Solución del la guía de trabajo RLC [Seleccio nar fecha]
MANTENIMIENTO ELECTRONICO INDUSTRIAL E INSTRUMENTAL INDUSTRIAL 28409
CENTRO INDUSTRIAL DE LA EMPRESA Y LOS SERVICIOS “C.I.E.S”
F
Solución del la guía de trabajo RLC [Seleccio nar fecha]
APRENDICES: SERGIO HERNAN CASTRO AGUDELO
INSTRUCTOR: HERNANDO GOMEZ PALENCIA
MANTENIMIENTO ELECTRONICO INDUSTRIAL E INSTRUMENTAL INDUSTRIAL 28409
CENTRO INDUSTRIAL DE LA EMPRESA Y LOS SERVICIOS “C.I.E.S”
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Solución del la guía de trabajo RLC [Seleccio nar fecha]
SOLUCCION a) A. La resistencia, inductancia y capacidad en un circuito RLC en paralelo son de 1000Ω, 12,5 H Y 2µF, respectivamente. • •
Calcular las raíces de la ecuación que describe la respuesta en voltaje del circuito. ¿la respuesta será subamortiguada, sobreamortiguada o amortiguada críticamente.
primero procedemos hallar ω0 y α , para determinar que respuesta de voltaje es:
α=
1 2 RC
α=
1 = 250rad / seg 2 * 1Κ * 2 µ
ω0 =
ω0 =
1 2 µ * 12.5
= 200 rad / seg
1 LC
v (t ) = A1ε S 1t + A2 ε S 2t
Como α> ω0, tenemos una respuesta de voltaje sobreamortiguada, hallamos las raices características de esta respuesta:
S1 = −α + α 2 − ω 0
2
S 2 = −α − α 2 − ω 0
F
2
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Sustituimos ω0 y α en cada una de las ecuaciones anteriores, para S 1 y S2, obtenemos:
S 1 = −250 + (250) 2 − (200) 2 = −250 + 150 = −100rad / seg
S 2 = −250 − ( 250) 2 − ( 200) 2 = −250 − 150 = −400rad / seg
b El valor inicial del voltaje v en un circuito RLC en paralelo es cero, y el valor inicial de la corriente en la bobina es de15 mA. La expresión de la corriente en el condensador es Ic(t)= A1е-100t+A2e-40t Cuando R=200Ω. Encuentre. •
El valor numérico de α, ωo, L, C, A1 y A2
•
La expresión de V(t)
•
La expresión de IR
•
La expresión de IL
la corriente de la bobina es de 15mA, y el voltaje del condensador V0 es de 0V, la corriente que circula por la resistencia es de 0Amp. Debido a esto podemos decir=
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IC= -IO (Ec 2) La ecuación 1 la cambiamos por la ecuación debido ala corriente
A1ε S1t + A2 ε S 2t = − I 0 A1ε ( −100*0 ) + A2 ε ( −40*0 ) = −15mA A1ε ( 0 ) + A2 ε ( 0 ) = −15mA A1 + A2 = −15mA (Ec3)
el voltaje de la bobina es: Vl = l
di dt
Vl di = l dt
el voltaje en el condensador es 0, obtenemos que: 0 di = l dt di =0 dt
Derivando la ecuación 1 se obtiene que: di = −100 A1ε −100 t − 40 A2 ε −40t dt
(Ec4)
sustituyendo la condición di/dt=0, en la ecuación 4,se obtiene: 0 = −100 A1ε −100*0 − 40 A2 ε −40*0 0 = −100 A1ε 0 − 40 A2 ε 0
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0 = −100 A1 − 40 A2 (Ec5)
De la ecuación 5, reemplazo A1, se obtiene que: A1 =
− 40 A2 100
A1 = −
4 A2 10
(Ec6)
De la ecuación 6, reemplazo en la ecuación 3: −
4 A2 + A2 = −15mA 10
− 4 A2 + 10 A2 = −15mA 10 6 A2 = −15mA * 10 − 150mA A2 = 6
A2 = −25m
la ecuación 6 el resultado A1: 4 * ( −25mA) 10 A1 = 10m
A1 = −
Como la RTA= es sobre amortiguada, por la forma de la ecuación de la corriente, tenemos raíces reales iguales o distintas, se hallan por la sgt ecuación: S1 = −α + α 2 − ω 0
F
2
(Ec7)
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S 2 = −α − α 2 − ω 0
2
(Ec8)
la ecuación 7, sustituimos ω0 : S1 + α = + α 2 − ω 0
2
2 ( S1 + α ) 2 = α 2 − ω0
2
2
S1 + 2S1α + α 2 = α 2 − ω 0 2
2
S1 + 2S1α + α 2 − α 2 = − ω 0 S 1 + 2 S1α = −ω 0 2
2
2
Multiplico por (-1) a ambos lados de la ecuación: 2 2 − S1 − 2S1α = ω 0 (Ec9) la ecuación 9, la reemplazo en la ecuacion8: 2
S 2 = −α − α 2 − (− S 1 − 2 S1 * α ) 2
S 2 = −α − α 2 + S1 + 2S 1 * α S 2 = −α − (α + S1 ) 2
S 2 = −α − (α + S1 ) S 2 = −α − α − S1 S 2 = −2α − S 1 S 2 + S 1 = −2α S 2 + S1 = −α 2 S + S1 − 2 =α 2 − S 2 − S1 =α 2
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Como S1=-100 y S2=-40, tenemos que: − (−40) − (−100) =α 2 40 + 100 =α 2 140 =α 2 α = 70rad / seg Frecuencia de nepper
Para hallar ω0, reemplazamos α en la ecuación 9 y obtenemos:
− (− 100) 2 − (2 * (− 100) * 70) = ω 0 − 10000 + 14000 = ω 0
4000 = ω 0
2
2
2
ω0 2 = 4000 ω = 4000rad / seg →63.2455rad / seg
frecuencia de resonancia
Como α>ω0, le respuesta de voltaje es sobre amortiguada. Para hallar los valores de L y c, se calculan a través de la frecuencia de neper)y la frecuencia de resonancia(ω0). α=
1 2 RC
70 =
1 2 * 200 * C
ω0 =
Despejo C y obtengo el valor del condensador: C=
F
1 2 * 200 * 70
1 LC
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C=
1 28000
Valor del condensador
C = 35.7142 µF
1
ω0 = L*
1 28000 2
1 1 L* = ω 28000 0
L*
2
1 1 = 2 28000 ω 0 L=
28000 4000
Valor de la bobina
L = 7H
Para hallar V (t), es necesario derivar la corriente del condensador, con las formulas del cuaderno: VL = L
di dt
Según la ecuación 4, Ic tiene una ecuación que la representa en el tiempo, por tanto: di = −100 A1ε −100t − 40 A2 ε −40t dt
(
V L = 7 * − 100 A1ε −100t − 40 A2 ε −40t
)
V L = (700 *10m)ε −100t − (280 * −25m)ε −40t V L = 7ε −100t − 7ε −40t t≥0
Lo que corresponde al voltaje, del circuito RLC para un t≥0 V L = 7ε −100t − 7ε −40t Voltaje del circuito RLC
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Para hallar IR , tuvimos q utilizar la ley de ohm: IR =
IR =
V( t ) R
7ε −100t − 7ε −40t 200
I R = (35ε −100t − 35ε −40 t )mA Corriente de la resistencia
Para hallar il, aplicamos ley de nodos: Il= -IR-IC I l = −(35mε −100t − 35mε −40 t ) − (10mε −100t − 25mε −40t ) I l = −35mε −100t + 35mε −40 t −10mε −100t − (−25m)ε −40t I l = −35mε −100t + 35mε −40t − 10mε −100t + 25mε −40t I l = (−45ε −100 t + 60ε −40t ) mA Corriente de la bobina
C... c) En un circuito RLC paralelo, la energía inicial almacenada es de 11.76 mJ. El voltaje inicial en el condensador es de 56 V y la fuente de corriente continua suministra 7 mA. Los elementos del circuito son R = 100KΩ, L=20H y C=2,5µF.
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•
Encuentre la solución de IL
•
Encuentre la solución de V(t)
•
Determine el valor máximo de V (t).
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Para conocer, que tipo de respuesta de voltaje presenta este circuito, hallamos la frecuencia de nepper(α) y la frecuencia de resonancia (ω0). α= α=
1 2 RC
ω0 =
1 2 * 100Κ * 2.5µ
α=
1 0 .5
ω0 =
1 LC 1 20 * 2.5µ
1
α = 2rad / seg
ω0 = µ rad / seg ω0 = 14150 .4213
Como ω0>α, la respuesta de voltaje es subamortiguada, cuya respuesta de voltaje y corriente se representa mediante las siguientes ecuaciones: 2
S1 = −α + j (ω 0 − α 2 ) (Ec1) 2
S 2 = −α − j (ω 0 − α 2 ) (Ec2) Reemplazando los valores α y ω0 en las ecuaciones 1 y 2, tenemos: 1 2 − ( 2) 2 S 1 = −2 + j 50 µ
1 S 1 = −2 + j 50 µ − 4
S1 = −2 + j19996 1 2 − ( 2) 2 S 2 = −2 − j 50 µ
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1 S 2 = −2 − j 50 µ − 4
S 2 = −2 − j19996
Además de hallar S1 Y S2 , también se debe calcular la velocidad angular amortiguada(ωd).
ω d = (ω 0 − α 2 ) 2
1
2
2 ωd = 50 µ − (2)
ωd = 20000 − 4 ω d = 19996 →141.4072rad / seg
Como la respuesta de voltaje es: V( t ) = B1ε −αt cos(ωd t ) + B 2 ε −αt sen(ωd t ) Como la condición inicial, Vc=56v, debemos: 56 = B1ε −α *0 cos(ωd * 0) + B 2 ε −α *0 sen(ωd * 0) 56 = B1ε 0 cos(0) + B 2 ε 0 sen(0) 56 = B1 * 1 + B2 * 0
B1 = 56
Para hacer la segunda condición es necesario conocer los valores de las corrientes del circuito RLC. iR =
F
Vc R
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iR =
56 100Κ
i R = 0.56mA
la corriente inicial en la bobina es 0 y la fuente de corriente continua es de 7mA, la corriente en el condensador se halla asi: I = i R + iC + i L
7 mA = 0.56mA + iC + 0 iC = −0.56mA + 7 mA iC = 6.44mA
Como
ic = C
dv dt
ic dv = C dt 6.44m dv = 2.5µ dt
dv = 2576v / s dt dV = B1 * (ε −αt * −α * cos(ωd t ) + ε −αt * ωd * −sen(ωd t )) + B2 (ε −αt * −α * sen(ωd t ) + ε −αt * ωd * cos(ωd t )) dt dV = B1 * ( −α * ε −αt cos(ωd t ) + ωd ε −αt * −sen(ωd t )) + B 2 ( −αε −αt * sen(ωd t ) + ωd ε −αt * cos(ωd t )) dt
Reemplazando en la segunda condición, tenemos que: 2567 = B1 * ( −α * ε 0 cos(0) + ω d ε 0 * −sen(0)) + B2 (−αε 0 * sen(0) + ω d ε 0 * cos(0)) 2567 = B1 * (−α * 1 * 1 + ωd 1 * 0) + B 2 ( −α * 1 * 0 + ωd * 1 * 1) 2567 = B1 * ( −α + 0) + B2 (0 + ωd ) 2567 = B1 * ( −α ) + B 2 (ωd ) 2567 = −αB1 + ωd B 2
F
(Ec3)
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Como B1=56, tenemos en la ecuación 3 para hallar B2: 2567 = −2 * 56 + 19996 B2 2567 = −112 + 19996 B2 2567 + 112 = B2 19996 B2 = 18.94528529 →18.94
ya se hallaron las constantes B1 Y B2, la ecuación queda asi: V(t ) = 56ε −2t cos(141.41t ) +18.94ε −2t sen(141.41t ) t≥0
Para hallar IL, la calculamos de acuerdo a la respuesta de voltaje: I l = I + B1ε −αt cos(ωd t ) + B2 ε −αt sen(ωd t ) 0 = 7 m + B1ε −α*0 cos(ωd * 0) + B2 ε −α*0 sen(ωd * 0)
0 = 7 m + B1 * 1 * 1 + B2 * 1 * 0 0 = 7 m + B1 B1 = −7 m
dI l = B1 * (−α * ε −αt cos(ω d t ) + ω d ε −αt * −sen(ω d t )) + B 2 ( −αε −αt * sen(ω d t ) + ω d ε −αt * cos(ω d t )) dt dI l Vl = dt L
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dI l 56 = dt 20 dI l = 2.8 dt 2.8 = B1 * ( −α * ε 0 cos(0) + ω d ε 0 * −sen(0)) + B 2 ( −αε 0 * sen(0) + ωd ε 0 * cos(0)) 2.8 = B1 * (−α * 1 * 1 + ωd * 1 * 0) + B2 (−α * 1 * 0 + ωd * 1 * 1) 2.8 = B1 * (α + 0) + B 2 (0 + ωd ) 2.8 = αB1 + ωd B2 2.8 = 2 * −7 m + 19996 B 2 2.8 = −0.014 + 19996 B2 2.8 + 0.014 = + 19996 B2 2.814 = B2 19996 B2 = 19.89997492m →19.89m
I l = 7 m − 7 mε −2 t cos(141.41t ) +19.89mε −2t sen(141.41t ) t≥0
El valor máximo en el voltaje se obtiene derivando V(t) y reemplazando para un t=0. dv = −αB1 + ωd B 2 dt dv = −2 * 56 + 141.41 * 18.94 dt
dv = −112 + 2678.3054 dt dv = 2566.3054V / s dt
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La energía inicialmente almacenada en el circuito RLC serie con interruptor es cero. Halle Vo(t) si el la fuente de voltaje es de 60V, L=82,5mh R=250Ω y C=62,5µF. Entonces primero buscamos el alfa y wo W0 = 1_ √LC
α = _R_ 2.L
W0 = _1_ √82,5×62,5×10 −6 W0 = 10 9 82,5×62,5 W0 = 440,38 rad/seg
α=
250____ 2×82,5×10 −3
1,5 K Rad./seg Ya con las respuestas procedamos a buscar wd: W0 ≥
α SUBAMORTIGUADO
Wd = √(440,38) 2 (1,5) 2 Wd = √193,86 – 2,25 Wd = 13,8 Ya con el wd hallamos el s1 y el s2: S1 = -
α jwd
S1 = -1,5×10 3 - 13,8 rad/seg
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S2 = -1,5×10 3 + 13,8 rad/seg Hallar el :
dv = ic dt c dv = 0 dt v(t) = B1e − át cos wdt + B2 e sen wdt Dt
− + V Dv = B1 e α + α
0 = B1 + α B1 = 60 V Dv = B1{ - α e − át cos wdt – α t wdt – sen wdt}+ B2{- α e – α t sen wdt e – α wd Dt (αw αwdt)} Ǿ = B1 {- α e 0 cos Ǿ + 0 wd ( - sen Ǿ)} + B2 ( - α e 0 sen Ǿ + e 0 wd cos Ǿ)} Ǿ = B1 { ( - α e 0 sen Ǿ + e 0 wd cos Ǿ)} Ǿ = B1 – B1 α + B2 wd B1 α = B2 wd B2 = B1 α Wd
B2 = 60×1,5 13,8
B1= B2wd Α
B2 = 6,5
B2 = B1 α wd
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