Matematicas libro1 by Sofia herrera

MATEMATICAS 11Â°

MATEMATICAS 11° LOGICA Y TEORIAS DE CONJUNTO RAZONAR: Acto de pensamiento organizado que permite disernir de un hecho. LOGICA: es una ciencia formal que utiliza metodos y simbolos para establecer un lenguaje analitico. PROPOSICION: oracion declarativa que es verdadera o flasa pero no ambas. TIPOS DE PROPOSICIONES: Videos referentes al tema:  

https://www.youtube.com/watch?v=Cnz-w72E8Js&nohtml5=False https://www.youtube.com/watch?v=pwJK-4Op438&nohtml5=False



PROPOSICION ABIERTA: es aquella condicionada a completar su estructura, Una proposicioó n abierta (o funcioó n proposicional) es una expresioó n que contiene una variable y que al ser sustituida dicha variable por un valor determinado, hace que la expresioó n se convierta en una proposicioó n. ((V) oó (F)). p(x); p(x, y, z...). o La palabra, “¡auxilio!” no existe proposicioó n. o La palabra, “Sube” no existe proposicioó n. o La palabra “corre” no tiene proposicioó n. o La palabra “piensa” no tiene proposicioó n o La palabra “estudia” no tiene proposicioó n. o La palabra “trabaja” no tiene proposicioó n. o La palabra “maúlla” no tiene proposicioó n. PROPOSICION SIMPLE (ATOMICAS): enunciado que no tiene relacioó n con otros enunciados y por lo tanto carece de conectores loó gicos. o La ballena es roja. o La raíóz cuadrada de 16 es 4. o Gustavo es alto. o Teresa va a la escuela. PROPOSICION COMPUESTA (MOLECULARES): enunciados unidos a traveó s de conectores loó gicos, permiten modificar proposiciones, o asociar dos o maó s enunciados simples, convirtieó ndolos en proposiciones compuestas. o “El frijol es amarillo o negro” (en esta oracioó n se puede comprobar si el frijol es de un color u otro estando dividida entre amarillo y negro y de eó stos se desprende la verdad). o “Su teléfono es negro o rosa” (En esta oracioó n, se puede comprobar si el teleó fono es de un color u otro, teniendo soó lo dos posibilidades). o “Él está componiendo coches o motocicletas” (Esta oracioó n tiene la discrepancia entre el tipo de compostura que hace). o “La computadora es grande o pequeña” (La oracioó n se divide por el tamanñ o lo que nos daraó la conclusioó n correspondiente). o “La computadora es negra o blanca” (tiene una discrepancia que puede cargar la veracidad en un sentido u otro).

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NEGACIOÓ N: Es un operador loó gico de la forma "no es el caso que" y que transforma una proposicioó n p en otra con valor de verdad contrario. Ejemplo: si p es la proposicioó n "el nuó mero n es impar" la negacioó n de p es "no es el caso que el nuó mero n es impar" (es decir, "el nuó mero n es par"). La negacioó n de p se denota con ~p. La negacioó n de p es verdadera si y soó lo si p es falsa.

CONJUNCIOÓ N: solo es verdadera si ambas proposiciones simples son verdaderas, de lo contrario es falsa.

DISYUNCIOÓ N: solamente es falsa si las proposiciones atoó micas con faltas de lo contrario sonverdaderas. 4

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Disyuncioó n exclusiva: excluye valores iguales, es falso cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

CONDICIONAL: sea P, Q a P: Antecedente (hipoó tesis) Q: consecuente (tesis o conclusioó n)

IMPLICACIOÓ N: lo es cuando la conclusioó n es una consecuencia loó gica de la hipoó tesis P

En este caso se dice que P es condicioó n suficiente para Q o Q es condicioó n necesaria para P BICONDICIONAL: un bicondicional es verdadero si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, este en cada proposicioó n simple implica la otra.

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LOS REDULTADOS DE LAS TABLAS DE VALORES: Video referente al tema: https://www.youtube.com/watch?v=lnLoBDJag8E TAUTOLOGIÓA: cuando todo el conjunto proposicional da verdadero. 

La expresioó n ‘(p ^ q) → (p v r)’ es una tautologíóa.

CONTRADICCIOÓ N: cuando todo el conjunto proposicional da falso. 

P ∧¬P (se lee: P y no P)

CONTINGENCIA: cuando el conjunto proposicional hay al menos un falso. 

A^(BVC)

EQUIVALENCIAS LÓGICAS:

MATEMATICAS 11°

ABSORCIOÓ N:de la conjuncioó n con la disyuncioó n. Si la segunda proposicioó n es falsa todas las condiciones seraó n falsas, si A es falso indistinto lo demaó s seraó falso. 

4>2, 2<1 o 4>2 ≡ 4>2

ELEMENTO NEUTRO:aquel que no se ve afectado al operarlo.  

5-0=5 10*1=10

ELEMENTO COMPLEMENTARIO:o una falacia o una verdad.  

Contradiccioó n: una proposicioó n no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo. Meó todo excluido: o tiene un valor de verdad o tiene su contrario pero no ambos.

IDEMPOTENCIA:íódem: lo mismo que. CONMUTATIVA:el orden de las proposiciones no altera el resultado solo para la conjuncioó n y disyuncioó n. ASOCIATIVA:se puede agrupar de distinta manera y el valor de verdad no cambia. DISTRIBUTIVA:es de la disyuncioó n a la conjuncioó n y de la conjuncioó n a la disyuncioó n. LEY DE MORGAN:si niega una disyuncioó n equivalentes a la conjuncioó n de la negacioó n y de las proposiciones. EQUIVALENCIAS DEL CONDICIONAL: Condicional directo P

Condicional contrario ¬P

¬Q

P condicional reciproco

¬Pcondicional contrarreciproco

EJEMPLO: si no voy al baile, consigo novio. P: voy al baile

¬P

Q 7

MATEMATICAS 11° Q: consigo novio A. Hallar el reciproco Q ¬P Si consigo novio, entonces no voy al baile B. Hallar el contrario P ¬Q Si voy al baile, no consigo novio. C. Escribe el contrarreciproco del reciproco del contrario. P ¬Q= ¬Q P= ¬P Q Si no voy al baile, consigo novio. CUANTIFICADORES Cuantificar se refiere a exponer cuantos elementos de la proposicioó n cumplen el enunciado que lo contiene. Ellos son: 1. Cuantificador Universal: 2. Cuantificador Existencial:

para todo, sin excepcion, todos, ninguno. existe, al menos uno, algunos, no todos.

EJEMPLO: , a, b EZ, a/b E Re

*E Re/X2 = -4 F Negación de un cuantificador: la negacioó n de x, p(x) es x, ¬P(x) x; p(x) es x, ¬P(x) Ejemplo: 

Todos los rombos son cuadrados P(x)= los rombos son cuadrados  x = p(x) F(falso) Negación: algunos rombos son cuadrados X, ¬P(x)-v



ninguna fraccioó n se puede representar por medio de un decimal de finitas cifras. Negación: P(x)= las fracciones se pueden representar por medio de un decimal de finitas cifras X, p(x) F (falso) REGLAS DE INFERENCIA:

MATEMATICAS 11° MODUS PONENS: regla de inferencia formulada en la tautologíóa [(p q)^q] q. a Tambieó n llamada Modus PonendoPonens (afirmando- afirma). Es la maó s usada en solucioó n de problemas, por tener un valor predictivo y de descubrimiento: Si sabemos que p q es verdadero y descubrimos que se cumple p, podemos concluir q. 

Si estudio gano los exaó menes, me va bien en el promedio y gane los exaó menes. Por lo tanto me va bien en el promedio.

MODUS TOLLENS TOLLENDO: en latíón (modo que negando niega), tambieó n llamando Modus Tollens y generalmente abreviado MTT o MT, es una regla de inferencia que tiene la siguiente forma: Si A entonces B No B Por lo tanto, no A Si soleado estaó “entonces” es de díóa No es de “díóa” Por lo tanto, no estaó soleado. SILOGISMO HIPOTEÓ TICO: se conoce de dos premisas condicionales. La primera es una condicional y la segunda como antecedente al consecuente de la primera premisa y la conclusioó n se forma con el antecedente de la segunda premisa. Primera premisa: p

Segunda premisa: q

Conclusioó n: p 

Si Manuel habla no estaó atento a lo que dice el profesor si no atiende al profesor, no entiende. Luego infiero… si Manuel no entiende no atendioó al profesor.

SILOGISMO DISYUNTIVO: es aquel cuya premisa mayor establece una disyuncioó n exclusiva, de manera que los dos miembros no pueden ser simultaó neamente verdaderas, ni simultaó neamente falsos. 

Todo cíórculo es una curva recta; es una curva; luego, no es una recta.

ADICIOÓ N: dado un enunciado cualquiera, es posible expresarlo como una eleccioó n (disyuncioó n) acompanñ ado por cualquier otro enunciado. AvB 

Si Manuela estudia. Si Manuela trabaja. Luego infiero que Manuela estudia o trabaja. 9

MATEMATICAS 11° ADJUNCIOÓ N Y SIMPLIFICACIOÓ N: si disponemos de dos enunciados afirmados como dos premisas separadas, mediante la adjuncioó n, podemos unirlos en una sola premisa utilizando el operador ^ (conjunción). REGLA DE INFERENCIA S (Substitucioó n) Podemos remplazar cualquier parte de una proposicioó n compuesta con una proposicioó n equivalentemente tautoloó gica. C (Conjuncioó n) Si A y B son las dos líóneas en una prueba, entonces podemos anñ adir la líónea AB a la prueba. P (Premisa) Podemos escribir una premisa como una líónea en una prueba. Video referente al tema: https://www.youtube.com/watch?v=U2F4gS-Lzmc TEORÍA DE CONJUNTOS: ¿QUEÓ ES UN CONJUNTO? La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebanñ o, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una coleccioó n de elementos claramente entre síó, que guardan alguna caracteríóstica en comuó n. Ya sean nuó meros, personas, figuras, ideas y conceptos. En matemaó ticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definicioó n de este, sino que se trabaja con la notacioó n de coleccioó n y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia . TIPOS DE CONJUNTOS: 

Conjunto finito: en este conjunto los elementos o miembros que los conforman pueden ser enumerados o contados.



Conjunto infinito: en estos conjuntos, los miembros que lo conforman no pueden ser enumerados ni contados.



Conjunto unitario: estos conjuntos estaó n conformados por un solo miembro o elemento.



Conjunto vacíóo: estos conjuntos carecen de elementos o bien, estos son inexistentes.

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Conjunto referencial: a este conjunto tambieó n se la conoce como universal y se caracterizan por estar conformados por los miembros de todos los elementos que forman parte de la caracterizacioó n.

MATEMATICAS 11° 

Conjuntos disyuntivos: estos conjuntos no poseen ninguó n elemento o miembro que coincida. Esto tambieó n se lo puede expresar diciendo que la interseccioó n entre los conjuntos disyuntivos es el conjunto vacíóo.



Conjuntos equivalentes: son aquellos conjuntos que poseen el mismo nuó mero cardinal, lo que significa que contienen la misma cantidad de elementos.



Conjuntos iguales: esto se da cuando dos o maó s conjuntos contienen iguales elementos.



Conjuntos congruentes: aquíó pertenecen aquellos conjuntos numeó ricos cuyos respectivos miembros se corresponden uno a uno de modo que la distancia entre ellos se conserve



Conjuntos no congruentes: en estos conjuntos, en cambio, no se establece correspondencia alguna entre sus miembros, por lo que la distancia entre los elementos es inconstante.



Conjuntos homogeó neos: en estos conjuntos los elementos o miembros que los componen responden al mismo geó nero o tipo



Conjuntos heterogeó neos: estos conjuntos estaó n compuestos por elementos que corresponden a distintos tipos, geó neros o clases.

COMO SE ESCRIBE UN CONJUNTO: POR EXTENSIOÓ N: Si se hace una lista de los elementos que componen el conjunto. Considere en nombrar todos y cada uno de sus elementos. Ejemplos: El conjunto de los colores del arco iris seria: A= {rojo, anaranjado, amarillo, verde, azul, anñ il, violeta} El conjunto de los nuó meros naturales pares menores de 10 seraó : P = {2, 4, 6, 8} El conjunto de los díóas de la semana: D = {lunes, martes, mieó rcoles, jueves, viernes, saó bado, domingo} POR COMPRENSIOÓ N:

MATEMATICAS 11° Si se da una propiedad comuó n a todos los elementos que permita distinguir cuales pertenecen y cuales no pertenecen al conjunto. Consiste en dar una propiedad que sea cumplida por todos los elementos del conjunto y solo por ellos. Si P es la propiedad comuó n, se escribiraó : A= (x/x tiene la propiedad P) que se lee:” A es el conjunto de todos los elementos x tal que x tiene la propiedad P Ejemplo: El conjunto de los nuó meros naturales seria: N= x/x es un numero natural) El conjunto de los meses del anñ o seríóa: M= x/x es un mes del anñ o) OPERACIONES CON CONJUNTOS: UNIOÓ N La unioó n de dos conjuntos A y B la denotaremos por A EÈ B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos o a los dos. Lo que se denota por: A EÈ B = {x/x IÎ A o x IÎ B} Ejemplo: Sean los conjuntos A= {1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 } A EÈ B = {1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12} INTERSECCIOÓ N Sean A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9} y B= {2, 4, 8, 12} Los elementos comunes a los dos conjuntos son: {2, 4, 8}. A este conjunto se le llama interseccioó n de A y B; y se denota por A Ç B, algebraicamente se escribe asíó: A Ç B = {x/x IÎ A y x IÎ B} Y se lee el conjunto de elementos x que estaó n en A y estaó n en B. Ejemplo: Sean Q= {a, n, p, y, q, s, r, o, b, k} y P= {l, u, a, o, s, r, b, v, y, z} Q Ç P= {a, b, o, r, s, y} CONJUNTO VACIÓO

MATEMATICAS 11° Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacíóo oó conjunto nulo lo que denotamos por el síómbolo Æ. Por ejemplo: Sean A= {2, 4, 6} y B= {1, 3, 5, 7} encontrar A Ç B. A Ç B= { } El resultado de A Ç B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamaraó conjunto vacíóo o nulo y se puede representar como: A Ç B=Æ CONJUNTOS AJENOS Síó la interseccioó n de dos conjuntos es igual al conjunto vacíóo, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir: Si A Ç B = Æ entonces A y B son ajenos. COMPLEMENTO El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprensioó n como: A'= {x IÎ U/x y x IÏ A} Ejemplo: Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A= {1, 3, 5, 7, 9} donde A IÈ U El complemento de A estaraó dado por: A'= {2, 4, 6, 8} DIFERENCIA Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no estaó n en B y se representa por comprensioó n como: A - B= {x/x IÎ A; X IÏ B} Ejemplo: Sea A= {a, b, c, d} y B= {a, b, c, g, h, i} 13

MATEMATICAS 11° A - B= {d} En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no esteó n en B. Si la operacioó n fuera B - A el resultado es B – A = {g, h, i} E indica los elementos que estaó n en B y no en A. Esencialmente, se conoce al diagrama de Venn como una forma de mostrar de manera graó fica, una agrupacioó n de elementos seguó n los conjuntos, siendo representado cada conjunto con una circunferencia. Esta clase de graó ficos se emplean en la Teoríóa de Conjuntos, dentro de las matemaó ticas modernas y nos explica el funcionamiento de un conjunto de elementos al realizar alguna operacioó n con ellos. TALLER DE LOS CONJUNTOS: 1. En un avioó n viajan 120 personas de las cuales: NB= No beben NF= No fuman 72

NB Obj100



Los 2/3 de ellas no beben

Aplicamos una regla de tres: Personas 120

2/3

120- total de personas equivale a 1

X=120*2/3= 80 (personas que no beben, pero pueden fumar) 

72 no fuman ni beben

A= 80-72=8 (personas que no fuman) B= 96-72=24 (personas que no beben) 

Los 4/5 de ellos no fuman 14

MATEMATICAS 11° Personas 120

2/3 X=120*4/5= 96 (personas que no fuman, pero pueden no beber)

¿Cuaó ntas personas fuman y beben? ¿Cuaó ntas personas no fuman ni beben? Las personas que fuman y beben son 120-72-8-24=16. 2. De los 100 alumnos de un saloó n, 70 aprobaron el curso “M” 80 aprobaron “H” y 78 aprobaron el curso “N”. si los 90 aprobaron exactamente 2 curos; ¿Cuaó ntos aprobaron los tres cursos? H

80 Aprobaron historia (H)

70 aprobaron matemáticas (M)

78 aprobaron N

c b

a Z

De la figura, 70 aprobaron matemaó ticas (M) entonces, y+d+c+b= 70 80 aprobaron historia (H) 78 Aprobaron N

x+a+c+d=80 a+c+b+z= 78

Sumando estas ecuaciones tenemos que: (y+d+c+b+x+a+c+d+a+c+b+z) = 70+80+78 lo podemos escribir como: (x+y+z+d+a+b+c) + (d+a+b) + 2c = 228 De las 100 personas de un saloó n es decir, (x+y+y+d+a+b+c) =100. Y si 90 aprobaron exactamente 2 cursos (d+a+b) = 90 Entonces: 15

MATEMATICAS 11° 100+90+2c=228

90+2c=228 2c=228-190 2c= 28

c=28/2=19

19 nuó mero de alumnos que aprobaron los tres cursos. 3. En una poblacioó n: 50% toma leche, 40% come carne, ademaó s solo los que comen carne o solo toman leche son el 54%. ¿Cuaó l es el porcentaje de los que no toman leche ni comen carne? 28%

L= leche C=carne

50% toma leche 40% come carne o solo los que toman leche son 54%

L=50%

C=40%

X= toman leche o comen carne

54% De los conjuntos formados por los que toman leche (L) y los que comen carne (C) tenemos que: X+Y=50%

sumando obtenemos X+2Y+Z=90%

Y+Z= 40% Y noó tese que X+Y+Z+a=100% Pero X +Z=54%

54%+Z+a=100% Y luego, 54% +Y+a=100%

X+2Y+Z=90%

54%+18%+a=100%

54%+2Y=90%

a= 100%-54%-18%

Y=18% Toman leche y comen carne

2Y=36

a=28% El 28% no toman leche ni comen carne. 4. De un grupo de personas  27 leíóan la revista A, pero no leíóan la revista B  26 leíóan la revista B, pero no la C  19 leíóan C pero no A 16

MATEMATICAS 11° 

2 leíóan las tres revistas mencionadas

¿Cuaó ntos prefieren otras revistas?

MATEMATICAS 11°

B g

f d

c C

Con los datos que tenemos= -a+d=27 -b+g=26 -c+e=19 Sumando las tres revistas tenemos que: (a+d+b+g+c+e) =27+26+19 Ahora por la figura:(a+d+b+g+c+e+2+x)=80

72 72+2+X=80

74+X=80

X=6

6 personas prefieren otras revistas. 5. A la entrada de la escuela, se les aplico a 156 ninñ os una encuesta respecto a sus juguetes favoritos la encuesta arrojo los siguientes resultados:  A 52 ninñ os les gustaba el baloó n, a 63 les gustaba los carros, a 87 les gustaba los video juegos.  Ademaó s algunos de ellos coinciden en que les gustaba maó s de un juguete: 26 juegan con el baloó n y carritos, 37 juegan con carritos y video juegos, 23 juegan con el baloó n y los video juegos; por ultimo 7 expresaron su gusto por las tres.

MATEMATICAS 11°

B-52

C-69

B= balón C=carros

F-19

V=video juegos

g-7 d-16

e-30

b X

V-87

156 ninñ os en total. 26 juegan con el baloó n y el carro, como 7 expresaron su gusto por todo-F=26-7=19 37 juegan con carros y los video juegos

e=37-7=30

23 juegan con el baloó n y los video juegos

d=23-7=16

a= 52-19-7-16=10 c=63-30-7-19=7 b=87-30-7-16=34 La cantidad de ninñ os que les gusta otros juguetes no mencionados en la encuesta es: 156 total de ninñ os 10+7+34+19+7+16+30=123 cantidad de ninñ os que les gusta el baloó n, carro y video juego. A. A cuaó ntos ninñ os les gusto otro juguete no mencionado en la encuesta. 156-126=33 B. A cuaó ntos ninñ os les gusta solo jugar con los video juegos. 39 ninñ os solo juegan con el video juego C. A cuaó ntos ninñ os les gusta jugar solo con el baloó n 10 ninñ os juegan solo con el baloó n

MATEMATICAS 11Â°

(A^B)UC)-(A B)C

B-U

(A^C)U (BC^CC)

MATEMATICAS 11Â°

(A^B)C^ (CUA)

MATEMATICAS 11° DIAGRAMAS DE VENN: Los diagramas de Venn se usan para mostrar graó ficamente la agrupacioó n de elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un cíórculo o un oó valo. Nosotros vamos a ver y a estudiar ejemplos con 2 conjuntos: el conjunto A y el conjunto B.

La posicioó n en que esteó n dispuestas las circunferencias, nos mostraraó el víónculo que existe entre los conjuntos. En la imagen de abajo, vemos coó mo los cíórculos del grupo A y el B se encuentran solapados, poseyendo un aó rea en comuó n que comparten ambos grupos y en la que se encuentran todos los elementos del conjunto A y B.

En la imagen de abajo, el cíórculo del grupo A se haya dentro del cíórculo B, de manera que todos los componentes de B tambieó n se encuentran contenidos en A.

El nombre de estos diagramas fue designado en honor a su autor, John Venn, que era un matemaó tico y filoó sofo britaó nico. John expuso por primera vez este diagrama en 1880,

MATEMATICAS 11° apareciendo en el artíóculo “De la representacioó n mecaó nica y diagramaó tica de proposiciones y razonamientos” e inspiraó ndose inicialmente en el caó lculo de clases de Boole.

Problema: a) un alumno de un colegio realiza una encuesta a 100 estudiantes acerca de sus preferencias en haó bitos de lectura y los resultados fueron:  40 leen historia  55 leen literatura  55 leen artes  15 leen historia y literatura  20 leen historia y arte  30 leen literatura y arte  10 leen las tres  5 NO leen ¿La encuesta es correcta? H

L 15

5 10 10

20 15

MATEMATICAS 11° b) De 300 estudiantes de un club deportivo, 160 se inscribieron en natacioó n y 135 en gimnasia, si 30 no se inscribieron en ninguna de las dos ¿Cuaó ntos estudiantes se inscribieron en las dos? E N

G 135

110

N (E)=300 N (N)=160 N (G)=135 N (NuG)’=30 N (NuG)=N(N)+N (G)-N(N^G) 270=160+135-N(N^G) Estudiantes que solo practican N (natacioó n) N (N-G)=135 Estudiantes que solo practican natacioó n o gimnasia N(N G)=245 Estudiantes que no practican ni natacioó n ni gimnasia N(N^G)=295-270 N(N^G)=25 CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD: EXPERIMENTO ALEATORIO:conjunto de pruebas cuyos resultados estaó n determinados uó nicamente por el azar. ESPACIO MUESTRAL: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. PUNTO MUESTRAL O SUCESO ELEMENTAL: el resultado de una sola prueba NO un experimento muestral. 24

MATEMATICAS 11° SUCESO O EVENTO: cualquier subconjunto de puntos mueó strales. SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES:suceso o eventos que no pueden ocurrir simultaó neamente SUCESOS COMPLEMENTARIOS: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unioó n es el espacio muestral. SUCESO INDEPENDIENTE: suceso o eventos que no tienen relacioó n entre síó; la ocurrencia de uno no afecta al otro. SUCESO DEPENDIENTE: suceso o evento que si tienen relacioó n entre síó; la ocurrencia de uno no afecta al otro. Ejemplo:se lanza un dado a. Encontrar el espacio muestral: Solucioó n: S= {1,2,3,4,5,6} b. Enumerar los puntos mueó strales: solucioó n: S= hay seis puntos mueó strales {1} {2} {3} {4} {5} {6} c. Poner dos ejemplos de eventos: solucioó n= EVENTO A=(resultado impar)= (1,3,5) EVENTO B= (resultado es mayor que 2)= (2,4,5,6) d. ¿son mutuamente excluyentes los siguientes eventos? A= (resultado menor o igual a 1) Solucioó n= {1, 2, 3,4} B= (resultado es primo) Solucioó n= {2, 3,5} Si tienen dos puntos en comuó n 2 y 3 por lo tanto no son mutuamente excluyentes e. ¿Cuaó l suceso es complementario a M=(2,6)? Solucioó n: {1,3,4,5} f. ¿son dependientes o independientes los siguientes eventos? A= (obtener un 2 en el primer lanzamiento) B= (obtener un 4 en el segundo lanzamiento) Solucioó n: son independientes, porque obtener o no un 2 en el primer lanzamiento no afecta el resultado del segundo lanzamiento g. Una escuela de futbol estaó conformada por 67 integrantes de los cuales 40 juegan en la categoríóa infantil y 35 juegan en la categoríóa pre juvenil.  Los eventos ¿jugar en la categoríóa infantil y en la categoríóa pre juvenil son excluyentes? NO porque hay 8 estudiantes que juegan en las 2 DIAGRAMA DE AÓ RBOL: Un diagrama de aó rbol es una representacioó n graó fica que muestra los resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades; consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un nuó mero finito de maneras de ser llevado a cabo. Para la construccioó n de un diagrama en aó rbol se partiraó poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompanñ ada de su probabilidad. En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, seguó n las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final). Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

MATEMATICAS 11° Por ejemplo: una clase consta de 6 ninñ as y 10 ninñ os, si se escoge un comiteó de tres al azar determine: diagrama de aó rbol. Niña

Niña

Niño

Niña

Niña Niño

Niño

16 en total Niña

Niña

Niño Niño Niño

Niña Niño

TECNICAS DE CONTEO: Las teó cnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíóciles de cuantificar. Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el nuó mero total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2. ¿De cuantas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener maó s de un premio? Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el premio. Una vez que este ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y posteriormente quedaraó n 8 personas para el tercer premio. De ahíó que el nuó mero de maneras distintas de repartir los tres premios. n 10.9.8=720 PRINCIPIO DE MULTIPLICACION (y) Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-esimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto del principio multiplicativo, implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de N1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de N2 maneras diferentes, y asíó sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de Np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…y Ep” es igual a producto. N1xN2…. X Nr maneras o formas. Por Ejemplo:se dispone de 3 víóas para viajar de C1 y de C2 y de 4 víóas para viajar de C1 a C2 ¿Cuaó ntas formas se pueden organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2? 26

MATEMATICAS 11° Respuesta: (3) (4)=12 PRINCIPIO DE ADICION (o) Si un evento o suceso “A” ocurre de n maneras y otro “B” ocurre de m maneras, luego:Nº de maneras en que puede ocurrir el evento A o el evento B es: n + m Un evento o suceso ocurre de una forma o de otra, maó s no de ambas formas a la vez (no sucede en simultaneo) Por ejemplo:Erika para ir a de su casa a la universidad lo hace tomando un solo microbuó s. Si por su casa pasan 3 líóneas de transporte que la llevan a la universidad, ¿de cuantas maneras diferentes, seguó n el microbuó s que tome, llegara Erika a la universidad? Se sabe que la líónea A tiene 3 microbuses, la líónea B tiene 5 microbuses y la líónea C tiene 8 microbuses. PERMUTACIOÓ N Sea “n” el nuó mero de elementos de un conjunto A y “r” un nuó mero natural donde 0 < r <n; las permutaciones se definen como el nuó mero de ordenaciones diferentes que se pueden formar con los elementos del conjunto A, tomando dos grupos de “n” en “n” o de “r” en “r” pueden ser sin repeticioó n o con repeticioó n. Por ejemplo:¿Cuaó ntos nuó meros de 5 cifras diferentes se puede formar con los díógitos: 1, 2, 3, 4, 5? m=5

n=5

Sí entran todos los elementos. De 5 díógitos entran soó lo 3. Sí importa el orden. Son nuó meros distintos el 123, 231, 321. No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes. P5=5!=5*4*3*2*1= 120 PERMUTACIOÓ N SIN REPETICIOÓ N: De “n” elementos diferentes tomados a la vez: si “n” es el nuó mero de elementos tomados de un conjunto A; el nuó mero de permutaciones que pueden hacerse con todos los “n” elementos se obtienen asíó: P(n, n)=n! Por ejemplo: ¿De cuaó ntas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas? Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas. Sí importa el orden. 27

MATEMATICAS 11° No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir. P8=8!=40320 TIPO DE COMBINATORIA

¿SE TOMAN TODOS LOS ELEMENTOS?

¿IMPORTA EL ORDEN?

¿SE REPITEN ELEMENTOS?

FORMULA

EJEMPLO

PERMUTACIÓN ORDINARIA PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN VARIACIÓN ORDINARIA

Pn=n!

P3=3!=6

PRn=Pn a!b!c! Vmn=m! (m-n)!

PR23=p3 = 6 =3 2! 2 V23=3! = 6 (3-2)!

VARIACIÓN CON REPETICIÓN COMBINATORIA ORDINARIA COMBINACIÓN CON REPETICIÓN

Si/no

VRnm=mn

VR23=32=9

Si/no

Cmn=m! (m-n)!n! CRmn=(m!n-1)! n!(m-1)!

C23=3! = 3 (3-2)!2! CR23=(3+2-1)! 2!(3-1)!

PROBABILIDAD La probabilidad de un suceso es un nuó mero comprendido entre 0 y 1 que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio. MEÓ TODOS PARA EL CAÓ LCULO DE PROBABILIDAD. Uno de los meó todos maó s utilizados es aplicando la regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.

P (suceso) CASOS FAVORABLES (F) CASOS POSIBLES (N) Ejemplo: probabilidad de que al lanzar un dado salga el numero 2: el caso favorable (f) es tan solo (que salga el dos), mientras que los casos posibles (n) son seis. Por tanto: P=f/n = 1/6= 0.166 (16.6%)

CONDICIONES IMPORTANTES.

MATEMATICAS 11° 1. El nuó mero de resultados posibles (suceso o evento) tiene que ser infinito. Si hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla “casos favorables” dividido por “casos posibles” el cociente siempre seraó cero. PROBABILIDADES COMO CONJUNTOS. 1. 2. 3. 4.

E:espacio muestral o conjunto de todos los resultados posibles. AuB: al menos uno de los eventos A o B ocurre. A^B: ambos eventos ocurren. Ac: el evento A no ocurre.

Ejemplo:en el experimento “lanzar un dado de seis caras” sean los eventos. A= sale par B=sale primo El evento “AoB” = AuB: “sale par o primo” se escribe: 1 E AuB:{2,3,4,5,6} 4

3 5

El evento “A” y “B”= A^b=”sale par y primo se describe” E

A^B:{2}

3 5

El evento “no ocurre A”= Ac = “no sale par” Se describe. A

1 4

Ac:{1,2,5}

6 5 CONDICIONES IMPORTANTES

MATEMATICAS 11° Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos a) El nuó mero de resultados posibles (sucesos o eventos) tiene que ser finito. Si hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables dividido por casos posibles" el cociente siempre seríóa cero. b) Todos los sucesos o eventos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podríóamos aplicar esta regla. A la regla de Laplace tambieó n se le denomina "probabilidad a priori", ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades. Cuando se realiza un experimento aleatorio un nuó mero muy elevado de veces, las probabilidades de los diversos posibles sucesos empiezan a converger hacia valores determinados, que son sus respectivas probabilidades. Ejemplo:si lanzo una vez una moneda al aire y sale "cara", quiere decir que el suceso "cara" ha aparecido el 100% de las veces y el suceso "cruz" el 0%. Si lanzo diez veces la moneda al aire, es posible que el suceso "cara" salga 7 veces y el suceso "cruz" las 3 restantes. En este caso, la probabilidad del suceso "cara" ya no seríóa del 100%, sino que se habríóa reducido al 70%. Si repito este experimento un nuó mero elevado de veces, lo normal es que las probabilidades de los sucesos "cara" y "cruz" se vayan aproximando al 50% cada una. Este 50% seraó la probabilidad de estos sucesos seguó n el modelo frecuentista. PROPIEDADES: Ademaó s de P (E)= 1, P(Q)= 0,0 < P(A)< 1, tenemos: 1. Si A^B=Q (AyB se excluyen mutuamente) entonces: P (AuB)= P(A) + P (B) 2. P(A) + P(Ac)=1 P (A) =1- P (Ac) P (Ac) = 1- P (A) 3. Si A^B ≠ Q Entonces P (AuB) = P (A) + P (B) – P(A^B) 4. Si A y B son eventos independientes (la ocurrencia de A no influye en la ocurrencia de B), entonces: P(A^B) = P(A) * P (B) 5. Si A y B son eventos dependientes (la ocurrencia de A influyen la ocurrencia de B), entonces: P(A^B)= P(A)*P (B/A) P (B/A)= es la probabilidad del evento B, sabiendo que ha ocurrido A Ejemplo: 30

MATEMATICAS 11° P(AuB)= P(A) + P(B). se extrae una carta al azar de un mazo ingles normal de 52 cartas. Supongamos que definimos los eventos A: “sale 3” y B: sale una figura y nos pregunta por la probabilidad de que ocurra AoB Como estos eventos no pueden ocurrir simultaó neamente o sea, son simultaó neamente excluyentes, A^B=Q y entonces: P(AoB)= P(AuB)= P(A) + P(B) =P(sale 3) + P(sale figura)= 4/52 + 52= 4/13 

Se lanzan dos monedas al aire salen dos caras se extrae una bola de una urna 1 que contiene 2 bolas blancas y 3 negras. Si sale cara y sello se extrae una bola de una urna 2 que contiene 4 bolas blancas y 1 negra. Si salen 2 sellos se extrae 1 bola de una urna 3 que contiene 3 bolas blancas y 2 bolas negras. Cuaó l es la probabilidad de extraer bola blanca despueó s de lanzar la moneda y sacar la bola. Realice diagrama de aó rbol.

E={(c,c),(c,s),(s,c),(s,s)} P(c,c)=1/4 P(s,s)=1/4 P(s,s)=2/4= ½ 3/5 N

URNA 1

2/5 B

(c,c)=1/4 4/5 B

2Monedas (c,s) (s,c)=1/2 URNA 2

(s,s)=1/4

URNA 2

1/5 N

3/5 B

2/5 B

P(c,c)*PB (urna 1+P(c,s)(s,c)*PB/urna 2+P(s,s)*PB/urna3 ¼*2/5+1/2*4/5+1/4*3/5 =2/20+4/10+3/20 31

MATEMATICAS 11° =1/10+2/5+3/20=2+8+3/20=13/20=0.65=65% ESTADISTICA DESCRIPTIVA CONCEPTOS PRELIMINARES La estadística tarta del recuento, ordenado y clasificacioó n de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones. Un estudio estadístico consta de las siguientes fases:    

Recogida de datos Organizacioó n y representacioó n de datos Anaó lisis de datos Obtencioó n de conclusiones

CONCEPTOS DE ESTADIÓSTICA POBLACIOÓ N: una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadíóstico. INDIVIDUO: un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos de la poblacioó n. MUESTRA: una muestra es un conjunto representativo de la poblacioó n de referencia, el nuó mero de individuos de una muestra es menor que el de la poblacioó n. Muestreo: el muestreo es la reunioó n de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporcioó n reducida y representativa de la poblacioó n. VALOR: el valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadíóstico. Si lanzamos una moneda al aire cinco veces obtenemos dos valores cara y cruz. DATO: un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadíóstico. Si lanzamos una moneda al aire cinco veces obtenemos cinco datos: cara, cara, cruz, cara, cruz. TIPO DE VARIABLE ESTADÍSTICA VARIABLE CUALITATIVA: las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con nuó meros. Podemos distinguir dos tipos: 



Variable cualitativa nominal: una variable cualitativa normal presenta modalidades que se admiten un criterio de orden. Ejemplo: el estado civil, con las siguientes modalidades: soltero-casado-separadodivorciado-viudo. Variable cualitativa ordinal o variables cuasi cuantitativas: una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no numéricas, en las que existe un orden. Ejemplo: las nota en un examen: suspenso-aprobado-notable-sobresaliente Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1°-2°-3°… Medidas de una prueba deportiva: oro-plata-bronce 32

MATEMATICAS 11° VARIABLE CUANTITATIVA:una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se puede realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos: 



Variable discreta: una variable discreta es aquella que solo puede tomar un nuó mero finito de valores cualesquiera de una caracteríóstica. Ejemplo: el nuó mero de hermanos de 5 amigos: 2-1-0-1-3 Variable continua: una variable continua es aquella que puede tomar un nuó mero infinito de valores entre dos valores cualesquiera de una caracteríóstica. Ejemplo: la altura de los amigos: 1.73-1.82-1.77-1.66-1.75

Video referentes al tema: 

https://www.youtube.com/watch?v=VswXsizTuk8 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA

La distribucioó n de frecuencia o tabla de frecuencia es una ordenacioó n en forma de tabla de los datos estadíósticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente. TIPOS DE FRECUENCIAS FRECUENCIA ABSOLUTA: la frecuencia absoluta es el nuó mero de veces que aparece en determinado valor en un espacio estadíóstico. Se representa por f1 La suma de las frecuencias absolutas es igual al nuó mero total de datos, que se representa por N. f1+f2+f3+…+fx=N FRECUENCIA RELATIVA: la frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el nuó mero de datos total. Se puede exponer en tantos por ciento y se representa por ni n1= f1/N RESUMEN DE LA TABLA DE FRECUENCIA: FRECUENCIA ACUMULADA: la frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado. Se representa por: F1 FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA:la frecuencia relativa acumulada es el coeficiente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el nuó mero total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento. 33

MATEMATICAS 11° Ejemplo: durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas maó ximas: 3 1 3 1 3 1 3 0

3 1 3 1 3 0 3 1

2 8 2 7 3 0 3 4

2 9 2 8 2 9 3 3

3 3 2 9 2 9 3 3

3 2 3 0 3 0 2 9

3 1 3 2 3 0 2 9

3 0 3 1 3 1

En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta. X1 27 28 29 30 31 32 33 34

Recuento I II IIIIII IIIIIII IIIIIIII III III I

f1 1 2 6 7 8 3 3 1

F1 1 3 9 16 24 27 30 31

ni 3.32 6.45 19.35 22.58 25.58 9.67 9.67 3.22

Ni 3.22 9.67 29.02 51.6 77.04 86.71 95.98 99.96

DISTRIBUCIOÓ N DE FRECUENCIAS AGRUPADAS: La distribucioó n de frecuencias agrupadas o tabla de datos agrupados se emplea si las variables toman un nuó mero grande de valores o la variedad es continua. Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente. LIÓMITES DE CLASE Cada clase estaó delimitada por el líómite inferior de la clase y el líómite superior de la clase. AMPLITUD DE LA CLASE La amplitud de la clase es la diferencia entre el líómite superior e inferior de la clase.

MARCA DE CLASE

MATEMATICAS 11° la marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el caó lculo de algunos paraó metros. CONSTRUCCIOÓ N DE UNA TABLA DE DATOS AGRUPADOS 3 3 4 1 1 2 8

1 5 2 9 1 3 3 8

2 4 1 7 2 2 4 1

2 8 7 2 7 4 8

3 5 3 4 4 7 1 5

3 8 3 9 3 9 3 2

4 2 4 4 3 7 1 3

4 3 3 1 3 4

3 8 2 6 3 2

3 6 2 0 3 5

1° se localizan los valores menor y mayor de la distribucioó n. En este caso 3 y 38. 2° se restan y se busca un numero entero un poco mayor que la diferencia y que sea divisible por el nuó mero de intervalos queramos establecer. Es conveniente que el nuó mero de intervalos oscile entre 6 y 15. En este caso 48-3=45, incrementamos el numero hasta 50/5= 10 intervalos. GRÁFICOS. La recopilacioó n de datos y la tabulacioó n pueden traducirse graó ficamente mediante representaciones convenientemente elegidas: barras, sectores circulares, mapas curvas, etc. Los graó ficos permiten visualizar e interpretar el fenoó meno que se estudia, en forma maó s clara. Las barras se utilizan generalmente para representar atributos cualitativos o cuantitativos discreto. La longitud es igual a la frecuencia de cada observacioó n. Pueden ser barras simples o muó ltiples, seguó n se trate de representar uno o maó s atributos.Las barras pueden ser horizontales o verticales. DIAGRAMA DE BARRAS. Un diagrama de barras se utiliza para representar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto. Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los valores de la variable, y sobre el eje de ordenadas la frecuencia absoluta o relativa o acumulad.

MATEMATICAS 11° 10 8 6 4 2 0 A

Grupo A B Ab O

F1 6 4 1 9

Los datos se representan mediante barras de una altura

Total: 20 proporcional a la frecuencia.

Ejemplo: un estudio hecho al conjunto de 20 alumnos de una clase para determinar su grupo sanguíóneo ha dado el siguiente resultado. DIAGRAMA DE SECTORES: un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas.

A B AB O

Los datos se presentan en un circulo, de modo que el angulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.

MATEMATICAS 11°

POLIGONO DE FRECUENCIAS El políógono de frecuencias se construye uniendo los puntos medios de los lados opuestos de las bases de cada rectaó ngulo. Si se quiere cerrar el rectaó ngulo, se agregan dos intervalos: uno anterior y otro posterior al uó ltimo y se prolonga el políógono hasta los puntos medios de estos intervalos. 10 8 6 B

4 2 0 A

MEDIDAS DE TENDENCIA. Se utilizan para encontrar un valor que represente a todos los datos. Las maó s importantes son: la media aritmeó tica, la moda y la mediana. La media aritmeó tica o promedio ( ) de varios nuó meros se calcula como el cociente entre la

x suma de todos esos nuó meros y la cantidad de nuó meros que sumamos. La moda (Mo) es el valor que maó s se repite. Puede suceder que haya maó s de una moda o ninguna (si todos los valores tienen igual frecuencia). La mediana (Me) es el valor que ocupa el lugar central al ordenar los datos de menor a mayor. Si la cantidad de datos es par, la mediana es el promedio entre los dos valores centrales.

MATEMATICAS 11° Ejemplo: Los sueldos de cinco empleados de una empresa son: $ 400000, $500000, $450000, $600000 y $3500000. Sueldo medio: 2300000/5=460000 El entrenador de un equipo de natacioó n debe elegir a uno de sus integrantes para la proó xima competencia de estilo libre. Seguó n los tiempos en segundos que obtuvieron los postulantes de las cinco uó ltimas carreras de 100 m de estilo libre. Diego

61,7

62,3

62,9

63,1

Tomaó s

61,5

62,9

63,7

Sergio

60,7

62,4

62,7

63,2

Las medidas de posicioó n de cada uno. promedio

moda

mediana

Diego

62,34

61,7

62,3

Tomaó s

62,94

62,9

Sergio

51.41

62,7

¿Queó nadador le conviene elegir? Sergio En promedio, los nadadores más rápidos son diego y Sergio pero esto no significa que hayan tenido el mismo rendimiento; por eso necesitamos las otras medidas de posición: de ellos dos, tanto la moda como la mediana indican que Sergio fue maó s veloz. Sin embargo, para elegir el nadador adecuado, no basta con considerar las medidas de posicioó n, ya que tambieó n es necesario que su rendimiento sea parejo, es decir, que los tiempos de sus 100 m libres no tengan mucha dispersión. MEDIDAS DE DISPERSIÓN: Nos informan coó mo estaó n distribuidos los datos. La maó s importante es el desviacioó n estaó ndar (), que mide la dispersioó n de los datos con respecto al promedio. Cuanto menor es el desvíóo estaó ndar, menos dispersos estaó n los datos con respecto al promedio. Para calcular el desvíóo estaó ndar, seguimos los siguientes pasos:  

Calculamos la diferencia entre cada uno y el promedio. Elevamos al cuadrado cada una de las diferencias anteriores. 38

MATEMATICAS 11°  

Sumamos todos los valores hallados en el paso anterior y dividimos el resultado por la cantidad de datos. Asíó obtenemos la varianza. Calculamos la desviacioó n estaó ndar () como la raíóz cuadrada de la varianza.

x n

 

i 1

 x

n= número de datos

CALCULOS DE ESTADIGRAFOS EN DATOS TABULADOS

Si los datos estaó n agrupados ya sea en tablas de frecuencias simples o en intervalos de clase, debemos utilizar un criterio diferente para calcular los distintos estadíógrafos. Analicemos el siguiente ejemplo: Consideremos la siguiente distribucioó n de frecuencias que corresponden a los puntajes de 50 alumnos en una prueba. Intervalos

M.C. (x) fi

f·x

[60 – 65)

62,5

312.5

[65 – 70)

67,5

337.5

[70 – 75)

72,5

580

[75 – 80)

77,5

930



Intervalo mediano

[80 – 85)

82,5

1320



Intervalo modal

[85 – 90)

87,5

350

3830

TOTALES

La Media Aritmética:

x

 f ·x f



x

3830  76.6 50

ptos.



77 ptos

Para calcular La Mediananecesitamos la siguiente foó rmula:

n    Fa ·A 2  Me  L   fi Doó nde: L es el líómite inferior del intervalo mediano. 39

MATEMATICAS 11° Fa es la frecuencia acumulada hasta antes del Intervalo mediano. fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano. A es la Amplitud del intervalo. En el ejemplo, la cantidad de datos es 50, luego 50: 2 = 25, y la Fa 25 se encuentra en el intervalo [75 – 80) ya que el 25 estaó aquíó, en cambio en la anterior (18) no estaó . Luego el intervalo mediano es [75 – 80) Entonces: L = 75(líómite inferior) fi = 8 A = 5 (80 – 75 = 5) Fa = 18

(frecuencia acumulada del intervalo anterior)

  50   18 ·5  2   75  7·5  75  4.375  79.375 Me  75   8 8

79 ptos.

Para calcular laModa en datos agrupados, utilizamos la siguiente foó rmula, teniendo presente que la clase modal es la que tiene mayor frecuencia, y esta es la Frecuencia Modal.

Mo  L 

d1 ·A d1  d 2

L: Líómite real inferior de la clase modal. d1: es la diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia anterior. L = 80 (intervalo modal [80 – 85), ya que la frecuencia es 16, que es la mayor) d1= 16 – 12 = 4 (diferencia con la frecuencia anterior) d2= 16 – 4 = 12 (diferencia con la frecuencia siguiente) A=5 Luego,

4 20 Mo  80  · 5  80   81,25 4  12 16

puntos.



81 puntos.

MATEMATICAS 11° Se estima que el valor maó s repetido de los puntajes de esta prueba fue el 81. EJERCICIOS 1. Los siguientes datos numeó ricos corresponden a la cantidad de veces que cada alumno de un grupo ha ido a un recital o concierto. 2–4–3–2–1–1–6–3–0–3–2–4–6–9–3–2–1–6 Calcula, sin tabular, Media, moda, mediana, desviacioó n, n, rango. 2. En un diagnoó stico de educacioó n fíósica se pidioó a los alumnos de los cuartos medios que hicieran abdominales durante 3 minutos. Se obtuvieron los siguientes resultados: 4º A: 45 38 43 29 34 60 54 27 32 33 23 34 34 28 56 62 56 57 45 47 48 54 33 45 44 41 34 36 34 54 4º B: 43 45 44 38 34 46 43 42 43 45 57 44 38 38 37 43 61 38 37 45 28 42 49 40 37 34 44 41 43 ¿Cuaó l de los dos cursos tiene el rendimiento maó s parejo? ¿Queó distribucioó n estadíóstico permite comparar la distribucioó n de este tipo de datos? 3. A continuacioó n se presentan los resultados de ambos cursos en la prueba de diagnoó stico de salto largo. 4º A : 3.2 3.5 4.9 5.0 3.1 4.1 2.9 2.8 3.8 4.5 4.3 4.5 4.1 5.8 3.9 3.6 4.2 4.6 1.9 2.9 3.3 3.9 4.2 4.1 4.3 4.6 4.4 3.8 3.6 4º B : 3.5 2.9 1.3 1.7 3.6 5.6 2.8 5.2 5.3 4.1 4.1 4.4 1.6 5.1 4.3 5.0 5.3 3.2 2.8 2.6 5.5 5.4 4.8 4.9 4.3 2.9 3.9 5.4 5.3 4.2 a. Calcula el promedio de ambos cursos. b. Construye una tabla de frecuencias para cada curso c. Cuaó l de los dos cursos tuvo un rendimiento maó s parejo?

4. Se han medido 75 alumnos, en centíómetros, obtenieó ndose los siguientes datos: 175 156 172 159 161 185 186 192 179 163 164 170 164 167 168 174 168 176 166167 169 182 170 169 167 170 162 172 171 174 171 155 171 170 157 170 173 173174 168 166 172 172 158 159 163 163 168 174 150 154 175 160 175 177 178 180169 165 180 166 184 183 174 173 185 189 169 173 171 173

172 171 175 162

Agrupa estos resultados en 8 intervalos y confecciona una tabla de frecuencias y calcula las medidas de tendencia central y de dispersioó n. Ademaó s, grafica esta tabla. 5. A los mismos alumnos anteriores se les aplico una prueba de inteligencia, estos han sido: 41

MATEMATICAS 11° 87 105 88 103 114 125 108 107 118 114 129 89 82141 92 132 112 97 135 101 104 130 104 87 108 115103 132 110 113 102 109 124 114 141 116 108 102 101118 138 99 105 112 127 100 9

100 106 99 114 98 140 94 96

113 105 91 145 107 93 132 118

111 94 95 101 108 122 123 108

115 115 117 131

Agrupa los datos en intervalos de amplitud 8. Y haz lo mismo que en problema anterior. Actividad en Excel. Consulta y disenñ a en Excel ESTADÍSTICA: Se tomoó una muestra de 40 familias obtenieó ndose los resultados siguientes. 3 4

4 2

0 8

5 4

2 0

1 1

2 2

6 9

1 1 5

X1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11

Recuento III IIIII IIII III IIIIIII II IIII IIII II IIII II

f1 3 5 4 3 7 2 4 4 2 4 2

F1 ni (%) Ni (%) 3 7.5 7.5 8 12.5 20 12 10 30 15 7.5 37.5 22 17.5 55 24 5 60 28 10 70 32 10 80 34 5 85 38 10 98 40 5 100 DIAGRAMA DE BARRAS.

MATEMATICAS 11° 7 6 5 4 Serie 1

3 2 1 0 0

POLÍGONO DE FRECUENCIAS. 8 7 6 5 4

Serie 1

3 2 1 0 0

DIAGRAMA DE SECTORES.

MATEMATICAS 11°

0 2 4 6 8 11

1 3 5 7 9

DATOS AGRUPADOS Agrupacioó n de datos por intervalos de clase: intervalos iguales en los que se divide el nuó mero total de observaciones. Es conveniente utilizar los intervalos de clase cuando se tiene un gran nuó mero de datos de una variable continua. ¿Coó mo saber cuaó ntos intervalos considerar? ¿Coó mo determinar su amplitud? Primero debemos determinar el rango de los datos, que es la diferencia entre el mayor y el menor de los valores obtenidos. Rango = x maó x. – x míón. Luego debemos establecer el nuó mero de intervalos (N) y determinar la amplitud (A) de los mismos. A = rango / N (N tuó lo eliges, pero es conveniente que no sea muy pequenñ o) Si queremos trabajar con 10 intervalos, ¿cuaó l es, para nuestro caso, la amplitud de cada uno de ellos? De ser necesario, podemos aproximar el valor hallado. 

Siendo el primer intervalo [1,52; 1.55) se completa la tabla con todos los restantes. Observa que el extremo izquierdo del intervalo se usa un corchete “[“, lo que indica que tomamos este valor, en cambio en el derecho usamos “) “que nos indica que el intervalo es abierto, o sea, no se toma este valor. La Marca de clase es el promedio aritmeó tico de los extremos del intervalo.

1,52

1,64

1,54

1,64

1,73

1,55

1,56

1,57

1,58

1,59

1,53

1,60

1,61

1,65

1,63

1,79

1,63

1,62

1,60

1,64

1,54

1,65

1,62

1,66

1,76

1,70

1,69

MATEMATICAS 11° 1,71

1,72

Tallas

1,72

1,55

1,73

1,75

1,67

Marca de clase Frecuenc Frecuenc Frecuenci (MC) ia ia a relativa absoluta acumula (fr) da (fi) (Fa)

[1,52 ; 1.55) 1,535

1,78

1,63

Frecuencia relativa acumulada

Frecuencia absoluta acumulada

(fr%)

(Fa%)

[1,55 ; 1,58) 1,565 [1,58 ; 1,61) 1,595 [1,61 ; 1,64) 1,625 [1,64 ; 1,67) 1,655 [1,67 ; 1,70) 1,685 [1,70 ; 1,73) 1,715 [1,73 ; 1,76) 1.745 [1,76 ; 1,79) 1.775 [1,79 ; 1,82) 1.805 Totales

Realizar: políógono de frecuencias Ejemplos: Estas son las notas obtenidas por los 100 candidatos que se presentaron a un concurso: 38 71 16 55 13 63 98 12 18 33

51 62 62 38 92 28 51 42 22 52

32 50 50 46 37 36 62 34 70 14

65 37 37 16 43 19 3 68 34 40

25 8 4 72 58 56 17 77 5 38

28 24 17 64 52 84 43 45 59 54

34 19 75 61 88 38 47 60 20 50

12 47 94 33 27 6 54 31 68 11

29 81 6 59 74 42 58 72 55 41

43 53 25 21 66 50 26 23 49 76 45

MATEMATICAS 11°

Tabla de intervalos de clase. Notas

Marca de clase (MC)

Frecuencia absoluta (fi)

Frecuencia acumulada (Fa)

Frecuencia relativa (fr)

Frecuencia relativa acumulada (fr%)

Frecuencia absoluta acumulada (Fa%)

En una cierta ciudad de la provincia de Valdivia, se registra el nuó mero de nacimientos ocurridos por semana durante las 52 semanas del anñ o, siendo los siguientes los datos obtenidos: 6 12 3 7

4 17 11 8

2 11 7 10

8 9 12 15

16 19 9 2

10 18 11 13

6 18 15 9

7 16 9 11

5 14 4 17

12 12 1 13

8 7 6 12

9 10 11 8

Tabla de intervalos de clase. Nacimientos

Marca de clase (MC)

Frecuencia absoluta (fi)

Frecuencia acumulada (Fa)

Frecuencia relativa (fr)

Frecuencia relativa acumulada (fr%)

Frecuencia absoluta acumulada (Fa%)

Las edades de veinte chicos son 12

MATEMATICAS 11° 15

Tabla de intervalos de clase. edades

Marca de clase (MC)

 

Frecuencia absoluta (fi)

Frecuencia acumulada (Fa)

Frecuencia relativa (fr)

Frecuencia relativa acumulada (fr%)

Frecuencia absoluta acumulada (Fa%)

¿Queó porcentaje de chicos tienen 12 anñ os? ¿Cuaó ntos chicos tienen menos de 14 anñ os? FUNCIONES DE VARIABLE REAL.

Se llama función real de variable real a toda funcioó n definida de un subconjunto D de los nuó meros reales, en el conjunto R de los nuó meros reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y soó lo un elemento y de R:

ESTRUCTURA DE LOS NÚMEROS. 

Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar: 3,4...}

= {1, 2,

MATEMATICAS 11°   



Cuando se necesita ademaó s restar surgen los números enteros ={ ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Si se necesita ademaó s dividir, surgen los números racionales (o fraccionarios, o quebrados), = {... 1/2, 5/3, 8/10, 238476/98745,......} Hay nuó meros que no son racionales, es decir que no pueden ser expresados como cociente de dos nuó meros enteros. Por ejemplo, piensa en el nuó mero cuya representacioó n decimal es 0.1234567891011121314151617181920........ La unioó n de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales

C A N

Grupo

I C O GRUPO ABELIANO. Definicioó n; Grupo abeliano, - Un grupo (G, +) es abeliano si y solo si la ley de composicioó n interna definida en eó l es conmutativa: ∀x, y∈G.−x+y=y+x (en notacioó n aditiva) Consecuencias: 1ª) todo subgrupo de un grupo abeliano es abeliano, 2ª) Todo subgrupo de un grupo abeliano es invariante, es decir: x+H=H+x, donde x∈G En los subgrupos abelianos la propiedad de invariancia es maó s fuerte que en los subgrupos no abelianos, puesto que para los demaó s se tiene: X1+H=H+x2 Donde x1, x2 pertenecen a G. En adelante, todo lo que demos sobre grupos seraó referido a grupos abelianos mientras no se especifique lo contrario.

MATEMATICAS 11° LIÓMITES DE FUNCIONES Gran parte del caó lculo trata con la idea de "infinito". Por ejemplo, a menudo escucharaó s a la gente hablar de algo "infinitesimalmente pequenñ o". Los líómites son la herramienta detraó s del caó lculo, y nos permiten hablar correctamente del infinito. En particular, nos proporcionan el lenguaje para decir que estamos "infinitesimalmente cerca" de alguó n nuó mero al darnos la oportunidad de hablar de lo que ocurre cuando nos acercamos a ese nuó mero. Se dice que una funcioó n y=f(x) tiene líómite "l" cuando la x tiende a "a" y lo representamos por:

Cuando para toda sucesioó n de nuó meros reales que se aproxime a "a" tanto como queramos, los valores correspondientes de f(x) se aproximan a "l" tanto como queramos. ("tanto como queramos" es una expresioó n que nos indica que la aproximacioó n seraó tanto mayor cuantos maó s elementos tomemos de la sucesioó n). Ejemplo 1: Consideremos la funcioó n y tratemos de calcular su líómite cuando x tiende a 2. Tomamos la sucesioó n an = {1-1,9-1,99-1,999-1,9999-....} y veamos a queó valor se aproxima f (an), para ello construimos la siguiente tabla:

1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999 .....

f(an) -2 -29 -299 -2999 -29999 -299999 -2999999 .....

Parece que los valores de la funcioó n se aproximan, tanto como queramos a menos infinito, pero nos preguntamos ¿Queó ocurriríóa si la sucesioó n elegida fuese decreciente, en lugar de creciente, veaó moslo: an

f(an) 4

2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2.000001 ....

301 3001 30001 300001 3000001 ....

Ahora los valores se aproximan a maó s infinito. 49

MATEMATICAS 11° Es decir, si la sucesioó n tiende a 2 pero conservaó ndose todos sus teó rminos menores que 2, la funcioó n tiende a un líómite y si los valores de la sucesioó n se conservan todos mayores que dos la funcioó n tiende a otro distinto. Afirmamos que no existe líómite en el punto 2 para la funcioó n dada. Ejemplo 2:

Calcular el límite Vamos a proceder como antes con una sucesioó n creciente y otra decreciente que se aproximen ambas a 3 tanto como queramos: an

2,1 2,9

f(an) 31

2,99

2,999

2,9999 2,99999 2,999999 ....

4,3333 4,0303 4,0030 4,0003 4,00003 4,000003 ....

Y para una decreciente:

3,1

3,01

3,001

3,0001 3,00001 3,000001 ....

f(an) 2,5 3,7272 3,9703 3,9970 3,9997 3,99997 3,999997 ....

Como los valores que toma la funcioó n para ambas sucesiones tienden al mismo valor 4, podemos escribir:

De los dos ejemplos anteriores obtenemos las siguientes conclusiones: 

Se llama líómite lateral por la izquierda de f(x) cuando x tiende a "a" al valor al que se aproximan los valores de f(an) cuando los valores de anse aproximan a "a" tanto como queramos pero mantenieó ndose menores que "a" (sucesioó n creciente). Escribimos entonces:

MATEMATICAS 11° 

Se llama líómite lateral por la derecha de f(x) cuando x tiende a "a" al valor al que se aproximan los valores de f(an) cuando los valores de an se aproximan a "a" tanto como queramos pero mantenieó ndose mayores que "a" (sucesioó n decreciente). Escribimos:

Teorema: El líómite de una funcioó n si existe es uó nico y uó nicamente si li = ld, es decir, si ambos líómites laterales coinciden. Concepto de líómite. Casos de indeterminacioó n. En el punto segundo de este capíótulo hemos definido el líómite de f(x) cuando x tiende a "a" por medio de sucesiones. Esta definicioó n aunque muy comprensible desde el punto de vista intuitivo, nos obligaríóa a comprobar todas las sucesiones que se aproximan a "a" (o al menos muchas de ellas) y ver hacia quieó n tiende f(an). El caó lculo pude ser engorroso y la definicioó n poco rigurosa si soó lo comprobamos una oó dos como de hecho hemos hecho allíó. Caó lculo de líómites 1. Líómites de funciones poli noó micas. Distinguiremos dos casos: Cuando : Basta calcular f(a). Ejemplo: Calcula Seraó : Cuando En este caso el polinomio es equivalente al teó rmino de mayor grado, ya que el resto de los teó rminos son insignificantes respecto de aqueó l y se pueden despreciar. El líómite seraó oó dependiendo el signo del que tenga el teó rmino de mayor grado y de si el exponente es par o impar: Ejemplos:

2. Líómites de funciones racionales. 51

MATEMATICAS 11° Pueden darse dos casos:

a) Sea

, se tiene que

, entonces

Si Tenemos el caso de indeterminacioó n 0/0. Pero entonces como el numerador y el denominador son divisibles por (x-a), factorizando por la regla de Ruffini o utilizando las igualdades notables, podemos simplificar la fraccioó n algebraica y puede desaparecer la indeterminacioó n: Ejemplos:

En este uó ltimo caso determinaremos el signo del infinito calculando los líómites laterales:

Ya que si x tiende a 3 pero se conserva menor que 3, el numerador es positivo y el denominador negativo (basta dar a la "x" del denominador el valor 2,99 y se obtiene como valor numeó rico -0,0099).

Pues para x tendiendo a 3 pero conservaó ndose mayor que 3, el numerador es positivo y el denominador tambieó n (basta dar a "x" el valor 3,01 para obtener 0,0101).

Sea ahora

MATEMATICAS 11°

Obtenemos una indeterminacioó n del tipo denominador por el x de mayor grado:

que se subsana dividiendo numerador y

Ejemplo:

De la forma como hemos resuelto el ejemplo se deduce que si los términos de mayor grado de P(x) y Q(x) son respectivamente axn y bxm, pueden ocurrir tres casos: ¨

Si n>m el límite es

Si n=m el límite es

Si n<m el límite es 0

Si la funcioó n es suma o resta de dos fracciones algebraicas, puede aparecernos una indeterminacioó n del tipo que desaparece haciendo previamente la suma o resta. Ejemplo:

MATEMATICAS 11° o podemos terminar este apartado viendo la forma de calcular los líómites de funciones potenciales-exponenciales donde tanto la base como el exponente son funciones racionales, es decir, líómites del tipo:

en caso en que la funcioó n racional de la base tienda a 1 y la del exponente a infinito. Hablamos de solucionar la indeterminacioó n

Hay dos formas de hacerlo:

a) Tratando de poner la fraccioó n racional de la fase en la forma para lo cual habraó que dividir los polinomios P(x) y Q(x) y recordar que cualquier divisioó n de este tipo nos permite poner la fraccioó n en la forma:

, siendo C(x) el cociente y r(x) el resto. Realizando las transformaciones necesarias tanto en la base como en el exponente podemos llegar a una solucioó n en la que intervenga el nuó mero "e". Ejemplo.

Donde la base tiende a 1 y el exponente a infinito. Dividamos los polinomios de la funcioó n racional de la base de la potencia: X2 + 0 - 3

x2 + 0 + 4

-x2 + 0 - 4

-7 Pudiendo escribir el líómite: 54

MATEMATICAS 11°

2. Otra forma de eliminar esta indeterminacioó n es recurriendo a la llamada regla de oro que nos dice que si a(x) tiende a 1 y b(x) tiende a infinito, se cumple:

La justificacioó n de esta regla seríóa: Llamando "l" al líómite buscado y tomando logaritmos neperianos en la expresioó n del líómite anterior quedaríóa (recordando la posibilidad de intercambio del logaritmo con el líómite):

Y de ahíó se deduce que:

Como queríóamos probar. Veamos una aplicacioó n praó ctica:

Seraó :

MATEMATICAS 11°

3. Líómite de funciones irracionales Sea f(x) una funcioó n en la que aparece un radical. Pueden darse dos casos: a) Cuando x tiende a "a": Si al sustituir x por a aparece una indeterminacioó n del tipo 0/0 basta multiplicar y dividir por la expresioó n conjugada. Ejemplo:

b) Cuando x tiende a infinito: Puede aparecernos una indeterminacioó n del tipo que se soluciona como antes multiplicando y dividiendo por el conjugado.

VALOR ABSOLUTO: El valor absoluto o moó dulo de un nuó mero real es su valor numeó rico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Asíó, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de +3 y de -3

Ecuaciones con valor absoluto:

MATEMATICAS 11° |2x2 -11x-21|= x+3 X+3=≥0 X≥-3 2x2 -11x-21=x+3 2x2-11x-x-21-3=0 2x2-12x-24=0 x= (-(-12) ±√ (〖 (-12)〗^2-4(2) (-24)))/ (2(2)) X1= (12+√336 )/4

x1≈7.5

X2= (12-√336 )/4

x2≈-1.5

2x2-11x-21= -(x+3) 2x2-11x-21=x-3 2x2-11x+x-21+3=0 2x2-10x-18=0 x= (-(-10) ±√ (〖 (-10)〗^2-4(2) (-18)))/ (2(2)) X1= (10+√244)/4

x1≈6.4

X2= (10-√244)/4

x2≈-1.4

Inecuaciones con valor absoluto. 57

MATEMATICAS 11° 6x2+17x-45 <

x+1

(6x2+17x-45)2< (x+1)2 (6x2+17x-45)2 - (x+1)2 <0 (6x2+17x-45+ x+1) (6x2+17x-45- (x+1)) < 0 (6x2+18-44) (6x2+16-46)< 0 X= -18 +/- √18x2-4(6) (-44)/2(6) x=-16+/-√16x2-4(6) (-46) /2(6) X1= 1.59

X1= 1.77

X2=-4.59

X 2=-4.4

(x-1.59) (x+4.59) (x-1.73) (x+4.4) < 0

+++++++ ∞-

-5

-----------

+++++++

-4.45

-4.59

-4.4

-----------

+++++++

1.6 1.59

+∞

1.77

S= [-4.59-4.4] u [1.59, 1.73] RELACIONES Y FUNCIONES. DEFINICIOÓ N DE RELACIOÓ N El concepto de relacioó n surge de manera natural en el anaó lisis de un sistema. Un ejemplo, en los nuó meros Naturales se establece la relacioó n “… es menor que...”. Bajo esta relacioó n R el nuó mero 2 se relaciona con el 3: 2 es menor que 3, pero no asíó al contrario (3 no es menor que 2). Una relacioó n es binaria cuando se establece entre dos objetos. Un ejemplo: R: x <y. Una relacioó n es un conjunto de pares ordenados. Un par ordenado (tambieó n llamada pareja ordenada) consta de dos elementos: (a, b) en donde el orden en que aparece (primero a, 58

MATEMATICAS 11° despueó s b) indica la relacioó n: a Rb de a con b. Una relacioó n asocia un elemento de un conjunto A con un elemento de otro conjunto B o con un elemento del mismo conjunto A. Ejemplos: Para A= {a, b, c} R1= {(a, a) (a, b) (a, c) (b, a) (b, b) (b, c) (c, a) (c, b) (c, c)} ⇒ R1 = A× A Para A = {Espanñ a, Inglaterra, Italia} B= {Paris, Roma, Madrid} R2: (Espanñ a, Paris) (Inglaterra, Roma) (Italia, Madrid) R3: (Pepe, Maríóa) (Pepe, Laura) (Pepe, Tere)

DEFINICION DE FUNCION: Funciones Intuitivamente una funcioó n es una regla que asocia elementos de un conjunto A con elementos de un conjunto B de modo que el elemento del conjunto A se asocia con uno y soó lo un elemento del segundo conjunto. En otras palabras, una funcioó n es una maó quina que transforma elementos en otros elementos y cada elemento puede transformarse en un uó nico elemento, no en dos o tres. Sean A y B dos conjuntos. Una funcioó n de A en B es un conjunto de pares ordenadas de A x B (a, b) con la propiedad de que cada elemento de A es el primer componente de una pareja ordenada y para todo a ∈ A, si (a, b) y (a, c) pertenece a f entonces b = c (porque a no se repite en otra pareja) A: Dominio de la funcioó n B: Codominio Imagen son los elementos de B que forman el segundo componente de la pareja ordenada.

Ejemplo: 59

MATEMATICAS 11° A= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {conjunto de calificaciones en base a 10} B= {NA, S, B, MB} = {conjunto de síómbolos que representan un rendimiento escolar DOMINIO de una funcioó n es el conjunto de los valores que puede tomar x o que toma x para que exista la funcioó n. CODOMINIO O RANGO de una funcioó n es el conjunto de los valores que se obtienen al sustituir los valores del dominio en la funcioó n. TIPOS DE FUNCIONES FUNCIOÓ N INYECTIVA: A una funcioó n en la que a cualquiera par de elementos diferentes del dominio les corresponde imaó genes diferentes se le llama funcioó n inyectiva (significa uno a uno) Un ejemplo es la funcioó n cuadraó tica y = ax 2 + bx + c cuyo dominio y cuyo codominio son los reales. Asíó, para 3X2+ 2X+ 1 y cuya graó fica es

FUNCIOÓ N SUPRAYECTIVA: Si todo elemento del codominio de una funcioó n f es imagen de al menos un elemento de su dominio, entonces f es una funcioó n suprayectiva. Las funciones trigonomeó trica (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) son del tipo suprayectiva (o sobreyectiva). El dominio son los reales y el codominio es [-1, 1] por lo que para maó s de un valor de x le corresponde el mismo valor de y.

MATEMATICAS 11°

FUNCIOÓ N BIYECTIVA: Una funcioó n que es suprayectiva e inyectiva se llama Biyectiva. Ejemplo de esta funcioó n es la funcioó n lineal: y = mx + b cuyo dominio y cuyo codominio son los reales. Para cada valor de x le corresponde solo uno de y. Todos los valores del codominio son la imagen de un valor y solo uno del dominio.

FUNCIOÓ N LINEAL: Una funcioó n lineal es una funcioó n de primer grado, es decir, el maó ximo exponente que la variable x puede tener es 1 y cuya representacioó n en el plano es una líónea recta, tal y como se muestra en la graó fica anterior

FUNCIOÓ N CUADRAÓ TICA: una funcioó n cuadraó tica es una funcioó n de segundo grado, es decir, el maó ximo exponente que puede tener la variable x es 2. La representacioó n en el plano

MATEMATICAS 11° cartesiano

una

paraó bola.

FUNCIOÓ N CUBICA: una funcioó n cubica de tercer grado, es decir, el maximo exponente que puede tener la variable x es 3.

Bibliografía: http://www.unicauca.edu.co/matematicas/eventos/log&co/MATERIAL/Elementos_Logica/Textos/Bibl ioteca/Libros/Libro_015/LogicaMatematica.htm http://3.bp.blogspot.com/6jYiyWSOWVo/T3YAVCHIAjI/AAAAAAAAAHc/_jKaGiisUkM/s1600/logicaporposional.jpg https://angelarendon.wordpress.com/2011/10/20/3-1-1-concepto-de-proposicion-2/ URL del artículo: http://www.ejemplode.com/29-logica/2381-ejemplo_de_proposiciones.html http://www.matetam.com/glosario/definicion/negacion-una-proposicion http://3.bp.blogspot.com/_5MBjaUDlp-s/TCTN_i1JxI/AAAAAAAAACc/XwkCK3qugIU/s1600/JAJAJA.png https://matediscretasu3.files.wordpress.com/2011/10/negacion2.jpg

MATEMATICAS 11° http://3.bp.blogspot.com/-cdehRB3ZqIQ/TcthEycic0I/AAAAAAAAABY/lFbGxPgNQCk/s1600/4.png https://matematicasdiscretasisc.wordpress.com/2011/10/13/tautologias-contradiccion-ycontingencia/

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/logic/logic5.html http://colposfesz.galeon.com/est501/conjunto/teoconj.htm http://www.blogodisea.com/que-es-el-diagrama-de-venn.html http://www.http-peru.com/pagesobj/pdf/analisis_combinatorio_probabilidades.pdf http://www.vitutor.com/pro/1/a_4.html 5676218 http://www.vitutor.com/pro/2/probabilidad.html Probabilidad - Vitutor Probabilidad, regla de Laplace, combinatoria y probabilidad, teorema de la probabilidad total, teorema de Bayes, tablas de contingencia, diagramas en árbol, probabilidad condicionada, ESO, Bachillerato. vitutor.com

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/ProbabilidadCalculo.htm

Probabilidad: Cálculo La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso o evento) cuando se realiza un experimento aleatorio. profesorenlinea.cl

https://es.khanacademy.org/math/probability/independent-dependent-probability/basicprobability/a/probability-the-basics

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MATEMATICAS 11° https://www.youtube.com/watch?v=TBmSePCtrr4

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