Jerzy Grochocki sztuka jako interpretacja matematyczności 2014 by Polski Dom Aukcyjny Wojciech Śladowski

JERZY GROCHOCKI SZTUKA JAKO INTERPRETACJA MATEMATYCZNOŚCI

dy w latach 70. rodziła się sztuka systemowa Grochockiego, zakorzeniona w tradycji minimalistycznej, u artysty poczęła się myśl, by swoje zainteresowania matematyczne zespolić z badaniami nad formą. W połowie lat 70. system ów Grochocki nazwał Koncepcją Matematyczności w Sztuce. Naturalną wydaje się być potrzeba artysty do obiektywizowania, sumaryzowania i ujmowania w karby swoich zainteresowań w konwencji geometrycznej. Podstawą swoich badań ucznił Grochocki matematykę – jako tę dziedzinę myśli człowieka, która odpowiada za logiczne uporządkowanie świata. W tym kontekście rola sztuki, zdaniem Grochockiego jest ściśle określona. Skoro nie da się przeprowadzić ścisłego rozgraniczenia pomiędzy potrzebą sztuki w człowieku, a składnikiem przyrody, którą człowiek rozpoznaje m.in. za pomocą matematyki, organizując ją za jej pomocą, to sztukę winien wypełniać postulat matematyczności. Potęga tego myślenia zasadza się na przekonaniu, że rolą matematyki jest nie tylko opisywanie rzeczywistości, ale także - co w kontekście sztuki Grochockiego wydaje się być kluczowe - na pomijaniu zbędnych myśli i oszczędności operacji. Koncepcja Matematyczności w Sztuce jest zrealizowaną próbą powiązania idei ciągów liczbowych, wzorów i wykresów geometrycznych z ich reprezentacją i interpretacją graficzną. Wydawałoby się, że działania te w sensie estetycznym i formalnym nie powinny zaskakiwac, jednak to, co porusza w sztuce Grochockiego, to umiejętne połączenie emocji oraz precyzji logiki i wykonania. Warto w tym momencie nadmienić, że do swoich koncepcji wprzągł Grochocki również i te działania, które odpowiadają za – tak dla niego charakterystyczne, postulaty redukcyjne. Mowa o Systemie Czterech Znaków i Czterech Przestrzeni, która zredukowała użycie przez artystę kolorów do złotej, srebrnej, białej i czarnej. Koncepcję Matematyczności wypełniają z jednej strony rozważania o charakterze matematycznym – z drugiej - cykle prac ilustrujących, dowodzących proces myślenia. W tym aspekcie Grochocki pozostaje nie tylko artystą, ale i naukowcem, który stawiając tezę, domaga się również logicznego udowodnienia swoich racji.

Podjęcie problematyki ciągów matematycznych sytuuje ten fragment twórczosci Grochockiego w debacie, która odnosi się do filozoficznego pojęcia nieskończoności. Matematyka, która niejako łapie nieskończoność in flagranti ma z tym niemały problem. Najmniejszym z nich wydają się być nieskończoności matematyczne. Ciąg liczb naturalnych: n = 1, 2, 3, … nie ma końca, czyli zmierza do nieskończoności. W przeszłości matematycy spierali się czy nieskończoność jest pojęciem matematycznym, czy też jest wielkością na tyle nieokreśloną, by w matematyce znalazło się dla niej miejsce. Obecnie nikt pojęcia nieskończoności z języka matematyki nie usuwa, ale też nikt nie traktuje jej jak liczby, nawet niewyobrażalnie wielkiej. Samo pojęcie nieskończoności jest jednym z bardziej niejasnych i pardoksalnych, dlatego, że wykracza to poza granice naszego codziennego doświaczenia. Dotychczas dwie dziedziny myśli człowieka odgrwały główną rolę w rozwijanu refleksji na ten temat. Były nimi filozofia i matematyka. Z drugiej strony nieskończoność jest bliska naszej ludzkiej naturze, wpisując się w naturalną potrzebę transcendencji. Nieskończoność nie jest czymś co można znaleźć w rzeczywistosci fizycznej. W przyrodzie nie występują wielkości nieskończenie małe, ale z drugiej strony nie występują też rzeczy nieskończenie wielkie. Świat, który opisujemy, jest nieskończony, ale do jego opisu używamy jedynie zbiorów i zasobów skończonych. Grochocki jest świadomy, że osiągnąć swoje zamierzenia jest w stanie tylko w oparciu o najprostsze środki wyrazu. Tu zasadza się ta konsekwentna postawa i trwanie przy sztuce geometrycznej. Bo tylko w tym języku, można opisywać, komentować, i tworzyć, jak czyni to artysta „wizualne próbki” nieskończoności wszechświata. „Przestrzeń nie jest przypadkowa, posiada swoją logikę, swój system a nawet swoja matematykę” - pisał kiedyś Grochocki. Jest to jednak zdanie tyle zastanawiające, co ważne – bowiem utopijna wartość projektu Grochockiego opiera sie na świadomości, że nie zostaliśmy wyposażeni w możliwość pełnego poznania praw rządzących naturą, możemy dokonywać tylko ich opisu. Praktyka artystyczna artysty jest zatem próbą znalezienia metody mówienia o nieodkrytym Jarosław Denisiuk

uring the 70s when Grochocki’s systemic art came into being, rooted in the minimalistic tradition, in the artist’s mind was begotten a thought, that his mathematical interests could be united with the exploration of form. In the mid 70s Grochocki’s system was called the Mathematical Conception in Art. It seemed like a natural need for the artist to objectify, summarize and recognize his interests in the conventions of geometry. As the bases for his explorations Grochocki chose mathematics as the area of human thinking, which logically organizes the world. In this context the role of art, according to Grochocki is precisely specified. Since it is impossible to carry out a strict separation between the need for art in a person, and a component of nature, which the person recognizes by means of mathematics, organizing it with its help, the art thus pursues a mathematical postulate. The greatness of this thinking rests on the conviction, that the role of mathematics does not only describe reality, but also, which in the context of Grochocki’s art seems to be key, foregoing unnecessary thoughts and the sparsity of operations. The Mathematical Conception in Art is completed in its attempt to combine ideas of numerical sequences, progressions and geometric graphs with their representation and graphic interpretation. It would appear, that such actions according to this esthetic and form should not bear much surprise, however, that which, moves one in Grochocki’s art, is a skillful unification of emotions, precise logic and craftsmanship. It is worth at this moment to mention, that to his concept Grochocki also uses the activities which correspond with, so very characteristic to him, reductionist postulates. Refering to the System of Four Signs and Four Spaces, which reduced his usage of colors only to gold, silver, black and white. The mathematical conceptions fulfill on one hand the deliberations whose character is mathematical and on the other, a series of works that illustrate the proof of this thinking process. In this aspect Grochocki becomes not only an artist, but also a scientist, who puts forth a thesis, that also demands from itself logical proofs for their truths.

Taking up the problem of mathematical sequences situates this fragment of Grochocki’s creativity in a debate, which refers to the philosophical concept of infinity. Mathematics, which captures infinity in flagranti has with this a considerable problem. The smallest of which appears to be mathematical infinity. The natural numeric sequence n = 1, 2, 3,... has no end, which aims towards infinity. In the past mathematicians argued that infinity is either a mathematical concept, or that it is just an undefined quantity, thus it found its place into mathematics. Currently nobody has taken infinity out of the mathematical language, and nobody treats it as a numeric value either, even an unimaginably large one. The very concept of infinity is amongst the most unclear and paradoxial, because it goes beyond the limits of our daily experience. So far two fields of human thinking played the main role in developing and reflecting upon this subject. These were the philosophical and the mathematical. However, infinity is close to our human nature, encoded in our natural need for transcendence. Infinity is not something which can be found in physical reality. In nature there does not occur infinitely small, nor does there occur the infinitely large. This world, which we are attempting to describe, is infinite, but for whose description we use methods and resources that are finite. Grochocki is aware, that in order to achieve his objective he is only able to use the simplest of means. Here lies the consequential and enduring position to continue in the manner of geometric art. Because, it is only in this visual language, that can be used to describe, comment upon and create, as the artist does in his “visual samples” of the infinity of the universe. “Space is not accidental, it possesses its own logic, its own system and even its own mathematics.” wrote Grochocki. However, as much as it is a wondering statement, it is important because of its utopian value of Grochocki’s project which is based upon the awareness, that we have not been supplied in the possibility of understanding that which governs nature, we can only attempt to describe it. The practical artistry of the artist is therefore an attempt to find a method of speaking of that which is undiscovered. Jarosław Denisiuk

JERZY GROCHOCKI Wydział Architektury na Politechnice Warszawskiej, dyplom Magistra Inżyniera 1957 Akademia Sztuk Pięknych w Warszawie, dyplom Magistra Sztuki 1963 W latach 1963 do 1968 Grochocki maluje serie obrazów pt. Pejzaże inspirowane pejzażem górskim, a także Martwe Natury, Kompozycje Figuratywne i Impresje w nastroju surrealnej abstrakcji. W 1967 założył artystyczną grupę malarską noszącą nazwę Grupa 7. Wystawy Grupy 7 odbyły się w Warszawie (1967), Herning i Archus (Dania 1968). W latach 1967/70 matematyczno-geometryczne fascynacje prowadzą Grochockiego do twórczości w kierunku sztuki konstruktywistycznej. W roku 1970 w wyniku rozważań na temat koloru, przestrzeni i płaszczyzny obrazu, okreslił cztery podstawowe pojęcia kształtu: płaszczyznę, kwadrat, linię i punkt oraz cztery pojęcia barwy: czarnej, złotej, srebrnej i białej. Z tych elementów stworzył system: Czterech Znaków Płaszczyzny i Czterech Obszarów Przestrzeni. W 1977 roku uczestniczył w Kongresie Tekstu Wizualnego w Warszawie, gdzie pokazał swój system kolorystyczny w odniesieniu do dźwięku litery, tworząc swoisty wizualny zapis języka. W tym czasie był związany twórczo z ruchem Sztuki Systemu w Europie i z jego grupami artystycznymi takimi jak: Arbeitkreis w Holandii, Dimensio w Finlandii, Exacte Tendenzen w Austrii. W latach 1978/80 Grochocki utworzył matematyczny ciąg liczbowy, który stał się inspiracją do wielu jego kompozycji. Komponował także fotomontaże, collage z przypadkowych form, modularne obiekty przestrzenne oraz geometryczne kompozycje w wielowarstwowym papierze. W oparciu o system Znaków i Przestrzeni włączył do swoich prac rzeczywiste elementy drzewa i tworzył malarskie obiekty przestrzenne nazywając je Synteza, Natury z Logiką Geometrii. Minimalistyczną konsekwencją Jego twórczości są oszczędne w formie geometryczne kompozycje białych przestrzennych obiektów. Za temat “Sztuka Jako Interpretacja Matematyczności” i jego artystyczną prezentację w 2013 roku, otrzymał stypendium MKiDN. Brał udział w około stu wystawach indywidualnych i grupowych w Europie i w USA. Otrzymał kilka nagród i wyróżnień. Prace Grochockiego znajdują się w Muzeach i w prywatnych kolekcjach w Europie i w USA.

eśli sztuka ma być rozpoznawalna jako obiekt twórczej myśli artysty, to nie może być chaosem. Musi istnieć uporządkowanie różnorodności, które kieruje twóczym działaniem. Każde uporządkowanie nosi charakter matematyczny, które opiera się na logice układów, wzorów lub na intuicji matematycznej. Sztuka jest częścią naszego bytu, a byt jest częścią przyrody, którą rozpoznajemy za pomocą metod matematyzacji - i w tym sensie sztuka jest matematyczna w swojej strukturze, organizując płaszczyznę i przestrzeń. Geometria przedstawiona jest czasem w sposób graficzny co stwarza pewien plastyczny odbiór. Jednak taki wykres nie nosi w sobie żadnego elementu estetycznego ani emocjonalnego, co wyklucza, pojęcie sztuki. Moja koncepcja Matematyczności w Sztuce łączy wzory, ciągi liczbowe, funkcje i wykresy geometryczne, poruszając takie zagadnienia jak ruch w geometrii, nieskończoność, odwracalność ciągów i logiczne układy liczbowe. Jednocześnie rozwiązując estetycznie i emocjonalnie płaszczyzny i przestrzenie, gdzie lina z czystego wykresu staje się częścią obiektu sztuki. Moja koncepcja Matematyczności w Sztuce powstała w połowie lat 70. w ścisłym związku z sformułowanym przeze mnie systemie Czterech Znaków Płaszczyzny i Czterech Obszarów Przestrzeni, który wyróżnia cztery barwy: czarną, złota, srebrną i białą oraz cztery przestrzenie: skupioną, złożoną, łamaną i ciągłą. Jerzy Grochocki

GEORGE GROCHOCKI Masters in Architecture at the Polytechnic in Warsaw in 1957. Masters of Fine Art from the Academy of Fine Arts in Warsaw in 1963. 1963/68, Grochocki was painting a series of paintings inspired by mountainous landscapes, as well as Still Lives, Figurative Compositions and Impressions in the mood of surreal abstraction. In 1967, he organized an artist group entitled Group 7. Expositions of Group 7: Warsaw (1967), Herning and Archus (Denmark 1968). In 1967/70 mathematical and geometric fascinations lead Grochocki creativity in the direction of constructivism. Analyzing space and plane, he distilled four basic concepts of shape as: plane, square, line and point, as well as four notions of color: black, gold, silver and white. From these elements he created the system: Four Signs of Plane and Four Areas of Space. In 1977, Grochocki participated in the Congress of Visual Text in Warsaw where he showed his color system in relation to a letters’ sound, creating a personal visual language. Meanwhile, he was involved creatively in the Systemic Art movement in Europe and with artistic groups such as Arbeitkreis in Holland, Dimensio in Finland and Exacte Tendenzen in Austria. In 1978/80s, Grochocki created a numerical mathematical sequence, which became the inspiration in many of his compositions. As well as modular spatial objects and multi leveled geometric paper compositions. Based on the system of Signs and Planes he appropriated into his works natural tree elements and created spatial painterly objects, calling them: The Synthesis of Nature with the Logic of Geometry. As a consequence of minimalism in his art, he creates white pure dimensional geometric objects. For the subject “Art as an Interpretation of Mathematics” and for his artistic presentation in 2013. there of, he received the MKiDN grant. Grochocki has participated in over an hundred individual and group exhibitions in Europe and the USA, receiving several awards and merits. The works of Grochocki can be found in Museums and in Private Collections throughout Europe and the USA.

f art is to be recognized as an object of theartist’s cretive thought, then it can not be chaos. There has to exist an ordering of diversity, which guides the creative process. Every ordering bears a mathematical character, which is based upon logical systems, formulas or a mathematical intuition. Art is a part of our being, and being is a part of nature, which we recognize through mathematizing methods - and in this sense art is mathematical in its structure, because it organizes plane and space. Geometry is sometimes represented in a graphic manner which maybe perceived as artistic. However, such graphs do not contain within themselves any esthetic or emotional elements, which excludes, the concept of art. My conception of Mathematics in Art combines formulas, numerical sequences, functions and geometric graphs, addressing such issues as movement in geometry, infinity, reversal of sequences and logical arrangement of numbers. At the same time solving esthetical and emotionally planes and spaces, where a line from a pure graph becomes a part of the art object. My conception of Mathematics in Art came into being in the 70’s in close relationship to my formulated system of Four Signs of the Plane and Four Areas of Space, which identifies four colors: black, gold, silver and white as well as four areas: dense, compound, broken and continuous. George Grochocki

Wybrane Wystawy/Selected Exhibitions 2014 2013

2012

2011 2010

2009

2008 2007 2006 2004 2002 1997 1986 1985 1984 1979 1978 1973 1970 1969 1968 1967 1966

No Time Like the Present Anya Tish Gallery Jerzy Grochocki ABC Gallery Sztuka Jako Interpretacja Matematyczności/stypendium MKiDN OdNowa Program Galeria 022 DAP Galeria EL George Grochocki Anya Tish Gallery Obszary Przestrzeni Galeria 3678 DAP Jerzy Grochocki Muzeum Architektury Dimension Variable Anya Tish Gallery In Balance Anya Tish Gallery Jerzy Grochocki Galeria EL Three in 3-D Anya Tish Gallery Jerzy Grochocki Centrum Olimpijskie Systemy i Kształty Galeria 8+ Przez Góry Miejska Galeria Sztuki Między Geometrią a Naturą Muzeum/Galeria 72 Cztery w Tonacji Milano Od Do Pracownia Otwarta The Purity of the Object Galeria Pracownia Malarstwo, Obiekty ADI-ART Paul and Fiends Blackfish Gallery Malarstwo i Obiekty Art New Media Geometria Natury Sektor I Mysteries of the Square Anya Tish Gallery Systemy i Kształty Korozja i Kolor George Grochocki Artisan Field Grochocki - Systematic Art Gallery PAAS Micro Gallery Now Grochocki-Systematic Art Multnomah Art Center Grochocki & Laurema Library Leppavaara Grochocki - Malarstwo Dom Artysty Plastyka Broniek, Grochocki, Walter Gallery Aritza Znaki Płaszczyzny Dom Artysty Plastyka Grupa Polsko-Dunska Galeria Współczesna Polish Paintings Stoke Prior Festival Grupa 7 Gallery & Malerier Charlottenborg Eksperyment 66 BWA Gupa 7 SPAM Jerzy Grochocki Tow. Sztuk Pięknych

Houston/TX/USA Poznań Łódź Warszawa Warszawa Elbląg Houston/TX/USA Warszawa Wrocław Houston/TX/USA Houston/TX/USA Elbląg Houston/TX/USA Warszawa Warszawa Zakopane Chełm Warszawa Kraków Warszawa Łódź Portland/OR/USA Warszawa Katowice Houston/TX/USA Wołomin Houston, Texas, USA New York, USA New York, USA Portland, Oregon, USA Espoo, Finlandia/Finland Warszawa Bilbao, Hiszpania Warszawa Warszawa Stoke Prior,Anglia/England Aarhus, Dania/Danemark Kopenhaga, Dania/Danemark Lublin Warszawa Warszawa

Muzea i Kolekcje/Public Collection Museum Modern Art Muzeum Sztuki Centrum Sztuki Współczesnej Muzeum Sztuki Współczesnej Centrum Sztuki Galeria EL, Teatr Studio ADI-ART Galeria, Bilioteka Krasińskich Kolekcja Exakte Tendenzen Kolekcja Sztuki Konstruktywistycznej Art Museum

Hunfeld, Niemcy/Germany Łódź, Polska/Poland Warszawa, Polska/Poland Chełm, Polska/Poland Elbląg, Polska/Poland Warszawa, Polska/Poland Łódź, Polska/Poland Warszawa, Polska/Poland Wiedeń, Austria/Austria Cholet, Francja/France Portland, Oregon/USA

Ciąg Ciągliczb liczba1a,1a, 2a... takiejwłasności, własności,żeżeróżnica różnicadwóch dwóchkolejnych kolejnych 2...o otakiej wyrazów wyrazówd d==ana+1 2,...)nie niezależy zależyododn.n. n+1––ana(n n(n==1,1,2,...)

P PO OS ST TĘ ĘP P A AR RY YT TM ME ET T YC YC Z ZN NY Y

Postęp PostępArytmetyczny Arytmetycznyjest jestokreślony, określony,gdy gdydany danyjest jestjego jegopierwszy pierwszy wyraz wyraza1ai1 różnica i różnicad.d. Wzór WzórPostępu PostępuArytmetycznego Arytmetycznego

(n–1)d (n–1)d anan==a1a+ 1+

a1a1 a2a2 dd a3a3 2d2d

a4a4 “Spadający Kwadrat” 2010 płótno na sklejce, akryl, klocki drewniane, krylon 80 x 20 x 6 cm.

3d3d

anan ndnd

“Postępowość” 2013 drewniane wałki, płótno, akryl 183 x 30,5 x 3 cm.

Ciąg Ciągliczbowy liczbowya1a,1a, 2a... któregokolejny kolejnywyraz wyrazjest jestiloczynem iloczynemwyrazu wyrazu 2...którego n+1 q =aanan+1 poprzedniego poprzedniegoprzez przezpewną pewnąstałą stałąnazywaną nazywanąilorazem ilorazemgdzie gdzieq = an

P PO OS ST TĘ ĘP P G GE EO OM ME ET TR R YC YC Z ZN NY Y

Ciąg Ciąggeometryczny, geometryczny,nazywany nazywanytakże takżepostępem postępemgeometrycznym, geometrycznym,można można traktować traktowaćjako jakomultiplikatywną multiplikatywnąwersję wersjęciągu ciąguarytmetycznego. arytmetycznego.

a1aq1n-1 qn-1 n= Wzór WzórPostępu PostępuGeometrycznego Geometrycznego ana=

WW kompozycji kompozycji obiektu obiektu pt.pt.“2n2” “2n2”zastosowano zastosowano 2 2 pochodną pochodną ciągu ciągu geomertrycznego geomertrycznego o wzorze o wzorzeana= 2n2n n=

2 2x 1x212 2 2x 2x222

2 2x 3x232

2 2x 4x242

“Ciąg 2n2” 1978 płótno na sklejce, listewki, akryl, czarna ramka. 22 x 84 cm.

Funkcja Funkcjao oargumentach argumentach0,0,1,1,2,2,3,3,4,4,. .. .. .k,k,której którejwartość wartośćdla dlaliczby liczby naturalnej naturalnejn njest jestiloczynem iloczynemliczb liczbnaturalnych naturalnychodod1 1dodon.n. Wartość WartośćFunkcji Funkcji

n n! = ! =1 1x x2 2x x3 3x x4 4. .. .. .n n(dla (dlan n==2,2,3,3,4 4. .. .. ). )

S S II L LN N II A A

n n !!

Silnia Silnia(n!) (n!)określa określaliczbę liczbęmaksymalnej maksymalnejmultiplikacji multiplikacjipozycji pozycji wwukładach układachAABBCCDD. .. .. n. n

“Silnia 4 piony” 2013 listwy drewniane, akryl, 4 obiekty 30,5 x 30,5 x 4 cm. (każdy)

A AB BC CDD A AB BDDC C A AC CB BDD A AC CDDB B A ADDB BC C A ADDC CB B B BA AC CDD B BA ADDC C B BC CA ADD B BC CDD AA B BDDA A CC B BDDC CA A C CA AB BDD C CA ADDB B C CB BA ADD C CB BDDA A C CDDB BA A C CDDA AB B DDA AB BC C DDA AC CB B DDB BA AC C DDB BC CA A DDC CA AB B DDC CB BA A

A A= = 6 x6 4x 4

AA1 1 = =1 1 AAB B2 2 = =2 2 ABC ABC3 3 = =6 6

B B= = 6 x6 4x 4

C C= = 6 x6 4x 4

DD= = 6 x6 4x 4 == 9696

ABCD ABCD4 4 = =2424

“Silnia 4 poziomy ” 2013 płótno na sklejce, akryl 30,5 x 30,5 x 2 cm. (każdy)

STRUKTURA STRUKTURA LOGICZNEGO LOGICZNEGO CIĄGU CIĄGU LICZBOWEGO LICZBOWEGO

Ciąg Ciąg––wwmatematyce matematycepojęcie pojęcieoddające oddająceintuicję intuicjęponumerowania, ponumerowania,czy czyteż też uporządkowania uporządkowaniaelementów elementówzbioru. zbioru.WWzależności zależnościododrodzaju rodzajuelementów elementów zbioru zbiorustosuje stosujesięsięróżne różnenazwy: nazwy:wwprzypadku przypadkuliczb liczbmówi mówisięsięoociągach ciągach liczbowych, liczbowych,bądź bądźbardziej bardziejprecyzyjnie, precyzyjnie,np. np.wwprzypadku przypadkuzbioru zbioruliczb liczb całkowitych, całkowitych,rzeczywistych rzeczywistychczy czyzespolonych, zespolonych,ciąg ciągnazywa nazywasięsięwtedy wtedy odpowiednio odpowiedniociągiem ciągiemcałkowitoliczbowym, całkowitoliczbowym,rzeczywistym rzeczywistymi zespolonym. i zespolonym. Jeśli Jeślielementami elementamizbioru zbiorusąsąfunkcje, funkcje,totociąg ciągnazywa nazywasięsięciągiem ciągiemfunkcyjnym. funkcyjnym.

“Logika Ciągu Liczbowego ” 1979/2013 płótno, listwy drewniane, akryl 174 x 65 cm.

“1, 2, 3, 4 ” 1985/2013 płótno na sklejce, listwy drewniane, akryl 64 x 64 cm.

“Numery 1, 2, 3, 4 ” 1987 ramka drewniana, płytki drewniane, numerki, szybka 18 x 18 x 2,5 cm.

“Ciąg 4 ” 1984/2012 płótno na sklejce, akryl 61 x 30,5 x 4 cm.

TO TO Ż ŻS SA AM MO OŚ ŚC C II P PÓ ÓL L G GE EO OM ME ET T RYC RYC Z ZN N YC YC H H

Twierdzenie TwierdzeniePitagorasa. Pitagorasa.Jeżeli Jeżelitrójkąt trójkątjest jest prostokątny, prostokątny,totokwadrat kwadratdłgości dłgościprzeciwprzeciwprostokątnej prostokątnejjest jestrówny równysumie sumiekwadratów kwadratów długości długościprzyprostokątnych. przyprostokątnych.

c c ==aa ++bb 22

Pole Poletrójkąta trójkątajest jestrówne równepołowie połowieiloczynu iloczynu długości długościdowolnego dowolnegoboku bokui długości i długości wysokości wysokościopuszczonej opuszczonejnanaten tenbok. bok.

PP==aa

a2a2

b2b2

hh aa

11 hh 22

Zamiana Zamiana pola pola kwadratu kwadratu nana pole pole prostokątne. prostokątne. Cztery Cztery pozycje pozycje tych tych samych samych pólpól wywodzących wywodzących sięsię z kwadratu z kwadratu równemu równemu P=P= a xa ax a

c2c2

“Kwadratura Prostokata - przestrzenna ” 2010 bazy: sklejka na ramie, biała farba syntetyczna elementy: płótno na sklejce, rama pod katem 45° 40 x 40 x 7 cm. x2 55 x 27 x 7 cm. x2

RUCH RUCH W W GE GE OME OME RTRII RTRII CIĄGI CIĄGI OD OD W W ROT ROT N NE E

Oś Ośliczbowa liczbowatotoprosta, prosta,nanaktórej którejustalono ustalonozwrot, zwrot,obrano obranopunkt punktOO i ustalono i ustalonojednostkę jednostkęodległości. odległości.Każdemu Każdemupunktowi punktowiosiosiprzyporządkowana przyporządkowana jest jestliczba liczbarzeczywista, rzeczywista,która którajest jestjejjejodległością odległościąododpunktu punktuO,O,opatrzoną opatrzoną znakiem znakiem++(plus) (plus)lub lub- (minus). - (minus).Istnieje Istniejeścisły ścisłyzwiązek związekmiędzy międzyliczbami liczbami rzeczywistymi rzeczywistymia apunktami punktamiosiosiliczbowej. liczbowej.Każdej Każdejliczbie liczbierzeczywistej rzeczywistejmożna można przyporządkować przyporządkowaćjeden jedenpunkt punktosiosiliczbowej liczboweji na i naodwrót. odwrót.

–9 –9 –8 –8–7 –7 –6 –6 –5 –5–4 –4 –3 –3 –2 –2 –1 –1 0 0+1+1+2+2 +3+3+4+4 +5+5+6+6 +7+7+8+8+9+9

AA BB CC DD

11 AA

1/2 1/2 1/3 1/3 1/4 1/4 1/3 1/3 1/2 1/2 B BAA AA B BCCABCD ABCD B B CC DD DDCC

11 DD

“A B C Wektory Zwrotne ” 2013 skrzynki drewniane, płótno na sklejce, akryl 62 x 62 x 6,5 cm.

“Ciąg A B C ” 1978 skleka, akryl, czarna ramka drewniana 22 x 84 cm.

“Sekwencja “Sekwencja Hormoniczna” Hormoniczna” 2013 2013 płótno płótno nana sklejce, sklejce, listwy listwy dreniane, dreniane, tusz, tusz, akryl akryl 32,3 32,3 x 32,3 x 32,3 x cm. x cm.

Wydano nakĹ&#x201A;adem autora ISBN 978-83-939631-0-2

JERZY GROCHOCKI grochockiart@poczta.onet.pl

yróżnia

JERZY GROCHOCKI grochockiart@poczta.onet.pl