Hållfasthetslära by Smakprov Media AB

!""# "#$%&'(%""%%") "$ #"%%#$*$+%%,-./%#

h책llfasthetsl채ra

Utv채rderingsexemplar

!""# "#$%&'(%""%%") "$ #"%%#$*$+%%,-./%$

Utv채rderingsexemplar

!""# "#$%&'(%""%%") "$ #"%%#$*$+%%,-./%0

Morgan Klang

HÅLLFASTHETSLÄRA Utvärderingsexemplar

Liber AB

!""# "#$%&'(%""%%") "$ #"%%#$*$+%%,-./%+

ISBN 978-91-47-05269-1 © 2009 Morgan Klang och Liber AB Redaktör: Jan-Eric Ohlsson Grafisk form och sättning: Arne Blom och Gudrun Carlsson / LLPS ek.för. Sättning av figurer: Julia Blom / LLPS ek.för. Omslag: Nette Lövgren Omslagsfoto: Glasshouse images/Nordic Photo Första upplagan 1 Repro: Repro 8 AB, Nacka Tryck: Kina 2009

Utvärderingsexemplar Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t ex kommuner/universitet. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Liber AB, 113 98 Stockholm tel 08-690 92 00 www.liber.se Kundservice tel 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

!""# "#$%&'(%""%%") "$ #"%%#$*$+%%,-./%1

Innehåll FÖRORD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1 HÅLLFASTHETSLÄRA OCH MEKANIK – EN INTRODUKTION . . . . . 13 2 PLANA FACKVERK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1 Terminologi för plana fackverk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Statisk bestämbarhet hos plana fackverk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Stabilitet hos plana fackverk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Analysmetoder för plana fackverk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.1 Knutpunktsmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.2 Cremonas kraftplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.3 Ritters metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4.4 Hennebergs metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Utvärderingsexemplar

3 NORMAL- OCH SKJUVSPÄNNINGAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4 DEFORMATION, FÖRSKJUTNING OCH TÖJNING . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.1 Förskjutning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2 Förlängning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3 Linjär töjning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.4 Logaritmisk/sann töjning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.5 Metoder för töjnings- och spänningsmätning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.5.1 Spänningsoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.5.2 Trådtöjningsgivare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5 MATERIALPROVNING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.1 Dragprovning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.1.1 Proportionalitetsgräns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.1.2 Sträckgräns och resttöjningsgräns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5

!""# "#$%&'(%""%%") "$ #"%%#$*$+%%,-./%2

innehåll

5.2 5.3 5.4

5.5 5.6

5.1.3 Brottgräns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.1.4 Kontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.1.5 Upprepade på- och avlastningar, flytning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.1.6 Instabilitet vid dragprovning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Tryckprov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Krypprovning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Hårdhetsprovning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.4.1 Brinellprov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.4.2 Vickersprov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.4.3 Rockwellprov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.4.4 Andra hårdhetsprov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Slagseghetsprovning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Utmattningsprovning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6 KONSTITUTIVA SAMBAND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.1 Linjärt, elastiskt material, Hookes lag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.2 Tvärkontraktion, Poissons tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.2.1 Dilatation av ett rätblock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.3 Termisk töjning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.4 Deformation vid enaxligt spänningstillstånd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.5 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7 MATERIALMODELLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.1 Linjärt elastiskt, idealplastiskt material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.1.1 Stelt, idealplastiskt material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.2 Linjärt elastiskt, linjärt deformationshårdnande material . . . . . . . . . . . . 103 7.3 Olinjärt deformationshårdnande material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7.3.1 Ludwiks modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7.3.2 Modell enligt Voce-Palm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7.4 Viskoelastiska material, krypning, relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7.4.1 Kelvin-material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.4.2 Maxwell-material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.5 Volymkonstans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 7.6 Flytlastförhöjning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.7 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Utvärderingsexemplar

8 SUPERPOSITIONSPRINCIPEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 8.1 Krafter med samma angreppspunkt och riktning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 8.2 Krafter med olika angreppspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 8.3 Sammanfattning av superpositionsprincipen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 9 SKJUVNING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 9.1 Skjuvtöjningar och skjuvvinklar, deviation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 9.2 Hookes lag för skjuvning, skjuvmodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 9.2.1 E-modul och G-modul, oskiljaktiga vapenbröder . . . . . . . . . . . . 126 9.3 Vridning av tunnväggigt, cirkulärcylindriskt rör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.4 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6

!""# "#$%&'(%""%%") "$ #"%%#$*$+%%,-./%3

innehåll

10 TORSION AV RAKA AXLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 10.1 Torsion av tunnväggigt rör med icke cirkulärt tvärsnitt . . . . . . . . . . . . 135 10.1.1 Elastisk energi p g a skjuvspänningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 10.1.2 Förvridning av tunnväggigt rör med icke cirkulärt tvärsnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 10.2 Torsion av axel med cirkelringformat tvärsnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 10.3 Torsion av massiv, cirkulärcylindrisk axel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 10.4 Torsion av axlar med icke-cirkulär sektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 10.4.1 Torsion av axel med elliptisk tvärsnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 10.4.2 Torsion av axel med rektangulärt tvärsnitt . . . . . . . . . . . . . . . 148 10.4.3 Öppna tvärsnitt sammansatta av långsmala rektanglar . . . . . 149 10.4.4 Vlasovsk vridning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 10.5 Öppna och slutna sektioner – en jämförelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 10.6 Flytlastförhöjning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 10.7 Öppna tunnväggiga tvärsnittsformer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 10.8 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 11 HOOKES GENERALISERADE LAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 12 PLANA TILLSTÅND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 12.1 Plant spänningstillstånd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 12.2 Plant töjningstillstånd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 12.2.1 Ångpanneformlerna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 12.3 Tunnväggigt, sfäriskt tryckkärl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 12.4 Bestämmelser för specifika produkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 12.5 Transformationer vid koordinataxelrotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 12.5.1 Spänningstransformation vid plant spänningstillstånd . . . . . 170 12.6 Mohrs spänningscirkel vid plant spänningstillstånd . . . . . . . . . . . . . . . 173 12.6.1 Huvud-/principalspänningar vid plant spänningstillstånd . . 175 12.7 Töjningstransformation vid plant spänningstillstånd . . . . . . . . . . . . . . 177 12.7.1 Mohrs töjningscirkel vid plant spänningstillstånd, huvudtöjningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 12.7.2 Töjningsmätning vid plant spänningstillstånd . . . . . . . . . . . . 180 12.8 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Utvärderingsexemplar

13 NÅGRA STORHETER OCH SAMBAND FÖR PLANA YTOR . . . . . . . . . 186 13.1 Geometricentrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 13.2 Statiskt moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 13.3 Yttröghets- och deviationsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 13.4 Parallellförskjutna koordinataxlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 13.5 Roterade koordinataxlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 13.6 Huvudtröghetsaxlar och huvudtröghetsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 13.7 Polärt yttröghetsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 13.8 Tröghetsradier, tröghetsellips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 13.9 Lösta exempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 13.10 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

!""# "#$%&'(%""%%") "$ #"%%#$*$+%%,-./%4

innehåll

14 SPÄNNINGAR I RAKA BALKAR VID BÖJNING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 14.1 Jämviktsvillkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 14.2 Teckenkonventioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 14.3 Tvärkraft- och momentdiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 14.4 Spänningar vid deformation i böjande momentets plan . . . . . . . . . . . . 215 14.5 Skev böjning, neutralaxel, neutrallager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 14.5.1 Böjspänningar vid skev böjning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 14.6 Skjuvspänningar vid böjning av balk utsatt för tvärkraft . . . . . . . . . . . . 224 14.7 Flytlastförhöjning vid balkböjning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 14.8 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 15 DEFORMATIONER VID BÖJNING AV RAK BALK . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 15.1 Krökningsradie, krökning och utböjning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 15.2 Elastiska linjens differentialekvation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 15.3 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 15.4 Superposition av elementarfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 15.5 Vinkeländringsmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 15.6 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 16 STABILITET HOS AXIALBELASTADE STRÄVOR, KNÄCKNING ENLIGT EULER OCH TETMAJER . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 16.1 Knäckning av fjäderbalanserad stel, rak sträva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 16.1.1 Knäckning av stel, rak sträva balanserad av progressiv fjäder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 16.1.2 Knäckning av stel, rak sträva med initial off-set-vinkel . . . . . 273 16.1.3 Knäckning av stela, raka strävor under andra betingelser . . . 275 16.2 Jämvikt och stabilitet ur potentiella energin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 16.3 Böjning av axiellt tryckta balkar av linjärt elastiskt material . . . . . . . . . 283 16.4 Eulerknäckning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 16.4.1 Reducerad knäcklängd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 16.4.2 Tröghetsradie, knäckspänning och slankhetstal . . . . . . . . . . . 293 16.4.3 Beräkningsgång . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 16.4.4 Intermittent tvärförbundna strävor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 16.5 Elementarfall för axiellt belastade, raka balkar. Berryfunktioner . . . . . . 303 16.6 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Utvärderingsexemplar

17 FLERAXLIGA SPÄNNINGSTILLSTÅND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 17.1 Jämvikts- och kompatibilitetsvillkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 17.2 Harmoniska och biharmoniska funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 17.2.1 Kompatibilitetsvillkor som spänningsrelationer . . . . . . . . . . . 320 17.3 Airys spänningsfunktion vid Cartesiska koordinater . . . . . . . . . . . . . . . 322 17.4 Saint-Venants princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 17.5 Fleraxliga spänningstillstånd vid cylindriska/polära koordinater . . . . . 326 17.6 Airys spänningsfunktion vid cylindriska/polära koordinater . . . . . . . . 328 17.7 Töjningskomponenter vid cylindriska koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . 330 17.8 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

!""# "#$%&'(%""%%") "$ #"%%#$*$+%%,-./%)

innehåll

18 ROTATIONSSYMMETRISKA KROPPAR MED AXIALSYMMETRISK SPÄNNINGSFÖRDELNING . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 18.1 Tjockväggiga, cirkulärcylindriska rör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 18.1.1 Randvillkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 18.1.2 Axiella spänningar/töjningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 18.2 Rotationssymmetriska krympförband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 18.3 Rotationssymmetriska skivor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 18.4 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 19 FLYT- OCH BROTTHYPOTESER, EFFEKTIVSPÄNNING, DEVIATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 19.1 En- och tvåaxligt spänningstillstånd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 19.2 Trescas flythypotes (skjuvspänningshypotesen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 19.2.1 Specialfallet en skjuvspänning och en normalspänning . . . . . 363 19.3 von Mises flythypotes (deviationsarbetshypotesen) . . . . . . . . . . . . . . . . 363 19.3.1 Specialfallet en skjuvspänning och en normalspänning . . . . . 368 19.4 Treaxligt spänningstillstånd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 19.4.1 Bestämning av huvudspänningar och huvudspänningsriktningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 19.4.2 Flytgränsytor i Haigh-Westwergaards spänningsrymd . . . . . . 374 19.5 Mohrs brottgränshypotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 19.5.1 Approximativa, linjära brottgränskurvor . . . . . . . . . . . . . . . . 379 19.5.2 Brottgränsyta vid linjär, approximativ brottgränskurva . . . . . 380 19.5.3 Effektivspänning vid rätlinjig brottgränskurva . . . . . . . . . . . . 383 19.6 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

Utvärderingsexemplar

20 SPÄNNINGSKONCENTRATION, KÄLVERKAN, FORMFAKTOR . . . . 391 20.1 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

21 BÖJNING AV PLATTOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 21.1 Rektangulära plattor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 21.1.1 Randkrafter och randmoment för rektangulära plattor, ekvivalent (resulterande) tvärkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 21.1.2 Antal randvillkor som kan föreskrivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 21.1.3 Några olika typer av randvillkor för rektangulära plattor . . . . 411 21.1.3.1 Fast inspänd rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 21.1.3.2 Fritt upplagd rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 21.1.3.3 Helt fri rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 21.2 Lösta exempel för rektangulära plattor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 21.3 Övningsexempel på rektangulära plattor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 21.4 Cirkulära plattor med rotationssymmetrisk last och uppläggning . . . . 425 21.4.1 Några axialsymmetriska randvillkor vid cirkulära plattor . . . 430 21.4.1.1 Fritt upplagd rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 21.4.1.2 Fast inspänd rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 21.4.1.3 Helt fri rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 21.4.1.4 Resterande randvillkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

!""# "#$%&'(%""%%") "$ #"%%#$*$+%%,-./%#"

innehåll

21.5 Lösta exempel för cirkulära plattor med rotationssymmetrisk belastning och uppläggning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 21.6 Övningsexempel på cirkulära (hål-)plattor vid rotationssymmetrisk belastning och uppläggning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 22 ENERGIMETODER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 22.1 Maxwell-Bettis sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 22.2 Castiglianos sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 22.3 Elastisk energi p g a normal- och skjuvspänningar . . . . . . . . . . . . . . . . 448 22.4 Elastisk energi i stänger, axlar och balkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 22.4.1 Elastisk energi vid dragning/tryck av rak stång . . . . . . . . . . . 450 22.4.2 Elastisk energi vid vridning av rät, cirkulärcylindrisk (hål-)axel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 22.4.3 Elastisk energi vid vridning av tunnväggig, sluten profil . . . . 455 22.4.4 Elastisk energi i rak balk p g a böjande moment . . . . . . . . . . 456 22.4.5 Elastisk energi i rak balk p g a tvärkraft vid böjning . . . . . . . . 458 22.5 Lösta exempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 22.6 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 23 UTMATTNING (FATIGUE, ERMÜDUNG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 23.1 Säkerhetsfaktorer vid utmattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 23.2 Inverkan av egenspänningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 23.3 Korrektionsfaktorer för Goodman-, Haigh- och Wöhlerdiagram . . . . . 482 23.3.1 Teknologiskt volymberoende, λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 23.3.2 Geometriskt storleksberoende, δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 23.3.3 Ytbeskaffenhet, κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 23.3.4 Korrektionsfaktor för ytbeläggning, υ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 23.3.5 Korrektionsfaktor för mekanisk ytbehandling, χ . . . . . . . . . . 486 23.3.6 Korrektionsfaktor för termisk ytbehandling, ψ . . . . . . . . . . . 486 23.3.7 Korrektionsfaktor för omgivningsmiljö, µ . . . . . . . . . . . . . . . 487 23.3.8 Modifiering av diagram med hänsyn till total korrektionsfaktor och för spänningsvariation med mittspänning . . . . . . 487 23.4 Anvisningsfaktor och kälkänslighetsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 23.4.1 Löst exempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 23.4.2 Alternativ metod för korrigering av diagram med hänsyn till formfaktor och anvisningsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 23.5 Miner-Palmgrens linjära delskadeteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 23.6 Löst exempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 23.7 Utmattning som statistisk företeelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 23.8 Löst exempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 23.9 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

Utvärderingsexemplar

REFERENSER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 SAK- OCH PERSONREGISTER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 APPENDIX 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 10

!""# "#$%&'(%""%%") "$ #"%%#$*$+%%,-./%##

Förord Svenska läroböcker i hållfasthetslära på akademisk nivå är tämligen sällsynta. Efter professor Folke Odqvists monumentala verk ”Hållfasthetslära” från 1948 och baserad på hans föreläsningar vid KTH under åren 1936 till 1947, kan produktionen av inhemska bokverk inom ämnesområdet räknas på ena handens fingrar. Bland den lite äldre generationens examinerade är professor Jan Hults (CTH), ”Bära, brista”, väl bekant. Medan många av dagens högskolestuderande svettas över professor Tore Dahlbergs (LiTH), ”Teknisk hållfasthetslära”. Däremot finns ett rikhaltigt urval av anglosachsisk kurslitteratur. Många studerande föredrar emellertid litteratur på svenska. Eller som en av mina studenter uttryckte saken: ”Man skall väl inte behöva en engelsk stege för att plocka kunskapens äpple från ett svenskt träd.” Det kan därför knappast ses som en överloppsgärning att ytterligare ett svenskspråkligt alster inom området ser dagens ljus. Målgruppen för boken är studerande vid lärosäten som utfärdar civilingenjörsexamen, högskoleingenjörsexamen eller mastersexamen med inslag av strukturmekaniska kurser. Vägledande vid urvalet av material i boken har varit att så långt möjligt täcka behoven för akademiska grundkurser i hållfasthetslära. Bokens nivå förutsätter förkunskaper i matematik och mekanik som i huvudsak överensstämmer med vad som krävs för ovannämnda examina. Läsarna förutsätts familjära med ordinära och partiella derivator och med Riemannintegraler. För kapitlet om utmattning behövs elementära insikter i statistik. Samma kapitel har begränsats till att behandla problem av deterministisk art. Detta eftersom endast ett fåtal utbildningar inom maskinteknik inkluderar kurser i stokastiska processer. För dynamiska förlopp intar kunskap om mekaniska svängningar en central roll. Flertalet kurser i mekanik har tillräckliga inslag av svängningslära. Därför har detta moment uteslutits helt i denna bok. Likaså har även finita elementmetoder (FEM) uteslutits. Detta område är så

Utvärderingsexemplar

!""# "#$%&'(%""%%") "$ #"%%#$*$+%%,-./%#$

förord

omfattande att det förtjänar en separat bok. Som N. S. Ottosen och Hans Peterssons: ”Introduction to the finite element method”. Eller “fem i praktiken” av Staffan Sunnersjö. Den ringa teoribildning i brottmekanik som kan rymmas i en grundkurs i hållfasthetslära, har visat sig otillräcklig för dimensionering av i praktiken förekommande strukturer. Och även här finns separat litteratur att hämta. Som ”Brottmekanik” av professor Janne Carlsson, KTH. Av denna anledning saknas inslag om brottmekanik. Inom hållfasthetsläran har man ovärderlig nytta av olika diagram och tabeller. För att hålla nere bokens omfång, har sådant material inkluderats mer för att visa vilka typer av uppgifter som finns tillgängliga och hur dessa används. Därför behövs något separat verk med formler, tabeller och diagram. Förslag till några lämpliga sådana lämnas i referenslistan i bokens slut. Formlerna blir med nödvändighet många och ibland även långa. Därför behövs någon form av prioritering mellan dem. De formler som används flitigast vid praktiskt beräkningsarbete har markerats genom att formelns nummer, t ex (18:23), skrivits med fetstil. Formler, vars nummer är skrivna med normal stil, t ex (18:19), är antingen delresultat i härledningar, eller har bedömts som mindre ofta använda slutresultat. Begrepp som antas nya för läsaren, har kursiverats i den löpande texten. Ibland enbart första gången de uppträder, ibland flera gånger. Ord som kursiverats, återfinns i sakregistret. Men för att underlätta sökning finns i sakregistret även andra sökord. När så bedömts befogat, har typexempel med tillhörande lösningar införlivats i texten. Flertalet kapitel avslutas också med ett antal övningsexempel med svar. Ett innerligt tack till min lagvigda livskamrat, som under hela författartiden visat en beundransvärd tålmodighet och förståelse. Och som vid försök att dryfta familjeangelägenheter mestadels mötts av obegripliga muttranden, förströdda ”hmm” och stundtals svavelosande eder över trilskande datorer, programvara, modem och skrivare. Tack också till vår son, civilingenjör Thomas Klang, som vid åtskilliga tillfällen framgångsrikt konsulterats angående vägar ut ur datorrelaterade svårigheter. Liksom till fil lic Lars Yström. Utan hans vägvisning i programvarans labyrinter hade författandet blivit än mer mödosamt.

Utvärderingsexemplar

Karlskoga i november, 2008

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 13

1 Hållfasthetslära och mekanik – en introduktion Enkelt kan hållfasthetslära sägas vara läran om strukturers bärande förmåga och hur de deformeras under inverkan av yttre kraftsystem. Bärförmågan kvantifierar hur stor belastning en given struktur tål, utan att brott uppträder eller utan att oönskat stora deformationer uppkommer. I nästan alla konstruktioner eftersträvas att strukturen återtar sin ursprungliga form och storlek, om belastningen avlägsnas. I sådana fall måste belastningen väljas lägre än vad som skulle bli fallet, om belastningen tillåts anstränga materialet nästan till brott.

Utvärderingsexemplar

Men det finns ytterligare anledningar till att en struktur havererar eller upphör att ge avsedd funktion. Instabilitet kan inträffa, deformationen kan vid statisk belastning långsamt öka med tiden. Vid med tiden varierande belastning sker så småningom brott vid betydligt lägre lastnivå än vad som skulle vara fallet, om istället en konstant, statisk belastning motsvarande belastningens toppvärde fått verka. Inom mekanikens statikavsnitt studeras jämvikten för kroppar som antas stela. Stela kroppar uppvisar ingen förändring av storlek eller form. De deformeras inte, när de utsätts för belastningar. Inom dynamiken förekommer förflyttningar av kroppar genom rotation och/eller translation. Men kropparna som helhet antas fortfarande stela. Den enda formförändring som förekommer i mekanik, är den förlängning eller kompression som finns i diskreta fjädrar. Dessa anses vanligen endimensionella och linjärt elastiska. Om formförändringen är en translation, sker denna i fjäderns axiella riktning och längdändringen är proportionell mot den på fjädern verkande axialkraften. Denna kan endera vara en dragkraft eller en tryckkraft. Den förra ger en förlängning av fjädern, den senare en förkortning. Om formförändringen innebär en vinkeländring, blir denna proportionell mot det på fjädern verkande kraftparet.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 14

1. hållfasthetslära och mekanik – en introduktion

Inom mekaniken ägnas de krafter och moment som uppkommer inuti en kropp eller inuti samverkande kroppar föga intresse. På frågan hur stora krafter eller moment som verkar i en bestämd punkt eller på ett litet volymelement i en kropp lämnar mekaniken inget svar. Och skälet härtill är enkelt. För att besvara en sådan fråga behövs inte bara kännedom om kroppens geometri och verkande yttre laster. Det krävs även vetskap om den form- och volymförändring kroppen uppvisar vid belastning. Krafterna på varje volymelement beror med andra ord på hur elementet ifråga deformeras. Om exempelvis motriktade kraftpar verkar i respektive ände av en rak bräda som figur 1.1 visar, kommer brädans övre skikt att komprimeras medan dess undre skikt förlängs. Volymelement i brädans övre delar kommer därmed att utsättas för tryckkrafter. Volymelement i brädans undre delar utsätts däremot för dragning.

Figur 1.1 Böjning av bräda. Till vänster obelastad, till höger belastad med kraftpar.

Den största dragkraften respektive tryckkraften uppstår i volymelement belägna i det understa respektive översta skiktet av brädan. Och någonstans däremellan kan förväntas finnas volymelement, som inte utsätts för vare sig drageller tryckkrafter.

Utvärderingsexemplar

Hållfasthetslära innebär att mer sofistikerade modeller används för en strukturs beteende än de som kommer till användning i klassisk mekanik. Man kan därför betrakta hållfasthetslära som en utvidgning av mekaniken, där inte bara kraftspelet mellan yttre belastningar analyseras, utan även de krafter som uppträder inuti en kropp fastställs. Kroppen behandlas inte längre som stel, utan som deformerbar. Material idealiseras i många fall till strukturlös materia, ett s k kontinuum. Detta trots att fast materia uppbyggs av regelbundet ordnade atomer, vilka i sin tur bildar diskreta kristaller. Idealiseringen medför att materians egenskaper kan beskrivas med kontinuerliga matematiska funktioner i rummet och tiden. Denna inriktning eller delmängd av hållfasthetsläran kallas kontiniumsmekanik. Hållfasthetsläran har alltså sin bas i mekaniken. För att bli en framgångsrik hållfasthetsanalytiker krävs därför god kännedom om och förståelse för mekanik. Men hållfasthetsläran handlar inte enbart om att bestämma kraftspelet inuti en kropp. Ibland måste hållfasthetslära tillgripas även för att bestämma yttre krafter. För ett tredimensionellt system förfogar vi enligt från statiken kända samband över sex ekvationer för t ex bestämning av de s k stödreaktionerna vid jämvikt. Tre ekvationer för kraftjämvikt, vanligtvis i mot varandra vinkelräta riktningar och tre ekvationer för momentjämvikt. Ur dessa sex ekvationer kan alltså sex obekanta storheter beräknas.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 15

1. hållfasthetslära och mekanik – en introduktion F

P 45˚

y H L1

Figur 1.2 Stång belastad med yttre krafter; statiskt bestämbara stödreaktioner.

För ett tvådimensionellt fall reduceras antalet ekvationer och därmed antalet obekanta som kan bestämmas till tre stycken, två ekvationer för kraftjämvikt och en ekvation för momentjämvikt. Så går det t ex att med statikens hjälp bestämma reaktionskrafterna, även kallade stödkrafterna, för en rak stång upplagd på två stöd, det ena fixt, det andra rörligt i stångens längdriktning som figur 1.2 visar. Stången antas vara masslös men belastad med två yttre krafter, F och P. Det rörliga stödet till höger (rullagrat stöd ) kan enbart uppta krafter (A) vinkelrätt mot stångens längdriktning medan stödet till vänster (fixt stöd ) kan uppta krafter både vinkelrätt mot (V) och längs med (H) stången. I det mot figurplanet vinkelräta planet antas inga krafter verka. Därmed föreligger ett tvådimensionellt problem. I figur 1.2 är både fysiska stöd och stödreaktioner/stödkrafter utsatta. Ett ritsätt som ibland används i boken och enbart med syfte att reducera figurantalet. Som nybörjare gör man klokt i att rita två separata figurer. Den ena med stöd men utan stödreaktioner. Den andra utan stöd men med stödens verkan ersatt med stödreaktioner. Friläggning innebär ju just att eliminera kontakten med omgivningen (d v s avlägsna stöden) och istället införa de krafter och kraftpar som stöden utövar på den struktur som skall analyseras.

Utvärderingsexemplar

Jämvikten för stången i x-riktningen kräver: F 2

+H=0

(1:1)

och i y-riktningen: F

−

+P− V − A =0

(1:2)

medan momentjämvikt med avseende på den vänstra stödpunkten ger F 2

L1 − PL 2 + AL = 0

(1:3)

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 16

1. hållfasthetslära och mekanik – en introduktion

Med de yttre lasterna F och P kända föreligger tre obekanta, reaktionskrafterna A, V och H. Men eftersom tre ekvationer kan formuleras, räcker dessa exakt för att efter lösning med t ex Gauss-eliminering ge resultaten: H=–

        

2 L2 L A= P− 1 F L 2L L − L2 L − L1 V= P− F L 2L

(1:4)

Men om rullstödet byts ut mot ett fixt stöd enligt figur 1.3, blir förhållandet plötsligt annorlunda. Istället för tre obekanta finns nu fyra, A, B, V och H. Men fortfarande kan endast tre ekvationer uppställas, vilket inte räcker för att lösa problemet. Problemet är inte längre statiskt bestämt – isostatiskt, utan statiskt obestämt – hyperstatiskt. Därmed räcker mekaniken inte längre till ens för att bestämma stödkrafternas storlek. Än mindre kan man med mekanikens hjälp bestämma inre krafter i någon punkt eller något volymelement i stången. Varför räcker då inte jämviktsvillkoren för fallet i figur 1.3? När stången skall monteras till stöden genom svetsning eller fastskruvning kan den vara något för lång för att passa. Den måste då tryckas samman för att kunna monteras, varvid en tryckkraft byggs in i stången redan vid monteringen. Om stången istället är för kort för att räcka mellan stöden, måste den förlängas en smula vid monteringen, varvid en dragkraft byggs in i stången. I bådadera fallen finns alltså en inre axiell kraft i stången redan innan lasterna F och P appliceras. Hur stor denna initialkraft är, beror naturligtvis på hur stort monteringsfelet är, d v s på hur mycket längre eller kortare än stödavståndet stången är. Och på hur styv stången är, d v s på stångens fjäderkonstant.

Utvärderingsexemplar

Men hur förhåller det sig, om stånglängden precis råkar överensstämma med stödavståndet? Bör man inte då med symmetrins hjälp kunna förutspå att stödreaktionerna H och B blir lika stora och därmed vardera utgör H=B=−

F 2 2

? F

45˚

y Figur 1.3 Stång belastad med yttre krafter; statiskt obestämbara stödreaktioner.

P B

H L1 V

L2 L

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 17

1. hållfasthetslära och mekanik – en introduktion

Nej, så blir inte fallet. Stångdelen mellan x = 0 och x = L1 blir utsatt för en dragkraft och förlängs medan stångdelen mellan x = L1 och x = L blir utsatt för en tryckkraft och förkortas. Men eftersom stödavståndet är fixt måste vänstra stångdelens förlängning exakt överensstämma med den högra stångdelens förkortning. Om så inte vore fallet, skulle antingen den vänstra stångdelen tränga in i den högra eller ett glapp uppstå mellan delarna. Men överensstämmelse mellan delarnas deformation föreligger bara under vissa betingelser, t ex om L1 råkar överensstämma med halva stånglängden och om dessutom stångens tvärsnittsarea är densamma i alla tvärsnitt. Detta enkla exempel visar att även för att bestämma yttre krafter, t ex stödreaktioner, är kunskap om hållfasthet väsentlig. Den första kända analysen av balkböjning och som kan betraktas som hållfasthetslärans födelse, genomfördes av Galileo Galilei (1564 –1642). Hans analys utmynnade i en brottlast som var tre gånger så stor som den rätta. Ytterligare ett hundratal år skulle passera, innan utböjningen av balkar studerades, ett problem som tilldrog sig stort intresse bland dåtidens framstående matematiker. Trots att Galileis teori gav en felaktig storlek på brottlasten, drog han flera korrekta slutsatser om balkars bärförmåga genom jämförelser. Bl a visade han att brottlasten för en balk med rektangulärt tvärsnitt på högkant blir lika många gånger högre än för samma balk på lågkant som sidoförhållandet anger. Ett resultat som står sig än idag och är välkänt för såväl amatör- som yrkessnickare.

Utvärderingsexemplar

Men innan Galilei ens sett dagens ljus, uppfördes mäktiga byggnadsverk av vilka många än idag vittnar om föredömlig ingenjörskonst. Den av Buonarroti Michelangelo (1475 –1564) ritade kupolen till Peterskyrkan i Rom med en diameter på 40 m och en vikt av cirka 10 000 ton är en imponerande skapelse. Kupolen är ett i toppen och vid basen förenat rotationssymmetriskt dubbelskal med cirka 1,5 m tjocklek på det inre skalet och 1,0 m tjocklek på det yttre. Gissningsvis har Michelangelo gjort något slags beräkningar, men några sådana har inte påträffats. Däremot finns skisser bevarade, som antyder att han dels var förtrogen med statikens lagar, dels förstod kraftspelet i en valvbåge.

År 1740 uppstod sprickor i kupolen. Den dåvarande påven, Benedictus XIV tillkallade den tidens mest framstående vetenskapsmän i syfte att inventera möjliga reparationsåtgärder. Lösningen blev ett järnband runt kupolens bas. Och som alla som varit i Rom kan konstatera, står kupolen kvar än idag, 500 år efter sitt uppförande. Som ett belägg för utvecklingen av dimensioneringsmetoderna och materialtekniken kan en jämförelse med en kupol med samma spännvidd som Peterskyrkans göras. Kupolen uppfördes i Jena 1925, men kupolhöjden är bara en fjärdedel av Peterskyrkans och därmed hållfasthetsmässigt ogynnsammare. Trots detta är taktjockleken på Jenakupolen bara 6 cm mot Peterskyrkans 2,5 m.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 18

1. hållfasthetslära och mekanik – en introduktion

I takt med krav på konstruktioner att förena hög styrka och styvhet med låg vikt, har hållfasthetsläran utvecklats till en avancerad vetenskap för dimensionering av strukturer och strukturdelar. Och inte bara för statiska laster och med hänsyn till brott eller kvarstående deformationer utan även för kontroll av stabilitet, inverkan av periodiska, transienta eller slumpmässigt varierande belastningar. I många fall måste hänsyn tas till temperaturvariationer. Sådana orsakar dimensionsförändringar av strukturen, vilket kan medföra inre krafter i denna utöver vad de yttre lasterna förorsakar. Om som exempel stången i figur 1.3 värms upp, kommer den att försöka förlängas. Men förlängning omöjliggörs av de fixa stöden, varför en tryckkraft istället uppstår i stången. Om tryckkraften blir tillräckligt stor, kommer stången att böjas ut. Ett fenomen som kallas knäckning. Järnvägsräls på träslipers lades förr med några millimeters mellanrum mellan rälsändarna för att undvika knäckning vid höga sommartemperaturer, s k solkurvor. Modern räls förankras i betongslipers, vilka förmår fixera rälsen vid uppvärmning trots att rälsändarna svetsas samman. Svetsad räls medför dels bättre åkkomfort i form av lägre ljudnivå, dels mindre påfrestning på hjul och hjulringar. Materialegenskaper kan vara beroende av den omgivande miljön. Så innebär ofta en hög relativ fuktighet korrosionsproblem i metalliska material, medan neutronstrålning som förkommer i kärnkraftverkens trycktankar, orsakar en degenerering av materialet. Material som under lång tid utsätts för belastning kommer att undergå en långsam dimensionsförändring, s k krypning. Detta är speciellt uttalat för polymerer redan vid rumstemperatur och för metalliska material vid höga temperaturer. Vid dimensionering av brännkammare, överhettartuber och turbinskovlar, blir krypningen ofta dimensionerande.

Utvärderingsexemplar

Ett område, där det fortfarande finns betydande luckor i vetandet är utmattning, d v s brott p g a tidsmässiga variationer av laststorleken. I detta sammanhang har en senkommen gren av hållfasthetsläran, brottmekanik, blivit till ovärderlig hjälp i samband med förståelsen för sprickinitering och sprickfortplantning. För att analysera strukturer ur hållfasthetssynpunkt fordras uppenbarligen fler relationer än de som jämviktsvillkoren genererar. De ytterligare relationer som krävs brukar benämnas kompatibilitetsvillkor respektive konstitutiva villkor. Kompatibilitetsvillkoren är geometriska samband mellan deformationer i strukturens delar. De beskriver villkoren för att angränsande materialpartier varken tränger in i varandra eller skiljs åt, så att hålrum (kaviteter) uppstår. Kompatibilitetsvillkoren och jämviktsvillkoren formuleras helt oberoende av varandra. Sambandet mellan inre strukturkrafter (egentligen spänningar vilka beskrivs längre fram i boken) och uppkommande deformationer (egentligen töjningar vilka också beskrivs längre fram i boken), ges av de konstitutiva villkoren. En enklare term för konstitutiva samband är närmast materialsamband. Sambanden för jämvikt och kompatibilitet ger tillsammans med de konstitutiva sambanden ett tillräckligt antal ekvationer för att bestämma förhållandena (kraf-

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 19

1. hållfasthetslära och mekanik – en introduktion

ter, spänningar, deformationer, töjningar, förskjutningar) i varje punkt i en struktur. Däremot är det naturligtvis inte ovanligt att lösningen av ekvationerna vållar problem. Detta gäller speciellt om strukturens geometri avviker från enkla former, eller om de konstitutiva sambanden är komplexa. Endast för enkla geometrier och linjära konstitutiva samband är det i allmänhet möjligt att finna analytiska lösningar. För andra geometrier får approximativa, numeriska lösningsmetoder tillgripas. Bland dessa intar FEM (Finite Element Method) en tätplats. Men även andra metoder såsom BEM (Boundary Element Method) kommer till användning. Utvecklingen av programvara för strukturanalys har resulterat i en flora av kommersiella beräkningsprogram. Detta innebär inte att beräkningsingenjörers insikter om grundläggande hållfasthet eller strukturanalys kan tonas ned. För att framgångsrikt kunna bedöma och värdera resultaten från en datorberäkning liksom för att kunna utföra förenklade överslagsberäkningar, är goda kunskaper om de teorier och samband på vilka datorberäkningarna baseras nödvändiga. Likaså är kännedom om de olika haveriorsaker (brott, kvarvarande deformation, korrosionsutmattning, termisk utmattning, ytutmattning, instabilitet, resonans, krypning, vågutbredning) som kan uppträda i strukturer ovärderliga. Hängbron över Tacomasundet i Washington togs i bruk 1940 och dimensionerades för en vindstyrka av 54 m/s. Mindre än ett halvår efter invigningen blåste under flera timmar en nästan konstant vind av 19 m/s, varvid brospannet råkade i svängning med alltmer ökande amplitud. Efter några timmars blåst brast hängkablarna mellan bärlinorna och brobanan och av den senare föll 330 m ned i vattnet. Haveriet föreföll till en början oförklarligt, eftersom bron konstruerats enligt gällande normer och något materialfel inte kunde påvisas. Efter en omfattande haveriundersökning med bl a modellförsök i vindtunnel konstaterades att haveriet orsakats av ett förbisett fenomen – självinducerande svängningar. Dessa svängningar exciteras och tilltar under inverkan av en konstant last.

Utvärderingsexemplar

Den betydande ungerskfödde aerodynamikern Theodor von Kármán (1881– 1963) fann så småningom att nedströms ett föremål i en konstant verkande luftström bildas virvlar, vilka pulserar med en bestämd frekvens. En påtagbar illustration till detta är, att en vimpel fladdrar i blåsten även vid konstant vindhastighet och vindriktning. När virvlarna förflyttas utmed vimpeln alstras tryckvariationer utmed vimpeln. Samma fenomen är orsaken till, att det från luftburna telefonledningar ibland kan höras ett karakteristiskt ljud, ”trådarna sjunger”. I likhet med fiolsträngar försätts de i svängning – inte av en stråke utan av en konstant verkande vind. På läsidan av Tacoma Bridge genererade den vid tillfället rådande vindhastigheten en virvelfrekvens, som överensstämde med brons egenfrekvens. Brobanan råkade därmed i resonans med alltmer ökande svängningsamplitud. Förloppet kan jämföras med en vanlig gunga. Genom att stöta till gungbrädet i rätt ögonblick, d v s i ena vändläget, kan man få gungan att svänga allt kraftigare för att så småningom eventuellt beskriva en komplett cirkelbana. Gungan ”slår runt”. 19

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 20

1. hållfasthetslära och mekanik – en introduktion

Det paradoxala i sammanhanget är, att om vindhastigheten hade ökat, skulle virvelfrekvensen ej längre ha överensstämt med brons egenfrekvens, och haveriet skulle ha undvikits. Väl känt och dokumenterat är även haverierna av de s k ”Liberty-fartygen”. Cirka 3 000 sådana fartyg byggdes i USA i snabb takt under andra världskriget, dels för torrlast, dels som tankfartyg. Så stora fartyg hade tidigare haft nitade skrov som nu istället svetsades ihop. Det första haveriet inträffade i Portlands hamn vid lugnt väder utan sjögång, varvid skrovet sprack helt av mellan förskepp och akterskepp. Sedan kom haverierna i tät följd. Några år efter krigsslutet hade 233 fartyg totalhavererat och ett tusental hade allvarliga sprickor i bordläggningen. Förklaringen var det som kallas sprödbrott. Ett stål som vid normal temperatur är segt, d v s kan deformeras avsevärt innan brott, kan vid lägre temperaturer bli sprött, innebärande att även en obetydlig deformation leder till brott. Haverierna av dessa fartyg blev startsignal till en omfattande forskning inom den gren av hållfasthetsområdet som kallas brottmekanik. Sprödbrott var i och för sig känt sedan tidigare. I ”Journal of the British Iron and Steel Institute” från 1879 återfinns en artikel om brott i det cirka 20 år tidigare introducerade Bessemerblåsta stålet. 1919 rämnade en sirapstank med 30 m diameter i Boston. Sirapen dränkte 12 personer och skadade 40. Uppgifterna varierar dock mellan olika källor. En annan källa uppger 21 dödade och 150 skadade. Ett stort antal hästar drunknade, byggnader demolerades och delar av Bostons högbana för pendeltåg förstördes. Vid den efterföljande utredningen konstaterades att materialansträngningen (spänningen) visserligen varit hög intill vissa nithål men inte hög nog att förorsaka brott. Däremot föreföll stålet vara sprödare än normalt. Vid jämförelse med tidigare kända haverier fann man en gemensam nämnare – de hade inträffat vintertid vid kall väderlek eller efter omslag från låg till avsevärt högre temperatur.

Utvärderingsexemplar

1944 exploderade en behållare för flytande gas i Cleveland. 128 personer omkom. För att undersöka materialegenskaperna i behållarens inre skal, företogs s k slagprov, vilka ger ett mått på materialets brottseghet. Proven företogs vid den normala drifttemperaturen för plåten, –180°C, varvid man fann att brottsegheten var otillräcklig. Något som i sin tur var en konsekvens av att plåtmaterialet ej som föreskrivits hade normaliserats efter valsningen. Runt 80 procent av alla maskinhaverier anses ha sitt ursprung i utmattning, d v s brott orsakat av varierande laster. Ett exempel är haverierna av den första typen av jetplan för reguljär trafik, Cometplanen, som sattes i trafik 1952. Redan 1954 skedde två störtningar, en utanför Elba och en utanför Neapel. Samtliga Cometplan togs ur drift, och haverierna initierade den sannolikt största haveriutredningen i flygets historia. Som ett led i denna byggdes bl a en gigantisk vattentank, där lufttrycksvariationerna mot flygkroppen kunde simuleras. Vingarna belastades med krafter svarande mot start, flygning och landning. Efter ett lastprogram som 20

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 21

1. hållfasthetslära och mekanik – en introduktion

motsvarade 9 000 flygtimmar slets en plåtpanel bort från kroppen, sedan en spricka initierats vid var sitt fönsterhörn och därpå fortplantats mellan fönstren. Resultatet var en lysande bekräftelse av de hypoteser som uppställts och som resulterat i en ganska entydig bild av haveriförloppet. Ett gammalt, om än spektakulärt utmattningsfenomen omnämns redan i Bibeln (Josua, kap 6, verserna 3 – 20). Att Jerikos murar föll sedan Josuas sju präster under sju dagar blåst i jubelbasunerna, kan tillskrivas en naturvetenskaplig förklaring. Fenomenet kan ha orsakats av lågcykelutmattning p g a pulserande luftstötvågor. Trots framstegen inom hållfasthetslärans domäner inträffar fortfarande dramatiska haverier som orsakas av ofullkomlig dimensionering eller av belastningar, som överskrider de nivåer som använts vid dimensioneringen eller ej ens förutsetts vid denna. Såsom undergången av färjorna Jan Hevelius 1993 och Estonia 1994 och oljeplattformen Alexander Kielland 1980. Haverier som dessa är självfallet katastrofala. Förutom tragiken bakom omkomna och skadade människor innebär de ekonomiska konsekvenser i form av kapitalförstöring och driftavbrott. Den enda positiva faktorn med sådana händelser är, att efterföljande haveriutredningar tillfört mycket ny och värdefull kunskap inom hållfasthetsområdet. Kunskap som i många fall inte skulle ha varit tillgänglig, om haverierna aldrig inträffat. På moderna industriskorstenar av plåt kan t ex erfarenheter från Tacomahaveriet beskådas. Höga, slanka skorstenar förses med en påsvetsad plåtspiral med stor stigning just för att vid blåst förhindra uppkomsten av pulserade virvlar på läsidan.

Utvärderingsexemplar

Kraftledningar i luft förses ofta med passiva svängningsdämpare i form av till ledningarna vid strategiska punkter fastklammade stumpar av stålwire med vikter i vardera änden enligt figur 1.4. Stålwiren fungerar som fjäder och vikternas storlek avvägs så, att dämparens egenfrekvens överensstämmer med ledningens förväntade svängningsfrekvens. Om ledningen och därmed stålwiren kommer i svängning, kommer energi att överföras från ledningen till wiren, som råkar i böjsvängning. Härvid glider wiretrådarna mot varandra och en stor del av den påtvingade energin förbrukas istället för att öka svängningsamplituden hos ledningen. I amerikansk litteratur går denna dämpartyp under namnet ”Stockbridge damper”. Självinducerade svängningar kan uppkomma i många andra konstruktioner. Så måste t ex insprutningsventiler till dieselmotorer ges en viss dämpning av plungen,

Figur 1.4 Stockbridge-dämpare för kraftledningskabel.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 22

1. hållfasthetslära och mekanik – en introduktion

för att bli stabil. I axiella ångturbiner kon rotorn börja oscillera i axiell riktning, om inga speciella konstruktiva åtgärder görs för att hindra detta. Under ogynnsamma omständigheter kan rörledningar liksom flygplansvingar råka i häftiga svängningar vid till synes statiska driftförhållanden. Ett fenomen som är väl känt av hydrauliker och aerodynamiker och som går under namnet ”fladder”.

Utvärderingsexemplar

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 23

2 Plana fackverk Fackverk utgör en typ av strukturer, som ligger i gränslandet mellan mekanik och hållfasthetslära. Med fackverk avses en struktur bestående av tre eller fler raka stänger. Stängerna är förenade med varandra i sina ändpunkter med friktionsfria leder. Istället för ändpunkter används begreppet knutpunkter. Fackverk belastas med krafter i en eller flera av knutpunkterna. Eftersom dessa är ledade, kan stängerna bara överföra krafter i respektive stångs längdriktning, d v s axiella krafter.

Utvärderingsexemplar

Fackverket benämns plant, om alla ingående stänger och knutpunkter kan anses ligga i ett och samma plan och om angripande yttre krafter likaså verkar i detta plan.

2.1 Terminologi för plana fackverk Med en stång avses en rak, stavformig kropp vars utsträckning i det mot längdriktningen vinkelräta planet är liten. Med fält avses ett plant område i form av en månghörning, som innesluts av sinsemellan förenade stänger. Med ett enkelt fackverk avses något förenklat uttryckt ett fackverk uppbyggt av triangulära fält. Enligt en mer strikt definition kallas fackverket enkelt, om det stegvis kan monteras på sådant sätt, att vid varje steg byggs strukturen upp av två stänger som är inbördes förenade i en knutpunkt. Varje tillkommande stångpar förbinds med redan skapade knutpunkter. Förfarandet fortgår tills en enda stång

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 24

2. plana fackverk

II I IV

III

Figur 2.1 Plant fackverk.

återstår. Denna kvarvarande stång används för att tillsammans med de två begynnelsestängerna bilda ett triangelfält. För flertalet fackverksgeometrier leder båda definitionerna till samma slutsats, om fackverket skall kallas enkelt eller inte. Men inte alltid. Så är t ex fackverket i figur 2.1 enkelt enligt den strikta definitionen, men inte med den förenklade. Fälten I, II och III utgörs visserligen av trianglar, men fältet IV utgör en fyrhörning. Fackverken i figur 2.11 och 2.24 är enkla enligt den förenklade definitionen men ej enligt den strikta.

Ramstänger kallas de stänger, som avgränsar fackverkets yttre kontur. Livstänger kallas de stänger som internt förbinder fackverkets ramstänger. Ibland används istället termerna fyllnadsstänger eller gallerstänger. Ofta används begreppet stag för en för dragkraft utsatt stång respektive sträva för en för tryckkraft utsatt stång. Figur 2.2 visar ett plant, enkelt fackverk (oavsett vilken av definitionerna som används). I denna 6 figur är stängerna 1 t o m 5 ramstänger och stäng4 1 erna 6 och 7 livstänger. De små cirklarna i knut7 punkterna symboliserar friktionsfria leder, som 3 inte förmår överföra något moment. Verkliga fack2 verk saknar leder i knutpunkterna. Istället skruvas, nitas eller svetsas stängerna samman. Om stängerFigur 2.2 nas axiella centrumlinjer strålar samman i en och Plant fackverk med samma punkt i respektive knutpunkt, uppstår triangulära fält. ändå inga moment med avseende på knutpunkterna. I varje stång uppträder ju endast en axiell kraft. Denna kan anses verka längs stångens centrumlinje. Sådana fackverk efterliknar därför på ett godtagbart sätt modellens friktionsfria leder. 5

Utvärderingsexemplar

Vilka stänger i respektive figur som blir dragna respektive tryckta, kan inte avgöras förrän fackverken analyserats.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 25

2. plana fackverk

2.2 Statisk bestämbarhet hos plana fackverk I ett fackverk kan varje enskild stång endast överföra kraft i stångens längdriktning. Antingen som tryckkraft eller som dragkraft, vilka kallas normalkrafter. Några krafter i fackverkets plan och som verkar i snittplan vinkelräta mot stångens längdriktning, s k tvärkrafter, kan inte uppträda. Varje sådan tvärkraft skulle ju medföra ett moment med avseende på stångens knutpunkter. Men eftersom dessa anses friktionsfritt ledade i ett fackverk, kan de inte överföra något moment. Låt ett godtyckligt plant fackverk utgöras av s stycken stänger och k stycken knutpunkter. För varje knutpunkt kan två ekvationer för kraftjämvikt uppställas. Att ställa upp ekvationen för momentjämvikt för knutpunkten tillför inget, eftersom samtliga stångkrafters verkningslinjer sammanstrålar i knutpunkten. Totalt medför detta 2k tillgängliga ekvationer för fackverket. Om fackverket understöds av ett rullagrat och ett fixt stöd, är antalet obekanta stödrektioner tre stycken. Kvar står 2k – 3 stycken ekvationer, med vilkas hjälp lika många stångkrafter kan bestämmas. Om stödreaktionerna är tre till antalet, kan villkoret för att ett plant fackverk skall vara statiskt bestämbart därför formuleras som: (2:1)

s = 2k – 3

Utvärderingsexemplar

Ett plant fackverk som uppfyller ekvation (2:1) sägs ha isostatisk struktur. Fackverket i figur 2.1 utgörs av nio stänger och sex knutpunkter, d v s: s = 9 och k = 6. Därmed blir 2k – 3 = 2 · 6 – 3 = 9 = s, innebärande en isostatisk struktur. Samtliga stödreaktioner och stångkrafter kan bestämmas ur jämviktsvillkoren.

Fackverket i figur 2.2 har s = 7 och k = 5 och därmed 2k – 3 = 7 = s och har därmed likaså en isostatisk struktur. Fackverket i figur 2.3 har s = 6 och k = 4 och därmed 2k – 3 = 5 < s = 6. Antalet jämviktsekvationer blir därmed otillräckligt för att bestämma samtliga stångkrafter. Fackverk för vilka relationen 2k – 3 < s gäller, sägs ha hyperstatisk struktur och är statiskt obestämda vad beträffar stångkrafter. Observera att diagonalstängerna i

Figur 2.3 Plant hyperstatiskt fackverk.

Figur 2.4 Plant hyp0statiskt fackverk.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 26

2. plana fackverk

fackverket i figur 2.3 korsar varandra utan att vara ledade i skärningspunkten. Man brukar tala om korsande stänger. Om en av de diagonala stängerna i figuren avlägsnas, blir s = 5, k = 4 och därmed 2k – 3 = 5 = s, d v s en isostatisk struktur. I hyperstatiska fackverksstrukturer finns en eller flera ur jämviktssynpunkt övertaliga stänger. Något man brukar uttrycka som att fackverket har redundanta stänger. Om de korsande diagonalstängerna i figur 2.3 förses med en led i skärningspunkten, d v s ytterligare en knutpunkt och två stänger tillkommer, blir s = 8, k = 5 och 2k – 3 = 7 < s. Strukturen är alltså fortfarande hyperstatisk. För fackverket i figur 2.4 gäller s = 4, k = 4 och 2k – 3 = 5 > s = 4. Ett sådant fackverk sägs ha hypostatisk struktur. Man inser lätt att fackverket ej är stabilt. Minsta yttre kraft kommer att medföra betydande förändring av geometrin, d v s kollaps. Instabila fackverk kallas ofta länkverk och används i rörliga mekanismer som t ex dörrmanövrering i bussar och T-banetåg.

! Utvärderingsexemplar 2.3 Stabilitet hos plana fackverk

Stängerna i ett fackverk skall naturligtvis arrangeras på ett sådant sätt, att de inte rubbas från sina ursprungliga lägen av de yttre krafterna. Ett sätt att åstadkomma en sådan formstabilitet hos plana fackverk är, att låta strukturen genomgående utgöras av triangulära fält, som omöjliggör all förskjutning. Bortsett från den ringa deformation som uppstår i stängerna vid belastning. Med andra ord att konfigurera ett plant, enkelt fackverk (enligt den förenklade definitionen av enkelt fackverk). Ett trangulärt fält innebär tre stänger och tre knutpunkter. För att till det ursprungliga fältet forma ytterligare ett triangelfält, åtgår två ytterligare stänger och en knutpunkt. Detsamma gäller för varje nytt triangulärt fält som tillfogas fackverket. Relationen mellan antal stänger (s) och antal knutpunkter (k) i ett plant fackverk med triangulära fält ges sålunda av s = 3 + 2(k – 3) = 2k – 3

(2:2)

Ekvationerna (2:1) och (2:2) är identiskt lika. Plana fackverk med triangulära fält som är isostatiska är därmed automatiskt även stabila. Ekvation (2:2) utgör både ett nödvändigt och tillräckligt villkor för stabilitet för sådana fackverk. Förhållandet vid fackverk vars struktur inte utgörs av triangulära fält blir annorlunda. Villkoret enligt ekvation (2:2) är nödvändigt för stabilitet, men däremot

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 27

2. plana fackverk

inte alltid tillräckligt. Så inses omedelbart, att fackverket/länkverket i figur 2.5a med k = 6, s = 9, 2k – 3 = 9 = s är instabilt trots att det är isostatiskt. En minimal förändring av den yttre kraftens riktning eller en obetydlig parallellförskjutning av fackverkets rektangulära del, medför omedelbart en kollaps av detta parti av fackverket. Fackverket i figur 2.5b satisfierar ekvation (2:2). Om fackverket skärs av enligt den streckade linjen, blir alla tre krafterna i de snittade stängerna horisontella. Reaktionskraften vid rullstödet kommer att bli nedåtriktad. Den vänstra halvan av fackverket kan då inte ens uppfylla villkoret för vertikal jämvikt. Detsamma gäller för övrigt även för den högra halvan. Först när fackverket deformerats i sådan utsträckning, att den korta, mellanliggande livstången inte längre är parallell med de två längre ramstängerna, förmår fackverket bära last. Men vid så stora deformationer kommer formförändringen att inverka på jämviktsvillkoren. Och stångkrafterna blir mycket stora även för små yttre laster. Ett mycket sämre fackverk än det i figur 2.5b, får man leta efter.

Utvärderingsexemplar Figur 2.5a Isostatiskt men instabilt plant fackverk.

Figur 2.5b Fackverk oförmöget att bära last utan formförändring.

2.4 Analysmetoder för plana fackverk Beroende på om man önskar kartlägga merparten av stångkrafterna eller endast några enstaka stångkrafter i ett plant fackverk, kommer några olika metoder till användning. För bestämning av samtliga eller merparten stångkrafter (med knutpunktsmetoden eller Cremonas kraftplan) inleds analysen med att undersöka om strukturen är stabil och isostatisk och därpå bestämma stödreaktionerna.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 28

2. plana fackverk

2.4.1 Knutpunktsmetoden Analysen baseras på en jämviktsbetraktelse för varje enskild knutpunkt och kan genomföras grafiskt eller analytiskt eller med en kombination av dessa förfaranden. Som exempel analyseras ett fackverk enligt figur 2.6 uppbyggt av likbenta, rätvinkliga trianglar. Antal stänger är s = 5 och antalet knutpunkter är k = 4. Därmed blir 2k – 3 = 2 · 4 – 3 = 5 = s. Friläggning av strukturen från stöden och införande av de okända stödreaktionerna framgår av figur 2.7. Antalet stödreaktioner är tre. Enligt (2:1) är fackverkets struktur därmed isostatiskt. Eftersom fackverket består av triangulära fält, är det också stabilt. I figur 2.7 identifieras stängerna med angivna siffror och knutpunkterna med bokstäver. F

F b)

F 4

Utvärderingsexemplar A

Figur 2.6 Plant fackverk med triangulära fält.

Figur 2.7 Fackverk efter friläggning från stöd.

Nästa åtgärd blir att bestämma stödreaktionerna. En analytisk metod väljs, och inleds med villkoret för momentjämvikt för hela systemet med avseende på knutpunkten a). Positiv momentriktning väljs moturs. −FL − FL + B y 2L − FL = 0 3F By = 2 Resterande stödreaktionerna bestäms ur kraftjämvikten i x- och y-riktning Ax +F = 0 A x = −F

A y − F − F + By = 0 3F F A y = 2F − = 2 2

En knutpunkt utväljs och tillhörande kraftpolygon konstrueras. För den valda knutpunkten får inte fler än två obekanta stångkrafter förekomma. Knutpunkterna b) och d) är därmed uteslutna, eftersom bådadera sammanbinder tre stänger

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 29

2. plana fackverk S1

Ax = – F S1

Ay =

Ax = – F

F 2

Ay =

S2 Kraftpolygon för knutpunkt a).

S2 F 2

Krafter på knutpunkt a).

med ännu okänd storlek på stångkrafterna. Välj t ex knutpunkt a), som bara förenar stängerna 1 och 2. Vid konstruktionen väljs en positiv omloppsriktning (här väljs medurs). Som första kraft i polygonen väljs en känd kraft på knutpunkten (här väljs Ay). Övriga krafter på knutpunkten tillförs i den ordning de påträffas vid cirkulation runt knutpunkten i den valda omloppsriktningen (här Ay–Ax–S1–S2). Verkningslinjen för de okända kraftvektorerna S1 och S2 överensstämmer med respektive stångs lutning i fackverket. Riktningen (pilspetsen) av respektive kraftvektor bestäms av, att samtliga krafter i polygonen skall ”jaga varandra” medan längden av respektive vektor ges av, att polygonen skall vara sluten för att jämvikt skall råda för knutpunkten. Ur kraftpolygonen inses snabbt att S1 =

Utvärderingsexemplar 2F 3F ; S2 = . 2 2

Kraften S1 är riktad snett ned mot vänster, d v s mot knutpunkt a), medan S2 är riktad åt höger, d v s från knutpunkt a). Att så blir fallet inses lättast, om den betraktade knutpunkten friläggs. S1 utövar därvid tryck på knutpunkten, innebärande en lika stor tryckkraft i stång 1. S2 utövar däremot dragning på knutpunkten, innebärande en lika stor dragkraft i stång 2. Sedan S1 nu bestämts kan som nästa knutpunkt väljas b), som nu endast förenar två stänger (3 och 4) med okända krafter. Kraftpolygonen påbörjas med S1, som är den första kända kraft som påträffas i den valda omloppsriktningen. Eftersom S1 visat sig vara en tryckkraft i stång 1, riktas pilspetsen för vektorn S1 mot knutpunkten b). F

F S1 = F Kraftpolygon för knutpunkt b).

2F 2

Krafter på knutpunkt b).

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 30

2. plana fackverk

Från kraftpolygonen erhålls nu krafterna i stång 3 och 4 som S3 = S1 2 =

S 2F F 3 2F 2 = F; S4 = F 2 + 3 = F 2 + = 2 2 2 2

Vektorn S3 är riktad från knutpunkten. Stång 3 är alltså utsatt för dragning. Vektorn S4 är riktad mot knutpunkten, varför stång 4 är utsatt för tryck. Analysen fortsätts med knutpunkt c), för vilken kraftvektorerna antar vidstående utseende.

S5 By = S4 =

3 2F 2

3F 2

By = S4 =

3 2F 2

3F 2

S5 Kraftpolygon för knutpunkt c).

Krafter på knutpunkt c).

Kraftpolygonen ger nu kraften i stång 5, som är den enda till knutpunkt c) anslutande stången, vars kraft fortfarande är okänd. Vi får S5 = 3F/2. Kraften är riktad från knutpunkten. Kraften i stång 5 är alltså en dragkraft. Därmed är alla stödkrafter och stångkrafter bestämda. Den resterande knutpunkten, d), kan och bör användas för kontroll av att de erhållna krafterna är korrekta. För denna knutpunkt är samtliga verkande krafter kända.

Utvärderingsexemplar

I kraftpolygonen jagar ingående krafter varandra och polygonen är som den skall vara, sluten. För att enklare kunna överblicka resultatet av fackverksanalysen, sammanställs stångkrafterna i en tabell. Tryckta stänger (strävor) förses med negativt förtecken i tabellen.

S5 =

3F 2 S1

S3 = F

S2 =

3F 2

Kraftpolygon för knutpunkt d).

−

2F 2

3F 2

−

3 2F 2

3F 2

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 31

2. plana fackverk

2.4.2 Cremonas kraftplan

Vid knutpunktsmetoden konstrueras en separat kraftpolygon för varje enskild knutpunkt. Samma stångkraft fast med motsatt riktning kommer då att uppträda vid studiet av de två knutpunkter som förenas av stången. Så förekommer t ex kraftvektorn S1 både för knutpunkt a) och b) och S4 både för b) och c). För att reducera arbetsinsatsen, som för stora fackverk kan bli betydande, kan en metod framtagen av italienaren Luigi Cremona (1830 –1903) utnyttjas. Med denna metod, kallad Cremonas kraftplan, uppträder varje yttre eller inre kraft endast en enda gång. Metoden beskrivs enklast genom tillämpning på något konkret plant fackverk, t ex enligt figur 2.8. Samtliga fält utgörs av rätvinkliga, likbenta trianglar. Eftersom inga yttre krafter verkar i x-riktningen, kommer reaktionskraften i det fixa stödet inte att få någon komponent i x-riktningen. Arbetsgången är följande: 1. Frilägg fackverket, bestäm stödrektionerna, numrera stängerna och förse knutpunkterna med bokstavsbeteckningar. Resultatet framgår av figur 2.9. Om längden av de kortaste stängerna sätts till L, ger en momentekvation med avseende på det fixa stödet och med positiv riktning moturs: – 2F · L – 3F · 2L + B · 4L = 0 ⇒ B = 2F

Utvärderingsexemplar

En jämviktsekvation i y-riktningen ger: – A + 2F + 3F – B = 0;

– A + 5F – 2F = 0 ⇒ A = 3F

Lägg märke till att stånglängden L inte inverkar på stödkrafternas storlek. 2. Undersök statisk bestämbarhet för fackverket genom att räkna antal stänger och knutpunkter. Här blir s = 13, k = 8, 2k – 3 = 2 · 8 – 3 = 13 = s. Strukturen är alltså isostatisk. 3. Undersök stabiliteten hos fackverket. Eftersom fackverket består av triangulära fält och har isostatisk struktur, är det också stabilt. 4. Definiera en positiv omloppsriktning. Här väljs medurs.

x 1 a

4 c

2F y

2 A

Figur 2.8 Plant enkelt fackverk.

12 h

g 5

f 7

11 8

Figur 2.9 Frilagt fackverk.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 32

2. plana fackverk (a)

(c)

(b)

Figur 2.10 Fixt stöd (a), friläggning av knutpunkt (b), förskjutning av stödkrafter (c).

5. Välj en kraftskala och rita upp kraftpolygonen för yttre krafter i den ordning de påträffas vid förflyttning i positiv omloppsriktning. I detta fall väljs 1F ∼ 10 mm. (Tecknet ”∼” utläses som ”motsvaras av”. Av trycktekniska skäl kan kraftskalan i boken komma att avvika från den angivna). Kraften 2F i knutpunkt b) är här vald som första kraft i polygonen. 6. Välj ut en knutpunkt, som påverkas av högst två okända stångkrafter. Ofta men inte alltid hittas en sådan knutpunkt i någon av stödpunkterna. Men beroende på stånggeometrin finns det inte alltid en sådan knutpunkt. Figur 2.11 visar ett, plant, isostatiskt fackverk, där inte bara stödpunkterna utan samtliga knutpunkter påverkas av fler än två okända stångkrafter. I sådana fall måste en eller flera stångkrafter i anslutning till den valda knutpunkten bestämmas, innan man går vidare. Detta kan ske med Ritters metod, som beskrivs längre fram i boken. För fackverket enligt figur 2.9 kan knut-/stödpunkt a) tas som utgångspunkt.

Utvärderingsexemplar

7. Om någon stång är belägen mellan kända stödkrafter (eller yttre krafter om en sådan knutpunkt studeras) som i figur 2.10(b), förskjuts endera av de kända krafterna längs sin verkningslinje som figur 2.10(c) visar. Vid cirkulation runt knutpunkten i vald omloppsriktning skall inga okända krafter förekomma mellan de kända.

2F A = 3F

3F B = 2F

Figur 2.11 Plant, isostatiskt fackverk med mer än två okända krafter i alla knutpunkter.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 33

2. plana fackverk

8. Konstruera kraftpolygonen för den valda knutpunkten, varvid redan kända (utritade) krafter, (2F, 3F, B, A), integreras i grafen. Påbörja kraftpolygonen med den först påträffade, kända kraften i knutpunkten i vald omloppsriktning, (A), och arbeta vidare i denna riktning. Pilspetsar utelämnas på de kraftvektorer som representerar stångkrafter. 9. Den för betraktad knutpunkt konstruerade polygonen genomlöps i en sådan riktning, att tillhörande krafter ”jagar varandra”. Då måste den horisontella kraften (S1) vara riktad åt vänster, d v s mot knutpunkten a). Stång 1 är alltså utsatt för en tryckkraft. Man brukar – markera detta endera genom ett streck över symbolen (S1) eller med ett dubbelstreck på kraftvektorn i polygonen. Här väljs det senare alternativet. För att uppfylla villkoret om jagande krafter, måste den snett riktade kraften (S2) med sin spets peka snett ned åt höger, d v s från knutpunkten. Stång 2 är alltså utsatt för en dragkraft.

2F S2

A = 3F

3F B = 2F

Stångkrafternas storlek ges av kraftpolygonens geometri till S1 = −3F; S2 = 3 ⋅ 2F . 10. Förbered en tabell för stångkrafterna och inför deras storlek efter hand som de tas fram. Tryckta stänger förses med negativt förtecken. Successivt införande i tabellen medger att efter hand enkelt kunna se vilka stångkraftsvektorer som redan förekommer i ”Cremonan”.

Utvärderingsexemplar

För att markera vilka knutpunkter, som redan analyserats, kan man vid fackverk med många knutpunkter kryssa över eller bocka av respektive knutpunkts bokstavsbeteckning i den graf som innehåller dessa. 11. Fortsätt med nästa knutpunkt som påträffas i den valda omloppsriktningen och som påverkas av högst två okända krafter. I det aktuella fallet blir det knutpunkt b). Den först kända kraften i vald omloppsriktning är S1, med vilken kraftvektor ritandet inleds. Därefter kommer i tur och ordning krafterna 2F, S4 och S3. Eftersom vektorerna för stångkrafter saknar pilspetsar, måste man ta hjälp av den valda symbolen för markering av tryckkrafter (//), för att avgöra om redan ritade kraftvektorer skall riktas mot eller från en knutpunkt. Här är S1 en tryckkraft och skall därför riktas mot knutpunkten, d v s från vänster till höger i kraftplanet. För att uppfylla villkoret om jagande krafter, måste den horisontella kraften (S4) med sin spets peka åt vänster, d v s mot knutpunkt b). Stången 4 är alltså utsatt för en tryckkraft. Den vertikala kraften (S3) måste med sin spets peka uppåt, d v s mot samma knutpunkt. Stången 3 är alltså utsatt för en tryckkraft. Storleken av krafterna bestäms till S3 = – 2F; S4 = S1 = – 3F, och dessa värden införs i resultattabellen.

S1 2F S2

A = 3F

B = 2F

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 34

2. plana fackverk

12. Förfarandet upprepas för knutpunkterna e), h), d), f ), g), c) i angiven ordning. Stångkrafterna införs i resultattabellen och den kompletta ”Cremonan” antar utseende enligt figur 2.12. När den sista punkten, c), behandlas, är samtliga krafter i denna knutpunkt kända. Den används därför som en ren kontroll av erhållna krafter. S1

−3F

3 2F

−2F

−3F

− 2F

S10

S11

S12

S13

−2 2F

−2F

2 2F

−2F

A = 3F S4

Figur 2.13 Kollaps av instabilt fackverk.

Utvärderingsexemplar S6 = S8

S12

B = 2F

S13 = S10 Figur 2.12 Cremonas kraftplan för fackverk i figur 2.8.

Figur 2.14 Stabilt fackverk.

Två av stångkrafterna blir noll. Det innebär dock inte, att dessa stänger utan vidare kan tas bort, Om t ex stång 11 elimineras, kommer fackverket att kollapsa som figur 2.13 antyder. Om däremot både stång 11 och knutpunkt d) elimineras enligt figur 2.14, råder fortfarande stabilitet, eftersom det reducerade fackverket utgörs av triangelfält. I detta fall har två stänger och en knutpunkt försvunnit, varför ekvation (2:2) fortfarande satisfieras – nu med s =11, k = 7. Någonting är fel i konstruktionen av Cremonas kraftplan om • • • • 34

någon polygon för yttre krafter ej är sluten någon polygon för stångkrafter i en knutpunkt ej är sluten krafterna i någon polygon inte ”jagar varandra” om samma kraft uppträder på mer än ett ställe i kraftplanet

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 35

2. plana fackverk

Två situationer kräver fiktiva modifieringar av fackverket, innan Cremonas metod kan användas: • Om två stänger korsar varandra utan att utgöra en knutpunkt enligt figur 2.15, måste en knutpunkt införas i korsningspunkten enligt figur 2.16. Ett ursprungligen isostatiskt fackverk förblir då isostatiskt. Två stänger och en knutpunkt har tillförts, varför ekvation (2:1) fortfarande satisfieras. Krafterna i de på så sätt delade stängerna förändras inte heller. Detta eftersom stångkrafternas riktning överensstämmer med stängernas. s = 9, k = 6, 2k – 3 = 9 = s

Figur 2.15 Fackverk med korsande stänger.

s = 11, k = 7, 2k – 3 = 11 = s

Figur 2.16 Fackverk utökat med extra knutpunkt.

• Om en yttre kraft angriper i en knutpunkt som enbart förenar livstänger (d v s i en inre knutpunkt i fackverket) som t ex figurerna 2.17 eller 2.19 visar, måste det givna fackverket ersättas med ett fiktivt, ekvivalent fackverk och kraftangreppspunkten flyttas till en eller flera ramstångsknutpunkter. För att krafterna i det verkliga och det ekvivalenta fackverket skall överensstämma, måste en eller flera hjälpstänger införas i det ekvivalenta fackverket. För fackverket i figur 2.17 räcker det att tillföra en hjälpstång och en knutpunkt enligt vad figur 2.18 visar.

Utvärderingsexemplar

k = 5, 2k – 3 = 7 = s

Figur 2.17 Fackverk belastat i inre knutpunkt.

k = 6, 2k – 3 = 9 = s

Figur 2.18 Ekvivalent fackverk belastat i yttre knutpunkt.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 36

2. plana fackverk k = 5, 2k – 3 = 7 < s = 8

k = 5, 2k – 3 = 7 = s

k = 7, 2k – 3 = 11 = s F

2 F

2 C

Figur 2.19 Enkelt fackverk belastat i inre knutpunkt.

Figur 2.20 Ekvivalent hyperstatiskt fackverk.

Figur 2.21 Ekvivalent isostatiskt fackverk.

Motsvarande operation provas på fackverket i figur 2.19. Den yttre kraftens verkningslinje skär i detta fall en befintlig knutpunkt, D. Åtgärden medför då, att strukturen övergår från isostatisk till hyperstatisk natur, se figur 2.20. För att kringgå detta, uppdelas kraften i komponenter, t ex som figur 2.21 illustrerar, varvid en isostatisk struktur bibehålls. (Fackverket enligt figur 2.20 kan trots sin hyperstatiska struktur lösas med Cremonas metod. Dragkraften i den diagonalt orienterade hjälpstången förutsätts given och överensstämmande med den yttre kraften, F. Då uppstår ingen ändring av stångkrafterna i det ursprungliga fackverket.)

Utvärderingsexemplar

Fackverket i figur 2.19 får endast ses som en illustration till själva metodiken vid ekvivalenta fackverk och införande av hjälpstänger. Inte som ett exempel på en väl konfigurerad stånggeometri. En analys avslöjar nämligen, att endast stängerna A–B och B–C är lastbärande. Stängerna A–D, D–E, C–E och B–E gör ingen som helst nytta varken ur last- eller stabilitetssynpunkt. De kan helt enkelt tas bort, vilket ger ett avsevärt enklare fackverk i form av enbart triangelfältet A–B–C. Stången A–C blir helt obelastad. Den behövs däremot för att fackverket A–B–C skall vara stabilt.

2.4.3 Ritters metod Ibland finns intresse endast för kraften i någon enstaka eller några få stänger i ett stort fackverk. Att då analysera hela fackverket är en överloppsgärning. Istället kan en metod enligt schweizaren Wilhelm Ritter (1847–1906) användas. Fackverket skärs med ett snitt genom en grupp av stänger innehållande den intressanta stången. Snittet får normalt skära högst tre stänger, vars krafter är okända. Om samtliga stångkrafter utom den sökta skär varandra i en och samma punkt, kan dock snittet få skära fler än tre stänger. Metoden är användbar för att bestämma en stångkraft, om de övriga snittade stängerna har en gemensam skärningspunkt, som inte ligger

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 37

2. plana fackverk

på den sökta kraftens verkningslinje. En till tre ekvationer för momentjämvikt ställs upp. Momenten tecknas med avseende på skärningspunkterna mellan stångkrafternas verkningslinjer. Var och en av ekvationerna ger en stångkraft. Om två verkningslinjer för stångkrafter är parallella och skärningspunkt därmed saknas, ersätts momentekvationen med en jämviktsekvation för kraft i riktning vinkelrätt mot de parallella verkningslinjerna. Återigen framgår metodiken enklast av ett konkret exempel. För ett enkelt, plant fackverk enligt figur 2.22 efterfrågas krafterna i stängerna 1, 2 och 3. Fälten utgörs av likbenta, rätvinkliga trianglar med hypotenusans längd L. Fackverket skärs med ett snitt genom de stänger i vilka krafterna söks, som figur 2.23 visar. Respektive stångkraft S1, S2 och S3 införs. Krafterna antas vara dragkrafter. Om så inte blir det verkliga förhållandet, kommer analysen att resultera i negativa värden på de erhållna krafterna. På fackverkets frilagda parti verkar stödreaktionen B, som därför först måste bestämmas. Enklast genom en ekvation för momentjämvikt för hela fackverket med avseende på det fixa stödet A. F

3L − B ⋅ 2L = 0 ; 2

3F 4

Utvärderingsexemplar

Krafterna S1 och S2 har en skärningspunkt i a) medan verkningslinjen för S3 ej passerar denna punkt. En momentbetraktelse med avseende på knutpunkt a) medför: −

L 3F L + S3 = 0 ; 4 2 2

S3 =

3F 4

Krafterna S2 och S3 har en skärningspunkt i c) medan verkningslinjen för S1 ej passerar denna punkt. En momentbetraktelse med avseende på knutpunkt c) medför: −

L L 3F L − S1 + F = 0 ; 4 2 2

S1 = −

F 2

F L

2 L

3 A Figur 2.22 Plant, enkelt fackverk.

b) B

B Figur 2.23 Parti av snittat fackverk.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 38

2. plana fackverk

Verkningslinjerna för S1 och S3 är parallella. För att bestämma S2 betraktas därför kraftjämvikten i riktning vinkelrätt mot S1 och S3. Den vertikalt uppåtriktade komponenten av S2 utgör −

S2 2

−F +

, 3F S2 2F − = 0 ; S2 = − 4 4 2

Till sist ett exempel där snittet tillåts skära fler än tre stänger. För fackverket i figur 2.24 gäller, att vid båda stöden liksom i alla övriga knutpunkter finns tre okända stångkrafter. Innan Cremonas kraftplan kan ritas upp med början förslagsvis vid stödet A, måste därför kraften i någon av stängerna i A bestämmas. Fälten i fackverket utgörs av en liksidig triangel, två 30°-60°-90°-trianglar och två likbenta trianglar med 120° mellanliggande vinkel. Momentjämvikt för hela fackverket med avseende på det fixa stödet A ger: Fe + Ph − B2e = 0 ;

F h +P 2 2e

och vertikal kraftjämvikt ger:

Utvärderingsexemplar A − F + B = 0;

A =F−

F h −P ; 2 2e

F h −P 2 2e

Den horisontella stödrektionen vid A blir P och är riktad åt vänster i figur 2.25. Samma figur visar snittkurvan, som skär fem stänger. Verkningslinjerna för fyra av dessa skär varandra i den översta knutpunkten. Momentjämvikt för den undre delen av fackverket med avseende på denna punkt ger: F F h h Ae + Ph − S2 h − Be = 0 ;  − P  e + Ph − S2 h −  + P  e = 0 ; S2 = 0 2e  2e  2 2

Figur 2.24 Isostatiskt fackverk med tre okända stångkrafter i båda stödpunkterna.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 39

2. plana fackverk e

Figur 2.25 Parti av snittat fackverk med fem okända snittkrafter.

h P S2 L

Ritters metod kan naturligtvis lika gärna tillämpas på den bortskurna, övre delen av fackverket i figur 2.25. Arbetsinsatsen blir mindre, eftersom stödreaktionerna då ej behöver bestämmas. Momentekvationen med avseende på den översta knutpunkten ger: S2h = 0 ⇒ S2 = 0 Sedan S2 nu bestämts med Ritters metod, kan samtliga stångkrafter i fackverket bestämmas med knutpunktsmetoden eller med Cremonas kraftplan.

2.4.4 Hennebergs metod

Utvärderingsexemplar

Ibland inträffar det att Ritters metod inte är tillämplig vid fackverk, som inte är enkla men isostatiska. En sådan fackverksstruktur visas i figur 2.26. De två triangulära fälten utgörs av 30°-60°-90°-trianglar. I samtliga knutpunkter möts tre stänger med okända krafter. Försök att enligt Ritter skära fackverket endera med ett snitt som skär högst tre stänger varav två med skärande eller parallella verkningslinjer visar sig fruktlösa. Lika lönlöst visar det sig att försöka finna ett snitt som skär fler än tre stänger, men där alla verkningslinjer utom en skär varandra i en punkt. Figur 2.27 visar några förslag till snitt, vilka indikerar, att förutsättningarna för Ritters metod inte kan uppfyllas.

Figur 2.26 Icke enkelt, isostatiskt fackverk.

Figur 2.27 Exempel på snittförläggning.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 40

2. plana fackverk a)

b) F1 = 6F

F2 = 2 3 F

P V

1 Figur 2.28a Ursprungligt fackverk.

F1 = 6F

Figur 2.28b Modifierat fackverk.

e Figur 2.28c Modifierat fackverk.

Metoden enligt Lebrecht Henneberg (1850 –1933) bygger på en uppdelning av det givna fackverket i två identiskt lika men modifierade fackverk. Figur 2.28a visar ett ursprungligt fackverk med k = 6, s = 9. Figur 2.28b och 2.28c visar ett förslag till ett modifierat fackverk. I det modifierade utförandet har en stång (1) demonterats och en ny stång (0) monterats. Varken antal knutpunkter eller stänger har förändrats, men fackverket har blivit enkelt (oavsett vilken av definitionerna som används). Den demonterade stångens verkan ersätts i figur 2.28c med motriktade krafter P i de tillhörande knutpunkterna.

Utvärderingsexemplar

Fackverket enligt b) belastas med de givna yttre krafterna (F1, F2 o s v), fackverket enligt c) med krafterna P. Vid samverkan av P och givna krafter, Fi, utgör varje stångkraft i det modifierade fackverket summan av krafterna i respektive stång i de två lastfallen.

Geometrin ger e = 2L cos 60° sin 60° = 2

1 3 3 L= L. 2 2 2

Om exempelvis F1 = 6F och F2 = 2 3F ger en momentekvation för fackverk b) med avseende på det rullagrade stödet: Ve − 2 3FL = 0 ;

3 L − 2 3FL = 0 ; 2

V = 4F

Vertikal jämvikt ger B = 2F och horisontell jämvikt ger H = 2 3F . Stångkrafterna i fackverk b) kan nu bestämmas med Cremonas kraftplan, se figur 2.29. Genomloppsriktningen är vald medurs. Stångkrafterna betecknas Sib, i = 0, 2, 3, … 9. En ny ”Cremona” för fackverk c) konstrueras enligt figur 2.30.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 41

2. plana fackverk 3

S0b

S2b

6 2

S3b

2 3F

S9b 4

S6b

H = 2 3F 7

V = 4F

S4b

6F S5b

Figur 2.29 Stångnumrering och Cremonas kraftplan för fackverk b).

B = 2F

S7b

De erhållna stångkrafterna betecknas Sic, i = 0, 2, 3, … 9. Samtliga stångkrafter blir linjära funktioner av krafterna P. Sic kan därför skrivas som Sic = kiP, där värdet av konstanterna ki ges av de framtagna stångkrafterna Sic. Stångkrafterna vid samtidig verkan av F1, F2 o s v med P kan visas bli summan av stångkrafterna i fackverk b) och c). D v s Si = Sib + Sic = Sib + kiP, i = 0, 2, 3, … 9. Stångkrafterna i fackverk b) och c) framgår av följande tabell.

Utvärderingsexemplar

−

S0b

S2b

S3b

S4b

S5b

S6b

S7b

S8b

S9b

−8F

4 3F

−8F

−4F

−2F

−8F

S0c

S2c

S3c

S4c

S5c

S6c

S7c

S8c

S9c

−2P

8 3 3

−2 3P −

2 3 3

3 3

6 2

S0c

S2c S5c P

S6c

S3c

7 9

4 3

S9c

−

S8c

S7c S4c

P Figur 2.30 Cremonas kraftplan för fackverk c).

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 42

2. plana fackverk

Men stång 0 finns inte i fackverk a). Därmed saknas förmåga att överföra kraft direkt mellan ledpunkterna i stång 0. Kraften P måste därför ha sådan storlek, att den sammanlagda kraften i stång 0 blir noll, eller: S0 = S0b + S0c = S0b + k 0P = 0, som ger P = −

S0b −8F =− = − 3F . k0 8 3 − 3

Stångkraften i den demonterade stången är S1a = P = − 3F . Samtliga stångkrafter för fackverk a) fås som S1a = − 3F S2a = S2b + S2c = 4 3F − 2 3F = 2 3F S3a = S3b + S3c = 4 3F − 3 3F = 3F S4a = S4b + S4c = −8F + 2 3 3F = −2F S5a = S5b + S5c = −4F +

2 3 3F = −2F 3

S6a = S6b + S6c = −2F −

3 3F = −3F 3

Utvärderingsexemplar S7a = S7b + S7c = −2F − 3 3F = −5F S8a = S8b + S8c = 2 3F

S9a = S9b + S9c = −8F +

4 3 3F = –4F 3

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 43

2. plana fackverk

2.5 Övningsexempel I samtliga övningsexempel förutsätts knutpunkter finnas i alla skärningspunkter mellan stängerna trots avsaknad av cirklar i illustrationerna till desamma. D v s inga korsande stänger ingår i strukturerna.

2/1

Hur stor blir den numeriskt största stångkraften i vidstående fackverk bestående av likbenta, rätvinkliga trianglar?

5 F 5F

2/2

Fackverket i föregående exempel förstärks med två stänger så att ytterligare en likbent triangel med 120° toppvinkel tillkommer. Vilken procentuell kraftsänkning uppkommer därmed i stång 2 jämfört med föregående exempel?

1 4

Utvärderingsexemplar 5

En överliggare till en kraftledningsstolpe består av ett plant fackverk enligt figur. I vilken stång uppstår den största dragkraften och hur stor blir denna? Fälten utgörs av tre liksidiga trianglar och två likbenta trianglar?

2/3

6 1

8 9

11 F

2/4

I ett plant fackverk enligt figur består fälten av likbenta, rätvinkliga trianglar. Hur stor bli den största dragkraften och i vilken stång uppträder den? Och hur stor blir den största tryckkraften och i vilken stång hittar man den?

2 F

4 3

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 44

2. plana fackverk

F = 3,0 kN

En enkel svängkran består av ett plant fackverk enligt figur. Med vilken kraft påverkas stång 5 vid kranens maxlast, 3,0 kN?

30° 2

3 1

! 2/5

60°

45° 7

4 2 1

7 5 8

! 2/6

Hur stor blir den största stångdragkraften i det plana fackverket i figuren? Fälten består av fyra stycken 30°-60°90°-trianglar.

! Utvärderingsexemplar Svar till övningsexempel

2/1: 4 2F i stång 2 2/2: 0%, stängerna 8 och 9 bär ingen last 2/3: 2F i stång 1 och 10 2/4:

3 3 2 F i stång 6 resp. − F i stång 9 2 2

2/5: S5 = −

2/6:

6 3 −1

F ≈ 10, 0 kN

2 3 F ≈ 1,15F i stång 3 3

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 45

3 Normal- och skjuvspänningar Om en homogen, rak stång utsätts för en dragkraft, P, i vardera änden enligt figur 3.1, kommer den dels att förlängas, dels att utsättas för en ansträngning av materialet. I varje snittyta som är vinkelrät mot stångens längdriktning uppträder en dragkraft, F, som för att jämvikt skall råda för vart och ett av stångpartierna måste vara lika stor som den yttre dragkraften, P.

Utvärderingsexemplar

Om dragkraften P ökas gradvis, ökar stångens förlängning och förr eller senare uppkommer ett brott i stången. Materialansträngningen har då blivit så stor, att den överskrider stångens lastbärande förmåga. Erfarenheten lär, att dragkraften vid brott kan göras större antingen genom att använda en stång med större tvärsnittsyta eller genom att använda en stång av ”starkare material” d v s högre hållfasthet. Så tål t ex en stång av stål en högre dragkraft än en likadan stång av koppar, innan den brister.

Om hållfastheten för stången skall kvantifieras, kan detta göras genom att ange den storlek på P vid vilken stången brister; brottlasten. Men att ange brottlasten på detta sätt är opraktiskt, eftersom den därmed kommer att vara olika, beroende på storleken av tvärsnittsarean. Genom experiment med stänger med olika form och storlek på tvärsnittsytan kan visas, att kvantiteten P/A, där A är stångens minsta

F=P

Figur 3.1 Axiellt dragen stång. Överst komplett stång, nederst frilagda stångpartier.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 46

3. normal- och skjuvspänningar

tvärsnittsarea blir densamma för stängerna vid brott, förutsatt att dessa är av samma material. Kvantiteten σ =

P A

(3:1)

som kallas spänning, ibland påkänning, kan därför användas som ett mått på ansträngningen av materialet. Om dragkraften P betraktas som en vektor, blir även spänningen en vektor, eftersom arean är en skalär storhet. Spänningsvektorn får då samma riktning som kraftvektorn, d v s vinkelrätt mot snittytan i figur 3.1. Spänningen kallas därför för normalspänning, just för att spänningsvektorn utgör en normalvektor till snittytan. Om snittytan som i figur 3.2 istället får bilda en sned vinkel mot stångens axiella utsträckning, blir jämvikt för ett stångparti inte möjlig, om enbart en normalspänning skulle verka på snittytan. För att upprätthålla jämvikt i såväl x- som y-riktningen, fordras även att en kraft och därmed även en spänning verkar i snittytans plan. Spänningar som verkar i planet kallas skjuvspänningar och betecknas vanligen med bokstaven τ. Normalspänningen och skjuvspänningen kommer vid axiell dragning av en rak, homogen stång med oföränderlig sektion att vara konstant för alla snittplan som bildar lika stor vinkel mot axialriktningen oavsett var snittplanen förläggs i stången. För strukturer i allmänhet är detta däremot sällan fallet. Istället varierar normal- och skjuvkrafterna liksom normal- och skjuvspänningarna från punkt till punkt i strukturen, d v s utgör funktioner av lägeskoordinaterna x, y och z för den betraktade punkten. För att studera skjuv- och normalspänningar i en punkt, uttas ett litet, egentligen infinitesimalt volymelement kring punkten. Beroende på strukturens geometri kan volymelementen strängt taget ges vilken form som helst. Ofta väljs dock volymelement i form av rätblock eller kuber, cirkulärcylindriska rörelement eller sfäriska skal.

Utvärderingsexemplar

De krafter och spänningar som uppträder på det valda volymelementet, förses med index kopplade till koordinatriktningarna, eftersom elementet har flera begränsningsytor och det därmed förekommer flera normalspänningar och flera skjuvspänningar. På ett element i form av ett rätblock enligt figur 3.3 finns inte mindre än 6 normalkrafter respektive normalspänningar och 12 skjuvkraftskomponenter σ x

y Figur 3.2 Normal- och skjuvspänning i snittytan av en dragen stång.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 47

3. normal- och skjuvspänningar

respektive skjuvspänningskomponenter. För att få ett system i beteckningarna för spänningar, måste några definitioner göras. Till att börja med definieras positiva och negativa ytor på volymelementet. Figur 3.3 visar ett rätblockselement i en belastad struktur. Rätblocket innehåller den betraktade punkten med koordinater x, y, z och är orienterat med kantlinjerna parallella med respektive koordinatriktning. På volymelementets sex ytor markeras ytornas utåtriktade normalvektorer, d v s vektorer riktade ut från volymelementet. Som positiva ytor till volymelementet definieras ytor, vars yttre normalvektor är riktad i positiv koordinatriktning, d v s i figur 3.3 ytorna ABCD (normalen riktad i positiv x-riktning), aADd (normalen riktad i positiv y-riktning) och cCDd (normalen riktad i positiv z-riktning). Som negativa ytor till volymelementet definieras ytor, vars yttre normalvektor är riktad i negativ koordinatriktning, d v s i figur 3.3 ytorna abcd (normalen riktad i negativ x-riktning), bBCc (normalen riktad i negativ y-riktning) och aABb (normalen riktad i negativ z-riktning).

Utvärderingsexemplar y

Figur 3.3 Yttre normalvektorer till ett rätblockselement i en belastad kropp.

(x, y, z)

På volymelementet verkar i ett generellt belastningsfall normalkrafter, ˜ , ∆N , ∆N ˜ , ∆N , ∆N ˜ ∆N x , ∆N x y y z z och skjuvkraftkomponenter, ˜ , ∆T , ∆T˜ , ∆T , ∆T˜ ∆Txy , ∆T xy xz xz yx yx o s v enligt figur 3.4 och med följande teckenkonvention: Positiv yta:

Positiva krafter och kraftkomponenter riktas i positiv koordinatriktning, negativa krafter och kraftkomponenter riktas i negativ koordinatriktning.

Negativ yta: Positiva krafter och kraftkomponenter riktas i negativ koordinatriktning, negativa krafter och kraftkomponenter riktas i positiv koordinatriktning.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 48

3. normal- och skjuvspänningar ~ ∆Nz b ~ ~ ∆ T ∆ T xz zx

x y

~ ∆ Nx

∆ Ny

~ ∆ T zy

~ ∆ Ny B

~ ∆ T yx ~ ∆ T xy

~ ∆ T yz

∆ Tyx

∆ T xy

∆ T zx ∆ T zy

∆ Nx

∆ T xz

∆ T yz

∆ Nz Figur 3.4 Positiva normal- och skjuvkraftkomponenter på ett rätblockselement. Krafter på skymda ytelement prickade, på synliga ytelement heldragna.

I figur 3.4 förutsätts med denna konvention samtliga utritade normalkrafter och skjuvkraftskraftkomponenter vara positiva. Normalkrafter kan, som i figur 3.4, anges med enbart ett index, vilket då endast anger den koordinatriktning utmed vilken normalkraften verkar. Däremot inte om kraften på ytelementet är riktad i positiv eller negativ koordinataxelriktning. Detta bestäms enligt ovan istället av hur den betraktade ytans yttre normalvektor är riktad. T ex är vid ett positivt värde på kraften ∆Nx denna riktad åt höger (i positiv x-riktning) eftersom den verkar på den positiva ytan ABCD. Ett positivt värde på ∆Ñx innebär däremot att denna kraft är riktad åt vänster (i negativ x-riktning) eftersom kraften då verkar på den negativa ytan abcd.

Utvärderingsexemplar

Ett positivt värde på normalkraft innebär dragning av materialet, negativ normalkraft innebär tryck. Skjuvkrafter verkar i ytelementens plan och är därmed vinkelräta mot normalkraften på tillhörande ytelement. Vanligen uppdelas skjuvkraften i sina komponenter utmed de två axelriktningar som är parallella med det betraktade ytelementet. Skjuvkraften måste då förses med dubbla index. Första index får ange ytans normalriktning (yttre normalens riktning) medan andra index anger den riktning i vilken skjuvkraftskomponenten verkar. Men som är fallet vid normalkrafter, bestäms komponentens riktning i positiv eller negativ koordnataxelriktning av hur den tillhörande ytans yttre normal är riktad. Om t ex skjuvkraftkomponenterna ~ ∆Tyz och ∆Tyz båda antas positiva, blir ∆Tyz riktad nedåt i figur 3.4 (i positiv z~ riktning) eftersom denna komponent verkar på en positiv yta, aADd. ∆Tyz blir däremot riktad uppåt (i negativ z-riktning) eftersom komponenten verkar på en negativ yta, bBCc.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 49

3. normal- och skjuvspänningar

I motsats till vad som gäller för normalkrafter, saknar begreppen positiva respektive negativa skjuvkrafter någon fysisk motsvarighet såsom drag – tryck. Tecknet på skjuvkraften eller dess komponenter blir relevant endast om ett koordinatsystem som definierar positiva och negativa axelriktningar definierats. Ibland skrivs även normalkrafterna med dubbla index, i så fall identiskt lika, t ex ∆Nzz istället för ∆Nz. I sådana fall används vanligen samma symbol för normalkrafter och skjuvkraftskomponenter, t ex ∆Tzz och ∆Tzy. Av indexens utseende framgår ju entydigt, om en normalkraft (identiska index) eller en skjuvkraftkomponent (olika index) avses. Skrivsättet innebär ett närmande mot att behandla normal- och skjuvspänningar som tensorkomponenter, vilket de även kan visas vara. På var och en av volymelementets sex ytor kan tre storheter uppträda; en normalkraft och två skjuvkraftkomponenter. Totalt uppträder därmed generellt 18 storheter på volymelementet. Lyckligtvis kan antalet storheter reduceras en aning, något som framgår av det följande: Volymelementet antas vara i jämvikt och ha sidlängder ∆x, ∆y, ∆z utmed respektive axelriktning samt koordinaterna (x, y z) för punkten b. Respektive kraft förutsätts angripa i respektive ytas geometricentrum. En momentekvation med avseende på en med x-axeln parallell axel genom geometricentrum för ytorna abcd och ABCD i figur 3.4 antar då utseendet:

Utvärderingsexemplar

∆Tyz

∆y

− ∆Tzy

∆z

∆y ∆z + ∆T˜ yz − ∆T˜ zy =0 2 2 2

som efter förkortning medför ˜ ∆y − ∆T˜ ∆z = 0 ∆Tyz ∆y − ∆Tzy ∆z + ∆T yz zy

(3:2)

Om ∆Tyz respektive ∆Tzy är kontinuerliga funktioner av x, y och z, kan de tecknas som ˜ ˜ + ∂∆Tyz ∆y ∆Tyz = ∆T (3:3) yz ∂y respektive ˜ + ∆Tzy = ∆T zy

˜ ∂∆T zy ∂z

∆z

(3:4)

som insatt i (3:2) medför ˜ ˜ ∂∆T 2 yz ˜ ∆z + ∂∆Tzy ∆z 2 ∆T˜ yz ∆y + ∆y − 2 ∆T zy ∂y ∂z

( )

( )2 = 0

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 50

3. normal- och skjuvspänningar

och eftersom ∆y <<1, ∆z <<1: ˜ ∆y ≈ ∆T˜ ∆z ∆T yz zy Efter förlängning med ˜ ∆T yz ∆x∆z

≈

1 : ∆x∆y∆z

˜ ∆T zy

(3:5)

∆x∆y

~ Kraftkomponenten ∆Tyz verkar på ytan bBCc med arean ∆x∆z och kraftkompo~ nenten ∆Tzy verkar på ytan bBAa med arean ∆x∆y. Uttrycken på ömse sidor om likheten i ekvation (3:5) representerar därmed respektive kraftkomponent per tillhörande ytenhet, storheter som benämns skjuvspänningskomponenter och tecknas som: ˜ ∆T yz τ yz = lim (3:6) ∆x →0, ∆z →0 ∆x∆z respektive τ zy =

lim

∆x →0, ∆y →0

˜ ∆T zy

(3: 7)

∆x∆y

Utvärderingsexemplar Ekvationerna (3:5), (3:6) och (3:7) medför därmed τyz = τzy

(3:8)

På motsvarande sätt kan man visa, att följande gäller: τxy = τyx

(3:9)

τzx = τxz

(3:10) Skjuvspänningar eller skjuvspänningskomponenter som verkar vinkelrätt mot skärningslinjen mellan två mot varandra vinkelräta plan är tydligen alltid lika stora och båda antingen riktade mot eller från kantlinjen, se figur 3.5.

Figur 3.5 Skjuvspänningar/skjuvspänningskomponenter mot respektive från kantlinjen vid vinkelrätt skärande ytelement.

Med skjuvkraftkomponenterna kända på ett givet volymelement, är tillhörande skjuvspänningskomponenter på detta element definierade enligt (3:6), (3:7) eller analoga uttryck för övriga skjuvspänningar.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 51

3. normal- och skjuvspänningar

Normalspänningen i x-riktning på elementet definieras som gränsvärdet ˜ ∆N x σ x = lim (3:11) ∆A x →0 ∆A x där ∆Ax är storleken av ytelementet abcd, figur 3.4, ∆Ax = ∆y∆z. På analogt sätt definieras därpå de två övriga normalspänningarna som ˜ ∆N y σ y = lim ∆A y →0 ∆A y σ z = lim

∆A z →0

(3:12)

˜ ∆N z

(3:13)

∆A z

I (3:12) och (3:13) avser beteckningarna ∆Ay = ∆z∆x och ∆Az = ∆x∆y storleken av ytelementet bBCc respektive abBA. Vid härledning av sambanden (3:8) till (3:10) förutsattes, att inga volymkrafter uppträder. Volymkrafter är krafter som verkar i varje punkt av volymelementet. Exempel på volymkrafter är tyngdkraften och magnetiska krafter. Sådana krafter verkar på varje enskild molekyl eller atom i strukturen. Om exempelvis som figur 3.6 visar, en tyngdkraft i positiv z-riktning förekommer, tillkommer en vertikalt nedåtriktad kraftresultant angripande i volymelementets masscentrum och med storleken

Utvärderingsexemplar

∆Wz = qz ∆x ∆y ∆z

(3:14)

~ ∆Nz ~ ∆ T yz x

b ~ ∆ T xz

~ ∆ Txy

~ ∆ Ny B

~ ∆ T zx

a ~ ∆N x

~ ∆ T zy

∆ T yx A

∆ T yx

∆ Nx C

∆ T xy

∆ T zx d

∆ T zy

∆N y ∆ T yz Figur 3.6 Normalkrafter, skjuvkraft- och volymkraftkomponenter på ett rätblockselement

∆ T xz

∆W z ∆N z

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 52

3. normal- och skjuvspänningar

där qz är tyngdkraften per volymenhet, N/m3. Om strukturen är homogen, sammanfaller volymelementets masscentrum med dess geometricentrum. Momentekvationen med avseende på en med x-axeln parallell axel genom geometricentrum för ytorna abcd och ABCD i figur 3.6 kommer därmed att bli identisk med den ekvation som erhölls utan närvaro av volymkrafter. Sambanden (3:8), (3:9) och (3:10) är alltså giltiga även vid närvaro av volymkrafter.

Utvärderingsexemplar

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 53

4 Deformation, förskjutning och töjning Om en struktur utsätts för spänningar genom påverkan av yttre laster, kommer den att förändra sin storlek och/eller form – en deformation uppstår. Deformationen medför, att punkter i strukturen förflyttas relativt ett rumsfixt koordinatsystem – förskjutningar uppstår.

Utvärderingsexemplar

En renodlad temperaturförändring med möjlighet till fri deformation genererar inte spänningar. Men strukturens storlek ändras och därmed uppstår även förskjutningar. Strukturen bibehåller sin form, förutsatt att temperaturen är densamma överallt. Om däremot något yttre tvång föreligger, förhindras strukturen att deformeras fritt. En temperaturändring kommer då att alstra spänningar i strukturen och såväl volym som form hos strukturen förändras vanligtvis. En renodlad stelkroppsrörelse resulterar i förskjutningar men ingen deformation och därför inga spänningar.

Deformationen av bärande strukturer är normalt så liten, att den inte kan iakttas med blotta ögat utom i fall där man avsiktligt vill uppnå en stor deformation, som i en vek drageller tryckfjäder. Vid exceptionell belastning kan deformationen bli synbar, och detta även sedan belastningen upphört. Så är det i allmänhet inte svårt att avgöra, om en bilkaross utsatts för en krock. Vid en sådan blir deformationerna så stora, att karossen ej längre förmår att återta sin ursprungliga form. För ögat klart synliga och nog så förargliga bucklor vittnar tydligt om vad som inträffat.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 54

4. deformation, förskjutning och töjning

4.1 Förskjutning En rak, homogen stång utsätts för en axiell dragkraft, P, som figur 4.1 visar. På stången finns två stångfasta markeringar vid snitten A–A och B–B, som när stången är obelastad ligger på avståndet L0 från varandra. I ett rumsfixt koordinatsystem definieras snittet A–A av ekvationen x = xA utan belastning. Efter lastpåläggning har samma snitt förflyttats till A*–A* med ekvationen x = x˜ A = x A + u x , A .

Analogt förflyttas snittet B-B med ekvation x = xB = xA + L0 till B*–B* med ekvation x = x˜ B = x B + u x ,B . Storheterna ux,A och ux,B utgör förskjutningen i x-riktning av respektive snitt. A

Utvärderingsexemplar P

Figur 4.1 Axiellt dragen stång. Till vänster obelastad, till höger belastad.

Förskjutningar kan uppkomma på tre sätt. Material som deformeras genom belastning, stelkroppsrörelse hos hela strukturen och temperaturändring. Stelkroppsrörelse kan enligt mekanikens grunder alltid uppfattas som en kombination av translation (parallellförflyttning) och rotation. Eftersom stelkroppsrörelse innebär en ren förflyttning i rummet alstrar en sådan rörelse inga spänningar i kroppen eller strukturen. Det är först när en strukturs geometri förändras, som spänningar uppträder. En geometriförändring kan bestå av en form- eller volymändring eller en kombination av dessa faktorer. Men en volymändring måste inte nödvändigtvis innebära att spänningar uppstår i strukturen. Om exempelvis varje punkt i en fritt deformerbar struktur undergår en och samma temperaturförändring, uppstår en volymändring, men inga spänningar.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 55

4. deformation, förskjutning och töjning

4.2 Förlängning Om i fallet med axiell dragning av stång speciellt gäller att ux,A = ux,B ≠ 0, gäller även att x˜ B = x B + u x ,B = x A + L 0 + u x , A = x˜ A + L 0 . Avståndet mellan snitten utgörs av differensen mellan koordinaterna, d v s av L = x˜ B − x˜ A = L 0 Avståndet mellan snitten blir för detta speciella fall oförändrat med och utan last. Någon förlängning av stången sker inte, trots att snitten förskjutits. Istället föreligger en stelkroppsrörelse i form av en translation. Stången är i detta fall ekvivalent med vad som inom mekaniken avses med en stel kropp. Om ux,A ≠ ux,B ändras avståndet mellan snitten från L0 i obelastat tillstånd till L = x˜ B − x˜ A = x A + L 0 + u x ,B − ( x A + u x , A ) = L 0 + u x ,B − u x , A ≠ L 0 .

( 4:1)

Förlängningen av stången mellan de båda snitten definieras som

Utvärderingsexemplar

δx = L – L0 = ux,B – ux,A

(4:2)

Om ux,A ≠ ux,B är stången inte längre stel utan deformerbar.

4.3 Linjär töjning Stångens sektion antas oföränderlig utmed stångens längd. Ett kort längdelement av stången studeras. För varje sådant element (stångdel) är förhållandena då desamma, oavsett var elementet förläggs. Normalspänningen är ju lika stor i alla tvärsnitt. Den mellan snitten A–A och B–B uppkommande förlängningen vid belastning, δx, blir därmed jämnt fördelad längs stången mellan de båda snitten. För ett sådant fall definieras den linjära töjningen i x-riktningen som δ εx = x

(4:3)

Linjär töjning utgörs av förlängningen per längdenhet och saknar därmed enhet. Ofta används dock enheten mikrostrain (µ-strain), d v s miljondelar för töjning.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 56

4. deformation, förskjutning och töjning

Den linjära töjningen kallas även nominell töjning, engineering strain eller conventional strain. Den gjorda definitionen av linjär töjning förutsätter att δx << L0, d v s att töjningen är mycket liten. I det beskrivna fallet sammanfaller förlängningen och därmed också töjningen med normalen till snitten A–A och B–B. Om man specifikt önskar framhålla detta, används benämningen linjär normaltöjning. Töjning kan nämligen ske också i snittplanen och kallas då skjuvtöjning. Jämför med begreppen normalspänning och skjuvspänning. Normalspänning och normaltöjning uppträder i samma riktning som en normal till en (snitt-)yta, skjuvspänningar och skjuvtöjningar uppträder i (snitt-)ytans plan. y x

εy > 0

εx > 0

Utvärderingsexemplar εz < 0

Figur 4.2 Dilatation av rätblockselement p g a normaltöjningar, εx, εy och εz.

Normaltöjningar på ett volymelement orsakar enbart en förändring av elementets storlek, men ej av dess form. Ett rätblockselement förblir ett rätblock (fast med förändrade sidlängder), om enbart normaltöjningar förekommer. Om däremot endast skjuvtöjningar uppträder, kommer elementets form att förändras, men dess volym att vara oföränderlig, jämför figurerna 4.2 och 4.3. y x

Figur 4.3 Deviation av rätblockselement p g a skjuvtöjningar, εxy och εyx.

ε yx

ε xy

ε yx

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 57

4. deformation, förskjutning och töjning Figur 4.4 Dragning av stång med variabel tvärsnittsarea. y

∆x

En deformation i form av en volymändring med bibehållen form kallas dilatation, medan en deformation som orsakar en formändring under bibehållen volym kallas deviation. Liksom vid fallet med spänningar används vanligen ett index för att beteckna normaltöjningar, t ex εx, εy, εz, och dubbla index för att beteckna skjuvtöjningar, t ex εxy, εyx, εyz, εzy, εzx, εxz. Redan nu bör påpekas, att skjuvtöjningar inte får förväxlas med det längre fram i boken förekommande begreppet skjuvvinklar, γxy, γyx, γyz, γzy, γzx, γxz. Vid definitionen av normaltöjning enligt (4:3), förutsattes stångens sektion vara oföränderlig utmed stångens längd och förlängningen därmed jämt fördelad längs stången. Om stångens tvärsnitt istället är föränderligt på sådant sätt, att tvärsnittsarean A = A(x) varierar med variabeln x, kan sambandet (4:3) inte användas rätt upp och ned. Förlängningen av ett lika långa stångelement kommer att variera, beroende på var elementet befinner sig i stången.

Utvärderingsexemplar

I figur 4.4 visas en för dragning utsatt stång, vars tvärsnittsarea, A = A(x), varierar kontinuerligt med x. Stångens ursprungliga längd antas vara L0 för att vid en dragkraft, F, öka till L = L0 + δx . Vid analysen betraktas ett litet element med längd ∆x av stången och vars vänstra snittyta har lägeskoordinat x. Om stångarean varierar kontinuerligt med x, kan (4:3) användas på elementet. Förskjutningen av elementets vänstra begränsningsyta vid belastning är ux = ux (x) och av dess högra begränsningsyta är ux = ux (x + ∆x), se figur 4.5. Elements längd vid belastning ökar alltså från till ∆x till ∆x + ux (x + ∆x) – ux (x). Normaltöjningen för elementet erhålls med hjälp av (4:3) som ε x = lim

∆x →0

∆x + u x ( x + ∆x ) − u x ( x ) − ∆x ∆x

u x ( x + ∆x ) − u x ( x ) ∂u x = ∂x ∆x ∆x →0

= lim

= (4:4)

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 58

4. deformation, förskjutning och töjning

I det studerade fallet förblir elementets tvärsnittsytor plana vid belastning. De oberoende variablerna x, y, z reduceras därmed till en enda, x, eftersom ux därmed varken beror av y eller z. Ekvationen kan därför lika gärna skrivas som: εx =

∂u x ∂x

du x dx

(4:5)

Stångens totala förlängning fås genom integration av stångelementens förlängningar. Om den vänstra stångänden anses fixerad, gäller randvillkoret ux(0) = 0. Stångförlängningen blir i så fall identisk med den högra stångändens förskjutning eller: L0

δ x = u x (L 0 ) =

∫ 0

∂u x ∂x

dx =

∫ ε (x)dx

(4:6)

För att evaluera integralen, krävs kännedom om hur normaltöjningen varierar med x. Töjningen i varje tvärsnitt beror i sin tur på den i tvärsnittet rådande spänningen. Först när konstitutiva samband för stångmaterialet är kända, kan integrationen alltså drivas vidare. Om stångarean uppvisar diskontinuiteter, uppdelas stången i ett antal stångavsnitt vilka vart och ett har en kontinuerligt föränderlig tvärsnittsarea. Förlängningen av varje stångavsnitt bestäms med (4:6). Den totala stångförlängningen erhålls genom summation av de diskreta bidragen från samtliga stångavsnitt.

Utvärderingsexemplar x

∆x

ux(x+∆x) ux(x)

δx

Figur 4.5 Förskjutningar av begränsningsytor för axiellt stångelement med längd ∆x.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 59

4. deformation, förskjutning och töjning

4.4 Logaritmisk/sann töjning

En nackdel med linjära töjningar är, att om dessa summeras för två efter varandra påförda laster, så utgör töjningssumman inte den töjning som fås, om lasterna appliceras samtidigt. Om stången i figur 4.1 först utsätts för en dragkraft, P1, som ger en förlängning δx1 blir den linjära töjningen per definition δ ε x1 = x1

Dragkraften ökas till P = P1 + P2. Den senare kraften orsakar en förlängning, δx2, och ett tillskott i linjärtöjningen av ε x2 =

δ x2

L 0 + δ x1

eftersom begynnelselängden vid appliceringen av P2 utgör L0 + δx1 . Summan av de två töjningarna blir därmed δ ε˜ x = ε x1 + ε x 2 = x1 +

δ x2

L 0 + δ x1

Utvärderingsexemplar

Om däremot P = P1 + P2 påläggs i ett enda steg blir den sammanlagda förlängningen densamma, d v s δx = δx1 + δx2, och den linjära töjningen δ + δ x2 ≠ ε˜ x ε x = x1

Om töjningarna är små, spelar skillnaden mellan ~εx och εx ingen större roll. Men vid stora töjningar, som medför att stången ej längre återtar sin ursprungliga längd vid avlastning (plastisk deformation), är logaritmisk töjning, ibland kallad sann töjning att föredra. Den logaritmiska töjningen (egentligen töjningsinkrementet ∆εx) baseras inte på den initiala längden, L0, utan istället på den momentana stånglängden λ respektive den momentana längdändringen, ∆λ << λ, och definieras som dε x = lim ∆ε x = lim ∆ε x →0

∆λ

∆λ →0

dλ λ

(4:7)

Efter integration: εx

εx =

∫ 0

dε x =

∫

dλ λ

= ln

L L + δx = ln 0 L0 L0

(4:8)

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 60

4. deformation, förskjutning och töjning

Om förändringen antas ske i två steg med förlängningar δx1 respektive δx2 , erhålls de logaritmiska töjningsbidragen som L1

∫

ε x1 =

dλ λ

= ln

L1 L + δ x1 = ln 0 L0 L0

= ln

L2 L +δ L + δ x1 + δ x 2 = ln 1 x 2 = ln 0 L1 L1 L 0 + δ x1

respektive L2

ε x2 =

∫

dλ λ

dvs L + δ x1 L + δ x1 + δ x 2 L + δ x1 + δ x 2 + ln 0 = ln 0 ε˜ x = ε x1 + ε x 2 = ln 0 L0 L 0 + δ x1 L0 Om den sammanlagda dragkraften istället påläggs i ett enda steg med en åtföljande förlängning av δx1 + δx2, erhålls motsvarande logaritmiska töjning ur definitionen av denna som: L + δ x1 + δ x 2 ˜ ≡ εx ε x = ln 0 L0

Utvärderingsexemplar

Sanna eller logaritmiska töjningsbidrag kan alltså adderas med samma resultat som om de enskilda deformationerna uppkommer samtidigt och inte stegvis. Om (4:8) serieutvecklas erhålles 2

δ 1δ  1δ  ε x = x −  x  +  x  − ……

2  L0 

3  L0 

(4:9)

För små töjningar, δx /L0 <<1, kan summan approximeras till ex ≈ δx /L0 , d v s ett med (4:3) identiskt uttryck. Om töjningarna är små, blir alltså den linjära och den logaritmiska töjningen approximativt lika och vilket som helst av begreppen kan användas.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 61

4. deformation, förskjutning och töjning

4.5 Metoder för töjnings- och spänningsmätning Spänningar eller töjningar kan inte alltid beräknas. Osäkerheter och förenklingar i analysen ökar beräkningsresultatens avvikelser från de verkliga värdena. Därför finns behov att mäta det verkliga utfallet av dessa storheter, antingen i den verkliga strukturen eller i modeller av denna. Flertalet töjningsmätmetoder baseras på mätning av förlängning mellan förbestämda punkter på objektet. En konsekvens härav blir, att det uppmätta resultatet utgör ett medelvärde av töjningen mellan mätpunkterna och inte töjningen i en diskret punkt. En svårighet i sammanhanget är, att för strukturer är töjningar och deformationer obetydliga. En förstärkning av de uppmätta resultaten är därför nödvändig. Ursprungligen användes mekaniska instrument för töjningsmätning. Som exempel på sådana mätinstrument kan nämnas Huggenbergers extensometer, Berrys töjningsmätare och C E Johanssons mikrokator. Gemensamt för dessa utrustningar är, att två mäteggar fixeras till objektet. Den avståndsändring som uppstår mellan eggarna vid belastning förstoras genom mekanisk utväxling.

Utvärderingsexemplar

Mekaniska instrument har alltmer kommit att ersättas med givare som baseras på förändringar av den elektriska impedansen, t ex förändring av resistans, induktans eller kapacitans. Av dessa kommer endast givare enligt den förstnämnda principen behandlas.

Oavsett vilken typ av töjningsgivare som kommer till användning, är mätning endast möjlig på fria ytor (luftytor) av strukturen. Mätning i strukturens inre kräver, att en kanal till mätpunkten skapas. En sådan kanal, hur liten den än görs, påverkar såväl spännings- som töjningstillståndet i mätpunkten. De i mätpunkten uppmätta resultaten svarar då inte mot töjningen i en intakt struktur. Det ligger också i sakens natur, att töjningsmätning endast är möjlig i riktningar som ligger i luftytans plan. Inte i mot densamma vinkelrät riktning. Dessa inskränkningar kan synas som en allvarlig begränsning av metodernas användbarhet. I många fall uppträder emellertid de största töjningarna vid en strukturs luftytor. Och eftersom det är de största töjningarna som i allmänhet är intressanta, blir begränsningen inte så allvarlig som det kan förefalla. Metoderna för mätning av spänning är få. Med kännedom om de konstitutiva sambanden för materialet, kan spänningsmätning ersättas med töjningsmätning. Eftersom töjningarna endast är mätbara på luftytor, kommer denna begränsning även att gälla spänningar.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 62

4. deformation, förskjutning och töjning

Den enda metod för direkt spänningsmätning som är av betydelse, baseras på ett optiskt fenomen i vissa genomskinliga material. Härav följer, att sådan spänningsmätning är begränsad till modellförsök, eftersom verkliga strukturmaterial sällan är genomskinliga.

4.5.1 Spänningsoptik

Material kan ha likadana egenskaper i olika riktningar. Det kan gälla mekaniska, elektriska eller optiska egenskaper. Sådana material kallas isotropa. Andra material uppvisar olika egenskaper i olika riktningar och kallas anisotropa. Bland transparenta material som uppvisar optisk anisotropi tillhör kalkspatkristaller (CaCO3) ett av de först upptäckta. En planparallell skiva med tjocklek h av ett optiskt anisotropt, transparent material belyses med planpolariserat ljus (vanligen med en enda våglängd, λ, s k monokromatiskt ljus). Det translaterade ljuset kommer att delas upp i två komponenter med samma fortplantningsriktning (vinkelrätt mot figurplanet i figur 4.6), men med olika translationshastighet, v, (utom i den optiska axelns riktning). En s k ordinär stråle (index o) och en extraordinär (index eo). Den extraordinära strålen kan, beroende på material, fortplantas snabbare eller långsammare än den ordinära. Olika translationshastigheter motsvaras av olika brytningsindex, no respektive neo.

Utvärderingsexemplar ϕ

A Optisk axel

A cos ϕ

Figur 4.6 Uppdelning av ljusvektorn för planpolariserat ljus i ordinär och extraordinär vektor vid ljusets inträde i skiva av optiskt anisotropt, transparent material.

A sin ϕ

Efter passage av skivan kommer ljusets amplitudkomponenter p g a hastighetsskillnaden därför att vara fasförskjutna en vinkel, ϕ=

2π λ

h(n 0 − n eo )

svarande mot en optisk vägskillnad av ∆ = h(no – neo ). Den inkommande ljusvektorn momentanvärde ges av uttrycket A = a cos

2π λ

v( t − t0 )

där konstanten t0 beror av när tiden t börjar räknas och a är amplituden.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 63

4. deformation, förskjutning och töjning

De utgående ljusvektorernas momentanvärden ges av uttrycken A = a˜ cos

2π

v( t + t( h ) − t0 )

respektive 2π  ∆ v  t + t( h ) − t0 ±  v λ 

A * = a˜ cos

där t(h) är passagetiden genom skivan för den ordinära strålen och ã amplituden hos det utgående ljuset. P g a viss ljusabsorbtion i skivan är ã < a. De utgående ljusvektorernas komponenter i en mot infallande ljus vinkelrät riktning ges enligt figur 4.7 av A = a˜ cos

2π

v( t + t( h ) − t0 ) ⋅ sin ϕ cos ϕ

respektive A * = a˜ cos

∆ 2π  v  t + t( h ) − t0 ±  ⋅ cos ϕ sin ϕ v λ 

eller sammantaget

Utvärderingsexemplar

A a = a˜ cos − a˜ cos

2π λ

v( t + t( h ) − t0 )sin ϕ cos ϕ −

∆ 2π  v  t + t( h ) − t0 ±  cos ϕ sin ϕ = v λ 

 2π ∆ 2π  = a˜ sin ϕ cos ϕ cos v( t + t( h ) − t0 ) − cos v  t + t( h ) − t0 ±   λ λ  v   

Svängningsplan i polarisator σ2

A σ1

A* cos ϕ

A sin ϕ ϕ

A* cos ϕ sin ϕ

Figur 4.7 Utgående ljusvektorernas komponent i analysatorns svängningsplan vid ljusets utträde ur skiva.

A sin ϕ cos ϕ

Svängningsplan i analysator

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 64

4. deformation, förskjutning och töjning

Om N är ett heltal inses av uttrycket, att för 2π ∆ v = N2 π ; ∆ = Nλ λ v blir Aa = 0 och för 2π ∆ N v = Nπ ; ∆ = λ 2 λ v antar |Aa| maximum. Planpolariseringen av det inkommande ljuset åstadkoms i ett polaroidfilter, kallat polarisator. Principen är densamma som i polariserade solglasögon. Efter passage av polarisatorn svänger ljusvektorn endast i ett plan. Om ljuset får passera ytterligare ett polaroidfilter, kallat analysator, släpps en större eller mindre del av ljuset genom denna, beroende på hur dess polarisationsriktning är orienterad relativt polarisatorns. Om polarisationsplanen är vinkelräta mot varandra utsläcks allt ljus i analysatorn. En polarisator och en analysator ställs upp efter varandra i ljusets utbredningsriktning. Svängningsplanen för polarisator och analysatorn arrangeras vinkelrätt mot varandra. Mellan delarna placeras en transparent, planparallell skiva av strukturmodellen, se figur 4.8. Dessutom finns en anordning för belastning av modellen, vanligen med vikter.

Utvärderingsexemplar

Grunden för spänningsoptisk mätning är vissa modellmaterial, t ex glas, celluloid och en del plaster som i obelastat tillstånd är optiskt isotropa blir anisotropa, om de utsätts för mekanisk spänning.

Figur 4.8 Komponenter vid spänningsoptisk mätning med planpolariserat ljus.

Figur 4.9 Isokromer vid buckling av cylindriskt skal. Prov för GOM GmbH, Braunschweig vid Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt, DLR.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 65

4. deformation, förskjutning och töjning

Den i strukturmodellen infallande planpolariserade ljusvektorn uppdelas i två komponenter, svängande i de s k huvudspännings- eller principalspänningsriktningarna, se figur 4.6. Senare kommer att visas, att ett litet volymelement alltid kan orienteras på ett sådant sätt, att endast normalspänningar angriper på dess ytor. De på ett sådant sätt orienterat element verkande normalspänningarna, utgör huvud- eller principalspänningar i punkten. Deras riktningar utgör huvudspännings- eller principalriktningar. Vanligtvis används metoden vid s k plant spänningstillstånd. Ett sådant tillstånd råder bl a i strukturer i form av tunna skivor, vilka belastas med krafter i skivplanet. Härvid blir en huvudspänning noll. De övriga två, som uppträder i mot skivplanen och varandra vinkelräta plan, betecknas σ1 respektive σ2. Den optiska vägskillnaden, ∆, beror på skillnaden mellan huvudspänningarna enligt sambandet ∆ = ch(σ1 – σ2 ), där c är en materialberoende konstant. I punkter i strukturmodellen där ∆ = ch(σ1 – σ2 ) = Nλ sker enligt tidigare total ljusutsläckning och i punkter där ∆ = ch( σ1 − σ 2 ) =

N λ 2

erhålls ljusmaximum. På analysatorns baksida kommer ett mönster av omväxlande mörka och ljusa stråk att framträda enligt figur 4.9, som visar ett cirkulärcylindriskt skal vid begynnande knäckning. Stråken kallas isokromer. För varje enskild isokrom gäller, att huvudspänningsdifferensen antar ett konstant värde på denna.

Utvärderingsexemplar

För intill varandra belägna isokromer gäller, att huvudspänningsdifferensen mellan dessa utgör σ1 – σ2 = λ/ch. Genom att räkna antalet isokromer från någon referensisokrom, där kvantiteten σ1 – σ2 är känd, kan man alltså bestämma huvudspänningsdifferensen för varje annan isokrom. Spänningsoptisk mätning har vissa begränsningar. Bl a uteblir effekten i punkter, där huvudspänningsriktningarna sammanfaller med polarisationsplanen. Resultat från modellförsök kan överföras till en med modellen likformig struktur, endast om de s k kontraktionstalen (Poissons konstanter) är lika stora för modell och strukturmaterial. Spänningsoptisk kartering kan i modifierad form och med större komplexitet tilllämpas också vid tredimensionella spänningstillstånd. Den intresserade hänvisas till speciallitteratur inom ämnesområdet.

Om istället för monokromatiskt ljus vitt ljus riktas mot polarisatorn, kommer varje stråk på analysatorns baksida att innehålla spektrums alla färger, beroende på att ljusvåglängden ej är konstant för vitt ljus utan innehåller samtliga för ögat synliga våglängder. Spänningsoptik kan också användas på ogenomskinliga strukturer genom att spruta på eller limma fast ett transparent, optiskt anisotropt plastskikt på dess yta och analysera det reflekterade ljuset. 65

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 66

4. deformation, förskjutning och töjning

4.5.2 Trådtöjningsgivare Redan vid mitten av 1800-talet beskrev den brittiske fysikern lord William Kelvin (1824 –1907) hur den elektriska resistansen hos en metalltråd utsatt för dragning förändrades. Förändringen orsakas dels av trådens förlängning och dess minskning av tvärsnittsarean, dels av att även resistiviteten förändras. Någon praktisk användning för mätändamål fick denna upptäckt inte förrän långt senare, vid slutet av 1930-talet, då de första trådtöjningsgivarna (ttg) såg dagens ljus.

Trådtöjningsgivare bestod ursprungligen av en trådslinga av ledande material, vanligen konstantan, limmad mellan en bas och en täckfolie enligt figur 4.10. Basen limmas till mätobjektets yta. När basen töjs eller krymper vid mätobjektets belastning följer såväl trådslinga som täckfolie med i rörelsen. Slingan avslutas med lödanslutningar för yttre ledare. I fuktig miljö täcks hela givaren med ett fuktskydd, som påförs ovanpå täckfolien och får härda. Vanligen är tråddiametern 0,02 mm. Folie- och bastjockleken ligger mellan 0,02 och 0,1 mm. De klena dimensionerna gör givarna relativt ömtåliga vid hantering och applicering, men sedan de väl limmats på plats är de tämligen robusta, eftersom godset i provobjektet fungerar som en förstyvning av givaren. I nyare givartyper är tråden ersatt av en etsad metallfolie enligt figur 4.11. Trots att givarna saknar tråd, kallas givartypen fortfarande ofta trådtöjningsgivare, ibland folietöjningsgivare. Det finns även givare där själva täckfolien utgörs av ett halvledarskikt. Sådana givare kan vara med eller utan bas. Om bas saknas, limmas halvledarskiktet direkt på mätobjektet.

Utvärderingsexemplar

Trådtöjningsgivare finns i många utföranden och i storlekar från ett par mm upp till dm. För att göra töjningsmätningar i flera riktningar, finns givare där två eller tre slingor med olika orientering kombinerats i en och samma givare, ttg-rosetter.

Anslutning

Täckfolie

Bas Figur 4.10 Principiellt utförande av trådtöjningsgivare baserad på tråd.

Figur 4.11 Principiellt utseende av trådtöjningsgivare av metallfolietyp.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 67

4. deformation, förskjutning och töjning

Givarfaktorn, k, för en ttg definieras som ∆R

k= R ∆L L

(4:10)

Här betecknar ∆R/R den relativa resistansändringen för en linjär töjning, ε = ∆L/L. Det är önskvärt att givarfaktorn utgör en konstant, d v s att den är oberoende av töjningen. Ett material som uppfyller denna önskan är konstantan. En sådan ttg blir linjär, d v s resistansändringen blir proportionell mot den linjära töjningen i givarens mätriktning. Trådtöjningsgivare levereras med uppgift om givarfaktorn med toleranser. Konstantan har en givarfaktor av storleksordningen k ≈ 2,0. Om mätobjektet utgörs av stål, ger en så hög dragspänning som 200 MPa en töjning av cirka 10– 3, (1000 µstrain). Med en givarfaktor av 2,0 innebär detta en relativ resistansändring av ∆R/R ≈ 2 · 10– 3, d v s en tämligen liten förändring. Det aktiva materialet i halvledargivare utgörs vanligen av P- eller N-ledande kisel. Det första materialslaget medför en positiv givarfaktor, det senare en negativ. Storleksordningen hos givarfaktorn ligger för dessa givartyper mellan 80 och 200. Fördelen med en högre givarfaktor får vägas mot nackdelen, att dessa givartyper har klart sämre linearitet än de metalliska. Resistansen hos metalliska givare kan ofta väljas till värdena 120 Ω, 300 Ω, 350 Ω, 500 Ω och 1000 Ω. Halvledargivare finns dels med resistanser i intervallet 50 Ω till 500 Ω, dels i intervallet 2,0 kΩ till 10 kΩ.

Utvärderingsexemplar

För att givare inte skall värmas upp av effektutvecklingen i dessa, föreskriver tillverkarna maximalt tillåtna strömstyrkor. Upp till 500 Ω resistans brukar denna ligga mellan 20 µA och 60 µA.

Uppvärmning av provobjekt och/eller givare orsakar en längdökning. Om längdutvidgningskoefficienten är olika för givarmaterial och mätobjekt, kommer en uppvärmning att registreras som en töjning, även om provobjektet är fritt från töjningar, som orsakas av spänningar. För vanligt förekommande konstruktionsmaterial som stål, rostfritt stål, aluminium finns temperaturkompenserade givare, som eliminerar problematiken. För andra material kan variationer i temperaturen kompenseras genom att flera givare används och dessa sammankopplas elektriskt på lämpligt sätt. Det skulle föra för långt, att gå in på dessa metoder. Vid behov hänvisas till speciallitteratur i ämnet. För mätning av de små resistansförändringar som uppkommer med metalliska givare, används bryggmetoder. Dessa metoder används vanligen även vid halvledargivare, bl a för temperaturkompensering. Givare kopplas in i en, två eller alla fyra bryggrenarna. Läsaren förutsätts bekant med metodiken för Wheatstone-bryggor. Därför ägnas inget utrymme för denna vanliga mätmetod inom fysiken.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 68

4. deformation, förskjutning och töjning

Med modern produktionsteknik har ttg blivit ett billigt hjälpmedel för töjningsmätning. Användningen kräver emellertid lång erfarenhet förenad med goda kunskaper hos användaren för val av lim, fuktskydd, ledningsval, lödning och korrekt givarapplicering liksom insikt i de fel som kan uppkomma genom tvärkänslighet, temperaturkänslighet, olinjaritet, krypning, termo-emk i anslutningspunkterna, m m.

Utvärderingsexemplar

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 69

5 Materialprovning Konstruktionsmaterial provas med avseende på en mängd fysikaliska och kemiska egenskaper. Detta kapitel behandlar endast provförfaranden för en delmängd av fysikalisk provning; nämligen mekaniska egenskaper. För en mer uttömmande beskrivning av provningsmetoderna hänvisas till [2].

Utvärderingsexemplar

5.1 Dragprovning

Hållfastheten hos en strukturdel påverkas förutom av materialet, både av belastningens karaktär och av delens form. För att på ett användbart sätt kvantifiera hållfastheten hos ett material krävs därför, att provningen standardiseras. Såväl vad gäller provförfarandet som provobjektets form. Det vanligaste och enklaste provet är dragprovet. Under en viss dragkraft ger dragprovet en endimensionell normalspänning i dragriktningen. Vid ett dragprov utsätts raka provstavar med tämligen stor längd relativt övriga dimensioner för motriktade axiella dragkrafter, se figur 5.4. Stångtvärsnittet kan vara cirkulärt eller vid provning av plåt rektangulärt, figur 5.1. För att överföra dragA

Snitt A - A

A a)

Snitt A - A

A b)

Figur 5.1 Dragprovstavar. a) rundstång, b) rundstång med gänginfästning, c) plattprovstav.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 70

5. materialprovning

kraften till provstavsändarna, utformas dessa på olika sätt. Provstavar med cirkulärt tvärsnitt tillverkas endera med gängade ändpartier eller med släta, cirkulärcylindriska ändpartier enligt figur 5.1. Den senare provstavstypen liksom provstavar av plåt fästs i dragprovmaskinen med kilformade backar. För att infästningsområdet inte skall utgöra den mest påkända delen av provstaven, utförs provstavsändarna med större dimensioner än resten av provstaven. För dimensioner, ytfinhet, draghastighet, m m, hänvisas till gällande standarder. Vid provningen ökas dragkraften F långsamt, ofta fram till brott. Dragkraften alstras i moderna dragprovmaskiner av en eller flera hydraulcylindrar eller i mindre maskiner elmekaniskt. Maskiner finns i många olika utföranden och för dragkrafter från några hundra N upp till några MN. I provstaven uppstår en dragspänning, som i dess centrala parti och innan kraften blivit alltför stor, kan anses jämnt fördelad över tvärsnittet och därför skrivas som σ=

F A0

(5:1)

där A0 är provstavens tvärsnittsarea i det centrala provstavspartiet och vid obelastat tillstånd. Spänningen kallas ibland nominell, eftersom den baseras på provstavens ursprungliga och ej på dess momentana tvärsnittsarea. Av (5:1) framgår, att enheten för spänning blir kraft per ytenhet, t ex N/m2 (Pa). För att få rimligt antal siffror används oftast istället N/mm2 (MPa).

Utvärderingsexemplar

Den axiella förlängningen bestäms genom att mäta avståndet mellan två punkter på ytan av provstavens centrala parti. För rundstavar väljs avståndet (mätlängden L0) normalt till 5 gånger diametern, alternativt till 10 gånger diametern. Mätavståndet kallas ”halv” respektive ”hel” normalmätlängd. De för dessa mätlängder vid brottögonblicket uppmätta förlängningarna betecknas δ5 respektive δ10 , nyare beteckningar A5 respektive A10. Vid belastning förlängs provstaven. Avståndet mellan mätpunkterna ökar till L = L(L0, A0, F). Förlängningen definieras som δ = L – L0

(5:2)

och den linjära eller nominella töjningen i dragriktningen som e = ε Nom =

L − L0 L0

(5:3)

Om en graf över σNom = σNom(εNom) = σNom(e) uppritas, fås för många material, och speciellt för metaller, en kurva, som kan se ut enligt figur 5.2. För utpräglat mjuka och sega stålsorter erhålls istället en kurvform enligt figur 5.3.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 71

5. materialprovning

5.1.1 Proportionalitetsgräns Upp till proportionalitesgränsen, σp, är sambandet mellan spänning och töjning linjärt. Kurvans eller snarare linjens lutning upp till denna punkt bestäms av dess lutningskoefficient enligt sambandet σNom = EεNom = Ee

(5:4)

Proportionalitetskonstanten E kallas materialets elasticitetsmodul eller kortare Emodul och får enheten Pa, eller för konstruktionsmaterial oftast GPa. Ju högre Emodul, desto mindre töjning för en given spänning, d v s desto styvare material. För stål ligger E-modulen runt 206 GPa och för aluminiumlegeringar runt 70 GPa. E-modulen varierar endast obetydligt med olika legeringshalter och materialets värmebehandling, exempelvis härdning. Proportionalitetsgränsen är svår att bestämma noggrant, eftersom den beror på den använda mätutrustningens upplösningsförmåga. Hög upplösning ger ett lägre värde på proportionalitetsgränsen än en låg upplösning. Av detta skäl anges sällan eller aldrig proportionalitetsgränsen i materialtillverkarnas datablad. I allmänhet anses proportionalitet råda upp till i närheten av sträckgränsen, se nedan.

!Utvärderingsexemplar 5.1.2 Sträckgräns och resttöjningsgräns

Sträckgränsen, σs, nyare beteckning Re , anger den nominella spänning upp till vilken materialet är elastiskt, d v s återtar sin ursprungliga form och storlek efter avlastning. Vid belastning över sträckgränsen är deformationen plastisk. Efter avlastning återstår en del av den deformation/förlängning/töjning, som uppkommit under belastningen. Sträckgränsen kan vara mer eller mindre utpräglad för olika material. Den ersätts därför ibland med resttöjningsgräns, σ0,2, nyare beteckning Rp0,2, som anger den σ Nom σB

Brott

σB

σ Nom

Brott

σ sö σ su

σs σp

ε Nom = e

Figur 5.2 Nominell σ-ε-kurva för metalliska material i allmänhet.

ε Nom = e Figur 5.3 Nominell σ-ε-kurva för mjuka (sega) stålsorter.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 72

5. materialprovning

nominella spänning vid vilken en kvarstående plastisk töjning av 0,2% uppkommer vid avlastning. För mjuka stålmaterial anges vanligen två värden på sträckgränsen, övre sträckgräns, σsö, nyare beteckning ReH och undre sträckgräns, σsu, nyare beteckning ReL, se figur 5.3.

5.1.3 Brottgräns Den nominella spänningen uppnår ett maximum långt innan brott sker i provstaven, se figur 5.2 och 5.3. Fram till maximipunkten för nominell spänning är deformationen homogen och spänningstillståndet enaxligt. När spänningen når sitt maximum, bildas en mer eller mindre utpräglad midja eller åtsnörning någonstans i den del av provstaven, där dennas tvärsnittsarea är som minst, figur 5.4. Härvid uppstår i midjeområdet ett treaxligt spänningstillstånd och spänningen i dragriktningen är inte längre jämnt fördelad över tvärsnittet. Fortsatt deformation efter inträdande midjebildning sker praktiskt taget uteslutande i midjeområdet.

σ-ε-kurvans karaktär med en avtagande gren gör det olämpligt att använda viktbaserade dragprovningsmaskiner. Till höger om maxpunkten måste ju dragkraften sjunka, om jämvikt skall vara möjlig. Om denna minskning inte görs tillräckligt snabbt, sker en accelererande förlängning av provstaven, vilket ofelbart leder till brott i densamma. För att upprätthålla jämvikt till höger om maxpunkten, måste dragkraften snabbt reduceras. Detta sker genom att istället för att styra dragkraften, styra förskjutningshastigheten. D v s reglera provstavens förlängningshastighet till ett konstant, inställbart värde.

Utvärderingsexemplar

Till höger om maxpunkten råder vad som kan betraktas som instabilitet. Orsaken till detta är, att i det område där midjan utbildas, reduceras den verkliga tvärsnittsarean kraftigt från sitt jungfruliga värde, A0. Härvid kommer den verkliga spänningen i dragriktningen att bli större än σNom. Ju smalare midjan blir, desto felaktigare blir σNom som mått på den verkliga spänningen i tvärsnitten i midjeområdet. Den minskning av σNom som kan iakttas i σ-ε-diagrammet motsvaras i själva verket av en faktisk ökning av dragspänningen i området med midjebildning. Men eftersom den maximala last, brottlasten FB, som kan anbringas, bestäms av spänningen i kurvans maxpunkt, definieras materialets brottgräns, σB, nyare beteckning Rm, som värdet av σNom i maxpunkten

Figur 5.4 Midjebildning vid dragprov.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 73

5. materialprovning

Vid stora deformationer är nominell spänning och nominell töjning inte lämpliga för att återspegla de verkliga förhållandena. Istället används sann spänning respektive sann töjning. Den senare har definierats i avsnitt 4.4, ekvationerna (4:7) och (4:8). Sann spänning definieras som σ=

F A

(5:5)

där A är den minsta, momentana tvärsnittsarean. Denna area är inte som vid beräkning av nominell spänning konstant under dragprovet. Istället avtar den med växande dragkraft. Till höger om maxpunkten i figur 5.2 och 5.3 blir reduktionen av A ytterst kraftig p g a midjebildningen. Så länge deformationen i provstaven är homogen, d v s innan en midja börjat utbildas, finns enkla samband mellan sanna och nominella storheter. Härvid utnyttjas det faktum, att volymändringen inom det plastiska området uteslutande är av elastisk karaktär. Den volymändring som uppträder vid ökad belastning inom det plastiska området, försvinner därför helt och hållet vid avlastning. Den elastiska volymändringen bestäms av de elastiska töjningarna, vilka är mindre eller mycket mindre än de plastiska töjningarna. För exempelvis stål uppgår de elastiska töjningarna vid dragbrottgränsen till storleksordningen 2,5 · 10– 3 i dragriktningen och till – 0,75 · 10– 3 tvärs densamma. Den maximala relativa volymändringen av ett kubiskt element med sida 1,000 blir därmed av storleksordningen

Utvärderingsexemplar

1,0025 · 0,999252 – 1,000 ≈ 0,0010 = 0,1%.

Utan större fel kan volymen därför betraktas som konstant vid homogen, plastisk deformation. Med momentan mätlängd L och momentan tvärsnittsarea A, gäller då för den volym V, som befinner sig mellan mätområdets gränser att: V = A0L0 ≈ AL

(5:6)

som insatt i tidigare ekvationer leder till σ=

 L − L0  F FL L ≈ = σ Nom = σ Nom  + 1 = A A 0L 0 L0  L0 

= σ Nom ( ε Nom + 1) = σ Nom (1 + e)

(5: 7)

som anger sambandet mellan sann och nominell dragspänning (så länge deformationen är homogen). Utgående från ekvation (4:8) erhålls vidare ε = ln

 L − L0  L = ln  + 1 = ln( ε Nom + 1) = ln(1 + e ) L0  L0 

(5:8)

som anger sambandet mellan sann och nominell töjning.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 74

5. materialprovning

Om en graf över sann spänning som funktion av sann töjning (en sann σ-ε-kurva) ritas upp till maxpunkten för ett material med en nominell σ-ε-kurva enligt figur 5.5 a), kan denna se ut som figur 5.5 b) illustrerar. För att expandera den sanna σ-ε-kurvan in i området för midjebildning (inhomogen deformation), måste dels den i detta lastområde över tvärsnittet varierande spänningen i dragriktningen räknas om till ett medelvärde, σ–, dels den sanna töjningen i det minsta tvärsnittet i midjan kunna kvantifieras. Metoder att beräkna medelspänningen ur midjeområdets momentana geometriska form har tagits fram av P. W. Bridgman respektive av N. N. Davidenkov tillsammans med N. I. Spridonova. En utförlig bakgrund till de korrektionsfaktorer, som kommer till användning i detta sammanhang återfinns i [1]. Bridgman har även visat, att deformationen i det minsta tvärsnittet är homogen, i motsats vad som gäller i midjeområdet i övrigt. Därmed är villkoret om volymkonstans tillämpbart på ett tunt skivelement innehållande det minsta tvärsnittet. För exempelvis en rundprovstav med ursprungsdiameter d0 och momentan minsta diameter d innebär volymkonstansen för skivelementet inom det plastiska området att: πd 02

∆x 0 =

πd 2

∆x

där ∆x0 respektive ∆x är tjockleken av skivelementet vid respektive belastning. Det sanna töjningstillskottet i det minsta tvärsnittet sedan midjebildningen börjat, erhålls som:

Utvärderingsexemplar 2

σ d 4F πd 02  d 0  ε = ln = 2 ln 0 ⇒ = =   = eε ⇒ d σ Nom πd 2 4F ∆x 0  d ∆x

⇒ σ = σ Nome ε = σ Nom (1 + ε Nom )

σ σ Nom σB σs σp

ε Nom = e a) Figur 5.5 σ-ε-kurva upp till brottgräns σB , a) nominell kurva, b) sann kurva.

ε b)

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 75

5. materialprovning σ σ Nom

Brott

σB σs σp

Brott

ε Nom = e a)

ε b)

Figur 5.6 Komplett σ-ε-kurva till brott, a) nominell kurva, b) sann kurva.

Med σ enligt detta uttryck och ε enligt (5:8), samt kännedom om σNom = = σNom(εNom), kan den sanna σ-ε-kurvan utsträckas in i midjebildningsområdet. Inte oväntat visar sig den sanna spänningen vara en monotont växande funktion av den sanna töjningen och kan te sig som figur 5.6 b) visar.

!Utvärderingsexemplar 5.1.4 Kontraktion

Midjebildningen kan vara mer eller mindre utbildad beroende på materialet i och värmebehandlingen av provstaven. Spröda material som glas och gjutjärn uppvisar nästan ingen midja efter brott. Sega material som låglegerade kolstål uppvisar däremot en markant midjebildning strax innan och efter brott, figur 5.9 a). Den relativa ändringen av tvärsnittsytans storlek vid brottytan ger en fingervisning om materialets sprödhet eller den motsatta egenskapen seghet. Ett kvantitativt mått på den senare egenskapen är kontraktionen Ψ, nyare beteckning Z, definierad som Ψ=Z=

A0 − A B A0

(5:9)

där A0 är den initiala tvärsnittsarean inom mätlängden. AB är den vinkelrätt mot dragriktningen projicerade arean av brottytan. Kontraktionen, som är utan enhet, anges ofta i procent. En stor kontraktion innebär kraftig midjebildning och indikerar ett segt material. Liten kontraktion svarar mot obetydlig midjebildning och ett sprött material. Sega material deformeras kraftigt strax före brott och har därmed större förmåga än spröda material att ta upp energi innan de brister. För vissa komponenter, t ex tryckkärl och gasflaskor får med hänsyn till sprängrisken endast föreskrivna material med utpräglad seghet användas.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 76

5. materialprovning

Tryckkärl och gasflaskor är inte de enda komponenter som är underkastade tvingande normer och besiktningsplikt. Sådana normer finns bl a för cisterner, kranar, hissar, lyftdon, ångpannor. Som beräkningsingenjör är det nödvändigt att inför varje uppdrag förvissa sig om, vilka normer och rekommendationer som är tilllämpliga för de ingående systemdelarna.

5.1.5 Upprepade på- och avlastningar, flytning

Om dragprovet avbryts innan brott uppträder och dragkraften reduceras, sker avlastningen längs en rät linje i σ-ε-diagrammet, se figur 5.7. Linjen har samma lutning som vid initial pålastning. Avlastningen kan vara total, d v s dragkraften kan nedgå till noll. Alternativt kan avlastningen vara partiell, varvid en viss dragkraft kvarstår. Även om dragkraften reduceras så mycket, att den övergår i en tryckkraft, talar man ibland om avlastning. Vid avlastning från en spänning överskridande sträckgränsen, uppstår en permanent, plastisk förlängning, när dragkraften σ Nom upphör helt. Förnyad pålastning följer σB nästan samma linje upp till den jungfruliga σ-ε-kurvan för att vid ytterligare ökσs ning av dragkraften följa denna kurva. När brytpunkten mellan den räta linjen och σ-ε-kurvan uppnås, sägs materialet flyta. Flytning i jungfruligt material sker, ε Nom = e när sträckgränsen uppnås. Flytning vid förnyad pålastning efter avlastning från Figur 5.7 en spänning som överskridit sträckgränσ-ε-kurvor vid upprepade på- och sen, sker alltså vid en högre dragspänning avlastningar. än sträckgränsen.

Utvärderingsexemplar

Att förloppet vid avlastning från en spänning som överskridit sträckgränsen, inte blir reversibelt, orsakas av två fenomen. De kallas Bauschingereffekt respektive deformationshårdnande, och faller utom ramen för denna bok. Effekten kan utnyttjas i högbelastade konstruktioner. Så utsätts t ex eldrör till kanoner för ett högt inre gastryck vid eldgivning. För att eldrören inte skall bli tyngre än nödvändigt, utförs de med så liten godstjocklek som möjligt. Men materialet får inte börja flyta, eftersom detta skulle innebära en ökning av rörets innerdiameter efter första skottet. För att kringgå problemet tillverkas eldrören med något för liten innerdiameter. Därefter förses eldrörets ändar med tätslutande lock. Olja pumpas in i eldröret under så högt tryck, att viss plasticering av rörmaterialet sker. När oljetrycket avlägsnas, har rörets innerdiameter ökat till korrekt mått, eftersom en kvarstående deformation uppkommit p g a sträckgränsens överskridande. Sam-

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 77

5. materialprovning

tidigt har marginalen till flytning höjts, eftersom förnyad flytning nu sker vid en högre påkänning än vid materialets sträckgräns. Metoden att på detta sätt förhöja spänningsnivån vid flytning kallas autofrettering eller autofrettagebehandling. Termerna nedskakning och shakedown används likaså för detta sätt att utöka det elastiska arbetsområdet.

5.1.6 Instabilitet vid dragprovning

Vid ett dragprov ökar den sanna dragspänningen ända fram till brott. Däremot avtar dragkraften, F, när en midja börjar bildas. Den största last som provstaven kan utsättas för, motsvaras alltså av kraften vid begynnande midjebildning. I σ-ε-grafen svarande mot maxvärdet av σNom. Om dragkraften inte reduceras sedan maxpunkten uppnåtts, blir resultatet endast en acceleration av provstavens förskjutbara ände. En snabb förlängning av provstaven med åtföljande brott följer. Den maximala dragkraften vid jämvikt definierar alltså gränsen för begynnande instabilitet vid dragprovet.

I en nominell spännings-töjnings-graf kan instabilitetspunkten lätt lokaliseras, eftersom den motsvaras av det maximala värdet av σNom. Men en sann spänningstöjningskurva är monotont växande. Instabilitetspunkten kan därför inte lokaliseras på samma enkla sätt. Om villkoret om volymkonstans (som gäller upp till instabilitetspunkten) utnyttjas, kan en metod att lokalisera instabilitetspunkten i ett sant σ-ε-diagram härledas enligt följande:

Utvärderingsexemplar

F = σA =

σA 0L 0

L 0 (1 + e )

σA 0

1+ e

Den maximala dragkraften fastställs genom derivering av uttrycket ovan. 0 = dF = σdA + Adσ som kombinerat med volymkonstansvillkoret: 0 = dV = LdA + AdL samt derivering av (5:8) resulterar i: −

dA dσ dL de = = = dε = 1+ e A L σ

Den maximala dragkraften bestäms alltså ur något av villkoren: dσ =σ dε

(5:10)

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 78

5. materialprovning σ

Instabilitet inträder

ε 1

e 1

Figur 5.8 Grafisk konstruktion för lokalisering av instabilitetspunkten vid dragprov a) vid sann spänning, sann töjning, b) vid sann spänning, linjär töjning.

eller dσ σ = de 1 + e

(5:11)

Instabilitetspunkten lokaliseras därmed, genom att i den sanna σ-ε-grafen först lägga in ett antal tangenter till kurvan. Den tangent, vars projektion på ε-axeln mellan tangeringspunkten och skärningspunkten med ε-axeln blir 1, satisfierar ekvation (5:10). Och denna tangents tangeringspunkt med σ-ε-kurvan svarar mot instabilitetspunkten, figur 5.8 a).

Utvärderingsexemplar

Om en graf illustrerande sann spänning som funktion av linjär töjning föreligger, inläggs istället en genom punkten (–1, 0) passerande tangent till kurvan enligt figur 5.8 b). Den på så sätt erhållna tangeringspunkten svarar mot instabiltetspunkten.

5.2 Tryckprov Tryckprov utförs på cylindriska provkroppar alternativt på rätblockskroppar. Provet borde snarare heta tryckprovning än tryckprov. Med tryckprovning avses emellertid med gängse språkbruk provning av tryckkärl. Vid provet pressas provkroppens ändytor samman mellan två planparallella plattor. Tryckkraften och förkortningen av en fastställd mätlängd registreras, och en σ-ε-kurva tas fram på motsvarande sätt som vid dragprovning.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 79

5. materialprovning

Vanliga material som utsätts för tryckprov är gjutjärn, lagermetaller och betong. För många andra material, t ex stål, blir σ-ε-kurvan vid tryckprov en spegelbild av kurvan för dragprovning av samma material. Men gjutjärn och betong är exempel på material som uppvisar betydligt högre brottgräns vid tryck än vid dragning. Vid tryckprov minskar provkroppens dimension i tryckriktningen och strävar att öka i de båda häremot vinkelräta riktningarna. I kontaktytan mellan provkroppen och pressplattorna alstras därför friktionskrafter. Dessa leder till skjuvspänningar på provkroppens ändytor och därmed inte en renodlad tryckbelastning. Friktionskrafternas inverkan kan reduceras genom lämpligt smörjmedel, användning av mjuka mellanläggsplattor eller svagt konisk utformning av pressplattorna. Skjuvspänningarnas inverkan är begränsad till ett område i närheten av pressplattorna. Ett sätt är därför att tillverka provkroppar med lång utsträckning i tryckriktningen. Längden begränsas dock av risken för att en utböjning av provkroppen skall ske, s k knäckning. Sträckgränsen vid tryck kallas även stukgräns för att indikera att det handlar om tryck. Det kan synas märkligt, att det går att trycka en provkropp till brott. Förklaringen ligger i, att brottytan inte som är vanligt vid dragprovning, blir nästan vinkelrät mot kraftriktningen, utan istället ser ut som figur 5.9 b), ibland c) visar.

Utvärderingsexemplar

Figur 5.9 Karaktäristisk orientering av brottytor vid a) dragprov, b) och c) tryckprov.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 80

5. materialprovning

5.3 Krypprovning Med krypning avses en mycket långsam plastisk deformation under inverkan av en spänning/last. Figur 5.10 visar några typiska utseenden av sambandet mellan töjning och tid vid några olika spänningsnivåer. De kurvor i figuren som ligger högst, är utsatta för hög spänning och omvänt. Vid höga spänningar uppkommer så småningom ett krypbrott, föregånget av en ökande kryphastighet. Förloppet fram till brott kan indelas i fyra väsensskilda faser: • • • •

initialtöjning motsvarande statisk belastning vid dragprov (a) avtagande töjningshastighet (b) konstant töjningshastighet (c) tilltagande töjningshastighet (d)

Den tidsmässigt längsta fasen vid i strukturer förekommande spänningsnivåer, är fas (c). Fas (d) uppträder endast om spänningen är tillräckligt hög. Krypningen ökar med materialtemperaturen, varför en krypkurva utan temperaturangivelse saknar värde. Krypprovning sker genom dragning av provstavar i viktbelastande maskiner. Önskad temperatur åstadkoms genom att provstaven är innesluten i en liten ugn. Efter hand som krypningen fortgår, ökar provstavens längd, medan dess tvärsnittsarea avtar. Eftersom dragkraften alstras av vikter medför detta, att den sanna dragspänningen stiger. För att kompensera spänningsökningen är vikten på vissa maskintyper till del nedsänkt i en vattenbehållare. Efterhand som vikten sjunker ned i vattnet ökar deplacementet liksom vattnets lyftkraft. Genom att utforma vikten på ett bestämt sätt, kan den sanna spänningen hållas konstant under provet.

Utvärderingsexemplar

Kryptöjningsgränsen, σc, nyare beteckning Rε, definieras som den spänning som under angiven tid och temperatur ger en likaså angiven plastisk töjning, vanligen 0,2%, 0,5% eller 1%. Förekommande tider är 100 h, 1 000 h, 10 000 h och

töjning Krypbrott

tid

Figur 5.10 Kryptöjning som funktion av tid vid några olika dragspänningar.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 81

5. materialprovning

100 000 h. Kryptöjningsgränsen vid en plastisk töjning av 0,5% under 10 000 h vid 600°C tecknas som Rε 0,5/10 000/600 . 100 000 timmar motsvarar cirka 12 års oavbruten provning. Om belastningen upphör under den aktuella provtiden, sker en viss återhämtning av materialet, varför resultatet blir missledande. Detta är det avgörande skälet, för att åstadkomma dragkraften genom viktbelastning, eftersom på annat sätt åstadkommen belastning skulle medföra negativa konsekvenser på resultatet vid t ex strömavbrott. Provning måste företas vid olika spänningsnivåer för att fastställa kryptöjningsgränsen. De längsta provtiderna används därför sällan. Detta med avsikt att nedbringa tiden för varje prov och därmed reducera antalet behövliga utrustningar. Trots detta är det inte ovanligt, att ett kryplaboratorium innehåller 25 till 100 krypprovmaskiner. För långa brukstider behövs då ett sätt att överföra resultat från kortare provtider. Den spänning som vid 650°C ger en töjning av 1% på 10 000 timmar, betecknas Rε 1/10 000/650. Extrapolation av detta värde för att exempelvis finna ett värde på Rε 1/100 000/650 är vansklig, men brukar göras med sambandet R ε 1 / 100 000 / 650 ≈ R ε 1 / 10 000 / 650 ⋅10

−

1 n

(5:12)

Faktorn n, kallad Nortons exponent, ligger för stål i intervallet 2 till 7 och brukar framgå av datablad för material. För andra material än stål, brukar krypdata sällan finnas tillgängliga.

Utvärderingsexemplar (m)

Materialets krypbrottgräns, σ cB , nyare beteckning Rkm, definieras som den nominella dragspänning som alstrar krypbrott efter 10m timmar. Om krypbrott uppnås efter 1 000 h vid 625°C vid en spänning av 200 MPa, tecknas krypbrottgränsen (3) som σ cB = 200 MPa eller som Rkm 1 000/625 = 200 MPa. Även krypbrottgränsen brukar för m > 5, svarande mot mer än 100 000 h provningstid, få extrapoleras (5) från en högre spänning, t ex ur värdet på σ cB . Hur detta går till redovisas inte här.

För metalliska konstruktionsmaterial kan krypning vid rumstemperatur försummas. För maskinkomponenter som arbetar i temperaturområdet över 400°C, måste däremot krypfenomenet beaktas. Och hit hör många komponenter i gasturbiner, ångturbiner, överhettare, destillationskolonner. Skovlarna i jetmotorernas gasturbiner måste med jämna mellanrum slipas av på längden p g a kryptöjning för att undvika att de skrapar i ledskenekransen.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 82

5. materialprovning

5.4 Hårdhetsprovning Ett materials hårdhet kan ses som dess motståndsförmåga mot plastisk formförändring vid en kropps inträngande i materialet. Beroende på den inträngande kroppens form och dess egen deformationsförmåga, kommer den plastiska formförändringen att bli olika för materialet. Hårdheten är med andra ord starkt kopplad till den inträngningskropp som används. Ett antal olika intryckskroppar och provförfaranden har därför standardiserats. De vanligaste provmetoderna beskrivs kortfattat i det följande.

5.4.1 Brinellprov Vid detta prov pressas en kula med diameter D mot provobjektet med tillräcklig kraft, F, för att åstadkomma ett permanent avtryck i form av en sfärisk kalott, figur 5.11. Kulor med diameter 2,5 mm, 5 mm och 10 mm används. För stål och liknande material väljs kraften så, att kvoten F/D2 uppgår till cirka 300 N/mm2. För 10 mm kuldiameter ger detta en erforderlig kraft av 30 kN. Kvoten d/D (se figur 5.11) tillåts variera mellan 0,20 och 0,50.

Utvärderingsexemplar

Sedan kulan avlägsnas mäts kalottens diameter, d. Kalottens area, Ak, bestäms av sambandet D D2 d 2  A k = πDt = πD  − − . 2 4 4  

Brinellhårdheten, HB, bestäms ur kvoten HB = F/Ak. I detta sammanhang har emellertid SI-enheter inte lyckats slå igenom. F uttrycks nämligen fortfarande i den föråldrade enheten kilopond (1 kp = 9,81 N) och Ak i mm2. Brinellhårdheten

F ΦD

Φd t

Figur 5.11 Hårdhetsprov enligt Brinell.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 83

5. materialprovning

uttrycktes därför tidigare i enheten kp/mm2. I samband med införande av SI-enheter bibehölls enheterna kp och mm för kraft och längd vid flertalet av metoderna för hårdhetsmätning. Däremot anges numera själva Brinellhårdheten utan enhet, trots att den har dimensionen kraft/ytenhet, och därmed rätteligen borde få enheten Pa. Brinellprovning kan användas för hårdhet upp till 600 HB. Vid hårdheter över 450 HB bör hårdmetallkula (HBW) användas. Under detta gränsvärde används en kula av härdat stål (HBS). Vid angivande av hårdhet anges förutom det numeriska värdet av hårdheten även uppgift om vilken last och kuldiameter som använts. Ett prov med 5 mm stålkula och 750 kp (7,36 kN) kraft med resultat 380, betecknas sålunda 380 HBS 5/750. För kolstål och låglegerade stål råder ett tämligen linjärt samband mellan Brinellhårdhet och dragbrottgräns i MPa, som kan skrivas som σB = R m ≈

HB MPa 0, 3

5.4.2 Vickersprov

Utvärderingsexemplar

Vid hårdhetsprovning enligt Vickers pressas en fyrsidig, regelbunden, pyramidformad diamant med 136° toppvinkel in i materialet. Tryckkraften kan variera mellan 0,20 kp och 100 kp. Liksom vid Brinellprovning lever de gamla MKSA-enheterna kvar. Diagonalernas längd, d1 och d2 observeras. Storleken av intryckets area kan sedan beräknas eller hämtas ur en tabell. Vickershårdheten, HV, erhålls som vid Brinellprovet som kvoten mellan tryckkraften och intrycksarean enligt sambandet: HV =

1, 854 F  d1 + d 2     2 

Enheten för hårdhet blir därvid som vid Brinellprovning kp/mm2. I SI-systemet anges emellertid Vickershårdheten utan enhet med angivande av använd last, den senare i kp. Till exempel avser 630 HV 10 en Vickershårdhet av 630 vid en last av 10 kp (98,1 N). Vickersprov kan även utföras i speciella mikroskop med mycket låg last, mindre än 0,01 N. Man talar då om mikrovickersprov.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 84

5. materialprovning

5.4.3 Rockwellprov

Det finns flera olika Rockwellprov. Vanligast är Rockwell C (HRC), Rockwell N (HR30N) och Rockwell B (HRB). Rockwellprov baseras på inträngningsdjupet, vilket registreras på en mätklocka. Dennas skala har graderats så, att hårdheten direkt kan avläsas på mätklockan. Hårdhetsmätning enligt Rockwell är därför den snabbaste och enklaste metoden för hårdhetsmätning. Provningen sker genom att en förlast, F0, först läggs på, varpå mätklockan nollställs. Därpå anbringas en tillsatslast, F1, under 5 till 10 s, varpå avlastning till förlasten och avläsning av mätklockan sker. Rockwellhårdheten definieras som den sträcka, HR, uttryckt i faktorer av 0,002 mm, varmed intrycksdjupet, h, i mm understiger ett för respektive metod föreskrivet mått, H0. För Rockwell B gäller uttrycket: HRB = H0 −

h = H0 − 500h = 130 − 500h 0, 002

och för Rockwell C gäller: HRC = H0 −

h = H0 − 500h = 100 − 500h 0, 002

Utvärderingsexemplar

Vid provning enligt Rockwell C, som är den vanligaste provmetoden, är intryckskroppen en diamantkon med 120° toppvinkel och avrundad spets. Förlasten är 10 kp (åter MKSA-enheter), tillskottslasten 140 kp. Metoden är lämplig i intervallet 20 till 70 HRC. Vid provning enligt Rockwell N används samma intryckskropp som vid Rockwell C. Förlasten är dock endast 3 kp och tillskottslasten utgör 12, 27 eller 42 kp svarande mot beteckningarna HR15N, HR30N respektive HR45N. Metoden är lämplig i intervallet 40 till 90 HR30N. Vid provning enligt Rockwell B utgörs intryckskroppen av en stålkula med diametern 1/16 ". Förlasten är 10 kp, tillskottslasten 90 kp. Metoden är lämplig i intervallet 50 till 110 HRB.

5.4.4 Andra hårdhetsprov Utöver ovan beskrivna hårdhetsprov finns ytterligare metoder, t ex provning enligt Knoope och provning enligt skleroskopmetoden. Den senare metoden används vid prov på gummi och på kallvalsar av stål. Hårdheten anges i Shore C eller Shore D.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 85

5. materialprovning

För att kunna jämföra hårdhetsvärden erhållna med olika provningsmetoder, finns omvandlingstabeller utgivna av Jernkontoret, ASTM och Euronorm. En jämförelse mellan dessa tabeller avslöjar vissa skillnader i omvandlingsresultaten.

5.5 Slagseghetsprovning Slagseghetsprovning används för att undersöka den energiupptagande förmågan hos ett material vid brott. Provningen sker genom att en lättgående, runt en horisontell axel svängbar pendelhammare frigörs från vila från en viss utslagsvinkel. När pendeln når sitt lägsta läge, träffar den en i ett delat städ placerad provstav med standardiserad geometri. Provstaven brister på mitten och pendelns svängningsrörelse fortsätter med reducerad vinkelhastighet. Storleken av pendelns utslagsvinkel efter provstavens brott registreras på en skala. Utslagsvinkeln är ett mått på pendelns energi efter brottet. Prov företas utan och med provstav. Skillnaden i pendelns potentiella energi i de båda vändlägena (utan och med provstav) utgör den energi som åtgått, för att åstadkomma brott i provstaven. Arrangemanget framgår schematiskt av figur 5.12.

Utvärderingsexemplar

Vid den i Sverige vanligast förekommande provmetoden enligt Charpy utgörs provstavarna av 55 mm långa raka stavar med kvadratiskt tvärsnitt med sidlängd 10 mm. Mitt på provstaven är den försedd med U- eller V-formad skåra, en s k brottanvisning, enligt figur 5.13. Provstaven placeras med skåran vänd från pendelns rörelseriktning.

Vändläge utan provstav

Utgångsläge vid pendelns frisläppande

Pendelns rörelseriktning 5,0

Vändläge med provstav

8,0

Provstav

Figur 5.12 Slagseghetsprov i Charpy-hejare, schematisk bild.

Figur 5.13 Slagprovstavar för prov enligt Charpy U (övre bilden) och Charpy V (undre bilden).

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 86

5. materialprovning Slagseghet (Nm resp MN/m)

Charpy V

Charpy U Temperatur

Figur 5.14 Slagseghetens principiella temperaturberoende vid Charpy U och Charpy V.

Slagsegheten, som vid prov enligt Charpy U tidigare angavs i kpm/cm2, d v s energi per ytenhet, har i SI-systemet ersatts med MN/m och betecknas KCU eller ISOU. För slagprov enligt Charpy V användes förut enheten kpm, numera Nm, d v s energi och betecknas KV eller ISO-V. Slagsegheten för många metalliska material, bl a många stålsorter, sjunker med fallande temperatur. Förändringen är mer pregnant vid Charpy V än vid Charpy U. Orsaken är den mindre radien i skårans botten, som vid Charpy U är 1,00 mm, vid Charpy V 0,25 mm, innebärande en kraftigare brottanvisning för Carpy V-staven. Vid Charpy V erhålls ett högvärdesområde, ett omslagsområde och ett lågvärdesområde, vilket visas schematiskt i figur 5.14. I högvärdesområdet uppvisar Charpy V ett segt brott med betydande deformation. I lågvärdesområdet har brottet en spröd karaktär med obetydlig deformation. Temperaturspannet för omslagsområdet ligger för stål vanligen i det ur konstruktionssynpunkt ogynnsamma intervallet från –15°C till 15°C. Stål vars slagseghet endast provats vid rumstemperatur och med gynnsamt utfall, kan därför bereda obehagliga överraskningar vid användning utomhus vintertid.

Utvärderingsexemplar

Numeriska värden på sträckgräns och brottgräns som hämtats från provning kan direkt jämföras med beräknade spänningar i en struktur. Däremot är brottseghetsvärden, som erhållits vid prov inte jämförbara med någon beräkningsmässig motsvarighet. Istället får erfarenheten avgöra, om det tilltänkta materialet besitter tillräcklig brottseghet med hänsyn till användningstemperatur och lastkaraktär. Förutom provning enligt Charpy finns ytterligare provningsmetoder, t ex DVM, Mesnager, Izod, Carpenter.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 87

5. materialprovning

5.6 Utmattningsprovning Utmattning uppträder i strukturer, som utsätts för varierande last. Spänningen i en strukturdel kan vara en känd funktion av tiden (deterministisk) eller variera slumpmässigt. Deterministiska förlopp kan vara periodiska eller transienta. I sin enklaste form utgörs ett periodiskt förlopp av en harmonisk funktion, t ex en sinusformad variation med tiden. Det kan också bestå av upprepade, likadana transienter. Ett exempel på periodisk lastvariation med upprepade likadana transienter, är kuggbelastningen på hjulen i en växellåda som arbetar med konstant moment och varvtal. Var gång en kugg kommer i ingrepp, blir den lastbärande. Under resten av varvet är den obelastad. Upprepade transientlaster uppstår vid pålslagning, där varje slag ger en tämligen likartad stöt mellan fallvikten och pålen. Slumpmässigt varierande last uppstår på hjulspindeln till en bil, som framförs på en gropig väg. I ett sådant fall kan lasten inte i förväg beskrivas som funktion av tiden. En stor del av lastvariationen beror ju av slumpen. Förlopp vars momentanvärden beror av slumpen, kallas stokastiska och kräver kunskap om stokastiska processer för att kunna behandlas. Om lastnivån är tillräckligt hög, kan en varierande belastning leda till initiering av en spricka, vilken vid fortsatt drift fortplantas. Så småningom blir den resterande intakta godsmängden så liten, att den inte längre förmår uppbära den största förekommande lasten. Ett restbrott sker och haveriet är ett faktum. Utmattning sker vid en maximal spänningsnivå, som märkbart underskrider materialets brottgräns. I maskindelar med varierande belastning brukar man räkna med att uppåt 90% av alla brott orsakas av utmattning.

Utvärderingsexemplar

Eftersom det är en omöjlighet att genomföra provning med alla i verkligheten förekommande tidsmässiga variationer av spänningar, genomförs utmattningsprov med sinusformad spänningsvariation, eventuellt överlagrad på en konstant spänning. Om spänningens medelvärde är noll, kallas spänningen växlande. Om medelvärdet överensstämmer med amplituden, kallas spänningen pulserande. Språkbruket är något vacklande härvidlag. Växlande spänning definieras ibland som ett förlopp, där max- och minspänningen har olika tecken, medan med pulserande spänning avses ett förlopp där max- och minspänningen har samma tecken.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 88

5. materialprovning Spänningsamplitud, σ a (MPa) σB

σ ur Antal lastcykler till brott, N

10 0 0

10 1 1

10 2 2

10 3 3

10 4 4

10 5 5

10 6 6

10 7 7

10 8 10 9 8 9

N log N

Figur 5.15 Wöhlerdiagram för stål i icke korroderande miljö.

En stor spänningsvariation leder till brott efter färre antal lastväxlingar än en liten. Detta framgår av s k Wöhlerdiagram, uppkallat efter den tyske ingenjören August Wöhler (1819 –1914). Diagrammen visar livslängden i antal lastväxlingar som funktion av exempelvis spänningsamplituden. Ett principiellt sådant diagram för stål i icke korroderande miljö visas i figur 5.15. Märk att axeln för antal lastväxlingar har logaritmisk skalning.

Utvärderingsexemplar

Mellan N = 106 och N = 107 lastväxlingar planar Wöhlerkurvan för stål ut (om korrosion ej förekommer). Den spänningsamplitud vid vilken kurvan planar ut kallas materialets utmattningsgräns och betecknas med någon av symbolerna σur, σub, σubp, σup eller σu beroende på vilket slags lastvariation som använts vid provet. En mer generell symbol för utmattningsgränsen, vilken dock ej anger vad slags prov det gäller, är σD.

Utmattningsprov kan företas som växlande tryck och dragning (symbol σu), pulserande tryck och dragning (symbol σup), roterande böjning (symbol σur), växlande böjning (symbol σub), pulserande böjning (symbol σubp), växlande vridning (symbol τuv), pulserande vridning (symbol τuvp). Utmattningsprov i tryck och dragning har stora likheter med ett dragprov. Men istället för att anbringa en konstant last, varieras denna. Utmattningsmaskiner för detta slags provning är hydrauliska och last-/spänningsvariationen genereras genom sinusformig styrning av oljetrycket. För lägre lastnivåer finns även elektromagnetiskt verkande maskiner. Dessa letar upp provobjektets egenfrekvens genom att svepa igenom ett brett frekvensområde. Därpå får lasten variera med en frekvens, som stämmer överens med egenfrekvensen. Effektförbrukningen blir därmed mycket liten.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 89

5. materialprovning

Samma maskiner kan användas för böjning. Provstaven uppläggs på stöd i ändarna och belastas med en kraft, vanligtvis vid provstavens mitt. Provstaven kommer därmed att utsättas för böjning. Vid roterande utmattning används en cirkulärcylindrisk provstav, monterad i lager enligt figur 5.16. Den fria änden belastas via ett lager med en konstant kraft, varpå provstaven sätts i rotation av en motor. Stavens övre halva utsätts härvid för dragspänningar, dess nedre halva för tryckspänningar. Genom rotationen kommer därför varje punkt i provstaven att växelvis utsättas för positiv och negativ spänning. Vid roterande böjning kan endast en rent växlande spänning åstadkommas. Vid utmattningsprovning utsätts en serie provstavar för olika spänningsnivåer och belastas med så många lastväxlingar, att brott inträffar. Eftersom spridning i utmattningsdata är stor, måste ett betydande antal prov ske vid varje spänningsnivå. Provningstiden blir därför lång, speciellt vid spänningar som ligger i närheten av utmattningsgränsen. För stållegeringar avbryts provet vanligen vid N = 0,5 · 107 lastväxlingar, om brott ej skett fram till dess. Vissa metaller såsom aluminiumlegeringar saknar utmattningsgräns. Av detta skäl görs prov på sådana material ända upp till N = 108 . Ur resultaten från utmattningsprovning brukar förutom Wöhlerdiagram också Haighdiagram eller Goodmandiagram konstrueras. Hur detta går till och vad diagrammen illustrerar, behandlas i kapitlet om utmattning.

Utvärderingsexemplar

Utmattningsprovning utförs i laboratoriemiljö under kontrollerade former. Prov sker med provstavar vars geometri och ytfinhet är väl definierad. Att jämföra verkliga spänningar i en struktur med provdata innebär många fallgropar även för en erfaren beräkningsingenjör. Utmattningshållfastheten i en reell struktur påverkas av många faktorer, som inte föreligger vid utmattningsprovningen. Hål, spår, hålkälar och andra brottanvisningar reducerar den faktiska utmattningshållfastheten. Detsamma gäller grövre yta, förekomst av korrosion, större ämnesstorlek, större storlek av färdig produkt. Men i många fall, speciellt vid stokastiska laster, bereder analys av lasten de största problemen. Och vid användning av icke konventionella konstruktionsmaterial är avsaknaden av tillräckliga utmattningsdata ett stort bekymmer.

Provstav Motor

Lager F Figur 5.16 Utmattningsprov vid roterande böjning.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 90

6 Konstitutiva samband I tidigare kapitel har begreppen töjningar och spänningar vid enaxlig dragning diskuterats. I sammanhanget har såväl nominella som sanna sådana storheter behandlats. Här skall de samband som kopplar samman spänning och töjning belysas och inom det elastiska området utvidgas till flerdimensionella spänningstillstånd samt kompletteras med att även innefatta temperaturändringar. Samband mellan töjning och spänning går under namnet konstitutiva samband eller ibland materialsamband. De materialparametrar som används i sammanhanget introduceras och kommenteras.

Utvärderingsexemplar

6.1 Linjärt, elastiskt material, Hookes lag För merparten av konstruktionsmaterial är sambandet mellan spänning och töjning linjärt upp till en viss nivå, proportionalitetsgränsen, och ges vid enaxlig dragning av sambandet σNom = EεNom = Ee

Denna relation gäller normalt även vid enaxligt tryck. Material som har denna egenskap kallas linjärt elastiska. Epitetet ”elastiska” anger, att materialet återtar sin ursprungliga form och storlek vid avlastning. Figur 6.1 illustrerar ett linjärt elastiskt material, medan figurerna 6.2 och 6.3 illustrerar icke-linjära elastiska material. Eftersom töjningen är obetydlig under proportionalitetsgränsen och areaförändringen nästan ingen, spelar det i praktiken mindre roll om nominell eller sann

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 91

6. konstitutiva samband

spänning respektive töjning används. Sambandet skrivs därför vanligen utan någon indikation på vilka storheter som avses och då vanligen som: ε=

(6:1)

Skriven på formen (6:1) kallas relationen Hookes lag för enaxligt spänningstillstånd, uppkallad efter den engelske fysikern Robert Hooke (1635 –1703). Proportionalitetskonstanten E kallas elasticitetsmodul eller kortare E-modul. Eftersom töjningen är dimensionslös, får E-modulen samma enhet som spänningen, d v s Pa, eller oftare GPa. Flertalet konstruktionsstål har en E-modul i intervallet 200 GPa till 210 GPa. Numeriska värden på materialparametern E för metalliska material anges i materialtillverkarnas datablad och i de flesta formelsamlingar i ämnet.

6.2 Tvärkontraktion, Poissons tal

Utvärderingsexemplar

En dragprovstav kommer vid dragningen att öka sin längd och minska sin tvärsnittsarea. Intill dess midjebildning sätter in, är alla tvärsnitt av provstaven likvärdiga vad gäller spänning, töjning, form och storlek. Tydligen medför den axiella dragspänningen också en negativ töjning tvärs dragriktningen. Tvärtöjningen, kallad tvärkontraktion, visar sig vara proportionell mot töjningen i längsled, ε, eller uttryckt som ett matematiskt samband: εtvär = – νε

(6:2)

Minustecknet beror på att en förlängning av provstaven, d v s ett positivt värde på ε, ger en minskning av tvärsnittsmåtten, d v s negativa värden på εtvär . σ

Figur 6.1 σ-ε-graf för linjärt, elastiskt material.

Figur 6.2 σ-ε-graf för veknande (degressivt) elastiskt material.

Figur 6.3 σ-ε-graf för styvnande (progressivt) elastiskt material.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 92

6. konstitutiva samband

Proportionalitetskonstanten ν kallas Poissons tal (efter den franske matematikern Siméon Poisson, (1781–1840), eller tvärkontraktionstalet. Konstanten är liksom E-modulen en materialparameter. För flertalet metalliska material ligger Poissons tal runt 0,30. Polymerer har ν ≈ 0,4 och för betong gäller 0,10 ≤ ν ≤ 0,25. Med teoretiska betraktelser går det att visa, att 0 ≤ ν ≤ 0,50. Den övre gränsen, ν = 0,50, motsvarar ett material vars volym blir oförändrad vid belastning. En sådan egenskap uppvisar gummi. Dämpelement som tillverkas av gummi inuti ett hölje av stål, måste därför alltid ges en möjlighet att ”pösa ut” åt något håll. Höljet får därför inte helt innesluta gummit. Om gummielementet är helt inneslutet, beter det sig som en stel kropp.

6.2.1 Dilatation av ett rätblock

När en kropp belastas uppkommer i allmänhet en volymförändring. Den relativa volymändringen kallas med en fackterm för dilatation. Som en enkel illustration till företeelsen betraktas ett rätblock med sidlängder a0, b0, c0 i obelastat tillstånd. Rätblocket i figur 6.4 utsätts för enaxlig dragning i x-led enligt figur 6.5. Härvid uppstår en positiv töjning, εx i denna riktning samt negativa töjningar, εy = εz = – νεx, i y- och z-riktningen. Det förutsätts, att spänningarna ligger inom det linjärt elastiska området. Rätblockets volym i obelastat tillstånd ges av V0 = a0b0c0 . Under belastning ändras sidlängderna till

Utvärderingsexemplar a = a0 (1 + εx);

b = b0 (1 + εy) = b0 (1 – νεx);

c = c0 (1 + εz) = c0 (1 – νεx);

och rätblockets volym till V = abc = a0b0c0 (1 + εx) (1 – νεx)2, som innebär en volymändring av ∆V = V – V0 = a0b0c0 (1 + εx) (1 – νεx)2 – a0b0c0 = = a0b0c0 (εx – 2νεx – 2νεx2 + ν2 εx2 + ν2 εx3 ) = = a0b0c0 (1 – 2ν – 2νεx + ν2 εx + ν2 εx2) εx

y c0

a0 Figur 6.4 Obelastat rätblock.

y z

c a

Figur 6.5 Rätblock utsatt för dragning i x-riktningen.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 93

6. konstitutiva samband

Eftersom εx << 1, ν < 1, kan volymändringen approximeras till ∆V = V – V0 ≈ a0b0c0 (1 – 2ν) εx

(6:3)

Den relativa volymändringen eller dilatationen uppgår till e=

∆V

= (1 − 2 ν) ε x =

1 − 2ν σx E

(6:4)

6.3 Termisk töjning Volymen av en kropp förändras med dess temperatur. Utvidgningens storlek vid uppvärmning bestäms av materialets längdutvidgningskoefficient, även kallad temperaturutvidgningskoefficient α. Förändringen av ett längdmått, L0, vid en temperaturändring av ∆T beskrivs av sambandet δ = α L0 ∆T. Tillhörande nominella töjning blir

Utvärderingsexemplar

εT =

= α∆T

Om det samtidigt finns en av en spänning orsakad töjning, εF, utmed samma riktning i kroppen, blir den totala töjningen i denna riktning: ε = ε T + ε F = α∆T +

(6:5)

som kan kallas Hookes lag med temperaturterm. Av (6:5) framgår, att om en kropp värms upp men dess expansion samtidigt helt förhindras genom ett yttre tvång, d v s ε = 0, så uppstår tryckspänningar i densamma. Sådana temperaturbetingade spänningar brukar kallas termospänningar. Följande exempel belyser uppkomsten av termospänningar. Mellan två oeftergivliga väggar är två rundstänger inpassade enligt figur 6.6. Stängernas sammanlagda längd överensstämmer exakt med avståndet mellan väggarna. Den ena stången har diametern d1 = 20 mm, den andra d2 = 40 mm. Stånglängderna är L1 = 120 mm, L2 = 200 mm. Längdutvidgningskoefficienten är 11,6 · 10 – 6 °C och E-modulen 207 GPa för båda stängerna. Hur stor kraft uppstår i stängerna om dessa värms upp ∆T = 25°C och hur stora spänningar uppstår i respektive stång?

Figur 6.6 Stång mellan fixa stöd.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 94

6. konstitutiva samband

Stängerna friläggs och stödens verkan ersätts med en axiell kraft, F. Trots att det är uppenbart att stängerna blir utsatta för tryck, antas F vara en dragkraft, d v s en positiv kraft. Antagande om positiva snittstorheter ger nämligen mindre risk för teckenfel vid beräkning. Axialkraften ger upphov till spänningarna F F ; σ2 = A1 A2

σ1 =

i respektive stång. De nominella töjningarna uppgår till F F + α∆T; ε 2 = + α∆T A1E A 2E

ε1 =

Stängernas sammanlagda förlängning erhålls som δ = δ1 + δ 2 = L1ε1 + L 2 ε 2 =

FL1 FL 2 + αL1∆T + + αL 2 ∆T A1E A 2E

Eftersom stängerna är monterade mellan oeftergivliga stöd, måste stängernas sammanlagda förändring vara noll, som ger villkoret: δ=

FL1 FL 2 + αL1∆T + + αL 2 ∆T = 0 A1E A 2E

eller

Utvärderingsexemplar  L L  F  1 + 2  = − α∆T( L1 + L 2 )  A1E A 2E 

varur stångkraften kan lösas ut med resultat: F=−

α∆TE( L1 + L 2 )

L1 L 2 + A1 A 2

=−

11, 6 ⋅10 −6 ⋅ 25 ⋅ 207 ⋅109 (0,120 + 0, 200) ≈ 4  0,120 0, 200  +   π  0, 0202 0, 0402 

≈ −35, 5 ⋅103 N Inte överraskande blir F negativ, d v s stängerna är utsatta för tryck, inte för dragning. Överraskande är kanske däremot det höga värdet på kraften trots den relativt måttliga temperaturökningen. Spänningarna i stängerna bestäms av

σ1 =

4F 4 ⋅ 35, 5 ⋅103 F = ≈− ≈ −113 ⋅106 Pa = −113 MPa A1 πd12 π ⋅ 0, 0202

σ2 =

4F 4 ⋅ 35, 5 ⋅103 F = ≈− ≈ −28, 2 ⋅106 Pa = −28, 2 MPa 2 A 2 πd 22 π ⋅ 0, 040

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 95

6. konstitutiva samband

6.4 Deformation vid enaxligt spänningstillstånd Om en stång av linjärt elastiskt material utsätts för en axialkraft, kommer den att förlängas eller förkortas i kraftriktningen. Hur stor förlängningen blir, beror förutom på kraftstorlek och stånglängd även på hur tvärsnittsareans storlek varierar utmed stången. Samt givetvis på elasticitetsmodulen, E. För en stång med kontinuerligt varierande stångarea, A = A(x), enligt figur 6.7 och belastad med axialkraften F, blir spänningen i ett godtyckligt tvärsnitt på avståndet x från ena stångänden σ( x ) =

F A( x )

En tunn (egentligen infinitesimal) skiva av tjocklek dx skärs ut vid snittet. Skivan får töjningen ε( x ) =

σ( x )

E och förlängs därmed dδ( x ) = ε( x )dx =

σ( x )

dx =

F dx E A( x )

Utvärderingsexemplar E

Med stånglängden L, kan den totala stångförlängningen integreras fram som δ

F δ = dδ( x ) = E

∫ 0

∫ A( x )

(6:6)

I det fall stångarean är konstant, A(x) = A, förenklas (6:6) till L

FL [ ]0 = AE

F F dx = x δ= AE AE

∫ 0

(6: 7)

Vid närvaro av volymkrafter i stången kommer axialkraften inte att vara konstant utan snittkraften F = F(x). Ekvationerna (6:6) och (6:7) är därmed ej tillämpliga, L E,ν

F x

Figur 6.7 Enaxlig dragning av stång med variabelt tvärsnitt.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 96

6. konstitutiva samband

eftersom integrationen förutsätter ett konstant värde på F. Istället erhålls stångförlängningen som δ

δ=

∫

dδ( x ) =

1 E

∫ 0

F( x )dx A( x )

(6:8)

eller vid konstant stångarea, A, som L

1 F( x )dx δ= AE

∫

(6:9)

L x

AE ν ρ

Ekvation (6:9) kommer till användning i nästa exempel. En cylindrisk stålstång med längd L = 5,00 m, tvärsnittsarea A = 500 mm2, elasticitetsmodul E =207 GPa, Poissons tal ν = 0,30 och densitet ρ = 7850 kg/m3 hängs upp vertikalt i taket. Hur mycket inverkar tyngkraften på den nedre ändens läge och hur stor blir den största axialtöjningen i stången?

Ett snitt förläggs på avståndet x från den fria änden. Snittkraften bestäms av den undre stångdelens tyngd och utgör F(x) = ρ Axg. Ekvation (6:9) ger omedelbart

Utvärderingsexemplar ∫ L

ρg  x 2  ρgL2 1 δ= ρAgx dx = =   = AE E  2  2E 0 0

7850 ⋅ g ⋅ 5, 002 2 ⋅ 207 ⋅109

≈ 4, 7 ⋅10 −6 m = 4, 7 µm

Den nedre stångänden hamnar alltså endast 4,7 µm lägre p g a tyngdkraftens inverkan, en högst försumbar företeelse. Den största töjningen uppkommer i det snitt där den största spänningen uppträder. Man inser snabbt, att snittet x = L är det intressanta. I detta blir F(L) = ρ ALg och normalspänningen σ x (L ) =

F( L ) = ρLg = 7850 ⋅ 5, 00 ⋅ g ≈ 0, 385 ⋅106 Pa = 0, 385 MPa A

som ger en tillhörande töjning av ε x (L ) =

σ x (L )

≈

0, 385 ⋅106 207 ⋅109

≈ 1, 86 ⋅10 −6.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 97

6. konstitutiva samband

6.5 Övningsexempel I samtliga övningsexempel förutsätts linjärt elastiskt material. Om ej annat framgår av texten gäller elasticitetsmodul E, Poissons tal ν, densitet ρ, jordacceleration g.

! 6/1

En rät, cirkulärcylindrisk kon med basdiameter D och längd L hängs upp enligt figur. Hur stor blir konens förlängning p g a egentyngden?

! 6/2

Hur lång kan en i ena änden vertikalt upphängd stållina göras innan den brister av egentyngden, om dess brottgräns uppgår till 1600 MPa? Linan väger 0,93 kg/m och den sammanlagda metallarean anges till 98,1 mm2.

Utvärderingsexemplar R

6/3

En rotationssymmetrisk prismatisk kropp med massa m upphängs med symmetriaxeln lodrät enligt figur och påverkas av tyngdkraften. Vid upphängningsplanet uppgår radien till R. Hur skall radien r(x) variera med avståndet x från infästningen, om kroppen skall vara jämstark, d v s samma spänning, σ, skall råda i alla mot symmetriaxeln vinkelräta snitt?

r(x)

6/4

En rak, vertikal stång med längden L = 2,0 m är ledat upphängd i sin ena ände enligt figur. Stångens fria ände ges en förskjutning ∆x = 5,0 mm i x-led och en förskjutning ∆y = 10,0 mm i y-led. Elasticitetsmodulen för stångmaterialet är 200 GPa. Hur stor dragspänning uppstår i stången? Hur stor blir samma spänning om förskjutningen ∆y försummas? Vilken slutsats kan dras beträffande inverkan av små förskjutningar i en stångs tvärsriktning?

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 98

6. konstitutiva samband

! F

6/5

I ett plant stångbärverk enligt figur har stängerna samma tvärsnittsarea och är gjorda av samma material. Bärverket belastas med en kraft, F. Hur stora blir förskjutningskomponenterna i koordinatriktningarna i den belastade knutpunkten?

! F

6/6

I ett plant fackverk enligt figur har stängerna samma tvärsnittsarea och är gjorda av samma material. Fackverket belastas med en kraft, F. Hur stora blir förskjutningskomponenterna i koordinatriktningarna i den belastade knutpunkten?

F y

6/7

Utvärderingsexemplar x

! 6/8

Tre likadana raka stänger skall sammansvetsas med två helt stela ok enligt figur. Stängernas nominella längd är L = 300 mm och deras area 750 mm2 vardera. P g a toleransutfallet råkar emellertid de yttre stängernas längd bli 300,07 mm och mittstångens längd bli 299,63 mm. Efter svetsningen av ytterstängerna placeras därför oken i en press och trycks samman så, att avståndet mellan dem överensstämmer med mittstångens längd, som därpå svetsas fast. Sedan alltsammans svalnat avlastas trycket i pressen. Hur stora blir då spänningarna i stängerna, om dessa är gjorda i aluminium med E-modul E = 70 GPa? Och hur stort blir det faktiska avståndet mellan oken?

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 99

6. konstitutiva samband

! 6/9

När ett stångbärverk enligt figur skall monteras, befinns den vertikala stången vara för lång. En uppmätning visar, att den ~ istället för den korrekta längden L har längden L = L + γ 2 L; γ 2 << 1. Trots felet pressas stången på plats. En yttre last, F, anbringas. Hur stor blir kraftangreppspunktens totala förskjutning p g a längdfelet och den yttre lasten? Stängerna bildar två likbenta, rätvinkliga trianglar.

! 6/10

Två likadana rotationssymmetriska koppar monteras fläns mot fläns enligt figur och pressas samman med hjälp av ett genomgående skruvförband. Muttern dras först åt för hand. Därpå dras muttern med nyckel ytterligare 45°. Stigningen på skruven är s = 1,25 mm. Skruvens fjädrande längd kan approximeras till L = 300 mm. Längden av den rörformade delen av vardera koppen är λ ≈ 120 mm. Deformationen av gavlar och flänsar anses försumbar. Skruvens effektiva tvärsnittsarea kan sättas till As ≈ 98,3 mm2 . Den rörformade delen av kopparna har en tvärsnittsarea av Ak ≈ 192 mm2 . Elasticitetsmodulen för materialet i skruv och koppar är E = 208 GPa. Efter åtdragningen önskar man separera kopparna så, att trycket mellan flänsarna precis upphör. Hur stor kraft behövs för detta om krafterna anbringas a) på skruven? b) på flänsarna?

Utvärderingsexemplar

! 6/11

En horisontell stång med konstant tvärsnittsarea är infäst mellan oeftergivliga stöd i vardera ändplanet. Stångens längd liksom avståndet mellan stöden är L. Hela arrangemanget reses upp så att stången blir vertikal enligt figur. Hur kommer axialspänningen p g a tyngdkraften att variera med avståndet x från övre ändplanet?

x L

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 100

6. konstitutiva samband

Svar till övningsexempel

6/1:

ρgL2

6/2: 17,2 km −

ρg

6/3: r( x ) = Re 2σ

6/4: a) 502 MPa, b) 500 MPa, c) Förskjutningens projektion tvärs stångens

längdriktning alstrar en försumbar förändring av stånglängden. 6/5: ∆ x =

FL 1 + cos3 α ; AE sin 2 α cos α

∆y = −

FL cos α AE sin α

6/6: Som 6/5 6/7: ∆ x =

FL 1 + cos3 α + sin α cos 2 α ; AE sin 2 α cos α

∆y = −

FL cos α AE sin α

6/8: – 34,2 MPa i sidostängerna, 68,4 MPa i mittstången, 299,9 mm

FL + γ 2L AE vertikalt uppåt 6/9: 1 1+ 2

Utvärderingsexemplar 6/10: a) 10,65 kN b) 7,56 kN

1 x −   2 L

6/11: σ = ρgL 

100

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 101

7 Materialmodeller I föregående kapitel har en modell för material presenterats – det linjärt elastiska materialet. Men det finns naturligtvis många fler modeller för hur töjning och spänning skall knytas samman. Modellerna brukar ackompanjeras av diskreta, mekaniska don. Så representeras t ex det linjärt elastiska materialet av en linjär fjäder, som kan utsättas endera för dragning eller tryck. I detta kapitel kommer några av de vanligast förekommande materialmodellerna att behandlas.

Utvärderingsexemplar

7.1 Linjärt elastiskt, idealplastiskt material

För ett segt kolstål med σ-ε-graf enligt figur 5.3 stämmer den linjärt elastiska modellen väl med verkligt beteende upp till sträckgränsen. Men om spänningen överstiger denna behövs en utökad materialmodell. Innan deformationshårdnande sätter in, kan spänningen betraktas som konstant vid ökande töjning. Därmed ger modellen ingen entydig töjning, när spänningen ligger på sträckgränsen. Töjningen bestäms istället av omgivande, elastiska strukturdelar. Och om inga sådana finns, leder modellen till en töjning som saknas övre gräns när spänningen uppnått sträckgränsen. Figur 7.1 visar en σ-ε-graf för linjärt, idealplastiskt material och figur 7.2 visar en mekanisk modell, som ger ett analogt samband mellan kraft och förskjutning. Upp till en viss fjäder-

σS

− σS Figur 7.1 Linjärt elastiskt, idealplastiskt material.

Figur 7.2 Mekanisk modell för linjärt elastiskt, idealplastiskt material.

101

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 102

7. materialmodeller

kraft förmår friktionen mellan massan och underlaget att förhindra massans rörelse. Men när massan väl börjar glida, kan fjäderkraften inte ökas ytterligare. Modellen förutsätter att friktionskoefficienten är densamma vid vila och rörelse. I figur 7.1 visas även förloppet vid avlastning till σ = – σs . Linjerna för på- och avlastning är parallella. Avlastningen sker som en omvänd pålastning, d v s linjärt, tills spänningen σ = – σs uppnås. Om avlastningen avbryts vid σ = 0, återstår en viss töjning. Närmare bestämt en lika stor töjning som uppkom under den plastiska fasen av pålastningen. Av den totalt pålagda töjningen återgår den elastiska delen till noll, medan den plastiska kvarstår i sin helhet. Materialmodellen är tämligen enkel att arbeta med. Men den har nackdelen, att σ-ε-kurvan ej i sin helhet kan representeras med en enda matematisk funktion. Man måste därför arbeta etappvis, beroende på hur stor töjning som uppnåtts.

7.1.1 Stelt, idealplastiskt material Vid stora töjningar blir den elastiska töjningen av underordnad storlek. I modellen för stelt, idealplastiskt material försummas den helt. Upp till sträckgränsen anses materialet stelt. När sträckgränsen väl uppnåtts, blir töjningen obestämd. Figur 7.3 och 7.4 illustrerar ett sådant material.

Utvärderingsexemplar σ

σS

ε m

−σ S Figur 7.3 Stelt, idealplastiskt material vid på- och avlastning.

102

Figur 7.4 Mekanisk modell för stelt, idealplastiskt material.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 103

7. materialmodeller

7.2 Linjärt elastiskt, linjärt deformationshårdnande material

I de idealplastiska materialmodellerna kan spänningen inte överskrida sträckgränsen. För merparten konstruktionsmaterial ter sig σ-ε-grafen som figur 5.2 visar, d v s innan instabilitet inträder kan spänningen bli märkbart högre än sträckgränsen. Modellen för linjärt elastiskt, linjärt deformationshårdnande material tar hänsyn till detta. Figur 7.5 och 7.6 illustrerar ett sådant material. σ σS

ε m

Utvärderingsexemplar

Figur 7.5 Linjärt elastiskt, linjärt deformationshårdnande material.

Figur 7.6 Mekanisk modell för linjärt elastiskt, linjärt deformationshårdnande material.

7.3 Olinjärt deformationshårdnande material I samband med stora töjningar i det plastiska området, kan man inte längre använda nominella spänningar och töjningar. Istället arbetar man med de sanna storheterna. Genom åren har ett antal försök gjorts att formulera analytiska samband mellan sann spänning och sann töjning. Nedan presenteras ett par av de vanliga modellerna för olinjärt deformationshårdnande material. Modellerna ger tämligen god överensstämmelse med verkliga material utan att för den skull vara alltför komplexa eller innehålla ett ohanterligt stort antal parametrar.

103

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 104

7. materialmodeller

7.3.1 Ludwiks modell En av de tidigaste modellerna emanerar från Ludwik [3] och ges av det analytiska sambandet: σ = a + bεc

(7:1)

Än en gång betonas, att storheterna σ och ε i (7:1) avser sann spänning respektive sann töjning. a, b och c är konstanter, vars värden anpassas för att på bästa sätt (i någon matematisk bemärkelse) överensstämma med kurvformen vid ett dragprov med det aktuella materialet. Vid töjningar som varken är särskilt små (≈ elastiska töjningar) eller riktigt stora (≈ brottöjningar) används ofta Ludwiks förenklade ansats med a = 0. Parametern a kallas strength coefficient (närmast styrketal) och parametern c kallas strain-hardening coefficient (närmast deformationshårdnandeexponent). J Marin har jämfört Ludwiks förenklade ansats med provutfallet för 31 olika metalliska material. Medelfelet visade sig ligga under 2%.

7.3.2 Modell enligt Voce-Palm

Utvärderingsexemplar

För töjningar i mellanområdet ger ibland en modell framtagen av Voce och Palm [4] bättre överensstämmelse än Ludwiks modell. Oberoende av varandra utvecklade de följande relation mellan sann spänning och sann töjning: σ = a + (b – a)e – c ε

(7:2)

a, b och c är konstanter, vars värden anpassas för att på bästa sätt (i någon matematisk bemärkelse) överensstämma med kurvformen vid ett dragprov av det aktuella materialet.

7.4 Viskoelastiska material, krypning, relaxation För de materialmodeller som hittills behandlats, gäller att de varit tidsoberoende. Om materialet getts en viss, konstant töjning, svarar detta mot en och samma konstanta spänning oavsett tid. Men för en del material ökar töjningen med tiden vid konstant dragspänning eller om materialet ges en viss positiv töjning, så kommer

104

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 105

7. materialmodeller

med tiden spänningen att sjunka. Det förstnämnda beteendet kallas krypning, det sistnämnda kallas relaxation. Tidsberoende material kallas viskösa. Den mekaniska komponent, som har sin motsvarighet i viskösa material kallas dämpare och finns i hjulupphängningen till nästan alla motordrivna fordon. En dämpare består enkelt beskrivet av en rörlig kolv i en vätskefylld cylinder (oftast även innehållande en gaskudde för att upprätthålla trycket). Genom lämpligt utformade axiella spår i cylinderväggen alternativt kolven, kan dämparen ges en önskad karaktäristik, d v s ett önskat samband mellan kolvkraft och kolvhastighet. En dämpare kallas linjär, om kraften F är en linjär funktion av kolvhastigheten, dx/dt, eller matematiskt formulerat F=c

dx . dt

Konstanten c kallas dämpkonstant och får enheten Ns/m eller kg/s. Omsatt till spänning och töjning antar sambandet formen: σ = ηε˙ = η

dε dt

Proportionalitetskonstanten η får enheten Ns/m2 eller kg/ms. Symboliskt ritas en dämpare som figur 7.7 visar.

(7:3) c eller η F eller σ

Utvärderingsexemplar

Material som följer det konstitutiva sambandet enligt (7:3), kallas Newton-material. Vid en konstant spänning σ = σ0 , fås efter integration av (7:3) ε=

σ0 η

t + ε0

x eller ε

Figur 7.7 Symbol för viskös dämpare.

(7:4)

där integrationskonstanten ε0 utgör töjningen vid tiden t = 0. Som framgår av (7:4) ökar töjningen obegränsat och linjärt med tiden för ett Newton-material. Flertalet metalliska material uppvisar tidsberoende töjning först vid temperaturer långt över rumstemperatur. Däremot uppträder hos polymerer en tidsberoende töjning vanligen redan vid rumstemperatur.

105

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 106

7. materialmodeller

7.4.1 Kelvin-material

Modellerna ovan kan kombineras för att generera olika materialegenskaper. Om en linjärt elastisk modell parallellkopplas med en linjär dämpare enligt figur 7.8, uppstår ett Kelvin-material, även kallat Voigt-material. Vid belastning erfar båda elementen samma töjning, ε, medan den totala spänningen fördelas mellan elementen, så att σ = σa + σb. För modellerna gäller att ε = εa =

σ0

respektive att ε˙ = ε˙ b =

σb η

som ger: σ = Eε + ηε˙

(7:5)

Om speciellt spänningen är konstant, σ = σ0, kan (7:5) integreras med resultat: ε=

σ0

+ Ce

E − t η

(7:6)

Integrationskonstanten C bestäms av begynnelsevillkoret. Om spänningen appliceras vid tiden t = 0, förhindrar dämparen momentan rörelse, varför ε(0) = 0. Integrationskonstanten blir därmed C = – σ0 /E och (7:6) övergår i:

Utvärderingsexemplar ε=

E  − t 1 − e η  E    

σ0

(7:7)

Det principiella tidsförloppet vid belastning av ett Kelvin-material framgår av figur 7.9. Som synes stiger töjningen snabbt efter pålagd spänning för att därpå avta monotont och asymptotiskt närma sig gränsvärdet σ0/E, d v s samma storlek som om endast fjädern vore närvarande. Vid tiden t = 0 får däremot dämparen uppbära hela spänningen, eftersom fjädern ännu inte hunnit töja sig. Spänningen omlagras alltså successivt från dämparen till fjädern alltefter som tiden går.

E ε σ

Figur 7.8 Modell av Kelvin-material.

106

σ0 E

t Figur 7.9 Töjning, ε, som funktion av tid, t, vid konstant spänning, σ0, i ett Kelvin-material.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 107

7. materialmodeller ε σ0

E2 σ

σ0 E2 σ0 E2

Figur 7.10 Modell av treparametersolid.

Figur 7.11 Töjning, ε, som funktion av tid, t, vid konstant spänning, σ0, för treparametersoliden i figur 7.10.

Material som uppvisar en med tiden avtagande töjning kallas ibland solider. En solidmodell som har bättre anknytning till verkliga material än Kelvin-materialet visas i figur 7.10 och dess tidsmässiga förlopp vid konstant spänning i figur 7.11. Modellen involverar tre parametrar, E1, E2 och η. Den karaktäriseras därför som en treparametersolid. Till skillnad från Kelvin-materialet uppvisar detta material en momentan töjning vid lastapplicering. Något som är fallet vid alla verkliga material.

Utvärderingsexemplar

7.4.2 Maxwell-material

Efter parallellkoppling av fjäder- och dämparelementen, ligger det nära till hands att istället seriekoppla dem, som figur 7.12 visar. Spänningen kommer då att bli densamma i båda elementen, σ = σa = σb. Den totala töjningen blir ε = εa + εb som efter derivering med avseende på tiden t övergår i: ε˙ = ε˙ a + ε˙ b =

σ˙

(7:8)

Än en gång studeras förhållandena vid konstant spänning, σ = σ0. Ekvation (7:8) övergår då i ε˙ =

σ0 η

och efter integration σ ε = ε 0 + 0 t. η

σ η

Figur 7.12 Modell av Maxwell-material.

107

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 108

7. materialmodeller

Integrationskonstanten ε0 bestäms av begynnelsevillkoret t = 0; e = σ0 /E, som ger ε=

σ0

σ0 η

(7:9)

Det tidsmässiga förloppet framgår av figur 7.13. Töjningen växer linjärt med tiden utan gräns. Material med sådana egenskaper utgörs av trögflytande vätskor. Olja i ett kärl med konstant övertryck rinner obevekligt ur en öppning i kärlväggen och detta med konstant hastighet. Ett material med ett konstitutivt samband enligt (7:9) kallas ett Maxwell-material. F dx

ε L

σ0

m ~ m

t Figur 7.13 Töjning, ε, som funktion av tid, t, vid konstant spänning, σ0, i ett Maxwell-material.

Som en tillämpning på ett Maxwell-material analyseras följande exempel: En rak stång med längd L och konstant tvärsnittsarea, A, hängs upp vertikalt i sin ena ände vid tiden t = 0. Massan av stången är m och materialparametrarna E och η. För tiden t < 0 är töjningen ε = 0. Bestäm stångens förlängning som funktion av tiden.

Utvärderingsexemplar

Lösning: Ett segment av stången på avståndet x från undre änden friläggs. Segmentet har massan ˜ = m

m x L

Dragkraften i snittytan blir mg x L och dragspänningen ˜ = F( x ) = mg

σ( x ) =

F( x ) mg = x A AL

Ett skivelement med tjocklek dx betraktas. Elementets förlängning blir dδ (x) = ε (x)dx = εa (x)dx + εb(x)dx. Med ekvation (7:8): ε˙( x ) = ε˙ a ( x ) + ε˙ b ( x ) =

108

σ˙ ( x )

σ( x ) η

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 109

7. materialmodeller

som reduceras till ε˙( x ) =

σ( x ) η

mg x ALη

eftersom σ (x) är oberoende av tiden. Efter integration med avseende på tiden: ε

∫

ε0

mg dε( x ) = x dt ; ALη

∫

ε( x ) − ε 0 ( x ) =

mg xt . ALη

Vid t = 0 består töjningen endast av fjäderelementets töjning, d v s begynnelsevillkoret utgörs av: t = 0;

ε0 ( x) =

σ( x )

mg x ALE

som ger ε( x ) −

mg mg x= xt ALE ALη

eller dδ( x ) mg mg mg  1 = ε( x ) = x+ xt =  + dx ALE ALη AL  E

t  x. η

Utvärderingsexemplar ∫

Efter integration med avseende på variabeln x: δ

∫ 0

dδ( x ) =

mg  1 t   +  AL  E η 

dx ;

δ=

mg  1 t  L2 mgL  1 t  =  +   +  2 A  E η AL  E η  2

7.5 Volymkonstans Vid plastisk och viskös deformation kan man visa, att denna sker under konstant volym. Volymändringen av ett element består sålunda endast av den volymändring som utgörs av den elastiska volymändringen, även när materialet utsätts för deformation långt utanför det elastiska området. För nybörjare kan detta förhållande förefalla paradoxalt. Trots att de icke-elastiska töjningskomponenterna kan vara mångdubbelt större än de rent elastiska, utgörs volymändringen omedelbart före brott bara av cirka dubbla storleken av volymändringen vid begynnande flytning.

109

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 110

7. materialmodeller F

L 0, A 0, η L, A, η

Villkoret för volymkonstans kommer till användning vid problem, där deformationerna blir av sådan storlek, att de påverkar spänningen. Som ett exempel analyseras en rak stång av Newtonmaterial utsatt för en konstant dragkraft, F. Stången har initialt längden L0 och tvärsnittsarean A0. Vid en godtycklig tid, t, har dessa storheter ändrats till L respektive A, som vidstående figur visar. Uppgiften består i att bestämma töjningen som funktion av tiden med beaktande av areareduktionen.

Lösning: Det konstitutiva sambandet ges av (7:3): σ( t) = ηε˙( t) = η

dε( t) dt

Ur jämviktsvillkoret erhålls σ( t) =

F A ( t)

Utvärderingsexemplar som kombinerat med föregående ekvation ger F dε( t) = ηε˙( t) = η A ( t) dt

eller efter omstuvning av termer: ε˙( t) =

F ηA ( t)

Villkoret för volymkonstans medför att A(t)L(t) = A0L0 . Eftersom stora töjningar uppkommer, används det sanna töjningsbegreppet: ε = ln

L( t ) A = ln 0 , som ger A ( t) = A 0e − ε . L0 A ( t)

Insatt i uttrycket för ε˙( t): dε ˙ F F ε = ε( t) = = e . dt ηA ( t) ηA 0 Efter separation av variablerna och integration:

∫e 110

− ε dε

F ηA 0

∫ dt

eller − e − ε =

F ηA 0

t + C.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 111

7. materialmodeller

Som begynnelsevillkor gäller t = 0; ε = 0, vilket ger integrationskonstanten värdet C = –1. Därmed blir e −ε = −

F t +1 ηA 0

och efter logaritmering 

ε = − ln 1 −



F ηA 0

 t . 

Det principiella förloppet visas i figur 7.14. Töjningen växer över alla gränser, när t → ηA0/F.

Den momentana arean kan nu bestämmas till  F  A ( t ) = A 0 e − ε = A 0 1 − t  ηA 0  och spänningen: σ( t) =

F = A ( t)

F  F  A 0 1 − t  ηA 0 

Fη A 0 η − Ft

Av uttrycken framgår, att när t → ηA0/F gäller att A(t) → 0 och att σ (t) → ∞.

ηA0 F Figur 7.14 Töjningsförlopp i stång av Newton-material under konstant dragkraft.

Utvärderingsexemplar

Stången dras som väntat ut till en allt tunnare tråd. Brott sker vid en tid, t < ηA0 /F, eftersom den verkliga brottgränsen inte är oändlig.

7.6 Flytlastförhöjning

I strukturer som belastas, sker i allmänhet flytning inte samtidigt i alla strukturdelar. Någon del i strukturen flyter först och vid en yttre kraft av F = Fs . Om kraften ökas ytterligare, kommer så småningom ytterligare delar i strukturen att börja flyta, o s v. Så länge inte samtliga strukturdelar börjat flyta, förblir en del av strukturen elastiskt. Strukturens deformation bestäms entydigt av de elastiska partiernas deformation. Vid en kraft F = Fg > Fs .kommer det sista kvarvarande elastiska partiet av strukturen att börja flyta. Om materialet är idealplastiskt, kan därmed lasten ej öka ytterligare och deformationen blir obestämd. Minsta försök till kraftökning över Fg leder till obegränsad deformation. Strukturen sägs vara genomplasticerad eller fullplasticerad. 111

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 112

7. materialmodeller

Statiskt obestämda strukturer av linjärt elastiskt, idealplastiskt material kan belastas utöver den last som ger flytning i någon strukturdel. Detta sker utan att strukturen som helhet kollapsar genom stor deformation. Ett mått på hur mycket lasten kan ökas utöver nivån för begynnande plasticering ges av flytlastförhöjningen, som definieras som β=

L 2

Fg − FS

(7:10)

Som en tillämpning väljs vidstående, statiskt obestämda stångbärverk av linjärt elastiskt, idealplastiskt material med sträckgräns σS och elasticitetsmodul E. Stängerna har samma tvärsnittsarea, A. Uppgiften är att bestämma flytlastförhöjningen. Lösning: Först studeras förhållandena så länge alla tre stängerna är elastiska. För förlängningen av stängerna gäller

S 2L ; δ1 = 1 AE

S L δ2 = 2 ; AE

S 2L . δ3 = 3 AE

Geometrin ger δ1 = δ 3 =

som insatt i ovanstående medför

δ3

S1 = S3 =

S2 2

Stång 2 bär den största kraften och spänningen och kommer därför att flyta först, närmare bestämt när S2 = S2S = σS A. Jämvikten jämte symmetrin ger

S1 2

+ S2 − F = 0

eller

S2 2

+ S2 − F = 0

eller

S2 =

Fg FS

2 2 +2

S1 = S3 =

1 2 +2

Med S2 = S2S = σS A fås

δ Figur 7.15 Stångbärverk. Kraft som funktion av förskjutning.

112

Utvärderingsexemplar δ2

δ1

δ2

FS =

2 +2 σS A . 2

När kraften ökas utöver FS får stång 1 och 3 bära hela ökningen. Stång 2 kommer visserligen att förlängas ytterligare, men utan kraftökning.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 113

7. materialmodeller

När S1 = S1S = S3 = S3S = σS A. börjar även stängerna 1 och 3 att plasticera. Jämvikten vid detta tillfälle ger 2

σS A

+ σ S A − Fg = 0 ;

Fg = ( 2 + 1) σ S A .

Flytlastförhöjningen blir β=

Fg − FS FS

2 +2 2 2 (2 − 2 ) 2 = = ≈ 0, 41 2 2 +2 2 +2 2

2 +1−

Från begynnande plasticering kan kraften tillåtas öka med 41%, innan bärverket kollapsar p g a obegränsad deformation. Inte illa! Sambandet mellan kraften och den belastade knutpunktens förskjutning framgår schematiskt av figur 7.15. I intervallet FS < F < Fg ökar deformationen kraftigare för en viss kraftökning än i intervallet F < FS . Strukturen har m a o blivit vekare p g a att stång 2 inte tar sin del av lastökningen.

!Utvärderingsexemplar 7.7 Övningsexempel

! 7/1

En rak stång med längd L och konstant tvärsnittsarea, A, hängs upp vertikalt i sin ena ände vid tiden t = 0. Massan av stången är m. Stångmaterialet kan karaktäriseras som ett Maxwell-material med materialparametrarna E och η. För tiden t < 0 är töjningen ε = 0. Bestäm stångens förlängning som funktion av tiden.

! 7/2

En rak stång med längd L i obelastat tillstånd och konstant tvärsnittsarea, A, pressas snabbt (momentant) in mellan två oeftergivliga stöd med inbördes avstånd L – ∆; L >> ∆ > 0 enligt figur. Hur lång tid tar det innan tryckspänningen nedgår L, A, E, η till hälften av den initiala, om materialet kan betraktas som ett Maxwell-material med materialparametrarna E och η? Dimensionernas förändring försummas. L−∆

113

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 114

7. materialmodeller

! 7/3

Mellan två ok som kan betraktas som helt stela svetsas en central cylinder med tvärsnittsyta A. Oken förenas dessutom med två skruvförband enligt figur. Vardera skruven har tvärsnittsarean Ã < A/2. Materialet i skruvar och cylinder betraktas som linjärt elastiskt, idealplastiskt med sträckgräns och elasticitetsmodul E. Om muttrarna dragits åt för hand, kan oken belastas med åtskiljande krafter F = F0 = σS(A + 2Ã) innan deformationen växer obegränsat. Hur stor blir motsvarande kraft, om muttrarna före lastens applicering istället dras till så mycket, att skruvarna flyter?

! 7/4

Med egenspänningar menas spänningar, som kan finnas i en struktur vid frånvaro av yttre last. En struktur antas utförd av linjärt elastiskt, idealplastiskt material. Vilken slutsats kan med ledning av resultatet i 7/3 dras beträffande inverkan av egenspänningar på den belastning som strukturen kan uppbära innan den plasticeras?

Utvärderingsexemplar

Svar till övningsexempel

E  − t mgL  7/1: δ = 1− e η  2EA    

7/2: τ =

ln 2

7/3: F = σs (A + 2Ã) 7/4: Egenspänningar saknar inverkan på storleken av den last som medför

kollaps p g a genomgående flytning i strukturen.

114

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 115

8 Superpositionsprincipen En kropp befinner sig i jämvikt under inverkan av yttre krafter, F1, F2, …, Fn. Krafternas storlek och riktning kan vara olika eller lika. Låt varje enskild kraft verka i fix riktning och angripa i en fix punkt. Låt vidare storleken av alla krafter öka eller minska i samma proportion, så att kvoterna Fp Fq

Utvärderingsexemplar =

; p = 1, 2, … n, q =1, 2, … n

bibehåller sina värden under laständringen.

P g a krafterna deformeras kroppen. Förskjutningen i en vald riktning (t ex i x-led) av en godtycklig men bestämd punkt sätts till u, se figur 8.1. Följande tre hypoteser ställs upp: A: u = a1F1 + a2F2 + … + anFn där a1, a2, … an är konstanter, som är oberoende av F1, F2, … Fn. Konstanternas värde beror givetvis dels på läget av den punkt i vilken förskjutningen u uppträder, dels på riktning och angreppspunkt av respektive kraft. Hypotesen innebär, att u är en linjärkombination av variablerna F1, F2, … Fn. Hypotes A är i själva verket inget annat än en konsekvens av Hookes lag. Hypotesens giltighet kan visas experimentellt för material, som uppfyller Hookes lag.

Fn x Figur 8.1 Belastad kropp i jämvikt.

115

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 116

8. superpositionsprincipen

B: Kroppen är kontinuerlig och förblir så under belastning. Det innebär, att kroppens atomstruktur ignoreras. Närbelägna punkter i kroppen förblir nära varandra vid belastning. Inga sprickor eller kaviteter uppstår. Ett material med denna egenskap kallas ett kontinuum. C: Det finns ett unikt tillstånd i kroppen, vilket kroppen alltid återtar, när alla yttre krafter avlägsnas.

8.1 Krafter med samma angreppspunkt och riktning

Först analyseras ett fall för krafter med en och samma angreppspunkt. Låt F1 och – F1 vara krafter med samma riktning och angreppspunkt. Om enbart F1 verkar, fås – enligt hypotes A en förskjutning u1 = a1F1 . Om enbart F1 verkar, fås enligt hypo– – = a F– . Om både F och F tes A en förskjutning u 1 1 1 1 1 verkar, fås enligt hypotes A en – – ~ –. förskjutning u1 = a1(F1 + F1) = a1F1 + a1F1 = u1 + u 1

Utvärderingsexemplar

Den resulterande förskjutningen blir alltså summan av de förskjutningar som F1 – och F1 orsakar var för sig och oavsett i vilken ordning de appliceras på kroppen.

8.2 Krafter med olika angreppspunkt

Låt nu istället krafter F1 och F2 verka i punkt 1 respektive 2 av kroppen. Låt förskjutningen i vald riktning avse någon punkt, 3, i kroppen. Om enbart F1 får verka, uppstår en förskjutning, u3, av punkt 3. Eftersom krafterna F1 och F2 inte ökar eller minskar i samma proportion (F2 är ju noll), gäller inte utan vidare att u3 = a31 F1, utan vi får istället ansätta u3 = c31F1. Om enbart F2 får verka, uppstår analogt en förskjutning av punkt 3 av u3 = c32F2. Om både F1 och F2 får verka med förutsättningen att F1/F2 är konstant, blir förskjutningen enligt hypotes A, u3 = a31F1 + a32F2. Den väsentliga frågan är nu om a31 = c31 ; a32 = c32 . För att besvara frågan, avlägsnas nu F1. Förskjutningen ändras då enligt föregåen* F . Om även den kvarvarande kraften F avlägsnas, de till u3 = a31F1 + a32F2 – c31 1 2

116

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 117

8. superpositionsprincipen * F – c F . Nu är alla yttre krafter borblir förskjutningen u3 = a31F1 + a32F2 – c31 1 32 2 ta och enligt hypotes C, skall förskjutningen därmed återgå till sitt ursprungliga värde, noll, som efter omflyttning av termer medför: * a 31 − c 31 c −a = 32 32 F2 F1 * orsakas av närvaron av Eftersom den enda möjliga skillnaden mellan a31 och c31 * endast vara en funktion av F (och inte av F ). Analogt F2, kan skillnaden a31 – c31 2 1 kan c32 – a32 endast vara en funktion av F1 (och inte av F2). Vänstra ledet i likheten * a 31 − c 31 c −a = 32 32 F2 F1

är därmed en funktion av enbart F2 och högra ledet en funktion av enbart F1. Men eftersom F1 och F2 är godtyckligt valda, återstår endast möjligheten att vänster och höger led utgörs av en och samma konstant, k. D v s a32 = c32 – kF1 . Sätts detta in i u3 = a31F1 + a32F2 , fås u3 = a31F1 + c32F2 – kF1F2 . u3 utgör då inte längre en linjärkombination av F1 och F2 p g a den blandade termen. Något som strider mot hypotes A. Enda sättet att uppfylla kriteriet för en linjärkombination är att låta k * . vara noll. Detta medför att a32 = c32 . Med k = 0 blir även a31 = c31 Nu görs istället tankeexperimentet att F2 avlägsnas före F1. Förskjutningen ändras * F . Om även den kvarvarande kraften F avlägsnas, då till u3 = a31F1 + a32F2 – c32 2 1 * F – c F . Nu är alla yttre krafter borblir förskjutningen u3 = a31F1 + a32F2 – c32 2 31 1 ta och enligt hypotes C, skall förskjutningen därmed återgå till sitt ursprungliga värde, noll, som efter omflyttning av termer ger:

Utvärderingsexemplar

* −a a 31 − c 31 c 32 32 = F2 F1

Liksom i föregående situation, måste vänster och höger led utgöras av en konstant, som i sin tur måste vara noll. Detta medför att a31 = c31 som i sin tur ovan visats * , och sammantaget a = c = c * ; a = c = c * . var lika med c31 31 31 31 32 32 32 Därmed gäller ekvationen u3 = a31 F1 + a32F2 för ett godtyckligt förhållande mellan F1 och F2. Den ursprungliga förutsättningen, att storleken av alla krafter skall öka eller minska i samma proportion behöver inte vara uppfylld. Den resulterande förskjutningen blir summan av de förskjutningar som F1 och F2 orsakar var för sig och oavsett i vilken ordning de appliceras. Detta är superpositionsprincipen för två krafter, som angriper i varsin punkt. Istället för att arbeta med krafterna F1 och F2, kunde vi genomfört samma bevisning för m stycken krafter, F1, F2, …, Fm och precis som ovan visat giltigheten av superpositionsprincipen för m + 1 krafter. Den generella giltigheten av superpositionsprincipen följer sedan genom matematisk induktion, eftersom satsen visats gälla för två krafter. 117

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 118

8. superpositionsprincipen

8.3 Sammanfattning av superpositionsprincipen

Efter denna kanske något svårbegripliga bevisning, är en sammanfattning av superpositionsprincipen på sin plats. Om förskjutningen u är en linjärkombination av krafterna F1, F2, … Fn, d v s u = a1F1 + a2F2 + … + anFn , där a1, a2, … an är konstanter som är oberoende av F1, F2, … Fn, gäller detta samband oavsett i vilken ordning krafterna anbringas och med godtyckliga förhållanden mellan krafterna. Principen att addera de enskilda effekterna av två eller flera storheter är alltid tillåten så länge respektive effekt är en linjärkombination av storheterna. Så är t ex inom det elastiska området även töjning och förlängning linjärkombinationer av spänningar. Superposition används frekvent inom elasticitetsteorin. Men så fort något linjärt samband upphör att gälla, t ex om materialet börjar plasticera, får superpositionsprincipen inte användas. Principen för superposition vid ett tvådimensionellt spänningsfall belyses symboliskt i figur 8.2.

Utvärderingsexemplar

I själva verket har superposition redan använts för Hookes lag med temperaturberoende, ekvation (6:5). Utan motivering adderades töjning p g a av mekanisk spänning och töjning orsakad temperaturändring.

σ 1x

σ 2x

+ σ 1y ε1x ε1y ε1z δ1x δ1y δ1z u1x u1y u1z

σ 1y+ σ 2y

σ 2y

ε2x ε2y ε2z δ2x δ2y δ2z u2x u2y u2z

⇒

Figur 8.2 Superposition av töjningar, förlängningar och förskjutningar.

118

σ 1x+σ 2x

ε1x + ε2x ε1y + ε2y ε1z + ε2z δ1x + δ2x δ1y + δ2y δ1z + δ2z u1x + u2x u1y + u2y u1z + u2z

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 119

9 Skjuvning Begreppen skjuvkraft och skjuvspänning introducerades kortfattat i kapitel 3. Från detta kapitel saxas följande elementa: ˜ ∆T yz τ yz = lim (3:6) ∆x →0, ∆z →0 ∆x∆z

Utvärderingsexemplar

τ zy =

lim

∆x →0, ∆y →0

˜ ∆T zy

(3: 7)

∆x∆y

τyz = τzy

(3:8)

τxy = τyx

(3:9)

τzx = τxz

(3:10)

Skjuvspänningar eller skjuvspänningskomponenter som verkar vinkelrätt mot skärningslinjen mellan två mot varandra vinkelräta plan är alltid lika stora och båda antingen riktade mot eller från kantlinjen, se figur 3.5. Skjuvkrafter kan uppkomma på flera sätt. Betrakta t ex den för dragkraften F utsatta leden i figur 9.1. Om ledens ena del med tillhörande axeltapp friläggs som figur 9.2 visar, måste en snittkraft, T, finnas i vardera av tappens snittytor. Av problemets symmetri och jämviktsvillkoret följer, att snittkrafterna är lika

Figur 9.1 Led belastad med dragning.

F 2

F Figur 9.2 Friläggning av axel.

119

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 120

9. skjuvning

stora och vardera utgör F/2. Snittkraften verkar i snittytan och inte som vid dragning vinkelrätt mot snittytan. För att skilja krafter med verkningslinjer i en ytas plan från normalkrafter, kallas de förra tvärkrafter. Tvärkraften T ger upphov till skjuvspänningar i snittytans plan. Om man (i och för sig felaktigt) antar, att skjuvspänningarna är jämt fördelade över snittytorna, skulle skjuvspänningen i varje punkt av dessa bli τ = T/A = F/2A, där A är axeltappens tvärsnittsarea. Denna approximativa skjuvspänning utgör däremot ett korrekt värde på medelskjuvspänningen i tvärsnitten. En annan vanligt förekommande situation som ger upphov till skjuvspänningar är vridning. En cirkulärcylindrisk axel med radie R utsätts för vridning enligt figur 9.3. Då uppstår i varje mot symmetriaxeln vinkelrät snittyta skjuvspänningar, som antyds i samma figur. Skjuvspänningarna varierar med radien r, men är av symmetriskäl oberoende av vinkeln ϕ. Om vridmomentet uppgår till Mv, kräver momentjämvikt att: R

Mv =

∫ τ(r)2πr

2 dr

(9:1)

För att evaluera integralen i (9:1) fordras kännedom om hur skjuvspänningen varierar med radien.

Utvärderingsexemplar

Men om axeln byts ut mot ett tunnväggigt (relativt R), cirkulärcylindriskt rör, kan skjuvspänningarnas variation försummas. Om rörets yttre diameter är D = 2R och dess inre diameter är d = 2(R – s) där s << R, ger (9:1) vid integration:      (9:2) 2   πτ (D − d )(D2 + Dd + d 2 ) πτ (D − d )3D2 πτD2 (D − d ) = ≈ = = 2 πτR 2s  12 12 4  D

 r 3  2 πτ (D3 − d 3 ) M v = 2 πτ r 2 dr = 2 πτ   = = 12  3  d 0

∫

eller τ≈

Mv 2 πR 2 s

≈

(9:3)

π (D3 − d 3 )

12 Mv

Mv Figur 9.3 Skjuvspänningar vid vridning av cirkulärcylindrisk axel.

120

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 121

9. skjuvning

Termen π (D3 − d 3 )

Wv =

≈ 2 πR 2s

(9: 4)

är en av det aktuella tvärsnittets geometri beroende storhet och kallas tvärsnittets vridmotstånd. Enheten är m3. Införs detta begrepp övergår (9:3) i τ=

Mv Wv

(9:5)

9.1 Skjuvtöjningar och skjuvvinklar, deviation

Medan normalspänningar på ett volymelement endast leder till dilation av detsamma, medför skjuvspänningar en förändring av elementets form, en deviation. Vinklarna mellan sidorna i ett rätblock blir inte längre räta, men elementets kantlinjer bibehåller sina längder. När en deformerbar kropp belastas, kommer en godtyckligt vald punkt, A, i kroppen att förskjutas till ett nytt läge A' i ett valt, fixt koordinatsystem. Denna förskjutning kan representeras av en förskjutningsvektor, u. I ett Cartesiskt koordinatsystem betecknas förskjutningsvektorns komponenter ux, uy, uz. (eller lika ofta u, v, w). Förskjutningskomponenterna är i allmänhet funktioner av x, y, z.

Utvärderingsexemplar

En sida, ABCD, av ett infinitesimalt rätblockselement i anslutning till punkten A och med sidorna orienterade utmed respektive axelriktning betraktas. Vid belastning återfinns hörnpunkterna i A'B'C'D'. För att ej försvåra tolkningen av figur 9.4, visas endast rätblockets ena sida i denna. ux

∂u x ∂y

D’

C’ B’

C A’

γ 2xy

γ 1xy

∂u y ∂y

∂u y ∂x

Figur 9.4 Förskjutning och deformation av rätblockselement.

dx x ux +

∂u x ∂x

121

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 122

9. skjuvning

Låt ex, ey och ez beteckna de nominella töjningarna i respektive axelriktning och låt εx, εy, εz beteckna motsvarande sanna töjningar. Sidan AB med obelastad längd dx återfinns vid belastning som sidan A'B' med längd dx(1+ex). Sidan AD med obelastad längd dy återfinns vid belastning som sidan A'D' med längd dy(1+ey). Vid måttliga töjningar kan sidlängderna A'B' och A'D' approximeras med dx(1+ εx ) respektive med dy(1+ εy ). Vad som menas med måttliga töjningar är givetvis en fråga om noggrannhetskrav. Den gjorda approximationen leder med e = 10% till ett fel i elementets kantlängdsförändring av 0,4% och med e = 20% till 1,5% fel. Om vinklarna γ1xy och γ2xy likaledes förutsätts måttliga, kan sidelementens A'B' och A'D' projektioner på x- respektive y-axel likaså approximeras med dx(1+ εx) och dy(1+ εy), innebärande att cosinus för vinklarna mellan elementets kantlinjer och koordinataxlarna approximeras till 1. Med dessa förutsättningar erhålls följande geometriska sammanhang ur figur 9.4: dx + u x +

∂u x ∂x

dx = u x + dx(1 + ε x )

Utvärderingsexemplar dy + u y +

∂u y ∂y

dy = u y + dy(1 + ε y )

Efter reduktion av likadana termer och genom ett analogt betraktelsesätt i z-led: εx = εy = εz =

∂u x ∂x ∂u y ∂y ∂u z ∂z

        

(9:6)

För vinklarna γ1xy och γ2xy, som redan tidigare förutsatts små, gäller approximativt ∂u y

sin γ 1xy ≈ γ 1xy ≈

∂x

dx(1 + ε x ) ∂u x

sin γ 2xy ≈ γ 2xy ≈

122

∂y

1 ∂u y ∂u y ≈ ∂x 1 + ε x ∂x

(9:7)

1 ∂u x ∂u x ≈ 1 + ε y ∂y ∂y

(9:8)

dy(1 + ε y )

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 123

9. skjuvning

Summan av γ1xy och γ2xy utgör skjuvvinkeln i x-y-planet, γxy, och kan liksom skjuvvinklarna i y-z- och z-x-planet skrivas som   ∂y ∂x   ∂u y ∂u z  + γ yz = (9:9)  ∂z ∂y   ∂u z ∂u x + γ zx =  ∂x ∂z  De två undre ekvationerna erhålls enklast genom cyklisk permutation av den övre. γ xy =

∂u x

∂u y

För att reducera och systematisera ekvationerna, införs två löpande index, i = x, y, z; j = x, y, z samt begreppet skjuvtöjningar, εxy, εyz, εzx, där sambandet med skjuvvinklarna γxy, γyz, γzx ges av: ε ij =

1 γ ij ; 2

i = x, y, z ;

j = x, y, z ;

i≠j

(9:10)

eller fullständigt utskrivet ε xy =

1 γ xy ; 2

ε yz =

1 γ yz ; 2

ε zx =

1 γ zx 2

(9:11)

Utvärderingsexemplar

Metoden att införa löpande index härrör från tensorformalismen. Men eftersom flertalet studenter har ingen eller liten kunskap om tensorer, används inte denna eleganta och utrymmesbesparande formalism annat än perifert och då med bokstavsindex istället för sifferindex.

Ekvationerna (9:9) och (9:10)/(9:11) kan efter dessa operationer förenas till en enda ekvation utvisande sambandet mellan töjningarna εij och förskjutningsvektorn u = (ux, uy, uz) = ui ε ij =

1  ∂u i ∂u j  + ;  2  ∂j ∂i 

i = x, y, z ;

j = x, y, z

(9:12)

Med skrivsättet (9:12) får även normaltöjningarna dubbla index. Redan i kapitel 3 användes emellertid dubbla index för normalkrafter, t ex Nxx = Nx. Analogt gäller för normaltöjningar att dessa kan skrivas endera med enkla eller dubbla index, varvid gäller att εxx ≡ εx ;

εyy ≡ εy ;

εzz ≡ εz

(9:13)

Skriven på formen (9:12) utgör uttrycket definitionen av Cauchys infinitesimala töjningstensor. För finita töjningar har en alternativ töjningstensor, kallad Almansis töjningstensor utvecklats av Almansi och Hamel. Man kan i litteraturen även möta en tredje variant – Greens töjningstensor, framtagen av Green och Saint Venant. 123

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 124

9. skjuvning

Av (9:12) framgår också omedelbart att εxy = εyx ;

εyz = εzy ;

εzx = εxz

(9:14)

I tensorernas värld uttrycks detta som att töjningstensorn är en symmetrisk tensor, och skrivs med tensorformalism som ε ij = ε ji

(9:15)

Innebörden av likheterna i (9:14) är än så länge ingen alls, eftersom skjuvtöjningarna εyx, εzy och εxz ännu inte tillordnats någon betydelse. En varning kan vara på sin plats. I en del litteratur görs ingen åtskillnad mellan skjuvvinklar och skjuvtöjning, d v s definitionerna enligt (9:10) och (9:11) ersätts med i = x, y, z; j = x, y, z; i ≠ j

ε ij = γ ji ; ε xy = γ xy ;

ε yz = γ yz ;

(9:16)

ε zx = γ zx

(9:17)

I så fall gäller inte ekvation (9:12) för skjuvtöjningar. Det gäller alltså att se upp med olika författares definition av skjuvtöjning. Av (9:12) inses, att töjningstensorns komponenter ej är oberoende av varandra. Vissa samband råder mellan töjningskomponenterna. Genom successiva deriveringar kan förskjutningskomponenterna elimineras ur (9:12). Härvid erhålls kompatibilitetsvillkoren:

Utvärderingsexemplar ∂ε yz ∂ε zx ∂ε xy  + +  − ∂y∂z ∂x  ∂x ∂y ∂z  ∂ 2 ε yy ∂ε xy ∂ε yz  ∂  ∂ε =  − zx + +  ∂z∂x ∂y  ∂y ∂z ∂x  ∂ 2 ε zz ∂  ∂ε xy ∂ε yz ∂ε zx  = − + +  ∂x∂y ∂z  ∂z ∂x ∂y  jämte ∂ 2 ε xx

∂ 2 ε xy ∂x∂y ∂ 2 ε yz ∂y∂z ∂ 2 ε zx ∂z∂x

= = =

∂ 

2 1  ∂ 2 ε xx ∂ ε yy  +  −  2  ∂y 2 ∂x 2 

2 1  ∂ ε yy ∂ 2 ε zz  +  −  2  ∂z 2 ∂y 2 

1  ∂ 2 ε zz ∂ 2 ε xx  − +  2  ∂x 2 ∂z 2 

          

          

(9:18)

(9:19)

Giltigheten av (9:18) respektive (9:19) visas tämligen enkelt genom verifiering med utgångspunkt från (9:12).

124

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 125

9. skjuvning

Kompatibilitetsekvationerna vid användning av Cartesiska koordinater formulerades av Saint Venant redan 1860. På tensorform antar de utseendet: ε ij, kl + ε kl, ij – ε ik, jl – ε jl, ik = 0

(9:20)

I utskriven form ger (9:20) inte mindre än 81 ekvationer (3 dimensioner, tensor av rang 4 ⇒ 34 = 81). Av dessa är endast de sex ekvationer som motsvarar (9:18) och (9:19) av intresse. Övriga ekvationer utgörs endera av rena identiteter eller av ekvationer, som kan erhållas ur symmetriegenskaperna hos töjningstensorn. Om speciellt εx = εy = εz = 0, blir i figur 9.4 kantlinjen A'B' lika lång som kantlinjen AB (= dx), kantlinjen A'D' lika lång som kantlinjen AD (= dy). I z-led förändras inte heller längden av kantlinjen AE (= dz), vilken kantlinje däremot ej syns i den projektion som figuren visar. Rätblocket med volym V0 antar därmed formen av en parallellepiped, vars volym med användning av vektorer kan tecknas som V = (A'B' × A'D')A'E' Vektorerna A'B', A'D' och A'E' kan i sin tur tecknas som    ∂u y     ∂ u  ∂u y ∂u y ∂u ∂u ∂u A'B' =  1 + x dx, dx, z dx =  1 + ε x dx, dx, z dx =  dx, dx, z dx x x x x x x x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂       

[

]

 ∂u   ∂u  ∂u y  ∂u   ∂u  ∂u ∂u A'D' =  x dy, 1 + dy, z dy  =  x dy, 1 + ε y dy, z dy  =  x dy, dy, z dy   ∂y  ∂ y ∂ y ∂ y ∂ y ∂ y y ∂        

[

]

[ ] Utvärderingsexemplar

   ∂u  ∂u ∂u y ∂u y ∂u y  ∂u    ∂u dz, 1 + z dz =  x dz, dz, 1 + ε z dz =  x dz, A' E' =  x dz, dz, dz z z z z z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z z ∂ ∂        

Om den skalära trippelprodukten utvecklas fås  ∂u  ∂u y ∂u  ∂u y z − ∂u z − V=  x    ∂z  ∂x ∂y ∂x     ∂z

 ∂u z ∂u z ∂u x   ∂u y ∂u x  −  dx dy dz   + 1 − ∂x ∂y   ∂x ∂y   ∂y  

och om skjuvvinklar i analogi med (9:7) och (9:8) införs, övergår uttrycket i

(







 

V = γ 1zx γ 1xy γ 1yz − γ 2zx − γ 2yz γ 1yz − γ 2zx γ 2xy + 1 − γ 1xy γ 2xy

 ) dx dy dz

Om samtliga skjuvvinkelbidrag (γ1ij och γ2ij) är små, innehåller parentesen en term av första storleksordningen; ”ettan”. Övriga termer är av tredje och fjärde storleksordningen och kan därför försummas, varför V ≈ dx dy dz = V0 . För små (egentligen infinitesimala) skjuvvinklar ändrar volymelementet sin form men bibehåller sin volym, om inga normaltöjningar verkar på elementet. Volymelementet undergår då en deviation. Senare kommer att framgå, att frånvaro av normaltöjningar också är ekvivalent med frånvaro av normalspänningar.

125

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 126

9. skjuvning

9.2 Hookes lag för skjuvning, skjuvmodul Enligt tidigare ges det konstitutiva sambandet mellan normaltöjning och normalspänning för ett linjärt elastiskt material av Hookes lag för endimensionellt tillstånd: ε = ε T + ε F = α∆T +

(6:5)

För skjuvspänning och skjuvtöjning/skjuvvinkel finns en motsvarande materialmodell vars konstitutiva samband för ett linjärt elastiskt material ges av 2ε = γ =

(9:21)

Denna ekvation kallas Hookes lag för skjuvning. Proportionalitetskonstanten G med enhet Pa eller vanligare GPa är en materialparameter, som kallas skjuvmodul, glidmodul eller G-modul. I motsats till i (6:5) finns ingen temperaturberoende term vid skjuvning. Detta beror på, att en homogen temperaturändring i en kropp endast påverkar volymen av densamma men inte dess form. För stål ligger G-modulen runt 80 GPa, för aluminium runt 24 GPa.

Utvärderingsexemplar

Liksom vid dragning och tryck finns analoga storheter för skjuvning, t ex sträckgräns, τS, brottgräns, τB. Och motsvarande materialmodeller som för dragning eller tryck, t ex linjärt elastiskt, idealplastiskt material, kan skapas för skjuvning.

9.2.1 E-modul och G-modul, oskiljaktiga vapenbröder

Materialparametrarna E och G är inte frikopplade från varandra. För att finna relationen mellan dem studeras en kvadratisk skiva med sida ∆L och belastad längs sidorna med konstanta skjuvspänningar, τ, enligt a) i figur 9.5.

Det valda belastningsfallet uppfyller kravet från kapitel 3, att skjuvspänningar eller skjuvspänningskomponenter som verkar vinkelrätt mot skärningslinjen mellan två a)

D ∆λ

τ1

∆λ

σ2

σ1 τ2

∆L A

126

∆L

Figur 9.5 Skjuvspänningsbelastad skiva.

B τ

∆κ ∆κ τ

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 127

9. skjuvning

mot varandra vinkelräta plan alltid är lika stora och båda antingen riktade mot eller från kantlinjen. Några tänkta snitt förläggs i 45° lutning mot kantlinjerna enligt b) och c) i figur 9.5. I snitten verkar normalspänningar σ1 respektive σ2 samt skjuvspänningar τ1 och τ2. Jämvikt i planets utsträckning ger i fall b) τ

∆λ −

∆λ + τ1∆λ 2 = 0 ⇒ τ1 = 0

som gäller oavsett snittets läge om bara ∆λ ≤ ∆L. För fall c) ger jämvikten τ

∆κ −

∆κ + τ 2 ∆κ 2 = 0 ⇒ τ 2 = 0

som gäller oavsett snittets läge om bara ∆κ ≤ ∆L. Jämvikt vinkelrätt mot snittplanen ger i fall b) τ

∆λ +

∆λ − σ1 2 ∆λ = 0 ⇒ σ1 = τ

och i fall c) τ

∆κ +

∆κ − σ1 2 ∆κ = 0 ⇒ σ 2 = τ

Utvärderingsexemplar

I varje med diagonalen AC parallellt liggande snittplan förekommer alltså inga skjuvspänningar och normalspänningen är konstant och lika med τ. Normalspänningen σ1 = σ2 = τ ger en normaltöjning längs diagonalen BD, som uppgår till σ τ ε BD = 1 =

och ett bidrag till förlängningen av samma diagonal med δ BD = 2 ∆Lε BD = 2 ∆L

Analogt uppstår i snitt parallella med diagonalen BD endast normalspänningar σ3 = σ4 = – τ, se figur 9.6. a)

c) τ

C τ

σ4

∆L

σ3 ∆L B

A τ

Figur 9.6 Skjuvspänningsbelastad skiva.

τ A

127

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 128

9. skjuvning

Betrakta nu ett rätblockselement orienterat utmed diagonalen BD, som figur 9.7 visar. Elementet utsätts dels för normalspänningen σ1 = τ riktad som diagonalen BD, dels för normalspänningen σ3 = – τ riktad som diagonalen AC. Den senare spänningen alstrar tvärkontraktion. Diagonalens BD samlade förlängning med användning av superpositionsprincipen kan därmed skrivas som σ − νσ 3 τ + ντ τ δ BD = 2 ∆L 1 = 2 ∆L = 2 ∆L (1 + ν)

(9:22)

Analogt blir förlängningen av diagonalen AC: σ − νσ1 − τ − ντ τ δ AC = 2 ∆L 3 = 2 ∆L = − 2 ∆L (1 + ν)

σ1

(9:22a)

Inte oväntat förkortas diagonalen AC.

Efter denna utflykt i superpositionens användbara värld, återvänder vi nu till diagonalelementet BD, vars förlängning just bestämts.

σ3

Figur 9.7 Diagonalelement.

σ3

B σ1

Förlängningen kan härledas på ett alternativt sätt. Vid belastning med yttre spänningar, τ, kommer sidorna AD och BC att rotera en vinkel γ från den riktning sidorna har i obelastat tillstånd. Se figur 9.8.

Utvärderingsexemplar Figur 9.8 Deviation av skivelement. τ D

δ BD

D´

Förlängningen av diagonalen BD fås med hjälp av Hookes lag för skjuvning som δ BD ≈

DD' 2

≈

γ∆L

τ∆L

som kombineras med (9:22), varvid τ τ∆L 2 ∆L (1 + ν) = E 2G 128

(9:23)

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 129

9. skjuvning

eller förenklat G=

E 2(1 + ν)

(9:24)

E-modul och G-modul är entydigt och oupplösligt förbundna med varandra via Poissons tal enligt ekvation (9:24). I anslutning till (9:14) konstaterades, att εxy = εyx; εyz = εzy; εzx = εxz, men att innebörden av likheterna saknades, eftersom skjuvtöjningarna εyx, εzy och εxz inte tillordnats någon betydelse. Med tillämpning av Hookes lag för skjuvning kan även dessa skjuvtöjningar definieras med sambanden: 2 ε yx = γ yx =

τ yx

2 ε zy = γ zy =

;

τ zy

;

2 ε xz = γ xz =

τ xz

(9:25)

Eftersom skjuvspänningar som verkar vinkelrätt mot skärningslinjen mellan två mot varandra vinkelräta plan är lika stora, gäller τyx = τxy = 2Gεxy ;

τzy = τyz = 2Gεyz ;

τxz = τzx = 2Gεzx

(9:26)

som tillsammans med (9:25) medför att εxy = εyx ;

εyz = εzy ;

εzx = εxz

(9:27)

respektive

Utvärderingsexemplar

γxy = γyx ;

γyz = γzy ;

γzx = γxz

(9:28)

Den på töjningstensorns symmetri visade relationen (9:14) är således helt i sin ordning och utgör en högst logisk konsekvens av Hookes lag för skjuvning.

9.3 Vridning av tunnväggigt, cirkulärcylindriskt rör Vid vridning av ett tunnväggigt, cirkulärcylindriskt rör med ett konstant vridmoment, Mv, kan skjuvspänningarna betraktas som oberoende av såväl vinkeln ϕ (se figur 9.9) som radien r och längdkoordinaten z.

ΦD

r Mv

Figur 9.9 Vridning av tunnväggigt rör.

Φd

129

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 130

9. skjuvning dz A

γ γ

Θ Figur 9.10 Förskjutning och deformation av rörelement.

B’ L

För ett linjärt elastiskt material följer av ekvation (9:21), att om skjuvspänningen är konstant, blir även skjuvvinkeln, γ, konstant. Figur 9.10 visar hur ett element med kvadratisk sida, dz, förskjuts och deformeras vid rörets vridning. Bidraget till rörets förvridningsvinkel, Θ, i intervallet (z, z+dz) ges av RdΘ = γdz =

dz .

Om R sätts till D/2 eller d/2 eller någonting däremellan spelar mindre roll, eftersom röret är tunnväggigt. En generatris AB kommer att inta läget AB', om rörets vänstra ändplan antas fixt. Om ekvation (9:3) utnyttjas, kan villkoret skrivas RdΘ =

Mv Gπ(D3 − d 3 ) 12

dz =

Mv 2 πGR 2s

dz .

Utvärderingsexemplar

Genom integration över rörlängden L, fås rörets totala fövridningsvinkel (i radianer) som Θ=

Mv 2 πGR 3s

Mv L

∫ dz = 2πGR s ≈ G πD (D − d) 3

(9:29)

8 Om vridmomentet varierar kontinuerligt med z, ges rörets förvridningsvinkel av Θ=

1 2 πGR 3s

∫ M (z)dz v

(9:30)

Genom att införa vridstyvhetens tvärsnittsfaktor (enhet m4) K = 2 πR 3 s ≈

πD3 (D − d )

(9:31)

kan (9:29) formuleras som Θ=

Mv L GK

Produkten GK kallas rörets vridstyvhet.

130

(9:32)

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 131

9. skjuvning

I fall där det vridande momentet uppvisar diskontinuiteter utmed rörets axiella utsträckning (eller om rörarean uppvisar diskontinuiteter), måste röret snittas upp i zoner inom vilka vridmomentet/rörarean är kontinuerlig. Förvridningsvinkeln för varje sådan zon bestäms. Rörets totala förvridningsvinkel erhålls genom summation av bidragen. Ett konkret exempel får belysa arbetssättet: Ett rör med innerdiameter d = 92 mm, ytterdiameter D = 100 mm och längd L = 800 mm är inspänt enligt figur, så att rörändarnas rotation kring z-axeln förhindras. På ett avstånd av a = 250 mm från ena änden angriper ett vridmoment av Mv = 12,0 kNm. Röret är av stål med E-modul 208 GPa, Poissons tal ν = 0,30 och skjuvsträckgräns τS = 180 MPa. Hur stor blir rörets största förvridning och den maximala skjuvpåkänningen? r

a L = 800

Utvärderingsexemplar

I detta exempel uppvisar vridmomentet en diskontinuitet vid z = a. Röret friläggs, varvid inspänningsmomenten M0 respektive ML introduceras enligt figur. Inspänningsmomentens storlek kan inte bestämmas med statikens hjälp. Röret snittas dels i zonen 0 < z < a, dels i zonen a < z < L och snittmomenten M1 och M2 införs enligt figur.

zz<<aa

zz>> aa

Jämvikten ger: 0 < z < a:

M0 + M1 = 0;

M1 = –M0

a < z < L:

M0 – Mv + M2 = 0;

M2 = –M0 + Mv

Skjuvmodulen beräknas med hjälp av (9:24) till G=

E 208 ⋅109 = = 80 ⋅109 Pa 2(1 + ν) 2(1 + 0, 30)

131

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 132

9. skjuvning

och vridstyvhetens tvärsnittsfaktor med stöd av (9:31) till K≈

πD3 (D − d )

π 0,1003 (0,100 − 0, 092 )

≈ 3,14 ⋅10 −6 m 4

Zonernas förvridning beräknas ur (9:32): vänstra zonen: Θ1 = högra zonen:

Θ2 =

M1a M a =− 0 GK GK M2 ( L − a ) ( M v − M0 )( L − a ) = GK GK

Rörets sammanlagda förvridningsvinkel är p g a stödvillkoren noll, varför M0a ( M v − M0 )( L − a ) + GK GK

0 = Θ1 + Θ 2 = − som medför att M0 =

L−a Mv . L

M1 och M2 kan nu bestämmas till: M1 = − M0 = −

L−a Mv ; L

M2 = − M0 + M v = −

L−a a Mv + Mv = Mv . L L

Utvärderingsexemplar Rörets maximala förvridning uppträder vid z = a och blir Θ max

M a = 0 = GK

0, 800 − 0, 250 L−a 12 ⋅103 ⋅ 0, 250 Mv a 0, 800 L ≈ ≈ GK 80 ⋅109 ⋅ 3,14 ⋅10 −6

≈ 8, 21 ⋅10 −3 radianer ≈ 0, 47°. Den största skjuvspänningen kommer att uppträda i segmentet 0 < z < a, eftersom |M1| > |M2|, och blir enligt (9:3) τ max

800 − 250 L−a 12 ⋅103 Mv − M1 Mv 800 L = ≈ = = ≈ Wv π(D3 − d 3 ) π(D3 − d 3 ) π(0,1003 − 0, 0923 ) 12 12 12

≈ 142 ⋅106 Pa = 142 MPa Eftersom τmax = 142 MPa < τS = 180 MPa, är materialet fortfarande linjärt elastiskt. Därmed är villkoret för de utnyttjade storhetssambanden uppfyllt.

132

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 133

9. skjuvning

Följande figur visar dels hur vridmomentet varierar med z, ett s k (vrid-)momentdiagram, dels förvridningens variation med z. Eftersom vridmotståndet, Wv, är konstant, kan det första diagrammet även ses som en bild av skjuvspänningsvariationen. M Mv

0,5 z

L - 0,5

!Utvärderingsexemplar 9.4 Övningsexempel

! 9/1

Ett rotationssymmetriskt, tunnväggigt koniskt rör med längden L = 900 mm har ytterdiameter D = 140 mm i storänden och ytterdiameter d = 90 mm i lilländen. Röret är tillverkat i 1,0 mm stålplåt med skjuvmodul G = 80,0 GPa. Röret är fast inspänt i storänden, medan lilländen påverkas av ett vridande moment av M0 = 2,0 kNm enligt figur. a) Hur stor blir lilländens förvridningsvinkel? b) hur stor blir den största skjuvpåkänningen i röret? c) Är resultaten giltiga, om skjuvsträckgränsen är τS = 175 MPa?

M0 L

133

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 134

9. skjuvning

! 9/2

Två lika långa cirkulärcylindriska, tunnväggiga rör, vardera 1,5 mm godstjocklek är i vardera änden koncentriskt förenade med en helt stel rondell enligt figur. Det yttre röret har ytterdiameter Dy = 150 mm och det inre har ytterdiameter Di =100 mm. Rörlängden är L = 750 mm. Båda rören är av stål med G-modul 80,0 GPa. Materialet kan anses vara linjärt elastiskt, idealplastiskt med en skjuvsträckgräns av τS =150 MPa. På rondellerna anbringas motriktade moment av storleken M0 = 11,0 kNm. a) Vid detta vridmoment har ett av rören börjat flyta. Vilket? b) Hur stor förvridningsvinkel kvarstår mellan rondellerna efter avlastning? c) Till vilket värde skall M0 ökas för att plasticering av båda rören skall ske? d) Flytlastförhöjningen kan i detta fall naturligt definieras som β=

Mg − MS MS

där MS är det yttre vridmomentet vid begynnande plasticering och Mg är det yttre vridmomentet vid genomplasticering. Hur stor blir flytlastförhöjningen med denna definition?

Utvärderingsexemplar

Svar till övningsexempel 9/1: a) 1,2°, b) 157 MPa, c) ja 9/2: a) det yttre, b) 1,4°, c) 11,5 kNm, d) 11,4%

134

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 135

10 Torsion av raka axlar Axlar finns av många slag. De kan ha likartad eller varierad tvärsnittsform utmed sin längd. De kan vara massiva eller trepanerade (ihåliga). Detta kapitel kommer att behandla torsion, d v s vridning av raka axlar med några olika tvärsnittsformer. Vridning av tunnväggigt, cirkulärcylindriskt rör har behandlats i föregående kapitel.

Utvärderingsexemplar

10.1 Torsion av tunnväggigt rör med icke cirkulärt tvärsnitt

Utgångspunkten är ett rakt rör med godtycklig sluten ringform på tvärsnittet. Godstjockleken, t(s), behöver inte vara konstant, utan får variera med den kroklinjiga koordinaten, s, se figur 10.1. I rörväggen skärs ett kilformat element med sidlängder ∆z och ∆s ut enligt figur 10.2. ∆z t(s) s z

∆s ∆z

τ(s)

∆s

τ(s+∆s) Figur 10.1 Tunnväggigt rör med oregelbunden tvärsnittsform och varierande godstjocklek.

Figur 10.2 Kilformat volymelement i rörvägg.

135

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 136

10. torsion av raka axlar

Jämvikt i z-led för elementet kräver: τ (s + ∆s) · t(s + ∆s) · ∆z – τ (s) · t(s) · ∆z = 0

eller τ (s + ∆s) · t(s + ∆s) – τ (s) · t(s) = 0

Inför funktionen Γ(s) = τ (s) · t(s), varefter jämviktsvillkoret kan skrivas som Γ( s + ∆s ) − Γ( s ) = 0

Γ( s + ∆s ) − Γ( s )

eller

∆s

och efter gränsövergång lim

Γ( s + ∆s ) − Γ( s ) ∆s

∆s→0

dΓ( s )

som innebär att Γ(s) = τ (s) · t(s) = Γ = konstant. Produkten Γ(s) = τ (s) · t(s) kallas skjuvflöde. I en tunnväggig, sluten rörsektion är alltså skjuvflödet konstant i varje mot röraxeln vinkelrätt snitt. Figur 10.3 visar ett tvärsnitt av röret med ett ytelement med area t(s) · ds. En godtyckligt belägen punkt inanför sektionen, V, väljs ut. Genom denna punkt dras en normal till skjuvspänningens verkningslinje i ytelementet. Normalens längd sätts till ρ. Momentbidraget från ytelementet med avseende på punkten V blir

Utvärderingsexemplar dMv = τ (s) · t(s) · ρ · ds.

Efter integration utmed rörets hela omkrets uppstår kurvintegralen Mv =

∫ τ(s) ⋅ t(s) ⋅ ρ ⋅ ds s

som med konstant skjuvflöde kan skrivas som

∫

M v = Γ ρ ⋅ ds s

τ(s) τ(s)

dA dA

V s

ρ V ds

Figur 10.3 Skjuvspänning vid varierande godstjocklek.

136

Figur 10.4 Av medelkurva omsluten area, A0 .

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 137

10. torsion av raka axlar

Produkten ρ · ds utgör halva arean av den triangel som har sina hörn i punkt V och vid ytelementets gränser. Denna triangelarea sätts till dA =

1 ρ ⋅ ds 2

Därmed blir

∫

M v = Γ ρ ⋅ ds = 2 Γ s

∫ dA = 2Γ ⋅ A

= 2 τ( s ) ⋅ t( s ) ⋅ A 0

(10:1)

I (10:1) utgör A0 storleken av den area, som en sluten medelkurva belägen mellan det yttre och det inre området av tvärsnittet innesluter, se figur 10.4. Eftersom röret anses tunnväggigt, kan man lika gärna använda den area, som utgörs av antingen det yttre eller det inre området. Om skjuvspänningen löses ur (10:1), blir denna τ( s ) =

Mv 2 ⋅ t( s ) ⋅ A 0

(10:2)

Av denna ekvation inses, att den största skjuvspänningen uppträder där godstjockleken är som minst och där uppgår till τ max =

2 ⋅ t min ⋅ A 0

Mv Wv

(10:3)

Utvärderingsexemplar

där vridmotståndet, Wv, införts och utgör

(10:4)

Wv = 2 · tmin · A0

För att bestämma rörets förvridning, behövs en liten inblick i den energi som upplagras i ett linjärt elastiskt material vid belastning.

10.1.1 Elastisk energi p g a skjuvspänningar

Ett rektangulärt skivelement med tjocklek t och sidlängder ∆x och ∆y utsatt för skjuvspänningar, τ, betraktas. Figur 10.5 visar elementet i obelastat (streckat) och belastat (heldraget) tillstånd. Om sidan AB fixeras, kommer ytan CD att förflyttas i den tillhörande spänningsvektorns riktning p g a elementets egen deformation. Förskjutningen av denna sida utgör γ · ∆y; γ << 1, där γ är elementets skjuvvinkel i x-y-planet. Om materialet antas linjärt elastiskt, råder ett linjärt

∆y τ

τ ∆x

B τ Figur 10.5 Deviation av skivelement.

137

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 138

10. torsion av raka axlar

samband mellan kraft (F = τ ∆x · t) och förskjutning (∆δ = γ · ∆y) i denna krafts riktning. Det arbete (se figur 10.6) som uträttas av kraften, blir därmed: ∆U =

F ⋅ ∆δ τ ⋅ ∆x ⋅ t ⋅ γ ⋅ ∆y = 2 2

(10:5)

Detta arbete lagras i likhet med vid uttänjning av en dragfjäder upp i elementet i form av elastisk energi. Räknat per volymenhet utgör energin Figur 10.6 Elastisk energi i skivelement.

∆U

∆u˜ =

∆V

τ ⋅ ∆x ⋅ t ⋅ γ ⋅ ∆y

2 ⋅ ∆x ⋅ ∆y ⋅ t

τ⋅γ

Gγ 2 τ 2 = 2 2G

(10:6)

Eftersom materialet antogs linjärt elastiskt, har Hookes lag utnyttjats i (10:6).

10.1.2 Förvridning av tunnväggigt rör med icke cirkulärt tvärsnitt Först bestäms den elastiska energin i hela röret, vars längd sätts till L. Som volymelement väljs dV = t(s) · ds · dz. Energin erhålls genom integration över alla volymelement, enligt L

Utvärderingsexemplar ∫

U = ∆u˜ ⋅ dV =

s 0

∫∫

Γ2

2G ∫ s

τ( s )2

t( s) ⋅ ds ⋅ dz =

∫∫ s 0

1 Γ 2L ds dz = 2G t( s )

∫ 0

∫ t(s)

Γ2 ( τ( s) ⋅ t( s))2 ds ⋅ dz = 2G ⋅ t( s ) 2G

∫ ∫ t(s) ds ⋅dz s 0

(10:7)

Av ekvation (10:2) framgår att Γ = τ (s) · t(s) = Mv/2A0, som insatt ovan medför U=

Γ 2L

2G ∫ s

ds  M v  L =  t( s)  2 A 0  2G

∫ t(s)

(10:8)

Eftersom ingen energi försvinner under deformationen, måste den elastiska energin enligt (10:8) vara den samma som det yttre arbete som nedlagts för att vrida röret en vinkel Θ, eller 2

Mv ⋅ Θ  Mv  L =  2  2 A 0  2G

∫ t(s) s

Om förvridningsvinkeln löses ut, erhålls Θ=

138

Mv ⋅ L

∫ t(s)

4G ⋅ A 02 s

(10:9)

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 139

10. torsion av raka axlar

Om vridstyvhetens tvärsnittsfaktor K, introduceras som K=

4 A 02 ds t( s )

(10:10)

∫ s

kan (10:9) istället skrivas som Θ=

Mv ⋅ L G⋅K

(10:11)

Kurvintegralen ds

∫ t(s) s

kan evalueras först när funktionen t = t(s) är given. Om godstjockleken är konstant, t, övergår uttrycket i 1 ds t

∫ s

Detta motsvarar medelvärdet av rörets omkrets genom dess tjocklek. Sambanden (10:4) och (10:10) kallas ibland för Bredts formler.

Utvärderingsexemplar

Som en tillämpning väljs ett 4,00 m långt, tunnväggigt aluminiumrör med elliptiskt tvärsnitt och godstjocklek 2,0 mm. Ellipsens axlar (yttermått) är 140 mm respektive 90 mm. G-modulen sätts till 24 GPa. Röret utsätts för motverkande vridmoment av storleken 3,00 kNm i vardera änden. Hur stor maximal skjuvspänning uppstår och hur stor blir rörets förvridning? Lösning: Ellipsens yta ges av A = πab, där a och b är ellipsens halvaxlar. Med a0 = 70 – 1 = 69 mm; b0 = 45 – 1 = 44 mm ⇒ A0 = π · 69 · 44 ≈ 9,54 · 103 mm2. Ekvation (10:4) ger Wv = 2 · tmin · A0 ≈ 2 · 2,0 · 9,54 · 103 ≈ 38,15 · 103 mm3, som med (10:3) ger τ max =

Mv 3, 00 ⋅103 ≈ ≈ 79 ⋅106 Pa = 79 MPa Wv 38,15 ⋅10 −6

Kurvintegralen ds

∫ t(s) = t ∫ ds s

utgör en elliptisk integral, som saknar analytisk lösning. Från något matematiskt standarverk hämtas tabellvärdet av

∫ ds ≈ 365,5 mm. s

139

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 140

10. torsion av raka axlar

Alternativt används ett approximativt uttryck för ellipsens omkrets:

∫

ds = 2 π

a 02 + b02 692 + 44 2 ≈ 2π ≈ 364 mm. 2 2

Från (10:10): K=

4 A 02 4 ⋅ 9, 54 2 ⋅106 ≈ ≈ 1, 99 ⋅106 mm 4 . ds 365 t( s ) 2, 0

∫ s

Slutligen ger (10:11) Θ=

Mv ⋅ L 3, 00 ⋅103 ⋅ 4, 00 ≈ ≈ 0, 25 rad ≈ 14,3°. G⋅K 24 ⋅109 ⋅1, 99 ⋅10 −6

En jämförelse kan vara på sin plats. Vad skulle motsvarande storheter bli, om röret byts mot ett cirkulärcylindriskt rör med samma godstjocklek och vikt? Medelradien R0 i ett sådant rör ges av att omkretsen skall vara densamma för båda rören, dvs 2π

a 02 + b02 = 2 πR 0 ; 2

R0 =

a 02 + b02 692 + 44 2 ≈ ≈ 54, 9 mm. 2 2

Utvärderingsexemplar Från (9:3): τ=

2 πR 02t

≈

3, 00 ⋅103

2 π54, 92 ⋅10 −6 ⋅ 2, 0 ⋅10 −3

≈ 79 ⋅106 Pa = 79 MPa

För att bestämma förvridningen beräknas först tvärsnittsfaktorn med (9:31): K = 2 πR 30t ≈ 2 π 54, 93 ⋅ 2, 0 ≈ 2, 08 ⋅106 mm 4 Θ=

och därpå

Mv ⋅ L 3, 00 ⋅103 ⋅ 4, 00 ≈ ≈ 0, 24 rad ≈ 13,8° G⋅K 24 ⋅109 ⋅ 2, 08 ⋅10 −6

Skjuvspänningarna blir lika stora i de båda rören, men det cirkulärcylindriska röret blir något styvare. Detta är en konsekvens av att vid lika omkrets är cirkeln den kurva, som innesluter störst area, A0. I enlighet med (10:10) innebär detta största möjliga värde på tvärsnittsfaktorn. Det tunnväggiga, cirkulärcylindriska röret är på grund av detta den optimala rörformen vid vridning. Uttrycken för tunnväggiga rör med icke cirkulärt tvärsnitt kan naturligtvis tillämpas även för rör med cirkulär form. Då ger (10:4): Wv = 2tminA0 = 2tπR2 = 2πR2t, som står i överensstämmelse med (9:4).

140

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 141

10. torsion av raka axlar

Ekvation (10:10) lyder K=

4 A 02 4 π 2R 4 = = 2 πR 3t ds 2 πR t( s ) t

∫ s

som överensstämmer med (9:31).

10.2 Torsion av axel med cirkelringformat tvärsnitt I tunnväggiga rör anses skjuvspänningarna jämt fördelade över godstjockleken. I tjockväggiga rör måste däremot skjuvspänningarnas variation med radien beaktas. I detta avsnitt behandlas torsion av raka axlar med cirkelringformiga tvärsnitt enligt figur 10.7. Rörets ytterdiameter sätts till D och dess innerdiameter till d. Rörlängden sätts till L. P g a rotationssymmetrin är cylinderkoordinater (r, Θ, z) att föredra.

Utvärderingsexemplar

I röret skärs ett skivelement med tjocklek dz ut enligt figur 10.8 Vid belastning förvrids skivans ändytor en vinkel dΘ relativt varandra. En punkt B i figur 10.8 på rörets yttre radie förskjuts p g a elementets egen deformation till B*. Eftersom endast deformationen av själva elementet är intressant, kan vilken punkt som helst i elementet betraktas som fix, och då väljs punkt A och förskjutningar relativt punkt A analyseras.

dθ O

θ r

r dr τ(r)

Mv dz

Figur 10.7 Tjockväggigt rör med angulärt tvärsnitt.

Figur 10.8 Skivelement i rör.

141

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 142

10. torsion av raka axlar

För att komma vidare utnyttjas tre antaganden, som uppställdes av Saint-Venant: • Fri tvärsnittsvälvning, d v s tvärsnitt som i obelastat tillstånd är plana, tillåts vid belastning bli buktiga eller annorlunda formulerat, uz ≠ 0. Om t ex rören genom inspänning är förenade med stela plan i sina ändar, förhindras tvärsnitten att välva sig vid dessa. Den följande teoribildningen gäller i så fall först ett stycke in på rören men inte omedelbart intill inspänningsplanen. (Villkoret om fri tvärsnittsvälvning är orsaken till att röret i exemplet i avsnitt 9.3 inte ritats som inspänt mellan fixa väggar) • Alla tvärsnitt roterar som stela skivor. • Röret är prismatiskt med oföränderligt tvärsnitt. Det mellersta antagandet leder till, att varje punkt som i obelastat tillstånd ligger på linjen OB i figur 10.8, vid belastning återfinns på linjen OB* En punkt med koordinaterna (r, θ, z) kommer vid belastning därför att hamna i (r, θ + dθ, z). Förskjutningen av denna punkt kan dels tecknas som r · dΘ, dels som γ (r) · dz, där γ (r) är elementets (på radien r) skjuvvinkel, eller γ (r) · dz = r · dΘ, som ger γ (r ) = r

dΘ . dz

Med användning av Hookes lag:

Utvärderingsexemplar τ(r ) = G ⋅ γ (r ) = G ⋅ r

dΘ dz

Det tredje antagandet medför, att alla element med tjocklek dz vrids lika stor vinkel, eftersom alla skivelement påverkas av samma vridmoment och har samma dimensioner. dΘ/dz är m a o konstant, så länge vridmoment och tvärsnitt är oföränderliga. Av uttrycket dΘ dz framgår, att skjuvspänningen därvid växer linjärt med radien, som figur 10.9 visar. τ(r ) = G ⋅ r

τ(r) ΦD

dϕ ϕ

Φd r

Figur 10.9 Skjuvspänningsfördelning vid vridning av axel med ringformig sektion av linjärt elastiskt material.

142

Figur 10.10 Ytelement vid integration av skjuvspänningar.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 143

10. torsion av raka axlar

För att bestämma det vridmoment som skjuvspänningarna genererar, utgår vi från ett ytelement enligt figur 10.10. För att inte blanda samman den cylindriska vinkelkoordinaten med förvridningsvinkeln θ, används koordinatsystem (r, ϕ, z) istället för det tidigare (r, Θ, z). Ytelementet har arean dA = r · dϕ · dr. Skjuvspänningarna på ytelementet lämnar ett momentbidrag med avseende på rörcentrum av dM v = τ(r ) ⋅ dA ⋅ r = τ(r ) ⋅ r ⋅ dϕ ⋅ dr ⋅ r = G ⋅ r

dΘ 3 r ⋅ dr ⋅ dϕ dz

som efter integration över tvärsnittet ger: Mv

Mv =

∫

D/ 2 2 π

dM v = G

dΘ

∫ ∫ dz r

3 dr dϕ .

d/ 2 0

Om vi återigen utnyttjar Saint-Venants tredje antagande och förutsätter att vridmoment och tvärsnitt är oföränderliga över längder L, så är dΘ/dz konstant och därmed dΘ Mv = G dz

D/ 2 2 π

∫ ∫r

r 4[ ]

3 dr dϕ = G dΘ 2 π 1

d/ 2 0

D/ 2 d/ 2

Utvärderingsexemplar

π dΘ  D4 − d 4  dΘ  D4 − d 4  = G   = πG   2 dz  16  dz  32 

Om tvärsnittsfaktorn, K, införs K=

π(D4 − d 4 )

(10:12)

kan vridmomentet tecknas som M v = GK

dΘ dz

Återigen; om vridmoment och tvärsnitt inte varierar över längden L, så är Mv /GK konstant. Integration ger i sådant fall: L

Θ=

∫ dΘ = ∫ 0

Mv M dz = v GK GK

Kombineras τ(r ) = G ⋅ r

∫ dz = 0

Mv ⋅ L G⋅K

(10:13)

dΘ dΘ och M v = GK dz dz

143

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 144

10. torsion av raka axlar

kan skjuvspänningen skrivas som τ(r ) = G ⋅ r

Mv M = vr G⋅K K

(10:14)

Skjuvspänningens maximala värde uppträder vid rörets ytterdiameter och uppgår till τ max =

Mv D 16M v D = K 2 π(D4 − d 4 )

(10:15)

Om vridmotståndet Wv =

π(D4 − d 4 )

(10:16)

16D

införs, kan den maximala skjuvspänningen istället tecknas som: τ max =

Mv Wv

Om speciellt Wv =

(10:17) D d − = t << d, d v s röret är tunnväggigt, övergår (10:16) i: 2 2

π(D4 − d 4 )

16D

π(D2 + d 2 ) ⋅ (D2 − d 2 )

16D

π(D2 + d 2 ) ⋅ (D + d ) ⋅ (D − d )

16D

Utvärderingsexemplar ≈

8πD3t π 2 = D t = 2 πR 2 t 16D 2

som är i överensstämmelse med (9:4). Ekvation (10:12) övergår vid tunnväggigt rör i: K=

π(D4 − d 4 )

π(D2 + d 2 ) ⋅ (D + d ) ⋅ (D − d )

som överensstämmer med (9:31).

144

≈

πD2t

= 2 πR 3 t

≈

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 145

10. torsion av raka axlar

10.3 Torsion av massiv, cirkulärcylindrisk axel Skjuvspänning och förvridning för en massiv, cirkulärcylindrisk axel kan nu enkelt formuleras med uttrycken från föregående avsnitt genom att sätta innerdiametern till noll. Då erhålls: Mv Wv

(10:17)

Mv ⋅ L G⋅K

(10:11)

τ max = Θ=

Wv = K=

πD3

πD4

(10:18) (10:19)

Utvärderingsexemplar

10.4 Torsion av axlar med icke-cirkulär sektion

Även om torsionsaxlar med cirkulär eller ringformig sektion dominerar över andra tvärsnittsformer, finns det anledning att kortfattat behandla några av de senare formerna. Dock ges inga härledningar av skjuvspänningsfördelning och förvridning. Sådana härledningar baseras vanligen på den s k Prandtls spänningsfunktion och användning av Laplaces operator och blir både mer komplicerade och långdragna än de analyser som hittills genomförts. I sammanhanget brukar en fysikalisk modell av spänningsfunktionen, kallad såphinneanalogin, användas. I en plan, horisontell plåt upptas ett hål, vars form överensstämmer med sektionsformen på den massiva, vridna axeln. En såphinna tänks täcka hålet. Om en lufttrycksdifferens skapas över såphinnan, kommer denna att bukta ut. Det visar sig, att differentialekvationen för hinnans utbuktning är analog med den differentialekvation i Prandtls spänningsfunktion, som definierar skjuvspänningarnas fördelningen över sektionen. Skjuvspänningskomponenterna i en punkt är identiska med de partiella derivatorna av spänningsfunktionen med avseende på koordinaterna i plåtens plan. Skjuvspänningen i varje punkt visar sig 145

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 146

10. torsion av raka axlar z

y a

x b

Figur 10.11 Såphinneform i x-z-planet och y-z-planet vid långsträckt, rektangulär sektion.

svara mot tangentplanets till såphinnans lutning mot horisontalplanet i samma punkt. Ju större vinkel hinnans tangentplan bildar mot horisontalplanet, desto större är skjuvspänningen i punkten. Skjuvspänningens riktning i punkten överensstämmer med skärningslinjen mellan tangentplanet och ett horisontalplan. Vidare är volymen mellan såphinnan och plåtytan proportionell mot vridmomentet. Såphinneanalogin är ingen kvantitativ modell, men ger en intuitiv uppfattning om var de största skjuvspänningarna uppkommer i en sektion. Som exempel tillämpas analogin på en axel med tvärsnitt i form av en långsträckt rektangel enligt figur 10.11 med sidor a och b. I samma figur visas den ungefärliga formen av såphinnan. Hinnans tangentplan lutar kraftigt mot xy-planet omedelbart intill ränderna x = ±b/2; y = ±a/2. Utmed linjen y = z = 0 är tangentplanet nästan horisontellt utom i närheten av x = ±b/2. Det innebär, att skjuvspänningarna på x-axeln är låga utom vid kortsidorna. I rektangelns hörn blir tangentplanet horisontellt. Skjuvspänningen i hörnen är alltså noll. Så blir alltid fallet i utvändiga hörn av en sektion. Störst lutning får tangentplanen på mitten av rektangelns långsidor, där också de största skjuvspänningarna uppkommer.

Utvärderingsexemplar

Figur 10.12 Såphinneform vid cirkelringformat tvärsnitt.

Såphinneanalogin kan även användas för icke massiva tvärsnitt, men då med en modifierad modell. Hålrum i axeln motsvaras av plana plåtar med hålens form, parallella med hålplåten, men belägna i andra plan än denna. Som exempel visas i figur 10.12 en axel med cirkelringformig sektion.

Figur 10.13 Formförändring av tvärsnitt vid vridning av axel med rektangulär sektion.

146

Saint-Venants antagande att alla tvärsnitt roterar som en stel skiva gäller inte vid vridning av axlar med icke rotationssymmetrisk sektion. Så kommer t ex en axel med rektangulärt tvärsnitt att anta en ungefärlig form enligt figur 10.13 vid belastning.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 147

10. torsion av raka axlar

10.4.1 Torsion av axel med elliptisk tvärsnitt Om ellipsens halvaxlar är a utmed x-axeln och b utmed y-axeln, se figur 10.14, ges ellipsen av ekvationen: x2 a2

y2 b2

om dess centrum sammanfaller med origo. Skjuvspänningarna visar sig vara konstanta på koncentriska ellipser enligt ekvationen x2 a4

y2 b4

τ2

(10:20)

4c 2

där c är en konstant. Ellipser för några konstanta skjuvspänningar visas i figur 10.15. Störst skjuvspänning uppträder i punkter B med koordinater (0, –b) respektive (0, b). Med vridmotståndet Wv och tvärsnittsfaktorn K, kan den maximala skjuvspänningen enligt (10:17) skrivas som

Utvärderingsexemplar

τ max =

Mv Wv

och förvridningen enligt (10:11) som Θ=

Mv ⋅ L . G⋅K

För ett elliptiskt tvärsnitt antar vridmotståndet och tvärsnittsfaktorn följande form: Wv =

ab2

(10:21) y

b x

r x

2a Figur 10.14 Axel med elliptiskt tvärsnitt.

B a Figur 10.15 Kurvor för konstant skjuvspänning vid vridning av axel med elliptiskt tvärsnitt.

147

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 148

10. torsion av raka axlar

K=π

a 3 b3

(10:22)

a 2 + b2

Som framgår av (10:20) varierar inte skjuvspänningen linjärt med avståndet r från tvärsnittets centrum (såvida inte a = b, men då är inte tvärsnittet elliptiskt utan cirkulärt).

10.4.2 Torsion av axel med rektangulärt tvärsnitt Rektangeln förutsätts ha sidorna a och b, där b > a. Med τ max =

Mv Wv

och Θ =

Mv ⋅ L G⋅K

som tidigare, kan vridmotståndet och tvärsnittsfaktorn tecknas med faktorer η2 och η3 såsom: Wv = η2 · b · a2

(10:23)

K = η3 · b · a3

(10:24)

Den maximala skjuvspänningen uppträder mitt på sektionens långsidor, punkterna B i figur 10.16. Skjuvspänningen i kortsidans mittpunkt kan skrivas som

Utvärderingsexemplar τkort = η1 · τmax

(10:25)

I hörnen är som tidigare nämnts, skjuvspänningen noll. För mycket smala rektanglar, b/a >> 1, brukar man skriva K≈

b ⋅ a3 3

(10:26)

respektive Wv ≈

K b ⋅ a2 = 3 a

(10:27)

Värdet av faktorerna η1, η2 och η3 för några olika sidoförhållanden framgår av tabell 10.1.

τ max τ kort

a B b

148

Figur 10.16 Axel med rektangulärt tvärsnitt.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 149

10. torsion av raka axlar Tabell 10.1 Faktorer η1, η2 och η3 för rektangulär sektion med olika sidoförhållanden. b/a

1,00

1,20

1,50

2,0

2,5

3,0

4,0

5,0

∞

η1

1,00

0,858

0,796

0,753

0,745

0,743

η2

0,208

0,219

0,231

0,246

0,258

0,267

0,282

0,291

η3

0,141

0,166

0,196

0,229

0,249

0,263

0,281

0,291

0,307

0,312

0,333

0,307

0,312

0,333

10.4.3 Öppna tvärsnitt sammansatta av långsmala rektanglar Några exempel på öppna tvärsnitt sammansatta av långsmala rektanglar visas i figur 10.17. ”Tjockleken” a kan vara olika i de enskilda rektanglarna, liksom ”bredden” b. Sådana tvärsnitt förekommer, när plana plåtar svetsas samman till balkprofiler. Härledning av skjuvspänning och förvridning bygger på att alla rektangelelement har samma längd, (L, vinkelrät mot figurplanet i figur 10.17) och förvrids samma vinkel, Θ. Det totala vridmomentet, Mv, sätts till summan av de moment, som härrör från varje enskild rektangel. Utan att genomföra härledningen, presenteras enbart de slutliga resultaten. Som vanligt skrivs förvridningen som: Θ=

Utvärderingsexemplar Mv ⋅ L G⋅K

(10:11)

där tvärsnittsfaktorn K visar sig bli K=

1 3

∑a

(10:28)

i =1

där summationen sker över alla i sektionen ingående rektanglar, n stycken. Figur 10.17 Öppna tvärsnitt av långsmala rektanglar.

Den maximala skjuvspänningen i rektangel j, skrivs som τ j,max =

Mv Wvj

∑K i =1

3a j b j

3M v

a j bj

∑a i =1

3M v a j n

∑

(10:29)

3 a i bi

i =1

149

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 150

10. torsion av raka axlar

I (10:29) är samtliga termer oberoende av j förutom termen aj. Den absolut största skjuvspänningen kommer därmed att finnas i den rektangel, som har det största värdet på a, här betecknat amax. Den största skjuvspänningen kan därmed tecknas som: τ max =

3M v a max n

∑a

(10:30)

3 i bi

i =1

Om vi som förut önskar uttrycka skjuvspänningen med stöd av vridmotståndet enligt: τ max =

Mv Wv

(10:17)

blir vridmotståndet i detta fall n

Wv =

∑a

3 i bi

i =1

3 ⋅ a max

(10:31)

Utvärderingsexemplar ! 10.4.4 Vlasovsk vridning

Vid vridning av axlar vars tvärsnitt inte är rotationssymmetriska förblir inte tvärsnitten plana. En tvärsnittsvälvning uppstår. Om välvningen förhindras genom axelns inspänning, t ex förankring mellan stela plan i ändarna, medför detta olikformig vridning, även kallad Vlasovsk vridning. I sammanhanget uppstår normalspänningar i axelns längdriktning. Normalspänningarna blir vid öppna, tunnväggiga tvärsnitt stora. Hur dessa tillsatsspänningar beräknas, faller utanför ramen för denna bok.

10.5 Öppna och slutna sektioner – en jämförelse Axlar av tunnväggiga öppna respektive slutna sektioner uppvisar högst olika spänningsbilder och förvridningar vid torsion, även om de är nästan lika i form och storlek. I detta avsnitt görs en jämförelse för att belysa skillnaderna. Två sektioner analyseras. Dels en axel med tunnväggig, kvadratisk sektion (fyrkantrör), dels sam-

150

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 151

10. torsion av raka axlar a)

b) Figur 10.18 Vridning av a) slutet, b) öppet, fyrkantrör.

ma rör, som försetts med en längsgående, smal slits utmed hela rörlängden, se figur 10.18. För båda sektionerna gäller att längden av den yttre sidan sätts till b, godstjockleken till t << b och axellängden till L. För slitsen i sektion b) gäller s << b. För den slutna sektionen a) gäller enligt (10:3) τ max, a ) =

Mv Mv ≈ 2t min A 0 2t ⋅ b2

samt enligt (10:9) Θa) =

Mv ⋅ L

∫ t(s) ≈ 4G ⋅ b

4G ⋅ A 02 s

4 ⋅t

4b =

Mv ⋅ L G ⋅ b3 ⋅ t

För den öppna sektionen gäller istället enligt (10:30)

Utvärderingsexemplar ∑

τ max, b ) =

3M v a max n

a i bi

≈

3M v t

4 t3 ⋅ b

3M v

4t 2b

i =1

samt enligt (10:13) och (10:28) Θb) =

Mv ⋅ L ≈ G⋅K

Mv ⋅ L Mv ⋅ L 3M v ⋅ L = = 4  b 1 3 G ⋅ t3 ⋅ b 4 G ⋅ t3 ⋅ b G  3t b + 2 t 3  3 3 2

För att jämföra resultaten bildas kvoterna τ max, b ) τ max, a )

3M v

2 6b 2 t 3 b ≈ 4t b = = >> 1 Mv 4bt 2 2 t 2t ⋅ b2

respektive Θb) Θa)

3M v ⋅ L

3 3 b2 ≈ 4G ⋅ t ⋅ b = >> 1 Mv ⋅ L 4 t2 G ⋅ b3 ⋅ t

151

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 152

10. torsion av raka axlar

Med exempelvis b = 50 mm, t = 2,5 mm, fås τ max, b ) τ max, a )

≈

3 b 3 50 = = 30 2 t 2 2, 5

och

Θb) Θa)

≈

3 b2 3 502 = = 300. 4 t 2 4 2, 52

Den öppna sektionen ger alltså 30 gånger så stora skjuvspänningar och 300 gånger så stor förvridning som den slutna. En sluten, tunnväggig sektion är alltid att föredra jämfört med en öppen, om man strävar efter små deformationer och låga påkänningar. Hur kan den stora skillnaden ges en förklaring? Jo, skjuvspänningarna fördelas helt olika i de två fallen. I figur 10.19 visas schematiskt utseendet av spänningsfördelningen. För att tydliggöra fördelningen, har godstjockleken överdrivits kraftigt. För att inse skjuvspänningsfördelningens karaktär, kan man ta hjälp av såphinneanalogin för de två sektionsformerna. Såphinnornas form i snitten A–A och B–B är schematiskt skisserade som prickade kurvor i samma figur. a)

A B

Utvärderingsexemplar

Figur 10.19 Skjuvspänningsfördelning och såphinnans form (prickad) vid vridning av a) slutet, b) öppet, fyrkantrör.

Snitt A - A Snitt B - B

10.6 Flytlastförhöjning

Axlar utförda i plasticerande material och som inte karaktäriseras som tunnväggiga kan belastas utöver det vridmoment, MvS, som medför begynnande flytning i någon punkt. När vridmomentet ökas över detta värde, sprider sig den plastiska zonen i axeln och den kvarvarande elastiska zonen blir allt mindre, för att när vridmomentet uppgår till Mvg vara helt borta. Vid detta moment kollapsar axeln, om materialet är linjärt elastiskt, idealplastiskt. Om materialet däremot är deforma152

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 153

10. torsion av raka axlar

τS

τmax < τS

τmax = τS

τmax > τS, τmin < τS

τmin = τS

M v < M vS

M v = MvS

M vg > M v > M vS

M v = Mvg

Figur 10.20 Olika stadier av skjuvspänningsdistributionen vid vridning av axel med ringformat tvärsnitt och vid linjärt deformationshårdnande material.

τS

Utvärderingsexemplar τmax < τS

τmax = τS

τmax > τS, τmin < τS

τmin = τS

M v < M vS

M v = MvS

M vg > M v > M vS

M v = Mvg

Figur 10.21 Olika stadier av skjuvspänningsdistributionen vid vridning av axel med ringformad sektion och vid linjärt elastiskt, idealplastiskt material.

tionshårdnande, t ex linjärt elastiskt, linjärt deformationshårdnande, kan momentet ökas ytterligare ända till att skjuvspänningen i den mest påkända punkten når skjuvbrottgränsen. Figur 10.20 visar några olika stadier av skjuvspänningsfördelningen i en tjockväggig, cylindrisk röraxel. Figur 10.21 visar detsamma, men med ett linjärt elastiskt, idealplastiskt material. Flytlastförhöjningen vid vridning definieras som: β=

M vg − M vS M vS

(10:32)

Storleken av momentet MvS kan bestämmas med hjälp av tidigare angivna uttryck genom att i dessa sätta τmax = τS. Storleken av Mvg kan bestämmas först sedan materialegenskaperna för τ ≥ τ S definierats. Som ett exempel beräknas flytlastförhöjningen vid vridning av en axel med cirkelringformat tvärsnitt utförd i ett linjärt 153

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 154

10. torsion av raka axlar

elastiskt, idealplastiskt material med skjuvsträckgräns τS. Rörets ytterdiameter sätts till D, dess innerdiameter till d. Ekvation (10:15) ger: 16M vSD

τ S = τ max =

π(D4 − d 4 )

M vS =

eller

πτ S D4 − d 4

Vid genomplasticering blir hela det ringformiga området mellan d och D plasticerat och skjuvspänningen uppgår till τS överallt i detta område. Ett ringformat ytelement med innerradie d/2 ≤ r ≤ D/2 och ytterradie r + dr lämnar ett bidrag till vridmomentet av dMvg = τS 2πr · dr · r och därmed ett totalt vridmoment av D 2

M vg

 r 3  2 πτ = 2 τS π r 2 ⋅ dr = 2 πτS   = S (D3 − d 3 ). 12  3  d d

∫

Flytlastförhöjningen blir därmed efter insättning i (10:32): D3 − d 3 D4 − d 4 − 3 3 4 4 4 3 4 12 16D = 4D(D − d ) − 3(D − d ) = D − 4Dd + 3d β= 4 4 4 4 4 4 3(D − d ) 3(D − d ) D −d 16D Om exempelvis d = D/2, fås β = 11/45 ≈ 0,24. Om d = 0 (massiv axel), fås β = 1/3 ≈ 0,33.

Utvärderingsexemplar

10.7 Öppna tunnväggiga tvärsnittsformer För öppna, tunnväggiga tvärsnitt som avviker från rektangulär form kommer såphinneanalogin väl till pass. Tag som exempel sektionerna i figur 10.22, som har det gemensamt, att de har samma tjocklek, a = t, och samma ”bredd/längd”, b = s. Intuitivt inser man, att varken volymen under såphinnan eller dess form i varje vertikalplan, vinkelrätt mot hinnans längdmässiga utsträckning, påverkas av att om ut-

t s

s Figur 10.22 Exempel på öppna tunnväggiga sektioner.

154

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 155

10. torsion av raka axlar

sträckningen är rak eller krokig. Eftersom volymen under hinnan är densamma, motsvarar detta att vridmomenten är lika för sektionerna. Och eftersom hinnans utbuktning inte ändras, blir tangentplanens lutning i snitt på samma avstånd från respektive ände desamma. Och eftersom tangentplanets lutning i varje punkt är proportionell mot skjuvspänningen i punkten, kommer man till följande slutsats: För en tunnväggig sektion med konstant tjocklek och godtycklig form blir skjuvspänningarna vid samma vridmoment lika stora som för en rektangulär sektion med samma bredd och tjocklek och där sidoförhållande b/a >> 1. För öppna tunnväggiga sektioner gäller sambanden τ max =

Mv Wv

och Θ =

Mv ⋅ L , där G⋅K

b ⋅ a 3 s ⋅ t3 = 3 3

K≈

Wv ≈

K ba 2 K s ⋅ t 2 = = = 3 3 a t

(10:26) (10:27)

där t är sektionens tjocklek och s dess utsträckning i längd.

Utvärderingsexemplar

10.8 Övningsexempel

! 10/1

Vid invändig svarvning av ett cirkulärcylindriskt rör med 40,0 mm ytterdiameter och 2,00 mm godstjocklek råkar hålet bli excentriskt beläget relativt ytterdiameterns centrum. Excentriciteten uppgår till 0,25 mm. Röret är avsett att belastas med motverkande vridmoment i vardera röränden. Med hur många procent stiger den maximala skjuvpåkänningen p g a excentriciteten?

! 10/2

0,25

Φ 450

En propelleraxel enligt figur skall överföra maximalt 19 MW vid varvtalet 108 varv/minut. Hur stor blir den maximala skjuvspänningen i axeln?

155

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 156

10. torsion av raka axlar

! 10/3

En massiv, cirkulärcylindrisk ansatsaxel enligt figur angrips vid diametersprånget av ett vridmoment. Axelavsnitten har diametrarna D = 60 mm, d = 40 mm och har båda en längd av L = 400 mm. a) Hur stort vridmoment kan tillåtas, om den tillåtna skjuvspänningen är 160 MPa? b) Bestäm flytlastförhöjningen för axeln, om materialet är linjärt elastiskt, idealplastiskt med skjuvmodul G = 80 GPa och skjuvsträckgräns τS = 190 MPa.

! 10/4

En axel med angulär sektion med ytterdiameter D = 50 mm, innerdiameter d = 20 mm och längd L = 250 mm utsätts för motverkande vridmoment i sina ändar. Axelmaterialet är linjärt elastiskt, idealplastiskt med skjuvmodul G = 80 GPa och skjuvsträckgräns τS = 180 MPa. Illustrera i en graf sambandet mellan vridmoment, Mv, och axelförvridning, Θ, upp till genomplasticering av röret. Sambandet γ (r) · dz = r · dΘ eller integrerat γ (r) · L = r · Θ, som innebär att tvärsnitten roterar som stela skivor gäller även i det plastiska området.

Utvärderingsexemplar ! 10/5

Röret i exempel 10/4 belastas till begynnande genomplasticering och avlastas därpå. Hur stor blir den kvarvarande förvridningsvinkeln efter avlastning?

! 10/6

En cirkulärcylindrisk röraxel skall överföra ett visst vridmoment. Man har att välja på ett rör med ytterdiameter D1 = 80 mm och innerdiameter d1 = 60 mm eller ett rör med ytterdiameter D1 = 75 mm och innerdiameter d1 = 47 mm. Vilket av rören skall väljas, om man önskar a) så låg skjuvpåkänning som möjligt? b) så liten förvridning som möjligt? c) så låg vikt som möjligt?

! 10/7

Två cirkulärcylindriska axlar skall förenas genom att en hylsa svetsas fast på vardera axeländen enligt figur. Axlarna har diametern d = 25 mm och överför ett vridande moment. Hur stor skall hylsans ytterdiameter väljas, för att skjuvspänningarna i axel och hylsa skall bli lika stora?

156

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 157

10. torsion av raka axlar

! 10/8

Ett kvadratiskt fyrkantrör med 50 mm yttersida och 2,0 mm godstjocklek överför ett vridande moment av 1,25 kNm. Hur stor elastisk energi finns upplagrad i röret, om detta är 4,00 m långt?

! 10/9

En massiv cirkulärcylindrisk axel av linjärt elastiskt, idealplastiskt material utsatt för vridning, genomplasticeras vid ett vridmoment av Mv0. a) Hur stort vridmoment tål axeln innan plasticering sker? b) Axeln borras ur med ett genomgående centralt hål så att vikten minskas med 25%. Vid vilket moment sker genomplasticering? c) Vid vilket moment börjar den urborrade axeln plasticera?

! 10/10

Två stela gavlar förenas med en massiv cirkulärcylindrisk axel med diameter d. Koncentriskt med axeln förbinds även ett tunnväggigt cirkulärcylindriskt rör med gavlarna. Röret har ytterdiameter D = 3d och godstjocklek t = D/20. Axeln och röret är båda gjorda av linjärt elastiskt idealplastiskt material med skjuvsträckgräns τS och skjuvmodul G. Både axel och rör har längden L. På gavlarna appliceras motverkande moment, som ger en vridning av rör och axel. a) Hur stor förvridning uppstår vid ett vridmoment av Mv, innan varken rör eller axel börjar flyta? b) Vid hur stort moment börjar strukturen flyta? c) Hur stor blir flytlastförhöjningen?

Utvärderingsexemplar

! 10/11

I ett tunnväggigt, cirkulärcylindriskt rör med medeldiameter D, godstjocklek t = D/20 och längd L fräses en genomgående, axiell, smal slits upp utmed hela rörlängden. Bestäm förhållandet mellan det öppna och det slutna rörets a) största skjuvspänning, b) förvridning. Strukturen utsätts för motverkande vridmoment i ändarna.

157

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 158

10. torsion av raka axlar

! 10/12

En kyltub är tillverkad av 2 mm plåt och formad enligt figur. Den längsgående spaltens bredd är försumbar. Den yttre mantelns (medel-)diameter är D = 300 mm och den inre manteln har (medel-)diametern d = 150 mm. I tubens ändar verkar motverkande vridmoment av storleken 4,00 kNm. a) Bestäm den maximala skjuvspänningen i tuben. b) Hur stort vridmoment överför den yttre manteln? c) Varför överför yttre manteln ett större moment än det totala vridmomentet?

! 10/13

Från en oljeplattform skall man börja borra på ett havsdjup av 1500 m. Den massiva borrstångens diameter är 200 mm med en skjuvmodul av 79 GPa. Från gjorda mätningar kan utläsas, att drivmaskineriet roterar två hela varv, innan borrkronan börjar rotera. Hur stor är skjuvspänningen i borrstången när borrkronan börjar rotera?

! 10/14

Utvärderingsexemplar

Man önskar styva upp en tunnväggig U-balk av aluminium med godstjocklek t enligt figur genom att utmed hela balklängden svetsa fast en plåtstrimla med samma tjocklek och av samma material som balken. Balken påverkas av motverkande vridmoment i ändarna. Sektionens bredd, b = 20t. a) Med hur många procent sjunker i så fall skjuvspänningen i balken? b b) Med hur många procent sjunker förvridningen av balken? c) Med hur många procent ökar balkens vikt? b

! 10/15

En massiv axel med cirkulär tvärsnittsform belastas i vardera änden med vridmomentet 4,60 kNm. Axelns diameter är 50 mm. Materialet antas linjärt elastiskt, idealplastiskt med skjuvmodul 77 GPa och skjuvsträckgräns 150 MPa. Hur stora blir de två numeriskt största kvarvarande skjuvspänningarna i axeln efter avlastning och vid vilka radier uppträder de?

158

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 159

10. torsion av raka axlar

Svar till övningsexempel 10/1: 14% 10/2: 94 MPa 10/3: a) 8,13 kNm, b) 0,44 10/4: Se vidstående figur. För Θ ≤ ΘS gäller:

Mv =

π τ

16 D

(D 4 − d 4 ) =

π G

32 L

(D 4 − d 4 ) Θ

Mv Mvg MvS

För ΘS ≤ Θ ≤ Θg gäller: Mv =

τ SD3 −

π Gd 4

32 L

Θ−

4 π τ S L3 1 6 G3 Θ 3

Θ ΘS

Θg

För Θg ≤ Θ gäller: M v = M vg =

τ S (D3 − d 3 )

10/5: 0,60°

Utvärderingsexemplar

10/6: a) det grövre, b) det grövre, c) det klenare 10/7: 30,5 mm, 10/8: 177 Nm

3 7 45 M v 0 , b) M v 0 , c) Mv0 4 8 64 10/10: (röret flyter först)

10/9: a )

a) Θ =

160 M v L 167 3 167 1 , b) πd τ S = πD3 τ S , c) 4 59 πGd 240 6480 16

10/11: a )

3D 3 D2 = 30, b) = 300 2 t 4 t2

10/12: a) 18,9 MPa, b) 5,40 kNm, c) Skjuvspänningarna i yttre och inre manteln motverkar varandra, medurs i yttre mantel, moturs i den inre eller vise versa 10/13: 66 MPa 10/14: a) 97,5%, b) 99,8%, c) 25% 10/15: 37,3 MPa vid ytterradien, 31,6 MPa vid radien 15,8 mm.

159

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 160

11 Hookes generaliserade lag I en belastad struktur råder ofta fleraxligt spänningstillstånd i hela eller delar av strukturen. Om t ex normalspänningar, σx, σy, σz, finns i alla tre Cartesiska koordinatriktningarna, kan normaltöjningarna inte beräknas med Hookes lag som den hittills formulerats. För material som inte är linjärt elastiska måste provkroppar utsättas för olika slags fleraxliga tillstånd och de alstrade töjningarna mätas upp. Man inser omedelbart, att sådan provning blir omfattande. De konstitutiva samband som blir resultatet av sådana prov, blir sällan enkla. Komplexa konstitutiva samband medför i sin tur, att tillämpning av dem på konkreta problem blir arbetsam och utrymmeskrävande.

Utvärderingsexemplar

Som väl är, är normala konstruktionsmaterial linjärt elastiska vid de spänningsnivåer som tolereras i bärande strukturer. I dessa vill man sällan varken få stora deformationer under belastning eller få kvarstående deformationer efter avlastning. Dessutom kan konstruktionsmaterial i allmänhet behandlas som isotropa, vilket innebär att materialet har likadana egenskaper i alla riktningar. Metaller och betong anses isotropa. Trä däremot, uppvisar olika egenskaper tvärs och längs fiberriktningen och är därmed anisotropt. Plast med slumpvis fördelade fibrer kan betraktas som isotropt. Men vid armeringen kan fiberriktningen avsiktligt orienteras σy

σy y

+ σx

z x

Figur 11.1 Superposition av normalspänningar.

160

σz

σx

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 161

11. hookes generaliserade lag

i bestämda riktningar. Sådan armerad plast är anisotrop. Stål som valsats eller dragits, uppvisar en viss anisotropi, något som man i allmänhet ignorerar i beräkningssammanhang. För isotropa, linjärt elastiska material, är superpositionsprincipen giltig. Låt ett rätblockselement vars kantlinjer är orienterade i koordinataxelriktningarna påverkas av normalspänningen σx enligt figur 11.1. Med elasticitetsmodul E och Poissons tal ν uppstår enligt Hookes lag töjningarna ε x1 =

σx

;

ε y1 = −

νσ x

ε z1 = −

;

νσ x

Samma element tänks nu utsatt enbart för normalspänningen σy. De töjningar som blir resultatet härav blir ε x2 = −

νσ y

εy2 =

;

σy

εz2 = −

;

νσ y

Slutligen tänks elementet utsatt för enbart normalspänningen σz med åtföljande töjningar: ε x3 = −

νσ z

ε y3 = −

;

νσ z

;

ε z3 =

σz

Eftersom töjnings-spänningssambanden är linjära, kan töjningarna superponeras i respektive riktning enligt figur 11.2.

Utvärderingsexemplar

1 ( σ x − νσ y − νσ z ) E 1 ε y = ( σ y − νσ z − νσ x ) E 1 ε z = ( σ z − νσ x − νσ y ) E εx =

        

(11:1)

Om elementet även ges en temperaturändring, ∆T, och materialet har längdutvidgningskoefficient α, superponeras de termiska töjningarna till normaltöjningarna. Om det dessutom förekommer skjuvspänningar, τxy = τyx ; τyz = τzy; τzx = τxz , uppσy

σy y

σx

σz

σx

x  νσ y   σ   νσ z  ε x 1  = x  + ε x2  = − = εx  + ε x3  = − E  E   E   

Figur 11.2 Superposition av normaltöjningar i x-riktningen.

161

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 162

11. hookes generaliserade lag

kommer skjuvtöjningar och skjuvvinklar. τxy ger vinkeländringar i plan som är parallella med x-y-planet men inte i plan parallella med z-x-planet eller z-y-planet. Analogt ger τyz endast deviation i plan som är parallella med y-z-planet och τzx endast deviation i plan som är parallella med z-x-planet. I motsats till normalspänningar påverkas skjuvvinkeln i ett plan bara av den tillhörande skjuvspänningen och inte av de övriga skjuvspänningarna. Detta sammantaget leder till: 1 ( σ x − νσ y − νσ z ) + α ⋅ ∆T E 1 ε y = ( σ y − νσ z − νσ x ) + α ⋅ ∆T E 1 ε z = ( σ z − νσ x − νσ y ) + α ⋅ ∆T E εx =

2 ε xy = 2 ε yx = γ xy = γ yx = 2 ε yz = 2 ε zy = γ yz = γ zy = 2 ε zx = 2 ε xz = γ zx = γ xz =

τ xy

G τ yz

G τ zx

= =

Enligt (9:24) gäller även att G =

τ yx

G τ zy

G τ xz

                

(11:2)

E . 2(1 + ν)

Utvärderingsexemplar

Sambanden enligt ekvation (11:2) kallas Hookes generaliserade lag eller Hookes lag i tre dimensioner. Om normalspänningarna löses ur (11:1), erhålls: σx = σy = σz =

E 1 − 2 ν2

−ν

E 1 − 2 ν2 − ν E 1 − 2 ν2 − ν

[ ε x (1 − 2 ν) + ν( ε x + ε y + ε z )] [ ε y (1 − 2 ν) + ν( ε x + ε y + ε z )] [ ε z (1 − 2 ν) + ν( ε x + ε y + ε z )]

        

(11:3)

eller efter omstuvning av termer: σx = σy = σz =

162

νE E (ε x + ε y + ε z ) εx + ( ν + 1) ⋅ (1 − 2 ν) ν +1

E ν +1

εy +

νE (ε x + ε y + ε z ) ( ν + 1) ⋅ (1 − 2 ν)

E νE (ε x + ε y + ε z ) εz + ( ν + 1) ⋅ (1 − 2 ν) ν +1

        

(11: 4)

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 163

11. hookes generaliserade lag

Med kännedom om Hookes generaliserade lag, kan ett tankeexperiment vara på sin plats. Ett rätblockselement placeras i ett exakt lika stort hålrum i ett helt stelt block enligt figur 11.3. På elementets fria yta placeras en massa, som p g a tyngdkraften alstrar ett tryck, σx = –p på elementet. Eftersom blocket anses stelt, uppstår inga töjningar i y- och z-led, d v s εy = εz = 0. Ekvation (11:3) ger då: σ x = −p =

E 1 − 2 ν2

−ν

[ ε x (1 − 2 ν) + νε x ] =

Eε x (1 − ν) 1 − 2 ν2 − ν

eller εx = −

1 − 2 ν2 − ν p (1 − 2 ν) ⋅ (1 + ν) p =− 1− ν E 1− ν E

När massan placeras på elementets övre yta, måste denna sjunka nedåt. Annars vore drömmen om en evighetsmaskinen verklighet. Därmed måste alltså εx vara < 0. Av uttrycket ovan framgår, att så blir fallet endast om 1 – 2ν > 0 ⇒ ν < 1/2. Poissons tal kan som tidigare påpekats, ej bli större än 1/2.

Utvärderingsexemplar Figur 11.3 Viktbelastat rätblockselement i hålrum i stelt block.

163

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 164

12 Plana tillstånd Med plana tillstånd menas fleraxliga spänningstillstånd, men där ena paret motstående sidor i ett rätblockselement är fria från skjuvspänningar. I figur 12.1 är sidorna z = konstant (prickmarkerade) skjuvspänningsfria, d v s τzx = (τxz) = τzy = (τyz) = 0. x

Utvärderingsexemplar

I figuren har endast spänningar på elementets positiva sidor ritats ut. Man brukar dela in plana tillstånd i kategorierna plant spänningstillstånd respektive plant töjningstillstånd. Den senare kategorin kan utvidgas till något som kallas generaliserat plant töjningstillstånd.

y Figur 12.1 Plant tillstånd.

12.1 Plant spänningstillstånd

En tunn skiva belastas med krafter på randen, jämt fördelade över skivans tjocklek och parallella med skivans plan (figur 12.2). På skivans plana ytor är spänningarna σz, τzx och τzy alla noll. Om skivan är tillräckligt tunn, är det rimligt att anta, att dessa spänningar är noll eller åtFigur 12.2 Tunn skiva belastad på randen.

164

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 165

12. plana tillstånd

minstone försumbara även överallt inuti skivan. Spänningstillståndet utgörs i så fall endast av σx, σy och τxy. Ett sådant tillstånd kallas plant spänningstillstånd. Ett rimligt antagande är också, att dessa tre spänningar är oberoende av z, d v s att de inte varierar utmed skivans tjocklek. Däremot är de i allmänhet funktioner av x och y. Vid plant spänningstillstånd är spänningar och töjningar funktioner av enbart två koordinater, t ex x och y vid Cartesiska koordinater, r och ϕ vid cylindriska koordinater.

12.2 Plant töjningstillstånd

Skivan i figur 12.2 tänks istället ha en mycket stor utsträckning i z-led. Det är då mer befogat att kalla kroppen för en prismatisk stång än en skiva. Belastningen utgörs som tidigare av krafter på mantelytan, vinkelräta mot stångens axel och konstanta utmed stångens axiella riktning, figur 12.3. Om stångens ändar förbinds med fixa, glatta, stela plan, blir förskjutningen i z-led noll vid ändarna ∀ (för alla) x och y. Av symmetriskäl blir förskjutningen av stångens mittplan även den noll ∀ x och y. Om axialförskjutningen är noll både vid stångmitten och vid stångändarna, kan man anta, att detsamma gäller för varje stångtvärsnitt, d v s uz ≡ 0 ∀ x, y och z. Alla tvärsnitt kan då betraktas som likvärdiga.

Utvärderingsexemplar x

Figur 12.3 Randbelastad prismatisk stång.

Därmed räcker det att analysera förhållandena i en skiva av stången. Förskjutningarna ux och uy i x- respektive y-led för en sådan skiva är då funktioner enbart av x och y, men oberoende av z. Därvid blir ∂u x ∂z

∂u y ∂z

= 0.

I z-riktningen är förskjutningen uz ≡ 0 ∀ x, y och z. Ekvationerna (9:6) och (9:9) ger därmed: εz =

∂u z ∂z

= 0;

γ yz =

∂u y ∂z

∂u z ∂y

= 0;

γ zx =

∂u z ∂x

∂u x ∂z

(12:1)

165

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 166

12. plana tillstånd

Ett sådant tillstånd kallas plant töjningstillstånd, ibland plant deformationstillstånd. Om Hookes lag är tillämplig, övergår (12:1) i: τyz (= τzy) = τzx (= τxz) = 0

(12:2)

Vid plant töjningstillstånd är skjuvspänningarna och normaltöjningen således noll i planen z = konstant. D v s i plan som är vinkelräta mot stångens axiella utsträckning. För att bestämma normalspänningen i z-riktningen används (11:1): 0 = εz =

1 ( σ z − νσ x − νσ y ) E

eller

σ z = ν( σ x + σ y )

(12:3)

Spänningen σz behövs för att vidmakthålla det plana töjningstillståndet. Sammantaget är τzy = τyz = τzx = τxz = 0 medan σz bestäms av σx och σy enligt (12:3). Det plana töjningsfallet (liksom det plana spänningsfallet) är därmed återfört till att bestämma σx, σy och τxy som funktioner av x och y. Och liksom vid plant spänningstillstånd är spänningar och töjningar funktioner av enbart två koordinater, t ex x och y vid Cartesiska koordinater, r och ϕ vid cylindriska koordinater.

Utvärderingsexemplar

Även om cylinderns ändar inte är förbundna med fixa plan, kan tillståndet i en lång, prismatisk kropp under vissa villkor likställas med plant töjningstillstånd. Kroppen påverkas av krafter enligt ovan. En konstant, axiell normaltöjning, εz, som överlagras det plana töjningstillståndet, påverkar töjningarna εx och εy, men inte spänningarna σx, σy, τxy. En utvidgning av definitionen av plant töjningstillstånd kan därmed göras. Villkoret εz = 0, uz ≡ 0 ersätts med villkoret uz = uz(z) = konstant · z, eller ekvivalent: εz = ∂uz/ ∂z = konstant ≠ 0. Förskjutningarna ux och uy är som tidigare funktioner av enbart x och y, men är oberoende av z. Ett deformationstillstånd med εz = konstant ≠ 0, τzx = τzy = 0, kallas ibland generaliserat plant töjningstillstånd eller generaliserat plant deformationstillstånd. Motsvarande ekvation som (12:3) antar vid generaliserat plant töjningstillstånd utseendet: εz =

166

1 ( σ z − νσ x − νσ y ) E

eller

σ z = Eε z + ν( σ x + σ y )

(12: 4)

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 167

12. plana tillstånd

12.2.1 Ångpanneformlerna Ett generaliserat plant töjningstillstånd kan anses råda i ett tunnväggigt, cirkulärcylindriskt, slutet kärl med inre övertryck, p. Kärl(medel-)radien sätts till R, godstjockleken i manteln till t << R, se figur 12.4. Spänningarna i mantelplåten kan bestämmas med statikens hjälp. Ett snitt förläggs vinkelrätt mot cylinderaxeln, figur 12.5. Ett annat snitt får innehålla cylinderaxeln, figur 12.6. P g a rotationssymmetrin uppträder endast normalspänningar i snittytorna, σz i axiell led, σϕ i tangentiell led. Eftersom väggtjockleken är liten, kan spänningarna i mantelplåten anses konstanta. För delen i figur 12.5 gäller jämviktsvillkoret p · π · R2 ≈ 2π · R · t · σz eller förenklat σz ≈

p ⋅R 2t

(12:5)

Halvcylinderskalet i figur 12.6 förutsätts ha längden ∆L. Enklast är att tänka sig den bortskurna cylinderhalvan ersatt med en rektangulär, plan platta med bredd

Utvärderingsexemplar t

Figur 12.4 Tunnväggigt, cirkulärcylindriskt tryckkärl utsatt för intre övertryck.

Figur 12.5 Axialspänningar i mantelplåt.

σϕ σϕ

σϕ p σϕ

Figur 12.6 Tangentialspänningar i mantelplåt.

167

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 168

12. plana tillstånd

2R och längd ∆L. På plattan verkar trycket p, som motverkas av tangentialspänningen σϕ. Jämviktsvillkoret för plattan tar därmed formen p · 2R · ∆L ≈ 2σϕ · t · ∆L, eller förenklat: σϕ ≈

p ⋅R ≈ 2 ⋅ σz t

(12:6)

Tangentialspänningen blir tydligen dubbelt så stor som axialspänningen. Ekvationerna (12:5) och (12:6) brukar kallas ångpanneformlerna. Sambanden gäller endast för de centrala delarna av mantelplåten. Vid ändarna kommer gavlarna att styva upp mantelplåten och därmed påverka spänningarna i denna. σϕ

σz r ϕ

σr = − p n

Vinkelrätt mot mantelplåten, d v s i radiell led, uppträder normalspänningar, σr. Vid mantelns inre yta är σr = –p (atmosfärstrycket försummas). Minustecknet kommer sig av de tidigare redovisade reglerna för positiva och negativa ytor. Den radiella koordinaten r är riktad ut från kärlaxeln, se figur 12.7. Den yttre normalvektorn, n, till mantelns innersida är riktad in mot kärlcentrum. Mantelns inre yta är därför en negativ yta. Ett positivt värde på σr skall då vara riktat i motsatt riktning mot r, d v s in mot axeln. Men trycket p är ju riktat ut från axeln. σr måste därför bli negativt på mantelns inneryta. Vid dess ytteryta är σr = 0 (om atmosfärstrycket försummas).

Utvärderingsexemplar Figur 12.7 Normalspänningart på ett element i mantelplåten.

En jämförelse mellan σr och de två andra normalspänningarna visar, att de senare är mångdubbelt större än |σr|. Förutom trycket p, innehåller de ju även faktorn R/t >> 1. I de flesta sammanhang kan därför σr approximeras till noll såväl vid mantelplåtens insida som utsida. Med Hookes generaliserade lag låter sig nu både förskjutningar som töjningar beräknas. Så blir t ex εz =

1 1  pR pR  pR ( σ z − ν( σ r + σ ϕ )) ≈  −ν (1 − 2 ν) > 0 = E E  2t t  2Et

Töjningen i z-riktning är tydligen konstant och positiv. Tryckkärlet förlängs p g a trycket. En konstant axiell töjning i z-led kombinerad med att τzr = τzϕ = 0 innebär att ett generaliserat plant töjningstillstånd råder i mantelväggen (utom i närheten av gavlarna).

168

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 169

12. plana tillstånd

12.3 Tunnväggigt, sfäriskt tryckkärl Liksom för ett tunnväggigt, cylindriskt tryckkärl, räcker statiken till för att bestämma spänningarna i ett sfäriskt tryckkärl. (Medel-)radien sätts till R, godstjockleken till t << R. Det inre övertrycket sätts till p. Kärlet snittas med två mot varandra vinkelräta plan genom kärlcentrum, se figur 12.8. För de halvsfäriska skalen gäller jämviktsvillkoret σ · 2π · R · t ≈ p · π · R2, som medför: σϕ = σΘ ≈

pR 2t

(12: 7)

I ekvation (12:7) har sfäriska koordinater, r, ϕ och θ introducerats med innebörd enligt figur 12.9.

Liksom för det cylindriska tryckkärlet finns en radiell spänning, σr = –p, på innerranden. Men även för det sfäriska, tunnväggiga kärlet gäller att |σr| << σϕ = σΘ, eftersom R/t >> 1.

p σ

σ Figur 12.8 Halvsfäriska skal.

Utan större fel kan den radiella spänningen approximeras till noll i hela kärlväggen. Givetvis förutsatt att kärlet kan behandlas som tunnväggigt. Och vad som skall betraktas som tunnväggigt, är ytterst en fråga om önskad noggrannhet i resultaten. En ganska vanlig tumregel är, att kärl kan betraktas som tunnväggiga, om förhållandet mellan godstjocklek och diameter är ≤ 1/20.

Utvärderingsexemplar σΘ

σϕ

ϕ σϕ

Spänningarna enligt (12:7) härleddes för snittytor genom sfärens centrum. De kan därför inte utan vidare förutsättas gälla för snittplan, som inte innehåller centrum för sfären, d v s för Θ ≠ 90°. Om skalet snittas enligt figur 12.10, ger jämvikten för kalotten

Figur 12.9 Sfärisk kalott med normalspänningar σϕ och σΘ .

σΘ sinΘ · 2 π · ρ · t ≈ ϕπ · ρ2.

Med det geometriska villkoret ρ = R sinΘ fås σΘ ≈

p⋅ρ p ⋅R = . 2t ⋅ sin Θ 2t

Resultatet överensstämmer även i detta fall med (12:7).

σΘ Θ

ρ p Figur 12.10 Sfärisk kalott, Θ ≠ 90°.

169

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 170

12. plana tillstånd

12.4 Bestämmelser för specifika produkter För många produktslag finns tvingande förordningar om hur de skall utföras, dimensioneras, provas och/eller besiktigas. Detta gäller bl a hissar, lyftkranar, traverser, lyftdon och cisterner men också tryckkärl över en viss volym. För de senare gäller Tryckkärlsnormerna, som ges ut av Ingenjörsvetenskapsakademiens tryckkärlskommission.

12.5 Transformationer vid koordinataxelrotation Så här långt har rätblockselementen haft sina kantlinjer orienterade parallellt med axlarna i ett rätvinkligt koordinatsystem, t ex ett Cartesiskt system, x, y, z. Men vad händer med spänningar och töjningar, om elementets kantlinjer inte längre är parallella med koordinataxlarna? Hur transformeras dessa storheter, om elementet roteras en viss vinkel runt en av axlarna? Det är runt denna fråga detta avsnitt kretsar, och närmare bestämt begränsat till transformation vid plana tillstånd.

Utvärderingsexemplar

12.5.1 Spänningstransformation vid plant spänningstillstånd

I en punkt i en struktur antas råda plant spänningstillstånd, karaktäriserat av σz = τzx = τzy = 0. På ett rätblockselement med kantlinjer orienterade som x-, yoch z-axeln, verkar spänningarna σx, σy, τxy, figur 12.11. I samma punkt men på ett element, som är roterat en vinkel, ϕ, runt z-axeln, verkar spänningarna σξ, ση, τξη . Vi kan även tillåta ett avsteg från den strikta definitionen av plant spänningstillstånd. Om nämligen σz ≠ 0, kommer denna spänning inte att ändras vid ση

σy y

τ ξη

τ xy

η σx

ϕ ξ x

Figur 12.11 Ursprungligt och roterat rätblockselement.

170

σξ

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 171

12. plana tillstånd y

τξη · ∆A

Figur 12.12 Krafter på kilformat element.

σx · ∆A·cos ϕ τxy · ∆A·cos ϕ

σξ · ∆A ϕ

τxy · ∆A·sin ϕ σy · ∆A·sin ϕ

rotation kring z-axeln, d v s σz ≡ σς . Däremot förutsätts villkoret τzx = τzy = 0 vara uppfyllt. För att bestämma σξ och τξη betraktas ett kilformat element enligt figur 12.12, där den största ytan (med area ∆A) är parallell med η-ζ-planet. I figuren har krafterna, som verkar på de tre ytor, vars normaler är parallella med x-y-planet, ritats ut. Ytan som är parallell y-z-planet har storleken ∆A · cos ϕ. Ytan som är parallell med z-xplanet har storleken ∆A · sin ϕ. Vidare är enligt tidigare τxy = τyx . Kilelementets jämvikt i ξ-led kräver: σξ · ∆A – σx · ∆A · cos ϕ · cos ϕ – τxy · ∆A · cos ϕ · sin ϕ – σy · ∆A · sin ϕ · sin ϕ – – τxy · ∆A · sin ϕ · cos ϕ = 0

Utvärderingsexemplar

I η-led kräver jämvikten:

τξη · ∆A + σx · ∆A · cos ϕ · sin ϕ – τxy · ∆A · cos ϕ · cos ϕ – σy · ∆A · sin ϕ · cos ϕ + + τxy · ∆A · sin ϕ · sin ϕ = 0

Efter förkortning och reducering erhålls: σξ = σx · cos2 ϕ + σy · sin2 ϕ + 2τxy · sin ϕ · cos ϕ

(12:8)

τξη = (σy – σx) · sin ϕ · cos ϕ + τxy · (cos2 ϕ – sin2 ϕ )

(12:9)

Nu utnyttjas de trigonometriska sambanden: sin 2ϕ = 2 sin ϕ ⋅ cos ϕ , cos 2ϕ =

1 + cos 2ϕ , 2

cos 2ϕ = cos 2ϕ − sin 2ϕ , sin 2ϕ =

1 − cos 2ϕ 2

varpå (12:8) och (12:9) kan skrivas som: σξ = σx τ ξη = −

1 + cos 2ϕ 1 − cos 2ϕ + σy + τ xy sin 2ϕ 2 2 σx − σy

 1 + cos 2ϕ 1 − cos 2ϕ  sin 2ϕ + τ xy  −  2 2  

171

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 172

12. plana tillstånd ση η

τ ηξ

τ xy σx

ξ x

Figur 12.13 Spänningar på kilformat element.

σy

Efter förenkling: σξ =

σx + σy

τ ξη = −

σx − σy

cos 2ϕ + τ xy sin 2ϕ

sin 2ϕ + τ xy cos 2ϕ

(12:10) (12:11)

För att få tag på ση kan förfarandet upprepas för ett kilelement enligt figur 12.13. Ett enklare sätt är, att i (12:10) byta vinkeln ϕ mot ϕ + π /2. Detta eftersom 

σ η (ϕ ) = σ ξ  ϕ +



π . 2

Insatt:

Utvärderingsexemplar ση = ση =

σx + σy

+ −

σx − σy

cos(2ϕ + π ) + τ xy sin(2ϕ + π )

cos 2ϕ − τ xy sin 2ϕ

(12:12)

Om (12:10) och (12:12) adderas, erhålls: σ ξ + σ η = σx + σy

(12:13)

Vid plant spänningstillstånd med σz = 0, är summan av de två normalspänningarna på ett rätblockselement oberoende av elementets orientering med avseende på rotation kring z-axeln. Om σz ≠ 0 men τzx = τzy = 0, gäller att σz = σς vid rotation kring z-axeln, och därför kan vi lika gärna skriva σ ξ + σ η + σς = σ x + σ y + σz

(12:14)

Vid spänningstillstånd med σz ≠ 0 men τzx = τzy = 0, är summan av de tre normalspänningarna på ett rätblockselement oberoende av elementets orientering med avseende på rotation kring z-axeln.

172

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 173

12. plana tillstånd

12.6 Mohrs spänningscirkel vid plant spänningstillstånd

Vid studium av hur normal- och skjuvspänningar varierar med ett elements orientering, har man god nytta av en grafisk framställning av spänningarna. Metoden är utvecklad av professor Otto Mohr, 1835 –1918. Ett plant spänningstillstånd med normalspänningar σx och σy och skjuvspänning τxy antas givet. Ekvationerna (12:10) till (12:12) anger, hur motsvarande spänningar på elementet varierar, när detta roteras en vinkel ϕ kring z-axeln. I en graf med normalspänning σ som abskissa och skjuvspänning τ som ordinata avsätts två punkter, (σx , τxy ) och (σy , – τxy ), se figur 12.14. Punkterna förenas med en rät linje. Skärningspunkten med σ-axeln får koordinaterna   σx + σy , 0 .  2   τ

(σ x , τxy )

Utvärderingsexemplar

Figur 12.14 Konstruktion av Mohrs spänningscirkel.

2ϕ R (σ , τ) 2ψ σ

σx − σy 2

(σ y , − τxy ) Skärningspunkten får bilda centrum för en cirkel genom punkterna (σx , τxy ) och (σy , – τxy ). Cirkeln kallas Mohrs spänningscirkel. Koordinatsystemet x, y, z förutsätts vara ett högersystem. Elementet antas roterat en vinkel, ϕ, runt z-axeln och medurs sett från en punkt med negativt z-värde. Men i figur 12.11 är ju ϕ ritad moturs. Detta beror givetvis på, att i denna figur visas x-y-planet från en punkt med positivt värde på z. I Mohrs spänningscirkel avsätts nu vinkeln 2ϕ från den radie, som förbinder punkten (σx , τxy ) med medelpunkten. Men i motsatt riktning mot ϕ i figur 12.11, d v s medurs i σ-τ-grafen. Vidare införs vinkeln 2ψ mellan den radie, som förbinder punkten (σx , τxy ) med medelpunkten och σ-axeln. Den punkt på cirkeln med ko-

173

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 174

12. plana tillstånd

ordinater (σ, τ) som uppkommer, skall nu analyseras närmare. Geometriska villkor ger: σ=

= = =

σx + σy

2 σx + σy 2 σx + σy 2

+ R ⋅ cos(2 ψ − 2ϕ ) =

+ R ⋅ cos 2 ψ ⋅ cos 2ϕ + R ⋅ sin 2 ψ ⋅ sin 2ϕ = +R +

σx − σy

2R σx − σy 2

cos 2ϕ + R

τ xy

sin 2ϕ =

cos 2ϕ + τ xy sin 2ϕ

En jämförelse av detta uttryck med ekvation (12:10) visar, att σ ≡ σξ . Geometrin ger även: τ = R ⋅ sin(2 ψ − 2ϕ ) = R ⋅ sin 2 ψ ⋅ cos 2ϕ − R ⋅ cos 2 ψ ⋅ sin 2ϕ = τ xy σx − σy σx − σy =R cos 2ϕ − R sin 2ϕ = − sin 2ϕ + τ xy ⋅ cos 2ϕ

En jämförelse med (12:11) visar, att uttrycken överensstämmer, d v s τ ≡ τξη. Punkten på cirkeln får alltså koordinaterna (σξ , τξη ). För att finna normalspänningen ση i grafen, utnyttjas än en gång, att

Utvärderingsexemplar 

σ η (ϕ ) = σ ξ  ϕ +



π

. 2

Istället för att avsätta vinkeln 2ϕ i Mohrs cirkel, avsätts vinkeln  π 2 ϕ +  = 2 ϕ + π . 2 

Den på så sätt erhållna punkten får koordinaterna (ση , – τξη ), se figur 12.15.

(σ x , τxy )

2ψ

(σ ξ , τ ξη )

2ϕ σ

(σ η , − τξη ) (σ y , − τxy )

174

π Figur 12.15 Mohrs spänningscirkel för plant spänningstillstånd.

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 175

12. plana tillstånd

12.6.1 Huvud-/principalspänningar vid plant spänningstillstånd Som framgår av Mohrs spänningscirkel, kan elementet alltid orienteras så att τξη = 0, figur 12.16. Den vinkel elementet skall roteras fås ur det geometriska villkoret: tan 2ϕ =

τ xy

σx − σy

2 τ xy

(12:15)

σx − σy

2 Denna ekvation har två intressanta rötter, dels ϕ1, dels ϕ2 = ϕ1 + π/2. Motsvarande riktningar kallas huvudspänningsriktningar eller principalspänningsriktningar. De tillhörande normalspänningarna betecknas σ1 respektive σ2. Dessa spänningar, som uppenbart även är den största respektive den minsta normalspänningen vid rotation kring z-axeln kallas huvudspänningar eller principalspänningar. Den tredje huvudspänningen utgörs av σz = σξ = 0. Storleken av huvudspänningarna kan antingen bestämmas ur geometrin för spänningscirkeln eller genom att kombinera (12:10) och (12:15). Cirkelns medelpunkt har koordinaterna   σx + σy , 0 .  2  

Utvärderingsexemplar

Cirkelns radie erhålls ur Pythagoras sats som 2

 σx − σy  2 R=   + τ xy 2   vilket ger: σ1,2 =

σx + σy

 σx − σy  2 ±   + τ xy 2  

(12:16)

Vanligen betecknas den största huvudspänningen med σ1 och den minsta med σ2 .

(σ x , τxy )

(σ 2, 0)

2ϕ 1

2ϕ 2

(σ y , − τxy )

(σ1 , 0)

σ Figur 12.16 Mohrs spänningscirkel, huvudspänningar.

175

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 176

12. plana tillstånd

Skjuvspänningarnas maximala belopp representeras av cirkelradien och utgör: 2

τ max

 σx − σy  σ1 − σ 2 2 =   + τ xy = 2  2 

(12:17)

Ekvation (12:15) har som påpekats tidigare, två intressanta rötter, dels ϕ1, dels ϕ2 = ϕ1 + π/2. För att avgöra vilken av dessa vinklar som hör till vilken huvudspänning, behövs en regel. En metod att avgöra respektive huvudspänningsaxels orientering relativt koordinatsystemet x-y, är följande: Den största huvudspänningens, σ1, riktning faller inom den sektor som begränsas av den ”dragna” diagonalen och den större av normalspänningarna σx och σy . Den ”dragna” diagonalen är den diagonal, som förlängs, om enbart skjuvspänningarna verkar på elementet. τ max

På Mohrs spänningscirkel återfinns två punkter, där skjuvspänningens belopp är maximalt, se figur 12.17. Om ϕ1 och ϕ2 får beteckna de vinklar, som motsvarar huvudspänningsriktningarna, gäller:

(σ x , τxy )

~ 2ϕ 1

ϕ˜ 1 = ϕ1 +

~ 2ϕ 2

(σ y , − τxy)

2ϕ˜ 1 = 2ϕ1 + , 2 π

2ϕ˜ 2 = 2ϕ 2 + , 2 ϕ˜ 2 = ϕ 2 +

Utvärderingsexemplar

Den maximala skjuvspänningen uppträder således i de två plan som bildar 45° med de plan i vilka huvudspänningarna verkar (huvudspänningsplanen), figur 12.18.

τ max

Figur 12.17 Mohrs spänningscirkel, maximal skjuvspänning.

I de plan där den maximala skjuvspänningen uppträder, blir normalspänningarna lika stora, och närmare bestämt: σ + σ2 σξ = ση = 1

(12:18)

(2)

σ2

(1) x

Figur 12.18 Huvudspänningar och maximal skjuvspänning.

176

σ1

τ max

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 177

12. plana tillstånd

12.7 Töjningstransformation vid plant spänningstillstånd Ett plant spänningstillstånd, σz = 0, är givet med spänningar σx, σy, τxy enligt figur 12.12. På den yta av det kilformigt utskurna elementet, vars yttre normal bildar vinkeln ϕ med x-axeln, verkar enligt tidigare spänningarna σξ och τξη. Normaltöjningen i samma plan blir med Hookes generaliserade lag:  π 1 1 σ ξ ( ϕ ) − ν ⋅ σ η ( ϕ ) = σ( ϕ ) − ν ⋅ σ  ϕ +   E E  2    Skjuvvinkeln blir med samma lag

[

εξ =

γ ξη =

]

τ ξη

Normalspänningarna hämtas från (12:8): σξ = σx · cos2 ϕ + σy · sin2 ϕ + 2 τxy · sin ϕ · cos ϕ ση = σx · sin2 ϕ + σy · cos2 ϕ + 2 τxy · cos ϕ · (– sin ϕ)

Utvärderingsexemplar

som insatta ger:

1 σ x ⋅ cos 2ϕ + σ y ⋅ sin 2ϕ + 2 τ xy ⋅ sin ϕ ⋅ cos ϕ − ν ⋅ σ x ⋅ sin 2ϕ −    E − ν ⋅ σ y ⋅ cos 2ϕ + 2 ν ⋅ τ xy ⋅ sin ϕ ⋅ cos ϕ   1 εξ = σ x (cos 2ϕ − ν ⋅ sin 2ϕ ) + σ y (sin 2ϕ − ν ⋅ cos 2ϕ ) + 2 τ xy ⋅ (1 + ν) ⋅ sin ϕ ⋅ cos ϕ E

εξ =

[

]

Vid plant spänningstillstånd med σz = 0 ger (11:3): 0 = σz = εz = −

E 1 − 2 ν2 − ν ν

1− ν

[ε z (1 − 2 ν) + ν(ε x + ε y + ε z )]

⋅ (ε x + ε y )

(12:19)

som insatt i (11:3) genererar:    ν ε x (1 − 2 ν) + ν  ε x + ε y − ( ε x + ε y )  =  1− ν    1 − 2 ν 2 − ν  E ⋅ ε y ⋅ ν ⋅ (1 − 2 ν) E ⋅ (ε x + ν ⋅ ε y ) E ⋅ ε x ⋅ (1 − 2 ν) = = + = (1 + ν) ⋅ (1 − 2 ν) ⋅ (1 − ν) (1 + ν) ⋅ (1 − 2 ν) ⋅ (1 − ν) (1 + ν) ⋅ (1 − ν)

σx =

E ⋅ (ε x + ν ⋅ ε y ) (1 − ν 2 ) 177

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 178

12. plana tillstånd

E ⋅ (ε x + ν ⋅ ε y )

σx =

(1 − ν 2 )

(12:20)

   ν ( ε x + ε y )  = ε y (1 − 2 ν) + ν  ε x + ε y − 1− ν    − ν  E ⋅ ε y ⋅ (1 − 2 ν) E ⋅ (ε y + ν ⋅ ε x ) E ⋅ ε x ⋅ ν ⋅ (1 − 2 ν) = = + = (1 + ν) ⋅ (1 − 2 ν) ⋅ (1 − ν) (1 + ν) ⋅ (1 − 2 ν) ⋅ (1 − ν) (1 + ν) ⋅ (1 − ν)

σy =

1 − 2 ν2

E ⋅ (ε y + ν ⋅ ε x ) (1 − ν 2 ) E ⋅ (ε y + ν ⋅ ε x )

σy =

(1 − ν 2 )

(12:21)

Med σx och σy insatta i uttrycket för normaltöjningen och med τ xy = Gγ xy =

E γ xy : 2 ⋅ (1 + ν)

 E  ( ε x + νε y ) ⋅ (cos 2ϕ − ν ⋅ sin 2ϕ ) +   2 1 − ν  1 E 2 2 εξ = + ( ε y + νε x ) ⋅ (sin ϕ − ν ⋅ cos ϕ ) +   E  1 − ν2   E +2  γ xy ⋅ (1 + ν) ⋅ sin ϕ ⋅ cos ϕ  2(1 + ν) 

Utvärderingsexemplar εξ =

εx

1 − ν2

εy

1 − ν2

⋅ (cos 2ϕ − ν ⋅ sin 2ϕ + ν ⋅ sin 2ϕ − ν 2⋅ cos 2ϕ ) +

⋅ (sin 2ϕ − ν ⋅ cos 2ϕ + ν ⋅ cos 2ϕ − ν 2⋅ sin 2ϕ ) + γ xy ⋅ sin ϕ ⋅ cos ϕ

ε ξ = ε x ⋅ cos 2ϕ + ε y ⋅ sin 2ϕ + γ xy ⋅ sin ϕ ⋅ cos ϕ

(12:22)

Ekvation (12:9) lyder: G ⋅ γ ξη =

E ⋅ γ ξη 2(1 + ν)

= τ ξη = ( σ y − σ x ) ⋅ sin ϕ ⋅ cos ϕ + τ xy ⋅ (cos 2ϕ − sin 2ϕ )

som ger: γ ξη

 E ⋅ (ε y + ν ⋅ ε x )  E ⋅ (ε x + ν ⋅ ε y ) sin ϕ ⋅ cos ϕ − sin ϕ ⋅ cos ϕ +   2(1 + ν)  (1 − ν 2 ) (1 − ν 2 )  =  E  E γ xy (cos 2ϕ − sin 2 ϕ ) +  2 1 ν + ( )  

γ ξη =

2 ( ε y + ν ⋅ ε x − ε x − ν ⋅ ε y ) ⋅ sin ϕ ⋅ cos ϕ + γ xy (cos 2ϕ − sin 2ϕ ) (1 − ν)

γ ξη = 2 ⋅ ( ε y − ε x ) ⋅ sin ϕ ⋅ cos ϕ + γ xy (cos 2ϕ − sin 2ϕ ) 178

(12:23)

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 179

12. plana tillstånd

Om vi jämför (12:22) med (12:8) och (12:23) med (12:9), är likheten slående σξ = σx · cos2 ϕ + σxy · sin2 ϕ + 2τxy · sin ϕ · cos ϕ

(12:8)

τξη = (σy – σx) · sin ϕ · cos ϕ + τxy · (cos2 ϕ – sin2 ϕ )

(12:9)

Men faktorn 2, som förekommer här och var, förstör den fullständiga analogin. Här är det återigen lämpligt, att istället för skjuvvinklar övergå till skjuvtöjningar enligt ε xy =

γ xy

, ε ξη =

γ ξη

varvid (12:22) och (12:23) övergår i εξ = εx · cos2 ϕ + εy · sin2 ϕ + 2εxy · sin ϕ · cos ϕ

(12:24)

εξη = (εy – εx) · sin ϕ · cos ϕ + εxy (cos2 ϕ – sin2 ϕ )

(12:25)

Med detta grepp blir analogin mellan (12:8) och (12:24) liksom mellan (12:9) och (12:25) total. Transformfunktionerna för töjningar vid rotation kring z-axeln är ekvivalenta med transformfunktionerna för spänningar vid rotation kring samma axel. Förutsatt att man väljer att använda skjuvtöjningar istället för skjuvvinklar.

!Utvärderingsexemplar 12.7.1 Mohrs töjningscirkel vid plant spänningstillstånd, huvudtöjningar

Den ovan konstaterade analogin mellan töjningar och spänningar medför, att den grafiska representationen av (12:24) och (12:25) blir densamma som för spänningar. Den enda åtgärden som behövs, är att byta variablerna σ och τ mot εξ och εξη . Den på så sätt uppkomna cirkeln kallas Mohrs töjningscirkel, figur 12.19. Precis som man kan definiera huvudspänningar och huvudspänningsriktningar, kan man definiera huvudtöjningar och huvudtöjningsriktningar, figur 12.20.

(ε x, ε xy )

ε ξη

2ϕ 2χ

(ε x, ε xy)

ε ξη

(εξ , εξη ) εξ

(ε2 , 0)

(εη , − εξη ) (ε y , − ε xy ) Figur 12.19 Mohrs töjningscirkel för plant spänningstillstånd.

2χ 1

(ε 1 , 0)

εξ

2χ 2

(ε y , − ε xy) Figur 12.20 Mohrs töjningscirkel, huvudtöjningar.

179

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 180

12. plana tillstånd

Dessa begrepp kännetecknas av villkoret εξη = 0. Liksom för spänningscirkeln utgör huvudtöjningarna den största respektive minsta förekommande normaltöjningen. Huvudtöjningarnas riktningar ges av: ε xy

tan 2 χ =

εx − εy

2 ε xy εx − εy

τ xy

γ xy εx − εy

2 τ xy ⋅ 2 ⋅ (1 + ν)

tan 2 χ =

E σ x ⋅ (1 + ν)

E tan 2 χ =

−

σ y ⋅ (1 + ν)

G 1 1 ( σ x − νσ y ) − ( σ y − νσ x ) E E

2 τ xy σx − σy

2 τ xy

(12:26)

σx − σy

Resultatet kan jämföras med (12:15), tan 2ϕ =

2 τ xy σx − σy

Tydligen blir vinklarna χ och ϕ lika stora. Innebörden härav är, att huvudtöjningsriktningarna är desamma som huvudspänningsriktningarna.

Utvärderingsexemplar

Huvudtöjningarnas storlek erhålls enklast genom variabelbyte i ekvation (12:16): ε1,2 =

εx + εy

 εx − εy  2 ±   + ε xy =  2  2

 γ xy   εx − εy  ±    +  2   2 

(12:27)

12.7.2 Töjningsmätning vid plant spänningstillstånd Ett vanligt sätt att mäta töjningar är, att limma trådtöjningsgivare i en eller flera mätpunkter. Vid belastning alstrar töjningar resistansändringar i givaren. Förändringen i resistans mäts upp. Med kännedom om givarkonstanten, kan töjningen i givarens mätriktning bestämmas. Metoden att limma en givare på objektet, förutsätter att mätpunkten utgörs av en fri yta, en luftyta. Normal- eller skjuvspänningar kan inte förekomma på en luftyta. Därför råder plant spänningstillstånd i mätpunkten. Om z-axeln orienteras vinkelrätt mot luftytan, gäller alltså att σz = τzx =

180

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 181

12. plana tillstånd τzy = 0. Trådtöjningsgivarna registrerar normaltöjningar. Därför kan skjuvtöjningen εxy = εyx inte bestämmas genom direkt mätning. Istället måste normaltöjningar, εξ = ε(ϑ), mätas i tre olika riktningar, ϑ1 , ϑ2 , ϑ3 . Dessa mätvärden kan sedan transformeras till x-y-systemet med sambandet enligt (12:24):

i = 1, 2, 3

ε (ϕ i ) = εξ = εx · cos2 ϕi + εy · sin2 ϕi + γxy · sin ϕ i · cos ϕ i

Ekvation (12:24) innehåller tre obekanta, εx , εy och γxy. Därav behovet av tre värden på ε (ϕ i ). Ekvationssystemet är lätt att lösa, om två av vinklarna ϕ i väljs så att ε (ϕ i ) sammanfaller med x- respektive y-axeln. Tillvägagångssättet belyses i följande exempel. En rosettgivare med 45° mellan givarna är limmad på en luftyta enligt figur. Givarna A, B och C registrerar följande töjningar vid belastning av objektet:

y C B x

200 · 10 –6

310 · 10 –6

–100 · 10 –6

Materialet är linjärt elastiskt med E-modul 208 GPa och Poissons tal 0,30. Uppgiften består i att bestämma σx , σy och τxy, huvudspänningarnas storlek och riktning samt huvudtöjningarnas storlek. Ekvation (12:24) ger:         

Utvärderingsexemplar

ε(0) = ε x ⋅ cos 2 0 + ε y ⋅ sin 2 0 + γ xy ⋅ sin 0 ⋅ cos 0

 π π π π π ε   = ε x ⋅ cos 2 + ε y ⋅ sin 2 + γ xy ⋅ sin ⋅ cos  4

 π π π π π ε   = ε x ⋅ cos 2 + ε y ⋅ sin 2 + γ xy ⋅ sin ⋅ cos ϕ  2

200 ⋅10 −6 = ε x 310 ⋅10 −6 =

εx

–100 ⋅10 −6 = ε y

εy

γ xy

      

som medför att: εx = 200 · 10 – 6,

εy = –100 · 10 – 6,

γxy = 520 · 10 – 6,

Tillhörande normalspänningar fås ur (12:20) och (12:21): σx =

E ⋅ (ε x + ν ⋅ ε y ) (1 − ν 2 )

208 ⋅109 ⋅ (200 ⋅10 −6 + 0, 30 ⋅ ( −100 ⋅10 −6 )) 1 − 0, 302

≈

≈ 38, 86 ⋅106 Pa = 38, 86 MPa

181

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 182

12. plana tillstånd

σy =

E ⋅ (ε y + ν ⋅ ε x ) (1 − ν 2 )

208 ⋅109 ⋅ ( −100 ⋅10 −6 + 0, 30 ⋅ 200 ⋅10 −6 ) 1 − 0, 302

≈

≈ −9,14 ⋅106 Pa = −9,14 MPa τxy ges av τ xy = G ⋅ γ xy =

208 ⋅109 E 520 ⋅10 −6 ≈ γ xy = 2 ⋅ (1 + ν) 2 ⋅ (1 + 0, 30)

≈ 41, 60 ⋅106 Pa = 41, 60 MPa Huvudspänningarna bestäms med hjälp av (12:16): σ1,2 =

σx + σy

 σx − σy  2 ±   + τ xy = 2   2

 38, 86 + 9,14  38, 86 − 9,14 2 = ±   + 41, 60 ≈ (14, 86 ± 48, 02 ) MPa 2 2   Huvudspänningarna i x-y-planet blir σ1 ≈ 62,9 MPa och σ2 ≈ – 33,2 MPa. Den tredje huvudspänningen är σz = 0. Vanligen numreras huvudspänningarna om, enligt principen σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 . Resultatet blir i så fall σ1 ≈ 62,9 MPa, σ2 = 0, σ3 ≈ – 33,2 MPa.

Utvärderingsexemplar Huvudspänningarnas riktningar ges av (12:15): tan 2ϕ =

2 τ xy σx − σy

2 ⋅ 41, 60 ≈ 1, 733, 38, 86 − ( −9,14)

2ϕ ≈ 60, 0° ± n ⋅180°,

Mohrs cirkel för spänningar i x-y-planet får nedanstående principiella utseende. Figuren är inte skalriktig. Även huvudspänningsaxlarnas orientering relativt x-ysystemet framgår av figuren. Axel (1), svarande mot den största huvudspänningen, σ1, ligger i de prickmarkerade sektorerna mellan den dragna diagonalen och xaxeln, eftersom σx > σy. Axel (1) måste därför svara mot ϕ = 30°.

(38 ,9 , 41 ,6)

(3)

(− 9,1 , − 41,6) 182

y (1)

60,0°

-33

ϕ ≈ 30, 0° ± n ⋅ 90°

30,0°

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 183

12. plana tillstånd

Huvudtöjningarna kan beräknas på två sätt. Antingen bestäms först töjningarna εx, εy med Hookes generaliserade lag, (11:1). Därnäst bestäms huvudtöjningarna med (12:27). Ett mindre arbetskrävande sätt är, att istället utgå från de redan framräknade huvudspänningarna, och sedan tillämpa (11:1) på dessa. Om den senare metoden väljs, erhålls: ε1 =

1 62, 9 − 0, 30 ⋅ ( −33, 2) ≈ 350 ⋅10 −6 ( σ1 − ν ⋅ σ 2 − ν ⋅ σ 3 ) ≈ E 208 ⋅103

ε2 =

1 −0, 30 ⋅ ( −33, 2 + 62, 9) ≈ −43 ⋅10 −6 ( σ 2 − ν ⋅ σ 3 − ν ⋅ σ1 ) ≈ E 208 ⋅103

ε3 =

1 −33, 2 − 0, 30 ⋅ 62, 9 ≈ −250 ⋅10 −6 ( σ 3 − ν ⋅ σ1 − ν ⋅ σ 2 ) ≈ 3 E 208 ⋅10

Om huvudtöjningarna är korrekta bör σz = σ2 bli noll, eftersom luftytan är spänningsfri. En kontroll enligt (11:4) ger: σz = σ2 =

νE E 208 ⋅109 ( ε1 + ε 2 + ε 3 ) = ( −43 ⋅10 −6 ) + ε2 + ( ν + 1) ⋅ (1 − 2 ν) 0, 30 + 1 ν +1

0, 30 ⋅ 208 ⋅109 (350 − 43 − 250) ⋅10 −6 ≈ 0 (0, 30 + 1) ⋅ (1 − 2 ⋅ 0, 30)

Utvärderingsexemplar

12.8 Övningsexempel

! 12/1

En tunn, plan, rektangulär skiva är utsatt för en konstant skjuvspänning, τ, på ränderna enligt figur. Hur stora blir principalspänningarna i skivan?

12/2

En tunn, plan, rektangulär skiva är utsatt för en konstant dragspänning, σ, på ränderna enligt figur. a) Hur stor blir den maximala skjuvspänningen? b) Bestäm hur σr och τrϕ varierar med vinkeln ϕ i intervallet 0 ≤ ϕ < 2 π utmed en cirkel med radie r.

x σ

183

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 184

12. plana tillstånd

! 12/3

Ett skivelement belastas med spänningar i MPa enligt figur. a) Hur stora blir huvudspänningarna? b) Hur stor vinkel bildar huvudspänningsaxeln för den största huvudspänningen med x-axeln? c) Hur stor blir den största skjuvspänningen i x-y-planet? d) Hur stor blir den största huvudtöjningen om skivan är gjord i ett linjärt elastiskt material med E-modul 70 GPa och Poissons tal 0,30?

y 56

x 48 96

! 12/4

I ett cirkulärcylindriskt rör med ytterdiameter D = 200 mm och godstjocklek t = 4,0 mm monteras två tätande kolvar på samma kolvstång enligt figur. Röret utsätts dels för ett inre övertryck, p = 1,75 bar, dels för motverkande vridmoment, Mv = 550 Nm, i vardera röränden enligt figur. Konstruera Mohrs spänningscirkel och bestäm ur denna a) huvudspänningarnas storlek, b) huvudspänningarnas riktning relativt cylinderaxeln.

Utvärderingsexemplar y A +ϕ

! x

12/5

300

400

En tunn, plan, rektangulär plåt enligt figur belastas på ränderna med konstanta spänningar. Töjningarna i en punkt registreras med trådtöjningsgivare med 45° mellan de enskilda givarna. Följande resultat erhölls: ε (– 45°) = 1400 · 10 – 6, ε (0°) = εx = 1250 · 10 – 6, ε (45°) = 2350 · 10 – 6. Hur förändras längden av diagonalen OA vid belastningen?

! 12/6

184

En tunn, plan, kvadratisk plåt belastas på ränderna med en drag- respektive tryckspänning av 500 MPa enligt figur. Materialet är linjärt elastiskt med E-modul 208 GPa och Poissons tal 0,30. Med hur många grader ändras vinkeln mellan diagonalerna?

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 185

12. plana tillstånd

Svar till övningsexempel 12/1: σ1 = t, σ2 = 0, σ3 = – τ 12/2: a) 0, b) σr = σ, τ rϕ = 0 12/3: a) σ1 ≈ 128 MPa, σ2 ≈ 24 MPa, σ3 = 0, b) 56,3°, c) 52 MPa, d) ε1 ≈ 1,7 · 10 – 6 12/4: a) σ1 ≈ 5,3 MPa, σ2 = 0, σ3 ≈ – 0,9 MPa, b) 22,5° respektive 112,5° 12/5: 1,1 mm 12/6: 0,36°

Utvärderingsexemplar

185

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 186

13 Några storheter och samband för plana ytor Kapitlet tar upp storheter och samband, som vanligtvis ingår i högskolornas mekanikkurser. Behandlingen är därför kortfattad och får mer ses som en repetition än en komplett genomlysning. Storheterna används vid balkböjning, och är därmed nödvändiga att känna till.

Utvärderingsexemplar

13.1 Geometricentrum

Ω

ζO O

y dA

z Figur 13.1 Plan yta med inlagda koordinatsystem.

186

För en yta som innesluts av en symmetrisk figur som en cirkel eller en rektangel, är det naturligt att förknippa geometricentrum med respektive ytas ”mittpunkt”. Men hur definieras geometricentrums läge för en mer oregelbunden, plan yta, t ex. ytan innanför den slutna kurvan i figur 13.1? Storleken av ytan innanför kurvan ges av

∫

A = dA

ηO

(13:1)

där integrationen görs över alla ytelement, dA, innanför den slutna kurvan. Två parallell-orienterade koordinatsystem, Ω, η, ζ respektive O, y, z införs. Det senares origo förläggs till det ännu så länge okända geometricentrum, O, medan det förras origo, Ω, väljs helt godtyckligt. Geo-

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 187

13. några storheter och samband för plana ytor

metricentrums koordinater i Ω-η-ζ-systemet bestäms därmed av koordinaterna (η0, ς0) och ges av relationerna η0 ⋅ A =

∫ η ⋅ dA

(13:2)

respektive ς0 ⋅ A =

∫ ς ⋅ dA

(13:3)

Ibland ser man istället för begreppet geometricentrum termen ”ytans tyngdpunkt” användas. Detta är ett språkligt missfoster, eftersom en yta inte har någon tjocklek och därmed heller ingen tyngd. Om området utgörs av flera delområden, där varje delområdes yta, Ai, och koordinaterna för dess geometricentrum (ηi, ζi) är kända eller kan beräknas, erhålls koordinaterna för den sammansatta ytans geometricentrum ur: η0

∑ A = ∑ η A ; ζ ∑ A = ∑ζ A i

(13: 4)

Utvärderingsexemplar

13.2 Statiskt moment

För att definiera begreppet statiskt moment eller statiskt ytmoment behöver först ett axelsystem definieras. Detta eftersom statiskt moment alltid definieras med avseende på någon axel. Som utgångspunkt väljs figur 13.2, där origo, O, för koordinatsystemet (y, z) förläggs till ytans geometricentrum. Det statiska momentet av delområdet A* med avseende på y-axeln definieras som Sy =

∫ z ⋅ dA

Ω

(13:5)

ζO O

ηO dA

och med avseende på z-axeln som Sz =

∫ y ⋅ dA

(13:6)

z ζ Figur 13.2 Plan yta med delområde A* och inlagda koordinatsystem.

187

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 188

13. några storheter och samband för plana ytor Ω

ζO O

ηO

Figur 13.3 Plan yta med delområde A* och inlagda koordinatsystem.

dA z

Som framgår av definitionerna utgörs de statiska momenten av produkten av en area och en längd. Statiska momentet kan därför uppfattas som momentet av en yta, därav namnet ytmoment. Enheten för statiska moment blir m3, vilket dock ej bör utläsas som ”kubikmeter” utan som ”meter-tre”. I figur 13.2 har delarean A* bildats genom att dela hela ytan med en rät linje parallell med z-axeln. Men detta är ingalunda nödvändigt. Avgränsningen av A* kan lika gärna ske genom att en enkelkrökt kurva får utgöra gräns mellan A* och komplementarean till A*. T ex som i figur 13.3.

Utvärderingsexemplar

Statiska moment kan vara positiva eller negativa, beroende på läget av A* relativt axlarna. I det fall A* utsträcks till att omfatta hela arean, A, blir det statiska momentet med avseende på z-axeln efter utnyttjande av (13:2): Sz =

∫ y ⋅ dA = ∫ y ⋅ dA = ∫ (η − η )dA = ∫ η ⋅ dA − η ∫ dA = 0

= η0 ⋅ A − η0 ⋅ A = 0

(13:7)

Analogt visas, att för A* = A blir Sy = 0

(13:8)

Statiska momenten för en yta med avseende på axlar genom dess geometricentrum är alltså alltid noll.

188

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 189

13. några storheter och samband för plana ytor

13.3 Yttröghets- och deviationsmoment

Inom dynamiken är begreppet masströghetsmoment flitigt förekommande. Inom området hållfasthet är begreppet yttröghetsmoment eller ibland bara kallat tröghetsmoment lika väsentligt. En nära anförvant till yttröghetsmoment är deviationsmoment. Yttröghetsmomenten för arean med yta A med avseende på axlarna y och z definieras som

∫

I y = z 2 dA

Ω

(13:9)

ζO

respektive Iz =

∫y

y 2 dA

(13:10)

Deviationsmomentet för ytan A med avseende på axelkorset y-z definieras som

∫ yz ⋅dA

I yz =

(13:11)

z Figur 13.4 Plan yta med inlagda koordinatsystem.

Utvärderingsexemplar A

Analogt definieras yttröghetsmomenten för arean med yta A med avseende på axlarna η och ζ som

∫

I η = ζ 2 dA

ηO

(13:12)

respektive Iζ =

∫ η dA 2

(13:13)

Deviationsmomentet för ytan A med avseende på axelkorset η-ζ definieras som I ηζ =

∫ ηζ ⋅dA

(13:14)

Enheten för yttröghetsmoment och deviationsmoment blir m4, som utläses som ”meter-fyra”. Yttröghetsmoment blir alltid positiva, medan deviationsmoment kan anta såväl positiva som negativa värden eller vara noll. Om området har en symmetrilinje, t ex z-axeln, passerar denna genom geometricentrum och Iyz blir noll. Detta eftersom varje ytelement i områdeshalvan med positivt värde på y har en exakt motsvarighet i områdeshalvan med negativt y-värde. Därmed inses påståendet ur (13:11), eftersom bidragen till integralen parvis tar ut varandra. 189

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 190

13. några storheter och samband för plana ytor

13.4 Parallellförskjutna koordinataxlar De numeriska värdena för ett områdes geometricentrum, statiska moment, tröghetsmoment och deviationsmoment beror dels på origos läge, dels på axlarnas orientering. Ω

ζO O

y dA Figur 13.5 Balksektion med origo O förlagt till geometricentrum.

ηO

Utvärderingsexemplar

I koordinatsystemet O-y-z i figur 13.5 förläggs origo, O, till sektionens geometricentrum. De statiska momenten av A med avseende på de parallellförskjutna axlarna η, ζ blir med användning av definitionen för dessa storheter:

∫

S η = ζ ⋅ dA = ( z + ζ0 ) dA = z ⋅ dA + ζ0 dA = ζ0 dA = ζ0 A A

Sζ =

∫ η ⋅dA = ∫ (y + η )dA = ∫ y ⋅dA + η ∫ dA = η ∫ dA = η A 0

(13:15)

(13:16)

Yttröghetsmomenten övergår i:

∫

I η = ζ 2 dA = ( z + ζ0 )2 dA = A

∫

z 2 dA + 2ζ

Iζ =

190

2 0

+ ζ02 A

(13:17)

∫ η dA = ∫ (y + η ) dA = 2

∫y A

∫ z ⋅ dA + ζ ∫ dA = I A

2 dA + 2 η 0

∫ y ⋅ dA + η ∫ dA = I 2 0

+ η02 A

(13:18)

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 191

13. några storheter och samband för plana ytor

Relationerna enligt (13:17) och (13:18) kallas Steiners sats. Vid användning av Steiners sats måste man se upp. Satsen är härledd med förutsättningen att koordinatsystemet x-y har sitt origo i geometricentrum. Vid transformering mellan två koordinatsystem, där inget av systemen har origo i geometricentrum, måste Steiners sats tillämpas två gånger. Först görs en transformering från det ena systemet till ett tredje hjälpsystem, vars origo förläggs till geometricentrum. Därefter görs en transformering från hjälpsystemet till det andra givna systemet. Observera även, att yttröghetsmomenten med avseende på systemet η-ζ alltid blir större än yttröghetsmomenten med avseende på axlar som skär varandra i geometricentrum (y-z-systemet). Deviationsmomentet transformeras enligt: I ηζ =

∫ ηζ ⋅dA = ∫ (y + η )(z + ζ )dA = ∫ yz ⋅ dA + η ∫ z ⋅ dA + 0

∫

+ ζ0 y ⋅ dA + η0ζ0 dA = I yz + η0ζ0 A A

(13:19)

Även här förutsätts origo, O, för y-z-systemet är förlagt till geometricentrum. Annars försvinner inte termerna

∫

∫ Utvärderingsexemplar

η0 z ⋅ dA och ζ0 y ⋅ dA . A

I motsats till förhållandet för yttröghetsmomenten kan Iηζ bli såväl numeriskt större som mindre än Iyz.

13.5 Roterade koordinataxlar

Här antas yttröghetsmomenten Iy, Iz liksom deviationsmomentet Iyz vara kända och Iη, Iζ och Iηξ eftersökta. Koordinatsystemet Ω-ηζ är roterat en vinkel α moturs relativt systemet O-y-z, men systemen har gemensamma origon, vilka ej nödvändigtvis måste ligga i geometricentrum. Sambanden mellan koordinaterna för en punkt i de två koordinatsystemen ges av de välkända uttrycken: η = z sin α + y cos α

(13:20)

ζ = z cos α – y sin α

(13:21)

Ω, O y α η ζ z Figur 13.6 Sektion med roterade koordinataxlar med gemensamma origo.

191

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.51 Sida 192

13. några storheter och samband för plana ytor

som medför:

∫

I η = ζ 2 dA = ( z cos α − y sin α )2 dA = A

= I y cos 2 α + I z sin 2 α − 2I yz sin α cos α Iζ =

(13:22)

∫ η dA = ∫ (z sin α + y cos α) dA = 2

= I y sin 2 α + I z cos 2 α + 2I yz sin α cos α I ηζ =

(13:23)

∫ ηζ dA = ∫ (z sin α + y cos α)(z cos α − y sin α)dA = A

= I y sin α cos α − I z sin α cos α + I yz (cos 2 α − sin 2 α )

(13:24)

Efter övergång till dubbla vinkeln: I ηζ =

I y − Iz 2

sin 2α + I yz cos 2α

(13:25)

13.6 Utvärderingsexemplar Huvudtröghetsaxlar och huvudtröghetsmoment

Nu studeras hur tröghetsmomenten varierar med vinkeln α. Närmare bestämt söks extremvärdena för Iη och Iζ. Dessa fås genom derivering med avseende på α. dI η

= −2I y cos α sin α + 2I z sin α cos α − 2I yz cos 2α = dα = ( I z − I y )sin 2α − 2I yz cos 2α som antar värdet noll för: tan 2α =

2I yz Iz − I y

Vidare fås: d 2I η dα 2

= − 2( I y − I z )cos 2α + 4I yz sin 2α =

  2I yz tan 2α = − 2( I y − I z )cos 2α ⋅ 1 +   Iz − I y 192

(13:26)

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.53 Sida 193

13. några storheter och samband för plana ytor

Extremvärdet erhålls med villkoret (13:26) och medför: d 2I η dα 2

= −2( I y − I z )cos 2α ⋅ (1 + tan 2 2α )

För att Iη skall ha sitt maxvärde gäller dels att (13:26) skall vara uppfylld, dels att d2Iη /dα2 skall vara negativt, eller eftersom 1 + tan2 α > 0, att Iy – Iz och cos 2α skall ha samma tecken. Ekvation (13:26) ger lösningar: 2α = arctan

2I yz Iz − I y

± nπ ; α =

2I yz 1 nπ arctan ± . 2 Iz − I y 2 ζ y

η z

Figur 13.7 Möjliga orienteringar av axeln för maximalt tröghetsmoment (η-axeln).

Utvärderingsexemplar

De olika värdena på α skiljer sig alltså med multiplar av π/2 eller 90°, se figur 13.7. För att avgöra orienteringen av den axel som innebär maximalt tröghetsmoment (i det analyserade fallet η-axeln), kan följande regel användas:

Låt α min vara den numeriskt minsta vinkeln, som erhålls vid evalueringen av (13:26), d v s låt – 45° ≤ α min ≤ 45°. Då blir α min vinkeln mellan axeln för det maximala tröghetsmomentet (η-axeln) och axeln för det största av tröghetsmomenten Iy och Iz, se figur 13.8. a)

Figur 13.8 Orientering av axel för maimalt tröghetsmoment (η-axel): a) om Iy > Iz , cos 2α > 0, b) om Iv < Iz , cos 2α < 0.

193

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.53 Sida 194

13. några storheter och samband för plana ytor

Motsvarande analys som ovan kan naturligtvis genomföras även för Iζ. Man finner då, att Iζ antar sitt maximala värde, när Iη har sitt minimum och att Iζ har minimum när Iη har maximum. Yttröghetsmomentens max- och minvärden kallas huvudtröghetsmoment och motsvarande η- och ζ-axlar kallas huvudtröghetsaxlar. Genom att låta vinkeln α variera kommer Iη att variera mellan sina positiva extremvärden (yttröghetsmoment är ju alltid positiva). Det största av dessa sätts till Iη, max = I1 och det minsta till Iη, min = I2. Efter övergång till dubbla vinkeln i (13:22) och i beaktande av att huvudtröghetsaxlarna är mot varandra vinkelräta, fås: I1 = I y

1 + cos 2α min 1 − cos 2α min + Iz − I yz sin 2α min 2 2

  π π 1 + cos 2 α min +  1 − cos 2 α min +  2 2      π + Iz − I yz sin 2 α min +  = I2 = I y 2 2 2  1 − cos 2α min 1 + cos 2α min = Iy + Iz + I yz sin 2α min 2 2 eller sammantaget: I1,2 =

I y + Iz

I y − Iz

cos 2α min ! I yz sin 2α min

(13:27)

  2I yz cos 2α min 1 + tan 2α min    Iz − I y

(13:28)

Utvärderingsexemplar I1,2 =

I y + Iz 2

I y − Iz 2

Med (13:26) övergår (13:28) i I1,2 =

I y + Iz 2

I y − Iz 2

cos 2α min (1 + tan 2 2α min )

(13:29)

som med cos 2α min = ±

1 1 + tan 2 2α min

kan skrivas som: I1,2 =

I1,2 =

= 194

I y + Iz 2 I y + Iz

I y + Iz 2

I y − Iz

1 + tan 2 2α

(1 + tan 2 2α min ) min

 I y − Iz  2 ±   (1 + tan 2α min ) = 2   2

 I y − Iz  2 ±   + I yz 2  

(13:30)

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.53 Sida 195

13. några storheter och samband för plana ytor

Ur (13:30) erhålls enkelt: (13:31)

I1 + I2 = Iy + Iz (13:25) ger med stöd av (13:26): I ηζ =

I y − Iz 2

sin 2α min + I yz cos 2α min =

  Iz − I y tan 2α min + I yz  = cos 2α min ( − I yz + I yz ) = 0 = cos 2α min  − 2  

(13:32)

För huvudtröghetsaxlarna gäller alltså att Iηζ = 0. En annan viktig konsekvens följer, om sektionen har en symmetriaxel, t ex z-axeln. Då är enligt tidigare Iyz = 0, och (13:26) medför: tan 2α =

2I yz Iz − I y

= 0; α min = 0

(13:33)

som innebär att z-axeln (och y-axeln) är huvudtröghetsaxel(-axlar). En symmetrilinje till en sektion är alltid ekvivalent med en huvudtröghetsaxel. Om speciellt y- och z-axeln får representera huvudtröghetsaxlarna, ger (13:22): Iη = I1 cos2 α + I2 sin2 α – 2 I12 sin α cos α = I1 cos2 α + I2 sin2 α

Utvärderingsexemplar

Om dessutom I1 = I2, så medför detta att:

Iη = I1 cos2 α + I1 sin2 α = I1 (cos2 α + sin2 α) = I1 = I2

(13:34)

Detta innebär, att om huvudtröghetsmomenten är lika stora, I1 = I2, så blir yttröghetsmomenten med avseende på alla andra axlar genom geometricentrum lika stora. Varje axel genom geometricentrum utgör då en huvudtröghetsaxel.

13.7 Polärt yttröghetsmoment Utöver yttröghetsmoment med avseende på vinkelräta axlar i en ytas plan kan man definiera det polära yttröghetsmomentet av ytan med avseende på geometricentrum som

∫

I p = r 2 dA

(13:35)

där ett ytelement, dA, i ett cartesiskt system har koordinaterna (y, z) och i ett polärt system har koordinaterna (r, ϕ) där x = r cos ϕ, y = r sin ϕ.

195

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.53 Sida 196

13. några storheter och samband för plana ytor

Med Pythagoras sats blir

∫

I p = r 2 dA = ( y 2 + z 2 ) dA = A

∫y

2 dA +

∫z

2 dA

= Iz + I y

(13:36)

Med origo i geometricentrum är det polära yttröghetsmomentet alltid summan av tröghetsmomenten med avseende på vinkelräta axlar i ytans plan.

13.8 Tröghetsradier, tröghetsellips Istället för tröghetsmoment är det ibland fördelaktigt att arbeta med storheterna tröghetsradier, definierade som: i1 =

I1 , i2 = A

I2 , iη = A

Iη A

, iζ =

Iζ A

Iϕ

, iϕ =

(13:37)

osv

Enheten för tröghetsradier blir längd, d v s grundenheten m.

Utvärderingsexemplar

För att illustrera hur tröghetsmomentet varierar vid koordinataxelrotation, kan man göra på följande sätt. Huvudtröghetsmomenten I1 = Iη och I2 = Iζ förutsätts kända liksom huvudtröghetsaxlarnas orientering. Tillhörande tröghetsradier blir enligt (13:37) Iϕ I1 I , i2 = 2 , iϕ = (13:38) A A A Beteckningar framgår av figur 13.9. I η-ζ-systemet avsätts en sträcka, i2 utmed ηi1 =

axeln och en sträcka i1 utmed ζ-axeln. En ellips (Culmans tröghetsellips) med halvaxlar i2 och i1 ritas in. Med de nya beteckningarna ger (13:22): Iϕ = Iη cos2 ϕ + Iζ sin2 ϕ = I1 cos2 ϕ + I2 sin2 ϕ

(13:39) ζ B

N ϕ e

ϕ 1

Figur 13.9 Axelorienteringar och tröghetsradier m.m.

196

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.53 Sida 197

13. några storheter och samband för plana ytor

En tangent till ellipsen, bildande vinkeln ϕ med η-axeln ritas in. Tangentens skärningspunkter med koordinataxlarna betecknas A respektive B. Likaså ritas en normal till tangenten in. Normalen får skära origo, O. Avståndet mellan origo och normalens skärningspunkt med tangenten betecknas e. Av figur 13.9 framgår, att koordinaterna för punkten A kan tecknas som:   e , 0 −  sin ϕ  och för B som:  e   0, .  cos ϕ  Ekvationen för linjen A-B kan därmed skrivas som: ζ = tan ϕ ⋅ η +

e sin ϕ e = ⋅η+ cos ϕ cos ϕ cos ϕ

eller sedan sambandet snyggats till en smula: ζ cos ϕ

−

η sin ϕ

(13:40)

Ett annat sätt att formulera linjens ekvation är, att utnyttja egenskapen, att en punkt N på linjen, tangerar ellipsen. Denna punkt med koordinater (ηN, ζN), måste därmed uppfylla ellipsens ekvation, som med halvaxlarna i2 och i1 kan tecknas som:

Utvärderingsexemplar

η2 2

ζ2 2

(13:41)

Linjens A-B ekvation kan därmed alternativt tecknas som: ηN η 2 i2

ζ Nζ 2

(13:42)

En jämförelse av termerna i (13:40) och (13:42) ger omedelbart ηN 2 i2

=−

sin ϕ ; e

ζN 2 i1

cos ϕ e

eller 2

ηN = −

i2 i sin ϕ ; ζ N = 1 cos ϕ e e

(13:43)

197

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.53 Sida 198

13. några storheter och samband för plana ytor

Eftersom punkten N ligger på ellipsen, måste dess koordinater satisfiera dennas ekvation, (13:41), d v s 2

ηN 2

ζN 2

(13:44)

eller med (13:43) 2

sin 2 ϕ +

cos 2 ϕ = 1

som i sin tur medför: 2

e 2 = i 2 sin 2 ϕ + i1 cos 2 ϕ =

I2 2 I sin ϕ + 1 cos 2 ϕ A A

(13:45)

Slutligen med (13:38) och (13:39): e2A = I2 sin2 ϕ + I1 cos2 ϕ = Iϕ = iϕ2 A som omedelbart ger e = iϕ

(13:46)

Om man önskar bestämma tröghetsradien för en axel, som bildar vinkeln ϕ med huvudtröghetsaxel 1, dras en med den förra axeln parallell tangent till tröghetsellipsen. Den sökta tröghetsradien, iϕ, överensstämmer med avståndet från ellipsens medelpunkt till tangeringspunkten. Tillhörande yttröghetsmoment erhålls som

Utvärderingsexemplar Iϕ = iϕ2 A

(13:47)

Ett viktigt och tämligen vanligt specialfall uppkommer, om yttröghetsmomenten i två icke vinkelräta riktningar är lika, d v s om Iϕ1 = Iϕ2 ⇒ iϕ1 = iϕ2 . Avstånden (e1, e2) mellan ellipsens medelpunkt, O, och respektive tangeringspunkttangeringspunkt, N1, N2 blir då lika stora. Detta är inte möjligt med mindre än att ellipsen urartar till en cirkel. Och i så fall blir avståndet mellan centrum och tangeringspunkt detsamma för alla vinklar, ϕ, och utgörs av cirkelradien. Härav följer att iϕ = iϕ1 = iϕ2 = i1 = i2 = konstant ∀ ϕ och som konsekvens härav: Iϕ = Iϕ1 = Iϕ2 = I1 = I2 = konstant

(13:48)

I sådana fall är varje axel oavsett sin orientering en huvudtröghetsaxel för tvärsnittet. Som exempel på sådana tvärsnitt kan anges cirkulära och kvadratiska tvärsnittsformer. Men varje tvärsnitt i form av en regelbunden månghörning besitter denna egenskap. Såsom en liksidig triangel eller en hexagon eller en reguljär sjuhörning. I formelsamlingar, t ex [5], [7], finner man diverse tvärsnittsdata (yta, geometricentrum, tröghetsmoment, deviationsmoment) för ett stort antal tvärsnittsformer.

198

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.53 Sida 199

13. några storheter och samband för plana ytor

13.9 Lösta exempel

! 13/1

Bestäm yttröghetsmomenten med avseende på geometricentrum för ett tvärsnitt i form av en cirkelring (ett rör) med ytterdiameter D och innerdiameter d. Lösning: y-axeln och z-axeln utgör huvudtröghetsaxlar. Vidare är Iy = Iz . Därmed är alla axlar huvudtröghetsaxlar. Enklaste lösningen är då att bestämma det polära tröghetsmomentet och sedan utnyttja (13:36). Som ytelement, dA, väljs en koncentrisk ring med innerradie r och ytterradie r+dr. Med D 2

dr r y

 r 4  2 π  D4 d 4  I p = r 2dA = r 2 2 πr ⋅ dr = 2 π   =  − =  4  d 2  16 16  d A

∫

Utvärderingsexemplar 2

(D 4 − d 4 ) = I y + I z = 2 I y

som ger I y = Iz =

(D 4 − d 4 )

! 13/2

Bestäm yttröghetsmomenten med avseende på geometricentrum för ett tvärsnitt i form av en cirkel med diameter D. Lösning: Resultatet erhålls genom att låta innerdiametern d i exempel 13.1 gå mot noll med följd Iy = Iz = πD4 /64.

199

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.53 Sida 200

13. några storheter och samband för plana ytor

! 13/3

Bestäm yttröghetsmomenten med avseende på geometricentrum och kantlinjer för ett tvärsnitt i form av en rektangel med sidor b och h.

dz z

Lösning: Lägg origo för koordinatsystem y-z i geometricentrum och origo för det parallella systemet η-ζ i sektionens ena hörn, se figur. Enligt definitionen av yttröghetsmoment följer h 2

η b

 z3  2 b  h 3 h 3  bh 3 I y = z 2b ⋅ dz = b   =  + = 8  12  3  − h 3  8 h

∫

−

Analogt erhålls Iz =

hb3 . 12

Vidare:

Utvärderingsexemplar ∫ h

Iη =

Iζ =

∫ 0

 ζ3  ζ 2b ⋅ dζ = b

bh 3   = 3  3 0 b

 η3  hb3 .  = 3  3 0

η2 h ⋅ dη = h 

Även deviationsmomentet med avseende på η-ζ-systemet kan bestämmas ur definitionen av detta och blir då: I ηζ =

h b

0 0

Resultatet fås enklare genom att använda (13:19): I ηζ = I yz + η0ζ0 A = 0 +

200

b2 h 2 b2 h 2 . = 2 4

∫ ηζdA = ∫ ∫ ηζ ⋅ dζ ⋅ dη = ∫ η ⋅ dη ⋅ ∫ ζ ⋅ dζ = 2 bh b2 h 2 bh = 22 4

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.53 Sida 201

13. några storheter och samband för plana ytor

! 13/4

Bestäm huvudtröghetsmomenten med avseende på geometricentrum för en sektion i form av en halvcirkel med diameter D. ζ, z

Lösning: Huvudtröghetsaxlarnas orientering framgår av figur. Med resultatet från 13/2 inses, att tröghetsmomentet med avseende såväl på η-axeln som på ζ-axeln blir hälften av tröghetsmomentet för en hel cirkelsektion, d v s Iη = Iζ = π D4 /128. Nu behövs koordinaterna för origo, O. Direkt inses att η0 = 0. Vidare med tilllämpning av Pythagoras sats: ζ0

πD 2

∫

D 2

∫

= ζ dA = ζ ⋅ 2 η ⋅ dζ = A

∫ 0

y η

 D 2   − ζ 2ζ ⋅ dζ =  2

D 32 2

  2  D2 = −  − ζ2    3 4 

D3  = 12  0

Utvärderingsexemplar

som ger ζ0 =

2D . 3π

Med Steiners sats: Iη =

πD 4

128

= Iy +

πD 2  2 D 

4 π − 1  ;   ; Iy = D   8  3π   128 18π 

I y ≈ 0, 00686D4

Bestäm huvudtröghetsaxlarnas orientering och huvudtröghetsmomentens med avseende på geometricentrum storlek för ett likflänsigt vinkelstål med tjocklek s << flänsbredden, a.

y ~ y ϕ

a ζ

Lösning: Sektionen har en symmetrilinje, sammanfallande med ζ-axeln. Denna jämte η-axeln utgör därmed huvudtröghetsaxlar. Origo för detta system förläggs till geometricentrum, vars läge först bestäms. Statiska momentet med avseende på y-axeln blir a s a ⋅ s + a ⋅ s ≈ z1( a ⋅ s + a ⋅ s); 2 2

13/5

z1 ≈

~ z z

a . 4 201

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.53 Sida 202

13. några storheter och samband för plana ytor

Analogt fås y1 ≈ a/4. Tröghetsmomenten med avseende på y-z-axlarna bestäms först, varvid resultatet från exempel 13/3 utnyttjas. Med Steiners sats bestäms tröghetsmomenten med avseende på ett system med origo i geometricentrum och axlarna parallella med y- och z-axeln, här kallat ~y– ~zsystemet. Sektionen betraktas härvid som sammansatt av två likadana rektanglar med sidor s och a. 2

 a  a  a  a 5 3 s3a sa 3 sa 3 I y˜ = + sa   + + sa   ≈ sa   + sa + sa   = 12 12 12 24  4  4  4  4 Analogt: I z˜ ≈

5 3 sa . 24

Deviationsmomentet med avseende på systemet ~y– ~z blir: I yz ˜˜ =

∫

 a a a  a a a sa 3 ˜˜ ⋅ dA ≈  −   −  sa +  −   −  sa = − yz 8  2 4  4  4  2 4

Ekvation (13:23) och (13:22) ger med ϕ = α = 7π /4 (vinkeln mellan positiva ~yaxeln och positiva η-axeln, jämför figur 13.6 men med omvänd positiv vinkelriktning, eftersom x-axlarna har motsatt orientering i figuren av vinkelstålet och figur 13.6):

Utvärderingsexemplar Iζ =

∫ η dA = I 2

y˜

sin 2

7π 7π 7π 7π + I z˜ cos 2 + 2I yz cos = ˜˜ sin 4 4 4 4

 sa 3  1  1  1 1 1 5 1 3 5 1 3 ≈ = I y˜ + I z˜ + 2I yz sa + sa − 2  − ˜˜  −  =  2 2 24 2   8 2 2  2 24 2 1 = sa 3 ≈ 0, 333 sa 3 3 respektive

∫

I η = ζ 2 dA = I y˜ cos 2 A

7π

+ I z˜ sin 2

7π

− 2I yz ˜˜ sin

7π

cos

7π

 sa 3  1  1  1 1 1 5 1 3 5 1 3 ≈ = I y˜ + I z˜ − 2I yz sa + sa + 2  − ˜˜  −  =  2 2 24 2   8 2 2  2 24 2 1 = sa 3 ≈ 0, 0833 sa 3 12

202

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.53 Sida 203

13. några storheter och samband för plana ytor

13.10 Övningsexempel

! 13/6

En sektion i form av en triangel har en sida b och motstående höjd h. Bestäm yttröghetsmomenten a) med avseende på en axel som sammanfaller med sidan b, b) med avseende på en med denna parallell axel genom geometricentrum.

! 13/7

Bestäm huvudtröghetsmomenten med avseende på geometricentrum för en sektion i form av ett tjockväggigt, kvadratiskt fyrkantrör med yttre sidlängd a och inre sidlängd b.

! 13/8

Bestäm huvudtröghetsmomenten med avseende på geometricentrum för en sektion i form av ett tunnväggigt, kvadratiskt fyrkantrör med yttre sidlängd a och godstjocklek s.

Utvärderingsexemplar

! 13/9

Bestäm huvudtröghetsmomenten med avseende på geometricentrum för en svetsad I-balk med sektion enligt figur. Tjockleken, s, av flänsar och liv kan betraktas som liten relativt flänsbredd, b, och livhöjd, h. De svetsar som förbinder flänsar och liv anses inte bidra till tröghetsmomenten.

13/10

Bestäm huvudtröghetsmomentet Iy med avseende på geometricentrum för en svetsad I-balk med sektion enligt figur. Tjockleken, s, av flänsar och liv är inte försumbar relativt flänsbredd, b, och livhöjd, h. De svetsar som förbinder flänsar och liv anses inte bidra till tröghetsmomenten.

13/11

Bestäm den vinkel, α, som axeln för det största huvudtröghetsmomentet bildar med y-axeln för en balk med likflänsigt z-format tvärsnitt enligt figur. Godstjockleken s << b. Hur stort blir det största respektive minsta huvudtröghetsmomentet?

s y

ζ z

203

s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.53 Sida 204

13. några storheter och samband för plana ytor

! 13/12

s 2b

En U-balk har en ungefärlig tvärsnittsform enligt figur. Godstjockleken s << b. Man önskar öka huvudtröghetsmomentet med avseende på z-axeln genom att svetsa samman två likadana balkar liv mot liv, så att en I-balk med livtjocklek 2s och flänstjocklek s bildas. a) Vad blir förhållandet mellan huvudtröghetsmomenten med avseende på z-riktningen efter en sådan åtgärd? b) Varför blir ökningen av huvudtröghetsmomentet mer än dubbelt så stor med två balkar?

! 13/13

En profil har elliptiskt tvärsnitt med halvaxlar a och b. a) Med hur många procent försämras det största huvudtröghetsmomentet jämfört med om sektionen varit rektangulär med sidor 2a och 2b < 2a? b) Med hur många procent minskar vikten per meter balklängd med det elliptiska tvärsnittet jämfört med det rektangulära?

Utvärderingsexemplar ! Svar till övningsexempel

13 /6: a)

bh 3 bh 3 b) 12 36

13 /7:

a 4 − b4 12

13 /8:

2sa 3 3

13 /9: I y ≈

sh 2 sb3 ( h + 6b), I z ≈ 12 6

13/10: I y =

sh 2 sb3 ( h + 6b) + (3 h + 2 s ) 12 6

13/11: 67,5°, 3,08sb3, 0,252sb3 13/12: a) 16/3, b) Geometricentrum för den sammansatta balken förskjuts till

mitten av livet 13/13: a) 41%, b) 21%. Ellipsen största huvudtröghetsmoment är πa3b/4 204

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 205

14 Spänningar i raka balkar vid böjning Med balk menas inom hållfasthetsläran en kropp, vars utsträckning i en riktning (balkens längdriktning, x) är stor och vars mått i ett mot denna riktning vinkelrätt plan (tvärsnittet, y, z) är avsevärt mindre.

Utvärderingsexemplar

En balk måste understödjas med stöd, som kan ha olika egenskaper. Vanligast är rullagrat stöd med symbol enligt figur 14.1a), fast stöd även kallat fixt stöd enligt figur 14.1b) och fast inspänning, figur 14.1c). Rullstödet enligt a) kan endast ta upp krafter vinkelrätt mot balkens längdriktning. Men såväl uppåtriktade som nedåtriktade krafter kan omhändertas. Det fasta stödet, b), kan däremot ta upp krafter både tvärs och längs balkens längdriktning. Balkar som vilar på rullstöd eller fasta stöd kallas fritt upplagda. Varken rullstöd eller fasta stöd förmår ta upp något kraftpar. För detta behövs fast inspänning enligt c). En sådan inspänning kan dessutom ta upp krafter längs och tvärs balken. Ett vanligt fall är en balk med fast

Figur 14.1 Vanligt förekommande stödtyper. a) rullstöd, b) fast (fixt) stöd, c) fast inspänning. Pilarna visar i vilken riktning stöden kan ta upp krafter/kraftpar.

205

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 206

14. spänningar i raka balkar vid böjning a)

Figur 14.2 a) konsolbalk, b) överkragande balk.

inspänning i änden och f ö fri från stöd, figur 14.2a). Ett sådant arrangemang kallas konsolbalk. Om någon del av balken faller utanför de yttersta stöden, figur 14.2b) sägs den ha överhäng eller vara överkragande. Om en balk belastas med yttre laster, uppstår i mot balkens längdriktning vinkelräta snitt s k snittstorheter. Dessa kan utgöras av en eller flera av storheterna tvärkraft, T, normalkraft, N, och (böjande/vridande) moment, M. Normalkrafter verkar i balkens längdriktning och ger upphov till drageller tryckspänningar i denna. Tvärkrafter verkar vinkelrätt mot balkens längdriktning och alstrar skjuvspänningar. Yttre krafter som varken verkar i balkens längdriktning eller tvärs denna, delas upp i komponenter i dessa riktningar. Böjande moment medför böjspänningar i balken.

Utvärderingsexemplar

Den yttre belastningen kan vara av olika slag. Man brukar tala om utbredd last, eller linjelast när lasten angriper över hela eller en del av balkens längd. Ett exempel visas i figur 14.3a). Enheten blir N/m och en vanlig beteckning är q, som kallas lastintensitet. Om lastintensiteten varierar utmed balkens axiella utsträckning, x, betecknas intensiteten med q(x). Exempel på utbredda laster är egenvikt och snölast. Men en last kan också vara koncentrerad till en så liten utsträckning, att den kan anses angripa i en diskret punkt. Lasten utgörs i så fall av en kraft eller av ett kraftpar och man talar om en punktkraft eller ett kraftpar, det senare ofta kallat punktmoment. Ett sådant fall visas i figur 14.3b).

q(x)

x M Figur 14.3 a) linjelast, b) punktlaster.

206

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 207

14. spänningar i raka balkar vid böjning

14.1 Jämviktsvillkor De yttre laster som verkar på en balk utgörs av krafter och/eller kraftpar. Lasterna tas upp av stöden och beroende på stödtyp har dessa olika förmåga att överföra krafter/kraftpar. För ett plant lastfall, t ex som i figur 14.3b) kan två ekvationer för kraftjämvikt och en ekvation för momentjämvikt ställas upp. Därmed kan högst tre stödstorheter bestämmas ur jämviktsvillkoren. I så fall sägs balken vara isostatiskt upplagd. Om antalet stöd eller stödtyper är sådant, att fler än tre stödstorheter uppkommer, sägs balken vara hyperstatiskt upplagd. Ett sådant fall visas i figur 14.4a). Vid vänstra stödet finns som obekanta en vertikal och en horisontell kraft samt ett kraftpar. Vid högra stödet uppträder en obekant vertikal kraft, tillsammans fyra okända stödstorheter. Stödstorheterna kan då inte bestämmas enbart med jämviktens hjälp och man talar om ett statiskt obestämt system. Om antalet stöd eller stödtyper är sådant, att jämvikt inte är möjlig, t ex som figur 14.4b) visar, kallas uppläggningen hypostatisk. I detta fall kan vänstra stödet endast ta upp vertikal kraft och högra stödet endast horisontell kraft. Momentjämvikten kan därmed inte uppfyllas.

Utvärderingsexemplar a)

M Figur 14.4 a) hyperstatisk uppläggning, b) hypostatisk uppläggning.

207

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 208

14. spänningar i raka balkar vid böjning

14.2 Teckenkonventioner Det förekommer olika konventioner för i vilken riktning snittstorheter som tvärkraft, normalkraft och kraftpar skall betraktas som positiva. I denna bok används följande regler för detta. I ett rätvinkligt koordinatsystem, x-y-z, (alltid högersystem), låter vi x-axeln peka i balkens längdriktning, figur 14.5. I varje tvärsnitt till balken förläggs origo för y-zsystemet till geometricentrum för det aktuella snittet. Om balkens tvärsnittsform varierar i x-riktningen, innebär detta, att origos läge i snittet kan variera med x. Huvudtröghetsaxlarna förutsätts ha samma orientering i alla tvärsnitt och sammanfalla med y- respektive z-axeln. Vi börjar med att definiera positiva balkytor. Med positiv yta menas en yta, vars yttre normal är riktad i positiv koordinatriktning. I figur 14.5 blir då den nedre ytan positiv, eftersom den yttre normalen, ny är riktad i positiv y-riktning. Likaså blir snittytan för vänstra balkdelen positiv, eftersom dess yttre normal, nx, är riktad i positiv x-riktning. Analogt blir balkens övre och högra snittyta negativa ytor. Dessas yttre normaler är ju riktade i negativ y-riktning respektive negativ x-riktning.

Utvärderingsexemplar Snitt A - A

-ny

-n y

_ -n x

+ ny

Figur 14.5 Yttre normalvektorer till och tecken för balkytor.

_ M

M z

T y Figur 14.6 Riktningar för positiva snittstorheter.

208

N T

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 209

14. spänningar i raka balkar vid böjning

För positiva snittytor gäller: Positiv normalkraft (dragkraft) riktas i positiv x-riktning Positiv tvärkraft riktas i positiv y-riktning Positivt moment vrider från positiv till negativ yta Negativ normalkraft (tryckkraft) riktas i negativ x-riktning Negativ tvärkraft riktas i negativ y-riktning Negativt moment vrider från negativ till positiv yta För negativa snittytor gäller: Positiv normalkraft (dragkraft) riktas i negativ x-riktning Positiv tvärkraft riktas i negativ y-riktning Positivt moment vrider från positiv till negativ yta Negativ normalkraft (tryckkraft) riktas i positiv x-riktning Negativ tvärkraft riktas i positiv y-riktning Negativt moment vrider från negativ till positiv yta Normalt antar man, att samtliga okända snittstorheter är positiva. Den efterföljande analysen får utvisa, om antagandet är sant. Vid analysen kommer eventuella negativa storheter att falla ut med minustecken. Om N, T och M antas positiva, får de med ovanstående teckenregler riktningar enligt figur 14.6.

Utvärderingsexemplar

14.3 Tvärkraft- och momentdiagram

I de flesta lastfall varierar tvärkraft och böjmoment från ett snitt till ett annat. För att få en bild av variationen, ritar man ofta två, eventuellt tre, diagram i i lämplig skala i direkt anslutning till balken. Diagrammen visar hur tvärkraft, böjmoment och eventuell normalkraft varierar med x-koordinaten. Den första åtgärden blir att bestämma stödreaktionernas storlek. Metoden illustreras enklast med ett konkret exempel: En överkragande, fritt upplagd balk belastas med laster enligt figur där M = 2FL/3. Eftersom inga yttre laster med horisontell komponent verkar, blir stödrektionerna helt vertikala. En jämviktsekvation vertikalt uppåt ger: A – 2F + B – F = 0 och en jämviktsekvation medurs för moment ger med avseende på stödet A: 2F

L 2FL 2L + −B + FL = 0, 3 3 3

som ger

F 7F A =− ; B= 2 2

Snitt förläggs så snart en ytterligare kraft eller ett ytterligare kraftpar angriper på balken. För exemplet behövs alltså tre snitt. Det första snittet förläggs till segmen209

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 210

14. spänningar i raka balkar vid böjning

L 3

L 3 x

x 2F M

F 2

2 FL 3

T y

2F M

F 2

2 FL 3

7F 2

tet 0 < x < L/3. Det andra snittet förläggs till segmentet L/3 < x < 2L/3 och det tredje till segmentet 2L/3 < x < L.

Utvärderingsexemplar

Med valda riktningar av x- och y-axeln blir snittytan positiv liksom balkens undre sida. I snittet riktas därför T nedåt (i positiv y-riktning), medan M ansätts som ett moturs moment (från positiv till negativ balkyta). De tre snitten framgår av figur. För snittet 0 < x < L/3 ger kraft- och momentjämvikt: F F T=− ; M=− x 2 2 För snittet L/3 < x < 2L/3 ger kraft- och momentjämvikt: T=−

 5F F L  2FL ; M = − x − 2 F x −  + 2 2 3 3 

För snittet 2L/3 < x < L ger kraft- och momentjämvikt:  F L  2FL 7F  2L  T = F; M = − x − 2F x −  + + x −  2 3 3 2  3  Funktionsvärdena för tvärkraft, T, och böjmoment, M, värden ritas upp. Positiva storheter avbildas på balkens positiva sida, negativa på dess negativa sida. En rak balk som utsätts för ett böjande moment kommer att krökas. Härvid kommer materialet på ena sidan om x-axeln att förlängas och på den andra sidan att förkortas. I den ena delen av ett tvärsnitt kommer därför dragspänningar att uppstå och i den

210

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 211

14. spänningar i raka balkar vid böjning

andra delen tryckspänningar. Med den givna principen för uppritning kommer kurvan i momentdiagrammet alltid att hamna på balkens dragna sida. I det visade exemplet kommer dragspänningar i balkens överkant (y < 0) alltså att verka i segmenten 0 < x < L/3. I segmentet L L L 8L <x< + = 3 3 5 15 uppträder dragspänningar i underkanten för att i segmentet 8L/5 < x < 2L/3 uppträda i överkant. Vi konstaterar också, att tvärkraften är diskontinuerlig i de punkter, där yttre krafter eller stödkrafter angriper. Om en kraft verkar i positiv y-riktning, kommer med de valda teckenreglerna detta att avspeglas som ett lika stort språng fast i motsatt riktning i tvärkraftdiagrammet. Momentdiagrammet blir diskontinuerlig i de punkter där kraftpar angriper, och orsakar ett lika stort språng i momentdiagrammet som kraftparets storlek. Notera även att momentet i båda balkändarna som sig bör blir noll. Vänster balkände är förbundet med ett fast stöd, som inte kan ta upp något kraftpar. Den högra balkänden saknar helt stöd, och kan därför inte överföra något kraftpar.

Utvärderingsexemplar F

−

5F 2

−

F 2

Tvärkraftdiagram F

−

FL − FL 3 6

Momentdiagram

FL 2

211

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 212

14. spänningar i raka balkar vid böjning F

q(x)

M(x)

x A

T(x) ξ0 x

Det råder ett analytiskt samband mellan lastintensitet, tvärkraft och böjmoment. För att härleda sambandet betraktas ett balksegment enligt figur. En jämviktsekvation i positiv y-riktning ger: x

∫

− A + q( ξ ) dξ + F + T( x ) = 0

(14:1)

Derivera med avseende på variabeln x med resultat:

Utvärderingsexemplar q( x ) +

dT( x ) =0 dx

eller efter omstuvning av termer: q( x ) = −

dT( x ) dx

(14:2)

eller uttryckt i ord: Derivatan av tvärkraften = belastningsintensiteten med omvänt tecken. Omvänt kan tvärkraften erhållas som:

∫

T( x ) = − q( x ) dx

(14:3)

Om det utöver utbredd last förekommer yttre punktlaster, eller om balken är överkragande, måste integrationen ske etappvis för varje balksegment som avgränsas av yttre punktkrafter/stöd. Integrationskonstanten för varje segment bestäms av tvärkraftens värde i segmentets vänstra eller högra ände. Jämvikt moturs för momentet kräver: x

∫

− Ax + q( ξ )( x − ξ ) dξ + F( x − ξ0 ) + M( x ) = 0 0

212

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 213

14. spänningar i raka balkar vid böjning

eller efter omstuvning av termer och uppdelning av integralen: x

∫

Ax − x q( ξ ) dξ + q( ξ)ξ dξ − Fx + Fξ0 = M( x ) 0

som deriveras med avseende på x. x

∫

A − q( ξ ) dξ − x ⋅ q( x ) + q( x ) ⋅ x − F = 0

dM( x ) dx

eller efter reducering av likadana termer: x

∫

A − q( ξ ) dξ − F = 0

dM( x ) dx

(14:4)

Ekvation 14:1 kan skrivas som x

∫

T( x ) = A − q( ξ ) dξ − F , 0

vars högra led igenkänns som vänstra ledet i (14:4) som därmed kan skrivas som:

Utvärderingsexemplar

dM( x ) = T( x ) dx

(14:5)

eller uttryckt i ord: Derivatan av momentet = tvärkraften. Omvänt kan momentet erhållas som:

∫

M( x ) = T( x ) dx

(14:6)

Om yttre kraftpar angriper längs balken, måste integrationen ske etappvis för varje balksegment som avgränsas av kraftparen. Integrationskonstanten för varje segment bestäms av snittmomentets värde i dess vänstra eller högra ände. Om ekvation (14:5) deriveras ytterligare en gång och resultatet kombineras med (14:2), fås en andra ordningens differentialekvation: d 2M( x ) dx 2

= − q( x )

(14:7)

Vid integration av (14:7) erhålls två integrationskonstanter. Värdet av dessa bestäms av kända snittstorheter (tvärkraft och moment i ett snitt eller endera av storheterna tvärkraft eller moment i två snitt).

213

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 214

14. spänningar i raka balkar vid böjning

Enklast belyses metoden med ett exempel: En konsolbalk med längd L belastas dels med en triangelformad utbredd last utmed hela sin längd och med maximalt värde q0 vid inspänningen. Dessutom verkar en punktlast, F, mitt på balken och i samma riktning som den utbredda lasten.

F q(x) q0 x y

Med de valda koordinataxlarna ges linjelastens ekvation av q( x ) =

x d 2M( x ) x q 0 , varför = − q( x ) = − q 0 2 L L dx

som integreras två gånger med utfall: dM( x ) x2 = T( x ) = − q 0 + C1 dx 2L M( x ) = −

x3 q 0 + C1x + C 2 6L

Eftersom en punktlast angriper vid balkmitten delas balken i två segment, 0 < x < L/2 och L/2 < x < L.

Utvärderingsexemplar

För x = 0 gäller randvillkoren T(0) = M(0) = 0, eftersom balkens högra ände är fri och obelastad. Detta ger för segmentet 0 < x < L/2 randvillkoren dM(0)/dx = T(0) = 0 = C1 respektive 0 = M(0) = C2 . För detta segment erhålls då följande analytiska uttryck för tvärkraft och moment: T( x ) = −

x2 x3 q 0 , M( x ) = − q 0 2L 6L

Omedelbart till höger om punktlasten F antar dessa storheter värdena:  L  L L L2 T   = − q 0 respektive M  = − q 0 . 8 48  2  2 Omedelbart till vänster om F ändras tvärkraften till  L L T  = − q 0 − F 2 8   medan momentet blir oförändrat. För segmentet L/2 < x < L ger dessa randvillkor  L dM   L  2 L L ˜ ; C ˜ = −F = T  = − q 0 − F = − q 0 + C 1 1 dx 8 8  2 2  L L2 L2 ˜ L +C ˜ = − L q − FL + C ˜ ; M  = − q 0 = − q 0 + C 1 2 0 2 48 48 2 48 2  2

214

˜ = FL C 2 2

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 215

14. spänningar i raka balkar vid böjning

och därmed följande uttryck för tvärkraft och moment: T( x ) = −

2 x2 ˜ = − x q −F q0 + C 1 0 2L 2L

M( x ) = −

3 3 x3 ˜ x+C ˜ = − x q − Fx + FL = − x q − F  x − L  q0 + C 1 2 0 0   6L 6L 2 6L 2 

Tillhörande tvärkraft- och momentdiagram framgår av figur. Lägg märke till brytpunkten i momentdiagrammet vid x = L/2. Eftersom tvärkraften gör ett språng i denna punkt och dM(x)/dx = T(x), kommer momentkurvans derivata (kurvlutningen) att vara olika till höger och till vänster om punkten.

F q(x) q0 x y

Den numeriskt största tvärkraften återfinns vid inspänningen, och uppgår till: − T( L ) =

L2 L q0 + F = q0 + F 2L 2

Det numeriskt största momentet återfinns även det vid inspänningen, och uppgår till: − M( L ) =

L3 FL L2 FL q 0 + FL − = q0 + 6L 2 6 2

Utvärderingsexemplar

14.4 Spänningar vid deformation i böjande momentets plan Figur 14.7 visar en rak balk belastad dels med en normalkraft, N, dels böjande moment, M, i x-y-planet. (Om momenten betraktas som vektorer, blir respektive momentvektor, M, parallell med z-axeln). Koordinatsystemet orienteras så, att y- och z-axeln sammanfaller med tvärsnittets huvudtröghetsaxlar med origo i tvärsnittets geometricentrum. Balken kommer då att deformeras (krökas och förlängas/förkortas) i x-y-planet, d v s i det böjande momentets plan.

x dx

Figur 14.7 Rak balk utsatt för normalkraft och moment i x-y-planet.

215

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 216

14. spänningar i raka balkar vid böjning

Analysen baseras på två förutsättningar: I. Plana tvärsnitt förblir plana (Bernoullis antagande). II. Vid belastning övergår balkens medellinje (som i obelastat tillstånd sammanfaller med x-axeln) till en enkelkrökt medelkurva. Härvid förutsätts att varje normalplan till balkens medellinje vid belastning förblir ett normalplan till medelkurvans tangent i snittytan (Eulers antagande). Euler-Bernoullis antaganden innebär, att varje fiber i balkens längdriktning deformeras till en cirkelbåge, se figur 14.8. Ett element med längden dx skärs ut ur balken. En fiber eller ett skikt med längd dx och på avståndet R + y från krökningscentrum får töjningen ε. En fiber eller ett skikt som ursprungligen sammanfaller med x-zplanet får töjningen ε0 och krökningsradien R. Figur 14.8 ger de geometriska sambanden: R · dϕ = (1 + ε0 ) · dx; (R + y) · dϕ = (1 + ε) · dx. Efter division: R + y 1+ ε = , R 1 + ε0

y 1+ ε ε − ε0 = −1 = . R 1 + ε0 1 + ε0

Utvärderingsexemplar Töjningarna förutsätts << 1, varför y y ≈ ε − ε 0 eller ε ≈ ε 0 + . R R

Tillhörande normalspänning blir, förutsatt att Hookes lag gäller: σ = Eε ≈ E ε 0 + E

y y = σ0 + E R R

(14:8)

A R+y

σdA

R y

σdA

Figur 14.8 Deformerat balkelement med obelastad längd dx.

216

dϕ dx(1+ ε 0 ) dx(1+ ε)

σdA σdA

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 217

14. spänningar i raka balkar vid böjning

Genom att integrera normalspänningarna över balkens hela tvärsnitt med yta A fås normalkraften, N, på balkelementet.

∫

N = σdA ≈ σ 0dA + A

∫ R y dA ≈ σ ∫ dA + R ∫ y dA 0

Eftersom origo förlagts till geometricentrum har den sista integralen värdet noll och försvinner, och ger det enkla sambandet

∫

N ≈ σ 0 dA = σ 0 ⋅ A

(14:9)

En ekvation för momentjämvikten kring z-axeln leder till: M = Mz =

∫ yσdA ≈ σ ∫ ydA + R ∫ y dA = R ∫ y dA = 0

EI z EI z = R Rz

(14:10)

om huvudtröghetsmomentet med avseende på z-axeln, Iz , införs. Ekvation (14:10) skrivs vanligen på formen: 1 M 1 M = alternativt = z R EI R z EI z

(14:11)

Produkten EI = EIz kallas balkens böjstyvhet (med avseende på z-axeln). Av (14:8), (14:9) och (14:11) inses lätt: σ=

Utvärderingsexemplar N M + y A I

(14:12)

som om N = 0 övergår i en renodlad böjning, varvid: σ=

M y I

(14:13)

Böjspänningen i ett balktvärsnitt varierar alltså linjärt med avståndet från den ena huvudtröghetsaxeln (z-axeln). Däremot är böjspänningen helt oberoende av värdet på z. Spänningarna skall inte ge något moment runt y-axeln, d v s:

∫

0 = zσdA = σ 0 z dA + A

E R

∫ zy dA A

Den första integralen försvinner p g a valet av koordinatsystem. Kvar blir villkoret:

∫ yz dA = I

(14:14)

d v s deviationsmomentet Iyz skall vara 0. Detta är skälet till att huvudtröghetsaxlarna valdes till y- respektive z-axel.

217

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 218

14. spänningar i raka balkar vid böjning

Tryck M

Dragning

y Figur 14.9 Spänningsfördelning vid ren böjning.

Vid renodlad böjning (N = 0) framgår böjspänningarnas fördelning över tvärsnittet av figur 14.9. Låt e1 och e2 vara avstånden från z-axeln till de yttersta punkterna i tvärsnittet, se figur 14.9. Den största dragspänningen uppstår för z = e1 och den största tryckspänningen för z = e2. Extremvärdena av böjspänningen blir i dessa punkter: σ max =

M M e1 = e1 I Iz

(14:15)

Utvärderingsexemplar σ min = −

M M e2 = − e2 I Iz

(14:16)

Det största av avstånden e1 och e2 sätts till e. Sektionens böjmotstånd definieras därpå som: W = Wz =

I Iz = e e

(14:17)

och får enheten ”meter-tre”. Böjpåkänningen som definieras som den numeriskt största spänningen i tvärsnittet kan då tecknas som: σb =

M M Mb = = W Wz Wb

(14:18)

För standardiserade balkprofiler som I-balkar, U-balkar, vinkelstålsbalkar, fyrkantrör, m m finns data för såväl böjmotstånd som tröghetsmoment i handböcker och tillverkarspecifikationer. För enkla geometriska tvärsnittsformer kan dessa storheter lätt beräknas. I följande tabell är uttryck för huvudtröghetsmoment och böjmotstånd för några vanliga tvärsnittsformer sammanställda.

218

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 219

14. spänningar i raka balkar vid böjning Tvärsnittsform

ΦD

πD4 64

πD3 32

Φd ΦD

π 4 (D − d4 ) 64

π D4 − d4 32 D

hb3 12

bh3 12

hb2 6

bh2 6

z y b

h y

Utvärderingsexemplar

14.5 Skev böjning, neutralaxel, neutrallager

Hittills har förutsatts, att inga yttre krafter verkar i z-riktningen och att yttre kraftpar, Mz, enbart verkar parallellt med x-y-planet. Om dessa förutsättningar inte är uppfyllda, delas verkande krafter/kraftpar upp i sina komponenter, N, Ty, Tz, Mz, My, Mx utmed huvudtröghetsaxlarna y och z. Ty är tvärkraft i y-led, Tz är tvärkraft i z-led. Mz verkar parallellt med x-y-planet, My verkar parallellt med x-z-planet och Mx ger en vridning av balken runt dess axiella utsträckning, x. Med samma teckenregler som tidigare, riktas positiva snittstorheter i den positiva ytan enligt fix gur 14.10. För Mx är tidigare angivna teckenregler inte Mz tillämpbara. Istället riktas denna momentvektor som normalkraftsvektorn, N. Lägg märke till, att med princiTy Tz pen att positiva moment vrider från positiv till negativ My yta, riktas vektorerna Mx och My i positiv x- respektive y y-riktning, medan vektorn Mz riktas i negativ z-riktFigur 14.10 ning. Snittstorheter.

219

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 220

14. spänningar i raka balkar vid böjning

För att bestämma spänningarna i en punkt (y, z) i tvärsnittet, utnyttjas superpositionsprincipen, som om y- och z-axeln är huvudtröghetsaxlar ger normalspänningen: σx =

N My M + z+ z y A Iy Iz

(14:19)

eller vid renodlad böjning: σ x = σb =

My Iy

Mz y Iz

(14:20)

Om den resulterande momentvektorn i y-z-planet inte sammanfaller med någon av huvudtröghetsaxlarna, kan balken komma att krökas i plan som inte sammanfaller med det plan i vilket det resulterande momentet verkar utan i ett plan som är vinklat relativt detta. Företeelsen kallas skev böjning. För att närmare studera förhållandena kring skev böjning introduceras begreppet neutralaxel. Vid böjning definieras neutralaxeln som den kurva/linje i tvärsnittet, där böjspänningarna blir noll. Villkoret för nollspänning vid renodlad böjning ges ur (14:20) av: 0 = σb =

My Iy

Mz y Iz

eller med vinkeln α enligt figur 14.11:

Utvärderingsexemplar y=−

Iz My I z = − z z tan α I y Mz Iy

(14:21)

som utgör ekvationen för en rät linje genom origo. Man brukar sammanfatta samtliga neutralaxlar utmed balkens axiella utsträckning som neutrallagret. Linjens eller lagrets vinkel mot z-axeln, β, framgår av figur 14.11.

B* Neutral axel ζ

R0*

Mz A*

R* β

Figur 14.11 Skev böjning.

220

η My

M A

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 221

14. spänningar i raka balkar vid böjning

Vi får omedelbart: tan β = −

y Iz = tan α z Iy

(14:22)

Om Iy ≠ Iz blir β ≠ α. Vinklarna α och β väljs nu i intervallet [– π/2, π/2]. Om Iz > Iy ⇒ |β| > |α| och om Iz < Iy ⇒ |β| < |α|. Neutralaxeln är alltså alltid belägen mellan momentvektorn, M, och den huvudtröghetsaxel, som svarar mot det minsta huvudtröghetsmomentet. En linje, A–B, dras genom tvärsnittet, parallell med ζ-axeln. Linjens ekvation kan då skrivas som y = –z · tan β + y0 , där y0 är en konstant (ordinatan i origo). Med stöd av (14:21) kan linjens ekvation skrivas som y=−

Iz My z + y0 I y Mz

Böjspänningen i punkter på linjen fås med hjälp av (14:20): σb, A − B =

My Iy

My Mz M y= z+ z Iz Iy Iz

 M  I My z z + y0 = z y0 −  Iz  I y Mz

D v s böjspänningen är konstant utmed linjen A-B och proportionell mot koordinaten y0. Med η0 = y0 cos β, där η0 utgör ordinatan i origo för A–B i η-ζ-systemet, blir böjspänningen proportionell mot ± avståndet mellan neutralaxeln och A–B. Sett vinkelrätt mot x-η-planet är situationen helt ekvivalent med den i figur 14.8. Krökningsaxeln A*–B* för balken blir parallell med neutralaxeln.

Utvärderingsexemplar

221

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 222

14. spänningar i raka balkar vid böjning

14.5.1 Böjspänningar vid skev böjning

Vid skev böjning blir böjspänningen i plan som är parallella med neutralplanet proportionell mot koordinaten η. Det blir därför intressant, att uttrycka böjspänningen som funktion av denna koordinat. Med koordinattransformationen y = η · cos β – ζ · sin β ;

z = η · sin β + ζ · cos β ;

(14:23)

ger (14:20), (14:21) och (14:22): σ x = σb =

My Iy

My Mz M ( η ⋅ sin β + ζ ⋅ cos β) + z ( η ⋅ cos β − ζ ⋅ sin β) = y= Iz Iy Iz

  My  My M M  tan β + z  = = ζ ⋅ cos β  − z tan β + η ⋅ cos β  Iz Iz    Iy  Iy  My I My M   My M I My  z = ζ ⋅ cos β  − z z + z =  + η ⋅ cos β  I z I y Mz  Iz   I y I y Mz  Iy  My I My M  η z = η ⋅ cos β  + z = Iz   I y I y Mz 1 + tan 2 β

 My I My M  z + z =  Iz   I y I y Mz

Utvärderingsexemplar η

 I   My  1+  z     I y   Mz 

Iz Mz

2  2  M y  +  Mz   =    I   Iz    y  

2  2  M y  +  Mz     2 I   Iz   2  My   y    Mz  =   +  ⋅η Iy  2  Iz  2   My   Mz    +   Iz   Iy 

η  

Om första och sista ledet tas till vara, fås: 2

2  My   Mz  + σb =    ⋅η   Iz   Iy 

222

(14:24)

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 223

14. spänningar i raka balkar vid böjning

Analogt med (14:8) fås vid renodlad skev böjning (inga drageller tryckkrafter) tillsammans med (14:10) 2

2 2  E   My   E M  E + ⋅ = σb ≈ η=  z + η   ⋅η    R0  Rz   Iz   Ry   Iy 

(14:25)

Neutrallagrets krökningsradie, R0*, vid skev böjning ges alltså av ekvationen: 2

2 2  1   1   1    =  +   Rz   R0   Ry 

(14:26)

Ibland används istället för krökningsradier begreppen krökningar. Krökning, κ, definieras som inverterade värdet av krökningsradien. (14:26) ersätts då med: 1 R 0∗

= κ 0 = κ 2y + κ z2

(14:27)

Nu introduceras avståndet e1 mellan neutralaxeln och en med denna parallell linje, som tangerar profilen i en punkt med positiv η-koordinat. Likaså införs avståndet e2 mellan neutralaxeln och en med denna parallell linje, som tangerar profilen i en punkt med negativ η-koordinat, se figur 14.12. Böjspänningen antar då extremvärdena:

Utvärderingsexemplar 2

σ max

2  My   Mz  ≈ e1 ⋅   +   Iz   Iy 

σ min

2  My   Mz  ≈ − e2 ⋅   +   Iz   Iy 

(14:28)

(14:29)

Neutralaxel

z My M

η Figur 14.12 Lokalisering av böjspänningens extremvärden.

e2 e1 y

223

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 224

14. spänningar i raka balkar vid böjning

Om sektionen utgörs av räta linjer, kommer extremvärdena alltid att uppträda i de hörnpunkter, som ligger längst från neutralaxeln. För exempelvis en rektangulär sektion enligt figur 14.13, gäller:

Neutralaxel Tryck B

Iy =

h Mz

M C

bh 3 ; 12

Dragning

Figur 14.13 Skev böjning vid rektangulär sektion.

hb3 ; 12

σb =

My Iy

Mz y, Iz

vilket ger nedanstående böjspänningar i de fyra hörnen: σb, A =

Iz =

M y b Mz h − I y 2 Iz 2

σ b ,B = −

M y b Mz h − = σ b,min I y 2 Iz 2

σ b ,C = −

M y b Mz h + I y 2 Iz 2

σ b ,D =

M y b Mz h + = σ b,max I y 2 Iz 2

Hörnen B och D har störst avstånd till neutralaxeln och det är också i dessa hörn som den minsta och största böjspänningen uppträder.

Utvärderingsexemplar

14.6 Skjuvspänningar vid böjning av balk utsatt för tvärkraft I en rak balk utsatt för böjning friläggs ett volymelement med längder dx, dy, dz enligt figur 14.14. y-och z-axeln förutsätts vara huvudtröghetsaxlar och parallellt med x-y-planet verkar böjande momentet Mz = M. Om momentet varierar utmed balkens axiella riktning, x, kommer detta enligt (14:13) att medföra, att även böjspänningen varierar med x. På volymelementets ena sida verkar spänningen σx , för att när x ökat med dx anta värdet σx +

224

∂σ x ∂x

dx.

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 225

14. spänningar i raka balkar vid böjning

dx x

Fx ⋅dx

σx dA A0

 ∂σ x   σ x + ∂x dx  dA  

Figur 14.14 Böjspänningar och krafter på volymelement.

I x-led blir då jämvikt möjlig endast om en motverkande kraft, Fx, per längdenhet, verkar, se figur 14.14. Jämvikten för en parallellt med z-axeln avskuren del av tvärsnittet och med area A0, kräver: Fx dx =

∫

∂σ x

∂x

Med σ x =

dx ⋅ dA

η ∂M η M ∂σ x = = T, η blir Iz I z ∂x I z ∂x

där T är den i tvärsnittet x verkande tvärkraften. Härav:

Utvärderingsexemplar

Fx =

T Iz

∫ η ⋅ dA

Integralen utgör det statiska momentet av ytan A0 med avseende på z-axeln, varför vi kan skriva Sz ( y ) =

∫ η ⋅ dA

och därmed: Fx =

T Sz ( y ) Iz

(14:30)

Kraften Fx kan tas upp på olika sätt i balken. I balkar som valsats, figur 14.15a), uppstår axiella skjuvspänningar. I profiler som består av kontinuerligt sammansvetsade profiler, figur 14.15b), kommer svetsfogarna att utsättas för skjuvspänningar. Om svetsarna är intermittenta, figur 14.15c), kan skjuvkraften inte över-

Figur 14.15 a) valsad I-balk, b) kontinuerligt svetsad I-balk, c) intermittent svetsad I-balk.

225

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 226

14. spänningar i raka balkar vid böjning

Figur 14.16 Nitad I-balk av vinkelstål och livplåt.

föras längs de partier där svetssträngar saknas. I resterande partier blir därför skjuvspänningarna högre än med kontinuerliga svetsfogar. Om profiler nitas samman till en balk, (figur 14.16), kommer hela skjuvkraften från de separata profilerna att tas upp av nitarna. Så kommer t ex skjuvkraften från vinkelstålen i figur 14.16 att överföras till livplåten. Om tvärkraften varierar utmed den axiella utsträckningen i en nitad balk, bör därför nitdelningen avpassas till tvärkraftens storlek. Detta för att skjuvspänningen skall hamna i samma storleksordning i alla nitar, jämför ekvation (14:30). Om y-axeln utgör en symmetrilinje för sektionen, som t ex i figur 14.17, kan skjuvspänningen i snitt parallella med x-y-planet anses vara oberoende av y, τxy, medel = τyx, medel .

Utvärderingsexemplar

Kraften per längdenhet, Fx, tas upp som skjuvspänningar. Om balkbredden i den betraktade snittytan sätts till b(y), ger jämvikten: Fxdx = b(y) · τyx, medel . Med stöd av (14:30): τ yx , medel = τ xy , medel =

TSz ( y ) I z b( y )

(14:31)

b(y)

dx x

τ xy,medel

τ yx,medel

y Figur 14.17 Skjuvspänningar i ett snitt, y = konstant.

226

τ yx,medel

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 227

14. spänningar i raka balkar vid böjning

τ xy

ζr z

y τ rand

(y, z)

(x, y, z) σx

(y, z r)

τxz y

(η, ζ r )

∂τ zx dz ∂z

τ yx

τzx z

τ xy

τ zx +

σx + τzx

τ yx + τ xy +

∂τ xy ∂x

∂τ yx ∂y

∂σ x dx ∂x

Figur 14.18 Skjuvspänningar i balksektion.

Figur 14.19 Spänningar på volymelement.

Om randkurvan i det betraktade snittplanet inte är parallell med y-axeln, uppträder dessutom en skjuvspänning, τxz. Se som exempel randkurvan i figur 14:18. Den resulterande skjuvspänningen i varje punkt på randen måste sammanfalla med randkurvans tangent i punkten. Skjuvspänningen på randen i y-z-planet kan nämligen inte ha någon komponent i randnormalens riktning. Om så vore fallet skulle en lika stor skjuvspänning verka i x-led på balkens mantelyta. Allt enligt principen, att skjuvspänningar som möts på vinkelräta ytor är lika stora. Men balkens mantelyta är obelastad och därmed fri från skjuvspänningar.

Utvärderingsexemplar

I figur 14.18 betecknar index r storheter på sektionens rand. Ett volymelement med sidor dx, dy och dz skärs ut. Figur 14.19 visar elementet uppförstorat och med de spänningar som verkar på detta. En jämviktsekvation i x-riktningen ger: ∂σ x ∂x

dx ⋅ dy ⋅ dz +

∂τ yx ∂y

dy ⋅ dz ⋅ dx +

∂τ zx ∂z

dz ⋅ dx ⋅ dy = 0

och efter reducering av termer: ∂σ x ∂x

∂τ yx ∂y

∂τ zx ∂z

Enligt tidigare gäller i ett plan på avståndet y från x-z-planet: σx =

Mz y Iz

och τ xy = τ yx =

TSz ( y ) TSz ( y ) = b( y )I z 2z r Iz

227

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 228

14. spänningar i raka balkar vid böjning

Efter derivering med avseende på y ger det senare uttrycket: ∂τ yx ∂y

T 2I z

dSz ( y ) dz − Sz ( y ) r dy dy z 2r

Derivering av det förra uttrycket med avseende på x ger: ∂σ x ∂x

y dMz T = y I z dx Iz

Statiska momentet av den i figur 14.18 sektionerade ytan med avseende på z-axeln är e ζr

Sz ( y ) =

∫ ∫ η ⋅ dη ⋅ dζ y −ζ r

som vid symmetri kring y-axeln kan skrivas som: e ζr

Sz ( y ) = 2

∫∫

∫

η ⋅ dη ⋅ dζ = 2 ζ r η ⋅ dη.

y 0r

Utvärderingsexemplar ∫ Variabeln ζr beror endast av koordinaten η, varför vi kan skriva: e

Sz ( y ) = 2 ζ r ( η) ⋅ η ⋅ dη y

som vid derivering med avseende på undre gränsen, y, ger:

[

]η = y ⋅ y = −2z r y

dSz ( y ) = −2 ζ r ( η) dy

som i sin tur medför att: ∂τ yx ∂y

∂τ xy ∂y

T 2Iz

−2z r2 y − Sz ( y ) z r2

dz r dy

Om dessa uttryck för ∂τzx/∂y och ∂σx/∂x sätts in i jämviktsvillkoret, fås: dz −2z 2r y − Sz ( y ) r T T dy ∂τ y+ = − zx 2 Iz 2I z ∂z zr

228

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 229

14. spänningar i raka balkar vid böjning

eller efter förenkling: ∂τ zx

∂τ xz

∂z

TSz ( y ) dz r 2I z z r2 dy

Med τ xy ≈ τ y , medel = ∂τ zx ∂z z

∫

∂τ zx

∂τ xz

∂z

≈

∂z

dz =

TSz ( y ) insatt: 2z r I z

τ xy dz r

z r dy

τ xy ∂z r dz r ∂y

∫z 0

som efter evaluering av integralen medför: τ zx − τ zx ,( z =0) =

τ xy dz r

z r dy

Symmetrin kring y-axeln medför att τzx, (z = 0) = 0, varför τ xz τ xy

τ zx

z dz r z r dy

(14:32)

Utvärderingsexemplar τ yx

För z = zr tangerar skjuvspänningen, τrand, sektionens randkurva. Vinkeln ψr i figur 14.20 ges därmed av: tan ψ r =

dz r z r = dy a

τ xz A

Således: τ xz τ xy

τ zx τ yx

z zr z = = tan ψ zr a a

τ rand

(y, z r )

Den resulterande skjuvspänningen för ett visst y-värde är alltid riktad mot samma punkt, A, i figur 14.20. Denna bestäms av skärningspunkten mellan y-axeln och randkurvans tangent i punkten med ordinatan y.

ψr τ xy

y Figur 14.20 Skjuvspänningsriktningar i balksektion.

Storleken av den resulterande skjuvspänningen kan beräknas med Pythagoras sats och blir: τ=

τ 2xy + τ 2xz

(14:33)

229

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 230

14. spänningar i raka balkar vid böjning

14.7 Flytlastförhöjning vid balkböjning

I en stång som belastas enbart med dragning eller tryck är spänningen densamma i alla punkter i ett tvärsnitt. Materialet börjar därför flyta samtidigt över hela tvärsnittet, förutsatt att materialet har en sträckgräns. Om materialet är linjärt elastiskt, linjärt idealplastiskt (figur 14:21), kan dragkraften inte överstiga σs A, där A är stångens tvärsnittsarea.

σS

Vid renodlad böjning av en balk är normalspänningen linjärt fördelad över tvärsnittet. Flytning sker först i den punkt eller det skikt på randen, som ligger längst bort från neutralaxeln och vid ett böjande moment, Ms. Om balken för enkelhets skull antas symmetrisk med avseende på en huvudtröghetsaxel, z, t ex en rektangulär sektion med sidor b och h enligt figur 14.22, kan storleken av detta moment bestämmas ur:

Figur 14.21 Linjärt elastiskt, idealplastiskt material.

σ max = σ s =

Ms =

Ms M 6M z e= z = Iz Wz bh 2

σ s bh 2

Utvärderingsexemplar

Om böjmomentet ökas ytterligare, kommer sektionens yttre skikt att plasticeras, medan kärnan förblir elastisk, se figur 14.22c). En flytlastförhöjning uppkommer. Ju större momentet blir, desto mindre blir den elastiska kärnan. Så småningom, vid ett moment Mg, är hela tvärsnittet genomplasticerat, med en spänningsfördelning enligt figur 14.22d). Storleken av momentet vid genomplasticering ges av en jämviktekvation: Mg = 2 σ s

bh h σ s bh 2 = 2 4 4

σs

σs Mz

Mz h

-σ s

a) b) Figur 14.22 Spänningsfördelning i balk med rektangulär sektion. a) Mz < MS, b) Mz = MS, c) MS < Mz < Mg, d) Mz = Mg .

230

-σ s

-σ s c)

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 231

14. spänningar i raka balkar vid böjning

Flytlastförhöjningen vid böjning av rektangulär sektion blir därmed: β=

Mg − Ms Ms

σ s bh 2

−

σ s bh 2

1 = 50% 2

6 Om balkprofilen är osymmetrisk med avseende på z-axeln, kommer neutrallagret att förflyttas i y-led, när M > Ms. För att bestämma storleken av Mg, måste då även kraftjämvikten i x-led utnyttjas. Om balken är utsatt för en normalkraft, Nx, kommer denna att påverka neutrallagrets läge oavsett om sektionen är symmetrisk eller ej med avseende på z-axeln. Om materialet som här antas vara linjärt elastiskt, idealplastiskt, blir töjningen i hela tvärsnittet obestämd vid M = Mg. Töjningen kan växa obegränsat utan motsvarande momentökning. Balken kommer därför att kollapsa vid M = Mg.

!Utvärderingsexemplar 14.8 Övningsexempel

! 14/1

En fritt upplagd balk med längd L belastas med två lika stora punktlaster, F, vardera på avståndet L/5 från respektive stöd. Rita tvärkraftoch momentdiagram samt ange det numeriskt största böjmomentet till läge och storlek.

! 14/2

En fritt upplagd balk med längd L belastas med en punktlast, F, på avståndet αL, 0 < α < 1, från rullstödet. Rita tvärkraft- och momentdiagram samt ange det numeriskt största böjmomentet till läge och storlek.

αL

14/3

En fast inspänd balk belastas över hela sin längd, L, med en jämnt fördelad last med intensitet q. Dessutom verkar i motsatt riktning en punktlast F i den fria änden. a) Hur stor skall F vara, för att numeriskt största moment skall uppträda mitt på balken? b) Om F väljs i enlighet med frågeställningen i a), hur stort blir då inspänningsmomentet?

231

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 232

14. spänningar i raka balkar vid böjning

! 14/4

En fritt upplagd balk med längd L belastas med en punktlast, F, på avståndet αL, 0 < α < 1, från rullstödet. För hur stort värde på α antar det böjande momentet sitt maximala värde och hur stort blir detta?

αL

! 14/5

På en balk med längden L löper en traverstralla med två hjul utmed balkens längdriktning. Axelavståndet är αL, 0 < α < 1 och lasten kan anses lika fördelad på de två hjulen. Trallans läge definieras av koordinaten ξ, 0 < ξ < 1– α, enligt figur. För vilket värde på ξ uppstår maximalt böjmoment i balken och hur stort blir detta, om vardera hjulkraften uppgår till F?

αL

ξL

14/6

En plan struktur består av sammansvetsade balkar enligt figur. Belastningen utgörs av en koncentrerad kraft, F, och ett kraftpar, M = 2FL, som angriper i föreningen mellan den stödunderstödda och den vertikala balken. Rita ett momentdiagram för den stödunderstödda balken och bestäm det numeriskt största momentet i denna.

Utvärderingsexemplar M

F F L

! 14/7

En plan struktur består av sammansvetsade balkar enligt figur. Belastningen utgörs av två koncentrerade krafter, F. Rita ett momentdiagram för den horisontella balken och bestäm det numeriskt största momentet i denna.

! 14/8

F N

L 3

232

En fritt upplagd balk med längd L belastas med en punktlast, F, på avståndet L/3 från rullstödet och en axiell kraft, N, vid rullstödet. Balken har konstant tvärsnitt enligt figur och består av sammansvetsade plåtar. Plåttjockleken, s, är mycket mindre än övriga dimensioner. Hur stor blir den maximala normalspänningen i balken? Materialet antas linjärt elastiskt.

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 233

14. spänningar i raka balkar vid böjning

! 14/9

En rektangulär plåtstrimla med bredd b och tjocklek s belastas med motverkande kraftpar, M, i vardera änden enligt figur. a) Visa att neutrallagrets krökningsradie blir konstant och bestäm uttrycket för denna som funktion av M, b, s och elasticitetsmodulen E. Materialet antas linjärt elastiskt. b) Visa att böjspänningen växer linjärt med plåttjockleken, om en och samma krökning av neutrallagret skall åstadkommas med plåtar av olika tjocklek.

14/10

L 3

En överkragande balk enligt figur belastas med två punktkrafter, F = 750 N och 4F = 3000 N. Balken har tillverkats genom att svetsa samman plåtar med bredd b = 80,0 mm och tjocklek s = 5,0 mm till en tunnväggig, symmetrisk T-profil. Bestäm den största och minsta böjspänningen i balken, om den totala balklängden är L = 4,50 m. Materialet antas linjärt elastiskt med elasticitetsmodul E.

L 3

!Utvärderingsexemplar 14/11

En fritt upplagd balk med längd L är belastad med en koncentrerad kraft på mitten. Tvärsnittet är rektangulärt med konstant bredd, b, och variabel höjd, h. Hur skall h variera med x, för att balken skall vara jämstark, d v s böjspänningarna i varje tvärsnitt skall vara lika stora? Vid den yttre kraften sätts balkhöjden till h0. Materialet antas linjärt elastiskt.

Snitt A-A

h(x) b

! 14/12

En fritt upplagd balk med längd L belastas med ett kraftpar vid vardera stödet samt en jämt utbredd, nedåtverkande last med intensitet q. Bestäm med utgångspunkt från tvärkraften det analytiska uttrycket för böjmomentet med hjälp av tillhörande differentialekvation och randvillkor.

x MA

233

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 234

14. spänningar i raka balkar vid böjning

! 14/13

En fritt upplagd balk med längd L belastas med en triangulärt fördelad, nedåtverkande last. Den totala lasten är Q. Bestäm med utgångspunkt från belastningsintensiteten de analytiska uttrycken för tvärkraft och böjmoment med hjälp av tillhörande differentialekvationer och randvillkor.

I följande exempel antas materialet vara linjärt elastiskt, idealplastiskt med elasticitetsmodul E.

! 14/14

En balk utsatt för renodlad böjning utgörs av en cirkulärcylindrisk stång. I samband med en ombyggnad ämnar man byta stången mot ett cirkulärcylindriskt rör med samma innerdiameter som stången. Hur stor procentuell viktbesparing kan man räkna med, om maximal böjspänning skall vara densamma för axel och rör? Rörets diameterförhållande, D/d, blir så stort, att det inte kan betraktas som tunnväggigt.

Utvärderingsexemplar ! 14/15

En I-balk sammansvetsad av tunn plåt ingår i ett ramverk och är utsatt för renodlad böjning enligt vänster figur. P g a slarv vid montaget blir balken felaktigt monterad enligt höger figur. Med hur många procent kommer den maximala böjspänningen att öka genom montörens fadäs?

! 14/16

0,3

En fritt upplagd balk belastas med tre krafter enligt figur. Mått är angivna i meter. Balken består av sammansvetsade plåtar med 4,0 mm tjocklek. a = 60 mm. Hur stor kan kraften F högst vara, om tillåten dragspänning får uppgå till 140 MPa och tillåten tryckspänning får uppgå till 110 MPa?

a 0,7 1,0

a 1,3

234

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 235

14. spänningar i raka balkar vid böjning

! 14/17

En fast inspänd balk utgörs av en likflänsig T-stång, som kan approximeras till två rektanglar med mått enligt figur. Lasten utgörs av krafter, F1 = 200 N, F2 = 400 N, samt ett kraftpar, My = – 500 Nm, som angriper i den fria balkänden. a) Bestäm den största och minsta böjspänningen i balken. b) Vilken vinkel bildar neutralaxeln med z-axeln? 400 N

50 10 z 50

10 y

200 N

500 Nm 1250

1250

!Utvärderingsexemplar 14/18

En balk har elliptiskt tvärsnitt med halvaxel a längs z-axeln och halvaxel b längs y-axeln. Härled de analytiska uttrycken för huvudtröghetsmomenten Iz och Iy. Kontrollera att uttrycken överensstämmer med uttrycket för yttröghetsmomentet för en cirkel om speciellt a = b = cirkelradien.

! 14/19

En balk har elliptiskt tvärsnitt med halvaxlar a och b < a enligt figur. Belastningen i snittet utgörs av ett kraftpar, M, parallellt med x-y-planet och ett kraftpar, 2M, parallellt med x-z-planet enligt figur. Bestäm koordinaterna för den punkt, där den maximala positiva böjspänningen i snittet uppträder. Bestäm även värdet av denna böjspänning.

2M y

235

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 236

14. spänningar i raka balkar vid böjning

! 14/20

y d

ξ d

x e ξ e

1400

En konsolbalk är utförd som en likflänsig vinkelstång, 60 × 60 × 6. Från tillverkarens katalog kan bl a följande data utläsas (dimensioner enligt figur):

A = 6,91 cm2, e = 16,9 mm, d = 42,4 mm, f = 23,9 mm, Ix = Iy = 22,8 cm4, Wx = Wy = 5,29 cm3, Iξ = 36,1 cm4, Iη = 9,43 cm4, Wη =3,95 cm3. Lasten utgörs av en kraft, F, orienterad enligt figur. Hur stor kan F tillåtas bli, om normalspänningen får uppgå till högst ±180 MPa?

! 14/21

Utvärderingsexemplar

En konsolbalk med längd 2 000 mm består av två likflänsiga vinkelstänger, 60 × 60 × 6, som nitats till en livplåt 200 × 6 med enradiga nitförband enligt figur. Nitdiametern är Φ 10 mm. Data för vinkelstängerna framgår av övningsexempel 14/20. Lasten i den fria änden ger en maximal böjspänning av 160 MPa. a) Hur stor blir den maximala skjuvspänningen i balksektionen? b) Hur stor måste nitdelningen minst vara, om medelvärdet av skjuvspänningen i nitarna får vara högst 65 MPa?

! 14/22

5,7 140

8,6 33

236

Flänsarna på en balk, I 140, har breddats genom att svetsa på likadana, 20 mm breda och 8,6 mm tjocka plåtstrimlor på ömse sidor enligt figur. Balken är fritt upplagd på två stöd. Belastningen utgörs av en punktkraft om 27,0 kN på ett avstånd av 900 mm från det ena stödet. Stödavståndet är 2700 mm. a) Hur stor blir den maximala skjuvspänningen i svetsarna? Huvudtröghetsmomenten för den oförstärkta I-balken är 573 cm4 respektive 35,2 cm4 och statiska momentet för halva balken med avseende på den horisontella axeln är 47,7 cm3. b) Hur stor blir den maximala skjuvspänningen i livet?

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.30 Sida 237

14. spänningar i raka balkar vid böjning

14/23

En balk har rektangulärt tvärsnitt med höjd h och bredd b. I ett tvärsnitt av balken uppgår tvärkraften till T. Hur varierar skjuvspänningen i balken med variabeln γ = η/(h/2)?

14/24

Ett tunnväggigt rör med ytterdiameter D och godstjocklek s bockas i rät vinkel. Den så uppkomna L-formade balken belastas enligt figur. Hur stor skall längden a minst väljas, för att förhållandet mellan största och minsta skjuvspänningen i ett tvärsnitt A–A, inte skall överstiga 1,20? a

!Utvärderingsexemplar 14/25

En I-balk tillverkas genom att en livplåt 90 × 6 svetsas samman med två flänsplåtar 60 × 6 enligt figur. Svetsarna är liksidiga med a-mått 8 mm. Svetsarna är intermittenta med 200 mm svetssträng, 400 mm uppehåll, 200 mm svetssträng o s v. Bestäm den maximala skjuvspänningen i svetsfogen i ett balkavsnitt där tvärkraften är 20,0 kN. Maximal skjuvspänning uppkommer i snitt A–A.

! 14/26

Bestäm flytlastförhöjningen för en balk med kvadratiskt tvärsnitt utsatt för renodlad böjning enligt figur.

! 14/27

En fritt upplagd balk belastas med en kraft, F, i sin fria ände enligt figur. Bestäm flytlastförhöjningen i den horisontella balkdelen. Tvärsnittet är rektangulärt med sidor h och b. L > h/2.

b h

F L

237

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 238

14. spänningar i raka balkar vid böjning

! 14/28

Bestäm flytlastförhöjningen vid renodlad böjning för balken i övningsexempel 14/25. Svetsarnas inverkan på area och tröghetsmoment försummas.

! 14/29

Bestäm flytlastförhöjningen för en balk med cirkulärt tvärsnitt utsatt för renodlad böjning. Flytlastförhöjningen visar sig bli avsevärt högre än för den kvadratiska sektionen i övningsexempel 14/26. Var skall material koncentreras respektive utarmas i en sektion, för att flytlastförhöjningen vid renodlad böjning skall bli stor?

! 14/30

Ett tunnväggigt cirkulärcylindriskt rör belastas med renodlad böjning. Bestäm flytlastförhöjningen för röret.

! 14/31

En rak balk belastas med motverkande kraftpar i vardera änden. Materialets sträckgräns är σS. Kraftparet ökas till dess balken precis skall bli genomplasticerad. Därefter avlastas balken helt. Balkens tvärsnitt är rektangulärt med höjd h och bredd b. a) Hur stora blir de kvarvarande normalspänningarna vid balkens yttersta del efter avlastningen? b) I två kring neutrallagret symmetriskt belägna plan blir normalspänningen noll efter avlastningen. På vilket avstånd från neutrallagret ligger dessa plan? c) Hur stor blir den numeriskt största kvarvarande spänningen efter avlastning?

Utvärderingsexemplar

238

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 239

14. spänningar i raka balkar vid böjning

Svar till övningsexempel

14/1:

FL överallt mellan punktlasterna 5

14/2: FLα(1− α ) vid kraften F 14/3: a) F =

14/4: α =

qL , b) 0 2

1 FL ; M= 2 4 2

2 1 α FL  α  : M max = 1 −  vid ξ = − . 3 2  2 2 4 2 För α ≥ : M max = FLα(1 - α ) 3

14/5: För α ≤

vid ξ = 0 (vänster ändläge) och vid ξ = 1 − α (höger ändläge)

14/6:

5FL vid balkens mitt 2

Utvärderingsexemplar

14/7: FL överallt i balkdelen mellan kraften F och höger stöd 14/8: σ max ≈ 14/9: a) R =

N 4FL + 3sa 21sa 2

Ebs3 Es = konstant, b) σ max = = konstant ⋅ s 12M 2R

14/10 : σ max ≈ 189 MN / m 2 vid x =

14/11: h = h 0

2x 2( L − x ) L L för 0 ≤ x ≤ , h = h 0 för ≤ x ≤ L 2 2 L L

14/12: M = M A + ( Mb − M A )

14/13: T =

L 2L , σ min ≈ −127 MN / m 2 vid x = 3 3

x qx + (L − x ) L 2

Q Qx 2 Qx Qx 3 2 3QL 3L ; M= ; Mmax = vid x = − − 2 2 3 3 27 3 L 3L

14/14: 51%, (D ≈ 1, 221d )

239

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 240

14. spänningar i raka balkar vid böjning 14/15: 75% 14/16: F ≈ 6,16 kN 14/17: a) σ max ≈ 175 MPa, σ min ≈ −113 MPa, b) 57 ° 14/18: I z =



π ab3 π a 3b , Iy = 4 4 2ab

14/19: 

 a 2 + 4b2

 4M a 2 + 4b2 , 2 2 a 2 + 4b2  π a b ab

14/20: 580 N 14/21: a) 11,7 MPa (vid livplåtens mitt), b) 111 mm 14/22: a) 2,7 MPa, b) 25,5 MPa 2      3 T   η  1− 14/23: τ = 2 bh   h       2    14/24: a ≥ 11D

Utvärderingsexemplar 14/25: 32 MPa

14/26: β = 1, 0 (100%)



14/27: β = 1 +



 6L   2 L 4L2 − − 1   −1   h   h h2 

14/28: β ≈ 0,18

16 − 3π ≈ 0, 41. 16 Liten materialmängd i områden med hög spänning och mycket material i områden med låg spänning. D v s utarmning av material långt från neutrallagret, koncentration av material nära neutrallagret.

14/29: β =

14/30: β =

4−π π

≈ 0, 27

σ h 14/31: a) ± S , b) , c) σ S

240

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 241

15 Deformationer vid böjning av rak balk I många sammanhang önskar man veta deformationens storlek vid balkböjning. Medan längdändringen i balkens längdriktning knappast kan uppfattas av ögat, kan utböjningen tvärs längdriktningen vara fullt synlig. För vissa konstruktionselement finns regler för den maximala utböjningen, t ex 1/200-del av spännvidden.

Utvärderingsexemplar

Även vid dimensionering av hyperstatiskt upplagda balkar behöver man kunna beräkna både utböjningen, v = v(x), och lutningen, v' = dv/dx, där x är koordinaten i balkens längdriktning.

15.1 Krökningsradie, krökning och utböjning

Ett balkelement med längden dx skärs ut ur en rak balk. Snittytornas koordinater är x respektive x + dx. På elementet, som visas i figur 15.1, verkar i snittytorna de böjande momenten M = M(x) respektive M + dM. Momenten alstrar en krökning, κ = 1/R, av en från början rät linje med längd dx genom balkens geometricentrum. För att förenkla framställningen används i fortsättningen de komprimerade symbolerna v' =

∂v ∂x

∂2v d 2v dv ; v'' = = . dx ∂x 2 dx 2 241

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 242

15. deformationer vid böjning av rak balk

v M

Figur 15.1 Krökning av en rät linje genom sektionens geometricentrum.

Θ-dϕ Θ Θ-dϕ v+v’dx

dϕ

M+dM

Θ-dϕ

I snittet x + dx kan utböjningen då tecknas som v(x + dx) = v + dv = v + v'dx. Linjeelementet dx övergår under belastningen i ett kurvelement med krökningsradie R och längd ds. I figur 15.1 visas utböjningen (förskjutningen) av respektive snittytas geometricentrum, v = v(x) och v + v'dx = v(x + dx), som pilar. Med beteckningar enligt figur 15.1 och kända samband mellan vinklar och derivator får vi snabbt: tan Θ = v' dv' dx = v' + v'' dx dx Med kända samband från trigonometrin kan vi skriva tan(Θ − dϕ ) = v' +

Utvärderingsexemplar tan(Θ − dϕ ) =

tan Θ − tan dϕ v' − tan dϕ = = v' + v'' dx 1 + tan Θ tan dϕ 1 + v'tan dϕ

Efter omstuvning av termer fås tan dϕ = −

v'' dx . 1 + v'( v' + v'' dx )

Vidare är dϕ << 1, varför dϕ ≈ tan dϕ = −

v'' dx . 1 + v'( v' + v'' dx )

Vidare är: ds = Rdϕ = dx 2 + ( v' dx )2 = dx 1 + ( v')2 . I kombination med föregående approximativa uttryck för dϕ fås κ=

242

1 v'' . ≈− R 1 + ( v')2 1 + v'( v' + v'' dx )

[

]

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 243

15. deformationer vid böjning av rak balk

Nu låter vi dx → 0, varvid κ=

1 v'' ≈− =− R 1 + ( v')2 ⋅ 1 + ( v')2

[

v''

] [

3 1 + ( v')2 2

]

=−

v''( x )

[

1 + v'( x )2

]

3 2

Om nu, vilket är synnerligen vanligt, v(x) < H (balkens höjd) och H << L (balkens längd), blir lutningsvinklarna v'(x) = tan Θ ≈ Θ << 1 ∀ x (av storleksordningen H/L << 1). Termen v'(x)2 kan därför försummas relativt ettan i nämnaren i uttrycket ovan, vilket leder till: κ=

1 ≈ − v''( x ) R

(15:1)

Kombineras (15:1) med (14:11) blir resultatet EIv''(x) ≈ –M(x)

(15:2)

Om M (som kan variera med x), E och I (som också kan variera med x) är kända, får vi fram utböjningen som funktion av x efter att ha integrerat (15:2) två gånger. Härvid uppkommer två konstanter, vars värde måste bestämmas av balkens randvillkor. Man måste därför antingen känna till v och v' för ett x-värde eller endera av v och v' för två olika x-värden. De aktuella x-värdena utgörs i allmänhet av balkens stödpunkter. Ett enkelt exempel (figur 15.2) avseende en på mitten belastad konsolbalk med längd L och konstant böjstyvhet EI, får illustrera beräkningsgången.

Utvärderingsexemplar F

E, I, L Figur 15.2 Utböjning, v(x), av en konsolbalk.

L 2

x v(x)

Balkens nedböjning vid kraften jämte största nedböjning och största lutningsvinkel mot x-axeln efterfrågas. För 0 ≤ x ≤

L  L gäller att M = M( x ) = −F  − x . 2 2 

Ekvation (15:2) ger omgående: L  EIv''( x ) = − M = F  − x 2 

243

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 244

15. deformationer vid böjning av rak balk

och efter en integration:  Lx x 2  EIv'( x ) = F  −  +C1 2  2 och efter ytterligare en integration:  Lx 2 x 3  EIv( x ) = F  −  +C1x + C 2 6  4 Randvillkoren utgörs av: x = 0; v(0) = v'(0) = 0, som ger C1 = C2 = 0 och därmed:  Lx x 2  EIv'( x ) = F  −  2  2  Lx 2 x 3  EIv( x ) = F  −  6  4 Vid kraften F erhålls:  L  FL2 respektive: v'   =  2  8EI

Utvärderingsexemplar  L  FL3 som är den efterfrågade utböjningen vid kraften. v  =  2  24EI

För L/2 ≤ x ≤ L gäller

M ≡ 0 ⇒ EIv''(x) = –M = 0 ⇒ EIv'(x) = C1 ⇒ EIv(x) = C1x + C2 . Eftersom varken nedböjning eller balklutning kan uppvisa diskontinuiteter, hämtas randvillkoren för höger balkhalva från kända storheter i den vänstra delens högra ände, x = L/2, d v s  L  FL2 = C1 EIv'   = 8  2  L  FL3 L FL3 = C1 + C 2 ; C 2 = − EIv   = 2 48EI  2  24 och därmed: v'( x ) =

FL2 8EI

respektive

EIv( x ) =

FL2 FL3 x− 8 48

Maximal utböjning fås förnuftsmässigt vid x = L och blir v( L ) =

244

5 FL3 . 48 EI

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 245

15. deformationer vid böjning av rak balk

Inte oväntat blir v' konstant i höger balkdel. Denna är inte utsatt för något moment och deformeras därför inte. Vi skulle därför även kunna ta fram den fria ändens utböjning som:  L L   L  L  L  L  FL3 L FL2 5 FL3 v( L ) = v   + sin  v'    ≈ v   + v'   = . + =  2  2   2    2  2  2  24 EI 2 8EI 48 EI Som väntat blir resultat detsamma som förut. Den maximala lutningsvinkeln mot x-axeln blir 2 2   ˜ = arctan v'  L  = arctan[ v'( L )] = arctan FL ≈ FL . Θ   

  2  

8EI

15.2 Elastiska linjens differentialekvation Avsnitt 15.1 beskriver en metod att bestämma en balks utböjning, om M = M(x) är känd. Detta är bara fallet, när balkens uppläggning är statiskt bestämd. Vid hyperstatiskt upplagda balkar, måste även sambanden (14:5) och (14:7) utnyttjas. Ekvation (15:2) övergår sedan den deriverats två gånger i: d2 dx 2

Utvärderingsexemplar [ EI( x )v''( x )] = −

d 2M( x ) dx 2

= q( x )

eller med användning av ”primsymboler”: [EI(x)v''(x)]'' = q(x)

(15:3)

I många praktiska fall är balken jämnstyv, d v s böjstyvheten EI är konstant. Med symbolen romersk fyra (IV) för fjärde derivatan, övergår i sådant fall (15:3) i: EIvIV(x) = q(x)

(15:4)

Ekvationerna (15:3) och (15:4) kallas elastiska linjens differentialekvation. Ofta kallas även ekvation (15:2) för elastiska linjens differentialekvation. ”Den elastiska linjen” kan beskrivas som den kurva, v(x), som balkens alla geometricentra formas till vid balkens böjning. Ekvationerna (15:3) respektive (15:4) löses genom integration i fyra steg. Då uppstår för varje betraktat balkavsnitt fyra integrationskonstanter, vars värde måste bestämmas ur randvillkoren för respektive balkavsnitt. Dessa hämtas från avsnittens ändar, där storheterna v, v', v'' = –M/EI, v''' = –T/EI är kända (randvillkor) eller kopplade till varandra, s k skarvvillkor. För varje sådant snitt krävs alltså, att två av dessa storheter är kända.

245

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 246

15. deformationer vid böjning av rak balk

Återigen får ett exempel belysa beräkningsgången. En balk med böjstyvhet EI, längd 3L är upplagd på stöd i båda ändarna. Dessutom finns ett stöd på avståndet 2L från vänstra stödet enligt figur. Balken belastas med en jämt utbredd last om totalt Q. Uppgiften är att bestämma maximal utböjning till storlek och läge. Två balkavsnitt behöver analyseras, (0, 2L) respektive (2L, 3L). 0 < x < 2L

2L < x < 3L

M x

x A

Ekvation (15:4) medför: EIv( x )IV = q( x ) =

Q 3L

Efter upprepade integrationer:

Utvärderingsexemplar EIv III = Q

x + C1 3L

x2 + C1x + C 2 6L x3 x2 EIv' = Q + C1 + C 2 x + C3 18L 2 x4 x3 x2 EIv = Q + C1 + C2 + C3 x + C 4 72L 6 2 EIv'' = Q

som (med olika värden på konstanterna) gäller för 0 < x < 3L. För det vänstra balkavsnittet gäller randvillkoren: x = 0:

 M  v = 0, v'' = 0  = − A  EI   x = 2L: v = 0, v' = v B' I det sista randvillkoret är v'B t v inte känd.

246

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 247

15. deformationer vid böjning av rak balk

Insatt i respektive uttryck för v och v'' får vi då, om index V avser vänster balkavsnitt och index H avser höger balkavsnitt: 0 = C4 V

(a)

0 = C2V

(b)

2 3 4 QL + C1V L3 + 2C 2 V L2 + 2C 3 V L + C 4 V = 9 3 2 3 4 = QL + C1V L3 + 2C 3 V L 9 3

1 2 0 = QL2 + C1V L2 + C3 V 9 3

För det högra balkavsnittet gäller randvillkoren: x = 2 L: v = 0, v' = v B' x = 3 L:  M  v = 0, v'' = 0  = − C  EI   2 4 0 = QL3 + C1HL3 + 2C 2HL2 + 2C 3HL + C 4H 9 3 9 3 9 9 0 = QL + C1HL3 + C 2HL2 + 3C 3HL + C 4H 8 2 2 3 0 = QL3 + 3C1H L + C 2H 2 4 4 EIv B' = QL3 + 2C1H L2 + 2C 2H L + C3H = QL2 + 2C1V L2 + C3 V 9 9

Utvärderingsexemplar (e) (f)

(g) (h)

Ur ekvationerna (a) till (h) kan de okända konstanterna lösas ut. Efter diverse mödosamma men ej redovisade räkningar, erhålls: 13 10 Q , C 2 V = 0, C3 V = QL2 , C 4 V = 0 48 144 23 11 47 11 = − Q , C 2H = QL, C3H = − QL2 , C 4H = QL3 24 8 36 12

C1V = − C1H

247

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 248

15. deformationer vid böjning av rak balk

Man inser utan större tankemöda, att maximal utböjning uppträder i intervallet 0 < x < 2L och troligen i närheten av x = L. Med konstanternas värden insatta, gäller i detta intervall: 10 x 4 13 x 3 Q+ QL2 x − 72L 48 6 144 x 3 13 x 2 10 EIv' = Q − Q + QL2 eller 18L 48 2 144 EIv = Q

1  x 13  x  5 =   −   + 2 18  L  96  L  72 QL EIv'

Maximal utböjning uppkommer för 3

1  x 13  x  5 =   −   + =0 2 18  L  96  L  72 QL EIv'

som har en lösning x/L ≈ 0,9024. Insatt i uttrycket för v ger detta: 0, 9024 4 L4 13 0, 90243 L3 10 ! EIv ≈ Q − Q+ QL2 ⋅ 0, 9024L 72L 48 6 144 och därmed: QL2 ! v ≈ 0, 0387 EI

Utvärderingsexemplar För x = L erhålls ett obetydligt lägre värde, nämligen: v( L ) ≈ 0, 0382

QL2 EI

Med konstanternas värde kända, är även tvärkraften beräkningsbar för varje x-värde. Med tvärkraften känd, kan i sin tur stödreaktionerna beräknas och visar sig bli: A=

13 11 1 Q, B = Q, C = Q 48 16 24

En alternativ lösningsmetod som ger ett lindrigare beräkningsarbete är, att superponera två belastningsfall enligt nedan. Utböjningen vid det mellanliggande stödet beräknas för de två isostatiskt upplagda balkarna I och II i figuren. För lastfall I kommer utböjningen att bli proportio-

B I

248

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 249

15. deformationer vid böjning av rak balk

nell mot kraften B. Denna väljs så stor, att utböjningarna vid B tar ut varandra och blir därmed lika stor som stödrektionen B för det ursprungliga lastfallet. Stödet innebär ju, att utböjningen vid B skall vara noll. Med känt värde på B, kan de övriga stödreaktionerna A = AI + AII och C = CI + CII enkelt bestämmas. Därefter beräknas och superponeras utböjningarna i ett godtyckligt snitt, x, som sedan deriveras för att finna maxvärdet. Metoden illustreras för en fast inspänd balk enligt figur nedan. Uppgiften är att bestämma utböjningen vid kraften F. Det ursprungliga, statiskt obestämda lastfallet kan byggas upp genom superposition av två statiskt bestämda lastfall, I och II. Den yttre kraften B avpassas, så att utböjningarna i balkens fria ände tar ut varandra. För 0 < x < L gäller för lastfall I: EIv IV = 0 EIv III = C1I EIv'' = C1I x + C 2I x2 EIv' = C1I + C 2I x + C 3I 2 x3 x2 EIv = C1I + C 2I + C 3I x + C 4 I 6 2 Randvillkoren, x = 0, v = v' = 0, x = L, v'' = 0, EIvIII = –T = –F, ger:

Utvärderingsexemplar

C4I = 0 C3I = 0 C1IL + C2I = 0 C1I = –F

C1I = –F C2I = FL C3I = 0 C4I = 0

⇒

För x = L fås: L3 L2 FL3 + FL = 6 2 3 2 2 L FL EIv I '( L ) = −F + FL2 = 2 2 EIv I ( L ) = −F

F MA

L x

F =

∆ ∆

+ II

249

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 250

15. deformationer vid böjning av rak balk

Den högra balkhalvan förblir rak (inget böjmoment verkar), varför den fria ändens utböjning blir: ∆ I = v I ( L ) + Lv I '( L ) =

FL3 FL3 5 3 + = FL 3 2 6

För 0 < x < 2L gäller för lastfall II: EIv IV = 0 EIv III = C1II EIv'' = C1II x + C 2II x2 EIv' = C1II + C 2II x + C3II 2 x3 x2 EIv = C1II + C 2II + C3II x + C 4 II 6 2 Randvillkoren, x = 0, v = v' = 0, x = 2L, v'' = 0, EIvIII = –T = B, ger: C4II = 0 C3II = 0 ⇒ C1II2L + C2II = 0 C1II = B

C1II = B C2II = – 2BL C3II = 0 C4II = 0

För x = 2L fås:

Utvärderingsexemplar − EI∆ II = EIv(2L ) = B

8L3 4L2 8 − 2BL = − BL3 , 6 2 3

∆ II =

8 BL3 3 EI

Villkoret ∆ I = ∆ II ger därpå: 5 3 8 3 FL = BL 6 3 som medför B=

5 5 11 F, A = F − F = F . 16 16 16

Utböjningen vid kraften F fås genom att superponera utböjningarna för lastfall I och II i denna punkt. 5 L3 5 L2 25 F − 2 FL = − FL3 16 6 16 2 96  1 25  FL3 7 FL3 v I ( L ) + v II ( L ) =  −  =  3 96  EI 96 EI

EIv II ( L ) =

250

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 251

15. deformationer vid böjning av rak balk

15.3 Övningsexempel Om ej annat framgår av uppgiften förutsätts balkarna ha konstant tvärsnitt med huvudtröghetsmoment I med avseende på böjaxeln. Balkarnas axiella längdändring anses försumbar. Balkar som utgörs av raka segment som bildar vinklar med varandra anses bevara vinklarnas storlek vid belastning (böjstela hörn). Vinklar anges i radianer, om ej annat framgår av problemtexten. Materialet antas linjärt elastiskt med elasticitetsmodul E. Samtliga deformationer, förskjutningar och vinkeländringar antas små.

! 15/1

En rak balk med längd L belastas med motverkande böjande moment, MA respektive MB i ändarna enligt figur. Bestäm krafterna A och B samt utböjningen, v(ξ), på ett godtyckligt avstånd, x = ξL, 0 ≤ ξ ≤ 1, från A. Bestäm även de vinklar, ΘA och ΘB, som balkens tangent bildar med sammanbindningslinjen mellan balkändarna. Ange även uttrycken för utböjningen och vinklarna för specialfallet MA = MB = M.

Utvärderingsexemplar ξL

v(ξ)

ΘB

ΘA

! 15/2

En konsolbalk med längd L belastas med en kraft, F, i änden. Bestäm den maximala utböjningen.

! 15/3

En fritt upplagd balk med längd L belastas med en utbredd last, Q, med konstant belastningsintensitet, q = Q/L. Bestäm utböjningen, v(ξ), på ett godtyckligt avstånd, x = ξL, 0 ≤ ξ ≤ 1, från vänstra stödet, A. Bestäm även de vinklar, ΘA och ΘB, som balkens tangent bildar med sammanbindningslinjen mellan stöden.

ξL

251

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 252

15. deformationer vid böjning av rak balk

! 15/4

αL

ξL

ΘA

En rak balk med längd L belastas med en kraft, F, på avståndet αL, 0 < α < 1, från det vänstra stödet A enligt figur. Bestäm utböjningen, v(ξ), på ett godtyckligt avstånd, x = ξL, 0 ≤ ξ ≤ α, från A. Bestäm även de vinklar, ΘA och ΘB, som balkens tangent bildar med sammanbindningslinjen mellan stöden samt den vinkel, Θα, som balktangenten vid F bildar med sammanbindningslinjen. Ange slutligen uttrycket för utböjningen för specialfallet x = ξL = αL.

βL

ΘB v(ξ)

15/5

En konsolbalk med längd L belastas med ett kraftpar, M0, i änden. Bestäm den maximala utböjningen.

! 15/6

En överkragande balk med längden 2L belastas i den fria änden med en kraft, F. Hur stor blir utböjningen vid kraften?

Utvärderingsexemplar

! 15/7

L L F

En enkel svängkran består av en i ändarna lagrad vertikal ståndare av fyrkantrör samt en horisontell utliggare enligt figur och med samma sektion som ståndaren. Utliggaren belastas vid lyft i den fria änden med en vertikal kraft, F. Hur stor blir nedböjningen vid kraftangreppspunkten?

! 15/8

F L

252

På mitten av en horisontell balk med längden 2L är en vertikal ståndare med längd L fastsvetsad. Böjstyvheten, EI, för strukturdelarna är densamma. Bärverket belastas dels med en horisontell kraft, F, dels med en vertikal kraft, P, enligt figur. Beräkna nedböjningens storlek mitt på den horisontella balken samt vilken vinkel balken bildar med horisontalplanet i denna punkt.

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 253

15. deformationer vid böjning av rak balk

15/9

Ett plant ramverk består av två likadana balkar, vardera med längden L och förenade i rät vinkel enligt figur. Hörnet utsätts för ett kraftpar, M0. Bestäm stödrektionerna och den horisontella förskjutningen av hörnet.

A B

15/10

Ett plant ramverk består av två likadana balkar, vardera med längden L och förenade i rät vinkel enligt figur. Rullstödet B påverkas av en horisontell kraft, F. Bestäm den horisontella förskjutningen av stödet.

L B

! 15/11

Ett plant ramverk består av två likadana balkar, vardera med längden L och förenade i rät vinkel enligt figur. Ramverket påverkas av en vertikal kraft, F. Bestäm den horisontella förskjutningen av rullstödet.

Utvärderingsexemplar

253

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 254

15. deformationer vid böjning av rak balk

Svar till övningsexempel MB − M A M − MB , B= A , L L L2 [ M A (2 ξ − 3ξ 2 + ξ3 ) + MB ( ξ − ξ3 )] v( ξ ) = 6EI M M L M L M L Θ A = A + B , ΘB = B + A . 3EI 6EI 3EI 6EI ML2 För M A = MB = M: v( ξ ) = (ξ − ξ 2 ) 2EI ML Θ A = ΘB = 2EI

15/1: A =

15/2:

FL3 3EI

15/3: v( ξ ) =

QL3 QL2 ( ξ − 2 ξ3 + ξ 4 ), Θ A = Θ B = 24EI 24EI

FL3 FL2 FL2 β[(1 − β 2 )ξ − ξ 3 ], Θ A = αβ(1 + β), Θ B = αβ(1 + α ) 6EI 6EI 6EI FL2 FL3 2 2 ΘA = αβ(1 − 2α ). För ξ = α: v(α ) = α β 6EI 3EI

15/4: v( ξ ) =

Utvärderingsexemplar 15/5:

M0L2 2EI

15/6:

2 FL3 3 EI

15/7:

FL3 2EI

15/8:

PL3 FL2 , 6EI 6EI

15/9: A = −

254

3 M0 3 M0 M M0L2 , B= , MB = 0 , 4 L 4 L 4 8EI

15/10 :

2 FL3 3 EI

15/1 1:

FL3 6EI

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 255

15. deformationer vid böjning av rak balk

15.4 Superposition av elementarfall I föregående avsnitt gavs två exempel på superposition av isostatiskt upplagda balkar i syfte att analysera en hyperstatiskt upplagd balk. Men superposition kan också användas för att bestämma utböjning och lutningsvinklar för isostatiskt upplagda balkar. Nämligen i fall där balken påverkas av flera yttre krafter och/eller kraftpar, som angriper i olika punkter på balken. Ett enkelt exempel är den isostatiskt upplagda balken i figur 15.3. På balken verkar dels en jämt utbredd last, Q, dels en punktkraft, F. Om balkmaterialet är linjärt elastiskt, får superposition av olika laster användas. Storheter som t ex utböjning, balklutning och stödreaktioner för den multipla lasten kan därför betraktas som summan av motsvarande storheter för samma balk utsatt för de singulära lasterna Q och F. För att varje gång slippa analysera fall med singulär belastning, har ett antal elementarfall tagits fram. För en viss singulär belastning (t ex en punktlast eller ett kraftpar), anger elementarfallen intressanta storheter som utböjning och balklutning. Elementarfallen görs tämligen generella, för att täcka in t ex var på balken en punktkraft angriper och vilken punkt på balken som uttrycket för utböjning avser. I följande tabell visas några ofta förekommande elementarfall. Den som löst övningsexemplen 15/1, 15/3 och 15/4 har själv redan härlett tre elementarfall. Ytterligare elementarfall kan hittas i handböcker och formelsamlingar, t ex i [5] och [7].

Utvärderingsexemplar

En varning kan vara befogad i sammanhanget: Själva elementarfallstabellen ger endast analytiska uttryck för storheterna. Riktningarna av desamma framgår av tillhörande figur. Dessa riktningar är inte alltid desamma, som den riktningskonvention man själv använder. Man måste därför själv hålla ordning på vad som är positiva riktningar. Ett positivt uttryck för utböjning i elementarfallstabellen kan mycket väl motsvara en negativ utböjning i den egenvalda utböjningsriktningen. Denna nackdel väger dock lätt, om arbetsinsatsen värderas. Vid användning av elementarfall blir analysarbetet avsevärt mindre än vid metoden att lösa elastiska linjens differentialekvation med tillhörande randvillkor. Därmed reduceras även risken för uppkomsten av fel. Slutsats: Använd om möjligt superposition av elementarfall istället för att lösa differentialekvationer. F

Q =

Figur 15.3 Superposition av singulära laster till multipla vid isostatiskt upplagd balk.

255

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 256

15. deformationer vid böjning av rak balk Elementarfallstabell Elementarfall

Reaktionskrafter: A, B

α + β = 1,

Vinklar:  dv   dv   dv  Θ A =   , ΘB = −   , Θ α = ±    dx  ξ =0  dx  ξ =1  dx  ξ =α

0≤ξ≤1

Utböjning, v( ξ ), v( α ) = v( ξ = α ) 1

αL

A = βF , B = αF

βL

FL2 FL2 αβ( 1 + β ), ΘB = αβ( 1 + α ) 6EI 6EI 3 FL β ( 1 − β2 )ξ − ξ 3 ; ξ ≤ α v( ξ ) = 6EI FL3 2 2 FL2 α β , Θα = αβ( 1 − 2α ) v( α ) = 3EI 2EI

ΘA = ΘA A

ΘB

ξL

v(ξ)

M M , B= L L ML ML ΘA = ( 1 − 3β2 ), ΘB = ( 1 − 3α2 ) 6EI 6EI

v(ξ)

ΘA

ΘB

ξL

]

A=−

βL

αL

[

v( ξ ) =

[

]

ML2 ( 1 − 3β2 )ξ − ξ 3 ; ξ ≤ α 6EI

Utvärderingsexemplar L

v( α ) =

ξL

v(ξ)

MB ΘB

ΘA

v(ξ)

ξL L

ML ( 1 − 3αβ ) 3EI

QL2 24EI

QL3 ( ξ − 2ξ 3 + ξ 4 ) 24EI

 1 5 QL3 v  =  2  384 EI

v( ξ ) =

αβ( α − β ); Θ( α ) =

Q 2

Θ A = ΘB =

ΘB

MB − MA M − MB , B= A L L M L ML ML M L Θ A = A + B , ΘB = B + A 3EI 6EI 3EI 6EI A=

[

]

L2 MA ( 2ξ − 3ξ2 + ξ 3 ) + MB ( ξ − ξ 3 ) 6EI ML För MA = MB = M ⇒ Θ A = ΘB = ; 2EI v( ξ ) =

v( ξ ) =

256

3EI

A =B=

ΘA A

ML2

ML2 ( ξ − ξ2 ) 2EI

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 257

15. deformationer vid böjning av rak balk

Återigen får ett exempel förtydliga hur superposition av elementarfall hanteras. Följande isostatiskt upplagda balk kan behandlas genom superposition av elementarfall. Belastningen utgörs dels av en punktlast, F, dels av en åt samma håll riktad, jämt fördelad last, Q. Balklängden är L och böjstyvheten EI. F

= ∆

ΘA

Q + ∆1

ΘA1

∆2

ΘA2

Stödreaktionerna för de tre fallen kan enkelt bestämmas ur jämvikten. Med reaktionerna införda fås: F

ΘA

∆

ΘB

M2 ∆1

ΘA1

ΘA2

∆2

Superposition av krafter, kraftpar och utböjningar ger: QL + FL, 2

Utvärderingsexemplar

A = F + Q,

M = M1 + M2 =

∆ = ∆1 + ∆ 2

Geometriska villkor:

∆1 = L tan ΘA1 ≈ LΘA1, ∆2 = L tan ΘA2 ≈ LΘA2

Elementarfall 3 och 4 ger: Θ A1 =

M1L QL2 = , 3EI 6EI

Θ A2 =

M2L FL2 = 3EI 3EI

och med användning av geometrivillkoren: ∆1 =

QL3 , 6EI

∆2 =

FL3 3EI

och slutligen ∆ = ∆1 + ∆ 2 =

QL3 FL3 + 6EI 3EI

Även den fria ändens lutning kan lätt bestämmas med hjälp av elementarfallen. Θ B1 =

M1L QL2 = , 6EI 12EI

Θ B2 =

M2L FL2 = , 6EI 6EI

Θ B = Θ B1 + Θ B2 =

QL2 FL2 + . 12EI 6EI

257

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 258

15. deformationer vid böjning av rak balk

Här innebär ΘB, ΘB1, ΘB2 de vinklar balkens tangent i den fria änden bildar med sammanbindningslinjen mellan balkändarna. Lutningsvinkeln mot en horisontell riktning ges av geometrin i figuren: 2 2 2 2 2 2 ˜ = Θ + Θ = Θ + Θ + Θ = QL + FL + QL + FL = QL + FL Θ B A B A1 A2 B

6EI

3EI

12EI

6EI

4EI

2EI

15.5 Vinkeländringsmetoden Vinkeländringsmetoden bygger på superposition av elementarfall. Vinkeländringen vid böjstela föreningspunkter mellan olika balksegment hämtas från lämpliga elementarfall. Metoden kan användas vid raka balkar men också vid ramverk bestående av raka balksegment i vinkel med varandra. En förutsättning för metodens användning är, att utböjningarna är små relativt balkarnas eller balksegmentens längd. Denna begränsning innebär, att följande förenklingar kan göras: • Endast förskjutningar som orsakas av inre böjmoment i balksegmenten beaktas. Förskjutningar som orsakas av normal- och skjuvkrafter försummas.

Utvärderingsexemplar

• Utböjningars verkan på inre böjmoment försummas. Därmed kan eventuella axialkrafters verkan på böjmomenten försummas • Strukturens deformationer försummas vid formulering av jämviktsekvationerna. Två typfall av uppläggning kan förekomma, genomgående fixa stödpunkter respektive blandade fixa och rörliga stödpunkter. De två typfallen studeras mer i detalj, och vi börjar med fallet fixa stödpunkter. Exempel på fixa stöd visas i figur 15.4. Hörnen i ramverken antas böjstela.

Figur 15.4 Exempel på ramverk med fixa stöd.

258

Hörnpunkten A i figur 15.4a) är förbunden med oeftergivliga stöd såväl horisontellt som vertikalt. Eftersom balkarnas längdändring försummas, blir hörnpunktens läge oförändrat vid belastning. b)

I figur 15.4b) försummas sammantryckningen av de vertikala balksegmenten. Hörnpunkten A får därför ingen vertikal förskjutning. En horisontell förskjutning är i och för sig möjlig, men uteblir p g a frånvaro av horisontella krafter.

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 259

15. deformationer vid böjning av rak balk

Ett exempel på blandade stöd visas i figur 15.5. Den nedre stödpunkten får en förskjutning, u, i vertikal led p g a kraften F. Ramverkets hörn kommer att få en lika stor vertikal förskjutning som stödet, men ingen horisontell förskjutning. Detta eftersom både det vertikala och det horisontella balksegmentet bibehåller sina längder vid belastning och de uppkomna vinklarna förutsätts små. Trots att deformationer och förskjutningar försummas när jämvikten studeras, måste man ta hänsyn till hörnets förskjutning, när de geometriska sambanden ställs upp.

F A

C u Figur 15.5 Exempel på ramverk med ett fixt stöd och ett rullstöd.

Som en tillämpning av vinkeländringsmetoden studeras ramverket i figur 15.5. Båda balksegmentet antas ha längden L och böjstyvheten EI. Hörnet B förutsätts böjstyvt. Hörnpunktens förskjutning och inspänningsmomentet efterfrågas. För balksegmentet A–B ger elementarfall 4: − M A L − MBL + ΘA = 3EI 6EI

ΘA

Utvärderingsexemplar

Vidare gäller för A–B: ΘB =

− MBL − M A L + 3EI 6EI

F ∆

(a)

Minustecknet för momenten kommer sig av, att med antagna momentriktningar, kommer dessa att minska vinklarna ΘA och ΘB och inte att öka dem.

ΘB

ΘA

MB MB

~ ΘB

(b)

För balksegmentet B–C ger samma elementarfall: ˜ = MBL Θ B

3EI

(c)

~ Här strävar momentet MB att öka vinkeln ΘB, därav positivt tecken. Villkoret om böjstelt hörn medför: ˜ =Θ +Θ Θ B A B

(d)

Slutligen ger jämvikten för A–B: MA – MB + FL = 0

(e)

Kombineras (a), (b), (c) och (d) får vi: MBL − M A L − MBL − MBL − M A L = + + + 3EI 3EI 6EI 3EI 6EI

259

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 260

15. deformationer vid böjning av rak balk

eller efter förenkling 5MB = – 3MA , som insatt i (e) medför: 3 M A + M A + FL = 0 5 5 M A = − FL 8

eller

3 och därmed MB = FL 8

Inte helt överraskande blir MA negativt och MB positivt. Nu kan alla vinklar beräknas, bl a: ΘA =

− M A L − MBL 5 FL2 1 FL2 7 FL2 + = − = 3EI 6EI 24 EI 16 EI 48 EI

och slutligen hörnpunktens vertikala förskjutning: ∆ ≈ ΘAL =

7 FL3 48 EI

Hur mycket nytta gör då balksegmentet B–C vad beträffar utböjningen vid B? För att klarlägga detta, kan segmentet B–C antingen tas bort helt eller förenas med A–B med en led, vilket ger precis samma verkan. Inspänningsmomentet blir FL och utböjningen av B blir i detta fall

Utvärderingsexemplar ∆* =

FL3 16 FL3 = , 3EI 48 EI

d v s närvaron av balksegmentet B–C mer än halverar utböjningen vid B. Och detta utan att B–C förmår ta upp några tryckkrafter.

15.6 Övningsexempel Om ej annat framgår av uppgiften förutsätts balkarna ha konstant tvärsnitt med huvudtröghetsmoment I med avseende på böjaxeln. Balkarnas axiella längdändring anses försumbar. Balkar som utgörs av raka sammanfogade segment i vinkel anses bevara vinklarnas storlek vid belastning (böjstela hörn). Vinklar anges i radianer, om ej annat framgår av problemtexten. Materialet antas linjärt elastiskt med elasticitetsmodul E. Samtliga deformationer, förskjutningar och vinkeländringar antas små.

260

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 261

15. deformationer vid böjning av rak balk

! ! ! ! ! !Utvärderingsexemplar ! ! 15/12

Lös övningsuppgift 15/5 med användning av elementarfallstabellen.

15/13

Lös övningsuppgift 15/6 med användning av vinkeländringsmetoden.

15/14

Lös övningsuppgift 15/7 med användning av vinkeländringsmetoden.

15/15

Lös övningsuppgift 15/8 med användning av vinkeländringsmetoden.

15/16

Lös övningsuppgift 15/9 med användning av vinkeländringsmetoden.

15/17

Lös övningsuppgift 15/10 med användning av vinkeländringsmetoden.

15/18

Lös övningsuppgift 15/11 med användning av vinkeländringsmetoden.

15/19

Ett ramverk utgörs tre likadana balkar som förenats med leder i hörnpunkterna enligt figur. Man önskar styvs upp strukturen och svetsar därför samman hörnen, så att de blir böjstela. Hur stort blir förhållandet mellan förskjutningarna vid kraftangreppspunkten för det svetsade respektive ledade utförandet? L

261

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 262

15. deformationer vid böjning av rak balk

15/20

Ett ramverk består av två likadana balkar, som svetsats samman till L-form enligt figur. Ramverket belastas med en horisontell kraft, F och en vertikal kraft, P, i hörnpunkten. Hur stor blir den horisontella respektive vertikala förskjutningen av hörnpunkten?

F L

! 15/21

αL

En överkragande balk med längd L belastas med en kraft i den högra, fria änden enligt figur. Det högra stödet finns på avståndet αL från vänstra stödet, som i sin tur är beläget vid vänster balkände. Hur stor skall α väljas, om man önskar att maximal utböjning mellan stöden skall vara densamma som utböjningen vid kraftangreppspunkten?

! 15/22

Utvärderingsexemplar L

Ett plant ramverk består av tre likadana balkar, som svetsats samman med räta vinklar mellan balkarna enligt figur. Vardera balken har längden L. Ramverket belastas med en vertikal kraft, F, i sin fria ände. Hur stor blir den vertikala förskjutningen av den fria änden?

! 15/23

En stångstruktur i form av en liksidig triangel med sidlängd L belastas enligt figur. Hur mycket kommer avståndet mellan triangelns kraftbelastade hörn och motstående sidas mittpunkt att reduceras vid lastpåläggning?

! 15/24

262

En enkel svängkran har en geometri enligt figur. Mellan ståndarens topp och utliggaren mitt löper en dragstel lina. Utliggarens fria ände belastas med en kraft, F, vid lyftning. Hur stor blir nedböjningen vid kraften F vid lyftning och hur stor blir kraften i linan?

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 263

15. deformationer vid böjning av rak balk

! 15/25

En struktur är sammanfogad av tre likadana, raka balkar enligt figur och belastas med en kraft F. Hur stor blir förskjutningen vid kraftangreppspunkten?

! 15/26

En struktur är ledat sammanfogad av två raka balkar enligt figur och belastas med en kraft F. Hur stor blir förskjutningen av rullstödet?

L 2

15/27

Fyra likadana raka stänger (böjstyvhet EI, längd L) svetsas samman till en kvadrat. Mittpunkterna på två motstående sidor förenas med en lina (area A, elasticitetsmodul E), som förspänns till en viss kraft. Härvid kommer mittpunkterna på de två övriga sidorna att fjärmas från varandra. Hur stor skall förspänningskraften väljas, för att raF men vid belastning med tryckkrafter, F, mitt på de övri+ ga sidorna (se figur) skall återfå avståndet L mellan angreppspunkterna för F?

Utvärderingsexemplar

15/28

Ett ramverk enligt figur belastas med två lika stora krafter. Man önskar reducera rullstödets förskjutning vid belastning till hälften och monterar därför en lina (area A, elasticitetsmodul E) mellan stöden. Linlängden avpassas så, att utan lasterna F är linan varken slak eller belastad. Böjstyvheten för balksegmenten är EI. Hur stor skall linarean A väljas?

F L

L L

! 15/29

Ett ramverk enligt figur är tillverkat av likadana balkar som svetsats samman. Strukturen belastas med två krafter, F och P. Bestäm förskjutningen vid angreppspunkten för P. Bestäm också rullstödets förskjutning till storlek och riktning.

F L

F L L

263

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 264

15. deformationer vid böjning av rak balk

! 15/30

Tre IPE-balkar svetsas samman till en likbent, rätvinklig triangel och belastas med en kraft, F = 20,0 kN enligt figur. L = 1800 mm. För balkprofilen, IPE 180, gäller följande data: huvudtröghetsmomentet I = 1317 cm4, böjmotstånd W = 146 cm3, area A = 23,9 cm2. Materialets elasticitetsmodul, E = 208 GPa. Hur stor blir den maximala utböjningen av den horisontella balken och hur stor blir den maximala böjspänningen i strukturen?

L F

! 15/31

Tre raka balkar med likadan sektion svetsas samman till en plan 3-4-5-triangel. Mittpunkten av sidan med längd 4L belastas med en kraft, F, enligt figur. Hur stor blir utböjningen i denna punkt? Hur många procent större skulle utböjningen bli, om triangelhörnen istället utförts som friktionsfria leder?

2L 5L

F 2L 3L

! Utvärderingsexemplar 15/32

En rak balk med längden 3L belastas med en kraft, F, enligt figur. För att då och då bereda passage mellan stöden, förses balken med en led, så att dess högra del kan fällas upp sedan den avlastats och frigjorts från stödet B. Hur långt från den fasta inspänningen skall leden placeras för att strukturen vid belastning skall bete sig som om leden inte fanns? Kommer strukturen att kollapsa, om leden inte placeras exakt på detta ställe?

! 15/33

F A

L B

264

En rak balk med längden 3L är fast inspänd i ena änden, A, och har ett rullagrat stöd i andra änden, B. P g a monteringsfel hamnar stödet B ett stycke δ ovanför sitt tänkta läge, d v s det läge i vilket balken är rak vid frånvaro av last. Hur stort blir då inspänningsmomentet vid A, när balken belastas med en yttre kraft, F, enligt figur? Vid vilket värde på F försvinner inspänningsmomentet och hur stor blir stödrektionen B i denna situation?

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 265

15. deformationer vid böjning av rak balk

! 15/34

En rak balk med längden 3L är fast inspänd i ena änden, A, och har ett rullagrat stöd i andra änden, B. P g a monteringsfel hamnar stödet B ett stycke δ under sitt tänkta läge, d v s det läge i vilket balken ej deformeras vid F = 0. Istället för att tvinga balken till kontakt med rullstödet, låter man glappet kvarstå. F Hur stort blir inspänningsmomentet vid A, när balL 2L ken belastas med en yttre kraft, F, enligt figur? Det A förutsätts, att F är tillräckligt stor för att balkänden skall komma i kontakt med stödet B.

δ B

! 15/35

Två konsolbalkar är monterade horisontellt under varandra. Den undre balken med längd 2L har på övre sidan en klack i sin fria ände och på avståndet δ från den övre balkens undre sida Den övre balken med längd 3L belastas i änden med en kraft, F, så stor, att båda balkarna böjs. Vardera balken 3L har böjstyvheten EI. A Hur stort blir inspänningsmomenten för respektive B balk och hur stor blir nedböjningen vid F? 2L

F δ

Utvärderingsexemplar

Svar till övningsexempel

15/12:

M0L2 2EI

15/13:

2 FL3 3 EI

15/14 :

FL3 2EI

15/15:

PL3 FL2 , 6EI 6EI

15/16 : A = − 15/17:

2 FL3 3 EI

15/18 :

FL3 6EI

3 M0 , 4 L

M M0L2 MB = 0 , 4 8EI

265

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 266

15. deformationer vid böjning av rak balk

15/19:

5 ≈ 36 % 14

15/20 : Horisontellt:

7 FL3 , vertikalt: 0 48 EI

15/21: α ≈ 0, 858 15/22:

5 FL3 3 EI

15/23:

FL3 64EI

15/24 :

7 FL3 27 2 F , 16 EI 8

15/25:

1 FL3 12 EI

15/26 :

2 FL3 6 EI 16 + 960

15/27 :

I AL2 F I

Utvärderingsexemplar 15 + 576

AL2 9 I 15/28 : A = 11 L2 15/29: ( 4P − F) 15/30 :

1 FL3 ≈ 1, 8 mm, 123 MPa vid räta vinkeln 24 EI

15/31:

31 FL3 , 47 EI

15/32:

12 L, nej 13

15/33:

9 2 δEI 32 δEI 64 δEI FL − moturs, F = , B= 2 3 16 3 L 27 L 81 L3

15/34 :

4 1 δEI FL − 9 3 L2

15/35: M A =

266

L3 L3 åt höger, ( 4P − F) åt höger 4EI 3EI

4 / 3 − 31 / 47 ≈ 102 % 31 / 47

5 21 δEI FL + , 4 56 L2

MB =

7 3 δEI , FL − 4 8 L2

59 FL3 49 + δ 12 EI 56

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 267

16 Stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt Euler och Tetmajer En mycket liten (infinitesimal) lastökning på en struktur, kan ibland resultera i en dramatiskt ökad deformation. Den laststorlek vid vilken detta fenomen inträffar kallas kritisk last, eller knäcklast. Från att strukturen har befunnit sig i ett tillstånd av stabil jämvikt, övergår jämvikten till instabil sådan. Fenomenet kallas knäckning eller vid skal och skivor oftast buckling. Men man skall vara medveten om, att knäckning inte per automatik innebär haveri av eller brott hos strukturen. Den mest påtagliga effekten är de stora deformationerna vid laster som överstiger knäcklasten. Deformationerna kan bli så stora, att avsedd funktion och/eller form hos strukturen äventyras. I de flesta fall dimensioneras därför strukturer på sådant sätt, att de inte blir instabila vid belastning.

Utvärderingsexemplar

Knäckning förekommer i många former. Skal och skivor kan bucklas. En plan, rektangulär plåt som belastas med tryck på sina mot plåtens plan vinkelräta ränder, kommer att buckla ut, om tryckkraften blir för stor. Och erfarenhetsmässigt bucklar en tunnare plåt ut för en lägre tryckkraft än en tjockare med samma storlek. En rak balk som trycks i axialriktningen, (en sträva) kommer också den att knäckas för en viss laststorlek. Även här kan vissa slutsatser dras från praktisk erfarenhet. En lång sträva knäcks vid en lägre last än en kort med samma tvärsnittsarea. Är strävan tillräckligt kort, knäcks den inte alls, utan brister p g a att tryckbrottgränsen uppnås. Om balken är utsatt för en dragkraft, kommer den inte heller att knäckas. En annan iakttagelse är, att deformationen alltid verkar uppträda i den tvärriktning, i vilken sektionen har minst utsträckning. En linjal med mått b × h, b << h, böjs alltid ut på lågkant, d v s deformeras i plan som är parallella med sidorna med måttet b. En konsolbalk med dubbelsymmetrisk sektion i y-z-planet och som är hög (i y267

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 268

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

led) och smal (i z-led) och belastas med en kraft i y-riktningen kan böjas ut kraftigt i z-riktningen. Man talar då om vippning. En lång, rak och tunn axel som utsätts för vridning, kan plötsligt istället anta formen av en spiralfjäder, s k vridknäckning eller spiralknäckning. I denna bok, inskränks behandlingen till instabilitet hos axiellt tryckbelastade, raka balkar (strävor).

16.1 Knäckning av fjäderbalanserad stel, rak sträva Man brukar inleda analysen av knäckning med att studera en helt stel sträva, som hålls i en föreskriven (vanligtvis vertikal) riktning av en linjär fjäder med fjäderkonstant k, se figur 16.1. I den ena änden av strävan sitter fjädern. Strävans andra ände är momentfritt ledad i ett fixt stöd. Stånglängden är L. Eftersom strävan är stel, är den enda möjliga deformationen en stelkroppsrotation runt stödet. Men varje sådan rotation från det vertikala jämviktsläget motverkas av fjädern, som tänks kunna ta upp både drag- och tryckkrafter. Om strävan utsätts för en axiell (i figur 16.1 vertikal) kraft, P, och störs från sitt vertikala jämviktsläge, kommer fjädern att sträva att återföra strävan till vertikal position. Axialkraften P har motsatt effekt, och strävar att stjälpa strävan. Om fjäderkraften är tillräckligt stor, återgår strävan till sin vertikala orientering, när störningen upphör. Jämvikten är i så fall stabil. Men kommer fjädern att orka med detta, om axialkraften är stor och eller fjäderkraften liten? Intuitivt tvivlar man ju på det. Istället förefaller det rimligt, att en kraftig snedställning av strävan uppstår. Större, ju större axialkraften är. Och eftersom det ursprungliga jämviktsläget inte återtas när störningen upphör, sägs jämvikten vara instabil.

Utvärderingsexemplar

ϕ L

Figur 16.1 Sträva i vertikalt jämviktsläge.

268

Figur 16.2 Sträva i utstyrt läge.

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 269

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

Rimligen bör det finnas något kritiskt värde på P, Pkrit, under vilket stången återgår till vertikal orientering. För att närmare undersöka förhållandena, antas strävan under inverkan av axialkraften P och fjäderkraften F befinna sig i ett jämviktsläge, definierat av vinkeln ϕ medurs i figur 16.2. Sedan undersöks, om det resulterande momentet på strävan verkar moturs eller medurs. Så länge momentet med avseende på leden verkar moturs, återgår strävan till sitt ursprungliga, vertikala jämviktsläge. Men om momentet verkar medurs, kommer vinkeln ϕ att öka. I första fallet råder stabil jämvikt. I det andra fallet råder ingen jämvikt. Istället ökar ϕ till dess att ett nytt jämviktsläge eventuellt inträder. Jämvikten i ursprungsläget är alltså instabil. Och om P görs alltför stor, kommer jämvikt i något nytt läge inte att vara möjligt. När ϕ överstiger 90°, kommer ju fjäderkraften att minska, eftersom geometrin medför, att fjädern inte längre töjs ut utan förkortas med ökande värde på ϕ. Det kan även inträffa, att det resulterande momentet blir noll. Jämvikten sägs då vara indifferent. Med strävan vertikalt orienterad förutsätts fjäderkraften vara noll. Vid en liten utstyrningsvinkel ϕ medurs, från detta läge, blir fjäderförlängningen L · sin ϕ och fjäderdragkraften F = k · L · sin ϕ . Vi anser nu att ϕ << 1. Trots detta kan deformationen eller snarare förskjutningen av strävans övre ända blir stor, om blott L >> 1. Med ϕ << 1 kan vi ersätta sin ϕ med ϕ och cos ϕ med 1. Det återförande, d v s moturs verkande, momentet på strävan blir:

Utvärderingsexemplar

Mr = FL cos ϕ – PL sin ϕ ≈ FL – PLϕ = kL2 sin ϕ – PLϕ ≈ Lϕ (kL – P)

(16:1)

Stabil jämvikt råder om Mr > 0 medan instabilitet inträffar om Mr < 0. Övergång mellan dessa två tillstånd (om det nu finns någon sådan) ges av villkoret Mr = 0, eller eftersom L > 0: ϕ (kL – P) = 0

(16:2)

Denna ekvation har två lösningar, ϕ = 0 och kL – P = 0. Om en påtvingad rotationsstörning medurs (dϕ > 0), ger en ökning av det återförande motursmomentet (dMr > 0), är jämviktsläget stabilt. Stabilitetsvillkoret kan därför formuleras som dMr >0 dϕ

(16:3)

Med Mr enligt (16:1), blir dMr = L( kL − P) dϕ och för jämviktsläget ϕ = 0, finner vi: dMr > 0 ⇒ P < kL, dϕ

dMr < 0 ⇒ P > kL dϕ

(16:4)

269

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 270

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

Jämviktsläget ϕ = 0 är därför stabilt om P < kL och instabilt om P > kL. Gränsvärdet: P = Pkrit = kL

(16:5)

kallas den kritiska lasten eller knäcklasten för strukturen. Om knäcklasten sätts in i (16:1), blir Mr = 0 ∀ vinklar ϕ << 1. För detta gränsfall är alltså jämvikten indifferent och ϕ kan anta vilket värde som helst << 1. Slutsatserna åskådliggörs grafiskt i figur 16.3. För P < Pkrit = kL utgörs sambandet mellan P och ϕ av en vertikal linje, ϕ = 0.

P Figur 16.3 Samband mellan en stel strävas lutningsvinkel mot lodlinjen, ϕ , och axiallast, P, om ϕ << 1.

Instabil jämvikt

Indifferent jämvikt ϕ

Stabil jämvikt

För P = Pkrit = kL övergår vertikallinjen i två horisontella linjer. Ett illustrativt exempel på en förgreningspunkt eller en bifurkationspunkt. Vid denna kritiska last är vinkeln ϕ obestämd, dock enligt tidigare förutsättningar alltid << 1. För P > Pkrit = kL återgår sambandet till en vertikal linje, ϕ = 0.

Några slutsatser om utseendet av motsvarande graf, om förutsättningen ϕ << 1 frångås, kan inte dras av de erhållna resultaten. Om den gjorda förutsättningen ϕ << 1 överges, och gjorda approximationer föranledda härav utelämnas, antar (16:1) utseendet:

Utvärderingsexemplar

Mr = FL cos ϕ – PL sin ϕ = kL2 sin ϕ cos ϕ – PL sin ϕ = L sin ϕ (kLcos ϕ – P) (16:6) Villkoret för jämvikt, Mr = 0, ger även nu två lösningar, ϕ = 0 respektive P = Pkrit = kL cos ϕ .

För jämviktsläget, ϕ = 0, blir P0 = P0, krit = kL, precis som förut. En derivering av (16:6) ger

dMr = kL2 (cos 2ϕ − sin 2ϕ ) − PL cos ϕ dϕ

som i fallet ϕ = 0 övergår i

dMr = L( kL − P ). dϕ

Om nu P0 < P0,krit = kL blir

Om P0 > P0,krit = kL blir

270

dMr > 0 och stabil jämvikt råder. dϕ

dMr < 0 och jämvikten är instabil. dϕ

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 271

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

För fallet ϕ = ϕ1 > 0, Mr = 0, erhålls från (16:6) villkoret P1 = kLcos ϕ1 < kL = P0, krit . Med P = kL cos ϕ1 antar uttrycket för

dMr utseendet: dϕ

dMr = kL2 (cos 2ϕ − sin 2ϕ ) − kL2 cos ϕ1 cos ϕ = dϕ = kL2 (cos 2ϕ − cos ϕ1 cos ϕ − sin 2ϕ ) som för ϕ = ϕ1 övergår i  dMr  2 2 2 2 2   = kL (cos ϕ1 − cos ϕ1 cos ϕ1 − sin ϕ1 ) = − kL sin ϕ1  dϕ  ϕ = ϕ 1

För ϕ = ϕ1 ≠ 0 blir uppenbarligen dMr /dϕ < 0 oavsett om ϕ1 är positiv eller negativ. Jämvikten för ϕ = ϕ1 ≠ 0 är alltså instabil. En störning från jämviktsläget ϕ = ϕ1 i form av en tvångsmässig ökning av ϕ, kommer att resultera i att strävan vid störningens avlägsnande slår om till jämviktsläget ϕ = π. En störning av jämvikten i form av en minskning av ϕ, kommer att resultera i att strävan vid störningens avlägsnande slår om till jämviktsläget ϕ = 0. Resultaten med den övergivna förutsättningen ϕ << 1 sammanfattas grafiskt i figur 16.4.

Utvärderingsexemplar P

Instabil jämvikt

Stabil jämvikt

Instabil jämvikt

Figur 16.4 Samband mellan en stel strävas lutningsvinkel mot lodlinjen, ϕ , och axiallast, P, med linjär fjäder.

Från grafen kan en intressant slutsats dras. Om för ϕ = 0 strävan utsätts för en konstant axialkraft som är lägre än den kritiska, t ex P = 0,975 kL, råder ju stabil jämvikt i detta läge. Nu styrs stången ut tvångsmässigt till en vinkel ∆ϕ > 0. Jämviktvillkoret (16:6) ger Mr = L sin ∆ϕ (kL cos ∆ϕ – 0,975 kL) = 0, som dels har lösningen ∆ϕ = 0, dels lösningen kL (cos ∆ϕ – 0,975) = 0 ⇒ ∆ϕ ≈ 12,9°. För ∆ϕ ≈ 12,9° råder jämvikt, men instabil sådan. Om nu störningsvinkeln är < 12,9°, kommer strävan att återgå till jämviktsläget ϕ = 0, när störningen undanröjs. Men om störningsvinkeln är > 12,9°, kommer strävan att kollapsa i bemärkelsen att den svänger runt till ϕ = π. En alltför stor störning från ett jämviktstillstånd vid ϕ = 0, medför alltså kollaps, trots att jämvikten i ursprungsläget var stabil.

271

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 272

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

16.1.1 Knäckning av stel, rak sträva balanserad av progressiv fjäder

Figur 16.5 Karaktäristika för progressiv fjäder.

Sambandet mellan axialkraft och lutningsvinkel för en sträva enligt figur 16.1 kan anta högst varierande utseende. Om vi byter den linjära fjädern mot en progressiv, kommer sambandet att avvika högst avsevärt från vad figur 16.4 uppvisar. För en progressiv fjäder (motsvarande ett deformationshårdnande material) kan t ex sam~ bandet mellan fjäderkraft, F, och fjäderförlängning, δ, beskrivas med F = kδ + kδ3. Sambandet visas grafiskt i figur 16.5. För ett deformationhårdnande material mot~ svaras detta av σ = E ε + E ε3. Motsvarande ekvation som (16:1) antar utseendet: ˜ 2 sin 3ϕ − PLϕ ≈ Mr = FL cos ϕ − PL sin ϕ ≈ FL − PLϕ = kL2 sin ϕ + kL ≈ Lϕ( kL + k˜ ϕ 2 − P) Efter derivering:   3 dMr = L  kL + k˜ ϕ 2 − P 2 dϕ   Jämviktsvillkoret Mr = 0 ger en eller två lösningar, dels ϕ = 0 ∀ P, dels P − kL ∀ P > kL. k˜

Utvärderingsexemplar ϕ=±

Med beteckningen Pkrit = kL kan den senare lösningen skrivas som ϕ=±

P − Pkrit ∀ P > kL. k˜

Detta samband visas grafiskt i figur 16.6. För ϕ = 0 blir

dMr = L( kL − P). dϕ

För P < Pkrit = kL blir

dMr > 0 svarande mot stabil jämvikt. dϕ

För P > Pkrit = kL blir

dMr < 0 svarande mot instabil jämvikt. dϕ

För ϕ = ±

P − kL blir k˜

   kL P   kL kL  dMr 3 P − kL2 +  > L− +  =0 = L  kL + k˜ − P = L  − ˜ dϕ 2 2   2 2  2 k   och jämvikten är alltså stabil.

272

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 273

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

Som synes avviker kurvgrenarna i figur 16.6 för ϕ ≠ 0 starkt från utseendet i figur 16.5. Både beträffande kurvform och stabilitetsförhållanden. Med en progressiv fjäder istället för en linjär, kommer strävan för en last, P > Pkrit , att vid minsta störning från jämviktsläget ϕ = 0 inta en ny vinkel ϕ1 ≠ 0. En närmare undersökning ger vid handen, att om progressiviteten hos fjädern är låg, kommer förskjutningen Lϕ1 att bli betydande även för en last som endast obetydligt överskrider Pkrit .

Instabil jämvikt

Stabil jämvikt ϕ Figur 16.6 Samband mellan en stel strävas lutningsvinkel mot lodlinjen, ϕ , och axiallast, P, med progressiv fjäder.

16.1.2 Knäckning av stel, rak sträva med initial off-set-vinkel

Hittills har vi förutsatt, att strävan står vertikalt när axialkraft saknas men med fjädern ansluten till strävan. I detta avsnitt antas istället, att strävan bildar en liten vinkel, ϕ0 > 0, med lodlinjen, när ingen axialkraft verkar. Vi kan alternativt säga, att en off-set-vinkel mellan sträva och lodlinje föreligger vid obelastat tillstånd. När strävan lutar vinkeln ϕ > ϕ0 mot lodlinjen, och fjädern antas linjär, blir fjäderkraften F = kL(sin ϕ – sin ϕ0 ). Motsvarigheten till (16:6) antar formen:

Utvärderingsexemplar

Mr = FL cos ϕ – PL sin ϕ = kL2 sin ϕ cos ϕ – kL2 sin ϕ0 cos ϕ – PL sin ϕ Vid jämvikt gäller Mr = 0, som medför: kLsin ϕ cos ϕ – kLsin ϕ0 cos ϕ – PL sin ϕ = 0 eller  sin ϕ 0  P = kL cos ϕ 1 −  sin ϕ  

Detta samband visas grafiskt i figur 16.7. I detta fall finns ingen förgreningspunkt på kurvan. Derivering av Mr ger: dMr = kL2 (cos 2ϕ + sin ϕ 0 sin ϕ ) − PL cos ϕ dϕ och i ett jämviktsläge  sin ϕ 0  dMr = kL2 (cos 2 ϕ − sin 2 ϕ + sin ϕ 0 sin ϕ ) − kL2 cos 2 ϕ 1 − = dϕ sin ϕ    sin ϕ 0  = kL2  − sin 2 ϕ + sin ϕ 0 sin ϕ + cos 2 ϕ  sin ϕ  

273

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 274

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

Stabilitetsvillkoret dMr/dϕ > 0 ger: − sin 2 ϕ + sin ϕ 0 sin ϕ + cos 2 ϕ ⋅

sin ϕ 0 > 0, sin ϕ

eller förenklat: − sin 3 ϕ + sin ϕ 0 = 0 som ger sin ϕ = 3 sin ϕ 0 . Systemet befinner sig alltså i stabil jämvikt i intervallet

[

]

ϕ 0 , ϕ1 = arcsin 3 sin ϕ 0 .

Tillhörande värde på axialkraften visar sig bli 3

2 2  P1 = kL 1 − (sin ϕ 0 ) 3  < kL .    

Utvärderingsexemplar Notera även att i alla jämviktslägen blir  sin ϕ 0  P = kL cos ϕ 1 −  < kL = Pkrit . sin ϕ  

För varje värde på P < Pmax finns enligt figur 16.7 två värden på ϕ (ϕ2 och ϕ3) vid vilka jämvikt är möjlig. Om strävan befinner sig i jämvikt i ϕ = ϕ2 och om ϕ2 > ϕ1, är jämvikten instabil. Off-set-vinkeln hos strukturen medför i sådant fall, att denna vid minsta störning kollapsar och detta vid en klart lägre axialkraft än knäcklasten utan off-set, Pkrit = kL. P

kL Pmax

ϕ2 ϕ0

274

ϕ3

Figur 16.7 Samband mellan en stel strävas lutningsvinkel mot lodlinjen, ϕ , och axiallast, P, med initial offset-vinkel, ϕ0 .

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 275

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

16.1.3 Knäckning av stela, raka strävor under andra betingelser Av föregående text kan konstateras, att sambandet mellan axialkraft och utslagsvinkel kan se högst olika ut. Och att det inte utan analys kan avgöras, om ett jämviktsläge är stabilt, instabilt eller indifferent. Till synes obetydliga förändringar av förutsättningarna kan orsaka nog så stora förändringar i strukturens uppträdande. Ändå har inte alla sorters effekter, som påverkar sambandet mellan axialkraft och utslagsvinkel behandlats. I figur 16.8 visas några andra utseenden av P-ϕ-kurvan utan att tillhörande analyser redovisas. De streckade kurvorna visar förhållandet utan off-set, de heldragna med off-set. P

Figur 16.8 Några olika samband mellan en stel strävas lutningsvinkel mot lodlinjen, ϕ , och axiallast, P.

Utvärderingsexemplar

Eftersom kollaps av strukturen ibland kan uppträda vid betydligt lägre last än den knäcklast som räknas fram för helt ideala förhållanden och eftersom man inte enkelt kan avgöra om ett jämviktstillstånd är stabilt eller instabilt, måste alla stabilitetsproblem penetreras omsorgsfullt beträffande inverkan av de förenklingar och idealiseringar som införs vid analysen.

16.2 Jämvikt och stabilitet ur potentiella energin Hittills har stabilitet och samband mellan axialkraft och vinkel behandlats på basis av det återförande momentet vid en tänkt vinkelstörning från ett jämviktsläge. En förhoppningsvis känd sats från mekaniken erbjuder ett alternativt sätt att bestämma en strukturs jämviktsläge och stabilitet. Satsen säger, att om inget arbete uträttas av yttre krafter på ett mekaniskt system med en frihetsgrad, x, befinner sig

275

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 276

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

systemet i jämvikt, när derivatan av systemets potentiella energi, V, med avseende på variabeln x är noll. Eller formulerat i matematiska termer: dV =0 dx

(16: 7)

Vidare gäller, att jämvikten är stabil, om den potentiella energin i jämviktsläget har ett minimum, d v s om: d2V dx 2

(16:8)

samt att jämvikten är instabil om den potentiella energin har ett maximum, d v s om: d2V dx 2

(16:9)

Antal frihetsgrader är det antal oberoende variabler som behövs för att definiera systemets geometri. För strukturen enligt figur 16.1 räcker det med en variabel, ϕ, för att entydigt definiera geometrin. Figur 16.9a) och 16.9b) ger exempel på tvåfrihetsgradssystem. Geometrin hos strukturen bestäms entydigt av vinklarna ϕ1 och ϕ2. Figur 16.9c) ger exempel på trefrihetsgradssystem. Geometrin bestäms entydigt av vinklarna ϕ1, ϕ2 och ϕ3 (eller av ϕ1, ϕ2 och x eller av ϕ1, ϕ3 och x).

Utvärderingsexemplar

För flerfrihetsgradssystem gäller, att de partiella derivatorna med avseende på alla oberoende koordinater skall vara noll vid jämvikt. För exemplet i figur 16.9c) gäller t ex om ϕ1, ϕ2 och x väljs till oberoende variabler att: ∂V ∂ϕ1

∂V ∂ϕ 2

∂V ∂x

(16:10)

vid jämvikt. Det kan hända, att andraderivatan av V blir noll i ett jämviktsläge. För att i sådana fall fastställa jämviktens karaktär (stabil, instabil), måste den första högre derivatan som är skild från noll tas fram. Om ordningen på denna är udda, är jämvikten stabil. Om den är jämn, är jämvikten instabil.

ϕ2

ϕ3

ϕ1

a) a)

b)b)

ϕ2

Figur 16.9 Exempel på tvåfrihetsgradssystem, a) och b) och trefrihetsgradssystem, c).

276

ϕ1 x

c) c)

ϕ2

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 277

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

Till den potentiella energin för ett system räknas elastisk energi i fjädrar, Ve, samt gravitationsenergier, Vg. Dessa energiers förändring vid en virtuell förändring av systemets läge eller orientering från någon referensnivå ställs upp. För en fjäder vars fjäderkraft, F, är en funktion av fjädringen, x, d v s F = F(x), är den elastiska energin i fjädern vid en ändring av fjäderförlängning från ξ0 till ξ: ξ

Ve =

∫ F(x)dx

(16:11)

ξ0

Om fjädern är linjär med fjäderkonstanten k, kan integralen evalueras och ξ

Ve =

∫ F(x)dx = ∫ kx dx = 2 (ξ

ξ0

− ξ02 )

(16:12)

ξ0

För en massa m, vars vertikala läge är y ovanför någon vald referensnivå, är gravitationsenergin: (16:13)

Vg = mgy

För en kraft, P =(Px, Py, Pz), vars angreppspunkt förflyttas längs någon kurva, s = s(x, y, z) från s = s1 = s(x1, y1, z1) till s = s2 = s(x2, y2, z2), (se figur 16.10), blir den yttre kraftens arbete:

∫ ∫ ∫ ∫ Utvärderingsexemplar s2

Uw =

P dr =

Px dx +

Py dy +

Pz dz

(16:14)

För specialfallet att kraften P är konstant till storlek och riktning i rummet (t ex parallell med y-axeln, d v s P = (0, Py, 0)), antar (16:14) formen: y2

Uw =

∫ P dy = P ∫ dy = P (y y

− y1 )

(16:15)

P ds s

dr y

Figur 16.10 Förflyttning av kraftangreppspunkten längs en krökt bana, s = s (x, y, z).

r r+dr x

277

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 278

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

Vi antar nu ett slag att y-axeln sammanfaller med en lodlinje och är riktad vertikalt uppåt. Om Py < 0 (nedåtriktad kraft), tänks kraften Py alstrad genom tyngdkraftens verkan på en fiktiv massa, mf = –Py /g, placerad i kraftangreppspunkten. När denna förskjuts från y1 till y2 ökar den fiktiva massans lägesenergi med: Vf = m f g(y2 – y1 ) = –Py (y2 – y1 ) = –Uw Det arbete som utförs på systemet av den yttre kraften Py, kan därför ses som en lika stor minskning av dess potentiella energi. Om Uw är > 0 skall Vf vara < 0 och omvänt. Om istället Py > 0, kan denna kraft tänkas alstrad genom att en lina fästs i kraftangreppspunkten. Linan får löpa över ett löphjul fäst i ett horisontellt rörligt rullstöd. Den fiktiva massan, i detta fallet m r = Py /g, hängs upp i linans andra ände. När kraftangreppspunkten förskjuts från y1 till y2 ökar fiktivmassans höjd med y1 – y2. Dess fiktiva lägesenergi ökar med: Vf = m f g(y1 – y2 ) = Py (y1 – y2) = –Py (y2 – y1) = –Uw Även för detta fall kan det arbete som utförs på systemet av den yttre kraften Py, ses som en lika stor minskning av dess potentiella energi Men hur gör man, om kraften P verkar längs en axel η, som inte är parallell med lodlinjen ? Inga problem! Men man måste då för massan mf tänka sig ett konstlat tyngkraftsfält med en fiktiv (jord-)acceleration, gf, parallell med P. Kraftens arbete, Uw = Pη (η2 – η1 ), kommer då att resultera i en ändring av systemets potentiella energi med:

Utvärderingsexemplar Vf = ±m f gf (η2 – η1) = –Pη (η2 – η1) = –Uw

Det viktiga i sammanhanget är, att kraften P är konstant till storlek och riktning vid den virtuella förändringen av systemets läge eller orientering. Med detta betraktelsesätt har yttre krafters arbete ersatts med en ändring av systemets potentiella energi. Därmed blir det tillåtet att använda ekvationerna (16:7), (16:8) och (16:9) för att studera jämvikt och stabilitet. Dessa förutsatte nämligen, att yttre krafter inte uträttade något arbete på systemet. Systemets samlade potentiella energin utgör med det ovan angivna betraktelsesättet: V = Ve + Vg + Vf

(16:16)

Vi tillämpar nu denna metodik på exemplet enligt figur 16.1 eller 16.2. Fjädern antas linjär med fjäderkonstant k. Strävan får bilda en vinkel, ϕ0 > 0 med lodlinjen, när ingen axialkraft verkar, d v s vi har en off-set-vinkel mellan sträva och lodlinje vid obelastat tillstånd. Som referenstillstånd väljs strävan i vertikalläge, varifrån den ges en virtuell vinkeländring, ϕ. Med strävan i vertikal orientering är fjädern komprimerad och 278

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 279

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer ξ0 = –L sin ϕ0 . Med strävan lutande en vinkel ϕ mot lodlinjen är fjädern förlängd och ξ = L sin ϕ – L sin ϕ0 .

Axialkraften appliceras först vid ϕ = ϕ0. Strävans övre ände befinner sig då på ett vertikalt avstånd av L(1 – cos ϕ0 ) under referensläget, y = 0. För änden gäller alltså y1 = –L(1 – cos ϕ0 ). Detta avstånd ökar till L(1 – cos ϕ) sedan axialkraften P applicerats, d v s y2 = –L(1 – cos ϕ). Bidragen till den potentiella energin blir då: Ve =

k 2 2 kL2 kL2 (ξ − ξ0 ) = [(sin ϕ − sin ϕ 0 )2 − sin 2 ϕ 0 ] = (sin 2 ϕ − 2 sin ϕ sin ϕ 0 ) 2 2 2

Vf = −Py ( y 2 − y1 ) = P[ − L(1 − cos ϕ ) + L(1 − cos ϕ 0 )] = PL(cos ϕ − cos ϕ 0 ) V = Ve + Vf =

kL2 (sin 2 ϕ − 2 sin ϕ sin ϕ 0 ) + PL(cos ϕ − cos ϕ 0 ) 2

Deriveringar med avseende på den enda frihetsgradsvariabeln, ϕ, ger: dV = kL2 (sin ϕ cos ϕ − cos ϕ sin ϕ 0 ) − PL sin ϕ dϕ d2V = kL2 ( − sin 2 ϕ + cos 2 ϕ + sin ϕ sin ϕ 0 ) − PL cos ϕ dϕ 2 dV = 0 , som ger dϕ kL cos ϕ (sin ϕ − sin ϕ 0 ) − P sin ϕ = 0 , varur:

Utvärderingsexemplar

Jämvikt råder för

 sin ϕ 0  P = kL cos ϕ 1 − , sin ϕ   d v s precis som i exemplet i 16.1.2. Insatt i uttrycket för andra derivatan får vi:  sin ϕ 0  = kL2 ( − sin 2 ϕ + cos 2 ϕ + sin ϕ sin ϕ 0 ) − L cos ϕ kL cos ϕ 1 − = sin ϕ   dϕ 2 kL2 = ( − sin 3 ϕ + sin ϕ cos 2 ϕ + sin 2 ϕ sin ϕ 0 − sin ϕ cos 2 ϕ + cos 2 ϕ sin ϕ 0 ) = sin ϕ kL2 kL2 ( − sin 3 ϕ + sin 2 ϕ sin ϕ 0 + cos 2 ϕ sin ϕ 0 ) = ( − sin 3 ϕ + sin ϕ 0 ) = sin ϕ sin ϕ d2V

Eftersom ϕ förutsattes > 0, blir d2V dϕ 2

< 0 för sin ϕ > 3 sin ϕ 0 , ϕ > arcsin 3 sin ϕ 0

innebärande instabil jämvikt och

279

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 280

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

d2V dϕ 2

> 0 för sin ϕ < 3 sin ϕ 0 , ϕ < arcsin 3 sin ϕ 0

innebärande stabil jämvikt. Även dessa slutsatser stämmer överens med resultaten i exemplet i 16.1.2. Speciellt om ϕ 0 = 0 övergår

dV i: dϕ

dV dV = kL2 sin ϕ cos ϕ − PL sin ϕ och för =0 dϕ dϕ

fås

0 = sin ϕ ( kL cos ϕ − P) Villkoret är identiskt lika med vad som erhölls i det andra exemplet i avsnitt 16.1. Två lösningar, ϕ = 0 och P = kL cos ϕ är möjliga. För P = kL cos ϕ förenklas andra derivatan d2V dϕ 2

d2V dϕ 2

till:

= kL2 ( − sin 2 ϕ + cos 2 ϕ ) − PL cos ϕ = kL2 ( − sin 2 ϕ + cos 2 ϕ ) − kL2 cos 2 ϕ =

= − kL2 sin 2 ϕ < 0 , innebärande instabil jämvikt. d2V

Utvärderingsexemplar För ϕ = 0 blir

dϕ 2

= kL2 cos 2 ϕ − PL cos ϕ = L cos ϕ ( kL cos ϕ − P ) = L( kL − P ),

som för P > kL = Pkrit blir < 0, innebärande instabil jämvikt.

För P < kL = Pkrit blir

d2V dϕ 2

> 0, innebärande stabil jämvikt.

Slutsatserna är precis desamma som framgår av figur 16.4. Angreppssättet med ”energimetoden” har fördelen, att man tämligen enkelt kan behandla problem utan förbehåll om utslagsvinkeln storlek. Men det är nödvändigt att se till, att den potentiella energin p g a yttre krafter får rätt tecken. Om en yttre kraft avger ett arbete till systemet, d v s om förflyttningen är riktad åt samma håll som kraften, skall potentiella energin minska. Och omvänt; om en yttre kraft upptar ett arbete från systemet, d v s om förflyttningen är riktad åt motsatt håll mot kraften, skall energin öka. Exemplet utvidgas nu till att inkludera en reell tyngdkraft på strävan och förlägga densamma horisontellt istället för vertikalt, se figur 16.11. Strävan antas ha massan m med masscentrum (tyngdpunkt) mitt på stången. Fjädern antas kraftlös, när stången är horisontell.

280

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 281

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

L P

x P

Figur 16.11 Sträva i horisontellt läge.

Figur 16.12 Initialt horisontell sträva i utstyrt läge.

Som referens används situationen i figur 16.11. För högra stångänden gäller i utstyrt läge att y = L sin ϕ . Den elastiska fjäderenergin i utstyrt läge blir: Ve =

k 2 kL2 2 y = sin ϕ . 2 2

Gravitationsenergin blir: Vg = − mg

L sin ϕ mgL =− sin ϕ 2 2

Utvärderingsexemplar

Den fiktiva potentiella energin p g a kraftens P arbete blir: Vf = –Px (x2 – x2) = P(Lcos ϕ – L) = –Uw Sammantaget: V =

kL2 2 mgL sin ϕ − sin ϕ − PL(1 − cos ϕ ) 2 2

Efter derivering: dV mgL cos ϕ − PL sin ϕ = kL2 sin ϕ cos ϕ − dϕ 2 För jämviktsorienteringen gäller: 0 = kL2 sin ϕ cos ϕ −

mgL cos ϕ − PL sin ϕ 2

Resultatet kan kontrolleras genom en momentekvation moturs med avseende på stödet, som ger: L cos ϕ − PL sin ϕ = 0 2 d v s exakt samma resultat. kL sin ϕ L cos ϕ − mg

Om man exempelvis kan tillåta ϕ = 5° och P = 50 mg, ger detta P/kL ≈ 0,894.

281

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 282

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

Är jämvikten stabil i detta läge? För att få svar på denna fråga bildas: d2V dϕ 2

= kL2 cos 2ϕ +

mgL sin ϕ − PL cos ϕ , 2

som för P/kL ≈ 0,894 antar värdet d2V dϕ 2

  0, 894 ≈ kL2  cos10° + sin 5° − 0, 894 cos 5° ≈ 0, 095kL2 > 0 2 ⋅ 50  

d v s detta jämviktsläge är stabilt. Om strävan saknar massa, övergår jämviktsvillkoret i: 0 = kL2 sin ϕ cos ϕ – PL sin ϕ = L sin ϕ (kL cos ϕ – P). Två lösningar är möjliga. Antingen ϕ = 0 eller P = kL cos ϕ = Pkrit cos ϕ . Energins andraderivata får utseendet: d2V dϕ 2

= kL2 cos 2ϕ − PL cos ϕ = kL2 (2 cos 2 ϕ − 1) − PL cos ϕ

För ϕ = 0 erhålls d2V dϕ 2

= kL2 − PL = L( kL − P ) = L(Pkrit − P ).

Utvärderingsexemplar För P > Pkrit blir

d2V dϕ 2

< 0 , innebärande instabil jämvikt.

För P = kL cos ϕ = Pkrit cos ϕ blir d2V dϕ 2

= kL2 (2 cos 2 ϕ − 1) − kL cos ϕ L cos ϕ = kL2 (cos 2 ϕ − 1) < 0 ,

dvs instabil jämvikt. Resultaten är helt i överensstämmelse med vad som erhölls i det inledande exemplet och som illustreras av figur 16.4.

282

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 283

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

16.3 Böjning av axiellt tryckta balkar av linjärt elastiskt material I kapitel 14 härleddes sambanden mellan böjmoment, tvärkraft och belastningsintensitet till: dT( x ) dx

(14:2)

dM( x ) = T( x ) dx

(14:5)

q( x ) = −

d 2M( x ) dx 2

= − q( x )

(14:7)

Vidare visades i kapitel 15 sambandet mellan utböjning och böjmoment: EIv''(x) ≈ –M(x)

(15:2)

Härledningen baserades på, att inga normalkrafter var närvarande, alternativt att utböjningarna var så små, att normalkrafternas bidrag till snittmomenten kan försummas. Men om så inte är fallet, kommer ekvationen för momentjämvikt att ändras. Jämviktsekvationen i tvärled blir däremot oförändrad, innebärande att ekvation (14:2) blir densamma. Detsamma gäller (14:7). Däremot ändras ekvation (14:5). Vi måste därför härleda motsvarande samband på nytt, men denna gång med en axialkraft, N(x). Vi betraktar därför åter ett balksegment enligt figur 16.13. Utböjningen i ett snitt på avståndet x från vänstra stödet sätts till v = v(x). Förutom av en utbredd last med intensitet q(x) påverkas balken av ett antal enkelkrafter, Fi, på avstånden ξi från vänstra stödet.

Utvärderingsexemplar Fi

q(x)

MA A

y Figur 16.13 Snittstorheter för balksegment.

q(ξ)

N(x)

M(x) T(x)

ξi x

283

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 284

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

Momentjämvikt moturs med avseende på vänstra stödet ger: x

∫

M A − T( x )x − q( ξ ) ξ dξ −

∑ F ξ + M(x) + N(x)v(x) = 0 i i

Efter derivering med avseende på x: −x

dT( x ) dM( x ) dv( x ) dN( x ) − T( x ) − q( x )x + + N( x ) + v( x ) =0 dx dx dx dx

Med (14:2) −x

dT( x ) dT( x ) dM( x ) dv( x ) dN( x ) − T( x ) + x + + N( x ) + v( x ) =0 dx dx dx dx dx

− T( x ) +

dM( x ) dv( x ) dN( x ) + N( x ) + v( x ) = 0 eller dx dx dx

dM( x ) dv( x ) dN( x ) = T( x ) − N( x ) − v( x ) dx dx dx Derivera ytterligare en gång: d 2M( x ) dT( x ) dN( x ) dv( x ) d 2 v( x ) dv( x ) dN( x ) d 2N( x ) = − − N( x ) − − v( x ) dx dx dx dx dx dx dx 2 dx 2

Utvärderingsexemplar som med (15:2) kan skrivas som: EIv IV ( x ) = −

dT( x ) dN( x ) dv( x ) d 2 v( x ) dv( x ) dN( x ) d 2N( x ) + + N( x ) + + v( x ) dx dx dx dx dx dx 2 dx 2

Vi förenklar nu förutsättningarna genom att studera balkar eller balkavsnitt inom vilka normalkraften N(x) är konstant, N. Även böjstyvheten EI förutsätts konstant inom balkavsnittet. Sambandet (14:2) nyttjas ännu en gång. Differentialekvationen förenklas då till: EIvIV(x) – Nv''(x) = q(x)

(16:7)

Denna ekvation är motsvarigheten till (15:4), EIvIV(x) = q(x), vid närvaro av en konstant axialkraft, N. Ekvation (16:7) är en ordinär, linjär, inhomogen differentialekvation av fjärde ordningen. Metoden att lösa denna typ av differentialekvationer förutsätts känd från matematikkurserna. Först söks lösningar till den homogena ekvationen, q(x) = 0. Därefter söks partikulärlösningen till den inhomogena ekvationen. Den karaktäristiska ekvationen lyder: EIz4 – Nz2 = 0,

z2 (EIz2 – N) = 0

som har lösningar z = 0 (dubbelrot).

284

(16:8)

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 285

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

Om N > 0 blir de andra rötterna z=±

N EI

och lösningar till den homogena ekvationen blir då: N x EI

v( x ) = C1 + C 2 x + C3e

+ C4e

−

N x EI

(16:9)

C1 , C2, C3 och C4 är konstanter, vars värden bestäms ur rådande randvillkor för problemet. Det intressanta fallet ur stabilitetssynpunkt uppstår emellertid om balken eller balksegmentet är utsatt för en tryckkraft, P = –N. En balk utsatt för dragning kan ju knappast bli instabil. Med en tryckkraft i balken blir lösningen helt annorlunda. Ekvation (16:8) övergår i: EIz4 + Pz2 = 0,

z2 (EIz2 + P) = 0

(16:10)

med rötter z = 0 (dubbelrot) och z = ±i

P . EI

Lösningar till den homogena ekvationen utgör då:

Utvärderingsexemplar i

P x EI

−i

P x EI

v( x ) = C1 + C 2 x + C3e + C4e =   P   P  ˜  cos = C1 + C 2 x + C x + i ⋅ sin  x  +  3  EI     EI    P   P  ˜  cos − ⋅ +C x i sin x  =    4  EI     EI 

 P   P  = C1 + C 2 x + C3 cos  x + i ⋅ C4 sin  x  EI   EI  – Eftersom u(v) är reell måste C4 vara imaginär, medan övriga konstanter är reella. Lösningen skrivs om med genomgående reella konstanter och blir då:  P   P  v( x ) = C1 + C 2 x + C3 cos  x + C 4 sin  x  EI   EI 

(16:11)

Konstanternas värden bestäms ur randvillkoren för den aktuella strukturen. Randvillkor för tvärkraften förändras jämfört med i kapitel 15. Tidigare i texten befanns att: dM( x ) dv( x ) dN( x ) = T( x ) − N( x ) − v( x ) , dx dx dx

285

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 286

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

som med N(x) = N = –P övergår i: dM( x ) = T( x ) + Pv'( x ), dx

d( − EIv''( x )) = T( x ) + Pv'( x ) dx

T(x) = –EIv'''(x) – Pv'(x)

(16:12)

att jämföras med T(x) = –EIv'''(x) vid avsaknad av axialkraft. Randvillkoren för v, v' och M påverkas däremot inte av närvaron av en axiell kraft. För att kunna formulera en partikulärlösning måste, oavsett om axialkraften är en tryckkraft eller en dragkraft, funktionen q(x) vara definierad. Exempel: En rak balk med längden L och böjstyvheten EI är fast inspänd i ena änden. Den fria änden belastas med en tryckkraft, P. Bestäm knäcklasten, Pkrit. Lösning: I detta fallet är q(x) = 0. Differentialekvationen (16:7) blir därmed homogen och övergår i: EIvIV(x) – Nv''(x) = 0 v(x)

Utvärderingsexemplar y

Därmed existerar ingen partikulärlösning, endast lösningar till den homogena ekvationen, som blir:  P   P  v( x ) = C1 + C 2 x + C3 cos  x + C 4 sin  x  EI   EI 

(16:13)

Tillhörande derivator blir: v'( x ) = C 2 −

v''( x ) = −

 P   P  P P C 3 sin  x + C 4 cos  x EI EI  EI   EI 

 P   P  P P C3 cos  x − C 4 sin  x EI  EI   EI  EI 3

(16:15)

 P   P   P 2  P 2 v'''( x ) =   C3 sin  x −   C 4 cos  x  EI   EI   EI   EI 

286

(16:14)

(16:16)

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 287

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

Randvillkoren blir: a) v(0) = 0, b) v'(0) = 0, c) M(L) = 0, d) T(L) = 0. Villkoren c) och d) kan alternativt skrivas som EIv''(L) = 0 respektive –EIv'''(L) – Pv'(L) = 0. Randvillkoren ger de fyra behövliga ekvationerna för att bestämma konstanterna. Insättning i (16:13) till (16:16) ger: a ) 0 = C1 + C3 b) 0 = C 2 + c) 0 = −

P C4 EI

 P   P  P P C3 cos  L − C 4 sin  L EI  EI   EI  EI 3

 P   P   P 2  P 2 d ) 0 = − EI   C3 sin  x + EI   C 4 cos  x −  EI   EI   EI   EI  −PC 2 + P

 P   P  P P C 3 sin  x − P C 4 cos  x EI EI  EI   EI 

Villkoret d) ger omgående C2 = 0, varpå b) medför C4 = 0. Villkoret c) ger  P  P C3 cos  L , EI  EI  som har en lösning: 0=−

Utvärderingsexemplar

C3 = 0.

Då ger villkor a) att även C1 = 0 och efter insättning i (16:11); v(x) ≡ 0. Denna triviallösning är föga intressant. Det återstår då  P  cos  L = 0 ,  EI  som satisfieras om  P  π L = + n π ,   EI  2 där n är ett godtyckligt, positivt heltal. Det finns tydligen ett obegränsat antal värden på P, som satisfierar randvillkoren. Om P löses, får vi 2

 EI  π  + n π . 2  L 2

287

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 288

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

Om yttröghetsmomentet varierar med axelorienteringen i ett snitt, d v s om huvudtröghetsmomenten är olika stora, erhålls det lägsta värdet på P, för det minsta värdet på huvudtröghetsmomentet, Imin. Detta innebär, att utböjningen sker i en riktning, som är parallell med den axel, som svarar mot det största huvudtröghetsmomentet. De lägsta möjliga värdena på P i denna utböjningsriktning blir: Pkrit, 1 = Pkrit, 2 = Pkrit, 3 = o s v.

π 2EI min

4L2 9π 2EI min 4L2 25π 2EI min 4L2

Den lägsta av dessa kritiska laster kallas knäcklasten, Pk = Pkrit, 1 =

π 2EI min

4L2

De högre värdena på Pkrit kallas sekundära knäcklaster. För kritiska värden på P, kan C3 anta vilket värde som helst. Om t ex C3 = 0 får balken ingen utböjning. Utböjning sker enbart om C3 ≠ 0. P g a de förenklingar som gjordes vid elastiska linjens härledning, kan värdet av C3 inte bestämmas. Det går därför inte att bestämma utböjningens storlek, bara dess form. Denna fås genom att lösa ut resterande konstanter och använda dessa i (16:11). Randvillkoret a) ger C1 = –C3 , som ger:

Utvärderingsexemplar    P   P v( x ) = C1 − C1 cos  krit x = C1 1 − cos  krit x    EI    EI   För Pkrit = Pkrit 1 =

π 2EI

4L2

fås

  πx   v1( x ) = C1 1 − cos    ,  2L    kallat första knäckmoden. För Pkrit = Pkrit 2 =

9π 2EI 4L2

fås

  9 πx   v 2 ( x ) = C1 1 − cos   ,  2L    kallat andra knäckmoden, o s v.

288

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 289

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

Vi antar nu antingen att huvudtröghetsmomenten är lika, eller att utböjning i annan riktning än den som svarar mot Imin förhindras genom tvång. Det går att visa, att för P ≠ Pk , P ≠ Pkrit 2, P ≠ Pkrit 3, o s v, är jämvikten stabil. Om balken störs ut från sin raka form, återtar den rak form, när störningen upphör. För P = Pk , P = Pkrit 2, P = Pkrit 3, o s v, kan visas, att jämvikten är indifferent. Balken befinner sig i jämvikt vid vilken utböjning som helst. Vid P = Pk , P = Pkrit 2, P = Pkrit 3, o s v, finns förgreningspunkter, som figur 16.14 visar. P P = Pkrit 2

Indifferent jämvikt

P = Pk

Stabil jämvikt

Figur 16.14 Samband mellan en elastisk strävas maximala utböjning, δ, och axiallast, P.

Utvärderingsexemplar δ

Om P avviker från något av värdena på Pkrit, finns endast lösningen v(x) = 0. Men detta stämmer föga med praktiska iakttagelser. De flesta av oss har säkert pressat samman en vanlig plastlinjal mellan handflatorna. Till en början syns nästan ingenting, men när axialkraften långsamt får öka, blir utböjningen plötsligt betydande och tilltar dessutom, om kraften ökas ytterligare. Två förklaringar härtill kan ges. Den ena är, att det är näst intill omöjligt att anbringa presskraften i sektionens geometricentrum. Den andra är, att en linjal är sällan eller aldrig helt rak i obelastat tillstånd. Vi tittar närmare fallet med excentrisk last, som figur 16.15 visar. Excentrisk last antas uppkomma genom att balkens fria ände kompletteras med en böjstel hävarm med längd e, som svetsas fast vinkelrätt mot balkens längdriktning. Axialkraften P anbringas i hävarmens fria ände. Detta system kan i sin

v(x) e

Figur 16.15 Konsolbalk utsatt för exentrisk axiallast.

289

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 290

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

tur bytas mot ett medurs verkande kraftpar, Me = Pe, tillsammans med kraften P, angripande i hörnpunkten mellan balk och hävarm. Mer exakt blir: Me = Pe cos [v'(L)] när balken är i utböjd form. För att reducera räknandet antas cos [v'(L)] kunna approximeras till värdet ett. Randvillkoren vid excentrisk last blir: a) v(0) = 0, b) v'(0) = 0, c) M(L) = –Pe, d) T(L) = 0. Villkoren c) och d) kan alternativt skrivas som EIv''(L) = Pe respektive –EIv'''(L) – Pv'(L) = 0. Insättning i (16:13) till (16:16) ger: a ) 0 = C1 + C3 b) 0 = C 2 +

P C4 EI

 P   P  P P C 3 cos  L − C 4 sin  L EI  EI   EI  EI

Utvärderingsexemplar c ) Pe = −

 P   P   P 2  P 2 d ) 0 = − EI   C3 sin  x + EI   C 4 cos  x −  EI   EI   EI   EI   P   P  P P −PC 2 + P C 3 sin  x − P C 4 cos  x EI EI  EI   EI 

Villkoret d) ger omgående C2 = 0, varpå b) medför C4 = 0. Villkoret c) ger  P  Pe P L = − C 3 cos  EI EI  EI 

eller

C3 = −

e  P  cos  L  EI 

Villkor a) medför att C1 = –C3 och efter insättning i (16:13):  P  v( x ) = − C3 + C3 cos  x =  EI 

290

  P  1 − cos  x  .  P   EI    cos  L  EI  e

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 291

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

För x = L blir den maximala utböjningen: v( L ) =

  P  1 − cos  L  EI    P    cos  L   EI  e

Detta samband framgår i grafisk form av figur 16.16. För enkelhets skull har kvadraten på P avbildats som funktion av v(L). För små axialkrafter och/eller liten excentricitet är v(L) liten och växer kontinuerligt med P, för att när P går mot Pk =

π 2EI

4L2

slutligen närma sig oändligheten asymptotiskt. Men långt före dess har naturligtvis böjspänningarna blivit så stora, att balken brustit. Endast om utböjning förhindras eller begränsas under det första skedet, kan P uppnå ett värde π 2EI

4L2

<P<9

π 2EI

4L2

som faller mellan nästa två asymptoter. I annat fall leder en ökad axialkraft ofelbart till brott, innan knäcklasten Pk uppnås. Tabellen nedan visar kvoten mellan den maximala utböjningen och excentriciteten för några olika värden på P/Pk .

Utvärderingsexemplar

P/Pk

0,25

0,50

0,75

0,90

0,95

0,98

0,99

v(L)/e

0,414

1,252

3,79

11,42

24,15

62,3

126

Som framgår av tabellen växer utböjningen mycket snabbt när P närmar sig Pk . P2

Figur 16.16 Samband mellan en elastisk strävas maximala utböjning, v(L), och axiallastens kvadrat, P2, vid excentrisk belastning.

ππ22EIEI P= P = PPkk == 2 4L 2 4L

v(L)

291

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.07 Sida 292

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

16.4 Eulerknäckning Vid balkböjning utan närvaro av axialkraft har man god nytta av vanligt förekommande elementarfall, som superponeras för att motsvara en verklig belastningssituation. Den schweiziske matematikern Leonard Euler (1707–1783) härledde ett antal elementarfall för axialbelastade, raka strävor. Resultaten för de fyra vanligaste elementarfallen visas i följande tabell. Med yttröghetsmomentet I, i tabellen avses det minsta yttröghetsmomentet för sektionen, eftersom detta ger den lägsta knäcklasten. Eulerfall Eulerfall 1

Eulerfall 2

Eulerfall 3

Eulerfall 4

L E

Utvärderingsexemplar Pk =

π2EI 4L2

κ = 2,0

Pk =

π2EI L2

κ = 1,0

Pk ≈

2, 05π2EI L2

κ = 0,70

Eulerfall 1 igenkänns från det inledande exemplet i avsnitt 16.3.

292

Pk ≈

4 π2EI L2

κ = 0,50

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 293

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

16.4.1 Reducerad knäcklängd

Man kan återföra samtliga Eulerfall till ett enda, genom att introducera en fiktiv längd på strävan, kallad reducerad knäcklängd, även kallad fri knäcklängd. Eftersom knäckning enligt Euler 2 är det mest frekventa, har man valt att använda detta fall som referens. Den verkliga längden, L, ersätts med den reducerade knäcklängden Lr = κL. Denna väljs så att den faktiska knäcklasten blir densamma som om Euler 2 förelåg. Om t ex de verkliga inspänningsförhållandena överensstämmer med Euler 4, fås den reducerade knäcklängden ur likheten: 4 π 2EI L2

π 2EI

( κL )2

, dvs

κ=

1 = . 2 4

Faktorerna κ anges i tabellen ovan. Knäcklasten kan då för samtliga Eulerfall skrivas som: Pk =

π 2EI

L2r

 π =   EI  κL 

(16:17)

!Utvärderingsexemplar 16.4.2 Tröghetsradie, knäckspänning och slankhetstal

Vid stabilitetsproblem kommer ofta begreppet tröghetsradie till användning. Denna storhet introducerades i kapitel 13. För en sektion med minsta yttröghetsmoment I och tvärsnittsarea A, definieras minsta tröghetsradien, i, som I . A

För en sträva vars knäcklast är Pk definieras knäckspänningen som: σk =

Fk π 2 EI = A A L2r

(16:18)

Den verkliga spänningen i strävan skiljer sig från knäckspänningen, eftersom den senare endast emanerar från normalkraften, men utelämnar de böjspänningar som uppkommer p g a utböjningen. Vidare definieras slankhetstalet, λ, som λ=

Lr i

(16:19)

Om (16:15) och (16:17) sätts in i (16:18), kan knäckspänningen skrivas som: σk =

π 2E λ2

(16:20)

293

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 294

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer σk σs σp

B E A λ

Figur 16.17 Knäckspänning, σk , som funktion av slankhetstal, λ.

λ0

Detta samband utgör ekvationen för en hyperbel, kallad Eulerhyperbeln. Dess principiella utseende visas i figur 16.17, som kurvgrenen A–B–C. Eftersom Eulerknäckning förutsätter linjärt elastiskt material i strävan, gäller sambandet (16:18) bara upp till materialets proportionalitetsgräns vid tryck, σp, d v s endast delen A–B av Eulerhyperbeln är giltig. Det för σk = σp hörande värdet på slankhetstalet betecknas λ0. Ekvation (16:20) ger i omslagspunkten mellan proportionalitet och olinjaritet mellan töjning och spänning: λ0 = π

E σp

Utvärderingsexemplar

Tydligen är detta värde en ren materialkonstant, som endast beror på elasticitetsmodulen och proportionalitetsgränsen vid tryck. Vid tryck är bestämningen av denna spänning osäker. Man brukar därför istället använda sträckgränsen vid tryck, σs, som bas. Värdet av λ0 för några olika konstruktionsmaterial visas i följande tabell. Material

SIS 1311, 1312

SIS 1411, 1412

SIS 1650

Aluminium

λ0

110

100

40–60

Eftersom deformationerna är elastiska för λ > λ0, kallas området till höger om λ0 i figur 16.17 för det elastiska området. Området till vänster om λ0 kallas det plastiska eller oelastiska området. I detta område gäller inte den knäckkraft, som ges av Eulers uttryck. Något som stämmer med vår erfarenhet, att en sträva som är kort och har stort tröghetsmoment (= litet slankhetstal) brister, innan utböjningarna når nämnvärd storlek. Knäckspänningen stiger långsamt mot σs när λ → 0 enligt delen B–D i figur 16.17. För det oelastiska området finns inget teoretiskt samband mellan σk och λ. Istället baseras kurvformen på empiriska data med olika slankhetstal och materiel. Det finns ett flertal approximativa uttryck för sambandet mellan knäckspänning och slankhetstal för det oelastiska området. Det troligen äldsta och mest spridda sambandet formulerades av ungraren Ludvig von Tetmajer (1850 –1905), verksam vid

294

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 295

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

tekniska högskolan i Zürich. Inom det oelastiska området approximeras sambandet med en andragradskurva, σk = a + bλ + cλ2. Värdet av konstanterna a, b och c visas för uppdaterade materialdata i tabellen nedan. Tetmajerkurvor för några material

σk (MPa)

Giltighet

ca 100

776 – 12λ + 0,053 λ2

λ < 80

210

310 – 1,14 λ

λ < 110

Material

E-modul (GPa)

Grått gjutjärn SIS 1311, 1312 SIS 1411, 1412

210

322 – 0,88 λ

λ < 100

SIS 1510

220

335 – 0,62 λ

λ < 90

Med ett knäckningssamband enligt Tetmajer eller någon annan källa, bestäms knäckkraften av: Fk = σk A

(16:21)

För knäckning inom det elastiska området hämtas uttrycket för σk från Euler, enligt σk =

π 2E λ2

Utvärderingsexemplar

För knäckning inom det oelastiska området hämtas uttrycket för σk från Tetmajer eller från någon annan experimentalist, som Navier, Rankine, Engesser, von Karman, Ostenfeld. Den kompletta kurvan A–B–D, kallas knäckningskurva.

Eftersom knäckning ofta medför, att en struktur blir direkt funktionsoduglig, används höga säkerhetsfaktorer, om knäckning kan uppstå. Med säkerhetsfaktor menas i sammanhanget kvoten mellan knäcklasten, Pk, och den faktiskt verkande axialkraften, P, eller: n=

Pk σ k A σ k = = P σt A σt

(16:22)

där σt betecknar den faktiska tryckspänningen. För konstruktionsstål och aluminiumlegeringar väljs säkerhetsfaktorer mellan 1,7 och 4, för gjutjärn mellan 4 och 10. De högre värdena gäller för stora värden på slankhetstalet. De stora säkerhetsfaktorerna motiveras också av att spänningen p g a utböjning inte beaktas i uttrycket för säkerhetsfaktorn. I ekvation (16:22) ingår ju endast rena tryckspänningar. För en sträva utan excentricitet enligt avsnitt 16.3 och som illustreras av figur 16.14, ges knäckkraften av Pk = Pkrit, 1 =

π 2EI

L2r

295

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 296

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

Om strävan är absolut rak och lasten kan anbringas helt centriskt och i linje med balkens axialriktning, kan strävan belastas hur nära Pk som helst utan någon utböjning, så länge bara P < Pk. Spänningen i strävan kan därmed drivas praktiskt taget upp till π 2EI P σk = k = ,

AL2r

utan att några böjspänningar uppstår. I verkligheten är ingen sträva idealt rak och ingen last kan anbringas exakt i geometricentrum eller i linje med balkens axialriktning. Därför uppkommer en utböjning så snart P > 0, t ex som figur 16.16 visar. Och med utböjningen följer böjspänningar, som gör att den maximala tryckspänningen i balken blir > P/A. Om vi leker med tanken, att strävan har en längd av L = 1,500 m och har cirkulärt tvärsnitt med d = 30 mm samt att vi får en maximal utböjning av v( L ) =

L 1, 500 = = 0, 0015 m =1,5 mm, 1000 1000

blir inspänningsmomentet M0 = P · v(L) = 0,0015P Nm. Ett lika stort inspänningsmoment uppstår, om vinkeln mellan kraften och balkens axialriktning uppgår till arcsin(1/1000) ≈ 0,057 °. Detta moment ger en böjspänning av

Utvärderingsexemplar σb = ±

32M0 πd 3

=±

32PL

1000πd 3

Tryckspänningen uppgår till σt =

P 4P = A πd 2

Med en säkerhetsfaktor n = 4, gäller för knäckspänningen σ k = nσ t = 4 σ t =

4nP πd 2

Den numeriskt största spänningen i strävan blir därmed σ˜ = σ t + σ b =

4P  8L  1 +  2 1000 d  πd

Detta reducerar säkerhetsfaktorn till n red =

296

σk = σ˜

4 4 n = ≈ 2, 85. = 8L 8 ⋅1500 1, 40 1+ 1+ 1000d 1000 ⋅ 30

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 297

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

Istället för en säkerhetsfaktor av n = 4 sjunker den till nred ≈ 2,85 redan vid en så liten utböjning som en tusendel av spännvidden eller en snedställning av axialkraften med 0,057 °. Resultatet talar för sig själv, och motiverar användningen av höga säkerhetsfaktorer vid dimensionering av axialtryckta strävor. Knäckspänningen inom det elastiska området blir avsevärt lägre än t ex sträckgränsen. Något som direkt framgår av figur 16.17. I exemplet ovan blir tröghetsradien: I 4 πd 4 d = = 2 A 4 64 πd

och slankhetstalet λ=

L r κL 2 ⋅1500 ⋅ 4 = = = 400. 30 i i

Om vi antar att strävan är av stål med elasticitetsmodul E = 208 GPa, ger detta en knäcklast av: Pk = =

π 2EI

π 2 208 ⋅109 πd 4

64L2r L2r π 3 208 ⋅109 (30 ⋅10 −3 )4

π 3 208 ⋅109 d 4

64L2r

≈ 9069 N

Utvärderingsexemplar 64 ⋅ (2 ⋅1, 500)2

och en knäckspänning av σk =

4Pk

πd 2

≈

4 ⋅ 9069

π(30 ⋅10 −3 )2

≈ 12, 8 ⋅106 Pa.

Böjspänningen vid den antagna maximala utböjningen av 1,5 mm eller ett vinkelfel av 0,057 °, uppgår till: σb = ±

≈±

32M0 πd 3

=±

32PL 1000πd 3

32 ⋅ 9069 ⋅1, 500 1000 ⋅ 4 π(30 ⋅10 −3 )2

=±

32Pk L 1000nπd 3

≈

≈ ±1, 28 ⋅106 P, dvs 10% av σ k eller 40% av σ t .

Lasten, slutligen, utgör P=

Pk 9069 = ≈ 2267 N. n 4

För vissa konstruktioner finns tvingande regler för dimensionering mot knäckning, t ex för svetsade stålkonstruktioner i allmänhet (i dagligt tal kallade Byggsvetsnormerna), konstruktioner till lyftkranar (kallade Krannormerna), broar m m.

297

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 298

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

16.4.3 Beräkningsgång

Om en strävas dimensioner är givna, bereder beräkningen av knäcklasten inga problem. Strävans slankhetstal är då beräkningsbart och med detta ges knäckspänningen, σk endera från sambandet enligt Euler eller enligt Tetmajer. Om någon norm skall tillämpas, hämtas den tillåtna spänningen, σktn direkt från denna. Vid användning av Euler eller Tetmajer och med säkerhetsfaktor n, bestäms den tillåtna spänningen ur σ ktn =

σk

Om man däremot skall dimensionera en sträva för en viss last och med given säkerhet, kan man inte direkt räkna fram behövlig area och minsta yttröghetsmoment. Slankhetstalet kan ju inte bestämmas, förrän dessa storheter är kända. Därmed kan inte heller knäckspänningen fastställas. Istället får man pröva sig fram genom att gissa någon lämplig profil- eller sektionsstorlek och genomföra beräkningen på denna enligt ovan. Resultatet blir en tillåten last, som naturligtvis sällan stämmer överens med den verkliga. Men som tjänar som god vägledning för val av en annan profil-/sektionsstorlek. Om den beräknade lasten är för låg, väljs en profil med grövre dimension och vice versa. För att hamna någorlunda rätt med det nya profilvalet, används den vid första försöket använda tillåtna spänningen för att bestämma en ungefärlig tvärsnittsarea, enligt A2 ≈ P/σktn 1.

Utvärderingsexemplar

Beräkningen upprepas med dessa nya värden på area och tröghetsmoment. Om detta inte leder till en last som är lika stor eller större än den verkliga, upprepas förloppet, men nu med den vid andra försöket erhållna spänningen, σktn2. Efter två till tre försök, brukar man komma rätt, om man befinner sig i det oelastiska området. I det elastiska området kan krävas ytterligare ett eller två försök p g a att knäckspänningen varierar kraftigare med slankhetstalet. Metodiken illustreras med följande exempel: En pelare med cirkulärcylindriskt tvärsnitt skall bära en axiallast om Pverkl = 30,0 kN. Pelarens längd är L = 500 mm och säkerheten mot knäckning skall vara fyrfaldig. Belastningsfall enligt Euler 2. Pelaren är tillverkad av stål, SIS 1312 med elasticitetsmodul E = 210 GPa. Bestäm pelarens diameter. Försök med d1 = 20 mm ⇒ A1 = I1 =

298

π(20 ⋅10 −3 )2

πd 4

≈ 3,14 ⋅10 −4 m 2 ,

π(20 ⋅10 −3 )4

≈ 7, 85 ⋅10 −9 m 4

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 299

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

Nu kan tröghetsradie och slankhetstal bestämmas. 7, 85 ⋅10 −9

I ≈ A

i1 =

3,14 ⋅10 −4

≈ 5, 00 ⋅10 −3 m,

λ1 =

L r L 500 = ≈ = 100 < 110 i i 5, 00

Tetmajer är alltså tillämplig, som för SIS 1312 lyder: σk1 = 310 – 1,14 λ ≈ 310 – 1,14 · 100 ≈ 196 MPa

Tillåten spänning får uppgå till σ ktn1 =

σ k1

≈

196 = 49 MPa. 4

Den tillåtna axiallasten blir därmed Ptn1 = σtn1 A1 ≈ 49 · 106 · 3,14 · 10 – 4 ≈ 15,4 · 103 N < Pverkl . Den ansatta diametern d1, var alltså för liten. En ny ansats för arean görs i form av A2 =

Pverkl σ ktn1

≈

30 ⋅103 49 ⋅106

≈ 6,12 ⋅10 −4 m 2

som ger diametern

Utvärderingsexemplar

d2 =

4A 2 π

≈

4 ⋅ 6,12 ⋅10 −4 π

≈ 27, 9 ⋅10 −3 m

och tröghetsmomentet I2 ≈

π(27, 9 ⋅10 −3 )4

≈ 29, 8 ⋅10 −9 m 4 ,

innebärande i2 ≈

29, 8 ⋅10 −9 6,12 ⋅10 −4

≈ 7, 0 ⋅10 −3 m,

500 ≈ 71, 4 ⇒ σ k 2 = 310 − 1,14 λ ≈ 310 − 1,14 ⋅ 71, 4 ≈ 228 MPa ⇒ 7, 00 σ 228 = 57 MPa ⇒ σ ktn 2 = k 2 ≈ n 4 λ2 ≈

Ptn 2 = σ ktn 2 A 2 ≈ 57 ⋅106 ⋅ 6,12 ⋅10 −4 ≈ 34, 9 ⋅103 N > Pverkl . Den ansatta diametern d2, var alltså för stor.

299

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 300

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

En ny ansats för arean görs i form av A3 =

Pverkl σ ktn 2

≈

30 ⋅103 57 ⋅106

≈ 5, 26 ⋅10 −4 m 2

som ger diametern d3 =

4A3 π

≈

4 ⋅ 5, 26 ⋅10 −4 π

≈ 25, 9 ⋅10 −3 m

och tröghetsmomentet I3 ≈

π(25, 9 ⋅10 −3 )4

≈ 22, 0 ⋅10 −9 m 4 ,

innebärande i3 ≈

22, 0 ⋅10 −9 5, 26 ⋅10 −4

≈ 6, 5 ⋅10 −3 m,

500 ≈ 76, 9 ⇒ σ k 3 = 310 − 1,14 λ ≈ 310 − 1,14 ⋅ 76, 9 ≈ 222 MPa ⇒ 6, 5 σ 222 = 55, 5 MPa ⇒ σ ktn3 = k 3 ≈ n 4 λ3 ≈

Ptn3 = σ ktn3 A 3 ≈ 55, 5 ⋅106 ⋅ 5, 26 ⋅10 −4 ≈ 29, 2 ⋅103 N ≈ 30,0 kN.

Utvärderingsexemplar En pelare med 26,0 mm diameter bör väljas.

16.4.4 Intermittent tvärförbundna strävor

Figur 16.18 Lokal utknäckning av sträva med intermittenta tvärförbindningar.

300

Det är inte helt ovanligt, att en sträva består av ett antal, oftast två (standard-)profiler, som förenas med varandra med ett konstant mellanrum mellan profilerna. Sammanhållningen av profilerna sker vanligen med rektangulära plåtar, som svetsas till profilerna på ekvidistanta avstånd. Ibland sätts profilerna istället samman med skruv och mutter med mellanliggande distanshylsa. Avsikten med arrangemanget är vanligtvis att få en sträva, som är jämstark mot knäckning i alla riktningar. Överfört till yttröghetsmoment innebär detta, att huvudtröghetsmomenten och därmed samtliga yttröghetsmoment för strävan som helhet skall vara lika stora i alla riktningar. För att de sammansatta profilerna skall bete sig som en enda sträva, krävs att lokal knäckning av profilerna mellan tvärförbindningarna inte sker. Figur 16.18 visar schematiskt hur en lokal utknäckning kan gestalta sig. Profilerna har ju var för sig lägre minsta tröghetsmoment än den sam-

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 301

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

mansatta strävan. Det räcker därför inte att förena profilerna i vardera änden, utan ett antal tvärförbindningar krävs däremellan för att på så sätt minska knäcklängden hos profilerna. Vanligen placeras tvärförbindningarna med lika avstånd mellan varandra. En fråga man ställs inför i sammanhanget är, hur styva tvärförbindningarna blir. Kan de likställas med fast inspänning av profilerna vid tvärförbindningarna? Eller svarar de mer mot ledade infästningar? Svaret beror givetvis på, hur styva tvärförbindningarna är. Fast inspänning kan sällan realiseras. Vanligen används därför Eulerfall 2 vid dimensionering mot lokal knäckning. Om risken för lokal knäckning skall vara densamma som risken för knäckning av strävan som helhet krävs, att knäckspänningen i de enskilda balkdelarna/profilerna är lika stor som för hela strävan. Mellan knäckspänning och slankhetstal finns ett entydigt samband både inom det oelastiska och det elastiska området. Ett annat sätt att formulera villkoret blir därför: Profilerna skall ha samma slankhetstal mellan infästningspunkterna som strävan som helhet. Följande exempel visar hur man går till väga vid strävor med intermittenta tvärförbindningar. y En sträva med 3,00 m längd är ledlagrat infäst i bägge ändar och sammansatt av två U-stänger, U65 av stål SIS 1312 och monterade med ryggsidorna mot varandra enligt figur. För U-stängerna finns följande uppgifter att hämta i en tillverkares datablad:

Utvärderingsexemplar

Ix-x = I1 = 57,5 cm4 Iy-y = I2 =14,1 cm4 A = 9,03 cm2 e = 1,42 cm.

e y

Hur stort skall avståndet p mellan livplåtarna väljas, för att strävan skall bli jämstark mot knäckning? Hur stor axiallast kan strävan i så fall belastas med, om säkerhetsfaktorn mot knäckning skall vara 4? Och hur stort får avståndet mellan tvärförbindningarna högst vara? Lösning: Först bestäms avståndet p, så att strävans yttröghetsmoment blir desamma med avseende på x- och en med y-axeln parallell axel genom strävans geometricentrum. Villkoret härför blir: 2

 2e + p  2I 2 + 2 A   = 2I1.  2 

301

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 302

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

Med numeriska värden insatta: 2

 2 ⋅1, 42 + p  2 ⋅14,1 + 2 ⋅ 9, 03   = 2 ⋅ 57, 5 ⇒ p ≈ 1, 54 cm. 2   I många profiltabeller finns även storheten p angiven, och behöver i så fall inte beräknas. Strävans tröghetsradie blir i =

2I1 57, 5 ≈ ≈ 2, 52 cm. 2A 9, 03

Den reducerade knäcklängden blir med ledlagrad infästning Lr = L = 3,00 m. Slankhetstalet blir λ=

L r 300 ≈ ≈ 119 > 110. 2, 52 i

Knäcklasten fås med Eulerfall 2 och blir: Pk =

π 2EI

L2r

π 2 210 ⋅109 ⋅ 2 ⋅ 57, 5 ⋅10 −8

3, 002

≈ 265 ⋅103 N.

Knäckspänningen blir σk =

Pk 265 ⋅103 ≈ ≈ 147 ⋅106 Pa 2 A 2 ⋅ 9, 03 ⋅10 −4

Utvärderingsexemplar och den maximalt tillåtna axiallasten Ptn =

Pk 265 = ≈ 66 kN n 4

Närmare uppgift om tvärförbindningarnas art saknas. Därför ansätts det mest ogynnsamma fallet för lokal knäckning, d v s ledlagrade ändar. Det minsta tröghetsmomentet för en U-balk är Imin = I2 = 14,1 cm4. Detta innebär en tröghetsradie i2 =

14,1 I2 = ≈ 1, 25 cm. 9, 03 A

Villkoret för att med samma säkerhet förhindra lokal knäckning är, att balksegmentens och strävans slankhetstal är lika, d v s avståndet a mellan tvärförbindningarna skall inte överstiga: λ = 119 =

a a = ⇒ a ≈ 149 cm. i 2 1, 25

En tvärförbindelse i vardera ändan av strävan och en på dess mitt bedöms därmed tillräckligt.

302

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 303

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

16.5 Elementarfall för axiellt belastade, raka balkar. Berryfunktioner Liksom vid böjning utan hänsyn till axialkraftens inverkan på utböjningen, har man god nytta av elementarfall, som inkluderar axialkraftens verkan. I de flesta fall blir uttrycken så komplicerade, att de sällan kommer till direkt användning i sin originalform. Istället tecknas utböjningar, vinklar vid balkens ändar och andra intressanta storheter som algebraiska och trigonometriska uttryck, innehållande hjälpfunktioner. Dessa hjälpfunktioners värde hämtas från diagram, som kallas Berryfunktioner. Sådana hittas i många formelsamlingar, t ex i [5]. Bara som en illustration till förfaringssättet, härleds v(x) ett av de enklare elementarfallen. En fritt M0 upplagd balk med längd L, belastad i änP darna med lika stora kraftpar och med ΘB ΘA y motriktade axiella tryckkrafter enligt figur.

Utgående från ekvation (16:7) och med normalkraften N = –P antar ekvationen formen:

Utvärderingsexemplar

EIvIV(x) + Pv''(x) = q(x)

som med q(x) = 0 övergår i EIvIV(x) + Pv''(x) = 0.

Lösningen av denna homogena differentialekvation finns angiven i (16:13). De tillhörande derivatorna framgår i sin tur av (16:14) till (16:16). Uttrycken återges som följer:  P   P  v( x ) = C1 + C 2 x + C3 cos  x + C 4 sin  x  EI   EI  v'( x ) = C 2 −

v''( x ) = −

 P   P  P P C 3 sin  x + C 4 cos  x EI EI  EI   EI 

 P   P  P P C3 cos  x − C 4 sin  x EI  EI   EI  EI 3

 P   P   P 2  P 2 v'''( x ) =   C3 sin  x −   C 4 cos  x  EI   EI   EI   EI  303

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 304

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

Stödreaktionerna blir: A = B = 0 Randvillkoren blir: a) v(0) = 0, b) v(L) = 0, c) M(0) = M0, d) M(L) = M0 . Villkoren c) och d) kan alternativt skrivas som EIv''(0) = –M0 respektive EIv''(L) = –M0. Randvillkoren ger de fyra behövliga ekvationerna för att bestämma konstanterna. Insättning i (16:13) till (16:16) ger: a ) 0 = C1 + C3

 P   P  b) 0 = C1 + C 2L + +C3 cos  L + C 4 sin  L  EI   EI  c) −

M0 P = − C3 EI EI

d) 0 = −

 P   P  P M0 P = − C 3 cos  L − C 4 sin  L . EI EI  EI   EI  EI

Villkoret c) ger omgående C3 = M0/P varpå a) ger C1 = –M0/P. Villkoret d) medför  P  1 − cos  L  EI  M0 C4 = P  P  sin  L  EI 

Utvärderingsexemplar Villkoret b) medför:  P  1 − cos  L  P   P  M  EI  M0  0 sin  C2 = L  − L = 0 1 − cos  PL   P   EI   EI   PL sin  L  EI  Inför parametern n = C1 = −

M0 P

C2 = 0 M C3 = 0 P M0 1 − cos(nL ) C4 = P sin(nL )

304

P , varefter konstanterna skrivs som: EI

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 305

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

Med dessa värden insatta i (16:13) blir utböjningen: v( x ) = − v( x ) =

M0 M0 M 1 − cos(nL ) + cos(nx ) + 0 sin(nx ) P P P sin(nL )

M0 P

  1 − cos(nL ) sin(nx ) −1 + cos(nx ) + sin(nL )  

Inför parametern P L. EI

γ = nL =

Uttrycket för utböjningen antar då formen: v( x ) =

 M0  1 − cos γ sin(nx ) −1 + cos(nx ) + 2 sin γ n EI  

Vinklarna vid balkens båda ändar blir:  dv( x )  M0 1 − cos γ M 1 − cos γ M0L 2(1 − cos γ ) =n 0 =  =n 2EI γ sin γ n 2EI sin γ  x  x =0 P sin γ

ΘB = Θ A = 

I detta fall får parametern P  2(1 − cos γ ) L = γ sin γ  EI  

Utvärderingsexemplar

κ( γ ) = κ 

utgöra Berryfunktion för elementarfallet ifråga och hämtas från tillhörande graf i någon formelsamling, t ex [5]. Vinklarna skrivs då som: Θ A = ΘB =

M0L κ( γ ) 2EI

Redan för det fall att kraftparen inte är lika stora, blir funktionerna mer komplicerade. Med kraftparen MA och MB erhålls t ex för vinklarna vid respektive balkände: ΘA =

MAL M L ϕ( γ ) + B f ( γ ), 3EI 6EI

ΘB =

MB L M L ϕ( γ ) + A f ( γ ) 3EI 6EI

där Berryfunktionerna utgörs av ϕ( γ ) =

 31 6 1 1 −   − cot γ  , f ( γ ) =  γ γ γ  sin γ γ  

305

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 306

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

Genom att använda Berryfunktioner i elementarfallen, kommer uttrycken för utböjningar och vinklar att ha samma karaktär vid tryck- och dragkrafter. Om i exemplet ovan axialkraften är dragning istället för tryck, får man istället: ΘA =

M A L ˜ MB L ˜ F( γ ), Φ( γ ) + 3EI 6EI

˜ =L γ˜ = nL

N , EI

Φ( γ˜ ) = −

ΘB =

MB L ˜ M A L ˜ F( γ ), där Φ( γ ) + 3EI 6EI

 31  − coth γ˜  , γ˜  γ˜ 

F( γ˜ ) =

6 1 1 −   γ˜  sinh γ˜ γ˜ 

Eftersom formelsamlingar och handböcker, t ex [5], innehåller ett rikt utbud av elementarfall med tillhörande Berryfunktioner, ägnas inget ytterligare utrymme åt dessa begrepp i denna bok.

16.6 Övningsexempel För exempel med U-stänger, se appendix 1.

! Utvärderingsexemplar 16/1

En rak balk med längd L och böjstyvhet EI är fast inspänd i den ena änden. Den andra änden är böjstelt förenad med en stel släde, som är rörlig vinkelrätt mot balkens längdriktning. Detta slags uppläggning kallas ofta slidlagring. Balken belastas med en axiell tryckkraft. L, E, I Bestäm knäcklasten utgående från P P tillhörande differentialekvation, (16:7).

! 16/2

Ett länkverk enligt figur hålls i jämvikt av två fjädrar med fjäderkonstant k. Fjädrarna kan ta upp både drag- och tryckkrafter och är i det ritade läget förspända med en dragkraft, F0. Länkverkets tre stänger, som vardera har längden L, kan betraktas som stela relativt fjädrarna. Den fördelade lasten är Q och verkar över ena halvan av den horisontella stången. Bestäm knäcklasten för länkverket.

306

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 307

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

! 16/3

Man skall komplettera ett pappersbruk med en gångbrygga enligt figur. Bryggans höjd över golvet är 4,00 m. Bryggans bredd är 2,00 m och den understöds på ena långsidan av ledlagrade pelare med 5,00 m mellan varje pelare. Bryggdäcket dimensioneras för en jämt fördelad last om 7,50 kN/m2. Pelarna har cirkulärcylindrisk sektion och är tillverkade av stål, SIS 1312. Säkerheten mot knäckning skall vara 5. a) Föreslå lämplig pelardiameter. b) Om man istället för massiva pelare använder rör med 100 mm ytterdiameter, hur stor blir den procentuella viktbesparingen jämfört med massiv sektion? c) Om pelarna byts mot U-balkar, vilken dimension skall dessa ha? d) Om varje pelare ersätts med intermittent tvärförbundna Ubalkar, vilken dimension skall dessa ha, och hur många tvärförbindningar behövs? Tvärförbindningarna antas helt böjveka. e) Hur mycket väger en pelare utförd enligt d) respektive a) och hur stor blir den procentuella viktbesparingen med tvärförbundna U-balkar?

!Utvärderingsexemplar 16/4

En enkel svängkran är utförd enligt figur. Maximal last är angiven till 40,0 kN. Strävan A-B utgörs av två likadana U-stänger med intermittenta tvärförbindningar mellan liven. Avståndet mellan balkliven väljs så, att huvudtröghetsmomenten för den sammansatta strävan blir lika stora. Materialet är SIS 1412. Säkerheten mot knäckning skall vara 4. Föreslå lämpliga U-stänger.

3,0 m

1,5 m

4,0 m

! 16/5

Föreslå lämpliga U-stänger i strävan A-B, om svängkranen i övningsexempel 16/4 istället skall bära en maximal last om 100 kN. Övriga faktorer är desamma.

! 16/6

En horisontell balk, U100, är fast inspänd i sin ena ände och belastas i sin andra ände med en vertikal last av F = 10,0 kN. Denna ände är dessutom stagad med en dragstång i vertikalplanet enligt figur. Balken är orienterad med sitt liv i horisontalplanet. Balken har en längd av L = 3,50 m och dragstången bildar ϕ = 30° med balken. Material: SIS 1412. Hur stor blir säkerhetsfaktorn för knäckning?

ϕ L

307

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 308

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

16/7

På den ena flänsen av en balk, U140, svetsas en längsgående plåtstrimla med bredd 150 mm och tjocklek 8 mm enligt figur. Material i balk och plåt är SIS 1412. Balken utsätts för motriktade axiella tryckkrafter om 200 kN i geometricentrum. Hur lång får den modifierade balken högst vara, om fyrfaldig säkerhet mot knäckning krävs? Vardera balkänden är försedd med en friktionsfri kulled. Svetsarnas inverkan på yttröghetsmomenten försummas.

16/8

På den ena flänsen av en balk, U140, svetsas en längsgående plåtstrimla med bredd 150 mm och tjocklek 8 mm enligt figur. Material i balk och plåt är SIS 1412. Balken utsätts för motriktade axiella tryckkrafter om 200 kN i geometricentrum. a) Hur stort skall måttet d vara, för att utböjningen vid knäckning skall ske i plan som är parallella med x-y-planet? b) Hur lång får balken högst vara, om fyrfaldig säkerhet mot knäckning krävs? Vardera balkänden är försedd med en friktionsfri kulled. Svetsarnas inverkan på yttröghetsmomenten försummas.

Utvärderingsexemplar

! 16/9

Tre stycken balkar, U100, svetsas samman till en integralbalk enligt figur. Geometricentrum för integralbalken sammanfaller med centralbalkens geometricentrum, som också utgör origo för figurens y-z-axlar. Balkens ändar är infästa enligt figur och på vardera balkänden verkar motriktade tryckkrafter om P = 130 kN. Hur stor säkerhet mot knäckning ger detta, om balken är 6,70 m lång? Material: SIS 1412. y

z x

308

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 309

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

! 16/10

En 4,00 m hög stolpe av trä med cirkulär sektion är fast inspänd i sin nedre ände. Dess övre ände kan förskjutas i stolpens längdriktning, men ej transversellt mot denna. Vilken diameter skall stolpen ha, om den skall belastas med en axiell tryckkraft om 27,0 kN med sexfaldig säkerhet? Elasticitetsmodulen för trä kan sättas till 10 GPa och gränsen mellan oelastiskt och elastiskt område kan anses gå vid λ0 = 100. I det oelastiska området gäller enligt Tetmajer: σk = 29,3 – 0,194 λ MPa.

! 16/11

En mast byggs samman av tre likadana rör med innerdiameter 62 mm och ytterdiameter 70 mm, som förenas genom svetsning med distansplåtar med 2,50 m mellanrum enligt figur. Rörens centrum ligger i hörnen av en liksidig triangel med 162 mm sida. Hur lång kan masten göras, om säkerheten mot knäckning skall vara densamma för de enskilda rören som för masten? Distansplåtarna är så tunna, att de kan anses helt böjveka. Masten är infäst som vid Eulerfall 2.

! 16/12

Utvärderingsexemplar

Masten i övningsexempel 16/11 skall ha en längd av 10,00 m. a) Hur stor axiell tryckkraft får masten belastas med, om säkerheten mot knäckning skall vara 5? b) Hur stort får avståndet mellan distansplåtarna högst vara?

! 16/13

En rak konsolbalk med längd L och böjstyvhet EI belastas i den fria änden med en tryckkraft, P, vars verkningslinje oavsett utböjningens storlek går genom en fix punkt, A, belägen på ett konstant avstånd, H, under balkens fria ände enligt figur. Visa att den kritiska tryckkraften ges av den lägsta positiva roten till ekvationen:  H tan γ = γ 1 −  ; L 

γ =L

P , EI

om den maximala utböjningen förutsätts << L. Bestäm även den kritiska tryckkraften för specialfallen H H H = 0, = 1, →∞ L L L

och undersök eventuella likheter med något Eulerfall. A

309

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 310

16. stabilitet hos axialbelastade strävor, knäckning enligt euler och tetmajer

Svar till övningsuppgifter

16/1: Pk =

π 2EI

L2 16/2: Qkrit = 2kL

(som vid Euler 2)

16/3: a) 75 mm, b) 69%, c) U240,

d) U80, 4 stycken (< 170 mm mellan tvärförbindningarna), e) 70 kg, 139 kg, 50% 16/4: Två st. U100 (slankhetstalet inom det elastiska området).

Ger max last 45 kN 16/5: Två st. U140 (slankhetstal inom det oelastiska området).

Ger max last 131 kN 16/6: 5,0 (vid utknäckning i horisontalplanet) 16/7: 2,55 m (Imin ≈ 292 cm4, slankhetstal inom oelastiska området) 16/8: a) d = 57,4 mm, b) 2,53 m, (Imin ≈ 287,5 cm4) 16/9: 5,0 (vid knäckning sker utböjning i x-z-planet och enligt Euler 2)

Utvärderingsexemplar 16/10: 13 cm (λ ≈ 87 ⇒ Tetmajer)

16/11: 7,50 m (λ ≈ 107 ⇒ Euler 2) 16/12: a) 51 kN, b) 3,35 m

16/13: Pk =

Pk =

310

2, 05 π 2EI L2

π 2EI

4L2

(som Euler 3), Pk =

(som Euler 1)

π 2EI

(som Euler 2),

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 311

17 Fleraxliga spänningstillstånd I kapitel 11 härleddes sambanden mellan töjningar och spänningar, ekvation (11:2). Töjningskomponenterna εx, εy, εz, εxy, εyz, εzx är emellertid inte oberoende av varandra, utan är kopplade genom förskjutningarna ux, uy, uz . För att visa detta, studeras först jämviktsvillkoren för ett volymelement i form av ett rätblock och sedan sambanden mellan de förskjutningar och töjningar, som orsakas av spänningarna.

Utvärderingsexemplar

17.1 Jämvikts- och kompatibilitetsvillkor Figur 17.1 visar ett rätblockselement med sidlängder dx << 1, dy << 1, dz << 1 och sett i negativ z-riktning. Spänningar som verkar i z-riktningen (σz, τyz, τxz) har utelämnats, för att öka läsbarheten hos figuren. Om inga volymkrafter (tyngdkraft, magnetisk kraft) verkar på den struktur som innehåller volymelementet, gäller följande jämviktsvillkor för elementet:

σy +

y τ zy +

∂τ zy ∂z

∂σ y ∂y

τ yx +

∂x

dx dy dz +

∂y

(x, y, z)

∂τ xy ∂x

σσxx +

∂σ x dx ∂x

dx τ zx +

τ yx

I x-riktningen: ∂σ x

∂τ yx

τ xy +

τ xy σx dx

∂τ zx dz ∂z x

∂τ yx ∂y

dy dz dx +

∂τ zx ∂z

dz dx dy = 0

σy Figur 17.1 Spänningar på rätblockselement.

311

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 312

17. fleraxliga spänningstillstånd

Momentjämvikt moturs med avseende på en med z-axeln parallell axel genom centrum av sidorna med längder dx och dy ger:  ∂τ xy  dx dx dx dy dz + τ xy dy dz −  τ xy + 2 2 ∂x    ∂τ yx  dy dy =0 −  τ yx + dy  dz dx − τ yx dz dx ∂y 2 2   Efter reducering av ekvationen för kraftjämvikt: ∂σ x ∂x

∂τ yx ∂y

∂τ zx

∂z

(17:1)

Analogt fås, om jämviktsvillkoren för kraft i y- och z-riktningen ställs upp: ∂τ xy ∂x ∂τ xz ∂x

+ +

∂σ y ∂y ∂τ yz ∂y

+ +

∂τ zy ∂z ∂σ z ∂z

(17:2)

(17:3)

Momentjämvikt med avseende på axlar parallella med z-, x- och y-axeln ger efter gränsövergångarna dx → 0, dy → 0, dz → 0, de sedan förut kända likheterna:

Utvärderingsexemplar τxy = τyx

(17:4)

τyz = τzy

(17:5)

τzx = τxz

(17:6)

Eftersom antalet obekanta är nio stycken (σx, σy, σz, τxy, τyx, τyz, τzy, τzx, τxz ) och endast sex jämviktsvillkor kan formuleras, är problemet statiskt obestämt. Vid lastpåläggning förskjuts en punkt i strukturen med koordinater (x, y, z) till en ny position, se figur 17.2. Förskjutningsvektorn betecknas u med komponenterna (ux, uy, uz), eller ibland u = (u, v, w). Förskjutningsvektorn varierar från punkt till punkt i strukturen, d v s den är en funktion av x, y och z. Om förskjutningsvektorn vore densamma för alla punkter i strukturen, skulle detta innebära detta en ren stelkroppsrörelse i form av translation.

u uz ux (x, y , z)

312

uy Figur 17.2 Förskjutningsvektorer i punkten (x, y, z).

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 313

17. fleraxliga spänningstillstånd ∂u x dy ∂y

ux y

uy +

∂uy ∂y

γ xy2 dy ∂uy ∂x

dy ( 1 + ε y ) Figur 17.3 Förskjutningar, normaltöjningar och skjuvvinklar.

γ xy1 dx ( 1 + ε x )

uy x

∂u u x + x dx ∂x

Sett i negativ z-riktning kommer ett volymelement i form av ett rätblock med sidor dx << 1, dy <<1, dz << 1 att vid belastning dels förskjutas, dels deformeras, som figur 17.3 visar. Ur denna figur erhålls sambanden: dx + u x +

∂u x ∂x ∂u y

dx ≈ u x + dx (1 + ε x )

Utvärderingsexemplar

dy + u y +

∂y

dy ≈ u y + dy (1 + ε y )

eller efter reduktion av termer: εx = εy =

∂u x

(17: 7)

∂x ∂u y

(17:8)

∂y

Analogt kan visas εz =

∂u z

(17:9)

∂z

Från figuren inses vidare, att för små skjuvvinklar och normaltöjningar, gäller: ∂u y γ xy1 ≈ sin γ xy1 =

∂x

dx (1 + ε x ) ∂u x

γ xy 2 ≈ sin γ xy 2 =

∂y

1 ∂u y ∂u y ≈ ∂x 1 + ε x ∂x

dy (1 + ε y )

1 ∂u x ∂u x ≈ 1 + ε y ∂y ∂y

313

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 314

17. fleraxliga spänningstillstånd

eller för skjuvvinkeln, γxy: γ xy = γ xy1 + γ xy 2 =

∂u x ∂y

∂u y ∂x

Analogt bestäms skjuvvinklarna γyz och γzx, varpå: γ xy = γ yz = γ zx =

∂u x ∂y ∂u y ∂z ∂u z ∂x

+ + +

∂u y

(17:10)

∂x ∂u z

(17:11)

∂y ∂u x

(17:12)

∂z

Om spänningarna understiger proportionalitetsgränsen gäller Hookes generaliserade lag enligt (11:2), som utan temperaturterm reduceras till: τ xy τ yx 1 ( σ x − νσ y − νσ z ); 2 ε xy = 2 ε yx = γ xy = γ yx = = E G G τ yz τ zy 1 = ε y = ( σ y − νσ z − νσ x ); 2 ε yz = 2 ε zy = γ yz = γ zy = E G G 1 τ zx τ xz = ε z = ( σ z − νσ x − νσ y ); 2 ε zx = 2 ε xz = γ zx = γ xz = E G G εx =

(17:13)

Utvärderingsexemplar

Rätblockets sidor får vid belastning sidlängderna dx(1 + εx ), dy(1 + εy), dz(1 + εz ). Rätblockets volymändring vid belastning uppgår därmed till: ∆V = dx(1 + εx ) · dy(1 + εy ) · dz(1 + εz ) – dx · dy · dz

Dilatationen blir därmed: e=

∆V = (1 + ε x )(1 + ε y )(1 + ε z ) − 1 dx ⋅ dy ⋅ dz

Med normaltöjningar << 1 kan termer av andra och högre ordning försummas, varefter: e ≈ 1 + εx + εy + εz – 1 = εx + εy + εz eller uttryckt i förskjutningskomponenter enligt (17:7) till (17:9): e ≈ ε x + ε y + εz =

∂u x ∂x

∂u y ∂y

∂u z ∂z

(17:14)

Summation av normaltöjningarna i (17:13) leder till: e ≈ ε x + ε y + εz =

314

1 − 2ν (σ x + σ y + σ z ) E

(17:15)

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 315

17. fleraxliga spänningstillstånd

Ekvation (17:13) kan alternativt och med utnyttjande av (17:15) skrivas som: Eε x = (1 + ν)σ x − ν( σ x + σ y + σ z ) = (1 + ν)σ x −

νE

1 − 2ν

eller om σx löses ut: σx =

 νE ν E E  e= e εx + ε x + 1+ ν (1 + ν)(1 − 2 ν) 1+ ν  1 − 2ν 

Med G=

E 2(1 + ν)

kan Hookes generaliserade lag utan temperaturterm därför skrivas som: σx =

 ν E  e ; ε x + 1+ ν  1 − 2ν 

 ν E  e ; ε y + 1+ ν  1 − 2ν   ν E  σz = e ; ε z + 1+ ν  1 − 2ν  σy =

τ xy =

E γ xy E ε xy = 1+ ν 2 1+ ν

τ yz =

E γ yz E ε yz = 1+ ν 2 1+ ν

τ zx =

E γ zx E = ε zx 1+ ν 2 1+ ν

(17:16)

Utvärderingsexemplar

Med dessa uttryck för spänningarna, kan (17:1) skrivas om, som:

E  ∂ε x ν ∂e ∂ε xy ∂ε zx  (17:17) + + +  =0 1 + ν  ∂x 1 − 2 ν ∂x ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z   Uttryckt i förskjutningskomponenterna enligt (17:7), (17:10) och (17:12), kan termen ∂σ x

∂ε x ∂x

∂τ yx

∂ε xy ∂y

∂τ zx

∂ε zx ∂z

skrivas som: ∂ε x ∂x

∂ε xy ∂y

∂ε zx ∂z

∂ 2u x ∂x 2

1 ∂  ∂u x ∂u y  1 ∂  ∂u z ∂u x  + +   +  2 ∂y  ∂y ∂ x  2 ∂ z  ∂x ∂z 

och enligt (17:14) dilatationen som: e=

∂u x ∂x

∂u y ∂y

∂u z ∂z

⇒

∂e ∂x

∂ 2u x ∂x 2

∂ 2u y ∂x ∂ y

∂ 2u z ∂x ∂ z

315

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 316

17. fleraxliga spänningstillstånd

varpå (17:17) antar utseendet: 0=

∂ε x

∂ε xy

∂ε zx

∂y

∂z

∂e

= 1 − 2 ν ∂x ∂ 2 u x 1 ∂  ∂ u x ∂ u y  1 ∂  ∂ u z ∂u x  ν ∂e + = = + +  + +  2 ∂ x  2 ∂ z  ∂x ∂z  1 − 2 ν ∂x 2 ∂y  ∂ y ∂x ∂x

2 ν ∂e 1 ∂ 2u x 1 ∂ 2u x 1 ∂ u y 1 ∂ 2u z + + + + = 2 ∂y 2 2 ∂z 2 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂z 1 − 2 ν ∂x ∂x 2 2 1 ∂ 2u x 1 ∂ 2u x 1 ∂ 2u x 1 ∂ 2u x 1 ∂ u y 1 ∂ 2u z ν ∂e = + + + + + + = 2 ∂x 2 2 ∂y 2 2 ∂z 2 2 ∂x 2 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂z 1 − 2 ν ∂x ν ∂e 1  ∂ 2u x ∂ 2u x ∂ 2u x  1 ∂e + + + + =   2  ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2  2 ∂x 1 − 2 ν ∂x

∂ 2u x

Slutligen fås: ∂ε x ∂x

∂ε xy ∂y

∂ε zx ∂z

∂e

1 − 2 ν ∂x

1  ∂ 2u x ∂ 2u x ∂ 2u x  1 ∂e + +  + 2(1 − 2 ν) ∂x = 0 2 2 2  ∂x 2 ∂y ∂z 

För att komprimera skrivsättet introduceras Laplaces operator, ∆=

∂2 ∂x 2

∂2 ∂y 2

∂2

(17:18)

∂z 2

Utvärderingsexemplar Sambandet ovan förenklas då till följande kompatibilitetsvillkor: ∆u x +

1 ∂e =0 1 − 2 ν ∂x

(17:19)

På motsvarande sätt kan resterande kompatibilitetsvillkor visas vara: ∆u y +

1 ∂e =0 1 − 2 ν ∂y

(17:20)

∆u z +

1 ∂e =0 1 − 2 ν ∂z

(17:21)

Sammanfattas ovanstående, erhålls följande allmänna utgångssamband vid tredimensionella spänningstillstånd:

316

σx =

 ν E  ∂u x + e ;  1 + ν  ∂x 1 − 2 ν 

τ xy =

E  ∂u x ∂ u y  +   2(1 + ν)  ∂y ∂x  

(17:22)

σy =

 ν E  ∂u y + e ;  1 + ν  ∂y 1 − 2 ν 

τ yz =

E  ∂u y ∂u z  +   2(1 + ν)  ∂z ∂y  

(17:23)

σz =

 ν E  ∂u z + e ;  1 + ν  ∂z 1 − 2 ν 

τ zx =

E  ∂u z ∂u x  +   2(1 + ν)  ∂x ∂z 

(17:24)

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 317

17. fleraxliga spänningstillstånd

∆u x +

1 ∂e =0 1 − 2 ν ∂x

(17:25)

∆u y +

1 ∂e =0 1 − 2 ν ∂y

(17:26)

∆u z +

1 ∂e =0 1 − 2 ν ∂z

(17:27)

∂u x ∂x

∂u y ∂y

∂u z

(17:28)

∂z

Antal obekanta i (17:22) till (17:28) är tio (σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx, ux, uy, uz, e) och överensstämmer därmed med antal tillgängliga ekvationer.

17.2 Harmoniska och biharmoniska funktioner Vi deriverar (17:25) partiellt med avseende på x, med resultat:

Utvärderingsexemplar  ∂ 2u x

∂

∂ 2u x

∂ 2u x 

 ∂y 2 ∂z 2   ∂x 2 1 ∂ 2e 1 ∂ 2e = + = 1 − 2 ν ∂x 2 1 − 2 ν ∂x 2 ∂x ∂x 1 ∂ 2e ∂3u x ∂3u x ∂3u x = + + + = ∂x 3 ∂ x ∂ y 2 ∂x ∂z 2 1 − 2 ν ∂ x 2  ∂u   ∂u   ∂u  ∂2  x  ∂2  x  ∂2  x  x ∂ x ∂  ∂u     ∂x    1 ∂ 2e 1 ∂ 2e = + + = ∆ x  + =0 + 1 − 2 ν ∂x 2  ∂x  1 − 2 ν ∂x 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂( ∆u x )

Om första och sista ledet tas tillvara, fås likheten: ∂( ∆u x ) ∂x

1 ∂ 2e ∂u 1 ∂ 2e =∆ x + =0 1 − 2 ν ∂x 2 1 − 2 ν ∂x 2 ∂x

(17:29)

Analogt blir: ∂( ∆u y ) ∂y ∂( ∆u z ) ∂z

∂u y 1 ∂ 2e 1 ∂ 2e =∆ + =0 1 − 2 ν ∂y 2 1 − 2 ν ∂y 2 ∂y

(17:30)

1 ∂ 2e ∂u 1 ∂ 2e =∆ z + =0 1 − 2 ν ∂z 2 1 − 2 ν ∂z 2 ∂z

(17:31)

317

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 318

17. fleraxliga spänningstillstånd

Om uttrycken summeras blir resultatet:  ∂u

∆

 ∂x

∂u y ∂y

∂u z 

+

∂z 

1 ∆e = 0 1 − 2ν

eller med (17:28) ∆e +

1 ∆e = 0 ; 1 − 2ν

1− ν ∆e = 0 1 − 2ν

och alltså: ∆e = 0

(17:32)

En ekvation på formen: ∆g =

∂ 2g ∂x 2

∂ 2g ∂y 2

∂ 2g ∂z 2

kallas Laplaces ekvation och funktioner, g(x, y, z), som satisfierar ekvationen kallas harmoniska funktioner av koordinaterna. Dilatationen är alltså en harmonisk funktion (av x, y och z). Nu får Laplaces operator verka på storheten ∆ux i ekvation (17:25): ∆∆u x +

1 ∂e 1 ∂( ∆e ) ∆ = ∆∆u x + = 0, 1 − 2 ν ∂x 1 − 2 ν ∂x

Utvärderingsexemplar d v s eftersom ∆e = 0: ∆∆ux = 0

(17:33)

Analogt gäller för de övriga förskjutningarna: ∆∆uy = 0

(17:34)

∆∆uz = 0

(17:35)

Funktioner, g(x, y, z), som uppfyller ekvationen ∆∆g(x, y, z) = 0, kallas biharmoniska. Förskjutningskomponenterna ux, uy och uz är alltså biharmoniska funktioner. Om Laplaces operator får verka på spänningen σx i ekvation (17:22), tillsammans med sambandet (17:25), blir resultatet:  ν E  ∂u x ∆e  = + ∆ 1 + ν  ∂x 1 − 2 ν   1 ∂e  ∂ −  E ∂( ∆u x ) E  1 − 2 ν ∂x  = = = 1 + ν ∂x 1+ ν ∂x E ∂ 2e =− (1 + ν)(1 − 2 ν) ∂x 2 ∆σ x =

318

!"#$ %&#'()*'+, +&-./0''#& #" ++''+1-"+''2304'%+&

17. fleraxliga spänningstillstånd

eller ∆σ x +

E ∂ 2e =0 (1 + ν)(1 − 2 ν) ∂x 2

(17:36)

Med beteckningen Θ = σ x + σ y + σz

(17:37)

ger summation av normalspänningarna i (17:16): 3ν  3ν  E  E  E e = e = e e + ε x + ε y + ε z + 1+ ν  1 − 2ν  1 + ν  1 − 2ν  1 − 2ν

Θ=

(17:38)

Efter partiell derivering två gånger med avseende på x: ∂ 2Θ ∂x 2

E ∂ 2e 1 − 2 ν ∂x 2

⇒

∂ 2e ∂x 2

1 − 2 ν ∂ 2Θ , E ∂x 2

som insatt i (17:36) medför: ∆σ x +

1 ∂ 2Θ =0 1 + ν ∂x 2 ∂ 2Θ

(1 + ν)∆σ x +

eller

∂x 2

(17:39)

Utvärderingsexemplar

Analogt visas: (1 + ν)∆σ y + (1 + ν)∆σ z + (1 + ν)∆τ xy + (1 + ν)∆τ yz + (1 + ν)∆τ zx +

∂ 2Θ

(17:40)

(17:41)

∂y 2 ∂ 2Θ ∂z 2

∂ 2Θ ∂x ∂y ∂ 2Θ ∂y ∂z ∂ 2Θ ∂z ∂x

(17:42)

(17:43)

(17:44)

Låt nu Laplaces operator verka på ∆σx i (17:36): ∆∆σ x +

E ∂ 2e E ∂ 2 ( ∆e ) ∆ = ∆∆σ x + =0 (1 + ν)(1 − 2 ν) ∂x 2 (1 + ν)(1 − 2 ν) ∂x 2

och eftersom ∆e = 0: ∆∆σx = 0

(17:45)

319

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 320

17. fleraxliga spänningstillstånd

Analogt visas att ∆∆σy = 0

(17:46)

∆∆σz = 0

(17:47)

∆∆σx = 0

(17:48)

∆∆τxy = 0

(17:49)

∆∆τyz = 0

(17:50)

∆∆τzx = 0

(17:51)

Om slutligen Laplaces operator får slå på θ i (17:38), erhålls: ∆Θ =

E ∆e = 0 1 − 2ν

(17:52)

Av vad hittills redovisats, kan följande slutsatser därmed formuleras: Om volymkrafter saknas, utgör spännings- och förskjutningskomponenterna i ett Cartesiskt koordinatsystem biharmoniska funktioner av koordinaterna, medan dilatationen, e, och normalspänningssumman, θ, utgör harmoniska funktioner av samma koordinater.

Utvärderingsexemplar ! 17.2.1 Kompatibilitetsvillkor som spänningsrelationer

Ekvationerna (17:19), (17:20) och (17:21) anger kompatibilitetsvillkoren med förskjutningar och dilatation, d v s normaltöjningssumma som variabler. Men kompabilitetsvillkoren kan även formuleras med normalspänningarna som variabler. Som utgångspunkt tas ekvation (17:19) ∆u x +

1 ∂e ∂ 2u x ∂ 2u x ∂ 2u x 1  ∂ε x ∂ε y ∂ε z  = + + + + +  =0  1 − 2 ν ∂x 1 − 2 ν  ∂x ∂x ∂x  ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

Partiell derivering med avseende på x ger: ∂3u x ∂x 3

=∆

320

∂u x ∂x

∂3u x ∂x ∂ y 2

∂3u x ∂x ∂z 2

2 1  ∂ 2ε x ∂ ε y ∂ 2ε z   2 + 2 + 2  = 1 − 2 ν  ∂x ∂x ∂x 

1 ∂ 2e 1 ∂ 2e = ∆ε x + =0 1 − 2 ν ∂x 2 1 − 2 ν ∂x 2

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 321

17. fleraxliga spänningstillstånd

Med stöd av (17:38) och (17:13): 1 1 − 2 ν ∂ 2Θ 1 ∂ 2Θ = ∆ε x + = E ∂x 2 1 − 2 ν E ∂x 2 2 1 1 ∂ (σ x + σ y + σ z ) = ∆[ σ x − νσ y − νσ z ] + E E ∂x 2

0 = ∆ε x +

eller ∆σ x − ν∆σ y − ν∆σ z +

∂ 2 (σ x + σ y + σ z ) ∂x 2

Genom cyklisk permutation av index erhålls också: ∆σ y − ν∆σ z − ν∆σ x +

∆σ z − ν∆σ x − ν∆σ y +

∂ 2 (σ x + σ y + σ z ) ∂y 2 ∂ 2 (σ x + σ y + σ z ) ∂z 2

=0 =0

Summation av dessa tre uttryck ger omgående: ∆ (σx + σy + σz ) = 2ν∆(σx + σy + σz ) + ∆ (σx + σy + σz ) = 0

Utvärderingsexemplar

och till sist kompatibilitetsvillkoren med normalspänningarna som variabler: ∆ (σx + σy + σz ) = ∆Θ = 0

(17:53)

För varje tredimensionellt problem skall alltså dels jämviktsvillkoren: ∂σ x ∂x ∂τ xy ∂x ∂τ xz ∂x

+ + +

∂τ yx ∂y ∂σ y ∂y ∂τ yz ∂y

+ + +

∂τ zx ∂z ∂τ zy ∂z ∂σ z ∂z

(17:1)

(17:2)

(17:3)

vara uppfyllda, dels skall kompatibilitetsvillkoren ∆ (σx + σy + σz ) = ∆Θ = 0

(17:53)

satisfieras. Dessutom måste randvillkoren uppfyllas, d v s de spänningar/töjningar som råder inuti strukturen vid dess inre ränder, måste överensstämma med de externa spänningar/töjningar som verkar på randen. Men som med ”Tulipanarosen” är detta lättare att säga än att göra. Att finna lösningar till partiella differentialekvationer med givna randvillkor är en verklig pärs.

321

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 322

17. fleraxliga spänningstillstånd

17.3 Airys spänningsfunktion vid Cartesiska koordinater Vid tillstånd där samtliga spänningar är oberoende av någon lägeskoordinat, t ex oberoende av z och dessutom tzx = tzx(y), tzy = tzy(x), reduceras Laplaces operator till: ∆=

∂2

∂x 2

∂2

(17:54)

∂y 2

och kompatibilitetsvillkoren (17:53) till:  ∂2

∆( σ x + σ y + σ z ) = ∆Θ = 

 ∂x 2

∂2 

 (σ x + σ y + σ z ) = 0

∂y 2 

(17:55)

Jämviktsvillkoren (17:1) till (17:3) övergår i: ∂σ x

∂x ∂τ xy

∂τ yx ∂y ∂σ y

(17:56)

Utvärderingsexemplar +

(17:57)

= 0 ⇒ σ z = σ z ( x, y )

(17:58)

∂x

∂σ z ∂z

∂y

Genom att införa en funktion, Φ(x,y), kallad Airys spänningsfunktion, definierad av relationerna: σx = σy =

∂ 2Φ

(17:59)

∂y 2 ∂ 2Φ

(17:60)

∂x 2

τ xy = τ yx = −

∂ 2Φ

(17:61)

∂x ∂y

transformeras vänsterleden i jämviktsekvationerna(17:56) och (17:57) till: ∂3 Φ ∂x ∂y 2

322

−

∂3Φ ∂y ∂x ∂y

∂3 Φ ∂x ∂ y 2

−

∂3Φ ∂x ∂ y 2

= 0 = HL

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 323

17. fleraxliga spänningstillstånd

respektive: −

∂3 Φ ∂x 2 ∂y

∂3Φ

=−

∂y ∂x 2

∂3Φ ∂x 2 ∂y

= 0 = HL

Jämviktsvillkoren är därmed automatiskt uppfyllda. Kompatibilteten, som ges av (17:55) övergår i:  ∂2 ∂2  +  (σ x + σ y + σ z ) =  2 ∂y 2   ∂x =

∂4Φ ∂x 2 ∂y 2

∂4Φ ∂y 4

∂4Φ

∂x 4

 ∂2 ∂2  + +  σz = 0 ∂y 2 ∂x 2  ∂x 2 ∂y 2  ∂4Φ

eller: ∂4Φ ∂x 4

∂4Φ ∂x 2 ∂y 2

 ∂2 ∂2  + +  σz = 0 ∂y 4  ∂x 2 ∂y 2 

∂4Φ

(17:62)

Utöver tidigare förutsättningar för spänningarna, läggs nu ytterligare ett villkor, nämligen att σz (x, y) = ax + by + cxy + d, där a, b, c och d är godtyckliga konstanter. (17:62) förenklas då till: ∂4Φ ∂x 4

∂4Φ

Utvärderingsexemplar +2

∂x 2 ∂y 2

∂y 4

(17:63)

Problemet är med dessa förutsättningar reducerat till att finna en lösning till den partiella differentialekvationen (17:63), som också satisfierar randvillkoren.

Men inte heller detta är så enkelt att göra. Istället har man undersökt vad olika biharmoniska funktioner innebär för randlaster. Som exempel på en biharmonisk funktion väljs ett andragradspolynom, d v s: a c Φ 2 = 2 x 2 + b2 xy + 2 y 2 2

Man ser direkt, att denna spänningsfunktion satisfierar (17:63), eftersom samtliga i denna ekvation ingående partiella derivator av ordning fyra blir noll. Spänningarna får formen: σx = σy =

∂ 2Φ 2 ∂y 2 ∂ 2Φ 2 ∂x 2

= c2 = a2

τ xy = τ yx = −

∂ 2Φ 2 ∂x ∂y

= − b2

323

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 324

17. fleraxliga spänningstillstånd

Spänningarna σx, σy, τxy är alltså konstanta i strukturens alla punkter. Den valda spänningsfunktionen Φ2 motsvarar tydligen jämnt fördelade normalspänningar i x- och y-riktningen samt en konstant skjuvspänning. Resterande spänningar kan väljas godtyckligt inom begränsningarna τzx = τzx(y), τzy = τzy (x), σz (x, y) = ax + by + cxy + d,

t ex τzx = τzy = 0, σx = 0. a2

H L -b 2

Detta fall illustreras i vidstående figur på ett rätblock med x- och y-axlarna parallella med sidorna med längd L respektive H. De yttre spänningarna på ränderna måste vara desamma som de interna spänningarna vid dessa, d v s normalspänningen skall uppgå till c2 och skjuvspänningen skall uppgå till –b2 för x = 0 och x = L. För y = ±H/2 skall normalspänningen vara a2 och skjuvspänningen vara –b2 .

Spänningsfunktionen d c Φ3 = 3 y 3 + 2 y 2 6

Utvärderingsexemplar

satisfierar även den ekvation (17:63), eftersom samtliga i denna ekvation ingående partiella derivator blir noll. Tillhörande spänningar blir: σx =

σy =

∂ 2Φ3 ∂y 2

∂ 2Φ 2 ∂x 2

= d3y + c 2 =0

τ xy = τ yx = −

∂ 2Φ 2 ∂x ∂y

Fallet illustreras i vidstående figur på ett rätblock med x- och y-axlarna parallella med si+ x dorna med längd L respektive H. De yttre spänL ningarna på ränderna skall vara desamma som de interna spänningarna vid dessa, d v s normalspänningen skall variera enligt d3 y + c2 och skjuvspänningen skall vara 0 för x = 0 och x = L. För y = ±H/2 skall normalspänningen liksom skjuvspänningen vara 0. Om vi dessutom låter σz = τzx = τzy = 0, svarar denna spänningsfunktion uppenbarligen mot balkböjning med en överlagrad drageller tryckspänning. Maximal böjspänning är H 2 och dragspänningen är σ = c2 . σb = d3

324

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 325

17. fleraxliga spänningstillstånd

17.4 Saint-Venants princip I föregående avsnitt behandlades två exempel på belastade rätblock, där enkla spänningsfunktioner i form av polynom genererade lösningar. Jämvikts- och kompatibilitetsvillkoren uppfylldes, men lösningarna är korrekta, endast om de yttre krafterna/kraftparen är fördelade som spänningarna vid den rand/de ränder där dessa verkar. I exemplet med böjning i kombination med dragning eller tryck, måste det böjande momentet och normalkraften anbringas vid rätblockets ändar och på så sätt, att de yttre böjspänningarna blir proportionella mot avståndet från x-z-planet och normalspänningarna blir jämt fördelade över tvärsnittet. Vidare får inte (eftersom detta är en av förutsättningarna vid härledning av böjningsformlerna) infästningen av rätblockets ändar ge upphov till någon tvärsnittsvälvning, (plana tvärsnitt förblir plana). Om dessa villkor inte uppfylls, t ex om det böjande momentet inte är linjärt fördelat, så är den tidigare lösningen inte längre exakt. Som väl är, är den angivna lösningen dock inte så begränsad. Randvillkoren måste nämligen inte vara så strikt uppfyllda. En sådan utvidgning av lösningen baseras på Saint-Venants princip. Enligt denna gäller, att om yttre krafter/kraftpar med liten utsträckning på en rand till en elastisk struktur ersätts med ett annat och statiskt likvärdigt kraft- och/eller kraftparssystem och med samma utsträckning, orsakar denna omfördelning en lokal förändring av spänningsfördelningen, men har försumbar inverkan på avstånd som är stora jämfört med de dimensioner inom vilka spänningarna omfördelats.

Utvärderingsexemplar

Vid exempelvis balkböjning är tvärsnittets dimensioner mycket mindre än balklängden. Hur det böjande momentet appliceras, påverkar därför bara spänningsfördelningen i ”närheten” av balkändarna. På ”stort avstånd” från ändarna, blir böjspänningen linjärt fördelad över balkhöjden. Vad som menas med ”närhet” och ”stort avstånd”, kan inte anges generellt. Böjspänningen kan utan större fel anses linjärt fördelad på ett avstånd av ett par balkhöjder från lastangreppsområdet. Vid dragning eller tryck av en stång med rektangulärt tvärsnitt enligt figur 17.4 och med a < b och belastad med en punktlast, F, i vardera ändplanets centrum, blir den största avvikelsen från jämt fördelad spänning, σ = F/4ab, över tvärsnittet mindre än 37% på ett avstånd av b från ändarna. Men redan på ett avstånd av 2b har samma avvikelse sjunkit till 2,7%. För de flesta tekniska tillämpningar innebär SaintVenants princip, att man kan ignorera hur yttre krafter/kraftpar är fördelade över angreppsområdet. Undantaget är situationer, där utbredningen av kraftan-

Figur 17.4 Dragning av stång med rektangulärt tvärsnitt.

325

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 326

17. fleraxliga spänningstillstånd

greppsområdet börjar närma sig samma storlek som strukturens största dimensioner. Denna utomordentligt användbara tes formulerades av Barré de Saint-Venant (1797–1886) redan 1864.

17.5 Fleraxliga spänningstillstånd vid cylindriska/polära koordinater

För strukturer, vars ena geometriska rand utgörs av cirkelbågar eller elliptiska kurvor, är Cartesiska koordinater inte ändamålsenliga. Istället används cylindriska koordinater, (r, ϕ, z), enligt figur 17.5, som visar ett volymelement med sidor dr << 1, rdϕ << 1, (r + dr)dϕ << 1 och vinkelrätt mot figurplanet dz << 1. Samma figur innehåller även radiella spänningar, σr, och tangentiella spänningar, σϕ, som verkar på elementet. Vinkelrätt mot figurplanet verkar normalspänningen σz samt skjuvspänningarna τrz och τϕz . Dessutom verkar i figurplanet skjuvspänningarna τzr och τzϕ, vilka dock ej ritats ut i figuren. För ett mycket litet (infinitesimalt) element, blir skjuvspänningarna vid hörnen vinkelräta mot varandra, varför enligt tidigare τrϕ = τϕr, τrz = τzr, τϕz = τzϕ .

Utvärderingsexemplar Med dϕ << 1 ger jämvikten i radiell led:

  ∂τ ϕr  ∂σ r  dr (r + dr ) dϕ dz − σ r dϕ dz +  τ ϕr + dϕ dr dz − τ ϕr dr dz +  σr + ∂r ∂ϕ       ∂σ ϕ   dϕ ∂τ + τ zr + zr dz r dϕ dr − τ zr r dϕ dr −  σ ϕ + − dϕ dr dz 2 ∂z ∂ϕ     dϕ − σ ϕ dr dz =0 2

σϕ + y

Figur 17.5 Volymelement med verkande spänningar vid cylindriska koordinater.

326

∂σ ϕ ∂ϕ

τ ϕr + dϕ

∂τ ϕr ∂ϕ

dϕ

σr +

τϕr dϕ

σr τrϕ ϕ

σϕ x

∂σr dr ∂r τrϕ +

∂τrϕ ∂r

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 327

17. fleraxliga spänningstillstånd

Efter förenkling och förkastande av små termer av högre ordning, ger detta: ∂σ r ∂r

1 ∂τ ϕr ∂τ zr σ r − σ ϕ + + =0 r ∂ϕ r ∂z

(17:64)

Med dϕ << 1 ger jämvikten i tangentiell led (positiv ϕ-riktning):   ∂σ ϕ  σ ϕ + ∂ϕ dϕ dr dz − σ ϕ dr dz +     ∂τ ϕr dϕ dϕ +  τ ϕr + + τ ϕr dr dz + dϕ dr dz ∂ 2 2 ϕ    ∂τ rϕ  +  τ rϕ + dr (r + dr ) dϕ dz − τ rϕ r dϕ dz + ∂r    ∂τ zϕ  +  τ zϕ + dz r dϕ dr − τ zϕ r dϕ dr = 0 ∂z   Efter förenkling och förkastande av små termer av högre ordning, ger detta: 1 ∂σ ϕ ∂τ rϕ ∂τ zϕ 2 τ rϕ + + + =0 ∂r ∂z r ∂ϕ r

(17:65)

Med dϕ << 1 ger jämvikten i z-led:

Utvärderingsexemplar

 ∂σ z  dz r dϕ dr − σ z r dϕ dr +  σz + ∂z     ∂τ +  τ rz + rz dr (r + dr ) dϕ dz − τ rz r dϕ dz + ∂r     ∂τ ϕz +  τ ϕz + dϕ dr dz − τ ϕz dr dz = 0 ∂ϕ  

Efter förenkling och förkastande av små termer av högre ordning, ger detta: ∂σ z ∂z

∂τ rz ∂r

1 ∂τ zϕ 1 + τ rz = 0 r ∂ϕ r

(17:66)

Vid cylindriska koordinater utgör ekvationerna (17:64) till (17:66) motsvarigheter till ekvationerna (17:1) till (17:3).

327

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 328

17. fleraxliga spänningstillstånd

17.6 Airys spänningsfunktion vid cylindriska/polära koordinater Genom att införa en spänningsfunktion, Φ(r, ϕ) och sätta: σr =

1 ∂Φ 1 ∂ 2Φ + r ∂r r 2 ∂ϕ 2

(17:67)

∂ 2Φ

σϕ =

(17:68)

∂r 2

τ rϕ =

1 ∂Φ r 2 ∂ϕ

−

1 ∂ 2Φ ∂  1 ∂Φ  =−   r ∂r ∂ϕ ∂r  r ∂ϕ 

(17:69)

uppfylls (17:64) och (17:65) automatiskt för varje funktion, Φ(r, ϕ) för tillstånd där samtliga spänningar är oberoende av lägeskoordinaten z. Om dessutom τ zϕ = τ ϕz = τ zϕ (r ) = τ ϕz (r ),

τ zr = τ rz =

g( ϕ ) r

Utvärderingsexemplar

där g(ϕ) är en godtycklig funktion av ϕ, är även (17:66) satisfierad. Att de ansatta uttrycken för spänningar uppfyller jämviktsvillkoren, verifieras enkelt genom prövning av uttrycken (17:67) till (17:69) i respektive jämviktsvillkor. Men även kompatibilitetsvillkoren måste uppfyllas. För den skull studeras hur dessa i sin Cartesiska form, ∂4Φ ∂x 4

∂4Φ ∂x 2 ∂y 2

∂4Φ ∂y 4

= 0,

transformeras vid övergång till cylinderkoordinater. Sambandet mellan koordinaterna ges av de välkända relationerna: x = r cos ϕ,

y = r sin ϕ,

r2 = x2 + y2

respektive

Efter ett antal deriveringar fås: ∂r ∂x ∂ϕ ∂x

328

= =

2x = cos ϕ, 2r

∂r ∂y

2y = sin ϕ 2r

 y y −y sin ϕ =− =− − 2  = 2 2 2 r   x x +y r  y 1+    x 1

ϕ = arctan

y x

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 329

17. fleraxliga spänningstillstånd ∂ϕ ∂y

∂Φ ∂x ∂x 2

− = +

∂Φ ∂r

cos ϕ −

1 ∂Φ sin ϕ r ∂ϕ

 ∂   ∂Φ  1 ∂ 1 ∂Φ =  cos ϕ − sin ϕ  cos ϕ − sin ϕ = r ∂ϕ r ∂ϕ  ∂r   ∂r  cos 2 ϕ −

∂ϕ ∂r ∂ 2Φ

∂ 2 Φ sin ϕ cos ϕ ∂ϕ ∂r

r cos 2 ϕ − 2

∂r 2

∂Φ sin 2 ϕ ∂r

∂y 2

∂ϕ ∂x

∂ 2 Φ sin ϕ cos ϕ

∂Φ ∂r

∂Φ sin 2 ϕ ∂r

∂ϕ

∂ 2 Φ sin 2 ϕ

∂ϕ 2

∂ 2 Φ sin ϕ cos ϕ ∂ϕ ∂r

∂Φ sin ϕ cos ϕ

−

∂Φ sin ϕ cos ϕ ∂ϕ

∂ 2 Φ sin 2 ϕ ∂ϕ 2

∂r ∂y

∂Φ ∂ϕ ∂ϕ ∂y

∂Φ ∂r

sin ϕ +

1 ∂Φ cos ϕ r ∂ϕ

Utvärderingsexemplar

∂ 2Φ

∂Φ ∂ϕ

∂r ∂x

∂r 2

∂y

∂Φ ∂r

∂ 2Φ

∂Φ

∂ 2Φ

1 x x cos ϕ = = = 2 2 x r x +y r2  y 1+    x 1

 ∂   ∂Φ  1 ∂ 1 ∂Φ =  sin ϕ + cos ϕ  sin ϕ + cos ϕ = r ∂ϕ r ∂ϕ  ∂r   ∂r 

∂ 2Φ ∂r 2

∂ 2 Φ sin ϕ cos ϕ

sin 2 ϕ +

∂r ∂ϕ

∂ 2 Φ sin ϕ cos ϕ ∂ϕ ∂ r ∂ 2Φ ∂r 2

r sin 2 ϕ + 2

∂Φ cos 2 ϕ ∂r

r ∂Φ cos 2 ϕ ∂r

− +

∂ 2 Φ sin ϕ cos ϕ ∂r∂ϕ

∂Φ sin ϕ cos ϕ ∂ϕ

∂ 2 Φ cos 2 ϕ

∂ϕ 2

−2

−

∂Φ sin ϕ cos ϕ ∂ϕ

∂ 2 Φ cos 2 ϕ ∂ϕ 2

Addition av de två sista uttrycken och användning av (17:67) och (17:68) ger: ∂ 2Φ ∂x 2

∂ 2Φ ∂y 2

∂ 2Φ ∂r 2

1 ∂Φ 1 ∂ 2Φ + = σϕ + σr r ∂r r 2 ∂ϕ 2

(17:70)

Kompatibilitetsvillkoren kan även skrivas som: ∂4Φ ∂x 4

∂4Φ ∂x 2 ∂y 2

∂4Φ ∂y 4

 ∂2 ∂ 2   ∂ 2Φ ∂ 2Φ  + = +  =0  2 ∂y 2   ∂x 2 ∂y 2   ∂x

329

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 330

17. fleraxliga spänningstillstånd

Med ∂ 2Φ ∂x 2

∂ 2Φ ∂y 2

∂ 2Φ ∂r 2

1 ∂Φ 1 ∂ 2Φ + r ∂r r 2 ∂ϕ 2

antar kompatibilitetsvillkoren vid cylindriska koordinater slutligen formen:  ∂2 1 ∂ 1 ∂ 2   ∂ 2Φ 1 ∂Φ 1 ∂ 2Φ  + + + +  =0   2 r ∂r r 2 ∂ϕ 2   ∂r 2 r ∂r r 2 ∂ϕ 2   ∂r

(17:71)

alternativt  ∂2 1 ∂ 1 ∂2  + +  (σ ϕ + σ r ) = 0  2 r ∂r r 2 ∂ϕ 2   ∂r

(17: 72)

Problemställningen är därmed överförd till att lösa den partiella differentialekvationen (17:72), varvid jämvikts- och kompatibilitetsvillkoren uppfylls. Men lösningarna är helt riktiga, endast om de yttre krafterna/kraftparen är fördelade som spänningarna vid den rand/de ränder där dessa verkar. Eller att kraftangreppsområdena är så begränsade, att Saint-Venants princip är tillämplig. Men liksom vid Cartesiska koordinater, är det ingalunda trivialt att formulera lösningar till differentialekvationen.

Utvärderingsexemplar 17.7

Töjningskomponenter vid cylindriska koordinater För linjärt elastiska material är normaltöjningarna i axelriktningarna knutna till motsvarande normalspänningar genom elasticitetsmodul och Poissons konstant, t ex εx =

1 [ σ x − ν ( σ y + σ z )]. E

Skjuvvinklarna i de plan som definieras av samma axelriktningar är knutna till tillhörande skjuvspänningar via skjuvmodulen, t ex γ xy = τ xy/G. Vid användning av cylindriska koordinater används spänningar som är naturliga i sammanhanget, såsom σr, σϕ, τrϕ, τϕz. Det finns därför ett behov, att vid cylindriska koordinater även använda radiella och tangentiella töjningskomponenter och härleda dessa som funktioner av radiella, tangentiella och axiella förskjutningar, ur = u, uϕ = v, uz = w. 330

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 331

17. fleraxliga spänningstillstånd ∂u r∂ϕ

c* b*

r+dr

u r

∂v dϕ ∂ϕ

v r

~ b

b dϕ

∂v ∂r

Figur 17.6 Förskjutningar vid cylindriska koordinater.

~ a

d u+

∂u dr ∂r

Ett volymelement enligt figur 17.5 förskjuts och deformeras i r-ϕ-planet som figur 17.6 illustrerar, när det belastas. Punkterna a, b, c och d förskjuts till a*, b*, c*, d*. Den radiella förskjutningen av punkt a med koordinater (r, ϕ, z) är u och den tangentiella förskjutningen är v. I z-riktningen förskjuts punkt a med w. ∂u Punkt d, (r + dr, ϕ, z ), får en radiell förskjutning av u + dr ∂r ∂v och en tangentiell förskjutning av v + dr. ∂r ∂u Punkt b, (r, ϕ + dϕ, z ), får den radiella förskjutningen u + dϕ ∂ϕ ∂v och den tangentiella v + dϕ.

Utvärderingsexemplar ∂ϕ

Sidan a – d med längd dr förändras till längden dr(1+ ε r ). Från figur 17.6 inses ur geometrin: dr + u + εr =

∂u ∂r

dr = u +dr(1+ ε r )

eller efter förenkling:

∂u ∂r

(17: 73)

Bågen a – b med längd rdϕ tänks först bara få en radiell förskjutning, u. ˜ Vid belastning återfinns då punkt a i a˜ och punkt b i b. Båglängden a˜ – b˜ utgör (r + u)dϕ. Av figurens geometri framgår:  ∂v  ∂v a * − b * ≈ a˜ – b˜ − v +  v + dϕ = (r + u )dϕ + dϕ . ∂ϕ  ∂ϕ 

331

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 332

17. fleraxliga spänningstillstånd

Den tangentiella töjningen blir: εϕ =

a * −b * − a − b a−b

(r + u )dϕ + ≈

∂v

∂ϕ rdϕ

dϕ − rdϕ =

u 1 ∂v + r r ∂ϕ

(17: 74)

För skjuvspänningarna gäller: Den tangentiella förskjutningen av punkt a är v. Den tangentiella förskjutningen av punkt d är v +

∂v ∂r

dr .

Sidan a * − d * har alltså vridits en vinkel ∂v v + dr − v ∂v ∂r = dr ∂r relativt sidan a − d , som figur 17.6 visar. Men en del av denna vinkel utgör elementets stelkroppsrotation, som inte medför någon skjuvvinkel. Stelkroppsrotationen för punkt a representeras av bågen a˜ − a * ≈ v, svarande mot en rotationsvinkel, v v ≈ . r+u r

Utvärderingsexemplar Bidraget till skjuvvinkeln blir därmed ∂v v − . γ rϕ1 ≈ ∂r r

Den radiella förskjutningen av punkt b är u +

∂u ∂ϕ

dϕ .

Sidan a * − b * har alltså vridits en vinkel ∂u u + dϕ − u 1 ∂u ∂ϕ = γ rϕ 2 = rdϕ r ∂ϕ relativt sidan a − b , som figur 17.6 visar. Den totala skjuvvinkeln, slutligen, blir därmed: γ ϕr = γ rϕ = γ rϕ1 + γ rϕ 2 ≈

1 ∂u ∂v v + − r ∂ϕ ∂r r

(17: 75)

Genom att genomföra motsvarande resonemang dels sett i radiell riktning, dels sett i axiell riktning (figur 17.7), kan resterande samband mellan skjuvvinklar och förskjutningar fastställas. Härledningen av dessa utelämnas dock av utrymmesskäl.

332

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 333

17. fleraxliga spänningstillstånd

Analysen utmynnar i: ∂w

εz =

(17: 76)

∂z

1 ∂w ∂v + r ∂ϕ ∂z

γ ϕz = γ zϕ = γ rz = γ zr =

∂u ∂z

(17: 77)

∂w

(17: 78)

∂r

Om materialet är linjärt elastiskt med elasticitetsmodul E, skjuvmodul G och Poissons konstant ν, gäller Hookes lag i full analogi med relationerna vid Cartesiska koordinater, d v s:

[

]

(17: 79)

[

]

(17:80)

[

]

(17:81)

εϕ =

1 σ ϕ − ν( σ r + σ z ) E

εr =

1 σ r − ν( σ ϕ + σ z ) E

εz =

1 σ z − ν( σ r + σ ϕ ) E

γ rϕ =

1 τ rϕ G

(17:82)

γ ϕz =

1 τ ϕz G

(17:83)

γ zr =

1 τ zr G

(17:84)

Utvärderingsexemplar τ ϕz +

∂τ ϕz ∂ϕ

dϕ

τ zϕ +

τ ϕz

τ zϕ

∂z

τrz

τzr

τrz + τrz τ ϕz

∂τ zϕ

τ zr +

∂τrz dr ∂r

∂τ zr dz ∂z

Figur 17.7 Skjuvspänningar på element sett i radiell respektive tangentiell riktning.

333

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 334

17. fleraxliga spänningstillstånd

17.8 Övningsexempel

! 17/1

Undersök om funktionen Φ = cxy, där c är en konstant, är biharmonisk och därmed utgör en spänningsfunktion, samt analysera karaktären av det belastningsfall som spänningsfunktionen innebär för en rektangulär skiva enligt figur, om σz = τyz = τzx = 0.

! 17/2

Spänningsfunktionen c Φ2 = 2 y 2 2 ger tillsammans med förutsättningarna: σz = τyz = τzx = 0

Utvärderingsexemplar

en lösning till enaxlig dragning i x-riktningen av en cylindrisk stång enligt figur. L

Visa att förskjutningen u = ux = ux(x), d v s blir oberoende av y och z, innebärande att plana stångtvärsnitt förblir plana och enbart parallellförflyttas i x-riktningen vid belastning. För att eliminera förskjutningar orsakade av stelkroppsrörelser, används randvillkoren x = y = z = 0 ⇒ u = ux = v = uy = w = uz = 0 respektive y = z = 0 ⇒ v = uy = w = ux = 0 ∀ x i intervallet [0, L]. (Dessa randvillkor innebär, att en rak ”fiber” med infinitesimal area som sammanfaller med x-axeln förblir rak och bibehåller sitt läge och sin orientering vid belastning). Materialet antas linjärt elastiskt med elasticitetsmodul E och Poissons konstant ν. Visa slutligen, att om dragkraften är F och tvärsnittsarean är A, erhålls det välkända uttrycket för förlängningen: δ = u x ( L ) − u x ( 0) = u x ( L ) =

334

FL . AE

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 335

17. fleraxliga spänningstillstånd

! 17/3

Verifiera att funktionen Φ4 = −

a 3 ah 2 xy + xy 6 8

där a är en positiv konstant, är biharmonisk. Analysera sedan karaktären av det belastningsfall som spänningsfunktionen innebär, för en rektangulär skiva enligt figur med konstant tjocklek, b, om dessutom σz = τyz = τzx = 0.

x L y

! ! 17/4

Visa att funktionen Φ (r, ϕ) = kr ϕ sin ϕ, där k är en konstant, är biharmonisk.

17/5

Spänningsfunktionen Φ (r, ϕ) = kr ϕ sin ϕ i exempel 17/4, svarar enligt Flamant mot en jämt fördelad linjelast, q = F/s, verkande på en halvoändlig skiva med tjocklek s, enligt figur. Verifiera att randvillkoren σϕ (r, ± π/2) = 0 och τrϕ (r, ± π/2) = 0 satisfieras samt bestäm värdet av konstanten k ur jämviktsvillkoren. Märk, att när r → 0 ⇒ σr → ∞. I närmaste omgivning till linjelasq z ten uppstår därför flytning i mates rialet. Enligt Saint-Venants princip y inverkar detta inte på lösningen r inom de områden av skivan, där ϕ elastisk deformation råder.

Utvärderingsexemplar

! 17/6

För exempel 17/5 gäller för punkter på cirkeln 2

 d 2  d x −  + y =   , 2   2 där d är cirkeldiametern, att σr = – 2q/πd = konstant. Visa detta!

335

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 336

17. fleraxliga spänningstillstånd

! 17/7

Spänningsfunktionen Φ (r, ϕ) = kr ϕ sin ϕ svarar mot en jämnt fördelad linjelast, q = F/s, verkande på en halvoändlig skiva med tjocklek s, enligt figur. Verifiera att randvillkoren σϕ (r, ± π/2) = 0 och τrϕ (r, ± π/2) = 0 satisfieras, samt bestäm värdet av konstanten k ur jämviktsvillkoren. Märk, att när r → 0 ⇒ σr → ∞. I den närmaste omgivning till linjelasten uppstår därför flytning i materialet. Enligt Saint-Venants princip inverkar detta inte på lösningen inom de områden av skivan, där elastisk deformation råder. z s

x r

! 17/8

Beskriv det belastningsfall som motsvaras av spänningsfunktionen

Utvärderingsexemplar Φ=

M ϕ, 2 πs

om strukturen utgörs av en hålskiva med konstant tjocklek, s, och vars övriga ränder består av koncentriska cirklar med inre diameter d och yttre diameter D. Skivans symmetriaxel sammanfaller med z-axeln. Dessutom förutsätts att σz = τzr = τzϕ = 0.

! 17/9

Hur stor blir skillnaden mellan den yttre randens (r = D/2) och den inre randens (r = d/2) tangentiella förskjutning i exempel 17/8?

336

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 337

17. fleraxliga spänningstillstånd

Svar till övningsexempel

17/1: Konstanta skjuvspänningar, τ xy = − c på ränderna 17 /2: Ledning: Efter integration erhålls

c2 x + f1( y , z), E νc νc v = u y = − 2 y + f 2 ( z, x ), w = u z = − 2 z + f 3( x , y ). E E

u = ux =

För att bestämma de okända funktionerna f1, f 2 och f3 används villkoren: ∂u ∂y

∂v ∂x

= γ xy =

τ xy

= 0,

∂u ∂y

∂v ∂x

= γ xy =

τ xy

= 0,

som leder till c νc u = 2 x + yG( z) + H( z), v = − 2 y − xG( z) + F( z). E E För att bestämma de okända funktionerna G(z), H(z) och F(z) används villkoren: τ yz τ ∂v ∂w ∂w ∂u + = γ yz = = 0 och + = γ zx = zx = 0 . G G ∂z ∂y ∂x ∂z

Utvärderingsexemplar Härvid framkommer att G(z) = konstant = d och f 3( x , y ) = ey + k samt f 3( x , y ) = cx + q , där e, k, c och q är konstanter. Därmed måste e = c = 0 och k = q ⇒ f 3( x , y ) = k = q , d v s ∂f 3 ( x , y ) ∂x

∂f 3 ( x , y ) ∂y

=0⇒

∂f1( y , z) ∂z

∂f 2 ( z, x ) ∂z

= 0 och

f1( y , z) = f1( y ) = yd + H( z), f 2 ( z, x ) = f 2 ( x ) = − xd + F( z). Härav inses att H(z) = a = konstant, F(z) = b = konstant och u=

c2 νc νc x + yd + a, v = − 2 y − xd + b, w = − 2 z + k . E E E

Randvillkoren ger slutligen a = b = k = 0 och förskjutningarna c2 νc νc x , v = − 2 y, w = − 2 z . E E E F Vidare är σ x = = c 2 . A FL c För x = L blir δ = u(L) = 2 L = E AE u=

337

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 338

17. fleraxliga spänningstillstånd 17 /3: Konsolbalk med en kraft

abh3 = aI z 12 i y-riktningen vid x = 0 och fast inspänd vid x = L.

M = − FL

Skjuvspänningen i alla snitt, x = konstant, blir 2    a h F  h2 − y2  . τ xy =    − y 2  =   2I z  4 2  2    h För y = ± är τ xy = 0. 2 Skjuvspänningsfördelningen står i överensstämmelse med vad som erhålls enligt avsnitt 14.7, ekvation (14:31):

τ yx , medel = τ xy, medel =

TSz ( y ) I z b( y )

Böjspänningen vid x = L blir σ x = −aLy = −

FL y Iz

Utvärderingsexemplar och inspänningsmomentet h 2

FL FLb  y 3  2 FLb h3 M= yb dy y = − − =− = −FL   Iz I z  3  h I z 12 − h

∫

−

17/4: Verifieras genom prövning i (17:71). Delresultat: ∂ 2Φ ∂r 2

17/5: σ r =

1 ∂Φ 1 ∂ 2Φ 2 k cos ϕ + = r ∂r r 2 ∂ϕ 2 r

2k cos ϕ, r

σ ϕ = τ rϕ = 0,

k=−

2k cos ϕ, r

σ ϕ = τ rϕ = 0,

k=−

=−

F πs

17/6: − − − 17/7: σ r =

338

=−

F πs

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 339

17. fleraxliga spänningstillstånd 17/8: Konstanta skjuvspänningar på yttre randen;

D   D 2M , ϕ = τ rϕ   = , 2   2  πD 2 s

τ rϕ 

och på inre randen; d 2



 d  2

τ rϕ  , ϕ = τ rϕ   =



2M πd 2 s

Skjuvspänningarna ger motverkande moment av storlek M på respektive rand. D  d   D  d  D d M D2 − d 2 , ϕ − v  , ϕ = v   − v   = υ  −  + . 2  2   2  2  2 2  2 πGs Dd 2

17/9: v 

υ är en obestämd konstant och utgör vridningsvinkeln för

stelkroppsrotation runt z - axeln.

Utvärderingsexemplar

339

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 340

18 Rotationssymmetriska kroppar med axialsymmetrisk spänningsfördelning Ett illustrativt exempel på en rotationssymmetrisk kropp med axialsymmetrisk spänningsfördelning är ett cirkulärcylindriskt rör utsatt för inre och/eller yttre övertryck. Men det finns flera andra i praktiken uppträdande tillämpningar. T ex krympförband mellan cirkulärcylindriska axlar och dito hylsor. Eller roterande skivor med cirkulära ränder.

Utvärderingsexemplar

Eftersom ränderna är cirkulära, är det naturligt, att vid denna klass av problem använda polära, (r, ϕ), eller cylindriska koordinater, (r, ϕ, z). Axialsymmetrisk belastning med avseende på z-axeln innebär, att samtliga spänningar är oberoende av vinkeln ϕ, och samtliga partiella derivator med avseende på variabeln ϕ försvinner därför. Symmetrin innebär också, att τϕz = τzϕ = τϕr = τrϕ = 0. Om vi bortser från eventuell stelkroppsrörelse gäller även att den tangentiella förskjutningen v = 0. Jämviktsvillkoren (17:64) till (17:66) förenklas till: ∂σ r ∂r ∂σ z ∂z

+ +

∂τ zr ∂z ∂τ rz

σr − σϕ

1 + τ rz = 0 r ∂r

(18:1) (18:2)

Sambanden mellan töjningar och förskjutningar enligt (17:73) till (17:78) övergår i εr =

340

∂u ∂r

(18:3)

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 341

18. rotationssymmetriska kroppar med axialsymmetrisk spänningsfördelning

εϕ = εz =

u r

(18: 4)

∂w

(18:5)

∂z

0 = γ ϕr = γ rϕ =

∂v ∂r

0 = γ ϕz = γ zϕ = γ rz = γ zr =

∂u ∂z

−

v r

∂v ∂z ∂w ∂r

(18:6) (18: 7) (18:8)

Liksom i kapitel 17 kan problemklassen angripas med en biharmonisk spänningsfunktion, Φ (r, z), där variabeln ϕ byts ut mot variabeln z. Laplaces operator definieras i sådant fall som:  ∂2

∆=

 ∂r 2

1 ∂ 1 ∂2  + r ∂r r 2 ∂z 2 

(18:9)

Villkoret att funktionen skall vara biharmonisk innebär:  ∂2

1 ∂ 1 ∂ 2   ∂ 2Φ 1 ∂Φ 1 ∂ 2Φ  =0 + + + r ∂r r 2 ∂z 2   ∂r 2 r ∂r r 2 ∂z 2 

Utvärderingsexemplar

∆∆Φ = 

 ∂r 2

(18:10)

För ett linjärt elastiskt material med elasticitetsmodul E och Poissons konstant ν och med spänningar enligt (18:11): ∂ 2Φ  ν∆Φ −   ∂z  ∂r 2  1 ∂Φ  ∂  σϕ =  ν∆Φ −  r ∂r  ∂z  ∂  ∂ 2Φ  σz = (2 − ν) ∆Φ − 2  ∂z  ∂z   ∂ ∂ 2Φ  τ rz = τ zr = (1 − ν) ∆Φ − 2  ∂r  ∂z  τ ϕz = τ zϕ = 0 σr =

∂ 

(18:11)

τ ϕr = τ rϕ = 0

visas genom insättning, att jämviktsvillkoren (18:1) och (18:2) satisfieras. Efter ett visst beräkningsarbete kan även visas, att kompatibilitetsvillkoren är uppfyllda, förutsatt att Φ (r, z) är biharmonisk. Flera intressanta problemtyper kan emellertid lösas utan att introducera någon spänningsfunktion. Som t ex i följande avsnitt: 341

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 342

18. rotationssymmetriska kroppar med axialsymmetrisk spänningsfördelning

18.1 Tjockväggiga, cirkulärcylindriska rör I avsnitt 12.2.1 härleddes ångpanneformlerna, som dock bara kan användas, om kärlet/röret kan betraktas som tunnväggigt. Om u löses ur (18:4) och insätts i (18:3), får vi: εr =

∂u ∂r

∂(rε ϕ ) ∂r

= εϕ + r

∂ε ϕ

(18:12)

∂r

Om materialet är linjärt elastiskt med elasticitetsmodul E och Poissons konstant ν gäller Hookes lag och (18:12) kan skrivas: ∂σ ∂σ  1 1 r  ∂σ ϕ σ r − ν (σ ϕ + σ z ) = σ ϕ − ν (σ r + σ z ) +  − ν r − ν z  eller E E E  ∂r ∂r ∂r 

[

] [

(1 + ν)( σ ϕ − σ r ) + r

∂σ ϕ ∂r

]

− νr

∂σ r ∂r

− νr

∂σ z ∂r

(18:13)

Om σϕ hämtas från (18:1) och sätts in i (18:13), fås:  ∂σ  ∂σ  ∂σ  ∂τ ∂τ (1 + ν) r r + r zr + σ r − σ r  + r r r r + r zr + σ r  − ∂z ∂r  ∂r ∂z  ∂r  

Utvärderingsexemplar − νr

∂σ r ∂r

− νr

∂σ z ∂r

Efter utveckling:  ∂σ ∂τ  ∂ 2σ r ∂σ ∂ 2 τ zr ∂τ ∂σ (1 + ν) r r + r zr  + r 2 + r r + r2 + r zr + r r − 2 r z r r z z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂r ∂r   − νr

∂σ r ∂r

− νr

∂σ z ∂r

och efter reduktion av termer: r2

∂ 2σ r ∂r 2

+ 3r

∂σ r ∂r

+ r2

∂ 2 τ zr ∂r ∂z

+ (2 + ν) r

∂τ zr ∂z

− νr

∂σ z ∂r

(18:14)

Vi fortsätter behandlingen genom att föreskriva τzr = 0. Ekvation (18:2) kräver då: ∂σ z ∂z

eller

σz = f(r)

(18:15)

som reducerar (18:14) till: r2 342

∂ 2σ r ∂r 2

+ 3r

∂σ r ∂r

− νr

df (r ) =0 dr

(18:16)

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 343

18. rotationssymmetriska kroppar med axialsymmetrisk spänningsfördelning

Yttre axialkrafter på rör angriper vanligen vid diskreta z-värden, ofta vid rörändarna. Enligt Saint-Venant kommer normalspänningarna σz att ett stycke bortom axialkrafternas angreppsområden att vara jämt fördelade över rörarean, oavsett hur σz varierar med r vid angreppsområdena. Om dragkraften i z-led i ett rörsegment är Fz och rörarean är A, erhålls på välkänt sätt: F σz = z

(18:17)

som med (18:15) ger: Fz df(r) = konstant och därmed = 0. A dr

f (r ) =

Ekvation (18:16) förenklas därmed ytterligare till: r2

∂ 2σ r ∂r 2

+ 3r

∂σ r ∂r

(18:18)

Ekvation (18:18) är en homogen differentialekvation av Eulers typ. För att lösa den, görs substitutionen: r = e t , dr = e tdt = r dt , ∂σ r

∂r

=−

∂t dr

1 ∂σ r , r ∂t 2 ∂σ r  dt − t ∂σ r e − t + e − t ∂ σ r e − t =  = −e ∂t  dr ∂t ∂t 2

Utvärderingsexemplar

∂ 2σ r ∂r 2

∂σ r dt

∂  −t e ∂t 

1 ∂σ r 1 ∂ 2σ r + r 2 ∂t r 2 ∂t 2

varvid ekvationen antar formen: ∂ 2σ r ∂t 2

∂σ r ∂t

(18:19)

som är en linjär, homogen differentialekvation med konstanta koefficienter. Den karakteristiska ekvationen har rötterna 0 och – 2, varför lösningen blir: σ r = A ( z ) − B( z ) e −2t = A ( z ) − B( z ) r −2 = A ( z ) −

B( z ) r2

(18:20)

I många applikationer är spänningarna oberoende av z, varvid (18:20) kan skrivas som: σr = A −

B r2

(18:21)

där A och B är konstanter.

343

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 344

18. rotationssymmetriska kroppar med axialsymmetrisk spänningsfördelning

Den tangentiella normalspänningen erhålls med hjälp av (18:1) som med villkoret τzr = 0 ger: σϕ = σr + r

∂σ r ∂r

= A(z ) −

B( z ) r2

= A(z ) +

B( z ) r2

(18:22)

Alternativt, när spänningarna ej beror av z: σϕ = A +

(18:23)

Värdet av konstanterna A och B respektive funktionerna A(z) och B(z) bestäms av de rådande randvillkoren på yttre och inre randen. Innan tillhörande förskjutningar studeras, plats för en tankeövning. Låt oss först föreställa oss ett rör med oändlig axiell utsträckning. Då kan varje mot z-axeln vinkelrätt snitt betraktas som ett symmetrisnitt. Därmed uppträder inga skjuvspänningar i sådana snitt, d v s som tidigare förutsatts, τzr = τzϕ = 0. En hålskiva, som avgränsas av två sådana snitt, kommer då vid belastning att behålla sina plana randytor och varje axiell fiber i hålskivan förlängs eller förkortas lika mycket i z-riktningen. Töjningen εz för hålskivan blir således oberoende av r (liksom av ϕ och z). εz är helt enkelt konstant för hålskivan. Vidare gäller för linjärt elastiskt material: εz =

[

]

1 σ z − ν( σ r + σ ϕ ) E

(18:24)

Utvärderingsexemplar

Om (18:20) och (18:22) adderas, alternativt (18:21) och (18:23) adderas, fås: σr + σϕ = 2A(z), alternativt σr + σϕ = 2A,

d v s denna spänningssumma är oberoende av r. Om nu enligt tidigare εz är konstant, måste enligt (18:24) även σz vara oberoende av r (liksom av ϕ och z) och alltså utgöra en konstant. Hålskivans tjocklek tänks nu utsträckas till att överensstämma med den fysiska längden av ett rörsegment inom vilket axialkraften är konstant. Om yttre axialkrafter enbart angriper vid rörändarna, väljs skivtjockleken lika stor som den fysiska rörlängden. Tillhörande förskjutningar bestäms av (18:3) till (18:5) tillsammans med Hookes lag. Vi får från (18:4) och (18:20): εϕ =

 1 u 1 B( z ) B( z ) = σ ϕ − ν( σ r + σ z ) =  A ( z ) + − νA ( z ) + ν − νσ z  2 2 r E E r r 

[

]

som även kan tecknas som: u = u(r, z ) = ra( z ) +

344

b( z ) r

(18:25)

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 345

18. rotationssymmetriska kroppar med axialsymmetrisk spänningsfördelning

där a( z ) =

νσ 1− ν 1+ ν A( z ) − z , b( z ) = B( z ) E E E

(18:26)

Omvänt: A(z ) =

Ea( z ) + νσ z Eb( z ) , B( z ) = 1− ν 1+ ν

(18:27)

Det första av dessa samband kan med Hookes lag, (18:24), omformas enligt: A(z ) =

Ea( z ) + νσ z Ea( z ) + νEε z + ν 2 ( σ ϕ + σ r ) Ea( z ) + νEε z + 2 ν 2 A ( z ) = = 1− ν 1− ν 1− ν

och efter hyfsning: A ( z )(1 − ν − 2 ν 2 ) = E[ a( z ) + νε z ] eller A(z ) =

E[ a( z ) + νε z ] Eb( z ) , B( z ) = 1+ ν (1 + ν)(1 − 2 ν)

(18:28)

Om spänningarna är oberoende av z blir motsvarande samband:

Utvärderingsexemplar

u = u(r ) = ra + A= A=

Ea + νσ z , 1− ν

b r

(18:29)

E[ a + νε z ] , (1 + ν)(1 − 2 ν)

Eb 1+ ν B=

Eb 1+ ν

(18:30) (18:31)

Sambanden (18:27) respektive (18:30) används när σz är känd, t ex vid plant spänningstillstånd, (σz = 0, τzr = τzϕ = 0), medan (18:28) respektive (18:31) utnyttjas när εz är känd, t ex vid plant töjningstillstånd. Det plana töjningstillståndet kan vara generaliserat, (εz = konstant ≠ 0, τzr = τzϕ = 0) eller renodlat, (εz = 0, τzr = τzϕ = 0). För rör med slutna ändar gäller ekvationerna inte i närheten av gavlarna. Detta eftersom gavlarnas förstyvande inverkan på rörväggen medför böjspänningar i rörväggen. Vid rör med gavlar utsatta för inre övertryck inses intuitivt, att röret antar formen av en tunna. Hur dessa böjspänningar beräknas vid en s k krängning av röret, lämnas därhän.

345

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 346

18. rotationssymmetriska kroppar med axialsymmetrisk spänningsfördelning

18.1.1 Randvillkor

Som nämnts bestäms konstanterna A och B (och därmed a och b) alternativt funktionerna A(z) och B(z) (och därmed a(z) och b(z)) ur randvillkoren. Dessa kan vara av två slag. Antingen är den radiella spänningen σr given eller också den radiella förskjutningen, u. Den ena storheten kan vara given för den ena av de cirkulära ränderna, medan för den andra randen, den andra typen av storhet kan vara given. Vid sådana blandade randvärdesproblem, måste även sambanden (18:27) eller (18:28) alternativt (18:30) eller (18:31) användas. För en massiv stång måste den radiella förskjutningen vara noll längs centrumlinjen, u(0) = 0. Då leder (18:25) och (18:27) till att b(z) = B(z) = 0. Men om ett genomgående axiellt hål med mycket liten (infinitesimal) diameter borras upp i stången vid r = 0, blir randvillkoret istället σn(0) = 0, förutsatt att hålet är obelastat. Detta randvillkor ger en annorlunda fördelning av spänningarna i röret än det förstnämnda randvillkoret.

18.1.2 Axiella spänningar/töjningar

Utvärderingsexemplar

Axiella normalspänningar kan uppstå på olika sätt. Om rörets ändar är slutna och ett inre övertryck, pi, råder i röret, ger detta en axiell dragkraft i rörväggen av storleken Fz = p i

πd 2

, där d är rörets innerdiameter.

Axialkraften alstrar i sin tur en axiell dragspänning; F σz = z = A

4Fz π(D2 − d 2 )

= pi

d2 D2 − d 2

, där D är rörets ytterdiameter.

Om röret dessutom utsätts för en yttre dragkraft, Nz, stiger dragspänningarna till: F + N z 4(Fz + N z ) d2 4N z σz = z = = pi + 2 2 2 2 A π(D − d ) π(D2 − d 2 ) D −d Om röret, inklusive gavlarna, även utsätts för ett yttre övertryck, py, erhålls: Fz = p i

πd 2

− py

πD 2

Motsvarande dragspänning blir: F σz = z = A

346

4Fz π(D2 − d 2 )

p id 2 − p y D2 D2 − d 2

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 347

18. rotationssymmetriska kroppar med axialsymmetrisk spänningsfördelning

Om en yttre dragkraft även förekommer, gäller: 2 2 F + N z 4(Fz + N z ) p id − p y D 4N z σz = z = = + A π(D2 − d 2 ) π(D2 − d 2 ) D2 − d 2

Om rörets ändar är förenade med stela väggar, kan röret varken förlängas eller förkortas, varför εz = 0. Ett konkret exempel får illustrera tillvägagångssättet. Ett cirkulärcylindriskt rör med innerdiameter d = 60 mm och ytterdiameter D = 80 mm är utsatt för ett inre övertryck, pi = 200 bar. Rörets ändar är slutna och röret längd är L = 3,00 m. Hur stora blir den numeriskt största tangentialspänningen? Hur stora blir diameterökningarna vid rörets inre och yttre rand? Hur stor blir rörets förlängning? Elasticitetsmodulen är E = 208 GPa och Poissons konstant, ν = 0,30. Först bestäms den axiella dragspänningen: F σz = z = A

4Fz π(D2 − d 2 )

= pi

d2 D2 − d 2

= 200 ⋅105

602 802 − 602

≈ 25, 714 ⋅106 Pa

Sedan är det dags för randvillkoren, som blir: r = d/2; σr = –p, eller med numeriska värden: r = 30 · 10 – 3 m; σr = – 200 · 105 Pa r = D/2; σr = 0, eller med numeriska värden: r = 40 · 10 – 3 m; σr = 0

Utvärderingsexemplar

Minustecknet i det första randvillkoret beror på, att den yttre normalen till innerranden är riktad in mot rörcentrum. D v s i negativ r-riktning. Innerranden är därför en negativ yta enligt tidigare teckenregler. En positiv radialspänning skall därför vara riktad i negativ r-riktning, d v s in mot centrum. Men övertrycket verkar ju utåt, vilket betyder att σr blir negativ på innerranden. Med randvillkoren insatta i ekvation (18:21) får vi: −pi = A − 0= A−

d2 4B

Subtraktion ger:  1 1  4B(D2 − d 2 ) p i = 4B − ⇒ =  d 2 D2  d 2D2 p i d 2D 2 200 ⋅105 ⋅ 602 ⋅10 −6 ⋅ 802 ⋅10 −6 ⇒B= = ≈ 41,143 ⋅103 4(D2 − d 2 ) 4(802 − 602 )10 −6 Med B insatt i det andra randvillkoret: A=

4B D2

p id 2 D2 − d 2

200 ⋅105 ⋅ 602 ⋅10 −6 (802 − 602 )10 −6

≈ 25, 714 ⋅106

347

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 348

18. rotationssymmetriska kroppar med axialsymmetrisk spänningsfördelning

Normalspänningarna blir därmed: σ ϕ ≈ 25, 714 ⋅106 + σ r ≈ 25, 714 ⋅106 −

41,143 ⋅103 r2 41,143 ⋅103 r2

I detta stadium kan man kontrollera resultatet så långt genom insättning av randvillkoren. Så ger r = 0,030 m σ r ≈ 25, 714 ⋅106 −

41,143 ⋅103 0, 0302

≈ −20, 0 ⋅106 Pa.

För r = 0,040 m fås σ r ≈ 25, 714 ⋅106 −

41,143 ⋅103 0, 0402

≈ 0, 0 ⋅106 Pa,

d v s helt OK. Den numeriskt största tangentialspänningen uppkommer vid inre randen, r = 0,030 m, och blir: σ ϕ ≈ 25, 714 ⋅106 +

41,143 ⋅103 302 ⋅10 −6

≈ 71, 4 ⋅106 Pa.

Utvärderingsexemplar Nu bestäms konstanterna a och b enligt (18:26). a=

1− ν νσ 0, 70 0, 30 ⋅ 25, 7 ⋅106 A− z ≈ 25, 714 ⋅106 − ≈ 49, 47 ⋅10 −6 E E 208 ⋅109 208 ⋅109

1+ ν 1, 30 B≈ 41,143 ⋅103 ≈ 0, 257 ⋅10 −6 E 208 ⋅109

Den radiella förskjutningen enligt (18:29): u = u(r ) = ra +

b 0, 257 ⋅10 −6 ≈ 49, 47 ⋅10 −6 r + r r

som ger inre randens diameterökning:  d  2

∆ i = 2 u   ≈ 2 ⋅ 49, 47 ⋅10 −6 ⋅ 30 ⋅10 −3 + 2

0, 257 ⋅10 −6 30 ⋅10 −3

≈ 20 ⋅10 −6 m ∝ 20 µm

och yttre randens diameterökning:  D 0, 257 ⋅10 −6 −6 −3 ≈ 17 ⋅10 −6 m ∝ 17 µm  ≈ 2 ⋅ 49, 47 ⋅10 ⋅ 40 ⋅10 + 2  2 40 ⋅10 −3

∆ y = 2u

348

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 349

18. rotationssymmetriska kroppar med axialsymmetrisk spänningsfördelning

Rörets längdökning hämtas från töjningen i z-riktningen genom att nyttja (18:5): ∂w

1 1 [ σ z − ν( σ ϕ + σ r )] = [ σ z − 2 νA ] ≈ E E ∂z 25, 714 ⋅106 − 2 ⋅ 0, 3 ⋅ 25, 714 ⋅106 ≈ ≈ 49, 5 ⋅10 −6 9 208 ⋅10

εz =

Efter integration: w = 49,5 · 10 – 6 (z + k), där konstanten k svarar mot stelkroppstranslation i zled. För z = L = 3,00 m respektive z = 0 fås: ∆w = w(L) – w(0) ≈ 49,5 · 10 – 6 [3,00 – k – (0 – k)] ≈ ≈ 0,148 · 10 – 3 m ∝ 0,148 mm.

18.2 Rotationssymmetriska krympförband

Utvärderingsexemplar

Ett rotationssymmetriskt krympförband består av en cirkulärcylindrisk axel eller ett cirkulärcylindriskt rör jämte en cirkulärcylindrisk hylsa enligt figur 18.1. Hylsans innerdiameter är obetydligt mindre än axeln/rörets ytterdiameter. Hylsan monteras på axeln/röret. Krympförband kommer till användning när två axlar/rör skall förenas axiellt. Syftet är att förlänga axeln/röret, oftast för att kunna överföra en axiell kraft eller ett vridande moment över längre avstånd. Eller för att vid underhåll eller axelbrott bara behöva byta ett parti av en lång axel. P g a diameterskillnaden måste monteringen ske endera genom att trycka samman delarna i en press eller genom att hylsan uppvärms, så att den genom termisk utvidgning lätt kan skjutas på axeln/röret. Alternativt kan naturligtvis axeln/röret kylas. Sedan delarna monterats och antagit samma temperatur efter eventuell värmning/kylning, strävar axeln/röret att utvidga hylsan radiellt, medan hylsan försöker

d+∆

a) Figur 18.1 Rotationssymmetriskt krympförband a) före montering, b) efter montering.

349

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 350

18. rotationssymmetriska kroppar med axialsymmetrisk spänningsfördelning

komprimera axeln/röret i radiell led,. Mellan axeln/röret och hylsan byggs ett radiellt tryck, p, upp, lika stort på båda delarna. Trycket ger hylsan (index h) en radiell positiv förskjutning och ger axeln/röret (index a) en negativ radiell förskjutning (relativt dimensionerna i omonterat tillstånd). Härigenom uppstår tangentiella och radiella spänningar i delarna. Före montering förutsätts hylsan ha ytterdiameter D och innerdiameter d. Axeln/rörets ytterdiameter förutsätts innan montering vara d + ∆ och dess innerdiameter d0. Kvantiteten 0 < ∆ << d, kallas förbandets diametrala grepp. Ibland används istället det radiella greppet, som då naturligtvis utgör hälften av det diametrala. Efter monteringen har hylsan fått en radiell förskjutning av uh > 0, medan axelns/rörets radiella förskjutning är ua < 0. Den gemensamma kontaktytans diameter efter montering kan då tecknas på två sätt:  d + ∆  d  d d + ∆ + 2u a   ≈ d + ∆ + 2u a   = d + 2u h    2   2  2 eller  d ∆  d uh   − ua   ≈  2 2  2

(18:32)

Utvärderingsexemplar

Kontakttrycket p är okänt, men genom att analysera båda delarna tillsammans med villkoret:  d  2

 d  2

σ ra   = σ rh   = − p

(18:33)

och utnyttja villkoret (18:32), kan samtliga okända storheter bestämmas. Tillvägagångssättet framgår av följande exempel. Ett krympförband består av ett rör med innerdiameter, d0 = 2r0 = 50 mm och ytterdiameter d = 4r0 = 100 mm, Hylsans ytterdiameter är D = 8r0 = 200 mm. Det diametrala greppet är ∆ = 30 µm. Kontakttrycket mellan delarna efterfrågas. Materialet i röret är linjärt elastiskt med elasticitetsmodul Ea = 210 GPa och Poissons konstant, νa = 0,30, (stål). Materialet i hylsan är linjärt elastiskt med elasticitetsmodul Eh = 72 GPa och Poissons konstant, νh = 0,32, (duraluminium). För krympförband gäller samma utgångssamband som för tjockväggiga rör. Hylsans axiella utsträckning är vanligen så liten, att plant spänningstillstånd kan förutsättas gälla. I axeln/röret kan däremot axiella spänningar uppträda, beroende på axelns/rörets inspänningsförhållande. Här förutsätts plant spänningstillstånd även i axeln.

350

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 351

18. rotationssymmetriska kroppar med axialsymmetrisk spänningsfördelning

Först analyseras röret. Med randvillkoren r = r0 ⇒ σr = 0, r ≈ 2r0 ⇒ σr = –p insatta i (18:21), fås: 0 = Aa −

, − p = Aa −

r02

4r02

som medför: Aa = −

4r 2 p 4p , Ba = − 0 . 3 3

Med (18:26): aa =

1 − νa 4 1 − νa Aa = − p, Ea 3 Ea

ba =

1 + νa 4 1 + νa 2 Ba = − r p Ea 3 Ea 0

och med (18:29): u a = u a (r ) = ra a +

ba 4 1 − νa 4 1 + νa 2 p =− pr − r r 3 Ea 3 Ea 0 r

och speciellt för r = 2r0: u a (2r0 ) = − =−

4 1 − νa 4 1 + νa 2 p 4pr0  1 + νa  p ⋅ 2r0 − r0 =−  2 − 2 νa + = 3 Ea 3 Ea 2r0 3E a  2 

2 pr0 (5 − 3 ν a ) 3E a

Utvärderingsexemplar

Så över till hylsan med randvillkor: r = 2r0 ⇒ σr = –p, r = 4r0 ⇒ σr = 0. Ekvation (18:21) medför: −p = A h −

4r02

, 0 = Ah −

16r02

⇒ Ah =

p , 3

Bh =

16 2 pr 3 0

Med (18:26): ah =

1 − νh 1 1 − νh Ah = p, Eh 3 Eh

bh =

1 + νh 16 1 + ν h 2 Bh = r p Eh 3 Eh 0

Och med (18:29): u h = u h (r ) = ra h +

bh 1 1 − νh 16 1 + ν h 2 p = pr + r r 3 Eh 3 Eh 0 r

och speciellt för r = 2r0: u h (2r0 ) = =

1 1 − νh 16 1 + ν h 2 p 2pr0 p ⋅ 2r0 + r0 = (1 − ν h + 4 + 4 ν h ) = 3 Eh 3 Eh 2r0 3E h

2pr0 (5 + 3 ν h ) 3E h

351

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 352

18. rotationssymmetriska kroppar med axialsymmetrisk spänningsfördelning

Nu är det dags att utnyttja det geometriska villkoret (18:32): ∆

≈ u h (2r0 ) − u a (2r0 ) =

p≈

2pr0  5 + 3 ν h 5 − 3 ν a  + ,  3  Eh Ea 

eller

3∆ Ea Eh 4r0 E a (5 + 3 ν h ) + E h (5 − 3 νa )

Med numeriska värden insatta: p≈

3 ⋅ 30 ⋅10 −6

210 ⋅109 ⋅ 72 ⋅109

4 ⋅ 25 ⋅10 −3

210 ⋅109 (5 + 3 ⋅ 0, 32) + 72 ⋅109 (5 − 3 ⋅ 0, 30)

≈ 8, 80 ⋅106 Pa

18.3 Rotationssymmetriska skivor För tunna, rotationssymmetriska skivor med konstant tjocklek, kan plant spänningstillstånd anses råda. De samband, som härletts för krympförband, kan därmed även användas för skivor.

Utvärderingsexemplar

Ett flertal maskinelement kan approximeras till en skiva på en axel, t ex kugghjul med konstant bredd. I de fall varvtalet är högt bör rotationens inverkan beaktas,. De tidigare framtagna uttrycken måste då modifieras för de masskrafter, som uppkommer p g a acceleration vid kroklinjig rörelse. Användbara ekvationer vid rotation med konstant vinkelhastighet, ω, anges nedan utan tillhörande analys och bevisning. Ekvationerna (18:21) och (18:22) ersätts med: σr = A − σϕ = A +

B r2 B r2

+ c rr 2

(18:34)

+ c ϕr 2

(18:35)

där cr = −

3+ ν 2 ρω 8

(18:36)

cϕ = −

1 + 3ν 2 ρω 8

(18:37)

där ν är Poissons konstant och ρ är skivans densitet.

352

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 353

18. rotationssymmetriska kroppar med axialsymmetrisk spänningsfördelning

Ekvation (18:25) ersätts med: u = u(r ) = ra +

b + c ωr3 r

(18:38)

där cω = −

1 − ν2 2 ρω 8E

(18:39)

och E är skivans elasticitetsmodul. I sambanden (18:30) försvinner σz, som därmed antar formen: A=

Ea Eb , B= 1− ν 1+ ν

(18: 40)

För en skiva som är krympt på en axel kommer kontakttrycket att minska med ökande vinkelhastighet. Om den senare blir tillräckligt stor, kan kontakttrycket upphöra helt och förbandet släppa.

!Utvärderingsexemplar 18.4 Övningsexempel

! 18/1

Ett krympförband består av en massiv, cylindrisk axel med diameter Φ 50s6 och en hylsa med innerdiameter Φ 50H7 och ytterdiameter Φ 90h9. Inom vilka värden kan kontakttrycket mellan delarna variera beroende på toleransutfallen? Hur stor kan tangentialspänningen i hylsan högst bli? Materialet i båda delarna är stål med elasticitetsmodul E = 208 GPa och Poissons konstant ν = 0,30. För basmåttet 50 mm är övre gränsavmått + 59 µm och undre gränsavmått + 43 µm för toleransen s6. För toleransen H7 är motsvarande storheter + 25 µm respektive 0.

! 18/2

På ett rör med ytterdiameter Φ 50g6 och innerdiameter Φ 38 kan en cirkulär hålskiva med håldiameter Φ 50H7 och ytterdiameter Φ 100 löpa med spelpassning enligt figur. Rörets ändar är slutna och hålskivan befinner sig långt från rörändarna.

353

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 354

18. rotationssymmetriska kroppar med axialsymmetrisk spänningsfördelning

a) Vilket är det högsta inre övertryck som röret kan utsättas för, utan risk för att spelet försvinner oavsett toleransutfallet? b) Vilket är det lägsta inre övertryck som röret måste utsättas för, för att spelet säkert skall försvinna oavsett toleransutfallet? Materialet i båda delarna är silumin med elasticitetsmodul E = 75 GPa och Poissons konstant ν = 0,32. För basmåttet 50 mm är övre gränsavmått – 9 µm och undre gränsavmått – 25 µm för toleransen g6. För toleransen H7 är motsvarande storheter + 25 µm respektive 0.

! 18/3

En cirkulärcylindrisk hylsa med håldiameter d och ytterdiameter D passar exakt in i ett hål i en helt stel kropp. Hylsan utsätts för ett inre övertryck, p. Plant spänningstillstånd kan anses råda och hylsan har elasticitetsmodul E och Poissons konstant ν. Hur stort kontakttryck uppkommer mellan hylsan och hålkroppen?

! 18/4

En cirkulärcylindrisk hylsa med håldiameter d och ytterdiameter D passar exakt in i ett hål i en hålskiva med obegränsad radiell utsträckning och samma tjocklek som hylsans längd. Hylsan utsätts för ett inre övertryck, p. Plant spänningstillstånd kan anses råda i hylsan och hålskivan, som båda har elasticitetsmodul E och Poissons konstant ν. Hur stort kontakttryck uppkommer mellan hylsan och hålskivan?

Utvärderingsexemplar

! 18/5

Två massiva axlar skall förenas genom ett krympförband enligt figur. Axlarnas diameter är Φ 80s6. Hylsans diametrar är Φ 80H7 respektive Φ 160h9. Hylsans längd är L = 200 mm. Axlar och hylsa är av stål med elasticitetsmodul E = 208 GPa och Poissons konstant ν = 0,30. Plant spänningstillstånd kan anses råda i hylsa och axlar. För basmåttet 80 mm är övre gränsavmått +78 µm och undre gränsavmått + 59 µm för toleransen s6. För toleransen H7 är motsvarande storheter + 30 µm respektive 0. Hur stort vridmoment kan förbandet med säkerhet överföra, om vilofriktionskoefficienten mellan hylsa och axeländar är µ = 0,10?

354

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 355

18. rotationssymmetriska kroppar med axialsymmetrisk spänningsfördelning

! 18/6

En massiv axel med diameter d och längd L är inspänd mellan stela väggar enligt figur. Axeln är utförd i linjärt elastiskt material med elasticitetsmodul E och Poissons konstant ν. Axeln utsätts för trycket p på mantelytan. För p = 0 är axeln spänningslös. Hur stor blir den axiella normalspänningen i axeln?

! 18/7

Ett vertikalt rör med innerdiameter d och ytterdiameter 1,25d förses i övre änden med en tätslutande gavel. Gaveln är via en kolvstång förbunden med en kolv vid rörets nedre ända enligt figur. Tätningen mellan rör och kolv består av en o-ring. Avståndet mellan den övre gavelns inre yta och o-ringen är L. Röret fylls helt med en vätska med densitet ρ. Rörets övre gavel ansluts via en nippel till en kompressor, som lämnar ett maximalt övertryck av p. Hur stor blir den största tangentialspänningen i röret? Krängning av röret behöver inte beaktas.

!Utvärderingsexemplar 18/8

Ett sätt att få ett rör att tåla ett högt inre övertryck, p, utan att tangentialspänningen blir otillåtet stor är, att tillverka röret av två separata delar, som krymps på varandra enligt figur. Vid trycklöst tillstånd byggs härigenom en negativ tangentialspänning upp vid inre rörets inre rand. Vid ett inre övertryck uppkommer den maximala, positiva tangentialspänningen vid samma rand. Övertrycket kan därför väljas högre än om inga tryckspänningar finns, utan att den resulterande tangentialspänningen blir otillåtet stor. I den visade applikationen är d0 = 60 mm, d = 80 mm och D = 100 mm. Greppet väljs så, att kontakttrycket mellan rören vid trycklöst tillstånd uppgår till p0 = 0,075p. Hur mycket högre övertryck kan väljas för detta integralrör jämfört med ett enkelt rör med innerdiameter d0 och ytterdiameter D, om tangentialspänningen vid inre rörets inre rand skall vara densamma? Hur stort blir förhållandet mellan tangentialspänningarna vid inre och yttre rörets inre ränder vid det angivna kontakttrycket? d

355

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 356

18. rotationssymmetriska kroppar med axialsymmetrisk spänningsfördelning

! 18/9

Ett krympförband består av en massiv, cylindrisk axel med diameter Φ 50s6 och en hylsa med innerdiameter Φ 50H7 och ytterdiameter Φ 90h9. Med dessa toleranser kan kontakttrycket komma att variera mellan 26 MPa och 85 MPa (se övningsexempel 18/1). Eftersom det största kontakttrycket bedöms alltför högt, vill man reducera detta med 40% till 51 MPa. För den skull tas ett genomgående axiellt hål upp i axeln med hålcentrum koncentriskt med axelcentrum. Hur stor skall håldiametern väljas? Materialet i båda delarna är stål med elasticitetsmodul E = 208 GPa och Poissons konstant ν = 0,30. För basmåttet 50 mm är övre gränsavmått + 59 µm och undre gränsavmått + 43 µm för toleransen s6. För toleransen H7 är motsvarande storheter + 25 µm respektive 0.

! 18/10

På den cirkulära randen till en tunn, cirkulär skiva med diametern D verkar den radiella dragspänningen σ0. a) Hur stor blir tangentialspänningen i skivcentrum respektive vid skivans yttre rand? b) Om ett genomgående hål med mycket liten (infinitesimal) diameter borras i skivcentrum, hur stor blir tangentialspänningen vid inre respektive yttre randen?

Utvärderingsexemplar ΦD

σ0

! 18/11

En cirkulärcylindrisk hålskiva med ytterdiameter Φ 150h10 och håldiameter Φ 75H7 är monterad på en massiv axel med diameter Φ 75p6. Materialet i båda delarna är stål med elasticitetsmodul E = 208 GPa, Poissons konstant ν = 0,30 och densitet ρ = 7880 kg/m3. Plant spänningstillstånd kan antas råda i skiva och axel. För basmåttet 75 mm är övre gränsavmått + 51 µm och undre gränsavmått + 32 µm för toleransen p6. För toleransen H7 är motsvarande storheter + 30 µm respektive 0. Om förbandet roteras kring axeln, vilket är det lägsta varvtal vid vilket förbandet kan släppa?

356

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 357

18. rotationssymmetriska kroppar med axialsymmetrisk spänningsfördelning

! 18/12

En cirkulärcylindrisk hålskiva med ytterdiameter Φ 600 f8 och håldiameter Φ 75H7 är monterad på en massiv axel med diameter Φ 75s6. Materialet i båda delarna är stål med elasticitetsmodul E = 208 GPa, Poissons konstant ν = 0,30 och densitet ρ = 7880 kg/m3. Plant spänningstillstånd kan antas råda i skiva och axel. För basmåttet 75 mm är övre gränsavmått + 62 µm och undre gränsavmått + 43 µm för toleransen s6. För toleransen H7 är motsvarande storheter + 30 µm respektive 0. Förbandet roterar koncentriskt inuti i en stillastående trumma med innerdiameter Φ 600H9. För basmåttet 600 mm är övre gränsavmått –76 µm och undre gränsavmått –186 µm för toleransen f8. För toleransen H9 är motsvarande storheter +175 µm respektive 0. Vilket är det lägsta varvtal vid vilket hålskivan vid ogynnsamma förhållanden kan komma i kontakt med trumman? Tänk på att efter montering av hålskiva på axel, kan hålskivans ytterdiameter utan rotation vara större än 600 – 0,076 = 599,924 mm. Hur stort blir det kvarvarande kontakttrycket mellan axel och hålskiva vid detta varvtal?

!Utvärderingsexemplar Svar till övningsexempel

! 18/1: 25, 9 ≤ p ≤ 84, 8 MPa, σ ϕ ≈ 161 MPa 18/2: a) 5, 9 MPa, a) 32, 6 MPa 18/3: p y = 18/4: p˜ =

2pd 2 D2 (1 − ν) + d 2 (1 + ν)

d2 D2

18/5: My ≈ 2,85 kNm 18/6: σz = – 2νp 18/7: σϕ, max ≈ 4,56(p + ρgL) i inre randen vid o-ringen 18/8: a) 19% högre, b) 1,00 18/9: 31,6 mm 18/10: a) σ0 (centrum), σ0 (yttre randen), b) 2σ0 (hålranden), σ0 (yttre randen) 18/11: 3 719 varv/minut 18/12: a) 4 161 varv/minut, vid max grepp ökar skivans ytterdiameter med cirka

8 µm vid stillastående, b) 84,6 – 54,7 = 29,9 MPa 357

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 358

19 Flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation Hittills har värdering av spänning relativt någon materialegenskap som sträckgräns eller brottgräns endast gjorts för enaxliga spänningstillstånd. Normalspänningar orsakade av normalkrafter och böjande moment har visserligen superponerats vid balkböjning. Men dessa spänningar verkar ju i samma (eller motsatt) riktning, nämligen i balkens längdriktning. Men hur går det, om spänningar av olika slag, som skjuv- och normalspänningar eller normalspänningar i olika riktningar verkar samtidigt? En axel kan ju samtidigt utsättas för både vridning och böjning. I ett krympförband kan förutom radiella och tangentiella spänningar även axiella spänningar förekomma. Detta kapitel handlar om, hur spänningar vid sådana fleraxliga tillstånd skall relateras till materialdata.

Utvärderingsexemplar

Om ej annat uttryckligen sägs, förutsätts att materialet är linjärt elastiskt, idealplastiskt med sträckgräns σs vid dragning och – σs vid tryck. Dessutom förutsätts materialet vara isotropt, vilket innebär, att materialet har samma egenskaper i alla riktningar.

19.1 En- och tvåaxligt spänningstillstånd Vid tvåaxligt spänningstillstånd, d v s vid plant spänningstillstånd med spänningar σx, σy, τxy, har tidigare visats, att spänningstillståndet alternativt kan beskrivas med två huvudspänningar (principalspänningar), σ1 och σ2. Om speciellt σ2 = 0,

358

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 359

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

sker plasticering om σ1 = σs alternativt om σ1 = – σs. Om – σs < σ1 < σs råder däremot elastiskt tillstånd. Och analogt: Om σ1 = 0, sker plasticering om σ2 = σs alternativt om σ2 = – σs. Och om – σs < σ2 < σs råder elastiskt tillstånd. Om ett koordinatsystem med axlar σ1 och σ2 skapas, finns då ett elastiskt område längs σ1-axeln i intervallet (– σs, σs) liksom längs σ2-axeln i samma intervall. Ett sådant koordinatsystem kallas ett huvudspänningsplan. Områdena (linjerna) är prickade i figur 19.1. σ2 σs ~~ −σ σ22 ~ σ 1

− σs

σ1 σs

Figur 19.1 Huvudspänningsaxlar med t v okänd begränsningskurva mellan elastiskt och plastiskt område.

− σs

Nu antas, att – σs < σ1 = ~σ1 < σs . Om samtidigt σ2 = 0, råder elastiskt tillstånd. Från detta utgångstillstånd ökas σ2 gradvis till dess att plasticering inträder, vilket ~ . Talparet (~σ , σ ~ antas ske vid σ2 = σ 2 1 2) utgör då i σ1-σ2-systemet koordinatvärden för begynnande flytning.

Utvärderingsexemplar

~ . Tillhörande värden på Proceduren upprepas med andra numeriska värden på σ 1 ~σ vid begynnande plasticering fastställs. De så erhållna talparen (~σ , σ ~ 2 1 2) sammanbinds till en kurva, som anger de huvudspänningstalpar, vid vilka flytning inträder. Kurvan kallas materialets flytgränskurva. Flytgränskurvan kan visas bli en sluten, dubbelpunktfri kurva. Om ett givet spänningstillstånd, (σ1, σ2), i en strukturpunkt ligger innanför flytgränskurvan, är tillståndet i punkten elastiskt. Om punkten (σ1, σ2) faller på flytgränskurvan, sker flytning i punkten. Vilken geometrisk form flytgränskurvan har, vet vi t v egentligen ingenting om. Bortsett från att den är sluten. Och att den med hänsyn till isotropin bör vara symmetrisk med avseende på båda huvudspänningsaxlarna. Uppenbarligen är huvudspänningarna väsentliga, när risken för flytning skall bedömas. I kapitel 12 introducerades Mohrs spänningscirkel vid plant spänningstillstånd. Cirkeln illustrerar variationen av normal- och skjuvspänningar i olika plan, som alla är parallella med en av koordinataxlarna. Om t ex cirkeln visar spänningarna σx, σy, τxy, verkar dessa spänningar i plan, som är parallella med z-axeln. Om ett tredimensionellt spänningstillstånd råder, kan naturligtvis motsvarande cirklar konstrueras, som visar variationen av σy, σz, τyz, respektive av σz, σx, τzx. Det finns 359

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 360

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation τ

τ max

σ σ3

σ2

σ1

Figur 19.2 Mohrs spänningscirklar vid tredimensionellt spänningstillstånd.

σ3

σ2

σ1

Figur 19.3 Mohrs spänningscirklar vid plant spänningstillstånd, σ1 > σ2 > 0, σ3 = 0.

alltså i realiteten alltid tre Mohrska spänningscirklar, se figur 19.2. Vid plant spänningstillstånd är t ex σz = 0. Mohrs spänningscirkel urartar då enligt figur 19.3, givet att σ1 > σ2 > 0, σ3 = 0. Det finns ett antal hypoteser om vilka spänningskombinationer, som medför brott respektive flytning. Från den enklaste, dragspänningshypotesen, som helt enkelt innebär, att den största positiva huvudspänningen är avgörande för brott och att brott sker, när denna huvudspänning uppnår dragbrottgränsen, σB.

Utvärderingsexemplar

Eller den av Saint Venant formulerade töjningshypotesen, som stipulerar, att den största positiva töjningen är avgörande för brott och att brott sker, när storheten ε1E = σ1 – ν (σ2 + σ3 ), σ1 ≥ σ2, σ1 ≥ σ3, uppnår dragbrottgränsen. Den storhet, σe = σjfr = σ1 – ν (σ2 + σ3 ), som skall relateras till någon lämplig materialpåkänning, här brottgränsen, kallas effektivspänning eller jämförelsespänning. Den förra hypotesen lämpar sig för mycket spröda material, där brottgränsen vid tryck, σBt → ∞. Ett material där dragspänningshypotesen brukar användas är glas. Den senare hypotesen lämpar sig för spröda material. Den används ofta för gjutjärn. Normala konstruktionsmaterial som stål och aluminiumlegeringar är tämligen sega och uppvisar en mer eller mindre utpräglad sträckgräns. Eller om sådan helt saknas, en vald resttöjningsgräns, t ex σ0,2 . Eftersom brott i sega material föregås av tämligen stora plastiska deformationer, är det mer intressant när materialet börjar flyta, än när brott inträffar. I de flesta konstruktioner vill man ju varken ha stora deformationer vid belastning eller kvarvarande deformationer efter avlastning. För konstruktionsmaterial är det därför mer angeläget att finna en storhet (effektivspänning) som skall jämföras med sträckgränsen eller resttöjningsgränsen. Någon hypotes som lämpar sig för alla materialslag har inte kunnat formuleras och existerar troligen inte. För konstruktionsmaterial används vanligen någon av följande två flythypoteser.

360

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 361

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

19.2 Trescas flythypotes (skjuvspänningshypotesen)

Den äldsta hypotesen formulerades av italienaren Henri Tresca (1814 –1885), huvudsakligen verksam i Paris. Den kallas Trescas flythypotes eller skjuvspänningshypotesen. Enligt denna är den maximala skjuvspänningen ett mått på materialets ansträngning. Om huvudspänningarna ordnas så att σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 , inses ur figur 19.2, att den största skjuvspänningen ges av: σ − σ3 τ max = 1

(19:1)

Det blir därmed nödvändigt att känna samtliga tre huvudspänningar, för att kunna avgöra vilken som är störst respektive minst. Om t ex vid plant spänningstillstånd med σz = 0, den ena huvudspänningen, σI, är positiv och den andra, σII är negativ, blir σ − σ 3 σ I − σ II τ max = 1 = .

Utvärderingsexemplar

Om däremot båda huvudspänningarna är positiva och σI > σII, blir σ − σ3 σ I − 0 σ I τ max = 1 = = , se figur 19.3.

Men med vad skall den maximala skjuvspänningen jämföras? Vid enaxlig dragning bör effektivspänningen, σeT, vara densamma som dragspänningen, eller σ1 = σeT, σ2 = σ3 = 0. Flytning sker när σ1 = σeT = σs . Av Mohrs spänningscirklar vid enaxlig dragning framgår att σ σT τ˜ max = 1 = e .

Samma materialansträngning vid enaxlig dragning som vid fleraxligt spänningstillstånd, d v s med Trescas hypotes samma τmax, leder då vid fleraxligt spänningstillstånd till: σ1 − σ 3

σ eT

eller en effektivspänning av:

σeT = σ1 – σ3, σ1 ≥ σ2 ≥ σ3

(19:2)

När denna effektivspänning uppgår till sträckgränsen, börjar materialet flyta.

361

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 362

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

Men fortfarande vet vi inte hur Trescas flythypotes återspeglas geometriskt i huvudspänningsplanet, figur 19.1. Vi överger för en stund förutsättningen σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 och tänker oss först en situation, där σs ≥ σ1 > σ2 > 0, σ3 = 0. Oberoende av storleken av σ2, om bara σ2 < σ1, gäller då att flytning inte kommer att inträffa, så länge σs < σ1. I en sådan situation är nämligen σeT = σ1 – σ3 = σ1 < σs. Flytgränskurvan kommer att utgöras av en rät, vertikal linje, σ1 = σs, i figur 19.4. För situationen σs ≥ σ2 > σ1 > 0, σ3 = 0 gäller analogt: Oberoende av storleken av σ1, om bara σ1 < σ2, gäller då att flytning inte kommer att inträffa, så länge σs > σ2. I en sådan situation är nämligen σeT = σ2 – σ3 = σ2 < σs. Flytgränskurvan kommer att utgöras av en rät, horisontell linje, σ2 = σs, i figur 19.4. För – σs < σ1 < 0, σ2 > 0, σ3 = 0 blir σeT = σ2 – σ1 och flytning sker när σeT = σs = σ2 – σ1, eller σ2 = σ1 + σs. I huvudspänningsplanet motsvarar detta en rät linje med 45° lutning och ordinatan i origo = σs. Så långt kommer flytgränskurvan att te sig, som figur 19.4 visar. Om motsvarande analys genomförs för resterande fall, σ1 < 0, σ2 < 0, σ3 = 0 respektive σ1 > 0, σ2 < 0, σ3 = 0, kommer resterande delar av flytgränskurvan att erhållas. Resultatet visas i figur 19.5. Som framgår av figuren, utgörs flytgränskurvan enligt Trescas hypotes av en oregelbunden hexagon (sexhörning).

Utvärderingsexemplar

Om vid plant spänningstillstånd med σz = 0, huvudspänningarna (σ1, σ2) faller innanför hexagonen, råder elastiskt tillstånd. Om punkten ifråga faller på hexagonen, plasticerar materialet. σ2

σ2 σs

σs

− σs σ1

σ1 − σs

Figur 19.4 Stegvis konstruktion av flytgränskurva enligt Tresca vid plant spänningstillstånd.

362

σs

σs − σs

Figur 19.5 Komplett flytgränskurva enligt Tresca vid plant spänningstillstånd.

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 363

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

19.2.1 Specialfallet en skjuvspänning och en normalspänning Ett vanligt förekommande fall av plant spänningstillstånd är, att en normalspänning, σx, och en skjuvspänning, τxy, verkar samtidigt. I en axel utsatt för böjande och vridande moment, uppstår både böjspänningar och skjuvspänningar. Och vi har förut konstaterat, att i en balk utsatt för böjning, uppkommer samtidigt skjuvspänningar. I sådana fall blir huvudspänningarna enligt (12:16), givet att dessa ordnas i storleksordningen σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 : σ1,3 =

σx + σy

2  σx − σy   σx  σx 2 ±   + τ 2xy ; ±   + τ xy = 2  2  2  

σ2 = 0

Effektivspänningen blir enligt (19:2): 2

σ  σ eT = σ1 − σ 3 = 2  x  + τ 2xy =  2 

σ 2x + 4 τ 2xy

(19:3)

Utvärderingsexemplar 19.3

von Mises flythypotes (deviationsarbetshypotesen) Enligt denna hypotes, föreslagen av den österrikiske matematikern Richard von Mises (1883 –1953), är det av de tre maximala skjuvspänningarna uträttade deviationsarbetet avgörande för flytning. I kapitel 6 introducerades begreppet dilatation. Men här behövs ett nytt begrepp, deviation, som är ett annat ord för vinkeländring utan volymändring. För att komma vidare, behöver vi härleda ett uttryck för deviationsarbetet. Först studeras ett rätblock med sidorna dx, dy, dz utsatt för ett enaxligt spänningstillstånd, σ. Spänningen ges ett infinitesimalt tillskott, som resulterar i en töjningsökning, dε, i normalspänningsriktningen.

Det arbetstillskott, dH, som normalspänningen uträttar på volymelementet, utgörs av dH = σdy dz · dε dx eller per volymenhet: dh =

dH = σdε. dx dy dz

363

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 364

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation ε

ε ~ ε

Figur 19.6 Arbete per volymenhet, h, vid enaxligt spänningstillstånd.

Figur 19.7 Arbete per volymenhet, h, vid enaxligt spänningstillstånd och linjärt, elastiskt material.

Efter integration från ε = 0 till ε = ~ε erhålls: ε˜

∫

h = σ dε . 0

Arbetet per volymenhet representeras tydligen av ytan mellan σ-ε-kurvan och σaxeln, se figur 19.6. För ett linjärt elastiskt material enligt figur 19.7 med elasticitetsmodul E, utgörs denna yta av en triangel, och arbetet per volymenhet vid en töjning, ε, kan därmed skrivas som:

Utvärderingsexemplar h=

σ2 1 σε = 2 2E

(19:4)

Vid treaxligt spänningstillstånd med huvudspänningarna σ1, σ2, σ3 och ett linjärt elastiskt material, kan de arbeten, som respektive huvudspänning uträttar adderas med resultat: 1 h = ( σ1ε1 + σ 2 ε 2 + σ 3 ε 3 ) = 2 1 = [ σ1( σ1 − νσ 2 − νσ 3 ) + σ 2 ( σ 2 − νσ 3 − νσ1 ) + σ 3 ( σ 3 − νσ1 − νσ 2 )] 2E h=

1 2 ( σ + σ 22 + σ 32 − 2 νσ1σ 2 − 2 νσ 2σ 3 − 2 νσ 3σ1 ) 2E 1

(19:5)

där ε1, ε2, ε3 är töjningarna i respektive huvudspänningsriktning. Generellt resulterar huvudspänningarna både i dilatation och deviation av volymelementet. Arbetet, h, på elementet, som f ö finns upplagrat i form av elastisk energi i detsamma, behöver därför delas upp. En del, hdil, som orsakar dilatation och en del, hdev, som orsakar deviation, och där h = hdil + hdev

364

(19:6)

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 365

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

För att bestämma respektive arbete (eller respektive inre energi), bildas först medelvärdet av huvudspänningarna: σ + σ 2 + σ3 σ= 1

(19:7)

De verkande huvudspänningarna kan då skrivas enligt: σ1 = σ + σ˜ 1,

σ 2 = σ + σ˜ 2 ,

σ 3 = σ + σ˜ 3

(19:8)

Spänningen σ– innebär allsidigt lika dragning (eller tryck). En sådan belastning ger en volymändring men ingen formändring av elementet. Alla sidor i ett kubiskt element förlängs eller förkortas lika mycket. Om (19:7) och (19:8) kombineras, blir resultatet 3σ = 3σ + σ˜ 1 + σ˜ 2 + σ˜ 3 eller σ˜ 1 + σ˜ 2 + σ˜ 3 = 0

(19:9)

~ , ~σ , ~σ ha motsatt teckFör att fylla detta villkor, måste någon av spänningarna σ 1 2 3 en mot de två övriga. Ett ursprungligen kubiskt volymelement, som utsätts för t ex två positiva och en negativ normalspänning, kommer att övergå till en parallellepiped vid belastning. Detta innebär en formförändring. Men medför detta också en volymändring? För att utröna detta, studeras den rymddilatation, ~e, som orsakas av spänningarna ~σ1, ~σ2, ~σ3 .

Utvärderingsexemplar

e˜ = ε˜1 + ε˜ 2 + ε˜ 3 = e˜ =

1 ˜ [ σ1 − ν( σ˜ 2 + σ˜ 3 ) + σ˜ 2 − ν( σ˜ 3 + σ˜ 1 ) + σ˜ 3 − ν(σ˜ 1 + σ˜ 2 )] E

1 − 2ν ˜ ( σ1 + σ˜ 2 + σ˜ 3 ) E

(19:10)

Med stöd av (19:9) blir: e˜ = 0

(19:11)

~ ,σ ~ ~ Spänningarna σ 1 2, σ3 orsakar tydligen enbart deviation utan samtidig dilatation. Den senare orsakas enbart av σ–. Dilatationsarbetet per volymenhet kan i analogi med (19:5) därmed skrivas som: h dil =

1 2 3σ 2 ( σ + σ 2 + σ 2 − 2 νσ 2 − 2 νσ 2 − 2 νσ 2 ) = (1 − 2 ν) 2E 2E

(19:12)

365

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 366

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

och deviationsarbetet per volymenhet som: h dev = h − h dil = 1 2 3σ 2 = ( σ1 + σ 22 + σ 32 − 2 νσ1σ 2 − 2 νσ 2σ 3 − 2 νσ 3σ1 ) − (1 − 2 ν) = 2E 2E  1  2 2 (1 − 2 ν) 2 = ( σ1 + σ 2 + σ 3 )2  = σ1 + σ 2 + σ 3 − 2 νσ1σ 2 − 2 νσ 2σ 3 − 2 νσ 3σ1 − 2E  3  1 3σ12 + 3σ 22 + 3σ 32 − 6 νσ1σ 2 − 6 νσ 2σ 3 − 6 νσ 3σ1 − = 6E 1 − (1 − 2 ν)( σ12 + σ 22 + σ 32 + 2σ1σ 2 + 2σ 2σ 3 + 2σ 3σ1 = 6E 1 2(1 + ν)( σ12 + σ 22 + σ 32)− 2(1 + ν)( σ1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ1 ) = = 6E 2(1 + ν) = ( σ1 − σ 2 )2 + ( σ 2 − σ 3 )2 + ( σ 3 − σ1 )2 12E

[ [ [

] ]

[

]

Om skjuvmodulen G = h dil =

]

E införs: 2(1 + ν)

[

1 ( σ1 − σ 2 )2 + ( σ 2 − σ 3 )2 + ( σ 3 − σ1 )2 12G

]

(19:13)

Från Mohrs spänningscirklar känns parenteserna i (19:13) igen som dubbla värdet av de tre maximala skjuvspänningarna,

Utvärderingsexemplar ! ! ! τ12 , τ 23 , τ 31 .

Ekvationen kan därmed alternativt formuleras som: h dil =

1 !2 !2 !2 (τ + τ + τ ) 3G 12 23 31

(19:14)

För fallet enaxlig dragning, σ1 = σ = σevM, σ2 = σ3 = 0 övergår (19:13) i h dil

(σ ) = vM e

Avgörande för flytning är enligt von Mises deviationsarbetets storlek. Om arbetena sätts lika för treaxligt spänningstillstånd och enaxlig dragning, får vi effektivspänningen: σ evM =

366

[

1 ( σ1 − σ 2 )2 + ( σ 2 − σ 3 )2 + ( σ 3 − σ1 )2 2

]

(19:15)

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 367

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

För tvådimensionellt spänningstillstånd med huvudspänningar, σ1 ≠ 0, σ2 ≠ 0, σ3 = 0, övergår (19:15) i: σ evM =

[

]

1 ( σ1 − σ 2 )2 + σ 22 + σ12 = σ12 + σ 22 − σ1σ 2 2

(19:16)

Flytning sker när σ s = σ evM = σ12 + σ 22 − σ1σ 2 . Flytgränskurvan enligt von Mises bestäms alltså för detta fall av ekvationen: σ 2s = σ12 + σ 22 − σ1σ 2 2

eller

 σ1   σ2  σ1σ 2   +   − 2 =1  σs   σs  σs

(19:17)

För att undersöka den geometriska formen av flytgränskurvan, introduceras ett 45° roterat koordinatsystem, Σ1, Σ2, enligt figur 19.8, genom transformationen Σ1 = σ1 cos

Σ 2 = σ 2 cos

+ σ 2 sin

− σ1 sin

σ2

Σ2

Figur 19.8 Koordinatsystemen σ, Σ.

Σ1

Utvärderingsexemplar

Den inversa transformationen får formen σ1 =

σ2 =

Σ1 − Σ 2

45°

σ1

Σ1 + Σ 2

som insatt i (19:17) genererar: 2

Σ +Σ  Σ −Σ  Σ12 − Σ 22 1 2 1 2 − =1 +     2σ s2  2σs   2σs  Efter utveckling av kvadrattermerna: 2

 3Σ   Σ  1 2  =1  +   2σs   2σs 

(19:18)

Ekvationen känns förhoppningsvis igen som ekvationen för en ellips med centrum i origo och halvaxlar 2 σ s respektive

2 3

σs .

367

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 368

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

Ellipsens utsträckning och orientering framgår av figur 19.9, där även Trescas hexagon ritats in för jämförelse.

σ2 σs

− σs σ1 σs

Trescas hexagon blir inskriven i von Mises ellips. Därför ger von Mises vid de flesta förhållanden mellan huvudspänningarna en något större marginal till inträdande flytning än vad Tresca gör. Om det råder osäkerhet om huvudspänningarnas numeriska värden, bör man därför hellre använda Trescas än von Mises flythypotes. Observera också, att med Trescas hypotes får ingen huvudspänning nå upp till sträckgränsen, om elastiskt tillstånd skall bibehållas. I von Mises hypotes kan den ena huvudspänningen tillåtas överskrida sträckgränsen utan att flytning inträder, om bara den andra huvudspänningen ligger under sträckgränsen.

−σs

Figur 19.9 Flytgränskurva enligt von Mises (heldragen) och Tresca (streckad) vid plant spänningstillstånd.

19.3.1 Specialfallet en skjuvspänning och en normalspänning

Utvärderingsexemplar

Liksom i 19.2.1 studeras förhållandena när enbart en normalspänning, σx, och en skjuvspänning, τxy, verkar samtidigt. Då blir huvudspänningarna enligt (12:16), givet att dessa ordnas enligt σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 : σ1,3 =

σx + σy

2  σx − σy   σx  σx 2 2 ±   + τ xy ; ±   + τ xy = 2  2  2  

σ2 = 0

Effektivspänningen blir enligt (19:15): σ evM =

[

]

1 ( σ1 − σ 2 )2 + ( σ 2 − σ 3 )2 + ( σ 3 − σ1 )2 = 2

2 2 2         2 2 2        1  σx σ σ σ σ  = +  x  + τ 2xy  +  x −  x  + τ 2xy  +  2  x  + τ 2xy        2    2 2  2  2   2         

  σ2 1  σ 2x  + 6  x + τ 2xy   = σ 2x + 3τ 2xy 2 2    4 

Effektivspänningen blir enligt von Mises hypotes i detta fall: σ evM =

368

σ 2x + 3τ 2xy

(19:19)

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 369

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

För specialfallet σx ≠ 0, τxy ≠ 0, övriga spänningar = 0, visar en jämförelse mellan (19:3) och (19:19), att detta är ett av de fall, där effektivspänningen enligt von Mises blir lägre än effektivspänningen enligt Tresca.

19.4 Treaxligt spänningstillstånd Vid tredimensionellt spänningstillstånd verkar sex spänningskomponenter på ett rätblockselement. Dels normalspänningarna σx, σy, σz, dels skjuvspänningarna τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz . Man kan visa, att det alltid går att vinkelorientera ett rätblockselement på sådant sätt, att enbart normalspänningar verkar på dess ytor. Liksom i det tvådimensionella fallet definieras dessa normalspänningar som huvudspänningar eller principalspänningar. De riktningar som är parallella med respektive huvudspänning, kallas naturligtvis huvudspänningsriktningar. Eftersom de tre huvudspänningarna är avgörande för flytning, redovisas först hur dessa beräknas vid ett givet, treaxligt spänningstillstånd.

!Utvärderingsexemplar 19.4.1 Bestämning av huvudspänningar och huvudspänningsriktningar

Som utgångspunkt väljs ett volymelement med kantlinjerna parallella med axlarna i ett koordinatsystem, x, y, z. Om spänningskomponenterna i en strukturpunkt är kända, kan spänningarna i varje plan, vars normalvektor bildar givna vinklar med respektive koordinataxel i punkten, bestämmas med hjälp av statiken. För att bestämma spänningarna i ett plan genom O, förläggs ett med detta plan parallellt plan, BCD i närheten av planet genom O, som figur 19.10 visar. Den kropp som begränsas av triangelplanen OBC, OCD, ODB och BCD bildar en tetraeder. Genom att låta tetraederns sidor utmed axlarna gå mot noll, kommer spänningarna i planet BCD att övergå i de sökta spänningarna i parallellplanet genom O. Enhetsvektorena utmed respektive koordinataxel sätts till i, j, k. Planet BCD antas ha en yttre enhetsnormalvektor n med komponenterna (κ, λ, µ), där κ, λ, µ är riktningscosinerna för n, d v s κ = cos(n/i) = cos αx , λ = cos(n/j) = cos αy , µ = cos(n/k) = cos αz ,

369

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 370

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation z D

s n

τyx

σy

τxz

O τyz

σx

τxy τzx

τzy

y C

σz

Figur 19.10 Spänningar på ett tetraederelement.

Arean av triangeln BCD sätts till A. Storleken av övriga trianglar i tetraedern utgörs av projektionen av BCD på respektive koordinataxelplan. Arean av trianglarna OCD, OBD och OBC blir i samma ordning: Ax = κ A, Ay = λ A, Az = µA I planet BCD samverkar en normalspänning och en skjuvspänning till en resulterande spänningsvektor, s = sxi + syj + szk. En jämviktsekvation i x-led ger: σx Ax + τyx Ay + τzx Az – sx A = 0, σx κA + τyx λA + τzx µA = sx A

eller

Utvärderingsexemplar sx = σx κ + τyx λ + τzx µ

(19:20)

Analogt efter jämviktsbetraktelse i y- och z-led: sy = τxyκ + σy λ + τzy µ

(19:21)

sz = τxzκ + τyz λ + σz µ

(19:22)

För att finna huvudspänningarna, utnyttjar vi villkoret, att dessa är vinkelräta mot de plan i vilka de verkar, de s k huvudspänningsplanen eller principalplanen. Antag att enhetsnormalvektorn till ett principalplan är (κ, λ, µ). Låt vektorn σ representera en huvudspänningsvektor och sätt |σ| = σ. Komponenterna av σ i x-, y- och z-led blir då σκ, σλ, σµ. Insätts dessa i (19:20) till (19:22), fås följande homogena, linjära ekvationssystem i variablerna κ, λ, µ: (σ – σx ) κ – τxy λ – τxz µ = 0 – τxy κ + (σ – σy) λ – τyz µ = 0

(19:23)

– τxzκ – τyzλ + (σ – σz) µ = 0 Systemet har triviallösningen κ = λ = µ = 0. Eftersom κ, λ, µ är riktningscosiner, gäller emellertid att κ2 + λ2 + µ2 = 1. Triviallösningen måste därför förkastas. Villkoret för att ekvationssystemet skall ha en icke-trivial lösning, är som känt från matematiken, att systemets determinant har värdet noll. Eller uttryckt i matematiska termer: 370

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 371

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation σx− σ

τ xy

τ xz

τ xy

σy − σ

τ yz

τ xz

τ yz

σz − σ

(19:24)

Om determinanten utvecklas, leder det fram till följande tredjegradsekvation i σ: σ 3 − ( σ x + σ y + σ z ) σ 2 + ( σ x σ y + σ y σ z + σ x σ z − τ 2yz − τ 2xz − τ 2xy ) σ −

−( σ x σ y σ z + 2 τ yz τ xz τ xy − σ x τ 2yz − σ y τ 2xz − σ z τ 2xy ) = 0

(19:25)

Ekvationen ger tre reella rötter svarande mot tre huvudspänningar, σ1, σ2, σ3. Efter insättning i (19:23) samt genom att utnyttja: κ2 + λ2 + µ2 = 1

(19:26)

kan de tre uppsättningarna av riktningscosinerna bestämmas. Koordinatsystemet x, y, z är enbart ett hjälpmedel för beräkningarna. Huvudspänningarna σ1, σ2, σ3 i en viss strukturpunkt är givetvis desamma, oavsett hur koordinataxlarna orienteras. Därmed måste termerna inom respektive parentes i (19:25) vara konstanta, oavsett hur systemet x, y, z väljs. Härav följer, att faktorerna:

Utvärderingsexemplar

σ x + σ y + σz

σ x σ y + σ y σ z + σ x σ z − τ 2yz − τ 2xz − τ 2xy

σ x σ y σ z + 2 τ yz τ xz τ xy − σ x τ 2yz − σ y τ 2xz − σ z τ 2xy

är oberoende av hur x-, y- och z-axeln pekar. Så blir t ex summan av normalspänningarna i en strukturpunkt i tre perpendikulära riktningar alltid densamma och kan bl a skrivas som summan av huvudspänningarna σ1, σ2, σ3 i punkten. Ett numeriskt exempel får belysa beräkningsgången. I en strukturpunkt råder följande spänningar i MPa: σx = 20, σy = 30, σx = –15, τxy = τyx = 10, τyz = τzy = – 40, τzx = τxz = 0

Huvudspänningarnas storlek och riktning efterfrågas. Lösning: σx + σy + σz = 20 + 30 + (–15) = 35 σxσy + σyσz + σxσz – τyz2 – τxz2 – τxy2 =

= 20 · 30 + 30 · (–15) + 20 · (–15) – 402 – 102 = –1850

σxσy σz + 2τyzτxzτxy – σxτyz2 – σyτxz2 – σzτxy2 =

= 20 · 30 · (–15) + 2 · (– 40) · 0 · 10 – 20 · (– 40)2 – 30 · 0 – (–15) · 102 = = – 39 500 371

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 372

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

Dessa numeriska värden införs i (19:25). σ3 – 35 σ2 – 1850 σ2 + 39 500 = 0

som har rötter σ1 ≈ 55,51 MPa, σ2 ≈ 18,32 MPa, σ3 ≈ – 38,83 MPa och som sig bör ger: σ1 + σ2 + σ3 ≈ 55,51 + 18,32 – 38,83 = 35,00 = σx + σy + σz = 35 σ1σ2 + σ2σ3 + σ3 σ1 ≈

≈ 55,51·18,32 + 18,32 · (– 38,83) + (– 38,83) · 55,51 ≈ –1850 = ≈ σxσy + σyσz + σxσz – τyz2 – τxz2 – τxy2 = –1850

σ1σ2 σ3 ≈ 55,51·18,32 · (– 38,83) ≈ 39 488 ≈ ≈ σxσy σz + 2τyzτxzτxy – σxτyz2 – σyτxz2 – σzτxy2 = – 39 500

Med huvudspänningen σ1 insatt i ekvation (19:23): (55,51 – 20) κ – 10 λ – 0µ = 0 –10 κ + (55,51 – 30) λ + 40µ = 0 0 κ + 40 λ + (55,51 + 15)µ = 0

(a)

eller förenklat: 35,51 κ – 10 λ = 0 –10 κ + 25,51 λ + 40µ = 0 40 λ + 70,51µ = 0

Utvärderingsexemplar

(b)

Eftersom determinanten för ekvationssystemet (a) är noll, finns enligt teorin för linjära ekvationssystem antingen ingen eller ett oändligt antal lösningar till systemet. Eftersom ekvationssystemet är homogent, satisfieras det av triviallösningen, κ = λ = µ = 0. Och eftersom en lösning finns, existerar det oändligt många. En konsekvens härav är, att ekvationerna i (a) eller (b) är linjärkombinationer av varandra. Och att så är fallet kan lätt verifieras. Om nämligen den andra ekvationen förlängs med 3,551 och adderas till den första, fås: 80,586 λ + 142,04µ = 0, som förlängd med 0,49636 ger 40 λ + 70,50µ = 0. Denna ekvation är (bortsett från gjorda avrundningar) identisk med den tredje ekvationen, som alltså utgör en linjärkombination av de två första. För att sortera ut en giltig lösning, måste bivillkoret κ2 + λ2 + µ 2 = 1 användas. Om κ löses ur den första ekvationen och µ ur den sista och dessa uttryck sätts in i (19:26), får vi: 2

 10λ  2  40λ  = 1 med lösning(ar):   +λ +   35, 51  70, 51 λ ≈ ±0,845, som i sin tur leder till: κ ≈ ± 0, 238, µ ≈ " 0, 479 .

372

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 373

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

Med κ = cos(n/i) = cos α x , λ = cos(n/j) = cos α y, µ = cos(n/k) = cos α z, fås: αx ≈ 76,2° alternativt α x ≈ 103,8° = 180° – 76,2° α y ≈ 32,3° alternativt α y ≈ 147,7 ° = 180° – 32,3° α z ≈ 118,6° alternativt α z ≈ 61,4° = 180° – 118,6°

Huvudspänningen σ1 ≈ 55,51 MPa ligger alltså på mantelytan av en rät, cirkulär dubbelkon med spetsen i origo och med symmetrilinjen längs x-axeln och toppvinkel 2 α x ≈ 2 · 76,2°. Men också på mantelytan av en rät, cirkulär dubbelkon med spetsen i origo och med symmetrilinjen längs y-axeln och toppvinkel 2 α y ≈ 2 · 32,3°. Liksom på mantelytan av en rät, cirkulär dubbelkon med spetsen i origo och med symmetri-linjen på z-axeln och toppvinkel 2α z ≈ 2 · 61,4°. En med huvudspänningsvektorn σ1 parallell enhetsvektor utgörs alltså av n1 = (κ, λ, µ) ≈ (0,238, 0,845, – 0,479). Även enhetsvektorn ñ1 = (κ, λ, µ) ≈ (– 0,238, – 0,845, 0,479) är parallell med huvudspänningsvektorn σ1. Men eftersom ñ1 och n1 är parallella men motriktade, räcker det att använda en av dem, n1. Med huvudspänningen σ2 insatt i ekvation (19:23): (18,32 – 20) κ – 10 λ – 0µ = 0 –10 κ + (18,32 – 30) λ + 40µ = 0 0 κ + 40 λ + (18,32 + 15)µ = 0

Utvärderingsexemplar (c)

och efter förenkling:

–1,68 κ – 10 λ = 0 –10 κ – 11,68 λ + 40µ = 0 40 λ + 33,32µ = 0

(d)

med lösningar: κ ≈ " 0, 967;

α x ≈ 14, 7°, λ ≈ ± 0,162;

α y ≈ 80, 6°, µ ≈ " 0,195;

α z ≈ 78, 8°

En med huvudspänningen σ2 parallell enhetsvektor utgörs alltså av n2 ≈ (– 0,967, 0,162, – 0,195). Med huvudspänningen σ3 insatt i ekvation (19:23): (– 38,83 – 20) κ – 10 λ – 0µ = 0 –10 κ + (– 38,83 – 30) λ + 40µ = 0 0 κ + 40 λ + (– 38,83 + 15)µ = 0

(e)

och efter förenkling: – 58,83 κ – 10 λ = 0 –10 κ – 68,83 λ + 40µ = 0 40 λ – 23,83µ = 0

(f ) 373

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 374

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

med lösningar: κ ≈ " 0, 087;

α x ≈ 85, 0°, λ ≈ ± 0, 510;

α y ≈ 59, 3°, µ ≈ ± 0, 856;

α z ≈ 31,1°

En med huvudspänningen σ3 parallell enhetsvektor utgörs alltså av n3 ≈ (– 0,087, 0,510, 0,856). Om vi beräknar skalärprodukterna n1n2, n2n3 och n3n1 finner vi, att resultatet genomgående blir noll. Vektorerna n1, n2 och n3 är alltså inbördes ortogonala. Detsamma gäller därmed huvudspänningsvektorerna σ1, σ2, σ3. Man kan visa att ortogonalitetsvillkoret för huvudspänningarna alltid gäller, oavsett värdena på σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx .

19.4.2 Flytgränsytor i Haigh-Westwergaards spänningsrymd

Vid tredimensionellt spänningstillstånd används ett tredimensionellt cartesiskt koordinatsystem med huvudspänningar σ1, σ2, σ3 som axlar. Systemet kallas Haigh-Westergaards spänningsrymd. I denna kan varje taltrippel av huvudspänningar avbildas som en spänningsvektor, σ = (σ1, σ2, σ3 ). I spänningsrymden söker vi nu formen av en yta med den egenskapen, att om en punkt (σ1, σ2, σ3 ) faller på ytan ifråga, så börjar materialet flyta. Om (σ1, σ2, σ3 ) faller innanför ytan, råder elastiskt tillstånd. D v s vi söker formen av en flytgränsyta. Denna bestäms experimentellt genom att variera värdena på (σ1, σ2, σ3 ) till dess att flytning inträder. Vid sådana prov har man funnit, att om σ1 = σ2 = σ3 = σh , uppstår ingen flytning, även om det numeriska värdet av σh görs mycket stort. Vid prov med allsidigt lika tryck upp till 2,5 GPa, har flytning inte kunnat iakttas. Detta tillstånd av allsidig lika dragning eller allsidigt lika tryck, kallas hydrostatiskt spänningstillstånd och σh kallas hydrostatisk spänning. Namnet kommer från, att på en liten kropp nedsänkt i en vätska verkar just ett allsidigt lika tryck.

Utvärderingsexemplar

I Haigh-Westergaards spänningsrymd motsvaras hydrostatiskt tillstånd av punkter på en rät linje genom origo som sammanfaller med koordinataxlarnas huvuddiagonal. En enhetsvektor utmed denna linje blir därmed  1 1 1  , , e=  , se figur 19.11.  3 3 3 σ3 e Figur 19.11 Huvuddiagonal och enhetsvektor, e, i Haigh-Westergaards spänningsrymd.

374

σ2

σ1

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 375

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

Huvuddiagonalen liksom enhetsvektorn e bildar lika stora vinklar, 1

arccos

≈ 54, 7°

med respektive positiva koordinataxel. Att flytning inte inträffar vid hydrostatisk spänning, leder till slutsatsen, att flytgränsytan måste utgöras av något slags cylinder med obegränsad längd, och som måste innesluta huvuddiagonalen. Vid von Mises flythypotes utgörs effektivspänningen enligt (19:15) av: σ evM =

[

1 ( σ1 − σ 2 )2 + ( σ 2 − σ 3 )2 + ( σ 3 − σ1 )2 2

]

Flytning inträder när:

(σ ) vM e

= σ 2s =

[

1 ( σ1 − σ 2 )2 + ( σ 2 − σ 3 )2 + ( σ 3 − σ1 )2 2

]

(19:28)

Uttrycket (19:28) utgör alltså ekvationen för flytgränsytan vid von Mises flytkriterium. Men vad innebär den geometriskt? För att få svar på denna fråga, läggs spänningsvektorn σ = (σ1, σ2, σ3 ) in i spänningsrymden, se figur 19.12.

Utvärderingsexemplar σdev

σ3

Figur 19.12 Spänningsvektorns σ, komponent, σdil , utmed huvuddiagonalen respektive vinkelrätt mot densamma, σdev,

σdil e σ2

σ1

Projektionen av σ = (σ1, σ2, σ3 ) på vektorn e, blir enligt kända samband från vektoralgebran: σe

| e |2

1 1  σ1 + σ 2 + σ 3 , , (1, 1, 1) = =  3  3 3 3

σ1 + σ 2 + σ 3  1

= σ(1, 1, 1) = ( σ, σ, σ ) som kan kallas dilatationsspänningen, σ + σ 2 + σ3 σ dil = ( σ, σ, σ ), där σ = 1 .

375

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 376

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

Namnet är befogat, eftersom i avsnitt 19.3 visades, att spänningen σ + σ 2 + σ3 σ= 1

3 orsakar enbart dilatation. Den mot huvuddiagonalen vinkelräta komponenten av σ blir därmed σ dev = ( σ˜ 1, σ˜ 2 , σ˜ 3 ), där σ˜ 1 = σ1 − σ,

σ˜ 2 = σ 2 − σ,

σ˜ 3 = σ 3 − σ.

Denna komponent kan vi kalla deviatorspänningen eller bara deviatorn. Att namnet deviatorspänning även det är befogat, framgår av avsnitt 19.3. Där visades, att spänningarna σ˜ 1 = σ1 − σ,

σ˜ 2 = σ 2 − σ,

σ˜ 3 = σ 3 − σ

orsakar enbart deviation. Vi får även: σ dev = ( σ1 − σ )2 + ( σ 2 − σ )2 + ( σ 3 − σ )2 =

4σ 2 + σ 2 + σ 2 − 4σ1σ 2 − 4σ1σ 3 + 2σ 2σ 3 +  1 2 3  1 2 2 2 = + 4σ 2 + σ1 + σ 3 − 4σ 2σ1 − 4σ 2σ 3 + 2σ1σ 3 +  = 9 + 4σ 32 + σ12 + σ 22 − 4σ 3σ1 − 4σ 3σ 2 + 2σ1σ 2   

Utvärderingsexemplar =

6 2 ( σ + σ 22 + σ 32 − σ1σ 2 − σ 2σ 3 − σ 3σ1 ) = 9 1

( σ1 − σ 2 )2 + ( σ 2 − σ 3 )2 + ( σ 3 − σ1 )2

eller med (19:15): σ dev =

2 3

[

]

1 2 vM ( σ1 − σ 2 )2 + ( σ 2 − σ 3 )2 + ( σ 3 − σ1 )2 = σe 2 3

Flytning inträder när σ evM = σ s som medför: σ dev =

2 σs. 3

Flytgränsytan ligger alltså på ett konstant avstånd av σ dev =

2 σs 3

från huvuddiagonalen. Flytgränsytan utgörs tydligen vid von Mises flytkriterium av en rät, cirkulär cylinder med radie ρ= 376

2 σs 3

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 377

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation σ3 σ3 ρ e

ρ σ2

σ2

σ1 Figur 19.13 Flytgränsyta vid von Mises flytkriterium.

σ1 Figur 19.14 von Mises (heldragen) och Trescas (streckad) flytgränscylinder sedd i huvuddiagonalens (cylinderaxelns) riktning.

och med cylinderaxeln sammanfallande med huvuddiagonalen till spänningsrymden, som figur 19.13 antyder. Sett i huvuddiagonalens riktning, ter sig flytgränsytan som en cirkel, figur 19.14. Skärningen mellan den cirkulära cylindern och något av koordinataxelplanen, t ex σ1-σ2-planet utgörs som bekant av en ellips. Något som framkom redan i avsnitt 19.3.

Utvärderingsexemplar

Om motsvarande analys görs för Trescas flythypotes, finner man, att flytgränsytan utgörs av en rak cylinder med tvärsnitt i form av en regelbunden hexagon. I figur 19.14 finns även denna inritad. Inte oväntat med tanke på det tvådimensionella fallet, är hexagonen inskriven i cirkeln. Av (19:15) och (19:2) kan vi också sluta oss till, att en överlagrad, allsidigt lika spänning ej inverkar på effektivspänningen. Om vi på givna huvudspänningar, σ1, σ2, σ3, överlagrar en spänning, σ0, blir von Mises effektivspänning: σ evM =

= =

[ 1 (σ − σ ) 2[

]

1 ( σ1 + σ 0 − σ 2 − σ 0 )2 + ( σ 2 + σ 0 − σ 3 − σ 0 )2 + ( σ 3 + σ 0 − σ1 − σ 0 )2 = 2 1

+ ( σ 2 − σ 3 )2 + ( σ 3 − σ1 )2

]

d v s identiskt med (19:15) Med effektivspänning enligt Tresca, erhålls: σeT = σ1 + σ0 – σ3 – σ0 = σ1 – σ3 , σ1 ≥ σ2 ≥ σ3

som är helt i överensstämmelse med (19:2). Om materialet belastas i sådan grad, att deformationshårdnande inträffar och därefter avlastas för att sedan belastas på nytt, sker förnyad flytning när spänningsvek377

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 378

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

torn faller på en ny flytgränscylinder. Beroende på vilken materialmodell som används, kan cylinderaxlarna vara kolinjära eller icke kolinjära. För materialmodeller med isotropt deformationshårdnande, erhålls en kolinjär cylinder med större omkrets än den cylinder som svarar mot jungfruligt material.

19.5 Mohrs brottgränshypotes Vid plastisk formning av material krävs, att materialet flyter utan att brista. Därmed finns ett behov av en storhet, som vid fleraxligt spänningstillstånd är avgörande för brott, d v s kan relateras till materialets brottgräns.

Mohrs brottgränshypotes bygger på det enkla antagandet, att endast den största, σ1, och den minsta, σ3, huvudspänningen är avgörande, för när brott uppträder. För en uppsättning olika värden på σ3 och med σ3 < σ2 < σ1, ökas σ1 till dess att brott sker. Varje sådant prov kan representeras med en Mohrsk spänningscirkel, baserad på den största och minsta huvudspänningen. De övriga två spänningscirklarna som baseras på den mellersta huvudspänningen ignoreras, eftersom den mellersta huvudspänningen enligt Mohrs hypotes saknar inverkan vid brott. Man finner då, att cirklarna för sega, metalliska material i allmänhet ter sig som figur 19.15 visar. De båda envelopperna till cirklarna representerar de kurvor, vid vilka brott sker vid olika numeriska värden på huvudspänningarna σ1, σ3. Envelopperna kan därför sägas utgöra en brottgränskurva i Mohrs diagram. Enveloppernas gemensamma skärningspunkt med σ-axeln representerar fallet σ1 = σ2 = σ3 = σ0, d v s allsidigt lika dragning. I detta fall urartar spänningscirkeln till en punkt (σ0, 0) på σ-axeln. Vid allsidigt lika tryck urartar spänningscirkeln till en punkt på den negativa delen av σ-axeln. Spänningscirklarnas radie och därmed brottgränskurvans avstånd till σ-axeln ökar monotont med minskande σ-värde. Enligt Mohrs brottgränshypotes kan brott därför aldrig ske vid allsidigt lika tryck, oavsett hur stort trycket väljs. Mohrs brotthypotes innebär, att brott uppkommer, när den största huvudspänningscirkeln tangerar brottgränskurvan.

Utvärderingsexemplar

σ σ0

378

Figur 19.15 Konstruktion av Mohrs brottgränskurva med utgångspunkt från spänningscirklar för största och minsta huvudspänning.

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 379

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

19.5.1 Approximativa, linjära brottgränskurvor Brottgränskurvan betraktas som en materialegenskap. Olyckligtvis är kurvans form sällan känd i sin helhet ens för vanliga stålsorter och än mindre för andra plastiskt formbara metaller. Ofta finns enbart brottgräns vid enaxlig dragning, σB, och vid enaxligt tryck, σBt, tillgängliga. Med dessa data kan två av Mohrs spänningscirklar konstrueras, se figur 19.16. En approximativ brottgränskurva kan konstrueras, om brottgränskurvan approximeras till en rät linje, som tangerar de två cirklarna, som figur 19.16 visar.

Den approximativa brottgränskurvan innebär en underskattning av brotthållfastheten för alla spänningscirklar, vilkas medelpunkter ligger i intervallet (–σBt /2, σB /2) och en överskattning för övriga spänningscirklar. För material med σBt = σB får spänningscirklarna samma radie. Den approximativa brottgränskurvan blir då en med σ-axeln parallell linje. Vinkeln α mellan den approximativa brottgränskurvan och σ-axeln ges av:

α σ σ0

σ4

σB

-σ Bt

Figur 19.16 Linjär, approximativ brottgränskurva baserad på brottgränsen vid dragning, σB, respektive tryck, σBt .

Utvärderingsexemplar

sin α =

σ Bt − σ B

σ Bt + σ B

(19:29)

Vid stora positiva huvudspänningar ger approximationen enligt ovan en alltför optimistisk brottgränskurva. En mer konservativ linjär, approximativ brottgränskurva kan konstrueras, om brottgränsen vid vridning, τB är känd liksom brottgränsen vid allsidigt lika dragning, σ0, se figur 19.17. Ansatsen innebär, att den approximativa brottgränskurvan underskattas för alla spänningscirklar, vilkas medelpunkt ligger i intervallet (0, σ0 ). Vinkeln α mellan den approximativa brottgränskurvan och σ-axeln ges för denna approximation av: tan α =

τB σ0

τ τB

α σ σ0 = σ4

(19:30) Figur 19.17 Linjär, approximativ brottgränskurva baserad på brottgränsen vid vridning, τ B, respektive allsidigt lika dragning, σ0 .

379

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 380

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

19.5.2 Brottgränsyta vid linjär, approximativ brottgränskurva

Mohrs linjära, approximativa brottgränskurvor kan ges en motsvarighet i HaighWestergaards spänningsrymd i form av brottgränsytor. Oavsett vilken linjär approximation som väljs, gäller att vinkeln α mellan brottgränskurvan (linjen) och σ-axeln, kommer att anta ett visst numeriskt värde. Därmed blir också en faktor, χ = sin α, konstant för varje vald linjär approximation. Även det numeriska värdet av parametern σ4 i figur 19.18 är entydigt bestämt, sedan brottgränslinjen väl definierats. Med σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 och en radie r13 =

σ1 − σ 3

i den största Mohrska spänningscirkeln, ger figur 19.18 χ = sin α =

σ1 − σ 3

2σ 4 − ( σ1 + σ 3 )

som kan skrivas som: (1 + χ ) σ1 – (1 – χ ) σ3 = 2 χ σ4

Utvärderingsexemplar

Eftersom högerledet är en konstant, känns uttrycket igen som ekvationen för ett plan, Π1, i Haigh-Westergaards spänningsrymd. Ur ekvationen kan också en normalvektor, N1, till detta plan hämtas och blir: N1 = [(1 + χ ), 0, – (1 – χ )]. Med σ 2 ≥ σ 3 ≥ σ1 och en radie r21 = erhålls analogt: χ = sin α =

σ 2 − σ1

i den största spänningscirkeln,

σ 2 − σ1 2σ 4 − ( σ 2 + σ1 ) τ τB

α σ σ0 = σ4

Figur 19.18 Spänningscirkel för inträdande brott vid linjär, approximativ brottgränskurva.

380

σ1

σ3 σ1 + σ3 2

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 381

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

som kan skrivas som: –(1 – χ ) σ1 + (1 + χ ) σ2 = 2 χ σ4 Åter igenkänns uttrycket som ekvationen för ett plan, Π2, i spänningsrymden. Ur ekvationen kan en normalvektor, N2, till detta plan hämtas och blir: N2 = [–(1 – χ ), (1 + χ ), 0]. Med σ3 ≥ σ1 ≥ σ2 och en radie r32 =

σ3 − σ 2

i den största spänningscirkeln,

erhålls analogt: χ = sin α =

σ3 − σ 2

2σ 4 − (σ3 + σ 2 )

som kan skrivas som: –(1 – χ ) σ2 + (1 + χ ) σ3 = 2 χ σ4 som utgör ekvationen för ett plan, Π3, i spänningsrymden. Som en normalvektor, N3, till detta plan väljs: N3 = [0, –(1 – χ ), (1 + χ )].

Utvärderingsexemplar

På motsvarande sätt kan ytterligare tre plan, Π4, Π5, Π6 och tre normalvektorer,

N4 = [–(1 – χ ), 0, (1 + χ )], N5 = [(1 + χ ), –(1 – χ ), 0], N6 = [0, (1 + χ ), –(1 – χ )], till dessa plan tas fram, svarande mot fallen: σ3 ≥ σ2 ≥ σ1, σ1 ≥ σ3 ≥ σ2, σ2 ≥ σ1 ≥ σ3 .

Genom att fastställa ekvationerna för skärningslinjerna mellan de sex planen, finner man, att samtliga sådana linjer skär varandra i punkten (σ4, σ4, σ4 ) på rymdbisektrisen (huvuddiagonalen) till koordinatsystemet σ1, σ2, σ3 . Vinkeln γ mellan N1 och huvuddiagonalen ges av: 



[(1 + χ), 0, − (1 − χ)] ⋅  13 , 2χ 3

1   = (1 + χ)2 + (1 − χ)2 ⋅ (cos γ ) 3 

= 2 + 2 χ 2 cos γ

cos γ =

χ sin α 2 2 = 3 1 + χ2 3 1 + sin 2 α

381

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 382

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation N4

σ3

Π3

Π4

σ3

Π1

Π6

2γ

σ1 N2 σ2

2γ

σ2

Π2 Figur 19.19 Brottgränsytans normalvektorer vid linjär approximativ brottgränskurva. Den streckade linjen utgör huvuddiagonalen.

Π5 N5 σ1

Motsvarande beräkning för övriga normalvektorer ger vid handen, att samtliga normalvektorer till de sex planen bildar lika stor vinkel, γ, med huvuddiagonalen. Sett parallellt med koordinataxlarna, gestaltar sig planen Π1 till Π6 med tillhörande normalvektorer N1 till N6 som figur 19.19 visar.

Utvärderingsexemplar

Skärningslinjerna mellan planen Π1 till Π6 och ett mot rymddiagonalen vinkelrätt plan genom origo, det s k Π-planet eller det synoptiska planet, bildar en regelbunden hexagon. Skärningslinjerna med det synoptiska planet visas i figur 19.20. Tydligen utgörs brottgränsytan vid linjär, approximativ brottgränskurva av en pyramid med basyta i form av en regelbunden hexagon, se figur 19.21. Pyramidens axel är orienterad som för Trescas flytcylinder, d v s utmed spänningsrymdens huvuddiagonal. σ3 σ3

σ2

σ1 Figur 19.20 Skärningskurva mellan Mohrs brottgränsyta och det synoptiska planet sett i huvuddiagonalens (cylinderaxelns) riktning.

382

σ1 Figur 19.21 Mohrs brottgränsyta i Haigh-Westergaards spänningsrymd.

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 383

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

För en framgångsrik plastisk formning av ett deformationshårdnande material krävs att huvudspänningsvektorn σ = (σ1, σ2, σ3 ) skall falla på eller utanför den jungfruliga flytgränsytan men innanför brottgränsytan. Vi noterar i sammanhanget, att marginalen mellan flytning och brott tilltar, om huvudspänningarna förskjuts i negativ riktning under formningsprocessen. Man eftersträvar därför formningsprocesser, som ger låga positiva och helst genomgående negativa huvudspänningar. Vi noterar också, att vid allsidigt lika dragning eller spänningstillstånd som närmar sig allsidigt lika dragning, uppkommer brott utan någon som helst föregående flytning, fast materialet är utpräglat plastiskt.

19.5.3 Effektivspänning vid rätlinjig brottgränskurva

Som utgångspunkt väljs en rätlinjig approximation av brottgränskurvan enligt figur 19.22. Den approximativa brottgränskurvan, i det följande kallad brottgränslinjen, är bestämd av materialstorheterna σB > 0 och σBt > 0. Ur figuren erhålls det geometriska sambandet: sin α =

σ Bt − σ B

σ Bt + σ B

För det aktuella belastningsfallet ritas den största spänningscirkeln in i σ-τ-grafen, figur 19.23, med förutsättningen σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 . I grafen läggs även in en med brottgränslinjen (streckad i figur 19.23) parallell linje, som tangerar den aktuella spänningscirkeln (heldragen i figur 19.23). Säkerheten mot brott definieras något oprecist som förhållandet mellan brottbelastningen och den faktiska belastningen, σ1, σ3. Spänningscirkeln kan fås att tangera brottgränslinjen genom att med oförändrat värde på σ3 öka värdet på σ1. Eller genom att med oförändrat värde på σ1 minska värdet på σ3. Eller genom att ändra värden på både σ1 och σ3. Med en sådan oprecis definition av säkerheten mot brott, kommer denna att bero på hur förändringen av huvudspänningarna görs. För att undvika denna mångtydighet, väl-

Utvärderingsexemplar

τ α

α σ

σ σ0 -σBt

σB

σ5

σ4 σ3

Figur 19.22 Rätlinjig, approximativ brottgränskurva baserad på brottgränsen vid dragning, σB, respektive tryck, σBt .

σ4

σ1

Figur 19.23 Parallellförskjuten brottgränskurva/brottgränslinje.

383

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.08 Sida 384

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

jer vi att definiera säkerhetsfaktorn mot brott, n, som förhållandet mellan brottbelastning och rådande belastning vid oförändrar värde på σ1 + σ3. Denna föreskrift innebär en ökning av spänningscirkelns diameter med oförändrat läge för cirkelns medelpunkt. Säkerhetsfaktorn kommer då att utgöras av den faktor som cirkelradien skall multipliceras med, för att cirkeln skall tangera brottgränslinjen. Eller den förstoringsfaktor, som skall verka på de heldragna delarna av figur19.23, för att de skall övergå i de streckade. Eller den faktor varmed σ5 skall multipliceras för att växa till σ4, d v s: n=

σ4 σ5

Från figur 19.22 och 19.23 inses: σ4 =

σ4 =

σB

2 sin α

σB

2( σ Bt − σ B )

σB

σ − σB 2 Bt σ Bt + σ B

σB

( σ Bt − σ B + σ Bt + σ B ) =

σ B σ Bt + σ B

2 σ Bt − σ B

σ Bσ Bt

σ Bt − σ B

(19:31)

σ + σ 3 σ1 − σ 3 σ1 + σ 3 σ1 − σ 3 σ Bt + σ B + = + = σ5 = 1 2 2 sin α 2 2 σ Bt − σ B

Utvärderingsexemplar [ ] =

1 ( σ1 + σ 3 ) ⋅ ( σ Bt − σ B ) + ( σ1 − σ 3 ) ⋅ ( σ Bt + σ B ) 2( σ Bt − σ B )

σ σ − σ 3σ B σ 5 = 1 Bt σ Bt − σ B

(19:32)

och därmed säkerhetsfaktorn: n=

σ4 σ5

σ Bσ Bt

(19:33)

σ1σ Bt − σ 3 σ B

Vid enaxlig dragning är σ1 = σe och säkerhetsfaktorn måste definieras som n = = σB/σe , utan föreskriften att σ1 + σ3 skall hållas konstant. Detta eftersom villkoret σ2 = σ3 = 0 omöjliggör en ökning av σ1 med oförändrat läge av spänningscirkelns medelpunkt. Vi får med (19:33) slutligen följande uttryck för effektivspänningen: σe =

σB

σ1σ Bt − σ 3σ B σ Bt

= σ1 −

σB σ Bt

σ3 ,

σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3

(19:34)

Mohrs brotthypotes är den mest generella hypotesen för bedömning av säkerheten mot brott. Flera andra brotthypoteser kan framställas som specialfall av Mohrs hypotes. Dragspänningshypotesen stipulerar att den största positiva huvudspänning384

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.36 Sida 385

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

en, σ1 (≥ σ2 ≥ σ3 ) är avgörande för brott. I σ-τ-grafen innebär detta en vertikal linje, se figur 19.24. Man inser, att en vertikal linje enligt Mohrs hypotes måste medföra att: 1 = sin α =

σ Bt − σ B = σ Bt + σ B

1− 1+

σB

σ Bt σB

⇒

σB

= 0 eller σ Bt → ∞

σ Bt

Skjuvspänningshypotesen stipulerar, att den maximala skjuvspänningen är avgörande för brott, och ger med σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 : σ e = σ1 −

σB σ Bt

σ 3 = 2 τ max = σ1 − σ 3 ⇒

σB σ Bt

= 1,

som innebär, att brottgränslinjen blir horisontell i σ-τ-grafen. Töjningshypotesen stipulerar, att den största positiva huvudtöjningen är avgörande för brott, och ger med σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 : σ e = σ1 −

σB σ Bt

σ 3 = Eε1 = σ1 − ν( σ 2 + σ 3 )

Töjningshypotesen blir ett specialfall av Mohrs brotthypotes endast om den mellersta huvudspänningen är noll, och ger i sådant fall med σ1 > σ2 = 0 > σ3 :

Utvärderingsexemplar

σ e = σ1 −

σB

σ Bt

σ 3 = Eε1 = σ1 − νσ 3 ⇒

σB

σ Bt

=ν

De tre brotthypotesernas brottgränslinjer visas i figur 19.24.

σB =ν σBt

σB =0 σBt

σB =1 σBt σ σB

σB =ν σBt

σB =1 σBt

Figur 19.24 Brottgränslinjer för några olika brotthypoteser.

385

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.36 Sida 386

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

19.6 Övningsexempel

! 19/1

På en rak, massiv axel med 30 mm diameter verkar dels ett böjande moment av 500 Nm, dels ett vridande moment om 700 Nm. Hur stor blir säkerheten mot flytning enligt a) Trescas hypotes, b) von Mises hypotes, om materialets sträckgräns är 490 MPa?

! 19/2

I en punkt i en belastad struktur råder huvudspänningarna σ1 > 0 och σ2 > 0. Vid vilket förhållande mellan huvudspänningarna blir förhållandet mellan effektivspänning enligt Tresca respektive von Mises som störst och hur stort blir det?

19/3

På ränderna av en tunn, rektangulär skiva verkar följande spänningar i MPa: σx = 80, σy = – 40, τxy = 60 enligt figur. Hur stor blir effektivspänningen i skivan enligt von Mises?

Utvärderingsexemplar

19/4

På ränderna till en tunn, rektangulär skiva verkar följande spänningar i MPa: σx = 80, σy = – 40, τxz = 60 enligt figur. Hur stor blir effektivspänningen i skivan enligt von Mises?

19/5

Ett rör med innerdiameter 68 mm och ytterdiameter 80 mm är utsatt för ett inre övertryck av 30 MPa. Hur stor blir den största effektivspänningen i röret, om detta är försett med gavlar? Effektivspänning enligt von Mises är tillämplig för rörmaterialet.

386

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.36 Sida 387

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

! 19/6

Gavlarna till röret i exempel 19/5 avlägsnas och ersätts med avtätade kolvar förenade med en dragstång. a) Hur stor blir den största effektivspänningen i rörväggen enligt von Mises? b) Jämför beloppet av spänningsvektorn i 19/6 och 19/5. Trots att beloppet blir mindre i 19/6 än i 19/5, och trots att en huvudspänning försvunnit, blir effektivspänningen högre i 19/6 än i 19/5. Varför det?

! 19/7

Ett krympförband förenar två massiva axlar med diametern Φ 30s6 med varandra via en hylsa med ytterdiameter Φ 50h10 och innerdiameter Φ 30H7. För basmåttet 30 mm är övre gränsavmått + 48 µm och undre gränsavmått + 35 µm för toleransen s6. För toleransen H7 är motsvarande storheter + 21 µm respektive 0. Materialet i båda delarna är aluminium med elasticitetsmodul E = 78 GPa och Poissons konstant ν = 0,32. Förbandet skall överföra ett vridmoment av 700 Nm. Hur stor kan den största effektivspänningen enligt Tresca bli vid hylsans inre rand, vid ogynnsammaste toleransutfall?

!Utvärderingsexemplar 19/8

I en punkt i en belastad struktur råder följande spänningar i MPa: σx = 66, σy = 12, σz = – 50, τxy = 0, τyz = 32, τzx = – 45. Hur stor är effektivspänningen i punkten enligt Tresca?

! 19/9

I en punkt på ytan av en struktur limmas tre trådtöjningsgivare enligt figur. Vinkeln mellan givarna är 45°. Vid belastning av strukturen registreras följande töjningar: εa = 540 · 10 – 6, εb = 335 · 10 – 6, εc = –775 · 10 – 6. Materialet är stål med elasticitetsmodul E = 208 GPa och Poissons konstant ν = 0,30. a) Hur stora är huvudspänningarna i punkten? b) Hur stor är effektivspänningen enligt Tresca i punkten?

c b

387

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.49 Sida 388

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

! 19/10

Vid beräkning av liksidiga kälsvetsar görs dessa på ett volymelement enligt figur. Endast spänningar på synliga ytor av elementet är utsatta. I bisektrisplanet till svetsen (skuggat i figuren) verkar dels en skjuvspänning som är parallell med svetsens längdriktning, τ //, dels de mot svetsens längdaxel vinkelräta spänningarna σ⊥ och τ⊥ . I mot svetsens längaxel vinkelräta plan verkar spänningarna σ// och τ // .

Visa att effektivspänningen i svetsen enligt von Mises kan skrivas som: σ evM =

2 2 σ // + σ 2⊥ − σ // σ ⊥ + 3τ // + 3τ 2⊥ .

Ledning: Utnyttja att koefficienterna i ekvation (19:25) är invarianter, d v s inte påverkas av koordinatsystemets orientering.

! 19/11

En I-balk tillverkas genom att med kälsvetsar sammanfoga tre stålplåtar med tjocklek 8 mm. Balkens höjd är 108 mm och dess bredd är 70 mm. Balken är fritt upplagd i ändarna och belastas på mitten med en punktlast, P = 52,0 kN. Balkens längd är L = 650 mm. Svetsarnas a-mått är 5 mm. Hur stor blir effektivspänningen i svetsarna enligt von Mises, om skjuvspänningar p g a böjning beaktas? Svetsarnas inverkan på yttröghetsmomenten försummas. Se även exempel 19/10.

Utvärderingsexemplar

! 19/12

Två plåtar med tjocklek 10 mm och bredd 50 mm sammanfogas med kälsvetsar enligt figur. Materialet är SIS 2142. Plåtarna utsätts för dragning i sin längdriktning. Hur stort skall svetsarnas a-mått väljas, för att svetsar och plåtar skall bli jämstarka (vid detta material ekvivalent med lika stor effektivspänning)? Effektivspänning enligt von Mises tillämpas.

388

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.49 Sida 389

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

! 19/13

I en punkt på en struktur monteras en likvinklig rosettgivare enligt figur. Vid belastning av strukturen registreras följande töjningar i promille: εa = 0,80, εb = 1,00, εc = 1,50. a) Hur stora är huvudtöjningarna i punkten? b) Finns någon riktning i mätplanet där normaltöjningen är noll? c) Hur stor är effektivspänningen enligt Tresca i punkten om materialet är mässing med elasticitetsmodul 82 GPa och Poissons konstant 0,30?

! 19/14

En tunn, rektangulär skiva av elastiskt idealplastiskt material med elasticitetsmodul E, Poissons konstant ν och sträckgräns σs, belastas med en dragspänning σx. Dragspänningen ökas gradvis, tills flytning inträder, varvid σx = σs . Med oförändrat värde på σx utsätts skivan för en dragspänning σy, som gradvis ökas till strax under sträckgränsen. Blir deformationen under ökande σy plastisk eller elastisk, förutsatt att a) Trescas flythypotes gäller? b) von Mises flythypotes gäller?

σy

x σ

Utvärderingsexemplar

389

s205 390 HFL 14 19.qxd 09 02 10 17.36 Sida 390

19. flyt- och brotthypoteser, effektivspänning, deviation

Svar till övningsexempel

19/1: a) 1,51, b) 1,65 19/2:

σ1 σ2

1 σ σ eT 2 och 1 = 2 , = ≈ 1,15 vM 2 σ2 σe 3

19/3: 148 MPa 19/4: 148 MPa 19/5: 152 MPa 19/6: a) 161 MPa,

b) σ ≈ 166 MPa i 19/5, σ ≈ 147 MPa. Risken för flytning och därmed effektivspänningen bestäms av σ dev ≈ 124 MPa i 19/5 och σ dev ≈ 131 MPa i 19/6 19/7: ∆ max = 48 µm. Värden i MPa: σ r ≈ −39, 9, σ ϕ ≈ 84, 8, τ zϕ ≈ 21, 8, σ eT = σ1 − σ 3 ≈ 90,1 − ( −39, 9) = 130 MPa

Utvärderingsexemplar

19/8: σ1 ≈ 83,1 MPa, σ 2 ≈ 20, 9 MPa, σ 3 ≈ −75, 9 MPa, σ eT ≈ 159 MPa 19/9: a) σ1 ≈ 97, 0 MPa, σ 2 = 0, σ 3 ≈ −166, 8 MPa, σ eT ≈ 264 MPa 19/10 : − − − 19/11 : σ evM ≈ 117 2 + 3 ⋅ 21, 92 ≈ 123 MPa 19/12: a = 7,1 mm, välj a = 7 mm 19/13: a) ε1 ≈ 1, 516, ε 2 ≈ 0, 684, ε 3 ≈ −0, 943 promille, b) nej, c) σ eT ≈ 155 MPa 19/14: a) plastisk, b) elastisk

390

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203("#$

20 Spänningskoncentration, kälverkan, formfaktor I tidigare kapitel har normalspänningar beräknats vid exempelvis dragning av stång och böjning av balk. Härvid förutsattes vid dragning, att spänningen är jämnt fördelad över tvärsnittet och vid böjning att spänningen växer linjärt med avståndet från neutrallagret. Om formen eller storleken av stångens/balkens sektion varierar kontinuerligt i dess längdriktning, x, beaktas detta genom att för varje tvärsnitt teckna tvärsnittsarean/yttröghetsmomentet/böjmotståndet som funktioner av x.

Utvärderingsexemplar

Men kan man göra likadant, om formen/storleken av sektionen förändras diskontinuerligt?. För att besvara frågan behandlas en cirkulärcylindrisk dragstång utförd enligt figur 20.1. Om tvärsnittsarean för den vänstra delen är Av och för den högra delen är Ah > Av, blir dragspänningen i vänstra delen σv = F/Av och i högra delen σh = F/Ah ≠ σv . Men en sådan spänningsfördelning kräver, att denna dragspänning finns i alla snitt i den högra stånghalvan. Så också i gränssnittet mellan delarna. Men i gränssnittet finns material enbart inom den vänstra delens sektionsutsträckning. I det ringformiga området innanför Ah men utanför Av kan ingen normalspänning existera, eftersom inget material finns här. Ringarean är en luftyta. I närheten av sektionsförändringen kan spänningen i högra delen alltså inte vara σh = F/Ah . Detta är dock enligt Saint-Venants princip inget hinder för, att

F Av

Figur 20.1 Dragning av stång med plötslig sektionsändring.

391

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203("#&

20. spänningskoncentration, kälverkan, formfaktor

Figur 20.2 Ansatsaxel med utvändig respektive invändig hålkäl.

spänningen ett stycke till höger om sektionsförändringen är jämnt fördelad och uppgår till σh = F/Ah, som brukar kallas den nominella spänningen. Så fort någon form av sektionsförändring, även kallad anvisning uppträder, sker en omlagring av spänningarna, och man talar om en spänningskoncentration. Bara detta namn indikerar, att spänningarna vid områden med sektionsförändringar blir större än de nominella. Så är också fallet. Man strävar givetvis efter, att avvikelsen från nominell spänning skall vara liten. Ett sätt att uppnå detta är, att utforma ansatsaxlar med hålkälar enligt figur 20.2. Enklast med utvändig hålkäl. Men om ett lager skall monteras vid ansatsen, väljs en invändig hålkäl. Spänningskoncentrationer finns inte bara i stänger och balkar. I övningsexempel 18/10 behandlades en cirkulär skiva i vilken ett litet koncentriskt hål togs upp. Härvid fördubblades tangentialspänningen vid hålranden.

Utvärderingsexemplar

Vi skall nu studera ett annat, vanligt förekommande fall. Nämligen en skiva utsatt för enaxlig dragning med ett litet cirkulärt hål i dess centrala del, se figur 20.3. Ytligt sett borde dragspänningen i ett snitt utmed y-axeln kalkyleras som dragkraften dividerad med skivtjockleken och skivbredden med avdrag för håldiametern. Om håldiametern är mycket liten relativt skivbredden, ger detta σx ≈ σ0 . Men så enkelt är det inte! I hålets närhet kommer spänningen i x-riktningen att avvika från den nominella,

σ0, men på avstånd som är stora relativt hålradien a, är avvikelsen försumbar. Helt

enligt Saint-Venants princip. Spänningarna på en cirkel med radie b >> a är där-

σr σ0 τrϕ

σ0 σ0

dϕ

Figur 20.3 Rektangulär skiva med centralt förlagt hål och belastad med enaxlig dragning.

392

Figur 20.4 Spänningar på skivelement.

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203("#"

20. spänningskoncentration, kälverkan, formfaktor

med ungefär desamma, som om inget hål fanns. På ett skivelement enligt figur 20.4, med tjocklek s och radie b, gäller vid avsaknad av hål att σx = σ0, σy = τxy = = 0. Jämvikten i riktning av tangent och normal till cirkelbågen ger: σ τ rϕ b ⋅ s ⋅ dϕ + σ 0 sin ϕ ⋅ b ⋅ s ⋅ dϕ ⋅ cos ϕ = 0 ⇒ τ rϕ = − σ 0 sin ϕ cos ϕ = − 0 sin 2ϕ

σ r b ⋅ s ⋅ dϕ − σ 0 cos ϕ ⋅ b ⋅ s ⋅ dϕ ⋅ cos ϕ = 0 ⇒ σ r = σ 0 cos 2 ϕ =

σ0

(1 + cos 2ϕ )

Betrakta nu en spänningsfunktion enligt Airy på formen: 



Φ =  Ar 2 + Br 4 +

 + D cos 2ϕ + Hr 2 + K ln r 

där A, B, C, D, H och K är konstanter och bilda:  K 2C  =  2 Ar + 4Br 3 −  cos 2ϕ + 2Hr + 3 ∂r  r r  2   ∂ Φ K 6C =  2 A + 12Br 2 +  cos 2ϕ + 2H − 2 ∂r 2  r4  r ∂Φ

  C = − 2  Ar 2 + Br 4 + + D sin 2ϕ 2 ∂ϕ   r 2   ∂ Φ C = − 4  Ar 2 + Br 4 + + D cos 2ϕ   ∂ϕ 2 r2 ∂Φ

Utvärderingsexemplar

∂ 2Φ

1 ∂Φ 1 ∂ 2Φ + = ∂r 2 r ∂r r 2 ∂ϕ 2  6C 2C 4C 4D  =  2 A + 12Br 2 + + 2 A + 4Br 2 − − 4 A − 4Br 2 − −  cos 2ϕ + 4H = 4 4  r r r4 r2   4D  = 12Br 2 −  cos 2ϕ + 4H  r2  +

Vidare:  ∂ 2 1 ∂ 1 ∂ 2   ∂ 2Φ 1 ∂Φ 1 ∂ 2Φ   2 + r ∂r + 2 2   2 + r ∂r + 2 2  = r ∂ϕ   ∂r r ∂ϕ   ∂r  ∂ 2 1 ∂ 1 ∂ 2    4D  = + + 12Br 2 − cos 2ϕ + 4H =     r2    ∂r 2 r ∂r r 2 ∂ϕ 2    24D 8D 16D  =  24B − + 24B + − 48B +  cos 2ϕ ≡ 0  r4 r4 r4  Kompatibilitetsvillkoret, ekvation (17:71) är alltså uppfyllt med den valda spänningsfunktionen.

393

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203("#4

20. spänningskoncentration, kälverkan, formfaktor

Spänningarna ges av (17:67) till (17:69) och blir: 1 ∂Φ 1 ∂ 2Φ  2C  K + =  2 A + 4Br 2 −  cos 2ϕ + 2H + 2 − 2 2 4 r ∂r r ∂ϕ  r  r   6C 4D  K C D − 4  A + Br 2 + +  cos 2ϕ =  −2 A − −  cos 2ϕ + 2H + 2 = 4 2 4 2     r r r r r  6C 4D  K = − 2A + +  cos2ϕ + 2H + 2  r r4 r2 

σr =

σϕ =

∂ 2Φ ∂r 2

 6C  K =  2 A + 12Br 2 +  cos 2ϕ + 2H − 2  r4  r

1 ∂ 2Φ ∂  1 ∂Φ  =−  = r ∂ r ∂ϕ ∂r  r ∂ϕ   C D ∂   = −  −2  Ar + Br 3 + +  sin 2ϕ = 3 r ∂r   r     3C D 6C 2D  − = 2 A + 3Br 2 − −  sin 2ϕ =  2 A + 6Br 2 −  sin 2ϕ   r4 r2  r4 r2  τ rϕ =

1 ∂Φ

r 2 ∂ϕ

−

Konstanterna A, B, C, D, H och K bestäms av randvillkoren:  6C 4D  K r = a; σ r = 0 = − 2 A + +  cos 2ϕ + 2H + 2  a4 a2  a  6C 2D  − r = a; τ rϕ = 0 =  2 A + 6Ba 2 −  sin 2ϕ  a4 a2   σ 6C 4D  K + r = b; σ r = 0 (1 + cos 2ϕ ) = − 2 A +  cos 2ϕ + 2H + 2 4 2 2  b b b   σ 6C 2D  − r = b; τ rϕ = − 0 sin 2ϕ =  2 A + 6Bb2 −  sin 2ϕ 2  b4 b2 

Utvärderingsexemplar Identifiering av koefficienter för termer innehållande cos 2ϕ, sin 2ϕ och för konstanta termer leder till likheterna: 2A +

= 0,

2H +

a2 a2 6 2 C D 2 A + 6Ba 2 − − =0 a4 a2 σ0

2 − −

394

= 2H +

σ0

2 σ0

b2 6C 4D = 2A + + b4 b2 6C 2D = 2 A + 6Bb2 − − b4 b2

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203("#%

20. spänningskoncentration, kälverkan, formfaktor

Om konstanterna löses ut och vi samtidigt förutsätter a/b << 1, blir konstanterna: (Eftersom 2b < skivbredden, innebär förutsättningen antingen en mycket bred skiva relativt hålradien eller en mycket liten hålradie relativt skivbredden.) A=− K=−

σ0

;

B = 0;

C=−

a4 σ0 ; 4

a2 σ0 2

σ a 2σ 0 ; H= 0 2 4

som ger följande uttryck för spänningarna: σr =

σ  a4 a2  a2  1 + 3 − 4  cos 2ϕ + 0 1 −   2  2  r2  r4 r2 

σ0 

σ  σ  a4  a2  σ ϕ = − 0 1 + 3  cos 2ϕ + 0 1 +  4 2

2 

r 

σ  a4 a2  τ rϕ = − 0 1 − 3 + 2  sin 2ϕ

2 

r2 

För b > r >> a erhålls: σ0

Utvärderingsexemplar

σr ≈

σϕ ≈

σ0

(1 + cos 2ϕ )

(1 − cos 2ϕ )

σ τ rϕ ≈ − 0 sin 2ϕ

Dessa uttryck för σr och τrϕ överensstämmer med de uttryck, som erhölls vid den inledande jämviktsberäkningen. Vid hålranden, r = a, varierar spänningarna enligt: σr = 0 σϕ = σ0 (1 – 2cos 2 ϕ ) τrϕ = 0

Den maximala tangentialspänningen vid hålranden uppkommer för ϕ = π /2 och ϕ = 3 π /2, och antar i dessa punkter värdet σϕ = 3 σ0 . Vi definierar nu spänningskoncentrationsfaktorn – vanligen kallad formfaktorn – som Kt =

σ max . σ nom

(20:1)

395

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203("#5

20. spänningskoncentration, kälverkan, formfaktor

och som för just detta fall blir: σ K t = max = σ nom

( σ ϕ )ϕ = π ( σ ϕ )ϕ = 3 π σ0

σ0

Den minsta tangentialspänningen vid hålranden uppträder för ϕ = 0 och ϕ = π och uppgår i dessa punkter till σϕ = – σ0 , d v s en lika stor tryckspänning som den nominella dragspänningen. Hålet medför tydligen, att spänningstillståndet blir tvåaxligt. Den följande tabellen visar hur förhållandet σϕ /σ0 = σx /σ0 varierar med r/a = y/a för ϕ = π/2, d v s utmed positiva y-axeln. y/a

1,00

1,25

1,50

2,00

3,00

4,00

5,00

7,50

10,0

σx/σ0

3,00

1,934

1,519

1,219

1,074

1,037

1,022

1,009

1,005

Redan på ett avstånd av fyra hålradier från hålcentrum är avvikelsen från den nominella dragspänningen < 4% för att vid avståndet 7,50 hålradier vara < 1%. En nog så god bekräftelse på, att effekten av hålet på spänningarna är av högst lokal karaktär. Något som rättfärdigar, att använda de framtagna uttrycken för spänningar inte bara om skivans utsträckning i y-led är obegränsad, utan också på skivor med ändlig bredd. Vid t ex en skivbredd i y-led av fyra håldiametrar blir felet i den maximala tangentialspänningen beräknad med det härledda uttrycket mindre än 6%.

Utvärderingsexemplar

D = 1, 25 d

D = 1, 10 d

Som vi sett är det ibland möjligt att genom analys fastställa spänningarna i närheten av en anvisning, och härur bestämma formfaktorn. Men i många fall ligger experiment till grund för formfaktorn. Denna framställs därför vanligen i diagramform som funktion av någon karakteristisk variabel (t ex hålradien) och med andra resultatpåverkande storheter som parametrar. Ett principexempel framgår av figur 20.5, som utan axelgradering visar formfaktorn vid vridning av en ansatsaxel. Den andra variabeln är förhållandet mellan hålkälsradien och den 16Mv τnom = 3 mindre axeldiametern. Som parameter används förhållanπd det mellan den grövre och den klenare axelns diametrar. D = 2, 0 d

Figur 20.5 Formfaktor vid vridning av cirkulär ansatsaxel (principiell framställning).

396

Det är inte alltid uppenbart, vad som skall betraktas som den nominella spänningen. I figur 20.5 kan man t ex tänka sig τnom beräknad som skjuvspänningen i den klena delen. Men den kan naturligtvis lika gärna vara baserad på skjuvspänningen i den grova delen. I diagrammen finns därför ofta förutom en figur som visar geometri och belastningsart, en uppgift om hur den nominella spänning-

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203("#'

20. spänningskoncentration, kälverkan, formfaktor

en är definierad. I figur 20.5 har man tydligen valt skjuvspänningen i den klena axeldelen som nominell spänning. En iakttagelse från figur 20.5 är, att formfaktorn blir större ju skarpare anvisningen är, d v s ju mindre radie den utförs med. Så blir alltid fallet oavsett belastningsart och strukturgeometri. Vid alla anvisningsutföranden, skall så stora radier som möjligt eftersträvas. Allra sämst är V-formade spår med skarp botten. Dessa är utomordentliga brottanvisningar och skall därför undvikas. Eftersom varianterna är många både vad avser geometri (ansatsaxlar, plattstänger, hålskivor, axlar med genomgående radiellt orienterade hål) och belastningsart (dragning, böjning, vridning), hänvisas till de grafer över formfaktorer, som finns i flera formelsamlingar, t ex i [5] och [7]. Mera som en tankeställare över hur farliga anvisningar kan vara, visas dock några exempel på formfaktorer i figurerna 20.6 till 20.8 I samtliga fall framgår, hur ogynnsamma små anvisningsradier är. En hög formfaktor för en axel med kilspår kan även vid en måttlig vridspänning i axeln orsaka lokal flytning i hålkälen. Detta leder i sin tur till kvarvarande deformationer efter avlastning. En kil som monteras med spel mot kilspåret, kan efter på- och avlastning av vridmomentet sitta ordentligt fast i kilspåret.

Kt 4,0

τnom = 77 88

3,0

16Mv πd3

dd 44 rr

Φd Φd

r d

Utvärderingsexemplar 2,0

0,05 0,10 0,05 0,10 Figur 20.6 Formfaktor för vridning av axel med kilspår.

Kt 3,0

Kt 3,0 B σnom = σ0 B − 2r

2,8

2,6

2,8

σ0

2,4

2,2

2,0

1,8 0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Figur 20.7 Formfaktor för dragning av plattstång med centralt hål.

r B − 2r

Mb πD3 32

−

dD2 6

σ0

ΦD

2,6

2,4

0,0

σnom =

Φd

1,8 0,0

0,1

0,2

d D

Figur 20.8 Formfaktor för böjning av rundstång med genomgående diametralt hål.

397

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203("#6

20. spänningskoncentration, kälverkan, formfaktor

20.1 Övningsexempel

! 20/1

En axel skall överföra ett vridmoment av 400 Nm mellan ändarna. Man avser att använda en begagnad axel med diametern Φ 40, som dock har ett längsgående kilspår. Måttet från kilspårets botten till motstående axelgeneratris är 35 mm och kilspårsbredden är 10,0 mm (enligt SMS 2305 bör kilspårsbredden för axeldiametrar mellan 38 mm och 44 mm vara 12,0 mm). Radien i kilspårets botten är 0,40 mm. Hur stor är säkerheten mot flytning i kilspåret med Trescas hypotes, om axeln är tillverkad av 141650-01 med en sträckgräns av σs = 310 MPa?

! 20/2

σ0

En tunn, rektangulär skiva är utsatt för dragspänningar, σ0, på ränderna enligt figur. I skivans mitt borras ett genomgående hål med liten diameter. Hur stor blir den största formfaktorn för hålranden? Ledning: Anpassa spänningsfunktionen för exemplet med enaxligt dragen skiva i detta kapitel, så att den svarar mot tvåaxlig dragning.

Utvärderingsexemplar

σ0

! 20/3

I en dragstång av plattstål borras ett genomgående hål med centrum lika långt från plattstålets kanter enligt figur. Plattstålets bredd är 50 mm och håldiametern är 15 mm. Tjockleken är 6 mm. På dragstången verkar en dragkraft om F = 10,0 kN. Hur stor blir den maximala dragspänningen i stången?

! 20/4

Φ 30 Φ 1,5

398

I en cirkulärcylindrisk axel borras ett genomgående diametralt hål enligt figur. Axeldiametern är Φ 30 mm och håldiametern är Φ 1,5 mm. På axeln verkar en böjande moment av Mb = 200 Nm. Hur stor blir den maximala böjspänningen i stången?

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203("##

20. spänningskoncentration, kälverkan, formfaktor

Svar till övningsexempel 20/1: Kt ≈ 3,1; n ≈ 1,57 20/2: Kt ≈ 2 20/3: 114 MPa 20/4: 206 MPa

Utvärderingsexemplar

399

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4,,

21 Böjning av plattor I tidigare kapitel har begreppet skiva använts i flera sammanhang. Med en plan skiva avses en struktur som innesluts mellan två parallella plan. Utsträckningen vinkelrätt mot planen (skivtjockleken) är liten jämfört med utsträckningen i övriga riktningar. Samma definition kan användas för en platta. Vad är det då som skiljer en platta från en skiva? Jo, medan en skiva belastas med krafter som är parallella med skivans plan, belastas en platta med krafter, som är vinkelräta mot plattans plan.

Utvärderingsexemplar

21.1 Rektangulära plattor Rektangulära plattor uppvisar ur lastsynpunkt vissa likheter med det sätt, som man vanligtvis belastar balkar på. Kan vi då inte helt enkelt betrakta en platta som en balk med stor bredd? Svaret är nej. Inte ens om plattan bara understöds utmed två motstående ränder, blir t ex utböjningarna desamma för en punktlast mitt på plattan/balken. På ränderna till ett plattelement med sidor dx och dy och tjocklek h, verkar enligt figur 21.1 såväl böjande moment, Mx, My, som vridande moment, Mxy, Myx. Den transversella belastningen q, ger även upphov till tvärkrafter, Txz, Tyz. Vi låter de versala beteckningarna avse moment respektive kraft per längdenhet. På ett skivelement med infinitesimal tjocklek, dz, parallellt med plattans plan och beläget på avståndet z från plattans mittplan, uppträder spänningar enligt figur 21.2. x-y-planet är alltså förlagt så, att det sammanfaller med plattans mittplan.

400

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4,$

21. böjning av plattor

x q y

Mxy Mx

Myx

Tyz

T xz

Figur 21.1 Krafter och moment per längdenhet på ett rektangulärt skivelement.

Figur 21.2 Randspänningar på utskuret skivelement i plattelement.

Momentjämvikt för skivelementet med avseende på z-axeln ger som vanligt att τxy = τyx . Snittkrafter per längdenhet respektive moment per längdenhet utgörs av resultanter till snittspänningarna, d v s: h 2

∫ zσ

M x dy =

h 2

x dy dz ⇒ M x

∫ zσ

x dz

(21:1)

Utvärderingsexemplar −

h 2

−

h 2

∫ zσ

M y dx =

−

h 2

dx dz ⇒ M y =

h 2

∫ zσ

−

∫ zτ −

dy dz ⇒ M xy =

h 2

∫ zτ −

(21:2)

h 2

∫ zτ −

h 2

M yx dx =

h 2

M xy dy =

(21:3)

h 2

yx dx dz ⇒ M yx

h 2

∫ zτ −

h 2

yx dz

∫ zτ −

dz = M xy

(21:4)

h 2

Eftersom plattjockleken förutsätts liten relativt plattan längd och bredd, och inga skjuvkrafter verkar i planen z = ±h/2, kan vi anse att plant spänningstillstånd råder, innebärande: σz = τxz = τyz ≈ 0

(21:5)

401

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4,&

21. böjning av plattor

Förskjutningarna i en punkt, (x, y, z), sätts till ux, uy, uz i respektive koordinatriktning. Med Hookes lag och plant spänningstillstånd erhålls: εx =

1 ∂u ( σ x − νσ y ) = x ∂x E

εy =

∂u y 1 ( σ y − νσ x ) = E ∂y

γ xy =

τ xy

∂u x

∂y

∂u y ∂x

som om spänningarna löses, ger: σx =

σy =

 ∂u ∂u y  x +ν   ∂y  1 − ν 2  ∂x

(21:6)

 ∂u y ∂u  +ν x  ∂x   ∂y

(21:7)

E 1 − ν2

 ∂u

τ xy = G 

 ∂y

∂u y 

(21:8)



∂x 

Utvärderingsexemplar För de två övriga skjuvspänningarna gäller:  ∂u ∂u  0 = τ xz = G  z + x  x ∂ ∂z  

(21:9)

 ∂u ∂u y  0 = τ yz = G  z +  ∂z   ∂y

(21:10)

Mot bakgrund av att plattans tjocklek är liten, kan vi anse, att förskjutningen uz är oberoende av z, d v s uz = uz(x, y). Ekvationerna (21:9) och (21:10) förenklas vid integration därmed till: z

u x − ( u x )z = 0 = −

∂u z

(21:11)

∂u z

(21:12)

∫ ∂x ∂z = − ∂x ∫ ∂z = −z ∂x 0 z

u y − ( u y )z = 0 = −

∂u z

∫ ∂y 0

∂z = −

∂u z ∂y

∫ ∂z = −z ∂y 0

Sambandet härleddes ursprungligen på annat sätt. Nämligen att man utgår från, att en punkt i plattan vid belastning förskjuts så, att den hamnar på samma avstånd från plattans mittplan och på samma normal till mittplanet. Denna modell för plattors deformation brukar kallas Kirchhoffs platteori. 402

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4,"

21. böjning av plattor

Ur likheterna (26:6) till (26:8) och (21:11) till (21:12) får vi: σx =

 ∂( u )  ∂ 2u z ∂( u y )z =0 ∂ 2u z   x z =0 + ν − z +ν  ∂y 1 − ν 2  ∂x ∂y 2   ∂x 2

  

(21:13)

σy =

 ∂( u y )z =0  ∂ 2u z ∂( u x )z =0 ∂ 2u z   +ν − z +ν  ∂x 1 − ν 2  ∂y ∂x 2   ∂y 2

  

(21:14)

τ xy =

E  ∂( u x )z =0 ∂( u y )z =0 ∂ 2u z  + − 2z   ∂x ∂x ∂ y  2(1 + ν)  ∂y 

(21:15)

Nu behövs ett nytt begrepp svarande mot böjstyvheten vid balkböjning, nämligen plattstyvheten, som definieras som: D=

Eh 3

(21:16)

12(1 − ν 2 )

och har enheten Nm. Ekvation (21:1) tillsammans med (21:13) ger: h 2

h 2

 ∂ 2u z ∂( u y )z =0 ∂ 2u z   Ez  ∂( u x )z =0  +ν − z +ν  dz = 2  ∂x ∂y ∂y 2    ∂x 2 

∫ z σ dz = ∫ 1 − ν

Utvärderingsexemplar

Mx =

−

h 2

−

h 2

∂( u y )z =0  E  ∂( u x )z =0 = +ν   ∂y 1 − ν 2  ∂x 

h 2

∫ z dz − 1 − ν −

h 2

 ∂ 2u 2

  2z + ν 2z  ∂y   ∂x ∂ 2u

h 2

∫z −

2 dz

h 2

 ∂( u ) ∂( u y )z =0  h 2 h 2  − −  x z =0 + ν  8 ∂y 1 − ν 2  ∂x  8 ∂ 2u z  h 3 E  ∂ 2u z E  ∂ 2u z ∂ 2 u z  h 3 h 3  − +ν +  =− +ν      ∂y 2  24 24  ∂y 2  12 1 − ν 2  ∂x 2 1 − ν 2  ∂x 2

Med (21:16):  ∂ 2u z ∂ 2u z  M x = −D  +ν (21:17)  ∂y 2   ∂x 2 På motsvarande sätt medför (21:2) till (21:4) tillsammans med (21:14) till (21:16):  ∂ 2u z ∂ 2u z  M y = −D  +ν  ∂x 2   ∂y 2

(21:18)

403

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4,4

21. böjning av plattor

M xy = M yx = −D(1 − ν)

∂ 2u z

(21:19)

∂x ∂y

Normalspänningarna σx och σy resulterar i normalkrafter, Nx och Ny, enligt: h 2

∫

Nx =

−

h 2

σ x dz =

h 2

E 1 − ν2

 ∂( u )  ∂ 2u z ∂( u y )z =0 ∂ 2u z    x z =0 + ν − z +ν  dz = ∂y 1 − ν2  ∂x ∂y 2    ∂x 2 h

∫ −

 ∂( u ) ∂( u y )z =0   x z =0 + ν  ∂y  ∂x 

h 2

∫ dz − 1 − ν −

h 2

 ∂( u ) ∂( u y )z =0  h h   x z =0 + ν  +  − ∂y 1 − ν 2  ∂x  2 2 

−

 ∂ 2u z ∂ 2u z   h 2 h 2  +ν −    8 1 − ν 2  ∂x 2 ∂y 2   8

 ∂ 2u z ∂ 2u z   2 +ν 2  ∂y   ∂x

h 2

∫ z dz = −

h 2

Nx =

∂( u y )z =0  Eh  ∂( u x )z =0 +ν   2 ∂y 1 − ν  ∂x 

(21:20)

Utvärderingsexemplar Analogt erhålls: Ny =

∂( u y )z =0  Eh  ∂( u x )z =0 +ν   ∂x 1 − ν 2  ∂y 

(21:21)

Skjuvspänningarna τxy = τyx resulterar i tvärkrafter, Txy = Tyx som visar sig bli: Txy = Tyx =

Eh  ∂( u x )z =0 ∂( u y )z =0  +   2(1 + ν)  ∂y ∂x 

(21:22)

Om (21:13) till (21:15) kombineras med (21:17) till (21:22), får vi följande uttryck för spänningarna: σx = σy =

N x 12M x + z h h3 Ny h

τ xy = τ yx =

404

12M y h3 Txy h

(21:23) (21:24)

z 12M xy h3

Tyx h

12M yx h3

(21:25)

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4,%

21. böjning av plattor

För att ett plant skal skall karaktäriseras som en platta, krävs enligt tidigare, att inga med plattans plan parallella krafter finns. D v s att Nx = Ny = Txy = 0, som reducerar ekvationerna (21:23) till (21:25) till: σx =

σy =

12M x h3 12M y h3

τ xy = τ yx =

(21:26)

(21:27)

12M xy h3

12M yx h3

(21:28)

I likhet med vid balkböjning, varierar normalspänningarna linjärt med z-variabeln. Och neutrallagret sammanfaller med plattans mittplan. Tidigare har i (21:9) och (21:10) τxz och τyz approximerats till noll. Och detta är givetvis riktigt vid plattans ränder, z = ±h/2, eftersom dessa inte belastas med krafter i ytornas plan utan endast med normalkrafter. De senare kan t ex uppstå genom att en yttre last i z-riktningen, q = q(x, y), verkar på ytan z = –h/2 som i figur 21.1. De enda spänningar som emellertid kan balansera ett på så sätt tryckbelastat element i z-riktning, är τxz och τyz. Resultanterna till dessa skjuvspänningar måste tydligen vara skild från noll, trots att skjuvspänningarna skall anta värdet noll vid ränderna z = ±h/2.

Utvärderingsexemplar

Samma villkor gäller ju vid böjning av balk utsatt för ett böjande moment och en tvärkraft, T. På balkens ytterytor finns inga skjuvspänningar. Skjuvspänningarna inuti balken ges av (14:31). För en balk med rektangulärt tvärsnitt med höjden h, visas enkelt, att skjuvspänningarna varierar kvadratiskt med avståndet z från neutrallagret enligt: τ xz = τ xz ( z ) =

 h  h 3T  4 z 2  1− ; ⇒ τ xz   = τ xz  −  = 0   2 2h   2  2 h 

Ett rimligt antagande förefaller vara, att skjuvspänningarna fördelas på motsvarande sätt vid böjning av plattor, d v s: τ xz = τ xz ( z ) =

3Txz 2h

 4z 2  1 − 2  h  

(21:29)

τ yz = τ yz ( z ) =

3Tyz  4z 2  1−  2 h  h2 

(21:30)

405

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4,5

21. böjning av plattor x Myx dx Tyz dx

Mydx dx

Txz dy Mxy dy

qdxdy

Mx dy y

My dx +

∂My ∂y

Tyzdx +

dydx Myx dx +

∂Txz dxdy ∂x ∂Mxy Mxydy + dxdy ∂x ∂Mx Mx dy + dxdy ∂x Txzdy +

∂Myx ∂y

∂Tyz ∂y

dydx

Figur 21.3 Snittkrafter och snittmoment på rektangulärt plattelement.

För att komma vidare, behöver vi också formulera jämviktsvillkoren. Till hjälp tar vi figur 21.3, som visar plattelementet sett i positiv z-riktning.

Utvärderingsexemplar I z-riktning kräver jämvikten: q dx dy +

∂Txz ∂x

dx dy +

∂Tyz ∂y

dy dx = 0

En momentbetraktelse med avseende på sidan A–B ger: ∂M y ∂y

dy dx +

∂M xy ∂x

dx dy − Tyz dx dy +

∂Txz ∂x

dx dy

dy dy + q dx dy =0 2 2

och en momentbetraktelse med avseende på sidan A–C ger: ∂M x ∂x

∂M yx

dx dy +

∂y

dy dx − Txz dy dx +

∂Tyz ∂y

dy dx

dx dx + q dx dy =0 2 2

Vi låter nu dx → 0 och dy → 0 och hyfsar uttrycken: q+

∂Txz

∂M y ∂y ∂M x ∂x

406

∂x

+ +

∂Tyz

∂M xy ∂x ∂M yx ∂y

(21:31)

− Tyz = 0

(21:32)

− Txz = 0

(21:33)

∂y

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4,'

21. böjning av plattor

(21:17), (21:19) och (21:33) ger:  ∂3u z ∂3u z ∂3u z  −D +ν + (1 − ν)  − Txz = 0 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y 2   ∂x 3

(21:34)

 ∂3u z ∂3u z ∂3u z ∂3u z  D + − (1 − ν) + (1 − ν)  + Txz = 0 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y 2   ∂x 3 ∂x ∂y 2 som med Laplaces operator: ∂2

∆=

∂x 2

∂2 ∂y 2

kan skrivas som D

∂∆u z ∂x

+ Txz = 0

Txz = −D

∂∆u z

(21:35)

∂x

Analogt visas att: Tyz = −D

∂∆u z

(21:36)

∂y

Utvärderingsexemplar

Med (21:35) och (21:36) insatta i (21:31): 0=q+

∂Txz ∂x

∂Tyz ∂y

= q −D

∂ 2( ∆u z ) ∂x 2

−D

∂ 2( ∆u z ) ∂y 2

= q − D∆( ∆u z ) = q − D∆∆u z

Ofta används variabeln w = uz för att beteckna utböjningen, varvid ekvationen kan skrivas som: ∆∆u z = ∆∆w =

q 12q(1 − ν 2 ) = D Eh 3

(21:37)

som kallas plattlikheten eller plattekvationen. Den kan jämföras med elastiska linjens differentialekvation vid balkböjning, wIV = q/EI. Med operatorn utskriven: ∂4 w ∂x 4

∂4 w ∂x 2 ∂y 2

∂4 w ∂y 4

q D

(21:38)

Ekvation (21:38) är en partiell, linjär, inhomogen differentialekvation av fjärde ordningen med konstanta koefficienter. Lineariteten medför, att den allmänna lösningen kan skrivas som summan av en komplementärlösning, wk = wk (x, y) till den homogena ekvationen och en partikulärlösning, wp = wp (x, y), till den inhomogena ekvationen. Den allmänna lösningen kommer att innehålla fyra obestäm-

407

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4,6

21. böjning av plattor

da funktioner. Helt analogt med de fyra konstanter, som uppstår, när elastiska linjens differentialekvation integreras fyra gånger. Det finns alltså ett oändligt antal möjliga lösningar till (21:37) eller (21:38). Först när randvillkoren för det specifika problemet satisfieras, kan den tillhörande lösningen fastställas. En komplementärlösning skall satisfiera differentialekvationen: ∆∆wk = 0

och skall därför utgöra en biharmonisk funktion.

21.1.1 Randkrafter och randmoment för rektangulära plattor, ekvivalent (resulterande) tvärkraft

Innan randvillkoren för rektangulära plattor penetreras, behöver ytterligare ett begrepp introduceras, nämligen den ekvivalenta tvärkraften, även kallad den resulterande tvärkraften. Vi betraktar en plattrand parallell med x-axeln enligt vänstra delen av figur 21.4. På randen verkar i en punkt, (x, y1, 0), vridmomentet Mxy per längdenhet liksom tvärkraften Tyz per längdenhet. På ett segment av randen mellan x – ∆x/2 och x + ∆x/2, ∆x << 1, verkar vridmomentet Mxy∆x och tvärkraften Tyz∆x.

Utvärderingsexemplar 3 ∆x verkar vridmomentet 2 ∂( M xy ∆x ) ∂( Tyz ∆x ) ∆x och tvärkraften Tyz ∆x + ∆x. M xy ∆x + ∂x ∂x

På ett segment av randen mellan x +

∆x

och x +

∆x 2

Tyz∆x −

Figur 21.4 Tvärkraft per längdenhet och vridande moment per längdenhet vid en rand, y = konstant, av en rektangulär skiva.

408

∆x 2

∂( Tyz∆x ) ∆x 2 ∂x

Tyz∆x +

Mxy ∆x +

∂Mxy ∂x

∆x

∂( Tyz∆x ) ∆x 2 ∂x

Mxy ∆x +

∂Mxy ∂x

∆x

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4,#

21. böjning av plattor

Vridmomentet, Mxy∆x, är statiskt ekvivalent med två lika stora, motriktade krafter på ett inbördes avstånd av ∆x och av storleken ±

M xy ∆x ∆x

= ± M xy enligt högra delen av figur 21.4.

Vridmomentet Mxy ∆x + ± M xy ±

∂( M xy ∆x ) ∂x

ersätts på samma sätt med krafterna

Den egentliga tvärkraften i punkten (x + ∆x/2, y1, 0) kan skrivas som Tyz ∆x +

∂( Tyz ∆x ) ∆x ∂x

Om till denna läggs de i samma punkt verkande krafterna M xy och M xy +

∂( M xy ∆x ) ∂x

= M xy +

∂M xy ∂x

∆x

med beaktande av krafternas riktning, fås den ekvivalenta eller resulterande tvärkraften i punkten (x + ∆x/2, y1, 0) som: res Tyz ∆x = Tyz ∆x +

∂( Tyz ∆x ) ∆x

∂M xy

Utvärderingsexemplar ∂x

− M xy ∆x + M xy ∆x +

∂x

∆x

eller per längdenhet: res Tyz = Tyz +

∂( Tyz ∆x ) 1 ∂x

∂M xy ∂x

= Tyz +

∂Tyz ∆x ∂x

∂M xy ∂x

Om vi dessutom låter ∆x → 0 medför detta att i varje punkt (x, y1, 0): res Tyz = Tyz +

∂M xy ∂x

(21:39)

Analogt erhålls för en rand, x = konstant: res Txz = Txz +

∂M xy ∂y

(21:40)

På en rand där den resulterande tvärkraften, Tyzres alternativt Txzres, är given, existerar tydligen ett samband mellan tvärkraft, Tyz alternativt Txz, och vridmoment, Mxy = Myx. Samband som ges av (21:39) alternativt (21:40). Men om det betraktade segmentet mellan x – ∆x/2 och x + ∆x/2 råkar vara ett segment i plattans nedre högra hörn, figur 21.5, finns inget angränsande segment till höger om detta. Därmed finns heller ingen tvärkraft,

409

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4$,

21. böjning av plattor

M xy +

∂( M xy ∆x ) ∂x

från något angränsande segment. Istället måste denna kraft utövas av en extern hörnkraft, som när ∆x → 0 antar värdet Myx. På samma sätt kommer en rand, x = konstant i nedre högra hörnet att orsaka en hörnkraft, Mxy = Myx . Den totala externa hörnkraften blir därmed: Mxy + Myx = 2Mxy

(21:41)

Utvärderingsexemplar Figur 21.5 Förhållanden vid hörn av rektangulär platta.

21.1.2 Antal randvillkor som kan föreskrivas Som tidigare nämnts, kommer lösningen till plattlikheten att innehålla fyra obestämda funktioner. Symboliskt kan lösningen skrivas som: w(x, y) = f[g1(x, y), g2(x, y), g3(x, y), g4 (x, y)]

Vanligt förekommande randvillkor är, att krafter, moment, utböjning, plattlutning inte varierar utmed respektive rand. För en rand, y = a = konstant, gäller då, att de nämnda storheterna är konstanta för alla x-värden. För en rand, x = c = konstant, gäller istället, att de nämnda storheterna är konstanta för alla y-värden. Vi begränsar framställningen till detta slag av randvillkor. Vi får då t ex för en rand, y = a: w(x, a) = f[g1(x, a), g2(x, a), g3(x, a), g4 (x, a)]

410

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4$$

21. böjning av plattor

som skall gälla för alla x-värden utmed randen. På denna rand borde därmed fyra randvillkor kunna stipuleras. Villkoren kan avse värden på  ∂w  w y=a ,   , ( M y ) y = a , ( M yx )y = a , ( Tyz )y = a .  ∂y  y = a Men värden på alla fem storheterna kan inte föreskrivas. Och om fyra randvillkor används för randen y = a, finns inga randvillkor kvar att föreskriva för den parallella randen, y = b. Funktionerna f, g1, g2, g3 och g4 har ju redan definierats genom de fyra randvillkoren för y = a. Därmed bestäms t ex utböjningen vid randen y = b till w(x, b) = f[g1(x, b), g2(x, b), g3(x, b), g4 (x, b)] och kan alltså inte väljas på sätt som motsvarar de faktiska randvillkoren vid denna rand. I realiteten kan vi alltså bara föreskriva två randvillkor för varje rand till en rektangulär platta. Hur man gör, om fler än tre randvillkor är givna, t ex vid en helt fri rand, kommer att framgå längre fram i texten.

21.1.3 Några olika typer av randvillkor för rektangulära plattor

Utvärderingsexemplar

Randvillkor kan vara geometriska, t ex avse utböjning eller lutningsändring. De kan också vara statiska, t ex avse böjande moment, vridande moment eller tvärkraft. De olika typfallen redovisas i svårighetsgrad.

21.1.3.1 Fast inspänd rand Randen A–B i figur 21.6 antas vara fast inspänd. Med det valda koordinatsystemet gäller då randvillkoren: w( x, a ) = 0 ∀ x  ∂w  = 0 ∀x    ∂y  y = a

(21:42) (21:43)

x A

y Figur 21.6 Fast inspänd rand, A–B.

411

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4$&

21. böjning av plattor

21.1.3.2 Fritt upplagd rand För en fritt upplagd rand gäller dels att böjande momentet, dels att utböjningen är noll längs hela randen. För den fritt upplagda randen A–B i figur 21.7 gäller då: w(x, a) = 0 ∀ x

(21:44)

(My )y=a = 0 ∀ x

(21:45)

x A

Villkoret (21:44) skall gälla oberoende av x-värde. En matematisk konsekvens av detta villkor är, att partiella derivatan av w med avseende på x skall vara noll. Det första randvillkoret medför då:  ∂2w   ∂w  =0 = 0 ∀x ⇒      ∂x  y = a  ∂x 2  y = a

Figur 21.7 Fritt upplagd rand, A–B.

(21:46)

Det andra randvillkoret kan med stöd av (21:18) och (21:46) skrivas som:  ∂2w  ∂2w  ∂2w  0 = −My = D  +ν = D   ∂x 2   ∂y 2  y = a  ∂y 2 y =a eller

Utvärderingsexemplar  ∂2w  =0  2  ∂y  y = a

(21:47)

Uttrycken (21:44) och (21:47) utgör randvillkoren för variabeln w på randen A–B. För en fritt upplagd platta skall det inte finnas några vridande moment, Myx, vid ränderna. Fri uppläggning kan liknas vid att randen är fixerad till ett stort (oändligt) antal fixa stödpunkter utmed randen enligt figur 21.8. Varje stödpunkt kan enbart överföra krafter men inte moment till plattranden. x

y Figur 21.8 Fritt upplagd rand vid y = konstant.

412

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4$"

21. böjning av plattor

Men i 21.1.1 visades, att vridmomenten per längdenhet, Myx∆x kan ersättas med motverkande krafter, M yx och M yx +

∂M yx ∂x

∆x ,

vid respektive segmentgräns av randen. Och att dessa krafter tar ut varandra i segmentgränserna om vi låter ∆x → 0. Men inte i hörnpunkterna. I dessa överför stöden krafterna 2Mxy i form av koncentrerade krafter. Den resulterande tvärkraften, res Tyz = Tyz +

∂M xy ∂x

kommer därvid att överensstämma med stödreaktionen per längdenhet utom i plattans hörnpunkter. I dessa tillkommer stödreaktionen 2Mxy. Eller med (21:19): Fhörn = 2M yx = 2M xy = −2D(1 − ν)

∂2w

(21:48)

∂x ∂y

21.1.3.3 Helt fri rand

Utvärderingsexemplar

För en helt fri rand, A–B i figur 21.9, gäller att både böjande moment, vridande moment och tvärkraft är noll. Men detta innebär tre randvillkor. Vi har i avsnitt 21.1.2 konstaterat, att vi endast kan tillåta två randvillkor per rand. Också i detta fall omlagras vridande moment till tvärkrafter i likhet med förfarandet i 21.1.3.2. Och randvillkoren reduceras därmed till att böjande moment och resulterande tvärkraft skall vara noll vid en fri rand.

y Figur 21.9 Fri rand, A–B.

Partiell derivering av (21:19) med avseende på x, ger ∂M xy ∂x

= −D(1 − ν)

∂3 w ∂x 2 ∂ y

och därmed ger (21:39): res Tyz = Tyz +

∂M xy ∂x

= Tyz − D(1 − ν)

∂3 w ∂x 2 ∂ y

413

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4$4

21. böjning av plattor

Med Tyz från (21:36): res Tyz = −D

∂∆w ∂y

− D(1 − ν)

∂3 w ∂x 2 ∂y

= −D

∂3 w ∂y ∂x 2

−D

∂3 w ∂y 3

− D(1 − ν)

∂3 w ∂x 2 ∂ y

 ∂3 w ∂3 w  res Tyz = −D (2 − ν) +  ∂x 2 ∂y ∂y 3  

(21:49)

Den resulterande tvärkraften är ekvivalent med den kraft per längdenhet, som stödpunkterna (om de funnits) utövar på randen. Men eftersom randen är fri, finns varken stödpunkter eller stödkrafter. Randvillkoret blir därmed i detta fall Tyzres = 0, eller enligt (21:49): (2 − ν )

∂3 w ∂x 2 ∂y

∂3 w ∂y 3

(21:50)

Det andra randvillkoret är, att det böjande momentet skall vara noll, eller enligt (21:18):  ∂2w ∂2w  0 = M y = −D  +ν , ∂x 2   ∂y 2 som reduceras till:

Utvärderingsexemplar ∂2w ∂y 2

+ν

∂2w ∂x 2

(21:51)

Vi kan så här långt och något överraskande konstatera, att ju ”mindre låst” en plattrand är, desto mer komplicerade blir randvillkoren. Så blir plattproblem med en eller flera helt fria ränder normalt besvärligare att lösa, än om dessa ränder hade varit fritt upplagda eller fast inspända.

21.2 Lösta exempel för rektangulära plattor Plattlikheten enligt (21:37), ∆∆w( x, y ) =

q( x, y ) 12q( x, y ) ⋅ (1 − ν 2 ) = D Eh 3

saknar oftast enkla lösningar. Inte ens för det fall, att lasten q(x, y) är konstant, är det trivialt att finna lösningar för vanligt förekommande randvillkor. I följande exempel antas materialet vara linjärt elastiskt med elasticitetsmodul E och Poissons

414

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4$%

21. böjning av plattor

konstant ν. Plattstyvheten sätts till D. Plattjockleken, h, förutsätts mycket mindre än plattans sidlängder.

! 21/1

En horisontell, rektangulär platta enligt figur är fritt upplagd längs långsidorna (längd B) och belastas med ett konstant, nedåtriktat tryck, p. Uppgiften är att bestämma utböjningen i en godtycklig punkt liksom stödreaktionerna och de maximala böjspänningarna. Plattans spännvidd är S << B.

p x z S

Lösning: Eftersom q(x, y) inte varierar med y (och f ö inte heller med x), och de med x-axeln parallella ränderna saknar stöd, är det rimligt att anta, att plattan antar cylindrisk form vid belastning. Utböjningen blir i så fall oberoende av y. Därmed reduceras utböjningen w(x, y) från att vara en funktion av två variabler till att bli en funktion av enbart x; w(x). Plattlikheten övergår då från att vara en partiell differentialekvation till en integrerbar ordinär sådan, d v s till:

Utvärderingsexemplar

d 4 w( x ) dx 4

q( x ) p = . D D

Efter fyra integrationer erhålls utböjningen med integrationskonstanterna C1 till C4 som: px 4 + C1x 3 + C 2 x 2 + C3 x + C 4 24D dw( x ) px 3 = + 3C1x 2 + 2C 2 x + C3 dx 6D d 2 w( x ) px 2 = + 6C1x + 2C 2 2D dx 2

w( x ) =

Utmed ränderna x = 0 och x = S är utböjningen noll för alla värden på y. Detsamma gäller för det böjande momentet, Mx, som enligt (21:17) kan formuleras som:  ∂ 2 w( x ) ∂ 2 w( x )  d 2 w( x ) d 2 w( x ) 0 = −Mx = D  +ν ⇒ =D =0  ∂y 2  dx 2 dx 2  ∂x 2

415

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4$5

21. böjning av plattor

Dessa randvillkor ger de fyra ekvationerna: För x = 0: 0 = C4 0 = 2C2 För x = S: pS4 + C1S3 + C 2S2 + C3S + C 4 24D pS2 + 6C1S + 2C 2 0= 2D 0=

som leder till: C1 −

pS , 12D

C 2 = 0,

C3 =

pS3 , 24D

C4 = 0

Utböjningen blir: w( x ) =

px 4 pSx 3 pS3 x p − + = ( x 4 − 2Sx 3 + S3 x ) ∀ y 24D 12D 24D 24D

Den maximala utböjningen uppträder vid x = S/2 och blir: 4 4 2  S p  S4 S3 3 S = 5 pS = 5 12 pS (1 − ν ) = w( ) = − S + S 2 2 24D  16 8 2  384 D 384 Eh 3

Utvärderingsexemplar =

5 (1 − ν 2 )pS4 32 Eh 3

Vi kan jämföra resultatet med den maximala utböjningen för en ”bred” rektangulär, fritt upplagd balk med samma stödavstånd, S, höjd h och bredd B. Denna kan lätt visas bli: S 5 pB ⋅ S3 5 12pBS4 5 pS4 w˜ ( ) = = = 2 384 EI 384 EBh 3 32 Eh 3 S S Skillnaden mellan w( ) och w˜ ( ) ger belägg för att plattor inte kan betraktas 2 2 som ”breda” balkar. Det böjande momentet Mx fås med (21:17) och ger:  ∂ 2 w( x )  p  ∂ 2 w( x )  d 2 w( x ) (12 x 2 − 12Sx ) M x = −D  +ν = −D = −D   2 2 2 ∂y dx  ∂x   24D  p p M x = − ( x 2 − Sx ) = x (S − x ) 2 2 som för x = 0 och x = S som väntat antar värdet noll.

416

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4$'

21. böjning av plattor

Böjmomentet My ges av (21:18) och blir:  ∂ 2 w( x )  p  ∂ 2 w( x )  d 2 w( x ) (12 x 2 − 12Sx ) M y = −D  +ν = −Dν   = −Dν 2 2 2 ∂x dx  ∂y    24D My = −

νp

( x 2 − Sx ) =

νp

x (S − x )

För randvärdena y = 0 och y = B blir My ≠ 0 utom för x = 0 och x = S, d v s i hörnpunkterna. Med det gjorda antagandet, att plattan deformeras till en cylinder, krävs tydligen även att ett yttre böjande moment anbringas på ränderna y = 0 och y = B. Något som kan inses genom följande resonemang. Utböjningen i positiv z-riktning medför, att skikt ovanför mittplanet komprimeras i x-riktningen och skikt under mittplanet förlängs i samma riktning. Om nu My och Ny skulle vara noll, blir enligt (21:24) även σy = 0. Och med Nx = 0, blir enligt (21:23): σx =

12M x h3

12 p x (S − x ) z . h3 2

h 12 p h 3p För z ≈ − : σ x ≈ − x (S − x ) = − x (S − x ). 3 2 2 2 h h2 På något avstånd från plattans ränder, x >> h, x << S, blir då |σx| >> p, eftersom h << S. Därmed blir

Utvärderingsexemplar

εy =

νσ ν 12 p 1 x (S − x ) z . ( σ y − ν( σ x + σ z )) ≈ − x ≈ − E E E h3 2

För negativa värden på z (ovanför mittplanet) blir εx < 0, εy > 0, och för positiva zvärden (under mittplanet) är εx > 0, εy < 0. Skikt ovanför mittplanet kommer alltså att förkortas i x-led och förlängas i y-led, medan skikt under mittplanet kommer att förlängas i x-led och förkortas i y-led. Plattan kommer i så fall att deformeras till sadelform och inte till cylinderform. För att eliminera deformationen i plan som är parallella med y-z-planet och därmed återföra plattan till cylinderform krävs, att positiva böjande moment anbringas på ränderna y = 0 och y = B. Det vridande momentet, Myx, ges av (21:19) och blir: M xy = M yx = −D(1 − ν)

∂ 2 w( x ) ∂x ∂y

Tvärkraften Tyz ges av (21:36) och blir: Tyz = −D

∂∆w( x ) ∂y

417

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4$6

21. böjning av plattor

Tvärkraften Txz ges av (21:35) och blir: Txz = −D

∂∆w( x )

∂x p Txz = (S − 2 x ) 2

= −D

 p  d  d 2 w( x )  d 3 w( x ) (24 x − 12S) = −D = −D    dx  dx 2  dx 3   24D

Stödreaktionen Txzres ges av uttrycket:    p ∂3 w ( x ) ∂3 w( x )  d 3 w( x ) res Txz = −D (2 − ν) + (24 x − 12S) = −D = −D   2 3 3 ∂y ∂x ∂x  dx   24D  p res Txz = (S − 2 x ) 2 pS 2 pS =− 2

res som för x = 0 antar värdet (Txz ) x =0 = res och för x = S antar värdet (Txz ) x =S

Den resulterande tvärkraften Tyzres ges av (21:49) och blir  ∂3 w( x ) ∂3 w( x )  res Tyz = −D (2 − ν) + =0 ∂x 2 ∂y ∂y 3   Eftersom vridmomentet Mxy = 0 uppstår några koncentrerade stödkrafter inte i hörnen. Stödrektionerna (kraft per längdenhet) illustreras grafiskt i vidstående figur.

Utvärderingsexemplar Det är enkelt att kontrollera jämvikten i z-led. Trycket p ger en nedåtriktad totalkraft av pBS. På ränderna y = 0 och y = B är Tyz = 0 och inverkar inte på den vertikala jämvikten. Stödreaktionerna vid ränderna x = 0 och x = S ger tillsammans en uppåtriktad kraft av 2

pS 2

pS B = pBS , 2

d v s en lika stor kraft som trycket p utövar. De böjande momenten uppnår sina extremvärden för x = S/2 och uppgår i detta plan till: Mx = My = 418

p S S  pS2 respektive S −  = 2 2 2 8 νp S 

S  νpS2 . S −  = 2 2 2 8

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4$#

21. böjning av plattor

Med (21:26) och (21:27) får vi böjspänningarna: σx = ±

12M x h 6 pS2 3 S2 =± =± p 4 h2 h3 2 h2 8

σy = ±

12M y h 6 νpS2 3 ν S2 =± =± p 4 h2 h3 2 h2 8

Som synes blir |σx| >> p, |σy| >> p, eftersom S >> h. Skjuvspänningen τxy blir enligt (21:28): τ xy = τ yx =

12M xy h3

z=0 !

Den maximala skjuvspänningen τ xz uppträder för z = 0 och blir med (21:29): 3Txz 3 p 3p ! = (S − 2 x ) = (S − 2 x ) τ xz = τ xz (0) = 2h

2h 2

som uppvisar maximum för x = 0 och då antar värdet τ max xz =

3S p. 4h

Skjuvspänningen τyz blir med (21:30): 3Tyz  4z 2  1−  =0 2 h  h2 

Utvärderingsexemplar

τ yz = τ yz ( z ) =

Problem runt rektangulära plattor blir, som framgår av exemplet tämligen tungarbetade. Svårigheterna är kopplade till randvillkoren. Ur matematisk synpunkt är fritt upplagda ränder enklast att behandla. Trots detta måste ofta lösningsmetoder involverande Fourierserier tillgripas. Som en introduktion till detta löses följande exempel.

! 21/2

En rektangulär platta med sidlängder a och b är fritt upplagd utmed alla fyra ränderna. Ett koordinatsystem (x, y, z) förläggs enligt figur. Plattans mittplan sammanfaller med x-y-planet. Plattan belastas med en utbredd last med fördelningen q( x, y ) = q 0 sin

kπx nπy sin , a b

där k och n är positiva heltal och q0 är en konstant.

Visa att en ansats för utböjningen i en punkt (x, y), på formen kπx nπy sin a b satisfierar randvillkoren och plattlikheten, samt bestäm w0. w( x, y ) = w 0 sin

419

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4&,

21. böjning av plattor

Lösning: Randvillkoren blir: w(x, 0) = 0, w(x, b) = 0, w(0, y) = 0, w(a, y) = 0, som även medför  ∂2w   ∂w  =     ∂x  y =0  ∂x 2   ∂2w   ∂w    = 2  ∂y  x =0  ∂y 

 ∂2w   ∂w  = 0,   =   ∂x  y = b  ∂ x 2 

y =b

 ∂2w   ∂w  = 0,   =    ∂y  x = a  ∂ y 2 

x =a

y =0

x =0

respektive ( M x ) x =0 = 0 , ( M x ) x = a = 0 , ( M y ) y =0 = 0 , ( M y ) y =b = 0 , som med (21:17) och (21:18) kan skrivas som:  ∂2w   ∂2w   ∂2w   ∂2w  =0 = 0,    2  = 0,  2  = 0,  2   ∂y 2  y =b  ∂y  y =0  ∂x  x = a  ∂x  x =0 Med ansatsen w( x, y ) = w 0 sin

kπx nπy sin erhålls a b

Utvärderingsexemplar ∂w( x, y ) ∂x

∂ 2 w( x, y ) ∂x 2 ∂w( x, y ) ∂y

w 0 kπ kπx nπy cos sin , a a b 2

 kπ  kπx nπy sin = − w 0   sin a b  a 

∂ 2 w( x, y )

w nπ kπx nπy cos , = 0 sin b a b

För x = 0 och x = a blir w = 0, för y = 0 och y = b blir w = 0,

∂2w ∂x 2 ∂2w ∂y 2

och

∂y 2

 nπ  kπx nπy = − w 0   sin sin b a b  

= 0 och = 0.

Alla randvillkor är därmed uppfyllda. Plattlikheten, ∆∆w( x, y ) = ∂ 4 w( x, y ) ∂x 4

420

∂ 4 w( x, y ) ∂x 2 ∂y 2

q( x, y ) kπx nπy , ger med q( x, y ) = q 0 sin sin : D a b ∂ 4 w( x, y ) ∂y 4

q0 kπx nπy sin sin D a b

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4&$

21. böjning av plattor

och med den gjorda ansatsen för w(x, y): 4

 kπ   kπ   nπ  kπx nπy kπx nπy + 2 w 0     sin + sin sin w 0   sin a b a b  a   a   b 4

 nπ  kπx nπy q 0 kπx nπy + w 0   sin sin = sin sin a b D a b  b Plattlikheten blir satisfierad ∀x och ∀y, om blott:  k4 k 2n 2 n 4  4 q0  4 + 2 2 2 + 4  π w0 = D a b b  a w0 =

 k4

π 4D

 a4

q0 +2

k 2n 2 a 2b2

eller om

n4   b4 

! 21/3

Den i exempel 21/2 gjorda ansatsen för w(x, y) kan tas som utgångspunkt för superposition av flera lastbidrag, kπx nπy sin , a b

Utvärderingsexemplar

q kn sin

som adderas till en dubbel Fourierserie: ∞

q( x, y ) =

∞

∑ ∑q

kn sin

k =1 n =1

kπx nπy sin a b

Fourierkoefficienterna, qkn, bestäms på vanligt sätt som: q kn

4 = ab

a b

∫ ∫ q(x, y )sin 0 0

kπx nπy sin dx dy a b

I föregående exempel visades att w( x, y ) = w 0 sin

kπx nπy sin utgör lösning till: a b

q kπx nπy ∆∆w( x, y ) = 0 sin sin D

Eftersom plattlikheten är en linjär differentialekvation, kan lösningen till differentialekvationen 1 ∆∆w( x, y ) = D

∞

∑∑q k =1 n =1

kn sin

kπx nπy sin a b

421

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4&&

21. böjning av plattor

erhållas genom superposition av enstaka lösningar, w kn sin

kπx nπy sin a b

till differentialekvationen q kπx nπy ∆∆w( x, y ) = kn sin sin . D

Därmed får vi lösningen: ∞

w( x, y ) =

∞

∑∑w

kn sin

k =1 n =1

kπx nπy sin , a b

där w kn =

q kn  k4 k 2n 2 n 4  +2 +  π 4D a 2b2 b4   a4

och q kn

4 = ab

a b

∫ ∫ q(x, y )sin

kπx nπy sin dx dy a b

Utvärderingsexemplar 0 0

Vi tillämpar metoden på det enkla fallet att q(x, y) = p = konstant ∀x och ∀y. Då blir för udda värden på k och n: q kn

4p = ab

a b

∫∫ 0 0

∫

4p kπx nπy kπx nπy sin sin dx dy = sin dx sin dy = a b ab a b 0

4p a b  4p 16p kπx   nπy  − cos  − cos  = 2 2 ⋅2 = 2 ab kπ nπ  a 0  b 0 π kn π kn

Om något av värdena k och n är jämnt, fås: a

q kn

4p a b  kπx   nπy  4p = − cos  − cos  = 2 0=0 ab kπ nπ  a 0  b 0 π kn

För enkelhets skull låter vi plattan vara kvadratisk med a = b, varvid: w kn =

422

q kn

 k4 k 2n 2 n 4  +2 +  π 4D a 2b2 b4   a4

16pa 4 π 6Dkn

1 (k2

+ n 2 )2

16p

π 2 kn π 4D k 4 + 2 k 2n 2 + n 4

, där k =1, 3, 5, … och n =1, 3, 5, 7, …

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4&"

21. böjning av plattor

Utböjningen i plattans mittpunkt blir:  a a w ,  =  2 2 ∞

∞

∑∑w k =1 n =1 ∞

k =1,3,5… n =1,3,5…

∞

16pa 4 π6D

kπ nπ = sin 2 2

16pa 4

∑ ∑

kn sin

π6D

1 kn( k 2

∞

( −1)

∑ ∑

k =1,3,5… n =1,3,5…

+ n 2 )2

sin

kπ nπ sin = 2 2

k +n −1 2

kn( k 2 + n 2 )2

Denna oändliga serie konvergerar snabbt. I följande tabell visas beräknade värden på termerna för k = 1 till 7 och n = 1 till 5.



k 1

0,25000

3 5

–0,00333

0,00030

–0,00006

–0,00333

0,00034

–0,00058

0,00001

0,00030

–0,00006

0,00002

–0,00001

Efter summation av termerna erhålls: 7

k +n −1 2

Utvärderingsexemplar 5

( −1)

∑ ∑ kn(k

k =1,3 n =1,3

+ n 2 )2

≈ 0, 2436

som ger utböjningen i plattans mittpunkt:  a a 16pa 4 pa 4 w  ,  ≈ 0, 2436 ≈ 0, 00405 D  2 2 π6D Med ν = 0,30 och D =

Eh 3 12(1 − ν 2 )

får vi:

 a a pa 4 w  ,  ≈ 0, 0443  2 2 Eh 3 Även om Fourierserierna för utböjningen i allmänhet konvergerar snabbt, är det förknippat med större möda att beräkna moment och spänningar. Dessa storheter bestäms ju av utböjningens andraderivator. Och dessa konvergerar långsammare än utböjningen själv. Ofta används därför BEM (Boundary Element Method) eller FEM (Finite Element Method) vid plattberäkningar.

423

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4&4

21. böjning av plattor

21.3 Övningsexempel på rektangulära plattor

21/4

En rektangulär platta av stål med sidlängder a = 1,0 m och b = 3,0 m är fritt upplagd utmed alla fyra ränderna. Plattan, vars tjocklek är 20 mm, belastas med en jämnt utbredd last av Q = 15,0 kN. a) Hur stor blir utböjningen i plattans mitt? b) Hur stor skulle samma utböjning bli, om plattan istället betraktas som en i ändarna fritt upplagd balk med längden 1,0 m och bredden 3,0 m?

21/5

En horisontellt orienterad kvadratisk platta med sidlängd a är fritt upplagd längs alla ränderna. Plattan belastas med ett konstant, vertikalt nedåtriktat tryck, p. Hur stor blir lutningsvinkeln mot horisontalplanet i punkten (0, a/2), med ett koordinatsystem enligt figur? Plattstyvheten är D.

! Utvärderingsexemplar 21/6

En horisontellt orienterad kvadratisk platta med sidlängd a är fritt upplagd längs alla ränderna. Plattan belastas med ett konstant, vertikalt nedåtriktat tryck, p, i det rektangulära området 0 ≤ x ≤ a/2, 0 ≤ y ≤ a, som figuren utvisar. Hur stor blir utböjningen i plattans mitt? Plattstyvheten är D.

! 21/7

En dammlucka i form av en rektangulär platta med bredd 4,00 m och höjd 2,00 m kan anses fritt upplagd längs alla ränderna. Belastningen utgörs av vattentrycket, som verkar på luckans hela bredd. Vattenytan befinner sig vid luckans övre kant. Materialet är stål och plattjockleken är 25 mm. Vattnets densitet är 1000 kg/m3. Hur stor blir utböjningen vid luckans mittpunkt?

4,00 m 2,00 m

424

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4&%

21. böjning av plattor

Svar till övningsexempel

21/4: a) 0,40 mm, b) 0,47 mm

 ∂w  pa 3  x =0 ≈ 4,12 5  ∂x  a π D

21/5: 

 a a  2 2

21/6: w  ,  ≈ 0, 00203

pa 4 D

21/7: w(2, 00, 1, 00) ≈ 5, 3 mm

21.4 Cirkulära plattor med rotationssymmetrisk last och uppläggning

Utvärderingsexemplar

Liksom för rektangulära plattor förutsätts, att plattans tjocklek är liten relativt dess diameter och att dess utböjning är liten relativt tjockleken. På ett utskuret element enligt figur 21.10, verkar per längdenhet böjande moment och tvärkrafter. Belastningsintensiteten vid rotationssymmetrisk last och uppläggning kan skrivas som q = q(r). Då gäller även, att varje axiellt snitt, ϕ = konstant, utgör ett symmetrisnitt. Därmed finns inte heller några tvärkrafter i axiella snitt. Rotationssymmetrin innebär också, att inga vridmoment förekommer, varken i snittytor där ϕ = konstant eller i snittytor r = konstant. x ϕ q dr

dϕ

r dϕ

y Trz rdϕ

//x

Mr z

Mϕ dr

Mrrdϕ M r rd ϕ

qrdϕdr

Trzrdϕ + Trz

Mϕ

Figur 21.10 Krafter och moment per längdenhet på element i cirkulär platta.

Mrrdϕ +

∂( Mrrdϕ ) dr ∂r

Mϕ dr ∂( Trzrdϕ ) dr ∂r

Figur 21.11 Krafter och moment på element i cirkulär platta.

425

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4&5

21. böjning av plattor

Kraftjämvikt i z-riktningen medför: qr dϕ dr + Trz r dϕ + q=−

∂( Trz r ) ∂r

dϕ dr − Trz r dϕ = 0

1 ∂( Trz r ) 1 d( Trz r ) =− r ∂r r dr

(21:52)

som efter integration ger: Trz = −

1 qr dr r

∫

(21:53)

Tvärkraften är alltså statiskt bestämbar. Momentjämvikt ger: Mr r dϕ +

∂( Mr r dϕ ) ∂r

dr − Mr r dϕ − Trz r dϕ dr + qr dϕ dr

dr dϕ − 2Mϕ dr sin =0 2 2

Med dϕ << 1 och dr << 1: ∂( Mr r ) ∂r

− Trz r − Mϕ = 0

d( Mr r ) − Mϕ = rTrz dr

(21:54)

Utvärderingsexemplar De böjande momenten är i motsatsen till tvärkraften statiskt obestämbara. Derivering av (21:54) ger tillsammans med (21:52): d 2 ( Mr r ) dr 2

−

dMϕ dr

d(rTrz ) = −qr dr

(21:55)

För att komma vidare, måste vi fastställa sambanden mellan de böjande momenten och utböjningen i z-riktningen;

uz(r, ϕ) = w(r, ϕ) = w(r). Vi behöver åter ta hjälp av Kirchhoffs platteori. Enligt denna förskjuts en punkt, A, med koordinater (r, ϕ, z) vid belastning till A* på sådant sätt, att den hamnar på samma avstånd från plattans mittplan och på samma normal till mittplanet. Se figur 21.12. Om punkten ligger på medelytan, d v s har z-koordinaten noll, blir förskjutningen rent axiell. Men om punkten inte ligger på medelytan, kommer den även att

426

z A* ur

Figur 21.12 Förskjutning av en punkt, A, enligt Kirchhoffs platteori.

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4&'

21. böjning av plattor

erfara en radiell förskjutning, ur, p g a den vinkeländring, β, som medelytan får. Storleken av den radiella förskjutningen kan enligt figur 21.12 och med Kirchhoffs platteori skrivas som: dw . dr

u r = z sin β , där tan β = −

Om utböjningen w är liten relativt plattans radie, är även vinkeln β liten, och därmed sin β ≈ tan β, som medför: dw dr

u r ≈ −z

(21:56)

Den tangentiella förskjutningen, uϕ , blir noll p g a rotationssymmetrin. De tillhörande normaltöjningarna blir därmed enligt (17:73) och (17:74): du r d 2w = −z dr dr 2

(21:57)

u r 1 ∂u ϕ u r z dw = =− + r r ∂ϕ r r dr

(21:58)

∂u r

εr =

∂r

εϕ =

Enligt (17:75) gäller för skjuvvinkeln γrϕ : 1 ∂u r ∂u ϕ u ϕ + − =0 r ∂ϕ r ∂r

Utvärderingsexemplar

γ ϕr = γ rϕ = γ rϕ1 + γ rϕ 2 ≈

(21:59)

Om materialet antas linjärt elastiskt gäller Hookes lag. Eftersom plattan förutsätts tunn, kan plant spänningstillstånd anses råda och därmed gäller: εr =

1 ( σ r − νσ ϕ ) E

(21:60)

εϕ =

1 ( σ ϕ − νσ r ) E

(21:61)

och omvänt: σr = σϕ =

E 1 − ν2

( ε r + νε ϕ )

(21:62)

( ε ϕ + νε r )

(21:63)

E 1 − ν2

som med (21:57) och (21:58) ger: σ r = −z

E 1 − ν2

σ ϕ = −z

 d 2 w ν dw   2 +  r dr   dr

1 dw d 2w  +ν   1 − ν 2  r dr dr 2  E

(21:64)

(21:65) 427

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4&6

21. böjning av plattor

Båda normalspänningarna varierar tydligen linjärt med avståndet z från mittplanet. Normalspänningarna medför böjande moment i snittytorna. Om momenten per längdenhet betecknas Mr respektive Mϕ enligt figur 21.11, blir dessa med platttjocklek h och plattstyvhet D=

Eh 3 12(1 − ν 2 )

h 2

∫

Mr =

h 2

−

∫

zσ r dz =

−

−z 2

h 2

 d 2 w ν dw  +   dz = 1 − ν 2  dr 2 r dr  E

 d 2 w ν dw   z 3  2 =− +    2 1 − ν  dr 2 r dr   3  − h E

 d 2 w ν dw  h 3   d 2 w ν dw  + D = −    2 +    r dr  1 − ν 2  dr 2 r dr  12   dr E

Mr = −

σ r (1 − ν 2 )

Eh 3

σ r (1 − ν 2 )

12(1 − ν 2 )

(21:66)

σ r h3

Utvärderingsexemplar Mr = −D σr =

− zE

12Mr h3

∫

12z

(21:67)

h 2

Mϕ =

h 2

zσ ϕ dz =

h − 2

∫ −

−z 2

h 2

1 dw d2w  +ν   dz = 1 − ν 2  r dr dr 2  E

1 dw d 2w   z3  2 =− +ν    1 − ν2  r dr dr 2   3  − h E

Mϕ = −

1 dw 1 dw d 2 w  h 3  d2w  +ν = −D  +ν      dr 2  12  dr 2  1 − ν 2  r dr  r dr

Mϕ = −D σϕ = 428

σ ϕ (1 − ν 2 )

12Mϕ h3

− zE z

Eh 3

σ ϕ (1 − ν 2 )

12(1 − ν 2 )

(21:68)

σ ϕ h3

12z (21:69)

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4&#

21. böjning av plattor

Böjspänningarna antar extremvärden för z = ±h/2: σr = ±

6M r

σϕ = ±

(21: 70)

h2 6M ϕ

(21: 71)

Utöver böjspänningarna finns även en normalspänning, σz, och en skjuvspänning, τrz. Dessa spänningar har tidigare bedömts så små, att spänningstillståndet kan anses plant. Men även om dessa spänningar är små, måste de finnas. Normalspänningen måste finnas vid den yta där den yttre lasten q verkar. Och skjuvspänningarna måste finnas för att dessas resultanter, Trz, skall hålla jämvikt med den yttre lasten på plattelementet, se figur 21.11. Jämviktsvillkoret har redan förut formulerats som ekvation (21:52). Om de böjande momenten enligt (21:66) och (21:68) införs i (21:55), fås:  d 2 w ν dw   d  1 dw d2  d 2 w  −rD  + −  −D  +ν   = −q(r )r   dr 2  dr 2   dr 2 r dr   dr   r dr d 2  d 2w  −r dr 2  dr 2

 d 3 w d  1 dw  d3w q(r )  − ν 3 + dr  r dr  + ν 3 = − D r   dr dr 

Utvärderingsexemplar

d 2  d 2w r dr 2  dr 2

 d  1 dw  q(r )  − dr  r dr  = D r   

(21:72)

Man verifierar lätt, att ekvation (21:72) alternativt kan skrivas på formen:  d 2 1 d   d 2 w 1 dw  q(r )  2 + r dr   2 + r dr  = D    dr  dr

(21: 73)

eller med Laplaces operator, som vid rotationssymmetri övergår i ∆=

d2 dr 2

1d : r dr

(21: 74)

q( r ) D

(21: 75)

∆∆w(r ) =

som kallas plattlikheten eller plattekvationen och har samma principiella form som vid kartesiska koordinater, ekvation (21:37); ∆∆ux = ∆∆w(x, y) = q(x, y)/D, men nu med enbart en variabel, r.

429

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4",

21. böjning av plattor

Alternativt kan plattlikheten skrivas på formen: 1 d  d 1 d  dw    q(r ) r  r   = r dr  dr  r dr  dr    D

(21: 76)

Detta är en ordinär, integrerbar differentialekvation. Lösningen erhålls efter fyra integrationer. Värdet av de fyra integrationskonstanter som uppkommer, bestäms av rådande randvillkor. Sedan utböjningen w = w(r) bestämts, beräknas böjspänningarna med hjälp av (21:64) och (21:65). Tvärkraften, Trz, erhålls ur (21:54). Böjmomenten hämtas från (21:66) och (21:68) med utfall: Trz =

D  d3w d 2w  d 2 w D 1 dw d2w  1 d( Mr r ) Mϕ − = − r + − νD +  +ν   r dr r r  dr 3 r  r dr dr 2  dr 2 dr 2 

 d 3 w 1 d 2 w 1 dw  Trz = −D  + −   dr 3 r dr 2 r 2 dr 

(21:77)

Analysen ger ingen information om tillhörande skjuvspänningsfördelning över plattans tjocklek. Man kan förmoda, att den i likhet med vid rektangulära plattor fördelas paraboliskt över tjockleken, som ekvation (21:29) anger, d v s:  4z 2  1 − 2  h  

Utvärderingsexemplar τ rz = τ rz ( z ) =

3Trz 2h

(21: 78)

med maximum i mittplanet och med värde: τ rz =

3Trz 2h

(21: 79)

21.4.1 Några axialsymmetriska randvillkor vid cirkulära plattor För cirkulära plattor med rotationssymmetrisk belastning och uppläggning, blir randvillkoren enklare än för rektangulära plattor. Och eftersom inga vridmoment och inga hörn föreligger, uppstår heller inga koncentrerade upplagskrafter. De vanligaste uppläggningssätten redovisas i det följande.

21.4.1.1 Fritt upplagd rand I detta fall gäller randvillkoren w = 0 och Mr = 0, eller med (21:66): d 2w dr 2

430

ν dw

r dr

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4"$

21. böjning av plattor

21.4.1.2 Fast inspänd rand Randvillkoren i detta fall utgörs av w = 0 och dw/dr = 0.

21.4.1.3 Helt fri rand Randvillkoren blir då Trz = 0 och Mr = 0, eller med (21:77) och (21:66): d3w dr 3 d 2w dr 2

1 d 2 w 1 dw − =0 r dr 2 r 2 dr

ν dw

r dr

21.4.1.4 Resterande randvillkor

Utvärderingsexemplar

Differentialekvationen (21:76) ger en lösning innehållande fyra okända konstanter. De ovan angivna randvillkoren är bara två till antalet. Resterande randvillkor beror på, om plattan har eller saknar ett koncentriskt hål. Med ett koncentriskt hål i plattan, överensstämmer randvillkoren för den inre cirkelranden med något av de fall som formulerats i 21.4.1.1 till 21.4.1.3. Den inre randen genererar alltså de två resterande randvillkoren.

Om plattan saknar centrumhål, blir randvillkoren annorlunda och ges av två villkor i plattans centrum. Den rotationssymmetriska belastningen medför att dw/dr = 0 för r = 0. Det fjärde och sista villkoret ges av tvärkraften. Ett cirkulärt element med radie δr ≈ 0 skärs ut enligt figur 21.13. Om belastningen, q(r), är utbredd, kräver jämvikten för plattelementet: δr

∫

Trz (δr )2 πδr + q(r )2 πr dr = 0 ,

eller

δr

1 Trz (δr ) = − q(r ) r dr δr

∫ 0

För 0 ≤ r ≤ δr är q(r) ändlig, säg |q(r)| < q0 > 0. Därmed blir: δr

Trz (δr ) <

1 q (δr )2 q 0δr = q 0r dr = 0 δr 2 2 δr

∫ 0

431

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4"&

21. böjning av plattor q(r)

F h 2 h 2

h 2 h 2

x δr

Trz(δr) z

Trz(r)

Figur 21.13 Tvärkraft på element i plattcentrum vid utbredd last.

Figur 21.14 Tvärkraft på element i plattcentrum vid koncentrerad last.

För gränsfallet δr → 0 inses att Trz(0) → 0, d v s tvärkraften är noll i plattans centrum. Det fjärde randvillkoret blir därmed: Trz(0) = 0 Om belastningen istället enbart utgörs av en koncentrerad kraft, F, i centrum enligt figur 21.14, kräver jämvikten: Trz(r)2 πr + F = 0 eller

Utvärderingsexemplar Trz (r ) = −

F 2 πr

som utgör det fjärde randvillkoret och skall gälla för varje värde på r innanför yttre cirkelradien.

432

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4""

21. böjning av plattor

21.5 Lösta exempel för cirkulära plattor med rotationssymmetrisk belastning och uppläggning

! 21/8

En cirkulär, massiv platta med radie b är fritt upplagd utmed hela ytterranden. Plattan med tjocklek h << b, belastas med en koncentrerad last, F, i centrum. Plattstyvheten är D. Materialet är linjärt elastiskt med Poissons konstant ν. Hur stor blir utböjningen vid en godtycklig radie r?

Lösning: Plattlikheten, ekvation (21:76), integreras steg för steg och med q(r) = 0 med utfall: r

d 1 d  dw    r   = C1 dr  r dr  dr  

Utvärderingsexemplar

1 d  dw  r  = C1 ln r + C 2 r dr  dr  r

 r2 dw r2  r2 = C1  ln r −  + C 2 + C 3 dr 4 2 2

C1  r 2 r2 r2  r2 ln r − −  + C 2 + C 3 ln r + C 4  2 2 4 4 4

där C1, C2, C3 och C4 är integrationskonstanter. För att få den logaritmiska termen oberoende av enhet för radien r, skrivs uttrycket om med andra konstanter som: r r + A 2r 2 + A 3 ln + A 4 b b Med dessa nya konstanter blir: w = A1r 2 ln

 A dw r  = A1  2r ln + r + 2 A 2r + 3 dr b r     A r = A1  2 ln + 3 + 2 A 2 − 3 b   r2 d 3 w 2 A1 2 A 3 = + r dr 3 r3 d 2w dr 2

433

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4"4

21. böjning av plattor

Ekvation (21:77) ger tvärkraften  d 3 w 1 d 2 w 1 dw  − Trz = D  + − =  dr 3 r dr 2 r 2 dr   2 A1 2 A 3 A1  r  2A 2  + + −   2 ln + 3 + 3 r r  b  r r  = D  A 3 A1  r  2A 2 A3  − − 3 − 2  2r ln + r −  b  r r  r3   r −

Trz 4 A1 = D r

Ekvation (21:66) ger det böjande momentet:  d 2 w ν dw  − Mr = D  + =  dr 2 r dr    νA  A νA  r  r  = D  A1  2 ln + 3 + 2 A 2 − 3 + 1  2r ln + r + 2 νA 2 + 3  b  r  b  r2 r 2    Randvillkor: I: r = b; w(b) = 0 II: r = b; Mr = 0 dw III: r = 0; =0 dr

Utvärderingsexemplar IV: ∀r; Trz (r ) = −

F 2 πr

som medför: I: A 2b2 + A 4 = 0 II: 3A1 + 2 A 2 − III: A 3 = 0

A3 b2

+ νA 1 + 2 νA 2 +

νA 3

r b1 ln r ( l’Hospitals regel ger lim 2r ln = 2 lim b = 2 lim r b = lim( −r ) = 0) b r →0 r →0 1 r →0 1 r →0 − 2 r r 4A1 F IV: = 2 πDr r De utlösta konstanterna blir: A1 =

434

F ; 8 πD

A2 = −

3+ ν F; 2(1 + ν)8πD

A 3 = 0;

A4 =

3+ ν Fb2 2(1 + ν)8πD

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4"%

21. böjning av plattor

och ger: w = w(r) =

F  3+ ν r ( b2 − r 2 ) + r 2 ln   8πD  2(1 + ν) b

med maximivärde w = w(0) =

F 3+ ν 2 3 + ν Fb2 b = 8πD 2(1 + ν) 16(1 + ν)π D

( l’Hospitals regel för r 2 ln

r r ger lim r 2 ln = 0) b b r →0

! 21/9

En cirkulär hålplatta med innerradie a och ytterradie b är fritt upplagd utmed hela ytterranden. Plattan med tjocklek h << b, belastas med en konstant linjelast, F, längs hela innerranden, så att kraften per längdenhet är F/2 πa. Plattstyvheten är D. Materialet är linjärt elastiskt med Poissons konstant ν. Hur stor blir utböjningen vid en godtycklig radie r?

Lösning:

Utvärderingsexemplar

Plattlikheten, ekvation (21:76), integreras steg för steg och med q(r) = 0 med resultat: r

d 1 d  dw    r   = C1 dr  r dr  dr  

1 d  dw  r  = C1 ln r + C 2 r dr  dr  r

 r2 dw r2  r2 = C1  ln r −  + C 2 + C 3 dr 4 2 2

C1  r 2 r2 r2  r2 ln r − −  + C 2 + C 3 ln r + C 4  2 2 4 4 4

där C1, C2, C3 och C4 är integrationskonstanter. Som i föregående exempel skrivs uttrycket om med andra konstanter som: w = A1r 2 ln

r r + A 2r 2 + A 3 ln + A 4 b b

435

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4"5

21. böjning av plattor

Med dessa nya konstanter blir:  A dw r  = A1  2r ln + r + 2 A 2r + 3 dr b  r    A r = A1  2 ln + 3 + 2 A 2 − 3 b   r2 3 d w 2 A1 2 A 3 = + r dr 3 r3 d 2w dr 2

Trz 4 A1 = D r

Ekvation (21:66) ger det böjande momentet:

Utvärderingsexemplar  d 2 w ν dw  − Mr = D  + =  dr 2 r dr    νA  A νA  r  r  = D  A1  2 ln + 3 + 2 A 2 − 3 + 1  2r ln + r + 2 νA 2 + 3  b  r  b  r2 r 2   

Randvillkor: I: r = b; w(b) = 0 II: r = b; Mr = 0 III: r = a; Mr = 0 F IV: Trz (r ) = − 2 πr som medför: I: A 2b2 + A 4 = 0 II: 3A1 + 2 A 2 −

436

+ νA 1 + 2 νA 2 +

νA 3

=0 b2   A νA νA  a a  III: A1  2 ln + 3 + 2 A 2 − 3 + 1  2a ln + a + 2 νA 2 + 3 = 0 2 b a b     a a2 4A1 F IV: = 2 πDr r b2

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4"'

21. böjning av plattor

Sedan konstanterna lösts ut, visar de sig bli: A1 =

F F a2 a F 3+ ν ; A2 = ln − ; 8 πD 8πD b2 − a 2 b 8πD 2(1 + ν)

A3 =

F 2(1 + ν) a 2b2 a F a 2b2 a F 3+ ν 2 b ln ; A 4 = − ln + 2 2 2 2 8 πD 1 − ν b − a b 8 πD b − a b 8πD 2(1 + ν)

som ger följande uttryck för utböjningen som funktion av radien r:   3+ ν 2 r a2 a r + r 2 ln + 2 2 r 2 ln −  F  b b −a b 2(1 + ν)  w= 8πD  2(1 + ν) a 2b2 3 + ν 2 a r a 2b2 a + 1 − ν 2 2 ln b ln b − 2 2 ln b + 2(1 + ν) b  b −a b −a    r2 b 3 + ν  r2   a2  r2  b  ln ln + + 1 1− − − − Fb2  b2 r b2 − a 2  b2  a 2(1 + ν)  b2   w=  8πD  2(1 + ν) a 2 a r +  ln ln  1 − ν b2 − a 2 b b  och slutligen efter sortering och reduktion av termer:

Utvärderingsexemplar

 r 2   3 + ν a2 b   1 −   + ln  −   b2   2(1 + ν) b2 − a 2 a   w= 8πD  r 2 b 2(1 + ν) a 2 b b − ln + ln ln  1 − ν b2 − a 2 a r   b2 r Fb2

Den maximala utböjningen fås för r = a och blir:  a 2   3 + ν a2 b   1 −   + ln  −  Fb2  b2   2(1 + ν) b2 − a 2 a   w= 8πD  a 2 b 2(1 + ν) a 2  b  2  − b2 ln a + 1 − ν b2 − a 2  ln a    

437

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4"6

21. böjning av plattor

21.6 Övningsexempel på cirkulära (hål-)plattor vid rotationssymmetrisk belastning och uppläggning

! 21/10

En cirkulär, massiv platta med radie b är fast inspänd utmed hela ytterranden. Plattan med tjocklek h << b, belastas med ett konstant tryck, p, över hela ytan. Plattstyvheten är D. Materialet är linjärt elastiskt med Poissons konstant ν. a) Hur stor blir utböjningen vid en godtycklig radie r? b) Hur stor blir den maximala utböjningen, om följande numeriska data gäller: E = 208 GPa, ν = 0,30, h = 25 mm, b = 1 200 mm, p = 25,0 kPa? c) Hur stor blir den största effektivspänningen enligt von Mises hypotes i plattans centrum? d) Hur stor blir den största effektivspänningen vid ytterranden enligt von Mises hypotes?

! Utvärderingsexemplar 21/11

En cirkulär, massiv platta med radie b är fritt upplagd utmed hela ytterranden. Plattan med tjocklek h << b, belastas med ett konstant tryck, p, över hela ytan. Plattstyvheten är D. Materialet är linjärt elastiskt med Poissons konstant ν. a) Hur stor blir utböjningen vid en godtycklig radie r? b) Hur stor blir den maximala utböjningen? c) Hur varierar de radiella böjspänningarna med radien? d) Hur varierar de tangentiella böjspänningarna med radien?

! 21/12

438

En cirkulär hålplatta med hålradie a och ytterradie b är fritt upplagd utmed hela ytterranden. Plattan med tjocklek h << b, belastas med ett konstant böjmoment, M per längdenhet, längs hela ytterranden enligt figur. Plattstyvheten är D. Materialet är linjärt elastiskt med Poissons konstant ν. a) Hur stor blir utböjningen vid en godtycklig radie r? Φ2a b) Hur stort blir det tangentiella momentet per längdenhet vid den inre randen? M c) Hur stort blir det tangentiella momentet per längdenhet Φ2b vid den yttre randen?

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4"#

21. böjning av plattor

Svar till övningsexempel 21/10:

(b2 − r 2 ) p 64D b4 6(1 − ν 2 )b4 p= p= b) w = 64D 32Eh 3 6(1 − 0, 302 )1, 2 4 = 25, 0 ⋅103 ≈ 2, 7 ⋅10 −3 m 32 ⋅ 208 ⋅109 ⋅ (25 ⋅10 −3 )3 a) w =

c) σ e ≈ 28 MPa d) σ e ≈ 38, 5 MPa 21/11:

 5+ ν r 2   r 2  pb4 a) w =  −  1 −   1+ ν b2   b2  64D 5+ ν pb4 1+ ν 64D 3(3+ ν) b2 − r 2 p c) σ r = ± 8 h2 3 (3+ ν)b2 − (1 + 3 ν)r 2 p d) σ ϕ = ± 8 h2 b) w =

Utvärderingsexemplar

21/12:

a) w =

b2  2 2 2(1 + ν) 2 b  M a ln  b − r + 2 2(1 + ν)D b − a 2  1− ν r

b) (Mϕ )r=a = 2

M b2 − a 2 a 2 + b2 c) (Mϕ )r=b = M b2 − a 2

439

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(44,

22 Energimetoder Energimetoder är ett alternativt angreppssätt för elastiska hållfasthetsproblem och kan ersätta samband för jämvikt, konstitutiva samband och kompatibilitetsvillkor. Metoderna baseras på energibetraktelser. Dels formuleras uttryck för det yttre arbete, som pålagda krafter och/eller kraftpar uträttar, dels härleds uttryck för den elastiska energi, som upplagras i den belastade strukturen genom uppkomna töjningar. Om ingen plastisk deformation sker och ingen friktion förekommer och ingen förändring av kinetisk energi sker hos strukturen, gäller enligt mekaniken följande viktiga princip:

Utvärderingsexemplar

Den upplagrade elastiska energin i strukturen är lika stor som det arbete de yttre krafterna/kraftparen uträttar vid lastens applicering.

22.1 Maxwell-Bettis sats Om en kraftangreppspunkt förflyttas i en kroklinjig bana under inverkan av en kraft, F, från en punkt med ortsvektorn r till en närbelägen punkt med ortsvektorn r+dr enligt figur 22.1, uträttas enligt mekaniken ett arbete av: dU = Fdr

(22:1)

α dr

Figur 22.1 Förflyttning längs kroklinjig bana.

440

B r+dr O

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(44$

22. energimetoder

Om vinkeln α mellan kraftvektorn F och förskjutningsvektorn dr införs, kan enligt vektoralgebrans regler arbetet även skrivas som: dU = F cos α dr

(22:2)

där dr betecknar beloppet av vektorn dr och F är beloppet av vektorn F. Och om förflyttningen sker från en punkt A till en punkt B, kan arbetet symboliskt tecknas som: B

∫

U = F cos α dr

(22:3)

Här utgör dr · cos α beloppet av projektionen av dr på kraftvektorn och kan därför alternativt tolkas som beloppet av förskjutningens komponent i kraftens riktning, dυ. Ekvation (22:3) kan då skrivas som: υ( B)

∫

F dυ

(22:4)

υ( A )

Om materialet är linjärt elastiskt, råder ett rätlinjigt samband mellan kraft och förskjutning i kraftriktningen, figur 22.2. Eftersom arbetet tydligen generellt utgörs av ytan mellan F-υ-kurvan och υ-axeln följer, att arbetet vid ett linjärt elastiskt material representeras av den triangulära ytan under F-υ-linjen, eller om integrationsgränserna för υ sätts till 0 och u:

Utvärderingsexemplar u

∫

U = F dυ = 0

Fu 2

(22:5)

F(υ)

Figur 22.2 Samband mellan kraft, F(υ) och förskjutning i kraftens riktning, υ, vid linjärt elastiskt material.

F(υ)dυ

Vi tänker oss nu en struktur av linjärt elastiskt material, som skall påverkas av två yttre krafter, F1 och F2 enligt figur 22.3 (a). Först låter vi enbart kraften F1, verka enligt figur 22.3 (b). Kraftangreppspunkten får då en förskjutning, vars komponent i kraftriktningen sätts till u11. Den punkt i vilken kraften F2 senare skall angripa får p g a F1 en förskjutning u21 i F2-riktningen. Kraften F1 avlägsnas och istället appliceras F2 enligt figur 22.3 (c). Den punkt där F1 förut angrep, får nu en förskjutning u12 i F1-riktningen. Angreppspunkten för F2 får förskjutningen u22 i F2-riktningen. 441

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(44&

22. energimetoder F1

(a)

(b)

u21 u11

(c) F2 Figur 22.3 Applicering av två krafter på en struktur, (a) båda krafter verkande, (b) enbart F1 verkande, (c) enbart F2 verkande.

u12

u22

Efter total avlastning tänks F1 åter appliceras först. Det yttre arbete som F1 uträttar ges av F1u11 /2, kallat kraftens F1 primära arbete. Med F1 liggande kvar med oförändrad storlek och riktning, appliceras nu F2. Det yttre arbete som F2 uträttar i sin angreppspunkt ges av F2u22 /2, kallat kraftens F2 primära arbete. Men eftersom angreppspunkten för F1 får en förskjutning u12 i F1-riktningen när F2 appliceras, kommer även F1 att uträtta ett arbete, F1u12, kallat kraftens F1 sekundära arbete. Förloppet vid de efter varandra pålagda lasterna illustreras i figur 22.4.

Utvärderingsexemplar Det totala arbetet av yttre krafter blir därmed: U12 =

F1u11 Fu + F1u12 + 2 22 2 2

Primärt arbete F1

u11

Sekundärt arbete

u12

Figur 22.4 Samband mellan kraft och förskjutning vid applicering av krafter i sekvens F1 – F2 .

442

(22:6)

Primärt arbete

u21

u22

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(44"

22. energimetoder

Primärt arbete

u12

u11

Primärt arbete

Sekundärt arbete Figur 22.5 Samband mellan kraft och förskjutning vid applicering av krafter i sekvens F2 – F1 .

u21

u22

Om vi istället låtit F2 angripa först, för att sedan ligga kvar med oförändrad storlek och riktning medan F1 appliceras, hade de yttre krafternas arbete i analogi med föregående kunnat skrivas: U 21 =

F2u 22 Fu + F2u 21 + 1 11 2 2

(22:7)

Tillhörande förlopp visas i figur 22.5. Men det totala yttre arbetet är oberoende av i vilken ordning krafterna appliceras, d v s: U12 = U21 och därmed erhålls:

Utvärderingsexemplar (22:8)

F1u12 = F2u21

som utgör Maxwell-Bettis sats.

Satsen formulerades av den skotske fysikern James Clerk Maxwell (1831–1879) och den italienske matematikern Enrico Betti (1832 –1892). I ord kan satsen formuleras enligt följande: Om två oberoende laster verkar på en struktur av linjärt elastiskt material, uträttar den ena lasten (F1) ett sekundärt arbete genom den förskjutning (u12), som orsakas av den andra lasten (F2). Detta arbete (F1u12) är lika stort som det sekundära arbete (F2u21), som den andra lasten (F2) uträttar genom den förskjutning (u21), som orsakas av den första lasten (F1). Ett exempel får belysa användningen av Maxwell-Bettis sats. En balk är fritt upplagd och belastas med en kraft, F, enligt figur. Hur stor utböjning erhålls i snittet x = 2L/3, om balken istället belastas med en i samma riktning verkande kraft, P, på mitten av balken?

2L 3

L 3

443

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(444

22. energimetoder

Från någon elementarfallstabell erhålls utböjningen i snittet x = L/2 vid en kraft F i x = 3L/2 till: 2 3   L  FL3 1   1 1  1  23 FL3   −  = . w  = 1−    2  6EI 3   3   2  2   1296 EI   

Maxwell-Bettis sats ger direkt:  L  2L  F1u12 = Pu12 = Pw   = F2u 21 = Fu 21 = Fw    2  3  2L  P  L  P 23 FL3 23 PL3 = w  = w  =  3  F  2  F 1296 EI 1296 EI Maxwell-Bettis sats kan visas gälla även för kraftpar och får då formen: M1Θ12 = M2Θ21

(22:9)

Θ12 är vinkeländringen p g a M2 i den punkt som M1 angriper. Θ21 är vinkeländringen p g a M1 i den punkt som M2 verkar.

Som en tillämpning modifieras föregående exempel till: En balk är fritt upplagd och belastas med ett kraftpar, M, enligt figur. Hur stor vinkeländring erhålls i snittet x = 2L/3, om balken istället belastas med ett i samma riktning verkande kraftpar, M*, på mitten av balken?

Utvärderingsexemplar

Från någon elementarfallstabell erhålls vinkeländringen i snittet x = L/2 för ett moment, M, i x = 3L/2 till: 2 2   1   dw   1 ML  1 ML   − = 1 − 3 3   =−   1    6EI  72 EI  2  dx  x =  3     2

Maxwell-Bettis sats ger direkt:  dw   dw  M1Θ12 = M ∗ Θ12 = M ∗   = M2Θ 21 = MΘ 21 = M    dx  x = L  dx  x = 2L 2

 dw  M ∗  dw  M ∗  1 ML  1 M∗L   2L =   L= −  =− M  dx  x = M  72 EI  72 EI  dx  x = 3

2L 3

444

L 3

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(44%

22. energimetoder

22.2 Castiglianos sats Om det arbete, som uträttas av yttre krafter och/eller kraftpar på en struktur är känt, kan förskjutning och/eller vinkeländring bestämmas ur arbetet i strukturpunkter, där sådana storheter angriper. Och om förskjutning/vinkeländring söks i en punkt, där ingen(-t) yttre kraft/kraftpar verkar, kan en (ett) fiktiv(-t) kraft/ kraftpar tillsättas i punkten. Sedan beräkningarna slutförts tilldelas denna kraft/ detta kraftpar värdet noll.

Sambandet mellan arbete och förskjutning/vinkeländring formulerades av den italienske ingenjören Alberto Castigliano (1847–1884), och kallas därför Castiglianos (andra) sats. Som namnet antyder, finns även en första sats, men eftersom det inte finns anledning att redovisa denna, används fortsättningsvis den kortare benämningen Castiglianos sats. Castiglianos sats kan användas vid såväl statiskt bestämda som statiskt obestämbara strukturer. Tex för den statiskt bestämda balken i figur 22.6 eller för den statiskt obestämbara balken i figur 22.7 (a). Detta fall kan behandlas som statiskt bestämbart, genom att något stöd, t ex det mellersta tas bort och ersätts med en yttre kraft, F3, enligt figur 22.7(b). Denna kraft tilldelas sedan en sådan storlek, att tillhörande förskjutning, u3, blir noll.

F2 u1 u2

Utvärderingsexemplar

Vid statiskt obestämda system, låter vi även de stödkrafter/stödkraftpar som ersätter övertaliga stöd när dessa avlägsnas, ingå i i kategorin ”yttre laster”, F1, F2, … Fn. Angreppspunkternas förskjutning i respektive kraftriktning betecknas u1, u2, … un . Samtliga krafter tänks pålagda samtidigt, så att de växer proportionellt från noll till sina slutvärden. Vi låter W1, W2, … Wn beteckna de yttre arbeten, som respektive kraft uträttar. Vid linjärt elastiskt material är summan av dessa arbeten lika stor som den samlade elastiska energin i strukturen.

Figur 22.6 Statiskt bestämd balk. F1

(a)

F1 (b)

Om lasterna även utgörs av kraftpar, M1, M2, … Mk, kallas tillhöFigur 22.7 rande vinkeländringar Θ1, Θ2, … Θk. Samtliga kraftpar tänks påStatiskt obestämd balk (a) och statiskt bestämd balk (b) . lagda samtidigt, så att de växer proportionellt från noll till sina slut~ ~ ~ värden.W1,W2, …Wk, får beteckna de yttre arbeten, som respektive kraftpar uträttar. Vid linjärt elastiskt material är summan av dessa arbeten lika stor som den samlade elastiska energin p g a kraftparens verkan på strukturen. Om W får beteckna summan av yttre krafters och kraftpars arbete på strukturen, blir summan: ˜ +W ˜ + … +W ˜ W = W1 + W2 + … + Wn + W 1 2 k 445

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(445

22. energimetoder

Samtliga krafter, Fi, i = 1, 2, … n, ges infinitesimala tillskott, dFi, och samtliga kraftpar, Mj, j = 1, 2, … k, ges infinitesimala tillskott, dMj. Lasttillskotten antas ske samtidigt. Förloppen för ett linjärt elastiskt material vid lasttillskott illustreras i figur 22.8 och 22.9 för en kraft respektive ett kraftpar. F

M uidFi

Fi + dFi

Mj + dMj

∂Wi dFi ∂Fi

~ ∂Wj

~ Wj

Θ jdM j

∂Mj

dMj

Θj

Figur 22.8 Kraft, Fi , förskjutning i kraftriktningen, ui , och yttre arbete, Wi .

Figur 22.9 Kraftpar, Mj, vinkeländring, Θ j , ~ och yttre arbete, Wj .

Tillskotten i kraft/kraftpar medför ett tillskott i det yttre arbetet av: dW = +

˜ ∂W 1

∂W1 ∂F1

∂W2

dF1 +

dM1 +

∂F2

˜ ∂W 2

dF2 + … +

dM2 + … +

∂Wn ∂Fn

˜ ∂W k

dFn +

dMk

Utvärderingsexemplar ∂M1

∂M2

∂Mk

Eftersom endast oberoende krafter/kraftpar ingår i Fi och Mj (inga statiskt bestämda stödreaktioner får medräknas), kan dessa krafter/kraftpar varieras oberoende av varandra. Det yttre arbetet kan därför även uppfattas som en funktion av de oberoende variablerna Fi och Mj, d v s: W = W(F1, F2, … Fn , M1, M2 … Mk )

Därmed gäller att: dW = +

∂W ∂M1

∂W ∂F1

dF1 +

∂W ∂F2

dM1 + … +

dF2 + … + ∂W

∂Mk

∂W ∂Fn

dFn +

dMk

En jämförelse mellan detta och föregående uttryck för dW och mot bakgrund av att variablerna Fi och Mj är oberoende, medför: ˜ ∂W ∂Wi ∂W ∂W j = , = ; i = 1, 2, 3, … k o s v. (22:10) ∂Fi ∂Fi ∂M j ∂M j

446

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(44'

22. energimetoder

Vi fortsätter genom att bestämma storleken av triangelytorna ovanför respektive under den lutande linjen i figur 22.8. För den mindre, undre triangeln är ytan Fi u i . 2 Den större, undre triangelns yta kan vi skriva som Wi =

Wi +

∂Wi ∂Fi

dFi =

Fi u i ∂Wi + dFi . 2 ∂Fi

Den mindre, övre triangelns yta är Fi u i = Wi , 2 medan den större, övre triangelns yta kan approximeras till Fi u i + u idFi , 2 om vi låter dFi vara infinitesimal. De två stora trianglarna ovanför respektive under den lutande linjen är kongruenta, och har därmed samma yta, d v s: Wi + u idFi =

Fi u i ∂Wi Fu + dFi = i i + u idFi 2 2 ∂Fi

Utvärderingsexemplar

som medför att: ui =

∂Wi

(22:11)

∂Fi

eller med (22:10): ui =

∂W

(22:12)

∂Fi

Om flera av krafterna ges samma beteckning, t ex F1 = F2 = F3 = F, kommer ∂W/∂F att utgöra den algebraiska summan av respektive krafts förskjutning i kraftriktningen. Analogt visas att: Θj =

∂W j ∂M j

∂W ∂M j

(22:13)

Ekvationerna (22:12) och (22:13) utgör Castiglianos sats. Vid användning av Castiglianos sats utnyttjas sambandet, att yttre krafters arbete är detsamma som den inre elastiska energin. Vi måste därför kunna uttrycka den senare som funktion av yttre angripande krafter/kraftpar.

447

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(446

22. energimetoder

22.3 Elastisk energi p g a normal- och skjuvspänningar

I ett utskuret rätblockselement med sidor ∆x, ∆y och ∆z i en struktur antas verka normalspänningen σx, enligt figur 22.10. Elementets töjning i spänningsriktningen betecknas med εx. Normalkraften på elementet utgör σx ∆y ∆z. Förlängningen, som om elementets ena ändyta, x = x1, förutsätts fix, då överensstämmer med förskjutningen, ux, av elementets andra ändyta, x = x1 + ∆x, blir därmed ux = εx ∆x. Om elementets volym, ∆V = ∆x ∆y ∆z införs, kan det arbete, som normalspänningen utför på elementet enligt tidigare skrivas som: ∆W =

σ ε ∆x ∆y ∆z σ x ε x 1 σ x ∆y ∆z ⋅ u x = x x = ∆V 2 2 2

(22:14)

förutsatt att materialet är linjärt elastiskt. Normalkraften σx ∆y ∆z på elementet, som är en inre kraft i en vald analyspunkt i själva strukturen, kan betraktas som en yttre kraft på själva elementet. För elementet gäller att yttre krafters arbete är lika stort som den i elementet upplagrade elastiska energin, ∆U, och kan skrivas som:

Utvärderingsexemplar ∆W = ∆U =

σ ε ∆x ∆y ∆z σ x ε x 1 σ x ∆y ∆ z ⋅ u x = x x = ∆V 2 2 2

(22:15)

Om Hookes lag tillämpas: ∆U = ∆W =

σ2 Eε 2x ∆V = x ∆V 2 2E

(22:16)

Räknat per volymenhet utgör energin/arbetet: ∆u˜ =

∆U ∆V

= dw˜ =

∆W ∆V

Eε 2x σ 2x = 2 2E

(22:17)

som kan kallas töjningsenergitätheten.

∆z

σx

y z ∆x

448

∆y

Figur 22.10 Infinitesimalt rätblockselement utsatt för enaxlig normalspänning, σx .

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(44#

22. energimetoder

Om även normalspänningar, σy och σz verkar på elementet, ger Hookes generaliserade lag: σxεx

∆u˜ x =





σ x σ x − ν( σ y + σ z )

(22:18)

Men i så fall kommer även spänningarna σy och σz utföra arbete på elementet. Något som resulterar i ytterligare bidrag till elementets elastiska energi: σyεy

∆u˜ y =

∆u˜ z =

2 σz εz





σ y σ y − ν( σ z + σ x )



(22:19)



σ z σ z − ν( σ x + σ y )

(22:20)

Eftersom energi och arbete är skalärer, kan de superponeras algebraiskt. Den totala töjningsenergitätheten i elementet blir därmed vid treaxligt normalspänningstillstånd:





σ z σ z − ν( σ x + σ y )

 + σ y σ y − ν(σ z + σ x ) +

σ x σ x − ν( σ y + σ z )

∆u˜ = ∆u˜ x + ∆u˜ y + ∆u˜ z =

(22:21)

Utvärderingsexemplar

Om elementet även är utsatt för skjuvspänningar, erhålls från (10:6): ∆u˜ xy = ∆u˜ yz = ∆u˜ zx =

∆U xy ∆V

∆U yz ∆V ∆U zx ∆V

= =

τ xy γ xy

2 τ yz γ yz

2 τ zx γ zx

Gγ 2xy 2

Gγ 2yz

τ 2xy

2G τ 2yz

(22:23)

2 τ2 Gγ zx = zx 2 2G

(22:22)

(22:24)

Den sammanlagda töjningsenergitätheten vid generellt, tredimensionellt spänningstillstånd kommer då med Cartesiska koordinater att bli: ∆u˜ =



 + σ y σ y − ν(σ z + σ x ) +

σ x σ x − ν( σ y + σ z )



+

σ z σ z − ν( σ x + σ y )

τ 2xy

τ 2yz

2 τ zx

(22:25)

449

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4%,

22. energimetoder

22.4 Elastisk energi i stänger, axlar och balkar I de flesta strukturer varierar spänningarna från punkt till punkt. För att finna den totala elastiska energin i en struktur, tvingas man därför summera den elastiska energin för alla volymelement i strukturen. Vi ska i detta avsnitt härleda uttryck för den elastiska energin för några vanliga strukturformer och belastningsfall.

22.4.1 Elastisk energi vid dragning/tryck av rak stång En rak stång med längd L och tvärsnittsarea A(x) utsätts för motriktade dragkrafter, F, i vardera änden enligt figur 22.11. Normalspänningen i stången blir σ x (x) =

F . A( x )

Stångens totala energi erhålls genom summation av töjningsenergitätheterna över stångens hela volym, V, symboliskt tecknat som:

∫ ∆u dV

Utvärderingsexemplar U=

Med (22:17) och elementets volym dV = dy dz dx = da(x) dx erhålls: U=

σ 2x

∫ 2E

A( x ) L

dV =

σ 2x

∫ ∫ 2E

A( x ) L

da( x ) dx =

0 0

∫∫ 0 0

1  F    da( x ) dx 2E  A( x ) 

(22:26)

För specialfallet A(x) = A = konstant, blir σx = F/A och da(x) = da. Integralen kan då evalueras med resultat: AL

σ 2x

∫ ∫ 2E 0 0

da dx =

F2 2EA 2

∫ ∫

da dx =

F2 F 2L AL = 2EA 2EA

(22:27)

Man kan notera, att oavsett om kraften är en dragkraft eller en lika stor tryckkraft, så blir energin densamma och alltid > 0. Man kan därför inte av energiuttrycket avgöra, om stången belastas med tryck eller dragning och därmed inte heller om den förkortas eller förlängs. För att avgöra detta, måste man beakta om en drageller tryckkraft verkar på stången.

450

A(x)

Figur 22.11 Rak stång med variabelt tvärsnitt belastad med normalkraft i x-riktning.

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4%$

22. energimetoder

Vi kan även notera, att med kännedom om elastiska energin, kan stångens förskjutning i kraftriktningen, δ, bestämmas ur sambandet att yttre krafts arbete är detsamma som energin i hela stången. Den yttre kraften är F, vilket ger denna krafts arbete som Fδ F 2L FL =U= eller det välkända sambandet δ = . 2 2EA EA Om F är negativ, medför detta uttryck ett negativt värde på δ. Eftersom δ är förskjutningen i den angripande kraftens riktning, innebär ett negativt δ-värde en förskjutning i motsatt riktning mot kraften. En tryckkraft skulle då innebära en förlängning av stången, vilket är orimligt. Istället för likheten Fδ F 2L = 2 2EA måste vi, om F är < 0 skriva F( −δ ) F 2L FL = och δ = − . 2 2EA EA Då blir vid ett negativt värde på F, δ positiv, som sig bör svarande mot en förskjutning i kraftriktningen, d v s en förkortning av stången. Ett enkelt sätt att gå runt denna anomali är, att eftersom oavsett om enaxligt tryck eller enaxlig dragning råder, så gäller för förskjutningen i kraftriktningen att δ > 0. Vi väljer därför att istället skriva sambanden som: Fδ 2

Utvärderingsexemplar =

F 2L 2EA

(22:28)

respektive δ=

(22:29)

Energimetoder används med fördel för bestämning av förskjutningen av knutpunkter i fackverk. Med konventionell metodik bestäms förskjutningen av en viss knutpunkt, genom att samtliga knutpunkters förskjutningar från stöden fram till den intressanta knutpunkten måste beräknas. En arbetsinsats, som kan bli nog så tung. Vidstående figur visar ett exempel på ett enkelt plant fackverk, uppbyggt av liksidiga, rätvinkliga tri3 angelfält. Alla stänger har samma area, A, och elasticitetsmodul, E. Stödavståndet är L. Man är intresse1 4 rad av förskjutningen i den knutpunkt och i den riktning i vilken den yttre kraften F verkar. 5

7 F

451

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4%&

22. energimetoder

Lösning: Först bestäms stödkrafterna. För det vänstra stödet blir den nedåtriktad med storlek 2F. För det högra stödet blir den uppåtriktad med storlek 3F. Sedan bestäms samtliga stångkrafter, exempelvis med Cremonas kraftplan. Dessa visar sig bli: S1 = 2 2F, S2 = −2F, S3 = 2F, S4 = −2F, S5 = − 2F, S6 = −F, S7 = 2F, S8 = 0, S9 = −F Den sammanlagda energin i de nio stängerna utgörs enligt (22:27) av: 9

∑ i =1

S2i L i 1 = 2E i A i 2EA

∑S L

2 i i

i =1

(

)

F 2L F 2L [8 2 + 4 + 4 + 4 + 2 2 + 1 + 2 2 + 0 + 1] = 7 + 6 2 2EA EA

Den yttre kraftens, F, arbete är Fδ /2, där δ är den sökta förskjutningen (i kraftens F riktning). Likhet mellan elastisk energi och yttre krafters arbete ger:

(7 + 6 2 ) FEAL = F2 ; 2

(

δ = 14 + 12 2

FL . ) EA

Om man för samma knutpunkt önskar veta den horisontella förskjutningen, kan denna inte utan vidare bestämmas. Först måste en fiktiv, horisontell kraft, P, introduceras i knutpunkten, enligt figur. Stångkrafterna blir i detta fall:

Utvärderingsexemplar

S1 = 2 2F, S2 = −2F, S3 = 2F, S4 = −2F, S5 = − 2F, S6 = −F + P, S7 = 2F, S8 = 0, S9 = −F + P 3 1

4 5

P 6

Den elastiska energin blir 9

∑ i =1

S2i L i 1 = 2E i A i 2EA

∑S L

2 i i

i =1

( P − F )2 L F 2L [ 8 2 + 4 + 4 + 4 + 2 2 + 2 2 + 0] + (1 + 1) = = 2EA 2EA F 2 L (P − F )2 L = 6 1+ 2 + EA EA

(

452

)

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4%"

22. energimetoder

Vi tillämpar Castiglianos sats, ekvation (22:12), och får förskjutningen i F-riktningen: uF =

∂W ∂F

∂U ∂F

(

= 12 1 + 2

FL 2(P − F)L − ) EA EA

som för P = 0 ger:

(

u F = 12 1 + 2

FL 2FL FL + = (14 + 12 2 ) ) EA EA EA

Resultatet stämmer helt överens med det tidigare i exemplet beräknade uttrycket för δ. Vidare får vi med Castiglianos sats förskjutningen i P-riktningen: uP =

∂W ∂P

∂U ∂P

2(P − F)L EA

som för P = 0 ger u P = −

2FL . EA

Minustecknet innebär, eftersom P var positiv åt höger i figuren, att knutpunkten förskjuts åt vänster. Den horisontella förskjutningen kan enkelt verifieras. Mellan det fasta stödet och den kraftangripna knutpunkten löper två horisontella stänger, 6 och 9, med en sammanlagd längd av 2L. Kraften i båda stängerna är enligt föregående –F för P = 0. Förlängningen av en stång med längd 2L och dragkraft –F, är enligt elementär teori:

Utvärderingsexemplar

( −F)2L 2FL =− . EA EA

Resultatet är detsamma som uttrycket för uP.

22.4.2 Elastisk energi vid vridning av rät, cirkulärcylindrisk (hål-)axel En rät cirkulärcylindrisk hålaxel med ytterdiameter D och innerdiameter d utsätts för lika stora, motriktade vridande kraftpar, Mv, på ett inbördes avstånd av L. Materialet antas linjärt elastiskt med skjuvmodul G. Momentet ger en skjuvspänning, τv i axeln, som enligt (10:14) varierar med radien enligt: τ(r ) = G ⋅ r

Mv M = vr G⋅K K

där K är tvärsnittsfaktorn, som enligt (10:12) är K=

π( D 4 − d 4 )

för en hålaxel. 453

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4%4

22. energimetoder

Töjningsenergitätheten i ett infinitesimalt tunt, cirkelringformat element med radie r, tecknas enligt någon av ekvationerna (22:22) till (22:24) som: ∆u˜ (r ) =

∆U ∆V

τγ

1  Mv  2 Gγ 2 τ 2 = =   r 2 2G 2G  K 

(22:30)

Den i hålaxeln totalt lagrade energin blir: ˜ = U

∫ ∆u˜(r)dV v

där V är stångens volym mellan kraftparens angreppspunkter och som med (22:30) ger: 2

˜ = 1  M v  r 2 dV = 1  M v  U     2G  K  2G  K  v

∫

1  Mv 

D 22 L

∫ ∫ r dA dx = 2G  K  ∫ ∫ r 2πr dr dx 2

2 ˜ = Mv L U 2GK

d 0 2

(22:31)

Resultatet gäller också för en massiv, cirkulärcylindrisk axel, om d sätts till noll och tvärsnittsfaktorn sätts till K = πD4 /32.

Utvärderingsexemplar ΦD

L 2

Som ett exempel väljs en cirkulärcylindrisk, i ena änden fast inspänd axel enligt figur. Axelns längd är L och dess diameter D. Axeln är till sin halva längd urborrad med ett centriskt hål med diameter d = D/2. Den fria änden utsätts för ett vridande kraftpar, M. Hur stor förvridning uppkommer vid övergångssnittet mellan massiv och trepanerad axeldel?

Eftersom inget kraftpar angriper vid mittsnittet, måste ett sådant införas som figuren nedan utvisar. Tvärsnittsfaktorn för vänstra respektive högra axeldelen införs, enligt: Kv =

πD4

, Kh =

π(D4 − d 4 )

15πD4 . 512

Den sammanlagda energin i axeln ges av (22:31) och blir: ˜ = U

454

( M + M)2 2GK v

L L M2 2 2 2 + 2 = ( M + M) L + M L 2GK h 4GK v 4GK h

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4%%

22. energimetoder

Förvridningen av mittsnittet bestäms med Castiglianos sats till ˜ 2( M + M)L ∂U = , Θ mitt = 4GK v ∂M som för M = 0 antar formen Θ mitt =

ML 16ML = 2GK v πGD4

I detta fall nås ett resultat enklare genom att enbart behandla den vänstra axeldelen och tillämpa (10:13) på denna. Vi får då samma uttryck, nämligen L 2 = ML = GK v 2GK v M

Θ mitt

M M

M+ M L 2

L 2

Utvärderingsexemplar

22.4.3 Elastisk energi vid vridning av tunnväggig, sluten profil För en tunnväggig, sluten profilsektion, kan vi hämta energin från (10:8) som: U=

Γ 2L 2G

∫ s

ds  M  L =  t( s )  2 A 0  2G

∫ t(s) s

och med K=

4 A 02 ds t( s )

∫ s

enligt (10:10): U=

M2 L 2GK

(22:32)

455

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4%5

22. energimetoder

22.4.4 Elastisk energi i rak balk p g a böjande moment Om en rak balk eller ett rakt balkavsnitt med längd L enbart utsätts för ett böjande moment, M, uppstår endast böjspänningar i balken. Dessa kan enligt (14:13) skrivas som σx =

M y Iz

där Iz är yttröghetsmomentet med avseende på böjaxeln, och y är en koordinat, vars nollvärde sammanfaller med neutrallagret. Med ekvation (22:17) ger detta oss: ∆u˜ =

σ 2x

1  M 2 =   y 2E 2E  I x 

och om M varierar med längdkoordinaten x, för balken:

∫

∆u˜ dV =

1 [ M( x )]2 2 y dV, 2E I z2

∫

som med volymelementet dV = dA dx ger: L

Utvärderingsexemplar 1 2E

∫∫

[ M( x )]2 I z2

y 2 dA dx

Med yttröghetsmomentet Iz =

∫y

2 dA

och om sektionsarean, A, och yttröghetsmomentet, Iz, inte varierar med x, blir: 1 U= 2E

∫∫ A0

[ M( x )]2 I z2

y 2 dA dx

1 = 2EI z

∫ [M(x)] dx 2

(22:33)

För en rak balk belastad med koncentrerade krafter, varierar böjmomentet linjärt ~ med x. Ett sådant balkavsnitt med längd L och beläget mellan två koncentrerade krafter visas i figur 22.12. En tillhörande graf över böjmomentets variation visas ~ L

x M1

M2 M

456

Figur 22.12 Balkavsnitt med linjärt varierande böjmoment.

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4%'

22. energimetoder

likaså. Krafterna i avsnittets ändpunkter kan utgöras av yttre laster eller stödreaktioner. Det böjande momentet i ett snitt, x, kan tecknas som: M( x ) = M1 +

M2 − M1 x L˜

där M1 och M2 är snittmomenten i balkavsnittets respektive ände. Ekvation (22:23) medför: L

1 U= 2EI z

∫ 0

1 [ M( x )]2 dx = 2EI z

L˜

∫ 0

 M2 − M1  x  dx = M1 + L˜   L˜

3  L˜  M + M2 − M1 x  = =  1   6EI z ( M2 − M1 )   L˜  0

[

L˜ M3 − M13 6EI z ( M2 − M1 ) 2

[

]

L˜ M2 + M1M2 + M22 6EI z 1

]

(22:34)

Utvärderingsexemplar

Eftersom den mellersta termen varken är kvadratisk i M1 eller M2, måste man följa teckenkonventionerna noggrant. Enligt dessa är snittmoment som är riktade enligt figur 22.12 positiva storheter. MA

ΘA

ΘB

Vi tillämpar detta specialfall för det frekvent förekommande elementarfallet enligt figur på en fritt upplagd balk med längd L. Ekvation (22:34) ger: U=

(

)

L M2A + M A MB + MB2 . 6EI z

Vinkeländringarna i stödpunkterna erhålls ur Castiglianos sats: ΘA =

ΘB =

∂U ∂M A ∂U ∂MB

L M L M L (2 M A + M B ) = A + B 6EI z 3EI z 6EI z

L M L M L ( M A + 2 MB ) = B + A 6EI z 3EI z 6EI z

457

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4%6

22. energimetoder

22.4.5 Elastisk energi i rak balk p g a tvärkraft vid böjning Som framgår av kapitel 14, uppstår vid balkböjning och under närvaro av en tvärkraft, T, en skjuvspänning som enligt (14:31) uppgår till: τ yx , medel = τ xy , medel = τ =

TSz ( y ) I z b( y )

där Sz(y) är det statiska momentet med avseende på z-axeln av en yta mellan ykoordinaten och sektionens ytterkontur och b(y) är sektionens bredd vid samma y-värde. Iz är som vanligt hela sektionens yttröghetsmoment med avseende på zaxeln och med origo liggande i geometricentrum. Enligt ekvation (22:22) resulterar skjuvspänningen i töjningsenergitätheten ∆u˜ =

τ2

I ett balkavsnitt med konstant yttröghetsmoment och tvärkraft och med area A, ~ volym V och längd L blir energin: τ2

∫ ∆u˜ dV = ∫ 2G dV = 2G ∫

L˜

T 2[Sz ( y )]2

I 2[ b( y )]2 v z

dV =

[Sz ( y )]2

∫ [b(y )]

2GI z2 v

dV =

Utvärderingsexemplar =

[Sz ( y )]2

∫ ∫ [b(y )]

2GI z2 A0

dA dx =

T 2L˜

2GI z2

[Sz ( y )]2

∫ [b(y )]

Genom att introducera en dimensionslös faktor, β, enligt: β=

A I 2z

[Sz ( y )]2

∫ [b(y )]

kan vi skriva: T 2L˜ U =β 2GA

(22:35)

(22:36)

För t ex en rektangulär sektion blir β = 6/5, se övningsexempel 22/4. I de flesta balkböjningsproblem kan tvärkrafternas bidrag till energin försummas i jämförelse med böjmomentens. Som stöd för detta påstående studeras en fritt upplagd balk med längd L, area A och yttröghetsmomentet Iz. Sektionen antas rektangulär med höjd h och bredd b och balken belastas med en koncentrerad kraft, F, på mitten. Balken delas på mitten i två likvärdiga halvor. För den vänstra balkhalvan är tvärkraften T = F/2 och för den högra T = –F/2. Det böjande momentet är M=

458

F L FL = 22 4

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%"((1203(4%#

22. energimetoder

vid balkmitten och noll vid stödpunkterna för båda halvorna. Ekvation (22:34) ger energin p g a böjande moment för hela balken (två balkhalvor med längd L/2): L 2  FL  F 2L3 F 2L3 F 2L3 2 =2 = =   = 6EI z  4  96EI z 8Ebh 3 8EAh 2

Energin för hela balken (två balkhalvor med längd L/2) p g a tvärkraften ges av (22:36) med β = 6/5: 2

 F L  ±  L(1 + ν) 6  2 3(1 + ν) F 2L 2 = U T = 2β = 2GA 5 10 EA EA T2

som medför att:  h U T 3(1 + ν)F 2L 8EAh 2 12 = = (1 + ν)  2 3 10EA 5 UM  L F L

 h h För att en struktur skall betraktas som en balk krävs att << 1,   << 1 L  L U och därmed uppfylls påståendet att T << 1. UM

Utvärderingsexemplar

22.5 Lösta exempel

F A

L 2

! 22/1

En rak balk med längd L är fast inspänd i ena änden och fritt upplagd i den andra. Balken belastas med en koncentrerad kraft, F, på mitten enligt figur. Bestäm utböjningen vid kraften, om balkmaterialet är linjärt elastiskt med elasticitetsmodul E och yttröghetsmoment I. Inverkan av tvärkraft kan försummas. Lösning: Problemet innebär tre obekanta stödstorheter. Inspänningsmomentet MA, och de vertikala stödkrafterna vid A och B. Men endast två meningsfyllda jämviktsekvationer för balken kan ställas upp. Problemet är alltså enfaldigt hyperstatiskt eller med ett bättre ord enkelt hyperstatiskt. En av stödstorheterna måste då elimineras och istället ersättas med en yttre kraft alternativt ett yttre kraftpar. Generellt måste lika många yttre stödstorheter ersättas, som graden av statisk obestämbarhet. 459

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(45,

22. energimetoder F

F MA A

Vi väljer att betrakta MA som ett yttre kraftpar. Systemet är därmed överfört till en i båda ändar fritt upplagd balk, belastad med ett kraftpar och en kraft enligt figur. Stödkrafterna A och B bestäms ur jämvikten till A=

F MA F M − , B= + A 2 L 2 L

Vid beräkning av balkens energi anses inverkan av tvärkraft försumbar. Balken delas på mitten. På den vänstra halvan verkar ändmomenten MA respektive MA +

AL FL M A M A FL = MA + − = + 2 4 2 2 4

På den högra halvan verkar ändmomenten

M A FL + respektive 0. 2 4

Balkens totala energi ges därmed av (22:34) som: L L 2 2       M A FL  M FL M FL 2 2 2 A A   U= M + MA  +  + +  + +  =  6EI  A 4  2 4   6EI  2 4  2   2   M A FL   M A FL   L  2 = M + MA  +  + 2 +  12EI  A 4 4   2  2  

Utvärderingsexemplar Inspänningsmomentet bestäms av att balken skall vara horisontell vid inspänningen. Castiglianos sats medför: 0=

∂U ∂M A

4M A +

M L  FL FL  1  + 4 A +   2M A + M A + 12EI  4 4  2   2

3FL = 0; 4

MA = −

eller hyfsat:

3FL 16

Castiglianos sats ger utböjningen, δ, vid kraften F till: M L  MAL FL  L  L 3 1 2 + 4 A +   =   M A L + FL  = 4  4  12 EI  4 4 ∂F 12 EI  4  2  2 2 3  L L  9 7 FL (3M A + FL ) = =  − FL + FL = 48EI 48EI  16  768 EI

δ=

∂U

Resultaten kan lätt verifieras med vinkeländringsmetoden. 460

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(45$

22. energimetoder

! 22/2

En konsolbalk med längd L och belastas med en jämt fördelad last. Den totala lasten är Q = qL Bestäm utböjningen i den fria änden, om balkmaterialet är linjärt elastiskt med elasticitetsmodul E och yttröghetsmoment I. Inverkan av tvärkraft kan försummas.

Lösning: Här föreligger visserligen ett statiskt bestämt problem. Men i gengäld finns ingen yttre kraft i den punkt som utböjningen efterfrågas. Vi sätter därför till en kraft, F, i den fria änden enligt figur. Eftersom det finns en utbredd last, varierar inte det böjande momentet linjärt. Därmed kan inte ekvation (22:34) utnyttjas. Istället får vi använda (22:33). Men innan dess behövs ett uttryck för böjmomentets variation med balkens längdkoordinat, x. Origo förläggs till den fria balkänden med positiv riktning åt vänster. För ett snitt med positiv snittyta enligt figur, ger momentjämvikten:

x F M(x) T(x)

Utvärderingsexemplar

M( x ) + qx

x + Fx = 0 ; 2

M( x ) = −Fx −

qx 2 . 2

Vi får då: L

1 1  qx 2  [ M( x )]2 dx = −Fx − dx =  2EI 2EI  2 

∫ 0

q2 4  1  2 2 = F x + Fqx 3 + x  dx =  2EI  4 

∫ 0

1  F 2 x 3 Fqx 4 q 2 x 5  = + +   = 2EI  3 4 20  0 =

1 (20F 2L3 + 15FqL4 + 3q 2L5 ) 120EI

Den fria ändens utböjning ges av Castigliano sats:  ∂U  1 QL3 15qL4 = =  8EI  ∂F  F =0 120EI

δ=

461

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(45&

22. energimetoder

! 22/3

En horisontell konsolbalk med längd L belastas med en koncentrerad kraft, F, i änden. Man önskar halvera utböjningen i den fria änden genom att komplettera balken med en vertikal dragstång med längd L i änden enligt figur. Balkoch stångmaterialet är linjärt elastiskt med elasticitetsmodul E. Yttröghetsmomentet för balken är I. Hur stor skall stångens area, A, väljas? Inverkan av tvärkraft kan försummas.

L, E, A L, E, I

L, E, I

Lösning: Två meningsfyllda jämviktsekvationer kan ställas upp. Tre obekanta stödstorheter förekommer: Inspänningsmoment MA = –(F – B)L, stödkrafter, A och B. Problemet är enkelt hyperstatiskt. För att lösa uppgiften ersätts det rullagrade stödet med en yttre kraft, P. Balken friläggs från stången som figuren visar. Stången belastas med den axiella dragkraften P, och konsolbalken med kraften F – P nedåt i den frilagda änden. Den sammanlagda energin för balk och stång blir:

B=P

Utvärderingsexemplar U=

L P 2L L3 P 2L M2A + = (F − P )2 + . 6EI 2EA 6EI 2EA

För hela strukturen (balk plus stång) skall den vertikala förskjutningen vid det rullagrade stödet vara noll, vilket med Castiglianos sats ger: 0 = δB =

∂U ∂P

L3 PL FAL2 (F − P ) + , som medför att P = . EA 3EI 3I + AL2

Insatt i uttrycket för inre energi: 2

2 L  FAL2  F 2L3  3I  FAL2  L3  = + − U= F   +    6EI  6EI  3I + AL2  3I + AL2  2EA  3I + AL2  2

F 2L  AL2  F 2L3 F 2L3 = + (9I + 3 AL2 ) =   2EA  3I + AL2  6E(3I + AL2 )2 2E(3I + AL2 ) 462

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(45"

22. energimetoder

Strukturens nedböjning vid kraften F fås med Castiglianos sats: δ=

∂U ∂F

FL3 E(3I + AL2 )

Nedböjningen utan stång skall vara 2δ och erhålls genom att sätta stångarean A = 0, och blir därmed: 3I FL3 2FL3 ⇒A= . = 2δ = 2 3EI E(3I + AL ) L2

22.6 Övningsexempel Flertalet övningsexempel kan lösas med alternativa angreppssätt, t ex med vinkeländringsmetoden. För att få rutin på användning av energimetoder, förutsätts givetvis exemplen angripas med dessa. I samtliga exempel förutsätts materialet linjärt elastiskt med elasticitetsmodul E, Poissons konstant ν och skjuvmodul G=

Utvärderingsexemplar E 2(1 + ν)

Inverkan av tvärkraft på energin anses försumbar.

! ! 22/4

Visa att faktorn β enligt ekvation (22:35) blir 6/5 för en rektangulär balksektion.

22/5

En rak stång med längd 2L och diameter d bockas på mitten i rät vinkel och belastas enligt figur med en kraft F. Hur stor förskjutning uppkommer vid kraften?

! 22/6

En fast inspänd ram enligt figur belastas med en vertikal kraft, F, i sin fria ände. De båda ramavsnitten har samma längd, L, och yttröghetsmoment, I. Hur stor vertikal respektive horisontell förskjutning får den fria änden? Normalkraftens inverkan på energin anses försumbar. Det rätvinkliga hörnet anses helt böjstelt.

L, E, I L, E, I

463

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(454

22. energimetoder

! 22/7

En sluten ram har formen av en liksidig triangel med sidlängd L. Ramen är tillverkad av kvadratiska fyrkantrör med yttröghetsmoment I. Vid ramens ena hörn fräses en genomgående, smal slits upp, så att ramen blir öppen. Ramändarna vid slitsen belastas med motriktade, vidgande krafter, F, verkande i ramens plan och parallella med den motstående triangelsidan. Normalkraftens inverkan på energin anses försumbar. Hörnen anses helt böjstela. Hur stort blir gapet mellan ramändarna?

F L

! 22/8

En sluten ram har formen av en liksidig triangel med sidlängd L. Ramen är tillverkad av massiv rundstång med diameter d. Vid ramens ena hörn fräses en genomgående, smal slits upp, så att ramen blir öppen. Ramändarna vid slitsen belastas med motriktade krafter, F, verkande vinkelrätt mot ramens plan. Normalkraftens inverkan på energin anses försumbar. Hörnen anses helt böjstela. Hur stort blir gapet mellan ramändarna?

F L

! Utvärderingsexemplar 22/9

L, A F L, A

Ett plant, enkelt fackverk enligt figur består av stänger med lika stor tvärsnittsarea, A. Stängerna bildar en rätvinklig, likbent triangel med sidor L, L och 2 L. Hur stor blir utböjningen i kraftens F angreppspunkt och riktning?

! 22/10

En överkragande, horisontell balk enligt figur belastas på mitten med en nedåtriktad kraft, F. En likadan kraft verkar i vardera balkänden. Balkens sektion är konstant och balklängden är L. Stöden är belägna på avståndet a från respektive balkände. Hur stort skall förhållandet a/L väljas, för att nedböjningen skall bli densamma vid balkens mitt som vid dess ändar? F

464

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(45%

22. energimetoder

! 22/11

En plan, kvadratisk ram belastas med krafter, F, i motstående hörn enligt figur. Samtliga fyra ramdelar har längd L, tvärsnittsarea A och yttröghetsmoment I. Hörnen kan betraktas som böjstela. Hur mycket kommer diagonalavståndet mellan de kraftangripna hörnen att öka vid belastning?

L, I, A

! 22/12

En rak balk bärs upp av tre stöd enligt figur. Belastningen Q är jämt fördelad längs hela balklängden L. Bestäm stödreaktionernas storlek, om balkens yttröghetsmoment är I.

L 2

! 22/13

En plan, öppen ram enligt figur skall i de fria ändarna förenas ledat med en stång med längd 2L. Dessvärre har dragstången blivit feltillverkad, och fått längden 2L – ∆, 0 < ∆ << L. Stången har tvärsnittsarean A1 och ramdelarnas tvärsnittsarea är A2. Ramdelarnas tröghetsmoment är I. Vid monteringen utsätts därför stången för en yttre axiell dragkraft av sådan storlek, att stången precis passar till den obelastade ramens ändar. Ramens hörn anses böjstela. Hur stor blir dragkraften i stången efter montering sedan den yttre dragkraften upphört?

2L− ∆ L

Utvärderingsexemplar

! 22/14

Fyra likadana stänger vardera med area A och längd L förenas med leder i ändarna till ett länkverk. Den ena leden ansluts till ett fixt stöd, H. När länkverket deformeras till kvadratisk form, upphör rörelsemöjligheten, genom att två motstående hörnpunkter når ut till varsitt rullstöd, C och D enligt figur. I detta läge kan en kraft, F, angripa i den led, B, som är belägen mitt emot det fixa stödet. Hur mycket förskjuts leden B under inverkan av kraften?

465

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(455

22. energimetoder

! 22/15

x L

En i ändarna fritt upplagd rak balk med längd L utsätts för ett kraftpar, M0, vid ena stödet enligt figur. Yttröghetsmomentet för balken är I. Bestäm med hjälp av Castiglianos sats utböjningen w(x), i ett snitt på avståndet x från det andra stödet.

! 22/16

En ram enligt figur med lika långa delar, L, belastas med en kraft, F. Yttröghetsmomentet för ramsektionerna är I. Hur stor blir förskjutningen av kraftangreppspunkten? Normalkraftens inverkan på energin anses försumbar och hörnet anses helt böjstelt.

L, E, I L, E, I

22/17

Tre raka stänger med längder L, L och 2L förenas med leder och arrangeras enligt figur. Stängernas tvärsnittsarea är A och deras yttröghetsmoment är I. I den fria änden av den längre stången angriper en kraft, F. Hur stor blir fjädringen i kraftriktningen?

L, A, I 2L, A, I

L, A, I

Utvärderingsexemplar

! 22/18

Ett enkelt, plant fackverk är uppbyggt av två rätvinkliga, likbenta trianglar enligt figur. Hypotenusan i trianglarna har längden L. Stängerna har samma tvärsnittsarea, A. Belastningen utgörs av en vertikal kraft, F. Hur stor blir den horisontella förskjutningen av kraftangreppspunkten?

22/19

σy

x 2a

466

σx

En tunn, rektangulär skiva är på ränderna x = ± a belastad med en konstant spänning, σx och på ränderna y = ± b belastad med en konstant spänning, σy. Bestäm med utgångspunkt från ekvation (22:25) skivans förlängning i x-riktningen med hjälp av Castiglianos sats.

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(45'

22. energimetoder

! 22/20

Ett tunnväggigt, cirkulärcylindriskt tryckkärl belastas med ett inre övertryck av 1,50 MPa. Godstjockleken i manteln är 2,5 mm och kärldiametern är 400 mm. Kärlet är tillverkat i stål med elasticitetsmodul 208 GPa och Poissons konstant 0,30. Manteln längd är 1 200 mm. Hur mycket förlängs kärlet vid trycksättning? Gavlarnas deformation försummas. Ledning. Belasta gavlarna med ett tryck q och mantelplåten med trycket p = 1,50 MPa. Sedan axiella förskjutningen bestämts som funktion av p och q, sätts q = p.

p=1,50 MPa Φ 400

1 200

! 22/21

En rundstång med 35 mm diameter och 3 750 mm längd bockas till en rätvinklig, plan ram enligt figur. Ramen, som är fast inspänd, belastas med två lika stora, motriktade kraftpar om vardera 500 Nm. Materialet är stål med elasticitetsmodul 208 GPa och Poissons konstant 0,30. Hur stor blir förvridningen av den mittre ramdelen?

L L

!Utvärderingsexemplar 22/22

Ett plant fackverk är uppbyggt enligt figur. Ramstängernas längd är L och fälten utgörs av rätvinkliga, likbenta trianglar. Samtliga stänger har samma tvärsnittsarea, A. I obelastat tillstånd kapas stången A–B. P g a egenspänningar i strukturen vidgas härvid avståndet mellan dessa knutpunkter med ∆ << L. Hur stor var egenspänningen i stången C–D, innan stången A–B kapades?

L C

! 22/23

En plan ram med böjstela, rätvinkliga hörn hängs upp och belastas med en kraft, F, enligt figur. Vardera delen i ramen har längden L och böjstyvheten EI. a) Hur stor blir stödreaktionen vid rullstödet? b) Hur stor blir förskjutningen av rullstödet? Endast inverkan av böjande moment på energin behöver beaktas.

F L

L L

467

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(456

22. energimetoder

! 22/24

L M

En plan ram med böjstela, rätvinkliga hörn hängs upp och belastas med två lika stora kraftpar, M, enligt figur. Vardera delen i ramen har längden L. Ramdelarna utgörs av rundstång med diameter d. Poissons konstant är ν. Hur stora blir inspänningsmomenten? Endast inverkan av böjande och vridande moment på energin behöver beaktas.

L L

! 22/25

Ett draget stag i ett fackverk måste p g a rördragning utformas enligt figur. Hur många procent större måste arean i det visade stångsystemet väljas, för att det skall vara strukturmässigt ekvivalent med en rak stång med area A och längd 3L? I den i figuren visade strukturen förutsätts samtliga stänger ha lika stora tvärsnittsytor.

Utvärderingsexemplar ! Svar till övningsexempel

22/5:

 2 1  64(5 + 3 ν) FL3 + FL3  = 3π  3EI GK  Ed 4

22/6:

Nedåt:

22/7: 22/8:

4 FL3 1 FL3 , åt höger: 3 EI 2 EI

5 FL3 4 EI 48(2 + ν) FL3 π

Ed 4 FL 22/9: 2 1 + 2 EA

(

)

 a  L

22/10 : Ges av ekvationen: 12   − 9   + 1 = 0 som har en rot

1 FL3  1 12   +  24 E  I AL2  5Q 3Q , ytterstöd: 22/12: Mittstödet: 8 16 22/11:

468

a ≈ 0,113 L

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(45#

22. energimetoder

1 E∆ 2 L   1 1 4L 2 + +   A1 A 2 3 I  2FL 22/14: EA M L2  x x 3  22/15: w( x ) = 0  − 6EI  L L3  22/13: F =

22/16 : 22/17 : 22/18: 22/19: 22/20 :

7 FL3 48 EI FL3  2 5   + 2 E  3I AL  7 FL 4 EA 2a ( σ x − νσ y ) E 1 − 2 ν p dL 1 − 2 ⋅ 0, 30 1, 5 ⋅106 0, 400 ⋅1, 200 ∆= = ≈ 4 E t 4 208 ⋅109 2, 5 ⋅10 −3 ≈ 138 ⋅10 −6 m = 0,138 mm

Utvärderingsexemplar

22/21: 0, 84°

2 −1 ∆ E 4 L 3 11 FL3 22/23: a) F vertikalt uppåt, b) 4 12 EI M 22/24 : 7 + 6ν 22/22:

22/25: 47 %

469

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(4',

23 Utmattning (fatigue, Ermüdung) Om en struktur utsätts för laster, vars storlek varierar, kan brott så småningom inträffa, trots att den maximalt uppträdande spänningen ligger markant under såväl brottgräns som sträckgräns för materialet. Företeelsen kallas utmattning. Man brukar grovt räkna med, att utmattning är orsak till cirka 80% av alla haverier p g a brott i strukturdelar.

Utvärderingsexemplar

Variationen av spänning kan vara regelbunden (periodisk) eller oregelbunden (aperiodisk), deterministisk (förutsägbar) eller stokastisk (slumpmässig). Till kategorin periodisk variation kan även räknas intermittent upprepade, likadana transientförlopp. För deterministiska förlopp används algebra och statistik som analysverktyg. Stokastiska förlopp som är stationära och ergodiska angrips med teorier för stokastiska processer. Om förlopp varken är stationära eller ergodiska, kan livslängden inte prognoseras. Eftersom stokastiska processer sällan är förkunskapskrav för kurser i hållfasthetslära, kommer den fortsatta behandlingen att koncentreras till deterministiska förlopp. Risk för utmattning kan grovt sett anses råda, om materialet utsätts för cykliskt varierande last, som medför att dragspänningen överskrider sträckgränsen och om antalet lastcykler, N > 103. Eller om dragspänningen understiger sträckgränsen och om antalet lastcykler, N > 104. Men utmattning kan även uppträda för lägre antal lastcykler, om strukturen förses konstruktiva spänningskoncentrationer som hålkälar, spår, hål. Vid periodisk belastning kan antalet lastcykler till brott anses vara oberoende av såväl frekvens som cykelform, men påverkas av den största och minsta spänningen, σmax respektive σmin, samt av mittspänningen, σm =

470

σ max + σ min

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(4'$

23. utmattning (fatigue, ermüdung)

Utmattningsprov utförs vanligen på polerade provstavar med 10 mm diameter framställda ur ett ämne med 20 mm diameter. Vid provet utsätts provstavar vanligtvis för en periodisk, växlande belastning (i bemärkelsen att mittspänningen är noll), och antalet lastcykler till brott registreras. Om spänningsamplituden ligger under ett visst värde, uppkommer för en del material inget brott oavsett antal lastcykler. Detta amplitudvärde utgör materialets utmattningsgräns, σu. De flesta konstruktionsstål har en utmattningsgräns. Material som saknar utmattningsgräns är vissa härdade stål och aluminiumlegeringar. Material som i normal omgivningsmiljö har en utmattningsgräns kan sakna sådan i korrosiv miljö. Oavsett amplitudens storlek kommer förr eller senare ett utmattningsbrott att inträffa. Antal lastväxlingar till brott varierar stort mellan olika objekt. Om ena benet på ett vanligt ståltrådsgem böjs i 45° vinkel och sedan tillbaks till ursprungsformen, sker brott troligen vid mindre än tio lastväxlingar (perioder). Man talar i sådant fall om lågcykelutmattning eller töjningsutmattning. Axeln till en slussport behöver kanske dimensioneras för att tåla 105 lastväxlingar utan brott. Medan lintrummeaxeln till en travers bör ha obegränsad livslängd. Begreppet töjningsutmattning kommer sig av, att det är brukligt att använda töjning som mått på materialansträngningen vid korta livslängder.

Utvärderingsexemplar

Vid långa livslängder är spänningar ett bättre mått på ansträngningen. Termerna högcykelutmattning eller spänningsutmattning brukar användas, när antal lastväxlingar till brott överstiger 104. Namnet spänningsutmattning är kopplat till att man brukar använda spänning som mått på materialansträngningen vid långa livslängder. Gränsen 104 är dock inte strikt. Begreppet livslängd skall inte heller tolkas bokstavligt, d v s avhängigt av tiden. Med livslängd avses snarare antalet lastväxlingar. Endast spänningsutmattning kommer fortsättningsvis att behandlas. Antal lastväxlingar till brott påverkas av många faktorer: • • • • • • • • •

ämnets storlek (teknologiskt storleksberoende) komponentens dimensioner (geometriskt storleksberoende) ytbeskaffenhet (valshud, smideshud, bearbetningsspår) spänningskoncentrationer (spår, hålkälar, hål, abrupta areaförändringar) klimatisk miljö, främst korrosion ytbeläggning (förkromning, förnickling, varmgalvanisering) ytbehandling (kulblästring, tryckpolering, ythärdning) belastningsmod (dragning, tryck, böjning, vridning) mittspänningens värde vid givet värde på spänningsamplituden

Som ytterligare lök på laxen är data från utmattningsprov behäftade med stor spridning jämfört med data från statiska prov.

471

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(4'&

23. utmattning (fatigue, ermüdung)

Utmattningssprickor initieras vanligen från fria ytor på komponenter. Det kan förklaras med, att kristaller intill fria ytor saknar allsidigt understöd från omgivande kristaller. En mikrospricka uppkommer och ett sprödbrott börjar fortplantas i materialet. Utmattningsbrott visar vanligen ett karaktäristiskt utseende. Ett vågmönster bildas med utgångspunkt från sprickintieringspunkten. Mönstret, som påminner om ett musselskal, upphör någonstans i brottytan. Restytan uppstår, när den kvarvarande ytan inte längre förmår att statiskt tåla den maximala spänningen. Då sker ett restbrott. De tidigast kända insatserna inom området utmattning gjordes 1828 och tillskrivs tysken W A J Albert. Hans arbete rörde sig kring prov av hisskedjor under cyklisk last. Själva namnet ”utmattning” myntades av fransmannen J V Ponclet, 1839. Under perioden 1850 till 1900 företogs studier och prov i flera länder på bl a diligens- och järnvägshjulaxlar, transmissionsaxlar, kugghjul, balkar och broelement. August Wöhler (1819 –1914) försökte på grundval av prov med axlar till järnvägshjul utveckla en dimensioneringsmetod för utmattningsbelastat stål vid böjning, dragning och vridning. Wöhler var den förste att påvisa, att utmattningsbrott inte bara påverkas av spänningsamplituden utan även av mittspänningen. D v s av den statiska delen av en tidsvariabel belastning. Wöhler konstruerade också den första utmattningsmaskinen för roterande böjning. Han anses allmänt som pionjären inom området utmattning. Hans namn är intimt förknippat med de diagram som visar tillåten storlek på någon relevant spänning som funktion av antal lastväxlingar till brott – Wöhlerdiagrammet, se kapitel 5. Alternativa namn är S-N-diagram (Stress-Number) och S-N-P-diagram (Stress-Number-Probability).

Utvärderingsexemplar

S-N-P-diagrammen illustrerar Wöhlerkurvor med brottsannolikhet som parameter. S-N diagrammen visar Wöhlerkurvan för en viss brottsannolikhet, vanligen 50%. Men det finns skäl att se upp. Ibland avser S-N-diagrammet 5% eller 10% eller någon annan angiven brottsannolikhet. Om inget annat sägs om ett Wöhlerdiagram, är det underförstått, att mittspänningen, σm =

σ max + σ min ,

är noll. Ibland upptar Wöhlerdiagram flera Wöhlerkurvor, avseende olika mittspänningar. Tysken W Gerber presenterade 1874 för första gången diagram över gränsspänningar vid oändlig livslängd. Diagrammet visar en sluten kurva, som innesluter ett säkert område för spänningar. Med min- och maxspänning som variabler fann

472

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(4'"

23. utmattning (fatigue, ermüdung) σr σB σmax

R = −1

1,0 R = ±∞

σB − σB σB

R=0

σmin − 1,0

− 0,5 R=1

− σB Figur 23.1 Gerbers diagram (ursprungligt utförande).

1,0

0,5

σm σB

Figur 23.2 Gerbers diagram (modifierat utförande).

σmax

Gerber, att det säkra området utgjordes av ytan mellan en parabelformad kurva och bisektrisen till koordinataxlarna i första och tredje kvadranten med begränsningar, – σB ≤ σmin ≤ σB , – σB ≤ σmax ≤ σB , där σB är materialets brottgräns.

σB σB 2

Utvärderingsexemplar

Ett sådant diagram visas i figur 23.1. Diagrammet modifierades senare till att visa spänningsvidden, σr = σmax – σmin, som funktion av mittspänningen. Ett sådant diagram visas i figur 23.2. Axelvariablerna har gjorts enhetslösa genom division av respektive variabel med brottgränsen. Parametern R kallas spänningsförhållande och definieras som R = σmin/ σmax . J Goodman (Storbritannien) presenterade 1899 motsvarande diagram, men med genomgående rätlinjiga samband mellan σmax och σmin. Diagrammets utsträckning var begränsat till σm ≥ 0 och med hypotesen att σmax = σB /2 när σmin = 0. Ett Goodman-diagram visas i figur 23.3. Diagrammet modifierades senare till att istället framställa σmax och σmin som linjära funktioner av σm. I allmänhet vill man inte, att materialet skall flyta. Därför läggs ofta begränsningen σmax ≤ σS , där σS betecknar sträckgränsen, in i grafen. Ett modifierat Goodmandiagram visas i figur 23.4.

σB

σmin

Figur 23.3 Goodman-diagram (ursprungligt utförande).

σmax σmin σB σS σu

σm σS

σB

− σu Figur 23.4 Goodman-diagram (modifierat utförande).

473

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(4'4

23. utmattning (fatigue, ermüdung)

Om Goodman-diagrammet utvidgas till att även omfatta negativ mittspänning och dessutom avgränsas till σmin ≥ – σS blir diagrammet slutet och ter sig som figur 23.5 visar. Av Gerbers modifierade diagram framgår, att spänningsvidden är densamma för en positiv och en negativ mittspänning, om bara beloppen av dessa är lika stora. Transformerat till Goodman-diagrammet innebär detta, att gränslinjerna för positiva värden på σm skall vara identiska med gränslinjerna för negativa värden på σm, fast med σmax utbytt mot σmin och vice versa. Vi får då ett expanderat Goodmandiagram, figur 23.6. Ett annat sätt att uttrycka saken är, att diagrammets delar i första och fjärde kvadranten skall erhållas genom att först vika diagramdelen i andra och tredje kvadranten runt axeln för σmax/σmin och därpå vika denna diagramdel kring axeln för σm. Diagrammet blir ”fetare” efter expansionen och medger därmed större spänningsvidd vid positiva mittspänningar än vad diagrammet i figur 23.5 anger.

σmax σmin σB σS

Utvärderingsexemplar σu

σS σB

σm

− σu

Figur 23.5 Slutet Goodman-diagram med samma sträckgräns vid tryck och dragning.

− σS

σmax σmin σB σS σu

σS σB − σu − σS

474

σm

Figur 23.6 Expanderat Goodman-diagram med samma sträckgräns vid tryck och dragning.

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(4'%

23. utmattning (fatigue, ermüdung) σa Flytlinje Figur 23.7 Approximativt Haigh-diagram (linjariserat).

Goodmanlinje

σS σu

Flytlinje

σm − σS

σS

σB

Ett alternativt framställningssätt till Goodman-diagram är Haigh-diagram. I dessa används axelvariablerna amplitud, σa =

σ max − σ min

σr

och mittspänning, σm . Ett approximativt, i bemärkelsen linjariserat, Haigh-diagram visas i figur 23.7. Bland banbrytande insatser inom utmattning kan nämnas A Palmgrens (SKF, Sverige) och M A Miners (USA) utvecklade teorier för delskadeutmattning. Härvid ersätts den faktiska spänningsvariationen med block, innehållande likadana cykler inom varje block. För varje block bestäms antal cykler och spänningsnivåerna. Varje block medför en viss delskada, innebärande att en bestämd andel av livslängden förbrukats. Brott uppkommer, när summan av andelarna (delskadesumman) uppgår till något förutbestämt värde, vanligen1,0.

Utvärderingsexemplar

Waloddi Weibull (professor i maskinteknik vid KTH) föreslog 1949 en statistisk fördelningsfunktion för användning vid utmattning. Weibull-fördelningen ger bättre överensstämmelse med provdata än den betydligt äldre men mer välkända normalfördelningen (Gauss-fördelningen). Förståelsen för uppkomst och fortplantning av sprickor har växt efter sprödbrottsteorier som formulerats av A A Griffith, E Orowan och J R Rice med flera forskare. Detta område inom hållfasthetsläran kallas brottmekanik.

475

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(4'5

23. utmattning (fatigue, ermüdung)

23.1 Säkerhetsfaktorer vid utmattning

Med säkerhetsfaktor avses förhållandet mellan ett spänningsvärde som medför en icke önskad effekt och ett uppmätt eller kalkylerat spänningsvärde. Vid statiska förhållandet blir säkerhetsfaktorn enkel och entydig. Den icke önskade effekten kan bestå av brott, flytning, otillåten deformation eller knäckning. Referensen blir då materialets brottgräns, sträckgräns, gränsspänning för tillåten utböjning eller knäckspänning. Men vid utmattning bestäms inte oönskad effekt av en enda storhet. Så påverkas utmattningsgränsen (om en sådan finns) av både mittspänning och spänningsamplitud. Grunden för bedömning av utmattningsrisken utgörs av ett Goodman- eller Haigh-diagram för det aktuella materialet. I figur 23.8 representerat av de prickade linjerna. Diagrammet är baserat på gjorda utmattningsprov. Vanligen företagna på provstavar med 10 mm diameter med polerad yta och tagna från ett ämne med 20 mm diameter. Efter reducering av amplituden för faktorer som ämnesstorlek, objektstorlek, korrosiv miljö, m m, erhålls ett reducerat Goodman- eller Haigh-diagram (heldragna linjer i figur 23.8). Hur reduktionen görs, kommer att framgå längre fram i kapitlet.

Utvärderingsexemplar

I diagrammet läggs den beräknade eller uppmätta spänningsvariationen in, linjen C–A–B, i figur 23.8. Tre olika säkerhetsfaktorer brukar definieras. Säkerhetsfaktor med avseende på amplitudförändring (säkerhetsfaktor vid konstant mittspänning) I detta fall hålls mittspänningen, σm, konstant medan amplituden, σa, ökas tills linjen A–B skär gränslinjen i det reducerade utmattningsdiagrammet; punkt B*. Säkerhetsfaktorn för utmattning med avseende på amplitudförändring utgörs då av amplitudförhållandet. Detta överensstämmer med förhållandet mellan längderna av linjerna A–B* och A–B eller: ΓA =

A − B∗ A −B

σ ∗a σa

Säkerhetsfaktor med avseende på mittspänningsförändring (säkerhetsfaktor vid konstant amplitud). I detta fall hålls amplituden, σa, konstant medan mittspänningen, σm, ökas. I Goodmandiagrammet motsvaras detta av en parallellförflyttning av linjen C–A–B till C2–A2–B2 med bibehållen linjelängd. Förflyttningen utsträcks till dess att 476

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(4''

23. utmattning (fatigue, ermüdung) σmax σmin

B2 σs

C2 A1

B A

σa

σm σm

Utvärderingsexemplar Figur 23.8 Ursprungligt och reducerat Goodman-diagram.

punkterna C2 och B2 faller på undre respektive övre gränslinjen i det reducerade utmattningsdiagrammet. Säkerhetsfaktorn för utmattning med avseende på mittspänningsförändring utgörs då av förhållandet mellan mittspänningarna för de två linjerna. Detta överensstämmer med förhållandet mellan längderna av linjerna O–D2 och O–D eller: ΓB =

O − D2 O−D

σ 2m σm

Säkerhetsfaktor med avseende på mittspännings- och amplitudförändring I detta fall ökas både amplituden, σa, och mittspänningen, σm, och på så sätt, att förhållandet mellan dem bibehålls. I Goodman-diagrammet motsvaras detta av en förflyttning av punkten B längs linjen O–B–B1 och av punkten C längs linjen O–C–C1. Förflyttningen utsträcks tills punkterna B1 och C1 faller på övre respek477

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(4'6

23. utmattning (fatigue, ermüdung)

tive undre gränslinjen i det reducerade utmattningsdiagrammet. Säkerhetsfaktorn för utmattning med avseende på mittspännings- och amplitudförändring utgörs då av förhållandet mellan mitt- eller amplitudspänningarna för de två linjerna B1–A1–C1 och B–A–C. Detta förhållande överensstämmer med förhållandet mellan längderna av linjerna O–D1 och O–D eller mellan A1–B1 och A–B, d v s: ΓB =

O − D1

O−D

A1 − B1 A −B

σ1m σm

σ1a σa

23.2 Inverkan av egenspänningar

Om det utöver påkänningar orsakade av en yttre last, också finns en måttlig, positiv egenspänning i den analyserade punkten, ter sig detta i Goodman-diagrammet som figur 23.9 visar. Linjen C–A–B representerar spänningstillståndet p g a den yttre lasten. Den rådande egenspänningen, σe, förflyttar arbetsområdet till linjen c–a–b, på ett avstånd av σe till höger om linjen C–A–B. Linjen c–a–b representerar det superponerade spänningstillståndet av yttre last och egenspänning.

Utvärderingsexemplar Följande säkerhetsfaktorer erhålls ur definitionerna:

Med avseende på amplitudförändring utan egenspänning ΓA =

A − B∗

(23:1)

A −B

Med avseende på amplitudförändring med egenspänning γA =

a − b∗ a−b

a − b∗ A −B

(23:2)

Om utmattningsdiagrammets övre gränslinje lutar mindre än 45° mot σm-axeln (vilket den gör för de flesta metalliska material) blir γA < ΓA. Med avseende på mittspänningsförändring utan egenspänning ΓB =

478

O − D2 O−D

(23:3)

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(4'#

23. utmattning (fatigue, ermüdung)

Med avseende på mittspänningsförändring med egenspänning γB =

O − d2 O−c*

< ΓB

(23:4)

Med avseende på mittspännings- och amplitudförändring utan egenspänning ΓC =

O − D1

(23:5)

O−D

Med avseende på mittspännings- och amplitudförändring med egenspänning γC =

O − d1

(23:6)

O−D

För små eller måttliga egenspänningar blir i allmänhet blir γ C > ΓC.

σmax σmin

b* σs

Utvärderingsexemplar B*

B A

σa

σm

σm + σe σm

O σe

d2 = D2

c σe

D1 d1

Figur 23.9 Superponering av egenspänningar och spänningar orsakade av yttre laster.

479

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(46,

23. utmattning (fatigue, ermüdung) σmax σmin

b b*

σs B* a c* B c A

σa

σm

O D Figur 23.10 Superponering av egenspänningar och spänningar orsakade av yttre laster.

σm

D1 σe

Utvärderingsexemplar C*

Annorlunda ställer det sig emellertid om egenspänningarna är höga relativt sträckgränsen, som figur 23.10 illustrerar. Egenspänningar i närheten av sträckgränsen förekommer bl a i svetssträngar i konstruktioner som inte avspänningsglödgats efter svetsningen. I figur 23.10 är avståndet c–b > c*–b*. Utmattningsgränsen är överskriden, oaktat egenspänningarna ligger under sträckgränsen. Något som oundvikligen leder till utmattningsbrott efter ett tämligen litet antal lastväxlingar. Svetsade konstruktioner utsatta för utmattning skall därför avspänningsglödgas. Om objektens storlek omöjliggör glödgning kan purrning av svetsar vara ett alternativ. Svårigheten med purrning är att avgöra hur långt den skall drivas. I värsta fall kan purrningen resultera i, att i den efter svetsningen dragpåkända delen av svetsen uppstår tryckpåkänningar och vice versa. Trots nedlagda kostnader har man därmed enbart flyttat problemet från svetsens ena till dess andra sida.

480

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(46$

23. utmattning (fatigue, ermüdung) σmax σmin

b* σs B*

B a

σa

σm

σm + σe σm

σa

σe

Utvärderingsexemplar Figur 23.11 Superponering av egenspänningar och spänningar orsakade av yttre laster.

I det visade fallet överskrider σmax sträckgränsen. Detta är möjligt p g a det deformationshårdnande, som de flesta metalliska material uppvisar. För ett idealplastiskt material är det däremot inte möjligt att överskrida sträckgränsen. I sådant fall kommer punkten b att sammanfalla med b*. Oavsett materialegenskaper uppstår emellertid töjningsutmattning med påföljande haveri. Även vid låga egenspänningar kan dessa ha en förödande inverkan. Om nämligen spänningsamplituden är hög, överskrids utmattningsgränsen snabbt även vid låga egenspänningar, vilket framgår av figur 23.11. Även i detta fall blir avståndet c–b > c*–b* och utmattningsgränsen överskrids, trots att egenspänningen här ligger långt under sträckgränsen. Märk också, att i detta fall σmax i motsats till i föregående fall, underskrider sträckgränsen. Utmattningsbrott kommer att uppstå, utan någon lokal flytning i materialet.

481

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(46&

23. utmattning (fatigue, ermüdung)

Egenspänningar i samband med utmattningsbelastade konstruktioner är undantagslöst förrädiska. Även små egenspänningar kan medföra till synes oförklarliga utmattningsbrott. Svårigheterna blir inte mindre av, att man oftast har liten eller ingen kännedom om förekomst eller storlek av egenspänningar i en strukturs olika delar.

23.3 Korrektionsfaktorer för Goodman-, Haigh- och Wöhlerdiagram Utmattningsegenskaperna för ett verkligt konstruktionselement, t ex en axeltapp, är inte desamma som de egenskaper, som erhålls vid utmattningsförsök med provstavar. Storleken av objekten kan vara högst olika, konstruktionselementet kan ha en avvikande ytfinhet och/eller ytbehandlats, t ex förkromats. Konstruktionselementet kan genom sin form alstra spänningskoncentrationer vid hålkälar, spår eller andra anvisningar. Den reella arbetsmiljön kan avvika från provmiljön. Denna utgörs om inte annat framgår, av luft vid rumstemperatur. Provdata från materialleverantörer måste därför korrigeras med hänsyn till alla relevanta avvikelser från provförutsättningarna. Detta görs med olika korrektionsfaktorer genom att amplitudspänningarna för utmattningsgränsen i de provdatabaserade Goodman- eller Haig-diagrammen multipliceras med dessa faktorer. I S-N-diagram används faktorerna för att förändra Wöhlerkurvans utseende.

Utvärderingsexemplar

I det följande presenteras grafer eller tabeller över de olika korrektionsfaktorerna. Uppgifterna får absolut inte behandlas som exakta. Olika källor anger mer eller mindre divergerande värden på faktorerna. Flertalet grafer/tabeller är baserade på stål. Man kan inte räkna med, att de blir oförändrade för andra metalliska material.

23.3.1 Teknologiskt volymberoende, λ

Materialegenskaperna är sämre för ett grovt ämne till ett konstruktionelement än för ett klent. Värdena på utmattningshållfastheten skall därför reduceras med den teknologiska dimensionsfaktorn, λ. Figur 23.12 visar faktorn λ för gjutjärn med några olika brottgränser. Den övre skalan avser ämnesdiameter vid rund sektion, den nedre ämnessidlängd vid kvadratisk sektion. För komponenter som framtagits genom smidning eller valsning, anses tillverkningen numera inte medföra någon nedsättning av utmattningsdata vid grova di-

482

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(46"

23. utmattning (fatigue, ermüdung) λ 1,0

σB = 340 MPa

0,8 250 MPa Figur 23.12 Teknologisk dimensionsfaktor för gjutjärn.

0,6 100 MPa 0,4 20

100

mensioner. Om exempelvis stavar för utmattningsprov är tillverkade av gjutna ämnen med 30 mm diameter och brottgräns 340 MPa och en axel skall tillverkas från ett ämne med 60 mm diameter och brottgräns 250 MPa, blir den teknologiska dimensionsfaktorn λ ≈ 0,70/0,95 ≈ 0,74.

23.3.2 Geometriskt storleksberoende, δ

Utvärderingsexemplar

Om spänningarna i en komponent är lika stora överallt, innebär en stor mängd material en ökad sannolikhet för att det någonstans skall finnas ett felställe. Detta kan utgöras av en slagginneslutning, ett gjutmästarboställe eller någon annan defekt. Fördelningen av felställen liksom geometrisk form hos dessa är i grunden av statistisk natur. Felställen kan bli utgångspunkten för en spricka. En jämnt fördelad spänning råder t ex i en dragstång med konstant tvärsnittsarea.

Om spänningarna däremot varierar i komponenten, d v s om det finns en spänningsgradient, blir vissa delar högt påkända och andra lågt. Så är förhållandet vid balkböjning eller vridning av en tjockväggig eller massiv axel. Ju högre spänningsgradienten är, desto mindre mängd material utsätts för hög påkänning. Livslängden vid dragning/tryck borde bli lägre än vid böjning vid samma maximala spänning. Vid dragning/tryck utsätts ju hela tvärsnittet för maximal spänning, vid böjning bara ytskikten. I den större delen av tvärsnittet verkar en lägre normalspänning. Detta uppvägs dock mer än väl av, att felställena inte är jämnt fördelade över volymen utan uppträder tätare vid ytan än i kärnan. Något som i sin tur hänger samman med tillverkningen. För grova ämnen innebär segring skillnader mellan yt- och kärnzon. Därför låter man vanligen den geometriska dimensionsfaktorn, δ, endast reducera utmattningsspänningarna σub och τuv, d v s vid lastmoderna böjning och vridning. Man kan emellertid i litteraturen också finna uttryck för den geometriska dimensionsfaktorn, även om ingen spänningsgradient förekommer, t ex vid en jämnt fördelad drageller tryckspänning. 483

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(464

23. utmattning (fatigue, ermüdung) δ 1,0

σB = 1000 MPa

0,9

600 MPa

Al-leg.

0,8

100

120

∞

Diameter/ tjocklek, mm

Figur 23.13 Geometrisk dimensionsfaktor för stål och aluminiumlegeringar som funktion av komponentstorlek.

Om komponenten har spår, hålkälar eller andra källor till spänningskoncentrationer, skall hänsyn till sådana istället tas genom en anvisningsfaktor. Då skall i gengäld ingen reduktion av spänningar göras via dimensionsfaktorn. Hänsyn till spänningsgradienten bakas in i anvisningsfaktorn. Kontentan blir, att den geometriska dimensionsfaktorn tilldelas värdet 1,0 vid tryck eller dragning eller om en anvisningsfaktor används.

Utvärderingsexemplar

Den geometriska dimensionsfaktorn för utmattningsgränserna σub och τuv för stål med ett par olika brottgränser och för aluminiumlegeringar som funktion av komponentdimension framgår av figur 23.13. För stål med ytterligare brottgränser, se [5].

23.3.3 Ytbeskaffenhet, κ

Utmattningssprickor uppstår ofta vid ytan av en komponent. Hur ytan är beskaffad, är därför av stor vikt för livslängd eller utmattningsgräns. Och hur ytan är beskaffad bestäms väsentligen av vilken maskinbearbetning och/eller ytbehandling som kommer till användning. Svarv- och slipspår utgör små men betydelsefulla anvisningar. Plastisk bearbetning som smidning eller valsning leder vid kallbearbetning till deformationshårdnande och vid varmbearbetning till avkolning och hårdhetssänkning i ytskiktet. Korrektionsfaktorn för ytbeskaffenhet, κ, visas i figur 23.14 för stål som funktion av brottgränsen och för några olika ytbeskaffenheter.

484

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(46%

23. utmattning (fatigue, ermüdung) κ Polerad

1,00

0,80 Slipad 0,60 Maskin bearbetad 0,40 Varmvalsad 0,20

0,00 300

Smidd σB MPa 500

700

900

1100 1300

Figur 23.14 Korrektionsfaktor för ytbeskaffenhet hos stål som funktion av brottgräns.

1500 1700

23.3.4 Korrektionsfaktor för ytbeläggning, υ

Utvärderingsexemplar

Många komponenter ytbehandlas. Ibland som skydd mot mekanisk och/eller kemisk miljöpåverkan, ibland ur ren utseendesynpunkt. De flesta ytbehandlingar innebär en reducerad utmattningsgräns. Men stål som förses med ett elektrolytiskt påfört skikt av zink, tenn, aluminium, kadmium, koppar eller silver påverkas inte. Beläggning med polymerer påverkar inte heller utmattningsegenskaperna. Korrektionsfaktorn för ytbeläggning, υ, ges för sådana fall värdet 1,0.

Däremot medför förkromning och förnickling en kraftig minskning av utmattningsgränsen. Om skikten spricker p g a belastningen, kommer sprickorna att orsaka spänningskoncentrationer, och tidiυ garelägga utmattningsbrott. Karakteris0,90 tiskt är också, att den skadliga effekten av ytbehandling ökar med materialets brottFörkromning hållfasthet. Ett exempel på korrektions0,80 faktorns storlek vid förkromning respekVarmgalvanisering tive varmgalvanisering visas i figur 23.15. 0,70

Figur 23.15 Korrektionsfaktor för ytbeläggning på stål som funktion av brottgräns.

0,60 σB MPa 400

800

1200

1600

2000

485

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(465

23. utmattning (fatigue, ermüdung)

23.3.5 Korrektionsfaktor för mekanisk ytbehandling, χ Mekanisk ytbehandling syftar till att bygga in tryckspänningar i materialets ytskikt. Tryckspänningar reducerar uppkomsten av sprickor och höjer därmed utmattningsgränsen. Korrektion sker med en korrektionsfaktor för mekanisk ytbehandling, χ. Korrektionsfaktorer upp mot 3,0 har iakttagits efter kulbombning. Om denna drivs för långt, kan dock motsatt verkan uppstå och korrektionsfaktorn sjunka under 1,0. Osäkerheten i metoden kombinerat med krav på lång erfarenhet för lyckat utfall medför, att en försiktig beräkningsingenjör gör en konservativ bedömning. Räkna med 1,0 och se ett eventuellt högre värde som en ökad, ej kvantifierad säkerhet mot utmattningsbrott. Rullpolering eller tryckpolering är en sedan gammalt beprövad metod att höja utmattningsgränsen för hålkälar. Här är det om möjligt än svårare att finna användbara värden på korrektionsfaktorn. Liksom vid kulbombning rekommenderas att räkna med 1,0 och låta ett högre värde innebär en ökad säkerhet mot utmattningsbrott.

23.3.6 Korrektionsfaktor för termisk ytbehandling, ψ

Utvärderingsexemplar

Ythärdning medför ofta tryckspänningar i ytskiktet, vilket gynnar utmattningshållfastheten. Följande värden på korrektionsfaktor för termisk ytbehandling, ψ, kan tjäna som vägledning. Faktorerna gäller värmebehandlat stål och förutsätter att slutbearbetning görs innan härdning. Man bör vara observant på spänningsgradienten, eftersom härddjupet är litet. Tryckspänningarna i ytskiktet ger dragspänningar inuti materialet. Om spänningsgradienten är liten, får dragspänningarna p g a yttre last ett tillskott under härddjupet istället för en minskning, jämför figur 23.11. Skillnaden framgår även av tabellen för korrektionsfaktorer vid dragning respektive böjning av nitrerhärdat stål. Korrektionsfaktorn kan bli lägre än vad tabellen visar. I ogynnsamma fall kan den sjunka under 1,0. Tabell för korrektionsfaktor för termisk ytbehandling, ψ

486

Härdsätt/belastningsart

Utan brottanvisning

Med brottanvisning

Nitrerhärdning/böjning

1,5

2.9

Nitrerhärdning/dragning

1,0

1,4

Nitrerhärdning/vridning

1,2

1,9

Induktionshärdning

2,0

---

Flamhärdning

1,8

2,0

Sätthärdning

1,6

2,5

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(46'

23. utmattning (fatigue, ermüdung)

23.3.7 Korrektionsfaktor för omgivningsmiljö, µ Den stora spridningen av resultat vid utmattningsprov orsakas bl a av den omgivande miljön. Proven görs normalt i luft av rumstemperatur. Föroreningar i luften och dess relativa fuktighet medför kemiska reaktioner i provobjekten. Variationer i provmiljön under lång exponeringstid resulterar i varierande provutfall.

Omgivningsmiljön för en komponent skiljer sig oftast från provningsmiljön. Temperaturen kan vara annorlunda, vilket visat sig ha ingen eller liten inverkan. Vid exponering i luft med hög relativ fuktighet eller i söt- eller saltvatten reduceras utmattningshållfastheten. Och här spelar naturligtvis exponeringstiden stor roll. I motsats till för övriga reducerande faktorer, bestäms utmattningsgränsen inte enbart av antalet lastcykler utan också av frekvensen i lastvariationen. Korrektionsfaktorn för omgivningsmiljö, µ, beror starkt av antal lastväxlingar. För material som stål, som har en utmattningsgräns i luft, saknas sådan gräns i korrosiv miljö. Allt detta sammantaget medför, att det är svårt att finna tillförlitliga och/eller tillämpliga uppgifter om korrektionsfaktorn för omgivningsmiljö. Vid sötvattenskorrosion kan man räkna med en korrektionsfaktor mellan 0,7 och 0,2. För saltvattenkorrosion mellan 0,5 och 0,1. De högre värdena gäller stål med brottgräns ungefär 300 MPa, de lägre för brottgräns cirka 1500 MPa.

Utvärderingsexemplar

23.3.8 Modifiering av diagram med hänsyn till total korrektionsfaktor och för spänningsvariation med mittspänning Utmattningsprov, det må sedan gälla lastmoderna dragning, böjning eller vridning, görs till övervägande del vid växlande belastning, i bemärkelsen att mittspänningen är noll. Varje använt värde på amplituden ger då ett visst antal lastväxlingar till brott (med viss spridning och förutsatt att amplituden överstiger utmattningsgränsen, om en sådan finns). Om motsvarande prov genomförts med en mittspänning skild från noll, måste amplituden förändras för att livslängden skall bli densamma. Om mittspänningen tillåts närma sig brottgränsen, urartar amplituden till noll. Relationen mellan amplitud och mittspänning vid obegränsat eller specificerat antal lastväxlingar till brott, framgår av ett Haigh- (figur 23.16) eller Goodmandiagram.

σa σB

N=1

N = N2< N1

σS N = N1

σu N→∞ σS

σB

σm

Figur 23.16 Haigh-diagram med antal lastcykler till brott (N) som parameter.

487

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(466

23. utmattning (fatigue, ermüdung) Figur 23.17 Linjariserat Haigh-diagram med antal lastcykler till brott (N) som parameter.

σa σB

N=1 N = N2< N1

N = N1 σu N→∞ σB

σm

Dessvärre stöter man ofta på patrull, när det gäller att finna Haigh-diagram för många konstruktionsmaterial. Ofta finner man bara uppgifter om utmattningsgränsen σu för olika lastmoder, liksom om brottgränsen, σB. Man har då inget annat val, än att med ledning av dessa uppgifter konstruera ett linjariserat Haighdiagram, figur 23.17. Ofta anges data dessutom bara för ett enda lastcykelantal. Detta blir obegränsat för material som har en utmattningsgräns, σu. För material som saknar sådan, anges en istället en gränsspänning, σg, för amplituden. Denna avser då ett visst antal lastväxlingar, vanligen Ng = 106. I så fall kan endast två linjer ritas upp, dels för N = 1, dels för N → ∞, alternativt N = Ng.

Utvärderingsexemplar

Avsaknaden av kurvor/linjer för olika antal lastcykler, visar sig dessbättre vara en överkomlig brist. Om nämligen ett S-N-diagram ritas upp med logaritmisk skala på både spänningsaxeln och axeln för antal lastcykler, kan Wöhlerkurvan för N > 103 à 104 approximeras med en lutande rät linje, figur 23.18. 10

log σa

~ log σ B 1

extrapolerad

a log σg log σu

10 0

10 1

10 2

10 3

Figur 23.18 Dubbellogaritmiskt S-N-diagram för mittspänning noll.

488

10 4 10 5 4 5

10 6

10 7 7

6 10

log Nu log Ng

10 8 8

N 10 9 9 10log N

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(46#

23. utmattning (fatigue, ermüdung)

Linjens skärning med log σa-axeln visar sig för många material bli σ˜ B =

FB . AB

Här avser FB brottlasten (= största möjliga last) och AB brottareans storlek. ~ , N , σ alternativt ~σ , N , σ är linjens lutning given. Med kända värden på σ B u u B g g Med a enligt figur 23.18 ger likformiga trianglar villkoret: a=

a log σ˜ B − log σ u = 1 log Nu

(23: 7)

alternativt om utmattningsgräns saknas: a=

a log σ˜ B − log σ g = 1 log N g

(23:8)

Med Ng = 10 6 övergår (23:8) i: a=

log σ˜ B − log σ g 6

(23:9)

S-N-diagrammet i figur 23.18 visar resultat med polerade provstavar med 10 mm diameter i inomhusmiljö. Diagrammet måste därför korrigeras med hänsyn till de faktorer som avviker från provförutsättningarna. För att göra detta introduceras den totala korrektionsfaktorn, α, enligt

Utvärderingsexemplar

α=λ·δ·κ·υ·χ·ψ·µ

(23:10)

Värdet av den totala korrektionsfaktorn gäller vid N = Nu eller om utmattningsgräns saknas, vid N = Ng. Inflytandet av α minskar med antalet lastcykler till brott. När N = 1, närmar sig α-värdet 1,0. Verkan av den totala korrektionsfaktorn, i fortsättning bara kallad korrektionsfaktorn, avspeglas i S-N-diagrammet som en rät linje genom punkterna (log100, ~ ) och (logN , log(ασ )) alternativt (logN , log(ασ )). Linjen lutar brantare log σ B u u g g mot log N-axeln än linjen för provdata gör, se figur 23.19. Linjens lutning ges liksom förut av likformighet. Med b enligt figur 23.19: a+b=

a + b log σ˜ B − log(ασ u ) = 1 log Nu

och med (23:7): b=

log σ˜ B − log(ασ u ) − log σ˜ B + log σ u log α =− log Nu log Nu

(23:11)

489

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(4#,

23. utmattning (fatigue, ermüdung) 10

log σa okorrigerad

~ log σ B

1 a

extrapolerad

log σg log σu log (ασu ) korrigerad 10 0

10 1

10 2

10 3

10 4 10 5 4 5

10 6

10 7 7

10 8 8

N 10 9 9 10log N

log Nu log Ng

Figur 23.19 Totala korrektionsfaktorns α inverkan på Wöhlerlinjens lutning i S-N-diagrammet.

Om utmattningsgräns saknas och med Ng = 106:

Utvärderingsexemplar b=

log σ˜ B − log(ασ g ) − log σ˜ B + log σ g log N g

=−

log α log α =− 6 log N g

(23:12)

Om materialet saknar utmattningsgräns eller exponeras för starkt korrosiv miljö och man behöver data för N > Ng respektive N > Nu, tillgrips linjär extrapolering av den korrigerade linjen. S-N-diagram påträffas sällan för mittspänning skild från noll. Man behöver därför en metod att modifiera S-N-diagram för andra mittspänningar än noll. Vi antar att ett linjariserat Haigh.diagram enligt figur 23.17 kan ritas upp. I det tillhörande S-N-diagrammet antas den lutande linjen skära axeln för log σa i punkten (log100, log ~σB ) svarande mot N = 1 och σm = 0. Lastfallet kan liknas vid ~ . Motsvarande punkt i Haigh-diaen rent statisk belastning med σmax = σa = σ B ~ grammet har koordinaterna (0, σB ). Om vi istället låter σa → 0, kan även detta lastfall liknas vid en rent statisk belastning, men nu med spänning σmax ≈ σm . Och detta oavsett värdet på N. För att de två extremfallen σa = 0 respektive σm = 0 skall ~ ∀ N. Motsvarande punkt i Haighbli likvärdiga, krävs för fallet σa = 0, att σm = σ B ~ diagrammet får därmed koordinaterna (σB , 0). Det på detta sätt modifierade diagrammet visas i figur 23.20.

490

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(4#$

23. utmattning (fatigue, ermüdung) σa ~ σ B

N=1

Figur 23.20 Linjariserat och modifierat Haigh-diagram för N = 1 och N = Nu alternativt N = Ng .

N = Nu, N = Ng ασu

~ σ B

σm

För N = Nu alternativt N = Ng blir ekvationen för den nedre räta linjen i Haighdiagrammet:  σ  σ a = ασ u 1 − m  σ˜ B  

(23:13)

För N = 1 blir linjens ekvation:  σ  σ a = σ˜ B 1 − m  σ˜ B  

(23:14)

Utvärderingsexemplar

I S-N-diagrammet resulterar en mittspänning σm > 0 i en lägre liggande linje än för σm = 0. Amplituden måste för varje värde på N reduceras om σm > 0 och på sätt som figur 23.20 anger. För N =1 sjunker ordinatan i origo för Wöhlerlinjen enligt (23:14) från log σ˜ B   σ   till log σ˜ B 1− m   . σ˜ B      För N = Nu alternativt N = N g sjunker enligt (23:13) log σ a från log(ασ u ) till   σ   log ασ u 1− m   . σ˜ B     

Det vertikala avståndet mellan den övre och nedre linjen i S-N-diagrammet blir för N = 1   σ    σ  log(σ˜ B ) − log σ˜ B 1 − m   = − log 1 − m  ˜ σ σ˜ B    B   

(23:15)

och för N = Nu alternativt N = Ng   σ    σ  log(ασ u ) − log ασ u 1 − m   = − log 1 − m  ˜ σ σ˜ B     B  

(23:16)

491

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(4#&

23. utmattning (fatigue, ermüdung) 10

log σa

~ log σ B 1

~ −σ ) log ( σ m B

σm = 0

log σg log σu log (ασu ) σm > 0 10 0

10 1

10 2

10 3 10 4 10 5 4 3 5

10 6

10 7 7

10 8 8

10 9 N 9 10log N

log Nu log Ng

Figur 23.21 Korrigerat S-N-diagram med och utan mittspänning.

Den linje som i S-N-diagrammet representerar situationen σm > 0 blir enligt (23:15) och (23:16) parallell med linjen för σm = 0, men ligger under denna. Figur 23.21 illustrerar situationen.

Utvärderingsexemplar !

Ekvationerna för bestämning av maximalt tillåten spänningsamplitud, σ a , för ett givet antal lastväxlingar, N, kan lätt visas vara: σ˜ − σ m ! σ a = ασ u B σ˜ B

 Nu     N

σ˜ − σ m ! σ a = ασ u B σ˜ B

a +b

för N ≤ Nu

för N > Nu

(23:17)

(23:18)

Istället för (23:17) kan följande samband användas för bestämning av tillåtet antal lastcykler, Ntill, vid en given spänningsamplitud, σa: N till

 σa  =   σ˜ B − σ m 

−

1 a +b

för

 σ  σ a ≥ ασ u 1 − m  σ˜ B  

(23:19)

Om utmattningsgräns saknas, gäller istället sambandet: σ˜ − σ m  N g  ! σ a = ασ g B   σ˜ B  N

492

a +b

∀N

(23:20)

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(4#"

23. utmattning (fatigue, ermüdung)

23.4 Anvisningsfaktor och kälkänslighetsfaktor I kapitel 20 introducerades spänningskoncentrationer och en spänningskoncentrationsfaktor eller med ett kortare namn, formfaktor, Kt, definierades.

Korrektionsfaktorerna i avsnitt 23.3 används för att reducera utmattningsgräns eller gränsspänning, ”tunna ut” utmattningsdiagram och modifiera S-N-diagram. Spänningskoncentrationer p g a anvisningar kan hanteras på motsvarande sätt. Men eftersom både amplitud och mittspänning förändras, väljer man ofta att beräkna de förhöjda värden av nominell mittspänning och nominell amplitud, som en given anvisning orsakar. Mittspänningen i en påkänd punkt i en struktur kan betraktas som en konstant eller statisk spänning. Den verkliga (förhöjda) mittspänningen fås genom att multiplicera den nominella mittspänningen, σm , med formfaktorn, Kt, enligt: nom

σm = K tσm

(23:21)

nom

Om den nominella amplitudspänningen multipliceras med samma faktor, leder detta för de flesta material till en överskattning av påkänningen i materialet. Därför används en anvisningsfaktor, Kf ≤ Kt, för att räkna upp den nominella amplitudspänningen, σa .

Utvärderingsexemplar nom

Anvisningsfaktorn är både materialberoende och geometriberoende. Beroendet kan kopplas till brottgräns och exempelvis hålkälsradie via en kälkänslighetsfaktor, η. Denna definierar sambandet mellan anvisningsfaktorn och formfaktorn enligt: K f = 1 + η(K t − 1)

(23:22)

För material som är okänsliga för anvisningar, får kälkänslighetsfaktorn värdet noll. Då blir enligt (23:22) Kf = 1. För material som uppvisar extrem känslighet för anvisningar, får kälkänslighetsfaktorn värdet ett, och därmed blir Kf = Kt . Uppgifter om kälkänslighetsfaktorer och/eller anvisningsfaktorer finns i många handböcker och formelsamlingar i hållfasthetslära, t ex [5] och [7]. Ibland går beräkningen via en s k elementarradie, A, även kallad Neuberkonstanten och hålkälsradien, ρ, enligt 1

η=

(23:23)

493

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(4#4

23. utmattning (fatigue, ermüdung) 1

A mm 2 0,80 0,60 0,40 0,20

σB (MPa) 500

1000

1500

2000

Figur 23.22 Kvadratroten ur elementarradien, A, för stål som funktion av brottgräns, σB .

Elementarradiens beroende av materialets brottgräns framgår av figur 23.22, som gäller stål. För aluminiumlegeringar anses A = 0,5 mm vara ett karaktäristiskt värde oberoende av brottgräns. I osäkra fall sätts η = 1, speciellt för spröda material. Sedan anvisningsfaktorn bestämts, beräknas den verkliga amplitudspänningen genom att multiplicera den nominella amplitudspänningen, σa , med anvisningsnom faktorn, Kf, enligt:

Utvärderingsexemplar σa = K f σa

nom

(23:24)

I brist på kännedom om kälkänslighetsfaktorn kan följande riktvärden användas: Olegerade kolstål 0,2 ≤ η ≤ 0,5 Legerade kolstål 0,5 ≤ η ≤ 0,8 Härdat stål 0,7 ≤ η ≤ 1,0 Grått gjutjärn η = 0 Stålgjutgods 0,3 ≤ η ≤ 0,5 Lättmetaller 0,5 ≤ η ≤ 0,8 Generellt gäller, att kälkänslighetsfaktorn ökar med stigande brottgräns och hårdhet.

494

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(4#%

23. utmattning (fatigue, ermüdung)

23.4.1 Löst exempel I en cirkulärcylindrisk axel med 40 mm diameter borras ett genomgående radiellt hål med 2 mm diameter enligt figur. Materialet är 141650-01. I en materialtabell kan följande data utläsas.

σ0,2 > 310 MPa σB = 590 MPa

Resttöjningsgräns Dragbrottgräns Brottkontraktion Sträckgräns, böjning Utmattningsgräns, växlande dragning Utmattningsgräns, pulserande dragning Utmattningsgräns, växlande böjning Utmattningsgräns, pulserande böjning

Z = 40% σSb = 390 MPa σu = ± 200 MPa σup = 180 ± 180 MPa σub = σur = ± 270 MPa σubp = 240 ± 240 MPa

Φ 2,0

Mb Φ 40

Axeln utsätts för ett med tiden t varierande böjande moment enligt: Mb = 600 + 450 sin(2 π · 50 t) Nm Axeln är svarvad av valsad rundstång med 50 mm diameter. Efter svarvning har axeln slipats och förkromats. Axeln ingår i en paketeringsmaskin, som används i inomhusmiljö.

Utvärderingsexemplar

Hur många lastcykler kan tillåtas, om säkerhetsfaktorn med avseende på amplitudförändring skall vara 2,0 respektive 1,5? Och efter hur många lastcykler kan brott väntas uppträda? Lösning:

Först beräknas de nominella spänningarna. Enligt figur 20.8 definieras dessa som: σm = nom

Mbm πD3

−

dD2 6

600 π( 40 ⋅10 −3 )3

2 ⋅10 −3 ( 40 ⋅10 −3 )2 − 6

≈ 104 ⋅106 Pa

450 = ≈ 78 ⋅106 Pa π( 40 ⋅10 −3 )3 2 ⋅10 −3 ( 40 ⋅10 −3 )2 dD2 − − 32 6 32 6 ⇒ σ nom = 104 ± 78 MPa σa

nom

Mba

πD3

Brottlasten vid dragning bestäms av FB = σB A0 . Brottytans storlek ges av ekvation (5:9), Z=

A0 − A B , som ger A B = A 0 (1 − Z ) = A 0 (1 − 0, 40) = 0, 60 A 0 . A0

495

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(4#5

23. utmattning (fatigue, ermüdung)

Därmed blir σ˜ B =

σ A FB = B 0 ≈ 1,67σ B = 1, 67 ⋅ 590 ≈ 980 MPa och log σ˜ B ≈ 2, 99. A B 0, 60 A 0

Vidare blir log σub = log 270 ≈ 2,43. Om vi antar att Nu ≈ 0,5 · 10 7, log Nu ≈ 6,70, kan vi nu rita upp den okorrigerade linjen i S-N-diagrammet genom punkterna (0, 2,99) och (6,70, 2,43). Vi kan även bestämma måttet a med hjälp av (23:7) till: a=

log σ˜ B − log σ ub 2, 99 − 2, 43 = ≈ 0, 0836 6, 70 log Nu

Nästa steg blir att bestämma korrektionsfaktorerna. Eftersom ämnet är valsat sätts enligt 23.3.1 den teknologiska dimensionsfaktorn till λ = 1. Den geometriska dimensionsfaktorn hämtas från figur 23.13, som ger δ ≈ 0,93 för σB = 590 MPa och axeldiameter 40 mm. Men eftersom axeln har en anvisning, sätts enligt texten i 23.3.2 faktorn till δ = 1,0. Korrektionsfaktorn för ytbeskaffenhet hämtas från figur 23.14 för slipad yta och ger κ = 0.90. Korrektionsfaktorn för ytbeläggning tas från figur 23.15 och ger för förkromning υ ≈ 0,84.

Utvärderingsexemplar

Korrektionsfaktorn för mekanisk ytbehandling sätts till χ = 1,0, eftersom ingen mekanisk bearbetning förekommer.

Korrektionsfaktorn för termisk ytbehandling sätts till ψ = 1,0, eftersom materialet är normaliserat. Korrektionsfaktorn för omgivningsmiljö sätts till µ = 1,0, eftersom axeln exponeras för inomhusmiljö. Korrektionsfaktorn blir enligt (23:10): α = λ · δ · κ · υ · χ · ψ · µ = 1,0 · 1,0 · 0,90 · 0,84 · 1,0 · 1,0 · 1,0 ≈ 0,76

Därmed blir log (ασub ) ≈ log (0,76 · 270) ≈ log 205 ≈ 2,31 Nu kan den korrigerade linjen i S-N-diagrammet ritas upp genom punkterna (0, 2,99) och (6,70, 2,31). Vi kan även bestämma måttet b med hjälp av (23:11) till: b=−

log α log 0, 76 =− ≈ 0, 0178 , 6, 70 log Nu

och därmed blir a + b ≈ 0,0836 + 0,0178 = 0,1014. 496

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(4#'

23. utmattning (fatigue, ermüdung)

Så är det dags att beakta anvisningens inverkan på de nominella spänningarna. Formfaktorn hämtas från figur 20.8 och ger med d/D = 2/40 = 0,05, att Kt ≈ 2,5. Ekvation (23:21) medför att σ mb = K t σ m ≈ 2, 5 ⋅104 ≈ 260 MPa; log σ mb ≈ 2, 41. nom

Kälkänslighetsfaktorn sätts enligt tablån för olegerade stål försiktigtvis till η = 0,5. Då blir enligt (23:22) anvisningsfaktorn Kf = 1 + η (Kt – 1) = 1 + 0,5(2,5 – 1) ≈ 1,75, medförande att σ ab = K f σ a

nom

≈ 1, 75 ⋅ 78 ≈ 137; log σ ab ≈ 2,14.

Sammantaget: σb ≈ 260 ± 137 MPa. Om säkerheten med avseende på amplitudförändring skall vara 2, väljer vi istället att skriva: σb ≈ 260 ± 2 · 137 = 260 ± 274 MPa. Med ekvation (23:19) får vi därmed antalet tillåtna lastväxlingar vid tvåfaldig säkerhet med avseende på amplitud till: N till

 σa  =   σ˜ B − σ m 

−

1 a +b

 274  =   980 − 260 

−

1 0,1014

≈ 14 ⋅103

Utvärderingsexemplar

Om säkerheten med avseende på amplitudförändring istället skall vara 1,5, väljer vi att skriva: σb ≈ 260 ± 206 MPa. Antalet tillåtna lastväxlingar vid säkerhetsfaktor 1,5 med avseende på amplitud blir: 1 1 − −  σ a  a +b  206  0,1014 N till =  = ≈ 229 ⋅103    σ˜ B − σ m   980 − 260  En ökning av antal cykler med cirka 16 gånger jämfört med om säkerhetsfaktorn väljs till 2. Antal lastväxlingar till brott fås enklast genom att sätta säkerhetsfaktorn till 1,0. Då gäller σb ≈ 260 ± 137 MPa och N till

 σa  =   σ˜ B − σ m 

−

1 a +b

 137  =   980 − 260 

−

1 0,1014

≈ 13 ⋅106 > Nu .

Utmattningsbrott kommer därför inte att uppkomma.

497

!"#$ %&'()*+(&, &"-./0((,# ,& $$(($$-%4((1203(4#6

23. utmattning (fatigue, ermüdung)

23.4.2 Alternativ metod för korrigering av diagram med hänsyn till formfaktor och anvisningsfaktor Som tidigare nämnts, kan man istället för att ”räkna upp” de nominella spänningarna vid förekomsten av en anvisning, välja att reducera nivåerna i Haigh- och S-N-diagrammen. I ett linjariserat, modifierat Haigh-diagram, t ex enligt figur 23.20, räcker det, att beräkna nya skärningspunkter med axlarna för amplitud och mittspänning. De nya skärningspunkterna kommer att ligga närmare origo. Beroende på antal lastväxlingar till brott, blir beräkningssätten något olika. N = 1 svarar ju mot en helt statisk belastning. Anvisningsfaktorn blir då irrelevant. Ett Haigh-diagram för N = 1 har emellertid föga värde, eftersom den maximalt tillåtna nominella spänningen normalt relateras till något av uttrycken σB /Kt , σs /Kt , σ0,2 /Kt .

N = Nu alternativt N = Ng svarar mot en varierande belastning. Den modifierade räta linjens skärningspunkter med axlarna reduceras från ( σ˜ B , 0) respektive (0, ασ u )

 ασ g   σ˜   ασ  till  B , 0 respektive  0, u  , alternativt till  0, .  Kt   Kf   Kf 

Utvärderingsexemplar

Om Kf ≠ Kt kommer därmed lutningen av linjen efter hänsynstagande till anvisningen att bli annorlunda, än den modifierade linjens lutning i Haigh-diagrammet. För att ”sänka” linjerna i S-N-diagrammet, måste först arbetspunkten i Haigh-diagrammet för obegränsad livslängd fastställas. För detta behövs spänningarna σm =

σm

nom

, σa =

Detta ger σ a =

σa

nom

σm

nom

, som därför beräknas.

Kt σ m , svarande mot en rät linje genom origo. Kf

svarande mot en rät linje genom origo. Linjens skärningspunkt med Haigh-diagrammets kurva/linje(-r), bestämmer arbetspunkten. Koordinaterna för den funna arbetspunkten betecknas med (σm*, σa*), se figur 23.23.

σa σa = σa

nom

σm

nom

∗

σa Figur 23.23 Arbetspunkt i Haigh-diagram.

498

Kt Kf

σm

Arbetspunkt

∗

σm