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FONCTIONS III I) FONCTIONS DE REFERENCES fonction

x

x

?

ax+b

définie parité sur ?

• si a < 0, • si a > 0,

x x

x2

représentation graphique

variations

−

+

x2

x

j

x x

x3

− x

x x

1 x

−

x

x

O i

+ x

j O

x x

|x|

x

i

j

x x

j O

+

1 x

x

i

+

3

x

O

−

i

+

|x| j O

i

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II) TRANSFORMATION D'INEGALITES 1) Passage au carré La fonction carrée est strictement décroissante sur – donc pour tous x1, x2 tels que x1 < x2 0, on a x12 > x22 0 La fonction carrée est strictement croissante sur pour tous x1, x2 tels que 0 x1 < x2, on a 0

j O

+

donc x12 < x22

i

Conséquence : les carrés de nombres positifs sont rangés dans le même ordre que ces nombres les carrés de nombres négatifs sont rangés dans l'ordre contraire

2) Passage à la racine carrée La fonction racine carrée est strictement croissante sur + donc x1< x2 pour tous x1, x2 tels que 0 x1 < x2, on a 0

j O

i

Conséquence : les racines carrées de nombres positifs sont rangées dans le même ordre que ces nombres

3) Passage à l'inverse

j O i

La fonction inverse est strictement décroissante sur *– donc 1 1 pour tous x1, x2 tels que x1 < x2 < 0, on a > x1 x2 La fonction inverse est strictement décroissante sur *+ donc 1 1 pour tous x1, x2 tels que 0 < x1 < x2, on a x > x 1 2

Conséquence : les inverses de nombres non nuls et de même signes sont rangés dans l'ordre contraire de ces nombres A la maison: tracer proprement à la main les représentations graphiques des fonctions carré, racine et inverse

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III) VARIATIONS D'UNE FONCTION PAR ENCADREMENTS SUCCESSIFS 1) Exemple Etudier les variations sur [−4 ; + [ de f : x pour tous x1, x2 tels que on a la fonction racine carrée est strictement croissante sur + donc donc

0

x+4 −4 x1 < x2 x1 + 4 < x2 + 4

0

x1 + 4 < x2 + 4 f (x1) < f (x2)

donc f est strictement croissante sur [−4 ; + [ En essayant d'utiliser les 2 méthodes (f (x1) − f (x2) et encadrements successifs), étudier les variations des fonctions suivantes : f définie sur [−1 ; 0] par x g définie sur

−

par x

1 x +1

1 − x2

2

h définie sur [1 ; + [ par x

x x +1 2

2) Comment choisir la bonne méthode pour étudier les variations d'une fonction ?

• S'il y a "des x sous une racine ou dans une valeur absolue", on préfèrera la méthode des encadrements successifs • Si x "apparaît plusieurs fois" dans l'écriture de f (x), on préfèrera étudier le signe de f (x1) − f (x2)

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IV) POSITIONS RELATIVES DE X, X2 ET X3 (POUR X POSITIF) 1) Approche graphique y=

y

On a tracé ci-contre les représentations graphiques des fonctions : x x;x x2 et x x3

y=

y=

• préciser en haut de chaque courbe son équation • pour chaque courbe, préciser en fonction de x, l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse x • en vous aidant de ce graphique, comparer x, x2 et x3 quand x est positif (on distinguera 2 cas)

j

O

x

i

2) Démonstration algébrique 1er cas : 0<x<1 0 < x2 < x 0 < x3 < x2

×x ×x

donc 0 < x3 < x2 < x < 1

2ème cas : 1<x x < x2 x2 < x3

×x ×x

donc 1 < x < x2 < x3

Bilan :

si 0 < x < 1 alors 0 < x3 < x2 < x < 1 si 1 < x alors 1 < x < x2 < x3 p127: 59, 60 p56: 70, 71, 72

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V) OPERATIONS SUR LES ENCADREMENTS

2-ap-encadrements.doc

3,14 < < 3,15 est un encadrement du nombre 3,15 − 3,14 = 0,01 est l'amplitude de cet encadrement plus cette amplitude est petite, plus l'encadrement est précis OPERATION

SENS DES INEGALITES

EXEMPLE 1<X<3 2<Y<9 −3 <Z<−1

L'ordre ne change pas

<X−4<

a>0

L'ordre ne change pas

<2X<

a<0

L'ordre est inversé

<−Y<

Si tout l'encadrement est positif ou nul

L'ordre ne change pas

<X²<

Si tout l'encadrement est négatif ou nul

L'ordre est inversé

<Z²<

Si tout l'encadrement est positif ou nul

L'ordre ne change pas

< X<

CONDITION

X+a aX

X² X 1/X

Si tout l'encadrement est strictement positif Si tout l'encadrement est strictement négatif

L'ordre est inversé

<1/Y< <1/Z<

OPERATION

METHODE

EXEMPLE 1<X<3 2<Y<9

X+Y

On additionne membre à membre les deux encadrements

<X+Y<

X−Y X×Y X/Y

On ne peut soustraire membre à membre les deux encadrements : On encadre donc d'abord −Y puis X + (−Y) Si les deux encadrements sont positifs ou nuls, on les multiplie membre à membre ; sinon, on distingue plusieurs cas.

On ne peut diviser membre à membre les deux encadrements : On encadre donc d'abord 1/Y puis X × (1/Y)

<X+(−Y)< <X×Y< <X×(1/Y)<

Remarque : Pouvait-on donner ci-dessus comme encadrement de X+Y : −100 <X+Y<100 ?

Quand on demande d'encadrer un nombre, il faut toujours sous-entendre : "avec la meilleure précision possible" 2-exo-encadrements.doc p55: 53, 56, 57, 58, 60, 62 p56: 64, 66, 67 p102: 50 variations de x x + 1/x