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DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO Shirley K. Zabala L. C.I. 20.188.734

Parte I. Desarrollo

1. ¿Qué es estabilidad en los Sistemas de Control en Tiempo Discreto?

2. ¿Cuáles son los pasos para analizar el error en estado permanente para los Sistemas de Control en Tiempo Discreto?

3. ¿Qué es Levantamiento?

Tiempo

de

4. ¿Qué es sobrepaso máximo?

5. ¿Qué diferencias existe entre el cálculo y dibujo de las trazas del Diagrama de Bode en Tiempo Continuo y en Tiempo Discreto?

¿Qué es estabilidad en los Sistemas de Control en Tiempo Discreto?

Análogo a los sistemas continuos, un sistema discreto es estable si, sometido a una señal de entrada de amplitud limitada, responde con una señal de salida también limitada.

La estabilidad de un sistema de control en tiempo discreto, se puede determinar por medio de las localizaciones de los polos en lazo cerrado en el plano z, o por las raíces de la ecuación característica: P(z)=1 +GH(z)=0 L

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Para que el sistema de control en tiempo discreto sea estable, de cumplir con 3 criterios generales: ➢Los polos en lazo cerrado o las raíces de la ecuación característica deben presentarse en el plano z dentro del círculo unitario. Cualquier polo en lazo cerrado exterior al círculo unitario hace inestable al sistema. ➢Si un polo simple se presenta en z=1, entonces el sistema se convierte en críticamente estable.

También el sistema se convierte en críticamente estable si un solo par de polos complejos conjugados se presentan sobre el circulo unitario en el plano z. Cualquier polo múltiple en lazo cerrado sobre el círculo unitario hace al sistema inestable. ➢Los ceros en lazo cerrado no afectan la estabilidad absoluta y por lo tanto pueden quedar localizados en cualquier parte del plano z.

¿Cuáles son los pasos para analizar el error en estado permanente para los Sistemas de Control en Tiempo Discreto?

Los sistemas de control en tiempo discreto pueden clasificarse según el número de polos en lazo abierto en z=1 de una función de transferencia de pulso en lazo abierto.

Sea una función de transferencia pulso en lazo abierto cualesquiera, se tiene:

Pasos: 1. Determinar el tipo de sistema de la función. Se tiene 3 tipos de sistemas, tipo 0 (N=0), tipo 1 (N=1) y tipo 2 (N=2). Esto se hace buscando los polos y ceros en z=1 que tiene la función de transferencia, si no tiene ni polos, ni ceros, el sistema es de tipo 0.

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2. Una vez que sabemos el tipo de sistema, suponemos que el sistema es estable, para que de esa forma se puede aplicar el teorema de valor final, y asĂ­ determinar los valores en estado permanente.

Esto es:

3. A partir del diagrama de bloque de un sistema en tiempo discreto dado, se toma las entradas y salidas del sistema, y con ellas hacer la relaciĂłn de la funciĂłn de transferencia, resultando en:

4. Se unen las ecuaciones anteriores, quedando:

Se consideran 3 tipos de entradas, escalón unitario, rampa unitario y de aceleración unitaria. La más comun es la entrada de escalón unitario.

5.

Dependiendo del tipo de entrada del sistema, se resolverá el límite mostrado en el paso 4.

¿Qué es Tiempo Levantamiento (Tr)?

de

Es el tiempo que requiere la respuesta para pasar de 10% hasta 90%, de 5% a 95% o de 0% a 100% de su valor final, según la situación.

Para sistemas de segundo orden subamortiguados, por lo regular se utiliza el tiempo de levantamiento de 0% a 100%.

Para sistemas sobreamortiguados y sistemas con atraso de transporte, comúnmente se utiliza el tiempo de levantamiento de 10% a 90%.

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¿Qué es Sobrepaso máximo (Mp)?

El sobrepaso máximo es el valor máximo de la curva de respuesta medido a partir de la unidad.

Si el valor final en estado permanente de la respuesta difiere de la unidad, entonces es común utilizar el sobrepaso porcentual máximo.

Queda definido por la relación:

La cantidad de sobrepaso máximo (en porcentaje) indica en forma directa la estabilidad relativa del sistema.

4

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Fig. Curva de respuesta escalรณn unitario que muestra las especificaciones de respuesta transitorias , entre ellas: Mp y Tr

¿Qué diferencias existen entre el cálculo y dibujo de los trazos del Diagrama de Bode en Tiempo Continuo y en Tiempo Discreto?

Tiempo Continuo

Tiempo Discreto

• Las respestas de frecuencia pueden producirse, debido a que al ser continua genera un patrón que puede ser deducido facilmente sin requerir calculos.

• No se pueden obtener respuestas de frecuencia con sólo observ ar ya que pueden cambiar con un determinado ev ento, sin mostrar continuidad alguna.

• Si el modelo del sistema es una ecuación diferencial, en tiempo continuo el tiempo es infinitamente div isible.

• Si el modelo es una ecuación diferencial, en tiempo discreto el tiempo se considera div idido en periodos de v alor constante.

Parte II. Práctico

• Criterio de Estabilidad de Jury • Criterio de Estabilidad de Routh • Transformación bilineal

Criterio de Estabilidad de Jury El criterio de estabilidad de Jury, también conocido como critario de Jury-Blanchard, da las condiciones necesarias y suficientes para que las raíces de P(z) se hallen en el interior del círculo unitario (condición de estabilidad estricta).

Se debe verificar que:

Y además han de cumplirse las (n-1) restricciones:

Finalmente realizar una tabla o arreglo

El criterio de estabilidad de Jury, también conocido como critario de Jury-Blanchard, da las condiciones necesarias y suficientes para que las raíces de P(z) se hallen en el interior del círculo unitario (condición de estabilidad estricta).

Se debe verificar que:

Y además han de cumplirse las (n-1) restricciones:

Finalmente realizar una tabla o arreglo

En el que los demas elementos se determinan por medio de las tabulaciones:

Transformación Bilineal/ Criterio de Estabilidad de Routh Este método de análisis de estabilidad de sistemas de control en tiempo discreto, requiere de la transformación del plano z a otro plano complejo, el plano w.

La transformación transformación:

bilineal

consiste

en

la

Puede ser en función de w.

En el análisis de estabilidad, utilizando la transformación bilineal junto con el criterio de estabilidad Routh, en lugar de z en la ecución característica:

Se cambia z a:

Si se simplifican las fracciones multiplicando por

Se obtiene la siguiente ecuaciรณn:

Una vez transformada P(z) a Q(w), se puede aplicar el criterio de estabilidad de Routh como se hizo en sistemas de control en tiempo continuo.

•EJERCICIOS