2-ds-fonctions-3

2K

DS de mathématiques 55min

calculatrice autorisée

6

 x + 1 I) Soit f la fonction définie sur [−1 ; 0[ par : x 7  x    1) Ecrire f (x) de telle sorte que la variable x n’apparaisse plus qu’une seule fois dans l’expression.

2) Etudier les variations de f. x2 − 9 II) Soit f la fonction définie sur R par : x 7 | x | + 3 1) Etudier la parité de f.

2) Simplifier l’écriture de f (x) en distinguant deux cas.

3) Simplifier l’écriture de f (x) sans distinguer de cas et en utilisant une valeur absolue.

III)Soient x et y deux réels tels que : 3 < x < 4 et −2 < y < 1.

1 x2 − y2 2 2 1) Encadrer : x − y ; x + y ; x + y ; x − y 2) Que penser des deux derniers encadrements ?

BAREME PROBABLE :

I) 5pts

II) 7pts

III) 8pts

11V09

2K

DS de mathématiques 55min

9IV09

calculatrice autorisée

I) Résoudre dans R : (I1) : | 1 − 3 x | < 1 (I2) : (− 5 x + 5 )2 = 6 x + 5 (E1) : | 3 x2 − 1 | + 2 | 2 x − 4 | + | x − 2 | = − 5

1 |x|−1 1) Déterminer Df, le domaine de définition de f.

2) Etudier la parité de f.

3) Etudier les variations de f.

4) Tracer Cf dans un repère orthonormal (O;1i ;1j ) tel que || 1i || = || 1j || = 2 cm.

II) Soit f la fonction définie par x 7

III)Dans la figure ci contre, les points F, E et D d’une part, et A, B, C, D d’autre part sont alignés dans cet ordre. On a : AB = BC = BE = 3 et AF = BF = EF = 5.

F On veut calculer DE. = BFE.

2) Démontrer que : CBE 2) En déduire que les triangles CBE et BFE sont semblables 3) Déterminer CE. 4) Démontrer que les droites (CE) et (BF) sont parallèles.

E DE CE 5) En déduire que : = .

DE + 5 BF 6) Calculer DE. A

(Il n’est pas demandé de refaire la figure sur votre copie)

BAREME PROBABLE :

I) 4pts

II) 6pts

III) 10pts

B

C

D

2K

DS de mathématiques 1h

calculatrice autorisée

31III08

I) Résoudre dans R : (E1) : | x – 5 | > 3

1 1 (E2) : x – 3 + | 2 x – 3 | = x

(E3) : | x2 + x | < | x |

 1  II) Soit f la fonction définie par : x 7 x2 − 1   1) Déterminer Df 2) Etudier la parité de f.

3) Déterminer les variations de f avec la méthode des encadrements successifs.

III)Soient A et B deux points d’une droite graduée (xx’) d’abscisses respectives – 4 et 3.

Soit M le point de (xx’) d’abscisse x et f la fonction qui a x fait correspondre la distance MA + MB. 1) En utilisant des valeurs absolues, exprimer f (x) en fonction de x.

2) Simplifier l’écriture de f (x) quand M appartient à [AB] 3) Déterminer les points M de (xx’) tels que : MA + MB = 9 4) Déterminer les points M de (xx’) tels que : MA + MB = 2

BAREME PROBABLE : I) 4pts

II) 8pts

III) 8pts

2JK

DS de mathématiques 3h

I) 1ère partie : Soit f la fonction définie sur ]−1 ; 1[ par : x 7

calculatrice autorisée

22III05

x2 1−x

1) Etudier la parité de f. (x1 − x2)(x1 (1 − x2) + x2) (1 − x1) (1 − x2) En déduire les variations de f sur ]−1 ; 0] puis sur [0 ; 1[. Faire un tableau de variations.

3) Déduire de la question 2) le signe de f (x).

4) Tracer Cf la représentation graphique de f dans un repère orthonormal (O;1i ;1j ) d’unité 5cm.

2) Montrer que pour tous x1, x2 de ]−1 ; 1[, on a : f (x1) − f (x2) =

1 et B = 1,000 000 000 1 0,999 999 999 9 5) La calculatrice permet-elle de comparer A et B ?

1 6) Soit x un réel de ]−1 ; 1[ : simplifier 1 − x − (1 + x) 7) A l’aide de la 1ère partie, comparer A et B.

2ème partie : On considère les réels A =

1 x+1 Déterminer son ensemble de définition Df. Etudier les variations de f sur chacun des deux intervalles de Df. Faire un tableau de variations.

Tracer Cf la représentation graphique de f dans un repère (O;1i;1j ) ainsi que la droite ∆ d’équation y = 1.

Montrer que Cf est située en dessous de ∆ à gauche de l’axe des ordonnées et au dessus de ∆ à droite de cet axe.

II) Soit f la fonction définie par : x 7 1) 2) 3) 4)

III)Soit ABC un triangle. A l’extérieur de ce triangle, on construit les carrés ABDE et BCFG. 1) Que peut-on dire des triangles DBC et ABG ? (Justifier !)

2) Montrer que DC = AG.

IV)ABC est un triangle inscrit dans un cercle B. La bissectrice de l’angle B AC coupe le segment [BC] en I et le cercle B en J. On cherche à montrer que JB = JC. 1) Démontrer que les triangles IJC et AJC sont semblables.

2) En déduire que JC2 = JI × JA. 3) Calculer de même JB2. (Justifier sommairement) 4) En déduire que JB = JC.

V)Parmi les fractions comprises entre 1/4 et 1, celles ayant pour dénominateur 2005 sont quatre fois moins nombreuses que celles ayant pour numérateur 2005. Vrai ou faux ? (Justifier bien sûr !)

BAREME POSSIBLE :

I) 6pts

II) 5pts

III) 3pts

IV) 4pts

V) 2pts

2des

Composition de mathématiques 3h

calculatrice autorisée

6V03

I) On considère les fonctions f et g définies sur R par : f (x) = −2 x2 + 6 et g (x) = x3 − 3 x.

1) a) Etudier la parité de f. b) Etudier les variations de f sur R+, en déduire ses variations sur R−. Dresser le tableau de variation de f.

2) a) Etudier la parité de g. b) Etudier les variations de g sur [0 ; 1] puis sur [1 ; +∞[.

Indication : a3 − b3 = (a − b) (a2 + a b + b2) En déduire son tableau de variation complet.

Unités : 2cm sur (Ox) et 0,5 cm sur (Oy) 3) Le plan est muni d’un repère orthogonal (O;1i ;1j). a) Donner un tableau de valeurs pour Cf et Cg avec x appartenant à l’intervalle [−3 ; 3]. b) Tracer les 2 courbes dans le même repère.

4) a) Dans [−3 ; 3], essayer de résoudre graphiquement l’inéquation : f (x) > g (x).

Quelle difficulté rencontrez-vous ? b) Dans R, résoudre par le calcul l’inéquation : f (x) > g (x).

5) Soit h la fonction définie par h (x) = f (x). a) Déterminer son ensemble de définition. b) Etudier la parité puis les variations de h (On ne vous demande pas de tracer Ch).

II) Dans un repère orthonormal (O;1i ;1j ), on donne les points : A(3 ; 3) ; B(5 ; −3) ; C(−5 ; −1).

5 2 1 1) Démontrer que les droites d’équations : y = 3 x − 2 et y = − 3 x + 3 sont deux des médianes de ABC. 2) En déduire les coordonnées du centre de gravité de ABC.

III) ABCD est un carré de côté a, et E est le milieu de [AB]. La droite (AC) coupe la droite (DE) en F. 1) Démontrer que les triangles AFE et FDC sont semblables et déterminer le rapport k qui permet de passer de AFE à FDC. 2) Soit I le pied de la hauteur du triangle AFE issue de F. Déterminer FI. En déduire l'aire du triangle AFE en fonction de a.

3) En déduire l'aire du triangle FDC Quel est le rapport des aires du triangle FDC et du carré ABCD.

IV) ABC est un triangle isocèle en A tel que la médiatrice de [AC] coupe [BC] en D. Le point E est le point de la demi-droite [AD) tel que : AE = BD. 1) Montrer que ACD est isocèle.

2) Montrer que ABD et CAE sont isométriques.

3) En déduire que CDE est isocèle.

V) Soit Ω (2 ; −3) dans le plan muni d’un repère orthonormal (O;1i;1j ).

Pour tout point M(x ; y) du plan, on définit le point M'(x' ; y') par l’égalité : Ω 5 M' = −2 ΩM. 4 (1)  x' = −2 x + 6 1) a) Montrer que les coordonnées de M' sont données par :  y' = −2 y − 9  b) Soit les points : A (3 ; −2) ; B (0 ; −1). En déduire les coordonnées de A' et B'. c) En déduire que (A'B') est parallèle à (AB).

2) Retrouver le résultat du 1)c) en repartant directement de la relation (1) et en utilisant Chasles.

BAREME POSSIBLE :

I) 9,5pts

II) 2pts

III) 3,5pts

IV) 2,5pts

V) 2,5pts

2IJ

Composition de Mathématiques

2h

4 V 01

calculatrice autorisée

I) 1) Résoudre dans R : x2 − 16 > 0 2) En déduire Df l'ensemble de définition de la fonction f : x 7 x2 − 16 3) Etudier la parité de f .

4) Etudier ses variations et conclure par un tableau de variations sur Df tout entier.

5) Tracer Cf .

6) Résoudre graphiquement f (x) < − 2 x

II) Le carré ABCD ci-contre, de centre O, est inscrit dans un cercle.

Si son coté est compris entre 4 et 5 cm, quelle sera l'aire de la surface noire ?

On prendra 3,14 < π < 3,15 et on arrondira le résultat à l'unité πd2 (Rappel : l'aire d'un cercle de diamètre d est : 4 !!)

III) Soit f une fonction définie sur R par :

  

x 7 (x − 3)2 − 2 x 7 (x + 3)2 − 2

A

B O

D

si x > 0 si x < 0

1) Montrer que f est paire.

2) Montrer que pour tout x de R, f (x) > − 2 3) Etudier les variations de f sur [0 ; 3] puis sur [3 ; +∞[ et conclure par un tableau de variations sur R tout entier.

4) Tracer Cf .

5) Soit g la fonction définie sur R par x 7 (| x | − 3)2 − 2.

Est-il possible de s'aider de Cf pour tracer Cg ? pourquoi ?

IV) Quelles sont les inégalités vraies parmi les cent inégalités suivantes (Justifier) : 1+1 25+1 1+2 25+2 1+3 25+3 1+4 25+4 1+99 25+99 1+100 25+100 < ; < ; < ; < .......... < ; < 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4

Bonne chance !

BAREME APPROXIMATIF :

I) 6pts

II) 6pts

III) 6pts

IV) 2pts

C

2BF

DS de maths

1 heure 15

16 XII 98

calculatrice autorisée

I) Soient f et g les fonctions définies sur [ 1 ; +∞ [ par f : x 7

x+2 et g : x 7 2x–1

x² + 3 x – 4

1) Etudier les variations de f 2

3 25 2) Vérifier que pour tout réel x on a : x² + 3 x – 4 = x +  – 2 4  3) Etudier les variations de g 4) Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-contre : 5) Représenter graphiquement f et g dans un même repère (O;1i ;1j ) 6) Résoudre graphiquement f (x) > g(x)

x f (x) g(x)

II) Soit ABC un triangle. On appelle D, E et F les points définis par AD 3 =–

1

1,2

1,5

III) Quelles sont les inégalités vraies parmi les cent inégalités suivantes (Justifier) : 1+1 25+1 1+2 25+2 1+3 25+3 1+4 25+4 1+99 25+99 1+100 25+100 < ; < ; < ; < .......... < ; < 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 I) 11 pts II) 7 pts III) 2 pts

3

2 1 BA 3 ; AE 3 = BA 3 ; F3 C = 5 F3 A 3 4

Par D, on trace la parallèle à (BC) qui coupe (AC) en H 1) Faire une figure 2) Exprimer DH 3 en fonction de BC 3 3) Démontrer que (EF) et (DH) sont parallèles.

BAREME APPROXIMATIF :

2