POLIGONOS Y CIRCUNFERENCIA

POLIGONOS Y CIRCUNFERENCIA

PRIMERA EDICION 2012 GARCIA MORAN SIVELLY JAZMIN

CONTENIDO

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS DE LA CIRCUNFERENCIA Lección 1 . Conceptos básico sobre polígonos: Lección 2 . Cuadriláteros especiales Lección 3. Propiedades generales de los polígonos Lección 4. Propiedades generales de los paralelogramos Lección 5. Propiedades de los paralelogramos especiales Lección 6. Propiedades de los trapecios Lección 7. Propiedades del segmentos medio Lección 8. Estudios de las circunferencias.

Lección 9. Ärea de paralelogramos, triangulos y trapecios.

Lección 10. Área y perímetro

LECCIÓN

1 Conceptos básicos sobre polígonos.

Definición de polígono: los polígonos son figuras planas cerradas, limitadas por segmentos rectilíneos.

Los polígonos cumplen 3 características: 1) Los segmentos se juntan solo en sus extremos.

2) Como máximo, dos segmentos se encuentran en un punto.

3) Cada segmento toca exactamente a otros dos.

Los elementos de un polígono son los lados, los vértices y las diagonales.

Además de tener ángulos interiores y exteriores.

Los lados son segmentos rectilíneos que delimitan al polígono.

Los vértices son los puntos donde se unen dos lados.

Las diagonales es un segmento que une cada pareja de vértices no consecutivos.

Angulo interior o interno de un polígono, es el formado por lados adyacentes, interiormente.

Angulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la prolongación del adyacente.

Para identificar si una figura es un polígono tienen que cumplir las características antes dichas.

conceptos básicos sobre poligonos

Actividades de apredizaje: ¿Cuál de las siguientes figuras es un polígono y cual no? Explica porque.

Figura 1.

Figura 2.

Solución: La figura 1. No es un polígono porque, los polígonos son figuras cerradas y esta no lo esta La figura 2. Es un polígono ya que cumple con todas las características. Es una figura cerrada, donde los segmentos se juntan en los extremos, cada segmento toca exactamente a otros dos, etc.

CLASIFICACION DE POLIGONOS Los poligonos se clasifican siguiendo segun su numero de lados, segun susdiagonales y segun la medida de sus lados y angulos.

Segun sus diagonales:  Convexos: Todos sus ángulos menores que 1 8 0 °.

Todas sus diagonales son interiores.

clasificación de poligonos



Cóncavos:

Si un ángulo mide más de 180°.

Si una de sus diagonales es exterior.

Según la medida de sus lados y angulos: -Poligonos regulares: Son los poligonos que tienen todos los angulos y lados iguales.

-Poligonos irregulares: Son los poligonos que no tienen todos los lados y angulos iguales.

clasificación de poligonos

- Poligonos equilateros: Son poligonos en el que todos sus lados son iguales.

- Poligonos equiangulo: Son poligonos en el que todos sus angulos son iguales.

Según el número de lados: Los polígonos se clasifican por el número de sus lados según la tabla adjunta 10

-Decágono

11

-Endecágono

12

-Dodecágono

13

-Triskaidecágono

14 15

-Tetradecágono -Pentadecágono

16

-Hexadecágono

17

-Heptadecágono

18

-Octadecágono

19 -Eneadecágono

clasificación de poligonos

Para saber cómo se llama un polígono de menos de cien lados podemos hacer lo siguiente. Primero contamos el número de lados que tiene, hacemos una combinación de prefijos como se muestra a continuación y agregamos la terminación gono.

DECENAS

UNIDADES

Y

1

-HENÁ-

20 ICOSA-

2

-DÍ-

3

-TRÍ-

40 TETRACONTA-

4

-TETRÁ-

50 PENTACONTA-

5

-PENTÁ-

60 HEXACONTA-

6

-HEXÁ-

70 HEPTACONTA-

7

-HEPTÁ-

80 OCTACONTA-

8

-OCTÁ-

90 ENEACONTA-

9

-ENEÁ-

30 TRIACONTA-

-KAI-

TERMINACIÓN

-GONO

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1.- En la siguiente actividad se clasificara a los poligonos, segun su num de lados, sus diagonales y por la medida de sus lados y angulos.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Actividades de aprendizaje.

SoluciĂłn: La figura 1. Es un triangulo, por tener 3 lados. Es un poligono convexo porque las diagonales son solo interiores y es irregular porque no tiene todos sus lados y angulos iguales.

La figura 2. Es un pentagono, por tener 5 lados. Es un poligono convexo porque las diagonales son solo interioes y es regular porque tiene todos sus lados y angulos iguales.

La figura 3. Es un octagono, por tener 8 lados. Es un poligono convexo porque las diagonales son solo interiores y es regular porque es equilatero como equiĂĄngulo, es decir tienes sus lados y angulos iguales.

2. Completa la siguiente tabla, anotando el nĂşm dediagonales.

Triangulo:

X= 3(3-3) 2 X= 3(0) 2

X=0/2

Cuadrado:

X= 4(4-3) 2

X=4/2 Hexagono: X = 6(3)/2 X= 9

X= 4(1) 2 X= 2 X= 6(6-3) 2 X=18/2

Pentagono:

X= O

X= 5(5-3) 2

X= 5(2) 2 X=10/2 X= 5 Heptagono: X= 7(7-3) 2 X = 7(4)/2 X=28/2 X=14

lECCIÓN

2

Cuadrilateros especiales Los cuadriláteros son polígonos, es decir, figuras geométricas planas limitadas por líneas rectas, que tienen los siguientes elementos: cuatro lados, cuatro vértices, cuatro ángulos interiores y cuatro ángulos exteriores. Además, la suma de todos sus ángulos interiores es de 360º.

Aspectos importantes de cuadrilateros: Lados Consecutivos u Opuestos de un Cuadrilátero Además, decimos que los lados de un cuadrilátero pueden ser: consecutivos o adyacentes, cuando tienen un vértice en común, u opuestos, cuando no tienen ningún vértice común.

Recuerda que un vértice es el punto común entre los lados.

Las diagonales son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Un cuadrilátero tiene 2 diagonales.

Angulos Consecutivos u Opuestos de un Cuadrilátero Los “VÉRTICES Y ÁNGULOS OPUESTOS” son los que no pertenecen a un mismo lado, siendo los ángulos iguales.

Dos angulos son CONSECUTIVOS si tienen un lado que separe a los otros dos .

Aspectos importates de los cuadrilateros

El ángulo 1 es opuesto al ángulo 3, como el angulo 4 es opuesto al angulo 2.

El ángulo 4 es consecutivo al angulo 3, como el angulo 1 es consecutivo al ángulo 3.

Clasificación de cuadrilateros: De acuerdo al paralelismo de sus lados, podemos clasificar los cuadriláteros en: 1.

Paralelogramos: tienen dos pares apuestos de lados paralelos.

2.

Trapecios: tienen exactamente un par de lados paralelos.

3.

Trapezoides: son los cuadriláteros que no tienen lados paralelos.

Clasificación de los paralelogramo

Clasificación de los paralelogramos: Los paralelogramos podemos dividirlos en cuadrados, rectángulos, rombos y romboides.

Cuadrado El cuadrado es un paralelogramo de cuatro lados de la misma medida y cuatro ángulos rectos.

Además, sus diagonales son iguales, perpendiculares y bisectrices de sus ángulos.

Sus vértices forman ángulos de 90.

Rectángulo El rectángulo es un paralelogramo de dos pares de lados de la misma medida y cuatro ángulos rectos. Las diagonales de un rectángulo siempre son iguales.

Clasificación de los paralelogramo

Rombo El rombo es un paralelogramo de cuatro lados de la misma medida, dos ángulos agudos (miden menos de 90°) y dos ángulos obtusos (miden más de 90°). Las diagonales del rombo son perpendiculares entre sí y bisectrices de su ángulo.

Romboide El romboide es un paralelogramo de dos pares de lados de la misma medida y dos ángulos agudos. No tiene ángulos rectos, todos son distintos de 90º.

Actividades de aprendizaje: En la siguiente tabla contesta a que cuadrilatero corresponde:

Actividades de aprendizaje

2.- Indica que tipo de cuadrilátero es cada una de las distintas figuras

Solución: Todos los anteriores son cuadriláteros porque tienen 4 lados, y sus ángulos interiores suman 360.

-El cuadrilátero azul es un trapecio ya que cumple con su característica: forma un par de lados paralelos.

-El cuadrilátero amarillo, rosa y azul son un rectángulo, porque tienen 4 ángulos iguales, además de que sus diagonales son iguales. Se clasifica en los paralelogramos porque tiene ambos pares de lados opuestos paralelos.

-El cuadrilátero naranja es un romboide porque tiene dos pares de lados de la misma medida y dos ángulos agudos. No tiene ángulos rectos, todos son distintos de 90º. También se clasifica en los paralelogramos porque tiene ambos lados de pares opuestos paralelos.

-El cuadrilátero rojo es un trapezoide porque no tiene lados opuestos paralelos.

-El cuadrilátero verde es un rombo porque tiene sus 4 lados iguales, dos ángulos

agudos y dos ángulos obtusos. Las diagonales del rombo son perpendiculares entre sí y bisectrices de su ángulo. Además se clasifica en los paralelogramos porque tiene amos lados de pares opuestos paralelos.

Actividades de aprendizaje

3.-Véase el cuadrilátero de la izquierda y conteste.

-¿Cual es el ángulo opuesto y consecutivo de <D? El ángulo opuesto es el <B, y el ángulo consecutivo es <A y <C -¿Cuál es el lado adyacente de b?

El segmento AB o el segmento DC

4.-Completa el siguiente mapa conceptual según su clasificación

LECCIÓN

3

Propiedades gerenerales de los polígonos

Suma de ángulos interiores (Un cuadrilátero es una figura de 4 lados) Un cuadrado suma 360° Vamos a inclinar una línea 10° ... ¡también suman 360°!

Propiedad de la suma de los ángulos de un cuadrado: Los ángulos interiores de un cuadrado suman 360°

Porque en un cuadrado hay dos triángulos Los ángulos interiores de este trángulo suman 180° (90°+45°+45°=180°) ... y los de este cuadrado 360°... ¡porque el cuadrado está hecho de dos triángulos!

Pentágono Un pentágono tiene 5 lados, y se puede dividir en tres triángulos, así que ...... sus ángulos interiores suman 3 × 180° = 540°Y si es regular (todos los ángulos son iguales), cada uno mide 540° / 5 = 108°.

Propiedad de la suma de los ángulos de un péntagono: Los ángulos interiores de un péntagono suman 540°

Propiedades generales de los poligonos

Figura

Lados

Suma de los ángulos interiores

Cuadrilátero

4

360°

Pentágono

5

540°

Hexágono ...

6

720°

..

Cualquier polígono

.. n

...

(n-2) × 180°

Suma de ángulos exteriores.

Polígonos Un polígono es una figura plana con lados rectos Los ángulos exteriores de un polígono suman 360° En otras palabras, los ángulos exteriores suman una vuelta completa Piénsalo de esta manera: las líneas van cambiando de dirección y al final vuelven al principio.

Propiedad de la suma de los ángulos exteriores de un poligono: Los ángulos exteriores de un polígono suman 360°

Actividades de aprendizaje

Actividades de aprendizaje: 1.-¿Qué pasa con un decágono (10 lados)?

Suma de los ángulos interiores = (n-2) × 180° = (10-2)×180° = 8×180° = 1440° Y, si es regular, cada ángulo interior = 1440°/10 = 144°

2.- ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un polígono de 7 lados?

A) 1.260° B) 1.080° C) 900° D) 720° E) 360° La respuuesta es C

3.-Completa la siguiente tabla con la ecuación de la suma de angulos interiores de cada poligono dado.

Actividades de aprendizaje

4.- Determina lo siguiente:

4.- Contesta lo siguiente:

lECCIÓN

4 Propiedades de los paralelogramos

Paralelogramo

•

Se llama paralelogramo al cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos.

•

ABCD paralelogramo

•

AB // DC y AD // BC

•

•

Propiedades: •

Los lados opuestos son iguales.

•

Los ángulos opuestos son iguales.

•

Los ángulos consecutivos son suplementarios.

•

Las diagonales se cortan en su punto medio.

Actividades de aprendizaje: 1.- Encuentra el perímetro del siguiente rectángulo

Actividades de aprendizaje

2.-Contesta lo que se te pide:

3.- Demuestra lo siguiente: Teorema 3.1.2 Todo paralelogramo tiene ángulos opuestos iguales.

Demostración. Supongamos que tenemos un paralelogramo ABCD en donde AB y BC son paralelos a CD y AD, respectivamente. Tracemos el segmento AC.

Como BC es paralelo a AD entonces Ð1 = Ð4. De manera semejante, como AB es paralelo a DC se sigue que Ð2 = Ð3. Podemos observar entonces que ÐA = Ð1 + Ð3 = Ð4+Ð 2 = ÐC, Y por lo tanto ÐA = ÐC .

De manera análoga podemos demostrar que Ð B = ÐD.

Actividades de aprendizaje

4.- Encuentra las medidas

se単aladas:

LECCIĂ&#x201C;N

5

Propiedades de los paralelogramos

Por ser el cuadrado un rombo: - Las diagonales son perpendiculares y bisectrices de los ĂĄngulos cuyos vĂŠrtices unen.

- Sus diagonales son ejes de simetrĂ­a de la figura.

Actividades de aprendizaje: 1.-Encuentra el valor de la diagonal en las siguientes figuras: 1

2

3

LECCIÓN

6

Propiedades de los trapecios Trapecio Es un cuadrilátero con un solo par de lados opuestos paralelos.

Propiedades: Propi edad de l os ángulos consecutiv os: L os ángulos consecuti v os que están entre las bases de un trapeci o son supl em entarios.

Propi edad del trapeci o isósceles: L os ángulos de l a base de un trapeci o isósceles son supl em entari os.

Propi edad de las di agonales del trapeci o isósceles: L as di agonal es de un trapeci o i sósceles son i guales.

L os trapeci os respecto a sus ángul os internos, pueden ser rectángulos, i sóscel es o escal enos: 

Trapecio rectángulo es el que tiene un lado perpendicular a sus bases.

Tiene dos ángulos internos rectos, uno agudo y otro obtuso. 

Trapecio isósceles es el que tiene los lados no paralelos de igual medida.

Tiene dos ángulos internos agudos y dos obtusos, que son iguales entre sí.

Las diagonales son congruentes.

El trapecio isósceles es un cuadrilátero cíclico ya que la suma de los ángulos opuestos es 180°.

Trapecio escaleno es el que no es isósceles ni rectángulo, la medida de sus lados da medidas diferentes.

Sus cuatro ángulos internos poseen diferentes medidas. 

Actividades de aprendizaje

Actividades de aprendizaje: 1.-Contesta el siguiente cuadro con las caracteristicas de cada trapecio.

2.- Calcula lo siguiente

LECCIĂ&#x201C;N

7

Propiedad del segmento medio

Propiedades del segumento medio

La propiedad de los tres segmentos medios: Los tres segmentos medios de un triรกngulo lo dividen en cuatro triangulos iguales.

Trapecio Paralela media La paralela media (mediana) es el segmento que une los dos puntos medios de los lados no paralelos del trapecio. En la figura anterior podemos ver d y b como puntos medios de los lados AD y BC respectivamente, y entonces m es la paralela media.

Mediana La longitud de la mediana (m) de un trapecio es igual a la semisuma de la longitud de sus bases (a c):

Actividades de aprendizaje

Actividades de aprendizaje: 1.-contesta lo que se te pide.

2.-Encuentra el valor de MN

Actividades de aprendizaje

3.-contesta lo que se te pide.

LECCIÓN

8

Estudio de la circunferencia:

Conceptos basicos sobre la circunferencia: LA CIRCUNFERENCIA: La circunferencia es una línea curva y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro.

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio.

La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

ALgunos elementos se asocian a una circunferencia.

Cuerda: es un segmeno que tiene dos puntos de la circunferencia.

Diámetro: es una cuerda que pasa por el centro de la cincurferencia.

Radio: es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cuanquiera de la misma.

Tangente: es la recta que toca a la cirgunferencia en un punto. Este punto se llama punto de tangencia.

Secante: es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

Arco: es una parte de la circunferencia.

Semicircunferencia: es un arco de longitud igual a la mitad de la circunferencia.

Arco menor: es aquel que mede menos que una circunferencia.

Arco mayor: es aquel que mide más que una circunferencia.

conceptos basicos sobre la circunferencia

Ángulos de la circunferencia Ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella.

La medida del arco AB es la del ángulo central AOB.Arco AB = Angulo AOB

Arco AB = Ángulo AOB Esta igualdad nos permite medir en función del ángulo central o arco el resto de ángulos que pueden definirse en la circunferencia.

Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia.

El ángulo semiinscrito, (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular, o caso límite.

El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende.

Angulo interior, tiene su centro en un punto interior del círculo.

La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden él y su opuesto.

Ángulos de circunferencia

Ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma.

La medida del ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1.-Calcular la longitud de una rueda de 90 cm de diámetro 1º A partir del diámetro

2.-Calcula la longitud.

La longitud de una circunferencia es 43.96 cm.

Estudio de circunferencias

Propiedad de ángulos asociados a una circunferencia Un ángulo inscrito Un ángulo inscrito se dice que se cruzan un arco en el círculo. El arco es la parte del círculo que se encuentra en el interior del ángulo.

La medida del arco interceptado (igual a su ángulo central ) es exactamente el doble de la medida del ángulo inscrito. Por lo tanto. la medida de un angulo inscrito en una circunferencia es el doble de la medida central que subtiende igual al arco.

Angulos Inscritos es una Semicircunferencia Miden 90º "Todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia son rectos."

Ángulo Semi-Inscrito: Es todo ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia, uno de los lados es cuerda y el otro es tangente a la circunferencia.

Su medida es igual a la mitad de la medida del ángulo del centro que subtiende el mismo arco.

Estudio de circunferencias

Angulos semiiscritos en una circunferencia.

Los angulos semiinscritos que tiene un lado que contiene a un diametro miden 90º

Actividades de aprendizaje:

1.- Demuestra lo que se te pide: Todo ángulo inscrito mide la mitad del arco que abraza.

Demostración. Tenemos que demostrar que Procederemos por casos.Caso 1 El centro de la circunferencia está en un uno de los lados del ángulo.

Seaa = ÐAPB, tracemos el radio OA. Así el triángulo ?AOP es isósceles.

Por tanto ÐOAP = a.

Y como ß(el ángulo central ÐAOB) es exterior del triángulo ?AOP y no adyacente a a y ÐOAP, entonces ß= a+ ÐAOP = 2a.

Por lo tanto

Actividades de aprendizaje

2.- Escribe el nombre de cada elemento.

3.- Contesta lo siguiente:

Respuesta: Recordamos que un รกngulo inscrito en una semicircunferencia (delta) mide 90ยบ. Luego (alfa) + (beta) debe medir 90ยบ .... Entonces: (alfa) + (beta) = (delta) es verdadera. Alternativa A).

Estudio de circunferencias

Propiedad de rectas y segmentos en una circunferencia

Propiedad de los angulos centrales de cuerdas iguales: una cuerda subtiende ĂĄngulos iguales cuando los vĂŠrtices estĂĄn en cualquier punto de uno de los dos arcos que determina la cuerda.

Propiedad de la perpendicular a una cuerda: Si un diametro es perpendicular a una cuerda entonses la biseca.

Propiedad de la distancia de cuerdas iguales al centro: Si dos cuerdas en un mismo circulo equidistan del centro entonses las cuerdas son congruentes. Es decir, las distancias entre las cuerdas y el centro iguales.

Propiedad de la tangente: Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente Propiedad de los segmentos tangentes:

Propiedad de los segmentos tangentes: Desde un punto exterior a una circunferencia se pueden trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes

Actividades de aprendizaje

Actividades de aprendizaje: 1.-Contesta lo que se te pide:

Allí puedes ir observando que los radios (OT y OR) son perpendiculares a las semirrectas TP y RP (es una propiedad de las tangentes). También podrás ver que se forma un romboide con los vértices T, P, R y O (ya que OT = OR por ser radios de la misma circunferencia, y los ángulo OTP y ORP son iguales, pues son ambos ángulos rectos). Y entonces se puede calcular el valor del ángulo x. Te digo cómo: Resulta que el ángulo TMR es un ángulo inscripto, y su ángulo central correspondiente es TOR. Como el ángulo central es igual al doble del inscripto (es una propiedad), el ángulo TOR mide 2x (el doble de x). Lo ponemos en el dibujo:

Entonces tenemos un romboide con un ángulo que mide 2x y otro que mide x. Y los otros dos ángulos son ángulos rectos, porque son los ángulos que forman las tangentes con los radios (como te comenté antes, las tangentes son perpendiculares a los radios). Como son ángulos rectos, sabemos su medida: 90°.

Entonces ahora tenemos un cuadrilátero, cuyos ángulos miden: 90°, 90°, x y 2x. Y sabemos que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es de 360°. Como tenemos una sola incógnita, podemos hallar el valor de x, planteando la ecuación: 90° + 90° + x + 2x = 360° 3x = 360° - 90° - 90° 3x = 180° x = 180°:3 x = 60° Entonces, si el ángulo inscripto x es igual a 60°, el ángulo central correspondiente es igual a: Angulo central = 2xAngulo inscripto Angulo central TOR = 2.60° = 120°

LECCIÓN

9

Área de paralelogramos, triangulos y trapecios

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1.-Calcula lo que se te pide.

2.-calcula el área del triángulo:

Actividades de aprendizaje

3.-calcula el รกrea del triรกngulo:

4.-calcula el รกrea del triรกngulo:

LECCIÓN

10

Área y perímetro Definición de perímetro El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados.

Definición de área El área de un polígono es la medida de la región o superficie encerrada por un polígono.

Polígonos regulares

Perímetro: Área:

Círculo

Perímetro: Área:

Cómo calcular la longitud de una circunferencia.Los matemáticos griegos decidieron indicar, con una letra de su alfabeto, el número de veces que la circunferencia contiene su propio diámetro. La letra escogida fue la letra p. Del número p, se conocen muchas cifras (tiene infinitas). Como las primeras son 3,141592653589...pero normalmente consideramos como valor de p 3,14.

Área y perímetro

Fórmula: Longitud de la circunferencia = p . diámetro Como el diámetro es el radio multiplicado por dos (d= 2r), se suele escribir: Perímetro de la circunferencia = p · diámetro = p ·2 · r = 2 · p · r

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1 .-Calcula el área del círculo.

2.-Calcular el área y el perímetro de un pentágono regular de 6 cm de lado.

P = 5 · 6 = 30 cm

POLIGONOS Y CIRCUNFERENCIA EDICIÓN 2012 GRUPO Y GRADO: 2-14 GARCIA MORAN SIVELLY JAZMIN CULIACAN SINALOA UNIDAD ACADEMICA PREPARATORIA CENTRAL DIURNA