Ευχαριστώ θερμά τον συνάδερφο Γεώργιο Κωνσταντάκη για τις σημειώσεις και τις πολύτιμές συμβουλές του.
Κεφάλαιο 1
Οι Φυσικοί Aριθμοί
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ §1.2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Βασική θεωρία – Επανάληψη: • 1. Ποιες είναι οι βασικές ιδιότητες της πρόσθεσης και ποιες του πολλαπλασιασμού; • 2. Ποιος ο ρόλος του 0 στην πρόσθεση και ποιος του 1 στον πολλαπλασιασμό; • 3. Να γνωρίζουμε πως ονομάζονται οι αριθμοί και το αποτέλεσμα στις διάφορες πράξεις. Δηλαδή: Πρόσθεση: Π + Π = Α (προσθετέος + προσθετέος = άθροισμα) Αφαίρεση: Μ – Α = Δ (μειωτέος – αφαιρετέος = διαφορά) Πολλαπλασιασμός Π ∙ Π = Γ (Παράγοντας ∙ Παράγοντας = Γινόμενο) •4. Ποιες πράξεις συνδέει η επιμεριστική ιδιότητα;
Βασικές Ασκήσεις:
1. Το πρώτο κεφάλαιο των Μαθηµατικών της Α΄ Γυµνασίου αρχίζει απ’τη σελίδα 17 και τελειώνει στη σελίδα 78. Πόσες σελίδες περιλαµβάνει το κεφάλαιο αυτό;
Λύση:
Στο τετράδιο
2. Να γίνουν οι πράξεις: α. (40 – 13 ) – 11 = γ. (12 + 13) – 5 = Λύση:
3. Αν α
= 13,5,
β. (60 – 15) + 7 = δ. (5 – 7 ) + 3 =
Στο τετράδιο
β = 12, γ =7,5 , δ = 3 να εκτελέσετε τις παρακάτω πράξεις µε την
σειρά που σηµειώνονται. α. α + γ – β – δ
β. α + β + γ – δ
Λύση:
4. Αν x +y = 2,
Στο τετράδιο x +ω =5, y +ω =3.
α. x +1 + y + 3 + x + 7 + ω γ. y + ω – 3 + x + y – 2
Λύση:
Να κάνετε τις πράξεις: β. x +3 +ω – 2 + y +9 – ω +3 δ. x + y + ω – 3 + 1 + x
Στο τετράδιο
6. Να γραφούν σύντοµα τα αθροίσµατα: α. 2 + 2 + 2
Λύση:
β. x + x + x + x +x
Στο τετράδιο
2
Κεφάλαιο 1
Οι Φυσικοί Aριθμοί
7. Να γίνουν οι πράξεις: α. (2 +5) ·3 γ. (3 + 1) ·2 Λύση:
β. (4·5 ) – 2 δ. (3 + 5 – 2 – 6) ·10
Στο τετράδιο
8. Να γίνουν οι πράξεις: α. 5·(3 – 2) β. (5 + 3)·2
Λύση: §1.3 §1.3
γ. ( 5·3 ) + (3·2)
δ. (6 + 5) – 2 ·2 + (3 – 2)
Στο τετράδιο Δυνάμεις φυσικών αριθμών
Βασική θεωρία – Επανάληψη: • 1. Τι ονομάζουμε δύναμη ενός φυσικού αριθμού; Ποια είναι η βάση και ποιος ο εκθέτης; • 2. Ποιο είναι το τετράγωνο ενός αριθμού και ποιός ο κύβος; • 3. Πόσο δίνει το α1 και πόσο το α0 ; • 4. Γιατί οι δυνάμεις του 1 είναι όλες ίσες με 1;
9. Να γράψετε σε µορφή δυνάµεων τα γινόµενα: α. 3 · 3
β.
4·4·4·4·4
γ.
23 · 23 · 23 · 23 · 23 · 23
δ. 1 · 1 · 1
ε.
α·α
στ.
β·β·β·γ·γ
Λύση:
Στο τετράδιο
10. Να υπολογίσετε τις δυνάµεις: α. 23
β. 32
ε. 132
στ. 112
Λύση:
γ. 43
δ. 34
ζ. 63
η. 72
Στο τετράδιο
11. Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω φυσικούς αριθµούς µπορεί να γραφούν ως δύναµη και να τους γράψετε έτσι. α. 36
β. 125
γ. 49
δ. 81
ε. 144
στ. 169
ζ. 110
η. 32
θ. 128
ι. 196
ιβ. 200
ιγ. 400
ια. 10.000
Λύση:
Στο τετράδιο
12. Να συµπληρώσετε τα κενά µε το κατάλληλο σύµβολο ισότητας ή ανισότητας. α. 32 .....23
β. 53 ..... 35
γ. 42 ..... 24
δ. 102 ..... 210
ε. 15 ..... 18
στ. 72 ..... 27
Λύση:
Στο τετράδιο
13. Να συµπληρώσετε τα κενά µε το κατάλληλο σύµβολο ισότητας ή ανισότητας. α. 22 + 32 ..... ( 2 + 3 )2
β. 72 – 32 ..... ( 7 – 3)2
γ. 03 +43 ..... ( 0 + 4)3
3
Κεφάλαιο 1
Οι Φυσικοί Aριθμοί
δ. 52..... 5+5
ε. (12 − 5 )2 ……12 – 52
Λύση:
στ. 2⋅3 ..... 23
Στο τετράδιο
14. Να συµπληρώσετε τα κενά µε το κατάλληλο σύµβολο ισότητας ή ανισότητας. α. 722 + 692 ……272 + 962
β. 13 + 23 + 53 …… 1253
Λύση:
γ.5⋅3…….53
Στο τετράδιο
15. Να γράψετε σε αναπτυγµένη µορφή στο δεκαδικό σύστηµα με τη βοήθεια δυνάμεων του 10 καθέναν από τους αριθµούς: α. 532
β. 6329
γ. 50314
Λύση:
δ. 7 935 028
Στο τετράδιο
16. Προτεραιότητα πράξεων: ( παρενθέσεις ► δυνάμεις ► πολλαπλασιασμοί ► προσθέσεις – αφαιρέσεις ) Ποιους φυσικούς αριθµούς αντιπροσωπεύουν οι παρακάτω αριθµητικές πα ραστάσεις: Λύση:
Στο τετράδιο
17. Να µετατρέψετε σε µορφή µιας δύναµης καθένα από τα παρακάτω γινόµενα, όπως φαίνεται στο γινόµενο α. β. 9⋅ 81
γ. 27⋅ 27
Λύση:
α. 8⋅ 16 = 23 ⋅ 24 = ( 2⋅ 2⋅ 2) ⋅ (2⋅ 2⋅2⋅ 2) = 27 δ. 25⋅ 125
ε. α⋅ α4
στ. x⋅ x3 ⋅x5
Στο τετράδιο
18. Να µετατρέψετε σε µορφή µιας δύναµης µε βάση φυσικό αριθµό καθέναν από τους φυσικούς αριθµούς Β, Γ και ∆, όπου B = (53)2 , Γ = (24)3 , ∆ = (32)2 , όπως φαίνεται στον αριθµό Α.
Λύση:
Στο τετράδιο
19. Να γράψετε σε σύντοµη µορφή καθεµία από τις παραστάσεις: α. 9 · α · α · α
β. 8 · α · α · β · β · 5
δ. α + β · β · β
ε. α · α + β + β
γ. x · x · x · 6 · x · x
Λύση:
Στο τετράδιο
20. ∆ίνεται ότι: 352 ⋅ 84 =29568
. Πόσο θα αυξηθεί ο αριθµός 29568, αν ο δεύτερος
παράγοντας του γινοµένου αυξηθεί κατά 3;
Λύση:
Στο τετράδιο
4
Κεφάλαιο 1
Οι Φυσικοί Aριθμοί
21. Να υπολογίσετε µε δύο τρόπους τα γινόµενα: α. 4⋅( 8+ 2)
β. (3 +9 )⋅12
δ. (20 – 6)⋅7
ε. 3⋅(5 + 6 + 7)
Λύση:
γ. 5⋅(12 – 4)
Στο τετράδιο
22. Να γράψετε σε µορφή γινοµένου τα αθροίσµατα: α. 7⋅ 6 + 13 ⋅ 6
β. 8⋅ 9 + 8⋅ 7
δ. 4⋅ 6 + 4 ⋅7 + 4 ⋅8
ε. 9 ⋅7 + 9⋅11 + 9
Λύση:
γ. 12 ⋅16 + 12
Στο τετράδιο
23. Να γράψετε σε µορφή γινοµένου τις διαφορές: α. 12 · 12 – 12 · 5
β. 14 · 8 – 5 · 8
Λύση:
γ. 16 · 15 – 15
Στο τετράδιο
24. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα βάζοντας μηδενικά και τετράγωνα όπως ακριβώς στην πρώτη γραμμή: 22 = 4 202 = 400 2 8 = 802 = 92 = 902 = 2 10 = 1002 = 112 = 1102 = 122 = 132 = 142 = 152 = 252 =
2002 = 40.000 8002 =
25. Γράψτε πόσο κάνει το §1.4
20 = 30 = 40 = 50 = , κλπ… Η ευκλείδεια διαίρεση – Χαρακτήρες διαιρετότητας
Βασική θεωρία – Ανακεφαλαίωση • Σε µια τέλεια διαίρεση ∆ : δ = π λέµε ότι ο δ διαιρεί το ∆ ή ότι ο ∆ διαιρείται µε το δ. • Σε µια διαίρεση, ο διαιρέτης δεν µπορεί να είναι µηδέν. • Επίσης ισχύουν: α :α = 1 , γιατί α ·1= α α :1= α 0 : α = 0, γιατί α ·0 = 0
Κριτήρια Διαιρετότητας Ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το 2, αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0, 2, 4, 6 ή 8. Ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το 3 αν το άθροισµα των ψηφίων του διαιρείται µε το 3. Ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το 5 αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5. Ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το 9 αν το άθροισµα των ψηφίων του διαιρείται µε το 9.
5
Κεφάλαιο 1
Οι Φυσικοί Aριθμοί
• Κάθε φυσικός αριθµός διαιρεί τα πολλαπλάσια του. Για παράδειγµα, το 3 διαιρεί το 9, το 12, το 15 κλπ , τα οποία είναι πολλαπλάσια του. • Κάθε φυσικός αριθµός που διαιρείται από έναν άλλο, είναι πολλαπλάσιο του. Για παράδειγµα, το 12 που είναι πολλαπλάσιο του 3 διαιρείται απ’αυτό. • Αν ένας αριθµός διαιρεί έναν άλλο, τότε διαιρεί και τα πολλαπλάσια του. Για παράδειγµα το 4 διαιρεί το 8. Οπότε θα διαιρεί και το 16, 24, 32 κλπ. που είναι πολλαπλάσια του 8. • Αν έναςδιαίρεση αριθµόςλέγεται διαιρείη δύο άλλους διαιρεί το άθροισµα 1.Τέλεια διαίρεση στηντότε οποία ο διαιρετέος είναι και τη διαφορά τους. πολλαπλάσιο του διαιρέτη. Για παράδειγµα το 2 διαιρεί το 4 και το 8 οπότε θα διαιρεί και το 4 + 8 = 12 και το 8- 4 =4. Ισχύει: ∆ιαιρετέος: διαιρέτης = πηλίκο Γιατί πηλίκο · διαιρέτης = ∆ιαιρετέος 2. Σε µια διαίρεση, ο διαιρέτης δεν είναι ποτέ µηδέν. 3. Μέγιστος κοινός διαιρέτης λέγεται ο µεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες δύο ή περισσότερων αριθµών. 4. Ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το 3 ή το 9 αν το άθροισµα των ψηφίων του διαιρείται µε το 3 ή το 9 αντίστοιχα. 5. Ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το 2 αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0, 2, 4, 6, 8 ενώ διαιρείται µε το 5 αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0 ή 5. 6. Ευκλείδεια διαίρεση λέγεται η διαίρεση στην οποία ισχύει: ∆ιαιρετέος = διαιρέτης · πηλίκο + υπόλοιπο µε το υπόλοιπο µικρότερο από το διαιρέτη.
Άρα Δ = δ∙ π + υ με υ < δ.
Βασικές Ασκήσεις:
26. Να γίνουν οι παρακάτω διαιρέσεις µε τις δοκιµές τους. α. 80 : 5 δ. 7125 :15
β. 215 : 5 ε. 16235 : 34
γ. 405 : 45 στ. 88576 : 346
27. Να λυθούν οι εξισώσεις: α. 5·x = 70 δ. x :6 = 13
β. 15·x = 120 ε. 56·x = 168
γ. 64 : x = 4 στ. 1088 : x = 64
28. Να γραφτούν οι διαιρέσεις που προκύπτουν από τις παρακάτω ισότητες: α. 5·13 = 65 δ. 12·4 = 48
β. 7·16 = 112 ε. 27·31 = 837
γ. 12·6 = 72 στ. 36·45 = 1620
29. Να γίνουν όπου είναι δυνατό οι διαιρέσεις. 6
Κεφάλαιο 1
Οι Φυσικοί Aριθμοί
α. 2004 : 2004
β. 0 : 1324
γ. 5398 : 1
δ.1932 : 0
30. Να υπολογίσετε: α. Πόσα κουτιά γάλα θα αγοράσουµε µε 1040 λεπτά, αν το ένα κουτί κοστίζει 130 λεπτά. β. Την πλευρά ρόµβου που έχει περίµετρο 72 µέτρα γ. Πόσο κοστίζει το κιλό τα κεράσια, αν για 2 κιλά πληρώσαµε 6€. δ. Το ύψος ορθογωνίου που έχει περίµετρο 60 και βάση 17 µέτρα.
31. Ένας µανάβης αγόρασε πατάτες και πλήρωσε 18000 λεπτά. Όταν τις πούλησε πήρε 24000 λεπτά κερδιζοντας έτσι 20 λεπτά το κιλό. Πόσα κιλά πατάτες αγόρασε;
32. Να γράψετε από τους αριθµούς 4816, 805, 3600, 28575, 933 αυτούς που διαιρούνται. α. µε το 2
β. µε το 5
γ. µε το 3
δ. µε το 9
33. Να συµπληρωθούν τα ψηφία στους παρακάτω αριθµούς α. i 6_53 β. 8_3_
ii. 9_1 ώστε να διαιρούνται µε το 3 ώστε να διαιρείται ταυτόχρονα µε το 5 και το 9.
*34. Να δικαιολογήσετε ότι οι αριθµοί: α. 9α β. 18α + 21 γ. 15α – 3 όπου α φυσικός αριθµός, διαιρούνται µε το 3.
35. Να γίνουν οι παρακάτω ευκλείδειες διαιρέσεις µε τις δοκιµές τους. α. 314 : 5
β. 278 : 23
γ. 12449 : 23
δ. 43396 : 452
*36. Αν ∆ είναι φυσικός αριθµός α. Να υπολογίσετε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων ∆ : 8 β. Να βρείτε τους φυσικούς ∆, που, διαιρούµενοι µε το 8, δίνουν πηλίκο 5.
§1.5 Ο Μ.Κ.Δ. και το Ε.Κ.Π. – Ανάλυση αριθµού σε γινόµενο πρώτων παραγόντων Βασική θεωρία – Ανακεφαλαίωση Τι ονομάζουμε Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή περισσότερων αριθμών; Τι ονομάζουμε Μέγιστο κοινό διαιρέτη (Μ.Κ.Δ.) δύο φυσικών αριθμών; Πότε ένας αριθμός λέγεται πρώτος και πότε σύνθετος; Ποιοι αριθμοί λέγονται πρώτοι μεταξύ τους; Με πόσους τρόπους μπορούμε να βρούμε το Ε.Κ.Π. δύο ή περισσότερων αριθμών; Με πόσους τρόπους μπορούμε να βρούμε τον Μ.Κ.Δ. δύο ή περισσότερων αριθμών;
7
Κεφάλαιο 1
Οι Φυσικοί Aριθμοί
Βασικές Ασκήσεις:
37. Να γράψετε τους κοινούς διαιρέτες των αριθµών 16, 20, 60 και να βρείτε το Μ.Κ.∆. των αριθµών αυτών.
38. ∆ύο αριθµοί έχουν µέγιστο κοινό διαιρέτη το 20. Να δικαιολογήσετε ότι έχουν και άλλους κοινούς διαιρέτες.
39. ∆ίνονται οι αριθµοί: 3, 5, 9, 11, 12, 15. Να βρείτε: α. Ποιοί από αυτούς είναι πρώτοι. β. Ποιοί από αυτούς είναι σύνθετοι.
40. Ένα κατάστηµα παιχνιδιών αποφάσισε να κάνει δώρο στους µαθητές ενός σχολείου 33 επιτραπέζια παιχνίδια, 48 πάζλ, και 63 µπάλες. Πόσα το πολύ δέµατα µπορεί να κάνει µε τον ίδιο αριθµό από επιτραπέζια παιχνίδια πάζλ και µπάλες. Πόσα επιτραπέζια παιχνίδια, πάζλ και µπάλες περιέχει το κάθε δέµα;
41. Να αναλύσετε σε γινόµενο πρώτων παραγόντων τους αριθµούς α. 126
β. 300
γ. 256
δ. 620
42. Να βρείτε το Ε.Κ.Π. και το Μ.Κ.∆. των αριθµών 36 και 124. 43. Να χαρακτηρίσετε ως πρώτους ή σύνθετους τους αριθμούς από 42 μέχρι και 47 και να βρείτε ποιοι είναι πρώτοι μεταξύ τους.
44. Να βρείτε τον ΜΚΔ και το ΕΚΠ των: Α. 25 , 45 , 65 Β. 40 , 50 , 60 Γ. 120, 144 , 180.
45. Ένας οδηγός βάζει βενζίνη κάθε 8 ήμερες, πλένει το αυτοκίνητο του κάθε 30 ημέρες και αλλάζει λάδια κάθε 160 ημέρες. Αν σήμερα έκανε και τις τρεις δουλείες μαζί, μετά από πόσες μέρες θα το ξανακάνει;
8