Cours sur les limites, continuité et dérivée

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Limites, continuité et dérivation

Table des matières 1

Limites 1.1 Une notion délicate à définir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Limite finie en l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 limite d’une fonction lorsque la variable tend vers un réel 1.2 A retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Limites et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Calcul pratique dans le cas de formes indéterminées . . . . . . . 1.6 Branches paraboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 2 2 2 2 3 3 4 5 5

2

Continuité 2.1 Fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Continuité et équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6 6

3

Dérivation 3.1 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Dérivées usuelles : récapitulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Représenter une fonction en ne connaissant que sa dérivée : La méthode d’Euler 3.5 Etude d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Étude de la fonction tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6 7 8 8 9 9 9

1

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1

Limites

1.1

Une notion délicate à définir

1.1.1

Limites infinies Définition 1 limite d’une fonction Soit f une fonction. 1. On dit que f (x) a pour limite +∞ lorsque x tend vers +∞ ( respectivement −∞) si et seulement si : pour tout intervalle I =]λ; +∞[ (λ ∈ R), tous les nombres f (x) sont dans l’intervalle I dès que x est assez grand (respectivement −x assez grand) 2. Énoncés analogues pour une limite égale à −∞

Exemple(s) • • • •

1.1.2

lim

x→+∞

√

x = +∞

lim xn = +∞ pout tout n ∈ N

x→+∞

lim xn = −∞ pour tout n ∈ N impair

x→−∞

lim xn = +∞ pour tout n ∈ N pair

x→−∞

Limite finie en l’infini Définition 2 limite l Soit l un nombre réel. On dit que la fonction f a pour limite l quand x tend vers +∞ (respectivement −∞)si et seulement si : pour tout intervalle ouvert I contenant l, les nombres f (x) sont tous dans I dès que x est assez grand (respectivement −x assez grand). On note : lim f (x) = l( Respectivement : lim f (x) = l) x→+∞

x→−∞

Remarque : On peut alors dire que la droite d’équation y = l est asymptote à la courbe représentative de f (en +∞ ou −∞ selon le cas.) 1.1.3

limite d’une fonction lorsque la variable tend vers un réel

f est une fonction définie sur un intervalle I contenant a ou dont a est une borne. (f peut ne pas être définie en a) Définition 3 Limite l en a On dit que f tend vers l quand x tend vers a si et seulement si pour tout intervalle ouvert J contenant l, tous les nombres f (x) appartiennent à J dès que x ∈ I est assez proche de a Définition 4 Limite infinie en a On dit que f tend vers +∞ (respectivement −∞) lorsque x tend vers a si et seulement si : pour tout intervalle J =]λ; +∞[ ( respectivement ] − ∞; λ[) λ ∈ R, tous les nombres f (x) appartiennent à J dès que x ∈ I est assez proche de a. Note : Lorsque l’on a : lim f (x) = ±∞

x→a

la droite d’équation x = a est asymptote verticale à la courbe représentant f . Pour les asymptotes obliques, voir les exercices. Exemple(s)

2

Le cas de l’hyperbole d’équation y =

1.2

1 illustre parfaitement la définition, avec une asymptote d’équation x = 2. x−2

A retenir Théorème 1 admis 1. Fonction usuelle définie en a : √ Lorsque f est une fonction polynôme ou l’une des fonctions : x 7→ x, x 7→ cos x, x 7→ sin x ou encore la somme, le produit, le quotient, la composée ou la valeur absolue de telles fonctions : Si f est définie en a, alors lim f (x) = f (a)

x→a

2. Fonction non définie en a : Si, pour tout x 6= a, f (x) = g(x), où g est une fonction usuelle définie en a, alors f admet une limite en a, et lim f (x) = g(a)

x→a

3. Un résultat à connaître :

sin x =1 x→0 x lim

1.3

Opérations sur les limites Dans tous les tableaux qui suivent, α désigne un réel, ou +∞, ou −∞ et l et l0 désignent deux réels. Les fonctions f et g considérées sont définies au voisinage de α. Les limites de ces fonctions sont déterminées en α. limite d’une somme Si f a pour limite Si g a pour limite f + g a pour limite

l l0 l + l0

limite d’un produit Si f a pour limite Si g a pour limite f × g a pour limite

l l0 ll0

l +∞ +∞

l>0 +∞ +∞

+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞

+∞ −∞ ?

l<0 +∞ −∞

l<0 −∞ +∞

+∞ +∞ +∞

l −∞ −∞ l>0 −∞ −∞

+∞ −∞ −∞

−∞ −∞ +∞

0 ±∞ ?

remarque : limite en +∞ de axn On déduit du tableau que pour tout entier n ≥ 1, lim xn = +∞ et que, x→+∞

Si a > 0, lim (axn ) = +∞ et si a < 0, lim (axn ) = −∞. x→+∞

x→+∞

Exercice 1 Déterminer la limite en −∞ de la fonction f définie sur R∗ par : f (x) = x3 1 lim − 2 = −2 et lim x3 = −∞, donc lim f (x) = +∞. x→−∞ x x→−∞ x→−∞

1 −2 . x

limite en l’infini d’une fonction polynôme Déterminer lim x3 + 2x2 − 4 x→+∞ 2 4 2 4 x3 + 2x2 − 4 = x3 1 + − 3 et lim =0 ; lim =0 x→+∞ x x→+∞ x3 x x 2 4 d’où lim 1 + − 3 = 1 et lim x3 = +∞. Donc lim x3 + 2x2 − 4 = +∞. x→+∞ x→+∞ x→+∞ x x Remarque :La limite en +∞ ou en −∞ d’une fonction polynôme est la limite de son terme de plus haut degré. Exercice 2

3

limite d’un quotient −→ cas oĂš le dĂŠnominateur a une limite non nulle Si f a pour limite l l +∞ +∞ 0 0 Si g a pour limite l 6= 0 Âąâˆž l > 0 l0 < 0 f l 0 +∞ −∞ a pour limite g l0

−∞ l0 > 0

−∞ l0 < 0

Âąâˆž Âąâˆž

−∞

+∞

?

−→ cas oĂš le dĂŠnominateur a une limite nulle f a pour limite l>0 l>0 l<0 l<0 0 g a pour limite 0+ 0− 0+ 0− 0 f a pour limite +∞ −∞ −∞ +∞ ? g 3 x3 Exercice 3 Soit f la fonction dĂŠfinie sur R \ par : f (x) = . 2 4x − 6 27 et lim 4x − 6 = 0. lim x3 = 3 8 x→ 23 x→ 2 3 Si x > , alors 4x − 6 > 0 et dans ce cas, lim f (x) = +∞ 2 x→ 3 2 x> 23

3 Si x < , alors 4x − 6 < 0 et dans ce cas, lim f (x) = −∞ 2 x→ 3 2 x< 23

La droite d’Êquation y =

3 2

est asymptote verticale Ă la courbe reprĂŠsentant f .

limite en l’infini d’une fonction rationnelle 2x + 4 Exercice 4 DĂŠterminer lim x→−∞ 3x2 − 5 2 4 2 4 x2 + + 2 2x + 4 x x2 = x x = pour x 6= 0 5 5 3x2 − 5 3− 2 x2 3 − 2 x x 2 4 5 et lim =0 ; lim 2 = 0 ; lim 2 = 0 x→−∞ x x→−∞ x x→−∞ x 2x + 4 =0 donc lim x→−∞ 3x2 − 5 Remarque : La limite en +∞ ou en −∞ d’une fonction rationnelle est ĂŠgale Ă la limite du quotient des termes du plus haut degrĂŠ.

1.4

Limites et ordre ThĂŠorème 2 Limites et ordre 1. ThĂŠorème des ÂŤ Gendarmes Âť Si, pour x ÂŤ assez voisin de a Âť(a fini ou infini), on a : u(x) ≤ f (x) ≤ v(x) et si u et v ont la mĂŞme limite l en a, alors : lim f (x) = l x→a

2. Cas d’une limite infinie Si, pour x ÂŤ assez voisin de a Âťon a f (x) ≼ u(x), et si : lim u(x) = +∞, alors lim f (x) = +∞

x→a

x→a

(ÉnoncĂŠ analogue pour −∞) DĂŠmonstration : Dans le cas oĂš a = +∞ On considère un intervalle ouvert quelconque I contenant l. La fonction u a pour limite l en +∞ donc il existe un rĂŠel A tel que pour x ∈]A; +∞[ tous les nombres u(x) sont dans I. De mĂŞme, pour la fonction v : On note B le rĂŠel tel que pour tout x ∈]B; +∞[ on a : v(x) ∈ I. Le rĂŠel C est le plus grand des nombres A et B. Alors pour tout x ∈]C; +∞[ on a : v(x) ∈ I et u(x) ∈ I. Or, on sait que u(x) ≤ f (x) ≤ v(x). 4

Donc, nécessairement f (x) ∈ I Conclusion : f a pour limite l quand x → +∞

1.5

Calcul pratique dans le cas de formes indéterminées

1. Le terme prépondérant Exemple(s) √ On considère la fonction f définie par : f (x) = x − 6 x pour x ∈ R. Déterminer : lim f (x).

x→∞

f (x) présente une forme indéterminée (+∞) − (+∞), on factorise donc par le terme prépondérant. Solution : 6 √ . Si x 6= 0 on a : f (x) = x 1 − x 6 et : lim 1 − √ =1 x→∞ x Alors lim f (x) = +∞ x→∞

2. L’expression conjuguée Exemple(s)

√

Étudier la limite en 0 de : g : x 7→

x+4−2 x

Solution √ : √ [ x + 4 − 2][ x + 4 + 2] 1 √ g(x) = =√ (si x 6= 0). x[ x + 4 + 2] x+4+2 On en déduit que : lim g(x) = √

x→0

1 0+4+2

soit lim g(x) = x→0

1.6

1 4

Branches paraboliques

Si M (x, f (x)) est un point de C courbe représentative d’une fonction f dans le plan muni d’un repère, alors la droite (OM ) a pour coefficient directeur : f (x) − 0 x−0 Deux cas à remarquer : 1. Branche parabolique de direction (Oy) :

lim

x→∞

f (x) = +∞ x

2. Branche parabolique de direction (Ox) :

lim f (x) = +∞ et

5

x→+∞

lim

x→+∞

f (x) =0 x

2 2.1

Continuité Fonction Définition 5 Fonction continue Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. • On dit que f est continue en a si : lim f (x) = f (a)

x→a

• On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point a de I. Exemple(s) voir le théorème de la partie 1.2 concernant les fonctions usuelles.

2.2

Continuité et équations Théorème 3 « Valeurs intermédiaires » Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et a et b des points de I (a < b). Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), il existe un réel c ∈ [a, b] tel que f (c) = k

Démonstration(idée) À l’aide de suites adjacentes, et donc convergentes. Théorème 4 dit de la « bijection » Soit f une fonction continue et strictement monotone sur [a, b], Alors, pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l’équation f (x) = k a une solution unique dans [A, B]. Démonstration À l’aide d’un raisonnement par l’absurde pour démontrer l’unicité. Extension :Le théorème précédent reste vrai si a ou b sont infinis. exemple dans le cas où b = +∞ et f strictement croissante : Pour tout réelk ∈ [f (a), lim f (x)[, x→+∞

l’équation f (x) = k a une solution unique dans [a, +∞[

3 3.1

Dérivation Fonction dérivée Définition 6 nombre dérivé Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et a un point de I. On dit que f est dérivable en a lorsque le taux d’accroissement de f en a admet une limite l en a : f (x) − f (a) =l x→a x−a lim

f (a + h) − f (a) =l h→0 h

autrement dit : lim

On appelle alors l nombre dérivé de f en a, et on le note f 0 (a). Définition 7 Fonction dérivée Soit I un intervalle. Si, une fonction est dérivable en tout nombre a ∈ I, alors on dit que cette fonction est dérivable sur I, et on note f 0 la fonction dérivée de f sur I. Conséquence : • C est la courbe représentant la fonction f . Une équation de la tangente T à C au point A d’abscisse a est : y = f 0 (a)(x − a) + f (a) 6

• Pour tout réel h tel que a + h ∈ I, on a : f (a + h) = f (a) + f 0 (a)h + hε(h) où lim ε(h) = 0 h→0

• Si f est dérivable au point a, alors f est continue en a. La réciproque étant fausse (contre-exemple :x 7→ |x| en 0 ).

3.2

Fonction composée Théorème 5 Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et g une fonction définie et dérivable sur un intervalle J tel que pour tout x ∈ I on ait u(x) ∈ J. alors la fonction f = g ◦ u est dérivable sur I et on a pour tout x ∈ I : f 0 (x) = g 0 (u(x)) × u0 (x) En résumé, on note (g ◦ u)0 = g 0 ◦ u × u0 Démonstration : Soit x0 ∈ I. Pour tout x ∈ I(x 6= x0 ) on a : f (x) − f (x0 ) x − x0

= =

g(u(x)) − g(u(x0 )) x − x0 g(u(x)) − g(u(x0 )) u(x) − u(x0 ) pour x 6= x0 × u(x) − u(x0 ) x − x0

on a : lim u(x) = u(x0 ) = y0

x→x0

On pose X = u(x). On a alors lim

x→x0

g(u(x)) − g(u(x0 )) u(x) − u(x0 )

= =

lim

X→y0 g 0 (y0 )

g(X) − g(y0 ) X − y0

De plus : lim

x→x0

u(x) − u(x0 ) x − x0

= u0 (x0 )

Conclusion : f 0 (x0 ) = g 0 (y0 ) × u0 (x0 ) = g 0 (u(x0 )) × g 0 (x0 )

CQFD Application √ Calcul de la dérivée de un et de u (un )0 = n × un−1 × u0 √ u0 ( u)0 = − √ 2 u

7

3.3

Dérivées usuelles : récapitulation fonction x 7→ k x 7→ xn √ x 7→ x x 7→ sin x x 7→ cos x x 7→ tan x fonction u+v ku uv 1 v u v g◦u un √ u

3.4

dérivée x 7→ 0 x 7→ nxn−1 1 x 7→ √ 2 x x 7→ cos x x 7→ − sin x 1 x 7→ cos2 x dérivée u0 + v 0 ku0 0 u v + uv 0 v0 − 2 v u0 v − v 0 u v2 0 g ◦ u × u0 nun−1 u0 u0 √ 2 u

commentaire k constante sur R n∈Z sur R si n ≥ 0, R∗ sinon sur R∗+ sur R sur R sur Dtan commentaire

k constante v(x) 6= 0 v(x) 6= 0 n∈Z

avec u(x) 6= 0 si n < 0 u(x) > 0

Représenter une fonction en ne connaissant que sa dérivée : La méthode d’Euler

Exercice 5 1 On considère la fonction f définie sur R∗+ par sa fonction dérivée : f 0 (x) = et telle que f (1) = 0. x Tracer la courbe C représentative de f dans un repère. • • • •

On note A0 (x0 ; y0 ) le point de C d’abscisse 1, et h est un nombre réel proche de zéro. On considère le point A1 (x1 ; y1 ) tel que x1 = x0 + h et y1 = f (x0 ) + h × f 0 (x0 ) On sait que : f (x1 ) = f (x0 + h) ≈ f (x0 ) + h × f 0 (x0 ). Le point A1 est donc voisin du point de C d’abscisse x0 + h Le point A2 (x2 ; y2 ) est tel que x2 = x1 + h et y2 = f (x1 ) + h × f 0 (x1 ) (avec f (x1 ) ≈ f (x0 ) + h × f 0 (x0 ))

On construit ainsi une suite de points (An ). Le polygône reliant ces points est une approximation de la courbe C On obtient par exemple à l’aide d’un tableur, et le pas h = 1 :

8

3.5 3.5.1

Etude d’une fonction sens de variation Théorème 6 Signe de la dérivée Soit f une fonction dérivable sur I intervalle de R. 1. Si f 0 (x) > 0 pour tout x ∈ I sauf en quelques points où f 0 s’annule, alors f est strictement croissante sur I. 2. Si f 0 (x) < 0 pour tout x ∈ I sauf en quelques points où f 0 s’annule, alors f est strictement décroissante sur I. 3. Si f 0 (x) = 0 pour tout x ∈ I, alors f est nulle sur I.

Exemple(s) La fonction cube est strictement croissante sur R Définition 8 extrêmum local Soit f une fonction définie au point a ∈ R. 1. On dit que f admet un maximum local (resp : minimum local ) en a si et seulement si il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que I ⊂ Df et pour tout x ∈ I on a : f (x) ≤ f (a) (resp : f (x) ≥ f (a)) 2. On dit que f admet un extrêmum local en a si et seulement si f admet un maximum local ou un minimum local en a. Théorème 7 Soit f une fonction dérivable en x0 . Si f (x0 ) est un extrêmum local alors f 0 (x0 ) = 0 Note : La réciproque de cette propriété est fausse. Contre-exemple : la fonction cube. (en zéro, la dérivée s’annule mais ce n’est pas un extrêmum) Théorème 8 Soit f une fonction dérivable en x0 . Si f 0 s’annule en changeant de signe en x0 alors f (x0 ) est un extrêmum local. 3.5.2

Étude de la fonction tangente Définition 9 tangente la fonction tangente est définie par : tan x =

sin x cos x

1. Ensemble de définition π La fonction n’est pas définie si cos x = 0, autrement dit, si x ∈ { + kπ, k ∈ Z} 2 π La fonction tangente est donc définie sur l’ensemble : D = R \ { + kπ, k ∈ Z} 2 2. Période Pour tout x ∈ D on a : sin(x + π) cos(x + π) − sin x = − cos x = tan x

tan(x + π) =

La fonction est périodique de période π. On peut donc restreindre l’étude de la fonction à l’intervalle : ] − 3. Parité Pour tout x ∈ D (D est un ensemble centré sur 0) , on a : tan(−x) = − tan x. π La fonction est paire, on peut restreindre son étude sur l’intervalle : [0 ; + [ 2 9

π π ; + [ 2 2

4. Tableau de variation Pour tout x ∈ D, on a : cos x cos x − (− sin x) sin x cos2 x 1 = cos2 x = 1 + tan2 x

(tan)0 (x) =

On obtient alors le tableau suivant : x tan0 (x) tan x

+ π2

0 +

0

+∞ oo7 o o oo ooo o o oo

5. Tangente à la courbe en zéro une équation de la tangente à C en 0 est y = x (le lecteur pourra facilement le vérifier) 6. Représentation graphique

Note : Avant de procéder au tracé définitif Des tangentes et asymptotes puis de la courbe, on peut effectuer une recherche d’éléments de symétrie (centre de symétrie autre que l’origine, axes de symétrie parallèles à l’axe des ordonnées ) et effectuer (par exemple) un changement de repère pour démontrer leur existence. (c’est inutile ici )

10

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