1. Egzamin zacznij od szybkiego przejrzenia wszystkich zadaƒ i ju˝ podczas pierwszego czytania staraj si´ wynotowaç wszelkie dane, przydatne wzory lub sugestie naprowadzajàce na rozwiàzanie. JeÊli ju˝ na tym etapie pojawi si´ koncepcja kompletnego rozwiàzania – zanotuj jà i przejdê do nast´pnego zadania. 2. W pierwszej kolejnoÊci rozwià˝ te zadania, z którymi nie masz ˝adnych problemów. Nast´pnie wróç do tych, których rozwiàzania nie by∏eÊ pewny. Dopiero na samym koƒcu spróbuj rozwiàzaç te, o których na poczàtku pomyÊla∏eÊ, ˝e sobie z nimi nie poradzisz. 3. Odpowiedê podana w rozwiàzaniu zadania musi korespondowaç z jego za∏o˝eniami, dlatego przed jej zapisaniem ponownie przeczytaj treÊç pytania. Pami´taj, by wyraênie oznaczyç w∏aÊciwe rozwiàzanie, gdy˝ zostawienie jednego poprawnego i kilku b∏´dnych skutkuje nie przyznaniem punktów. 4 Nigdy nie siedê d∏ugo nad zadaniem, je˝eli nie pojawia si´ szansa na jego rozwiàzanie. 5. O ile to mo˝liwe, rozwiàzuj zadania od razu w czystopisie, w ten sposób zaoszcz´dzisz cenny czas. 6. Pami´taj, ˝e wi´kszoÊç zadaƒ na maturze ∏àczy w sobie ró˝ne dzia∏y matematyki. 7. W matematyce, w odró˝nieniu od innych przedmiotów, nie jest wa˝na metoda, tylko wynik. Zdarza∏o si´ ju˝, ˝e niektóre zadania maturalne mo˝na by∏o rozwiàzaç nawet 9 sposobami – ka˝dy z nich by∏ poprawny i dawa∏ maksymalnà liczb´ punktów. JeÊli u˝yjesz bardzo nietypowej metody, za to w poprawny sposób, to i tak otrzymasz maksa!
opr. Grzegorz Ga∏uszka, Lech Rostkowski, Krzysztof Fràczek, Matematyka.org, ForumMatematyka.pl, Poolicz.pl ) czy pierwiastku z delty
r – promieƒ podstawy, h – wysokoÊç sto˝ka, l – d∏ugoÊç tworzàcej sto˝ka;
Sto˝ek: Pole podstawy: Pb = π · r · l Pp = π · r2 P = π · r · (r + l) Obj´toÊç:
Walec: Pole powierzchni: Pb = 2 · π · r · h Pp = π · r2 P = 2 · π · r · (r + h) Obj´toÊç: V = π · r2 · h r – promieƒ podstawy, h – wysokoÊç walca
Pole równoleg∏oboku: P = ah Deltoid:
Pole trapezu:
Osoby zdajàce matur´ w roku szkolnym 2008/2009, by∏y przygotowywane do egzaminu na bazie programów nauczania uwzgl´dniajàcych podstaw´ programowà sprzed wrzeÊnia 2007r. Majàc na uwadze wprowadzone zmiany oraz mogàce z tego powodu wyniknàç problemy, na portalu Perspektywy.pl znajdziesz list´ treÊci, które nie b´dà obowiàzywa∏y na danym poziomie egzaminów. www.perspektywy.pl/matematyka
Czego nie b´dzie – poziom podstawowy
r – promieƒ kuli
Kula: Pole powierzchni: P = 4 · π · r2 Obj´toÊç:
Ostros∏up: Obj´toÊç:
Graniastos∏up prosty: Pole powierzchni: P = 2p · h+2Pp, gdzie 2p jest obwodem podstawy danego graniastos∏upa, a Pp polem podstawy Obj´toÊç: V = Pp · h
Prostopad∏oÊcian: Pole powierzchni: P = 2 (ab + bc + ac) Obj´toÊç: V = abc
Za miesiàc: Na 5 minut przed... WOS
Jak rzetelnie przygotowaç si´ do egzaminu z matematyki? Oto nasze rady: ● Codziennie poÊwi´ç godzin´ zegarowà na rozwiàzywanie zadaƒ, odpoczywaj w weekendy ● Uczestnicz we wszystkich dodatkowych bàdê bezp∏atnych zaj´ciach z matematyki ● Rozwiàzuj archiwalne zadania maturalne ● Uzupe∏niaj braki w teorii korzystajàc z podr´czników lub internetu, choçby serwisu www.Matematyka.org ● Rozwiàzania zadaƒ sprawdzaj za pomocà internetowego kalkulatora www.Poolicz.pl, który wszystko liczy „krok po kroku” ● Przeglàdaj moderowane przez matematyków fora dyskusyjne, dziel si´ na nich swoimi obawami, pytaj – np. na www.ForumMatematyka.pl
Wi´cej potu na çwiczeniach = mniej krwi w boju
(cz´sto pojawia si´ sama delta). Zwróç te˝ uwag´ na prawid∏owe stosowanie wzorów skróconego mno˝enia (zamiast (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 cz´sto piszemy (a + b)2 = a2 + b2).
cz´sto piszà
maturzyÊci
, gdzie 2p = a + b + c (obwód trójkàta), R – promieƒ okr´gu opisanego i r – promieƒ okr´gu wpisanego;
Pole trójkàta:
Pole trójkàta ABC o wierzcho∏kach A=(xA, yA), B=(xB, yB), C=(xC, yC):
Kàty w okr´gu: Miara kàta wpisanego w okràg jest równa po∏owie miary kàta Êrodkowego, opartego na tym samym ∏uku. Miary kàtów wpisanych w okràg, opartych na tych samych ∏ukach sà równe.
Przydatne triki i wa˝ne wzory: Geometria:
,
● W ˝adnym wypadku nie u˝ywaj korektora, gdy˝ praca mo˝e zostaç uniewa˝niona. Najlepiej wcale nie bierz go na egzamin. ● Poza rysunkami staraj si´ nie u˝ywaç o∏ówka. Je˝eli zapomnisz poprawiç swoje zapiski d∏ugopisem, to ten fragment pracy nie b´dzie oceniany. ● Nigdy nie sugeruj si´ wielkoÊcià miejsca na arkuszu przeznaczonego na rozwiàzanie. Czasem na zadanie wymagajàce zaledwie pi´ciu linijek rozwiàzania przeznaczone sà dwie strony, czasem odwrotnie. ● JeÊli nie starczy Ci miejsca na arkuszu, kontynuuj rozwiàzanie w brudnopisie. Koniecznie jednak przekreÊl s∏owo brudnopis i napisz ciàg dalszy czystopisu podajàc numer zadania, a na arkuszu zaznacz, ˝e dalsze rozwiàzanie jest w brudnopisie. ● Komentarze, nawet te poprawne, ale nie wymagane w treÊci zadania, nie sà przez egzaminatorów brane pod uwag´.
Wa˝ne drobiazgi techniczne
Wiele zadaƒ daje si´ rozwiàzaç na kilka sposobów, z których cz´Êç jest zdecydowanie krótsza od innych. By u∏atwiç sobie ˝ycie na egzaminie warto poznaç kilka sztuczek wykraczajàcych poza minimum programowe – zastosowanie wektorów w geometrii analitycznej czy wyznaczników do rozwiàzywania uk∏adów równaƒ, twierdzenie cosinusów, twierdzenie o pierwiastkach ca∏kowitych, dzielenie wielomianów zamiast ich grupowania, zastosowanie wzorów kombinatorycznych. Przyk∏ad: Znajdê d∏ugoÊç wysokoÊci opuszczonej na bok AB w trójkàcie o wierzcho∏kach A = (–1, 2); B = (1, –3), C = (3, 5) Tradycyjnie zadanie rozwiàzujemy nast´pujàco: szukamy równania prostej AB, szukamy równania prostej prostopad∏ej do AB przechodzàcej przez C, szukamy punktu przeci´cia si´ tych prostych (np. punkt D), szukamy odleg∏oÊci CD i tak uzyskujemy wysokoÊç. Mamy tu jednak sporo liczenia – trzy uk∏ady równaƒ i wzór na odleg∏oÊç. Tymczasem wystarczy policzyç ze wzoru z tablic (albo wyznaczników pary wektorów) pole trójkàta ABC oraz odleg∏oÊç AB (podstawa trójkàta), aby d∏ugoÊç wysokoÊci dostaç niemal od r´ki.
(215 – 216 + 2–2 + 215)–1 = (2 · 215 – 216 + 2–2)–1 = (216 – 216 + 2–2)–1 = 22 = 4
Oblicz wartoÊç wyra˝enia:
Dzia∏ania na pot´gach a0 = 1 dla a ≠ 0 a1 = a am · an = am+n am: an = am–n dla m>n ` a ≠ 0 (am)n = am · n (a · b) n = an · bn dla b ≠ 0
Zatem
x2 =
Niech, policzmy x2
Udowodnij, ˝e jest liczbà ca∏kowità
dla b>0
Je˝eli a≥0, b≥0, m,n ∈ N\{0,1} to:
=
=
Wzory uproszczonego mno˝enia i dzia∏ania na pierwiastkach (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a – b)(a + b) = a2 – b2
.
i k > 0.
, gdzie k = –(x – y).
:
WykazaliÊmy, ˝e iloraz ciàgu jest mniejszy od 1 i wi´kszy od 0, wi´c ciàg jest malejàcy.
Niech:
Z zale˝noÊci x < y < z: x – y < 0.
.
Weêmy par´ a, b i policzmy iloraz
UdowodniliÊmy, ˝e ciàg liczb a, b, c jest geometryczny. Pozosta∏o nam dowieÊç, ˝e ciàg jest malejàcy.
Korzystajàc z równoÊci x – y = y – z mamy:
:
Wiemy, ˝e x < y < z oraz z definicji ciàgu arytmetycznego x – y = y – z. Aby ciàg a, b, c by∏ ciàgiem geometrycznym musimy wykazaç, ˝e
Uzasadnij, ˝e je˝eli liczby x, y, z tworzà ciàg arytmetyczny rosnàcy, to liczby a = 23–5x, b = 23–5y, c = 23–5z tworzà ciàg geometryczny malejàcy.
Wzór na n-ty wyraz ciàgu geometrycznego o danym pierwszym wyrazie a1: an = a1 · qn–1 Wzór na sum´ n pierwszy wyrazów ciàgu geometrycznego:
Wzór na sum´ n pierwszy wyrazów ciàgu arytmetycznego:
Wzór na n-ty wyraz ciàgu arytmetycznego o danym pierwszym wyrazie a1: an = a1 + (n – 1)r
Ciàgi arytmetyczne i geometryczne
Podstawy, które musisz znaç:
czyli JaÊ ma o 50% bli˝ej ni˝ Ma∏gosia. W drugim porównujemy do odleg∏oÊci od szko∏y Ma∏gosi, co daje nam wynik 33,33%.
odleg∏oÊci Jasia, otrzymujàc
A zatem lodówka stania∏a o 6,5%. Cz´sto spotykanym typem zadaƒ z obliczeniami procentowymi sà porównania. W ich przypadku nale˝y pami´taç, ˝e zawsze dzielimy przez wielkoÊç, która wyst´puje po s∏owach ni˝ i od. Przyk∏ad: JaÊ ma do szko∏y 2 km, a Ma∏gosia 3 km. O ile procent Ma∏gosia ma dalej do szko∏y ni˝ JaÊ, a o ile procent JaÊ ma bli˝ej ni˝ Ma∏gosia? Najpierw obliczamy ró˝nic´ pomi´dzy odleg∏oÊcià od szko∏y Jasia i Ma∏gosi, która wynosi oczywiÊcie 3 km – 2 km = 1 km. W pierwszym przypadku porównujemy uzyskany wynik do
.
Egzaminatorzy bardzo lubià zadania z procentami. Rozwiàzujàc te najbardziej typowe warto czasem „na chwil´” wprowadziç pomocniczà niewiadomà. Przyk∏ad: Lodówka najpierw podro˝a∏a o 10%, a potem w ramach promocji potania∏a o 15%. O ile procent zmieni∏a si´ cena lodówki? Zauwa˝my, ˝e nie znamy poczàtkowej jej ceny, ale jak si´ zaraz oka˝e, do niczego nie b´dzie nam ona potrzebna. Oznaczam poczàtkowà cen´ lodówki przez x. Po podwy˝ce o 10% b´dzie ona wynosiç x + 10%x = 110% x = 1,1x. Obni˝ka o 15% da nam cen´ 1,1x –15% · 1,1x = 1,1x – 0,165x = 0,935 x. Teraz musimy policzyç zmian´ procentowà:
Idê na skróty!
MATURA z matematyki 2009
ratowego (zamiast
Na egzaminie masz dost´p do wzorów zapisanych w tablicach matematycznych, nie trzeba wi´c zaraz uczyç si´ ich na pami´ç (choç warto, gdy˝ nie b´dzie tam wszystkich wzorów i twierdzeƒ – dla w∏asnego bezpieczeƒstwa przed maturà dok∏adnie zapoznaj si´ z tablicami). Koniecznie zaÊ trzeba wiedzieç o ich istnieniu tak, by móc je zastosowaç podczas rozwiàzywania zadaƒ. Najwa˝niejszà sprawà jest dostosowanie literek ze wzorów do naszych oznaczeƒ. Pami´taj, ˝e nie zawsze x we wzorze odpowiada literce x w zadaniu. Uwa˝aj, by nie zapomnieç o wartoÊci a we wzorze na pierwiastki równania kwad-
Wzory dobrze znaç
Przed maturà koniecznie przetestuj mo˝liwoÊci swojego kalkulatora (pami´taj, ˝e musi byç to kalkulator prosty, gdy˝ na egzaminie niedozwolone jest u˝ywanie kalkulatorów naukowych). W zale˝noÊci od modelu mo˝na liczyç np. 0,1252 poprzez naciÊni´cie klawiszy 0,125X= albo (1,05)6 naciskajàc 1X1,05= = = = = = (dla niektórych kalkulatorów 1,05X1= = = = = =). Do tego warto nauczyç si´ pos∏ugiwania pami´ciami (klawisze M+, M-, MR), które bardzo przydajà si´ w zadaniach ze statystyki.
Rozgryêç kalkulator
Podczas rozwiàzywania zadaƒ maturalnych najcz´Êciej pope∏niamy typowe b∏´dy rachunkowe oraz tzw. b∏´dy nieuwagi. Pierwszy ich rodzaj pojawia si´ wskutek poÊpiechu i zdenerwowania (jak choçby: ). B∏´dy nieuwagi powstajà najcz´Êciej przy przepisywaniu równania czy warunku z jednej strony na drugà, tak˝e z brudnopisu do czystopisu, a nawet z linijki do linijki. Do tego dochodzà pomy∏ki wynikajàce z niezbyt uwa˝nego przeczytania treÊci zadania, a wi´c nieprawid∏owo sformu∏owane odpowiedzi czy przeoczone polecenia. Mo˝na ich uniknàç tylko przez wzmo˝onà koncentracj´ i opanowanie, bardzo pomocne sà tu wczeÊniejsze çwiczenia rachunkowe nawet na prostych zadaniach. Kolejny cz´sty rodzaj b∏´dów dotyczy zadaƒ geometrycznych. Maturzysta bezwiednie rysuje jakiÊ specjalny przypadek, o którym nie ma mowy w poleceniu (np. w zadaniu o dowolnym trójkàcie rysunek przedstawia jakiÊ charakterystyczny trójkàt – prostokàtny lub równoramienny), a nast´pnie te specjalne w∏asnoÊci figury geometrycznej z rysunku wykorzystuje w rozwiàzaniu zadania.
Procenty, procenty, procenty
2:06 PM
Strategia: jak rozwiàzywaç maturalne zadania?
11/24/08
Âpiesz si´ powoli czyli uwaga na b∏´dy
Czyli wszystko, co musisz wiedzieç na 5 minut przed maturà z matematyki
Królowej Nauk
Tajemnice Do matury jeszcze pi´ç miesi´cy, ale na nauk´ nigdy nie jest za wczeÊnie! W tym miesiàcu prezentujemy jedyny w swoim rodzaju zestaw typowych matematycznych b∏´dów oraz u˝ytecznych porad – wszystko przydatne na egzamin z matematyki.
matura z matmy Page 048