Limite ` a l’infini d’une fonction polynˆ ome
Sujets Exercice 1 D´eterminez la limite en −∞ de la fonction f d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = 4x3 − 3x2 − 9x − 6. Exercice 2 D´eterminez la limite en +∞ de la fonction f d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = x5 + 6x4 − 8x3 − x2 + 4x + 2. Exercice 3 D´eterminez la limite en +∞ de la fonction f d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = 5x3 + 5x − 5. Exercice 4 D´eterminez la limite en −∞ de la fonction f d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = −10x3 − 3x2 + 5x − 8. Exercice 5 D´eterminez la limite en −∞ de la fonction f d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = −5x4 − x3 + 3x2 + 3x − 8.
1
Solutions Solution 1 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = 4x3 − 3x2 − 9x − 6 Pour tout x 6= 0, 3
f (x) = x
3 6 9 4− − 2 − 3 x x x
et lim x3 = −∞
x→−∞
lim
x→−∞
3 9 6 4− − 2 − 3 x x x
=4
donc lim f (x) = −∞.
x→−∞
Solution 2 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = x5 + 6x4 − 8x3 − x2 + 4x + 2 Pour tout x 6= 0, 5
f (x) = x
6 8 1 4 2 1+ − 2 − 3 + 4 + 5 x x x x x
et lim x5 = +∞
x→+∞
lim
x→+∞
6 8 1 4 2 1+ − 2 − 3 + 4 + 5 x x x x x
=1
donc lim f (x) = +∞.
x→+∞
Solution 3 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = 5x3 + 5x − 5 Pour tout x 6= 0, 3
f (x) = x
5 5 5+ 2 − 3 x x
et lim x3 = +∞ 5 5 lim 5+ 2 − 3 =5 x→+∞ x x x→+∞
donc lim f (x) = +∞.
x→+∞
2
Solution 4 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = −10x3 − 3x2 + 5x − 8 Pour tout x 6= 0, 3
f (x) = x
8 3 5 −10 − + 2 − 3 x x x
et lim x3 = −∞
x→−∞
lim
x→−∞
3 8 5 −10 − + 2 − 3 x x x
= −10
donc lim f (x) = +∞.
x→−∞
Solution 5 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = −5x4 − x3 + 3x2 + 3x − 8 Pour tout x 6= 0, 4
f (x) = x
1 3 3 8 −5 − + 2 + 3 − 4 x x x x
et lim x4 = +∞
x→−∞
lim
x→−∞
1 3 3 8 −5 − + 2 + 3 − 4 x x x x
donc lim f (x) = −∞.
x→−∞
3
= −5
Limite ` a l’infini d’une fonction rationnelle
Sujets Exercice 1 Soit f la fonction d´efinie sur 3 3 ∪ ; +∞ E = −∞; 2 2 par f (x) = −2x +
5 − 2. 3 − 2x
D´eterminez la limite de f en +∞. Exercice 2 Soit f la fonction d´efinie sur 5 5 ∪ ; +∞ E = −∞; 3 3 par f (x) = 5x +
3 − 2. 3x − 5
D´eterminez la limite de f en +∞. Exercice 3 Soit f la fonction d´efinie sur E = ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par f (x) = 3 −
4 . 5x
D´eterminez la limite de f en +∞. Exercice 4 Soit f la fonction d´efinie sur E = ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par f (x) = −x − 2 + D´eterminez la limite de f en +∞.
1
2 . x
Exercice 5 Soit f la fonction d´efinie sur 3 3 E = −∞; ∪ ; +∞ 5 5 par 1 + 1. f (x) = −5x + 5x − 3 D´eterminez la limite de f en −∞. Exercice 6 Soit f la fonction d´efinie sur E = ]−∞; 1[ ∪ ]1; +∞[ par f (x) = −3x −
1 . 1−x
D´eterminez la limite de f en −∞. Exercice 7 Soit f la fonction d´efinie sur 4 4 E = −∞; ∪ ; +∞ 3 3 par 2 − 4. f (x) = 3x + 4 − 3x D´eterminez la limite de f en −∞. Exercice 8 Soit f la fonction d´efinie sur E = ]−∞; −1[ ∪ ]−1; +∞[ par f (x) = x −
3 − 3. −4x − 4
D´eterminez la limite de f en −∞. Exercice 9 Soit f la fonction d´efinie sur E = ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par f (x) = −2x + 1 +
5 . x
D´eterminez la limite de f en +∞. Exercice 10 Soit f la fonction d´efinie sur 1 1 E = −∞; − ∪ − ; +∞ 4 4 par 3 f (x) = x + − 5. −4x − 1 D´eterminez la limite de f en +∞.
2
Solutions Solution 1 Soit f la fonction d´efinie sur 3 3 ∪ ; +∞ E = −∞; 2 2 par 5 − 2. 3 − 2x lim (−2x − 2) = −∞
f (x) = −2x + x→+∞
et
lim
x→+∞
5 3 − 2x
=0
donc lim f (x) = −∞
x→+∞
. Solution 2 Soit f la fonction d´efinie sur 5 5 E = −∞; ∪ ; +∞ 3 3 par 3 − 2. 3x − 5 lim (5x − 2) = +∞
f (x) = 5x + x→+∞
et
lim
x→+∞
3 3x − 5
=0
donc lim f (x) = +∞
x→+∞
. Solution 3 Soit f la fonction d´efinie sur E = ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par 4 . 5x lim (3) = 3
f (x) = 3 − x→+∞
et
lim
x→+∞
− 3
4 5x
=0
donc lim f (x) = 3
x→+∞
. Solution 4 Soit f la fonction d´efinie sur E = ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par 2 . x lim (−x − 2) = −∞
f (x) = −x − 2 + x→+∞
et
2 =0 lim x→+∞ x
donc lim f (x) = −∞
x→+∞
. Solution 5 Soit f la fonction d´efinie sur 3 3 ∪ ; +∞ E = −∞; 5 5 par 1 + 1. 5x − 3 lim (1 − 5x) = +∞
f (x) = −5x + x→−∞
et
lim
x→−∞
1 5x − 3
=0
donc lim f (x) = +∞
x→−∞
. Solution 6 Soit f la fonction d´efinie sur E = ]−∞; 1[ ∪ ]1; +∞[ par 1 . 1−x lim (−3x) = +∞
f (x) = −3x − x→−∞
4
et
lim
x→−∞
1 − 1−x
=0
donc lim f (x) = +∞
x→−∞
. Solution 7 Soit f la fonction d´efinie sur 4 4 E = −∞; ∪ ; +∞ 3 3 par f (x) = 3x +
2 − 4. 4 − 3x
lim (3x − 4) = −∞
x→−∞
et
lim
x→−∞
2 4 − 3x
=0
donc lim f (x) = −∞
x→−∞
. Solution 8 Soit f la fonction d´efinie sur E = ]−∞; −1[ ∪ ]−1; +∞[ par f (x) = x −
3 − 3. −4x − 4
lim (x − 3) = −∞
x→−∞
et
lim
x→−∞
−
3 −4x − 4
=0
donc lim f (x) = −∞
x→−∞
.
5
Solution 9 Soit f la fonction d´efinie sur E = ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par 5 . x lim (1 − 2x) = −∞
f (x) = −2x + 1 + x→+∞
et
5 =0 lim x→+∞ x
donc lim f (x) = −∞
x→+∞
. Solution 10 Soit f la fonction d´efinie sur 1 1 E = −∞; − ∪ − ; +∞ 4 4 par f (x) = x +
3 − 5. −4x − 1
lim (x − 5) = +∞
x→+∞
et
lim
x→+∞
3 −4x − 1
=0
donc lim f (x) = +∞
x→+∞
.
6
Fonctions compos´ ees
Sujets Dans chacun des exercices propos´es ci-dessous, d´eterminez l’expression alg´ebrique de la fonction indiqu´ee sur l’ensemble E. Exercice 1 Soit f et g les fonctions d´efinies respectivement – pour tout x ∈ ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par f (x) = x1 – pour tout x ∈ R par g(x) = x + 1. D´eterminer l’expression alg´ebrique de f ◦ g sur E = ]−∞; −1[ ∪ ]−1; +∞[ . Exercice 2 Soit f et g les fonctions d´efinies respectivement – pour tout x ∈ ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par f (x) = x12 – pour tout x ∈ R par g(x) = −5x2 − 10x + 175. D´eterminer l’expression alg´ebrique de g ◦ f sur E = ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ . Exercice 3 Soit f et g les fonctions d´efinies respectivement √ – pour tout x ∈ [0; +∞[ par f (x) = x – pour tout x ∈ R par g(x) = −10x2 − 170x − 720. D´eterminer l’expression alg´ebrique de f ◦ g sur E = [−9; −8] . Exercice 4 Soit f et g les fonctions d´efinies respectivement – pour tout x ∈ R par f (x) = x3 – pour tout x ∈ R par g(x) = 2x − 10. D´eterminer l’expression alg´ebrique de g ◦ f sur E = R. Exercice 5 Soit f et g les fonctions d´efinies respectivement – pour tout x ∈ R par f (x) = x3 – pour tout x ∈ R par g(x) = x + 3. D´eterminer l’expression alg´ebrique de g ◦ f sur E = R.
1
Solutions Solution 1 Soit f et g les fonctions d´efinies respectivement – pour tout x ∈ ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par f (x) = x1 – pour tout x ∈ R par g(x) = x + 1. f ◦ g est d´efinie sur E = ]−∞; −1[ ∪ ]−1; +∞[ par f ◦ g(x) =
1 . x+1
Solution 2 Soit f et g les fonctions d´efinies respectivement – pour tout x ∈ ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par f (x) = x12 – pour tout x ∈ R par g(x) = −5x2 − 10x + 175. g ◦ f est d´efinie sur E = ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par g ◦ f (x) = 175 −
10 5 − . x2 x4
Solution 3 Soit f et g les fonctions d´efinies respectivement √ – pour tout x ∈ [0; +∞[ par f (x) = x – pour tout x ∈ R par g(x) = −10x2 − 170x − 720. f ◦ g est d´efinie sur E = [−9; −8] par f ◦ g(x) =
p
−10x2 − 170x − 720.
Solution 4 Soit f et g les fonctions d´efinies respectivement – pour tout x ∈ R par f (x) = x3 – pour tout x ∈ R par g(x) = 2x − 10. g ◦ f est d´efinie sur E=R par g ◦ f (x) = 2x3 − 10. Solution 5 Soit f et g les fonctions d´efinies respectivement – pour tout x ∈ R par f (x) = x3 – pour tout x ∈ R par g(x) = x + 3. g ◦ f est d´efinie sur E=R par g ◦ f (x) = x3 + 3.
2
Limite ` a l’infini d’une fonction monˆ ome
Sujets Dans chacun des exercices donn´es ci-dessous, d´eterminez la limite en −∞ et +∞ de la fonction f indiqu´ee. Exercice 1 f est d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = − Exercice 2 f est d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) =
x6 . 3
x2 . 5
Exercice 3 f est d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = −3x2 . Exercice 4 f est d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = 8x3 . Exercice 5 f est d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) =
1
2x . 3
Solutions Solution 1 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = −
x6 . 3
lim f (x) = −∞
x→−∞
et lim f (x) = −∞.
x→+∞
Solution 2 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) =
x2 . 5
lim f (x) = +∞
x→−∞
et lim f (x) = +∞.
x→+∞
Solution 3 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = −3x2 . lim f (x) = −∞
x→−∞
et lim f (x) = −∞.
x→+∞
Solution 4 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = 8x3 . lim f (x) = −∞
x→−∞
et lim f (x) = +∞.
x→+∞
Solution 5 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = lim f (x) = −∞
x→−∞
et lim f (x) = +∞.
x→+∞
2
2x . 3
Limite en 0 de l’inverse d’une fonction monˆ ome
Sujets Dans chacun des exercices donn´es ci-dessous, d´eterminez la limite `a gauche et `a droite en 0 de la fonction f indiqu´ee. Exercice 1 f est d´efinie pour tout x ∈] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par f (x) = −
1 . 7x
Exercice 2 f est d´efinie pour tout x ∈] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par f (x) = −
3 . 7x
Exercice 3 f est d´efinie pour tout x ∈] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par f (x) = −
1 . x6
Exercice 4 f est d´efinie pour tout x ∈] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par f (x) = −
1 . 2x4
Exercice 5 f est d´efinie pour tout x ∈] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par f (x) =
1
1 . 2x6
Solutions Solution 1 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par 1 f (x) = − . 7x lim f (x) = +∞ x→0 x<0
et lim f (x) = −∞.
x→0 x>0
Solution 2 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par 3 f (x) = − . 7x lim f (x) = +∞ x→0 x<0
et lim f (x) = −∞.
x→0 x>0
Solution 3 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par 1 f (x) = − 6 . x lim f (x) = −∞ x→0 x<0
et lim f (x) = −∞.
x→0 x>0
Solution 4 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par 1 f (x) = − 4 . 2x lim f (x) = −∞ x→0 x<0
et lim f (x) = −∞.
x→0 x>0
Solution 5 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par 1 f (x) = 6 . 2x lim f (x) = +∞ x→0 x<0
et lim f (x) = +∞.
x→0 x>0
2
Limite ` a l’infini d’une fonction rationnelle Sujets Exercice 1 Soit f la fonction d´efinie sur E=R par −x4 + 5x3 + 4x2 − 4x + 2 . 2 (x2 − 6x + 10) D´eterminez la limite de f en +∞. f (x) =
Exercice 2 Soit f la fonction d´efinie sur E = ]−∞; 3[ ∪ ]3; +∞[ par f (x) =
2(x + 1) . x−3
D´eterminez la limite de f en +∞. Exercice 3 Soit f la fonction d´efinie sur 5 5 E = −∞; − ∪ − ; +∞ 2 2 par 2 − 3x f (x) = . 2x + 5 D´eterminez la limite de f en +∞. Exercice 4 Soit f la fonction d´efinie sur E=R par 2x2 − 2x + 1 . 2 (x2 − 6x + 11) D´eterminez la limite de f en +∞. f (x) =
Exercice 5 Soit f la fonction d´efinie sur E=R par x3 + x2 + 3x − 5 . 3 (x2 + 2) D´eterminez la limite de f en +∞. f (x) =
1
Solutions Solution 1 Soit f la fonction d´efinie sur E=R par f (x) =
−x4 + 5x3 + 4x2 − 4x + 2 . 2 (x2 − 6x + 10)
Le quotient des monˆ omes de plus haut degr´e de f est la fonction p d´efinie pour tout x ∈ R par x2 p(x) = − 2 et lim p(x) = −∞ x→+∞
donc lim f (x) = −∞.
x→+∞
Solution 2 Soit f la fonction d´efinie sur E = ]−∞; 3[ ∪ ]3; +∞[ par 2(x + 1) . x−3 Le quotient des monˆ omes de plus haut degr´e de f est la fonction p d´efinie pour tout x ∈ R par p(x) = 2 f (x) =
et lim p(x) = 2
x→+∞
donc lim f (x) = 2.
x→+∞
Solution 3 Soit f la fonction d´efinie sur 5 5 E = −∞; − ∪ − ; +∞ 2 2 par
2 − 3x . 2x + 5 Le quotient des monˆ omes de plus haut degr´e de f est la fonction p d´efinie pour tout x ∈ R par 3 p(x) = − 2 f (x) =
2
et lim p(x) = −
x→+∞
donc
3 2
3 lim f (x) = − . 2
x→+∞
Solution 4 Soit f la fonction d´efinie sur E=R par f (x) =
2x2 − 2x + 1 . 2 (x2 − 6x + 11)
Le quotient des monˆ omes de plus haut degr´e de f est la fonction p d´efinie pour tout x ∈ R par p(x) = 1 et lim p(x) = 1
x→+∞
donc lim f (x) = 1.
x→+∞
Solution 5 Soit f la fonction d´efinie sur E=R par f (x) =
x3 + x2 + 3x − 5 . 3 (x2 + 2)
Le quotient des monˆ omes de plus haut degr´e de f est la fonction p d´efinie pour tout x ∈ R par x p(x) = 3 et lim p(x) = +∞ x→+∞
donc lim f (x) = +∞.
x→+∞
3