Proyecciones by Sergio Cancinos

PROYECCIONES ENERO-FEBRERO 2014



Edición: María Isabel Fernández 13024 Dirección de Arte: Andres Lainfiesta 13072 Revisión Técnica: Ana Cristine Bartra 13643 Supervisor de producción: Sergio Cancinos 13062

PROYECCIONES Volumen No 1

Contents PROYECCIONES .................................................................................................................................... 2 Vector .................................................................................................................................................. 4 

Notación .................................................................................................................................. 4



Forma de escribir..................................................................................................................... 4



Características ......................................................................................................................... 4

Operaciones con vectores: .................................................................................................................. 5 

Suma ........................................................................................................................................ 5



Multiplicación por un escalar .................................................................................................. 5



Producto punto/escalar .......................................................................................................... 7



Proyección de

sobre .......................................................................................................... 7

Ecuaciones en una recta en R2 ........................................................................................................ 7 

Forma general ......................................................................................................................... 7



Forma normal .......................................................................................................................... 7



Forma vectorial ....................................................................................................................... 8



Forma paramétrica .................................................................................................................. 8

Ecuaciones en un plano P en R3 ..................................................................................................... 8 

Forma general ......................................................................................................................... 8



Forma normal .......................................................................................................................... 8



Forma vectorial ....................................................................................................................... 8



Forma paramétrica .................................................................................................................. 8

Ecuaciones en una recta en R3 ........................................................................................................ 8 

Forma general ......................................................................................................................... 8



Forma normal .......................................................................................................................... 8



Forma vectorial ....................................................................................................................... 9 

Forma paramétrica .............................................................................................................. 9



Ecuaciones simétricas ......................................................................................................... 9

Distancia desde un punto F(fuera) hasta una recta

.................................................................... 9

Distancia desde un punto F(fuera) hasta una recta

.................................................................. 10

Producto cruz o producto vectorial .............................................................................................. 10 

Notación ................................................................................................................................ 10



Definición .............................................................................................................................. 10

PRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO ................................................................................................ 11

Vector Segmento de recta dirigido que representa el desplazamiento desde su punto A hasta otro punto B. ‘A’ se conoce como el punto inicial u origen y ‘B’ como punto terminal o punta.

 



*Cuando ‘A’ está en el origen se considera que está en posición estándar. ⃗⃗⃗⃗⃗ = Para encontrar el vector ⃗⃗⃗⃗⃗ se tiene que restar B menos A. Forma de escribir: o Si ⃗⃗⃗⃗⃗ = (2, 1) entonces ⃗⃗⃗⃗⃗ = = [2, 1] (vector renglón) o [ ] (vector

Notación: ⃗⃗⃗⃗⃗ ; v = ⃗⃗⃗⃗⃗ ;

colúmna). o Las coordenadas individuales (1, 1) son conocidas como componentes del vector Características: o Magnitud: Es la distancia que existe entre un punto A y un punto B. En los símbolos de magnitud se escribe |v |. Para calcular la magnitud de un vector es necesario conocer las coordenadas del punto inicial y del punto final del vector, ya que se puede utilizar el método de Pitágoras para encontrar la magnitud.

o o o Dirección: medida en radianes. Es el ángulo más pequeño que se forma en la intersección de dos vectores y viene dado por la expresión: ⃗ ⃗

Operaciones con vectores:  Suma Sean y se define la suma: o o Propiedades de la suma de vectores:  ( ) ⃗⃗   ( ): ⃗ ( )   butiva: ( )  Distributiva: ( )



(

⃗

⃗⃗ )



Multiplicación por un escalar Sea c un escalar y : o c o Propiedades ( )  Asociativa: ( )  Distributiva: ( )  Distributiva: ( )  Elemento Neutro: o Características:  Misma dirección que el vector.  El mismo sentido del vector si la constante es positiva.  Sentido contrario si la constante es negativa.  Si 0< <1 se disminuye la magnitud del vector.



Resta Sean o

(

)

se define la resta:

Vectores iguales: son vectores que tienen la misma magnitud y la misma dirección. Vectores paralelos: si son múltiplos escalares mutuos. Vectores octogonales / perpendiculares: si el ángulo entre ellos de 90 . Vector unitario: es un vector con longitud de 1. Normalizar un vector  Es el proceso de encontrar un vector unitario en la misma dirección que el vector dado. o

‖⃗⃗ ‖

Magnitud de un vector  ‖ ‖ √ Dirección de un vector 

( )



Dados dos vectores, ⃗ y⃗ :  Distancia entre ⃗ y ⃗ : ‖=‖ ‖ √( o d( , ) = ‖  Ángulo entre ⃗ y ⃗ : o El ángulo debe ser el menor entre los dos vectores. o

⃗⃗ ⃗⃗ ‖⃗⃗ ‖‖⃗⃗ ‖

*se puede dar en radianes o grados.

)

(

)



Producto punto/escalar: o



o También se puede ver este video para aclarar cualquier duda que surga  Link: https://www.youtube.com/watch?v=gRPzgx75_uo Proyección de sobre : o El punto terminal del vector que se quiera proyectar debe tener 90 con el vector donde se proyectará. o Cuando el ángulo entre los vectores sea agudo la dirección del vector resultante será la misma. o Cuando el ángulo entre los vectores sea obtuso la dirección del ángulo resultante irá en dirección contraria. o

⃗⃗ ⃗⃗

⃗

(⃗⃗ ⃗⃗ )

Ecuaciones en una recta en R2



Forma general: ax + by=c



Forma normal (con solo dos componentes) ⃗

⃗

*⃗ [ ] es el vector normal perpendicular a la recta. es el vector en posición estándar correspondiente a cualquier punto sobre la recta.

es el vector en posición estándar correspondiente a un punto conocido sobre la recta.



Forma vectorial: * es el vector dirección



Forma paramétrica:

Ecuaciones en un plano P en R3



Forma general: ax + by + cz = d

 

Forma normal (con solo tres componentes) Forma vectorial: ⃗

⃗

(tiene 2 parámetros y 2 componentes de dirección)

*donde ⃗ 

Forma paramétrica:

Ecuaciones en una recta en R3

En R3 , una recta es la intersección de dos planos, por lo que se expresa la ecuación de una recta en R3 en sus formas general y normal.  Forma general: ax + by + cz = d (plano 1) ax + by + cz = d (plano 2)  Forma normal: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗



Forma vectorial



Forma paramétrica:



Ecuaciones simétricas:

*cuando una componente del vector dirección es cero(ej:

) las ecuaciones simétricas se dan

así:

Distancia desde un punto F(fuera) hasta una recta 1. 2. 3. 4.

Encontrar ⃗⃗⃗⃗⃗ (vector entre un punto conocido y el punto de fuera) ⃗⃗⃗⃗⃗ Encontrar ⃗⃗⃗⃗⃗ Encontrar ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ Calcular magnitud del vector ‖⃗⃗⃗⃗⃗

Distancia desde un punto F(fuera) hasta una recta 

‖

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ‖

Producto cruz o producto vectorial



Notación: ⃗



Importante: el producto cruz está definido sola para R3 el resultado es otro vector en R3 que es perpendicular a ⃗ y Definición: ⃗

[ 

[

]

[ ]

[

]

En este video explican la forma de resolver un producto cruz: Link: www.youtube.com/watch?v=io1vem2CmGc

PRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 1 2

5 6

ACROSS

DOWN

2. Son vectores que tienen la misma magnitud y la misma dirección. Es decir vectores.... 4. También conocido como vector nulo. 6. Operación entre dos vectores que da como resultado un escalar. 7. Esta definido solo para R3, da como resultado otro vector. 8. Es el proceso de encontrar un vector unitario en la misma dirección que el vector dado. 9. Se forma en la intersección de dos vectores, se mide en radianes. 10. Es un vector con longitud de 1.

1. Conocido también como longitud, norma o tamaño. 3. Son vectores que el ángulo entre ellos de 90 grados. 5. Forma de escribir una ecuación de una recta con su vector normal. Es decir forma...