Huongdangiaibtchuoi

Page 1

HĆ°áť›ng dẍn giải bĂ i táş­p chuáť—i_CBM 2009 CHUáť–I CHUáť–I Sáť?. +∞

�� �=1

đ?‘›

�� =

�� �=1

CĂ C LOáş I BĂ€I TOĂ N Vᝀ CHUáť–I. 1.1 TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt. Dáťąa vĂ o cĂĄc sáť‘ hấng ban Ä‘ầu, phân tĂ­ch Ä‘áťƒ tĂŹm ra quy luáş­t vĂ tᝍ Ä‘Ăł tĂŹm ra sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa chuáť—i. VĂ­ d᝼ 1: TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa cĂĄc chuáť—i sau: 1

3

5

7

1

4

7

10

a, 2 + 4 + 6 + 8 + â‹Ż b, 2 + 4 + 8 + 16 + â‹Ż 3!

5!

7!

c, 2.4 + 2.4.6 + 2.4.6.8 + â‹Ż Giải. a, Táť­ sáť‘ lĂ cĂĄc sáť‘ táťą nhiĂŞn láşť, mẍu sáť‘ lĂ cĂĄc sáť‘ táťą nhiĂŞn cháşľn, táť­ sáť‘ kĂŠm mẍu sáť‘ 1 nĂŞn phần táť­ táť•ng quĂĄt lĂ : đ?‘˘đ?‘› =

2đ?‘›âˆ’1 2đ?‘›

, �᝛� � = 1,2,3, ‌

b, Táť­ sáť‘ láş­p thĂ nh cẼp sáť‘ cáť™ng váť›i cĂ´ng sai lĂ d = 3, do Ä‘Ăł sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa nĂł lĂ đ?‘Žđ?‘› = đ?‘Ž1 + đ?‘‘ đ?‘› − 1 = 1 + 3 đ?‘› − 1 = 3đ?‘› − 2, còn mẍu sáť‘ láş­p thĂ nh cẼp sáť‘ nhân váť›i cĂ´ng báť™i q = 2, đ?‘?đ?‘› = 2đ?‘› . Váş­y sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt lĂ : đ?‘˘đ?‘› =

3đ?‘›âˆ’2 2đ?‘›

, �᝛� � = 1,2,3, ‌

c, Ta dáť… dĂ ng thẼy: đ?‘˘đ?‘› =

(2� + 1)! , �᝛� � = 1,2,3, ‌ 2. (� + 1)!

1.2 TĂŹm táť•ng cᝧa chuáť—i sáť‘ háť™i t᝼. CĂĄch giải. Chuáť—i sáť‘ chᝉ cĂł táť•ng khi nĂł háť™i t᝼. PhĆ°ĆĄng phĂĄp thĆ°áť?ng dĂšng lĂ xĂĄc Ä‘áť‹nh đ?‘†đ?‘› sau Ä‘Ăł tĂŹm giáť›i hấn: limđ?‘›â†’∞ đ?‘†đ?‘› NgoĂ i ra cĂł tháťƒ tĂŹm báşąng cĂĄch xĂĄc Ä‘áť‹nh thong qua táť•ng cᝧa chuáť—i hĂ m (phần nĂ y ta sáş˝ Ä‘áť cáş­p áť&#x; m᝼c chuáť—i hĂ m). TĂŹm táť•ng cᝧa cĂĄc chuáť—i sau:(náť…u cĂł) VĂ­ d᝼ 2: +∞

đ?‘›=1

Giải. XĂŠt táť•ng riĂŞng thᝊ n:

đ?‘›

�� = �=2

1

1 2đ?‘› − 3 (2đ?‘› − 1)

1 = 2đ?‘– − 3 2đ?‘– − 1 2

đ?‘›

đ?‘–=2

1 1 − 2đ?‘– − 3 2đ?‘– − 1

1 1 1 1 1 1 1 1 đ?‘†đ?‘› = 1 − + − + â‹Ż + − = 1− 2 3 3 5 2đ?‘› − 3 2đ?‘› − 1 2 2đ?‘› − 1

Hướng dẫn giải bài tập chuỗi_CBM 2009 Suy ra: lim 𝑆𝑛 =

1

𝑛→+∞

1 2

Vậy tổng của chuỗi đã cho là: 𝑆 = 2. Ví dụ 3: +∞

𝑛 =4

1 𝑛(𝑛 + 1)

Giải. Xét tổng riêng thứ n: 𝑛

𝑆𝑛 = 𝑖=4

1 = 𝑖(𝑖 + 1)

𝑛

1 1 − 𝑖 𝑖+1

𝑖=4

1 1 1 1 1 1 1 1 𝑆𝑛 = − + − + ⋯ + − = − 4 5 5 6 𝑛 𝑛+1 4 𝑛+1 Nên lim 𝑆𝑛 =

1

𝑛→+∞

1 4

Vậy tổng của chuỗi đã cho là: 𝑆 = 4 Ví dụ 4: +∞

𝑛=1

1 2𝑛 2𝑛 + 2 (2𝑛 + 4)

Giải. 1 1 𝐴 𝐵 𝐶 = ( + + ) 2𝑛 2𝑛 + 2 (2𝑛 + 4) 8 𝑛 𝑛 + 1 𝑛 + 2 1

1

Đồng nhất hệ số ta tìm được: = 2 , 𝐵 = −1, 𝐶 = 2 . thay vào ta có: 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 = − + = (( − )−( − )) 2𝑛 2𝑛 + 2 (2𝑛 + 4) 8 𝑛 𝑛 + 1 𝑛 + 2 16 𝑛 𝑛 + 1 𝑛+1 𝑛+2 𝑛

𝑆𝑛 = 𝑖=1

1 1 = 2𝑖 2𝑖 + 2 (2𝑖 + 4) 16 1 𝑆𝑛 = 16

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

1 1 1 1 (( − )−( − )) 𝑖 𝑖+1 𝑖+1 𝑖+2

1 1 1 ( − )− 𝑖 𝑖+1 16

𝑛

( 𝑖=1

1 1 − ) 𝑖+1 𝑖+2

1 1 1 1 1 𝑆𝑛 = 1− − ( − ) 16 𝑛+1 16 2 𝑛 + 2 1 1 1 lim 𝑆𝑛 = − = 𝑛 →+∞ 16 32 32 1 Vậy tổng của chuỗi đã cho là: 𝑆 = 32 Ví dụ 5: +∞

𝑛 =1

3𝑛2 + 3𝑛 + 1 𝑛3 (𝑛 + 1)3

HĆ°áť›ng dẍn giải bĂ i táş­p chuáť—i_CBM 2009 Giải. Báşąng phĆ°ĆĄng phĂĄp phân tĂ­ch nhĆ° vĂ­ d᝼ 4 ta cĂł tháťƒ tĂĄch đ?‘˘đ?‘› ra hoạc cĂł tháťƒ tháťąc hiᝇn: 3đ?‘›2 + 3đ?‘› + 1 đ?‘›3 + 3đ?‘›2 + 3đ?‘› + 1 − đ?‘›3 1 1 = = − đ?‘›3 (đ?‘› + 1)3 đ?‘›3 (đ?‘› + 1)3 đ?‘›3 (đ?‘› + 1)3 NĂŞn đ?‘›

�� =

( đ?‘–=1

1 1 1 − ) = 1 − đ?‘– 3 (đ?‘– + 1)3 (đ?‘› + 1)3 lim đ?‘†đ?‘› = 1

đ?‘›â†’+∞

XĂŠt sáťą háť™i t᝼ cᝧa chuáť—i sáť‘: +∞ CĂĄc chuáť—i +∞ đ?‘›=1 đ?‘˘đ?‘› vĂ đ?‘›=1 đ?‘Žđ?‘˘đ?‘› , (đ?‘Ž ≠0) luĂ´n cĂšng háť™i t᝼ hoạc cĂšng phân káťł. Khi xĂŠt sáťą háť™i t᝼ cᝧa chuáť—i sáť‘, ta cần lĆ°u Ă˝ Ä‘áşżn Ä‘iáť u kiĂŞn cần Ä‘áťƒ chuáť—i sáť‘ háť™i t᝼, tᝊc lĂ tᝍ Ä‘iáť u kiᝇn limđ?‘› →∞ đ?‘˘đ?‘› ≠0 thĂŹ káşżt luáş­n chuáť—i Ä‘ĂŁ cho phân káťł, còn náşżu limđ?‘›â†’∞ đ?‘˘đ?‘› = 0 thĂŹ ta phải tiáşżp t᝼c xĂŠt báşąng cĂĄc tiĂŞu chuẊn khĂĄc. Khi ĂĄp dung tiĂŞu chuẊn Cauchy Ä‘áťƒ xĂŠt sáťą hĂ´i t᝼ cᝧa chuáť—i sáť‘, ta chĂş Ă˝ ráşąng náşżu chᝉ ra ráşąng limđ?‘›â†’+∞ |đ?‘†đ?‘š − đ?‘†đ?‘› | ≠0 thĂŹ cĂł tháťƒ káşżt luáş­n chuáť—i Ä‘ĂŁ cho phân káťł, còn náşżulimđ?‘› →+∞ |đ?‘†đ?‘š − đ?‘†đ?‘› | thĂŹ chuáť—i Ä‘ĂŁcho háť™i t᝼. Ä?áť‘i váť›i chuáť—i sáť‘ dĆ°ĆĄng cĂł 5 tiĂŞu chuẊn Ä‘áťƒ xĂŠt sáťą háť™i t᝼ TiĂŞu chuẊn 1. +∞ Cho hai chuáť—i sáť‘ dĆ°ĆĄng +∞ đ?‘›=1 đ?‘˘đ?‘› , đ?‘›=1 đ?‘Łđ?‘› .Náşżu đ?‘˘đ?‘› ≤ đ?‘Łđ?‘› , ∀đ?‘› ≼ đ?‘›0 thĂŹ: +∞ Chuáť—i +∞ đ?‘› =1 đ?‘˘đ?‘› phân káťł thĂŹ đ?‘›=1 đ?‘Łđ?‘› phân káťł. +∞ Chuáť—i +∞ đ?‘› =1 đ?‘Łđ?‘› háť™i t᝼ thĂŹ đ?‘›=1 đ?‘˘đ?‘› háť™i t᝼. TiĂŞu chuẊn 2. đ?‘˘đ?‘› +∞ Cho hai chuáť—i sáť‘ dĆ°ĆĄng +∞ đ?‘›=1 đ?‘˘đ?‘› , đ?‘›=1 đ?‘Łđ?‘› . Ä?ạt đ?‘˜ = limđ?‘›â†’+∞ đ?‘Ł , náşżu 0 < đ?‘˜ < +∞ +∞ đ?‘›=1 đ?‘˘đ?‘›

thÏ hai chu᝗i , Chú ý m᝙t sᝑ nhận xÊt: Khi � → 0+ thÏ:

+∞ đ?‘›=1 đ?‘Łđ?‘›

đ?‘›

luĂ´n cĂšng háť™i t᝼ hoạc cĂšng phân káťł.

tg(x)~ sin đ?‘Ľ ~đ?‘Ľ; ln 1 + đ?‘Ľ ~đ?‘Ľ; (1 + đ?‘Ľ)đ?›ź − 1~đ?›źđ?‘Ľ; đ?‘’ đ?‘Ľ − 1~đ?‘Ľ; 1 − cosâ Ą (đ?‘Ľ)~ Khi đ?‘Ľ → +∞ thĂŹ:

đ?‘Ľ2 2

sin đ?‘Ľ ≤ đ?‘Ľ; ln đ?‘Ľ ≤ đ?‘Ľ đ?›ź , đ?›ź > 0 ; đ?‘’ đ?‘Ľ − 1 ≤ đ?‘Ľ Náşżu đ?‘˘đ?‘› =

đ?‘„(đ?‘› ) đ?‘ƒ(đ?‘› )

, váť›i đ?‘ƒ đ?‘› , đ?‘„(đ?‘›) lĂ cĂĄc Ä‘a thᝊc theo n thĂŹ ta Ä‘ĂĄnh giĂĄ đ?‘˘đ?‘› ~

1 ��

váť›i đ?›ź = deg đ?‘ƒ − degâ Ą (đ?‘„). CĂł tháťƒ ĂĄp d᝼ng khai triáťƒn Mac Laurin vĂ o Ä‘áťƒ dĂĄnh giĂĄ cĂĄc sáť‘ hấng. Ä?ạc biᝇt chĂş Ă˝ cĂĄc khai triáťƒn đ?›źđ?‘Ľ đ?›ź đ?›ź − 1 đ?‘Ľ 2 đ?›ź 1+đ?‘Ľ =1+ + +â‹Ż 1! 2! đ?‘Ľ đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3 đ?‘’đ?‘Ľ = 1 + + + + â‹Ż , −∞ < đ?‘Ľ < ∞ 1! 2! 3!

HĆ°áť›ng dẍn giải bĂ i táş­p chuáť—i_CBM 2009 đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3 đ?‘Ľ4 + − +â‹Ż 2 3 4 3 5 đ?‘Ľ đ?‘Ľ sin đ?‘Ľ = đ?‘Ľ − + − â‹Ż 3! 5! 2 đ?‘Ľ đ?‘Ľ4 đ?‘Ľ6 cos đ?‘Ľ = 1 − + − + â‹Ż 2! 4! 6! đ?‘Ľ3 đ?‘Ľ5 đ?‘Ľ7 đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘Ąđ?‘” đ?‘Ľ = đ?‘Ľ − + − + â‹Ż 3 5 7

ln 1 + đ?‘Ľ = đ?‘Ľ −

TiĂŞu chuẊn 3 . Cho chuáť—i sáť‘ dĆ°ĆĄng

+∞ đ?‘›=1 đ?‘˘đ?‘› ,

Ä‘ạt đ?‘‘ = limđ?‘› →+∞

� � +1 ��

, náşżu :

đ?‘‘ < 1 chuáť—i Ä‘ĂŁ cho háť™i t᝼. đ?‘‘ > 1 chuáť—i Ä‘ĂŁ cho phân káťł. TiĂŞu chuẊn 4. đ?‘› Cho chuáť—i sáť‘ dĆ°ĆĄng +∞ đ?‘˘đ?‘› , náşżu : đ?‘›=1 đ?‘˘đ?‘› , Ä‘ạt đ?‘? = limđ?‘› →+∞ đ?‘? < 1 chuáť—i Ä‘ĂŁ cho háť™i t᝼. đ?‘? > 1 chuáť—i Ä‘ĂŁ cho phân káťł. ChĂş Ă˝ : đ?‘˘ đ?‘˘ Náşżu limđ?‘›â†’+∞ đ?‘˘đ?‘› +1 = 1 (limđ?‘› →+∞ đ?‘› đ?‘˘đ?‘› = 1) vĂ đ?‘˘đ?‘› +1 ≼ 1, ∀đ?‘› ≼ đ?‘›0 ( đ?‘› đ?‘˘đ?‘› ≼ 1) thĂŹ đ?‘›

đ?‘›

chuáť—i Ä‘ĂŁ cho phân káťł vĂŹ đ?‘˘đ?‘› tăng nĂŞn limđ?‘› →∞ đ?‘˘đ?‘› ≠0. TiĂŞu chuẊn 5. Cho chuáť—i sáť‘ dĆ°ĆĄng +∞ đ?‘›=1 đ?‘˘đ?‘› , náşżu táť“n tấi hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) sao cho đ?‘˘đ?‘› = đ?‘“ đ?‘› , ∀đ?‘› ≼ đ?‘›0 vĂ đ?‘“(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c, Ä‘ĆĄn Ä‘iᝇu giảm trĂŞn (đ?‘›0 , +∞) thĂŹ

+∞ f đ?‘›0

x dx vĂ

+∞ đ?‘›=1 đ?‘˘đ?‘›

cĂšng háť™i t᝼ hoạc cĂšng

phân káťł. Khi ta xĂŠt sáťą háť™i t᝼ cᝧa máť™t chuáť—i cĂł dẼu bẼt káťł +∞ đ?‘› =1 đ?‘˘đ?‘› , ta cĂł tháťƒ xĂŠt chuáť—i +∞ báşąng cĂĄc tiĂŞu chuẊn cᝧa chuáť—i sáť‘ dĆ°ĆĄng. Náşżu chuáť—i +∞ đ?‘›=1 đ?‘˘đ?‘› đ?‘›=1 đ?‘˘đ?‘› háť™i t᝼ thĂŹ káşżt luáş­n +∞ +∞ chuáť—i Ä‘ĂŁ cho đ?‘›=1 đ?‘˘đ?‘› háť™i t᝼ còn náşżu chuáť—i đ?‘›=1 đ?‘˘đ?‘› phân káťł thĂŹ ta chĆ°a káşżt luáş­n mĂ phải dĂšng cĂĄc tiĂŞu chuẊn khĂĄc. đ?‘›âˆ’1 Khi xĂŠt sáťą háť™i t᝼ cᝧa chuáť—i Ä‘an dẼu +∞ đ?‘˘đ?‘› , ta xĂŠt tiĂŞu chuẊn Leibnitz. đ?‘›=1(−1) TiĂŞu chuẊn Leibnitz. đ?‘›âˆ’1 Chuáť—i Ä‘an dẼu +∞ đ?‘˘đ?‘› háť™i t᝼ náşżu đ?‘˘đ?‘› Ä‘ĆĄn Ä‘iᝇu giảm vĂ limđ?‘›â†’+∞ đ?‘˘đ?‘› = 0. đ?‘›=1(−1) XĂŠt sáťą háť™i t᝼ cᝧa cĂĄc chuáť—i : VĂ­ d᝼ 6 : +∞ đ?‘›

đ?‘Ž

, đ?‘Ž > 0.

đ?‘›=1

Giải. Do limđ?‘› →∞ đ?‘˘đ?‘› = limđ?‘› →∞ VĂ­ d᝼ 7 :

đ?‘›

đ?‘Ž = 1 ≠0 nĂŞn chuáť—i Ä‘ĂŁ cho phân káťł. +∞

đ?‘›=1

1 đ?‘›

HĆ°áť›ng dẍn giải bĂ i táş­p chuáť—i_CBM 2009 Giải. XĂŠt đ?‘†2đ?‘› − đ?‘†đ?‘› =

1 2đ?‘› đ?‘–=đ?‘›+1 đ?‘–

≤�

1 2đ?‘› đ?‘–=đ?‘›+1 2đ?‘›

1

= 2 â&#x;š limđ?‘›â†’∞ đ?‘†2đ?‘› − đ?‘†đ?‘› ≠0, váş­y chuáť—i Ä‘ĂŁ cho

phân káťł. VĂ­ d᝼ 8 : +∞

��� + �2 + 2

đ?‘›3

đ?‘›=1

Giải. Ta Ä‘ĂĄnh giĂĄ: Do đ?‘™đ?‘›đ?‘› ≤ đ?‘›, ∀đ?‘› ≼ 1 nĂŞn

���

đ?‘›

1

≤ � 3 +� 2 +2 ≤ � 2 mà chu᝗i

đ?‘› 3 +đ?‘› 2 +2

+∞ 1 đ?‘› =1 đ?‘› 2

h᝙i

t᝼ nĂŞn theo chuẊn 1 thĂŹ chuáť—i Ä‘ĂŁ cho háť™i t᝼. VĂ­ d᝼ 9: +∞

đ?‘›=1

đ?‘›đ?‘™đ?‘›đ?‘› đ?‘›2 − 1

Giải. đ?‘›đ?‘™đ?‘›đ?‘›

đ?‘›

1

Ta cĂł: đ?‘› 2 −1 ≼ đ?‘› 2 = đ?‘› mĂ chuáť—i Ä‘iáť u hòa

+∞ 1 đ?‘›=1 đ?‘›

phân káťł, váş­y chuáť—i Ä‘ĂŁ cho phân káťł.

VĂ­ d᝼ 10: +∞

đ?‘›đ?‘ đ?‘–đ?‘›( đ?‘› =1

−1 đ?‘› ) đ?‘›3

Giải. Ä?ây khĂ´ng lĂ chuáť—i sáť‘ dĆ°ĆĄng nhĆ°ng chuáť—i Do đ?‘ đ?‘–đ?‘›

−1 đ?‘›

+∞ đ?‘›=1 |đ?‘›đ?‘ đ?‘–đ?‘›

đ?‘›3

−1 đ?‘› đ?‘›3

~

−1 đ?‘› đ?‘›3

1

= đ?‘› 3 nĂŞn |đ?‘›đ?‘ đ?‘–đ?‘›

| háť™i t᝼ vĂ suy ra

−1 đ?‘›

+∞ đ?‘›=1 |đ?‘›đ?‘ đ?‘–đ?‘› −1 đ?‘› đ?‘›3

đ?‘›3 1

| nĂŞn ta Ä‘ĂĄnh giĂĄ:

|~ đ?‘› 2 , chuáť—i

−1 đ?‘› +∞ đ?‘›=1 đ?‘›đ?‘ đ?‘–đ?‘›( đ?‘› 3 )

+∞ 1 đ?‘›=1 đ?‘› 2

háť™i t᝼ nĂŞn chuáť—i

háť™i t᝼.

VĂ­ d᝼ 11: +∞

đ?‘›=1

(đ?‘›!)2 2đ?‘› !

Giải. Ă p d᝼ng tiĂŞu chuẊn D’Alembert ta xĂŠt: đ?‘˘đ?‘› +1 ((đ?‘› + 1)!)2 2đ?‘› ! ((đ?‘› + 1)!)2 2đ?‘› ! lim = lim = lim đ?‘›â†’+∞ đ?‘˘đ?‘› đ?‘›â†’+∞ 2(đ?‘› + 1) ! (đ?‘›!)2 đ?‘› →+∞ 2(đ?‘› + 1) ! (đ?‘›!)2 đ?‘˘đ?‘› +1 (đ?‘› + 1)2 1 lim = lim = <1 đ?‘›â†’+∞ đ?‘˘đ?‘› đ?‘› →+∞ 2đ?‘› + 1 (2đ?‘› + 2) 4 Váş­y chuáť—i Ä‘ĂŁ cho háť™i t᝼. VĂ­ d᝼ 12: +∞

đ?‘›=1

Giải. à p d᝼ng tiêu chuẊn Cauchy ta xÊt:

1 2 1 (1 + )đ?‘› đ?‘› đ?‘› 2

HĆ°áť›ng dẍn giải bĂ i táş­p chuáť—i_CBM 2009 lim

đ?‘›

đ?‘›

�� = lim

đ?‘›â†’+∞

đ?‘›â†’+∞

1 2 1 1 1 đ?‘’ (1 + )đ?‘› đ?‘› = lim (1 + )đ?‘› = > 1 đ?‘›â†’+∞ đ?‘› 2 đ?‘› 2 2

Váş­y chuáť—i Ä‘ĂŁ cho phân káťł. VĂ­ d᝼ 13: +∞

(−1)đ?‘› đ?‘›=1

�! � � ��

Giải. đ?‘›! +∞ đ?‘› đ?‘›! đ?‘› đ?‘’ | = +∞ đ?‘›=1 | −1 đ?‘›=1 đ?‘› đ?‘› đ?‘›đ?‘› đ?‘˘ limđ?‘› →+∞ đ?‘˘đ?‘› +1 = 1 chĆ°a tháťƒ káşżt luáş­n

XĂŠt chuáť—i chuáť—i dĆ°ĆĄng : chuẊn D’Alembert thĂŹ

đ?‘›

đ?‘’đ?‘› =

+∞ đ?‘›=1 đ?‘˘đ?‘› .

Nếu åp d᝼ng tiêu

nhĆ°ng ta cĂł tháťƒ dĂĄnh giĂĄ :

�� +1 � � � = �. ( ) = 1 �� �+1 (1 + �)�

1

NhĆ°ng do dĂŁy (1 + đ?‘› )đ?‘› Ä‘ĆĄn Ä‘iᝇu tăng dần Ä‘áşżn e nĂŞn đ?‘˘đ?‘› +1 đ?‘’ = ≼ 1 ⇒ đ?‘˘đ?‘› +1 ≼ đ?‘˘đ?‘› , ∀đ?‘› 1 đ?‘˘đ?‘› (1 + đ?‘›)đ?‘› nĂŞn đ?‘˘đ?‘› tăng nĂŞn limđ?‘›â†’∞ đ?‘˘đ?‘› ≠0 ⇒ limđ?‘›â†’∞ (−1)đ?‘› đ?‘˘đ?‘› ≠0 Váş­y chuáť—i

+∞ đ?‘› đ?‘›! đ?‘›=1(−1) đ?‘› đ?‘›

+∞ đ?‘› đ?‘›=1(−1) đ?‘˘đ?‘›

đ?‘’đ?‘› =

phân kᝳ.

VĂ­ d᝼ 14: +∞

đ?‘›=1

Giải. đ?œ‹ đ?œ‹ Do sinâ Ą (3đ?‘› )~ 3đ?‘› vĂ chuáť—i

+∞ đ?œ‹ đ?‘›=1 3đ?‘›

háť™i t᝼. HĆĄn tháşż do chuáť—i tráť‹ tuyᝇt Ä‘áť‘i

đ?œ‹ (−1)đ?‘› sinâ Ą ( đ?‘›) 3 đ?œ‹ +∞ đ?‘› (3đ?‘› ) | đ?‘›=1 |(−1) sinâ Ą

háť™i t᝼ nĂŞn chuáť—i

đ?œ‹ +∞ đ?‘› (3đ?‘› ) | đ?‘›=1 |(−1) sinâ Ą

suy ra chuáť—i Ä‘ĂŁ cho

háť™i t᝼ nĂŞn chuáť—i Ä‘ĂŁ cho háť™i t᝼ tuyᝇt Ä‘áť‘i.

VĂ­ d᝼ 15: +∞

(−1)đ?‘› đ?‘›=1

��� �

Giải. XĂŠt hĂ m sáť‘ đ?‘“ đ?‘Ľ =

��� �

, ⇒ �′

đ?‘Ľ

=

Ä‘ĆĄn Ä‘iᝇu giảm ∀đ?‘› ≼ 3 vĂ limđ?‘›â†’+∞

1−đ?‘™đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘Ľ2 đ?‘™đ?‘›đ?‘› đ?‘›

, ∀đ?‘Ľ ≼ 3 nĂŞn đ?‘“ đ?‘Ľ Ä‘ĆĄn Ä‘iᝇu giảm , ∀đ?‘Ľ ≼ 3 suy ra 1

= limđ?‘›â†’+∞ đ?‘› = 0 (Ă p d᝼ng L’Hospitale)

Váş­y theo tiĂŞu chuẊn Leibnitz chuáť—i Ä‘ĂŁ cho háť™i t᝼. Do

+∞ đ?‘›=1

−1

� ��� �

=

+∞ đ?‘™đ?‘›đ?‘› đ?‘›=1 đ?‘›

>

+∞ 1 đ?‘›=1 đ?‘›

phân káťł nĂŞn chuáť—i Ä‘ĂŁ cho bĂĄn háť™i t᝼.

��� �

HĆ°áť›ng dẍn giải bĂ i táş­p chuáť—i_CBM 2009 CHUáť–I HĂ€M +∞

�� (�) �=1

CĂł táť•ng riĂŞng thᝊ n.

đ?‘›

�� (�) =

�� (�) �=1

2.1 Háť™i t᝼ Ä‘áť u. CĂĄch giải. Sáťą háť™i t᝼ cᝧa chuáť—i hĂ m +∞ đ?‘› =1 đ?‘˘đ?‘› (đ?‘Ľ) trĂŞn táş­p X chĂ­nh lĂ sáťą háť™i t᝼ cᝧa dĂŁy hĂ m {đ?‘†đ?‘› (đ?‘Ľ)} trĂŞn táş­p X, do váş­y ta cĂł tháťƒ dĂšng Ä‘áť‹nh nghÄŠa sáťą háť™i t᝼ Ä‘áť u cᝧa dĂŁy hĂ m Ä‘áťƒ xĂŠt tráťąc tiĂŞp. Ä?áť‹nh nghÄŠa sáťą háť™i t᝼ cᝧa dĂŁy hĂ m. DĂŁy hĂ m sáť‘ {đ?‘†đ?‘› (đ?‘Ľ)} Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ háť™i t᝼ Ä‘áť u trĂŞn X táť›i hĂ m sáť‘ đ?‘†(đ?‘Ľ) (đ?‘†đ?‘› (đ?‘Ľ) ⇉ đ?‘†(đ?‘Ľ)) náşżu váť›i máť?i sáť‘ đ?œ€ > 0, tĂŹm Ä‘ưᝣc máť™t sáť‘ đ?‘›0 đ?œ€ ∈ đ?‘ , ∀đ?‘› ≼ đ?‘›0 , ∀đ?‘Ľ ∈ đ?‘‹ sao cho đ?‘†đ?‘› đ?‘Ľ − đ?‘† đ?‘Ľ < đ?œ€. Ä?iáť u kiᝇn trĂŞn tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng váť›i Ä‘iáť u kiᝇn supđ?‘‹ đ?‘†đ?‘› đ?‘Ľ − đ?‘† đ?‘Ľ → 0, (đ?‘› → +∞). ChĂş Ă˝: Phᝧ Ä‘áť‹nh cᝧa Ä‘áť‹nh nghÄŠa sáťą háť™i t᝼ Ä‘áť u cᝧa dĂŁy hĂ m lĂ : DĂŁy hĂ m sáť‘ {đ?‘†đ?‘› (đ?‘Ľ)} khĂ´ng háť™i t᝼ Ä‘áť u trĂŞn X táť›i hĂ m sáť‘ đ?‘†(đ?‘Ľ) náşżu váť›i táť“n tấi đ?œ€ > 0, tĂŹm Ä‘ưᝣc đ?‘Ľ0 ∈ đ?‘‹ ∀đ?‘›0 đ?œ€, đ?‘Ľ0 ∈ đ?‘ , ∃đ?‘› ≼ đ?‘›0 sao cho đ?‘†đ?‘› đ?‘Ľ0 − đ?‘† đ?‘Ľ0 ≼ đ?œ€. Hoạc ta cĂł tháťƒ ĂĄp d᝼ng sáťą háť™i t᝼ Ä‘áť u cᝧa chuáť—i hĂ m liĂŞn t᝼c lĂ : náşżu đ?‘˘đ?‘› đ?‘Ľ liĂŞn t᝼c trĂŞn X vĂ đ?‘†đ?‘› đ?‘Ľ ⇉ đ?‘† đ?‘Ľ trĂŞn X thĂŹ đ?‘† đ?‘Ľ liĂŞn t᝼c trĂŞn X. Tᝍ Ä‘Ăł suy ra phᝧ Ä‘áť‹nh cᝧa tĂ­nh chẼt trĂŞn lĂ : náşżu đ?‘˘đ?‘› đ?‘Ľ liĂŞn t᝼c trĂŞn X vĂ đ?‘†đ?‘› đ?‘Ľ → đ?‘† đ?‘Ľ trĂŞn X vĂ đ?‘† đ?‘Ľ khĂ´ng liĂŞn t᝼c trĂŞn X thĂŹ đ?‘†đ?‘› đ?‘Ľ khĂ´ng háť™i t᝼ Ä‘áť Ä‘áşżn đ?‘† đ?‘Ľ trĂŞn X. Khi ta chĆ°a biáşżt đ?‘†(đ?‘Ľ) thĂŹ cĂł tháťƒ ĂĄp d᝼ng Ä‘áť‹nh lĂ˝ Cauchy hoạc Ä‘áť‹nh lĂ˝ Weierstrass Ä‘áťƒ Ä‘ĂĄnh giĂĄ sáťą háť™i t᝼ Ä‘áť u cᝧa chuáť—i hĂ m. Ä?áť‹nh lĂ˝ Cauchy. Chuáť—i hĂ m +∞ đ?‘›=1 đ?‘˘đ?‘› (đ?‘Ľ) háť™i t᝼ Ä‘áť u trĂŞn X khi vĂ chᝉ khi ∀đ?œ€ > 0, ∃đ?‘›0 đ?œ€ : ∀đ?‘š, đ?‘› ≼ đ?‘›0 thĂŹ đ?‘†đ?‘š đ?‘Ľ0 − đ?‘†đ?‘› đ?‘Ľ0 < đ?œ€. Ä?iáť u kiᝇn trĂŞn tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng váť›i supđ?‘‹ đ?‘†đ?‘š đ?‘Ľ − đ?‘†đ?‘› đ?‘Ľ → 0, (đ?‘š, đ?‘› → +∞) Váş­y, náşżu ta chᝉ ra ráşąng ∃đ?‘Ľ0 ∈ đ?‘‹, ∀đ?‘›0 > 0, ∃đ?‘š, đ?‘› ≼ 0 sao cho đ?‘†đ?‘š đ?‘Ľ0 − đ?‘†đ?‘› đ?‘Ľ0 ↛ 0, , (đ?‘š, đ?‘› → +∞) thĂŹ chuáť—i Ä‘ĂŁ cho khĂ´ng háť™i t᝼ Ä‘áť u trĂŞn X. TiĂŞu chuẊn Weierstrass: Náşżu ∃đ?‘›0 >: ∀đ?‘› ≼ đ?‘›0 thĂŹ đ?‘˘đ?‘› đ?‘Ľ ≤ đ?‘Žđ?‘› , ∀đ?‘Ľ ∈ đ?‘‹ vĂ chuáť—i sáť‘ +∞ đ?‘›=1 đ?‘Žđ?‘› háť™i t᝼ thĂŹ chuáť—i +∞ hĂ m đ?‘›=1 đ?‘˘đ?‘› đ?‘Ľ háť™i t᝼ Ä‘áť u trĂŞn X. VĂ­ d᝼ : Cho chuáť—i hĂ m: +∞

1 − đ?‘Ľ đ?‘Ľđ?‘› đ?‘›=1

XĂŠt tĂ­nh háť™i t᝼ Ä‘áť u trĂŞn [0,1] Giải. Ta xĂŠt táť•ng riĂŞng thᝊ n: đ?‘†đ?‘› (đ?‘Ľ) = đ?‘›đ?‘–=1 1 − đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘– = 1 − đ?‘Ľ (1 + đ?‘Ľ + â‹Ż + đ?‘Ľ đ?‘› ) 1 − đ?‘Ľ đ?‘› +1 , 0≤đ?‘Ľ<1 đ?‘†đ?‘› đ?‘Ľ = 0, đ?‘Ľ=1

HĆ°áť›ng dẍn giải bĂ i táş­p chuáť—i_CBM 2009 1, 0≤đ?‘Ľ<1 , (đ?‘› → +∞) 0, đ?‘Ľ=1 Do đ?‘˘đ?‘› đ?‘Ľ = 1 − đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘› lĂ cĂĄc hĂ m liĂŞn t᝼c vĂ đ?‘†đ?‘› đ?‘Ľ → đ?‘† đ?‘Ľ vĂ đ?‘† đ?‘Ľ khĂ´ng liĂŞn t᝼c nĂŞn đ?‘†đ?‘› đ?‘Ľ khĂ´ng háť™i t᝼ Ä‘áť u Ä‘áşżn đ?‘† đ?‘Ľ trĂŞn [0,1] nĂŞn chuáť—i Ä‘ĂŁ cho háť™i t᝼ Ä‘áť u trĂŞn [0,1]. đ?‘†đ?‘› đ?‘Ľ → đ?‘† đ?‘Ľ =

1

Hoạc ta cĂł tháťƒ láş­p luáş­n nhĆ° sau: LẼy đ?‘Ľ = 1 − đ?‘›+1 ∈ [0,1], xĂŠt hiᝇu đ?‘†đ?‘› đ?‘Ľ − đ?‘† đ?‘Ľ

1

=

1

(1 − đ?‘›+1)đ?‘›+1 → đ?‘’ ≠0(đ?‘› → ∞) nĂŞn chuáť—i Ä‘ĂŁ cho háť™i t᝼ Ä‘áť u.

Náşżu đ?‘Ľ ∈ 0, đ?‘Ž , 0 < đ?‘Ž < 1 thĂŹ đ?‘†đ?‘› đ?‘Ľ ⇉ đ?‘† đ?‘Ľ vĂŹ 1 − đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘› ≤ đ?‘Žđ?‘› vĂ chuáť—i t᝼ nĂŞn theo tiĂŞu chuẊn Weierstrass chuáť—i Ä‘ĂŁ cho háť™i t᝼ Ä‘áť u trĂŞn [0,1]. Hoạc ta cĂł tháťƒ ĂĄp d᝼ng phᝧ Ä‘áť‹nh cᝧa Ä‘áť‹nh lĂ˝ Cauchy Ä‘áťƒ Ä‘ĂĄnh giĂĄ Ä?ạt đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘†2đ?‘› đ?‘Ľ − đ?‘†đ?‘› đ?‘Ľ = đ?‘Ľ 2đ?‘›+1 − đ?‘Ľ đ?‘› +1 , đ?‘Ľ ∈ 0,1 đ?‘“ ′ đ?‘Ľ = 2đ?‘› + 1 đ?‘Ľ 2đ?‘› − đ?‘› + 1 đ?‘Ľ đ?‘› = đ?‘Ľ đ?‘› 2đ?‘› + 1 đ?‘Ľ đ?‘› − đ?‘› + 1 đ?‘›+1 đ?‘“ đ?‘Ľ = 0 ⇒ đ?‘Ľ = 0, đ?‘Ľ = 2đ?‘› + 1 ′

1 đ?‘›

đ?‘›+1 2đ?‘› + 1

,đ?‘“

1 đ?‘›

đ?‘›+1 =− 2đ?‘› + 1

đ?‘› +1 đ?‘›

+∞ đ?‘› đ?‘›=1 đ?‘Ž

h᝙i

đ?‘› 2đ?‘› + 1

Bảng biến thiên: x

đ?‘›+1 2đ?‘› + 1 0

0

� ′ (�)

1 đ?‘›

1

0

0

đ?‘“(đ?‘Ľ)

đ?‘›+1 2đ?‘› + 1

đ?‘“ đ?‘›+1 2đ?‘› + 1

sup đ?‘“đ?‘Ľ | = đ?‘“ 0,1

1 đ?‘›

đ?‘›+1 = 2đ?‘› + 1

đ?‘›+1 đ?‘›

1 đ?‘›

đ?‘› 1 → , (đ?‘› → +∞) 2đ?‘› + 1 4

VĂ­ d᝼: XĂŠt tĂ­nh háť™i t᝼ Ä‘áť u cᝧa chuáť—i hĂ m sau trĂŞn R. +∞

đ?‘›=1

đ?‘Ľđ?‘› đ?‘›2

Giải. Do đ?‘˘đ?‘› đ?‘Ľ = Weierstrass chuáť—i

đ?‘Ľđ?‘› đ?‘›2

1

≤ đ?‘› 2 , ∀đ?‘Ľ ∈ [−1,1], chuáť—i Riemann đ?‘Ľđ?‘›

+∞ đ?‘›=1 đ?‘› 2

+∞ 1 đ?‘›=1 đ?‘› 2

háť™i t᝼ nĂŞn theo tiĂŞu chuẊn

háť™i t᝼ Ä‘áť u trĂŞn [−1,1].

Náşżu |đ?‘Ľ| ≼ 1 thĂŹ limđ?‘›â†’+∞ |đ?‘˘đ?‘› đ?‘Ľ | = ∞ ≠0 chuáť—i Ä‘ĂŁ cho phân káťł. Váş­y chuáť—i Ä‘ĂŁ cho háť™i t᝼ Ä‘áť u trĂŞn [−1,1]. VĂ­ d᝼: XĂŠt tĂ­nh háť™i t᝼ Ä‘áť u cᝧa chuáť—i hĂ m sau trĂŞn R. +∞

−1 đ?‘› =1

đ?‘›

sin

�� 2�2 + 1

Giải. Váť›i máť—i x cáť‘ Ä‘áť‹nh, Ä‘áťƒ chuáť—i Ä‘ang xĂŠt lĂ chuáť—i Ä‘an dẼu thĂŹ sin

�� 2� 2 +1

≼ 0. Do vậy ta xÊt:

HĆ°áť›ng dẍn giải bĂ i táş­p chuáť—i_CBM 2009 đ?‘›đ?‘Ľ

Váť›i đ?‘Ľ ∈ 0, đ??´ , đ??´ > 0 thĂŹ Ä‘ây lĂ chuáť—i Ä‘an dẼu cĂł sin đ?œ‹

Ä‘iᝇu giảm trong (0, 2 )) vĂ limđ?‘›â†’+∞ sin

�� 2� 2 +1

2đ?‘› 2 +1

Ä‘ĆĄn Ä‘iᝇu giảm (do

�� 2� 2 +1

Ä‘ĆĄn

= 0 nĂŞn theo tiĂŞu chuẊn Leibnitz chuáť—i Ä‘ĂŁ

cho háť™i t᝼. Gáť?i đ?‘†(đ?‘Ľ) lĂ táť•ng, khi Ä‘Ăł ta cĂł: đ?‘†đ?‘› đ?‘Ľ − đ?‘† đ?‘Ľ

∞

=

đ?‘–=đ?‘›+1

−1 đ?‘– đ?‘˘đ?‘– ≤ đ?‘˘đ?‘› = sin

đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘›đ??´ đ??´ ≤ 2 ≤ 2= 2 2đ?‘› + 1 2đ?‘› + 1 2đ?‘› 2đ?‘›

đ??´ → 0, đ?‘› → +∞ , ∀đ?‘Ľ ∈ [0, đ??´] 2đ?‘› NĂŞn chuáť—i Ä‘ĂŁ cho háť™i t᝼ Ä‘áť u trĂŞn 0, đ??´ , đ??´ > 0. Náşżu đ?‘Ľ > đ??´ > 0 thĂŹ chuáť—i Ä‘ang xĂŠt khĂ´ng háť™i t᝼ Ä‘áť u vĂŹ: đ?‘›2 đ?œ‹ đ?‘†đ?‘› đ?‘›đ?œ‹ − đ?‘†đ?‘›âˆ’1 đ?‘›đ?œ‹ = sin → 1 ≠0, (đ?‘› → +∞) 2đ?‘›2 + 1 đ?‘†đ?‘› đ?‘Ľ − đ?‘† đ?‘Ľ

≤

Váť›i đ?‘Ľ ∈ −đ??´, 0 , đ??´ > 0 thĂŹ ta biáşżn Ä‘áť•i

+∞ đ?‘›=1

−1

đ?‘›

sin

�� 2� 2 +1

=−

+∞ đ?‘›=1

−1

đ?‘›

sin

đ?‘› |đ?‘Ľ| 2đ?‘› 2 +1

,

váť›i |đ?‘Ľ| ∈ 0, đ??´ , đ??´ > 0 nĂŞn theo chᝊng minh thĂŹ chuáť—i háť™i t᝼ Ä‘áť u. Váş­y chuáť—i Ä‘ĂŁ cho háť™i t᝼ Ä‘áť u trĂŞn −đ??´, đ??´ , đ??´ > 0 hᝯu hấn. 2.2 Miáť n háť™i t᝼ cᝧa chuáť—i hĂ m: a, Miáť n háť™i t᝼ cᝧa chuáť—i bẼt káťł. +∞

�� (�) �=1

CĂĄch giải. - TrĆ°áť›c tiĂŞn ta tĂŹm miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh D cᝧa hĂ m đ?‘˘đ?‘› (đ?‘Ľ) - TĂŹm limđ?‘›â†’+∞ |

� � +1 (�) � � (�)

| = |đ?œ‘ đ?‘Ľ |(limđ?‘›â†’+∞

đ?‘›

|đ?‘˘đ?‘› (đ?‘Ľ)| = |đ?œ‘ đ?‘Ľ |)

- Giải bẼt phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?œ‘ đ?‘Ľ < 1 ta tĂŹm Ä‘ưᝣc táş­p nghiᝇm A - XĂŠt tĂ­nh háť™i t᝼ cᝧa chuáť—i sáť‘ tấi cĂĄc Ä‘iáťƒm biĂŞn (Ä?iáťƒm biĂŞn lĂ nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘˘đ?‘› đ?‘Ľ = 0) - Miáť n háť™i t᝼ cᝧa chuáť—i chĂ­nh lĂ cĂĄc Ä‘iáťƒm thuáť™c giao cᝧa D, A vĂ hᝣp váť›i cĂĄc Ä‘iáťƒm háť™i t᝼ trĂŞn biĂŞn. b, Miáť n háť™i t᝼ cᝧa chuáť—i lĹŠy thᝍa +∞

đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľ đ?‘› đ?‘›=1

CĂĄch giải. Do cĂĄc phần táť­ cᝧa chuáť—i lĹŠy thᝍa cĂł táş­p xĂĄc Ä‘áť‹nh lĂ R vĂ miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh cĂł tĂ­nh â€œÄ‘áť‘i xᝊngâ€? chuáť—i nĂŞn: - TrĆ°áť›c háşżt ta tĂŹm bĂĄn kĂ­nh háť™i t᝼ R. 1 ,0 < đ?œŒ < +∞ đ?‘Žđ?‘›+1 đ?‘› đ?œŒ đ?‘…= đ?‘Łáť›đ?‘– đ?œŒ = lim , (đ?œŒ = lim đ?‘Žđ?‘› ) đ?‘›â†’+∞ đ?‘Žđ?‘› đ?‘› →+∞ 0 đ?œŒ = +∞ +∞ đ?œŒ=0 - XĂŠt sáťą háť™i t᝼ cᝧa chuáť—i tấi 2 Ä‘iáťƒm biĂŞn đ?‘Ľ = Âąđ?‘… - Káşżt luáş­n miáť n háť™i t᝼ chuáť—i lĂ khoảng (−đ?‘…, đ?‘…) hᝣp váť›i cĂĄc Ä‘iáťƒm biĂŞn háť™i t᝼. ChĂş Ă˝:

HĆ°áť›ng dẍn giải bĂ i táş­p chuáť—i_CBM 2009 đ?‘› Náşżu chuáť—i hĂ m dấng +∞ đ?‘›=1 đ?‘Žđ?‘› [đ?‘“ đ?‘Ľ ] ta Ä‘ạt đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) thĂŹ chuáť—i Ä‘ĂŁ cho Ä‘Ć°a váť Ä‘ưᝣc chuáť—i lĹŠy thᝍa. Giả sáť­ tĂŹm Ä‘ưᝣc miáť n háť™i t᝼ đ?‘Ś ∈ [đ?‘Ž, đ?‘?]. Giải hᝇ bẼt phĆ°ĆĄng trĂŹnh : đ?‘Ž ≤ đ?‘“(đ?‘Ľ) ≤ đ?‘? ta tĂŹm Ä‘ưᝣc táş­p nghiᝇm X chĂ­nh lĂ miáť n háť™i t᝼ cᝧa chuáť—i ban Ä‘ầu. TĂŹm miáť n háť™i t᝼ cᝧa chuáť—i lĹŠy thᝍa. VĂ­ d᝼ : +∞

đ?‘›=1

1 �(���)�

Giải. 1

HĂ m đ?‘˘đ?‘› (đ?‘Ľ) = đ?‘›(đ?‘™đ?‘›đ?‘Ľ )đ?‘› xĂĄc Ä‘áť‹nh ∀đ?‘Ľ ∈ (0, +∞). Ta xĂŠt limđ?‘›â†’+∞ |

� � +1 ��

1

| = limđ?‘› →+∞ | (đ?‘›+1)(đ?‘™đ?‘›đ?‘Ľ )đ?‘› +1 +∞ 1 đ?‘›=1 đ?‘›

Tấi đ?‘Ľ = đ?‘’ chuáť—i Ä‘ĂŁ cho lĂ chuáť—i Ä‘iáť u hòa 1

Tấi đ?‘Ľ = đ?‘’ chuáť—i Ä‘ĂŁ cho lĂ

+∞ đ?‘› 1 đ?‘›=1(−1) đ?‘›

� (��� )� 1

�>� 1 | = |��� | < 1 ⇒ 0 < � < 1 �

nên phân kᝳ.

háť™i t᝼ theo tiĂŞu chuẊn Leibnitz.

1

Váş­y miáť n háť™i t᝼ lĂ : 0, đ?‘’ âˆŞ (đ?‘’, +∞)

1

Hoạc ta cĂł tháťƒ Ä‘Ć°a chuáť—i Ä‘ĂŁ cho váť chuáť—i lĹŠy thᝍa báşąng cĂĄch Ä‘ạt: đ?‘Ś = đ?‘™đ?‘›đ?‘Ľ . Khi Ä‘Ăł, chuáť—i Ä‘ĂŁ cho cĂł dấng: +∞

đ?‘›=1

1 đ?‘› đ?‘Ś đ?‘›

đ?‘Žđ?‘›+1 1 đ?‘› đ?œŒ = lim | | = lim | |=1 đ?‘›â†’+∞ đ?‘›â†’+∞ đ?‘› + 1 1 đ?‘Žđ?‘› Suy ra bĂĄn kĂ­nh háť™i t᝼ cᝧa chuáť—i lĂ R = 1. +∞ 1 đ?‘›=1 đ?‘› đ?‘› 1

XĂŠt váť›i y = 1 ta cĂł chuáť—i Ä‘iáť u hòa XĂŠt váť›i y = -1 ta cĂł chuáť—i

+∞ đ?‘› =1(−1) đ?‘›

nên phân kᝳ.

háť™i t᝼ theo tiĂŞu chuẊn Leibnitz.

đ?‘Ľ>đ?‘’ 1 Váş­y chuáť—i Ä‘ĂŁ cho cĂł miáť n háť™i t᝼ lĂ âˆ€đ?‘Ś ∈ −1,1 ⇒ −1 ≤ đ?‘™đ?‘›đ?‘Ľ < 1 ⇒ 0 < đ?‘Ľ ≤ 1 đ?‘’ 1

Váş­y miáť n háť™i t᝼ cᝧa chuáť—i lĂ : 0, đ?‘’ âˆŞ (đ?‘’, +∞) VĂ­ d᝼ : +∞

đ?‘›=1

4đ?‘› 2đ?‘› đ?‘Ľ sinâ Ą (đ?‘Ľ + đ?‘›đ?œ‹) đ?‘›

Giải. Váť›i đ?‘Ľ = đ?‘˜đ?œ‹ thĂŹ đ?‘˘đ?‘› đ?‘˜đ?œ‹ = 0 nĂŞn chuáť—i Ä‘ĂŁ cho háť™i t᝼. Váť›i đ?‘Ľ ≠đ?‘˜đ?œ‹, chuáť—i cĂł dấng: lim

đ?‘›â†’+∞

�� +1 � �� �

đ?‘› +∞ đ?‘›4 đ?‘›=1(−1) đ?‘›

= lim | đ?‘›â†’+∞

đ?‘Ľ 2đ?‘› sinâ Ą (đ?‘Ľ)

4đ?‘› 2 1 1 đ?‘Ľ | = 4đ?‘Ľ 2 < 1 â&#x;ş − < đ?‘Ľ < đ?‘›+1 2 2

HĆ°áť›ng dẍn giải bĂ i táş­p chuáť—i_CBM 2009 1

1

Tấi đ?‘Ľ = Âą 2 ta cĂł chuáť—i sin(Âą 2)

+∞ đ?‘› 1 đ?‘›=1(−1) đ?‘› ,

Ä‘ây lĂ chuáť—i Ä‘an dẼu háť™i t᝼ ( do

1 đ?‘›

đƥn điᝇu

giảm vĂ dần váť 0). Váş­y chuáť—i Ä‘ĂŁ cho háť™i t᝼ trĂŞn Ä‘oấn [-1,1] vĂ cĂĄc Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ = đ?‘˜đ?œ‹, đ?‘˜ ∈ đ?‘? 2.3 TĂŹm táť•ng cᝧa máť™t chuáť—i hĂ m va ĂĄp d᝼ng tĂŹm táť•ng cᝧa máť™t chuáť—i sáť‘. a, Táť•ng cᝧa máť™t chuáť—i hĂ m. Táť•ng cᝧa chuáť—i hĂ m chᝉ cĂł nghÄŠa trĂŞn miáť n háť™i t᝼ nĂŞn trĆ°áť›c khi Ä‘i tĂŹm táť•ng, ta phải xĂĄc Ä‘áť‹nh Ä‘ưᝣc miáť n háť™i t᝼ cᝧa chuáť—i lĹŠy thᝍa. Ta thĆ°áť?ng sáť­ d᝼ng cĂĄc phĆ°ĆĄng phĂĄp sau: - Phân tĂ­ch thĂ nh nhᝯng chuáť—i dáť… tĂŹm táť•ng. ChĂş Ă˝ váť viᝇc Ä‘áť•i chᝉ sáť‘ cᝧa chuáť—i: +∞

+∞

đ?‘˘đ?‘˜ = đ?‘˜=1

+∞

đ?‘˘đ?‘˜âˆ’1 = đ?‘˜=0

+∞

đ?‘˘đ?‘› −1 = đ?‘›=0

đ?‘˘đ?‘š −đ?‘? đ?‘š =đ?‘?

VĂ­ d᝼: TĂŹm táť•ng chuáť—i hĂ m: +∞

đ?‘› − 1 đ?‘› +1 đ?‘Ľ (2đ?‘›)‟

đ?‘›=1

ChĂş Ă˝: 2đ?‘› ‟ = 2.4.6 ‌ .2đ?‘› Giải. đ?‘Ž đ?‘› +1

Do limđ?‘› →+∞

đ?‘›

1

= limđ?‘›â†’+∞ | đ?‘›âˆ’1 4đ?‘› | = 0 nĂŞn miáť n háť™i t᝼ cᝧa chuáť—i Ä‘ĂŁ cho lĂ R.

đ?‘Žđ?‘›

∀đ?‘Ľ ∈ đ?‘… Ä‘ạt: +∞

đ?‘› − 1 đ?‘› +1 đ?‘Ľ = 2đ?‘› ‟

đ?‘† đ?‘Ľ = +∞

� � =2 �=1

đ?‘›=1

1 1 − đ?‘› − 1 ! đ?‘›!

đ?‘Ľ 2

+∞

đ?‘› − 1 đ?‘›+1 đ?‘Ľ =2 2đ?‘› đ?‘›!

đ?‘›=1

đ?‘Ľ2 = 2

đ?‘›+1

+∞

đ?‘›=1

+∞

đ?‘› =1

1 đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 ! 2

đ?‘›âˆ’1 đ?‘Ľ đ?‘›! 2

đ?‘› −1

+∞

−đ?‘Ľ đ?‘› =0

đ?‘Ľ đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ đ?‘† đ?‘Ľ = đ?‘’ 2 − đ?‘Ľđ?‘’ 2 + đ?‘Ľ 2 - DĂšng Ä‘ấo hĂ m vĂ tĂ­ch phân Ä‘áťƒ tĂŹm táť•ng. ChĂş Ă˝: Khi tĂŹm táť•ng cᝧa chuáť—i hĂ m dấng: +∞

đ?‘ƒ đ?‘› đ?‘Ľ đ?‘„(đ?‘Ľ) đ?‘›=1

Ta biáşżn Ä‘áť•i đ?‘„ đ?‘Ľ = đ?‘ƒ đ?‘Ľ − 1 + đ?‘?, chuáť—i Ä‘ưᝣc biáşżn Ä‘áť•i váť dấng : +∞

đ?‘Ľđ?‘?

+∞

đ?‘ƒ đ?‘› đ?‘Ľđ?‘ƒ

đ?‘› −1

= đ?‘Ľđ?‘?

đ?‘›=1

+∞

(đ?‘Ľ đ?‘ƒ

đ?‘›

)′ = đ?‘Ľ đ?‘? (

đ?‘›=1

đ?‘Ľđ?‘ƒ

đ?‘›

)′

đ?‘›=1

Khi tĂŹm táť•ng cᝧa chuáť—i hĂ m dấng: +∞

đ?‘›=1

đ?‘Ľ đ?‘„(đ?‘Ľ) đ?‘…(đ?‘Ľ)

Ta biáşżn Ä‘áť•i đ?‘„ đ?‘Ľ = đ?‘… đ?‘Ľ + đ?‘?, chuáť—i Ä‘ưᝣc biáşżn Ä‘áť•i váť dấng : +∞

đ?‘Ľđ?‘? đ?‘›=1

đ?‘Ľ đ?‘…(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľđ?‘? đ?‘…(đ?‘Ľ)

+∞

+∞

đ?‘Ľ đ?‘…(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘Ľ đ?‘? đ?‘›=1

đ?‘Ľ đ?‘…(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘›=1

đ?‘› +1

1 đ?‘Ľ đ?‘›! 2

đ?‘›

+đ?‘Ľ

Hướng dẫn giải bài tập chuỗi_CBM 2009 Ví dụ: Tìm tổng chuỗi hàm: +∞

𝑛 =0

𝑥 2𝑛 +5 32𝑛 (2𝑛 + 1)

Giải. Do

lim𝑛 →+∞

1

𝑢 𝑛 +1(𝑥 )

2𝑛+1

= lim𝑛→+∞ | 9(2𝑛+3) 𝑥 2 | =

𝑢 𝑛 (𝑥)

𝑥2 9

1

1

< 1 ⇔ −3 < 𝑥 < 3 1 1

và

1 1

𝑥 = ± 3 chuỗi phân kỳ nên miền hội tụ của chuỗi đã cho là (− 3 , 3). ∀𝑥 ∈ (− 3 , 3) đặt: +∞

𝑥 2𝑛 +5 = 𝑥4 32𝑛 (2𝑛 + 1)

𝑆 𝑥 = 𝑛=0

′

Khi đó, 𝑓 (𝑥) =

2𝑛

+∞ 𝑥 𝑛=0 32𝑛

2

+∞ 𝑥 𝑛 𝑛 =0( 9 )

=

=

1 𝑥2 1− 9

+∞

𝑛=0

𝑥 2𝑛 +1 = 𝑥 4 . 𝑓(𝑥) 32𝑛 (2𝑛 + 1) 9

= 9−𝑥 2 nên 𝑓 𝑥 =

𝑥 0

3

3+𝑥

𝑓 ′ 𝑡 𝑑𝑡 = 2 ln| 3−𝑥 |

Vậy tổng của chuỗi đã cho là: 𝑆 𝑥 = 𝑥4 . 𝑓 𝑥 = Ví dụ: Tìm tổng chuỗi hàm:

3 4 3+𝑥 𝑥 ln| | 2 3−𝑥

+∞

𝑛 𝑛 + 1 𝑥 𝑛 −2 𝑛=2

Giải. Dễ thấy miền hội tụ của chuỗi đã cho lũy thừa là (-1,1) Với 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ∈ (−1,1) ta có: +∞

𝑆 𝑥 =

+∞

𝑛 𝑛+1 𝑥

𝑛 −2

=𝑥

𝑛=2

+∞

𝑛 𝑛+1 𝑥 𝑛=2

+∞

𝑥 𝑛 +1

𝑆 𝑥 =𝑥 𝑛=2

𝑛 −1

′′

=𝑥 𝑥 𝑛−1

𝑛=2

=𝑥

𝑛=2

𝑥3 1−𝑥

′′

𝑥 2 − 3𝑥 + 3 𝑆 𝑥 =2 (1 − 𝑥)3

Với 𝑥 = 0 ⇒ 𝑆 𝑥 = 6 vậy: 𝑆 𝑥 =

2

𝑥 2 − 3𝑥 + 3 , (1 − 𝑥)3 6,

𝑥 < 0, 𝑥 ≠ 0 𝑥=0

Ví dụ: Tìm tổng chuỗi hàm: +∞

(−1)𝑛−1 ( 𝑛=1

1 + 2𝑛 𝑛 )𝑥 𝑛 + 𝑛2

Giải. Miền hội tụ của chuỗi hàm là (-1, 1] +∞

𝑆 𝑥 =

(−1) 𝑛 =1

𝑛−1

1 + 2𝑛 𝑛 ( )𝑥 = 𝑛 + 𝑛2

+∞

−1 𝑛 =1

(𝑥 𝑛+1 )′′

( 𝑛 + 1 𝑥 )′ = 𝑥 𝑛=2 ′′

+∞

= 𝑥 𝑥3

+∞ 𝑛

𝑛−1

1 1 ( + )𝑥 𝑛 𝑛 𝑛+1

tại

Hướng dẫn giải bài tập chuỗi_CBM 2009 +∞

𝑆 𝑥 =

−1

+∞

1 𝑛 𝑥 + 𝑛

𝑛−1

𝑛=1

−1

𝑛−1

1 𝑥𝑛 𝑛+1

−1

𝑛−1

1 𝑥 𝑛 +1 𝑛+1

−1

𝑛−1

𝑛=1

Với 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ∈ (−1,1] ta có: +∞

𝑆 𝑥 =

𝑛−1

−1

𝑛=1 +∞

𝑆 𝑥 =

−1

1 𝑛 1 𝑥 + 𝑛 𝑥 𝑥

𝑛−1

𝑥

𝑛 −1

0

𝑛=1 𝑥 +∞

𝑆 𝑥 =

−1

𝑆 𝑥 = 0

1 𝑑𝑥 + 𝑥

𝑥

+∞

( 0

𝑥

𝑥 𝑛 𝑑𝑥

0

𝑛=1

𝑥 +∞

1 1 𝑑𝑥 − 1+𝑥 𝑥 𝑥

𝑛=1

1 𝑑𝑥 + 𝑥

𝑛−1 𝑛−1

0 𝑛=1 𝑥

+∞

𝑥 +∞

−1

𝑛−1 𝑛

𝑥 𝑑𝑥

0 𝑛=1

−1 𝑛 𝑥 𝑛 − 1)𝑑𝑥

𝑛=0 𝑥

1 − 1)𝑑𝑥 0 0 1+𝑥 𝑥 1 𝑆 𝑥 = ln 1 + 𝑥 + ( )𝑑𝑥 0 1+𝑥 𝑆 𝑥 = ln 1 + 𝑥 + ln 1 + 𝑥 = 2ln⁡ (1 + 𝑥) Ví dụ: Tìm tổng chuỗi hàm: 𝑆 𝑥 =

1 1 𝑑𝑥 − 1+𝑥 𝑥

+∞

(

𝑒 −𝑛𝑥 𝑛

𝑛=1

Giải. Miền hội tụ của chuỗi hàm này là 0, +∞ +∞

𝑆 𝑥 =

𝑒 −𝑛𝑥 = 𝑛

𝑛 =1 𝑥 +∞

𝑆 𝑥 =−

(𝑒

+∞

𝑥

−

𝑒

−𝑛𝑥

0 𝑛=1 𝑥

) 𝑑𝑥 = − 0 𝑥

𝑒 −𝑛𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑥 = −

0

𝑛=1

−𝑥 𝑛

0 𝑛 =1

𝑥 +∞

1 𝑑𝑥 = 1 − 𝑒 −𝑥

𝑥

𝑥 0

𝑒 𝑑𝑥 = −ln⁡ (𝑒 𝑥 − 1) − 1 0 - Đưa về nghiệm của phương trình vi phân: Ví dụ: Tìm tổng chuỗi hàm: 𝑆 𝑥 =−

𝑒𝑥

+∞

𝑛=0

𝑥 𝑛 +1 2𝑛 ‼

Giải. Miền hội tụ của chuỗi hàm này là −∞, +∞ +∞

𝑆 𝑥 =𝑥 𝑛 =0

𝑥𝑛 = 𝑥𝑓(𝑥) 2𝑛 𝑛!

1 𝑑𝑥 𝑒 −𝑥 − 1

Hướng dẫn giải bài tập chuỗi_CBM 2009 +∞

𝑥 𝑛 −1 1 = 2𝑛 𝑛 − 1 ! 2

′

𝑓 𝑥 =

𝑛 =1 𝑓′ 𝑥

1

Vậy 𝑓 ′ 𝑥 = 2 𝑓 𝑥 ⇒ Do 𝑓 𝑥 =

𝑛 +∞ 𝑥 𝑛=0 2𝑛 𝑛!

𝑓 𝑥

+∞

𝑛=1

1

= 2 ⇒ ln 𝑓 𝑥

𝑥 𝑛 −1 1 = 2𝑛 −1 𝑛 − 1 ! 2

+∞

𝑛=0

𝑥𝑛 1 = 𝑓 𝑥 2𝑛 𝑛! 2

1

= 2𝑥 +𝐶

nên 𝑓 0 = 1 ⇒ ln 𝑓 0

=0=𝐶

Suy ra: ln 𝑓 𝑥

1 = 𝑥 2

Hay 1

𝑓 𝑥 = 𝑒 2𝑥 1

𝑆 𝑥 = 𝑥𝑒 2𝑥 Ta cũng có thể thực hiện bằng cách: +∞

𝑆 𝑥 =𝑥 𝑛=0

𝑥𝑛 =𝑥 2𝑛 𝑛!

+∞

𝑥 (2)𝑛

𝑛=0

𝑥

= 𝑥𝑒 2

𝑛!

Ví dụ: Tìm tổng chuỗi hàm: +∞

𝑎𝑛 𝑥 𝑛 ,

𝑣ớ𝑖 𝑎0 = 𝑎1 = 1, 𝑎𝑛+1 =

𝑛=0

𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 𝑛+1

Giải. 𝑎𝑛 = 𝑛 + 1 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛−1

+∞

+∞

𝑛

𝑆 𝑥 =

𝑎𝑛 𝑥 = 𝑎0 + 𝑛=0

+∞

𝑛

𝑎𝑛 𝑥 = 𝑎0 + 𝑛=1 +∞

+∞

𝑆 𝑥 = 𝑎0 +

𝑛=1

𝑎𝑛+1 𝑥 𝑛=1

𝑛=1

+∞

𝑎𝑛+1 𝑥 𝑛 +1 ′ − 𝑥

𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 𝑛=1

𝑛+1

+∞ ′

𝑎𝑛 𝑥 𝑛

+ 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 − 𝑎0 − 𝑎1 𝑥 − 𝑥

+∞

𝑛=0

+∞

𝑎𝑛 𝑥 𝑛 ′ − 𝑎1 − 𝑥

𝑆 𝑥 = 𝑎0 + 𝑛=0

𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑛=0

𝑆 𝑥 = 𝑆 ′ 𝑥 − 𝑥𝑆 𝑥 ⇔ 𝑆 ′ 𝑥 = 1 + 𝑥 𝑆 𝑥 ⇒ 𝑆 𝑥 = 𝐶𝑒 Do 𝑆 𝑜 = 𝑎0 = 1 = 𝐶 nên:

𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛

(𝑛 + 1)𝑎𝑛+1 𝑥 − 𝑛=1

𝑆 𝑥 = 𝑎0 +

+∞ 𝑛

(1+𝑥)𝑑𝑥

𝑥2

= 𝐶𝑒 𝑥+ 2 𝑥2

𝑆 𝑥 = 𝑒 𝑥+ 2

𝑆′ 𝑥 = (1 + 𝑥) 𝑆 𝑥

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.