MATEMATICAS by SIVELI GARCIA

1.1 LA CIRCUNFERENCIA COMO LUGAR GEOMETRICO DEFINICIÓN Y ELEMENTOS

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio. Pero, ¿Qué es un lugar geométrico? Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Diferencias entre el círculo y la circunferencia

Elementos de la circunferencia 1. Recta secante: La que corta a la circunferencia en dos puntos. 2. Cuerda: El segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros. 3. Recta tangente: La que toca a la circunferencia en un sólo punto. 4. Radio: El segmento que une el centro con un punto de la circunferencia. 5. Diámetro: el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro. 6. Exterior: Es la recta que no es ni tangente ni secante a la circunferencia. Ángulos en la circunferencia Ángulo central El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios. La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente. 4

Ángulo inscrito El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella. Mide la mitad del arco que abarca. Ángulo semiinscrito El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otrotangente a ella. Mide la mitad del arco que abarca. Ángulo interior Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella. Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados. Ángulo exterior Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

ACTIVIDADES DE REPASO 1. Observando la figura estas preguntas:

2.-Escribe el nombre de cada รกngulo de la circunferencia

contesta

1.2 ECUACIร N DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN

+ = Ecuaciรณn de la circunferencia con el centro en el origen, la cual se conoce como ecuaciรณn canรณnica o estรกndar.

ACTIVIDADES DE REPASO 1.DETERMINA LA ECUACION DE CIRCUNFERENCIACON CENTRO EN EL ORIGEN.

La ecuación de la circunferencia con centro en el origen (0;0) y radio r es: ▬▬▬▬▬ x² + y² = r² ▬▬▬▬▬ a) r = 6 x² + y² = 6² x² + y² = 36 2.- ENCONTRAR LA ECUACIÓN CANÓNICA

1.2.1 DADA LA ECUACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN, OBTENER SU GRAFICA.

Dada la ecuación 4x2+4y2=9 Solución: Para que la ecuación sea de la forma + = 2 2 debemos dividir la ecuación dada 4x +4y =9, entre 4: 4 +4 9 = 4 4 +

Comparando término a término: + = +

= =

= Por lo tanto la ecuación 4x2+4y2=9 representa a una circunferencia con: Radio: r= = 1.5 Centro: C (0,0) 9

ACTIVIDADES DE REPASO 1.-GRAFICAR LA ECUACIÓN: x² + y² = 13 SOLUCIÒN: ECUACIÒN ES DE LA FORMA: ECUACIÓN DADA:

x² + y²= r2 x² + y² = 13

COMPARANDO TERMINO ATERMINO: r2= 13 ENTONSES r= + √13 Pero r siempre es un valor positivo por lo que: r= + √13 = 3.6 Por lo tanto la ecuación: x² + y² = 13 Representa una circunferencia con: Radio: r= 3.6 Centro: C (0,0)

2.- 1.-GRAFICAR LA ECUACIÓN: x² + y² = 12

SOLUCIÒN: ECUACIÒN ES DE LA FORMA: ECUACIÓN DADA:

x² + y²= r2 x² + y² = 12

COMPARANDO TERMINO ATERMINO: r2= 12 ENTONSES r= + √12 Pero r siempre es un valor positivo por lo que: r= + √12 = 3.46 Por lo tanto la ecuación: x² + y² = 12 Representa una circunferencia con: Radio: r= 3.46 Centro: C (0,0)

1.3 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN

Consideramos como (Circunferencia con centro fuera del origen) aquel escenario donde la representación analítica de dicha. Dicho de otro modo es aquella circunferencia el cual su centro se encuentra en otro lugar que no sea el origen de un (Sistema de coordenadas).

La ecuación (1) representa a una circunferencia de centro C (h, k) y radio r y recibe el nombre de FORMA REDUCIDA de la ecuación de la circunferencia. Entonces para determinar la ecuación de una circunferencia basta conocer su centro y radio. En la expresión (1): a) Si r > 0, la circunferencia es real y se puede determinar la gráfica. b) Si r = 0 la circunferencia se reduce a un punto llamado centro c) Si r < 0 la circunferencia no existe. ACTIVIDADES DE REPASO 1.- Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro en C (-3, 2) y radio 6. SOLUCIÓN En este caso: h = -3, k = 2 y r = 6. Al sustituir estos valores en la ecuación (1) de la sección 5.1., se obtiene:

Al desarrollar los binomios en la última igualdad y simplificar, se obtiene finalmente: 13

1.- Determine la ecuaciรณn de la circunferencia de centro C (3, 2) y r = 3.

1.3.1 DETERMINACION DE LA ECUACIร N DE LA CIRCUNFERENCIA A PARTIR DE ALGUNOS DE SUS ELEMENTOS O CONDICIONES DADAS Ejercicio 1 Encuentre la ecuaciรณn general de la circunferencia cuyo centro radio igual a

estรก en las coordenadas y que tiene un

Resoluciรณn por desarrollo En este caso podemos usar las fracciones o convertirlas a decimales:. Como el 14

centro no

está en el origen vamos a usar la fórmula ordinaria para llegar a la desarrollada Para hacerlo, partamos de aquí: (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

Nota: Debemos recordar que x e y corresponden a las coordenadas de cualquier punto en la circunferencia, P (x, y), distante un radio desde el centro. Volvamos a la fórmula: Reemplacemos los valores en las coordenadas del centro, C (a, b): Y aquí tenemos la ecuación ordinaria (formada por dos cuadrados de binomio) la cual ahora desarrollaremos para llegar a la ecuación general:

Recordemos el cuadrado del binomio: a2 + 2ab + b2 Primer término al cuadrado (x)2, más el doble del producto del primero por el segundo término 2(x)(0,5), más el cuadrado del segundo término (0,5)2 15

Pongamos los valores de nuestros binomios al cuadrado: (x)2 + 2(x)(0,5) + (0,5)2 + (y)2 + 2(y)(─1,25) + (─1,25)2 = 3 x2 + x + 0,25 + y2 ─2,50y + 1,56 = 3 Ahora acomodamos los términos e igualamos a cero, para obtener la ecuación general: x2 + y2 + x ─ 2,50y + 0,25 + 1,56 ─ 3 = 0 x2 + y2 + x ─ 2,50y ─ 1,19 = 0 Ejercicio 2 Hallar la ecuación general de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento entre los puntos A(2, 3) y B(─4, ─9) Resolución Como el segmento AB es el diámetro, el centro estará en la mitad de este (radio), y hacemos

Ahora 16

calculamos el radio, que es la distancia desde C(─1, ─3) hasta el punto A(2, 3)

Conocemos ahora las coordenadas del centro C(─1, ─3) y el radio Aplicamos la fórmula ordinaria

Desarrollamos los binomios (x2 + x + x + 1)+ (y2 +3y + 3y + 9) = 45 (xsup>2 +2x +1) + (y2 + 6y + 9) = 45 x2 + y2 +2x +6y +1+ 9 ─45 = 0 x2 + y2 +2x +6y ─ 35 = 0 ecuación de la circunferencia graficada arriba. 17

Ejercicio 3 Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en el punto (5, ─2) y de radio 3. Resolución: Recordemos nuestra ecuación ordinaria de la circunferencia: (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 Conocemos a y b (5, ─2) y el radio (r = 3) Entonces reemplacemos (x ─ 5)2 + (y ─ ─2)2 = 32 (x ─ 5)2 + (y + 2)2 = 9

Desarrollemos lo binomios cuadrados: (x ─ 5) (x ─ 5) + (y + 2) (y + 2) = 9 (x2 ─ 10x + 25) + (y2 + 4y + 4) = 9 Ordenamos e igualamos a cero x2 + y2 ─ 10x + 4y + 25 + 4 ─ 9 = 0 x2 + y2 ─ 10x + 4y + 20 = 0 18

Ejercicio 4 Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (1, 1) y que contiene al punto (–2, 3). Resolución: Primero debemos conocer el radio

Entonces la ecuación ordinaria nos queda

x2 ─ 2x + 1 + y2 ─ 2y +1 = 13 x2 + y2 ─ 2x ─ 2y + 1 + 1 ─ 13 = 0 x2 + y2 ─ 2x ─ 2y ─ 11 = 0

Ejercicio 5 Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto (3, 4) y es tangente a la recta x - 2y + 3 = 0 Resolución: · El radio es la distancia del centro a una recta tangente:

· La ecuación es:

x2 - 6x + 9 + y2 - 8y + 16 = 4/5 5x2 + 5y2 - 30x - 40y + 121 = 0 EJERCICIO 6 ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos (3, 2), (2, 4) y (-1, 1)? Resolución: La ecuación de una circunferencia cualquiera es de la forma x2 + y2 + Ax + By + C = 0 20

Para que dicha circunferencia contenga a todos los puntos dados, éstos han de verificar la ecuación:

Resolviendo este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se obtiene:

Así, la ecuación pedida es:

ACTIVIDADES DE REPASO

2.-Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (0, 6), B(4, -2) y C(9, 3). Encuentre las coordenadas del centro y el radio. SOLUCIÓN Como A, B y C no están alineados, hay una circunferencia ð que pasa por A, B y C. Su ecuación es la forma x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0 Hallemos d, e y f. Como A(0, 6) Î C , 02 + 62 + 2d.0 + 2e.6 + f = 0 Asi que: 36 + 12e + f = 0 (1)

Como B(4, -2) Î C , 16 + 4 + 2d.4 + 2e.(-2) + f = 0 Es decir, 20 + 8d – 4e + f = 0 (2) Como C(9, 3) Î C , 81 + 9 + 2d.9 + 2e.3 + f = 0 Asi que: 90 + 18d + 6e + f = 0 (3) 23

El sistema de ecuaciones (1), (2), (3) puede escribirse así: 12e + f = -36 8d – 4e + f = -20 18d + 6e + f = -90 o también:

cuya solución es: d = -4, e = -3, f = 0 Luego la ecuación de ð es : x2 + y2 – 8x – 6y = 0 que podemos escribir: (x2 – 8x + 16) + (y2 – 6y + 9) = 25

ó (x – 4)2 + (y – 3)2 = 25

Así que la circunferencia C circunscrita al triángulo ABC tiene centro en (4, 3) y radio 5. 24

1.4 ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA. La ecuación de la circunferencia de centro el punto C (a, b) y radio r es: (x - a)2 + (y - b)2 = r2 Si en esta ecuación eliminamos los paréntesis y pasamos todos los términos al primer miembro, tendremos: x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 - r2 = 0 Que ordenada sería x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0 Llamando: -2a = D, -2b = E, a2 + b2 -r2 = F la ecuación quedaría expresada de la forma: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 Conocida como Ecuación General de la Circunferencia en la que observamos:  No existe término en xy  Los coeficientes de x2 e y2 son iguales.  Si D = -2a entonces a = -D/2  Si E = -2b entonces b = -F/2  Si F = a2 + b2 -r2 entonces r = Raíz cuadrada (a2+ b2-F)

OTRA MANERA MÁS EXPLICATIVA: 25

Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuaci贸n ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuaci贸n de la circunferencia, as铆:

ACTIIVIDADES DE REPASO 1.- Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C (2;6) y radio r = 4 (x - 2)² + (y - 6)² = 4² X² - 2(2x) + 2² + y² - 2(6y) + 6² = 4² X² - 4x + 4 + y² - 12y + 36 = 16 X² + y² - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0 X² + y² - 4x - 12y + 24 = 0 D = -4, E = -12, F = +24

2.- Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro el punto (3, -4) y que pasa por el origen. (X – 3)2 + (Y + 4)2 = 25 X2 + 2(X)(-3) + (-3)2 + Y2 + 2(X)(4) + (4)2 = 25 X2 – 6X + 9 + Y2 + 8Y + 16 – 25 = 0 X2 + Y2 – 6X + 8Y = 0

3.- Hallar la ecuaci贸n general de la circunferencia con

1.4.1 DETERMINACIÓN DE LOS ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA Y TRAZO DE SU GRAFICA, A PARTIR DE SU ECUACIÓN GENERAL. Para este método utilizaremos solo estas fórmulas (que debemos recordar o conocer): Primero, recordemos la estructura de la ecuación ordinaria:

(x − h)2 + (y − k)2 = r2 Recordemos que en esta ecuación la x y la y representan las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia que equidiste un radio desde el centro, y que h y k representan las coordenadas del punto central de la circunferencia (también se utiliza a y b para identificarlas) Es a partir de esta ecuación que se obtienen las fórmulas que usaremos:

También tenemos que recordar que la 30

estructura de la ecuación general de la circunferencia la podemos expresar como x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 Y si la comparamos con la ecuación dada tendremos

donde vemos que D vale −3 E vale +4 F vale −1 y con estos datos y con las fórmulas de arriba vamos a conocer las coordenadas del centro:

Nuestra circunferencia tiene centro en las coordenadas (1,5, −2) 31

Nuestra circunferencia tiene un radio ≈ 2.69 y sus coordenadas del centro C (1,5, −2) POR LO TANTO LA GRAFICA QUEDARIA:

ACTIVIDADES DE REPASO

Ejercicio 1 Calcular el centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 + 2x − 4y − 4 = 0 Recordemos la estructura de la ecuación general: x2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0 Que sintetizada queda x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 Desarrollemos la ecuación x + y2 + 2x − 4y − 4 = 0 x2 + y2 + 2x − 4y = 4 Busquemos los dos binomios al cuadrado

El tercer término que falta en el primer binomio se obtiene de

Y el tercer binomio se 33

término que falta en el segundo obtiene de

Asi formamos:

Vemos que al lado izquierdo agregamos +1 y +4 (los terceros términos de los binomios) por ello agregamos los mismos valores a la derecha de la ecuación, para equilibrarla. Ahora partir de estos dos trinomios podemos definir dos binomios al cuadrado: (x + 1)2 + (y − 2)2 = 9 Que como vemos, se asemeja a nuestra ecuación ordinaria de la forma 34

(x − h)2 + (y − k)2 = r2 Si comparamos, resulta que h = +1 k = −2 Reemplazamos y tenemos (x − +1)2 + (y − −2)2 = r2 (x − 1)2 + (y + 2)2 = 9

(x − 1)2 + (y + 2)2 = 3 Respuesta: Las coordenadas del centro de la circunferencia dada son (─1, 2) y su radio es igual a 3.

1.5 INTERSECCIONES DE UNA RECTA CON 35

UNA CIRCUNFERENCIA Intersecciones de una recta y una circunferencia. El problema de hallar los puntos de intersección de una circunferencia y una recta es el de encontrar las coordenadas de los puntos Ay B que satisfacen simultáneamente a las ecuaciones de la recta y la circunferencia. Por lo tanto, bastara resolver el sistema formado por ambas ecuaciones. Ejemplo. Hallar los puntos de intersección de la circunferencia x2+y2= 18 y la recta 2x -y+ 9= O. Se resuelve el sistema: x2+ y2= 18 (1) 2x -y+ 9 = 0 (2)

Despejando y de la (2), sustituyendo en la (1) y resolviendo la ecuación de segundo grado que resulta, tendremos: y=2+ 9 (3) y+(2x+ 9)2= 18 ∴ x1 = −3 X2= 21/ 5 Sustituyendo los valores de x en (3), resulta: y1= 3, y2= 3/5. Los puntos de intersección son: A(- 3, 3) y B (-21/5, 3/5). El sistema formado por las ecuaciones de la recta y la 36

circunferencia puede tener, como en el ejemplo anterior, dos soluciones distintas, lo que indica que 1a recta es secante. Si tiene dos soluciones iguales, la recta es tangente y si 1as soluciones son imaginarias la recta es exterior ACTIVIDADES DE REPASO Ejercicio 1: Hallar los puntos de intersección de la recta x+ 2y + 1 = 0 y la circunferencia x2 + y2 + 2x - 4y - 4 = 0 Resolución:

( -2y - 1)2 + y2 + 2(-2y - 1) - 4y - 4 = 0 Þ 5y2 - 4y - 5 = 0

Hay, pues, dos soluciones:

‚ Hallar los puntos de intersección de dos circunferencias cuyas ecuaciones son x2 + y2 - 2x + 4y - 11 = 0 y x2 + y2 + x + y - 8 = 0 Resolución:

· Se restan las ecuaciones y se obtiene: -3x + 3y - 3 = 0 Þ x = y - 1 Ésta es la ecuación de una recta, el eje radical. · (y - 1)2 + y2 - 2(y - 1) + 4y - 11 = 0 Þ

Se obtienen, pues, dos puntos, (1, 2) y (-3, -2). ACTIVIDADES DE REPASO: 38

Encuentre los puntos de intersecci贸n de la recta y = 2x - 10 y la circunferencia con centro en el punto (4,-1) y radio . Nota: recuerda que si se te dan los puntos y el radio debes determinar la ecuaci贸n; en este caso se usa la formula . Sustituyendo punto de origen y radio:

Desarrollando:

SOLO FALTA AGRUPAR:

1.6 39

TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA Ecuaciones de la tangente a una circunferencia en uno de sus puntos. Para resolver este problema se aplica la propiedad de que la tangente es perpendicular al radio que pasa por el punto de contacto P (x , y). Anal铆ticamente esto quiere decir que la tangente y el radio tienen sus pendientes negativamentereciprocas. Luego hallaremos la pendiente m1 del radio y la ecuaci贸n de la tangente es la de la recta que pasa por el punto dado P (x , y) y tiene de pendiente Es decir:

ACTIVIDADES DE REPASO 40

1.7 CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR TRES PUNTOS Que tres puntos de un plano pertenezcan a una misma circunferencia no solo no es nada extraordinario, sino que es algo absolutamente obligado; de hecho tres puntos son los que definen una circunferencia. Dicho de otra manera: dados tres puntos no alineados, existe una y solo una circunferencia que pasa por los tres. Cuando se dispone de tres puntos A, B y C que no estén alineados, la mediatriz de AB y la Mediatriz de BC se cortarán en un punto, ese punto es el centro de la circunferencia que pasa por A, B y C puesto que los tres equidistan de él. En otras palabras, el problema consiste en hallar la circunferencia circunscrita a un triángulo. El centro de dicha circunferencia se obtiene como intersección de las mediatrices de dos de los lados de ese triángulo. En el caso de que los tres puntos dados estén alineados el problema carece de solución. A TRAVÉS DE MEDIATRICES Se seleccionan dos de los puntos dados, se obtiene la ecuación de la recta que pasa por ellos. Se calcula el punto medio entre los puntos. Se encuentra mediatriz, que es la recta perpendicular a la recta obtenida que pase por el punto medio. Se toman otros dos puntos y se obtiene de forma similar otra mediatriz. 42

Se resuelve el sistema de ecuaciones con las dos mediatrices y la solución, representa las coordenadas del centro. El radio se encuentra tomando la distancia del centro a cualquiera de los puntos de la circunferencia. Finalmente se expresa como: .

POR RESOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES La ecuación general de la circunferencia es: . Como los tres puntos son parte de la circunferencia, satisfacen la ecuación general. Así que para cada punto se sustituye en la ecuación y las incógnitas serán D, E y F, de la siguiente manera: Para el punto 1

Para el punto 2 ,

, se sustituye para obtener: .

se sustituye para obtener: .

Para el punto 3 ,

se sustituye para obtener:

Reescribiendo se tiene un sistema de la forma:

Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Se resuelve por el método deseado y las soluciones encontradas D, E y F se reemplazan en la ecuación general.

ACTIVIDADES DE REPASO 1.- Obtenga la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (5,7) B(-3,5) y C(5,-3) y grafíquela. 44

Sabemos que la ecuación que buscamos tiene la forma de la ecuación general de la circunferencia: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ..... I Como los tres puntos dados satisfacen la ecuación del círculo por estar en él, tenemos: Para el punto A(5,7): 25 + 49 + 5D + 7E + F = 0 Para el punto B(-3,5): 9 + 25 – 3D + 5E + F = 0 Para el punto C(5,-3): 25 + 9 + 5D – 3E + F = 0 Es decir: 74 + 5D + 7E + F = 0 34 – 3D + 5E + F = 0 34 + 5D – 3E + F = 0

…… II …… III …… IV

Dado que hay valores que se repiten, trabajaremos primero con las ecuaciones III y IV. Primero multiplicamos la ecuación III por (-1) y luego la sumamos a la ecuación IV – 34 + 3D – 5E – F = 0 34 + 5D – 3E + F = 0 0 + 8D – 8E + 0 = 0 Por lo tanto: D=E …… V Ahora utilizamos las ecuaciones II y III, reemplazando D por E: 74 + 5E + 7E + F = 0 45

34 – 3E + 5E + F = 0 Reduciendo términos semejantes tenemos: 74 + 12E + F = 0 34 + 2E + F = 0 Multiplicando la última ecuación por (–1) y sumando ambas ecuaciones: 74 + 12E + F = 0 – 34 – 2E – F = 0 40 + 10E + 0 = 0 Despejando: E=–4 Reemplazando en V: D=–4 Reemplazando valores en II: 74 + (5)(–4) + (7)(–4) + F = 0 74 – 20 – 28 + F = 0 26 + F = 0

F = – 26 Reemplazando valores en I tendremos la ecuación buscada: x2 + y2 – 4x – 4y – 26 = 0 El grafico de esta circunferencia es el siguiente: 46

1.8 FUNCIONES IRRACIONALES Así como los números tienen su clasiﬁcación ya estudiada por nosotros, también , en las funciones ocurre algo parecido, ya conocemos las funciones racionales que tiene 47

un parentesco con los números racionales, el tipo de función que vamos a analizar ahora tiene relación con los números irracionales se trata de las funciones Irracionales. La función irracional es mejor conocida como la “función raíz”, tanto con índice par o impar. f(x) = n√ x Como la raíz puede ser par o impar es necesario analizar los casos respectivos: Si n es par entonces la cantidad subradical (g(x)) debe ser mayor o igual a 0. Por lo que el dominio queda restringido para los valores de x que hacen que g(x) cumpla esta condición: Ejemplo: f(x) = √ x Si n es impar entonces la cantidad subradical (g(x) toma cualquier valor en el conjunto de los números reales, por lo que el Dominio de f(x) es IR. De otra forma tenemos. Ejemplo: f(x) = 2√ x Si n es par, g(x) ≥ 0 . Si n es impar, g(x) Є IR Como la función tiene una raíz con índice par (en este caso una raíz cuadrada), sólo está deﬁnida para los valores positivos de “x”; también la raíz con índice par de un número puede ser tanto positiva como negativa, pero en este caso se estudia sólo con signo positivo. En el ejemplo, para que la función exista, “x” debe tomar valores iguales o mayores que cero, ya que la raíz con 48

índice par de un número negativo, no existe, entonces el dominio de la función es: Dominio f(x) = [ 0 , + ∞ ) Como el menor valor que puede tomar la variable “x”, es cero, al ser sustituido en la función, queda que su valor asociado en “y” es cero, es decir, que el Rango de la función es: Rango f(x) = [ 0, + ∞ ) f(x) = √x Dominio Algunos valores para la construcción gráﬁca. x ≥ 0 Dom f(x) = [0, ∞) Rango f(x) = √x Como x ≥ 0, f(x) ≥ 0 luego f(0) = √0 = 0f(1) = √1 = 1 Ran f(x) = [0, ∞) f(4) = √4 = 2f(9) = √9 = 3 Como se puede observar en el ejemplo anterior, cuando “x”, toma el valor de cero su valor asociado en “y” también es cero, lo que significa que la función corta al eje "x" y al eje "y" en el origen, p (0, 0). Para determinar otros puntos y poder graﬁcarla en un sistema de coordenadas procedemos de la forma siguiente: a. Se le da a “x” valores iguales o mayores que cero: f(x) = √x f(0) = √0 = 0 f(1) = √1 = 1 f(4) = √4 = 2 49

f(9) = √9 = 3 b. Elaboramos la tabla de valores.

c. Gráﬁca.

ACTIVIDADES DE REPASO Contesta lo que se te pide: 1.-¿Qué es una función racional? 50

Una función es irracional si la variable independiente está bajo el signo del radical. 2.-¿Cuáles son las características de una función irracional? a) Si el índice del radical es par, el dominio son los valores para los que el radicando es mayor o igual que cero. b) Si el índice del radical es impar, el dominio es . c) El recorrido es d) Es continua en su dominio y no tiene asíntotas. 3.-Dibuja la gráfica de la función:

4.Escribe irracionales

ejemplos

funciones

5.-Analizar y representar la gráfica de la función irracional

Dominio: No está definida para x2-1<0 « x2 < 1 « -1< x < 1. Luego, Df=R-(-1,1). Cortes con los ejes coordenados: Corte con OX: y=0. No es posible. Corte con OY: x=0. No es posible. Regiones: Es fácil comprobar que para x ³ 1, f(x) >0 y para x £ -1, f(x)<0.

Asíntotas: - Horizontales:

Luego, y=0 es una asĂntota horizontal por la derecha. Como,

No hay asĂntota horizontal por la izquierda.

2.1 LA PARÁBOLA COMO LUGAR GEOMETRICO. DEFINICION Y ELEMENTOS Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada, llamada directriz, y a un punto exterior a ella, que se denomina foco. De esta forma, una vez fija una recta y un punto se puede construir una parábola que los tenga por foco y directriz de acuerdo a la siguiente construcción. Sea T un punto cualquiera de la recta directriz. Se une con el foco dado F y a continuación se traza la mediatriz (o perpendicular por el punto medio) del segmento TF. La intersección de la mediatriz con la perpendicular por T a la directriz da como resultado un punto P que pertenece a la parábola. Repitiendo el proceso para diferentes puntos T se puede aproximar tantos puntos de la parábola como sea necesario. De la construcción anterior se puede probar que la parábola es simétrica respecto a la línea perpendicular a la directriz y que pasa por el foco. Al punto de intersección de la parábola con tal línea (conocida como eje de la parábola) se le conoce como vértice de la parábola y es el punto cuya distancia a la directriz es mínima. La distancia entre el vértice y el foco se conoce como distancia focal o radio focal.

Elementos de la parábola

Foco: Es el punto fijo F. Directriz: Es la recta fija d. Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p. Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje. Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco. Lado recto: La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal. Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto. ACTIVIDADES DE REPASO ESCRIBE EL NOMBRE DE CADA ELEMENTO DE LA PARABOLA

2.2 ECUACION DE LA PARÁBOLA CON VERTICE EN EL ORIGEN Parábola con vértice en el origen (0,0) 1. Ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje focal sobre X (Horizontal) Y2 = 4px Centro C (0,0) Es Horizontal Se abre hacia la derecha (porque es positivo)

Y2 = -4px Centro C (0,0) Es Horizontal Se abre hacia la izquierda (porque es negativo)

Observación Mientras mayor sea el número del parámetro (P), más abierta estará la parábola, pero mientras el número sea menor, más cerrada será la parábola.

2. Ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje focal sobre Y (Vertical) 2 X = 4py Centro C(0,0) Es Vertical Se abre hacia arriba (porque es positivo) 2 X = -4py Centro C(0,0) Es Vertical Se abre hacia abajo (porque es negativo) Observación Mientras mayor sea el número del parámetro (P), más abierta estará la parábola, pero mientras el número sea menor, más cerrada será la parábola. ACTIVIDADES DE REPASO EJERCICIO 1 Halla la ecuación de la parábola con Foco (-3,0) y vértice en el origen. Solución El eje focal será el eje de abscisas y el parámetro P = -3 es la abscisa del foco. 58

Datos: 2 Y = 4px p = -3 Entonces: 2 Y = 4(-3)x 2 Y = -12x EJERCICIO 2 Halla la ecuaciรณn de la parรกbola con Foco (0,5) y directriz L: X+5=0 Soluciรณn El eje focal serรก el eje de ordenadas y el parรกmetro P es la ordenada del foco. Datos: 2 X = 4py p=5 Entonces: 2 X = 4(5)y 2 X = 20y 59

2.2.1 DADOS LOS ELEMENTOS DE UNA PARÁBOLA CON VERTICE EN EL ORIGEN, DETERMINAR SU ECUACIÓN Y GRÁFICA. Consideremos ahora una parábola de vértice en el punto (h, k) de eje paralelo al eje x y cuyo foco está a una distancia p del vértice y a la derecha de él. La directriz paralela al eje y a una distancia 2p a la izquierda del foco, la ecuación será: (y - k)2 = 4p(x – h) F (h + p, k) Ec. Dir. x = h – p.

Otras expresiones son: Parábola de eje paralelo al eje x foco a la izquierda del vértice, Ec. de la Dir. paralela al eje y a la derecha del foco, la ecuación será: 60

(y - k)2 = - 4p(x – h) F (h - p, k) Ec. Dir. x = h + p.

Parábola de eje paralelo al eje y foco arriba del vértice, Ec. de la Dir. paralela al eje x abajo del foco, la ecuación será: (x - h)2 = 4p(y – k) F (h, k + p) Ec. Dir. y = k - p.

Parábola de eje paralelo al eje y foco abajo del vértice, Ec. de la Dir. paralela al eje x arriba del foco, la ecuación será: (x - h)2 = - 4p(y – k) F (h, k - p) Ec. Dir. y = k + p.

ACTIVIDADES DE REPASO 1.- Hallar la ecuación de la parábola de vértice V(3, 2) y foco F(5, 2). Solución: Como el vértice es V (3, 2) y foco F (5, 2) entonces p = 5 – 3 = 2, y la ecuación es: (y – k)2= 4p (x – h) sustituyendo obtenemos : V (-2, 3) y F (1, 3) 2 (Y – 2) = 4(2) (x – 3) V (-2, 4) y F (-2, 6) 2 y – 4y + 4 = 8x – 24 Trae. V (2, 5) y F (2, 3) 2 y – 4y – 8x + 28 = 0 L.l.r. = 4p = 4(2) = 8 Ec. Dir. x = 3 – 2 = 1 62

2.- Hallar la ecuación de la parábola de F (6, -2) y directriz x – 2 = 0. Solución: Por definición sabemos que la distancia del vértice al foco es la misma que la del vértice a la ecuación de la directriz, por lo tanto obtenemos: F (4, 6) y directriz y = 2 F (2, 5) y directriz y – 9 = 0 Trab. F (3, 2) y directriz x – 4 = 0

3.- Hallar la ecuación de la parábola de vértice el punto V (2, 3), de eje paralelo al de coordenadas y que pase por el punto P (4, 5). Solución: Como el vértice es V (2, 3), y el eje es el eje y pasa por P (4, 5), la parábola abre hacia arriba por lo tanto su fórmula es: (x – h)2= 4p (y – k) Sustituyendo obtenemos: V (3, - 1) eje y P (6, 10) 2 (4 – 2) = 4p (5 – 3) Trab. V (- 2, - 3) eje y P (- 4, - 8) 2 (2) = 4p (2) 4 = 8p p = 0.5 entonces: (x – 2)2 = 4(0.5) (y – 3) x2– 4x + 4= 2 (y – 3) x2 – 4x + 4 = 2y – 6 x2 – 4x – 2y + 10 = 0 63

2.2.2 DADA LA ECUACIONN DE UNA PARABOLA CON VERTICE EN EL ORIGEN OBTENER SU GRAFICA: Toda ecuación que sea de las formas y2=4px, y2= -4px, x2=4py, x2= -4py o equivalentes, puede graficarse como una parábola con vértice en el origen. Para hacer estas gráficas, utilizaremos tres puntos: el vértice y los extremos del recto: EJEMPLO: 1. Hallar las coordenadas del foco ecuación de la directriz y la grafica dela parábola cuya ecuación es y2+16x= 0 SOLUCION La ecuación es de la forma: y2= - 4px, puesto que la ecuación y2+16x= 0 es equivalente a: y2= -16x La grafica es de forma

Comparando la ecuación dada con la del tipo: y2= - 4p x y2= -16 x -4p= -16 P= = Las coordenadas del foco son F( -p, 0). En nuestro caso el foco es: F(-4.0) La directriz de la parábola, es la recta vertical que se encuentra a 4 unidades a la derecha del vértice. Su ecuación es x= 4 Para trazar la gráfica, utilizaremos del lado recto: Lr= 4p= 4(4)= 16

8 unidades arriba del foco 8 unidades abajo del foco

ACTIVIDADES DE REPASO 1.-Hallar las Coordenadas del Vértice, del Foco, Longitud del Ancho Focal, la Ecuación de la Directriz y trazar la gráfica de las siguientes parábolas: 1.- y2 = 12x SOLUCIÓN Esta ecuación es de la forma y2 = 4px, por lo tanto: V (0 ,0) 4p = 12 p= p=3 Ancho Focal = 4p = 12 Foco = F (p , 0) = F(3 , 0) Ecuación de la Directriz x = -3 o x+3=0

2.-Hallar las Coordenadas del Vértice, del Foco, Longitud del Ancho Focal, la Ecuación de la Directriz y trazar la gráfica de las siguientes parábolas: x2 = -8y SOLUCIÓN Esta ecuación es de la forma x2 = -4py, por lo tanto: V (0 , 0) 4p = 8 p= p=2 Ancho Focal = 4p = 8 Foco = F (0 , -p) = F(0 , -2) Ecuación de la Directriz: y=2 o y +2 = 0

2.3 ECUACIONES DE LA PARABOLA CON VERTICE FUERA DEL ORIGEN Existen cuatro tipos de parabolas con vertice fuera del origen, dos verticales y dos horizontales, como lo veremos acontinuacion La parabola horizontal cuya ecuacion esta dada por Si es horizontal: (y - k)² = ±4a (x - h) cuando se abre fuera del origen hacia la derecha, la directriz sera X=h-a cuando la directriz de abre hacia la izquierda sera X=h+a Donde a= longitud del vertice al foco, (si es positiva se abre hacia a la derecha si es negativaa se abre hacia la izquierda) f= foco con coordenadas (h+a,k) cuando se abre a la derecha. f=foco con coordenadas (h-a,k) se abre a la izquierda V= vertice con coordenadas (h,k) las directrices son X=h+a cuando se abre a la izquierda y, sera X=h-a cuando se abre hacia a la derecha El lado recto se calcula L.R= l 4a l Parabola vertical cuya eciacion esta dada por Si es vertical: (x - h)² = ±4p(y - k) cuando la parabola se abre hacia abajo la directriz sera Y=k+a 68

cuando la parabola se abre hacia arriba la directriz sera Y=k-a Donde a= longitud del vertice al foco, (si es positiva se abre hacia arriba si es negativaa se abre hacia abajo) f= foco con coordenadas (h,k+a) cuando se abre a la derecha. f=foco con coordenadas (h,k-a) se abre a la izquierda V= vertice con coordenadas (h,k) las directrices son Y=k+a cuando se abre hacia abajo y, sera Y=k-a cuando se abre hacia arriba El lado recto se calcula L.R= l 4a l ACTIVIDADES DE REPASO 1.- Hallar las Coordenadas del Vértice, del Foco, Longitud del Ancho Focal, la Ecuación de la Directriz y trazar la gráfica de las siguientes parábolas y2 + 4y + 4x + 12 = 0 SOLUCIÓN La ecuación dada hay que darle la forma (y -k)2 = 4p(x - h) (y + 2)2 = - 4x - 12 + 4 (y + 2)2 = - 4x -8 (y + 2)2 = - 4(x + 2) El signo negativo en la ecuación obtenida indica que la parábola abre a la izquierda. De aquí se obtiene lo siguiente:

a) V(h , k) = V -2 , -2) b) Ancho Focal = 4p = 4 Por lo tanto p=1 c) F(h - p , k) F(-2 - 1, -2) F(-3 , -2) d) Ecuación de la Directriz: x = h - (-p) x = -2 - (-1) x = -2 + 1 x = -1 o x + 1 = 0 2.- Hallar las Coordenadas del Vértice, del Foco, Longitud del Ancho Focal, la Ecuación de la Directriz y trazar la gráfica de las siguientes parábolas: 5x2 + 5x + 2y -1 = 0 SOLUCIÓN Dividiendo por 5, tenemos: x2 + x +

- =0

Esta ecuaci贸n es de la forma (x -h )2 = - 4p(y - k), por lo tanto: a) V(h , k) = V b) Ancho Focal = 4p = Por lo tanto p=

= 0.1

c) F(h , k - p) = d) Ecuaci贸n de la Directriz y=k+p y = 1.1 + 0.1 y = 1.2 o y - 1.2 = 0

2.3.0 DADA LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA CON VERTICE FUERA DEL ORIGEN ,OBTENER SU GRAFICA ESTAS SON ALGUNAS FORMULAS PARA ENCONTRAR LOS ELEMENTOS DE UNA ECUACION

Encontrar el vértice, eje de simetría, foco, directriz y lado recto de y grafíquela.

ACTIVIDADES DE REPASO: MAS ACTIVIDADES DE ESTE TIPO PUEDES ENCONTRAR EN EL SIGUIENTE LINK EJERCICIOS RESUELTOS http://www.mrperezonlinemathtutor.com/private2/ALGSP_PDF _FILES/S6_2_Parabola_Formula_Graphing.pdf

2.3.1 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA A PARTIR DE ALGUNOS DE SUS ELEMENTOS O CONDICIONES DADAS: Ejemplo: 2x2+y+5=0 ,4y2-x=0? La ecuación de una parábola es: y = ax5 + bx +c las raíces se calculan con la fórmula -b ±B(b² - 4ac) /2 la coordenada x del vértice es xv = -b/2a con este valor de xv determinas yv ordenada al origen es c si a>0 va hacia arriba. En este caso el vértice es un mínimo intervalo de decrecimiento desde -infinito hasta xv, y luego crece desde xv hasta +inf si a<0 va hacia abajo. En este caso el vértice es un máximo crece desde -inf hasta xv, y luego decrece hasta + inf. El eje de simetría es en x = xv

2.4 ECUACIONES GENERALESDE LA PARÀBOLA

ACTIVIDADES DE REPASO

2.-Hallar la ecuacion de la parabola cuyos vertices y focos son los puntos (-4,3) y (-1,3) respectivamente hallar tambien su directriz y su lado recto. Para encontrar la ecuacion de la parabola necesitamos el vertice (h,k) y el valor de la distancia del vertice al foco (a) en este caso ya conocemos el vertice (-4,3) y el foco que es (-1,3) como en el vertice y el foco no se cambia la coordenada, entonces, la parabola es horizontal y se abre 77

hacia a la derecha, ya que el foco esta a la derecha del vertice. El valor e la distancia del vertice al foco que es 3, asi sustituyendo en la ecuacion. nos queda . (y-k)'=4a(x-h) (y-3)2=4(3)(x+4) (y-3)2=12(x+4) Y2-6y+9=12x+48 y la forma general seria y2-6y-12x-39=0 y su directriz seria X=h-a X=-4-3 X=-7 y su lado recto es: L.R= l 4a l L.R=l 4 (3) l L.R=12 y en la formula general Ax2+By2+Cx+Dy+E=0 Solucion tenemos que darle la forma canonica para esto se tiene que factorizar, primero agrupamos los terminos que contengan su variable de grado 2 ejemplo 4x2+12x+48y-159=0 78

(4x2+12x)=48y+159 ahora sacamos el factor comun 4(x2+3x)=48y+159 ahora acompletamos los cuadrados 4(x2+3x+(9/4)}= 48y+159+4(9/4) colocando los terminos que acompletan el cuadrado en ambos lados de la igualdad multiplicados por el factor comun de los terminos de cada uno . DespuĂ¨s se factoriza el trinomio al cuadrado perfecto quedandonos 4(x + 3/2)2=48y+159+9 4(x + 3/2)2=48y+168 4(x + 3/2)2=48 (y+42) pasando el 4 dividiendo nos queda (x + 3/2)2=12 (y+42) quedandonos el vertice como (-3/2 , - 42)

2.4.1 DETERMINACION DE LOS ELEMENTOS DE UNA PARÀBOLA Y TRAZO DE SU GRÀFICA, A PARTIR DE LA ECUACIÓ GENERAL. Existen dos ecuaciones de la parábola: una con x2 y la otra con y2. Si tiene x2 es una parábola vertical que abre hacia arriba o hacia abajo. Si tiene y2 es una parábola horizontal que abre a la izquierda o a la derecha. Antes de ver la ecuación general, hay que recordar las ecuaciones corrientes de ambas: Vertical: (x-h)2=4p(y-k) (**) Horizontal: (y-k)2=4p(x-h) (***) En ambas el vértice es (h,k). Si h=k=0 se tiene parábolas colocadas en el origen que es el caso que se enseña primero. Sus elementos son: Vertical: Foco (h,p+k), ecuación directriz: y=-p+k, ecuación del eje: x=h Horizontal: Foco (p+h,k), ecuación directriz: x=-p+h, ecuación del eje: y=k (El eje es la recta que pasa por el vértice y es simétrica con ambas ramas de la curva) y estas fórmulas se obtienen a partir de los casos con vértice (0,0) sumando h yk a x e y, respectivamente en los puntos (foco), y restando h y k a x e y en las ecuaciones de la directriz y del eje. Ahora trataremos la ecuación general de la parábola. 80

Caso vertical: Ax2+Bx+Cy+D=0 donde A y C jamás valen cero. Modifiquemos esta ecuación hasta obtener la ecuación corriente y así poder sacar sus elementos: Ax2+Bx+Cy+D=0 /:A x2+B/A*x+C/A*y+D/A=0 Llamaremos B/A=-2h C/A=-4p D/A=h2+4pk Entonces la ecuación queda, reemplazando x2+B/A*x+C/A*y+D/A=0 x2-2hx-4py+h2+4pk=0 x2-2hx+h2=4py-4pk (x-h)2=4p(y-k) que es la ecuación corriente, y se puede sacar los elementos. Caso horizontal: Ay2+Bx+Cy+D=0 donde A y B jamás valen cero. De igual manera Ay2+Bx+Cy+D=0 /:A y2+B/A*x+C/A*y+D/A=0

Llamaremos B/A=-4p C/A=-2k D/A=k2+4ph Entonces la ecuación queda, reemplazando y2+B/A*x+C/A*y+D/A=0 y2-4px-2ky+k2+4ph=0 y2-2ky+k2=4px-4ph (y-k)2=4p(x-h) que es la ecuación ordinaria, y se puede sacar los elementos. ACTIVIDADES DE REPASO 1. Dada la parabola o curva x2-6x-16y+41=0, encontrar sus elementos. Solución. Como solamente x está al cuadrado se trata de una parábola vertical. Arreglemos la ecuación para obtener la común: x2-6x-16y+41=0 se pasa los términos sin x a la derecha del =x2-6x=16y-41 se completa cuadrados: x2-2*3*x+32=16y-41+32 (x-3)2=16y-41+9 (x-3)2=16y-32 (x-3)2=16(y-2) se fabrica un 4 (x-3)2=4*4(y-2) comparando con (**) podemos encontrar sus elementos, 82

pues de aquí h=3, p=4 y k=2. Foco: (h,p+k)=(3,4+2)=(3,6) Ecuación directriz: y=-p+k y=-4+2 y=-2 Ecuación del eje: x=h -> x=3 2. Dada la curva y2-12x+2y+25=0, encontrar sus elementos. Solución. Como se tiene solamente y al cuadrado se trata de una parábola horizontal. y2-12x+2y+25=0 De igual manera se pasa a la derecha los términos sin y y2+2y=12x-25 completando cuadrados y2+2*1*y+12=12x-25+12 (y+1) 2=12x-24 (y--1)2=12(x-2) (y--1)2=4*3(x-2) y comparando con (***) se obtiene: k=-1, p=3 y h=2 Foco: (p+h,k)=(3+2,-1)=(5,-1) Directriz: x=-p+h x=-3+2 x=-1 Ec. del eje: y=k -> y=-1 83

2.5 INTERSECCIONES: RECTA CON PARABOLA, PARABOLA CON PARABOLA Y PARABOLA CON CIRCUNFERENCIA. Al igual que con la circunferencia una línea recta cortara a una parábola en dos puntos, la tocara en un solo punto o no tendrá contacto con la curva. Dos parábolas se pueden intersectar cuando mucho dos veces. Un circulo y una parábola s pueden cortar cuando mas en cuatro puntos. . Cuando es "Parabola interseccion Parabola" Pueden ocurrir varias situaciones: "Que las parábolas se intersecten en dos puntos del plano" "Que las parábolas se intersecten en un solo punto" "O directamente no se intersecten"

Cuando es "Parábola interseccion Recta" Pueden ocurrir cualquiera de las mismas tres situaciones que las anteriores, pero no en simultaneo. 84

ACTIVIDADES DE REPASO:

2.6 PARABOLA Y FUNCIONES CUADRATICAS. una funciรณn cuadrรกtica o funciรณn de segundo grado es una funciรณn polinรณmica definida como: Una funciรณn cuadrรกtica es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c donde a, b y c son nรบmeros reales cualesquiera y a distinto de cero. Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una funciรณn cuadrรกtica, obtenemos siempre una curva llamada parรกbola. Grรกficas de funciones cuadrรกticas

Las funciones cuya ecuación es y = ax2 + bx + c con a,b y c números y a distinto de 0 (el valor de b y c si puede ser 0)se llaman cuadráticas y se representan mediante parábolas con su eje paralelo al eje Y. Estas parábolas son más o menos abiertas y con las ramas hacia arriba o hacia abajo, según cual sea el valor de a: · Si a > 0, las ramas van hacia arriba. · Si a < 0, las ramas van hacia abajo. Además cuanto mayor sea |a|, menos abierta es la parábola. El eje de simetría de la parábola es la recta vertical que divide a ésta en dos partes iguales. El vértice de la parábola es el punto de corte de dicho eje con la parábola y tiene de coordenadas

El eje de simetría tiene por ecuación El punto de corte con el eje de ordenadas será el (0,c), mientras que los puntos de corte con el eje de abscisas tendrán por abscisas las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0 y por ordenada 0.

Observar que la parábola siempre cortará al eje de ordenadas, pero al eje de abscisas puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno. ACTIVIDADES DE REPASO Ejemplo Vamos a representar la función cuadrática de ecuación y = 2x2 - 4x + 5 1º Calculamos las coordenadas del vértice. Como a = 2, b = - 4, c = 5, la abscisa del vértice será -(-4/2 · 2)=1, la ordenada del vértice se obtendrá sustituyendo la abscisa en la x de la función: 2·12– 4 · 1 + 5 = 3. Con lo cual el vértice tendrá de coordenadas (1, 3) . x -1 y 11

0 5

2 5

3 11

2º Determinamos puntos de la parábola a izquierda y derecha delvértice, dando valores a x y obteniendo los correspondientesvalores de y, al sustituir la x en la función por esos valores. 3º Representamos gráficamente esos puntos obtenidos en el plano y los unimos. El eje de simetría de la parábola tiene por ecuación x = 1. El punto de intersección con el eje de ordenadas es el (0,5). No se corta con el eje de abscisas porque la ecuación 2x2 - 4x + 5 = 0 no tiene solución. 88

2.7 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRATICAS Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas — son ampliamente usadas en la ciencia, los negocios, y la ingeniería. La parábola con forma de U puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botar de una pelota, o pueden ser incorporadas en estructuras como reflectores parabólicos que forman la base de los platos satelitales y faros de los carros. Las funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios, graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinación de valores mínimos y máximos. Muchos de los objetos que usamos hoy en día, desde los carros hasta los relojes, no existirían si alguien, en alguna parte, no hubiera aplicado funciones cuadráticas para su diseño. Comúnmente usamos ecuaciones cuadráticas en situaciones donde dos cosas se multiplican juntas y ambas dependen de la misma variable. Por ejemplo, cuando trabajamos con un área. Si ambas dimensiones están escritas en términos de la misma variable, usamos una ecuación cuadrática. Porque la cantidad de un producto vendido normalmente depende del precio, a veces usamos una ecuación cuadrática para representar las ganancias como un producto del precio y de la cantidad vendida. Las ecuaciones cuadráticas también son usadas donde se trata con la gravedad, como por ejemplo la trayectoria de una pelota o la forma de los cables en un puente suspendido. 89

Usando la Parábola Una aplicación muy común y fácil de entender de una función cuadrática es la trayectoria seguida por objetos lanzados hacia arriba y con cierto ángulo. En estos casos, la parábola representa el camino de la pelota (o roca, o flecha, o lo que se haya lanzado). Si graficamos la distancia en el eje x y la altura en el eje y, la distancia que del lanzamiento será el valor de x cuando y es cero. Este valor es una de lasraíces de una ecuación cuadrática, o intersecciones en x, de la parábola. Sabemos cómo encontrar las raíces de una ecuación cuadrática — ya sea factorizando, completando el cuadrado, o aplicando la fórmula cuadrática.

3.1 LA ELIPSE COMO LUGAR GEOMETRICO. DEFINICION Y ELEMENTOS. VALOR DE LA CONSTANTE DE LA ELIPSE. RELACIONES ENTRE LOS PARAMETROS A,B Y C. LADO RECTO. EXCENTRICIDAD. Una elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es: La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante. Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.1 Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. ELEMENTOS La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:  El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y  el semieje menor (el segmento C-b de la figura). Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

Puntos de una elipse. Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diรกmetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a). Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertenecerรก a la elipse si se cumple la relaciรณn: donde es la medida del semieje mayor de la elipse. Ejes de una elipse El eje mayor 2a, es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre si.

VALOR DE LA CONSTANTE DE LA ELIPSE En la figura de la derecha se muestran los dos radio vectoresc orrespond ientes a cada punto P de una elipse, los vectoresque van de los focos F1 y F2 a P. Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF1 (color azul) yPF2 (color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntos P de la elipse. Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor: PF1 + PF2 = 2a En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de puntos, cómo se cumple la definición .

EXCENTRICIDAD ANGULAR DE UNA ELIPSE La excentricidad angular es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad , esto es:

LADO RECTO DE LA ELIPSE El lado recto de la elipse es la magnitud de algun segmento perpendicular al eje mayo que pasa por lo focos, si los extremos de dichos segmentos son puntos de la curva.

RELACIONES ENTRE LOS PARAMETROS A, B Y C En la siguiente página de internet encontraran este tema más explicado con graficas interactivas. http://www.bunam.unam.mx/mat_apoyo/MaestrosAlum nos/mApoyo/01/Unidad_3/a10u3t02p10.html DONDE SE LLEGA A LA CONCLUSION QUE: Donde a es un segmento que mide la mitad del eje mayor, b representa al semieje menor y c al semieje focal. ACTIVIDADES DE REPASO

1.-Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F (3, 0), y su eje mayor mide 10. Semieje mayor Semidistancia focal Semieje menor

Ecuación reducida

Excentricidad

3.2 ECUACIONES DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN. LONGITUD DEL LADO RECTO Elipse Horizontal con centro en el origen Para obtener la ecuaci贸n general de la elipse: F'P + PF = 2a Aplicando la f贸rmula de la distancia

Para eliminar los radicales, trasladamos uno de ellos al segundo miembro de la igualdad Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad

Desarrollamos x2 + 2xc + c2 + y2 = 4a2 - 4a

+ x2 - 2xc + c2 + y2

Simplificamos 4a = 4a2 - 4xc Dividimos entre 4 ambos miembros de la igualdad e introducimos a al radical = a2 - xc 97

Volvemos a elevar al cuadrado para eliminar el radical a2(x2 - 2xc + c2 + y2) = a4 - 2a2xc + x2c2 Reduciendo t茅rminos semejantes a2x2 - x2c2 + a2y2 = a4 - a2c2 Factorizando x2(a2 - c2) + a2y2 = a2(a2 - c2) Dividiendo la igualdad entre el producto a2(a2 - c2)

Como a2 > c2 entonces a2 - c2 es positivo, podemos hacer a2 - c2 = b, por consiguiente, la ecuaci贸n de la elipse horizontal con centro en el origen es:

Elipse vertical con centro en el origen. Para obtener la ecuaci贸n general de la elipse: F'P + PF = 2a Aplicando la f贸rmula de la distancia Para eliminar los radicales, trasladamos uno de ellos al segundo miembro de la igualdad

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad Desarrollamos y2 + 2yc + c2 + x2 = 4a2 - 4a x2

+ y2 - 2yc + c2 +

Simplificamos 4a = 4a2 - 4yc Dividimos entre 4 ambos miembros de la igualdad e introducimos a al radical = a2 - yc Volvemos a elevar al cuadrado para eliminar el radical a2(y2 - 2yc + c2 + x2) = a4 - 2a2yc + y2c2 Reduciendo t茅rminos semejantes a2y2 - y2c2 + a2x2 = a4 - a2c2 Factorizando y2(a2 - c2) + a2x2 = a2(a2 - c2) Dividiendo la igualdad entre el producto a2(a2 - c2)

Como a2 > c2 entonces a2 - c2 es positivo, podemos hacer a2 - c2 = b, por consiguiente, la ecuaci贸n de la elipse vertical con centro en el origen es:

La excentricidad es menor a la unidad y queda definida por la relaci贸n de la mitad de la distancia focal al semieje mayor.

El Lado recto es la cuerda perpendicular al eje mayor que pasa por uno de los focos y su longitud la calculamos por:

Mientras que las ecuaciones de las directrices son: Cuando la elipse es horizontal. x= Cuando la elipse es vertical.

y= Eje Mayor = 2a Eje Menor = 2b

100

LONGITUD DEL LADO RECTO Se denota con Ir. (Llamaremos lado recto indistintamente a la cuerda y a su mitad). A cada foco le corresponde un lado recto, por lo que, la elipse tiene dos lados rectos.. ACTIVIDADES DE REPASO 1. Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos F(3, 0) y F’(-3, 0), además el intercepto de la gráfica con el eje x es el punto (5, 0). Solución: Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 (fig. 6.5.8) se tiene que, y por tanto .

De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos V1(5, 0), V2(-5, 0), V3(0, 4) y V4(0, -4). Además, su ecuación viene dada por :

101

3.2.1 DADOS LOS ELEMENTOS DEL UNA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN, DETERIMMINAR SU ECUACION Y GRAFICA. Partes de la elipse: C(0,0) Eje mayor Eje menor Lado Recto (LR) F y F麓 V y V' a, b, c Distancia focal Para determinar la ecuaci贸n de la elipse con centro en el origen se tiene esta formula: x2/a2 + y2/b2 = 1 Para determinar partes de la elipse: Eje mayor = 2a Eje menor = 2b c2 = a2-b2 LR = 2b2/a Excentricidad e = c/a

102

Ejemplo de aplicaci贸n: Hallar la ecuaci贸n ordinaria de la elipse con centro en el origen, eje mayor igual a 10 y el eje menor igual a 6. Hacer la gr谩fica, considera que el eje focal esta sobre el eje x.

Eje mayor 2a = 10 a = 10/2 a=5 Eje menor 2b = 6 b = 6/2 b=3 Ecuaci贸n: X2/25 + y2/9 = 1 c2 = a2-b2 c2 = 25 - 9 c2 = 16 c = raiz de 16 c=4

LR = 2b2/a LR = 18/5 LR = 3.6

103

e = c/a e = 4/5 e = 0.8

Vértices: v(5,0) v'(-5,0) Centro (0,0) Focos: F(4,0) F'(-4,0) Vértices menores: B(0,3) B'(0,-3) ACTIVIDADES DE REPASO 1.- Hallar

la ecuación de la elipse de centro en el origen, Focos en el punto (0, 5) y semieje mayor igual a 7. Trazar la gráfica. SOLUCIÓN a) Como las coordenadas de los focos son F(0 , 5) y F'(0 , 5), se trata de una elipse vertical de centro en el origen, cuya ecuación es del tipo DATOS: c=5 Semieje Mayor = 7 = a por lo tanto a2 = 49 b= por lo tanto b2 = 24 104

Sustituyendo en la fórmula anterior, tenemos:

b) La excentricidad

c) Las ecuaciones de las directrices son:

2.- Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos F(3, 0) y F’(-3, 0), además el intercepto de la gráfica con el eje x es el punto (5, 0). Solución: Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 (fig. 6.5.8) se tiene que,

fig. 6.5.8. 105

y por tanto

De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos V1(5, 0), V2(-5, 0), V3(0, 4) y V4(0, -4). Además, su ecuación viene dada por :

3.2.2 DADA LA ECUACION DE UNA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN, OBTENER SU GRAFICA Representen gráficamente y encuentren las coordenadas de los focos de la elipse dada por la ecuación:

106

3.3 ECUACIONESDELAELIPSE CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN Ecuaci贸n de la elipse horizontal de centro (h,k) y sus ejes paralelas a las coordenadas.

La ecuaci贸n de la elipse horizontal con centro en el origen es , si la referimos al sistema X'-Y' se tiene:

Se observa que: x = x' + h x' = x - h y = y' + k y' = y - k Sustituyendo estos valores en la ecuaci贸n anterior, tenemos la Ecuaci贸n de la Elipse Horizontal con centro C(h , k) y su eje mayor o focal paralelo al eje de las abscisas (eje x). 107

An谩logamente si el eje mayor o focal es paralelo al eje de las ordenadas (eje y), la Ecuaci贸n de la Elipse Vertical con centro C(h , k), es:

La excentricidad es menor a la unidad y queda definida por la relaci贸n de la mitad de la distancia focal al semieje mayor.

El Lado recto es la cuerda perpendicular al eje mayor que pasa por uno de los focos y su longitud la calculamos por:

Mientras que las ecuaciones de las directrices son: Cuando la elipse es horizontal. x= Cuando la elipse es vertical. y= 108

Eje Mayor = 2a Eje Menor = 2b 3.3.3 DETERMINACION DE LA ECUACION DE LA ELIPSE APARTIR DE ALGUNOS DE SUS ELEMENTOS O CONDICIONES DADAS: Ecuaci贸n reducida de la elipse Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

F'(-c,0) y F(c,0) Cualquier punto de la elipse cumple:

Esta expresi贸n da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

109

Ejemplo Hallar los elementos caracter铆sticos y la ecuaci贸n reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

Semieje mayor

Semidistancia focal

Semieje menor

Ecuaci贸n reducida 110

Excentricidad

Ecuaci贸n reducida de eje vertical de la elipse

Si el eje principal est谩 en el de ordenadas se obtendr谩 la siguiente ecuaci贸n:

Las coordenadas de los focos son: F'(0, -c) y F(o, c)

111

3.4 ECUACIONES GENERALES La forma general es: (x - h)². . (y - k)² --------- + ---------- = 1. . .a². . . . . .b² Cuyo centro es: h,k = 4,-1 La ecuación queda: (x - 4)². . (y + 1)² --------- + ---------- = 1. . .a². . . . . .b² Si uno de sus focos está en el punto 1,-1 , entonces la distancia del foco al centro es "c": d(C,F) = c = √[(4 - 1)² + (-1 - (-1))²] d(C,F) = c = √3² d(C,F) = c = 3. Ahora solo debemos recordar la relación: · a² = b² + c² 112

Reemplazando el valor de "c" : · a² = b² + 9 Reemplazando esta igualdad en la ecuación general de la elipse: (x - 4)². . (y + 1)² --------- + ---------- = 1. b² + 9. . . . b² Ahora, por último, si la ecuación de la elipse contiene al punto: 8,0 entonces al reemplazar esto en (x,y) debe cumplir: (x - 4)². . (y + 1)² --------- + ---------- = 1. b² + 9. . . . b² Reemplazando: (8 - 4)². . (0 + 1)² --------- + ---------- = 1. b² + 9. . . . b²

113

Hallamos el valor de b: 16b² + b² + 9 ------------------- = 1 (b²)(b² + 9) 16b² + b² + 9 = (b²)(b² + 9) Hacemos m = b²: 17m + 9 = m(m + 9) 17m + 9 = m² + 9m 0 = m² - 8m - 9 . . . m. . . . . +1 . . . m. . . . . - 9 Hallamos los valores: (m + 1)(m - 9) = 0 m = -1 v m = 9 reemplazamos: m = b² b² = -1 v b² = 9 114

descartamos la primera opción y nos quedamos con la segunda: b² = 9 ===> b = +3 v -3 como a, b, c son positivos por ser distancias, entonces descartamos la segunda solución: b = 3. Además ya sabíamos que: c = 3. Entonces: a² = 3² + 3² a² = 18 Reemplazando en la forma general de la elipse: (x - 4)². . (y + 1)² --------- + ---------- = 1. . 18. . . . . . 9 _______________________ 115

(x - 4)². . (y + 1)² --------- + ---------- = 1. . 18. . . . . . 9 _______________________

La ecuación canónica es resolviéndola: (x - 4)² + 2(y + 1)² = 18 x² - 8x + 16 + 2y² + 4y + 2 = 18 x² - 8x + 2y² + 4y + 16 + 2 - 18 = 0 x² - 8x + 2y² + 4y = 0 _____________________________ La forma canónica: x² - 8x + 2y² + 4y = 0

116

3.3 LA HIPERBOLA COMO LUGAR GEOMETRICO. DEFINICION Y ELEMENTOS. VALOR CONSTANTE DE LA HIPERBOLA. RELACIONES ENRE LOS PARAMETROS A, B Y C. LADO RECTO. ASINTOTAS DE LA HIPERBOLA. Sean F y F’ dos puntos de un plano (F F’). Se define la hipérbola de focos F y F’ como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancia a los focos es constante e igual a 2a. (a > 0). ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F’ y la recta mediatriz del segmento F’F se llaman:Ejes de simetría de la hipérbola. iii. El punto de intersección 0 de dos de simetría, se llama CENTRO de la hipérbola. Los puntos A’ se llaman: VERTICES de la hipérbola.

ejes

Observaciones: i. Como en el caso de la elipse, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una hipérbola. Por simplicidad, solo se considerarán inicialmente, aquellos 117

casos en los cuales los focos están en el mismo eje (eje x ó eje y) y son simétricos uno del otro con respecto al origen (fig. 6.3.1.). ii. Si se obtiene la rama derecha de la hipérbola; mientras que si se obtiene la otra rama. iii. Note que 2a < 2c, ya que la diferencia de los lados de un triángulo siempre es menor que el tercer lado. Además, se toma .

ACTIVIDADES DE REPASO EJERCICIO 1. Hipérbola con focos F’(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0. TEOREMA: La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntos F(-c, 0) y F(c, 0) viene dada por:

(1). Demostración: Si P(x, y) es un punto que pertenece a la hipérbola considerada (fig. 6.3.1.), se tiene de acuerdo a la definición i. que: 118

ó De donde, ó Es decir, Equivalentemente, usando la fórmula de distancia, se puede escribir:

Elevando ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y simplificando se obtiene:

Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y después de simplificar y factorizar se puede escribir:

119

Recordando además que (observación iii.) y al dividir ambos miembros de la última igualdad por , se obtiene finalmente, corresponde a la ecuación pedida.

que

EJERCICIO 2. Hipérbola con focos en F’(0, -c) y F(0, c) ; c > 0. TEOREMA: La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntos F’ (0, -c) y F(0, c) viene dada por:

(1).

fig. 6.3.2. La demostración es similar a la anterior, se deja por lo tanto como ejercicio.

120

ELEMENTOS DE LA HIPERBOLA  Focos  Son los puntos fijos F y F'.  Eje focal  Es la recta que pasa por los focos.  Eje secundario o imaginario  Es la mediatriz del segmento .  Centro  Es el punto de intersección de los ejes.  Vértices  Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.  Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los focos y de radio c.  Radios vectores  Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.

 121

 Distancia focal  Es el segmento

de longitud 2c

 Eje mayor  Es el segmento

de longitud 2a.

 Eje menor  Es el segmento

de longitud 2b.

 Ejes de simetría  Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario. Asíntotas  Son las rectas de ecuaciones:

  Relación entre los semiejes

122

ASINTOTAS DE LA HIPÈRBOLA Si en la ecuación de la hipérbola se despeja y, resulta:

Pero, para valores grandes de x , que a sea un número fijo. En efecto:

» x , siempre

Al hacer x suficientemente grande, el denominador aumenta indefinidamente, mientras que el numerador permanece invariable. Así la diferencia se hace tan pequeña como se quiera al crecer x.

Estas rectas se llaman asíntotas de la hipérbola.

123

Cálculo práctico de las asíntotas de una hipérbola

Por tanto, para calcular las asíntotas, se iguala a cero el primer miembro de la ecuación reducida de la hipérbola y se despeja y. Hipérbola con ejes paralelos a los ejes de coordenadas Si se tiene una hipérbola con centro en un punto (x0, y0), procediendo como se hizo para la elipse, se tiene que su ecuación es

Vertical será

Los focos serán, si el eje real es horizontal (x0 ± c, y0) y (x0, y0 ± c ) si es vertical. De la misma forma los vértices son (x0 ± a, y0) ó (x0, y0 ± a ) según que el eje real sea horizontal o vertical, respectivamente. 124

ACTIVIDADES DE REPASO: 1-Dada la hipérbola, cuya ecuación en su forma general es: 3y2 – x2 + 4x – 6y – 13 = 0. Encuentre las ecuaciones de las asíntotas Las ecuaciones de las asíntotas son las rectas:

125

, e,

3.6 LAS ECUACIONES DE LAHIPERBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN. LONGITUD DEL LADO RECTO

Ecuaciones Con centro en el origen: Sobre el eje X:

Sobre el eje Y:

Coordenadas Polares Centrada en el origen y abierta horizontalmente: Centrada en el origen y abierta verticalmente: ParamĂŠtricas Abierta horizontalmente: Abierta verticalmente:

126

ACTIVIDADES DE REPASO

127

3.7 ECUACIONES DE LA HIPERBOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN Con centro (H, K) Sobre el eje X: Suponer que el centro de la hipérbola esta en y que los focos están situados a c unidades a la izquierda y derecha del centro

Los Focos están en Los Vértices están en Asíntotas en

Sobre el eje Y: El centro de la hipérbola esta en los focos están situados a c unidades arriba y abajo del centro

128

Los Focos están en Los Vértices están en Asíntotas en

ACTIVIDADES DE REPASO EJEMPLO 1 Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es Solución:Primer paso, se completa al cuadrado en ambas variables.

Por tanto, el centro está en es horizontal, y

129

. El eje de la hipérbola

Los vértices están en Los focos en La excentricidad es

3.8 ECUACIONES GENERALES DE LA HIPERBOLA Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas. Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son: F'(-c,0) y F(c,0) Cualquier punto de la hipérbola cumple: Esta expresión da lugar a: Realizando las operaciones y sabiendo que, llegamos a: ACTIVIDADES DE REPASO 1.- Pasar a la forma general [(Ax2+By2+Cx+Dy+E=0)] la ecuación ordinaria una hipérbola. 130

, correspondiente a

Eliminemos los denominadores y desarrollemos los cuadrados: 4(x-2)2-9(y+3)2=36 4(x2-4x+4)-9(y2+6y+9)=36 4x2-16x+16-9y2-54y-81=36 4x2-9y2-16x-54y-101=0 SOLUCION: La ecuación de la forma general queda: 4x2-9y2-16x-54y-101=0

3.9 ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO La circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola genéticamente tiene un origen común: son secciones planas de un cono circular recto (esto es, se obtienen de intersectar el cono circular recto con un plano que no contiene al vértice del cono). De ahí que reciban el nombre genérico e secciones cónicas, y cada una de ellas se origina en dependencia de la relación con la posición del plano y de eje del cono. Cono de revolución de dos mantos es la superficie formada por todas las rectas que pasan por un punto P de una recta n y de forman un ángulo con dicha recta. 131

La recta n, es el eje del cono, P su vértice y la recta que pasan por P. y forman al cono, son las generatrices Si el plano es perpendicular al eje del cono, la intersección es una circunferencia si corta a un manto del plano, o un punto si pasa por el vértice. ANALISIS DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO Las secciones cónicas mencionadas hasta ahora, se refieren a curvas cuyas ecuaciones son casos particulares de la ecuación: Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 (1) Llamada: ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO. Así, por ejemplo, la ecuación de la circunferencia (sección 5) (x – h)2 + (y – k)2 = r2, se obtiene de la ecuación (1) haciendo A = B = 1; D = -2h; E = -2k y F = h2 + k2 – r2. Igualmente, la parábola (sección 6.1.) de ecuación: (x – h)2 = 4p (y – k), se obtiene de la ecuación (1) haciendo: A = 1, B = 0, D = -2h,E = -4p y F = h2 + 4pk. Incluso, la línea recta aparece como un caso especial de la ecuación (1) haciendo A = B = 0. Los términos Ax2y By2 de la ecuación (1) son de segundo grado o términos cuadráticos. La naturaleza de la curva determinada por la ecuación (1), cuando contiene al menos uno de estos términos, está expresada en el siguiente teorema. 132

TEOREMA (Análisis de la Ecuación de Segundo Grado). La ecuación: Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 (2) Donde A, B, D, E y F son constantes reales, A y B no simultáneamente nulos, representa: i. Una circunferencia. Si A = B (diferentes de 0). (En casos especiales puede reducirse a un punto, o incluso carecer de puntos reales). ii. Una parábola. Si A . B = 0. (Recordar que si A . B = 0, implica que A = 0 ó B = 0). Esto significa que la ecuación (2) es de segundo grado respecto a una de las variables y lineal con respecto a la otra. iii. Una elipse. Si A . B > 0. (Recordar que si A . B > 0, entonces A y B tienen el mismo signo). En casos especiales, el lugar se reduce a un solo punto, o incluso, el lugar carece en absoluto de puntos reales. iv. Una hipérbola. Si A . B < 0. (Esto implica que A y B tienen signos opuestos). En casos especiales, el lugar puede reducirse a un par de rectas secantes, como sucede por ejemplo con la ecuación. x2 – y2 = 0.

133

134