Звичайні дроби Звичайний дріб або простий дріб — запис раціонального числа в вигляді відношення двох чисел . Ділене m називається чисельником дробу, а дільник n — знаменником дробу. Правильним дробом називається дріб, у якого чисельник менше знаменника. Неправильним дробом називається дріб, у якого чисельник більший або рівний знаменнику. Будь-який неправильний дріб можна представити в вигляді натурального числа або суми натурального числа і правильного дробу. Мішаним числом називається число, яке записано в вигляді цілого числа і правильного дробу і розуміється, як сума цього числа і дробу.
Основна властивість дробів Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на однакову величину, що не дорівнює нулю, то буде отримано дріб рівний початковому, хоч дроби - різні. 2 = 2•2 = 4 , 6 = 6:2 = 3 3 3•2 6 8 8:2 4 Ця властивість використовується для того, щоб декілька дробів звести до найменшого спільного знаменника (НСЗ), тобто знайти дроби з однаковими знаменниками , що їм дорівнюють. Для цього треба: 1. Знайти НСК знаменників цих дробів, яке і буде НСЗ; 2. Розділити НСЗ на знаменники даних дробів(одержані числа називають додатковими множниками цих дробів); 3. Помножити чисельник і знаменник кожного дробу на його додатковий множник. Наприклад, зведіть дроби Розв'язання: 1. НСК (9, 6)=18. 2. Додаткові множники 18: 9=2, 18: 6=3. 3. Скороченням дробу називають ділення чисельника і знаменника на їх спільний дільник, відмінний від одиниці. Дріб, який не можна скоротити, називають нескоротним. При розв’язуванні задач відповідь, як правило, записують у вигляді нескоротного дробу.
Порівняння дробів Серед двох дробів з однаковими знаменниками більший той дріб, чисельник якого більше. Серед двох дробів з однаковими чисельниками більший той дріб, знаменник якого менше. Щоб порівняти два звичайних дроби слід привести їх до спільного знаменника і порівняти їх чисельники. Дріб з більшим чисельником буде більше. Перетворення десяткових дробів в звичайні дроби Щоб перетворити десятковий дріб в звичайний дріб, потрібно представити його дробову частину у вигляді натурального числа, поділеного на 10 в відповідній степені. Після чого спростити отриманий дріб і до результату приписати цілу частину з відповідним знаком, формуючи мішаний дріб.
Види десяткових дробів Існують скінченні і нескінченні десяткові дроби — періодичні і неперіодичні. Так число, яке може бути точно виражене у вигляді десяткового дробу називається скінченним періодичним дробом. Наприклад дріб 1/2 можна представити десятковим дробом 0,5. А при дробі 1/3 ми одержуємо 0,3333... — це нескінченний періодичний дріб з періодом 3, по іншому записують як 0(3). Прикладом нескінченного неперіодичного числа є число π — 3,141592... Періодичний десятковий дріб називається чистим періодичним дробом, якщо його період (група цифр, що повторюються) починається відразу після коми, а період може містити будь-яке кінцеве число цифр. Так, дріб 1,(3) — чистий періодичний дріб. Якщо періодичний десятковий дріб містить ще число, поміщене між цілою частиною і періодом, то такий періодичний дріб називаєтьсязмішаним; число періодичного дробу, що стоїть між цілою частиною і періодом, називається передперіодом цього дробу.
Дії над звичайними дробами Щоб додати дроби з однаковими знаменниками, треба додати чисельники, а знаменник залишити той самий. Наприклад, При відніманні дробів з однаковими знаменниками, від чисельника зменшуваного віднімають чисельник від’ємника, а знаменник залишають той самий. Щоб додати (відняти) дроби з різними знаменниками, треба звести дані дроби до найменшого спільного знаменника, а потім додати (відняти)одержані дроби. Щоб додати (відняти) мішані числа, то спочатку треба перевести їх в неправильний дріб, а вже потім виконувати необхідні дії. Щоб помножити дріб на дріб, треба добуток чисельників цих дробів записати чисельником, а добуток їх знаменників - знаменником одержаного дробу. Якщо можливо, скоротити одержаний дріб. Щоб помножити дріб на число,помножають чисельник на це число. Щоб перемножити мішані числа, треба записати їх у вигляді неправильних дробів. А потім скористатися правилом множення дробів. Щоб розділити один дріб на другий, треба чисельник першого дробу помножити на знаменник другого, а знаменник першого – на чисельник другого. Перший добуток записати чисельником одержаного дробу, а другий – знаменником. Щоб виконати ділення мішаних чисел, треба записати їх у вигляді неправильних дробів, а потім скористатися правилом ділення дробів. — математичний термін, що означає результат дії піднесення до степеня. Для натуральних n степінь числа a утворюється множенням числа на себе n разів. Часто степенем також нестрого називають показник степеня.
Дії зі степенями При спрощенні виразів зі степенями можна використовувати декілька базових правил або законів, що називаються правилами дій зі степенями[2]: 1. При перемножуванні двох або більше різних степеней з однаковими основами показники степеня додаються
2. При діленні одного степеня на інший з тією ж основою показник степеня знаменника віднімається від показника степеня чисельника.
3. При піднесені числа в якійсь степені до іншої степені показники перемножуються.
4. При піднесенні будь-якого числа(окрім нуля) в степінь з показником 0 одержуємо 1, так 5. При піднесенні числа в степінь з від'ємним цілим показником одержуємо величину,
зворотну цьому числу з додатнім степенем. Таким чином
.
Аналогічно Рівняння — аналітичний запис задачі знаходження аргументів, при яких дві задані функції рівні між собою. , де та - деякі задані функції, які називаються лівою та правою частинами рівняння, x елемент множини, на якій визначені функції f та g. Аргументи функцій рівняння називають невідомими (величинами), значення невідомих, при яких рівняння стає рівністю — коренями рівняння. Рівняння може мати один, кілька або нескінченно багато коренів, а може не мати кореня взагалі. Іноді математична задача накладає обмеження на множину, якій повинні належати розв'язки рівняння, наприклад, діофантові рівняння вимагають тількицілочисленного розв'язку. Існування та кількість коренів рівняння теж можуть залежати від множини: наприклад, рівняння має дійснихрозв'язків, однак має комплексні розв'язки.
не
Нормальна форма запису рівняння має вигляд: . До неї можна перейти, перенісши праву частину рівняння наліво. Рівняння в такій формі називається однорідним. Для того, щоб розв'язати рівняння, треба знайти його розв'язки або довести, що їх не існує. Агрументами фунцій, а, отже, невідомими рівнянь можуть бути не тільки числа, а й складніші математичні об'єкти. Наприклад, в диференціальних рівнянняхневідомими є функції, в операторних — оператори тощо.
Основні властивості рівняннь З алгебраїчними виразами, що входять до рівняння можна виконувати операції, які не змінюють його коренів, зокрема.
1. 2. 3.
У будь-якій частині рівняння можна розкрити дужки. У будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки. Будь-який член рівняння можна перенести з однієї частини в іншу, замінивши його знак
на протилежний. 4. Обидві частини рівняння можна множити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля.
Рівняння, які є результатом цих операцій є еквівалентними початковому рівнянню. Піднесення обох частин рівняння до квадрату може призвести до появи сторонніх коренів.
Розв'язування рівнянь Докладніше: Методи розв'язання нелінійних рівнянь Певні класи рівнянь мають аналітичні розв'язки, які зручні тим, що не тільки дають точне значення кореня, а дозволяють записати розв'язок у вигляді формули, до якої можуть входити параметри. Аналітичні вирази дозволяють не тільки обрахувати корені, а провести аналіз їхнього існування та їхньої кількості в залежності від значень параметрів, що часто буває навіть важливіше для практичних застосувань, ніж конкретні значення коренів. До рівнянь, для яких відомі аналітичні розв'язки, належать алгебраїчні рівняння, не вище четвертого степеня: лінійне рівняння, квадратне рівняння, кубічне рівняння та рівняння четвертого степеня. Алгебраїчні рівняння вищих степенів у загальному випадку аналітичного розв'язку не мають, хоча деякі з них можна звести до рівнянь нижчого степеня. Рівняння, до яких входять трансцендентні функції називаються трансцендентними. Серед них аналітичні розв'язки відомі для деяких тригонометричних рівнянь, оскільки нулі тригонометричних функцій добре відомі. У загальному випадку, коли аналітичного розв'язку знайти не вдається, застосовують чисельні методи. Чисельні методи не дають точного розв'язку, а тільки дозволяють звузити інтервал, в якому лежить корінь, до певного наперед заданого значення. Лінійне рівняння — рівняння, обидві частини якого визначаються лінійними функціями. Найпростіший випадок має вигляд
Числа а і b є коефіцієнтами лінійного рівняння: а — коефіцієнт при змінній, b — вільний член. Отримали назву лінійних через те, що визначають лінію на площині або в просторі. [ред.]Властивості •
Якщо
лінійних рівнянь , рівняння має єдиний розв'язок:
• Якщо тільки
•
, рівняння не має жодного кореня:
Якщо ж і
[ред.]Спрощення
і
, рівняння має безліч коренів:
рівняння і зведення до лінійного
Виконувати в такій послідовності:
1. 2.
Позбутись знаменників, якщо вони є. Розділити рівняння на лінійні, якщо воно подане у вигляді рівного нулю
добутку сум.
3.
Розкрити дужки, якщо вони є. Якщо після цього утворилось багато
членів в будь-якій його частині, то доцільно спочатку звести подібні доданки, а потім виконувати переноси. 4. Перенести члени зі змінними в ліву частину, а числа — в праву.
5. 6.
Звести подібні доданки.
Знайти корені. 7. Ознака подільності на 2 8. Число ділиться на 2 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра ділиться на 2, тобто є парною. 9. Нариклад: 2, 8, 16, 24, 66, 150 — діляться на 2, так як остання цифра цих чисел парна; 3, 7, 19, 35, 77, 453 — не діляться на 2, так яка остання цифра цих чисел непарна.
10. Ознака подільності на 3 11. Число ділиться на 3 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 3. 12. Нариклад: 471 — ділиться на 3, так як 4+7+1=12, я число 12 ділиться на 3; 532 — не ділиться на 3, так як 5+3+2=10, а число 10 не ділиться на 3.
13. Ознака подільності на 4 14. Число ділиться на 4 тоді и тільки тоді, коли дві його останні цифри складають число, яке ділиться на 4. Двозначне число ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли подвоєне число десятків, складене з числом одиниць ділиться на 4. 15. Нариклад: 4576 — ділиться на 4, так як число 76 (7·2+6=20) ділиться на 4; 9634 — не ділиться на 4, так як число 34 (3·2+4=10) не ділиться на 4.
16. Ознака подільності на 5 17. Число ділиться на 5 тоді, коли його остання цифра дорівнює 0 або 5. 18. Нариклад: 375, 5680, 233575 — діляться на 5, так як їх останні цифри дорівнюють 0 або 5; 9634, 452, 389753 — не діляться на 5, так як їх останні цифри не дорівнюють 0 або 5.
19. Ознака подільності на 6 20. Число ділиться на 6 тоді і тільки тоді, коли воно ділиться і на 2, і на 3, тобто якщо воно парне і сума його цифр ділиться на 3.
21. Нариклад: 462, 3456, 24642 — діляться на 6, так як вони діляться одночасно і на 2, і на 3; 861, 3458, 34681 — не діляться на 6, так як 861 не ділиться на 2, 3458 не ділиться на 3, 34681 не ділиться на 2.
22. Ознака подільності на 9 23. Число ділиться на 9 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 9. 24. Нариклад: 468, 4788, 69759 — діляться на 9, так як сума їх цифр ділиться на 9 (4+6+8=18, 4+7+8+8=27, 6+9+7+5+9=36); 861, 3458, 34681 — не діляться на 9, так як сума їх цифр не ділиться на 9 (8+6+1=15, 3+4+5+8=20, 3+4+6+8+1=22).
25. Ознака подільності на 10 26. Число ділиться на 10 тоді і тільки тоді, коли воно закінчується на нуль.
Середнє арифметичне. Означення. Середнє арифметичне декількох відношення суми всіх чисел до їх кількості. Середнє арифметичне =
Наприклад: для двох чисел
a і
b середнє арифметичне дорівнює a +
b 2
для трьох чисел
a ,
b і
c
сума чисел кількість чисел
чисел
—
це
середнє арифметичне дорівнює a +
b +
c 3
і так далі. Приклад 1. Вася зірвав з дерева 4 груші, Катя — 2 груші, а Маша — 6. Діти склали фрукти разом і поділили порівну. Скільки груш дісталось кожному з них? Розв'язок. Знайдемо середнє арифметичне: 4+2+6 3
=
12 3
=4
Відповідь: кожному дісталось по 4 груші.
Приклад 2. На курси іноземної мови в понеділок прийшло 15 чоловік, у вівторок — 10, в середу — 12, в четверг — 11, в п'ятницю — 7, в суботу — 14, у неділю — 8. Знайти середнє відвідування курсів за неділю. Розв'язок. Знайдемо середнє арифметичне: 15 + 10 + 12 + 11 + 7 + 14 + 7 8 = 7 = 11 7
Відповідь: в середньому на приходило 11 чоловік в день.
7
курси
іноземної
мови
Приклад 3. Гонщик їхав дві години зі швидкістю 120 км/год і годину зі швидкістю 90 км/год. Знайдіть середню швидкість автомобіля під час гонки. Розв'язок. Знайдемо середнє арифметичне швидкостей автомобіля за кожну годину шляху: 120 + 120 + 90 3
Відповідь: середня була 110 км/год.
швидкістю
=
330 3
= 110
автомобіля
під
час
гонки
Приклад 4. Середнє арифметичне 3-х чисел дорівнює 6, а середнє арифметичне 7-ми інших чисел дорівнює 3. Чому дорівнює середнє арифметичне цих десяти чисел? Розв'язок. Так як середнє арифметичне 3-х чисел дорівнює 6, то їх сума дорівнює 6 · 3 = 18, аналогічно сума інших 7-ми чисел рівна 7 · 3 = 21. Отже, сума всіх 10-ти чисел буде 18 + 21 = 39, а середнє арифметичне дорівнює 39 10
= 3.9
Відповідь: середнє арифметичне 10-ти чисел дорівнює 3.9.