Como M (A) âˆˆ K, entËœ ao, por (8.33) tem-se ďŁą 2 ďŁ˛ Ď (H ÂŻ Ď‰ ) < 1 para 0 < Ď‰ < ÂŻ 1 + Ď (J) ďŁł Ď (J) ÂŻ ÂŻ < 1 e Ď (H ÂŻ Ď‰ ) < |Ď‰ âˆ’ 1| + Ď‰Ď (J) (8.35) ÂŻ Ď‰ sËœao respectivamente as matrizes dos mÂétodos de Jacobi e SOR para a resoluÂ¸cËœao onde JÂŻ e H do sistema (8.34). Se J e HĎ‰ forem respectivamente as matrizes dos mÂétodos de Jacobi e SOR associadas à matriz A, entËœ ao tem-se ÂŻĎ‰ ÂŻ |HĎ‰ | = H |J| = J, e tendo em conta o teorema 2.5 e as fÂórmulas (8.35) podemos enunciar o seguinte teorema: Teorema 8.10 Se A âˆˆ H, entËœ ao 1. Ď (J) < 1. 2. Ď (HĎ‰ ) â‰¤ |Ď‰ âˆ’ 1| + Ď‰Ď (|J|) < 1 para 0 < Ď‰ < 2 1+Ď (|J|) Como as matrizes estritamente diagonalmente dominantes por linhas e por colunas sËœ ao matrizes H, entËœ ao o teorema 8.10 Âé tambÂém vÂálido para essas classes de matrizes. Podemos assim aďŹ rmar que os mÂétodos de Jacobi e Gauss-Seidel sËœao convergentes quando A âˆˆ H, e portanto quando A Âé estritamente diagonalmente dominante. O mÂétodo SOR converge 2 quando Ď‰ âˆˆ]0, 1+Ď (J) [, podendo convergir fora desse intervalo para valores superiores ou iguais ao extremo superior do intervalo e inferiores a 2. Em relaÂ¸cËœao à eďŹ ciË†encia do mÂétodo SOR, nËœ ao existem em geral resultados comparativos, mas, tal como nas matrizes K, a experiË†encia tem mostrado que valores de Ď‰ â‰Ľ 1 dËœ ao normalmente lugar a um menor nÂ´ umero de iteraÂ¸cËœoes. AlÂém disso o mÂétodo de Jacobi Âé usualmente mais lento que o mÂétodo SOR. (ii) Matrizes simÂ´ etricas positivas definidas Na sequË†encia deste estudo sobre a convergË†encia dos mÂétodos iterativos vamos agora analisar o caso em que A âˆˆ SPD. Para isso, precisamos do seguinte resultado: ao Ď (H) < 1. Teorema 8.11 Se A âˆˆ SPD e H Âé uma matriz tal que A âˆ’ H T AH âˆˆ SPD, entËœ DemonstraÂ¸ cËœ ao: Seja Îť um valor prÂ´ oprio qualquer de H e provemos que |Îť| < 1. Suponhamos que u Âé o vector prÂ´ oprio de H correspondente ao valor prÂ´ oprio Îť. EntËœ ao, atendendo a que A âˆ’ H T AH âˆˆ SPD, vem uT (A âˆ’ H T AH)u = = = = uT Au âˆ’ uT H T AHu uT Au âˆ’ (Hu)T A(Hu) uT Au âˆ’ (Îťu)T A(Îťu) 1 âˆ’ |Îť|2 uT Au > 0 Como A âˆˆ SPD e u = 0, entËœ ao uT Au > 0 e portanto |Îť|2 < 1, ou seja, |Îť| < 1. Na anÂ´ alise da convergË†encia dos mÂétodos iterativos bÂ´ asicos, o conceito de partiÂ¸cËœao P-regular desempenha um papel fundamental. Esse conceito Âé introduzido a seguir. 186