Journal Polyèdres
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INDICE Los Poliedros Editorial Clasificación de Los Poliedros Origen De Los Poliedros Matemáticamente Los Poliedros Moda Hogar: al Estilo de los Poliedros
CREDITOS EDITORIAL: Unidad Educativa Lucila Palacios DIRECTOR: Lcdo. Jesús Camacho EDITOR: Yanes Eliana REDACCIÓN: Navas Stefani DISEÑO: Torres Karlenis
EDITORIAL
Ilustración de la Institución Lucila Palacios donde se observa semejanzas a los poliedros.
Los poliedros son elementos geométricos que disponen de caras planas y que albergan un volumen que no es infinito. Las raíces etimológicas del término, que se hallan en la lengua griega, refieren a “muchas caras”. Un poliedro puede ser entendido como un cuerpo sólido y tridimensional. Cuando todas sus caras y ángulos son iguales entre sí, se lo califica como un poliedro regular. De lo contrario, será un poliedro irregular. En la Revista Journal Polyèdres, asumimos en este mes, como tema los Poliedros, por sus importancia en el espacio que no rodea, y como un tema relevante en el área de la matemática; sobre todo su gran variedad de figura, para explorar y diseñar.
Los Poliedros Un poliedro es un sólido de caras planas (la palabra viene del griego, poli- significa "muchas" y -edro significa "cara"). Cada cara plana (simplemente "cara") es un polígono. Sus partes se denominan: Caras: polígonos que limitan al poliedro, Aristas: lados de las caras del poliedro, Vértices: puntos donde concurren varias aristas.
Así que para ser un poliedro no tiene que haber ninguna superficie curva.
Clasificación de Los Poliedros POLIEDRO REGULAR Poliedro cuyas caras son polígonos regulares iguales y todas sus aristas son de igual longitud; en consecuencia, todos sus vértices están contenidos en una esfera. Los poliedros regulares son cinco y se denominan:
Tetraedro regular: poliedro regular definido por 4 triángulos equiláteros iguales, Hexaedro regular (cubo): poliedro regular definido por 6 cuadrados iguales, Octaedro regular: poliedro regular definido por 8 triángulos equiláteros iguales, Dodecaedro regular: poliedro regular definido por 12 pentágonos regulares iguales,
Icosaedro regular: poliedro regular definido por 20 triángulos equiláteros iguales.
Clasificación de Los Poliedros POLIEDRO IRREGULAR Poliedro definido por polígonos que no son todos iguales. CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDRO IRREGULAR TETRAEDRO, PENTAEDRO, HEXAEDRO, HEPTAEDRO, OCTAEDRO,
PIRÁMIDE Poliedro definido por un polígono base y cuyas caras laterales son triángulos que poseen un vértice común (V), denominado vértice de la pirámide, que no está contenido en el plano base. La recta que pasa por el vértice de la pirámide y el centro geométrico de la base se denomina eje de la pirámide (e). Las pirámides se clasifican en: pirámide recta: el eje es perpendicular al polígono base, pirámide oblicua: el eje no es perpendicular al polígono base, pirámide regular: la base es un polígono regular, pirámide regular recta: la base es un polígono regular y el eje es perpendicular al polígono base. pirámide regular oblicua: la base es un polígono regular y el eje no es perpendicular al polígono base.
Clasificación de Los Poliedros CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDRO IRREGULAR PRISMA Poliedro definido por dos polígonos iguales y paralelos (bases) y cuyas caras laterales, en consecuencia, son paralelogramos. La recta que une los centros geométricos de las bases se denomina eje del prisma (e). Los prismas se clasifican en: prisma recto: el eje es perpendicular a los polígonos base, prisma oblicuo: el eje no es perpendicular a los polígonos base, prisma regular: las bases son polígonos regulares, prisma regular recto: las bases son polígonos regulares y el eje es perpendicular a los polígonos base. prisma regular oblicuo: las bases son polígonos regulares y el eje no es perpendicular a los polígonos base. paralelepípedo: prisma cuyas bases son paralelogramos. Pueden ser a su vez rectos u oblicuos
Clasificación de Los Poliedros CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDRO IRREGULAR CUERPO REDONDO Sólido que contiene superficies curvas. CLASIFICACIÓN DE LOS CUERPOS REDONDOS Los cuerpos redondos se clasifican básicamente en: •
Cilindro
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Cono
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Sólido de revolución
Cilindro Cuerpo redondo limitado por una superficie cilíndrica y dos bases planas paralelas. La recta que pasa por los centros geométricos de las bases se denomina eje del cilindro (e), y es paralela a la generatriz (g) de la superficie cilíndrica. Los cilindros pueden ser: Cilindro Recto: si el eje (e), es perpendicular a las bases, Cilindro Oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a las bases, Cilindro de Revolución: si está limitado por una superficie cilíndrica de revolución. Pueden a su vez ser: Cilindro de Revolución Recto: si el eje (e), es perpendicular a las bases, Cilindro de Revolución Oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a las bases.
CILINDRO
Clasificación de Los Poliedros CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDRO IRREGULAR CONO Cuerpo redondo limitado por una superficie cónica y por una base plana. La recta que pasa por el vértice (V), de la superficie cónica y el centro geométrico de la base se denomina eje del cono (e). Los conos pueden ser: Cono Recto: si el eje (e), es perpendicular a la base, Cono Oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a la base, Cono de Revolución: si está limitado por una superficie cónica de revolución. Pueden a su vez ser: Cono de Revolución Recto: si el eje (e), es perpendicular a la base, Cono de Revolución Oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a la base.
CONO
Clasificación de Los Poliedros CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDRO IRREGULAR SÓLIDO DE REVOLUCIÓN Cuerpo redondo limitado por una generatriz (g) curva, que rota alrededor de un eje (e). Entre ellos se pueden mencionar: Sólidos limitados por superficies cuadricas: Esfera: la generatriz es una circunferencia, Elipsoide: la generatriz es una elipse, Paraboloide: la generatriz es una parábola, Hiperboloide: la generatriz es una hipérbola, Toro (anillo). Su superficie la genera una circunferencia ó una elipse, que gira alrededor de un eje (e), coplanar con ella, y situado fuera de ella.
SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Origen De Los Poliedros Las propiedades de estos poliedros son conocidas desde la antigüedad clásica, hay referencias a unas bolas neolíticas de piedra labrada encontradas en Escocia 1000 años antes de que Platón hiciera una descripción detallada de los mismos en Los elementos de Euclides.
Se les llegó a atribuir incluso propiedades mágicas o mitológicas; Timeo de Locri, en el diálogo de Platón dice “El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo”. Los antiguos griegos estudiaron los sólidos platónicos a fondo, y fuentes (como Proclo) atribuyen a Pitágoras su descubrimiento.
Otra evidencia sugiere que sólo estaba familiarizado con el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, y que el descubrimiento del octaedro y el icosaedro pertenecen a Teeteto, un matemático griego contemporáneo de Platón. En cualquier caso, Teeteto dio la descripción matemática de los cinco poliedros y es posible que fuera el responsable de la primera demostración de que no existen otros poliedros regulares convexos.
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Estos sólidos a los que se hace referencia son una esfera tetraédrica neolítica, También se han encontrado un Icosaedro romano, conservado en Rheinisches Landes-Museum, de la ciudad de Bonn
Matemáticamente Los Poliedros CONTAR CARAS, VÉRTICES Y ARISTAS Si cuentas el número de caras (las superficies planas), los vértices (las esquinas) y las aristas de un poliedro, descubrirás algo interesante: El número de caras más el número de vértices menos el número de aristas es igual a 2 Esto se puede escribir limpiamente con una ecuación: F+V-E=2 Se la llama "fórmula del poliedro" o "fórmula de Euler", y viene bien para saber si has contado correctamente Este cubo tiene: • 6 caras • 8 vértices • 12 aristas F + V - E = 6+8-12 = 2
Este prisma tiene: • 5 caras • 6 vértices • 9 aristas F + V - E = 5+6-9 = 2
VOLUMEN DE UN PRISMA El volumen de un prisma es simplemente el área de un extremo por la longitud del prisma
Volumen = Area × Longitud Ejemplo: ¿Cuál es el volumen de un prisma cuyo extremo es 25 cm2 y que tiene 12 cm de longitud? Respuesta: Volumen = 25 cm2 × 12 cm = 300 cm3
Matemáticamente Los Poliedros VOLUMEN Y ÁREA SUPERFICIAL ORTOEDRO O CUBOIDE
El volumen de un ortoedro es simplemente:
Volumen = longitud × profundidad × altura
Y lo podemos escribir como:
V = lpa
Y el área de su superficie es:
A = 2lp + 2pa + 2al
Encuentra el volumen y el área superficial de este ortoedro. V = 4×5×10 = 200 A = 2×4×5 + 2×5×10 + 2×10×4 = 40+100+80 = 220 VOLUMEN DE UN CONO Y DE UN CILINDRO. Las fórmulas del volumen de un cono y de un cilindro son muy parecidas: El volumen de un cilindro es: El volumen de un cono es:
π × r2 × h π × r2 × (h/3)
Así que la única diferencia es que el volumen de un cono es un tercio (1/3) del de un cilindro. Así que en el futuro, cuando pidas helados que no de den conos sino cilindros, ¡así te dan 3 veces más cantidad
Moda Hogar: al Estilo de los Poliedros La combinación de poliedros regulares se utiliza a menudo en diseño industrial y también en arquitectura para células constructivas, habitaciones, mallas espaciales planas, cúpulas geodésicas, etc., e incluso en épocas anteriores para cúpulas de piedra (bóvedas de crucería renacentistas). Las combinaciones poliédricas también aparecen en la naturaleza, tanto en la estructura de diversos minerales como en elementos estructurales de seres vivos.
La combinación de tetraedros también se ha utilizado en proyectos de arquitectura habitacional que tiene como objetivo la rápida construcción y puesta a punto de viviendas prefabricadas. La Europa Comunista construyó en masa estás células habitacionales, aunque los resultados óptimos se han obtenido en lugares económicamente boyantes comoCanadá. Las aplicaciones más primarias formalmente partían del cubo y también se han utilizado en formas tetraédicas u octaédricas.