TEMA:
INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN
Enyiberth Sorett
INTERPOLACIÓN Son técnicas distintas pero relacionados. INTERPOLACIÓN: Es asignar a una cantidad un valor intermedio entre dos valores directamente calculados, los cuales se pueden aproximar mediante polinomios.
Sea en el sistema de coordenadas de la gráfica anterior, las ecuaciones F(x) y G(x) en cuyo espacio “a”, “b” se pueden interpolar determinados valores.
INTERPOLACIÓN LINEAL La forma más simple de interpolación es la de conectar dos puntos con una línea recta. La notación f1(x) indica que se trata de un polinomio de interpolación de primer orden. Nótese que además de representar la pendiente de la línea que conecta los dos puntos, el término es una aproximación de diferencias divididas fintas a la primera derivada. En general , entre más pequeño sea el intervalo entre los puntos, más exacta será la aproximación.
INTERPOLACION DE LAGRANGE Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los n+1 puntos: , donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante de Lagrange. Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del espaciamiento de la tabla, pero tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio. Como no se conoce, se tiene que determinar iterativamente. Se propone un grado, se realiza la interpolación, se propone el siguiente grado, se vuelve a interpolar y se compara con algún criterio de convergencia, si se cumple terminamos si no, se repite el procedimiento.
INTERPOLACIÓN DE NEWTÓN Hay ocasiones en las que resulta útil construir varios polinomios aproximantes P1(x), P2(x),…, PN(x), después elegir el más adecuado. Si usamos el polinomio interpolante de Lagrange, uno de los inconvenientes es que no se pueden utilizar los cálculos realizados en la construcción de PN-1(x) para la de PN(x); cada polinomio debe construirse individualmente y para calcular polinomios de grado elevado es necesario hacer muchas operaciones. Por ello vamos a recurrir a una construcción muy distinta.
FORMA GENERAL DE LOS POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON
El polinomio de n-ésimo orden es:
Se requieren n+1 puntos para obtener un polinomio de n-ésimo orden Evaluando los coeficientes
Las evaluaciones de la función de los corchetes son diferencias divididas finitas.
La PRIMERA DIFERENCIA DIVIDIDA FINITA se representa
La SEGUNDA DIFERENCIA DIVIDIDA FINITA que representa la diferencia de las 2 primeras diferencias divididas finitas, se expresa:
De manera similar La N-ÉSIMA DIFERENCIA DIVIDIDA FINITA es:
Estas diferencias se usan para evaluar los coeficientes de las ecuaciones los cuรกles se sustituyen en la ecuaciรณn para obtener el polinomio de interpolaciรณn:
A la cual se le llama polinomio de interpolaciรณn con diferencias divididas de Newton
Esquema grรกfico de la naturaleza recursiva de una diferencia dividida finita
Diferencia dividida de Primer orden:
f [ xi , xi +1 ] =
. o
f ( xi +1 ) − f ( xi ) xi +1 − xi
Diferencia dividida de segundo orden:
f [ xi , xi +1 , xi +2 ] =
f [ xi +1 , xi +2 ] − f [ xi , xi +1 ] xi +2 − xi
Diferencia dividida de orden “n”:
f [ xi , xi +1 ,..., xi +n−1 , xi +n ] =
f [ xi +1 ,..., xi +n ] − f [ xi ,..., xi +n−1 ] xi +n − xi
Diferencias Divididas Regresiva