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FONCTIONS 1 I) NOTION DE FONCTION 1) Qu'est-ce qu'une fonction ?

En maths, une fonction est une sorte de "machine à transformer des nombres" Ex : Soit f la fonction affine définie par : x 2x−1 0 1 −2,3   ème En 3 , nous nous sommes limités aux fonctions affines, mais nous allons voir cette année que la notion de fonction est beaucoup plus générale !

Rappels sur les fonctions affines pour ceux qui ont oublié : Cours : 4.1 et 4.2 p72 Exercice type : 5 p73

Exercices avec fonctions affines : p75 : 7 p79 : 28, 32, 33 p80 : 38 p81 : 47  donner à la maison la situation du p83 : 62 §2 "ex pour illustrer la suite" p84 : 65, 66 p86 : 72

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2) Un exemple pour illustrer la suite Un campeur dispose d'une bâche carrée de 3 m de côté qu'il utilise comme toile de tente. On pose x = AH et on considère que le triangle ABC est isocèle.

Le but du problème est de déterminer quelle hauteur x de piquet choisir pour que le volume de la tente soit maximum.

• À quel intervalle x appartient-il ?

• Déterminer AB puis BH, en déduire l'aire de ABC en fonction de x • Déterminer le volume de la tente en fonction de x. On notera ce volume f (x)

A

B

H

C

•

BA + AC = 3 et BA = AC donc BA = 3/2 or 0  AH  AB donc x  [0 ; 3/2] • Or d'après Pythagore dans le triangle ABH rectangle en H, on a : AB2 = BH2 + AH2 donc BH2 = AB2 − AH2 = 9/4 − x2 donc BH = (BH est une longueur positive donc BH  − ) Comme (AH)  (BC), on a donc : Aire(ABC) = = AH × BH = x f (x) • Pour obtenir le volume de la tente, multiplions l'aire de ABC par sa longueur : =3x

3) Un peu de vocabulaire Dans le langage courant, on dit que le volume de la tente est fonction de la hauteur du piquet.

Dans le langage mathématique, on dit que : f est la fonction définie sur [0 ; 3/2] par x  3 x • [0 ; 3/2] est l'intervalle d'étude ou l'ensemble de définition de la fonction f. C'est l'ensemble des valeurs que x peut prendre. On le nomme en général Df • x  3 x est le procédé qui va permettre, pour chaque x de Df, de déterminer son image par la fonction f

4) La Représentation graphique de la fonction f, notée Cf est la courbe d'équation y = f (x).

Cela veut dire que les points de Cf sont les points du plan dont les coordonnées vérifient la relation y = f (x).

Cf est donc l'ensemble des points de coordonnées (x ; f (x)).

Plus la courbe est pentue, plus il faut Tableau de valeurs : rapprocher les valeurs de x !

0,2 0,7 1,2 1,4 x 0 0,5 1 1,4 1,5 5 5 5 7 f (x) 0 1,1 2,1 2,9 3,4 3,1 2,3 1,3 0 Représentation graphique :  Ne jamais oublier : • repère (O;;) • axes gradués, nommés, orientés • nom ou équation de la courbe : Cf ou y = f (x) ou y = 3 x

Remarque : Ce graphique permet de conclure que le volume de la tente sera maximum pour une valeur de x proche de 1 p75 : 3 p80 : 39, 40 + faire tracer les courbes des fonctions de références à la main

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5) Images - Antécédents •

Images : f (x) n'est pas une fonction mais un nombre ! C'est l'image du nombre x par la fonction f.

Chaque x de Df a une image et une seule par f Ex : f (1) = 3 × 1 × = 3 = ( 3,4) • Antécédents : Les antécédents du nombre k sont les nombres qui ont k pour image.

Chaque réel a zéro, un ou plusieurs antécédents par f Ex : Ici, on voit graphiquement que 1,5 a deux antécédents. Appelons les a et b : a  0,34 b  1,46 Remarque : Chercher les antécédents d'un nombre k par une fonction f, c'est chercher à résoudre l'équation f (x) = k y Cf

1,5 j O

i 1

x

6) Lorsque l'intervalle d'étude n'est pas précisé On convient de prendre  tout entier sauf les valeurs interdites de x.

Ex : Déterminer l’ensemble de définition de f définie par x  Conditions :  donc Df = [−1 ; 0[  ]0 ; +[ p75 : 2 p79 : 16, 19, 20, 21, 23 p84 : 64 (questions 1, 2 et 5)

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II) RÉSOLUTIONS GRAPHIQUES D'ÉQUATIONS ET D'INÉQUATIONS Ex : Soit f la fonction définie sur  par x  x3 + 3 x2 + 2 x + 1 y

Cf

y =1 j

–2

–1

0

i

x

•

Résoudre graphiquement f (x) = 1 : Les solutions sont les abscisses des points d'intersection de Cf avec la droite d'équation y = 1 S = { −2 ; −1 ; 0}

•

Résoudre graphiquement f (x) > 1 : Les solutions sont les abscisses des points de Cf situés au dessus de la droite d'équation y = 1 S = ]−2 ; −1[  ]0 ; +[

p75 : 1, 5, 6 p80 : 43, 44 p84 : 68 + retrouver graphiquement les résultats des équations et inéquations du chapitre précédent

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