MANUAL DE FISICA I

“ Año del Centenario de Machu Picchu para el Mundo”

1

Temas:    

Análisis Dimensional Análisis Vectorial Cinemática I Cinemática II

Docente: 

Sadith Cordoba

Grado: 

5°

Sección: 

“G”

Prólogo Este folleto está elaborado para alumnos del 5° año de secundaria por su diseño moderno, práctico y ameno de aprender los temas: análisis dimensional, análisis vectorial y estática.

Con el objetivo de presentar contenidos con claridad y sencillez para un mejor entendimiento de acuerdo con la edad del lector.

El presente folleto está ilustrado profusamente con figuras, croquis, diagramas, y ejemplos, que facilitan la manera de captar los conceptos que se exponen en todo el desarrollo del texto.

En cuanto a la estructura del texto todos los capítulos presentan los siguientes procedimientos: 1. INFORMACION BASICA: temas básicos acompañados de ejemplos y practicas a desarrollar.

2. AUTOEVALUACION: evaluación practica y teórica para medir los conocimientos del estudiante 3. LABORATORIO: experiencias de laboratorio que refuerzan las capacidades.

4. LECTURAS: se ponen notas históricas, filosóficas, científicas y tecnológicas motivando en el saber del estudiante.

2

3

ECUACIONES DIMENCIONALES Son aquellas ecuaciones dimensionales que sirven para expresar la relación existente entre las magnitudes derivadas y las magnitudes fundamentales, son de tipo algebraico que valiéndose de las unidades fundamentales son representadas por las letras: M, L, T. OBJETIVO: Aplicar el análisis dimensional en el despeje de fórmulas y en la obtención correcta de unidades.

PRINCIPIO DE HOMOGENIEDAD DIMENSIONAL Toda ecuación física correcta es dimensionalmente homogénea, esto quiere decir que cada sumando de una formula física debe tener la misma ecuación dimensional.

Permite averiguar que dimensiones ha de tener una constante para que una ecuación sea posible.

MAGNITUDES FISICAS Es toda propiedad de los cuerpos que puede medirse por ejemplo: la presión, el volumen, la temperatura, el tiempo, la velocidad.

Algunos tipos de magnitudes son: Magnitudes extensivas e intensivas Una magnitud extensiva.- es una magnitud que depende de la cantidad de sustancia que tiene el cuerpo o sistema. Las magnitudes extensivas son aditivas. Si consideramos un sistema físico formado por dos partes o subsistemas, el valor total de una magnitud extensiva resulta ser la suma de sus valores en cada una de las dos partes. Ejemplos: la masa y el volumen de un cuerpo o sistema, la energía de un sistema termodinámico, etc.

4

Una magnitud intensiva.- es aquella cuyo valor no depende de la cantidad de materia del sistema. Las magnitudes intensivas tiene el mismo valor para un sistema que para cada una de sus partes consideradas como subsistemas. Ejemplos: la densidad, la temperatura y la presión de un sistema termodinámico en equilibrio.

En general, el cociente entre dos magnitudes extensivas da como resultado una magnitud intensiva. Ejemplo: masa dividida por volumen representa densidad Magnitudes escalares, vectoriales y tensoriales 



Las magnitudes escalares son aquellas que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas para su medida. Las magnitudes escalares están representadas por un número. Podemos decir que poseen un módulo, pero que carecen de dirección y sentido. Su valor puede ser independiente del observador ( la masa, la temperatura, la densidad, etc.) o depender de la posición o estado de movimiento del observador ( la energía cinética) Las magnitudes vectoriales son aquellas que quedan caracterizadas por una cantidad (intensidad o módulo), una dirección y un sentido. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa mediante un segmento orientado.

Ejemplos de estas magnitudes son: la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, intensidad luminosa, etc.

Además, al considerar otro sistema de coordenadas asociado a un observador con diferente estado de movimiento o de orientación, las magnitudes vectoriales no presentan invariancia de cada uno de los componentes del vector y, por tanto, para relacionar las medidas de diferentes observadores se necesitan relaciones de transformación vectorial. En mecánica clásica también el campo electrostático se considera un vector; sin embargo, de acuerdo con la teoría de la relatividad esta magnitud, al igual que el campo magnético, debe ser tratada como parte de una magnitud tensorial.

5



Las magnitudes tensoriales son las que caracterizan propiedades o comportamientos físicos mediante un conjunto de números que cambian tensorialmente al elegir otro sistema de coordenadas asociado a un observador con diferente estado de movimiento o de orientación.

AL APLICAR UNA ECUACIÓN DIMENSIONAL O FÓRMULA FÍSICA, DEBEMOS RECORDAR LAS SIGUIENTES REGLAS: 1. Las dimensiones de las cantidades físicas a ambos lados del signo de igualdad, deben ser las mismas.

2. Sólo pueden sumarse o restarse cantidades físicas de la misma dimensión.

3. La ecuación dimensional de números (diferente de cero) de ángulos,

funciones

trigonométricas,

logaritmos

y

de

constantes adimensionales es igual a la unidad.

4. El exponente de una magnitud física es siempre una magnitud adimensional (esto significa que una magnitud física no puede aparecer en el exponente).

5. La suma o diferencia de las mismas magnitudes da como resultado las mismas magnitudes.

Ejemplo: L

+

L

=

L

L

–

L

=

L

6

UNIDADES BÁSICAS. MAGNITUD

NOMBRE

SÍMBOLO

Longitud

metro

m

Masa

kilogramo

kg 7

Tiempo

segundo

s

Intensidad de corriente eléctrica

ampere

A

Temperatura termodinámica

kelvin

K

Cantidad de sustancia

mol

mol

Intensidad luminosa

candela

cd

MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DECIMALES DE UNIDADES SI AUTORIZADOS MAGNITUD

NOMBRE

SÍMBOLO

RELACIÓN

Volumen

litro

loL

1 dm3=10-3 m3

Masa

tonelada

t

103 kg

Presión y tensión

bar

bar

105 Pa

UNIDADES DERIVADAS MÁS USADAS MAGNITUD FÍSICA

NOMBRE DE LA UNIDAD

SIMBOLO

Superficie (área)

metro cuadrado

m2

Volumen

metro cúbico

m3

Densidad

kilogramo por metro cúbico

kg/m3

Velocidad

metro por segundo

m/s

Velocidad angular

radián por segundo

rad/s

Aceleración

metro por segundo al cuadrado

m/s2

Aceleración angular

radián por segundo al cuadrado

rad/s2

Viscosidad cinemática

metro al cuadrado m2/s por segundo

Concentración molar

mol por metro cúbico

mol/m3

Densidad de corriente ampere por metro A/m2 eléctrica cuadrado Momento de inercia

kilogramo metro cuadrado

kg.m2

8

9

10

E

l hombre siempre se ha visto en la necesidad de realizar mediciones y por ese motivo comenzó a crear diversas unidades de medida, pero sucede que año tras año se han creado tantas unidades que no hicieron más que causar el caos y confusión en las relaciones humanas.

Esto obligo a contar con una medida universal basada en un fenómeno físico natural e invariable.

Fue Gabriel Mouton, Vicario de la iglesia de Saint Paul en Lyon, Francia, considerado como precursor del Sistema Métrico, quien propuso en 1670 adoptar comunidad de medida la longitud de un arco de un minuto de circulo terrestre máximo, que fue llamada MILLIARE o MILLE y estuvo sujeta a la división decimal.

El Sistema Métrico decimal es el primer sistema que se reconoce internacionalmente, en el Perú, fue aceptado y promulgado por el presidente constitucional MIGUEL DE SAN ROMÁN el 29 de noviembre de 1862.

Para analizar y resolver toda materia concerniente al Sistema Métrico se crea el BOUREAU INTERNACIONAL DE PESAS Y MEDIDAS (BIPM) como organismo técnico y la CONFERENCIA GENERAL DE PESAS Y MEDIDAS (CGP) como el organismo de mayor jerarquía.

MAGNITUD

ECUACIÓN DIMENSIONAL

11

En el Perú se adopta legalmente el S.I. como Sistema de Unidades de Medida, mediante la Ley Nº 23560 del 31-12-1982 y de reforma mediante Ley DS - 060 y DS - 083 – ITI/IND del 20-08-1984 donde se fijó para la adopción integral del S.I. un plazo máximo de 5 años a partir de dicha fecha.

Área Volumen Densidad Frecuencia Velocidad Aceleración Velocidad angular Aceleración angular Fuerza Peso Energía Trabajo Presión Peso especifico Capacidad calorífica Impulso Cantidad de movimiento Carga eléctrica Calor especifico Caudal Viscosidad Potencial eléctrico Iluminación Campo eléctrico Constante de gases ideales Potencia

L² L³ ³ ¹ ¹ ² ¹ ²

12

² ² ² ² ² ² ¹ ¹ ¹ IT ¹ ¹ ¹ ³ ² ³ ¹ ³

Ejercicios 1. Halle la ecuación dimensional de c en la expresión:

 mv 2  P  PO  2.C . B. E  1 e  M= Masa

V= Velocidad

a)

b)

E= Energía

B= Temperatura

c)

2. Si R es la distancia, hallar las dimensiones de x para que la ecuación sea D.C.

x a)

⁄

b)

3

R 3 R 3 ...

⁄

c)

3. Hallar x + y + z = ? en F = Mx + y . Ty . D z F = Fuerza M = Masa T = Tiempo D = Densidad a) 2

b) 1

c)

3

4. Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta: Hallar x – 3y F = BZ . A-Y . VX F = Presión a) -2

B = Fuerza b) -3

A = Volumen

V = Longitud

c) 5

5. F=fuerza (Newtons), Vo,V=velocidades, A=área, m es la masa y x es la distancia. Hallar las dimensiones de K y B

1 1 a) L T y L T

b)

c)

13

6. Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea.

Hallar x + y Y F X  K . A .B 2 a

F=Fuerza

k=Número B=Frecuencia

a) 5

7. Hallar: P= Presión [B] = ?

b) 2

a=área

A=densidad

c) 3

X . cos   P.B.e xmt PI t = Tiempo

a)

b)

m = Masa

e=3

I = Impulso

c)

8. Hallar la magnitud de K.C , si la ecuación dada es dimensionalmente correcta

K 2  F .P 3  m = masa a = aceleración a)

V = Volumen F = Fuerza b)

m V .a.C P = masa . velocidad

c)

9. Hallar la ecuación dimensional de y

 v.va . p1   A1.T . A2     p p 2  2  M   2 v. A1 .F2 t = tiempo a)

w = Trabajo b)

c)

14

xF yk   z.R  Q D h

10. Hallar ] en: R=radio K=carga eléctrica h=altura f=fuerza a)

Q=caudal

b)

11. Si:

d=densidad

c)

 .x.v   a.log  Fy at

15

es dimensionalmente

homogénea, ¿Cuáles son las dimensiones de x.y? a= aceleración lineal v= velocidad lineal t= tiempo fuerza a)

b)

f=

c)

12. Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea:

P  q2 R y S x P = presión

q= fuerza R=volumen

a) -2

13.

Hallar: x-3y

b) -3

c) -4

 v.va . p1   A1.T . A2     p p  2  2  M  2 Sabiendo que: v. A1 .F2

E= x.y.z A= área B= aceleración C= velocidad a)

S=longitud

⁄

b)

⁄

c)

Calcular:

14. Hallar el valor de “z” para que la ecuación siguiente sea dimensionalmente correcta:

pv

z 1



2

f Dy

log z 8

 cos x 

z y

V= volumen F= fuerza P= presión a)

b)

16

c)

15. Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea, calcular los valores de “x” e ”y” 0, 3sen30º  r.cos    20 Isen30º 

x

  rn cos  

50  rsen    rn  1sen  3

I=

m = masa

a)3 16.

m

3

= radios

b)4

c) 5

En la homogeneidad, halle [x]

 a1  a2  T x

 4 log N  P1  P2  v

velocidad a2 a1= aceleraciones T= tiempo PP 1 2  presiones a)

b)

c)

17. Hallar la ecuación dimensional de “x” en la siguiente expresión:

1 x log 3  2 h= altura a)M

y

 h  h  p   p   p= presión

b)

c)

= aceleración angular

V=

18. Determinar las dimensiones que debe tener Q para que la expresion W dimensionalmente homogénea W= 0,5mcx + Agh+BP x

x

B Siendo: Q= A .

W= trabajo m= masa c=velocidad AB= constantes dimensionales G= aceleración h=altura P= potencia a)

⁄

b)

c)

19.

Para la ecuación siguiente sea dimensionalmente correcta. Hallar:

x  xt2  k .e.cos  1  k  T1 Y t2= son tiempos a)

e= distancia b)

20.



1 2

Donde:

K= constante c)

Halla la magnitud de M:

 v.va . p1   A1 .T . A2     p p 2  2  M   2 v. A1 .F2 Donde: V= volumen P1=peso A2=aceleración F1= fuerza a)

b)

va=velocidad angular P2=presión A1=área =trabajo F2= frecuencia c)

17

DESARROLLO 1. EJERCICIO Nº 01

K  Ax  By 2  Cz 2  3ML2T 3

θ-1 = C 2. EJERCICIO Nº 02

18

 x   3 R 3 R 3 R...

X

 x  3 R  x 2  x  R  x  L 1

x  = L

2

3. EJERCICIO Nº 03

F 

 M 

x y

 T    D  y

z

MLT 2  M x  y  T y  M z L3 z MLT 2  M x  y  z  L3 z  T y a )1  x  y  z 1 1 x2 3 10 x 3

b)

y  2

c)

1  3 z 1 z  3

→

x+y+z=1

4. EJERCICIO Nº 04

 F    B   A

y

z

V 

x

ML1T 2  M z LzT 2 z  L3 y  Lx ML1T 2  M

z

 Lz 3 y  x  T 2 z

* z=1

* z – 3y + x = -1 1 – 3y + z = - 1

x – 3y = - 2

19

5. EJERCICIO Nº 05

 F    K  .V  . A MLT 2   K  .LT 1.L2 ML1T 1   K  1 .V2 .B  exp  1 2 LT 1. B   1

 B   L1T 6. EJERCICIO Nº 06

F  2 a

  K    A   B  x

y

MLT 2 3 x 1 y  ML  T     L4 ML3T 2  M x  L3 x  T  y

* x=1 +1

* - 2 = -y y=2 x+y=3

*x+y=2

7. EJERCICIO Nº 07 xmt  # exp  1

a)

 x  M T   1  x   M 1T 1  x

b)  P  I    cos     P  B  E 

xmt

M 1T 1  ML1T 2  B  1 2 1 ML T  MLT 3 2 M T  ML1T 2  B 

B  = M-4 T 4L 8. EJERCICIO Nº 08 m vac

K 2  F  P3 

a)

K 2  F  P3

K  2 K  2 K  2 K  2

K2 

K 

2

M

2



 F   P

 MLT 2  M 3 L3T  M

4

L4T 5

 M

2

L2T 5/ 2

3

M va c M    v  a  c 

L2T

5/ 2



4

M L  LT 2 3

c

2

ML T M 2 L2T 5/ 2  M 1 L6T 9 / 2

c  c

3

 K c  M

ML-4 T 2

2

L2T

5/ 2

M

1

L6T 9 / 2

20

9. EJERCICIO Nº 09 a)

b) Sen  zw 

Cos  Et 

#=1

 E t   1  E   T 1

#=1

 z  w  1  z   M 1 L2T 2 21

a)

 y   y 

 Cos  Et     Sen  zw    3 E  z  T

1

1  M 1 L2T 2

 y  = ML2 T -1 10. EJERCICIO Nº 10

a)

b) xF Q D QD x F L3T 1  ML3 x MLT 2 x  L1T 1

c)

yK Q h Qh y K L3T 1  L y IT 4 y  L T 2 I 1

Hallar: zR  Q Q z R L3T 1 z L 2 1 z  LT

x y  z  L1T 1  L4T 2 I L2T 1

LI-1

11. EJERCICIO Nº 11 a)

 a  log    F  y   a  1   F  y  LT 2  LMT 2  y  LT 2 y LMT 2

 y   M 1

b)

  xv   at   1 xv a t x  LT 1 1 LT 2 x 1

12. EJERCICIO Nº 12  P  q2 R y S x

 P  q  R  S  2

y

x

ML1T 2   MLT 2   L3 y  Lx 2

ML1T 2  M 2 L23 y  x  T 4

 -1 = 2 – 3y + x -3+= x – 3y + 13. EJERCICIO Nº 13 2 2 2 3 K   Ax     By   Cz   3ML T    Ax    By 2   Cz 2   ML2T 3

2 3 *  A  x   ML T

 A x  ML2T 3 L2   x   ML2T 3  x  ML22T 3   x   MT 3

22

 x y  = M-1

*

 B  y 2   ML2T 3  B    y 2   ML2T 3 LT 2   y 2   ML2T 3  y 2   ML21T 3 2 1 1  y 2   MLT   y   M 1/ 2 L1/ 2T 1/ 2

*

Cz 2   ML2T 3 C   z 2   ML2T 3

23

L  T 1  z 2   ML2T 3  z 2   ML2 1T 31 1 2  z 2   MLT

 z   M 1/ 2 L1/ 2T 1 Por lo tanto:

E  x yz E   MT 3  M 1/ 2  L1/ 2  T 1/ 2  M 1/ 2  L1/ 2  T 1  E  M 11/ 21/ 2  L1/ 21/ 2  T 31/ 2 1 E  M 2 LT 9/ 2 14. EJERCICIO Nº 14

 P V 

 F   log  8  y z y  D   cos x  2

z 1

L1MT 2

z

 LMT  1 L    L M  1 3

x

2

z 1

3

y

L1MT 2  L3 z 3  Lx M xT 2 x L3 z  4  M  T 2  Lx  3 y M x  yT 2 x

De L: 3z – 4 = x + 3y 3z – 4 = 1 + 3 ( 0) 3z = 5 5 z   3

De M: 1=x–y 1=1–y y=0

De T: -2=-2x x=1

15. EJERCICIO Nº 15 20 Isen

0, 3sen30º  r cos   

20 Isen

0, 3sen30º  r cos   

50  rsen 50  rsen

 

3

3

x

  rn cos 

  rn  1sen x

 

y



y

m

3

  rn cos 

  rn  1sen



m

3

*  0, 3sen30º  r cos  



x

   rn cos   

 0, 3 sen30º  r   cos   x y y 1 1  Lx  1   L  1 x

x





y

 

 rn   cos   y

y

Lx  Ly x  y 20 Isen

0, 3sen 30º  r cos    50  rsen

2  20   mr    sen  

1  ML2  1





3

x

  rn cos 

  rn  1sen

 1  1  Lx   1 x   M  3  1   L3   1 

x = y =5

16. EJERCICIO Nº 16  a1

 a2   T  4  log N   P2  P1   V  x a1T  a2T  N  P2V  PV 1 x a1T  PV 1 x a1T  x PV 1 LT 2  T  x ML  T 2  L  T 1 1

M-1LT 2 = x

y

m

3

  0 , 3   sen 30º    r   cos   3 3  50 r   sen 

L5  Lx

a)





x

x

 m

24

17. EJERCICIO Nº 17 *n - n → n = n

*p + p → p = p

h  h  p       h  h  p  p    

1  x log 3  2

 x   x 

h p

 x 

L  ML1T 2 T 2



→



=



p



25

x  = M 18. EJERCICIO Nº 18

 w   m C    A g  h    B  P  a)  w   A g  h  ML2T 2   A LT 2  L  A  M b)  B  P    w  w  w  B    t   B   t  x

T

B c)

* -

 w   m C 

ML2T 2  M

x

 LT  1

x2

Finalmente:

 Q    A  B  2 1/ 2  Q    A  B   Q  = M2 T1/ 2 x

1/ 2

19. EJERCICIO Nº 19  xt = xt + L L=x.t x =LT-1

x

20. EJERCICIO Nº 20  v  va  p1   A1  T  A2     p2 p2     M  2 v  A1  F2

M

M M M

 L3  T 1  MLT 2   L2  ML2T 2  LT 2     ML1T 2 MLT 2    7 1 L T 4 3  ML T   ML 3T 4     ML 1T 2   MLT 2   L7  T 1 L5T 1  L2T 2  L7  T 1 T 3  1 T T -2

CLAVES 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

A C B A A A A B C C A B A B C B A B A C

26

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

27

2.

3.

4.

28

5.

6.

7.

29 8.

9.

10.-

11.

30

11.-

12.-

13.-

31

14.-

15.-

16.-

17.-

32

18.-

19.-

FÍSICOS CELEBRES GALILEO GALILEI Galileo tuvo conocimiento de que en Holanda se había inventado un tubo con una lente en un extremo, que permitía ampliar la visión de los objetos que se encontraban a gran distancia. Cuando lo supo, se le ocurrió utilizarlo para observar el firmamento.

Realizó importantes observaciones del firmamento. Vió que en el sol había unas manchas, lo cual refutaba la teoría de Aristóteles, acerca de un firmamento perfecto. También observó las fases de Venus, y la existencia de cuatro satélites alrededor de Júpiter.

Estos descubrimientos le ayudaron a creer y a avalar la teoría expuesta por el polaco Nicolás Copérnico unos años antes; lo que le costó la vida al ser ejecutado por la Inquisición por afirmar que la Tierra y los planetas se movían alrededor del Sol. ISAAC NEWTON En la época de Galileo, (por experimentos del mismo) se sabía que los cuerpos caían con la misma aceleración independientemente de su peso; y que los astros también obedecían a determinadas leyes de movimiento.

Newton dio finalmente una expresión matemática al movimiento de los cuerpos y de los astros. Enunció las siguientes leyes: # Un cuerpo permanece quieto o en reposo si no actúa sobre él una fuerza exterior. # La aceleración producida en un cuerpo es tanto mayor cuanto menor sea su masa y mayor sea la fuerza sobre él aplicada. # A toda fuerza (acción) se le opone otra (reacción).

JOHANES KEPLER

33

Kepler se dio cuenta de que las órbitas circulares no se ajustaban a las observaciones y buscó otras curvas que sí lo hicieran. Al utilizar la elipse, comprobó que la opción era correcta.

La elipse es una curva que parece una circunferencia aplastada.

Tiene dos ejes, uno más largo que el otro. Y en lugar de centro, como la circunferencia, tiene dos puntos, llamados focos, que se encuentran a la misma distancia del punto en donde se cruzan los ejes.

Enunció las siguientes leyes: # Los planetas describen elipses, en uno de cuyos focos está el sol. # El segmento de recta que determina el Sol con un planeta (llamado radio vector de un planeta), describe en tiempos iguales áreas iguales. # Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas son directamente proporcionales a los cubos de los ejes mayores de sus respectivas elipses.

TORRICELLI Matemático y físico italiano, discípulo de Galileo. Inventó el barómetro de mercurio. Enunció los principios que llevan su nombre: la velocidad de salida de un líquido contenido en un recipiente por un pequeño orificio situado a un desnivel h de la superficie, es la que poseería un grave que cayese libremente desde la altura h.

ROBERT HOOKE Estudió el movimiento de los astros; intuyendo la propagación ondulatoria de la luz, e hizo estudios sobre la gravedad.

Inventó el "Muelle de Balanza" y el Resorte en espiral para los relojes; estudiando las relaciones entre tensiones, y deformaciones en los cuerpos elásticos.

Enunció la ley que lleva su nombre: "Las deformaciones que experimentan los cuerpos, mientras no superen un cierto valor, son proporcionales a las causas que las producen".

34

THOMAS ALVA EDISON Considerado como el más importante y genial de los inventores americanos, pues registró unas 1300 patentes, muchas de ellas de gran significación y trascendencia. A él se deben el repetidor telegráfico, el telégrafo múltiple, el fonógrafo, la lámpara de incandescencia con filamento de carbón, aparatos para impresionar y proyectar películas, el micrófono, el acumulador de Fe-Ni, magnetos gigantes para dinamos…etc. Montó en Nueva York, en 1882, la primera central eléctrica. De joven fué un malísimo estudiante y manifestó siempre un gran desprecio por las Matemáticas.

JAMES MAXWELL Maxwell realizó muchos trabajos en el campo de la astronomía, pero su aporte mas conocido es haber descrito las propiedades de los anillos del planeta Saturno. Fue el primero en sugerir que estaban formados por fragmentos a los que llamó “cascotes voladores”*. Esta teoría sería comprobada un siglo después mediante la sonda espacial Voyager I.Estudió el calor el movimiento de los gases. Desarrolló una ecuación que describía la distribución de las velocidades de las moléculas gaseosas en relación con la temperatura. Así llegó a la conocida Teoría Cinética de los Gases de Maxwell-Boltzman.

En 1873 publicó Treatise on Electricity and Magnetism. Michael Faraday había descrito en forma cualitativa los fenómenos de la inducción electromagnética y los campos de fuerza. Maxwell encontró la forma de explicarlo desde la matemática e introdujo el concepto de “onda electromagnética”. De esta manera podía describir la interacción entre la electricidad y el magnetismo.

James Maxwell sostenía que en el futuro los sonidos e imágenes podrían llegar a viajar por el aire. Este “sueño” de Maxwell pronto se haría realidad. Ocho años después de su muerte Henrich Rudolf Hertz, en 1887, comprobaría que era posible generar ondas electromagnéticas.

35

 El misterio es la cosa mas bonita que podemos experimentar. Es la fuente de todo arte y ciencia verdaderos. (Físico y matemático alemán).

Albert Einstein.

 ¿Qué es el hombre dentro de la naturaleza? nada con respecto al infinito. todo con respecto a la nada. un intermedio entra la nada y el todo. (Matemático, físico, filósofo y escritor francés).

Blaise Pascal.  Cuando puedes medir aquello de lo que hablas, y expresarlo con números, sabes algo acerca de ello; pero cuando no lo puedes medir, cuando no lo puedes expresar con números, tu conocimiento es pobre e insatisfactorio: puede ser el principio del conocimiento, pero apenas has avanzado en tus pensamientos a la etapa de ciencia. (Matemático y físico escocés).

William Thomson Kelvin.  En cuestiones de ciencia, la autoridad de mil no vale lo que el humilde razonamiento de un sólo individuo.

(Astrónomo y físico italiano).

Galileo Galilei.

36

PUPILETRAS D T R A I I V E W N M D A Dimensional S E E Física U E L R Newtons F D Q G Trabajo O U A X Masa P Altura T E F MFuerza I E R E Tiempo N I N I Einstein G Y Q T A D A N M M B U X D U

B I U H N C I V B Z S N H T

A J O V N S T E A Y Q A LHomogénea X C L Análisis I I H T Magnitudes S Z O U Vectoriales I I M R Inercia SLongitud A O A STensión R G N AÁrea E E U A A N Y I C E P V O A U I G N O

P I S N O T W E N A Q D W L

B N V E C T O R I A L E S A

.

GLOSARIO HOMOGENEO: Que está formado por elementos con una serie de características comunes referidas a su clase o naturaleza que permiten establecer entre ellos una relación de semejanza TERMODINAMICA: Parte de la física que estudia los fenómenos en los que interviene la energía térmica VISCOSIDAD: resistencia que ofrece un fluido al movimiento relativo de sus moléculas ALGEBRAICO: Perteneciente o relativo al álgebra ANALISIS: Distinción y separación de las partes de un todo hasta llegar a conocer los principios o elementos de este

37

UNIDAD: Cosa completa y diferenciada que se encuentra dentro de un conjunto ECUACION: Igualdad entre dos funciones de dos o más variables.

SUMANDO: Cada una de las cantidades parciales que han de añadirse unas a otras para formar la suma ADITIVA: Que puede o debe añadirse SUBSISTEMA: conjunto de elemento interrelacionados en sí mismo, pero a la vez es parte de un sistema superior.

CAMPO ELCETRICO: Magnitud vectorial que expresa la intensidad de las fuerzas eléctricas. Se mide en voltios/metro

38

39

CONCEPTOS BÁSICOS MAGNITUD FÍSICA Propiedad de un cuerpo que puede ser medida. La masa, la longitud, la velocidad o la temperatura son todas magnitudes físicas. Las medidas de las magnitudes se realizan mediante las

unidades

de

medida,

establecidas

por

la

Unión

Internacional de Pesas y Medidas (UIPM), que forman el Sistema Internacional de unidades (S. I.) VECTOR: Es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física orientada.

Dirección de un vector: La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

Sentido de un vector: El sentido del vector

es el que va

desde el origen A al extremo B. Módulo de un vector El módulo del vector representa por

es la longitud del segmento AB, se

.

El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.

Suma de vectores

40

Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Método del paralelogramo Este

método

permite

solamente

sumar

vectores de a pares. Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando así un paralelogramo. El resultado de la suma es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.

Método del triángulo El origen de cada uno de los vectores se lleva sobre el extremo del otro. El vector resultante es aquél que nace en el origen del primer vector y termina en el extremo del último.

Método analítico para la suma y diferencia de vectores: Ley de Cosenos:

41

BATERIA DE ANALISIS VECTORIAL 1. Si la resultante de los vectores se encuentra sobre el eje vertical “y” Halle el módulo del vector C. Si A =

y B  10

c

g

A

10 2

37

45

42

x

37

B

20

a) 10

b) 16

c) 20

d) 30

2. En la figura calcular: B  B  C  D  E = 3u y

B  6U

A B D

a) 6u

c

E

b) 3 u

c) 10u

d)

16 2u

3. En el hexágono regular de lado “L” determinar el módulo de la resultante, si “O” es el centro del hexágono

0

a) 2L

b) 3L

c) 4L

e) 5L

4. Dos vectores A y B tienen una resultante máxima de 16 y una mínima de 4 ¿Cuál será la resultante de dichos vectores cuando estén formando 127º entre sí? a) 3

b) 5

c) 8

d) 10

5. Determinar el módulo del vector resultante del sistema 43

mostrado

2

2

105º

a) 10

b)

15º

2

c) 20

2/2

e) 3 2

6. En el paralelogramo ABCD mostrado, M y N son puntos medios de sus respectivos lados. Hallar el vector ( x  y) en función de los vectores a y b M

B

C

x

a

N

y A

a)

D

b

3 x  y  ( a  b) 2

b) x + y

c) 10

d) 20 3

7. Dados los siguientes vectores paralelos y cutos módulos son: 8U, B=2u y C= 3u. determinar en cada caso: A  B , A  C ; A  BC

A B

C

a)

C)

A B  6

A B 1

A  C  5

AC  5

A B C  9

B) A  B  C  20

A B  3

AC  0

AC  0

A  C  20

A  B  C  10

d)

44

A  B  C   6

8. Calcular el módulo de la resultante. Siendo el radio 10.

16º 37º

a) 5

b) 10

16º 37º

c) 20

d) 38

9. En el gráfico se muestra un triángulo con dos vectores en su interior. Si AB = 2N y BC=4N. Determinar el módulo del vector resultante.

60º

30 A

a) 2 7

b) 10

C

c) 20

d) 3

10. De la figura calcular el modelo de la resultante (en N) R 15u 16º 37º

a) 5

b) 20

c) 30

e) 3 2

11. hallar

la

magnitud

del

vector

R  A  B  C  D,

si

el

hexágono regular es de lado “I” C

D A

B a) l 7

b) l

c)

d) 15

l 10

45

12. En el hexágono de 6 cm de lado, es regular. Determine la magnitud del vector resultante, si M,N,O, son puntos medios.

M O N

7

a) 1

b) 7

c) 10

d) 17

13. Si: AB = AB = CD, determinar el módulo de la resultante, si el radio del cuarto de la circunferencia es:

a) 0

b) 1

c) 13

2 3

d) 20

14. En el sistema mostrado, calcular el valor de uno de los ángulos si son congruentes y “R” su resultante es igual a la menor de ellas F 2 2F1 

y F1 

x



F9

a) 3

b) 2

c) 45

d) 60

15. En la figura mostrada, determine el vector “X” en términos de los vectores A y B x

3A  B a) 6

72

b) 20

3A d) 2

c) 3

46

16. En el siguiente conjunto de vectores: si B  2u, C  3u, D  5u.

Hallar el módulo de la resultante.

70 10º C

B

A

D

a) 19u

b) 4 3u

c) 10 7u

d) 2 19u

17. Si la resultante de los vectores se encuentra en el eje “X” Hallar el módulo resultante.

32 20 93º

50

80

a) 26

b)

c) 40

30 2

d) 50u

18. En el triángulo mostrado, hallar el vector “ X ” en función de los vectores A y B, si se cumple que PQ  QR / 2 S

B

A

a)

2a  b 3

P

b)

2a 5

X

Q

c) 20

R

d) 2 3

19. El módulo de la resultante de dos vectores de igual modulo es el triple del módulo de su diferencia. Hallar el ángulo comprendido entre dichos vectores. a)40

b) 53

c) 60

d) 37

20. Halla la resultante de los vectores libres mostrados. Los 47

cuadrados son de lado I. A B

C

D

E

a) 1

b) 4

c) 5

d) 10

21. Hallar el módulo de la resultante de: 3a a 2a a

a a

a) 2a 3

b) 3ª

c)

4a 2

d) 10ª

CLAVE DE RESPUESTAS

Ejercicios Alternativa 1

C

2

D

3

A

4

C

5

A

6

A

7

A

8

D

9

A

10

B

11

A

12

B

13

B

14

C

15

A

16

D

17

A

18

A

19

D

20

C

21

A

48

DESARROLLO 1) A  10 2

3 5U

c 45

37º

C seno 37º

10 B = 5k=10 K=2

C seno 37º

x -C

37 4k  8

3k 6

C

A

 Cos 

3u 1  3 5N 5

B

20

BDE BBE 0

Rx =0 C cos 37 – 10 – 6 = 0

 B  D C  D

E

D

C cos 37 = 16  1  R  A  C  (3u ) 2  (3 5u ) 2  2(3u )(3 5u )   5

4 c   16 5 c

80 4

R  9u 2  45u 2  18u 2 R  72u 2

C = 20

R  6 2u

El vector c  20 2)

A B D

3)

c

M A

B

F

A B

E

E D

C

CD E

 C  (3u) 2  (6a) 2

C  9u 2  36u 2

A B0 F GE  E  E  0

c  4542

C  D0 F GE

c 3 5 4

R  A BC  D E  F G  H  I A BC  D E AC  B D E

Luego:

 AC

R  2L 4) R max = A + B = 16 R min = A – B = 4

R  102  62  2(10)(6) COS 27

a

N

y

  3 R  136  120   5 

Ia/2 D

R 8

5)

A

b En el I : x  a  ...(1) 2 a En el II : y  b  ...(2) 2

2

2

105º

b

15º

2

x y 

a b 2 2 3 x  y  ( a  b) 2

y (2)

7)

A  8u

2 2

Sumando (1) 3 3

B  2u

2

60

C  3u

45º 15º

Aplicamos la Ley de cosenos 2

A B 82 AC  83

A BC 823

A B  6

A B C  9

AC  5

R

45

8)

2

d

e

c

g

b

R  2 2  ( 2 ) 2  2(2)( 2 ) cos 45 16º

g

2 R  429 2 2

37º

R  10 B

b/2

M

C

 Fx  ?  Fy 16  ?

R   Fx  2

x

37º

a  10

R  429

6)

16º

2

 ( Fy ) 2

a  b  c  d  e  f  g  10

R  4 2  2 2  2(4)(2) cos 60

 Fx  a  b. cos 37ºCos 53  e cos 53  f cos 37º g

R  16  4  2(4)(2)

1 2

R  28  4.7  2 7

 Fx  0 10)

 Fy  bSen 37ºCSen 53ºd  eSen 53º f

R

sen37º 15u

4a= 16º 37º 18

28 a 5

15u = 25k

 20.Sen.37  20 Sen53º 10 3 4  20   20   10  15  5  38

K=

15 u 25

3 k u 5

R 2   Fx    Fy  2

16º

7k= 53

74

3a  7k 

3a  a

21 5

5u 25k

21 u 5 21 5

7 u 5

 4a  24k  R 28 72 u uR 5 5 100 uR 5 20  R

R 2  38 / 2 R  38

9)

11) 60 º

4 4 30

A

79 5

2

R 2  O 2  (38) 2

2

24k=

C

0º

Sea R  A  B  C  D  C  (B)  A  D 2

 Trasladamos el vector C a uma posición conveniente y notaremos que C  ( B)  A  PQ, tal que PQ  2Lasimismo PQ  D

Resolución

  l 3, asi pues, la resul tan te será : 2

R  PQ  D  R 

PQ  D

 (2 L) 2  (l 3 ) 2

2

R  A BC  D R  PQ

R l 7 l l Q

A

l

3 2

P  2 3

Q  2 3

P

PQ 

C

D

2

2

P  Q  2( P)(Q) Cos 30

B R  P  Q  ( 2  3 ) 2  ( 2  3 ) 2  2( 2  3 )( 2  3 )

R  2  3  2  3  ( 2  3 )2 3

A

12)

3 2N 2a S

M

6

R  4  2 3  (2  3 ) 3

3

R  42 3 2 3 3

S

O

B 3 N

R  1 R 1

x

AOB es ipo sec ho

R  ab

14)  3n  6 n2

R  43 R7

y F1 F1 sen b

a  2n a  2( 2)

F2 sen b

a4



D

13)

C



x

F1 Cos b F2 Cos b

F2 C

Q

Dato   

B

P B

30 30

A

A

30

3 2

Rx  F1 cos   F2 sen

X Y 2

Rx  F1 cos   2 F1 sen R y  F1 sen   F2 cos 

X

B  A B 3A  B      X  3 2 6 6

R y  F1 sen  2 F1 cos 

23

R 2  R 2 x  R 2 y, dato R  F1

16)

Luego:

C B

F 2 1  ( F1Cos  2 F1 Sen ) 2  ( F1 Sen   2 F1 cos  ) 2



F 1  F 1 (cos   2sen )  ( sen  2 cos  ) 2

2

2

2



A

D

R  A B C  D Q

36

A

10º C

B

1  (cos   2sen ) 2  ( sen  2 cos  ) 2 2sen . cos   1  sen2  1 2  90   45

15)

70

y B

30 60 x

18 3

36 3 M

60

12 3 30 30

C

D

B B

18

10º

m

12 3 72

A

S

24 3

BAm

De donde: D  C  m

V  2  12 3 V 2

PQM Y

12 3

Y

B 3

36 3

B A  DC

Triangulo vectorial

Igualamos (2) y (3): A  D  B  C 24

.B

Remplazando (4) en (1); R  A BC  D  ( A  D)  B  C

2 V  A Y 22  A

 (B  C)  B  C

B A B 2  3 2 6

Triángulo vectorial NQ,

 2( B  C )

C 70º 10º



70º

 80 sen  16  32  80 sen   16  32 48 3 sen  80 5 sen   Sen 37   37

Del gráfico:   70º10º  60º

S

18)

R  2 B C

 B 2 C 2  2 BC cos 60 0

B

A X

1  2 (2U ) 2  (3u ) 2  2(2u )(3u )  2 P

 2 19u

Q

R

Haciendo: PQ  m, entonces por 17)

condición del problema: QR  2m

Y=32

5k = 4 50

53º 3k=12

4k=16 X

Luego, aplicando el método del triángulo tendremos: Remplazando (1) en (2)

 80 cos  802 sen 

2( A  x)  B  x

x

2A  B S 3

B

A

P

ZVx = 12+80 cos  - 50

m 1

X

Q

2m 2

R

80 cos  - 38

V

y

0  R  80 cos   38 R  80 cos(37)  38 R  80(4 / 5)  38 R  64  38 R  26

19) AX

B  X 27

2 2 R  A  B  A  B  2 AB cos 

A  B  A2  B 2  2 AB cos 

Dato : A  B  3A  B



 X 2  X 2  2 X 2 cos   3 x 2  x 2  2 x 2 cos 



a  3 ; 3 b  6 ; 3



2 x  2 x cos   3 2 x  2 x cos  2

2



2

2

2 x 1  cos    3 2 x 1  cos   2

2

c   1 ; 0



d  0 ;  3

e   4 ; 0



R  4 ; 3

1  cos  3 1  cos 

R  4 2  32

1  cos  9 1  cos 

R  16  9

1  cos   9  9 cos 

10 cos   8  cos  

R  25 4  cos 37 0 5

12=5

   37 0

21) 3a a 2a a

a a

20)

Y

a b c

d

A=a

X

E

B=a C=a D = 3a E=a F = 2a 56

El vector resultante del sistema: R  A B C  D E  F

Ahora descomponemos el vector D  D1  D2 

D,

y sumamos los vectores A , B y C

A  B  C  R ABC

Observe que A2 y

R ABC

son paralelos de igual módulo D

y de sentido opuesto. Entonces: E D1

D2  R ABC  0

A

D2

F

R ABC C

B

El conjunto de vectores quedará reducido a E  D1

R  2E  F

31

2E

E

D1

F

60o

F

Finalmente calculamos el módulo de la resultante R

2E 2  F 2  22E F cos 60o

donde

R

2a 2  2a 2  22a 2a  1

2

R  2a 3

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Los vectores mostrados en al figura están relacionados entre sí mediante: B   A  C

y

donde  y  son números reales. Determinar y

A) 1/5 , -3/5 B) 1/5 , 1 C) 1/5 , -3/5 D) 1/5 , -3/5 E) 1/5 , -3/5

C

A

x

B

2. Determinar el módulo de la suma de los vectores A , B, C , mostrados en la figura, donde a) 3m b) 4m c) 6m d) 8m

A  8m , B  3m y C  5m

B

A x

C x

e) 9m 3. El hexágono regular mostrado tiene lado “a”. Determine el vector

E

en función del vector

a) 4C

b) 3C

c)

2C

d) 0

e)

3 / 2C

C.

Si E   2 A  2B  2D  C

B C

D

A

4. Determinar la resultante del conjunto de vectores mostrado en la figura.

57

E

a)

2A

b)

3E

D B

C

c) D  E d)

B

e)

0

A

5. Para los vectores mostrados en la figura No se cumple que: a) D  C  B  A b) A  E  B c) A  B  D  C d) E  B  A e) E  C  D

A

D

E B

C

58

            

A

T

L

V

E

C

I

S

J

Ñ

A

H

G

M

T

E

P

O

L

I

G

O

N

O

O

O

I

V

Y

F

O

P

U

E

S

T

O

P

P

X

E

D

G

D

C

C

O

L

E

D

X

P

A

V

E

C

T

O

R

E

S

C

S

U

A

M

D

S

O

P

N

D

O

A

O

D

D

R

E

N

E

L

I

C

Z

R

P

L

S

S

A

T

O

N

I

I

U

G

A

U

G

L

T

L

N

C

O

N

H

R

A

R

A

G

I

V

E

A

I

S

E

A

R

P

P

N

O

Z

F

L

T

G

G

A

E

E

L

A

D

X

A

H

O

L

U

D

L

M

N

I

O

K

M

N

A

I

U

A

U

E

U

T

T

L

U

I

T

E

X

S

L

U

S

S

E

Z

S

O

P

E

D

A

E

E

B

A

M

S

A

N

T

E

S

S

M

R

S

A

F

F

J

G

O

E

L

R

A

p

VECTORES PARALELOGRAMO METODO POLÍGONO LEY DE COSENO COLINEALES PARALELO IGUALES OPÙESTO CONCURRENTES DESLIZANTES RESULTANTE MAXIMA SUMA

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

BATERIA DE ESTATICA I

Nยบ 1

72

73

74

75

76

77

BATERIA DE ESTATICA I Nยบ 2

78

79

80

81

DESARROLLO – BATERIA DE ESTATICA I Nº 1

82

83

84

85

86

87

88

DESARROLLO – BATERIA ESTATICA I Nº 2

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

MOMENTO DE UNA FUERZA El momento de una fuerza se calcula como el producto vectorial entre la fuerza aplicada sobre un cuerpo y el vector que va desde un punto "O" (por el cual el cuerpo giraría) hasta el punto dónde se aplica la fuerza.

106

Módulo se calcula como: M = F d sen θ F = Módulo del vector fuerza d = Módulo del vector distancia θ = Angulo entre los dos vectores trasladados al origen.

BRAZO DE PALANCA Se trata de una máquina simple formada por un elemento rígido en dónde se encuentran la potencia, la resistencia y un punto de apoyo. Debido a que la suma de los momentos es cero, permite mover objetos pesados haciendo menos fuerza.

Pa=Rb Consideramos a P y a R como vectores paralelos, tal como en la posición horizontal de la palanca.

Palanca de primer grado

Es importante tener en cuenta que el punto de apoyo no necesariamente tiene entre la potencia y la resistencia.

Puede estar también en uno de los extremos como en los demás grados de palanca.

EJEMPLO Determine los brazos de palanca de las fuerzas que actúan sobre la barra, mostradas en la figura.

Solución:

Calculando el brazo de palanca de la Fuerza de 300 N. Observe que el brazo de palanca de la fuerza de 300 N corresponde al cateto opuesto al ángulo de 30º, Por lo su brazo es 2.5 m * sin 30º = 1.25 m Respuesta: El brazo de palanca de la fuerza de 3000 N es 1,25 m.

107

SIGNO (+) O (-) DEL MOMENTO DE UNA FUERZA Una fuerza aplicada a un cuerpo puede hacerlo girar en sentido de las agujas del reloj o al revés. Quiero decir esto: Como hay 2 sentidos de giro posibles, uno de los dos tendrá que ser positivo y el otro negativo.

CONDICIÓN DE EQUILIBRIO PARA FUERZAS NO CONCURRENTES Supongamos el caso de un cuerpo que tiene aplicadas fuerzas que pasan todas por un punto. Por ejemplo, un cuadro colgado de una pared.

Para estos casos, yo decía que la condición para que el tipo estuviera en equilibrio era que la suma de todas las fuerzas que actuaban fuera cero.Esto se escribía en forma matemática poniendo que ∑ Fx = 0 y ∑ Fy = 0.

Muy bien, pero el asunto de que R fuera cero, sólo garantizaba que el cuerpo no se trasladara .

Ahora, si las fuerzas NO PASAN POR UN MISMO PUNTO, puede ser que la resultante sea cero y que el cuerpo no se traslade. Pero el cuerpo podría estar girando. Mira el dibujito

108

En este dibujito, la resultante es cero, sin embargo la barra está girando. Esto es lo que se llama CUPLA (o par).

Una cupla son 2 fuerzas iguales y de sentido contrario separadas una distancia d. La resultante de estas fuerzas es cero, pero su momento NO. Al actuar una cupla sobre un cuerpo, el objeto gira pero no se traslada.

El responsable de la rotación es el momento de las fuerzas que actúan. Por eso es que cuando las fuerzas no pasan por un mismo punto, hay que agregar una nueva condición de equilibrio. Esta condición es que el momento total que actúa sobre el cuerpo debe ser cero. La ecuación es ∑ Mó = 0. Se llama ecuación de momentos. Al igualar la suma de los momentos a cero una garantiza el equilibrio de rotación. Es decir, que la barra no esté girando.

PARA QUE ESTÉ EN EQUILIBRIO UN CUERPO QUE TIENE UN MONTÓN DE FUERZAS APLICADAS QUE NO PASAN POR UN MISMO PUNTO, DEBE CUMPLIRSE QUE: ∑ Fx = 0

Garantiza que no hay traslación en x.

∑ Fy = 0

Garantiza que no hay traslación en y.

∑ Mó = 0

Garantiza que no hay rotación.

109

EJEMPLO Una barra homogénea de 20 kg de masa y 3m de largo, está sostenida por un pivote y una cuerda. En su extremo derecho cuelga una masa de 10 kg.

Determine; a) La fuerza de reacción en el pivote. b) la tensión en la cuerda.

Solución: Mbarra = 20 kg Mcolgante = 10 kg L = 3m Análisis traslacional

∑ Fx = 0 = Fx - Tx ∑Fy = 0 = Ty + Fy - 30 g

Análisis rotacional Tomando como punto de rotación el extremo izquierdo de la barra, se tiene:

110

Brazo de palanca de Fx = 0 Brazo de palanca de Fy = 0 Brazo de palanca de 20g = 1,5 m Brazo de palanca de 10g = 3 m Usando como giro positivo el sentido horario: 0 = T10g + T20 - TT 0 = 1,5 * 20 g + 3 * 10g - 3* sen 30º * T T = 60 g / [3 * sen30º] T =40 g Respuesta: La tensión de la cuerda superior es de 40 g.

TEOREMA DE VARIGNON El teorema de Varignon dice que el momento de la resultante es igual a la suma de los momentos de las fuerzas.

Vamos a ver qué significa esto. Fíjate. Suponerte que tengo un sistema de varias fuerzas que actúan. Calculo la resultante de ese sistema y obtengo una fuerza R.

Lo que dice el teorema es esto: supongamos que yo sumo el momento de todas las fuerzas respecto al punto A y me da 10 kgf.m (por ejemplo). Si yo calculo el momento de la resultante respecto de A, también me va a dar 10 kgf.m.

Eso es todo.

111

BATERIA DE ESTATICA II Nº1 1. Una viga horizontal uniforme de 8.00m de largo y 200N de peso, está unida a un muero por medio de una conexión tipo pasador. Su extremo alejado está sostenido por un cable que forma un ángulo de 53.0º con la horizontal.

2.90 2.91 2.92 2.93 2. ¿Cuánto deben valer “X” y “F” para que la barra mostrada de 800N permanezca horizontal y en equilibrio?

1.2m - 500N 3m - 450N 2.5m-200N 1m- 500N 3. La longitud del recorte sin deformar es 1 cm. Dtermina el valor de la fuerza “F” para que la barra homogenia de 10N se mantenga en posición horizontal (K=10N/cm) 30N 45N 70N 60N

112

4. Hallar la suma de momentos respecto al punto “A” según el caso: 200N-m 154N-m 205N-m 248N-m

5. Calcular la tensión del cable si la barra es de peso despreciable 2N 3N 1N 4N

6. Una viga horizontal homogénea de 10m de longitud y 200 de peso está fijada a la pared tal como nuestra la imagen, pudiendo rotar alrededor del punto de contacto.

El otro extremo está sujeto a una cuerda que hace un ángulo de 60ºcon la horizontal. Hallar la tensión del cable

380N 120N 480N 250N

113

7.Una pequeña polea ha sido colocada en el punto medio de una barra homogénea de 200N de peso. Calcular la reacción en el perno O 50N 50

N

40N 4

N

La figura muestra una varilla homogénea doblada en equilibrio, halle (b/a)2 0.6 0.5 0.4 0.9 9. Determine el modulo de la tensión en la cuerda si la barra homogénea de 20kg permanece en posición horizontal (g= 10 ).

120N 150N 144N 135N 10. Calcular las tensiones de las cuerdas A y B, si la barra homogénea pesa 120N, y el conjunto está en equilibrio 50N-70N 14N-15N 35N-45N 60N-65N

114

11. Determina la fuerza que soporta el resorte si la barra es homogénea y pesa 40N

150N 160N

115

170N 180N 12. Hallar el ángulo la barra homogénea.

para la posición de equilibrio de

45º 53º 37º 60º

Una viga tiene peso uniforme de 400N, en su extremo cuelga una carga de 1800N, determine la tensión en el cable amarrado a la pared vertical

2500N 2600N 300N 3200N

14. Un puntal homogéneo se mantiene en equilibrio apoyado en un borde liso y sujeto a la pared mediante la cuerda. Hallar 53º 30º 60º 37º 15. Una barra rígida homogénea doblada en L de 25 cm de longitud se mantiene en equilibrio. Determinar “x” en cm.

11 12 13 14 16. Hallar la tensión del cable si el peso de la barra homogénea es 20 N 40N 4 N 22N 17. Se muestra una tabla horizontalmente de 40 N y 8 cm de longitud, en uno de sus extremos es cuelga una pesa de 10N, determine las tensiones en las cuerdas A Y B 40N,10N 50N,20N 45N,60N 60N,25N.

116

BATERIA Nยบ 01 EJERCICIO Nยบ

ALTERNATIVA

1

D

2

A

3

C

4

A

5

C

6

C

7

B

8

A

9

B

10

A

11

B

12

B

13

A

14

D

15

B

16

D

17

A

117

BATERIA DE ESTATICA II Nº 2 1. En la barra homogénea mostrada en la figura, determinar la reacción en el apoyo y la posición en que debe estar una fuerza de 4N (hacia arriba) para que dicha barra permanezca en equilibrio. La barra pesa 2N. a) 4m b) 5m c) 5,5m d) 20m 2. Calcular las tensiones en los cables si la barra homogénea pesa 80N y el alumno pesa 60N.

a) 62N y 77N b) 76N y 64N c) 50N y 76N d) 60N y 80N 3. Hallar F que mantiene la placa en equilibrio si su peso es despreciable.

. .

a)990 b)995 c)1000 d)1500

118

4. Se muestra una varilla articulada de 4N de peso dispuesta verticalmente .calcule la tensión en el cable cuando F es horizontal y mide 10N y determine la reacción total en la articulación “O”.

a)0

b)10

c)4 d)2 5. Hallar la suma de los momentos respecto al punto “A” según el caso.

a)-300N-m b)-400N-m c)-202N-n d)-200N-m 6. Se muestra una varilla articulada de 4 N de peso dispuesta verticalmente. Calcula la tensión en el cable cuando F es horizontal y vale 10 N.

a)19N b)30N c)10N d)11N

119

7. Una persona ejerce una fuerza de 800N hacia abajo,sobre el extremo de una balanza de 1m de largo y el punto de apoyo se encuentra a 0,4m del otro extremo ¿Cuál será el peso que podrá mantener la balanza en equilibrio?

120

8. En la balanza de la figura el punto de apoyo no coincide con el centro de gravedad de la barra. Cuando se coloca un objeto en A la balanza se equilibra con 4kg.Cuando se coloca el objeto en B la balanza se equilibra con 9kg en A, luego el objeto pesa?

9. Una viga tiene un peso uniforme de 400N, en su extremo cuelga una canga de 1800N. Determine la tensión en el cable amarrado a la pared vertical.

a)2500N b)2400N c)3500N d)1000N

10. Sobre una barra actúan dos fuerzas paralelas, tal como se indica ¿A qué distancia de P actúa la resultante?

a)1m b)2m c)1,5m d)1,5cm

11. En la barra homogénea de 100N. de peso, calcular el siendo la longitud de la barra 8m. y la tensión en el cable 50N.

a)-300Nm b)200Nm c)-200Nm d)-100Nm

La viga ABC es de sección uniforme, su peso es de 40N. y está articulada. Hallar la tensión en el cable amarrado en el cable C a)60N b)30N c) 50N D)40N

121

13. Si la viga homogénea pesa 30N. Hallar la tensión T (en N).

a)70N b)30N c)60N d)90N 14. La barra homogénea pivotada a la pared esta sostenida en el extremo libre mediante una cuerda ligera que pasa sobre una polea. Si la barra pesa 400n. ¿Con que fuerza hay que jalar de la cuerda para que el sistema permanezca en reposo? Asuma que el segmento de cuerda ligado a la barra cuelga verticalmente.

a)740N b)130N c)205N d)200N 15. Se tiene una barra sin peso como se muestra .Calcular el valor de la fuerza resultante y su posición. a)4m b)8m c)1,5m d)2m

122

16. Determinar la reacción en los puntos de apoyo “A” y “B”, si la barra doblada es ingrávida y rígida. a)600N b)100N c)700N d)50N 17. La barra homogénea, doblada en A, es de 13Kg y se mantiene en reposo, al ejercerle una fuerza vertical de módulo 200N, en un punto sobre ella, determine el módulo del momento que producirá esta fuerza respecto de A.

a)20N.m b)1,8N c)18N.m d)15N.m

18. Se muestra una barra homogénea de 13Kg en reposo.

Determine el módulo de la tensión. (g=10m/s).

a)130N b)50N c)13N d)10N

123

19. El peso de la barra uniforme en equilibrio es 9N y mide L, en su extremo cuelga un bloque de 6N. La fuerza F que permite el equilibrio es horizontal y actúa en el punto medio de la barra. Hallar F

a)2,8N b)27,5N c)28N d)30N

20. Para que la barra homogénea de 160N se mantenga horizontal. Cuál es el valor de la fuerza vertical que debe aplicarse en el extremo B.

a)13N b)40N c)100N d)50N

124

CLAVE DE RESPUESTAS 1

B

2

B

3

C

4

C

5

D

6

C

7

C

8

D

9

A

10

A

11

C

12

B

13

C

14

C

15

B

16

C

17

B

125

DESARROLLO - BATERIA DE ESTATICA II Nยบ1 1.

126

127

DESARROLLO – BATERIA DE ESTATICA II Nº 2 Solución:

5. Solución: 100 N

200 N 1000 N

A 6m

53º

128 4m

Solución:

∑ MA= MA100+ MA1000+ MA200 ∑ MA= 100(6) + 0 + -200(4) ∑ MA= 600-800 ∑ MA= -200 Nm 6.

Solución

3.Solución:

4. Solución:

7. Soluci贸n:

129

Soluci贸n:

MOR = ∑ MOF 9.Solución:

MOR=M100N + MOT MOR=-100N (4m) + 50N (4m) MOR= -200 Nm 12. Solución: A

2 m

B

4 m

6 0

50 N

3 0

−

+

50 N

10 Solución:

130 C 6 0

− T

40 N

50 N

∑ MOF=0 50N

-MOT+ MOF + MOF =0 -MOT + MO50N + MO40N =0 -T(2m) + 50N(2m) – 40N(1m) =0 -2mT + 100mN – 40mN =0 100mN = 40mN + 2mT 60N=2T 11. Solución

30N=T T=50N

13 Solución: +

30

60 4m

4m

-

8m

100N

8m =2K

4m =K

17. Soluci贸n:

14. Soluci贸n:

15. Soluci贸n:

16. soluci贸n:

131

18. Soluci贸n:

20. Soluci贸n: 132

Del gr谩fico tenemos que:

19. Soluci贸n:

+ 3 L/2 sen37

L 7 / 23 L/2 7

6 N

L / 2

9 N

-

cos37 L cos3 7

6 N

6 N

-

133

1

+200N-m sentido anti horario

2

130n

3

20N

4

100N

5

300N

134

La distancia es ______ a la línea de acción de trabajo.

Unidad del Momento de Fuerza.

Solo el cuerpo_______gira.

También se le llama a la distancia.

Unidad de fuerza en el sistema internacional.

Si la fuerza pasa por el eje no existe______.

En la primera condición de equilibrio existe un movimiento de______.

En la segunda condición de equilibrio existe un movimiento de______.

Cuando el punto de apoyo es liso el coeficiente de rozamiento es __.

Signo del movimiento de una fuerza Signo del movimiento de una fuerza

135

Est谩tica Polea Fuerza Reacci贸n Tensi贸n

Acción reacción Necesita: Un globo de hule pequeño Una pajilla flexible Cinta adhesiva Un alfiler con cabeza Un lápiz con borrador Montaje: Coloque el extremo más largo de la pajilla en la boca del globo. Si la boquilla del globo queda floja entonces sujételo con cinta adhesiva.

Pinche la pajilla con el alfiler en la mitad y clávela en el borrador del lápiz. Infle el globo con cuidado de que no se despegue de la pajilla y deje escapar el aire. ¿Qué está pasando?

El gas sale rápidamente del globo en donde se encuentra a mayor presión, produciendo una reacción sobre la pajilla y el globo, que hará que juntos giren en sentido contrario. Este es el mismo principio por el cual se elevan los cohetes.

136

Bibliografía Felix Aucallandi, Primer Nivel. Editorial Racso.

Física – Guillermo de la Cruz Romero. Editorial Coveñas Separata 2011 Colegio

137

www.raulcarayiespana.es/fisica/09%20estatica %20(test)pdf

“Jorge Basadre” Separata I.E. San José. 2008 M.alonso-E.J.fin física Addisson-wesley iberoamericana s.a .e.u.a-1995 Compendio academico aful(2008) o

De 4to año de secundaria Felix Aucallandi,”Problemas

de Fisica y Como resolverlos”.Editorial Racso.

El. Preuniversitario, física, teoría y práctica- Salvador Timoteo Valentín. Editorial Ingeniería

Libro física- visión analítica del movimiento –volumen I – 38 Lumbreras editorial.

http://04/fiiscaElemental/c ustodio Folleto Academia “Acrópolis” 2010 Editorial: Cuzcano- Física IIIngeniería http://es.scribd.com/doc/86 39717/09-Estatica-II-Tes Física- Guillermo de la Cruz Romero-Edit. Coveñas

INDICE Análisis dimensional…………… ……………………3      

Conceptos Bsicos……………………………………4 Problemas …………………………………………………13 Desarrollo…………………………………………………18 Ejercicios propuestos …………………………27 Físicos Celebre s……………………………………33 Pupiletras…………………………………………………37

Análisis vectorial…………… …………………………39     

Conceptos Básicos…………………………………40 Problemas…………………………………………………42 Desarrollo ………………………………………………49 Ejercicios propuestos …………………………57 Pupiletras…………………………………………………59

EstáticaI… …………… …………………………… ………60     

Conceptos Básico …………………………………61 Bacteria de Estatica I N° 01 ……………72 Bacteria de Estatica I N° 02……………78 Desarrollo …………… …………………………………82 Laboratorio ………………………… …………………98

EstáticaII …………… …………………………… ………105     

Conceptos Básicos…………… ………… ………106 Bacteria de Estática II N° 01…………112 Bacteria de Estática II N° 02…………128 Desarrollo…………… …………………………………133 Ejercicios Propuestos…………………………136

138