TEMA 1 Números enteros, racionales, potencias, notación científica, redondeos e intervalos. Números enteros A todos estos números, los negativos, el cero y los positivos, se les llama números enteros y se representan por la letra Z: Ζ = {...,−5,−4,−3,−2,−1,0,+1,+2,+3,+4,+5,...} Estos números tienen un orden. El mayor de los números enteros es el que está situado más a la derecha en la recta numérica: Si a los números enteros +3 y -3 les quitamos su signo obtenemos el 3. A este valor se le llama valor absoluto.
Suma y resta de números enteros A.-Suma de dos números enteros del mismo signo Para sumar dos números enteros del mismo signo se suman los valores absolutos y se pone el mismo signo de los sumandos. (-60) + (-40) = -100
(+60) + (+40) = +100
B-Suma de dos números enteros de distinto signo Para sumar dos números enteros de distinto signo se restan sus valores absolutos y se pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. (+60) + (-40 )= +20
(-60) + (+40) = -20
Multiplicación y división de números enteros Para multiplicar o dividir dos números enteros, se multiplican o dividen sus valores absolutos. El signo del producto o cociente vendrá dado por las siguientes reglas de los signos: +·+=+
+:+=+
-·-=+
-:-=+
+·-=-
+:-=-
-·+=-
-:+=-
Operaciones combinadas Si en nuestro cálculo aparecen operaciones variadas, primero hacemos las operaciones indicadas entre paréntesis, después las multiplicaciones y divisiones, y por último las sumas y las restas. Una potencia es una multiplicación
Los números racionales Una fracción o numero fraccionario es un par de números naturales a y b en la forma: a/b de los cuales b es el denominador y nos indica el número de partes iguales en que dividimos la unidad y a es el numerador y nos indica cuántas de estas partes cogemos. Es decir, una fracción es una división que no se ha realizado.
Suma y resta de fracciones a.-Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, se suman o se restan los numeradores y se deja el denominador común b.-Para sumar o restar fracciones con distintos denominadores se reducen éstas a denominador común, y se realiza la suma o la resta.
Producto de fracciones Para multiplicar dos fracciones se halla una nueva fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.
División de fracciones Para dividir dos fracciones se multiplica el dividendo por el inverso del divisor. La fracción inversa de la fracción b/a es a/b. Para dividir dos fracciones se multiplican los términos en cruz.
Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes cuando escritas de distintas maneras tienen el mismo resultado. Para comprobar que dos fracciones son equivalentes, basta con multiplicar en cruz y observar que el resultado obtenido es el mismo.
¾ = 6/8 = 15/20 Para obtener fracciones equivalentes a una dada basta con multiplicar o dividir el numerador y el denominador por el mismo número.
Cálculo del mímino común múltiplo (Cómo reducir dos o más fracciones a común denominador) Cuando vamos a sumar o restar dos o más fracciones que tienen distinto denominador debemos, en primer lugar, encontrar fracciones equivalentes a las dadas que tengan todas el mismo denominador ya que solamente pueden sumarse y restarse fracciones que tienen igual denominador. Debemos coger los números que aparecen en el denominador de las fracciones y calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m) Para calcular el mínimo común múltiplo de dos a más números se descomponen en producto de factores primos y después se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente. 4/6 + 5/9 + 2/21 6= 2.3 9= 32 21=2.3.7 (6,9 y 21)= 2.32.7= 126 Una vez calculado el mínimo común múltiplo, este número se pone como denominador común a las fracciones que vamos a sumar o restar. Tendremos que buscar ahora los nuevos numeradores de las fracciones. El procedimiento es muy sencillo. Simplemente debemos dividir el nuevo denominador por el antiguo y multiplicar el resultado por el anterior numerador. Observa. 126:6=21. 4= 84 126:9= 14. 5=70 126:21= 6. 2= 12 La nueva suma de fracciones quedará de la siguiente manera: 84/126 + 70/126 + 12/126= 166/126
Cálculo de la fracción de un número Para calcular una fracción conociendo la cantidad total simplemente dividimos la cantidad por el denominador y multiplicamos el resultado por el numerador. Ejemplo. Los 3/18 de un huerto son naranjos. Si hay en total 414 árboles. ¿Cuántos naranjos hay en el huerto? 414:18= 23 23 x 3= 69 naranjos hay en el huerto Cálculo de un número conociendo una fracción Para calcular un número conociendo una fracción simplemente dividimos dicho número por el numerador y multiplicamos el resultado por el denominador. Las 3/5 partes de los estudiantes de un centro educativo son mujeres. Si al centro acuden 177 mujeres. ¿Cuántos estudiantes hay en total? 177:3 = 59 59 x 5 = 295 estudiantes hay en total en el centro educativo.
Redondeo Es el proceso mediante el cual se eliminan decimales poco significativos a un número decimal. Las reglas del redondeo se aplican al decimal situado en la siguiente posición al número de decimales que se quiere transformar. Si tenemos un número de 3 decimales y queremos redondear al 2º decimal, deberemos fijarnos en el decimal que ocupa la posición de las milésimas Si ese número es menor que 5, el anterior se deja como estaba. Ejemplo: 12,612. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12,612= 12,61. Si ese número es mayor o igual que 5, el anterior se aumenta en una unidad. Ejemplo: 12,618. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12,618= 12,62.
Potencias Potencias de exponente 0
a0 = 1
50 = 1
Potencias de exponente 1
a1 = a
51 = 5
Potencias de exponente entero negativo
Potencias de exponente racional
Potencias de exponente racional y negativo
Multiplicación de potencias con la misma base
am · a
n
= am+n
25 · 22 = 25+2 = 27
División de potencias con la misma base
am : a
n
= am
25 : 22 = 25
- 2
- n
= 23
Potencia de un potencia
(a m ) n = a m
· n
(2 5 ) 3 = 2 1 5
Multiplicación de potencias con el mismo exponente
an · b
n
= (a · b)
n
23 · 43 = 83
División de potencias con el mismo exponente
an : b
n
= (a : b)
63 : 33 = 23
n
Números grandes. Notación científica La notación científica se utiliza para expresar brevemente números que son muy grandes o muy pequeños. Por ejemplo: el número 22340.0001000.000 es muy grande y es más cómodo expresarlo como 2,34·1012. Observa que debemos poner una sola cifra en la parte entera y el exponente del 10 es igual al número de cifras que hay desde que colocamos la coma hasta el final (contando de izquierda a derecha). Si los números son menores de uno, es decir, con cero delante de la coma decimal y ceros detrás de ella, expresarlos en notación científica es, si cabe, más fácil que si se trata de números grandes. Supongamos el número veinticinco millonésimas: 0,000025 Para los números pequeños, colocamos la coma decimal detrás de la primera cifra distinta de cero y multiplicamos por diez, con exponente negativo, igual a la cantidad de ceros del número. 2,5 10-5
Multiplicando y Dividiendo Números Expresados en Notación Científica Números que están escritos en notación científica pueden ser multiplicados y divididos fácilmente aprovechando algunas propiedades y reglas. Para multiplicar números en notación científica, primero multiplicamos los números que no son potencias de 10 y luego multiplicamos las potencias de 10 al sumar los exponentes. Para dividir números en notación científica, también aplicamos las propiedades de los números y las reglas de los exponentes. Empezamos por dividir los números que no son potencias de 10) y luego dividimos las potencias de 10 al restar los exponentes.
Definición de intervalo Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo. Intervalo abierto Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b. (a, b) = {x
/ a < x < b}
Intervalo cerrado Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b. [a, b] = {x
/ a ≤ x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la izquierda Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b. (a, b] = {x
/ a < x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la derecha Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los nĂşmeros reales mayores o iguales que a y menores que b. [a, b) = {x
/ a â&#x2030;¤ x < b}