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FONCTIONS III I) FONCTIONS DE REFERENCES fonction
x
x
?
ax+b
définie parité sur ?
• si a < 0, • si a > 0,
x x
x2
représentation graphique
variations
−
+
x2
x
j
x x
x3
− x
x x
1 x
−
x
x
O i
+ x
j O
x x
|x|
x
i
j
x x
j O
+
1 x
x
i
+
3
x
O
−
i
+
|x| j O
i
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II) TRANSFORMATION D'INEGALITES 1) Passage au carré La fonction carrée est strictement décroissante sur – donc pour tous x1, x2 tels que x1 < x2 0, on a x12 > x22 0 La fonction carrée est strictement croissante sur pour tous x1, x2 tels que 0 x1 < x2, on a 0
j O
+
donc x12 < x22
i
Conséquence : les carrés de nombres positifs sont rangés dans le même ordre que ces nombres les carrés de nombres négatifs sont rangés dans l'ordre contraire
2) Passage à la racine carrée La fonction racine carrée est strictement croissante sur + donc x1< x2 pour tous x1, x2 tels que 0 x1 < x2, on a 0
j O
i
Conséquence : les racines carrées de nombres positifs sont rangées dans le même ordre que ces nombres
3) Passage à l'inverse
j O i
La fonction inverse est strictement décroissante sur *– donc 1 1 pour tous x1, x2 tels que x1 < x2 < 0, on a > x1 x2 La fonction inverse est strictement décroissante sur *+ donc 1 1 pour tous x1, x2 tels que 0 < x1 < x2, on a x > x 1 2
Conséquence : les inverses de nombres non nuls et de même signes sont rangés dans l'ordre contraire de ces nombres A la maison: tracer proprement à la main les représentations graphiques des fonctions carré, racine et inverse
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III) VARIATIONS D'UNE FONCTION PAR ENCADREMENTS SUCCESSIFS 1) Exemple Etudier les variations sur [−4 ; + [ de f : x pour tous x1, x2 tels que on a la fonction racine carrée est strictement croissante sur + donc donc
0
x+4 −4 x1 < x2 x1 + 4 < x2 + 4
0
x1 + 4 < x2 + 4 f (x1) < f (x2)
donc f est strictement croissante sur [−4 ; + [ En essayant d'utiliser les 2 méthodes (f (x1) − f (x2) et encadrements successifs), étudier les variations des fonctions suivantes : f définie sur [−1 ; 0] par x g définie sur
−
par x
1 x +1
1 − x2
2
h définie sur [1 ; + [ par x
x x +1 2
2) Comment choisir la bonne méthode pour étudier les variations d'une fonction ? • S'il y a "des x sous une racine ou dans une valeur absolue", on préfèrera la méthode des encadrements successifs • Si x "apparaît plusieurs fois" dans l'écriture de f (x), on préfèrera étudier le signe de f (x1) − f (x2)
2-exo-variations2.doc
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IV) POSITIONS RELATIVES DE X, X2 ET X3 (POUR X POSITIF) 1) Approche graphique y=
y
On a tracé ci-contre les représentations graphiques des fonctions : x x;x x2 et x x3
y=
y=
• préciser en haut de chaque courbe son équation • pour chaque courbe, préciser en fonction de x, l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse x • en vous aidant de ce graphique, comparer x, x2 et x3 quand x est positif (on distinguera 2 cas)
j
O
x
i
2) Démonstration algébrique 1er cas : 0<x<1 0 < x2 < x 0 < x3 < x2
×x ×x
donc 0 < x3 < x2 < x < 1
2ème cas : 1<x x < x2 x2 < x3
×x ×x
donc 1 < x < x2 < x3
Bilan :
si 0 < x < 1 alors 0 < x3 < x2 < x < 1 si 1 < x alors 1 < x < x2 < x3 p127: 59, 60 p56: 70, 71, 72
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V) OPERATIONS SUR LES ENCADREMENTS
2-ap-encadrements.doc
3,14 < < 3,15 est un encadrement du nombre 3,15 − 3,14 = 0,01 est l'amplitude de cet encadrement plus cette amplitude est petite, plus l'encadrement est précis OPERATION
SENS DES INEGALITES
EXEMPLE 1<X<3 2<Y<9 −3 <Z<−1
L'ordre ne change pas
<X−4<
a>0
L'ordre ne change pas
<2X<
a<0
L'ordre est inversé
<−Y<
Si tout l'encadrement est positif ou nul
L'ordre ne change pas
<X²<
Si tout l'encadrement est négatif ou nul
L'ordre est inversé
<Z²<
Si tout l'encadrement est positif ou nul
L'ordre ne change pas
< X<
CONDITION
X+a aX
X² X 1/X
Si tout l'encadrement est strictement positif Si tout l'encadrement est strictement négatif
L'ordre est inversé
<1/Y< <1/Z<
OPERATION
METHODE
EXEMPLE 1<X<3 2<Y<9
X+Y
On additionne membre à membre les deux encadrements
<X+Y<
X−Y X×Y X/Y
On ne peut soustraire membre à membre les deux encadrements : On encadre donc d'abord −Y puis X + (−Y) Si les deux encadrements sont positifs ou nuls, on les multiplie membre à membre ; sinon, on distingue plusieurs cas. On ne peut diviser membre à membre les deux encadrements : On encadre donc d'abord 1/Y puis X × (1/Y)
<X+(−Y)< <X×Y< <X×(1/Y)<
Remarque : Pouvait-on donner ci-dessus comme encadrement de X+Y : −100 <X+Y<100 ? Quand on demande d'encadrer un nombre, il faut toujours sous-entendre : "avec la meilleure précision possible" 2-exo-encadrements.doc p55: 53, 56, 57, 58, 60, 62 p56: 64, 66, 67 p102: 50 variations de x x + 1/x