Makó Zoltán, Salamon Júlia: Operációkutatási példatár közgazdászoknak

GA Z DAS Á G - É S H U M Á N T U D O M Á N YO K KA R

SAPIENTIA ERDÉLYI MAGYAR TUDOMÁNYEGYETEM

2011

MAKÓ ZOLTÁN SALAMON JÚLIA OPERÁCIÓKUTATÁSI PÉLDATÁR KÖZGAZDÁSZOKNAK

MAKÓ ZOLTÁN SALAMON JÚLIA OPERÁCIÓKUTATÁSI PÉLDATÁR KÖZGAZDÁSZOKNAK

SAPIENTIA ERDÉLYI MAGYAR TUDOMÁNYEGYETEM GAZDASÁG- ÉS HUMÁNTUDOMÁNYOK KAR, CSÍKSZEREDA GAZDASÁGTUDOMÁNYI TANSZÉK

MAKÓ ZOLTÁN SALAMON JÚLIA

OPERÁCIÓKUTATÁSI PÉLDATÁR KÖZGAZDÁSZOKNAK

Scientia Kiadó Kolozsvár · 2011

A kiadvány megjelenését támogatta:

A tankönyv megírását a budapesti székhelyű Bölöni Farkas Sándor Közgazdasági Alapítvány támogatta.

Lektor: Dobos Imre (Budapest)

Sorozatborító: Miklósi Dénes

©

Első magyar nyelvű kiadás: 2011 Scientia, 2011 Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a nyilvános előadás, a rádióés televízióadás, valamint a fordítás jogát, az egyes fejezeteket illetően is.

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României MAKÓ ZOLTÁN, SALAMON JÚLIA Operációkutatási példatár közgazdászoknak / Makó Zoltán, Salamon Júlia. – Cluj-Napoca: Scientia, 2011.

Bibliogr.

ISBN 978-973-1970-45-5 I. Salamon, Júlia 519.8

TARTALOM

Előszó

11

1. Lineáris programozási feladatok

13

1.1. A lineáris programozás alapvető fogalmai

13

1.2. Kétváltozós lineáris programozási feladat grafikus megoldása

15

1.3. Lineáris programozási feladat megoldása a WinQSB segítségével

20

1.4. Dualitás

24

1.5. A dualitás gazdasági interpretációja

36

1.6. Keverési feladatok

39

1.7. Kitűzött feladatok

52

2. Szállítási és hozzárendelési feladatok

66

2.1. Szállítási feladat

66

2.2. Hozzárendelési feladat

72

2.3. Kitűzött feladatok

79

3. Játékelméleti feladatok

88

3.1. A játékok osztályozása

88

3.2. Kétszemélyes, nulla összegű játékok

90

3.3. Kétszemélyes, nem konstans összegű játékok

102

3.4. Több személyes játékok

106

3.5. Kitűzött feladatok

115

4. Hálózatok elemzése

120

4.1. Alapfogalmak

120

4.2. Minimális feszítőfa probléma

121

4.3. Legrövidebb út probléma

123

4.4. Maximális folyam probléma

127

4.5. Utazó ügynök probléma

130

4.6. Kitűzött feladatok

135

6

TARTALOM

5. Projektek ütemezése

143

5.1. Kritikus út módszere – CPM

143

5.2. Idő–költség diagramon alapuló CPM módszer

152

5.3. Programkiértékelés és -áttekintés módszere – PERT

158

5.4. Kitűzött feladatok

165

6. Megoldások, útmutatások

175

6.1. Lineáris programozási feladatok

175

6.2. Szállítási és hozzárendelési feladatok

186

6.3. Játékelméleti feladatok

190

6.4. Hálózatok elemzése

195

6.5. Projektek ütemezése

198

Szakirodalom

206

Tárgymutató

208

Abstract

210

Rezumat

211

A szerzőkről

212

CONTENTS

Preface

11

1. Linear programming problems

13

1.1. Basic notions in linear programming

13

1.2. Graphical solution

15

1.3. Solutions with WinQSB

20

1.4. Duality

24

1.5. Economical interpretation of the duality

36

1.6. Mixed production

39

1.7. Exercises

52

2. Transportation and assignment problems

66

2.1. Transportation problems

66

2.2. Assignment problems

72

2.3. Exercises

79

3. Game theory

88

3.1. ClassiďŹ cations of the games

88

3.2. Two-player, zero-sum games

90

3.3. Two-player, not-constant-sum games

102

3.4. Many-player games

106

3.5. Exercises

115

4. Network modelling

120

4.1. Basic notions

120

4.2. Minimal spanning tree

121

4.3. Shortest path problem

123

4.4. Maximal ow problem

127

4.5. Travelling salesman problem

130

4.6. Exercises

135

8

CONTENTS

5. Project planning

143

5.1. Critical path method – CPM

143

5.2. CPM method based on time-cost diagram

152

5.3. Program evaluation and review technique – PERT

158

5.4. Exercises

165

6. Solutions, guidance

175

6.1. Linear programming problems

175

6.2. Transportation and assignment problems

186

6.3. Game theory

190

6.4. Network modelling

195

6.5. Project planning

198

Bibliography

206

Abstract

210

About the Authors

212

CUPRINS

Prefaţă

11

1. Probleme din programarea liniară

13

1.1. Noţiunile de bază ale programării liniare

13

1.2. Rezolvare grafică

15

1.3. Soluţii cu WinQSB

20

1.4. Dualitatea

24

1.5. Interpretarea economică a dualităţii

36

1.6. Probleme din programarea mixtă

39

1.7. Probleme propuse spre rezolvare

52

2. Probleme de transport şi distribuţie

66

2.1. Probleme de transport

66

2.2. Probleme de distribuţie

72

2.3. Probleme propuse spre rezolvare

79

3. Probleme din teoria jocurilor

88

3.1. Clasificarea jocurilor

88

3.2. Jocuri cu sumă nulă

90

3.3. Jocuri cu sumă neconstantă

102

3.4. Jocuri cu mai multe persoane

106

3.5. Probleme propuse spre rezolvare

115

4. Probleme din teoria grafurilor

120

4.1. Noţiuni de bază

120

4.2. Problema arborilor minimali

121

4.3. Problema drumului cel mai scurt

123

4.4. Problema fluxului maxim

127

4.5. Problema comis-voiajorului

130

4.6. Probleme propuse spre rezolvare

135

10

CUPRINS

5. Planificarea proiectelor

143

5.1. Metoda drumului critic – CPM

143

5.2. Metoda CPM bazată pe diagrama timp-cost

152

5.3. Programul de evaluare şi tehnica de revizuire – PERT

158

5.4. Probleme propuse spre rezolvare

165

6. Soluţii, îndrumare

175

6.1. Probleme din programarea liniară

175

6.2. Probleme de transport şi distribuţie

186

6.3. Probleme din teoria jocurilor

190

6.4. Probleme din teoria grafurilor

195

6.5. Planificarea proiectelor

198

Bibliografie

206

Rezumat

211

Despre autori

212

ELŐSZÓ

A közgazdaság matematikai modelljei legnagyobb részben olyan döntési modellek, amelyek a gazdasági élet makro-, illetve mikroszintjén a vezetők számára készítik elő a döntéshozatalt. A döntéshozatal során a vezetők arra törekednek, hogy a cél érdekében a legmegfelelőbb stratégiákat válasszák ki. Ezeknek a stratégiáknak a kiválasztásával foglalkozik az operációkutatás és a döntéselmélet.

Többéves oktatási tapasztalatunk, hogy az operációkutatás tantárgy elsajátításában a közgazdász hallgatóknak a legnagyobb gondjuk a szövegesen megfogalmazott gazdasági vagy döntési feladatok matematikai modelljének felírása.

A matematikai modellalkotásban a készségszint kialakításához számos feladat megoldása szükséges. Ezért a példatár megszerkesztésekor a hangsúlyt a gazdasági probléma matematikai modelljének felírására és a matematikai modellekben szereplő paraméterek közgazdasági jelentésének megértésére fektettük. A matematikai modell számszerű megoldására a WinQSB (QSB – Quantitative Systems for Business) programcsomagot és az EXCEL táblázatkezelőt használtuk.

A feladatgyűjtemény az operációkutatás néhány fontosabb fejezetéből nyújt ízelítőt, és a Sapientia – EMTE közgazdasági szakjain oktatott operációkutatás tantárgy felépítését követi. Foglalkozunk az alapvető lineáris programozási modellekkel, a szállítási feladatokkal, a játékelmélet alapproblémájával, a hálózatelemzési modellekkel és az ütemezési problémákkal.

Az egyes fejezetek a szükséges elméleti alapismeretek – mintapéldák segítségével történő – rövid összefoglalásával kezdődnek, majd a fejezethez kapcsolódó feladattípusok tárgyalásmódját illusztráló mintapéldák következnek.

Minden fejezetben bemutatjuk a WinQSB programcsomag használatát az illető feladattípusra. A fejezetek végén a témakörhöz kapcsolódó kitűzött feladatok találhatók. A könyv végén a feladatokhoz eredményt vagy bonyolultabb esetekben megoldási útmutatót is közlünk.

A feladatgyűjtemény célja a közgazdász hallgatók tanulmányainak segítése.

A megoldott és kitűzött feladatok egy része – valós adatokkal – alapötletet és elemzési módszert nyújt szakdolgozatok megírásához.

A szerzők Csíkszereda, 2010. január

www.scientiakiado.ro www.facebook.com/ScientiaKiado

TÁRGYMUTATÓ

H hálózatok elemzése 120 csúcs 120 él 120 fa 121 forrás 127 irányítatlan gráf 121 irányított gráf 121 irányított út 120 lánc 120 legrövidebb út probléma 120, 123 maximális folyam probléma 120, 127 minimális feszítőfa probléma 120, 121 minimális vágás 129 nyelő 127 utazó ügynök probléma 120, 130 vágás 128 vágás értéke 129 hozzárendelési feladat 72, 75 költségmátrix 75 J játékelmélet 88 állandó összegű játék 89 dominált stratégiák 96 egyensúlypont 92 elosztás 111 extenzív forma 89 játék értéke 91, 92, 95 játék magja 111 játékosok kifizetése 111 karakterisztikus függvény 89, 107 kétszemélyes, nem konstans összegű játék 102 kétszemélyes nulla összegű játék 90

kétválasztásos szimmetrikus játék 102 kevert stratégia 94 koalíció 107 kooperatív játék 89 mag-elosztás 111 megoldási koncepció 111 minimax-kritérium 94 Nash-féle egyensúly 106 nem kooperatív játék 89 nem teljes információra alapuló játék 88 nem véges játék 89 normál forma 89 n személyes játék 106 nulla összegű játék 89 nyeregpont 91, 92 Shapley-érték 113 stratégia 90 szuperadditív játék 110 teljes körű információra támaszkodó játék 88 tiszta stratégia 94 várható kifizetés 94 véges játék 89 K kritikus út módszere 143, 152 L lineáris programozás 13 lineáris programozási feladat 13 árnyékárak 39 célfüggvény 13 duál feladat 25 keverési feladat 39 költség szintvonal 19 korlátozó feltételek 13

TÁRGYMUTATÓ

normál maximalizálási feladat 24 normál minimalizálási feladat 25 optimális megoldás 14 primál feladat 24 profit szintvonal 19 P programkiértékelés és -áttekintés módszere 143 program kiértékelés és áttekintés módszere 158 projektek ütemezése 143 projekthálózat 143 befejezés 143 esemény 143 Gantt-diagram 150 gyorsított időtartam 152 idő-költség diagram 152 kritikus tevékenység 146 kritikus útvonal 146 legkésőbbi időpont 146 legkorábbi időpont 144 legvalószínűbb becslés 158 normális időtartam 152 optimista becslés 158 pesszimista becslés 158 tevékenység 143, 144 tűrés 146 vakél 144 Sz szállítási feladat 68 fiktív kínálati hely 69 kiegyensúlyozott szállítási feladat 68 W WinQSB Decision Analysis 99 Linear and Integer Programming 22 Network Modeling 122, 126, 129, 133

209 Network Modeling eszköztár 72, 76, 78 PERT/CPM eszköztár 147, 153, 161

ABSTRACT

Mathematical models of economy are decision models which help leaders to prepare their decision making in the macro and micro levels of economics.

The leaders’ aim is to choose the most convenient strategies in the course of decision making. The operational research and decision theory deal with the selection of these strategies.

Based on many years’ educational experience, the economics students’ greatest trouble during the acquirement of the operational research is the transcription of the text-mode formulated economic problem to a solvable mathematical model.

In order to develop the mathematical model construction up to facility level, one has to solve a large number of problems. Accordingly, the main objective of this exercise book is to practice the inscription of the mathematical model of the economic problems and to help the understanding of the economic meanings of the parameters. The WinQSB (QSB – Quantitative Systems for Business) software package and the Excel table handler is used to calculate the mathematical model’s numerical solution.

The exercise book follows the construction of the course of operational research at Sapientia University economic specializations. We deal with fundamental linear programming models, transportation problems, the basic problems of game theory, network modelling and project planning problems.

Each chapter begins with the short summary of the necessary theoretical knowledge, followed by tutorial examples which illustrate the method of the resolution. We present the related useful WinQSB software package in every chapter. The exercises can be found at the end of the chapters. The solutions of these problems are given at the end of the book.

The aim of this book is to help economist students in their learning. Several tutorial and solved exercises problems give basis idea and analysis method for the students to elaborate their thesis.

REZUMAT

Complexitatea deciziilor ce trebuie luate în lumea contemporană şi în domeniul economic cere, pe lângă experienţa practică şi o înaltă pregătire ştiinţifică a factorilor de decizie. Acolo unde practica nu poate să intervină în mod direct, trebuie să pătrundă gândirea prin modelarea fenomenului studiat. Modelele matematice aplicate în economie în mare parte sunt modele decizionale, care la nivelul macro- şi microeconomic sunt instrumente eficiente pentru factorii de decizie. În procesul luării deciziilor, forul decizional încearcă să aleagă strategii optime în consonanţă cu scopul formulat. Domeniile ştiinţifice cum ar fi: cercetarea operaţională şi teoria deciziilor se ocupă cu determinarea acestor strategii optime.

Experienţa acumulată în predarea acestor discipline ne-a arătat că, pentru studenţii economişti, cel mai dificil de înţeles este construirea modelului matematic pentru o problemă economică textual formulată. Bazându-se pe acest fapt în această carte, accentul este pus pe elaborarea modelului matematic şi pe interpretarea economică a parametrilor ce apar în aceste modele, iar pentru rezolvarea numerică este utilizat programul WinQSB (QSB – Quantitative Systems for Business) şi programul tabelar Excel.

Tematica culegerii de probleme este în concordanţă cu tematica disciplinei „Cercetare operaţională” predată la specializările economice din cadrul Universităţii Sapientia şi cuprinde principalele capitole ale cercetării operaţionale: probleme din programarea liniară, probleme de transport şi de distribuţie, probleme din teoria jocurilor, probleme din teoria grafurilor, probleme legate de planificarea proiectelor.

Fiecare capitol începe cu câteva probleme exemplificative cu ajutorul cărora sunt introduse noţiunile şi rezultatele fundamentale, necesare pentru înţelegerea capitolului respectiv. Apoi sunt elaborate mai multe probleme ilustrative, care, la rândul lor, sunt rezolvate cu ajutorul programului WinQSB. La sfârşitul capitolelor sunt propuse spre rezolvare o serie de probleme, iar ultimul capitol cuprinde rezolvările acestora.

Culegerea de probleme din cercetare operaţională se adresează studenţilor economişti. Modelele prezentate şi rezolvate, cu date reale, pot fi folosite chiar şi în elaborarea lucrărilor de licenţă.

A SZERZŐKRŐL

Makó Zoltán 1968. június 20-án született Sepsiszentgyörgyön. Elemi tanulmányait a Kovászna megyei Csernáton községben, a középiskolát a sepsiszentgyörgyi Székely Mikó Kollégiumban végezte, majd a kolozsvári Babeş–Bolyai Tudományegyetem matematika szakán szerzett egyetemi oklevelet.

Az egyetem elvégzése után, 1992-ben a kézdivásárhelyi Gábor Áron Szakközépiskolába kapott tanári kinevezést. 1997-ben a Babeş–Bolyai Tudományegyetem Mechanika és Csillagászati Tanszékének tanársegédje lesz, ahol a csillagászat, elméleti és égi mechanika tantárgyakat oktatta. Doktorátusi tézisét a fuzzy optimalizálás témaköréből írta, amelyet 2002-ben mutatott be.

A Sapientia – EMTE indulásakor, 2001-ben sikeresen pályázott a csíkszeredai Matematika–Informatika Tanszék adjunktusi állására. Ugyancsak adjunktusi kinevezést kapott 2003-ban a Babeş–Bolyai Tudományegyetem Mechanika és Csillagászati Tanszékére is. 2006-tól egyetemi docens a Sapientia – EMTE Gazdaság- és Humántudományok Kar Matematika–Informatika Tanszékén, ahol a matematikai analízis, operációkutatás és a gazdasági döntések matematikai modellezése tantárgyakat oktatja. Kutatási területei: fuzzy optimalizálás, mesterséges intelligencia és égi mechanika.

Salamon Júlia 1980. április 27-én született Csíkszeredában. A középiskolát a csíkszeredai Márton Áron Gimnáziumban végezte. A kolozsvári Babeş–Bolyai Tudományegyetem matematika–informatika szakán szerzett egyetemi oklevelet 2002-ben, valós és komplex analízis magiszteri diplomát 2003-ban, majd ugyanitt folytatta doktorátusi tanulmányait.

Doktorátusi tézisét a paraméteres vektor egyensúlyi feladatok témaköréből írta, amelyet 2009-ben mutatott be.

Jelenleg (2002-től) a Sapientia – EMTE csíkszeredai Gazdaság- és Humántudományok Karának főállású oktatója, ahol az informatika (Matlab), operációkutatás és a gazdasági döntések matematikai modellezése tantárgyakat oktatja.

Kutatási területei: vektor egyensúlyi feladatok, komplex analízis és számítógépes grafika.

A SAPIENTIA – ERDÉLYI MAGYAR TUDOMÁNYEGYETEM JEGYZETEI

Bege Antal Számelméleti feladatgyűjtemény. Marosvásárhely, Műszaki és Humán Tudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2002.

Bege Antal Számelmélet. Bevezetés a számelméletbe. Marosvásárhely, Műszaki és Humán Tudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2002.

Vofkori László Gazdasági földrajz. Csíkszereda, Csíkszeredai Kar, Gazdaságtan Tanszék. 2002.

Tőkés Béla–Dónáth-Nagy Gabriella Kémiai előadások és laboratóriumi gyakorlatok.

Marosvásárhely, Műszaki és Humán Tudományok Kar, Gépészmérnöki Tanszék. 2002.

Irimiaş, George Noţiuni de fonetică şi fonologie. Csíkszereda, Csíkszeredai Kar, Humán Tudományok Tanszék. 2002.

Szilágyi József Mezőgazdasági termékek áruismerete. Csíkszereda, Csíkszeredai Kar, Gazdaságtan Tanszék. 2002.

Nagy Imola Katalin A Practical Course in English. Marosvásárhely, Műszaki és Humán Tudományok Kar, Humán Tudományok Tanszék. 2002.

Balázs Lajos Folclor. Noţiuni generale de folclor şi poetică populară.

Csíkszereda, Csíkszeredai Kar, Humán Tudományok Tanszék. 2003.

Popa-Müller Izolda Műszaki rajz. Marosvásárhely, Műszaki és Humán Tudományok Kar, Gépészmérnöki Tanszék. 2004.

Fodorpataki László–Szigyártó Lídia–Bartha Csaba Növénytani ismeretek. Kolozsvár, Természettudományi és Művészeti Kar, Környezettudományi Tanszék. 2004.

Marcuş, Andrei–Szántó Csaba–Tóth László Logika és halmazelmélet. Marosvásárhely, Műszaki és Humán Tudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2004.

Kakucs András Műszaki hőtan. Marosvásárhely, Műszaki és Humán Tudományok Kar, Gépészmérnöki Tanszék. 2004.

Biró Béla Drámaelmélet. Csíkszereda, Gazdasági és Humántudományi Kar, Humántudományi Tanszék. 2004.

Biró Béla Narratológia. Csíkszereda, Gazdasági és Humántudományi Kar, Humántudományi Tanszék. 2004.

Márkos Zoltán Anyagtechnológia. Marosvásárhely. Műszaki és Humán Tudományok Kar, Gépészmérnöki Tanszék. 2004.

Grecu, Victor Istoria limbii române. Csíkszereda, Gazdasági és Humántudományi Kar, Humántudományi Tanszék. 2004.

Varga Ibolya Adatbázis-kezelő rendszerek elméleti alapjai.

Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2004.

Csapó János Biokémia. Csíkszereda, Műszaki és Társadalomtudományi Kar, Műszaki és Természettudományi Tanszék. 2004.

Csapó János–Csapóné Kiss Zsuzsanna Élelmiszer-kémia. Csíkszereda, Műszaki és Társadalomtudományi Kar, Műszaki és Természettudományi Tanszék. 2004.

Kátai Zoltán Programozás C nyelven. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2004. Ágoston Katalin Méréstechnika. Laboratóriumi útmutató. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Villamosmérnöki Tanszék. 2005.

Weszely Tibor Analitikus geometria és differenciálgeometria.

Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2005.

Györfi Jenő A matematikai analízis elemei. Csíkszereda, Gazdaságés Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2005.

Finta Béla–Kiss Elemér–Bartha Zsolt Algebrai struktúrák – feladatgyűjtemény. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2006.

Antal Margit Fejlett programozási technikák. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2006.

Csapó János–Salamon Rozália Tejipari technológia és minőségellenőrzés. Csíkszereda, Műszaki és Társadalomtudományok Kar, Élelmiszertudományi Tanszék. 2006.

Oláh-Gál Róbert Az informatika alapjai közgazdász- és mérnökhallgatóknak.

Csíkszereda, Gazdaság- és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2006.

Józon Mónika Általános jogelméleti és polgári jogi ismeretek. Csíkszereda, Gazdaság- és Humántudományok Kar, Üzleti Tudományok Tanszék. 2007.

Kátai Zoltán Algoritmusok felülnézetből. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2007.

Csapó János–Csapóné Kiss Zsuzsanna–Albert Csilla Élelmiszer-fehérjék minősítése. Csíkszereda, Műszaki és Társadalomtudományi Kar, Élelmiszertudományi Tanszék. 2007. Ágoston Katalin–Domokos József–Márton Lőrinc Érzékelők és jelátalakítók. Laboratóriumi útmutató.

Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Villamosmérnöki Tanszék. 2007.

Szász Róbert Komplex függvénytan. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2007.

Kakucs András A végeselem-módszer alapjai. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Gépészmérnöki Tanszék. 2007.

Antal Margit Objektumorientált programozás. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2007.

Majdik Kornélia–Tonk Szende-Ágnes Biokémiai alkalmazások. Kémiai laboratóriumi jegyzet.

Kolozsvár, Természettudományi és Művészeti Kar, Környezettudományi Tanszék. 2007.

Kakucs András Áramlástan, Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Gépészmérnöki Tanszék. 2007.

Györfi Jenő–András Szilárd Valószínűségszámítás és lineáris programozás. A játékelmélet alapjai. Csíkszereda, Gazdaság- és Humántudományok Kar, Matematika és Informatika Tanszék. 2007.

Kátai Zoltán Gráfelméleti algoritmusok. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék.

2008.

Dimény Gábor Minőségirányítási rendszerek. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Villamosmérnöki Tanszék. 2008.

Zsigmond Andrea Minőségi és mennyiségi analitikai kémia laborkönyv.

Kolozsvár, Természettudományi és Művészeti Kar, Természettudományi Tanszék. 2008.

Csapó János–Albert Csilla–Csapóné Kiss Zsuzsanna Élelmiszer-analitika. Válogatott fejezetek. Csíkszereda, Műszaki és Társadalomtudományi Kar, Élelmiszertudományi Tanszék. 2008.

Márton Gyöngyvér Kriptográfiai alapismeretek. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Matematika–informatika Tanszék. 2008.

Nagy Imola Katalin A guidebook to Language Exams. English for Human Sciences. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Humántudományok tanszék. 2008.

Gagyi József Örökség és közkapcsolatok (PR). Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Humántudományok tanszék. 2008.

Fodor László Szociálpedagógia. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Humántudományok tanszék. 2008.

Fodorpataki László–Szigyártó Lídia–Bartha Csaba Növénytani ismeretek, Kolozsvár, Természettudományi és Művészeti Kar, Környezettudományi Tanszék. 2009.

Murádin János Kristóf Nemzetközi kapcsolatok elmlélete. Kolozsvár, Természettudományi és Művészeti Kar, Európai Tanulmányok Tanszék. 2009.

Bíró Géza–Salamon Rozália Veronika Élelmiszer-biztonság. Csíkszereda, Műszaki és Társadalomtudományi Kar, Élelmiszertudományi Tanszék. 2009.

Antal Margit Java alapú webtechnológiák. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék. 2009.

Pál László–Máté Szilárd Alkalmazásfejlesztés Delphiben. Csíkszereda, Gazdaság- és Humántudományok Kar, Gazdaságtudományi Tanszék. 2009.

Ambrus Zoltán–Gergely Orsolya Családszociológia. Csíkszereda, Műszaki és Társadalomtudományi Kar, Társadalomtudományi Tanszék. 2009.

Lázár Ede Kutatásmódszertan a gyakorlatban az SPSS program használatával. Csíkszereda, Gazdaság- és Humántudományok Kar, Üzleti Tudományok Tanszék. 2009.

Bálint Gyöngyvér Statisztika. Csíkszereda, Műszaki és Társadalomtudományi Kar, Társadalomtudományi Tanszék. 2009.

Gagyi József Fogyasztói magatartás. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Humántudományok Tanszék. 2009.

Kovács D. Lehel István Számítógépes grafika. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Matematika–Informatika Tanszék Tódor Erika Mária Predarea-învăţarea limbii române ca ne-maternă.

O alternativă a lingvisticii aplicate. Csíkszereda, Gazdaság- és Humántudományok Kar, Humántudományok Tanszék. 2009.

György Éva Általános mikrobiológia. Csíkszereda, Műszaki és Társadalomtudományi Kar, Élelmiszertudományi Tanszék. 2009.

Papp István Mechanizmusok elmélete. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Gépészmérnöki Tanszék. 2010.

Gászpor Réka Bevezetés a kommunikációelméletbe. A kommunikáció jelensége. Marosvásárhely, Műszaki és Humántudományok Kar, Humántudományok Tanszék. 2010.

A PARTIUMI KERESZTÉNY EGYETEM JEGYZETEI

Kovács Adalbert Alkalmazott matematika a közgazdaságtanban. Lineáris algebra. Nagyvárad, Alkalmazott Tudományok Kar, Közgazdaságtan Tanszék. 2002.

Horváth Gizella A vitatechnika alapjai. Nagyvárad, Bölcsészettudományi Kar, Filozófia Tanszék. 2002.

Angi István Zeneesztétikai előadások. I. Nagyvárad, Alkalmazott Tudományok Kar, Zenepedagógiai Tanszék. 2003.

Péter György–Kinter Tünde–Pajzos Csaba Makroökonómia. Feladatok. Nagyvárad, Alkalmazott Tudományok és Művészetek Kar, Közgazdaságtan Tanszék. 2003.

Angi István Zeneesztétikai előadások. II. Nagyvárad, Alkalmazott Tudományok Kar, Zenepedagógiai Tanszék. 2005.

Tonk Márton Bevezetés a középkori filozófia történetébe. Nagyvárad, Bölcsészettudományi Kar, Filozófia Tanszék. 2005.

Scientia Kiadó 400112 Kolozsvár (Cluj-Napoca) Mátyás király (Matei Corvin) u. 4. sz.

Tel./fax: +40-264-593694 E-mail: scientia@kpi.sapientia.ro www.scientiakiado.ro Korrektúra: Szabó Beáta Műszaki szerkesztés: Lineart Kft. Tipográfia: Könczey Elemér Készült a kolozsvári Gloria nyomdában 200 példányban Igazgató: Nagy Péter

www.scientiakiado.ro www.facebook.com/ScientiaKiado

ISBN 978-973-1970-45-5

9 789731 970455