Aountes algebra by Sol Maitini

Definiciones importantes Figura geométrica: se denomina “figura” a todo conjunto de puntos. Por ejemplo, una recta es una figura, ya que se la considera formada por puntos. También son figuras las semirrectas, los semiplanos, los ángulos, el plano, etc. Punto exterior a una figura: se dice que un punto es exterior a una figura si dicho punto no pertenece a la figura. Por ejemplo, un punto exterior a una recta es un punto que no se encuentra sobre dicha recta. Puntos alineados (o colineales): tres o más puntos están alineados (o son colineales) si se encuentran todos sobre una misma recta. Semirrecta: un punto en una recta divide a ésta en dos partes llamadas “semirrectas”.

El punto O se denomina origen de la semirrecta r1 . La semirrecta r2 es la semirrecta opuesta a r1 . El u ńico punto en com´ un entre dos semirrectas opuestas es su origen. Dados dos puntos A y B, se −→ escribirá AB para denotar a la semirrecta de origen A que pasa por B. −→ Segmento: dados dos puntos A y B, se llama segmento AB a la intersección de las semirrectas AB −→ y BA.

Los puntos A y B se llaman extremos del segmento AB. Semiplano: una recta divide al plano en dos partes llamadas “semiplanos”.

La recta r se denomina frontera del semiplano π1 . El semiplano π2 es el semiplano opuesto a π1 . Los u ´nicos puntos en com´ un entre dos semiplanos opuestos son los que forman su frontera. ´ un O pero no opuestas. Se llama ´angulo Angulo convexo: sean r1 , r2 dos semirrectas con origen com´ convexo rd r a la intersecci´ o n del semiplano respecto a r que contiene a r2 , con el semiplano respecto 1 2 1 a r2 que contiene a r1 .

El punto O se denomina vértice del ángulo convexo rd 1 r2 . Las semirrectas r1 , r2 se denominan lados [ para denotar al del ángulo convexo rd a ABC 1 r2 . Si A, B, C son tres puntos no alineados, se escribir´ −→ −−→ ángulo convexo de vértice B y lados BA y BC. ´ Angulo llano: se denomina ángulo llano a cualquiera de los semiplanos que determinan dos semirrectas opuestas.

´ Angulos adyacentes: dos ´angulos con el mismo v´ertice, un lado en com´ un y los otros lados formados por semirrectas opuestas, se denominan ´ angulos adyacentes.

´ Angulos opuestos por el vértice: dos ángulos con el mismo vértice y tales que los lados de uno son las semirrectas opuestas de los lados del otro, se denominan ´ angulos opuestos por el vértice.

Si prolongamos los lados de un ángulo cualquiera, vemos que éste tiene exactamente dos ángulos adyacentes y uno opuesto por el vértice. ´ Angulos formados por dos rectas cortadas por una tercera: sean a, b dos rectas cualesquiera, y sea c otra recta (llamada transversal ), que corta a las anteriores en los puntos A y B, respectivamente.

As´ı, quedan determinados ocho ángulos: los cuatro ángulos comprendidos entre las rectas a y b (es decir, los ángulos β, γ, α 0 , δ 0 ) se denominan internos, y los cuatro restantes (es decir, los ángulos α, δ, β 0 , γ 0 ) se denominan externos. Si tomamos un ángulo con vértice A y otro con vértice B, entonces: - Si ambos son internos y están en el mismo semiplano respecto de c, dichos ángulos se denominan conjugados internos. Por ejemplo, los ángulos β y α 0 . - Si ambos son externos y están en el mismo semiplano respecto de c, dichos ángulos se denominan conjugados externos. Por ejemplo, los ángulos α y β 0 . 3

- Si ambos son internos y están en semiplanos opuestos respecto de c, dichos ángulos se denominan alternos internos. Por ejemplo, los ángulos γ y α 0 . - Si ambos son externos y están en semiplanos opuestos respecto de c, dichos ángulos se denominan alternos externos. Por ejemplo, los ángulos α y γ 0 . - Si uno de ellos es interno y el otro externo, y ambos están en el mismo semiplano respecto de c, dichos ángulos se denominan correspondientes. Por ejemplo, los ángulos α y α 0 . ´ Angulo recto: un ángulo es recto si es igual a uno de sus ángulos adyacentes. ´ Angulos agudos: un ángulo se llama agudo si es menor que un ángulo recto. ´ Angulos obtusos: un ángulo se llama obtuso si es mayor que un ángulo recto. ´ Angulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios si uno es igual a un ángulo adyacente al otro. (alt.) Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de ambos es igual a un ángulo llano. ´ Angulos complementarios: dos ángulos son complementarios cuando la suma de ambos es igual a un ángulo recto. un punto. Rectas paralelas: dos rectas son paralelas si son coincidentes o si no se cortan en ning´ Rectas secantes: dos rectas son secantes si se cortan en un u ńico punto. Rectas perpendiculares: dos rectas son perpendiculares si son secantes y uno de los ángulos que forman (y por consiguiente los cuatro) es recto. (alt.) Dos rectas son perpendiculares si son secantes y determinan cuatro ángulos iguales. (alt.) Dos rectas son perpendiculares si son secantes y determinan un par de ángulos adyacentes iguales. Decimos que dos semirrectas o dos segmentos son paralelos (o perpendiculares) si lo son las rectas que los contienen. 4

angulo ABC a la intersección de los Triángulo: sean A, B, C tres puntos no alineados. Se llama tri´ [ BCA [ y CAB. [ ángulos ABC,

Los puntos A, B, C se denominan vértices del triángulo. Los segmentos AB, BC, CA se denominan b B, b C b los ángulos interiores CAB, [ ABC [ y BCA, [ respectilados del triángulo. Denotamos por A, vamente. El lado opuesto a un vértice (o a un ángulo) es aquel que tiene por extremos a los dos 4

b es vértices restantes. Por ejemplo, en el triángulo ABC, el lado opuesto al vértice A (o al ángulo A) el lado BC.

Igualdad de triángulos: diremos que dos triángulos son iguales si existe una correspondencia entre sus vértices para la cual cada par de ángulos y lados correspondientes son iguales. La expresión 4

ABC = A0 B 0 C 0 significará que los triángulos ABC y A0 B 0 C 0 son iguales bajo la correspondencia A 7→ A0 , B → 7 B 0 , C 7→ C 0 . Clasificación de triángulos seg´ un sus lados: - Un triángulo es equilátero si sus tres lados son iguales. - Un triángulo es isósceles si tiene al menos dos lados iguales. - Un triángulo es escaleno si sus lados son desiguales dos a dos. Clasificación de triángulos seg´ un sus ángulos: - Un triángulo es obtusángulo si tiene un ángulo obtuso. - Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo recto. - Un triángulo es acutángulo si todos sus ángulos son agudos. Catetos e hipotenusa: En un triángulo rectángulo, los lados perpendiculares se llaman catetos, y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. Base de un triángulo isósceles: En un triángulo isósceles, se llama base al lado opuesto al vértice que comparten dos lados iguales. Si un triángulo isósceles tiene más de una base, entonces es equilátero. Punto medio de un segmento: todo segmento AB contiene un u ńico punto M que cumple AM = M B, y se lo llama punto medio del segmento. Mediatriz de un segmento: la mediatriz de un segmento AB es la recta perpendicular a AB que pasa por su punto medio. b existe una u ńica semirrecta m contenida en él, tal que Bisectriz de un ángulo: dado un ángulo rs rm c = ms, c y se la llama bisectriz del ángulo. Segmentos notables de un tri´ angulo: • Mediana de un triángulo: segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

• Altura de un triángulo: segmento que une un vértice con la intersección entre la recta que contiene al lado opuesto, y su perpendicular por dicho vértice.

• Bisectriz de un triángulo: segmento que une un vértice con la intersección entre la bisectriz de su ángulo correspondiente y el lado opuesto.

• Mediatriz de un tri´angulo: segmento que une el punto medio de un lado con la intersecci´on entre la mediatriz de dicho lado y uno de los dos lados restantes.

Aclaraci´ on: dependiendo del contexto, es posible que la menci´ on de alguno de estos elementos haga referencia no a un segmento sino a la recta o a una semirrecta que lo contenga. Cuadril´ ateros Cuadrilátero: Sean A, B, C, D cuatro puntos en el plano que cumplen las propiedades siguientes: - No hay tres de ellos alineados. - Cada una las rectas AB, BC, CD y DA sit´ uan a los dos puntos exteriores restantes en un mismo semiplano Entonces se denomina cuadrilátero convexo ABCD a la figura formada por las intersecciones de los [ BCD, \ CDA \ y DAB. \ ángulos ABC, 6

Los puntos A, B, C, D de llaman vértices del cuadrilátero, los segmentos AB, BC, CD y DA se [ BCD, \ CDA \ y DAB \ se llaman ´ llaman lados del cuadrilátero, y los ángulos ABC, angulos interiores del cuadrilátero. Los segmentos AC y BD se llaman diagonales del cuadrilátero. Dos lados son contiguos si tienen un vértice en com´ un. En caso contrario, se dicen que son opuestos. Dos vértices son contiguos si son los extremos de un lado. En caso contrario, se dicen que son opuestos. Véase que dos vértices opuestos son los extremos de una diagonal. Dos ángulos son contiguos si sus vértices lo son. En caso contrario, se dicen que son opuestos. Tipos de cuadriláteros (convexos) Paralelogramo: Un cuadrilátero es un paralelogramo si sus lados opuestos son paralelos. Romboide: Un cuadrilátero es un romboide si tiene dos pares de lados consecutivos iguales. Rectángulo: Un cuadrilátero es un rectángulo si tiene cuatro ángulos rectos. Rombo: Un cuadrilátero es un rombo si tiene sus cuatro lados iguales. Cuadrado: Un cuadrilátero es un cuadrado si tiene sus cuatro lados y sus cuatro ángulos iguales.

El diagrama nos muestra cómo se relacionan los distintos tipos de cuadriláteros. As´ı, todo rombo es un romboide y un paralelogramo; todo rectángulo es un paralelogramo; y todo cuadrado es un rombo y un rectángulo. Cada tipo de cuadrilátero hereda las propiedades del tipo de donde proviene la flecha (los rombos heredarán las propiedades de los romboides y de los paralelogramos; los rectángulos heredarán las propiedades de los paralelogramos, etcétera.)

Igualdad, desigualdad, y operaciones con segmentos y ´ angulos Sean a, b, c, d segmentos. Se cumplen las siguientes propiedades: •a=a (propiedad reflexiva de =) • Si a = b, entonces b = a (propiedad sim´etrica de =) • Si a = b y b = c, entonces a = c (propiedad transitiva de =) • Si a < b y b < c, entonces a < c (propiedad transitiva de <) Consecuencias directas: • Si a = b, c = d y a = c, entonces b = d. • Si a < b y b = c, entonces a < c. Ley de tricotom´ıa: Dados dos segmentos a y b, necesariamente se cumple una de las tres posibilidades siguientes: a = b, a < b, o a > b. • • • • • •

Si a = b y c = d, entonces a + c = b + d (propiedad uniforme de +) a+b=b+a (propiedad conmutativa de +) (a + b) + c = a + (b + c) (propiedad asociativa de +) a<a+b Si a < b y c = d, entonces a + c < b + d Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d

• Para que la resta a − b exista, debe necesariamente ser a > b. • (a + b) − b = a • (a − b) + b = a • Si a > b, entonces a > a − b • Si a = b y c = d, entonces a − c = b − d • Si a < b y c = d, entonces a − c < b − d • Si a = b y c < d, entonces a − d < b − c • Si a < b y c < d, entonces a − d < b − c Consecuencias directas (simplificación): • Si a + b = c + b, entonces a = c • Si a − b = c − b, entonces a = c • Si a + b < c + b, entonces a < c • Si a − b < c − b, entonces a < c Las propiedades anteriores son válidas también cuando a, b, c, d son ángulos y las operaciones +, − representan la suma y resta de ángulos. Cabe destacar que, a diferencia de la suma de segmentos, dos ángulos sólo pueden sumarse si uno de ellos es menor o igual al suplementario del otro (es decir, la suma de dos ańgulos no debe superar a un ángulo llano). Nótese que estas propiedades para segmentos y ángulos son idénticas a las que se cumplen para los n´ umeros naturales 1, 2, 3, . . . , lo que facilita su aplicación en forma intuitiva.

Varios resultados u ´ tiles para las demostraciones: - Los ángulos adyacentes son suplementarios. - Si dos ángulos adyacentes son iguales, entonces son rectos. - Dos rectas son paralelas si y sólo si forman ángulos alternos internos (o externos) iguales al ser cortadas por una transversal. (es decir, paralelas =⇒ alternos iguales y alternos iguales =⇒ paralelas) - Dos rectas son paralelas si y sólo si forman ángulos conjugados internos (o externos) suplementarios al ser cortadas por una transversal. - Dos rectas son paralelas si y sólo si forman ángulos correspondientes iguales al ser cortadas por una transversal. - Por un punto exterior a una recta pasa una u ńica paralela a dicha recta. - Por un punto perteneciente o exterior a una recta pasa una u ńica perpendicular a dicha recta. - Dadas tres rectas r, s y t, se cumple: a) Si r ∥ s y s ∥ t, entonces r ∥ t b) Si r y s son secantes, y s ∥ t, entonces r y t son secantes. c) Si r ⊥ s y s ∥ t, entonces r ⊥ t. d) Si r ⊥ s y s ⊥ t, entonces r ∥ s (donde ⊥ significa “es perpendicular a...”, y ∥ significa “es paralela a...”) Quinto postulado de Euclides: sean a, b y c tres rectas tales que c corta a y b en los puntos A y B respectivamente. Sean A0 y B 0 puntos en a y b respectivamente, ubicados ambos en el mismo 0 AB y B 0 BA suman menos de 180◦ si y s´ \ \ semiplano respecto de c. Entonces los ángulos A olo si las 0 rectas a y b se cortan en un punto ubicado en el mismo semiplano respecto de c que A y B 0 .

- Criterios de igualdad de tri´angulos: 1er criterio (LAL1 ): Si dos tri´angulos tienen dos lados y el ´ angulo comprendido respectivamente iguales, entonces son iguales.

2do criterio (ALA): Si dos tri´angulos tienen un lado y dos ´ angulos respectivamente iguales, entonces son iguales.

3er criterio (LLL): Si dos tri´angulos tienen los tres lados respectivamente iguales, entonces son iguales.

4to criterio (LAL2 ): Si dos tri´angulos tienen dos lados desiguales y el ´ angulo opuesto al mayor de ellos respectivamente iguales, entonces son iguales.

Demostraciones Resultados auxiliares para las demostraciones: R1) Los ´ angulos adyacentes son suplementarios. R2) Los ´ angulos alternos internos entre paralelas son iguales. Con fines ilustrativos, aqu´ı están los enunciados alternativos correspondientes: R1) Sean α, β dos ángulos adyacentes. Entonces α + β = 1 llano. R2) Sean a, b dos rectas paralelas, y c una recta que corta a cada una de ellas en los puntos A y B respectivamente. Si α es un ángulo de vértice A, y β es un ángulo de vértice B, y ambos son alternos internos, entonces α = β. ——————————————————————————————————————————— S1) Los ´ angulos opuestos por el vértice son iguales. Enunciado alternativo: Sean α, β dos ángulos opuestos por el vértice. Entonces α y β son iguales. Hipótesis: α, β ángulos opuestos por el vértice. Tesis: α = β Demostración: Sea γ un ángulo adyacente a α, como indica la figura:

Por R1, tenemos α + γ = 1 llano

(∗)

Por otro lado, γ tambi´en es adyacente a β. Entonces, por R1, β + γ = 1 llano

(∗∗)

De (*) y (**) se desprende que α+γ =β+γ Restando γ a ambos miembros de la igualdad, tenemos α=β as´ı, llegamos a la tesis, y por lo tanto se ha demostrado el teorema. ——————————————————————————————————————————— S2) La suma de los ´angulos interiores de cualquier tri´ angulo es igual a un ´ angulo llano. 11

b+B b+C b = 1 llano. Enunciado alternativo: Sea ABC un tri´angulo. Entonces A 4

Hipótesis: ABC triángulo b+B b+C b = 1 llano Tesis: A Demostración: Sea r la recta paralela al lado AC que pasa por B. Quedan as´ı determinados dos ángulos α y γ como indica la figura:

b son alternos internos entre paralelas. Entonces por R2, tenemos Por un lado, los ´angulos α y A b α=A

(∗)

b también son alternos internos entre paralelas, con lo cual, por R2, Por otro lado, los ángulos γ y C se cumple b γ=C (∗∗) b γ suman 1 llano: Los ángulos α, B, b + γ = 1 llano α+B Por lo tanto, usando las igualdades (*) y (**), tenemos b+B b+C b = 1 llano A ——————————————————————————————————————————— S3) Todo ´ angulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ´ angulos interiores no adyacentes. 4

b Enunciado alternativo: Sea ABC un triángulo, y α un ángulo exterior de ABC adyacente a A. b+C b Entonces α = B 4 4 b Hipótesis: ABC triángulo, α ángulo exterior de ABC adyacente a A b+C b Tesis: α = B Demostración:

b tenemos por R1 Como α es adyacente a A, b + α = 1 llano A Por otro lado, por S2 tenemos b+B b+C b = 1 llano A Por lo tanto, de ambas igualdades se desprende b+α = A b+B b+C b A b a ambos lados de esta igualdad, tenemos Restando A b+C b α=B ——————————————————————————————————————————— S4) En todo tri´ angulo is´osceles, los ´angulos de la base son iguales. 4

Enunciado alternativo: Sea ABC un tri´angulo is´osceles, que cumple a = b (donde a = BC y b = AC). b = B. b Entonces A 4

Hipótesis: ABC triángulo, a = b b=B b Tesis: A Demostración: Sea D el punto medio del lado AB. Trazamos el segmento CD. Quedan as´ı determinados dos 4

tri´angulos ACD y BCD, como muestra la figura.

Los tri´angulos ACD y BCD comparten el lado CD, que cumple CD = CD

(∗)

Como D es el punto medio del lado AB, tenemos AD = BD

(∗∗)

Y por hip´otesis a = b, es decir AC = BC

(∗ ∗ ∗)

Por el criterio LLL de igualdad de tri´angulos, a partir de las igualdades (*), (**) y (***) se deduce 4

que los tri´angulos ACD y BCD son iguales (bajo la correspondencia A 7→ B, C 7→ C, D 7→ D). En particular, se cumple b=B b A ——————————————————————————————————————————— S5) Si en un tri´ angulo dos lados son desiguales, a mayor lado se opone mayor ´ angulo. 4

b < B. b Enunciado alternativo: Sea ABC un triángulo. Si a < b (donde a = BC y b = AC), entonces A Nota: Este teorema implica que los ´ angulos de un triángulo satisfacen las mismas desigualdades que sus respectivos lados opuestos. De ah´ı la conveniencia de llamar a cada lado de un triángulo con la misma letra, pero en min´ uscula, 4

b B by de su v´ertice opuesto. As´ı, en un tri´ angulo ABC, los lados a, b, c designan a los lados opuestos a los ´angulos A, b respectivamente. C,

Por la ley de tricotom´ıa para segmentos y ´ angulos, el teorema del enunciado (junto al resultado S4) permite relacionar 4

pares de lados con pares de ´ angulos en un tri´ angulo ABC de la siguiente forma: b=B b a = b ⇐⇒ A b<B b a < b ⇐⇒ A b>B b a > b ⇐⇒ A 4

Hipótesis: ABC triángulo, a < b b<B b Tesis: A Demostración: −→ Sobre la semirrecta CA marcamos un punto D tal que CD = CB. Como por hipótesis CB < CA, tenemos CD < CA, con lo cual el punto D se encuentra sobre el segmento CA. Llamemos γ y γ 0 a \ y CDB. \ los ángulos CBD

b tenemos que Como el segmento BD se encuentra dentro del ´angulo B, b>γ B

(∗) 4

Por otro lado, como CD = CB, el tri´angulo CBD es is´osceles, con base BD. Entonces, por S4 tenemos γ =γ0 De esta igualdad y de la desigualdad (*) se desprende b >γ0 B

(∗∗) 4

\ y exterior al triángulo BDA. Entonces, por S3 tenemos El ángulo γ 0 es adyacente al ángulo BDA b γ0 >A Y de esta desigualdad, junto a la desigualdad (**), se deduce b>A b B ——————————————————————————————————————————— S6) En todo tri´ angulo, cada lado es menor que la suma de los otros dos, y mayor que su diferencia. 4

Enunciado alternativo: Sea ABC un tri´angulo. Entonces a < b + c. Y si adem´as b > c, entonces a > b − c. 4

Hipótesis: ABC triángulo, b > c y a>b−c Tesis: a < b + c Demostración: −→ 1era parte: Sobre la semirrecta opuesta a AC marcamos un punto D tal que AD = AB.

El tri´angulo ABD es is´osceles con base BD, con lo cual \ = ADB \ ABD −−→ −−→ \ = CDB, \ con lo cual y como las semirrectas DA y DC coinciden, tenemos ADB \ = CDB \ ABD

(∗)

\ tenemos que Como el segmento BA se encuentra dentro del ´angulo CBD, \ > ABD \ CBD De esta desigualdad y de (*) se desprende \ > CDB \ CBD 4

Como esta desigualdad relaciona dos ángulos del triángulo CBD, por S5 tenemos CD > CB Entonces, como CD = CA + AD y además AD = AB, se cumple CA + AB > CB es decir b+c>a 4

2da parte: Por lo demostrado en la primera parte, cada lado del tri´angulo ABC es menor que la suma de los otros dos. Entonces, en particular b<a+c

(∗)

Como por hip´otesis b > c, podemos restarle c a ambos lados de la desigualdad (*), y as´ı obtenemos b−c<a ——————————————————————————————————————————— T1) Si un tri´ angulo tiene un ´angulo recto u obtuso, los otros dos son agudos. 4

b es mayor o igual a un recto, entonces B b yC b Enunciado alternativo: Sea ABC un tri´angulo. Si A son agudos. 4

b ≥ 1 recto. Hipótesis: ABC triángulo, A b < 1 recto, C b < 1 recto. Tesis: B Demostración: Como los ángulos de un triángulo suman 1 llano, entonces b+B b+C b = 1 llano A b a ambos lados de la igualdad, y teniendo en cuenta la desigualdad de la hipótesis A b≥1 Restando A recto, tenemos b+C b ≤ 1 recto B 16

byC b son complementarios, o bien la suma de ambos ángulos es aguda. En ambos Entonces, o bien B byC b son ángulos agudos, es decir, B b < 1 recto y C b < 1 recto. casos B ——————————————————————————————————————————— T2) Si dos tri´ angulos tienen dos ángulos respectivamente iguales, los terceros también son iguales. 4

b=D b yB b = E. b Entonces Enunciado alternativo: Sean ABC, DEF dos triángulos que cumplen A b b C = F. 4 4 b = D, b B b=E b Hipótesis: ABC y DEF triángulos, A b = Fb Tesis: C Demostración: Como los ángulos de un triángulo suman 1 llano, tenemos b+B b+C b = 1 llano A b +E b + Fb = 1 llano D con lo cual b = 1 llano − (A b + B) b C b + E) b Fb = 1 llano − (D b=D b yB b = E, b tenemos Como por hipótesis A b + B) b Fb = 1 llano − (A Por lo tanto b Fb = C ——————————————————————————————————————————— T3) En todo tri´ angulo rectángulo, los ángulos agudos son complementarios. 4

b = 1 recto. Entonces B byC b son complementaEnunciado alternativo: Sea ABC triángulo, tal que A rios. 4 b = 1 recto Hipótesis: ABC triángulo, A b+C b = 1 recto. Tesis: B Demostración: Como los ángulos de un triángulo suman 1 llano, tenemos b+B b+C b = 1 llano A b = 1 recto, y 1 llano = 2 rectos, entonces Como por hipótesis A b+C b = 2 rectos 1 recto + B Restando 1 recto a ambos miembros de la igualdad, tenemos b+C b = 1 recto B ——————————————————————————————————————————— 17

T4) En todo tri´ angulo rect´angulo, la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos. 4

b = 1 recto (por lo tanto a es la hipotenusa y b, Enunciado alternativo: Sea ABC tri´angulo, tal que A c son los catetos). Entonces a > b y a > c. 4

b = 1 recto. Hipótesis: ABC triángulo, A Tesis: a > b, a > c Demostración: byC b son agudos. Por lo tanto, como el ańgulo A b Por el teorema anterior, tenemos que los ángulos B es recto, tenemos b>B b A b>C b A Entonces, como en todo triángulo a mayor ángulo se opone mayor lado, tenemos a>b a>c ——————————————————————————————————————————— Criterios de congruencia de tri´ angulos rect´ angulos • 1er criterio (CC): Si dos triángulos rectángulos tienen los catetos respectivamente iguales, entonces son iguales. 4

byD b son ´angulos rectos, AC = Enunciado alternativo: Sean ABC, DEF dos tri´angulos tales que A 4

DF y AB = DE. Entonces ABC = DEF

b = 1 recto, D b = 1 recto, AC = DF , AB = DE Hip´otesis: ABC, DEF tri´angulos, A 4

Tesis: ABC = DEF Demostración: byD b son rectos, tenemos Como los ángulos A b=D b A Por hipótesis, tenemos AC = DF 18

AB = DE b y los lados b es el ángulo comprendido entre AC y AB, y lo mismo sucede con el ángulo D Además, A DF y DE. Por lo tanto, por el criterio LAL1 de igualdad de triángulos, tenemos 4

ABC = DEF ——————————————————————————————————————————— • 2do criterio (CA): Si dos tri´angulos rect´angulos tienen un cateto y un ´ angulo agudo respectivamente iguales, entonces son iguales. 4

byD b son ´angulos rectos, AC = Enunciado alternativo: Sean ABC, DEF dos tri´angulos tales que A 4

b = E. b Entonces ABC = DEF . (Nota: en esta demostración, tomamos como ángulo agudo al DF y B b y tendr´ıamos ángulo opuesto al cateto AC; alternativamente podr´ıamos haber tomado al ángulo C, b = Fb, siendo la prueba muy similar a la que damos acá). como hipótesis C

b = 1 recto, D b = 1 recto, AC = DF , B b=E b Hip´otesis: ABC, DEF tri´angulos, A 4

Tesis: ABC = DEF Demostración: byD b son rectos, tenemos Como los ángulos A b=D b A Por hipótesis, tenemos AC = DF b=E b B Por lo tanto, por el criterio ALA de igualdad de triángulos, tenemos 4

ABC = DEF ——————————————————————————————————————————— • 3er criterio (HA): Si dos tri´angulos rect´ angulos tienen la hipotenusa y un ´ angulo agudo respectivamente iguales, entonces son iguales. 4

byD b son ´angulos rectos, BC = Enunciado alternativo: Sean ABC, DEF dos tri´angulos tales que A 4

b = E. b Entonces ABC = DEF EF y B 19

b = 1 recto, D b = 1 recto, BC = EF , B b=E b Hip´otesis: ABC, DEF tri´angulos, A 4

Tesis: ABC = DEF byD b son rectos, tenemos Demostración: Como los ángulos A b=D b A Por hipótesis, tenemos BC = EF b=E b B Por lo tanto, por el criterio ALA de igualdad de triángulos, tenemos 4

ABC = DEF ——————————————————————————————————————————— • 4to criterio (HC): Si dos tri´angulos rect´ angulos tienen la hipotenusa y un cateto respectivamente iguales, entonces son iguales. 4

byD b son ´angulos rectos, BC = Enunciado alternativo: Sean ABC, DEF dos tri´angulos tales que A 4

EF y AC = DF . Entonces ABC = DEF

b = 1 recto, D b = 1 recto, BC = EF , AC = DF Hip´otesis: ABC, DEF tri´angulos, A 4

Tesis: ABC = DEF Demostraci´on: 20

byD b son rectos, tenemos Como los ángulos A b=D b A Por hipótesis, tenemos BC = EF AC = DF b es el ángulo opuesto al mayor de los lados BC y AC (que es el lado BC), y lo mismo Además, A sucede con el ángulo D y los lados EF y DF . Por lo tanto, por el criterio LAL2 de igualdad de triángulos, tenemos 4

ABC = DEF ——————————————————————————————————————————— T5) En un tri´ angulo is´osceles, la mediana correspondiente a la base coincide con la bisectriz, la altura y la mediatriz, todas correspondientes a la base. 4

Enunciado alternativo: Sea ABC un tri´angulo, tal que AB = BC (con lo cual, el lado b es una base del tri´angulo). Si denotamos por mb , bb , hb y eb a la mediana, bisectriz, altura y mediatriz correspondientes a la base, respectivamente, entonces se cumple que mb , bb , hb y eb coinciden. 4

Hipótesis: ABC triángulo, AB = BC Tesis: mb , bb , hb y eb coinciden Demostración: Sea D el punto medio del lado AC. Trazamos el segmento BD, que representa la mediana mb respecto 4

a la base. Quedan as´ı determinados dos tri´angulos ABD y CBD.

Como D es el punto medio de AC, tenemos AD = CD Por hip´otesis, tenemos AB = CB y siempre se cumple BD = BD Por lo tanto, por el criterio LLL de igualdad de tri´angulos, tenemos 4

ABD = CBD 21

En particular, tenemos \ = BDA \ BDC y como dichos ańgulos son adyacentes, entonces ambos ángulos son rectos, es decir \ = 1 recto BDC \ = 1 recto BDA Por lo tanto, la mediana BD une perpendicularmente el vértice B con la base, con lo cual mb coincide con la altura hb . La mediana mb une el punto medio de AC, con la intersección entre la mediatriz de AC y el lado BC (que es el vértice B), por lo tanto mb coincide con la mediatriz eb . 4

De la igualdad ABD = CBD obtenida, se desprende en particular que \ = CBD \ ABD b con lo cual la mediana mb coincide con la bisectriz por lo tanto el segmento BD biseca al ángulo B, bb . ——————————————————————————————————————————— W) En todo paralelogramo, los ángulos opuestos son iguales. b=C byB b = D. b Enunciado alternativo: Sea ABCD un paralelogramo. Entonces A Hipótesis: ABCD cuadrilátero, AB ∥ CD, AD ∥ BC b=C byB b=D b Tesis: A Demostración: Vamos a probar la primera igualdad de la tesis. Para ello, trazamos la diagonal AC, y quedan determinados cuatro ángulos α1 , α2 , γ1 , γ2 como muestra la figura

Entonces tenemos b = α1 + α2 A b = γ1 + γ2 C Como por hipótesis AB ∥ CD, entonces α1 = γ1 por ser ángulos alternos internos entre paralelas (tomando como transversal a la diagonal). Análogamente, como por hipótesis AD ∥ BC, entonces α2 = γ2 22

por ser ángulos alternos internos entre paralelas. b = γ1 + γ2 , con lo cual Por lo tanto, A b=C b A b = D) b se prueba en forma análoga, trazando la diagonal BD y La segunda igualdad de la tesis (B razonando de manera idéntica a lo realizado anteriormente. Demostración alternativa: (más simple que la anterior) c0 un ángulo adyacente a B b como indica la figura: Sea B

Como por hipótesis AD ∥ BC, entonces b=B c0 A por ser ángulos alternos internos entre paralelas (tomando como transversal a la recta AB). Y como por hipótesis AB ∥ CD, entonces c0 = C b B por ser ángulos correspondientes entre paralelas (tomando como transversal a la recta BC). Entonces, de ambas igualdades se deduce b=C b A b = D) b se prueba en forma análoga. La segunda igualdad de la tesis (B ———————————————————————————————————————————

Construcciones con regla y comp´ as - Construir un ´ angulo igual a otro dado: Datos: el ´angulo dado est´a formado por dos semirrectas r1 y r2 , ambas con el mismo origen O.

1) Con el comp´as apoyado sobre O y con una abertura cualquiera, trazamos un arco de circunferencia que corte a r1 y r2 .

2) Marcamos las intersecciones entre el arco y cada uno de los lados.

3) Trazamos una semirrecta arbitraria r, con origen O0 .

4) Con el comp´as apoyado sobre O0 y con una abertura OA, trazamos un arco de circunferencia que corte a r.

5) Marcamos la intersecciÂ´on entre el arco y r.

6) Con el compÂ´as apoyado sobre A0 y con una abertura AB, trazamos un arco de circunferencia que corte al arco azul.

7) Marcamos la intersecciÂ´on entre el arco azul y el arco verde.

8) Trazamos la semirrecta de origen O0 que pasa por B 0 .

El ańgulo rs b construido es igual al ángulo rd ease que todo el procedimiento realizado puede 1 r2 . V´ resumirse en un sólo gráfico:

- Construir la mediatriz de un segmento AB:

1) Con el comp´as, trazamos los arcos rojos y azules como indica la figura. 26

2) Marcamos las intersecciones entre dichos arcos (puntos C y D). 3) Con la regla trazamos la recta que pasa por C y D. Esta recta es la mediatriz del segmento AB, la cual corta a dicho segmento por su punto medio E. - Construir la perpendicular a una recta r por un punto exterior A:

1) Con el comp´as apoyado sobre A, trazamos un arco de circunferencia que corte a la recta por dos puntos distintos B y C. 2) Construimos la mediatriz del segmento BC siguiendo el procedimiento anterior. Esta recta es perpendicular a la recta r y pasa por el punto A. - Construir la perpendicular a una recta r por un punto A ubicado sobre la recta:

1) Con el compás apoyado sobre A, trazamos un arco de circunferencia que corte a la recta por dos puntos distintos B y C. 2) Construimos la mediatriz del segmento BC. Esta recta es perpendicular a la recta r y pasa por el punto A. - Construir la bisectriz de un ángulo dado: Datos: el ángulo dado está formado por dos semirrectas r1 y r2 , ambas con el mismo origen O.

1) Con el comp´as apoyado sobre O, trazamos un arco de circunferencia que corte ambas semirrectas, y marcamos las intersecciones A y B. 2) Con la regla trazamos el segmento AB. 3) Construimos la mediatriz del segmento AB. Esta recta pasa por O y corta al segmento AB en su punto medio C. −→ 4) Con la regla trazamos la semirrecta OC, que es la bisectriz del ´angulo rd 1 r2 . - Construir la paralela a una recta r por un punto exterior A:

1) Con la regla trazamos una recta s que pase por A y corte a r en un punto B. 2) Sobre la recta r, marcamos un punto arbitrario C distinto de B. −→ [ de manera 3) Tomando como lado la semirrecta AB, construimos un ángulo α igual al ángulo CBA, [ queden en semiplanos opuestos respecto de s. que α y CBA 4) Con la regla trazamos la recta que contiene al lado t del ángulo construido en el punto anterior. Esta recta es la paralela a r que pasa por el punto A. Construcción alternativa: (más simple que la anterior)

1) Sobre la recta r marcamos dos puntos distintos B y C. 2) Con el compás apoyado en A y con una abertura BC trazamos un arco de circunferencia dentro del semiplano respecto de la recta AB que contiene a C. 3) Con el compás apoyado en C y con una abertura AB trazamos un arco de circunferencia dentro del semiplano respecto de r que contiene a A. 4) Marcamos la intersección entre dichos arcos (punto D). 5) Con la regla trazamos la recta AD. Esta recta es la paralela a r que pasa por A.