Trabajo y energia mecánica by Sergio

TEXTO Nº 6

TRABAJO Y ENERGÍA MECÁNICA Conceptos Básicos Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos

Edicta Arriagada D. Victor Peralta A Diciembre 2008 Sede Maipú, Santiago de Chile

Introducción Este material ha sido construido pensando en el estudiante de nivel técnico de las carreras de INACAP. El objetivo principal de este trabajo es que el alumno adquiera y desarrolle la técnica para resolver problemas diversos de la unidad de Trabajo y Energía. En lo particular pretende que el alumno logre el aprendizaje indicado en los criterios de evaluación (referidos al cálculo de variables) del programa de la asignatura Física Mecánica. El desarrollo de los contenidos ha sido elaborado utilizando un lenguaje simple que permita la comprensión de los conceptos involucrados en la resolución de problemas. Se presenta una síntesis inmediata de los conceptos fundamentales de Trabajo y Energía partículas, seguida de ejemplos y problemas resueltos que presentan un procedimiento de solución sistemático que va desde un nivel elemental hasta situaciones más complejas, esto, sin saltar los pasos algebraicos que tanto complican al alumno, se finaliza con problemas propuestos incluyendo sus respectivas soluciones.

TRABAJO Y POTENCIA En física el concepto de trabajo no es tan amplio como lo es en la vida diaria, en física se  denomina trabajo mecánico y se dice que se produce cuando una fuerza F experimenta  un desplazamiento r a lo largo de su recta de acción o componente de ella. El trabajo mecánico es una magnitud escalar que se simboliza por W y se define por:   W = F ⋅ r ⋅ cos θ = F • r Donde:  F = magnitud o módulo de la fuerza F  r = magnitud o módulo del desplazamiento r



θ = ángulo formado entre los vectores fuerza F y desplazamiento r

La definición anterior permite notar que no se realiza trabajo mecánico (trabajo nulo) cuando el vector fuerza y el vector desplazamiento forman un ángulo recto ( θ = 90º ), ya que cos 90º = 0 , es decir:    Si F ⊥ r , entonces la fuerza F no se realiza trabajo mecánico ( W = 0 )

Unidades de trabajo mecánico: Trabajo mecánico

  W = F •r

CGS

MKS

d ⋅ cm = erg

N ⋅ m = joule = J

TEC. METRICO

TEC. INGLES

kp ⋅ m = kilogrametro = kgm librapie = lbpie

1kgm = 9,8 J = 9,8 × 10 7 erg 1 J = 10 7 erg

Trabajo motor: 3

Cuando el sentido de la fuerza coincide con el sentido del desplazamiento, entonces el trabajo se llama trabajo motor, ejemplo la fuerza ejercida para levantar un cuerpo, la fuerza realizada para alargar un resorte, etc.

La fuerza F realiza trabajo motor

Trabajo resistente: Cuando el sentido de la fuerza es contrario al sentido del desplazamiento, entonces el trabajo se llama resistente, ejemplo el trabajo realizado por la fuerza de fricciรณn, al arrastrar un cuerpo sobre una superficie rugosa, el trabajo realizado por el peso de un cuerpo, al ser levantado

El peso mg realiza trabajo resistente

Ejemplo 1

 Una fuerza constante F = 20 N paralela al eje x actúa sobre un cuerpo, tal como indica la figura, si el cuerpo experimenta un desplazamiento de 12 metros en el mismo sentido de la fuerza F ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza F ? Despreciar efectos de fricción.

F = 20 N

Solución: Movimiento

F = 20 N

La situación planteada x correspon de al caso r = 12m más simple respecto al cálculo de trabajo mecánico realizado por una fuerza constante, la solución consiste en aplicar directamente la definición antes indicada, es decir: W = F ⋅ r ⋅ cos θ

Se conocen todos los valores involucrados en la definición:

 Fuerza F = 20 N ; desplazamiento r = 12m y el ángulo θ = 0º Reemplazando estos valores y multiplicando se obtiene: W = 20 N ⋅ 12m ⋅ cos 0º = 20 N ⋅ 12m = 240 J

 Como el resultado es positivo, significa que el trabajo realizado por la fuerza F es un trabajo motor.

Ejemplo 2 Un cuerpo de 40 kg descansa sobre una superficie horizontal. Sobre el cuerpo actúa una fuerza de 600N a un ángulo de 20º por encima de la horizontal, tal como indica la figura. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el cuerpo y la superficie vale 0,3. Calcular: 5

a) b) c) d)

Trabajo realizado por la fuerza F en un recorrido de 15 metros. Trabajo realizado por la fuerza normal en un recorrido de 15 metros. Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento en un recorrido de 15 metros. Trabajo realizado por la fuerza peso en un recorrido de 15 metros. F = 600 N

20º

 Solución (a): Trabajo realizado por la fuerza F .

Se elige el sistema coordenado horizontal para el eje x y vertical para el eje y

F = 600 N

20º

µ k = 0,3 r = 15m

Por definición se tiene: W = F ⋅ r ⋅ cos θ

Reemplazando valores numéricos: W = 600 N ⋅ 15m ⋅ cos 20º

 Finalmente multiplicando se obtiene el trabajo realizado por la fuerza F , es decir:

Solución (b): Trabajo  normal N .

W = 8457,234 J

realizado por fuerza

 N

Por definición se tiene: 90º

W = N ⋅ r ⋅ cos θ

 r 6

  En este caso el ángulo formado entre la fuerza normal N y el desplazamiento r es igual a 90º y como cos 90º = 0 , se tiene que el trabajo de la fuerza normal vale cero, es decir:

WFuerza Normal = 0

Solución (c): Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento f . Por definición se tiene:

W = f ⋅ r ⋅ cos θ

Pero:

f = µ⋅N

(1)

(2)

Reemplazando (2) en (1) se tiene: 180º

 f

W = µ ⋅ N ⋅ r ⋅ cos θ

 r

Se conoce el valor de todas las variables excepto la fuerza normal. µ = 0,3 ; r = 15m y θ = 180º (ángulo entre la fuerza de roce y el desplazamiento) Calculo de fuerza normal: Como el cuerpo se mueve solo en el eje x, significa que la sumatoria de las fuerzas en el eje y debe ser igual a cero, es decir: y Movimiento N + Fsenθ − mg = 0 N

Despejando fuerza normal se obtiene: N = mg − Fsenθ

F 20º

Reemplazando los valores correspondientes: N = 392 N − 600 N ⋅ sen20º

Multiplicando: N = 186,788 N

Ahora sí se conocen todos los datos y por lo tanto es posible utilizar la ecuación (1) para calcular el trabajo realizado por la fuerza de fricción, esto es: 7

W = µ ⋅ N ⋅ r ⋅ cos θ W = 0,3 ⋅ 186,788 N ⋅ 15m ⋅ cos180º

Multiplicando: W = −840,546 J El signo negativo significa que es un trabajo resistente.  Solución (c): Trabajo realizado por la fuerza peso ( mg ).

Por definición se tiene que el trabajo realizado por el peso del cuerpo es: W = mg ⋅ r ⋅ cos θ

Como el ángulo que forman el vector peso y el vector desplazamiento es de θ = 90º , significa que el trabajo realizado por el peso del cuerpo es igual a cero ya que cos 90º = 0 , por lo tanto: WPeso = 0

Trabajo neto o trabajo total realizado sobre un cuerpo: Como sobre un cuerpo pueden actuar varias fuerzas en forma simultanea, el trabajo total realizado sobre el cuerpo es igual a la suma algebraica de los trabajos parciales realizados por cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, es decir: WTotal = W1 + W2 + ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ +Wn

Ejemplo: Determinar el trabajo total realizado sobre el cuerpo del ejemplo anterior. 8

Solución: Como se conoce el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo del ejemplo anterior, basta sumar cada uno de estos valores, es decir, WTotal = WFuerza F + WFuerza Normal + WFuerza Roce + WFuerza Peso Reemplazando los valores correspondientes para cada trabajo, se tiene: WTotal = 8457,234 J + 0 − 840,546 J + 0 Es decir: WTotal = 7616,688 J Como resulto un valor positivo, significa que el trabajo total realizado sobre el cuerpo es un trabajo motor. Otra solución: También es posible determinar el trabajo total realizado sobre el cuerpo, utilizando la fuerza resultante que actúa en el cuerpo, en la dirección del movimiento, es decir,  utilizando la componente R x de la fuerza resultante.

 El trabajo realizado por la fuerza R x queda determinado por definición: WTotal = R x ⋅ r ⋅ cos θ

 Como R x está en la dirección del eje x y el desplazamiento del cuerpo es en el eje x, significa que el ángulo θ es igual a cero y por lo tanto cos 0º = 1 . Entonces: WTotal = R x ⋅ r Como se conoce el valor del desplazamiento r = 15m , hay que calcular la fuerza resultante en el eje x, esto es:  R x = F ⋅ cos 20º − f  R x = F ⋅ cos 20º − µ ⋅ N

Los valores de las variables son: 9

F = 600 N

; µ = 0,3 y

N = 186,788 N

Reemplazando:

 Rx = 600 N ⋅ cos 20º - 0,3 ⋅186,788N Multiplicando y restando se obtiene:  R x = 507,779 N

 Conocido el valor de la resultante R x es posible aplicar la definición de trabajo anteriormente indicada, es decir: WTotal = R x ⋅ r WTotal = 507,779 N ⋅ 15m Finalmente, multiplicando se obtiene el trabajo total realizado sobre el cuerpo.

WTotal = 7616,688 J

Trabajo realizado por un resorte ideal: Es un caso particular de trabajo realizado por una fuerza variable. Un resorte ideal es aquel que cumple exactamente con la ley de Hooke. Ley de Hooke: La fuerza F necesaria para alargar (acortar) un resorte en una longitud x es directamente proporcional al alargamiento (acortamiento), matemáticamente la ley de Hooke se expresa por: F = K⋅x

Donde K representa una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de restitución o constante elástica del resorte que para nuestro objeto de estudio se puede afirmar que depende del material y del proceso de fabricación del resorte. 10

F = −K ⋅ x

Fuerza realizada por el resorte

F = K⋅x

Fuerza realizada sobre el resorte

Unidad de medida de la constante K . Si se usa el sistema internacional, las unidades de la constante K deben ser expresadas en N kN o , donde kN = kilo Newton = 1000 N m m

Si se usa el sistema ingles, las unidades de la constante K deben ser expresadas en lbf lbf o pie pulg El trabajo realizado sobre un resorte ideal queda determinado por: 1 K ⋅ x2 2 Siendo K la constante elástica del resorte y x el alargamiento (acortamiento). W =

El trabajo realizado sobre un resorte ideal para llevarlo desde la posición x1 hasta la posición x 2 queda determinado por: W =

(

1 2 2 K ⋅ x 2 − x1 2

)

Ejemplo 1

Un resorte ideal tiene una constante elástica de 3800

N , determinar el trabajo realizado m

para alargarlo en una longitud de 6cm.

Solución: El trabajo realizado sobre un resorte ideal queda determinado por: W =

La información indica que K = 3800

1 K ⋅ x2 2

N y el alargamiento x = 6cm = 0,06m . m

Al reemplazar en la formula anterior, se obtiene: W =

1 N ⋅ 3800 ⋅ 0,06 2 m 2 2 m

Cancelando la unidad de metro y multiplicando resulta el valor pedido, es decir:

W = 6,84 J

Recordar que N ⋅ m = J Ejemplo 2 Un cuerpo de 28 kg produce un alargamiento de 0,4 m sobre un resorte ideal, determinar: a) la constante elástica del resorte. b) El trabajo realizado sobre el resorte para comprimirlo una longitud de 0,3m. Solución (a): Cálculo de la constante elástica del resorte. Como el cuerpo de 28 kg ejerce una fuerza sobre el resorte ideal, se cumple la Ley de Hooke, esto es: F = K⋅x

Despejando la constante K resulta: F =K x En este caso la magnitud de la fuerza F , corresponde al peso del cuerpo, es decir:

F = mg = 28kg ⋅ 9,8

m = 274,4 N s2 12

Por lo tanto, al reemplazar el valor de F se obtiene: 274,4 N =K 0,4m Finalmente, dividiendo se tiene el valor de N la constante K en . m K = 686

x = 0,4m

N m

El resultado obtenido significa que por cada metro de alargamiento se necesita una fuerza de 686 N .

28kg

Solución (b) Cálculo de trabajo realizado sobre el resorte, para comprimirlo una longitud de 0,3m. El Trabajo realizado sobre un resorte ideal queda determinado por la fórmula: W =

1 ⋅ K ⋅ x2 2

Como se conoce el valor de la constante K y el valor de la longitud comprimida x , basta con reemplazar estos valores y realizar la multiplicación, es decir: W =

1 N ⋅ 686 ⋅ 0,3 2 m 2 2 m

W = 30,87 J

Ejemplo 3 N , determinar el trabajo realizado m sobre el resorte para alargarlo desde la posición ya deformada de 0,1m hasta la posición de 0,4m.

Un resorte ideal tiene una constante elástica de 6200

Solución: El trabajo realizado sobre un resorte para alargarlo desde una posición ya deformada hasta otra posición, queda determinado por:

(

)

1 2 2 K ⋅ x 2 − x1 2 Como se conocen todas las variables, solo hay que reemplazarlas y realizar la operatoria indicada: W =

W =

(

)

1 N 6200 ⋅ 0,4 2 − 0,12 m 2 2 m

Resolviendo el paréntesis y multiplicando se obtiene el trabajo realizado sobre el resorte, es decir: W = 465 J

Representación grafica del trabajo. El área que queda comprendida en un grafico fuerza – posición, representa el trabajo mecánico realizado sobre un cuerpo.

Trabajo realizado por fuerza constante: Fuerza

W = F ⋅r

Posición

El área de una región rectangular se obtiene multiplicando el largo por el ancho, por lo tanto:

Area bajo la curva = A = F ⋅ r = W 14

Donde F es el modulo de la fueraza en la dirección del movimiento. r es el módulo del desplazamiento.

Trabajo realizado por fueraza variable (caso particular de trabajo realizado sobre un resorte ideal) Deformar el resorte una longitud x respecto de su posición de equilibrio (resorte sin deformar) Fuerza F = K⋅x

La inclinación de la línea recta representa el valor de la constante K

W =

1 ⋅ K ⋅ x2 2

Posición

El área de una región triangular se obtiene multiplicando un medio de la base del triángulo por su altura, es decir:

Area bajo la cuva = A =

1 1 1 ⋅ base ⋅ altura = ⋅ x ⋅ K ⋅ x = K ⋅ x 2 = WRelizado sobre el resorte 2 2 2

Donde: 15

K = constante elástica del resorte x = alargamineto (acortamiento)

F = K⋅x

F1 W =

(

1 ⋅ K ⋅ x2 2 − x12 2

)

Area bajo la curva = W =

(

1 2 ⋅ K ⋅ x2 − x 2

Posición

)

Ejemplo 1 Determinar el trabajo representado por la grafica siguiente:

F (N )

La región sombreada corresponde a un rectángulo y por lo tanto su área se obtiene multiplicando el largo por el ancho: A = 25 N ⋅ 14m = 350 J

Por lo tanto el trabajo realizado por la fuerza de 25 N es de 350 J.

Ejemplo 2 Determinar el trabajo representado por la siguiente grafica. F (N ) 2500

1000

0,2

0,5

x(m)

Solución: Se sabe que el área que queda comprendida bajo la curva en un grafico fuerza versus posición, representa el trabajo realizado. El área de la región sombreada se puede obtener por una resta entre el área del triángulo mayor y el área del triángulo menor, esto es: A =W =

1 1 ⋅ 2500 N ⋅ 0,5m − ⋅ 1000 N ⋅ 0,2m 2 2

Multiplicando y restando se obtiene el trabajo que se busca. 17

A = W = 525 J

Ejemplo 3 Determinar el trabajo representado por la grafica. F (N ) 4480

1920

0,7

0,3

x(m)

Solución: También es posible calcular el área achurada utilizando la formula del área de un trapecio, esto es: Base menor

ATrapecio =

(base mayor + base menor ) ⋅ altura Altura

Base mayor

Recordando que las bases corresponden a los lados paralelos y la altura a la distancia perpendicular entre las bases, se tiene que: W =

(4480 + 1920)N ⋅ 0,4m 2

Sumando, multiplicando y dividiendo se obtiene el valor del trabajo realizado, es decir: W = 1280 J 18

Potencia mecánica (P) (Potencia media) Se define como el cuociente entre el trabajo realizado y el tiempo empleado en realizar dicho trabajo, es decir: P=

W t

Unidades para medir Potencia: Trabajo mecánico W P= t

CGS erg s

MKS

TEC. METRICO

TEC. INGLES

kgm s

lbpie s

J = Watt = W s

Otras unidades de potencia: 1 Kilo Watt = 1 KW = 1000W 1 Caballo Vapor = 1CV ≅ 736W 1 Caballo fuerza = 1HP ≅ 746W

Potencia y velocidad Por definición, se tiene que: P=

W t

  Pero W = F • r = F ⋅ r ⋅ cos θ Entonces: P=

Pero

F ⋅ r ⋅ cos θ t

r = vm t

Entonces: P = F ⋅ v m ⋅ cos θ

  = F • vm 19

De la expresión anterior se puede decir que la potencia corresponde a la rapidez con la que se realiza trabajo. Ejemplo 1 Una grúa levanta una carga de 3200 kg a una altura de 18 metros respecto al suelo, utilizando un tiempo de 15 segundos. ¿Cuál es la potencia media desarrollada por la grúa? Solución: El problema plantea determinar la potencia media desarrollada por una grúa, por lo tanto utilizamos la definición de potencia media, esto es: P=

W t

Se necesita conocer el trabajo mecánico y el tiempo empleado en dicho trabajo. Como se entrega el tiempo empleado, se debe calcular en primer lugar el trabajo W . Calculo de trabajo:

W = F ⋅ r ⋅ cos θ

En este caso, la fuerza F corresponde al valor del peso mg del cuerpo; el valor del  desplazamiento corresponde a la altura 18 metros y como la fuerza F y el desplazamiento son verticales y en el mismo sentido, significa que θ = 0º y por lo tanto cos 0º = 1 De lo anterior se tiene entonces:

W = mg ⋅ h

Reemplazando los valores correspondientes, se tiene: m ⋅ 18m s2 Multiplicando resulta el trabajo realizado para elevar la carga a 18 metros de altura, es decir: W = 3200kg ⋅ 9,8

W = 564480 J

Ahora, como se conoce el trabajo, aplicamos la definición de potencia, es decir: P=

W 564480 J = t 15s

Dividiendo: P = 37632 W 20

Ejemplo 2: ¿Que cantidad de trabajo puede realizar un motor de 5 CV en un tiempo de 10 s? Solución: Según información, se tiene un motor de 5 CV y se pide determinar la cantidad de trabajo que puede hacer en 10 segundos. Aplicando la definición de potencia, se tiene: P=

W t

Despejando el trabajo W resulta: P ⋅t = W

Reemplazando los valores para potencia y tiempo se tiene:

J 3680 ⋅10 s = W s

Multiplicando se obtiene el trabajo en joule, es decir:

W = 36800 J

Esto significa que el motor de 5 CV puede desarrollar 36800 J de trabajo en un tiempo de 10 segundos. Ejemplo 3 Un ascensor, junto con su carga máxima tiene una masa de 3200 kg. Si se quiere que el ascensor se eleve con una velocidad de 1,5 m/s ¿Cuál debe ser la potencia media que debe tener el motor a utilizar? Solución: En este caso se pide que el ascensor se mueva con la velocidad constante, esto indica que es posible utilizar la formula que relaciona la potencia con la velocidad, es decir: P = F ⋅ v ⋅ cos θ

El valor de la fuerza F corresponde al peso del ascensor, incluyendo su carga máxima, por lo tanto: F = mg = 3200kg ⋅ 9,8

m = 31360 N s2 21

  El ángulo θ = 0º ya que tanto la fuerza ejercida F como la velocidad v son verticales y dirigidas hacia arriba.

Energía mecánica La energía es un concepto abstracto que científicamente se define como la capacidad de un cuerpo (o sistema) para realizar trabajo, según ésta definición, la energía se mide en las mismas unidades en que se mide el trabajo mecánico, es decir, erg; joule; kgm (kilogrametro) y lbpie. La energía se presenta de variadas formas, de acuerdo a su capacidad de transformarse de una a otra, por mencionar algunas: Energía solar, energía eólica, energía fósil, energía hidráulica, energía eléctrica, energía química, energía mecánica, etc. En este estudio interesa la energía mecánica

Energía cinética ( U k ): Es la energía que poseen los cuerpos en movimiento, se dice que es la energía actual que posee un cuerpo, matemáticamente queda determinada por: Uk =

1 m ⋅ v2 2

Donde: m = Masa del cuerpo

v = Módulo de la velocidad

Energía potencial gravitatoria ( U PG ): Es la energía que poseen los cuerpos que se encuentran ubicados a una altura respecto d la superficie de la tierra u otra superficie indicada, se dice que es la energía que almacenan los cuerpos, es decir la tienen en forma potencial y que manifestarán cuando 22

las condiciones les san favorables, por ejemplo, soltar un cuerpo que se encuentra a cierta altura respecto de la superficie de la tierra. Matemáticamente la energía potencial queda determinada por:

U PG = mgh Donde: m = Masa del cuerpo g = Aceleración de gravedad h = Altura respecto a superficie de la tierra u otra indicada

Energía potencial elástica ( U PE ) Es la energía que poseen los cuerpos tales como resortes y elásticos, para el caso particular del resorte ideal, la energía elástica queda determinada por el trabajo que se realiza sobre el resorte, es decir:

U PE =

1 k ⋅ x2 2

Donde: k = Constante elástica del resorte

x = Alargamiento (o acortamiento)

La energía mecánica total ( U ) de un cuerpo corresponde a la suma entre la energía cinética y la energía potencial, es decir:

U = UK +UP Sistema conservativo:

En este nivel es suficiente decir que un sistema conservativo es aquel en que el trabajo realizado sobre un cuerpo es recuperado por el mismo cuerpo como energía en potencia, como por ejemplo:

El trabajo realizado al levantar un cuerpo respecto de la superficie de la tierra, lo recupera el mismo cuerpo como energía potencial gravitatoria y que manifestará cuando las condiciones le sean favorables (soltar el cuerpo).

El trabajo realizado al alargar (o acortar) un resorte lo recupera el mismo resorte como energía en potencia y que manifestará cuando las condiciones le sean favorables (soltar el resorte).

También se dice que un sistema es conservativo cuando el trabajo total realizado en una curva cerrada es igual a cero.

Sistema no conservativo: Se dice de aquel sistema que el trabajo realizado sobre el cuerpo no es recuperado por el mismo cuerpo, como por ejemplo: -

Al arrastrar un cuerpo sobre una superficie rugosa, el trabajo realizado por la fuerza de roce no lo recupera el cuerpo como energía en potencia, sino que ése trabajo es disipado en forma de calor.

Observación: en nuestro estudio cada vez que intervenga el roce se considerará como un sistema no conservativo.

Principio de conservación de la energía Para un sistema conservativo la energía mecánica total de un cuerpo se mantiene constante, es decir se cumple que: U iinicial = U final

Para un sistema no conservativo, la energía mecánica total de un cuerpo no se mantiene constante y se cumple que: U inicial = U final + Wroce

Teorema del trabajo y la energía Este teorema expresa que el trabajo total o trabajo neto realizado sobre un cuerpo para acelerarlo desde la velocidad v0 hasta la velocidad v queda determinado por la variación de la energía que experimenta el cuerpo, es decir: WTotal = ∆U K =

1 1 2 m ⋅ v 2 − m ⋅ v0 2 2

El Teorema sirve para calcular el trabajo total realizado sobre el cuerpo. Ejemplo: Determinar el trabajo total realizado al acelerar un cuerpo 80 kg desde la velocidad de 10 m/s hasta la velocidad de 24 m/s. Solución: Por el teorema del trabajo y la energía, se tiene que: WTotal = ∆U K =

Factorizando por

1 1 2 m ⋅ v 2 − m ⋅ v0 2 2

1 m resulta: 2 WTotal =

(

1 2 m ⋅ v 2 − v0 2

)

Reemplazando valores numéricos:

WTotal =

(

)

1 m2 80kg ⋅ 24 2 − 10 2 2 2 s

Multiplicando se obtiene el valor del trabajo total realizado sobre el cuerpo, es decir:

WTotal = 19040 J

RENDIMIENTO DE UNA MAQUINA (η) 25

Es sabido que no toda la energía que llega a un cuerpo es utilizada como energía útil, ya que mecánicamente, parte de ella se pierde a causa del rozamiento, por tal razón se define el concepto de rendimiento como la engría útil o aprovechada y la energía total o suministrada, es decir:

η=

Energía util o aprovechada Energía total o suministrada

Energía total = Energía util + Energía consumida por el roce

El rendimiento normalmente se expresa por medio de porcentaje, para esto, la expresión anterior se multiplica por 100, es decir:

η=

Energía util o aprovechada ⋅ 100% Energía total o suministrada

Otras expresiones para rendimiento:

η=

PUtil ⋅ 100% PTotal

η=

WUtil ⋅ 100% WTotal

Problemas resueltos – Trabajo y Energía Problema 1 Determinar el trabajo realizado por una fuerza constante de 120N paralela al eje X y que experimenta un desplazamiento de 8m. Solución Al representar la situación planteada mediante un esquema, se tiene algo como indica la figura

 F = 120 N X

El problema corresponde al caso más elemental y directo en el cálculo del trabajo mecánico ya que consiste en aplicar directamente la definición, es decir: W = F ⋅ r ⋅ cosθ , como F = 120 N , r = 8m y θ = 0 , se tiene que: W = 120 N ⋅ 8m ⋅ cos 0 , o sea: W = 960 N

Como el trabajo resulto positivo, se llama motor.

Problema 2 Un cuerpo es desplazado una distancia de 8 metros por una fuerza de 120N que actúa a un ángulo de 30º tal como indica la figura. ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza de 120N?

 F = 120 N

30º

Solución:

En este caso la solución también consiste en la aplicación directa de la definición de trabajo, la única diferencia es que la fuerza forma un ángulo 30º respecto a la horizontal, y por tanto: W = F ⋅ r ⋅ cosθ = 120 N ⋅ 8m ⋅ cos 30º

Multiplicando resulta: W = 831,384 J

Problema 3 ¿Cuál es el trabajo realizado para elevar un cuerpo de 24kg a una altura de 1,4 metros a velocidad constante?

1,4 m

Solución: Para calcular el trabajo es necesario conocer la fuerza, el valor del desplazamiento y el ángulo que forman el vector fuerza y el vector desplazamiento, en este caso, se conoce el valor del desplazamiento 1,4 metros y el valor del ángulo entre la fuerza y el  desplazamiento 0º, y por lo tanto hay que calcular el valor de la fuerza F .

En primer lugar se dibuja el diagrama de cuerpo libre, esto es: y F

v =cte

mg = 235,2 N 28

Como el cuerpo es levantado a velocidad constante, significa que no hay aceleración y por lo tanto la sumatoria de fuerzas es igual a cero, es decir:

∑F = 0 Eje x: no existen fuerzas

Eje y: F − mg = 0 Despejando F resulta: F = mg Reemplazando el valor para mg : F = 235,2 N Conocido el valor de la fuerza, podemos calcular el trabajo realizado sobre el cuerpo al levantarlo 1,4 metros, esto es: W = F ⋅ r ⋅ cos θ

Reemplazando valores correspondientes, se tiene: W = 235,2 N ⋅ 1,4m ⋅ cos 0º Multiplicando resulta: W = 329,28 J

Trabajo realizado para levantar el cuerpo de 24 kg a una altura de 1,4 metros.

Observación: Otra forma de haber razonado el problema es haberse dado cuenta que para levantar un cuerpo, la fuerza que se debe aplicar corresponde mínimo al peso del cuerpo, y sólo haber calculado el trabajo realizado.

Problema 4 Para elevar una viga en T de 450 kg se requiere un trabajo de 1420,6 J. ¿A qué altura se eleva la viga? Solución: 29

Considerando que la fuerza necesaria para elevar la viga, corresponde a su propio peso, es decir: F = mg = 450kg ⋅ 9,8

m = 4410 N s2

Solo hay que aplicar la fórmula de trabajo mecánico y despejar el desplazamiento, que en este caso corresponde a la altura. W = F ⋅ r ⋅ cos θ = F ⋅ h ⋅ cos 0º = F ⋅ h Ya que cos 0º = 1

Despejando h resulta: W =h F

Reemplazando valores y dividiendo resulta que: h=

1420,6 Nm = 0,322m 4410 N

Recuerde que

J = N ⋅m

Problema 5 Un cuerpo de 85 kg necesita 14 segundos para elevarlo un recorrido de 60 metros. Calcule la potencia requerida para el proceso. Solución: W , es decir, se necesita conocer el t trabajo realizado y el tiempo empleado en realizarlo, como se conoce el tiempo (14 segundos), se calculará el trabajo realizado, esto es:

La potencia se determina aplicando la formula P =

W = F ⋅ r ⋅ cos θ

Como se vio en el ejercicio anterior, la fuerza corresponde al peso del cuerpo ( m ⋅ g ), el desplazamiento es de 60 metros y el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento es de 0º, por lo tanto se tiene que: W = m ⋅ g ⋅ r ⋅ cos 0º = m ⋅ g ⋅ r

Ya que cos 0º = 1

Reemplazando valores correspondientes resulta: W = 85kg ⋅ 9,8

m ⋅ 60m s2 30

Multiplicando resulta:

W = 49980 J

Como ahora se conoce el trabajo, es posible calcular la potencia desarrollada en el proceso, es decir:

Recuerde que

J = watt (o vatio) s

Problema 6 Una grúa levanta 2000 kg a 15 m del suelo en 10 s, expresar la potencia empleada en: a) W, b) cv y c) HP.

Solución: Este ejercicio puede ser resuelto de la misma forma que el ejercicio, pero en esta ocasión, se desglosará la formula de potencia y se reemplazaran los datos en forma inmediata:

W F ⋅ r ⋅ cos θ mg ⋅ h ⋅ cos θ = = = P= t t t

m ⋅ 15m ⋅ cos 0º s2 10 s

2000kg ⋅ 9,8

Multiplicando y dividiendo resulta: P = 29400W ÷ 736

P ≅ 39,946cv

P ≅ 39,410 HP

÷ 746 31

Problema 7 Una bomba transporta en una hora 40 m3 de agua desde una profundidad de 5 metros. ¿Cuál es la potencia de la bomba en kilo watt? Bomba

Solución: En este caso se debe pensar que el cuerpo a levantar es agua y por lo tanto se desarrolla de igual manera que el ejercicio anterior, lo primero es trasformar los metros cúbicos de agua en kilogramos de agua.

Se sabe que 1m3 de agua = 1000 litros de agua y que 1 litro de agua = 1 kg de agua, por lo tanto como hay 40 m3 de agua, corresponde a 40000 litros de agua que equivalen a 40000 kg de agua. La potencia desarrollada por la bomba corresponde a: W =

W F ⋅ r ⋅ cos θ F ⋅ h ⋅ cos 0º F ⋅ h mg ⋅ h = = = = t t t t t

Reemplazando los valores correspondientes resulta:

W =

40000kg ⋅ 9,8 3600s

m 5m s2 Porque 1 hora son 3600 segundos

Multiplicando y dividiendo: W = 0,544 KW

Problema 8 Un motor de 12 cv es capaz de levantar un bulto de 2000 kg hasta 18 m, ¿cuál es el tiempo empleado? Solución: J ), la masa del s cuerpo (2000 kg) y la altura (18 m) a la cual se debe elevar el cuerpo. Según la W información anterior, el tiempo se puede obtener despejando t de la formula P = , es t decir: La información del problema entrega la potencia ( 12CV = 8832W = 8832

W P

Como el trabajo es W = F ⋅ r ⋅ cos θ = F ⋅ r ⋅ cos 0º = F ⋅ r = mg ⋅ h = 2000kg ⋅ 9,8

m 18m = 352800 J s2

Entonces el tiempo resulta: t=

35280 J J 8832 s

Dividiendo y cancelando los joules se obtiene el tiempo buscado. 33

t = 39,946 s

Problema 9 Un cuerpo de 150 g de masa se lanza hacia arriba con velocidad inicial de 400 m/s, calcular: a) La energía cinética inicial. Solución: La energía cinética de un cuerpo queda determinada por la formula: EC =

1 m ⋅ v2 2

La información del problema entrega todos los datos, por lo tanto basta con reemplazar los valores para la masa y la velocidad, es decir: EC =

1 m2 0,15kg ⋅ 400 2 2 2 s

Multiplicando: EC = 12000 J Recuerde que kg ⋅

m = N y N ⋅m = J s2

Problema 10 Una persona sube una montaña hasta 1800 m de altura, ¿cuál será su energía potencial si pesa 780 N? 34

Solución: La energía potencial gravitatoria queda determinada por: E P = mg ⋅ h Donde mg representa el peso del cuerpo y h representa la altura en que se encuentra respecto a la superficie de la tierra u otra superficie indicada. En este caso, se conocen todos los datos, por lo tanto hay que reemplazar valores y luego multiplicar:

E P = 780 N ⋅ 1800m E P = 1404000 J Problema 11 Un cuerpo de 40 kg de masa posee una energía cinética de 4800 J ¿Cuál es el valor de la velocidad del movimiento? Solución: Como la energía cinética de un cuerpo queda determinada por: EC =

1 m ⋅ v2 2

Corresponde despejar la velocidad v , esto es: 2 ⋅ EC = v 2 Aplicando raíz cuadrada resulta m

2 ⋅ EC =v m Reemplazando los valores correspondientes se tiene el valor buscado:

2 ⋅ 4800 J = 40kg

2 ⋅ 4800 N ⋅ m = 40kg

m ⋅m m2 m s2 = 240 2 = 15,492 = v 40kg s s

2 ⋅ 4800kg ⋅

Es decir el valor de la velocidad del cuerpo de 40 kg es de 15,492

m s

Problema 12  Una fuerza F = 6iˆ − 2 ˆj N actúa sobre una partícula que experimenta un desplazamiento  s = 3iˆ + ˆj m. Encuentre: (a) el trabajo realizado por la fuerza sobre la partícula, (b) el ángulo entre la fuerza F y el desplazamiento s. Solución Datos:  F = 6iˆ − 2 ˆj (N)  s = 3iˆ + ˆj (m) Según el concepto de trabajo mecánico, se tiene que: (1) W = F ⋅ s cosθ   W = F •s (2)

Utilizando esta última expresión (2) se tiene:

(

)(

)

W = 6iˆ − 2 ˆj • 3iˆ + ˆj ⇒ W = 6iˆ • 3iˆ + 2 ˆj • ˆj (Nm ) ⇒ W = 18 − 2 (J ) ⇒ W = 16(J )

El ángulo entre ellos queda determinado despejando el cos θ de la ecuación (1), es decir: W = cos θ F ⋅s

Donde:

F= s=

(Fx )2 + (Fy )2 (s x )2 + (s y )2

(6)2 + (− 2)2 (3)2 + (1)2

= 36 + 4 = 40 ( N )

= 9 + 1 = 10 (m)

W = 16 (J) Entonces se tiene que:

cos θ =

16( J )

40 ( N ) ⋅ 10 ( m) 16( J/ ) ⇒ cos θ = 400 ( J/ ) 16( J/ ) ⇒ cos θ = 20( J/ )  16  ⇒ θ = cos −1    20 

⇒ θ = 36,870°

Problema 13 La fuerza requerida para alargar un resorte que cumple la ley de Hooke varía de cero a 50,0 N cuando lo extendemos moviendo un extremo 12,0 cm desde su posición no deformada. (a) Encuentre la constante de elasticidad del resorte, (b) el trabajo realizado para extender el resorte 12 cm.

X=0

F = 50 (N)

12 cm

Solución 13 (a) Datos: F = 50 N x = 12 cm Si el resorte cumple con la ley de Hooke, entonces la relación entre la magnitud de la  fuerza F y la longitud deformada x es: 37

F =k⋅x

Donde k es la constante de restitución o constante elástica del resorte. En este problema se pide calcular la constante del resorte, por lo tanto despejando k de la ecuación anterior resulta: F =k x Donde la fuerza F corresponde a los 50[N ] necesarios para deformarlo desde su posición de equilibrio hasta una longitud de x = 12[cm] Reemplazando estos valores se tiene:

50[N ] 0,12[m]

porque 12[cm] = 0,12[m]

Realizando la operación se obtiene finalmente el valor de k, esto es:

N  k = 416,667   m

Solución 13 (b): El trabajo realizado sobre el resorte para extenderlo una distancia x esta dado por la expresión 1 W = kx 2 2 Luego, el trabajo realizado sobre el resorte es:

W =

1 ⋅ 416,667(N / m/ ) ⋅ 0,12 2 (m 2/ ) 2

⇒ W = 3(J )

Problema 14 Una bala con una masa de 5,00 g y una velocidad de 600 m/s penetra un árbol hasta una distancia de 4,00 cm. (a) Utilice consideraciones de energía para encontrar la fuerza de fricción promedio que detiene la bala.(b) Suponga que la fuerza de fricción es constante y determine cuanto tiempo transcurre entre el momento en que la bala entra en el árbol y el momento en que se detiene.

vi=600 m/s vf=0

Solución 14 (a) El sistema es no conservativo por lo tanto:

⇒ U inicial ( Instante

de limpacto )

= U final ( bala det enida )

⇒ (U K + U PG )inicial = (U K + U PG )final + Wroce Como la energía potencial gravitatoria es la misma antes y después del choque, la ecuación anterior se reduce a:

(U ) K

inicial

= (U K ) final + Wroce

Como la bala se detiene, por lo tanto (Uk)final = 0, luego se tiene que:

(U ) K

inicial

= Wroce

(1)

Donde: 39

1 2 mv1 2 W = f ⋅d UK =

Siendo: m: masa de la bala v1:módulo de velocidad inicial de la bala f: fuerza de roce d: distancia que recorre la bala en el árbol

Reemplazando en la ecuación (1), se tiene: 1 2 mv1 = f ⋅ d 2

Despejando f resulta: 2 1 mv1 = f 2 d Reemplazando los valores dados resulta :

⇒ f =

0,005(kg ) ⋅ [600(m / s )] 2 ⋅ 0,04(m)

⇒ f =

0,005(kg ) ⋅ 360000(m 2 / s 2 ) 0,08(m)

⇒ f =

1800(kg ⋅ m 2/ / s 2 ) 0,08(m /)

⇒ f = 22500(kg ⋅ m / s 2 ) ⇒ f = 22500( N )

Solución problema 14 (b): Para este caso la única fuerza que detiene a la bala es la fuerza de fricción por lo tanto, aplicando la segunda Ley de Newton, se tiene:

∑F

= m ⋅ ax

⇒− f =m⋅a

(2)

Donde: f: fuerza de roce (N) m: masa de la bala (kg) a: desaceleración de la bala (m/s2) v f − vi Por cinemática de la partícula a = reemplazando en la ecuación (2), se tiene: t v f − vi − f =m⋅ t Pero vf = 0, porque la bala se detiene, luego −v  − f = m ⋅  i  / ⋅ (-1)  t  mv i ⇒ f = t Despejando el tiempo t, y reemplazando los valores, se tiene: mv i f 0,005(kg/ ) ⋅ 600(m/ / s ) ⇒t = 22500(k/gm/ / s 2/ )

⇒ t = 1,333 × 10 − 4 (s )

Problema 15 Si se necesitan 4,00 J de trabajo para alargar 10,0 cm un resorte que cumple con la ley de Hooke a partir de su longitud no deformada, determine el trabajo extra necesario para extenderlo 10,0 cm adicionales. 41

X=0

10 cm 20 cm

Solución Datos: W = 4 (J) x0 = 10 cm x = 20 cm El trabajo realizado sobre un resorte para deformarlo desde la posición x0 hasta la posición x queda determinado por: W=

1 k (x 2 − x 2 0 ) 2

(1)

En este caso se necesita la constante k y como conocemos el trabajo para deformar 10 cm el resorte, se tiene que:

1 W = kx 2 2 ⇒ 2W = kx 2 2W ⇒ 2 =k x 2 ⋅ 4,00(N ⋅ m ) ⇒k = [0,1(m )]2 8,00(N ⋅ m/ ) ⇒k = 0,01(m 2/ ) ⇒ k = 800(N / m )

Conocida la constante k es posible determinar el trabajo adicional para extender el resorte otros 10 cm. Utilizando la ecuación (1) y reemplazando los valores, se tiene: 1 W = 800(N / m/ ) 0,2 2 − 0,12 (m 2/ ) 2

(

)

⇒ W = 12(J )

Problema 16 Un mecánico empuja un auto de 2500 kg desde el reposo hasta una velocidad vf efectuando 5000 J de trabajo en el proceso. Durante este tiempo, el auto se mueve 25 m. 43

Ignore la fricción entre el auto y el camino, y encuentre: (a) ¿Cuál es la velocidad final vf del auto? (b) ¿Cuál es el valor de la fuerza horizontal ejercida sobre el auto? vi = 0

Vf =?

25 m

Solución 16 (a): Datos: W = 5000 J m = 2500 kg d = 25,0 m Como son conocido, el trabajo W = 5000 J realizado por el mecánico y la masa del automóvil, m = 2500 kg. Se puede calcular la velocidad vf, ya que el trabajo realizado por una fuerza produce un cambio en la energía cinética, es decir: W = ∆U K 1 1 2 2 ⇒ W = mv f − mv i pero v i = 0 2 2 1 2 2 ⇒ W = m v f − v/ i 2 1 2 ⇒ W = mv f (1) 2

(

)

Despejando de la ecuación (1) la velocidad final y reemplazando valores numéricos, se tiene:

vf =

2W m

⇒ vf =

kg ⋅ m 2 ⋅ 5000( / 2 ⋅ m ) s 2500(kg/ ) m2 ) s2 2500

10000(

⇒ v f = 4(m 2 / s 2 ) ⇒ v f = 2(m / s ) Solución 16 (b): El módulo de la fuerza aplicada sobre el automóvil se obtiene de la definición de trabajo debido a una fuerza constante, es decir: W = F ⋅ d ⋅ cosθ pero θ = 0° ⇒ cos 0° = 1 ⇒ W = F ⋅d Despejando F y reemplazando valores numéricos, se tiene: F=

W d

⇒F =

5000(Nm/ ) 25(m/ )

⇒ F = 200(N )

Problema 17 45

Una caja de 40 kg inicialmente en reposo se empuja 5,0 m por un piso rugoso horizontal con una fuerza aplicada constante horizontal de 130 N. Si el coeficiente de fricción entre la caja y el piso es 0,30, encuentre: (a)el trabajo realizado por la fuerza aplicada, (b) la energía cinética perdida por la fricción, (c) el cambio en la energía cinética de la caja. Solución: Datos: F = 130 (N) m = 40 (kg) µ = 0,30 s = 5,00 (m) vi = 0 Para este problema es conveniente hacer un esquema simple como el que indica la figura siguiente

N V0 = 0 F= 130 N

Vf = ? F= 130 N

40 kg 5,0 m

40 kg

f W = mg

Solución 17 (a):

El trabajo realizado por la fuerza constante queda determinado por W = F ⋅ s cos θ

(1)

Como la fuerza y el desplazamiento son horizontal, entonces el ángulo que forma F con s es cero, es decir, θ = 0°, por lo tanto la ecuación (1) queda: W = F ⋅s reemplazando los valores para F y s, se tiene: W = 130( N ) ⋅ 5,0( m ) ⇒ W = 650( J ) Solución 17 (b): La energía cinética perdida corresponde al trabajo realizado por la fuerza de fricción, es decir: U roce = Wroce = f ⋅ d 46

Donde: f: fuerza de roce (N) d: distancia recorrida (m) Pero, por definición de fuerza de roce, f = µN luego, se tiene: U roce = µ ⋅ N ⋅ d Por otro lado se tiene que N = m ⋅ g Entonces U roce = µ ⋅ m ⋅ g ⋅ d

⇒ U roce = 0,3 ⋅ 40(kg ) ⋅ 9,8(m / s 2 ) ⋅ 5(m ) ⇒ U roce = 588(J ) Por lo tanto la energía perdida por el roce es de 588 (J). Solución 17 (c): El cambio en la energía cinética corresponde a la variación ∆UK, es decir: ∆U K = U final − U inicial 1 1 2 2 ⇒ ∆U K = mv f − mv i 2 2 1 2 2 ⇒ ∆U K = m v f − v/ i 2 1 2 ⇒ ∆U K = mv f (1) 2 Para esto se observa que se necesita la velocidad final de la caja, por lo tanto, calcularemos su valor.   Aplicando el segundo principio de Newton que expresa ∑ F = ma , y observando el diagrama de cuerpo libre, se tiene que:

(

Eje X:

∑F

)

= ma

⇒ F − f = ma pero f = µN ⇒ F − µN = ma (2)

Eje Y:

∑F

⇒ N − mg = 0 ⇒ N = mg (3) Reemplazando la ecuación (3) en ecuación (2) se obtiene: 47

v −vi F − µmg = ma pero a = f 2d 2 v  ⇒ F − µmg = m ⋅  f   2d  ⇒ (F − µmg ) ⋅ 2d = m ⋅ v f ⇒

⇒

(F − µmg ) ⋅ 2d m

= vf

(F − µmg ) ⋅ 2d m

v y vi = 0 ⇒ a = f 2d

= vf

Reemplazando los valores numéricos resulta: ⇒ ⇒

[130( N ) − 0,30 ⋅ 40(kg ) ⋅ 9,8(m / s )]⋅ 2 ⋅ 5(m) = v 2

40(kg )

124( Nm) = vf 40(kg )

⇒ 3,1(m 2 / s 2 ) = v f ⇒ 3,1(m / s ) = 1,761(m / s ) = v f velocidad de la caja a los 5 metros

Reemplazando este valor en la ecuación (1) se obtiene la variación de la energía cinética de la caja, es decir. 1 ∆U K = ⋅ 40(kg ) ⋅ 1,7612 (m 2 / s 2 ) 2 ∆U K = 62(J ) Otra forma de obtener este valor, es pensar que la variación de la energía cinética corresponde al trabajo total realizado sobre el cuerpo, es decir, trabajo realizado por la resultante de las fuerzas Rx. Entonces: ∆U K = Wtotal = R x ⋅ s ⋅ cosθ Tanto la resultante Rx como el desplazamiento s son horizontales, por lo tanto θ = 0º, entonces cos 0°=1 Luego

∆U K = Wtotal = R x ⋅ s ⇒ ∆U K = Wtotal = (F − µN ) ⋅ s ⇒ ∆U K = (F − µmg ) ⋅ s

⇒ ∆U K = (130 − 0,3 ⋅ 40 ⋅ 9,8)(N ) ⋅ 5(m ) ⇒ ∆U K = (130 − 117,6)(N ) ⋅ 5(m ) ⇒ ∆U K = 12,4(N ) ⋅ 5( m ) ⇒ ∆U K = 62( J )

Problema 18 Un marino de 700 N en un entrenamiento básico sube por una cuerda vertical de 10 m a una velocidad constante en 8,00 s. ¿Cuál es la potencia de subida?

h = 10 m

ω = mg = 700 49

Solución 18 Datos: ω = 700 N h = 10 m t = 8,00 s

h = 10 m

ω = mg = 700 El problema pide determinar la potencia desarrollada por el marino durante su entrenamiento. Para esto se conoce su peso de 700 N que tiene que levantar 10 m de altura a la velocidad constante en el tiempo de 8 s, por lo tanto hay que aplicar directamente el concepto de potencia, es decir: P=

W pero W = F ⋅ d = ω ⋅ h = m ⋅ g ⋅ h t

Por lo tanto: P=

m ⋅g ⋅h t

Reemplazando valores numéricos, se tiene: 700(N ) ⋅ 10(m ) 8,00(s ) 7000(J ) ⇒P = 8,00(s ) P=

⇒ P = 875(W )

Problema 19 Un bloque se desliza hacia abajo por una pista curva sin fricción y después sube por un plano inclinado, como se puede ver en la figura. El coeficiente de fricción cinético entre el bloque y la pendiente es µc. Con métodos de energía demuestre que la altura máxima alcanzada por el bloque es: h y max = 1 + µ c cot θ

vi = 0

ymax

vf= 0

Solución El sistema desde su inicio hasta su fin es no conservativo por lo tanto, se cumple que:

U inicial = U final + Wroce

⇒ (U K + U PG )inicial = (U K + U PG ) final + Wroce

El bloque no es lanzado por lo tanto al inicio su velocidad es cero, luego su energía cinética es cero. Entonces se tiene sólo energía potencial gravitatoria. Al final el cuerpo termina con velocidad cero, por lo tanto tampoco hay energía cinética. Considerando lo anterior, se tiene que: ⇒ (U PG )inicial = (U PG )final + Wroce ⇒ m ⋅ g ⋅ h = m ⋅ g ⋅ y max + f ⋅ d ⇒ m ⋅ g ⋅ h = m ⋅ g ⋅ y max + µ c ⋅ N ⋅ d

(1)

la fuerza normal N es posible obtenerla trabajando una sumatoria de fuerzas en el eje Y, es decir: Y

N − m ⋅ g ⋅ cosθ = 0

Despejando N se obtiene:

N = m ⋅ g ⋅ cosθ

(2)

La distancia d recorrida sobre el plano inclinado se puede obtener utilizando la razón seno ya que

senθ =

y max d 52

Despejando d resulta: d=

y max senθ

(3)

Reemplazando las ecuaciones (2) y (3) en Ec.(1) se obtiene: m ⋅ g ⋅ h = m ⋅ g ⋅ y max + µ c ⋅ m ⋅ g ⋅ cosθ ⋅

⇒ h = y max + µ c ⋅ cosθ ⋅

y max

⋅ cotθ

⇒ h = y max (1 + µ c ⋅ cot θ ) ⇒ y max =

/ ÷ (m ⋅ g)

y max senθ

Aplicando la identidad trigonométrica; cot θ = h = y max + µ c ⋅

y max senθ

cosθ se tiene: senθ

factorizando por y max finalmente despejando y max se tiene

h (1 + µ c ⋅ cot θ )

Problema 20 En la figura se ve un bloque de 10,0 kg que se suelta desde el punto A. La pista no ofrece fricción excepto en la parte BC de 6,00 m de longitud. El bloque se mueve hacia abajo por la pista, golpea un resorte de constante elástica k = 2250 N/m y lo comprime 0,30 m a partir de su posición de equilibrio antes de quedar momentáneamente en reposo. Determine el coeficiente de fricción cinético entre la superficie BC y el bloque.

3,00 m

6,00 m

Solución

vi = 0

3,00 m

vf = 0

f B 6,00 m

Utilizando concepto de energía y considerando la presencia de un resorte, se tiene que:

U inicial = U final + Wroce

⇒ (U K + U PG )inicial = (U K + U PG + U PE )final + Wroce

(1)

Ya que durante el recorrido existe roce en el tramo BC. Al inicio el cuerpo es soltado en A, entonces vi = 0, es decir, la energía cinética inicial es cero UK = 0. Por otra parte al llegar al resorte el cuerpo pierde toda la altura y además se detiene momentáneamente, por lo tanto, en ese instante se tiene que la energía cinética final UK = 0 y la energía potencial gravitatoria UGP = 0. Luego la ecuación anterior queda:

(U PG )inicial = (U PE )final + Wroce 1 ⇒ m ⋅g ⋅h = k ⋅ x2 + f ⋅d 2

pero f = µN y N = m ⋅ g

1 ⇒ m ⋅ g ⋅ h = k ⋅ x 2 + µ ⋅ m ⋅ g ⋅ d depejando µ , 2 1 ⇒ m ⋅g ⋅h − k ⋅ x2 = µ ⋅m ⋅g ⋅d 2 1 m ⋅g ⋅h − k ⋅x2 2 ⇒ =µ m ⋅g ⋅d Reemplazando los valores numéricos se tiene: 1 10,0(kg ) ⋅ 9,8(m / s 2 ) ⋅ 3,00(m ) − ⋅ 2250(N / m/ ) ⋅ 0,3 2 (m 2/ ) 2 µ= 10,0(kg ) ⋅ 9,8(m / s 2 ) ⋅ 6,0(m ) ⇒µ=

294(J ) − 101,5(J ) 192,75(J/ ) = 588(J ) 588(J/ )

⇒ µ = 0,328

Problema 21 Un bloque de 2,00 kg situado sobre una pendiente rugosa se conecta a un resorte de masa despreciable que tiene una constante elástica de 100 N/m, ver figura. El bloque se suelta desde el reposo cuando el resorte no esta deformado, y la polea no presenta fricción. El bloque se mueve 20,0 cm hacia debajo de la pendiente antes de detenerse. Encuentre el coeficiente de fricción cinético entre el bloque y la pendiente.

k = 100 N/m

vi =

vf =

37°

2 ,0

Solución Utilizando concepto de energía y trabajo y considerando la presencia de un resorte, se tiene que: U inicial = U final + Wroce

⇒ (U K + U PG + U E )inicial = (U K + U PG + U PE )final + Wroce

(1)

Al inicio el cuerpo se suelta del reposo y el resorte se encuentra en su posición de equilibrio, por lo tanto el cuerpo en ese instante no posee energía cinética y el resorte no almacena energía potencial elástica. Luego el cuerpo debido a su posición posee sólo energía potencial gravitatoria.

En su posición final se tiene que cuerpo termina en reposo y el resorte se encuentra estirado una distancia de 20,0 cm, y además la posición de acuerdo a su altura es cero, por lo tanto aquí sólo se tiene energía potencial elástica. Considerando lo anterior, se tiene entonces que la ecuación (1) se expresa por:

⇒ (U PG )inicial = (U PE ) final + Wroce

es decir,

⇒ m ⋅g ⋅h =

1 k ⋅ x2 + f ⋅ d 2

⇒ m ⋅g ⋅h =

1 k ⋅ x2 + µ ⋅ N ⋅ d 2

⇒ m ⋅g ⋅h =

1 k ⋅ x 2 + µ ⋅ m ⋅ g ⋅ cos θ ⋅ d 2

pero f = µ ⋅ N

y N = m ⋅ g ⋅ cos θ

1 ⇒ m ⋅ g ⋅ h − k ⋅ x 2 = µ ⋅ m ⋅ g ⋅ cos θ ⋅ d despejando µ resulta 2 1 m ⋅ g ⋅ h − k ⋅ x2 h 2 ⇒ = µ pero, aplicando la razón senθ = m ⋅ g ⋅ cos θ ⋅ d d 1 m ⋅ g ⋅ d ⋅ senθ − k ⋅ x 2 2 ⇒ =µ m ⋅ g ⋅ cos θ ⋅ d

y h = d ⋅ senθ

separando en fracciónes

1 ⇒ µ =

⇒ µ =

m ⋅ g ⋅ d ⋅ senθ m ⋅ g ⋅ cos θ ⋅ d senθ cos θ

⇒ µ = tg θ −

−

m ⋅ g ⋅ cos θ ⋅ d

2 ⋅ m ⋅ g ⋅ d ⋅ cos θ

⇒ µ = tg 37° −

simplificado

kx 2

⇒ µ = tg 37° −

k ⋅x

reemplazando valores numéricos

100(N / m ) ⋅ 0,20 2 (m 2 ) 2 ⋅ 2(kg ) ⋅ 9,8(m / s 2 ) ⋅ 0,2(m ) ⋅ cos 37° 4(J ) 6,261(J )

= tg 37° − 0.639

⇒ µ = 0,115

Y N f 37°

mgcos37°

Problema 22 Se requiere llenar un depósito de agua, situado a una altura de 25 m. Para ello se utiliza un motor de 10 CV, con un rendimiento del 90%. El tiempo que emplea el motor en elevar el agua es de 1h 40 min. ¿Cuál es la capacidad que debe tener el depósito?

h = 25 m

DEPOSITO

MOTOR BOMBA

Solución Datos: h = 25 m P = 10 CV= 10[CV/ ] ⋅

736[W ] = 7360[W ] 1[CV/ ]

η = 90%= 0,90 t = 1 h 40 min = 6000 s VH 2O = ? El rendimiento de una máquina se define como:

η=

Pútil Ptotal

(1)

W t

(2)

Pero Pútil =

Donde

W = m ⋅g ⋅h

Reemplazando ecuación (3) en (2) se tiene: W m ⋅g ⋅h Pútil = = t t

(3)

(4) 59

Por último reemplazando (4) en la ecuación (1) y despejando m, resulta: m⋅ g ⋅h m⋅ g ⋅h t η= = Ptotal t ⋅ Ptotal ⇒η = ⇒ ⇒

m⋅ g ⋅h t ⋅ Ptotal

η⋅ g ⋅h

m t ⋅ Ptotal

η ⋅ t ⋅ Ptotal g ⋅h

Reemplazando valores numéricos: 0,90 ⋅ 6000( s ) ⋅ 7360(W ) m= 9,8(m / s 2 ) ⋅ 25(m) ⇒ m = 162.220,408(kg )

Luego, la cantidad de masa impulsada por el motor a la altura de 25 m es de 162.220,408 kg. Entonces el volumen de agua será:

ρ=

m m ⇒ V= V ρ

Donde ρ es la densidad del agua (ρ=1000 kg/m3) Por lo tanto, el volumen de capacidad del depósito es igual al volumen de agua impulsada, es decir:

VH 2O =

162.220,408(kg ) 1000(kg / m 3 )

⇒ VH 2O = 162,220408(m 3 )

Problemas Propuestos – Trabajo y Energía Las preguntas de la 1 a la 5 se refieren al siguiente enunciado Sobre una cuerpo en reposo de 20Kg. que se puede desplazar sobre una superficie horizontal cuyo coeficiente de rozamiento cinético vale 0,4 se aplica una fuerza horizontal de 150N (Usar g =9,8 m/s2). Figura 1 60

1) El trabajo en Joule, realizado por la fuerza cuando el cuerpo se ha desplazado 10 m. es aproximadamente: a) 1500 b) 1760 c) 2000 d) 1960 2) La velocidad en m/s, del cuerpo a los 10 m de recorrido es aproximadamente: a) b) c) d)

2,95 3,34 5,22 8,46

3) La energía cinética, en Joule, del cuerpo a los 10 m de recorrido es aproximadamente: a) b) c) d)

570,26 667,85 715,72 784,52

Figura 1

F = 150 N

4) La energía, en Joule, consumida por el roce es aproximadamente: a) b) c) d)

574 784 806 960

10 m

5) La potencia media, en CV, que ha desarrollado la fuerza F en el proceso es aproximadamente: a) b) c) d)

0,26 0,32 0,63 0,86

6) ¿Cuánto vale el trabajo realizado al levantar un objeto que pesa 50 N a 20 m respecto del suelo? a) 781 J b) 890 J c) 987 J d) 1000 J 7) Un motor con una potencia P = 50 KW acciona un vehículo durante 2 horas. ¿Cuál es el trabajo, en KWH realizado por el motor? 61

a) 0,1 b) 1,0 c) 10 d) 100 8) Un motor realiza un trabajo de 27000 Joule en 5 minutos. La potencia del motor en W es aproximadamente: a) 90 b) 150 c) 180 d) 540 9) Un móvil de 3 Kg., se mueve a 4 m/seg. Frena y se detiene en 4 seg. Su energía cinética inicial, en joule, es: a) 6 b) 12 c) 24 d) 48 Las preguntas 10, 11, 12, 13, y 14 se refieren al siguiente enunciado: Sobre una cuerpo en reposo de 10Kg. que se puede desplazar sobre una superficie horizontal cuyo coeficiente de rozamiento cinético vale 0,32 se aplica una fuerza de 600N a un ángulo de 20º por debajo de la horizontal tal como indica la figura 2 F = 600 N Figura 2

20°

10 m

10) El trabajo en Joule realizado por la fuerza cuando el cuerpo se ha desplazado 10 m. Es aproximadamente: a) b) c) d)

4500,6 5638,2 6243,7 6844,3

11) La velocidad del cuerpo, en m/s a los 10 m de recorrido es aproximadamente: a) 18,46 b) 24,38 62

c) 28,35 d) 30,55

12) La energía cinética en Joule, del cuerpo a los 10 m de recorrido es aproximadamente: a) 4667,9 b) 6781,2 c) 7244,6 d) 7849,3 13) La energía en Joule, consumida por el roce en los 10 m de recorrido es aproximadamente: a) 691,7 b) 749,2 c) 970,3 d) 1020,4

14) La potencia media en CV, aproximada que ha desarrollado la fuerza F en el proceso es: a) 11,7 b) 13,2 c) 18,7 d) 21,5

Las preguntas 15 y 16 se refieren al siguiente enunciado: Un anuncio publicitario dice que un automóvil de 1200 kg puede acelerar desde el reposo hasta alcanzar una velocidad de 140 km/h en 8 segundos. 15) La energía cinética del automóvil, en Joule a los 8 segundos es aproximadamente: a) 1382716,05 b) 790123,46 c) 907407,41 d) 980476,44 16) La potencia media, en HP desarrollada por el motor durante el proceso es aproximadamente: 63

a) 59,24 b) 152,05 c) 184,90 d) 211,82

Las preguntas 17 y 18se refieren al siguiente enunciado: El carro de la figura sube por un camino de 6º de inclinación con una rapidez constante de 40 km/h. la masa del carro es de 1000 Kg. Despreciar las fuerzas de fricción. Figura 3

Figura 3

6º

17) La potencia media en HP, desarrollada por el motor del carro es: a) 13,03 HP b) 15,27 HP c) 22,85 HP d) 30,84 HP

18) El trabajo efectuado por el motor del carro, en kilo Joule, en 5 segundos es aproximadamente: a) 33256,54 J b) 56909,94 J c) 667284,56 J d) 874566,43 J

Las preguntas 19, 20, 21, 22 y 23 se refieren al siguiente enunciado: Se quiere probar un amortiguador de resorte ideal, para ello se utiliza un esquema como el que muestra la figura. El cuerpo de 6 Kg tiene una velocidad de 8 m/s en el punto A y en el trayecto recto de 6m de longitud existe un coeficiente de roce cinético 0,3. La constante elástica del resorte es de 5200 N/m. (Figura 4) 64

Figura 4

19) La energía potencial gravitatoria, en joule, del cuerpo en el punto A es aproximadamente: a) 202,5 b) 405,4 c) 882,0 d) 940,8 20) El trabajo, en Joule, realizado por la fuerza de roce en la parte horizontal de 6m es aproximadamente: a) b) c) d)

– 13,72 – 49,00 - 88,20 – 105,84

21) La velocidad, en m/s, del cuerpo, justo antes de chocar con el resorte es aproximadamente: a) 17,964 b) 18,571 c) 19,101 d) 22,895 m/s 22) La máxima compresión, en metros, del resorte es aproximadamente: a) 0,30 m b) 0,42 m c) 0,61 m d) 0,65 m 23) La velocidad en m/s, del cuerpo cuando el resorte se ha comprimido 0,28m es aproximadamente: 65

a) 12,521 b) 14,125 c) 16,893 d) 15,962 Las preguntas 24, 25 y 26 se refieren al siguiente enunciado: Se quiere llenar un depรณsito de 30 m 3 de capacidad elevando el agua a una altura desconocida. Para ello se emplea una bomba de 90% de rendimiento, accionada por un motor de 4 cv que tiene un rendimiento de 80%. El tiempo total de trabajo es de 45 minutos. (Usar g = 9,8 m/s2) 24) La potencia en Watt, aproximada que entrega el motor a la bomba es: a) 1240,3 b) 1626,4 c) 1961,3 d) 2355,2

Bomba

Motor

25) La altura aproximada, en metros, a la cual se ha elevado el agua es: a) 19,5 b) 20,7 c) 23,6 d) 28,7

26) El trabajo, en kilo Joule, para elevar el agua a la altura de 10m es aproximadamente: a) 1960,0 b) 2940,0 c) 3250,6 d) 3480,2

Pregunta a b c d 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x

Pregunta a b c d 10 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 x 16 x 17 x 18 x

Pregunta a b c 19 x 20 21 x 22 x 23 24 25 x 26 x

d x

x x

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