Kutasi Dénes Nimród - Márton László Ferenc: Rendszerelmélet. Laboratóriumi gyakorlatok

www.scientiakiado.ro www.facebook.com/ScientiaKiado

KUTASI DÉNES NIMRÓD MÁRTON LÁSZLÓ FERENC RENDSZERELMÉLET LABORATÓRIUMI GYAKORLATOK

SAPIENTIA ERDÉLYI MAGYAR TUDOMÁNYEGYETEM MŰSZAKI ÉS HUMÁNTUDOMÁNYOK KAR, MAROSVÁSÁRHELY VILLAMOSMÉRNÖKI TANSZÉK

KUTASI DÉNES NIMRÓD MÁRTON LÁSZLÓ FERENC

RENDSZERELMÉLET LABORATÓRIUMI GYAKORLATOK

Scientia Kiadó Kolozsvár · 2010

A kiadvány megjelenését támogatta:

Lektor: Sisak Ferenc (Brassó)

Sorozatborító: Miklósi Dénes

Első magyar nyelvű kiadás: 2010 © Sapientia 2010 Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a nyilvános előadás, a rádió- és televízióadás, valamint a fordítás jogát, az egyes fejezeteket illetően is.

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României KUTASI DÉNES, NIMRÓD Rendszerelmélet: laboratóriumi gyakorlatok / Kutasi Dénes Nimród, Márton László Ferenc. - Cluj-Napoca: Scientia, 2010 ISBN 978-973-1970-40-0 I. Márton László, Ferenc 681.5

TARTALOMJEGYZÉK

Előszó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 I. gyakorlat MATLAB bevezető . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 II. gyakorlat Jelek tanulmányozása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Alapműveletek jelekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 A jelek értelmezési tartományát módosító műveletek . . . . . . . . . . 42 III. gyakorlat Konvolució tanulmányozása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 IV. gyakorlat Fizikai rendszerek modellezése, átviteli függvény . . . . . . . . . . . . . 57 V. gyakorlat Frekvenciafüggvény, Nyquist-diagram, Bode-diagram . . . . . . . . . . 67 VI. gyakorlat Lineáris rendszerek stabilitása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Relatív stabilitás, fázistartalék, erősítéstartalék. . . . . . . . . . . . . . . . 80 VII. gyakorlat Lineáris rendszerek stabilitásának vizsgálata a gyökhely-görbe módszerrel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 VIII. gyakorlat Diszkrét rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 IX. gyakorlat Rendszer-szimuláció – Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 X. gyakorlat Állapotteres leírás. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 XI. gyakorlat Az állapotegyenletek megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 XII. gyakorlat Sajátérték, sajátvektor, modális transzformáció, Jordan alak, Cayley–Hamilton-tétel alkalmazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 XIII. gyakorlat Lineáris rendszerek irányíthatósága, megfigyelhetősége, kanonikus alakok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 XIV. gyakorlat Diszkrét állapotteres leírás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6

TARTALOMJEGYZÉK

I. függelék Összefoglaló feladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 II. függelék Elméleti összefoglaló. Román és angol nyelvű terminológia . . . . 179 III. függelék Laplace és Z transzformált táblázatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Szakirodalom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Rezumat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 A szerzőkről . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

CONTENTS

Foreword . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Class Work I. Introduction to MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Class Work II. Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Basic operations with signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Operator to modify the reference domain of a signal . . . . . . . . . . . 42 Class Work III. Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Class Work IV. Mathematical model of LTI systems. Transfer function . . . . . . . . . 57 Class Work V. Frequency domain analyzes. Nyquist diagram. Bode diagram . . . . 67 Class Work VI. The stability of linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Relative stability, gain margin, phase margin . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Class Work VII. The stability of linear systems – the root locus method . . . . . . . . . 87 Class Work VIII. Discrete time systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Class Work IX. System diagrams. MATLAB SIMULINK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Class Work X. State-space representation of LTI systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Class Work XI. The solution of the state-space equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Class Work XII. Matrix transformations. Modal transformation, Jordan form, application of Cayley-Hamilton’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Class Work XIII. Observability and controllability of LTI systems.

Canonical forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Class Work XIV. State-space representation of discrete time linear systems . . . . . 151

8

CONTENTS

Appendix I. Solved examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Appendix II. Theoretical overview. Romanian terminology.

English terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Appendix III. Laplace and Z transformation tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Rezumat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 About the authors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

CUPRINS

Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Lucrarea I. Introducere MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Lucrarea II. Studiul semnalelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Operaţii elementare cu semnale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Operatori de transformare ai domeniului de definiţie . . . . . . . . . . 42 Lucrarea III. Convoluţia semnalelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Lucrarea IV. Modelarea matematică a sistemelor. Funcţia de transfer . . . . . . . . 57 Lucrarea V. Studiul în domeniul frecvenţă. Diagrama Nyquist.

Diagrama Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Lucrarea VI. Stabilitatea sistemelor liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Stabilitatea relativă, marginea de fază, marginea de amplificare . . . . 80 Lucrarea VII. Studiul stabilităţii sistemelor liniare cu metoda Locul rădăcinilor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Lucrarea VIII. Sisteme eşantionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Lucrarea IX. Simularea sistemelor cu diagrame de simulare.

MATLAB SIMULINK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Lucrarea X. Descrierea sistemelor în spaţiul stărilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Lucrarea XI. Soluţia ecuaţiilor de stare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Lucrarea XII. Transformări matriciale pentru rezolvarea ecuaţiilor de stare.

Transformarea modală, forma Jordan, aplicarea teoremei Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

10

CUPRINS

Lucrarea XIII. Observabilitatea şi controlabilitatea sistemelor liniare.

Forme canonice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Lucrarea XIV. Descrierea sistemelor eşantionate în spaţiul stărilor. . . . . . . . . . . 151 Anexa I. Problemă de sinteză . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Anexa II. Sinteza noţiunilor teoretice. Terminologia în limba română.

Terminologia în limba engleză . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Anexa III. Tabele cu transformări Laplace şi Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Rezumat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Despre autori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

ELŐSZÓ A Rendszerelmélet – laboratóriumi gyakorlatok útmutató a műszaki oktatásban részt vevő és rendszertechnikát elsajátító diákok számára, elméleti és gyakorlati segédanyag MATLAB gyakorlatok elvégzéséhez. A könyv 14 gyakorlaton keresztül szemlélteti a jelek és rendszerek témakör alapjait, minden gyakorlat elméleti bevezetővel és megoldott feladattal segíti azok elvégzését. A könyvben tárgyalt főbb témák között szerepel a jelek tanulmányozása, konvolució tanulmányozása, lineáris időben állandó paraméterű rendszerek matematikai modellezése, időtartománybeli és frekvenciatartománybeli analízise, stabilitásvizsgálata. Részletesen tárgyalja a könyv az állapotteres modellezés elvén alapuló rendszer-szimulációs módszereket, valamint az időtartománybeli vizsgálati módszereket, az állapotegyenletek megoldását, az irányíthatóság és megfigyelhetőség fogalmait és ezek gyakorlati jelentőségét.

A könyv függelékében egy összefoglaló feladaton keresztül áttekinthető a gyakorlatok jelentősége, román és angol nyelvű terminológia, és hasznos táblázatok egészítik ki az ismertetett elméleti anyagot.

A szerzők

www.scientiakiado.ro www.facebook.com/ScientiaKiado

SZAKIRODALOM

ASTROM, K.J.–WITTENMARK, B. 1994 Adaptive Control. Addison Wesly Publishing Company, Second edition.

BISHOP, Robert H. 1997 Modern Control Systems Analysis & Design Using MATLAB & Simulink. Addison Wesley.

CSÁKI F. 1976 Lineáris szabályzási rendszerek analízise. Műszaki Kiadó.

FIREŢEANU, V.–GHINEA, M. 2001 MATLAB, Editura Teora.

FODOR György 1996 Jelek és rendszerek. Budapesti Műszaki Egyetem, Villamosmérnöki és Informatikai Kar. HUJTER Mihály Betekintés a MATLAB programrendszerbe – http://people.inf.elte.hu/urbankri/Numanal/matlab.pdf.

LARMINAT, Philippe de 2007 Analysis and Control of Linear Systems. ISTE Ltd. MÁRTON László Ferenc 2007 Jelek és rendszerek. Scientia Kiadó, Kolozsvár.

THE MATHWORKS, INC. 2000 Control system toolbox: for use with MATLAB: getting started. version 5.

2005 Learning MATLAB – http://www.mathworks.com/academia/ student_version/learnmatlab_sp3.pdf.

WILSON, J. Rugh 1996 Linear system theory. Prentice Hall – Upper Saddle River, N.J.

ABSTRACT

This work is for students and specialists interested in expressions related to signals and systems theory. This book is a collection of 14 exercises strongly related to the chapters dealing with general systems theory. The introduction of each work class is about the theoretical background of the notions to be treated. Solved problems in connection with the basic subject of the exercises are presented. The main subjects discussed are: elementary study of signals and basic operations with them, signal convolution, linear models of systems, system’s study in frequency domain, stability of linear, time invariant systems. This book considers the state space representation of systems, the way of getting the state space equations, solution of state space systems and the observability and controllability of them. It is an important fact, that the continuous and discrete way of considering a system is present in this processing.

This book has three appendages, one for synthesis type of exercises, one for Romanian terminology and English terminology the third about the tables of Laplace and Z transforms.

REZUMAT

Lucrarea de faţă este destinată studenţilor şi specialiştilor interesaţi de noţiunile fundamentale din domeniul semnalelor şi al sistemelor. Cartea prezintă, prin 14 lucrări practice, bazele teoriei sistemelor, lucrările având introducerea teoretică şi probleme rezolvate pentru fiecare subiect tratat. Principalele subiecte tratate sunt: studiul semnalelor, convoluţia semnalelor, modelarea matematică a sistemelor lineare, analiza în domeniul timp, analiza în domeniul frecvenţă, stabilitatea sistemelor lineare.

Cartea abordează în detaliu metoda modelării în spaţiul stărilor, rezolvarea ecuaţiilor de stare, observabilitatea şi controlabilitatea sistemelor liniare. Subiectele tratate sunt prezentate pentru sisteme continue şi sisteme eşantionate.

Cartea conţine trei anexe, acestea prezintă o problemă de sinteză, terminologia în limba română şi limba engleză, tabele cu transformări Laplace şi Z.

A SZERZŐKRŐL

Kutasi Dénes Nimród 1975-ben született Marosvásárhelyen. Egyetemi tanulmányait a marosvásárhelyi Petru Maior Egyetemen végezte automatika és ipari informatika szakon. Doktori fokozatot a Kolozsvári Műszaki Egyetemen szerzett. Kutatási területe a digitális jelfeldolgozás, mikrovezérlős rendszerek és modell alapú prediktív szabályozások.

Jelenleg a Sapientia Erdélyi Magyar Tudományegyetem Műszaki és Humántudományok Kara Villamosmérnöki Tanszékének adjunktusa.

Márton László Ferenc 1951-ben született Csíkszeredában. Egyetemi tanulmányait a Temesvári Műszaki Egyetemen és a kolozsvári Babeş–Bolyai Tudományegyetemen végezte, számítástechnika, valamint matematika szakon. Doktori fokozatot a Temesvári Műszaki Egyetemen szerzett.

Jelenleg a Sapientia Erdélyi Magyar Tudományegyetem Műszaki és Humántudományok Kara Villamosmérnöki Tanszékének docense.

A fő kutatási területe a mesterséges intelligencia és az általános rendszerelmélet.

A SAPIENTIA ERDÉLYI MAGYAR TUDOMÁNYEGYETEM JEGYZETEI

Megjelent: BEGE ANTAL Számelméleti feladatgyûjtemény. Marosvásárhely, Mûszaki és Humán Tudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2002.

BEGE ANTAL Számelmélet. Bevezetés a számelméletbe. Marosvásárhely, Mûszaki és Humán Tudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2002.

VOFKORI LÁSZLÓ Gazdasági földrajz. Csíkszereda, Csíkszeredai Kar, Gazdaságtan Tanszék. 2002.

TÕKÉS BÉLA–DÓNÁTH-NAGY GABRIELLA Kémiai elõadások és laboratóriumi gyakorlatok. Marosvásárhely, Mûszaki és Humán Tudományok Kar, Gépészmérnöki Tanszék. 2002.

IRIMIAŞ, GEORGE Noþiuni de foneticã ºi fonologie. Csíkszereda, Csíkszeredai Kar, Humán Tudományok Tanszék. 2002.

SZILÁGYI JÓZSEF Mezõgazdasági termékek áruismerete. Csíkszereda, Csíkszeredai Kar, Gazdaságtan Tanszék. 2002.

NAGY IMOLA KATALIN A Practical Course in English. Marosvásárhely, Mûszaki és Humán Tudományok Kar, Humán Tudományok Tanszék. 2002.

BALÁZS LAJOS Folclor. Noþiuni generale de folclor ºi poeticã popularã. Csíkszereda, Csíkszeredai Kar, Humán Tudományok Tanszék. 2003.

POPA-MÜLLER IZOLDA Mûszaki rajz. Marosvásárhely, Mûszaki és Humán Tudományok Kar, Gépészmérnöki Tanszék. 2004.

FODORPATAKI LÁSZLÓ–SZIGYÁRTÓ LÍDIA–BARTHA CSABA Növénytani ismeretek. Kolozsvár, Természettudományi és Művészeti Kar, Környezettudományi Tanszék. 2004.

MARCUŞ, ANDREI–SZÁNTÓ CSABA–TÓTH LÁSZLÓ Logika és halmazelmélet. Marosvásárhely, Műszaki és Humán Tudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2004.

KAKUCS ANDRÁS Műszaki hőtan. Marosvásárhely, Műszaki és Humán Tudományok Kar, Gépészmérnöki Tanszék. 2004.

BIRÓ BÉLA Drámaelmélet. Csíkszereda, Gazdasági és Humántudományok Kar, Humántudományi Tanszék. 2004.

BIRÓ BÉLA Narratológia. Csíkszereda, Gazdasági és Humántudományok Kar, Humántudományi Tanszék. 2004.

MÁRKOS ZOLTÁN Anyagtechnológia. Marosvásárhely. Műszaki és Humán Tudományok Kar, Gépészmérnöki Tanszék. 2004.

GRECU, VICTOR Istoria limbii române. Csíkszereda, Gazdasági és Humántudományok Kar, Humántudományi Tanszék. 2004.

VARGA IBOLYA Adatbázis-kezelő rendszerek elméleti alapjai. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2004.

CSAPÓ JÁNOS Biokémia. Csíkszereda, Műszaki és Társadalomtudományi Kar, Műszaki és Természettudományi Tanszék. 2004.

CSAPÓ JÁNOS–CSAPÓNÉ KISS ZSUZSANNA Élelmiszerkémia. Csíkszereda, Műszaki és Társadalomtudományi Kar, Műszaki és Természettudományi Tanszék. 2004.

KÁTAI ZOLTÁN Programozás C nyelven. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2004.

WESZELY TIBOR Analitikus geometria és differenciálgeometria. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2005.

GYÖRFI JENŐ A matematikai analízis elemei. Csíkszereda, Gazdaság- és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2005.

FINTA BÉLA–KISS ELEMÉR–BARTHA ZSOLT Algebrai struktúrák – feladatgyűjtemény. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2006.

ANTAL MARGIT Fejlett programozási technikák. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2006.

CSAPÓ JÁNOS–SALAMON ROZÁLIA Tejipari technológia és minőségellenőrzés. Csíkszereda, Műszaki és Társadalomtudományok Kar, Élelmiszertudományi Tanszék. 2006.

OLÁH-GÁL RÓBERT Az informatika alapjai közgazdász- és mérnökhallgatóknak. Csíkszereda, Gazdaság- és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2006.

JÓZON MÓNIKA Általános jogelméleti és polgári jogi ismeretek. Csíkszereda, Gazdaság- és Humántudományok Kar, Üzleti Tudományok Tanszék. 2007.

KÁTAI ZOLTÁN Algoritmusok felülnézetből. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2007.

CSAPÓ JÁNOS–CSAPÓNÉ KISS ZSUZSANNA–ALBERT CSILLA Élelmiszer-fehérjék minősítése. Csíkszereda, Műszaki és Társadalomtudományi Kar, Élelmiszertudományi Tanszék. 2007. ÁGOSTON KATALIN–DOMOKOS JÓZSEF–MÁRTON LŐRINC Érzékelők és jelátalakítók. Laboratóriumi útmutató. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Villamosmérnöki Tanszék. 2007.

SZÁSZ RÓBERT Komplex függvénytan. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2007.

KAKUCS ANDRÁS A végeselem-módszer alapjai. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Gépészmérnöki Tanszék. 2007.

ANTAL MARGIT Objektumorientált programozás. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2007.

MAJDIK KORNÉLIA–TONK SZENDE-ÁGNES Biokémiai alkalmazások. Kémiai laboratóriumi jegyzet. Kolozsvár, Természettudományi és Művészeti Kar, Környezettudományi Tanszék. 2007.

GYÖRFI JENŐ–ANDRÁS SZILÁRD Valószínűségszámítás és lineáris programozás. A játékelmélet alapjai. Csíkszereda, Gazdaság- és Humántudományok Kar, Matematika és Informatika Tanszék. 2007.

DIMÉNY GÁBOR Minőségirányítási rendszerek. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Kertészmérnöki Tanszék. 2008.

ZSIGMOND ANDREA Minőségi és mennyiségi analitikai kémia laborkönyv. Kolozsvár, Természettudományi és Művészeti Kar, Környezettudományi Tanszék. 2008.

KÁTAI ZOLTÁN Gráfelméleti algoritmusok. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2008.

CSAPÓ JÁNOS–ALBERT CSILLA–CSAPÓNÉ KISS ZSUZSANNA Élelmiszer-analitika. Válogatott fejezetek. Csíkszereda, Műszaki és Társadalomtudományi Kar, Élelmiszertudományi Tanszék. 2008.

MÁRTON GYÖNGYVÉR Kriptográfiai alapismeretek. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2008.

NAGY IMOLA KATALIN A guidebook to Language Exams. English for Human Sciences. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Humántudományok Tanszék. 2008.

GAGYI JÓZSEF Örökség és közkapcsolatok (PR). Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Humántudományok Tanszék. 2008.

FODOR LÁSZLÓ Szociálpedagógia. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Humántudományok Tanszék. 2008.

FODORPATAKI LÁSZLÓ–SZIGYÁRTÓ LÍDIA–BARTHA CSABA Növénytani ismeretek. Kolozsvár, Természettudományi és Művészeti Kar, Környezettudományi Tanszék. 2009.

MURÁDIN JÁNOS KRISTÓF Nemzetközi kapcsolatok elmélete. Kolozsvár, Természettudományi és Művészeti Kar, Európai Tanulmányok Tanszék. 2009.

BIRÓ GÉZA–SALAMON ROZÁLIA VERONIKA Élelmiszer-biztonság. Csíkszereda, Műszaki és Társadalomtudományi Kar, Élelmiszertudományi Tanszék. 2009.

ANTAL MARGIT Java alapú webtechnológiák. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2009.

PÁL LÁSZLÓ–MÁTÉ SZILÁRD Alkalmazásfejlesztés Delphiben. Csíkszereda, Gazdaság- és Humántudományok Kar, Gazdaságtudományi Tanszék. 2009.

AMBRUS ZOLTÁN–GERGELY ORSOLYA Családszociológia. Csíkszereda, Műszaki és Társadalomtudományi Kar, Társadalomtudományi Tanszék. 2009.

LÁZÁR EDE Kutatásmódszertan a gyakorlatban az SPSS program használatával.

Csíkszereda, Gazdaság- és Humántudományok Kar, Üzleti Tudományok Tanszék. 2009.

Bálint Gyöngyvér Statisztika. Csíkszereda, Műszaki és Társadalomtudományi Kar, Társadalomtudományi Tanszék. 2009.

Gagyi József Fogyasztói magatartás. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Humántudományok Tanszék. 2009.

KOVÁCS D. LEHEL ISTVÁN Számítógépes grafika. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2009.

TÓDOR ERIKA MÁRIA Predarea-învăţarea limbii române ca ne-maternă. O alternativă a lingvisticii aplicate. Csíkszereda, Gazdaság- és Humántudományok Kar, Humántudományok Tanszék. 2009.

GYÖRGY ÉVA Általános mikrobiológia. Csíkszereda, Műszaki és Társadalomtudományi Kar, Élelmiszertudományi Tanszék. 2009.

PAPP ISTVÁN Mechanizmusok elmélete. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Gépészmérnöki Tanszék. 2010.

Gászpor Réka Bevezetés a kommunikációelméletbe. A kommunikáció jelensége.

Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Humántudományok Tanszék. 2010.

A PARTIUMI KERESZTÉNY EGYETEM JEGYZETEI

Megjelent: KOVÁCS ADALBERT Alkalmazott matematika a közgazdaságtanban. Lineáris algebra. Nagyvárad, Alkalmazott Tudományok Kar, Közgazdaságtan Tanszék. 2002.

HORVÁTH GIZELLA A vitatechnika alapjai. Nagyvárad, Bölcsészettudományi Kar, Filozófia Tanszék. 2002.

ANGI ISTVÁN Zeneesztétikai elõadások. Nagyvárad, Alkalmazott Tudományok Kar, Zenepedagógiai Tanszék. 2003.

PÉTER GYÖRGY–KINTER TÜNDE–PAJZOS CSABA Makroökonómia. Feladatok. Nagyvárad, Alkalmazott Tudományok és Mûvészetek Kar, Közgazdaságtan Tanszék. 2003.

ANGI ISTVÁN Zeneesztétikai előadások. II. Nagyvárad, Alkalmazott Tudományok Kar, Zenepedagógiai Tanszék. 2005.

TONK MÁRTON Bevezetés a középkori filozófia történetébe. Nagyvárad, Bölcsészettudományi Kar, Filozófia Tanszék. 2005.

Scientia Kiadó 400112 Kolozsvár (Cluj-Napoca) Mátyás király (Matei Corvin) u. 4. sz.

Tel./fax: +40-264-593694 E-mail: scientia@kpi.sapientia.ro www.scientiakiado.ro Korrektúra: Jancsik Pál Mûszaki szerkesztés: Dobos Piroska Tipográfia: Könczey Elemér Készült a Gloria nyomdában 200 példányban Igazgató: Nagy Péter

www.scientiakiado.ro www.facebook.com/ScientiaKiado