數學奧林匹亞特訓班的一年 by yatingchen chen

導讀1

走出資優競賽的迷思／曾志朗…………………………002

導讀2

從奧林匹亞看資優生／陳昭地…………………………005

導讀3

數學腦力激盪的美好經驗／游森棚…………………………008

新版推薦1

拿牌不難，當上國手才難／曾俊雄…………………………016

新版推薦2

邁向數奧之路／繆友勇…………………………018

前言…………………………023

PART 1 前進奧林匹亞第1章啟發…………………………034 第2章方向…………………………057

PART 2 發現高手的特質第3章洞察力…………………………074 第4章競爭…………………………093

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第5章天分…………………………109 第6章間奏：下午休息時間…………………………132 第7章創造力…………………………135 第8章興趣廣泛，多才多藝…………………………156 第9章驚嘆數學之美…………………………173

PART 3 戰績揭曉第10章決勝時刻…………………………190 第11章奧林匹亞之後…………………………201

附錄解答與注釋…………………………203 參考文獻…………………………213 感謝辭…………………………235 國際數奧金牌得主經驗分享…………………………238

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前言

1974 年 7 月 4 日，一輛巴士載著八名美國高中生，駛過東德愛爾福特市（Erfurt）蜿蜒狹窄的老街，學生都有點緊張。當時冷戰氣氛高漲，沒有幾個美國人膽敢闖進共產鐵幕。這群學生在紐約上飛機，經過整夜飛行後，那天早上穿越東德邊境時遭到警員粗魯的盤問。他們在愛爾福特市中心走下巴士，站在馬丁路德首次佈道的大教堂尖塔下方，感到既孤立無援又引人注目。他們之所以緊張兮兮，還有別的原因。這群高中生是美國首度派出國參加國際數學奧林匹亞競賽的選手。在 1974 年當時，這項比賽已經舉辦了十五年。第一屆數學奧林匹亞競賽於 1959 年在羅馬尼亞的布加勒斯特舉行，但美國於整個 1960 年代都不願派代表隊參加。奧林匹亞屬於個人競賽，主辦單位會頒發金牌、銀牌和銅牌給表現優異者，不過各國隊伍總是會把隊員的分數加總起來，在國與國之間進行非正式的比較。在這項非正式的跨國較勁中，來自蘇聯和東歐的隊伍總是領先群倫。儘管愈來愈多西歐國家的隊伍參與競賽，像是芬蘭從 1965 年開始派隊參加（得了最後一名），英國、瑞典、義大利和法國（也得最後一名）則在 1967 年首度參加，但美國數學界依然絲毫不想派出最優秀的高中生和全球頂尖隊伍一爭高下。「許多人堅決反對。他們認為和那些共產國家的小孩比賽，美國隊一定會輸得很慘。」前美

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國奧林匹亞隊領隊克拉姆金（Murray Klamkin, 1921-2004）說，他過世前定居於加拿大艾德蒙吞市。 1971 年，美國紐約州立大學艾本尼校區的數學家透那（Nura Turner）寫的文章逐漸改變美國人的想法。她指出，從 1950 年代開始，美國舉辦了多項州際數學競賽，為美國參加國際競賽奠定良好基礎。她承認美國隊頭幾次參賽或許會輸得很慘，但她相信，美國人將不屈不撓地設法反擊。她寫道：「美國人當然有骨氣面對失敗，同時也有能力和勇氣投入有系統的艱苦訓練，力求下次比賽時展現更好的成績。」 1974 年，美國最主要的幾個數學組織終於同意派隊參加奧林匹亞競賽。美國數學協會在兩年前開始舉辦全國性測驗，篩選出全美最優秀的高中數學好手，並在 1974 年春天公布在決賽中分數最高的八名高中生名單，組成美國數學奧林匹亞代表隊。第一屆美國代表隊成員藍德（Eric Lander）目前是知名的遺傳學家，也是哈佛大學和麻省理工學院布羅德研究中心（Broad Institute）主任。他獲選國手當時還是紐約曼哈頓史岱文森中學（Stuyvesant High School）高三的學生，也擔任學校數學隊的隊長。他說：「數學隊棒透了。我們大約有三十個人，每天上課前都在史岱文森中學五樓的教室集訓，由隊長負責主持。當時還沒有累積了一大堆數學題目的電腦資料庫，所以數學隊隊長上任時都要負責保管一個袋子，我們稱之為『購物袋』，裡面是油印下來的各種數學題目及歷屆紐約市數學比賽的考古題。隊長每天都要從袋子裡抽幾個數學題目出來，帶領大家討論。」大多數人想到數學比賽時，腦海中可能都浮現這樣的畫面：滿屋子年輕孩子拚命做各種複雜的計算，想比別人更快算出答案。但事實上在高層次的數學比賽中，大多數題目都不需要太多

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前言

計算。要解開這類難題必須能精妙地掌握數學概念，從熟悉的概念衍生出新方向。到了這個階段，學校教的數學方程式已經不敷應用，卓越的解題高手必須有創意、夠大膽，還要覺得解題很好玩。數學競賽比較像玩遊戲，玩一種心智遊戲，而不是測驗。國際數學奧林匹亞競賽的結構正反映了考題的性質。隨著年代不同，各國代表隊的人數曾經過多次調整，早年每隊有八名成員，而從 1983 年開始變成每隊六人，但是比賽形式始終沒有改變。在競賽的頭一天，每位參賽者都會拿到一張紙，上面列了三個題目，每位參賽者可以花四個半小時解題。第二天，他們同樣又有四個半小時來解其他三個題目。此外，參賽者並非一抵達主辦城市隨即展開比賽，因為各隊領隊必須先開會決定選擇哪些題目作為競賽題目。在愛爾福特市舉行的那次競賽，參賽隊伍有四天的時間遊覽市區和互相認識。藍德說：「真是太有趣了──結果和我們最相似、最合得來的隊伍是蘇聯代表隊，所以我們經常和蘇聯人混在一起，想出各式各樣的惡作劇。我們在東德比賽，而當時蘇聯人覺得東德是他們的領土，因此他們不會惹上任何麻煩。我記得很清楚，我們爬到宿舍頂樓，朝下面街道丟水球。蘇聯人在家鄉或許不敢這麼放肆，但在東德卻會這麼做。」 1974 年 7 月 8 日，參加第十六屆國際數學奧林匹亞競賽的十八支隊伍，全都聚集在當地一所大學進行測驗。結果證明，對美國隊的種種疑慮根本毫無必要，因為藍德和他的隊友最後得到亞軍，只落後蘇聯代表隊幾分而已。

數學高手就是天才嗎？本書的故事談的是 2001 年的第四十二屆國際數學奧林匹亞

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競賽，競賽地點在喬治梅森大學（George Mason University），位於美國維吉尼亞州緊臨華府的菲爾費克斯市。從 1974 年以來，奧林匹亞競賽的規模擴大了很多。第四十二屆奧林匹亞競賽的參賽者總共有 500 名，分別來自八十三個國家，而 1974 的第十六屆年只有 125 名參賽者（2001 年之前唯一在美國舉行的數學奧林匹亞競賽是 1981 年那屆，也只有 150 名參賽者）。2001 年，蘇聯代表隊已分裂為俄羅斯、拉脫維亞、哈薩克和其他前共和國代表隊；還有來自南美洲和非洲的隊伍，阿根廷、巴西、哥倫比亞、巴拉圭、祕魯、烏拉圭、委內瑞拉、摩洛哥、突尼西亞和南非都派代表隊參加競賽；此外還有幾支東亞的隊伍，例如澳門、香港和菲律賓代表隊。可以想見，第四十二屆數學奧林匹亞參賽者之間有很大的文化差異，最明顯的就是，單單參賽者說的語言就有五十種之多。但一般而言，奧林匹亞參賽者都相處得非常好，大多數人至少都懂一點點英文，因為英文已經成為全球高等數學界使用的共同語言。孩子們立刻開始在宿舍區的院子裡踢足球，而在競賽期間，足球賽隨著數學賽程一直斷斷續續進行著。參賽者也分享彼此的 CD 和電玩、比較各國代表隊的國手選拔方式，並且抱怨大學餐廳的食物很難吃。美國代表隊的隊員完全融入這一群講話滔滔不絕、精力旺盛、好勝心強的年輕數學高手之中。他們和過去的美國代表隊沒什麼兩樣，有五位剛從高中畢業，一位九月要升上高一。其中三個人的童年時期曾經在舊金山灣區住過一段時間，兩位來自新澤西州，一位住在波士頓郊區。有三名隊員是運動健將，另外三位則除了玩飛盤之外很少參與其他體育活動。所有的隊員至少從中學時代開始就經常參加數學競賽。

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前言

如果你在餐廳、圖書館或街上遇到這幾位美國隊成員，你不會覺得他們有什麼特別之處。他們彼此交談時說話速度很快、聊得很起勁，有時候會談數學問題，但通常都在聊其他話題。他們非常熱中於各式各樣的遊戲，喜歡聽音樂、吃披薩和看電影。但是這些孩子的確很特別。他們是經過最激烈的篩選後脫穎而出的高中生。美國每年都會舉行一系列數學競賽，美國公私立高中一千五百多萬名學生中，大約有五十萬人會參加第一輪比賽，最後從中挑選出參加國際競賽的代表隊。經由這個過程挑選出來的六名高中生，是同齡青少年中最厲害的解題高手。也許有些孩子懂的數學和他們一樣多，但沒機會像他們一樣接受奧林匹亞代表隊的嚴格集訓。奧林匹亞代表隊的隊員為什麼能成為這麼厲害的解題高手？有人會把他們的才能歸功於天賦，說他們的成就實在太突出了，令人費解。事實上，將難以理解的成就歸因於「天才」（genius）已經有漫長歷史。在古羅馬時代，「 Genius」是人類的守護神，每個人一出生就和自己的守護神有著緊密關係，性格、行為與命運都受祂影響。人們在生日時祭拜祂，期望神靈會為他帶來世俗的成功和智識的力量。在現代社會中，「天才」則通常意謂著超自然的力量。稱呼某人「天才」就暗示他在某些方面異於常人，擁有別人沒有的經驗或思想。從這個觀點看，套用哈佛大學教授嘉伯（Marjorie Garber）的話來說，天才「在後啟蒙時代幾乎等同於聖人」。即使最冷靜的頭腦都可能受到這種思考模式所誤導。康乃爾大學數學家凱克（Mark Kac）在描述物理學家費曼（Richard Feynman, 1918-1988）的成就時，曾經如此形容費曼與眾不同之處，他的說法後來廣為周知：

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世上有兩種天才，即「一般的天才」和「神奇的天才」。你我如果比現在優秀幾倍，都有可能達到一般天才的境界。這類天才的心智運作沒有什麼神祕難解之處，一旦了解他們的成就，我們就有把握自己也辦得到。至於神奇天才就不同了……我們完全不清楚他們的心智究竟如何運作，即使能充分理解他們的成就，但他們究竟怎麼辦到的，對我們來說，仍然是個謎。

凱克的說法令人迷惑，但他的說法其實不過重複了古羅馬的「神靈說」罷了。某些心智運作模式果真如此深奧難解嗎？還是偉大的成就其實根植於日常思考和想像？我們能藉由分析藝術和科學的重大進展來參透這些根源嗎？還是某些經驗領域藏身於「天才」的神祕面紗之後，是常人完全無法理解的？由於「天才」的涵義相當複雜，要解答上述問題就更加困難。在現代語彙中，「天才」這個詞往往用得太浮濫。人們會說，某個政治人物是很懂得討好選民的天才；報紙為成功的足球教練貼上「運動天才」的標籤；室內設計師、廣告文案撰稿人、房地產商和鄉村歌手也全被冠上「天才」二字。在中學生口中，「天才」則變成嘲諷別人的用語，他們用這兩個字來嘲笑數學高手、熱中寫作的文藝青年或比較用功的學生。即使是成人，被冠上「天才」稱號時都感到很不自在。這兩個字似乎變成人們不想要的負擔，預示著難以滿足的過度期望。美國奧林匹亞代表隊成員並不認為自己是天才。他們出奇地擅長解開極度困難的數學題目，因此從這個角度而言，他們算是神童，因為他們都在年紀很輕的時候就有傑出的表現。但他們當然不是人們眼中的荷馬、阿基米德、莎士比亞、林布蘭、牛頓、莫札特或愛因斯坦這類天才。

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前言

儘管如此，奧林匹亞代表隊的隊員確實都擁有天才的某些特質：他們和歷史上眾多偉大的開創者一樣，能運用洞察力、非凡的才華和創意，為令人困惑的問題找出原創的解決方案。他們展現強烈的好勝心、寬廣的視野和濃厚的好奇心，因此能達到超乎常人的成就。藉著觀察這群奧林匹亞代表隊成員如何解決數學問題，我們至少可以從中一窺能夠造就人類偉大突破的特質。

數學家不是瘋子，就是怪胎？本書除了探討人類的非凡成就之外，也是一本關於數學家的書。近來數學家頗受社會大眾矚目，成為許多熱門電影的主人翁，例如《心靈捕手》（Good Will Hunting）、《美麗境界》（A Beautiful Mind）等，而且也是幾部頗受好評之戲劇和小說的要角，例如《證明我愛你》（Proof）、《遇見哥德巴赫猜想》（Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture）。普林斯頓大學數學家威爾斯（Andrew Wiles）在 1994 年解開有名的數學難題，即所謂的「費馬最後定理」，這甚至啟發了劇作家的靈感，在 2001 年推出音樂劇《費馬的最後探戈》（Fermat's Last Tango）。數學家如此受到矚目其實福禍參半。好幾部影劇作品都把數學家描繪為傻瓜、書呆子或瘋子。美國南卡羅萊納州查爾斯頓學院（College of Charleston）的數學家卡斯曼（Alex Kasman）設了一個網站，專門評論與數學相關的幾百部虛構作品，他指出：「近來許多與數學相關的小說都把數學家描繪成瘋子。當然有些數學家確實罹患精神疾病，就好像其他行業也有人罹患精神疾病一樣，但是小說中數學家和精神疾病的緊密關係，會加深一般人心目中不公平的刻板印象，認為兩者之間有密切關聯。我在看《美麗境界》的時候，當電影演到納許（John Nash）深受精神疾

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病所苦時，我聽到背後有個女人說：『我真高興自己不是天才。』」卡斯曼說，描繪數學家的小說還充斥著其他刻板印象。他們偶爾會把數學家刻劃成浮誇古怪的科學家，就好像電影《侏羅紀公園》中由傑夫•高布倫（Jeff Goldblum）飾演的「混沌理論專家」。在其他作品中，數學家又變得沉悶而壓抑，例如鮑伊（William Boyd）的小說《布拉薩海灘》（Brazzaville Beach）那個最後發狂的丈夫。電影觀眾或小說讀者看到的數學家，幾乎都不是可以在聚會中一起愉快聊天的對象。卡斯曼表示：「我猜小說家都不想描寫普通人，難怪小說或電影中的數學家幾乎都不是單純只喜歡數學的普通人。但是由於大多數人都不認識數學家，因此對數學家的觀感深受這些虛構人物的影響。其實根據我的親身經驗，數學家和從事其他行業的人沒有兩樣。」有人注意到，劇作家和暢銷小說家描寫其他行業時也同樣喜歡塑造刻板印象，甚至連描繪自己的行業都不例外。但是數學家忍氣吞聲已經很久了。早在公元前五世紀，在希臘劇作家阿里斯多芬尼士（Aristophanes, 448-380BC）的戲劇《鳥》（The Birds）中，有個叫梅頓（Meton）的幾何學家抵達雅典人美克多創建的城市，宣布他打算「測量空間，並將它分為不同區塊」。當地民眾怒斥他為「騙子」，痛打他一頓後把他趕走。珍．奧斯汀在 1815 年出版的小說《愛瑪》（Emma）中問道：語言學家、文法學家或「甚至數學家」是不是根本不懂熱戀的滋味？在美國中學校園，大家對數學高手的刻板印象又有些不同。他們被視為怪胎──和周遭環境格格不入、四肢不發達、只對數學和其他古怪科目有興趣。電視節目和電影則喜歡把他們刻劃成穿著邋遢、笨手笨腳、擅長寫電腦程式但交不到女友的男生。奧林匹亞隊的成員則打破了這些極端不公平的刻板印象。他

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前言

們並非每個人都對電腦、科學或《星艦迷航記》（Star Trek）有興趣，有的人甚至聲稱自己計算能力不太好，至少不如其他隊員；事實上，他們有許多特質乍看之下似乎與數學相抵觸。不過，他們能夠深入洞察手上正在解決的題目、有驚人的創造力、能以近乎宗教般的熱情體察抽象概念之美，而且能充分結合這些特質，發揮增強效果（不過在這本書中，我針對每位隊員或每一道數學題目時，只探討其中一項特質）。這幾位奧林匹亞選手都不太符合一般人對數學家的刻板印象。我們可以從個別的角度來了解和欣賞他們每一位。

欣賞數學之美最後，這是一本關於數學的書，是關於數學的複雜性、不可思議的效能，以及令人驚嘆的美。許多人以為研究高等數學需要超乎常人的思考，運用的是一般人不可能理解的邏輯和概念。許多數學家卻不認同這種想法。他們認為，數學是一種循序漸進的過程，從每個人小時候學到的形狀和數字，一直連結到最尖端的數學研究。只不過許多行業到了某個階段，新手都必須在技巧或成就方面有所突破，例如第一次真正親手駕駛飛機或為一班吵鬧的孩子上課。而數學則與這些行業不同。探討藝術的著作必須包含藝術創作的圖片，關於烹飪的書籍裡面自然少不了食譜；同樣的，關於解題的書應該要有幾題數學題目。許多人翻開書頁，一看到幾何圖形或方程式，直接的反應都是：「噢，天哪，千萬不要是數學！」我完全可以理解讀者的反應，會有這種反應主要是因為我們過去上的數學課多半很沉悶，因此大家總覺得「數學從來都不是我的拿手科目」，而且只有少數天資聰穎的學生才懂數學。

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本書列出六個奧林匹亞數學競賽的題目，也許應該當做延伸閱讀的例子，而非故事的核心，即使跳過不讀或只是略讀都沒關係，因為即使沒有徹底了解這些題目，仍然可以欣賞奧林匹亞選手們傑出的數學能力。曾經有人問英國動物學家祖克曼（Sir Solly Zuckerman, 1904-1993），他讀科學論文時如果看到數學公式都怎麼辦，祖克曼回答：「我就用哼的。」但其實，只要懂得計算貸款數字或棒球打擊率的人都有辦法了解本書所列的數學題目。奧林匹亞競賽的出題範圍原本就只包含中學生學過的數學，並不要求參賽者具備大學才教的數學知識（例如微積分）。正因為和學過更多數學的大學生比起來，高中生掌握的解題工具並不多，所以大家才認為奧林匹亞競賽是全世界最困難的數學競賽。其實許多奧林匹亞選手想出來的解題方法還滿容易描述的。第一天測驗的三道題目，本書的各個章節提供了相當完整的解答，後面的附錄會再補充一些相關細節。第二天的三道考題比較複雜，因此各章節只約略說明解答，附錄中才會提供更詳細的解題方式。計算這些題目可能要花一些時間（雖然討論國際關係、政治問題或飲食科學通常更加複雜），不過你的心血不會白費。正如同美國數學家紐曼（James Newman）在他的經典文集《數學的世界》（The World of Mathematics）所說：「隨著證明步驟一步步往前推進，直到終於得證時，心中充滿無比的喜悅，彷彿前所未有的發現般，是一種創造的過程。」就好像任何人即使不是畫家、作曲家或籃球球員，一旦看到偉大的畫作、優美的音樂或閃電般的灌籃動作都會發出驚嘆一樣，同樣的，每個人都能欣賞優雅的數學題目和解題方式的力與美。那是人類心智的傑作，就和所有的創作同樣神祕且啟迪人心。

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