Unidad 2 Fundamentos matemĂĄticos y estadĂsticos
Contenido 2.1 Generación de números aleatorios y de distribuciones de probabilidad. 2.2 Método de Monte Carlo. 2.3 Pruebas de ajuste de curvas. 2.4 Uso del Software para ajuste de curvas.
Un elemento importante en la simulación es la obtención de valores aleatorios con distribuciones específicas: uniforme, normal, triangular, etc.
La mayoría de los métodos de generación de números aleatorios comienzan con un número inicial llamado valor semilla, a este número se le aplica un determinado procedimiento para obtener un nuevo valor. Usando este número como entrada, el procedimiento es repetido para lograr un próximo número aleatorio. Software a usar XLStat
2.1 GeneraciĂłn de nĂşmeros aleatorios y de distribuciones de probabilidad
Generación de números aleatorios Un número aleatorio es un número que se elige al azar entre un universo de posibilidades de tamaño previamente definido; para el caso de la simulación se requiere de grandes cantidades de valores aleatorios. Existen diferentes formas de obtener números aleatorios: • Métodos Manuales: lanzamientos de monedas, dados, cartas y ruletas, son los métodos más simples pero también son lentos. • Métodos matemáticos: —Cuadrados Medios —Congruencial multiplicativo —Congruencial mixto
Método Congruencial Este método fue ideado por D.H. Lehmer en 1949. La secuencia de números aleatorios se obtiene aplicando la siguiente relación de recurrencias: Xn+1= (aXn + c ) mod M n>0 Donde: • M magnitud del modulo M>0 • a constante multiplicativa 0 ≤ a <M • c constante aditiva 0≤c<M • X0 valor semilla 0 ≤ X0 < M De acuerdo al valor de c, este método se clasifica en : • 1. Congruencial mixto si c>0 • 2. Congruencial multiplicativo si c=0
Método Congruencial • Mod representa el residuo entero entre la división de dos números, por ejemplo 16 mod 3 es igual a 1, ya que:
1 residuo entero de la división
Método Congruencial multiplicativo El método multiplicativo el general próximo número pseudoaleatorio a partir del último número generado, de acuerdo a la siguiente ecuación de recurrencia: Xn+1= (aXn ) mod M n>0 Donde: a= es la constante multiplicativa. m= es la magnitud del módulo. X0 = es el valor semilla.
Método Congruencial mixto Genera una secuencia de números aleatorios en la cual el próximo número es determinado a partir del último número generado. El método mixto tiene la siguiente ecuación de recurrencia: Xn+1= (aXn + c ) mod M Donde: a= es la constante multiplicativa. c= es la constante aditiva. m= es la magnitud del módulo. X0 = es el valor semilla.
n>0
Ejemplo Tomamos X0=9, a=8, c=3 y M=10. Entonces la relaciĂłn congruencial es:
Nota: Si se quiere obtener nĂşmeros Uniformes (0,1) , se normaliza el resultado: Un=Xn/m