Tema 5 FUNCIONES Concepto de función Una función entre dos conjuntos numéricos, A conjunto inicial y B conjunto final, es una correspondencia por la cual a cada elemento de un subconjunto de A llamado dominio de la función y denotado por Dom f, de corresponde un elemento y sólo uno de un subconjunto de B, llamado imagen o recorrido de f, y denotado por Im f. f:A -------------- B x --------------- y=f(x)
Una función, en suma, es la expresión de la relación de dependencia entre dos variables que, por medio de una regla, asigna a cada valor de la variable independiente x un único valor de la variable dependiente y. Se expresa mediante la fórmula abstracta: y = f(x) donde que se lee "y es función de x" x es la variable independiente y es la variable dependiente f es la función Ejemplo: Si x -> nº de barras de pan que se compran y -> el precio que debemos pagar por ellas Está claro que y depende de x: el precio y es función del número de barras x x -> variable independiente y -> variable dependiente Si una barra de pan cuesta 0'9 € -> y = 0'9.x expresa la dependencia entre x e y
Formas de expresar una función Fundamentalmente, existen 3 formas de expresar una función: por medio de una tabla de valores, una gráfica o por una fórmula (también llamada ecuación). La fórmula es la mejor forma de expresar la función, ya que con ella podemos obtener las otras dos expresiones mediante una serie de procedimientos establecidos.
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tabla de valores:
Nº de barras
2
3
5
6
7
9
Precio (en €)
2,40
3,60
6
7,20
8,40
10,8
gráfica
fórmula Por último, se da cuenta de que para calcular el precio del pan debe multiplicar 1'20 € (precio de una barra) por el número de barras que compre, obteniendo así una fórmula que relaciona el nº de barras con el precio:
f(x) = 1'2 · x La fórmula nos dice qué operaciones debemos hacer con cada valor de x para obtener su correspondiente valor y = f(x)
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Una función y = f(x) es creciente cuando al aumentar la variable independiente aumenta también la variable dependiente. Si x1 < x2 f(x1) < f(x2)
Una función y = f(x) es decreciente cuando al aumentar la variable independiente disminuye la variable dependiente. Si x1 < x2 f(x1) > f(x2)
Una función y = f(x) es constante cuando al aumentar la variable independiente la variable dependiente no varía
Si x1 < x2
f(x1) = f(x2)
Una función y = f(x) tiene un máximo en un punto x si, en valores próximos a él, a la izquierda de ese punto la función es creciente y a la derecha de ese punto la función es decreciente.
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Una función y = f(x) tiene un mínimo en un punto x si, en valores próximos a él, a la izquierda de ese punto la función es decreciente y a la derecha de ese punto la función es creciente.
Una función y = f(x) es simétrica respecto al eje de ordenadas, o se dice que tiene simetría par si para cualquier valor x que verifica que f(-x) = f(x) Una función y = f(x) es simétrica respecto al eje de coordenadas o se dice que tiene simetría impar cuando para cualquier valor x se verifica que f(-x)= -f(x)
Funciones elementales Función constante f(x)= K La gráfica es una línea horizontal paralela al eje de abscisas
Función polinómica de primer grado f(x) = a.x + b La gráfica es una recta oblicua y queda definida por dos puntos Propiedades de la función polinómica de primer grado. 1. Tiene por dominio todos los números reales. 2. Corta a los ejes de coordenadas en dos puntos (cuando x=o entonces y=b y cuando y=0 entonces x= -b/a) 3. Es creciente en todo su dominio si a>0 4. Es decreciente en todo su dominio si a<0 5. Su imagen o recorrido son todos los números reales 6. Es continua en todo su dominio Cuando b= 0 la gráfica de la recta pasa por el origen de coordenadas Cuando b es diferente de 0 la recta corta el eje de ordenadas en el punto (0,b)
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Función polinómica de segundo grado f(x)= ax2 + bx + c La gráfica es una parábola que queda definida por el vértice y los puntos de corte con los ejes. Propiedades de la función polinómica de segundo grado. 1. Su dominio son todos los números reales 2. Corta a los ejes de coordenadas en dos puntos (cuando x=0 entonces y=c y cuando y=0 debes resolver la ecuación para encontrar la solución o soluciones ) Las ecuaciones de segundo grado pueden tener 2, 1 o ninguna solución por lo que puede suceder que la parábola corte al eje de abscisas en 2, 1 o ningún punto.
3. Para calcular el vértice aplicaremos la fórmula x0= -b/2a y para calcular y0 se sustituye este valor en la fórmula de la función. 4. El eje de simetría de la parábola es la recta vertical que pasa por el vértice. Esta es la recta respecto a la cual la parábola es simétrica. 5. Si llamamos (x0,y0) a las coordenadas del vértice, la imagen o recorrido de la función. Si V es un mínimo la imagen va desde (y0, +∞) Si V es un máximo la imagen va desde (-∞, y0) Cuando la parábola tiene un sólo punto de corte con el eje de abscisas, éste coincide con el vértice.
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Funciones racionales de primer grado. Hipérbolas Se llama función racional de 1er grado a toda función real de variable real definida mediante el cociente de dos polinomios de 1er grado en la variable independiente x:
La gráfica de este tipo de funciones recibe el nombre de hipérbola. Se caracteriza por tener dos rectas asíntotas perpendiculares entre sí, una horizontal y otra vertical, que se denominan asíntotas de la hipérbola.
Hipérbola del tipo y = k/(x – a)
Propiedades de la función 1. Su dominio son todos los números reales excepto x=a
2. Los puntos de corte con los ejes son: x=0 (0, -k/a) y=0 No tiene solución. Luego no corta al eje OX 3. Ejes o asíntotas de la hipérbola, son las rectas vertical y horizontal a las que se "pegará" la función sin tocarlas nunca. La asíntota vertical es la recta x = a, que viene determinada por el punto que está fuera de Dominio. La asíntota horizontal en este caso es el eje de abscisas, y = 0, puesto que la función no lo corta. 4. En cuanto a su monotonía (crecimiento y decrecimiento), se comporta igual que la función de proporcionalidad inversa dependiendo del signo de k: Si k >0 la función es decreciente en todo su dominio. Si k <0 la función es creciente en todo su dominio
5. Con el gráfico hecho verás claramente el recorrido de la función. El único número real y que no forma parte del recorrido viene determinado por la asíntota horizontal
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Hipérbola de tipo y = b + k/(x - a) 1. Su dominio son todos los números reales excepto x=a 2. Los puntos de corte con los ejes son: x=0 y= b + k/-a y=0 x= a - k/b
3. Ejes o asíntotas de la hipérbola, son las rectas vertical y horizontal a las que se "pegará" la función sin tocarlas nunca. La asíntota vertical es la recta x = a, que viene determinada por el punto que está fuera de Dominio. La asíntota horizontal en este caso es el eje de abscisas, y = b. 4. En cuanto a su monotonía (crecimiento y decrecimiento), se comporta igual que la función de proporcionalidad inversa dependiendo del signo de k: Si k >0 la función es decreciente en todo su dominio. Si k <0 la función es creciente en todo su dominio 5. Con el gráfico hecho verás claramente el recorrido de la función. El único número real y que no forma parte del recorrido viene determinado por la asíntota horizontal.
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