Trigonometria

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TRIGONOMETRÍA / TRIGONOMETRY Ing. E. Sergio Vázquez Castaño Objetivo General: Proporcionar a los estudiantes de la carrera, los conocimientos matemáticos básicos y fundamentales necesarios para comprender, analizar y aplicar los conceptos, métodos y procedimientos de las materias consecuentes, que le permitan analizar y resolver problemas relacionados con la Trigonometría Plana y esférica.

Temario 1.

TRIGONOMETRÍA PLANA. 1.1 Funciones trigonométricas. 1.1.1 Ángulos. 1.1.2 Triángulos rectángulos. 1.1.3 Funciones trigonométricas. 1.1.4 Identidades. 1.1.5 Funciones trigonométricas de cualquier ángulo. 1.1.6 Variación y gráficas de las funciones trigonométricas. 1.2 Trigonometría analítica. 1.2.1 Ecuaciones trigonométricas. 1.2.2 Suma y diferencia de dos ángulos. 1.2.3 Múltiplos de un ángulo. 1.2.4 Producto y factorización. 1.2.5 Funciones trigonométricas inversas. 1.3 Aplicaciones. 1.3.1 Ley de los senos. 1.3.2 Ley de los cosenos. 1.3.3 Forma trigonométrica para números complejos. 1.3.4 Teorema de Moivre y raíces N-ésimas de números complejos. 1.3.5 Vectores.

2.

TRIGONOMETRÍA ESFERICA. 2.1 Geometría del espacio. 2.2 Triángulos esféricos rectángulos. 2.3 Resolución de triángulos esféricos rectángulos. 2.4 Triángulos esféricos oblicuángulos. 2.5 Resoluciones normales de triángulos esféricos oblicuángulos. 2.6 Resoluciones alternas de triángulos esféricos oblicuángulos.


TRIGONOMETRÍA / TRIGONOMETRY Ing. E. Sergio Vázquez Castaño 3.

GEOMETRÍA ANALÍTICA. 3.1 Rectas. 3.2 Propiedades de las rectas. 3.3 Circunferencia. 3.4 Secciones cónicas. 3.4.1 Parábola. 3.4.2 Elipse. 3.4.2 Hipérbola.

Bibliografía Tipo

Título

Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica

1

Texto

2

Consulta

Trigonometría Moderna

3

Consulta

Trigonometría Plana y Esférica

Autor

Earl W. Swokowski

Kaj L. Nielsen Frank Ayres Jr.

Editorial

Año

Grupo Editorial Iberoamérica

1988

CECSA Mc Graw Hill

1973 1980


TRIGONOMETRÍA / TRIGONOMETRY Ing. E. Sergio Vázquez Castaño

1. TRIGONOMETRÍA PLANA / PLANE TRIGONOMETRY. La trigonometría fue inventada hace más de 2000 años por los griegos, quienes necesitaban métodos preciosos para medir ángulos y lados de triángulos. De hacho, la palabra trigonometría se deriva de las palabras griegas trigonon (triángulo) y metria (medición). La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separó de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que forma parte de las matemáticas.

1.1 Funciones trigonométricas. 1.1.1 Ángulos. En trigonometría, con frecuencia se interpretan los ángulos como rotaciones de líneas.

Si introducimos un sistema de coordenadas rectangulares, entonces la posición estándar de un ángulo se obtiene al colocar el vértice en el origen y hacer que el lado inicial coincida con el eje x positivo. Si el lado inicial se hace girar en dirección contraria al giro de las manecillas de un reloj hasta la posición terminal, el ángulo se considera positivo. Si el lado inicial gira en dirección de las manecillas, el ángulo es negativo.


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Clasificación de los ángulos


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Ángulos complementarios y suplementarios Two positive angle α and β are complementary (complements of aech other) if their sum is π/2. Two positive angles are supplementary (supplements of each other) if their sum is π.

Ángulos coterminales /Coterminals angles Se dice que dos ángulos en posición estándar son coterminales si tienen el mismo lado inicial y el mismo lado terminal, pero diferentes giros.

Algunas veces es necesario determinar una expresión que genere todos los ángulos coterminales con un ángulo dado. Por ejemplo, se puede obtener cualquier ángulo coterminal con 60° sumando un múltiplo entero apropiado de 360° a 60°. Sea que n represente cualquier entero; entonces la expresión 60° + n ∙ 360° Representa todos los ángulos coterminales. La tabla muestra algunas posibilidades.


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Grados (sistema sexagesimal) El ángulo formado al girar el lado inicial exactamente una vez en dirección contraria a las manecillas del reloj hasta que coincide consigo mismo (1 vuelta), se dice que mide 360 grados, abreviado 360°

Nota: Los babilonios fueron los primeros en subdividir la circunferencia del círculo en 360 partes, hay varias teorías de por qué se eligió el numero 360. Una de ellas afirma que es aproximadamente el número de días en un año, y este número tiene varios divisores, gracias a lo cual resulta conveniente trabajar con él. Otra rebuscada teoría versa sobre la longitud de una milla babilónica.

Radianes /Radians La medida en radianes de un ángulo se obtiene al asignar a un ángulo en sentido positivo cuya longitud de arco es igual al radio de la circunferencia, el número 1 radián (rad); a las particiones posibles de la vuelta, el número proporcional teniendo en cuenta que un ángulo central al dar una vuelta completa, determina un arco de longitud 2πr.

Por lo anterior, la medida en radianes del ángulo de una vuelta es obtenemos las equivalencias 2π rad ↔ 360° ↔ 1 vuelta o revolución.

donde


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Notación El símbolo rad indica que una cantidad está expresada en radianes: 3π rad = 3π radianes. De todas formas, cuando no se añade ningún símbolo a la medida de un ángulo es porque está expresado en radianes. Equivalencias o conversiones

Grados centesimales La circunferencia se puede dividir en 400 partes iguales luego podemos establecer otra unidad de medida llamada grados centesimales. Los grados centesimales corresponden a una unidad de medida en base 10. Es decir un grado centesimal es igual a 10 décimos y un décimo es igual a 10 céntimos. En esta unidad de medida, que notamos con un super cero y una C. 

La circunferencia mide 400°C grados centesimales.

Una semiciercunferencia mide 200°C grados centesimales.

Un ángulo recto mide 100°C

Un ángulo α es agudo si su medida en grados centesimales está entre 0 < α < 100°C.

Un ángulo β es obtuso si su medida en grados centesimales está entre 100°C < β < 200°C.

Dos ángulos α y β son complementarios si su suma mide α + β = 100°C.

Dos ángulos α y β son suplementarios si su suma es igual a α + β = 200°C.


TRIGONOMETRÍA / TRIGONOMETRY Ing. E. Sergio Vázquez Castaño Podemos establecer las siguientes relaciones:

1.1.2 Triángulos rectángulos./ Right triangle

Un triángulo en el que un ángulo es recto (90°) se llama triángulo rectángulo. Recuerde que el lado opuesto al ángulo recto es llamado hipotenusa y los otros dos lados son los catetos del triángulo. En la siguiente figura, se han marcado la hipotenusa como c, para indicar que su longitud es c unidades y, de una manera parecida, se han marcado los catetos como a y b. Ya que el triángulo es un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras nos dice que a2 + b2 = c2

1.1.3 Funciones trigonométricas. Llamando a las longitudes de los lados del triángulo con los nombres hipotenusa (c), cateto opuesto (b) y cateto adyacentes (a), como se indica en la siguiente figura, se puede expresar las funciones trigonométricas de θ como las razones de los lados de un triángulo rectángulo:


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En una situación en la cual dos observadores A y B estén situados de tal manera que B se encuentre arriba del nivel de visión de A, a menudo nos referiremos al ángulo de elevación o al ángulo de depresión, como se indica en la siguiente figura:

1.1.4 Identidades. Una identidad es una igualdad que se verifica para todos los valores posibles de la variable.


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Nota: Es costumbre escribir sen2 θ en lugar de (sen θ)2, cos2 θ en lugar de (cos θ)2, etcétera.

1.1.5 Funciones trigonométricas de cualquier ángulo. Para ampliar las definiciones de las funciones trigonométricas de manera que incluyan ángulos que no son agudos, se emplea un sistema de coordenadas rectangulares y se coloca el ángulo en la posición estándar, de modo que su vértice esté en el origen y su lado inicial en el lado positivo del eje x.


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1.1.6 Variación y gráficas de las funciones trigonométricas. Funciones seno y coseno


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Amplitud / Amplitude

Periodo / Period

Traslación horizontal / Horizontal translation

Traslacion vertical / Vertical translation


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Función tangente


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