAO NE MO@E[ ODMAH DA URADI[ AKO DA, A@E PREDL ON . TAK ZADA MATEMATI^KI STAVN IJI ZADATAK. JEDNO N, SLI^A ZADATAK, PROBA[ DA RE[I[ NEKI VAWE. RE[A ZA PAK POSTU LO, PRAVI TI UO^I E TAKO ]E[ LAK[ MATEMATI^KE IGRE. ODIGRAJ IH U SLEDE]IM ZADACIMA OPISANE SU DVE EGIJU. IGRA^ IMA POBEDNI^KU I POKU[AJ DA IZGRADI[ POBEDNI^KU STRAT KORAKA TAKO DA UVEK SLED REDO NIRA ISPLA DA STRATEGIJU AKO MO@E VNIK. PROTI V POBE\UJE BEZ OBZIRA NA TO KAKO IGRA WEGO
1
Na gomili se nalazi 100 `etona. Dva igra~a naizmeni~no uzimaju bar jedan, a najvi{e pet `etona. Pobe|uje onaj igra~ koji posledwi uzme `etone. Koji igra~ ima pobedni~ku strategiju ako na gomili ima 100 `etona? .......................... Koliko `etona uzima prvi put? ..........................
Ako ne mo`e{ da odgovori{ na prethodna pitawa, odigraj igru sa 10 `etona, kao {to su to uradili Vesna i Jovan. Vesna igra prva. Prvi na~in 1. Vesna uzima jedan `eton. 2. Jovan uzima ........................... 3. Vesna uzima ........................... 4. Jovan uzima ........................... Da li Jovan mo`e da obezbedi pobedu? .......................... Koliko `etona Jovan ne sme da uzme? .......................... Drugi na~in Vesna uzima dva `etona. Da li Jovan mo`e da obezbedi pobedu? .......................... Tre}i na~in Vesna uzima tri `etona. Da li Jovan mo`e da obezbedi pobedu? .......................... ^etvrti na~in Vesna uzima ~etiri `etona. Da li Jovan mo`e da obezbedi pobedu? .......................... Neka Vesna i Jovan igraju ovu igru ako na stolu ima 20, 18 ili 50 `etona. Kako Vesna ili Jovan mogu da obezbede pobedu? Poku{aj da odgovori{ na ovo pitawe. .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................
118
OSTACI PRI DEQEWU SA 6 SU: 1, 2, 3, 4, 5.
Na prva tri poqa trake nalazi se po jedan `eton. Traka ima, na primer, 20 poqa. Jednim potezom dozvoqeno je premestiti bilo koji `eton na proizvoqno slobodno poqe udesno, ali se drugi `etoni ne smeju preskakati. Igraju dva igra~a i gubi onaj koji ne mo`e da povu~e potez.
2
Opi{i pobedni~ku strategiju. ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................
PRVA MOGU]NOST: PRVI POTEZ PRVOG IGRA^A JESTE DA POMERI TRE]I @ETON ZA JEDNO POQE UDESNO. KO MO@E DA POBEDI? DRUGA MOGU]NOST: PRVI POTEZ PRVOG IGRA^A JESTE DA POMERI TRE]I @ETON NA KRAJ TRAKE. DA LI JE SADA PRVI IGRA^ U PREDNOSTI?
...........................................................................................................................................................
ISTRA@IVA^KI ZADATAK
Luka je na svoj dvanaesti ro|endan pozvao 30 drugova i drugarica. Pripremio je, izme|u ostalog, i 30 plasti~nih ~a{a, prevrnute ih pore|ao na sto i na svakoj napisao jedan broj od 1 do 30 redom.
5
1
4
6
3
6
8
10
7
1
3
2
5
4
7
1
2
...
9
10
2
Tre}i je svakoj tre}oj ~a{i promenio polo`aj – okrenuo ih je na drugu stranu.
9
3
Drugi gost je svaku drugu ~a{u okrenuo naopako – vratio ih je u prvobitni polo`aj.
8
4
Wegovi drugari su se dogovorili da se malo na{ale. Prvi gost je prevrnuo svih 30 ~a{a na drugu stranu.
7
5
6
6
5
7
4
8
3
9
2
10
1
8
9
10
I tako su prevrtali ~a{e, ~etvrti svaku ~etvrtu, peti svaku petu ... dok se nije izre|alo svih 30 gostiju. Koje ~a{e ne}e biti okrenute onako kako ih je Luka postavio? .............................. ? Da je bilo 100 ~a{a i 100 gostiju, koje bi ~a{e ostale neprevrnute? .............................. • Ako ne zna{ da odgovori{ na ova pitawa, poslu{aj savet Xorxa Poqe i prvo re{i slede}e zadatke. 1. Mo`e{ da dovr{i{ crtawe niza za 10 ~a{a i prvih 10 gostiju. 2. Ako ti je lak{e, mo`e{ da napravi{ eksperiment i proba{ to sa 10 ~a{a. [ta si zakqu~io? Koje su ~a{e ostale neprevrnute? .................................. Za{to? ............................................................................................................................. 3. Probaj da izvede{ zakqu~ak za 20 ~a{a. U kom polo`aju je na kraju ~a{a broj 18? .............................. U kom polo`aju je na kraju ~a{a broj 16? ..............................
DA BI ODGOVORIO NA 4. PITAWE, NAPI[I SVE DELIOCE BROJA 18. KOLIKO IH IMA? KOJI SU SVE DELIOCI BROJA 16 I KOLIKO IH IMA?
4. Napi{i svoj zakqu~ak. ........................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................
119
UGAO Zapisi o najzna~ajnijim pojmovima geometrije, kao {to su ta~ka , povr{, prava , nastali su izme|u 700. i 600. godine pre nove ere. Odre|ivawe pojma ugla pripisuje se poznatom filozofu i matemati~aru Talesu iz Mileta. Re~ ugao ~esto se koristi u svakodnevnom govoru, ali nema uvek isto zna~ewe kao u matematici. Na primer, ~esto se mogu ~uti izrazi kao {to su: ugao gledawa, de~ji ugao, ugao snimawa… U Srbiji ~ak postoji mesto koje se naziva Ugao. Znawe o uglovima primewuje se u mnogim oblastima. Na primer: u astronomiji – za odre|ivawe polo`aja zvezda; u saobra}aju – za upravqawe avionima i brodovima (za navigaciju); u geografiji – za odre|ivawe geografskih {irina i du`ina; u meteorologiji, gra|evinarstvu...
A
EV
I PE TR A KR AQ A
ST
I AS P S
1
M E M ]
A
A
KO ^K A US
KA VU
RE ]U
IC IL E
POP LU
MA R[ ALA
TO PL I^ IN
]A
4
^
A I] A I] K[ JA
EM
TOPLI^IN VENAC
XI RA KA
X RA KA
C AI CR
IN
BR
^U
VI
IV AN
KO AR Z
A RSK ADA
VU KA
N
BE GO VA
I S
AC VEN EV ^I]
\OR KARA
SREBRENI^KA
AN KOS
ZADARS KA
KA
A EZ
KA VU
A
JS
KN I
IH AI L
LI DE
2 A TR PE
M
I
I
KA RA ZA I^ LA AN RA CA A^ GR
A AQ KR
A TR PE
KN EZ A
UD EN T
I] A
] A
A ^K I AN A^ GR
LA ZA RA
KA RA X
VA ]E JI CA RA RA
KO LE
P AR I S
KA
A SK RI PA
E
A AQ KR
I]
J
RA
AQ KR
GO VI ] A
A TR PE
3
KARA\O R\EVA IC PEN STE IKE VEL
RA
A
VA O RK I M
CA
A
UN UZ
LEGENDA (1) Narodna banka (2) Saborna crkva (3) Biblioteka grada Beograda (4) Srpska akademija nauka i umetnosti
O[ UR
VE NA C
OB IL I] EV VE NA C
ZM
NA VI JO AJ
BI R
^esto se ka`e da se neka zgrada nalazi na uglu dveju ulica. Na primer: zgrada Srpske akademije nauka i umetnosti nalazi se na uglu ulica \ure Jak{i}a i Knez Mihailove. 1. Uz pomo} plana grada, odgovori na slede}a pitawa. a) [ta se nalazi na uglu ulica Kraqa Petra I i Kneza Sime Markovi}a? .................................................................................
b) Koja se zgrada nalazi na uglu Knez Mihailove i Cara Uro{a? ................................................................................
v) Gde se nalazi Narodna banka? ...........................................................................................................................
120
2. Na crte`u su prikazani {tapovi i wihove senke u isto vreme na razli~itim mestima na Zemqi. Na osnovu crte`a odgovori na pitawa. a) Kakav ugao grade {tapovi s ravnom podlogom? .......................... b) Kakvi su osen~eni uglovi? Zaokru`i ta~an odgovor. • o{tri
• pravi
• tupi
v) Na kojoj slici je najve}i od osen~enih uglova? .......... g) Na kojoj slici je najmawi od osen~enih uglova? .......... slika 1
slika 2
slika 3 slika 4
SUN^EV SAT ILI GNOMON JE JEDNA OD NAJSTARIJIH SPRAVA ZA MEREWE VREMENA. QUDI SU VREME ODRE\IVALI PREMA DU@INI SENKE [TAPA. [TAP SE POSTAVQA POD UGLOM KOJI ODGOVARA GEOGRAFSKOJ DU@INI MESTA NA KOJEM SE NALAZI.
MATEMATI^AR ERATOSTEN @IVEO JE U EGIPTU PRE VI[E OD 2 200 GODINA. UO^IO JE VA@NU POJAVU: [TAPOVI POSTAVQENI U ISTO VREME NA RAZLI^ITA MESTA NA ZEMQI BACAJU RAZLI^ITU SENKU. NA OSNOVU TOG ZAPA@AWA, VERUJU]I DA JE ZEMQA OKRUGLA I PRIMEWUJU]I SVOJE ZNAWE O UGLU, DO[AO JE DO ZAKQU^KA DA JE ZEMQIN OBIM 40 000 KILOMETARA. DANAS ZNAMO DA JE WEGOV REZULTAT BIO VRLO BLIZU TA^NE VREDNOSTI.
U narednom poglavqu nau~i}ete da: • merite uglove • postoji jo{ vrsta uglova (komplementni, suplementni, unakrsni…) • upore|ujete, sabirate i oduzimate uglove, konstruktivno i ra~unski. 121
OBELE@AVAWE UGLOVA. VRSTE UGLOVA Crte` prikazuje deo plana grada oko jedne raskrsnice.
1
2
U prazna poqa upi{i odgovaraju}e nazive. y
Koliko uglova uo~ava{? ........... Jedan od wih je prav. Obele`i sa A teme pravog ugla i prevuci wegove krake crvenom bojom. Osen~i oblasti o{trih uglova.
x O Pogledaj definiciju ugla na strani 63.
Ugaonu liniju ~ine dve poluprave sa zajedni~kim po~etkom. Jedna ugaona linija u ravni odre|uje dve oblasti koje nemaju zajedni~kih ta~aka. Ugao je deo ravni koji ~ine ugaona linija i jedna od tih oblasti.
ZAPISIVAWE UGLA • Koristimo oznaku ⱔ i ozna~ene krake ugla, ta~ke na kracima, teme ugla. O B x O ⱔxOy
3
A
y
ⱔAOB
O A
α – ALFA β – BETA γ – GAMA δ – DELTA
α
O
A
M
x
O
m
ⱔxOy
E
D B
ⱔm.... ....
ⱔAO....
Nacrtaj i osen~i oblast ugla: a) AFC kojem pripada ta~ka B C
F
ⱔ.... A ....
b) EFB kojem pripadaju ta~ke G i A D E C A
v) DEF kojem ne pripada ta~ka A D E C B
F
B A
122
GR^KA SLOVA ^ITA[:
Nastavi da obele`ava{ i zapisuje{ uglove kao {to je zapo~eto. y
4
ⱔO
Koristimo i slova gr~kog alfabeta: •K α, β, γ, δ...
G
G
F A
Ugao je konveksan ako bilo koje dve ta~ke koje pripadaju uglu odre|uju du` koja tako|e pripada tom uglu.
5
Ugao je nekonveksan ako neke dve ta~ke koje pripadaju uglu ode|uju du` koja ne pripada tom uglu.
Koji je ugao od datih konveksan, a koji nekonveksan? Ispod svakog ugla na slici upi{i odgovaraju}u re~.
UGAONA LINIJA U RAVNI ODRE\UJE DVA UGLA, JEDAN KONVEKSAN I JEDAN NEKONVEKSAN. UKOLIKO U TEKSTU NIJE DRUGA^IJE NAGLA[ENO, PODRAZUMEVAMO DA SE RADI O KONVEKSNOM UGLU.
6
Napi{i pored svakog crte`a da li je â±&#x201D;xOy o{tar, prav ili tup.
O
7
y
y
y
x
O
Da li su svi osen~eni uglovi konveksni? .......
x
O
8
x
Obele`i temena svih osen~enih uglova.
Koliko ima uglova koji su:
Konveksni su: .................................
a) pravi .......
Nekonveksni su: .................................
b) o{tri ....... v) tupi? ....... I MNOGOUGAO MO@E DA BUDE KONVEKSAN ILI NEKONVEKSAN. PETOUGAO U ZADATKU 7 JE KONVEKSAN, A PETOUGAO U ZADATKU 8 NEKONVEKSAN.
123
9
Koliko na crte`u ima pravih uglova? ....... Koliko na crte`u ima o{trih uglova? ....... Koliko na crte`u ima tupih uglova? .......
Uglovi prikazani na crte`u nazivaju se:
MOJA KRILA GRADE OPRU@EN UGAO.
opru`en ugao
pun ugao
Kraci opru`enog ugla obrazuju pravu.
Kraci punog ugla se poklapaju.
Opru`en ugao i pun ugao su konveksni uglovi.
10
Na onovu crte`a napi{i odgovaraju}e uglove. J
D
Pravi uglovi su: .............................................. O{tri uglovi su: .............................................
C
F G
L
E
I
Tupi uglovi su: .................................................
P
A
Opru`eni uglovi su: ...................................... M
Puni uglovi su: .................................................
H
B
N
K
11
O
Nacrtaj i obele`i. a) prav ugao ⱔC
b) o{tar ugao ⱔPSR
v) tup ugao ⱔxOy
g) ispup~en ugao α
Do sada smo nau~ili slede}e vrste uglova:
o{tar ugao
124
prav ugao
tup ugao
opru`en ugao
nekonveksan ugao
pun ugao
CENTRALNI UGAO, KRU@NI LUK, TETIVA. PRENO[EWE UGLA
1
Nosa~ brisa~a, kre}u}i se po povr{i automobilskog stakla, opisuje geometrijsku figuru. Zamisli da brisa~ pripada polupravoj, kao na slici 2. Ta poluprava kre}e se sa brisa~em i opisuje figuru. Slika 1
Kako se naziva ta figura? ...................... B1
Ta~ka B je tim kretawem do{la u polo`aj B1. Kako se naziva figura koju predstavqa put od ta~ke B do B1?
B Slika 2
...........................................................................................
2
r
Nacrtaj kru`nicu k(O, r).
y
Obele`i na slici sa A i B prese~ne ta~ke kru`nice k i krakova ugla xOy.
O
[ta je zajedni~ki deo kru`nice k i datog ugla? ...................... Nacrtaj du` AB. Kako se naziva ta du`? ......................
x
Centralni ugao kruga jeste ugao ~ije je teme centar kruga, a kraci su odre|eni polupre~nicima.
B
b AKO JE UGAO KONVEKSAN, ODGOVARAJU]A TETIVA PRIPADA OBLASTI UGLA.
Svakom centralnom uglu odgovara jedna tetiva datog kruga i jedan luk. A
Odgovaraju}i luk uvek pripada oblasti ugla.
a) Obele`i na slici redom sa A, B, C i D preseke polupravih Oa, Ob, Oc i Od i date kru`nice. c
4
Nacrtaj, obele`i i zapi{i centralne uglove ~iji su lukovi obojeni crvenom, plavom i `utom bojom na crte`u.
d O
b
k a b) Nacrtaj na slici odgovaraju}e tetive i popuni tabelu. luk
âą&#x201D;aOb
AB
O
tetiva
)
ugao
CD )
3
a
................................................................................
BD
125
Napi{i koji su od osen~enih uglova centralni.
5
6
.....................................................................
Nacrtaj tetivu AB datog kruga tako da je AB = 3 cm. Nacrtaj centralni ugao tog kruga kojem odgovara ta tetiva.
A
PODSETI SE KAKO DA NACRTA[ TETIVU DATE DU@INE I POGLEDAJ STRANU 71, ZADATAK 4.
O
Nacrtaj na listu papira kru`nicu k(O,4 cm). Nacrtaj tetive AB i BC tako da je AB = BC = 4 cm. Nacrtaj i obele`i uglove AOB i BOC. Presavij papir po kraku OB.
7
Da li su se kraci OA i OC poklopili? ........... UGLOVI
Da li su se lukovi AB i BC poklopili? ...........
AOB I BOC SU PODUDARNI.
Izmeri polupre~nik i tetive datog kruga i precrtaj datu sliku na papir. Izre`i uglove AOB i EOF. Preklopi krake OB i OE, a zatim i te uglove, kao {to je prikazano na slici desno.
8
Da li su se kraci OA i OF poklopili? ........... Da li su se lukovi AB i EF poklopili? ...........
9
Nacrtaj na listu papira dve kru`nice k1(O, 3 cm) i k2(A, 3 cm) koje nemaju zajedni~kih ta~aka i tetive MN prvog i PQ drugog kruga tako da je ⏐MN⏐ = ⏐PQ⏐. Izre`i, a zatim preklopi uglove MON i PAQ. Da li se oni potpuno preklapaju? ...........
CD
SC
AB
CD
ⱔAOB
ⱔCOD
CD
AB
)
AB
OA )
CD )
AB )
Dva centralna ugla (oba konveksna ili oba nekonveksna) jednog kruga ili krugova jednakih polupre~nika podudarna su ako su im jednaki odgovaraju}i lukovi (jednake odgovaraju}e tetive).
ⱔAOB
126
ⱔCSD
10
a) Nacrtaj i izmeri tetive datih uglova, a zatim popuni tabelu.
ugao tetiva u mm
11
α
Koriste}i {estar i lewir, proveri da li su dati uglovi podudarni.
β γ δ ϕ
b) U prazna poqa upi{i odgovaraju}i simbol, T ili ⊥.
Odgovor: ............
α=β β=δ γ=β
: PROVERI MEREWEM PRE^NIKA • JEDNAKOST POLU DATIH KRU@N ICA A. • JEDNAKOST TETIV
δ=ϕ ϕ=β PODSETI SE KAKO KONSTRUI[E[ DU@ CD PODUDARNU S DU@I AB.
KONSTRUKCIJA UGLA KOJI JE PODUDARAN DATOM UGLU
Dati su ugao xOy i poluprava Ma. Konstrui{i ugao aMb podudaran s uglom xOy.
1. korak Izaberi proizvoqan polupre~nik r. Nacrtaj kru`nice k(O, r) i k1(M, r). Obele`i ta~ke preseka P, Q i A.
2. korak Nacrtaj kru`nicu k2(A, r = PQ).
3. korak Obele`i sa B presek kru`nica k1 i k2. Poluprava Mb koja sadr`i ta~ku B je drugi krak tra`enog ugla. Ugao aMb podudaran je uglu xOy, {to se zapisuje ⱔaMb ⱔxOy.
127
12
Konstrui{i ⱔmAn tako da je ⱔmAn = ⱔpOq.
13
14
Konstrui{i polupravu My tako da je ⱔaOb
ⱔxMy.
a)
Pravi uglovi su podudarni. Proveri to na slede}em crte`u.
b) x
M x
b M O
a
O b a
15
Uporedi polupre~nike datih krugova i uporedi odgovaraju}e tetive datog ugla. Dopuni nejednakosti. Polupre~nici: ⏐OA⏐ < ........... < ........... Tetive: ........... < ........... < ⏐EF⏐ Kako se nazivaju krugovi na crte`u? .......................................
ODGOVARAJU]A TETIVA NE PRIPADA NEKONVEKSNOM UGLU.
Dopuni re~enicu. Za isti centralni ugao ve}em polupre~niku odgovara ...................... tetiva.
16
Avion je poleteo iz Sidneja ka ostrvu Tonga, udaqenom od Sidneja 3 500 km. Zbog kvara na instrumentima skrenuo je s kursa za ugao α. Obele`i na crte`u mesto na koje }e sleteti posle pre|enih 3 500 km. Koristi razmernik s karte i izmeri koliko je to mesto udaqeno od Tonge.
Valos i Futuna Nova Kaledonija
Pogo Tonga
Fixi
α Sidnej
................................................................................. .................................................................................
128
0
500
1000 km
VE@BAWE Napi{i sve uglove razli~ite od opru`enih koriste}i ta~ke date na wihovim kracima, kao {to je zapo~eto.
1
2
Obele`i lukovima sve konveksne uglove koje odre|uju poluprave na slici. Koliko ih ima? ............
E A
c
D
B
F
b
G
C
a
A
ⱔABC, ....................................................................... d
.......................................................................................
Prebroj o{tre, prave, tupe i opru`ene uglove u slede}im slovima i pove`i svaku vrstu ugla sa odgovaraju}im brojem.
3
o{tri uglovi
3 4
pravi uglovi 5 tupi uglovi 6 PRAVA U RAVNI ODRE\UJE DVA OPRU@ENA UGLA.
opru`eni uglovi
C
Osen~eni uglovi na slici jesu uglovi trougla. Zapisujemo ih ⱔBAC, ⱔABC, ⱔBCA. Trougao pripada svakom od tih uglova.
Zapi{i uglove datog petougla.
4
5
7
B
A
Na osnovu crte`a zapi{i sve o{tre i tupe uglove kao {to je zapo~eto:
.............................................................
a) O{tri uglovi su: ⱔDAB, ..............................................................................................
.............................................................
C
b) Tupi uglovi su: D B
ⱔDBC, .............................................................................................. D
E
A
A
B
C
129
6
M
Na crte`u je ⏐MN⏐ = ⏐EF⏐. Da li su centralni uglovi α i β podudarni? ........... O
Obrazlo`i odgovor. ............................................................. PODSETI SE KADA SU DVA UGLA PODUDARNA.
7
α
E A
F
N
........................................................................................................ ........................................................................................................
Uglovi α i β su centralni uglovi datih krugova. Da li su uglovi α i β podudarni? .............. Obrazlo`i odgovor. ............................................................. ........................................................................................................ ........................................................................................................
8
a) Nacrtaj ugao AMC tako da je ⱔAMC b) Nacrtaj ugao APQ tako da je ⱔAPQ
9
10
ⱔAMB.
Proveri da li su uglovi α i β podudarni koriste}i {estar, a zatim zaokru`i ispod svake slike odgovaraju}u re~ – DA ili NE.
α
β DA NE
130
ⱔAMB.
Dovr{i crtawe druge ku}ice za ptice tako da uglovi izme|u krova i zidova ku}ica budu podudarni sa uglovima na prvoj ku}ici.
β
α
β
α
β
α DA NE
DA NE
β
DA NE
UPORE\IVAWE UGLOVA
1
Ta~ka B opisuje kru`ni luk dok se vrata otvaraju. Na kojoj je slici ve}i luk? ............................ Na kojoj je slici ve}i ugao? ............................ a)
b) B
2
[TO VI[E OTVARAMO VRATA, UGAO POSTAJE VE]I.
O{tar ugao ozna~i sa α, tup ugao sa β i prav ugao sa γ. Koji je ugao najve}i? .......
Koji je ugao najmawi? .......
Na crte`u se oblast ugla ozna~ava sen~ewem ili lukom.
3
B
U prazno poqe upi{i DA ako je tvr|ewe ta~no ili NE ako tvr|ewe nije ta~no. ⱔxOy < ⱔxOt
Prav ugao mo`e se ozna~iti lukom i ta~kom u oblasti ugla.
4
Dat je ugao na slici. U oblasti datog ugla nacrtaj poluprave Oc i Od tako da ⱔxOc < ⱔxOd.
ⱔxOt < ⱔyOt ⱔyOs < ⱔyOt ⱔtOs < ⱔyOs
Ako dva ugla imaju zajedni~ki krak, mawi je onaj ~iji krak pripada oblasti drugog ugla.
131
5
Nacrtaj na listu papira kru`nicu k(O, 4 cm). Nacrtaj tetive AB i BC tako da je⏐AB⏐= 4 cm i⏐BC⏐= 3 cm. Nacrtaj i obele`i uglove AOB i BOC. Presavij papir po kraku OB. Da li su se kraci OA i OC poklopili? .............. )
)
Da li su se ta~ke A i C poklopile? .............. Da li je AB > BC? .............. Dopuni re~enicu: ⱔAOB je .............. od ⱔBOC.
6
Nacrtaj na listu papira kru`nice k1(O, 4 cm) i k2(A, 4 cm) i tetive MN prvog i PQ drugog kruga tako da je MN < PQ. Izre`i uglove MON i PAQ, a zatim preklopi. Da li se oni potpuno preklapaju? ......... Koji luk je mawi? .........
Da li se lukovi poklapaju? .........
Koji je ugao mawi? .........
Od dva centralna ugla jednog kruga ili krugova jednakih polupre~nika ve}i je onaj kojem odgovara ve}i luk (tetiva). Va`i i obrnuto, to jest ve}em luku (tetivi) odgovara ve}i centralni ugao.
)
)
⏐AB ⏐>⏐ CD⏐ AB > CD ⱔAOB > ⱔCOD
⏐OA⏐=⏐ SC⏐ )
)
⏐AB ⏐>⏐CD⏐ AB > CD ⱔAOB > ⱔCSD
7
Uporedi tetive odgovaraju}ih uglova i upi{i u prazna poqa > ili < tako da tvr|ewe bude ta~no. ⏐NM⏐ ⱔNSM
132
⏐NT⏐ ⱔNST
⏐MT⏐ ⱔMST
⏐NM⏐ ⱔNSM
SETI SE KAKO SE UPORE\UJU DU@I.
UPORE\IVAWE ZADATIH UGLOVA
SETI SE KAKO SE CRTAJU PODUDARNI UGLOVI. POGLEDAJ STRANU 127.
1. korak Crtamo kru`nice sa centrima u ta~kama O i S istih polupre~nika.
2. korak Crtamo polupravu St tako da ⱔaSt
ⱔxOy.
Na osnovu slike je ⱔaSt < ⱔaSb , to jest ⱔxOy < ⱔaSb.
Uporedi uglove koriste}i {estar. Koji je ugao ve}i? a) .............. b) .............. α
α
β
9
Koji je ugao ve}i? U prazno poqe upi{i > ili < . α
β
α
β
β
KAD SKUPI KRILA ZA[TO ORAO NE SI E]E S VI MUWEVITO SL M I[A? IO OV UL DA BI KRILA ORAN SKUPI ZA[TO KORM BU? RI ]I VE LO I KAD ZAGWUR A, UGAO SKUPI KRIL KAD PTICA AWI. ONDA PRAVE JE M KOJI ONA I VODE VAZDUHA IL JE OTPOR TO BR@A. ICA JE ZA MAWI, A PT
8
133
SABIRAWE I ODUZIMAWE UGLOVA
1
a)
b)
v)
ZBIR UGLOVA
Ozna~i sa α ugao na slici v) koji nastaje kada maca otvori vrata da bi u{la.
^IJI JE LUK OBOJEN U CRVENO.
Ozna~i sa β ugao koji nastaje kada Luka jo{ vi{e otvori vrata da bi u{ao.
α I β JE UGAO
Da li oblasti uglova α i β imaju zajedni~ke ta~ke? ............ Da li uglovi α i β imaju zajedni~ki krak? ............ Prevuci crvenom bojom luk ugla izme|u vrata u po~etnom i krajwem polo`aju.
2
Nacrtaj na listu papira dva razli~ita ugla. Izre`i ih i napravi ugao koji predstavqa wihov zbir.
POLUPRE^NICI LUKOVA SU JEDNAKI.
SABIRAWE I ODUZIMAWE DATIH UGLOVA 1. korak sabirawe
oduzimawe
2. korak
3. korak
ⱔmMp = α + β
134
ⱔeEf = α – β
3
Konstrui{i krak Oy tako da ugao xOy bude jednak zbiru uglova α i β.
4
Konstrui{i ugao xOy jednak razlici uglova α i β.
β
α
α
β
x
O
5
Nacrtaj ugao β tako da je: a) β = 2 ⋅ α
b) β = 3 ⋅ α α
α
6
7
x
O
Dopuni dati ugao odgovaraju}im uglom do: a) pravog ugla i osen~i ga
b) opru`enog ugla i osen~i ga.
Zapi{i osen~eni ugao pomo}u pravog ugla i datog. .................................................
Zapi{i osen~eni ugao pomo}u opru`enog ugla i datog. ................................................. β
Za uglove α, β i γ nacrtaj: α a) α + β
b) β – α
γ v) β + γ + α
g) 2 ⋅ β – α
135
VE@BAWE 1
Uporedi par~i}e pice koriste}i pravilo za upore|ivawe centralnih uglova. Odgovori na pitawa.
2
Nacrtaj kru`nicu k(O, 25 mm) i tetive AB i AC tako da je⏐AB⏐= 3 cm i⏐AC⏐= 4 cm. Uporedi uglove AOB i AOC.
Ko je pojeo najmawe par~e? ............................... Ko je pojeo najve}e par~e? ................................ Ana
Marko
Ve}i je ................................
Nina
3
Uporedi osen~ene uglove na crte`u i u wihove oblasti upi{i odgovaraju}e brojeve od 1 do 4, po~ev{i od najve}eg.
Napi{i vrstu svakog ozna~enog ugla na slici.
4
α .....................
β .....................
γ .....................
δ .....................
Najmawi je ......... Najve}i je .........
Ozna~i lukom ugao: a) α + β
5
Uporedi uglove i u prazna poqa upi{i uglove tako da nejednakosti budu ta~ne.
a)
b)
PRVO PROVERI DA LI SU POLUPRE^NICI LUKOVA JEDNAKI.
<
136
<
<
<
<
<
b) γ + β
6
U~enici jedne {kole izja{wavali su se o tome koji im je sport omiqen – odbojka, ko{arka, vaterpolo ili atletika. Rezultati glasawa prikazani su na grafikonu. Pore|aj nazive sportova po~ev{i od najpopularnijeg. NAJPOPULARNIJEM SPORTU ODGOVARA NAJVE]I UGAO.
................................................................................................................
odbojka
atletika
ko{arka vaterpolo
7
Proceni i u oblast najmaweg ugla upi{i broj 1, u oblast slede}eg broj 2, zatim broj 3 i tako redom. Nacrtaj lukove i proveri merewem du`ina odgovaraju}ih tetiva da li su brojevi ispravno upisani.
8
Ozna~i lukom ugao: a) γ + β
9 6
b) α + β + γ
Nacrtaj poluprave Ox i Oy tako da je ⱔaOx = α + β i ⱔaOy = α + 2 ⋅ β
v) α + β + γ + δ
10
Nacrtaj polupravu Ms tako da je ⱔPMS = ⱔPMO – ⱔMOQ
137
11 6
Nacrtaj polupravu Ox tako da je ⱔaOx = α – β. b)
a)
12 6
Nacrtaj opru`en ugao ABC i prav ugao MON. Konstrui{i: a) wihov zbir; b) wihovu razliku.
13 6
Kakav se ugao dobija kada se: a) pravom uglu doda o{tar ugao ..................... b) opru`enom uglu doda o{tar ugao .....................
BI]E TI LAK[E DA ODGOVORI[ AKO NACRTA[ SKICE.
v) od pravog ugla oduzme o{tar ugao ..................... g) od opru`enog ugla oduzme o{tar ugao ..................... d) od opru`enog ugla oduzme tup ugao? .....................
14 6
Nacrtaj polupravu Sy tako da je ⱔxSy = α + β + γ. a)
S
138
b)
x
S
x
15
Konstrui{i zbir ozna~enih uglova. b)
a)
O
16
x
Konstrui{i zbir ozna~enih uglova. a)
O
x
O
b)
x
O
x
139
MEREWE UGLOVA
1
Nacrtaj na papiru ugao podudaran uglu α i izre`i ga.
Prekrivaj ugao β uglom α kao {to je prikazano na crte`u dole. Koliko se puta ugao α sadr`i u uglu β? Napi{i na liniji odgovaraju}i broj. β = ......α. Prekrivaj ugao γ uglom α i napi{i na liniji odgovaraju}i broj. γ = ......α.
U OVOM ZADATKU UGLOM α MERIMO UGLOVE β I γ.
α β
Svako merewe jeste upore|ivawe s veli~inom koju nazivamo jedinica mere. Tako su jedinice mere za du`inu: m, cm, km…; za masu: kg, g, t…; za vreme: sat, minut, godina…
Dogovor je da jedinica mere za ugao bude stepen. Jedan stepen je sto osamdeseti deo opru`enog ugla. Ozna~avamo ga: 1°.
2
140
U oblasti uglova koji su ozna~eni crvenim, plavim i qubi~astim lukom upi{i wihove mere.
Pribor za merewe ugla je uglomer. b 120°
y 45°
O
x
Ugao ⱔxOy ima meru 45°, {to se zapisuje ⱔxOy = 45°.
3
a
M ⱔaMb = 120°
Izmeri ugao α. α = ........... RADI PRECIZNIJEG MEREWA PRODU@I KRAKE UGLA.
α
4
Izmeri date uglove i upi{i mere u wihove oblasti.
5
Nacrtaj uglove α, β, δ, γ i φ tako da je α = 42°, β = 90°, δ = 115°, γ = 148° i φ = 200°.
141
Mera pravog ugla je 90°, opru`enog 180°, a punog 360°. Mera o{trog ugla mawa je od 90°, a mera tupog je izme|u 90° i 180°.
6
Jedna p~ela poletela je prema cvetu iz ta~ke A, a druga iz ta~ke B. Obe su s pravca skrenule za 10°. Koriste}i pribor, nacrtaj polupravu koja ozna~ava pravac kretawa p~ele. Objasni za{to je jedna p~ela sletela na cvet, a druga nije. .................................................................... .............................................................................................................................................................................................
POGLEDAJ ZADATAK 15 NA STRANI 128.
A
7
B
Kolika je mera centralnog ugla kru`nice ~iji je luk osmina te kru`nice? .................
8
Mera centralnog ugla je 12°. Koji je deo kru`nice luk tog ugla? ................................
KE). MATICE SRPS I U RE^NIKU ID (V A EW VA. A VI[E ZNA^ MEREWE UGLO RE^ STEPEN IM KORISTI ZA SE JA RATURE. KO A DIN IC EREWE TEMPE STEPEN JE JE DIN ICA ZA M HLADNO. JE NO JE I^ E IL AL PR SK JE IJUSOVE , ZNAMO DA ° 5 RA STEPEN CELZ TU RA PE V? O DA JE TEM KADA SI ZDRA KADA KA@EM @EWE RA TVOG TELA TU RA PE NA^ILO MNO M TE OZ KOLIKA JE ICI DA BI SE AT EM 4 AT ⋅ M 4 ⋅ U 4 OD 4 ⋅ 4 ⋅ KORISTI SE RE^ STEPEN . IMER, PROIZV BROJA ^ETIRI SOBOM. NA PR EN IM M EP ST SA A BROJ 5 I ^ITA SE: PETI KAO 4 ZAPISUJE SE
142
0
9
Izra~unaj ugao koji opi{e velika kazaqka za: a) 15 minuta .............. b) 20 minuta .............. v) 5 minuta .............. g) 30 minuta .............. d) jedan sat ..............
Obrtawem poluprave oko wenog po~etka nastaje ugao.
9
12
3
6
Jedinice za merewe ugla mawe od stepena su minut i sekund. Oznaka za minut je ‘ Oznaka za sekund je “ 1° = 60’ 1’ = 60“
Ako se kraci ugla poklapaju i oblast je prazan skup, ka`e se da je wegova mera 0°..
10
1° = 3 600“
Koliko stepeni i minuta ima u: a) 256’ .............. b) 1 080’ .............. v) 7 200“ ..............
11
KAD SKEJTER KA@E DA SE OKRENUO ZA 720°, TO ZNA^I DA SE OKRENUO ZA DVA PUNA KRUGA.
Zapi{i u minutima. a) 5° = .............. b) 2°13’ = .............. v) 120“ = ..............
4 000 VILA SE PRE VI[E OD IH CIVIL IZACIJA RAZ JEDNA OD NAJSTARIJ JI, U GRADU VAVILONU. U GODINA U MESOPOTAMI O@AJ ZVEZDA NA NEB CI PROU^AVAL I SU POL INU SU DELILI GOD AR. VAVILONSKI SVE[TENI END KAL ZAN E PRILI^NO PRECI H DANE NA SATE. OD WI I USPEL I SU DA NAPRAV E, NEDEQE NA DANE, A EQ NED NA E A. SEC NUT ME MI NA MESECE, ONOG STEPENA NA 60 A, KAO I PODELA UGA KE DOBIJA POTI^E I PODELA SAT KRUGA OKO JEDNE TA^ SE OBRTAWEM PUNOG DA I I IL OV RED OSN OD U SU JE E TAKO\ BITI TO [TO OD RAZLOGA MOGLO JE NAS. KOD KAO 10, UGAO OD 360°. JEDAN NE A , J 60 NOG SISTEMA BIO BRO VAVILONSKOG BROJEV
143
SABIRAWE I ODUZIMAWE UGLOVA – KORI[]EWE MERE UGLA
1
11 12 1 2 10 3 9 8 4 7 6 5
Posmatraj kretawe velike kazaqke na satu. Koliki ugao u stepenima opi{e velika kazaqka:
11 12 1 2 10 3 9 8 4 7 6 5
11 12 1 2 10 3 9 8 4 7 6 5
a) od osam sati do osam sati i petnaest minuta .............. b) od osam sati i petnaest minuta do osam sati i dvadeset pet minuta .............. v) od osam sati do osam sati i dvadeset pet minuta? ..............
2
Izra~unaj. a) 33° + 57° = .............. b) 12°2’ + 23°43’ = .............. v) 44°37’ + 67°45’ = ..............
Mere uglova sabiraju se tako {to se sabiraju stepeni sa stepenima, minuti sa minutima, sekunde sa sekundama, a rezultat se zatim pretvara u ve}e jedinice. Na primer: 72°23’ + 12°48’ 84°71’ = 85°11’
3
71’ = 1°° 11’
Izra~unaj i dopuni jednakost. a) 14°7’ + 67°45’ = .......° .......’ b) 144°33’ + 67°45’ = .......° .......’
4
5
Izra~unaj. 12° 43’ 15“ + 122° 11’ 6“ 43° 7’ 55“
112° 43’ 15“ + 22° 31’ 15° 17’ 5“
26° 4’ 45“ + 102° 11’ 16“ 6° 7’ 28“
..................................
..................................
..................................
Izra~unaj. a) 83° – 57° = ........... b) 32° – 23°43’ = ........... v) 94°37’ – 67°45’ = ...........
Kod oduzimawa mera uglova postupa se sli~no kao kod sabirawa. Kada je to potrebno, pozajmquje se od ve}e jedinice i pretvara u mawu. Na primer: 122°11’ – 43°37’
144
⇒
121°71’ – 43°37’ 78°34’
6
Ako je α = 106°11’, β = 33°31’ i δ = 46°45’, izra~unaj:
Neka je α = 133°24’ i β = 42°34’. Izra~unaj.
7
a) δ + α + β = ..............
a) 3 ⋅ β = ..............
b) α – (δ – β) = ..............
b) α – 2 ⋅ β = ..............
2
⋅ (42°34’) = 84°68’ = 85°8 ’
8
Nacrtaj uglove α i β tako da je α = 68° i β = 56°. Konstrui{i wihov zbir, a zatim merewem tog ugla proveri ta~nost konstrukcije.
9
Izmeri uglove trougla na crte`u, a zatim saberi dobijene mere. a)
b)
v)
γ
γ
α
β
α
γ
β
β
α
α = .......... β = .......... γ = ..........
α = .......... β = .......... γ = ..........
α = .......... β = .......... γ = ..........
α + β + γ = ..........
α + β + γ = ..........
α + β + γ = ..........
[ta zakqu~uje{? .......................................................................................................................................................................
10
Izra~unaj ugao α. a)
b)
v)
α 64°
α
α
110° 46°
40°
α = ..........
α = ..........
108°
α
α = ..........
145
VE@BAWE 1
a) Konstrui{i ugao ⱔmAn podudaran sa uglom α.
PODUDARNI UGLOVI IMAJU ISTE MERE. ^ESTO UMESTO:
α
ⱔxOy ⱔmSt, PI[EMO: ⱔxOy = ⱔmSt.
A m b) Proveri ta~nost konstrukcije merewem oba ugla.
2
3
α = ..........
ⱔmAn = ..........
Koliki su konveksni uglovi izme|u kazaqki na satu?
11 12 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5
11 12 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5
11 12 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5
11 12 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5
11 12 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5
................................
................................
................................
................................
................................
Koliki ugao opi{e mala kazaqka sata za: a) 1 sat ........... b) 3 sata ........... v) pola sata ........... g) tre}inu dana? ...........
4
Nacrtaj ugao β, obele`i ga i izra~unaj wegovu meru tako da dati ugao dopuwava do: a) pravog ugla b) opru`enog ugla v) punog ugla
β = ..........
5
Nacrtaj ugao ⱔxOy = 50° i polupravu Oz u oblasti datog ugla i Ot van oblasti datog ugla tako da je ⱔxOz = 35° i ⱔxOt = 26°, a zatim dopuni jednakosti. ⱔyOz = .......... ⱔyOt = .......... ⱔtOz = ..........
146
β = ..........
β = ..........
6
Proceni i zaokru`i slovo ispred crte`a koji prikazuje dva jednaka ugla. Zatim proveri merewem. a)
b)
β
β
α
Proceni koji od nacrtanih uglova ima meru najbli`u 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 270° ili 360°. Upi{i na liniju procenu za svaki ugao, a zatim proveri merewem.
..........
8
α
β
α
7
v)
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
Ako je α = 6°, β = 300’, δ = 2 400“, φ = 5°59’, γ = 4°10’, koji je ugao najve}i, a koji najmawi? Najmawi ugao je ........... Najve}i ugao je ...........
9
11
Zbir uglova 29°66’ + 50°51’ je:
10
Razlika uglova 58°4’ – 46°55’ je:
a) 79°17’
a) 11°9’
b) 79°57’
b) 11°49’
v) 80°17’
b) 12°49’
g) 80°57’
g) 12°9’
Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.
Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.
Nacrtaj uglove α = 65° i β = 38°. Konstrui{i uglove γ i δ tako da je γ = α – β i δ = β + 2 ⋅ α.
147
12
Nacrtaj ugao od 57°, a zatim konstrui{i ugao {est puta ve}i.
13
Neka je α = 144°24’ i β = 42°4’. Izra~unaj meru ugla: a) 2 ⋅ β = ................ b) α – 3 ⋅ β = ................
Za koliko stepeni je dobijeni ugao ve}i od opru`enog ugla? ..........
14
U~enici jednog odeqewa odgovorili su na pitawa o tome koji im je napitak omiqen. Rezultati ankete prikazani su na crte`u. Pore|aj napitke redom, po~ev{i od onog za koji se odlu~ilo najvi{e u~enika najvi{e. ..................................................................................................................
15
Ozna~i na slici strelicom pravac kretawa bicikliste ako se on okrenuo za: a) 90°
16
b) 180°
v) 360°
a) Na kojoj slici je prikazana: • o{tra krivina ....................
Slika 1
• blaga krivina? ..................... b) Kakav ugao – o{tar ili tup – napravi pe{ak promenom pravca kretawa idu}i ulicom: • na slici 1 .................... • na slici 2? ....................
148
Slika 2
KOMPLEMENTNI I SUPLEMENTNI UGLOVI
1
Izmeri uglove α i β i dopuni jednakosti. α = .........
a)
2
β = .........
β = .........
α + β = .........
α + β = .........
Izra~unaj zbir uglova α i β ako je: a) α = 50° β = 40° α + β = .........
3
α = .........
b)
b) α = 22°30’ β = 67°30’
v) α = 44°15’10“ β = 45°44’50“
α + β = .........
α + β = .........
UGLOVI α I β SU KOMPLEMENTNI.
Izra~unaj zbir uglova α i β ako je: a) α = 140° β = 40° α + β = .........
b) α = 112°30’ β = 67°30’ α + β = .........
v) α = 54°15’10“ β = 125°44’50“ α + β = .........
UGLOVI α I β SU SUPLEMENTNI.
Ako je zbir dva ugla 90°, oni su komplementni. Ako je zbir dva ugla 180°, oni su suplementni. 90° – 10°10’ = 89°60’ – 10°10’
4
Izra~unaj komplementni ugao α1 i suplementni ugao α2 uglu α = 15°47’. α1 = ...................... α2 = ......................
5
Pove`i parove komplementnih uglova. 49°15’
33°
6
Suplementan ugao uglu α = 38°42’ je: a) 51°18’ b) 51°58’
55°23’
21°49’
68°11’
34°37’
v) 141°58’ g) 141°18’ Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.
57°
40°45’
149
7
Zaokru`i slova ispred crte`a koji prikazuju suplementne uglove. b)
a)
v)
g) 23°
90°
100°
100° 88° 67°
90°
92°
8
Izmeri uglove α, β, γ i δ i napi{i parove suplementnih uglova. a)
b)
v)
α = ........., β = .........
α = ........., β = .........
α = ........., β = .........
γ = ........., δ = .........
γ = ........., δ = .........
γ = ........., δ = .........
.......................................................
.................................................
Parovi suplementnih uglova su: .......................................................
9
Izra~unaj ugao ⱔMOP na slici.
10
ⱔMOP = .............
Izra~unaj ugao α na slici.
α = .............
Uglovi ⱔMOP i ⱔMOK su
Koliko stepeni ima ugao ⱔaAb? .............
.........................................................
11
Izra~unaj suplementne uglove α i β ako je β tri puta ve}i od α. α = ........., β = .........
12
Izra~unaj komplementne uglove α i β ako je α za 16° mawi od β. α = ........., β = .........
16°
β
150
α
β
α
SUSEDNI, UPOREDNI I UNAKRSNI UGLOVI
1
Napi{i uglove ozna~ene lukovima na crte`u. ................................................. Napi{i one uglove ~ije oblasti nemaju zajedni~ke ta~ke. ................................ Koji je ugao zbir ta dva ugla? ............
2
Da li je ugao aOc o{tar, prav, tup ili opru`en? ........................ Dopuni jednakost. ⱔaOb + ⱔbOc = ..................
Uglovi α i β su susedni ako imaju zajedni~ki krak, a wihove oblasti nemaju zajedni~kih ta~aka.
3
Uglovi α i β su uporedni ako su susedni i wihov zbir je opru`en ugao.
Na svakoj slici ozna~ena su dva ugla. (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
a) Na kojim crte`ima dati uglovi imaju zajedni~ki krak? .................. b) Na kojim crte`ima oblasti uglova nemaju zajedni~kih ta~aka? .................. v) Na kojim crte`ima dva kraka datih uglova ~ine pravu? .................. g) Na kojim su crte`ima prikazani susedni uglovi? .................. d) Na kom su crte`u prikazani uporedni uglovi? ..................
4
Nacrtaj uglove α = 50° i β = 70° tako da: a) budu susedni
b) ne budu susedni i da imaju zajedni~ki krak.
151
Nacrtaj uporedni ugao datom uglu α i ozna~i ga sa β. Na koliko na~ina to mo`e{ da uradi{? .............
5
6
α
Nacrtaj prav ugao α i wemu uporedni ugao β.
Izmeri ugao β. ............. Da li su uglovi α i β jednaki? .............
Prav ugao je podudaran svom uporednom uglu. Izra~unaj ugao α koji je osam puta ve}i od svog uporednog ugla.
7
α = .............
8
Izmeri date uglove odre|ene pravama koje se seku. α = ............. β = ............. γ = ............. δ = .............
α a
β δ
Koji uglovi su jednaki? ............. ............. Napi{i sve parove uporednih uglova. .................................................
γ b
.................................................
Kraci uglova α i γ se dopuwavaju do pravih ...... i .......
Dve prave koje se seku u ta~ki O odre|uju ~etiri poluprave obele`ene na slici. Unakrsni uglovi su uglovi: • ~ije je teme ta~ka O • ~iji su kraci razli~ite poluprave datih pravih • ~ije oblasti nemaju zajedni~kih ta~aka. Unakrsni uglovi na slici su: ⱔaOx i ⱔbOy ili ⱔbOx i ⱔaOy. Unakrsni uglovi su podudarni.
9
Koji su od ozna~enih uglova unakrsni, a koji uporedni? Unakrsni: α1 i α3, ........................................................... Uporedni: α1 i α2, .......................................................... .....................................................................................................
152
α1 α2 α4 α3
β4 β1
β3 β2
VE@BAWE 1
^etvorougao ABCD je pravougaonik. Koristi uglomer i od ozna~enih uglova napi{i sve parove: D
C
a) komplementnih uglova ....................................................................................................................... .......................................................................................................................
A
b) suplementnih uglova
B
.......................................................................................................................
2
Dopuni re~enice. Ako su dva jednaka ugla komplementna, onda je mera svakog od wih ........... stepeni. Ako su dva jednaka ugla suplementna, onda je mera svakog od wih ........... stepeni.
3
Izra~unaj meru ugla α koji je: a) tri puta mawi od svog komplementa
α = ...........
b) za 25° mawi od svog suplementa.
α = ...........
4
Zaokru`i slovo ispred mere ugla koji je suplementan svojoj petini. a) 30° b) 36° v) 144° g) 150°
5
Zaokru`i slovo ispred slike na kojoj su prikazani susedni uglovi α i β. a)
b) α
6
v)
g)
β
Napi{i sve parove unakrsnih uglova kao {to je zapo~eto. α1 i α4, α2 i α5, .......................................................................... .........................................................................................................................
α6 α5 α4 α1 α2 α3 γ1
β3 β4 γ4 γ2
β2
β1
γ3
153
7
9
Napi{i sve konveksne uglove koji su susedni uglu yOz. ..........................................................................
8
Napi{i sve parove uporednih uglova. ..............................................................................
Mera ugla ozna~enog lukom na crte`u je 300°. Izra~unaj unakrsne uglove i upi{i mere u wihove oblasti.
10
a) Izra~unaj unakrsne uglove ako je wihov zbir 150°.
Odgovor: .......................................... b) Izra~unaj ugao ako je zbir wegova dva uporedna ugla jednak 80°.
Odgovor: ..........................................
11
Izra~unaj ugao α.
12
Izra~unaj zbir obele`enih uglova.
α = ........... Odgovor: ..........................................
13
Izra~unaj uglove α, β, δ i γ izme|u staza u parku na slici.
γ α = ........ β = ........ γ = ........ δ = ........
154
32°
68°
α
δ
142°
β
UGLOVI NA TRANSVERZALI ^AVA OGIJI OZNA OJ TERM INOL JN ]A RA OB ZALA U SA RE^ TRANSVER TNE PRAVCE. ARSKE ECA DRUGE PU ES PR JI ^ENE PLAN IN PUT KO ZIVAJU OZNA E NA ST M RI LO KO ZA TRANSVER E. ZNAK KOJI PLAN INARI NTROLNE TA^K KO JU ZU I. VE IC SL STAZE KOJE PO IKAZAN JE NA AWE STAZA PR ZA OBELE@AV ZNATA . KOD NAS JE PO TRANSVERZALA KA RS GO KO FRU[ ICI JE U MATEMAT TRANSVERZALA E AV SE^E DVE PR PRAVA KOJA . IH W E [ IL I VI
1
Izra~unaj ozna~ene uglove na slici. α1 = ............, α2 = ............, α3 = ............, β1 = ............, β2 = ............, β3 = .............
2
β3 β1 β2
SETI SE OSOBINE UPOREDNIH I OSOBINE UNAKRSNIH UGLOVA.
α1 α2 α3
Na crte`u su paralelne prave a i b i α2 = 60°. Izmeri β2. β2 = ............ Izra~unaj ozna~ene uglove na slici. α1 = ............, α3 = ............, α4 = ............,
β1 β2 β4 β3 α1 α2 α4 α3
β1 = ............, β3 = ............, β4 = ............. Koji su uglovi jednaki uglu α1? ................................................................. Koji su uglovi jednaki uglu α2? ................................................................. Koji su uglovi suplementni sa uglom α1? .............................................. Koji su uglovi suplementni sa uglom α2? ..............................................
Prava c na crte`u jeste transverzala za prave a i b. Uglovi ~ije su oblasti osen~ene na slici nazivaju se uglovi na transverzali. Ako je a⏐⏐b, uglovi osen~eni istom bojom me|usobno su jednaki, a uglovi osen~eni razli~itim bojama me|usobno su suplementni. Va`i i obrnuto: ako su jednaki uglovi osen~eni istom bojom, prave su paralelne.
155
3
Izra~unaj uglove ozna~ene lukovima na crte`u i upi{i mere u wihove oblasti ako prave: a) a i b jesu paralelne
4
b) m i n nisu paralelne.
Na crte`u su dva para paralelnih pravih. Zapi{i ih. ......⏐⏐...... i......⏐⏐......
SVI O[TRI UGLOVI NA TRANSVERZALI KOD PARALELNIH PRAVIH SU ME\USOBNO JEDNAKI. I SVI TUPI UGLOVI SU ME\USOBNO JEDNAKI. U TOM SLU^AJU SVAKI O[TAR UGAO JE SUPLEMENTAN SA SVAKIM TUPIM UGLOM.
Obele`i na crte`u sa α sve uglove podudarne uglu ~iji je luk obojen u `uto. Obele`i na crte`u sa β sve uglove podudarne uglu ~iji je luk obojen u plavo.
5
Zaokru`i slovo ispred svakog crte`a na kojem su prave p i q paralelne. a)
6
Ako je t⏐⏐s, izra~unaj mere uglova α i β.
α = ...........
156
b)
β = ...........
v)
7
g)
Ako je p⏐⏐q, izra~unaj meru ugla α.
α = ...........
UGLOVI S PARALELNIM KRACIMA
1
2
Dat je o{tar ugao xOy i poluprava Ma⏐⏐Ox. a) Nacrtaj polupravu Mb⏐⏐Oy tako da ugao aMb bude o{tar.
b) Nacrtaj polupravu Mb⏐⏐Oy tako da ugao aMb bude tup.
Izmeri uglove.
Izmeri uglove.
ⱔxOy = ........... ⱔaMb = ...........
ⱔxOy = ........... ⱔaMb = ...........
Dati su uglovi aOb i xSy s paralelnim kracima, Oa⏐⏐Sx i Ob⏐⏐Sy. Krak Sx je produ`en u pravu x, a krak Ob u pravu b. Produ`i i druga dva kraka tako da dobije{ odgovaraju}e prave. Obele`i ta~ku M tako da je M = x ∩ b. Ozna~i lukom o{tar ugao xMb. Za koje paralelne prave je prava x transverzala? ................. Za koje paralelne prave je prava b transverzala? ................. Da li su uglovi ozna~eni lucima podudarni? .......................... PODSETI SE UGLOVA NA TRANSVERZALI.
Za{to? .......................................................................................................
Uglovi s paralelnim kracima su jednaki ako su oba ugla o{tra ili oba tupa.
3
Uglovi s paralelnim kracima su suplementni ako je jedan ugao o{tar, a drugi tup.
Ox⏐⏐Sa , Oy ⏐⏐Sb
Ox⏐⏐Sa, Oy⏐⏐Sb
ⱔxOy = ⱔaSb
ⱔxOy + ⱔaSb = 180°
Zaokru`i slovo ispred svakog crte`a na kojem su prikazani uglovi s paralelnim kracima. a)
b)
v)
g)
d)
157
4
Nacrtaj drugi krak Pt ugla sPt tako da uglovi sPt i aOb budu jednaki. a)
5
b)
Nacrtaj drugi krak Pt ugla sPt tako da uglovi sPt i aOb budu suplementni. a)
6
v)
b)
v)
Nacrtaj ugao β ~ije je teme ta~ka M, a kraci paralelni sa odgovaraju}im kracima ugla α, tako da: a) α = β
b) α + β = 180°
v) α = β
PODRAZUMEVAMO DA SU KRACI PARALELNI I ONDA KADA PRIPADAJU ISTOJ PRAVOJ.
Na koliko na~ina to mo`e{ da nacrta{? ...........
7
Neka je AB⏐⏐CD, BC⏐⏐AD ~etvorougla ABCD. Napi{i koji su od ozna~enih uglova:
8
Neka je na crte`u AB⏐⏐CD. Napi{i koji su od ozna~enih uglova:
a) jednaki .....................................................................
a) jednaki .................................................................
b) suplementni ...........................................................
b) suplementni .......................................................
.......................................................................................
..................................................................................
D
A
158
g) α + β = 180°
C
B
D
A
C
B
VE@BAWE Obele`i lukom svaki ugao na crte`u koji je jednak uglu α ako zna{ da je a⏐⏐b⏐⏐c i p⏐⏐q.
1
Prave d i f su paralelne. Koji su od obele`enih uglova na slici jednaki uglu α, a koji uglu β?
2
Koliko ih ima? ...........
α2 α1 α3 α4
β1
β4 β3 β2
γ Uglu α jednaki su uglovi: ........................ Uglu β jednaki su uglovi: ........................ Prave e i f su paralelne. Koliki je zbir uglova α i β? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.
3
Nacrtaj pravu q tako da B ∈ q i q⏐⏐p. Izra~unaj mere uglova koje odre|uju prave q i c i upi{i ih u wihove oblasti.
4
a) 235° SETI SE KAKO KORISTI[ DVA TROUGLA DA BI NACRTAO PARALELNE PRAVE (STR. 56).
b) 145° v) 125° g) 55°
Konstrukcija prave q koja sadr`i ta~ku A i paralelna je datoj pravoj p kori{}ewem: a) lewira i {estara b) lewira i uglomera 1)
2) A
1) A
p 3)
t M
A
2) A
A
p
p
4)
3) A
q
PRAVA t JE PROIZVOQNA PRAVA KROZ TA^KU A.
p
t M 4)
A
A
70° q
70° t M
p
t M
p
M
p
t M
p
159
5
Koje su prave na crte`u paralelne? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.
6
a) α = β
a) a⏐⏐b
b) α + β =180°
b) d⏐⏐c
v) α + γ = 180°
v) a⏐⏐d
g) β = α
g) c⏐⏐b
7
Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.
Prave a i b su paralelne. Izra~unaj ugao α. a)
b)
α = ...........
8
α = ...........
Na crte`ima su prikazani uglovi s paralelnim kracima. Napi{i koji su kraci paralelni, kao {to je zapo~eto.
AC⏐⏐EF, ................
9
Date su prave a i b i wihova transverzala c. Prave a i b su paralelne ako va`i jednakost:
Nacrtaj i ozna~i lukom sve uglove jednake uglu α ~ije je teme ta~ka B, a kraci paralelni kracima ugla α.
AC⏐⏐AC, ................
10
Nacrtaj dva ugla s paralelnim kracima tako da wihov presek bude ~etvorougao ako su ti uglovi: a) o{tri
160
................ , ................
b) tupi
ZAPAMTI Jedinica mere za ugao je stepen. Oznaka 1° ~ita se jedan stepen. 130° 40°
VRSTE UGLOVA o{tar
prav
tup
opru`en
ispup~en
pun
mawi od 90°
jednak 90°
izme|u 90° i 180°
jednak 180°
izme|u 180° i 360°
jednak 360°
komplementni uglovi
suplementni uglovi
β
β
α
α
α + β = 90°
α + β = 180°
UGLOVI NA TRANSVERZALI
susedni uglovi
β α
uporedni uglovi
β
unakrsni uglovi
γ
α
α i β su susedni i suplementni
β α δ
α=γ β=δ
UGLOVI S PARALELNIM KRACIMA
t transverzala a⏐⏐b
Uglovi obojeni istom bojom su jednaki, a oni obojeni razli~itom bojom su suplementni.
Uglovi s paralelnim kracima su jednaki ako su oba ugla o{tra ili ako su oba ugla tupa.
Uglovi s paralelnim kracima su suplementni ako je jedan ugao o{tar, a drugi tup.
161
I TO JE MATEMATIKA 90°
1
Za odre|ivawe polo`aja ta~ke na ovom crte`u koristi{ 135° dva broja. Na primer, ta~ka A nalazi se u preseku kru`nice polupre~nika 3 i kraka ugla od 45°, pa je wen polo`aj 180° odre|en parom: 3, 45°. Polo`aj ta~ke B odre|en je parom: ................; ta~ke C: ................. Ucrtaj ta~ku D ~iji je polo`aj odre|en parom: 2,225°. Polo`aj bilo koje ta~ke odre|en je wenim rastojawem od centra i odgovaraju}im centralnim uglom. Rastojawe od centra odre|uje kru`nica kojoj pripada ta ta~ka, a centralni ugao je ugao ~iji je jedan krak uvek data poluprava Ox, a drugi poluprava kojoj pripada data ta~ka.
45° A C
B
O
1 2
0° 3
x
315°
225° 270°
Ox JE BROJEVNA POLUPRAVA.
STEM. I KOORDINATN I SI NAZIVA SE POLARN @U TE CR OM DN HO ET KA O MRE@A DATA NA PR ^IJI JE CENTAR TA^ TRI^NE KRU@NICE MRE@U ^INE KONCEN TKOM U TA^KI O. LO SL I^AN I POLUPRAVE S PO^E RISTI SE SISTEM VR ALNIH PROBLEMA KO RE U I NAVIGACIJI H AR KI NE RAD O WU ER VA IM U RE[A EMU. POGLEDAJ PR ST SI OM TN NA DI POLARNOM KOOR AMA OVE OBLASTI. NA UVODNIM STRAN
2
Odigraj slede}u matemati~ku igru. Materijal za igru: Napravi na papiru jedan od modela kao na crte`u. Broj igra~a: 2 Pravila igre: 1. Prvi igra~ izabere ta~ku u kojoj se kru`nica i prava seku i ka`e polo`aj te ta~ke. Drugi igra~ proverava da li je to ta~no, a ako jeste, prvi igra~ obele`ava ta~ku sa X. Ako je pogre{no, ne mo`e da je obele`i i igru nastavqa drugi igra~. 2. Drugi igra~ ka`e koji je polo`aj wegove izabrane ta~ke i, ako je ta~an, ozna~ava ta~ku sa O. 3. Igra~i tako naizmeni~no govore polo`aje ta~aka i obele`avaju ih. Igra~ koji prvi ozna~i ~etiri ta~ke redom, bilo na pravoj bilo na kru`nici, pobe|uje. model 1
model 2 90°
90° 120° 135°
60°
45° 150°
180°
1 2
3 0°
30°
180°
0° 1 2
210°
330°
315°
225°
240° 270° Razmisli o pobedni~koj strategiji za ovu igru.
162
3
300° 270°
VEROVATNO SE NEKADA ZABAVQA[ S DRUGARIMA IGRAJU]I IKS-OKS (UPISUJE[ X ILI O U TABELU). OVA MATEMATI^KA IGRA SLI^NA JE IKS-OKSU.
ISTRA@IVA^KI ZADATAK AMA, GEOGRAFSKOJ DIJANIMA, PARALEL RI ME O O [T NE RINA SU GEOGRAFSKA [I GEOGRAFIJE NAU^I[ DATAK. SETI SE DA ZA KADA NA ^ASOVIMA PENIMA. AJ OV STE U [ U DI AJ URA AV , MO@E[ DA RU, I DA SE IZRA@ TO VA EK O SN [IRINI I DU@INI NO O OD [T , ZA VI STEPENIMA. STI PO MERIDIJANU LOMETRIMA, A UGLO KI NA I DU@INA UDAQENO RI RE [I ME KA WA FS JA TO GRA DA SE RAS U STEPENIMA? GEO U MATEMATICI U^I[ NI^A IZRA@AVAJU GRI OD I ME RA TE TO VA VO EK A WIHO SE UDAQENOSTI OD VI SU NEVIDQIVI, SU UGLOVI. TI UGLO SL I[. MI ZA IH DA I DU@INA ZAPRAVO POLO@AJ OZNA^ENE TA^KE ]I MO PO MQE. SL IKA ]E TI JE 80 STEPENI ZAPADNE JE U SREDI[TU ZE
grini~ki meridijan
70°
80° 90°
grini~ki meridijan
60°
ekvator
β 90°
1
80° 60° 40° 20°
50° 40° 30° 20° 10° 0°
0°
GEOGRAFSKE DU@INE I 70 STEPENI SEVERNE GEOGRAFSKE [IRINE.
α
Geografska du`ina je ugao β.
ekvator
Geografska {irina je ugao α.
Pro~itaj na geografskoj karti Srbije i upi{i geografsku du`inu i {irinu u stepenima: a) • Leskovca ................ • Kragujevca ................ b) Koja se paralela i koji meridijan seku u Deliblatskoj pe{~ari? ................ v) Proceni geografsku {irinu i du`inu u stepenima i minutama za Beograd. ................
2
Lovac ide iz svog {atora prvo 1 km na jug, zatim 1 km na istok. Onda je ulovio medveda, poneo ga i nastavio na sever. Posle 1 km stigao je u svoj {ator. Koje je boje medved? ................ Da bi odgovorio na ovo pitawe, uzmi globus i probaj da se kre}e{ zadatim pravcima iz raznih ta~aka na Zemqi. Probaj i na Severnom i Ju`nom polu.
3
Zemqa se oko svoje ose okrene za 24 sata, dakle za to vreme napravi pun krug (360°). Mo`emo da uspostavimo vezu izme|u mernih jedinica za vreme i za ugao. Koliki ugao pre|e Zemqa za 1 sat? .............................................................................................
Za koje vreme se Zemqa okrene za 1°? .............................................................................................
4
Ako je u Beogradu 13 ~asova, koliko je sati u: • Wujorku ................
• Moskvi? ................
NA JU@NOM POLU @IVE PINGVINI, A NA SEVERNOM BELI MEDVEDI I FOKE.
NE. NA NA 24 ^ASOVNE ZO ZEMQA JE PODEQE [ENI DE PO NE ZO E DN UTAR JE SVI ^ASOVN ICI UN JU ISTO VREME. SU TAKO DA POKAZU NA JANA DO MERIDIJA OD NULTOG MERIDI NALAZI NE @I DU KE FS GRA OD 15° ZAPADNE GEO DRUGA TIM OD 15° DO 30° SE JEDNA ZONA, A ZA I TAKO DAQE. NE ZONE VREME SE IZME\U DVE SUSED EMO N SAT. KADA SE KRE] RAZLIKUJE ZA JEDA DAN JE PO O AM D, ODUZIM KROZ ZONE NA ZAPA NA ISTOK, O EM ID DA KA A , SAT ZA SVAKU ZONU N SAT. DODAJEMO PO JEDA SATI, U NA[OJ ZEMQI 11 NA PRIMER, KADA JE SATI. 12 LU BU TAN I, A U IS U LONDONU JE 10 SAT SU ] VE , VE PRA GRANICE ZONA NISU CAMA DR@AVA. PRILAGO\ENE GRANI
163
REZULTATI I UPUTSTVA SKUP PRIRODNIH BROJEVA
Venov dijagram i zadavawe skupa
[ta znamo o prirodnim brojevima
1. crvena, plava, `uta 2. a, i, e, o, u 4. a) b) sli~no kao pod a)
1. g) 2. sedamdesetpet hiqada pet stotina ~etiri (75 504) sedamsto pedeset hiqada pet stotina ~etiri (750 504) sedam hiqada pet stotina ~etiri (7 504) sedam miliona petsto hiqada pet stotina ~etiri (7 500 504) 3. 1 099, 1 101 4. prvi red: 2 999, 3 001; drugi red: 20 009, 20 010 5. 4, 3, 2, 1, 0 6. 0
1
2
3
4
5
6
7
8
7. a) 9 b) 18 m v) 36 minuta 8. broj glasova redom: 10, 2, 4, 3, 3, 1 9. 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
1
2
3
4
5
6
10. a) 8 sati b) 3 ukupnog vremena 4 11. T, ⊥, T, ⊥ 12. (42 ⋅ 16) ⋅ 10 = 42 ⋅ (16 ⋅ 10) (155 + 101) + 54 = 155 + (101 + 54) 13. 593 14. a) 200 + 100 : (4 + 16) = 205 b) (200 + 100) : 4 + 16 = 91 v) (200 + 100) : (4 + 16) = 15 15. a) 90 b) 135 v) 180 16. a) 2 ⋅ (23 + 46) b) 1 200 – 2 ⋅ 120 v) 24 ⋅ (1 230 + 349) g) 567 + 120 ⋅ 20 17. 8 18. 5, 32, 302, 3 002, 300 002 19. 12, 16, 6 20. 32, 50, 208 21. prvi red: 24, 16, 21; drugi red: 20, 20, 20 22. 1 500 dinara
SKUPOVI Skup, obele`avawe skupa, elementi skupa 1. a) olovka, {estar, trougao b) lutka, auto, lopta v) tawir, ka{ika 2. ko{arka, fudbal, odbojka 3. a) 2, 4, 6 b) 4, 6, 7 v) 11, 15, g) 3, 6, 9, 15, 21 4. lopta i lutka; 3 5. element; nije element 6. ima vi{e re{ewa 7. T, T, ⊥, T, ⊥
164
1
5
9 6
5. a) su prirodni brojevi i mawi od 6 b) {1, 2, 3, 4, 5} 6. a) Skup B je skup svih elemenata x b) {12, 13, 14, 15} Prazan skup. Jednakost skupova. Broj elemenata skupa 1. a) {Ma|arska, Rumunija, Bugarska, Makedonija, Albanija, Crna Gora, Bosna i Hercegovina, Hrvatska} b) {Ma|arska, Makedonija} v) ∅ 2. A = {Jovana, Senka} B = {Vesna, Ivana} C = ∅ D = {Milena, Goca} 3. A = {K, O, S} B = {S, O, K} 4. skupovi A i B su jednaki 5. da; da; 2 6. a) A = {G, I, T, A, R} B = {T, I, G, A, R} 7. a) ne b) ne 8. a) S = {3, 5, 6, 8} P = {3, 4, 6, 8} R = {3, 5, 6, 8} b) ≠, =, ≠ 9. a) a, e, i, o, u b) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 10. a) 49 b) bezbroj 11. {1 101, 1 102, …, 1 499} {501, 502, …, 600} {1, 2, …, 999} {54, 55, 56, …} Ve`bawe – strana 23 1. K = {4, 6, 8} V = {6, 4, 8}; da 2. m, 55 3. TA^NO – isti element je naveden dva put NETA^NO – b pripada prvom skupu, a ne pripada drugom TA^NO – redosled navo|ewa elemenata nije bitan TA^NO – isti elementi su navedeni dva puta NETA^NO – brojevi 43 i 34 su razli~iti iako su napisani istim ciframa 4. 1, 2, 4, 1 5. 23 2 5
15
45 81
3 021 5 567
6. a) 16 b) 100 v) 999 g) bezbroj 7. T, ⊥, ⊥, T, T, ⊥, T Podskup 1. a) gitara, frula, violina, harmonika, truba v) violina, gitara 2. A = {M, A, K} B = {K, A, M, E, N}; da; ne; A ⊂ B 3. {4, 5} {4, 6} {5, 6} 4. A = {B, I, O, S, K, P} B = {K, O, S}; B ⊂ A, A ≠ B, A ⊄ B 5. 0 elemenata: ∅; 1 element: {1} {3} {5}; 2 elementa: {1, 3} {1, 5} {3, 5}; 3 elementa: {1, 3, 5} 6. C ⊂ A, B ⊂ A, D ⊂ A 7. {m} {2} {8, 2} {m, 2} 8. C = {2, 3, 6, 5} ∅ {2} {3} {6} {5} {2, 3, 6} {2, 3, 5} {2, 6, 5} {3, 6, 5} {2, 3, 6, 5} 9. ne, da, ne, da, da
Ve`bawe – strana 27
12. a)
1. , , , , 2. a) januar, jun, jul b) jun, jul, avgust 3. D = {12, 14, 16, 18, 20}; a) v) d) 4. m ∈ S, k ∉ S 5. a) A = {4, 3, 2} b) B = {1, 2, 0} v) C = {2, 4, 3} g) D = {2, 0} d) E = {1} e) F = {1, 2, 0}; A = C, B = F 6. A = {3, 6, a, 1, c} B = {1, 3, 6, a, c} 7. a) {L, E, T, W, I, K, O, V, A, C} b) {M, A, T, E, I, K} 8. M = {1} R = {1 349, 1 350, 1 351} P = ∅ L = {19, 20, 21…} 9. na primer: P = {x ⎜x ∈N i x >11} S = {x ⎜x ∈N i x > 11 i x < 15} 10. K S
T M
[ A I
b) C
Q
R
1. naranxaste i plave 2. A = {~eki}, bu{ilica} 3. b) srp, mat v) srp, eng g) {mat, srp} 4. A = {8, 1, P, T, 5} B = {T, 5, U} A ∩ B = {T, 5} 5. uputstvo: upi{i slovo d u zajedni~ki deo skupova C i D 6. E = {vaqak, lopta, piramida, kocka} M = {kocka, piramida} E ∩ M = {kocka, piramida} M ⊂ E 7. v) A B 2 4 6 14 8 12 10 18 16
3
N
Unija skupova 2. A = {S, R, E, D, A} B = {D, A, N} S = {S, R, E, D, A, N} 3. v) {V1, V2, VII1, VII2, V4, VII3} 4. 11, 20, 21, 22, 10 5. M = {1, 7} R = {7, a, o} M ∪ R = {1, 7, a, o} 6. E = {1, 2, 3} F = {1, 2, 4} 7. {1, 2} {1, 2} {1, 2} ∅ 8. a) A b) A v) A g) ∅ 9. A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7, 4, 6} A ∪ C = {1, 2, 3, 5, 7} B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 6, 7} 10. a) T S b) T R v) T m 4
3 e
C I S
10. b) {rakun, mrki medved} Presek skupova ~ine sva{tojedi. v) {velika panda, koala} Razliku skupova ~ine biqojedi. g) {lisica, vuk, pas, beli medved} Razliku skupova ~ine mesojedi. 11. a) {r, a, n, s} {a, n, s, t, e} {s, z} b) {a, n, s} {s} {s} v) {r, a, n, s, t, e} {a, n, s, t, e, z} {a, n, s, r, z} g) {s} {s} d) {r, a, n} {z} ∅ 12. A B 8
6 2 4 3 5
7
9 10
1
C
13. 11 Ve`bawe – strana 40
9 15
8. a) {2} b) {6, 7}
9
G
1. Jelena: masku, peraja, nao~are; Mihajlo: ka~ket, pi{toq 2. {I, B} 3. a) A \ B = {3} B \ A = {4, 9} 4. C \ D = {11, s} D \ C = {a} 5. a) {bio, muz} b) {nem} v) {geo, teh} 6. A \ B = {maj, april} B \ A = {avgust} A ∩ B = {jun, jul} 7. A = {1, 3, 4, 7} B = {4, 7, 5} A \ B = {1, 3} B \ A = {5} 8. a) A B R @ A
Presek skupova
F
Razlika skupova
U
11. v) 12. a) A1 = {r, o}, A2 = {r, s}, A3 = {r, a}, A4 = {o, s}, A5 = {o, a} A6 = {s, a} b) {r, o, s} {r, o, a} {r, s, a} {o, s, a} 13. a) A = {1, 9} B = {1, 0} C = {1, 9, 3} b) 2 v) 3 g) A 14. a) A = {1, 2} b) prirodni brojevi mawi od 3 15. a) 13, 14, 15 v) x ∈N i x > 11 i x < 16 g) 4 16. a) C = {E, R, V, A} D = {A, I, M, K} b) T, ⊥, T, ⊥, T
E
9 m 4
3 e
11. a) osen~i ceo skup D b) osen~i samo skup C
P 9 4
m
1. a) {M, I, K} b) {[, I, Q, A} v) {I} 2. g) 3. a) {2} b) {3, 4} v) ∅ 4. u presek skupova upi{i 2, c, 6 5. K = {a, 5, v, 3} L = {5, c, v, 4} 6. g) 7. a) {E, B, O, D, A, R, G} b) {S, I, M, K, A, L} 8. a) {4, 5, 6} {2, 3, 4, 5, 6} 9. a) {0, 1, 2, 3, 4} b) {1, 2, 3} v) {0, 1, 2, 3, 4} g) {1, 2, 3} d) {0, 4} |) ∅ 10. {[, O, L} {O, L, A, K} {O, L} 11. {a, c, e, f} 12. a) {13, 31, 22, 40} b) { 12, 21} v) {13, 31, 22, 40, 12, 21} g) ∅ d) {13, 31, 22, 40} |) {12, 21} 13. a) ∅ b) B v) ∅ 14. da, ne, da, da, ne, ne 15. ⊥, T, ⊥, T 16. a) (A ∪ B) ∩ C b) C \ (A ∩ B) v) (A ∪ C) \ B 17. g)
165
18. ne; de~aci koji treniraju ko{arku, a ne treniraju odbojku su Filip i Bane; de~aci koji treniraju samo jedan sport su Filip, Stefan i Bane 19. 28 20. 20 I to je matematika – strana 44 1. SKUP 2. pripada, ~lan, unija, razlika, presek 3. 1) skup 2) Venov 3) element 4) presek 5) unija Istra`iva~ki zadatak – strana 45 1. 1) Srbija, Rusija, Francuska 2) Italija, Nema~ka, Rusija, Francuska, Ma|arska 3) Srbija, Nema~ka, Ma|arska 4) Italija, Ma|arska 5) Nema~ka, Srbija, Kina 6) Italija, Ma|arska, Srbija, Kina, Nema~ka 7) Srbija, Nema~ka, Italija, Rusija, Poqska, Francuska, Ma|arska 8) Japan, Kina 9) Italija, Ma|arska 10) Srbija, Nema~ka, Ma|arska; presek: 9), unija: 6), razlika: 8)
4.
a)
b) A
A
C B
B
a
a
5. a) 2 b) 2 v) 4 6. DA, NE, DA 7. T, ⊥, ⊥, T 8. AC, AB, AD, CB, CD, BD; 6 9. prva slika – imaju zajedni~ku ta~ku E; druga slika – nemaju zajedni~kih ta~aka; ~etvrta slika – imaju zajedni~ku du` AC; peta slika – imaju zajedni~ku ta~ku C Ve`bawe – strana 55 1. prva tabela redom: Oqina, Larina, {kole druga tabela redom: q, p, s, r 3. a) m⏐⏐n, p⏐⏐q b) m ⊥ p, m ⊥ q, n ⊥ p, n ⊥ q 5. na primer: a) b b) b c M
a
a N
GEOMETRIJSKI OBJEKTI v) Ta~ka, prava, ravan, prostor 1. prava, du`, otvorena izlomqena linija, zatvorena kriva linija, kvadrat 2. A ∈ p B ∉ p C ∈ p D ∉ p A ∉ q B ∈ q C ∈ q D ∉ q M
3. na primer: b
S
4.
N
b P Q
a
6. a) 4 b) 4 7. 6 9. a)
a
P
c
c
b
q
b)
q
b
M
p
M
b
b
a C
a
b C
3. T, ⊥, ⊥, T
α
O
a
10. du`i su: AB, AC, AD, BC, BD, CD; ta~ka D pripada: CD, AD, BD; zajedni~ku ta~ku nemaju du`i AB i CD kao i du`i AC i BD 11. a) 3, AB, AC, BC b) 6 12. v) 13. na primer: a) b) C B B C A
D
A
M
D
D
v) C
B
A
b)
p
q
a
p
Poluravan, poluprava, du` 1. D i E; raznih strana; iste strane 2. a) A
O
C
a
5. Koliko razli~itih pravih koje sadr`e ta~ke A i C mo`e{ da nacrta{? – jednu; Koliko razli~itih pravih mo`e{ da nacrta{ kroz ta~ku A? – bezbroj; Koliko razli~itih pravih koje sadr`e sve ta~ke, A, C i D, mo`e{ da nacrta{? – nijednu 6. ravnih, ravnih, ravnih i krivih, krivih 7. bezbroj 8. a) A, B, C, D b) E, F, G, H v) prostoru
166
C
q
A
p
α
14. a) 3 b) 12 15. a) du` b) poluprava v) prava g) poluravan Izlomqena linija 1. a) LB, BA, AM b) OA, AM, MC, C[, izlomqenu liniju 2. v) g) d)
3. za ABCD susedne stranice su: AB i BC, BC i CD za EFGH susedne stranice su: HE i EF, EF i FG, FG i HG, HG i HE 4. a) PQRST, NKOLM b) ABCDE, FGHIJ v) 5, 5 g) 4, 5 d) FGHIJ, NKOLM 5. PQRST, GHIK, MNOJ 6. a) b) v) C C D E
4. za Oa: ⊥, ⊥, T, ⊥ za Ob: ⊥, ⊥, T, ⊥, ⊥ za oblast ugla: T, ⊥, ⊥, ⊥ 6. 4 7. 1, 2, 2 8. na primer: C C a) b) M
M N
D A
B •
b, d, e, f
•
a, b, e
•
b, d
•
N A
B
A
A
7. • a, c
C
F
B
g) S
A
B
C S N
N
N A
M
B
|)
S
A
A
B C
d)
C
b
Oblast, ugao, mnogougao 1. Kikinda, Vr{ac; ne 2. a) C, D b) E, F 3. a) B, C b) E, D 4. na primer:
C
v)
B
M
B
A M
B
Kru`nica, krug 2. 4, 4 5. k
b
C
1
B C
k2
E A
D
A O
B
a
G
D
F
5. B, E, D 6. da, da 7. ABCDEF, OTUV, XYZ, mnogougaone linije 8. ~etvorougao, petougao, {estougao, sedmougao 9. na primer: a) b) v) C C M
M
A
B
B
L
L
g)
1. a) ta~ke C i D b) ta~ka E v) nemaju zajedni~kih ta~aka 2. se~ice: b, c tangenta: d 3. 2, bezbroj, se~ica 4. jednu, to je ta~ka M 5. 3 cm, 4 cm, 5 cm 6. a) AB 7. c, a, b 8. paralelne su 9. prava a ima sa kru`nicom dve zajedni~ke ta~ke, prava b jednu, a prava c nijednu
N
K
M P
M P
mnogougaona linija je pod b) Ve`bawe – strana 66 1. 3 2. sli~no kao zadatak 10 na strani 65 E 3. na primer: a) b) D A
C B
1. braon, crveno 2. AC, AB 3. a) S b) A, B, C, D, E, F v) A, M, S, B, E, D, C, F g) AB d) AB, DE 4. k, da 5. 2 6. CA, AB; pre~nik 7. 50 cm Kru`nica i prava
M P
N
K
B
N
K
M P
v)
C
A
L
b)
N
K
Kru`ni luk, tetiva
M
A
L
10. na primer: a)
6. k2(S, 5mm) k3(O, 15mm) 7. >, <, =, >, <
Ve`bawe – strana 74 G
F
E D
H C
A B
1. EF; AB; 20 mm, 30 mm, 40 mm 2. B ∈ K E ∉ k O ∉ k G ∉ K S ∈ K A ∈ k 3. E, <, da, da, da 4. ⏐MN⏐ < ⏐CD⏐ < ⏐EF⏐ < ⏐AB⏐ 5. ta~ka A, krug K1 6. kru`nice se dodiruju
167
7. zajedni~ka tetiva: AB 8. a) polupre~nik: 15 mm, 5 mm, 20 mm; pre~nik: 30 mm, 10 mm, 40 mm 10. najbli`a B, najudaqenija E 11. najudaqeniji je Steva, a najbli`i je Marko 12. a) IJ b) AB 13. pogledaj zadatke 4 i 5 na strani 71 14. da 15. MN – tetiva, NB – kru`ni luk,⏐AB⏐– polupre~nik, ⏐MB⏐– pre~nik 16.⏐MN⏐= 1 cm 17. dve prave b c a
18. 45 mm ili 5 mm 19. izlomqena linija od dve tetive 20. tangenta I to je matematika – strana 79 1. a) 25, 23 b) 32, 48, 48 2.
5. b) koli~nik 1 530, ostatak 2 v) koli~nik 668, ostatak 0 6. T, T, ⊥, ⊥ 7. • 7 ⋅ 6 • delilac (~inilac) • 7⏐42 8. a) 214 = 50 ⋅ 4 + 14 b) 372 = 6 ⋅ 62 v) 1 434 = 36 ⋅ 39 + 30 9. v) 10. a) 4 b) 2 11. 12 12. a) 45, 1 b) 9 13. drugi red: 12, 112 = 12 ⋅ 9 + 4 tre}i red: 1 001, 1 001 = 13 ⋅ 77 ~etvrti red: 0, 0, 0 = 2 006 ⋅ 0 14. 252 Ve`bawe – strana 89 1. T, ⊥, T, ⊥, T 2. T, T, ⊥, T, ⊥ 3. 55 = 5 ⋅ 11 + 0 800 = 200 ⋅ 4 + 0 31 = 7 ⋅ 4 + 3 4. a) 1, 2, 4, 8 b) 1, 3, 5, 15 5. • 1, 17 • 1, 2, 4, 5, 10, 20 6. a) {1, 2, 3, 4, 6, 12} b) {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} v) {1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56} g) {1, 2, 3, 6, 17, 34, 51, 102} 7. a) drugi stubac: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496 b) 6, 28, 496 Deqivost dekadnim jedinicama. Deqivost sa 2 i sa 5
DEQIVOST [ta jo{ znamo o prirodnim brojevima 1. a) 5 211 b) 238 999 v) 33 001 g) 1 003 999 2. 5 000, 500 000, 50 3. v) 4. g) 5. a) IX b) XV v) XVI g) XXI d) XIV, Kosovska bitka 6. 43, 40, 2, 24, 24, 0, 0 7. na primer: a) 25 377 b) 5 305 8. prvi red: 8, 2, 14, 11, 27 drugi red: 12, 0, 8, 0, 5 040 9. a) 111, 102, 120, 201, 210, 300 b) 113, 131, 311 10. a) 100 028 b) 92 028 11. 2 5 8 3 1
2
5
3
4
6
9 8
7
5
4
9
1 10
1
2
2
0
6
11
0
12
13
9 14
0
15
9 16
1
0
0
0
17
8 18
1
0
Deqivost u skupu N0 1. a) • 38 • 16 • 12 b) 1 2. a) 5 b) 3 3. a) da, 12 = 4 ⋅ 3 b) 4 v) ne, 14 = 4 ⋅ 3 + 2 4. 48 = 4 ⋅ 12 + 0 35 = 9 ⋅ 3 + 8 102 = 3 ⋅ 34 + 0 281 = 18 ⋅ 15 + 11
168
1. a) 6 b) 15 v) 30 2. deqivi sa 10: 20, 200, 450, 3 000, 12 300, 66 000 deqivi sa 100: 200, 3 000, 12 300, 66 000 deqivi sa 1 000: 3 000, 66 000 3. prvi stubac: da, da, da, da, da drugi stubac: ne, da, ne, da, da tre}i stubac: ne, da, ne, da, ne ~etvrti stubac: ne, ne, ne, da, ne 4. 1 710 je deqiv sa 10; 100 800 je deqiv sa 10 i 100; 2 310 je deqiv sa 10; 3 505 000 je deqiv sa 10, 100 i 1 000; 203 nije deqiv nijednom dekadnom jedinicom 5. a) 20 500 b) 55 200 6. a) 62, 56, 24, 98, 30 b) 0, 2, 4, 6, 8 7. a) A = {306, 308, 310, 312} B = {4 196, 4 198, 4 200, 4 202} b) {306, 308, 310, 312, 4 196, 4 198, 4 200, 4 202} v) • 310, 4 200 • 4 200 8. 10⏐9 000 2⏐22 100⏐6 700 2⏐784 1 000⏐7 505 000 9. a) 0, 2, 4, 6, 8 b) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 v) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10. 150 11. a) 65, 230 b) prvi stubac: ne, ne, ne, da, ne, ne, ne, ne, da drugi stubac: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 tre}i stubac: 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0 12. 1 455, 1 000, 97 980, 7 645 13. a) D = {32, 340, 66, 80, 112} b) P = {340, 35, 1 005, 80, 85} v) C = {340, 80} g) D ∩ P = C 14. a) 0 b) 5 v) 2, 4, 6, 8 g) 1, 3, 7
brojevi de
59
ne
pa
rni
i brojev
10. a) {0, 2, 4, 6, 8} b) {0, 3, 6, 9} v) {0, 5} g) {6} d) {0, 6} |) {6} e) {0} `) ∅ Deqivost sa 4 1. b) 2. a) 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100 b) na primer: 21, 22, 23 3. drugi red: koli~nik 56 i ostatak 2, ne, 26, ne tre}i red: koli~nik 274 i ostatak 0, da, 96, da 4. 4 116, 71 004, 108 788, 500 5. a) {1, 3, 5, 7, 9} b) {0, 4, 8} v) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} g) {0, 4, 8} 6. 64, 68, 72, 76, 80 7. za b = 0 a je: 2, 5, 8; za b = 4 a je: 1, 4, 7; za b = 8 a je 0, 3, 6, 9 brojevi su: 57 240, 57 540, 57 840, 57 144, 57 444, 57 744, 57 048, 57 348, 57 648, 57 948 Ve`bawe – strana 99 1. a) {48, 104, 164, 240, 310, 602} b) {65, 215, 240, 310, 745} v) {240, 310} g) 3) 2. a) 2 i sa 5 b) 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 3. 102, 9 876 4. a) 0, 2, 4, 6, 8 b) 2, 6 5. x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y ∈ {0} 6. 6 003 7. 49 995 8. k = 29 219 r = 1 9. a) • r = 2 • r = 2 b) • r = 5 • r = 8 10. 10 080, 10 980, 10 485
brojevi de
12
8
6
60 20
5
30
i broja 3
95
sadr`
sa 4
c ao
315 903
qivi sa 9
1 710 3 552
vi qi
sa
10
br ojevi deqiv
i
ni
de
102
11. na primer:
par
Deqivost sa 3 i sa 9 1. a) 425 b) 240 v) 1 057 2. b) tre}i red: da, 4 + 3 + 2 = 9, da ~etvrti red: da, 8 + 7 = 15, da peti red: ne, 9 + 8 = 17, ne 3. deqivi sa 3: 324, 675, 975, 1 377, 3 273; dobijen je petougao 4. b) drugi red: da, 9 + 8 + 6 + 4 = 27, da tre}i red: da, 2 + 1 + 6 = 9, da ~etvrti red: ne, 9 + 7 = 16, ne 5. na primer: 3 330, 9 000, 2 304 6. a) 9 921, 10 101, 52 296, 10 602, 5 076, 5 217 b) 10 602, 5 076 7. a) 153, 156, 159, 162, 165, 168, 171, 174, 177, 180, 183, 186, 189 b) 155, 160, 165, 170, 175, 180, 185 v) 165, 180 8. a) 0, 3, 6, 9 b) 2 9. a) b) Svaki broj deqiv sa 9 brojev vi sa 3 i i deqiv je i sa 3. q
Prosti i slo`eni brojevi. Rastavqawe brojeva na proste ~inioce 1. 1, 11 2. a) 2, 3, 19 b) 4, 8, 12, 24 3. S, S, P, P, S, P, S 4. 5, 13, 47, 23 5. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 6. 6 = 1 ⋅ 6, 6 = 2 ⋅ 3 7. 12 = 1 ⋅ 12, 12 = 2 ⋅ 6, 12 = 3 ⋅ 4, 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 8. 36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3, 56 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7, 48 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 6 9. a) v) g) 10. a) 42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 b) 315 = 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 v) 196 = 2 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 7 g) 243 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 11. 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 12. a) 3 ⋅ 5 ⋅ 5 b) {1, 3, 5, 15, 25, 75} 13. a) 1, 997 b) 1, 2, 499, 998 v) 1, 3, 9, 27, 37, 111, 333, 999 Zajedni~ki delilac i najve}i zajedni~ki delilac 1. 2 reda, 3 reda 2. a) 8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2, 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 b) • {1, 2, 4, 8} {1, 2, 3, 4, 6, 12} • {1, 2, 4} • 4 3. a) 2 ⋅ 2 = 4 b) 5 ⋅ 3 = 15 4. a) 32 b) 1 5. a) 1 b) 23 v) 3; uzajamno prosti brojevi su 9 i 8 6. a) 45 b) 15 7. 6 Zajedni~ki sadr`alac i najmawi zajedni~ki sadr`alac 1. a) 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 b) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 2. a) 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54 b) 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 v) 24, 48, 72, 96, … g) 24 3. a) 150 b) 126 4. a) NZS (13, 17) = 221 b) NZS (100, 120) = 600 5. a) 168 b) 60 6. a) 7. 45 Ve`bawe – strana 109 1. a) 10 b) 6 v) 5 2. a) 36 b) 72 v) 84 3. a) NZS (11, 13) = 143 NZD (11, 13) = 1 b) NZS (150, 600) = 600 NZD (150, 600) = 150 v) NZS (70, 105, 140) = 420 NZD (70, 105, 140) = 35 4. a) 5. b) 6. 9, 10 989
169
1. 212 i 265 2. {1, 2, 3, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48} 3. 4, 6, 9, 10, 14, 15 4. 0, 6 5. 47 250, 47 550, 47 850, 47 055, 47 355, 47 655, 47 955 6. a) 12 b) 420 7. a) x ∈ {6, 12, 18, 24, 30, 36} b) x ∈ {1, 3, 5, 9, 15, 45} 8. 210 = 5 ⋅ 6 ⋅ 7 9. 315 = 5 ⋅ 7 ⋅ 9 10. 91 11. 20 12. a) 221 13. a) 1, 2, 3 b) • 4 cm • 15 14. a) 720 sekundi b) 12 minuta 15. a) 20 min. b) Igor: 16 Du{ko: 15 v) da g) vi{e od 30 min.
b) E
D
C
D
E
C F
B
F
B
A
A
G
v) D
E
C B
G
F A
5. konveksan, konveksan, nekonveksan, nekonveksan, nekonveksan, konveksan 6. prav, o{tar, tup 7. a) 2 b) 1 v) 2 8. D konveksni su: ⱔA, ⱔC, ⱔD; E A nekonveksni su: ⱔB, ⱔE B C
9. 12, 4, 5 10. pravi uglovi su: ⱔE, ⱔI, ⱔK o{tri uglovi su: ⱔA, ⱔD, ⱔL, ⱔO tupi uglovi su: ⱔB, ⱔC, ⱔG, ⱔH, ⱔJ opru`eni uglovi su: ⱔF, ⱔM puni uglovi su: ⱔN, ⱔP Centralni ugao, kru`ni luk, tetiva. Preno{ewe ugla 1. ugao, kru`ni luk 2. kru`ni luk AB, tetiva 3. prvi red: AB; drugi red: ⱔcOd, CD; tre}i red: ⱔbOd, BD 4. f
)
Primena deqivosti – ve`bawe
4. a)
)
7. a) 21 b) • 2 • 3 8. a) 225 b) • 9 • 5 9. a) 12 cm b) 11 v) 14 g) 25 10. a) 15 b) 7 11. a) 24 minuta b) Petar je obi{ao 3 kruga, a Aca 4. 12. 1 125 cm 13. a) 0, 2, 4, 6, 8 b) 2, 5, 8 v) 0, 4, 8 g) 0, 5 14. 9 810 15. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 16. NZD (100, 1 000) – 100, NZD (10 000, 1 000) – 1 000, NZD (10 000, 100 000) – 10 000 17. NZS (100, 1 000) – 1 000, NZS (10 000, 1 000) – 10 000, NZS (10 000, 100 000) – 100 000 18. tri puta: 3. IX, 15. IX, 27. IX 19. 42 20. u 15 ~asova 21. 120
a
I to je matematika – strana 118 1. Pobedni~ku strategiju ima prvi igra~ ako uzme prvi put 4 `etona. 2. Pobedni~ku strategiju ima onaj igra~ koji pomeri `eton na posledwe poqe. Istra`iva~ki zadatak – strana 119 za 30 ~a{a – neprevrnute su sa brojevima: 4, 9, 16, 25 za 100 ~a{a – neprevrnute su sa brojevima: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 UGAO Obele`avawe uglova. Vrste uglova 1. Na crte`u je 10 uglova. 2. kraci ugla, teme ugla, oblast ugla 3. O A
M
x
A a
O b c
e d
ⱔaOb, ⱔcOd, ⱔeOf
5. ⱔBOC, ⱔCOE, ⱔBOE 7. da, da 8. da, da 9. da 10. a) 13, 8, 8, 13, 13 b) ⊥, ⊥, T, T, ⊥ 11. da 12. uputstvo: pogledaj plavi okvir na strani 127 13. uputstvo: pogledaj plavi okvir na strani 127 14. uputstvo: pogledaj plavi okvir na strani 127 15. ⏐OA⏐ < ⏐OC⏐ < ⏐OE⏐; ⏐AB⏐ < ⏐CD⏐ < ⏐EF⏐; koncentri~ni krugovi; ve}em polupre~niku odgovara ve}a tetiva 16. Slete}e na ostrvo Valos i Futuna koje je od Tonge udaqeno 500 km. Ve`bawe – strana 129
ⱔAOM
170
O ⱔmOx
m ⱔaAb
b
1. ⱔCBG, ⱔBFD, ⱔBFE, ⱔDFG, ⱔDFE ⱔEFG 2. 6
3. o{tri ulgovi – 7, pravi uglovi – 3, tupi uglovi – 4, opru`eni uglovi – 6 4. ⱔABC, ⱔBCD, ⱔCDE, ⱔDEA, ⱔEAB 5. a) ⱔABD, ⱔACD, ⱔBDC, ⱔADB b) ⱔADC 6. ne, polupre~nici kru`nica nisu jednaki 7. ne, ovim uglovima odgovara ista tetiva, ali su polupre~nici kru`nica razli~iti 8.
3.
3 1
4 2
4. α o{tar β o{tar γ tup δ opru`en Najmawi je β. Najve}i je δ. 5. a) α < γ < β b) ϕ < β < γ < δ < α 6. odbojka, ko{arka, atletika, vaterpolo 7. 1, 4, 5, 6, 3, 2 9.
9. uputstvo: prenesi o{tre uglove izme|u krova i zidova ku}ice 10. DA, DA, NE, DA Upore|ivawe uglova 10.
1. na slici b), na slici b) 2. β, α 3. DA, NE, NE, DA 4. na primer: d c
11. b)
)
5. ne, ne, da, ve}i 6. ne, ne, MN, ⱔMON 7. ⏐NM⏐<⏐NT⏐ ⏐MT⏐>⏐NM⏐ ⱔNSM < ⱔNST ⱔMST > ⱔNSM 8. a) β b) α 9. > Sabirawe i oduzimawe uglova 1. ne, da 3. uputstvo: pogledaj plavi okvir na strani 134 4. uputstvo: pogledaj plavi okvir na strani 134 5. uputstvo: a) β = α + α b) β = α + α + α 6. uputstvo: a)nacrtaj normalu na Ox b) dopuni krak Ox do prave 7. uputstvo za a) i b): pogledaj plavi okvir na strani 134 β α
γ
g) 2⋅ β –
α
Merewe uglova 1. 2, 3 3. 28° 4. 86°, 110°, 30°, 120°, 65° 6. Za isti centralni ugao ve}em polupre~niku odgovara ve}a tetiva. 7. 45° 8. trideseti deo 9. a) 90° b) 120° v) 30° g) 180° d) 360° 10. a) 4° 16’ b) 18° v) 2° 11. a) 300’ b) 133’ v) 2’
α
+
β
+
γ
v)
13. a) tup b) nekonveksan v) o{tar g) tup d) o{tar 14. a) ⱔxSy je opru`en ugao b) ⱔxSy je pun ugao 15. zbir uglova je pun ugao 16. a) zbir uglova je opru`en ugao
Sabirawe i oduzimawe uglova – kori{}ewe mere ugla
Ve`bawe – strana 136 1. Marko, Nina 2. ⱔAOC
1. a) 90° b) 60° v) 150° 2. a) 90° b) 35°45’ v) 112°22’ 3. a) 81°52’ b) 212°18’ 4. 178°2’16“, 150°31’20“, 134°23’29“ 5. a) 26° b) 8°17’ v) 26°52’
171
6. a) 186°27’ b) 92° 57’ 7. a) 127° 42’ b) 48°16’ 8. α + β = 124° 9. a) α = 90°, β = 45°, γ = 45°, α + β + γ = 180° b) α = 50°, β = 65°, γ = 65°, α + β + γ = 180° v) α = 60°, β = 60°, γ = 60°, α + β + γ = 180° Zbir uglova u trouglovima je 180°. 10. a) 50° b) 140° v) 36° Ve`bawe – strana 146 1. b) α = 64°, ⱔmAn = 64° 2. 150°, 90°, 150°, 60°, 180° 3. a) 30° b) 90° v) 15° g) 240° 4. a) 24° b) 114° v) 294° 5. ⱔyOz = 15°, ⱔyOt = 76°, ⱔtOz = 61° 6. v) 7. 180°, 90°, 120°, 60°, 270°, 360°, 150°, 30° 8. najmawi ugao je δ, a najve}i α 9. g) 10. a) 11. γ = 27°, δ = 168° 12. 162° 13. a) 84°8’ b) 18°12’ 14. limunada, mleko, sok, ~aj, voda 16. a) • slika 2 • slika 1 b) • tup • o{tar
8. α = 35°, β = 145°, γ = 35°, δ = 145°; α = γ, β = δ; parovi uporednih uglova su: α i β, α i δ, γ i β, γ i δ; a i b 10. unakrsni: α1 i α3, α4 i α2 uporedni: α1 i α2, α1 i α4, α2 i α3, α3 i α4, β1 i β2, β3 i β4 Ve`bawe – strana 153 1. a) ⱔACD i ⱔACB, ⱔBAC i ⱔCAD, ⱔACD i ⱔCAD, ⱔACB i ⱔBAC b) ⱔADC i ⱔABC 2. 45°, 90° 3. a) 22°30’ b) 77°30’ 4. g) 5. b) 6. α3 i α6, γ1 i γ3, γ2 i γ4, β1 i β3, β2 i β4 7. ⱔzOt, ⱔzOm, ⱔzOx, ⱔxOy 8. ⱔDSA i ⱔASC, ⱔDSB i ⱔBSC 9. 60°
120° 60° 120°
10. a) 75° b) 140° 11. 71° 12. 180° 13. 112°, 38°, 58°, 142°
Komplementni i suplementni uglovi
Susedni, uporedni i unakrsni uglovi 1. ⱔaOb, ⱔbOc, ⱔaOc; uglovi ~ije oblasti nemaju zajedni~kih ta~aka: ⱔaOb, ⱔbOc; wihov zbir je ⱔaOc 2. opru`en; ⱔaOb + ⱔbOc = ⱔaOc 3. a) 2, 4, 5 b) 1, 2, 5 v) 1, 5 g) 2, 5 d) 5 4. a) b)
7. 160°
172
Uglovi na transverzali
108 °
108 °
1. 120°, 60°, 120°, 70°, 110°, 110° 2. β2 = 60°, α1 = 120°, α3 = 120°, α4 = 60°, β1 = 120°, β3 = 120°, β4 = 60° jednaki uglu α1: α3, β1, β3; jednaki uglu α2: α4, β2, β4; suplementni sa uglom α1: α2, α4, β2, β4; suplementni sa uglom α2: α1, α3, β1, β3 3. a) b)
72° 12 5°
108°
1. a) α = 38°, β = 52°, α + β = 90° b) α = 140°, β = 40°, α + β = 180° 2. a) 90° b) 90° v) 90° 3. a) 180° b) 180° v) 180° 4. α1 = 74°13’, α2 = 164°13’ 5. 49°15’ – 40°45’, 55°23’ – 34°37’, 68°11’ – 21°49’, 57° – 33° 6. g) 7. a) i g) 8. a) α = 53°, β = 127°, γ = 53°, δ = 127° parovi suplementnih uglova su: α i β, α i δ, δ i γ, β i γ b) α = 53°, β = 127°, γ = 116°, δ = 64° parovi suplementnih uglova su: α i β, δ i γ v) α = 90°, β = 80°, γ = 100°, δ = 90° parovi suplementnih uglova su: α i δ, β i γ 9. 60°; suplementni 10. 62°, 118° 11. α = 45°, β = 135° 12. α = 37°, β = 53°
55°
4. a⏐⏐b i c⏐⏐d 5. b) i g) 6. 55°, 70° 7. 10° Uglovi sa paralelnim kracima 1. a)
57°, 57°
b)
57°, 123°
2. x je transverzala za y i b; b je transverzala za a i x uglovi ozna~eni lucima su podudarni jer su uglovi na transverzali za paralelne prave 3. a), g) i d) 4. a) b)
7. a) ⱔDAB i ⱔDCB, ⱔADC i ⱔABC b) ⱔBAD i ⱔADC, ⱔBAD i ⱔABC, ⱔDCB i ⱔADC, ⱔDCB i ⱔABC 8. a) ⱔBAC i ⱔACD b) ⱔBAD i ⱔADC, ⱔABC i ⱔDCB Ve`bawe – strana 159 1. 11 2. α2 i α4 su jednaki uglu α; β1 i β3 su jednaki uglu β 3. v) 4. to su uglovi od 45° i 135° 5. v) 6. b) 7. a) 61° b) 75° 8. prva slika: AB⏐⏐ED; druga slika: AB⏐⏐CD; tre}a slika: AB⏐⏐CE, AD⏐⏐CD 10. a) b)
v)
5. a)
b)
I to je matematika – strana 162
v)
1. 2,45°; 1,90° Istra`iva~ki zadatak – strana 163
6. a)
v)
b)
g)
1. a) • 22° isto~ne geografske du`ine i 43° severne geografske {irine • 21° isto~ne geografske du`ine i 44° severne geografske {irine b) paralela: 45°, meridijan: 21° v) 44°45’, 20°30’ 2. Kada lovac krene iz ta~ke koja ozna~ava severni pol 1 km na jug, zatim 1 km na istok i 1 km na sever, vrati}e se u ta~ku iz koje je po{ao. 3. 15°; 4 minuta 4. • 7 h • 15 h
173
SADR@AJ SKUP PRIRODNIH BROJEVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 [ta znamo o prirodnim brojevima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 SKUPOVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Skup, obele`avawe skupa, elementi skupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Venov dijagram i zadavawe skupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Prazan skup. Jednakost skupova. Broj elemenata skupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Podskup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Presek skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Unija skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Razlika skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Zapamti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 I to je matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Istra`iva~ki zadatak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 GEOMETRIJSKI OBJEKTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Ta~ka, prava, ravan, prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Poluravan, poluprava, du` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Izlomqena linija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Oblast, ugao, mnogougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Kru`nica, krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Kru`ni luk, tetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Kru`nica i prava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Zapamti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 I to je matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 DEQIVOST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 [ta jo{ znamo o prirodnim brojevima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Deqivost u skupu N0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Deqivost dekadnim jedinicama. Deqivost sa 2 i sa 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Deqivost sa 3 i sa 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Deqivost sa 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Prosti i slo`eni brojevi. Rastavqawe brojeva na proste ~inioce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Zajedni~ki delilac i najve}i zajedni~ki delilac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Zajedni~ki sadr`alac i najmawi zajedni~ki sadr`alac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Primena deqivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
174
Zapamti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 I to je matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Istra`iva~ki zadatak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 UGAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Obele`avawe uglova. Vrste uglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Centralni ugao, kru`ni luk, tetiva. Preno{ewe ugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Upore|ivawe uglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Sabirawe i oduzimawe uglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Merewe uglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Sabirawe i oduzimawe uglova â&#x20AC;&#x201C; kori{}ewe mere ugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Komplementni i suplementni uglovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Susedni, uporedni i unakrsni uglovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Uglovi na transverzali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Uglovi sa paralelnim kracima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Zapamti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 I to je matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Istra`iva~ki zadatak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 REZULTATI I UPUTSTVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
175
MATEMATIKA uxbenik za peti razred osnovne {kole – 1. deo prvo izdawe autori Mirjana Stojsavqevi} Radovanovi}, Qiqana Vukovi}, Jagoda Ran~i} ilustrovao Du{an Pavli} recenzenti dr Zorana Lu`anin, vanredni profesor, Prirodnomatemati~ki fakultet u Novom Sadu Gordana Nikoli}, nastavnica, O[ „ Du{ko Radovi}“ u Beogradu urednik Svjetlana Petrovi} lektor Ivana Igwatovi} grafi~ko oblikovawe Du{an Pavli} priprema za {tampu Qiqana Pavkov izdava~ Kreativni centar Gradi{tanska 8 Beograd Tel./faks: 011/ 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659 www.kreativnicentar.co.yu
za izdava~a mr Qiqana Marinkovi} {tampa tira` copyright © Kreativni centar, 2007
176