APOSTILA PREPARATÓRIA DE MEDICINA PROVAS DA SOUZA MARQUES DE MATEMÁTICA
RESOLVIDAS E COMENTADAS
AUTOR: SÍLVIO CARLOS PEREIRA “ TODO O CONTEÚDO DESTE MATERIAL DIDÁTICO ENCONTRA-SE REGISTRADO”. “ PROTEÇÃO AUTORAL VIDE LEI 9.610/98”.
ÍNDICE: Estatística e conteúdos abordados na prova de 2017 .................................. 4 Prova de Matemática (2017) ............................................................................... 5 Estatística e conteúdos abordados na prova de 2016 .................................. 15 Prova de Matemática (2016) ............................................................................... 16 Estatística e conteúdos abordados na prova de 2015 .................................. 25 Prova de Matemática (2015) ............................................................................... 26 Estatística e conteúdos abordados na prova de 2014 .................................. 36 Prova de Matemática (2014) ................................................................................ 37 Estatística e conteúdos abordados na prova de 2013 .................................... 47 Prova de Matemática (2013) ................................................................................. 48 Estatística e conteúdos abordados na prova de 2012 .................................. 58 Prova de Matemática (2012) ................................................................................ 59
Conteúdos abordados na prova de 2017 ❖ Questão 11) Porcentagem ❖ Questão 12) Geometria plana (circulo) ❖ Questão 13) Análise combinatória ❖ Questão 14) Geometria espacial (Prisma) ❖ Questão 15) Geometria plana ❖ Questão 16) Probabilidade ❖ Questão 17) Função do 2° grau ❖ Questão 18) Geometria analítica (elipse) ❖ Questão 19) Função do 1° grau ❖ Questão 20) Geometria espacial (cilindro)
Estatística dos conteúdos abordados na prova de 2017 ❖ Geometria Plana: 20% ❖ Geometria Espacial: 20% ❖ Geometria Analítica: 10% ❖ Porcentagem: 10% ❖ Probabilidade: 10% ❖ Funções: 20% ❖ Análise combinatória: 10%
PROVA DE MATEMÁTICA (2017) 11) Um modelo de geladeira possui volume interno total igual a 420 litros, sendo 320 litros para o refrigerador e 100 litros para o congelador. O fabricante dessa geladeira produzirá novos modelos com o mesmo volume interno total. Entretanto, a capacidade do congelador será aumentada em 10%. Do modelo atual para o modelo novo, a capacidade do refrigerador será reduzida de, aproximadamente: (A) 3%. (B) 4%. (C) 5%. (D) 9%. (E) 10%.
RESOLUÇÃO COMENTADA:
12) Uma roda gigante é formada por uma circunferência de raio R = 14 m presa a um suporte vertical AB de comprimento L = 15 m. Em A, está o centro da circunferência e, em B, o suporte vertical está fixado ao piso horizontal. Sobre a circunferência, 12 cadeiras estão fixadas e igualmente espaçadas entre si. Essas cadeiras são representadas na figura pelos pontos P1, P2, P3, ... , P12.
No momento em que a cadeira P8 atinge a posição mais baixa de sua trajetória, a altura da cadeira P4 em relação ao piso é: (Considere √3 = 1,7) (A) 26,9 m. (B) 25,9 m. (C) 23,0 m. (D) 22,0 m. (E) 21,0 m.
RESOLUÇÃO COMENTADA:
13) Uma sala possui exatamente 12 cadeiras dispostas como ilustrado a seguir.
Oito candidatos farão prova nessa sala e poderão sentar-se nas cadeiras em que desejarem, desde que uma das cadeiras do fundo da sala seja reservada ao fiscal da prova. Dessa forma, três das cadeiras ficarão vagas. Nessas condições, a quantidade de formas distintas que as cadeiras a serem utilizadas podem ser escolhidas é: (A) 27. (B) 54. (C) 165. (D) 220. (E) 495.
RESOLUÇÃO COMENTADA:
14) A figura a seguir ilustra um prisma hexagonal regular reto ABCDEFGHIJKL cujas arestas da base medem 1 cm e as arestas verticais, 2 cm.
O prisma é cortado pelo plano que passa pelos pontos B, D e L. Esse corte forma o pentágono BDNLM, sendo M e N, respectivamente, pontos sobre as arestas AG e EK. O perímetro desse pentágono é: (A) 4√2 + √3 (B) 4√2 + 2 (C) 5√2 (D) 5√2 + 2√3 (E) 5√3
RESOLUÇÃO COMENTADA:
15) Sobre uma mesa de sinuca retangular de 2,80m x 1,40m hå apenas uma bola e ela estå parada. Essa mesa não tem caçapas e as suas quinas são representadas pelos pontos A, B, C e D.
Com o auxĂlio de um taco, essa bola ĂŠ colocada em movimento, deslizando sobre a mesa, e colide 4 vezes com as laterais dessa mesa (denominadas tabelas). Toda vez que a bola bate na tabela, ela ricocheteia e muda sua trajetĂłria. As trajetĂłrias antes e depois de cada choque formam com a mesa ângulos iguais. Se đ?›ź = 45°, no exato instante em que ocorre a 4ÂŞ colisĂŁo, a distância da bola ao ponto A ĂŠ: (A) 0,30 m. (B) 0,40 m. (C) 0,70 m. (D) 1,10 m. (E) 1,40 m.
RESOLUĂ‡ĂƒO COMENTADA:
16) A probabilidade de que chova amanhã na cidade do Rio de Janeiro é de 20%. Já na cidade de São Paulo, a probabilidade de chuva amanhã é de 70%. Considerando-se a ocorrência de chuva nessas duas cidades como eventos independentes, a probabilidade de que chova amanhã em pelo menos uma dessas duas cidades é de: (A) 24%. (B) 62%. (C) 76%. (D) 86%. (E) 90%.
RESOLUÇÃO COMENTADA:
17) Um objeto foi lançado verticalmente para cima em um lugar onde o piso é horizontal. No exato momento em que foi lançado, esse objeto estava a 3,5 m do piso. Três segundos após o lançamento, o objeto atingiu a altura de 8 m e, nesse momento, começou a cair, também em trajetória vertical, até tocar o piso. Se a altura do objeto relaciona-se com o tempo contado a partir do lançamento através de uma função polinomial de 2º grau, então o tempo transcorrido na queda foi: (A) 3 segundos. (B) 4 segundos. (C) 5 segundos. (D) 6 segundos. (E) 7 segundos.
RESOLUÇÃO COMENTADA:
18) Para projetar um túnel, foi tomada uma elipse cuja distância focal e cujo eixo maior mediam, respectivamente, 16 m e 20 m. O perfil do túnel corresponde à metade dessa elipse, conforme ilustrado a seguir.
Esse túnel possui duas colunas de sustentação verticais e de mesma altura. Cada uma delas se apoia sobre um dos focos e termina no contorno elíptico. A altura dessas colunas é: (A) 3,0 m. (B) 3,2 m. (C) 3,6 m. (D) 4,0 m. (E) 4,5 m.
RESOLUÇÃO COMENTADA:
19) Uma empresa fornecedora de energia cobra R$ 21,55 por 12 kWh consumidos e R$ 32,35 por 20 kWh. Se o valor pago a essa empresa pela energia fornecida varia com a quantidade de kWh consumidos segundo uma função afim, o usuário que não tiver consumo algum pagará (A) R$ 0,00. (B) R$ 0,40. (C) R$ 1,35. (D) R$ 4,00. (E) R$ 5,35.
RESOLUÇÃO COMENTADA:
20) Uma fábrica de calçados produz amortecedores cilíndricos para as solas de seus tênis. Para reduzir o custo de matéria-prima na produção desses amortecedores, ela passará a produzi-los com 4 furos circulares idênticos, mas sem alterar o seu formato original. A figura a seguir ilustra duas vistas do amortecedor atual e duas vistas do novo amortecedor.
Para que o custo com matéria-prima na produção seja reduzido a 75% do valor atual, o diâmetro de cada furo deve medir: (A) 11,25 mm. (B) 9,00 mm. (C) 6,00 mm. (D) 4,50 mm. (E) 2,25 mm.
RESOLUÇÃO COMENTADA:
Conteúdos abordados na prova de 2016 ❖ Questão 11) Função do 2° grau ❖ Questão 12) Geometria espacial (Prisma) ❖ Questão 13) Análise combinatória ❖ Questão 14) Geometria espacial (cilindro) ❖ Questão 15) Raciocínio lógico ❖ Questão 16) Geometria analítica (elipse) ❖ Questão 17) Geometria plana ❖ Questão 18) Estatística ❖ Questão 19) Geometria espacial (poliedros) ❖ Questão 20) Probabilidade
Estatística dos conteúdos abordados na prova de 2016 ❖ Geometria Plana: 10% ❖ Geometria Espacial: 30% ❖ Geometria Analítica: 10% ❖ Estatística: 10% ❖ Probabilidade: 10% ❖ Funções: 10% ❖ Análise combinatória: 10% ❖ Raciocínio lógico
PROVA DE MATEMà TICA (2016) 11) A figura ilustra uma construção em forma de arco de paråbola.
Essa construção estå sobre um piso horizontal e Ê sustentada por 3 colunas: uma exatamente no centro do arco e outras duas, de mesma altura, igualmente espaçadas da coluna central. A altura da maior coluna Ê: (A) 9,5 m.
RESOLUĂ‡ĂƒO COMENTADA:
(B) 10,0 m. * A altura maxima pode ser determinada atravÊs da equação fatorada da função (C) 12,5 m.
do 2° grau y = a(x – x1) (x – x2) , onde x1 e x1 sĂŁo as raĂzes da função.
(D) 13,5 m. * Tomando como origem o ponto A ( x1= 0 ) e tendo x2 = 10m, temos: (E) 25,0 m.
* y = a(x – 0) (x – 10) â&#x;ş
(I)
y = a (x2 – 10x)
* Pelo enunciado temos (x = 2 e y = 8), entĂŁo: 8 = a (22 – 10. 2) â&#x;ş 8 = -16a â&#x;ş
a=−
đ?&#x;? đ?&#x;?
(II)
* Substituindo (II) em (I), temos: 1
y = − (x2 – 10x) â&#x;ş 2
y =−
đ?’™đ?&#x;? đ?&#x;?
+ đ?&#x;“đ?’™ (III)
* Como queremos o yv = Hmax e sabemos que o xv = 5m (ponto mĂŠdio), Substituindo o xv = 5m em (III), temos: y = Hmax = −
(đ?&#x;“)đ?&#x;? đ?&#x;“
+ đ?&#x;“(đ?&#x;“) â&#x;ş
Hmax = 12,5m
12) Um fabricante de sabão em pó comercializa o seu produto em caixas com formato de paralelepípedo reto-retângulo de 30 cm x 20 cm x 12 cm. Esse fabricante pretende vender o seu produto em caixas menores, mas com a mesma forma geométrica. Para isso, cada aresta do paralelepípedo original será reduzida de um mesmo valor. Representando-se o valor dessa redução por x, o polinômio que corresponde ao volume V dessa nova caixa é: (A) V(x) = 7200 – 1200x + 62x2 – x3 (B) V(x) = 7200 – 1100x + 62x2 – x3 (C) V(x) = 7200 + 1200x – 62x2 + x3 (D) V(x) = 6200 – 1200x + 72x2 – x3 (E) V(x) = x3 – 72x2 + 1100x – 7200
RESOLUÇÃO COMENTADA:
13) Oito equipes classificaram-se para as quartas-de-final de um torneio. Um sorteio definirá duplas de equipes que se enfrentarão numa LISTA de 4 jogos. A seguir, apresenta-se uma possível LISTA, resultado desse sorteio. Equipe 3 x Equipe 8 Equipe 5 x Equipe 1 Equipe 4 x Equipe 2 Equipe 6 x Equipe 7 Considere que: • o jogo descrito como Equipe A x Equipe B é o mesmo que Equipe B x Equipe A. Portanto, a ordem em que as equipes são descritas em um jogo é indiferente; • duas listas são diferentes se pelo menos um dentre os 4 jogos é diferente. Nessas condições, o número de diferentes LISTAS que podem ser definidas pelo sorteio é: RESOLUÇÃO COMENTADA: (A) 2520. (B) 1260. (C) 960. (D) 840. (E) 420.
14) A figura a seguir ilustra uma garrafa de ĂĄgua mineral, cujo volume interno ĂŠ 600 mL. O formato dessa garrafa corresponde Ă justaposição de dois cilindros retos. As medidas apresentadas na figura estĂŁo em centĂmetros.
Se a garrafa tem 32 cm de altura, o comprimento x do gargalo mede: Considere đ?œ‹= 3 (A) 12,5 cm. (B) 12,0 cm. (C) 11,5 cm. (D) 11,0 cm. (E) 10,5 cm.
RESOLUĂ‡ĂƒO COMENTADA:
15) Um candidato se submete a uma prova composta por 180 questões de múltipla escolha. Cada acerto vale 0,45 ponto e cada erro faz com que o candidato perca 0,25 ponto. Portanto, para que o candidato não termine a prova com pontuação negativa, é preciso que ele acerte um número mínimo de questões. Esse número mínimo é: (A) primo. (B) múltiplo de 13. (C) uma potência de 2. (D) múltiplo de 7. (E) um cubo perfeito.
RESOLUÇÃO COMENTADA:
16) A figura a seguir ilustra um sistema cartesiano (par de eixos ortogonais) e uma elipse cujos vértices são os pontos A, B, C e D.
Os pontos F e G são os focos dessa elipse. O ponto A está sobre o eixo das ordenadas e o ponto D, sobre o eixo das abscissas. O ponto C tem coordenadas (10,3). As coordenadas de G são: (A) (4,3). (B) (6,3). (C) (7,3). (D) (8,3). (E) (9,3).
RESOLUÇÃO COMENTADA:
17) A figura a seguir ilustra um triângulo equilátero ABC. M, N e P são os pontos médios dos lados desse triângulo.
Se a área do quadrilátero AMQP é 63 cm2, os lados do triângulo ABC medem: (A) 8 √3 cm. (B) 8 cm. (C) 6√3 cm. (D) 6 √2 cm. (E) 6 cm.
RESOLUÇÃO COMENTADA:
18) Nas 14 primeiras provas da Temporada 2015 de Fórmula 1, o piloto brasileiro Felipe Massa obteve as seguintes pontuações:
A mediana dos pontos obtidos por Felipe Massa nessas provas é: (A) 0,0. (B) 6,9. (C) 8,0. (D) 9,0. (E) 11,5.
RESOLUÇÃO COMENTADA:
19) Em um poliedro convexo de 37 faces, uma delas é um decágono. As demais faces são triangulares ou pentagonais. A quantidade de arestas desse poliedro é 65. A quantidade de faces triangulares nesse poliedro é: (A) 30. (B) 28. (C) 26. (D) 20. (E) 18.
RESOLUÇÃO COMENTADA:
20) Pedro (P), Júlia (J), Roberto (R) e Selma (S) possuem moedas de 25 centavos e de 10 centavos. O gráfico a seguir informa quantas dessas moedas cada um dos 4 possui.
Todas essas moedas serão colocadas em uma sacola e uma delas será sorteada aleatoriamente. Sabendo-se que a moeda sorteada será de 25 centavos, qual a probabilidade de que ela tenha pertencido a Roberto? (A) 7/20 (B) 4/20 (C) 7/9 (D) 4/9 (E) 3/9
RESOLUÇÃO COMENTADA:
Conteúdos abordados na prova de 2015 ❖ Questão 11) Porcentagem ❖ Questão 12) Geometria plana (circulo) ❖ Questão 13) Análise combinatória ❖ Questão 14) Geometria espacial (Prisma) ❖ Questão 15) Geometria plana ❖ Questão 16) Probabilidade ❖ Questão 17) Função do 2° grau ❖ Questão 18) Geometria analítica (elipse) ❖ Questão 19) Função do 1° grau ❖ Questão 20) Geometria espacial (cilindro)
Estatística dos conteúdos abordados na prova de 2015 ❖ Geometria Plana: 20% ❖ Geometria Espacial: 20% ❖ Geometria Analítica: 10% ❖ Porcentagem: 10% ❖ Probabilidade: 10% ❖ Funções: 20% ❖ Análise combinatória: 10%
PROVA DE MATEMÁTICA (2015)