9789140694775 by Smakprov Media AB

– MENINGSFULL MATEMATIK FÖR ALLA! Mondo matematik är en helt ny läromedelsserie i matematik för grundskolan.

Som lärare får du ett omfattande och pålitligt stöd för din undervisning. Det gäller i synnerhet med bedömning och utvärdering av elevernas kunskaper och färdigheter. Du får också förslag till hur du kan hjälpa elever som behöver stöd i matematik.

matematik

Mondo ger alla möjligheten att förstå och tillämpa matematikens grunder. Genom att välja nivå i grundkursen skapas en trygg bas och i det unika avsnittet ”Tillämpa förmågorna” utvecklar eleverna sina kunskaper i mindre projekt enskilt eller i grupp.

Mondo matematik 8 består av: • Elevwebb med filmade genomgångar, effektiv digital färdighetsträning och diagnoser • Lärarwebb med handledning, prov, bedömningsstöd, filmade genomgångar, resultatrapport på elevernas färdighetsträning och diagnoser

Lisa Gustafson Jonas Hällebrand Olle Nyhlén Johansson Jan Persson

8 matematik

Lisa Gustafson Olle Nyhlén Johansson Jan Persson

9 matematik

Lisa Gustafson Olle Nyhlén Johansson Jan Persson

ISBN: 978-91-40-69477-5

Olle Nyhlén Johansson Jan Persson

7 matematik

Lisa Gustafson

• Elevbok

8 matematik

Lisa Gustafson Olle Nyhlén Johansson Jan Persson

9 789140 694775

40694775_Mondo8_omslag.indd 1

2016-11-28 09:22

INNEHÅLL

KAPITEL 1

TAL OCH TALS ANVÄNDNING

1.1 Negativa tal

...........................

1.2 Addition och subtraktion med negativa tal . . 10 1.3 Multiplikation och division med negativa tal . 12 1.4 Uttryck med blandade räknesätt 1.5 Potenser

.........

.............................

1.6 Tiopotenser och grundpotensform

.......

................

............................

...........................

1.7 Räkna med tiopotenser 1.8 Binära tal Kapiteldiagnos

Tillämpa förmågorna

......................

..............................

.............................

.................................

Träna mera Fördjupning Begrepp

Sammanfattning

..........................

BRÅK, PROCENT OCH SANNOLIKHET

KAPITEL 2

2.1 Addition, subtraktion och multiplikation med bråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2 Division med bråk

....................

.....................

...............................

2.3 Förändringsfaktor 2.4 Ränta

2.5 Procent och procentenheter 2.6 Sannolikhet

............

..........................

2.7 Sannolikhet vid flera händelser

..........

2.8 Oberoende och beroende händelser Kapiteldiagnos

......

...........................

Tillämpa förmågorna

......................

..............................

.............................

.................................

Träna mera Fördjupning Begrepp

Sammanfattning

40694775_mondo8.indb 4

..........................

2016-11-29 09:47

INNEHÅLL

KAPITEL 3 ALGEBRA OCH EKVATIONER

3.1 Förenkling av parentesuttryck . . . . . . . . . . . 72 3.2 Multiplikation med parentesuttryck . . . . . . 74 3.3 Kvadreringsregler och konjugatregeln

. . . .

3.4 Förenkla och beräkna värdet av uttryck . . . 78 3.5 Formler

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Mönster

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7 Problemlösning med ekvationer

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.8 Procent och ekvationer Kapiteldiagnos

Tillämpa förmågorna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Träna mera

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fördjupning

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96 98

Begrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

SAMBAND OCH KAPITEL 5 FÖRÄNDRING

5.1 Koordinatsystem

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

144

5.2 Spegling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.3 Tolka grafer

.........................

149

5.4 Proportionalitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.5 Andra linjära funktioner . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.6 Rita grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Kapiteldiagnos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

166

Tillämpa förmågorna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Träna mera

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fördjupning

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

173 176

Begrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 KAPITEL 6 PROGRAMMERING KAPITEL 4 GEOMETRI

4.1 Omkretsen av en cirkel

102 . . . . . . . . . . . . . . .

104

4.2 Arean av en cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.3 Cirkelbåge och cirkelsektor . . . . . . . . . . . . 108 4.4 Tredimensionella objekt . . . . . . . . . . . . . . . 111

184

1 Resan till Mars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 2 Tärningen är kastad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 3 Hoverboard vs kickbike

. . . . . . . . . . . . . . . .

187

4 Robotgräsklipparen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5 När får Tilde sin cykel? . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

4.5 Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.6 Enheter för volym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.7 Cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.8 Kon och pyramid

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LÄXOR

190

121

4.9 Problemlösning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Kapiteldiagnos

KAPITEL 7

Läxa 1–15

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191

126

Tillämpa förmågorna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Ledtrådar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Träna mera

132

Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

135

Begrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Bildförteckning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fördjupning

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

40694775_mondo8.indb 5

2016-11-29 09:47

KAPITEL 1

Tal och tals användning

6 Kapitel 1 | Tal och tals användning

40694775_mondo8.indb 6

2016-11-29 09:47

PROBLEMLÖSNING

BEGREPP

METOD M RESONEMANG R KOMMUNIKATION K

CENTRALT INNEHÅLL • Negativa tal • Talsystemets utveckling från naturliga tal till reella tal • Potensform för att uttrycka små och stora tal • Prefix och gällande siffror • Rimlighetsbedömning vid uppskattning och beräkning

SIDORNA 30–33

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA I PROJEKT Coacha Ilo Tänk som en dator Finns tomten?

GRUPPUPPGIFT

Temperatur kan mätas i olika enheter. I Sverige använder vi celsiusskalan (°C). Det var Anders Celsius (1701–1744) som uppfann den. Han använde sig av två referenspunkter för att bestämma temperaturskalan: vattnets kokpunkt och fryspunkt. Han bestämde att vattnet frös vid 100 °C och kokade vid 0 °C. Det var först efter hans död som skalan vändes. Vad skulle temperaturerna nedan motsvara med celsiusskalan innan den vändes? Rumstemperatur Kroppstemperatur Absoluta nollpunkten Smältpunkt volfram

20 °C 37 °C −273 °C 3 322 °C

Tal och tals användning | Kapitel 1

40694775_mondo8.indb 7

2016-11-29 09:47

GRUNDKURS

1.1 NEGATIVA TAL Negativa tal är tal som är mindre än noll. Ett negativt tal och ett positivt tal med samma avstånd till noll kallas motsatta tal. Ett exempel är (−3) och 3. När två motsatta tal läggs ihop blir svaret noll, (−3) + 3 = 0. Talet noll är varken ett negativt tal eller ett positivt tal. –3 motsatt tal till 3 Negativa tal

Positiva tal

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 Talen blir mindre Talen blir större

För att ange negativa tal och för räknesättet subtraktion används samma tecken. För att markera vilket det är, sätts ofta en parentes runt negativa tal. Runt positiva tal sätts varken tecken eller parentes. Negativa tal (−8), (−120) eller (−3,56) Subtraktion med positivt tal 45 − 25 Subtraktion med negativt tal 100 − (−34) EXEMPEL

Temperaturer under 0 °C skrivs som negativa tal. a) Vilken temperatur visar termometer A om temperaturen minskar med 6 °C?

Svar: −2 °C

b) Vilken temperatur visar termometer B 30 30 30 30 om temperaturen 20 20 med 20 8 °C? 20 ökar

–10

Svar: 3 °C –10

–10

8 Kapitel 1 | Tal och tals användning

40694775_mondo8.indb 8

2016-11-29 09:47

GRUNDKURS NIVÅ 1

10 Vilka tal är markerade på tallinjen?

1 Ordna talen efter storlek. Börja med det minsta.

−23 12 −34 0 29 –0,6 –0,4 –0,2 0 0,2 0,4 0,6

2 Vilket tal är det motsatta talet till

a) −5

b) 74

c) −28

3 Rita en tallinje från −5 till 5. Markera talen

A 4,5

B −2

C −3,5

4 Titta på tallinjen.

11 Hur stor är temperaturskillnaden mellan −3 °C och 3 °C? 12 Sara gick för att handla byxor men hon hade 200 kr för lite.Vad kostade byxorna om hon hade 285 kr med sig?

NIVÅ 3 13 Ordna talen efter storlek. Börja med det minsta.

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7

14 Vilket tal ligger precis mitt emellan

Hur långt är det mellan

a) A och B

b) B och C

3,45 3,5 −3,56 −3,6 0

c) A och C

5 En termometer visar −8 °C. Vad visar termometern om temperaturen a) ökar med 6 °C b) minskar med 2 °C 6 En termometer visar 4 °C. Vad visar termometern om temperaturen a) ökar med 8 °C b) minskar med 7 °C NIVÅ 2 7 Ordna talen efter storlek. Börja med det minsta.

a) −4 och −3

b) −2,6 och −2,5

15 Nathnael har satt in totalt 475 kr på bank kontot. Han vill ta ut mer pengar men då skulle saldot visa −60 kr. Hur mycket vill han ta ut? 16 Ett av Rysslands högsta berg Elbrus är 5 642 m över havet. Marianergraven i Stilla havet är 11 034 m djup. Hur stor är höjdskillnaden? 17 De olympiska spelen startade 776 f.Kr. och höll på till 394 e.Kr. då det förbjöds för att sedan starta igen 1896. Hur länge höll OS på i första omgången?

−2,3 0 5,1 5,03 −2,34 8 Vilket tal är det motsatta talet till

a) −45

b) 23

c) −1

9 Vilka är nästa tal i talföljden? a) 20 15 10 5 ___ ___ ___ b) −5,6 −5,4 −5,2 ___ ___ ___

18 Den högsta temperaturen i Sverige har mätts upp till 38,0 °C i Ultuna och lägsta temperaturen till −52,6 °C i Vuoggatjålme. Hur stor är temperaturskillnaden? Tal och tals användning | Kapitel 1 9

40694775_mondo8.indb 9

2016-11-29 09:47

GRUNDKURS

1.2 ADDITION OCH SUBTRAKTION MED NEGATIVA TAL Vid addition med ett positivt tal förflyttar vi oss åt höger på tallinjen. Talets värde ökar. (−3) + 5 = 2, t.ex. temperaturen är −3 °C och ökar 5 °C. Vid subtraktion med ett positivt tal förflyttar vi oss åt vänster på tallinjen. Talets värde minskar. 2 − 6 = −4, t.ex. temperaturen är 2 °C och minskar 6 °C.

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7

Hur gör vi vid addition och subtraktion med negativa tal? Addition ger följande mönster:

Subtraktion ger följande mönster:

5+2=7 5+1=6 5+0=5 5 + (−1) = 4 5 + (−2) = 3

5−2=3 5−1=4 5−0=5 5 − (−1) = 6 5 − (−2) = 7

(−5) + 2 = (−3) (−5) + 1 = (−4) (−5) + 0 = (−5) (−5) + (−1) = (−6) (−5) + (−2) = (−7)

(−5) − 2 = (−7) (−5) − 1 = (−6) (−5) − 0 = (−5) (−5) − (−1) = (−4) (−5) − (−2) = (−3)

Av ovanstående exempel ser vi att t.ex. additionen 5 + (−2) ger samma resultat som subtraktionen 5 − 2. Addition med ett negativt tal blir subtraktion.

a + (−b) = a – b (−a) + (−b) = (−a) – b

Av ovanstående exempel ser vi att t.ex. subtraktionen (−5) − (−2) ger samma resultat som additionen (−5) + 2. Subtraktion med ett negativt tal blir addition.

a − (−b) = a + b (−a) − (−b) = (−a) + b

GRUPPUPPGIFT

Linnea säger att minus och minus blir plus. Jenny undrar varför (−2) − 2 = −4. Hon tycker att det borde vara (−2) − 2 = 0. Hjälp Jenny att förstå hur det ligger till.

Kapitel 1 | Tal och tals användning

40694775_mondo8.indb 10

2016-11-29 09:47

GRUNDKURS NIVÅ 1

29 Sätt in tecken så uttrycken blir lika

Beräkna

a) 3

c) 24 − 35

b) (−6) − (−8)

c) (−11) + 9

30 Mustafa har (−300) kr på sitt bankkonto och måste därför sätta in lite extra pengar. Hur mycket har han på kontot efter att han satt in 900 kr?

19 a) 5 − 7

b) 15 − 12

20 a) 8 + (−7) b) (−7) + 7

21 a) (−5) − 12 b) (−3) + (−7) c) (−4) + (−8) 22 a) 2 − (−5) b) (−8) − (−6) c) 5 − (−14) 23 Gloria står på en 3 m hög klipphylla och tittar ner i vattnet där det är 4 m djupt. Hur många meter är det från klipphyllan ner till botten?

(−4) = (−2)

7 = 12 + (−17)

31 En dag var det −5 °C i Funäsdalen och −48,9 °C i Hemavan. Hur många graders skillnad var det mellan orterna?

NIVÅ 3 Beräkna 32 a) 0,2 − 9,7 b) (−21,4) − 3,02 33 a) 11,4 + (−2,7) b) (−6,1) + 3,6 34 a) (−21,2) − 46 + (−8,4) b) (−10,4) + (−71,2) + (−0,23) 35 a) 1,32 − (−7,15) − (−57,3) b) (−0,5) − (−2,45) − (−92,7) 24 En termometer visar −9,5 °C.Vad visar termometern om temperaturen ökar 3,5 °C?

36 Sätt in tecken så uttrycken blir lika a) (−2,5)

NIVÅ 2 Beräkna 25 a) 2 − 9

b) (−15) − 19

26 a) 8,4 + (−7)

b) (−4,5) + 3,5

27 a) (−2,1) − 16

b) (−8,4) + (−1,7)

28 a) 2,22 − (−2,5)

b) (−8,3) − (−6,3)

(−4) + 5 = 7,5 − (−9)

b) 46 − (−24)

74,3 = 22,3

(−17)

18 9,6

37 Under en vecka var medeltemperaturen −5 °C. De sex första dagarna hade temperaturerna 3 °C, 0 °C, −9 °C, −3 °C, −6 °C och −12 °C. Vilken temperatur var det den sista dagen? 38 Evelina ska förklara för sin lillebror vad skillnaden är när det finns minustecken framför ett tal (−7) och mellan två tal, 8 − 7. Vad ska Evelina säga? Tal och tals användning | Kapitel 1 11

40694775_mondo8.indb 11

2016-11-29 09:47

GRUNDKURS

1.3 MULTIPLIKATION OCH DIVISION MED NEGATIVA TAL Vad som gäller för multiplikation med negativa tal kan visas med följande mönster: 2·4=8 1·4=4 0·4=0 (−1) · 4 = (−4) (−2) · 4 = (−8)

2 · (−4) = (−8) 1 · (−4) = (−4) 0 · (−4) = 0 (−1) · (−4) = 4 (−2) · (−4) = 8

(−a) · b = (−ab) Produkten av ett negativt tal och ett positivt tal blir negativ. a · (−b) = (−ab) (−a) · (−b) = ab Produkten av två negativa tal blir positiv.

Vad som gäller för division med negativa tal kan visas med hjälp av vad vi vet om multiplikation: 24 = 4 för att 4 · 6 = 24 6

a =c b a = (−c) ( −b ) Kvoten av ett negativt tal och ett positivt tal blir negativ. ( −a ) = (−c) b ( −a ) =c Kvoten av två negativa tal blir positiv. ( −b )

24 = (−4) för att (−4) · (−6) = 24 ( −6) ( −24) = (−4) för att (−4) · 6 = (−24) 6 ( −24) = 4 för att 4 · (−6) = (−24) ( −6)

En minnesregel för multiplikation och division med negativa tal är att lika tecken ger ett positivt svar och olika tecken ger ett negativt svar.

GRUPPUPPGIFT

Vilken bokstav visar ett ungefärligt svar på C a) A · C b) A · E c) d) Gör egna uppgifter och byt med varandra. D

C D

–3 –2 –1 0 1 2 3

12 Kapitel 1 | Tal och tals användning

40694775_mondo8.indb 12

2016-11-29 09:47

GRUNDKURS NIVÅ 1

Beräkna

39 Beräkna

48 a)

a) (−3) · 5

b) 8 · (−7)

c) (−5) · (−12)

( −69) ( −3)

( −169) 13

( −0,36) ( −6)

40 Vilket tal saknas?

49 a) (−4) · (−8) · (−3)

a) 4 · ___= (−20)

b) ___ · 9 = (−99)

50 Tabellen visar temperaturen under en vecka. Vad blir medeltemperaturen under veckan?

c) (−4) · (−20) = ___

41 Beräkna 28 a) 7

mån

63 ( −9)

( −36) 4

a) (−5) · (−10) · 2

fre

lör

sön

45 Beräkna a) (−13) · 5 b) 8 · (−27) c) (−8) · (−12)

46 Vilka beräkningar blir lika mycket?

47 Vilket tal saknas?

a) 121 ∕ ___ = 11

b) ___ ∕ (−0,7) = 9

c) (−360) ∕ ___ = 45

Beräkna 51 a) (−3,2) · (−8) b) 8,1 · (−0,3) c) (−5) · (18)

53 a)

( −24) ⋅ 3 ( −8)

( −24) 12 ⋅ 4

54 a) (−6) · (−8) · (−3) · 7 b)

14 ⋅ 6 ( −6)

( −7) ⋅ ( −10) ⋅ ( −0,2) ( −4)

55 Beräkna värdet av x · x − x · y om x = (−6) och y = 4.

NIVÅ 2

1 (−2,5) · (−10) 2 (−41) · 9 3 (−8) · (−700) 4 7 · (−21)

NIVÅ 3

b) 7 · (−10) · 2

44 Temperaturen sjunker under en natt med 2 °C varje timme mellan kl. 02.00-06.00. Vad visar termometern kl. 06.00 om den visade 4 °C kl. 02.00?

tors

52 a) (−4,2) · 3 · 3 b) (−0,4) · 20 · (−2)

43 Beräkna

ons

2 °C −3 °C −1 °C 6 °C 4 °C 0 °C −1 °C

42 Ange om svaret blir positivt eller negativt. ( −24) ( −24) 144 a) b) c) ( −8) 12 6

tis

b) (−11) · (−3) · 5

A 49 · (−3) B 3 · (−123) C (−5) · (−5) D 4 · 1 400

b b 56 Beräkna värdet av a · a · a + · 2 2 om a = (−4) och b = 6. 57 Du ska göra en undersökning av tre på varandra följande negativa tal. a) Beräkna summan av talen (−4), (−3) och (−2). b) Välj tre andra på varandra följande negativa tal och beräkna summan. c) Jämför summan med talen du hade från början.Vilket samband hittar du? d) Använd sambandet och beräkna summan av (−41), (−40) och (−39).

Tal och tals användning | Kapitel 1 13

40694775_mondo8.indb 13

2016-11-29 09:47

GRUNDKURS

1.4 UTTRYCK MED BLANDADE RÄKNESÄTT För att skilja ett tecken som betecknar talets värde från ett operationstecken sätts negativa tal inom parentes.Vid beräkningar med blandade räknesätt följs samma prioriteringsregler som vid beräkningar med positiva tal. Om du vill ändra ordning på talen i beräkningen måste du även flytta med tecknet. Tecknet framför hör ihop med siffran bakom. EXEMPEL 1

Beräkna (−4) − 5 − (−3) + 8 −4 − 5 + 3 + 8 −9 + 11 = 2

Prioriteringsregler Ta bort parenteser och ändra tecken. Beräkna.

1. Parenteser 2. Multiplikation och division 3. Addition och subtraktion

EXEMPEL 2

Beräkna

( −12) 2 5 + (−12) − (−6) 5 − 12 + 6 11 − 12 = (−1)

5 + (−4) · 3 −

Beräkna multiplikation och division först. Ta bort parenteser och ändra tecken. Beräkna.

GRUPPUPPGIFT

Ni behöver: Två tärningar Kom så nära noll som möjligt! Varje spelare skriver av tabellen. Slå tärningarna och skriv in resultatet på valfri plats i uttrycket efter respektive omgång. Den som är närmast noll efter sex omgångar har vunnit. Omgång 1 2 3 4 5 6

Uttryck ___ + (−___ ) ___ · (− ___ ) ___ · ___ (− ___ ) − (− ___ ) ___ · ___ ___ + (−___ ) Summa

Värde

Kapitel 1 | Tal och tals användning

40694775_mondo8.indb 14

2016-11-29 09:47

GRUNDKURS NIVÅ 1

NIVÅ 3

Beräkna

68 Beräkna

58 a) 4 + 6 · 7 b) (4 + 6) · 7

a) 4 + (−8) · 4 − 32 ∕ (−8) b) 5 · (−5) + 28 − (−36)

59 a) 4 · 7 − 8 b) (4 − 3) · 23

69 Beräkna

60 a) (−5) + 2 · (−2) b) (7 + (−3)) · 5 61 a) 56 ∕ (−8) + (−9) b) (−36) ∕ (−4) − (−12) 62 Sätt ut plus eller minus i rutorna så att resultatet blir a) så stort som möjligt b) så litet som möjligt

−7−8

− 13

NIVÅ 2 Beräkna

a) 800 − 6 · (−7) + (−670) b) 1,5 + 0,5 · (−3) − (−1,8) ∕ 6 70 Beräkna a) (−0,2) · (−50) + 3,5 ∕ (−0,5) + 2,5 ∕ 0,25 b) 1,6 · (−2) + 36 ∕ (−9) − (−2,8) ∕ (−0,7) 71 Beräkna värdet av uttrycket när x = (−3), y = 3 och z = (−5) a) 2x + y − z b) z − x · y

c) x(x − y) + z

72 Talen 0,2; (−50); 7,5; (−0,5) ska placeras i rutorna så att resultatet blir a) så stort som möjligt b) så litet som möjligt

−

∕

63 a) 3,4 + 0,6 · 9 b) (4,7 + 6) · (−3) 64 a) (−8) · 7 − 8 b) (0,4 − (−0,3) · 20 65 a) (−24) ∕ 6 + 3 · (−6) b) 11 · (4 − (−7)) 66 a) (−72) ∕ (−8) + (−7,5) b) (− 36) ∕ 6 − (−12) 67 Beräkna värdet av uttrycket

(a − c) · b ∕ a om a = 5, b = −5 och c = −10

Tal och tals användning | Kapitel 1

40694775_mondo8.indb 15

2016-11-29 09:47

GRUNDKURS

1.5 POTENSER Potenser är ett sätt beskriva en upprepad multiplikation. Multiplicera basen det antal gånger exponenten anger, t.ex. 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 9 · 9 = 81 EXEMPEL 1

Skriv i potensform a) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35 b) (−1) · (−1) · (−1) = (−1)

exponent

bas

c) 0,5 · 0,5 = 0,52

”Tre upphöjt till fyra”

EXEMPEL 2

Beräkna a) 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 9 · 9 · 3 = 81 · 3 = 243 b) (−1)3 = (−1) · (−1) · (−1) = −1 c) 0,52 = 0,5 · 0,5 = 0,25

Om exponenten är 1 blir alltid värdet av potensen detsamma som basen. T.ex. 51 = 5 eller 0,31 = 0,3 Om exponenten är 0 och blir värdet alltid 1 oberoende av basens storlek. T.ex. 60 = 1 eller 0,20 = 1

GRUPPUPPGIFT

Algot hävdar att om man utgår från två tal och använder det ena som bas och det andra som exponent så är alltid resultatet störst om det största talet är bas. T.ex. 32 > 23. Har Algot rätt?

3 > 2

16 Kapitel 1 | Tal och tals användning

40694775_mondo8.indb 16

2016-11-29 09:47

GRUNDKURS NIVÅ 1

80 a) Skriv av och gör färdigt tabellen. Fortsätt undersökningen tills du ser ett mönster.

73 Skriv en potens där

(−10)1 = (−10)2 = (−10)3 = (−10)4 = …

a) basen är 3 och exponenten är 5 b) basen är 0,5 och exponenten är 3 74 Skriv som en potens a) 10 · 10 · 10 b) 10 · 10 · 10 · 10 c) 10 · 10 · 10 · 2 · 5

b) Beskriv mönstret med ord. x

75 Beräkna

81 Utgå från 10 .Vad kan x ha för värde för att potensens värde ska bli

a) 32 + 23 b) 53 − 33

76 Bestäm x om

82 Bestäm x om

a) 3 = 27 x b) 6 = 36 x c) 2 = 64

b) x 2 = 1

c) x 3 = −1

83 Beräkna

a) 10

b) 1

c) 0,1

a) (−3)2

b) −(3)2

84 Beräkna

NIVÅ 2 78 Beräkna

a) x 2 = 9

NIVÅ 3

77 Beräkna

a) större än tiotusen b) mindre än ett tusen

a) 23

b) 0,32

c) 0,30

79 Vilken väg ger den största summan? a) A + C eller A + D b) B + E eller B + F c) A + C eller B + E

A 32

B 2

a) (−5)2 + (− 4)2 b) (−10)2 + (−10)2 −102

85 Skriv två potenser som har produkten

a) 36

b) −36

86 Beräkna värdet för uttrycket x 2 + y 2 − z 2 om

C 36

a) x = 5, y = 8 och z = 4 b) x = (−3), y = (−2) och z =(−1)

D 63

87 Använd talen i tabellen för att beräkna

E 25

F 52

125 · 3 125 som en potens av 5. 51 5

52 25

53 125

54 625

55 3 125

Tal och tals användning | Kapitel 1 17

40694775_mondo8.indb 17

2016-11-29 09:47

GRUNDKURS

Räkna med potenser Vid addition och subtraktion med tal i potensform måste potenserna beräknas först. (Jämför med prioriteringsreglerna. Multiplikation går före addition respektive subtraktion.) EXEMPEL 1

Beräkna a) 34 + 24 = (3 · 3· 3 ·3) + (2 · 2 · 2 · 2) = 81 + 16 = 97 b) 34 − 24 = (3 · 3 · 3 ·3) − (2 · 2 · 2 · 2) = 81 − 16 = 65

Om potenserna har samma bas finns det enkla sätt att tänka när man ska räkna multiplikation och division med potenser.

Multiplikation med samma bas EXEMPEL 2

Beräkna 23 · 24 = (2 · 2 · 2 ) · (2 · 2 · 2 · 2) = 27 Vid multiplikation av potenser med samma bas adderas exponenterna. 23 · 24 = 23 + 4 = 27

Division med samma bas EXEMPEL 3

Beräkna 75 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = = 72 73 7⋅7⋅7 Vid division av potenser med samma bas subtraheras exponenterna. 75 = 75 − 3 = 72 73

Multiplikation och division med olika baser Eftersom baserna är olika fungerar inte räknereglerna för potenser. Då måste potenserna beräknas först. EXEMPEL 4

Beräkna

Räkneregler för potenser Multiplikation: a m · a n = a m + n am Division: n = a m − n a

52 · 23 = (5 · 5 ) · (2 · 2 · 2) = 25 · 8 = 200

18 Kapitel 1 | Tal och tals användning

40694775_mondo8.indb 18

2016-11-29 09:47

GRUNDKURS NIVÅ 1 88

98 Selma gjorde följande beräkning

Fem snabba om potenser

Nej

a) 32 = 6

52 · 23 = 52 + 3 = 55.

b) 42 = 4 · 4 = 16

Hon förstår inte varför uppgiften blir fel. Förklara så att Selma förstår.

c) 23 = 2 · 3 = 6 99 Beräkna värdet av uttrycket x 3 + x 2 + x1 om x är

d) 23 = 2 · 2 · 2 = 8 e)

44 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 42 4 ⋅4

89 Beräkna i potensform 1014 a) 34 · 38 b) 108

a) 23 + 52

c) 25 − 32

c) 44 · 44 · 44

b) 32 · 25 53 d) 2 5

92 Hur många faktorer av talet 3 måste du ta för att få talet a) 9

b) 27

c) 10

100 Vilket värde har x och y för att likheten ska gälla då x = 2y? 10 x = 1010 10 y 101 Använd tabellen till att uttrycka värdet som en potens av 4.

91 a) 23 · 52 − 32 b) 32 · 25 + 32

b) 3

NIVÅ 3

90 Beräkna

a) 2

a) 4 ·16 b) 256 · 4 096 c) 256 ·16 · 1 024

41 4

c) 81

42 16

43 64

44 256

45 1 024

46 4 096

93 Vad är summan av potenserna 43, 42, 41 och 40? 102 Beräkna

NIVÅ 2 Beräkna i potensform 22 ⋅ 22 ⋅ 22 3 2 ⋅ 39 94 a) b) 22 35

2010 c) 20 2 ⋅ 204

95 Beräkna a) 82 − 23

b) 104 − 102 c) 43 + 43

96 Beräkna 36 om 35 = 243. 97 Vilket tal ska stå istället för x? x

a) 3 = 1 x b) 10 − 24 + 52 = 1 009

a) 52 + 72

b 43 − 27 − 82

103 Beräkna i potensform 810 810 a) 9 b) 10 8 8

810 c) 11 8

104 Beräkna i potensform 7 7 ⋅ 39 39 ⋅ 7 8 a) 5 7 b) 5 3 5 7 ⋅3 ⋅3 3 ⋅7 105 Bevisa att ett tal upphöjt till 0 alltid är lika med 1. Använd räknereglerna för potenser. 106 Beräkna 47 om 46 = 4 096 Tal och tals användning | Kapitel 1 19

40694775_mondo8.indb 19

2016-11-29 09:47

GRUNDKURS

1.6 TIOPOTENSER OCH GRUNDPOTENSFORM Tiopotenser Potenser med basen 10 är av speciell betydelse. Det beror på att vårt talsystem grundar sig på multiplar av 10. T.ex. 1 000 = 10 · 10 · 10 = 103 Vi kan använda tiopotenser för att enklare skriva stora tal utan att skriva ut alla nollor. Tiotusental 10 000 10 · 10 · 10 · 10 104

Tusental 1 000 10 · 10 · 10 103

Hundratal 100 10 · 10 102

Tiotal 10 10 101

Ental 1 1 100

Grundpotensform Alla tal som vi använder i vårt talsystem kan skrivas som multiplar av 10. T.ex. 480 = 400 + 80 = 4 · 100 + 0,8 · 100 = 4 · 102 + 0,8 · 102 = 4,8 · 102 Ett tal i grundpotensform är ett tal mellan 1 och 10 multiplicerat med en tiopotens. Tiotusental 40 000 4 · 10 · 10 · 10 · 10 4 · 104

Tusental 4 000 4 · 10 · 10 · 10 4 · 103

Hundratal 400 4 · 10 · 10 4 · 102

Tiotal 40 4 · 10 4 · 101

Ental 4 4·1 4

EXEMPEL

Skriv i grundpotensform a) 900

b) 940

a) 900 = 9,00 · 102 = 9 · 102 b) 940 = 9,40 · 102 = 9,4 · 102

c) 944 c) 944 = 9,44 · 102 = 9,44 · 102

GRUPPUPPGIFT

Ni behöver: Millimeterrutat papper 1. Rita en rektangel som har arean

a) 100 rutor b) 101 rutor c) 102 rutor d) 103 rutor

2. Diskutera! Hur många pappersark behövs för att rita en rektangel som har arean

a) 104 rutor b) 1010 rutor

20 Kapitel 1 | Tal och tals användning

40694775_mondo8.indb 20

2016-11-29 09:47

GRUNDKURS NIVÅ 1 107 Skriv som tiopotens.

a) 100 b) 10 000

c) 1 000 000

NIVÅ 3

108 Skriv i grundpotensform.

a) 300

b) 320

c) 324

109 En miljard skrivs som en 1:a följt av nio nollor. Skriv en miljard som en tiopotens. 110 Skriv i grundpotensform.

a) 5 600

b) 56 000

111 Skriv utan potens.

117 Solen är en stjärna som befinner sig mitt i vårt solsystem. Den bildades för 4,6 miljarder år sedan. Skriv solens ålder i grundpotensform.

a) 3,1 · 104 b) 3,1 · 106 c) 3,11 · 106

118 Vilka av talen hör ihop?

Luxemburg Norge Sverige Brasilien Indonesien

169 950 108 050 87 540 26 270 10 020

120 Skriv i grundpotensform.

113 Skriv talen utan potens. a) 103

A 9 · 101 B 9 · 100 C 9 · 104 D 9 · 105 E 9 · 103

Årliga kostnaden för utbildning per elev Land Kostnad i kr

Avstånd (km) 1,5 · 108 1,43 · 109 4,5 · 109

NIVÅ 2

900 000 90 9 9 000 90 000

119 Skriv de olika ländernas kostnad för utbildning i grundpotensform. Avrunda faktorn före tiopotensen till en decimal.

112 Tabellen visar avståndet från solen till andra objekt i universum. Skriv avstånden utan potens.

Objekt Tellus (Jorden) Saturnus Neptunus

1 2 3 4 5

b) 104

c) 106

a) tre miljoner sexhundratusen b) femtiosextusen tvåhundra

121 Utgå från talet 3,78 · 106.Vilket tal är 114 Skriv i grundpotensform.

a) 90 000

b) 900 000 c) 9 000 000

115 Skriv i grundpotensform.

a) 2 500

b) 12 300

c) 345 000

a) 100 gånger större b) 100 gånger mindre c) dubbelt så stort d) hälften så stort

122 a) År 1750 var antalet män i 20-årsåldern (i Sverige) 80 000. Skriv antalet i grundpotensform.

116 Sätt ut rätt tecken >, < eller =.

a) 4 000 000 4,0 · 107 b) 8,5 · 103 8 500 c) 920 9,2 · 101 d) 2 222 2,222 · 103

b) År 2014 var antalet män 350 000. Skriv antalet i grundpotensform.

c) Hur många gånger fler män i 20-årsåldern fanns det 2014 jämfört med 1750? Avrunda till en decimal.

Tal och tals användning | Kapitel 1 21

40694775_mondo8.indb 21

2016-11-29 09:47

GRUNDKURS

Stora och små tal samt prefix Till sin absoluta fördel kommer tiopotenser då det gäller verkligt stora eller små tal. Hanteringen av talen blir mycket lättare om vi uttrycker dem som tiopotenser eller med hjälp av så kallade prefix. Prefix

Förkortas

Tiopotens 12

Förklaring

Exempel

Biljon. Från grekiska téras som betyder monster.

1 TW = 1 000 000 000 000 W (terawatt)

tera

giga

109

Miljard. Från grekiska gígas som betyder jätte.

1 GHz = 1 000 000 000 Hz (gigahertz)

mega

106

Miljon. Från grekiska mégas som betyder stor.

1 MJ = 1 000 000 J (megajoule)

kilo

103

Tusen. Från grekiska khílioi som betyder tusen.

1 kg = 1000 g (kilogram)

hekto

102

Hundra. Från grekiska hekatón som betyder hundra.

1 hg = 100 g (hektogram)

deka

101

Från grekiska déka som betyder tio.

Används sällan

Tiondel. Från latin decem som betyder tio.

1 dm = 0,1 m (decimeter)

−1

deci

centi

10−2

Hundradel. Från latin centum som betyder hundra.

1 cm = 0,01 m (centimeter)

milli

10−3

Tusendel. Från latin mille som betyder tusen.

1 mm = 0,001 m (millimeter)

mikro

10−6

Miljondel. Från grekiskan míkros som betyder liten.

1 μm = 0,000 001 m (mikrometer)

nano

10−9

Miljarddel. Från grekiskan nánon som betyder dvärg.

1 nm = 0, 000 000 001 m (nanometer)

Även små tal kan alltså skrivas som tiopotenser eller med hjälp av prefix. Ett tal som är mindre än 1 har negativ exponent. 1 1 1 1 1 1 = 0,1 10−2 = 2 = = 0,01 10−3 = 3 = = 0,001 10−1 = 1 = 10 10 10 100 10 1000 EXEMPEL

Skriv i grundpotensform a) 0,01

b) 0,000 2

c) 0,000 34

a) 0,01 = 1 · 10−2

b) 0,000 2 = 2 · 10−4

c) 0,000 34 = 3,4 · 10−4

22 Kapitel 1 | Tal och tals användning

40694775_mondo8.indb 22

2016-11-29 09:47

GRUNDKURS NIVÅ 1

NIVÅ 3

123 Skriv i grundpotensform.

136 Hur många gånger större är 1 TW än 1 MW?

a) 33 000

b) 21 000 000

137 Gör om enheterna

124 Skriv i grundpotensform.

a) 2 km

b) 23 MJ

c) 4 GHz

a) 89 kg till g b) 16 TW till kW c) 20 GHz till MHz

125 Hur många hertz går det på 1 MHz?

138 Vår galax,Vintergatan, roterar kring sitt eget centrum på 250 miljoner år.

Skriv i grundpotensform.

a) Skriv tiden i grundpotensform. b) Skriv tiden med lämpligt prefix.

126 a) 0,000 3

b) 0,000 007

127 a) 0,002 4

b) 0,000 000 83

128 Skriv i grundpotensform.

a) 2 nm

b) 2,3 dm

c) 35 cm

129 Hur många mikrometer går det på en meter?

NIVÅ 2 130 Ersätt tiopotenserna med lämpligt prefix.

a) 7 · 103 g b) 6,6 · 106 m c) 107,5 · 106 Hz d) 1,5 · 1013 W

131 Ljuset hastighet i luft är 300 000 km/s. Gör om till m/s. Skriv i grundpotensform.

139 En bakterie har ungefär diametern 200 nm. Ett virus är hundra gånger mindre. Skriv diametern i grundpotensform för

a) en bakterie

b) ett virus

140 Enheten för atommassa anges i atommass enheten u. 1u ≈ 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 660 540 kg. Det motsvarar ungefär massan hos en proton eller neutron Skriv protonens massa i grundpotensform. Avrunda faktorn före tiopotensen till en decimal. 141 Plastfolie till höbalar har tjockleken 21 μm. Hur många lager kan du lägga ovanpå varandra för att få 1 cm?

132 Hur många kJ går det på 0,25 MJ? 133 Vilka av talen ger en negativ exponent om de uttrycks i grundpotensform?

A −300 B 0,03 C 300 D −0,03

134 Ersätt tiopotenserna med lämpligt prefix

a) 5,5 · 10−6 Hz c) 5 · 106 pixlar

b) 4,5 · 10−9 m d) 50,5 · 10−3 g

135 Hur många mm går det på 1 km? Använd dig av prefixens betydelse då du besvarar frågan. Tal och tals användning | Kapitel 1 23

40694775_mondo8.indb 23

2016-11-29 09:47

GRUNDKURS

1.7 RÄKNA MED TIOPOTENSER Multiplikation med tiopotenser

Division med tiopotenser

EXEMPEL 1

EXEMPEL 2

Beräkna och svara i grundpotensform 7

Beräkna och svara i grundpotensform

4 · 10 · 2 · 10 = 4 · 2 · 10 · 10 = = 8 · 107 + 4 = 8 · 1011

4,4 ⋅ 107 4,4 · 107 − 4 = 2 · 103 4 = 2,2 2,2 ⋅ 10

Multiplikation med tiopotenser med negativ exponent

Division med tiopotenser med negativ exponent

EXEMPEL 3

EXEMPEL 4

Beräkna och svara i grundpotensform 7

−4

4,5 · 10 · 2 · 10 = 4,5 · 2 · 10 · 10 = = 9,0 · 107 + (− 4) = 9,0 · 107 − 4 = 9 · 103

Beräkna och svara i grundpotensform 7,5 ⋅ 105 7,5 · 105 – (−4) = 3 · 105 + 4 = 3 · 109 −4 = 2,5 2,5 ⋅ 10

Addition och subtraktion med tiopotenser EXEMPEL 5

Beräkna och svara i grundpotensform 4 · 105 + 2 · 104 − 3 · 103 = 400 000 + 20 000 – 3 000 = 417 000 = 4,17 · 105

GRUPPUPPGIFT

Vilka påståenden stämmer? Påstående

Ibland

Nej

a) Produkten av två potenser med samma bas kan beräknas enligt räknereglerna för potenser. b) Division med en tiopotens där exponenten är mindre än noll ger en tiopotens med positiv exponent. c) En potens med exponenten 0 är lika med summan av talets bas och exponenten. d) En potens med exponenten 0 är lika med 1. e) Multiplikation med en tiopotens där exponenten är mindre än noll ger en tiopotens med positiv exponent.

24 Kapitel 1 | Tal och tals användning

40694775_mondo8.indb 24

2016-11-29 09:47

GRUNDKURS NIVÅ 1 Beräkna och svara i grundpotensform. 142 a) 3 · 1010 · 2 · 109 b) 8 · 105 · 5 · 106 143 a) 3 · 103 + 2 · 102 b) 3 · 103 − 2 · 102

9,0 ⋅ 108 b) 1,5 ⋅ 10 3

8 ⋅ 109 144 a) 2 ⋅ 105 3

145 Utgå från talet 3 · 10 . Skriv i grundpotensform det tal som är

a) ett hundra gånger större b) ett hundra gånger mindre c) hälften av talet

146 Beräkna och svara i grundpotensform.

a) 5 · 2 000 000

b) 4 · 2 · 10 000

147 Ungefär hur många gånger mer vatten finns det i Vänern än i Vättern?

Sjö Vänern Vättern

Volym (m3) 1,53 · 1011 7,8 · 1010

151 Mer än en miljon människor har åkt Vasaloppet sedan starten 1922. Loppet är 90 000 m långt.

a) Ungefär hur många km har åkts sammanlagt i Vasaloppsspåren? Svara i grundpotensform.

b) Ett varv runt jorden är 40 000 km. Hur många varv runt jorden har man åkt sammanlagt?

152 En vattenmolekyl väger 3,0 · 10−26 kg. Hur många vattenmolekyler finns det i ett kg? Avrunda faktorn före tiopotensen till en decimal.

NIVÅ 3 Beräkna och svara i grundpotensform med en decimal. 8,5 ⋅ 105 7,8 ⋅ 10 −4 153 a) b) 4,25 ⋅ 10 −4 3,0 ⋅ 10 −8

NIVÅ 2

7,5 ⋅ 1012 ⋅ 3,0 ⋅ 104 3,6 ⋅ 10 −5 ⋅ 2,5 ⋅ 10 −4 154 a) b) 6,0 ⋅ 107 ⋅ 2,5 ⋅ 104 1,5 ⋅ 10 −15

148 Beräkna och svara i grundpotensform med en decimal.

155 a) 7,5 · 103 + 7,5 · 102 + 7,5 · 101 + 7,5 · 100

a) 6,4 · 10−7 · 4 · 107 b) 3,6 · 1012 · 1,9 · 10−7

149 Vilket tal ska stå istället för x? x a) = 3,0 · 1012 3,2 ⋅ 10 −9

10 3 ⋅ 10 3 =2 x

150 Beräkna och svara i grundpotensform med en decimal. 2,5 ⋅ 109 ⋅ 4,2 ⋅ 104 2 ⋅ 10 3 a) b) 5,25 ⋅ 106 8 ⋅ 10 −7

6 ⋅ 105 − 6 ⋅ 104 6 ⋅ 10 −3

156 År 2010 stod vattenkraften för 65 000 GWh av den totala elproduktionen i Sverige. Andelen ökade med 21 % till 2012. Hur mycket el producerades av vattenkraft 2012?

a) Svara i grundpotensform. b) Svara med lämpligt prefix.

157 Ljusets hastighet är 300 000 km/s. Ett ljusår är den sträcka ljuset färdas på ett år. Hur många km är ett ljusår? Tal och tals användning | Kapitel 1 25

40694775_mondo8.indb 25

2016-11-29 09:47

GRUNDKURS

1.8 BINÄRA TAL Decimalsystemet som vi använder är ett positionssystem som har basen 10. Det betyder att: • Vilket tal som helst kan skrivas med hjälp av våra tio siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. • Varje siffra i ett tal motsvarar en tiopotens. Värdet av siffran bestäms av siffrans position. 567 = 5 · 102 + 6 · 101 + 7 · 100 Under matematikens utveckling har det funnits många olika talsystem. Ett talsystem som har fått stor användning är det binära talsystemet. Datorer använder binära tal vid beräkningar. Det binära talsystemet är ett positionssystem som har basen 2. Det betyder att: • Vilket tal som helst kan skrivas med två siffror: 0 och 1. • Varje siffra i ett tal motsvarar en tvåpotens. Värdet av siffran bestäms av siffrans position. Talet 1012 läses ”ett noll ett basen två”. Den lilla tvåan talar om att det är skrivet i det binära talsystemet. Istället för tiopotenser skrivs nu talet med tvåpotenser. 1012 = 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 5 Värde i decimalsystemet Tvåpotens

128 27

64 26

32 25

16 24

8 23

4 22

2 21

1 20

EXEMPEL 1

Skriv 5 som tal i det binära talsystemet. 510 = 4 + 1 = 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 1012 EXEMPEL 2

Skriv 63 som tal i det binära talsystemet. 6310 = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20 =1111112 EXEMPEL 3

Beräkna 100112 + 1102 1

1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1

26 Kapitel 1 | Tal och tals användning

40694775_mondo8.indb 26

2016-11-29 09:47

GRUNDKURS GRUPPUPPGIFT

Skriv av och gör färdigt tabellen med talen 010 till 2010 i det binära talsystemet.

Decimalsystemet 0 1 2

Binära talsystemet 0 1 10

NIVÅ 1

NIVÅ 3

Skriv som tal i decimalsystemet.

168 Skriv som tal i decimalsystemet och beräkna.

158 a) 12

b) 112

c) 1112

159 a) 102

b) 1002

c) 10002

Skriv som tal i det binära talsystemet. 160 a) 2

b) 4

c) 8

161 a) 3

b) 5

c) 7

162 a) Vilket tal kommer efter 11112? b) Vilket tal kommer efter 111112?

NIVÅ 2 163 Skriv som tal i decimalsystemet. a) 1012

b) 1011012

c) 1101102

164 Beräkna och skriv som tal i decimalsystemet. a) 1012 · 112 b) 11112 · 112

Skriv som tal i det binära talsystemet. 165 a) 20

b) 30

c) 40

166 a) 57

b) 53

c) 59

167 Vilket är nästa tal i talföljden? Ange både i decimalsystemet och i det binära systemet. a) 112 ,1102 ,10012 , ___ b) 12 , 1002 , 10012 , ___

a) 1102 + 1102

b) 111112 + 1110112

169 Beräkna. Skriv svaret med binära tal. a) 110000002 ∕ 1002

b) 101012 ∕ 1112

170 När data ska lagras används mått i det binära talsystemet. Prefixen har då en annan betydelse än det vi lärt oss tidigare, t.ex. 1 kB = 210 byte = 1024 byte.

1 kB = 210 byte 1 MB = 220 byte 1 GB = 230 byte Hur många kB går det på a) 1 MB

b) 1 GB

171 Ett foto har storleken 4 MB. Hur många bilder kan sparas på ett minneskort med storleken 8 GB? 172 Man kan skriva tal med andra talbaser än 10 och 2. a) Hur skrivs 10010 med basen 5? b) Hur skrivs 20010 med basen 5? Tal och tals användning | Kapitel 1

40694775_mondo8.indb 27

2016-11-29 09:47

KAPITELDIAGNOS A NIVÅ 1-2

A5 Sätt ut plus eller minus så att resultatet blir

A1 Ordna talen efter storlek. Börja med det minsta.

a) så stort som möjligt b) så litet som möjligt

12 − 4 7 6 − 24

4 (−6) 1 (−8) 7,5

A2 Mats hoppar från en tremeterstrampolin. Hans fötter hamnar 3 m under vattenytan. Hur stor blir höjdskillnaden?

A6 Skriv som potens.

a) 3 · 3 · 3 · 3 b) 10 · 10 · 10

A7 Beräkna

a) 34 + 42 b) 65 · 64 A8 Skriv i grundpotensform. a) 6 000 000 b) 230 000

c) 0,004

A9 Skriv i grundpotensform. a) 300 kg b) 76 MHz c) 8 GW A10 Beräkna och svara i grundpotensform.

8 ⋅ 105 4 ⋅ 10 3

b) 5 · 103 · 4 · 106

c) 6 · 103 + 3 · 103 · 2 · 102

A11 Omvandla mellan talsystemen. a) 112 = ___ 10

A3 Beräkna

a) 3 + (−5) b) (−7) − (−8)

A4 Beräkna

a) (−9) · 4

( −36) ( −2)

b) 810 = ___ 2

A12 Självbedömning Skriv om du är säker, ganska säker eller osäker på lösningen för var och en av uppgifterna A1-A11.

28 Kapitel 1 | Tal och tals användning

40694775_mondo8_Kap01.indd 28

2016-11-29 14:48

KAPITELDIAGNOS B NIVÅ 2-3

B9 Hur många nm går det på 4 dm?

B1 Ordna talen efter storlek. Börja med det minsta.

0,7 (−0,6) 1,3 (−1,8) 1,05

B2 Temperaturen var en dag 7,5 °C. På natten sjönk temperaturen till −4,3 °C. Hur stor var skillnaden mellan dag och natt?

B11 Omvandla mellan talsystemen

B3 Beräkna

B10 Beräkna och svara i grundpotensform. 4 ⋅ 10 3 a) 8 ⋅ 10 −2 b) 5,2 · 10−3 · 5 · 107 c) 7 · 103 + 6 · 10−4 · 5 · 106

a) (−3,8) + (−2,7) b) (−9,1) − (−8,2) + 4,3

a) 11010112 = ___ 10

b) 5710 = ___ 2

B12 Självbedömning Skriv om du är säker, ganska säker eller osäker på lösningen för var och en av uppgifterna B1-B11.

B4 Beräkna

a) (−8) · 3 · (−2) b) (−56) ∕ (−2) − (−7) B5 Skriv som potens

a) 7 · 7 · 7 · 7 b) 0,1 · 0,1 · 0,1

B6 Beräkna

a) 63 + 52 b) (−2)5 · (−2)6

B7 Skriv i grundpotensform

a) 230 000 b) 0,0003

c) 0,00462

B8 Hjärtat slår ca 70 slag/min. Hur många slag slår det på en vecka? Svara i grundpotensform. Avrunda faktorn före tiopotensen till en decimal.

Tal och tals användning | Kapitel 1 29

40694775_mondo8.indb 29

2016-11-29 09:47

Tillämpa förmågorna

TILLÄMPA KAPITEL 1 FÖRMÅGORNA 2

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA

Här följer tre större uppgifter där ni under arbetets gång övar alla förmågorna i matematik: P PROBLEMLÖSNING B BEGREPP M METOD R RESONEMANG K KOMMUNIKATION

Uppgifterna varierar i storlek och kan ta allt ifrån en lektion till någon vecka. Ofta arbetar ni i grupp och hur ni redovisar bestämmer ni tillsammans med er lärare.

COACHA ILO Ilo behöver en PT! Hjälp till att coacha mot nya matematiska höjder. Det gick inte så bra på senaste matteprovet. Ilo vill att det ska gå bättre. Hjälp till att hitta vad som behöver tränas.

TÄNK SOM EN DATOR Dagens datorer kan göra otroligt komplicerade saker. Hur styr vi dem så att de gör det vi vill att de ska göra?

FINNS TOMTEN? Det är ett hektiskt liv att vara jultomte! Vissa vill hävda att jultomten finns. Andra hävdar motsatsen. Er uppgift är att hitta bevis för eller emot tomtens existens!

30 Kapitel 1 | Tal och tals användning

40694775_mondo8.indb 30

2016-11-29 09:47

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 1

COACHA ILO UPPGIFT

En åttondeklass någonstans i Sverige har haft sitt första matteprov. En av eleverna heter Ilo. Ilo har förstått en hel del, men några saker har Ilo missat. Er uppgift:

Bedömningen avser Rätt

Fel

Kommentar

B M

1. Rätta provet. 2. Fundera på hur Ilo tänkt när Ilo räknat uppgifterna. Rita av matrisen till höger och använd den för att kommentera provet.

3. Lyft fram minst två saker som Ilo är bra på.

4. Föreslå vad Ilo behöver träna på för att lära sig vad Ilo ännu inte behärskar. 5. Konstruera nya provuppgifter där Ilo kan visa sina nyvunna kunskaper.

Sammanlagd bedömning enligt ”Two stars and a Wish”.

ILOS SVAR

PROV ÅK 8 B Utgå från talet 3,78 · 106. Vilket tal är a) 100 gånger större

b) 100 gånger mindre

M Beräkna a) (−21,4) − 3,02 b) (−8) · (−700) c) 4 + (−8) · 4 – 32 ∕ (−8) P Hur många riskorn kommer det att ligga i sista rutan på ett schackbräde om du startar med ett korn i första rutan och sedan fördubblar antalet för varje ruta? Svara i potensform. K Michel adderar potenserna så här:

3 · 104 + 5 · 105 = 8 · 109 Förklara hur Michel har tänkt.

B) a) 378 · 10 6 b) 0,0378 · 10 6 M) a) 18,38 b) 5 600 c) 20 P) 8 · 8 = 64 => 2 64 K) Han har tänkt rätt med talet framför tiopotensen men inte räknat rätt med tiopotensen. R) 4 − (5) + 3 − (−2) = 14

R Sätt in talen −2, −5, 3, 4 så att svaret blir så stort som möjligt.

___ − ___ + ___ − ___ Tal och tals användning | Kapitel 1

40694775_mondo8.indb 31

2016-11-29 09:47

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 2

TÄNK SOM EN DATOR UPPGIFT

1 Dela upp det hemliga meddelandet i grupper på 8 bit (en byte) och knäck koden med hjälp av tabellen. 2 Skriv ett eget hemligt meddelande och skicka det till några andra grupper och se om de kan knäcka koden och läsa meddelandet. 3 För att datorer ska kunna läsa de olika tecken som finns i världens olika språk, räcker det inte att koda i 8 bitars kod. Därför används även det hexadecimala talsystemet. Det betyder att tal är skrivna med 16 som bas.

T.ex. är 4E16 = 001011102 = 7810 .

Datorer styrs av binära talkoder. Alla operationer datorn ska utföra måste översättas till binära tal.Varje tecken representeras av ett visst binärt tal enligt en speciell nyckel.

Översätt följande tal från det hexadecimala talsystemet till det binära talsystemet och till decimalsystemet. a) ABC(16) = ___ (2) = ___ (10) b) F12(16) = ___ (2) = ___ (10) c) DC1(16) = ___ (2) = ___ (10)

HEMLIGT MEDDELANDE 01000010 01010010 01000001 00100000 01001010 01001111 01000010 01000010 01000001 01010100 00100000 01001101 01000101 01000100 00100000 01001011 01001111 01000100 01001011 01001110 11000100 01000011 01001011 01000001 01001110 01000100 01000101 01010100 ASCII-tabell Binär 00100000 01000001 01000010 01000011 01000100 01000101 01000110 01000111 01001000 01001001 01001010 01001011 01001100 01001101 01001110

Tecken mellanslag A B C D E F G H I J K L M N

Binär 01001111 01010000 01010001 01010010 01010011 01010100 01010101 01010110 01010111 01011000 01011001 01011010 11000101 11000100 11010110

Tecken O P Q R S T U V W X Y Z Å Ä Ö

Hexadecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Binär 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

32 Kapitel 1 | Tal och tals användning

40694775_mondo8.indb 32

2016-11-29 09:47

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 3

FINNS TOMTEN? Han kommer om natten, flygande i en släde dragen av åtta renar. Han landar på taket och klättrar ner genom skorstenen och lämnar julklapparna. Sedan klättrar han upp genom skorstenen igen och flyger vidare till nästa hus. Det är ett hektiskt liv att vara jultomte! Vissa vill hävda att jultomten finns. Andra hävdar motsatsen. UPPGIFT

Förbered tomtens försvarstal eller ett argumenterande tal emot hans existens. Använd naturvetenskapliga argument och matematik för att skaffa bevis som stödjer din tes. Här följer några förslag på fakta som kan behövas för att förbereda talet. Utöka gärna och ta med den fakta du finner relevant. Glöm inte ett källkritiskt förhållningssätt. • Antal barn i åldern 1–10 i världen.

• Tomtens arbetstid.

• Antal människor som tror på tomten.

• Medelvikt på en julklapp.

• Antalet utdelade julklappar

• Jordens omkrets.

• Ljusets hastighet.

• Totalvikt på julklapparna.

• Julaftons längd.

• Dragkapacitet per ren.

• Ljudets hastighet.

• Medeltid per julklapp

Tal och tals användning | Kapitel 1 33

40694775_mondo8.indb 33

2016-11-29 09:47

TRÄNA MERA 1.1 Negativa tal

1.4 Uttryck med blandade räknesätt

1 Ordna talen efter storlek. Börja med det minsta.

Beräkna

a) 7 −8 0 −9 5

15 a) 10 + 3 · 6

b) (3 + 7) · 2

16 a) 6 · 6 − 8

b) (6 − 5) · 21,5

17 a) (−7) + 6 · (−5)

b) (5 + (−2)) · 6

18 a) 64 ∕ (−8) + (−9)

b) (−40) ∕ (−4) − (−10)

b) 4,5 −2,3 1,9 −6,2

2 Vilket är det motsatta talet till

a) 24

b) −12

c) 1

3 Rita en tallinje och sätt ut följande tal

A 0

B −5

C 2,5

D −3,5

19 Sätt ut plus eller minus så att resultatet blir

4 Vilka är nästa tal i talföljden?

a) 4 2 0 ___ ___ ___ b) −8 −5 −2 ___ ___ ___

a) så stort som möjligt b) så litet som möjligt

−10 − 8 12 10 − 13

1.5 Potenser

1.2 Addition och subtraktion Beräkna

20 Beräkna

5 a) (−3) + 4

b) 5 − 7

6 a) (−9) + (−8)

b) (−5) − 12 c) 2 − (−8)

c) 3 + (−8)

7 a) (−21) + (−28) b) (−18) − 17 c) 3 − (−18) 8 a) (−53) + 49

c) 24 · 24 · 24

21 Vilket är störst av A, B och C?

a) A 22 · 33

b) A 23 · 52 − 32 B 32 · 25 + 32 C

9 a) 3 · 6

b) 3 · (−6)

10 a) (−2) · 9

b) (−8) · (−3) c) 7 · (−5)

c) (−3) · (−6)

11 a)

36 9

36 ( −9)

( −36) ( −9)

12 a)

( −56) 8

34 ( −2)

( −28) ( −7)

72 ( −8)

c) (−8) · (−11)

( −18) ( −6)

1013 1012

B 43 + 33

C 101· 100

b) (−4) · 12 c)

101 100

22 Hur många faktorer av talet 5 måste du ta för att få talet

Beräkna

14 a)

b) 6,5 − 6,0 c) 4,7 + (−4,6)

1.3 Multiplikation och division

13 a) 7 · (−7)

a) 35 · 35

a) 25

b) 125

Fem snabba om potenser a) 42 = 8 b) 63 = 6 · 6 · 6 = 216 c) 33 = 3 · 3 = 9 d) 13 = 1 · 1 · 1 = 1 e)

c) 5

Nej

34 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 32 = 32 3⋅3

24 Beräkna

( −100) 4

a) 103 + 52 b) 32 +

25 73 4 2 c) 4 − 4 d) 22 72

34 Kapitel 1 | Tal och tals användning

40694775_mondo8.indb 34

2016-11-29 09:47

TRÄNA MERA 1.6 Tiopotenser och grundpotensform

1.7 Räkna med tiopotenser

25 Skriv utan potens.

Beräkna och svara i grundpotensform 8 ⋅ 105 33 a) 3,5 · 107 · 2 · 105 b) 4 ⋅ 10 3

a) 103

b) 106

c) 109

26 Skriv i grundpotensform.

a) 4 900 b) 490 000

c) 4 090

27 Skriv i grundpotensform.

a) 0,04

b) 0,000 0045 c) 0,000 000 456

a) 3,5 · 104

b) 4 · 103 · 5 · 103

35 a) 0,000 2 · 200 000

b) 0,35 · 104 c) 350 · 104

a) 1,5· 105 · 8 · 1012

37 a) 7 · 107 · 2 · 10−5

b) 8,5 · 103 · 2 · 105 b)

29 Skriv med lämpligt prefix.

a) 9 · 103 g

b) 9 · 104 g c) 9 · 10−3 g

30 Ersätt prefixet med tiopotens.

a) 9 MHz b) 9 kJ

c) 9 cm

d) 9 μm

31 Para ihop siffran med rätt bokstav.

1 tiondel

A centi

2 hundradel

B milli

3 tusendel

C mikro

4 miljondel

D deci

5 miljarddel

E nano

32 Världens största legomodell (2016) är en 13 m lång kopia av en ”X-wing Starfighter”. Den består av 5 300 000 legobitar och tog de 32 modellbyggarna över 17 000 timmar att bygga. Det motsvarar tio års arbete.

a) Skriv antalet legobitar i grundpotensform.

b) Skriv antalet arbetstimmar i grundpotensform.

90 000 450

36 Beräkna och svara i grundpotensform.

28 Skriv utan potens.

34 a) 7 · 103 + 3 · 102

6 ⋅ 104 3 ⋅ 10 −3

38 Avfallsmängden i Sverige är per person och år 5 · 102 kg. Räkna med att Sveriges befolkning är 9,8 · 106 invånare. Hur mycket avfall blir det totalt på ett år? Svara i grundpotensform avrundat till en decimal.

1.8 Binära tal Skriv som tal i det binära talsystemet. 39 a) 2

b) 4

c) 8

40 a) 16

b) 17

c) 18

Skriv som tal i decimalsystemet. 41 a) 12

b) 112

c) 1112

42 a) 102

b) 1012

c) 1 0012

43 Skriv i decimalsystemet och beräkna.

a) 1012 + 1012 b) 1112 + 11012

Tal och tals användning | Kapitel 1 35

40694775_mondo8.indb 35

2016-11-29 09:48

FÖRDJUPNING

Ofta när man mäter olika saker är det inte möjligt att vara exakt. För att ta reda på noggrannheten hos ett tal används begreppet gällande siffror. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 är alltid gällande siffror i ett tal. Talet 0 är gällande siffra om den står mellan andra siffror eller efter andra siffror i decimaltal. I tal som slutar på 0 kan man inte vara säker. Talet 700 kan ha en, två eller tre gällande siffror. För att ange antalet gällande siffror anger man ofta talet i grundpotensform. T.ex. 7,00 · 102, talet sjuhundra skrivet med tre gällande siffror. Tal 53 687 53 690 53 700 54 000 0,0067 0,0607

Antal gällande siffror fem fyra tre två två tre

Tal i grundpotensform 5,3687 · 104 5,369 · 104 5,37 · 104 5,4 · 104 6,7 · 10−3 6,07 · 10−2

Minnesregel Använd lika många siffror i svaret som det ingångstal med minst antal gällande siffror.

5 Hur många gällande siffror har talen?

a) 2,5 · 103 b) 2,50 · 103 c) 2,50 · 10−3

I följande beräkningar är de ingående talen närmevärden. Beräkna och svara med lämpligt antal gällande siffror. 1 Avrunda måttet till

6 a)

a) tre gällande siffror b) två gällande siffror

2 Den minsta valören på mynt är 1 kr. Vilket är det mesta respektive minsta varorna nedan skulle kunna ha kostat?

a) 1 255 kr

b) 399 kr

c) 1 000 kr

3 Avrunda talen till tre gällande siffror.

a) 4,239

b) 134,9

c) 0,039245

4 Avrunda talen till en gällande siffra

a) 156

b) 999

c) 3333

3 609 7,6

c) 656,7 · 185

b) 3,9 · 9 785 d)

175 0,38

7 a) 8,4 · 105 · 6 · 103 b) 1,4 · 105 · 6,5 · 103

8,4 ⋅ 105 8 a) 3,45 ⋅ 10 3

4,00 ⋅ 10 3 b) 1,52 ⋅ 10 2

9 Sveriges statsskuld var 1 293 miljarder kronor den 31 januari 2014. Hur stor var statsskulden per person om Sveriges befolkning vid tillfället var 9 644 864 invånare?

36 Kapitel 1 | Tal och tals användning

40694775_mondo8.indb 36

2016-11-29 09:48

FÖRDJUPNING 10 Jordens befolkning är ungefär 7,4 miljarder. Den genomsnittliga årliga energiförbrukningen är ungefär 20 MWh per person. Beräkna jordens totala energiförbrukning. Svara i grundpotensform och välj lämpligt prefix.

Avstånd i solsystemet Planet Avstånd till solen (AE) Merkurius 0,39 Venus 0,72 Tellus 1 Mars 1,52 Jupiter 5,19 Saturnus 9,53 Uranus 19,12 Neptunus 29,98

Svara i grundpotensform med lämpligt antal gällande siffror i följande uppgifter. 14 En rymdexpedition är planerad till Sirius, (den ljusstarkaste stjärnan sett från jorden). Dit är det 8,6 ljusår.

Avstånd till solen (1 000 000 km) 58 108 150 228 778 1 430 2 869 4 497

11 En Astronomisk enhet (1 AE) motsvarar medel avståndet mellan jorden (Tellus) och solen.

a) Hur många AE är det mellan Merkurius och solen?

b) Hur många AE är det mellan Neptunus och Jupiter?

c) Hur många m är 1 AE? Svara i grundpotensform.

12 Hur många gånger större omloppsbana har Neptunus (den yttersta planeten) jämfört med Tellus? 13 Hur stor är skillnaden mellan det minsta möjliga avståndet och det största avståndet mellan de två yttersta planeterna i vårt solsystem? Svara i antal AE.

a) Hur långt är det uttryckt i km om ljusets hastighet är 300 000 km/s?

b) Med vilken hastighet skulle du behöva färdas för att nå Sirius på 6 år? Svara i enheten km/s.

c) Ljudets hastighet i luft är 340 m/s. Hur många gånger snabbare än ljudet skulle du behöva färdas?

Fakta elementarpartiklar Partikel Massa i kg Proton 1,672 621 777 · 10−27 Neutron 1,674 927 351 · 10−27 Elektron 9,109 382 91 · 10−31 15 En av grundämnet urans isotoper, U-235, har 143 neutroner i sin kärna. Vad väger dessa tillsammans? 16 Hur många gånger mindre väger en elektron jämfört med en proton? 17 Planeten Tellus väger 5,9742 · 1024 kg. Anta att Tellus bara hade varit uppbyggd av protoner. Hur många protoner hade krävts för att bygga upp planeten? 18 En sockermolekyl väger 5,68 · 10−21 g. Hur många sockermolekyler innehåller ett glas juice om 9 % utgörs av socker? Räkna med att juicen väger 200 g.

Tal och tals användning | Kapitel 1 37

40694775_mondo8.indb 37

2016-11-29 09:48

BEGREPP

Negativt tal

Tal som är mindre än 0.Visas med minustecken framför talet, t.ex. (−4).

Positivt tal

Tal som är större än noll, t.ex. 4.

Motsatt tal

Två tal som är lika långt från 0. Det ena talet är positivt och det andra negativt, t.ex. 8 och −8.

Potens

Uttryck av formen b . Talet läses ”b upphöjt till x”. T.ex. talet 16 kan även skrivas i potensform som 42 dvs. 4 · 4.

Bas

Det tal i en potens som upphöjs till något. T.ex. 53 där 5 är basen.

Exponent

Det tal i en potens som basen upphöjs till. T.ex. 53 där 3 är exponenten.

Tal i grundpotensform

Tal i tiopotensform där faktorn framför tiopotensen är mellan 1 och 10, t.ex. 9,78 · 103.

Prefix

En förstavelse som har ett särskilt värde. Prefix används för att skriva stora och små tal, t.ex. k som betyder tusen.

Binära talsystemet

Det positionssystem som har basen 2. T.ex. skrivs talet 3 som 112 i det binära talsystemet.

Gällande siffror

Talar om hur noggrant ett tal är skrivet. T.ex. 3 har en gällande siffra och 3,0 har två gällande siffror.

38 Kapitel 1 | Tal och tals användning

40694775_mondo8.indb 38

2016-11-29 09:48

SAMMANFATTNING

DU SKA KUNNA

EXEMPEL

LÖSNINGSFÖRSLAG

Addera och subtrahera med negativa tal

Beräkna (−5) − 12 (−5) − (−12) (−5) + 12 (−5) + (−12) 5 + (−12)

(−5) − 12 = (−17) (−5) − (−12) = 7 (−5) + 12 = 7 (−5) + (−12) = (−17) 5 + (−12) = (−7)

Multiplicera och dividera med negativa tal

Beräkna 3 · (−5) (−3) · (−5) 24 ( −8)

3 · (−5) = (−15) (−3) · (−5) = 15 24 = (−3) ( −8)

( −24) ( −8) Räkna med potenser

Beräkna 34 + 24 34 − 24 33 · 35 37 34

Skriva tal i grundpotensform

Skriv i grundpotensform 450 000 0,058 Skriv utan potens 8,6 · 104 7,2 · 10−4

Prefix

Räkna med tiopotenser

Ersätt tiopotenserna med lämpligt prefix 105,2 · 106 Hz 6,6 · 10−9 m Skriv i grundpotensform. 16 GHz 45 µm Beräkna och svara i grundpotensform. 8 · 104 · 6 · 102 4 ⋅ 107 2 ⋅ 104

Omvandla tal mellan binära talsystemet och decimalsystemet

Vad är 5410 i det binära talsystemet?

( −24) =3 ( −8) 34 + 24 = 81 + 16 = 97 34 − 24 = 81 − 16 = 65 33 · 35 = 33 + 5 = 38 37 = 37 − 4 = 33 34 450 000 = 4,5 · 105 0,058 = 5,8 · 10−2 8,6 · 104 = 86 000 7,2 · 10−4 = 0,00072 105,2 · 106 Hz = 105,2 MHz 6,6 · 10−9 m = 6,6 nm 16 GB = 16·109 = 1,6·1010 Hz 45 µm = 45 ·10−6 = 4,5 ·10−5 m 8 · 6 · 104 · 102 = 48 · 104 + 2 = = 48 · 106 = 4,8 · 107 4 ⋅ 107 4 = · 107 − 4 = 2 · 103 4 2 ⋅ 10 2 5410 = 32 + 16 + 4 + 2 = = 25 + 24 + 22 + 21 = 1101102

Tal och tals användning | Kapitel 1 39

40694775_mondo8.indb 39

2016-11-29 09:48

KAPITEL 2

Bråk, procent och sannolikhet

40 Kapitel 2 | Bråk, procent och sannolikhet

40694775_mondo8.indb 40

2016-11-29 09:48

PROBLEMLÖSNING

BEGREPP

METOD M RESONEMANG R KOMMUNIKATION K

CENTRALT INNEHÅLL • Bråk och de fyra räknesätten • Procent för att uttrycka förändring och förändringsfaktor • Procentenheter • Sannolikhet i vardagliga situationer • Metoder för att beräkna sannolikhet • Bedömning av risk och chans • Rimlighetsbedömning vid uppskattning och beräkning

SIDORNA 60–63

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA I PROJEKT Livets lotteri Är det sant eller sannolikt? Salta bad

GRUPPUPPGIFT

Bakom en av dörrarna finns en vinst. Ni väljer dörr 1. Dörr 2 öppnas där det inte finns någon vinst. Nu vet ni att vinsten finns bakom dörr 1 eller 3. Ni får frågan: Ska ni byta dörr eller behålla dörr 1? Vad väljer ni?

Bråk, procent och sannolikhet | Kapitel 2

40694775_mondo8.indb 41

2016-11-29 09:48

GRUNDKURS

2.1 ADDITION, SUBTRAKTION OCH MULTIPLIKATION MED BRÅK Vid addition och subtraktion med bråk ska bråkens nämnare vara lika. Det gör du genom att förlänga eller förkorta bråken. EXEMPEL 1

Beräkna

1 1 3 − + 2 8 4 –

Förläng eller förkorta något av bråken för att få lika nämnare. Addera sedan och växla till blandad form om det går. 1 1 3 1⋅ 4 1 3 ⋅ 2 4 1 6 9 1 − + = − + = − + = =1 2 8 4 2⋅4 8 4 ⋅2 8 8 8 8 8 EXEMPEL 2

Vid multiplikation med bråk är det bra att följa ordningen nedan. 1 1 1 1 16 1 16 ⋅ 1 4 ⋅ 1 4 1 ⋅ = = = =1 Beräkna 5 ⋅ Lösning: 5 ⋅ = 3 4 3 4 3 4 3 ⋅ 4 3 ⋅1 3 3 1

1 Gör om talen till bråkform.

16 1 ⋅ 3 4

2 Skriv bråken på ett gemensamt bråkstreck.

16 ⋅ 1 3⋅4

3 Förkorta med 4.

16 ⋅ 1 4 ⋅ 1 = 3 ⋅ 4 3 ⋅1

4 Multiplicera täljare och nämnare.

4 ⋅1 4 = 3 ⋅1 3

5 Växla till blandad form om det går.

4 1 =1 3 3

42 Kapitel 2 | Bråk, procent och sannolikhet

40694775_mondo8.indb 42

2016-11-29 09:48

GRUNDKURS NIVÅ 1

11 Hur stor andel av figuren är gul?

Beräkna och svara med så liten nämnare som möjligt. 1 1 3 4 1 b) 2 − c) + 1 a) + 3 6 5 3 6 2 2 2 a) − 3 9

1 3 b) 1 + 2 2 5

1 1 3 a) ⋅ 3 3

1 2 4 a) ⋅ 4 3

1 1 b) 2 ⋅ 2 5

1 1 ⋅ 3 5

5 Beräkna värdet av uttrycket då x =

a) x −1

b) x · x

c) 2

3 7 −1 4 8

4 1 ⋅ 3 6

7 3 c) 1 ⋅ 8 5 2 3 c) x + x

6 Olga tjänar 35 400 kr per månad. 1 Olga betalar av sin lön i skatt. 3 Hur mycket har Olga kvar efter skatt?

3 9 a) − 2 5

b) 2 −

1/4

12 Tove, Niclas och Maud vinner tillsammans 2 20 000 kr. Tove ska ha av vinsten och Niclas 5 1 ska ha . Maud ska ha det som blir över. 4 Hur mycket pengar fick var och en?

NIVÅ 3 Beräkna och svara med så liten nämnare som möjligt. 4 5 4 9 5 13 a) − − ( − ) b) ⋅ c) 7 ⋅ 9 6 3 12 35 14 a) 3 ⋅ 2

1 3

16 a) 2,4 · 3

Beräkna och svara med så liten nämnare som möjligt. 3 10 14 10 11 ⋅ ⋅ 15 7 a) ⋅ b) c) 5 6 100 7 3 c)

1/6

1 1 4 5 b) 3 ⋅ 2 c) ⋅ 3 − 3 3 3 35

2 7 9 1 2 4 b) 2 ⋅ 3 c) 3 ⋅ 15 a) + + 5 8 10 2 3 5

NIVÅ 2

3 1 3 2 b) 2 − + 8 a) + − 5 3 5 3

1/2

4 1 1 ⋅ ⋅ 5 2 2

1 4

1 b) 3 ⋅ 14 3

3 7 1 + − 4 10 4

2 3 b) x(1 − x) c) 5 − 6x

17 Beräkna värdet av uttrycket då x =

a) 3x −1

2 18 I en djurpark finns 27 apor. av aporna är 3 5 honor. Av honorna är över 3 år gamla. 9 Hur många av honorna är över 3 år gamla?

3 2 1 1 1 + c) ⋅ ⋅ 5 3 2 2 2

10 Skriv uttrycken i storleksordning. Börja med det minsta. 1 1 2 1 1 1 ⋅ A ⋅ B − ⋅ C − 2 3 1 2 2 3 Bråk, procent och sannolikhet | Kapitel 2 43

40694775_mondo8.indb 43

2016-11-29 09:48

GRUNDKURS

2.2 DIVISION MED BRÅK EXEMPEL

3 Du har 12 dl ris i ett paket med ris. Till varje portion går det åt dl. 4 Till hur många portioner räcker riset? Lösning (upprepad subtraktion) 48 dl 12 dl = 4 40 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 − − − − − − − − − − − − − − − − =0 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 portion ris har subtraherats 16 gånger. Svar: Riset räcker till 16 portioner. Lösning (division) Ett enklare sätt att lösa denna typ av uppgift är att dividera med bråk. 12

3 12 3 12 4 12 ⋅ 4 4 ⋅ 4 16 = = = = = 16 ⋅ = 4 1 4 1 3 1⋅ 3 1⋅1 1 1

3 12 3 = 4 1 4

1 Gör om talen till bråkform.

2 Invertera bråket som är i nämnaren (byt plats på dess täljare och nämnare) och ersätt divisionstecknet med ett multiplikationstecken.

12 3 12 4 = ⋅ 1 4 1 3

3 Skriv bråken på ett gemensamt bråkstreck. 4 Förkorta om det går.

12 4 12 ⋅ 4 ⋅ = 1 3 1⋅ 3 12 ⋅ 4 4 ⋅ 4 = 1⋅ 3 1⋅1

5 Multiplicera täljare och nämnare.

4 ⋅ 4 16 = 1⋅1 1

6 Växla till blandad form om det går.

16 = 16 1

Svar: Riset räcker till 16 portioner.

Kapitel 2 | Bråk, procent och sannolikhet

40694775_mondo8.indb 44

2016-11-29 09:48

GRUNDKURS NIVÅ 1

NIVÅ 3

Beräkna och svara med så liten nämnare som möjligt. 1 1 1 1 1 1 19 a) b) c) 2 2 4 2 2 4

Beräkna och svara med så liten nämnare som möjligt. 1 1 1 1 1 1 2 b) 2 1 29 a) 2 c) 1 3 3 3 3 7 7

20 a)

1 1 3 3

1 1 3 9

1 1 9 9

30 a) 2

1 20

1 1 20 20

1 20 20 1

31 Beräkna värdet av uttrycken om x =

21 a) 1

22 Vilket av talen är hälften av en sjättedel? 1 1 A 6 B 12 C D 6 12 23 Du har 2 liter mjölk.

1 4 1 2 5

(1 + x ) x

b) Hur mycket mjölk får du över?

NIVÅ 2 Beräkna och svara med så liten nämnare som möjligt. 9 25 4 5 3 24 a) 3 b) c) 7 100 5 25 a)

1 1 2

26 a) 3

1 2

c) 2

1 2

1 1 3 b) 3 3

c) 3

1 6

b) 1

7 1 1 8 4

(1 − x ) x

5 3 4 ⋅ 9 2 5

4 5 (1 + x ) c) (1 − x )

Fem snabba om bråk a) Är

4+7 4 7 = + ? 3 3 3

b) Är

3 3 3 = + ? 4+7 4 7

c) Är

3 2 1 ⋅ = ? 4 3 2

d) Är

2 7 3=2 ? 7 3

e) Är

1 1 1 1 av samma som ? 2 3 3 2

a) Till hur många personer räcker mjölken 1 om varje person får 1 dl? 2

b) 1

Ja Nej

33 Jon ska till träningen. När han kommit en tredjedel av sträckan upptäcker Jon att han glömt träningsväskan och får åka tillbaka hem. En fjärdedel av vägen brukar ta 6 minuter. Hur lång tid tog det till träningen?

27 I ett paket finns 25 dl makaroner. 3 En portion är dl. 4 Till hur många personer räcker makaronerna? 28 Vad är en tredjedel av a) en halv b) en femtedel

Bråk, procent och sannolikhet | Kapitel 2 45

40694775_mondo8.indb 45

2016-11-29 09:48

GRUNDKURS

2.3 FÖRÄNDRINGSFAKTOR Detta kan du sedan tidigare: Delen – Hur mycket är 5 % av 430 kr? Andelen – Hur många procent är 6 elever av 25? Det hela – Hur mycket är 100 % om 5 % är 45 kr?

ANDELEN =

DELEN DET HELA

Ett effektivare sätt att beräkna värdet efter antingen en höjning eller en sänkning är att räkna med förändringsfaktor. EXEMPEL 1

En elgitarr har kostat 3 200 kr. Nu säljs den med 35 % rabatt. Vilket blir det nya priset?

0 0%

det nya priset i kr

det nya priset 65 %

I bilden ser du att priset efter sänkningen motsvarar 65 %. 1 Ordinarie pris − rabatt = nytt pris 2 Elgitarrens nya pris Svar: Elgitarren kostar 2 080 kr. EXEMPEL 2

En elgitarr kostar 3200 kr. Priset ökar med 15 %. Vilket blir det nya priset?

? kr

3 200 kr

65 %

100 % rabatt 35 %

100 % − 35 % = 65 % 65 % av 3 200 kr = 0,65 · 3 200 = 2 080 kr (förändringsfaktor 0,65)

0 0%

det nya priset i kr

det gamla priset 100 %

I bilden ser du att priset efter höjningen motsvarar 115 %. 1 Ordinarie pris + höjning = nytt pris 2 Elgitarrens nya pris Svar: Elgitarren kostar 3 680 kr

3 200 kr

? kr

100 % 115 % höjning 15 %

100 % + 15 % = 115 % 115 % av 3 200 kr = 1,15 · 3 200 = 3 680 kr (förändringsfaktor 1,15)

EXEMPEL 3

Priset på en elgitarr sänks med 15 %. Därefter sänks priset med ytterligare 20 %. Vad blir den totala procentuella förändringen? 1 Förändringsfaktorn efter två sänkningar 2 Den totala sänkningen

0,85 · 0,80 = 0,68 1 – 0,68 = 0,32 = 32 %

Svar: Den totala sänkningen är 32 %.

46 Kapitel 2 | Bråk, procent och sannolikhet

40694775_mondo8.indb 46

2016-11-29 09:48

GRUNDKURS NIVÅ 1 34

Fem snabba om förändringsfaktor a) 1,3 innebär en ökning med 130 %. b) 0,76 innebär en minskning. c) 1,06 innebär en ökning med 6 %. d) 0,99 innebär en ökning med 99 %. e) 2,78 innebär en ökning med 178 %.

Ja Nej

41 På en kennel finns 10 hundar. Under våren får tre tikar sina valpar. Det blir en ökning med 15 hundar.Vilken förändringsfaktor kan beräkna det nya antalet hundar på kenneln?

35 En keps kostar 450 kr. Priset sänks med 30 %. Vilket av uttrycken visar hur man kan beräkna det nya priset?

A 0,30 · 450 C 0,70 · 450

B 450 ∕ 0,30 D 1,30 · 450

Beräkna med hjälp av förändringsfaktor

36 Hyran för en lägenhet är 6 300 kr/månad. Hyran höjs med 5 %.Vad blir den nya hyran? 37 Ett grönt nagellack kostar 85 kr. Priset höjs med 20 %. Vad blir det nya priset?

42 Ett kexpaket väger 500 g. På paketet står det ”Nu 25 % mer”. Hur mycket innehöll paketet innan? 43 Hur stor blir den totala procentuella förändringen? a) 1,24 · 0,76

b) 0,8 · 1,2 · 1,2

NIVÅ 3 44 Värdet på aktier ökar med 30 %. Därefter sjunker aktiernas värde i två omgångar med vardera 15 %. Har värdet på aktierna ökat, minskat eller är det oförändrat?

38 En röd T-shirt kostar 120 kr. Priset sänks med 25 %. Vad blir det nya priset?

45 Magnus har 20 000 kr i lön och får välja mellan att få en löneökning på totalt 2 000 kr på två år eller 5 % löneökning per år.Vad ska han välja? Motivera!

NIVÅ 2 39 Hur stor är den procentuella förändringen om förändringsfaktorn är

46 En vara kostar 2 500 kr inklusive moms på 25 %. Vad kostar den utan moms?

47 Momsen är 25 %. Hur många procent ska dras av på priset för att beräkna priset utan moms?

a) 0,88

b) 1,45 c) 0,985

d) 2,5

40 Priset på ett par sneakers höjs först med 40 % och sänks sedan med 30 %. Beräkna det nya priset om de kostade 800 kr från början.

48 Lisa vinner 1 miljon på bingo. Hon bestämmer sig för att göra av med 10 % av vinsten varje år. Hur mycket av vinsten har Lisa kvar efter 10 år? Bråk, procent och sannolikhet | Kapitel 2 47

40694775_mondo8.indb 47

2016-11-29 09:48

GRUNDKURS

2.4 RÄNTA Ränta är en ersättning vid utlån av pengar. Om du lånar ut pengar till banken får du ränta på pengarna du lånat ut. Lånar banken ut pengar till dig betalar du ränta till banken. Räntans storlek (i kr) beror på räntesatsen (i procent), kapitalet som lånats (i kronor) och tiden man lånat pengarna (i år).

RÄNTA = KAPITAL · RÄNTESATS · TID

EXEMPEL 1

Erik lånar 72 000 kr till en motorcykel. Räntesatsen på lånet är 5,5 %. Hur stor är räntekostnaden varje månad? Lösning Ränta för ett år: 0,055 · 72 000 = 3 960 kr Månadskostnad: Svar: Han ska betala 330 kr i ränta.

3960 = 330 kr 12

EXEMPEL 2

Johanna har ärvt 50 000 kr som hon väljer att sätta in på ett bankkonto. Hon får 2,5 % ränta. Hur mycket pengar finns på kontot efter tre år? Lösning 1 (upprepad procentuell förändring)

Lösning 2 (med förändringsfaktor)

År 1: 0,025 · 50 000 = 1 250 kr Kapital år 1: 50 000 + 1 250 = 51 250 kr

Höjning per år: 2,5 %

År 2: 0,025 · 51 250 = 1 281,25 kr Kapital år 2: 51 250 + 1 281,25 = 52 531,25 kr

Total förändring under tre år: 1,025 · 1,025 · 1,025 = 1,07689

År 3: 0,025 · 52 531,25 = 1313,28125 Kapital år 3: 52 531,25 + 1 313,28125 ≈ 53 844,50

Kapital efter tre år: 1,07689 · 50 000 ≈ 53 844,50 kr

Svar: 53 844,50 kr

Förändringsfaktor: 1,025

GRUPPUPPGIFT

Alternativen anger vilken avgift som du ska betala vid ett lån. Hur stort ska lånet vara för att de olika alternativen ska vara fördelaktiga? Hur lång tid är alternativ A, B eller C det mest fördelaktiga? A En engångsavgift på 500 kr. B En ränta på 1,5 % + en engångsavgift på 200 kr. C En ränta på 2 %.

48 Kapitel 2 | Bråk, procent och sannolikhet

40694775_mondo8.indb 48

2016-11-29 09:48

GRUNDKURS NIVÅ 1 49 På ett sparkonto får du 1,5 % ränta. Hur mycket blir räntan när det sätts in

a) 2 000 kr b) 44 000 kr c) 280 000 kr

50 Hur mycket blir räntan för ett lån på 200 000 kr med räntesatsen

a) 2 %

56 Banken informerar om ett nytt lånealternativ. Det är en uppläggningsavgift på 200 kr och en räntesats på 1,4 %. Hur stor blir kostnaden per månad det första året om du lånar

b) 3 %

c) 5 %

51 Du har sparat ihop 50 000 kr på ditt bankkonto och får 2,5 % i ränta. Hur mycket har du på kontot efter ett år?

NIVÅ 3 58 Skriv av och gör färdigt tabellen.

Lån

b) Hon betalar tillbaka lånet och räntan efter ett halvår. Hur mycket får hon betala?

55 Skriv av och gör färdigt tabellen.

Årsränta

150 kr 4 875 kr

a) 1,5 %, för ett år b) 3 %, för ett kvartal c) 8 %, för en månad

60 Du ärver 20 000 kr och vill spara pengarna i två år. Vilket alternativ väljer du? Motivera ditt svar.

a) 22 000 kr b) 35 000 kr c) 1 800 000 kr

Räntesats 5 000 kr 7 % 12 000 kr 450 000 kr

Månadsränta

490 kr 13 %

54 Räntesatsen är 5,5 % på ett banklån. Hur mycket blir räntan om du lånar

Lån

Årsränta

59 Hur mycket blir räntan för ett lån på 350 000 kr om räntesatsen är

NIVÅ 2

Räntesats

7 000 kr 18 000 kr

53 Karin lånar 45 000 kr med räntesatsen 4 %. a) Hur mycket blir räntan?

b) 65 000 kr c) 500 000 kr

57 Annika sätter in 9 000 kr från sommarjobbet på ett konto med räntesatsen 2 % under ett år. Hon lyckas sedan hitta ett konto med 3 % ränta och flyttar sina pengar dit.Vad har hon tjänat på att flytta sina pengar efter ett år?

52 En bank ger 2 % i ränta per år på insatta pengar. Du sätter in 5 000 kr. Hur mycket har du på kontot efter två år?

a) 8 000 kr

Månadsränta

600 kr 1 300 kr

A Sätta in dem på ett bankkonto med 1,5 % ränta. B Låna ut dem och få 300 kr i ersättning. C Köpa aktier som första året ökar med 12 % och året efter minskar med 10 %.

61 Familjen Karlsson vill köpa en lägenhet för 1 300 000 kr. De kan ta ett lån hos banken på 80 % av lägenhetens värde med räntesatsen 1,6 %. De har sparat ihop 150 000 kr. Resten av pengarna måste de låna till en hög ränta på 12 %. De har räknat ut att de max kan betala 4 000 kr/mån inklusive amortering på 1 000 kr/mån. Har de råd med lägenheten? Bråk, procent och sannolikhet | Kapitel 2 49

40694775_mondo8.indb 49

2016-11-29 09:48

GRUNDKURS

2.5 PROCENT OCH PROCENTENHETER Det är skillnad på procent och procentenheter. En förändring i procent betyder kvoten mellan förändringen och utgångsvärdet. En förändring i procentenheter betyder differensen mellan två procenttal. Sänkning i procentenheter

EXEMPEL 1

Räntesatsen sänktes från 4 % till 3 %. Hur mycket sänktes räntesatsen i

75 %

4 procentenheter

a) procentenheter b) procent

a) Sänkning i procentenheter: 4 – 3 = 1 procentenhet Svar: Det är en sänkning med 1 procentenhet.

100 %

Sänkning i procent

b) Sänkning i procentenheter: 1 procentenhet Räntesatsen från början: 4 % 1 Sänkning i procent: = 0,25 = 25 % 4 Svar: Räntesatsen har sänkts med 25 %. EXEMPEL 2

Vid ett bilköp lånades 80 000 kr med en räntesats på 4 %. Efter ett år höjdes räntesatsen till 5,5 %. Hur mycket höjdes räntesatsen i a) procentenheter b) procent a) Höjning i procentenheter: 5,5 – 4 = 1,5 procentenheter Svar: Räntesatsen har ökat med 1,5 procentenheter. b) Höjning i procentenheter: 5,5 – 4 = 1,5 procentenheter Räntesats från början: 5,5 %

1,5 = 0,375 = 37,5 % 4 Svar: Räntesatsen har ökat med 37,5 %.

Höjning i procent:

Kapitel 2 | Bråk, procent och sannolikhet

40694775_mondo8.indb 50

2016-11-29 09:48

GRUNDKURS NIVÅ 1

69 Vilka hör ihop?

62 Skriv av och gör färdigt tabellen.

1 76 % ändras till 88 % A Höjning med 200 %

2 48 % ändras till 36 % B Höjning med 12 procentenheter

3 60 % ändras till 27 % C Sänkning med 25 %

4 14 % ändras till 42 % D Sänkning med 33 procentenheter

Då

Förändring i Procentuell procentenheter förändring

a) 14 % 21 % b) 40 % 20 % c) 12 % 15 % 63 Ett år fick Skolpartiet 30 % av rösterna och året därpå sjönk andelen med 4 procentenheter. Hur många procent röstade på Skolpartiet? 64 En kudde kostar 250 kr och reas för 200 kr. Hur stor är rabatten i procent? 65 Vilka hör ihop?

NIVÅ 3 70 Användandet av ett socialt nätverk minskade bland ungdomar under två år. Från 91 % första året till 86 % och andra året med 3 procent enheter. Hur många procent minskade det totalt? 71 Den första fungerande dieselmotorn hade en verkningsgrad på 26 % jämfört med ång maskinen som hade 12 %. Dagens motorer i lastbilar har en verkningsgrad på 46 %.

1 15 % ändras till 35 % A Höjning med 20 %

2 50 % ändras till 60 % B Sänkning med 20 %

3 60 % ändras till 48 % C Sänkning med 15 procentenheter

a) Hur många procentenheter skiljer mellan den första dieselmotorn och dagens motorer?

4 70 % ändras till 55 % D Höjning med 20 procentenheter

b) Hur många procent bättre verkningsgrad har dagens motorer jämfört med ångmaskinen?

NIVÅ 2 66 Förklara skillnaden på procentenheter och procent. 67 Skriv av och gör färdigt tabellen.

Då

Förändring i Procentuell procentenheter förändring

a) 12 % 18 % b) 38 % 29 % c) 24,5 % 68 %

72 Begreppet procent användes redan för ca 2 000 år sedan av romerska kejsare då de tog ut skatter från folket. De räknade om skattesatsen till hundradelar. Skattesatsen 1 1 eller av vad de tjänade. kunde vara 20 25 a) Hur många procentenheter skiljer det mellan skattesatserna?

73 I 8a använder 62 % av eleverna en strömmande musiktjänst. I klass 8b är det 45 %.

68 En moped kostar 20 000 kr. Priset sänks till 15 000 kr.

a) Med hur många procent sänks priset? b) Priset sänks med ytterligare 2 procentenheter. Vad kostar mopeden då?

b) Hur många procent högre är den ena skattesatsen än den andra?

a) Hur många procentenheter skiljer i användandet? b) Hur många procent fler är det i 8a än i 8b som använder musiktjänsten? Bråk, procent och sannolikhet | Kapitel 2 51

40694775_mondo8.indb 51

2016-11-29 09:48

GRUNDKURS

2.6 SANNOLIKHET Sannolikhet innebär att man räknar på hur troligt det är att en händelse ska inträffa. Sannolikheten betecknas med P (från latinska ordet probabilitas) och uttrycks med ett tal mellan 0–1 i bråk-, decimal- eller procentform. SANNOLIKHETEN =

ANTAL GYNNSAMMA UTFALL ANTAL MÖJLIGA UTFALL

EXEMPEL 1

Hur stor är sannolikheten att slå en etta eller sexa med en sexsidig tärning? Lösning:

Antal gynnsamma utfall: 2 (det finns en etta och en sexa) Antal möjliga utfall: 6 (det kan bli 1, 2, 3, 4, 5 eller 6) 2 1 1 = ≈ 33 % Svar: Sannolikheten är ≈ 33 %. P(1 eller 6) = 6 3 3

Komplementhändelse Om vi vet sannolikheten för en viss händelse, kan vi också räkna ut sannolikheten för händelsens motsats. Den kallas komplementhändelse. EXEMPEL 2

Vad är sannolikheten att inte få en sexa med en sexsidig tärning? Sannolikheten för att inte få en sexa är en komplementhändelse. 1 Lösning: P (6) = 6 1 5 P (ej 6) 1 − = ≈ 83,7 % (Med 1 menas alla möjliga utfall till en händelse dvs. 100 %.) 6 6 5 ≈ 83,7 %. Svar: Sannolikheten att inte slå en sexa är 6

Sannolikhet i en undersökning Med hjälp av sannolikheten för en händelse och antalet försök kan antalet troliga utfall beräknas. Denna typ av beräkning ger en uppskattning om ett troligt antal. EXEMPEL 3

I ett försök drogs ett kort ur en kortlek 1 000 gånger. Hur många av gånger är det troligt att det blev ett hjärter? Lösning:

13 1 = 52 4 1000 1 · 1000 = = 250 4 4

P (hjärter) =

Svar: Det är troligt att det blir ett hjärter 250 gånger.

Kapitel 2 | Bråk, procent och sannolikhet

40694775_mondo8.indb 52

2016-11-29 09:48

GRUNDKURS NIVÅ 1

81 Sannolikheten att vinna på ett lotteri är 15 %. Hur många gånger är det troligt att du vinner om du köper 40 lotter?

74 Skriv sannolikheterna i procentform. 1 a) b) 0,5 c) 1 d) 0 4

En vanlig kortlek består av 52 kort och är uppdelad i färgerna klöver, spader, ruter och hjärter. I varje färg finns det 13 olika valörer. De klädda korten är knekt, dam och kung.

75 Vilket av följande bråk beskriver störst sannolikhet? 3 3 1 1 A B C D 7 8 3 4 76 Du kastar en sexsidig tärning. Hur stor är sannolikheten att få a) en 5:a

82 Du drar ett kort ur en kortlek. Beräkna sannolikheten att få

b) högre än en 3:a

77 Hur stor är sannolikheten att få en vinst om det i ett lotteri är vinst på a) varannan lott

b) var tionde lott

NIVÅ 2

A 400 lotter, 10 vinster B 5 000 lotter, 45 vinster C 2 000 lotter, 30 vinster 79 Skriv sannolikheterna som bråk-, decimaloch procenttal. Bråk

Decimal Procent

Sannolikheten att a) kaniner är veganer är ...

1,0

Sannolikheten för solsken imorgon är …

3 5

Sannolikheten att klasskompisen har två syskon är …

20 %

80 Du kastar en sexsidig tärning 100 gånger. Hur många gånger kan man förvänta sig att det blir a) en 1:a eller 2:a

b) högre än en 3:a

b) ett klöver c) spader ess

NIVÅ 3 83 Du drar ett kort ur en kortlek. Beräkna sannolikheten att a) b) c) d)

78 Vilket av lotterierna är bäst att spela på? Motivera ditt svar med beräkningar.

Påstående

a) ett rött kort

få en dam inte få ett ess få ett klätt kort inte få ett klätt kort

84 En sexsidig tärning kastas 200 gånger. Hur ofta kan man vänta sig att följande händelser inträffar? a) att få ett jämnt tal

b) att få ett primtal

85 Hjulet snurras 1 000 gånger. Hur många gånger är det troligt att det blir a) grön b) lila c) gul eller röd 86 Ge förslag på hur ett lyckohjul skulle kunna se ut där det finns sex olika utfall som alla är lika troliga. Finns det fler alternativ? Motivera ditt svar. Bråk, procent och sannolikhet | Kapitel 2

40694775_mondo8.indb 53

2016-11-29 09:48

GRUNDKURS

2.7 SANNOLIKHET VID FLERA HÄNDELSER 1 Vid ett kast med ett mynt är sannolikheten att få klave eller 50 %. 2 Sannolikheten är lika stor att få krona. EXEMPEL 1

Du ska kasta ett mynt två gånger. a) Hur stor sannolikhet är det att få klave och klave? b) Hur stor sannolikhet är det att få en krona och en klave?

1 2

För att tydligt se antalet möjliga utfall till händelserna kan man göra ett träddiagram. Träddiagrammet visar att det finns fyra möjliga utfall. Sannolikheten är lika stor för samtliga utfall.

1 2

krona, krona krona, klave klave, krona klave, klave

Lösning: a) Enligt träddiagrammet är det ett utfall som uppfyller villkoret.

P (klave, klave) =

1 = 25 % 4

Ett annat sätt att beräkna sannolikheten är att multiplicera sannolikheterna för de enskilda händelserna. 1 1 1 · = = 25 % P (klave, klave) = 2 2 4 Svar: Sannolikheten är 25 % att få klave och klave.

b) Beräkning av sannolikheten för en krona och en klave görs genom att addera sannolikheterna för de gynnsamma utfallen.

P (krona, klave) =

1 1 1 · = 2 2 4

P (klave, krona) =

1 1 1 · = 2 2 4

P (klave och krona) =

1 1 1 + = = 50 % 4 4 2

Svar: Sannolikheten är 50 % att få en krona och en klave.

GRUPPUPPGIFT

Ge exempel på händelser som stämmer med sannolikheten som bokstäverna anger på tallinjen.

A B C D E

0 1/2 1

54 Kapitel 2 | Bråk, procent och sannolikhet

40694775_mondo8.indb 54

2016-11-29 09:48

GRUNDKURS NIVÅ 1 87 Vad är sannolikheten att få en klave och en krona då du kastar två mynt? 88 Beräkna sannolikheten att med en tärning a) först slå en 6:a och därefter en 3:a b) först slå en 5.a och därefter ett udda tal 89 Iris tar slumpvis två kulor. Hon lägger tillbaka den första innan hon tar nästa.

93 På din väg till skolan passerar du tre trafikljus. De visar rött respektive grönt lika lång tid. Hur stor är chansen att du a) får grönt vid alla b) får stanna vid minst två

NIVÅ 3 Hur stor är sannolikheten att a) b) c) d)

båda kulorna är blå en är grön och en är blå båda är gröna Rita ett träddiagram.

NIVÅ 2 90 Vad är sannolikheten att få tre udda tal i rad om du slår med en tärning? Beskriv utfallen med ett träddiagram. 91 Ines räddar 9 av 10 skott då hon står i mål. Hur stor är sannolikheten att hon a) räddar ett skott b) räddar två skott i rad c) räddar ett skott av två 92 Du gör ett flervalstest i skolan. Svarsalternativen är: 1, X eller 2. Testet består av tre frågor. Hur stor är sannolikheten att a) du tippar rätt på alla tre frågorna b) du tippar fel på minst en fråga

94 I en klass med 25 elever är 10 tjejer. Hur stor är sannolikheten att det slumpvis väljs a) en kille och en tjej b) två tjejer c) att det inte väljs någon tjej 95 Selma spelar ett spel med genvägar för att ta sig fram fortare, P(genväg) = 0,3. a) Rita ett träddiagram med tre möjligheter för genväg. b) Beräkna sannolikheten att inte få genväg. c) Beräkna sannolikheten att få genväg samtliga gånger. 96 Det gula fältet ger vinst. Chansen att vinna är 20 %. a) Rita ett träddiagram som visar möjliga utfall om det snurras tre gånger. b) Beräkna P (två nitar, en vinst) c) Beräkna P (minst en vinst)

Bråk, procent och sannolikhet | Kapitel 2

40694775_mondo8.indb 55

2016-11-29 09:48

GRUNDKURS

2.8 OBEROENDE OCH BEROENDE HÄNDELSER I en påse finns fem röda och fem svarta kulor. Sannolikheten för vilken kula man får när en tas ur påsen, påverkas av om antalet ändras i påsen. Antingen genom att lägga tillbaka eller att ta kulor. 5 10

Oberoende händelse Hur stor är sannolikheten att ta två svarta kulor ur påsen om den första läggs tillbaka? 5 5 25 1 · = = = 25 % P (svart, svart) = 10 10 100 4 Svar: Sannolikheten är 25 %.

5 10

5 10 5 10

5 10

Beroende händelse

5 10

Hur stor är sannolikheten att ta två svarta ur påsen? (Märk att sannolikheten för ännu en svart när den andra 4 kulan tas är förändrad till eftersom en svart redan är tagen.) 9 5 4 20 2 · = = ≈ 22% P (svart, svart) = 10 9 90 9

5 10

4 9

5 10 5 9

5 9

4 9

Svar: Sannolikheten är 22 %.

NIVÅ 1 97 I en påse finns tre röda kulor och två svarta. Du drar två kulor utan återläggning. Vilket träddiagram stämmer till händelsen? 3 5

A 3 5

2 5 2 5

3 5

B 2 5

2 4

2 5 2 4

3 4

1 4

98 Du drar kort ur en kortlek. Du drar tre kort utan återläggning.Vilken beräkning visar sannolikheten för att de tre korten är ess? 4 4 4 3 3 3 A · · B · · 52 52 52 52 52 52 4 3 2 4 4 4 C · · D · · 52 51 50 52 51 50 56

99 Tabellen visar de olika färger av kulor som finns i en skål. Kulorna dras slumpvis. Hur stor är sannolikheten att få a) röd och sedan gul b) svart och sedan gul c) röd eller svart och sedan gul

Färg Röd Svart Gul

Antal 6 4 10

Kapitel 2 | Bråk, procent och sannolikhet

40694775_mondo8.indb 56

2016-11-29 09:48

GRUNDKURS NIVÅ 2

NIVÅ 3

100 Edvin och Lova kastar en sexsidig tärning. Edvin får addera samtliga resultat som är udda och Lova får göra likadant med de jämna. De kastar 30 kast. Vem kommer troligen att vinna? Motivera ditt svar med beräkningar.

104 Hur stor är sannolikheten att produkten av två slagna tärningar är större än 13?

101 I ett lotteri fanns det från början 200 lotter varav 16 vinster. När 80 lotter hade sålts hade 6 vinster delats ut. Även högsta vinsten var kvar. Hur stor sannolikhet är det att nästa lott är a) högsta vinsten

b) nitlott

102 Du har en urna med 3 röda, 5 blå och 2 svarta kulor. Hur stor är sannolikheten att du på tre ”plockningar” tar alla röda kulorna? 103 Människor som har ett avvikande färgseende kallas färgblinda. Den vanligaste formen kallas röd-grön färgblindhet. Det är cirka 7 % av alla män och 1 % av alla kvinnor som lider av åkomman.

105 Vikarien ska öppna dörren till klassrummet. På hens nyckelknippa sitter 5 möjliga nycklar. Hur stor är sannolikheten för att a) nyckeln inte passar b) andra nyckeln passar c) sista nyckeln blir den som passar 106 I en låda förvaras blå och svarta strumpor. Det finns 12 blå och 16 svarta. Du tar på måfå upp två strumpor utan att lägga tillbaka den första.Vilket av påståendena stämmer? Motivera ditt svar. A Det är troligast att de är av samma färg. B Det är troligast att de är av olika färg. C Det är lika troligt att de är av samma som olika färg. 107 Klassen arrangerar ett jippo för att samla pengar till klassresan. I ett av stånden ska man snurra på två lyckohjul samtidigt. Hur stor är chansen att a) summan är 2 b) summan är 4 c) summan är större än 8 A

5 På en skola är det 230 flickor och 227 pojkar.

5 2

2 3

a) Hur många flickor respektive pojkar lider troligen av röd-grön färgblindhet? b) En undersökning visade att 3 flickor och 10 pojkar är drabbade. Hur stor är sannolikheten att träffa en elev med färgblindhet på skolan? Bråk, procent och sannolikhet | Kapitel 2

40694775_mondo8.indb 57

2016-11-29 09:48

KAPITELDIAGNOS A NIVÅ 1-2 A1 Beräkna och svara med så liten nämnare som möjligt. 1 1 3 6 5 a) + b) 3 − c) + 4 8 7 4 6 A2 Beräkna och svara med så liten nämnare som möjligt. 1 1 5 6 a) ⋅ b) ⋅ 4 5 3 4

A8 Hur stor är sannolikheten att med en sexsidig tärning få

a) en tvåa

b) lägre än fyra

A9 Hur stor är sannolikheten att först slå en fyra och sedan en sexa med en sexsidig tärning? A10 I en skål ligger fem chokladkulor och sju gelénappar. Hur stor är chansen att ta upp två chokladkulor efter varandra om du inte tittar?

A3 Beräkna och svara med så liten nämnare som möjligt.

2 2 3 6

5 1 8 2

A4 Hur stor höjning eller sänkning visar förändringsfaktorn?

a) 0,7

b) 1,3

A5 Några snygga väskor för 650 kr/st reades ut, först med 20 % och sedan med 30 %. Vad kostade en väska efter sänkningarna? A6 Hur mycket blir räntan för ett lån på 100 000 kr om räntesatsen är 3,5 %? A7 Antalet röster på Blomsterpartiet ökade från 20 % till 25 %.

a) Hur stor är ökningen i procentenheter? b) Hur stor är ökningen i procent?

A11 Självbedömning Skriv om du är säker, ganska säker eller osäker på lösningen för var och en av uppgifterna A1-A10.

58 Kapitel 2 | Bråk, procent och sannolikhet

40694775_mondo8.indb 58

2016-11-29 09:48

KAPITELDIAGNOS B NIVÅ 2-3 B1 Beräkna och svara med så liten nämnare som möjligt. 2 4 3 8 9 5 a) + b) 2 − c) + 3 5 7 14 4 6 B2 Beräkna och svara med så liten nämnare som möjligt. 3 2 2 12 a) ⋅ b) 3 ⋅ 8 9 3 18 B3 Beräkna och svara med så liten nämnare som möjligt.

2 2 1 5 6

b) 1

1 3 3 5 5

B8 Sannolikheten för att nästa bil du ser är svart är 4 %. Hur många bilar bör troligtvis passera för att du ska ha sett fyra svarta bilar? B9 Du har en påse med tre blå kulor och fem röda kulor. Hur stor är sannolikheten att först dra en blå kula och sedan en röd kula om du

a) lägger tillbaka kulorna b) inte lägger tillbaka kulorna

B10 I en byrålåda ligger två par vita strumpor, tre par gröna och ett par röda strumpor. Hur stor är sannolikheten att du får två par vita strumpor om du tar ett par i taget?

B4 Hur stor är den totala höjningen eller sänkningen?

a) 1,2 · 0,8

b) 1,4 · 0,75

B5 Värdet på en aktie steg först med 10 % och sedan med ytterligare 15 %. Med hur många procent steg aktien totalt? B6 Hanna lånade 30 000 kr med räntesatsen 5,5 %. Efter ett halvår betalar hon tillbaka lånet. Hur mycket har hon då betalat sammanlagt? B7 Räntesatsen på ett banklån var 2,5 %. Året efter sjönk den till 1,5 %. a) Med hur många procentenheter sjönk räntan? b) Med hur många procent sjönk räntan?

B11 Självbedömning Skriv om du är säker, ganska säker eller osäker på lösningen för var och en av uppgifterna B1-B10.

Bråk, procent och sannolikhet | Kapitel 2 59

40694775_mondo8.indb 59

2016-11-29 09:48

Tillämpa förmågorna

TILLÄMPA KAPITEL 2 FÖRMÅGORNA 2

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA

Här följer tre större uppgifter där ni under arbetets gång övar alla förmågorna i matematik: P PROBLEMLÖSNING B BEGREPP M METOD R RESONEMANG K KOMMUNIKATION

Uppgifterna varierar i storlek och kan ta allt ifrån en lektion till någon vecka. Ofta arbetar ni i grupp och hur ni redovisar bestämmer ni tillsammans med er lärare.

LIVETS LOTTERI Idag lever ungefär 7,3 miljarder människor på jorden. Den största befolkningen finns i Kina som har nästan 1,4 miljarder invånare följt av Indien där ungefär 1,3 miljarder människor bor.Var hade ditt liv börjat om du hade fötts igen?

ÄR DET SANT ELLER SANNOLIKT?

1 . Det har vetenskapen 6 hävdat i ett par hundra år. Nu är det din tur att undersöka ifall det stämmer. Sannolikheten att slå en sexa med en sexsidig tärning är

SALTA BAD Saltvatten finns nästan överallt. Dock varierar koncentrationen av salt väldigt mycket. Hur stor skillnad är det egentligen mellan tårvätska och Assalsjön?

60 Kapitel 2 | Bråk, procent och sannolikhet

40694775_mondo8.indb 60

2016-11-29 09:48

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 1

LIVETS LOTTERI Barn i olika delar av världen har helt olika förutsättningar. Det ser exempelvis annorlunda ut vad det gäller utbildning, fattigdom och barnadödlighet.Var du föds kan betraktas som ett lotteri - livets lotteri! UPPGIFT

Ni deltar nu i livets lotteri. Tänk er att ni föds på nytt. Hur stor är då sannolikheten att födas i något av de 10 länder i världen med lägst barnadödlighet respektive i något av de 10 länderna med högst barnadödlighet? Ta reda på hur många barn som föds i respektive land. Räkna med att det dagligen föds 360 000 barn i världen. Länder med lägst barnadödlighet ”Topp 10” Plats Land 1 Norge 2 Finland 3 Island 4 Danmark 5 Sverige 6 Nederländerna 7 Spanien 8 Tyskland 9 Australien 10 Belgien

Länder med högst barnadödlighet ”Botten 10” Plats Land 169 Haiti 171 Guinea-Bissau 172 Tchad 173 Elfenbenskusten 174 Gambia 175 Niger 176 Mali 177 Centralafrikanska republiken 178 Demokratiska republiken Kongo 179 Somalia

Bråk, procent och sannolikhet | Kapitel 2 61

40694775_mondo8.indb 61

2016-11-29 09:48

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 2

ÄR DET SANT ELLER SANNOLIKT?

1 I kapitlet har vi lärt oss att sannolikheten att slå en sexa med en sexsidig tärning är . 6 1 Vi vet även att sannolikheten att slå att två sexor med två tärningar är . 36 Hur sant är detta? Kan man lita på sannolikhet? UPPGIFT

Bestäm en händelse och beräkna den teoretiska sannolikheten. Använd er fantasi och kreativitet då ni bestämmer händelser att undersöka. Designa därefter ett försök som bevisar att den teoretiska sannolikheten stämmer. Det är viktigt att försöket planeras noga. Tänk på alla detaljer som t.ex. hur ni ska utföra försöket, hur resultaten ska bokföras och hur många gånger försöket ska upprepas så att resultatet blir tillförlitligt. Begrepp ni kan behöva:

Förslag på händelser:

• Händelse

• Sannolikheten för summan 8 vid slag med två tärningar.

• Beroende händelse

• Sannolikheten att få stanna vid rödljuset utanför skolan.

• Oberoende händelse

• Sannolikheten att få ett spader ur en blandad kortlek.

• Utfall

• Sannolikheten för att få triss i yatzy.

• Gynnsamma utfall

• Sannolikheten för att få klave två gånger i rad när man singlar slant.

• Komplementhändelse • Relativ frekvens • Slump • Chans • Risk

62 Kapitel 2 | Bråk, procent och sannolikhet

40694775_mondo8.indb 62

2016-11-29 09:48

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 3

SALTA BAD Anna-Clara har nyligen rest runt i världen och badat i Döda havet med 33,7 %-salthalt och i Assalsjön med 40 %-salthalt. Det är en häftig känsla att känna hur man flyter som en kork i vattnet. Hon funderar vidare på att hon helst vill kunna dyka och kunna titta under vattnet. Då borde det vara så likt tårvätska, dvs. 0,9 %-saltlösning, som möjligt. Detta jämfört med vanligt dricksvatten som kan variera men inte bör ha en högre halt än 0,05 % för att inte påverka vår hälsa negativt. UPPGIFT

Gör en undersökning som jämför hur mycket salt och vatten som behövs för olika typer av vatten, allt från dricksvatten till havsvatten. – Bestäm er för en viss mängd vatten. – Välj fem olika sorters saltvatten. – Visa med lämpligt diagram fördelningen mellan salt och vatten. – Visa beräkningar för mängden salt och vatten när du startar med vattnet med lägst koncentration salt.Visa sedan med beräkningar vilken mängd vatten som behöver avdunstas för att få de andra koncentrationerna.

Bråk, procent och sannolikhet | Kapitel 2 63

40694775_mondo8.indb 63

2016-11-29 09:48

TRÄNA MERA 2.1 Addition, subtraktion och multiplikation med bråk

2.3 Förändringsfaktor

Beräkna och svara med så liten nämnare som möjligt. 9 5 7 3 5 4 1 a) + b) + c) + 6 6 8 4 3 7

2 a)

4 5 − 5 10

2 1 3 a) ⋅ 3 6

11 Vad innebär det att förändringsfaktorn är

8 2 − 9 3

1 3 c) 1 − 4 4

5 4 ⋅ 2 10

3 5 ⋅ 4 6

4 Tre kompisar ska dela på kostnaderna. 2 3 En av dem betalar och en annan . 5 10 Hur stor andel betalar den tredje?

1 kvar av en pizza. 4 1 av den. Selma äter 3 Hur stor andel av hela pizzan äter hon?

b) 0,87 c) 0,25

12 En affär sänker priset med 30 % på en tröja för 350 kr.Vilken beräkning visar vad den kommer att kosta?

A 0,3 · 350 kr C 1,3 · 350 kr

B 0,7 · 350 kr

13 Glassförsäljningen ökar så de höjer priset med 5 % på glassarna som kostar 25 kr.Vilken beräkning visar vad de kommer att kosta?

A 0,05 · 25 kr C 1,05 · 25 kr

B 0,95 · 25 kr

15 Medlemsavgiften på 250 kr höjdes med 8 %. Vad kostar den nu?

2.2 Division med bråk

2.4 Ränta

Beräkna och svara med så liten nämnare som möjligt. 1 1 2 6 a) 2 b) 3 c) 2 4 5 3

16 På ett sparkonto får du 3,5 % ränta. Hur stor blir räntan när det sätts in

7 a)

1 2 5

1 1 8 a) 3 6

1 3 4

2 2 b) 5 10

2 4 4

3 6 c) 2 8

9 Vad kostar en fjärdedels chokladkaka om en halv chokladkaka kostar 12 kr?

2 kvar av en tårta. 3 Hur stor andel av hela tårtan får var och en om det är sex personer som delar?

10 Det är

d) 2,3

14 Sportaffären har rea på alla innebandyprodukter med 15 %. Vad kostar en klubba för 860 kr på rean?

5 Det finns

a) 1,23

a) 1 000 kr

b) 24 000 kr c) 300 000 kr

17 Hur mycket blir räntan om du lånar 35 000 kr med räntesatsen

a) 1 %

b) 2,5 %

c) 5 %

18 En familj lånade 500 000 kr med 3 % ränta.

a) Hur stor är räntan i kr? b) Hur stor är räntan för ett halvår?

19 Räntan på ett bankkonto är 4,5 %. 200 000 kr sattes in på kontot. Hur mycket fanns på kontot efter ett år?

64 Kapitel 2 | Bråk, procent och sannolikhet

40694775_mondo8.indb 64

2016-11-29 09:48

TRÄNA MERA 2.5 Procent och procentenheter 20 Skriv av och gör färdigt tabellen. Värde 1

Värde 2

14 %

Förändring i procentenheter

25 %

Förändring i procent

+7 enheter 68 %

−12 enheter

21 Räntan på ett sparkonto ändras från 2 % till 3 %. a) Med hur många procentenheter har räntan förändrats? b) Med hur många procent har räntan förändrats? 22 Två målvakter tävlade mot varandra. Bill räddade 12 bollar av 20 skott. Bull räddade 18 bollar av 25 skott. a) Vem räddade flest skott i procent? b) Hur stor är skillnaden mellan målvakterna i procentenheter? 23 En målvakt tog 25 bollar av 50 skott. Den andra målvakten tog 2 procentenheter färre bollar. Hur många tog den andre målvakten, om hen också fick 50 skott emot sig?

2.6 Sannolikhet 24 Vad är sannolikheten att med en sexsidig tärning få a) en femma b) ett udda tal c) högre än fyra 25 Orange färg ger vinst i lotteriet. Det spelades 500 gånger. Hur många vinster kan man förvänta sig?

26 En familj har två pojkar. Hur stor är sannolikheten att få ytterligare en pojke? 27 Skriv sannolikheterna i procentform 1 a) 0,3 b) c) 0,97 d) 1 av 5 4 28 Hur stor är sannolikheten att få en vinst om det i ett lotteri är vinst på a) var femte lott b) var tjugonde lott c) var åttonde lott

2.7 Sannolikhet vid flera händelser 29 Beräkna sannolikheten att med en sexsidig tärning a) först slå en 3:a och därefter en 3:a b) först slå en 3:a och därefter ett jämnt tal

2 av sina skott. 3 Vilken sannolikhet stämmer på att hon gör två mål på två skott? 4 4 3 2 A B C D 6 9 6 3

30 Amanda gör mål på

2.8 Oberoende och beroende händelser 31 Hur stor är sannolikheten att du utan återläggning drar a) ett ess ur en kortlek

b) två ess i rad

32 I en påse finns 15 gröna, 10 röda och 11 vita bilar. a) Hur stor är sannolikheten att dra två vita bilar med återläggning? b) Hur stor är sannolikheten att först dra en grön bil och sedan en röd bil utan återläggning? 33 Du snurrar på lyckohjulet. Hur stor är sannolikheten att få a) först röd och sedan gul b) först röd och sedan blå Bråk, procent och sannolikhet | Kapitel 2

40694775_mondo8.indb 65

2016-11-29 09:48

FÖRDJUPNING

Procentberäkningar med kalkylprogram När du ska upprepa samma beräkning många gånger är det effektivt att göra det med hjälp av digitala hjälpmedel. Programmerbara miniräknare, läsplattor eller datorer är några exempel på sådana. Till denna fördjupning behöver du ett kalkylprogram. I cellerna kan du skriva text, tal eller formler. Allt beror på vad du vill att programmet ska utföra. För att kunna hänvisa till bestämda celler benämns kolumnerna med bokstäver och raderna med siffror. I bilden är cellen B2 markerad.

EXEMPEL

Använd ett kalkylblad och summera antalet timmar du tränat under en vecka.

Skriv veckans dagar i kolumn A. Du kan göra det antingen genom att skriva varje dag för sig eller genom att använda autofyll-funktionen. (Skriv måndag i A2 och tisdag i A3. Markera därefter dessa celler och ta tag i hörnet av A3. Dra neråt till A8 och släpp.) Skriv in antalet träningstimmar i kolumn B. Skriv summa i cell A9. I cell B9 skriver du in formeln = summa (B2:B8) som gör att tiden automatiskt summeras.

Kapitel 2 | Bråk, procent och sannolikhet

40694775_mondo8.indb 66

2016-11-29 09:48

FÖRDJUPNING 1 En familj skrev upp sin bilanvändning en vecka.

Måndag 35 km Tisdag 43 km Onsdag 78 km Torsdag 5 km

Fredag 29 km Lördag 134 km Söndag 0 km

a) Redovisa körsträckorna i ett kalkylblad. b) Lägg in den genomsnittliga körsträckan i kalkylbladet. c) Redovisa körsträckorna i ett stapeldiagram. 2 Använd kalkylblad för att beräkna. a) Hur många procent är 56 av 8 000? b) Hur mycket är 23 % av 3 450 kr? 3 När en skola ska beställa förbrukningsmaterial återanvänds en gammal beställning. Priserna har sedan dess stigit med 20 %. Programmera ett kalkylblad så att de tomma cellerna fylls i korrekt. Vara

Färgkritor 4 st

Gammalt pris

58,00 kr

Skissbok A5

114,00 kr

Limstift 20 st

25,00 kr

Radergummi 30 st

79,00 kr

Sax 14 cm 10 st Blyertspenna 144 st

Ökning

Nytt pris

5 Olle köper en husbil för 400 000 kr. Värdet på husbilen minskar med 12 % varje år. Programmera ett kalkylblad och ta reda på efter hur många år bilen är värd hälften av ursprungspriset. 6 Aina tjänar 85,25 kronor i timmen. Om hon arbetar lördag eller söndag får hon 30 % mer i lön per timme. Hon ska betala 31,25 % i skatt. Använd ett kalkylblad och beräkna Ainas lön före och efter skatt om hon har arbetat följande: vecka

mån–fre

lör–sön

14 h

7,5 h

12,5 h

5,5 h

16,25 h

8,5 h

6,25 h

2,5 h

7 En otränad person förbättrar sin tid på löprundan med 10 % varje gång. Efter hur många rundor har personen halverat tiden? Använd ett kalkylblad för att beräkna uppgiften.

205,00 kr

8 Använd ett kalkylblad och beräkna lånekostnaderna på respektive lån (utan amortering). Hur mycket får man betala för ett lån på 10 000 kr efter

99,00 kr

Summa

4 Programmera ett kalkylblad så att det fungerar för poängräkning av ett yatzy-spel. Bladet ska fungera genom du fyller i antalet ettor, tvåor osv. Bonus på 50 poäng får man om summan av grundomgången är 63 poäng eller högre.

1:or

Yatzy

2:or 3:or 4:or 5:or 6:or

a) b) c) d)

1 år 2 år 10 år Redovisa i ett linjediagram.

Produkt

Ränta per år i %

Sms-lån

33,25

Banklån

2,25

Summa Bonus

Summa totalt

Bråk, procent och sannolikhet | Kapitel 2

40694775_mondo8.indb 67

2016-11-29 09:48

BEGREPP

Procent

Hundradel.

Procentenheter

Anger differensen mellan två tal i procentform.

Förändringsfaktor

Faktor som anger relativ förändring.

Sannolikhet

Den chans eller risk för att en händelse ska inträffa. Uttrycks med ett tal mellan 0–1 i bråk-, decimal- eller procentform.

Chans

Sannolikhet för ett lyckat resultat.

Risk

Sannolikhet för ett misslyckat resultat.

Slump

Ett annat ord för det oförutsägbara.

Händelse

Mängd möjliga utfall i ett försök. Då man kastar en tärning är exempel på händelser: en sexa, ett udda tal, lägre än en fyra.

Utfall

Möjligt resultat av ett slumpmässigt försök.

Gynnsamma utfall

De utfall som man vill få i ett slumpmässigt försök.

Möjliga utfall

De resultat som man kan få i ett slumpmässigt försök.

Komplementhändelse

Samtliga utfall i en händelse som inte är gynnsamma.

Beroende händelse

Händelse där sannolikheten ändras av en tidigare händelse. Sannolikheten för att dra två ess i rad påverkas av om man inte lägger tillbaka första esset i kortleken.

Oberoende händelse

Händelse där sannolikheten inte ändras av en tidigare händelse. T.ex. är det lika stor sannolikhet att få en sexa på en sexsidig tärning även om det blivit en sexa innan.

68 Kapitel 2 | Bråk, procent och sannolikhet

40694775_mondo8.indb 68

2016-11-29 09:48

SAMMANFATTNING

DU SKA KUNNA

EXEMPEL

LÖSNINGSFÖRSLAG

Addition och subtraktion med bråk

1 1 1 + − 2 8 4

1 1 1 1⋅ 4 1 1⋅ 2 4 1 2 3 + − = + − = + − = 2 8 4 2⋅4 8 4 ⋅2 8 8 8 8

Multiplikation med bråk

2 1 2 ⋅ 3 4

2 1 8 1 8 ⋅1 2 ⋅1 2 2 ⋅ = ⋅ = = = 3 4 3 4 3 ⋅ 4 3 ⋅1 3

Division med bråk Förändringsfaktor

Procent och procentenheter

3 4

En elgitarr kostar 3 200 kr. Priset sänks med 5 % och därefter med ytterligare 15 %. Vad kostar elgitarren efter båda sänkningarna?

1 3 10 3 10 4 10 ⋅ 4 40 = = = = 13 ⋅ = 4 1 4 1 3 1⋅ 3 3 3

Nytt pris: 0,95 · 0,85 · 3 200 = 0,8075 · 3 200 = 2 584 kr Det nya priset är 2 584 kr.

Ett år sänktes räntesatsen från 3 % till 2,5 %.

a) Skillnad i procentenheter: 3 − 2,5 = 0,5 % Den har minskat med 0,5 procentenheter.

a) Hur många procentenheter har räntan förändrats?

b) Skillnad mellan procentsatserna: 0,5 % 0,5 Förändring i procent: = = 0,167 = 17 % 3 Räntesatsen har minskat med 17 %.

b) Hur många procent lägre blir räntan? Sannolikhet

Hur stor är sannolikheten att slå en etta eller sexa med en sexsidig tärning? Hur många gånger bör man få en etta eller sexa om man slår tärningen 60 gånger?

2 1 = 6 3 1 Sannolikheten är ≈ 33 %. 3 1 P (1 eller 6) = 3 1 60 · = 20 st 3

P (1 eller 6) =

Man bör få en etta eller sexa 20 gånger. Oberoende och beroende händelser

I en påse finns fem röda och fem svarta tuggummin. Hur stor är sannolikheten att ta två svarta tuggummin

5 5 a) b) 10

5 10

4 9

5 10

5 10 5 9

5 9

4 9

a) med återläggning b) utan återläggning

5 5 25 · = = 25 % 10 10 100 5 4 20 b) P (svart, svart) = · = ≈ 22 % 10 9 90 a) P (svart, svart) =

Bråk, procent och sannolikhet | Kapitel 2 69

40694775_mondo8.indb 69

2016-11-29 09:48

KAPITEL 3

Algebra och ekvationer

70â&#x20AC;&#x192; Kapitel 3 | Algebra och ekvationer

40694775_mondo8.indb 70

2016-11-29 09:48

PROBLEMLÖSNING

BEGREPP

METOD M RESONEMANG R KOMMUNIKATION K

CENTRALT INNEHÅLL • Beskriva och uttrycka mönster • Använda formler • Förenkla och beräkna värdet av uttryck • Procenträkning • Metoder för att lösa ekvationer • Rimlighetsbedömning vid uppskattning och beräkning

SIDORNA 92–95

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA I PROJEKT: Tutti frutti Bilkön Wings for life

GRUPPUPPGIFT

Jimmy, Altea och Hamid jämför sina lösningar på en uppgift. De har fått tre olika svar. Ingen vill ge sig utan hävdar att de gjort rätt. Medla fred och hjälp dem att förstå. Jimmy: ab · ab = 2ab Altea: ab · ab = a 2b Hamid: ab · ab = ab 2

Algebra och ekvationer | Kapitel 3

40694775_mondo8.indb 71

2016-11-29 09:48

GRUNDKURS

3.1 FÖRENKLING AV PARENTESUTTRYCK Parentes används för att markera vad som ska prioriteras i ett uttryck. Inom algebran är det ofta svårt att prioritera parentesen och då måste den tas bort för att uttrycket ska kunna förenklas. Plustecken framför parentes

Parentesen kan tas bort och uttrycket kan förenklas vidare. t.ex. 20 + (4 + 3) = 20 + 4 + 3 = 27

Parentesen kan tas bort efter byte Minus framför parentes av samtliga tecken (+ och –) inuti parentesen. t.ex. 20 – (4 + 3) = 20 – 4 – 3 = 13 EXEMPEL 1

EXEMPEL 2

Förenkla

10y + (6 + 15y)

(25x – 5y) – (20x – 5y)

10y + 6 + 15y 10y + 15y + 6 25y + 6

25x – 5y – 20x + 5y 25x – 20x – 5y + 5y 5x

Svar: 25y + 6

Svar: 5x

a + (b + c) = a + b + c a + (b – c) = a + b – c

a – (b + c) = a – b – c a – (b − c) = a – b + c

GRUPPUPPGIFT

Matteläraren skriver upp följande likheter: • 7x – (3x – 4 + 2x) = 7x – 3x + 4 – 2x = 7x – 5x + 4 • 7x + (–3x – 4) = 7x – 3x – 4 • 7x – (–3x – 4) = 7x + 3x + 4 a) Förklara hur detta stämmer. b) Förenkla uttrycken. c) Sätt in x = 2 och kontrollera om förenklingen stämmer.

72 Kapitel 3 | Algebra och ekvationer

40694775_mondo8.indb 72

2016-11-29 09:48

GRUNDKURS NIVÅ 1 Förenkla uttrycken. 1 a) 10x + (5x + 3)

b) 2y + (8y − 4)

2 a) 3 + (10x + 3x)

b) 5y − (y + 8)

3 a) 8 − (8 − 5x)

b) 2x − (x − 6)

4 a) (2x − 6) + (x + 6) b) (2x − 6) − (x + 6) 5 Annas lösning är fel.

a) Förklara vad som är fel.

b) Beräkna och skriv korrekt svar.

Annas lösning 4 − (4 + 5) 4−4+5 0+5 5 Svar: 5

NIVÅ 2 Förenkla uttrycken. 6 a) 6x + 8 + (4x + 3) b) 7x − (5x − 3y) + y 7 a) (4x + 9) − (6x − 6) + 20x b) (a − 20) + 10a − (3a − 30)

20x − (2x − 10) + (3 − 8x) 2 b) (8a + 3) + (8a − 3) − (8a − 3)

8 a)

9 I vilka av uttrycken behövs ett teckenbyte då parenteserna tas bort?

A (7a + 3) − (7a + 3) + (7a + 3) B (8b − 5a − 3) + (4b − 3a − 2) − 8a C 9z + 9z − 5z + (4a − 3z) − (4a + 10z) D 6 + (x − 3) − 8

10 Vilka alternativ motsvarar uttrycket 4x − x + 7y − 2y?

A (4x − 2y) + (7y − x) B (4x − x) + (7y − 2y) C (4x − 2y) − (7y − x) D (4x − x) − (7y − 2y)

NIVÅ 3 Förenkla uttrycken. 11 a) 2x − 9 − (3x + 6) − (−2x + 8)

b) 2x − (x + (2 − x) − (3 − x))

12 a)

6 − (6 − 4 x ) 5 − (5 − 2x )

(7a − 10) − (a − 10) (a + 20) + (2a − 20)

13 a) Förenkla uttrycket a − (a + b) + (a − b) + 8a − (3b − 2a).

b) Beräkna värdet då a = 3 och b = 2.

14 a) Förenkla uttrycket 4x + (3 − x + y) − (x − 8 + 3y).

b) Beräkna värdet då x = 5 och y = 10.

15 Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för den färgade figurens omkrets.

(a + 2b)

(cm)

(a – b) b (a – b)

Algebra och ekvationer | Kapitel 3 73

40694775_mondo8.indb 73

2016-11-29 09:48

GRUNDKURS

3.2 MULTIPLIKATION MED PARENTESUTTRYCK EXEMPEL 1

Vid multiplikation med en parentes multipliceras faktorn med alla termer i parentesen. 3(x + 4) = 3(x + 4) = 3 · x + 3 · 4 = 3x + 12

Svar: 3x + 12

EXEMPEL 2

Vid multiplikation av uttryck med två parenteser är det viktigt att alla termer i den första parentesen multipliceras med alla termer i den andra.

Kom ihåg:

• multiplikation med lika tecken ger ett positivt svar • multiplikation med olika tecken ger ett negativt svar 1

(x + 3)(x + 4) = (x + 3)(x + 4) = (x · x + x · 4 + 3 · x + 3 · 4) = (x2 + 4x + 3x + 12) = x2 + 7x + 12 3

Svar: x + 7x + 12 EXEMPEL 3

(x + 3)(x − 4) = (x · x − x · 4 + 3 · x − 3 · 4) = (x2 − 4x + 3x − 12) = x2 − x − 12 Svar: x2 − x − 12 EXEMPEL 4

(x − 3)(x − 4) = (x · x − x · 4 − 3 · x + 3 · 4) = (x2 − 4x − 3x + 12) = x2 − 7x + 12 Svar: x2 − 7x + 12

GRUPPUPPGIFT

Vad saknas i uttrycken för att likheten ska gälla? Ersätt den tomma rutan med rätt tal eller bokstav. a) (x + b) (

)(x −

+ 4)(x −

) = x2 − 9 ) = x2 – 16

74 Kapitel 3 | Algebra och ekvationer

40694775_mondo8.indb 74

2016-11-29 09:48

GRUNDKURS NIVÅ 1

NIVÅ 3

Förenkla uttrycken.

16 a) 2(x + 7)

b) 5(4 + 3y) c) x(x − 4)

28 a) 0,1x(x + 10)

b) −8(5 − x)

c) −2y(4 − 2y)

17 a) (y + 2)(y + 2)

b) (a + 2)(a + 3)

18 a) (2y + 2)(y + 2)

b) (x − 3)(x + 2)

19 a) (2x − 6)(x + 6)

b) (a + 3)(a − 3)

b) (x − 4)(x − 5)

20 a) (x + 4)(2x + 5)

b) (6x + 1)(x −1)

30 a) (2a + 1)(1 + a)

29 a) (3x + 4)(3x + 4)

21 Vilket av uttrycken representerar rektangelns area?

A x + 4 B x2 + 4x C 2x + 4 D 4x + 16

31 a) (2x + 3y)(x − y)

b) (5x − 3)(x + 4) − 17x

b) (x − 0,5y)(2x + y)

32 Skriv ett uttryck för det färgade områdets area.

(x + 4) (cm)

NIVÅ 2

(x – 2)

Förenkla uttrycken. 22 a) 0,1(x − 7) b) 4y(4 + y) c) 4y(y + y) 23 a) (2y + 2)(y + 2)

b) (2y − 2)(y + 2)

24 a) (2y − 2)(y − 2)

b) (6 + x)(2x + 5)

25 a) (x + 5)(7 − x)

b) (a − 3)(2a + 1)

26 Vilket av uttrycken ger störst värde om y = 2?

A y2 B (y + 1)(y − 1) C (y − 1)(y − 1)

27 Skriv ett uttryck för figurens area.

(cm)

(x – 2)

(x + 4)

33 Förenkla uttrycken.

a) 2(x + 2) + (2x + 1)(x − 1)

b) x(x − 3) + (x + 2)(x − 1)

c) (4x − 2)(9 − x) − (3 − 4)(x − 4)

34 a) Förenkla uttrycket 2(y − 2)(y − 1) + (y + 3)(y + 1) − (y + 3)(y + 2)

b) Beräkna värdet då y = 4.

2 Algebra och ekvationer | Kapitel 3 75

40694775_mondo8_Kap03.indd 75

2016-11-29 12:04

GRUNDKURS

3.3 KVADRERINGSREGLER OCH KONJUGATREGELN Uttryck av formen (a + b)2 utvecklas till (a + b)(a + b) enligt tidigare anvisningar eller så använder man sig av kvadreringsreglerna.

Första kvadreringsregeln 2

a+b

(a + b) = (a + 2ab + b ) ”Den första termen i kvadrat plus dubbla produkten av termerna plus den sista termen i kvadrat.”

a+b

Andra kvadreringsregeln (a − b)2 = (a2 − 2ab + b2) ”Den första termen i kvadrat minus dubbla produkten av termerna plus den sista termen i kvadrat.” Om uttrycken är av formen (a + b)(a − b) är konjugatregeln användbar. Den enda skillnaden mellan parenteserna är alltså tecknet mellan termerna.

Konjugatregeln (a + b)(a − b) = a2 − b2 ”Den första termen i kvadrat minus den sista termen i kvadrat.”

a–b a

a–b

a+b a

a–b

GRUPPUPPGIFT

Läraren och eleverna har en tävling om vem som snabbast räknar ut 252, 552 och 752 i huvudet. Läraren skriver direkt ner svaren. ”Hur gör du?” undrar eleverna. Skriv talen som (10a + 5)2 där a är tiotalet. (10a + 5)2 = 100a2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25 = a(a + 1) · 100 + 25 Förklara hur detta hjälper läraren.

76 Kapitel 3 | Algebra och ekvationer

40694775_mondo8.indb 76

2016-11-29 09:48

GRUNDKURS NIVÅ 1

NIVÅ 2

Utveckla uttrycken.

35 a) (a + b)2

41 a) (2a + b)2

b) (a − b)2

c) (b + a)2

a) första kvadreringsregeln

(a + b)2

a2 − 2ab + b2

a2 + 2ab + b2

(a − b)

(a + b)(a + b)

38 a) Skriv ett uttryck för figurens area.

b) area

c) Beräkna arean om x = 4 m.

− b)2

a) (3 + b) (3 − b) = 9 + b2 b) (6 − b)2 = b2 − 12b + 36

a) 35 · 35

b) 47 · 47

c) 103 · 103

a) 782

b) 35 · 45

c) 87 · 93

NIVÅ 3 (a – 1)

Utveckla uttrycken. 46 a) (4a + 3b)2 b) (2x − 3)2

b) Använd uttrycket och beräkna arean om a = 5 cm.

a) omkrets

+ b2 = (

45 Använd kvadreringsreglerna eller konjugatregeln och beräkna.

− b) = 32 − b2

44 Använd första kvadreringsregeln och beräkna (tips: Skriv 35 som 30 + 5).

39 Skriv ett uttryck för hela kvadratens

)(

43 Avgör om följande likheter stämmer.

b) (2a − b)(2a + b)

b) andra kvadreringsregeln

a) (3 +

b) 32 −

37 Vilka uttryck hör till

c) (2a − 1)2

42 Vad saknas i uttrycken för att likheten ska gälla?

36 a) (a + b)(a − b)

b) (2a − b)2

(a + 1)

47 a) (x − 3)(x + 3)

c) (x2 + 2)2

b) (xy + 1)(xy − 1)

48 Förenkla uttrycken.

a) (x + 3)2 − (x + 3)(x − 3) b) (2a + 3b)2 − (2a − 3b)2

49 Utveckla uttrycken.

40 Para ihop ekvivalenta uttryck.

1 (3 + b)2

A 32 − b2

2 (3 − b)2

B (32 + 6b + b2)

3 (3 + b)(3 − b)

C (32 − 6b + b2)

a) (a + b)(a + b)2

b) (2x − 1)3

Använd kvadreringsreglerna eller konjugatregeln för att skriva uttrycken som en produkt. 50 a) 9x2 − 30x + 25 b) 4x2 + 20x + 25 c) x2 + 2x + 1 51 a) x2 – 9

b) 4x2 – 64

c) 81x4 – 49

Algebra och ekvationer | Kapitel 3 77

40694775_mondo8.indb 77

2016-11-29 09:48

GRUNDKURS

3.4 FÖRENKLA OCH BERÄKNA VÄRDET AV UTTRYCK Uttryck kan se komplicerade ut men kan ofta förenklas så att de blir enklare. Då är det viktigt att prioritera korrekt samt att hålla reda på tecknen. Det underlättar att behålla parenteserna runt uttrycken så länge som möjligt.

Prioriteringsregler 1. Parenteser 2. Multiplikation och division 3. Addition och subtraktion

EXEMPEL 1

EXEMPEL 2

Förenkla uttrycket.

Förenkla uttrycket. Beräkna därefter värdet om x = 2.

3x2 − (x + 1)(x − 1) 3x2 − (x2 − 1) 3x2 − x2 + 1 När parentesen tas bort ändras tecknen 2x2 + 1

2x2 + (x − 2)(x + 4) 2x2 + (x2 + 4x − 2x − 8) 2x2 + (x2 + 2x − 8) 2x2 + x2 + 2x − 8 3x2 + 2x − 8

Svar: 2x2 + 1

x = 2 ger 3·2·2+2·2−8 12 + 2 − 8 14 − 8 = 6 Svar: 6

NIVÅ 1 Förenkla uttrycken. 52 a) 5(3x − 6)

b) 8(a + 1) − 5

53 Miriam har förenklat ett uttryck men kommer inte vidare när hon ska beräkna värdet om a = 2. Hjälp henne.

4a2 − (a + 1)(a − 1) 4a2 − (a2 − 1) 4a2 − a2 + 1 3a2 + 1 54 a) (x + 2)(x + 3)

56 a) x2 + (x − 3)(x − 3) b) 3x + (2x + 3)(x − 4)

(cm)

57 Skriv ett förenklat uttryck för kvadratens omkrets.

(4x + y) 58 a) Skriv ett uttryck för figurens area.

b) 19 + (x + 3)(x − 3)

55 a) 2x2 − (x + 1)(x − 1)

b) (x + 1)2 − x2

b) Använd uttrycket och beräkna arean om x = 5 cm.

(cm) (x + 2) (x + 4)

78 Kapitel 3 | Algebra och ekvationer

40694775_mondo8.indb 78

2016-11-29 09:48

GRUNDKURS NIVÅ 2

NIVÅ 3

Förenkla uttrycken.

59 a) 7a(b + 2) + 3(2a − 2b)

65 a) (x + 5)(x − 5) − x(x − 5)

b) (a + b)(b + a) + (a + b)

x2 + x (x − y) − (x + y)(x − 2y)

b) (x − 1)2 − (5x2 − 5)

61 Ersätt den tomma rutan med rätt tal eller bokstav för att likheten ska gälla. a) (x +

b) (

)(x −

+ 4) (x −

b) (y + 3)2 − (y − 3)2

66 Förenkla uttrycket.

60 a) 9(x − 1)(x + 1)

) = x2 − 9 ) = x2 − 16

62 Skriv ett uttryck för rektangelns

a) omkrets

b) area

c) Beräkna arean om x = 4 m.

(m)

67 Skriv ett uttryck för figurens area. Förenkla (x + 1) därefter så långt som möjligt.

(m) 2x

(x + 2)

68 Förenkla först och beräkna därefter uttryckets värde om x = 0,5 .

a) 3x(x − 5) − (x − 3)(x + 3)

b) (2x + 3)2 − (2x − 3)2 + (2x + 3)(2x − 1)

69 En tomt har måtten 60 × 80 m. Husägaren bygger en pool med sidorna x och (x + 5) m, vilket leder till att gräsmattans area blir mindre.

(7x + 4)

a) Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för skillnaden mellan den gamla och nya gräsmattans area.

b) Beräkna den nya gräsmattans area om x = 10 m.

(2x – 3) 63 Förenkla uttrycket.

5x(3x − y) − (x + y)(3x + 3) 64 Ersätt den tomma rutan med rätt tal eller bokstav för att likheten ska gälla.

a) 4x2 + (

b) 4(

− 3)2 =

+ 4)(x −

x 2 − 6x + 9

) = 8x 2 + 8x − 16

Algebra och ekvationer | Kapitel 3 79

40694775_mondo8.indb 79

2016-11-29 09:48

GRUNDKURS

3.5 FORMLER En formel är ett uttryck som beskriver samband mellan olika storheter med hjälp av symboler. När man använder en formel är det ofta en speciell variabel som man vill veta värdet av. Har man tur passar formeln för beräkning av den okända variabeln. Om inte måste formeln skrivas om så att den passar. EXEMPEL 1

EXEMPEL 2

Ohms lag anger sambandet mellan spänning (U), resistans (R) och strömstyrka (I), U = R · I. Lös ut R ur formeln.

Spänningen är 230 V och strömstyrkan är 10 A. Beräkna resistansen i ohm (Ω).

Lösning:

1 Formeln är

1 Skriv av formeln. 2 Dividera med I i båda led. 3 Förenkla. 4 Vi har löst ut R.

U=R·I U R ⋅I = I I U =R I U R= I

EXEMPEL 3

Lösning:

U I 230 2 Sätt in värdena i formeln. R = 10 230 R= = 23 Ω 3 Beräkna. 10 R=

Svar: Resistansen är 23 Ω.

2 Förenkla.

π⋅r2 ⋅h . Lös ut h ur formeln. 3 π⋅r2 ⋅h ⋅3 V ⋅3 = 3 V · 3 = π · r2 · h

3 Dividera med π · r2 i båda led.

V ⋅3 =

Volymen av en kon beräknas med hjälp av formeln 1 Multiplicera med 3 i båda led.

4 Förenkla. 5 Vi har löst ut h.

V =

π⋅r2 ⋅h π⋅r2

V ⋅3 =h π⋅r2 V ⋅3 h= π⋅r2

GRUPPUPPGIFT

V ⋅3 , och beräkna hur hög π⋅r2 en kon måste vara för att rymma en liter vatten om radien är 4 cm.

a) Använd formeln i exempel 3, h =

b) Hur förändras höjden om radien är 8 cm istället?

Kapitel 3 | Algebra och ekvationer

40694775_mondo8.indb 80

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS NIVÅ 1 70 Lös ut X ur formeln T = Y · X 71 Lös ut h ur formeln

a) A = b · h

b) A =

b ⋅h 2

72 Formeln s = v · t uttrycker ett samband mellan sträckan, medelhastigheten och tiden.

a) Lös ut v.

b) Lös ut t.

73 Ett enkelt sätt att uttrycka hastighetsformeln är enligt bilden. s Håll för den sökta variabeln. Då får du svar på hur v · t beräkningen ska utföras.

Använd formeln och beräkna

a) s om v = 90 km/h och t = 3 h b) t om v = 340 m/s och s = 850 m 74 En cyklist som cyklar 81 km på 3 h. Beräkna medelhastigheten. 75 En bilist kör 1,25 h med medelhastigheten 64 km/h. Hur långt har bilisten kört?

NIVÅ 2 76 Använd formeln r = k · p · t. Lös ut a) t b) p 77 Lös ut h ur formeln V = π · r2 · h. 78 Använd valfria variabler ur listan och skriv två formler som du kan.

s = sträcka v = medelhastighet t = tid r = radie d = diameter

b = bas h = höjd A = area O = omkrets π = pi

79 I Albert Einsteins berömda formel E = mc2 beräknas den energi (E) en viss massa har (m) med hjälp · av ljusets hastighet (c). Rita av figuren och placera ut E, m och c2 på samma sätt som i ”svt-triangeln”. 80 Utgå från sambandet 25x + 5y = 50. I vilket eller vilka av alternativen har man löst ut y korrekt? (25x + 5y ) A y = 5x + 10 C y = 50 50 B y = 10 − 5x D y = (25x + 5y )

NIVÅ 3 81 Lös ut x ur formeln

a) z = 4(1 + x)

82 Lös ut p ur formeln 4(2 + p ) a) s = 2

y =6 (1 + x )

2 b) p =

p(2 + 3) 2

83 Newtons gravitationslag säger att två kroppar dras till varandra av en kraft (F) som beror på kropparnas massor (m), och deras avstånd (r) till varandra. Lös ut gravitationskonstanten G ur formeln. m ⋅m F =G 1 2 2 r 84 Använd Einsteins formel E = mc2 och beräkna energiinnehållet i 1 kg uran.

m = massan i kg c = 3 · 108 m/s (ljusets hastighet) E = energin i J (joule)

Svara i grundpotensform.

85 Sveriges årsförbrukning av elenergi är 150 TWh. Hur många kg uran motsvarar det, om allt uran kan användas som energi?

1 TWh = 1012 Wh

1 Wh = 3 600 J

Algebra och ekvationer | Kapitel 3 81

40694775_mondo8.indb 81

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS

3.6 MÖNSTER Mönster har alltid inspirerat och lockat människor. Mönster kan vara både aritmetiska talföljder och geometriska talföljder. 1 Räkna ut differensen (skillnaden) mellan talen. Detta avslöjar de aritmetiska talföljderna. I dessa är differensen mellan två på varandra följande tal alltid konstant. 2 Räkna ut kvoten mellan två följande tal. Detta avslöjar de geometriska talföljderna. I dessa är kvoten mellan två på varandra följande tal alltid konstant. EXEMPEL 1

Detta är de tre första figurerna i ett mönster med stickor. Beskriv mönstret med en formel.

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Antalet stickor i figurerna ger oss talföljden 8, 11, 14. Differensen mellan antalet stickor i figurerna är konstant. Antalet ökar med 3. Starttalet i aritmetiska talföljder får vi genom att subtrahera talföljdens första tal med differensen, 8 − 3 = 5. Formeln blir an = 3n + 5, där an = det sökta talet och n = talets ordningsnummer i talföljden. Svar: an = 3n + 5 EXEMPEL 2

Hitta mönstret i talföljden 3 9 27 81 och skriv formeln. Kvoten mellan två på varandra följande tal blir konstant,

9 27 81 = = = 3. 3 9 27 n−1

Formeln för att räkna ut ett specifikt tal i en geometrisk talföljd är an = a1 · k an = det sökta talet, a1 = det första talet i talföljden, k = kvoten mellan talen och n = talets ordningsnummer i talföljden. n Formeln till talföljden ovan kan alltså skrivas an = 3 · 3 − 1.

, där

n−1

Svar: an = 3 · 3

82 Kapitel 3 | Algebra och ekvationer

40694775_mondo8.indb 82

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS

EXEMPEL 3

Detta är de tre första figurerna i ett mönster med kvadrater. a) Förklara mönstret. b) Beskriv mönstret med en formel. Visa att det alltid stämmer.

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Lösning: a) Antalet kvadrater i varje figur är figurens nummer i kvadrat, t.ex. figur 2: 2 · 2 = 22 = 4 kvadrater. b) Antalet kvadrater = n · n = n2 EXEMPEL 4

Beräkningarna nedan följer ett mönster. 22 − 12 = 4 − 1 = 3 = 2 + 1 32 − 22 = 9 − 4 = 5 = 3 + 2 42 − 32 = 16 − 9 = 7 = 4 + 3 a) Förklara mönstret. b) Visa att det alltid stämmer.

Lösning: a) När du kvadrerar två på varandra följande tal och subtraherar dessa får du samma svar som när du adderar talen med varandra. b) Tal 1 = x och Tal 2 = (x + 1)

Kvadrera och subtrahera uttrycken (x + 1)2 − x2 = (x + 1)(x + 1) – x · x = (x2 + 2x + 1) − x2 = 2x + 1

Addera uttrycken (x + 1) + x = 2x + 1

Därmed har vi visat att mönstret alltid stämmer.

GRUPPUPPGIFT

Hitta samband mellan A och B genom att jämföra svaren. A

1 =

13 =

1 + 2 =

13 + 23 =

1 + 2 + 3 =

13 + 23 + 33 =

1 + 2 + 3 + 4 =

13 + 23 + 33 + 43 =

Algebra och ekvationer | Kapitel 3 83

40694775_mondo8.indb 83

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS NIVÅ 1

91 Detta är de tre första figurerna i ett mönster med hjärtan.

86 Beskriv mönstret med ord. a) 1 b) 1 c) 1

4 8 12 16 100 10 000 1 000 000 4 9 16 25

87 Detta är de tre första figurerna i ett mönster med kvadrater.

Figur 1

Figur 2

Figur 3

a) Hur många hjärtan har figur 10? b) Vilken figur har 61 hjärtan? c) Beskriv mönstret med ord och formel. Figur 1

a) b) c) d)

Figur 2

Figur 3

NIVÅ 2

Rita figur 4. Hur många kvadrater har figur 6? Vilken figur har 23 kvadrater? Beskriv mönstret med ord och formel.

92 Gör färdigt talföljderna.

88 Rita de tre första figurerna i ett mönster med kvadrater enligt formeln. Antal kvadrater = n2 + 1 89 Hitta mönstret i talföljden 2

a) Beskriv mönstret med ord. b) Beskriv mönstret med en formel.

32.

a) 3 b) 2 c) 9

6 9 4 8 16

15 32 36

93 Välj tre på varandra följande tal. a) Visa att resultatet blir mittentalet om du adderar talen och dividerar med tre. b) Visa att det gäller för alla tal. 94 Hitta formeln till mönstret.

90 Tornet är uppbyggt av kuber.

Figur 1

Figur 2

Figur 3

95 Trappan är uppbyggd av kuber a) Hur många kuber har trappan?

a) Hur många kuber har tornet? b) Hur många kuber har tornet om det är 10 kuber högt? c) Beskriv hur antalet kuber förändras från ett lager till nästa lager.

b) Hur många kuber har trappan om den är 10 kuber hög? c) Beskriv med formel hur antalet kuber förändras från ett lager till nästa lager.

Kapitel 3 | Algebra och ekvationer

40694775_mondo8.indb 84

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS 96 Tänk på ett tal. Dubbla talet och addera med 10. Dividera sedan med 2 och subtrahera med 4. a) Testa med tre olika tal och undersök vilket svar du får. Vilket mönster ser du?

100 Beräkningarna nedan visar ett samband. a) Förklara sambandet. b) Visa att det alltid stämmer. 2·4=8 32 = 9 2 3 · 5 = 15 4 = 16 4 · 6 = 24 52 = 25

b) Visa att det alltid stämmer. 97 Undersök mönstret med kvadrater.

101 Hur många kvadrater har figur 6?

Figur 1 Figur 1

Figur 2

Figur 3

Figur 2

Figur 3

102 Undersök mönstret.

a) Beskriv mönstret för antalet mörka kvadrater. b) Beskriv mönstret för antalet ljusa kvadrater. c) Skriv en formel för att beräkna antalet ljusa och mörka kvadrater i en figur.

Figur 3

b) Skriv formeln för antalet cirklar i en figur.

98 Gör färdigt talföljderna.

−1

b) 5 120

−11 1 280

−21 80

99 Detta är de tre första figurerna i ett mönster med trianglar.

Figur 1

Figur 2

a) Skriv formeln för antalet plustecken i en figur.

NIVÅ 3 a) 4

Figur 1

Figur 2

c) Skriv en formel för totala antalet plustecken och cirklar i en figur. 103 Pyramiden är uppbyggd av kuber.

Figur 3

a) Skriv formeln för antalet trianglar i en viss figur. b) Skriv en formel för hur antalet trianglar ökar för varje rad i en figur från topp till basen.

a) Hur många kuber har pyramiden? b) Hur många kuber har pyramiden om den är 10 kuber hög? c) Beskriv med formel hur antalet kuber förändras från ett lager till nästa lager. Algebra och ekvationer | Kapitel 3

40694775_mondo8.indb 85

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS

3.7 PROBLEMLÖSNING MED EKVATIONER Ekvationer är ett utmärkt verktyg att använda vid problemlösning. Tänk på att: 1. läsa uppgiften flera gånger 2. bestämma vad som ska vara obekant (ofta lämpligt att x är det som det frågas efter i uppgiften.) 3. skriva ekvationen 4. lösa ekvationen 5. kontrollera att frågan är besvarad EXEMPEL

På Glassiären säljs kulglass med en, två eller tre kulor. En dag såldes 88 glassar och 226 kulor. Det var ingen som köpte med en kula. Hur många glassar såldes av varje sort? Lösning: Antagande x = antal glassar med 3 kulor (88 − x) = antal glassar med 2 kulor 3x + 2(88 − x) = 226 3x + (176 − 2x) = 226 x + 176 = 226 x = 50 antal glassar med 3 kulor = 50 antal glassar med 2 kulor = 88 – 50 = 38 Svar: Det såldes 50 glassar med tre kulor och 38 glassar med två kulor.

Kapitel 3 | Algebra och ekvationer

40694775_mondo8.indb 86

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS NIVÅ 1 Lös uppgifterna med ekvation. 104 Ines och Lova får 330 kr tillsammans i månadspeng. Ines får x kr och Lova får 70 kr mer än Ines. a) b) c) d)

Skriv ett uttryck för Lovas månadspeng. Skriv en ekvation och lös den. Hur mycket får Ines? Hur mycket får Lova?

105 Paula cyklade 9 km längre till träningen än på hemvägen. Totalt cyklade hon 45 km. Hur lång var hemvägen? 106 Samuel tränade till en cykeltävling. Efter två dagar hade han cyklat 21 km.Varje dag cyklade han 5 km längre än dagen innan. a) Hur långt åkte Samuel första dagen? b) Efter hur många dagar hade han cyklat 90 km?

NIVÅ 2 Lös uppgifterna med ekvation. 107 Klass 8A är ute och paddlar kanot. Den andra sträckan är dubbelt så lång som den första. Den tredje sträckan är tre gånger så lång som den andra. Sammanlagt paddlar de 46,8 km. Hur långa är de olika sträckorna?

108 Tillsammans tjänar Ada, Beda och Carl 98 500 kr i månaden. Ada tjänar 6 500 kr mer än Beda. Carl tjänar 12 000 kr mindre än Ada. Hur mycket tjänar a) Ada

b) Beda

c) Carl

109 Markus köpte en bukett med 15 blommor till Mors dag. Han betalade 180 kr. I buketten fanns rosor och pioner. Rosorna kostade 14 kr och pionerna 9 kr. Hur många rosor och pioner fanns i buketten?

NIVÅ 3 Lös uppgifterna med ekvation. 110 I hagen fanns det 20 huvuden och 66 ben. Där fanns både ryttare och hästar. Hur många hästar var det i hagen? 111 I en bokhylla fanns 380 böcker. Den översta hyllan hade 25 böcker fler än den mittersta som i sin tur hade 10 färre än den nedersta hyllan. Hur många böcker fanns det på hyllorna? 112 Efter loppmarknaden hade 8B 1 275 kr i klasskassan. Det fanns dubbelt så många tiokronor som femkronor. Antalet 20-kronorssedlar var lika många som antalet mynt. Hur många sedlar eller mynt fanns av varje sort? 113 Maria är 1 år äldre än sin bror Erik. Deras mamma var 26 år då Maria föddes. Om 9 år är Maria och Erik tillsammans lika gamla som mamman. Hur gamla är syskonen nu? Algebra och ekvationer | Kapitel 3

40694775_mondo8.indb 87

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS

3.8 PROCENT OCH EKVATIONER EXEMPEL 1

En kamera såldes med 20 % rabatt för 1 600 kr. Vad kostade den från början? Lösning: Pris från början: x kr Sänkning: 0,2 · x kr Nytt pris: x − 0,2x = 0,8x kr 0,8x = 1 600 1600 x= 0,8 x = 2 000 Svar: Kameran har kostat 2 000 kr. EXEMPEL 2

Du har 500 g 10 % sockerlösning och vill göra den till en 20 % sockerlösning. Hur mycket socker ska du tillsätta? Lösning: Mängd socker i 10 % sockerlösning: 0,10 · 500 = 50 g Mängd socker som ska tillsättas: x g Mängd socker i 20 % sockerlösning: (50 + x) g Total mängd i 20 % sockerlösning: (500 + x) g Andel socker i ny lösning: (50 + x ) = 0,20 500 + x (50 + x) = 0,2(500 + x) 50 + x = 100 + 0,2x 50 + 0,8x = 100 0,8x = 50 x = 62,5 g Svar: Det ska tillsättas 62,5 g socker.

GRUPPUPPGIFT

Tobias hävdar att om något kan öka med mer än 100 % så borde det också kunna minska med mer än 100 %! Är detta möjligt? Hur tänker Tobias?

100 %

Kapitel 3 | Algebra och ekvationer

40694775_mondo8.indb 88

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS NIVÅ 1 114 En cykel såldes med 25 % rabatt för 3 000 kr. Vad kostade den till ordinarie pris? 115 Ett par sommarskor reades med 20 % vilket motsvarade 50 kr. Vad kostade skorna från början? 116 Potatis innehåller 17 % stärkelse. En last med potatis innehöll 340 kg stärkelse. Hur många kg potatis fanns det i lasten? 117 Mängden medicin i salvor anges i procent. En smärtstillande salva innehåller 50 mg lidocain i 1 g av salvan.

122 Ett par shorts såldes med 15 % rabatt. Sedan sänkte affären priset med 20 % på reapriset. Efter rabatterna såldes shortsen för 374 kr.

a) Vad kostade shortsen innan sänkningarna?

b) Med hur många procent sänktes priset totalt?

123 Människor som drabbas av värmeslag kan hjälpas med en påse dropp. Mängden koksalt (NaCl) är 50 mg/ml. En droppåse innehåller 1 000 ml. Dropphastigheten är 100 droppar/ minut och det är 20 droppar/ml.

a) Hur lång tid tar det för patienten att få i sig en påse dropp?

a) Hur många procent lidocain innehåller salvan?

b) Hur många gram NaCl finns det i påsen?

c) Hur många procent av innehållet är NaCl?

b) Det är 10 g salva i tuben. Hur många gram av salvan består av annat än lidocain?

NIVÅ 3

118 En liter 30 % saltlösning blandas med en liter 40 % saltlösning. Vilken koncentration får lösningen?

A 70 % B 10 % C 35 % D 33 %

NIVÅ 2 119 På mellandagsrean kostade ett par skridskor 450 kr med 40 % rabatt. Vad kostade de från början? 120 En akties värde minskar med 10 %. Det motsvarar 360 kr. Vad är aktien värd nu? 121 En båt såldes 6 000 kr billigare än ordinarie pris vilket motsvarade 30 % rabatt. Vad kostade båten från början?

124 Ett piano reas med 30 % vilket motsvarar 4 500 kr.Vad kostade pianot från början? 125 Badkläderna reas ut i två omgångar. Först reas de med 20 % och sedan med 40 % på reapriset. Hur stor är den totala rabatten? 126 En akties värde ökar med 8 %. Det motsvarar 240 kr.Vad är aktien värd nu? 127 Du har 2 kg 20 % sockerlösning och vill göra den till en 25 % sockerlösning. Hur mycket socker ska du tillsätta? Avrunda till en decimal. 128 En fallskärmshoppare har brutit foten och ska få en spruta morfin på sjukhuset. En ampull på 1 ml (= 1 g) innehåller 1 % morfin. Patienten behöver 6 mg morfin.

a) Hur många mg morfin finns i ampullen?

b) Hur ska innehållet i ampullen spädas om koncentrationen ska vara 1 mg/ml? Algebra och ekvationer | Kapitel 3 89

40694775_mondo8.indb 89

2016-11-29 09:49

KAPITELDIAGNOS A NIVÅ 1-2

A7 Beskriv talföljden med ord

Förenkla uttrycken.

a) 12 17 22 27

A1 a) 5x + (3 + 2x)

b) 7 − (4x − 8)

b) 5 20 80 320

A2 a) 3(4 + 3a)

b) (2 + a)(3 + a)

Lös uppgifterna med ekvation.

A3 a) (x + y)(x − y)

b) (3 − y)2

A8 Ahmed och Lotta får 280 kr tillsammans i månadspeng. Ahmed får x kr och Lotta får 80 kr mindre än Ahmed.

A4 a) Förenkla (2x + 5)2

b) Beräkna värdet då x = 4.

A5 Lös ut t ur formeln s = v · t A6 Lena och Pär tävlar om vem som kommer fram snabbast till deras kompis.

Lena cyklar 25 m på 5 s. Pär cyklar de 2 km till kompisen på 6 min.

Vem vinner?

a) Skriv ett uttryck för Lottas månadspeng.

b) Skriv en ekvation för Ahmeds månadspeng och lös den.

c) Hur mycket får Lotta?

A9 Ellen betalade 300 kr för en tröja med 20 % rabatt.Vad kostade tröjan från början? A10 En tennisracket ökade i pris med 5 % vilket motsvarade 120 kr. Vad kostade den från början? A11 Självbedömning Skriv om du är säker, ganska säker eller osäker på lösningen för var och en av uppgifterna A1–A10.

90 Kapitel 3 | Algebra och ekvationer

40694775_mondo8.indb 90

2016-11-29 09:49

KAPITELDIAGNOS B NIVÅ 2-3

B7 Tornet är uppbyggt av kuber.

Förenkla uttrycken. B1 a) 8y − (7y + 8) + (3y − 4) b) 6 − 3y − (4 + 2y) − (−5y − 6) B2 a) 2x(3x + 8) b) (5x − 3)(2y + x) B3 a) (7a + 6)2

a) Beskriv hur antalet kuber förändras från ett lager till nästa lager.

b) (8 − a) + (8 − a)(8 + a) B4 a) Skriv ett uttryck för rektangelns area.

(cm) (3x – 3) (2x + 7) b) Beräkna arean om x = 3 cm. B5 Arean för en triangel beräknas enligt formeln b ⋅h A= . 2 a) Lös ut h ur formeln. b) Beräkna höjden om A = 22 m2 och b = 10 m. B6 Välj ett tal mellan 1-10. Ta sedan talet som är 1 större och multiplicera det med talet som är 1 mindre. Lägg därefter till 1.Visa att svaret alltid blir kvadraten på det valda talet.

b) Skriv en formel för att beräkna antalet kuber när tornet är n högt. B8 Tre på varandra följande tal har summan 324. Vilka är de tre talen? B9 Elsa och Mohammed bor 2,4 mil ifrån varandra. De ska cykla och möta varandra. Elsa cyklar i hastigheten 17 km/h och Mohammed i hastigheten 23 km/h. a) Hur många minuter tar det innan de möts om de startar samtidigt? b) Hur långt har Elsa cyklat då? B10 En läsplatta såldes med 20 % rabatt för 2 500 kr. Vad kostade den från början? B11 Självbedömning Skriv om du är säker, ganska säker eller osäker på lösningen för var och en av uppgifterna B1-B10.

Algebra och ekvationer | Kapitel 3

40694775_mondo8.indb 91

2016-11-29 09:49

Tillämpa förmågorna

TILLÄMPA KAPITEL 3 FÖRMÅGORNA 2

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA

Här följer tre större uppgifter där ni under arbetets gång övar alla förmågorna i matematik: P PROBLEMLÖSNING B BEGREPP M METOD R RESONEMANG K KOMMUNIKATION

Uppgifterna varierar i storlek och kan ta allt ifrån en lektion till någon vecka. Ofta arbetar ni i grupp och hur ni redovisar bestämmer ni tillsammans med er lärare.

TUTTI FRUTTI Hur ska kompisarna byta frukter för att alla ska vara nöjda? Väger ett äpple och två nektariner lika mycket som en nektarin och tre kiwi? Hjälp dem att lösa tvisten.

BILKÖN De flesta tycker bilköer är långtråkiga att sitta fast i. Hur skulle du vilja råda bilisten? Ska de välja E6 eller en annan väg?

WINGS FOR LIFE Välgörenhetstävlingen Wings for Life startar samtidigt världen över. Nybörjare till elitidrottare tävlar i löpning tillsammans. Loppet är slut när en målgångsbil kör om dem. Hur långt hinner en löpare?

Kapitel 3 | Algebra och ekvationer

40694775_mondo8.indb 92

2016-11-29 09:49

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 1

TUTTI FRUTTI Tre kompisar har varit på torget och handlat frukt. De handlade en sort var: äpplen, nektariner och kiwifrukter. På vägen hem kom de på att de ville ha blandade frukter i sina påsar. De började därför jämföra vikterna på frukterna för att kunna byta med varandra. När de hade bytt skulle de fortfarande ha samma vikt som före bytet. De upptäcker följande: • två äpplen och en nektarin väger lika mycket som åtta kiwifrukter • ett äpple väger lika mycket som en nektarin och en kiwifrukt UPPGIFT

1. Alla äpplen väger lika mycket och likadant för nektarinerna och kiwifrukterna. Hur många av varje fruktsort motsvarar en nektarin respektive en kiwi? 2. Hur kan de byta frukt med varandra? Vad blir minsta antalet frukter som behövs för att alla tre ska ha äpple, nektarin och kiwifrukt i sina påsar? Påsarna ska väga lika mycket. De kan inte dela frukterna. Beskriv hur de ska byta med varandra, vilken sort och antal frukter som var och en har.

Algebra och ekvationer | Kapitel 3 93

40694775_mondo8.indb 93

2016-11-29 09:49

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 2

BILKÖN En trafikolycka på E6 medförde allvarliga trafikstörningar. Båda körfälten var helt blockerade. Det blev 18 km långa köer innan polis och räddningspersonal återigen kunde släppa på trafiken. UPPGIFT

En bilist som är 20 km från olyckan hör på radion att polisen släpper på bilar igen. Ska bilisten välja E6 eller en annan väg? Redovisa ert råd mer beräkningar.

94 Kapitel 3 | Algebra och ekvationer

40694775_mondo8.indb 94

2016-11-29 09:49

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 3

WINGS FOR LIFE Välgörenhetstävlingen Wings for Life startar samtidigt världen över. Löpare och rullstolstävlande, från nybörjare till elitidrottare, tävlar sida vid sida för att ligga steget före målgångsbilen, som jagar dem bakifrån. När man blir omkörd av bilen får man sluta och istället åka buss tillbaka till startområdet.

BAKGRUNDSFAKTA När bilarna startar (30 min efter loppets start) håller de en hastighet på 15 km/h. Därefter kommer de succesivt att öka hastigheten. 13.00 – Loppet startar 13.30 – Målgångsbilarna startar – Hastighet 15 km/h 14.30 – Ökad hastighet till 16 km/h 15.30 – Ökad hastighet till 17 km/h 16.30 – Ökad hastighet till 20 km/h 17.30 – Ökad hastighet till 35 km/h till sista deltagaren har blivit omkörd.

UPPGIFT

Anna-Lena är en vältränad motionär som anmäler sig till loppet. Hon springer 1 km på 4 min och 30 s. a) Om hon håller samma hastighet under hela loppet, när blir hon omkörd av bilen? b) Hur långt har hon hunnit springa?

Algebra och ekvationer | Kapitel 3 95

40694775_mondo8.indb 95

2016-11-29 09:49

TRÄNA MERA 3.1 Förenkling av parentesuttryck

3.3 Kvadreringsregler och konjugatregeln

Förenkla uttrycken.

Utveckla uttrycken.

1 a) 3a + (a + 3)

b) 4x + (5 − 2x)

13 a) (x − y)2

2 a) 7 + (8b + b)

b) 9c + (8 − 3c)

14 a) (2a + b)(2a − b)

b) (a − 3b)(a + 3b)

3 a) 4 − (3 + 2a)

b) 8x − (2 − 5x)

15 a) (2x − y)2

b) (x + 3y)2

16 a) (4x − 3y)2

b) (2x + 5y)2

4 a) 6y + (y + 3) − (2 − 4y)

b) (x + y)2

b) 2z − (z + 6) + (4z − 4)

17 a) Skriv ett uttryck för figurens area.

5 a) (8 + 5x) − 10 − (3x − 12)

b) (2a − 3) + (2a − 3) + 7 6 Vad saknas i uttrycken för att likheten ska gälla? a) 8x + (5 − b) 4 − (x +

) = 5x + 5 )=2−x

3.2 Multiplikation med parentesuttryck Förenkla uttrycken. 7 a) 3(y + 4)

b) 2(3 + y)

c) 5(3y + 4)

8 a) 7(2 − 4x) b) 2(4x + 3y) c) 8(2x − 7)

c) (y + x)(y − x)

(x – 2)

b) Använd uttrycket och beräkna arean om a = 7 cm.

(x + 2)

18 Para ihop ekvivalenta uttryck.

1 (4 + b)2

A 42 − b2

2 (4 − b)2

B (42 + 8b + b2)

3 (4 + b)(4 − b)

C (42 − 8b + b2)

3.4 Förenkla och beräkna värdet av uttryck Förenkla uttrycken. 19 a) 5 + (4 − 4x)

b) 8x − (6 − 3x)

20 a) (x + 4)(x + 2)

b) 6 + (x + 2)(x − 3)

9 a) (y + 3)(y + 3)

b) (a + 2)(a + 4 )

10 a) (y + 3)(y + 4)

b) (y + 2)(y − 2)

21 a) 3x2 + (x + 1)(x − 1) b) (x + 2)2 − x2

11 a) (x − 2)(x + 3 )

b) (2y − 2)(2y + 3)

22 a) Skriv ett uttryck för figurens area.

12 Vilket av uttrycken representerar rektangelns area?

(x + 3)

a a

b) Använd uttrycket och beräkna arean om x = 7 cm.

A 2a + 6 B a2 + 6 C a2 + 6a D 4a + 36

(x + 5) 23 Beräkna värdet av x2 + (x − 2)(x + 3) om

a) x = 5

b) x = 2

c) x = 1

96 Kapitel 3 | Algebra och ekvationer

40694775_mondo8.indb 96

2016-11-29 09:49

TRÄNA MERA 3.5 Formler 24 Lös ut t ur formeln O = d · t

32 a) Rita ett mönster med cirklar där figur 1 startar med 3 cirklar och ökningen mellan varje figur är 2.

25 Enheten för hastighet är km/h.Vilken formel används för att beräkna hastigheten?

26 Använd formeln k = a) Lös ut p.

p . m

b) Skriv formeln för mönstret.

33 Detta är de tre första figurerna i ett mönster med trianglar.

b) Lös ut m.

27 En målare har en engångsavgift på 200 kr och tar dessutom 350 kr/h. a) Vad blir den totala kostnaden för 5 timmars arbete?

Figur 1

Figur 2

Figur 3

a) Rita figur 5.

b) Hur många trianglar har figur 7?

c) Vilken figur har 28 trianglar?

b) Skriv formeln för den totala kostnaden för x antal timmar.

d) Beskriv mönstret med ord och formel.

28 Svea kör med hastigheten 27 km/h. Det tar det 20 min att åka till sin kompis. Hur långt är det till kompisen?

3.8 Procent och ekvationer

3.6 Mönster Vilket är nästa tal i talföljden? 29 a) 3 6 9 12 15 b) 200 100 50 25 12,5 30 a) 16 25 36 49 64 b) 17 26 37 50 65 31 Detta är de tre första figurerna i ett mönster med kvadrater.

Figur 1

Figur 2

Figur 3

a) Rita figur 5. b) Hur många kvadrater har figur 10? c) Vilken figur har 29 kvadrater? d) Beskriv mönstret med ord och formel.

34 Vilket värde har x?

a) x · 1,50 = 300 kr

b) 500 · x = 450 kr

c) 800 · 1,20 = x kr

35 Adam gav 30 % av sin lotterivinst till en kompis. Det motsvarade 450 kr. Hur mycket vann Adam? 36 En fotboll kostar 250 kr med 25 % moms. Vad kostar den utan moms? 37 Ett paket mjölk innehåller 22,5 g fett vilket motsvarar 1,5 % fetthalt. Vilken storlek har paketet?

A 1 liter

B 1,5 liter

C 2 liter

38 Guldpriset har ökat från 45 kr/g till 315 kr/g på 45 år. Med hur många procent har guldpriset ökat? Algebra och ekvationer | Kapitel 3 97

40694775_mondo8.indb 97

2016-11-29 09:49

FÖRDJUPNING

Ekvationer med parenteser I ekvationer av typen 2x − 6(x − 2) = 1 + 3(2 − x) kombineras kunskaper om uttryck med parenteser och ekvationslära. Det gäller att följa arbetsordningen så att prioriteringsreglerna följs. 2x − 6(x − 2) = 1 + 3(2 − x) 2x − (6x − 12) = 1 + (6 − 3x)

1) Multiplicera in i parentes.

2x − 6x + 12 = 1 + 6 − 3x

2) Ta bort parenteser och ändra tecken.

−4x + 12 = 7 − 3x

3) Samla ihop termer.

4) Samla x-termer på en sida (enklast på den sida där det finns flest).

12 = 7 − 3x + 4x

12 − 7 = x

5 = x

5) Lös som vanlig ekvation.

EXEMPEL

Ansgar cyklar till sin kompis Göran som bor 25 km ifrån honom. Han startar 11.00 och cyklar med hastigheten 15 km/h. 12.00 börjar Göran gå mot Ansgar med hastigheten 5 km/h. När möts de? x = tiden för mötet

t (i h) v (i km/h) s (i km)

Ansgar x 15 15x

Göran (x − 1) 5 5(x − 1)

Total sträcka: Ansgars sträcka + Görans sträcka = 25 km Ekvation: 15x + 5(x − 1) = 25 15x + 5x − 5 = 25 20x = 30 30 x = 20 x = 1,5 Svar: De möts efter 1,5 h, dvs. kl. 13.30.

98 Kapitel 3 | Algebra och ekvationer

40694775_mondo8.indb 98

2016-11-29 09:49

FÖRDJUPNING Lös ekvationerna 1 a) 4(x − 2) = 2x + 16

b) 3x + (2x + 3)(3 − 1) = 20

2 a) 5 +(x − 3)(3 + 2) = 2 · 10 x b) 4 · + 3(2 + x) = 30 4 3 Vilket alternativ är lösning till ekvationen 2(6x − 1) = (x + 4)(3 − 1)?

10 En kemist ska blanda 15 % koksaltlösning av 100 g 20 % koksaltlösning. Hur mycket vatten ska tillsättas? Avrunda till hela g.

A x = 3 B x = 4 C x = 1 D x = 10

Lös ekvationerna 4 a) 52 + 10 = 7x

9 I en förening betalar de som är över 16 år 40 kr i medlemsavgift. De som är under 16 år betalar 20 kr. Ett år betalade 104 medlemmar tillsammans in 3 020 kr. Hur många av dessa var över 16 år?

b) (103 − 3)( 97 + 3) = 5x

5 En far är 22 år äldre än sin son. Om 13 år är han dubbelt så gammal som sonen. Hur gammal är han nu?

11 Summan av två tal är 40. Om man tar 60 % av det större talet och subtraherar med 20 % av det mindre blir differensen 10. Vilka är talen? 12 Senja cyklar till stugan medan resten av familjen åker bil. Hon startar 70 min tidigare än de andra och cyklar med hastigheten 16 km/h. Efter 24 km hinner resten av familjen ikapp henne. Vilken hastighet håller bilen? 13 Karin och hennes mormor motionerar på en slinga som är 5 km. Karin springer med hastigheten 9 km/h och mormor går i 4 km/h. Efter hur lång tid möts de om de börjar från varsitt håll? Avrunda till hela min. 14 Adam och Belma löptränar i motionsspåret som är 3 km. De springer åt samma håll men olika fort. Adam springer med en hastighet av 9 km/h och Belma springer 12 km/h.

Lös ekvationerna

a) Hur många varv måste de springa vardera för att korsa start/mål samtidigt?

b) (3x + 1)(3x − 1) − 9x2 = 3 − 4x

b) Hur länge har de då sprungit?

7 a) (2x − 4)2 − (3x − 2)2 = 24 − 5x2

15 Två familjer kör efter varandra i 100 km/h. Familjen Blixt är 80 m bakom familjen Axelsson. Hur lång tid tar det för Blixt att köra in 20 m framför Axelssons bil om Blixt ökar farten till 110 km/h? Bortse från bilarnas längd.

6 a) (x + 4)(x − 6) + 10x = (x + 6)(x − 2)

b) (3x + 4)(3x − 4) − 5x2 = (2x + 1)2 − 1 8 a) 9(x +1)(x − 1) + 7(x + 1)2 = (4x − 3)2 − 30 b) (3 + 2x)2 − (3 − 2x)2 = 8(2x + 2)

Algebra och ekvationer | Kapitel 3 99

40694775_mondo8.indb 99

2016-11-29 09:49

BEGREPP

Algebra

Gren inom matematiken där bokstäver används för tal.

Uttryck

En kombination av symboler för tal och variabler samt tecken för räkneoperationer, t.ex. 4a + 5b

Förenkla

Att skriva om ett uttryck i en enklare och kortare form.

Prioriteringsregler

Regler för vilken ordning uttryck ska beräknas.

Kvadreringsregler

Regler för multiplikation med två likadana parentesuttryck, t.ex. (x + 2)2 och (x − 2)2.

Konjugatregel

Regel för multiplikation med två likadana parentesuttryck men där tecknen är olika, t.ex. (x + 2)(x − 2).

Formel

Ett uttryck som beskriver viktiga samband eller egenskaper med hjälp av olika symboler. T.ex. s = v · t anger sambandet mellan sträcka, fart och tid.

Mönster

Inom matematiken är det som beskriver hur de olika talen i en talföljd förhåller sig till varandra.

Aritmetisk talföljd

En serie av tal som har samma differens mellan sig och föregående tal, som följer ett mönster.

Geometrisk talföljd

En serie av tal som har samma kvot mellan sig och föregående tal, som följer ett mönster.

Likhet

När två matematiska uttryck har samma värde.

Ekvation

En ekvation är en likhet som innehåller ett eller flera obekanta tal, ofta betecknade med bokstäver.

Variabel

Är något som kan variera, dvs. vara olika. En variabel kan vara olika tal och skrivs ofta med bokstäverna x, y och z. En variabel har bara ett värde åt gången.

100

Kapitel 3 | Algebra och ekvationer

40694775_mondo8.indb 100

2016-11-29 09:49

SAMMANFATTNING

DU SKA KUNNA

EXEMPEL

LÖSNINGSFÖRSLAG

Förenkla parentesuttryck

Förenkla (25x − 5y) − (20x − 5y)

25x − 5y − 20x + 5y = 25x − 20x − 5y + 5y = 5x

Multiplicera parentesuttryck

3(x + 4)

3 · x + 3 · 4 = 3x + 12

(x + 3)(x − 4)

(x · x − x · 4 + 3 · x − 3 · 4) = (x2 − 4x + 3x − 12) = x2 − x − 12

(5 + 2x)2

5 · 5 + 2 · 5 · 2x + 2x · 2x = 25 + 20x + 4x2

(5 − 2x)2

5 · 5 − 2 · 5 · 2x + 2x · 2x = 25 − 20x + 4x2

Konjugatregeln

(3x + 6)(3x − 6)

3x · 3x − 6 · 6 = 9x2 − 36

Formler

Lös ut R ur formeln U = R · I.

U=R·I

Kvadreringsregler

U R ⋅I = Dividera med I i båda led. I I U =R I Mönster

Beskriv mönstret för antalet kvadrater med en formel.

Vi har löst ut R.

I aritmetiska talföljder är differensen mellan två på varandra följande tal alltid konstant. Differensen = 3 Starttalet = 2 − 3 = − 1

Figur 1

Ekvationslösning

Figur 2

Figur 3

På Glassiären säljs kulglass med en, två eller tre kulor. En dag såldes 88 glassar och 226 kulor. Det var ingen som köpte med en kula. Hur många glassar med tre kulor såldes?

Formel blir an = 3n − 1 x = antal glassar med tre kulor (88 − x) = antal glassar med två kulor 3x + 2(88 − x) = 226 3x + (176 − 2x) = 226 x + 176 = 226 x = 50 Svar: Det såldes 50 glassar med tre kulor.

Algebra och ekvationer | Kapitel 3

40694775_mondo8.indb 101

101

2016-11-29 09:49

KAPITEL 4

Geometri

102â&#x20AC;&#x192; Kapitel 4 | Geometri

40694775_mondo8.indb 102

2016-11-29 09:49

PROBLEMLÖSNING

BEGREPP

METOD M RESONEMANG R KOMMUNIKATION K

CENTRALT INNEHÅLL • Geometriska objekts egenskaper • Använda formler för att beräkna omkrets, area och volym hos geometriska objekt • Area- och volymenheter • Rimlighetsbedömning vid uppskattning och beräkning • Problemlösning

SIDORNA 128–131

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA I PROJEKT: Pernillas pool Stens Grus & Sand Hur tät är du?

GRUPPUPPGIFT

En kub är en kvadrat i tre dimensioner. På bilden ser du många kuber. Hur många kuber finns det?

Geometri | Kapitel 4

40694775_mondo8.indb 103

103

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS

4.1 OMKRETSEN AV EN CIRKEL Detta kan du sedan tidigare:

Diameter Radie Periferi Medelpunkt Radie + Radie = Diameter

EXEMPEL

Beräkna omkretsen av ekvatorn om radien är 6 371 km. O=d·π d = 2 · 6 371 O = 2 · 6 371 · π ≈ 40 030 km

GRUPPUPPGIFT

Ett bildäck har en ungefärlig livslängd på 4 000 mil. Hur många varv har däcket snurrat då? Använd π ≈ 3,14 och avrunda svaren till en decimal.

NIVÅ1 1

Beräkna cirkelns omkrets. a)

8,0

(cm)

5,0

6,0

104

Sveriges grövsta och äldsta träd är en ek. Trädet är 1 000 år gammalt och har diametern 4,55 m. Vilken omkrets har trädet?

Beräkna omkretsen av en cirkel om

NIVÅ 3

a) d = 1 m

b) r = 1 m

c) d = 3,14 m

Sveriges grövsta tall har omkrets på 4,5 m. Vilken diameter har tallen?

Beräkna omkretsen av en cirkel om a) d = 2 m

b) r = 1 dm

c) d = 9 cm

b) r = 0,5 dm c) d = 314 cm

Beräkna diametern i en cirkel om omkretsen är a) 25 m

Beräkna omkretsen av en cirkel om a) d = 4 m

2,0

(cm)

NIVÅ 2 4

(cm)

Beräkna figurens omkrets.

b) 0,4 m

Beräkna figurens omkrets.

2,0

c) 2,3 km 4,0

2,0

(m)

Kapitel 4 | Geometri

40694775_mondo8.indb 104

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS

4.2 AREAN AV EN CIRKEL Detta kan du sedan tidigare: Arean av en rektangel beräknas genom att multiplicera basen med höjden. A=b·h En cirkel delas i 12 sektorer. Om delarna läggs som i bilden liknar figuren en rektangel. Rektangeln blir tydligare desto fler sektorer cirkeln delas i.

Här är cirkeln delad i 24 sektorer och rektangeln blir tydligare.

Rektangelns area beräknas enligt A=b·h b = cirkelns halva omkrets h = cirkelns radie Arektangel = Acirkel = Acirkel = r 2π

2⋅r ⋅ π 2⋅r ⋅r ⋅ π d⋅π ⋅r = ⋅r = = r ⋅ r ⋅ π = r 2π 2 2 2

EXEMPEL

Beräkna arean av en cirkel med diametern 10 cm. A = r 2π 10 = 5 cm r= 2 A = 5 · 5 · π = 25π cm2 ≈ 78,5 cm2 Svar: 25π cm2 ≈ 78,5 cm2 (25π cm2 är ett exakt svar och att föredra om avrundning inte efterfrågas.)

Geometri | Kapitel 4 105

40694775_mondo8.indb 105

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS GRUPPUPPGIFT

Hur många gånger större ska radien i en cirkel göras för att arean ska bli dubbelt så stor? Använd gärna ett kalkylprogram eller en programmerbar miniräknare som hjälpmedel.

NIVÅ 1

13 Mät i figuren och beräkna arean.

Svara i exakt form eller avrundat till en decimal vid beräkningar med π.

10 Beräkna arean av en cirkel med radien a) 1 m

b) 10 m

11 Beräkna arean av en cirkel med diametern a) 15 cm 12

b) 30 cm b)

Fem snabba om cirklar

Nej

a) Formeln för cirkelns omkrets är O=π·d b) d = r + r c) Formeln för cirkelns area är A=r+r·π d) Diametern är dubbelt så lång som radien. e) Arean är alltid dubbelt så stor som diametern. 14 Beräkna figurens area.

106

r = 3,5 cm

Kapitel 4 | Geometri

40694775_mondo8.indb 106

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS NIVÅ 2

NIVÅ 3

Svara i exakt form eller avrundat till en decimal vid beräkningar med π.

15 Beräkna arean av en cirkel om

20 Beräkna radien hos en cirkel om

1 a) d = 1,2 m b) d = 0,9 cm c) r = m 3 16 Beräkna det färgade områdets area.

18 cm

a) A = 81π cm2

c) O = 314 cm

b) A = 100π cm2

21 Ringarna som symbol för de olympiska spelen sägs ha tillkommit 1913 när Pierre de Coubertin skissade ned de färgglada ringarna på en bit brevpapper.

17 Beräkna arean av det svarta området i figuren.

b) 4 cm

18 Beräkna det färgade områdets

a) omkrets

Varje cirkel i figuren har radien 5 cm. Varje gång en cirkel korsas av en annan förlorar den 10 % av sin area. Beräkna totala arean som alla cirklar begränsar.

22 Ett företag vill packa 12 likadana glas i en rektangulär låda. Glasets botten har arean 12 cm2. Ge två olika förslag i hela cm på vilka mått lådan skulle kunna ha.

b) area (cm)

23 Hur många procent av cirkelns area är vit? 3

d = 9 cm

19 Hur stor area har det färgade området i figuren? (cm) 4

24 3 000 f.Kr räknade man i Egypten ut arean av cirklar med hjälp av formeln: 8 av diametern och kvadrera resultatet”. ”Tag 9 Det innebär följande formel: 16r 2 256r 2 A=( ) = 9 81 Beräkna Egyptiernas värde av π. Avrunda till två decimaler. Geometri | Kapitel 4 107

40694775_mondo8.indb 107

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS

4.3 CIRKELBÅGE OCH CIRKELSEKTOR En cirkelsektor är en del av en cirkel som begränsas av två radier och en cirkelbåge. Ju större medelpunktsvinkeln är desto större cirkelsektor.Vid beräkning av cirkelsektorns area eller cirkelbågens längd måste man veta medelpunktsvinkelns storlek.

Medelpunktsvinkel Radie Cirkelsektor Cirkelbåge

EXEMPEL

Beräkna a) cirkelsektorns area

a) Medelpunktsvinkeln (v) är 90° av 360° =

b) cirkelbågens längd c) figurens omkrets

A =

1 2 6 ⋅ 6 ⋅ π 36 ⋅ π = · r · π = = 9π cm2 ≈ 28,3 cm2 4 4 4

b) Medelpunktsvinkeln (v) är 90° av 360° = b

b =

90 1 = 360 4

1 2 ⋅ 6 ⋅ π 12 ⋅ π = ·2·r·π= = 3π cm ≈ 9,4 cm 4 4 4

c) Figuren begränsas av

O=b+r+r

O = 3π + 6 + 6 = 3π + 12 ≈ 21,4 cm

r = 6 cm

NIVÅ 1 Svara i exakt form eller avrundat till en decimal vid beräkningar med π. 25 Beräkna cirkelsektorns andel av cirkeln om medelpunktsvinkeln är

a) 180°

b) 120°

c) 60°

d) 36°

26 Vad är arean av en cirkelsektor om a) r = 3 cm och v = 90° b) r = 3 cm och v = 120° 27 Vad är cirkelbågens längd om a) r = 10 cm och v = 90° b) r = 3 cm och v = 45°

108 Kapitel 4 | Geometri

40694775_mondo8.indb 108

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS 28 Mät det du behöver i figuren och beräkna cirkelsektorns

a) area

b) area

32 Beräkna figurens

a) omkrets

(cm) 6

b) omkrets

33 Vilken av den övre eller nedre vägen är längst mellan A och C? Motivera ditt svar med beräkningar.

34 Emilia gör följande beräkning men får fel. Hjälp henne att hitta felet. 29 Hur många grader är cirkelsektorns medelpunktsvinkel om 1 1 a) A = · r2 · π b) b = ·2·r·π 10 8 6⋅6⋅ π c) A = 4

UPPGIFT Beräkna figurens area.

NIVÅ 2

Emilias lösning

Svara i exakt form eller avrundat till en decimal vid beräkningar med π.

ABort = r2 · π = 5 · 5 · π = 25π cm2

(cm) 5

AHela kvadraten = 10 · 10 = 100 cm2 AKvar = 100 − 25π ≈ 21, 5 cm2 Svar: 21,5 cm2

30 Beräkna arean av en cirkelsektor om a) r = 30 cm och v = 35° b) r = 15 dm och v = 78° 31 Beräkna cirkelbågens längd om

a) r = 3,5 dm och v = 45° b) r = 22,5 cm och v = 350°

35 Beräkna det färgade områdets

a) omkrets

b) area

r = 3 cm

Geometri | Kapitel 4 109

40694775_mondo8.indb 109

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS NIVÅ 3

39 Beräkna figurens

Svara i exakt form eller avrundat till en decimal vid beräkningar med π.

a) omkrets b) area (cm)

36 Beräkna arean av en cirkelsektor om

a) r = 12 cm och v = 12° b) r = 15 cm och v = 58° c) r = 33 cm och v = 33°

5,0

37 Hur många grader är cirkelsektorns medelpunktsvinkel om 1 2 a) A = ·r ·π 3 b) b = 0,125 · 2 · r · π

c) A =

6⋅6⋅ π 6

3,0

40 Beräkna figurens

38 Beräkna arean av den kvarstående pizzabiten. Medelpunktsvinkeln = 40°.

4,0

a) omkrets

b) area 16,0

(m)

8,0

41 Hur mycket större måste radien i en cirkelsektor göras för att sektorns area ska dubbleras?

10 cm

5 cm

110 Kapitel 4 | Geometri

40694775_mondo8.indb 110

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS

4.4 TREDIMENSIONELLA OBJEKT En linje har en dimension. Ett objekt som har längd och bredd har två dimensioner. Arean anger ytans storlek. Ett objekt som har längd, bredd och djup har tre dimensioner. Volymen anger kroppens storlek. Tredimensionella objekt är sammansatta av olika månghörningar.

hörn kant sidoyta

Kub En kropp där alla sidor är kvadrater.

Rätblock En kropp där alla sidor är parallellogramer. Kan även kallas för prisma.

Pyramid En spetsig kropp med en månghörning i basytan och trianglar som sidoytor.

Cylinder En kropp där basytan är en cirkel.

Kon En spetsig kropp där basytan är en cirkel.

Prisma Har två månghörniga parallella basytor. Övriga sidoytor är parallellogramer.

Klot En kropp där alla punkter på dess yta har samma avstånd till medelpunkten.

GRUPPUPPGIFT

Undersök om det finns något samband mellan antal sidoytor, kanter och hörn i olika tredimensionella objekt. Använd gärna ett kalkylprogram.

Geometri | Kapitel 4

40694775_mondo8.indb 111

111

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS NIVÅ 1

49 Vilka av följande figurer är prismor?

42 Hur många hörn har

a) ett rätblock

b) en cylinder

43 Hur många sidoytor har

a) en kub

b) ett rätblock

44 a) Hur många sidoytor har tältet? b) Vad heter objektet?

NIVÅ 3

45 Vilka av följande kroppar är pyramider?

50 Hur många hörn och sidoytor har kroppen?

51 Vilken rymmer mest, en cylinder eller en kon med lika stor bottenyta och höjd? Motivera ditt svar.

NIVÅ 2

52 Gör färdigt tabellen över de platonska kropparna.

46 Hjälp Gustav att rätta hans fem snabba.

Påstående

b) En kub är ett rätblock.

c) En kon har en cirkulär bottenyta.

d) En cylinder har inga sidoytor.

Nej

47 Vilken form har sidoytan på a) en kub b) ett rätblock c) en cylinder 48 Vilka geometriska objekt ser du i fotbollen?

a) Ett rätblock är en kub.

e) En kub består av sex olika stora kvadrater.

Kropp

Antal sidor

Antal hörn

Antal kanter

A tetraeder

4 liksidiga trianglar

B kub

6 liksidiga kvadrater

C oktaeder

8 liksidiga trianglar

D dodekaeder

12 liksidiga pentagoner

E ikosaeder

20 liksidiga trianglar

112 Kapitel 4 | Geometri

40694775_mondo8.indb 112

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS

4.5 PRISMA Ett prisma har två parallella och likformiga basytor. Sidoytorna är tre eller flera och består av parallellogrammer. EXEMPEL

Sexsidigt prisma med en hexagon som basyta.

Fyrsidigt prisma med en rektangel som basyta.

Volym = Basytans area · höjden = B · h (cm)

EXEMPEL 1

Kartongen har formen av ett rakt prisma. Beräkna volymen. Lösning:

V=B·h V = 9 · 5 · 15 = 675 cm3 Svar: Kartongens volym är 675 cm3. 5

En figurs begränsningsyta är summan av alla sidoytors areor. Exempelvis består en kubs begränsningsyta av sex likadana kvadrater. EXEMPEL 2

Beräkna kartongens begränsningsyta.

(cm)

Lösning: Kartongen har sex sidoytor där motstående sidor är lika stora. A1 = 9 · 15 = 135 cm2

A2 = 5 · 15 = 75 cm2 A3 = 9 · 5 = 45 cm2 2

Atotal = 2 · 135 + 2 · 75 + 2 · 45 = 510 cm

Svar: Kartongens begränsningsyta är 510 cm2.

Geometri | Kapitel 4 113

40694775_mondo8.indb 113

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS GRUPPUPPGIFT

”När sidan i en kub ökar till det dubbla kommer även volymen och begränsningsarean att fördubblas”, hävdar Anna. Hur hänger det ihop? Har Anna rätt?

NIVÅ 1

57 Beräkna figurens begränsningsyta.

53 Vilken volym har prismat?

(cm)

(cm) 2 2

b) 4 cm

B = 4 cm2

54 Basytan i ett prisma har arean 25 cm2. Beräkna volymen om

b) (cm)

a) h = 3 cm b) h = 4 cm c) h = 7 cm

55 Prismat har volymen 100 cm3. Beräkna prismats höjd. 4 h B = 20 cm2

56 Har båda kropparna lika stor volym? Motivera ditt svar.

4 7

58 Vad är höjden i ett prisma om a) B = 2,5 · 3 m och V = 37,5 m3 b) B = 1,25 · 4 cm och V = 12,5 cm3

114 Kapitel 4 | Geometri

40694775_mondo8.indb 114

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS NIVÅ 2

NIVÅ 3

59 Beräkna volymen hos ett prisma om

63 Beräkna volymen av ett prisma om

a) B = 6 · 3,5 cm och h = 5 cm 21 ⋅ 10 b) B = dm och h = 35 dm 2

60 I ett sexsidigt prisma är basytans area 34,5 cm2. Vad är höjden om volymen är 207 cm3? 61

a) B = 2 mm · 3 cm och h = 3,2 mm b) B = 10 dm · 2 cm och h = 5,3 mm

64 En pool har längden 2 m, bredden 1,25 m och höjden 130 cm.Vilken volym har poolen? Svara i både m3 och l (1m3 = 1 000 l).

(m) 1,4

1,2

2,6 1,4

a) Hur många sidoytor har tältet?

b) Beräkna tältets begränsningsyta.

c) Hur stor volym har tältet?

62 The Flatiron Buildning var, då den uppfördes 1902, den högsta byggnaden i New York. Den är 87 m hög och har formen av ett prisma. Beräkna volymen om den triangulära basytan har måtten b = 60 m och h = 30 m.

65 Hur lång är sidan på ett rätblock med höjden 7 cm, bredden 6 cm och volymen 630 cm3? 66 Prismat har en åttasidig basyta.

a) Beräkna begränsningsytan. b) Beräkna volymen. (cm) 20

15 9

67 I ett tresidigt rakt prisma har bottenytans triangel basen 6 cm och höjden 5 cm. Prismats höjd är 12 cm.

Föreslå mått på ett fyrsidigt prisma som 2 av det tresidiga prismats volym. har 3 Geometri | Kapitel 4 115

40694775_mondo8.indb 115

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS

4.6 ENHETER FÖR VOLYM När volymen ska beräknas används volymenheter i metersystemet. Innehållet i glaset kan t.ex. mätas i liter, deciliter eller centiliter. En kub med sidan 1 cm har volymen:

(cm)

V = 1 · 1 · 1 = 1 cm3

1 cm3 = En kubikcentimeter

Volymenheter i metersystemet Från större till mindre enhet multiplicera med 1 000

Från mindre till större enhet dividera med 1 000

m3 (kubikmeter)

dm3 (kubikdecimeter)

cm3 (kubikcentimeter)

mm3 (kubikmillimeter)

m3 (kubikmeter)

dm3 (kubikdecimeter)

cm3 (kubikcentimeter)

mm3 (kubikmillimeter)

000

7 m3 = 7 000 dm3 = 7 000 000 cm3 = = 7 000 000 000 mm3

7 mm3 = 0,007cm3 = 0,000 007dm3 = = 0,000 000 000 7 m3

1 m3 = 1 000 liter (l)

Volymenheter i litersystemet Från större till mindre enhet multiplicera med 10

Från mindre till större enhet dividera med 10

liter (l) (dm3)

deciliter (dl)

centiliter (cl)

milliliter (ml) (cm3)

liter (l) (dm3)

deciliter (dl)

centiliter (cl)

milliliter (ml) (cm3)

1 dm3 = 1 l = 10 dl = 100 cl = 1 000 ml

1 ml = 0,1 cl = 0,01 dl = 0,001 l

1 cm3 = 1 ml

116

Kapitel 4 | Geometri

40694775_mondo8.indb 116

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS GRUPPUPPGIFT

En kanna är ett gammalt mått för volym. Standardiseringen för kannan bestämdes genom en kunglig förordning år 1737. För våta varor gällde: 1 tunna = 2 stop = 8 kvarter = 32 jungfrur = 2,62 liter. 1 kanna = 48 Hur många kubikcentimeter är ett stop?

NIVÅ 1 68 Skriv som kubikdecimeter. a) 1 534 cm3 b) 5 000 cm3 c) 5 m3 d) 5 l

NIVÅ 3

69 Skriv som liter. a) 8 dm3

77 En husgavel har arean 36 m2. Huset är 10,5 m långt. Hur stor volym blir det per person om de är fem i familjen? Takhöjden är 2,40 m.

b) 86 dl

c) 2 m3

d) 550 cm3

78 Skriv som ml. a) 1,2 l b) 86 cm3 c) 0,5 dm3 d) 0,05 m3

70 Fyll i det som saknas. a) 75 dl = ___ dm3

b) ___ l = 0,5 dm3

79 Skriv som cm3. a) 20 l b) 8 797 dm3 c) 713 dl d) 100 cl

71 Ge exempel på något som rymmer a) 5 dl

b) 2 dm3

80 En kubs begränsningsyta är 150 cm2. Hur många dl rymmer den?

c) 5 cm3

72 Hur många liter rymmer en flyttlåda om de tillsammans rymmer 750 dm3?

81 En simbassäng innehåller 10 000 m3 vatten. Pooltäcket som skyddar poolen nattetid har en yta på 2 500 m2. Förutsätt att poolen är jämndjup. a) Hur många liter vatten rymmer poolen?

NIVÅ 2

b) Ge två exempel på mått som poolen kan ha.

73 Skriv som liter. a) 8,9 dm3

b) 2 500 cm3 c) 50 m3

82 En låda tillverkas enligt ritningen nedan. Hur många cl rymmer den?

74 Skriv som kubikmeter. a) 900 l

b) 8 700 l

c) 23 087 l

d) 18 l

75 Man kan köpa flyttlådor i två olika format.

(cm) 4

Låda 1: 0,9 m × 0,6 m × 0,8 m Låda 2: 0,8 m × 0,65 m × 0,75 m

Vilken av lådorna har störst volym? 76 En glassproducent ska sälja 2 liters glasspaket. Paketen ska ha en kvadratisk bottenyta med sidorna 20 cm. Hur höga ska paketen vara?

Geometri | Kapitel 4

40694775_mondo8.indb 117

117

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS

4.7 CYLINDER En cylinder har två likformiga cirklar som basytor och en sidoyta. Sidoytan har formen av en parallellogram. Volymen av en cylinder beräknas på samma sätt som volymen av ett prisma. Tänk dock på att basytan är en cirkel. Volym = Basytans area · höjden = B · h = r 2 · π · h EXEMPEL 1

(cm)

Beräkna burkens volym. Lösning: V = B · h = r2 · π · h 2

10 3

V = 3,5 · π · 10 = 122,5π cm ≈ 385 cm Svar: Burkens volym är 385 cm3.

En rak cylinders begränsningsyta består av två cirkulära basytor och en rektangel.

EXEMPEL 2

(cm)

Beräkna burkens begränsningsyta. A2

Lösning: Basytans area: A1 = B = r2 · π = 3,52 · π = 12,25π cm2 ≈ 38,5 cm2 Sidoytans area: A2 = d · π · h = 7 · π · 10 = 70π cm2 ≈ 219,8 cm2 Begränsningsytan: Atotal = 2 · A1 + A2 = = 2 · 12,25π + 70π = 94,5π ≈ 297 cm2 Svar: Burkens begränsningsyta är 297 cm2.

118

Kapitel 4 | Geometri

40694775_mondo8.indb 118

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS GRUPPUPPGIFT

Julia och Ylva ska placera kropparna i volymordning. ”Man ser direkt att cylindern har minst volym”, säger Julia. ”Hur kan man se det direkt?” frågar Ylva. Hjälp henne förklara och placera kropparna i volymordning.

NIVÅ 1 Svara i exakt form eller avrundat till en decimal vid beräkningar med π. 83 Beräkna volymen.

85 Beräkna volymen av en cylinder som har höjden 8 dm och basytan 22 cm2. 86 Hur stor är virveltrummans höjd om dess bottenyta är 10 dm2 och volymen är 14 dm3?

(cm)

2 2

(cm)

5 4

84 Vad behöver man ta reda på för att räkna ut hur mycket kaffe som ryms i koppen? 87 Fyll i de värden som saknas i tabellen. Samtliga värden gäller en cylinder. Radie (cm)

Basyta (cm2)

Höjd (cm)

Volym (cm3)

≈ 28,3

≈ a)

≈ 50,2

≈ 502

≈ c)

≈ 785

Geometri | Kapitel 4 119

40694775_mondo8.indb 119

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS NIVÅ 2

NIVÅ 3

Svara i exakt form eller avrundat till en decimal vid beräkningar med π.

88 Beräkna volymen.

93 Fyll i tabellen. Samtliga värden gäller en cylinder.

(cm)

4 4

Omkrets (cm)

Basyta (cm2)

Höjd (cm)

Volym (cm3)

≈ 18,8

≈ a)

≈ 566

≈ b)

≈ 78,5

≈ c)

Fem snabba om cylindern

Nej

a) V = B · h = r2 · π · h b) Basytan i en cylinder är triangulär. c) En cylinder har alltid större volym än ett prisma.

94 En vattenslang ska grävas ner intill ett hus. Slangen är 100 m lång och diametern är 63 mm. Hur mycket vatten kan slangen innehålla som mest? Svara i hela dm3. 95 En cylinder innehåller 200 dm3. Vilka mått skulle cylindern kunna ha?

d) Begränsningsytan hos en cylinder är cirkulär.

96 Vilka mått ska en etikett ha för att täcka sidoytan på burken?

e) O = r · π 90 De två förpackningarna ska ha samma volym. Välj rätt alternativ. Motivera ditt svar.

Rätblocket ska vara

10 cm

A lägre än cylindern B lika hög som cylindern C högre än cylindern 91 Ett cylinderformat ljus brinner ner med 2,5 mm/h. Hur många timmar brinner ljuset om dess volym är 12 560 mm3 och basytan är 1 256 mm2? 92 Hur djup ska en cylinder med innerdiametern 10,0 cm vara för att rymma 1 liter? 120

h = 14 cm

d = 12 cm

97 Ett 10 × 10 cm stort papper rullas ihop och bildar sidoytan på en cylinder. Därefter kompletteras den med basytor av annat papper. Hur mycket material går åt? Svara i hela cm2.

Kapitel 4 | Geometri

40694775_mondo8.indb 120

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS

4.8 PYRAMID OCH KON Både pyramiden och konen är spetsiga kroppar med en basyta.

h h h

h B

En pyramid begränsas av en basyta som är en månghörning och har minst tre sidoytor i form av trianglar.

En kon begränsas av en basyta som är en cirkel och en buktig sidoyta.

Volymen av pyramiden och konen beräknas på samma sätt. Volym =

Basytans area ⋅ höjden B ⋅ h = 3 3

EXEMPEL 1

EXEMPEL 2

Beräkna pyramidens volym.

Struten har formen av en kon. Beräkna strutens volym.

(cm) 6

Lösning:

B ⋅h 3 4 ⋅4 ⋅6 V= = 32 cm3 3 Svar: Pyramidens volym är 32 cm3.

(cm)

Lösning: B ⋅h r2 ⋅ π⋅h = 6 3 3 32 ⋅ π ⋅ 14 V= = 42π cm3 ≈ 132 cm3 3 Svar: Strutens volym är 132 cm3.

Geometri | Kapitel 4

40694775_mondo8.indb 121

121

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS GRUPPUPPGIFT

101 Beräkna volymen av en kon om

Hur förändras volymen om glasets höjd fördubblas?

a) B = 24 cm2 och h = 10 cm b) B = 10 cm2 och h = 12 cm c) B = 10 m2 och h = 10 m 102 Ett barn har en stjärngosssetrut till luciafirandet. Strutens diameter är 16 cm och höjden är 40 cm. Beräkna strutens volym i dm3.

NIVÅ 1 Svara i exakt form eller avrundat till en decimal vid beräkningar med π. 98 Beräkna pyramidens volym.

103 Det serveras popcornstrutar på ett kalas. Vilken volym får struten om h = 20 cm och r = 7 cm? Svara i hela cm3.

b) 1,5 cm

6 cm B = 4 cm2 B = 25 cm2

99 Beräkna volymen av en pyramid om

a) B = 30 cm2 och h = 10 cm b) B = 100 cm2 och h = 12 cm c) B = 15 m2 och h = 10 m 100 Ett cirkustält har formen av en pyramid. Hur mycket luft får det plats om tältet är 20 m högt och har en basyta på 825 m2? 122 Kapitel 4 | Geometri

40694775_mondo8.indb 122

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS NIVÅ 2 Svara i exakt form eller avrundat till en decimal vid beräkningar med π. 104 Beräkna volymen av en pyramid om

a) B = 14 cm2 och h = 6 cm b) B = 125 m2 och h = 9 m c) B = 930 cm2 och h = 25 cm

105 Beräkna volymen av en kon om a) r = 8 cm och h = 10 cm b) d = 10 cm och h = 12 cm c) r = 1,7 m och h = 12 m 106 En äldre typ av mjölkförpackning hade formen av en tetraeder. Vilken area har varje sidoyta om förpackningen rymmer en liter och har höjden 1,76 dm?

108 Ett flöte har formen av två likadana koner med baserna vända mot varandra. Cirkeln i konernas basyta har diametern 4 cm och de är 5 cm höga. Beräkna volymen av flötet.

NIVÅ 3 Svara i exakt form eller avrundat till en decimal vid beräkningar med π. 109 Beräkna höjden hos en kon om B = 4π cm2 och V = 13 cm2. 110 Hur stor volym har figuren?

(dm)

111 Vilken är störst?

107 Beräkna konens volym.

1,5 mm

A En pyramid med höjden 6 m och en kvadratisk basyta med sidan 7 m.

B En kon med höjden 7 m och radien 4 m. Motivera ditt svar med beräkningar.

112 Tove ska baka pyramidformade cheesecakes med höjden 9 cm. Den kvadratiska basytan ska ha sidan 5 cm. Hur mycket energi innehåller en pyramid? Avrunda till hela kJ.

1 cm3 cheesecake väger 1,8 g

100 g cheesecake innehåller 1 278 kJ Geometri | Kapitel 4 123

40694775_mondo8.indb 123

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS

4.9 PROBLEMLÖSNING Tänk på att: 1 läsa uppgiften många gånger och ta reda på vad som ska besvaras 2 välja metod för att lösa problemet, t.ex. med: • göra en gissning och prova sig fram • en ritning eller material som klossar etc. • söka efter mönster i tabeller eller diagram • använda formel eller ekvation 3 lösa uppgiften med den metod som valts 4 kontrollera att det svar du räknat ut är rimligt och se över din lösning 5 redovisa din lösning så att andra förstår vad du menar

NIVÅ 1 113 Figuren är sammansatt av ett rätblock och en pyramid.

a) Vilken area har basytan?

(cm)

b) Vilken volym har hela figuren?

115 Omkretsen på ett oljefat är 176 cm. Beräkna

a) basytans diameter

b) basytans area

116 En paj är delad i 12 bitar. Beräkna volymen av en bit om hela pajen har basytan 380 cm2 och höjden 5 cm.

114 Hur många liter rymmer brandsläckaren?

h = 58,5 cm

d = 15,5 cm 124 Kapitel 4 | Geometri

40694775_mondo8.indb 124

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS NIVÅ 2 117 Kopieringspapper i storleken A4 väger 80 g/m2 (storleken A0 är 1m2, A1 är hälften så stort osv.). I en kartong finns 2 500 papper. På en pall finns 48 kartonger.

a) Vad väger ett A4-papper? b) Vad väger en kartong? c) Vad väger hela pallen (endast pappret)?

118 En byggfirma ska gjuta åtta cylinderformade bropelare i betong till en vägbro. En pelare har diametern 1,5 m och är 10 m hög. Vad väger betongen om 1 l betong väger 2,3 kg? 119 Världens största träd är ett mammutträd. Det växer i Kalifornien, USA. Trädet är 83,82 meter högt och stammen har en diameter på 11,1 meter. Trädets timmer räcker till ungefär 5 miljarder tändstickor. Hur stor area har trädets stam? Anta att trädet är cylinderformat. 120 Det ska tillverkas en cylinderformad burk till hudkräm.Varje burk ska innehålla 200 ml. Föreslå lämpliga mått på förpackningen.

NIVÅ 3 121 Varje lager av tårtan är 10 cm högt. Det nedersta lagret har diametern 30 cm. För varje lager av tårta minskar radien med 2 cm. Vilken volym har tårtan i dm3?

122 En cylinderformad ask har diametern 20 cm och höjden 12 cm. Locket som hör till asken har 5 mm större diameter, men är bara 4 cm högt. Hur mycket material har gått åt för att göra asken? 2 mm

123 En servettring ska tillverkas med måtten enligt bilden. Hur många cm3 silver behövs?

2 cm

3 cm

124 Konen har höjden 40 cm och diametern 25 cm. Den inritade cylindern har höjden är 30 cm och radien 6,25 cm. Hur många gånger större är konens volym? 125 Kuben på bilden har sidan 25 cm. Inuti finns en inritad cirkulär kon och en fyrsidig pyramid. Hur förhåller sig de tre volymerna till varandra? Geometri | Kapitel 4 125

40694775_mondo8.indb 125

2016-11-29 09:49

KAPITELDIAGNOS A NIVÅ 1-2

A5 Fyll i det som saknas.

Svara i exakt form eller avrundat till en decimal vid beräkningar med π. (cm)

A1 Beräkna cirkelns omkrets.

a) 55 dl = ___ dm3

b) ___ l = 0,7 dm3

A6 Beräkna volymen. 2

10,0 4

10 (cm)

A2 Beräkna cirkelns area.

(cm)

A7 Beräkna volymen. Svara i hela cm3. (cm)

5,0

5 5

A3 Vilken av formlerna ger rätt svar om arean av cirkelsektorn ska beräknas? 5

(cm)

A9 Beräkna volymen av en pyramid med höjden 12 cm och basytan 36 cm2.

v = 90°

2⋅5⋅ π 4 5⋅5⋅ π C 4 A

A8 Räkna ut volymen av en kon om B = 60 cm2 och h = 20 cm.

10 ⋅ 10 ⋅ π 4 2 ⋅ 10 ⋅ π D 4 B

A10 En burk har diametern 60 mm och höjden 75 mm. Hur mycket rymmer de tre burkarna tillsammans? Svara i hela cm3.

A4 För vilka av kropparna kan man beräkna volymen med formeln V = B · h?

126

A11 Självbedömning Skriv om du är säker, ganska säker eller osäker på lösningen för var och en av uppgifterna A1-A10.

Kapitel 4 | Geometri

40694775_mondo8.indb 126

2016-11-29 09:49

KAPITELDIAGNOS B NIVÅ 2-3 Svara i exakt form eller avrundat till en decimal vid beräkningar med π.

B8 Hur hög är struten om B = 9π cm2 och V = 141 cm3?

B1 Beräkna omkretsen av en cirkel med radien 6 m. B2 Beräkna arean av en cirkel med diametern 6 m. B3 Beräkna arean av en cirkelsektor om r = 3,0 dm och v = 35°.

B9 Cheopspyramiden har en kvadratisk basyta med sidan 230 m. När den byggdes var höjden 146,5 m. Sedan dess har pyramidens höjd minskat med 9 m. Hur stor volym har gått förlorad?

B4 Vilken form har sidoytan på a) en kub b) ett rätblock c) en cylinder

B10 Beräkna pyramidens begränsningsarea. (cm)

B5 Hos ett tresidigt prisma är basytans area 15 cm2. Vad är höjden om volymen är 225 cm3? 6

B6 Skriv som cm3 a) 30 l 6

b) 5 097 dm3

6 4

c) 810 dl d) 300 cl 6

B7 Vad är höjden hos en cylinder om den har följande värden? Diameter

Sidoyta

Höjd

Volym

6 cm

188 cm2

282 cm3

B11 Självbedömning Skriv om du är säker, ganska säker eller osäker på lösningen för var och en av uppgifterna B1-B10.

Geometri | Kapitel 4

40694775_mondo8.indb 127

127

2016-11-29 09:49

Tillämpa förmågorna

TILLÄMPA KAPITEL 3 FÖRMÅGORNA 2

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA

Här följer tre större uppgifter där ni under arbetets gång övar alla förmågorna i matematik: P PROBLEMLÖSNING B BEGREPP M METOD R RESONEMANG K KOMMUNIKATION

Uppgifterna varierar i storlek och kan ta allt ifrån en lektion till någon vecka. Ofta arbetar ni i grupp och hur ni redovisar bestämmer ni tillsammans med er lärare.

PERNILLAS POOL Nu är arbetet klart äntligen klart. Poolen är grävd och trädäcket färdigt. Det återstår endast att fylla i vatten. Hur länge måste man vänta på det första svalkande badet?

STENS GRUS & SAND Webbshopen blir inte klar eftersom programmerare saknas. Använd datorn och ett kalkyl-, webbdesign- eller blogg-program för att hjälpa företaget med ”hemsidan”.

HUR TÄT ÄR DU? Ibland sjunker man och ibland flyter man. Nu är det dags att gå till botten med frågan: ”Hur tät är du?”

128

Kapitel 4 | Geometri

40694775_mondo8.indb 128

2016-11-29 09:49

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 1

PERNILLAS POOL Pernilla bygger en pool i sin trädgård. Arbetet flyter på bra och till slut återstår endast att fylla i vatten. Hon börjar krana vatten men tycker att det tar lång tid.

UPPGIFT

Gör en rimlig beräkning av hur lång tid det skulle ta och vad det skulle kosta att fylla poolen. Ta reda på vilka mätvärden som behövs för att kunna göra ett antagande. Använd dig gärna av olika källor. Redovisa undersökningsmetod, vilka fakta du bygger dina antaganden på och dina beräkningar.

Geometri | Kapitel 4 129

40694775_mondo8.indb 129

2016-11-29 09:49

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 2

STENS GRUS & SAND UPPGIFT

Företaget Stens Grus & Sand behöver hjälp att designa och programmera en hemsida. Företagsidén är att tillhandahålla olika grusprodukter. De vill att hemsidan ska fungera som ett ställe att beräkna volym, vikt och kostnad för respektive produkt. Se idéskiss nedan. Använd datorn och förslagsvis ett kalkylprogram, bloggverktyg eller hemsideprogram för att programmera sidan.

Stens Grus & Sand Start

Sortiment

Erbjudanden

Beräkningar

Om oss

Sök efter produkter

Sök

B Produkt

Densitet Kilopris (kg/m3) (kr/kg)

Resultat

Bergkross

1750

0,718

Volym (m3)

Grus

1600

0,723

A C

130

Höjd

Matjord

1500

0,713

Bredd

Makadam

1450

0,75

Längd

Natursten

1500

1,461

Beräknad volym

Sand

1600

0,739

Densitet (kg) Kilopris (kr) Att betala

Kapitel 4 | Geometri

40694775_mondo8.indb 130

2016-11-29 09:49

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 3

HUR TÄT ÄR DU? Skolans fysiklärare försöker vara lustig och ställer frågan: ”Vad hade du helst fått på foten, 1 kg bly eller 1 kg bomull?” Svaret läraren vill ha är att det inte spelar någon roll. 1kg = 1kg oberoende av vilket ämne. Om vi formulerar om frågan: ”Vad hade du helst fått på foten, 1 liter bly eller 1 liter bomull?” Då behöver man veta vad 1 liter bly respektive 1 liter bomull väger, dvs. ämnenas densitet. Ämne

Densitet (kg/dm3)

Bly

19,3

Bomull

0,04

UPPGIFT

Vilken densitet har människokroppen? Tänk ut ett sätt att undersöka din egen densitet. Ta inspiration av faktarutan om Arkimedes. Redovisa tillvägagångssätt och beräkningar så utförligt som möjligt.

Arkimedes (287 f.Kr.-212 f.Kr.) var en av historiens största vetenskapsmän och matematiker. Han är troligen främst känd för Arkimedes princip och Arkimedes skruv. En historia som berättas om Arkimedes är när kung Hieron av Syrakusa ber Arkimedes om hjälp för att mäta guldhalten i en krona. Arkimedes kommer på lösningen på problemet när han tar ett bad och ser hur vattnet svämmar över. Då vet han hur han kan få reda på kronans volym. Det sägs att han blev så glad att han sprang naken ut på gatan och ropade den berömda frasen: ”Heureka!” (Jag har funnit det!).

Geometri | Kapitel 4

40694775_mondo8.indb 131

131

2016-11-29 09:49

TRÄNA MERA Svara i exakt form eller avrundat till en decimal vid beräkningar med π.

4.3 Cirkelbåge och cirkelsektor

4.1 Omkretsen av en cirkel

9 Hur stor andel av en cirkel utgör cirkelsektorn om medelpunktsvinkeln är a) 90°

b) 45°

c) 18°

1 Beräkna cirkelns omkrets.

8,0

(cm)

6,0

2 Beräkna omkretsen av en cirkel om

a) d = 9 cm

b) d = 5 m c) d = 13 cm

3 Beräkna omkretsen av en cirkel om

a) r = 0,5 m

b) r = 4,2 cm c) r = 16 mm

4 Hjulen på en spark har diametern 100 mm. Hur långt rullar sparken per hjulvarv?

10 Vad är cirkelsektorns area om a) r = 6 cm och v = 45° b) r = 7 cm och v = 180°

4.2 Arean av en cirkel 5 Beräkna arean av en cirkel med radien

11 Vad är cirkelbågens längd om

a) 7 cm b) 2 m

6 Beräkna arean av en cirkel med diametern

a) r = 6 cm och v = 45°

b) r = 5 cm och v = 90° 12 Beräkna figurens

a) 10 cm b) 6 dm 7 Beräkna myntets area.

a) area

b) omkrets

2,3 cm v = 120° r = 10 cm

8 Beräkna figurens area.

2 cm

132 Kapitel 4 | Geometri

40694775_mondo8.indb 132

2016-11-29 09:49

TRÄNA MERA 4.4 Tredimensionella objekt 13 Hur många hörn har ett prisma vars basyta har formen av en rektangel? 14 Para ihop objektet med rätt förklaring. 1 prisma

A En kropp där alla sidor är kvadrater.

2 cylinder 3 kub

B En kropp där alla sidor är parallellogrammer. Kan även kallas för prisma.

4 rätblock

C En kropp där basytan är en cirkel. D Har två parallella basytor av något slag. Sidoytorna är parallellogrammer.

20 Ett akvarium ska ha volymen 100 dm3. Hur stor är basytan om höjden är 40 cm?

4.6 Enheter för volym 21 Skriv som liter. a) 600 cl

b) 26 dl

c) 3 000 ml

d) 450 dl

22 Fyll i det som saknas. a) 45 dl = ___ dm3 b) ___ l = 0,5 dm3 c) 300 cl =___ l d) 2 l = ___ cm3 23 Skriv som kubikdecimeter.

15 Vilken av kropparna har parallella basytor? A pyramid

B kon

C cylinder

16 Vilken kropp beskrivs?

En kropp med en kvadrat i basytan och trianglar som sidoytor.

b) 26 dl

c) 3 m3

d) 450 cm3

24 En förpackning ska ha formen av ett rätblock och innehålla 1 l. Föreslå lämpliga mått.

4.7 Cylinder

4.5 Prisma 17 Basytan av ett prisma har arean 25 cm2. Beräkna volymen om höjden är a) 10 cm

a) 6 l

b) 15 cm

25 Beräkna förpackningens volym.

18 a) Vilken area har basytan i figuren? b) Beräkna volymen. (m) 3 12

h = 14 cm

19 Vad är höjden i ett prisma om a) B = 2,5 · 3 m och V = 75 m3 b) B = 1,5 · 4 cm och V = 72 cm3

B = 4,9 cm2 Geometri | Kapitel 4

40694775_mondo8.indb 133

133

2016-11-29 09:49

TRÄNA MERA 26 Fyll i de värden som saknas i tabellen. Samtliga värden gäller en cylinder. Radie (cm)

Basyta (cm2)

Höjd (cm)

Volym (cm3)

≈ a)

≈ 126

≈ 201

≈ 402

≈ c)

≈ 3140

4.9 Problemlösning 33 Hur mycket sand rymmer lådan om den är helt full? Svara i liter. (cm)

100 80

27 Beräkna volymen av en cylinder med höjden 10 cm och en cirkulär basyta med radien 5 cm. 28 Beräkna höjden hos en cylinder som har volymen 352 cm3 och basytan 44 cm2.

34 Du vill göra en behållare som rymmer 2 l. Ange måtten på behållaren om den ska ha formen av

4.8 Pyramid och kon 29 Beräkna volymen om

a) B = 120 m2 och h = 10 m

b) B = 30 m2 och h = 15 m

120

a) ett rätblock

b) en pyramid

35 Rundetårn i Köpenhamn är 36 m högt och 15 m i genomskärning.

30 Formeln för volymen av en pyramid är

B ⋅h . 3

Vad är B om h = 30 cm och V = 600 cm3?

a) Hur stor volym har tornet? Avrunda till hundratal m3.

b) Hur stor area har tornets utsida om man bortser från alla fönster? Avrunda till hundratal m2.

31 Räkna ut volymen av en kon om a) B = 90 cm2 och h = 5 cm

b) B = 10 cm2 och h = 120 cm

h B

32 Ett dricksglas ser ut som en upp- och nedvänd kon. Hur mycket får plats i glaset om det har en cirkulär basyta med radien 3 cm och höjden 15 cm? 134 Kapitel 4 | Geometri

40694775_mondo8.indb 134

2016-11-29 09:49

FÖRDJUPNING

Densitet (δ) är ett mått på ett ämnes täthet. Ju högre densitet desto mer väger ett ämne per volymenhet. Densiteten är specifik för ett ämne och är ett bra sätt att identifiera olika ämnen.

Densitet för några metaller Ämne

Aluminium Bly

Guld

Järn

Koppar

Platina

Silver

Densitet (g/cm3)

2,7

19,3

7,87

8,93

21,45

10,49

11,3

Densitet för några kemiska föreningar Ämne

Etanol

Glykol

Is (0°C) Koldioxid Gasol

Vatten (+4°C)

Ättiksyra

Densitet (g/cm3)

0,79

1,11

0,92

1,00

1,05

0,0019

0,0020

EXEMPEL

Helena ställde en mätcylinder på en våg. Därefter nollställde hon vågen. Efter att ha hällt i 150 ml vätska i cylindern avläste hon vikten till 165 g. Vilket ämne bestod vätskan av? densiteten (δ) =

massan m = volymen V

m = 165 g V = 150 ml = 150 cm3 δ=

m 165 = = 1,1 g/cm3 V 150

Svar:Vätskan bestod av glykol.

Geometri | Kapitel 4 135

40694775_mondo8.indb 135

2016-11-29 09:49

FÖRDJUPNING 1 En platinatacka ser ut som på bilden. Vad kostar den, om priset är 301 kr/g? 2 10

Mynt består av olika legeringar. Legeringen i den svenska tiokronan kallas för nordiskt guld. Beståndsdelarna är i proportionen 89 % koppar, 5 % aluminium, 5 % zink och 1 % tenn. Tiokronan har densiteten 6,9 g/cm3.

(cm)

2 Beräkna volymen av en silvertacka som väger 5,95 kg. 3 Världens största guldtacka som tillverkats väger 250 kg.Vilka mått skulle den kunna ha?

6 Andelen aluminium i en svensk tiokrona väger 0,33 g. Hur stor volym har myntet? 7 Använd informationen i uppgift 6 för att beräkna hur mycket vätskenivån höjs om fem tiokronor läggs ned i en mätcylinder med diametern 36 mm. Svara i hela mm. 8 Hur mycket väger 1 000 m järntråd med genomskärningsytan 1 mm2?

4 Hur stor densitet har en legering som innehåller 70 % guld och 30 % silver?

En vinylskiva har diametern 30 cm och är 2 mm tjock. Guldpriset är ungefär 400 000 kr/kg. 5 Till releasefesten av The Mondos nya skiva ska de fem första vinylskivorna förgyllas. Bladguldet som används har tjockleken 2 μm. Hur mycket kostar guldet till skivorna?

9 I en gasoltub är gasen komprimerad. En av de vanligare tuberna innehåller 12,2 l gasol som väger 5 kg.

a) Vilken densitet har den komprimerade gasen?

b) Hur stor volym får gasolen om man släpper ut hela innehållet ur tuben?

136 Kapitel 4 | Geometri

40694775_mondo8.indb 136

2016-11-29 09:49

FÖRDJUPNING 14 Ättiksprit är en blandning mellan ättiksyra och vatten. Flaskans volym är 500 ml och inne håller 12 volym procent ättiksyra. Hur många gram ättiksyra innehåller flaskan?

10 Antarktis yta är täckt av is. Hur mycket väger isen om vi förutsätter att temperaturen är 0 °C? Yta (km2)

11 900 000

Medeldjup (km)

2,5

15 En varm dag hälls två isbitar ned i ett glas vatten. Isbitarna har formen av en kub med sidan 3 cm. Glaset blir stående och isbitarna smälter. Vad händer med vikten?

11 Hur många liter vatten finns i Antarktis is? Svara i grundpotensform. 12 Östersjövatten har densiteten 1,01 g/cm3. I Döda havet är salthalten 33,7 % och densiteten 1,24 g/cm3. Hur stor är viktskillnaden mellan 1 l vatten från Döda havsvatten och 1 l Östersjövatten? 13 För att identifiera ett antal ämnen undersöktes deras vikt och volym. Slutför laborationen och identifiera ämnena.

16 En skål har formen av en stympad kon enligt bilden. Skålen fylls med etanol. Hur mycket väger skålens innehåll? 20

Ämne 1 Ämne 2 Ämne 3 Vikt (g) Volym (cm3) 3

Densitet (g/cm )

282,5

160,7

51,2

(cm)

10 10

Ämne

Geometri | Kapitel 4 137

40694775_mondo8.indb 137

2016-11-29 09:49

BEGREPP

Geometriska objekt

Cirkel

Parallellogram

Kub

Rätblock

Prisma

Cylinder

Pyramid

Kon

Klot

Omkrets

Hur långt det är runt om en geometrisk figur.

Area

Storleken av en yta.

Volym

Storleken på en geometrisk kropp.

Enhet

Anger värdet av storheter. T.ex. anges längd i m, area i m2, volym i m3.

138

Kapitel 4 | Geometri

40694775_mondo8.indb 138

2016-11-29 09:49

BEGREPP

Pi (π)

Kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter. π ≈ 3,14.

Diameter

Sträckan som går mellan två punkter på cirkeln och genom cirkelns medelpunkt.

Radie

Cirkelbåge

Sträckan som går från cirkelns medelpunkt till en punkt på cirkeln.

Bågen på en cirkel.

Cirkelbåge

Cirkelsektor

Område av en cirkel som begränsas av en cirkelbåge och av två radier. Cirkelsektor

Kropp

Tredimensionellt geometriskt objekt.

Basyta

Ytan i en geometrisk kropp som man använder för att beräkna volymen.

Sidoyta

Sidan i en kropp.

Hörn

Punkt som hör till två kanter i en kropp.

Kant

Snittet av två sidor i en kropp.

Begränsningsyta

Yta som begränsar en kropp.

Geometri | Kapitel 4

40694775_mondo8.indb 139

139

2016-11-29 09:49

SAMMANFATTNING

DU SKA KUNNA

EXEMPEL

LÖSNINGSFÖRSLAG

Beräkna cirkelns Beräkna cirkelns omkrets och area a) omkrets (cm)

b) area

4,0

Beräkna area av cirkelsektor och längd av cirkelbåge

a) O = d · π d = 2 · r = 2 · 4 = 8 cm O = 8 · π ≈ 25 cm b) A = r2 · π A = 42 · π = 16π ≈ 50 cm2

Beräkna a) cirkelsektorns area b) cirkelbågens längd

a) Medelpunktsvinkeln (v) är 45° av 360° = 45 1 = = 360 8

1 2 8 ⋅ 8 ⋅ π 64 ⋅ π = · r ·π = = 8π cm2 ≈ 8 8 8 ≈ 25 cm2

c) figurens omkrets

b 45° r = 8 cm

b) Medelpunktsvinkeln (v) är 45° av 360° = 45 1 = = 360 8

1 2 ⋅ 8 ⋅ π 16 ⋅ π = ·2·r·π= = 2π cm ≈ 8 8 8 ≈ 6,3 cm

c) Figuren begränsas av

O=b+r+r O = 2π + 8 + 8 = 2π + 16 ≈ 22,3 cm

Enheter för volym

1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 l 1 dm3 = 1 l 1 l = 10 dl = 100 cl = 1 000 ml 1 cm3 = 1 ml Fyll i det som saknas

140

a) 5 dl = __ dm3 = __ l

a) 5 dl = 0,5dm3 = 0,5 l

b) 7 mm3 = __ cm3 = __ dm3

b) 7 mm3 = 0,007cm3 = 0,000 007 dm3

c) 3 m3 = __ dm3 = __ l

c) 3 m3 = 3 000 dm3 = 3 000 l

Kapitel 4 | Geometri

40694775_mondo8.indb 140

2016-11-29 09:49

SAMMANFATTNING

DU SKA KUNNA

EXEMPEL

LÖSNINGSFÖRSLAG

Beräkna volym

Beräkna volymen av a) ett rakt prisma, med höjden 7 cm och en rektangulär basyta med måtten 3 och 4 cm.

a) V = B · h = 3 · 4 · 7 = 84 cm3

b) en cylinder med höjden 8 cm och en cirkulär basyta med radien 2 cm.

b) V = B · h = r2 · π · h = = 22 · π · 8 = 32π ≈ 100 cm3

c) en pyramid med basytan 6 cm2 och höjden 5 cm.

c) V = h

B ⋅h 6⋅5 = = 10 cm3 3 3

d) en kon med höjden 5 cm och en cirkulär basyta med radien 3 cm.

Beräkna begränsningsyta

B ⋅h r2 ⋅π ⋅h = d) V = = 3 3 32 ⋅ π ⋅ 5 = = 15π cm3 ≈ 47 cm3 3

h B

Beräkna begränsningsytan hos ett prisma, med höjden 15 cm och en rektangulär basyta med måtten 9 och 5 cm. (cm)

A1 = 9 · 15 = 135 cm2 A2 = 5 · 15 = 75 cm2 A3 = 9 · 5 = 45 cm2

Atotal = 2 · 135 + 2 · 75 + 2 · 45 = = 510 cm2

Geometri | Kapitel 4

40694775_mondo8.indb 141

141

2016-11-29 09:49

KAPITEL 5

Samband och förändring

142 Kapitel 5 | Samband och förändring

40694775_mondo8.indb 142

2016-11-29 09:49

PROBLEMLÖSNING

BEGREPP

METOD M RESONEMANG R KOMMUNIKATION K

CENTRALT INNEHÅLL • Koordinatsystemet • Spegling av punkter, linjer och figurer • Rita och tolka grafer • Proportionalitet • Linjära funktioner

SIDORNA 168–172

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA I PROJEKT: Proportionellt eller inte? Magister Christer Gullans Gym

GRUPPUPPGIFT

Rita varsin spelplan enligt bilden. Därefter ska ni i hemlighet placera ut: • 4 jagare (2 rutor) • 3 kryssare (3 rutor) • 2 minsvepare (4 rutor) • 1 pansarkryssare (5 rutor)

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Var du vill ”skjuta” anger du först med siffran i vågräta axeln och sedan siffran i den lodräta axeln. I bilden är ”tre, sex” markerat (bom). Träff i skeppets alla rutor betyder att skeppet är sänkt. Den som först sänker alla motståndarens skepp vinner.

Samband och förändring | Kapitel 5

40694775_mondo8.indb 143

143

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS

5.1 KOORDINATSYSTEM y

Ett koordinatsystem består av två tallinjer med en gemensam nollpunkt. Den del av tallinjen som är vågrät kallas för x-axel och den som är lodrät för y-axel. Tallinjerna skär varandra i sina nollpunkter. Punkten där de skär varandra kallas origo.

y-axel

5 4 2:a kvadranten

1:a kvadranten

x-axel

1 -5

Ett koordinatsystem delas upp i fyra områden, så kallade kvadranter.

-4

-3

-2 -1

Origo 1

-1

-2 3:e kvadranten

4:e kvadranten

-3 -4 -5 y 5

En punkts position anges först i x-led och sedan i y-led.

Punkten A har x-koordinaten = 2 och y-koordinaten = 3. A = (2, 3). Punkten B har x-koordinaten = −3 och y-koordinaten = 1. B = (−3, 1).

A = (3, 4)

2 B = (–3, 1)

1 (0,0)

-5

Koordinaterna skrivs inom parentes med x-värdet först. x- och y-koordinaten skiljs åt med ett kommatecken. Koordinater kan även anges som decimaltal som i punkten C = (−1,5; −2,5).

-4

-3

-2 -1

-1

-2 C = (–1,5; –2,5)

-3 -4 -5 y

EXEMPEL

Vilka koordinater har punkten A?

Lösning: Avläs hur punkten ligger i förhållande till x-axeln. Följ den rosa linjen, x-koordinaten = 2. Avläs hur punkten ligger i förhållande till y-axeln. Följ den blå linjen, y-koordinaten = 4. Svar: A = (2, 4)

2 1 -5

-4

-3

-2 -1

-1

-2 -3 -4 -5

144 Kapitel 5 | Samband och förändring

40694775_mondo8.indb 144

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS NIVÅ 1

7 Vad har alla punkter som ligger i fjärde kvadranten gemensamt?

1 Vilka koordinater har origo?

A (−1, 3)

B (−1, 0)

D (0, 2)

E (3, −1)

2 Vilka koordinater har punkterna?

C (0, 0)

8 Punkterna (1, 1) och (4, 4) bildar tillsammans diagonalen i en kvadrat.

a) Rita ett koordinatsystem och sätt ut punkterna.

b) Vilka koordinater har de två andra hörnen i kvadraten?

5 4 3 2 1

A C

-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 B -3 -4 -5

1 2 3 4 5

9 Hur kan man se på koordinaterna att en punkt ligger

3 Rita ett koordinatsystem där båda axlarna graderas från −3 till 3. Sätt ut a) x-axel

b) y-axel

d) punkten (−1, 2)

c) punkten (2, −3)

a) på x-axeln b) på y-axeln c) i origo

NIVÅ 3 10 Vilken y-koordinat har kurvan när den

a) står som högst b) står som lägst y

4 Rita färdigt kvadraten och ange koordinaterna för kvadratens fyra hörn.

5 4 3 2 1

a) x-axeln b) y-axeln

1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5

NIVÅ 2 5 I vilken punkt skär kurvan

1 2 3 4 5

6 Rita ett koordinatsystem och sätt ut punkterna

π 2

π 3π π 2π 2

11 Koordinaterna anger hörnen i tre kvadrater. Vilka koordinater har det fjärde hörnet?

5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5

-2π -π -3π -π - π 2 2 -1

A (−1, −1) B (−1, 5) C (0, 0) D (−5, 1)

a) (3, 3) (0, 3) (3, 0) ____

b) (−5, −5) (0, −5) (0, 0) ____

c) (0, −2) (0, −5) (3, −5) ____

12 Punkten (1, 1) utgör mittpunkten hos en kvadrat. Sidan i kvadraten är 6 enheter lång. I vilka punkter skär kvadraten

a) x-axeln

b) y-axeln

13 I ett koordinatsystem, där axlarna graderats i cm, är en triangel inritad. Triangeln har sina hörn i punkterna (−1, 5), (2, 1) och (4, 1). Hur stor är triangelns area? Samband och förändring | Kapitel 5 145

40694775_mondo8.indb 145

2016-11-29 09:49

GRUNDKURS

5.2 SPEGLING I en spegel ser spegelbilden ut att vara lika långt från glaset som man befinner sig. När punkter, linjer och geometriska figurer speglas fungerar det på samma sätt.

SPEGLING AV PUNKTER

Spegla punkten A med x-axeln som speglingslinje.

Lösning: Punkten A1 ska ha samma avstånd till x-axeln som punkten A. y-koordinaten byter tecken.

A1 (4, 4)

4 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1

-2 -3

A (4, –4)

-4 -5 y 5

SPEGLING AV LINJER Spegla linjen AB med x-axeln som speglingslinje. Lösning: Markera två punkter i linjen AB. Spegla dem i x-axeln. Dra linjen mellan punkterna A1 och B1.

A1 (4, 4)

4 3 B1 (-4, 1)

2 1

-5 -4 -3 -2 -1 -1 B (-4, -1) -2

-3

A (4, -4)

-4 -5 y

SPEGLING AV FIGURER

T.ex. Punkten C = (1, −5) byter tecken till C1 = (1, 5)

A1 (4, 4)

Spegla figuren ABC med x-axeln som speglingslinje. Lösning: Det räcker med att spegla hörnpunkterna i figuren då man speglar figuren. Koordinaterna ändrar som i tidigare exempel tecken vid speglingen.

C1 (1, 5)

5 3 2 B1 (-4, 1)

-5 -4 -3 -2 -1 -1 B (-4, -1)

-2 -3

A (4, -4)

-4 -5

C (1, -5)

146 Kapitel 5 | Samband och förändring

40694775_mondo8.indb 146

2016-11-29 09:50

GRUNDKURS

GRUPPUPPGIFT

Arbeta i par. Rita varsitt identiskt koordinatsystem. Sätt er därefter med ryggen mot varandra. Utmaningen börjar med att en av er säger koordinaten till en punkt. Båda spelarna pekar på punkten på sitt eget koordinatsystem.

5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5

Därefter ger spelare 1 tre kommandon på rad, t.ex.: 1) Spegla punkten med y-axeln som speglingslinje. 2) Gå två steg åt höger i x-led. 3) Gå tre steg nedåt i y-led.

1 2 3 4 5

Båda spelarna följer punktens nya läge med fingret. Om ni båda är på samma punkt efter de tre förflyttningarna har ni gjort rätt och byter då roller med varandra. Blir det fel får ni prova igen.

NIVÅ 1

16 Vilket av alternativen visar en spegling av figuren?

14 Vilken av koordinaterna anger en spegling av punkten (4, 3) med x-axeln som speglingslinje? y

A (3, 4)

B (−4, −3)

C (−4, 3)

D (4, −3)

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5

3 G

-5 -4 -3 -2 -1 -1 E -2

1 A

-3 F

-4 -5

15 Vilken eller vilka av linjerna är en spegling av linjen AB? 5

17 Rita ett koordinatsystem där båda axlarna graderas från −5 till 5.

a) Sätt ut punkten (2, 3).

b) Vilka koordinater anger en spegling av punkten med y-axeln som speglingslinje? Sätt ut punkten.

c) Spegla de markerade punkterna med x-axeln som speglingslinje. Ange koordinaterna för de nya punkterna.

Samband och förändring | Kapitel 5 147

40694775_mondo8.indb 147

2016-11-29 09:50

GRUNDKURS NIVÅ 2 18 Rita ett koordinatsystem där båda axlarna graderas från −5 till 5.

a) Sätt ut punkterna (4, 3) och (2, −1). Dra en linje mellan punkterna.

b) Spegla linjen med y-axeln som speglingslinje.

23 a) Ange koordinaterna för hörnen A, B, C och D i fyrhörningen.

y 5 4 3 2 1

19 Vilka koordinater anger en spegling av punkten (1,5; 2)?

A (2; 1,5)

B (−2; 1,5)

C (−1,5; 2)

D (1,5; −2)

20 Rita ett koordinatsystem där båda axlarna graderas från −5 till 5.

a) Sätt ut hörnen i en triangel med koordinaterna (−3, 1), (−2, 5), (−1, 5).

b) Vilka blir koordinaterna om du speglar figuren med y-axeln som speglingslinje?

21 En triangels hörn har koordinaterna (5, 4), (3, 2) och (7, 3). Vilka koordinater får figuren när den speglas med x-axeln som speglingslinje?

NIVÅ 3 22 Rita ett koordinatsystem där båda axlarna graderas från −5 till 5.

a) Dra en linje mellan koordinaterna (−4, −4) och (4, 4).

b) Rita en triangel där hörnen har koordinaterna (2, −3), (4, −1), (4, −3).

c) Spegla triangeln med den linje du ritat som speglingslinje. Ange koordinaterna för nya triangelns hörn.

b) Spegla figuren med y-axeln som speglingslinje. Vilka koordinater får den nya figurens hörn?

1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5

24 Vilka koordinater har figurens hörnpunkter när den speglas med

a) y-axeln som speglingslinje

b) x-axeln som speglingslinje y 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1 E D -2 F -3 C -4 -5 A B

1 2 3 4 5

25 En fyrhörning har sina hörn i koordinaterna A= (5, 3), B = (3, 1), C = (4, 0) och D = (5, 1). Vilka koordinater får fyrhörningen efter det att den speglats i x-axeln och därefter förskjutits två steg åt vänster parallellt med x-axeln?

148 Kapitel 5 | Samband och förändring

40694775_mondo8.indb 148

2016-11-29 09:50

GRUNDKURS

5.3 TOLKA GRAFER Ett linjediagram är en del av ett koordinatsystem, där axlarna visar olika storheters värde. Kurvan som bildas då punkterna binds samman kallas för graf. En graf visar sambandet mellan olika storheter. Grafen i diagrammet visar hur hastigheten hos en bil förändras under en viss tid.

Sträcka (m)

Det finns två kritiska punkter då grafens riktning ändras. Grafen är uppdelad i tre olika delar:

300

1 H är är en svagare lutning än i sista delen vilket innebär att här har bilen en lägre hastighet än vid del 3. 2 L injen är parallell med x-axeln. Detta innebär att hastig heten under perioden varit 0 km/h, dvs. att bilen stått stilla.

Storhet

400 3 2

200 1

100 0

Tid (s)

3 Här lutar det mest vilket innebär att bilen kört snabbast under denna period.

GRUPPUPPGIFT

Diagrammet saknar både axelrubriker och diagramrubrik.Vad som avses med diagrammet är därför oklart. Det kan åskådliggöra vad som helst. Vad tror ni diagrammet visar? Hitta två olika tänkbara tolkningar.

Samband och förändring | Kapitel 5 149

40694775_mondo8.indb 149

2016-11-29 09:50

GRUNDKURS NIVÅ 1 26 Diagrammet visar tre personers ålder och längd.

a) Vilka har samma längd? b) Vilka har samma ålder?

27 Para ihop graferna med ett rimligt fordon.

1 Cykel

2 Bil

3 Moped

30 Beskriv hissens rörelse mellan A och B.

Ålder A

Längd

Tid

Ålder

31 Diagrammen visar olika egenskaper hos tre personer som är ute och joggar.

Sträcka

Tid

Kostnad (kr)

Fem snabba om grafer

a) Grafer börjar alltid i origo. b) Punkter med samma kilopris ligger längs x-axeln.

e) En skärningspunkt innebär att två grafer har samma x- och y-värde.

Hastighet

Längd

b) Jämför person B med person C:s egenskaper, t.ex. yngre och snabbare.

C B A

Vikt

32 Diagrammet visar hur sträckan beror på tiden. a) Beräkna hastigheten.

Antal samtal

b) Ge exempel på vad som kan röra sig med den hastigheten. Sträcka (m) 1500

Nej

1000

500

c) Grafer i ett sträcka-tid-diagram visar hastigheter. d) Grafer som är parallella med x-axeln har ett x-värde.

a) Beskriv person A:s olika egenskaper.

b) Vad händer i skärningspunkten mellan graferna? 29

NIVÅ 2

28 Graferna visar samtalskostnaden för två olika mobilabonnemang. a) Vad innebär en graf som är parallell med x-axeln?

Antal våningar 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2

Tid (min)

33 Skålarna fylls med vatten. Para ihop rätt skål med rätt graf. 1

150 Kapitel 5 | Samband och förändring

40694775_mondo8.indb 150

2016-11-29 09:50

GRUNDKURS 34 Hanna klättrar upp i ett 3 m högt hopptorn och dyker i. Hon nuddar botten i den 5 m djupa bassängen innan hon simmar upp till ytan. Rita grafen till texten. Låt y-axeln vara höjden och x-axeln vara tiden. 35 Para ihop beskrivning med rätt bokstav i diagrammet. Grafen beskriver Kalles väg till sina kusiner och hem igen.

1 Kalle är hemma hos kusinerna.

2 Kalle träffar en kompis och stannar för att prata.

3 Kalle cyklar till kusinerna.

4 Kalles pappa kör honom hem från kusinerna.

5 Kalle går hemifrån.

6 Kalle går tillbaka en bit med kompisen och får låna en cykel.

1 0

0,5

Volym

38 Rita graferna som passar till kärlen när du vänder upp och ner på dem och häller ut innehållet. Visa hur höjden förändras beroende på volymen. A B C

39 Amir cyklar från punkt A till B och Bert från punkt B till A.

a) Efter hur lång tid är Amir i punkt B?

b) Efter hur lång tid är Bert i punkt A?

c) Beräkna deras medelhastigheter. Avrunda till heltal. Sträcka (km) 20 A

Höjd

Sträcka (km) 6 5

37 En skål fylls med vatten. Rita bild av skålen som passar till grafen.

2 Tid (h)

1,5

NIVÅ 3

1 Tid (h)

36 Para ihop priset med rätt bokstav.

1 15 kr/kg

2 40 kr/kg

3 60 kr/kg

40 Rita ett nytt diagram för personerna A, B och C som visar deras längd och hastighet.

Pris (kr)

Ålder

B A

Längd

Vikt (kg) A

A C

Hastighet

Vikt

Samband och förändring | Kapitel 5 151

40694775_mondo8.indb 151

2016-11-29 09:50

GRUNDKURS

5.4 PROPORTIONALITET PROPORTIONALITET

ICKE PROPORTIONALITET

Leonard är lärarvikarie. Han får 125 kr i timmen när han arbetar. 1h: 1 · 125 = 125 kr 2h: 2 · 125 = 250 kr osv.

En Lakritsrem kostar 20 kr. Köper du fler får du mängdrabatt. 3 kostar 50 kr 6 kostar 80 kr.

Lönen är proportionell mot antalet timmar Leonard arbetar.

Kostnaden är inte proportionell mot antalet remmar du köper.

Två storheter är proportionella om de ändrar sig i samma förhållande till varandra. • Om den ena dubbleras, blir även den andra dubbelt så stor. • Om den ena halveras, blir även den andra hälften så stor Ett samband av detta slag med två storheter som är beroende av varandra kallas även för en funktion. En proportionalitet är ett exempel på en funktion där grafen går genom origo och bildar en rät linje. Kvoten mellan storheterna är konstant. Funktioner och proportionaliteter kan beskrivas på många olika sätt:

Med ord En bulle kostar 5 kr. Priset du får betala är proportionellt mot hur många bullar du köper. 1 bulle: 5 kr 2 bullar: 10 kr 3 bullar: 15 kr osv.

Med en värdetabell

Med en graf

Med en formel y = kostnad (kr) x = antal bullar y = 5x

Kostnad (kr) 20

Antal bullar

Uträkning

Kostnad (kr)

1·5=

2·5=

3·5=

15 10 5 0

152

4 Antal

Kapitel 5 | Samband och förändring

40694775_mondo8.indb 152

2016-11-29 09:50

GRUNDKURS

EXEMPEL

I en proportionalitet är y = 4 när x = 2 och y = 6 när x = 3. Beskriv proportionaliteten med: a) ord b) värdetabell c) graf d) formel

Lösning: a) Båda talparen (2, 4) och (3, 6) ger: Det andra värdet är en dubblering av det första värdet. y-värdet ges genom att dubblera x-värdet.

x-värde

Beräkning

y-värde

_·2=

_·3=

2·4=

Mönstret avslöjar att x-värdet ska dubbleras för att ge y-värdet.

4 3 2

d) y-värdet ges genom att dubblera x-värdet.

1 -5

-4

-3

-2 -1

-1

-2 -3 -4

Formel: 2 · x = y => 2x = y Vanligtvis skrivs formel, funktion eller proportionalitet med y-värdet först: y = 2x.

-5

GRUPPUPPGIFT

Först till tre i rad, vinner.

Material: koordinatsystem, linjal och två tärningar

1 Slå tärningarna.

Markera resultatet som en punkt i koordinatsystemet (välj vilken av tärningarna som ska bli x-, respektive y-koordinat och om den ska vara positiv eller negativ).

3 Turen går över till motspelaren. 4 Den spelare som först markerat tre punkter som ligger på samma linje har vunnit.

3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

-2 -3 -4 -5 -6

Samband och förändring | Kapitel 5 153

40694775_mondo8.indb 153

2016-11-29 09:50

GRUNDKURS NIVÅ 1

46 En rätlinjig graf går genom punkterna (−1, −1), (1, 1) och (3, 3). Vilka av följande koordinater hör till grafen?

41 I elevkaféet kostar fem kex 5 kr.

a) Vad kostar ett kex? b) Vad kostar ett paket med 30 kex?

42 Formeln för att beräkna priset för att hyra kanot är:

P = 150 · t P = pris i kr t = tid i h

a) Vad betyder 150? b) Vad kostar det att hyra en kanot i tre timmar?

43 Vilka av graferna är en proportionalitet?

Sträcka 8

Fem snabba om proportionalitet

8 Tid

Nej

a) Grafen går genom origo. b) Grafen är en böjd linje. c) Literpris är ett exempel. d) En proportionalitet är ett exempel på en funktion.

45 Grafen visar priset på plommon.

Pris (kr) 80

b) Skriv formeln för att räkna ut priset på plommonen.

Rita grafen om du behöver.

NIVÅ 2 47 Formeln för att beräkna priset för att spela bowling är:

a) Vad betyder 170?

b) Vad kostar det att spela bowling i två timmar om det är fyra personer som hyr skor?

48 Blandsaft säljs i olika storlekar. En 4 deciliters flaska kostar 15,60 kr och en 2,5 liters dunk kostar 62,50 kr. Är priset proportionellt mot volymen? Motivera ditt svar! 49 Diagrammet visar sambandet mellan pris och vikt på olika sorters potatis.

e) Halveras det ena värdet, dubbleras det andra.

a) Vad är priset per kilogram?

2 0

A (2, −2) B (4, 4) C (5, −5) D (5, 5)

P = 170 · t + 10 · s P = pris i kr t = tid i h 10 · s = 10 kr per skohyra

6 8 Vikt (kg)

c) Äpplen är billigare per kilogram. Om grafen som visar priset på äpplen ritas i samma diagram hur skulle den kunna se ut?

6 A 4

E D

Vikt

b) Vilka påsar kostar lika mycket?

c) Vilka påsar väger lika mycket?

d) För vilka påsar är sambandet mellan pris och vikt en proportionalitet?

20 0

a) Vilken påse väger mest?

Pris

e) Vilken påse ska man välja för att få mest för pengarna?

154 Kapitel 5 | Samband och förändring

40694775_mondo8.indb 154

2016-11-29 09:50

GRUNDKURS 50 En pool fylls på med 20 l/min. Efter 3 h 45 min är poolen fylld. Hur många liter rymmer poolen?

53 Beskriv funktionerna med ord.

a) y = x

b) y = 3x

c) y =

x 3

54 Rahim delar ut reklam. Han får 225 kr varje gång han delar ut på sin runda.

NIVÅ 3 51 Vilken eller vilka av händelserna beskriver proportionaliteter?

a) Beskriv med en funktion hur mycket Rahim tjänar (y) på ett antal rundor (x).

A Stina får 50 kr i timmen för att sitta barnvakt.

B Betala 250 kr i månaden till cafeterian så kostar varje kopp kaffe endast 5 kr.

b) Beräkna med hjälp av formeln vad Rahim tjänar på ett år om han delar ut reklam varje vecka.

C Taxin kostar 200 kr i framkörningsavgift och därefter 12 kr/km.

D Ring och surfa så mycket du vill för 275 kr i månaden.

52 Para ihop rätt beskrivning, formel och graf.

a) y-värdet fås genom att multiplicera x-värdet med 2.

b) y-värdet fås genom att dividera x-värdet med 2.

c) y-värdet fås genom att multiplicera x-värdet med 4. x 1 y = 2 y = 4x 3 y = 2x 2

55 Grafen visar en proportionalitet. Beskriv hur den skulle kunna förändras så att den inte är en proportionalitet längre. Beskriv med

a) ord

b) formel

y 5 4 C

3 2 1

x -5

-4

-3

-2 -1

-1

-2 -3 -4 -5

Samband och förändring | Kapitel 5 155

40694775_mondo8.indb 155

2016-11-29 09:50

GRUNDKURS

5.5 ANDRA LINJÄRA FUNKTIONER y 5

Graf A representerar en funktion som är proportionell eftersom grafen går genom origo. Graf B representerar en funktion som är linjär men inte proportionell. Denna typ av samband förekommer minst lika ofta som de proportionella. Ett exempel är mobilsurf. Ofta ingår en viss datamängd i abonnemangen. Överskrids denna får man betala extra per GB som används.

4 Graf B

Graf A

2 1

-5

-4

-3

-2 -1

-1

-2 -3 -4 -5

Graf B är förskjuten längs y-axeln. Den går inte genom origo och har ett startvärde som inte är noll. Grafen har startvärdet 5. EXEMPEL

Anne-Li ska på semester. Hennes katt ska lämnas på pensionat. Valet står mellan pensionat A och B. A 120 kr per dygn B 170 kr i fast pris därefter 75 kr per dygn

Beskriv respektive funktion med a) ord b) värdetabell c) formel d) diagram

156 Kapitel 5 | Samband och förändring

40694775_mondo8.indb 156

2016-11-29 09:50

GRUNDKURS

Lösning

a) Ord

Alternativ A

Alternativ B

Ett dygn kostar 120 kr. Priset du får betala är proportionellt mot hur många dygn katten stannar.

Oberoende hur många dygn katten ska stanna kostar det 170 kr i startavgift. Därefter kostar det 75 kr/dygn.

b) Värdetabell

c) Formel

Antal dygn

Beräkning

Kostnad (kr)

Antal dygn

Beräkning

Kostnad (kr)

120 · 1 =

120

75 · 1 + 170 =

245

120 · 2 =

240

75 · 2 + 170 =

320

120 · 3 =

360

75 · 3 + 170 =

395

120 · 4 =

480

75 · 4 + 170 =

470

y = 120x

d) Diagram

y = 75x + 170

Kostnad (kr)

500

400

300

200

100

4 5 Antal dygn

GRUPPUPPGIFT

Graferna visar när Allan och Julia är ute och springer. De startar från samma plats. x-axeln visar tiden de sprungit och y-axeln visar avståndet de sprungit. Vad visar graferna? Beskriv med ord.

Avstånd (km) 6 5

3 2 1 0

Tid efter start (min)

Samband och förändring | Kapitel 5 157

40694775_mondo8.indb 157

2016-11-29 09:50

GRUNDKURS NIVÅ 1

62 Graferna A och B visar två olika fotoföretags priser för framkallning av bilder.

56 Hur ser man på grafen att den inte visar en proportionalitet?

a) Vad kostar det att framkalla 10 bilder hos företag A? b) Para ihop formeln med rätt graf.

57 Conny plockar jordgubbar. Han får 12 kr litern. Låt x vara antal liter och y vara inkomst.

a) Skriv ett uttryck för vad Conny tjänar.

b) Är händelsen en proportionalitet? Motivera ditt svar.

Fem snabba om linjära funktioner

1 y = x Kostnad (kr) 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

Nej

a) Skostorleken är proportionell mot personens ålder. b) En linjär funktion går alltid genom origo. c) Ditt betyg i matematik är proportionellt mot antalet timmar du pluggar.

59 Beskriv funktionen y = 4x med en värdetabell där x = 0, 1, 2 och 3. 60 Beskriv funktionen y = 4x + 1 med ord.

A 5

a) Funktionen multiplicerar alla tal med två.

b) Funktionen multiplicerar alla tal med två och adderar med tio. c) Funktionen multiplicerar alla tal med två och subtraherar med tio.

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Antal bilder

GB: 79 kr

B 20

GB: 149 kr y

64 Vilken av graferna A, B, C eller D överensstämmer med formeln y = −x + 3?

NIVÅ 2 61 Beskriv funktionerna med en värdetabell där x = 0, 1, 2 och 3.

63 Är priset proportionellt mot surfmängden?

d) Fast avgift 30 kr + 1,25 kr/min är ett linjärt samband. e) Din lön är proportionell mot antalet timmar du jobbar om du har timlön.

2 y = 0,75x + 15

5 4 3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5

1 2 3 4 5

65 I affären där Muhammed handlar kostar 1 l mjölk 12,50 kr.

a) Skriv funktionen för hur mycket Mohammed köpt mjölk för om x = antal liter och y = kostnaden.

b) Vilken typ av linjärt samband representerar händelsen? Motivera ditt svar.

158 Kapitel 5 | Samband och förändring

40694775_mondo8.indb 158

2016-11-29 09:50

GRUNDKURS NIVÅ 3

69 Bestäm om priset är proportionellt mot vikten.

66 Beskriv de båda funktionerna på tre olika sätt Använd gärna begrepp i rutan. y

4 A

0 -1 -1

x 1

Graf Proportionalitet Kurva Linjär funktion Ökar lika mycket

0 -1 -1

Origo x-axel y-axel Lutning Funktion

67 En hyrbilsfirma har två olika prisförslag enligt tabellen. Förslag 1

Förslag 2

Fast avgift

250 kr

Ingår

Avgift per dag

250 kr

280 kr

Körsträcka

Fria mil

a) Vad kostar det att hyra en bil en dag med förslag 1?

b) Vilket förslag representerar en proportionalitet?

c) Vilket förslag är billigast om du ska hyra bil tre dagar? 68 Vilka av formlerna representerar proportionaliteter?

A x + y = 10

A 100 g popcorn kostar 6,50 kr

B 4 kg popcorn kostar 250 kr

70 Nora och Minna ska spara pengar till varsin dator. Nora tänker spara ett fast belopp varje vecka. Hon har redan sparat 1 000 kr som hon sätter in från start. Minna ska spara ett fast belopp varannan vecka.

a) Vilken graf hör till Nora och vilken hör till Minna?

b) Efter hur lång tid har de sparat lika mycket?

c) Båda vill köpa en dator som kostar 14 000 kr. Hur lång tid måste de spara? Belopp (kr) 10 000 9 000 8 000 7 000 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 0

A B

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Tid (veckor)

x =5 y C y − 4x = 0

Samband och förändring | Kapitel 5 159

40694775_mondo8.indb 159

2016-11-29 09:50

GRUNDKURS

5.6 RITA GRAFER För att rita en graf behövs ett antal koordinater. Det rekommenderas att göra en värdetabell med minst tre par koordinater. Linjära samband representeras av en rät linje. För att konstruera en rät linje krävs två punkter. Det borde därför vara tillräckligt med två par koordinater. Den tredje punkten tar vi med som en kontroll. Om denna inte ligger på den räta linjen kan du utgå från att något blivit fel och du bör räkna om värdetabellen. EXEMPEL 1

Skolans idrottshall kan hyras av föreningar. De får då betala en fast kostnad på 400 kr + 200 kr per timme. a) Gör en värdetabell. Använd minst tre värden. b) Rita en graf för kostnaden per timme. c) Skriv en formel för hyreskostnaden.

Lösning: a)

Tid (h)

Beräkning

Kostnad (kr)

400 + 200 =

600

400 + 200 · 2 =

800

400 + 200 · 5 =

1 400

b) 1. Bestäm lämplig skala och konstruera diagramaxlarna. Markera de punkter som tagits fram 2. i värdetabellen.

3. Bind samman punkterna till en graf (om de tre punkterna inte är på samma linje finns anledning att kontrollera ifall allt blivit rätt).

Kostnad (kr) 1400 1200 1000 800 600 400 200 0

5 Tid (h)

c) y = kostnad (kr)

x = antal timmar y = 200x + 400

160 Kapitel 5 | Samband och förändring

40694775_mondo8.indb 160

2016-11-29 09:50

GRUNDKURS

EXEMPEL 2

Använd värdetabellen och rita grafen till funktionen y = 3x − 2. x

y = 3x − 2

y 5

−1

Lösning: x −1

y = 3x − 2

-5

-4

-3

-2 -1

3 · (−1) − 2 =

−5

3·0−2=

−2

3·1−2=

-1

-2 -3 -4 -5

GRUPPUPPGIFT

Gör en instruktion som riktar sig till elever i årskurs 6 hur man tänker när man ska 1 göra en värdetabell 2 gradera diagram-axlarna 3 markera punkterna i koordinatsystemet 4 kontrollera att man gjort rätt

Samband och förändring | Kapitel 5 161

40694775_mondo8.indb 161

2016-11-29 09:50

GRUNDKURS NIVÅ 1

75 Para ihop formel med rätt värdetabell och graf

71 Använd värdetabellen för att rita en graf.

y=x+1

0+1=

1+1=

2+1=

a) y = 2x – 3

b) y = 3x − 3

c) y = 3x + 3 1

72 Värdetabellen visar ett samband mellan x och y.

a) Vad är y när x = 1?

b) Skriv en formel som visar sambandet. x

−3

−1

−3

y A 10

73 Skriv av och gör färdigt värdetabellen till funktionen y = 3x + 1. x

y = 3x + 1

-5

2 5

76 Utgå från funktionen y = 1,5x − 3.

NIVÅ 2 74 Haakon cyklar med hastigheten 20 km/h.

a) Skriv av och gör färdigt värdetabellen.

b) Rita en graf som beskriver hur långt han kommer på 1–5 h. x = tid (h)

Beräkning

1 · 20 =

y = sträcka (km)

a) Skriv av och gör färdigt värdetabellen.

b) Rita en graf.

c) Använd grafen för att bestämma värdet för x = 4. x

1,5x − 3

0 1 5

2 3 4 5

162 Kapitel 5 | Samband och förändring

40694775_mondo8.indb 162

2016-11-29 09:50

GRUNDKURS NIVÅ 3 77 Använd grafen för att

a) göra färdigt värdetabellen

b) hitta funktionens formel x

−1

C y 10

79 Detta är grafen till y = −3x + 10. I vilken punkt skär den grafen till y = 3x − 2? y

5 4

2 1 -5

-4

-3

-2 -1

78 Grafen till funktionen y = 2x + 2 skär x-axeln i en punkt. Ange koordinaterna för skärningspunkten. (Ledtråd: Gör en värdetabell och rita grafen till funktionen.)

-1

-2 -3 -4 -5

80 Vilken är den gemensamma lösningen som gäller för båda funktionerna?

y = 2x + 1 y = −2x + 1

(Ledtråd. Rita grafen till båda funktionerna i samma koordinatsystem.)

81 Grafen till funktionen y = x2 − 1 skär x-axeln i två punkter. Ange koordinaterna för skärningspunkterna. (Ledtråd: Gör en värdetabell och rita grafen till funktionen.) Samband och förändring | Kapitel 5 163

40694775_mondo8.indb 163

2016-11-29 09:50

GRUNDKURS

Rita grafer med digitala hjälpmedel När grafer ska ritas är det effektivt att göra det med hjälp av digitala hjälpmedel. Alla kalkylprogram fungerar på liknande sätt. Det första steget är att fylla i värdetabellen i ett kalkylark. I cellerna kan du skriva text, tal eller formler. Allt beror på vad du vill att programmet ska utföra. För att kunna hänvisa till bestämda celler benämns kolumnerna med bokstäver och raderna med siffror. I bilden är cellen B2 markerad. EXEMPEL

En cyklist färdas på en rak väg. I värdetabellen nedan ser du tid och tillryggalagd sträcka. Använd ett kalkylprogram och rita en graf på tillryggalagd sträcka som en funktion av tiden. Lösning: 1. Skapa en värdetabell där kolumn A innehåller x-värden och kolumn B innehåller y-värden till den blivande grafen.

2. Markera siffervärdena i båda kolumnerna. Beordra programmet att rita ett diagram genom valet “infoga diagram”. Välj sedan linjediagram.

3. Lägg till diagramrubriker och axelrubriker.

164

Kapitel 5 | Samband och förändring

40694775_mondo8.indb 164

2016-11-29 09:50

GRUNDKURS Använd kalkylprogram till följande uppgifter.

NIVÅ 2

NIVÅ 1

85 Benjamin sparar till en dator. Han sparar 180 kr i veckan.

82 a) Använd värdetabellen för att rita en graf.

b) Är funktionen en proportionalitet?

c) Beskriv funktionen med ord.

d) Beskriv funktionen med formel.

a) Gör en värdetabell där x-kolumnen motsvarar antal veckor och y-kolumnen sparkapitalet.

b) Rita en graf som visar sambandet mellan tid och sparkapitalet.

86 Priset på Euro är proportionellt mot antal Euro som köps, 1 Euro = 9,01 SEK.

83 Om man överskrider hastighetsbegränsningen får man betala böter. Bötesbeloppet varierar beroende på överskriden hastighet.

a) För in värdetabellen i ett kalkylark.

b) Rita en graf som visar sambandet mellan Euro och SEK.

b) Rita en graf och markera x- och y-axlarna med lämpliga rubriker. Bötesbelopp vid överskriden hastighet

NIVÅ 3 87 Anna gör detta diagram till sin laborationsrapport men blir inte nöjd. Hon vill ha det digitalt. Hjälp henne.

km/h

1 500

2 000

2 400

2 800

3 200

Temperatur (°C)

3 600

84 Eva-Lotta har precis lärt sig att rita grafer på datorn. Hon vill gärna ha respons på det hon gjort och frågar dig. Ge henne några förbättringstips. 60

40 30 20 10

30 15 0

a) Gör en värdetabell där x-kolumnen motsvarar Euro och y-kolumnen SEK.

3 Tid (min)

88 Rita grafen till funktionen y = 4x − 2. 0

89 Rita grafen till funktionen y = 5x + 3. Samband och förändring | Kapitel 5 165

40694775_mondo8.indb 165

2016-11-29 09:50

KAPITELDIAGNOS A NIVÅ 1-2

A6 I närbutiken kostar 12 bullar 84 kr.

A1 Rita ett koordinatsystem där båda axlarna graderas från −3 till 3.

a) Vad kostar en bulle?

b) Vad kostar 60 bullar?

Markera

A7 Priset för att hyra cykel kan beräknas enligt formeln P = 90 · t.

a) axlarna med x och y

b) origo

P = pris (kr) t = tid (h)

c) punkten (−2, 0) y 5 4 B 3 2 1

A2 Vilka koordinater har punkterna i bilden?

a) Vad betyder 90?

b) Vad kostar det att hyra en cykel i fyra timmar?

E x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 C -2 D -3 -4 -5

A3 Vilken av koordinaterna anger en spegling av punkten (−3, 3) med x-axeln som speglingslinje?

A (3, −3) B (−3, 3) C (3, 3) D (−3, −3)

A8 Ahmed hjälper till att plocka hallon. Han tjänar 22 kr/l. Låt x vara antal liter och y vara inkomst.

a) Skriv en formel för hur mycket Ahmed tjänar när han plockar hallon.

b) Är händelsen en proportionalitet? Motivera ditt svar.

A9 Använd värdetabellen och rita en graf som visar funktionen y = 2x − 1.

A4 Diagrammet visar fyra personers ålder och längd. Ålder

a) Vem är längst?

b) Vem är yngst?

y = 2x − 1

0 2

B C

Längd

A5 Skriv en berättelse som passar ihop med grafens utseende. Sträcka (m)

A10 Elsa sparar till en telefon. Hon har 300 kr och sparar sedan 150 kr i veckan. Rita en graf som visar sparkapitalet som en funktion av tiden. A11 Självbedömning Skriv om du är säker, ganska säker eller osäker på lösningen för var och en av uppgifterna A1-A10.

400 300 200 100 0

Tid (min)

166 Kapitel 5 | Samband och förändring

40694775_mondo8.indb 166

2016-11-29 09:50

KAPITELDIAGNOS B NIVÅ 2-3 B1 Koordinaterna anger hörnen i två rektanglar. Vilka koordinater har det fjärde hörnet?

a) (−3, −2) (−3, 2) (1, −2) ________

b) (0, 5) (0, 0) (3, 5) ________

B7 Sebastian delar ut reklam och får betalt enligt grafen nedan.

B2 Vad har alla punkter som ligger i tredje kvadranten gemensamt?

B3 a) Rita ett koordinatsystem och dra en linje mellan koordinaterna (−4, −4) och (4, 4).

b) Rita en triangel där triangels hörn har koordinaterna (−3, 3), (−3, 1), (−1, 1).

c) Spegla triangeln med den linje du ritat som speglingslinje. Ange koordinaterna för den nya triangelns hörn.

B4 Rita en graf som passar till flaskan när du häller vatten i flaskan.

400 300 200 100 0

5 Tid (h)

a) Skriv en formel för kostnaden, K = kostnaden och x = antal åk. b) Hur mycket kommer det att kosta om man åker 12 åkattraktioner?

a) Gör en värdetabell med x-värdena 0, 1, 5.

b) Rita en graf.

c) Använd grafen för att bestämma värdet för x = −1.

B10 Para ihop funktionerna med graferna.

B5 Rita ett nytt diagram för personerna A, B och C som visar ålder och vikt. Längd

C B

C Längd

Vikt

B6 En sorts schampo finns att köpa i två olika typer av förpackningar. Är priset proportionellt mot volymen? Motivera ditt svar.

c) Är lönen proportionell mot tiden?

500

B8 På ett tivoli tar de 150 kr i inträde och sedan kostar det 15 kr/åk.

Volym

b) Hur mycket får han betalt per timme?

Lön (kr) 600

B9 Utgå från funktionen y = 4x − 4.

Höjd

Ålder

a) Vilken är hans grundlön?

A 300 ml kostar 54 kr B 800 ml kostar 144 kr

1 y = x − 2

2 y = 2x

3 y = 2x + 3

y 5 A 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5

B C

1 2 3 4 5

B11 Självbedömning Skriv om du är säker, ganska säker eller osäker på lösningen för var och en av uppgifterna B1-B10. Samband och förändring | Kapitel 5 167

40694775_mondo8.indb 167

2016-11-29 09:50

Tillämpa förmågorna

TILLÄMPA KAPITEL 5 FÖRMÅGORNA 2

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA

Här följer tre större uppgifter där ni under arbetets gång övar alla förmågorna i matematik: P PROBLEMLÖSNING B BEGREPP M METOD R RESONEMANG K KOMMUNIKATION

Uppgifterna varierar i storlek och kan ta allt ifrån en lektion till någon vecka. Ofta arbetar ni i grupp och hur ni redovisar bestämmer ni tillsammans med er lärare.

PROPORTIONELLT ELLER INTE? På tal om samband, vad är det för samband mellan sidan och omkretsen i ett geometriskt objekt?

MAGISTER CHRISTER

Som ni vet kan ett samband beskrivas på olika sätt. Uppgiften är att para ihop värdetabell, graf och beskrivning så att rätt rad erhålls. Mer än bara tur, eller hur?

GULLANS GYM Nu är det dags för fysisk träning! Det grymma gymmet ”Gullans gym” erbjuder tre olika betalningsalternativ, men vilket är bäst?

168

Kapitel 5 | Samband och förändring

40694775_mondo8.indb 168

2016-11-29 09:50

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 1

PROPORTIONELLT ELLER INTE? ”Omkretsen av ett objekt är alltid proportionell mot längden av objektets sida” , påstår Ola. Det kostar på att ha en matematikintresserad kompis. Återigen kastas du in i en diskussion om matematik med Ola. UPPGIFT

Har Ola rätt? Ett antal förtydliganden måste göras. Här är några exempel på frågor som behöver besvaras. • Vad är ett objekt? • Hur vet man om omkretsen är proportionell längden av sidan? • Gäller detta alla objekt? • Måste objekten vara liksidiga? Hitta en lämplig undersökningsmetod. Börja sedan exempelvis med att undersöka i fall det stämmer på olika fyrhörningar.

Samband och förändring | Kapitel 5 169

40694775_mondo8.indb 169

2016-11-29 09:50

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 2

MAGISTER CHRISTER UPPGIFT

Magister Christer har gjort en uppgift till en lektion om linjära samband i åk 8. Nedan ser du tre olika representations former av samma samband. 1 Hitta de beskrivningar, värdetabeller och grafer som hör ihop. Motivera dina val med förklarande text. 2 Gör ett eget exempel där ni beskriver ett samband med ord, värdetabell och graf.

a) Christer springer från hemmet till bussen.Vid busshållplatsen stannar han och väntar. Efter en liten stund inser han att han missat bussen och går hem igen. b) Mittemot Christers hem finns en kulle. Han klättrar långsamt uppför kullen, går över kullen och springer snabbt ned till andra sidan. c) Christer åker rullskidor från hemmet. Han ökar takten med jämn fart. Han får sakta ned farten då det ligger stenar på vägen. Sedan kan han öka farten igen. d) Christer går långsamt längs med vägen. Han stannar för att titta vad klockan är. Inser att han är försenad och börjar springa. e) Christer stänger lägenhetsdörren och beger sig ut för att springa. Han är pigg i början men allteftersom orkar han inte hålla tempot och måste till slut stanna. f) C hrister går till affären som inte ligger långt från hemmet. Han köper en liter mjölk och springer sedan hem. g) Christer är ute och går med två kompisar. Plötsligt inser han att han glömt spisplattan på. Han springer hem, stänger av spisplattan och springer ifatt sina kompisar. h) Christer cyklar hemifrån. Han tror att han glömt datorn och cyklar hemåt. Halvvägs hem känner han den i ryggsäcken och vänder och cyklar mot skolan igen. i) Efter skoldagens slut går Christer långsamt hem.

170 Kapitel 5 | Samband och förändring

40694775_mondo8.indb 170

2016-11-29 09:50

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 2

Tid

Avstånd

Tid

Avstånd

2 3

Tid

Avstånd

Tid

Avstånd

Tid

Avstånd

120

Tid

Avstånd

Tid

Avstånd

Tid

Avstånd

Tid

Avstånd

120

105

120

125

Avstånd

Tid

Avstånd

Tid

H Avstånd

Avstånd

Tid

Avstånd

C Avstånd

Avstånd

Tid

Avstånd

Tid

Samband och förändring | Kapitel 5 171

40694775_mondo8.indb 171

2016-11-29 09:50

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 3

GULLANS GYM UPPGIFT

Du har bestämt dig för att börja träna på gym. Gullans gym ligger i närheten och där får du träna i målsmans närvaro. Det låter bra och du bestämmer dig för att gå med. De har dock olika betalningsalternativ. V ilket blir mest fördelaktigt? Är det olika för olika personer? V ilket betalningsalternativ skulle gynna dig? Motivera ditt svar med beräkningar, tabeller och grafer.

Gullans Gym Betala per träning

80 kr/gång

Månadskort

275 kr/månad

Tiokort

Fast avgift: 50 kr + 50 kr/gång

172 Kapitel 5 | Samband och förändring

40694775_mondo8.indb 172

2016-11-29 09:50

TRÄNA MERA 5.1 Koordinatsystem

5 Ange koordinaterna för punkten C som ligger på linjen mitt emellan A = (−5, 4) och B = (3, 4).

1 Vilka koordinater har punkterna? y A

5.2 Spegling

4 B

6 Vilka av koordinaterna anger en spegling av punkten (−4, 2)?

3 2

E -5

-4

-3

-2 -1

-1

-2 C

-3 D

-4 -5

A (4, 4) B (4, −2) C (4, 2) D (−4, −2)

7 Rita ett koordinatsystem där båda axlarna graderas från −4 till 4.

a) Sätt ut punkterna (3, 3) och (−1, 1).

b) Dra en linje mellan punkterna.

c) Spegla linjen med x-axeln som speglingslinje.

8 Spegla figuren i koordinatsystemet med 2 Rita ett koordinatsystem. Sätt ut punkterna: A = (4, 1), B = (−3, 0), C = (0, 0), D = (4, −1), E = (−2, −3), F = (0, 2)

a) y-axeln som speglingslinje

b) x-axeln som speglingslinje y 5

3 Vad kallas punkten där x- och y-axeln skär varandra?

4 3

4 Rektangeln på bilden är hälften av en större rektangel. Den har lika stor del i alla kvadranterna. Vilka koordinater har de två andra hörnen?

2 1 -5

y 5

-4

-3

-2 -1

-1

-2

-3

-4

-5

1 -5

-4

-3

-2 -1

-1 -2 -3 -4

9 Koordinaterna A = (−3, 1), B = (−2, 3) och C = (−1, 1) bildar hörnen i en triangel. Vilka koordinater får triangelns hörn om den förskjuts två steg åt höger?

-5

Samband och förändring | Kapitel 5 173

40694775_mondo8.indb 173

2016-11-29 09:50

TRÄNA MERA 5.3 Tolka grafer

5.4 Proportionalitet

10 Diagrammet visar fyra personers ålder och längd.

15 Vilka av graferna visar en proportionalitet?

a) Vem är äldst?

b) Vem är längst?

c) Vilka av dem är lika gamla?

Ålder

y A B

C D

Längd

11 Grafen visar en snigels rörelse längs en rät linje.

a) Snigeln fortsätter att röra sig i samma hastighet. Hur långt kommer den på 1 min?

b) En myra kryper dubbelt så snabbt. Hur lång tid tar det för den att krypa 10 cm? Sträcka (cm)

16 3 liter glass kostar 48 kr. a) Vad kostar 1 liter?

b) Vad kostar 8 liter?

17 En liten burk sylt, 150 g, kostar 24 kr. En stor burk, 250 g, kostar 40 kr. Är priset proportionellt mot vikten? Motivera.

2 1 0

10 15 20 25 30 35 Tid (s)

12 Många 14-åringar växer ca 10 cm under ett år. Hur långa skulle de vara om de gjorde det från födseln? Räkna med de föds 50 cm långa. 13 En bil förbrukade 2,4 liter bensin när den kördes 4 mil.

a) Vad blir förbrukningen per mil?

b) Hur långt kommer bilen på 36 liter bensin?

18 Grafen visar ett samband mellan sträcka och tid.

a) Vad är hastigheten i km/h?

b) Hur långt kommer man på tre timmar? Sträcka (km) 8

14 Diagrammet visar en persons cykeltur. Beskriv en händelse som passar till grafen och skriv hur hastigheten förändras.

Avstånd (km) 6

0 0

2 0

10:20 10:40

11:20 11:40

0,5

1,5 Tid (h)

Tid (klockslag)

174 Kapitel 5 | Samband och förändring

40694775_mondo8.indb 174

2016-11-29 09:50

TRÄNA MERA 19 Albin springer tre varv i en löpartävling. Han springer i genomsnitt lika fort i varje varv. Totala sträckan är 300 m. Första varvet blev tiden 15 s. Beskriv proportionaliteten med a) ord b) värdetabell c) graf d) formel

25 Använd värdetabellen för att rita en graf. y

2·2+1=

2·0+1=

2 · (−2) + 1 =

(−3)

a) Vad är y när x = 10?

b) Skriv en formel som visar sambandet.

a) Skriv en formel för inkomsten när Ahmed plockar svarta vinbär.

b) Är händelsen en proportionalitet? Motivera ditt svar.

27 Skriv av gör färdigt värdetabellen till funktionen y = 4x + 2.

21 Beskriv funktionen y = 2x − 3 med en värdetabell där x = 0, 1, 2 och 3. 22 Beskriv funktionen y = 3x + 2 med en graf. Gör först en värdetabell.

y = 4x + 2

4·2+2=

0 −2

28 En funktion kan beskrivas som y = 5x – 4.

a) Gör en värdetabell med tre x-värden.

−1

b) Rita grafen.

c) En punkt på grafen har y-värdet = 11. Vilket är då x-värdet?

24 Katarina ska hyra verktyg när hon ska bygga om sin altan. Hon hyr dem för 100 kr i fastpris + 50 kr/timme. Beskriv funktionen med a) värdetabell b) graf c) formel

y = 2x + 1 =

26 Värdetabellen visar ett samband mellan x och y.

20 Ahmed plockar svarta vinbär. Han får en grundlön på 250 kr/dag och dessutom 8 kr/kg. Låt x vara antal kg och y vara inkomst.

23 Undersök värdetabellen. Visar den en proportionalitet eller inte? Motivera ditt svar.

−2

5.5 Andra linjära funktioner

5.6 Rita grafer

29 En funktion kan beskrivas som y = 3x + 2.

a) Gör en värdetabell med tre x-värden.

b) Rita grafen.

c) En punkt på grafen har x-värdet = −2. Vilket är då y-värdet?

Samband och förändring | Kapitel 5 175

40694775_mondo8.indb 175

2016-11-29 09:50

FÖRDJUPNING

Parallellförskjutning

y 5

Om alla punkter i en figur flyttas lika långt längs parallella linjer så parallellförskjuts figuren.

Figur ABC ger figur A1B1C1 om figuren förskjuts fyra steg (+4) i x-led och ett steg (+1) i y-led.

2 B

ABC => (+4,+1) A1B1C1 A = (−1,5; 1) => A1 = (2,5; 2)

-5

-4

-3

-2 -1

B = (−3, 1) => B1 = (1, 2)

-1

-2

C = (−2,5; 3) => C1 = (1,5; 4)

-3 -4 -5

Rotation

För att rotera en figur behöver vi bestämma

1 ett rotationscentrum

2 en rotationsvinkel

3 2

3 en riktning (rotation åt höger eller vänster). EXEMPEL

Vilka koordinater får punkterna A = (4, 1) och B = (3, 3) om de roteras 90° åt höger kring origo? Svar: A = (4, 1) => A1 = (1, –4) och B = (3, 3) => B1 = (3, −3)

1 -5

-4

-3

-2 -1

-1

-2 -3 -4 -5

B1 A1

SPEGLING 1 Vilka koordinater får punkten (3, −1) om den först speglas i x-axeln och därefter i y-axeln? 2 Vilken formel får den linje som uppkommer om grafen till funktionen y = 2 speglas i x-axeln?

3 Vilka blir de nya koordinaterna för A, B och C om de speglas i linjen?

A B

5 4 3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1 -1 C -2 -3 -4 -5

1 2 3 4 5

176 Kapitel 5 | Samband och förändring

40694775_mondo8.indb 176

2016-11-29 09:50

FÖRDJUPNING 4 Vilken formel får den linje uppkommer om grafen till funktionen y = −10 speglas i x-axeln? 5 a) Rita ett koordinatsystem och dra en rät linje från origo till punkten (9, 9).

b) Rita en triangel där triangelns hörn har koordinaterna (7, 3), (8, 5) och (3, 2).

c) Spegla triangeln med den dragna linjen som speglingslinje.

ROTATION 11 Rita grafen y = 2x − 3. Hur ska man tänka om man ska rotera grafen 90° åt vänster med origo som rotationscentrum? y

12 Vilken formel har den linje som skär grafen y = x + 2 med en rät vinkel i punkten (1, 3)?

PARALLELLFÖRSKJUTNING 6 Vilka koordinater får punkten (2, 3) när den parallellförskjuts +3 i x-led och −2 i y-led? 7 Vilken formel får grafen till funktionen y = x + 2 om den parallellförskjuts +3 i x-led? 8 Hur har varje hörn i triangeln förskjutits?

1 2 3 4 5

13 Om triangeln ABC roteras 90° åt vänster med origo som rotationscentrum bildas en triangel A1B1C1 i den andra kvadranten. Om den triangeln roteras på samma sätt ytterligare två gånger och bildas triangeln A2B2C2 i tredje kvadranten och triangeln A3B3C3 i den fjärde kvadranten.

B B1

-3 -2 -1 -1 -2

-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5

4 3 2 1

5 4 3 2 1

C C1

1 2 3 4 5 6 7

9 Punkterna (0, 0), (2, 2) och (0, 3) bildar hörnen i en triangel.

a) Rita triangeln i ett koordinatsystem.

b) Parallellförskjut triangel +2 i x-led och +2 i y-led och rita den nya triangeln.

10 Punkterna (−1, −2), (−3, −7) och (−5, −6) bildar hörnen i en triangel. Vilka koordinater får triangelns hörn om de parallellförskjuts +1 i x-led och −1 i y-led?

a) Vilka koordinater får B1 och C1? b) Vilka koordinater får B2 och C2?

4 C

3 2 1 -1

-1

B A

c) Vilka koordinater får B3 och C3?

14 Punkterna A = (0, 0), B = (1, 3) och C = (3, 1) bildar hörnen i en triangel.

a) Vilka koordinater får hörnen i figuren om den roteras 90° åt vänster med origo som rotationscentrum?

b) Parallellförskjut den nya figuren −3 i x-led och +2 i y-led. Vilka koordinater får hörnen i triangeln nu?

Samband och förändring | Kapitel 5 177

40694775_mondo8.indb 177

2016-11-29 09:50

BEGREPP

Koordinatsystem

Ett system för att ange en punkts läge med hjälp av tal.

4 3 2 1 -5

-4

-3

-2 -1

-1

-2 -3 -4 -5

Koordinat

Ett av de tal som används för att ange en punkts läge i ett koordinatsystem.

x-koordinat

Ett tal för att ange en punkts läge i förhållande till x-axeln. Det tal som anges först av koordinaterna, t.ex. (3, 2).

y-koordinat

Ett tal för att ange en punkts läge i förhållande till y-axeln. Det tal som anges sist av koordinaterna, t.ex. (3, 2).

x-axel

Den vågräta axeln i ett koordinatsystem.

y-axel

Den lodräta axeln i ett koordinatsystem. y

Origo

Koordinatsystemetets nollpunkt.

4 3 2

(0, 0)

1 -5

-4

-3

-2 -1

-1

-2 -3 -4 -5

178

Kapitel 5 | Samband och förändring

40694775_mondo8.indb 178

2016-11-29 09:50

BEGREPP

Kvadrant

Ett av de fyra områden som ett koordinatsystem med x- och y-axel delas in i.

4 2:a kvadranten

1:a kvadranten

2 1

-5

-4

-3

-2 -1

-1

-2 3:e kvadranten

4:e kvadranten

-3 -4 -5

Graf

Kurvan som bildas då punkter binds samman i ett koordinatsystem.

Funktion

Beskriver sambandet mellan två storheter som är beroende av varandra. T.ex. y = 2x.

Linjär funktion

Ett samband mellan storheter som bildar en linjär graf. y

Proportionalitet

En funktion där grafen är en rät linje som går genom origo. Kvoten mellan storheterna är konstant. Graf A beskriver en proportionalitet.

4 Graf B

Graf A

2 1

-5

-4

-3

-2 -1

-1

-2 -3 -4 -5

Värdetabell

Tabell över en funktions värden.

Kurva

En rak eller böjd linje som sammanbinder ett antal punkter.

Storhet

Egenskap som kan mätas eller beräknas, t.ex. längd, höjd och temperatur.

Samband och förändring | Kapitel 5

40694775_mondo8.indb 179

179

2016-11-29 09:50

SAMMANFATTNING

DU SKA KUNNA Läsa av koordinater

EXEMPEL

LÖSNINGSFÖRSLAG

Vilka koordinater har punkterna A–C?

En punkts position anges först i x-led och sedan i y-led.

5 A

4 3

2 B -5

-4

-3

2 B = (–3, 1)

1 -2 -1

-1

-5

-4

-3

-2 -1

-3

C = (–1,5; –2,5)

-5

-1

-3

-2 -1

-4

Punkten A1 ska ha samma avstånd till x-axeln som punkten A. y-koordinaten byter tecken. y

-1

-2

-4 -5

-5

-4

-3

-2 -1

-1

A1 (4, 4)

-2

-3

180

-3

-4

-5

Spegla punkten A med x-axeln som speglingslinje.

-5

-2

-4

Spegling av en punkt

1 (0,0)

-2 C

A = (3, 4)

-3 A

-4

A (4, –4)

-5

Kapitel 5 | Samband och förändring

40694775_mondo8.indb 180

2016-11-29 09:50

SAMMANFATTNING

DU SKA KUNNA Spegling av en linje

EXEMPEL

LÖSNINGSFÖRSLAG

Spegla linjen AB med x-axeln som speglingslinje.

Markera två punkter i linjen AB. Spegla dem i x-axeln. Dra linjen mellan punkterna A1B1.

-5

-4

-3

-2 -1

B1 (-4, 1)

1 1

-1

-5

-4

-3

1 -2 -1

B (-4, -1)

-2

-1

-2

-5

-4

-3

C1 (1, 5) A1 (4, 4)

B1 (-4, 1)

B (-4, -1)

-3

-2 -1

-1

-2

A C

A (4, -4)

-4 -5

C (1, -5)

Samband och förändring | Kapitel 5

40694775_mondo8.indb 181

-3

-4 -5

A (4, -4)

Det räcker med att spegla hörnpunkterna i figuren då man speglar figuren.

-2 -1

-5

Spegla figuren ABC med x-axeln som speglingslinje.

-3

-4

-5

-4

-1

-3 A

-4

-5

-2

-3

Spegling av figur

A1 (4, 4)

181

2016-11-29 09:50

SAMMANFATTNING

DU SKA KUNNA Tolka grafer

EXEMPEL

LÖSNINGSFÖRSLAG

Beskriv grafen som visar hastigheten hos en bil under en viss tid. Sträcka (m)

Storhet

400 3 300 2

200

Beskriva linjära funktioner

2 Del 2 är parallell med x-axeln. Detta innebär att hastigheten under perioden varit 0 km/h => bilen har stått stilla. 3 Del 3 lutar mest => bilen har kört snabbast under denna period.

100

1 Del 1 har en svagare lutning än del 3 vilket innebär att här har bilen en lägre hastighet än vid del 3.

Tid (s)

En bulle kostar 5 kr. Priset du får betala är proportionellt mot hur många bullar du köper.

1 bulle: 5 kr 2 bullar: 10 kr 3 bullar: 15 kr osv. Beskriv funktionen med

Antal bullar

Uträkning

Kostnad (kr)

1·5=

2·5=

3·5=

Kostnad (kr) 20

a) värdetabell b) graf c) formel

15 10 5 0

4 Antal

c) y = kostnad (kr) x = antal bullar y = 5x

182

Kapitel 5 | Samband och förändring

40694775_mondo8.indb 182

2016-11-29 09:50

SAMMANFATTNING

DU SKA KUNNA

EXEMPEL

Rita graf till funktion

Rita grafen till funktionen y = 3x − 2.

LÖSNINGSFÖRSLAG Värdetabell x

y = 3x − 2

−1

3 · (−1) − 2 =

−5

3·0−2=

−2

3·1−2=

Graf

y 5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2 -1

-1

-2 -3 -4 -5

Samband och förändring | Kapitel 5

40694775_mondo8.indb 183

183

2016-11-29 09:50

KAPITEL 6

Programmering

PROBLEMLÖSNING

BEGREPP

METOD M RESONEMANG R KOMMUNIKATION K

Oavsett om man ska programmera ett spel, en robot eller en app till en telefon så stöter man på matematik här och där. I det här kapitlet kommer du få lösa några programmeringsproblem där matematiken spelar stor roll. Det finns ett problem kopplat till respektive kapitel 1–5: 1 2 3 4 5

Resan till Mars Tärningen är kastad Hoverboard vs kickbike Robotgräsklipparen När får Tilde sin cykel?

Alla exempel använder ett programmeringsspråk som heter JavaScript. För att testa koden och lösa uppgifterna kan du exempelvis gå in på Kodlabbet som du hittar här: www.koda.nu Det går ganska fort att lära sig programmera. Man skriver helt enkelt instruktioner till datorn som säger åt den vad den ska göra. Datorer är egentligen väldigt dumma, det är vårt jobb att lära dem lösa uppgifter. I Kodlabbet kan du skriva direkt i webbläsaren så det fungerar oavsett vilken enhet du har.

184 Kapitel 6 | Programmering

40694775_mondo8.indb 184

2016-11-29 09:50

PROGRAMMERING

KAPITEL 1 TAL OCH TALS ANVÄNDNING

RESAN TILL MARS Grace vill bli astronaut och åka till planeten Mars. Hon har läst på Wikipedia att det tar nio månader att åka till Mars. Sedan måste man vänta tre månader där innan man kan åka hem, och då tar resan hem nio månader till. Totalt skulle en resa alltså ta 21 månader. Grace litar på att NASA har koll på hur mycket mat och vatten som behövs, men hon är lite orolig för om de har koll på mängden O’boy. En vanlig dag dricker Grace fem glas O’boy och det vill hon fortsätta med, även i rymden. Hon går till sitt lokala snabbköp och börjar diskutera problemet med en praktikant som gillar statistik, och som berättar att ett paket O’boy väger 0,45 kg, kostar 31,95 kr och att en rekommenderad portion ligger på 22 g. Praktikanten påpekar också att det är dyrt att skicka saker till rymden. Man brukar räkna med en kostnad runt 100 kr/g. Grace brukar använda sin dator för att lösa matematiska problem så hon gör en litet program som ska räkna ut hur mycket O’boy som behövs för en rymdresa, och hur mycket det kostar.

restid = 9 + 3 + 9; gramPerPaket prisPerPaket glasPerDag gramPerGlas

= = = =

45; 31.95; 5; 22;

fraktkostnadPerKg = 10000; dagar = restid * 30; paket = (dagar * glasPerDag * gramPerGlas) / gramPerPaket; kostnad = paket * prisPerPaket + fraktkostnadPerKg * paket * gramPerPaket; alert(”Du behöver ” + paket + ” paket Oboy med dig.”); alert(”Det kommer kosta totalt ” + kostnad + ” kronor.”);

UPPGIFT

Programmet säger att hon behöver 1 540 paket O’boy med sig på resan, och att det kommer kosta ungefär 693 miljoner kronor. Grace blir lite orolig och börjar tvivla på sitt karriärsval, och på om NASA verkligen kommer att bekosta hennes behov. Det finns dock fel i koden som gör att priset blir för högt, Grace har inte varit noggrann med prefix och enheter. a) Vilka är felen? b) Vad blir den riktiga kostnaden?

Programmering | Kapitel 6 185

40694775_mondo8.indb 185

2016-11-29 09:50

PROGRAMMERING

KAPITEL 2 BRÅK, PROCENT OCH SANNOLIKHET

TÄRNINGEN ÄR KASTAD Lilly och Hugo har fått som uppgift att undersöka hur ofta man får bara sexor när man kastar fem tärningar. De bestämmer sig för att pröva, och börjar kasta. Efter 300 försök börjar Hugo att ledsna och de sätter sig och funderar framför Lillys dator. Eftersom Lilly brukar lösa matematiska problem med programmering så bestämmer de sig för att skriva en simulering och låta datorn jobba. De börjar med ett enkelt program som bara kastar två tärningar åt gången:

antalKast = 0; antalVinster = 0; while (antalKast < 100) { kast1 = random(1, 6); kast2 = random(1, 6); if (kast1 == 6 && kast2 == 6) { antalVinster += 1; } }

antalKast += 1;

sannolikhet = antalVinster / antalKast; alert(”Antal vinster: ” + antalVinster); alert(”Sannolikheten blir: ” + sannolikhet);

UPPGIFT

Programmet testar att kasta två tärningar 100 gånger och varje gång den får två sexor så räknas det som en vinst. Sedan skrivs det ut på skärmen hur många gånger det blev vinst, och vad den sannolikheten blev. a) Vad behöver man ändra för att kasta fem tärningar istället för bara två? b) Hur många gånger behöver man kasta för att få bra resultat med fem tärningar?

186 Kapitel 6 | Programmering

40694775_mondo8.indb 186

2016-11-29 09:50

PROGRAMMERING

KAPITEL 3 ALGEBRA OCH EKVATIONER

HOVERBOARD VS KICKBIKE Felix och Karin bor grannar och bestämmer sig för att tävla med sina fordon på väg till skolan. Felix har en kickbike och Karin en hoverboard. Hoverboarden åker alltid lika fort: 9 km/h. Kickbiken går långsamt i uppförsbacke (5 km/h) men snabbt i nedförsbacke (18 km/h).Vägen till skolan är 3 km, den första kilometern är uppförsbacke, resten är nedförsbacke.Vem vinner? De skriver upp formeln för att räkna ut tiden: s t= v t = tiden i h s = sträckan i km v = medelhastigheten i km/h Felix skriver ett program som beräknar tiden för kickbiken: s1 = 1; v1 = 5; s2 = 2; v2 = 18; tidKickbike = s1/v1 + s2/v2; alert(”Kickbiken kommer fram på ” + tidKickbike + ” timmar.”);

UPPGIFT

Felix påstår att han definitivt kommer att vara först till skolan. Karin är inte helt säker, men hon säger att hon i alla fall kommer först hem. a) Testa Felix kod och se till att den fungerar. b) Vad blir restiden för hoverboarden? Lägg till beräkningarna i koden och skriv ut restiden. c) Vad blir restiden för hemfärden för kickbiken respektive hoverboarden? Ändra i koden för att beräkna.

Programmering | Kapitel 6 187

40694775_mondo8.indb 187

2016-11-29 09:50

PROGRAMMERING

KAPITEL 4 GEOMETRI

ROBOTGRÄSKLIPPAREN Electrokea har släppt en ny gräsklipparrobot som heter Saxor. Den har en modern funktion som beräknar arean av gräsmattan för att bedöma hur lång tid det tar att klippa allt. Funktionen går ut på att roboten åker iväg tills den hittar en kant. Sedan följer den kanten och håller reda på hur långt den åkt. När den kommer tillbaka till samma ställe igen så beräknar den arean på gräsmattan genom att anta att den åkt i en perfekt cirkel. Koden skulle kunna se ut på detta sätt:

kant = prompt(); area = pi * (kant / (2 * pi))*(kant / (2 * pi)); alert(area);

I koden ovan så får användaren själv skriva in kantlängden, men i Saxors riktiga kod så kommer den siffran att komma från robotens sensorer och GPS. UPPGIFT

a) Kontrollera så att uträkningen av gräsmattans area stämmer. b) För varje kvadratmeter räknar Saxor att klippningen kommer ta 30 sekunder. Lägg till kod som skriver ut beräknad klipptid. c) Om gräsmattan egentligen är rektangulär så kommer inte beräkningen att stämma, och roboten kommer att ge en tidsberäkning som är fel. Hur fel blir det? d) Ändra i koden så att det också finns en beräkning som gäller för en kvadratisk gräsmatta. e) Hur skulle man kunna göra roboten smartare så att arean stämmer bättre överens med verkligheten? Gräsmattor kanske är runda ibland, men rektangulära annars. Diskutera i grupp.

188 Kapitel 6 | Programmering

40694775_mondo8.indb 188

2016-11-29 09:50

KAPITEL 5

PROGRAMMERING

SAMBAND OCH FÖRÄNDRING

NÄR FÅR TILDE SIN CYKEL? Tilde vill ha en ny cykel som kostar 16 000 kr. Hon får 100 kr av sin far, och sätter in dem direkt på sitt sparkonto som har en årsränta på 2 %. Varje jul får hon 20 kr av någon okänd släkting och de pengarna sätter hon också in på kontot. För att räkna ut hur många år hon måste vänta innan hon når sina drömmars mål skriver hon följande kod:

pengar = 100; bankranta = 0.02; ar = 0; while (pengar < 16000) { pengar += pengar * bankranta; pengar += 20; }

ar++;

alert(”Efter ”+ ar +” år har jag ”+ pengar +” kronor.”);

UPPGIFT

Programmet säger att hon behöver 139 år innan hon har råd med cykeln. Skriv av Tildes kod och få den att fungera. Pröva att ändra hennes intäkter och den aktuella bankräntan för att se hur tiden ändras. När anser du att Tilde borde kunna köpa cykeln? Motivera ditt svar.

Programmering | Kapitel 6

40694775_mondo8.indb 189

189

2016-11-29 09:50

KAPITEL 7

Läxor

PROBLEMLÖSNING

BEGREPP

METOD M RESONEMANG R KOMMUNIKATION K

Det finns tre läxor till respektive kapitel. Varje uppgift är markerad med vilken förmåga som tränas i huvudsak. B

SYFTET MED BEGREPPSUPPGIFTERNA ÄR ATT DU SKA TRÄNA PÅ FÖRMÅGAN ATT: • använda begrepp • beskriva begrepp • beskriva likheter och skillnader mellan begrepp • visa samband mellan begrepp

SYFTET MED METODUPPGIFTERNA ÄR ATT DU SKA TRÄNA PÅ FÖRMÅGAN ATT: • använda skriftliga räknemetoder som passar till den uppgift du ska räkna • använda effektiva huvudräkningsmetoder

SYFTET MED PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTERNA ÄR ATT DU SKA TRÄNA PÅ FÖRMÅGAN ATT: • förstå frågan i en textuppgift • använda dig av olika strategier när du löser ett problem • tolka resultat och dra slutsatser • bedöma om ett svar är rimligt • bedöma om den matematiska modell som använts kan användas i andra sammanhang

SYFTET MED KOMMUNIKATIONSUPPGIFTERNA ÄR ATT DU SKA TRÄNA PÅ FÖRMÅGAN ATT: • göra skriftliga beräkningar så att någon annan förstår vad du menar • beskriva och förklara din lösning • använda olika matematiska uttrycksformer som figurer, diagram och matematiskt språk

SYFTET MED RESONEMANGSUPPGIFTERNA ÄR ATT DU SKA TRÄNA PÅ FÖRMÅGAN ATT: • ställa och besvara frågor med matematiskt innehåll • följa andras förklaringar och bidra med idéer • motivera din lösning med matematiska resonemang

190 Kapitel 5 | Statistik

40694775_mondo8.indb 190

2016-11-29 09:50

LÄXOR

KAPITEL 1 TAL OCH TALS ANVÄNDNING

LÄXA 1

P 5

1.1 NEGATIVA TAL 1.2 ADDITION OCH SUBTRAKTION MED NEGATIVA TAL 1.3 MULTIPLIKATION OCH DIVISION MED NEGATIVA TAL B 1

Rita en tallinje och placera ut talen

a) Hur många veckor har han jobbat?

När han har jobbat ytterligare 5 veckor så vill han köpa en digitalkamera för 4 500 kr. Har Niclas tillräckligt med pengar? Motivera ditt svar med beräkningar.

P 6

Elin cyklar till affären som ligger 3 km bort. Efter 750 m ringer hennes kompis och vill hänga med. Elin cyklar då tillbaka 0,2 km till kompisen. När de sedan har cyklat 1,8 km till sammans träffar de på en lösspringande hund. Hur långt har de kvar till affären?

K 7

Sara handlar ett äpple för 7 kr och en flaska vatten för 14,50 kr. Då har hon 8,50 kr kvar. Skriv två olika sätt att beräkna hur mycket hon har kvar.

4 (−2) 0 3 (−5) B 2

Niclas sätter varje vecka in sin lön på 275 kr på banken. Han har sparat ihop 2 200 kr.

Hur stor är temperaturskillnaden i Abisko om en sommardag mäter 25 °C och en vinterdag mäter −35,6 °C?

K 8

M 3

Beräkna.

a) 5 + (−8)

b) (−3) − (−4)

c) 6 · (−2)

M 4

Beräkna.

a) (−9) + (−7) − (−4) b) 3 · (−5) · (−8) c) 44 / (−11) − (−2) · (−2)

Förklara för hur multiplikation av negativa tal hänger ihop med division av negativa tal, 49 = (−7) och (−7) · (−7) = 49. t.ex. ( −7) R 9

Ge exempel på vad uträkningen 4 − (−3) skulle kunna handla om.

R 10

Anders påstår att ett udda antal negativa faktorer alltid blir ett negativt svar och ett jämnt antal negativa faktorer alltid blir ett positivt svar.Visa om han har rätt eller fel.

Läxor | Kapitel 7 191

40694775_mondo8.indb 191

2016-11-29 09:50

LÄXOR

KAPITEL 1 TAL OCH TALS ANVÄNDNING

LÄXA 2 1.4 UTTRYCK MED BLANDADE RÄKNESÄTT 1.5 POTENSER B 1

Beräkna värdet när a) basen är 2 och exponenten är 3 b) basen är 7 och potensen är 2

B 2

Skriv uttryck till följande händelser.

a) Din totala skuld efter det att du lånat två 20-kronorssedlar.

b) Temperaturen efter att den först stigit med 4 °C och därefter sjunkit med 13 °C, om den från början var 10 °C.

c) Temperaturen efter att den först stigit med 4 °C och därefter sjunkit med 13 °C, om den från början var −10 °C.

d) Saldo på kontot efter det du använt 4 320 kr av krediten som är 10 000 kr.

P 6

• en symaskin för 3 795 kr • två trådrullar för 14,95 kr/st • 2,5 m tyg för 147 kr/m

Han har 1 500 kronor på sitt konto och utnyttjar sin kredit.Vilket saldo har han efter inköpen?

M 3 Beräkna.

a) 0,33 b) 0,42 c) 0,112

M 4

Beräkna värdet för uttrycket

P 5

a14 ⋅ b 3 om c2 a) a = 10, b = 10 och c = 10 b) a = 1, b = 2 och c = 3 c) a = (−1), b = (−1) och c = (−1)

Ge tre exempel på värden som x och y kan anta för att likheten ska gälla.

Boris köper följande:

K 7

Hur många gånger måste 4 multipliceras med sig själv för att resultatet ska bli a) större än 10 b) större än 100 c) större än 1 000

K 8

Varför gäller räknereglerna för potenser vid multiplikation och division endast då potenserna är av samma bas?

R 9

Varför blir resultatet alltid 1 då ett tals exponent är 0?

5x · 5y = 58 R 10

Vad innebär det för en potens värde om exponenten är 0,5?

192 Kapitel 7 | Läxor

40694775_mondo8.indb 192

2016-11-29 09:50

LÄXOR

KAPITEL 1 TAL OCH TALS ANVÄNDNING

LÄXA 3

P 5

1.6 TIOPOTENSER OCH GRUNDPOTENSFORM

314 x 33 x p11 ⋅ q 3 c) 10 4 p ⋅q a)

1.7 RÄKNA MED TIOPOTENSER

1.8 BINÄRA TAL B 1

Para ihop siffran med rätt bokstav 1

milli

510

106

centi

1012

kilo

0,01

mega

0,001

112

310

P 6

Para ihop siffran med rätt bokstav. 1 3,3 · 10–7

A Tal med talbasen 2. Består endast av ettor och nollor.

2 107

B Det tal i en potens som basen upphöjs till.

3 Prefix

C Tal i grundpotensform.

4 Potens

D En förstavelse som har ett särskilt värde.

5 Exponent

E Tiopotens.

6 Binärt tal

F Uttryck av formen bx.

Beräkna och svara i grundpotensform.

a) 4 · 20 000 000 000 b) 8 · 30 000 000

M 4

Beräkna och svara i grundpotensform. 5,0 ⋅ 10 3 ⋅ 2,4 ⋅ 105 2,5 ⋅ 10 −9 ⋅ 4,0 ⋅ 10 3

d) 1310 = ____ 2

Plastfolie till höbalar har tjockleken 21 μm (mikrometer). En höbal har omkretsen 4,8 m. En balmaskin innehåller 1500 m plast. a) Hur tjockt blir 32 lager plast? Svara med lämpligt prefix.

b) Hur många balar kan maskinen göra om varje bale ska ha ett 3,4 · 10−4 m tjockt lager plast? Avrunda till heltal.

a) talet 0,000 046 är större än 4,6 · 10−7

5,6 ⋅ 106 b) = 10 5,6 ⋅ 105 Redovisa med uträkningar.

Hur kan du veta att

K 8

Visa med ett exempel att en division med ett tal i grundpotensform inte behöver ge en kvot som är mindre än täljaren.

R 9

Alice har ingen aning hur hon ska göra på uppgiften nedan. Skriv en text som förklarar om hur hon ska gå tillväga. 53 + 53 Vilket tal ska stå istället för x? =2 x

R 10 M 3

b) 10012 = ____ 10

K 7 B 2

Skriv så enkelt som möjligt

Utgå från talet 8,24 · 10−4. Skriv det tal som är a) ett hundra gånger så stort b) en tusendel av talet c) 3 gånger så stort d) hälften av talet e) Formulera en generell regel för hur exponenten varierar då talets värde varierar.

Läxor | Kapitel 7 193

40694775_mondo8.indb 193

2016-11-29 09:50

LÄXOR

KAPITEL 2 BRÅK, PROCENT OCH SANNOLIKHET

LÄXA 4 2.1 ADDITION, SUBTRAKTION OCH MULTIPLIKATION MED BRÅK 2.2 DIVISION MED BRÅK 2.3 FÖRÄNDRINGSFAKTOR B 1

Vilken cirkel har lika stor andel av sin area färgad som rektangeln?

En seglare klippte av

P 6

En affär sänker priset på sina varor med 10 % per dag. Hur mycket av ursprungspriset är kvar dag 5?

K 7

Värdeminskningen på en bil kan sägas vara 20 % årligen. Hur många år har gått när bilen är värd 25 % av sitt ursprungliga värde?

K 8

Vilken är vinsten med att utföra beräkningar med hjälp av förändringsfaktorer?

R 9

På tallinjen nedan är A och B bråktal.

A B 2

Ordna resultaten i storleksordning om 2 1 och y = . Börja med den minsta. 3 9 x A x − y B x · y C y + x D y x=

M 3

Beräkna och svara i enklaste form.

1 1 c) ⋅ 3 3

4 1 + 3 6

4 1 − 3 6

d) 2

1 1 3 3

M 4

Beräkna och svara i enklaste form.

2 2 a) 2 + 5 7 6

1 5 b) 4 − 1 8 24

5 3 c) ⋅ 12 15

3 4 d) 2 5 6

1 av ett rep. 5 1 Den avklippta biten var 6 m. 2 Hur långt var repet från början?

P 5

A B

0 1 2

Placera ut N på tallinjen om A =N a) A · B = N b) B Motivera svaren. R 10

Vad händer med ett bråks värde då bråket inverteras? Visa med ett exempel.

194 Kapitel 7 | Läxor

40694775_mondo8.indb 194

2016-11-29 09:50

LÄXOR

KAPITEL 2 BRÅK, PROCENT OCH SANNOLIKHET

LÄXA 5

P 6

Jolanta vägde 3,8 kg när hon föddes. Nu väger hon 76 kg. Med hur många procent har hennes vikt ökat?

K 7

”En höjning från 3 % till 4 % är en höjning med 1 %”, säger reportern.Varför har hen fel?

K 8

Diagrammet visar en omröstning i Partierna A, B, C och D som gjordes i januari respektive juli. I vilket parti är förändringen av resultatet störst uttryckt i

2.4 RÄNTA 2.5 PROCENT OCH PROCENTENHETER B 1

Vad ska stå istället för frågetecknet i bilden? Procentenheter

0 0% B 2

Procent

100 %

När man köper varor får man betala en skatt som kallas för moms. På böcker är momsen 6 % och på ett par skor är den 19 procentenheter högre. Hur många procent skiljer mellan skattesatserna?

M 3

De två sumobrottarna Akemi och Roka väger sig på träningen. Akemi väger 82 kg medan Roka väger 115 kg.

M 4

Räntesats

2 000 kr

R 9

Årsränta

Månadsränta

180 kr

35 000 kr

875 kr 20 %

Parti A

b) procent

Parti B

Parti C

4 500 kr

Johanna är handbollsmålvakt. I den senaste matchen vann hennes lag med 27–22. Hon räddade 60 % av skotten. Hur många skott hade motståndarna på mål?

Parti D

Juli

Januari

Skriv av och gör färdigt tabellen. Lån

P 5

% 40 35 30 25 20 15 10 5 0

Hur många procent mer väger Roka än Akemi?

b) Hur många procent mindre väger Akemi än Roka?

a) procentenheter

Clara har räknat ut hur mycket hon har på sparkontot efter 3 år. Hon satte in 5 000 kr och får 2 % i ränta.

År 1 får hon 0,2 · 5 000 = 1 000 kr

År 3 har hon 5 000 + 3 000 = 8 000 kr på kontot.

Hur har hon tänkt? R 10 Leffes

rör och Svempas sömnad har båda sänkt sjukfrånvaron bland sina anställda. Vem tycker du ska vara mest nöjd? Redovisa ditt resonemang med beräkningar. Arbetsplats

Sjukfrånvaro Sjukfrånvaro år 1 år 2

Leffes rör

6 %

5 %

Svempas sömnad 13 %

11 %

Läxor | Kapitel 7 195

40694775_mondo8.indb 195

2016-11-29 09:50

LÄXOR

KAPITEL 2 BRÅK, PROCENT OCH SANNOLIKHET

LÄXA 6

P 6

2.6 SANNOLIKHET 2.7 SANNOLIKHET VID FLERA HÄNDELSER

När du kastar två tärningar är sannolikheten 1/6 att få summan 7. Hur stor är sannolikheten att få

a) en summa över 7

b) produkten 12

2.8 OBEROENDE OCH BEROENDE HÄNDELSER B 1

K 7

Du drar ett kort ur en kortlek med återläggning 100 gånger. Är det rimligt att du drar ett ess 10 gånger? Motivera ditt svar!

K 8

Du och en kompis ska dra var sitt kort från en kortlek. Högst kort vinner. Du drar en tia.

Vilka av följande alternativ kan vara en sannolikhet? A 0,2 B 120 % C V ar tredje D 25 %

B 2

Du kastar en sexsidig tärning 12 gånger. Hur stor är chansen att få

a) ett udda tal

b) högst en fyra

M 3

Ett lotteri med 200 lotter har 20 vinstlotter.

a) Hur stor är chansen att få en vinstlott?

”Då har jag större chans att vinna än att dra en spader”, säger kompisen.

Sant eller Falskt? Motivera ditt svar med beräkningar!

b) Hur stor är risken att få en nitlott?

M 4

I en skål ligger 4 röda kulor och 8 svarta kulor.

a) Rita ett träddiagram som visar sannolikheten om det dras två kulor med återläggning.

”Ni och det andra laget är duktigare än genomsnittet. Så både ni och det andra laget har ca 70 % chans att vinna!”

b) Hur stor är sannolikheten att först dra en röd kula och sedan en svart kula?

Har han rätt? Motivera ditt svar med ett resonemang!

P 5

R 9

En tränare i fotboll pratade med sitt lag om chanserna att vinna matchen.

I en godispåse finns åtta sura karameller och sju karameller med lakritssmak. Ellen äter tre sura karameller. Hur stor är sannolikheten nu att hon får en karamell med lakritssmak två gånger i rad utan återläggning?

R 10

Sannolikheten att slå två sexor är lägre än att slå en femma och en fyra. Motivera varför!

196 Kapitel 7 | Läxor

40694775_mondo8.indb 196

2016-11-29 09:50

LÄXOR

KAPITEL 3 ALGEBRA OCH EKVATIONER

LÄXA 7 3.1 FÖRENKLING AV PARENTESUTTRYCK 3.2 MULTIPLIKATION MED PARENTESUTTRYCK 3.3 KVADRERINGSREGLER OCH KONJUGATREGELN B 1

I vilka av uttrycken behövs ett teckenbyte då parenteserna tas bort?

A (5a + 3) − (7a + 4)

B 3 + (x − 3) − 8

C 5z − (4a + 2z) + (4a − 3z)

D (8b − 3) + (4b − 3) − 8a B 2

Skriv ett uttryck för rektangelns area.

P 5

Differensen mellan två jämna tal är 4. Summan av dem är 116. Vilka är talen?

P 6

Rektangeln och den liksidiga triangeln har samma omkrets. Vilken area har rektangeln?

(x + 2)

(cm)

x (2x – 3) (3x + 1) M 3

Förenkla uttrycken.

a) 2(3x + 6) − (x − 2)

b) (y + 8)(y − 8)

K 7

Arean av en kvadrat kan beskrivas med uttrycket 9x2 + 12x + 4 då ena sidan är (3x + 2). Förklara varför.

K 8

Visa hur lång en kvadrats sida är om arean uttrycks som x2 + 6x + 9.

R 9

Förklara med ett exempel att

c) (2x − 4)2 M 4

Förenkla uttrycken.

a) 7,6 − (4x − 6) + 3,8

b) (3y + 9)(3y − 9) − (5 − 2y)

c) (5x − 3)2 − (6 + 2x)2

(2x + 2)

60 − (45 + 10) = 60 − 45 – 10. R 10

Förklara hur man kan använda konjugatregeln för att beräkna 65 · 55. Läxor | Kapitel 7 197

40694775_mondo8.indb 197

2016-11-29 09:50

LÄXOR

KAPITEL 3 ALGEBRA OCH EKVATIONER

LÄXA 8

P 5

Utanför skolor gäller hastighetsbegränsningen 30 km/h. Kan världens snabbaste man eller kvinna springa fortare än begränsningen? Motivera ditt svar.

P 6

Några elever beräknade bilarnas hastighet på en landsväg med begränsningen 70 km/h. En bilist körde 250 m på 12 s. Körde bilisten för fort? Motivera ditt svar.

K 7

Ebbas lösning är fel. Förklara vad hon gör för fel.

3.4 FÖRENKLA OCH BERÄKNA VÄRDET AV UTTRYCK 3.5 FORMLER B 1

Beräkna värdet av uttrycket

a2 + 2b − a om a = 3 och b = 7. B 2

Formeln visar hur många diagonaler det finns i en figur med ett visst antal hörn. h(h − 3) d = 2 d = antal diagonaler h = antal hörn

Beräkna värdet av uttrycket ab − c om

Använd formeln och beräkna antalet diagonaler i en figur med:

a) 5 hörn

a=2 b=3 c=4

b) 8 hörn

c) 10 hörn M 3

Förenkla och beräkna värdet av uttrycket

a) 2x − (4x + 7,5) om x = 8

− (3x − 2) om x = 1

b) (4 +

M 4

Formeln för parallelltrapetsens area är h(a + b ) A= 2 a) Lös ut h ur formeln.

2x)2

Beräkna h om a = 4 cm b = 7 cm A = 22 cm2

h b

K 8

När du omvandlar från m/s till km/h kan du multiplicera med 3,6 (25 m/s · 3,6 = 90 km/h). Förklara varför detta alltid stämmer.

R 9

Utgå från sambandet 9x + 3y = 30. Vilka av alternativen stämmer? Motivera ditt svar.

A y = 3x + 10

B y = 10 − 3x

C y =

(30 − 9x ) 3 3 D y = (30 − 9x ) R 10

Ebbas lösning: 2a3b − 4 = 5ab − 4

Tänk på ett tal. Multiplicera talet med 4. Addera produkten med 8. Dividera summan med 2. Subtrahera till sist med 4. Visa att resultatet alltid blir dubbelt så stort som talet du startar med i uppgiften.

198 Kapitel 7 | Läxor

40694775_mondo8.indb 198

2016-11-29 09:50

LÄXOR

KAPITEL 3 ALGEBRA OCH EKVATIONER

LÄXA 9

P 5

En rektangels bas är fyra gånger så lång som höjden. Omkretsen är 55 cm. Hur stor är arean?

P 6

Priset på fläskfilé höjdes i två omgångar, först med 10 % och sedan med 15 %. Efter höjningarna kostade köttet 180 kr/kg. Vad kostade köttet före höjningarna? Avrunda till hela kronor.

K 7

”Om du lägger till 25 % måste du ta bort 20 % för att få lika mycket igen”, säger Anders. Förklara vad han menar det.

K 8

Följ redovisningen och rätta felen.

3.6 MÖNSTER 3.7 PROBLEMLÖSNING MED EKVATIONER 3.8 PROCENT OCH EKVATIONER B 1

Årsräntan på ett lån blev 2 500 kr med räntesatsen 2,5 %. Hur stort var lånet?

B 2

Anna sommarjobbade och fick sin lön höjd vid två tillfällen, först med 5 % och sedan med 10 %. Hur mycket blev hennes slutliga lön om startlönen var 17 000 kr/mån?

B = (2x – 45°)

A = 60°

C = (x + 30°)

60 + 2x − (45 + x) + 30 = 360 x + 45 = 360 x = 31,5°

Vinklarna är 60°, 18° och 61,5°. R 9

M 3

M 4

Tre på varandra följande tal har summan 72. Vilka är de tre talen?

Skriv formeln för antalet stickor i en viss figur.

figur 1

figur 2

figur 3

figur 1 R 10

Resonera kring vilka samband det finns mellan talföljden 6, 11, 16, 21, 26 och mönstret.

figur 2

figur 3

”Differensen mellan produkten av två på varandra följande tal och kvadraten på det första talet är lika med det första talet” (t.ex. talen 4 och 5; 4 · 5 − 4 · 4 = 20 − 16 = 4) Visa att detta alltid stämmer.

Läxor | Kapitel 7 199

40694775_mondo8.indb 199

2016-11-29 09:50

LÄXOR

KAPITEL 4 GEOMETRI

LÄXA 10

P 6

Beräkna arean av det röda området.

4.1 OMKRETSEN AV EN CIRKEL

(cm)

4.2 AREAN AV EN CIRKEL 4.3 CIRKELBÅGE OCH CIRKELSEKTOR B 1 Rita

en figur där du visar vad begreppen betyder.

K 7

A cirkelbåge B medelpunkt C medelpunktsvinkel D periferi E radie F diameter G cirkelsektor B 2

Beräkna den totala längden av de tre små cirkelbågarna.

b) Beräkna längden av den stora cirkelbågen.

a) omkrets b) area

R 9

(cm) 4

Beräkna figurens

a) omkrets b) area

P 5

(cm)

210°

Beräkna arean av det färgade området.

R 10

(cm) 8

3 3

Dominik och Tamim har gjort en undersökning i skolan. Förklara deras resultat när de mätt omkretsen och diametern på runda föremål. O (cm)

M 4

c) Vilken slutsats drar du?

Beräkna cirkelns

(cm)

K 8 a)

Kvadratens omkrets är 12 cm. Beräkna cirkelns omkrets.

M 3

Undersök med två exempel hur många gånger större area det blir i en cirkel när du gör radien dubbelt så lång.

d (cm)

O (cm) d

19,4

3,23

3,12

357,5

113,5

3,15

Robin ska räkna ut hur många procent längre triangelns omkrets är jämfört med cirkelns omkrets. Gör färdigt Robins beräkningar.

(cm) 2,3

Robins lösning: 2,3 · 3 = 6,9 3 · 4 = 12

4 200 Kapitel 7 | Läxor

40694775_mondo8.indb 200

2016-11-29 09:50

LÄXOR

KAPITEL 4 GEOMETRI

LÄXA 11

P 6

4.4 RYMDGEOMETRI 4.5 PRISMA

4.6 ENHETER FÖR VOLYM B 1

Ernst vill beräkna densiteten på en sten som väger 51,3 g. Han sänker ner den i vattenbehållaren (se figur). Då stiger nivån till 11 cm. Beräkna stenens densitet. (cm)

Ge två exempel på något som har a) en dimension b) två dimensioner c) tre dimensioner

B 2 M 3

Rita ett rätblock med volymen 64 cm3.

8,9 (dm)

Beräkna prismats volym. Ange i m3 och avrunda till en decimal.

10 3

K 7

Förklara hur du beräknar begränsningsarean hos ett rätblock.

K 8

Vilken kub har lika stort värde på begränsningsarean som volymen? Undersök kuber med sidan mellan 1 och 10 cm.

R 9

Förklara sambandet mellan volymenheterna i metersystemet och litersystemet.

6 M 4

Beräkna prismats begränsningsarea. Ange i m2 och avrunda till en decimal.

P 5

En gammal villa läcker in vatten genom taket. Det droppar 10 gånger per minut. Dropparnas volym är 3 ml. Familjen som bor där ställer dit en skål som rymmer 1,5 l. Hur ofta behöver de tömma skålen under 12 timmar?

R 10

Under ett dygn har det regnat 7 mm på en gräsmatta. Hur länge ska en vattenspridare stå på för att spruta ut samma mängd vatten som det har regnat? Ange vilken information som saknas för att du ska kunna räkna uppgiften.

Läxor | Kapitel 7 201

40694775_mondo8.indb 201

2016-11-29 09:50

LÄXOR

KAPITEL 4 GEOMETRI

LÄXA 12

K 7

4.7 CYLINDER

4.8 PYRAMID OCH KON

4 · 4 · 3,14 = 50,24 3 = 37,68 50,24 · 4 37,68 · 8 = 301,44 ≈ 301

4.9 PROBLEMLÖSNING

B 1

B 2

En cylinder och en kon har samma basyta och volym. Hur hög är konen om cylindern är 12 cm hög?

(dm)

En kon har bottenarean 80 cm2. Hur hög behöver den vara för att rymma 2 liter? (cm)

M 3

Katarina ska beräkna figurens volym. Förklara hennes uträkningar.

Beräkna pyramidens volym.

K 8

Förklara hur man beräknar begränsningsarean hos en cylinder. Bilden visar en uppklippt cylinder.

R 9

Förklara orden basyta, sidoyta, hörn och kant.

(cm) M 4

Beräkna rörets volym.

8 P 5

P 6

Marta har kokat 6 dl kola som ska hällas i strutar. Strutarna är 8 cm höga och har dia metern 4 cm. Hur många fyllda strutar får hon? (cm)

Pyramiden har en kvadratisk basyta. Hur stor andel av konens volym utgörs av pyramidens volym?

R 10

Resonera kring hur stor andel av rätblockets volym som utgörs av oktaederns volym.

14,1 10 202 Kapitel 7 | Läxor

40694775_mondo8.indb 202

2016-11-29 09:50

LÄXOR

KAPITEL 5 SAMBAND OCH FÖRÄNDRING

LÄXA 13

P 5

Hörnen i en rektangel har koordinaterna A = (1, 4), B = (−4, 4), C = (−4, −3) och D = (1, −3). Beräkna omkretsen i antal längdenheter (l.e.)

P 6

En triangel i ett koordinatsystem har arean 8 areaenheter (a.e.). Ge två exempel på koordinater för det tredje hörnet i om baslinjen har hörnkoordinaterna (−2, −5) och (2, −5).

K 7

Visa vad koordinaterna inom samma kvadrant har gemensamt och ge exempel (t.ex. i första kvadranten är alla koordinaterna positiva, punkten (4, 5)).

5.1 KOORDINATSYSTEM 5.2 SPEGLING B 1

Fem snabba om koordinatsystem

Nej

a) Punkten (0, 0) heter origo. b) y-axeln är vågrät. c) x-axeln är vågrät. d) Punkten (−2, 4) ligger i andra kvadranten. e) Koordinater måste vara heltal. B 2

Rätta de fem felen i koordinatsystemet.

K 8 a)

Rita linjen i koordinatsystemet som skär punkterna (1, 0) och (0, −1).

x 5

D = (-4, 4)

b) Spegla figuren med den inritade linjen som speglingslinje.

4 A = (3, 2)

y 5

2 1

C = (0, -3) -5

-4

-3

-2 -1

-1 -2

4 Origami 1

B = (3, -1)

-3

-5

-4

-3

-2 -1

-4

-1

-2

-5

-3 -4

M 3 a)

Rita ett koordinatsystem och sätt ut punkterna A = (−1, 2), B = (4, 2), C = (3, −1) och D = (−2, −1).

-5

b) Vilken figur bildas om du binder samman punkterna?

R 9

M 4

Spegla punkterna A = (4, −2) och B = (2, 0) med y-axeln som speglingslinje. Vilka koordinater får de nya punkterna?

R 10

Koordinater används t.ex. i kartor.Vad är fördelarna med det? Vad är gemensamt för punkter med koordinater som

a) börjar med 0

b) slutar med 0 Läxor | Kapitel 7 203

40694775_mondo8.indb 203

2016-11-29 09:50

LÄXOR

KAPITEL 5 SAMBAND OCH FÖRÄNDRING

LÄXA 14

M 4

Diagrammet visar hur priset på ett rep beror på längden av repet.

a) Hur mycket kostar en meter?

b) Hur mycket kostar 43 meter?

c) Hur många hela meter av repet får du för 200 kr?

5.3 TOLKA GRAFER 5.4 PROPORTIONALITET B 1

Priset på nektariner är proportionellt mot vikten. Vilka är värdena som saknas i tabellen? Pris(kr)

480

Vikt(kg)

Pris (kr) 70 60 50 40

Funktionen y = 9x beskriver Carolina när hon är ute och går med hastigheten 9 km/h.

a) Vad står x för?

b) Vad står y för?

B 2

M 3

Diagrammet visar fem personers ålder och hårlängd. Para ihop beskrivningen med rätt bokstav.

1 Personen saknar hår.

2 Personen är tvilling till personen som saknar hår och har lika långt hår som en annan person.

3 Personen är lika gammal som en annan person, men har kortare hår. Ålder

P 5

20 Längd (m)

En segway kostar 72 000 kr att köpa in. Att hyra en segway kostar 320 kr/h.

a) Skriv en formel för kostnaden vid hyra ett visst antal timmar.

b) Hur många timmar kan en segway hyras ut för kostnaden av en ny segway?

D E

Hårlängd

204 Kapitel 7 | Läxor

40694775_mondo8.indb 204

2016-11-29 09:50

KAPITEL 5

P 6

LÄXOR

SAMBAND OCH FÖRÄNDRING

Alternativen visar priset på två juiceförpackningar. Hur många procent billigare är förpackning B om du jämför literpriset?

R 9

Beskriv hur personen rör sig utifrån grafen.

Sträcka

Tid

R 10

Graferna visar vad det kostar att hyra tandemcyklar hos två olika företag, A och B. a) Vad händer i skärningspunkten mellan graferna?

200 ml för 10 kr

50 cl för 24 kr

b) Vilket företag är fördelaktigast att hyra från? Motivera ditt svar. Pris (kr) 1000

K 7

Vilka av graferna är proportionaliteter? Motivera ditt svar.

800

600 400

200 C D

K 8

15 Tid (h)

Läxor | Kapitel 7

205

Rita en graf som visar hur nivån i en vas förändras under en viss tid när vasen fylls med vatten.

40694775_mondo8.indb 205

2016-11-29 09:50

LÄXOR

KAPITEL 5 SAMBAND OCH FÖRÄNDRING

LÄXA 15

M 3

Para ihop funktionerna med rätt graf.

5.5 ANDRA LINJÄRA FUNKTIONER

1 y = 2x

5.6 RITA GRAFER

2 y = 2x − 1

3 y = 2x + 1

B 1

Diagrammet visar vad det kostar att ringa under en viss tid.

a) Vad kostar det att prata i 90 min för abonnemang A?

b) Hur länge kan du prata för 80 kr med abonnemang B?

c) Vilken samtalstid ger samma kostnad för A och B?

1 -5

-4

-3

-2 -1

Kostnad (kr) 120

100

A BC

-1

-2 -3 -4

-5

60 40

M 4

Beskriv funktionen y = 3x − 1 med en graf.

P 5

Funktionerna visar sambandet mellan lön och arbetade timmar. Hur många timmar måste de arbeta för att tjäna lika mycket?

20 0

B 2

80 100 120 Samtalstid (min)

Kostnaden för en taxiresa kan beskrivas med funktionen y = 77 + 51,5x. Vad står x och y för?

y = lön

x = antal timmar A y = 200 + 50x B y = 100x

206 Kapitel 7 | Läxor

40694775_mondo8.indb 206

2016-11-29 09:50

LÄXOR

KAPITEL 5 SAMBAND OCH FÖRÄNDRING

P 6

Graferna till funktionerna skär varandra i tre punkter. Ange koordinaterna för skärningspunkterna.

K 8

A y = x

I koordinatsystemet är två grafer inritade.

a) Vilken betydelse för grafens utseende har talet framför x?

b) Vilken betydelse har talet som läggs till eller dras ifrån x-termen? y

B y = 2x − 2

5 4 y=x+1

C y = 0,5x − 0,5

2 1 K 7

Skriv av och fyll i tabellen med hjälp av grafen.

-5

-4

-3

-2 -1

-1

y = 3x - 2

-2

-3

-4

-5

C R 9

y A

5 4

R 10

50 000

1 -4

-3

-2 -1

-1

Beskriv graferna till varorna 1 och 2. Pris (kr)

-5

Förklara skillnaden på proportionaliteter och andra linjära funktioner.

2 B

40 000

Vara 2

30 000

Vara 1

20 000

-2

10 000

-3

-4

5 Tid (år)

C -5

Läxor | Kapitel 7 207

40694775_mondo8.indb 207

2016-11-29 09:50

LEDTRÅDAR TILL FÖRDJUPNING

KAPITEL 1 TAL OCH TALS ANVÄNDNING 1–8 Tänk på avrundningsreglerna och titta i inledningen.

4 Om summan >63 får man bonus. Använd formel OM eller IF. 5 Minskningen med 12 % kan beräknas med förändringsfaktorn 0,88.

9 Hur många kr/person blir det?

6 Ökningen med 30 % på helgerna kan beräknas med förändringsfaktorn 1,3.

10 Energiförbrukningen anges för en person med prefixet mega.

7 Minskningen med 5 % kan beräknas med förändringsfaktorn 0,95.

11 b) Vad är skillnaden mellan Neptunus och Jupiters avstånd till solen?

8 ränta (kr) = kapital (kr) · räntesats (%) · tid (år)

c) Läs av i tabellen gällande Tellus. 12 Omkretsen av en cirkel: O = d · π. 13 Det största avståndet är när planeterna är på motsatta sidor om solen. 14 a) 1 ljusår = hur långt ljuset färdas under ett år (365 dagar). s = v · t. s b) v = t c) Tänk på att ljusets hastighet är uttryckt i km/s. 15 Gällande siffror enligt neutronens tabellvärde. 16 Avrunda till hela antal gånger.

KAPITEL 3 ALGEBRA OCH EKVATIONER 1 a) Multiplicera in 4 och samla x-termerna på ena sidan. b) Gör beräkningen i andra parentesen innan du multiplicerar. 2 a) Gör beräkningen i andra parentesen innan du multiplicerar. x b) 4 ⋅ = x 4

17 Fem gällande siffror.

3 Lös ekvationen eller sätt in de olika värdena på x.

18 En gällande siffra.

4 a) Addera talen i vänster led. b) Gör beräkningarna i parenteserna innan du multiplicerar.

BRÅK, PROCENT OCH KAPITEL 2 SANNOLIKHET Det finns oftast en hjälpfunktion i det kalkylprogram du använder. 1 b) Använd formel MEDEL eller AVERAGE för att beräkna genomsnittet. 2 – 3 I kolumnen Ökning beräknas: Gammalt pris · 0,2.

5 Sätt upp en ekvation där sonen är x år och faren (x + 22) år. 6 a) Multiplicera parenteserna först. b) Använd konjugatregeln. 7 a) Använd andra kvadreringsregeln och kom ihåg att minus framför parentes ändrar tecken. b) Använd konjugatregeln och första kvadreringsregeln.

208

40694775_mondo8.indb 208

2016-11-29 09:50

LEDTRÅDAR TILL FÖRDJUPNING 8 a) Använd konjugatregeln och kvadreringsreglerna. b) Använd kvadreringsreglerna och kom ihåg att minus framför parentes ändrar tecken. 9 Anta att äldre än 16 år = x år och yngre än 16 år = (104 − x) år. 10

mängd salt = 15 % total mängd vatten

11 1 g vatten har volymen 1 cm3. 12 1 l = 1 000 cm3. 13 Jämför densiteten med tabellvärdet. 14 Beräkna volymen av andelen ättiksyra. 15 Hur förändras vikt och volym när is smälter? 16 Volymen av skålen = volym hela konen – volym liten kon.

11 Anta att tal 1 = x och tal 2 = (40 − x). 12 Beräkna tiden från att bilen startar till att Senja når mötespunkten.

KAPITEL 5 SAMBAND OCH FÖRÄNDRING

13 När de möts har de motionerat lika lång tid. 14 a) De har sprungit lika lång tid. 15 Omkörningshastigheten ökar med 10 km/h.

1 Rita ett koordinatsystem och sätt ut punkten. 2 Rita grafen i ett koordinatsystem. 3 Det vinkelräta avståndet till linjen ska vara lika långt på båda sidor.

KAPITEL 4 GEOMETRI

5 Rita ett koordinatsystem där båda axlarna graderas från 0 till 10.

1 m = V · δ 2 V =

m δ

6 Rita ett koordinatsystem och sätt ut punkten.

3 Beräkna volymen, V = 4 Anta att du har 100

4 Rita grafen i ett koordinatsystem.

m . δ

cm3.

5 Skivorna ska förgyllas på båda sidorna. m = V · δ. 6 Beräkna myntets massa med hjälp av andelen m aluminium. V = . δ 7 Mätcylinderns basyta multiplicerat med höjden är lika med pengarnas volym. 8 m = V · δ

7 Rita grafen i ett koordinatsystem. 8 Räkna antal steg i x-led respektive i y-led. 9 Rita ett koordinatsystem där båda axlarna graderas från 0 till 5. 10 Hur förändras koordinaternas x- respektive y-värde? 11 Rita grafen i ett koordinatsystem och dra hjälplinjer in till origo för att hitta 90° vridning. Hur förändras koordinaterna för en punkt som roteras?

9 a) δ =

12 Grafer som lutar åt vänster är negativa och den skär y-axeln när x är 0.

13 Rita triangeln i ett koordinatsystem.

m V m b) V = δ

10 Densitet is = 920 kg/m3. m = V · δ.

14 Rita triangeln i ett koordinatsystem. 209

40694775_mondo8.indb 209

2016-11-29 09:50