Kupán Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai

KUPÁN A. PÁL LINEÁRIS ALGEBRA ÉS ALKALMAZÁSAI

SAPIENTIA ERDÉLYI MAGYAR TUDOMÁNYEGYETEM MAROSVÁSÁRHELYI KAR MATEMATIKA-INFORMATIKA TANSZÉK

KUPÁN A. PÁL

LINEÁRIS ALGEBRA ÉS ALKALMAZÁSAI

Scientia Kiadó Kolozsvár·2019

Felelős kiadó: Kása Zoltán

Lektor: András Szilárd (Kolozsvár)

Sorozatborı́tó: Tipotéka Kft.

Első magyar nyelvű kiadás: 2019 c Scientia, 2019 Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosı́tás, a nyilvános előadás, a rádióés televı́zióadás, valamint a fordı́tás jogát, az egyes fejezeteket illetően is.

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României KUPÁN, PÁL A. Lineáris algebra és alkalmazásai / Kupán A. Pál. – Cluj-Napoca: Scientia, 2019 Conţine bibliografie ISBN 978-606-975-027-8 51

TARTALOM Előszó

13

1. Vektorgeometria

15

1.1. Vektorok normája

24

1.2. Vektorok skaláris szorzata

27

1.2.1. Alkalmazás : két kör metszete 1.3. Vektorok vektoriális szorzata 1.3.1. Alkalmazás : terület kiszámı́tása koordinátákkal

30 32 37

1.4. Három vektor vegyes szorzata

38

1.5. Az egyenes és a sı́k a térben

41

2. Vektorterek, alterek, bázis

51

2.1. Vektorterek

51

2.2. Alterek

53

2.3. Lineáris függetlenség, bázis

55

2.4. Bázistranszformáció, alkalmazások

62

2.4.1. Bázisellenőrzés

67

2.4.2. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

67

2.4.3. Mátrix inverzének a kiszámı́tása

69

2.4.4. Mátrix rangja

70

2.4.5. Lineáris programozás, a szimplex módszer

71

3. Euklideszi terek

79

3.1. Skaláris szorzat

79

3.2. Norma, távolság, szög

81

3.3. Gram–Schmidt-ortogonalizáció

89

3.4. Alkalmazások

92

3.4.1. QR-faktorizáció

93

3.4.2. Fourier-sor

95

6

TARTALOM

4. Lineáris transzformációk

101

4.1. Izomorfizmusok, lineáris transzformációk kompozı́ciója

106

4.2. Lineáris transzformációk mátrixa

109

4.3. Endomorfizmus mátrixának változása báziscsere esetén

114

4.4. Alkalmazás : geometriai transzformációk a térben

118

5. Sajátérték, sajátvektor

123

5.1. Diagonalizálható endomorfizmusok (mátrixok)

129

5.2. Szimmetrikus mátrixok diagonalizálása

133

5.3. Alkalmazások

137

5.3.1. Mátrix hatványozása, mátrix-exponenciális

137

5.3.2. A Fibonacci-sorozat

140

5.4. Szinguláris felbontás

143

5.4.1. Mátrix közelı́tése alacsony rangú mátrixszal

147

5.4.2. Mátrixok pszeudoinverze

150

6. Bilineáris alakok, négyzetes alakok

153

6.1. Bilineáris alakok

153

6.2. Négyzetes (kvadratikus) alakok

156

6.2.1. Négyzetes alakok kanonikus alakra hozatala

159

6.2.1.1. A Jacobi-módszer

159

6.2.1.2. A Gauss–Lagrange-módszer

162

6.2.1.3. A sajátérték, sajátvektor módszer

163

6.3. Alkalmazás : kúpszeletek

165

6.4. Alkalmazás : szélsőérték-számı́tás

182

6.5. Alkalmazás : konjugált gradiens módszer

187

7. Komplex vektorterek

193

Szakirodalom

205

Kivonat

207

TARTALOM

7

Rezumat

209

Abstract

211

A szerzőről

213

CONTENTS

Preface

13

1. Vector geometry

15

1.1. The norm of a vector

24

1.2. Inner product

27

1.2.1. Application: Intersection of two circles 1.3. Cross product 1.3.1. Application: Computation of area using coordinates

30 32 37

1.4. Mixed product of three vectors

38

1.5. Equations of lines and planes

41

2. Vector spaces, subspaces, and basis

51

2.1. Vector spaces

51

2.2. Subspaces

53

2.3. Linear independence, basis

55

2.4. Change of basis, applications

62

2.4.1. Testing basis

67

2.4.2. Systems of linear equations

67

2.4.3. Inverse of a matrix

69

2.4.4. Rank of a matrix

70

2.4.5. Linear programming, the simplex method

71

3. Normed vector spaces

79

3.1. Inner product

79

3.2. Norm, distance, and angle

81

3.3. Gram–Schmidt orthogonalization

89

3.4. Applications

92

3.4.1. QR factorization

93

3.4.2. Fourier series

95

10

CONTENTS

4. Linear transformations

101

4.1. Isomorphism, composition of linear transformations

106

4.2. The matrix of a linear transformation

109

4.3. The effect of a change of basis on the matrix of an endomorphism

114

4.4. Application: Geometrical transformations in space

118

5. Eigenvalues, eigenvectors

123

5.1. Diagonalization of matrices

129

5.2. Diagonalization of symmetric matrices

133

5.3. Applications

137

5.3.1. The power of a matrix, matrix exponential

137

5.3.2. The Fibonacci sequence

140

5.4. SVD factorization

143

5.4.1. Approximation of matrices with low-rank matrices

147

5.4.2. Pseudoinverse of a matrix

150

6. Bilinear and quadratic forms

153

6.1. Bilinear forms

153

6.2. Quadratic forms

156

6.2.1. Reduction of quadratic form to canonical form

159

6.2.1.1. The Jacobi method

159

6.2.1.2. The Gauss–Lagrange method

162

6.2.1.3. The method of orthogonal transformations

163

6.3. Application: Conic sections

165

6.4. Application: Extrema of functions

182

6.5. Application: The conjugate gradient method

187

7. Complex vector spaces

193

References

205

Abstract

211

CUPRINS

Prefaţă

13

1. Geometrie vectorială

15

1.1. Norma vectorilor

24

1.2. Produs scalar

27

1.2.1. Aplicaţie: intersecţia a două cercuri 1.3. Produs vectorial 1.3.1. Aplicaţie: calculul ariei cu ajutorul coordonatelor

30 32 37

1.4. Produsul mixt a trei vectori

38

1.5. Dreapta şi planul

41

2. Spaţii vectoriale, subspaţii, baze

51

2.1. Spaţii vectoriale

51

2.2. Subspaţii

53

2.3. Independenţa liniară, baze

55

2.4. Transformarea bazei, aplicaţii

62

2.4.1. Verificarea bazei

67

2.4.2. Rezolvarea sistemelor liniare

67

2.4.3. Calculul inversei unei matrice

69

2.4.4. Rangul unei matrice

70

2.4.5. Programare liniară, metoda simplex

71

3. Spaţii euclidiene

79

3.1. Produs scalar

79

3.2. Norma, distanţa, unghiul

81

3.3. Procedeul de ortogonalizare Gram–Schmidt

89

3.4. Aplicaţii

92

3.4.1. Factorizare QR

93

3.4.2. Serii Fourier

95

12

CUPRINS

4. Transformări liniare

101

4.1. Izomorfism, compoziţia transformărilor liniare

106

4.2. Matricea unei transformări liniare

109

4.3. Schimbări de bază

114

4.4. Aplicaţii: transformări geometrice ı̂n spaţiu

118

5. Valori şi vectori proprii

123

5.1. Diagonalizarea endomorfismelor

129

5.2. Diagonalizarea matricelor simetrice

133

5.3. Aplicaţii

137

5.3.1. Calculul puterilor unei matrice

137

5.3.2. Şirul lui Fibonacci

140

5.4. Descompunerea SVD

143

5.4.1. Aproximare cu matrice de rang redus

147

5.4.2. Pseudoinversa unei matrice

150

6. Forme biliniare, forme pătratice

153

6.1. Forme biliniare

153

6.2. Forme pătratice

156

6.2.1. Aducerea la forma canonică

159

6.2.1.1. Metoda lui Jacobi

159

6.2.1.2. Metoda Gauss–Lagrange

162

6.2.1.3. Metoda valorilor-vectorilor proprii

163

6.3. Aplicaţie: conice

165

6.4. Aplicaţie: calculul extremelor

182

6.5. Aplicaţie: metoda gradientului conjugat

187

7. Spaţii vectoriale complexe

193

Bibliografie

205

Rezumat

209

ELŐSZÓ

A lineáris algebra a matematikának az az ága, amelyet nagyon gyakran alkalmaznak mind az informatika, mind a fizika, mérnöki, gazdasági stb. tudományokban is. A széles körben alkalmazott lineáris módszerek annak is köszönhetik meghatározó szerepüket, hogy rengeteg (természeti és nem csak) jelenség lineáris lefolyású, és ezek megoldására nyújt a lineáris algebra megoldási módszereket. Sőt, a nem lineáris jelenségeket is lehet közelı́teni lineáris modellekkel (linearizálás), amit a már ismert módszerekkel megoldhatunk. A számı́tógépek megjelenése és elterjedése nagy lendületet adott a lineáris algebra tanulmányozásának.

A lineáris algebra egyik fontos feladata megoldást adni az Ax = b tı́pusú lineáris egyenletrendszereknek. Az ehhez szükséges alapfogalmakat: mátrix, determináns stb. a diákok a középiskolában már elsajátı́tották. Jelen könyv mérnöki szakos hallgatóknak szól és a középiskolákban tanı́tott lineáris algebra folytatásának tekinthető: általános vektorterek, lineáris transzformációk, négyzetes alakok, sajátértékek-sajátvektorok problémáira, illetve ezeknek az alkalmazásaira fókuszál. Az anyag könnyebb megértése érdekében az elméletet gyakorlati példák egészı́tik ki.

Marosvásárhely, 2018. december

SZAKIRODALOM

ANTON, H.–RORRES, C. 2013 Elementary linear algebra with applications. Wiley.

DAVAADORZSIN, M. 2001 Valós lineáris algebra és lineáris programozás. Budapest, Műszaki Könyvkiadó.

DeFRANZA, J.–GAGLIARDI, D. 2008 Introduction to linear algebra with applications. McGraw-Hill.

DEMMEL, J. W. 1997 Applied numerical linear algebra. SIAM. FADDEEVA, V. N. 1959 Computational methods of linear algebra. New York, Dover.

FINTA B.–KISS E.–BARTHA Zs. 2006 Algebrai struktúrák-feladatgyűjtemény. Kolozsvár, Scientia Kiadó.

FREUD R. 2001 Lineáris algebra. Budapest, ELTE Eötvös Kiadó.

FORSYTHE, G. E.–MOLER, C. B. 1967 Computer solution of linear algebraic systems. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ. FOX, L. 1964 An introduction to numerical linear algebra. Oxford, Oxford Univ. Press.

FRIED E. 1977 Klasszikus és lineáris algebra. Budapest, Tankönyvkiadó.

FRIEDBERG, S. H.–INSEL, A. J.–SPENCE, L. E. 2002 Linear algebra, Pearson.

GOLUB, G.–van LOAN, Ch. 2013 Matrix computations. Johns Hopkins Univ. Press.

HOFFMAN, K. M.–KUNZE, R. 2004 Linear algebra, Pearson.

KLEIN, Ph. N. 2013 Coding the Matrix : Linear Algebra through Applications to Computer Science. Newtonian Press.

KLUKOVITS L. 1999 Klasszikus és lineáris algebra, Polygon Jegyzettár.

KOVÁCS A. 2002 Alkalmazott matematika a közgazdaságtanban. Lineáris algebra.

Kolozsvár, Scientia Kiadó.

LAY, D. C.–LAY, S. R.–McDONALD, J. J., 2015 Linear algebra and its applications. Pearson.

LEON, S. J. 2014 Linear algebra with applications. Pearson.

MARCUS A. 2001 Lineáris algebra–egyetemi jegyzet. Kolozsvár, Ábel Kiadó.

MEYER, C. D. 2000 Matrix analysis and applied linear algebra. SIAM. NICHOLSON, W. K. 1995 Linear algebra with applications. PWS Boston.

OBÁDOVICS Gy. 2001 Lineáris algebra példákkal. Scolar Kiadó.

POOLE, D. 2014 Linear algebra : A modern introduction. Cengage Learning.

ROBBIANO, L. 2011 Linear algebra for everyone. Springer.

ROBINSON, D. J. 2006 A course in linear algebra with applications. World Scientific.

SCHARNITZKY V. 1999 Vektorgeometria és lineáris algebra. Budapest, Nemzeti Tankönyvkiadó.

SCHAY, G. 2012 A concise introduction to linear algebra. Birkhauser.

SHELDON, A. 2015 Linear algebra done right. Springer.

STRANG, G. 2005 Linear algebra and its applications. Cengage Learning.

STRANG, G. 2016 Introduction to linear algebra. Wellesley-Cambridge.

TREFETHEN, L.–BAU, D. 1997 Numerical linear algebra. SIAM.

KIVONAT

A lineáris algebra a matematikának az az ága, melyet nagyon gyakran alkalmaznak mind az informatika, mind a fizika, mérnöki, gazdasági stb. tudományokban. A számı́tógépek megjelenése és elterjedése nagy lendületet adott a lineáris algebra tanulmányozásának. Jelen könyv mérnöki szakos hallgatóknak szól, és a középiskolákban tanı́tott lineáris algebra folytatásának tekinthető : általános vektorterek, lineáris transzformációk, négyzetes alakok, sajátértékek, sajátvektorok problémáira, illetve ezeknek az alkalmazásaira fókuszál. Az anyag könnyebb megértése érdekében az elméletet gyakorlati példák egészı́tik ki.

REZUMAT

Algebra liniară este ramura matematicii des utilizată ı̂n studiul altor discipline, cu numeroase aplicaţii ı̂n informatică, fizică, ştiinţe inginereşti, economie etc. Studiul algebrei liniare a luat o amploare deosebită odată cu apariţia şi dezvoltarea calculatoarelor.

În carte sunt discutate teme cum ar fi: spaţii vectoriale generale, transformări liniare, valori şi vectori proprii, forme pătratice respectiv aplicaţiile acestora.

Cartea este destinată ı̂n special celor care studiază ştiinţe inginereşti, dar nu numai. Pentru a ı̂nlesni ı̂nţelegerea conceptelor, noţiunile teoretice sunt urmate de numeroase exemple.

ABSTRACT

Linear algebra is the branch of mathematics often used in the study of other disciplines, with numerous applications in computer science, physics, engineering sciences, economics, etc. The appearance and spread of computers gave great impetus to the study of linear algebra.

The book discusses themes such as general vector spaces, linear transformations, eigenvalues and eigenvectors, quadratic forms, and their applications.

The book is intended especially for students studying engineering sciences but not just. In order to facilitate the understanding of concepts, theoretical notions are followed by numerous examples.

A SZERZŐRŐL

A szerző 1968-ban született Marosvásárhelyen, és itt is járta ki a középiskolát. Az egyetemet és a doktori iskolát a kolozsvári Babeş–Bolyai Tudományegyetem Matematika Karán végezte. A Sapientia 2001-es évi megalapı́tása óta tanı́t a Marosvásárhelyi Karon. Kutatási területe a függvények numerikus közelı́tése és a numerikus lineáris algebra.

Scientia Kiadó 400112 Kolozsvár (Cluj-Napoca) Mátyás király (Matei Corvin) u. 4. sz.

Tel./fax: +40-364-401454 E-mail: scientia@kpi.sapientia.ro www.scientiakiado.ro Korrektúra: Szenkovics Enikő Műszaki szerkesztés: Kupán A. Pál Tipográfia: Könczey Elemér Nyomdai munkálatok: F&F INTERNATIONAL Kft. Felelős vezető: Ambrus Enikő igazgató