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FONCTIONS III I) On considère la fonction f définie sur par x x2 + 1 1) Montrer que f admet un extremum en x = 0 2) Etudier la parité de f 3) Etudier les variations de f (ne pas oublier le tableau des variations) 4) Recopier et compléter le tableau de valeurs x –4 –2 –1 –0,5 0 0,5 ci-contre puis tracer Cf , la courbe f(x) représentative de f, dans un repère orthonormal (unité : 2cm ou 2 grands carreaux) 5) a) Déterminer à l'aide du graphique le nombre de solutions de l'équation f(x) = 3. b) Résoudre algébriquement dans , l'équation f(x) = 3 6) Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) > 2x +1 sur [– 4 ; 4 ]

1

2

4

1 x2 II) Soit g la fonction définie sur [-1;1] par x 1) Etudier la parité de g 2) Etudier les variations de g (conclure par un tableau de variations) 3) Reproduire le tableau de valeurs ci-dessous et tracer C la représentation graphique de g dans un repère orthonormé (unité = 5 grands carreaux) x g(x)

0

0,3

0,5

0,7

0,9

1

4) Soit M le point de C d'abscisse x, exprimer ses coordonnées en fonction de x, puis en déduire la distance OM. Que peut-on en déduire pour C ?

3 5) Résoudre graphiquement g (x) 2 III) Soit f la fonction définie sur

* par x

1  1 + x   

2

1) Etudier les variations de f sur ] ; [ 2) Tracer sa représentation graphique Cf ainsi que la courbe P d'équation y = x2 2 1  3) Résoudre graphiquement 1 + x  = x2   4) Peut-on déduire du 3) les solutions des équations ci-dessous (Justifiez votre réponse) : 1 1  1    a) 1 + x  = x b) 1 + x x1 + x + x = 0      IV) Soit f la fonction définie sur [0 ; 2] par f (x) = 2 x − x2 1) Montrer que pour tout x de [0 ; 2], f (x) = 1 (x )2 2) Etudier le sens de variation de f sur [0 ; 1] puis sur [1 ; 2]. Dresser le tableau de variations.

3) En déduire le maximum de f sur [0 ; 2].

4) Donner un tableau de valeurs puis tracer Cf dans un repère orthonormal (O;i ;j ) 5) Résoudre graphiquement l'équation f (x) = 1/2 6) Soient les points A(1 ; 0), B(2 ; 0) et M(x ; y) un point de Cf .

Calculer AM. Que peut-on en déduire pour Cf ?

7) Déterminer en fonction de x l'aire du triangle OMB. Peut-on déduire de ce qui précède, le triangle OMB dont l'aire est maximale ?

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V) Soit f la fonction définie sur

par x

4 x2 + 1

1) 2) 3) 4)

Etudier la parité de f Etudier les variations de f Tracer sa représentation graphique Cf ainsi que la droite D d'équation y = x + 3 a) Résoudre graphiquement f (x) = x + 3 b) Résoudre graphiquement f (x) x + 3 5) Déduire de ce qui précède les valeurs de a pour lesquelles l'inéquation suivante admet des solutions : 4 a+3 x (l'inconnue est x) a2 + 1

VI)1) Soit f la fonction définie sur [

x

2+

4

x2 . On appelle Cf sa représentation graphique.

4

a) Etudiez la parité de f. b) Etudiez les variations de f sur [-4;0], puis dressez le tableau de variations de f sur [-4;4] c) Faites un tableau de valeurs dans lequel vous ne présenterez les coordonnées que de 6 points de Cf que vous aurez choisis astucieusement.

(Remarque : Le but n'est jamais de calculer les coordonnées de beaucoup de points, mais plutôt de bien choisir les points dont on calcule les coordonnées pour que la courbe soit la plus précise possible) d) Tracer Cf au crayon à papier dans le plan muni d'un repère orthonormal (O;i ; j) avec || i || = || j || = 2 grands carreaux ou 2 cm 2) On a fait un trou de x cm de diamètre dans une planche horizontale et on vient positionner sur ce trou une balle de 2 cm de rayon. On s'intéresse à h(x) la hauteur dont la balle 2 h(x) dépasse de la planche et on appelle Ch la représentation graphique de la fonction h. a) Déterminer h(x) pour x > 4 b) Déterminer h(x) pour x 4 c) Tracer Ch à l'encre sur le graphique de la question 1)d) x d) Résoudre graphiquement h(x) 3 x VII) On souhaite encadrer le plus précisément possible A = x

quand –3

x

0

1) Après avoir encadré x – 1 et x – 5, encadrer A. 2) Essayons une autre méthode et intéressons nous à la fonction f définie sur

x

x x

a) Etudier les variations de f sur [–3 ; 0 ]. b) En déduire que sur cet intervalle, f ( 3) f (x) f (0) c) Laquelle des deux méthodes est-elle la meilleure ? Justifier.

VIII) Le périmètre d'un cercle est compris entre 48 et 50 cm. On choisit pour les calculs : 3,14 < π < 3,15 1) Peut-on proposer une valeur approchée du rayon du cercle à 0,2 cm près ? Laquelle ?

2) Même question à 0,1 cm près.