Libro de Lógica II by Sergio Luis Barraza Castillo

L贸gica II

Luis Alfonso Zazueta Bastidas Candelario C谩lix L贸pez

L贸gica II

Luis Alfonso Zazueta Bastidas Candelario C谩lix L贸pez

Lógica II Luis Alfonso Zazueta Bastidas Candelario Cálix López

Primera edición, 2009 Segunda edición, 2010 Tercera edición, 2011 Cuarta edición, 2012 Quinta edición, 2013 © 2009. Universidad Autónoma de Sinaloa Dirección General de Escuelas Preparatorias Academia estatal de Lógica y Metodología Circuito interior oriente s.n. Ciudad universitaria Culiacán, Sin. Cp. 80010 Tel. 667-712-16-56, fax 712-16-53; ext. 113. http://dgep.uas.uasnet.mx

Portada: Juan Enrique Gutiérrez Moreno Corrección de estilo: Rita Cruz Hernández Formación: Leticia Sánchez Lara Cuidado de la edición: Luis Alfonso Zazueta Bastidas Edición con fines académicos, no lucrativos.

Hecho en México

Presentación

l propósito de este libro es que puedas utilizarlo para aprender a evaluar la validez de algunos de los argumentos que se te presentan en tu vida cotidiana y escolar, utilizando como herramienta el análisis lógico de proposiciones. Aprender a evaluar argumentos utilizando métodos, técnicas y procedimientos lógicos, te permite evaluar y construir argumentos coherentes y consistentes; mejorando así la construcción y organización lógica del conocimiento que aprendes en la escuela. La práctica de argumentar es algo muy cotidiano que está presente en, al menos, tres situaciones básicas: al resolver problemas, al tomar decisiones y al tratar de persuadir o convencer a alguien de nuestras creencias. Argumentar es dar razones para que algo sea demostrado o, al menos, aceptado, como conveniente, posible o verdadero. La necesidad de argumentar es más apremiante en contextos en donde la solución a un problema carece de certezas o las soluciones que se ofrecen son diversas y cada una de ellas es sólo posible. La mayoría de los problemas que enfrentamos en situaciones cotidianas tienen esta característica, pero, incluso, la ciencia misma porque el conocimiento que construimos es hipotético y falible. De ahí la importancia de saber argumentar y evaluar los argumentos que se nos presentan. La cultura de la argumentación y del pensamiento crítico, son opuestas a la cultura de la violencia, al dogmatismo y al autoritarismo, porque como seres racionales esperamos ser convencidos con buenas razones y no mediante la violencia, el

LÓGICA II

miedo, la fuerza o el engaño. Si aspiramos a construir una sociedad basada en la racionalidad y la dignidad, debemos tomar en serio el cambio de esta cultura. De ahí la importancia que los jóvenes bachilleres se inicien en la cultura deliberativa a través del diálogo y el debate argumentado de sus ideas, para que en el futuro como ciudadanos tomen o apoyen decisiones basadas en buenas razones. Una parte importante de lo que somos, la determina la cultura y se apoya en creencias. No hay nada absoluto ni definitivo en ellas, todas son discutibles y podemos cambiarlas como un resultado de nuestras deliberaciones. Como hemos visto, la argumentación tiene una importancia radical en nuestras vidas, dado que lo que hacemos depende, en gran medida, de lo que creemos, y esto, a su vez, de las buenas o malas razones con que soportamos nuestras creencias. En este sentido, aprender a evaluar argumentos tiene una importancia mayúscula, ya que, no se trata sólo de argumentar; algo que es natural al ser humano, sino de saber si argumentamos bien o si los argumentos que se nos presentan son correctos y debemos apoyarlos. Lo que requerimos entonces, es contar con criterios para distinguir los buenos argumentos de los malos argumentos. Para esto sirve la lógica, tanto como arte para el razonamiento práctico como ciencia que nos proporciona métodos y procedimientos para evaluar nuestras inferencias y la validez de nuestros argumentos. Desde luego que las prácticas de argumentar no están exentas de errores, vértigos o desvaríos de la razón, ya que las falacias cotidianas que cometemos son un ejemplo de ello. El libro está estructurado para proporcionarte una herramienta moderna para el análisis de argumentos, siguiendo el programa de lógica II del plan de estudios de 2009. El cual sigue el proceso de identificación de la lógica en la unidad I, 8

de los argumentos y las proposiciones, en la unidad II, de la simbolización, en la unidad III y de evaluación de la validez de los argumentos, mediante tablas de verdad, en la unidad IV y mediante deducción natural, en la unidad V. Un agradecimiento especial y un reconocimiento le hago a la estudiante de la carrera de Filosofía, Angélica Nevárez Pulido, que a través de la prestación de su servicio social nos ayudó en la selección, organización y captura del material que aquí te presentamos. Esperamos te pueda ser útil y estamos abiertos a tus comentarios y sugerencias.

El autor luizabas@hotmail.com

Contenido

Presentación | 7

Unidad I Identifica la lógica de proposiciones | 17 1.1. Importancia de la lógica de proposiciones | 21 1.2. Proposiciones, enunciados u oraciones | 26 1.3. Clasificación de las proposiciones | 33

Unidad II Formula proposiciones función de verdad | 37 2.1. Conectivas lógicas | 41 2.2. Proposiciones compuestas función de verdad | 42

Unidad III Simboliza la estructura de proposiciones y argumentos | 69 3.1. Símbolos para las proposiciones y argumentos | 73 3.2. Reglas para formar fórmulas bien formadas | 76

LÓGICA II

Unidad IV Evalúa la validez formal de argumentos mediante tablas de verdad | 91 4.1. ¿Qué es una tabla de verdad? | 95 4.2. Procedimiento para elaborar tablas de verdad | 95 4.3. Verdad formal: tautología y contradicción | 104 4.4. Evaluación de la validez de argumentos mediante tablas de verdad | 107

Propósito general

ue aprendas a evaluar la validez lógica de algunos de los argumentos que se te presentan en tu vida cotidiana y escolar, al aplicar el lenguaje, los métodos y los procedimientos de la lógica simbólica de proposiciones, a la resolución de problemas, toma de decisiones y discusiones, valorando así la importancia de argumentar correctamente.

Saberes necesarios para lograr el objetivo de aprendizaje: Conceptuales • Define, comprende y explica algunos conceptos básicos de la lógica formal, como: proposición, función de verdad, conectiva lógica, tabla de verdad, validez, verdad formal, verdad empírica, tautología, contradicción, contingente, regla de inferencia y regla de equivalencia. • Identifica o reconoce el lenguaje simbólico, las conectivas y las reglas de inferencia y equivalencia. • Distingue la verdad de una proposición de la validez un argumento. • Describe procedimientos: cómo se elabora una tabla de verdad y cómo se forma el condicional asociado. • Reconoce y explica por qué son válidas las reglas lógicas de inferencia y equivalencia.

Procedimentales • Traduce o representa un argumento en idioma español al lenguaje simbólico de la lógica proposicional. • Calcula el valor de verdad de una proposición compuesta. • Aplica el método del condicional asociado. • Demuestra la validez de argumentos en lógica de proposiciones, al utilizar el método de tablas de verdad y de deducción natural; aplicando las reglas de inferencia y equivalencia para su demostración. Actitudes y valores • Reflexiona la importancia del uso del simbolismo lógico para representar la compleja estructura de un argumento. • Aprecia el uso de las tablas de verdad para calcular el valor de verdad de una proposición compuesta. • Valora la eficacia del cálculo lógico en la demostración de argumentos. • Valora y reflexiona la importancia de evaluar la validez de los argumentos para dar solidez a las argumentaciones que realiza. Contenidos de aprendizaje I. Identifica la Lógica de proposiciones. II. Formula proposiciones función de verdad. III. Simboliza la estructura de proposiciones y argumentos. IV. Evalúa la validez formal de argumentos mediante tablas de verdad. V. Demuestra la validez formal de argumentos.

Mapa conceptual El propósito de Lógica II

es aprender a

Evaluar la Validez de Argumentos

utilizando como herramienta de análisis la

La lógica de Proposiciones

El logro del propósito implica la destreza del estudiante en los siguientes desempeños

Identifica el tipo de proposiciones que integran un argumento

Simboliza argumentos

Aplica métodos para evaluar la validez de argumentos

Para el logro de estos desempeños se proponen las unidades de competencias siguientes:

UNIDAD I

UNIDAD II

UNIDAD III

UNIDAD IV

UNIDAD V

Identifica la Lógica de proposiciones.

Identifica proposiciones función de verdad.

Simboliza proposiciones y argumentos.

Evalúa argumentos mediante tablas de verdad.

Demuestra la validez formal de argumentos.

Unidad I

Identifica la L贸gica de proposiciones

Propósito de la unidad de aprendizaje El estudiante al final de la unidad, reconoce la importancia de la lógica proposicional para la evaluación de argumentos e identifica y clasifica las proposiciones que forman parte de los argumentos.

Saberes necesarios para lograr el objetivo de aprendizaje: Conceptuales • Define el concepto de proposición. • Distingue una proposición simple de una compuesta Procedimentales • Identifica las proposiciones compuestas en el idioma español. • Expresa proposiciones. Actitudes y valores • Valora el uso de proposiciones claras y coherentes en la expresión de su pensamiento. Contenidos de aprendizaje 2.1. Importancia de la lógica de proposiciones. 2.2. Proposiciones, enunciados u oraciones. 2.3. Clasificación de las proposiciones.

1.1. Importancia de la lógica de proposiciones

a competencia central en lógica es la evaluación y construcción de argumentos. Evaluar un argumento es determinar si éste es válido, correcto o bueno o, por el contrario, es inválido, incorrecto o malo1. Para saber evaluar argumentos, se requiere desarrollar ciertas habilidades lógicas y lingüísticas como: a) Identificar el argumento en el discurso oral o escrito. b) Distinguir las premisas y la conclusión del argumento. c) Traducir argumentos del idioma español al lenguaje simbólico de la lógica, y finalmente. d) Evaluar el argumento, eligiendo para ello criterios y métodos lógicos adecuados al tipo argumento, inferencia y proposiciones que lo integran. Usamos argumentos en diferentes contextos o situaciones y generalmente lo hacemos para persuadir o convencer a alguien de nuestras creencias. La argumentación mediante buenos argumentos es el mejor recurso o el recurso ideal para persuadir. Por ello, es conveniente saber cuándo un argumento es correcto y cuándo no lo es; esta distinción es útil también para saber cuándo aceptar un argumento y cuándo no. Es posible también persuadir por otros medios no argumentativos como la amenaza, el miedo o el engaño. Sin embargo, las prácticas argumentativas se oponen a los modos violentos y engañosos de persuasión, porque al argumentar ofrecemos y exigimos buenas razones como justificación de la acción racional de nuestros semejantes. La argumentación puede realizarse como un diálogo interno consigo mismo, pero también como un debate razonado con otros, en el que mostramos disposición para convencer o ser convencidos, pero no con violencia ni con engaños sino con buenas razones. En este sentido, la argumentación presupone una ética de la disputa,2 la búsqueda sincera de la verdad, el juego limpio y evitar las trampas, admitir errores y reconocer el triunfo del mejor argumento.

1 Tomaremos estas tres expresiones como sinónimos. 2 Véase, Carlos Pereda, Vértigos argumentales. Una ética de la disputa. Editorial Antropos, Barcelona, 1994.

LÓGICA II

El beneficio social del cultivo de la argumentación sería evidente, si en los asuntos que se debaten en las sociedades democráticas, resultaran triunfales los mejores argumentos. Esto dependerá en gran medida de la cultura argumentativa de los ciudadanos, de sus capacidades de pensamiento crítico, así como de sus habilidades para argumentar y evitar ser engañados. Las argumentaciones, por ser prácticas humanas, no están exentas de error y, para evitar ser engañados o caer en el error, una condición necesaria, es distinguir los buenos argumentos de los malos argumentos; para ello requerimos el estudio de los argumentos bajo la perspectiva del estudio del razonamiento correcto o la lógica como ciencia. Aprender a evaluar si un argumento es correcto, es útil cuando te enfrentas a la necesidad de convencer a otros mediante argumentos. Al menos, existen tres situaciones en las que tendrías que utilizar la argumentación y los buenos argumentos, ya sea, en tu vida cotidiana, en la escuela o en el trabajo: a) Cuando necesitas dar respuesta a un problema, de cualquier tipo, que se te presenta. b) Cuando requieres tomar una decisión, que implique analizar diferentes posibilidades o cursos de acción. c) Cuando pretendes convencer o justificar tus creencias, tesis o proyectos. En cualquiera de estos casos, es necesario justificar mediante razones y evaluar si son correctas. Al razonar o argumentar, es muy común que no lleguemos a las mismas conclusiones. Por ejemplo, en la sociedad mexicana se debaten actualmente, asuntos públicos importantes y controvertidos en los que existe una diversidad de puntos de vista como: privatizar la industria del petróleo, legalizar el aborto y las drogas, producir y consumir productos transgénicos, aplicar la pena de muerte para resolver la inseguridad, aprobar la eutanasia, etc. Frente a estos dilemas, es evidente que no existe una respuesta única, ni un acuerdo o solución unánime, por lo contrario, existe una diversidad de respuestas o puntos de vista y todos pretenden ser verdaderos. La diversidad de opiniones, nos plantea nuevos problemas: ¿Cómo saber quién tiene la razón? Y saber ¿Cuáles de los argumentos involucrados es el mejor? Consideramos que no basta con argumentar, con emitir un juicio o manifestar un punto de vista a favor o en contra, es necesario contar con criterios para distinguir un argumento correcto de otro incorrecto. La lógica clásica es, precisamente, la ciencia

I | Identifica la lógica de proposiciones

que estudia las estructuras de los argumentos correctos o válidos. Una parte de esa lógica la estudiaremos en este libro, la llamada lógica proposicional, también llamada lógica de enunciados u oraciones. Algunas de las características que definen a este tipo lógica son: a) La lógica proposicional es adecuada para evaluar argumentos deductivos.3 b) La lógica proposicional nos permite representar, analizar y evaluar la forma lógica o estructura de un argumento. No toma en cuenta el contenido del argumento ni su contexto de uso. c) La lógica proposicional considera a la proposición como la unidad mínima o atómica para el análisis de la forma lógica de los argumentos. d) La lógica proposicional es una lógica bivalente, en el sentido en que, las proposiciones sólo admiten, alternativamente y nunca juntas, dos valores de verdad (verdadero o falso), tampoco hay una tercera opción (tercero excluido).

3 Los argumentos inductivos, analógicos o abductivos (no deductivos) requieren un criterio de validez distinto, ya que la inferencia en estos argumentos no es completa, es débil y sólo es posiblemente verdadera a diferencia de las deductivas que pretenden ser infalibles. Lo mismo sucede con las inferencias no clásicas.

LÓGICA II

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Actividades de aprendizaje

Ejercicio 1.1. Instrucciones: Contesta el cuestionario por equipos en base a la lectura de “Importancia de la lógica proposicional” y en una plenaria compartan sus respuestas. 1. ¿Cuál es la competencia que pretendemos desarrollar en un curso de lógica? 2. ¿Qué habilidades se requiere para desarrollar la competencia de evaluar argumentos? 3. ¿Para qué argumentamos y en qué situaciones argumentamos? 4. ¿Qué otros mecanismos usamos los seres humanos para persuadir o convencer? 5. ¿Cuáles son los mecanismos de persuasión distintos a la argumentación que se identifican en el texto? 6. ¿Qué otras formas de persuasión conoces distintas a las mencionadas? 7. ¿Qué relación tiene la ética con la argumentación? ¿Cuál es tu postura? 8. ¿Qué relación tiene la argumentación con la democracia? 9. Menciona tres situaciones de la vida personal en las que en las que consideres que es necesario argumentar. 10. ¿Qué relación existe entre la argumentación y la lógica clásica?

I | Identifica la lógica de proposiciones

Ejercicio 1.2. Instrucciones: Elabora en una cuartilla un texto, argumentando a favor o en contra sobre la siguiente pregunta: ¿Puede la argumentación ser un medio para encontrar la verdad o llegar a un consenso cuando discutimos un asunto y qué condiciones o valores supone una discusión para lograr esos objetivos? ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 25

LÓGICA II

1.2. Proposiciones, enunciados u oraciones Los conceptos de enunciado, oración y proposición, se utilizan de manera indistinta en el vocabulario de los libros de texto de lógica. En algunos libros se habla de lógica de enunciados o de lógica de oraciones, pero en realidad a lo que hacemos referencia es al contenido o significado de éstas, a las proposiciones. Consideraremos que las proposiciones son el contenido lógico semántico tanto de los enunciados como de las oraciones declarativas. Aunque no hay un acuerdo unánime, lo importante es que tanto enunciado, como oraciones y proposiciones son el tipo de entidades de las cuales decimos que son verdaderas o falsas y son por ello llamadas portadores de verdad.4

¿Qué es una proposición? Cuando razonamos, discutimos o simplemente al hablar con otras personas, nos comunicamos con la intención de afirmar hechos, cosas o ideas, las cuales expresamos por medio de oraciones declarativas. Diremos que, una oración expresa a una proposición si tiene las características siguientes: a) Cuando el uso que alguien hace de ella lleva la intención de aseverar, afirmar o juzgar. b) Cuando la oración tiene la estructura sujeto-predicado. c) Cuando la oración o lo expresado en ella es un portador de verdad. Podemos definir la proposición de esta manera.

La Proposición Es el resultado de una afirmación, aseveración o juicio, expresada por medio de una oración declarativa de la forma sujeto-predicado, de la cual podemos predicar que puede ser “verdadera” o falsa” (portador de verdad).

4 Un portador de verdad es una entidad a la cual se le pueden aplicar expresiones como “es verdadero” o “es falso” u otras similares, expresiones que, Raúl Orayen, llama predicados veritativos. Véase, Orayen, R. (1989): Lógica, significado y ontología, UNAM, México. Pág.18

I | Identifica la lógica de proposiciones

Oraciones que expresan proposiciones ¿Cuándo una oración expresa una proposición? La estructura de una oración está constituida por sujeto, verbo o predicado, aunque puede ser que el sujeto no aparezca o esté implícito, como en el caso de las oraciones impersonales. Son ejemplos de oraciones: El amor es la felicidad. El agua del río Culiacán está contaminada. Los niños tienen piojos. También lo son oraciones impersonales como: Nieva. Es de noche. Hace calor. Las oraciones expresan una proposición cuando hacemos afirmaciones, o expresamos nuestro punto de vista de las cosas. Cuando usamos el lenguaje para informar, también declaramos proposiciones para referirnos al “mundo” o a los hechos que en él acontecen. La forma del lenguaje en la que normalmente se expresa esta función son las oraciones declarativas.

Oraciones que no expresan proposiciones Las oraciones que expresan un uso emotivo del lenguaje no se consideran proposiciones porque no son afirmaciones de hechos, sino descripciones de estados de ánimo, sentimientos, emociones o pueden expresar, incluso, juicios de valor. ¡Qué noche tan bella! Por ejemplo: ¡Qué sabrosas tostadas! ¡Te amo! Las oraciones que expresan órdenes o un uso prescriptivo tampoco son proposiciones, pues no afirman sino que recomiendan o sugieren algo en el sentido del deber ser. ¡Cuidado con el perro! Por ejemplo: ¡Pónganse de pié! ¡Levántate temprano!

LÓGICA II

Tampoco cuando empleamos oraciones del lenguaje para preguntar, orar, saludar, hacer reír, etc. Por ejemplo: ¿Cuánto cuesta esa revista? ¡Buenos días! ¡Alabado sea el señor! Un procedimiento para saber si algo es o no es una proposición, consiste en preguntarnos si ¿la oración puede ser verdadera o falsa? Si la respuesta es sí, entonces estamos frente a una proposición. El mapa siguiente resume los diferentes usos del lenguaje y los diferentes tipos de oraciones, según su forma gramatical.

USOS DEL LENGUAJE

FORMA GRAMATICAL

INFORMATIVO

DECLARATIVA

EMOTIVO

ORACIÓN

PRESCRIPTIVO

EXCLAMATIVA INTERROGATIVA IMPERATIVA

En realidad el lenguaje responde a diferentes funciones y éstas no se encuentran en estado puro. En una poesía, por ejemplo, domina el lenguaje expresivo, pero a la vez que expresa sentimientos, nos proporciona información y quizás hasta un posible argumento. No es tarea fácil determinar qué función está cumpliendo primordialmente una parte del discurso, por lo que se tiene que recurrir al contexto.

I | Identifica la lógica de proposiciones

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Actividad de aprendizaje

Ejercicio 1.3. Instrucciones: Lee el canto o poesía náhuatl titulado “el enigma de vivir” y analiza si es posible encontrar oraciones que expresen una proposición. Contesta las preguntas que se te hacen y anota su respuesta en el espacio en blanco. No es verdad que vivimos, no es verdad que duramos en la tierra. ¡Yo tengo que dejar las bellas flores, tengo que ir en busca del sitio del misterio! Pero por breve tiempo, hagamos nuestros los hermosos cantos. (Enigma de vivir, Anónimo de Chalco, Cantares mexicanos). Preguntas

Respuestas

Tema: ¿De qué habla?

Problema: ¿Qué quiere comunicarnos?

¿Qué usos hace del lenguaje?

¿Cuáles expresiones usadas son proposiciones?

¿Su intención es argumentativa? ¿Quiere convencernos de algo?

LÓGICA II

Ejercicio 1.4. Instrucciones: Encuentra cuál es la idea principal en el texto “Importancias de la lógica proposicional” con que inicia esta unidad y contesta lo que se te pide. 1. ¿Cuál es la idea central?

2. ¿Qué argumenta a favor?

3. ¿Qué argumenta en contra?

4. ¿Cuál es tu opinión personal? Debes afirmar con cuáles afirmaciones estás de acuerdo o en desacuerdo y por qué.

I | Identifica la lógica de proposiciones

Ejercicio 1.5. Instrucciones: Identifica cuáles de las expresiones siguientes es una proposición y anota sí o no. Expresiones

¿Es una proposición?

El hombre es un animal racional. El ingenioso Hidalgo Don Quijote de la Mancha. Llueve. 2 más 2 es igual a 4. La tienda de la esquina. La materia no se destruye sólo se transforma. Hace frío. Cuando el tecolote canta el indio muere. ¡Aguas! Las hormigas no duermen. ¡Qué hermosa canción! Debes hacer el bien sin mirar a quien. Apaguen sus celulares antes del concierto. ¿Qué hora es? Descubrieron agua en la luna. Plutón no es un planeta. Las nieves de enero.

LÓGICA II

Ejercicio 1.6. Instrucciones: Identifica la intención en el uso del lenguaje, el tipo de forma gramatical que adopta la oración en las expresiones y si hay un portador de verdad.

Oración

Uso del lenguaje

Forma de la oración

¿Para qué vinimos a este mundo? El triángulo es una figura de tres lados. ¡Hay cuánto sufro yo, por querer a esa morena! ¡Gracias a la vida, que me ha dado tanto! Las drogas no son dañinas. Debes lavarte las manos antes y después de ir al baño. ¡Gracias a Dios es viernes! La ballena es un mamífero acuático. ¡Se ponchan llantas gratis! Algunos camioneros son amables. ¡Bendito sea Dios! La diabetes es hereditaria. ¡Buenos días!

¿Es portador ¿Cuál es su valor de verdad? de verdad?

I | Identifica la lógica de proposiciones

1.3. Clasificación de las proposiciones Recordemos que, un argumento es una secuencia de proposiciones que se relacionan entre sí formando una estructura de premisas y conclusión. Las proposiciones que forman un argumento pueden ser: Simples o atómicas. 1. Compuestas o moleculares. Proposición simple Es una proposición que no incluye dentro de sí a otra proposición. Veamos algunos ejemplos: La persona es cuerpo. La persona es alma. El alma es inmortal. Proposición compuesta Es una proposición que contiene dentro de sí a otras proposiciones, las cuales se encuentran relacionadas o son formadas mediante conectivas lógicas. Es posible formar proposiciones compuestas a partir de proposiciones simples, por ejemplo: El alma no es inmortal. La persona es cuerpo y la persona es alma. La persona es cuerpo o la persona es alma. Si la persona es alma, entonces el alma es inmortal. La persona es alma si y sólo si el alma es inmortal. Expresiones como: “no”, “y”, “o”, “si… entonces” y “si y sólo si” que en el idioma español sirven para unir oraciones, en lógica, son llamadas conectivas lógicas, y sirve para unir y formar proposiciones compuestas o complejas.

LÓGICA II

La lógica proposicional reconoce únicamente las siguientes proposiciones compuestas, formadas a partir de proposiciones simples y de conectivas lógicas: Proposición compuesta

Conectiva lógica

Se denomina:

El alma no es inmortal.

Negación

La persona es cuerpo y la persona es alma.

Conjunción

La persona es cuerpo o la persona es alma.

Disyunción

Si la persona es alma, entonces el alma es inmortal.

Si…entonces

Condicional

La persona es alma si y sólo si el alma es inmortal.

Si y sólo si

Bicondicional

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Actividad de aprendizaje

Ejercicio 1.7. Instrucciones: Identifica cuáles oraciones expresan proposiciones simples (S), proposiciones compuestas (C) o si no expresan proposiciones (N). Proposiciones

S/C/N

La vida no es justa. No sé qué hacer contigo si sigues faltando a clases. El fin de esta vida es la autorrealización. Si estudio, entonces aprendo lógica y cualquier otra materia. ¿Somos buenos o malos de nacimiento? La biología estudia a los seres vivos. Ser o no ser. Iré al cine contigo sí y sólo sí tú pagas la entrada. Trabajo o estudio. Luisa y María. Luis es serio y Miguel es divertido. Los chocolates engordan, si me los como seguido y en exceso.

I | Identifica la lógica de proposiciones

Ejercicio 1.8. Instrucciones: Forma, a partir de las proposiciones simples abajo enlistadas, tres proposiciones compuestas usando cada una de las conectivas lógicas: negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. 1. Juan va a la fiesta 2. Juan estudia lógica 3. Juan pasará el examen Conectiva

Expresión

Negación

Conjunción

Disyunción

Condicional

Si…entonces

Bicondicional

Si y sólo si

Proposiciones compuestas

Bibliografía

Arnaz José Antonio. Iniciación a la lógica simbólica. México, Trillas, 1989. Copi, M. y C. Cohen. Introducción a la Lógica. México, Limusa, 1995. González Yáñez, Arturo. Lógica o por qué la luna es de queso. México, Oxford, 2005. Hernández, Gabriela y Gabriela Rodríguez. ¿Lógica… para qué? Argumenta, debate y decide racionalmente. México, Pearson, 2009. Trevijano, Carmen García. El arte de la lógica. España. Tecnos, 1993.

Unidad II

Formula proposiciones funci贸n de verdad

Propósito de la unidad de aprendizaje El estudiante al final de la unidad, reconoce las proposiciones función de verdad en el idioma español, valora su importancia y es capaz de formularlas a partir de enunciados simples.

Saberes necesarios para lograr el objetivo de aprendizaje: Conceptuales • Define conceptos: proposición, función de verdad y conectiva lógica. • Explica qué es una negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. Procedimentales • Reconoce el valor de verdad de un enunciado compuesto función de verdad. • Forma proposiciones compuestas a partir de proposiciones simples y conectivas lógicas. Actitudes y valores • Valora y reflexiona sobre la importancia de identificar el valor de verdad de las proposiciones compuestas que afirma. Contenidos de aprendizaje 2.1. Conectivas lógicas. 2.2. Proposiciones función de verdad: Negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional

2.1. Conectivas lógicas Las proposiciones compuestas son consideradas por la lógica como proposiciones función de verdad, porque su valor de verdad depende de: a) El valor de verdad de las proposiciones simples que la integran. b) El tipo de relación, nexo o conectiva lógica que se establece entre las proposiciones. Las conectivas lógicas son importantes porque definen la condición de verdad del enunciado compuesto. Por esta razón son llamadas, expresiones veritativo-funcionales. En este sentido, podemos definirlas como:

Conectiva lógica Es una expresión (veritativo funcional) que sirve para formar una proposición compuesta (función de verdad). Una conectiva lógica es una expresión que siempre construye proposiciones compuestas, cuyo valor de verdad es una función del valor de verdad de las expresiones constituyentes. En general, decimos que una expresión es veritativo-funcional si forma compuestos en los que basta conocer el valor de verdad de sus partes, para saber el valor de verdad del compuesto total. Veamos ahora, como se expresan en español y como se define el valor de verdad de cada una de las siguientes conectivas: negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional.

LÓGICA II

2.2. Proposiciones compuestas función de verdad. Veremos más detenidamente como identificar y expresar las proposiciones función de verdad en el idioma español.

La negación Algunas expresiones en el idioma español con las que expresamos una negación son: No, nada, nunca, ni, jamás, ningún, es falso que, no es cierto que, y otros términos similares. Veamos un ejemplo, si negamos la proposición simple “el dinero es la felicidad” podemos expresar su negación mediante algunas de estas expresiones: El dinero no es la felicidad. Es falso que el dinero es la felicidad. No es el caso que el dinero es la felicidad. El dinero es cualquier cosa menos la felicidad. Es inaceptable decir que el dinero es la felicidad. Delira quien sostiene que el dinero es la felicidad. No se afirma con verdad que el dinero es la felicidad.

En lógica no interesa tanto la variedad de expresiones sino definir de manera precisa y clara el significado de una negación. La negación Es una conectiva veritativo funcional que invierte el valor de verdad de la proposición original por ella negada. Veamos, el ejemplo anterior “El dinero es la felicidad”, cómo funciona la negación. “El dinero es la felicidad”

“El dinero no es la felicidad”

Verdadera

Falsa

Verdadera

El símbolo lógico para la negación es “~” llamada tilde, el cual, por convención, se coloca siempre a la izquierda de la proposición que niega.

ii | formula proposiciones función de verdad

Si representamos la proposición “el dinero es la felicidad” del ejemplo anterior, mediante la letra “p”, su negación se representaría así: ~p (que se lee “no p”). “El dinero es la felicidad” p

“El dinero no es la felicidad”

Siempre que una proposición “p”, cualquiera que sea, es negada ~p, su valor de verdad original se invierte. Si era verdadera pasa a ser falsa, y si era falsa para a ser verdadera. Esto se representa de manera general y abstracta mediante la gráfica siguiente: p ~p V F F V 5 Otras simbolizaciones de ~p Np, -p, p`,¬p

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Actividad de aprendizaje

Ejercicio 2.1. Instrucciones: Define en tus propias palabras la conectiva negación. Compara tu comprensión con la de tus compañeros.1 ¿Cómo entiendes la conectiva negación?

1 El sistema de notación simbólica es relativo, agregamos las diferentes versiones para que puedas interpretar otros libros de lógica que usen una notación diferente. Estas versiones han sido tomadas de: Raymundo Morado, Compendio de lógica. Editorial Torres, México, 2009, pág. 70-73.

LÓGICA II

Ejercicio 2.2. Instrucciones: Utiliza, al menos, dos expresiones diferentes para negar la proposición que se encuentra a la izquierda. Proposición

Negación

Debemos pagar la tenencia.

Fumar no produce cáncer.

La lógica es difícil de aprender.

Ejercicio 2.3. Instrucciones: Contesta lo que se te pide en el cuadro siguiente: Proposición a negar

¿Es su negación?

El impuesto a la te- El impuesto a la tenencia es nencia es justo. injusto Las niñas son mejo- Las niñas son peores que los res que los niños en niños en todo. todo. No hay la impunidad. Existen crímenes sin castigar.

Nadie es feliz.

Algunas personas se sienten infelices.

Las mujeres son fieles Los hombres son infieles y las y los hombres infieles. mujeres infieles. Los hombres son más No es cierto que las mujeres infieles que las mu- son menos infieles que los jeres. hombres.

Si o no

¿Por qué?

ii | formula proposiciones función de verdad

Ejercicio 2.4. Instrucciones: Contesta lo que se te pide en el cuadro siguiente: Proposición a negar

¿Cuál sería su negación?

Los ríos de Culiacán están contaminados. Algunos no pagan sus impuestos.

Vivimos con miedo e inseguros.

Todos tenemos empleo bien remunerado. Todos tememos morir.

Todos los mexicanos son guadalupanos. Ningún político es corrupto.

En Sinaloa no hay mujeres feas.

LÓGICA II

La conjunción Una conjunción se puede identificar en el idioma español mediantes algunas de estas palabras o signos: y, también, además; incluso; e, “,”, pero; entre otras expresiones. Por ejemplo2, si tratamos de afirmar la verdad de dos proposiciones: “el dolor es cruel” y “el dolor es necesario”, diremos: El dolor es cruel y el dolor es necesario Aunque el dolor es cruel es necesario El dolor es cruel y también es necesario El dolor es cruel pero necesario. El dolor es tanto cruel como necesario. El dolor es cruel además de necesario. El dolor, ese cruel, es también necesario. El dolor es cruel; sin embargo, es necesario. Toda ésta rica variedad de expresiones del idioma español quedará representada por la expresión “y”. ¿Qué es lo que enunciamos cuando afirmamos una conjunción? Lo que afirmamos es que ambas proposiciones son verdaderas. Por ello una conjunción se define como: La conjunción Es un enunciado compuesto función de verdad, cuya conectiva veritativo-funcional define al enunciado compuesto como verdadero, sólo si ambas proposiciones son simultáneamente verdaderas.

Para representar gráficamente la definición de la conjunción determinaremos los posibles valores de verdad de una proposición compuesta.

2 Ejemplo tomado de Pazos, M. y Sandra Ramírez. Conectivas y usos del lenguaje: hacia un discurso argumentativo. Pág. 49.

ii | formula proposiciones función de verdad

Si por cada proposición la lógica bivalente sólo admite dos valores de verdad: V p

q F

La combinación de los posibles valores de verdad estará representada por la fórmula 2n, donde n= número de proposiciones. Para una proposición compuesta de dos proposiciones tendremos 22= 2 x 2, dando como resultado 4 combinaciones de valores de verdad. Hagamos un ejemplo de representación: sea el enunciado “el dolor es cruel y el dolor es necesario”. El dolor es cruel

El dolor es necesario

Verdadera Verdadera Falsa Falsa

Verdadera Falsa Verdadera Falsa

El dolor es cruel y el dolor es necesario Verdadera Falsa Falsa Falsa

Simbolizaremos a la conjunción mediante el signo “˄”, el cual se coloca en medio de las proposiciones conjuntadas. Si sustituimos la proposición “el dolor es cruel” por la letra “p” y la proposición “el dolor es necesario”, por la letra “q”, tendríamos la siguiente fórmula: p ˄ q. “El dolor es cruel”

“El dolor es necesario”

El dolor es cruel y el dolor es necesario p˄q

LÓGICA II

Finalmente, la relación lógica entre dos proposiciones, cualquiera que éstas sean, simples o compuestas, mediante la conectiva conjunción “p˄q” se expresa mediante la tabla de verdad:3 Tabla de verdad de la conjunción p q p˄q V V V V F F F V F F F F Otras simbolizaciones de p ˄ q son: P  Q, P & Q, Kpq, P ᴖ Q

3 En general, una tabla de verdad es un procedimiento gráfico que permite determinar los posibles valores de verdad de una proposición compuesta, a partir de las combinaciones de los valores de verdad de sus proposiciones simples componentes.

ii | formula proposiciones función de verdad



Actividad de aprendizaje

Ejercicio 2.5. Instrucciones: Define en tus propias palabras la comprensión que tienes de la conectiva conjunción. Compara tu comprensión con la de tus compañeros. ¿Qué es la conjunción?

Ejercicio 2.6. Instrucciones: Lee el texto que se presenta y encierra en un círculo las expresiones que puedan indicar la presencia de una conjunción. Luego anota tres proposiciones simples que integran las conjunciones que se afirman en el texto. La lógica y la matemática son ciencias formales. La matemática, al igual que la lógica son disciplinas necesarias para el desarrollo del pensamiento abstracto. Los estudiantes las consideran ciencias interesantes, pero difíciles y aburridas. Tanto la lógica como la matemática desarrollan el razonamiento lógico-matemático del niño, según los estudios de Jean Piaget. Proposiciones simples

LÓGICA II

Ejercicio 2.7. Instrucciones: Sustituir las letras por oraciones y formar conjunciones según las fórmulas lógicas de la derecha. “p” = Tengo dinero q = Voy al cine Conjunciones lógicas

Oraciones

~p ˄ q

No tengo dinero y voy al cine.

~p ˄ ~q

p ˄ ~q

p˄q

ii | formula proposiciones función de verdad

La Disyunción No es difícil identificar una disyunción en el lenguaje ordinario, en español utilizamos términos como: o, u, o bien, y cualquier otra expresión similar. Veamos algunos ejemplos.4 El dolor es cruel o necesario O bien el dolor es necesario o bien el dolor es cruel. El dolor es cruel y / o necesario. El dolor es cruel o necesario, o ambas cosas. El dolor es cruel o necesario, pero no ambas cosas. Se reconocen dos sentidos distintos en una disyunción: uno incluyente y otro excluyente.

La disyunción inclusiva En un enunciado disyuntivo se afirma la posibilidad que al menos uno de ambos disyuntos sea verdadero y el conectivo se define como inclusivo si su conectiva incluye la posibilidad de que ambos disyuntos sean simultáneamente verdaderos. Vamos a representar gráficamente la definición de la disyunción, utilizando el ejemplo inicial: “El dolor es cruel o el dolor necesario”. El dolor es cruel Verdadera Verdadera Falsa Falsa

El dolor es necesario Verdadera Falsa Verdadera Falsa

El dolor es cruel o el dolor necesario Verdadera Verdadera Verdadera Falsa

Como puede verse, el único caso en que una proposición inclusiva es falsa, es cuando ambas proposiciones son falsas. En todos los demás casos resultan verdaderas.

4 Ejemplo tomado de Pazos, M. y Sandra Ramírez. Conectivas y usos del lenguaje: hacia un discurso argumentativo. Pág. 45.

LÓGICA II

El símbolo que utilizaremos para representar las diferentes expresiones de una disyunción en el idioma español será “∨”. Si representamos simbólicamente la proposición anterior, sustituyendo la proposición “el dolor es cruel” por el símbolo “p” y sustituyendo la proposición “el dolor es necesario” por la letra “q”, tendremos: El dolor es cruel p Verdadera Verdadera Falsa Falsa

El dolor es necesario q Verdadera Falsa Verdadera Falsa

El dolor es cruel o el dolor necesario p∨q Verdadera Verdadera Verdadera Falsa

Finalmente, la relación lógica entre dos proposiciones, cualquiera que éstas sean, simples o compuestas, mediante la conectiva disyunción inclusiva “p ∨ q” se expresa mediante la tabla de verdad: p q p˅q V V V V F V F V V F F F Otras simbolizaciones de p ∨ q son: Apq, p+q, pxp, p∪q

Por otra parte, una disyunción exclusiva se define como:

La disyunción exclusiva En un enunciado disyuntivo se afirma la posibilidad que al menos uno de ambos disyuntos sea verdadero y el conectivo se define como exclusivo si su conectiva excluye la posibilidad de que ambos disyuntos sean simultáneamente verdaderos o falsos.

ii | formula proposiciones función de verdad

Si representamos gráficamente la combinación de valores de verdad de una disyunción exclusiva, a través del ejemplo siguiente: “El protón tiene carga positiva o el protón tiene carga negativa”, tendremos que: El protón tiene carga negativa. Verdadera Verdadera Falsa Falsa

El protón tiene carga positiva. Verdadera Falsa Verdadera Falsa

El protón tiene carga negativa o el protón tiene carga positiva. Falsa Verdadera Verdadera Falsa

Si simbolizamos la disyunción anterior, sustituyendo la proposición “el protón tiene carga negativa” por el símbolo “p” y sustituyendo la proposición “El protón tiene carga positiva” por la letra “q”, tendremos: El protón tiene carga negativa. p Verdadera Verdadera Falsa Falsa

El protón tiene carga positiva. q Verdadera Falsa Verdadera Falsa

El protón tiene carga negativa o el protón tiene carga positiva. p∨q Falsa Verdadera Verdadera Falsa

Finalmente, la relación lógica entre dos proposiciones, cualquiera que éstas sean, simples o compuestas, quedará representada mediante la conectiva disyunción exclusiva “p ∨ q”, la cual se expresa mediante la tabla de verdad: p q p∨q V V F V F V F V V F F F Otras simbolizaciones de p ∨ q son: p≠q, Jpq

LÓGICA II

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Actividad de aprendizaje

Ejercicio 2.8. Instrucciones: Define en tus propias palabras la comprensión que tienes de la conectiva disyunción. Compara tu comprensión con la de tus compañeros. ¿Qué entiendes por disyunción?

Ejercicio 2.9. Instrucciones: Determina cuáles proposiciones pueden ser inclusivas y cuáles son necesariamente exclusivas. Proposiciones disyuntivas

Tipo de disyunción

Luis ama a María o a Juana. O te quedas o te vas. Estudio computación o estudio idiomas. La respuesta es verdadera o falsa. Comerás frutas o verduras. Alguien dejó la puerta abierta o cerrada. Llueve o no llueve. O apruebo o repruebo el examen de lógica. Estudio o trabajo.

ii | formula proposiciones función de verdad

La condicional Algunos de los términos que permiten formar e identificar una proposición condicional en el idioma español son: (Si…entonces), (si….,…), (…, sólo si…), siempre que, cuando, y otras expresiones. Veamos algunos ejemplos:5 Si hace frío entonces me da gripa. Si hace frío, me da gripa. Sólo si hace frío me da gripa Siempre que hace frío me da gripa. Cuando hace frío me da gripa. Cabe aclarar que no siempre, la palabra “entonces” dentro de una oración, se debe interpretar como una oración condicional, ya que, en algunos casos, puede indicar una secuencia temporal. Por ejemplo6: Abrí la puerta, entonces me di cuenta de que estaba lloviendo a cántaros. Escuche en llanto del niño y sólo entonces me percaté de su presencia Otra advertencia que debemos hacer, es que un enunciado condicional puede expresar una relación de causalidad, pero no siempre un enunciado condicional expresa una relación de causalidad. Por ejemplo, si decimos: Si tocan las campanas entonces hay misa. Sería un tanto absurdo creer que el hecho de que toquen las campanas es causa de que haya misa. ¿Cuál es el significado que en lógica tiene esta conectiva?

La condicional En un enunciado compuesto por una conectiva condicional, lo que se afirma es que si la condición o antecedente del enunciado es verdadera el consecuente también debe serlo, y si esto no es así entonces el enunciado es falso.

5 Pazos, María y Sandra Ramírez. Conectivas y usos del lenguaje: hacia un discurso argumentativo. Universidad de la Ciudad de México, México, 2009, págs. 50-53. 6 Ibídem, Pág. 51.

LÓGICA II

Como vemos, “un enunciado condicional expresa una relación de condicionalización entre enunciados; esto es suficiente con que una condición se cumpla para que se dé necesariamente la otra. Un enunciado condicional tiene, así, dos condiciones: una condición suficiente y una condición necesaria, La condición suficiente es siempre el antecedente del condicional, en tanto que la condición necesaria es siempre el consecuente”7. Las partes de una proposición condicional son el antecedente y el consecuente. Veamos el ejemplo con que iniciamos: Si

hace frío antecedente

entonces

me da gripa. consecuente

NOTA: Esta relación no cambia si la oración es expresada en voz pasiva, por ejemplo, si decimos, me da gripa, si es que hace frío. El antecedente sigue siendo la proposición “hace frío” y el consecuente la proposición “me da gripa”. Ahora vamos a representar gráficamente la definición de la condicional, mediante el ejemplo inicial: “Si hace frío, entonces me da gripa”. Hace frío. Verdadera Verdadera Falsa Falsa

Me da gripa. Verdadera Falsa Verdadera Falsa

Si hace frío, entonces me da gripa. Verdadera Falsa Verdadera Verdadera

El símbolo lógico que usaremos para la condicional será “→”; el cual se lee (“si p, entonces q”) y se pone en medio de las dos proposiciones relacionadas. El antecedente se escribe a la izquierda del signo y el consecuente a su derecha. Si hace frío p antecedente

entonces → conectiva

7 Ibídem.

me da gripa q consecuente

ii | formula proposiciones función de verdad

Si simbolizamos el ejemplo “si hace frío, entonces me da gripa”, en donde “p” es la proposición “hace frío”, en tanto que “q” es la proposición “me da gripa”, tendríamos la fórmula: p → q, en la cual: Hace frío p Verdadera Verdadera Falsa Falsa

Me da gripa q Verdadera Falsa Verdadera Falsa

Si hace frío, entonces me da gripa. p→q Verdadera Falsa Verdadera Verdadera

Para determinar el valor de verdad de una condicional debemos considerar que una condicional será falsa únicamente en el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente resulte falso, en todos los demás casos la proposición condicional es verdadera. Finalmente, la relación lógica entre dos proposiciones, cualquiera que éstas sean, simples o compuestas, mediante la conectiva condicional “p→q” se expresa mediante la tabla de verdad: p q p→q V V V V F F F V V F F V Otras simbolizaciones de p → q son: p ⊃ q; Cpq p > q; p ⇒ q

La proposición p → q es falsa cuando el antecedente p es verdadero y el consecuente q es falso. Es verdadero en los demás casos.

LÓGICA II

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Actividad de aprendizaje

Ejercicio 2.10. Instrucciones: Define en tus propias palabras la comprensión que tienes de la conectiva condicional. Compara tu comprensión con la de tus compañeros. ¿Qué es una proposición condicional?

Ejercicio 2.11. Instrucciones: identifica y escribe en la parte de la derecha la palabra del idioma español que señala la presencia de la conectiva condicional. Proposición condicional

Término utilizado

Sembraremos frijol, sólo si hay buen precio. Si me quedo dormido, no llegó temprano a la escuela. Si lo deseo, entonces puedo ser una buena persona. Siempre que tomo cerveza o vino, me da cruda y dolor de cabeza. Cuando llueve, saco mi paraguas.

Ahora elabora, al menos un ejemplo, usando los diferentes términos para expresar la condicional. 1. 2. 3. 4. 5.

ii | formula proposiciones función de verdad

Ejercicio 2.12. Instrucciones: Reformula las siguientes proposiciones condicionales y escribe en orden, primero el antecedente y luego el consecuente, utilizando la expresión, “Si…entonces”. Proposición condicional Corro, si el perro me persigue.

Proposición reformulada Si el perro me persigue, entonces corro.

Cuando corro, me canso. El que choca, paga los daños. Te acompaño a la fiesta, en caso de que me dejen ir y tenga dinero. Hago los ejercicios de lógica con entusiasmo si estoy relajado y contento. Tengo miedo, si me ponen la prueba del alcoholímetro. Compró palomitas, si voy al cine. Te invito al cine, si tú pagas la entrada y me compras palomitas. Me mojo si no traigo mi paraguas, si es que llueve.

LÓGICA II

Ejercicio 2.13. Instrucciones: Identifica y separa el antecedente y el consecuente en las siguientes proposiciones condicionales. Antecedente

Consecuente

Por ejemplo: Me enfermo si me baño con agua helada. Me baño con agua helada.

Me enfermo.

Antecedente

Consecuente

Si no son los sentidos los que se equivocan entonces es la mente.

Antecedente

Consecuente

Los razonamientos son inmediatos, sólo si tienen una sola premisa.

Antecedente

Consecuente

Los días están nublados, así que: me quedo en casa y no voy al cine.

Antecedente

Consecuente

Los ejercicios no dejan dormir con tal que sean horripilantes.

ii | formula proposiciones función de verdad

La Bicondicional Las palabras en español que expresan y mediante las cuales podemos identificar una relación bicondicional entre enunciados son: Si y sólo si, siempre y cuando, y otras expresiones análogas. Veamos algunos ejemplos: Voy al cine si y sólo si tú pagas la entrada. Voy al cine siempre y cuando tú pagas la entrada. Otra forma más abstracta de ejemplificar es: P si y sólo si Q P siempre y cuando Q. P es lo mismo que Q Es tan falso P como Q Es tan verdadero P como Q No hay diferencia entre decir P o decir Q. Si P, Q, y si no, no.

La bicondicional En un enunciado compuesto por una conectiva bicondicional, lo que afirma la conectiva es que las proposiciones condicionales que conforman el enunciado poseen el mismo valor de verdad, es decir, o son ambas verdaderas o son ambas falsas. Ahora vamos a representar gráficamente la definición de la función de verdad de la conectiva bicondicional. Utilizaremos, uno de los ejemplos que vimos al inicio: “Tocan las campanas si y sólo si hay misa”. Tocan las campanas

Hay misa

Tocan las campanas si y sólo si hay misa

Verdadera

Falsa

Verdadera

Falsa

Verdadera

El símbolo lógico que utilizaremos para la expresión “si y sólo si” u otras que significan lo mismo en el lenguaje natural, será una doble flecha “↔”, la cual se lee (“p si y sólo si q”) y significa que la implicación es de ida y vuelta.

LÓGICA II

Si simbolizamos el ejemplo “tocan las campanas si y sólo si hay misa.”, en donde “p” es la proposición “tocan las campanas”, en tanto que “q” es la proposición “hay misa”, tendríamos la fórmula: p ↔ q, en la cual: Tocan las campanas p Verdadera Verdadera Falsa Falsa

Hay misa q Verdadera Falsa Verdadera Falsa

Tocan las campanas si y sólo si hay misa p↔q Verdadera Falsa Falsa Verdadera

Finalmente, la relación lógica entre dos proposiciones, cualquiera que éstas sean, simples o compuestas, mediante la conectiva bicondicional “p↔q” se expresa mediante la tabla de verdad: p q p↔q V V V V F F F V F F F V Otras simbolizaciones de p « q son: p ≡ q, Epq, p ∼ q, p ⇔ q



Actividad de aprendizaje

Ejercicio 2.14. Instrucciones: Define en tus propias palabras la comprensión que tienes de la conectiva bicondicional. Compara tu comprensión con la de tus compañeros. ¿Qué entiendes por una proposición bicondicional?

ii | formula proposiciones función de verdad

Ejercicio 2.15. Instrucciones: Indica el conectivo principal de las siguientes proposiciones, así como el vocablo de dicho conectivo. Proposición:

Conectivo principal:

Ejemplo: Los perros y los gatos son mamíferos, aunque no tienen branquias. 1. Georgina es más alta que Perla, o bien usa zapatos de tacón alto. 2. Estudio y apruebo el examen, siempre y cuando entienda el tema. 3. Si el tiempo está agradable y no llueve, entonces iremos al campo de paseo. 4. No es cierto que: La Tierra es una estrella o un satélite, y brille con luz propia. 5. Me duele la pierna, sin embargo, puedo seguir caminando o saltando si no hace mucho frío. 6. Somos o si no somos nos hacemos. 7. Si los felinos son mamíferos, en consecuencia no son ovíparos. 8. Es falso que Estados Unidos y Canadá fueron conquistados por los españoles. 9. Soy inteligente y me gusta la lógica si y sólo si me gustan las matemáticas. 10. Algunos triángulos tienen lados iguales o desiguales, pero no todos tienen los mismos ángulos.

Vocablo utilizado:

LÓGICA II

Ejercicio 2.16. Instrucciones: elabora tres ejemplos de proposiciones compuestas para cada uno de los cinco conectivos lógicos8. Conjunción 1. 2. 3.

Disyunción 1. 2. 3.

Condicional 1. 2. 3.

Bicondicional 1. 2. 3.

Negación 1. 2. 3.

8 El contenido del tema lo fijará el profesor dependiendo de los ejes transversales que estén trabajando en la escuela. Por ejemplo: cuidado del medio ambiente.

ii | formula proposiciones función de verdad

Ejercicio 2.17. Instrucciones: Repasa la lectura del tema de las conectivas lógicas y elabora un resumen de expresiones con las que puedes identificar a los enunciados compuestos función de verdad. Conectiva lógica Negación

Término más común

Tipo de relación

Conjunción

Disyunción

Condicional

Bicondicional

Otras expresiones en el lenguaje ordinario

LÓGICA II

Ejercicio 2.18. Instrucciones: Repasa la lectura del tema de las conectivas lógicas y elabora un resumen de las tablas de verdad, para que puedes identificar cuándo una proposición compuesta es verdadera o falsa.

Negación ∼q

Conjunción p

Disyunción exclusiva p

p∨q

p∧q

Disyunción inclusiva

Condicional p

F F

p→q

Bicondicional p

p∨q

p↔q

ii | formula proposiciones función de verdad

Bibliografía

Arnaz José Antonio. Iniciación a la lógica simbólica. México, Trillas, 1989. Copi, M. y C. Cohen. Introducción a la Lógica. México, Limusa, 1995. González Yáñez, Arturo. Lógica o por qué la luna es de queso. México, Oxford, 2005. Gutiérrez González, Porfirio. et.al. Lógica marco teórico y aplicaciones. México, Novaarts Grupo editorial, 2005. Hernández, Gabriela y Gabriela Rodríguez. ¿Lógica… para qué? Argumenta, debate y decide racionalmente. México, Pearson, 2009. Mateo Nava, Misael. Lógica para inexpertos. México, Edere, 1998. Pazos, María y Sandra Ramírez. Conectivas y usos del lenguaje: hacia un discurso argumentativo. México, Universidad de la Ciudad de México, 2003. Sandoval Madrigal, Fausto. et.al. Lógica principios teóricos y práctica. México, Minerva Grupo editorial, 2003.

Unidad III

Simboliza la estructura de proposiciones y argumentos

Propósito de la unidad de aprendizaje El estudiante al final de la unidad, simboliza argumentos y proposiciones al traducir las oraciones del idioma español al lenguaje simbólico de la lógica proposicional.

Saberes necesarios para lograr el objetivo de aprendizaje: Conceptuales • Identifica los símbolos para proposiciones y conectivas. • Distingue diversos sistemas de notación simbólica. Procedimentales • Ejercita la simbolización de proposiciones y argumentos. • Actitudes y valores Contenidos de aprendizaje 3.1. Simbolización de proposiciones y argumentos. 3.2. Reglas para formar fórmulas bien formadas.

3.1. Símbolos para proposiciones argumentos La lógica de proposiciones utiliza un lenguaje simbólico propio, al igual que otras ciencias, como las matemáticas o la química, para abreviar, dar claridad y precisión al análisis que hace de los argumentos. El lenguaje lógico es un lenguaje artificial que pretende evitar la vaguedad y ambigüedad del lenguaje natural. Se puede decir que aprender el lenguaje simbólico de la lógica de proposiciones es como aprender un segundo idioma. En este apartado conocerás cuáles símbolos emplea la lógica de proposiciones y cómo representar la estructura de las proposiciones conforme a las reglas de esta lógica para que sean bien formadas. Veamos un cuadro comparativo entre el español y el lenguaje de la lógica de proposiciones, que resume esta situación.1 Lenguaje natural

Lenguaje simbólico artificial de la lógica

Alfabeto (signos) a) Vocales: a, e, i, o, u.

Alfabeto (símbolos) a) Letras para simbolizar las proposiciones simples: Constantes: A, B, C, D, …Z Variables: p, q, r, s,…z

b) Consonantes: b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, ñ, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z

b) Términos de enlace de proposiciones o conectivos lógicos: ∼ (negación) ∧ (conjunción) ∨ (disyunción) → (condicional) ↔ (bicondicional)

c) Signos de puntuación: . , ; : ( ) - _ ... ¡! ¿? “…”

c) Signos auxiliares: (…) […] {…} …

Reglas de la gramática: 1. Los elementos de una oración son sujeto, verbo y complemento. 2. Los nombres propios se escriben con inicial mayúscula.

Reglas de la gramática lógica: 1. Toda letra de proposición es una fórmula de nuestro lenguaje lógico. 2. Si A es una fórmula de nuestro lenguaje, las expresiones ∼A son fórmulas de nuestro lenguaje lógico. 3. Si A y B son fórmulas de nuestro lenguaje, las expresiones A ∧ B, A ∨ B, A → B, A ↔ B, también lo son. 4. Ninguna otra fórmula, más que las descritas de 1 a 3, son fórmulas de nuestro lenguaje lógico.

Hernández, G. y G. Rodríguez. Lógica, ¿para qué? Editorial Pearson, México, 2008. Pág. 99.

LÓGICA II

Símbolos para las proposiciones Lo que hacemos al simbolizar es sustituir las proposiciones, enunciados u oraciones simples por letras. Se utilizan dos tipos de letras: constantes y variables. Las constantes proposicionales. Se llama así a los símbolos, letras mayúsculas del alfabeto, que se utiliza para representar una proposición simple determinada. Nos referimos a las letras: A, B, C, D….Z. Generalmente utilizamos una letra que nos recuerde la proposición que estamos simbolizando. Veamos algunos ejemplos: Proposiciones simples

Constantes proposicionales

La lógica es una ciencia.

El oro es un metal valioso.

Algunos planetas giran alrededor del sol. Pedro imagina su futuro.

G I

Todo trabajo es cansado.

Juan tiene amigos.

Recuerda que se puede utilizar cualquier letra que te recuerde la proposición que estas simbolizando.

Variables proposicionales. Se les da este nombre a las letras minúsculas de la segunda parte del alfabeto, las cuales van a representar proposiciones en general o una proposición cualquiera. Los símbolos que tradicionalmente se usan son: p, q, r, s, t………………..z. Proposiciones simples

Variables proposicionales

El átomo es divisible.

Todo lo real es racional.

Algunos asteroides son planetas.

Juan tiene 20 años.

Ningún perro es gato.

iii | simboliza la estructura de proposiciones y argumentos

Símbolos para las conectivas lógicas En el apartado anterior, estudiamos los términos mediante los cuales se identifican las conectivas lógicas, aquí sólo se resumen los términos más comunes. Veamos algunos ejemplos ya utilizados:

Conectiva lógica

Símbolo

Simbolización (constantes)

∼

∼A

La persona es cuerpo y la persona es alma.

∧

C∧A

La persona es cuerpo o la persona es alma.

∨

C∨A

Si la persona es alma, entonces el alma es inmortal.

Si… entonces

→

A→I

La persona es alma si y sólo si el alma es inmortal.

Si y sólo si

↔

A↔I

Proposición compuesta El alma no es inmortal.

Símbolos auxiliares o de agrupación Se llama así a los paréntesis, los corchetes y las llaves, utilizados con el fin de representar adecuadamente la estructura de relaciones que establecen las conectivas lógicas y las proposiciones. Son necesarios especialmente si en un argumento existe más de una conectiva, ya que una de ellas sera la principal. Los símbolos se usan en este orden de aparición: Signos de agrupación

Nombre del signo

(…)

Paréntesis

[…]

Corchetes

{…}

Llaves

LÓGICA II

3.2. Reglas para formar fórmulas bien formadas Lo que hacemos después de identificar un argumento en un texto, es tratar de simbolizar las relaciones entre sus proposiciones para ver claramente la estructura lógica que estamos analizando. Para simbolizar proposiciones y luego argumentos completos, lo que hacemos es cambiar las oraciones en español y sustituirlas por el lenguaje lógico simbólico. Para traducir o representar proposiciones del español al lenguaje simbólico debemos seguir algunas de estas reglas: 1. Definición de literales. Lo primero es definir los símbolos para las proposiciones simples. La regla nos recomienda asignar un símbolo para cada proposición simple, se utiliza una letra del alfabeto, ya sea una constante o una variable.2 2. Simbolizar conectivas y proposiciones. Posteriormente sustituimos las proposiciones y conectivas por los símbolos. La regla para el uso de los conectivos dice que estos se ponen siempre en medio de las dos proposiciones unidas, excepto la negación que se pone a la izquierda de la proposición. Proposiciones compuestas

Forma correcta

Será incorrecto escribirlas así

Juan corre y salta

C∧S

∧CS;CS∧

Juan corre o salta

C∨S

∨ C S; C S ∨

Si sale el perro, entonces corro.

P→C

→P C; P C→

Corro si y sólo si sale el perro.

C↔P

↔C P; CP↔

∼C

C∼

Juan no corre.

Emplear símbolos auxiliares para que la estructura de la proposición compuesta sea una fórmula bien formada. Si hay más de un conectivo lógico se determina el conectivo principal y, a partir de éste, se agrupan binariamente el resto de las proposiciones. Las reglas para la utilización de los símbolos de organización son: a) orden en que se utilizan: primero paréntesis, luego corchetes y al último las llaves; b) el alcance de cada símbolo auxiliar: Los paréntesis agrupan únicamente la unión de dos proposiciones simples con un conectivo; el corchete agrupa hasta dos paréntesis y la llave para agrupar hasta dos corchetes. 2 Si la proposición se repite debes usar la misma literal y si una proposición aparece negada en la definición de términos se pone su proposición simple.

iii | simboliza la estructura de proposiciones y argumentos

Paréntesis

Corchetes

Llaves

(p ∨ q) ∨ r

[(p ∨ q) ∨ ( r ∨ s)] ∨ ∼( s →p)

{(r ↔ p) ∨ [( r ∨ s) ↔ (r → q)]} ∧ r

∼q ∧ ( r ∧ p)

[(q → r) ↔ (r → q)] ∨ t

{[~(s →p) ∨ r ] ∧ [~(s →p)]} ∧ ∼s

(q → r) ∧ s

∼[(r ↔ p) ∧ ( r ∨ p)] → (p ∨ q)

∼{[(r ↔ p) ∧ ( r ∨ p)] → (p ∨ q)}

Ejemplo de simbolización de proposiciones Ahora desarrollaremos un ejemplo de traducción de una proposición al lenguaje simbólico. Sea la proposición: Proposición compuesta: “Es falso que la historia sea o un devenir o una proyección de la voluntad o ambas cosas”. Definición de literales (usaremos constantes). Paso 1

H: La historia es un devenir. P: La historia es una proyección de la voluntad. Sustituir las proposiciones por sus símbolos. Es falso que H o P o ambas cosas3.

Paso 2.

Sustituir las conectivas por sus símbolos. Es falso que H o P o H y P. ~H∨P∨H∧P Utilizar los símbolos auxiliares4.

Paso 3.

Primero paréntesis Luego corchetes

~H∨P∨H∧P ~ (H ∨ P) ∨ (H ∧ P) ~ [(H ∨ P) ∨ (H ∧ P)]

Resultado: ~ [(H ∨ P) ∨ (H ∧ P)] Observaciones: Se trata de una negación, la conectiva principal es el símbolo (~) que niega a todo lo encerrado en la llave […].

3 Ambas cosas, significa una cosa y otra cosa, en este caso H y P. 4 El uso de los símbolos auxiliares supone que hemos interpretado el sentido de la conectiva principal.

LÓGICA II

Ejemplo de simbolización de argumentos Vamos a usar ahora la notación simbólica para formalizar la estructura de un argumento. Dado el siguiente argumento: 1. Si estoy atento en clases, entonces entiendo o resuelvo los problemas. 2. Ni entiendo ni resuelvo los problemas. Por lo tanto, no estoy atento en clases. La simbolización de un argumento es igual a las de proposiciones, excepto que nos falta conocer el símbolo3 ├ que se usa para separar a las premisa de la conclusión y que sustituimos expresiones como: por lo tanto, luego, por consiguiente y otras que conocemos como indicadores de conclusión. Identificar proposiciones simples y definir literales. Paso 1

A= Estoy atento en clases. E= Entiendo los problemas. R= Resuelvo los problemas

Paso 2

Simbolizar premisas y conclusión.

Forma lógica

Si estoy atento en clases, entonces entiendo o resuelvo los problemas. P1

entonces

→

∨

→

∨

1. A→(E∨R)

Ni entiendo ni resuelvo los problemas. Ni

∧

∼R

2. ~E ∧∼R

Por lo tanto: No estoy atento en clases.

├ ~A

C No

A ~A

El otro símbolo que se utiliza en los libros de lógica son los tres puntos ∴

iii | simboliza la estructura de proposiciones y argumentos



Actividad de aprendizaje

Ejercicio 3.1. Instrucciones: Simboliza las proposiciones siguientes utilizando constantes. Proposición

Simbolización J ∧ ∼V

Juan corre, pero no vuela. Vamos al cine o a ver el béisbol Si estudias entonces no puedes reprobar. Vamos a la fiesta si y sólo si terminamos la tarea No tengo fiebre. No tengo hambre y no estoy a dieta. Si no tengo dinero, entonces no voy al cine. No es cierto que no fumo Se fue la luz o no pagaste el recibo. Te ayudaremos si y sólo si te portas bien.

Ejercicio 3.2. Instrucciones: Simboliza las proposiciones siguientes utilizando variables. Proposición

Simbolización ~D ∧ ∼N

No tengo dinero ni nada que dar. Tengo calor o no está encendido el aire. Si no llueve, entonces no necesito el paraguas. Me permiten ir al viaje si y sólo si me acompaña un adulto. No es cierto que no vine ayer a clases. María es simpática, pero no es bonita. Compro una bicicleta o unos patines. Si no trabajo entonces gozo la vida. Limpio el patio si y sólo me prestas tu carro. No existen los fantasmas.

LÓGICA II

Ejercicio 3.3. Instrucciones: Utiliza los signos de agrupación para representar las siguientes proposiciones. Proposición

Simbolización

Juan corre y salta, pero no se acelera.

( C ∧ S) ∧ ~ A

Si me prestas dinero, entonces vamos al cine o al béisbol. No es cierto que Luis trabaja y estudia. Se fue la luz o no pagaste el recibo y habrá corte. Hoy es lunes si y sólo ayer fue domingo y antier no fue viernes.

Ejercicio 3.4. Instrucciones: Utiliza correctamente los paréntesis, llaves y corchetes para simbolizar correctamente las proposiciones de la izquierda. Proposición mal escrita en el lenguaje lógico

Conectiva principal Simbolización correcta

∼p ∨ q ∧ r

Conjunción

p ∨ ∼q ∧ r

Disyunción

∼p ∨ q → r ∨ s

Condicional

∼p ∧ q ∨ r

Negación

∼p ∧ s ↔ q ∧ r

Bicondicional

s ↔ r → q ∧ r ∨ ∼q

Disyunción

(∼p ∨ q) ∧ r

iii | simboliza la estructura de proposiciones y argumentos

Ejercicio 3.5. Instrucciones: Escribe una proposición en lenguaje ordinario, para cada una de las estructuras que se encuentran en lenguaje simbólico, de acuerdo a los significados siguientes: P: Estudio lógica

Q: Aprendo lógica

R: Soy inteligente

S: Me gusta la lógica.

Proposición en lenguaje ordinario

Proposición simbolizada

Si no estudio lógica y aprendo lógica entonces soy inteligente.

(∼P ∧ Q) → R

Si soy inteligente entonces aprendo lógica y si estudio lógica entonces me gusta la lógica. Si estudio lógica y no la aprendo entonces no soy inteligente. No es cierto que aprendo lógica si y sólo si me gusta o soy inteligente. O no soy inteligente o estudio lógica y aprendo lógica. Si estudio lógica y soy inteligente entonces me gusta la lógica. Si aprendo lógica entonces soy inteligente, y si estudio lógica entonces aprendo lógica, por lo tanto soy inteligente. Estudio lógica o aprendo lógica si y sólo si soy inteligente. Si no estudio lógica entonces no aprendo lógica y no soy inteligente Si estudio lógica y no aprendo, entonces no soy inteligente o no me gusta la lógica.

LÓGICA II

Ejercicio 3.6. Instrucciones: Traduce del español al lenguaje simbólico los siguientes ejemplos de proposiciones compuestas. Usa constantes para sustituir las proposiciones. Proposición 1 “O estudio o trabajo, pero si no trabajo entonces gozo la vida”. Definición de literales.

Paso 1

Sustituir las proposiciones por sus símbolos. Paso 2.

Sustituir las conectivas por sus símbolos. Paso 3.

Utilizar los símbolos auxiliares. Paso 4.

Tipo de proposición:

iii | simboliza la estructura de proposiciones y argumentos

Proposición 2 “No es cierto que o todo está determinado o todo esta indeterminado”. Paso 1

Definición de literales.

Paso 2.

Sustituir las proposiciones por sus símbolos.

Paso 3.

Sustituir las conectivas por sus símbolos.

Paso 4.

Utilizar los símbolos auxiliares.

Tipo de proposición:

LÓGICA II

Proposición 3 “El hombre es una máquina o si el hombre no es ni ángel ni demonio, entonces es una bestia”. Definición de literales.

Paso 1

Sustituir las proposiciones por sus símbolos. Paso 2.

Sustituir las conectivas por sus símbolos. Paso 3.

Utilizar los símbolos auxiliares. Paso 4.

Tipo de proposición:

iii | simboliza la estructura de proposiciones y argumentos

Proposición 4 “El candidato electo tiene derecho a gobernar si y sólo si ha habido una elección limpia y no se han robado las elecciones”. Definición de literales.

Paso 1

Sustituir las proposiciones por sus símbolos. Paso 2.

Sustituir las conectivas por sus símbolos. Paso 3.

Utilizar los símbolos auxiliares. Paso 4.

Tipo de proposición:

LÓGICA II

Ejercicio 3.7. Instrucciones: Traduce del español al lenguaje simbólico los argumentos siguientes. Utiliza constantes. Argumento 1 1. 2. 3.

Si no son los sentidos los que se equivocan entonces es la mente. Si los sentidos no juzgan, no se equivocan. Si los sentidos sólo “presentan” la realidad, no juzgan. Por lo tanto: Quien se equivoca es la mente o los sentidos no hacen más que “presentar” la realidad. Identificar proposiciones simples y definir literales.

Paso 1

Paso 2

Simbolizar premisas y conclusión.

Forma lógica 1.

2. P2

3. P3

├

iii | simboliza la estructura de proposiciones y argumentos

Argumento 2 1. 2. 3.

Si el hombre no es ni ángel ni puro, entonces es una bestia. Si el hombre fuera ángel sería puro. El hombre es impuro. Por lo tanto: El hombre es una bestia o una máquina o ambas cosas. Identificar proposiciones simples y definir literales.

Paso 1

Paso 2

Simbolizar premisas y conclusión.

Forma lógica 1.

2. P2

P3 I

LÓGICA II

Argumento 3 1. 2. 3.

Si la voluntad es libre entonces sigue sus propias reglas. Si la educación funciona entonces la voluntad no sigue sus propias reglas. La educación funciona. Por lo tanto: La voluntad no es libre. Identificar proposiciones simples y definir literales.

Paso 1

Paso 2

Simbolizar premisas y conclusión.

Forma lógica 1.

2. P2

3. P3

├

iii | simboliza la estructura de proposiciones y argumentos

Argumento 4 1. Si el fin del estado es el poder, entonces la felicidad de los individuos no es el principal fin político. 2. El estado tiene como finalidad obtener el poder o el desarrollo social o ambas cosas. 3. El principal fin político del estado es la felicidad de los individuos. Por lo tanto: El estado tiene como finalidad obtener el desarrollo social. Identificar proposiciones simples y definir literales.

Paso 1

Paso 2

Simbolizar premisas y conclusión.

Forma lógica 1.

2. P2

3. P3

├

LÓGICA II

Bibliografía Arnaz José Antonio. Iniciación a la lógica simbólica. México, Trillas, 1989. Copi, M. y C. Cohen. Introducción a la Lógica. México, Limusa, 1995. González Yáñez, Arturo. Lógica o por qué la luna es de queso. México, Oxford, 2005. Hernández, Gabriela y Gabriela Rodríguez. ¿Lógica… para qué? Argumenta, debate y decide racionalmente. México, Pearson, 2009. Mateo Nava, Misael. Lógica para inexpertos. México, Edere, 1998. Pazos, María y Sandra Ramírez. Conectivas y usos del lenguaje: hacia un discurso argumentativo. México, Universidad de la Ciudad de México, 2003.

Otros recursos http://www.filosoficas.unam.mx/~Tdl/TDL.htm http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/

Unidad Iv

EvalĂşa la validez formal de argumentos mediante tablas de verdad

Propósito de la unidad de aprendizaje Al final de la unidad el estudiante, aplica y valora el uso de tablas de verdad para evaluar la validez formal de un argumento.

Saberes necesarios para lograr el objetivo de aprendizaje: Conceptuales • Define el el concepto de tabla de verdad. • Explica el significado de tautología, contradicción y contingente, en una tabla de verdad. • Distingue verdad formal y verdad empírica. • Describe el procedimiento para elaborar tablas de verdad y del condicional asociado. Procedimentales • Aplica tablas de verdad para calcular el valor de verdad de una proposición compuesta. • Aplica tablas de verdad para evaluar la validez de un argumento. • Aplica el método del condicional asociado para evaluar la validez de un argumento. Actitudes y valores • Valora el uso de tablas de verdad para evaluar la validez de un argumento. Contenidos de aprendizaje Contenidos de aprendizaje 4.1. ¿Qué es una tabla de verdad? 4.2. Procedimiento para elaborar tablas de verdad. 4.3. Verdad formal: tautología y contradicción. 4.4. Evaluación de la validez de un argumento mediante tablas de verdad. 93

Iv | Evalúa la validez formal de argumentos mediante tablas de verdad

4.1. ¿Qué es una tabla de verdad? Usamos tablas de verdad, en el apartado 2.1 de la unidad II, para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta. En este apartado explicaremos más detenidamente qué son las tablas de verdad, cómo elaborarlas y emplearlas para evaluar la validez de un argumento. Una tabla de verdad es un procedimiento para la representación gráfica de una función de verdad.

Tabla de verdad Es un procedimiento gráfico que permite determinar los posibles valores de verdad de una proposición compuesta, a partir de las combinaciones de los valores de verdad de sus proposiciones simples componentes.

4.2. Procedimiento para elaborar tablas de verdad Una tabla de verdad es una gráfica que se compone de columnas y renglones. En las columnas se anotan las literales que corresponden a las proposiciones simples y la proposición compuesta a resolver. En los renglones la combinación de posibles valores de verdad (verdadero o falso).

LÓGICA II

Veamos ahora los pasos que se siguen para construir una tabla de verdad. Paso 1: Hacer tantas columnas como proposiciones simples se tengan y tantos renglones como combinaciones de valores de verdad correspondan según la fórmula “2n”, en donde n= número de proposiciones. Por ejemplo: Tabla para una sola proposición.

p 1 2

21= 2 combinaciones Ejemplo: ∼p

Tabla para dos proposiciones

1 2 3 4

22= 4 combinaciones. Ejemplo: p ∧ q; p ∨ q; p →q; p ↔ q

Tabla para tres proposiciones.

p 1 2 3 4 5 6 7 8

23= 8 combinaciones. Ejemplo: (p ∧ q) ∨ r; (p →q) ∧ s

Una tabla de verdad para cuatro proposiciones, sería 24= 16 combinaciones, y una de cinco proposiciones, sería de 25= 32 combinaciones.

Iv | Evalúa la validez formal de argumentos mediante tablas de verdad

Paso 2: Anotar los posibles valores de verdad de las proposiciones simples empezando por la última columna, anotando alternadamente primero un valor verdadero (V) y luego otro falso (F). En la siguiente columna, a la izquierda, de la anotada, se duplica la escritura de cada valor de manera alternada y así sucesivamente, si existen más columnas a la izquierda, hasta llenar la tabla. Por ejemplo: Combinaciones para una tabla de una sóla proposición. p V F

1 2

Combinaciones para una tabla de dos proposiciones. p 1 2 3 4

q V F V F

1 2 3 4

p V V F F

q V F V F

Combinaciones para una tabla de tres proposiciones.

LÓGICA II

Paso 3. Resolución de la tabla de verdad. Antes de empezar a resolver, la proposición compuesta deberá estar bien formada, distinguiendo la conectiva principal del resto de conectivas. La conectiva principal une a dos partes como un todo, pero, estas partes a su vez, pueden tener también partes simples o compuestas. Se empieza a calcular el valor de verdad de las partes, porque el todo depende de las partes. El orden de resolución de los valores de las conectivas. 1º. Se transfieren los valores de verdad de las proposiciones simples, a sus respectivos símbolos. 2º. Se calculan los valores de verdad de las proposiciones compuestas: primero lo que está entre paréntesis, posteriormente lo que está entre corchetes, luego las llaves y, al final, se determina la conectiva principal. En general el orden es de dentro hacia fuera o de la parte al todo. Veamos un ejemplo que muestre paso por paso cómo se determinan los valores de verdad de una proposición compuesta, sea: (p ∧ q) → r. Paso 1 y 2. Determinar columnas y renglones según el número de variables, tres en este caso (p, q y r), y el número de renglones según la fórmula 2n = 23 = 2 x 2 x 2 = 8

1 2 3 4 5 6 7 8

p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

∧

→

Iv | Evalúa la validez formal de argumentos mediante tablas de verdad

Paso 3. Empezar a resolver los valores de las proposiciones compuestas. 1º. Transferir los valores de verdad a sus respectivas variables. p V V V V F F F F 1

q V V F F V V F F 2

r V F V F V F V F 3

∧

(p V V V V F F F F 4 1

→

q) V V F F V V F F 6

r V F V F V F V F 8

2º. Calcular los valores de verdad de las conectivas de las proposiciones compuestas que están unidas por paréntesis y anotarlos debajo del símbolo de la conectiva. En este caso, la conectiva conjunción de la columna cinco, usaremos (C5) en lo sucesivo para abreviar, que se determina aplicando la tabla de verdad de la conjunción a los valores de verdad de (C4) y (C6). p V V V V F F F F 1

q V V F F V V F F 2

r V F V F V F V F 3

∧ V F V V V V V V 5 4y6

(p V V V V F F F F 4 1

q) V V F F V V F F 6 2

∨

r V F V F V F V F 8 3

LÓGICA II

3º. Determinar el valor de verdad de la conectiva principal, y anotarlos debajo del símbolo de la conectiva. En este caso la condicional (C7) es resultado de aplicar la tabla de verdad de la condicional a (C5) y (C8). p V V V V F F F F 1

q V V F F V V F F 2

r V F V F V F V F 3

∧ V V F F F F F F 5 4y6

(p V V V V F F F F 4 1

→ V F V V V V V V 7 5y8

q) V V F F V V F F 6 2

r V F V F V F V F 8 3

Otra forma de calcular los valores de las conectivas y de ahorrarnos un paso es no trasportar los valores de las variables simples y calcularlos directamente a partir de las proposiciones simples. Analicemos un ejemplo que tome en cuenta este procedimiento, sea: [p ∧ (q → r)] ∨ p. Paso 1 y 2. Determinar columnas y renglones según el número de variables, tres en este caso (p, q y r), y el número de renglones según la fórmula 2n = 23 = 2 x 2 x 2 = 8

1 2 3 4 5 6 7 8

p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

∧

100

→

r)]

∨

Iv | Evalúa la validez formal de argumentos mediante tablas de verdad

Paso 3. Empezar a resolver los valores de las proposiciones compuestas. 1º. Determinar los valores de verdad de las conectivas de las proposiciones compuestas, que están unidas por paréntesis, en este caso, la condicional (C7), cuyos valores se obtienen al aplicar la tabla de verdad de la condicional a (C2) y (C3). p V V V V F F F F 1

q V V F F V V F F 2

r V F V F V F V F 3

∧

→ V F V V V F V V 7 2y3

r)]

∨

2º. Determinar los valores de verdad de las conectivas de las proposiciones compuestas, que están unidas por corchetes, en este caso, la conjunción (C5), cuyos valores se obtienen al aplicar la tabla de verdad de la conjunción a la (C4) y a (C7). p V V V V F F F F 1

q V V F F V V F F 2

r V F V F V F V F 3

[p V V V V F F F F 4 1

∧ V F V V F F F F 5 4y7

101

→ V F V V F F V V 7 2y3

r)]

∨

LÓGICA II

3º. Por último, se determina el valor de verdad de la conectiva principal, en este caso, la disyunción (C9), la cual resulta de aplicar la tabla de de verdad la conjunción a los valores de la (C5) y los de (C10). p V V V V F F F F 1

q V V F F V V F F 2

r V F V F V F V F 3

[p V V V V F F F F 4

∧ V F V V F F F F 5 4y7

102

→ V F V V V F V V 7 1y2

r)]

∨ V V V V F F F F 9 5 y 10

p V V V V F F F F 10 1

Iv | Evalúa la validez formal de argumentos mediante tablas de verdad



Actividades de aprendizaje

Ejercicio 4.1. Instrucciones: Practica la construcción de tablas de verdad con las siguientes proposiciones compuestas. Después responde lo que se te pregunta. 1. [(p → q) ∧ q ] → p 2. (p ↔ ∼p) ∧ (p ∨ ∼p) 3. [(p ∨ q) ∧ ∼p] → q 4. ¿Qué valores de verdad obtuviste como resultado de la primera estructura?

5. ¿Qué valores de verdad obtuviste como resultado de la segunda estructura?

6. ¿Qué valores de verdad obtuviste como resultado de la tercera estructura?

103

LÓGICA II

4.3. Verdad formal: tautología y contradicción Hemos visto que una tabla de verdad es un procedimiento para la representación gráfica de una función de verdad. Una proposición compuesta es una función de verdad, si la verdad del compuesto está determinada por el valor de verdad de las proposiciones simples que la integran y si su conectiva lógica es veritativo-funcional. Asimismo, la conectiva lógica es veritativofuncional si su expresión representa una función de verdad. Pero, ¿qué tipo de verdad es la que determina una tabla de verdad? El concepto de verdad se utiliza en dos sentidos, el de verdad empírica y el de verdad formal. Recordemos que la lógica sólo toma en cuenta a las oraciones si éstas son expresión de un portador de verdad. Sin embargo, a la lógica no le corresponde investigar la verdad empírica de las proposiciones; esto le corresponde las ciencias. La verdad empírica de una proposición simple depende de su correspondencia con la experiencia y la fundamentación en los hechos o datos a que hace referencia. Las tablas no determinan el valor de verdad real de las proposiciones compuestas, de hecho, ni siquiera toman en cuenta valores de verdad empíricos, solamente los suponen y hacen un cálculo de las posibles situaciones de verdad o falsedad en que una proposición puede presentarse. Entonces, ¿para qué aprender a hacer tablas de verdad? Las tablas de verdad son un método lógico que permite saber si una proposición compuesta es una verdad formal o verdad lógica. Esto será útil más adelante para determinar si la estructura de un argumento es válida, ya que la validez de un argumento depende de su forma lógica o de las relaciones entre premisas y conclusión. La verdad formal depende de la pura forma lógica o del modo en que se relacionan entre sí las proposiciones componentes, sin que los hechos puedan servir para confirmar o refutar este tipo de verdades. El análisis de una proposición compuesta mediante una tabla de verdad, puede revelar si esa función de verdad, es una verdad formal o no lo es. Si es una verdad formal entonces es una verdad que se puede determinar por métodos lógicos, y si esto no es así, por métodos empíricos. Las proposiciones compuestas que son verdades formales o verdades lógicas son las tautologías y las contradicciones.

104

Iv | Evalúa la validez formal de argumentos mediante tablas de verdad

Una proposición tautológica es una proposición compuesta que en la tabla de verdad resulta verdadera en todos los casos, sin importar cual sea el contenido o valor de verdad de sus proposiciones simples componentes. Una proposición contradictoria es una proposición compuesta que en la tabla de verdad resulta falsa en todos los casos, sin importar cual sea el contenido o el valor de verdad de sus proposiciones simples. Veamos un ejemplo: Verdades formales Tautología

Contradicción

→

(p ∨ q)

(p ∧ q)

∧

Característica esencial: Siempre es verdadera

Característica esencial: Siempre es falsa.

Cuando la tabla de verdad de una proposición compuesta resulta verdadera en unos casos y falsa en otros, decimos que el valor de verdad de la proposición compuesta es contingente o indeterminado, y su valor de verdad dependerá de los valores de verdad reales que adopten las proposiciones simples componentes. Veamos un ejemplo: p

↔

105

LÓGICA II



Actividades de aprendizaje

Ejercicio 4.2. Instrucciones: Utilizando las tablas de verdad, determina cuáles de las siguientes proposiciones son tautológicas, contradictorias o contingentes. Proposiciones compuestas 1. ∼[(p ∧ q) → p] 2. p ∨ ∼p 3. (p ∨ ∼p) ∧ (q → q) 4. (p ↔ ∼p) ∧ (p ∨ ∼p) 5. [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) 6. (∼p ∨ q) ↔ (p → q)

Ejercicio 4.3. Instrucciones: Utilizando las tablas de verdad, determina cuáles de las siguientes proposiciones son tautologías. Proposiciones compuestas 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

(p ∨ q) ↔ (q ∨ p) (p ∧ q) ↔ (q ∧ ∼p) [ (p ∨ q) ∨ r ] ↔ [p ∨ (q ∨ r)] [ (p ∧ q) ∧ r ] ↔ [p ∧ (q ∧ r)] [(p ∧ (q ∨ r)] ↔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] [(p ∨ (q ∧ r)] ↔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] ∼(p ∧ q) ↔ (∼p ∨∼q) ∼ (p ∨ q) ↔ (∼p ∧ ∼q) [ (p ∧ q) → r ] ↔ [p → (q → r)] (p → q) ↔ ∼(p ∧ ∼q) (p → q) ↔ (∼p ∨ q) (p → q) ↔ (∼q ∧ ∼p)

106

Iv | Evalúa la validez formal de argumentos mediante tablas de verdad

4.4 Evaluación de la validez de un argumento mediante tablas de verdad El método de elaboración de tablas de verdad, que aprendiste en el apartado anterior, es útil para determinar la validez de una argumento, si ésta depende de su forma lógica. Para determinar la validez de un argumento mediante tablas de verdad, se requiere previamente convertir el argumento en una proposición condicional y, posteriormente, aplicar a la fórmula resultante una tabla de verdad. Al procedimiento o método por medio del cual pasamos de una estructura argumental a una proposición condicional se llama condicional asociado. ¿Cómo establecer el condicional asociado de un argumento? A todo argumento es posible asociarle un condicional si consideramos la conjunción de sus premisas como antecedente y a la conclusión como su consecuente. El argumento será válido si el condicional que le asociemos es una tautología, y será inválido si resulta ser una contradicción, y es indeterminado si es contingente.

Pasos para demostrar la validez o invalidez de argumentos: 1. Simbolizar el argumento, distinguiendo las premisas de la conclusión. 2. Establecer el condicional asociado del argumento, para ello: Unir las premisas con la conectiva conjunción, y considerar esa conjunción como antecedente y la conclusión como consecuente. 3. Realizar la tabla de verdad, resolviendo, en primer término, la parte del antecedente, luego la del consecuente y al final el conectivo condicional. 4. Si el resultado de la tabla de verdad es tautología, el argumento es válido. Si es contradictorio es inválido y si es contingente es indeterminado. Desarrollaremos un ejemplo: 1. Si estoy atento en clases, entonces entiendo o resuelvo los problemas. 2. Ni entiendo ni resuelvo los problemas. Por lo tanto, no estoy atento en clases.

107

LÓGICA II

Identificar proposiciones simples y definir literales. A= Estoy atento en clases. Paso 1

E= Entiendo los problemas. R= Resuelvo los problemas.

Paso 2

Simbolizar premisas y conclusión Si estoy atento en clases, entonces entiendo o resuelvo los problemas. Si A entonces E o R A

→

∨

→

∨

Ni entiendo ni resuelvo los problemas. P2

∧

2. ~ E ∧ ~ R

ni R ~R ├ ~A

No estoy atento en clases. C

Forma lógica 1. A → (E ∨ R )

No A ~A

La forma lógica resultante del argumento es la siguiente:

1. A → (E ∨ R) 2. ~E ∧ ∼R ├ ~A

Para pasar de una estructura argumental a la de una condicional aplicamos el método del condicional asociado:

Premisa ├ Conclusión

Antecedente → Consecuente

108

Iv | Evalúa la validez formal de argumentos mediante tablas de verdad

Las premisas serán el antecedente del condicional, por lo cual primeramente, las premisas se unen por una conjunción y, evidentemente, debemos usas corchetes para agrupar. [ Premisa 1 A → (E ∨ R) [A → (E ∨ R)]

conjunción ∧ ∧

Premisa 2 ] ~E ∧ ∼R [~E ∧ ∼R]

La conclusión será el consecuente por lo cual debemos poner primero las premisas, luego el conectivo → y después la conclusión. Ahora se usan corchetes para agrupar las proposiciones y separar las premisas de la conclusión por medio de un corchete {…}. Nos queda así: { [ Premisa 1 A → (E ∨ R) {[A → (E ∨ )]

conjunción ∧ ∧

Premisa 2 ] } ∼E ∧ ∼R [∼E ∨ ∼R] }

condicional → →

conclusión ∼A ∼A

{[ A → ( E ∨ R ) ] ∧ ( ~E ∧ ~R )} → ~A Ahora, para saber si el argumento es válido hacemos una tabla de verdad. Si la tabla resulta ser una tautología, es decir, si en los valores de verdad de la conectiva principal son todos verdaderos, entonces el argumento se considera válido. A E R {[ A

→

∨

R) ]

∧

(∼

∧

∼

R)}

→

∼

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

1 2 3

10 11

16 17

4y7

6y8

10 y 13 14

5 y 12 11

Resultado Tabla de verdad Argumento Tautológica Válido

109

9 y 16 17

LÓGICA II



Actividades de aprendizaje

Ejercicio 4.5. Instrucciones: Analiza y demuestra la validez de los argumentos siguientes: Argumento 1 1. Si el papel tornasol se vuelve rojo, entonces la solución es un óxido. Luego, si el papel se vuelve rojo, entonces o la solución es un óxido o hay algo que anda mal. Definición de variables o constantes

Forma lógica del Argumento:

Condicional asociado:

Tabla de verdad:

Argumento:

110

Iv | Evalúa la validez formal de argumentos mediante tablas de verdad

Argumento 2 1. Si cumplen las demandas de los terroristas, entonces será vulnerable la legalidad. 2. Si las demandas de los terroristas no se cumplen, entonces serán asesinadas personas inocentes. Así, o bien se vulnera la legalidad o serán asesinadas personas inocentes. Definición de variables o constantes

Forma lógica del Argumento:

Condicional asociado:

Tabla de verdad:

Tabla de verdad: Tautología

Argumento: Válido.

111

LÓGICA II

Argumento 3 1. Si las leyes son Buenas y su cumplimiento es Estricto, disminuirá el Delito. 2. Si el cumplimiento de la ley es estricto, entonces hace disminuir el delito, luego, nuestro Problema es de carácter práctico. 3. Las leyes son buenas. Entonces, nuestro problema es de carácter práctico. Definición de variables o constantes

Forma lógica del Argumento:

Condicional asociado:

Tabla de verdad:

Tabla de verdad: Contingente.

Argumento: Inválido.

112

Iv | Evalúa la validez formal de argumentos mediante tablas de verdad

Argumento 4 1. Si no estudio lógica, entonces no apruebo el examen. 2. Si estudio lógica, entonces aprendo. En consecuencia: Si estudio lógica, entonces aprendo y apruebo el examen. Definición de variables o constantes

Forma lógica del Argumento:

Condicional asociado:

Tabla de verdad:

Tabla de verdad: Contingente.

Argumento: No valido.

113

LÓGICA II



Actividades de aprendizaje

Ejercicio 4.4. Instrucciones: Pasa estas formas argumentales a la forma del condicional asociado y haz una tabla de verdad para determinar si son válidos (tautologías). Demostración de la validez de estructuras argumentativas Estructuras argumentativas

Condicional asociado

1. 1. p → q 2. p ├q 2. 1. p → q 2. ∼q ├ ∼p 3. 1. p ∨ q 2. ∼p ├q 4. 1. p ∨ q 2. ∼q ├p 5. 1. p → q 2. q → r ├p→r

114

¿Es válido?

Iv | Evalúa la validez formal de argumentos mediante tablas de verdad

6. 1. p 2. q ├p∧q 7. 1. p ∧ q ├p

8. 1. p ∧ q ├ q

9. 1. p ├p∨q

10. 1. p → q 2. r → s 3. p ∨ r ├q∨s 11. 1. p → q 2. r → s 3. ∼q ∨ ∼s ├ ∼p ∨ ∼r

115

LÓGICA II



Actividades de aprendizaje

Argumento 1 1. Si las personas son totalmente racionales, entonces, o bien todos los actos humanos se pueden predecir con seguridad o el universo es esencialmente determinista. 2. No todas las acciones de las personas se pueden predecir con seguridad. Por lo tanto, el universo no es esencialmente determinista o las personas no son totalmente racionales. Definición de variables o constantes

Forma lógica del Argumento:

Condicional asociado:

Tabla de verdad:

Argumento:

116

Iv | Evalúa la validez formal de argumentos mediante tablas de verdad

Argumento 2 1. Si se logra la igualdad de oportunidades, entonces las personas que antes tenían desventajas recibirán oportunidades especiales. 2. Si esas personas reciben oportunidades especiales, entonces tendrán un trato preferencial. 3. Si algunas personas reciben un trato preferencial, entonces no se logrará la igualdad de oportunidades. Por lo tanto, la igualdad de oportunidades no se logrará. Definición de variables o constantes

Forma lógica del Argumento:

Condicional asociado:

Tabla de verdad:

Argumento:

117

LÓGICA II

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118

Unidad v

pp vp

Demuestra la validez formal de argumentos

Propósito de la unidad de aprendizaje Al final de la unidad el estudiante, demuestra la validez de un argumento mediante el método de deducción natural y las reglas de inferencia y equivalencia..

Saberes necesarios para lograr el objetivo de aprendizaje: Conceptuales • Explica en qué consiste el método de deducción natural. • Explica qué son las reglas de inferencia y las de equivalencia. • Describe cómo funcionan las reglas de inferencia y equivalencia. Procedimentales • Aplica las reglas de inferencia y equivalencia en la demostración de argumentos.. Actitudes y valores • Valora la eficacia del cálculo lógico en la demostración de argumentos. Contenidos de aprendizaje 5.1. Deducción natural. 5.2. Reglas de equivalencia. 5.3. Prueba formal para demostrar la validez de argumentos. 5.4. Reglas equivalencia.

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5.1. Deducción natural El razonamiento es un proceso inferencial que consiste en derivar conclusiones o consecuencias a partir de premisas que consideramos como verdaderas. Si el razonamiento es válido, esperamos que la verdad de las premisas se transfiera a la conclusión. ¿Cómo saber si nuestros razonamientos o argumentos son válidos o si nuestras inferencias son correctas? Un método, que ya conoces es formar el condicional asociado de un argumento y elaborar su tabla de verdad. Si la tabla resulta tautología, interpretamos que el argumento es válido. El criterio de validez en que se apoya esta prueba es muy simple, el argumento es válido, porque es ilógico que, siendo verdaderas las premisas la conclusión sea falsa y la tabla de verdad muestra que no hay ningún caso en que eso ocurra. En este apartado aprenderás un método más poderoso para demostrar la validez de un argumento, el cual consiste en mostrar, paso a paso, las inferencias que realizamos a partir de las premisas, hasta obtener la conclusión. Este método se conoce como:

Método de deducción natural El cual consiste en una prueba formal para evaluar la validez de la estructura de un argumento, en la que justificamos el paso de las premisas a la conclusión mediante reglas de inferencia y equivalencia. Una prueba formal de validez es una sucesión de fórmulas (proposiciones simbolizadas), cada una de las cuales es una premisa del argumento o se sigue de éstas por medio de la aplicación de una regla de inferencia o equivalencia, y donde la última fórmula es la conclusión del argumento.

123

LÓGICA II

5.2. Reglas de inferencia Llamamos inferencia al paso de las premisas a la conclusión. Cuando el paso es seguro o está plenamente garantizado, podemos utilizarlo como una regla. Una inferencia es válida si y sólo si el argumento en que ocurre es válido. Una estructura argumental es una regla si y sólo si es una tautología.

Regla de inferencia Es una forma válida de argumento que muestra el tipo de inferencia deductiva por medio del cual la conclusión en esa forma argumental se derivó de sus premisas. El conjunto de reglas de inferencia más comunes utilizadas para demostrar argumentos son las siguientes: Nombre de la regla

Forma lógica

Conjunción

1. p 2. q ├p∧q

1. p 2. q ├q∧p

Simplificación

1. p ∧ q ├p

1. p ∧ q ├q

Adición

1. p ├p∨q

Silogismo disyuntivo Modus ponens

Modus tollens Silogismo hipotético

1. p ∨ q 2. ∼p ├ q 1. p → q 2. p ├q 1. p → q 2. ∼q ├ ∼p 1. p → q 2. q → r ├p→r

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1. p ∨ q 2. ∼q ├ p

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El método de demostración formal tiene ciertas ventajas sobre las tablas de verdad. Digamos que en argumentos más complejos o con muchas variables, el uso de reglas de inferencia es más práctico que el de las tablas de verdad; una tabla de verdad deja de ser útil cuando el argumento tiene más de cuatro variables. Por ejemplo: 1. Si pago al sastre, no me quedará dinero. 2. Solamente puedo llevar a mi novia al baile si tengo dinero. 3. Si no la llevo al baile, se sentirá desdichada. Pero si no le pago al sastre, no me entregará el traje y sin él no puedo llevar a mi novia al baile. 4. O le pago al sastre o no le pago. Por tanto, mi novia tendrá que sentirse desdichada. Este argumento consta de cinco variables, en la formula 2n n= 5 = 2x2x2x2x2= 32, una tabla de ese tamaño resultaría poco práctica. Analicemos ahora cada una de las reglas de inferencia.

125

LÓGICA II

Conjunción Abreviatura: (Conj.) Estructura del argumento: 1. p

1. p

2. q

├p∧q

├q∧p

Demostración de la validez de la regla: Condicional asociado: (p ∧ q) → (p ∧ q) Tabla de verdad: (p

∧

→

∧

Como muestra la tabla, la conjunción es una estructura válida de argumento, porque su condicional asociado resultó ser una tautología. Cualquier otra estructura que sea una instancia de sustitución o posea la misma estructura argumental será igualmente válida. La forma o estructura de un argumento es un esquema que puede tener muchas instancias de argumentos, cada una compartiendo la misma estructura con las demás. Veamos algunos ejemplos: 1. C 2. E ├ C∧E

1. ~K 2. W ├ ~K ∧ W

1. O ∧ Q 2. ~(P ∨ R) ├ ~(P ∨ R) ∧ (O ∧ Q)

1. p →q 2. q → p ├ (p →q ) ∧ (q → p)

Veamos un argumento que sea una instancia de sustitución de una conjunción: 1. El ser humano es cuerpo. 2. El ser humano es espíritu. Por lo tanto, El ser humano es cuerpo y es espíritu. 126

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Confirmaremos su validez determinando su estructura y aplicando una tabla de verdad. Proposiciones simples componentes:

Forma del argumento

C = El ser humano es cuerpo. E = El ser humano es espíritu.

Condicional asociado (C ∨ E) → (C ∧ E)

1. C 2. E ├C∧E Tabla de verdad (C

∧

→

∧

La conjunción por ser una forma válida de argumento puede ser usada como una regla de inferencia. Veamos cómo se define esta regla:

Conjunción En un argumento se puede obtener como conclusión la conjunción de cualquier premisa existente, ya sea simple o compuesta. Comprensión de la regla: Para aplicar la regla de la conjunción se requieren: Al menos dos premisas:

Para concluir: una conjunción

1. p

2. q

├p∧q

├q∧p

Aplicación de la regla en una prueba formal de demostración.

127

LÓGICA II

La prueba formal de validez de un argumento, es la secuencia de inferencias válidas justificadas por reglas que parte de las premisas del argumento hasta demostrar la conclusión. Las inferencias se justifican poniendo entre paréntesis la abreviatura de la regla y la referencia de las premisas de las que procede. 1. Luis no estudia Filosofía. 2. Luis estudia Idiomas. 3. Luis estudia Derecho.

Por lo tanto, Luis estudia derecho e idiomas, pero no filosofía. 1. 2. 3. 4. 5.

~F I D ├ (D ∧ I) ∧ ~F D ∧ I (aplicando conjunción a las proposiciones 3, 2.) (D ∧ I) ∧ ~F (aplicando conjunción a las proposiciones 4, 1.)

Como puedes observar en el ejemplo, la líneas 4 y 5 representan inferencias que hemos obtenido mediante la aplicación de la regla de la conjunción. Una prueba termina cuando hemos demostrado la conclusión del argumento (línea 5) y es válido utilizar una conclusión ya demostrada como premisa (en la línea 5 se toma la conclusión 4).

128

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

Actividades de aprendizaje

Ejercicio 5.1. Instrucciones: Basado en la resolución del primer ejemplo, completa lo que falta, aplicando la regla de la conjunción. Ejemplo: 1. A 2. B 3. ~C ├ 4. B ∧ ~C (Conj. 2,3.) 5. (B ∧ ~C) ∧ A (Conj. 4,1.) 1. R ∧ I

1. A ↔ S

2. I ∧ N

2. ∼S

├

├ __________________ (Conj.

)

3. ___________________(Conj. 2,1.) 1. P ∧ R

1. ∼(P ∧ Q)

2. I

2. (Q ∨ ∼P) ├ __________________ (Conj.

3. D

)

├ 4. ___________________(Conj. 1,3.) 5. ___________________(Conj. 1,2.) 1. Q → P

1. (A → E) ∨ C

2. P ↔ Q

2. (F ∨ E) ∨ S

3. P → Q

├ __________________ (Conj.

├ 4. ___________________(Conj. 3,1.) 5. ___________________(Conj. 4,2.)

129

)

LÓGICA II

Simplificación Abreviatura: (Simp.) Estructura del argumento: 1. p ∧ q

1. p ∧ q

├p

├q

Demostración de la validez de la regla: Condicional asociado: (p ∧ q) → p Tabla de verdad: ∧

→

Como muestra la tabla, la simplificación es una estructura válida de argumento, porque su condicional asociado es una tautología. Cualquier otro argumento que sea una instancia de sustitución o posea la misma estructura argumental será igualmente válido. Por ejemplo: 1. C ∧ E

1. ~K ∧ W

1. ~(P ∧ R) ∧ ~(O ∧ Q)

1. (p → q ) ∧ (q → p)

├ C

├ W

├ ~(P ∧ R)

├ q→p

Veamos un argumento que sea una instancia de sustitución de una simplificación: 1. El ser humano es cuerpo y el ser humano es espíritu. Por lo tanto, El ser humano es cuerpo.

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Confirmaremos su validez determinando su estructura y aplicando una tabla de verdad. La simplificación por ser una forma válida de argumento puede ser usada como una regla de inferencia. Veamos cómo se define esta regla: Proposiciones simples componentes:

Forma del argumento

(C ∨ E) → C

1. C ∧ E ├ C

C =El ser humano es cuerpo. E= El ser humano es espíritu.

Condicional asociado

Tabla de verdad ∧

→

Simplificación Si en un argumento existe una premisa que sea una conjunción (p ∧ q), se puede obtener como conclusión cualquiera de los conyuntos (p), (q). Comprensión de la regla: Para aplicar la regla de la conjunción se requieren tener: Una proposición conjuntada

1. p ∧ q

Para concluir uno de sus elementos

├p

├q

Aplicación de la regla en una prueba formal de demostración 1. Llueve, Relampaguea, pero no Truena. Por lo tanto, Llueve. 1. (L ∧ R) ∧ ∼T ├ L 2. L ∧ R (aplicando simplificación a la proposición 1.) 3. L (aplicando simplificación a la proposición 2.) 131

LÓGICA II



Actividades de aprendizaje

Ejercicio 5.2. Instrucciones: Basado en la resolución del primer ejemplo, completa lo que falta, aplicando la regla de la simplificación. Ejemplo: 1. X ∧ (Y ∧ M) ├ 4. Y ∧ M____

(Simpl. 1.)

5. M_______

(Simpl. 4.)

1. (M → D) ∧ (B ∧ C)

1. ~C ∧ ∼R

├

2. ____________________(Simpl. 1.)

2. _________________

(Simpl.

)

3. ____________________(Simpl. 2.) 2.

1. A ∧ (Z ∧ X)

1. K ∧ (W ∧ Z)

├

├ Z

2. ___________________(Simpl. 1.)

2. _________________

(Simpl.

)

3. ___________________(Simpl. 2.)

3. _________________

(Simpl.

)

1. [(G ∧ J) ∧ H] ∧ (B ∨ C)

1. [(T ∧ ∼S ) ∼V ] ∧ N)

├

├ ∼S

2. ___________________(Simpl. 1.)

2. _________________

(Simpl.

)

3. ___________________(Simpl. 2.)

3. _________________

(Simpl.

)

4. ___________________(Simpl. 3.)

4. _________________

(Simpl.

)

132

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Adición Abreviatura: (Ad.) Estructura del argumento: 1. p ├p∨q

Demostración de la validez de la regla: Condicional asociado: p → (p ∨ q) Tabla de verdad: ∨

→

Como muestra la tabla, la adición es una estructura válida de argumento, porque su condicional asociado es una tautología. Cualquier otro argumento que sea una instancia de sustitución o posea la misma estructura argumental será igualmente válido. Veamos algunos ejemplos: 1. C

1. ~K

1. O ∧ Q

1. p

├ C∨M

├ ~K ∨ W

├ (O ∧ Q) ∨ ~(P ∨ R)

├ p ∨ [(r → q ) ∧ r]

Veamos un argumento que sea una instancia de sustitución de una adición: 1. El ser humano es cuerpo. Por lo tanto, El ser humano es cuerpo o mente.

133

LÓGICA II

Confirmaremos su validez determinando su estructura y aplicando una tabla de verdad. Proposiciones simples componentes:

Forma del argumento

C =El ser humano es cuerpo. M= El ser humano es mente.

Condicional asociado C → (C ∨ M)

1. C ├C∨M

Tabla de verdad C M

→ (C

∨

La adición por ser una forma válida de argumento puede ser usada como una regla de inferencia. Veamos cómo se define esta regla:

Adición En un argumento se puede obtener como conclusión una disyunción a partir de cualquier premisa existente, ya sea simple o compuesta. Comprensión de la regla: Para aplicar la regla de la adición se requieren tener: Una premisa cualquiera

1. p

Para adicionar cualquier otra proposición

├p∨q

134

v | demuestra la validez formal de argumentos

Aplicación de la regla en una prueba formal de demostración 1. Luis es escritor. Por lo tanto, Luis o es Escritor o es literato o si Luis es literato, entonces ha de ser de Filosofía. 1. 2. 3.

E ├ (E ∨ L) (aplicando adición a la proposición 1.) (E ∨ L) ∨ ( L → F) (aplicando adición a la proposición 2.)

135

LÓGICA II



Actividad de aprendizaje

Ejercicio 5.3. Instrucciones: Basado en la resolución del primer ejemplo, completa lo que falta, aplicando la regla de la adición. Ejemplo: 1. ~K ├ 2. ~K ∨ S____ 3. (~K ∨ S) ∨ ∼P

(Adic. 1.) (Adic. 2.) 1. ∼Q

1. ~B ├ (~B ∨ C) ∨ F

├ _________________ (Adic.

)

2. _____________________ (Adic. 1.) 3. _____________________ (Adic. 2.) 1. Y ∧ F

1. (T → W)

├ [ (Y ∧ F) ∨ Q] ∨ T

├ [ (T → W) ∨ S] ∨ R 2. _____________________ (Adic. 1.)

2. _____________________ (Adic.

)

3. _____________________ (Adic. 2.)

3. _____________________ (Adic.

)

1. ~ (~C ∨ ~G)

1. ~(E ∨ R ) ├ [~(E ∨ R ) ∨ S] ∨ T

├ {[~(~C ∨ ~G) ∨ A] ∨ H)} ∨ B 2. _____________________ (Adic. 1.)

2. _____________________ (Adic.

)

3. _____________________ (Adic. 2.)

3. _____________________ (Adic.

)

4. _____________________ (Adic. 3.)

136

v | demuestra la validez formal de argumentos

Silogismo disyuntivo1 Abreviatura: (S.D.) Estructura del argumento: 1. p ∨ q

1. p ∨ q

2. ∼p

2. ∼q

├q

├p

Demostración de la validez de la regla: Condicional asociado: [ (p ∨ q) ∧ ∼p] → q Tabla de verdad: ∧

∼p ]

→

[(p

∨

Como muestra la tabla, el silogismo disyuntivo es una estructura válida de argumento, porque su condicional asociado es una tautología. Cualquier otro argumento que sea una instancia de sustitución o posea la misma estructura argumental será igualmente válido. Por ejemplo:

1. D ∨ C

1. ~K ∨ ∼W

1. (O ∧ R) ∨ P

1. (G → H ) ∨ ~(M ↔ ∼P)

2. ~D

2. ∼~K

2. ∼P

2. ~(G → H )

├ C

├ ∼W

├ (O ∧ R)

├ ~(M ↔ ∼P)

También llamado modus tollendo ponens o “modo en donde negando afirmo”.

137

LÓGICA II

Veamos un argumento que es una instancia de sustitución de la estructura silogismo disyuntivo: 1. O dejamos de contaminar la capa de ozono o el calentamiento global descongelará los polos. 2. No es cierto que hemos dejado de contaminar la capa de ozono. Por lo tanto, el calentamiento global descongelará los polos. Confirmaremos su validez determinando su estructura y aplicando una tabla de verdad. Proposiciones simples componentes:

Forma del argumento

D = Dejamos de contaminar la capa de ozono. 1. D ∨ C C= El calentamiento global descongelará los 2. ∼D polos ├ C

Condicional asociado [(D ∨ C) ∧ ∼D] → C

Tabla de verdad ∧

∼D]

→

[(D

∨

El silogismo disyuntivo por ser una forma válida de argumento puede ser usado como una regla de inferencia. Veamos lo que precisa la regla:

Silogismo Disyuntivo Si la estructura de un argumento presenta como premisa a una disyunción podemos inferir como conclusión uno de los disyuntos, siempre y cuando se tenga el otro negado.

138

v | demuestra la validez formal de argumentos

Comprensión de la regla: Para aplicar la regla del silogismo disyuntivo se requiere: Una proposición disyuntiva

1. p ∨ q

La negación de uno de los disyuntos

2. ∼p

2. ∼q

Para concluir el otro disyunto

├q

├p

T ∨ ∼E E ∨ ∼S S∨I ∼T ├ I ∼E (aplicando silogismo disyuntivo a las proposiciones 1, 4.) ∼S (aplicando silogismo disyuntivo a las proposiciones 2, 5.) I (aplicando silogismo disyuntivo a las proposiciones 3, 6.)

139

LÓGICA II



Actividad de aprendizaje

Ejercicio 5.4. Instrucciones: Basado en la resolución del primer ejemplo, completa lo que falta, aplicando la regla silogismo disyuntivo. Ejemplo: A) 1. D ∨ X 2. ~X ├ 2. D

(S.D. 1,2.) e) 1. (B ∨ Q) ∨ ∼T

b) 1. (∼F ∨ E) ∨ G 2. ∼∼F

2. ∼∼ T

3. ∼G

3. ∼B ├ Q

├ E 4. _______________ (S.D. 1,3.)

4. _______________ (S.D.

)

5. _______________ (S.D. 4,2.)

5. _______________ (S.D.

)

f) 1. (J ∨ U) ∨ (R ∨ D)

c) 1. (A ∨ L) ∨ (Q ∨ V) 2. ∼( A ∨ L)

2. ∼(R ∨ D)

3. ∼Q

3. ∼U ├ J

├ V 4. _______________ (S.D. 1,2.)

4. _______________ (S.D.

)

5. _______________ (S.D. 3,4.)

5. _______________ (S.D.

)

g) 1. [(F ∨ W) ∨ K] ∨ X)

d) 1. [~I ∨ (U ∨ J)] ∨ V 2. ∼∼I

2. ∼X

3. ∼U

3. ∼K

4. ∼V

4. ∼W ├ F

├ J 5. _______________ (S.D. 1,4.)

5. _______________ (S.D.

)

6. _______________ (S.D. 5,2.)

6. _______________ (S.D.

)

7. _______________ (S.D. 6,3.)

7. _______________ (S.D.

)

140

v | demuestra la validez formal de argumentos

Modus ponens Nombre: Modus ponendo ponens, que en latín significa “el modo en donde afirmando afirmo”. Abreviatura: Modus ponens (M.P.). Estructura del argumento: 1. p → q 2. p ├ q

Demostración de la validez del argumento: Condicional asociado: [ (p → q) ∧ p] → q Tabla de verdad ∧

→

[(p

→

Como lo muestra la tabla de verdad, el modus ponens es una estructura válida de argumento, porque su condicional asociado es una tautología. Cualquier otro argumento con la misma forma lógica que sea una instancia de sustitución de ésta, será igualmente válido. Por ejemplo: 1. C → I

1. ∼K → ∼W

1. (O ∧ R) → P

1. (G → H ) → ∼(M ↔ ∼P)

2. C

2. ∼K

2. (O ∧ R)

2. (G → H)

├

∼W

∼(M ↔ ∼P)

141

LÓGICA II

Vamos a determinar la estructura del argumento y demostrar su validez. Proposiciones simples componentes:

Forma del argumento Condicional asociado

C = Existen crímenes sin resolver.

1. C → I

I = Existe impunidad.

2. C

[ (C → I) ∧ C] → I

├

I Tabla de verdad ∧

→

[(D →

La validez de la estructura del argumento modus ponens nos lleva a reconocer su inferencia como válida. Si la inferencia es siempre válida, entonces puede utilizarse como una regla que nos permita inferir consecuencias válidas de premisas que sean fórmulas condicionales. Veamos la definición de esta regla:

Modus ponens Si la estructura de un argumento tiene como premisa a una fórmula condicional (p → q) podemos inferir su consecuente (q), siempre y cuando se tenga al antecedente (p) de esa fórmula condicional, también como premisa.

142

v | demuestra la validez formal de argumentos

Compresión de la regla:

Se requiere: Se obtiene:

Proposición condicional

1. p → q

Antecedente de la condicional

2. p

El consecuente de la condicional

Aplicación de la regla en una prueba formal de demostración Veamos un ejemplo de aplicación de la regla. 1. Llueve si está Nublado. 2. Si llueve, no vamos al Cine. 3. Está nublado. Por lo tanto, no vamos al cine 1. N → L 2. L → ∼C 3. N ├ ∼C 4. L (aplicando modus ponens a las proposiciones 1, 3.) 5. ∼C (aplicando modus ponens a las proposiciones 2, 4.)

143

├q

LÓGICA II



Actividad de aprendizaje

Ejercicio 5.5. Instrucciones: Basado en la resolución del primer ejemplo, completa lo que falta, aplicando la regla del modus ponens. Ejemplo: 1. B → H 2. B ├H

(M.P. 1,2.)

1. (R ∧ S) → N

1. N ↔ M

2. R ∧ S

2. (N ↔ M) → A

├ ______________________

(M.P. 1,2.)

├ A

1. ∼P → (Q → R)

1. L → (∼U → ∼R)

2. ∼P

2. ∼U

3. Q

3. L

(M.P.

)

├

├ R 4. ______________________

(M.P. 1,2.)

4. ∼U → ∼R

(M.P.

)

5. ______________________

(M.P. 4,3.)

5. ∼R

(M.P.

)

1. Z → [(J → (K → ~F)]

1. ∼T → [(S → (V → N)]

2. Z

2. V

3. K

3. S

4. J

4. ∼T ├ N

├ ~F 5. ______________________ (M.P. 1,2.)

5. S → (V → N)

(M.P.

)

6. ______________________ (M.P. 5,4.)

6. V → N

(M.P.

)

7. ______________________ (M.P. 6,3.)

7. N

(M.P.

)

144

v | demuestra la validez formal de argumentos

Modus tollens Nombre: Modus tollendo tollens, que en latín significa “el modo en donde negando niego”. Abreviatura: Modus tollens (M.T.) Estructura del argumento: 1. p → q 2. ∼q ├ ∼p Demostración de la validez de la regla: Condicional asociado: [ (p → q) ∧ ∼q] → ∼p Tabla de verdad: p V V F F

q V F V F

[(p

→ V F V V

∧ F F F V

∼q ] F V F V

→ V V V V

∼p F F V V

Como muestra la tabla, el modus tollens es una estructura de argumento válida, porque su condicional asociado resultó ser una tautología. Cualquier otro argumento que sea una instancia de sustitución o posea la misma estructura argumental será igualmente válido. Por ejemplo: 1. T → J

1. ∼K → ∼W

1. (O ∧ R) → P

1. (G → H ) → ∼(M ↔ ∼P)

2. ∼J

2. ∼∼W

2. ∼P

2. ∼∼(M ↔ ∼P)

├

∼T

∼∼K

∼(O ∧ R)

~(G → H )

145

LÓGICA II

Veamos un argumento que sea una instancia de sustitución de la estructura modus ponens: Si el impuesto a la tenencia debe pagarse entonces es un impuesto justo. El impuesto a la tenencia no es justo. Por lo tanto, El impuesto a la tenencia no debe pagarse. Confirmaremos su validez determinando su estructura y aplicando una tabla de verdad. Proposiciones simples componentes:

Forma del argumento Condicional asociado [(T → J) ∧ ∼J] → ∼T

T = El impuesto a la tenencia debe pagarse. 1. T → J 2. ∼J

J = El impuesto a la tenencia es justo.

├ ∼T Tabla de verdad T

[(T → J)

∧

∼J]

→

∼T

El modus tollens por ser una forma válida de argumento puede ser usado como una regla de inferencia. Veamos lo que precisa la regla:

146

v | demuestra la validez formal de argumentos

Modus tollens Si una estructura o forma argumental tiene como premisa a una fórmula condicional (p → q) podemos inferir la negación de su antecedente (∼p), siempre y cuando se tenga el consecuente negado (∼q) de esa fórmula condicional, también como premisa.

Comprensión de la regla: Para aplicar la regla del modus tollens se requiere:

Para obtener:

Proposición condicional

1. p → q

La negación del antecedente de la condicional

2. ∼q

La negación del consecuente de la condicional

H→I G→H ∼I ├ ∼G ∼H (aplicando modus tollens a las proposiciones 1, 3.) ∼G (aplicando modus tollens a las proposiciones 2, 4.)

147

├ ∼p

LÓGICA II



Actividad de aprendizaje

Ejercicio 5.6. Instrucciones: Basado en la resolución del primer ejemplo, completa lo que falta, aplicando la regla del modus tollens. Ejemplo: a) 1. C → Q 2. ∼Q ├ ~C____ (M.T. 1,2.) b) 1. N → (T → H)

2. (N ↔ M) → A

2. ∼(T → H) ├

h) 1. E → D

e) 1. ∼A

∼N

(M.T.

)

├ ______ (M.T. 1,2.)

2. F → E 3. ∼D ├ ∼F 4. ______ ( M.T.

)

5. ______ ( M.T.

)

f) 1. L → U

i) 1. C → A

2. S → (Q → R)

2. N → L

2. A → B

3. ∼∼P

3. ∼U

3. ∼B

c) 1. (Q → R) → ∼P

├ ∼C

├ ∼N

├ ∼S 4. ∼(Q → R)

(M.T.

)

4. ______ (M.T. 1,3.)

4. ______ ( M.T.

)

5. ∼S

(M.T.

)

5. ______ (M.T. 2,4.)

5. ______ ( M.T.

)

J) 1. R → U

g) 1. ∼∼S

d) 1. G → (J → F) 2. E → K

2. U → V

2. U → T

3. K → G

3. V → T

3. T → S

4. ∼(J → F)

4. T → ∼S

4. ∼S ├ ∼R

├ ∼U

├ 5. ∼G

(M.T.

)

5. ______ (M.T. 4,1.)

5. ______ ( M.T.

)

6. ∼K

(M.T.

)

6. ______ (M.T. 3,5.)

6. ______ ( M.T.

)

7. ∼E

(M.T.

)

7. ______ (M.T. 2,6.)

7. ______ ( M.T.

)

148

v | demuestra la validez formal de argumentos

Silogismo hipotético Abreviatura: (S.H.) Estructura del argumento: 1. p → q 2. q → r ├p→r

Demostración de la validez de la regla: Condicional asociado: [ (p → q) ∧ (q → r) ] → (p → r) Tabla de verdad: p V V V V F F F F 1

q V V F F V V F F 2

r V F V F V F V F 3

[(p

→ V V F F V V V V 5 1-2

∧ V F F F V F V V 7 5-9

→ V F V V V F V V 9 2-3

r) ]

→ V V V V V V V V 11 7-13

→ V F V F V V V V 13 1-3

Como muestra la tabla, el silogismo hipotético es una estructura válida de argumento, porque su condicional asociado resultó ser una tautología. Cualquier otro argumento que sea una instancia de sustitución o posea la misma estructura argumental será igualmente válido. Por ejemplo: 1. L → R 2. R → E ├ L→E

1. K → ∼W 2. ∼W → ∼X ├ K → ∼X

1. ∼(G ∨ H ) → ~(M ∧ ∼P) 2. ∼(M ∧ ∼P) → R ├ ∼(G ∨ H ) → R

149

LÓGICA II

Veamos un argumento que sea una instancia de sustitución de la estructura silogismo hipotético: 1. Si un hombre es libre, entonces es responsable de su conducta. 2. Si un hombre es responsable de su conducta, entonces evita realizar acciones negativas. Por lo tanto, si un hombre es libre, entonces evita realizar acciones negativas. Confirmaremos su validez determinando su estructura y aplicando una tabla de verdad. Proposiciones simples componentes: L = El hombre es libre.

1. L → R

R= El H es responsable…

2. R → E

E= El H puede evitar…

├ L→E

Forma del argumento

Condicional asociado [(L → R ) ∧ (R → E) ]→ (L → E)

Tabla de verdad L V V V V F F F F 1

R V V F F V V F F 2

E V F V F V F V F 3

[(L

→ R) V V F F V V V V 5 1-2

∧ (R V F F F V F V V 7 5-9

→ E) ] V F V V V F V V 9 2-3

→ V V V V V V V V 11 7-13

→ E) V F V F V V V V 13 1-3

El silogismo hipotético por ser una forma válida de argumento puede ser usado como una regla de inferencia. Veamos lo que precisa la regla:

150

v | demuestra la validez formal de argumentos

Silogismo Hipotético Si la estructura de un argumento presenta como premisas dos fórmulas condicionales (p → q) y (q → r), en la que el consecuente de una es el antecedente de la otra, entonces podemos inferir como conclusión la condicional del antecedente de la primera y el consecuente de la segunda (p → r). Comprensión de la regla: - Una proposición condicional

1. p → q

- Otra proposición condicional cuyo antecedente es el consecuente de la anterior

2. q → r

- Podemos concluir el antecedente de la primera y el consecuente de la segunda

├p→r

Aplicación de la regla en una prueba formal de demostración. Veamos un ejemplo de aplicación de la regla. 1. Si el problema tiene Solución entonces no debo Preocuparme. → ∼ 2. Si no debo Preocuparme entonces evito el Estrés. ∼ → 3. Si evito el Estrés entonces Disfruto la vida. Por lo tanto, → Si el Problema tiene solución entonces Disfruto la vida. 1. 2. 3. 4. 5.

S → ∼P ∼P → E E→D ├S→D S → E S → D

(aplicando silogismo hipotético a las proposiciones 1, 2.) (aplicando silogismo hipotético a las proposiciones 4, 3.)

151

LÓGICA II



Actividad de aprendizaje

Ejercicio 5.7. Instrucciones: Basado en la resolución del primer ejemplo, completa lo que falta, aplicando la regla del silogismo hipotético. Ejemplo: a) 1. A → H 2. H → Z ├ A → Z (S.H. 1,2.) b) 1. (R ∧ S) → N

e) 1. C → (N ↔ M)

2. N → (O → P) ├ ________________ (S.H. 1,2.)

2. (N ↔ M) → A ├ ________________ (S.H.

c) 1. Q → ∼R 2. ∼R → ∼P 3. ∼P → T ├Q→T 4. ________________ (S.H. 1, 2.) 5. ________________ (S.H. 4, 3.)

F) 1. ∼U →∼R 2. ∼R → ∼S 3. ∼L → ∼U ├ ~L → ∼S 4. ∼L → ∼R 5. ∼L → ∼S

d) 1. ~F → R 2. J → K 3. K → ~F ├k→R 4. ________________ (S.H. 2,3.) 5. ________________ (S.H. 4,1.) 6. ________________ (S.H. 1,3.)

G) 1. S → N 2. A → R 3. N → A ├S→R 4. S → A 5. N → R 6. S → R

152

(S.H. (S.H.

(S.H. (S.H. (S.H.

)

) )

) ) )

v | demuestra la validez formal de argumentos

5.3. Prueba formal para demostrar la validez de argumentos Como ya hemos visto, se puede demostrar la validez de un argumento cualquiera, indicando simplemente cuál es su forma lógica y mediante qué regla de inferencia fue obtenida su conclusión. Por ejemplo, en el argumento: 1. 2. 3. 4.

Si el destino existe, entonces el hombre carece de libertad. No es cierto que el hombre carece de libertad. Luego… El destino no existe.

Basta mostrar su forma lógica y cuál es la regla lógica utilizada para obtener la conclusión, para demostrar que es válido. Utilizaremos constantes para simbolizar las proposiciones: 1. 2. 3. 4.

d→c ~c ├ ~d

(aplicando el modus tollens a la proposiciones 1 y 2).

Sin embargo, generalmente hacemos argumentos en los que aplicamos dos o más reglas de inferencia. El siguiente sería un ejemplo: 1. El ser humano es espíritu o es puro cuerpo material. 2. Si el ser humano es espíritu, entonces es inmortal. 3. No es cierto que ser humano es puro cuerpo material. Luego… 4. El ser humano es espíritu. 5. El ser humano es inmortal. En argumentos en los que se aplican dos o más reglas de inferencia, se obtienen conclusiones sucesivas, cada una de las cuales es producto de aplicar una regla de inferencia. A su vez, una conclusión ya demostrada puede ser tomada como premisa para obtener otra conclusión, como se puede ver en la representación del argumento anterior, la cual haremos utilizando variables (p, q, r, etc.) para simbolizar las proposiciones:

153

LÓGICA II

1. 2. 3. 4. 5.

p∨q p → ~r ~q p ~r

(aplicando el silogismo disyuntivo a 1 y 3) (aplicando el modus ponens a 2 y 4).

La conclusión de la línea 4 (p) se obtuvo relacionando las proposiciones de la línea 1 y 3 mediante el silogismo disyuntivo (S.D.) después se obtuvo la conclusión de la línea 5 (~r), relacionando la proposiciones de la línea 2 y 4 (que previamente se demostró), aplicando la regla modus ponens (M.P.). A medida que los argumentos son más complejos (porque aumenta el número de sus premisas, conclusiones y reglas utilizadas), se hace cada vez más necesario representarlos simbólicamente a fin de evitar las limitaciones del lenguaje natural. Recuérdese que los argumentos son válidos o no, por su forma, por la manera en que se relacionan unas proposiciones con otras, y no por el contenido de las mismas. Examinaremos algunos ejemplos de argumentos, expresados tanto en lenguaje natural como en el lenguaje simbólico de la lógica. Podrá observarse que es más clara y sencilla la demostración de su validez cuando ésta se muestra simbólicamente. En lo sucesivo utilizaremos variables para representar cada una de las proposiciones de estos ejemplos. a) 1. Si aumenta la inflación, entonces aumentan los precios. 2. Si no aumenta la inflación, entonces ahorraremos un poco de dinero. 3. No aumentaron los precios. Luego… 4. No aumenta la inflación (aplicando el M.T. a 1 y 3.). 5. Ahorraremos un poco de dinero (aplicando el M.P. a 2 y 4.).

154

v | demuestra la validez formal de argumentos

Forma lógica: 1. p → q 2. ~p → r 3. ~q ├ 4. ~p (M.T. 1,3.) 5. r (M.P. 2,4.) b) 1. Los milagros tienen una causa sobrenatural o los milagros son fenómenos naturales. 2. Si los milagros tienen una causa sobrenatural, entonces los milagros no obedecen a leyes. 3. Si los milagros no obedecen a leyes, entonces los milagros no son predecibles. 4. Los milagros no son fenómenos naturales. Luego… 5. Los milagros tienen una causa sobrenatural (aplicando el S.D., en 1 y 4.). 6. Los milagros tienen una causa sobrenatural, entonces los milagros no son predecibles (aplicando el S.H., en 2 y 3.). 7. Los milagros no son predecibles (aplicando el M.P., en 5 y 6.). Forma lógica: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

p∨q p → ∼r ∼r → ∼s ∼q ├ p p → ∼s ∼s

(S.D. 1,4.) (S.H. 2,3.) (M.P. 6,5.)

155

LÓGICA II

La demostración formal de la validez de un argumento, se hace exclusivamente analizando su forma e indicando cuáles son las reglas lógicas (de inferencia y equivalencia) que justifican las conclusiones. Se pueden, entonces, hacer demostraciones formales de argumentos expresados únicamente en lenguaje simbólico, como en los siguientes ejemplos: a)

1. Z → ~B 2. X → B 3. X ∨ Y 4. Y → (B → Y) 5. Z ├ X→ Y 6. ~B 7. ∼X 8. Y 9. B → Y 10. X → Y

1. (W ∧ ~G) → (R → G) 2. (U ∧ W) → ∼W 3. R ∨ U 4. ~G 5. W ├ ∼W 6. W ∧ ~G 5, 6, Conj. 7. R → G 1, 6, M.P. 8. ∼R 7, 4, M.T. 9. U 3, 8, S.D. 10. U ∧ W 9, 5, Conj. 11. ∼W 2,10, M.P

1, 5 M.P. 2, 6 M.T. 3, 7 S.D. 4, 8 M.P. 2, 9 S.H.

156

v | demuestra la validez formal de argumentos



Actividad de aprendizaje

Ejercicio 5.8. Instrucciones: Anota la conclusión que se puede obtener a partir de las premisas.

Argumento

Regla de inferencia

∼G ↔ ∼Y ├ _______________

Adición

∼(S ∧ U) → (K ∨ L) ∼(K ∨ L) ├ _______________

Modus Tollens

(V ∨ ∼Z) → ∼(∼G ↔ N) (V ∨ ∼Z) ├ _______________

Modus Ponens

(C ∨ E) ∼( D ∨ E) ├ _______________

Conjunción

(I ∨ S) ∧ (O →N) ├ _______________

Simplificación

∼( A → F) → (I → B) (I → B) → ∼(I → S) ├ _______________

Silogismo hipotético

157

LÓGICA II

Ejercicio 5.9. Instrucciones: Enuncia la regla de inferencia mediante la cual la conclusión se sigue de las premisas. 1)

1. G ∨ E

2. ∼E

├

G 3)

B∧Z

_______________

1. ~B → A

~(C ↔ T) → (H ∧ D)

~(C ↔ T)

2. ~A ├ ∼∼B 5)

├ H∧D

_______________

1. X ∧ ∼F

├ ∼(∼G → ∼F) ∨ (W ↔ Q) _____________

_______________

1. ∼Y → Q

(K ∨ L) → ∼(S ∧ U)

2. ∼Y

∼∼(S ∧ U)

├ Q 9)

├ ∼(K ∨ L)

_______________

1. T

10)

├

11)

∼(N → V) → ∼(A → P) _____________

_______________ 12)

├

(X → I) ∧ (I → R) ├ (I → R)

_____________

13) 1. D → K

14)

2. K → ∼H

_____________

∼(J ∧ W) ∨ (Q → H) ∼(Q → H)

├ D → ∼H

∼(N → V) → (M → B) ├

1. O O∨I

_____________

(M → B) → ∼(A → P)

2. U T∧U

_____________

∼(∼G → ∼F)

├ ∼F

_____________

├ _____________

∼(J ∧ W)

158

_____________

v | demuestra la validez formal de argumentos

Ejercicio 5.10. Instrucciones: Enuncia la regla que justifica la inferencia de la conclusión en la demostración formal de los argumentos siguientes. A)

1. F 2. D 3. (F ∧ D) → E ├E 4. F ∧ D 5. E

1. [(C ∧ D) ∨ E] → F 2. C 3. D ├F 4. C ∧ D 5. (C ∧ D) ∨ E 6. F

1, 2,________ 3, 4,________

1. G 2. (G ∨ H) → I ├I 3. G ∨ H 4. I

1. L ∧ (X → D) 2. (D → Y) ∧ S ├X→Y 3. X → D 4. D → Y 5. X → Y

1, ________ 2, 3 ________

1. J ∧ ∼K 2. L → K ├ ∼L 3. ∼K 4. ∼L

1. C → A 2. C ∨ D 3. ∼D ∧ E ├A 4. ∼D 5. C 6. A

1, _________ 2, 3 ________

159

2, 3, ______ 4, ________ 1, 5 ______

1, ________ 2 ,________ 3, 4, ______

3, ________ 2, 4, ______ 1, 5, ______

LÓGICA II

G) 1. B → H 2. H → ∼G 3. J → G 4. B ├ ∼J 5. B → ∼G 6. ∼G 7. ∼J

I) 1. Z → ∼B 2. X → B 3. X ∨ Y 4. Y → (B →Y) 5. Z ├X→Y 6. ∼B 7. ∼X 8. Y 9. B → Y 10. X → Y

K) 1. R ∧ ∼T 2. T ∨ N 3. R → M 4. (N ∧ M) → S ├S 5. ∼T 6. N 7. R 8. M 9. N ∧ M 10. S

1, 2 ________ 5, 4 ________ 3, 6 ________

1, 5 ________ 2, 6 ________ 3, 7 ________ 4, 8 ________ 2, 9 ________

1 __________ 2, 5 ________ 1 __________ 3, 7 ________ 6, 8 ________ 4, 9 ________

160

H) 1. Q → ∼P 2. T → P 3. S ∨ T 4. S → Q 5. ∼∼P ├P 6. ∼Q 7. ∼S 8. T 9. P

1, 5 ______ 4, 6 ______ 3, 7 ______ 2, 8 ______

J) 1. (W ∧ ~G) → (R → G) 2. (U ∧ W) → ∼W 3. R ∨ U 4. ∼G 5. W ├ ∼W 6. W ∧ ~G 7. R → G 8. ∼R 9. U 10. U ∧ W 11. ∼W

5, 4 ______ 1, 6 ______ 7, 4 ______ 3, 8 ______ 9,5 ______ 2, 10 _____

L) 1. (∼D ∧ ∼L) ∨ F 2. C → L 3. ∼D → X 4. ∼F ├ X ∧ ∼C 5. ∼D ∧ ∼L 6. ∼D 7. X 8. ∼L 9. ∼C 10. X ∧ ∼C

1, 4 ______ 5 ________ 3, 6 ______ 5 ________ 2, 8 ______ 7, 9 ______

v | demuestra la validez formal de argumentos

1. ∼Q ∨ C 2. R → Q 3. ∼R → (C → Z) 4. ∼C ∧ X 5. C ├Z 6. ∼C 7. ∼Q 8. ∼R 9. C → Z 10. Z

4 _______ 1, 5 _______ 2, 6 _______ 3, 7 _______ 5, 9 _______

1. J ∧ E 2. E → ∼S 3. S ∨ ∼K 4. L → K 5. E

1 _______

6. ∼S 7. ∼K 8. ∼L

2, 5 _____ 3, 6 _____ 4, 7 _____

Ñ)

1. K ∨ S 2. J ∨ K 3. ∼K 4. (J ∧ S) → G ├G 5. J 6. S 7. J ∧ S 8. G

1. E → O 2. U → E 3. (U → O) → (O → A) ├A 5. U → O 6. O → A 7. U → A

2, 3 _______ 1, 3 _______ 5, 6 _______ 4, 7 _______

161

2, 1 _____ 3, 5 _____ 5, 6 _____

LÓGICA II

Ejercicio 5.11. Instrucciones: Infiere la conclusión a partir de la justificación de la inferencia que está a la derecha y anótala en el espacio en blanco. A)

1. ∼B ∧ V 2. K → B ├ ∼K 3. ____________ 4. ____________

1. H 2. (H ∨ T) → J ├J 3. ____________ 4. ____________

Simp. 1 M.T. 2, 3.

1. ∼X ∨ Q 2. E ∧ ∼Q 3. ∼X → A ├A 4. ____________ 5 ____________ 6. ____________

1. R 2. C 3. (C ∧ R) → E ├E 4. ____________ 5. ____________

Simp. 2 S.D.1, 4 M.P. 3, 5.

1. (D → I) ∧ S 2. L ∧ (V → D) ├V→I 3. ____________ 4. ____________ 5. ____________

1. A 2. [(Y ∧ A) ∨ V] → F 3. Y ├F 4. ____________ 5. ____________ 6. ____________

Simp. 2 Simp. 1 S.H. 3, 4.

162

Adic. 1. M.P. 2, 3.

Conj.2,1. M.P. 3, 4.

Conj.3, 1. Ad.4. M.P. 2, 5.

v | demuestra la validez formal de argumentos

1. A → Q 2. T → U 3. A ∨ T 4. Q → ∼U 5. ∼∼U ├U 6. ____________ 7. ____________ 8. ____________ 9. ____________

1. C → Y 2. H → ∼Y 3. B → H 4. B ├ ∼C 5. ____________ 6. ____________ 7. ____________

M.T. 4, 5. M.T.1, 6. S.D. 3,7. M.P. 2, 8.

1. C → L 2. (∼D ∧ ∼L) ∨ F 3. ∼D → X 4. ∼F ├ X ∧ ∼C 5. ____________ 6. ____________ 7. ____________ 8. ____________ 9. ____________ 10. ____________

S.H. 3, 2. M.P. 5, 4. M.T.1, 6.

1. Z → ∼B 2. X → B 3. X ∨ Y 4. Y → (B → Y) 5. Z ├X→Y 6. ____________ 7. ____________ 8. ____________ 9. ____________ 10. ___________

S.D. 2, 4, Simp. 5. Simp. 5. M.P. 3, 6. M.T.1, 7. Conj. 8, 9.

163

M.P. 1,5. M.T. 2,6. S.D. 3,7. M.P. 4,8. S.H. 2,9.

LÓGICA II

1. (W ∧ ∼G) → (R → G) 2. (U ∧ W) → ∼W 3. W 4. ∼G 5. R ∨ U ├ ∼W 6. ____________ 7. ____________ 8. ____________ 9. ____________ 10. ____________ 11. ____________

1. R → M 2. T ∨ N 3. R ∧ ∼T 4. (N ∧ M) → S ├S 5. ____________ 6. ____________ 7. ____________ 8. ____________ 9. ____________ 10. ___________

Conj. 3, 4. M.P.1, 6. M.T. 7, 4. S.D.5, 8. Conj. 9,3. M.P. 2, 10,

164

3. Simp. 2, 5. S.D. 3. Simp. 1, 7. M.P. 6,8. Conj. 4, 9. M.P.

v | demuestra la validez formal de argumentos

1. E → O 2. U → E 3. (U → O) → (O → A) ├U→A 5. ____________ 6. ____________ 7. ____________

1. (J ∧ S) → G 2. K ∨ S 3. ∼K 4. J ∨ K ├G 5. ____________ 6. ____________ 7. ____________ 8. ____________

S.H. 1, 2. M.P. 3, 5. S.H. 5, 6.

Ñ)

1. R → Q 2. ~C ∧ C 3. ∼R → (C → Z) 4. ∼Q ∨ C ├Z 5. ____________ 6. ____________ 7. ____________ 8. ____________ 9. ____________ 10. ____________

1. L → K 2. S ∨ ∼K 3. E → ∼S 4. J ∧ E ├ ~L 5. ____________ 6. ____________ 7. ____________ 8. ____________

Simp. 2. S.D. 4, 5. M.T. 1, 6. M.P. 3, 7. Simp. 2. M.P. 8, 9.

165

S.D. 2, 3. S.D. 3, 4. Conj. 6, 5. M.P. 1, 7.

Simp. 4. M.P. 3, 5. S.D. 2, 6. M.T.1, 7.

LÓGICA II

Ejercicio 5.12. Instrucciones: Realiza una prueba de demostración formal de los argumentos siguientes. A)

1. P → ∼Q 2. R → Q 3. P ├∼R 4. ∼Q 5. ∼R

1. A → B 2. B → C 3. (A → C) → E ├E 4. A → C 5. E

________ ________

1. G 2. (G ∨ H) → I ├I∧G 3. G ∨ H 4. I 5. I ∧ G

1. ∼T ∨ V 2. S → T 3. ∼S → (W ∧ S) 4. ∼V ├W 5. ∼T 6. ∼S 7. W ∧ S 8. W

________ ________ ________.

1. P → R 2. R → S 3. (S ∧ R) → T 4. P ├T 5. R 6. S 7. S ∧ R 8. T

1. (A ∧ ∼Z) → B 2. Y ∨ A 3. Z → Y 4. ∼Y ├Z 5. A 6. ∼Z 7. A ∧ ∼Z 8. B

________ ________ ________ ________

166

________ ________

________ ________ _______. ________

________ ________ ________ ________

v | demuestra la validez formal de argumentos

1. J ∧ E 2. E → ~S 3. S ∨ ~K 4. L → K ├ ~L 5. E 6. ~S 7. ~K 8. ~L

1. B → H 2. H → ~G 3. J → G 4. B ├ ~J ∨ F 5. B → ~G 6. ~G 7. ~J 8. ~J ∨ F

________ ________ ________ ________

1. E → O 2. U → E 3. (U →O) → (O → A) ├U→A 5. U → O 6. O → A 7. U → A

1. B 2. B → ( D → E) 3. D ├E 4. D → E 7. E

________ ________ ________

________ ________ ________ ________

________ ________

1. Z → ~B 2. X → B 3. X ∨ Y 4. Y → (B → Y) 5. Z ├X→Y 6. ~B 7. ∼X 8. Y 9. B → Y 10. X → Y

1. (W ∧ ~G) → (R → G) 2. (U ∧ W) → ~W 3. R ∨ U 4. ~G 5. W ├ ~W 6. W ∧ ~G ________ 7. R → G ________ 8. ∼R ________ 9. U ________ 10. U ∧ W ________ 11. ∼W ________

________ ________ ________ ________ ________

167

LÓGICA II

1. R ∧ ~T 2. T ∨ N 3. R → M 4. (N ∧ M) → S ├S 5. ~T 6. N 7. R 8. M 9. N ∧ M 10. S

1. (~D ∧ ~L) ∨ F 2. C → L 3. ~D → X 4. ~F ├ X ∧ ~C 5. ~D ∧ ~L 6. ~D 7. X 8. ~L 9. ~C 10. X ∧ ~C

________ ________ ________ ________ ________ ________

Ñ)

1. ~Q ∨ C 2. R → Q 3. ~R → (C → Z) 4. ~C ∧ X ├C→Z 5. ~C 6. ~Q 7. ~R 8. C → Z

1. J ∧ E 2. E → ~S 3. S ∨ ~K 4. L → K ├ ~L 5. E 6. ~S 7. ~K 8. ~L

________ ________ ________ ________

1. K ∨ S 2. J ∨ K 3. ~K 4. (J ∧ S) → G ├G 5. J 6. S 7. J ∧ S 8. G

1. B → C 2. C → E 3. A → B ├B→E 5. A → C 6. A → E 7. B → E

________ ________ ________ ________ ________

168

________ ________ ________ ________ ________ ________

________ ________ ________ ________

________ ________ ________

v | demuestra la validez formal de argumentos

1. F 2. D 3. (F ∧ D) → E ├E 4. F ∧ D 5. E

1. [(C ∧ D) ∨ E] → F 2. C 3. D ├F 4. C ∧ D 5. (C ∧ D) ∨ E 6. F

________ ________

1. G 2. (G ∨ H) → I ├I 3. G ∨ H 4. I

1. L ∧ (X → D) 2. (D → Y) ∧ S ├X→Y 3. X → D 4. D → Y 5. X → Y

________ ________

1. J ∧ ~K 2. L → K ├ ~L 3. ~K 4. ~L

1. ~C → A 2. ~C ∨ D 3. ~D ∧ E ├A 4. ~D 5. ~C 6. A

________ ________

169

________ ________ ________

LÓGICA II

1. B → H 2. H → ~G 3. J → G 4. B ├ ~J ∨ F 5. B → ~G 6. ~G 7. ~J 8. ~J ∨ F

1. Q → ~P 2. T → P 3. S ∨ T 4. S → Q 5. ∼∼P ├P 6. ∼Q 7. ∼S 8. T 9. P

________ ________ ________ ________

170

________ ________ ________ ________

v | demuestra la validez formal de argumentos

5.4. Reglas de equivalencia Recordemos que: Una regla es una verdad formal o lógica. Una fórmula proposicional o argumental funciona como regla si es una tautología. Una proposición compuesta es una equivalencia si es una tautología y su conectiva principal es bicondicional; por ejemplo, la proposición: (p → q) ↔ ~ (p ∧ ~ q) es una equivalencia, pues su conectiva principal es un bicondicional y es tautológica, como lo muestra su tabla de verdad: p V V F F

q V F V F

(p V V F F

→ V F V V

q) V F V F

↔ V V V V

~ V F V V

(p V V F F

∧ F V F F

~ F V F V

q) V F V F

En toda equivalencia la bicondicional relaciona a dos proposiciones, de las cuales se dice que son equivalentes entre sí y tienen idéntica tabla de verdad. Si dos proposiciones son equivalentes tienen los mismos valores de verdad (es decir, la misma tabla de verdad), por lo que pueden sustituirse entre sí en un argumento cualquiera.

Reglas de equivalencia Se denominan reglas de equivalencia o reemplazo a las formas básicas en que pueden ser sustituidas unas proposiciones por otras. ¿Cómo sabremos cuando usar una regla de equivalencia? Y ¿Por qué usamos reglas de equivalencia? Porque existen muchos argumentos que son válidos, cuya validez no puede demostrarse utilizando sólo las reglas de inferencia, sino que requiere de reglas adicionales.

171

LÓGICA II

Hay una diferencia importante entre las reglas de inferencia y las reglas de equivalencia, en las primeras se obtiene una consecuencia a partir de ciertas premisas, en cambio, las reglas de equivalencia no son inferencias, se utilizan en demostración formal para sustituir o reemplazar una proposición o una parte de ésta, principalmente como auxiliares cuando no es posible aplicar las reglas de inferencia.

Tautología (Taut.) También llamada idempotencia. Significa que, por el principio de identidad, toda proposición es igual a la conjunción o disyunción de sí misma. Veamos un ejemplo: Ejemplo: Hace calor. Equivale a: Hace calor y hace calor. Equivale a: Hace calor o hace calor. En lenguaje simbólico la fórmula se representa así: p ↔ (p ∧ p) p ↔ (p ∨ p)

Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p V F

↔

∧

p)]

p V F

↔

∨

p)]

172

v | demuestra la validez formal de argumentos

Doble negación (D.N) Si hacemos una doble negación, es decir, si negamos una proposición negativa, eso equivale a tener la misma proposición pero en modo afirmativo. En otras palabras, la ley de la doble negación enuncia que toda proposición afirmativa es igual a su doble negación. Veamos un ejemplo: Ejemplo: Estudie para el examen de lógica. Equivale a: No es cierto que no estudie para el examen de lógica. En lenguaje simbólico la fórmula se representa así: p ↔ ∼∼p

Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p V F

↔

∼

Conmutación (Conm.) La conmutación es una propiedad algebraica, que has estudiado en matemáticas. En lógica, la ley de conmutación nos permite cambiar el orden de los elementos, pero sin alterar la conectiva. Esta regla puede aplicarse con tres de los cuatro conectivos diádicos: conjunción, disyunción y bicondicional2. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo: Todos son inteligentes, pero algunos no lo saben. Equivale a: Algunos no lo saben, pero todos son inteligentes.

2 Con el único conectivo que no puede aplicarse esta regla es con el conectivo de la condicional, porque si cambiamos antecedente por consecuente modificamos la proposición condicional.

173

LÓGICA II

Ejemplo: Voy al cine o a las luchas. Equivale a: Voy a las luchas o al cine. Ejemplo: Tiene tres lados iguales sí y sólo sí es un triángulo equilátero. Equivale a: Es un triángulo equilátero sí y sólo sí tiene tres lados iguales. En lenguaje simbólico la fórmula se representa así: (p ∧ q) ↔ (q ∧ p) (p ∨ q) ↔ (q ∨ p) (p ↔ q) ↔ (q ↔ p)

Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si las fórmulas son tautología: p V V F F

q V F V F

∧

↔

∧

p V V F F

q V F V F

∨

↔

∨

p V V F F

q V F V F

↔

174

v | demuestra la validez formal de argumentos

De Morgan3 (De M.) Llevan el nombre De Morgan las siguientes leyes fundamentales del álgebra de la lógica: la negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones y la negación de la disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo: No es cierto que, haya hombres de acero que vuelan. Equivale a: No hay hombres de acero o no hay hombres que vuelan. Ejemplo: No es cierto que, o subo los impuestos o la crisis será peor. Equivale a: No subo los impuestos y la crisis no es peor. En lenguaje simbólico la fórmula se representa así: ~(p ∧ q) ↔ (~p ∨ ~q) ~(p ∨ q) ↔ (~p ∧ ~q)

Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p V V F F

q V F V F

[∼

∧

↔

(∼p

∨

∼q)]

p V V F F

q V F V F

[∼

∨

↔

(∼p

∧

∼q)]

3 Está regla recibe el nombre del distinguido matemático inglés del siglo XIX Augustus DeMorgan.

175

LÓGICA II

Asociación (Asoc.) La asociación es otra propiedad algebraica, que ya has estudiado en matemáticas. En lógica, la ley de asociación se permite con proposiciones conjuntivas y disyuntivas. En la asociación lo que hacemos una reagrupar el orden de las proposiciones sin alterar la conectiva. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo: Estudio, o juego o aprendo. Equivale a: Estudio o juego, o aprendo. Ejemplo: Llueve, y estornudo y me da alergia. Equivale a: Llueve y estornudo, y me da alergia. En lenguaje simbólico la fórmula se representa así: [p ∨ (q ∨ r)] ↔ [(p ∨ q) ∨ r] [p ∧ (q ∧ r)] ↔ [(p ∧ q) ∧ r]

Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

[(p

∨

r)]

↔

[(p

∨

r)]

P V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

[(p

∧

r)]

↔

[(p

∧

r)]

176

v | demuestra la validez formal de argumentos

Distribución (Distr.) La distribución es también una propiedad algebraica que se aplica en lógica entre proposiciones que son conjunciones o disyunciones. Una conjunción equivale a la disyunción de las proposiciones conjuntadas y, viceversa, una disyunción equivale a la conjunción de las proposiciones en disyunción. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo: Voy de paseo, y gasto dinero o me divierto. Equivale a: Voy de paseo y gasto dinero, o bien voy de paseo y me divierto. Ejemplo: Me caso o vivo errante y sin familia. Equivale a: Me caso o vivo errante y me caso o vivo sin familia En lenguaje simbólico la fórmula se representa así: [p ∧ (q ∧ r)] ↔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] [p ∨ (q ∧ r)] ↔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)]

Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

[(p

∧

∨

r)]

↔

[(p

∧

∨

∧

r)]

p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

[(p

∨

∧

r)]

↔

[(p

∨

∧

∨

r)]

177

LÓGICA II

Transposición (Trans.) La transposición es una propiedad que se aplica sólo a las proposiciones condicionales. Transponer una proposición condicional significa invertir tanto el orden como el valor de verdad de la proposición. El orden normal de antecedente y consecuente de una proposición condicional son invertidos en forma de negación. El consecuente pasa a ser el antecedente y, viceversa, el antecedente pasa a ser el consecuente, pero negados. Veamos un ejemplo: Ejemplo: Si soy bueno entonces merezco el paraíso. Equivale a: Si no merezco el paraíso entonces no soy bueno. En lenguaje simbólico la fórmula se representa así: (p → q) ↔ (∼q → ∼p) Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p

→

↔

(∼q

→

∼p)

Implicación material (Impl.) Una proposición condicional es equivalente a una proposición disyuntiva cuyo antecedente aparece negado. Esta regla nos permite sustituir una proposición condicional por una proposición disyuntiva y viceversa, lo único que hacemos es negar el antecedente de la condicional y cambiar la conectiva a disyunción. Veamos su forma simbólica. (p → q) ↔ (∼p ∨ q)

178

v | demuestra la validez formal de argumentos

Ejemplo: Si Venus brilla con luz propia entonces es un planeta. Equivale a: Venus no brilla con luz propia o bien es un planeta. Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p

→

↔

(∼p

∨

Equivalencia material (Equiv.) La aplicación de esta regla tiene dos modalidades: a) La proposición bicondicional equivale a la conjunción de las proposiciones condicionales que forman parte de la bicondicional en ambos sentidos. Veamos un ejemplo: Ejemplo: Un triángulo es equilátero si y sólo si tiene todos sus lados iguales. Equivale a: Si un triángulo es equilátero entonces tiene sus lados iguales, y si un triangulo tiene sus lados iguales entonces es equilátero. En lenguaje simbólico la fórmula se representa así: (p ↔ q) ↔ [(p → q) ∧ (q → p)] Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p

[(p

↔

[(p

179

→

∧

→

p)]

LÓGICA II

La proposición bicondicional equivale a una disyunción cuyo primer disyuntivo es la proposición que une en conjunción las dos proposiciones que forma la bicondicional y como segundo disyuntivo la conjunción de las misma proposiciones negadas. Veamos un ejemplo: Ejemplo: Compro un automóvil siempre y cuando tenga dinero. Equivale a: Compro un automóvil y tengo dinero, o bien no compro automóvil y no tengo dinero. En lenguaje simbólico la fórmula se representa así: (p ↔ q) ↔ [(p ∧ q) ∨ (~ p ∧ ~q)] Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p V V F F

q V F V F

[(p

↔

[(p

∧

∨

(∼p

∧

∼q)]

Exportación (Exp.) Cambia de conectivo de conjunción a condicional, cuando el antecedente es una conjunción y los agrupa de diferente manera, al dejar el primer conjuntivo como antecedente de toda la proposición y pasar el segundo conjuntivo al consecuente de la proposición como parte de otra condicional. Veamos un ejemplo: Ejemplo: Si hay buenas ventas y hay utilidades, entonces nos vamos de vacaciones. Equivale a: Si hay buenas ventas, entonces si hay utilidades entonces nos vamos de vacaciones. En lenguaje simbólico la fórmula se representa así: [(p ∧ q) → r] ↔ [p → (q → r)]

180

v | demuestra la validez formal de argumentos

Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p

[(p

∧

→

181

↔

[(p

→

r)]

LÓGICA II



Actividad de aprendizaje

Ejercicio 5.13. Instrucciones: Para cada uno de los siguientes argumentos proporcione la regla de equivalencia por la que se sigue la conclusión de su premisa: 1. J ∨ K ├K∨J

______________________

2. (C ∧ I) ∧ A ├ C ∧ (I ∧ A)

______________________

3. ~( ~R ∧ D) ├ ~~R ∨ ~D

______________________

4. T ├ T ∨ ~T

______________________

5. L → K ├ ~K → ~L

______________________

6. E → F ├ ~E ∨ F

______________________

7. (X ∧ Y) → Z ├ X → (Y → Z)

______________________

8. I ∧ (G ∨ H) ├ (I ∧G) ∨ (I ∧ H)

______________________

9. U ├ ∼∼U

______________________

10. A ↔ B ├ (A → B) ∧ (B → A)

______________________

11. Q ∨ (P ∧ S) ├ (Q ∨ P) ∧ (Q ∨ S)

______________________

12. V ∧ W ├W∧V

______________________

182

v | demuestra la validez formal de argumentos

Demostración de argumentos utilizando reglas de equivalencia Veamos algunos ejemplos de argumentos cuya demostración requiere de la utilización de algunas reglas de inferencia. a) 1. El delfín es mamífero y el delfín es domesticable. 2. Si el delfín es mamífero, entonces el delfín tiene respiración pulmonar. Luego… 3. El delfín es mamífero (aplicando la Simp. en 1.). 4. El delfín tiene respiración pulmonar (aplicando el M.P. en 2 y 3). Utilizando variables para representar su forma lógica tenemos: 1. p ∧ q 2. p → r ├ 3. p (Simpl. 1.) 4. r (M.P. 2,3.) b) 1. Si el hombre tiene conciencia y el hombre tiene libertad, entonces el hombre es responsable de sus actos. 2. El hombre tiene conciencia. 3. El hombre tiene libertad. Luego… 4. El hombre tiene conciencia y el hombre tiene libertad (aplicando la Conj. en 2 y 3.). 5. El hombre es responsable de sus actos (aplicando el M.P. en 1 y 4.). Utilizaremos variables para representar su forma lógica: 1. 2. 3. 4. 5.

(p ∧ q) → r p q p ∧ q (Conj. 2,3.) r (M.P. 1,4.)

183

LÓGICA II

c) 1. Si aprobé todas mis materias y tengo promedio de nueve, entonces estudiaré con una beca en Francia. 2. Aprobé todas mis materias y mi situación académica es regular. 3. Tengo promedio de nueve. Luego… 4. Aprobé todas mis materias (aplicando la Simpl. en 2.) 5. Aprobé todas mis materias y tengo promedio de nueve (aplicando la Conj. en 4 y 3.). 6. Estudiare con una beca en Francia (aplicando el M.P. en 1 y 5.). Utilizaremos variables para representar su forma lógica: 1. (p ∧ q) → r 2. p ∧ t 3. q ├ 4. p (Simpl. 2) 5. p ∧ q (Conj. 4,3) 6. r (M.P.1,5) Ahora veamos ejemplos de demostraciones formales de argumentos expresados únicamente en lenguaje simbólico, como en los siguientes ejemplos: a)

1. p ∧ (q ∨ r) 2. ~ (p ∧ r) 3. p → t 4. (t ∨ s) → r ├r 5. (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) 6. p ∧ q 7. p 8. t 9. t ∨ s 10. r

1. ~(p ∨ q) 2. r → q 3. ~r → (t ∨ m) 4. ~m 5. s ├s∧t 6. ~p ∧ ~ q 7. ~q 8. ~r 9. t ∨ m 10. t 11. s ∧ t

(Distr. 1.) (S.D. 2,5.) (Simpl. 6.) (M.P. 3,7.) (Ad. 8.) (MP. 4,9.)

184

(De M. 1.) (Simpl. 6.) (M.T. 2,7.) (M.P. 3,8.) (S.D. 4,9.) (Conj. 5,10.)

v | demuestra la validez formal de argumentos



Actividad de aprendizaje

Ejercicio 5.14. Instrucciones: Enuncia la regla de inferencia o equivalencia que justifica la inferencia de la conclusión en la demostración formal de los argumentos siguientes. A)

1. F ∧ D 2. (D ∧ F) → E ├E 4. D ∧ F 5. E

1. ~(~H ∨ ~G) 2. (G ∧ H) → I ├I 3. ~~H ∧ ~~G 4. H ∧ G 4. G ∧ H 5. I

1. __________ 2, 4. ________

1. __________ 3. __________ 4. __________ 2, 4. ________

1. (~K ∧ J) ∧ R 2. L → K ├ ~L 3. ~K ∧ (J ∧ R) 4. ~K 5. ~L

1. P ∨ (Q ∧ R) 2. (P ∨ Q) → S ├ S 3. (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) 1. __________ 4. P ∨ Q 3. __________ 5. S 2, 4. ________

1. __________ 3. __________ 2, 4. ________

1. ~~B → H 2. H → ~G ├ B → ~G 3. B → H 4. B → ~G

1. L ∧ (~D → ~X) 2. (D → Y) ∧ S ├X→Y 3. ~D → ~X 4. ~~X → ~~D 5. X → D 6. D → Y 7. X → Y

1. __________ 3, 2. ________

185

1. __________ 3. __________ 4. __________ 2. __________ 5, 6. ________

LÓGICA II

1. [(C ∧ D) ∨ E] → F 2. E ∨ (D ∧ C) ├F 3. (D ∧ C) ∨ E 4. (C ∧ D) ∨ E 5. F

1. ~C → A 2. ~C ∨ D 3. (~D ∧ E ) ∧ H ├A 4. ~D ∧ (E ∧ H) 5. ~D 6. ~C 7. A

2. ________ 3. ________ 1, 4. _______

1. S ∨ (~J ∧ K) 2. (J → S) → G ├G 3. (S ∨ ~J) ∧ (S ∨ K) 4. S ∨ ~J 5. ~J ∨ S 6. J → S 7. G

1. P 2. (P → P) → A ├A 3. (P ∧ P) → A 4. P ∧ P 5. A

1. ________ 3. ________ 4. ________ 5. ________ 2, 6. _______

1. ~(~P ∨ ~Q) ├P↔Q 2. ~~P ∧ ~~Q 3. P ∧ Q 4. (P ∧ Q) ∨ (~P ∧ ~Q) 5. P ↔ Q

1. ~J ∨ E 2. ~E ∨ J ├ J↔E 3. J → E 4. E → J 5. (J → E) ∧ (E → J) 6. J ↔ E

1. ________ 2. ________ 3. ________ 4. ________

3. ________ 4. ________ 2, 5. _______ 1, 6. _______

2. ________ 1. ________ 3, 4. _______

1. ________ 2. ________ 3, 4. _______ 5. ________

1. ~( X ∧ ~Y) ├ ~Y → ~X 2. ~X ∨ ~~Y 3. ~X ∨ Y 4. X → Y 5. ~Y → ~X

1. ~W ∨ (G ∧ R) ├ ~G → ~W 2. (~W ∨ G) ∧ (~W ∨ R) 3. ~W ∨ G 4. W → G 5. ~G → ~W

1. ________ 2. ________ 3. ________ 4. ________

186

1. _______ 2. _______ 3. _______ 4. _______

v | demuestra la validez formal de argumentos



Actividad de aprendizaje

Ejercicio 5.15. Instrucciones: Anota la conclusión en el espacio en blanco, a partir de la justificación de la inferencia que está anotada a su derecha. A)

1. C ∨ ~B 2. K → B ├ K→C 3. _____________ 4. _____________ 5. _____________

1. ~T ├ ~H → ~T 2. _____________ 3. _____________ 4. _____________

Conm. 1. Impl. 3. S.H. 2, 4.

1. ~(~A ∨ ~Y) 2. A → X ├X 3. _____________ 4. _____________ 5. _____________ 6. _____________

1. (F → G) → H 2. ~F ├H 3. _____________ 4. _____________ 5. _____________

De M. 1. D.N. 3. Simp. 4. M.P. 2, 5.

1. J → W 2. W → J ├J↔W 3. _____________ 4. _____________

1. L ∨ (R ∧ S) 2. (L ∨ R) → T 3. (L ∨ S) → U ├T∧U 4. _____________ 5. _____________ 6. _____________ 7. _____________ 8. _____________ 9. _____________

Conj. 1, 2. Equiv. 3.

187

Adic. 1. Impl. 2. Trans. 3.

Adic. 2. Impl. 3. M.P. 1, 4.

Dist. 1. Simp. 4. M.P. 2, 5. Simp. 4. M.P. 3, 7. Conj. 6, 8.

LÓGICA II

1. (A ∧ B) ∨ ~C ├ A ∨ ~C 2. _____________ 3. _____________ 4. _____________ 5. _____________ 6. _____________ 7. _____________ 8. _____________

1. (X ∨ Y) ∨ Z 2. Z → W 3. ~ (W ∨ Y) ├X 4. _____________ 5. _____________ 6. _____________ 7. _____________ 8. _____________ 9. _____________

Conm. 1. Distr. 2. Simp. 3. Impl. 4. Trans. 4. Imp. 6. D.N. 7.

1. S ∨ (~R ∧ U) 2. (R → S) → T ├T 3. _____________ 4. _____________ 5. _____________ 6. _____________ 7. _____________

1. P ∧ (~Q → ~R) 2. (Q → V) ∧ S ├R→V 3. _____________ 4. _____________ 5. _____________ 6. _____________ 7. _____________

Dist.1. Simp. 3. Conm. 4. Impl. 5. M.P. 2, 6.

188

De M. 3. Simp. 4. M.T. 2, 5. S.D. 1, 6. Simp. 4. S.D. 7, 8.

Simp.1. Trasp. 3. D.N. 4. Simp. 2. S.H. 5, 6.

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

Actividad de aprendizaje

Ejercicio 5.16. Instrucciones: Demuestra la validez de los siguientes argumentos mediante una prueba formal, previa traducción del español al lenguaje simbólico. 1. Si conquistas a tus enemigos entonces conquistarás la paz. Conquistas a tus enemigos y eres feliz. Luego, conquistarás la paz. 2. No es el caso que estudiar álgebra o geometría sea difícil. Si estudiar geometría es difícil entonces también lo será el estudiar álgebra. Luego, estudiar geometría no es difícil. 3. 0 tienes buenas costumbres o si te portas mal entonces perderás a tus amigos. No tienes buenas costumbres pero no pierdes a tus amigos. Por lo tanto, no te portas mal. 4. Si me enojo con mi hermana, entonces no me dará de comer y no saldré al parque de la esquina con ella. Si mi hermana no me da de comer y no salgo con ella al parque de la esquina, entonces no podré jugar con mis amigos. Luego, Si me enojo con mi hermana, entonces no podré jugar con mis amigos. 5. Si pido dinero prestado al banco entonces me compraré un automóvil. Si me compro un automóvil entonces saldré a pasear con mi novia todas las tardes. Si salgo a pasear con mi novia todas las tardes entonces me sentiré feliz. Luego, si pido dinero prestado al banco entonces me sentiré feliz. 6. Si no recibo aumento salarial, entonces o no salgo de mis deudas o mi compadre no me presta más. Salgo de mis deudas y mi compadre me presta más. Luego, recibo aumento salarial o cambio de empleo. 7. Si practico algún deporte entonces mi condición física estará saludable y si salgo a correr al parque entonces bajaré de peso. Si mi condición física es saludable entonces practico algún deporte. Practico algún deporte. Luego, o practico algún deporte o salgo a correr al parque.

189

LÓGICA II

8. Si Juan consiguió el desarmador entonces reparará el ventilador. Si Juan repara el ventilador entonces no tendré más calor. Juan consiguió el desarmador. Luego, Si tengo más calor entonces no ha llovido. 9. Si logro resolver los problemas de matemáticas entonces el profesor me dará diez puntos extras, y si aprendo geografía entonces mi padre me regalará un viaje turístico a España. El profesor no me da diez puntos extras y mi padre no me regala un viaje turístico a España. Por consiguiente, logro resolver los problemas de matemáticas si y sólo si aprendo geografía.

190

v | demuestra la validez formal de argumentos



Actividad de aprendizaje

Ejercicio 5.17. Instrucciones: Enuncia la regla que justifica la inferencia de la conclusión en la demostración formal de los argumentos siguientes. A)

1. (D ∧ F) → (F ∨ E) 2. ~(E ∨ F) ├ ~( D ∧ F) 4. ~(F ∨ E) 5. ~( D ∧ F)

1. (l ∨ Q) → O 2. (Q ∧ R) ∨ l ├ O 3. l ∨ (Q ∧ R) 4. (l ∨ Q) ∧ (l ∨ R) 5. l ∨ Q 6. O

_________ _________

1. H → ~G 2. ~~B → H ├ ~B ∨ ~G 3. B → H 4. B → ~G 5. ~B ∨ ~G

1. ~C → A 2. ~C ∨ D 3. (~D ∧ E ) ∧ H ├ A 4. ~D ∧ (E ∧ H) 5. ~D 6. ~C 7. A

_________ _________ _________

1. S ∨ (~J ∧ K) 2. (J → S) → G ├G 3. (S ∨ ~J) ∧ (S ∨ K) 4. S ∨ ~J 5. ~J ∨ S 6. J → S 7. G

1. ~O ∨ E 2. ~E ∨ O ├ O↔E 3. O → E 4. E → O 5. (O → E) ∧ (E → O) 6. O ↔ E

_________ _________ _________ _________ _________

191

_________ _________ _________ _________

LÓGICA II

1. ~( X ∧ ~Y) ├ Y∨X 2. ~X ∨ ~~Y 3. ~X ∨ Y 4. X → Y 5. ~Y → ~X 6. ~~Y ∨ X 7. Y ∨ X

1. ~E ∧ (D ∨ C) 2. T → E 3. (C ∨ D) → ~F ├ (T ∨ F) → D 4. ~E 5. ~T 6. D ∨ C 7. C ∨ D 8. ~F 9. ~T ∧ ~F 10. (~T ∧ ~F) ∨ D 11. ~(T ∨ F) ∨ D 12. (T ∨ F) → D

_________ _________ _________ _________ _________ _________

1. ~T ├ H → ~T 2. ~T ∨ ~H 3. T → ~H 4. ~~H → ~T 5. H → ~T

1. ~(~A ∨ ~Y) 2. A → X ├X 3. ~~A ∧ ~~Y 4. A ∧ Y 5. A 6. X

_________ _________ _________ _________

1. L ∨ (R ∧ S) 2. (L ∨ R) → T 3. (L ∨ S) → U ├T∧U 4. (L ∨ R) ∧ (L ∨ S) 5. L ∨ R 6. T 7. L ∨ S 8. U 9. T ∧ U

1. (A ∧ B) ∨ ~C ├ A ∨ ~C 2. ~C ∨ (A ∧ B) 3. (~C ∨ A) ∧ (~C ∨ B) 4. ~C ∨ A 5. A ∨ ~C

_________ _________ _________ _________ _________ _________

192

_________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________

_________ _________ _________ _________

Glosario

Antecedente. La primera proposición de una proposición condicional o hipotética, por ejemplo: “Si llueve, acamparemos” (el antecedente “llueve”). Argumento.

Expresión oral o escrita de un razonamiento.

Bivalente.

Sistema lógico que opera con dos valores de verdad: verdadero y falso.

Bicondicional. Una condicional cuyo antecedente implica al consecuente y el consecuente al antecedente. Cálculo.

Combinación racional y metódica de medios para alcanzar un fin.

Calculo lógico. Aspecto operacional de un sistema lógico. Condicional.

Lo sometido a una condición en el pensamiento o la realidad.

Conjunción.

Proposición compuesta unida por la expresión “y”.

Conjuntar.

Unir o enlazar proposiciones.

Complejo.

Compuesto o mezcla de cosas diferentes.

Conectiva

Término de enlace que conecta una o más pro-

lógica.

posiciones simples.

Conclusión.

El juicio cuya verdad es derivada de otros juicios llamados premisas.

Consecuente. La proposición que sigue al antecedente; en: “Si llueve, acamparemos”, el consecuente es: “acamparemos”. Contingente.

Proposición compuesta cuyos posibles valores, al elaborar su tabla de verdad, resultan verdaderos y falsos.

Contradictoria. Proposición compuesta que es falsa en todos los casos. Demostración. Deducción destinada a probar la verdad o corrección de su conclusión. Deducción.

Derivación de la verdad de un juicio a partir de la verdad de otro u otros. 193

LÓGICA II

Diádico.

Se dice de las conectivas lógicas que unen dos proposiciones simples. Por ejemplo, la condicional, conjunción, disyunción y bicondicional.

Dilema.

Silogismo disyuntivo en el cual las dos conclusiones alternativas enuncian la misma tesis o la implican.

Disyunción.

Relación entre dos proposiciones expresadas por la letra «o»; se llama disyunción exclusiva o fuerte cuando ambos enunciados no pueden ser verdaderos, y débil o inclusiva cuando pueden serlo.

Enunciado.

Es la expresión de una afirmación o juicio.

Formalizar.

Sustituir los enunciados o proposiciones de un sistema por meras estructuras formales y derivarlos de un conjunto bien determinado de axiomas y definiciones.

Fórmula.

Forma establecida para representar un argumento o una regla lógica.

Fórmula bien Proposición lógica formalizada conforme a las reglas de formación de las proposiciones y de la representación de signos. formada. Función de verdad.

Proposición compuesta en la cual el todo depende del valor de verdad de las partes.

Hipotético.

Una proposición es hipotética cuando su enunciado está sometido a una condición. Un silogismo es hipotético cuando tiene una premisa que es una proposición hipotética.

Inferencia.

Conexión de dos o más proposiciones o juicios por lo cual se deriva la verdad de un enunciado de las verdades de otro u otros.

Implicación.

Relación de consecuencia entre dos proposiciones.

Juicio.

Es una afirmación o aseveración lógica.

Lógica simbólica.

Llamada también lógica matemática o logística, se caracteríza por usar símbolos. Tiene como finalidad el cálculo de la inferencia. Mediante ella demostramos la validez de los argumentos.

Lógica

Parte de la lógica simbólica que tiene por objeto

proposicional. demostrar la validez de un argumento a través de la relación que se da entre las proposiciones que lo forman. Monádico.

Término que expresa la conectiva lógica de la negación.

Oración.

Expresión lingüística mediante las cuales se afirman o expresan las proposiciones. 194

v | demuestra la validez formal de argumentos

Persuadir.

Ganar el asentimiento de alguien por cualquier medio no violento.

Prueba.

Operación lógica por la cual se establece la verdad de una proposición.

Prueba formal Se llama así al proceso de enlistar la cadena de inferencias en la de validez. demostración de un argumento, justificadas por reglas lógicas. Portador de verdad.

Se le llama así a las expresiones de las cuales se puede predicar la verdad o falsedad.

Proposición.

Es un juicio, enunciado y oración que puede ser afirmativo o negativo. Se caracteriza porque puede ser verdadero o falso.

Regla lógica.

Una estructura argumental que por ser válida es usada para demostrar un tipo de inferencia deductiva.

Reglas de inferencia.

Esquemas o fórmulas de argumentos válidos.

Esquemas o fórmulas de argumentos que tienen el mismo valor de Reglas de equivalencia. verdad y pueden ser sustituibles en una prueba de demostración formal. Silogismo:

Razonamiento deductivo en el cual las premisas enlazan dos términos con un tercero, y la conclusión expresa la relación de esos dos términos entre si

Símbolo.

Lo que en virtud de una convención sirve para designar una cosa.

Significado.

Contenido de ciertos signos o sonidos que son producidos por seres humanos y que por ello permiten que se forme un lenguaje.

Tabla de verdad.

Procedimiento gráfico que permite determinar los posibles valores de verdad de una proposición compuesta, a partir de las combinaciones de los valores de verdad de sus proposiciones que son simples componentes.

Tautología.

Proposición cuyos posibles valores siempre son verdaderos.

Unívoco.

Que sólo tiene un significado.

Validez.

Decir que un argumento es válido equivale a afirmar que su conclusión se deduce lógicamente de sus premisas.

Variables.

Símbolos como x, y y z, que representan cualquier tipo de individuos u objetos.

195

LÓGICA II

Válida.

Razonamiento que tiene valor demostrativo.

Validez.

Conformidad de un juicio con las leyes lógicas y derivadas de él a partir de otros enunciados. Se trata de una meramente formal.

Verdad.

Correspondencia de una proposición con los objetos de que ella habla.

Verificación.

Método que permite probar o establecimiento de la verdad de un enunciado.

Veritativo- funcional.

Dícese de las conectivas cuya término representa una relación que es una función de verdad de las proposiciones que la componen.

196

Bibliografía general

Arnaz José Antonio. Iniciación a la lógica simbólica. México, Trillas, 1989. Badesa, Calixto. Et. al. Elementos de lógica formal. Barcelona, Ariel, 1998. Copi, M. y C. Cohen. Introducción a la Lógica. México, Limusa, 1995. Chávez, Salvador. Lógica. Principios, ejercicios y aplicaciones. México, McGrawHill, 2001. González Yáñez, Arturo. Lógica o por qué la luna es de queso. México, Oxford, 2005. Gutiérrez González, Porfirio. et.al. Lógica marco teórico y aplicaciones. México, Novaarts Grupo editorial, 2005. Hernández, Gabriela y Gabriela Rodríguez. ¿Lógica… para qué? Argumenta, debate y decide racionalmente. México, Pearson, 2009. Manzano, María y Antonia Huertas. Lógica para principiantes. Madrid, Alianza, 2004. Mateo Nava, Misael. Lógica para inexpertos. México, Edere, 1998. Pazos, María y Sandra Ramírez. Conectivas y usos del lenguaje: hacia un discurso argumentativo. México, Universidad de la Ciudad de México, 2003. Sandoval Madrigal, Fausto. et.al. Lógica principios teóricos y práctica. México, Minerva Grupo editorial, 2003. Trevijano, Carmen García. El arte de la lógica. España. Tecnos, 1993. Weston, Anthony. Las claves de la argumentación. Madrid, España. Ariel. 1995.

Otros recursos http://www.filosoficas.unam.mx/~Tdl/TDL.htm http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/

197

Lógica II Fue editado por la Dirección General de Escuelas Preparatorias de la UAS, se terminó de imprimir y encuadernar en enero de 2013, en los talleres de gráficos de Servicios Editoriales Once Ríos, calle Río Usumacinta 821 Col. Industrial Bravo. Culiacán, Sin. Tel. 712-29-50. Esta edición consta de 18,000 ejemplares

Lógica ii Luis Alfonso Zazueta Bastidas Candelario Cálix López

Primera edición, 2009 Segunda edición, 2010 Tercera edición, 2011 Cuarta edición, 2012 Quinta edición, 2013 © 2009. Universidad Autónoma de Sinaloa Dirección General de Escuelas Preparatorias Academia Estatal de Lógica y Metodología Circuito interior oriente s.n. Ciudad universitaria Culiacán, Sin. Cp. 80010 Tel. 667-712-16-56, fax 712-16-53; ext. 113. http://dgep.uas.uasnet.mx

Hecho en México

Presentación

LÓGICA II

El autor luizabas@hotmail.com

Contenido

Presentación

UNIDAD I Identifica la lógica de proposiciones | 17 1.1. Importancia de la lógica de proposiciones | 21 1.2. Proposiciones, enunciados u oraciones | 26 1.3. Clasificación de las proposiciones | 33

UNIDAD II Formula proposiciones función de verdad | 37 2.1. Conectivas lógicas | 41 2.2. Proposiciones compuestas función de verdad

UNIDAD III Simboliza la estructura de proposiciones y argumentos | 69 3.1. Símbolos para las proposiciones y argumentos | 73 3.2. Reglas para formar fórmulas bien formadas | 76

1 1

LÓGICA II

UNIDAD IV Evalúa la validez formal de argumentos mediante tablas de verdad | 91 4.1. ¿Qué es una tabla de verdad? | 95 4.2. Procedimiento para elaborar tablas de verdad | 95 4.3. Verdad formal: tautología y contradicción | 104 4.4. Evaluación de la validez de argumentos mediante tablas de verdad | 107

1 2

Propósito general

Saberes necesarios para lograr el objetivo de aprendizaje: conceptuales • Define, comprende y explica algunos conceptos básicos de la lógica formal, como: proposición, función de verdad, conectiva lógica, tabla de verdad, validez, verdad formal, verdad empírica, tautología, contradicción, contingente, regla de inferencia y regla de equivalencia. • Identifica o reconoce el lenguaje simbólico, las conectivas y las reglas de inferencia y equivalencia. • Distingue la verdad de una proposición de la validez un argumento. • Describe procedimientos: cómo se elabora una tabla de verdad y cómo se forma el condicional asociado. • Reconoce y explica por qué son válidas las reglas lógicas de inferencia y equivalencia.

1 3

Procedimentales • Traduce o representa un argumento en idioma español al lenguaje simbólico de la lógica proposicional. • Calcula el valor de verdad de una proposición compuesta. • Aplica el método del condicional asociado. • Demuestra la validez de argumentos en lógica de proposiciones, al utilizar el método de tablas de verdad y de deducción natural; aplicando las reglas de inferencia y equivalencia para su demostración. actitudes y valores • Reflexiona la importancia del uso del simbolismo lógico para representar la compleja estructura de un argumento. • Aprecia el uso de las tablas de verdad para calcular el valor de verdad de una proposición compuesta. • Valora la eficacia del cálculo lógico en la demostración de argumentos. • Valora y reflexiona la importancia de evaluar la validez de los argumentos para dar solidez a las argumentaciones que realiza. contenidos de aprendizaje I. Identifica la Lógica de proposiciones. II. Formula proposiciones función de verdad. III. Simboliza la estructura de proposiciones y argumentos. IV. Evalúa la validez formal de argumentos mediante tablas de verdad. V. Demuestra la validez formal de argumentos.

Mapa conceptual El propósito de Lógica II

es aprender a

Evaluar la Validez de Argumentos

utilizando como herramienta de análisis la

La Lógica de Proposiciones

El logro del propósito implica la destreza del estudiante en los siguientes desempeños

Identifica el tipo de proposiciones que integran un argumento

Simboliza argumentos

Aplica métodos para evaluar la validez de argumentos

Para el logro de estos desempeños se proponen las unidades de competencias siguientes:

UNIDAD I

UNIDAD II

UNIDAD III

UNIDAD IV

UNIDAD V

Identifica la Lógica de proposiciones.

Identifica proposiciones función de verdad.

Simboliza proposiciones y argumentos.

Evalúa argumentos mediante tablas de verdad.

Demuestra la validez formal de argumentos.

Saberes necesarios para lograr el objetivo de aprendizaje: conceptuales • Define el concepto de proposición. • Distingue una proposición simple de una compuesta Procedimentales • Identifica las proposiciones compuestas en el idioma español. • Expresa proposiciones. actitudes y valores • Valora el uso de proposiciones claras y coherentes en la expresión de su pensamiento. contenidos de aprendizaje 2.1. Importancia de la lógica de proposiciones. 2.2. Proposiciones, enunciados u oraciones. 2.3. Clasificación de las proposiciones.

1.1. Importancia de la lógica de proposiciones

1 Tomaremos estas tres expresiones como sinónimos. 2 Véase, Carlos Pereda, Vértigos argumentales. Una ética de la disputa. Editorial Antropos, Barcelona, 1994.

LÓGICA II

2 2

ID E N T IF ICA LA LÓGICA D E P R O P O S ICIO N E S

2 3

LÓGICA II



Actividades de aprendizaje

Ejercicio 1.1. Instrucciones: Contesta el cuestionario por equipos en base a la lectura de “Importancia de la lógica proposicional” y en una plenaria compartan sus respuestas. 1.

¿Cuál es la competencia que pretendemos desarrollar en un curso de lógica?

¿Qué habilidades se requiere para desarrollar la competencia de evaluar argumentos?

¿Para qué argumentamos y en qué situaciones argumentamos?

¿Qué otros mecanismos usamos los seres humanos para persuadir o convencer?

¿Cuáles son los mecanismos de persuasión distintos a la argumentación que se identifican en el texto?

¿Qué otras formas de persuasión conoces distintas a las mencionadas?

¿Qué relación tiene la ética con la argumentación? ¿Cuál es tu postura?

¿Qué relación tiene la argumentación con la democracia?

Menciona tres situaciones de la vida personal en las que en las que consideres que es necesario argumentar.

10. ¿Qué relación existe entre la argumentación y la lógica clásica?

2 4

ID E N T IF ICA LA LÓGICA D E P R O P O S ICIO N E S

LÓGICA II

2 6

ID E N T IF ICA LA LÓGICA D E P R O P O S ICIO N E S

Oraciones que no expresan proposiciones Las oraciones que expresan un uso emotivo del lenguaje no se consideran proposiciones porque no son afirmaciones de hechos, sino descripciones de estados de ánimo, sentimientos, emociones o pueden expresar, incluso, juicios de valor. Por ejemplo: ¡Qué noche tan bella! ¡Qué sabrosas tostadas! ¡Te amo! Las oraciones que expresan órdenes o un uso prescriptivo tampoco son proposiciones, pues no afirman sino que recomiendan o sugieren algo en el sentido del deber ser. Por ejemplo: ¡Cuidado con el perro! ¡Pónganse de pié! ¡Levántate temprano!

2 7

LÓGICA II

USOS DEL LENGUAJE

FORMA GRAMATICAL

INFORMATIVO

DECLARATIVA

EMOTIVO

ORacióN

PRESCRIPTIVO

EXCLAMATIVA INTERROGATIVA IMPERATIVA

2 8



ID E N T IF ICA LA LÓGICA D E P R O P O S ICIO N E S

Actividad de aprendizaje

Respuestas

Tema: ¿De qué habla?

Problema: ¿Qué quiere comunicarnos?

¿Qué usos hace del lenguaje?

¿Cuáles expresiones usadas son proposiciones?

¿Su intención es argumentativa? ¿Quiere convencernos de algo?

2 9

LÓGICA II

2. ¿Qué argumenta a favor?

3. ¿Qué argumenta en contra?

4. ¿Cuál es tu opinión personal? Debes afirmar con cuáles afirmaciones estás de acuerdo o en desacuerdo y por qué.

3 0

ID E N T IF ICA LA LÓGICA D E P R O P O S ICIO N E S

Ejercicio 1.5. Instrucciones: Identifica cuáles de las expresiones siguientes es una proposición y anota sí o no. Expresiones

¿Es una proposición?

3 1

LÓGICA II

Ejercicio 1.6. Instrucciones: Identifica la intención en el uso del lenguaje, el tipo de forma gramatical que adopta la oración en las expresiones y si hay un portador de verdad.

Oración

Uso del lenguaje

Forma de la oración

3 2

¿Es portador ¿Cuál es su valor de verdad? de verdad?

ID E N T IF ICA LA LÓGICA D E P R O P O S ICIO N E S

3 3

LÓGICA II

La lógica proposicional reconoce únicamente las siguientes proposiciones compuestas, formadas a partir de proposiciones simples y de conectivas lógicas: Proposición compuesta

Conectiva lógica

Se denomina:

El alma no es inmortal.

Negación

La persona es cuerpo y la persona es alma.

Conjunción

La persona es cuerpo o la persona es alma.

Disyunción

Si la persona es alma, entonces el alma es inmortal.

Si…entonces

Condicional

La persona es alma si y sólo si el alma es inmortal.

Si y sólo si

Bicondicional



Actividad de aprendizaje

Ejercicio 1.7. Instrucciones: Identifica cuáles oraciones expresan proposiciones simples (S), proposiciones compuestas (C) o si no expresan proposiciones (N). Proposiciones

S/C/N

3 4

ID E N T IF ICA LA LÓGICA D E P R O P O S ICIO N E S

Expresión

Negación

Conjunción

Disyunción

Condicional

Si…entonces

Bicondicional

Si y sólo si

Proposiciones compuestas

3 5

Bibliografía

Arnaz José Antonio. Iniciación a la lógica simbólica. México, Trillas, 1989. Copi, M. y C. Cohen. Introducción a la Lógica. México, Limusa, 1995. González Yáñez, Arturo. Lógica o por qué la luna es de queso. México, Oxford, 2005. Hernández, Gabriela y Gabriela Rodríguez. ¿Lógica… para qué? Argumenta, debate y decide racionalmente. México, Pearson, 2009. Trevijano, Carmen García. El arte de la lógica. España. Tecnos, 1993.

Saberes necesarios para lograr el objetivo de aprendizaje: conceptuales • Define conceptos: proposición, función de verdad y conectiva lógica. • Explica qué es una negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. Procedimentales • Reconoce el valor de verdad de un enunciado compuesto función de verdad. • Forma proposiciones compuestas a partir de proposiciones simples y conectivas lógicas. actitudes y valores • Valora y reflexiona sobre la importancia de identificar el valor de verdad de las proposiciones compuestas que afirma. contenidos de aprendizaje 2.1. Conectivas lógicas. 2.2. Proposiciones función de verdad: Negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional

LÓGICA II

2.2. Proposiciones compuestas función de verdad. Veremos más detenidamente como identificar y expresar las proposiciones función de verdad en el idioma español.

“El dinero no es la felicidad”

Verdadera

Falsa

Verdadera

El símbolo lógico para la negación es “~” llamada tilde, el cual, por convención, se coloca siempre a la izquierda de la proposición que niega.

4 2

F O R M U LA P R O P O S ICIO N E S F U N CIÓN

D E V E R D AD

“El dinero no es la felicidad”



Actividad de aprendizaje

Ejercicio 2.1. Instrucciones: Define en tus propias palabras la conectiva negación. Compara tu comprensión con la de tus compañeros.1 ¿Cómo entiendes la conectiva negación?

4 3

LÓGICA II

Ejercicio 2.2. Instrucciones: Utiliza, al menos, dos expresiones diferentes para negar la proposición que se encuentra a la izquierda. Proposición

Negación

Debemos pagar la tenencia.

Fumar no produce cáncer.

La lógica es difícil de aprender.

Ejercicio 2.3. Instrucciones: Contesta lo que se te pide en el cuadro siguiente: Proposición a negar

¿Es su negación?

Nadie es feliz.

Algunas personas se sienten infelices.

4 4

Si o no

¿Por qué?

F O R M U LA P R O P O S ICIO N E S F U N CIÓN

D E V E R D AD

Ejercicio 2.4. Instrucciones: Contesta lo que se te pide en el cuadro siguiente: Proposición a negar

¿Cuál sería su negación?

Los ríos de Culiacán están contaminados. Algunos no pagan sus impuestos.

Vivimos con miedo e inseguros.

Todos tenemos empleo bien remunerado. Todos tememos morir.

Todos los mexicanos son guadalupanos. Ningún político es corrupto.

En Sinaloa no hay mujeres feas.

4 5

LÓGICA II

Para representar gráficamente la definición de la conjunción determinaremos los posibles valores de verdad de una proposición compuesta.

2 Ejemplo tomado de Pazos, M. y Sandra Ramírez. Conectivas y usos del lenguaje: hacia un discurso argumentativo. Pág. 49.

4 6

F O R M U LA P R O P O S ICIO N E S F U N CIÓN

D E V E R D AD

Si por cada proposición la lógica bivalente sólo admite dos valores de verdad: V p

q F

El dolor es necesario

Verdadera Verdadera Falsa Falsa

Verdadera Falsa Verdadera Falsa

El dolor es cruel y el dolor es necesario Verdadera Falsa Falsa Falsa

“El dolor es necesario”

4 7

El dolor es cruel y el dolor es necesario p˄q

LÓGICA II

4 8



F O R M U LA P R O P O S ICIO N E S F U N CIÓN

D E V E R D AD

Actividad de aprendizaje

Ejercicio 2.5. Instrucciones: Define en tus propias palabras la comprensión que tienes de la conectiva conjunción. Compara tu comprensión con la de tus compañeros. ¿Qué es la conjunción?

4 9

LÓGICA II

Ejercicio 2.7. Instrucciones: Sustituir las letras por oraciones y formar conjunciones según las fórmulas lógicas de la derecha. “p” = Tengo dinero q = Voy al cine Conjunciones lógicas

Oraciones

~p ˄ q

No tengo dinero y voy al cine.

~p ˄ ~q

p ˄ ~q

p˄q

5 0

F O R M U LA P R O P O S ICIO N E S F U N CIÓN

D E V E R D AD

El dolor es necesario Verdadera Falsa Verdadera Falsa

El dolor es cruel o el dolor necesario Verdadera Verdadera Verdadera Falsa

Como puede verse, el único caso en que una proposición inclusiva es falsa, es cuando ambas proposiciones son falsas. En todos los demás casos resultan verdaderas.

4 Ejemplo tomado de Pazos, M. y Sandra Ramírez. Conectivas y usos del lenguaje: hacia un discurso argumentativo. Pág. 45.

5 1

LÓGICA II

El dolor es necesario q Verdadera Falsa Verdadera Falsa

El dolor es cruel o el dolor necesario p∨q Verdadera Verdadera Verdadera Falsa

Por otra parte, una disyunción exclusiva se define como:

5 2

F O R M U LA P R O P O S ICIO N E S F U N CIÓN

D E V E R D AD

El protón tiene carga positiva. Verdadera Falsa Verdadera Falsa

El protón tiene carga negativa o el protón tiene carga positiva. Falsa Verdadera Verdadera Falsa

El protón tiene carga positiva. q Verdadera Falsa Verdadera Falsa

El protón tiene carga negativa o el protón tiene carga positiva. p∨q Falsa Verdadera Verdadera Falsa

5 3

LÓGICA II



Actividad de aprendizaje

Ejercicio 2.9. Instrucciones: Determina cuáles proposiciones pueden ser inclusivas y cuáles son necesariamente exclusivas. Proposiciones disyuntivas

Tipo de disyunción

5 4

F O R M U LA P R O P O S ICIO N E S F U N CIÓN

D E V E R D AD

La condicional Algunos de los términos que permiten formar e identificar una proposición condicional en el idioma español son: (Si…entonces), (si….,…), (…, sólo si…), siempre que, cuando, y otras expresiones. Veamos algunos ejemplos:5 Si hace frío entonces me da gripa. Si hace frío, me da gripa. Sólo si hace frío me da gripa Siempre que hace frío me da gripa. cuando hace frío me da gripa. Cabe aclarar que no siempre, la palabra “entonces” dentro de una oración, se debe interpretar como una oración condicional, ya que, en algunos casos, puede indicar una secuencia temporal. Por ejemplo6: Abrí la puerta, entonces me di cuenta de que estaba lloviendo a cántaros. Escuche en llanto del niño y sólo entonces me percaté de su presencia Otra advertencia que debemos hacer, es que un enunciado condicional puede expresar una relación de causalidad, pero no siempre un enunciado condicional expresa una relación de causalidad. Por ejemplo, si decimos: Si tocan las campanas entonces hay misa. Sería un tanto absurdo creer que el hecho de que toquen las campanas es causa de que haya misa. ¿Cuál es el significado que en lógica tiene esta conectiva?

5 Pazos, María y Sandra Ramírez. Conectivas y usos del lenguaje: hacia un discurso argumentativo. Universidad de la Ciudad de México, México, 2009, págs. 50-53. 6 Ibídem, Pág. 51.

5 5

LÓGICA II

hace frío antecedente

entonces

me da gripa. consecuente

Me da gripa. Verdadera Falsa Verdadera Falsa

Si hace frío, entonces me da gripa. Verdadera Falsa Verdadera Verdadera

entonces → conectiva

Ibídem.

5 6

me da gripa q consecuente

F O R M U LA P R O P O S ICIO N E S F U N CIÓN

D E V E R D AD

Me da gripa q Verdadera Falsa Verdadera Falsa

Si hace frío, entonces me da gripa. p→q Verdadera Falsa Verdadera Verdadera

La proposición p → q es falsa cuando el antecedente p es verdadero y el consecuente q es falso. Es verdadero en los demás casos.

5 7

LÓGICA II



Actividad de aprendizaje

Ejercicio 2.11. Instrucciones: identifica y escribe en la parte de la derecha la palabra del idioma español que señala la presencia de la conectiva condicional. Proposición condicional

Término utilizado

Ahora elabora, al menos un ejemplo, usando los diferentes términos para expresar la condicional. 1. 2. 3. 4. 5.

5 8

F O R M U LA P R O P O S ICIO N E S F U N CIÓN

D E V E R D AD

Proposición reformulada Si el perro me persigue, entonces corro.

5 9

LÓGICA II

Ejercicio 2.13. Instrucciones: Identifica y separa el antecedente y el consecuente en las siguientes proposiciones condicionales. Antecedente

Consecuente

Por ejemplo: Me enfermo si me baño con agua helada. Me baño con agua helada.

Me enfermo.

Antecedente

Consecuente

Si no son los sentidos los que se equivocan entonces es la mente.

Antecedente

Consecuente

Los razonamientos son inmediatos, sólo si tienen una sola premisa.

Antecedente

Consecuente

Los días están nublados, así que: me quedo en casa y no voy al cine.

Antecedente

Consecuente

Los ejercicios no dejan dormir con tal que sean horripilantes.

6 0

F O R M U LA P R O P O S ICIO N E S F U N CIÓN

D E V E R D AD

Hay misa

Tocan las campanas si y sólo si hay misa

Verdadera

Falsa

Verdadera

Falsa

Verdadera

6 1

LÓGICA II

Hay misa q Verdadera Falsa Verdadera Falsa

Tocan las campanas si y sólo si hay misa p↔q Verdadera Falsa Falsa Verdadera



Actividad de aprendizaje

6 2

F O R M U LA P R O P O S ICIO N E S F U N CIÓN

D E V E R D AD

Ejercicio 2.15. Instrucciones: Indica el conectivo principal de las siguientes proposiciones, así como el vocablo de dicho conectivo. Proposición:

Conectivo principal:

6 3

Vocablo utilizado:

LÓGICA II

Ejercicio 2.16. Instrucciones: elabora tres ejemplos de proposiciones compuestas para cada uno de los cinco conectivos lógicos8. Conjunción 1. 2. 3.

Disyunción 1. 2. 3.

Condicional 1. 2. 3.

Bicondicional 1. 2. 3.

Negación 1. 2. 3.

8 El contenido del tema lo fijará el profesor dependiendo de los ejes transversales que estén trabajando en la escuela. Por ejemplo: cuidado del medio ambiente.

6 4

F O R M U LA P R O P O S ICIO N E S F U N CIÓN

D E V E R D AD

Término más común

Tipo de relación

Conjunción

Disyunción

Condicional

Bicondicional

6 5

Otras expresiones en el lenguaje ordinario

LÓGICA II

Negación ∼q

Conjunción p

Disyunción exclusiva p

p∨q

p∧q

Disyunción inclusiva

Condicional p

F F

p→q

Bicondicional p

6 6

p∨q

p↔q

F O R M U LA P R O P O S ICIO N E S F U N CIÓN

D E V E R D AD

Bibliografía

Arnaz José Antonio. Iniciación a la lógica simbólica. México, Trillas, 1989. Copi, M. y C. Cohen. Introducción a la Lógica. México, Limusa, 1995. González Yáñez, Arturo. Lógica o por qué la luna es de queso. México, Oxford, 2005. Gutiérrez González, Porfirio. et.al. Lógica marco teórico y aplicaciones. México, Novaarts Grupo editorial, 2005. Hernández, Gabriela y Gabriela Rodríguez. ¿Lógica… para qué? Argumenta, debate y decide racionalmente. México, Pearson, 2009. Mateo Nava, Misael. Lógica para inexpertos. México, Edere, 1998. Pazos, María y Sandra Ramírez. Conectivas y usos del lenguaje: hacia un discurso argumentativo. México, Universidad de la Ciudad de México, 2003. Sandoval Madrigal, Fausto. et.al. Lógica principios teóricos y práctica. México, Minerva Grupo editorial, 2003.

6 7

UnIdad III

Simboliza la estructura de proposiciones y argumentos

Saberes necesarios para lograr el objetivo de aprendizaje: conceptuales • Identifica los símbolos para proposiciones y conectivas. • Distingue diversos sistemas de notación simbólica. Procedimentales • Ejercita la simbolización de proposiciones y argumentos. • Actitudes y valores contenidos de aprendizaje 3.1. Simbolización de proposiciones y argumentos. 3.2. Reglas para formar fórmulas bien formadas.

Lenguaje simbólico artificial de la lógica

Alfabeto (signos) a) Vocales: a, e, i, o, u.

Alfabeto (símbolos) a) Letras para simbolizar las proposiciones simples: Constantes: A, B, C, D, …Z Variables: p, q, r, s,…z

b) Consonantes: b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, ñ, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z

b) Términos de enlace de proposiciones o conectivos lógicos: ∼ (negación) ∧ (conjunción) ∨ (disyunción) → (condicional) ↔ (bicondicional)

c) Signos de puntuación: . , ; : ( ) - _ ... ¡! ¿? “…”

c) Signos auxiliares: (…) […] {…} …

Reglas de la gramática: 1. Los elementos de una oración son sujeto, verbo y complemento. 2. Los nombres propios se escriben con inicial mayúscula.

Hernández, G. y G. Rodríguez. Lógica, ¿para qué? Editorial Pearson, México, 2008. Pág. 99.

7 3

LÓGICA II

Constantes proposicionales

La lógica es una ciencia.

El oro es un metal valioso.

Algunos planetas giran alrededor del sol. Pedro imagina su futuro.

G I

Todo trabajo es cansado.

Juan tiene amigos.

Recuerda que se puede utilizar cualquier letra que te recuerde la proposición que estas simbolizando.

Variables proposicionales

El átomo es divisible.

Todo lo real es racional.

Algunos asteroides son planetas.

Juan tiene 20 años.

Ningún perro es gato.

7 4

III

S IM B O LIZ A LA E S T R U CT U R A D E P R O P O S ICIO N E S Y AR GU M E N T O S

Conectiva lógica

Símbolo

Simbolización (constantes)

∼

∼A

La persona es cuerpo y la persona es alma.

∧

C∧A

La persona es cuerpo o la persona es alma.

∨

C∨A

Si la persona es alma, entonces el alma es inmortal.

Si… entonces

→

A→I

La persona es alma si y sólo si el alma es inmortal.

Si y sólo si

↔

A↔I

Proposición compuesta El alma no es inmortal.

Nombre del signo

(…)

Paréntesis

[…]

Corchetes

{…}

Llaves

7 5

LÓGICA II

Forma correcta

Será incorrecto escribirlas así

Juan corre y salta

C∧S

∧CS;CS∧

Juan corre o salta

C∨S

∨ C S; C S ∨

Si sale el perro, entonces corro.

P→C

→P C; P C→

Corro si y sólo si sale el perro.

C↔P

↔C P; CP↔

∼C

C∼

Juan no corre.

7 6

III

S IM B O LIZ A LA E S T R U CT U R A D E P R O P O S ICIO N E S Y AR GU M E N T O S

Paréntesis

Corchetes

Llaves

(p ∨ q) ∨ r

[(p ∨ q) ∨ ( r ∨ s)] ∨ ∼( s →p)

{(r ↔ p) ∨ [( r ∨ s) ↔ (r → q)]} ∧ r

∼q ∧ ( r ∧ p)

[(q → r) ↔ (r → q)] ∨ t

{[~(s →p) ∨ r ] ∧ [~(s →p)]} ∧ ∼s

(q → r) ∧ s

∼[(r ↔ p) ∧ ( r ∨ p)] → (p ∨ q)

∼{[(r ↔ p) ∧ ( r ∨ p)] → (p ∨ q)}

H: La historia es un devenir. P: La historia es una proyección de la voluntad. Sustituir las proposiciones por sus símbolos. Es falso que H o P o ambas cosas3.

Paso 2.

Sustituir las conectivas por sus símbolos. Es falso que H o P o H y P. ~H∨P∨H∧P Utilizar los símbolos auxiliares4.

Paso 3.

Primero paréntesis Luego corchetes

~H∨P∨H∧P ~ (H ∨ P) ∨ (H ∧ P) ~ [(H ∨ P) ∨ (H ∧ P)]

Resultado: ~ [(H ∨ P) ∨ (H ∧ P)] Observaciones: Se trata de una negación, la conectiva principal es el símbolo (~) que niega a todo lo encerrado en la llave […].

3 Ambas cosas, significa una cosa y otra cosa, en este caso H y P. 4 El uso de los símbolos auxiliares supone que hemos interpretado el sentido de la conectiva principal.

7 7

LÓGICA II

A= Estoy atento en clases. E= Entiendo los problemas. R= Resuelvo los problemas

Paso 2

Simbolizar premisas y conclusión.

Forma lógica

Si estoy atento en clases, entonces entiendo o resuelvo los problemas. P1

entonces

→

∨

→

∨

1. A→(E∨R)

Ni entiendo ni resuelvo los problemas. Ni

∧

∼R

2. ~E ∧∼R

Por lo tanto: No estoy atento en clases.

├ ~A

C No

A ~A

El otro símbolo que se utiliza en los libros de lógica son los tres puntos ∴

7 8

III



S IM B O LIZ A LA E S T R U CT U R A D E P R O P O S ICIO N E S Y AR GU M E N T O S

Actividad de aprendizaje

Ejercicio 3.1. Instrucciones: Simboliza las proposiciones siguientes utilizando constantes. Proposición

Simbolización J ∧ ∼V

Ejercicio 3.2. Instrucciones: Simboliza las proposiciones siguientes utilizando variables. Proposición

Simbolización ~D ∧ ∼N

7 9

LÓGICA II

Ejercicio 3.3. Instrucciones: Utiliza los signos de agrupación para representar las siguientes proposiciones. Proposición

Simbolización

Juan corre y salta, pero no se acelera.

( C ∧ S) ∧ ~ A

Conectiva principal Simbolización correcta

∼p ∨ q ∧ r

Conjunción

p ∨ ∼q ∧ r

Disyunción

∼p ∨ q → r ∨ s

Condicional

∼p ∧ q ∨ r

Negación

∼p ∧ s ↔ q ∧ r

Bicondicional

s ↔ r → q ∧ r ∨ ∼q

Disyunción

8 0

(∼p ∨ q) ∧ r

III

S IM B O LIZ A LA E S T R U CT U R A D E P R O P O S ICIO N E S Y AR GU M E N T O S

Q: Aprendo lógica

R: Soy inteligente

S: Me gusta la lógica.

Proposición en lenguaje ordinario

Proposición simbolizada

Si no estudio lógica y aprendo lógica entonces soy inteligente.

(∼P ∧ Q) → R

8 1

LÓGICA II

Paso 1

Sustituir las proposiciones por sus símbolos. Paso 2.

Sustituir las conectivas por sus símbolos. Paso 3.

Utilizar los símbolos auxiliares. Paso 4.

Tipo de proposición:

8 2

III

S IM B O LIZ A LA E S T R U CT U R A D E P R O P O S ICIO N E S Y AR GU M E N T O S

Proposición 2 “No es cierto que o todo está determinado o todo esta indeterminado”. Paso 1

Definición de literales.

Paso 2.

Sustituir las proposiciones por sus símbolos.

Paso 3.

Sustituir las conectivas por sus símbolos.

Paso 4.

Utilizar los símbolos auxiliares.

Tipo de proposición:

8 3

LÓGICA II

Proposición 3 “El hombre es una máquina o si el hombre no es ni ángel ni demonio, entonces es una bestia”. Definición de literales.

Paso 1

Sustituir las proposiciones por sus símbolos. Paso 2.

Sustituir las conectivas por sus símbolos. Paso 3.

Utilizar los símbolos auxiliares. Paso 4.

Tipo de proposición:

8 4

III

S IM B O LIZ A LA E S T R U CT U R A D E P R O P O S ICIO N E S Y AR GU M E N T O S

Proposición 4 “El candidato electo tiene derecho a gobernar si y sólo si ha habido una elección limpia y no se han robado las elecciones”. Definición de literales.

Paso 1

Sustituir las proposiciones por sus símbolos. Paso 2.

Sustituir las conectivas por sus símbolos. Paso 3.

Utilizar los símbolos auxiliares. Paso 4.

Tipo de proposición:

8 5

LÓGICA II

Ejercicio 3.7. Instrucciones: Traduce del español al lenguaje simbólico los argumentos siguientes. Utiliza constantes. Argumento 1 1. Si no son los sentidos los que se equivocan entonces es la mente. 2. Si los sentidos no juzgan, no se equivocan. 3. Si los sentidos sólo “presentan” la realidad, no juzgan. Por lo tanto: Quien se equivoca es la mente o los sentidos no hacen más que “presentar” la realidad. Identificar proposiciones simples y definir literales.

Paso 1

Paso 2

Simbolizar premisas y conclusión.

Forma lógica 1.

2. P2

3. P3

├

8 6

III

S IM B O LIZ A LA E S T R U CT U R A D E P R O P O S ICIO N E S Y AR GU M E N T O S

Argumento 2 1. Si el hombre no es ni ángel ni puro, entonces es una bestia. 2. Si el hombre fuera ángel sería puro. 3. El hombre es impuro. Por lo tanto: El hombre es una bestia o una máquina o ambas cosas. Identificar proposiciones simples y definir literales.

Paso 1

Paso 2

Simbolizar premisas y conclusión.

Forma lógica 1.

2. P2

P3 I

8 7

LÓGICA II

Argumento 3 1. Si la voluntad es libre entonces sigue sus propias reglas. 2. Si la educación funciona entonces la voluntad no sigue sus propias reglas. 3. La educación funciona. Por lo tanto: La voluntad no es libre. Identificar proposiciones simples y definir literales.

Paso 1

Paso 2

Simbolizar premisas y conclusión.

Forma lógica 1.

2. P2

3. P3

├

8 8

III

S IM B O LIZ A LA E S T R U CT U R A D E P R O P O S ICIO N E S Y AR GU M E N T O S

Paso 1

Paso 2

Simbolizar premisas y conclusión.

Forma lógica 1.

2. P2

3. P3

├

8 9

LÓGICA II

Otros recursos http://www.filosoficas.unam.mx/~Tdl/TDL.htm http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/

9 0

UnIdad Iv

EvalĂşa la validez formal de argumentos mediante tablas de verdad

Propósito de la unidad de aprendizaje Al final de la unidad el estudiante, aplica y valora el uso de tablas de verdad para evaluar la validez formal de un argumento.

Saberes necesarios para lograr el objetivo de aprendizaje: conceptuales • Define el el concepto de tabla de verdad. • Explica el significado de tautología, contradicción y contingente, en una tabla de verdad. • Distingue verdad formal y verdad empírica. • Describe el procedimiento para elaborar tablas de verdad y del condicional asociado. Procedimentales • Aplica tablas de verdad para calcular el valor de verdad de una proposición compuesta. • Aplica tablas de verdad para evaluar la validez de un argumento. • Aplica el método del condicional asociado para evaluar la validez de un argumento. actitudes y valores • Valora el uso de tablas de verdad para evaluar la validez de un argumento. Contenidos de aprendizaje contenidos de aprendizaje 4.1. ¿Qué es una tabla de verdad? 4.2. Procedimiento para elaborar tablas de verdad. 4.3. Verdad formal: tautología y contradicción. 4.4. Evaluación de la validez de un argumento mediante tablas de verdad. 9 3

E V ALÚ A LA V ALID E Z

F O R M AL D E

AR GU M E N T O S

M E D IAN T E

T AB LAS

D E

V E R D AD

9 5

LÓGICA II

p 1 2

21= 2 combinaciones Ejemplo: ∼p

Tabla para dos proposiciones

1 2 3 4

22= 4 combinaciones. Ejemplo: p ∧ q; p ∨ q; p →q; p ↔ q

Tabla para tres proposiciones.

p 1 2 3 4 5 6 7 8

23= 8 combinaciones. Ejemplo: (p ∧ q) ∨ r; (p →q) ∧ s

Una tabla de verdad para cuatro proposiciones, sería 24= 16 combinaciones, y una de cinco proposiciones, sería de 25= 32 combinaciones.

9 6

E V ALÚ A LA V ALID E Z

F O R M AL D E

AR GU M E N T O S

M E D IAN T E

T AB LAS

D E

V E R D AD

1 2

Combinaciones para una tabla de dos proposiciones. p 1 2 3 4

q V F V F

1 2 3 4

p V V F F

q V F V F

Combinaciones para una tabla de tres proposiciones.

9 7

LÓGICA II

1 2 3 4 5 6 7 8

p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

9 8

∧

→

E V ALÚ A LA V ALID E Z

F O R M AL D E

AR GU M E N T O S

M E D IAN T E

T AB LAS

D E

V E R D AD

Paso 3. Empezar a resolver los valores de las proposiciones compuestas. 1º. Transferir los valores de verdad a sus respectivas variables. p V V V V F F F F 1

q V V F F V V F F 2

r V F V F V F V F 3

∧

(p V V V V F F F F 4 1

→

q) V V F F V V F F 6

r V F V F V F V F 8

q V V F F V V F F 2

r V F V F V F V F 3

∧ V F V V V V V V 5 4y6

(p V V V V F F F F 4 1

9 9

q) V V F F V V F F 6 2

∨

r V F V F V F V F 8 3

LÓGICA II

q V V F F V V F F 2

r V F V F V F V F 3

∧ V V F F F F F F 5 4y6

(p V V V V F F F F 4 1

→ V F V V V V V V 7 5y8

q) V V F F V V F F 6 2

r V F V F V F V F 8 3

1 2 3 4 5 6 7 8

p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

∧

1 0 0

→

r)]

∨

E V ALÚ A LA V ALID E Z

F O R M AL D E

AR GU M E N T O S

M E D IAN T E

T AB LAS

D E

V E R D AD

q V V F F V V F F 2

r V F V F V F V F 3

∧

→ V F V V V F V V 7 2y3

r)]

∨

q V V F F V V F F 2

r V F V F V F V F 3

[p V V V V F F F F 4 1

∧ V F V V F F F F 5 4y7

1 0 1

→ V F V V F F V V 7 2y3

r)]

∨

LÓGICA II

q V V F F V V F F 2

r V F V F V F V F 3

[p V V V V F F F F 4

∧ V F V V F F F F 5 4y7

1 0 2

→ V F V V V F V V 7 1y2

r)]

∨ V V V V F F F F 9 5 y 10

p V V V V F F F F 10 1

E V ALÚ A LA V ALID E Z



F O R M AL D E

AR GU M E N T O S

M E D IAN T E

T AB LAS

D E

V E R D AD

Actividades de aprendizaje

5. ¿Qué valores de verdad obtuviste como resultado de la segunda estructura?

6. ¿Qué valores de verdad obtuviste como resultado de la tercera estructura?

1 0 3

LÓGICA II

1 0 4

E V ALÚ A LA V ALID E Z

F O R M AL D E

AR GU M E N T O S

M E D IAN T E

T AB LAS

D E

V E R D AD

Contradicción

→

(p ∨ q)

(p ∧ q)

∧

Característica esencial: Siempre es verdadera

Característica esencial: Siempre es falsa.

↔

1 0 5

LÓGICA II



Actividades de aprendizaje

Ejercicio 4.3. Instrucciones: Utilizando las tablas de verdad, determina cuáles de las siguientes proposiciones son tautologías. Proposiciones compuestas 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

1 0 6

E V ALÚ A LA V ALID E Z

F O R M AL D E

AR GU M E N T O S

M E D IAN T E

T AB LAS

D E

V E R D AD

1 0 7

LÓGICA II

Identificar proposiciones simples y definir literales. A= Estoy atento en clases. Paso 1

E= Entiendo los problemas. R= Resuelvo los problemas.

Paso 2

Simbolizar premisas y conclusión Si estoy atento en clases, entonces entiendo o resuelvo los problemas. Si A entonces E o R A

→

∨

→

∨

Ni entiendo ni resuelvo los problemas. P2

∧

2. ~ E ∧ ~ R

ni R ~R ├ ~A

No estoy atento en clases. C

Forma lógica 1. A → (E ∨ R )

No A ~A

La forma lógica resultante del argumento es la siguiente: 1. A → (E ∨ R) 2. ~E ∧ ∼R ├ ~A Para pasar de una estructura argumental a la de una condicional aplicamos el método del condicional asociado:

Premisa ├ Conclusión

Antecedente → Consecuente

1 0 8

E V ALÚ A LA V ALID E Z

F O R M AL D E

AR GU M E N T O S

M E D IAN T E

T AB LAS

D E

V E R D AD

conjunción ∧ ∧

Premisa 2 ] ~E ∧ ∼R [~E ∧ ∼R]

conjunción ∧ ∧

Premisa 2 ] } ∼E ∧ ∼R [∼E ∨ ∼R] }

condicional → →

conclusión ∼A ∼A

→

∨

R) ]

∧

(∼

∧

∼

R)}

→

∼

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

1 2 3

10 11

16 17

4y7

6y8

10 y 13 14

5 y 12 11

Resultado Tabla de verdad Argumento Tautológica Válido

1 0 9

9 y 16 17

LÓGICA II



Actividades de aprendizaje

Forma lógica del Argumento:

Condicional asociado:

Tabla de verdad:

Argumento:

1 1 0

E V ALÚ A LA V ALID E Z

F O R M AL D E

AR GU M E N T O S

M E D IAN T E

T AB LAS

D E

V E R D AD

Forma lógica del Argumento:

Condicional asociado:

Tabla de verdad:

Tabla de verdad: Tautología

Argumento: Válido.

1 1 1

LÓGICA II

Forma lógica del Argumento:

Condicional asociado:

Tabla de verdad:

Tabla de verdad: Contingente.

Argumento: Inválido.

1 1 2

E V ALÚ A LA V ALID E Z

F O R M AL D E

AR GU M E N T O S

M E D IAN T E

T AB LAS

D E

V E R D AD

Forma lógica del Argumento:

Condicional asociado:

Tabla de verdad:

Tabla de verdad: Contingente.

Argumento: No valido.

1 1 3

LÓGICA II



Actividades de aprendizaje

Condicional asociado

1. 1. p → q 2. p ├q 2. 1. p → q 2. ∼q ├ ∼p 3. 1. p ∨ q 2. ∼p ├q 4. 1. p ∨ q 2. ∼q ├p 5. 1. p → q 2. q → r ├p→r

1 1 4

¿Es válido?

E V ALÚ A LA V ALID E Z

F O R M AL D E

AR GU M E N T O S

6. 1. p 2. q ├p∧q 7. 1. p ∧ q ├p

8. 1. p ∧ q ├ q

9. 1. p ├p∨q

10. 1. p → q 2. r → s 3. p ∨ r ├q∨s 11. 1. p → q 2. r → s 3. ∼q ∨ ∼s ├ ∼p ∨ ∼r

1 1 5

M E D IAN T E

T AB LAS

D E

V E R D AD

LÓGICA II



Actividades de aprendizaje

Forma lógica del Argumento:

Condicional asociado:

Tabla de verdad:

Argumento:

1 1 6

E V ALÚ A LA V ALID E Z

F O R M AL D E

AR GU M E N T O S

M E D IAN T E

T AB LAS

D E

V E R D AD

Forma lógica del Argumento:

Condicional asociado:

Tabla de verdad:

Argumento:

1 1 7

LÓGICA II

Otros recursos http://www.filosoficas.unam.mx/~Tdl/TDL.htm http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/

1 1 8

UnIdad v

pp vp

demuestra la validez formal de argumentos

Propósito de la unidad de aprendizaje Al final de la unidad el estudiante, demuestra la validez de un argumento mediante el método de deducción natural y las reglas de inferencia y equivalencia..

Saberes necesarios para lograr el objetivo de aprendizaje: conceptuales • Explica en qué consiste el método de deducción natural. • Explica qué son las reglas de inferencia y las de equivalencia. • Describe cómo funcionan las reglas de inferencia y equivalencia. Procedimentales • Aplica las reglas de inferencia y equivalencia en la demostración de argumentos.. actitudes y valores • Valora la eficacia del cálculo lógico en la demostración de argumentos. contenidos de aprendizaje 5.1. Deducción natural. 5.2. Reglas de equivalencia. 5.3. Prueba formal para demostrar la validez de argumentos. 5.4. Reglas equivalencia.

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

1 2 3

LÓGICA II

Forma lógica

Conjunción

1. p 2. q ├p∧q

1. p 2. q ├q∧p

Simplificación

1. p ∧ q ├p

1. p ∧ q ├q

Adición

1. p ├p∨q

Silogismo disyuntivo Modus ponens

Modus tollens Silogismo hipotético

1. p ∨ q 2. ∼p ├ q 1. p → q 2. p ├q 1. p → q 2. ∼q ├ ∼p 1. p → q 2. q → r ├p→r

1 2 4

1. p ∨ q 2. ∼q ├ p

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

1 2 5

LÓGICA II

Conjunción Abreviatura: (Conj.) Estructura del argumento: 1. p

1. p

2. q

├p∧q

├q∧p

Demostración de la validez de la regla: Condicional asociado: (p ∧ q) → (p ∧ q) Tabla de verdad: (p

∧

→

∧

1. ~K 2. W ├ ~K ∧ W

1. O ∧ Q 2. ~(P ∨ R) ├ ~(P ∨ R) ∧ (O ∧ Q)

1. p →q 2. q → p ├ (p →q ) ∧ (q → p)

Veamos un argumento que sea una instancia de sustitución de una conjunción: 1. El ser humano es cuerpo. 2. El ser humano es espíritu. Por lo tanto, El ser humano es cuerpo y es espíritu. 1 2 6

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

Confirmaremos su validez determinando su estructura y aplicando una tabla de verdad. Proposiciones simples componentes:

Forma del argumento

C = El ser humano es cuerpo. E = El ser humano es espíritu.

Condicional asociado (C ∨ E) → (C ∧ E)

1. C 2. E ├C∧E Tabla de verdad (C

∧

→

∧

La conjunción por ser una forma válida de argumento puede ser usada como una regla de inferencia. Veamos cómo se define esta regla:

Para concluir: una conjunción

1. p

2. q

├p∧q

├q∧p

Aplicación de la regla en una prueba formal de demostración.

1 2 7

LÓGICA II

Por lo tanto, Luis estudia derecho e idiomas, pero no filosofía. 1. ~F 2. I 3. D ├ (D ∧ I) ∧ ~F 4. D ∧ I (aplicando conjunción a las proposiciones 3, 2.) 5. (D ∧ I) ∧ ~F (aplicando conjunción a las proposiciones 4, 1.) Como puedes observar en el ejemplo, la líneas 4 y 5 representan inferencias que hemos obtenido mediante la aplicación de la regla de la conjunción. Una prueba termina cuando hemos demostrado la conclusión del argumento (línea 5) y es válido utilizar una conclusión ya demostrada como premisa (en la línea 5 se toma la conclusión 4).

1 2 8



D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

Actividades de aprendizaje

1. A ↔ S

2. I ∧ N

2. ∼S

├

├ __________________ (Conj.

)

3. ___________________(Conj. 2,1.) 1. P ∧ R

1. ∼(P ∧ Q)

2. I

2. (Q ∨ ∼P) ├ __________________ (Conj.

3. D

)

├ 4. ___________________(Conj. 1,3.) 5. ___________________(Conj. 1,2.) 1. Q → P

1. (A → E) ∨ C

2. P ↔ Q

2. (F ∨ E) ∨ S

3. P → Q

├ __________________ (Conj.

├ 4. ___________________(Conj. 3,1.) 5. ___________________(Conj. 4,2.)

1 2 9

)

LÓGICA II

Simplificación Abreviatura: (Simp.) Estructura del argumento: 1. p ∧ q

1. p ∧ q

├p

├q

Demostración de la validez de la regla: Condicional asociado: (p ∧ q) → p Tabla de verdad: ∧

→

1. ~K ∧ W

1. ~(P ∧ R) ∧ ~(O ∧ Q)

1. (p → q ) ∧ (q → p)

├ C

├ W

├ ~(P ∧ R)

├ q→p

Veamos un argumento que sea una instancia de sustitución de una simplificación: 1. El ser humano es cuerpo y el ser humano es espíritu. Por lo tanto, El ser humano es cuerpo.

1 3 0

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

Forma del argumento

(C ∨ E) → C

1. C ∧ E ├ C

C =El ser humano es cuerpo. E= El ser humano es espíritu.

Condicional asociado

Tabla de verdad ∧

→

1. p ∧ q

Para concluir uno de sus elementos

├p

├q

LÓGICA II



Actividades de aprendizaje

Ejercicio 5.2. Instrucciones: Basado en la resolución del primer ejemplo, completa lo que falta, aplicando la regla de la simplificación. Ejemplo: 1. X ∧ (Y ∧ M) ├ 4. Y ∧ M____

(Simpl. 1.)

5. M_______

(Simpl. 4.)

1. (M → D) ∧ (B ∧ C)

1. ~C ∧ ∼R

├

2. ____________________(Simpl. 1.)

2. _________________

(Simpl.

)

3. ____________________(Simpl. 2.) 2.

1. A ∧ (Z ∧ X)

1. K ∧ (W ∧ Z)

├

├ Z

2. ___________________(Simpl. 1.)

2. _________________

(Simpl.

)

3. ___________________(Simpl. 2.)

3. _________________

(Simpl.

)

1. [(G ∧ J) ∧ H] ∧ (B ∨ C)

1. [(T ∧ ∼S ) ∼V ] ∧ N)

├

├ ∼S

2. ___________________(Simpl. 1.)

2. _________________

(Simpl.

)

3. ___________________(Simpl. 2.)

3. _________________

(Simpl.

)

4. ___________________(Simpl. 3.)

4. _________________

(Simpl.

)

1 3 2

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

Adición Abreviatura: (Ad.) Estructura del argumento: 1. p ├p∨q

Demostración de la validez de la regla: Condicional asociado: p → (p ∨ q) Tabla de verdad: ∨

→

1. ~K

1. O ∧ Q

1. p

├ C∨M

├ ~K ∨ W

├ (O ∧ Q) ∨ ~(P ∨ R)

├ p ∨ [(r → q ) ∧ r]

Veamos un argumento que sea una instancia de sustitución de una adición: 1. El ser humano es cuerpo. Por lo tanto, El ser humano es cuerpo o mente.

1 3 3

LÓGICA II

Confirmaremos su validez determinando su estructura y aplicando una tabla de verdad. Proposiciones simples componentes:

Forma del argumento

C =El ser humano es cuerpo. M= El ser humano es mente.

Condicional asociado C → (C ∨ M)

1. C ├C∨M

Tabla de verdad C M

→ (C

∨

La adición por ser una forma válida de argumento puede ser usada como una regla de inferencia. Veamos cómo se define esta regla:

1. p

Para adicionar cualquier otra proposición

├p∨q

1 3 4

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

Aplicación de la regla en una prueba formal de demostración 1. Luis es escritor. Por lo tanto, Luis o es Escritor o es literato o si Luis es literato, entonces ha de ser de Filosofía. 1. E ├ 2. (E ∨ L) 3. (E ∨ L) ∨ ( L → F)

(aplicando adición a la proposición 1.) (aplicando adición a la proposición 2.)

1 3 5

LÓGICA II



Actividad de aprendizaje

Ejercicio 5.3. Instrucciones: Basado en la resolución del primer ejemplo, completa lo que falta, aplicando la regla de la adición. Ejemplo: 1. ~K ├ 2. ~K ∨ S____ 3. (~K ∨ S) ∨ ∼P

(Adic. 1.) (Adic. 2.) 1. ∼Q

1. ~B ├ (~B ∨ C) ∨ F

├ _________________ (Adic.

)

2. _____________________ (Adic. 1.) 3. _____________________ (Adic. 2.) 1. Y ∧ F

1. (T → W)

├ [ (Y ∧ F) ∨ Q] ∨ T

├ [ (T → W) ∨ S] ∨ R 2. _____________________ (Adic. 1.)

2. _____________________ (Adic.

)

3. _____________________ (Adic. 2.)

3. _____________________ (Adic.

)

1. ~ (~C ∨ ~G)

1. ~(E ∨ R ) ├ [~(E ∨ R ) ∨ S] ∨ T

├ {[~(~C ∨ ~G) ∨ A] ∨ H)} ∨ B 2. _____________________ (Adic. 1.)

2. _____________________ (Adic.

)

3. _____________________ (Adic. 2.)

3. _____________________ (Adic.

)

4. _____________________ (Adic. 3.)

1 3 6

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

Silogismo disyuntivo1 Abreviatura: (S.D.) Estructura del argumento: 1. p ∨ q

1. p ∨ q

2. ∼p

2. ∼q

├q

├p

Demostración de la validez de la regla: Condicional asociado: [ (p ∨ q) ∧ ∼p] → q Tabla de verdad: ∧

∼p ]

→

[(p

∨

1. D ∨ C

1. ~K ∨ ∼W

1. (O ∧ R) ∨ P

1. (G → H ) ∨ ~(M ↔ ∼P)

2. ~D

2. ∼~K

2. ∼P

2. ~(G → H )

├ C

├ ∼W

├ (O ∧ R)

├ ~(M ↔ ∼P)

También llamado modus tollendo ponens o “modo en donde negando afirmo”.

1 3 7

LÓGICA II

Forma del argumento

D = Dejamos de contaminar la capa de ozono. 1. D ∨ C C= El calentamiento global descongelará los 2. ∼D polos ├ C

Condicional asociado [(D ∨ C) ∧ ∼D] → C

Tabla de verdad ∧

∼D]

→

[(D

∨

El silogismo disyuntivo por ser una forma válida de argumento puede ser usado como una regla de inferencia. Veamos lo que precisa la regla:

Silogismo Disyuntivo Si la estructura de un argumento presenta como premisa a una disyunción podemos inferir como conclusión uno de los disyuntos, siempre y cuando se tenga el otro negado.

1 3 8

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

Comprensión de la regla: Para aplicar la regla del silogismo disyuntivo se requiere: Una proposición disyuntiva

1. p ∨ q

La negación de uno de los disyuntos

2. ∼p

2. ∼q

Para concluir el otro disyunto

├q

├p

Aplicación de la regla en una prueba formal de demostración. Veamos un ejemplo de aplicación de la regla. 1. O me levanto Temprano o no hago Ejercicio 2. O hago ejercicio o no estoy Saludable. 3. O estoy saludable o sufro un Infarto. 4. No me levanto temprano. Por lo tanto, sufro un infarto. T ∨ ∼E E ∨ ∼S S∨I ∼T ├ I 5. ∼E (aplicando silogismo disyuntivo a las proposiciones 1, 4.) 6. ∼S (aplicando silogismo disyuntivo a las proposiciones 2, 5.) 7. I (aplicando silogismo disyuntivo a las proposiciones 3, 6.) 1. 2. 3. 4.

1 3 9

LÓGICA II



Actividad de aprendizaje

Ejercicio 5.4. Instrucciones: Basado en la resolución del primer ejemplo, completa lo que falta, aplicando la regla silogismo disyuntivo. Ejemplo: A) 1. D ∨ X 2. ~X ├ 2. D

(S.D. 1,2.) E) 1. (B ∨ Q) ∨ ∼T

B) 1. (∼F ∨ E) ∨ G 2. ∼∼F

2. ∼∼ T

3. ∼G

3. ∼B ├ Q

├ E 4. _______________ (S.D. 1,3.)

4. _______________ (S.D.

)

5. _______________ (S.D. 4,2.)

5. _______________ (S.D.

)

F) 1. (J ∨ U) ∨ (R ∨ D)

C) 1. (A ∨ L) ∨ (Q ∨ V) 2. ∼( A ∨ L)

2. ∼(R ∨ D)

3. ∼Q

3. ∼U ├ J

├ V 4. _______________ (S.D. 1,2.)

4. _______________ (S.D.

)

5. _______________ (S.D. 3,4.)

5. _______________ (S.D.

)

G) 1. [(F ∨ W) ∨ K] ∨ X)

D) 1. [~I ∨ (U ∨ J)] ∨ V 2. ∼∼I

2. ∼X

3. ∼U

3. ∼K

4. ∼V

4. ∼W ├ F

├ J 5. _______________ (S.D. 1,4.)

5. _______________ (S.D.

)

6. _______________ (S.D. 5,2.)

6. _______________ (S.D.

)

7. _______________ (S.D. 6,3.)

7. _______________ (S.D.

)

1 4 0

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

Modus ponens Nombre: Modus ponendo ponens, que en latín significa “el modo en donde afirmando afirmo”. Abreviatura: Modus ponens (M.P.). Estructura del argumento: 1. p → q 2. p ├ q

Demostración de la validez del argumento: Condicional asociado: [ (p → q) ∧ p] → q Tabla de verdad ∧

→

[(p

→

1. ∼K → ∼W

1. (O ∧ R) → P

1. (G → H ) → ∼(M ↔ ∼P)

2. C

2. ∼K

2. (O ∧ R)

2. (G → H)

├

∼W

∼(M ↔ ∼P)

1 4 1

LÓGICA II

Veamos un ejemplo de argumento cuya estructura es una instancia de sustitución de la estructura modus ponens: Si existen crímenes sin resolver entonces existe impunidad. Existen crímenes sin resolver. Por lo tanto: Existe impunidad. Vamos a determinar la estructura del argumento y demostrar su validez. Proposiciones simples componentes:

Forma del argumento Condicional asociado

C = Existen crímenes sin resolver.

1. C → I

I = Existe impunidad.

2. C

[ (C → I) ∧ C] → I

├

I Tabla de verdad ∧

→

[(D →

1 4 2

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

Compresión de la regla:

Se requiere: Se obtiene:

Proposición condicional

1. p → q

Antecedente de la condicional

2. p

El consecuente de la condicional

Aplicación de la regla en una prueba formal de demostración Veamos un ejemplo de aplicación de la regla. 1. Llueve si está Nublado. 2. Si llueve, no vamos al cine. 3. Está nublado. Por lo tanto, no vamos al cine 1. N → L 2. L → ∼C 3. N ├ ∼C 4. L (aplicando modus ponens a las proposiciones 1, 3.) 5. ∼C (aplicando modus ponens a las proposiciones 2, 4.)

1 4 3

├q

LÓGICA II



Actividad de aprendizaje

Ejercicio 5.5. Instrucciones: Basado en la resolución del primer ejemplo, completa lo que falta, aplicando la regla del modus ponens. Ejemplo: 1. B → H 2. B ├H

(M.P. 1,2.)

1. (R ∧ S) → N

1. N ↔ M

2. R ∧ S

2. (N ↔ M) → A

├ ______________________

(M.P. 1,2.)

├ A

1. ∼P → (Q → R)

1. L → (∼U → ∼R)

2. ∼P

2. ∼U

3. Q

3. L

(M.P.

)

├

├ R 4. ______________________

(M.P. 1,2.)

4. ∼U → ∼R

(M.P.

)

5. ______________________

(M.P. 4,3.)

5. ∼R

(M.P.

)

1. Z → [(J → (K → ~F)]

1. ∼T → [(S → (V → N)]

2. Z

2. V

3. K

3. S

4. J

4. ∼T ├N

├ ~F 5. ______________________ (M.P. 1,2.)

5. S → (V → N)

(M.P.

)

6. ______________________ (M.P. 5,4.)

6. V → N

(M.P.

)

7. ______________________ (M.P. 6,3.)

7. N

(M.P.

)

1 4 4

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

q V F V F

[(p

→ V F V V

∧ F F F V

∼q ] F V F V

→ V V V V

∼p F F V V

1. ∼K → ∼W

1. (O ∧ R) → P

1. (G → H ) → ∼(M ↔ ∼P)

2. ∼J

2. ∼∼W

2. ∼P

2. ∼∼(M ↔ ∼P)

├

∼T

∼∼K

∼(O ∧ R)

~(G → H )

1 4 5

LÓGICA II

Forma del argumento Condicional asociado [(T → J) ∧ ∼J] → ∼T

T = El impuesto a la tenencia debe pagarse. 1. T → J 2. ∼J

J = El impuesto a la tenencia es justo.

├ ∼T Tabla de verdad T

[(T → J)

∧

∼J]

→

∼T

El modus tollens por ser una forma válida de argumento puede ser usado como una regla de inferencia. Veamos lo que precisa la regla:

1 4 6

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

Comprensión de la regla: Para aplicar la regla del modus tollens se requiere:

Para obtener:

Proposición condicional

1. p → q

La negación del antecedente de la condicional

2. ∼q

La negación del consecuente de la condicional

Aplicación de la regla en una prueba formal de demostración Veamos un ejemplo de aplicación de la regla. 1. Si tengo Hambre entonces Ingiero alimentos. 2. Si me Gruñen las tripas entonces tengo Hambre. 3. No ingerí alimentos. Por lo tanto, no me gruñen las tripas. 1. H → I 2. G → H 3. ∼I ├ ∼G 4. ∼H (aplicando modus tollens a las proposiciones 1, 3.) 5. ∼G (aplicando modus tollens a las proposiciones 2, 4.)

1 4 7

├ ∼p

LÓGICA II



Actividad de aprendizaje

Ejercicio 5.6. Instrucciones: Basado en la resolución del primer ejemplo, completa lo que falta, aplicando la regla del modus tollens. Ejemplo: A) 1. C → Q 2. ∼Q ├ ~C____ (M.T. 1,2.) B) 1. N → (T → H)

2. (N ↔ M) → A

2. ∼(T → H) ├

H) 1. E → D

E) 1. ∼A

∼N

(M.T.

)

├ ______ (M.T. 1,2.)

2. F → E 3. ∼D ├ ∼F 4. ______ ( M.T.

)

5. ______ ( M.T.

)

F) 1. L → U

I) 1. C → A

2. S → (Q → R)

2. N → L

2. A → B

3. ∼∼P

3. ∼U

3. ∼B

C) 1. (Q → R) → ∼P

├ ∼C

├ ∼N

├ ∼S 4. ∼(Q → R)

(M.T.

)

4. ______ (M.T. 1,3.)

4. ______ ( M.T.

)

5. ∼S

(M.T.

)

5. ______ (M.T. 2,4.)

5. ______ ( M.T.

)

J) 1. R → U

G) 1. ∼∼S

D) 1. G → (J → F) 2. E → K

2. U → V

2. U → T

3. K → G

3. V → T

3. T → S

4. ∼(J → F)

4. T → ∼S

4. ∼S ├ ∼R

├ ∼U

├ 5. ∼G

(M.T.

)

5. ______ (M.T. 4,1.)

5. ______ ( M.T.

)

6. ∼K

(M.T.

)

6. ______ (M.T. 3,5.)

6. ______ ( M.T.

)

7. ∼E

(M.T.

)

7. ______ (M.T. 2,6.)

7. ______ ( M.T.

)

1 4 8

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

Silogismo hipotético Abreviatura: (S.H.) Estructura del argumento: 1. p → q 2. q → r ├p→r

Demostración de la validez de la regla: Condicional asociado: [ (p → q) ∧ (q → r) ] → (p → r) Tabla de verdad: p V V V V F F F F 1

q V V F F V V F F 2

r V F V F V F V F 3

[(p

→ V V F F V V V V 5 1-2

∧ V F F F V F V V 7 5-9

→ V F V V V F V V 9 2-3

r) ]

→ V V V V V V V V 11 7-13

→ V F V F V V V V 13 1-3

1. K → ∼W 2. ∼W → ∼X ├ K → ∼X

1. ∼(G ∨ H ) → ~(M ∧ ∼P) 2. ∼(M ∧ ∼P) → R ├ ∼(G ∨ H ) → R

1 4 9

LÓGICA II

1. L → R

R= El H es responsable…

2. R → E

E= El H puede evitar…

├ L→E

Forma del argumento

Condicional asociado [(L → R ) ∧ (R → E) ]→ (L → E)

Tabla de verdad L V V V V F F F F 1

R V V F F V V F F 2

E V F V F V F V F 3

[(L

→ R) V V F F V V V V 5 1-2

∧ (R V F F F V F V V 7 5-9

→ E) ] V F V V V F V V 9 2-3

→ V V V V V V V V 11 7-13

→ E) V F V F V V V V 13 1-3

El silogismo hipotético por ser una forma válida de argumento puede ser usado como una regla de inferencia. Veamos lo que precisa la regla:

1 5 0

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

1. p → q

- Otra proposición condicional cuyo antecedente es el consecuente de la anterior

2. q → r

- Podemos concluir el antecedente de la primera y el consecuente de la segunda

├p→r

(aplicando silogismo hipotético a las proposiciones 1, 2.) (aplicando silogismo hipotético a las proposiciones 4, 3.)

1 5 1

LÓGICA II



Actividad de aprendizaje

Ejercicio 5.7. Instrucciones: Basado en la resolución del primer ejemplo, completa lo que falta, aplicando la regla del silogismo hipotético. Ejemplo: A) 1. A → H 2. H → Z ├ A → Z (S.H. 1,2.) B) 1. (R ∧ S) → N

E) 1. C → (N ↔ M)

2. N → (O → P) ├ ________________ (S.H. 1,2.)

2. (N ↔ M) → A ├ ________________ (S.H.

C) 1. Q → ∼R 2. ∼R → ∼P 3. ∼P → T ├Q→T 4. ________________ (S.H. 1, 2.) 5. ________________ (S.H. 4, 3.)

F) 1. ∼U →∼R 2. ∼R → ∼S 3. ∼L → ∼U ├ ~L → ∼S 4. ∼L → ∼R 5. ∼L → ∼S

D) 1. ~F → R 2. J → K 3. K → ~F ├K→R 4. ________________ (S.H. 2,3.) 5. ________________ (S.H. 4,1.) 6. ________________ (S.H. 1,3.)

G) 1. S → N 2. A → R 3. N → A ├S→R 4. S → A 5. N → R 6. S → R

1 5 2

(S.H. (S.H.

(S.H. (S.H. (S.H.

)

) )

) ) )

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

Si el destino existe, entonces el hombre carece de libertad. No es cierto que el hombre carece de libertad. Luego… El destino no existe.

Basta mostrar su forma lógica y cuál es la regla lógica utilizada para obtener la conclusión, para demostrar que es válido. Utilizaremos constantes para simbolizar las proposiciones: 1. 2. 3. 4.

d→c ~c ├ ~d

(aplicando el modus tollens a la proposiciones 1 y 2).

1 5 3

LÓGICA II

1. 2. 3. 4. 5.

p∨q p → ~r ~q p ~r

(aplicando el silogismo disyuntivo a 1 y 3) (aplicando el modus ponens a 2 y 4).

1 5 4

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

(S.D. 1,4.) (S.H. 2,3.) (M.P. 6,5.)

1 5 5

LÓGICA II

1. Z → ~B 2. X → B 3. X ∨ Y 4. Y → (B → Y) 5. Z ├ X→ Y 6. ~B 7. ∼X 8. Y 9. B → Y 10. X → Y

1, 5 M.P. 2, 6 M.T. 3, 7 S.D. 4, 8 M.P. 2, 9 S.H.

1 5 6



D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

Actividad de aprendizaje

Ejercicio 5.8. Instrucciones: Anota la conclusión que se puede obtener a partir de las premisas.

argumento

Regla de inferencia

∼G ↔ ∼Y ├ _______________

Adición

∼(S ∧ U) → (K ∨ L) ∼(K ∨ L) ├ _______________

Modus Tollens

(V ∨ ∼Z) → ∼(∼G ↔ N) (V ∨ ∼Z) ├ _______________

Modus Ponens

(C ∨ E) ∼( D ∨ E) ├ _______________

Conjunción

(I ∨ S) ∧ (O →N) ├ _______________

Simplificación

∼( A → F) → (I → B) (I → B) → ∼(I → S) ├ _______________

Silogismo hipotético

1 5 7

LÓGICA II

Ejercicio 5.9. Instrucciones: Enuncia la regla de inferencia mediante la cual la conclusión se sigue de las premisas. 1)

1. G ∨ E

2. ∼E

├

G 3)

B∧Z

_______________

1. ~B → A

~(C ↔ T) → (H ∧ D)

~(C ↔ T)

2. ~A ├ ∼∼B 5)

├ H∧D

_______________

1. X ∧ ∼F

├ ∼(∼G → ∼F) ∨ (W ↔ Q) _____________

_______________

1. ∼Y → Q

(K ∨ L) → ∼(S ∧ U)

2. ∼Y

∼∼(S ∧ U)

├ Q 9)

├ ∼(K ∨ L)

_______________

1. T

10)

├

11)

∼(N → V) → ∼(A → P) _____________

_______________ 12)

├

(X → I) ∧ (I → R) ├ (I → R)

_____________

13) 1. D → K

14)

2. K → ∼H

_____________

∼(J ∧ W) ∨ (Q → H) ∼(Q → H)

├ D → ∼H

∼(N → V) → (M → B) ├

1. O O∨I

_____________

(M → B) → ∼(A → P)

2. U T∧U

_____________

∼(∼G → ∼F)

├ ∼F

_____________

├ ∼(J ∧ W)

_____________

1 5 8

_____________

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

Ejercicio 5.10. Instrucciones: Enuncia la regla que justifica la inferencia de la conclusión en la demostración formal de los argumentos siguientes. A)

1. F 2. D 3. (F ∧ D) → E ├E 4. F ∧ D 5. E

1. [(C ∧ D) ∨ E] → F 2. C 3. D ├F 4. C ∧ D 5. (C ∧ D) ∨ E 6. F

1, 2,________ 3, 4,________

1. G 2. (G ∨ H) → I ├I 3. G ∨ H 4. I

1. L ∧ (X → D) 2. (D → Y) ∧ S ├X→Y 3. X → D 4. D → Y 5. X → Y

1, ________ 2, 3 ________

1. J ∧ ∼K 2. L → K ├ ∼L 3. ∼K 4. ∼L

1. C → A 2. C ∨ D 3. ∼D ∧ E ├A 4. ∼D 5. C 6. A

1, _________ 2, 3 ________

1 5 9

2, 3, ______ 4, ________ 1, 5 ______

1, ________ 2 ,________ 3, 4, ______

3, ________ 2, 4, ______ 1, 5, ______

LÓGICA II

G) 1. B → H 2. H → ∼G 3. J → G 4. B ├ ∼J 5. B → ∼G 6. ∼G 7. ∼J

I) 1. Z → ∼B 2. X → B 3. X ∨ Y 4. Y → (B →Y) 5. Z ├X→Y 6. ∼B 7. ∼X 8. Y 9. B → Y 10. X → Y

K) 1. R ∧ ∼T 2. T ∨ N 3. R → M 4. (N ∧ M) → S ├S 5. ∼T 6. N 7. R 8. M 9. N ∧ M 10. S

1, 2 ________ 5, 4 ________ 3, 6 ________

1, 5 ________ 2, 6 ________ 3, 7 ________ 4, 8 ________ 2, 9 ________

1 __________ 2, 5 ________ 1 __________ 3, 7 ________ 6, 8 ________ 4, 9 ________

1 6 0

H) 1. Q → ∼P 2. T → P 3. S ∨ T 4. S → Q 5. ∼∼P ├P 6. ∼Q 7. ∼S 8. T 9. P

1, 5 ______ 4, 6 ______ 3, 7 ______ 2, 8 ______

J) 1. (W ∧ ~G) → (R → G) 2. (U ∧ W) → ∼W 3. R ∨ U 4. ∼G 5. W ├ ∼W 6. W ∧ ~G 7. R → G 8. ∼R 9. U 10. U ∧ W 11. ∼W

5, 4 ______ 1, 6 ______ 7, 4 ______ 3, 8 ______ 9,5 ______ 2, 10 _____

L) 1. (∼D ∧ ∼L) ∨ F 2. C → L 3. ∼D → X 4. ∼F ├ X ∧ ∼C 5. ∼D ∧ ∼L 6. ∼D 7. X 8. ∼L 9. ∼C 10. X ∧ ∼C

1, 4 ______ 5 ________ 3, 6 ______ 5 ________ 2, 8 ______ 7, 9 ______

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

1. ∼Q ∨ C 2. R → Q 3. ∼R → (C → Z) 4. ∼C ∧ X 5. C ├Z 6. ∼C 7. ∼Q 8. ∼R 9. C → Z 10. Z

4 _______ 1, 5 _______ 2, 6 _______ 3, 7 _______ 5, 9 _______

1. J ∧ E 2. E → ∼S 3. S ∨ ∼K 4. L → K 5. E

1 _______

6. ∼S 7. ∼K 8. ∼L

2, 5 _____ 3, 6 _____ 4, 7 _____

Ñ)

1. K ∨ S 2. J ∨ K 3. ∼K 4. (J ∧ S) → G ├G 5. J 6. S 7. J ∧ S 8. G

1. E → O 2. U → E 3. (U → O) → (O → A) ├A 5. U → O 6. O → A 7. U → A

2, 3 _______ 1, 3 _______ 5, 6 _______ 4, 7 _______

1 6 1

2, 1 _____ 3, 5 _____ 5, 6 _____

LÓGICA II

Ejercicio 5.11. Instrucciones: Infiere la conclusión a partir de la justificación de la inferencia que está a la derecha y anótala en el espacio en blanco. A)

1. ∼B ∧ V 2. K → B ├ ∼K 3. ____________ 4. ____________

1. H 2. (H ∨ T) → J ├J 3. ____________ 4. ____________

Simp. 1 M.T. 2, 3.

1. ∼X ∨ Q 2. E ∧ ∼Q 3. ∼X → A ├A 4. ____________ 5 ____________ 6. ____________

1. R 2. C 3. (C ∧ R) → E ├E 4. ____________ 5. ____________

Simp. 2 S.D.1, 4 M.P. 3, 5.

1. (D → I) ∧ S 2. L ∧ (V → D) ├V→I 3. ____________ 4. ____________ 5. ____________

1. A 2. [(Y ∧ A) ∨ V] → F 3. Y ├F 4. ____________ 5. ____________ 6. ____________

Simp. 2 Simp. 1 S.H. 3, 4.

1 6 2

Adic. 1. M.P. 2, 3.

Conj.2,1. M.P. 3, 4.

Conj.3, 1. Ad.4. M.P. 2, 5.

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

1. A → Q 2. T → U 3. A ∨ T 4. Q → ∼U 5. ∼∼U ├U 6. ____________ 7. ____________ 8. ____________ 9. ____________

1. C → Y 2. H → ∼Y 3. B → H 4. B ├ ∼C 5. ____________ 6. ____________ 7. ____________

M.T. 4, 5. M.T.1, 6. S.D. 3,7. M.P. 2, 8.

1. C → L 2. (∼D ∧ ∼L) ∨ F 3. ∼D → X 4. ∼F ├ X ∧ ∼C 5. ____________ 6. ____________ 7. ____________ 8. ____________ 9. ____________ 10. ____________

S.H. 3, 2. M.P. 5, 4. M.T.1, 6.

1. Z → ∼B 2. X → B 3. X ∨ Y 4. Y → (B → Y) 5. Z ├X→Y 6. ____________ 7. ____________ 8. ____________ 9. ____________ 10. ___________

S.D. 2, 4, Simp. 5. Simp. 5. M.P. 3, 6. M.T.1, 7. Conj. 8, 9.

1 6 3

M.P. 1,5. M.T. 2,6. S.D. 3,7. M.P. 4,8. S.H. 2,9.

LÓGICA II

1. (W ∧ ∼G) → (R → G) 2. (U ∧ W) → ∼W 3. W 4. ∼G 5. R ∨ U ├ ∼W 6. ____________ 7. ____________ 8. ____________ 9. ____________ 10. ____________ 11. ____________

1. R → M 2. T ∨ N 3. R ∧ ∼T 4. (N ∧ M) → S ├S 5. ____________ 6. ____________ 7. ____________ 8. ____________ 9. ____________ 10. ___________

Conj. 3, 4. M.P.1, 6. M.T. 7, 4. S.D.5, 8. Conj. 9,3. M.P. 2, 10,

1 6 4

3. Simp. 2, 5. S.D. 3. Simp. 1, 7. M.P. 6,8. Conj. 4, 9. M.P.

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

1. E → O 2. U → E 3. (U → O) → (O → A) ├U→A 5. ____________ 6. ____________ 7. ____________

1. (J ∧ S) → G 2. K ∨ S 3. ∼K 4. J ∨ K ├G 5. ____________ 6. ____________ 7. ____________ 8. ____________

S.H. 1, 2. M.P. 3, 5. S.H. 5, 6.

Ñ)

1. R → Q 2. ~C ∧ C 3. ∼R → (C → Z) 4. ∼Q ∨ C ├Z 5. ____________ 6. ____________ 7. ____________ 8. ____________ 9. ____________ 10. ____________

1. L → K 2. S ∨ ∼K 3. E → ∼S 4. J ∧ E ├ ~L 5. ____________ 6. ____________ 7. ____________ 8. ____________

Simp. 2. S.D. 4, 5. M.T. 1, 6. M.P. 3, 7. Simp. 2. M.P. 8, 9.

1 6 5

S.D. 2, 3. S.D. 3, 4. Conj. 6, 5. M.P. 1, 7.

Simp. 4. M.P. 3, 5. S.D. 2, 6. M.T.1, 7.

LÓGICA II

Ejercicio 5.12. Instrucciones: Realiza una prueba de demostración formal de los argumentos siguientes. A)

1. P → ∼Q 2. R → Q 3. P ├∼R 4. ∼Q 5. ∼R

1. A → B 2. B → C 3. (A → C) → E ├E 4. A → C 5. E

________ ________

1. G 2. (G ∨ H) → I ├I∧G 3. G ∨ H 4. I 5. I ∧ G

1. ∼T ∨ V 2. S → T 3. ∼S → (W ∧ S) 4. ∼V ├W 5. ∼T 6. ∼S 7. W ∧ S 8. W

________ ________ ________.

1. P → R 2. R → S 3. (S ∧ R) → T 4. P ├T 5. R 6. S 7. S ∧ R 8. T

1. (A ∧ ∼Z) → B 2. Y ∨ A 3. Z → Y 4. ∼Y ├Z 5. A 6. ∼Z 7. A ∧ ∼Z 8. B

________ ________ ________ ________

1 6 6

________ ________

________ ________ _______. ________

________ ________ ________ ________

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

1. J ∧ E 2. E → ~S 3. S ∨ ~K 4. L → K ├ ~L 5. E 6. ~S 7. ~K 8. ~L

1. B → H 2. H → ~G 3. J → G 4. B ├ ~J ∨ F 5. B → ~G 6. ~G 7. ~J 8. ~J ∨ F

________ ________ ________ ________

1. E → O 2. U → E 3. (U →O) → (O → A) ├U→A 5. U → O 6. O → A 7. U → A

1. B 2. B → ( D → E) 3. D ├E 4. D → E 7. E

________ ________ ________

________ ________ ________ ________

________ ________

1. Z → ~B 2. X → B 3. X ∨ Y 4. Y → (B → Y) 5. Z ├X→Y 6. ~B 7. ∼X 8. Y 9. B → Y 10. X → Y

1. (W ∧ ~G) → (R → G) 2. (U ∧ W) → ~W 3. R ∨ U 4. ~G 5. W ├ ~W 6. W ∧ ~G ________ 7. R → G ________ 8. ∼R ________ 9. U ________ 10. U ∧ W ________ 11. ∼W ________

________ ________ ________ ________ ________

1 6 7

LÓGICA II

1. R ∧ ~T 2. T ∨ N 3. R → M 4. (N ∧ M) → S ├S 5. ~T 6. N 7. R 8. M 9. N ∧ M 10. S

1. (~D ∧ ~L) ∨ F 2. C → L 3. ~D → X 4. ~F ├ X ∧ ~C 5. ~D ∧ ~L 6. ~D 7. X 8. ~L 9. ~C 10. X ∧ ~C

________ ________ ________ ________ ________ ________

Ñ)

1. ~Q ∨ C 2. R → Q 3. ~R → (C → Z) 4. ~C ∧ X ├C→Z 5. ~C 6. ~Q 7. ~R 8. C → Z

1. J ∧ E 2. E → ~S 3. S ∨ ~K 4. L → K ├ ~L 5. E 6. ~S 7. ~K 8. ~L

________ ________ ________ ________

1. K ∨ S 2. J ∨ K 3. ~K 4. (J ∧ S) → G ├G 5. J 6. S 7. J ∧ S 8. G

1. B → C 2. C → E 3. A → B ├B→E 5. A → C 6. A → E 7. B → E

________ ________ ________ ________ ________

1 6 8

________ ________ ________ ________ ________ ________

________ ________ ________ ________

________ ________ ________

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

1. F 2. D 3. (F ∧ D) → E ├E 4. F ∧ D 5. E

1. [(C ∧ D) ∨ E] → F 2. C 3. D ├F 4. C ∧ D 5. (C ∧ D) ∨ E 6. F

________ ________

1. G 2. (G ∨ H) → I ├I 3. G ∨ H 4. I

1. L ∧ (X → D) 2. (D → Y) ∧ S ├X→Y 3. X → D 4. D → Y 5. X → Y

________ ________

1. J ∧ ~K 2. L → K ├ ~L 3. ~K 4. ~L

1. ~C → A 2. ~C ∨ D 3. ~D ∧ E ├A 4. ~D 5. ~C 6. A

________ ________

1 6 9

________ ________ ________

LÓGICA II

1. B → H 2. H → ~G 3. J → G 4. B ├ ~J ∨ F 5. B → ~G 6. ~G 7. ~J 8. ~J ∨ F

1. Q → ~P 2. T → P 3. S ∨ T 4. S → Q 5. ∼∼P ├P 6. ∼Q 7. ∼S 8. T 9. P

________ ________ ________ ________

1 7 0

________ ________ ________ ________

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

q V F V F

(p V V F F

→ V F V V

q) V F V F

↔ V V V V

~ V F V V

(p V V F F

∧ F V F F

~ F V F V

q) V F V F

1 7 1

LÓGICA II

Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p V F

↔

∧

p)]

p V F

↔

∨

p)]

1 7 2

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p V F

↔

∼

2 Con el único conectivo que no puede aplicarse esta regla es con el conectivo de la condicional, porque si cambiamos antecedente por consecuente modificamos la proposición condicional.

1 7 3

LÓGICA II

Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si las fórmulas son tautología: p V V F F

q V F V F

∧

↔

∧

p V V F F

q V F V F

∨

↔

∨

p V V F F

q V F V F

↔

1 7 4

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología:

p V V F F

q V F V F

[∼

∧

↔

(∼p

∨

∼q)]

p V V F F

q V F V F

[∼

∨

↔

(∼p

∧

∼q)]

Está regla recibe el nombre del distinguido matemático inglés del siglo XIX Augustus DeMorgan.

1 7 5

LÓGICA II

Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

[(p

∨

r)]

↔

[(p

∨

r)]

P V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

[(p

∧

r)]

↔

[(p

∧

r)]

1 7 6

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

[(p

∧

∨

r)]

↔

[(p

∧

∨

∧

r)]

p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

[(p

∨

∧

r)]

↔

[(p

∨

∧

∨

r)]

1 7 7

LÓGICA II

→

↔

(∼q

→

∼p)

1 7 8

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

→

↔

(∼p

∨

[(p

↔

[(p

1 7 9

→

∧

→

p)]

LÓGICA II

q V F V F

[(p

↔

[(p

∧

∨

(∼p

∧

∼q)]

1 8 0

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

Para saber si es una verdad lógica que podamos usar como una regla de equivalencia, demuestra mediante una tabla de verdad si la fórmula es una tautología: p

[(p

∧

→

1 8 1

↔

[(p

→

r)]

LÓGICA II



Actividad de aprendizaje

Ejercicio 5.13. Instrucciones: Para cada uno de los siguientes argumentos proporcione la regla de equivalencia por la que se sigue la conclusión de su premisa: 1. J ∨ K ├K∨J

______________________

2. (C ∧ I) ∧ A ├ C ∧ (I ∧ A)

______________________

3. ~( ~R ∧ D) ├ ~~R ∨ ~D

______________________

4. T ├ T ∨ ~T

______________________

5. L → K ├ ~K → ~L

______________________

6. E → F ├ ~E ∨ F

______________________

7. (X ∧ Y) → Z ├ X → (Y → Z)

______________________

8. I ∧ (G ∨ H) ├ (I ∧G) ∨ (I ∧ H)

______________________

9. U ├ ∼∼U

______________________

10. A ↔ B ├ (A → B) ∧ (B → A)

______________________

11. Q ∨ (P ∧ S) ├ (Q ∨ P) ∧ (Q ∨ S)

______________________

12. V ∧ W ├W∧V

______________________

1 8 2

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

(p ∧ q) → r p q p ∧ q (Conj. 2,3.) r (M.P. 1,4.)

1 8 3

LÓGICA II

1. p ∧ (q ∨ r) 2. ~ (p ∧ r) 3. p → t 4. (t ∨ s) → r ├r 5. (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) 6. p ∧ q 7. p 8. t 9. t ∨ s 10. r

1. ~(p ∨ q) 2. r → q 3. ~r → (t ∨ m) 4. ~m 5. s ├s∧t 6. ~p ∧ ~ q 7. ~q 8. ~r 9. t ∨ m 10. t 11. s ∧ t

(Distr. 1.) (S.D. 2,5.) (Simpl. 6.) (M.P. 3,7.) (Ad. 8.) (MP. 4,9.)

1 8 4

(De M. 1.) (Simpl. 6.) (M.T. 2,7.) (M.P. 3,8.) (S.D. 4,9.) (Conj. 5,10.)



D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

Actividad de aprendizaje

Ejercicio 5.14. Instrucciones: Enuncia la regla de inferencia o equivalencia que justifica la inferencia de la conclusión en la demostración formal de los argumentos siguientes. A)

1. F ∧ D 2. (D ∧ F) → E ├E 4. D ∧ F 5. E

1. ~(~H ∨ ~G) 2. (G ∧ H) → I ├I 3. ~~H ∧ ~~G 4. H ∧ G 4. G ∧ H 5. I

1. __________ 2, 4. ________

1. __________ 3. __________ 4. __________ 2, 4. ________

1. (~K ∧ J) ∧ R 2. L → K ├ ~L 3. ~K ∧ (J ∧ R) 4. ~K 5. ~L

1. P ∨ (Q ∧ R) 2. (P ∨ Q) → S ├ S 3. (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) 1. __________ 4. P ∨ Q 3. __________ 5. S 2, 4. ________

1. __________ 3. __________ 2, 4. ________

1. ~~B → H 2. H → ~G ├ B → ~G 3. B → H 4. B → ~G

1. L ∧ (~D → ~X) 2. (D → Y) ∧ S ├X→Y 3. ~D → ~X 4. ~~X → ~~D 5. X → D 6. D → Y 7. X → Y

1. __________ 3, 2. ________

1 8 5

1. __________ 3. __________ 4. __________ 2. __________ 5, 6. ________

LÓGICA II

1. [(C ∧ D) ∨ E] → F 2. E ∨ (D ∧ C) ├F 3. (D ∧ C) ∨ E 4. (C ∧ D) ∨ E 5. F

1. ~C → A 2. ~C ∨ D 3. (~D ∧ E ) ∧ H ├A 4. ~D ∧ (E ∧ H) 5. ~D 6. ~C 7. A

2. ________ 3. ________ 1, 4. _______

1. S ∨ (~J ∧ K) 2. (J → S) → G ├G 3. (S ∨ ~J) ∧ (S ∨ K) 4. S ∨ ~J 5. ~J ∨ S 6. J → S 7. G

1. P 2. (P → P) → A ├A 3. (P ∧ P) → A 4. P ∧ P 5. A

1. ________ 3. ________ 4. ________ 5. ________ 2, 6. _______

1. ~(~P ∨ ~Q) ├P↔Q 2. ~~P ∧ ~~Q 3. P ∧ Q 4. (P ∧ Q) ∨ (~P ∧ ~Q) 5. P ↔ Q

1. ~J ∨ E 2. ~E ∨ J ├ J↔E 3. J → E 4. E → J 5. (J → E) ∧ (E → J) 6. J ↔ E

1. ________ 2. ________ 3. ________ 4. ________

3. ________ 4. ________ 2, 5. _______ 1, 6. _______

2. ________ 1. ________ 3, 4. _______

1. ________ 2. ________ 3, 4. _______ 5. ________

1. ~( X ∧ ~Y) ├ ~Y → ~X 2. ~X ∨ ~~Y 3. ~X ∨ Y 4. X → Y 5. ~Y → ~X

1. ~W ∨ (G ∧ R) ├ ~G → ~W 2. (~W ∨ G) ∧ (~W ∨ R) 3. ~W ∨ G 4. W → G 5. ~G → ~W

1. ________ 2. ________ 3. ________ 4. ________

1 8 6

1. _______ 2. _______ 3. _______ 4. _______



D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

Actividad de aprendizaje

Ejercicio 5.15. Instrucciones: Anota la conclusión en el espacio en blanco, a partir de la justificación de la inferencia que está anotada a su derecha. A)

1. C ∨ ~B 2. K → B ├ K→C 3. _____________ 4. _____________ 5. _____________

1. ~T ├ ~H → ~T 2. _____________ 3. _____________ 4. _____________

Conm. 1. Impl. 3. S.H. 2, 4.

1. ~(~A ∨ ~Y) 2. A → X ├X 3. _____________ 4. _____________ 5. _____________ 6. _____________

1. (F → G) → H 2. ~F ├H 3. _____________ 4. _____________ 5. _____________

De M. 1. D.N. 3. Simp. 4. M.P. 2, 5.

1. J → W 2. W → J ├J↔W 3. _____________ 4. _____________

1. L ∨ (R ∧ S) 2. (L ∨ R) → T 3. (L ∨ S) → U ├T∧U 4. _____________ 5. _____________ 6. _____________ 7. _____________ 8. _____________ 9. _____________

Conj. 1, 2. Equiv. 3.

1 8 7

Adic. 1. Impl. 2. Trans. 3.

Adic. 2. Impl. 3. M.P. 1, 4.

Dist. 1. Simp. 4. M.P. 2, 5. Simp. 4. M.P. 3, 7. Conj. 6, 8.

LÓGICA II

1. (A ∧ B) ∨ ~C ├ A ∨ ~C 2. _____________ 3. _____________ 4. _____________ 5. _____________ 6. _____________ 7. _____________ 8. _____________

1. (X ∨ Y) ∨ Z 2. Z → W 3. ~ (W ∨ Y) ├X 4. _____________ 5. _____________ 6. _____________ 7. _____________ 8. _____________ 9. _____________

Conm. 1. Distr. 2. Simp. 3. Impl. 4. Trans. 4. Imp. 6. D.N. 7.

1. S ∨ (~R ∧ U) 2. (R → S) → T ├T 3. _____________ 4. _____________ 5. _____________ 6. _____________ 7. _____________

1. P ∧ (~Q → ~R) 2. (Q → V) ∧ S ├R→V 3. _____________ 4. _____________ 5. _____________ 6. _____________ 7. _____________

Dist.1. Simp. 3. Conm. 4. Impl. 5. M.P. 2, 6.

1 8 8

De M. 3. Simp. 4. M.T. 2, 5. S.D. 1, 6. Simp. 4. S.D. 7, 8.

Simp.1. Trasp. 3. D.N. 4. Simp. 2. S.H. 5, 6.



D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

Actividad de aprendizaje

1 8 9

LÓGICA II

1 9 0



D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

Actividad de aprendizaje

Ejercicio 5.17. Instrucciones: Enuncia la regla que justifica la inferencia de la conclusión en la demostración formal de los argumentos siguientes. A)

1. (D ∧ F) → (F ∨ E) 2. ~(E ∨ F) ├ ~( D ∧ F) 4. ~(F ∨ E) 5. ~( D ∧ F)

1. (l ∨ Q) → O 2. (Q ∧ R) ∨ l ├ O 3. l ∨ (Q ∧ R) 4. (l ∨ Q) ∧ (l ∨ R) 5. l ∨ Q 6. O

_________ _________

1. H → ~G 2. ~~B → H ├ ~B ∨ ~G 3. B → H 4. B → ~G 5. ~B ∨ ~G

1. ~C → A 2. ~C ∨ D 3. (~D ∧ E ) ∧ H ├ A 4. ~D ∧ (E ∧ H) 5. ~D 6. ~C 7. A

_________ _________ _________

1. S ∨ (~J ∧ K) 2. (J → S) → G ├G 3. (S ∨ ~J) ∧ (S ∨ K) 4. S ∨ ~J 5. ~J ∨ S 6. J → S 7. G

1. ~O ∨ E 2. ~E ∨ O ├ O↔E 3. O → E 4. E → O 5. (O → E) ∧ (E → O) 6. O ↔ E

_________ _________ _________ _________ _________

1 9 1

_________ _________ _________ _________

LÓGICA II

1. ~( X ∧ ~Y) ├ Y∨X 2. ~X ∨ ~~Y 3. ~X ∨ Y 4. X → Y 5. ~Y → ~X 6. ~~Y ∨ X 7. Y ∨ X

1. ~E ∧ (D ∨ C) 2. T → E 3. (C ∨ D) → ~F ├ (T ∨ F) → D 4. ~E 5. ~T 6. D ∨ C 7. C ∨ D 8. ~F 9. ~T ∧ ~F 10. (~T ∧ ~F) ∨ D 11. ~(T ∨ F) ∨ D 12. (T ∨ F) → D

_________ _________ _________ _________ _________ _________

1. ~T ├ H → ~T 2. ~T ∨ ~H 3. T → ~H 4. ~~H → ~T 5. H → ~T

1. ~(~A ∨ ~Y) 2. A → X ├X 3. ~~A ∧ ~~Y 4. A ∧ Y 5. A 6. X

_________ _________ _________ _________

1. L ∨ (R ∧ S) 2. (L ∨ R) → T 3. (L ∨ S) → U ├T∧U 4. (L ∨ R) ∧ (L ∨ S) 5. L ∨ R 6. T 7. L ∨ S 8. U 9. T ∧ U

1. (A ∧ B) ∨ ~C ├ A ∨ ~C 2. ~C ∨ (A ∧ B) 3. (~C ∨ A) ∧ (~C ∨ B) 4. ~C ∨ A 5. A ∨ ~C

_________ _________ _________ _________ _________ _________

1 9 2

_________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________

_________ _________ _________ _________

glosario

antecedente.

La primera proposición de una proposición condicional o hipotética, por ejemplo: “Si llueve, acamparemos” (el antecedente “llueve”).

argumento.

Expresión oral o escrita de un razonamiento.

Bivalente.

Sistema lógico que opera con dos valores de verdad: verdadero y falso.

Bicondicional. Una condicional cuyo antecedente implica al consecuente y el consecuente al antecedente. cálculo.

Combinación racional y metódica de medios para alcanzar un fin.

calculo lógico. Aspecto operacional de un sistema lógico. condicional.

Lo sometido a una condición en el pensamiento o la realidad.

conjunción.

Proposición compuesta unida por la expresión “y”.

conjuntar.

Unir o enlazar proposiciones.

complejo.

Compuesto o mezcla de cosas diferentes.

conectiva

Término de enlace que conecta una o más pro-

lógica.

posiciones simples.

conclusión.

El juicio cuya verdad es derivada de otros juicios llamados premisas.

consecuente.

La proposición que sigue al antecedente; en: “Si llueve, acamparemos”, el consecuente es: “acamparemos”.

contingente.

Proposición compuesta cuyos posibles valores, al elaborar su tabla de verdad, resultan verdaderos y falsos.

contradictoria. Proposición compuesta que es falsa en todos los casos. Demostración. Deducción destinada a probar la verdad o corrección de su conclusión. Deducción.

Derivación de la verdad de un juicio a partir de la verdad de otro u otros. 1 9 3

LÓGICA II

Diádico.

Se dice de las conectivas lógicas que unen dos proposiciones simples. Por ejemplo, la condicional, conjunción, disyunción y bicondicional.

Dilema.

Silogismo disyuntivo en el cual las dos conclusiones alternativas enuncian la misma tesis o la implican.

Disyunción.

Relación entre dos proposiciones expresadas por la letra «o»; se llama disyunción exclusiva o fuerte cuando ambos enunciados no pueden ser verdaderos, y débil o inclusiva cuando pueden serlo.

Enunciado.

Es la expresión de una afirmación o juicio.

Formalizar.

Sustituir los enunciados o proposiciones de un sistema por meras estructuras formales y derivarlos de un conjunto bien determinado de axiomas y definiciones.

Fórmula.

Forma establecida para representar un argumento o una regla lógica.

Fórmula bien formada.

Proposición lógica formalizada conforme a las reglas de formación de las proposiciones y de la representación de signos.

Función de verdad.

Proposición compuesta en la cual el todo depende del valor de verdad de las partes.

Hipotético.

Una proposición es hipotética cuando su enunciado está sometido a una condición. Un silogismo es hipotético cuando tiene una premisa que es una proposición hipotética.

inferencia.

Conexión de dos o más proposiciones o juicios por lo cual se deriva la verdad de un enunciado de las verdades de otro u otros.

implicación.

Relación de consecuencia entre dos proposiciones.

Juicio.

Es una afirmación o aseveración lógica.

Lógica simbólica.

Llamada también lógica matemática o logística, se caracteríza por usar símbolos. Tiene como finalidad el cálculo de la inferencia. Mediante ella demostramos la validez de los argumentos.

Lógica

Parte de la lógica simbólica que tiene por objeto

proposicional. demostrar la validez de un argumento a través de la relación que se da entre las proposiciones que lo forman. Monádico.

Término que expresa la conectiva lógica de la negación.

Oración.

Expresión lingüística mediante las cuales se afirman o expresan las proposiciones. 1 9 4

D E M U E S T R A LA V ALID E Z F O R M AL D E AR GU M E N T O S

Persuadir.

Ganar el asentimiento de alguien por cualquier medio no violento.

Prueba.

Operación lógica por la cual se establece la verdad de una proposición.

Prueba formal de validez.

Se llama así al proceso de enlistar la cadena de inferencias en la demostración de un argumento, justificadas por reglas lógicas.

Portador de verdad.

Se le llama así a las expresiones de las cuales se puede predicar la verdad o falsedad.

Proposición.

Es un juicio, enunciado y oración que puede ser afirmativo o negativo. Se caracteriza porque puede ser verdadero o falso.

Regla lógica.

Una estructura argumental que por ser válida es usada para demostrar un tipo de inferencia deductiva.

Reglas de inferencia.

Esquemas o fórmulas de argumentos válidos.

Reglas de equivalencia.

Esquemas o fórmulas de argumentos que tienen el mismo valor de verdad y pueden ser sustituibles en una prueba de demostración formal.

Silogismo:

Razonamiento deductivo en el cual las premisas enlazan dos términos con un tercero, y la conclusión expresa la relación de esos dos términos entre si

Símbolo.

Lo que en virtud de una convención sirve para designar una cosa.

Significado.

Contenido de ciertos signos o sonidos que son producidos por seres humanos y que por ello permiten que se forme un lenguaje.

Tabla de verdad.

Tautología.

Proposición cuyos posibles valores siempre son verdaderos.

Unívoco.

Que sólo tiene un significado.

Validez.

Decir que un argumento es válido equivale a afirmar que su conclusión se deduce lógicamente de sus premisas.

Variables.

Símbolos como x, y y z, que representan cualquier tipo de individuos u objetos.

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LÓGICA II

Válida.

Razonamiento que tiene valor demostrativo.

Validez.

Conformidad de un juicio con las leyes lógicas y derivadas de él a partir de otros enunciados. Se trata de una meramente formal.

Verdad.

Correspondencia de una proposición con los objetos de que ella habla.

Verificación.

Método que permite probar o establecimiento de la verdad de un enunciado.

Veritativofuncional.

Dícese de las conectivas cuya término representa una relación que es una función de verdad de las proposiciones que la componen.

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Bibliografía general

Otros recursos http://www.filosoficas.unam.mx/~Tdl/TDL.htm http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/

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