MARTIN HOLMSTRÖM EVA SMEDHAMRE JONAS SJUNNESSON
Martin Holmstrรถm Eva Smedhamre Jonas Sjunnesson
LIBER
Till elever och lärare Den här boken i serien Matematik M är skriven för gymnasiets matematik kurs 3b och motsvarande kurser inom vuxenutbildning. EXEMPEL
! Antalet värdesiffro
Läs gärna igenom exemplen innan du börjar räkna uppgifterna! I regelrutorna finns det som är extra viktigt. Det finns uppgifter i tre nivåer med olika färg på uppgiftsnumren. grå uppgifter är grunduppgifter, bland de blå finns något svårare uppgifter och röda uppgifter är ännu svårare. Till vissa uppgifter finns ledtråd/lösning i slutet av boken. I facit har dessa uppgifter röda uppgiftsnummer.
FÖRDJUPNING
I varje kapitel finns det Fördjupningsavsnitt. Med hjälp av Kommunicera-uppgifter kan du träna på att muntligt förklara matematiska begrepp. I varje kapitel finns en större uppgift, Upptäck & visa. Dessa uppgifter har olika tema, alla med en enkel inledning. Den avslutande delen innebär att du ska generalisera ett matematiskt samband.
digiTaLa ruTan
I digitala rutan får du använda digitala verktyg för att lösa problem.
nog-uppgifTer
NOG-uppgifter har samma upplägg som på Högskoleprovet.
TEST
TanKenöT
Varje kapitel avslutas med två tester, varav ett utan räknare. Många testuppgifter har hänvisning till kapitlens lösta exempel. I slutet av boken finns repetitionsavsnitt. Tankenötter ger extra stimulans. Facit finns! Lycka till med kursen! Författarna 3
Innehåll 1
ekvationer och funktioner 6
Förenkling av uttryck 6 Polynom 10 Ekvationer 13 Tillämpningar 15 Andragradsekvationer 17 Uppdelning i faktorer 22 Faktorisering och ekvationer 25 Förkorta rationella uttryck 29 Mer om förenkling 33 Faktorisera polynom 35 Rationella uttryck multiplikation och division 38 addition och subtraktion 40 Upptäck & visa: Delbarhet 43 Repetition av räta linjen 44 Mer om räta linjer 51 Grafer och nollställen 54 Lite om olikheter 57 Lösa olikheter från grafer 58 Mer om grafer 63 Olikheter med teckenstudium 66 Linjär optimering 70 F Ekvationer med nämnare 72 F Mer om optimering 74 Digitala rutan: Rationella funktioner 76 Sammanfattning 77 Blandade uppgifter 78 Nog-uppgifter 84 Test 1A 85 Test 1B 87
4
2
derivator
88
Ändringskvot 88 Vad betyder ändringskvoten för en graf? 93 En kurvas lutning 96 Beräkning av gränsvärden 103 Digitala rutan: Gränsvärde med räknare 109 Använda derivatans definition 110 Härledning av deriveringsregler 114 Derivera polynom 117 Upptäck & visa: Sekant och derivata 121 Digitala rutan: Derivata med räknare 122 Tolka derivatan 1 123 Tangenten till en kurva 128 Växande och avtagande 130 Rita kurvor med hjälp av derivatan 136 Konstantbestämning 141 Största och minsta värde 142 Derivatans graf 145 Andraderivatan 152 Maximi- och minimiproblem 155 F Problemlösning, ekonomi 159 Tolka derivatan 2 161 1 Derivatan av y = x och y = 163 x Diskontinuerliga funktioner 167 Diskret funktion 169 F Härledning av derivatorna till 1 x och 170 x
F Mer problemlösning 172 F Inflexionspunkt och derivata 174 Sammanfattning 175 Blandade uppgifter 177 Nog-uppgifter 183 Test 2A 184 Test 2B 186
3
Talföljder och talet e 188
Potenser 188 Talföljder 193 Geometriska talföljder 195 Geometriska talföljdens summa 198 Successiva inbetalningar 201 F Summatecken 206 Funktionen y = ex 207 Euler och talet e 210 F Härledning av talet e 211 Derivatan av y = ex 213 Naturliga logaritmer 216 Derivatan av y = 2x 221 Problemlösning 223 Digitala rutan: Funktionen y = ex 226 Upptäck & visa: Logaritmer 227 Sammanfattning 228 Blandade uppgifter 230 Nog-uppgifter 234 Test 3A 235 Test 3B 236
4
Integraler
238
Primitiva funktioner 238 Primitiva funktioner med villkor 243 Beräkna integraler 245 Arean av ett område mellan två kurvor 251 Mer om area 258 Kan en integral ha värdet noll? 260 Upptäck & visa: Förhållandet mellan areor 264 Digitala rutan: Integraler med räknare 265 Tillämpning av integraler 266 F Bevis: A(x) = F(x) 270 Sammanfattning 271 Blandade uppgifter 272 Nog-uppgifter 276 Test 4A 277 Test 4B 279
5
Repetitionsuppgifter 281
Repetition 1 Repetition 2 Repetition 3 Repetition 4
281 285 292 299
Facit
304
Facit Tankenötter 328 Facit Upptäck & visa 329 Facit Digitala rutan 330 Facit NOG-uppgifter 330 Ledtrådar och lösningar 331 Sakregister 336
5
1 Ekvationer och funktioner fÖrEnKLIng Av UTTrYCK Flera avsnitt i detta kapitel är repetition av tidigare kurser. Om du redan behärskar momenten kan du gå vidare till nästa. I det här avsnittet ska vi träna på att förenkla olika uttryck. Den del av matematiken som sysslar med bokstavsuttryck kallas algebra. En rektangulär teaterscen ska byggas. På scengolvet finns ett kvadratiskt hål enligt figuren. Figuren är inte skalenligt ritad, men har de mått (m) som anges i bilden. Hur stor är scengolvets area?
x–5
x–1
x–5 x+3
Vi skriver ett uttryck för golvets area och förenklar detta. Golvets area = rektangelns area – kvadratens area Golvets area = (x + 3)(x – 1) – (x – 5)2 = = x2 – x + 3x – 3 – (x2 – 10x + 25) = = x2 + 2x – 3 – x2 + 10x – 25 = = 12x – 28 6
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
Observera minustecknet framför parentesen!
KAPITEL 1
Vi har fått ett uttryck för scengolvets area. Arean = 12x – 28 Beroende på vilket värde som variabeln x har, får vi olika värden på arean. Låt oss t ex bestämma golvets area då x = 7 m. Vi sätter in x = 7 i uttrycket och får A = 12 · 7 – 28 = 84 – 28 = 56 För x = 7 m är arean alltså 56 m2.
! a(b + c) = ab + ac
Distributiva lagen
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Parentesmultiplikation
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Konjugatregeln
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Första kvadreringsregeln
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Andra kvadreringsregeln
Ett uttryck som t ex 5x2 – 8x + 10 kallas ett polynom där x är variabel. Polynomet består av 3 termer där talen 5 och –8 kallas koefficienter. Ett polynom som bara har 2 termer t ex 7x + 8 kallas ett binom.
EXEMPEL 1
Skriv som polynom. a) 3p(p – 4) = 3p · p – 3p · 4 = 3p2 – 12p b) x2(x + 3) – x(x2 – 1) = x3 + 3x2 – x3 + x = 3x2 + x c) (4x + 3)(x – 2) = 4x2 – 8x + 3x – 6 = 4x2 – 5x – 6 EXEMPEL 2
a) (x + 6)2 = x2 + 2 · x · 6 + 62 = x2 + 12x + 36 b) (3 – 4x)2 = 32 – 2 · 3 · 4x + (4x)2 = 9 – 24x + 16x2 c) x(4 + x) – (x + 2)2 = 4x + x2 – (x2 + 4x + 4) = = 4x + x2 – x2 – 4x – 4 = –4
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
7
KAPITEL 1
EXEMPEL 3
a) (s3 + 8)2 = (s3)2 + 2 · s3 · 8 + 82 = s6 + 16s3 + 64
Lägg märke till att (s3)2 = s3 · 2 = s6
b) 3(x + h)2 = 3(x2 + 2xh + h2) = 3x2 + 6xh + 3h2 c) (x + 2)3 = (x + 2)(x + 2)2 = (x + 2)(x2 + 4x + 4) =
= x3 + 4x2 + 4x + 2x2 + 8x + 8 = x3 + 6x2 + 12x + 8
Förenkla 1001 a) 5(7x + 3) + 2(x – 3)
b) 3x(9 – 2x + x2) + x
1002 a) 4(a – 6) – 2(1 + a)
b) 8y(y – 1) – 2(3y2 + y) + 7y
1003 a) (x – 9)(x + 7) – x2
b) (3a – 4b)(8a – 7b) – 14(a2 + 2b2)
1004 Utveckla kvadraterna
a) (x + 6)2
b) (a – 9)2
c) (3x + 4)2
d) (1 – 9x)2
e) (2a + 3b)2
f) (7c – 2x)2
1005 Multiplicera följande binom.
a) (x3 + 7x)(x2 – 4)
b) (3a2 + 5a)(a2 + 2a3)
Förenkla 1006 a) x3(x – 6) – x2(2x + x2)
b) 8a3 – (4a – 1)(3 – 2a2)
1007 a) (p + 9)2 + (p + 1)2
b) (x – 2)2 + (x – 3)2 – 2x2
c) (x + 5)2 – (x + 4)2 1008 a) (2r – 7)2 + (r + 8)2
c) (x2 + 2)(4x – 2x2) + 2x4
d) (x – 8)2 – (x – 7)2 b) (3x + 5)2 + (5x – 1)2 – 20x d) (2x3 + 0,5x)2 – 2x2(x4 + x2)
1009 Förklara varför (a – b)2 och (b – a)2
alltid betyder samma sak.
1010 Utveckla kvadraterna
a) (x2 + 8)2 8
b) (2y2 – 5)2
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
KAPITEL 1
1011
Förenkla a) x6 – (2 – x3)2
1012
b) (3x2 – 6)2 + 36x2
Utveckla kvadraterna a) (a3 + 7b)2
1013
b) (x3 – 3x2)2
Förenkla och skriv som polynom. a) (0,5x + 2)2 – 2(x + 2)
b) (0,8x + 5)2 – (0,2x + 20)2 + 375
c) (3y2 + 4y)2 – 3y3(3y – 8)
d) (x2 – x)(x2 + x) – x(x3 – x)
1014 Förenklingen nedan är inte korrekt!
Förklara vad som är fel, och gör en korrekt förenkling.
3 – (x – 7)(2x + 6) = = 3 – 2x2 + 6x – 14x – 42 = = –2x2 – 8x – 39 1015
1016
Förenkla uttrycken a) 2(x + h)2 – 2(x2 + h2)
b) (a + 3)3 – 27(a + 1)
c) 3(x – 2)2 – 2(x – 3)2
d) (x – h)3 + h(x + h)2
Beräkna utan räknare. a)
1017
8− 2
)
2
b)
(
b)
(1 + 3 )
Förenkla och svara i exakt form. a)
1018
(
(
) ( 2
a+ b –
a− b
)
2
7+ 3
4
)(
7− 3
)
− 16 3
Förenkla så långt som möjligt (x + y + 2)(3 + x) – (x – y)(–3 – x) TAnKEnÖT 1
Min ålder är in te en jämn kvadrat, men om 30 år blir den det och för 30 år sedan va r den det. Hur gammal är jag?
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
9
KAPITEL 1
PoLYnom p(x) = 2x3 – 5x – 7 är ett polynom av tredje graden. Polynomets gradtal bestäms av den term som har störst exponent. Talen 2 och –5 kallas för koefficienter och –7 är en konstantterm. förstagradskoefficient
2x3
}
tredjegradskoefficient
–5x
7
tredjegradsterm
förstagradsterm
konstantterm
Polynomet x3 + 4x2 – 3x + 8 är exempel på ett fullständigt tredjegradspolynom. Det betyder att det finns termer med samtliga heltalsexponenter från tre och nedåt (3, 2, 1 och 0). Polynomet 2x3 – 5x – 7 är också av tredje graden men är ofullständigt.
! Ett polynom är en summa av termer där varje variabel har positiva heltal som exponent, dvs 0, 1, 2 osv. Den största exponenten anger polynomets grad.
EXEMPEL 1
Här ska du ange koefficienter, konstantterm, gradtal samt om polynomet är fullständigt. a) 5x3 – 2x2 + 7x + 8 Koefficienterna är 5, –2 och 7. Konstanttermen är 8. Polynomet är av tredje graden och fullständigt. b) 3x4 + 17x – 9 Koefficienterna är 3 och 17. Konstanttermen är –9. Gradtalet är 4. Polynomet är ofullständigt eftersom både x3-term och x2-term saknas.
10
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
KAPITEL 1
E xempel 2
Utgå från polynomfunktionen f (x) = 3x2 – 4x + 1. Bestäm a) f (5)
b) f (–3)
c) Skriv och förenkla f (a + 5)
a) Vi ska ersätta variabeln x med 5. Nedan har vi markerat med rutor, var talet 5 ska skrivas.
2
5 + 1 = 75 – 20 + 1 = 56 f (5) = 3 · 5 – 4 ·
b) f (–3) = 3 · (–3)2 – 4 · (–3) + 1 = 3 · 9 + 12 + 1 = 40 c) f(a + 5) = 3 · (a + 5)2 – 4(a + 5) + 1 = 3(a2 + 10a + 25) – 4a – 20 + 1 = = 3a2 + 30a + 75 – 4a – 20 + 1 = 3a2 + 26a + 56 exempel 3
Bilden visar grafen till polynomet f (x). Vi ska avläsa följande värden. a) f (0)
b) f (2) y
a) Med f(0) menas y-värdet då x = 0 Vi ser att f(0) = 3
1
b) Här ska y-värdet avläsas då x = 2. Eftersom x = 2 ger y = –1 gäller att f (2) = –1 svar: a) f (0) = 3
x 1
3
b) f (2) = –1
1019 Utgå från f(x) = x2 – 3x och bestäm följande.
a) f (5)
b) f (–5)
c) f(0)
d) f (b)
1020 Vilka av följande polynom är fullständiga? Ange också gradtalet på
dessa.
A: 4x3 – 5x2 – 3x + 7
B: 5x5 + 7x2 – 5x + 9
C: x2 – x + 7
D: x2 + 1
1021 Titta igen på uppgiften ovan.
a) Vilken koefficient har x2-termen i A? b) Vilken är konstanttermen i C? c) Vilket gradtal har D?
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
11
KAPITEL 1
1022 Ange vilka av följande uttryck som är polynom.
A: 3x 3 + 3 x + 7
B: 5 x 7 + 3x 5 +
2 x2
C: 6x3 + 2x3 + 1 1023 Grafen visar polynomfunktionen f (x).
y
Använd grafen och bestäm a) f(1)
b) f (–1)
1
x 1
1024 Utgå från ett polynom p(x) av
fjärde graden. Förklara vad som händer med polynomets gradtal om vi gör följande: a) Multiplicerar med x
b) Multiplicerar med x3
c) Multiplicerar med en konstant ≠ 0 d) Adderar termen x4
e) Subtraherar termen x5
1025 Titta på grafen i uppgift 1023 igen. Bestäm polynomets
konstantterm.
1026 Utgå från funktionen g(x) = 2x2 – 3x + 4 och bestäm följande.
a) g(2)
b) g(a)
c) g(a + 1)
d) g(5a)
1027 Ge exempel på ett andragradspolynom p(x) som uppfyller villkoret
p(2) = 5.
1028 Bilden visar polynomfunktionen f(x).
Använd bilden och bestäm
f (3) − f (2) 3− 2
y
1
x 1
1029 Utgå från f (x) = x2 – 2x och förenkla.
12
a)
f (3 + h) − f (3) h
b)
f (a + h ) − f ( a ) h
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
KAPITEL 1
Ekvationer EXEMPEL 1
Lös ekvationen 2t + 103 = 3 · 102 Vi skriver tiopotenserna som vanliga tal. 2t + 1000 = 300 2t = 300 – 1000 2t = –700 t = –350
Ekvationen har roten t = –350
svar: t = –350
EXEMPEL 2
Lös ekvationen 12x2 – (3x – 1)(2 + 4x) = 0 Vi börjar med att multiplicera parenteserna. 12x2 – (6x + 12x2 – 2 – 4x) = 0 12x2 – 6x – 12x2 + 2 + 4x = 0 –2x + 2 = 0 2x = 2 x=1
Observera teckenändringarna när parentesen tas bort.
svar: x = 1
EXEMPEL 3
2x − 1 1 − x = 6 2 Mgn = 6. Vi multiplicerar hela ekvationen med 6.
Lös ekvationen 5 −
6 ⋅5 −
6(2 x − 1) 6(1 − x ) = 6 2
Observera parenteserna!
Efter förkortning får vi ekvationen 30 – (2x – 1) = 3(1 – x) 30 – 2x + 1 = 3 – 3x 3x – 2x = 3 – 31 x = –28 svar: x = –28
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
13
KAPITEL 1
Lös ekvationerna 1030 a) 12x + 4 = 42 + 2x
c) 800 + 3r = 2500 + r 1031 a) 10 – 3x = 5 + 2x
c) 0,2x + 3 = 11
b) 20 = 14s – 22 d) 0 = 3y + 6 b) 45 – 5p = 10 – 15p d) 0,03 – 0,1y = 0,05
x = x 3 2y 7 y + = c) 5 10 2
x x + = 10 3 2 13 5 1 − = d) 2y y 3
1032 a) 50 +
b)
1033 a) 2x – 103 = 10
b) 10y – 102 = 2 · 103
c) t · 10 –2 = 1
d) 5 = 4x · 10 –2
1034 a) (x + 1)(x – 3) = (x – 5)(x – 1)
b) (x + 3)(x – 4) + (3 – x)(x + 4) = 4(2 – x) c) (5x – 7)(3x + 3) = 12(x + 1)2 – 3x(9 – x) d) 16 = (x – 3)(x + 1) – (x – 5)(x – 1) 1035 a) (x – 4)2 – (x + 5)2 – 5(1 – 4x) = 0
b) 0 = (3x – 2)(x – 3) – (x – 5)2 – 2(x – 2)(x + 2) c) (3x – 3)2 – (2x – 3)2 – 5(x + 1)(x – 1) = 29 d) (3x + 4)2 – (4 – 3x)2 = (2x + 3)2 – (3 – 2x)2 1036 a)
x +1 4−x = 10 + 2 3
1037 a)
4 3 = x +1 x
b)
1038 a)
b) 2 y −
ledning: Mgn = x(x + 1)
1 2 = x +5 x 1− x 3(2 x − 7) −4= 20 5
b)
5y − 2 y 5− y − = 3− 3 5 2
1039 Lös ekvationerna
a) (3x + 4)2 – (2x + 3)2 = 3 + 5(x + 2)2 b) 5t2 – (2t + 1)(t – 3) – 3(t + 2)(t – 2) = 0
14
3(10 − 2 y ) 3 + 5 y − =0 4 2
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
KAPITEL 1
Tillämpningar ExEMPEL 1
Mirja är på semester och hyr en bil i fyra dagar. Hyra inklusive försäkring kostar 3200 kr och bensinkostnaden beräknas bli ca 10 kr/mil. Om Mirja kör x mil kan kostnaden i kr beräknas enligt K(x) = 3200 + 10x. a) Bestäm K(15), dvs kostnaden då Mirja åker 15 mil.
K(15) = 3200 + 10 · 15 = 3350
svar: K(15) = 3350 kr
b) Mirja vill också veta genomsnittskostnaden G(x), dvs den genomsnittliga kostnaden per mil. Skriv ett uttryck för G(x). K ( x ) 3200 + 10 x = där x = antal mil G( x ) = x x 3200 + 10 x svar: G( x ) = x c) Bestäm G(50), dvs genomsnittskostnaden per mil när Mirja kör 50 mil. 3200 + 10 ⋅ 50 = 74 G(50) = 50 svar: 74 kr/mil d) Hur långt har Mirja kört då genomsnittskostnaden blir 50 kr/mil? 3200 + 10 x Vi löser ekvationen = 50 x 3200 + 10x = 50x 3200 = 40x x = 80
svar: Mirja har kört 80 mil.
1040 En keramiker tillverkar fruktfat. För att beräkna
genomsnittskostnaden G(x) i kr/st används följande formel: 4500 + 12 x G( x ) = x a) Beräkna G(100). b) Hur många fruktfat måste keramikern tillverka för att genomsnittskostnaden ska bli 30 kr/st?
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
15
KAPITEL 1
1041 Bilden visar två plåtar A och B. I den ena plåten har man skurit bort
en kvadrat. Bestäm x så att plåtarna får lika stor area? A
B x
5+x
x
2
3x
x2 + 6
1042 Vilka av följande ekvationer saknar lösning?
a) x + 5 = x + 10
b) 3x = 6x
c) 2x + 4 = 2x + 4
d) 5x – 3x = 0
e) x – 3 = x – 5
f) 3(2 + x) = 3x
1043 Figuren visar en rätvinklig triangel.
(cm)
Använd Pythagoras sats (a + b = c ) och bestäm triangelns omkrets. 2
2
2
x+3
9 x
1044 Reza hyr en liten bil och kan beräkna genomsnittskostnaden
G(x) i kr/mil med formeln 1020 + 8 x G( x ) = där x = antal mil x a) Hur många mil ska Reza köra för att genomsnittskostnaden ska bli 20 kr/mil? b) Är det sant att genomsnittskostnaden minskar med drygt 10 kr/mil då antalet mil ökar från 50 till 100?
1045 Vi har polynomet p(x) = x3 + 2x – 5. Bestäm p(2). 1046 Polynomet x2 – 6x + 8 är givet.
Beräkna utan räknare polynomets värde för x = 3 + 5
1047 Linda är 15 år äldre än sin bror Hugo. Om man subtraherar
kvadraterna på Lindas och Hugos ålder, så får man talet 1125. Hur gammal är Linda?
1048 Lös ekvationen (x – a)2 = x2 med avseende på x.
16
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
KAPITEL 1
1049 En kvadrat har sidan x meter. En ny
kvadrat fås då varje sida förlängs med 5 m. a) Gör en skiss av de två kvadraterna med sidlängderna angivna. b) Visa algebraiskt att differensen mellan de två kvadraternas area är 10x + 25. c) Förklara denna differens med hjälp av dina figurer.
1050 Bestäm x.
(cm)
x+3
x +11
x
1051 Uttrycket K = (x – 1)(x + 1)(x2 +1)(x4 + 1)
Förenkla K och beräkna sedan värdet för x = − 2
Andragradsekvationer EXEMPEL 1
Lös ekvationen 3x2 = 48 3x2 = 48 x2 =
48 3
Båda leden har dividerats med 3.
x2 = 16 x = ± 16
Vi drar roten ur båda leden.
x = ±4 svar: x = ±4 Svaret kan också skrivas x1 = 4, x2 = –4 Siffrorna 1 och 2 kallas index.
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
17
KAPITEL 1
Lös följande ekvationer. Svara med tre värdesiffror i de uppgifter där du avrundar svaret. 1052
a) x2 = 324
b) 3x2 = 600
1053
a) x2 – 10 = 0
b) 2x2 – 19 = 31
1054
a) 250 – x2 = 150
b) 5 – 3x2 = 1 + x2
1055
a) (x + 5)2 = 10x
b) 4x(x – 1) = 2(3 – 2x)
1056
a)
2x + 9 x + 8 = x 4
b) 2 x −
8− x =1 x
Fullständiga andragradsekvationer som t ex ekvationen x2 + 7x + 6 = 0 kan vi lösa ganska enkelt med hjälp av formeln från M2b. x2 + 7x + 6 = 0
x2 + px + q = 0
x2 + 7x = –6 2 2 7 7 x 2 + 7x + = − 6 2 2
x2 + px = – q
2
2
7 49 −6 x + = 2 4
x +
7 49 =± 2 4
x+
x+
7 49 x=− ± −6 2 4
! x2 + px + q = 0 2
p p x =− ± −q 2 2
18
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
2
p p x 2 + px + = − q 2 2 2
2
p p = − q 2 2 2
p p = ± −q 2 2
x=−
2
p p ± −q 2 2
KAPITEL 1
EXEMPEL 2
Lös ekvationen x2 + 6x – 16 = 0 med hjälp av formeln
x2 + 6x – 16 = 0
Halva koefficienten för x med ombytt tecken
x = −3 ± 9 + 16
x = −3 ± 25 x = –3 ± 5 x1 = –3 + 5 = 2
Siffertermen med ombytt tecken
Kvadrera!
x2 = –3 – 5 = – 8
svar: x1 = 2 x2 = –8 Vi kan pröva vårt svar genom att sätta in x-värdena i den ursprungliga ekvationen. x1 = 2 ger 22 + 6 · 2 – 16 = 0 x2 = –8 ger (–8)2 + 6 · (–8) – 16 = 0 Alltså är vårt svar korrekt! EXEMPEL 3
Lös ekvationen 20 + 3x – 3x2 = 2 Vi börjar med att skriva ekvationen så att termerna kommer i ”rätt ordning”. –3x2 + 3x + 18 = 0 Ekvationen är nu skriven i allmän form. Eftersom koefficienten framför x2 är –3 så dividerar vi alla termer med –3. Vi får då ekvationen: x2 – x – 6 = 0 Ekvationen är nu skriven på normalform och vi kan använda formeln. x2 – x – 6 = 0 x = 0,5 ± 0,25 + 6
Observera att koefficienten för x är –1!
x = 0,5 ± 6,25 x = 0,5 ± 2,5 x1 = 0,5 + 2,5 = 3 x2 = 0,5 – 2,5 = –2
svar: x1 = 3
x2 = –2
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
19
KAPITEL 1
EXEMPEL 4
Lös följande ekvationer. a) x2 – 8x + 16 = 0
b) x2 – 8x + 17 = 0
x = 4 ± 16 − 16
x = 4 ± 16 − 17
x =4± 0
x = 4 ± −1
Det blir noll under rottecknet!
x=4±0
Här får vi ett negativt tal under rottecknet!
x1 = 4
När vi får noll under rottecknet blir båda rötterna lika.
Eftersom vi inte kan dra roten ur ett negativt tal, saknar ekvationen reella rötter.
svar: Ekvationen saknar reella rötter.
x2 = 4
Man säger att ekvationen har dubbelrot.
svar: x1 = x2 = 4
Lös följande ekvationer. Svara med tre decimaler i de uppgifter där du avrundar svaret. 1057 a) x2 – 8x + 15 = 0
c) x2 – 4x – 21 = 0 1058 a) 3 – 4x2 – 4x = 0
c) 1 + 8x – x2 = 0 1059 a) (x – 1)2 + (x – 2)2 = 1
c) (x + 1)2 – (x + 2)2 = 0
b) x2 – 10x + 9 = 0 d) x2 + 18x + 80 = 0 b) 0 = 20x – 2x2 – 44 d) 2 – 7x – 4x2 = 0 b) (2x – 3)2 – (x – 2)2 = 2x(x – 5) + 8 d) (x – 4)(x + 8) = 2x + 3
1060 I en rektangel är den ena sidan 16 m
kortare än den andra sidan. Se figuren. Bestäm rektangelns sidor då man vet att dess area är 225 m2.
x – 16 x
1061 Titta på triangeln. Använd Pythagoras
sats och bestäm x. Mått i meter.
6
10
x+6
20
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
KAPITEL 1
Lös ekvationerna 1062
1063
1064
x2 + 1,25 x − 0,75 = 0 2 9 d) x + = 10 x
a) x(x + 4) + (x – 2)2 = 0
b)
c)
5x 2 + 4,9 = 7 x 2
a)
4 x −1 − = 1,5 x 2
b)
6− x x = x−2 4
c)
6 x +1 =1+ x 4
d)
5− x x +2 = x +3 3
Bestäm triangelns längsta sida. Mått i meter. a) 5
b)
x+1
x+7
x
1065
1066
x–2
x+5
Bestäm rektangelns sidor då man vet att arean är 90 m2. Bestäm triangelns omkrets då man vet att arean är 6,0 m2.
x 23 – x
x x+1
1067
För två tal gäller att talens produkt är 420 och talens summa är 43. Bestäm talens differens.
1068
I uppgift 1057 har du löst ekvationer som var skrivna på formen x2 + px + q = 0. Det finns ett samband mellan ekvationens rötter och konstanterna p och q. Vilket är sambandet?
TAnKEnÖT 2
Man utgår från ett tvåsiffrigt posi tivt tal och sätter en nolla mellan siffrorna. Då bildas ett tresiffrigt tal. Kan detta tal vara 9 gånger så stort som det tvåsiff riga talet?
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
21
KAPITEL 1
Uppdelning i faktorer Titta på multiplikationen x · (x + 3) Vi multiplicerar på vanligt sätt och får då x · (x + 3) = x2 + 3x Omvänt kan vi skriva så här: x2 + 3x = x ⋅ ( x + 3) Summa Produkt
Vi har omvandlat en summa till en produkt genom att bryta ut faktorn x. Detta kallas att faktorisera uttrycket. Här ser du ytterligare två faktoriseringar: • 3 + 9y = 3 · 1 + 3 · 3y = 3(1 + 3y) • 6x2 – 36x = 6x · x – 6x · 6 = 6x(x – 6) I det här avsnittet ska vi träna på att faktorisera uttryck. Faktorisering kommer vi sedan att använda då vi löser ekvationer och förenklar uttryck. EXEMPEL 1
Vi visar hur uttrycket 2x2 + 14x kan faktoriseras på olika sätt. Om vi bryter ut 2 får vi: 2x2 + 14x = 2(x2 + 7x) Om vi bryter ut x får vi: 2x2 + 14x = x(2x + 14) Om vi bryter ut så mycket som möjligt får vi: 2x2 + 14x = 2x(x + 7) I följande exempel faktoriserar vi så långt som möjligt. EXEMPEL 2
a) 5y4 – 10y3 + 15y2 = 5y2(y2 – 2y + 3) b) x2 – 9 = (x + 3)(x – 3) c) 25 + a2
22
Konjugatregeln
Går ej att faktorisera
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
KAPITEL 1
EXEMPEL 3
a) x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
Kvadreringsregel
b) a – 4a + 4 = (a – 2) 2
2
c) 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)2 EXEMPEL 4
a) x3 – 4x = x(x2 – 4) = x(x + 2)(x – 2) b) a3 + 2a2b + ab2 = a(a2 + 2ab + b2) = a(a + b)2 c) 3x5 – 3x = 3x(x4 – 1) = 3x(x2 + 1)(x2 – 1) = 3x(x2 + 1)(x + 1)(x – 1) Faktorisera så långt som möjligt. 1069 a) 3x – 6
b) 10x + 15
c) 4 + 4x
1070 a) x2 – x
b) 3x + 9y
c) 12x + 3x2
1071 a) x2 – 4
b) x2 – 25
c) 49 – x2
1072 a) 9x2 – 1
b) x2 + 9
c) x2 – 16
1073 a) x3 – 2x2
b) 3xy + 5y2
c) xy2 – xy
1074 a) 5x – 16x2 + x3
b) 4x3 + 2x2 – 4x4
c) x3 – x4
Faktorisera med hjälp av kvadreringsreglerna. 1075 a) x2 + 4x + 4
b) a2 + 6a + 9 c) p2 + 10p + 25 d) a2 – 12a + 36 1076 a) x2 + x + 0,25
b) x2 – 2x + 1 c) a2 – 8a + 16 d) s2 + 16s + 64 1077 Vad ska skrivas i rutorna
så att likheten stämmer?
a) x2 + 16x + = (x + )2 b) x2 – 0,2x + = (x – )2
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
23
KAPITEL 1
Här följer några blandade uppgifter på faktorisering. Faktorisera följande uttryck så långt som möjligt. 1078 a) 16x2 – 8x + 8
b) 30xy2 + 20xy
c) 25x2 – 16
1079 a) x2 + 25
b) 4x2 – 9y2
c) 36x2 – 1
1080 a) 25a2 + 10ab + b2
b) 25a2 + 10ab
c) 25a2 – 9b2
1081 a) x2 – 49
b) 4a2 + 4ab – b2
c) 4a2 – 4ab + b2
1082 a) 5a2b – 25ab2
b) xy2 – xy + 3x2y
c) 16x2 + y2 + 8xy
1083 a) x4 – 1
b) x4 – 16
c) x4 – y4
1084 a) 2x2 – 18
b) 100 – 4x2
c) x3 – x
1085 a) 3x – 12x3
b) x2 – x4
c) 2x2 – 200
1086 a) x3y – xy3
b) x4 – x6
c) x2 – 196
1087 a) x3 + x2 + 2x
b) 49y2 – 4z2
c) 9z2 + 3z + 1
1088 a) 16y2 + 25 – 40y
b) 4a3 – 8a2
c) a2b3 + ab2 – a2b
1089 a) 25 + 4a2 + 10ab
b) 9a2b2 – 25
c) 36x2 – 9y2 + 36xy
1090 Att det måste vara något fel i
förenklingen nedan är ju uppenbart eftersom 1 ≠ 2. Fundera på vad som sker i varje steg och försök hitta felet. Motivera! a=b a2 = ab a2 – b2 = ab – b2 (a – b)(a + b) = b(a – b) a+b=b b+b=b 2b = b 2=1
1091 Finns det något värde på talet a så att uttrycket x2 + a
innehåller faktorn x + 7?
1092 Faktorisera x80 – 1 så långt som möjligt.
24
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
KAPITEL 1
fAKTorIsErIng oCH EKvATIonEr En produkt som t ex 3 · 2 · 0 blir noll, eftersom en av faktorerna är noll. Titta på ekvationen (x – 5)(x + 9) = 0 Högra ledet är noll. Vänstra ledet är en produkt. Alltså måste minst en av faktorerna vara noll. Vi sätter varje faktor = 0 och får då att x = 5 eller x = –9 Ekvationer vars ena led är faktoriserat och det andra ledet = 0, kan vi alltså lösa på detta sätt.
Vänstra ledet är faktoriserat
2x2 = 6x 2x – 6x = 0 2x · (x – 3) = 0 2x = 0 x–3=0 2
⇒ ⇒
x1 = 0 x2 = 3
Vi sätter varje faktor till 0
! Om en produkt = 0 gäller att minst en av faktorerna är noll. x · (x – 8) = 0 betyder att x = 0 eller x = 8
Att kunna faktorisera polynom är viktigt både vid ekvationslösning och förenkling. Titta på följande. 1) Vilka rötter har ekvationen (x – 2)(x + 5) = 0? Eftersom ekvationen är faktoriserad, ser vi att rötterna är x = 2 och x = –5. 2) På motsvarande sätt kan vi bestämma faktorerna om vi vet rötterna. Rötterna till en ekvation är x = –1 och x = 3. Vilken är ekvationen? Ekvationen (x + 1)(x – 3) = 0 har rötterna –1 och 3.
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
25
KAPITEL 1
EXEMPEL 1
Lös ekvationen 3x(2x + 7)(3x – 2) = 0 Eftersom högra ledet = 0 och vänstra ledet är faktoriserat kan vi sätta varje faktor = 0.
3x = 0 x = 0
2x + 7 = 0 2x = –7 x = –3,5
svar: x1 = 0 x2 = –3,5 x 3 =
2 3
3x – 2 = 0 3x = 2 2 x= 3
EXEMPEL 2
Lös ekvationen x2 + 5x = 0 Vi faktoriserar genom att bryta ut x. x(x + 5) = 0 x = 0 eller x = –5
svar: x1 = 0
x2 = –5
exempel 3
Ge exempel på ekvationer som har följande rötter. a) x = 3 eller x = 2
svar: t ex (x – 3)(x – 2) = 0
b) x = 0 eller x = –9
svar: t ex x(x + 9) = 0
c) x = 0, x = –1 eller x = 0,5
svar: t ex 3x(x + 1)(2x – 1) = 0
Lös ekvationerna 1093 a) (x + 1)(x – 5) = 0
b) x(2x – 1) = 0
1094 a) x2 – 7x = 0
b) x2 + 8x = 0
1095 a) 2x2 - 3x = 0
b) 3x + x2 = 0
1096 a) 4x(2x – 5)(x – 1) = 0
b) (5 + x)(2x – 3)(3x + 6) = 0
1097 a) 10x = 0,1x2
b) 0,8x2 + x = 0
1098 Ge exempel på en ekvation som har rötterna
a) x = 0 eller x = 5
b) x = –3 eller x = 1
c) x = 0 , x = 9 eller x = –0,25 26
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
KAPITEL 1
EXEMPEL 4
Lös ekvationen x2 – 25 = 0 med hjälp av konjugatregeln. x2 – 25 = 0 (x + 5)(x – 5) = 0 x1 = –5 x2 = 5 svar: x = 5 eller x = –5
EXEMPEL 5
Lös ekvationen t3 – 4t = 0 Vi faktoriserar vänsterledet, genom att bryta ut t och sedan använda konjugatregeln. t3 – 4t = t(t2 – 4) = t(t + 2)(t – 2) Ekvationen kan alltså skrivas t(t + 2)(t – 2) = 0 Vi får rötterna t1 = 0 t2 = –2 t3 = 2 svar: t1 = 0 t2 = –2 eller t3 = 2 EXEMPEL 6
Lös ekvationen x3 – 6x2 + 9x = 0 x3 – 6x2 + 9x = x · (x2 – 6x + 9) Vi har brutit ut faktorn x och vet nu att x = 0 är en rot. För att finna ytterligare rötter, faktoriserar vi uttrycket i parentesen med hjälp av kvadreringsregeln. x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 Den ursprungliga ekvationen kan nu skrivas x · (x – 3)2 = 0 Rötterna är x = 0 eller x = 3 (dubbelrot) svar: x = 0 eller x = 3
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
27
KAPITEL 1
Lös följande ekvationer. 1099
a) x2 – 9 = 0
b) x2 – 121 = 0
1100
a) 4(3 – x)(2x + 9) = 0
b) x(2x + 7)(5x – 2) = 0
1101
a) 2x2 = 4x
b) x3 = 4x
1102
a) x3 + 4x = 0
b) 3x3 = 27x
1103
a) x3 + 12x2 + 36x = 0
b) x3 – 10x2 + 25x = 0
1104
a) 32x = 2x3
b) x3 = x2 – 0,25x
1105
Skriv en ekvation som har rötterna x1 = 4, x2 = 0 och x 3 = −
1 2
1106 Antag att du löser ekvationen
(x + 3)(2 – x) = 1 så här: x1 = −3 (x + 3)(2 – x) = 1 ⇒ x 2 = 2 Gör du rätt? Om inte, lös ekvationen rätt.
1107
Visa hur du kan faktorisera uttrycket 2x2 – 12x – 14.
1108
Ge exempel på en ekvation som har roten x1 = 0 samt dubbelroten x2 = x3 = –5.
1109
Här gäller att f(x) = x2 + 3x + 1. Lös ekvationen f (2a) = 1.
TAnKEnÖT 3
Figuren visar hur man kan bygga en stor triangel med hjälp av mindre triang lar. För att bygga tre rader enlig t figuren behövs det 9 små tria nglar. Hur många sm å trianglar be hövs det för att bygg a a) 4 rader? b) 44 rader?
28
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
KAPITEL 1
fÖrKorTA rATIonELLA UTTrYCK Det här avsnittet handlar om rationella uttryck. 2x . Med ett rationellt uttryck menas kvoten mellan två polynom, t ex x +3 Ett annat ord för kvot är förhållande. I engelskan betyder ratio förhållande.
! rationellt uttryck Kvoten mellan två polynom som t ex är ett rationellt uttryck.
x 2 + 5x x −1
Ett rationellt uttryck är inte definierat då nämnaren är lika med 0.
EXEMPEL 1
a) Vilket värde kan x inte ha i uttrycket
2 ? x−8
Nämnaren får ej vara noll, dvs x – 8 ≠ 0 vilket ger x ≠ 8. Tecknet ≠ utläses ”är ej lika med” eller ”är skilt från”. svar: x ≠ 8 b) För vilka värden på x är uttrycket
x +1 ej definierat? x 2 − 6x
x2 – 6x får inte vara noll. Vi löser ekvationen x2 – 6x = 0 med faktorisering. x(x – 6) = 0 ger x1 = 0 x2 = 6 svar: Ej definierat för x = 0 eller x = 6
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
29
KAPITEL 1
EXEMPEL 2
15 xy 2 a) Förenkla 3xy
Om täljare och nämnare faktoriseras ser vi lättare hur vi kan förkorta. 1
1
1
1
svar: 5y
1
12 x 2 y 8 xy 3
b) Förenkla
1
1
15 xy 2 3/ ⋅ 5 ⋅ x/ ⋅ y/ ⋅ y = = 5 y 3xy 3/ ⋅ x/ ⋅ y/
1
1
12 x 2 y 4/⋅ 3 ⋅ x/ ⋅ x ⋅ y/ 3x = = 8 xy 3 4/⋅ 2 ⋅ x/ ⋅ y/ ⋅ y ⋅ y 2 y 2 1
1
1
3x svar: 2 y 2
E xempel 3
Förenkla
2( x + 1) 12( x + 1) 1
1
2( x + 1) 2( x + 1) 1 = = 12( x + 1) 12( x + 1) 6 6
1
EXEMPEL 4
1 6
svar:
4a + a 2 a
Förenkla uttrycket
Innan vi kan förkorta måste vi faktorisera täljaren. Vi får bara förkorta faktorer! 1
4a + a 2 a/ ⋅ ( 4 + a ) = =4+a a a/
svar: 4 + a
1
E xempel 5
Förenkla uttrycken. a)
5 x + 35 5 ⋅ ( x + 7) x +7 = = 10 x + 25 5 ⋅ (2 x + 5) 2 x + 5
svar:
x +7 2x + 5
1
3x 2 + 9 x 3x ⋅ ( x + 3) = = 3x b) x+3 ( x + 3) 1
30
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
svar: 3x
KAPITEL 1
1110
Vilket värde får x inte ha i följande uttryck? a)
1111
1113
b)
6 2x − 3
c)
1 x+2
Vilka av uttrycken är inte definierade för x = 3? a)
1112
x x −5
2x x+3
b)
x−3 x
c)
x 2x − 6
För vilket/vilka värden är uttrycket ej definierat? a)
3+ x 2x + 1
c)
x +1 x 2 − 9x
b)
6x
( x − 3)( x + 2)
Skriv ett rationellt uttryck som inte är definierat för a) x = 6
b) x = 0
c) x = ±5
Förenkla följande rationella uttryck. 1114
a)
15 x 2 5x
b)
3xy 2 xy
c)
8 x ( x − 1) 2( x − 1)
1115
a)
6x 2 y 3 3xy 4
b)
5a 2b 15ab
c)
p 4 r 2t 3 pr 4t 3
a( 2a + b ) 1116 a) a
2 x ( y + 3) b) y ( y + 3)
4 x 2 ( x − 5) c) 2x ( x − 5)
1117
a)
3x – 6 x–2
b)
2x + 6 x +3
c)
5 x + 15 5
1118
a)
ab + b b
b)
2 xy + 2 x 2x
c)
x 2 − xy x
1119
a)
2x 2 − 4 x x−2
b)
3xy − 6 y 3( x − 2 )
c)
a 2b + ab 2 a+b
1120 a)
4x 4 x − 8x
b)
2 xy − 4 y 2 x 2 − 2 xy
c)
6a 2 + 6ab a 2b + ab 2
2
1121 Titta på uppgift 1120 a) igen. För vilka värden på x är uttrycket
inte definierat?
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
31
KAPITEL 1
Förenkla/förkorta följande rationella uttryck. 1122
a)
ab 2 ab 2 + a 2b
b)
5a − 5b 10a 2 − 10ab
c)
9( 2 x − 3) ( 3x + 1) 2 12( 3x + 1) ( 2 x − 3)
1123
a)
8( 3 x + 5 ) 12( 3x + 5 )
b)
18 x 2 + 9 x 12 x 3 + 6 x 2
c)
( 4 x − 8)( 2x + 5)2 ( 4 x + 10)( x − 2)2
1124
Titta på uppgift 1123. För vilka värden på x är uttrycken ej definierade?
2
2
1125 Vilket fel görs i följande förenkling?
Förklara. 12a − 3b 3 ⋅ (4a − b ) 4 a − b = = = 4−b 3a 3 ⋅a a
1126
Finns det rationella uttryck som är definierade för alla tal? Förklara i så fall med exempel hur ett sådant uttryck kan se ut.
1127
Ge exempel på ett rationellt uttryck som inte är definierat för x = 2 och som har värdet 6 då x = 4.
TAnKEnÖT 4
Ett registreri ngsnummer består av tre bokstäver och tre siffror som bilden visar. Hur mån ga olika registreringsn ummer kan bildas om man använder 23 bokstäver och alla siffror?
32
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
KAPITEL 1
mEr om fÖrEnKLIng Här visar vi hur man kan använda konjugatregeln och kvadreringsreglerna vid förenkling. EXEMPEL 1
Förenkla uttrycken a)
b)
x 2 − 8 x + 16 ( x − 4)2 ( x − 4) ⋅ ( x − 4) = = =x−4 x−4 x−4 ( x − 4) De röda faktorerna är lika och kan alltså förkortas bort. 3x 2 − 12 3 ⋅ ( x 2 − 4) 3 ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x − 2) = = = 3( x + 2) x−2 x−2 ( x − 2)
svar: a) x – 4
b) 3(x + 2)
EXEMPEL 2
Förenkla uttrycken. 44xx22 −− 66xx ++ 99 (2 (2xx))422x−−2 22−⋅⋅633xx ++93322 (2 x )2(2 (2−xx2−−⋅ 33) 3) x22+ 32 (2 (2xx (2 −− 3) x3)−⋅⋅(2 (2 3)xx2 −− 3) 3) (2 22xx −− 33) 3 ⋅ (2 x − 3) 2 x − 3 = = = = = = = === = a) 2 44xx22 −− 99 (2 (2xx4))x222−−−33922 (2 (2x(2 x ++x3)(2 )3)(2 − x3x2−− 3) 3) (2 (2xx ++ 3) 3) 3)(2 ⋅⋅(2 (2xxx−−−3) 3) 3) (2 22xx ++ 33) 3 ⋅ (2 x − 3) 2 x + 3
x 2 − 100 ( x − 10)( x + 10) ( x − 10)( x + 10) ( x + 10) = = = = −( x + 10) = − x − 10 b) 10 − x 10 − x −1 ⋅ ( x − 10) −1 + 10) ( x − 10)( x + 10) ( x + 10) = = = −( x + 10) = − x − 10 −1 ⋅ ( x − 10) −1 Lägg märke till att vi bryter ut –1 i nämnaren för att ”ändra ordningen” på termerna! 10 – x = –1 · (–10 + x) = –(x – 10)
svar: a)
2x − 3 2x + 3
b) –x – 10
! Bryta ut minus 1 (10 – x) = –(x – 10)
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
33
KAPITEL 1
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt. 1128 a)
c)
1129 a)
c)
1130 a)
c)
1131 a)
x 2 + 3x 3x + 9
b)
b 2 – ab b–a
x 2 + 8 x + 16 x+4
d)
x 2 − 16 x+4
a2 − b2 a + b 2 − 2ab
b)
x 2 + 4x + 4 x 2 + 2x
a 2 + 9b 2 − 6ab ab − 3b 2
d)
x +5 x 2 + 10 x + 25
x2 − y2 2 x 2 − 2 xy
b)
x 2 − 6x + 9 x2 − 9
4a 2 + 12ab + 9b 2 2a 2b + 3ab 2
d)
x 2 − 4x + 4 2− x
x2 − 9 3x + 9
b)
a 2 + 2ab + b 2 a3 − ab 2
2
a −1 c) 2 a −1
x2 +1 d) x +1
1132 a)
9a 2 − 30ab + 25b 2 9a 2 − 25b 2
b)
25 − 9 y 2 25 + 30 y + 9 y 2
4x 2 − 4x 8 x 2 − 16 x + 8
d)
x 2 − 3x 9 − x2
c)
1133 Visa att
4 x 2 − 28 x + 49 inte går att förenkla. 2 x 2 − 98
Förenkla så långt som möjligt. 1134 a)
c)
34
2a 2 − 12a + 18 2a − 6
b)
3a 2 − 12 6a 2 − 24a + 24
x 3 − 4x 2x 2 − 8x + 8
d)
18b 2 − 2 x 2 9b 2 − 6bx + x 2
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
ISBN 978-91-47-10892-3 © 2013 Martin Holmström, Eva Smedhamre, Jonas Sjunnesson och Liber AB Projektledare: Calle Gustavsson Formgivning och layout: Cecilia Frank/Frank Etc. AB Omslag: Cecilia Frank Bildredaktör: Marie Olsson Illustrationer: Björn Magnusson, Cecilia Frank Faktor: Adam Dahl Första upplagan 1 Repro: Exaktaprinting AB, Malmö Tryck: Kina 2013
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUSavtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuspresskopia.se. Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se
88, 91, 94, 101 Shutterstock 107 Helena Blomqvist/Scanpix/ Omslagsfoto: Noel Celis/AFP/ Bildhuset Scanpix (beskuren) 108, 124 Shutterstock 6 Dean Lewins/EPA/Scanpix 127 Jeppe Gustafsson/Scanpix 23 Shutterstock 148 Shutterstock 32 Volvo Personvagnar AB 151 Nicklas Thegerström/DN/ 37, 43 Shutterstock Scanpix 53 Riksbanken 157 Michael Steinberg/Scanpix 54 Torbjörn Carlson/Sydsvenskan/ 162 Shutterstock IBL 171 Lars Hallström/Age/Scanpix 62 Mike Walker/Rex Features/IBL 181, 188, 193, 198 Shutterstock 69 Ulf Palm/Scanpix 201 Riksbanken 73 Shutterstock 205 Shutterstock 75 Heinz von Heydenaber/DPA/ 210 Darbes, Tretyakov Gallery, Scanpix Moskva. Bridgeman/IBL BILDFÖRTECKNING
220 Peter Dejong/AP/Scanpix 224 Berit Roald/Scanpix 233 Per Lindgren/Rex Features/IBL 238, 242, 263, 265 Shutterstock 274 Johanna Hanno/Scanpix/ Bildhuset 281 Matton Images 283 Fernando Bengoechea/Corbis/ Scanpix 290 Krister Larsson/Scanpix 293 Shutterstock 298 Hans Runesson/Scanpix 303 Lars Lindqvist/DN/Scanpix 304 Matton Images
M3b Den här boken omfattar gymnasieskolans kurs Matematik 3b. Den riktar sig till samhällsvetenskapsoch ekonomiprogrammet, samt till estetiska och humanistiska programmet. Boken passar också för vuxenutbildning. • Bokens tydliga förklaringar ger en djupare förståelse för matematiken. • Nivåindelade uppgifter gör det lätt att individualisera. • Upptäck & visa, Kommunicera, NOG-uppgifter samt Digitala rutan ger möjlighet att träna många förmågor. • I facit finns ledtrådar och lösningar till många uppgifter. M är en matematikserie för gymnasieskolan. Serien täcker samtliga gymnasieprogram.
Best.nr 47-10892-3 Tryck.nr 47-10892-3