Maestro. Matemáticas 2o. Grado Volumen II by Rarámuri

Libro para el maestro

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2do Grado Volumen II

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Matemáticas II. Libro para el maestro. Volumen II fue elaborado en la Coordinación de Informática Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboración entre la Subsecretaría de Educación Básica y el ILCE.

Autoras Ana Laura Barriendos Rodríguez, Diana Violeta Solares Pineda Asesoría académica María Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav) Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav) (Convenio ILCE-Cinvestav, 2005) Apoyo técnico y pedagógico María Catalina Ortega Núñez Colaboración Araceli Castillo Macías, Rafael Durán Ponce, Ernesto Manuel Espinosa Asuar, Silvia García Peña, José Cruz García Zagal, Olga Leticia López Escudero, Jesús Rodríguez Viorato Colaboración (actividades tecnológicas) Deyanira Monroy Zariñán

Servicios editoriales Dirección de arte Rocío Mireles Gavito Diseño Zona Gráfica Diagramación Bruno Contreras, Erandi Alvarado, Víctor M. Vilchis Enríquez Iconografía Cynthia Valdespino, Fernando Villafán Ilustración Gustavo Cárdenas, Curro Gómez, Carlos Lara, Gabriela Podestá Fotografía Cynthia Valdespino, Fernando Villafán

Coordinación editorial Sandra Hussein Domínguez

Primera edición, 2007 Sexta reimpresión, 2012 (ciclo escolar 2013-2014) D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2007 Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F. ISBN 978-970-790-964-9 (obra completa) ISBN 978-968-01-1461-0 (volumen II) Impreso en México D istribución gratuita -P rohibida su venta

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Índice 4

C I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E Ñ A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A

Crear un ambiente de confianza 2 Incorporar estrategias de enseñanza de manera permanente 3 Fomentar la interacción en el aula 4 Utilizar recursos múltiples 5 Desplegar ideas en el aula para consultas rápidas Pistas didácticas

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Mapa-índice Clave de logos

28 40 56 76 86 98

Bloque 3 secuencia 18 Sucesiones de números con signo secuencia 19 Ecuaciones de primer grado secuencia 20 Relación funcional 21 Los polígonos y sus ángulos internos secuencia 22 Mosaicos y recubrimientos secuencia 23 Las características de la línea recta secuencia

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24 secuencia 25 secuencia 26 secuencia 27 secuencia 28 secuencia 29

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secuencia

Bloque 4 Potencias y notación científica Triángulos congruentes Puntos y rectas notables del triángulo Eventos independientes Gráficas de línea Gráficas formadas por rectas Bloque 5 Sistemas de ecuaciones Traslación, rotación y simetría central Eventos mutuamente excluyentes Representación gráfica de sistemas de ecuaciones

Examen bloque 3 Examen bloque 4 Examen bloque 5 Bibliografía

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Cinco sugerencias para ense単ar en la Telesecundaria

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1 Crear un ambiente de confianza Aprender significa tomar riesgos: Lo nuevo siempre causa cierta inseguridad e intentar algo por primera vez implica estar dispuesto a equivocarse. Por eso es importante crear un ambiente de confianza en el cual los alumnos puedan decir lo que piensan, hacer preguntas o intentar procedimientos nuevos sin temor. Algunas ideas para lograr esto son:

• Antes de calificar una respuesta, reflexione sobre su origen, en muchas ocasiones las preguntas tienen más de una solución. Por ello, es importante valorar planteamientos diferentes y no obligar a todos a llegar a una solución única. Ayude a los alumnos a aprender a escuchar a sus compañeros y a encontrar diferencias y semejanzas en las propuestas, analizando sus partes y detectando hasta qué punto se acerca a una respuesta satisfactoria. En Matemáticas, por ejemplo, muchas veces los alumnos obtienen soluciones diferentes, que corresponden a interpretaciones distintas del problema. Es una tarea colectiva comprender las distintas interpretaciones que pueden aparecer en la clase sobre un mismo problema. • Los alumnos pueden aprender unos de otros: en el trabajo de equipo es conveniente que los alumnos tengan diferentes niveles de conocimientos y experiencias. Algunos serán lectores fluidos, otros sabrán argumentar con detalle sus ideas, otros dibujarán con mucha facilidad, otros harán cálculos y estimaciones con soltura. Formar equipos heterogéneos propicia que unos puedan compartir lo que saben con otros. Esto es particularmente útil para la realización de los proyectos de Ciencias, debido a que éstos integran contenidos conceptuales, habilidades y actitudes desarrolladas a lo largo de un bloque o al final del año escolar.

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• Los docentes pueden modelar las actividades para los alumnos usando su propio trabajo para ejemplificar alguna actividad o situación que desea introducir al grupo. Si los alumnos tienen que escribir, leer en silencio, o trabajar de manera individual en alguna tarea, el maestro puede hacer lo mismo. Esto lo ayudará a darse cuenta de cuánto tiempo toma, qué retos especiales presenta o qué aspectos hay que tomar en cuenta para realizarla. Al compartir su propio trabajo, también puede escuchar comentarios, responder preguntas, ampliar información y tomar sugerencias.

Cómo hacer una lluvia de ideas

Cómo coordinar la discusión de un dilema moral

• Mientras los alumnos trabajan en grupos, el maestro debe estar atento a qué ocurre en los equipos: aprovechar la oportunidad para hacer intervenciones más directas y cercanas con los alumnos, sin abordarlos de manera individual. Mientras ellos desarrollan una tarea, puede pasar a los equipos y escuchar brevemente, registrando frases o palabras de los alumnos para retomarlas en las discusiones generales; también puede participar en algunos grupos para conocer la dinámica del trabajo en equipo. Además, en algunos momentos, puede orientar el diálogo de los alumnos, si considera pertinente destacar algún contenido conceptual. • Considere tiempo para mejorar los productos y/o las actividades: en ocasiones los alumnos concluyen una actividad y después de discutirla con otros se dan cuenta de que les gustaría modificarla. Puede resultar de gran provecho dar oportunidad a los alumnos para revisar algún aspecto de su trabajo. Cuando lo considere pertinente, déles tiempo para reelaborar y sentirse más satisfechos con su trabajo.

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Incorporar estrategias de 2 enseñanza de manera permanente Es importante usar diferentes prácticas académicas de manera constante y reiterada. Se trata de guiar la lectura de distintos tipos de textos, gráficas, esquemas, mapas, fórmulas e imágenes; demostrar diversas formas de expresar y argumentar las ideas, utilizar términos técnicos; plantear preguntas, elaborar textos, registrar datos y realizar operaciones matemáticas. Las siguientes estrategias pueden servir como lineamientos generales para la enseñanza en el aula: • Invite a los alumnos a leer atentamente y dar sentido a lo que leen: las diferentes fórmulas, gráficas, mapas, tablas e imágenes que se les presentan en los libros para el alumno, libros de las Bibliotecas Escolares y de Aula, recursos digitales, videos, etc. Reflexione con ellos sobre por qué se incluyen estos recursos en la actividad, qué tipo de información aportan y en qué aspectos deben poner atención para comprenderlos mejor. • Las actividades relacionadas con los mapas, imágenes, gráficas, problemas y textos incluidos en las secuencias, tienen la finalidad de favorecer la construcción colectiva de significados: en lugar de utilizarlas para verificar la comprensión de lectura o la interpretación de la información representada, se busca construir con el grupo, con la participación de todos, qué dice el texto o las otras representaciones, qué conocemos acerca de lo que dice, qué podemos aprender de ellos y qué nos dicen para comprender mejor nuestro mundo. • Utilice diferentes modalidades de lectura: la lectura en voz alta constituye una situación privilegiada para escuchar un texto y comentarlo sobre la marcha, haciendo pausas para plantear preguntas o explicar su significado; la lectura en pequeños grupos crea oportunidades para que todos lean; la lectura en silencio favorece la reflexión personal y la relectura de fragmentos. Según la ocasión y el propósito, también puede preparar lecturas dramatizadas con todo el grupo o en equipos. • Ayude a los alumnos a construir el sentido de sus respuestas: en lugar de ver estas actividades como pautas para verificar la comprensión de los estudiantes, utilícelas para construir, junto con ellos, los significados de los textos incluidos en las secuencias. • Cuando los alumnos deben escribir respuestas o componer pequeños textos, puede modelarse cómo iniciar el escrito en el pizarrón: pida a dos o tres estudiantes que den ejemplos de frases iniciales para ayudar a todos a empezar a escribir.

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Cómo concluir un diálogo o actividad • Invite a los alumnos a leer en voz alta los diferentes textos que van escribiendo: proporcione pautas para revisar colectivamente los escritos, dando oportunidad a los alumnos para reconsiderar sus textos y escuchar otras maneras de redactar lo que quieren expresar. Esto los ayudará a escuchar cómo se oye (y cómo se entienden) sus escritos. Propicie la valoración y aceptación de las opiniones de los otros con el fin de mejorar la composición de textos. Modele y propicie el uso de oraciones completas, en lugar de respuestas breves y recortadas. • Plantee preguntas relacionadas con los temas que tienden a extender el conocimiento disciplinario y sociocultural de los estudiantes: algunas preguntas pueden promover el pensamiento crítico en los estudiantes porque no sólo se dirigen a los contenidos conceptuales, también se involucra el desarrollo de actitudes, porque se promueve la reflexión de aspectos éticos, de salud, ambiente e interculturales, entre otros. • Busque ejemplos de uso del lenguaje de acuerdo a la temática o contenido académico: para ejemplificar algún tipo de expresión, identifique fragmentos en los libros de las Bibliotecas Escolares y de Aula y léalos en clase. Incorpore la consulta puntual de materiales múltiples y la lectura de muchas fuentes como parte de la rutina en clase.

Cómo introducir otros recursos

Para hacer uso del diccionario

Cómo leer un mapa

Cómo apoyar la elaboración de resúmenes

• Busque ejemplos del contexto cotidiano y de la experiencia de los alumnos, de acuerdo a la temática o contenido académico. • Utilice la escritura como una herramienta de aprendizaje; no todo lo que se escribe en el aula tiene que ser un texto acabado: muchas veces, cuando intentamos poner una idea por escrito, nos damos cuenta de nuestras preguntas y dudas. También se puede usar la escritura para ensayar relaciones y procesos, hacer predicciones, formular hipótesis o registrar interrogantes que pueden retomarse en una ocasión posterior. En matemáticas, por ejemplo, el carácter de formal o acabado del procedimiento de solución de un problema depende del problema que trata de resolverse. Por ejemplo, para un problema de tipo multiplicativo, la suma es un procedimiento informal, pero esta misma operación es un procedimiento experto para un problema de tipo aditivo. El conocimiento matemático está en construcción permanente.

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3 Fomentar la interacción en el aula El diálogo e interacción entre los pares es una parte central en el proceso de aprendizaje: la participación con otros nos ayuda a desplegar nuestros conocimientos, demostrar lo que sabemos hacer, anticipar procesos, reconocer nuestras dudas, oír las ideas de los demás y compararlas con las propias. Por ello, es deseable: • Fomentar la interacción en el aula con múltiples oportunidades para opinar, explicar, argumentar, fundamentar, referirse a los textos, hacer preguntas y contestar: las preguntas que se responden con “sí” o “no”, o las que buscan respuestas muy delimitadas tienden a restringir las oportunidades de los alumnos para elaborar sus ideas. Las preguntas abiertas, en cambio, pueden provocar una variedad de respuestas que permiten el análisis, la comparación y la profundización en las problemáticas a tratar; también permiten explorar razonamientos diferentes y plantear nuevas interrogantes. Además, dan pie a un uso más extenso de la expresión oral. • Crear espacios para que los alumnos expresen lo que saben sobre el tema nuevo o lo que están aprendiendo: en diferentes momentos de las secuencias (al inicio, desarrollo, al final) pueden abrirse diálogos, con el fin de que contrasten sus conocimientos con los de otros alumnos, y con ello enriquecer y promover la construcción compartida de conocimientos.

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• Incorporar en las actividades cotidianas los diálogos en pequeños grupos: algunos estudiantes que no participan en un grupo grande, es más probable que lo hagan en un grupo más pequeño o en parejas. • Utilizar ciertos formatos de interacción de manera reiterada, con materiales de apoyo escritos y/o gráficos para organizar actividades: algunos ejemplos de estos formatos son la presentación oral de reseñas de libros, la revisión de textos escritos por los alumnos, realización de debates, el trabajo en equipo en el que cada alumno tiene una tarea asignada (coordinador, relator, buscador de información, analista, etcétera). • Realizar cierres de las actividades: obtener conclusiones que pueden ser listas de preguntas, dudas o diversas opiniones; los acuerdos del grupo; un registro de diferentes formas de expresión o propuestas de cómo “decir” algo; un resumen de lo aprendido, un diagrama, una tabla, un procedimiento eficaz para resolver un problema, entre otros.

Cómo llevar a cabo un debate

Cómo conducir una revisión grupal de textos

Cómo conducir un diálogo grupal

Cómo coordinar la discusión de un dilema moral

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4 Utilizar recursos múltiples Una parte fundamental de la educación secundaria es aprender a utilizar recursos impresos y tecnológicos para conocer diversas expresiones culturales, buscar información y resolver problemas. Por ello es indispensable explorar y conocer diferentes materiales como parte de la preparación de las clases y • Llevar al aula materiales complementarios: para compartir con los alumnos y animarlos a buscar y compartir con el grupo diferentes recursos. • Promover el uso constante de otros recursos tecnológicos y bibliográficos disponibles en la escuela: si tienen acceso a computadoras, puede

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Cómo anotar referencias de las fuentes utilizadas fomentarse su uso para la realización de los trabajos escolares y, de contar con conectividad, para buscar información en Internet. Asimismo las colecciones de Bibliotecas Escolares y de Aula, la biblioteca de la escuela y la biblioteca pública son fuentes de información potenciales importantes. Por otro lado, el uso de recursos tecnológicos, como los videos, los simuladores para computadora y otras actividades ejecutables en pantalla facilitan la comprensión de fenómenos o procesos matemáticos, biológicos, físicos y químicos que muchas veces son difíciles de replicar en el laboratorio o a través de alguna actividad experimental.

Cómo introducir otros recursos

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5 Desplegar ideas en el aula para consultas rápidas Las paredes del aula constituyen un espacio importante para exponer diferentes recursos de consulta rápida y constante. Por ejemplo, se puede: • Crear un banco de palabras en orden alfabético de los términos importantes que se están aprendiendo en las distintas materias. Sirven de recordatorio para los estudiantes cuando tienen que resolver sus guías, escribir pequeños textos, participar en los diálogos, etc. • Dejar apuntadas diferentes ideas aportadas por todos para resolver algún tipo de problema. Por ejemplo, puede hacerse un cartel para orientar qué hacer cuando uno encuentra una palabra desconocida en un texto:

¿Qué hacer cuando no sabes qué significa una palabra? Tratar de inferir el significado del texto. Buscarlo en el diccionario. Preguntar al maestro o a un compañero. Saltarla y seguir leyendo.

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• Colgar mapas, tablas, gráficas, fórmulas, diagramas y listas para la consulta continua. • Puede involucrar a los alumnos en el registro de la historia del grupo y la evolución de las clases. Una forma de hacer esto es llevar una bitácora donde se escribe cada día lo que ocurrió en las diferentes clases. Los alumnos, por turnos, toman la responsabilidad de llevar el registro del trabajo y experiencias del día. La bitácora se pone a disposición de todos para consultar. Esta no es una actividad para calificar o corregir. Se trata de darle importancia y presencia a la memoria del grupo durante el año escolar. Cada alumno podrá seleccionar qué fue lo relevante durante el día y escribirá de acuerdo a su estilo y sus intereses.

Cómo organizar la bitácora del grupo

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Pistas didácticas Cómo conducir un diálogo grupal • Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos. Anote algunas respuestas en el pizarrón, para recuperarlas en la discusión o conclusiones. • Acepte respuestas distintas; sugiera que se basen en lo que dice el texto (video, mapa o problema) o en situaciones parecidas. • Para avanzar en el diálogo, resalte las diferencias y semejanzas entre las participaciones de los alumnos. Por ejemplo: “Juan dijo tal cosa, pero María piensa esta otra, ¿qué otras observaciones se podrían hacer?” • Cierre cada punto y dé pie al siguiente inciso. Por ejemplo: “Ya vimos las características comunes a todos los seres vivos, ahora pasaremos a las diferencias entre un ser vivo y un objeto inanimado”. • En cada ocasión otorgue la palabra a distintos alumnos, incluyendo los que no levanten la mano. • Señale claramente el momento de las conclusiones y el cierre de los comentarios.

Cómo conducir una revisión grupal de textos individuales • Solicite un voluntario para leer su texto frente al grupo. Copie fragmentos breves de los textos en el pizarrón o usando el procesador de textos, para ejemplificar frases o expresiones que puedan ser mejoradas. • Acepte dos o tres intervenciones, para hacer comentarios sobre el contenido cotejando lo que plantea el libro para los alumnos. En el pizarrón haga las modificaciones sugeridas por los comentaristas y pregunte al autor si está de acuerdo, si su texto mejora con las aportaciones o se le ha ocurrido otra idea para mejorarlo. Permita que sea el propio autor el que concluya cuál es la manera que mejor se acerca a lo que quiere relatar, la corrija en el pizarrón y después en su cuaderno. • Solicite que todos relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo reescriban con claridad para, posteriormente, poder leerlo con facilidad ante el grupo. • En cada ocasión invite a alumnos distintos a revisar sus textos con todo el grupo, incluyendo a los que no se autopropongan. • Siempre propicie actitudes positivas hacia la revisión para el mejoramiento de la expresión escrita.

Cómo anotar referencias de las fuentes utilizadas • Cuando se utilizan textos o imágenes que aparecen en distintos medios, se cita su procedencia, usando alguno de los siguientes códigos: • Libro: apellido del autor, nombre del autor, título, lugar de edición, editorial y año de publicación. Si se trata de un diccionario o enciclopedia, anotar también las palabras o páginas consultadas. • Revista o periódico: título, número, lugar y fecha de publicación, páginas consultadas. • Programa de TV: Nombre del programa, horario de transmisión y canal. 16

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Cómo organizar la bitácora del grupo • La bitácora es una actividad compartida por todos los miembros del grupo. Se busca escribir día a día la vida del grupo escolar. Es una actividad libre de escritura en el sentido de que cada alumno puede elegir qué aspecto del día comentar y cómo comentarlo. No se trata de corregirlo sino de compartir las diferentes perspectivas acerca de los eventos centrales de la convivencia en el aula. • Cada día un alumno diferente se hace responsable de escribir, dibujar, insertar fotografías, etcétera. • Es una actividad que los alumnos pueden realizar en un procesador de palabras. • Si cuenta con conectividad, se puede crear un blog (bitácora electrónica) del grupo que se despliegue en Internet. En la página www.blogspot.com se explica cómo hacerlo.

Cómo hacer una lluvia de ideas • Plantee una pregunta abierta relacionada con una actividad, texto, imagen o situación (¿Qué pasaría si…? ¿Cómo podríamos…? ¿Por qué creen que esto ocurre así…? ¿Qué les sugiere esto?). • Permita y promueva que los alumnos den su opinión, anote ideas y sugerencias y planteen dudas. • Conforme los alumnos van participando, apunte en el pizarrón, de manera abreviada, sus comentarios y aportaciones. También puede anotar sus ideas en un procesador de palabras y proyectarlas en la pantalla. • Cuando los alumnos han terminado de participar, revise con ellos la lista y busquen diferentes formas de organizar sus ideas (juntar todas las similares, ordenarlas cronológicamente, agruparlas por contenido, etcétera). • Resuma con el grupo las principales aportaciones. • Retome las participaciones cuando sea pertinente relacionarlas con otras intervenciones.

Cómo concluir un diálogo o una actividad • Hacia el final del diálogo o de una actividad, resuma los comentarios de todos los participantes. • Señale las principales semejanzas y diferencias en las aportaciones. Recuérdele al grupo cómo se plantearon y cómo se resolvieron. • Ayude a los alumnos a definir las conclusiones, inferencias y acuerdos principales de la actividad y de sus reflexiones. • Permita a los alumnos expresar sus dudas y contestarlas entre ellos. • Anote en el pizarrón las ideas y conclusiones más importantes.

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Cómo llevar a cabo un debate • Antes de empezar, solicite a dos alumnos que desempeñen las funciones de moderador y de secretario, explicándoles en qué consiste su labor. • Defina con claridad los aspectos del tema seleccionado que se van a debatir; debe plantearse con claridad cuál o cuáles son los puntos o aspectos que se están confrontando. • El moderador anota en una lista los nombres de quienes desean participar e inicia la primera ronda de participaciones para que cada uno exprese su punto de vista y sus argumentos acerca del tema. • El secretario toma notas de las participaciones poniendo énfasis en las ideas o conceptos que aportan. • Al agotar la lista de participaciones, el moderador hace un resumen de los comentarios. De ser necesario y contar con tiempo, puede abrirse una nueva lista de participaciones; o bien, al final resume las principales conclusiones o puntos de vista para que el secretario tome nota de ellas. • Cada vez que sea necesario, es importante que el moderador les recuerde a los participantes cuáles son los puntos centrales del debate, para evitar distracciones. • Al final, el secretario lee sus anotaciones y reporta al grupo las conclusiones o puntos de vista.

Cómo introducir otros recursos • Explore y lea con anticipación los materiales, seleccionando aquellos que desea compartir con el grupo. • Presente el material (libro, revista, artículo de periódico, mapa, imagen, etcétera) al grupo, comentando qué tipo de material es, el autor o artista, el año. • Lea o muéstrelo al grupo. • Converse con los alumnos acerca de la relación de este material con el trabajo que se está desarrollando. Propicie la reflexión sobre la relación del material presentado con la actividad que se realiza o el contenido que se trabaja. • Invítelos a revisar el material y conocerlo más a detalle, o que ellos sugieran, aporten, lleven o busquen material relevante para los temas que están abordando en el curso.

Cómo coordinar la discusión de un dilema moral • Pida a los alumnos que lean el dilema individualmente y respondan las preguntas. Indique que los comentarios se harán más adelante. • Aclare con el grupo el sentido del dilema, preguntándoles, ¿por qué es un dilema?, ¿cuál es el tema central?, ¿qué habrá pensado el personaje en cuestión? • Invite a los alumnos a intercambiar ideas en plenaria. • Explique previamente dos reglas básicas: a) Debatir argumentos y no agredir ni elogiar a personas, y b) turnarse el uso de la palabra, de modo que se ofrezcan equilibradamente argumentos a favor y en contra de cada postura. • A medida que el grupo identifique las posturas y argumentos posibles, anótelos en el pizarrón e invite al grupo a organizarlos, mediante preguntas como: ¿Cuál es el mejor argumento a favor de X postura y por qué? ¿Habría otros argumentos?, ¿cuáles? • Para cerrar, invite al grupo a redefinir o confirmar sus posturas iniciales, con base en los argumentos dados, y a buscar salidas diversas y más satisfactorias al dilema. 18

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Cómo apoyar la elaboración de resúmenes • Elija el texto que se va a resumir y léalo con el grupo. • Solicite participaciones a partir de las preguntas: ¿cuál consideran que es la idea principal de cada párrafo?, ¿cuáles serán las ideas secundarias o ejemplos? Acepte participaciones de los alumnos, escriba algunas en el pizarrón o con el procesador de textos y después proponga usted sus respuestas a las mismas preguntas. • A partir de las respuestas, ejemplifique en el pizarrón cómo retomar la idea principal de cada párrafo. Puede incluir definiciones textuales, vocabulario técnico y ejemplos del texto. • De ser posible, muestre a los alumnos ejemplos de resúmenes elaborados por usted o por otros estudiantes.

Cómo conducir una revisión grupal de textos colectivos • Solicite a un equipo voluntario para leer su texto frente al grupo y otro para comentarlo. Copie fragmentos breves del texto en el pizarrón para ejemplificar frases o expresiones que puedan ser mejoradas. • Acepte dos o tres observaciones de los comentaristas, basadas en las pautas de revisión. En el pizarrón haga las modificaciones sugeridas y pregunte a los autores si están de acuerdo, si su texto mejora con las aportaciones o se les ocurre otra idea para mejorarlo. Permita que los autores sean quienes decidan sobre la manera que mejor se acerca a lo que quieren decir, reelaboren su idea en el pizarrón y luego en su cuaderno. • Solicite que en cada equipo relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo reescriban con claridad para, posteriormente, leerlo con facilidad ante el grupo. • En cada ocasión, invite a equipos distintos a que revisen y comenten sus textos con todo el grupo. Siempre propicie actitudes positivas hacia la revisión para el mejoramiento de la expresión escrita.

Para hacer uso del diccionario • Haga una lista, con sus alumnos, de las palabras que no conocen o no comprenden. • Búsquenlas en el diccionario en orden alfabético. • Lea el significado e intenten utilizarlo dentro de un contexto. También pueden hacer uso de sinónimos. • Relea las oraciones que contienen las palabras consultadas para comprenderlas ampliamente. • Si aún quedan dudas, busque la palabra en un libro especializado.

Cómo leer un mapa • Pida a los alumnos que identifiquen el título del mapa para saber qué tipo de información representa. Si se trata de un mapa histórico, solicite a los estudiantes que identifiquen de cuándo data y si representa hechos o procesos del pasado. • Revise con los alumnos las referencias o simbología. • Señale claramente cuál es la escala empleada en el mapa. • Revise con el grupo la simbología utilizada y su explicación. • Comente con el grupo la información que se puede obtener a partir del mapa o relacionándolo con otras informaciones previas. • Interprete la orientación a partir de leer la rosa de los vientos. L i b r o p a ra el maestro

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E VA L U A C I Ó N

10. Polígonos de frecuencias. Interpretar y comunicar información mediante polígonos de frecuencia.

9. Problemas de conteo. Anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identificación de regularidades. Verificar los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos.

8. Proporcionalidad múltiple. Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple.

7. La relación inversa de una relación de proporcionalidad directa. Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.

6. Ángulos entre paralelas. Establecer las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

5. Rectas y ángulos. Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano, reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.

4. Ángulos. Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida.

3. Expresiones algebraicas y modelos geométricos. Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

2. Problemas aditivos con expresiones algebraicas. Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.

1. Multiplicación y división de números con signo. Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo.

SECUENCIA

Suma y resta de expresiones algebraicas

2.4 Cuadrados mágicos y números consecutivos

10.3 ¿Qué gráfica utilizar?

10.2 Anemia en la población infantil mexicana

10.1 Rezago educativo y gráficas

9.3 Reparto de dulces

9.2 La casa de cultura

9.1 ¿Cómo nos estacionamos?

8.3 Más problemas

8.2 La excursión

8.1 El volumen

7.3 Problemas

Polígonos de frecuencias en los reportes de investigación

¿De cuántas formas?

La proporcionalidad múltiple

7.1 El peso en otros planetas 7.2 Europa y Plutón

Relaciones importantes El peso en otros planetas

6.3 Los ángulos en los paralelogramos y en el triángulo

6.2 Ángulos alternos internos

6.1 Ángulos correspondientes

Polígono de frecuencias

Anticipar resultados en problemas de conteo

Diagrama de árbol

Proporcionalidad múltiple

Proporcionalidad con Logo

Factores de proporcionalidad

Reconocer, estimar y medir ángulos

Ángulos y paralelas

Rectas y ángulos

5.3 Relaciones entre ángulos Parejas de rectas

Rectas y ángulos Rectas y ángulos

5.1 Rectas que no se cortan

Reconocer, estimar y medir ángulos

5.2 Rectas que se cortan

4.3 Deducción de medidas de ángulos

4.2 Ángulos internos de triángulos

Reconocer, estimar y medir ángulos

Modelos geométricos de expresiones algebraicas

El grado como unidad de medida

3.2 Más expresiones equivalentes 4.1 Medidas de ángulos

Modelos geométricos de expresiones algebraicas

3.1 Expresiones equivalentes Más expresiones equivalentes

Suma y resta de expresiones algebraicas

2.3 La tabla numérica

2.2 A medir contornos

Suma y resta de expresiones algebraicas

Multiplicación y división de números con signo

2.1 Los gallineros

Multiplicación y división de números con signo

Interactivos

RECURSOS TECNOLÓGICOS

1.5 La regla de los signos 2

La magia de los chinos

Los números con signo

Videos

1.4 La regla de los signos 1

1.3 Más multiplicaciones de números con signo

1.2 Multiplicaciones de números con signo

1.1 Los números con signo

SESIÓN

Bloque 1 Aula de medios

¿Cuánto peso si estoy en Saturno? (Calculadora)

Relaciones de los ángulos entre paralelas (Geometría dinámica)

Paralelas y secante (Logo)

Ángulos formados por la intersección de dos rectas (Geometría dinámica)

Posiciones de dos rectas que se cortan (Geometría dinámica)

Trazo de una paralela (Geometría dinámica)

Suma de los ángulos interiores de un triángulo (Geometría dinámica)

Clasificación de ángulos (Geometría dinámica)

Suma con polinomios (Calculadora)

Rectángulos de diferentes tamaños (Logo)

¿Cómo restamos números con signo? (Calculadora)

Muchas maneras de hacer lo mismo 1 y 2 (Logo)

L i b r o p a ra el maestro

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E VA L U A C I Ó N

17. Medidas de tendencia central. Interpretar y calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados, considerando de manera especial las propiedades de la media aritmética.

16. Comparación de situaciones de proporcionalidad. Resolver problemas de comparación de razones, con base en la noción de equivalencia.

15. Aplicación de volúmenes. Estimar y calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Calcular datos desconocidos, dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen. Establecer relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides. Realizar conversiones de medidas de volumen y de capacidad y analizar la relación entre ellas.

14. Volumen de prismas y pirámides. Justificar las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.

13. Cubos, prismas y pirámides. Describir las características de cubos, prismas y pirámides. Construir desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides rectos. Anticipar diferentes vistas de un cuerpo geométrico.

12. Multiplicación y división de polinomios. Resolver problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas.

11. La jerarquía de las operaciones. Utilizar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis si fuera necesario, en problemas y cálculos.

SECUENCIA Videos Interactivos

Medidas de tendencia central

17.3 Las calorías que consumen los jóvenes

Estadísticas, alimentos y otras situaciones

Medidas de tendencia central

17.2 El promedio del grupo en el examen 2

17.1 El promedio del grupo en el examen 1

Comparación de razones

16.2 La concentración de pintura

Estimación y cálculo de volúmenes Comparación de razones Comparación de cocientes

Problemas prácticos

Estimación y cálculo de volúmenes

16.1 El rendimiento constante

15.3 Variaciones

15.2 Capacidades y volúmenes

15.1 El decímetro cúbico

Estimación y cálculo de volúmenes

Volumen de cubos, prismas y pirámides

14.3 Arroz y volumen

14.2 Más volúmenes de prismas

Construcciones con cubos

Cubos, prismas y pirámides

Multiplicación y división de expresiones algebraicas

Jerarquía de las operaciones y uso de paréntesis

Volumen de cubos, prismas y pirámides

Unas fórmulas se obtienen de otras

La geometría a tu alrededor

Los bloques algebraicos

El concurso de la tele

RECURSOS TECNOLÓGICOS

14.1 Las cajas

13.5 Diferentes puntos de vista

13.4 Patrones y regularidades

13.3 El cuerpo escondido

13.2 Más desarrollos planos

13.1 Desarrolla tu imaginación

12.3 ¿Cuánto mide la base?

12.2 A cubrir rectángulos

12.1 Los bloques algebraicos

11.2 Más reglas

11.1 El concurso de la tele

SESIÓN

Bloque 2 Aula de medios

Construcción de programas VII (Calculadora)

Aprende a calcular con Logo (Logo)

Libro p a ra e l m a e s t r o

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E VA L U A C I Ó N

23. Las características de la línea recta [98-115] Anticipar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b mientras el valor de m permanece constante. Analizar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando cambia el valor de m, mientras el valor de b permanece constante.

22. Mosaicos y recubrimientos [86-97] Conocer las características de los polígonos que permiten cubrir el plano y realizar recubrimientos del plano.

21. Los polígonos y sus ángulos internos [76-85] Establecer una fórmula que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.

20. Relación funcional [56-75] Reconocer en situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar esta relación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b. Construir, interpretar y utilizar gráficas de relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos.

19. Ecuaciones de primer grado [40-55] Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + bx + c = dx + ex + f y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros o fraccionarios, positivos o negativos.

18. Sucesiones de números con signo [28-39] Construir sucesiones de números con signo a partir de una regla dada. Obtener la regla que genera una sucesión de números con signo.

SECUENCIA Videos

Sucesiones geométricas con Logo

Aula de medios

23.4 Miscelánea de problemas y algo más

Analizando gráficas de rectas (Hoja de cálculo) Un punto importante en una recta (Calculadora)

Gráficas que “decrecen” (Calculadora)

Ecuación de la recta y = mx + b Ecuación de la recta y = mx + b Rectas paralelas

23.3 La ordenada al origen

¿Qué gráficas “crecen” más rápido? (Calculadora)

Rectas que “crecen” (Calculadora)

Recubrimiento del plano con polígonos regulares (Geometría dinámica)

Medición de perímetros y ángulos (Geometría dinámica)

¿Grados Fahrenheit o centígrados? (Calculadora)

Gráficas de funciones (Logo)

Variación linea (2) (Hoja de cálculo)

23.2 Las pendientes negativas

23.1 Pendiente y proporcionalidad

Cubrimientos del plano

22.3 Algunas combinaciones

Cubrimientos del plano Cubrimientos del plano

Que no quede nada sin cubrir

Ángulos interiores de un polígono

22.2 Los recubrimientos con polígonos irregulares

22.1 Recubrimientos del plano

21.2 Una fórmula para la suma de los ángulos internos

Ángulos interiores de un polígono

Descripción de fenómenos con rectas

Los celulares

20.5 El plan perfecto Triangulaciones simples de los polígonos convexos

Descripción de fenómenos con rectas

20.4 El resorte

21.1 Triángulos en polígonos

Descripción de fenómenos con rectas

20.3 El taxi

20.2 ¡Cómo hablan por teléfono!

20.1 La cola de las tortillas

19.4 Miscelánea de problemas Descripción de fenómenos con rectas

Números perdidos (Calculadora)

19.2 El modelo de la balanza 19.3 Más allá del modelo de la balanza

Ecuaciones (2) (Hoja de cálculo)

Descripción de programas (Calculadora)

19.1 Piensa un número Resolución de ecuaciones de primer grado

Sucesiones de números con signo

La balanza

Interactivos Sucesiones de números con signo

18.3 De mayor a menor

Sucesiones de números

RECURSOS TECNOLÓGICOS

18.2 Números que crecen

18.1 ¿Cuál es la regla?

SESIÓN

Bloque 3

L i b r o p a ra el maestro

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9/10/07 3:45:47 PM

E VA L U A C I Ó N

29. Gráficas formadas por rectas [200-209] Interpretar y elaborar gráficas formadas por segmentos de recta que modelan situaciones relacionadas con movimiento, llenado de recipientes, etcétera.

28. Gráficas de línea [184-199] Interpretar y utilizar dos o más gráficas de línea que representan características distintas de un fenómeno o situación para tener información más completa y en su caso tomar decisiones.

27. Eventos independientes [166-183] Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes.

26. Puntos y rectas notables del triángulo [148-165] Explorar las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

25. Triángulos congruentes [138-147] Determinar los criterios de congruencia de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

24. Potencias y notación científica [118-137] Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Interpretar el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo. Utilizar la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

SECUENCIA

29.3 Camino a la escuela

29.2 De aquí para allá y de allá para acá

29.1 Albercas para chicos y grandes

28.3 ¿Cuántos extranjeros nos visitaron?

28.2 ¿ Sabes cuántas personas visitan el estado en que vives?

28.1 Turismo, empleos y gráficas de línea

Llenado de recipientes

El turismo: una ocupación interesante

Diagrama de árbol

27.3 Eventos independientes y dependientes

Gráficas formadas por segmentos de recta

Gráficas de línea en la estadística

Frecuencia y probabilidad con Logo

Probabilidad. Eventos independientes

Diagrama de árbol

27.2 Dos o más eventos independientes

Diagrama de árbol

Rectas y puntos notables del triángulo

26.4 Bisectrices

¿Cuándo dos eventos son independientes?

Trazar el incírculo de un triángulo (Geometría dinámica)

Rectas y puntos notables del triángulo

26.3 Medianas

27.1 ¿Cuáles son los eventos independientes?

Bisectriz, altura, mediana y mediatriz de un triángulo cualquiera (Geometría dinámica)

Rectas y puntos notables del triángulo Rectas y puntos notables del triángulo

Leyes de los exponentes II y IV (Calculadora)

Leyes de los exponentes III (Calculadora)

26.1 Mediatrices

Puntos y rectas notables del triángulo

Aula de medios Leyes de los exponentes I (Calculadora)

26.2 Alturas

Congruencia de triángulos

25.3 Un lado y dos ángulos correspondientes iguales

Congruencia de triángulos Congruencia de triángulos

25.1 Tres lados iguales 25.2 Un ángulo y dos lados correspondientes iguales

Figuras congruentes

Potencias y exponentes

24.4 Exponentes negativos Potencias y exponentes

Potencias y exponentes

24.3 Cocientes de potencias

24.5 Notación científica

Potencias y exponentes

24.2 Potencias de potencias

Interactivos Potencias y exponentes

Números muy grandes y muy pequeños

Videos

RECURSOS TECNOLÓGICOS

24.1 Producto de potencias

SESIÓN

Bloque 4

Libro p a ra e l m a e s t r o

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9/10/07 3:45:48 PM

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Forma, espacio y medida

Manejo de la información

EJE 1:

EJE 2:

EJE 3:

E VA L U A C I Ó N

33. Representación gráfica de sistemas de ecuaciones [260-273] Representar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros e interpretar la intersección de sus gráficas como la solución del sistema.

32. Eventos mutuamente excluyentes [246-259] Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia.

31. Traslación, rotación y simetría central [230-245] Determinar las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. Construir y reconocer diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.

30. Sistemas de ecuaciones [212-229] Representar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.

SECUENCIA Videos Interactivos

33.3 Soluciones múltiples

Solución de un sistema de ecuaciones como intersección de rectas

33.2 ¿Dónde está la solución?

Azar y probabilidad con Logo

Probabilidad. Eventos mutuamente excluyentes

Solución de un sistema de ecuaciones como intersección de rectas Movimiento rectilíneo uniforme

¿Cuándo dos eventos son mutuamente excluyentes?

33.1 La feria ganadera

32.3 Más problemas de probabilidad

32.2 Cálculo de la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes

32.1 ¿ Cuándo dos eventos son mutuamente excluyentes?

31.4 A lgo más sobre simetrías, rotaciones y traslaciones

31.3 Simetría central

Sistemas de dos ecuaciones (Hoja de cálculo)

Uso de la simetría central (Geometría dinámica)

Molinos y rehiletes 1 y 2 (Logo)

Concepto de rotación (Geometría dinámica)

Aula de medios

Concepto de traslación (Geometría dinámica)

Movimientos en el plano

Sistemas de ecuaciones

31.2 Rotaciones

Movimientos en el plano

De Diofanto al siglo XXI

RECURSOS TECNOLÓGICOS

31.1 ¿Hacia dónde me muevo?

30.5 Lo que aprendimos de sistemas de ecuaciones

30.4 La igualación

30.3 Compras en el mercado

30.2 La edad de Don Matias

30.1 Las vacas y los chivos

SESIÓN

Bloque 5

Clave de logos

T rabajo

individual

S itios

de I nternet

parejas

Bibliotecas Escolares y de Aula

equipos

V ideo

T odo

el grupo

C onexi贸n

con otras asignaturas

G losario

C onsulta

Programa integrador Edusat

I nteractivo

A udiotexto

otros materiales

de recursos

A ula

M edios

O tros T extos

L i b r o p a ra el maestro

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9/10/07 3:45:49 PM

y= 4.

4x - 5y = 3 2x + 10y = 2 x= -8.000

y= -7

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9/10/07 1:06:30 PM

BLOQUE 3 y= 4.500

y = 3 0y = 29

y= -7.000 45

135 90

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Propósitos de la sesión. Obtener la regla verbal que genera una sucesión de números con signo en la que el valor de los términos va aumentando; en la regla se dice cuánto hay que sumar a cada término para obtener el siguiente y cuál es el primer término de la sucesión. Obtener la sucesión a partir de una regla de ese tipo. Sugerencia didáctica. Si lo considera conveniente recuerde a los alumnos a qué se refieren las expresiones “término” y “lugar del término”. Puede preguntarles ¿Cuál es el primer término de la sucesión… y el segundo?, ¿En qué lugar de la sucesión está el término 7 y el 25?

secuencia 18

Sucesiones de números con signo En esta secuencia construirás sucesiones de números con signo a partir de una regla dada y obtendrás la regla que genera una sucesión de números con signo. SESión 1

¿CUÁL ES LA REGLA?

Para empezar Sucesiones de números

En la secuencia 3 de tu libro Matemáticas i, volumen i trabajaste con sucesiones de figuras y con sucesiones de números. En esta secuencia, continuarás estudiando las sucesiones de números y las reglas que permiten obtener cada uno de sus términos.

Descripción del video. Se hace una introducción al tema con la presentación y descripción de sucesiones famosas a lo largo de la historia tales como la sucesión de Fibonacci y la dada por Gauss para obtener la suma de los primeros 100 números naturales.

Consideremos lo siguiente Completa los términos que faltan en la siguiente sucesión de números: –5, –2,

, 4, 7, 10,

, 16,

19 , 22

, 25, 28, 31, 34 , 37,40

,…

a) Escribe una regla para obtener cada uno de los términos de la sucesión.

“Van de tres en tres”, “Aumenta de tres en tres y empieza en -5” b) ¿Cuál es el término que está en el lugar 30?

Propósito de la sesión en el aula de medios. Hallar los números que faltan para completar una tabla que contiene números con signo.

c) ¿Qué lugar ocupa el número 121 en esta sucesión?

El lugar 43

Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar la regla.

Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 1.

Manos a la obra i. Señala cuáles de las siguientes sucesiones se pueden obtener utilizando la regla sumar tres al término anterior.

Propósito de la actividad. La sucesión es parecida a las que se trabajaron en primero, la diferencia es que ahora se incluyen términos negativos. Se espera que los alumnos logren expresar la regla de manera verbal. Posibles procedimientos. Es relativamente sencillo que los alumnos logren identificar que los términos van aumentando de 3 en 3; es posible que identifiquen esta regularidad primero con los números positivos y que después la apliquen a los números negativos con los que inicia la sucesión. Para formular la regla general es probable que la expresen verbalmente por ejemplo: “van de tres en tres”, “aumenta de tres en tres y empieza en –5” , “Se suma tres al término anterior”. La regla algebraica es 3n – 8, sin embargo es poco probable que los alumnos la expresen de esa manera; en caso de que alguno llegara a formularla, invítelo a que la compare con las reglas verbales de otros compañeros. Para encontrar el término en el lugar 30 pueden hacer la lista con los primeros 30 términos. También es probable que algunos alumnos continúen la lista hasta los primeros 43 términos para determinar que lugar ocupa el número 121. Durante el intercambio grupal motive a los alumnos para que identifiquen una o más reglas que permitan obtener la sucesión. 28

• –15, –11, –7, –3, 1, 5, …

• –7, –4, –1, 2, 5, 8, 11, …

• 3, 6, 9, 12, 15, 18, …

• –14, –6, 2, 10, 18, 26, …

• –4, –1, 2, 5, 8, 11, …

• –12, –9, –6, –3, 0, 3, …

• –8, –3, 2, 7, 12, 17, … 12

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Propósito del interactivo. Explorar diferentes sucesiones numéricas. Que los alumnos analicen y completen diferentes sucesiones numéricas.

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Propósito de las actividades I y II. Se espera que los alumnos identifiquen que, con una regla verbal del tipo sumar tres al término anterior o sumar cinco al término anterior, se pueden obtener muchas sucesiones distintas, pero si se indica cuál es el primer término, entonces sólo se obtiene una sucesión. Respuestas. 3, 6, 9, 12, 15, 18, … –4, –1, 2, 5, 8, 11, … –7, –4, –1, 2, 5, 8, 11, … –12, –9, –6, –3, 0, 3, …

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MATEMÁTICAS

Sugerencia didáctica. Comente con sus alumnos a qué se refiere la expresión “La diferencia entre dos términos consecutivos de una sucesión”; si lo considera conveniente pida a algunos alumnos que pasen al pizarrón a hacer la resta para encontrar la diferencia en una sucesión. La diferencia entre dos términos les servirá, posteriormente, para encontrar las reglas algebraicas y para distinguir si una sucesión es creciente o decreciente.

II. Responde las preguntas: a) ¿Con la regla sumar cinco al término anterior, podemos obtener muchas sucesiones o una sola sucesión? b) Encuentra una sucesión que se obtenga con esta regla. c) Una regla más precisa para obtener la sucesión que escribiste es sumar cinco al término anterior y el primer término es d) ¿Por qué crees que esta regla sea más precisa?

Propósitos de la actividad. Que obtengan la diferencia entre dos términos consecutivos de cada sucesión; identifiquen la regla verbal que sirve para obtener de manera única una sucesión, y que obtengan una sucesión a partir de la regla verbal.

Comparen sus respuestas y comenten: la diferencia entre dos términos consecutivos de una sucesión se obtiene al restar a un término el término anterior. ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de las sucesiones que encontraron en el . Obtengan tres sucesiones en las que la diferencia entre dos inciso b)? términos consecutivos sea 7. III. Completa lo que falta en las siguientes expresiones y responde las preguntas: a) Una regla para obtener la sucesión 5, 11, 17, 23, 29, 35, … es sumar seis al tér-

Respuestas:

mino anterior y el primer término es

a) Sumar seis al término anterior y el primer término es 5.

b) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión? c) Una regla para obtener la sucesión –12, –10, –8, –6, –4, –2, … es sumar

b) La diferencia es 6.

al término anterior y el primer término es d) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?

c) Sumar dos al término anterior y el primer término es –12.

e) Escribe la sucesión que se obtiene con la regla sumar cinco al término anterior y el primer término es –14:

d) La diferencia es 2.

f) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esa sucesión?

e) –14, –9, –4, 1 , 6, 11,…

A lo que llegamos

f) La diferencia es 5.

En las sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante, cada término se obtiene sumando una misma cantidad al término anterior.

Sugerencia didáctica. Lea esta información junto con sus alumnos apoyándose en el ejemplo que se muestra. Posteriormente puede pedir a los alumnos que propongan otra sucesión numérica como ejemplo y que den la regla verbal para obtener esta sucesión.

La regla verbal para obtener este tipo de sucesiones se puede expresar diciendo cuánto hay que sumar a cada término para obtener el siguiente y cuál es el primer término. Por ejemplo: En la sucesión –8, –3, 2, 7, 12, 17, … 13

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Eje

Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo.

Sentido numérico y pensamiento algebraico.

Tema

Sesión

Propósitos de la sesión

Recursos

¿Cuál es la regla? Obtener la regla verbal que genera una sucesión de números con signo en la que el valor de los términos va aumentando; en la regla se dice cuánto hay que sumar a cada término para obtener el siguiente y cuál es el primer término de la sucesión. Obtener la sucesión a partir de una regla de ese tipo.

Video Sucesiones de números Interactivo Sucesiones de números con signo Aula de medios Descripción de programas (Calculadora)

Números que crecen Construir sucesiones de números con signo a partir de una regla de la forma an + b, con a > 0. Obtener la regla algebraica que genera una sucesión de números con signo de este tipo.

Interactivo Sucesiones de números con signo

De mayor a menor Construir sucesiones de números con signo a partir de una regla de la forma an + b, con a < 0. Obtener la regla algebraica que genera una sucesión de números con signo de este tipo.

Interactivo Sucesiones geométricas con Logo Programa integrador 13

Significado y uso de las literales.

Antecedentes En la secuencia 3 de Matemáticas I, volumen I, los alumnos aprendieron a representar sucesiones numéricas o con figuras a partir de una regla dada y viceversa; en la secuencia 4 del mismo libro aprendieron a interpretar las letras como números generales con los que es posible operar. En Matemáticas II se retoman las sucesiones numéricas con la finalidad de que los alumnos continúen buscando regularidades, y de que aprendan a formularlas, y a argumentar su validez. En esta ocasión las sucesiones incluyen números con signo.

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secuencia 18 La diferencia entre dos términos consecutivos se calcula al restar a un término el término anterior, por ejemplo: 7 – 2 = 5. La regla verbal es: sumar 5 al término anterior y el primer término es –8. Si no se indica cuál es el primer término, se pueden obtener muchas sucesiones utilizando la misma regla.

Propósito de la actividad. Que amplíen la sucesión que trabajaron en el apartado Consideremos lo siguiente con la finalidad de que identifiquen la dificultad de encontrar cualquier término utilizando sólo una regla verbal.

iV. Una regla para obtener la sucesión –5, –2, 1, 4, 7, 10, … (es la misma que está en el apartado Consideremos lo siguiente) es sumar primer término es

al término anterior y el

–5

a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?

b) Completa la siguiente tabla con algunos de los términos de la sucesión.

Posibles procedimientos. Pueden observar que, si se avanza 5 lugares, por ejemplo del término en el lugar 5 al término en el lugar 10, el valor del término aumenta 15 y si se avanza 10 lugares, el valor del término aumenta 30.

Lugar del término

Término de la sucesión

–5

–2

Respuestas.

c) Aumenta 30.

d) 142.

e) 292.

112

c) Para pasar del término en el lugar 30 al término en el lugar 40, se avanza 10 lugares. ¿Cuánto cambia el valor del término? d) ¿Cuál es el término que está en el lugar 50? e) ¿Cuál es el término que está en el lugar 100? Comparen sus respuestas y comenten cómo hicieron para encontrar todos los términos. 14

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MATEMÁTICAS

Respuestas.

Lo que aprendimos

a) La diferencia es 7.

Responde las preguntas para la siguiente sucesión:

b) La regla verbal es: sumar 7 al término anterior y el primer término es –23.

–23, –16, –9, –2, 5, 12,19, ...

a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión? b) ¿Cuál es la regla verbal que nos permite obtener cada uno de los términos de la sucesión?

nÚMEROS QUE CRECEn

SESión 2

Para empezar

Propósito de la actividad. Proponer reglas verbales y algebraicas en las que utilizan el lugar del término .

En la sesión anterior encontraste la regla verbal para una sucesión de números con signo diciendo cuánto hay que sumar a cada término para obtener el siguiente y cuál es el primer término. En esta sesión obtendrás la regla algebraica utilizando el lugar que ocupa cada término. Para la siguiente sucesión de números:

Respuestas. a) La diferencia es 4.

2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, …

a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión? b) Señalen con cuáles de las siguientes reglas podemos obtener los términos de la sucesión. La n indica el lugar del término. • 2n + 4. • Sumar cuatro al término anterior y el primer término es 2. • 4n + 2. • 4n – 2. c) Comenten si algunas de las reglas anteriores son equivalentes.

Consideremos lo siguiente

b) Hay dos respuestas correctas: 4n – 2 y sumar cuatro al término anterior y el primer término es 2.

Recuerden que: nos entre dos térmi • La diferencia calcula al restar se os tiv ecu ns co . término anterior a un término el para las reg s ria va y • Cuando ha a sucesión de obtener la mism que son reglas e dic se , ros núme . s nte ale uiv eq

c) Las reglas equivalentes son sumar cuatro al término anterior y el primer término es 2 y 4n – 2. Sugerencia didáctica. En el inciso b) se espera que los alumnos identifiquen las dos reglas correctas, en caso de que sólo identifiquen una de ellas usted puede animarlos a buscar si hay otra más. Si eligen una regla incorrecta, durante la confrontación grupal pídales que identifiquen los primeros términos de la sucesión que se obtienen con esa regla.

Completa la siguiente tabla para encontrar los términos que se indican en cada sucesión: Reglas algebraicas

Lugar del término

1 2 3 4 10 100 115

3 6 9 12 30 300 345

Propósitos de la sesión. Construir sucesiones de números con signo a partir de una regla de la forma an + b, con a > 0. Obtener la regla algebraica que genera una sucesión de números con signo de este tipo.

3n + 1

3n – 7

3n – 10

4 7 10 13 31 301 346

–4 –1 2 5 23 293 338

–7 –4 –1 2 20 290 335

3n – 16

–13 –10 –7 –4 14 284 329

Para el inciso c) invítelos a que justifiquen por qué consideran que tales reglas son equivalentes.

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Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que con distintas reglas, se obtienen sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es la misma.

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Propósito del Interactivo. Que los alumnos identifiquen que con distintas reglas, se obtienen sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es la misma.

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Respuestas. a) La diferencia es 3.

secuencia 18 a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos en cada una de estas sucesiones?

b) 3n –8. c) El número 278 no aparece en la sucesión.

b) Para la sucesión –5, –2, 1, 4, 7, … ¿Cuál es la regla algebraica que nos permite encontrar el término que está en el lugar n ?

Sugerencia didáctica. Si observa que algunos alumnos tienen dificultades para encontrar la regla de la sucesión –5, –2, 1, 4, 7, ... puede sugerirles que intenten encontrar los términos de otras sucesiones que tengan reglas en las que la n se multiplica por 3.

c) ¿Aparece en esta sucesión el número 278? Comparen sus respuestas y comenten cómo hicieron para encontrar la regla.

Manos a la obra i. Responde las preguntas sobre la sucesión que se obtiene con la regla 3n – 7.

Si tienen dificultades para determinar si el número 278 está en la sucesión, usted puede sugerirles que obtengan algunos términos de la sucesión que se acerquen a 300. Un buen procedimiento es encontrar el término en el lugar 100 (es 292) y observar que 289, 286, 283, 280 y 277 sí están en la sucesión, pero 278 no.

a) Una regla equivalente para obtener esta sucesión es sumar

al término

anterior y el primer término es b) ¿Cuál es el término que está en el lugar 40? c) ¿Cuál de las dos reglas utilizaste para encontrar ese término? d) ¿Cuál es el término que está en el lugar 48? ii. Responde las preguntas sobre la sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16, … a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esta sucesión?

Otra forma de resolver, es explorar si 278 resulta de la aplicación de la regla 3n – 8: a 278 se le suma 8, y el resultado se divide entre 3. Este procedimiento implica despejar a n ; no se espera que los alumnos lo resuelvan de esta manera, pero si algunos de ellos se acercan a este procedimiento, usted puede ayudarles precisando las relaciones entre los datos.

b) Observa las dos sucesiones 3,

12,

15,

18, …

10,

13,

16, …

¿Cuál es la regla algebraica para obtener la primera sucesión (3, 6, 9, 12, 15, 18, …)?

c) Subraya la operación que debemos hacer para pasar de cada término en la primera sucesión a su correspondiente término en la segunda sucesión: • Restar 2

Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos comenten cómo cambian las sucesiones cuando cambia la regla, para ello usted puede preguntar cómo cambia el valor del primer término en cada una de las sucesiones.

• Sumar 2 d) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16, …?

Propósito de la actividad. Que comparen la utilidad de los dos tipos de reglas (la verbal y la algebraica) para encontrar cualquier término en la sucesión. Respuestas. a) Sumar 3 al término anterior y el primer término es –4. b) 113. d) 137. Sugerencia didáctica. Es probable que algunos alumnos consideren que la regla algebraica es más difícil de utilizar que la regla verbal; si fuera el caso usted puede preguntarles cómo utilizarían cada una de las reglas para encontrar el término que está en el lugar 1 350. Con este ejemplo se espera que los alumnos identifiquen la utilidad de la regla algebraica.

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Propósito de la actividad. Que los alumnos conozcan una forma de establecer la regla algebraica de una sucesión. Se comparan los términos de la sucesión que se obtiene con la regla 3n con los de la otra sucesión (1, 4, 7, 10, 13, 16, …), esto se hace con la finalidad de establecer la operación que permite pasar de un término de la primera sucesión, al término que le corresponde en la segunda sucesión y de esta manera encontrar la regla algebraica para obtener la segunda sucesión. En este caso la operación que se debe hacer es restar 2 y entonces la regla algebraica para obtener la sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16, … es 3n – 2.

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Es posible que algunos alumnos hayan encontrado sus propios procedimientos para obtener la regla algebraica. Se sugiere que pida a esos alumnos que pasen al pizarrón a explicar sus procedimientos. Respuestas. a) La diferencia es 3. b) 3n . c) Restar 2. d) 3n – 2.

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MATEMÁTICAS

Propósito de la actividad. Que los alumnos comparen la sucesión que se obtiene con la regla 5n con dos sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es 5, de esta manera lograrán obtener la regla algebraica de cada sucesión.

III. Observa el diagrama y responde las preguntas. 5,

10,

15,

20,

25,

30, …

11,

16,

21,

26,

31, …

En la confrontación grupal usted puede pedir a un alumno que pase al pizarrón a hacer el diagrama para comparar la sucesión que se obtiene con la regla 5n con la sucesión –11, –6, –1, 4, 9, 14, …

a) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la primera sucesión? b) ¿Cuál es la operación que debemos hacer para pasar de cada término en la primera sucesión a su correspondiente término en la segunda sucesión? c) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión 6, 11, 16, 21, 26, 31, …?

Respuestas.

d) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión –15, –10, –5, 0, 5, 10, …?

a) 5n . b) Sumar 1.

Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar las reglas algebraicas y encuentren la regla verbal y la regla algebraica para obtener la sucesión –11, –6, –1, 4, 9, 14, …

c) 5n + 1. d) 5n –20.

A lo que llegamos En las sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante, podemos dar la regla algebraica multiplicando el lugar del término por la diferencia de los términos consecutivos y sumando o restando una constante adecuada. Por ejemplo: En la sucesión –8, –3, 2, 7, 12, 17, …, la diferencia es de 5. Para encontrar la regla, sabemos que para pasar de cada término en la sucesión que se obtiene con la regla 5n, a su correspondiente término en la sucesión –8, –3, 2, 7, 12, 17, …, debemos restar 13. Entonces la regla para obtener la sucesión –8, –3, 2, 7, 12, 17, … es 5n – 13.

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Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con sus alumnos apoyándose en el ejemplo que se muestra. Posteriormente usted puede proponer otra sucesión para que identifiquen la diferencia entre los términos consecutivos y para que establezcan la regla algebraica.

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9/10/07 1:07:10 PM

Respuestas.

secuencia 18

a) 492.

iV. Para la sucesión que se obtiene con la regla 5n – 8:

b) No.

a) ¿Cuál es el término que está en el lugar 100?

c) Sí.

b) ¿El número 500 está en la sucesión? c) ¿El número 497 está en la sucesión?

d) 142.

d) ¿Cuál es el término que está en el lugar 30?

e) Está en el lugar 28.

e) ¿En que lugar de término está el número 132?

Una forma de averiguar si un número está en una sucesión determinada, es por medio de estimaciones: a partir de un término que ya se conoce de la sucesión y que sea cercano al término propuesto. Para obtener el lugar de un término, se puede proceder también por aproximaciones; otra forma es recurrir a la misma regla para despejar a n, por ejemplo, para encontrar el lugar del término del número 132 a partir de la regla 5n – 8, se suma 8 y luego se divide entre 5.

Comparen sus respuestas.

Lo que aprendimos 1. Encuentra los primeros 10 términos de las sucesiones que se obtienen con las siguientes reglas: a) Sumar 8 al término anterior y el primer término es –19 b) 7n – 25 c) 2n – 4.5 2. Responde las preguntas para la sucesión –23, –16, –9, –2, 5, 12,19, … a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión? b) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión?

Sugerencia didáctica. La sucesión que se obtiene con la regla del inciso c) tiene números decimales; es importante que los alumnos practiquen el manejo de estos números al obtener la sucesión.

c) La regla verbal para obtener esta sucesión es sumar

al término an-

terior y el primer término es d) ¿Cuál es el término que ocupa el lugar 78? e) ¿En qué lugar de término está el número 201?

Respuestas.

3. Responde a las preguntas sobre la siguiente sucesión:

a) –19, –11, –3, 5, 13, 21, 29, 37, 45, 53,…

–2.5, –1.5, –0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, …

a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?

b) –18, –11, –4, 3, 10, 17, 24, 31, 38, 45,…

b) Expresa la regla algebraica para obtener la sucesión.

c) –2.5, –0.5, 1.5, 3.5, 5.5, 7.5, 9.5, 11.5, 13.5, 15.5,…

c) ¿Cuál es el término que ocupa el lugar 25 en la sucesión? d) ¿Cuál es el término que ocupa el lugar 278? e) ¿Qué lugar ocupa el número 101.5 en esta sucesión?

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Respuestas.

Propósito de la actividad. Que los alumnos trabajen con sucesiones en las que la diferencia entre dos términos sucesivos es 1, por lo que en la regla algebraica la n aparece sin coeficiente, al estar multiplicada por 1.

a) La diferencia es 7. b) 7n – 30. c) Sumar 7 al término anterior y el primer término es –23 .

Respuestas.

d) 516.

a) La diferencia es 1.

e) En el lugar 37.

b) n – 3.5 c) 21.5 d) 274.5 e) El lugar 105.

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9/10/07 1:07:13 PM

MATEMÁTICAS

4. En la columna de la izquierda se presentan los primeros términos de algunas sucesiones y en la columna de la derecha, algunas reglas. Relaciona ambas columnas.

Términos de la sucesión

Reglas

( b ) –10, –8, –6, –4, –2, 0, 2, 4, …

(a) 5n – 13 (b) 2n – 12

( g ) –7, –3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, …

( h ) –13, –8, –3, 2, 7, 12, 17, 22, …

Propósitos de la sesión. Construir sucesiones de números con signo a partir de una regla de la forma an + b, con a < 0. Obtener la regla algebraica que genera una sucesión de números con signo de este tipo.

(e) 4n – 7 ( c ) –11, –7 –3, 1, 5, 9, 13, 17, …

(f) 5n – 16 (g) 4n – 11

( f ) –11, –6, –1, 4, 9, 14, 19, 24, …

(h) 5n – 18 (i) 2n – 10

( i ) –8, –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, …

DE MAYOR A MEnOR

SESión 3

Para empezar

En la sesión anterior, encontraste reglas para sucesiones en las que los términos iban aumentando. Ahora trabajarás con sucesiones en las que los términos van disminuyendo. Encuentren los primeros 10 términos de la sucesión que se obtiene con la regla –4n.

–4, –8, –12, –16, –20, –24, –28, –32, –36, –40 –4

¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?

Sugerencia didáctica. Para obtener la diferencia usted puede pedir a un alumno que pase al pizarrón a realizar la operación:

Consideremos lo siguiente Completa la siguiente sucesión de números: 6, 2,

, –10,

, –18, –22,

Propósito de la actividad. Que los alumnos exploren una regla algebraica en la que la n está multiplicada por un número negativo. Se espera que los alumnos generen la sucesión numérica que se obtiene al aplicar la regla –4n ; esta sucesión será importante para elaborar, posteriormente, la regla que permite encontrar el término en el lugar n .

,…

(–8) – (–4) = (–8) + 4 = –4

a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?

De esta manera, además, podrán recordar cómo se hace una resta de números negativos.

b) Escribe una regla para encontrar el término en el lugar n. Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar la regla y la diferencia entre dos términos consecutivos.

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Propósito de la actividad. Proponer la regla algebraica para obtener una sucesión en la que los términos van disminuyendo.

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Posible respuesta. Algunos alumnos podrían escribir Restar 4 al término anterior y el primer término es 6. Si bien esta regla es correcta, lo que se pide es el término en el lugar n y esto debe hacerse con una regla algebraica; no obstante esa regla verbal es aceptable por el momento.

Respuestas. 6, 2, –2, –6, –10, –14, –18, –22, –26, –30, –34, … a) –4. b) –4n + 10.

Posibles errores. Algunos alumnos podrían considerar que la diferencia es de 4 y que la regla es 4n + 2. Otros más podrían considerar que la diferencia es de –4, pero pueden proponer reglas incorrectas: –4n + 2 o –4n –2. Durante la confrontación grupal puede pedirles que pasen al pizarrón a escribir los primeros términos de la sucesión que se obtienen con estas reglas e invitarlos a que discutan cuáles reglas son válidas y cuáles no.

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Propósito de la actividad. Identificar que hay tres reglas posibles para obtener esta sucesión: dos reglas verbales y la regla algebraica. Durante la sesión se utilizan reglas verbales del tipo sumar (–4) al término anterior y el primer término es, para que identifique que, en estas sucesiones, la diferencia entre dos términos consecutivos es –4 y en la regla algebraica se multiplica la n por –4.

secuencia 18

Manos a la obra i. Señala con cuáles de las siguientes reglas podemos obtener cada uno de los términos de la sucesión. • Sumar 4 al término anterior y el primer término es 6. • Restar 4 al término anterior y el primer término es 6. • –4n – 2 • –4n + 10 • 4n + 2 • Sumar ( –4) al término anterior y el primer término es 6.

Respuestas. • Restar 4 al término anterior y el primer término es 6.

ii. Responde las preguntas: a) En la sucesión –7, –3, 1, 5, 9, … ¿los términos van aumentando o disminuyendo?

• –4 n + 10. b) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esta sucesión?

• Sumar (–4 ) al término anterior y el primer término es 6.

c) En la sucesión 14, 10, 6, 2, –2, … ¿los términos van aumentando o disminuyendo? d) Una regla verbal para obtener esta última sucesión es restar

término anterior y el primer término es

Propósito de la actividad. Que los alumnos expresen la regla verbal para obtener una sucesión en la que los términos van disminuyendo y que encuentren la diferencia entre dos términos consecutivos de esa sucesión.

e) La sucesión también la podemos obtener con la regla sumar

término anterior y el primer término es f) Para calcular la diferencia entre dos términos consecutivos, haz la resta del segundo término menos el primer término:

Respuestas.

–

iii. Encuentra los primeros diez términos de las sucesiones que se obtienen con las reglas indicadas.

a) Van aumentando. Recuerda que: nes Las multiplicacio y divisiones se e las hacen antes qu . sumas y restas

b) 4. c) Van disminuyendo. d) Restar 4 al término anterior y el primer término es 14.

Lugar del término

(–4) ×1+6=

(–4) × 2 + 6 = –6 –10 –14 –18 –22 –26 –30 –34

3 4 5

e) Sumar –4 al término anterior y el primer término es 14.

6 7 8

f) 10 – 14 = –4.

Regla algebraica

–4n + 6

9 10

2 –2

–4n – 2 (–4) × 1 − 2 = (–4) × 2 − 2 =

–14 –18 –22 –26 –30 –34 –38 –42

–6 –10

–4n – 5 (–4) × 1 − 5 = (–4) × 2 − 5 =

–9 –13

–17 –21 –25 –29 –33 –37 –41 –45

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Propósito de la actividad. Que los alumnos apliquen reglas algebraicas en las que la n está multiplicada por un número negativo.

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MATEMÁTICAS

Respuestas.

a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de estas sucesiones?

a) La diferencia es –4.

b) En estas sucesiones, ¿los términos van aumentando o disminuyendo?

b) Van disminuyendo. Comparen sus respuestas. IV. Responde las preguntas sobre la sucesión 7, 3, –1, –5, –9, –13, … a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esta sucesión? b) En la regla algebraica para obtener cada uno de los términos de la sucesión, debe-

Propósito de la actividad. Que los alumnos comparen la sucesión que se obtiene con la regla –4n con la sucesión 7, 3, –1, –5, –9, –13, ..., para obtener la regla algebraica de la sucesión que se les presenta.

mos multiplicar la n por c) Observa las dos sucesiones: –4, –8, 7,

–12,

–16,

–20,

–24, …

–1,

–5,

–9,

–13, …

Respuestas.

¿Cuál es la operación que debemos hacer para pasar de cada término en la primera sucesión a su correspondiente término en la segunda sucesión?

a) –4.

d) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión 7, 3, –1, –5, –9, –13, …?

b) –4. c) Sumar 11.

Comparen sus respuestas. Encuentren la regla algebraica para obtener la sucesión –11, –15, –19, –23, –27, –31, …

d) –4 n + 11.

A lo que llegamos Para las sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante: •

Si la constante es positiva, los términos van aumentando.

•

Si la constante es negativa, los términos van disminuyendo.

Respuesta. La regla es –4 n –7. Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y que apliquen el mismo procedimiento que se plantea en la actividad IV para verificar si la regla que propusieron es correcta o no.

En estas sucesiones podemos dar la regla algebraica multiplicando el lugar del término por la diferencia de los términos consecutivos y sumando o restando una constante adecuada. Por ejemplo: En la sucesión –2, –5, –8, –11, –14, –17, –20, …., la diferencia es de –3. Para encontrar la regla, sabemos que para pasar de cada término en la sucesión que se obtiene con la regla –3n, a su correspondiente término en la sucesión –2, –5, –8, –11, –14, –17, –20, …, debemos sumar 1. Entonces la regla para obtener la sucesión –2, –5, –8, –11, –14, –17, –20, … es –3n + 1. 21

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Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con los alumnos, posteriormente puede pedirles que escriban en sus cuadernos otras sucesiones y sus reglas algebraicas en las que la diferencia sea negativa.

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Respuestas.

secuencia 18

a) 23, 17, 11, 5, –1, –7, –13, –19, –25, –31.

V. Responde las preguntas. a) Encuentra los primeros 10 términos de la sucesión que se obtiene con la regla sumar (–6) al término anterior y el primer término es 23.

b) –6 n + 29. c) 7, 2, –3, –8, –13, –18, –23, –28, –33, –38. d) Sí son equivalentes.

b) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión?

Sugerencia didáctica. Si los alumnos tienen dificultades usted puede pedirles que obtengan los primeros términos de cada sucesión. Una manera algebraica de ver que son equivalente es transformando la segunda expresión en una suma: 23 – 6n = 23 + (–6n ) = –6n + 23.

c) ¿Cuáles son los primeros 10 términos de la sucesión que se obtiene con la regla –5n + 12?

d) ¿Son equivalentes las reglas –6n + 23 y 23 – 6n? Explica tu respuesta:

Comparen sus respuestas. Comenten si son equivalentes las reglas 7 – n y –n + 7.

Respuesta.

Lo que aprendimos

Son equivalentes.

1. Responde las preguntas.

Sugerencia didáctica. Usted puede pedirles a dos alumnos que pasen al pizarrón a obtener los primeros términos de cada sucesión. Otra manera de verlo es:

a) ¿En la sucesión –12, –7, –2, 3, 8, 13, … los términos van aumentando o disminu-

7 – n = 7 + (–n ) = –n + 7.

d) Otra regla para obtener la sucesión es sumar

yendo? b) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos en la sucesión? c) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión? al término anterior y

el primer término es e) ¿En la sucesión –5, –10, –15, –20, –25, –30, … los términos van aumentando o

Respuestas.

disminuyendo?

a) Van aumentando.

f) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos en la sucesión?

b) 5.

g) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión?

c) 5 n – 17.

h) Otra regla para obtener la sucesión es sumar

al término anterior y

el primer término es

d) Sumar 5 al término anterior y el primer término es –12.

2. Encuentra los primeros 10 términos de la sucesión que se obtiene con la regla –n – 18. Indica la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión.

e) Van disminuyendo. f) –5. g) –5 n.

h) Sumar –5 al término anterior y el primer término es –5.

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Integrar al portafolios. Considere los problemas 2, 3 y 4 para evaluar los aprendizajes de los alumnos. Respuestas problema 2. Primeros 10 términos de la sucesión: –19, –20, –21, –22, –23, –24, –25, –26, –27, –28. La diferencia entre dos términos sucesivos es –1.

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MATEMÁTICAS

Propósito de la actividad. Este problema presenta un grado de dificultad mayor, pues no se conocen dos términos consecutivos; este tipo de problemas permite que los alumnos exploren otros aspectos de las sucesiones numéricas y de las reglas que las determinan; en este caso, les permite indagar sobre las condiciones presentadas que establecen la diferencia entre dos términos consecutivos.

3. Encuentra una regla para las siguientes sucesiones: a) Que el segundo término sea 7 y el cuarto término sea 19. b) Que el tercer término sea 1 y el sexto término sea –14. 4. En la columna de la izquierda se presentan algunas reglas algebraicas y en la columna de la derecha, algunas reglas verbales. Relaciona las columnas con las reglas equivalentes. Regla algebraicas

( g ) 4n – 12

( h ) –4n – 8

( e ) –7n + 10

( c ) 7n – 10

( d ) –4n – 12

( f ) 7n – 4

Reglas verbales

(a) Sumar (–7) al término anterior y el primer término es 10

Posibles procedimientos. Una estrategia para resolver es calcular cuánto cambió el valor de los términos considerando el número de lugares entre un término y otro: en la primera sucesión, la diferencia entre 7 y 19 es 12 unidades, y hay 2 lugares entre ambos términos: 12 ÷ 2 = 6; la diferencia entre dos términos consecutivos es 6. La sucesión es 1, 7, 13, 19, 25, 31, … En la segunda sucesión, entre 1 y –14 se disminuye 15 unidades, y hay 3 lugares entre esos dos términos: –15 ÷ 3 = –5; la diferencia entre dos términos consecutivos es –5. La sucesión es 11, 6, 1, –4, –9, –14, –19, …

(b) Sumar 4 al término anterior y el primer término es –12 (c) Sumar 7 al término anterior y el primer término es –3 (d) Sumar (–4) al término anterior y el primer término es –16 (e) Sumar (–7) al término anterior y el primer término es 3 (f) Sumar 7 al término anterior y el primer término es 3 (g) Sumar 4 al término anterior y el primer término es −8 (h) Sumar (−4) al término anterior y el primer término es −12

Respuestas:

5. Para conocer más sucesiones de números con signo pueden ver el programa Sucesiones de números con signo.

a) Regla verbal: sumar 6 al término anterior y el primer término es 1. Regla algebraica: 6 n – 5.

Para saber más Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Ruiz, Concepción y Sergio de Régules. El piropo matemático, de los números a las estrellas. México: SEP/Editorial Lectorum, Libros del Rincón, 2003. Sobre las sucesiones de números con signo consulta: http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Bach_HCS_2/Sucesiones_numeros_reales_limites/Progresiones_ aritmeticas.htm [Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007]. Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España. Explora las actividades del interactivo Sucesiones geométricas con Logo. 23

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b) Regla verbal: sumar –5 al término anterior y el primer término es 11. Regla algebraica: –5 n + 16.

Propósito del programa integrador 13. Ejemplificar cómo se construye una sucesión de números con signo a partir de una regla dada y mostrar cómo se obtiene la regla que genera una sucesión de este tipo. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.

Propósito del interactivo. Explorar y construir sucesiones geométricas.

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secuencia 19

Ecuaciones de primer grado

Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de la forma ax + b = c, invirtiendo las operaciones y el orden en que aparecen. Sugerencia didáctica. Con la finalidad de que las reglas queden claras, inicie usted el juego “adivinando” los números que piensen dos o tres de sus alumnos. Primero puede pedir a los alumnos que piensen números naturales de 1 o 2 cifras, posteriormente puede indicarles que utilicen números decimales y negativos.

En esta secuencia resolverás problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones con una incógnita. sesión 1

Piensa un número

Para empezar

• El jugador A piensa un número y sin mostrarlo al jugador B, lo escribe en el cuadro entrada. Después realiza las operaciones indicadas y le dice a B el número que obtuvo en el cuadro salida.

Propósito de la sesión en el aula de medios. Resolver ecuaciones de primer grado de la forma ax + b = c .

Multiplícalo por 10

Súmale 12

Entrada

Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 1.

Salida Diagrama 1

• El jugador B tiene que encontrar el número que el jugador A escribió en la entrada y decírselo.

Propósito de la actividad. Se espera que los alumnos puedan identificar que, para obtener el número de entrada, es necesario invertir las operaciones: al número que se obtiene en la salida, se le resta 12 y luego se divide entre 10.

• Cuando el jugador B acierte, cambian los papeles y juegan otro turno.

Consideremos lo siguiente Los números de la siguiente tabla resultaron de aplicar las operaciones del diagrama anterior. Escriban los números de entrada correspondientes.

Posibles dificultades. En caso de que algunos alumnos hayan optado por un procedimiento erróneo, ese procedimiento encontrará sus limitaciones en el caso de Raúl, pues el número de entrada es negativo. Respuestas.

Nombre

Entrada

Brenda

542

Salida

Saúl

702

Jesús

824.5

Raúl

Comparen sus respuestas y expliquen cómo las obtuvieron.

Jesús: 81.25 Raúl: –0.8

Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico.

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Sesión

Propósitos de la sesión

Piensa un número Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de la forma ax + b = c, invirtiendo las operaciones y el orden en que aparecen.

El modelo de la balanza Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d, utilizando las propiedades de la igualdad.

Más allá del modelo de la balanza Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d y con paréntesis, con coeficientes enteros y fraccionarios, positivos y negativos.

Miscelánea de problemas Aplicar lo aprendido en las tres primeras sesiones mediante la solución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado.

Tema Significado y uso de las literales.

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Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones con una incógnita.

Antecedentes

En Matemáticas I, los alumnos aprendieron a resolver ecuaciones de la forma a + x = b, ax = b y ax + b = c, con coeficientes enteros positivos. En esta secuencia aprenderán a plantear y resolver ecuaciones de la forma ax + b = cx + d y con paréntesis, con coeficientes enteros o fraccionarios, enteros y negativos.

Recursos Aula de medios Ecuaciones (2) (Hoja de cálculo) Video La balanza Interactivo Resolución de ecuaciones Aula de medios Números perdidos (Calculadora)

Programa integrador 14

Libro p a ra e l m a e s t r o

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MATEMÁTICAS

Manos a la obra

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen la regla que permite encontrar el número de Entrada.

I. Consideren que el número de Salida es 72. Escriban los números que deben ir en el círculo azul y en el cuadro rojo.

Multiplícalo por 10

Súmale 12

Entrada

Salida

Respuestas.

Diagrama 2

a) Restar: 72 – 12 = 60

a) ¿Qué operación hicieron con el número 72 para encontrar el número que va en el

b) Dividir: 60 ÷ 10 = 6

círculo azul? b) ¿Qué operación hicieron con el número del círculo azul para encontrar el número del cuadro de Entrada? c) Completen el siguiente diagrama escribiendo las operaciones que hicieron para encontrar los números faltantes.

824.5

Entrada

Divídelo entre 10

Réstale 12

Salida

Diagrama 3

Sugerencia didáctica. Aclare a los alumnos que las líneas punteadas indican el procedimiento “de regreso” para encontrar el número inicial.

II. Completen el siguiente diagrama. Multiplícalo por 10

Súmale 12

Entrada

Salida

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9/10/07 1:08:02 PM

secuencia 19 iii. Consideren la siguiente adivinanza:

Respuestas.

Pensé un número. Lo llamé p, le resté 5, el resultado lo dividí entre 4 y obtuve 2.75.

a) Diagrama 2 p–5 = 2.75 b)

a) ¿Cuál de los siguientes diagramas sirve para encontrar el valor de p?

Divídelo entre 4

c) 16 Diagrama 1

2.75

Multiplícalo por 4

2.75

Súmale 5

Sugerencia didáctica. Organice la comparación de resultados empezando por pedir el valor de p y revise con todo el grupo que, con las operaciones indicadas, se obtenga 2.75. Para verificar que la ecuación que señalaron es la correcta, puede pedir a tres alumnos que pasen al pizarrón a sustituir la p por el valor encontrado.

Multiplícalo por 4

Diagrama 3

Súmale 5

Divídelo entre 4

Réstale 5

Diagrama 2

Réstale 5

Súmale 5

2.75

Divídelo entre 4

Réstale 5

El valor de p es 16, p

b) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la adivinanza? Subráyenla.

En la primera ecuación + 5 = 2.75, se 4 16 obtiene + 5 = 4 + 5 = 9. No es igual a 2.75 4

En la segunda ecuación 16 – 5 11 = = 2.75 4

p–5 4

Recuerden que: ldad donde hay Una ecuación es una igua ado incógnita. un valor desconocido llam encontrar el ifica Resolver la ecuación sign valor de la incógnita.

= 2.75, se obtiene

En la tercera ecuación (p – 5) × 4 = 2.75, se obtiene (16 – 5) × 4 = 11 × 4 = 44. No es igual a 2.75 Aproveche este momento para precisar que es necesario invertir las operaciones que se indican en el diagrama 2; esto puede verse de manera más clara en el apartado A lo que llegamos.

•

p 4

+ 5 = 2.75

p–5 4

= 2.75

• (p − 5) 4 = 2.75

c) ¿Cuál es el valor de p ? Comparen sus respuestas y verifiquen sus soluciones usando el diagrama que escogieron.

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•

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MATEMÁTICAS

Respuestas. Se resta 22 y después se divide entre 6. El valor de x es –3.

IV. Completen el siguiente diagrama para resolver la ecuación 6x + 22 = 4. Sumar 22

Multiplícalo por 6

¿Cuál es el valor de x? x =

Sugerencia didáctica. Durante la confrontación, usted puede escribir los dos pasos para resolver la ecuación

6 x + 22 = 4 Comparen sus respuestas y verifiquen sus soluciones usando el diagrama que escogieron. Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente. Para cada renglón de la tabla escriban la ecuación correspondiente considerando que x es el número de entrada. Resuelvan la ecuación y verifiquen si es el resultado que habían obtenido.

A lo que llegamos La ecuación 10y + 12 = 4 se puede resolver haciendo un diagrama e invirtiendo las operaciones de la siguiente manera. Con lenguaje algebraico, se escribe:

+ 12 10y

10y

10y = –8

y = –0.8

6 x = –18 –18 6

x= –3

Primer paso

Segundo paso

Verificación. En la ecuación 10 y + 12 = 4, se sustituye la y por −0.8. 10 (-0.8) + 12 = (−8) + 12 = 4.

10y + 12 = 4 – 12 + 12

× 10

y = (–8) ÷ 10

10y + 12 = 4

+ 12

× 10 10y = 4 – 12

6 x = 4–22

Sugerencia didáctica. Solicite a los alumnos que realicen la verificación en sus cuadernos. Para verificar pueden utilizar el diagrama o pueden sustituir por el valor de y.

Haciendo un diagrama, se escribe: × 10

10y + 12 = 4

10y ÷ 10

10y + 12 = 4 – 12

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Respuestas. a)

p 4

secuencia 19

– 5 = 34.5

Lo que aprendimos 1. Planteen y resuelvan la ecuación que corresponde al siguiente diagrama:

b) 158

Divídelo entre 4

Sugerencia didáctica. En caso de que los alumnos tengan dificultades para plantear la ecuación, usted puede, con la participación de todo el grupo, hacer el planteamiento: p 4

b) ¿Cuál es el valor de p ? p =

p = 4 x 39.5 = 158

= 34.5 +5 = 39.5 sesión 2

eL MODeLO De LA BALAnZA

Para empezar La balanza

Respuesta.

34.5

2. Resuelvan la ecuación 7x + 18 = 31. Verifiquen las soluciones.

– 5 = 34.5

a) Ecuación:

Réstale 5

El modelo de la balanza nos permite representar y resolver ecuaciones. Para ello es necesario que las acciones que se realicen en ambos lados de la balanza mantengan siempre el equilibrio.

13 7

Verificación:

Consideremos lo siguiente

( )

7 13 + 18 = 7

La siguiente balanza está en equilibrio. En ella se colocaron anillos y pesas de un gramo 1 . El peso de los anillos no se conoce, pero todos los anillos pesan lo mismo.

13 + 18 = 31

Sugerencia didáctica. La verificación se puede hacer usando el diagrama. Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d , utilizando las propiedades de la igualdad. =

Descripción del video. Se muestra cómo en una balanza pueden representarse ecuaciones de primer grado y resolverlas manteniendo siempre el equilibro. Conviene que se observe el video antes de comenzar la actividad para que los alumnos vean cómo funciona una balanza para mantener el equilibrio y después trasladar el ejemplo aplicando las propiedades de la igualdad. Propósito de la sesión en el aula de medios. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d , utilizando las propiedades de la igualdad. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 2.

Propósito del interactivo. Que los alumnos se familiaricen con el modelo de la balanza para resolver ecuaciones.

Figura 1

¿Cuánto pesa cada anillo? Comparen sus respuestas y comenten cómo encontraron el valor de cada anillo.

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Sugerencia didáctica. Invite a los alumnos a comentar cómo es y para qué sirve una balanza, de ser posible lleve una balanza. Comente también con los alumnos qué quiere decir que la balanza se mantenga en equilibrio

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Posibles procedimientos. Los alumnos pueden resolver el problema si identifican que la diferencia entre el lado izquierdo y el derecho de la balanza es de 4 anillos, y si consideran las 2 pesas de un gramo de la balanza izquierda: El peso de los 4 anillos equivale a las 22 pesas de un gramo del lado derecho, menos las 2 pesas de un gramo del lado izquierdo. Esto es cada anillo pesa 5 gramos. Un posible error es que dividan los 22 gramos entre los 4 anillos sin considerar las 2 pesas que ya están del lado izquierdo.

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MATEMÁTICAS

Manos a la obra I. ¿Cuáles de las siguientes acciones mantendrían la balanza en equilibrio? Subráyenlas. • Pasar un anillo del lado izquierdo al lado derecho. • Quitar 1 anillo de ambos lados. • Cambiar un anillo por una pesa de 1 gramo en el lado derecho.

Respuesta. La segunda, cuarta y quinta acciones son correctas.

• Quitar el mismo número de pesas de 1 gramo en ambos lados. • Quitar 1 pesa de 1 gramo en ambos lados.

Sugerencia didáctica. Propicie que los alumnos concluyan que, para mantener el equilibrio de la balanza, se tiene que hacer la misma acción en ambos lados.

Comparen sus respuestas y comenten porqué creen que mantienen el equilibrio de la balanza. II. A continuación se presenta una nueva situación con la balanza, completa lo que se te pide para hallar el peso de estos otros anillos.

También puede ilustrar cómo se pierde el equilibrio haciendo acciones diferentes en ambos lados.

Respuestas. a) 2 a) ¿Cuántas pesas de 1 gramo se pueden qui-

b) Ahora, ¿cuántos anillos del mismo peso pue-

tar de cada lado sin que la balanza pierda el

den quitarse de cada lado sin que se altere el

equilibrio?

equilibrio de la balanza?

b) 1 c) 2 d) 28 e) 14 gramos

Después de quitar las pesas de 1 gramo y los anillos del mismo peso,

d) ¿Cuántas pesas de 1 gramo quedan del lado derecho?

c) ¿cuántos anillos quedan del lado izquierdo de

e) Si dos anillos pesan 28 gramos, ¿cuántos gra-

la balanza?

mos pesa cada anillo? 29

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Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos por qué en este caso conviene quitar en ambos lados 3 pesas de un gramo y por qué conviene quitar 2 cubos en ambos lados. Esto se hace para que de un lado de la balanza sólo queden cubos y del otro lado sólo queden pesas.

secuencia 19 Comparen sus respuestas. Verifíquenlas sustituyendo el peso de los anillos en la balanza. Después lean con ayuda de su profesor la siguiente información.

A lo que llegamos Para encontrar un peso desconocido en el modelo de la balanza se realizan las mismas acciones en ambos lados de la balanza de manera que siempre se mantenga el equilibrio.

Después de que revisen la información en este apartado puede indicarles que, para verificar la solución, es necesario sustituir la x por el valor encontrado.

En la siguiente balanza se tiene representada la ecuación: 6x + 3 = 2x + 15

Verificación: El valor de x es 3, al hacer la sustitución se obtiene, del lado izquierdo, 6(3) + 3 = 21, y del lado derecho, 2(3) + 15 = 21. Como en ambos lados se obtiene el mismo resultado, esto quiere decir que el valor de x encontrado es la solución de la ecuación.

Donde x representa el peso de un cubo. Para encontrar x se pueden quitar de ambos lados 3 pesas de 1 gramo. 6x + 3 – 3 = 2x + 15 – 3

Solicite a los alumnos que realicen en sus cuadernos la verificación de la solución de la segunda ecuación.

6x = 2x + 12

Después, se pueden quitar de ambos lados 2 cubos.

Propósito del interactivo. Mostrar dinámicamente que, para mantener el equilibrio en la balanza se necesitan realizar las mismas acciones en ambos lados.

6x – 2x = 2x + 12 – 2x 4x = 12

Al final, el peso de se puede encontrar dividiendo las 12 pesas de 1 gramo entre 4.

x = 12 =3 4 Cada cubo pesa 3 gramos.

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MATEMÁTICAS

Respuestas. Los pasos para resolver la ecuación son los siguientes:

Resolvamos otro ejemplo, la ecuación 4x + 75 = 13x + 3. Primero se puede restar 3 de ambos lados:

Se resta 1.5

4x + 75 – 3 = 13x + 3 – 3 4x + 72 = 13x

3.2 x + 9 – 1.5 = 5.7x + 1.5 – 1.5

Después, se puede restar 4x de ambos lados:

Queda 3.2 x + 7.5 = 5.7x

4x + 72 – 4x = 13x – 4x

Se resta 3.2 x

72 = 9x

3.2 x + 7.5 – 3.2 x = 5.7x – 3.2 x

Finalmente el valor de la incógnita se encuentra dividiendo 72 entre 9.

Queda 7.5 = 2.5x

x = 72 =8 9

Se divide ambos lados entre 2.5

III. El método de la balanza también se puede usar con números decimales y fraccionarios, por ejemplo, la ecuación:

x=3

3.2x + 9 = 5.7x + 1.5

En el modelo de la balanza, en el primer paso no se puede restar 9 y en el segundo paso no se puede restar 5.7x, porque de un lado quedaría una cantidad negativa, y esto no tiene sentido en una balanza. Al resolver ecuaciones si puede hacerse, pero es más conveniente realizarlo del modo mostrado, porque de esta manera se evita trabajar con signos negativos.

a) ¿Qué número pueden restar en ambos lados de la ecuación para eliminar uno de los términos numéricos?

Escriban cómo queda la ecuación:

b) ¿Cuál expresión con la letra x pueden restar en ambos lados de la ecuación anterior para que sólo quede un término numérico y un término con la incógnita x ? Escriban cómo queda la ecuación: c) ¿Cuál es el valor de x? Comparen sus respuestas con las de otros compañeros, observen cómo pueden restar términos en diferente orden pero, si lo hacen correctamente, todos llegan al mismo resultado.

Sugerencia didáctica. En la confrontación grupal pida a los alumnos que hagan la verificación. Ésta se hace al resolver las operaciones separando los lados de la igualdad como se muestra:

Lo que aprendimos Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando el método de la balanza: a) 4x + 3 = 2x + 5

Lado izquierdo:

b) 3x + 1 = x + 5

3.2(3) + 9 = 9.6 + 9 = 18.6

c) x + 10 = 5x + 2 d)

3 2

x+1=x+2

Lado derecho: 31

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Propósito del interactivo. Expresar algebraicamente las transformaciones que se hacen en la balanza.

5.7(3) + 1.5 = 17.1 + 1.5 = 18.6

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Respuestas. a) x = 1 b) x = 2 c) x = 2

Integrar al portafolios. Diga a los alumnos que le den una copia de sus respuestas a estos cuatro incisos. Si lo considera necesario, propóngales otras ecuaciones para practicar la resolución por el modelo de la balanza.

d) x = 2 Sugerencia didáctica. Se sugiere darle una atención especial a la ecuación del inciso d) 3 2

x+1=x+2

3 2

x + 1 –1 = x + 2 – 1 3 2

3 2

x=x+1

x–x=x+1–x 1 2

x=1 x = 2, porque la mitad de 2 es 1.

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Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d y con paréntesis, con coeficientes enteros y fraccionarios, positivos y negativos.

secuencia 19 sesión 3

MÁs ALLÁ DeL MODeLO De LA BALAnZA

Para empezar

En la sesión anterior resolviste algunas ecuaciones mediante el modelo de la balanza. En esta sesión resolverás ecuaciones con coeficientes negativos, con paréntesis y con denominadores.

Propósito de la actividad. Que a partir de dos ecuaciones que se plantean a través de dos diagramas, los alumnos exploren la posibilidad de plantearlas en una sola ecuación.

Consideremos lo siguiente Durante un juego de adivinaza de números, Luis y Ana pensaron un mismo número, hicieron diferentes operaciones y al final obtuvieron el mismo resultado. • Luis pensó un número, lo multiplicó por 3 y al resultado obtenido le sumó 5. • Ana pensó el mismo número que Luis, lo multiplicó por 2, al producto obtenido le restó 3 y obtuvo el mismo resultado final que Luis.

Sugerencia didáctica. Es posible que sean pocos los alumnos que logren plantear la ecuación que se les solicita; lo importante en este momento es que puedan comprender la situación y que exploren alguna forma de plantearla; en las actividades del siguiente apartado podrán verificar y, si es necesario, corregir sus respuestas.

Hicieron un diagrama y les quedó de la siguiente manera.

Entrada

Respuestas.

×3

×2

–3

Salida

a) 3 x + 5 = 2 x – 3 b) –8 a) ¿Qué ecuación puede plantearse para encontrar el valor de x? b) ¿Cuál fue el número que pensaron Luis y Ana? Comparen sus respuestas y comenten sus procedimientos.

Manos a la obra i. Relaciona los diagramas siguientes de la columna derecha con su correspondiente ecuación en la columna izquierda.

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MATEMÁTICAS (

) (3x ) (2) = 5x – 3

(

) 3x + 2x = 5 – 3

(

) 3x + 2 = 5 x – 3

(

) 3x + 5 = 2x – 3

Respuestas. ( B ) (3x ) × (2) = 5x – 3

×3

(

) 3x + 2x = 5 – 3

( C ) 3x + 2 = 5x – 3 Entrada

×2

–3

( A ) 3x + 5 = 2x – 3

Salida

Diagrama A

Entrada

×3

×2

×5

–3

Salida

Diagrama B

Entrada

×3

×5

–3

Salida

Diagrama C

Propósito de la actividad. Que los alumnos logren identificar el tipo de ecuaciones que pueden resolver utilizando el modelo de la balanza.

II. El método de la balanza se puede utilizar para resolver la ecuación: 3x + 5 = 2 x – 3

Para eso hay que realizar siempre las mismas operaciones en ambos lados de la ecuación de manera que se conserve la igualdad. Contesta lo que se te pide.

a) Resta 5 en ambos lados de la ecuación 3x + 5 –

= 2x – 3 –

b) Reduce los términos semejantes:

Respuestas. a) 3x + 5 – 5 = 2x – 3 – 5 b) 3x = 2x – 8 33

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9/10/07 1:08:29 PM

Respuestas.

secuencia 19

c) El término que conviene restar en ambos lados es 2 x.

c) ¿Qué te conviene hacer para que del lado izquierdo del igual quede sólo x? Si lo haces, ¿cómo queda la ecuación?

d) –8

d) ¿Cuál es el número que pensaron Luis y Ana? Comparen sus soluciones. Verifíquenlas sustituyendo el valor de x en el diagrama de Ana y Luis.

Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información junto con sus alumnos; posteriormente presente otro ejemplo.

A lo que llegamos Para solucionar cualquier ecuación usando el modelo de la balanza hay que conservar la igualdad realizando las mismas operaciones en ambos lados de la ecuación. 3x + 5 = 6 + (–2x )

Por ejemplo, al resolver la ecuación: • Para eliminar el término +5 se resta 5 en ambos lados de la igualdad.

3x + 5 – 5 = 6 + (–2x ) – 5 3x = 1 + (–2x )

• Se reducen los términos semejantes • Para eliminar el término –2x se suma 2x en ambos lados de la igualdad.

3x + 2x = 1 + (–2x)+ 2x

• Se reducen los términos semejantes

5x = 1

• Finalmente, se divide 1 entre 5 para encontrar el valor de x.

Propósito de la actividad. Que los alumnos sepan cómo trabajar con el modelo de la balanza cuando se les presentan ecuaciones con paréntesis.

1 5

iii. No siempre se puede usar de manera inmediata el modelo de la balanza para resolver ecuaciones. En ocasiones hay que hacer operaciones antes de comenzar a eliminar términos. Por ejemplo, para resolver la ecuación 5 (2x – 3) = 6x +14

Respuesta.

a) Primero se puede hacer la multiplicación que indica el paréntesis. Completa:

a) 10 x – 15 = 6 x + 14

5 (2x – 3) = 6x +14

–

= 6x + 14

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9/10/07 1:08:33 PM

MATEMÁTICAS

b) Encuentra el valor de x y verifícalo.

Respuesta. b) x = 7.25

x= Recuerda que: es equivalentes, entonc Si 2 fracciones son os son iguales. zad cru tos duc pro sus A=C B D entonces

IV. Para resolver la ecuación:

y–4 5

y+1 3

Posibles procedimientos. Esta ecuación se puede resolver de varias formas: • Para evitar signos negativos en el coeficiente del término de primer grado.

AD = BC

a) Se pueden aplicar los productos cruzados para “eliminar” los denominadores.

y–4 5

y+1 3

3y –12 = 5y + 5

3y – 12 – 5 = 5y + 5 –5

= 3 (y – 4) = 5 (y + 1)

b) Realiza las multiplicaciones indicadas y encuentra el valor de y . Verifícalo.

3y – 17 = 5y 3y –17–3y = 5y –3y –17 = 2y

y = – 17 = –8.5 2 • Para que el término de primer grado quede en el lado izquierdo

Comparen sus soluciones.

Lo que aprendimos

1. Juan pensó un número y lo introdujo en la entrada del siguiente diagrama compuesto. Por ambas rutas obtuvo el mismo resultado.

3y – 12 +12 = 5y + 5 + 12

–1

×7

Entrada

3y –12 = 5y + 5

3y = 5y + 17 3y – –5y = 5y + 17 –5y – 2y = + 17

y = – 17 = –8.5 2

Salida +6

×3

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9/10/07 12:29:24 PM

Sugerencia didáctica. Lea y comente junto con los alumnos la información del Recuerda que; esta información es importante porque permite justificar el procedimiento para eliminar los denominadores en dos fracciones equivalentes.

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Respuestas.

secuencia 19

a) (p – 1) (7) = (p + 6) (3)

a) ¿Cuál es la ecuación que hay que resolver?

b) 6.25

b) ¿Qué número fue el que pensó Juan? 2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

Respuestas. a) 3(x + 4) = – 5x – 36

a) 3 x + 12 = –5x – 36

8 x = –48

x = –6

b) 5 r + 30 = –5 r + 20

10 r = –10

r = –1

r+6 –5

z–6 4

r–4 5

z+4 9

MISCELÁNEA DE PROBLEMAS

SESIÓN 4

Lo que aprendimos

c) 9 z – 54 = 4 z + 16

5 z = 70

Resuelve los problemas siguientes mediante el planteamiento y resolución de una ecuación.

z = 14

1. El hexágono rojo y el rectángulo azul tienen igual perímetro. Contesta lo que se te pide para encontrar el perímetro de cada figura.

Propósito de la sesión. Aplicar lo aprendido en las tres primeras sesiones mediante la solución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado.

aB = De Bc = cD = eF = Fa

x a

2x – 1

2x + 4.5

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9/10/07 12:29:25 PM

Sugerencia didáctica. Aclare a los alumnos que x representa la medida en centímetros del ancho del rectángulo. Integrar al portafolios. Considere el problema 1 para evaluar los aprendizajes de los alumnos.

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MATEMÁTICAS

Respuestas. a) 2(2 x – 1) + 4x = 4x – 2 + 4x = 8 x – 2

a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro del hexágono?

b) 2(x + 4.5) + 2 x = 2 x + 9 + 2 x = 4x + 9 b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro del rectángulo?

c) 8 x – 2 = 4x + 9 d)

c) ¿Cuál es la ecuación que hay que resolver para encontrar el valor de x?

11 4

= 2.75

e) 20 f) 20

d) Resuelve la ecuación anterior en tu cuaderno. ¿Cuál es el valor de x? e) ¿Cuál es el perímetro del rectángulo? f) ¿Cuál es el perímetro del hexágono?

Sugerencia didáctica. En los problemas 2, 3 y 4 se propone una ecuación para resolverlos, pero no es necesario que los alumnos utilicen la misma ecuación o la misma variable. Incluso podrían resolverlos con otros métodos, sin utilizar explícitamente las ecuaciones. Lo importante en estos problemas es que los alumnos intenten encontrar la solución y que sean capaces de argumentar sus respuestas, aún cuando éstas sean incorrectas.

2. Para cultivar y mantener una hectárea de jitomate se invierte en planta, fertilizante, fumigante y agua de riego cinco veces lo que se invierte en mano de obra. El costo total por hectárea es $80 000.00. Ecuación:

5x + x = 280 000

¿Cuánto dinero cuesta la mano de obra para cultivar y atender 3.5 hectáreas de jitomate? 3. Un avión que vuela a una velocidad de 1 040 kilómetros por hora, va a alcanzar a otro que lleva una delantera de 5 horas y está volando a 640 kilómetros por hora. ¿Cuánto tardará el primer avión en alcanzar al segundo? Ecuación:

1 040 t = 640 t + 3 200

4. La edad actual de José es 38 de la de su hermano, y dentro de 4 años tendrá que entonces tenga su hermano. ¿Cuál es la edad actual del hermano? 3 1 Ecuación: 8 h + 4 = 2 ( h + 4)

1 2

de la

Respuesta. $ 46,666.66

5. Una cancha de volibol se encuentra dentro de una cancha de basquetbol. El largo de la cancha de volibol es el doble de su ancho.

Respuesta. 8 horas. x

Respuesta.

16 años. 37

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Respuestas. En este problema se espera que los alumnos encuentren dos expresiones para el área de la cancha de básquetbol.

secuencia 19 Las medidas de ambas canchas se relacionan como sigue: • El largo de la cancha de basquetbol es 10 metros mayor que el largo de la cancha de volibol.

a) 2 x b) 2 x 2

• El ancho de la cancha de basquetbol es 6 metros, mayor que el ancho de la cancha de volibol.

c) 2 x +10

• El área de la cancha de basquetbol es 258 m2 mayor que el área de la cancha de volibol.

d) x + 6

Contesta lo que se te pide para encontrar cuáles son las medidas de cada cancha. La letra x representa la medida del ancho de la cancha de volibol.

e) (2 x + 10) (x + 6) = 2 x + 22 x + 60 2

a) ¿Cómo se representa la medida del largo de la cancha de volibol?

Aquí los alumnos podrían escribir como respuesta:

b) ¿Cómo se representa el área de la cancha de volibol?

2 x 2 + 258, lo cual es correcto.

c) ¿Cómo se representa la medida del ancho de la cancha de basquetbol?

Si los alumnos dan esta respuesta se sugiere usted pregunte:

d ) ¿Cómo se representa la medida del largo de la cancha de basquetbol?

¿Qué obtienen al multiplicar el largo de la cancha de básquetbol por su ancho?

f) ¿Qué ecuación representa la relación “El área de la cancha de basquetbol es 258 m2 mayor que el área de la cancha de volibol”?. Complétala y resuélvela.

e) ¿Cómo se representa el área de la cancha de basquetbol?

Pista: el término 2× 2 se elimina en ambos lados de la igualdad.

(2 x + 10) (x + 6)

(2x + 10) (x + 6) = 258 +

Esto permitirá a los alumnos encontrar otra expresión equivalente al área:

g) Completa la tabla siguiente para verificar tu solución.

2 x 2 + 22 x + 60.

Cancha

Lo que lleva a establecer la ecuación: 2 x 2 + 22 x + 60 = 2 x 2 + 258

Largo

Ancho

Área

Volibol

18 m

9 m

162 m 2

Basquetbol

28 m

15 m

420 m 2

2 x 2 + 22 x + 60 – 2 x 2 = 2 x 2 + 258 – 2 x 2

22 x + 60 = 258

22 x = 198

x=9

6. Para conocer más sobre la solución de ecuaciones pueden ver el programa ecuaciones de primer grado en la vida cotidiana.

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Propósito del programa integrador 14. Mostrar diferentes métodos para resolver problemas que impliquen el planteamiento de ecuaciones de primer grado de la forma ax + bx + c = dx + ex + f. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.

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MATEMÁTICAS

Para saber más Sobre la resolución de problemas mediante el planteamiento y solución de ecuaciones consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Ruiz, Concepción y Sergio de Régules. “Algebra egipcia y babilónica”, “El epitafio de Diofanto”, “La dama misteriosa”, en Crónicas algebraicas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. Bosch Carlos y Claudia Gómez. “La balanza y las ecuaciones”, ”Resolución de ecuaciones lineales” en Una ventana a las incógnitas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. Hernández, Carlos. “Ecuaciones de primer grado” en Matemáticas y deportes. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. Tahan, Malba. El hombre que calculaba. México: SEP/Editorial Limusa, Libros del Rincón, 2005, pp. 97,125-128, 180,183. Sobre resolución de ecuaciones de primer grado consulta: http://descartes.cnice.mecd.es Álgebra Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Resolver Ruta: Aplicaciones Resolución de ecuaciones sencillas; o Resolución de ecuaciones de 1r y 2º grado ecuaciones de primer grado. [Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007]. Proyecto Descartes, Ministerio de Educación y Ciencia, España.

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secuencia 20

Relación funcional En el mundo y en el Universo nos podemos encontrar con un sinfín de fenómenos donde una cantidad depende de otra: el costo de unos tomates y su peso; lo que tarda una piedra en caer y su altura; la fuerza de atracción entre planetas y su distancia; etcétera. A estas relaciones, se les conoce como relaciones funcionales. Y para entenderlas, el ser humano ha inventado las expresiones algebraicas y las gráficas.

Propósito de la sesión. Considerar las gráficas como un objeto que permite hacer lecturas cualitativas de datos.

SESIón 1

LA COLA DE LAS TORTILLAS

Para empezar

En tu libro de Matemáticas i, volumen ii hiciste las gráficas de situaciones de proporcionalidad directa e inversa. Aprendiste que el plano cartesiano tiene dos ejes: el eje de las abscisas y de las ordenadas, y que cada punto del plano tiene dos coordenadas.

Sugerencia didáctica. Trace la gráfica en el pizarrón para que la comenten en grupo. Resalte cosas como las siguientes: las dos personas más altas son la anciana y uno de los jóvenes; el anciano y el otro joven tienen la misma estatura; el niño es quien tiene la menor estatura de todos, etcétera.

En esta sesión estudiarás algunas gráficas donde los ejes no están graduados; no te preocupes, no es necesario graduar ni medir las longitudes. Sólo observa con cuidado cómo están acomodados los datos.

Consideremos lo siguiente Un lunes por la tarde, en la tortillería El Rosario, se hizo una larga cola para comprar las tortillas. Había personas de diferentes estaturas y edades como se puede ver en la imagen de abajo.

Propósito del interactivo. Recordar cómo se pueden representar datos en el plano cartesiano.

Jorge

Lola

Jesús

Alma

Luis

Valentina

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Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico. Manejo de la información.

Tema Significado y uso de las literales. Representación de la información.

Antecedentes En primer grado los alumnos resolvieron problemas que implicaron ecuaciones de primer grado de la forma ax + b = c; analizaron la relación entre cantidades que varían proporcionalmente y la representaron mediante una tabla, una gráfica y la expresión y = kx. En esta secuencia se pretende que los alumnos retomen esas relaciones entre cantidades reconociéndolas en situaciones particulares.

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Propósitos de la secuencia Reconocer en situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar esta relación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b. Construir, interpretar y utilizar gráficas de relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos.

Sesión

Propósitos de la sesión

Recursos

La cola de las tortillas Considerar a las gráficas como un objeto que permite hacer lecturas cualitativas de datos.

Interactivo Descripción de fenómenos con rectas

¡Cómo hablan por teléfono! Recordar que al representar cantidades directamente proporcionales se obtiene una recta y redescubrir este hecho como una propiedad útil para interpretar gráficas.

Aula de medios Variación lineal (2) (Hoja de cálculo)

El taxi Construir la gráfica asociada a un fenómeno donde dos cantidades están relacionadas con una expresión de la forma y = mx + b y reconocer estas gráficas como líneas rectas.

Interactivo Descripción de fenómenos con rectas Aula de medios Gráficas de funciones (Logo)

El resorte Reconocer fenómenos lineales a partir de datos en una tabla y describirlos mediante una relación del tipo y = mx + b.

El plan perfecto Usar expresiones lineales y gráficas para dar respuesta a problemas que involucran la comparación de varias relaciones.

Interactivo Descripción de fenómenos con rectas Aula de medios ¿Grados Fahrenheit o centígrados? (Calculadora) Video Los celulares Interactivo Descripción de fenómenos con rectas Programa integrador 15

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MATEMÁTICAS

Posibles dificultades. Algunos alumnos encontrarán confusa la gráfica, pues los ejes no están graduados. Es posible que piensen que para poderla interpretar necesitan saber la edad de las personas, la estatura, o las coordenadas de los puntos A, B, ..., F. Explíqueles que no es necesario conocer el valor exacto de cada punto de la gráfica, basta con observar dónde está cada punto con respecto a los otros. Déles tiempo para que lo resuelvan y no se preocupe si no lo logran, más adelante habrá algunas preguntas que los ayudarán.

En el siguiente plano cartesiano se han representado con un punto la estatura y edad de cada persona.

Edad

B C

Respuestas. Estatura

A - Jesús. B - Lola.

Anoten en cada punto de la gráfica el nombre de la persona, según corresponda.

C - Alma.

Comparen sus respuestas.

D - Valentina. E - Luis.

Manos a la obra

F - Jorge.

Edad

I. Ana y Beto llegaron a formarse en la cola después. En el siguiente plano cartesiano se han dibujado los puntos que les corresponden.

Sugerencia didáctica. Si considera que existen dudas sobre cómo interpretar las gráficas haga énfasis en que mientras más arriba se encuentre un punto con respecto al eje Edad, la persona será más vieja; y que mientras más hacia la derecha se encuentre un punto con respecto al eje Estatura, la persona será más alta.

Ana Beto

Puede ser útil que, tomando como ejemplo a una familia en la que haya personas de distintas edades y estaturas, hagan una gráfica como éstas en el pizarrón.

Estatura

a) ¿Quién tiene mayor estatura, Ana o Beto?

Respuestas.

b) ¿Quién tiene mayor edad?

a) Beto tiene mayor estatura. 41

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b) Ana tiene mayor edad.

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Respuestas.

secuencia 20

a) Lola y Luis.

Comparen sus respuestas y comenten:

b) B y E.

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) y cuáles falsas (F)?

c) Lola. d) Luis. Sugerencia didáctica. Puede hacer más preguntas como: • ¿Quién es la persona con más edad y más estatura?, ¿en cuál punto debe estar su nombre?

Entre más alta sea una persona, más arriba está el punto que la representa.

Si dos puntos están en la misma línea vertical, las personas representadas por estos puntos tienen la misma edad.

Entre más edad tenga una persona, más arriba está el punto que la representa. Si dos puntos están en la misma línea horizontal, las personas representadas por estos puntos tienen la misma edad.

ii. De las personas que estaban formadas en la cola, antes de que llegaran Ana y Beto: a) ¿Quienes son las más altas? b) ¿En cuáles puntos deben de estar sus nombres?

• ¿Quién es la persona con menos edad y menos estatura?, ¿en cuál punto debe estar su nombre?

c) ¿Qué nombre debe estar en el punto B? d) ¿Qué nombre debe ir en el punto E?

A lo que llegamos Las coordenadas de puntos en el plano cartesiano permiten comparar los datos que se presentan en él. Por ejemplo, en la gráfica de la derecha se puede ver que: • Patricia y Mauro tienen la misma edad, pues están sobre la misma línea horizontal y son los de mayor edad, pues están hasta arriba.

Edad

• ¿En la gráfica es cierto que a mayor edad mayor estatura?, ¿y viceversa?

F V V

Patricia

Mauro

José

• José y Guillermo tienen la misma estatura, pues están en la misma línea vertical.

Sugerencia didáctica. Pida a dos alumnos que escriban en una cartulina esta información y péguenla en el salón. Si lo considera necesario, añadan cuál es el eje de las abscisas (el de las x) y cuál el de las ordenadas (el de las y).

• El más alto es Mauro, pues es el que está más a la derecha.

Brenda

Guillermo

Las siguientes reglas permiten comparar las coordenadas de puntos en el plano: • Entre más a la derecha esté un punto, más grande será el valor de su abscisa.

Estatura

• Entre más arriba esté un punto, más grande será el valor de su ordenada.

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MATEMÁTICAS

Respuestas. En el orden de escritura (de izquierda a derecha y de arriba a abajo) las figuras son:

Lo que aprendimos 1. Observen las figuras geométricas de la izquierda y escriban el nombre de la figura que corresponde en cada punto del plano de la derecha.

Rectángulo (es tan alto como el triángulo, pero tiene menor base).

Altura

Triángulo (tiene mayor base, por eso el punto está más a la derecha que el del rectángulo).

Trapecio

Cuadrado

Rectángulo

Cuadrado (tiene la misma altura que el trapecio pero menor base y ésta es igual a la del triángulo).

Triángulo Base

Trapecio (es el de mayor base, por ello el punto es el que está más a la derecha, y tiene la misma altura que el cuadrado).

Altura

2. Dibujen en sus cuadernos cuatro rectángulos distintos con perímetro 20 cm. Anoten la base y la altura de cada uno en la tabla. Para cada rectángulo localicen en el plano el punto correspondiente.

11 Rectángulo

Medida de la base (cm)

Medida de altura (cm)

8 7

Posibles respuestas. Los alumnos deben hallar cuatro rectángulos distintos con perímetros igual a 20 cm, por lo que en la tabla la medida de la base más la de la altura será igual a 10 cm. Por ejemplo:

7.5

2.5

6 5

Base

Altura

4 3

Al graficar las medidas se encontrarán con que todos los puntos están sobre la línea roja. Analice con los alumnos esta situación preguntándoles por qué creen que sucede así.

2 1

11 Base 43

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Recuerde que. Un rectángulo es un paralelogramo con todos sus ángulos rectos, por lo que un cuadrado es también un rectángulo.

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Propósito del interactivo. Presentar diferentes problemas para que los alumnos interpreten cualitativamente los datos presentados en gráficas y encuentren la gráfica correspondiente a una descripción cualitativa dada.

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Propósito de la sesión. Recordar que las cantidades en proporción directa están sobre una recta y redescubrir este hecho como una propiedad útil para interpretar gráficas.

secuencia 20 ¡CóMO HABLAn POR TELÉFOnO!

SESIón 2

Para empezar

En México y en el mundo, las compañías telefónicas tienen diferentes tarifas. Por ejemplo, una compañía mexicana decidió no cobrar renta mensual y sólo cobrar por las llamadas realizadas. La forma de cobrar cambia de acuerdo con los siguientes tipos de llamadas:

Propósito de la sesión en el aula de medios. Analizar de forma gráfica las características de relaciones lineales de la forma y = ax + b mediante ejemplos. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 2.

1. Llamadas locales. Son las llamadas hechas entre números telefónicos dentro de la misma ciudad. Se cobran por llamada, no importa cuántos minutos dure. 2. Llamadas de larga distancia. Son las llamadas hechas entre números ubicados en diferentes lugares de México o en el Mundo. Se cobran por minuto y el costo por minuto depende de la ciudad o el país al que se hable. Un sólo minuto es más caro que el costo de toda una llamada local.

Consideremos lo siguiente En la casa de Jesús contrataron el servicio telefónico con la compañía arriba mencionada. Jesús vive con sus padres y sus tres hermanos: José, Iván y Luis. Durante el mes de diciembre, cada miembro de la familia hizo una sola llamada telefónica y apuntó el costo y la duración. Por órdenes del papá cada uno redondeó la duración de la llamada al minuto entero siguiente, por ejemplo:

Sugerencia didáctica. Pida a un alumno que lea en voz alta esta información. Es importante que se asegure de que todos los alumnos la han comprendido antes de pasar al siguiente apartado, ya que si existen dudas no les será posible contestarlo. También puede ser útil anotar la información en el pizarrón para que la tengan siempre presente y puedan volver a ella cuando la necesiten.

Si la llamada duró 3 minutos y 18 segundos, apuntaron que la duración fue de 4 minutos, para los dos tipos de llamadas: locales o de larga distancia.

Costo (pesos)

Con los datos anotados se obtuvo la siguiente gráfica contesten las siguientes preguntas:

Sugerencia didáctica. Haga énfasis en esta información para que no existan confusiones debido a cómo se determina la duración de las llamadas. Puede plantearles otros casos, como:

a) Un miembro de la familia hizo una llamada Padre

José

local, ¿quién fue? b) Uno de los miembros de la familia hizo una llamada que tuvo el mismo costo que la llama-

Iván Madre

da de José, ¿quién la hizo? c) ¿Quién pagó el mayor costo por minuto?

• Una llamada que dura 2 minutos y 1 segundo ¿cómo se cobra?

Luis Jesús

d) Tres miembros de la familia hicieron llamadas que tenían el mismo precio por minuto, ¿quie-

• ¿Qué es más caro, hacer una llamada de larga distancia que dura 4 minutos y 59 segundos o una que dura 4 minutos y 1 segundo?, ¿cómo se anotarían en el registro de llamadas?

nes crees que fueron? Duración (minutos)

, y

Gráfica 1

Comparen sus respuestas.

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Posibles dificultades. Quizá para algunos alumnos estas preguntas sean capciosas o crean que se trata de descifrar algún truco para poder responderlas.

Si los alumnos no logran contestar correctamente las preguntas no les diga las respuestas ni les dé pistas, permítales continuar y luego regresen a esta parte para corregir los errores.

Siempre es importante que los alumnos entiendan qué es lo que les están preguntando aunque en un primer momento no sepan las respuestas ni se imaginen cómo obtenerlas. Si es el caso, pida a dos o tres estudiantes que expliquen sus dificultades al resto del grupo. Pregunte: ¿alguien tiene una duda parecida?, ¿alguien sabe cómo solucionar la duda del compañero?, ¿alguien tiene una duda distinta?

Respuestas.

Sugerencia didáctica. Para poder contestar estas preguntas es necesario tener presente la información sobre el tipo de llamadas y su costo. Si anotó la información en el pizarrón invite a los alumnos a que la consulten ahí, de lo contrario, pídales que vuelvan a leer el apartado Para empezar de esta sesión. 60

a) Las dos llamadas más baratas (la de Jesús y la de Luis) tuvieron distinta duración (la de Jesús fue más larga). Entonces puede inferirse que la llamada de Jesús fue la llamada local, porque a pesar de haber durado más tiempo que la de Luis, costó menos. Recuerde a los alumnos que la llamada local tiene un precio fijo sin importar la duración.

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d) Podrían ser Luis, Iván y José porque son los únicos tres donde se observa una relación mayor duración ™ mayor costo, pero esto no asegura que en verdad lo sean. Más adelante se verán algunos elementos que ayudarán a dar respuesta con certeza. La pregunta d) requiere reconocer el costo por minuto a partir de la gráfica. Muchos alumnos podrían confundir esto con el costo de la llamada, pero insista en que no es así, se trata del precio de la llamada entre el número de minutos que duró.

b) El padre. c) Las llamadas del padre y de José fueron las más caras, sin embargo, la de José duró más tiempo, así que quien pagó más por minuto fue el padre.

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MATEMÁTICAS

Propósito de la actividad. Se pretende que el alumno reconozca que las llamadas que cuestan lo mismo por minuto representan cantidades que están en proporción directa y que su gráfica debe ser una colección de puntos sobre una línea recta que pasa por el origen.

Manos a la obra I. Contesten las siguientes preguntas: a) En una ocasión, en casa de Jesús, alguien anotó que una llamada costó $15 y duró 5 minutos, ¿cuánto costó cada minuto de esta llamada?

b) Si otra llamada costó lo mismo por cada minuto que la anterior y duró 10 minutos, ¿cuánto se debió pagar por esta llamada?

Posibles dificultades. Las gráficas a) y d) presentan situaciones que los alumnos quizá no asocien a relaciones de proporcionalidad directa, sin embargo, es posible que duden entre las gráficas b) y c). La diferencia es que ésta última no pasa por el origen, mientras que la recta b) sí, lo que la hace la opción correcta, ya que es cierto que una llamada de cero minutos cuesta cero pesos. Si algunos alumnos tienen problemas para contestar esta pregunta, sugiérales que la comparen con la gráfica que acaban de hacer en la actividad I y hagan comentarios grupales sobre lo que implica en el contexto de las llamadas que la recta pase por el origen o no.

c) Y si la llamada hubiera durado 8 minutos, ¿cuánto se debería pagar?

Duración de la llamada (en minutos)

Costo (pesos)

d) Completen la siguiente tabla usando este costo por minuto y dibujen la gráfica correspondiente.

Costo de la llamada (en pesos)

30 28 26 24 22

18 16

4 5

4 2

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Duración (minutos)

II. En otra ocasión, en casa de Jesús, se hicieron tres llamadas de larga distancia donde el costo por minuto fue el mismo.

Duración (minutos)

Costo (pesos)

¿Cuál de las siguientes gráficas se obtuvo con esos datos?

Duración (minutos)

d) 45

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Sugerencia didáctica. Plantee la siguiente actividad a los alumnos: pídales que trabajen en parejas y asigne a cada pareja una de las cuatro gráficas. El ejercicio consiste en que uno de los miembros de la pareja tiene que utilizar todos los argumentos que pueda para convencer a su compañero de que es cierto que la gráfica que les tocó corresponde a tres llamadas de larga distancia en donde el costo por minuto fue el mismo. Cuando termine de exponer sus argumentos, el compañero debe hacer lo mismo pero tratando de convencerlo de que esa afirmación es falsa. Aclare que es un juego, que tienen que pensar que la gráfica que les tocó es la correcta (o bien, la incorrecta) aunque ellos no lo crean así. Dé aproximadamente 10 minutos para la actividad y comenten en grupo qué fue lo que pasó en cada pareja.

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Sugerencia didáctica. Dé a los alumnos un tiempo para esta actividad. Si lo considera útil, haga hincapié en que en las llamadas de larga distancia, el costo y duración son cantidades directamente proporcionales, por lo que todos los puntos estarán sobre una misma recta que pasa por el origen.

secuencia 20 Comparen sus respuestas y comenten: a) ¿Cómo decidieron cuál de las gráficas era la correcta? b) Regresen a la gráfica del apartado Consideremos lo siguiente y contesten: ¿Cuáles puntos están sobre una recta que pasa por el origen?

A lo que llegamos El costo de una llamada de larga distancia y su duración son cantidades directamente proporcionales. La constante de proporcionalidad es el costo por minuto.

Costo (pesos)

Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos si el costo de una llamada local y su duración son también cantidades directamente proporcionales. Si no están seguros, pídales que hagan una tabla con un caso y que la grafiquen.

La gráfica de costo y duración de varias llamadas que costaron lo mismo por minuto son puntos que están en una línea recta que pasa por el origen. Duración (minutos)

Respuesta. Todas las llamadas hechas a la ciudad a la que habló la madre estarán en la misma línea recta (que puede trazarse considerando el punto que representa a la llamada que hizo la madre y el origen). Si la llamada que hizo Guillermo duró lo mismo que la de Iván, esa será la ubicación del nuevo punto con respecto al eje "Duración".

Costo (pesos)

iii. En el mes de diciembre, faltó apuntar una llamada hecha por el vecino Guillermo, quién habló a la misma ciudad que la madre pero duró hablando lo mismo que Iván. Dibujen el punto faltante en la gráfica.

Padre

José

Iván

Posibles dificultades. Los alumnos podrían confundir el costo con el precio por kilogramo. Coménteles que el “Costo” (marcado en la gráfica) se refiere a la cantidad pagada por uno o más kilos de verdura, y el “Peso” se refiere a la cantidad de kilos comprados. El "Costo por kilogramo" es algo que debe inferirse a partir de la gráfica, pero no es necesariamente igual al “Costo”. Por ejemplo: Si se hubieran pagado 27 pesos por 3 kilogramos de cebolla:

Madre

Luis Jesús

Duración (minutos)

Lo que aprendimos A continuación se presenta una gráfica que relaciona el costo y peso de la compra de unas verduras: jitomate, limón, cebolla, pepino y aguacate. Por cada verdura, se graficó el peso comprado (en kilogramos) y el costo correspondiente a la cantidad comprada (en pesos).

• El costo serían 27 pesos. • El peso serían 3 kilogramos. • El costo por kilogramo sería de 9 pesos. Sugerencia didáctica. Si los alumnos tienen dificultades para contestar el inciso b) puede pedirles que dibujen una gráfica en la que se muestren los siguientes puntos:

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• Dos kilogramos de papa 24 pesos. • Tres kilogramos de calabaza 36 pesos. • Un kilogramo de ejote 12 pesos. Como el precio por kilogramo de los tres productos es igual, los tres puntos estarán sobre una línea recta que pasa por el origen (lo mismo que sucede en la gráfica con el pepino y el limón). Respuestas. a) El aguacate. b) El pepino y el limón. Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad. Si lo considera necesario, revisen nuevamente las actividades del Manos a la obra de ésta sesión y la anterior. 62

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Costo ($)

MATEMÁTICAS

Aguacate Cebolla Jitomate Limón

Pepino

Propósito de la sesión. Construir la gráfica asociada a un fenómeno donde dos cantidades están relacionadas con una expresión de la forma y = mx + b, y reconocer estas gráficas como líneas rectas.

Peso (kg)

a) De las verduras, ¿cuál costó más por kilogramo? b) Hay dos verduras para las cuales el costo por kilogramo fue el mismo, ¿cuáles fueron? y

EL TAXI

SESIón 3

Consideremos lo siguiente

Cobro (pesos)

Un taxi cobra por su servicio $10 más $2 por cada kilómetro recorrido. Observa las siguientes gráficas y decide cuál de ellas representa esta situación.

28 26 24 22

28 26 24 22 20

Es posible que tengan dudas, por lo que es conveniente darles tiempo para que dentro de cada pareja haya un intercambio de ideas.

2 1

9 10 11 12 13 14 15

Distancia (kilómetros)

9 10 11 12 13 14 15

Distancia (kilómetros)

b) 47

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Propósito de la sesión en el aula de medios. Construir gráficas cartesianas de funciones de la forma y = mx = b y ubicar puntos. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 3.

Propósito de la actividad. Los alumnos han trabajado con distintos tipos de gráficas y se espera que echen mano de sus conocimientos para determinar cuál de las gráficas es la correcta.

Respuesta. La gráfica correcta es la del inciso a). Tanto ésta como la del inciso b) representan rectas que no pasan por el origen, pero mientras en la a) es cierto que por cada kilómetro se cobran dos pesos, en la b) por cada kilómetro se cobra un peso. En la gráfica d) la recta pasa por el origen, de manera que no está considerando los 10 pesos que el taxi cobra por el servicio (en esa situación es cierto que a cero kilómetros corresponden 10 pesos). La gráfica c) no es lineal, por lo tanto, no es la que representa una relación de la forma y = mx + b.

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Cobro (pesos)

secuencia 20 28 26 24 22

30 28 26 24 22

2 1

9 10 11 12 13 14 15

Distancia (kilómetros)

Propósito de la actividad. Aquí se pretende que los alumnos asocien a una situación o fenómeno una expresión algebraica, una tabla y una gráfica.

9 10 11 12 13 14 15

Distancia (kilómetros)

Comparen sus respuestas y comenten cómo hicieron para decidir cuál gráfica es la correcta.

Manos a la obra

Respuestas.

i. Contesten lo siguiente:

a) 14 pesos; son 4 pesos por los dos kilómetros recorridos más 10 pesos del servicio.

a) Si el taxi recorre 2 km, ¿cuánto cobrará? b) Si el taxi recorre 10 km, ¿cuánto cobrará?

b) 30 pesos.

c) Escriban una expresión que sirva para formular la cantidad que cobra el taxista (y) a partir del número de kilómetros recorridos (x).

c) y = 2 x + 10

y= ii. Usen la expresión que acaban de formular para completar la siguiente tabla.

Número de kilómetros

2 4 6 8 10

Cantidad a cobrar en pesos

14 18 22 26 30

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MATEMÁTICAS

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que revisen sus respuestas en el apartado Consideremos lo siguiente y que hagan las correcciones necesarias.

(pesos)

III. Localicen los valores de la tabla en el siguiente plano cartesiano 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 1

9 10 11 12 13 14 15

(kilómetros)

Comparen sus respuestas y comenten, a) Los puntos que localizaron, ¿están sobre la gráfica que habían elegido? b) ¿Están en alguna de las otras gráficas?

Posibles procedimientos. El alumno tiene suficientes elementos para poder contestar a esta pregunta: la gráfica, la tabla y la relación.

A lo que llegamos Al igual que en el caso del taxi, a menudo encontramos cantidades relacionadas en las que su gráfica asociada son puntos sobre un línea recta. A este tipo de relaciones se les conoce como relaciones lineales.

Se esperaría que pudieran contestar la pregunta usando la relación y = 2 x + 10 para plantear la ecuación 32 = 2 x + 10, sin embargo, procedimientos en los que se utilice la gráfica o la tabla también son correctos.

Las relaciones de proporcionalidad también son relaciones lineales, pues su gráfica es una línea recta. Las relaciones de proporcionalidad tienen nombre propio pues satisfacen más propiedades que las relaciones lineales. Por ejemplo, no toda gráfica de una relación lineal pasa por el origen, pero como ya se vio, las asociadas a relaciones de proporcionalidad siempre pasan por el origen.

Si son pocos los alumnos que usaron la ecuación, puede usted presentar esta solución en el pizarrón cómo un método muy efectivo especialmente cuando las cantidades son grandes y no están en la parte visible de la gráfica o en la tabla, con la intención de que en el futuro los alumnos lo utilicen.

IV. Si un pasajero se sube al taxi y sólo tiene $32, ¿cuántos kilómetros puede viajar?

Respuesta. 11 kilómetros. MAT2 B3 S20.indd 49

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Posibles dificultades. Para algunos estudiantes puede ser difícil escribir la expresión que se les solicita en el inciso b). Si es el caso, sugiérales que hagan una tabla (como la del apartado Manos a la obra II) ya que puede serles de ayuda tener las cantidades a la vista para darse cuenta de cómo van cambiando y hallar la relación.

secuencia 20 V. Se ha decidido llenar un tinaco con capacidad de 1 000 litros de agua. El tinaco, actualmente contiene 100 litros de agua. Se ha abierto una llave que arroja en el tinaco 10 litros de agua cada minuto. a) Si ha pasado 1 minuto desde que se abrió la llave, ¿cuánta agua habrá en el tinaco?

¿Y si han pasado 2 minutos?

¿Y si han pasado 10 minutos? b) Escriban una expresión que relacione y (la cantidad de agua en el tinaco) con x (los minutos que lleva abierta la llave).

Respuestas.

a) Después de un minuto habrá 110 litros; después de dos minutos 120 litros; después de 10 minutos 200 litros.

c) Dibujen la gráfica de la relación que obtuvieron.

y 600

b) La expresión sería y = 10 x + 100. Sugerencia didáctica. Si no surge la idea de hacer una tabla y graficar algunos puntos, podría sugerirlo usted.

400

Si los alumnos dibujan sólo algunos puntos en lugar de toda la línea, sugiérales que dibujen más puntos. Si entre ellos no surge la idea de unirlos, espere a la discusión grupal.

300

200

100

Sugerencia didáctica. Aquí usted puede explicar que para trazar la gráfica sin que falte ningún punto es necesario dibujar toda la recta porque ésta contiene a todos los puntos. A partir de ésta se pueden localizar todos los valores de y dado cualquier valor de x.

Comparen sus respuestas y comenten: ¿En qué valor interseca la gráfica al eje y?

A lo que llegamos

Al valor dónde la gráfica de una relación lineal interseca al eje y se le conoce como ordenada al origen. En la siguiente figura, la letra b representa la ordenada al origen.

(0, b )

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Posibles dificultades. La expresión “ordenada al origen” puede ser desconocida para algunos alumnos. Explíqueles que cuando se localiza un punto cuyo valor en el eje x es cero, se le llama ordenada al origen. La coordenada (0,b) también puede resultarles extraña. Explíqueles que es posible utilizar escalas no numéricas en los ejes, y pídales que en esa misma gráfica (la del apartado A lo que llegamos) señalen los puntos:

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Se verían así:

y (0 ,c) (0 ,b) (b,0 )

• (0,c) • (b,0)

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MATEMÁTICAS

Respuestas.

Lo que aprendimos

a) 80 litros.

En una ocasión se decidió llenar una cisterna con una llave que arrojaba cierta cantidad de litros de agua cada minuto. Cuando se empezó a llenar el tinaco, éste tenía 100 litros de agua. Después de 10 minutos de haber abierto la llave, el tinaco tenía 180 litros de agua.

b) 40 litros. c) 8 litros.

a) ¿Cuántos litros arrojó la llave en 10 minutos?

d) 188 litros.

b) ¿Cuántos litros habrá arrojado en 5 minutos?

e) y = 8 x + 100

c) ¿Cuántos litros arroja la llave cada minuto?

Integrar al portafolios. Este problema puede servirle para valorar si los alumnos han comprendido lo que hasta ahora se ha presentado en la secuencia. Si los alumnos tienen dificultades para poder escribir la expresión, hagan un repaso.

d) Después de 11 minutos de haber abierto la llave, ¿cuántos litros de agua habrá en el tinaco? e) Escribe una expresión que relacione y (la cantidad de litros de agua que hay en el tinaco) con x (el número de minutos que han pasado desde que se abrió la llave).

EL RESORTE

SESIón 4

Consideremos lo siguiente Al colgar diferentes pesos sobre un resorte éste cambia su tamaño, entre mayor sea el peso que se le cuelgue más se alarga. En un laboratorio escolar se colgaron varios pesos a un resorte que mide 8 cm en reposo. Se registraron los cambios de longitud en cada caso y con ello se obtuvo la siguiente tabla. Peso

Longitud

1 kg

10 cm

2 kg

12 cm

3 kg

14 cm

4 kg

16 cm

Propósito de la actividad. Se quiere que el alumno descubra regularidades en los datos que arrojó el experimento para predecir el comportamiento del resorte. Posteriormente se formalizarán dichas regularidades en una expresión.

Longitud

Peso

Posibles dificultades. Posiblemente algunos alumnos intenten utilizar técnicas de proporcionalidad en este problema, por ejemplo, podrían pensar que como el resorte mide 10 cm cuando se le cuelga 1 kg, el valor unitario es 10; sin embargo, es incorrecto porque ésta no es una relación de proporcionalidad directa.

¿Cuál crees que será la longitud del resorte si se le cuelgan 5 kg? ¿Cuál crees que será la longitud del resorte si se le cuelgan 8 kg? ¿Y si se le cuelgan 3.5 kg? Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cómo calcularon las longitudes? Si se le colgara una pesa de 6.2 kg, ¿cuál será la longitud del resorte? ¿Cómo podrían decidir cuál será la medida del resorte al colgarle cualquier otro peso? 51

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Propósito de la sesión. Reconocer fenómenos lineales a partir de datos en una tabla y describirlos mediante una relación del tipo y = mx + b.

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Es importante que no corrija a los alumnos en este momento, pero en la siguiente comparación de resultados, pídales que expliquen sus respuestas y comenten por qué esos procedimientos no son válidos aquí.

Propósito del interactivo. Ilustrar el comportamiento de un resorte al sostener diferentes pesos.

Sugerencia didáctica. Si hay estudiantes que piensan que ésta es una relación de proporcionalidad directa, puede ser útil recordarles las características de dichas relaciones, como:

Respuestas.

Propósito de la sesión en el aula de medios. Obtener las ecuaciones que relacionan a las escalas de temperatura Farenheit y centígrada; y construir la gráfica.

• Cuando una cantidad aumenta el doble, la otra también aumenta el doble, si aumenta el triple la otra también aumenta el triple, etcétera.

Con 3.5 kg mediría 15 cm.

Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 4.

• Si se representa en una gráfica se obtiene una recta que pasa por el origen.

Con 5 kg mediría 18 cm. Con 8 kg mediría 24 cm.

Para contestar las primeras dos preguntas basta con observar que cada vez que el peso aumenta 1 kg, la longitud aumenta 2 cm. Para contestar la tercera es necesario observar que la longitud del resorte debe aumentar algo entre 14 y 16.

• Si se representan los datos en una tabla el cociente entre los elementos de los dos conjuntos se mantiene constante. • Su expresión algebraica es y = kx.

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Propósito de la actividad. Se pretende que el alumno pueda escribir una expresión del tipo y = mx + b y usarla al calcular la longitud del resorte para cualquier peso que se le cuelgue.

secuencia 20

Manos a la obra i. Llamemos longitud de aumento a la cantidad de centímetros que aumentó la longitud del resorte al colgarle un peso. Calculen la longitud de aumento para cada peso indicado en la tabla y después contesten lo que se pide.

Sugerencia didáctica. Es importante que primero completen la tabla y luego contesten las preguntas. Puede ser útil recordarles que el resorte sin ningún peso tiene una longitud de 8 cm.

Longitud de aumento

Respuestas. a) Es 2 porque el peso debe multiplicarse por 2 para obtener la longitud de aumento.

Peso (kg)

Longitud de aumento (cm)

b) y = 2 x

c) 10 cm.

d) 12.4 cm.

e) 20.4 cm porque hay que sumar la longitud del resorte antes de colgarle el peso. Como ya se sabe que con una pesa de 1 kg el resorte mide 10 cm, entonces el resorte sin peso mide 8 cm.

a) Observen que esta tabla es de proporcionalidad, ¿cuál es la constante de proporcionalidad? b) Llamemos x al número de kilogramos colgados y llamemos y a la longitud de aumento. Escriban una expresión que sirva para calcular y a partir de x .

y= c) Al colgar 5 kg, ¿cuál es la longitud de aumento? d) Y al colgar 6.2 kg, ¿cuál será la longitud de aumento? e) Para el caso anterior, ¿cuál será la longitud del resorte?

Comparen sus respuestas y comenten: ¿Es posible calcular la longitud de aumento para cualquier peso que se quiera? ¿Cómo? Una vez que se tiene la longitud de aumento, ¿se podrá calcular la longitud del resorte? ¿Cómo?

Sugerencia didáctica. Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos y anote algunas respuestas en el pizarrón para recuperarlas al final de la sesión. Resalte las diferencias y semejanzas entre las participaciones de los alumnos.

ii. Encuentren una expresión que sirva para calcular la longitud y que tendrá el resorte al colgarle x kilogramos.

y= iii. Usen la expresión anterior para calcular la longitud del resorte para los diferentes pesos indicados en la tabla.

Respuesta. Como el resorte sin peso mide 8 cm hay que aumentar dicha longitud siempre, por lo que la expresión sería y = 2 x + 8.

Peso x

Longitud y

Comparen sus respuestas y grafiquen la relación para ver si es lineal. Encuentra la ordenada al origen.

6.2

7.6

20.4 23.2

Recuerden que: Una relación es lineal si su gráfica es una línea recta.

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Sugerencia didáctica. Cuando los alumnos hayan comparado sus respuestas enfatice que aunque el problema puede resolverse por otros métodos, hacer los cálculos a partir de la expresión es más económico.

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Respuesta. Si ya sabe cual es la longitud del aumento, entonces sólo le deben sumar los 8 cm que mide el resorte sin peso, así que la expresión sería y = 8.

Si no hay tiempo suficiente en la clase, deje de tarea la gráfica y comenten al siguiente día: • si es lineal o no y, • cuál es la ordenada al origen (en este caso será el punto (0,8).

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MATEMÁTICAS

Sugerencia didáctica. Algunos alumnos podrían confundirse al encontrar esta expresión, ya que ellos conocen al “incremento al aumentar uno” o constante, como k. El empleo de una notación u otra tiene que ver con lo siguiente. Las relaciones de proporcionalidad son también del tipo y = mx + b (donde b vale cero) pero en ellas se usa la literal k para denotar el incremento en uno (y = kx) porque la proporcionalidad tiene propiedades únicas (por ejemplo, cuando x aumenta el doble y aumenta también al doble) que la hacen ganarse el derecho a tener expresión y nombre propios.

A lo que llegamos Como en el caso del resorte, con frecuencia es útil calcular la expresión que relaciona dos cantidades x y y . Si esta relación es lineal, es posible encontrar la expresión al calcular la ordenada al origen (en el ejemplo, cuando no hay peso colgado al resorte) y el incremento de y cuando x cambia de cero a uno (por ejemplo, lo que aumenta el resorte al colgar un kilogramo). Una vez encontrados estos números, la expresión se puede escribir así:

y = (incremento al aumentar uno) x + (ordenada al origen) Comúnmente esto se escribe como y = mx + b.

Lo que aprendimos 1. Para medir la temperatura se usan dos unidades distintas: los grados Celsius y los grados Fahrenheit. La relación que permite pasar de una unidad a la otra es lineal. La siguiente figura muestra la gráfica de dicha relación.

Posibles dificultades. Los alumnos podrían sentirse confundidos respecto a lo que se les pide. Para ayudarles, puede intentar hacer un diagrama como el siguiente:

Fahrenheit

y 60

0 ºC ----> ? ºF

5 ºC ----> ? ºF Y explicar que de 0 a 5 aumentó 5 grados (lado izquierdo del diagrama), y que lo que deseamos saber son las temperaturas equivalentes en Fahrenheit (lado derecho del diagrama).

x 0

Celsius 53

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Respuestas.

secuencia 20

a) 32ºF

a) Cuando la temperatura es de 0 °C, ¿cuál es la temperatura en grados Fahrenheit? (Es decir, ¿cuál es la ordenada al origen?)

b) 41ºF

b) Cuando la temperatura es de 5 °C, ¿cuál es la temperatura en grados Fahrenheit?

c) 50ºF d) 9ºF

c) Cuando la temperatura es de 10 °C, ¿cuál es la temperatura en grados Fahrenheit?

e) 1.8ºF d) Cuando la temperatura cambia de 0 °C a 5 °C , ¿cuántos grados Fahrenheit au-

f) y = 1.8 x + 32

mentó?

Posibles dificultades. Para contestar correctamente el inciso e) el método gráfico no será suficiente: tendrán que recurrir a argumentos de proporcionalidad. Por ejemplo, cuando la temperatura aumenta 5ºC, en Fahrenheit aumenta 9ºF, por lo tanto, si aumenta 1ºC la temperatura en Fahrenheit debe aumentar la quinta parte de 9ºF, es decir, 1.8ºF.

e) Decidan cuál de las siguientes cantidades fue el aumento de temperatura, si la temperatura cambió de 0 °C a 1 °C. A) 1 .7 °F

B) 2 °F

C) 1.8 °F

D) 1.9 °F

f) Escriban una expresión que relacione y (la temperatura medida en grados Fahrenheit) con x (la temperatura medida en grados Celsius). y = 2. La longitud de los metales se modifica al ser sometidos a cambios de temperatura. La siguiente tabla muestra cómo varía la longitud de una barra de hierro al someterla a distintas temperaturas. Temperatura (°c) Longitud de la barra de hierro (m)

Respuesta. y = 0.0012 x + 10

10.012

10.024

10.036

10.048

Si x es la temperatura y y la longitud de la barra de hierro, ¿cuál es la expresión que permite encontrar y a partir de x? y =

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MATEMÁTICAS

EL PLAn PERFECTO

SESIón 5

Consideremos lo siguiente

Propósito de la sesión. Usar expresiones lineales y gráficas para dar respuesta a problemas que involucran la comparación de varias relaciones.

Los celulares Las compañías de teléfonos celulares Mexcel, Tele-cel e ILcel tienen las siguientes tarifas:

Descripción del video. Se brinda información acerca del creciente uso de los teléfonos celulares en México y en el mundo. Mediante ejemplos, se presenta la diversidad de tarifas y los complejos sitemas de cobro.

Mexcel: $100 de renta mensual más $1.00 el minuto. Tele-cel: $60 de renta mensual más $2.00 el minuto. ILcel: no cobra renta pero las llamadas cuestan $5 el minuto. Completen la siguiente tabla para saber cuánto cobra cada compañía por hablar x minutos durante un mes.

(minutos)

Mexcel cobra (en pesos)

110

130

120

150

160

180

300

Tele-cel cobra (en pesos)

ILcel cobra (en pesos)

Propósito de la actividad. Se pretende que para resolver la situación que se plantea los alumnos utilicen gráficas lineales con las que comparen las tarifas de las distintas compañías de telefonía celular. Respuestas.

a) Si una persona habla 15 minutos en un mes, ¿qué compañía le cobrará menos?

a) ILcel. b) Tele-cel.

b) Si una persona habla 30 minutos en un mes, ¿qué compañía le cobrará menos?

c) Mexcel. c) Si una persona habla 60 minutos en un mes, ¿qué compañía le cobrará menos?

Comparen sus respuestas y comenten: Si una persona habla entre 25 y 35 minutos al mes, ¿con cuál compañía le saldrá más barato? ¿Para qué cantidades de minutos al mes es más barato hablar por Tele-cel?

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Posibles respuestas. Los alumnos podrían dar distintas respuestas a esta pregunta o pensar que no se puede responder con la información de la tabla. Pida a dos o tres alumnos que hayan contestado cosas distintas, que las expliquen a todo el grupo, pero no intente que lleguen a una respuesta correcta. Más adelante podrán hacerlo con la gráfica.

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secuencia 20

Manos a la obra

Sugerencia didáctica. Forme parejas con alumnos que no suelan trabajar juntos. También puede ser provechoso que sean alumnos con diferentes niveles de experiencia o de conocimientos de los contenidos matemáticos.

i. Usen la letra x para representar la duración de la llamada (en minutos) y la letra y para representar el costo de la llamada (en pesos) correspondiente. Si una persona habló x minutos en un mes: a) ¿Cuál es la expresión que representa lo que le cobrará Mexcel?

y= b) ¿Cuál es la expresión que representa lo que le cobrará Tele-cel?

Respuestas. a) y = x + 100

b) y = 2 x + 60

c) ¿Cuál es la expresión que representa lo que le cobrará iLcel?

c) y = 5x

ii. Completen la siguiente tabla con las expresiones que encontraron:

(minutos)

Mexcel cobra (en pesos)

Tele-cel cobra (en pesos)

ILcel cobra (en pesos)

110

120

100

130

120

150

140

200

150

160

250

160

180

300

iii. Ayudándose de los valores en la tabla, dibujen las gráficas de las tres relaciones en el siguiente plano cartesiano. Pinten de diferentes colores las gráficas, por ejemplo: rosa para Mexcel, azul para Tele-cel y verde para iLcel.

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MATEMÁTICAS Costo

300

250

200

150

100

Respuestas.

Duración

a) La de ILcel.

Observen sus gráficas y contesten:

b) La de Tele-cel.

a) Cuando la duración está entre 0 min y 20 min, ¿cuál de las tres gráficas está más abajo?

c) Cuando se habla por más de 40 minutos.

b) Cuando la duración está entre 20 min y 40 min, ¿cuál de las tres gráficas está más abajo? c) ¿Cuándo está la gráfica de Mexcel más abajo que las otras? IV. Ayudándose de las gráficas que construyeron, completen las siguientes frases de manera que sean correctas. a) Si una persona acumula

minutos en llamadas durante un mes, no

importa si contrata el servicio con Tele-cel o ILcel, ambas le cobrarán lo mismo. b) Si una persona acumula entre cero y

minutos en llamadas durante un

mes, le conviene más contratar el servicio de ILcel, pero si excede esos limítes, le conviene más Tele-cel. 57

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secuencia 20 20

c) Si una persona acumula entre

minutos en lla-

madas al mes le conviene más contratar el servicio de Tele-cel. d) Si una persona acumula más de

minutos en llamadas al mes le

conviene más contratar el servicio de Mexcel. Comparen sus respuestas.

Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren el comportamiento de dos fenómenos lineales en términos de los parámetros que los definen (m y b).

A lo que llegamos Para comparar dos o más relaciones lineales, puede ser útil construir sus gráficas en el mismo plano cartesiano.

Eje y

Por ejemplo, las gráficas de las relaciones lineales y = 4x + 1 y y = 2x + 5 se han dibujado en el siguiente plano cartesiano.

Eje x

De esta gráfica se puede ver que: el valor de la expresión y = 4x + 1 es menor que el de la expresión y = 2x + 5 cuando x toma valores menores a 2 (pues la gráfica roja está por debajo), y los papeles se invierten cuando x toma valores mayores que 2.

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MATEMÁTICAS

Sugerencia didáctica. Si considera que es necesario, sugiera a los alumnos que elaboren una tabla para cada compañía de autobuses y una gráfica para comparar los costos (como se hizo con las compañías de teléfonos celulares).

Lo que aprendimos 1. En una escuela telesecundaria quieren rentar un autobús para realizar una excursión. Se contactaron 3 compañías de autobuses las cuales proporcionaron la siguiente información: Compañía A: cobra $1 500 más $20 por cada kilómetro recorrido.

Respuestas. Las expresiones son:

Compañía B: cobra $2 000 más $15 por cada kilómetro recorrido.

Compañía A: y = 20 x + 1 500

Compañía C: cobra $3 000 más $10 por cada kilómetro recorrido.

Compañía B: y = 15x + 2 000

Calcula las expresiones que relacionan el cobro con el número de kilómetros recorridospara cada compañía. ¿En cuál intervalo es más barato contratar a la compañía B? Entre

Compañía C: y = 10 x + 3 000

km y

Si el recorrido que va a hacerse se encuentra en el intervalo de entre 100 y 200 kilómetros, la compañía C es la más barata.

km. 2. Para conocer más sobre la construcción de gráficas de fenómenos de ecuaciones pueden ver el programa Relaciones funcionales, expresiones algebraicas y gráficas.

Integrar al portafolios. En este problema se involucra la escritura de la expresión, el hacer una tabla con los datos y posiblemente una gráfica para efectuar la comparación, por lo que puede ser un buen indicativo de lo que los alumnos han logrado aprender. Si fuera necesario, pueden revisar nuevamente el Manos a la obra de esta secuencia para interpretar correctamente las gráficas.

Para saber más Sobre relaciones lineales en problemas consulta: http://descartes.cnice.mecd.es/Analisis/familias_funciones/Funciones_lineales.htm [Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007]. Proyecto Descartes, Ministerio de Educación y Ciencia, España.

Propósito del programa integrador 15. Mostrar que en algunos fenómenos hay relaciones entre cantidades que varían una en función de la otra y que se modelan con expresiones de la forma y = ax + b. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.

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secuencia 21

Los polígonos y sus ángulos internos En esta secuencia determinarás una fórmula para calcular la suma de los ángulos internos de un polígono.

Propósito de la sesión. Dividir un polígono convexo en triángulos cuya suma de las medidas de sus ángulos internos sea igual a la suma de las medidas de los ángulos internos del polígono.

TRiÁnGULOs en POLÍGOnOs

sesión 1

Para empezar

Un polígono es una figura geométrica cerrada y plana formada por lados rectos. Como los siguientes:

Propósito de la actividad. Que los alumnos recuerden qué es un polígono y que identifiquen los polígonos convexos. Es importante que estos términos queden claros, porque los utilizarán durante toda la secuencia.

La palabra polígono viene de las palabras griegas poli que significa muchos y gonos que significa ángulos. Un polígono es convexo si cada uno de sus ángulos internos mide menos de 180º y sus lados no se cruzan. Observen los siguientes pentágonos y comenten: ¿Cuáles son convexos y cuáles no?

Respuestas. El pentágono S tiene un ángulo de más de 180° y el pentágono T tiene dos lados que se cruzan, por lo que no son convexos.

Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario recuerde a los alumnos que la diagonal es el segmento que une 2 vértices no consecutivos.

Consideremos lo siguiente

Enfatice a los alumnos que deben tomar sólo uno de los vértices para trazar las diagonales.

a) Para cada uno de los siguientes polígonos convexos, tomen uno de los vértices y, desde ese vértice, tracen todas las diagonales del polígono.

Propósito del interactivo. Explorar la triangulación de polígonos.

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Eje Forma, espacio y medida.

Tema

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Propósitos de la secuencia Establecer una fórmula que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.

Sesión

Propósitos de la sesión

Formas geométricas.

Antecedentes En las secuencias 3 y 4 de Matemáticas I, los alumnos buscaron regularidades que pudieran expresarse mediante fórmulas o de manera algebraica. En las secuencias 4, 5 y 6 Matemáticas II, exploraron la medición de ángulos y justificaron las relaciones entre las medidas de los ángulos internos de los triángulos y paralelogramos. En esta secuencia se espera que los alumnos continúen explorando ciertas regularidades, en este caso en la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono, y que puedan expresar tales regularidades mediante una fórmula.

Recursos

Triángulos en polígonos Dividir un polígono convexo en triángulos cuya suma de las medidas de sus ángulos internos sea igual a la suma de las medidas de los ángulos internos del polígono.

Video Triangulaciones simples de los polígonos convexos Interactivo Ángulos interiores de un polígono

Una fórmula para la suma de los ángulos internos Deducir una fórmula para calcular la suma de los ángulos internos de un polígono.

Interactivo Ángulos interiores de un polígono Aula de medios Medición de perímetros y ángulos (Geometría dinámica) Programa integrador 16

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MATEMÁTICAS

Cuadrilátero

Hexágono

Octágono

Sugerencia didáctica. Mientras los equipos resuelven, usted puede trazar las figuras en el pizarrón para que posteriormente un miembro de cada equipo pase a trazar las diagonales en una de las figuras. Es importante que los equipos comparen sus respuestas y lleguen a un acuerdo antes de que resuelvan la tabla del inciso b). No es necesario que todos hayan tomado el mismo vértice.

Dodecágono

El procedimiento anterior es una manera de dividir un polígono convexo en triángulos. Comparen sus trazos y comenten en cuántos triángulos quedó dividido cada polígono. b) Completen la tabla con el número de lados de cada polígono y el número de triángulos en los que quedó dividido. Polígono Cuadrilátero Hexágono Octágono Dodecágono

Número de lados

Número de triángulos

4 6 8 12

2 4 6 10

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen la siguiente regularidad: el número de triángulos que se obtiene en cada figura es igual al número de lados de la figura menos 2. Así, el número de triángulos en el que puede dividirse un polígono de n lados es n – 2.

c) ¿Qué relación hay entre el número de lados de cada polígono y el número de triángulos en los que quedó dividido?

Respuestas.

d) ¿En cuántos triángulos quedará dividido un eneágono?

c) El número de triángulos es el número de lados menos 2.

e) ¿En cuántos triángulos quedará dividido un polígono de n lados? Comparen y comenten sus respuestas.

d) En 7. 61

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e) En n – 2.

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Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen las características del tipo de triangulación que se propone: todas las diagonales salen de un solo vértice.

secuencia 21

Manos a la obra i. En los siguientes eneágonos se trazaron diagonales para dividirlos en triángulos.

Sugerencia didáctica. Es posible que algunos alumnos hayan hecho triangulaciones como las que aquí se presentan, por ello es importante que usted enfatice que la triangulación que se les pide es aquella en la que todas las diagonales salen de un mismo vértice. Eneágono 1

Eneágono 2

Eneágono 3

a) ¿En cuál de los eneágonos se utilizó el procedimiento descrito en el apartado

Sugerencia didáctica. Las triangulaciones que se hacen tanto en el eneágono 1 como en el eneágono 2 arrojan un mismo número de triángulos (7); aclare a los alumnos que la triangulación que cumple con la condición de que todas las diagonales salen de un mismo vértice es la del eneágono 2.

Eneágono 2

Consideremos lo siguiente para dividirlo en triángulos? Comparen sus respuestas.

ii. Las figuras muestran la división de un heptágono en triángulos trazando sus diagonales desde un vértice. F

Figura 1

a B

Figura 2

Figura 3

Figura 4

a) Completen el siguiente texto.

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen la relación entre el número de lados y el número de diagonales de un polígono, y entre el número de lados y el número de triángulos en que se divide un polígono.

En la figura 1 la diagonal PB dividió al heptágono en un triángulo y en un hexágono. En la figura 2 la diagonal PC dividió al hexágono en un y en un pentágono.

triángulo

En la figura 3 la diagonal PD dividió al pentágono en un triángulo y un

cuadrilátero

En la figura 4 la diagonal PE dividió al

cuadrilátero

b) ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde el punto P?

en dos triángulos.

c) Observen que por cada diagonal que se traza se forma un triángulo y la última diagonal forma dos triángulos ¿En cuántos triángulos quedó dividido el heptá5 gono? 62

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MATEMÁTICAS

Comparen sus respuestas y comenten: a) Si se trazan desde un vértice las diagonales de un polígono de 10 lados, ¿cuántas diagonales se obtienen? b) ¿En cuántos triángulos quedará dividido?

Propósito del interactivo. Explorar la relación entre el número de lados de un polígono y el número de triángulos en que se puede dividir.

III. Completen la siguiente tabla. Polígono

Número de lados del polígono

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

Eneágono

Decágono

Endecágono

Dodecágono

Icoságono

Polígono de n lados

Número de diagonales desde uno de sus vértices

Número de triángulos en los que quedó dividido

1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 n – 3

2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 n–2

Propósito de la actividad. Que analicen la relación que hay entre los datos de las 3 columnas y que logren establecer: • Para un polígono de n lados, el número de diagonales desde uno de sus vértices es igual a n – 3. • Para un polígono de n lados, el número de triángulos en los que queda dividido es igual a n – 2.

Comparen sus resultados.

Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con sus alumnos y pídales que dibujen un ejemplo en su cuaderno.

A lo que llegamos El número de triángulos en los que se puede dividir un polígono convexo es igual al número de lados del polígono menos dos. Por ejemplo, un polígono convexo de 15 lados se puede dividir en 13 triángulos. IV. Las siguientes figuras muestran los pasos de la división de un pentágono en triángulos trazando las diagonales desde el vértice C. A

B D

C 63

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secuencia 21 Sugerencia didáctica. Asegúrese de que los alumnos hagan esta verificación, para ello pídales que marquen los ángulos internos en cada uno de los polígonos del apartado Consideremos lo siguiente.

Observen que esta división del pentágono tiene las siguientes características: (1) Los vértices de los triángulos son vértices del pentágono. (2) Juntando todos los ángulos de todos los triángulos se obtienen todos los ángulos del pentágono. a) ¿Cuáles de las siguientes divisiones en triángulos del endecágono cumplen con las características (1) y (2)?

Sugerencia didáctica. Apoye a los alumnos para que tengan presente la característica de la triangulación simple: que la su suma de las medidas de los ángulos internos de los triángulos es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos del polígono. Es importante que puedan identificar y expresar esta característica, pues a partir de ella obtendrán la fórmula de la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono. Si lo considera necesario reproduzca los tres endecágonos en el pizarrón y muestre en los casos 2 y 3 cómo los ángulos internos de los triángulos coinciden con los ángulos internos de los polígonos.

División 1

División 3

b) Verifiquen que estas características se cumplen para las divisiones que realizaron en los polígonos del apartado Consideremos lo siguiente. ¿Cuáles son triangulaciones simples?

Comparen sus respuestas.

Triangulaciones simples de los polígonos convexos

Un polígono convexo se puede dividir en triángulos cuyos vértices sean vértices del polígono y tales que la suma de las medidas de sus ángulos internos sea igual a la suma de las medidas de los ángulos internos del polígono. A esta forma de dividir un polígono en triángulos le llamaremos triangulación simple del polígono.

Descripción del video. Se muestra cuáles son los polígonos convexos y cuáles los cóncavos. Se dan ejemplos de esas figuras y se muestran las triangulaciones de varios polígonos distintos a los que se vieron en la sesión.

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen una característica importante del tipo de triangulación que han trabajado: la suma de las medidas de los ángulos internos de los triángulos en que se dividió el polígono es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos del polígono. A la triangulación que cumple con esta característica se le denomina triangulación simple.

División 2

Lo que aprendimos 1. Observa las siguientes triangulaciones de polígonos.

Dodecágono

Octágono

Endecágono

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MATEMÁTICAS

a) Tacha la que no sea una triangulación simple. b) ¿Cuál de las triangulaciones simples se obtuvo trazando las diagonales desde un mismo vértice? 2. ¿En cuántos triángulos se pueden dividir cada uno de los siguientes polígonos con una triangulación simple?

. Haz las triangulaciones correspondientes.

3. Haz una triangulación simple del siguiente hexágono, pero que no se obtenga trazando las diagonales desde un mismo vértice.

Propósito de la sesión. Deducir una fórmula para calcular la suma de los ángulos internos de un polígono.

UnA FóRMULA PARA LA sUMA De LOs ÁnGULOs inTeRnOs

sesión 2

En la secuencia 4 de tu libro de Matemáticas II, volumen I, aprendiste que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°.

Sugerencia didáctica. Con ayuda de las ilustraciones que aquí se muestran, apoye a sus alumnos para que recuerden lo que hicieron en la secuencia 4 para justificar que la suma de los ángulos internos de un triángulo, es igual a 180°. Es importante que los alumnos tengan clara esta afirmación para que logren establecer la fórmula para la suma de los ángulos internos de un polígono.

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Propósito de la sesión en aula de medios. Medir longitudes y ángulos con las herramientas de geometría dinámica. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 2.

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Propósito de la actividad. Se espera que al completar la tabla los alumnos puedan identificar que la suma de los ángulos internos del polígono, es igual al número de triángulos en que se dividió el polígono, por la suma de los ángulos internos del triángulo; es decir, la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono de n lados se puede calcular con la expresión (n – 2)180.

secuencia 21

Consideremos lo siguiente Contesten las siguientes preguntas sobre los ángulos internos de distintos polígonos convexos Polígono

Propósito del interactivo. Deducir una fórmula para calcular la suma de los ángulos internos de un polígono.

Número de lados del polígono

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

Eneágono

Decágono

Endecágono

Dodecágono

Icoságono

Número de triángulos en los que quedó dividido

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18

Suma de los ángulos internos del polígono

180 360 540 720 900 1080 1260 1440 1620 1800 3240

Escriban una expresión que sirva para calcular la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono convexo de n lados. Comparen sus respuestas. Si es necesario verifíquenlas haciendo triangulaciones simples de los polígonos convexos.

Manos a la obra i. Triangulen de forma simple los siguientes pentágonos. u

P Y

M O

X s

a) ¿En cuántos triángulos quedaron divididos cada uno de los pentágonos?

En tres triángulos

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MATEMÁTICAS

b) ¿Por qué la siguiente expresión no sirve para calcular la suma de las medidas de los ángulos internos de los pentágonos? 5 (180º)

Porque son 3 triángulos, no 5. (El número de triángulos se calcula con la fórmula n – 2 ) II. Dibujen un dodecágono convexo y triangúlenlo de forma simple.

III. Completen la siguiente expresión para calcular la suma de las medidas de los ángulos internos del dodecágono convexo que dibujaron.

(180º) =

1800

Comparen sus respuestas y comenten: La suma de las medidas de los ángulos internos de un cuadrilátero convexo no puede ser igual a 420°. ¿Están de acuerdo con esta afirmación?

¿Por qué?

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Propósito de la actividad. Estos ejercicios permiten que los alumnos se apropien de la fórmula de tal manera, que puedan tanto calcular la suma de los ángulos internos de un polígono, como determinar si una medida corresponde a la suma de los ángulos internos de un polígono dado.

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secuencia 21

A lo que llegamos La suma de los ángulos internos de un polígono convexo de n lados se puede calcular con la expresión: (n – 2) 180º

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que apliquen la expresión algebraica para verificar las respuestas que vieron en el problema inicial.

Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen sus respuestas utilizando la fórmula (n —2) 180°.

iV. Contesten las siguientes preguntas

Posibles procedimientos. Una forma de resolver es seguir el camino inverso:

a) Si la suma de los ángulos internos de un polígono es 1 260°, ¿cuántos lados tiene

el polígono?

b) ¿Es posible que la suma de los ángulos internos de un polígono sea 1 130°?

Dividir 1 260 ÷ 180, y al resultado sumarle 2. Esto mismo se puede plantear con una ecuación

Justifiquen sus respuestas.

(n – 2)180 = 1 260

n–2=

1 260 180

Comparen y comenten sus respuestas.

n – 2= 7 + 2

Lo que aprendimos

n=9

1. Se sabe que la suma de los ángulos internos de un polígono es igual a 900º. Elijan los polígonos a los cuales se hace referencia.

Si ningún alumno plantea la ecuación, hágalo usted.

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Integrar al portafolios. Considere los problemas de este apartado para evaluar los aprendizajes de sus alumnos. Los tres problemas que aquí se proponen implican el dominio de la fórmula para determinar la suma de los ángulos internos de un polígono; por ello, en caso de que identifique dificultades en los alumnos, revise nuevamente con ellos las relaciones que existen entre el número de lados de un polígono, el número de triángulos en que puede dividirse, la suma de los ángulos internos (tabla del apartado Consideremos lo siguiente) y la fórmula que expresa tales relaciones (apartado A lo que llegamos de esta sesión).

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Respuesta. Los polígonos que cumplen con esa condición son los heptágonos. Una forma de resolverlo es planteando una ecuación como la anterior.

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MATEMÁTICAS

2. Determinen la suma de los ángulos internos de un polígono de 235 lados.

41940

Propósito del programa integrador 16. Mostrar mediante ejemplos como se obtiene la fórmula para calcular la suma de los ángulos internos de polígonos convexos.

3. La suma de los ángulos internos de un polígono es de 2 700°, ¿cuántos lados tiene el

polígono?

4. Para conocer más sobre los ángulos internos de polígonos y las triangulaciones simples pueden ver el programa Los polígonos y sus ángulos internos.

Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.

Para saber más Sobre los polígonos y sus ángulos, consulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “Nombres de los polígonos” en Una ventana a las formas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. De la Peña, José Antonio. Geometría y el mundo. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.

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secuencia 22

Mosaicos y recubrimientos Propósito de la sesión. Conocer las características de los polígonos regulares que permiten cubrir el plano.

En esta secuencia conocerás las características de algunos polígonos que permiten cubrir el plano.

Materiales. Tijeras, papel y transportador. sesión 1

RecubRimientos del plano

Para empezar Descripción del video. Se dan ejemplos de recubrimientos y mosaicos en construcciones y objetos diseñados por el hombre a lo largo de la historia. Se muestran patrones que hay en la naturaleza tales como los que encontramos en los panales de las abejas y en las cáscaras de la piña. Además, se dan las condiciones necesarias para hacer un recubrimiento con una sola figura geométrica. Al final se presentan ejemplos de los recubrimientos que se encontrarán a lo largo de la secuencia

Que no quede nada sin cubrir La reproducción de figuras geométricas se ha utilizado para cubrir superficies planas creando hermosos diseños que adornan casas, pirámides, templos y tumbas. También es común ver estos recubrimientos en telas, pinturas, tapetes y otros accesorios.

Es posible que estos recubrimientos hayan sido copiados de la reproducción de figuras en las bellezas naturales ya que en la naturaleza se pueden encontrar muchos patrones de este tipo.

Propósito de la sesión en el aula de medios. Cubrir el plano con diferentes polígonos regulares. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 1.

Las figuras que se pueden reproducir una y otra vez para cubrir cualquier superficie plana sin que se encimen ni dejen huecos, para formar diseños como los anteriores son figuras que sirven para cubrir el plano.

Sugerencia didáctica. Ayude a los alumnos a precisar las condiciones que se establecen: no debe quedar una figura sobre la otra y no deben quedar espacios vacíos. Enfatice estas dos características.

Comenten la pregunta ¿En alguno de los diseños, las figuras se enciman o dejan huecos?; ¿en cuáles?

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Eje

Propósitos de la secuencia Conocer las características de los polígonos que permiten cubrir el plano y realizar recubrimientos del plano.

Forma, espacio y medida.

Tema

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Sesión

Propósitos de la sesión

Formas geométricas.

Antecedentes En el primer grado de la educación secundaria, los alumnos estudiaron la simetría con respecto a una recta y algunas propiedades de polígonos regulares como la medida de sus ángulos interiores y del ángulo central. En esta ocasión se espera que los alumnos utilicen los conocimientos que tienen sobre las propiedades de las figuras, para que puedan argumentar qué tipo de figuras regulares e irregulares permiten cubrir el plano. Así mismo, se espera que aprecien y disfruten de las cualidades estéticas de ciertos diseños geométricos

Recursos Video Que no quede nada sin cubrir Interactivo Cubrimientos del plano Aula de medios Recubrimiento del plano… (Geometría dinámica)

Recubrimientos del plano Conocer las características de los polígonos regulares que permiten cubrir el plano.

Los recubrimientos con polígonos irregulares Identificar por qué los triángulos y los cuadriláteros son figuras con las que se puede cubrir el plano.

Interactivo Cubrimientos del plano

Algunas combinaciones Crear recubrimientos del plano combinando diferentes tipos de polígonos.

Interactivo Cubrimientos del plano Programa integrador 17

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MATEMÁTICAS

Propósito del interactivo. Explorar con cuáles polígonos regulares se puede cubrir un plano.

Consideremos lo siguiente Recorten los polígonos regulares del anexo Recortables 1. Polígonos regulares. Reproduzcan cada polígono en su cuaderno, como se muestra en la siguiente ilustración, y traten de construir algunos diseños cuidando que los polígonos no se encimen y no dejen huecos.

Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos trabajen en equipos para que reúnan sus figuras geométricas y puedan llevar a cabo la actividad. Sugiérales que cada uno elija un polígono y lo reproduzca 4 o 5 veces; pueden calcar la figura y luego recortarla. En caso de que tengan dudas sobre cómo cubrir el plano, analice junto con ellos la ilustración que se muestra como ejemplo.

a) ¿Cuáles de los polígonos regulares que recortaron sirven para cubrir el plano?

Respuesta. Las figuras con las que se puede cubrir el plano son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.

b) ¿Creen que haya otros polígonos regulares que sirvan para cubrir el plano?

En caso de que se presenten respuestas distintas, invite a los alumnos a que argumenten sus respuestas; más adelante podrán verificarlas

¿Cuáles? Comparen y comenten sus respuestas.

Manos a la obra

Propósito de la actividad. Que los alumnos descubran que la medida de los ángulos internos de los polígonos regulares da información para determinar si un polígono regular sirve para recubrir el plano o no. Por ello, es importante que los alumnos reproduzcan el pentágono tomando en cuenta el punto F, esto les permitirá percatarse de que si se coloca tres pentágonos, queda un espacio que no se puede cubrir, y de que al intentar colocar un cuarto pentágono, se encima con los otros.

I. Utilicen el pentágono regular que recortaron y reprodúzcanlo de tal manera que los pentágonos compartan el vértice F, que no se encimen y que compartan un lado con el pentágono vecino.

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secuencia 22 a) ¿Cuántos pentágonos que cumplan con las condiciones pedidas se pueden colocar?

b) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos internos del pentágono regular?

Sugerencia didáctica. Asegúrese de que realicen el mismo ejercicio utilizando cualquier otro vértice del pentágono, con la finalidad de que logren identificar que en ninguno de los vértices es posible acomodar los pentágonos sin que dejen huecos o sin que se encimen.

108º

c) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos internos de los pentágonos que están

36º

alrededor del vértice F?

d) ¿Cuánto mide el ángulo que falta por cubrir para rodear el vértice F? Comparen sus respuestas y comenten, ¿sucede lo mismo con cualquier vértice de los pentágonos regulares? ¿Por qué? ii. Utilicen el hexágono regular que recortaron y reprodúzcanlo de tal manera que los hexágonos compartan el punto e como vértice, que no se encimen y que no dejen huecos.

a) ¿Cuántos hexágonos regulares que cumplan con las condiciones pedidas lograron colocar?

b) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos internos del hexágono regular?

Sugerencia didáctica. Insista en que la condición de rodear completamente un vértice se debe de cumplir para cualquiera de los vértices y que no es una característica especial del vértice que se propone.

c) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos que comparten el punto e como vértice?

360º

Comparen sus respuestas y comenten, ¿si elijen cualquier otro vértice de los hexágonos regulares que reprodujeron, y realizan la misma actividad, sucederá lo mismo que con el vértice e? ¿Por qué? 72

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120º

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MATEMÁTICAS

Sugerencia didáctica. Proponga a los alumnos que cada uno de ellos trabaje con uno o dos polígonos distintos y que después compartan con el equipo lo que observaron. Una vez que todos estén de acuerdo con la forma en que se cubre el plano completan la tabla que se les propone.

III. Realicen el mismo ejercicio con cada uno de los polígonos regulares que recortaron. Traten de colocarlos de manera que no se encimen y que no dejen huecos. a) Completen la siguiente tabla: Medida de cada uno de los ángulos internos del polígono regular

Número de lados del polígono regular

Resultado de dividir 360º entre la medida de un ángulo interno del polígono regular

¿El polígono regular sirve para cubrir el plano?

60º

Sí

90º

Sí

108º

3.33

120º

Sí

128.57º

2.8

135º

2.66

140º

2.57

144º

2.5

Sugerencia didáctica. Apoye a los alumnos en el análisis de la tabla para que identifiquen que los polígonos que sirven para cubrir el plano, cumplen con la condición de que la medida de cada uno de sus ángulos internos es divisor de 360°.

b) ¿Para cuáles polígonos regulares el resultado de dividir 360º entre la medida de un ángulo interno es un número entero? c) ¿Coinciden los polígonos que sirven para cubrir el plano con los polígonos que dan un número entero en está división? Justifiquen su respuesta.

Comparen sus respuestas.

A lo que llegamos De los polígonos regulares, sólo el triángulo, el cuadrado y el hexágono sirven para cubrir el plano, pues es posible acomodar los ángulos de estas figuras alrededor de cada vértice para que formen un ángulo de 360º. Para estos polígonos, el resultado de la división de 360° entre la medida de uno de sus ángulos internos es un número entero.

Sugerencia didáctica. Lea y comente con sus alumnos la información que aquí se les presenta; apóyese en la tabla para ejemplificar las características que tienen los polígonos que sí pueden cubrir un plano.

Los ángulos internos de los demás polígonos regulares no se pueden colocar de tal manera que formen un ángulo de 360º. Pues el resultado de la división de 360° entre la medida de uno de sus ángulos internos no es un número entero.

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Integrar al portafolios. En el caso del diseño 4 sugiera a los alumnos que tracen la diagonal menor de los rombos, para que puedan identificar los triángulos a partir de los cuales se formó este diseño.

secuencia 22

Lo que aprendimos 1. Elije un polígono regular y recubre una hoja de papel blanca; colorea de distintas formas cada polígono para que construyas diferentes diseños y monta junto con tus compañeros una exposición con lo que obtengas. Por ejemplo, los siguientes diseños se construyeron a partir de recubrir el plano con triángulos equiláteros y lo que los hace diferentes es la coloración.

Organice junto con los alumnos una exposición para que puedan compartir sus creaciones.

Propósito de la sesión. Identificar por qué los triángulos y los cuadriláteros son figuras con las que se puede cubrir el plano. Materiales. Tijeras, papel, lápices de colores y transportador.

Diseño 1

sesión 2

Diseño 2

Diseño 3

Diseño 4

los RecubRimientos con polígonos iRRegulaRes

Para empezar

Cada uno de los siguientes diseños se construyó reproduciendo un mismo polígono.

Diseño 1

Diseño 2

Respuesta. El del diseño 1 es un hexágono, el del 2 es un pentágono, los dos son irregulares.

En cada diseño las figuras no se enciman, no dejan huecos entre ellas y se pueden reproducir en cualquier dirección tanto como se quiera hacer crecer el diseño. se dice que estas figuras sirven para recubrir el plano.

Sugerencia didáctica. Solicite a los alumnos que resalten en cada diseño cuál fue la figura base con la que se construyó.

Comenten qué polígono se utiliza para construir cada uno de los diseños. 74

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MATEMÁTICAS

Propósito del interactivo. Explorar cuándo los polígonos irregulares sirven para cubrir el plano.

Consideremos lo siguiente Uno de los siguientes polígonos irregulares no sirve para cubrir el plano.

Triángulo A

Cuadrilátero B

Triángulo D

Hexágono C

Cuadrilátero E

Respuesta. Con el hexágono C no se puede cubrir el plano

a) ¿Cuál polígono es el que no sirve para cubrir el plano? ¿Por qué?

Sugerencia didáctica. Es recomendable que los alumnos trabajen en equipo, pues así tendrán más piezas para construir recubrimientos más grandes.

Comparen sus respuestas y recorten los polígonos irregulares del anexo Recortables 2. Polígonos irregulares. Verifiquen cuál de ellos no sirve para recubrir el plano.

Manos a la obra I. Las siguientes ilustraciones muestran dos formas de acomodar las reproducciones del cuadrilátero E. Reproduzcan cada uno de los diseños en una hoja y continúenlos sin dejar huecos y sin encimar.

Diseño 1 75

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secuencia 22 a) ¿Con cuál de los dos diseños lograron colocar el mayor número de cuadriláteros sin dejar huecos ni encimar?

En el 2 b) ¿Con cuál de los diseños podrían seguir colocando cuadriláteros sin que se encimen y sin que dejen huecos?

En el 2 c) En cada uno de los diseños sobrepongan un cuadrilátero en los marcados con la letra E. Si desplazan y giran el cuadrilátero sin levantarlo, ¿en cuál de los diseños pueden llevar el cudrilátero E a uno de sus vecinos?

Diseño 2

Sugerencia didáctica. Apoye a los alumnos para que reflexionen sobre la manera de transformar un cuadrilátero en otro: si toman uno de los cuadriláteros como base, ¿cómo lo moverían para llegar desde él hasta los que tiene alrededor?

Comparen sus respuestas. ii. El siguiente diseño se hizo reproduciendo el triángulo a.

R 4

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MATEMÁTICAS

a) En los triángulos 2, 3, 4, 5 y 6, marquen de rosa todos los ángulos iguales al ángulo rosa del triángulo 1; de la misma forma marquen los que son azules y los que son verdes.

2 2 2

b) ¿Cuántos ángulos rosas comparten el vértice R? c) ¿Cuántos ángulos azules comparten el vértice R? d) ¿Cuántos ángulos verdes comparten el punto R?

e) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos que comparten el punto R como vér-

360º

tice?

f) Elijan otro vértice, llámenlo S y marquen los ángulos que lo comparten, ¿cuánto suman las medidas de los ángulos que comparten el vértice S?

360º Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que midan los ángulos internos del triángulo A y que anoten sus medidas; esto les permitirá elaborar después argumentos sobre la posibilidad de cubrir el plano con esta figura.

Comparen sus respuestas. III. Con el mismo triángulo A se construyó el siguiente recubrimiento; comenten por qué no es posible completarlo sin dejar huecos y sin que los triángulos se encimen.

a) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos que comparten el punto P como vértice y que son ángulos internos de los triángulos? b) ¿Cuánto mide el ángulo que falta por cubrir?

351º 9º 77

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Sugerencia didáctica. Cada uno de los ángulos que comparten el vértice P mide 39º, pero es probable que los alumnos tomen la medida y piensen que son 40º. Si algún alumno comete este error de medición, en su respuesta debe poner que la suma de los ángulos internos es igual a 360°, pero entonces puede hacerle notar que no tendría que haber un espacio en blanco.

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secuencia 22 c) ¿Es posible colocar otro triángulo morado para terminar de rodear el punto P sin que se encime con los otros triángulos?

¿Por qué?

A lo que llegamos Todos los triángulos sirven para recubrir el plano sin

B dejar huecos ni encimarse.

Sugerencia didáctica. Pida a los equipos que utilicen el triángulo A y el triángulo D para hacer, cada uno, un diseño como el que se muestra.

Por ejemplo, para recubrir con el triángulo ABC se puede girar el triángulo de manera que el vértice A coincida con el vértice C; después, girarlo de manera que el vértice B coincida con el vértice C. Los tres ángulos forman un ángulo de 180º. Esto se debe a que en B todo triángulo las medidas de sus ángulos internos suman 180º.

c a

Repitiendo este proceso se completa un ángulo de 360º alrededor del vértice C.

El triángulo ABC se puede continuar reproduciendo hasta cubrir cualquier superficie plana. iV. El siguiente recubrimiento se construyó con el cuadrilátero B. Marquen de rojo, rosa, café y azul los ángulos que comparten el vértice T.

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MATEMÁTICAS a) ¿Cuántos cuadriláteros comparten el punto T como vértice?

b) ¿Cuántos ángulos de cada color comparten el punto T como vértice?

1 de cada lado c) Elijan otro vértice de cualquiera de los cuadriláteros, ¿cuántos ángulos de cada

1 de cada lado

color comparten ese vértice?

A lo que llegamos

Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con los alumnos, apóyese en los casos que se dieron para ejemplificar las características de estas figuras (Manos a la obra I, II ), también puede recurrir al caso de la actividad III como contraejemplo de un caso en el que se utilizan triángulos pero en el que no se cumple una de las condiciones.

Todos los cuadriláteros convexos sirven para recubrir el plano sin dejar huecos ni encimarse. En la figura el cuadrilátero ABCD se gira de manera que el vértice D coincida con el vértice C. Después se gira de manera que el vértice B coincida con el vértice C. Y Después se gira de manera que el vértice A coincida con el vértice C. Los cuatro ángulos del cuadrilátero forman un ángulo de 360º. D

D A B C

D A

B C

Esto se debe a que las medidas de sus ángulos internos suman 360º. El cuadrilátero ABCD se puede continuar reproduciendo hasta cubrir cualquier superficie plana. V. Dibujen y recorten un cuadrilátero irregular en cartulina, marquen los puntos medios de sus lados y reprodúzcanlo en una hoja blanca como se muestra en las fotos.

Comparen sus reproducciones y comenten: ¿Creen que este método funcione para formar recubrimientos de cualquier superficie plana con cualquier cuadrilátero?, ¿El método funcionará con triángulos? 79

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Otorgue la palabra a distintos alumnos, incluyendo a los que no levanten la mano.

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Respuestas.

secuencia 22 Vi. Pinten un punto en su cuaderno y llámenlo Q. Reproduzcan el hexágono c alrededor del punto Q, sin que se encimen y sin que dejen huecos.

a) Si se considera el ángulo de 120º, caben hasta 3 hexágonos.

a) ¿Cuántos hexágonos comparten el punto Q como vértice? b) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos que comparten el punto Q como vér-

b) La suma de las medidas depende de la manera en que se acomoden los hexágonos.

tice? Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y revisen sus respuestas.

Lo que aprendimos

Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos justifiquen sus respuestas con base en los elementos estudiados durante la sesión.

1. Traza un paralelogramo. ¿Este paralelogramo servirá para recubrir el plano? Justifica tu respuesta.

2. ¿Un círculo sirve para recubrir el plano?

Propósito de la sesión. Crear recubrimientos del plano combinando diferentes tipos de polígonos. Sugerencia didáctica. Apoye a los alumnos para que identifiquen, en cada uno de los diseños, cuál es el polígono con el que, por sí solo, sí se puede cubrir el plano.

Sí

Justifica tu respuesta.

3. Crea tus propios diseños de recubrimientos del plano y arma con tus compañeros una exposición en tu salón. Pueden hacer un concurso y votar por el que más les guste.

algunas combinaciones sesión 3

Para empezar

Algunos polígonos regulares que no sirven para recubrir el plano se pueden combinar con otros polígonos para cubrir el plano sin que se encimen ni dejen huecos. En cada diseño las figuras no se enciman, no dejan huecos entre ellas y los diseños pueden seguir creciendo tanto como se quiera. Estas combinaciones de figuras sirven para recubrir el plano.

Diseño 1

Diseño 2

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MATEMÁTICAS

Lo que aprendimos

60º

1. Anota en el siguiente pentágono las medidas de sus ángulos internos. ¿El pentágono anterior sirve para recubrir el plano?

Sí

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a los ejercicios 1 y 2. Si tienen dificultades repasen la información del apartado A lo que llegamos.

150º

Respuesta.

150º

Justifica tu respuesta. 90º

1. Pida a los alumnos que acompañen su justificación con un recubrimiento del plano en el que utilicen sólo al pentágono indicado.

90º

2. En el siguiente diseño se están combinando dos figuras, un heptágono regular y un octágono irregular, ¿cuánto miden los ángulos internos del octágono irregular?

10 2 .5

2 3 1.4

2º

10 2 .5

3. ¿Con qué polígono puedes combinar el octágono regular para construir un diseño que recubra el plano? Construye un diseño en una hoja blanca y compáralo con los de tus compañeros.

Propósito del programa integrador 17. Mostrar cómo se realizan recubrimientos del plano con algunos polígonos y enunciar las características que permiten hacerlo.

4. Para conocer más ejemplos de polígonos que permiten cubrir el plano pueden ver el programa Mosaicos y recubrimientos.

Para saber más Sobre recubrimientos de superficies planas, consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “La miel de los hexágonos” y “Recubrimiento” en Una ventana a las formas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.

Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.

Para crear recubrimientos consulta: http://www.interactiva.matem.unam.mx/teselados/html/tesela.html [Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007]. Proyecto Universitario de Enseñanza de la Matemáticas Asistida por Computadora (PUEMAC), UNAM. Explora las actividades Mosaicos y creación del interactivo Cubrimientos del plano. 81

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Propósito del interactivo. Mostrar otros polígonos que permiten cubrir el plano. Mostrar cómo se pueden transformar algunos polígonos en otros que cubran el plano.

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secuencia 23

Las características de la línea recta En esta secuencia estudiarás el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, al modificar los valores de m y de b.

Propósito de la sesión. Determinar el efecto de la pendiente en expresiones de la forma y = mx donde la ordenada al origen es cero, es decir, en relaciones de proporcionalidad. sesión 1

Propósito de la actividad. En esta sesión los alumnos estudiarán el concepto de pendiente en una familia de rectas que pasa por el origen. Sabiendo que los alumnos han tenido múltiples acercamientos a las relaciones de proporcionalidad directa, se pretende que sus conocimientos al respecto les sirvan para aprender los propósitos de esta secuencia. Por ejemplo: saben que la velocidad constante es una situación en la que las cantidades se relacionan de manera directamente proporcional y que la gráfica de una relación de proporcionalidad directa es una línea recta que pasa por el origen. Ahora verán que a mayor velocidad, mayor ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje x.

Pendiente y ProPorcionalidad

Para empezar

Como viste en la secuencia 32 de tu libro de Matemáticas i, volumen ii, la gráfica asociada a una expresión de la forma y = k x está formada por puntos localizados sobre una línea recta que pasa por el origen.

Consideremos lo siguiente En un estado de la República Mexicana se realizó una competencia de caminata. Se tomaron los registros de tres de los competidores y se graficó la distancia recorrida y el tiempo que cada competidor tardó en recorrerla.

(6 ,6 (1 0) 0, 6 (1 0) 5, 60 )

y 60

Distancia en kilómetros

55 50 45 40

Competidor A

Competidor B

Competidor C

25 20 15 10 5

Propósito de la sesión en el aula de medios. Construir la gráfica de ecuaciones de la forma y = mx y analizar los efectos que se producen al cambiar el valor de la pendiente m.

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

Tiempo en horas

La competencia tuvo un recorrido total de 60 kilómetros y los competidores fueron siempre a velocidad constante.

Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 1.

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Eje Manejo de la información.

Tema

Sesión

Los alumnos han representado a la variación lineal mediante gráficas y han analizado algunas de sus características. Ahora se pretende que determinen cómo cambian las rectas al modificar los valores de m o de b. Es decir, se estudiará qué sucede con una familia de rectas que tienen la misma ordenada al origen pero distinta pendiente, y qué sucede con una familia de rectas que tienen la misma pendiente pero distinta ordenada al origen.

Propósitos de la sesión

Pendiente y proporcionalidad Determinar el efecto de la pendiente en expresiones de la forma y = mx donde la ordenada al origen es cero, es decir, en relaciones de proporcionalidad.

Las pendientes negativas Determinar el efecto de la pendiente negativa en expresiones de la forma y = mx donde la ordenada al origen es cero.

Representación de la información.

Antecedentes

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Propósitos de la secuencia Anticipar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b mientras el valor de m permanece constante. Analizar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando cambia el valor de m, mientras el valor de b permanece constante.

La ordenada al origen Establecer qué pasa con una familia de rectas que tienen la misma pendiente y distinta ordenada al origen.

Miscelánea de problemas y algo más Anticipar el comportamiento de una familia de rectas que tienen la misma ordenada al origen pero distinta pendiente y de familias de rectas que tienen la misma pendiente y distinta ordenada al origen.

Recursos Aula de medios Rectas que "crecen" (Calculadora) ¿Qué gráficas “crecen” más rápido? (Calculadora) Aula de medios Gráficas que "decrecen" (Calculadora) Interactivo Ecuación de la recta y = mx + b Video Rectas paralelas Interactivo Ecuación de la recta y = mx + b Aula de medios Analizando gráficas de rectas (Calculadora) Un punto importante en una recta (Calculadora)

Programa integrador 18

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MATEMÁTICAS

Posibles dificultades. Quizá algunos alumnos piensen que el marchista B fue el ganador de la carrera porque la recta que representa su recorrido es la que “avanza” más hacia la derecha con respecto al eje x. Si ocurre, permítales continuar resolviendo la sesión, más adelante podrán corregirlo.

a) ¿En qué lugar llegaron los competidores y en cuanto tiempo terminó cada uno la caminata? Competidor A

segundo

lugar

Competidor A

horas

Competidor B

tercer

lugar

Competidor B

horas

Competidor C

primer

lugar

Competidor C

horas

b) ¿Qué velocidad alcanzó el competidor que ganó la competencia?10km/h Comparen sus respuestas y comenten: En una telesecundaria dijeron que el competidor B llegó en primer lugar porque el segmento de recta rojo es el más largo, ¿están de acuerdo? Justifiquen su respuesta.

Manos a la obra I. Con ayuda de la gráfica anterior completen las siguientes tablas para encontrar las velocidades a las que fueron los competidores A, B y C. Tiempo (horas)

Distancia recorrida (en kilómetros)

Tiempo (horas)

Distancia recorrida (en kilómetros)

60 60 10 15 1 1 6 4 Tabla del competidor A Tabla del competidor B

Recuerden que: es constante, Si la velocidad tancia y el entonces la dis dades directatiempo son canti onales y la rci po pro nte me porcionalidad constante de pro es la velocidad.

Tiempo Distancia recorrida (horas) (en kilómetros)

a) ¿Qué velocidad alcanzó el competidor A? 6km/h

6 1

b) ¿Qué velocidad alcanzó el competidor B? 4km/h

Tabla del competidor C

Sugerencia didáctica. Si alguno de los alumnos escribe una expresión como 10 km/h pregúnteles cómo se lee y qué significa.

c) ¿Qué velocidad alcanzó el competidor C? 10km/h

d) ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas permite encontrar la distancia recorrida y por el competidor A en el tiempo x? Subráyenla. • y = 6x • y = 60x • y= x e) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite encontrar la distancia recorrida y por el competidor B en el tiempo x?

Recuerden que: da a ebraica asocia La expresión alg porcionalidad pro una relación de forma directa es de la y = kx pornstante de pro donde k es la co cionalidad.

y = 4x f) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite encontrar la distancia recorrida y por el competidor C en el tiempo x?

y = 10 x

Comparen sus respuestas.

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Sugerencia didáctica. Pida a varios alumnos que contesten la pregunta y que argumenten su respuesta. Puede ser útil trazar la gráfica en el pizarrón para que expliquen cuál creen que es la recta del competidor que llegó en primer lugar. Propósito de la actividad. Al encontrar la distancia que cada competidor recorrió en una hora (valor unitario) se pretende que los alumnos sepan cuál fue el ganador de la carrera. El competidor C recorrió 10 kilómetros por hora, con lo que pudo terminar los 60 km que duró la carrera en 6 horas y es por lo tanto, el ganador. Sugerencia didáctica. Anote en el pizarrón las expresiones y analicen cada una. La expresión correcta es aquella en la que la distancia (y ) se obtiene multiplicando cada hora (x ) por 6 (ya que recorre 6 km en una hora). Si los alumnos no están seguros de cuál es la correcta, propóngales que las prueben. Según los datos de la tabla, el competidor A en 10 horas recorre 60 km; entonces, explíqueles que cuando x vale 10 debe obtenerse y = 60, y pídales que prueben cada expresión.

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secuencia 23 Para medir el ángulo de inclinación de una línea recta que pasa por el origen respecto al eje x, se hace lo siguiente: 1. Se coloca el centro del transportador en el origen (punto (0,0)). 2. Contamos los grados en el transportador desde la parte derecha del eje x hasta el grado en que el transportador es cruzado por la recta. 3. El número en que la recta cruza el transportador es el ángulo de inclinación de la recta respecto al eje x. Por ejemplo, en la figura 1, la recta la recta y = x tiene un ángulo de inclinación de 45° respecto al eje x.

Figura 1

respecto al eje x. a) Ángulo de inclinación respecto al eje x de la recta correspendiente al competidor A= b) Ángulo de inclinación respecto al eje x de la recta correspendiente al competidor B= c) Ángulo de inclinación respecto al eje x de la recta correspendiente al competidor

Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos midan cuidadosamente los ángulos, sin embargo, es posible que existan pequeños errores en la medición o en el trazo de las rectas. Si en el grupo los alumnos obtienen varias medidas cercanas para un mismo ángulo, lleguen a un acuerdo sobre cuál es la que van a considerar para que todos tengan lo mismo.

Respuestas.

45°

ii. Con su transportador midan cada uno de los ángulos que forma cada una de las rectas

Usted puede trazar varios ángulos en el pizarrón para explicar cómo se miden con el transportador. Luego pase a algunos alumnos a medir otros de los ángulos que trazó.

C= Comparen sus respuestas y comenten: El competidor D no pudo participar en la caminata porque estaba lesionado. En el siguiente plano cartesiano se presenta la recta correspondiente a registros obtenidos por el competidor D en una caminata anterior. 2,

)

y 60 55

Distancia en kilómetros

Después pídales que expliquen, primero de manera oral y luego por escrito en sus cuadernos, quién fue el competidor que ganó la carrera y por qué. Cuando terminen pida a tres o cuatro alumnos que lean lo que escribieron y pregunte al resto del grupo si alguien puso cosas distintas. Si ninguno escribió algo como “a mayor ángulo mayor velocidad”, vuelvan a esta discusión una vez que hayan leído el siguiente A lo que llegamos.

Recta y = x

Posibles dificultades. Algunos alumnos tienen dificultades al medir ángulos porque no saben cómo utilizar el transportador. Pídales que saquen su transportador y que lo comparen con el de sus compañeros. Explíqueles que hay transportadores que sólo muestran 180° y otros (los circulares) que muestran los 360°. Con ambos se puede medir cualquier ángulo. Ahora pídales que observen la escala del transportador. Por lo general, los transportadores tienen la escala para medir ángulos en dos sentidos (de derecha a izquierda y de izquierda a derecha). Cuando quieran medir un ángulo pueden utilizar cualquiera de estos dos sentidos, pero siempre empezando por el cero.

50 45 40 35

Competidor D

30 25 20 15 10 5

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

Tiempo en horas 84

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a) 80º. b) 76º. c) 84º.

100

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MATEMÁTICAS

Respuestas. a) 78º

a) ¿Cuál es el ángulo de inclinación respecto al eje x de la recta correspondiente al competidor D?

b) El competidor D habría recorrido los 60km en 12 horas, o a una velocidad de 5km/h, con lo que hubiera ocupado el tercer lugar.

b) ¿En qué lugar habría quedado el competidor D? c) Si la recta correspondiente a un competidor E tiene un ángulo de inclinación respecto al eje x de 45° y la recta correspondiente a un competidor F tiene una ángulo de

c) El competidor F.

inclinación respecto al eje x de 50°. ¿Cuál de los dos competidores llegó primero?

d) El competidor E.

¿Cuál de los competidores fue a mayor velocidad? Usen el plano anterior para graficar y verificar sus respuestas.

A lo que llegamos Las gráficas que representan expresiones de la forma y = kx son líneas rectas que pasan por el origen. En estas expresiones, el número k es llamado pendiente de la recta. Entre mayor sea la pendiente, mayor es el ángulo de inclinación que tiene la recta respecto al eje x y viceversa entre mayor sea el ángulo de inclinación de una recta respecto al eje x, mayor es la pendiente de la recta. Por ejemplo, si la gráfica de un competidor G tiene pendiente 8 y la gráfica de otro competidor H tiene pendiente 4, entonces es mayor el ángulo de inclinación de la recta asociada al competidor G que el ángulo de inclinación de la recta asociada al competidor H. Las gráficas correspondientes serían las siguientes: y

Sugerencia didáctica. Puede hacer más preguntas a los alumnos para que logren determinar que entre mayor es el ángulo de inclinación de una recta con respecto al eje x, el competidor fue a mayor velocidad, y viceversa. La gráfica para verificar los resultados dados la pueden hacer de forma grupal.

Sugerencia didáctica. Pida a un alumno que lea esta información en voz alta y, al terminar, plantéeles algunas preguntas, por ejemplo: • ¿Qué quiere decir “ángulo de inclinación de la recta con el eje x”?

10 9

• ¿Alguno puede dibujar dos rectas con pendientes distintas?, ¿Cuál es la pendiente mayor y cuál la pendiente menor?

8 7

Gráfica de la recta G:

Gráfica de la recta H:

y = 8x y = 4x

4 3

83°

2 1

76° 1

2 3

4 5 6 7 8

9 10 11 12 13

Esto significa que el competidor G fue a mayor velocidad que el competidor H, es decir, si la pendiente de la recta que representa la velocidad constante de un competidor es mayor que la de otro competidor entonces el de pendiente mayor va a mayor velocidad. 85

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secuencia 23

Respuestas. 1

a) La expresión y = x . Si los alumnos tienen 2 dudas, dígales que elaboren la gráfica con dos o tres valores para x.

iii. Contesten lo siguiente. a) ¿Cuál de las rectas correspondientes a las expresiones y = mayor ángulo de inclinación respecto al eje x ?

1 2

x yy=

1 4

x tiene

b) Deben hallar expresiones de rectas que sean menores que y = 10 x y mayores que y = 3 x, así que servirá cualquier pendiente entre 10 y 7 3, por ejemplo y = 8 x, y = x, entre otras.

b) Encuentren las expresiones algebraicas de dos rectas que pasen por el origen y

c) Tienen que ser expresiones con pendientes menores que 2 y mayores que 0, por ejemplo y = 1 x, y = 3 x, entre otras.

c) Encuentren las expresiones algebraicas de dos rectas que pasen por el origen y que

que tengan ángulos de inclinación respecto al eje x menores que el ángulo de inclinación de la recta y = 10x , pero mayores que el ángulo de inclinación respecto al eje x de la recta y = 3x:

tengan menor ángulo de inclinación respecto al eje x que el ángulo de inclinación de la recta correspondiente a y = 2x:

Comparen sus respuestas. Verifíquenlas graficando las rectas en el siguiente plano cartesiano y midiendo sus ángulos de inclinación.

y 20

Respuestas.

a) y = 5x b) y =

1 3

Lo que aprendimos

De las gráficas asociadas a las siguientes expresiones algebraicas: • y = 5x • y = 2.5x • y = 13 x a) ¿Cuál de las expresiones algebraicas tiene una gráfica asociada con mayor ángulo de inclinación respecto al eje x? b) ¿Cuál de las expresiones algebraicas tiene una gráfica asociada con menor ángulo de inclinación respecto al eje x? c) En tu cuaderno elabora las tablas y dibuja las gráficas correspondientes para verificar tus respuestas. 86

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MATEMÁTICAS

Las Pendientes negativas

sesiÓn 2

Consideremos lo siguiente

Propósito de la sesión. Determinar el efecto de la pendiente negativa en expresiones de la forma y = mx, donde la ordenada al origen es cero.

En el siguiente plano cartesiano están graficadas las rectas L y S. y B

Propósito de la sesión en el aula de medios. Construir la gráfica de ecuaciones de la forma y = mx cuando el valor de la pendiente m es negativa.

7 6 5 4

Recta L

Recta S

2 1 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

9 10 11

Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 2.

–2 –3 –4

–5

Posibles dificultades. Es probable que los alumnos no sepan hallar la expresión de la recta con pendiente negativa. Permítales explorar un rato la actividad y si no logran hallar la expresión, sigan adelante; con la tabla que aparece a continuación podrán hacerlo.

–6

–7 –8

Los puntos A' = (2, 4), B' = (–4, –8) pertenecen a la recta S y los puntos A = (2, –4), B = (–4, 8) pertenecen a la recta L. Encuentren las expresiones algebraicas que corresponden a estas rectas. Recta L: y =

–2 x

Recta S: y =

Propósito de la actividad. Con el llenado de la tabla se pretende que los alumnos obtengan las coordenadas de varios puntos de las rectas S y L para que se percaten de que ésta última tiene una pendiente negativa, es decir, que cada abscisa debe multiplicarse por −2 para obtener la ordenada.

Comparen sus respuestas.

Manos a la obra I. A partir de la gráfica anterior completen las siguientes tablas para encontrar las coordenadas de algunos puntos de las rectas L y S. Recta S Abscisa

Recta L Ordenada

Abscisa

−4 −8 −4 −2 −2 –4 0 0 0 1 2 1 2 4 2 4 8 4

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Respuestas.

Ordenada

a) Por 2.

b) Por −2.

–2 –4 −8

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secuencia 23 a) Para los puntos de la recta s, ¿por qué número hay que multiplicar las abscisas para obtener las ordenadas? b) Para los puntos de la recta L, ¿por qué número hay que multiplicar las abscisas para obtener las ordenadas? c) Relaciona las columnas. ( (

B) C)

Expresión algebraica de la recta L

A) y = 2x + 1

Expresión algebraica de la recta s

B) y = −2x C) y = 2x

Comparen sus respuestas. ii. En el siguiente plano cartesiano se encuentran las gráficas de cuatro líneas rectas que pasan por el origen. y 8 7 6 5 4 3 2 1 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

9 10

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

Posibles dificultades. Quizá para algunos alumnos sea aún difícil hallar la expresión correspondiente a una recta. Si es el caso, sugiérales que para cada recta hagan una tabla como la del apartado Manos a la obra anterior.

a) De las siguientes ecuaciones, ¿cuál le corresponde a cada una de las rectas? Relacionen las columnas. (

) Recta roja.

A. y = x

(

) Recta azul.

B. y = −x

) Recta verde.

C. y = 2x

) Recta naranja.

D. y = 3x

D E ( B (A

E. y = −3x Comparen sus respuestas y comenten cómo las encontraron.

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MATEMÁTICAS

Posibles dificultades. Quizá los alumnos midan el ángulo complementario (en este ejemplo, serían 76°). Para que no se confundan, pídales que señalen cuál es el ángulo que van a medir con un lápiz de color (como aparece en la ilustración de su libro). Coménteles que una vez que coloquen el transportador en el origen (punto (0,0) deben empezar a contar los grados a partir del eje x siempre empezando cero.

Para medir el ángulo de inclinación (mayor a 90°) de una línea recta que pasa por el origen respecto al eje x, se hace lo siguiente: 1. Se coloca el centro del transportador en el origen (punto (0,0)). 2. Contamos los grados en el transportador desde la parte derecha del eje x hasta el grado en que el transportador es cruzado por la recta. 3. El número en que la recta cruza el transportador es el ángulo de inclinación de la recta respecto al eje x. Por ejemplo, en la figura 2, la recta la recta y = –4x tiene un ángulo de inclinación de 104° respecto al eje x.

Sugerencia didáctica. Para que los alumnos tengan claro cómo medir los ángulos mayores de 90° también puede trazar algunos en el pizarrón y pasar a dos o tres alumnos a medirlos.

Recta y = –4x

104º

Figura 2

III. Midan el ángulo que forma cada una de las rectas con el eje x. • Ángulo de inclinación respecto al eje x de la recta roja:

71°

• Ángulo de inclinación respecto al eje x de la recta azul:

109°

• Ángulo de inclinación respecto al eje x de la recta verde:

135°

• Ángulo de inclinación respecto al eje x de la recta morada:

45°

Sugerencia didáctica. Es importante que todo el grupo tenga las mismas medidas de los ángulos, así que si hay diferencias, pida a los alumnos que lleguen a un acuerdo.

Comparen sus resultados y comenten: a) ¿Los ángulos de la inclinación respecto al eje x de las rectas que tienen pendiente positiva son mayores o menores que 90°? b) ¿Los ángulos de la inclinación respecto al eje x de las rectas que tienen pendiente negativa son mayores o menores que 90°?

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Respuestas. a) Son menores que 90°. b) Son mayores que 90°.

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Sugerencia didáctica. Cuando terminen de leer esta información, pregunte a los alumnos cuál es la pendiente de la recta en las siguientes expresiones:

secuencia 23

A lo que llegamos En las expresiones de la forma y = kx el número k es llamado pendiente de la recta.

y = −7x

• Las rectas con pendiente positiva tienen ángulos de inclinación respecto al eje x menores que 90°.

y=x

• Las rectas con pendiente negativa tienen ángulos de inclinación respecto al eje x mayores que 90°.

4 7

Por ejemplo, la recta y = –x tiene ángulo de inclinación respecto al eje x de135°, mientras que la recta y = 4x tiene ángulo de inclinación respecto al eje x de 76°.

y = −x

y 6 5

135°

4 3 2

76°

1 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

–2 –3 –4 –5

Recta y = –x Recta y = 4x

–6

Posibles respuestas. iV. Encuentren las expresiones algebraicas de otras rectas que pasen por el origen y que tengan las características que se piden:

a) Para que la recta tenga un ángulo de inclinación mayor que 90°, debe tener una pendiente negativa, así que servirá cualquier 1 expresión como y = −5x , y = − x, y = −x, 3 entre otras.

a) Una recta que tenga un ángulo de inclinación respecto al eje x mayor que 90°.

y= b) Una recta que tenga un ángulo de inclinación respecto al eje x menor que 90°.

b) Cualquier recta con pendiente positiva cumplirá las condiciones, por ejemplo y = 3 x, y = 5 x, y = x, entre otras.

Lo que aprendimos De las siguientes gráficas contesta:

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Propósito del interactivo. Reconocer la relación entre la pendiente y el ángulo de inclinación con respecto al eje x de una recta que pasa por el origen a partir de su gráfica.

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MATEMÁTICAS

y 8 7 6 5 4 3 2 1 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

2 3

6 7

8 9 10

–2 –3 –4 –5

Respuestas.

–6 –7

a) La naranja y la roja.

–8

b) La verde, la morada y la azul. c) Las que tienen una pendiente negativa, es decir, la verde, la morada y la azul.

a) ¿Cuáles rectas tienen pendientes positivas? b) ¿Cuáles rectas tienen pendientes negativas?

d) Las que tienen una pendiente positiva, es decir, la naranja y la roja.

c) ¿Cuáles rectas tienen un ángulo de inclinación con el eje x mayor que 90°?

c) ¿Cuáles rectas tienen un ángulo de inclinación con el eje x menor que 90°?

Usa tu transportador para verificar sus resultados.

la ordenada al origen

SeSiÓn 3

Para empezar

En la secuencia 20 de este libro de Matemáticas II, volumen II aprendiste que la gráfica que corresponde a una expresión algebraica de la forma y = mx + b es una línea recta. Al número representado por la letra b se le llama ordenada al origen y corresponde al punto en el cual la recta corta al eje y.

Propósito de la sesión. Establecer qué pasa con una familia de rectas que tienen la misma pendiente y distinta ordenada al origen. Organización del grupo. Ponga a los alumnos en parejas y comenten los resultados y procedimientos de manera grupal.

Consideremos lo siguiente En el siguiente plano cartesiano grafiquen las siguientes expresiones. Usen colores distintos para cada recta.

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Propósito de la actividad. Al trazar las rectas, los alumnos se darán cuenta de que la recta R y la recta T son paralelas y, por lo tanto, nunca se intersecarán. Es importante que a través de las actividades que se plantean en la sesión, los alumnos se den cuenta de que entre la expresión de la recta R (y = 2 x ) y la de la recta T (y = 2 x + 4) lo que cambia es la ordenada al origen. La recta R pasa por el origen (el punto 0,0) y la recta T nunca va a pasar por el origen.

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Propósito de la sesión en el aula de medios. Analizar las características correspondientes a gráficas de ecuaciones lineales de la forma y = mx + b. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 3.

Posibles dificultades. Quizá algunos alumnos crean que si las rectas R, T y U se prolongan lo suficiente llegarán a intersecarse. Si esto ocurre en el grupo, no los corrija en este momento, después tendrán oportunidad de darse cuenta de que dos rectas que tienen la misma pendiente son paralelas y no tienen punto de intersección.

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secuencia 23 y 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7

Recta R

Recta s

Recta T

Recta u

y = 2x y = 3x – 6 y = 2x + 4 y = 2x – 6

3 2 1

–2

–1 –1

–2 –3 –4 –5 –6

Respuestas. a) ¿La recta R interseca a la recta s?

a) La recta R sí interseca a la recta S en el punto (6, 12).

Si su repuesta

fue sí ¿en qué punto se intersecan?

Recuerden que: ersecan Dos rectas se int punto que cuando hay un bas. A ese pertenece a am el punto punto se le llama de las de intersección rectas.

b) La recta R no interseca a la recta T porque son paralelas. c) La recta S.

Si su respuesta fue no ¿por qué creen que no se intersecan? b) ¿La recta R interseca a la recta T?

Si su repuesta

fue sí ¿en qué punto se intersecan? Si su respuesta fue no ¿por qué creen que no se intersecan? c) ¿Qué recta interseca a la recta u?

Sugerencia didáctica. Otorgue la palabra a distintos alumnos, incluyendo a aquellos que no levantan la mano.

Comparen sus respuestas y comenten: ¿Con cuál de las siguientes afirmaciones están de acuerdo?

Recuerden que: son paraleLas rectas que ersecan. las nunca se int

• Las rectas R y s no se intersecan porque la recta R pasa por el origen y la recta s no pasa por el origen. • Como las rectas R y s no son paralelas entonces sí se intersecan.

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MATEMÁTICAS

Manos a la obra I. Completen la siguiente tabla para encontrar algunos puntos de las rectas R, S y T.

Recta R: Abscisa 0 1 4 6

y = 2x Ordenada

Recta S: y = 3x – 6

Recta T: y = 2x + 4

Recta U: y = 2x – 6

Abscisa 0

Ordenada

0 –6 4 1 –3 1 6 2 4 4 8 6 12 6 6 12 12 16

Ordenada

–6 –4 2 6

1 4 6

Respuestas.

II. Con su transportador midan los ángulos de inclinación con respecto al eje X de las rectas R, S, T y U.

a) 62°.

a) Ángulo de inclinación de la recta R:

b) 71°.

b) Ángulo de inclinación de la recta S:

c) 62°.

c) Ángulo de inclinación de la recta T:

d) 62°.

d) Ángulo de inclinación de la recta U: e) ¿Cuáles de estas rectas son paralelas?

e) Las rectas R, T y U.

f) ¿Cuáles no son paralelas?

f) R S, T S, U S.

Para medir el ángulo de inclinación respecto al eje x de una línea recta que no pasa por el origen se hace lo siguiente: 1. Se coloca el centro del transportador en el punto en el que la recta corta el eje x y el extremo derecho del transportador (el que marca los 0º) sobre el eje x. Si la recta no corta al eje x se prolonga la recta hasta que corte dicho eje. 2. Contamos los grados en el transportador desde la parte derecha del eje x hasta el grado en que el transportador es cruzado por la recta. 3. El número en que la recta cruza el transportador es el ángulo de inclinación de la recta respecto al eje x. Por ejemplo, en la figura 3, la recta y = 4x + 2 tiene un ángulo de inclinación de 76° respecto al eje x.

Recta y = 4x + 2

76° 2

Sugerencia didáctica. También en esta parte puede trazar rectas que no pasen por el origen en el pizarrón y pasar a algunos alumnos a medir los ángulos que forman con el eje x.

Figura 3

Comparen sus tablas y decidan si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: • Las rectas paralelas tienen la misma pendiente

Verdadera

• Las rectas paralelas tienen distinto ángulo de inclinación respecto al eje x

Falsa

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secuencia 23 iii. En el siguiente plano cartesiano se encuentran las gráficas de cuatro rectas.

y 10 9 8 7

Recta y = -2x + 4

Recta y = -2x

Recta y = 3x

Recta y = 3x + 8

3 2 1 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

9 10

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10

a) Midan los ángulos de inclinación de cada una de las rectas con respecto al eje x y completen la siguiente tabla. Recta y = −2x + 4

y = −2x y = 3x y = 3x + 8

Pendiente

Ordenada al origen

Ángulo de inclinación

–2 4 −2 0 3 0 8 3

184°

184° 71° 71°

b) Contesten las siguientes preguntas a partir de la información de la tabla anterior.

y = −2 x + 4 ¿Cuál recta tiene la misma pendiente que la recta y = −2x? y = −2 x + 4

• ¿Cuál recta es paralela a la recta y = −2x? •

• ¿Qué rectas tienen distinto ángulo de inclinación que la recta y = −2x?

y = 3 x

•

y = 3x + 8

rectas tienen distinta pendiente que la recta y = −2x? ¿Qué y y = 3x + 8

y = 3x

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MATEMÁTICAS

Respuestas. a) No, porque son paralelas (tienen la misma pendiente y ángulo de inclinación).

Comparen sus resultados y comenten: a) ¿Se interseca la recta y = −2x con la recta y = −2x + 1?, ¿por qué? b) ¿Con cuáles rectas se interseca la recta y = −2x?

b) Con cualquiera que no tenga la misma pendiente.

A lo que llegamos Descripción del video. Se refuerza visualmente lo visto en la sesión 3 con ejemplos de expresiones con pendiente igual y ordenada al origen distinta. Además, se muestran familias de rectas que tienen estas características.

Rectas paralelas

Dos rectas que tienen la misma pendiente son rectas paralelas, es decir, no se intersecan. Por ejemplo, las rectas y = 4x , y = 4x + 7 así como y = 4x – 8 son paralelas. Todas ellas tienen la misma pendiente: 4, es decir, el mismo ángulo de inclinación respecto al eje x : 76°. y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 76º

-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2

-1 -1

76º

9 10 11 12 13

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

Recta y = 4x Recta y = 4x + 7 Recta y = 4x – 8

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Propósito del interactivo. Reconocer el signo y la magnitud de la ordenada al origen de una recta a partir de su gráfica.

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Sugerencia didáctica. Escriba las siguientes expresiones en el pizarrón (de una en una) y luego pase a un alumno para que escriba otra que sea paralela.

y = 24x y=

1 2

x+2

y=x+

1 4

y = –18 x y = –x

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secuencia 23 iV. Realicen las siguientes actividades.

Posibles respuestas. Cualquier recta con 2 2 pendiente será paralela a la recta y = x. 3

a) Completen las expresiones de las siguientes rectas para que sean paralelas a la recta y = 23 x:

• y=

x+4

• y = 23 x – • y=

Posibles respuestas. Cualquier recta con pendiente distinta a 23 intersecará a la recta y = 23 x.

x–

b) Completen las expresiones de las siguientes rectas para que intersequen a la recta

y = 23 x: • y=

x+4

• y=

x–

Lo que aprendimos 1. Las gráficas de las siguientes expresiones algebraicas son líneas rectas.

Respuestas. a) La recta T.

Recta R

Recta S

Recta T

y = 12 x + 4

y = 2x

y = 12 x

Recta U

Recta V

y = 2x + 1 y = –x + 4

a) ¿Qué recta es paralela a la recta y = x + 4?

b) La recta S.

b) ¿Qué recta es paralela a la recta y = 2x + 1? Dibuja en tu cuaderno las gráficas de las expresiones anteriores para verificar tus resultados.

Respuestas. Dos rectas con pendiente distinta ordenada al origen.

1 2

2. Encuentra dos expresiones cuyas gráficas sean rectas paralelas a la gráfica de la recta y = 12 x.

Recta 1

Recta 2

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MATEMÁTICAS

Miscelánea de ProbleMas y algo Más

sesiÓn 4

Lo que aprendimos

1. Completa la siguiente tabla para encontrar las expresiones algebraicas, las pendientes y las ordenadas al origen de algunas líneas rectas. Recta

Expresión

Pendiente

y = x + 2

B C

x+2 -1 y = – 2 y = 2 x + 2

y = –3x + 2

–3

y=–

– 1 2

1 2x

Organización del grupo. Se sugiere resolver las actividades de manera individual.

Ordenada al origen

Integrar al portafolios. Esta sesión está dedicada a revisar los conceptos aprendidos a lo largo de la secuencia. Analice si los alumnos han comprendido qué es lo que sucede cuando:

2 2

Propósito de la sesión. Anticipar el comportamiento de una familia de rectas que tienen la misma ordenada al origen pero distinta pendiente, y de familias de rectas que tienen la misma pendiente y distinta ordenada al origen.

• una recta tiene pendiente positiva (cómo se ve, cuál es su ángulo de inclinación);

Grafica estas rectas usando colores distintos para cada una.

• una recta tiene pendiente negativa (cómo se ve, cuál es su ángulo de inclinación);

• una familia de rectas tiene la misma ordenada al origen y distinta pendiente;

10 9 8

• una familia de rectas tiene la misma pendiente y distinta ordenada al origen.

7 6 5 4

Si es necesario hacer un repaso, puede ser útil leer juntos los apartados A lo que llegamos.

3 2 1 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

9 10

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10

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Respuestas.

secuencia 23

a) (0,2).

a) Estas rectas se intersecan en un mismo punto, ¿cuáles son las coordenadas de este

b) Cualquier par de rectas que tengan ordenada al origen 2.

b) Encuentra otras dos rectas distintas que se intersequen en el mismo punto. Escribe

punto? (

sus expresiones correspondientes:

c) La recta A.

Recta F

d) La recta D.

Recta G y = c) ¿Cuál de las rectas anteriores tiene el menor ángulo de inclinación respecto al eje x ? d) ¿Cuál de las rectas anteriores tiene el mayor ángulo de inclinación respecto al eje x? Verifica midiendo estos dos ángulos de inclinación. 2. En el siguiente plano cartesiano se graficaron cinco rectas incompletas.

Recta R Recta S Recta T Recta U Recta V

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MATEMÁTICAS

Posibles dificultades. Dé un tiempo para que los alumnos exploren distintas respuestas. Si nota que les es difícil obtener las expresiones algebraicas de las rectas, puede hacer hincapié en que todas son paralelas, por lo tanto deben tener la misma pendiente pero distinta ordenada al origen. Para averiguar cuál es la pendiente, puede sugerirles que empiecen con la recta S (la roja) porque tiene una ordenada al origen 0 y posiblemente les sea más fácil.

a) Completa la siguiente tabla para encontrar las expresiones algebraicas de cada una de las líneas rectas anteriores. Recta R

Recta S

Expresión y = 2 x + 3 y = 2 x

Recta T

Recta U

Recta V

y = 2 x – 2 y = 2 x – 7 y = 2 x – 12

Ordenada al origen

–2

–7

–12

Pendiente

b) Encuentra los ángulos de inclinación respecto al eje x de cada una de las rectas y completa la siguiente tabla.

Ángulo de inclinación

Recta R

Recta S

Recta T

Recta U

Recta V

62°

62° Propósito del programa integrador 18. Mostrar la construcción de gráficas lineales asociadas a expresiones de la forma y = mx + b. Analizar su comportamiento cuando varía m o b.

c) ¿Qué rectas son paralelas a la recta T?

3. Para conocer más sobre la pendiente y la ordenada al origen de las líneas rectas pueden ver el programa Las características de la línea recta.

Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.

Para saber más Sobre las rectas y puntos, consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: De la Peña, José Antonio. “Rectas y puntos” en Geometría y el mundo. México: SEP/ Santillana, Libros del Rincón, 2003. Sobre las rectas paralelas y algunas ilusiones ópticas consulta: http://www.opticas.info/articulos/ilusiones-opticas.php [Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].

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66 99 99

66 6 =6x6x6x6x6x6x6x6x6x6 9x9 x6 x9x x6 9x9 x6 x6 x9x x6 x6 9=9=9 9x9x9x x96 x9x9 9=6 x9x6 x9 x9x9x9x9x9

9=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9 MAT2 B4 S24 maestro.indd 116

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BLOQUE 4

6x6x6x6x6x6x6x6x6 x6x6x6 9x9 x6x6 x6x9x 9x9 x6x6 x9x 9x9 x6x6 x9x x6 x6 9x9 x6 x6 x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9

9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9 MAT2 B4 S24 maestro.indd 117

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secuencia 24

Propósito de la sesión. Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular productos de potencias enteras positivas de la misma base.

Potencias y notación científica

Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con sus alumnos con el propósito de que recuerden algunos conceptos básicos que se vieron en el libro de Matemáticas I, volumen I y volumen II. Usted puede plantear otros ejemplos para que puedan distinguir la base y el exponente, así como para que recuerden qué deben hacer para elevar un número a una determinada potencia.

En esta secuencia vas a conocer las leyes de los exponentes y vas a utilizar la notación científica para resolver problemas.

SESIóN 1

Propósito de la sesión en el aula de medios. Realizar el producto de potencias enteras y positivas de la misma base.

PRODUCTO DE POTENCIAS

Para empezar

En la secuencia 26 de tu libro Matemáticas i, volumen ii estudiaste que una potencia es la multiplicación de un número por sí mismo varias veces. Por ejemplo: 7 × 7 × 7 × 7 × 7 es la quinta potencia de 7, se escribe 75 y se lee como 7 elevado a la 5 o simplemente 7 a la 5. El 7 es la base y el 5 es el exponente.

Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 1.

La segunda potencia de un número también se llama el cuadrado del número o el número elevado al cuadrado, y la tercera potencia de un número también se dice el cubo del número o el número elevado al cubo.

Propósito de la actividad. Se espera que los alumnos calculen numéricamente el resultado de las operaciones y que encuentren la potencia con la que se puede expresar el resultado.

En esta sesión harás productos de potencias con la misma base.

Consideremos lo siguiente

Posibles errores. Un error común es que los alumnos identifiquen una potencia con una multiplicación, por ejemplo que interpreten 2 5 como 2 × 5. En lo que se refiere a la potencia 1, en Matemáticas I no estudiaron ese caso de manera explícita, por lo que es posible que tengan dificultades para interpretarla.

Calculen los resultados de los siguientes productos y respondan las preguntas. a) 2 × 2 × 2 × 2 =

b) El resultado se puede expresar como una potencia de 2, ¿cuál es el exponente?

2×2×2×2=24

c) 2 3 × 24 =

128

d) El resultado se puede expresar como una potencia de 2, ¿cuál es el exponente?

Sugerencia didáctica. Mientras los alumnos resuelven, procure identificar sus dificultades y errores, para que en el momento de la comparación de resultados puedan aclararse algunos de ellos. Particularmente, usted puede precisar que la potencia 1 indica que la base se debe multiplicar sólo una vez. En caso de que los alumnos continúen teniendo algunas dudas, podrán aclararlas con las actividades del apartado Manos a la obra.

23 × 2 4 = 2 7

e) 2 × 2 = 5

f) 2

=2 6

= 256

Comparen sus respuestas. Comenten como hicieron para encontrar los exponentes.

102

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Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico.

Tema

Sesión

Significado y uso de las operaciones.

Producto de potencias Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular productos de potencias enteras positivas de la misma base.

Potencias de potencias Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular potencias de potencias enteras positivas.

Cocientes de potencias Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular cocientes de potencias enteras positivas de la misma base.

Interactivo Potencias y exponentes Aula de medios Leyes de los exponentes III (Calculadora)

Exponentes negativos Interpretar el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

Interactivo Potencias y exponentes Aula de medios Leyes de los exponentes II y IV (Calculadora)

Notación científica Utilizar la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

Antecedentes

En la secuencia 26 del libro Matemáticas I, volumen II, los alumnos tuvieron un primer acercamiento al trabajo con potencias. Con el libro de Matemáticas II, se espera que los alumnos amplíen sus conocimientos sobre el tema incorporando la multiplicación y la división de potencias positivas, las potencias de una potencia, así como la interpretación de exponentes negativos.

118

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Propósito de la secuencia Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Interpretar el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo. Utilizar la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

Propósitos de la sesión

Recursos Interactivo Potencias y exponentes Aula de medios Leyes de los exponentes I (Calculadora) Interactivo Potencias y exponentes

Video Números muy grandes y muy pequeños Interactivo Potencias y exponentes Programa integrador 19

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9/10/07 1:23:26 PM

MATEMÁTICAS

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen porqué se suman los exponentes en un producto de potencias de la misma base; es decir, que esto es así porque se cuentan cuántos factores de la base aparecen en total.

Manos a la obra I. Escriban cada una de las potencias como multiplicaciones y respondan las preguntas. a) 23 × 22 =

× 23

Respuestas. a) 2 × 2 × 2 × 2 × 2. b) Hay 5. c) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2. d) Hay 6. e) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2× 2 × 2 × 2 × 2. f) Hay 10.

b) ¿Cuántos 2 se están multiplicando en total? c) 21 × 26 =

× 21

d) ¿Cuántos 2 se están multiplicando en total?

Sugerencia didáctica. Es posible que algunos alumnos escriban en los incisos a), c) y e) sólo el resultado numérico (por ejemplo, para el inciso e) 128 × 8 = 1 024); si esto sucede, invítelos a que expresen cada una de las potencias escribiendo todos los factores, pues eso les permitirá identificar el número total de factores para cada potencia.

e) 27 × 23 = f) ¿Cuántos 2 se están multiplicando en total?

II. Completen la siguiente tabla de multiplicación de potencias de base 2. Escriban todos los resultados utilizando una potencia de esa misma base. ×

2 2 23 24 2 5 2 6

2 3 24 24 2 5 2 5 26 2 6 27 27 28

22 23 24 25

2 5 2 6 27 28 2 9

27 28 29 210

Propósito de la actividad. Que los alumnos sean capaces de generalizar la regla de los exponentes para multiplicar potencias de la misma base y que la expresen de manera verbal y de manera algebraica. Sugerencia didáctica. Con el propósito de que los alumnos se percaten de que el procedimiento que se muestra con la base 2 es el mismo para otras bases, usted puede pedir a los alumnos que hagan una tabla similar para cualquier otra base.

El resultado del producto de dos potencias de la misma base se puede expresar como otra potencia de esa misma base, ¿cómo podemos encontrar el exponente del resultado?

Comparen sus respuestas. Comenten:

Respuestas. a) 6 b) 12 c) a + b

a) La multiplicación 32 × 34 se puede expresar como una potencia de 3, ¿cuál es el exponente de esta potencia? b) La multiplicación 47 × 45 se puede expresar como una potencia de 4, ¿cuál es el exponente de esta potencia? c) La multiplicación (2a )(2b ) se puede expresar como una potencia de 2, ¿cuál es el exponente de esta potencia? 103

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Sugerencia didáctica. Es importante que comente el último inciso con sus alumnos, pues su propósito es establecer la regla algebraica. Usted puede plantear otro ejemplo utilizando otra base y letras distintas.

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Sugerencia didáctica. Usted puede sugerirles que agreguen algunos ejemplos más.

secuencia 24

A lo que llegamos En un producto de potencias de la misma base el resultado es igual a la misma base elevada a la suma de los exponentes (a n )(a m ) = a n+m

Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren diferentes ejemplos para comprobar la generalidad de la regla de los exponentes al multiplicar potencias de la misma base.

Por ejemplo: 27 × 210 = 27+10 = 217

iii. Expresen como potencia de la misma base el resultado de los siguientes productos de potencias:

Integrar al portafolios. Con la actividad 1 usted puede identificar si los alumnos confunden todavía la potencia con la multiplicación; si esto es así, revise junto con ellos cada uno de los casos para que distingan la expresión de una suma reiterada mediante una multiplicación, y la expresión de un producto de potencias de la misma base.

a) 28 × 24 =

212

b) 52 × 59 =

511

c) 75 × 712 =

d) (3a )(3b ) =

3 a + b

e) (n 3 )(n 2 ) =

n 5

f) (m a )(m b ) =

m a + b

Lo que aprendimos 1. Relaciona las columnas

Con la actividad 2 usted puede identificar si cometen algunos errores en la aplicación de la regla de los exponentes que acaban de aprender; en ese caso revise junto con ellos nuevamente el apartado A lo que llegamos de esta sesión.

(a) 14

(f )3×3×3×3×3

(b) 64 (c) 53

( h ) 23 × 2 4

(d) 24 (e) 47 (f) 35

( b ) 26

(g) 48 (h) 27

Sugerencia didáctica. En los dos últimos ejercicios el maestro puede sugerirles que realicen la primera multiplicación y luego la otra. Si lo considera pertinente, puede comentar en grupo que ahí se generaliza la regla y se suman los tres exponentes.

( d ) 23 + 2 4

(i) 12

2. Expresa el resultado de las siguientes operaciones como una potencia: a) 36 × 33 =

3 9

b) 52 × 56 =

d) 81 × 87 =

8 8

e) (7 × 7 × 7) × (7 × 7) =

g) 213 × 21 =

5 8

h) 45 × 42 × 46 =

c) 210 × 25 =

215 66

f) (63) × (6 × 6 × 6) = i) 31 × 312 × 37 =

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MATEMÁTICAS

POTENCIAS DE POTENCIAS

SESIÓN 2

Para empezar

En la sesión anterior realizaste productos de potencias de la misma base. En esta sesión harás potencias de potencias.

Propósito de la actividad. Que los alumnos calculen numéricamente el resultado de las potencias de potencias y que, posteriormente, encuentren la potencia con la que puede expresarse ese resultado.

Consideremos lo siguiente Calcula el resultado de las siguientes potencias de potencia. Todos los resultados se pueden expresar como una potencia, encuentra cuál es.

Operación

Propósito de la sesión. Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular potencias de potencias enteras positivas.

Posibles procedimientos. Un primer reto que los alumnos deben enfrentar es ¿cómo interpretar la expresión que se les plantea? Por ejemplo, ¿qué quiere decir (2 2) 3 ? Anime a los alumnos a que expresen su interpretación planteando las operaciones que consideren necesarias. Además del cálculo numérico, otras formas de responder son las siguientes:

Expresa el resultado como una potencia de la misma base

(22)3 =

(24)2 =

(52)2 =

(33)2 =

(2 2) 3 = (2 × 2) (2 × 2) (2 ×2)

(23)3 =

(2 2) 3 = 2 2 × 2 2 ×2 2 En el primer caso pueden contar el número de factores para encontrar el resultado, mientras que en el segundo pueden sumar los exponentes.

Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar el exponente con el que expresaron el resultado.

Manos a la obra

Respuestas.

I. Responde las preguntas. a) Señala cuál de los tres procedimientos siguientes es correcto para encontrar el resultado de (23)3.

(2 2 )3 = 4 3 = 64 = 2 6

• (23)3 = (6)3 = 216.

(24 )2 = 16 2 = 256 = 28

• (23)3 = (2)6 = 64.

(5 2 )2 = 25 2 = 625 = 5 4

• (23)3 = (8)3 = 512.

(3 3 )2 = 272 = 729 = 3 6

b) El resultado se puede expresar como una potencia de 2, ¿cuál es el exponente?

(2 3 )3 = 8 3 = 512 = 2 9 105

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Propósito de la actividad. Confrontar los errores más comunes que suelen cometer los alumnos al evaluar las potencias: confundir una potencia con una multiplicación, y sumar los exponentes en una potencia de potencia. Respuestas. a) El procedimiento correcto es el tercero. b) El exponente es 9.

9/10/07 12:39:42 PM

Sugerencia didáctica. Mientras los alumnos trabajan, usted puede observarlos para identificar dos o tres formas distintas de resolver. Posteriormente puede pedir a algunos de esos alumnos que pasen al pizarrón a mostrar cómo resolvieron algunos de los ejercicios. Destaque aquellas expresiones que sean distintas pero correctas, e invite a los alumnos a identificar las que sean erróneas.

c) El primer procedimiento es incorrecto porque se está multiplicando la base por el exponente. El segundo procedimiento es incorrecto porque se están sumando los exponentes. Sugerencia didáctica. Invite a los alumnos a que argumenten por qué consideran que un procedimiento es correcto o incorrecto.

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9/10/07 1:23:35 PM

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen una potencia de potencia y que justifiquen porqué se multiplican los exponentes en una potencia de potencia.

secuencia 24 c) Explica dónde está el error en los dos procedimientos que no señalaste.

Respuestas. a) (2 3 )4

ii. Responde las preguntas. a) Expresa las siguientes multiplicaciones como una potencia de potencia:

(6 4 )7

23 × 23 × 23 × 23 = (23)

b) 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3× 3 × 3 × 3 × 3. 4

6 × 6 × 64 × 64 × 64 × 64 × 64 = (64)

c) 10

b) Desarrolla la siguiente potencia de potencia:

d) 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5

(32)5 =

e) 6 En la confrontación grupal se espera que el grupo identifique que hay que multiplicar 12 veces el 5. Si hay dificultades puede hacerse un proceso similar al que se propone en la actividad:

c) ¿Cuántos 3 se están multiplicando en total? d) Desarrolla (53)2 (53)2 =

(5 3 )4 = (5 3 ) × (5 3 ) × (5 3 ) × (5 3 ) = 5 × 5 × 5 × × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5× 5 = 512

× 53

e) ¿Cuántos 5 se están multiplicando en total? Comparen sus respuestas. Comenten: la potencia de potencia (53)4 se puede expresar como una potencia de base 5, ¿cuál es el exponente?

Propósito de la actividad. Establecer algebraicamente la regla de la potencia de potencia. Para encontrar el exponente del resultado se multiplican los exponentes.

iii. Expresa como potencia el resultado de las siguientes potencias de potencias: a) (32)7 =

314

b) (56)3 =

518

c) (27)1 =

2 7

d) (n 4)8 =

n 3 2

e) (2a )b =

2 a b

f) (m a )b =

m a b

El resultado de una potencia de potencia, se puede expresar como otra potencia de esa misma base, ¿cómo podemos encontrar el exponente del resultado?

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9/10/07 12:39:43 PM

Sugerencia didáctica. Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos y anótelas en el pizarrón. Resalte las diferencias que hubiera y si no saben cuál es la respuesta correcta, sigan resolviendo y regresen a esta parte cuando terminen la sesión.

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9/10/07 1:23:38 PM

MATEMÁTICAS

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que agreguen algunos ejemplos más.

A lo que llegamos En una potencia de potencia, el resultado es igual a la base elevada al producto de los exponentes. (a n )m = a nm Por ejemplo:

Integrar al portafolios. En caso de que algunos alumnos cometan errores en el primer ejercicio, particularmente en el caso de la potencia de potencias, trate de identificar cuáles son los errores y coméntelos durante la comparación de resultados (por ejemplo, sumar los exponentes o considerar sólo uno de los exponentes).

(85)3 = 85 × 3 = 815

Lo que aprendimos 1. Relaciona las columnas (

) 5 2 × 53

(a) 30

(

) 52 + 5 3

(b) 56

(

) (52)3

Sugerencia didáctica. En los dos últimos casos se tiene que aplicar la regla dos veces consecutivas. Usted puede comentar en grupo que en estas situaciones se generaliza la regla, por lo que se multiplican los tres exponentes.

2. Expresa el resultado de las siguientes operaciones como una potencia: a) (36)1 =

3 6

b) (51)4 =

c) (210)5 =

2 50

d) (42)6 =

412

e) (34)2 =

3 8

f) (27)5 =

2 35

g) ((23)2)4 =

2 24

h) ((32)5)7 =

370

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9/10/07 12:39:44 PM

Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren diferentes ejemplos para comprobar la generalidad de la regla de los exponentes para calcular potencias de potencias.

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secuencia 24

Propósito de la sesión. Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular cocientes de potencias enteras positivas de la misma base.

SESIÓN 3

COCIENTES DE POTENCIAS

Para empezar

En las sesiones anteriores realizaste productos de potencias de la misma base y potencias de potencias. En esta sesión harás cocientes de potencias de la misma base.

Propósito de la sesión en el aula de medios. Realizar el cociente de potencias enteras positivas de la misma base.

Consideremos lo siguiente Encuentra el resultado de los siguientes cocientes de potencias de la misma base y exprésalo utilizando una potencia:

Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 3.

Operación

Propósitos de la actividad. Que los alumnos calculen numéricamente el resultado de los cocientes de potencias y que identifiquen cuál es el exponente de algunas potencias; que expresen el resultado mediante una potencia.

25 = 32 = 4 22

34 = 32

= 2×2×2×2×2×2 = 2×2×2×2

2 4

2 = 16 = 27 128

Posibles dificultades. Es probable que algunos alumnos tengan dificultades para simplificar las fracciones, si esto es así, usted puede ayudarles a recordar cómo se hace esto (en la siguiente actividad se les aclara). Lo importante es que en este momento los alumnos tengan la oportunidad de explorar cómo se obtiene el resultado de un cociente de potencias de la misma base, y para ello se les dan algunas pistas en algunos de los casos de la misma tabla. Más adelante se les muestra el procedimiento correcto.

3 3

=2 =

3×3 = = 3×3×3×3

22 = 28

= =

1 2 1 3 1 2

Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar el resultado de cada cociente y cómo encontraron los exponentes que faltaban.

Manos a la obra Recuerda que: fracción, se Para simplificar una número al divide por el mismo ominador. numerador y al den

Respuestas.

÷6

8 = 23

6 Por ejemplo: 24 =

81 = 9 = 32 9 6 2 = 64 = 4 = 2 2 24 16 1 = 13 8 2 32 9 = = 1 = 12 34 81 9 3 22 4 1 1 = = = 28 256 64 24

Expresa el resultado como una potencia de la misma base

÷6

= 1 4

1 son equivalentes. 6 Entonces 24 y 4

i. Encuentra el resultado de los siguientes cocientes y exprésalo como una potencia de la misma base. 6 a) 22 = 64 = 2 4

4 b) 33 = 3

7 c) 23 = 2

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Sugerencia didáctica. Si hubo dificultades para simplificar las fracciones, dedique un poco más de tiempo a revisar con los alumnos cómo se hace esa simplificación apoyándose en la información del marco Recuerda que; si lo considera pertinente, usted puede mostrar otros ejemplos en el pizarrón o pedir a algunos alumnos que simplifiquen otras fracciones. Respuestas. a) 16 = 24 b) 81 = 3 = 31 27

c) 128 = 16 = 24

8 1 3 31 e) 8 = 1 = 13 64 8 2 f) 9 = 1 = 15 2187 243 3

d) 1 =

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9/10/07 1:23:45 PM

MATEMÁTICAS 2 d) 33 = 9 = 3 27

3 e) 26 = 2

2 f) 37 = 3

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen por qué se restan los exponentes en un cociente de potencias.

1 3

Con frecuencia se utiliza la cancelación de factores diciendo frases como “este factor se va con éste” o “cancelamos estos factores”, lo que lleva a los alumnos a pensar que todos los factores del numerador o del denominador se anulan, y que el resultado es 0.

II. En un cociente de potencias, se puede expresar cada potencia como una multiplicación y, para simplificar, se separan los factores: 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 22 2×2 2 2

En esta actividad se hace explícito que no se está cancelando, sino que, al separar los factores, algunas divisiones dan como resultado 1. También se explora el resultado de un cociente de potencias de la misma base en el que los exponentes son iguales.

a) ¿Cuál es el resultado de 2 ? 2 b) Completa las operaciones con el resultado de 2 : 2 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 22 2 2

×2×2×2×2=

c) El resultado lo podemos expresar como una potencia de 2:

a) 2 = 1 2

26 = 2 22

b) 2 2 = 2

d) En el siguiente cociente de potencias, completa los resultados para simplificar los factores:

2 2

×2×2×2×2=1×1×2×

× 2 × 2 × 2 = 16 6

23 = 2×2×2 = 2 × 2 × 2 × 1 × 1 = 25 2×2×2×2×2 2 2 2 2 2

c) 2 2 = 24 2 3 d) 2 5 2

× 1 × 1 = 2 2

e) Expresa el resultado utilizando una potencia de 2:

e) 2 5 =

2 5 f) 2 5 2 7 g) 2 7 2

f) Completa las operaciones y encuentra el resultado:

2 2

= 2×2×2×2×2 = 2×2×2×2×2

7 g) 27 = 2

2 × 1× 1 = 2 2 2 × 1 × 1 = 1 2 2 4

=1×1×1

23 = 1 25 2

1 22 2 × 2× 2× 2× 2 2 2 2 2 2

Sugerencia didáctica. Se espera que los alumnos ya hayan identificado que es necesario restar los exponentes. Si no es así, usted puede sugerirles que realicen sus procedimientos como se hizo en la actividad anterior.

III. Expresa el resultado de los siguientes cocientes utilizando una potencia de la misma base. 9 a) 24 = 2

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a) 2 4 = 2 5

2 8 b) 3 1 3 4 c) 5 8 5 8 d) 414 4

= 37 = =

1 54 1 46

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secuencia 24 8 b) 31 = 3

Respuestas. Para encontrar los exponentes del resultado se deben restar los exponentes del cociente. El resultado de

5 59

4 c) 58 = 5 8 d) 414 = 4

es 1. Comparen sus respuestas. Comenten: a) ¿Cuál es la relación entre los exponentes del cociente y el exponente del resultado?

Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con los alumnos, posteriormente pídales que agreguen en sus cuadernos algunos ejemplos distintos a los que se muestran en cada uno de los casos.

Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren diferentes ejemplos para comprobar la generalidad de la regla de los exponentes para calcular el cociente de potencias.

9 b) ¿Cuál es el resultado de 59 ? 5

A lo que llegamos • En un cociente de potencias de la misma base, cuando el exponente en el numerador es mayor que el exponente en el denominador, el resultado es igual a la misma base elevada a la diferencia de los exponentes. En general, si n > m.

a n = n−m am a

Por ejemplo:

613 = 613−5 = 68 65 • Cuando el exponente en el numerador es menor que el exponente en el denominador, el resultado es igual a una fracción con numerador igual a uno y con denominador igual a una potencia de la misma base elevada a la diferencia de los exponentes. En general, si n < m. Por ejemplo:

an = 1 a m a m−n

74 = 1 = 1 7 12 78 712−4 • Si los dos exponentes son iguales, el resultado es igual a uno. En general, Por ejemplo:

an = 1 an 96 = 1 96

110

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MATEMÁTICAS

Lo que aprendimos Expresa el resultado de los siguientes cocientes de potencias. Utiliza una potencia de la misma base. 9 a) 34 = 3

12 b) 5 3 = 5

3 5

2 7

1 67

c) 21 = 2 e) 69 = 6

1 35 1 8 11

d) 43 = 4 f) 311 = 3

11 g) 211 = 2

10 h) 821 = 8

18 i) m 9 = m

m 9

7 j) a15 a

Propósito de la sesión. Interpretar el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

1 a8

EXPONENTES NEGATIVOS

SESIÓN 4

Para empezar

En la sesión anterior encontraste el resultado de cocientes de potencias. En esta sesión trabajarás con exponentes negativos.

Consideremos lo siguiente

Posibles dificultades. Es probable que algunos alumnos no sepan cuál es el resultado que corresponde a 2 0 , pero pueden responder identificando el patrón. En actividades posteriores de esta misma sesión, tendrán oportunidad de justificar el resultado de esa potencia.

Completen los resultados y respondan las preguntas:

2−1

2−2

1 2

1 4

2−3

1 8

2−4

1 16

2−5

1 32

a) ¿Entre cuánto se divide para pasar del resultado de 24 al resultado de 23?

Entre 2

b) ¿Entre cuánto se divide para pasar del resultado de 2 al resultado de 2 ?

Entre 2

c) ¿Entre cuánto se divide para pasar del resultado de 2 al resultado de 2 ?

Entre 2

d) ¿Entre cuánto se divide para pasar del resultado de 2−2 al resultado de 2−3?

Entre 2

−1

−2

2−6

1 64

2−7

1 128

Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar el resultado de 20 y de las potencias con exponente negativo.

111

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Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que hay un patrón en las potencias consecutivas: siempre se multiplica por dos o se divide entre dos. Se les da el resultado de dos potencias negativas para que los alumnos puedan intuir que el patrón se continúa hacia los negativos.

Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos comenten entre ellos y que estén todos de acuerdo en las respuestas de la tabla, pues ésta puede servirles de apoyo para actividades posteriores. Usted puede sugerirles que revisen sus resultados considerando que siempre se hace la misma operación para pasar de una potencia a la siguiente.

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Propósito de la sesión en el aula de medios. Realizar productos y cocientes de potencias enteras, fraccionarias, positivas y negativas. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 4.

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Propósito de la actividad. Establecer la relación entre una potencia de exponente negativo y un cociente en el que el numerador es 1 y el denominador es una potencia de la misma base con exponente positivo.

secuencia 24

Manos a la obra i. Entre dos potencias consecutivas, como las de la tabla, siempre se hace la misma operación para pasar de una potencia a la siguiente. Completen los resultados. a)

Respuestas.

a) 1

8 b) 1 = 13 = 2 –3 8 2 c) 1 = 15 = 2 –5 32 2 d) 1 = 16 =2 –6 64 2

c) d)

1 8 1 16 1 32 1 64

= = = =

1 2 1 2 1 2 1 2

= 2−3 =2 =2 =2

ii. Completen lo que falta en la tabla y respondan las preguntas:

Propósito de la actividad. Establecer el mismo patrón para potencias de base 3: siempre se divide entre 3 para pasar de una potencia a la siguiente.

3 0

3−2 3−3 3 –1

3−4

1 3 3

1 9

1 81

1 27

1 a) Los resultados de 32 y de 3−2, ¿son iguales o son diferentes?

b) ¿Cuánto es el resultado de 30?

Respuestas.

iii. Encuentren los resultados de las siguientes potencias. Exprésalos sin utilizar otra potencia.

a) Son iguales.

a) 50 =

b) Es 1.

b) 5−2 = c) 5−4 =

Respuestas.

Comparen sus respuestas. Hagan una tabla como las anteriores para verificar sus resultados.

a) 1 1 25 c) 1 625

A lo que llegamos

Sugerencia didáctica. En caso de que identifique en sus alumnos dificultades para resolver esta actividad, proponga que hagan una tabla parecida a las anteriores para las potencias de base 5, la actividad puede ser resuelta entre todo el grupo.

Una potencia con exponente negativo es igual a una fracción cuyo numerador es uno y cuyo denominador es una potencia de la misma base con exponente igual al valor absoluto del exponente negativo. Si n > 0 a -n = 1

Una potencia con exponente cero es igual a uno.

a0 = 1 112

Sugerencia didáctica. Usted puede sugerirles que escriban otros ejemplos.

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Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren diferentes ejemplos de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

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MATEMÁTICAS

Propósito de la actividad. Generalizar la regla para un cociente de potencias de la misma base: para obtener el resultado se restan los exponentes del cociente.

IV. Encuentren los exponentes que faltan. a) c) e) g)

76 26 2 38 38 610 610

1 7 1 2

= 2–18

=1=3

8 815

1 810

Sugerencia didáctica. Una vez que los alumnos hayan resuelto, enfatice aquellos casos en los que resulta el exponente cero, pues es otra oportunidad para que los alumnos puedan justificar porqué una potencia con exponente cero es igual a la unidad.

1 a1 = =a a5 a 4 46 53 50

=1=4

Respuestas.

A lo que llegamos

a) 76 = 2

En cualquier cociente de potencias de la misma base, el resultado es igual a una potencia de la misma base elevada a la diferencia de los exponentes. En general

a n = a n-m am Por ejemplo: 815 = 815-9 = 86 89 7

6 = 67-12 = 6 -5 612 54 = 54-4 = 50 = 1 54

8 b) 719 = 7 7

4 c) a 6 = a a

15 d) b 27 = b b

11 e) 224 = 2 2

4 f) 211 = 2 2

= = =

1 74 1 810 1 218 1 a4

= 7–4 = 8 –10 = 2 –18 = a–4

= 1 = 30 = 1 = 40 = 1 = 60 =

125 1

= 53

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que escriban en su cuaderno otros ejemplos que ilustren esta regla.

V. Expresen el resultado de cada cociente utilizando una potencia de la misma base. 11 a) 516 = 5 5

7 5 b) 815 8 6 c) 224 2 1 d) a 5 a 8 e) 3 8 3 6 f) 4 6 4 10 g) 610 6 3 h) 5 0 5

Respuestas. a) 5 –5 b) 7–11 c) a–2 113

d) b–12 e) 27

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f) 2 –7

Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren diferentes ejemplos para comprobar la generalidad de la regla de los exponentes para calcular el cociente de potencias de la misma base.

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9/10/07 1:24:02 PM

Integrar al portafolios. Considere las tres actividades que se proponen en este apartado para valorar los aprendizajes de los alumnos. En caso de que identifique dificultades en la resolución, resuelva algunos de los ejercicios apoyándose en tablas y en los análisis como los que se presentan en la actividad II del apartado Manos a la obra; asimismo, revise nuevamente con ellos los apartados A lo que llegamos de esta sesión.

secuencia 24

Lo que aprendimos 1. Encuentra el resultado de las siguientes potencias. Exprésalos sin utilizar otra potencia. a) 3−4 =

b) 2−8 =

c) 2 =

d) 9−2 =

e) 5−2 =

f) 30 =

g) 150 =

h) 4−1 =

−1

2. Relaciona las columnas de manera que los resultados sean los mismos

Respuestas.

(

22 ) 23

(a) 3−2

El resultado puede expresarse con una fracción o con números decimales.

(

35 ) 37

(b) 3−8

a) 14 3 b) 18 2 c) 11 2 d) 12 9 e) 12 5

= = = = =

1 81 1 256 1 2 1 81 1 25

f) 1

(

3 ) 39

(

27 ) 27

(d) 2−1

(

2 ) 28

(e) 3−6

(

32 ) 310

(f) 20

(

27 ) 29

(g) 2−2

3. Calcula las siguientes potencias de diez, utiliza números decimales cuando sea necesario.

g) 1 h) 11 =

1 4

Propósito de la actividad. Hallar el resultado de las potencias de 10; estos resultados podrán utilizarse en la siguiente sesión. Los alumnos pueden encontrar los resultados obteniendo primero los resultados como fracción y luego convirtiéndolos a número decimal; también pueden ir dividiendo entre 10 para obtener el resultado de cada potencia.

104

10−1

103

10−2

102

10−3

101

10−4

100

10−5

10−6

114

Respuestas. 10 4 = 10 000

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10 3 = 1 000 10 2 = 100 101 = 10 10 0 = 1 10 –1 = 0.1 10 –2 = 0.01 10 –3 = 0.001 10 –4 = 0.0001 10 –5 = 0.00001 10 –6 = 0.000001

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MATEMÁTICAS

NOTACIÓN CIENTÍFICA

SESIÓN 5

Para empezar

Propósito de la sesión. Utilizar la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

Números muy grandes y muy pequeños ¿Cuál es la masa del Sol? ¿Cuál es el tamaño de un átomo? Para manipular y hacer operaciones con cantidades muy grandes o muy pequeñas se utiliza la notación científica. Respondan las preguntas. a) ¿Cuántos ceros hay después del 1 en 104? b) ¿Cuántos ceros hay después del 1 en 1029? c) ¿Cuántas cifras hay después del punto decimal en 10−6? d) ¿Cuántas cifras hay después del punto decimal en 10−42? Recuerda que:

Consideremos lo siguiente Las cantidades muy grandes o muy pequeñas las podemos expresar utilizando potencias de 10. Completa la siguiente tabla. Medida expresada utilizando una potencia de diez

Medida

Distancia media de la Tierra a la Luna

380 000

Distancia media de la Tierra al Sol

150 000 000 km

Año luz (distancia que recorre la luz en un año)

000 000 000 km 9 500

Tamaño de un bacteria

mm 0.005

Tamaño de un virus Tamaño de un átomo

0.000018 0.0000000001 mm

3.8 × 105 km 1.5 ×

10 8

9.5

× 1012 km

× 10−3 mm

1.8 × 10–5 mm

1 × 10 –10 mm También 10 –10

Comparen sus respuestas. Comenten cómo son los números que multiplican a las potencias de 10 en la tabla.

Al multiplicar números decimales, una manera de saber dónde colocar el punto decimal es sumando el número de cifras que hay a la derecha del punto decimal en el primer factor y en el segundo factor, y en el resultado poner esa cantidad de cifras decimales. Por ejemplo: 1.2 × 0.7 = 0.84, ya que 12 × 7 = 84 y hay dos cifras en total a la derecha del punto decimal, en los dos factores.

Sugerencia didáctica. Comente la situación que se plantea con los alumnos, e invítelos a plantear otras situaciones en las que es necesario trabajar con cantidades demasiado pequeñas o demasiado grandes. Seguramente hallarán ejemplos en algunos de los temas que han tratado en las clases de Ciencias, también es probable que en algunas de las actividades comerciales o productivas de la región se presenten cantidades de ese tipo.

Descripción del video. Se dan los contextos necesarios para entender situaciones en las que se utilizan números muy grandes o muy pequeños.

Cuando hagan falta lugares para poner el punto en el lugar adecuado se completa la cantidad con ceros. Por ejemplo: 2.841 × 0.00005 = 0.00014205, ya que 2 841 × 5 = 14 205 y hay ocho cifras en total a la derecha del punto decimal, en los dos factores.

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Propósito de la actividad. Que los alumnos generalicen los resultados obtenidos en el ejercicio 3 del apartado Lo que aprendimos de la sesión anterior, para encontrar la relación entre las potencias de 10 y el resultado expresado en números decimales. Respuestas. a) 4 b) 29 c) 6 d) 42

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Sugerencia didáctica. Invite a los alumnos a que lean la información que se les presenta en el marco Recuerda que. Si lo considera necesario, puede comentar esa información con todo el grupo y resolver el primer renglón de la tabla como un ejemplo. Posibles procedimientos. Algunos alumnos podrían buscar los resultados realizando las operaciones con papel y lápiz, otros podrían usar la calculadora. Durante la comparación de resultados, invite a unos y a otros a mostrar al grupo cómo completaron la tabla. Usted puede aprovechar el momento para que los alumnos aprendan a utilizar la calculadora para hacer operaciones con exponentes. Es importante aclarar a los alumnos que una desventaja de las calculadoras es que, la mayoría de ellas, sólo puede presentar 8 dígitos en la pantalla, por lo que es probable que les presente la palabra error en la pantalla si tratan de trabajar con más de 8 dígitos.

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Propósito de la actividad. Que los alumnos se den cuenta de que hay un patrón cuando multiplicamos por potencias de 10 con exponente positivo: el punto se va recorriendo hacia la derecha, en ocasiones es necesario agregar ceros al resultado. Usted puede recordarles que, en el caso de los números que no tienen cifras después del punto decimal, el punto está hasta la derecha, aunque no se coloque explícitamente.

secuencia 24

Manos a la obra i. Realiza las multiplicaciones.

Sugerencia didáctica. Si lo considera conveniente, usted puede organizar la comparación de resultados de esta tabla antes de pasar a la siguiente actividad.

5.153 × 100 =

5.153

5.153 × 101 =

51.53

5.153 × 102 =

515.3

5.153 × 103 =

5153

5.153 × 104 =

51530

5.153 × 1010 =

51530000000

5.153 × 1015 =

5153000000000000

5.153 × 1020 =

515300000000000000000

Escribe una regla para realizar multiplicaciones cuando uno de los factores es una potencia de 10 con exponente positivo:

Propósito de la actividad. Que los alumnos se den cuenta de que hay un patrón cuando multiplicamos por potencias de 10 con exponente negativo: el punto se va recorriendo hacia la izquierda.

ii. Realiza las multiplicaciones.

7.25 × 10–1 = 7.25 × 0.1 = 0.725 7.25 × 10–2 = 7.25 × 0.01 =

0.0725

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Sugerencia didáctica. Solicite un voluntario para leer su texto frente al grupo. Escriba en el pizarrón las frases que puedan ser mejoradas y pida al resto del grupo que las comenten. Cuando terminen, reescriban la regla entre todos.

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MATEMÁTICAS

7.25 × 10–3 =

0.00725

7.25 × 10–4 =

0.000725

7.25 × 10–5 =

0.0000725

7.25 × 10–6 =

0.00000725

7.25 × 10–10 =

0.000000000725

7.25 × 10–15 =

0.00000000000000725

7.25 × 10–22 =

0.000000000000000000000725

7.25 × 10–30 =

0.00000000000000000000000000000725 Sugerencia didáctica. Utilice la misma estrategia que con la regla anterior para lograr tener una regla común.

Escribe una regla para realizar multiplicaciones cuando uno de los factores es una potencia de 10 con exponente negativo:

Propósito de la actividad. Que los alumnos logren identificar que no es necesario realizar la multiplicación con lápiz y papel o con la calculadora, basta con recorrer el punto decimal tantos lugares como sea necesario.

III. Realiza las siguientes multiplicaciones. Utiliza las reglas que escribiste. a) 1.9164 × 107 =

Respuestas.

b) 4.4 × 1018 =

a) 19 164 000 c) 2.57 × 10−8 =

b) 4 400 000 000 000 000 000

d) 9.23 × 10−21 =

c) 0.0000000257

Comparen sus respuestas. Entre todos escriban en el pizarrón una regla para multiplicar números cuando uno de los factores es una potencia de 10.

d) 0.00000000000000000000923

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Sugerencia didáctica. Como una actividad adicional, usted puede pedir a los alumnos que busquen en el periódico, en revistas o en las páginas electrónicas y en los libros que se señalan en el apartado Para aprender más, datos numéricos expresados con la notación científica o que ellos mismos los expresen de esa manera. Con esa información pueden hacer un cartel de Datos interesantes y exhibirlo en el salón o en el periódico mural de la escuela.

secuencia 24

A lo que llegamos La notación científica es una convención para expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas. Un número está en notación científica cuando se expresa de la forma

a × 10n Donde a es un número mayor que 1 y menor que 10 y n es un número entero. Por ejemplo, los siguientes números están en notación científica: 1.76 × 1015 4.034 × 10 –8

Propósito del interactivo. Reconocer números representados en notación científica. Practicar la representación de números muy pequeños y muy grandes usando notación científica.

Cuando multiplicamos un número por una potencia de 10 con exponente positivo, el punto se recorre hacia la derecha tantos lugares como el valor del exponente. Si es necesario, se completa la cantidad con ceros. Por ejemplo: 1.76 × 1015 = 1 760 000 000 000 000 El punto se recorre hacia la derecha 15 lugares Cuando multiplicamos un número por una potencia de 10 con exponente negativo, el punto se recorre hacia la izquierda tantos lugares como el valor absoluto del exponente: Si es necesario, se completa la cantidad con ceros. Por ejemplo: 4.034 × 10 –8 = 0.00000004034 El punto se recorre hacia la izquierda 8 lugares

Respuestas.

iV. Responde las preguntas

a) 5.25 × 10 8 km.

a) La distancia media de Urano al Sol es aproximadamente de 525 000 000 km. Señala cuál de las siguientes expresiones es igual a esta cantidad en notación científica.

b) 3 × 10 –4 mm.

• 525 × 106 km.

• 5.25 × 109 km.

• 5.25 × 108 km.

• 525 × 108 km.

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MATEMÁTICAS

b) Una célula mide aproximadamente 0.0003 mm. Señala cuál de las siguientes expresiones es igual a esta cantidad en notación científica. • 3 × 10–3 mm. • 0.3 × 10–3 mm. • 0.3 × 10–4 mm. • 3 × 10–4 mm.

V. Relaciona las columnas para que cada número quede expresado en notación científica: (

) 56 712 000 000 000 000

(a) 6.1 × 10–11

(

) 0. 0000000000061

(b) 3.88 × 1022

(

) 388 000 000 000 000 000 000 000

(

) 0. 0000000000000000000854

(d) 5.6712 × 1015 (e) 3.88 × 1023 (f) 8.54 × 10–19 (g) 5.6712 × 1017 (h) 6.1 × 10–13 (i) 8.54 × 10–21 (j) 6.1 × 10–12 (k) 5.6712 × 1016 (l) 3.88 × 1024

Comparen sus respuestas. 119

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Integrar al portafolios. Considere los ejercicios 1 y 4 para valorar los aprendizajes de los alumnos. Si identifica que aún tienen dificultades, revise junto con sus alumnos algunos de los incisos (unos de potencias positivas y otros de potencias negativas) y analícelos de manera similar a como se presenta en las actividades I y II del apartado Manos a la obra. Comente nuevamente con los alumnos el apartado A lo que llegamos de esta sesión.

Posibles errores. Algunos alumnos podrían responder que 0.65 x 10 34 está en notación científica; esto es erróneo porque 0.65 no es un número entre 1 y 10. Usted puede recomendarles que lean nuevamente el apartado A lo que llegamos de esta sesión y que identifiquen las condiciones para que se considere que un número está en notación científica.

Posibles procedimientos. Algunos alumnos encontrarán el resultado numérico de las multiplicaciones y posteriormente lo expresarán en notación científica. Por ejemplo:

secuencia 24

Lo que aprendimos 1. Expresa en notación científica los siguientes números.

1.2 × 10 6

b) 73 000 000 000 000 = 7.3

c) 37 850 000 =

3.785 × 107

d) 0.0000009 =

e) 0.000000000828 = 8.28 2. Señala con una (

¸)

5.65 × 10

× 10 –10 f)

× 1013

9 × 10 –7 3.371 × 10 –3

0.003371 =

cuáles de los siguientes números están en notación científica. (

(

) 17 × 10–11

(

) 325.435 × 10

(

) 5 650 000

¸)

(

1.7 × 10–16

) 0.65 × 10

(

) 56.5 × 10234

(

) 0.0000000000017

(

) 0.003 × 10–8

3. Completa la siguiente tabla. Medida

Medida expresada en notación científica

Masa de la Tierra

5 974 000 000 000 000 000 000 000 kg

5.974 × 1024 kg

Masa del Sol

1 989 100 000 000 000 000 000 000 000 000 kg

1.9891 ×

Vida media de un muón (partícula similar a un electrón)

0.0000022 s

Masa de un protón

0.0000000000000000000000000016 kg

2.2

10 30

× 10–6 s

1.6 × 10–27 kg

4. Expresa en notación científica el resultado de las siguientes multiplicaciones:

(4 × 10 ) × (3 × 10 ) = 400 000 × 300 000 000 = 120 000 000 000 000 = 1.2 × 1014 5

a) 1 200 000 =

a) (4 × 105) × (3 × 108) =

1.2 × 1014

b) (1.3 × 10 ) × (7 × 10 ) =

9.1 × 1010

c) (8 × 10–4) × (6 × 10–3) =

4.8 × 10 –6

d) (5 × 108) × (2.1 × 10–2) =

1.05 × 107

Otros alumnos se darán cuenta de que se puede multiplicar aparte los números y las potencias de diez, pero es posible que no expresen el resultado final en notación científica. Por ejemplo:

5. Para conocer más sobre el cálculo con exponentes y potencias pueden ver el programa Leyes de los exponentes y notación científica.

(4 × 10 5) × (3 × 10 8) = 12 × 1013 120

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9/10/07 12:40:00 PM

Propósito del programa integrador 19. Ejemplificar las leyes de los exponentes y explicar el uso de la notación científica para manejar y operar cantidades muy grandes o muy pequeñas. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.

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9/10/07 1:24:25 PM

MATEMÁTICAS

Para saber más Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “Potencias, chismes y cadenas”, “Unidades astronómicas y microscópicas”, “Numerotes” y ”Un número muy grande” en Una ventana al infinito. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. Tonda Mazón, Juan. “Potencias de diez” y “Notación científica” en La medición y sus unidades. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.

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9/10/07 1:24:28 PM

secuencia 25

Propósito de la sesión. Identificar el criterio Lado, Lado, Lado (LLL) para la congruencia de triángulos.

Triángulos congruentes

Propósito de la actividad. Que los alumnos se familiaricen con el término figuras congruentes y que identifiquen las condiciones para que dos polígonos sean congruentes.

En esta secuencia estudiarás los criterios de congruencia de triángulos.

Sugerencia didáctica. Asegúrese de que los alumnos puedan enunciar las condiciones para que dos polígonos sean congruentes, pues esos criterios les permitirán trabajar con el resto de las actividades de esta secuencia.

sesión 1

tres lados iguales

Para empezar Figuras congruentes

En geometría, a las figuras que son iguales se les llama figuras congruentes. Una forma de verificar la congruencia entre dos o más figuras geométricas es sobreponiéndolas y ver que coincidan.

Descripción del video. Se dan las condiciones para que dos polígonos sean congruentes. Se utilizan los recursos visuales para comparar polígonos distintos, sobreponiendo lados, ángulos y figuras completas para verificar si son congruentes o no. Posibles procedimientos. Para trazar el triángulo algunos alumnos podrían medir los segmentos y después intentar construir el triángulo al tanteo.

Lo anterior significa que dos polígonos son congruentes si se puede hacer corresponder los lados y los ángulos de uno con los lados y los ángulos del otro, de manera que:

Permita que lo construyan como puedan, posteriormente puede recordarles que hay formas de construir el triángulo utilizando regla sin graduación y compás.

a) Cada lado de uno de los polígonos mida lo mismo que su correspondiente en el otro polígono, y b) Cada ángulo interno de uno de los polígonos mida lo mismo que su correspondiente en el otro polígono.

Consideremos lo siguiente Construyan y recorten dos triángulos cuyos lados midan lo mismo que los siguientes segmentos:

Propósito del interactivo. Explorar la congruencia de triángulos con el criterio Lado, Lado, Lado. 122

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Eje

Propósito de la secuencia Determinar los criterios de congruencia de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

Forma, espacio y medida. Tema

9/10/07 12:40:34 PM

Sesión

Propósitos de la sesión

Formas geométricas. Antecedentes Desde la primaria los alumnos se han familiarizado con la reproducción de figuras considerando su tamaño y forma. En el libro Matemáticas I, volumen I, en la secuencia 5 Simetría , estudiaron las características de la congruencia de figuras: segmentos correspondientes iguales y ángulos correspondientes iguales; en la secuencia 19 Existencia y unicidad del volumen II, estudiaron los criterios para determinar si existe un triángulo a partir de ciertas medidas de los lados, y si existe sólo una solución o varias. En esta secuencia, a partir de ciertos datos, los alumnos explorarán, mediante construcciones, si tales datos son suficientes y si hay más de una solución correcta. Se espera que logren enunciar los criterios de congruencia de triángulos. 138

Recursos

Tres lados iguales Identificar el criterio Lado, Lado, Lado (LLL) para la congruencia de triángulos.

Video Figuras congruentes Interactivo Congruencia de triángulos

Un ángulo y dos lados correspondientes iguales Identificar el criterio Lado, Ángulo, Lado (LAL) para la congruencia de triángulos.

Interactivo Congruencia de triángulos

Un lado y dos ángulos correspondientes iguales Identificar el criterio Ángulo, Lado, Ángulo (ALA) para la congruencia de triángulos.

Interactivo Congruencia de triángulos Programa integrador 20

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9/10/07 1:33:05 PM

MATEMÁTICAS

a) ¿Pudieron construir un triángulo cuyos lados midan lo mismo que los tres segmentos dados?

sí

¿Por qué?

b) ¿Los triángulos que construyeron son congruentes o son diferentes?

Sugerencia didáctica. Apoye la formulación de argumentos por parte de sus alumnos recordándoles algunas de las propiedades de los triángulos que estudiaron en primero: dados tres segmentos, es posible construir un triángulo si la suma de las medidas de cualesquiera dos segmentos es mayor que la medida del tercero.

son congruentes

c) ¿Cómo son las medidas de los lados de uno de los triángulos respecto a las medidas de los lados del otro triángulo?

iguales

d) ¿Cómo son las medidas de los ángulos de uno de los triángulos respecto a las medidas de los ángulos del otro triángulo?

iguales

e) ¿Creen que se pueda construir un triángulo con la misma medida de lados y que sea diferente a los que construyeron?

Invite a las parejas de alumnos a que comparen los triángulos que construyeron; se espera que identifiquen que todos los triángulos son iguales, en caso de que alguna pareja piense que es posible construir triángulos diferentes con las medidas que se les dieron, en las siguientes actividades tendrán oportunidad de confrontar sus afirmaciones.

Comparen sus respuestas.

Manos a la obra I. En la siguiente figura, el segmento AB mide 7 cm y el radio de la circunferencia con centro en A mide 5 cm. Elijan tres puntos de la circunferencia que no sean colineales con A y B, y denótenlos como C1, C2 y C3, respectivamente. Recuerden que: ineales si Tres puntos son col misma recta. pertenecen a una

Recuerden que: Un triángulo se pue de denotar por las letr as asignadas a sus tres vértices. Así el triá ngulo O P Q se denota como el triángulo OPQ.

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Propósito de la actividad. Que logren identificar que tener como datos dos lados de un triángulo no lo determina. Sugerencia didáctica. Es importante que lea y comente con sus alumnos la información sobre cómo se denota un triángulo para que puedan contestar las preguntas que después se les plantean. Las medidas que se les solicitan de cada uno de los lados dependerán de los puntos que los alumnos hayan elegido en la circunferencia.

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secuencia 25 a) Tracen el triángulo ABC1, ¿cuánto mide el lado BC1? b) Tracen el triángulo ABC2, ¿cuánto mide el lado BC2? c) Tracen el triángulo ABC3, ¿cuánto mide el lado BC3? Comparen sus respuestas. Comenten:

Sugerencia didáctica. Apoye la puesta en común de los alumnos para que se percaten de que con esos dos datos (dos lados correspondientes iguales) es posible construir una infinidad de triángulos diferentes entre sí.

a) ¿Cómo son los triángulos entre sí: congruentes o distintos? b) ¿Pueden construir más triángulos que tengan un lado de 7 cm de largo y otro de 5 cm y que sean diferentes entre sí? Constrúyanlos. ii. En la siguiente figura el segmento O1O2 mide lo mismo que el segmento MN. El radio del círculo con centro O1 mide lo mismo que el segmento SP. Y el radio del círculo con centro en O2 mide lo mismo que el segmento QR.

Propósito del interactivo. Que los alumnos recuerden cómo se puede construir con regla no graduada y compás un triángulo cuyos lados midan lo mismo que tres segmentos dados.

n M Q

Propósito de la actividad. Que los alumnos recuerden cómo se puede construir con regla no graduada y compás, un triángulo cuyos lados midan lo mismo que tres segmentos dados.

R Figura 1

Construyan dos triángulos cuyos lados midan lo mismo que de los segmentos MN, OP y QR. Usen al segmento O1,O2 como uno de los lados. a) ¿Lograron elegir dos puntos que cumplieran con las condiciones pedidas? Justifiquen su respuesta b) Midan los ángulos internos de los triángulos que construyeron y contesten, ¿cómo

Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos la definición de figuras congruentes: lados y ángulos correspondientes iguales.

Sugerencia didáctica. Comente esta información con los alumnos y ayúdeles a recordar que en Matemáticas I aprendieron que si se dan las medidas de los tres lados, es posible construir un triángulo único.

son entre sí las medidas de los dos triángulos? Comparen sus respuestas. Midan los ángulos de los triángulos y verifiquen sus respuestas. Comenten: ¿podrán construir algún triángulo cuyos lados midan lo mismo que los segmentos MN, OP y QR pero las medidas de sus ángulos distintos sean distintas a las de los triángulos que construyeron?

A lo que llegamos Dadas las medidas de los tres lados, todos los triángulos que se pueden construir con esas medidas son congruentes entre sí. Si se toman solamente las medidas de dos lados, se puede construir muchos triángulos diferentes entre sí que tengan dos lados con esas longitudes. 124

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MATEMÁTICAS

III. Las medidas de los lados del triángulo ABC son iguales a las medidas de los lados del triángulo DEF. Marquen del mismo color las parejas de lados que tienen la misma medida. Marquen del mismo color las parejas de ángulos iguales. F E A

C D

sí

a) ¿Son congruentes los triángulos ABC y DEF?

Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos que en la notación de ángulos, la letra que aparece en medio de las otras dos denota el vértice del ángulo al que se hace referencia.

Completen las siguientes afirmaciones para que sean verdaderas: b) El lado AB es el correspondiente del lado

c) El lado BC es el correspondiente del lado

d) El lado CA es el correspondiente del lado

e) El ángulo ABC es el correspondiente del ángulo

DEF

f) El ángulo BCA es el correspondiente del ángulo

EFD

g) El ángulo CAB es el correspondiente del ángulo

FDE

Sugerencia didáctica. Comente a los alumnos que, para verificar la congruencia de polígonos, es necesario comprobar la igualdad de ángulos y lados correspondientes, mientras que para verificar la congruencia de triángulos sólo se necesita comprobar la igualdad de lados correspondientes.

A lo que llegamos Para que dos triángulos sean congruentes es suficiente que las medidas de los tres lados de un triángulo sean iguales a las medidas de los tres lados correspondientes de otro triángulo. Éste es un criterio de congruencia de triángulos que se denota por LLL.

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Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de su respuesta a este ejercicio. Si tienen dificultades repasen la información del apartado A lo que llegamos.

secuencia 25

Lo que aprendimos Justifica si en cada figura los triángulos resaltados son congruentes entre sí.

Respuesta. En el paralelogramo, los triángulos comparten un lado y, por definición, los otros dos lados correspondientes son iguales. En el pentágono regular cada triángulo tiene dos lados iguales a los lados del pentágono y el tercer lado es igual a una diagonal; por ser un polígono regular, todas las diagonales miden lo mismo. En el papalote y en el heptágono irregular sus lados correspondientes no son iguales.

Paralelogramo

sesión 2

Pentágono regular

Papalote

Heptágono irregular

un ángulo y dos lados correspondientes iguales

Para empezar

En la sesión anterior aprendiste el criterio de congruencia LLL: dos triángulos son congruentes si las medidas de los tres lados de uno son iguales a las medidas de los tres lados correspondientes del otro. Para denotar que dos triángulos son congruentes se utiliza el símbolo . Y se escribe: OAB OCD. Y se lee: el triángulo OAB es congruente con el triángulo OCD.

Propósito de la sesión. Identificar el criterio Lado, Ángulo, Lado (LAL) para la congruencia de triángulos.

Consideremos lo siguiente Sugerencia didáctica. Ayude a los alumnos a recordar distintas formas para obtener un ángulo de 45º: bisectar uno de 90°, trazar la diagonal de un cuadrado (estos procedimientos son con regla y compás), medir con el transportador…

Construyan dos triángulos de tal manera que dos lados de cada triángulo midan lo mismo que los segmentos dados y que el ángulo formado por esos dos lados mida 45°.

Una vez que hayan construido sus triángulos, anime a las parejas para que respondan a los incisos a) y b) y que después comparen sus respuestas grupalmente. En caso de que haya diferencias, en las siguientes actividades tendrán la oportunidad de verificar si están en lo correcto o no.

a) ¿Los triángulos que construyeron son congruentes o son diferentes?

Propósito del interactivo. Explorar la congruencia de triángulos con el criterio Lado, Ángulo, Lado.

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son congruentes

b) ¿Creen que se pueda construir un triángulo distinto a los que constuyeron de tal manera que dos de sus lados midan lo mismo que los segmentos dados y que el ángulo formado por esos lados mida lo mismo que el ángulo dado? no Justifiquen su respuesta

Comparen y comenten sus respuestas. 126

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MATEMÁTICAS

Manos a la obra I. Anoten las medidas de los lados y ángulos de los siguientes triángulos.

Triángulo 1

Triángulo 2

Triángulo 3

b) ¿Qué tienen en común los cuatro triángulos?

Triángulo 4

ninguno

a) ¿Cuáles triángulos son congruentes entre sí?

un lado de 4cm y otro de 3cm

A lo que llegamos Si dos lados de un triángulo miden lo mismo que sus correspondientes dos lados de otro triángulo, no podemos garantizar que los triángulos sean congruentes.

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que la igualdad de dos lados correspondientes y de cualquier ángulo, no garantiza la congruencia.

II. Los siguientes triángulos tienen un lado que mide 7 cm, otro lado de 4 cm y un ángulo de 45º. En cada triángulo marquen de rojo el lado que mide 7 cm, de negro el que mide 4 cm y de azul el ángulo de 45°.

Sugerencia didáctica. Enfatice con los alumnos la característica de que el ángulo igual no es, en todos los casos, el que forman los lados de 7cm y 4 cm.

Triángulo A Triángulo B

Triángulo C

Es importante que los alumnos argumenten su justificación, aunque no necesariamente tiene que ser la misma que está indicada como respuesta.

a) ¿Cuánto mide el tercer lado en cada triángulo? b) ¿Hay alguna pareja de triángulos congruentes?

¿Cuál?

no no tienen sus tres lados iguales

c) ¿El triángulo A es congruente con el triángulo C? tu respuesta

sí

ByC Justifica 127

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secuencia 25

A lo que llegamos Si dos triángulos tienen dos lados correspondientes con la misma medida y un ángulo igual, no necesariamente son congruentes.

Sugerencia didáctica. Enfatice a los alumnos que el ángulo igual es el que se forma por los lados iguales.

iii. El siguiente triángulo tiene un lado de 5 cm, otro lado de 3 cm y el ángulo formado por esos dos lados mide 45º. a) Marquen los lados que miden 5 cm y 3 cm y el ángulo entre ellos. b) ¿Cuánto mide su tercer lado? c) ¿Cuánto miden sus otros dos ángulos?

Sugerencia didáctica. Subraye el hecho de que para establecer que dos triángulos son congruentes, es suficiente identificar la igualdad de tres de los seis elementos del triángulo, aunque esos tres elementos deben cumplir ciertas condiciones.

d) ¿Los triángulos que construyeron en el apartado Consideremos lo siguiente son congruentes con éste?

A lo que llegamos Si dos triángulos tienen dos lados correspondientes iguales y el ángulo entre ellos es igual al ángulo entre los correspondientes, entonces los triángulos son congruentes.

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de su respuesta a este ejercicio. Si tienen dificultades repasen la información del apartado A lo que llegamos.

Éste es un segundo criterio de congruencia de triángulos que se denota por LAL.

Lo que aprendimos Respuesta.

Construyan un triángulo isósceles y tracen la bisectriz de uno de sus ángulos.

a) En dos triángulos

a) ¿En cuántos triángulos quedó dividido el triángulo isósceles? b) ¿Cómo son esos triángulos entre sí?

Las respuestas en los demás incisos dependen de si la bisectriz la trazaron por el ángulo desigual del triángulo isósceles o por uno de los ángulos que son iguales. A

Justifiquen su respuesta

c) ¿Pasará lo mismo si trazan cualquiera de las otras dos bisectrices?

Caso I

¿Por

qué?

Caso II E 128

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MATEMÁTICAS

un lado y dos ángulos correspondientes iguales

sesión 3

Para empezar

Propósito de la sesión. Identificar el criterio Ángulo, Lado, Ángulo (ALA) para la congruencia de triángulos.

En las primeras dos sesiones aprendiste dos criterios para garantizar la congruencia de triángulos. En el primero, LLL, basta con garantizar la igualdad de las medidas de los tres lados de un triángulo con las medidas de sus correspondientes lados en el otro triángulo. En el segundo, LAL, es suficiente garantizar la igualdad entre dos lados de un triángulo y el ángulo que forman entre ellos y sus correspondientes lados y ángulo que forman entre ellos. Comenten: ¿creen que existan más criterios de congruencia de triángulos?

Consideremos lo siguiente Lean las siguientes afirmaciones y escriban si son falsas o verdaderas. a) Si dos ángulos de un triángulo son iguales a sus correspondientes de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

falsa

b) Si los tres ángulos de un triángulo miden lo mismo que los tres ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

falsa

c) Si dos ángulos de un triángulo y el lado comprendido entre ellos miden lo mismo que sus correspondientes en otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Sugerencia didáctica. Invite a los alumnos a que justifiquen sus respuestas dibujando triángulos que cumplan con las condiciones u otros que contradigan la afirmación.

verdadera Comparen y justifiquen sus respuestas.

Manos a la obra Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos que dados dos ángulos de un triángulo, el tercer ángulo está determinado.

I. Cada uno de los integrantes del equipo construya un triángulo de tal manera que dos de sus ángulos midan 60° y 90°, respectivamente. Comparen los triángulos que construyeron y contesten las siguientes preguntas: a) ¿Cuánto mide el tercer ángulo en cada uno de los triángulos que trazaron?

30°

Recuérdeles también que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°.

b) ¿Cuánto miden los lados en cada uno de los triángulos que trazaron?

Comparen sus respuestas. Comenten: ¿pueden construir más triángulos que cumplan con las condiciones pedidas y que sean diferentes a los que ya tienen? ¿Por qué?

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Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren las condiciones para los criterios de congruencia de triángulos.

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Propósito del interactivo. Explorar la congruencia de triángulos con el criterio Ángulo, Lado, Ángulo.

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Propósito de la actividad. Que los alumnos se percaten de que la igualdad de los tres pares de ángulos correspondientes, no garantiza la congruencia de triángulos.

secuencia 25 ii. En cada triángulo, anoten las medidas de los ángulos internos y de los lados.

a) ¿Las medidas de los ángulos internos del triángulo A1B1C1 son iguales a las

Respuestas.

medidas de los ángulos internos del

a) Sí. Sí.

triángulo A2B2C2 ?

b) 4 cm.

c) Las medidas de los lados del triángulo A1B1C1 son distintas a las medidas de los lados del triángulo A2 B2 C2 y también son distintas a las medidas de los lados del triángulo A3 B3 C3 .

y ¿son iguales a las medidas de los ángulos in-

ternos del triángulo A3B3C3 ? b) ¿Cuánto miden los lados A1C1 , A2B2 , B3C3 ? B3 c) ¿Son congruentes los triángulos entre

B2 a 3

sí?

Justifiquen su respuesta

A lo que llegamos • Si dos triángulos tienen dos ángulos correspondientes iguales, no se puede garantizar que sean congruentes. • Si dos triángulos tienen sus tres ángulos correspondientes iguales, no se puede garantizar que sean congruentes. iii. Cada integrante del equipo construya un triángulo de manera que dos de sus ángulos midan 70° y 40°, respectivamente, y que el lado común a los dos ángulos mida 5 cm. a) ¿Cómo son entre si los triángulos que construyeron, congruentes o diferentes?

lado En un triángulo, el s común a dos ángulo es el lado que forma ulos. parte de los dos áng

Sugerencia didáctica. Comente esta información con los alumnos y compárela con la del apartado anterior, para que los alumnos puedan tener una idea amplia sobre cuáles son las condiciones que aseguran la congruencia de dos triángulos.

Congruentes

b) ¿Pueden construir dos triángulos diferentes y que cumplan con las condiciones pedidas?

c) ¿Cuánto mide el tercer ángulo en cada uno de los triángulos que trazaron?

70º

Comparen sus soluciones. Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen sus respuestas.

A lo que llegamos Si dos triángulos tienen dos ángulos correspondientes iguales y el lado común a los ángulos mide lo mismo en ambos triángulos, entonces podemos asegurar que los triángulos son congruentes. Éste es el tercer criterio de congruencia de triángulos que se denota por ALA. Y no es necesario probar la igualdad del tercer ángulo y de los otros dos lados. 130

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MATEMÁTICAS

Lo que aprendimos

Respuesta.

1. De los siguientes triángulos, encierra el que sea congruente con el triángulo verde.

El triángulo congruente con el verde es el último triángulo de izquierda a derecha. 50º 2 cm 100º

50º

100º 100º

2 cm

50º

90º

50º

2 cm 2 cm

2 cm

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de su respuesta a este ejercicio. Si tienen dificultades repasen la información del apartado A lo que llegamos.

100º

50º

Respuestas. Los triángulos ABC y ACR sí son congruentes. Una forma de justificarlo es:

2. En el siguiente triángulo isósceles se trazaron las bisectrices de los ángulos iguales ABC y ACB respectivamente.

ABS = ACR (porque resultan de una bisectriz que dividió a cada ángulo en dos ángulos iguales).

Recuerda que: ángulo es una La bisectriz de un ángulo en dos recta que divide al ángulos iguales.

BAS = CAR (porque se trata del mismo ángulo para los triángulos).

¿Son congruentes los triángulos ABS y ACR?

AB = AC (porque son los lados iguales del triángulo isósceles o porque son los lados opuestos a los ángulos iguales del triángulo isósceles).

Justifica tu respuesta.

3. Para conocer algunas aplicaciones de la congruencia de triángulos en la solución de problemas pueden ver el programa La congruencia en los polígonos.

Propósito del programa integrador 20. Ejemplificar los criterios de congruencia de triángulos a partir de las medidas de sus lados y de sus ángulos.

Para saber más Sobre congruencia de triángulos, consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:

Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.

Ruiz, Concepción y Sergio de Régules. “Aire de familia” en Crónicas geométricas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.

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secuencia 26

Propósito de la sesión. Identificar que las mediatrices de un triángulo concurren y que el punto de concurrencia es el centro de la circunferencia que circunscribe al triángulo.

Puntos y rectas notables del triángulo

Materiales. Instrumentos geométricos.

Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario recuerde a los alumnos cuál es el procedimiento para trazar la mediatriz de un segmento:

En esta secuencia explorarás las propiedades de las mediatrices, alturas, medianas y bisectrices en un triángulo.

• Se abre el compás a una medida mayor que la mitad del segmento. sesión 1

• Se apoya el compás en uno de los extremos del segmento y se traza un círculo con la medida elegida.

Mediatrices

Para empezar En la secuencia 12 de tu libro Matemáticas i, volumen i, aprendiste que la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio. Los puntos que están sobre la mediatriz equidistan de los extremos del segmento.

• Se apoya el compás en el otro extremo del segmento y se traza un círculo con el mismo radio del círculo anterior que corte a este último. Se traza un segmento que pase por los puntos en los que se cortan ambos círculos. Esta es la mediatriz.

Utiliza regla y compás para trazar la mediatriz del siguiente segmento sin medirlo.

Insista en el uso de los instrumentos geométricos para realizar los trazos.

Consideremos lo siguiente

Posibles procedimientos. Aún cuando, en la actividad anterior, se sugiere que el trazo de mediatrices es un procedimiento central en esta sesión, es probable que algunos alumnos no lo consideren como un recurso para resolver este problema y que intenten resolverlo haciendo mediciones con la regla graduada y tratando de ubicar, por aproximaciones, un punto que esté a la misma distancia que los otros tres. Si esto sucede, puede invitar a los alumnos a que utilicen los instrumentos geométricos aunque en las siguientes actividades tendrán oportunidad de ver cómo se resuelve el problema trazando mediatrices.

Traza una circunferencia que pase por los tres vértices del triángulo.

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Eje

Propósitos de la secuencia Explorar las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

Forma, espacio y medida.

Tema Formas geométricas.

Sesión

Propósitos de la sesión

Recursos

Mediatrices Identificar que las mediatrices de un triángulo concurren y que el punto de concurrencia es el centro de la circunferencia que circunscribe al triángulo.

Interactivo Rectas y puntos notables del triángulo

Alturas Identificar que las rectas determinadas por las alturas de un triángulo concurren y que el punto de concurrencia puede quedar dentro, en o fuera del triángulo.

Interactivo Rectas y puntos notables del triángulo

Medianas Identificar las propiedades de las medianas de un triángulo. Identificar que las rectas determinadas por las medianas de un triángulo concurren y que el punto de concurrencia es el centro de masa del triángulo.

Interactivo Rectas y puntos notables del triángulo Aula de medios Bisectriz, altura, mediana y mediatriz de un triángulo cualquiera (Geometría dinámica)

Bisectrices Identificar que las bisectrices de un triángulo concurren y que el punto de concurrencia es el centro de un círculo inscrito al triángulo.

Video Rectas notables del triángulo Interactivo Rectas y puntos notables del triángulo Aula de medios Trazar el incírculo de un triángulo (Geometría dinámica) Programa integrador 21

Antecedentes En el primer grado de la secundaria los alumnos estudiaron algunas propiedades de las mediatrices y las bisectrices: aprendieron a trazarlas y a resolver algunos problemas geométricos. Asimismo, desde la escuela primaria, los alumnos han trabajado distintos aspectos de los triángulos: aprendieron a calcular su área y perímetro y a describir algunas de sus características geométricas. En esta secuencia se espera que los alumnos amplíen sus conocimientos sobre las propiedades de los triángulos incorporando la caracterización de rectas y puntos notables del triángulo, y que a partir de esos conocimientos sean capaces de elaborar argumentos para validar o invalidar determinadas afirmaciones.

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MATEMÁTICAS

Comparen sus trazos y comenten las estrategias que utilizaron para trazar la circunferencia.

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que el circuncentro es equidistante de los vértices del triángulo.

Manos a la obra I. En el siguiente triángulo se trazaron las mediatrices de los lados FD y DE. El punto Q es la intersección de estas mediatrices.

Propósito del interactivo. Trazar las mediatrices del triángulo.

Respuesta. Es posible que algunos alumnos realicen la justificación con base en la medición de las distancias. Pídales que también la hagan con base en las propiedades de las mediatrices.

a) ¿Cómo son entre sí las distancias del punto D al Q y el punto F al Q?

Iguales

b) ¿Cómo son entre sí las distancias del punto D al Q y el punto E al Q?

Iguales

Justifiquen sus respuestas.

c) ¿Consideran que la mediatriz del lado FE pasará por el punto Q? ¿Por qué?

Las tres mediatrices de un triángulo pasan por un mismo punto. Ese punto se llama circuncentro del triángulo.

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Propósito de la actividad. Que los alumnos distingan en qué tipo de triángulos el circuncentro puede quedar dentro , en o fuera del triángulo.

secuencia 26 ii. Tracen en cada uno de los siguientes triángulos sus mediatrices: a

M L c

Propósito del interactivo. Explorar la ubicación del circuncentro en diferentes tipos de triángulos.

Obtusángulo

Acutángulo

O R

T P Rectángulo

Equiángulo

a) Completen con SÍ o NO la siguiente tabla: Tipo de triángulo

El circuncentro queda dentro del triángulo

El circuncentro queda fuera del triángulo

El circuncentro queda en un lado del triángulo

Las mediatrices pasan por los vértices del triángulo

Obtusángulo

SÍ

Acutángulo

SÍ

Equiángulo

SÍ

Rectángulo

SÍ

Comparen y comenten sus respuestas.

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MATEMÁTICAS

Propósito de la actividad. Que a partir de la noción de equidistancia los alumnos conozcan la noción de circuncírculo.

III. En el triángulo ABC tracen un círculo que tenga como centro el punto P y como radio la distancia que hay del punto P al vértice A. A

Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren que las mediatrices de un triángulo concurren en un punto llamado circuncentro, que equidista de los tres vértices del triángulo.

Sugerencia didáctica. A partir de esta actividad comente con sus alumnos que para todo triángulo existe un circuncírculo.

En la secuencia 28 de su libro Matemáticas I, volumen II, los alumnos aprendieron que dados tres puntos que no son colineales, siempre se puede trazar una circunferencia que pase por ellos, y que el centro de la circunferencia es el punto de intersección de las mediatrices.

Éste círculo pasa también por B y por C, ¿a qué creen que se deba?

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que regresen al problema inicial y que verifiquen si el punto que marcaron efectivamente es el lugar donde se cruzan las mediatrices.

Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen sus resultados.

A lo que llegamos El circuncentro de un triángulo equidista de sus vértices y es el centro del círculo que pasa por sus tres vértices. A este círculo se llama circuncírculo del triángulo.

F G O

El circuncentro de un triángulo puede quedar dentro del triángulo, en él o fuera de él, según que éste sea acutángulo, rectángulo u obtusángulo.

Circuncírculo Circuncentro Mediatriz

Sugerencia didáctica. Pida a una pareja de alumnos que haga un cartel con esta información y que la peguen en un lugar visible del salón de clases. Enfatice con todo el grupo en la distinción de circuncentro y circuncírculo.

Mediatriz Mediatriz

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Propósito del interactivo. Generalizar las características del circuncentro de un triángulo.

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Posibles procedimientos. Para el problema 1 los alumnos podrían trazar primero un círculo y ubicar sobre la circunferencia distintos puntos, a partir de la elección de tres de esos puntos pueden trazar un triángulo.

secuencia 26

Lo que aprendimos 1. Traza dos triángulos que tengan el mismo circuncentro. 2. Traza las mediatrices de un triángulo acutángulo y las mediatrices de un triángulo

Para los problemas 2 y 3 los alumnos pueden orientarse con la actividad II del apartado Manos a la obra.

Propósito de la sesión. Identificar que las rectas determinadas por las alturas de un triángulo concurren y que el punto de concurrencia puede quedar dentro, en o fuera del triángulo.

obtusángulo. ¿Los circuncentros quedan dentro o fuera de los triángulos? 3. Traza el circuncírculo de un triángulo rectángulo. ¿En qué parte del triángulo quedó ubicado el circuncentro?

sesión 2

alturas

Para empezar Una altura en un triángulo es el segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto o a la prolongación de éste.

Materiales. Instrumentos geométricos. 90

Propósito de la actividad. Que los alumnos enfrenten la necesidad de calcular la altura de un triángulo obtusángulo considerando que un triángulo tiene tres alturas.

Consideremos lo siguiente En el patio de la escuela se quiere pintar una mariposa como la que se muestra en el dibujo.

3 cm

7 cm 5 cm

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MATEMÁTICAS

Posibles procedimientos. Dado que en este tipo de triángulos es necesario prolongar dos de sus lados para identificar sus alturas correspondientes, lo más probable es que los alumnos tomen como base el lado que mide 7 cm y que consideren la altura que corresponde a ese lado, pues ésta es más sencilla de identificar que las otras dos. Pero no es necesario que lo hagan así, pueden considerar cualquiera de las alturas. Para las respuestas tome en cuenta que las medidas que obtengan serán aproximaciones debido a que los instrumentos geométricos no son totalmente precisos.

Para saber cuántos litros de pintura se tienen que comprar hay que calcular el área de las alas de la mariposa. Ayúdales a calcular el área de las alas. a) El área de una de las alas de la mariposa es b) El área de las alas de la mariposa es Comenten los procedimientos que utilizaron para calcular el área de las alas de la mariposa.

Manos a la obra I. La siguiente ilustración muestra una de las alas de la mariposa. Tracen su altura tomando el lado V1V3 como base. V1

Respuestas. a) 5.25 cm2 b) 10.5 cm2 V3 a) ¿Pudieron trazar la altura?

Sugerencia didáctica. Apoye a los alumnos para que recuerden cómo trazar la perpendicular a una recta por un punto dado. En la secuencia 5 de su libro Matemáticas II Volumen I, se muestra un procedimiento para trazar perpendiculares.

¿Cómo lo hicieron?

b) Si toman el lado V2V3 como base, ¿se puede trazar su altura? ¿Cómo lo harían?

Comparen sus respuestas y comenten por qué el segmento AD no es altura del triángulo ABC.

Respuesta. Para trazar ambas alturas es necesario prolongar los lados que se toman como base tanto como sea necesario para que del vértice opuesto se pueda trazar una perpendicular a la prolongación del lado.

A B

C 137

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Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen uno de los principales errores que se cometen al trazar alturas de triángulos. Este error se genera porque la mayoría de las veces se trazan alturas sólo de triángulos isósceles y equiláteros. Respuesta. El segmento AD no es la altura porque no es perpendicular al lado BC.

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Propósito de la actividad. Identificar que las rectas determinadas por las alturas de un triángulo concurren.

secuencia 26 ii. En los siguientes triángulos se trazaron las rectas determinadas por dos de sus alturas. Tracen la recta determinada por la tercera altura en cada triángulo.

D P

F H'

Triángulo acutángulo

Triángulo obtusángulo

Comparen sus respuestas y comenten:

Posibles errores. Es probable que algunos alumnos, al ver que la perpendicular coincide con uno de los lados, piensen que hicieron mal el trazo y que intenten otra forma de trazar cuidando que la altura no se encime con el lado. Durante la comparación de resultados usted puede comentar las características de las alturas de este tipo de triángulo.

a) ¿La recta determinada por la altura desde el vértice Q pasa por el punto H’? b) ¿La recta determinada por la altura desde el vértice F pasa por el punto H? iii. Tracen las tres alturas del triángulo UVW.

¿Cuál es el punto por el que pasan las tres rectas determinadas por las alturas del

Sugerencia didáctica. Si los alumnos consideraron una sola altura invítelos a que calculen nuevamente el área pero tomando otra altura, la medida del área que les resulte debe ser aproximadamente igual a su primer cálculo.

triángulo? Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y calculen el área de un ala de la mariposa tomando como base uno de los lados del triángulo.

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MATEMÁTICAS

Sugerencia didáctica. Pida a un equipo de alumnos que elabore un cartel con esta información y que lo peguen en el salón de clases.

A lo que llegamos Un triángulo tienen tres alturas, una por cada lado. Las tres rectas determinadas por las alturas de un triángulo pasan por un mismo punto. A ese punto se le llama ortocentro del triángulo. En un triángulo obtusángulo, el ortocentro queda fuera del triángulo; en un triángulo acutángulo, el ortocentro queda dentro del triángulo y en un triángulo rectángulo, el ortocentro es uno de sus vértices.

Respuestas.

Lo que aprendimos

1. Todos los triángulos tienen la misma área pues el segmento AB es el mismo para todos y la altura que corresponde a ese lado mide lo mismo también para todos.

1. En el diagrama se muestran los triángulos: AC1B, AC3B, AC4B y AC6B. ¿Cuál de ellos tiene mayor área? ¿Por qué?

2. El primer triángulo es el correcto.

Propósito del interactivo. Mediante la manipulación del interactivo se pretende que los alumnos observen que si se toma un lado del triángulo como base y se mantiene la altura, se pueden trazar infinidad de triángulos que tengan las mismas áreas.

2. Encierra el triángulo en el que la recta trazada sea una de las tres alturas del triángulo.

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Propósito del interactivo. Generalizar las características del ortocentro de un triángulo.

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secuencia 26 3. Localiza el ortocentro de los siguientes triángulos.

Propósito de la sesión. Identificar las medianas de un triángulo y enunciar sus propiedades. Materiales. Instrumentos geométricos, tijeras y el anexo Recortables 3. Platos triangulares.

sesión 3

Medianas

Para empezar Un malabarista realiza un acto de equilibrio con platos circulares. Usa tres varillas para equilibrar los tres platos por el centro. Y camina por una cuerda tensa.

Sugerencia didáctica. Invite a los alumnos a comentar por qué es posible que el malabarista pueda equilibrar los platos circulares.

Consideremos lo siguiente Un malabarista realiza con mucho éxito un espectáculo de equilibrio con platos circulares. Ahora ha decidido mostrar a su público algo diferente. Pidió a un alfarero fabricar platos triangulares. El alfarero trabajó en el pedido y le presentó al malabarista los siguientes modelos:

Propósito de la sesión en el aula de medios. Reafirmar lo que se entiende por bisectriz, altura, mediana y mediatriz para un triángulo cualquiera. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 3.

Modelo O

Modelo R

Modelo E

Modelo I

Modelo A

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MATEMÁTICAS

Cuando el malabarista vio los platos le dijo al alfarero que sólo uno de ellos serviría para su espectáculo de equilibrio. El alfarero le contestó que todos los platos le servirían. Recorten los triángulos del anexo Recortables 3. Platos triangulares, elijan uno y traten de equilibrarlo sobre la punta de un lápiz. Contesten: ¿Con quién están de acuerdo, con el malabarista o con el alfarero? ¿Por qué?

Comparen y justifiquen sus respuestas.

Manos a la obra

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que la mediana divide al triángulo en dos triángulos de igual área.

I. En los siguientes triángulos tomen como base los lados TS y BC, respectivamente. Midan y tracen lo que consideren necesario en cada triángulo y completen la siguiente tabla. R

Triángulo verde

Triángulo morado

¿Cuánto mide? Triángulo RTD

Triángulo RDS

Triángulo ABM

Triángulo AMC

Base

2cm

5cm

3.5cm

Altura

4cm

Área

4cm

10cm

7cm

7cm2

A partir de la tabla contesten las siguientes preguntas. a) ¿Cómo son entre sí las áreas de los triángulos RTD y RDS?

distintas

c) ¿Cómo son entre sí las áreas de los triángulos ABM y AMC?

iguales

c) ¿Cuál de las dos rectas dividió al triángulo correspondiente en dos triángulos de igual área, la determinada por R y D o la determinada por A y M?

AyM 141

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Propósito del interactivo. Que los alumnos identifiquen que la mediana divide al triángulo en dos triángulos de igual área.

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secuencia 26 Comparen sus respuestas y comenten: ¿pueden trazar otras rectas que dividan a cada triángulo en dos triángulos de igual área?

Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos cómo tendría que ser la recta RD para que efectivamente sea una mediana del triángulo.

En un triángulo, a los segmentos que van de un vértice al punto medio del lado opuesto se les llama medianas del triángulo. Una mediana divide al triángulo en dos triángulos de igual área. ii. Tracen la mediana que falta en los siguientes triángulos:

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que las medianas de un triángulo concurren.

Ñ Y P

X M

n D

Z F e

a) ¿La mediana que trazaron en el triángulo rosa pasa por el punto X?

Propósito del interactivo. Generalizar las características del baricentro de un triángulo.

Sí

b) ¿La mediana que trazaron en el triángulo azul pasa por el punto Y?

Sí

c) ¿La mediana que trazaron en el triángulo verde pasa por el punto Z?

Sí

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto; a ese punto se le llama baricentro o centro de gravedad.

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MATEMÁTICAS

Propósitos de la actividad. Que los alumnos identifiquen la igualdad de áreas de los triángulos en los que queda dividido un triángulo por las medianas.

III. Tracen las medianas del siguiente triángulo y llamen G al punto en el que se cortan. D

Que constaten por qué al baricentro se le denomina también centro de gravedad.

F a) ¿Cuánto mide el área de cada uno de los 6 triángulos en los que quedó dividido el triángulo DEF?

Sugerencia didáctica. Pida a un equipo que elabore un cartel con esta información, que lo ilustren y que luego lo peguen en el salón de clases.

A lo que llegamos Las medianas de un triángulo lo dividen en 6 triángulos que tienen la misma área. Por esto el triángulo se equilibra cuando coincide el baricentro con la punta del lápiz. Esta característica le da al baricentro el nombre de gravicentro o centro de masa.

Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos quién tenía finalmente la razón, el malabarista o el alfarero. Pida que argumente sus respuestas.

Retomen el ejercicio del apartado Consideremos lo siguiente. Determinen los baricentros de los triángulos que recortaron (anexo Recortables 3. Platos triangulares) y equilibren los triángulos por el baricentro.

Lo que aprendimos 1. Traza las medianas de los siguientes triángulos:

2. Dibuja dos triángulos que tengan el mismo baricentro.

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Propósito de la sesión. Identificar que las bisectrices de un triángulo concurren y que el punto de concurrencia es el centro de un circulo inscrito al triángulo.

secuencia 26 Bisectrices

sesión 4

Para empezar Respondan y comenten las siguientes preguntas:

Materiales. Instrumentos geométricos.

a) ¿Qué es un ángulo? b) ¿Qué es la bisectriz de un ángulo?

Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario recuerde a los alumnos el procedimiento para trazar la bisectriz de un ángulo. Este procedimiento se muestra en la secuencia 12 de su libro Matemáticas I, volumen I.

Los puntos de la bisectriz de un ángulo equidistan de los lados del ángulo.

Recuerden que: a un punto a un La distancia de r el segmento recta se mide po que va del punto perpendicular a la recta.

L P

Propósito de la sesión en el aula de medios. Reafirmar los conocimientos relativos a la bisectriz para trazar el incírculo de un triángulo dado.

P es un punto de la bisectriz del ángulo LMn. Comprueben que P esté a la misma distancia del lado LM que del lado Mn.

Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 4.

Consideremos lo siguiente

Encuentren un punto que esté a la misma distancia de los tres lados del triángulo. a

Sugerencia didáctica. Aclare a los alumnos que esta expresión se refiere a que si se toma un punto de la bisectriz de un ángulo, ese punto estará a la misma distancia de uno y de otro lado del ángulo. c

Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos que una forma de mostrar esta igualdad es usando la congruencia de triángulos.

B Marquen con rojo el punto que encontraron.

Posibles errores. Algunos alumnos podrían relacionar este problema con el que resolvieron en la sesión 1, por lo tanto es posible que tracen mediatrices en lugar de bisectrices. En las siguientes actividades tendrán la posibilidad de corregir este error.

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Comenten los procedimientos que siguieron para encontrar al punto. 144

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MATEMÁTICAS

Manos a la obra I. Tracen las mediatrices y las medianas del siguiente triángulo. A

B a) ¿El punto determinado por las mediatrices del triángulo equidista de sus lados?

no b) ¿El punto determinado por las medianas del triángulo equidista de sus lados?

no Propósito de la actividad. Identificar la concurrencia de bisectrices.

II. En los siguientes triángulos se trazaron las bisectrices de dos de sus ángulos y los puntos en los que esas bisectrices se cortan. Tracen en cada triángulo la bisectriz del tercer ángulo. a)

O P

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secuencia 26 c)

d) a

W R

a) ¿La bisectriz del ángulo GFe pasa por el punto O? b) ¿La bisectriz del ángulo LnM pasa por el punto P? c) ¿La bisectriz del ángulo XWY pasa por el punto R? d) ¿La bisectriz del ángulo Bac pasa por el punto Q?

Propósito de la actividad. Que los alumnos justifiquen de manera informal la concurrencia de las bisectrices.

iii. En el siguiente triángulo se trazaron dos de sus bisectrices, el punto i y las perpendiculares del punto i a los lados del triángulo. e

F B

Respondan con falso o verdadero a los siguientes enunciados: a) El punto i equidista de los lados ac y aB.

verdadero

b) El punto i equidista de los lados ca y cB.

verdadero

c) La distancia iF es mayor que la distancia iD.

falso

d) Tracen la semirrecta Bi, esta semirrecta es la bisectriz del ángulo cBa.

verdadero

Comenten y justifiquen sus respuestas. 146

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MATEMÁTICAS

Propósito de la actividad. Identificar el incírculo de un triángulo.

IV. En el siguiente triángulo se trazaron sus tres bisectrices y las perpendiculares del punto I a los lados del triángulo. A E

F I

C D

Tracen un círculo con centro en I y radio IE. Comparen sus trazos y comenten: a) ¿El círculo pasa también por los puntos D y F? b) ¿El círculo toca al lado BC en un punto distinto a D? c) ¿El círculo toca al lado CA en un punto distinto a E? d) ¿El círculo toca al lado AB en un punto distinto a F?

sí no no no

Realicen el mismo ejercicio con cada uno de los triángulos de la actividad II.

Al círculo que está dentro del triángulo y que sólo toca a sus tres lados en tres puntos, uno por cada lado, se le llama incírculo o círculo inscrito en el triángulo.

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que regresen al problema inicial y que tracen las bisectrices para ubicar el incentro y que tracen el incírculo.

Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen sus trazos.

A lo que llegamos Bisectriz

Los triángulos tienen tres bisectrices, una por cada uno de sus ángulos internos. Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto que equidista de los tres lados del triángulo. A ese punto se le llama incentro ya que es el centro de un círculo inscrito en el triángulo.

Incírculo

Sugerencia didáctica Pida a una pareja de alumnos que haga un cartel con esta información y que la peguen en un lugar visible del salón de clases.

Bisectriz

E Incentro

Bisectriz

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Propósito del interactivo. Generalizar las características del incentro de un triángulo.

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Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a los ejercicios 5 y 6. Si tienen dificultades repasen la información del apartado A lo que llegamos.

secuencia 26

Lo que aprendimos Puntos y rectas notables del triángulo Ahora conoces las propiedades de mediatrices, alturas, medianas y bisectrices en el triángulo. Explica cómo cambian las posiciones de sus puntos de intersección dependiendo en qué triángulos sean trazados.

Descripción del video. Es formalizador, en el se dan definiciones y propiedades de puntos y rectas notables del triángulo. Asimismo se presentan algunos problemas.

1. Dibuja las bisectrices de un triángulo isósceles. 2. Dibuja el incírculo de un triángulo equilátero. 3. Dibuja las bisectrices de un triángulo rectángulo. 4. Dibuja el incírculo de un triángulo obtusángulo.

Sugerencia didáctica. También puede solicitar a los alumnos que escriban cómo se llama el punto notable que se marca en cada triángulo.

5. En los siguientes triángulos determina cuáles son las rectas notables que se trazaron.

Bisectrices

Medianas

Mediatrices

Alturas

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6. En los siguientes triángulos traza todas sus rectas notables y remarca sus puntos notables.

Propósito del programa integrador 21. Presentar la manera de obtener la fórmula para calcular la suma de los ángulos internos de polígonos convexos.

7. Para conocer algunas aplicaciones de las propiedades de los puntos y las rectas notables de los triángulos en la solución de problemas pueden ver el programa Puntos y rectas en el triángulo.

Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.

Para saber más Sobre los puntos y rectas notables del triángulo, consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Ruiz, Concepción y Sergio de Régules. “La recta de Euler” en Crónicas geométricas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.

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secuencia 27

Eventos independientes

Propósito de la sesión. Definir cuáles eventos son independientes y conocer la forma en que se determinan. Descripción del video. Se presentan diferentes ejemplos de situaciones de azar en que se dan eventos independientes. Se recomienda ver el video antes de comenzar con la actividad del libro, pues se muestran de inicio ejemplos muy sencillos en donde la independencia de los eventos es evidente y se concluye presentando situaciones en donde no es claro que lo sean.

En está secuencia aprenderás a distinguir cuando dos o más eventos son independientes en una situación de azar. SESIóN 1

¿CUÁLES SON LOS EVENTOS INDEPENDIENTES?

Para empezar

¿Cuándo dos eventos son independientes? Tal vez cuando juegas a lanzar un dado y cae varias veces seguidas un mismo valor, por ejemplo el número 6, has escuchado decir a alguna persona que si lanzas de nuevo el dado, lo más probable es que caiga cualquier otro número entre 1 y 5. Otros dirán que volverá a caer 6. ¿Será cierto esto? ¿Acaso el dado tiene memoria y recuerda el último resultado?

Sugerencia didáctica. Dé unos minutos para que los alumnos comenten qué es una situación de azar, cuáles conocen y qué conceptos recuerdan de los estudiados en otras secuencias que abordan el tema. Tal vez, algunos alumnos le propongan los experimentos de lanzar una moneda, lanzar un dado o lanzar un par de dados. Si esto ocurre seria conveniente que hiciera notar a los alumnos que, por ejemplo, el espacio muestral de una moneda es águila o sol (o tal vez acostumbren a decir, cara o cruz), el de un dado son los números del 1 al 6. Cuando les pida que definan algunos eventos relacionados con este último experimento, debe tener cuidado con eventos como: “la suma de los números de las caras superiores de los dados es 7” y “los números de las caras superiores de los dados que caen son iguales”, porque estrictamente hablando cuando sumamos los números de las caras superiores de los dados, los resultados posibles pueden ser 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 y estamos obteniendo un espacio muestral distinto pero equivalente al experimento, pero se recomienda utilizar el que tiene los números que caen en cada cara como se utiliza en el problema 2 del apartado Lo que aprendimos. Pídales también que opinen sobre lo que se plantea en el Para empezar, ¿creen que después de caer un 6 es más probable que caiga un número entre 1 y 5? Propósito de la actividad. La situación que se presenta corresponde a dos experimentos aleatorios simples que la mayoría de los alumnos conoce (lanzar un dado y lanzar una moneda). A partir de dichos experimentos se pretende introducir un concepto nuevo: al lanzar una moneda y un dado al mismo tiempo, el resultado de uno no afecta al otro, por eso se les llama eventos independientes. Este concepto, que podría parecer sencillo, puede de hecho ser difícil de comprender para algunos alumnos, por lo que es importante que no les comente en este momento que el resultado de uno no afecta el resultado de otro. Conforme vayan resolviendo la sesión irán avanzando hacia ese sentido.

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Consideremos lo siguiente Si se realiza el experimento: Lanzar una moneda y un dado, al mismo tiempo, y observar la figura y el número de las caras superiores que caen en la moneda y en el dado. a) ¿Cuáles de los siguientes resultados corresponden al experimento anterior? Márquenlos con una .

b) ¿Cuántos resultados posibles hay en este experimento? 150

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Sugerencia didáctica. Las preguntas de este apartado tienen la intención de ayudar al alumno a recordar qué es un experimento aleatorio, cuál es el espacio muestral del experimento y a leer de diferentes maneras los resultados. Usted puede ayudarles recordándoles los conceptos que estudiaron primer grado en la secuencia 24 Nociones de Probabilidad, en especial la sesión 2.

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Eje Manejo de la información. Tema Análisis de la información. Antecedentes

Respuestas. a) Los que corresponden son aquellos en los que se muestran posibles resultados al lanzar una moneda y un dado al mismo tiempo. b) Hay doce posibles resultados, sin embargo, lo importante no es que los alumnos sepan exactamente cuántos son sino que empiecen a reflexionar sobre el experimento, así que permita que den resultados aproximados como "me imagino que pueden ser tantos".

Los alumnos conocen la noción de resultados equiprobables, han enumerado los resultados posibles en situaciones aleatorias y expresado su probabilidad. Ahora se pretende que determinen cuándo dos o más eventos son independientes y que calculen su probabilidad.

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MATEMÁTICAS

Respuesta. c) En el dado cae 3, en la moneda cae águila.

c) ¿Qué tienen en común los siguientes pares de resultados que se obtienen al lanzar la moneda y el dado? Anótenlo sobre la línea de la derecha.

Propósito de la actividad. Un aspecto importante que deben aprender los alumnos a lo largo de esta sesión es que están trabajando con un experimento compuesto por dos objetos, el dado y la moneda, y si bien los dos primeros eventos (A y B) se han definido a partir de uno de ellos no significa que solamente se observan los resultados de ese objeto y se olvida el otro. Por ejemplo, el evento A tiene seis resultados posibles que son favorables a él (son todos los resultados posibles en que la moneda cae águila y en el dado cae uno de los seis números de las caras). Observe que los resultados son (águila, 1), (águila, 2), etc., y no se separan. Otro ejemplo de un evento como A y B es: “en el dado cae un número par”, los resultados favorables son: (águila, 2), (águila,4) ,(águila, 6), (sol, 2), (sol, 4), (sol,6). Si sus alumnos contestaron el inciso b) del apartado Consideremos lo siguiente tomando en cuenta sólo el resultado del dado (cae 1) y olvidándose del resultado de la moneda; cuando completen el diagrama de árbol (actividad I del apartado Manos a la obra) enfatice la importancia de considerar a los dos objetos pues juntos forman el experimento.

Al lanzar al mismo tiempo la moneda y el dado, tres eventos que se pueden observar son: A: “en la moneda cae águila”. B: “en el dado cae 1”. C: “en la moneda cae águila y en el dado cae 1”.

a) Si al realizar una vez el experimento en la moneda cae águila y en el dado cae 2, ¿a cuál de los tres eventos es favorable este resultado? b) ¿Cuál es un resultado favorable al evento B? c) ¿Cuántos resultados son favorables al evento C: “en la moneda cae águila y en el dado cae 1”? d) ¿Cuál es la probabilidad del evento C?

Recuerden que: nto ilidad clásica de un eve Para obtener la probab ltados el número total de resu o se requiere conocer ent obtener en el experim posibles que se pueden rables del evento. favo os ltad resu de y el número favorables del evento número de resultados ltados posibles P(E) = número total de resu

e) En el experimento de lanzar al mismo tiempo la moneda y el dado, consideran que

Respuestas.

si en la moneda cae águila afecta el resultado que cae en el dado. ¿Por qué?

a) Al evento A. b) Que en el dado caiga 1 y en la moneda caiga sol. También que en el dado caiga 1 y en la moneda águila.

Manos a la obra

c) Uno.

I. Completen el siguiente diagrama de árbol que corresponde a todos los resultados posibles del experimento: lanzar una moneda y un dado, al mismo tiempo.

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Propósitos de la secuencia Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes. Sesión

Propósitos de la sesión

Recursos

¿Cuáles son los eventos independientes? Determinar cuándo dos eventos son independientes y conocer la forma en que se determinan.

Video ¿Cuándo dos eventos son independientes?

Dos o más eventos independientes Determinar cuándo dos o más eventos son independientes.

Eventos independientes y dependientes Distinguir entre eventos independientes y dependientes.

1 12 e) No, no influye, pero tal vez algunos alumnos piensen que sí. Pídales que justifiquen sus respuestas y anote en el pizarrón los diferentes argumentos para que al final de la sesión los comparen.

Propósito de la actividad. En esta actividad los alumnos utilizarán el diagrama de árbol como un recurso para enumerar los resultados del experimento. Una vez que se tiene el espacio muestral se determinan las probabilidades de los eventos.

Propósito del interactivo. Utilizar el diagrama de árbol como técnica de conteo en la resolución de problemas. Interactivo Diagrama de árbol Eventos independientes Frecuencia y probabilidad Programa integrador 22

Sugerencia didáctica. Si lo considera oportuno puede ocupar el interactivo Diagrama de árbol en la opción Colecciones diferentes para construir el diagrama completo.

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secuencia 27 Moneda

Dado

Resultados posibles

Águila, 1

2 3

Águila, 2 Águila, 3

4 5 6

Águila, 4 Águila, 5 Águila, 6

Águila

Lanzar una moneda y un dado al mismo tiempo

Recuerden que: Todos los resultados senc illos posibles de un experimento forman el espacio muestral o espacio de resultados y se puede presentar en forma de diagrama de árbol o arreglo rectangular. Cuando se considera algu no o algunos de los resultados posibles se define un evento. Por ejemplo, si se lanza un dado en el que todas sus caras tienen la misma probabilidad de caer y se observa el número que cae en la cara superior, dos even tos que se pueden definir son: “cae 4” y “cae un número par”. Los resultados favorabl es de cada evento, respectivamente, son: {4} y {2,4,6}. Cuando se combinan dos eventos como los anteriores, al nuevo even to se le llama evento compuesto. Por ejemplo, el evento: “cae 4 y es un número par”.

Sol, 1

2 3

Sol, 2 Sol, 3

4 5 6

Sol, 4 Sol, 5 Sol, 6

Sol

a) En total para este experimento, ¿cuántos resultados posibles hay? b) ¿En cuántos de esos resultados posibles en la moneda cae águila? Marquénlos con color rojo en el diagrama c) En este experimento, ¿cuál es la probabilidad del evento A: “en la moneda cae águila”? P(A) =

número de resultados favorables del evento número total de resultados posibles

d) ¿En cuántos de los resultados posibles en el dado cae 1? Márquenlos con color azul en el diagrama e) ¿Cuál es la probabilidad del evento B: “en el dado cae 1”? P(B) = número de resultados favorables del evento = número total de resultados posibles f) ¿En cuántos de los resultados posibles la moneda cae en águila y el dado en 1, es decir, caen águila y 1, al mismo tiempo? 152

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Respuestas. a) 12 b) En 6. 6 1 = 12 2 d) En dos, (águila,1) y (sol,1). c)

2 1 = 12 6 f) En uno, (águila,1).

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MATEMÁTICAS

Respuestas. 1 12 1 1 1 = h) × 2 6 12 i) Son iguales.

g) ¿Cuál es la probabilidad del evento C: “en la moneda cae águila y en el dado cae 1”? P(C) = h) Multipliquen las probabilidades de los eventos: “en la moneda cae águila” y “en el dado cae 1”. P(A) × P(B)=

i) Comparen el valor de la probabilidad del evento C: “en la moneda cae águila y en el dado cae 1” con el producto de las probabilidades de los dos eventos que obtuvieron en el inciso anterior. ¿Son iguales o diferentes? P(en la moneda cae águila y en el dado cae 1) P(en el dado cae 1) = P(C)

Posibles dificultades. Esta afirmación puede ser confusa para los alumnos. Use como ejemplo lo que acaban de hacer en el apartado Manos a la obra:

P(en la moneda cae águila) × P(A) × P(B)

A lo que llegamos Se dice que dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno de los eventos no afecta al valor de la probabilidad de ocurrencia del otro. Por lo que, la probabilidad de que los dos eventos ocurran simultáneamente es igual al producto de la probabilidad de un evento por la del otro. Comparen sus resultados. De acuerdo con lo que leyeron en el apartado A lo que llegamos, ¿son independientes los eventos: “en la moneda cae águila” y “en el dado cae 1”? II. Nuevamente, consideren el experimento:

• En el inciso g) calcularon la probabilidad del evento “caer águila y caer 1” a partir del diagrama de árbol, en el inciso h) multiplicaron la probabilidad de “caer águila” por la probabilidad de “caer 1” y vieron que en 1 . Cuando la ambos casos se obtiene 12 probabilidad del evento compuesto (“cae águila y cae 1”) es igual a la que se obtiene al multiplicar la probabilidad de los eventos simples (“cae águila” y “cae 1”), se dice que son esos eventos son independientes. • También pueden fijarse en cuántos resultados en el diagrama de árbol están marcados de rojo y azul a la vez. Se darán cuenta de que únicamente el resultado (águila,1) tiene los dos colores.

Lanzar una moneda y un dado, al mismo tiempo, y. observar la figura y el número de las caras superiores que caen en la moneda y en el dado. También, utilicen el diagrama de árbol que completaron en la actividad anterior y contesten las siguientes preguntas: Uno de los eventos que se puede considerar al realizar el experimento, es: “en la moneda no cae águila”. a) ¿Cuáles son todos los resultados favorables a este evento? b) ¿Qué tienen en común todos esos resultados que anotaron?

Propósito de la actividad. Ahora los alumnos trabajarán con los eventos complementarios de la actividad anterior, que también son independientes.

c) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “en la moneda no cae águila”? P(en la moneda no cae águila) =

número de resultados favorables del evento = número total de resultados posibles 153

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Respuestas. a) Son 6, todos los resultados en los que ocurre el evento “cae sol”. b) En la moneda cae sol. c)

6 1 o 12 2

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Respuestas.

secuencia 27

d) Son doce, todos los resultados posibles. 1 1 =1 e) + 2 2 f) Son diez, (águila,2), (águila,3), (águila,4), (águila,5), (águila,6), (sol,2), (sol,3), (sol,4), (sol,5), (sol,6).

d) Si reúnen los resultados favorables de los eventos: “en la moneda cae águila” y “en la moneda no cae águila”, en total, ¿cuántos resultados tienen? e) Sumen las probabilidades de los eventos: “en la moneda cae águila” y “en la moneda no cae águila”. P(en la moneda cae águila) + P(en la moneda no cae águila)=

Otro evento que también pueden observar al realizar el experimento, es

10 5 o 12 6 h) Doce, son todos los resultados posibles.

“en el dado cae un número diferente de 1” f) ¿Cuáles y cuántos son todos los resultados favorables a este evento?

1 5 + 6 6

g) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “en el dado cae un número diferente de 1”? P(en el dado cae un número diferente de 1) = número de resultados favorables del evento = número total de resultados posibles h) Si reúnen los resultados favorables de los eventos: “en el dado cae 1” y “en el dado cae un número diferente de 1”, en total, ¿cuántos resultados tienen? i) Sumen las probabilidades de los eventos: “en el dado cae 1” y “en el dado cae un número diferente de 1”. P(en el dado cae 1) + P(en el dado cae un número diferente de 1)=

Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos cuál sería el evento complementario de:

A lo que llegamos

• Caer 5 en un dado de seis caras.

En el caso del experimento:

Lanzar al mismo tiempo una moneda y un dado y observar la figura y el número de las caras superiores que caen en la moneda y en el dado. Se dice que el evento “en el dado cae un número diferente de 1” es complemento del evento “en el dado cae 1”, porque todos los resultados favorables del primer evento son diferentes a los resultados favorables del segundo evento y al reunirlos forman el espacio muestral del experimento. Por ejemplo: Al realizar una prueba, “fracaso” es el complemento del evento “éxito”; en el lanzamiento de una moneda, “caer águila” es el complemento de “caer sol”; en 10 lanzamientos de una moneda, “al menos una águila” es el complemento de “ninguna águila”. Todo evento tiene un evento complementario y la suma de sus probabilidades es igual a 1.

• No caer 5 en un dado de seis caras. • Que llueva. • Sacar 10 en al menos uno de los cinco exámenes. Analicen el último ejemplo porque puede ser difícil saber cuál es el evento complementario cuando dice “al menos en…”. Pueden hacer un diagrama de árbol para averiguar cuál es el espacio muestral y obtener así el evento complementario. 154

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Sugerencia didáctica. Nuevamente pida a sus alumnos que se apoyen en el diagrama de árbol para identificar los resultados favorables a los eventos que se definen en estas preguntas.

III. En la actividad I del apartado Manos a la obra de esta sesión, dos eventos que se observaron fueron: “En la moneda cae águila” y “en el dado cae 1”. Y encontraron que son eventos independientes.

Respuestas.

En la actividad II del apartado Manos a la obra de esta sesión, trabajaron con los complementos de estos dos eventos:

a) Sí son independientes porque la ocurrencia de uno de los eventos no depende de la del otro. Eso puede verificarse multiplicando las probabilidades de cada evento simple y comparando el resultado con la probabilidad del evento compuesto (que es lo que harán en seguida). Sin embargo, permita que los alumnos opinen al respecto y sigan contestando.

“En la moneda no cae águila” y “en el dado no cae 1”. a) ¿Creen que estos nuevos eventos son independientes? ¿Por qué? El evento “en la moneda no cae águila es equivalente a “en la moneda cae sol” y el evento “en el dado no cae 1” es equivalente a “en el dado cae un número diferente que 1”. b) ¿Cuál es el producto de la probabilidad del evento: “en la moneda cae sol” y del evento: “en el dado cae un número diferente de 1”? P(en la moneda cae sol) × P(en el dado cae número diferente de 1) =

6 10 60 5 1 5 5 × = = , o bien, × = . 12 12 144 12 2 6 12 c) Son iguales. b)

c) Comparen la probabilidad del evento “en la moneda cae sol y en el dado cae un número diferente de 1” con el producto de las probabilidades de los dos eventos que obtuvieron en el inciso b). P(en la moneda cae sol y en el dado cae un número diferente de 1)

d) El que las probabilidades que se calcularon en el inciso c) sean iguales quiere decir que el evento “en la moneda cae sol” y el evento “en el dado cae un número diferente de 1”, son independientes.

P(en la moneda cae sol)

× P(en el dado cae un número diferente de 1)

¿Son iguales o diferentes? d) ¿Son independientes los eventos: “en la moneda cae sol” y “en el dado cae un

Sugerencia didáctica. Si lo considera conveniente pida a sus alumnos que copien el diagrama de árbol en sus cuadernos y que marquen los eventos que se señalan a continuación para que cuenten los resultados favorables y puedan determinar las probabilidades.

número diferente de 1”?

Lo que aprendimos 1. Considera el experimento y el diagrama de árbol que completaste en la sesión 1 de esta secuencia para contestar las siguientes preguntas. Experimento: Lanzar una moneda y un dado, al mismo tiempo, observar la figura y el número de las caras superiores que caen en la moneda y en el dado. Si ahora consideras los eventos: “En la moneda cae sol”. “En el dado cae 1”. “En la moneda cae sol y en el dado cae 1”.

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Respuestas.

secuencia 27

a) La probabilidad del evento “en la moneda cae sol” es 12 , la probabilidad del evento “en el dado cae 1” es 61 , la probabilidad del evento “en la moneda cae sol y en el dado cae 1” es 1 1 1 1 12 . Como 2 × 6 = 12 se puede afirmar que los eventos son independientes. b) La probabilidad del evento “en la moneda cae águila” es 12 , la probabilidad del evento “en el dado cae un número diferente de 1” es 56 , la probabilidad del evento “en la moneda cae águila y en el dado cae un número diferente 5 . Como 1 × 5 = 5 se puede de 1” es 12 2 6 12 afirmar que los eventos son independientes.

a) ¿Son independientes los eventos: “en la moneda cae sol” y “en el dado cae 1”? ¿Por qué?

Si los eventos a considerar son: “En la moneda cae águila”. “En el dado cae un número diferente de 1”. b) ¿Son independientes los eventos: “en la moneda cae águila” y “en el dado cae un número diferente de 1”?

SESIóN 2

¿Por qué?

DOS O mÁS EVENTOS INDEPENDIENTES

Consideremos lo siguiente

Realicen el siguiente experimento y contesten las preguntas que se plantean.

Propósito de la sesión. Determinar cuándo dos o más eventos son independientes.

Propósito de la actividad. Aparentemente distinguir si dos o más eventos son independientes es sencillo, solamente hay que multiplicar las probabilidades de cada evento simple y comparar el producto con la probabilidad del evento compuesto para ver si son iguales; sin embargo hay situaciones en las que no es tan evidente. En esta sesión los alumnos utilizarán las monedas y los dados por separado porque cuando los experimentos se realizan con una misma moneda o dado es más difícil distinguir que el resultado de cada lanzamiento es independiente del anterior. Sugerencia didáctica. Es importante que realicen los experimentos para que las actividades no consistan sólo en hacer cálculos; por otra parte, puede pedirles que anticipen sus resultados preguntándoles cosas como ¿qué creen que va a salir al lanzar las dos monedas?, ¿si en la primera cae águila qué creen que va a caer en la segunda?, ¿qué resultado creen que sea más probable (águila,águila) o (águila,sol)?

172

Lancen al mismo tiempo dos monedas al aire y observen el resultado. Anoten el resultado que obtuvieron en el siguiente recuadro:

Recuerden que: s nto de lanzar do En el experime servar el ob y e air al s moneda án considerando resultado, se est las que sus caras en s da ne mo s do de a probabilidad tienen la mism les. , son equiprobab ocurrir, es decir do en un En general, cuan r ocurre lo aza experimento de das e que las mone anterior, se dic s o legales. son no trucada

Moneda 1

Moneda 2

Comparen sus resultados con sus compañeros. a) Escriban en la siguiente tabla los resultados diferentes que obtuvieron: Moneda 1

Moneda 2

Si definimos los eventos: A: “Cae sol en la primera moneda”. B: “Cae sol en la segunda moneda”. C: “Cae sol en ambas monedas”. 156

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Posibles resultados. Aunque hay sólo cuatro posibles resultados, es posible que los alumnos consideren resultados repetidos. Cuando terminen la actividad I del apartado Manos a la obra regresen a esta tabla y corrijan si fuera necesario.

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MATEMÁTICAS

Sugerencia didáctica. Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos y anote algunas respuestas en el pizarrón para recuperarlas al final de la sesión.

b) ¿Consideran que si cae sol en la primera moneda, este resultado afecta la ocurrencia o no ocurrencia del resultado de la segunda moneda? ¿Por qué?

Manos a la obra I. Completen el siguiente diagrama de árbol con los resultados diferentes que pueden obtenerse al lanzar dos monedas al aire. Moneda 1

Moneda 2

(A,A)

Sol S

(A, S)

Águila A

(S, A)

1 2

Águila A 1 2

Lanzar dos monedas

Resultados posibles

Águila A

1 2

Sol S

Respuestas.

1 2

Sol S

a) Cuatro.

(S, S)

b) Águila o sol.

1 2

c) Hay dos resultados posibles. d) Águila o sol.

a) En total, ¿cuántos resultados posibles hay? b) Si en la primera moneda cae sol, ¿qué resultados pueden caer en la segunda moneda? c) ¿Cuántos resultados favorables hay para el evento: “cae sol en la primera moneda”? d) Si en la segunda moneda cae águila, ¿qué resultados pueden caer en la primera moneda? e) ¿Cuántos resultados favorables hay para el evento: “cae

e) Hay dos resultados posibles.

Recuerden que: si la independientes Dos eventos son s no o de los evento un de cia en ocurr d de de la probabilida afecta al valor e la otro. Por lo qu ocurrencia del ntos que los dos eve probabilidad de es igual al nte me ea án ult ocurran sim un probabilidad de producto de la l otro. de la r po nto eve

2 1 = 4 2 2 1 g) = 4 2 f)

sol en la segunda moneda”? f) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “caer sol en la primera moneda”? P(caer sol en la primera moneda) = g) ¿Cuál es la probabilidad de “caer sol en la segunda moneda”? P(caer sol en la segunda moneda) = 157

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Propósito del interactivo. Utilizar el diagrama de árbol como técnica de conteo en la resolución de problemas. Sugerencia didáctica. Si lo considera oportuno puede ocupar el interactivo Diagrama de árbol, Opciones iguales para construir el diagrama completo.

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Respuestas.

secuencia 27

h) Uno.

h) ¿Cuántos resultados favorables hay para el evento: “cae sol en la primera moneda y sol en la segunda moneda”, es decir, “cae sol en ambas monedas”?

1 i) 4 1 1 1 × = j) 2 2 4 k) Las probabilidades son iguales, por lo tanto, el evento “en la primera moneda cae sol” y el evento “en la segunda moneda cae sol” son independientes.

i) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “cae sol en ambas monedas”? P(cae sol en ambas monedas) = j) Multipliquen las probabilidades de los eventos: “cae sol en la primera moneda” y “cae sol en la segunda moneda”. P(cae sol en la primera moneda) × P(cae sol en la segunda moneda) = ×

k) Comparen la probabilidad del evento: “cae sol en ambas monedas” con el produc-

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos identifiquen que lanzar dos monedas no trucadas al aire es equivalente a lanzar dos veces una misma moneda. También es importante que sepan que el evento “en el primer lanzamiento cae sol” es independiente del evento “en el segundo lanzamiento cae sol”. Con esta actividad aprenderán que en este tipo de experimentos (aleatorios que se repiten en las mismas condiciones) el producto de las probabilidades de los eventos es una potencia en la que el exponente es el número de veces que se repite el experimento o el número de objetos que se lanzan. Por ejemplo, si se lanzan dos monedas, la potencia será al cuadrado por que se multiplica dos veces la probabilidad, si se lanzan tres será al cubo, etc. Si el experimento es lanzar la misma moneda dos veces también se multiplica dos veces la probabilidad de 12 , entonces el producto será al cuadrado, si se lanza tres veces será al cubo, etcétera. Por otra parte, con el análisis y comparación de estos dos experimentos se establece un antecedente para los contenidos y habilidades que se estudiarán en tercer grado sobre simulación.

to de las probabilidades de los dos eventos que obtuvieron en el inciso anterior. ¿Son iguales o diferentes? ¿Son independientes los eventos: “cae sol en la primera moneda” y “cae sol en la segunda moneda”?

ii. Ahora, realicen el siguiente experimento: Lancen una moneda dos veces al aire y observen la sucesión de águila y sol que obtienen. a) Anoten el resultado que obtuvieron al realizar el experimento en el siguiente recuadro: Primer lanzamiento

b) Comparen sus resultados con sus compañeros. Escriban en la siguiente tabla los resultados diferentes que obtuvieron en su grupo. Primer lanzamiento

Segundo lanzamiento

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Segundo lanzamiento

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c) Completen el siguiente diagrama de árbol con los resultados diferentes que pueden obtenerse al lanzar una moneda dos veces al aire. Primer Lanzamiento

Águila A 1 2

Resultados posibles

Segundo Lanzamiento Águila A

(A,A)

Sol S

(A, S)

1 2

Lanzar una moneda dos veces

Águila A Sol S

Sugerencia didáctica. Los diagramas son iguales porque los resultados de los experimentos no varían si se hacen con dos monedas o con una. Pida a los alumnos que opinen por qué creen que sucede esto.

(S, A)

1 2

Respuestas.

Sol S

(S, S)

1 2 d) Comparen los resultados posibles que obtuvieron en el diagrama de árbol de este

d) Son iguales. 2 1 = 4 2 2 1 f) = 4 2 1 g) 4 2 2 4 1 1 1 1 h) × = = , o bien, × = 4 4 16 4 2 2 4 i) Son iguales, por lo tanto, el evento “en la primera moneda cae sol” y el evento “en la segunda moneda cae sol” son independientes. e)

experimento con los resultados posibles del experimento de las dos monedas que realizaron en el apartado Manos a la obra. ¿Son iguales o diferentes? e) Al lanzar una moneda dos veces al aire. ¿Cuál es la probabilidad del evento: "caer sol en el primer lanzamiento"? P(cae sol en el primer lanzamiento) = f) ¿Cuál es la probabilidad del evento: "caer sol en el segundo lanzamiento"? P(cae sol en el segundo lanzamiento) = g) ¿Cuál es la probabilidad del evento: "caer sol en ambos lanzamientos"? P(caer sol en ambos lanzamientos) = h) Multipliquen las probabilidades de los eventos: “cae sol en el primer lanzamiento” y “cae sol en el segunda lanzamiento”. P(cae sol en el primer lanzamiento) × P(cae sol en el segundo lanzamiento) =

Recuerden que: una Una potencia es un multiplicación de mo número por sí mis varias veces.

i) Comparen la probabilidad del evento: “cae sol en ambos lanzamientos” con el producto de las probabilidades de los dos eventos que obtuvieron en el inciso anterior. ¿Son iguales o diferentes? 159

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Respuestas.

secuencia 27

a) Tres veces.

¿Son independientes los eventos: “cae sol en el primer lanzamiento” y “cae sol en el segundo lanzamiento”?

b) Ocho resultados diferentes. Si A es águila y S es sol, son los siguientes:

iii. Se lanzan tres monedas (no trucadas) al mismo tiempo y se observa la sucesión de

SSS

águilas y soles que caen.

SSA

a) ¿Cuántas veces tienes que lanzar una moneda para realizar un experimento equivalente a lanzar tres monedas al mismo tiempo?

SAS

b) En tu cuaderno, elabora el diagrama de árbol con los resultados diferentes que se

SAA

obtienen al lanzar tres monedas al aire. ¿En total, cuántos resultados posibles diferentes hay?

ASS

c) Si en la segunda moneda cae águila, ¿qué resultados pueden caer en la tercera

ASA

moneda?

AAS

¿Y cuáles en la primera?

AAA

d) Si en la tercera moneda cae sol, ¿qué resultados pueden caer en la segunda moneda?

c) Sol o águila en cualquiera de los casos.

¿Y cuáles en la primera?

d) Sol o águila en cualquiera de los casos.

e) ¿Cuántos resultados favorables hay para el evento: “cae sol en las tres monedas”?

e) Uno. 1 8 4 1 g) o en todos los casos. 8 2 4 4 4 64 1 × = = h) × 8 8 8 512 8 1 1 1 1 o × × = 2 2 2 8 i) Son iguales. f)

j) Son eventos independientes.

f) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “cae sol en las tres monedas”?

g) Calcula la probabilidad de los siguientes eventos: P(cae sol en la primera moneda) =

P(cae águila en la segunda moneda) =

P(cae sol en la tercera moneda) = h) Multiplica las probabilidades de los 3 eventos que calculaste en el inciso anterior. P(cae sol en la primera moneda) × P(cae sol en la segunda moneda) × P(cae sol en la tercera moneda) = ×

i) Compara la probabilidad del evento: “cae sol en las tres monedas” con el producto de las probabilidades de los tres eventos que obtuviste en el inciso anterior. ¿Son iguales o diferentes? 160

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Respuestas. a) y b) La probabilidad es la misma en ambos casos, 21 × 21 × 21 = 18 porque “caer sol en x lanzamiento” es un evento independiente de anteriores o posteriores lanzamientos, ya sea que se realicen con una moneda o con varias.

j) ¿Son independientes los eventos: “cae sol en la primera moneda”, “cae sol en la segunda moneda” y “cae sol en la tercera moneda”? Comparen sus respuestas y comenten: a) Si se lanzan las tres monedas al mismo tiempo, ¿cuál es la probabilidad de “caer sol en la primera moneda, águila en la segunda y sol en la tercera”?

b) Si se lanzan tres monedas, los eventos: “cae sol en la primera moneda”, “cae águila en la segunda moneda” y “cae sol en la tercera moneda”, ¿son independientes? ¿Por qué?

Sugerencia didáctica. Comenten esta información en grupo. Explique que el cálculo de la probabilidad de los eventos anteriores también pueden expresarlo como una potencia, en este caso ( 21 )3 . Plantee varios ejercicios en los que expresen el cálculo de la probabilidad como una potencia, por ejemplo:

A lo que llegamos Cuando un mismo experimento se repite dos o más veces, y los eventos que se observan tienen probabilidades iguales y son independientes, entonces el producto de las probabilidades es una potencia.

• La probabilidad de que al lanzar tres veces un dado de seis caras salga siempre 5.

Lo que aprendimos 1. Se lanza una moneda (no trucada) cinco veces consecutivamente, ¿cuál de las siguientes sucesiones es más posible que resulte? (A = águila y S = sol)

• La probabilidad de que al lanzar tres veces un dado de seis caras salga 1, 2 y 3 en ese orden.

a) SSSAA b) ASSAS

• La probabilidad de que llueva el sábado y llueva el domingo.

c) ASAAA d) SASAS

• La probabilidad de que al lanzar cuatro monedas al mismo tiempo en todas caiga águila.

e) Las cuatro sucesiones son igual de posibles. ¿Por qué crees que sucede eso?

Respuesta. Cualquiera de las cuatro sucesiones puede ocurrir con la misma probabilidad de 21 elevado a la quinta potencia.

2. Se lanzan dos dados (no trucados) de seis caras cada uno, al mismo tiempo. Completa el siguiente arreglo rectangular con los resultados diferentes que pueden obtenerse al lanzar dos dados.

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Propósito de la actividad. Ahora se les recomienda que utilicen el arreglo rectangular como otro recurso para analizar qué sucede al lanzar dos dados al mismo tiempo. También puede preguntarles qué sucede al lanzar tres dados y cómo se haría el experimento si se tiene únicamente un dado.

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Otra manera de interpretarlo es que cada sucesión de águilas y soles es única, como decir que caigan 5 soles o 5 águilas. Posibles dificultades. Quizá los alumnos antepongan intuiciones al cálculo de probabilidades, por ejemplo, supuestas rachas en las que cae una moneda. Son importantes la justificaciones que den, así que pídales que expliquen sus creencias y coméntenlas en grupo.

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secuencia 27

Primer dado

Segundo dado

Respuestas. a) 36 resultados posibles. 6 1 = 36 6 6 1 c) = 36 6 1 d) 36 e) Sí son independientes porque la probabilidad del evento “obtener seis en el primer dado” multiplicada por la probabilidad del evento “obtener seis en el segundo dado” es igual a la probabilidad del evento compuesto “obtener seis en el primer dado y obtener seis en el segundo dado”.

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

2,1

2,3

2,4

2,5

2,6

3,1

3,4

3,5

3,6

4,1

4,4

4,5

4,6

5,1

5,5

5,6

6,1

6,2

a) ¿En total, cuántos resultados posibles hay? b) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “obtener un seis en el primer dado”? P(obtener un seis en el primer dado) = c) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “obtener un seis en el segundo dado”? P(obtener un seis en el segundo dado) =

d) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “obtener seis en ambos dados al lanzarlos al mismo tiempo?

Propósito de la sesión. Distinguir entre eventos independientes y dependientes.

Propósito de la actividad. Las situaciones A y B plantean dos experimentos aleatorios distintos debido a que al regresar o no regresar la primera pluma a la bolsa, el número de resultados posibles cambia por lo que se obtienen dos espacios de resultados diferentes. Los alumnos verán que cambiando las condiciones en las que se realiza un experimento los eventos pueden ser independientes o dependientes.

e) Al lanzar dos dados, los eventos, “obtener un seis en el primer dado” y “obtener un seis en el segundo dado”, ¿son independientes? ¿Por qué?

SESIóN 3

EVENTOS INDEPENDIENTES y DEPENDIENTES

Consideremos lo siguiente

Un profesor tiene una bolsa con cinco plumas iguales, dos de las cuales ya no pintan. Saca una pluma al azar y se la presta a un alumno; luego éste la regresa a la bolsa. Momentos después, otro alumno también le pide una pluma, luego la regresa a la bolsa. ¿Cuáles son los resultados posibles en esta situación?

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Sugerencia didáctica. Traten de simular esta situación porque quizá no sea sencillo para los alumnos determinar el espacio muestral. Si se extrae una pluma y se regresa a la bolsa, en cada extracción hay 5 resultados posibles, y en las dos extracciones hay 5 × 5 resultados posibles. Esta situación también está relacionada con la sesión anterior porque es equivalente a 52 .

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MATEMÁTICAS

Respuestas. a) Para este evento hay 10 resultados favorables de 25 resultados posibles, por lo que la 10 2 probabilidad es = . 25 5 10 2 = b) 25 5 c) Hay cuatro resultados favorables, por lo tanto 4 . la probabilidad es 25 d) Sí son independientes.

Situación A Si se consideran los eventos: “En la primera extracción al azar la pluma no pinta”. “En la segunda extracción al azar la pluma no pinta”. “En la primera y en la segunda extracción al azar las plumas no pintan”. Encuentra la probabilidad de los siguientes eventos. a) “En la primera extracción al azar la pluma no pinta”. b) “En la segunda extracción al azar la pluma no pinta”.

Posibles dificultades. Con esta condición los resultados posibles cambian porque en la segunda extracción hay una pluma menos. Tal vez algunos alumnos tengan problemas al enumerar todos los resultados y traten de distinguir cada pluma. Permítales utilizar cualquier recurso del que dispongan para determinar el espacio muestral.

c) “En la primera y en la segunda extracción al azar las plumas no pintan”. d) Los eventos: “en la primera extracción al azar la pluma no pinta” y “en la segunda extracción al azar la pluma no pinta”, ¿son independientes? Situación B Si ahora al realizar la primera extracción, el profesor no regresa la pluma a la bolsa. e) ¿Cuáles son los resultados posibles que hay? f) ¿Cuál es la probabilidad del evento “en la primera extracción la pluma no pinta”?

Sugerencia didáctica. Es importante que permita a los alumnos explorar la situación y llegar a sus propias conclusiones, aunque sean erróneas. En el apartado Manos a la obra tendrán oportunidad de verificar sus resultados.

g) ¿Cuál es la probabilidad del evento “en la segunda extracción la pluma no pinta”?

h) ¿Y cuál es la probabilidad del evento “en la primera y en la segunda extracción las plumas no pintan”?

Respuestas.

i) Si en la primera extracción al azar, la pluma no pinta y no se regresa a la bolsa,

e) Si no se regresa la pluma a la bolsa después de cada extracción, entonces para la segunda extracción habrá cuatro resultados posibles (en vez de cinco). Entonces en las dos extracciones habrá 5 × 4 resultados posibles.

¿afecta la probabilidad de que en la segunda extracción la pluma que se saque ya no sirva? ¿Por qué?

f) La probabilidad del evento “en la primera 8 = 2. extracción la pluma no pinta” es 20 5

Manos a la obra I. En su cuaderno, elaboren el diagrama de árbol para la situación A, como muestra en la siguiente figura, y utilicenlo para contestar las siguientes preguntas.

g) La probabilidad del evento “en la segunda 8 = 2. extracción la pluma no pinta” es 20 5 163

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Propósito del interactivo. Utilizar el diagrama de árbol como técnica de conteo en la resolución de problemas.

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h) La probabilidad del evento “en la primera y en la segunda extracción la pluma no pinta” 2 = 1 . es 20 10 i) Si después de la primera extracción la pluma no se regresa a la bolsa sí afecta los resultados de la segunda extracción porque hay un resultado posible menos.

Sugerencia didáctica. Si lo considera oportuno puede ocupar el interactivo Diagrama de árbol, Opciones iguales para construir el diagrama completo.

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secuencia 27 Primera extracción

Segunda extracción

Resultados posibles

No pinta la pluma

(No pinta, no pinta)

No pinta la pluma No pinta la pluma

Sí pinta la pluma Sí pinta la pluma Sí pinta la pluma

No pinta la pluma

No pinta la pluma Extraer de una bolsa dos plumas regresando la primera pluma que se extrae

(Sí pinta, no pinta)

No pinta la pluma Sí pinta la pluma

Sí pinta la pluma Sí pinta la pluma

Sí pinta la pluma

Respuestas. a) 25.

a) En la situación A, ¿cuántos resultados posibles diferentes hay?

b) En 10.

b) ¿En cuántos de esos resultados posibles en la primera extracción la pluma no pin-

10 2 = . 25 5 10 2 = . d) En 10, la probabilidad es 25 5

c) En la situación A, ¿cuál es la probabilidad del evento: “en la primera extracción la

ta?

c) La probabilidad es

pluma no pinta”? d) ¿En cuántos resultados en la segunda extracción la pluma no pinta? 164

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MATEMÁTICAS

¿Cuál es la probabilidad de ese evento? e) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “en la primera y en la segunda extracción las plumas no pintan”?

Respuestas.

f) Comparen la probabilidad del evento: “en la primera y en la segunda extracción las

4 25 f) Son iguales.

plumas no pintan” con el producto de la probabilidad del evento: "en la primera extracción al azar, la pluma no pinta" y la probabilidad del evento: "en la segunda extracción al azar, la pluma no pinta". ¿Son iguales o diferentes?

g) Sí son independientes.

g) En la situación A, los eventos "en la primera extracción al azar la pluma no pinta" y "en la segunda extracción al azar la pluma no pinta", ¿son independientes esos eventos? II. Ahora, completen el siguiente diagrama de árbol que corresponde a la situación B cuando no se regresa la pluma en la primera extracción. Primera extracción

No pinta la pluma

Segunda extracción

Resultados posibles

No pinta la pluma

(No pinta, no pinta)

Sí pinta la pluma Sí pinta la pluma Sí pinta la pluma

No pinta la pluma

No pinta la pluma Extraer de una bolsa dos plumas sin regresar la primera pluma que se extrae

Sí pinta la pluma

(Sí pinta, no pinta)

Sí pinta la pluma

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Propósito del interactivo. Utilizar el diagrama de árbol como técnica de conteo en la resolución de problemas. Sugerencia didáctica. Si lo considera oportuno puede ocupar el interactivo Diagrama de árbol en la opción Muchos recorridos, para construir el diagrama completo.

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Respuestas.

secuencia 27

a) 8 de 20 resultados posibles.

a) ¿En cuántos de estos resultados posibles en la primera extracción al azar la pluma

8 2 . o b) La probabilidad es 20 5 c) En ocho.

b) En la situación B, ¿cuál es la probabilidad del evento: “en la primera extracción al

no pinta?

azar la pluma no pinta”?

8 2 . o d) La probabilidad es 20 5 e) En dos.

c) ¿En cuántos de los resultados posibles en la segunda extracción la pluma no pinta?

d) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “en la segunda extracción la pluma no pinta?

2 1 . = 20 10 g) No son independientes porque el resultado de multiplicar la probabilidad del evento “en la primera extracción no pinta” por la probabilidad del evento “en la segunda extracción no 4 , no es igual a la pinta” ( 25 × 25 = 25 ) probabilidad del evento compuesto “en la primera y en la segunda extracción no pinta” 1 . ( 10 )

f) La probabilidad es

e) ¿En cuántos resultados posibles en ambas extracciones las plumas no pintan?

f) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “en la primera y en la segunda extracción las plumas no pintan”?

g) En esta nueva situación, en la que no se regresa la primera pluma que se extrae, los eventos: “en la primera extracción la pluma no pinta” y “en la segunda extracción la pluma no pinta”, ¿son independientes?

¿Por qué?

iii. En una caja hay 2 chicles de sabor menta y 2 de sabor canela, se saca sin ver un

Sugerencia didáctica. Puede ser útil que los alumnos elaboren un arreglo rectangular o un diagrama de árbol para encontrar las respuestas.

chicle, se anota su sabor y luego, se regresa. Otra vez se saca un chicle y se anota su sabor. Los eventos que se observan son: “El primer chicle que se saca es de sabor canela”.

Respuestas.

”El segundo chicle que se saca es de sabor menta”.

a) 4 de 16 resultados posibles, así que la 4 1 probabilidad es = . 16 4 b) Sí son independientes.

”El primer chicle que se saca es sabor canela y el segundo chicles es de sabor menta”. a) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “el primer chicle que se saca es sabor canela y el segundo es de sabor menta”?

b) ¿Son independientes los dos primeros eventos?

c) 6 de 12 resultados posibles, así que la 6 1 probabilidad es = . 12 2

¿Por qué?

Si al sacar el primer chicle, no lo regresan a la caja y sacan otro chicle. c) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer chicle que se saca es de sabor canela?

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MATEMÁTICAS

Respuestas. 6 1 = 12 2 4 1 e) = 12 3 f) No son independientes. d)

d) ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo chicle que se saca es de sabor menta?

e) ¿Cuál es la probabilidad del evento: “el primer chicle que se saca es de sabor canela y el segundo es de sabor menta”? f) En este experimento, ¿son independientes los dos primeros eventos? ¿Por qué?

Sugerencia didáctica. Es importante hacer notar a los alumnos que para calcular la probabilidad de la situación A y la de la situación B de las actividades I y II, (y las que aparecen en la actividad III), se multiplican las probabilidades de los eventos. Si el resultado de esa multiplicación es igual a la probabilidad de la intersección, es decir, cuando ocurren a la vez los eventos considerados, puede afirmarse que son independientes. Si no son iguales, los eventos son dependientes.

A lo que llegamos Se dice que dos eventos son dependientes cuando la ocurrencia de uno de los eventos afecta el valor de la probabilidad de ocurrencia del otro. Por lo que, la probabilidad de que los dos eventos ocurran simultáneamente es diferente que el producto de la probabilidad de un evento por la del otro.

Lo que aprendimos 1. Escribe en la línea de la derecha si los eventos son independientes o dependientes en cada inciso, y justifica tu respuesta. a) Se lanzan un par de dados de seis caras. Los eventos son: “número par en el primer

Integrar al portafolios. Incluya esta actividad y pida a los alumnos que en la copia que le entreguen se incluyan los procedimientos utilizados.

dado” y “número impar en el segundo dado”. b) Se escogen dos canicas de una urna que contiene 5 canicas rojas y 5 canicas azules, con reemplazo. Los eventos son: “la primera canica es roja” y “la segunda canica es azul”.

Respuestas.

2. Para conocer más ejemplos de situaciones de azar y eventos dependientes e independientes pueden ver el programa Probabilidad y eventos independientes.

Para saber más Sobre otros ejemplos de problemas de eventos independientes, consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “El azar y el triángulo de Pascal” en Una ventana a la incertidumbre. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. Post Kij, Kjardan. Esa condenada mala suerte. México: SEP/Editorial Motino, Libros del Rincón, 2001. Explora las actividades de los interactivos Probabilidad. Eventos independientes y Frecuencia y probabilidad con Logo. 167

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Propósito del programa integrador 22. Mostrar ejemplos de situaciones de azar y distinguir si varios eventos son independientes o no. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.

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Propósito del interactivo. Ampliar los conceptos de probabilidad abordados en la secuencia.

a) Son independientes. Los resultados posibles son 36, los resultados favorables del primer evento son 12 y también del segundo evento son 12, los resultados favorables del evento compuesto son 9 de 36 resultados posibles. La probabilidad del evento compuesto es 41 y es igual al producto de probabilidades de los eventos simples. b) Son independientes. Los resultados posibles son 100, los resultados favorables del primer evento son 50, los resultados favorables del segundo evento son 50, los resultados favorables del evento compuesto son 25. La probabilidad del evento compuesto es 41 y es igual al producto de probabilidades de los eventos simples.

Recuerde que. Los experimentos de azar “con reemplazo” son aquellos en los que, sin importar el número de repeticiones del experimento, siempre hay el mismo número de resultados posibles. En este caso, significa que después de sacar una canica de la urna hay que devolverla antes de hacer la segunda extracción.

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secuencia 28

Propósito de la sesión. Interpretar y relacionar diferentes gráficas de línea que representan la variación en el tiempo de uno o más elementos de una situación.

Gráficas de línea

Descripción del video. Se da un panorama general de la importancia del turismo para nuestro país. El video es de introducción al tema y su objetivo es presentar el contexto a partir de datos y gráficas que muestran la evolución y el crecimiento de esta actividad en las principales plazas turísticas de México.

En esta secuencia aprenderás a interpretar y utilizar gráficas de línea que representan características de un fenómeno para obtener información y tomar decisiones. SESIóN 1

TURISMO, EMPLEOS Y GRÁFICAS DE LÍNEA

Para empezar

El turismo: una ocupación interesante

Sugerencia didáctica. Sin duda, el turismo es una de las principales actividades económicas del país. Pregunte a sus alumnos si en su localidad hay algún sitio o actividad que atraiga al turismo local o extranjero.

México ofrece al mundo una diversidad de atractivos turísticos: playas, zonas arqueológicas, eventos recreativos y culturales, etc. La Secretaría de Turismo pone a disposición de todos información sobre las cifras de dinero que se recauda mensualmente por la actividad turística y el número de empleos que se generan. Por ejemplo, en el año 2005, cerca de dos millones de personas tuvieron un empleo relacionado directamente con la atención al turismo nacional e internacional.

Consideremos lo siguiente

Propósito de la actividad. Hasta este momento, en el eje horizontal de las gráficas estadísticas los alumnos habían representado intervalos, en su mayoría iguales (del mismo tamaño). En esta secuencia los alumnos verán que cuando en el eje horizontal se gráfica alguna unidad de tiempo (días, meses, años, etc.) corresponde a una gráfica de línea.

La siguiente gráfica presenta la variación que se dio en el número de empleos relacionados con la actividad turística en nuestro país en el año 2005. Número de empleos relacionados con el turismo en el año 2005 1 840

Número de empleos (en miles)

1 830

Respuestas. a) 1 765 000 empleos en enero y 1 775 000 en febrero.

1 820 1 810 1 800 1 790 1 780 1 770 1 760

b) 5 000 empleos. ene

c) Mayo y junio.

feb mar

abr may jun

jul

ago

sep

oct

nov

dic

Meses

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Eje Manejo de la información.

Tema

Propósito de la secuencia Interpretar y utilizar dos o más gráficas de línea que representan características distintas de un fenómeno o situación para tener información más completa y en su caso tomar decisiones.

Sesión

Representación de la información.

Antecedentes

Los alumnos ya conocen distintas formas de representación de la información como los polígonos de frecuencias, las gráficas de barras y circulares tanto de frecuencia absoluta como de frecuencia relativa. En esta secuencia aprenderán a interpretar y utilizar las gráficas de línea.

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Propósitos de la sesión

Turismo, empleos y gráficas de línea Interpretar y relacionar diferentes gráficas de línea que representan la variación en el tiempo de uno o más elementos de una situación.

¿Sabes cuántas personas visitan el estado en que vives? Interpretar y elaborar gráficas de línea en un mismo plano.

¿Cuántos extranjeros nos visitaron? Interpretar y utilizar dos gráficas de línea que corresponden a aspectos diferentes de la misma situación.

Recursos Video El turismo: una ocupación interesante Interactivo Gráficas de línea en la estadística Interactivo Gráficas de línea en la estadística

Programa integrador 23

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MATEMÁTICAS

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos lean e interpreten la información que presenta la gráfica.

a) ¿Cuántos empleos generó el turismo en enero de 2005? ¿Y en febrero?

En general, para desarrollar en los alumnos la lectura crítica de datos se requiere que los alumnos realicen actividades en las que se consideren los tres niveles de comprensión de los gráficos:

b) ¿Cuánto disminuyó el número de empleos de abril a mayo de 2005?

c) ¿En qué par de meses consecutivos se dio el mayor aumento en el número de empleos?

a) Leer los datos. Este nivel de comprensión requiere una lectura literal del gráfico, no se realiza interpretación de la información contenida en el mismo.

Comparen sus respuestas.

Manos a la obra I. Observen la gráfica y contesten las siguientes preguntas:

b) Leer dentro de los datos. Incluye la interpretación e integración de los datos en el gráfico, requiere la habilidad para comparar cantidades y el uso de otros conceptos y destrezas matemáticas.

a) ¿Qué datos están representados en el eje horizontal? ¿Y en el eje vertical? b) ¿Cuál es el valor mínimo que se representa en el eje vertical? ¿Y cuál es el valor máximo?

c) Leer más allá de los datos. Requiere que el lector realice predicciones e inferencias a partir de los datos sobre informaciones que no se reflejan directamente en el gráfico.

c) ¿Cuál es la escala utilizada en ese eje? d) ¿En qué mes se generaron 1 820 000 empleos relacionados con el turismo?

Posibles dificultades. Quizá los alumnos no lean bien la escala del eje vertical. La información de dicho eje incluye la leyenda “en miles”, lo que quiere decir que se han quitado tres ceros a las cantidades para facilitar su lectura, pero a la hora de interpretar la gráfica deben considerarse. Así pues, si en el eje dice 1 760, en realidad ese número es el 1 760 000.

e) ¿Cuál es el mes en que se dio el mayor número de empleos? La gráfica anterior se llama gráfica de línea y muestra que, durante el año 2005, hubo tres periodos de incrementos en el número de empleos relacionados con el turismo; el primero fue del mes de enero al mes de abril. f) ¿Cuáles fueron los otros periodos que tuvieron incrementos en el número de empleos? g) ¿Cuál fue el mayor incremento que se dio en el número de empleos relacionados con el turismo?

Respuestas.

h) Durante el año 2005, ¿cuántos decrementos en el número de empleos relaciona-

a) En el eje horizontal, los meses del año 2005; y en el vertical, el número de empleos relacionados con el turismo que se generaron en ese año.

dos con el turismo se dieron? i) ¿Hubo algún periodo en el que no cambiara el número de empleos relacionados con el turismo? 169

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b) Mínimo 1 760 000 y máximo 1 840 000. c) La escala es en miles. d) En octubre. e) En noviembre. f) También hubo incrementos en los empleos de mayo a julio y de septiembre a noviembre. g) El mayor incremento de empleos relacionados con el turismo fue de mayo a junio. h) Dos, de abril a mayo y de noviembre a diciembre. Hubo un periodo en el que no hubo cambios en el número de empleos relacionados con el turismo. i) De julio septiembre (tres meses) no hubo cambios en el número de empleos relacionados con el turismo. j) Se mantuvieron los 1 805 000 empleos existentes.

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secuencia 28 ¿Cuántos meses abarcó ese periodo? j) ¿Cuál fue el número de empleos que se mantuvo constante?

Sugerencia didáctica. Cuando se lleve a cabo la comparación grupal de respuestas, pida a sus alumnos que comparen esta gráfica con las que anteriormente han estudiado para que vean que en las gráficas de línea en el eje horizontal siempre hay una unidad de tiempo (por ejemplo, años, meses o días). Es importante comentar que, al igual que en los polígonos de frecuencias, estamos señalando la frecuencia de alguna variable (número de personas, número de empleos, etcétera), pero hay cuestiones que no sabemos con precisión, por ejemplo, en la gráfica podemos ver que entre enero y febrero aumentó el número de empleos, sin embargo, no sabemos cuántos empleos aumentaron el 15 de enero.

ii. Completa el siguiente texto eligiendo la respuesta correcta en cada caso:

La gráfica de línea muestra la variación en el número de empleos generados por el

turismo en el año

2005

que inició con un aumento en los primeros

2005 / 2000

cuatro meses de

1 765 000

1765 / 1 765 000

mayo

disminuyó

1 785 000

empleos, en el mes de

1785 / 1 785 000

junio

a 1 780 000, en

disminuyó / aumentó

20 000 empleos y permaneció constante durante los meses de 200 / 20 000

aumentó

junio / julio

julio junio / julio

septiembre

(1 805 000 empleos); posteriormente, aumentó hasta

agosto / septiembre

registrar el

mayor

número de empleos en el mes de noviembre,

menor / mayor

y finalizó en el mes de diciembre con

1 825 000

empleos.

1 825 / 1 825 000

Comparen sus respuestas con sus compañeros.

Propósito de la actividad. Hay dos propósitos en esta actividad: el primero es elaborar la gráfica de línea que corresponde a los datos presentados en una tabla; y el segundo propósito es que los alumnos usen diferentes escalas, especialmente en el eje vertical. Sugerencia didáctica. Puesto que la mayor dificultad de esta actividad se encuentra en definir la escala y el valor inicial del eje vertical, comente a los alumnos que la escala en la que una de las variables es observada y registrada no es única. A veces, transformando los valores originales de la variable a una nueva escala se puede lograr que dichos valores sean más manejables.

A lo que llegamos Una gráfica de línea presenta los cambios o variaciones que se dan en una situación o fenómeno a través del tiempo. Por esta razón, en el eje horizontal se representan las unidades de tiempo (que pueden ser años, meses, días, horas, etcétera). En el eje vertical se representa el intervalo en el que varía el fenómeno durante el tiempo en que se analiza. En general, el cero debe representarse siempre que sea posible sobre el eje vertical, pero si no lo fuera, conviene hacer un corte en el eje vertical. iii. La siguiente tabla presenta la variación que se dio en el número de empleos generados por la actividad turística en nuestro país en el año 2004. 170

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Propósito del interactivo. Que los alumnos construyan gráficas de línea.

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MATEMÁTICAS

Empleos generados por el turismo en el año 2004 Mes

Número de empleos

Enero

1 700 000

Febrero

1 705 000

Marzo

1 720 000

Abril

1 725 000

Mayo

1 730 000

Junio

1 740 000

Julio

1 745 000

Agosto

1 750 000

Septiembre

1 755 000

Octubre

1 765 000

Noviembre

1 780 000

Diciembre

1 770 000

a) Ahora grafica el número de empleos que generó la actividad turística cada mes.

1790 1780 1770 1760 1750 1740 1730 1720 1710 1700 1690 1680 ene

feb

mar abr may

jun

jul

ago sep

oct

nov

dic

Meses 171

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secuencia 28 Comparen sus respuestas.

Sugerencia didáctica: Puede suceder que los alumnos utilicen diferentes escalas para graficar la variable del eje vertical, por ejemplo, expresándola en miles como se hace en la gráfica del Consideremos lo siguiente, o que escriban cada número como aparece en la tabla. Es importante que los alumnos analicen cuál es más conveniente y clara.

a) ¿Utilizaron la misma escala en el eje vertical? b) ¿Cuáles fueron los valores mínimos que utilizaron en el eje vertical?

c) ¿Y cuáles fueron los valores máximos?

Lo que aprendimos Durante una semana se registró la cantidad de dinero que diariamente se obtuvo en las ventas de una panadería; así quedó:

Sugerencia didáctica. Si hay poco tiempo en clase deje esta actividad como tarea, pero revisen juntos los incisos a), b) y c).

Lunes, $2 600; martes, $ 1 200, miércoles, $3 400; jueves, $2 100; viernes, $5 300; sábado, $5 100; domingo, $4 950.

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de su gráfica y de la descripción que hicieron del fenómeno (lo que se les pide en el inciso b).

b) Describe en tu cuaderno en qué días se obtuvieron las mejores ventas, cuándo hubo decrementos y cómo disminuyeron las ventas.

a) En tu cuaderno traza una gráfica de línea que represente las ventas que se tuvieron en la panadería.

c) Comparen sus respuestas. ¿A partir de qué valor rotularon el eje vertical?

SESIóN 2

Propósito de la sesión. Interpretar y elaborar gráficas de línea en un mismo plano.

¿SABES CUÁNTAS PERSONAS VISITAN EL ESTADO EN QUE VIVES?

Para empezar

En la sesión anterior aprendiste a elaborar gráficas de línea y, particularmente, te enteraste de cuántos empleos relacionados con el turismo se generaron en el año 2005 en México. Otros aspectos relacionados con el turismo que también se pueden presentar a través de una gráfica de línea son: el número de turistas que visitaron un determinado estado durante el año, ciudades con playa, sitios arqueológicos, etcétera. Posiblemente el lugar donde tú vives es un sitio turístico, quizá es una ciudad que tiene playa, o tal vez, es una ciudad colonial. También puede suceder que vivas cerca de un lugar muy visitado. ¿Cómo podrías investigar cuántas personas visitan tu estado? ¿Cuáles son los sitios turísticos que hay en tu población? ¿Cuáles conoces? ¿Conoces algunas personas que tengan un trabajo relacionado con la actividad turística? Si pudieras promover el lugar donde vives, ¿qué información recopilarías para hacerlo?

Consideremos lo siguiente Las siguientes gráficas de línea presentan información sobre el número de habitaciones que se han ocupado por turistas nacionales que visitaron los estados de Guerrero y Quintana Roo, en el periodo comprendido entre los años 2000 y 2005. 172

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Respuestas: Panadería "El bolillo y la telera" ventas de la semana $6,000

Venta en pesos

$5,000 $4,000 $3,000 $2,000 $1,000 Lunes Martes Miércoles Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

Días

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MATEMÁTICAS

Número de habitaciones ocupadas por visitantes nacionales

3 400 3 300

Número de habitaciones ocupadas (en miles)

3 200 3 100 3 000 2 900 2 800 2 700 2 600 2 500 2 400 2 300 2 200 2 100 2 000

2000

2001

2002

Quintana Roo

2003

2004

Posibles respuestas. Tal vez la mayoría de los alumnos diga que en Guerrero, porque tiene el mayor número de habitaciones ocupadas en el año 2005 por el turismo nacional. Sin embargo, puede suceder que otros digan que en Quintana Roo precisamente para aumentar el turismo. Algunos tal vez digan que no es suficiente la información de la que disponen o den otras razones.

2005

Años

Guerrero

a) Si se quiere construir un hotel en alguno de estos dos estados y se consideran como referencia la información que presentan las gráficas de línea, ¿en cuál de los dos estados recomendarían que lo construyeran? ¿Por qué? b) Comparen sus respuestas.

Manos a la obra

Respuestas.

I. Utilicen la información que presentan las gráficas de línea para contestar las siguientes preguntas.

a) 2 840 000

a) En Guerrero, ¿cuántas habitaciones estuvieron ocupadas por turistas en el año

b) 3 270 000

2001?

c) 2005

b) ¿Cuál fue el número máximo de habitaciones ocupadas?

d) 2004

c) ¿En qué año sucedió? d) En Quintana Roo, ¿en qué año se ocuparon 2 500 000 habitaciones? 173

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Respuestas.

secuencia 28

e) 2 910 000

e) ¿Cuál fue el número máximo de habitaciones ocupadas?

f) 2002

f) ¿En que año sucedió?

g) No.

g) ¿Fue el mismo que en el caso de Guerrero?

h) Guerrero.

h) En general, ¿cuál de los dos estados, Guerrero o Quintana Roo, tuvo más habitaciones ocupadas por turistas nacionales en el periodo de 2004-2005?

i) 2002 j) 2 910 000

i) ¿En qué año estos dos estados tuvieron el mismo número de habitaciones ocupadas? j) ¿Cuántas habitaciones estuvieron ocupadas?

Posibles respuestas. Se esperaría que los alumnos pudieran describir el comportamiento del fenómeno estudiado observando la gráfica, por ejemplo diciendo:

k) Describan cuál ha sido el comportamiento en el número de habitaciones ocupadas por el turismo nacional en el estado de Guerrero.

k) A partir del año 2003 ha aumentado el número de habitaciones ocupadas por el turismo nacional. En el año 2003 el número de habitaciones ocupadas por el turismo nacional tuvo un descenso.

l) ¿Y cuál ha sido el del estado de Quintana Roo?

m) De la siguiente lista, marquen con una “X” los aspectos que consideran también sería necesario analizar para tomar una mejor decisión sobre en cuál de los dos estados, Guerrero o Quintana Roo, es más conveniente construir un hotel.

l) A partir de 2003 ha descendido el número de habitaciones ocupadas por el turismo nacional. Entre los años de 2002 y 2003 hubo un descenso de alrededor de 350 000 habitaciones ocupadas. Sugerencia didáctica. Pida a dos o tres alumnos que lean sus respuestas a los incisos d) y e) y que las justifiquen. Luego pregunte al resto del grupo si están de acuerdo o creen que la descripción no es buena o está incompleta, en cuyo caso, revísenla nuevamente.

Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos si otros aspectos podrían complementar la información para decidir dónde construir un hotel, y cuáles serían.

(

) número de hoteles en servicio;

(

) número de habitaciones por hotel en servicio;

(

) número de turistas extranjeros;

(

) número de turistas nacionales;

(

) tipos de transporte;

(

) zonas turísticas que existen (playas, zonas arqueológicas, ciudades, etc.);

(

) número de habitantes;

(

) actividades culturales y recreativas (festivales, ferias, etc);

(

) seguridad y vigilancia.

Comparen sus respuestas.

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Sugerencia didáctica. Es importante señalar aquí que puede haber respuestas distintas entre los alumnos acerca de dónde construir el hotel, pero todos tendrían que interpretar las gráficas de manera similar.

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MATEMÁTICAS

Propósito de la actividad. Al analizar el número de habitaciones ocupadas por extranjeros, se invierte el comportamiento que se presentó en la gráfica anterior, es decir, Quintana Roo tiene mayor ocupación. Este es otro aspecto que podría considerarse al momento de tomar una decisión.

A lo que llegamos En un mismo plano se pueden mostrar dos o más gráficas de línea que corresponden a conjuntos de datos sobre el mismo aspecto de un fenómeno o situación para comparar la variación que existe entre ellos durante un determinado tiempo.

Respuestas.

II. La siguiente gráfica muestra información sobre el turismo extranjero que visita los estados de Guerrero y Quintana Roo de 2000 al 2005.

a) 1 200 000 b) 8 400 000

Número de habitaciones ocupadas por extranjeros 14 000

c) En Guerrero.

Número de habitaciones ocupadas (en miles)

13 000 12 000

d) Quintana Roo es más visitado por extranjeros.

11 000 10 000 9 000 8 000 7 000 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 0 2000

2001

Quintana Roo

2002

2003

2004

2005

Años

Guerrero

a) ¿Cuántas habitaciones fueron ocupadas por turistas extranjeros en el estado de Guerrero durante el año 2001? b) ¿Y cuántas habitaciones fueron ocupadas en el estado de Quintana Roo?

c) ¿En cual de los dos estados, Guerrero o Quintana Roo, el número de habitaciones ocupadas por extranjeros ha disminuido a través de los seis años? d) En general, ¿cuál de los dos estados es más visitado por el turismo internacional?

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Respuestas.

secuencia 28

e) Ha habido un incremento de 6 400 000 habitaciones.

e) En el caso de ese estado, ¿cuál ha sido el aumento que ha tenido el número de habitaciones ocupadas en el año 2005 con respecto a las que se ocuparon en el año 2000?

f) Se esperaría que los alumnos hicieran una descripción parecida a ésta: De acuerdo con el número de habitaciones ocupadas, el estado de Quintana Roo es más visitado por el turismo internacional o extranjero, mientras que el estado de Guerrero es más visitado por el turismo nacional.

f) Utilicen las gráficas de esta sesión para describir la forma en que varía el número de habitaciones ocupadas por turistas nacionales o por turistas extranjeros en Quintana Roo. iii. A continuación construye dos gráficas de línea para representar el número total de habitaciones ocupadas por turistas nacionales que visitaron el estado de Guerrero y el número total de habitaciones ocupadas por turistas extranjeros en ese estado durante el periodo de 2000 a 2005.

Propósito de la actividad. Elaborar dos gráficas de línea en un mismo plano con la intención de compararlas. En este caso, corresponden a dos conjuntos de datos: habitaciones ocupadas por visitantes extranjeros y ocupadas por visitantes nacionales.

3500

• Diferente tipo de línea para unir los puntos de cada gráfica (las líneas pueden ser de distintos grosores o de diferentes colores cada uno representará a una población) • Diferente tipo de punto, por ejemplo, para señalar la intersección del mes con el número de visitantes, puede utilizarse un círculo para los visitantes nacionales y un triángulo o rombo para los visitantes extranjeros. Propósito del interactivo. Que el alumno construya gráficas de línea.

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Nacional

3000 2500

Sugerencia didáctica. Nuevamente, hay que ayudar a los alumnos a elegir la escala en el eje vertical de acuerdo a los datos que van a presentar. El valor mínimo puede ser 0 y el máximo 3500, en miles, con una escala de 500 mil; pero acepte otras posibilidades que sugieran los alumnos. Propósito del interactivo. Las gráficas de línea que se piden en esta actividad pueden presentarse en el mismo plano porque son dos conjuntos de datos que se miden o cuentan con la misma unidad, en este caso, son personas (hay dos poblaciones diferentes, los visitantes nacionales y los extranjeros, pero la unidad para medir ambas variables consideradas es “número de personas”). Por lo tanto, se utilizan los mismos ejes, solamente es necesario distinguir a cada población de alguna de las siguientes maneras:

Extranjeros

2000 1500 1000 5000 2000 2001 2002 2003 2004 2005 a) ¿Qué escala es más conveniente que utilices? ¿Por qué? b) ¿Cuál de los dos tipos de turistas, extranjero o nacional, tiene mayor número de habitaciones ocupadas por turistas durante estos años?

c) ¿En qué par de años consecutivos se tiene el mayor descenso en el número de habitaciones ocupadas?

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Respuestas.

Respuesta:

a) No hay una respuesta única a esta pregunta, permita a los alumnos expresar sus opiniones pero pídales que las argumenten.

Año

Internacional

b) Nacional. c) En 2002 y 2003.

Nacional

2000

1 400

2 620

2001

1 200

2 840

2002

1 000

2 920

2003

800

2 490

2004

1 000

3 190

2005

800

3 200

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MATEMÁTICAS

II Propósito de la actividad. En esta actividad deberán elaborar una gráfica de línea con tres datos para cada año. Una vez más, hay que cuidar la escala y los valores en el eje vertical.

Lo que aprendimos La siguiente tabla muestra la información sobre el turismo nacional e internacional que visitó las zonas arqueológicas de nuestro país. Número de visitantes en zonas arqueológicas de México (en miles) Año

Nacionales

Extranjeros

Total

2000

6 270

3 200

9 470

2001

6 510

2 640

9 150

2002

7 140

2 650

9 790

2003

7 380

2 850

10 230

2004

7 240

3 130

10 370

2005

6 650

2 930

9 580

a) En el mismo eje de coordenadas, representa las tres gráficas de línea que corresponden a la información que presenta la tabla (turismo nacional, extranjero y total).

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secuencia 28 b) ¿En qué año se presentó el mayor número de visitantes nacionales en estas zonas?

2003 Propósito de la sesión. Interpretar y utilizar dos gráficas de línea que corresponden a aspectos diferentes de la misma situación.

¿Y de visitantes extranjeros?

2000

c) En total, ¿en qué año se presentó el mayor número de visitantes a estas zonas?

2004 d) Según la gráfica, ¿cuál de las siguientes frases representa el comportamiento que ha tenido el turismo (nacional, extranjero y total) que visita las zonas arqueológi-

Posibles respuestas. Es importante tener en cuenta que puede haber distintas respuestas correctas. Pida a los alumnos que las expliquen.

cas de México? Márcalas con una

a) En general, se comportan de manera similar, es decir, cuando hay un mayor número de visitantes hay mayor gasto, sin embargo en el periodo de mayo a agosto son diferentes.

En el año 2003, se presentó el mayor número de turistas nacionales que visitaron las zonas arqueológicas. En el año 2000, 3 200 turistas extranjeros visitaron las zonas arqueológicas, lo que representa el mayor número de visitantes extranjeros en el periodo de 2000 a 2005.

b) No corresponden. c) En marzo, porque es un mes en el que hay un buen número de visitantes y es cuando se reporta un mayor gasto por parte de los mismos.

Del año 2000 al año 2003, el número total de turistas que visitaban las zonas arqueológicas aumentaba; sin embargo, a partir del año 2004 ha descendido.

En el año 2005, aumentó el turismo extranjero en las zonas arqueológicas en México.

SESIóN 3

d) Las gráficas nos ayudan a pensar en qué mes podría abrirse un negocio como ése, pero tal vez sea necesario conocer el lugar que visitan o el medio de transporte, además de conocer dónde se quiere abrir el local.

¿CUÁNTOS EXTRANJEROS NOS VISITARON?

Consideremos lo siguiente Las gráficas de línea de la siguiente página presentan información sobre el número de visitantes extranjeros que estuvieron en nuestro país en el año 2005 y las cantidades de dinero que gastaron. a) ¿Qué relación encuentran entre estas cantidades: número de visitantes y dinero

Sugerencia didáctica. Quizá los alumnos contesten en el inciso b) que sí corresponde el número máximo de visitantes con la cantidad mayor de dinero gastada por que las gráficas tienen formas similares. En este momento acepte esta respuesta y posteriormente, cuando terminen de contestar el apartado Manos a la obra, retome la pregunta.

que gastaron? b) ¿Corresponde el número máximo de visitantes con la cantidad mayor de dinero que gastaron? c) Una persona está interesada en abrir una tienda de artesanías; de acuerdo con la información que presentan las gráficas, ¿cuándo le convendría abrirla, en enero, marzo o diciembre? ¿Por qué? d) ¿Consideran qué sería suficiente esta información para que decida cuándo le conviene abrir su tienda? 178

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MATEMÁTICAS

Visitantes extranjeros en México en el año 2005 2 400 2 350 2 300 2 250 2 200

Número de turistas (en miles)

2 150 2 100 2 050 2 000 1 950 1 900 1 850 1 800 1 750 1 700 1 650 1 600 1 550 1 500 1 450 1 400

ene

feb

mar

abr

may

jun

jul

ago

sep

oct

nov

dic

nov

dic

Meses

Gastos de visitantes extranjeros en México en el año 2005 1 400 1 350 1 300

Cantidad de dólares (en millones)

1 250 1 200 1 150 1 100 1 050 1 000 950 900 850 800 750 700 650 600

ene

feb

mar

abr

may

jun

jul

ago

sep

oct

Meses

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Respuestas.

secuencia 28

a) 1 810 000 visitantes.

Manos a la obra

b) 1 050 000 000 dólares.

i. Utilicen los datos que presentan las gráficas y contesten las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos extranjeros visitaron nuestro país en enero de 2005?

c) Marzo. Recuerden que: a presenta los Una gráfica de líne es que se dan cambios o variacion fenómeno a en una situación o Por esta razón, través del tiempo. se representan en el eje horizontal po (que tiem de es dad las uni ses, días, pueden ser años, me vertical se horas, etc.). En el eje que varía el anota el rango con íodo de tiempo fenómeno en el per en que se analiza.

d) No, lo que se sabe es cuántos visitantes hubo en todo ese mes. e) No, hay que considerar las escalas de las gráficas. Efectivamente hubo 2 150 000 visitantes, pero gastaron 1 050 000 000 dólares o 1 050 millones de dólares. f) De noviembre a diciembre g) De julio a agosto. Sugerencia didáctica. Aproveche la situación planteada para que los alumnos recuerden algunos aspectos del sistema de numeración decimal cuando se trabaja con números grandes. Pida que lean en voz alta el número 1 050 000 000 y que escriban en sus cuadernos cómo se lee ese número. También puede preguntarles:

b) ¿Cuánto dinero se recaudó en ese mes? c) ¿En qué mes de ese año dejaron más dinero al país los turistas?

d) ¿Con la información que proporciona la primera gráfica de línea podemos saber cuántos visitantes tuvimos el 12 de agosto de 2005? ¿Por qué?

e) ¿Es correcto decir que en julio de 2005 hubo 2 150 visitantes extranjeros y que gastaron 1 050 dólares? ¿Por qué?

f) De enero a febrero se tuvo un aumento de 18 000 visitantes. ¿En qué par de meses consecutivos se dio el mayor aumento de visitantes?

• ¿cuál sería el resultado si a ese número se le suman 9 000 000 000?

g) ¿En qué par de meses se dio la mayor disminución de visitantes?

• ¿cuánto se le tendría que sumar o restar para que el resultado fuera 1 000 050 000 000?

A lo que llegamos

• ¿cómo se lee el número 1 000 050 000 000?

Dos o más aspectos de una misma situación o un mismo fenómeno se pueden analizar mediante dos o más gráficas de línea en dos planos diferentes debido a que en el eje vertical se utiliza la escala y rótulos adecuados a cada aspecto.

Comenten sus respuestas al inciso d). Es importante que tengan claro que no es posible saber cuántos visitantes hubo en un día específico porque la información de la gráfica presenta intervalos de un mes.

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MATEMÁTICAS

II. De acuerdo con la información que presentan las gráficas, completen el siguiente párrafo:

Durante el año de 2005, el número de visitantes extranjeros en nuestro país fue de

22 050 000

12 000

turistas y gastaron

mayor

de dólares; sin embargo, la cantidad

que gastaron los visitantes extranjeros en México fue dinero

1 300

marzo

de dólares y se registró en el mes de

Lo que aprendimos 1. Para conocer las variaciones en el número de extranjeros, se consideran los resultados obtenidos en los años 2004 y 2005. Las siguientes gráficas de línea presentan esa información. Visitantes extranjeros en México en los años 2004 y 2005 2 450 2 400 2 350 2 300 2 250 2 200 2 150 2 100

Número de turistas (en miles)

2 050 2 000 1 950 1 900 1 850 1 800 1 750 1 700 1 650 1 600 1 550 1 500 1 450 1 400 1 350 1 300

ene

feb

Año 2004

mar

abr

may

jun

jul

ago

sep

oct

nov

dic

Meses

Año 2005

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Respuestas.

secuencia 28

a) 1 640 000 en enero del 2004 y 1 810 000 en enero del 2005.

a) ¿Cuántos extranjeros visitaron nuestro país en enero de 2004? ¿Y en enero de

b) Diciembre en ambos años.

b) ¿En qué mes de 2005 tuvimos más visitantes extranjeros? ¿Y de 2004?

2005?

c) Sí se mantiene la tendencia, aunque en el 2005 el número de visitantes fue mayor.

c) La tendencia de las variaciones en el número de turistas que visitaron nuestro país

d) En marzo, pues aunque no es el mes con mayor número de visitantes, es en el que los turistas hacen más gastos.

en el año 2004, ¿se mantiene en el 2005? d) Considerando esta información y la que muestra la gráfica de línea del gasto que hicieron los turistas, ¿en qué mes será más conveniente abrir la tienda de artesanías, en marzo o diciembre?

Respuestas.

2. La esperanza de vida al nacer se refiere al número de años que en promedio se espera viva un recién nacido, considerando que a lo largo de su vida estará expuesto a diferentes riesgos. En el año de 1930 en México, la esperanza de vida para una mujer era de 35 años, mientras que para los hombres era de 33 años, lo que significa una diferencia de 2 años. Para el año 2000, la esperanza de vida para una mujer era de 77 años y para el hombre, de 72 años.

Mujeres

Hombres

1930

1940

1950

1960

1970

1980

1990

2000

a) Las siguientes gráficas de línea resentan está información; en su cuaderno, elaboren una tabla que corresponda con está información.

Esperanza de vida al nacer por sexo en México

Años de vida

70 60 50 40 30 20 10 0 1930

1940

1950

1960

Mujeres

1970

1980

1990

2000

Décadas

Hombres Fuente: INEGI. Censo General de Población, 2000.

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MATEMÁTICAS

Respuestas.

b) ¿Cuál era la esperanza de vida para las mujeres en los años de 1950 y 1980?

b) 49 años en 1950 y 69 años en 1980.

c) En general, ¿cuál ha sido el comportamiento en cuanto a la esperanza de vida de

c) Ha aumentado a través de los años, aunque siempre la esperanza de vida de las mujeres es más alta que la de los hombres. El mayor incremento se dio de 1950 a 1960.

mujeres y hombres en México a través de los años? d) ¿Se ha incrementado o se ha reducido?

d) Se ha incrementado.

e) ¿Entre qué años presentó el mayor incremento?

e) Entre 1950 y 1960. 3. Para ampliar lo que saben sobre el uso de las gráficas de línea en la representación de distintos fenómenos pueden ver el programa Análisis de datos en gráficas de línea.

Propósito del programa integrador 23. Presentar gráficas de línea que representan variaciones en el tiempo de ciertos fenómenos, interpretarlas y mencionar sus características.

Para saber más

Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.

Sobre la variación en el número de turistas extranjeros y nacionales, los empleos relacionados con el turismo, la cantidad de vuelos y pasajeros consulten: http://www.sectur.gob.mx Ruta: Estadísticas del Sector-DataTur Publicaciones y documentos Resultados de la actividad Turística Seleccionar el reporte más actual del año 2007. [Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007]. Secretaría de turismo.

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secuencia 29

Gráficas formadas por rectas En esta secuencia aprenderás a interpretar y elaborar gráficas formadas por segmentos de recta que modelan situaciones relacionadas con movimiento y llenado de recipientes.

Propósito de la sesión. Interpretar y anticipar el comportamiento de gráficas formadas por segmentos de recta que modelan situaciones de llenado de recipientes.

ALBERCAS PARA CHICOS Y GRANDES

SESIóN 1

Para empezar

Organización del grupo. En las tres sesiones se propone que los alumnos trabajen en parejas, excepto en los apartados Lo que aprendimos.

En la comunidad del Rosario se ha instalado una nueva alberca que tiene dos niveles de profundidad; uno para los niños y otro para los adultos. La profundidad de la alberca en la sección para niños es de 1 m y corresponde a una tercera parte de la superficie de la alberca. La sección para adultos corresponde a las otras dos terceras partes y tiene 2 m de profundidad.

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos anticipen cómo se verá la gráfica en un fenómeno de llenado de recipientes.

2m 1m

Por ejemplo, si en un primer momento el nivel del agua sube más rápido que en un segundo momento, el primer segmento de la gráfica tendrá una pendiente mayor que la del segundo segmento.

Nivel

2 3

1 3

Consideremos lo siguiente Se ha abierto la llave para llenar de agua la alberca de la Comunidad del Rosario. Esta llave arroja siempre la misma cantidad de agua por minuto. Conforme avanza el tiempo la altura que alcanza el nivel del agua va aumentando.

Propósito del interactivo. Hacer experimentos para observar el comportamiento de la gráfica del nivel del agua contra el tiempo que tarda en llenarse.

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Propósito de la secuencia Interpretar y elaborar gráficas formadas por segmentos de recta que modelan situaciones relacionadas con movimiento, llenado de recipientes, etcétera.

Eje Manejo de la información.

Tema

Sesión

Propósitos de la sesión

Recursos

Albercas para chicos y grandes Interpretar y anticipar el comportamiento de gráficas formadas por segmentos de recta que modelan situaciones de llenado de recipientes.

Video Llenado de recipientes Interactivo Gráficas formadas por segmentos de rectas

De aquí para allá y de allá para acá Interpretar gráficas formadas por segmentos de recta que modelan una situación.

Camino a la escuela Construir gráficas asociadas a fenómenos lineales a pedazos.

Representación de la información.

Antecedentes

Anteriormente los alumnos han representado distintos tipos de situaciones mediante gráficas lineales. Ahora utilizarán gráficas lineales en segmentos para representar y analizar otros fenómenos.

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Interactivo Gráficas formadas por segmentos de rectas Programa integrador 24

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MATEMÁTICAS

Sugerencia didáctica. Quizá los alumnos no puedan anticipar cómo se verá la gráfica que representa el fenómeno planteado. Si ocurre, no los corrija en este momento, pero pídales que expliquen por qué eligieron tal o cual gráfica.

Nivel

De las siguientes gráficas, ¿cuál representa la variación del nivel del agua con respecto al tiempo transcurrido?

Respuestas. La respuesta correcta es c). Tiempo

Tiempo

Comparen sus respuestas y comenten cómo le hicieron para decidir cuál gráfica era la correcta.

Manos a la obra

La gráfica debe estar formada por segmentos de recta, pues el nivel sube a una velocidad constante al principio y, después de alcanzar el metro de altura, cambia a una velocidad constante menor. En consecuencia, la pendiente al principio es mayor y luego disminuye.

I. Observen las siguientes dos albercas. Tienen la misma profundidad, pero una es más pequeña que la otra. Las dos son llenadas con una llave que arroja la misma cantidad de agua por minuto.

Alberca 1

Propósito de las actividades. En las siguientes actividades se estudiarán y repasarán algunas propiedades de la gráfica asociada al llenado de recipientes. Con esto el alumno tendrá disponibles los elementos para abordar la actividad del apartado Consideremos lo siguiente.

Alberca 2

a) ¿Cuál de las dos albercas tarda más tiempo en llenarse? b) ¿En cuál de ellas el nivel de agua sube más rápido?

Alberca 2

Alberca 1

Respuestas.

Alberca 2

Alberca 1

Nivel

Alberca 2

Nivel

Alberca 1

Nivel

c) ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a esta situación?

a) La alberca 1 porque es más ancha. Alberca 2

Alberca 1

b) En la alberca 2 porque es más angosta. c) La gráfica b).

Tiempo

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Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que expliquen por qué consideran que las opciones que no eligieron son incorrectas.

secuencia 29 d) Comparen sus respuestas y comenten cómo le hicieron para decidir cuál gráfica era la correcta.

Explicar por qué las opciones c) y d) son incorrectas puede ser difícil. Ayúdelos explicando uno de los ejemplos y pidiendo que ellos expliquen el otro.

II. Observen la alberca que construyeron en la Comunidad del Rosario. Podemos dividirla en dos partes: antes de un metro de profundidad (parte 1) y después de un metro de profundidad (parte 2). a) ¿Qué parte tiene más espacio? Parte 2

b) Cuando el nivel del agua cambia de la parte 1 a la parte 2, la rapidez con la que sube el agua, ¿aumenta, disminu-

Parte 1

Respuestas.

ye o se queda igual?

a) La parte 2. III. Observen la siguiente cisterna. Se está llenando con una llave que arroja la misma cantidad de agua cada minuto. De las dos gráficas de la derecha, ¿cuál representa la variación del nivel del agua con respecto al tiempo?

b) Disminuye.

Nivel

La gráfica a) porque la primera parte de la cisterna es más grande, por lo tanto, tardará más tiempo en subir el nivel. Una vez llena esa primera parte, en la segunda subirá el nivel con mayor rapidez.

Nivel

¿Por qué?

Respuesta.

Tiempo

A lo que llegamos Llenado de recipientes

Con frecuencia encontramos fenómenos donde la gráfica asociada a dos cantidades que varían resulta ser la unión de dos o más segmentos de recta. Por ejemplo, el llenado de una alberca o una cisterna que tiene diferentes formas y distintos niveles de profundidad. A las gráficas que se forman por segmentos de recta se les conoce como lineales por pedazos. Cuando se estudia una gráfica lineal por pedazos hay que tomar en cuenta las pendientes de los segmentos. Por ejemplo, en la siguiente gráfica, la pendiente del primer segmento es mayor que la del segundo. Es decir, la ordenada aumenta más rápido en el primer segmento que en el segundo.

Ordenada

Descripción del video. Se muestra de forma animada y a partir de ejemplos que, en el llenado de recipientes, el nivel del agua tiene un comportamiento lineal por pedazos. Además se hace notar cómo la velocidad a la que sube el nivel del agua cambia repentinamente en distintos niveles y que esto se refleja en la gráfica como un cambio en la pendiente (que aumenta o disminuye según sea el caso).

Abscisa 186

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MATEMÁTICAS

Respuesta. La cisterna tiene tres distintos niveles de profundidad; nivel inferior, intermedio y superior. Como el nivel intermedio es el más amplio, ahí debe subir el agua más lentamente y como el superior es el más angosto ahí debe subir el agua más rápidamente. En la gráfica esto se refleja así: el segmento intermedio debe ser el de menor inclinación (pendiente) y el último segmento debe ser el de mayor inclinación.

Lo que aprendimos 1. Observen la peculiar cisterna que aparece en la figura de abajo, su tamaño cambia en tres niveles de profundidad. La cisterna está siendo llenada por una llave que arroja la misma cantidad de agua cada minuto. De las gráficas que aparecen más abajo, ¿cuál representa la variación del nivel del agua con respecto al tiempo? ¿Por qué?

En la gráfica a) el primer segmento es el de menor pendiente y debiera ser el segundo.

Tiempo

En la gráfica d) el último segmento es el de menor pendiente y debiera ser el segundo.

Nivel

En la gráfica b) el primer segmento es el de mayor pendiente y debiera ser el último.

La única gráfica que corresponde a la cisterna es la del inciso c).

Tiempo

Integrar al portafolios. Utilice una de estas dos actividades para ver si los alumnos comprendieron lo estudiado hasta aquí. Si fuera necesario, haga un repaso.

2. Comparen sus respuestas y decidan cuál de las gráficas anteriores corresponde al llenado de la siguiente cisterna.

Respuesta. La gráfica b). Sugerencia didáctica. Una vez que hayan obtenido la respuesta correcta, forme equipos o parejas y pídales que dibujen una cisterna que corresponda a las gráficas a) y d).

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Propósito de la sesión. Interpretar gráficas formadas por segmentos de recta que modelan una situación.

secuencia 29 SESIÓN 2

DE AQUÍ PARA ALLÁ Y DE ALLÁ PARA ACÁ

Consideremos lo siguiente Un autobús realiza un viaje redondo de la ciudad de México a Guanajuato. La siguiente gráfica muestra la distancia a la que se encontraba el autobús de la Ciudad de México durante todo el trayecto de ida y vuelta.

Distancia (kilómetros)

Propósito de la actividad. Se pretende que el alumno recupere información de una gráfica lineal por pedazos apoyándose en la localización de puntos en el plano coordenado. En este caso, se trata de la velocidad.

500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 1

9 10 11 12 13 14 15

Tiempo (horas) Gráfica 1

El siguiente texto es narrado por el conductor del autobús; en él, el conductor nos platica sus experiencias en el viaje México-Guanajuato. Léanlo y completen los espacios marcados haciendo uso de la gráfica.

Esa mañana llegué a la central de autobuses una hora antes de mi salida, lo cuál me permitió comer un rico desayuno en la cafetería de la central. Se acercó la hora de la salida y gustosamente me subí a la unidad que me tocaría conducir para ese viaje. Los pasajeros llegaron a tiempo para cargar su equipaje, por lo que me fue posible salir sin demoras. Como el tráfico en la carretera estaba tranquilo, aceleré un poco más de lo programado. Tal vez por 3 ello, a las horas de viaje, la unidad empezó hacer un ruido y me vi forzado a detenerme. Algunos pasajeros se molestaron, les pedí que tuvieran paciencia. Bajé de la unidad y me puse a revisar el motor: lo bueno que en el curso de ingreso me enseñaron algunas cosas de mecánica y pude 1h reparar el motor en más o menos . Tomé de nuevo la carretera y decidí irme más despacio para asegurar que no volviera a suceder lo mismo. Con todo y la demora, el viaje de ida duró en total 6 horas.

Posibles dificultades. Como la velocidad no es un dato que se pueda obtener de la ordenada o la abscisa, sino analizando ambas, puede ser difícil para los alumnos saber cuál fue la velocidad en una parte del trayecto. Invítelos a que traten de dar un valor y que después lo comparen con la gráfica a ver si concuerda.

Una vez en Guanajuato, metí la unidad al taller de la empresa. ¡La dejaron muy bien! La tuvieron jus4 to a tiempo para mi próxima salida de regreso a la ciudad de México. En las horas que estuve en Guanajuato, aproveché para comer y hablarle a mi familia. El regreso no tuvo problemas, el 5 viaje duró lo normal, horas. Con esta experiencia aprendí que no es bueno llevar la unidad a a descomponerse.

km/h, pues puede llegar

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MATEMÁTICAS

Sugerencia didáctica. Pida a dos o tres alumnos que expliquen sus estrategias para completar el texto. Si hay diferentes respuestas, dígales que den argumentos a sus compañeros como para tratar de convencerlos de que la suya es la respuesta correcta. Si no hay acuerdos, sigan adelante y posteriormente vuelvan a esta actividad.

Comparen sus respuestas y comenten. ¿Cómo hicieron para completar el texto? Después de reparar el motor, el chofer redujo la velocidad, ¿a qué velocidad creen que iba?

Manos a la obra Distancia (kilómetros)

I. Sobre la siguiente gráfica, se han marcado con letras algunos de sus puntos. 500

450

400 350

300

250 200 150 100 50

A 1

9 10 11 12 13 14 15

Tiempo (horas)

Cada uno de los siguientes enunciados se refiere a diferentes puntos sobre la gráfica. Escriban en el espacio marcado, el nombre del punto al que se refiere cada enunciado.

a) Sale el autobús de la ciudad de Guanajuato. b)

Regresa el autobús a la ciudad de México.

E F

c) Se escucha un ruido y se detiene el autobús.

trayecto. d) Se repara el motor y el autobús continúa su e) Sale el autobús de la ciudad de México.

f) Llega el autobús a la central de Guanajuato.

Respuestas.

a) Recorrió 300km en 3 horas a una velocidad de 100km/h.

II. Observen la gráfica y contesten las siguientes preguntas: a) Desde que salió de México hasta el momento de descomponerse, ¿cuál fue la distancia que recorrió el autobús? distancia?

b) Recorrió 150km en 2 horas a una velocidad de 75km/h.

¿en cuánto tiempo recorrió esa ¿qué velocidad llevaba?

b) Desde que se reparó el motor hasta que llegó a Guanajuato, ¿cuál fue la distancia que recorrió el autobús? tancia?

¿en cuánto tiempo recorrió esa dis¿qué velocidad llevaba en ese tramo?

Comparen sus respuestas y comenten la siguiente información. 189

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Sugerencia didáctica. Haga notar que en el ejemplo del autobús, el primer segmento representa un periodo de 3 horas a una velocidad constante de 100 km/h y el tercer representa un periodo de 2 hora a una velocidad constante de 75 km/h.

secuencia 29

A lo que llegamos Cuando una gráfica de distancia con respecto al tiempo resulta ser una gráfica lineal por pedazos, los distintos segmentos representan periodos de velocidad constante y los picos representan cambios de velocidad. iii. Calculen las distintas velocidades representadas por cada uno de los segmentos en la gráfica 1.

Sugerencia didáctica. Pida que tambíen calculen la velocidad en los segmentos horizontales dónde la velocidad resulta ser cero.

Lo que aprendimos La siguiente gráfica es lineal por pedazos y corresponde a la relación entre tiempo y distancia de alguna de las siguientes dos situaciones. Lee con cuidado las dos situaciones y decide a cuál de ellas corresponde la gráfica. Señala con una .

Distancia

Posibles dificultades. La respuesta correcta es la situación del inciso b) porque es cierto que durante el tiempo que el niño estuvo en la escuela no hubo modificación en la distancia a la que se encontraba con respecto a su casa. Sin embargo algunos alumnos podrían elegir la situación del inciso a) por el parecido que hay entre la gráfica y una meseta. La situación del automóvil no corresponde a la gráfica porque una vez que estuvo en la meseta siguió avanzando, es decir, no hubo ningún lapso en el que dejara de moverse. Además, en la gráfica se muestra que el automóvil regresó al punto de partida, lo cual tampoco concuerda con lo planteado en la situación.

Un automóvil sube a una meseta, llega a la parte plana, continúa avanzando y después desciende. Se grafica la distancia recorrida por el automóvil respecto al tiempo.

Tiempo

Un niño va de su casa a la escuela, se queda ahí un tiempo y regresa a su casa. Se grafica la distancia a la que el niño está de su casa respecto al tiempo.

Comparen sus respuestas y comenten: a) ¿En algún momento ocurre que, conforme el tiempo pasa, la distancia recorrida por el automóvil aumenta? b) ¿En algún momento ocurre que la distancia recorrida disminuye? c) ¿Ocurre que, conforme pasa el tiempo, la distancia recorrida se queda igual? d) ¿En algún momento la distancia a la que se encuentra el niño de su casa aumenta o disminuye? e) ¿Cómo se debe ver esto en la gráfica?

Sugerencia didáctica. Organice una discusión grupal cuando lleguen a este punto. Lea cada pregunta y pida la participación de distintos alumnos para irlas contestando. Resalte las diferencias y semejanzas entre las participaciones de los alumnos y discutan cada punto hasta que lleguen a un acuerdo. Una vez que sepan cuál es la respuesta correcta y que hayan contestado estas preguntas, pida a los alumnos que tracen una gráfica que sí represente la situación del automóvil.

206

SESIÓN 3

CAMINO A LA ESCUELA

Para empezar

Cruz es un niño muy estudioso, cada día camina dos kilómetros para ir a la escuela. En su camino, Cruz tiene que subir y bajar un pequeño cerro, el cerro de Santa Fe, como se muestra en la figura. 190

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Propósito de la sesión. Construir gráficas asociadas a fenómenos lineales a pedazos

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MATEMÁTICAS 200 m

Casa

600 m

Propósito de la actividad. La intención es que los alumnos anticipen el comportamiento de una gráfica y que hagan una descripción detallada del mismo.

Escuela

600 m

Sugerencia didáctica. Asegúrese de que los alumnos han comprendido la información para hacer la gráfica. Puede dibujar en el pizarrón la figura del recorrido de Cruz para hacer hincapié en la velocidad varía dependiendo del terreno (si es plano, de subida o de bajada).

600 m

Consideremos lo siguiente Cruz camina a una velocidad de 1.5 m/s cuando el terreno es plano, 0.5 m/s cuando es de subida y 3 m/s cuando es de bajada.

Luego puede pedirles que se imaginen cómo se va a ver la gráfica una vez que la tracen. Podría preguntarles si creen que la gráfica se va a ver igual que el dibujo del trayecto o si se va a ver distinto. Si piensan que se va a ver distinto, pase a algunos alumnos al pizarrón para que hagan un dibujo sencillo de cómo creen que va a quedar la gráfica.

Distancia en metros

Grafiquen la distancia recorrida por Cruz con respecto al tiempo.

2 000 1 800 1 600 1 400 1 200 1 000 800 600 400 200

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1 000

1 100 1 200 1 300

Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos entiendan diferencias que hay entre cada pregunta, especialmente en casos como el del inciso d). Usted podría hacer el dibujo en el pizarrón y explicar que los primeros 800 m son desde casa de Cruz hasta la cima del cerro.

1 400

Tiempo en segundos

Manos a la obra I. Contesten las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos segundos tarda Cruz en caminar los primeros 600 m?

Respuestas.

b) ¿Cuántos segundos tarda en caminar los 200 m de subida al cerro de Santa Fe?

a) 400 segundos (son 600 metros y va a 1.5m/s). 191

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b) 400 segundos (son 200 metros y va a 0.5m/s).

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Propósito del interactivo. Construir gráficas asociadas a fenómenos lineales a pedazos.

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Respuestas.

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c) 200 segundos (son 600 metros y va a 3m/s).

c) ¿Cuántos segundos tarda en los 600 m de bajada?

d) 800 segundos.

d) ¿Cuántos segundos tarda en recorrer los primeros 800 m de su casa a la escuela?

e) 1 000 segundos.

e) ¿Cuántos segundos tarda en recorrer los primeros 1 400 m?

f) 1 400 segundos.

f) ¿Cuántos segundos tarda Cruz en llegar a la escuela desde su casa?

g) 23.33 minutos.

g) ¿A cuántos minutos equivale? ii. Completen la siguiente tabla para determinar algunos puntos de la gráfica que representa el recorrido de Cruz.

Sugerencia didáctica. Cuando hayan contestado todos los incisos pregunte a los alumnos cuántos segundos son 0.333… minutos. Es común que los alumnos piensen que son 33 segundos, pero no es así. 0.333… es igual a 1 , es decir, la tercera parte de un 3 minuto o 20 segundos.

Tiempo x (en segundos)

200

400

Sugerencia didáctica. Es posible que los alumnos se hayan percatado de que cometieron errores al trazar la gráfica en el apartado Consideremos lo siguiente. Déles un tiempo para que hagan las correcciones pertinentes.

600

Distancia y (en metros)

Punto (x, y )

300

A = (200, 300 )

600

B = ( 400 , 600)

700

C = (600 ,

700

)

800

D = ( 800 , 800)

1 000

1400

E = (1 000, 1400 )

1 200

1700

F = (1 200, 1700 )

1 400

2000

G = (1 400, 2000 )

iii. Tracen (o ubiquen) los puntos cuyas coordenadas acaban de calcular, en el plano cartesiano del principio. Comparen sus respuestas y comenten: a) ¿Cómo hicieron para llenar la tabla? b) ¿Todos los puntos quedaron sobre la gráfica que hicieron al principio?

Respuestas.

iV. Contesten las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es la velocidad de Cruz en los primeros 600 m?

a) En los primeros 600 metros Cruz va a una velocidad de 1.5m/s, así que la expresión sería y = 1.5x. Es una relación lineal y su gráfica es de proporcionalidad directa (una recta que pasa por el origen).

Denotemos con la letra y la distancia (en metros) que Cruz lleva recorrida y con x el tiempo (en segundos). Escribe una expresión que relacione x con y cuando Cruz aun no llega al cerro Santa Fe.

y= ¿Es esta relación lineal?

¿Cómo se ve su gráfica?

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MATEMÁTICAS

Respuesta. b) En la subida al cerro Cruz camina a una velocidad de 0.5m/s. Ahí la gráfica es una línea con una pendiente menor que el pedazo anterior.

b) ¿Cuál es la velocidad a la que camina Cruz cuando recorre los 200 m de subida al cerro? En el intervalo de tiempo que tarda en subir, ¿cómo es la gráfica? c) La gráfica que construyeron para describir el camino de Cruz a la escuela, ¿debe ser lineal por pedazos? ¿Por qué?

Posibles respuestas.

A lo que llegamos Si un fenómeno relaciona dos cantidades de tal manera que su comportamiento es lineal por pedazos, se puede hacer su gráfica encontrando sólo algunos puntos “clave”: 1. Los puntos que representan el inicio y el fin del fenómeno. Por ejemplo, el punto O = (0,0) es el punto que representa el momento cuando Cruz no ha salido de su casa (inicio), y el punto G = (1 400, 2 000) representa el momento en que Cruz llega a la escuela (fin). 2. Los puntos donde cambia la pendiente. Por ejemplo, los momentos en que Cruz cambió su velocidad (antes de subir al cerro, en la cima del cerro y cuando bajó del cerro). Una vez que se calculan las coordenadas de esos puntos, se puede dibujar la gráfica localizándolos en el plano y luego uniéndolos con segmentos de recta. Por ejemplo, si O = (0,0), P = (2,3), Q = (4,5) y R = (8,4) son los puntos de inicio, fin y cambio de pendiente de O un fenómeno, entonces la gráfica de éste es:

Q P

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de su gráfica. Analícela y si es necesario, repase los apartados Manos a la obra de las dos sesiones y proponga otras actividades similares a las de Lo que aprendimos.

Lo que aprendimos 1. En tu cuaderno, haz la gráfica de la distancia recorrida por Cruz con respecto al tiempo, cuando éste camina de regreso a su casa. 2. Para conocer más ejemplos de fenómenos que se representan con gráficas formadas por segmentos de recta pueden ver el programa Interpretación de gráficas formadas por segmentos.

Propósito del programa integrador 24. Mostrar gráficas formadas por segmentos de recta las cuales modelan situaciones o fenómenos que relacionan dos cantidades, e interpretarlas.

Para saber más Sobre gráficas, consulta: http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Interpretacion_de_graficas/Graficas.htm [Fecha de consulta: 15 de junio de 2007]. Proyecto Descartes, Ministerio de Educación y Ciencia, España. 193

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c) La gráfica sí es lineal por pedazos, lo importante es que los alumnos puedan argumentar sus respuestas. Podrían decir cosas como porque cada parte del trayecto es una recta pero con distinta pendiente.

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Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.

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secuencia 30

Sistemas de ecuaciones

Propósito de la sesión. Resolver problemas con procedimientos aritméticos y representarlos gráficamente en el plano cartesiano para comprender lo que significa resolver un sistema de ecuaciones.

En esta secuencia representarás con letras los valores desconocidos de un problema y las usarás para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.

Descripción del video. Se proporciona una visión histórica de la evolución matemática de los sistemas de ecuaciones y su aplicación.

SESIón 1

LAS VACAS Y LOS CHIVOS

Para empezar De Diofanto al siglo XXI

El matemático de Alejandría vivió en el siglo III. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental que permitio el desarrollo del álgebra y por primera vez en la historia de las matemáticas griegas presentó de una forma rigurosa el estudio de las ecuaciones de primer y segundo grado, así como de los sistemas de ecuaciones. Por estos hechos se le conoce como el padre del Álgebra.

Sugerencia didáctica. Permita a los alumnos utilizar cualquier procedimiento que quieran (incluso dibujos) para resolver el problema. Es importante que traten de hacerlo partiendo de sus propias ideas, así que no es conveniente que les haga sugerencias o les dé pistas de cómo hacerlo.

Consideremos lo siguiente Don Matías se dedica a la crianza de vacas y chivos. Raúl le pregunta a su padre: — ¿Papá cuántas vacas y chivos tenemos?—.

Respuesta.

El padre le dice: — Te voy a dar dos pistas para que encuentres cuántos chivos y cuántas vacas tenemos.

El problema puede solucionarse mediante un sistema de ecuaciones. Si x es el número de chivos y y el de vacas, entonces:

Primera pista: en total tenemos 68 animales entre chivos y vacas.

x = 3y

Segunda pista: el número de chivos es el triple que el número de vacas.

x + y = 68

¿Cuántos animales de cada tipo tiene don Matías?

x = 51

Chivos:

y = 17

Vacas:

Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron. 196

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Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico.

Tema

Propósito de la secuencia Representar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.

Sesión

Propósitos de la sesión

Recursos

Las vacas y los chivos Resolver problemas con procedimientos aritméticos y representarlos gráficamente en el plano cartesiano para comprender lo que significa resolver un sistema de ecuaciones.

Video De Diofanto al Siglo XXI Interactivo Sistemas de ecuaciones

La edad de don Matías Plantear y resolver sistemas de ecuaciones por el método algebraico de sustitución.

Interactivo Sistemas de ecuaciones

Compras en el mercado Plantear y resolver sistemas de ecuaciones por el método algebraico de suma o resta.

Igualación Plantear y resolver sistemas de ecuaciones por el método algebraico de igualación.

Lo que aprendimos de sistemas de ecuaciones Resolver problemas mediante el planteamiento de un sistema de ecuaciones y seleccionar el método algebraico apropiado para resolverlo.

Significado y uso de las literales.

Antecedentes

En la secuencia 19 de segundo de secundaria los alumnos aprendieron a resolver ecuaciones de primer grado. En las secuencias 20 y 23 representaron gráficamente funciones de primer grado. En esta secuencia aplicarán lo aprendido para plantear y resolver sistemas de ecuaciones por diferentes métodos algebraicos.

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Programa integrador 25

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MATEMÁTICAS

Respuestas. a) En la tabla los alumnos tienen que completar cada renglón para que las dos cantidades sumen 68, que es el total de animales que tiene don Matías.

Manos a la obra I. Para saber cuántos animales de cada tipo tiene don Matías, se requiere que las parejas de números (número de chivos y número de vacas) cumplan con la primera pista: En total tenemos 68 animales entre chivos y vacas. a) Completen la Tabla 1 para mostrar algunas parejas de números que cumplan con la primera pista: Consideren que:

b) x + y = 68

• x representa el número de chivos. • y representa el número de vacas. Número de chivos: x

34 35 40 50 51 60

Número de vacas: y

34 33 28 18 17 8

Pareja (x, y)

34 (35,33) (40,28) (50,18) (51,17) (60,8) (34,

)

Tabla 1

b) ¿Cuál es la ecuación que representa a la primera pista? II. Ahora encuentren otras parejas de números que cumplan con la segunda pista dada por don Matías: el número de chivos es el triple que el número de vacas. Completen la siguiente tabla. Número de chivos: x

30 33 36 39 60 45 51

Número de vacas: y

10 11 12 13 20 15 17

Respuestas. a) x = 3 y

Pareja (x, y)

b) La pareja x = 51, y = 17.

(30,10) (33,11) (36,12) (39,13) (60,20) (45,15) (51,17)

Tabla 2

a) ¿Cuál es la ecuación que representa la segunda pista? b) ¿Cuál pareja cumple con las dos pistas?

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Sugerencia didáctica. Asegúrese de que todos los alumnos llenaron correctamente las tablas porque utilizarán las parejas de números para elaborar una gráfica.

secuencia 30 Comparen sus respuestas y comenten: Además de la pareja que encontraron, ¿existirá otra pareja que cumpla con las dos pistas que dio don Matías a su hijo Raúl?, ¿cuál? iii. Representen en el plano siguiente las parejas que obtuvieron en la Tabla 1 y las parejas que obtuvieron en la Tabla 2.

Sugerencia didáctica. Al colocar los puntos en el plano cartesiano pregúnteles qué tipo de gráfica es la que están obteniendo. Es importante que los alumnos descubran el patrón que siguen los puntos en el plano, es decir, que pertenecen a una misma recta.

Con un color unan los puntos que graficaron para la Tabla 1. Con un color distinto unan los puntos que graficaron para la Tabla 2.

y 60

Si algún punto no queda alineado revisen si se trata de un error en las tablas o al ubicar el punto en el plano.

Número de vacas

Haga hincapié en el hecho de que la pareja de números que cumple con las dos condiciones (51,17) es el punto en el que las rectas que trazaron se intersecan.

Tabla 1 30

Tabla 2

x 10

Número de chivos Gráfica 1

¿Qué punto pertenece a las dos rectas que trazaron? (

)

Comparen sus respuestas y comenten porqué el punto de intersección de las rectas que trazaron proporciona el número de chivos y vacas que tiene don Matías. 198

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MATEMÁTICAS

A lo que llegamos Para resolver un problema que involucre dos incógnitas y dos ecuaciones, hay que buscar dos valores que satisfagan las dos ecuaciones al mismo tiempo. Si se grafican las ecuaciones, el punto de intersección de las gráficas corresponde a la solución del problema. Por ejemplo, si las ecuaciones de un problema son: Ecuación 1: x + y = 40

y = 3x

Ecuación 2:

Al graficar las ecuaciones se obtienen las siguientes rectas: y 40

y = 3x

35 (10, 30)

30 25 20

x + y = 40

15 10 5 0

x 5

El punto de intersección de las rectas corresponde a la solución del problema x = 10 y y = 30. Estos valores satisfacen al mismo tiempo las dos ecuaciones.

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Propósito del interactivo. Relacionar los sistemas de ecuaciones lineales y su solución con la gráfica de dos rectas y su intersección.

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Posibles respuestas. La solución es cualquier pareja de números naturales que sumen 21. Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que comparen sus resultados y comenten que hay diversas respuestas correctas. Luego pregúnteles si creen que al graficarlas en un plano cartesiano todos los puntos estarían sobre una recta. Después hagan la gráfica.

secuencia 30

Lo que aprendimos a) Una bolsa contiene en total 21 frutas, de las cuales algunas son peras y otras son duraznos. ¿Cuántas peras y cuántos duraznos puede haber en la bolsa? b) Si además sabemos que hay once peras más que duraznos, ¿cuántas peras y cuántos duraznos hay en la bolsa?

SESIÓN 2

LA EDAD DE DON MATÍAS

Para empezar

En la sesión anterior aprendiste a plantear y resolver problemas con dos valores desconocidos por medio de dos ecuaciones. Para ello usaste procedimientos aritméticos y gráficos. En esta sesión plantearás y resolverás sistemas de ecuaciones por el método algebraico de sustitución.

Respuesta. Hay 16 peras y 5 duraznos. Mediante un sistema de ecuaciones la solución podría encontrase así (p son peras y d son duraznos):

Consideremos lo siguiente

p + d = 21

La edad de don Matías es igual a cuatro veces la edad de Raúl. La suma de sus edades es 70 años.

p = d + 11

¿Cuántos años tiene don Matías?

Sugerencia didáctica. Puede ser útil que los alumnos hagan dos tablas (similares a las que completaron en el Manos a la obra de esta sesión) y luego una gráfica para hallar el punto en el que se intersecan las rectas (que será la solución del problema), sin embargo, es importante permitir que utilicen cualquier método para resolver el problema. Más adelante aprenderán técnicas convencionales.

¿Cuál es la edad de Raúl? Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.

Manos a la obra i. Para saber la edad de don Matías y su hijo consideren lo siguiente:

x representa la edad de don Matías; y representa la edad de Raúl. a) Completen la ecuación que representa el enunciado: La edad de don Matías es igual a cuatro veces la edad de Raúl. Ecuación 1: x = b) Completen la ecuación que representa el enunciado: La suma de sus edades es 70 años.

Propósito de la sesión. Plantear y resolver sistemas de ecuaciones por el método algebraico de sustitución.

Ecuación 2:

= 70

c) ¿Cuál sistema de ecuaciones corresponde a esta situación?

x=y+4 x + y = 70 Sistema 1

y = 4x

Sistema 3 x = 4y

x = 70 − y

x + y = 70

Sistema 2

Sistema 3

200

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Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos echen mano de sus herramientas aritméticas y algebraicas para resolver el problema, sin embargo, pueden utilizar otro método, por ejemplo, el gráfico que aprendieron en la sesión anterior. Lo importante es que lo resuelvan y que comparen entre todos sus resultados y procedimientos, así irán viendo que ciertas técnicas son más eficaces y económicas que otras.

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Respuestas. a) x = 4y b) x + y = 70

Respuesta. Don Matías tiene 56 años y Raúl 14.

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MATEMÁTICAS

Respuestas. d) Porque no cumple con la otra condición, que la edad de don Matías sea cuatro veces la de Raúl.

d) ¿Por qué x = 40 , y = 30 no es una solución del sistema que seleccionaron aunque 40 + 30 = 70?

e) ¿Por qué x = 40, y = 10 no es solución del sistema, aunque 40 = 4(10)?

e) Porque no cumple con la otra condición, que las edades de ambos sumen 70 años.

II. a) Con dos colores distintos, grafiquen las rectas que corresponden a las dos ecuaciones del problema. Pueden hacer tablas para encontrar las parejas de puntos que necesiten.

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que hagan las tablas en el pizarrón y que entre todos las vayan completando. Es importante que sepan que ellos deben plantearse las parejas de números, siempre y cuando cumplan las dos condiciones (primero una y luego la otra).

Edad de Raúl en años

Edad de don Matías en años b) ¿En qué punto se intersecan las rectas que trazaron? (

)

Comparen sus respuestas y comenten porqué el punto de intersección de las rectas que trazaron proporciona la solución al problema de las edades de don Matías y Raúl. 201

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Sugerencia didáctica. Esta discusión es importante. La pregunta parece trivial, pero se trata de que los alumnos se den cuenta de que la verificación les permite asegurar que la solución es correcta siempre y cuando en ambas ecuaciones se mantenga la igualdad. En caso contrario, la solución es errónea.

secuencia 30 iii. A continuación se presenta otra manera de resolver el problema de las edades: el método de sustitución algebraica. Realicen las actividades y contesten lo que se pide. a) La ecuación 1 se puede escribir como: x = 4y. Esta ecuación indica que el valor de x es igual a 4 veces el valor de y . En la Ecuación 2, sustituyan x por 4y y resuelvan la ecuación que se obtiene después de esta sustitución.

También es importante porque quizá algunos alumnos no tengan claro qué hacer después de hallar uno de los valores (por ejemplo, x) para conocer el otro, así que dediquen un tiempo a repasar el método si fuera necesario. Puede emplear el ejemplo de las vacas y chivos de la sesión 1.

Ecuación 2:

x + y = 70

Sustitución

( 4 y ) + y = 70

b) Como resultado de la sustitución obtuvieron una ecuación de una incógnita. Resuélvanla y encuentren el valor de y.

Encuentren el valor de x.

c) Para comprobar los valores que encontraron, sustituyan en las ecuaciones 1 y 2 los valores de x y de y que encontraron.

x + y = 70

E1:

Posibles respuestas. Es importante que los alumnos tengan claro que aquí no hay una respuesta correcta y otra incorrecta, depende más bien de lo que cada uno considere que es más fácil para hacer el despeje. Si lo considera útil, pídales que despejen una incógnita en una de las ecuaciones y que luego prueben despejando la otra incógnita para que comprueben que pueden elegir cualquiera.

(56 ) + (14 ) = 70

= 70

E 2:

x = 4y (56 ) = 4( 14) 56 =

d) ¿Son verdaderas ambas igualdades que obtuvieron?

56 ¿Por qué razón?

Comparen sus respuestas y comenten: Una vez que encontraron el valor de y , ¿cómo encontraron el valor de x? iV. En un sistema, no siempre se encuentra despejada una de las incógnitas, por ejemplo: E1: x + y = 55

Sugerencia didáctica. Una vez que los alumnos han resuelto los incisos b) y c) puede ser útil anotar en el pizarrón los pasos para hacer la sustitución. Por ejemplo, si deciden despejar y de la E2, sería:

E 2: y + 2 = 2 x En este caso, para aplicar el método de sustitución es necesario despejar primero una incógnita en una de las ecuaciones. a) ¿Cuál incógnita despejarían?

b) Despejen la incógnita que escogieron y solucionen el sistema por sustitución.

y = 2x – 2 Al sustituir y en la E1 queda:

x + 2 x – 2 = 55

¿de cuál ecuación la despejarían?

202

Y luego la resuelven: 3 x – 2 = 55

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3 x = 55 + 2 3 x = 57

x = 57 ÷ 3 x = 19 Haga lo mismo para otras opciones (por ejemplo, despejar x en la E1) y anote todos los pasos para que a los alumnos les quede claro.

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MATEMÁTICAS

c) Comprueben sustituyendo los valores de x y y en las ecuaciones 1 y 2. Comparen sus respuestas y comenten: ¿en qué se fijaron para elegir la incógnita que conviene despejar?

A lo que llegamos Una manera de resolver un sistema de ecuaciones es por el método de sustitución que, como su nombre lo indica, consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituir el resultado en la otra ecuación.

Sugerencia didáctica. Pida a una pareja de alumnos que en una cartulina copien el procedimiento que se explica aquí y que lo peguen en alguna pared del salón.

Por ejemplo, para resolver por sustitución el sistema: E1: E2:

x + y = 95 y = 3x − 5

Se hace lo siguiente: 1. Se sustituye la incógnita y por 3x – 5 en la Ecuación 1.

E1:

x + y = 95 x + (3x – 5) = 95 4x – 5 = 95

2. Se resuelve la ecuación obtenida.

4x = 95 + 5 4x = 100

x = 25 3. Para encontrar el valor de y, se sustituye el valor de x en cualquiera de las ecuaciones. Si se sustituye en la ecuación 2, queda:

E2:

y = 3x − 5 y = 3(25) – 5 y = 75 – 5 y = 70

4. Se comprueba las solución sustituyendo los valores encontrados de x y de y en las dos ecuaciones. E1:

x + y = 95 (25) + (70) = 95 95 = 95

E2:

y = 3x − 5 (70) = 3(25) – 5 70 = 75 – 5 70 = 70

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Propósito del interactivo. Mostrar el proceso de resolución de un problema mediante su traducción en un sistema de ecuaciones, encontrar su solución y comprobar que efectivamente sea.

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Integrar al portafolios. Elija uno de los dos problemas de este apartado para que los alumnos le entreguen una copia y analice sus respuestas. Puede ser necesario repasar el método de sustitución, para lo cual sirve la información de A lo que llegamos.

secuencia 30

Lo que aprendimos 1. Resuelve el siguiente problema usando un sistema de ecuaciones. Hoy fue el cumpleaños de Mónica, la hija mayor de don Matías. Un invitado a la fiesta le pregunta al papá. — ¿Cuántos años cumple la muchacha compadre? Para ocultar la edad de su hija don Matías le contestó. — Las edades de mi hija y su servidor suman 72 años. Pero su edad es dos séptimos de la mía.

Respuestas. Si x es la edad de don Matías y y la de su hija, las ecuaciones serían:

a) ¿Cuantos años tiene la hija de don Matías?

E1 x + y = 72 2 7

E2 y =

b) ¿Cuántos años tiene don Matías?

La E2 también puede escribirse como y = porque 2 7

2x 7

2. Resuelve por el método de sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones: a) E1:

2(x) 7(1)

E 2:

2 x – 8y = 2

x = – 4y

b) E1:

2m + n = 4

E 2:

m –2n = 7

Entonces,

x+ 9 7

2 7

x = 72

x = 72 9 7

x = 72 ÷ x=

SESIÓN 3

504 9

COMPRAS EN EL MERCADO

Para empezar

En esta sesión aplicarás el método de suma o resta para resolver un sistema de ecuaciones.

Consideremos lo siguiente

x = 56

Don Matías fue al mercado a vender gallinas y conejos. Doña Lupe le compró 5 gallinas y 3 conejos y pagó por ellos $425.00. Don Agustín le compró 3 gallinas y 3 conejos y pagó $309.00.

Y para hallar el valor de y 56 + y = 72 y = 72 – 56 y = 16 a) 12 años. b) 60 años. Respuestas. a) 2 (–4y) – 8 y = 2 (–8 y) – 8 y = 2 204

–16 y = 2

y = 2 ÷ –16

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y=–1

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x = –4 (– x=

4 8

1 8 1 2

)

Propósito de la sesión. Plantear y resolver sistemas de ecuaciones por el método algebraico de suma o resta.

b) 2 (7 + 2 n) + n = 4 14 + 4 n + n = 4 14 + 5 n = 4 5 n = 4 – 14 5 n = –10 n = –10 ÷ 5

n = –2 m – 2(–2) = 7 m+4=7 m=7–4 m=3 220

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MATEMÁTICAS

Propósito de la actividad. En este problema se les pide que planteen un sistema de ecuaciones y se encontrarán con que las cantidades les presentan retos distintos a los de la sesión anterior. Déles tiempo suficiente para explorar posibles vías de solución.

Contesten lo que se les pide a continuación para plantear y resolver este problema mediante un sistema de ecuaciones. Usen la letra x para representar el precio de una gallina y la letra y para el precio de un conejo. a) Completen la ecuación que representa lo que compró Doña Lupe:

5x + 3 y

E1:

= 425

b) Completen la ecuación que representa lo que compró Agustín:

3x + 3y

E2:

= 309

Sugerencia didáctica. No pasen por alto la verificación, pida a los alumnos que la escriban en su cuaderno y anótenla en el pizarrón para que todos corroboren que lo hicieron bien. Si no llegaron a la solución correcta, sigan resolviendo la sesión.

Resuelvan el sistema de ecuaciones y contesten: c) ¿Cuál es el precio de cada gallina? $

58.00

d) ¿Cuál es el precio de cada conejo? $

45.00

Verifiquen sus soluciones. Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.

Sugerencia didáctica. Es importante que todos tengan claro cuál es el sistema de ecuaciones correcto antes de pasar a la siguiente actividad.

Manos a la obra I. ¿Cuál de los siguientes sistemas corresponde al problema anterior?

Sistema 3 E1: x + y = 425

E 1:

8xy = 425

E1: 5x + 3y = 425

E2: x + y = 309

E 2:

6xy = 309

E2: 3x + 3y = 309

Sistema 1

Sistema 2

Sistema 3

Comparen el sistema que seleccionaron y comenten porqué lo escogieron. II. Cuando en ambas ecuaciones de un sistema una incógnita tiene el mismo coeficiente, conviene aplicar el método de suma o resta para eliminarla y simplificar el sistema. Contesten lo que se les pide para aplicar este método. a) En el sistema correspondiente al problema de las gallinas y los conejos, ¿cuál in-

cógnita tiene el mismo coeficiente en ambas ecuaciones? ¿qué coeficiente tiene?

;

b) Resten las ecuaciones 1 y 2 para eliminar a la incógnita que tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones. Completen.

–

E1:

= 425

E2:

= 309

= 116

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secuencia 30 c) Encuentren el valor de x en la ecuación que obtuvieron. d) Encuentren el valor de y.

e) Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y comprueben si los valores que encontraron para x y para y satisfacen las condiciones del problema planteado. Gastos de doña Lupe

Gastos de don Agustín

5 gallinas de $

cada una = $

290

3 gallinas de $

cada una = $

174

3 conejos de $

cada una = $

135

3 conejos de $

cada uno = $

135

Total $

425

Total $

309

Comparen sus respuestas. iii. Cuando en ambas ecuaciones los coeficientes de una misma incógnita sólo difieren en el signo, también conviene aplicar el método de suma o resta. Por ejemplo, para resolver el sistema: E1: 5x + 3y = 425 E2: 3x − 3y = 39 conviene sumar las dos ecuaciones para eliminar los términos + 3y y − 3y y simplificar el sistema. a) Sumen las ecuaciones 1 y 2. Completen. +

E1:

E2:

–

464

b) Encuentren el valor de x en la ecuación que obtuvieron. c) Encuentren el valor de y.

425

d) Verifiquen su solución sustituyendo en ambas ecuaciones los valores de x y de y que encontraron. Comparen sus respuestas.

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MATEMÁTICAS

A lo que llegamos Cuando en las dos ecuaciones de un sistema los coeficientes de una misma incógnita son iguales o sólo difieren en el signo, conviene aplicar el método de suma o resta. Por ejemplo, para resolver el siguiente sistema. E1: E2:

5x + 2y = 70

Se suman uno a uno los términos de las dos ecuaciones

3x − 2y = −14

y se cancelan los términos que tienen y.

8x + 0y = 56 8x = 56

x=7 E1:

5x + 2y = 70 5(7) + 2y = 70 2y = 70 − 5(7)

Sugerencia didáctica. Pida a otra pareja de alumnos que copien el procedimiento de resolución que aquí se explica en una cartulina y péguenlo junto al otro en el salón.

Se resuelve la ecuación obtenida

Respuesta. Las ecuaciones serían (x son cuadernos y y son los lápices):

y se encuentra el valor de x.

E1: 3 x + 2 y = 54

En cualquiera de las ecuaciones, se sustituye el valor

E2: 5x + 4y = 92

obtenido para x, se resuelve la ecuación resultante

Para resolver usando el método de suma y resta habría que efectuar una multiplicación para que dos de los términos que tienen la misma literal sean iguales (puede ser cualquiera de las literales). Si fuera la x quedaría:

y se encuentra el valor de y.

2y = 35

y = 17.5 La solución se verifica sustituyendo los valores de x y de y en ambas ecuaciones.

E1: –5(3 x + 2 y) = –5(54)

Lo que aprendimos

E2: 3(5x + 4y) = 3(92)

1. Plantea y resuelve en tu cuaderno un sistema de ecuaciones para solucionar el problema siguiente:

Con lo que se obtiene:

Toño y Paty compraron en una tienda cuadernos y lápices. Todos los cuadernos y lápices que se compraron son iguales entre sí.

E1: –15x – 10 y = –270

Por 3 cuadernos y 2 lápices, Paty pagó $54.

E2: 15x + 12 y = 276

Por 5 cuadernos y 4 lápices, Toño pagó $92. a) ¿Cuál es el precio de cada cuaderno?

16.00

b) ¿Cuál es el precio de cada lápiz?

3.00

Y al efectuar las sumas y restas queda:

y=3 Se sustituye ese valor en cualquiera de las ecuaciones originales y se encuentra que x = 16.

2. Resuelve por el método de suma o resta los siguientes sistemas de ecuaciones: a) E1: 2x − 8y = −8 E2: 3x − 8y = −10

b) E1: 4m + 3n = −1 E2: 6m − 6n = –5

Respuestas. 207

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a) Como hay dos términos con la misma parte literal que tienen igual coeficiente, no hay que multiplicar. Si se resta la primera ecuación a la segunda quedaría: 3 x –8 y –2 x + 8 y = –10 + 8 Al efectuar las sumas se tiene que x = –2 y al sustituir x en cualquiera de las dos ecuaciones resulta y = 1 . 2

b) Hay que multiplicar para eliminar alguno de los términos con la misma literal. Si se quiere eliminar m: E1: 6(4 m +3 n) = 6(–1) E2: –4(6 m – 6 n) = –4(–5) Al efectuar las operaciones queda 42 n = 14 y se tiene que n = 1 y m = – 1 . 3

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9/10/07 2:08:39 PM

Propósito de la sesión. Plantear y resolver sistemas de ecuaciones por el método algebraico de igualación.

secuencia 30 SESIÓN 4

LA IGUALACIÓN

Para empezar

En esta sesión utilizarás el método de igualación para resolver un sistema de ecuaciones.

Sugerencia didáctica. Permita que los alumnos utilicen el método que quieran para resolver las ecuaciones. Luego pase a dos o tres alumnos a explicar en el pizarrón cómo lo hicieron. Si no lograron resolverla, permítales seguir sin darles la respuesta. En el Manos a la obra podrán saber cómo hacerlo.

Consideremos lo siguiente Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones: E1: y = 4x + 13 E2 : 2 x – 3 = y

–8

,y=

–19

Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.

Respuestas.

Manos a la obra

4x – 2 x = –3 – 13

i. Una manera de resolver un sistema de ecuaciones cuando la misma incógnita está despejada en las dos ecuaciones consiste en aplicar el método de igualación. Para eso hay que igualar las dos expresiones algebraicas que son equivalentes a la incógnita despejada.

2 x = –16

x=–

16 2

a) ¿Qué ecuación se obtiene al igualar las dos expresiones algebraicas equivalentes a la incógnita y?

x = – 8

E1: y = 4x + 13

Para hallar y se sustituye x en cualquiera de las ecuaciones:

E2: 2x – 3 = y

4x + 13

2 x – 13

Resuelvan la ecuación que obtuvieron.

y = 4(–8) + 13

b) ¿Cuál es el valor de x?

y = –19

–8

, ¿cuál es el valor de y?

–19

c) Verifiquen sus soluciones sustituyendo los valores que encontraron en las dos ecuaciones originales. Comparen sus soluciones. ii. Encuentren el sistema de ecuaciones que corresponda al problema siguiente: Doña Lupe fue a comprar queso. Por 2 quesos de vaca y 3 quesos de cabra pagó $300.00. Si un queso de vaca vale $30.00 menos que un queso de cabra, ¿cuánto vale una pieza de cada tipo de queso? Usen las letras x y y para representar las incógnitas del problema.

x: precio de un queso de vaca. y: precio de un queso de cabra. 208

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MATEMÁTICAS

a) ¿Qué ecuación representa el enunciado: por 2 quesos de vaca y 3 quesos de cabra pagó $ 300.00? E1:

2 x + 3 y = 300

b) ¿Qué ecuación representa el enunciado: un queso de vaca vale $ 30.00 menos que un queso de cabra? E2:

x = y – 30

Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.

A lo que llegamos Cuando en un sistema la misma incógnita está despejada en las dos ecuaciones, conviene aplicar el método de igualación. Para eso hay que igualar las expresiones algebraicas dadas en el despeje.

Sugerencia didáctica. También elaboren una cartulina con los pasos de resolución del método de igualación y péguenla en el salón.

Por ejemplo, para resolver por igualación el sistema: E1: x =

75 – 3y 2

E2: x = 25 + y 1. Se igualan las expresiones obtenidas mediante el despeje para la incógnita x. 2. Se resuelve la ecuación para obtener el valor de y.

75 – 3y = 25 + y 2 75 – 3y = 2 (25 + y ) 75 – 3y = 50 + 2y 75 – 50 = 2y + 3y 25 = 5y 5=y

3. Para encontrar el valor de x, se sustituye el valor de y en cualquiera de las ecuaciones. Por ejemplo, sustituyendo en la ecuación 2 queda:

x – y = 25 x – (5) = 25 x = 25 + 5 x = 30

4. Se comprueba las solución sustituyendo los valores encontrados de x y de y en las dos ecuaciones.

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9/10/07 2:08:45 PM

secuencia 30 iii. Algunas veces, antes de aplicar el método igualación hay que despejar alguna de las incógnitas. Realicen las siguientes actividades para resolver por igualación el sistema:

Posibles dificultades. Quizá los alumnos no tengan claro qué hacer para efectuar el despeje de x una vez que llegan a 2 x = 300 – 3 y. Si lo considera pertinente, anote en el pizarrón la ecuación y resuélvanla juntos explicando que para despejar x hay que dividir todo lo que está a la derecha del signo igual entre dos.

E1:

2x + 3y = 300

x = y – 30

E2:

a) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones se obtiene al despejar la incógnita x de la ecuación 1? Subráyenla. • x = (300 – 3y ) – 2 • x = 150 – 3y • x=

Respuestas.

300 – 3y 2

b) Igualen las expresiones que obtuvieron para la incógnita x. Completen la ecuación.

b) 300 – 3 y = y – 30 2

= y – 30

c) x = 42

Resuelvan la ecuación que se obtiene.

d) y = 72

c) ¿Cuánto vale x? d) ¿Cuánto vale y?

Sugerencia didáctica. Una vez que hayan comentado sus ideas, elija alguno de los sistemas de ecuaciones de las sesiones anteriores y pida a los alumnos que lo resuelvan por el método de igualación.

e) Comprueben sus soluciones sustituyendo en las dos ecuaciones originales los valores que encontraron. Comparen sus respuestas y comenten cómo resolverían un sistema de ecuaciones por el método de igualación, cuando no está despejada ninguna incógnita en las ecuaciones.

Lo que aprendimos Resuelve por el método de igualación los siguientes sistemas de ecuaciones: a)

Posibles dificultades. Pregunte a los alumnos cómo se resuelven las ecuaciones cuando tienen denominadores. Si hay dudas, anótelas en el pizarrón y resuélvanlas juntos.

E1: c =

10 – b 2

E2: c =

6+b 2

E1: m =

7n – 4 8

E2: m =

3n + 6 6

E1: r =

–3s – 1 4

E2: 6r – 6s = –5

Respuestas. a) Como en ambas ecuaciones ya está despejada c, quedaría: 10 – b 2

6+b 2

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9/10/07 12:44:31 PM

Se resuelve la ecuación: 2 (10 – b)= 2 (6 + b) 20 – 2 b = 12 + 2 b 20 – 12 = 2 b + 2 b 8 = 4b

b=2 Otra forma de resolverla es la siguiente. Como en ambos lados de la ecuación 10 – b 2

6+b 2

los denominadores son iguales, los numeradores son equivalentes, así que 10 – b = 6 + b 10 – 6 = b + b 4 = 2b

Se sustituye b en cualquiera de las ecuaciones y se obtiene c = 4.

Se sustituye n en cualquiera de las ecuaciones y se obtiene m = 3.

b) También aquí está despejada m en ambas ecuaciones, entonces se igualan:

c) Hay que despejar r en la segunda ecuación. Al igualarlas quedaría:

7n – 4 8

–3 s – 1 4

3n + 6 6

–5 + 6 s 6

Se resuelve la ecuación:

6 (7n – 4) = 8 (3 n + 6)

6 (–3 s – 1) = 4 (–5 + 6 s)

42 n – 24 = 24 n + 48)

–18 s – 6 = –20 + 24s

42 n – 24 n = 48 + 24

–18 s – 24s = –20 + 6

18 n = 72

–42 s = –14

n=4

1 3

Se sustituye s en cualquiera de las ecuaciones y se obtiene r = – 1 . 2

2=b 226

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9/10/07 2:08:49 PM

MATEMÁTICAS

LO QUE APRENDIMOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

SESIÓN 5

Propósito de la sesión. Resolver problemas mediante el planteamiento de un sistema de ecuaciones y seleccionar el método algebraico apropiado para resolverlo.

1. Selecciona el método por el que resolverías cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y escribe la razón por la que lo harías.

Sistema Sistema Método (sustitución, Método (sustitución, suma de ecuaciones o resta, igualación) de ecuaciones suma o resta, igualación)

Razón porpor lolaque seleccionas el método Razón que seleccionas el método

a + b = 20

a + b = 20 a–b=5

a – b = 5 Suma

o resta

Porque c está despejada en la primera ecuación y al sustituir su equivalencia 3 d + 5 en la segunda ecuación se elimina la incógnita c.

c = 3d + 5

c = 3d + 5Sustitución

3c + 2d =3c59 + 2d = 59

m=2+n

Al igualar el lado derecho de ambas ecuaciones se simplifica el sistema al eliminar la incógnita m.

Igualación

m = – 4 +m3=n2 + n

= – 4 + 3n 3x + 2y =m22 Suma o resta 5x + 2y = 30 3x + 2y = 22 5x + 2y = 30

–3s – 1 4 r= r = 2s = 20

–3s –Sustitución 1 4 r + 3s = 20

Al sumar lado a lado se elimina la incógnita b.

o igualación

Propósito de la actividad. La intención es que los alumnos decidan mediante cuál método de los que han aprendido resolverían cierta ecuación. Será importante entonces propiciar la confrontación grupal de manera que los estudiantes den argumentos que justifiquen su elección, y tratar de llegar a un acuerdo sobre cuál puede ser el método más conveniente en cada caso.

Al restar lado a lado las dos ecuaciones se elimina la incógnita y. Sustitución: Al sustituir la equivalencia de r en la segunda ecuación se elimina esta incógnita, sin embargo se trabaja con el denominador 4 que puede complicar la solución. Igualación: Se despeja r en la segunda ecuación y luego se igualan las equivalencias de r. Sin embargo se pueden tener dificultades para trabajar con denominadores y luego paréntesis.

Comparen sus respuestas y comenten en qué circunstancias conviene usar cada método para resolver un sistema de ecuaciones. 2. Plantea un sistema de ecuaciones para cada uno de los siguientes problemas y resuélvelo por el método que consideres apropiado. a) La suma de dos números es 72. Si el triple de uno de los números menos el otro número es 16, ¿cuáles son esos números? E 1: E 2:

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Integrar al portafolios. Seleccione dos o tres problemas de este apartado para el portafolios de cada alumno. Analice los resultados obtenidos y los procedimientos empleados para valorar si es necesario repasar alguno.

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Respuesta. Son el 22 y el 50. E1: x + y = 72 E2: 3 x – y = 16

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Respuesta.

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x vale 1.2 cm y z vale 6 cm.

b) El perímetro del triángulo es 14.4 cm y el del rectángulo es 23.6 cm, ¿cuánto valen x y z?

E1: 7x + z = 23.6 E2. –2 x + 4z + 2 = 19.6

Respuesta.

z–x

z +1

El padre gana $9,300 al mes. El hijo gana $5,700 al mes.

E1:

E1: x + y = 15000

E2:

E2: x = y + 3600

Los alumnos también podrían llegar a la ecuación x – y = 3600 al considerar que la diferencia de los dos sueldos es $3600.

,z=

c) Un padre y su hijo ganan $15 000.00 al mes. ¿Cuánto gana cada uno si el padre percibe $3 600.00 más que el hijo? E1: E2:

Respuesta.

El padre gana:

Ancho 3.1cm y largo 7.4cm

El hijo gana:

al mes. al mes.

d) En un rectángulo el largo excede por 1.2 cm al doble del ancho; además, el largo mide 4.3 cm más que el ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

E1: y = 2 x + 1.2 E2: y = x + 4.3

x + 4.3 E 1: E 2: Ancho: Largo:

x cm. cm. 2x + 1.2

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MATEMÁTICAS

Respuesta.

e) El maestro Juan compró 12 balones, unos de fútbol y otros de básquetbol; los de fútbol valen $95.00 y los de básquet $120.00, ¿cuántos balones compró para cada deporte si en total pagó $1 265.00? E 1:

Se compraron 5 balones de básquetbol y 7 de fútbol.

E 2:

E1: x + y = 12

Balones de básquetbol que se compraron:

E2: 95x + 120 y = 1 265

Balones de fútbol que se compraron:

Propósito del programa integrador 25. Presentar problemas que se planteen como sistemas de ecuaciones con coeficientes enteros y mostrar diferentes métodos para hallar la solución correspondiente.

Comparen sus respuestas y los procedimientos que utilizaron en cada problema. Comenten por qué seleccionaron cierto método de resolución en cada sistema de ecuaciones. 3. Para conocer más ejemplos de la solución de problemas mediante sistemas de ecuaciones pueden ver el programa Resolución de sistemas de ecuaciones.

Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.

Para saber más Sobre resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado consulta: http://descartes.cnice.mecd.es/ RUTA 1: Aplicaciones Álgebra Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Resolución de sistemas de ecuaciones Método de Sustitución. RUTA 2: Aplicaciones Álgebra Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Resolución de sistemas de ecuaciones Método de Reducción. [Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007]. Proyecto Descartes, Ministerio de Educación y Ciencia, España.

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secuencia 31

Propósito de la sesión. Determinar las propiedades de la traslación de figuras.

Traslación, rotación y simetría central

Materiales. Instrumentos geométricos: regla, compás, escuadras y transportador.

Propósito de la sesión en el aula de medios. Realizar traslaciones de figuras planas utilizando las herramientas de geometría dinámica.

En esta secuencia determinarás las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. Construirás y reconocerás diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.

Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 1. sEsIÓN 1

¿HACIA DÓNDE ME MUEVO?

Para empezar

En la secuencia 5 de tu libro Matemáticas i, volumen i construiste figuras simétricas con respecto a un eje. Estudiaste que un punto es simétrico a otro con respecto a una recta si se cumple que ambos puntos equidistan de la recta y el segmento que los une es perpendicular a ella. Cuando se traza el simétrico de una figura con respecto a un eje, se conservan las longitudes y los ángulos de la figura original.

Propósito de la actividad. Que los alumnos recuerden las propiedades de la simetría axial, algunas de las cuales les permitirán caracterizar los movimientos en el plano que estudiarán en esta secuencia; particularmente es importante que tengan presente la conservación de las medidas de los lados y de los ángulos, y que para trazar el simétrico de una figura, es suficiente trazar el simétrico de cada vértice.

Traza el simétrico del triángulo con respecto a la recta m. Utiliza tus instrumentos geométricos

Sugerencia didáctica. Si no recuerdan bien cómo trazar el simétrico usted puede pedir al grupo que, entre todos, traten de recordar el procedimiento apoyándose en el texto del apartado Para empezar. También pueden consultar la secuencia 5 (sesión 2) de su libro Matemáticas I, volumen I.

m 214

Eje Forma, espacio y medida. Tema Transformaciones. Antecedentes En la Secuencia 5 del libro Matemáticas I, volumen I , los alumnos estudiaron uno de los movimientos en el plano (simetría axial): aprendieron a construir figuras simétricas respecto de un eje, analizaron e hicieron explícitas las propiedades que se conservan en figuras simétricas. En el segundo grado, los alumnos continuarán explorando otros movimientos en el plano con la finalidad de que logren anticipar qué tipo de transformación sufrió una figura y que sean capaces de analizar y hacer explícitas las propiedades que deben conservarse en las figuras después de que se le aplica una determinada transformación. 230

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Propósito de la secuencia Determinar las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. Construir y reconocer diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.

Sesión

Propósitos de la sesión

Recursos

¿Hacia dónde me muevo? Determinar las propiedades de la traslación de figuras.

Aula de medios Concepto de traslación (Geometría dinámica)

Rotaciones Determinar las propiedades de la rotación de figuras.

Aula de medios Concepto de rotación (Geometría dinámica) Molinos y… (Logo)

Simetría central Determinar las propiedades de la simetría central.

Video Movimientos en el plano Aula de medios Uso de la simetría… (Geometría dinámica)

Algo más sobre simetrías, rotaciones y traslaciones Practicar los conocimientos adquiridos al resolver diversos ejercicios en los que construyan y reconozcan diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.

Interactivo Movimientos en el plano Programa integrador 25

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MATEMÁTICAS

Posibles procedimientos. Algunos alumnos podrían calcar la figura y luego remarcarla sobre la hoja para completar la serie; también podrían calcar y recortar la figura para trasladarla sobre el diseño y dibujar el contorno.

Consideremos lo siguiente El siguiente dibujo está incompleto. Debe haber 6 figuras iguales. Planeen y lleven a cabo una manera de terminarlo. Utilicen sus instrumentos geométricos.

Un posible error es que, aun cuando logren reproducir las figuras que hacen falta, no lo hagan con la inclinación correcta respecto a las demás. Permita que exploren distintas formas de resolver el problema. Procure estar atento a los procedimientos que emplean para que, en el intercambio grupal, usted pueda recuperar algunos de ellos para propiciar el intercambio entre los alumnos.

Comparen sus respuestas. Comenten con los otros equipos el procedimiento que emplearon para terminar el dibujo.

Propósito de la actividad. Que los alumnos se aproximen a las propiedades de una traslación de figuras mediante la identificación de los errores más comunes, en este caso, la quinta figura no es idéntica a las primeras y la sexta figura no conserva la misma inclinación de las demás.

Manos a la obra I. Este dibujo está mal terminado. Explica por qué.

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Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que, cuando se traslada una figura, cualesquiera dos puntos o vértices correspondientes están a la misma distancia, los segmentos que los unen son paralelos entre sí y los lados correspondientes también son paralelos entre sí.

secuencia 31 ii. Responde las preguntas.

B F

Respuestas. c

a) La distancia es de 7 cm. b) Las rectas son paralelas.

c) La distancia en todos los casos es de 7 cm.

d) Es el lado A’B’ e) Es el lado C’D’. f) Son paralelas. a) Encuentra el vértice que corresponde al vértice a y el que corresponde al vértice B en la otra figura, nómbralos a’ y B’, respectivamente. Usa tu regla para unir a con a’ y B con B’, al hacerlo obtienes los segmentos aa’ y BB’. Anota en la figura la distancia entre a y a’ y entre B y B’.

g) Son paralelas.

b) Si prolongamos los segmentos aa’ y BB’, ¿las rectas que se obtienen son paralelas o perpendiculares? c) Encuentra los vértices correspondientes a los vértices c, D, e, y F. Nómbralos c', D', e', y F', respectivamente. Anota en la figura la distancia entre c y c’, entre D y D’, e y e’, y entre F y F’. d) ¿Cuál es el lado correspondiente al lado aB? e) ¿Cuál es el lado correspondiente al lado cD? f) Si prolongamos el lado aB y su correspondiente lado en la otra figura, ¿cómo son, entre sí, las rectas que se obtienen? g) Si prolongamos el lado cD y su correspondiente lado en la otra figura, ¿cómo son, entre sí, las rectas que se obtienen?

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MATEMÁTICAS

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que no es suficiente con que las figuras sean idénticas, pues si una está inclinada con respecto a la otra, no se cumple entonces que los vértices correspondientes estén a la misma distancia ni que los lados correspondientes sean paralelos; por lo tanto, no se trata de una traslación.

III. El siguiente dibujo cambió un poco. Encuentra los vértices correspondientes a los vértices G y H. Nómbralos G’ y H’, respectivamente.

a) Anota en la figura la distancia entre G y G’ y entre H y H’. b) Traza los segmentos GG’ y HH’. Si las prolongamos, ¿las rectas que se obtienen son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos? c) ¿Cuál es el lado correspondiente al lado GH? d) Si prolongamos el lado GH y su correspondiente lado en la otra figura, ¿las rectas

Sugerencia didáctica. Invite a los alumnos a comparar las características de esta reproducción con las características de la reproducción anterior, particularmente compare las distancias entre los vértices correspondientes (¿se conserva la distancia o no?) y compare los lados correspondientes (¿son paralelos o no?).

que se obtienen son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos?

Comparen sus respuestas.

A lo que llegamos Una figura es una traslación de otra si los segmentos que unen dos puntos de la figura con sus correspondientes puntos en la otra, tienen la misma medida y son paralelos entres sí o son la misma recta. Al prolongar dos lados correspondientes en las figuras se obtiene la misma recta o se obtienen rectas paralelas entre sí

5 cm

4 cm

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Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con los alumnos. Invítelos a que regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y que verifiquen si la reproducción que hicieron cumple con las características que aquí se enuncian. Posteriormente puede solicitar a dos alumnos que, juntos, elaboren un cartel con esta información, que lo ilustren con un ejemplo y que lo peguen en un lugar visible del salón de clases.

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Propósito de la actividad. Que los alumnos describan un procedimiento para trazar la traslación de una figura.

secuencia 31 iV. Dibuja una traslación de la siguiente figura utilizando tus instrumentos geométricos; el vértice A’ debe ser el correspondiente al vértice A. Escribe el procedimiento que seguiste para trazarla. a

Sugerencia didáctica. Si observa que los alumnos tienen dificultades para describir el procedimiento, usted puede preguntarles: “¿Qué puntos necesitan trasladar para poder trazar la otra figura?” Si los alumnos se concentran en los vértices como punto de partida, esto puede facilitar que puedan identificar y describir un procedimiento. Una vez que los alumnos hayan comparado sus procedimientos, es importante que usted precise cuáles son los pasos fundamentales:

Procedimiento:

Comparen sus respuestas. Entre todos escriban en el pizarrón un procedimiento para trasladar figuras utilizando los instrumentos geométricos. Comenten cómo son los lados y los ángulos de la figura trasladada con respecto a la figura original.

• Trazar el segmento AA’. • A partir de cada uno de los demás vértices trazar rectas paralelas al segmento AA’.

A lo que llegamos

• Abrir el compás a una distancia igual a la longitud del segmento AA’ y a partir de cada vértice, marcar la distancia en la paralela correspondiente.

Al trasladar una figura se conserva la medida de los lados y de los ángulos de la figura original.

• Unir los puntos obtenidos. Si lo considera necesario, repase con los alumnos cómo se trazan las rectas paralelas, para ello, pueden consultar la secuencia 5 de su libro Matemáticas II, volumen I.

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Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que corroboren si esto se cumple en la figura que trazaron en la actividad IV.

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MATEMÁTICAS

ROTACIONES

Propósito de la sesión. Determinar las propiedades de la rotación de figuras. SESIÓN 2

Para empezar La rueda es uno de los inventos más importantes para la humanidad. Piensen en todo lo que se ha transportado con la ayuda de las ruedas. Actualmente muchos transportes (bicis, triciclos, motos, automóviles, camiones, autobuses, metro, aviones) utilizan llantas para trasladarse. En esta sesión vamos a estudiar las rotaciones.

Materiales. Instrumentos geométricos, papel y tijeras.

Propósito de la actividad. Que los alumnos exploren cómo llevar a cabo la rotación de una figura. Posibles procedimientos. Pueden calcar la figura y recortarla para después tratar de ubicarla en una posición distinta a la original, pero es probable que de esta manera no realicen ninguna rotación con respecto al centro de la llanta.

Consideremos lo siguiente En la siguiente llanta hay una figura dibujada.

Un procedimiento eficiente es que copien la llanta con la figura y que la recorten. Después, colocan la copia sobre el original de manera que coincidan ambas figuras, fijan el centro del círculo (pueden apoyarse con la punta de un lápiz) y luego giran la copia.

Sugerencia didáctica. Durante la comparación grupal, recupere estas preguntas, invite a los alumnos a que comenten qué puntos tomaron como referencia para hacer el giro de 80°. También es importante que comenten porqué la figura que dibujaron no es una traslación de la figura original.

• Al girar la llanta en sentido contrario al de las manecillas del reloj, la figura se va a mover. Traza sobre la llanta la nueva posición de la figura al hacer un giro de 80º. • La figura que dibujaste no es una traslación de la figura original. Explica por qué • ¿De cuánto debe de ser el giro para que la figura vuelva a estar en la misma posición?

Respuesta. Para regresar a la figura original el giro debe ser de 360°.

Comparen sus respuestas. Comenten en qué posición queda la figura si se hace un giro de 90°, de 180° y de 270°, en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

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Propósito de la sesión en el aula de medios. Realizar rotaciones de figuras planas utilizando las herramientas de geometría dinámica y de Logo, respectivamente. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 2.

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Sugerencia didáctica. Usted puede dibujar la llanta y la figura en el pizarrón y solicitar a algunos alumnos que pasen a trazar, aproximadamente, la posición de la figura cuando se hace el giro de 90° (un cuarto de vuelta), de 180° (media vuelta) y de 270° (tres cuartos de vuelta). En este momento no es importante que la ubicación y el trazo de la figura sean exactos, sino sólo que imaginen su posición cuando la llanta gira los grados que se indican.

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Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen cómo encontrar el centro de rotación y cómo encontrar la medida del ángulo de rotación.

secuencia 31

Manos a la obra i. Al girar la llanta la figura quedó en la siguiente posición.

Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos que la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que pasa por el punto medio del segmento. Si lo considera necesario, ayúdeles a recordar cómo se traza una mediatriz, para ello, pueden consultar la secuencia 12 de su libro Matemáticas I, volumen I.

Escoge dos vértices, a y B, en una de las figuras. Encuentra los vértices correspondientes, a’ y B’, en la otra figura. El centro de la llanta nómbralo como punto c.

Recomiende a los alumnos que usen líneas punteadas y líneas continuas o también lápices de colores para que puedan distinguir unos trazos de otros.

Usa tu regla para unir a con a’ y B con B’, al hacerlo obtienes los segmentos aa’ y BB’. Responde las preguntas. a) Encuentra las mediatrices de los segmentos aa’ y BB’. Prolóngalas hasta que se crucen. ¿En dónde se cruzan?

Respuestas.

b) Mide el ángulo

a) Las mediatrices se cruzan en el centro de la llanta.

c) ¿Cuánto mide el ángulo del giro que se realizó?

aca’ y el ángulo

BcB’. ¿Son iguales o son distintos?

d) Los segmentos ac y a’c . ¿Miden lo mismo o distinto?

b) Los ángulos son iguales.

e) Los segmentos Bc y B’c. ¿Miden lo mismo o distinto?

c) El ángulo de giro es de 135°.

f) Los lados correspondientes y los ángulos correspondientes en las figuras, ¿son

d) Los segmentos miden lo mismo.

iguales o son distintos?

e) Los segmentos miden lo mismo. f) Son iguales. 220

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MATEMÁTICAS

Propósito de la actividad. Que los alumnos encuentren el centro de rotación y la medida del ángulo de giro.

II. Los siguientes triángulos se obtuvieron al realizar un giro. Encuentra los vértices correspondientes a los vértices A y B, nómbralos A’ y B’ en el otro triángulo. Encuentra el punto C sobre el que se hizo el giro. Calcula de cuánto es el ángulo de giro.

Sugerencia didáctica. Recomiende a los alumnos que sigan el procedimiento que llevaron a cabo en la actividad anterior para poder hacer lo que aquí se pide. Usted puede ayudarles escribiendo en el pizarrón, con la participación de todo el grupo, las acciones necesarias y el orden en que deben realizarse para ubicar el centro C y para medir el ángulo del giro.

Respuesta. El ángulo de rotación es de 80°.

Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar de cuánto fue el giro que se realizó y respondan: ¿cómo son entre sí los lados correspondientes y los ángulos correspondientes en los dos triángulos?

Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con los alumnos. Enfatice en la distinción entre un ángulo de rotación negativo y un ángulo positivo, aclarando que esta diferencia es una convención adoptada en las matemáticas.

A lo que llegamos Cuando giramos una figura sobre un punto estamos haciendo una rotación. El punto se llama centro de rotación. La medida de cuánto giramos es el ángulo de rotación. Si la rotación se hace en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el ángulo de rotación es positivo. Si se hace en el sentido de las manecillas del reloj, el ángulo de rotación es negativo.

Adicionalmente, usted puede preguntarles qué sucede si se hace una rotación con un ángulo de 450° o de 720° (en el primer caso, la posición es la misma que con un giro de 90º, y en el segundo, es la misma posición que con un giro de 360º).

Al hacer una rotación con un ángulo de rotación de 360°, volvemos a la posición de la figura original. Cuando una figura se obtiene rotando otra, los vértices correspondientes equidistan del centro de rotación y se conserva la medida de los lados y de los ángulos de la figura original.

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Pida a una pareja de alumnos que elabore un cartel con esta información, que lo ilustren con una de las actividades que trabajaron durante la sesión y que lo peguen en el salón de clases.

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Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen lo que ocurre cuando el centro de rotación está dentro de la figura. Esta actividad les permitirá abordar la siguiente con menos dificultades.

secuencia 31 iii. En ocasiones, el centro de rotación está dentro de la figura que se va a rotar. Dibuja la posición de cada figura después de hacer la rotación indicada. En cada caso el centro de rotación está indicado con un punto rojo. Angulo de rotación –90º

Angulo de rotación 210º

a) Podemos obtener lo mismo al rotar con un ángulo de rotación positivo, que al rotar con un ángulo de –90°. ¿Cuál es ese ángulo? b) Podemos obtener lo mismo al rotar con un ángulo de rotación negativo, que al rotar con un ángulo de 210°. ¿Cuál es ese ángulo?

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que, para algunas figuras, es posible que giren volviendo a su posición original, con un ángulo de rotación entre –360° y 360°.

iV. Copia las siguientes figuras en una hoja (es un triángulo equilátero, un cuadrado y un rectángulo), recórtalas y utiliza un lápiz o una pluma para fijar el centro de rotación dentro de la figura. Encuentra el centro de rotación de manera que se vuelva a la posición inicial al rotar la figura con un ángulo de rotación que mida entre –360° y 360°. Para cada figura indica la medida de todos los ángulos de rotación con los que se vuelve a la posición inicial (considera los ángulos de rotación positivos y los negativos).

Respuestas. En el caso del triángulo las rotaciones son de 120°, 240°,–120° y –240°. En el cuadrado son de 90°, 180°, 270°, –90°, –180° y –270°. En el rectángulo los ángulos son de 180° y de –180°.

Respuesta. En un triángulo isósceles no es posible realizar la rotación. En el rombo sí, de 180° y -180°.

Comparen sus respuestas. Comenten si un triángulo isósceles o un rombo pueden ser rotados con un ángulo de rotación que mida entre -360° y 360°, de manera que vuelvan a su posición inicial. 222

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MATEMÁTICAS

A lo que llegamos Para rotar un polígono con respecto a un punto C y con un ángulo de rotación r : 1. Por cada vértice se traza la recta que une el vértice con el punto C. 2. Utilizando la recta que trazaste, se traza un ángulo igual al ángulo r . La recta debe ser uno de los lados del ángulo y el punto C debe ser el vértice del ángulo. Si el ángulo es positivo se traza el lado que falta en sentido contrario a las manecillas del reloj, si el ángulo es negativo se traza en el sentido de las manecillas del reloj. 3. Sobre el nuevo lado del ángulo se traslada la distancia entre el vértice del polígono y el punto C.

Propósito de la sesión. Determinar las propiedades de la simetría central. Materiales. Instrumentos geométricos.

4. Se unen los vértices encontrados para formar el polígono rotado.

SIMETRÍA CENTRAL

SESIÓN 3

Para empezar Movimientos en el plano

Ya conoces tres movimientos en el plano: la simetría con respecto a un eje, la traslación y la rotación. En esta sesión conocerás un caso especial de la rotación: la simetría central.

Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 3.

Consideremos lo siguiente Utiliza tus instrumentos geométricos para trazar la figura que se obtiene al rotar la siguiente figura, con centro en C y ángulo de rotación de 180º.

Propósito de la actividad. Que los alumnos exploren una forma de llevar a cabo la rotación de la figura utilizando sus instrumentos geométricos. Sugerencia didáctica. Si observa que los alumnos tienen dificultades para abordar el problema, usted puede señalar uno de los vértices de la figura y preguntarles: “¿Dónde te imaginas que queda este vértice si la figura hace una rotación de 180º?”, “¿Dónde quedarían los otros vértices?”

Comparen sus figuras. Comenten qué procedimiento utilizaron para realizar la rotación. 223

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Propósito de la sesión en el aula de medios. Obtener polígonos estrellados a partir de polígonos regulares de un número impar de lados.

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Aclare a los alumnos que en este caso, dado que el giro es de 180º, no importa si el giro es en el sentido de las manecillas del reloj o en dirección contraria, pues ya sea en un sentido o en el otro, la figura queda en la misma posición.

Descripción del video. Se presenta la manera de trazar una traslación y una rotación. Se hace un repaso breve de la simetría axial y se da un ejemplo que invita a trazar una simetría con respecto a un punto. A lo largo del video se identifican las propiedades que se conservan con cada uno de estos movimientos en el plano.

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Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen las propiedades de una simetría central: los vértices simétricos son equidistantes del centro de rotación y son colineales con este punto.

s e c u e n c i a 31

Manos a la obra i. Las siguientes figuras se obtuvieron al rotar la figura de la izquierda con un ángulo de rotación de 180° y centro en c. Encuentra los vértices correspondientes a los vértices a y B, nómbralos a’ y B’. Une a con a’ y B con B’.

B c

Respuestas. Los segmentos AA’ y BB’ pasan por el punto C. La distancia entre un vértice y el punto C, es la misma que existe entre su vértice correspondiente y el punto C.

ii. Responde las preguntas. a) ¿Por dónde pasa el segmento aa’ ?

Los lados correspondientes y los ángulos correspondientes entre las figuras, son iguales entre sí.

b) ¿Cuál es la distancia entre a y c? c) ¿Cuál es la distancia entre a’ y c? d) ¿Por dónde pasa el segmento BB’ ? e) ¿Cuál es la distancia entre B y c? f) ¿Cuál es la distancia entre B’ y c? g) Escoge otro vértice y su correspondiente vértice en la otra figura. Únelos y escribe en el dibujo la distancia de cada uno de los dos vértices al centro. h) Los lados correspondientes y los ángulos correspondientes en las figuras, ¿son iguales o son distintos?

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MATEMÁTICAS

A lo que llegamos A una rotación sobre un centro C con un ángulo de 180º, se le llama una simetría central o simetría con respecto al punto C. Cuando dos puntos A y A’ son simétricos con respecto al punto C, A y A’ equidistan de C y los tres puntos son colineales. A

A’

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que, para trazar el simétrico de una figura con respecto a un centro, es necesario trazar el simétrico de cada vértice con respecto a ese centro.

III. Traza el simétrico del triángulo PQR con respecto al punto C.

P R

R' P'

a) ¿Cuáles puntos localizaste para trazar el triángulo simétrico? b) Escoge un punto en el triángulo PQR, que no sea uno de sus vértices, y localiza su simétrico con respecto al punto C. Comparen sus respuestas. Comenten cómo son los lados y los ángulos de la figura simétrica con respecto a la figura original.

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Sugerencia didáctica. A partir de esta información, usted puede pedirles que analicen la diferencia entre la simetría central y la simetría con respecto a una recta. Posteriormente, solicite a dos alumnos que elaboren un cartel con las ideas centrales de los dos apartados A lo que llegamos de esta sesión, y que lo ilustren con una de las actividades que resolvieron.

s e c u e n c i a 31

A lo que llegamos Para construir un polígono simétrico a otro con respecto a un punto: 1. Por cada vértice se traza la recta que pasa por el centro de simetría. 2. Sobre cada recta que se trazó se toma la distancia de cada vértice al centro de sime-

tría y se traslada esa misma distancia del otro lado de la recta correspondiente. 3. Se unen los vértices encontrados para formar el polígono.

Es decir, se traza el simétrico de cada vértice con respecto al centro de simetría y se unen todos los vértices simétricos Una figura simétrica a otra con respecto a un punto conserva la medida de los lados y de los ángulos de la figura original.

Propósito de la actividad. Que los alumnos concluyan que al trazar dos simétricos con respecto a rectas perpendiculares, se obtiene una simetría central.

iV. Traza el simétrico del triángulo aBc con respecto a la recta y , obtendrás el triángulo a’B’c’. Luego traza el simétrico del triángulo a’B’c’ con respecto a la recta x, obtendrás el tríangulo a’’B’’c’’. ¿Qué movimiento habría que hacer para pasar directamente aBc a a’’B’’c’’?

Sugerencia didáctica. Se espera que los alumnos puedan imaginar la posición de la figura en cada uno de los movimientos, de tal manera que una vez ubicada la posición de la figura en el tercer movimiento, puedan concluir que de la primera a la tercera posición hay un giro de 180º grados. Si observa que los alumnos tienen dificultades, usted puede pedirles que lleven a cabo cada una de las transformaciones que se les plantea y que una vez que hayan trazado la figura del tercer movimiento, que unan los vértices correspondientes de la primera y la tercera figura y que midan el ángulo del giro.

a c

Comparen sus respuestas. 226

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MATEMÁTICAS

ALGO MÁS SOBRE SIMETRÍAS, ROTACIONES Y TRASLACIONES

SESIÓN 4

Lo que aprendimos

Propósito de la sesión. Practicar los conocimientos adquiridos al resolver diversos ejercicios en los que construyan y reconozcan diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.

1. Copia la siguiente figura. Haz una traslación y una rotación. Indica la distancia que trasladaste la figura y el ángulo de rotación que utilizaste.

Respuesta. El primero y el último son traslaciones, el segundo es simétrico con respecto a un eje. Los otros dos son rotaciones.

2. Con respecto al triángulo rojo, ilumina de azul los triángulos que sean una traslación, de amarillo los que sean una rotación y de verde los que sean simétricos con respecto a un eje.

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Integrar al portafolios. Considere los 4 problemas de esta sesión para evaluar los aprendizajes de los alumnos. Es importante que insista a los alumnos que utilicen sus instrumentos geométricos.

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s e c u e n c i a 31 Respuesta. Al trazar estas dos simetrías con respecto a un eje, se obtiene una traslación.

3. Traza el simétrico del triángulo aBc con respecto a la recta m, obtendrás el triángulo a’B’c’. Luego traza el simétrico del triángulo a’B’c’ con respecto a la recta n y obtendrás el tríangulo a’’B’’c’’. ¿Qué movimiento habría que hacer para pasar directamente aBc a a’’B’’c’’?

La figura se traslada una distancia igual al doble de la distancia entre las rectas. a

Respuesta. Se obtiene una rotación.

4. Encuentra el simétrico del triángulo aBc con respecto a la recta s. Se obtiene el triángulo a’B’c’. Luego encuentra el simétrico de a’B’c’ con respecto a la recta t. ¿Qué movimiento habría que hacer para pasar directamente del triángulo aBc al tercer triángulo que obtuviste?

B c

Propósito del programa integrador 26. Mostrar propiedades de la rotación y la traslación de polígonos mediante construcciones que combinan simetrías, rotaciones y traslaciones.

Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.

5. Para conocer más propiedades de las rotaciones, traslaciones y simetrías del plano pueden ver el programa Rotación y traslación de figuras.

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MATEMÁTICAS

Para saber más Sobre movimientos en el plano consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Claudia Gómez. Una ventana a las formas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. También puedes consultar: http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Movimientos_en_el_plano/index_movi.htm Ruta 1: Índice Traslaciones Ruta 2: Índice Giros Ruta 3: Índice Simetrías [Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007]. Proyecto Descartes, Ministerio de Educación y Ciencia, España.

Propósito del Interactivo. Profundizar en los conceptos de simetrías y transformaciones

Explora las actividades del interactivo Movimientos en el plano.

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Propósito de la sesión. Distinguir cuándo dos eventos son mutuamente excluyentes y cuándo no.

secuencia 32

Eventos mutuamente excluyentes

Materiales. Para esta sesión serán necesarias dos bolsas de plástico oscuras y una hoja blanca.

Descripción del video. El video es problematizador. Presenta diversas situaciones de azar en las que es necesario distinguir cuándo los eventos son mutuamente excluyentes y cuándo no lo son. Introduce la necesidad de hacer esta distinción para solucionar las situaciones, pero no introduce métodos formales de solución.

En esta secuencia aprenderás a distinguir en diversas situaciones de azar cuando dos eventos son mutuamente excluyentes o cuando no son mutuamente excluyentes y determinarás la forma en que se calcula su probabilidad de ocurrencia. sesión 1

¿Cuándo dos eventos son mutuamente exCluyentes?

Para empezar

Sugerencia didáctica. Aproveche este momento para recordar los conceptos espacio muestral y evento. Después, pregunte a los alumnos si lanzar una moneda tres veces es equivalente o no a lanzar tres monedas y por qué.

¿Cuándo dos eventos son mutuamente excluyentes? En la secuencia 27 de tu libro de Matemáticas ii, volumen ii, realizaste experimentos aleatorios con monedas y dados para estudiar cuándo dos o más eventos son independientes; en esta sesión realizaremos algunos experimentos y veremos algunas situaciones para distinguir cuándo dos eventos son mutuamente excluyentes. Material • Dos bolsas de plástico oscuras.

Sugerencia didáctica. Si en el salón hay dados pida a algunas parejas de alumnos que trabajen con ellos y a otras con los papelitos. Vayan comparando los resultados que obtienen.

• Una hoja blanca. • Corten la hoja en 12 partes iguales; numeren los papelitos del 1 al 6, de modo que haya dos papelitos con el número 1, dos con el 2, etc. Coloquen en una bolsa un juego de papelitos numerados del 1 al 6 y en la otra los otros 6 papelitos. Marquen una de las bolsas con el número I y la otra con el II. Ahora, el experimento que van a realizar consiste en sacar dos papelitos al azar, uno de cada bolsa, y luego los regresan a las bolsas que les corresponden.

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Propósito de la actividad. Los alumnos ya han hecho experimentos en situaciones de azar (lanzando dados, monedas, extrayendo papeles de una bolsa). Ahora se pretende introducir situaciones de simulación, mismas que serán estudiadas en el próximo grado. Respuesta. a) Hay 36 resultados posibles: (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); (2,2,); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6); (3,1); (3,2); etcétera. Posibles dificultades. Quizá para los alumnos sea problemático saber cuántos resultados posibles hay o bien, enumerarlos. Si fuera el caso permítales avanzar, más adelante podrán hacerlo.

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mente

Número de extracción

Bolsa I

Bolsa II

Número de extracción

Bolsa I

Bolsa II

Propósito de la actividad. Ahora se quiere que los alumnos distingan si dos determinados eventos pueden o no ocurrir al mismo tiempo.

Recuerden que:

ación o que produce un resultado u observ Un experimento aleatorio es todo proces azar. del de depen que y l que está fuera de contro mos de un experimento aleatorio lo llama Al conjunto de resultados posibles lo, al s o conjunto de resultados. Por ejemp espacio muestral, espacio de evento nte dado (no trucado), obtenemos el siguie realizar el experimento de lanzar un espacio muestral: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. de él que to, podemos formar subconjuntos Como el espacio muestral es un conjun un A es obtener un número par al lanzar evento el lo, ejemp Por s. evento llamamos {2,4,6}. dado; los resultados favorables son:

Sugerencia didáctica. Lean los eventos A, B y C en voz alta. Luego, con la finalidad de que recuerden qué es un evento, pida a los alumnos que den otros ejemplos de eventos en esta situación. Respuestas. a) Al evento B (la suma de los números de los dos papelitos es 7).

En este experimento aleatorio, ¿cuántos y cuáles son todos los resultados posibles que creen que hay?

b) Sacar (5,5); (6,4) o (4,6).

Consideremos lo siguiente

c) No es posible.

Tres eventos que pueden ocurrir al realizar el experimento de sacar dos papelitos al azar, uno de cada, bolsa anotar los números que salen y regresarlos a las bolsas son:

d) Sí, (5,5).

A: "Los dos papelitos muestran el mismo número".

e) No es posible.

B: "La suma de los números de los dos papelitos es 7".

Recuerde que. En probabilidad todos los resultados posibles constituyen el espacio muestral, y los resultados favorables se refieren a la ocurrencia de determinado evento. Por ejemplo, en esta situación los resultados posibles son 36, y los resultados favorables al evento A son 6 (1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5) y (6,6).

C: "La suma de los números de los dos papelitos es 10". a) Si sacan de la bolsa I el papelito que tiene el número 4, y de la bolsa II el papelito con el número 3, es decir, sacan 4 y 3, ¿a cuál de los tres eventos es favorable este resultado? b) ¿Cuál es un resultado favorable al evento C? 231

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Propósito de la secuencia Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia.

Eje Manejo de la información.

Tema

Sesión

Análisis de la información.

Antecedentes

Los alumnos han estudiado distintos aspectos de los fenómenos aleatorios (como enumerar posibles resultados y calcular su probabilidad, distinguir entre un juego justo y otro que no lo es y reconocer cuándo dos eventos son independientes). En esta secuencia estudiarán eventos que son mutuamente excluyentes y calcularán su probabilidad.

Propósitos de la sesión

¿Cuándo dos eventos son mutuamente excluyentes? Distinguir cuándo dos eventos son mutuamente excluyentes y cuándo no.

Cálculo de la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes Determinar la probabilidad de dos o más eventos mutuamente excluyentes en juegos y situaciones de azar.

Más problemas de probabilidad Resolver problemas en los que hay eventos mutuamente excluyentes.

Recursos Video ¿Cuándo dos eventos son mutuamente excluyentes? Interactivo Probabilidad. Eventos mutuamente excluyentes

Interactivos Probabilidad. Eventos mutuamente excluyentes Azar y probabilidad con Logo Programa integrador 27 L i b r o p a ra el maestro

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Recuerde que. Un evento simple es, por ejemplo, el evento “sacar (1,5)”; o “sacar 1 en la bolsa II”; o “que la suma de los números de los dos papelitos sea 6”. Un evento compuesto es aquel en el que se consideran dos o más eventos simples, por ejemplo, el evento “sacar (1,5)” y el evento “que la suma de los números de los dos papelitos sea 6”. Es este caso, sí hay un resultado favorable para este evento compuesto.

secuencia 32 c) Si ocurre que la suma de los números en los dos papelitos es 7, ¿es posible que la suma de esos números también sea 10?

d) Si ocurre que los dos papelitos muestran el mismo número, ¿puede ocurrir, al mismo tiempo, que la suma de los números de los dos papelitos sea 10? Si es así, escriban un ejemplo. e) Si ocurre que los dos papelitos muestran el mismo número, ¿puede ocurrir que la suma de esos números sea 7 ?

Sugerencia didáctica. Cuando lleguen a esta parte pídales que den ejemplos de:

Si es así, escriban un ejemplo.

• un resultado posible,

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros.

• un resultado favorable al evento “sacar 5 en la bolsa I”,

Manos a la obra i. Utilicen los resultados que obtuvieron al realizar 10 veces el experimento de sacar dos papelitos al azar, uno de cada bolsa, para completar la siguiente tabla y contestar las preguntas de los incisos.

• un evento compuesto.

a: "los dos papelitos muestra el mismo número".

Sugerencia didáctica. Puede ser que al realizar el experimento no se obtengan resultados favorables para alguno de los eventos, por lo que es importante que comparen sus respuestas. Si a nivel de grupo se dieron resultados favorables a cada uno de los eventos, algunas de las preguntas que puede plantearle a los alumnos son:

B: "la suma de los números de los dos papelitos es 7".

c: "la suma de los números de los dos papelitos es 10".

a) De los resultados que obtuvieron, ¿alguno es favorable al evento A? ¿Al evento B?

• ¿Alguno de los resultados es favorable al evento A y al evento B a la vez? ¿Cuál o cuáles?

¿Y al evento C?

b) ¿Qué otros resultados creen que podrían obtener que fueran favorables al evento A? c) ¿Qué otros resultados creen que podrían obtener que fueran favorables al evento

• ¿Hay algún resultado favorable al evento A y al C a la vez? ¿Cuál o cuáles? Recuerde que cuando se realiza el experimento cualquier resultado posible puede ocurrir (considerando que en este experimento cada papelito tiene la misma probabilidad de ocurrir, es decir, son equiproblables), por lo que es importante que durante el desarrollo del experimento, usted se acerque a los alumnos para ver los resultados que van obteniendo y tenga oportunidad de conocer los resultados antes de la discusión grupal para plantear las preguntas.

Si es así, escriban un ejemplo.

B? ¿Y al evento C? Comparen sus respuestas con las de sus compañeros.

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Sugerencia didáctica. Puede suceder que en alguno o algunos de los eventos no anoten ningún resultado porque no lo obtuvieron al realizar el experimento. Revisen en grupo las respuestas a los incisos a), b) y c) para que, aunque no hayan obtenido ningún resultado en cierto evento, sepan cuáles son los resultados favorables al mismo. Comente con los alumnos que el hecho de que para un evento existan resultados favorables, no quiere decir que al realizar el experimento sea seguro que alguno de ellos ocurra, lo que sí es seguro es que los resultados estarán dentro del espacio muestral (o resultados posibles). También comenten lo que contestaron en los incisos d) y e), para ver si encontraron resultados favorables a dichos eventos compuestos.

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MATEMÁTICAS

Sugerencia didáctica. En las siguientes dos actividades los alumnos trabajarán con el espacio muestral del experimento. Usted puede pedirles que contrasten sus resultados con los que obtuvieron en la actividad del Consideremos lo siguiente.

II. En el siguiente arreglo rectangular se muestran todos los resultados posibles que pueden ocurrir al sacar dos papelitos al azar, uno de cada bolsa, anotar los números y regresarlos. Marquen con color azul los resultados favorables al evento A: "los dos papelitos muestran el mismo número"; con color rojo, los resultados favorables al evento B: "la suma de los números de los dos papelitos es 7" y con color verde, los del evento C: "la suma de los números de los dos papelitos es 10".

Bolsa I

Bolsa II 1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

4,1

4,2

4,3

4,4

4,5

4,6

5,1

5,2

5,3

5,4

5,5

5,6

6,1

6,2

6,3

6,4

6,5

6,6

Sugerencia didáctica. Cuando terminen de contestar estos incisos, regresen a la pregunta a) del apartado Para empezar y revisen su respuesta. Hagan correcciones si es necesario. Respuestas. a) 36 b) 6 c) El evento B tiene 6 resultados favorables y el evento C tiene 3.

Consideren el arreglo rectangular anterior para responder las siguientes preguntas.

d) {(1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6); (6,1); (5,2); (3,4); (4,3); (2,5); (1,6)}. Haga énfasis en que en esta pregunta se quieren averiguar los resultados favorables del evento compuesto “los dos papelitos muestran el mismo número o la suma de los números de los dos papelitos es 7”, es decir, se pregunta por la suma de los resultados favorables de los dos eventos y no por los resultados favorables que los dos eventos tienen en común.

a) En total, ¿cuántos resultados posibles hay para este experimento? b) ¿Cuántos resultados favorables tiene el evento A? c) ¿Cuántos resultados favorables tiene el evento B? ¿Y el evento C? Si se consideran todos los resultados favorables del evento A y del evento B, es decir, todos los resultados que están marcados de color azul o de color rojo, se podría definir un nuevo evento “los dos papelitos muestran el mismo número o la suma de los números de los papelitos es 7”. d) ¿Cuáles resultados son favorables a “los dos papelitos muestran el mismo número o la suma de los números de los dos papelitos es 7”? Escríbanlos en el siguiente recuadro: Resultados favorables al evento A o al evento B

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Respuestas.

secuencia 32

e) No hay ninguno.

e) ¿Hay algún resultado que esté marcado de color azul y de color rojo a la vez, es decir, “los dos papelitos muestran el mismo número y la suma de los números de

f) 12

los dos papelitos es 7 al mismo tiempo”?

g) 12

¿Cuál o cuáles? f) ¿Cuántos resultados favorables diferentes hay para el evento “los dos papelitos

h) Es igual porque no hay ningún resultado que sea común a los dos eventos.

muestran el mismo número o la suma de los números es 7”? (Cuenten una sola vez los resultados que se “comparten”). g) Sumen el número de resultados favorables del evento A y los del evento B, ¿cuál

Respuestas.

es la suma? h) Si comparan el número de resultados favorables al evento: “los dos papelitos

a) {(1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5), (6,6); (6,4); (5,5); (4,6)}.

muestran el mismo número o la suma de los números de los dos papelitos es 7”, con la suma de los resultados favorables del evento A y los del evento B, ¿es igual

b) Sí (5,5).

o diferente el número de resultados favorables?

c) 8

iii. Si se realiza el experimento de sacar dos papelitos al azar, uno de cada bolsa, anotar los números que salen y regresarlos a las bolsas otro evento que puede considerarse es “los dos papelitos muestran el mismo número o la suma de los números de los dos papelitos es 10”.

d) 9 e) Es igual porque no hay ningún resultado que sea común a los dos eventos.

a) Ahora, ¿cuáles son los resultados favorables a este nuevo evento? Resultados favorables al evento a o al evento c

b) ¿Hay algún resultado favorable que se repita, es decir, el resultado es favorable al evento A y al evento C?

¿Cuál o cuáles?

c) ¿Cuántos resultados favorables diferentes hay (cuenten una sola vez los resultados que se repiten)? d) Sumen el número de resultados favorables del evento A y el del evento C. ¿Cuánto vale la suma? e) ¿Es igual o diferente el número de resultados favorables del evento: “los dos papelitos muestran el mismo número o la suma de los números de los dos papelitos es 10” con el valor de la suma de los resultados favorables del evento A y los del evento C? 234

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Propósito del interactivo. Aclarar el concepto de eventos mutuamente excluyentes apoyándose en experimentos aleatorios concretos.

A lo que llegamos Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si los resultados favorables que se obtienen para cada evento son distintos, es decir, si ocurre uno de los eventos imposibilita la ocurrencia del otro.

Sugerencia didáctica. Pida a un alumno que lea esa información en voz alta. Luego, comenten cuáles de los eventos de la actividad II (la que acaban de resolver) son mutuamente excluyentes y cuáles no.

Por ejemplo, se lanza un dado (no trucado) y se observa el número de la cara superior que cae. Dos eventos que pueden ocurrir son: A: “cae número par”. B: “cae número impar”. Los resultados favorables de cada evento son: A = {2,4,6} B = {1,3,5} Como todos los resultados son distintos, los eventos son mutuamente excluyentes. Esto significa que, si se lanza un dado y ocurre que cae número par, es imposible que ese número sea impar al mismo tiempo. En cambio, si se define un tercer evento, C “cae un múltiplo de 3”, sus resultados favorables son: {3,6}. El evento A “cae número par” y el evento C “cae múltiplo de 3” no son mutuamente excluyentes porque el número 6 es un resultado favorable común a ambos eventos.

Respuestas. a) Mutuamente excluyentes.

IV. Determinen si cada una de las parejas de eventos siguientes son o no eventos mutuamente excluyentes:

b) No son mutuamente excluyentes.

a) Se sacan dos papelitos, uno de cada bolsa: “cada papelito muestra el mismo nú-

c) Mutuamente excluyentes.

mero” y “la suma de los números en los dos papelitos es 7”.

b) Se sacan dos papelitos, uno de cada bolsa: “cada papelito muestra el mismo número” y “la suma de los números en los dos papelitos es 10”.

c) Se sacan dos papelitos, uno de cada bolsa: “la suma de los números en los dos papelitos es 7” y “la suma de los números en los dos papelitos es 10”.

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Sugerencia didáctica. Para que todos comprendan en qué consiste esta actividad, pongan un ejemplo entre todos. Pida a dos alumnos que definan dos eventos y anótelos en el pizarrón. Luego contesten los incisos a), b), c) y d) de acuerdo a esos eventos. Ahora sí, deje que individualmente definan dos eventos y que contesten las preguntas en su libro. Pídales que escriban correctamente cada evento y que determinen los resultados favorables. También aclare que deben utilizar adecuadamente la notación para designar los eventos compuestos como D y E.

secuencia 32

Lo que aprendimos 1. Define dos eventos diferentes a los que analizaste anteriormente; identifícalos como: Evento D: Evento e: a) En tu cuaderno, determina los resultados favorables a cada evento. b) Reúne los resultados favorables del evento D y los del evento E, ¿cuántos resultados favorables tienen en común? ¿Son los eventos D y E mutuamente excluyentes? c) Si unes los resultados favorables del evento A y los del evento D, ¿cuántos resultados tienen en común? ¿Son los eventos A y D mutuamente excluyentes? d) Si unes los eventos B y E, ¿cuántos resultados tienen en común? ¿Son los eventos B y E mutuamente excluyentes?

Propósito de la sesión. Determinar la probabilidad de dos o más eventos mutuamente excluyentes en juegos y situaciones de azar.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Escribe en tu cuaderno los eventos mutuamente excluyentes que sean diferentes a los que tú anotaste.

sesión 2

CÁLCULO De LA PROBABiLiDAD De eVenTOs MUTUAMenTe eXCLUYenTes Y nO eXCLUYenTes

Para empezar

En la sesión anterior aprendiste a distinguir cuándo dos eventos son mutuamente excluyentes o no son mutuamente excluyentes; en esta sesión aprenderás a calcular la probabilidad de que ocurra cualquiera de los dos eventos.

Consideremos lo siguiente

Sugerencia didáctica. Forme parejas de alumnos que tengan distintos niveles de experiencia y conocimientos matemáticos.

La siguiente tabla muestra el número de personas que laboran en una fábrica. Complétenla. Tiempo completo

Medio tiempo

Total por sexo

Mujeres

60 20

Hombres

80 40

120

Total por turno

140

200

236

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MATEMÁTICAS

Propósito de la pregunta f). Los alumnos ya saben calcular la probabilidad de ocurrencia de eventos simples, ahora se les preguntará también por la probabilidad de ocurrencia de eventos compuestos. Quizá no sepan cómo contestarla, así que pídales que expresen sus ideas al respecto y permítales seguir contestando.

Si se selecciona al azar a un trabajador de la fábrica, sean los siguientes eventos: A: "trabaja tiempo completo". B: "es hombre". C: "trabaja medio tiempo y es mujer". a) Si se selecciona al azar a un trabajador de tiempo completo, ¿puede ocurrir que sea hombre al mismo tiempo?

Respuestas.

¿Son mutuamente excluyentes los eventos A y B?

a) Sí, porque hay trabajadores de tiempo completo que son hombres, así que los eventos no son mutuamente excluyentes.

b) Si se selecciona al azar a un trabajador de tiempo completo, ¿puede ocurrir que también trabaje medio tiempo? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador seleccionado al azar sea hombre?

b) No, o trabaja tiempo completo o trabaja medio tiempo.

d) ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador seleccionado al azar trabaje tiempo

120 o 0.6. El 120 es el resultado de sumar a c) 200 todos los trabajadores que son hombres.

completo? e) ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador seleccionado al azar trabaje medio tiempo y sea mujer? f) ¿Cuál creen que es la probabilidad de que el trabajador seleccionado trabaje tiempo completo o que trabaje medio tiempo y sea mujer?

e: Recuerden qu d es un La probabilida r o igual número mayo nor o que cero y me igual que 1.

140 o 0.7. El 140 es el resultado de sumar a d) 200 todas las personas que trabajan tiempo completo. 20 o 0.1. e) 200 + 20) o 0.8. f) (140200

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y comenten cómo obtuvieron las probabilidades en los incisos c) al f).

Manos a la obra I. Utilicen la tabla anterior para contestar las siguientes preguntas: a) ¿Cuántas personas trabajan tiempo completo? ¿Y cuántas personas trabajan medio tiempo? 237

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Respuestas. a) 140 personas trabajan tiempo completo y 60 personas trabajan medio tiempo.

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Respuestas.

secuencia 32

b) 80 son mujeres.

b) ¿Cuántos trabajadores son mujeres?

c) 20 personas trabajan medio tiempo y además son mujeres.

c) ¿Cuántas personas trabajan medio tiempo y son mujeres? d) En la tabla, ¿qué representa el número 40?

d) El número de personas que trabaja medio tiempo y son hombres.

e) En total, ¿cuántos trabajadores hay en la fábrica? f) ¿Cuál o cuáles de las siguientes parejas de eventos son mutuamente excluyentes?

e) 200

Márquenlas con una

trabaja tiempo completo” o “el trabajador seleccionado es mujer”.

s son Si dos evento exclumutuamente ca que si yentes signifi puede ocurre uno no y no ocurrir el otro os tienen resultad común. favorables en

Sugerencia didáctica. Anime a los alumnos a argumentar sus respuestas. Se espera que puedan decir cosas como “cuando dos eventos son mutuamente excluyentes no tienen ningún resultado en común” o “dos eventos son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos hace imposible que ocurra el otro”. Cuando estén satisfechos con una explicación, pídales que la escriban en su cuaderno.

Se selecciona a un trabajador al azar de la fábrica: “la persona seleccionada

e: Recuerden qu

Se selecciona a un trabajador al azar de la fábrica: “la persona seleccionada trabaja tiempo completo” o “el trabajador seleccionado trabaja medio tiempo y es mujer”. Se selecciona a un trabajador al azar de la fábrica: “la persona seleccionada es hombre” o “el trabajador seleccionado trabaja medio tiempo y es mujer”. Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y comenten cómo determinaron que eventos son mutuamente excluyentes. ii. Completen el siguiente arreglo rectangular con las probabilidades que corresponden a cada evento, observen los ejemplos:

Tiempo completo

Mujeres

Hombres

Total por turno

60 200

80 20 200 = 50

140 200

15 50

Medio tiempo

Total por sexo

3 20 10 1 10 200 = 100 = 10

4 10

2 5

40 200

8 40

1 5

70 100

35 50

7 10

60 200

15 50

3 10

80 200

20 50

4 10

2 5

120 200

24 40

6 10

3 5

200 200 =1

a) Si se selecciona al azar a un trabajador, ¿cuál es la probabilidad de que trabaje tiempo completo? P(trabaja tiempo completo) = P(a) =

238

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Respuestas. 140 a) 200 =

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7 10

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MATEMÁTICAS

Respuestas. 20 b) 200 =

b) ¿Cuál es la probabilidad del evento C?

1 10

c) Cero.

P(trabaja medio tiempo y es mujer) = P(C) = c) Si se selecciona al azar a un trabajador, ¿cuál es la probabilidad de que trabaje tiempo completo y trabaje medio tiempo y sea mujer, es decir, ocurre el evento

160 = d) 200

(A y C)?

e) Diferentes.

4 5

P(trabaja tiempo completo y trabaja medio tiempo y es mujer) = P(A y C) = d) ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador seleccionado al azar trabaje tiempo

Respuestas.

completo o trabaje medio tiempo y sea mujer? (No consideren el número de trabajadores que cumple con ambos eventos a la vez).

a) 80

P(trabaja tiempo completo o trabaja medio tiempo y es mujer) =

80 = b) 200

e) Comparen el valor de la probabilidad que obtuvieron en el inciso d) con la suma

c) 140 trabajan tiempo completo, 120 son hombres, 80 trabajan tiempo completo y son hombres; por lo tanto sería 140 + 120 = 260, luego se restan los 80 y da como resultado 180.

de las probabilidades de los incisos a) y b), ¿son iguales o diferentes? Si son diferentes, ¿cuál es la diferencia? III. Nuevamente, utilicen los valores de la probabilidad que obtuvieron en la tabla de la actividad II del apartado Manos a la obra para contestar las siguientes preguntas. a) ¿Cuántas son las personas que trabajan tiempo completo y son hombres a la vez?

180 = d) 200

9 10

13 9 e) Diferentes. La diferencia sería de 10 – 10 = 4 2 13 = . es la probabilidad de ser hombre 10 5 10 más la probabilidad de trabajar tiempo 9 completo, y 10 es la probabilidad de que una persona trabaje tiempo completo o sea hombre.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador seleccionado al azar trabaje tiempo completo y sea hombre? P(trabaja tiempo completo y sea hombre) = P(A y B) = c) ¿Cuántas son las personas que trabajan tiempo completo o son hombres? (No consideren el número de trabajadores que cumple con ambos eventos a la vez)

f) Son iguales, en ambas se considera la probabilidad de ser hombre y trabajar tiempo completo.

d) ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador seleccionado al azar trabaje tiempo completo o sea hombre? P(trabaja tiempo completo o sea hombre) = P(A o B) =

Posibles dificultades. En algunos de los cálculos que se piden en estas preguntas los alumnos podrían obtener probabilidades mayores a 1. Por ejemplo, en el inciso k) si sólo suman 140 + 120 (sin restar 80) y consideran 260 que la probabilidad es de 200 . Explique que eso es necesariamente un error, sería como decir que algo es 150% probable.

e) Comparen el valor de la probabilidad que obtuvieron en el inciso d) con la suma de la probabilidad del evento "trabaja tiempo completo" y la probabilidad del evento "es hombre", ¿son iguales o diferentes? Si son diferentes, ¿cuál es la diferencia? f) Comparen esa diferencia con la probabilidad del evento (A y B) obtenida en el inciso b), ¿son iguales o diferentes?

2 5

¿Por qué consideran que se

obtiene esa diferencia? 239

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Sugerencia didáctica. Lean esta información y luego pídales que revisen los tres eventos definidos en el apartado Consideremos lo siguiente y que digan si son o no mutuamente excluyentes. Luego dígales que calculen sus probabilidades de ocurrencia de cada uno, y de todas las posibles combinaciones, es decir, de los eventos compuestos a que pueden dar lugar (algunas ya las calcularon en los incisos anteriores).

secuencia 32

A lo que llegamos Cuando dos eventos son definidos en un espacio muestral y son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra uno u otro de los eventos se obtiene sumando las probabilidades de cada evento. Esto se expresa de la siguiente manera: P(A o B)= P(A) + P(B) Cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra uno u otro se obtiene sumando las probabilidades de cada evento menos la probabilidad de que ocurran al mismo tiempo. Lo cual se expresa de la siguiente manera:

Enfatice las diferencias entre una manera de calcular la probabilidad de ocurrencia cuando se trata de eventos mutuamente excluyentes (se suman las probabilidades de los dos eventos), y cuando no lo son (se suman las probabilidades de los dos eventos y se resta la probabilidad de que ambos eventos ocurran al mismo tiempo).

Propósito de la sesión. Resolver problemas en los que hay eventos mutuamente excluyentes.

P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B) Esta regla recibe el nombre de regla de la suma o de la adición. El caso especial de esta regla es cuando los eventos son mutuamente excluyentes porque entre los eventos no hay resultados favorables que se “compartan” por lo que no hay doble cuenta de resultados.

sesión 3

más PRoBlemas de PRoBaBilidad

Lo que aprendimos

1. Realiza una encuesta con tus compañeros de grupo. Pregúntales: ¿Viven en la misma localidad (o colonia) en que se encuentra su escuela?

Sugerencia didáctica. Si el grupo está formado por menos de 15 alumnos, podrían incluir a estudiantes de otros grupo o grados. Lo ideal sería considerar un grupo de 20 a 30 alumnos. Cuando terminen hacer la encuesta y de contestar las preguntas, comente que se puede hacer la siguiente conclusión: los resultados favorables al evento “que sea mujer” y los resultados favorables al evento “que sea hombre” serán mutuamente excluyentes, ya que son eventos complementarios y no tienen resultados en común. La probabilidad de que ocurra el evento “que sea mujer o que sea hombre” se calcula así P(A o B)= P(A) + P(B). En este caso será igual a 1.

256

Anota también el sexo de cada uno y completa la siguiente tabla. alumnos del grupo: Vive en la misma localidad Sí

Total

Mujeres Hombres Total

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MATEMÁTICAS

Si se selecciona al azar a un alumno de tu grupo, y se definen los siguientes eventos: A: "vive en la misma localidad (o colonia) en que se encuentra la escuela". B: "es mujer". C: "no vive en la misma localidad (o colonia) en que se encuentra la escuela". a) Si se selecciona al azar a un alumno que vive en la misma localidad en que se encuentra la escuela, ¿puede ocurrir que sea mujer al mismo tiempo? b) Si se selecciona al azar a un alumno que vive en la misma localidad en que se encuentra la escuela, ¿puede ocurrir que también no viva en la misma localidad en que se encuentra la escuela?

Respuestas. Independientemente de los resultados que obtengan al realizar la encuesta, los eventos mutuamente excluyentes son los dos que se señalan.

c) De acuerdo con los datos que anotaron en la tabla, ¿cuál o cuáles de las siguientes parejas de eventos son mutuamente excluyentes? Márquenlas con una

Se selecciona al azar a un alumno de tu grupo: “vive en la misma localidad en que se encuentra la escuela” o “el alumno seleccionado es mujer”. Se selecciona al azar a un alumno de tu grupo: “vive en la misma localidad en que se encuentra la escuela” o “no vive en la misma localidad en que se encuentra la escuela”. Se selecciona al azar a un alumno de tu grupo: “es hombre” o “vive en la misma localidad en que se encuentra la escuela”. Se selecciona al azar a un alumno de tu grupo: “es hombre” o “es mujer”. d) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado al azar sea hombre?

e) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado al azar no viva en la misma localidad en que se encuentra la escuela? f) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado al azar viva en la misma localidad en que se encuentra la escuela o no viva en la misma localidad en que se encuentra la escuela y sea mujer? g) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado al azar viva en la misma localidad en que se encuentra la escuela o sea mujer?

Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, revisen la sesión en que se trabaja este problema.

En la secuencia 9 de tu libro Matemáticas II, volumen I resolviste problemas de conteo utilizando tablas, diagramas de árbol y enumeraciones y otras técnicas de conteo. Uno de los problemas que trabajaste en esa secuencia se presentan a continuación.

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Integrar al portafolios. Esta actividad considera lo más relevante que han estudiado los alumnos en esta secuencia, por lo que puede ser un buen indicativo de lo que aprendieron. Analice las respuestas de los alumnos y si fuera necesario, revisen nuevamente los apartados Manos a la obra.

secuencia 32 2. Con los dígitos 2, 4, 8, 5 queremos formar números de tres cifras, en cada número no se puede repetir ninguno de los dígitos. En total, ¿cuántos números podemos formar? Hagan una lista con todos los números, observen los ejemplos.

2 8

2 5

5 2

4 2

5 8

4 8

4 5

8 2

5 2

8 5

8 4

5 4

Si un número de 3 dígitos se escoge de forma aleatoria de todos los números que pueden formarse del conjunto de dígitos anterior (2, 4, 5, y 8), y si se definen los siguientes eventos: a: "el primero de los 3 dígitos es 5". B: "el número es múltiplo de 5". c: "el número es mayor que 800".

Respuestas.

D: "el número es múltiplo de 4".

a) 6

a) ¿Cuántos son los resultados favorables al evento a?

b) En total son 6 {245, 285, 425, 485, 825, 845}.

b) ¿Cuáles son los resultados favorables al evento B?

c) 6

c) ¿Cuántos son los resultados favorables al evento c?

d) En total son 8 {248, 284, 428, 524, 528, 548, 584, 824}.

d) ¿Cuáles son los resultados favorables al evento D?

¿Cuántos son los resultados favorables de ese evento?

¿Cuántos son los resultados favorables de ese evento? e) ¿Cuáles de los siguientes eventos son mutuamente excluyentes? Marquen con una

Se escoge un número de 3 dígitos de forma aleatoria de todos los números que pueden formarse del conjunto de dígitos de 2, 4, 5, y 8 sin repetir: “el número es múltiplo de 5” o “el número es mayor que 800”. Se escoge un número de 3 dígitos de forma aleatoria de todos los números que pueden formarse del conjunto de dígitos de 2, 4, 5, y 8 sin repetir: “el primero de los 3 dígitos es 5” o “el número es múltiplo de 5”.

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MATEMÁTICAS

Se escoge un número de 3 dígitos de forma aleatoria de todos los números que pueden formarse del conjunto de dígitos de 2, 4, 5, y 8 sin repetir: “el número es múltiplo de 5” o “el número es múltiplo de 4”. Se escoge un número de 3 dígitos de forma aleatoria de todos los números que pueden formarse del conjunto de dígitos de 2, 4, 5, y 8 sin repetir: “el número es mayor que 800” o “el número es múltiplo de 4”.

Respuestas. 6 f) ( 24 +

f) ¿Cuál es la probabilidad del evento (A o B)?

6 g) ( 24 6 h) ( 24 6 i) ( 24 6 j) ( 24

g) ¿Cuál es la probabilidad del evento (B o C)? h) ¿Cuál es la probabilidad del evento (B o D)? i) ¿Cuál es la probabilidad del evento (C o D)? 3. Para conocer más situaciones de azar en los que se calcula la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes pueden ver el programa Probabilidad y eventos mutuamente excluyentes.

+ + + +

6 ) 24 6 ) 24 8 ) 24 8 ) 24 6 ) 24

= – = – =

12 24 1 24 14 24 1 24 12 24

= = = = =

1 2 11 24 7 12 13 24 1 2

Propósito del programa integrador 27. Presentar diversas situaciones de azar con eventos mutuamente excluyentes y mostrar cómo se calcula su probabilidad.

Para saber más Sobre otros ejemplos de problemas de eventos mutuamente excluyentes, consulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “Juego sucio”, en Una ventana a la incertidumbre. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.

Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.

Post Kij, Kjardan. Esa condenada mala suerte. México: SEP/Editorial Motino, Libros del Rincón, 2001.

Propósito del interactivo. Profundizar en los conceptos de probabilidad abordados hasta este momento.

Exploren las actividades de los interactivos Probabilidad. Eventos mutuamente excluyentes y Azar y probabilidad con Logo.

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secuencia 33

Propósito de la sesión. Resolver problemas sobre movimiento rectilíneo por medio de la representación gráfica de sistemas de ecuaciones e identificar la solución del sistema con las coordenadas del punto de la intersección de las rectas.

Representación gráfica de sistemas de ecuaciones

Propósito del interactivo. Presentar el problema de forma dinámica para que los alumnos lo exploren.

En esta secuencia representarás gráficamente un sistema de ecuaciones lineales y estudiarás la relación entre la intersección de las gráficas y la solución del sistema.

Propósito de la actividad. A través de una situación de movimiento rectilíneo, se plantea un problema en el que la solución gráfica le dé sentido a la solución algebraica.

sEsIóN 1

LA FERIA GANADERA

Para empezar

En la secuencia 30 aprendiste a resolver sistemas de ecuaciones por diferentes métodos algebraicos. En esta sesión estudiarás la relación entre la solución de un sistema y la intersección de las rectas que corresponden a las ecuaciones del sistema.

Sugerencia didáctica. Se espera que con lo aprendido anteriormente los alumnos sean capaces de plantear un sistema de ecuaciones para resolver el problema, sin embargo, quizá comiencen a explorar la solución mediante otros métodos. Permítales utilizar el procedimiento que quieran y no haga correcciones si no logran llegar a la respuesta correcta. Más adelante tendrán oportunidad de verificar sus resultados.

Consideremos lo siguiente Don Matías va de Toluca a Morelia para asistir a la feria ganadera que se celebrará en la capital del estado de Michoacán. Va en un camión de pasajeros que viaja a velocidad constante de 60 km/h. A don Matías se le olvidaron unos papeles para la compra de vacas. Uno de sus trabajadores va a intentar alcanzarlo en motocicleta, sale cuando don Matías ya va en el kilómetro 30 de la carretera. La motocicleta viaja a 80 km/h. Atlacomulco Maravatío

Respuestas.

km 30

Morelia

a) Sí lo va a alcanzar. Toluca

b) En el kilómetro 120.

¿En qué kilómetro de la carretera Toluca – Morelia, el motociclista alcanzará al camión?

Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.

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Eje Manejo de la información.

Tema

Propósito de la secuencia Representar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros e interpretar la intersección de sus gráficas como la solución del sistema.

Sesión

En este grado los alumnos representaron gráficamente funciones de primer grado y aprendieron a resolver ecuaciones de primer grado mediante distintos métodos. En esta secuencia aplicarán lo aprendido para resolver sistemas de ecuaciones por el método gráfico.

260

Propósitos de la sesión

Recursos

La feria ganadera Resolver problemas sobre movimiento rectilíneo por medio de la representación gráfica de sistemas de ecuaciones e identificar la solución del sistema con las coordenadas del punto de la intersección de las rectas.

Interactivo Solución de un sistema de ecuaciones como intersección de rectas

¿Dónde está la solución? Descubrir que si al graficar un sistema de ecuaciones se obtienen dos rectas paralelas, el sistema no tiene solución.

Video El viaje Interactivo Solución de un sistema de ecuaciones como intersección de rectas Aula de medios Sistemas de ecuaciones (Hoja de cálculo)

Soluciones múltiples Descubrir que si al graficar un sistema de ecuaciones se obtiene una sola recta para ambas ecuaciones, el sistema tiene más de una solución.

Representación de la información.

Antecedentes

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Programa integrador 28

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9/10/07 2:24:10 PM

MATEMÁTICAS

Posibles dificultades. En caso de que los alumnos encuentren difícil contestar el inciso c), pida a tres o cuatro alumnos que expliquen con sus propias palabras cómo encontraron las respuestas de los incisos a) y b), esto puede ayudarles a descubrir el patrón y a determinar que para saber en qué kilómetro se encuentra la motocicleta (multiplicar el tiempo por 80). Emplee una estrategia similar para el inciso f), hay que multiplicar el tiempo por 60 y luego sumarle 30.

Manos a la obra I. Para resolver este problema, es útil usar álgebra. Usen las letras d y t para representar:

d, la distancia recorrida en kilómetros, t, el tiempo en horas, tomado a partir de que el motociclista sale de Toluca. Contesten las siguientes preguntas para encontrar las expresiones algebraicas que permiten encontrar la distancia recorrida d a partir del tiempo t, tanto para el camión como para la motocicleta. a) La motocicleta va a 80 km/h, ¿cuántos kilómetros habrá recorrido en una hora?

Respuestas.

b) ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas? c) ¿Cuántos kilómetros recorrerá en t horas?

a) 80 kilómetros.

d) Cuando la motocicleta salió de Toluca el camión ya había recorrido 30 km. ¿En

b) 160 kilómetros.

qué kilómetro estaba el camión una hora después de que salió el motociclista?

c) d = 80 t d) En el kilómetro 90, porque el camión viaja a una velocidad constante de 60km/h.

e) ¿En qué kilómetro estaba el camión 2 horas después de que salió el motociclista?

e) En el kilómetro 150.

f) ¿En qué kilómetro estaba t horas después de que salió el motociclista?

f) d = 60 t + 30

Comparen sus respuestas y comenten: ¿porqué la expresión d = 60t no permite encontrar la distancia d recorrida por el camión después de t horas de que la motocicleta salió de Toluca?

Posibles dificultades. Si los alumnos tienen dificultades para establecer por qué la expresión d = 60 t no permite encontrar la distancia recorrida por el camión, explíqueles que cuando la motocicleta salió de Toluca el camión ya llevaba 30 kilómetros recorridos, por eso se le tienen que sumar a la expresión.

II. Grafiquen las expresiones algebraicas que encontraron, para eso, realicen lo que se les pide a continuación. a) Completen las siguientes tablas usando las expresiones de la distancia d y el tiempo t que para el camión y la motocicleta. Camión

Motocicleta

60 t + 30 d Punto (t , d )

d= Expresión: t 0

(0,30)

(1,90)

150

(2,150)

2 12

180 (2

Expresión: d =

80 t

Punto (t ,

(0,0)

1 80 2

1 ,180) 2 34 2

160

(1,80) (2,160)

220 (2

3 ,220) 4

245

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secuencia 33 b) En el siguiente plano cartesiano grafiquen las expresiones para el camión y la motocicleta.

d Distancia recorrida desde Toluca

Sugerencia didáctica. La construcción de la gráfica permitirá ver a los alumnos el punto de intersección de las rectas, que señala el lugar y tiempo en el que el motociclista alcanzará al camión. Aproveche la actividad para destacar que: • los puntos de cada tabla pertenecen a una misma recta, • el punto en el que se cortan las rectas indica la solución del problema, pero hay que interpretar el tiempo que le corresponde (abscisa) y los kilómetros que ha recorrido desde Toluca (ordenada).

240 220 200 160 120 80 40 0 1

Respuestas.

Tiempo en horas

Contesten las siguientes preguntas.

c) En el kilómetro 120.

c) ¿Aproximadamente en qué kilómetro de la carretera Toluca - Morelia el motoci-

d) En una hora y media.

clista alcanzará a don Matías? d) ¿Aproximadamente en cuánto tiempo lo alcanzará? Comparen sus respuestas y comenten: Para ubicar con precisión la distancia donde don Matías es alcanzado por el motociclista, es recomendable resolver el sistema de ecuaciones mediante algún método algebraico.

Posibles respuestas. Puede ser que cada alumno seleccione el método que le resulte más fácil, sin embargo, es importante que una vez que hayan resuelto la ecuación, algunos alumnos pasen al pizarrón a explicar por qué eligieron tal o cual método y cuáles fueron sus resultados.

a) ¿Qué método escogerían para resolver este sistema? b) ¿Por qué razón lo escogerían? iii. Apliquen el método que escogieron y resuelvan el sistema.

El método que podría ser más sencillo en este caso es el de igualación porque las dos variables están despejadas y porque se relaciona con el punto de intersección, sin embargo, puede emplearse otro.

a) ¿Cuál es el valor de la incógnita t ?

b) ¿Cuál es el valor de la incógnita d?

Comparen sus respuestas y comenten: a) ¿En qué tiempo alcanzará el motociclista a don Matías? b) ¿En qué kilómetro de la carretera Toluca – Morelia el motociclista alcanza a don Matías? c) ¿Los valores de d y t obtenidos mediante el método que eligieron son iguales o son próximos a los estimados mediante la representación gráfica de las ecuaciones? 246

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Respuestas. a) t = 1.5 b) d = 120

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Sugerencia didáctica. Es común que los alumnos piensen que 1.5 horas es igual a una hora con cinco minutos o a una hora con cincuenta minutos. Aclare que 0.5 de hora es la mitad de una hora, es decir, 30 minutos. Respuestas. a) En 90 minutos o una hora y media. b) En el kilómetro 120. c) Son iguales.

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MATEMÁTICAS

A lo que llegamos La representación gráfica de un sistema de ecuaciones permite encontrar la solución del sistema al encontrar las coordenadas del punto de intersección de las rectas correspondientes a las ecuaciones. Por ejemplo, el sistema de ecuaciones:

d = 60t d = 40t + 30 tiene la siguiente representación gráfica: d 240 200

d = 60t

160

d = 40t + 30

120 90 80

Punto de intersección

Posibles dificultades. Los estudiantes pueden tener dificultades para ubicar los puntos del motociclista, sobre todo en el tiempo cero.

1.5

Cuando hayan ubicado en el plano los puntos (1,40), (2, 120) y (3, 200), pregúnteles:

Para encontrar con precisión la solución se puede usar un método algebraico.

• ¿Los tres puntos que ubicaron en el plano quedaron en línea recta?

Lo que aprendimos

• Si unen los tres puntos con una línea y la prolongan, ¿en qué punto corta al eje y?

1. Si en el problema toman como momento inicial cuando salió el camión, contesta lo siguiente:

Se espera que los alumnos entonces respondan (0,–40).

a) El camión va 60 km/h, ¿cuántos kilómetros habrá recorrido en 1 hora? b) ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas?

Respuestas.

c) ¿Cuántos kilómetros recorrerá en t horas?

a) 60 kilómetros.

d) Después de que el camión salió de Toluca, ¿cuánto tiempo pasó para que saliera la

b) 120 kilómetros.

motocicleta? (Recuerda que: el camión ya había recorrido 30 km). 247

c) d = 60 t d) Pasaron 30 minutos.

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Respuestas.

secuencia 33

e) En el kilómetro cero.

e) ¿En qué kilómetro estaba la motocicleta media hora después de que salió el camión?

f) En el kilómetro 40.

f) ¿En qué kilómetro estaba el motociclista 1 hora después de que salió el camión?

g) En el kilómetro 80. h) d = 80 t – 40

g) ¿En qué kilómetro estaba el motociclista 1 12 hora después de que salió el camión?

i) E1: d = 60 t E2: d = 80 t – 40

h) ¿En qué kilómetro estaba el motociclista t horas después de que salió el camión?

60 t = 80 t – 40

t=2

i) Encuentra el sistema de ecuaciones y grafícalo.

d = 120

j) Compara esta solución con la que obtuviste antes, ¿son iguales o distintas? ¿Por qué?

j) Es distinta porque ahora se considera el tiempo desde que salió el camión y no desde que salió la motocicleta. Por eso, aunque de cualquier manera se encuentran en el kilómetro 120, han transcurrido dos horas y no una hora y media, es decir, don Matías viajo dos horas antes de ser alcanzado por el motociclista, pero éste sólo viajo una hora y media para alcanzar a don Matías.

2. Ricardo, un hijo de don Matías, también trata de alcanzarlo, sólo que cuando él sale de Toluca, su papá le lleva una ventaja de 50 km. Ricardo viaja en su automóvil a 80 km/h. a) Encuentra el sistema de ecuaciones que corresponde a este problema. Sistema de ecuaciones (recuerda que el camión donde viaja don Matías va a 60 km/h)

E2:

(ecuación que corresponde a Ricardo).

Camión

Automóvil

Ecuación 1: d = 60t + 50 t d 0

Respuestas.

1 110

a) E1: d = 60 t + 50

E2: d = 80 t

264

(ecuación que corresponde a don Matías).

b) Para representar gráficamente el sistema anterior, completa las tablas para determinar las coordenadas de algunos puntos de las rectas que corresponden a cada ecuación.

Sugerencia didáctica. Aclare que para plantear el sistema de ecuaciones que aquí se pide, deben considerar como punto de partida el momento en el que Ricardo sale de Toluca, es decir, que cuando el tiempo es cero Ricardo ha recorrido cero kilómetros, pero don Matías ya lleva 50.

Integrar al portafolios. Guarde una copia de las respuestas de los alumnos a esta actividad. Es importante que sepan encontrar la solución gráfica a un sistema de ecuaciones antes de pasar a las siguientes sesiones, así que puede ser necesario que resuelvan más actividades de este tipo.

E1:

3 4

Punto (t , d )

(0,50)

(1,110)

170 (2,170) 215

Expresión: d =

1 12 120 2

2 34 (2 34 ,215)

160

80 t Punto (t ,

(0,0)

(1 21 ,120) (2,160)

220 (2 43 ,220)

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MATEMÁTICAS

c) Representa gráficamente el sistema de ecuaciones.

Distancia recorrida desde Toluca

d 240 220 200 160

d = 60 t + 50 d = 80 t

120 80

Respuestas.

40 0 1

d) En el kilómetro 200.

e) Dos horas y media.

Tiempo en horas

De acuerdo a la gráfica que elaboraste estima:

f) 80 t = 60 t + 50

d) ¿En qué kilómetro Ricardo alcanza a su papá?

80 t – 60 t = 50

e) ¿Cuánto tiempo tardará en lograrlo?

20 t = 50

f) Resuelve el sistema de ecuaciones que se forma al igualar el lado derecho de las ecuaciones E1 y E2.

80t = 60t + 50

5 2

= 2.5

g) d = 200

t= g) Si sustituyes el valor de t en cualquiera de las ecuaciones E1 o E2 y haces las operaciones indicadas, ¿qué valor obtienes para d?

¿DóNDE EsTÁ LA sOLUCIóN?

Para empezar

sEsIóN 2

Propósito de la sesión. Descubrir que si al graficar un sistema de ecuaciones se obtienen dos rectas paralelas, el sistema no tiene solución.

En la sesión 1 de esta secuencia aprendiste a resolver sistemas mediante la representación gráfica de las ecuaciones, ¿qué significa si al graficar las dos ecuaciones de un sistema obtienes dos rectas paralelas?, ¿cuál es el resultado de este sistema? Estas preguntas podrás contestarlas al terminar de estudiar esta lección.

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Propósito de la sesión en el aula de medios. Analizar qué representa un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, determinar si tiene solución y resolverlo. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 2.

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Propósito de la actividad. Ahora los alumnos se enfrentarán a un sistema de ecuaciones que no tiene solución. Incluso si lo analizan antes de resolverlo podrán ver que no hay ningún número (y ) que sea igual a 3 x más 2, y que también sea igual a 3 x sin sumarle los 2. Sin embargo, dé tiempo a los alumnos para que intenten resolverlo y no les anticipe la solución.

secuencia 33

Consideremos lo siguiente Resuelvan el siguiente sistema de ecuaciones:

y = 3x + 2 y = 3x x=

,y=

Comparen sus respuestas y comenten: a) ¿Qué método de solución usaron para resolver el sistema? b) ¿Tiene solución el sistema? c) Si tiene solución, ¿cuál es?

Sugerencia didáctica. Dedique el tiempo necesario para esta discusión. Tanto a quienes afirmen que sí se puede resolver como a quienes digan lo contrario, pídales que expliquen por qué.

d) Si no tiene solución, ¿por qué creen que no tenga?

Manos a la obra i. Completen la siguiente tabla para encontrar algunas parejas de números que cumplan con las ecuaciones. Después, grafiquen los puntos que obtengan. Recta 1: y = 3x + 2

–1

Recta 2: y = 3x

Punto (x , y )

(–1,–1) –1

Punto (x , y )

–3

(–1,–3)

(0,2)

(0,0)

1 (1,5)

(1,3)

(2,8) 2

(2,6)

y 12 10 8

y = 3x + 2 6 4

y = 3x

–10

–8

–6

–4

–2

–2 –4 250

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MATEMÁTICAS Contesten las siguientes preguntas: a) ¿Cuánto es la ordenada al origen de la recta 1? b) ¿Cuánto es la ordenada al origen de la recta 2? c) ¿Cuánto es la pendiente de la recta 1? d) ¿Cuánto es la pendiente de la recta 2? Comparen sus respuestas y comenten: ¿existirá algún punto común a las dos rectas? ¿Cuál?

Respuestas.

Recuerda que: la de la recta es de Si la ecuación pendiente la , b + mx = forma y sponde al de la recta corre ordenada al la y m ro me nú b. nde al número origen correspo n enada al orige Además, la ord l la ordenada de de una recta es de la recta ión ecc ers int punto de con el eje Y.

II. Resuelvan el siguiente problema: Hallar dos números tales que tres veces el segundo menos seis veces el primero, den nueve como resultado; y que, al mismo tiempo, doce veces el primero menos seis veces el segundo, den dieciocho como resultado. Los números son:

b) ¿Creen que se puedan encontrar los dos números que se piden en el problema? III. Contesten lo que se les pide: a) Si se usa la letra x para representar al primer número y la letra y para representar al segundo número, ¿cuál de las siguientes parejas de ecuaciones corresponde al problema? Subráyenla. Ecuación 1: Ecuación 2:

3x – 6 y = 9 12x – 6y = 18

Ecuación 1: Ecuación 2:

3xy = 9 6xy = 18

Ecuación 1: Ecuación 2:

3y – 6 x = 9 12x – 6y = 18

3 y – 6 x = 9 y

Punto (x , y )

Recta 2:

Sugerencia didáctica. Quizá algunos alumnos no recuerden cómo se puede conocer cuál es la pendiente de una recta. Si lo considera útil dígales que revisen las sesiones 3 y 4 de la secuencia 23 de este libro.

12 x – 6 y = 18 y

Punto (x , y )

–1

–1 (–1,1)

–5

(–1,–5)

(0,3)

–3

(0,–3)

5 7

1 (1,5)

–1 1

(1,–1) (2,1)

4 2

d) 3

Explique que el punto y de la recta 1 siempre estará 30 números más arriba que la recta 2, por ello nunca se intersecarán.

b) Completen la siguiente tabla para encontrar algunas parejas de números que cumplan con las ecuaciones que escogieron. Después, grafiquen los puntos que obtengan.

c) 3

Posibles dificultades. Aunque ya trazaron las rectas y vieron que no se intersecan, posiblemente algunos alumnos crean que si se prolongan lo suficiente sí tendrán un punto en común. Si fuera el caso, haga una nueva tabla en el pizarrón y plantee valores grandes para x, por ejemplo, 13 500, 1 000 000, u otros que los alumnos piensen. Encuentren los valores de y para las dos rectas y analicen si hay algún punto que tenga las mismas coordenadas.

a) ¿Qué método usaron para encontrar los números?

b) 0

Comparen sus respuestas. Comenten:

Recta 1:

a) 2

(2,7)

4 2

Respuesta. El problema no tiene solución porque no existen dos números que cumplan ambas condiciones, sin embargo, no adelante a los alumnos la respuesta, permita que intenten averiguarlos.

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secuencia 33 y 12 10 8 6 4

y = 3x

Respuestas.

–10

–8

–6

–4

y = 3x + 2

a) 3

–2

–2 –4

b) –3 c) 70º Contesten las siguientes preguntas.

d) 70º

a) ¿Cuánto es la ordenada al origen de la recta 1? b) ¿Cuánto es la ordenada al origen de la recta 2? c) ¿Cuánto mide el ángulo de inclinación de la recta 1? d) ¿Cuánto mide el ángulo de inclinación de la recta 2? Comparen sus respuestas y comenten:

Descripción del video. Se presenta un contexto relacionado con un viaje en donde se representan gráficamente y de manera animada los movimientos de dos vehículos (movimiento rectilíneo). Se dan escenarios en donde hay una sola solución y en donde no la hay. Se dan los elementos necesarios para entender cada una de las situaciones.

a) ¿Existirá algún punto común a las dos rectas? ¿Cuál? b) ¿Tiene solución el sistema?, ¿porqué?

A lo que llegamos Movimiento rectilíneo uniforme

Dado un sistema de ecuaciones puede tener o no solución. • Tiene solución cuando las rectas asociadas a las ecuaciones del sistema se intersecan. El punto de intersección es la solución del sistema. • No tiene solución cuándo las rectas asociadas a las ecuaciones del sistema no se intersecan, es decir, cuando son rectas paralelas.

Propósito del interactivo. Generalizar los casos en los que un sistema de ecuaciones tiene o no solución. 252

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MATEMÁTICAS

Integrar al portafolios. Analice las respuestas de los alumnos a esta actividad. Pida además que escriban si tiene solución o no y por qué.

Lo que aprendimos Resuelve en tu cuaderno el siguiente sistema de ecuaciones y represéntalo en el plano cartesiano.

E 1 : y = 3x + 5 E2 : y =

6x + 2 2

y = 3x + 1

8 6 4 2

–10

–8

–6

–4

y = 3x + 5

–2

–2 –4

sOLUCIONEs MúLTIPLEs

Para empezar

sEsIóN 3

En las sesiones anteriores solucionaste sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante su representación gráfica. Aprendiste que hay sistemas de ecuaciones que tienen una solución (el punto de intersección de las rectas) y sistemas que no tienen solución. ¿Habrá sistemas que tengan más de una solución? Con lo que aprendas en esta sesión podrás contestar esta pregunta.

Propósito de la actividad. Ahora se plantea un sistema con un número infinito de soluciones. Los alumnos tendrán que compararlo con aquellos que tienen una solución única y con los que no tienen solución.

Consideremos lo siguiente Resuelvan el siguiente sistema de ecuaciones: E1: 2x + y = 16 E 2: y = La solución del sistema es: x =

48 – 6x 3

,y=

Comparen sus respuestas y comenten: a) ¿Tiene solución el sistema? b) ¿Cuántas soluciones distintas encontraron?

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Propósito de la sesión. Descubrir que si al graficar un sistema de ecuaciones se obtiene una sola recta para ambas ecuaciones, el sistema tiene más de una solución.

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Posibles dificultades. Escuche las opiniones de los alumnos sobre las soluciones del sistema porque para muchos puede parecer que no tiene solución porque se eliminan ambas incógnitas. Las dudas que tengan los alumnos pueden aprovecharse para que resuelvan el apartado Manos a la obra. Ahí podrán darse cuenta de que el sistema tiene un número infinito de soluciones.

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Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que despejen la ecuación de la recta 1 para completar más fácilmente la tabla.

secuencia 33

Manos a la obra i. Completen las siguientes tablas para encontrar algunas parejas de números que cumplan con las ecuaciones que escogieron. Después, grafiquen los puntos que obtengan.

Propósito de la actividad. Al graficar las rectas lo alumnos descubrirán que se trata de la misma recta, lo que significa que las ecuaciones son equivalentes.

Recta 1:

Si se dividen los dos términos de la segunda ecuación entre el numerador, resulta la primera ecuación y = 16 – 2 x.

2x + y = 16

Recta 2:

Punto (x , y )

48 – 6x 3

Punto (x , y )

–4

(–4,24) –1

(–1,20)

(0,16) –2

(–2,18)

(4,8) 0

(0,16)

(8,0)

(1,14)

–16

(8,0)

8 (16,–16)

y 24 20 16 12 8 4

–20

–16

–12

–8

–4

–4 –8 –12 –16

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MATEMÁTICAS

¿Habrá algún punto de la recta 1 que no pertenezca a la recta 2? ¿Cuál?

Argumenten su respuesta

Comparen sus respuestas. II. Simplifiquen las expresiones de las rectas hasta obtener ecuaciones de la forma y = mx + b. a) Recta 1: y =

–2 x + 16

b) Recta 2: y =

–2 x + 16

b) ¿Cuánto es la ordenada al origen de la recta 1?

c) ¿Cuánto es la ordenada al origen de la recta 2?

d) ¿Cuánto es la pendiente de la recta 1? e) ¿Cuánto es la pendiente de la recta 2?

–2 –2

Respuestas. a) Comparten todos los puntos.

Comparen sus respuestas y comenten:

b) Tiene infinitas soluciones.

a) ¿Cuántos puntos comparten las rectas 1 y 2? b) ¿Cuántas soluciones tiene un sistema cuando la recta que corresponde a una ecuación es la misma que la recta que corresponde a la otra ecuación?

Sugerencia didáctica. Propicie que los alumnos sean los que determinen que el sistema tiene muchas soluciones al darse cuenta de que para una misma abscisa (x ) obtienen para ambas ecuaciones la misma ordenada (y ).

A lo que llegamos En un sistema de ecuaciones, cuando la recta que corresponde a una ecuación es la misma que la recta que corresponde a la otra ecuación, entonces cualquier punto que pertenezca a las rectas es solución del sistema.

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Integrar al portafolios. Estas tres actividades pueden servirle para valorar si los alumnos han comprendido lo que se aborda en esta secuencia. Valore si es necesario hacer un repaso, para lo cual podrían servirle los apartados A lo que llegamos.

secuencia 33

Lo que aprendimos 1. Observa la siguiente gráfica y de acuerdo con ello contesta las preguntas.

y 24 20

y = -2x – 4

y = 4x – 12

16 12 8 4

–20

–16

–12

–8

–4

–4 –8

y = 4x + 16

–12 –16

a) ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones no tiene solución? Enciérralo en una curva.

Respuestas. b) E1: y = –2 x – 4

e1: y = –2x – 4

e1: y = 4x – 12

e2: y = 4x + 16

e2: y = 4x – 12

e2: y = 4x + 16

b) De los tres sistemas de ecuaciones anteriores escribe el que tiene la solución

E2: y = 4x – 12 c) x = –

e1: y = –2x – 4

4 3

y=–

20 3

E1:

10 3

E2:

8 3

c) Encuentra la solución del sistema: E1: y = - 2x – 4 E2: y = 4x + 16

,y=

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MATEMÁTICAS

Propósito del programa integrador 28. Mostrar cómo se obtiene la solución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros.

2. Para conocer más sobre cuántas soluciones que puede tener un sistema de ecuaciones pueden ver el programa Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones.

Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.

Para saber más Sobre la representación grafica de sistemas de ecuaciones en la resolución de problemas consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch Carlos y Claudia Gómez. “Derechito”, “Sistemas de ecuaciones lineales” en Una ventana a las incógnitas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. Hernández, Carlos. “Ecuaciones simultáneas”, “Velocidad”, “Casos posibles” en Matemáticas y deportes. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. Sobre resolución gráfica de sistemas de ecuaciones de primer grado consulta: http://descartes.cnice.mecd.es RUTA: Aplicaciones Álgebra Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones. [Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007]. Proyecto Descartes, Ministerio de Educación y Ciencia, España.

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e x á m e n es b i m es t rales

propuesta de exÁmenES bimestrales A continuación se presenta una propuesta para evaluar los bloques 3, 4 y 5 mediante exámenes que serán complementarios de la información que usted ha ido integrando en el portafolios del alumno. Los exámenes tienen las siguientes características: De cada secuencia se proponen entre uno y cuatro reactivos, cada reactivo evalúa un aspecto del contenido que se trató en la secuencia. Cada examen se arma de la siguiente manera: Hay dos opciones para cada reactivo, cada una evalúa el mismo contenido y tiene el mismo nivel de dificultad. La intención de poner estas dos opciones es que usted pueda elegir una o la otra y armar así distintas versiones del examen según le convenga. Encontrará todos los reactivos respondidos para facilitarle la calificación. Recomendaciones para la aplicación de los exámenes, su revisión y calificación: Debido a la longitud de los exámenes, se sugiere aplicar cada uno en dos sesiones de clase, al final de cada bloque. Una vez aplicado, haga una revisión grupal de las soluciones de los reactivos para aclarar dudas y dar oportunidad a que cada alumno haga las correcciones pertinentes de los errores que hubiera cometido. Se sugiere no asignar más del 50% de la calificación bimestral a los resultados de los exámenes, considere para el otro 50% las actividades que integró en el portafolios y otros aspectos que crea importantes (como la participación, el cumplimiento de tareas, etc.).

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m a t e m á t i cas II

propuesta de examen bimestral bloque 3 SECUENCIA 18. SUCESIONES DE NÚMEROS CON SIGNO Reactivo 1 1. En la columna de la izquierda se presentan los primeros términos de algunas sucesiones y en la columna de la derecha, algunas reglas. Relaciona ambas columnas. Términos de la sucesión

Reglas

Respuestas: (h) (a)

( ) –7, –4, –1, 2, 5, 8, 11, 14, …

(a) 7n – 4

(f)

( ) 3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, …

(b) 3n + 7

(e)

( ) 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, …

( ) –3, 4 11, 18, 25, 32, 39, 46, …

(d) 3n – 7 (e) 7n – 10 (f) 3n + 4 (g) 7n + 3 (h) 3n – 10 (i) 7n – 3 (j) 3n + 10

1’. En la columna de la izquierda se presentan los primeros términos de algunas sucesiones y en la columna de la derecha, algunas reglas. Relaciona ambas columnas. Términos de la sucesión

Reglas

Respuestas: (g) (b)

( ) –5, –3, –1, 1, 3, 5, 7, 9, …

(a) 2n + 5

(e)

( ) 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, …

(b) 5n – 3

(j)

( ) 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, …

( ) –2, 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, …

(d) 5n +2 (e) 2n + 3 (f) 5n + 7 (g) 2n – 7 (h) 5n – 2 (i) 2n + 7 (j) 5n – 7

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9/10/07 2:25:25 PM

e x a m e n b l o q ue 3

Respuestas:

Reactivo 2

a) –5

2. Responde las preguntas para la sucesión 13, 8, 3, –2, –7, –12, –17, …

b) Se suma –5 al término anterior y el primer término es 13 o Se resta 5 al término anterior y el primer término es 13. c) –5n + 18 d) –182 Respuestas: a) –3 b) Se suma –3 al término anterior y el primer término es 14 o Se resta 3 al término anterior y el primer término es 14. c) –3n + 17

a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión? b) ¿Cuál es la regla verbal para obtener esta sucesión? c) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener esta sucesión? d) ¿Cuál es el término que ocupa el lugar 40? 2’. Responde las preguntas para la sucesión 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4, … a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión? b) ¿Cuál es la regla verbal para obtener esta sucesión? c) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener esta sucesión? d) ¿Cuál es el término que ocupa el lugar 50?

d) –133

Reactivo 3 Respuestas:

3. Responde las preguntas para la sucesión que se obtiene con la regla –8n + 11.

a) 3, –5, –13, –21, –29, –37, –45, –53, –61, -69.

a) Encuentra los primeros 10 términos de la sucesión.

b) –8

b) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la suce-

c) En el lugar 21

sión? c) ¿En qué lugar de la sucesión está el número –157?

Respuestas: a) 7, 1, –5, –11, –17, –23, –29, –35, –41, –47. b) –6 c) En el lugar 25

3’. Responde las preguntas para la sucesión que se obtiene con la regla –6n + 13. a) Encuentra los primeros 10 términos de la sucesión. b) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión? c) ¿En qué lugar de la sucesión está el número –137?

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m a t e m á t i cas II

SECUENCIA 19. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Reactivo 1 1. Resuelve la siguiente ecuación y verifica tu solución:

3(x + 4) = –3x + 6

1’. Resuelve la siguiente ecuación y verifica tu solución:

8r + 8 = 4(r + 5)

Respuesta: x = –1 Verificación: 3 (–1 + 4) = 3 (3) = 9 –3 (–1) + 6 = 3 + 6 = 9 Respuesta: r = 3 Verificación: 8(3) + 8 = 24 + 8 = 32 4(3 + 5) = 4(8) = 32

Reactivo 2 2. Resuelve la siguiente ecuación y verifica tu solución:

r–6 = r+4 3

2’. Resuelve la siguiente ecuación y verifica tu solución:

x+3 = x–3 2

Respuesta: r =11 Verificación: 11 – 6 = 9 = 3 3 3 11 + 4 = 15 = 3 5 5

Respuesta: x = –9 Verificación: –9 + 3 = – 6 = –3 2 2 –9 – 3 = – 12 = –3 4 4

Reactivo 3 3. Pensé un número, le reste 15 y al resultado lo multiplique por –4 y obtuve 14. ¿Cuál es la ecuación que permite encontrar el número que pensé?

Respuesta: Inciso b).

a) x – 15 (-4) = 14 b) –4 (x –15) = 14 c) (15 – x) (–4) = 14 d) 4x – 15x = 14

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e x a m e n b l o q ue 3

Respuesta: Inciso d).

3’. El perímetro del siguiente rectángulo es 196.

2x – 5

¿Cuál es la ecuación que permite encontrar las medidas del largo y del ancho del rectángulo? a) x (2x – 5) = 196 b) 3x – 5 = 196 c) 2x (3x – 5) = 196 d) 6x – 10 = 196

Reactivo 4 Respuesta: Una posible ecuación es 72.5x = 60(x + 2), x = 9.6. Lo alcanza en 9.6hs.

Respuesta: Una posible ecuación es 1 (x – 4) = 3 x – 4, x = 20. 2 5 La edad actual de Toño es 20 años.

278

4. Plantea y resuelve con una ecuación el siguiente problema: Un automóvil que viaja a una velocidad de 72.5 kilómetros por hora, va a alcanzar a otro que le lleva una delantera de 2 horas y viaja a 60 por hora. ¿Cuánto tardará el primer automóvil en alcanzar al segundo? 4’. Plantea y resuelve con una ecuación el siguiente problema: La edad actual de José es 53 de la de su primo Toño, hace 4 años José tenía 12 de la que entonces tenía Toño. ¿Cuál es la edad actual de Toño?

Libro p a ra e l m a e s t r o

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9/10/07 2:25:29 PM

m a t e m á t i cas II

SECUENCIA 20. RELACIÓN FUNCIONAL Reactivo 1 1. Una señora compró algunas carnes frías para la semana. Para cada artículo, la señora apuntó la cantidad comprada y el precio pagado por esa cantidad. Con los datos anotados se construyó la siguiente gráfica:

Respuesta: a) Salchicha

Precio ($)

b) Salchicha y Jamón Salchicha Peperoni

Mortadela

Jamón Salami

Peso (kg)

a) ¿Cuál es el artículo que costó más caro (por el que se pagó más)? b) Hay dos artículos cuyo precio por kilogramo fue el mismo, ¿cuáles son?

Precio ($)

1’. Una señora compró algunas carnes frías para la semana. Para cada artículo, la señora apuntó la cantidad comprada y el precio pagado por esa cantidad. Con los datos anotados se construyó la siguiente gráfica:

Respuesta: a) Salchicha b) Mortadela y Salami

Salchicha Peperoni

Mortadela

Jamón Salami

Peso (kg)

a) ¿Cuál es el artículo que costó más caro (por el que se pagó más)? b) Hay dos artículos cuyo precio por kilogramo fue el mismo, ¿cuáles son?

L i b r o p a ra el maestro

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e x a m e n b l o q ue 3

Reactivo 2

Litros

Respuesta:

2. Una llave arroja 8 litros de agua cada minuto sobre un tinaco que contiene 80 litros de agua. Dibuja la gráfica de la relación existente entre el tiempo transcurrido y la cantidad de agua en el tinaco.

y 200

Litros

150

100

y 200

150 0

Minutos

100

Minutos

2’. Una llave arroja 6 litros de agua cada minuto sobre un tinaco que contiene 100 litros de agua. Dibuja la gráfica de la relación existente entre el tiempo transcurrido y la cantidad de agua en el tinaco.

y 200

Litros

Respuesta:

150

y 200

100

150

Minutos

100

Minutos

280

Libro p a ra e l m a e s t r o

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9/10/07 2:25:33 PM

m a t e m á t i cas II

Reactivo 3 3. En un laboratorio escolar se colgaron varios pesos a un resorte que mide 10 cm. Se registraron los cambios de longitud en cada caso y con ello se obtuvo la siguiente tabla. Peso

Longitud

2 kg

11 cm

4 kg

12 cm

6 kg

13 cm

8 kg

14 cm

Respuesta: y = 0.5x + 10

Longitud

Peso

Escribe la expresión que relaciona la medida en centímetros del resorte y con el número de kilogramos colgados x. y = 3’. La longitud de los metales se modifica al ser sometidos a cambios de temperatura. La siguiente tabla muestra cómo varía la longitud de una barra de cobre al someterla a distintas temperaturas. Temperatura. (ºC)

0 ºC

10 ºC

20 ºC

30 ºC

40 ºC

Longitud de la barra de cobre. (m)

10 m

10.01 m

10.02 m

10.03 m

10.04 m

Respuesta: y = 0.001x + 10

Si x es la temperatura y y la longitud de la barra de hierro. ¿Cuál es la expresión que permite encontrar y a partir de x? y =

SECUENCIA 21. LOS POLÍGONOS Y SUS ÁNGULOS INTERNOS Reactivo 1 1. La suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono es 3600º, ¿cuántos lados tiene este polígono?

Justifica tu respuesta

1’. ¿Es posible que la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono sea 3000º?

Justifica tu respuesta

Respuesta: 22 lados. Si se divide 3600 entre 180 el resultado es 20, eso quiere decir que es un polígono de 20 + 2 lados.

Respuesta: No. Al dividir 3000 entre 180 el resultado es 16 y sobran 120, no alcanza para otro triángulo.

L i b r o p a ra el maestro

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9/10/07 2:25:35 PM

e x a m e n b l o q ue 3

Reactivo 2 Respuesta: 122°

2. Encuentra la medida del ángulo interno del polígono con vértice A.

106º

102º

106º

104º

A Respuesta: 139°

2’. Encuentra la medida del ángulo interno del polígono con vértice A.

78º 128º

113º 126º

136º

SECUENCIA 22. MOSAICOS Y RECUBRIMIENTOS Reactivo 1 Respuestas: a) Pentágonos regulares y rombos. b) 108º los del pentágono y 36º y 144º los del rombo.

1. Observa el siguiente recubrimiento y contesta las preguntas. a) ¿Qué polígonos se utilizaron para formar el recubrimiento? b) ¿Cuánto miden los ángulos internos de estos polígonos?

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Libro p a ra e l m a e s t r o

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9/10/07 2:25:36 PM

m a t e m á t i cas II

1’. Observa el siguiente recubrimiento y contesta las preguntas.

Respuesta:

a) ¿Qué polígonos se utilizaron para formar el recubrimiento?

a) Octágonos regulares y octágonos irregulares (o estrellas de 8 lados)

b) Tiene cuatro ángulos de 45º y cuatro ángulos de 225º

b) ¿Cuánto miden los ángulos internos del polígono irregular?

SECUENCIA 23. LAS CARACTERÍSTICAS DE LA LÍNEA RECTA Reactivo 1 1. ¿Cuál de las graficas asociadas a las siguientes expresiones algebraicas es paralela a la gráfica asociada a la expresión y = 3x? a) y = 2x + 3

b) y = x + 3

c) y = 3

d) y = 3x + 1

1´. ¿Cuál de las graficas asociadas a las siguientes expresiones algebraicas es paralela a la gráfica asociada a la expresión y = 2x + 1? a) y = x + 2

b) y = 2x + 3

c) y = 3x + 2

Respuesta: Inciso d).

Respuesta: Inciso b).

d) y = 3x

Reactivo 2 2. La gráfica asociada a la expresión y = x + 1 interseca al eje y en el punto (0,1) Encuentra 2 rectas que también intersequen al eje y en el punto (0,1). Recta 1: y =

Respuesta: Cualesquiera dos rectas que tengan distinta pendiente y que tengan a 1 como ordenada al origen, por ejemplo:

Recta 2: y =

Recta 1: y = 2x + 1

¿Cómo es la ordenada al origen de las rectas que encontraste, distintas o iguales?

Recta 2: y = 3x + 1 La ordenada al origen de las rectas es igual.

L i b r o p a ra el maestro

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9/10/07 2:25:38 PM

e x a m e n b l o q ue 3

Respuesta: Cualesquiera dos rectas que tengan distinta pendiente y que tengan a 3 como ordenada al origen, por ejemplo:

2’. La gráfica asociada a la expresión y = 6x + 3 interseca al eje Y en el punto (0,3) Encuentra 2 rectas que también intersequen al eje Y en el punto (0,3). Recta 1: y =

Recta 1: y = x + 3

Recta 2: y =

Recta 2: y = 3x + 3

¿Cómo es la ordenada al origen de las rectas que encontraste, distintas o

La ordenada al origen de las rectas es igual.

iguales?

Reactivo 3 3. ¿Cuál de las siguientes líneas rectas es paralela a la gráfica de la expresión de la línea recta y = 2x + 1? Subráyala.

Respuesta: Inciso c).

3´. ¿Cuál de las siguientes líneas rectas es paralela a la gráfica de la expresión de la línea recta y = 3x + 2? Subráyala.

Respuesta: Inciso c).

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Libro p a ra e l m a e s t r o

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9/10/07 2:25:40 PM

m a t e m á t i cas II

Reactivo 4 4. En el siguiente plano cartesiano se encuentran graficadas tres rectas, elige la opción que corresponda al conjunto de rectas graficadas.

Respuesta: Inciso b).

a) y = 3x + 1 y = 2x + 1 y=x+1

b) y = 2x + 2 y=x+2 y = –x + 2

c) y = 15x + 2 y = 3x + 2 y = 5x + 2

d) y = 3x y = 2x y=x

4’. En el siguiente plano cartesiano se encuentran graficadas tres líneas rectas, elige la opción que corresponda al conjunto de rectas graficadas.

Respuesta: Inciso a).

a) y = 2x – 4 y = 2x + 3 y = 2x

b) y = 3x y=x y = 4x

c) y = 3x + 3 y = 5x y = 3x - 4

d) y = 3x y = 2x y=x

L i b r o p a ra el maestro

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9/10/07 2:25:42 PM

examen bloque 4

propuesta de examen bimestral bloque 4 SECUENCIA 24. PROBLEMAS DE CONTEO

Respuestas: a) 49 b) 221

Reactivo 1

c) 316

1. Expresa el resultado de las siguientes operaciones como una potencia:

d) 512

( )

f) 2–4 , 14 o 1 2 2 g) 80

c) (32)8 =

d) (54)3 =

10 e) 6 3 = 6

8 f) 212 = 2

5 g) 85 = 8

Respuestas: a) 59

1’. Expresa el resultado de las siguientes operaciones como una potencia:

b) 614

b) 64 × 610 =

a) 57 × 52 =

c) 218 d) 810

( )

e) 3 , 17 o 1 3 3 f) 43 –7

b) 214 × 27 =

a) 44 × 45 =

e) 67

g) 20

d) (82)5 =

7 e) 314 = 3

c) (26)3 =

12 f) 4 9 = 4

8 g) 28 = 2

Reactivo 2 Respuestas: a) 1 16 b) 1 128 c) 10 d) 1 e) 1 5

a) 4–2 =

b) 2–7 =

c) 101 =

d) 90 =

e) 5–1 =

Respuestas: a) 1 16 b) 1 25 c) 1 3 d) 9 e) 1

286

2. Encuentra el resultado de las siguientes potencias sin utilizar otra potencia.

2. Encuentra el resultado de las siguientes potencias sin utilizar otra potencia. a) 2–4 =

b) 5–2 =

c) 3–1 =

d) 91 =

e) 50 =

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9/10/07 2:26:42 PM

m a t e m á t i c a s II

Reactivo 3 3. Relaciona las columnas para que cada número quede expresado en notación científica: ( ) 8 370 000 000 000 000

(a) 7.62 × 10–13

( ) 0. 0000000000000762

(b) 8.37 × 1015

Respuestas: (b) (e)

(c) 0.762 × 10–13 (d) 0.837 × 1016 (e) 7.62 × 10–14 (f) 8.37 × 1016 (g) 0.762 × 1014 (h) 0.837 × 10–15 (i) 7.62 × 1014 (l) 8.37 × 10–15 3’. Relaciona las columnas para que cada número quede expresado en notación científica: ( ) 712 000 000 000 000 000

(a) 7.12 × 10–17

( ) 0. 00000000000000854

(b) 8.54 × 1014

Respuestas: (i) (f)

–16

(d) 0.854 × 10–15 (e) 7.12 × 1015 (f) 8.54 × 10–15 (g) 0.712 × 1016 (h) 0.854 × 10–14 (i) 7.12 × 1017 (l) 8.54 × 10–14 L i b r o p a ra el maestro

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9/10/07 2:26:43 PM

examen bloque 4

SECUENCIA 25. TRIÁNGULOS CONGRUENTES Reactivo 1 Respuestas:

1. Los puntos P, Q y R son puntos medios de los lados del triángulo equilátero ABC. Traza los segmentos PQ, QR y RP y responde lo siguiente.

a) En tres b) Si. Pueden utilizar el criterio de congruencia para triángulos LAL

a) ¿En cuántos triángulos quedó dividido el triángulo ABC? b) ¿Los triángulos en los que quedó dividido el triángulo ABC son congruentes?

Justifica tu respuesta

Respuestas: a) En tres

1’. El punto I es el incentro del triángulo equilátero ABC. Traza los segmentos IA, IB, IC y contesta las preguntas.

b) Si. Pueden utilizar el criterio de congruencia para triángulos LAL o el criterio ALA

a) ¿En cuántos triángulos quedó dividido el triángulo ABC? b) ¿Los triángulos en los que quedó dividido el triángulo ABC son congruentes?

Justifica tu respuesta

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Libro p a ra e l m a e s t r o

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9/10/07 2:26:45 PM

m a t e m á t i c a s II

SECUENCIA 26. PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO Reactivo 1 1. En el siguiente triángulo rectángulo marca sus puntos notables

Respuesta:

Circuncentro

Incentro Baricentro Ortocentro

1’. ¿Cómo se llama el punto notable que se marca en cada triángulo?

Respuestas: a) Incentro. b) Circuncentro. c) Baricentro.

d) Ortocentro.

L i b r o p a ra el maestro

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9/10/07 2:26:46 PM

examen bloque 4

SECUENCIA 27. EVENTOS INDEPENDIENTES Reactivo 1 Respuestas: (a) 1 2 (b) 1 6 1 (c) 12

1. En el experimento: Lanzar una moneda y un dado al mismo tiempo, observar la figura y el número que cae en las caras superiores, considera los siguientes eventos. R “En la moneda cae sol”. S “En el dado cae 3”. T “En la moneda cae sol y en el dado cae 3”. a) Calcula la probabilidad de ocurrencia del evento R. b) Calcula la probabilidad de ocurrencia del evento S. c) Calcula la probabilidad de ocurrencia del evento T. 1’. En el experimento: Lanzar dos monedas al mismo tiempo, observar la figura que cae en las caras superiores, considera los siguientes eventos.

Respuestas:

R “En la primera moneda cae águila”.

(a) 1 2 (b) 1 2 (c) 1 4

S “En la segunda moneda cae águila”. T “En la primera y en la segunda monedas cae águila”. a) Calcula la probabilidad de ocurrencia del evento R. b) Calcula la probabilidad de ocurrencia del evento S. c) Calcula la probabilidad de ocurrencia del evento T.

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Libro p a ra e l m a e s t r o

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9/10/07 2:26:47 PM

m a t e m á t i c a s II

Reactivo 2 2. Determina si los eventos que se definen son independientes o dependientes. a) Experimento. Lanzar dos monedas al mismo tiempo.

Evento R “en la primera moneda cae sol”

Evento S “en la segunda moneda cae sol”

Respuestas: a) Independientes. b) Independientes. c) Independientes.

b) Experimento. Lanzar dos veces una moneda.

Evento T “en el primer lanzamiento cae sol”

Evento U “en el segundo lanzamiento cae sol”

c) Experimento. De una bolsa con 5 canicas de las que 3 son verdes y 2 rojas, sacar primero una canica, devolverla a la bolsa y sacar otra canica.

Evento J “en la primera extracción la canica es roja”

Evento K “en la primera extracción la canica es verde”

2’. Determina si los eventos que se definen son independientes o dependientes.

Respuestas. a) Independientes. b) Independientes.

a) Experimento. Lanzar dos monedas al mismo tiempo.

Evento R “en la primera moneda cae sol”

Evento S “en la segunda moneda cae águila”

c) Dependientes.

b) Experimento. Lanzar dos veces una moneda.

Evento T “en el primer lanzamiento cae sol”

Evento U “en el segundo lanzamiento cae águila”

c) Experimento. De una bolsa con 5 canicas de las que 3 son verdes y 2 rojas, sacar primero una canica, no devolverla a la bolsa y sacar otra canica.

Evento J “en la primera extracción la canica es roja”

Evento K “en la primera extracción la canica es verde”

L i b r o p a ra el maestro

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9/10/07 2:26:49 PM

examen bloque 4

SECUENCIA 28. GRÁFICAS DE LÍNEA Reactivo 1 1. La siguiente tabla muestra el número de personas inscritas en el padrón electoral de nuestro país en el periodo de 1997 a 2004.

Respuesta: Inciso a)

Población inscrita en el padrón electoral de México por sexo. Año

Hombres

¿Cuáles de los siguientes pares de gráficas representan adecuadamente la información que muestra la tabla?

Mujeres

1997

25 660 000

27 360 000

1998

26 040 000

27 770 000

2000

28 790 000

30 795 000

b) II y III

2002

30 690 000

32 890 000

c) III y IV

2003

31 690 000

33 990 000

d) No hay un par de gráficas adecuadas.

2004

33 030 000

35 550 000

a) I y IV

Fuente: IFE. Estadísticas del padrón electoral por grupos de edad y sexo, cifras correspondientes al periodo 1997-2004. www.ife.org.mx (valores redondeados a miles)

Población inscrita en el padrón electoral de México por sexo 50 000 000

Población inscrita en el padrón electoral de México por sexo

45 000 000

39 000 000

Número de personas

40 000 000

Hombres

37 000 000

Mujeres

35 000 000 33 000 000 31 000 000 29 000 000

35 000 000 30 000 000 25 000 000 20 000 000 15 000 000

27 000 000

10 000 000

25 000 000

5 000 000 0

23 000 000 1997

1998

Gráfica I

2000

2002

2003

1997

2004

1998

Gráfica II

Años

2000

2002

2003

2004

Años

Población inscrita en el padrón electoral de México por sexo Población inscrita en el padrón electoral de México por sexo

Hombres

Número de personas en miles

38 000

40 000 000

Número de personas en miles

40 000

Hombres Mujeres

35 000 000

30 000 000

25 000 000

Mujeres

36 000 34 000 32 000 30 000 28 000 26 000 24 000

20 000 000

22 000 1997

1998

Gráfica III 292

2000

Años

2002

2003

1997

2004

Gráfica IV

1998

2000

2002

2003

2004

Años

Libro p a ra e l m a e s t r o

MAT2 B5 SEVAL4 maesto.indd 292

9/10/07 2:26:50 PM

m a t e m á t i c a s II

1’. La siguiente tabla muestra el número de personas inscritas en el padrón electoral de nuestro país en el periodo de 1997 a 2004.

Respuesta: Inciso d)

Población inscrita en el padrón electoral de México por sexo.

¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a los datos que se muestran en la tabla?

Año

a) I b) II c) III d) IV

Hombres

Mujeres

1997

25 660 000

27 360 000

1998

26 040 000

27 770 000

2000

28 790 000

30 795 000

2002

30 690 000

32 890 000

2003

31 690 000

33 990 000

2004

33 030 000

35 550 000

Fuente: IFE. Estadísticas del padrón electoral por grupos de edad y sexo, cifras correspondientes al periodo 1997-2004. www.ife.org.mx (valores redondeados a miles)

Población inscrita en el padrón electoral de México por sexo Población inscrita en el padrón electoral de México por sexo 40 000

45 000

Número de personas en miles

Hombres

38 000

Número de personas

50 000

Mujeres

36 000 34 000 32 000 30 000 28 000 26 000

30 000 25 000 20 000 15 000 10 000 5 000

24 000

22 000 1997

1998

Gráfica I

2000

2002

2003

1998

Gráfica II

Años

40 000 000

1997

2004

Población inscrita en el padrón electoral de México por sexo

2000

2002

2003

2004

Años

Población inscrita en el padrón electoral de México por sexo 39 000 000

Hombres

37 000 000

Mujeres 35 000 000

Número de personas

Número de personas en miles

40 000 35 000

30 000 000

25 000 000

Mujeres

35 000 000 33 000 000 31 000 000 29 000 000 27 000 000 25 000 000

20 000 000

23 000 000 1997

Gráfica III

1998

2000

Años

2002

2003

2004

1997

Gráfica IV

1998

2000

2002

2003

L i b r o p a ra el maestro

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2004

Años

293

9/10/07 2:26:52 PM

examen bloque 4

Reactivo 2 2. Las siguientes gráficas de línea muestran información sobre dos aspectos del problema de maltrato infantil en México.

30000 29000 28000 27000 26000 25000 24000 23000 22000 21000 20000 19000 18000 17000 16000 15000 1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

Menores maltratados atendidos por el DIF-PREMAN, 1995 a 2002 Total de menores maltratados atendidos

Denuncias recibidas

Denuncias recibidas por maltrato infantil atendidos por el DIF-PREMAN, 1995 a 2002

30000 29000 28000 27000 26000 25000 24000 23000 22000 21000 20000 19000 18000 17000 16000 15000 1995

Años

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

Años

Fuente: Sistema Nacional para el Desarrollo Integral de la Familia. Dirección de Asistencia Jurídica. Subdirección de Asistencia Jurídica y Adopciones. Departamento de Asistencia Jurídica Familiar. Coordinación Técnica de Asistencia Psicosocial. *DIF-PREMAN es el Programa de Prevención al Maltrato Infantil del Sistema Nacional para el Desarrollo Integral de la Familia. Información presentada en Mujeres y Hombres en México, INEGI, 2005 (los datos están redondeados a centenas).

Respuesta: a) 27 800 denuncias b) Sí, pero también en el año de 2000 se atendió a un igual número de menores aunque las denuncias fueron un número menor (27 800 denuncias). c) El mayor intervalo de crecimiento en el número de denuncias fue de 15 500 y ocurrió de 1995 a 1997.

a) De las siguientes cifras, señala cuál se aproxima más al número de denuncias que se recibieron en el año 2000.

28 000

27 800

27 500

27 000

b) ¿Corresponde el año en que se atendió al mayor número de niños con el año en el que se presentaron el mayor número de denuncias? c) Describe: ¿cuál es el mayor intervalo de crecimiento en el número de denuncias?

294

Libro p a ra e l m a e s t r o

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m a t e m á t i c a s II

2’. Las siguientes gráficas de línea muestran información sobre dos aspectos relacionados con el problema de maltrato infantil en México.

30000 29000 28000 27000 26000 25000 24000 23000 22000 21000 20000 19000 18000 17000 16000 15000 1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

Menores maltratados atendidos por el DIF-PREMAN, 1995 a 2002 Total de menores maltratados atendidos

Denuncias recibidas

Denuncias recibidas por maltrato infantil atendidos por el DIF-PREMAN, 1995 a 2002

30000 29000 28000 27000 26000 25000 24000 23000 22000 21000 20000 19000 18000 17000 16000 15000 1995

1996

1997

1998

Años

1999

2000

2001

2002

Años

a) De las siguientes cifras, señala cuál se aproxima más al menor número de niños atendidos.

18 000

17 600

17 200

17 000

Respuestas: a) 17 600 b) En el año de 1996.

b) ¿En qué año se presentó?

c) No.

c) ¿Corresponde el año en que se atendió al menor número de niños con el año en el que se presentaron el menor número de denuncias?

d) El mayor intervalo de crecimiento en el número de menores atendidos fue de 9 000 y ocurrió de 1996 a 1997.

d) Describe: ¿cuál es el mayor intervalo de crecimiento en el número de menores atendidos que presentan las gráficas de línea?

L i b r o p a ra el maestro

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examen bloque 4

SECUENCIA 29. GRÁFICAS FORMADAS POR RECTAS Reactivo 1 1. El siguiente recipiente está siendo llenado con agua con una llave que arroja cierta cantidad cada minuto, al inicio el recipiente estaba vacío. De las gráficas que se presentan, ¿cuál corresponde a esta situación?

Respuesta: Inciso a)

Tiempo

Nivel

Tiempo

1’. El siguiente recipiente está siendo llenado con agua con una llave que arroja cierta cantidad cada minuto, al inicio el recipiente estaba vacío. De las gráficas que se presentan, ¿cuál corresponde a esta situación?

Respuesta: Inciso b)

Tiempo

296

Nivel

Tiempo

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9/10/07 2:26:57 PM

m a t e m á t i c a s II

Reactivo 2

Observa la siguiente gráfica, que relaciona la cantidad de kilómetros recorridos por el automóvil y la cantidad de gasolina restante en su tanque.

Gasolina restante (Litros)

2. El rendimiento de un automóvil es el resultado de dividir los kilómetros recorridos entre los litros de gasolina consumida.

50 45

35 30

25 20

15 10 5

70 80

90 100 110 120 130 140 150

Distancia recorrida (Kilómetros)

a) ¿Cuánta gasolina tenía el automóvil en su tanque? b) En los primeros 30 km que recorrió el automóvil, ¿cuál fue su ren-

a) 45 litros

dimiento?

b) 1.5 km/L

c) Entre los 30 y 80 km, ¿cuál fue su rendimiento?

c) 5 km/L d) 2.6 km/L

d) Entre los 80 y 120 km, ¿cuál fue su rendimiento?

Observa la siguiente gráfica, que relaciona la cantidad de kilómetros recorridos por el automóvil y la cantidad de gasolina restante en su tanque.

Gasolina restante (Litros)

2’. El rendimiento de un automóvil es el resultado de dividir los kilómetros recorridos entre los litros de gasolina consumida.

Respuestas:

35 30 25

20 15 10 5

70 80

90 100 110 120 130 140 150

Distancia recorrida (Kilómetros)

a) ¿Cuánta gasolina tenía el automóvil en su tanque? b) En los primeros 50 km que recorrió el automóvil, ¿cuál fue su rendimiento? c) Entre los 50 y 90 km, ¿cuál fue su rendimiento? d) Entre los 90 y 120 km, ¿cuál fue su rendimiento?

Respuestas: a) 45 litros b) 5 km/L c) 2.6 km/L d) 1.5 km/L

L i b r o p a ra el maestro

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9/10/07 2:26:59 PM

examen bloque 4

Reactivo 3 3. Un automóvil viaja a una velocidad de 100 km/h cuando va en autopista, 80 km/h cuando va en carretera libre, y a 50 km/h cuando va dentro de la ciudad. El siguiente dibujo muestra el trayecto que tiene que recorrer el automóvil cuando viaja del punto A al punto B.

Respuestas:

Ciudad

Autopista 400 km

Libre 400 km

100 km

En el siguiente plano cartesiano dibuja la gráfica de la distancia recorrida por el automóvil en relación al tiempo transcurrido.

1000

900

800

Distancia en kilómetros

700

600

500

400

300

200

100

Tiempo en horas

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Libro p a ra e l m a e s t r o

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9/10/07 2:27:00 PM

m a t e m รก t i c a s II

3'. Un estudiante camina a una velocidad de 1.5 m/s cuando el terreno es plano, 0.5 m/s cuando es de subida y 3 m/s cuando es de bajada. En su camino a la escuela tiene que pasar por un valle como se muestra en la figura. Casa

Respuesta:

Escuela

450 m

300 m

600 m

300 m

En el siguiente plano cartesiano dibuja la grรกfica de la distancia recorrida por el estudiante en relaciรณn al tiempo transcurrido.

2 000

1 800

1 600

Distancia en metros

1 400

1 200

1 000

800

600

400

200

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1 000

1 100

1 200

1 300

1 400

Tiempo en segundos

L i b r o p a ra el maestro

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9/10/07 2:27:04 PM

examen bloque 5

propuesta de examen bimestral bloque 5 SECUENCIA 30. SISTEMAS DE ECUACIONES Reactivo 1 Respuestas: i) con b), ii) con c), iii) con a), iv) con b)

1. Une con una línea cada sistema de ecuaciones con el método con el que más se facilita resolverla. Sistema

Método

i) 3x + 5y = 15

4x – 5y = 28

a) Igualación

ii) 3x + 4y = 20

x = 2y b) Suma o resta

iii)

y = 3x + 5

y = 2x – 6

iv) 2x + 3y = 15

Respuestas: i) con c), ii) con b), iii) con a), iv) con a)

c) Sustitución

4x + 3y = 23

1’. Une con una línea cada sistema de ecuaciones con el método con el que más se facilita resolverla. Sistema

Método

i) 2x + y = 15

y = 20 – x

a) Igualación

ii) x + y = 20

x – y = 30 b) Suma o resta

iii) y = 2x – 3

y = 3x + 6

iv) x = 15 – 2y

300

c) Sustitución

x = 3y – 5

Libro p a ra e l m a e s t r o

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9/10/07 2:28:27 PM

matemáticas II

Reactivo 2 2. Indica cuál es el sistema de ecuaciones que está representado en la gráfica. Sistema

a) x + y = 20

y = 2x

Respuesta: inciso c)

40 35

b) x + y = 10

x = 2y

c) x + y = 30

x = 2y

30 25 20 15 10

d) x + y = 30

y = 2x

5 0

2’. Indica cuál es el sistema de ecuaciones que está representado en la gráfica. Sistema

a) x + y = 10

y = 2x

Respuesta: inciso d)

40 35

b) x + y = 10

x=y

c) x + y = 20

x = 2y

30 25 20 15 10

d) x + y = 20

y=x

5 0

L i b r o p a ra el maestro

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9/10/07 2:28:28 PM

examen bloque 5

Reactivo 3 Sistema de ecuaciones: 2w + z = 30

3. Resuelve el siguiente problema usando un sistema de ecuaciones. El perímetro del triángulo isósceles es 30 y el del rectángulo es 75, ¿cuánto valen w y z?

2w + 10z = 75

Solución:

w =12.5 z=5

Sistema de ecuaciones:

x + y =350 y = 3x + 12

3’. Resuelve el siguiente problema usando un sistema de ecuaciones. Un pantalón y una camisa cuestan $ 350.00 pero el pantalón vale $ 12.00 más que el triple del valor de una camisa. ¿Cuál es el valor de cada prenda?

Solución: Valor de un pantalón: $265.50 Valor de una camisa: $84.50

Reactivo 4 Solución: m= 7 3 n=5

4. Resuelve por el método que consideres conveniente el siguiente sistema de ecuaciones. Realiza la verificación.

m = 5n – 4 9

6m – 3n = –1

Solución:

r =1.5

4’. Resuelve por el método que consideres conveniente el siguiente sistema de ecuaciones. Realiza la verificación.

r = 3t – 3

t=3

6r – 5t = –6

302

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9/10/07 2:28:30 PM

matemáticas II

SECUENCIA 31. TRASLACIÓN, ROTACIÓN Y SIMETRÍA CENTRAL Reactivo 1 1. Para pasar de la figura A a la figura A’, se hizo una rotación. ¿Cuánto mide el ángulo de rotación?

Respuesta: El ángulo de rotación mide 60°.

A 1’. Para pasar de la figura A a la figura A’, se hizo una rotación. ¿Cuánto mide el ángulo de rotación?

Respuesta: El ángulo de rotación mide 45°.

A L i b r o p a ra el maestro

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303

9/10/07 2:28:31 PM

examen bloque 5

Reactivo 2 Respuestas:

2. Con base en la siguiente figura, responde las preguntas.

a) Simetría con respecto a la recta m. b) Simetría con respecto a la recta n o una traslación.

c) Rotación de 180° o simetría central.

n G

m a) ¿Qué movimiento tenemos que hacer para pasar de la figura E a la figura F? b) ¿Qué movimientos se pueden hacer para pasar de la figura F a la figura G? c) ¿Qué movimiento permite pasar directamente de la figura E a la figura G?

Respuestas:

2’. Con base en la siguiente figura, responde las preguntas.

a) Traslación. b) Simetría con respecto a la recta n.

c) Simetría con respecto a la recta m.

d) Rotación de 180° o simetría central. H

m a) ¿Qué movimiento tenemos que hacer para pasar de la figura E a la figura F? b) ¿Y de E a H? c) ¿Y de H a G? d) ¿Qué movimiento permite pasar directamente de la figura E a la figura G?

304

Libro p a ra e l m a e s t r o

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9/10/07 2:28:33 PM

matemáticas II

SECUENCIA 32. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Reactivo 1 1. Considera el experimento y los eventos que se han definido. Relaciona las columnas de acuerdo a la probabilidad que le corresponde a cada evento. Experimento: lanzar un dado (no trucado) y observar el número de la cara superior que cae. Sean los eventos: A: “cae un número mayor que 4”. B: ”cae un número impar”.

Respuestas: P(A o B) = 2 3 P(A) = 1 3 P(A o C) = 5 6 P(B) = 1 2

C: “cae un número menor que 4”. P(A o B) P(A) P(A o C) P(B)

1 2 1 3 2 3 5 6

1'. Considera el experimento y los eventos que se han definido. Relaciona las columnas de acuerdo a la probabilidad que le corresponde a cada evento. Experimento: lanzar un dado (no trucado) y observar el número de la cara superior que cae. Sean los eventos: A: “cae un número menor que 5”. B: ”cae un número par”.

Respuestas: P(A o B) = 5 6 P(A) = 1 3 P(B o C) = 1 P(C) = 1 2

C: “cae un número impar”. P(A o B)

1 2

P(A)

P(B o C)

1 3 5 6

P(C)

L i b r o p a ra el maestro

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9/10/07 2:28:34 PM

examen bloque 5

Reactivo 2 Respuestas. d) No mutuamente excluyentes. e) No mutuamente excluyentes. f) Mutuamente excluyentes.

2. Determina si los eventos que se definen son o no mutuamente excluyentes. a) Experimento. Lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superior.

Evento R “cae un número mayor que 4”

Evento S “cae un número impar”

b) Experimento. Seleccionar al azar a un estudiante de secundaria.

Evento T “en estudiante es hombre”

Evento U “el estudiante tiene 14 años”

c) Experimento. Seleccionar al azar una canica de una bolsa que contiene canicas azules y blancas.

Evento J “la canica es blanca”

Evento K “la canica es azul”

Respuestas: a) No mutuamente excluyentes.

2’. Determina si los eventos que se definen son o no mutuamente excluyentes.

b) Mutuamente excluyentes.

a) Experimento. Lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superior.

c) Mutuamente excluyentes.

Evento R “cae un número mayor que 4”

Evento S “cae 6”

b) Experimento. Seleccionar al azar a un estudiante de secundaria.

Evento T “en estudiante es hombre”

Evento U “el estudiante es mujer”

c) Experimento. Seleccionar al azar una canica de una bolsa que contiene canicas blancas chicas, canicas azules chicas y canicas azules grandes.

Evento J “la canica es blanca”

Evento K “la canica es grande”

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9/10/07 2:28:35 PM

matemáticas II

SECUENCIA 33. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES Reactivo 1 1. Une con una línea cada sistema de ecuaciones de acuerdo con el número de soluciones que le corresponden. Sistema

y = 2x + 5

y = 3x – 2

ii)

y = 2x + 5

y = 2x – 3

iii)

y = 2x + 5

iv)

Respuestas: i) con b), ii) con a), iii) con c), iv) con a)

Método

a) No tiene solución

b) Tienen una solución

–6x + 3y = 15

y = 2x + 5 –2x + y = 6

c) Tiene más de una solución

Reactivo 1’ 1’. Une con una línea cada sistema de ecuaciones de acuerdo con el número de soluciones que le corresponden. Sistema

y = 5x + 5

y = 5x – 2

ii)

y = 2x + 7

y = 4x +14

iii)

y = 2x + 5

Respuestas: i) con a), ii) con b), iii) con c), iv) con b)

Método

a) No tiene solución

b) Tienen una solución

3y = 6x +15

iv)

y = 2x + 5

y = 3x +1

c) Tiene más de una solución

L i b r o p a ra el maestro

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307

9/10/07 2:28:37 PM

examen bloque 5

Respuesta: Inciso a)

2. Señala la gráfica que representa al sistema:

y = 3x + 2 x + y = 10 a)

–5

Respuesta: Inciso c)

–5

2’. Señala la gráfica que representa al sistema:

y = 2x –5 x – y = 10 a)

y 10

–5

308

–5

Libro p a ra e l m a e s t r o

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9/10/07 2:28:39 PM

matemáticas II

Reactivo 3 3. Representa gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones.

y = 2x + 10

Respuestas: a)

y = –2x + 10 a)

y 20

–15 –10 –5

–5

–10

–15

–5 –10

b) x = 0, y =10

–15

b) ¿Cuál es la solución del sistema? x =

,y=

3’. Representa gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones.

y = 3x + 5

Respuesta: a)

y = 3x – 5 a)

y 20

–15 –10 –5

–5

–10 –15

b) No tiene solución

b) ¿El sistema tiene una solución, muchas soluciones o no tiene solución?

L i b r o p a ra el maestro

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9/10/07 2:28:41 PM

examen bloque 5

Respuesta:

4. Observa la siguiente grafica y contesta las preguntas.

a) E1: y = –2x – 4

E2: y = –2x + 24

24 20

b) E1: y = –2x – 4 E2: y = 3x + 12

y = –2x – 4

y = –2x + 24

8 4 –20 –16 –12 –8

y = 3x +12

–4 –4

12 16 20 24

–8 –12 –16 –20

a) ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones no tiene solución? Márcalo. E1: y = –2x – 4 E1: y = –2x – 4 E1: y = 3x + 12 E2: y = 3x + 12 E2: y = –2x + 24 E2: y = –2x + 24 b) De los tres sistemas de ecuaciones anteriores, escribe el que tiene solución negativa para x, pero solución positiva para y.

310

Libro p a ra e l m a e s t r o

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9/10/07 2:28:42 PM

matemáticas II

4’. Observa la siguiente grafica y contesta las preguntas.

Respuestas: a) E1: y = 3x + 4 E2: y = 3x – 8

y 24

b) E1: y = –2x + 16

20 16

E2: y = 3x – 8

y = 3x + –8

12 8

y = –2x +16

4 –16 –12 –8 –4 –4

y = 3x +4

12 16 20

–8 –12

a) ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones no tiene solución? Señálalo. E1: y = –2x +16 E1: y = –2x + 16 E2: y = 3x + 4 E2: y = 3x + 4 E2: y = 3x – 8 E2: y = 3x – 8 b) De los tres sistemas de ecuaciones anteriores, escribe el que tiene solución, tanto para x como para y, un valor mayor que 4 pero menor que 8.

L i b r o p a ra el maestro

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9/10/07 2:28:44 PM

Bibliografía Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática. 23 agosto 2003. <http://www.inegi.gob.mx > SEP. Fichero. Actividades didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria, México, 2000. Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secundaria, México, 2000. 20 agosto 2007. <http://www.reforma secundaria.sep.gob.mx/ index.htm >

SEP-ILCE. Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo, Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología (Emat). Educación Secundaria, México, 2000. Geometría dinámica, Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología (Emat). Educación Secundaria, México, 2000. Biología, Enseñanza de las Ciencias a través de Modelos Matemáticos (Ecamm). Educación Secundaria, México, 2000.

Revisor académico externo David Block Sevilla Diseño de actividades tecnológicas Mauricio Héctor Cano Pineda Emilio Domínguez Bravo Deyanira Monroy Zariñán

matemáticas II Volumen II Libro para el maestro

Se imprimió por encargo de la Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos, en los talleres de , el mes de de 200 . El tiraje fue de ejemplares, más sobrantes de reposición.

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