Exercices de soutien sur les limites

Limite ` a l’infini d’une fonction polynˆ ome

Sujets Exercice 1 D´eterminez la limite en −∞ de la fonction f d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = 4x3 − 3x2 − 9x − 6.

Exercice 2 D´eterminez la limite en +∞ de la fonction f d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = x5 + 6x4 − 8x3 − x2 + 4x + 2.

Exercice 3 D´eterminez la limite en +∞ de la fonction f d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = 5x3 + 5x − 5.

Exercice 4 D´eterminez la limite en −∞ de la fonction f d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = −10x3 − 3x2 + 5x − 8.

Exercice 5 D´eterminez la limite en −∞ de la fonction f d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = −5x4 − x3 + 3x2 + 3x − 8.

1

Solutions Solution 1 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = 4x3 − 3x2 − 9x − 6 Pour tout x 6= 0, 3

f (x) = x

3 6 9 4− − 2 − 3 x x x

et lim x3 = −∞

x→−∞

lim

x→−∞

3 9 6 4− − 2 − 3 x x x

=4

donc lim f (x) = −∞.

x→−∞

Solution 2 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = x5 + 6x4 − 8x3 − x2 + 4x + 2 Pour tout x 6= 0, 5

f (x) = x

6 8 1 4 2 1+ − 2 − 3 + 4 + 5 x x x x x

et lim x5 = +∞

x→+∞

lim

x→+∞

6 8 1 4 2 1+ − 2 − 3 + 4 + 5 x x x x x

=1

donc lim f (x) = +∞.

x→+∞

Solution 3 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = 5x3 + 5x − 5 Pour tout x 6= 0, 3

f (x) = x

5 5 5+ 2 − 3 x x

et lim x3 = +∞

5 5 lim 5+ 2 − 3 =5 x→+∞ x x x→+∞

donc lim f (x) = +∞.

x→+∞

2

Solution 4 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = −10x3 − 3x2 + 5x − 8 Pour tout x 6= 0, 3

f (x) = x

8 3 5 −10 − + 2 − 3 x x x

et lim x3 = −∞

x→−∞

lim

x→−∞

3 8 5 −10 − + 2 − 3 x x x

= −10

donc lim f (x) = +∞.

x→−∞

Solution 5 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = −5x4 − x3 + 3x2 + 3x − 8 Pour tout x 6= 0, 4

f (x) = x

1 3 3 8 −5 − + 2 + 3 − 4 x x x x

et lim x4 = +∞

x→−∞

lim

x→−∞

1 3 3 8 −5 − + 2 + 3 − 4 x x x x

donc lim f (x) = −∞.

x→−∞

3

= −5

Limite ` a l’infini d’une fonction rationnelle

Sujets Exercice 1 Soit f la fonction d´efinie sur

3 3 ∪ ; +∞ E = −∞; 2 2 par f (x) = −2x +

5 − 2.

3 − 2x

D´eterminez la limite de f en +∞.

Exercice 2 Soit f la fonction d´efinie sur

5 5 ∪ ; +∞ E = −∞; 3 3 par f (x) = 5x +

3 − 2.

3x − 5

D´eterminez la limite de f en +∞.

Exercice 3 Soit f la fonction d´efinie sur E = ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par f (x) = 3 −

4 .

5x

D´eterminez la limite de f en +∞.

Exercice 4 Soit f la fonction d´efinie sur E = ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par f (x) = −x − 2 + D´eterminez la limite de f en +∞.

1

2 . x

Exercice 5 Soit f la fonction d´efinie sur

3 3 E = −∞; ∪ ; +∞ 5 5 par 1 + 1. f (x) = −5x + 5x − 3 D´eterminez la limite de f en −∞.

Exercice 6 Soit f la fonction d´efinie sur E = ]−∞; 1[ ∪ ]1; +∞[ par f (x) = −3x −

1 .

1−x

D´eterminez la limite de f en −∞.

Exercice 7 Soit f la fonction d´efinie sur

4 4 E = −∞; ∪ ; +∞ 3 3 par 2 − 4. f (x) = 3x + 4 − 3x D´eterminez la limite de f en −∞.

Exercice 8 Soit f la fonction d´efinie sur E = ]−∞; −1[ ∪ ]−1; +∞[ par f (x) = x −

3 − 3. −4x − 4

D´eterminez la limite de f en −∞.

Exercice 9 Soit f la fonction d´efinie sur E = ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par f (x) = −2x + 1 +

5 . x

D´eterminez la limite de f en +∞.

Exercice 10 Soit f la fonction d´efinie sur

1 1 E = −∞; − ∪ − ; +∞ 4 4 par 3 f (x) = x + − 5. −4x − 1 D´eterminez la limite de f en +∞.

2

Solutions Solution 1 Soit f la fonction d´efinie sur

3 3 ∪ ; +∞ E = −∞; 2 2 par 5 − 2.

3 − 2x lim (−2x − 2) = −∞

f (x) = −2x + x→+∞

et

lim

x→+∞

5 3 − 2x

=0

donc lim f (x) = −∞

x→+∞

.

Solution 2 Soit f la fonction d´efinie sur

5 5 E = −∞; ∪ ; +∞ 3 3 par 3 − 2.

3x − 5 lim (5x − 2) = +∞

f (x) = 5x + x→+∞

et

lim

x→+∞

3 3x − 5

=0

donc lim f (x) = +∞

x→+∞

.

Solution 3 Soit f la fonction d´efinie sur E = ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par 4 .

5x lim (3) = 3

f (x) = 3 − x→+∞

et

lim

x→+∞

− 3

4 5x

=0

donc lim f (x) = 3

x→+∞

.

Solution 4 Soit f la fonction d´efinie sur E = ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par 2 . x lim (−x − 2) = −∞

f (x) = −x − 2 + x→+∞

et

2 =0 lim x→+∞ x

donc lim f (x) = −∞

x→+∞

.

Solution 5 Soit f la fonction d´efinie sur

3 3 ∪ ; +∞ E = −∞; 5 5 par 1 + 1.

5x − 3 lim (1 − 5x) = +∞

f (x) = −5x + x→−∞

et

lim

x→−∞

1 5x − 3

=0

donc lim f (x) = +∞

x→−∞

.

Solution 6 Soit f la fonction d´efinie sur E = ]−∞; 1[ ∪ ]1; +∞[ par 1 .

1−x lim (−3x) = +∞

f (x) = −3x − x→−∞

4

et

lim

x→−∞

1 − 1−x

=0

donc lim f (x) = +∞

x→−∞

.

Solution 7 Soit f la fonction d´efinie sur

4 4 E = −∞; ∪ ; +∞ 3 3 par f (x) = 3x +

2 − 4.

4 − 3x

lim (3x − 4) = −∞

x→−∞

et

lim

x→−∞

2 4 − 3x

=0

donc lim f (x) = −∞

x→−∞

.

Solution 8 Soit f la fonction d´efinie sur E = ]−∞; −1[ ∪ ]−1; +∞[ par f (x) = x −

3 − 3. −4x − 4

lim (x − 3) = −∞

x→−∞

et

lim

x→−∞

−

3 −4x − 4

=0

donc lim f (x) = −∞

x→−∞

.

5

Solution 9 Soit f la fonction d´efinie sur E = ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par 5 . x lim (1 − 2x) = −∞

f (x) = −2x + 1 + x→+∞

et

5 =0 lim x→+∞ x

donc lim f (x) = −∞

x→+∞

.

Solution 10 Soit f la fonction d´efinie sur

1 1 E = −∞; − ∪ − ; +∞ 4 4 par f (x) = x +

3 − 5. −4x − 1

lim (x − 5) = +∞

x→+∞

et

lim

x→+∞

3 −4x − 1

=0

donc lim f (x) = +∞

x→+∞

.

6

Fonctions compos´ ees

Sujets Dans chacun des exercices propos´es ci-dessous, d´eterminez l’expression alg´ebrique de la fonction indiqu´ee sur l’ensemble E. Exercice 1 Soit f et g les fonctions d´efinies respectivement – pour tout x ∈ ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par f (x) = x1 – pour tout x ∈ R par g(x) = x + 1.

D´eterminer l’expression alg´ebrique de f ◦ g sur E = ]−∞; −1[ ∪ ]−1; +∞[ .

Exercice 2 Soit f et g les fonctions d´efinies respectivement – pour tout x ∈ ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par f (x) = x12 – pour tout x ∈ R par g(x) = −5x2 − 10x + 175.

D´eterminer l’expression alg´ebrique de g ◦ f sur E = ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ .

Exercice 3 Soit f et g les fonctions d´efinies respectivement √ – pour tout x ∈ [0; +∞[ par f (x) = x – pour tout x ∈ R par g(x) = −10x2 − 170x − 720.

D´eterminer l’expression alg´ebrique de f ◦ g sur E = [−9; −8] .

Exercice 4 Soit f et g les fonctions d´efinies respectivement – pour tout x ∈ R par f (x) = x3 – pour tout x ∈ R par g(x) = 2x − 10.

D´eterminer l’expression alg´ebrique de g ◦ f sur E = R. Exercice 5 Soit f et g les fonctions d´efinies respectivement – pour tout x ∈ R par f (x) = x3 – pour tout x ∈ R par g(x) = x + 3.

D´eterminer l’expression alg´ebrique de g ◦ f sur E = R.

1

Solutions Solution 1 Soit f et g les fonctions d´efinies respectivement – pour tout x ∈ ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par f (x) = x1 – pour tout x ∈ R par g(x) = x + 1. f ◦ g est d´efinie sur E = ]−∞; −1[ ∪ ]−1; +∞[ par f ◦ g(x) =

1 . x+1

Solution 2 Soit f et g les fonctions d´efinies respectivement – pour tout x ∈ ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par f (x) = x12 – pour tout x ∈ R par g(x) = −5x2 − 10x + 175. g ◦ f est d´efinie sur E = ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par g ◦ f (x) = 175 −

10 5 − . x2 x4

Solution 3 Soit f et g les fonctions d´efinies respectivement √ – pour tout x ∈ [0; +∞[ par f (x) = x – pour tout x ∈ R par g(x) = −10x2 − 170x − 720. f ◦ g est d´efinie sur E = [−9; −8] par f ◦ g(x) =

p

−10x2 − 170x − 720.

Solution 4 Soit f et g les fonctions d´efinies respectivement – pour tout x ∈ R par f (x) = x3 – pour tout x ∈ R par g(x) = 2x − 10. g ◦ f est d´efinie sur E=R par g ◦ f (x) = 2x3 − 10.

Solution 5 Soit f et g les fonctions d´efinies respectivement – pour tout x ∈ R par f (x) = x3 – pour tout x ∈ R par g(x) = x + 3. g ◦ f est d´efinie sur E=R par g ◦ f (x) = x3 + 3.

2

Limite ` a l’infini d’une fonction monˆ ome

Sujets Dans chacun des exercices donn´es ci-dessous, d´eterminez la limite en −∞ et +∞ de la fonction f indiqu´ee.

Exercice 1 f est d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = − Exercice 2 f est d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) =

x6 .

3

x2 .

5

Exercice 3 f est d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = −3x2 .

Exercice 4 f est d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = 8x3 .

Exercice 5 f est d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) =

1

2x .

3

Solutions Solution 1 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = −

x6 .

3

lim f (x) = −∞

x→−∞

et lim f (x) = −∞.

x→+∞

Solution 2 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) =

x2 .

5

lim f (x) = +∞

x→−∞

et lim f (x) = +∞.

x→+∞

Solution 3 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = −3x2 . lim f (x) = −∞

x→−∞

et lim f (x) = −∞.

x→+∞

Solution 4 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = 8x3 . lim f (x) = −∞

x→−∞

et lim f (x) = +∞.

x→+∞

Solution 5 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈ R par f (x) = lim f (x) = −∞

x→−∞

et lim f (x) = +∞.

x→+∞

2

2x .

3

Limite en 0 de l’inverse d’une fonction monˆ ome

Sujets Dans chacun des exercices donn´es ci-dessous, d´eterminez la limite `a gauche et `a droite en 0 de la fonction f indiqu´ee.

Exercice 1 f est d´efinie pour tout x ∈] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par f (x) = −

1 .

7x

Exercice 2 f est d´efinie pour tout x ∈] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par f (x) = −

3 .

7x

Exercice 3 f est d´efinie pour tout x ∈] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par f (x) = −

1 . x6

Exercice 4 f est d´efinie pour tout x ∈] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par f (x) = −

1 .

2x4

Exercice 5 f est d´efinie pour tout x ∈] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par f (x) =

1

1 .

2x6

Solutions Solution 1 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par 1 f (x) = − .

7x lim f (x) = +∞ x→0 x<0

et lim f (x) = −∞.

x→0 x>0

Solution 2 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par 3 f (x) = − .

7x lim f (x) = +∞ x→0 x<0

et lim f (x) = −∞.

x→0 x>0

Solution 3 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par 1 f (x) = − 6 . x lim f (x) = −∞ x→0 x<0

et lim f (x) = −∞.

x→0 x>0

Solution 4 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par 1 f (x) = − 4 .

2x lim f (x) = −∞ x→0 x<0

et lim f (x) = −∞.

x→0 x>0

Solution 5 Soit f la fonction d´efinie pour tout x ∈] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par 1 f (x) = 6 .

2x lim f (x) = +∞ x→0 x<0

et lim f (x) = +∞.

x→0 x>0

2

Limite ` a l’infini d’une fonction rationnelle Sujets Exercice 1 Soit f la fonction d´efinie sur E=R par −x4 + 5x3 + 4x2 − 4x + 2 .

2 (x2 − 6x + 10) D´eterminez la limite de f en +∞. f (x) =

Exercice 2 Soit f la fonction d´efinie sur E = ]−∞; 3[ ∪ ]3; +∞[ par f (x) =

2(x + 1) . x−3

D´eterminez la limite de f en +∞.

Exercice 3 Soit f la fonction d´efinie sur

5 5 E = −∞; − ∪ − ; +∞ 2 2 par 2 − 3x f (x) = .

2x + 5 D´eterminez la limite de f en +∞.

Exercice 4 Soit f la fonction d´efinie sur E=R par 2x2 − 2x + 1 .

2 (x2 − 6x + 11) D´eterminez la limite de f en +∞. f (x) =

Exercice 5 Soit f la fonction d´efinie sur E=R par x3 + x2 + 3x − 5 .

3 (x2 + 2) D´eterminez la limite de f en +∞. f (x) =

1

Solutions Solution 1 Soit f la fonction d´efinie sur E=R par f (x) =

−x4 + 5x3 + 4x2 − 4x + 2 .

2 (x2 − 6x + 10)

Le quotient des monˆ omes de plus haut degr´e de f est la fonction p d´efinie pour tout x ∈ R par x2 p(x) = − 2 et lim p(x) = −∞ x→+∞

donc lim f (x) = −∞.

x→+∞

Solution 2 Soit f la fonction d´efinie sur E = ]−∞; 3[ ∪ ]3; +∞[ par 2(x + 1) . x−3 Le quotient des monˆ omes de plus haut degr´e de f est la fonction p d´efinie pour tout x ∈ R par p(x) = 2 f (x) =

et lim p(x) = 2

x→+∞

donc lim f (x) = 2.

x→+∞

Solution 3 Soit f la fonction d´efinie sur

5 5 E = −∞; − ∪ − ; +∞ 2 2 par

2 − 3x .

2x + 5 Le quotient des monˆ omes de plus haut degr´e de f est la fonction p d´efinie pour tout x ∈ R par 3 p(x) = − 2 f (x) =

2

et lim p(x) = −

x→+∞

donc

3 2

3 lim f (x) = − .

2

x→+∞

Solution 4 Soit f la fonction d´efinie sur E=R par f (x) =

2x2 − 2x + 1 .

2 (x2 − 6x + 11)

Le quotient des monˆ omes de plus haut degr´e de f est la fonction p d´efinie pour tout x ∈ R par p(x) = 1 et lim p(x) = 1

x→+∞

donc lim f (x) = 1.

x→+∞

Solution 5 Soit f la fonction d´efinie sur E=R par f (x) =

x3 + x2 + 3x − 5 .

3 (x2 + 2)

Le quotient des monˆ omes de plus haut degr´e de f est la fonction p d´efinie pour tout x ∈ R par x p(x) = 3 et lim p(x) = +∞ x→+∞

donc lim f (x) = +∞.

x→+∞

3