Tích phân

TÍCH PHÂN Nguyễn Duy Diện - Đinh Bích Yến - Lê Mai Hương

2

Mục lục Giới thiệu

5

1 Nguyên hàm 1.1 Các kiến thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.3 Lũy thừa với số mũ hữu tỷ - số mũ thực . .

1.2 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Khái niệm nguyên hàm . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 1.2.3 Tính chất của nguyên hàm . . . . . . . . . .

1.3 Một số phương pháp tìm nguyên hàm . . . . . . . .

1.3.1 Phương pháp dùng vi phân . . . . . . . . .

1.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . .

1.3.3 Phương pháp nguyên hàm từng phần . . . .

7 7 7 10 11 13 13 14 16 19 19 21 22

2 Tích phân 2.1 Tích phân . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1 Khái niệm tích phân . . . .

2.1.2 Tính chất tích phân . . . .

2.2 Một số phương pháp giải tích phân

25 25 25 26 29

3

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

4

MỤC LỤC

2.3

2.2.1 Kỹ thuật phân tích tích phân hữu tỷ 2.2.2 Kỹ thuật dùng vi phân . . . . . . . .

2.2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . .

2.2.4 Phương pháp lượng giác hóa . . . . .

2.2.5 Phương pháp tích phân từng phần .

Tích phân hàm số lượng giác . . . . . . . . .

2.3.1 Phương pháp biến đổi lượng giác . .

2.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

29 32 33 36 38 42 42 44

3 Ứng dụng của tích phân 51 3.1 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Tính thể tích khối tròn xoay . . . . . . . . . . . . . 58 4 TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI

61

Giới thiệu Ngày nay phép tính vi tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Toán học, tích phân được ứng dụng rộng rãi như để tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, nó còn là đối tượng nghiên cứu của giải tích, là nền tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng...Ngoài ra phép tính tích phân còn được ứng dụng rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Thiên văn học, y học...

Tích phân là một nội dung quan trọng trong chương trình toán lớp 12, là một câu bắt buộc trong đề thi Đại học và kỳ thi tốt nghiệp THPT (bây giờ là kỳ thi THPT Quốc gia) các năm từ trước đến nay.

Trong thực tiễn dạy học, chúng tôi nhận thấy nhiều học sinh còn gặp khó khăn khi giải bài tập chuyên đề này. Do đó, chúng tôi biên soạn tài liệu này với cách tiếp cận dễ hiểu nhất cho học sinh cuối lớp 11, đầu lớp 12, để các em có thể nắm bắt các phương pháp và kỹ thuật cơ bản nhất của tích phân, tự tin chinh phục đề thi môn Toán trong kỳ thi THPT Quốc Gia. Các bài toán trong chuyên đề được sưu tầm từ các đề thi Đại học, đề thi tốt nghiệp, nhiều bài là do các tác giả tự ra, do đó không thể tránh khỏi sai sót. Rất mong được sự góp ý của của quý thầy cô và các bạn học sinh.

Nhóm tác giả 5

6

M廙七 L廙七

Chương 1 Nguyên hàm 1.1

Các kiến thức liên quan 1.1.1

Đạo hàm

Định lí 1.1 (Đạo hàm của một số hàm số thường gặp). (c)0 = 0 với c là hằng số (x)0 = 1 (xn )0 = nxn−1 (sin x)0 = cos x (cos x)0 = − sin x (tan x)0 = 7

1 cos2 x

8

CHƯƠNG 1. NGUYÊN HÀM (cot x)0 = −

1 sin2 x

(ex )0 = ex (ln x)0 =

1 x

Định lí 1.2 (Quy tắc tính đạo hàm). Giả sử u(x), v(x) là các hàm số có đạo hàm trên khoảng xác định. Ta có: 1. (u ± v)0 = u0 + v 0 2. (u.v)0 = u0 v + uv 0 3.

u 0 v

=

u0 v − v 0 u v2

Định lí 1.3 (Đạo hàm của hàm hợp). Nếu u = u(x) có đạo hàm u0x và y = y(u) có đạo hàm yu0 thì hàm số hợp y = y[u(x)] có đạo hàm theo x là yx0 = yu0 .u0x Ví dụ 1.4. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2 a. y = x5 + x4 − x2 + 1. b. (2x3 − 3x2 + 1)2 3 Lời giải 8 a. Ta có y 0 = 5x4 + x3 − 2x2 3 6 b. Ta có y = 4x − 12x5 + 9x4 + 4x3 − 6x2 + 1 y 0 = 24x5 − 60x4 + 36x3 + 12x2 − 12x

1.1. CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

9

Ví dụ 1.5. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a.

y=

√

1 + 2x

2x2 + 3 1−x

b.

Lời giải

1 a. y 0 = √ 1 + 2x 2 (2x + 3)0 (1 − x) − (2x2 + 3)(1 − x)0 −2x2 + 4x + 3 b. y 0 = = (1 − x)2 (1 − x)2 Ví dụ 1.6. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

c. y = sin2 2x

f.

√ 1 + 2 ln x

Lời giải a. y 0 = 4 sin 2x cos 2x 1 b. y 0 = √ x 1 + 2 ln x

BÀI TẬP 1.1. Tính đạo hàm các hàm số sau: a. y = tan x + cos x 1 x4 c. y = 2 + + sin2 x x 2

b. y = ex + ln x + x2 2 d. y = x10 + x5 + ex 5

10

CHƯƠNG 1. NGUYÊN HÀM

1.1.2

Vi phân

Định nghĩa 1.7 (Vi phân). Cho y = f (x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm trên khoảng đó. Ta gọi tích vi phân của hàm số f (x) là hàm số được tính theo công thức sau: df (x) = f 0 (x) dx Ví dụ 1.8. Tính vi phân của các hàm số sau: a. y = 3x2 − 4x4 2 c. y = x−1

b. y = sin x + cos x d. y = sin2 2x Lời giải

a. dy = (6x − 16x3 ) dx b. dy = (cos x − sin x) dx 2 dx c. dy = (x − 1)2 d. dy = 4 sin 2x cos 2x dx

BÀI TẬP 1.2. Tính các vi phân sau: √ a. y = x2 + 5 b. y = ex + tan x

c. y = cot x + sin x 4 d y = e3x + x2 3

1.1. CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

1.1.3

11

Lũy thừa với số mũ hữu tỷ - số mũ thực

Định nghĩa 1.9.

Cho a ∈ R, n ∈ N, n ≥ 1, ta có: 1. an = a.a....a (n số a) 2. Nếu a 6= 0 thì a0 = 1 3. a−n =

1 an

Tính chất 1.10. Cho a, b 6= 0; m, n ∈ Z, ta có: am 1. am .an = am+n 2. n = am−n a m n mn 3. (a ) = a 4. (ab)n = an bn Tính chất 1.11. Cho a, b ∈ R+ ; m, n ∈ Z+ ; p, qZ, ta có: √ n a a √ 2. = n b b √ m n 4.a n = am

√ n

√ √ n 1. a.b = n a b q √ m √ n 3. a = m.n a

r n

Ví dụ 1.12. Rút gọn biểu thức: a. A = 25 25 25 3 b. B = 5 + 8 + 5 − 3 2 2 215 2 3 2 4 c. C = 8 4 + (5 ) − 3 r √ r 2 1 3 1 33 1 √ √ d. D = + + 4 25 3 3 2 4 2

Lời giải

45 + 23 24 − (23 )2 24

12

CHƯƠNG 1. NGUYÊN HÀM

(22 )5 210 7 6 + 2 − 2 = + 27 − 26 = 27 24 24 210 b.B = 52 + 8 − 53 − 22 = 52 − 53 = −452 = −100 2 c.C = (23 )2 (22 )3 + 58 − 212 = 58 1 1 32 d.D = + + 10 = 6 2 3 a.A =

BÀI TẬP 1.3. Rút gọn các biểu thức sau: 512 254 125 520 a. A = : 5√ √ 625 √ √ b. B = 3( 5 + 1)( 5 − 1) − 6 3 √ √ √ 1 6 3 3 c. C = 72 + 73 − 74 √ 3 72 √ √ 4 4 1 d. D = √ +√ +√ − 64 3 3 3 4 4 4 1.4. Rút gọn các biểu thức sau: 2x2 7x2 a.A = (1 + x2 )2 − x4 + − 3 √ √ 2 2 b.B = x − 2x x + 5x − 4x x + 4x x2 2x3 4 c.C = + − x2 (x2 + 1) + x3 2 3 3 e2x+1 + e d.D = − 1 + e2x e x2 1 x2 x3 e.E = √ − √ + √ − √ x x x x x x x √ √ 3 x 1 x2 x8 x √ √ √ f.F = √ + + − − 3 3 3 3 x3 x x x2 x4

1.2. NGUYÊN HÀM

13

1.2 1.2.1

Nguyên hàm

Khái niệm nguyên hàm

Định nghĩa 1.13. Cho hàm số f xác định trên D. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên D nếu F 0 (x) = f (x), với mọi x∈D Ví dụ 1.14. a) Hàm số F (x) = x3 là nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 trên R vì x3

0

= 3x2 , ∀x ∈ R

b) Hàm số F (x) = cos x là nguyên hàm của f (x) = sin x trên R vì (sin x)0 = cos x, ∀x ∈ R Nhận xét. Vì (C)0 = 0 với mọi hằng số C nên nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) thì F (x) + C cũng là một nguyên hàm của f (x). Ta gọi F (x) + C là họ tất cả các nguyên hàmR của f (x) trên D, ký hiệu là f (x) dx. Vậy Z f (x) dx = F (x) + C Ví dụ 1.15.

Z a) 5x4 dx = x5

Z b)

√ 1 √ dx = x+C 2 x

Z c)

ex dx = ex +C Lưu ý.

14

CHƯƠNG 1. NGUYÊN HÀM Z • Ký hiệu

f (x) dx cũng được dùng để chỉ một nguyên hàm

bất kỳ của hàm f .

• Mọi hàm số liên tục đều trên D đều có nguyên hàm trên D

1.2.2

Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Bài toán tìm nguyên hàm là bài toán ngược của bài toán tìm đạo hàm. Việc tìm nguyên hàm của một hàm số thường được đưa về tìm nguyên hàm của các hàm số đơn giản hơn. Xuất phát từ đạo hàm các hàm số thường gặp, ta xây dựng bảng nguyên hàm các hàm số tương ứng.

Z 0 1. Ta có (C) = 0 với mọi hằng số C ∈ R nên ta có 0 dx = C Z

0

2. Ta có (x) = 1 nên m 0

dx = x + C

xm m

0

= xm−1 .

3. Ta có (x ) = m.x . Suy ra Z xm Do đó xm−1 dx = + C Đặt n = m − 1, ta có: m Z xn+1 xn dx = +C n+1 m−1

Z 1 1 dx = ln |x| + C 4. Ta có (ln |x|) = . Do đó x x Z x 0 x 5. Ta có (e ) = e nên ex dx = ex + C 0

1.2. NGUYÊN HÀM x 0

15

x

6. Ta có (a ) = a . ln a. Suy ra

ax ln a

0

= ax . Do đó

ax +C a dx = ln a Z 0 7. Ta có (sin x) = cos x nên cos x dx = sin x + C Z

x

8. Ta có (cos x)0 = − sin x. Suy ra (− cos x)0 = sin x.

Z Do đó sin x dx = − cos x + C 1 9. Ta có (tan x) = nên cos2 x 0

Z

1 dx = tan x + C cos2 x

1 1 .

10. Ta có (cot x)0 = − 2 . Suy ra (− cot x)0 = sin x sin2 x Z 1 dx = − cot x + C Do đó sin2 x Ví dụ 1.16. Tìm các họ nguyên hàm sau:

Z a)

x

2016

Z dx

b)

Z

1 dx x2

c)

√

Z x dx

d)

Lời giải a) Ta có: Z

x2016 dx =

x2017 +C 2017

b) Ta có Z

1 dx = x2

Z

x−2 dx =

x−2+1 1 +C =− +C −2 + 1 x

1 √ dx 5 x3

16

CHƯƠNG 1. NGUYÊN HÀM

c)Ta có: Z

√

3

Z

1 2

x dx =

x dx =

x2 3 2

√ 2x x +C = +C 3

d) Ta có: Z

1 √ dx = 5 x3

Z x

− 53

1.2.3

√ 3 5 5 x2 x− 5 +1 +C = dx = 3 +C 2 −5 + 1

Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1.17. Ta có các tính chất sau: 1. Nguyên hàm của tổng (hiệu) bẳng tổng (hiệu) các nguyên hàm Z

Z [f (x) ± g(x)] dx =

Z f (x) dx ±

g(x) dx

2. Đưa hằng số ra ngoài Z Z k.f (x) dx = k f (x) dx (k 6= 0) Ví Zdụ 1.18. Tìm các họ nguyên Zhàm

sau:

5 3 2 x x a.

4x − 3x − 2 dx b.

2e − + 3 dx x Z Z 2x2 − 5x + 7 2 sin2 x − 9 cos2 x c. dx d. dx x sin2 x cos2 x

1.2. NGUYÊN HÀM

Z a.

Lời giải Z Z Z

3 2 3 2 4x − 3x − 2 dx = 4x dx − 3x dx − 2 dx

3 = xZ5 − x + x + C Z Z Z 1 2 x x x dx + 3x dx b. dx = 2 e dx − 5 2e − + 3 x x 3x = 2ex − 5 ln |x| + +C ln 3 Z Z Z Z 2x2 − 5x + 7 7 c. dx = 2x dx − 5 dx + x x 2 = xZ − 5x + 7 ln |x| + C Z Z 9 2 2 sin2 x − 9 cos2 x dx − dx = dx d.

2 2 2 cos x sin x cos x sin2 x = 2 tan x + 9 cot x + C

17

18

CHƯƠNG 1. NGUYÊN HÀM

BÀI TẬP 1.5.Z a.

Z b.

Z c.

Z d.

Z e.

Z f.

Tìm các họ nguyên hàm sau: √ 3x7 − 2x3 − x dx

√ 1 3 2 x+3− √ dx x

(3x2 − 1)(2x + 3) dx √ √ x( x − 1)(x + 2) dx

1 2 sin x + 3 cos x − dx x sin2 x + 2 cos2 x dx sin2 x cos2 x

1.6.Z Tìm √ các họ nguyên hàm sauZ x+ x+1 x3 − 2x2 − x + 1 √ √ a. dx b. dx 3 x x x Z Z 1 sin2 x + 2 cos2 x dx d. dx c.

2 2 2 sin x cos x sin x cos2 x

1.3. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

1.3

19

Một số phương pháp tìm nguyên hàm 1.3.1

Phương pháp dùng vi phân

Để áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản, ta cần dùng phương pháp vi phân như sau: Tính chất 1.19. Nếu F là một nguyên hàm của f , tức là Z f (u) du = F (u) + C thì Z

0

f [u(x)] u (x) dx =

Z f [u(x)] d (u(x)) = F [u(x)] + C

Ví dụ Z1.20. Tìm các họ nguyên hàmZ sau: a. I = (5x − 3)7 dx b. I = e3x+2 dx Z c. I = sin(2x + 7) dx Lời giải a. Ta có: d(5x − 3) = 5 dx. Suy ra dx =

1 d(5x − 3). Thay vào 5

ta có: Z I=

1 1 (5x − 3) . d(5x−3) = 5 5 7

Z

(5x − 3)7 d(5x−3) =

5x − 3 +C 24

20

CHƯƠNG 1. NGUYÊN HÀM

b. Ta có d(3x + 2) = 3 dx. Suy ra dx =

1 d(3x + 2). Thay vào 3

ta có: Z Z 1 1 3x+2 1 I= e d(3x + 2) = I = e3x+2 d(3x + 2) = e3x+2 + C 3 3 3 c. Ta có d(2x + 7) = 2 dx. Suy ra dx =

1 d(2x + 7). Thay vào 2

ta có: Z I=

1 1 sin(2x + 7) . d(2x + 7) = 2 2 =

Z sin(2x + 7) d(2x + 7)

1 cos(2x + 7) + C 2

Ví dụ Z1.21. Tìm các họ nguyên hàm sau: Z 13 ex 2 dx a. I = x x + 2 dx b. I = ex + 3 Z √ 3 + ln x c. I = dx x Lời giải Z 13 13 1 2 a. I = x + 2 .x dx = x2 + 2 d(x2 + 2) 2 14 (x2 + 2) = +C 28 Z Z x d(ex + 3) e b. I = dx = = ln |ex + 3| + C x x e +3 Z √ Ze + 3 1 dx c. I = 3 + ln x. = (3 + ln x) 2 . d(3 + ln x) x √ 3 (3 + ln x) 2 2(3 + ln x) 3 + ln x = +C = +C 3 3 2 Z

1.3. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

1.3.2

21

Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ Z1.22. Tìm các họ nguyên hàm sau: Z x3 7 a. I = x (x − 2) dx b. I = dx 2 Z x√+ 1 Z 2 ln x − 1 d. I = x x2 − 2 dx c. I = dx x ln x Lời giải a. Đặt u = Zx − 2 ⇒ x = u + 2Z⇒ dx = du.

u8 u9 Ta có: I = (u + 2) u7 du = +2 +C u8 + 2u7 du = 9 8 =

(x − 2)9 (x − 2)8 +2 +C 9 8

b. Đặt u = x2 + 1 ⇒ x2 = u − 1 ⇒ 2x dx = du ⇒ x dx =

du .

2

Ta có:

Z 2 Z Z x .x dx u−1 1 1 1 1 I= = du = 1− du = (u − ln |u|)+C 2 x +1 2 u 2 u 2 x2 + 1 − ln(x2 + 1) +C 2 dx c. Đặt u = ln x ⇒ du = . Ta có: x

Z Z 2u − 1 1 I= du = 2− du = 2u−ln |u|+C = 2 ln x−ln | ln x|+C u u √ d. Đặt u = x2 − 2 ⇒ u2 = x2 − 2 ⇒ 2u du = 2x dx. Ta có: Z p u3 I = u2 du = + C = (x2 − 2)3 + C 3 =

22

CHƯƠNG 1. NGUYÊN HÀM

BÀI TẬP 1.7.Z Tìm các họ nguyên hàm sau:Z √ 5 a.

3x − 2 dx b. dx Z Z 2 − 7x

x c. e4x+1 + 2 cos 5x dx d. dx 2 − x2 1.8.Z a.

Z c.

Z e.

Tìm các họ nguyên hàm sau:Z x ln x (1 + 2 ln x) dx dx b.

1 + x2 x Z √ ex 5 √ dx d. x x3 + 1 dx ex + 1 Z √ x2 2 3 x x + 2 dx f. dx x3 + 1

1.3.3

Phương pháp nguyên hàm từng phần

Định lí 1.23. Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên D thì Z

0

u(x)v (x) dx = u(x)v(x) =

v(x)u0 (x)

(1.1)

Công thức (1.1) được gọi là công thức nguyên hàm từng phần và thường được viết gọn lại dưới dạng: Z Z u dv = uv − v du Ví dụ Z1.24. Tìm các họ nguyên Z hàm sau: Z x a. I = (x − 1)e dx b. I = x cos x dx c. I = x2 ln x dx Lời giải

1.3. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

a. Đặt

  u=x−1 dv = ex dx x

I = (x − 1)e −   u=x

Z

⇒

  du = dx

. Ta có:

 v = ex

ex dx = (x − 1)ex − ex + C = xex − 2ex + C   du = dx

. ⇒  v = sin x dv = cos x dx Z Ta có: I = x sin x − sin x dx = x sin x + cos x + C   1   u = ln x  du = dx x . c. Đặt ⇒ 3 dv = x2 dx   v=x 3 Z 2 x3 ln x x x3 ln x x3 Ta có: I = − dx = + +C 3 3 3 6 b. Đặt

BÀI TẬP 1.9.Z a.

Z c.

Z e.

23

Tìm các họ nguyên hàm sau:Z b. ln x dx xe2x dx Z d. x cos(2x − 1) dx (2x + 1) sin x dx Z (2x − 1)ex dx f. x3 ln x dx

BÀI TẬP ÔN TẬP 1.10. Tìm các họ nguyên hàm sau:

24

CHƯƠNG 1. NGUYÊN HÀM Z

4

2

(6x − 3x + 5x + 8) dx b.

a.

Z

(2e2x +

25 + 4x ) dx x2

Z √ −4 sin2 x + 5 cos2 x x + ex ) dx d.

(2 dx c.

2 2 sin x cos x Z Z √ 2 7x3 + 25x + 5 f. x(x + 1) + ex dx e. dx x Z

1.11. các họ nguyên hàm sau: Z Tìm Z 2 x + 3x + 1 1 √ a. dx b. dx Z 1+ x+1 Z 2 x+2 x +x d. ln(x − 4) dx c. dx Z √ Z 2x + 1 f. x2 + 1 dx e. x3 ex dx Z Z h. sin xex dx g. x sin 2x dx

Chương 2 Tích phân

2.1 2.1.1

Tích phân

Khái niệm tích phân

Định nghĩa 2.1. Cho hàm số f liên tục trên D và hai số a, b bất kỳ thuộc D. Nếu F là một nguyên hàm của f trên D thì tích phân Rb của f từ a đến b được tính như sau: f (x) dx = F (b) − F (a) a

Ví dụ 2.2. Tính các tích phân sau: 25

26

CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN Z1

a.

Ze b.

cos 3x

Zln 2 d. e−x dx

0

1 π 6

Z c.

0

0

Z1 e.

1 dx x

5x4 dx

Z1 (2x + 1)2016 dx

f.

√ 2 + 3x dx

0

0

Lời giải

a. I = x5 21 = 1 b. I = ln |x| |e1 = ln e − ln 1 = 1

π

6 1 c. I = sin 3x

= 1 3

ln 20

1 d. I = −e−x

= − e− ln 2 − e0 = 2 0

2.1.2

Tính chất tích phân

Ngoài các tính chất của nguyên hàm, tích phân có một số tính chất sau: Za 1. Tích phân tại một giá trị của biến bằng 0: f (x) dx = 0 a

Zb

Za f (x) dx = −

2. Đảo cận thì đổi dấu a

Z

Zc

b

f (x) dx =

3. Tách cận: a

b

Zb f (x) dx, ∀c ∈ [a, b]

f (x) dx + a

f (x) dx

c

2.1. TÍCH PHÂN

27

Ví dụ 2.3. Tính các tích phân sau: Zln 2 Z2 b. I = (ex + 3x) dx a. I = (x3 + 4x − 2) dx 0

1

Z4 c. I =

π

Z4

√ 2 x − x dx

d. I =

0

cos2 x dx

0

Lời giải a. Ta có:

I= b. Ta có:

2

31 x4 2 + 2x − 2x

= 4 4 1

ln 2 3 3x2

x = 1 + ln2 2 I= e +

2 2 0

c. Ta có: Z4 I=

√

(x2 − 2x x + x) dx =

0

Z4

3

(x2 − 2x 2 + x) dx

0 5

=

x2 x3 2x 2 − 5 + 3 2 2

!

2 56

=

15 1

d. Ta có: π

Z4 I=

1 + cos 2x 1 dx = 2 2

sin 2x x+ 2

0

BÀI TẬP

π4

=π+1

8 4 0

28

CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN

2.1. Tính các tích phân sau: π Z6 Z1 1 e2x−7 dx b. dx a. cos2 2x 0

0

Z3 d.

(2x − 1)7 dx

Z4 e.

2

√ 3 2x + 1 dx

π c. sin 2x + dx 3 Z0 4 dx f.

(3 − 5x)3 −1

0

2.2. Tính các tích phân sau: 2 Z4 Z3 Z1 √ 2 a. (2x + x) dx b. dx c. x (x − 2)20 dx x+ x 1

1 π 6

Z

Z2 2

sin 3x dx

d.

0

e.

0

0

√ x2 x3 + 1 dx

Ze f.

2

1 dx x ln x

2.2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHÂN

2.2

29

Một số phương pháp giải tích phân

2.2.1

Kỹ thuật phân tích tích phân hữu tỷ

Z Ta đã biết nếu gặp dạng bài toán tìm nguyên hàm sau: dx I= (1) thì ta có thể dùng vi phân hoặc đặt ẩn phụ ax + b 1 để đưa được về: I = ln |ax + b|. a Z dx Vậy với bài toán dạng I = và các dạng tích phân ax2 + bx + c có chứa hàm hữu tỷ khác thì ta làm thế nào? Trong phần này ta sẽ lần lượt sử dụng kỹ thuật phân tích để giải đưa một bài toán tìm tích phân có hàm hữu tỷ phức tạp về dạng (1).

Bài toán 2.4. Tìm nguyên hàm của Z 1 I= dx (x + a)(x + b)

(a 6= b)

Lời giải Ta có: (x + a) − (x + b) = a − b. Do đó, ta có: Z a−b (x + a) − (x + b) 1 I= dx = dx a − b)(x + a)(x + b) a−b (x + a)(x + b)

Z 1 1 1 1 = − dx = (ln |x + b| − ln |x + a|)+C a−b x+b x+a a−b

x + b

1

+C = ln

a − b x + a

Z

30

CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN

Ví dụ 2.5. Tính các tích phân sau: Z5 Z4 Z2 1 1 1 dx b. dx b. dx a.

2 2 2 x −x−2 2x − 5x + 2 x − 6x + 9 4

3

0

Lời giải Z5 a. Ta có: I =

1 1 dx = (x + 1)(x − 2) 3

4

1 = 3

Z2 1

Z4

b. Ta có: I =

2

1 dx = (ln |x − 2| − ln |x + 1|)

3 1

1 dx = (2x − 1)(x − 2)

3

2 = 3

Z4

(x + 1) − (x − 2) dx (x + 1)(x − 2)

4

1 1 − x−2 x+1

1 5 = ln 3 4

Z5

Z4

2 dx (2x − 1)(2x − 4)

3

2 (2x − 1) − (2x − 4) dx = (2x − 1)(2x − 4) 3

3

Z4

1 1 − 2x − 4 2x − 1

3

1 10 = ln 3 3

Z2

c. Ta có: I = 0

2 1 1

2 dx = − =

2 (x − 3) x−3 0 3

Ví dụ 2.6. Tính các tích phân sau: Z0 Z1 3x − 1 5x − 13 a. I = dx b. I = dx 2 2 x − 5x + 6 x − 6x + 9 −1

0

Z2 c. I =

1 dx + 1)

x(x2 1

dx

2.2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHÂN

31

Lời giải Z1 a. I =

Z1

5x − 13 dx = (x − 2)(x − 3)

0

Z1 =

5(x − 2) − 3 dx (x − 2)(x − 3)

0

3 5 − x − 3 (x − 2)(x − 3)

Z1

0

dx =

5 dx x−3

0

Z1 −3

(x − 2) − (x − 3) dx (x − 2)(x − 3)

0

Z1 =

3 2 + x−3 x−2

2

dx = (2 ln |x − 3| + 3 ln |x − 2|)

0

0

= −2 ln 3 − 3 ln 2

Z0 Z0 Z0 8 3(x − 3) + 8 3 3x − 1 dx = dx = + b. I = dx (x − 3)2 (x − 3)2 x − 3 (x − 3)2 −1 −1 0 −1

3 2 8

= 3 ln + = 3 ln |x − 3| − x − 3 −1 4 3 2 2 Z Z2 Z dx x (x2 + 1) − x2 c. I = dx = − dx 2 2 x(x + 1) x x +1 1

1

1

2 Z2

1 d(x2 + 1) = ln |x|

− 2 x2 + 1 1 1

2

1 2 1 = ln |x| − ln |x2 + 1|

= ln 2 + ln 2 2 5 1

BÀI TẬP 2.3. Tính các tích phân sau:

32

CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN Z1

a.

Z2

1 dx 2 x + 8x + 12

b.

3x2

0

1

Z1

Z1

c.

x2

1 dx − 10x + 25

d.

x2

0

−1

Z4

Z2

e.

2x − 1 dx − 4x + 1

f.

4x2 0

1 dx + 10x + 3

5x − 13 dx − 7x + 10

1 dx x(2x2 + 3)

1

2.2.2

Kỹ thuật dùng vi phân

Ví dụ 2.7. Tính các tích phân sau: Z0 Z1 3 4 3 b. I = a. I = x (1 + x ) dx −1

0

Z2 c. I =

x3 dx x2 + 1

x dx (x + 1)3

1

Lời giải d(1 + x4 ) a. Ta có: d(1 + x4 ) = 4x3 dx ⇒ x3 dx = . Do đó: 4

1 Z1 4 1 (1 + x4 )4

15 4 3 d(1 + x ) = = I = (1 + x )

4 4 4 16 0 0

d(x2 + 1) b. Ta có d(x2 + 1) = 2x dx ⇒ x dx = 2 0 Z0 Z x2 (x2 + 1) − 1 d(x2 + 1) I= x dx = . x2 + 1 x2 + 1 2 −1

−1

2.2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHÂN Z0

1 = 2

1 1− 2 x +1

−1

33

0 1 2 2 d(x + 1) = (x + 1) − ln |x + 1|

2 −1 2

1 1 = − + ln 2 2 2 Z2 Z2 Z2 1 1 (x + 1) − 1 dx = dx − dx c. I = 3 2 (x + 1) (x + 1) (x + 1)3 1

1

Z2 =

(x + 1)−2 dx −

1

=

Z2

1

(x + 1)−3 dx =

1 −1 + x + 1 2(x + 1)2

2

1

1

7 72

BÀI TẬP 2.4. Tính các tích phân sau: Z1 Z1 Z1 a. x(x − 1)30 dx b. x2 (1 − x3 )6 dx c.

0

Z1 d.

0

x3 dx (x2 + 1)3

0

0

Z2

Z2

e.

√

x dx x2 + 1

5x dx + 4)2 1 dx + 1)

x(x4 1

1

2.2.3

f.

(x2

Phương pháp đặt ẩn phụ

Bài toán 2.8. Tính tích phân I = f [u(x)]u0 (x) dx Phương pháp.

• Đặt u = u(x) ⇒ du = u0 (x) dx • Đổi cận: x = a ⇒ u = u(a);

x = b ⇒ u = u(b)

34

CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN Zu(b) • Khi đó I = f (u) du u(a)

Lưu ý. u(x) thường nằm dưới mẫu, trong dấu lũy thừa, trên mũ, trong hàm lượng giác hay cả dấu căn, logarit.

Ví dụ 2.9. Tính các tích phân sau: Z1 √ Z4 4x − 1 √ dx a. x3 1 − x2 dx b.

2x + 1 + 2 0

Z6 c.

0 √

Z8

1 √ dx 2x + 1 + 4x + 1

d. √

2

1 dx x x2 + 1 √

3

Lời giải Z1 a. Ta có: I = Đặt u =

√

√ x2 .x 1 − x2 dx

0

1 − x2 ⇒ u2 = 1 − x2 ⇒ u du = x dx

Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1, x = 1 ⇒ u = 0. Ta có: Z0 I=−

2

Z1

(1 − u )u. du = 1

2

4

(u − u ) du = 0

√

u3 u5 − 3 5

1

=2

5 0

(u − 2)2 − 1 ⇒ dx = (u − 2) du 2 Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 3, x = 4 ⇒ u = 5. Ta có:

b. Đặt u =

Z5 I= 3

2x + 1 + 2 ⇒ x =

(2(u − 2)2 − 3)(u − 2) du = u

Z5 3

2u3 − 12u2 + 21u − 10 du u

2.2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHÂN

35

5

34 2 3 3 2 = ( u − 6u + 21u − 10 ln u)

= + 10 ln 3 5 5 3 √ u2 − 1 u 4x + 1 ⇒ x = ⇒ dx = du 4 2 Đổi cận: x = 2 ⇒ u = 3, x = 6 ⇒ u = 5. Ta có: c. Đặt u =

Z5 I= 3

Z5 =2

u du = u2 −1 2. 4 + 1 + u

du −2 u+1

3

Z5

Z5

2u du = (u + 1)2

2(u + 1) − 2 du (u + 1)2

3

3

du = (u + 1)2

Z5

2 2 ln |u + 1| + u+1

5

= 2 ln 3 − 1

2 6

3

3

√

u x2 + 1 → x2 = u2 − 1 → dx = du x √ √ Đổi cận: x = 3 → u = 2, x = 8 ⇒ u = 3. Ta có:

d. Đặt u =

Z3 I=

1 1 du = u2 − 1 2

Z3

(u + 1) − (u − 1) du (u − 1)(u + 1)

2

2

3 1

u − 1

1 3 = ln

= ln

2 u+1 2 2 2

BÀI TẬP

2.5. Tính các tích phân sau:

36

CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN Zln 5

a.

Ze

ex √ x dx e −1

ln x dx x(2 + ln x)2

b.

1 √

ln 2 Ze

Z5

1 + ln3 x dx c. x 2 Ze √ 1 + 3 ln x. ln x e. dx x

d. √

6

Ze f.

1

x3 √ dx 1 + 3 x4 + 1

1 dx x(ln x − 3 ln x + 2) 2

1

2.2.4

Phương pháp lượng giác hóa Phương pháp.

• Đặt x = ϕ(t) ⇒ dx = ϕ0 (t)dt • Đổi cận: x = a ⇒ t = α; x = b ⇒ t = β (trong đó ϕ(α) = a, ϕ(β) = b) Zβ • Khi đó

f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt

α

Lưu ý. π π 1 thì đặt x = |a| tan t, t ∈ − ; • Với dạng tích phân 2 a + x2 2 2 h √ π πi 2 2 • Với dạng tích phân a − x thì đặt x = |a| sin t, t ∈ − ; 2 2 h π πi √ |a| \{0} • Với dạng tích phân x2 − a2 thì đặt x = ,t∈ − ; sin t 2 2 Ví dụ 2.10. Tính các tích phân sau:

2.2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHÂN Z1 a.

Z1 √ b.

1 − x2 dx

1 dx 1 + x2

0

Z2 c.

37

0

√

1 √ dx x x2 − 1

2

Z2 d.

√2 3

√

1 dx 1 − x2

0

Lời giải π π 1 dt = (1+tan2 t) dt a. Đặt x = tan t, t ∈ − ; ⇒ dx = 2x 2 2 cos π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = . Ta có: 4 π

Z4

1 π (1 + tan2 t) dt = 2 1 + tan t 4

0

h π πi b. Đặt x = sin t, t ∈ − ; ⇒ dx = cos t dt 2 2 π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = . Ta có: 2 π

Z2 p π 1 − sin2 t cos t dt = 4 0

h π πi 1 − cos t ,t ∈ − ; ⇒ dx = dt sin t 2 2 sin2 t π 2 π Đổi cận: x = 2 ⇒ t = ; x = √ ⇒ t = . Ta có: 6 3 3 c. Đặt x =

π

Z6 π 3

− cos t π r dt = 2 6 cos t sin t 2 sin t

38

CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN

hπ π i ; ⇒ dx = cos t dt d. Đặt x = sin t, t ∈ 2 2 √ 2 π ⇒ t = ; x = 0 ⇒ t = 0 Ta có: Đổi cận:x = 2 4 π Z4 0

π

4 π p dt = t

= 4 1 − sin2 t 0 cos t

BÀI TẬP 2.6. Tính các tích phân sau: √ Z2 3 Z1 1 1 b. a. dx dx 2 3+x 4 + x2 d. −2

9x2 0

√

√ x2 4 − x2 dx

dx dx +4

c.

0

0

Z2

2

Z3 Z1

3 2

Z √ 1 − x2 dx e.

2 x √

f.

√ x3 1 − x2 dx

0

2 2

2.2.5

Phương pháp tích phân từng phần Zb

Bài toán 2.11. Tính tích phân I =

u(x).v 0 (x) dx

a

( Phương pháp. Đặt

u = u(x)

( ⇒

du = u0 (x) dx

. v = v(x)

b Z b

Khi đó ta có: I = u(x).v(x)

− v(x) dx dv = v 0 (x) dx

a

a

2.2. Máť˜T Sáť? PHĆŻĆ NG PHĂ P GIẢI TĂ?CH PHĂ‚N

39

Nháş­n xĂŠt. PhĆ°ĆĄng phĂĄp tĂ­ch phân tᝍng phần thĆ°áť?ng đưᝣc sáť­ d᝼ng khi u(x) vĂ v(x) thĆ°áť?ng lĂ hai kiáťƒu hĂ m khĂĄc nhau, khĂ´ng tháťƒ dĂšng phĆ°ĆĄng phĂĄp đạt Ẋn ph᝼ hay phĆ°ĆĄng phĂĄp lưᝣng giĂĄc hĂła Ä‘áťƒ giải.

Lưu ý. Trong tích phân tᝍng phần ta thư�ng gạp cåc trư�ng hᝣp sau: Z • I = {P (x); ln x} dx. Trong đó P (x) là hà m đa thᝊc.

Khi đó ta đạt u = ln x Z • I= P (x); ex , sin x, cos x,

1 1 , 2 2 cos x sin x

dx.

Trong đó P (x) là hà m đa thᝊc. Khi đó ta đạt u = P (x) Ngư�i ta thư�ng t᝕ng kết thᝊ t᝹ ưu tiên trong phưƥng phåp tích phân tᝍng phần thà nh m᝙t câu khẊu quyết như sau: "NhẼt lô, nhÏ đa, tam lưᝣng, tᝊ mŊ" có nghĊa là thᝊ t᝹ ưu tiên: 1. Hà m logarit 2. Hà m đa thᝊc 3. Hà m lưᝣng giåc 4. Hà m mŊ Ví d᝼ 2.12. Tính cåc tích phân sau: π Z1 Z2 a. I = (2x + 1)ex dx b. I = x sin 2x dx 0

0

Ze c. I = 1

(x2 − 2x + 2) ln x dx

40

CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN Lời giải

a. Đặt

  u = 2x + 1

⇒

 dv = ex dx

  du = 2 dx

.

 v = ex

Ta có:

1

1 Z1

x x x

I = (2x + 1)e − 2 2e dx = [(2x + 1)e − 2e ] = e + 1 x

0

0

0

  du = dx ⇒ . b. Đặt  v = − 1 cos 2x  dv = sin 2x dx 2 Ta có:   u=x

π

π Z2

π2

2

−x π 1 1

I= cos 2x + cos 2x dx = x sin 2x + sin 2x

= 2 2 4 4 0 0 1

 1   du = dx x . Ta có: c. Đặt ⇒ 3  dv = (x2 − 2x + 2) dx   v = x − x2 + 2x 3   u = ln x

e Z e

x3 2 I = ( − x + 2x) ln x

+ 3 1

x3 3

− x2 + 2x dx x

1

=

e Z e 2

x3 x 2 − x + 2x ln x

+ −x+2 dx 3 2 1 1

=

e

x3 x3 x2 2 3 11 2 − x + 2x ln x + − + 2x

= e3 − e2 +4e− 3 3 2 3 2 6 1

2.2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHÂN

41

BÀI TẬP

2.7. Tính các tích phân sau: Z1

(x − 2)e2x dx

a.

Z1 b.

0 π

Z2

(e−2x + x)ex dx c.

0

0

Z3

ln x dx x3

2

2.8. Tính các tích phân sau: Z1 Z1 √ x b. (2x + xex ) dx a. x e dx 0 π

Z2 d.

x(1 + cos x) dx

c.

0

0

Z2

π

(x2 + 2x)ex dx f.

0

0

Zπ

Z1 (2x − 1) cos x dx e.

ln(x2 − x) dx

f.

1

0

x(2 + sin x) dx

Z2 (x + 1) sin 2x dx e.

d.

π

Z2

(2x + 2) cos x dx 0

2.9. Tính các tích phân sau: π

Z2

2

(x − 2x + 3) sin x dx

a.

Z1 ln(2x + 1) dx

b.

0

0

Z2

Z1

c.

d.

ln(1 + x) dx x2

Ze 3 f.

2x − 2 ln x dx x

0

1

Z2 e.

1

(4x2 − 2x − 1)e2x dx

(x − 2) ln x dx

2

42

CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN

2.3 2.3.1

Tích phân hàm số lượng giác Phương pháp biến đổi lượng giác

Phương pháp. Các phép biến đổi lượng giác thường gặp trong giải toán tích phân: 1. Mối liên hệ giữa các hàm lượng giác sin2 x + cos2 x = 1 tan x =

cos x sin x , cot x = cos x sin x

1 + tan2 x =

1 cos2 x

1 + cot2 x =

1 sin2 x 2. Công thức hạ bậc

sin2 x =

1 − cos 2x 2

cos2 x =

1 + cos 2x 2

3. Công thức biến tích thành tổng 1 • cos x cos y = (cos(x − y) + cos(x + y)) 2 1 • sin x sin y = (cos(x − y) − cos(x + y)) 2 1 • sin x cos y = (sin(x − y) + sin(x + y)) 2

2.3. TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

43

Ví dụ 2.13. Tính các tích phân sau: π π Z2 Z2 b. I = cos 3x cos x dx a. I = sin2 x dx 0

0 π

π

Z2

Z2 cos 3x(cos 3x − 1) dx

c. I =

d. I =

0

cos2 x, dx

0

Lời giải π

π

π

Z2

Z2

Z2

1 − cos 2x 1 dx = 2 2

a. I = 0

dx −

1 2

0

cos 2x dx 0

π

π

2 x

2 1 π = − sin 2x

= 2 0 4 4 0 π

1 b. I = 2

Z2 0

π

π

2 1

2 1 (cos 2x + cos 4x) dx = sin 2x

+ sin 4x

= 0 4 8 0 0 π

π 2

Z2

Z

π

Z2 (1+cos 6x) dx− cos 3x dx

1 + cos 6x 1 −cos 3x) dx = 2 2 0

π 0

π

π 2 2 2

x sin 6x

sin 3x

π 1 =

+ − = +

2 0 12 0 3 0 4 3 π π π 2 2 Z Z Z2 1 + cos 2x 1 1 d. I = dx = dx + cos 2x dx 2 2 2 (

c. I =

0

0

0

π

π

2 x

2 1 π = + sin 2x

= 2 0 4 4 0

0

44

CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN

2.3.2

Phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp. "Lẻ sin đặt cos, lẻ cos đặt sin" Ví dụ 2.14. Tính các tích phân sau: π π Z2 Z4 a. I = cos3 x dx b. I = sin2 x tan x dx 0

0 π 4

Z

π

Z2

sin5 x dx

c. I =

tan x dx

d. I =

0

0 π 2

Z

π

Z2

1 dx sin x

e. I =

f. I =

0

cos2

1 dx x sin x

0

Lời giải π

Z2 a. I =

(1 − sin2 x) cos x dx.

0

Đặt t = sin x ⇒ dt = cos x dx π Đổi cận : x = ⇒ t = 1; x = 0 ⇒ t = 0 Ta có : 2 Z1 I= 0

1 t3

2 (1 − t ) dt = t − =

3 0 3 2

π

Z4 b. I =

1 − cos2 x sin x dx cos x

0

Đặt t = cos x ⇒ dt = − √sin x dx π 2 ;x = 0 ⇒ t = 1 Đổi cận: x = ⇒ t = 4 2

2.3. TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

45

Ta có : Z1 I= √ 2 2

√

1

Z1 2 1

1 − t2 1 t 2 1 dt = − t dt = ln t

√ −

√ = − ln − t t 2 2 4 2 2 √ 2

2 2

2

π

Z4 c. I =

(1 − cos2 x)2 sin x dx

0

Đặt t = cos x ⇒ dt = √ − sin x dx π 2 Đổi cận x = ⇒ t = ;x = 0 ⇒ t = 1 4 2 Ta có : Z1 Z1 2 2 I = (1 − t ) dt = (1 − 2t2 + t4 ) dt √

√ 2 2

2 2

√

1 2 3 t5

8 43 2 = (t − t + ) √ = − 3 5 15 120 2 2

π 4

Z d. I =

sin x dx cos x

0

Đặt t = cos x ⇒ dt = − √sin x dx π 2 Đổi cận: x = ⇒ t = ;x = 0 ⇒ t = 1 4 2

1 Z1 √

1 Ta có I = dt = ln t

√ = ln 2 t 2 √

2 2

π

Z2 e. I = π 3

sin x dx 1 − cos2 x

2

46

CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN

Đặt : t = cos x ⇒ dt = − sin x dx π 2

Đổi cận x =

⇒ t = 0; x =

π 3

⇒t=

1 2

Ta có 1

1

1

Z2

Z2

Z2

I=

1 1 dt = 2 1−t 2

0

1 1 dt + 1−t 2

0

1 dt 1+t

0

1

1

2 1

2 1 1 = − ln |1 − t|

+ ln |1 + t|

= ln 3 2 2 2 0 0 π

Z3 f. I =

sin x dx (1 − cos2 x) cos2 x

π 6

Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin x dx √ 1 π π 3 Đổi cận x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = 3 2 6 2 Ta có √

I= 1 2

√ 3

3

Z2

1 dt = (1 − t2 )t2

Z2

√

2

2

1−t +t dt = (1 − t2 )t2

1 2

1 2

√

3

Z2

1 dt + t2

3

Z2

1 dt 1 − t2

1 2

√ √

√3

3 1

2 1

1 + t

2 1 7+4 3 2 = − + ln

= ln | − √ +2 1

t 1 2 1−t 2 3 3 2 2 Ví dụ 2.15. Tính các tích phân sau:

2.3. TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC π

π

Z2

Z2

a. I =

sin 2x cos x dx 1 + cos x

b. I =

0

47

1 − 2 sin2 x dx 1 + sin 2x

0 π

π

Z4

Z2

c. I =

√

sin 2x dx 1 + cos 2x

d. I =

0

esin x + cos x cos x dx

0 π

π

Z2

Z2

e. I = 0

√

sin 2x cos2

2

x + 4 sin x

dx

f. I =

sin2 x tan x dx

π 6

Lời giải π

Z2 a. Ta có: I =

2 cos2 x sin x dx.

1 + cos x

0

Đặt u = cos x ⇒ du = − sin x dx π Đổi cận : x = ⇒ t = 1; x = 0 ⇒ t = 0 2 Ta có Z1 Z1 Z1 2t2 2 I= dt = dt + (2t + 2) dt 1+t t+1 0 0 0

1

1

= 2 ln |t + 1|

+ (t2 − 2t)

= 2 ln 2 − 1 0

π 2

cos2 x − sin2 x dx = b. I = (sin x + cos x)2 0

π

2 = ln | sin x + cos x|

= 0 Z

π

Z4 c. Ta có: I = 0

0

π 2

Z 0

0

sin 2x p dx 3 − 2 sin2 x

d(sin x + cos x) sin x + cos x

48

CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN p 3 − 2 sin2 x ⇒ t2 = 3 − 2 sin2 x

Đặt t =

⇒ 2t dt = −4 sin x cos x dx = −2 sin 2x dx √ Đổi cận x = 0 ⇒ t = 3; x = π2 ⇒ t = 1 Ta có:

√

Z3 I=

√3 √

dt = t

= 3 − 1 1

1 π

π

Z2

Z2

d. I =

esin x cos x dx +

0

cos2 x dx.

0

Ta có:

π

Z2

sin x

e

I1 =

d(sin x) = e

π

2

=e−1

sin x

0

0 π

Z2 I2 =

1 + cos 2x dx = 2

t sin 2x + 2 4

0

Do đó: I=

π +e−1 4

π

Z2 e. I = 0

2 sin x cos x √ dx 1 + 3 sin2 x

Đặt t = sin x ⇒ dt = cos x dx π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 1 2 Z1 2t √ I1 = dt 1 + 3t2 0

π2

=π

4 0

2.3. TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Đặt u =

√

49

1 + 3t2 ⇒ u2 = 1 + 32 ⇒ 2u du = 6t dt

Đổi cận t = 1 ⇒ u = 2; t = 0 ⇒ u = 1

2 Z2 2 2 2

Ta có I = du = u = 3 3 1 3 1

π

Z3 f. Ta có: I =

sin3 x dx cos x

π 6

Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin x dx √ π 1 π 3 Đổi cận: x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = Ta có : 6 2 3 2 √ 3

Z2 I= 1 2

√ 3

2

1−t dt = t

Z2

√

dt − t

1 2

3

Z2

√3

√3 2 2 √

t 2 1 t dt = ln t

−

= ln 3 − 2 1 4 1 2

1 2

2

BÀI TẬP 2.10. Tính các tích phân sau: π Z3 sin x dx a.

1 + cos 2x

π

Z2 b.

π 4

π 4 π 3

Z c.

π

sin3 x cos4 x dx

Z2 d.

π 2

sin x dx 1 + cos2 x

0 π 2

Z e.

sin2 x cos5 x dx

π

3 sin x − 4 sin3 x dx 1 + cos x

0

2.11. Tính các tích phân sau:

Z3 f. π 6

cos x dx 1 + sin2 x

50

CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN π

π

π

Z2

Z2

Z4

a.

sin3 x dx

b.

0

Zπ d.

x (1 + cos2 ) dx c.

2

0

cos4 x dx

0

0

π

π

Z4

Z3

e.

tan2 x dx

π 6

cos3 x dx sin2 x

π

Z4 b.

π 6

1 dx sin x cos2 x 2

π 6

π 2

π

Z p 1 + sin2 x sin 2x dx c.

Z2 d.

0

sin 2x dx 4 − cos2 x

0 π

π 6

Z2

Z

cos 2x cos 4x dx 0

f.

0

2.12. Tính các tích phân sau: π Z3 1 a. dx 2 sin x cos x

e.

cos2 x sin3 x dx

f.

0

cos3 x − 1 cos2 x dx

Chương 3 Ứng dụng của tích phân 3.1

Tính diện tích hình phẳng Vấn đề 1

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường và các trục tọa độ Phương pháp. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là Zb |f (x)| dx

S= a

Ví dụ 3.1. Tính diện tích hình phẳng bởi các đường sau: y = x2 − 2x; Ox; x = −1 và x = 2 51

52

CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

y=

−3x − 1 ; Ox; Oy x−1

y = −x3 − 3x2 và trục hoành.

Lời giải

y=

x2−

2x

y

 a. Vì x2 − 2x = 0 ⇒ 

−1 O x=0 nên diện x=2

tích hình phẳng cần tìm là Z0 Z1 2 S = |x − 2x| dx + |x2 − 2x| dx −1

0

Z0

Z1

=

(x2 − 2x) dx −

−1

= =

(x2 − 2x) dx

0

0 3

1

x x 2

2

−x − −x

3 3 −1 0 3

8 (đvdt) 3

2

x

3.1. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

53 y y= 1

−3x − 1 x−1

O x 1 −3x − 1 = 0 ⇔ x = − nên diện x−1 3 tích hình phẳng cần tìm là

Z0

−3x − 1

S=

x − 1 dx b. Vì

− 13

Z0 =

−3x − 1 dx x−1

− 31

Z0 −3 −

4 x−1

dx

− 31

0

= (−3x − 4 ln |x − 1|)

= ln

4 − 1 (đvdt) 3

− 31

=

54

CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN y −3

O x

 c. Vì −x3 − 3x2 = 0 ⇔ 

x=0

y = −x3 − 3x2

x = −3 nên diện tích hình phẳng cần tìm là R0 R0 S = |−x3 −3x2 | dx = (x3 +3x2 ) dx −3

0 −34

27 x + x3

= (đvdt) = 4 4 −3 Vấn đề 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f (x) và y = g(x) Phương pháp. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là Rb S = |f (x) − g(x)| dx a

Ví dụ 3.2. Tính diện tích hình phẳng bởi các đường sau: y = x2 − 2x và y = −x2 − 4x Lời giải

3.1. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG  Vì x2 − 2x = −x2 + 4x ⇔ 

55

x=0 nên diện tích hình phẳng cần x=3

tìm là Z3 S=

|(x2 − 2x) − (−x2 + 4x)| dx =

)

Z3 =

Z3

|2x2 − 6x| dx

)

2

(−2x + 6x) dx =

2x3 3x − 3 2

)

3

= 9 (đvdt)

0

y = x2 − 2x

y

O

2

3

x

y = −x2 + 4x

Vấn đề 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f (y), x = g(y), y = a và y = b

56

CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Phương pháp. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = f (y), y = g(y) và hai đường thẳng y = a, y = b là Zb |f (y) − g(y)| dy

S= a

Ví dụ 3.3. Tính diện tích hình phẳng bởi các đường sau: y 2 = 4x (C) và y = x − 3(d)

Lời giải

y2 ; y = x − 3 ⇔ x = y + 3.

4 Phương trình tung độ giao điểm của (C) và (d) là: Ta có: y 2 = 4x ⇔ x =



y = −2 y =y+3⇔ 4 y=6 2

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

Z6 2 Z6

y

1 256 (−y 2 + 4y + 12) dx = S =

− (y + 3)

dx = 4 4 3 −2

−2

3.1. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

y

=

x

−

3

y 6

9 x

3

y

2

=

4x

O −2 −3

BÀI TẬP 3.1. Tính diện tích hình phẳng bởi các đường sau: a. y = x3 ; Ox; x = 0 và x = 2

b. y = −x2 + 6x; Ox

c. y = x3 và y = x2 .

d. y = x và y = sin2 x + x.

3.2. Tính diện tích hình phẳng bởi các đường sau: a. y = x3 ; Ox; x = −1 và x = 2

b. y = x2 − x; Ox

c. y = 4x và y = x2 .

d. y = x và y = cos2 x + x.

57

58

CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

3.2

Tính thể tích khối tròn xoay Phương pháp.

1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là: Zb Vx = π

[f (x)]2 dx

a

2. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), y = g(x) (trong đó f (x) và g(x) cùng dấu) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là: Zb Vx = π

[f (x)]2 − [g(x)]2 dx

a

3. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng y = a, y = b quanh trục Oy là: Zb Vy = π

[f (y)]2 dx

a

Ví dụ 3.4. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau khi quay quanh Ox 1 y = x3 − x2 , y = 0, x = 0, x = 3 3

3.2. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

59

Lời giải

y

O 3 x y= Thể tích khối tròn xoay cần tìm là Z3 Vx = π 0

=π

1 3 x − x2 3

Z3

2 dx = π

1 6 2 5 x − x + x4 9 5

x3 − x2 3

dx

0

3 81π 1 6 1 6 1 4

= x − x +

63 9 5 35 0

(đvtt)

Ví dụ 3.5. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau khi quay quanh Ox

y = 4 − x2 , y = x2 + 2

Lời giải

60

CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN y y = 4 − x2 O −1

1 x

Ta có: 4 − x2 = x2 + 2 ⇒ x = ±1. Dựa vào hình vẽ ta có thể tích khối tròn xoay cần tìm là: Z1 Vx = π

(4 − x2 )2 − (x2 + 2)2 dx

−1

Z3 1−x

= 12π 0

2

1

1 3

dx = 12π x − x = 16π 3 −1

(đvtt)

3.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau khi quay quanh Ox

1 y = x3 − x2 , y = 0, x = 0, x = 3 3 3.4. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau khi quay quanh Ox

y = x3 + 3x2 , y = 0, x =

Chương 4 TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI Zπ 4.1. (TNTTPT 2009 ) Tính tích phân sau: I =

x(1 + cos x)dx 0

Z1 4.2. (TNTTPT 2010 ) Tính tích phân sau: I =

x2 (x − 1)2 dx

0

Ze √ 4.3. (TNTTPT 2011 ) Tính tích phân sau: I =

4 + 5 ln x dx x

1

Zln 2 4.4. (TNTTPT 2012 ) Tính tích phân sau: I = (ex − 1)2 ex dx 0

61

62

CHƯƠNG 4. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI π

Z2 (x + 1) cos x dx

4.5. (TNTTPT 2013 ) Tính tích phân sau: I = 0 π

Z2 (x + 1) cos x dx

4.6. (TNTTPT 2014 ) Tính tích phân sau: I = 0

Z2 4.7. (Cao đẳng 2011 ) Tính tích phân sau: I =

2x + 1 dx x(x + 1)

1

Z3 4.8. (Cao đẳng 2012 ) Tính tích phân I =

√

x dx. x+1

0

Z5 4.9. (Cao đẳng 2013 ) Tính tích phân I =

dx √ .

1 + 2x − 1

1

Z2 4.10. (Cao đẳng 2014 ) Tính tích phân

x2 + 2 ln x dx x

1

4.11. ( Đại học A - 2009) π Z2 Tính tích phân sau: I = (cos3 x − 1) cos2 x dx 0

4.12. ( Đại học B - 2009) Z3 3 + ln x Tính tích phân sau: I = dx (x + 1)2 1

63 4.13. ( Đại học D - 2009) Z3 Tính tích phân sau: I =

ex

1 dx −1

1

4.14. (A - 2011) π

Z4 Tính tích phân sau: I =

x sin x + (x + 1) cos x dx x sin x + cos x

0

4.15. (Đại học D - 2011) Z4 4x − 1 √ Tính tích phân sau: I = dx 2x + 1 + 2 0

4.16. (Đại học B - 2011) π Z3 1 + x sin x Tính tích phân sau: I = dx cos2 x 0

4.17. (Đại học A - 2012) Z3 1 + ln(x + 1) Tính tích phân sau: I = dx x2 1

4.18. (Đại học B - 2012) Z1 Tính tích phân sau: I =

x3 dx x4 + 3x2 + 2

0

4.19. (Đại học D - 2012) Zπ/4 Tính tích phân sau: I = x(1 + sin 2x) dx 0

64

CHƯƠNG 4. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI

4.20. (Đại học A - 2013) Z3 1 + ln(x + 1) dx Tính tích phân sau: I = x2 1

4.21. (Đại học B - 2013) Z1 √ Tính tích phân sau: I = x 2 − x2 dx.

0

4.22. (Đại học D - 2013) Z1 (x + 1)2 Tính tích phân sau: dx x2 + 1 0

4.23. (Đại học A - 2014) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2 − x + 3 và đường thẳng y = 2x + 1.

4.24. (Đại học B - 2014) Z2 2 x + 3x + 1 Tính tích phân sau: dx x2 + x 1

4.25. (Đại học D - 2014) π Z4 Tính tích phân sau: I = (x + 1) sin 2x dx 0

Z1 4.26. (Đại học 2015) Tính tích phân sau: I = 0

(x − 3)ex dx

Phụ lục: Lịch sử tích phân Quả thật đôi khi học sinh thường nhàm chán những việc tính toán mà họ tự cho là vô bổ. Đôi khi hiểu được quá trình của một sự kiện hoặc ứng dụng nào đó lại giúp cho học sinh và những người yêu toán có hứng thú trong công việc nghiên cứu của mình. Tích phân trong chương trình của chúng ta cũng vậy. Nó là một sự tiến hoá của nhân loại trong việc kết hợp được hình học và giải tích.

Từ việc xây dựng ý tưởng cho phép tính tích phân Các ý tưởng giúp hình thành môn vi tích phân phát triển qua một thời gian dài. Các nhà toán học Hi Lạp 65

66

CHƯƠNG 4. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI

là những người đã đi những bước tiên phong.

Leucippus, Democritus và Antiphon đã có những đóng góp vào phương pháp “vét cạn” của Hi Lạp, và sau này được Euxodus, sống khoảng 370 trước Công Nguyên, nâng lên thành lí luận khoa học. Sở dĩ gọi là phương pháp “vét cạn” vì ta xem diện tích của một hình được tính bằng vô số hình, càng lúc càng lấp đầy hình đó.

Tuy nhiên, chỉ có Archimedes (Ac-xi-met), (287-212 B.C), mới là người Hi Lạp kiệt xuất nhất. Thành tựu to lớn đầu tiên của ông là tình được diện tích giới hạn bởi tam giác cong parabol bằng giác có cùng đáy và đỉnh và bằng

4 3 2 3

diện tích của tam diện tích của hình

bình hành ngoại tiếp. Để tìm ra kết quả này, Ác-xi-met dựng một dãy vô tận các tam giác, bắt đầu với tam giác có diện tích bằng A và tiếp tục ghép thêm các tam giác mới nằm xen giữa các tam giác đã có với đường parabol.

Hình parabol dần dần được lấp đầy bởi các tam giác

67

có tổng diện tích là: A, A +

A A A , A + + , A + A/4 + A/16 + A/64...

4 4 16 Diện tích giới hạn bởi parabol là: A(1 +

1 1 4 1 + + + ...) = A. 4 16 64 3

Ác-xi-met cũng dùng phương pháp “vét cạn” để tính diện tích hình tròn. Đây là mô hình đầu tiên của phép tính tích phân, nhờ đó ông đã tìm được giá trị gần 1 đúng của số pi ở khoảng giữa hai phân số 3 10 71 và 3 7 .

Acsimet – nhà bác học vĩ đại của Hy Lạp cổ Trong tất cả những khám phá của mình, Ac-xi-met tâm đắc nhất là công thức tính thể tích hình cầu.

“Thể tích hình cầu thì bằng 2/3 thể tích hình trụ ngoại tiếp“. Thể theo nguyện vọng lúc sinh thời, sau khi ông mất, người ta cho dựng một mộ bia có khắc hoa văn một hình cầu nội tiếp một hình trụ. Đến việc sử dụng những ngôn ngữ hiện đại cho phép tính

68

CHƯƠNG 4. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI

Ngoài toán học, Ac-xi-met còn có những phát minh về cơ học, thủy động học. Tất cả học sinh đều quen thuộc với định luật mang tên ông về sức đẩy một vật thể khi nhúng vào một chất lỏng cùng với câu thốt bất hủ “Eureka! Eureka!” (Tìm ra rồi! Tìm ra rồi!) khi ông đang tắm. Ông tìm ra các định luật về đòn bẩy cùng câu nói nổi tiếng “Hãy cho tôi một điểm tựa, tôi sẽ nhấc bổng quả đất“).

Dù ông có vẽ thích toán học hơn vật lí, nhưng Ac-xi-met vẫn là một kỹ sư thiên tài. Trong những năm quân xâm lược La Mã hùng mạnh tấn công đất nước Syracuse quê hương ông, nhờ có những khí tài do ông sáng chế như máy bắn đá, cần trục kéo lật tàu địch, gương parabol đốt cháy chiến thuyền, đã giúp dân thành Syracuse cầm chân quân địch hơn 3 năm.

Cuối cùng quân La Mả cũng tràn được vào thành. Dù có lệnh tướng La Mã là Marcus không được giêt chết ông, một tên lính La Mã thô bạo xông vào phòng làm

69

việc khi ông đang mê mãi suy nghĩ cạnh một sa bàn một bài toán hình dang dở. Khi thấy bóng của nó đổ lên hình vẽ, ông quát lên: ” Đừng quấy rầy đến các đương tròn của ta !”. Thế là tên lính nỗi cáu, đâm chết ông.

Sau khi ông mất, nền toán học hầu như rơi vào trong bóng tối cho đến thế kỹ thứ 17. Lúc này do nhu cầu kỹ thật, phép tính vi tích phân trở lại để giài quyết những bài tóan về sự biến thiên các đại lượng vật lý.

Phép tính vi tích phận được phát triển nhờ tìm ra cách giải quyết được bốn bài toán lớn của thời đại: 1. Tìm tiếp tuyến của một đường cong.

2. Tìm độ dài của một đường cong.

3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng ; ví dụ tìm khỏang cách gần nhất và xa nhất giữa một hành tinh và mặt trời, hoặc khoảng cách tối đa mà một đạn đạo có thể bay tới theo góc bắn đi của nó.

4. Tìm vận tốc và gia tốc của một vật thể theo thời

70

CHƯƠNG 4. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI

gian biết phương trình giờ của vật thể ấy.

Isaac Newton (phát âm như Isắc Niu-tơn) là một nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà triết học tự nhiên và nhà toán học vĩ đại người Anh Vào khoảng giữa thế kỷ 17, những anh tài của thời đại, như Fermat, Roberval, Descartes, Cavalieri lao vào giải các bài toán này. Tất cả cố gắng của họ đã đạt đến đỉnh cao khi Leibniz và Newton hoàn thiện phép tính vi tích phân.

Leibniz ( 1646-1716) Ông là một nhà bác học thiên tài, xuất sắc trên nhiều lãnh vực: một nhà luật học, thần hoc, triết gia, nhà chính trị. Ông cũng giõi về địa chất học, siêu hình học, lịch sữ và đặc biệt tóan học.

Leibniz sanh ở Leipzig, Đức. Cha là một giáo sư triết học tại Đại học Leipzig, mất khi ông vừa sáu tuổi.

Cậu bé suôt ngày vùi đầu ở thư viện của cha, ngấu nghiến tất cả các quyễn sách về đũ mọi vần đề. Và thói quen này đã theo cậu suôt đời. Ngay khi mới 15

71

tuổi, ông đã được nhận vào học luật tại Đại học Leipzig, và 20 tuổi đã đậu tiến sĩ luật. Sau đó, ông hoạt động trong ngành luật và ngoại giao, làm cố vần luật pháp cho các ông vua bà chúa.

Trong những chuyến đi công cán ở Paris, Leibnz có dịp gặp gỡ nhiều nhà toán học nổi tiếng, đã giùp niềm say mê toán học của ông thêm gia tăng. Đặc biệt, nhà vật lí học lừng danh Huygens đã dạy ông tóan học. Vì không phải là dân tóan học chuyên nghiệp, nên có nhiều khi ông khám phá lại những định lí toán học đã được các nhà toán học khác biết trước. Trong đó có sự kiện được hai phe Anh Đức tranh cãi trong suốt 50 năm. Anh thì cho chính Newton là cha đẻ của phép tính vi tích phân trong khi Đức thì nói vinh dự đó phải thuộc về Leibniz. Trong khi hai đương sự thì không có ý kiến gì. Đúng ra là hai người đã tìm được chân lý trên một cách độc lập: Leibniz tìm ra năm 1685, mười năm sau Newton, nhưng cho in ra công

72

CHƯƠNG 4. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI

trình của mình trước Newton hai mươi năm. Leibniz sống độc thân suốt đời và mặc dù có những đóng góp kiệt xuất, ông không nhận được những vinh quang như Newton. Ông trải qua những năm cuối đời trong cô độc và nổi cay đắng.

Newton sinh ra tại một ngôi làng Anh Quốc. Cha ông mất trước khi ông ra đời, một tay mẹ nuôi nầng và dạy dỗ trên nông trại nhà. Năm 1661, ông vào học tại trường đại học Trinity ở Cambridge mặc dủ điểm hình học hơi yếu. Tại đây ông được Barrow, nhà toán học tài năng chú ý. Ông lao vào học toán và khoa học, nhưng tốt ngghiệp loại bình thường. Vì bệnh dịch hoành hành khắp châu Âu và lan truyền nhanh chóng đến London, ông phải trở lại làng quê và trú ngụ tại đó trong hai năm 1665, 1666. Chính trong thời gian này, ông đã xây dựng những nền tảng của khoa học hiện đại: khám phá nguyên tắc chuyển động các hành tinh, của trọng lực, phát hiện bản chất của ánh sáng.

73

Tuy thế ông không phổ biến các khám phá của mình. Ông trở lại Cambridge năm 1667 để lấy bằng cao học.

Sau khi tốt nghiệp, ông dạy học tại Trinity. Năm 1669, ông giữ chức giáo sư trưởng khoa toán, kế nhiệm giáo sư Barrow, một chức danh vinh dự nhất trong giáo dục. Trong những năm sau đó, ông đã công thức hoá các đinh luật hấp dẫn, nhờ đó giải thích được sự chuyễn động của các hành tinh, mặt trăng và thủy triều.Ông cũng chế tạo ra kình viễn vọng hiện đại đầu tiên.

Trong đời ông, ông ít khi chịu cho in các khám phá vĩ đại của mình, chỉ phổ biến trong phạm vi bạn bè đồng nghiệp. Năm 1687, trước sự khuyến khích nhiệt tình của nhà thiên văn học Halley, Newton mới chịu cho xúât bản cuốn Những nguyên tăc toán học. Tác phẩm này ngay lập tức được đánh giá là một trong những tác phẫm có ảnh hưởng lớn lao nhất của nhân loại. Cũng tương tự như thế, chỉ sau khi biết Leibniz

74

CHƯƠNG 4. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI

đã in công trình của minh, ông mới công bố tác phẫm của mình về phép tính vi tich phân.

Vĩ đại như thế, nhưng khi nói về minh ông luôn cho rằng sở dĩ ông có đôi khi nhìn xa hơn kẻ khác vì ông đứng trên vai của các vĩ nhân. Và với những khám phá lớn lao của mình, ông nói: “Tôi thấy mình như một đứa trẻ chơi đùa trên bãi biển, may mắn gặp được những viên sỏi tròn trịa, hoặc một vỏ sò đẹp hơn bình thường, trong khi trước mặt là một đại dương bao la của chân lí mà tối chưa được biết“.

Hướng dẫn và đáp án Chương 1: Nguyên hàm 1 cos2 x − sin x 1 b.y 0 = ex + + 2x x −2 c.y 0 = 3 + 2x3 − 2 sin2 x x 0 d.y = 10x9 + 2x4 + ex

1.1 a.y 0 =

x dx x2 + 2 1 b, dy = (ex + ) dx cos2 x −1 c. dy = ( 2 − cos x) dx sin x 8 d. dy = (3e3x + x) dx 3 √ √ 5 1.3 aA = 1 b. B = −2 3 c. C = 7 bD = √ 3 4 1.2 a, dy = √

75

76

CHƯƠNG 4. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI

3 7 1.4 a. A = 1 + 2x2 + x4 − x4 + x2 − x2 = 1 2 2 √ 2 b.B = x − 6x x + 9x x2 2 3 4 3 x2 4 2 c.C = + x −x −x + x + = −x4 + 2x3 2 3 3 2 d.D = e2x + 1 − 1 + e2x = 2e2x √ √ √ √ 1 1 e.E = x3 − x + √ − x3 = √ − x x x x x √ √ √ √ 1 1 3 3 2− √ = 6 x f.F = x2 + 6 x + √ − x 3 3 x x √ 3x8 x4 2x x 1.5 a. − − +C 8 2 3 √ 3√ 3 x4 + 3x − 2 x + C b.

2 3 4 c. x − 3x3 − x2 − 3x + C 4 √ √ 5 x3 2 x 4 x3 2 d. +x − − +C 3 5 3 e. −2 cos x + 3 sin x − ln |x| + C f. tan x + 2 cot x + C √ √ 3√ 3 6 3 1.6 a. x5 + 76 x7 + 23 x2 + C 5 √ 2√ 5 4√ 3 b. x − 3 x − 2 x − √2x + C 5 c. tan x − 2 cot x + C d. − 2 cot 2x + C

77

√ 2 1.7 a, (3x − 2) 3x − 2 + C 3 −5 ln |2 − 7x| + C b, 7 1 2 c, .e4x+1 + sin 5x + C 4 5 −1 d, I = ln |2 − x2 | + C 2

1

1.8 a, ln x2 + 1 + C 2 2 ln x 2 3 + ln x + C b, 2 3 √ x c, 2 e + 1 + C √ 2 2p d, (x3 + 1) (x3 + 1) − 92 (x3 + 1) x3 + 1 + C 15 2p 3 (x + 2)3 + C e, I = 9 1 f.I = ln |x3 + 2| + C 3 1.9 a, ex x2 − 2ex x + 2ex + C b, x ln x − x + C c, −(2x + 1) cos x + 2 sin x + C

d, 2x2 − x sin x + (4x − 1) cos x − 4 sin x + C e, 2ex x − 3ex + C 4

f, x4 ln x −

x4 16

+C

6 5 1.10 a.I = x5 + x3 + x2 + 8x + C 5 2

78

CHƯƠNG 4. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI

25 4x + +C x ln 4 c.I = −4 tan x − 5 cot x + C 4√ 3 x + ex + C d.I = 3 7 e.I = x3 + 25x + 5 ln x + C 3 2√ 7 2√ 3 f, I = x + x + ex 7 3 b.I = e2x −

x2 + x − ln |x + 2| + C 1.11 a.I = 2 p p b.I = 2 (x + 1) − 2 ln | (x + 1) − 1| + C x2 − x ln |2x + 1 − +C c.I = 4 8 d.I = x ln |x − 4| − x − 4 ln |x − 4| + C e.I = ex x3 − 3ex x2 + 6ex x6 ex + C p f.I = (x2 + 1)(x − 1) sin 2x g.I = −x cos 2x + +C 2 ex h.I = (sin x − cos x) + C 2

79

Chương 2: Tích phân

1

1 2x−7

1 1 1 2.1 a. I = e − = 2

0 2 e5 e7

π 1 π 1 b. I = tan 2x

3 = tan 2 2 3 0 π 1 1 2π

6 = c. I = − cos 2x − 2 3 0 2

3

1 d. I = (2x − 1)8

= 24004 16 2

4 3 √ 3 p 3 3 4 4

7 −1 e.I = ( (2x − 1) ) = 8 8 0

0

2 1

= 11 f, I = − 5 (3 − 5x)2 −1 288

4

√ 4 59

2 2.2 a, I = x2

+ x3

= 3 3 1 1

3 3 x 4

58 b, I = + 4x −

= 3 x 1 3

22

−1 t 2t21

c, I = + = 9078 22 21 −2

π

π

6 x

6 1 d, I = − sin 6x

2 0 2

2 0 p

2 e, I = (x3 + 1)3

9 0

e

f, I = ln | ln x|

= − ln(ln 2) 2

80

CHƯƠNG 4. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI

1 −1 7 −1 x + 6

= ln ln 2.3 a. I = 4 x + 2 0 4 9

2

2

3 1 1 7 b. I = ln |3x + 1|

− ln |x + 3|

= ln 8 8 8 4 1 1

1 1 −1

= c. I =

x − 5 0 20

1

1

2 1 d. I = a ln |x − 5|

+ ln |x − 2|

= 4 ln + ln 3 3 −1 −1

4

1 e. I = ln |2x − 1|

= 2

2 1 1 x

1 10 f. I = ln ln = 3 2x + 3 1 3 7

1

1 (x − 1)32

(x − 1)31

1 2.4 a.I = + =

32 31 992 0

1 0

−1 1 b.I = (1 − x3 )

= 21 21

1 0 −5

1 c.I = = 2(x2 + 4) 0 8

1

1

−1

1

= 1 d.I = + 2(x2 + 1) 0 4(x2 + 1)2 0 16

2

√ √ √ e.I = x2 + 1

= 5 − 2 1

4 2 1 x

1 32 f.I = ln 4 = ln

4 x + 1 1 4 17

81

ln 5

√ x 2.5 a. I = 2 e − 1

= 2

e ln 2

e

2

= ln 3 − 1 b. I = ln |2 + ln x|

+

2 3 1 2 + ln x 1

e 4 4 ln x

5 − ln 2 c. I = ln x + − ln 2 =

4 4 2 3 4 9 d. I = ln + 2 √ 3 e 4 √ e 2 5

2 3

116 e. I = − =

9 5 1 9 3 1 135

ln x − 2

2

= ln ln 2 − 2 − ln 2 f. I = ln

ln x − 1

1 ln 2 − 1

π √ t

6 π 2.6 a. Đặt x = 3 tan t. I = √ = √ 3 0 6 3

π 3 t

b. Đặt x = 2 tan t. I =

2 0

π 2 tan t t

4 .I=

c.Đặt x = 3 6 0 d. Đặt x = 2 sin t.

π

π

2

2 sin 4t

= 2π I = 2t

− 2 −π −π 2

2

e. Đặt x = sin t.

π

3 √ π I = (tan t − t)

= 3 − 1 − 12 π 4

82

CHƯƠNG 4. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI

f. Đặt x = sin t, đặt tiếp u = cos t.

1 u3 u5

1 1 I = ( − ) = − 3 5 0 3 5 −3 2 5 e + 2.7 a. Đặt u = (x − 2); dv = e2x dx.I = 4 4 −1 −2x x b. Đặt u = (e + x); dv = e dx.I = +2 e π2 c. Đặt u = x; dv = sin x dx.I = 4 π+2 1 d. Đặt u = (x + 1); dv = sin 2x dx.I = − 4 2 1 − ln 2 3 e. đặt u = ln x; dv = 3 dx. I = − x 8 16 2 f. Đặt u = ln(x − x); dv = 1 dx.I = 3 ln 3 − 2 √ √ 2.8 a. Đặt u = x, dv = ex , I = 4 − 2 e R1 R1 x b. Đặt I = 2x dx + xe dx = 1 + I1 0

0

Tính I1 Đặt u = x; dv = ex dx. I = 2 π2 −2 c. Đặt u = x, dv = cos x, I = 2 d. Đặt u = (2x − 1), dv = cos x dx . Ta có I = π − 3 e. Đặt u = x2 + 2x, dv = ex dx. Ta có I = e f. Đặt u = 2x + 2, dv = cos x dx, I = π 2.9 a. Đặt u = x2 − 2x + 3; dv = sin x dx. I = π − 1

83

3 ln 3 − 1 2 1 c.Đặt u = ln x; dv = x − 2 dx . I = x ln 2 − 4 2 2x d.Đặt u = 4x − 2x − 1; dv = e dx, I = −1 1 e. Đặt u = ln 1 + x dv = 2 . x b.Đặt u = ln(2x + 1); dv = 1 dx . I =

I=

−1 3 ln 3 + 2 ln 2 − ln 2 2

f. Đặt u = ln x; dv = (x −

3 ). x2

e2 6 11 1 I= + − ln 2 + 2 e 2 2 2.10 a. Đặt t = cos x.

√2 −1 1

2 1 I= =1− √

2 t 1 2 2 b. Đặt t = sin x. √

1 t3 2t5 t7

8 71 2 I=( − + ) √ = − 3 5 7 2 105 1680 2

c. Đặt t = cos x.

1 t5 t7

2 −23 I = −( − ) = 5 7 0 4480

84

CHƯƠNG 4. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI

d. Đặt t = cos x Sau đó đặt t = tan u. Ta có

π

4 π I = u

= 4 0 e. Đặt t = cos x.

1

1

1

I = 3 ln |1 + t|

− 4t

+ 2t2

= 3 ln 2 − 2 0

0

0

f. Đặt t = sin x. Sau đó đặt t = tan u Ta có

−π

4 π I = u

= 2 π 4

π

π

2

2 3 1 2 2.11 a. I = − cos x

+ cos 3x

= 4 12 3 0

π

0π

2 3π 1 3 2 1 b. I = x

+ sin x

= + 2 0 2 4 2 0 √ 3

1 t t5

2 7 2 c. Đặt t = cos x. Ta có I = − = − 3 5 √2 15 120 2

π

π π x

sin 4x

3π d. I = +

+ = 4 8 0 4 0 8

π

π

4

4 π

e. I = tan x − x

= 1 − 4 0 0 √

√3

2 1

15 − 7 3 f. I = − − t

= t 1 6 1 2

2

85

√3

√3 2

1

2 1 1+t

2.12 a. I = ln | | − |

3 1 − t 1 t 1 2 2 √ 1 7+4 3 2 = ln | |− √ +2 2 3 3 π

π

4

4 √ 1 b. I = tan x

− cot x

= 3 − √ π π 3 6 6

1 2 2

c. Đặt t = cos x. Ta có I = t3

= 3 0 3

1

1

d. Đặt t = cos x. Ta có I = − ln |2 − t|

− ln |2 + t|

0 0 2 4 = ln 2 − ln = ln 3 3 √

√3

√3 3 2 t

t

2 3 e. Đặt t = sin 2x Ta có : I = − = 2 0 3 0 8 π 8 f. I = − 15 4

86

CHƯƠNG 4. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI

Chương 3: Ứng dụng của tích phân

2 R2 3 x4

3.1 a. S = |x |dx = = 4 4 0 0

6

R6 −x3 2

2 + 3x ) = 36 b.S = | − x + 6x|dx = ( 3 0 0 R1 2 1 c.S = |x − x3 |dx = 12 0 Rπ Rπ π d.S = |(sin2 x + x) − x|dx = sin2 xdx = 2 0 0 3.2 a.S =

R0

3

|x |dx +

−1

R1

R2

|x3 |dx =

0

15 4

1 6 0 4 R 32 c.S = |x2 − 4x|dx = 3 0 π R2 π d.S = cos2 xdx = 2 −π b.S =

|x2 − x|dx =

2

R3 x3 81π 3.3 V = π ( − x2 )2 = 35 0 3 R2

3.4 V = π (x3 + 3x2 )dx = 1

4793π 35 Chương 4: Toán thi

87

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 Z2 4.7 I =

(x + 1) + x dx = x(x + 1)

Z2

1 1 + dx = [ln x(x + 1) x+1 x

1

1

6 ln = ln 3.

2 R3 √ x 4.8 I = √ dx, đặt u = x + 1, ⇔ u2 = x+1 ⇔ x+1 0 2udu = dx.

3

2 R2 2

u I = 2 (u − 1)du = 2 3 − u = 83 1

4.9 Đặt t =

1

√

2x − 1 t2 = 2x − 1, ⇔ tdt = dx

Đổi cận: x = 1 t = 1; x = 5 t =3

3

Z5 Z5

tdt 1 = 1− dt = [t − ln(1 + t)]

I= 1+t 1+t 1 1

1

88

CHƯƠNG 4. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI

I = 2 − ln 2 Z2 4.10 I = 1

2 ln x (x + ) dx = x

Z2

Z2 x dx +

1

2 ln x dx x

1

2 Z2

2

x2

3 3 = + 2 ln xd(ln x) = + ln2 x

= + ln2 2 2 1 2 2 1 1

4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19

89

4.20 4.21 4.22 4.23 4.24 4.25 4.26