Teoría de colas

UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO ANZOÁTEGUI DEPARTAMENTO DE COMPUTACIÓN Y SISTEMAS

TEORÍA DE COLAS Conceptos generales

Material Preparada por Profesora Sonia Yu Semestre I-2017 Teoría de Colas es elaborada por Sonia Yu bajo la licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional

Las colas (líneas de espera) son parte de nuestra vida cotidiana. Todos esperamos en colas para comprar un boleto para el cine, efectuar un depósito bancario, pagar los víveres, enviar un paquete por correo, obtener una comida en la cafetería, comenzar un recorrido en un parque de diversión, etc. Nos hemos acostumbrado a cantidades notables de espera, pero aun nos

molestamos

con

las

esperas

prolongadas.

Sin embargo, tener que esperar no sólo es una molestia personal. El tiempo que la población de un país pierde al esperar en las colas es un factor importante tanto en la calidad de vida como en la eficiencia de su economía.

COLA: Es el fenómeno que se presenta cuando una población específica va en busca de un servicio y éste no se le puede brindar inmediatamente.

SISTEMA DE COLAS: Sistema en el que las unidades (clientes) llegan a un centro de espera, espera en una cola obtiene el servicio requerido y luego sale del sistema.

A continuación se presenta una figura un sistema de colas típicas:

Figura n°1 Proceso básico de un sistema de colas

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LA TEORÍA DE COLAS: Es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o de sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado estable, como la longitud promedio de la línea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado.

ESTRUCTURA BÁSICO DE LOS MODELOS DE COLAS

1. Fuente de entrada o población: Se refiere a la población de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento, es decir, son todos los clientes que pueden entrar al sistema. El tamaño de la fuente puede ser finito o infinito dependiendo del número total de clientes de la población.

Población finita: Se refiere al grupo de clientes de tamaño limitado que utilizará el servicio y que, en ciertos momentos, hará fila.

Población infinita: Es aquella lo bastante grande con relación al sistema de servicio como para que el cambio de tamaño, ocasionado por sustracciones o adiciones a la población (un cliente que necesita servicio, o un cliente ya atendido que regresa a la población) no afecte significativamente las probabilidades del sistema.

2.

COLA: La cola es donde los clientes esperan antes de ser servidos. Una cola se caracteriza por el número máximo permisible de clientes que puede admitir. El tamaño de las colas puede ser finito o infinito dependiendo del número máximo de unidades admitidas.

Cola finita: Cuando está limitada por cupo, o por espacio disponible para la espera. Es aquella que presenta limitaciones en la capacidad del sistema de servicios. En muchos casos, el tamaño de la cola viene impuesto por restricciones legales (número máximo de personas que pueden ocupar un ascensor), o simplemente restricciones de espacio físico, por ejemplo en una gasolinera.

Cola infinita: Es aquella que resulta muy prolongada en términos de la capacidad del sistema de servicios. Cuando no está limitada por nada. Es la estándar para la mayoría de los modelos, incluso en situaciones en las que de hecho existe una cota superior

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(relativamente grande) sobre el número permitido de clientes, ya que manejar una cota así puede ser un factor complicado para el análisis.

3. DISCIPLINA DE LA COLA: Es una regla o serie de reglas prioritarias, para determinar el orden de servicio a clientes que aguardan en una fila de espera.

Puede ser: FIFO (First In First Out), LIFO (Last In First Out), Primero Reserva, Primero Emergencias, Prioridades, etc.

4. MECANISMO DE SERVICIO: El número de servidores que atenderá a los clientes. Puede ser: Monoservidor o Multiservidor.

EJEMPLOS DE DIFERENTES MECANISMO DE SERVICIO QUE SE PUEDEN PRESENTAR:

Figura n° 2 Múltiples colas múltiples servidores

Figura n° 3 Una cola múltiples servidores

En el siguiente link, muestra los https://www.youtube.com/watch?v=r1QfMuq6ovo

conceptos

antes

explicados

MEDIDAS DE DESEMPEÑO Existen muchas medidas de rendimiento diferentes que se utilizan para evaluar un sistema de colas en estado estable.

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Nombre Tiempo promedio de espera,

Descripción Wq

Es el tiempo promedio que tiene que esperar en la cola

Tiempo promedio en el sistema,

W

Es el tiempo promedio que invierte desde su llegada hasta su salida.

Longitud media de la cola

Lq

Es el número promedio de clientes en la fila

Número medio en el sistema

L

Es el número promedio de clientes que se encuentran en el sistema.

Probabilidad de bloqueo

Pw

Es la probabilidad que tenga que esperar a ser atendido

Factor de utilización

p:

Es la fracción de tiempo que un servidor está ocupado

Probabilidad de que el sistema esté vacío

Po

Es la probabilidad de que no haya clientes en el sistema.

Tabla n° 1 Medidas de desempeño de los sistemas de colas

NOTACIÓN KENDALL A. G. Kendall sugirió una notación que es útil para clasificar la amplia variedad de modelos de línea de espera diferentes que se han elaborado.

Figura n° 4 Notación de Kendall.

Dependiendo de la letra que aparezca en la posición A ó B, puede describir una variedad de sistemas de línea de espera. Las letras que generalmente se usan son:

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M: Distribución de probabilidad de Poisson para las llegadas o una distribución de probabilidad exponencial para el tiempo de servicio.

D: Las llegadas o el tiempo de servicio son determínisticas o constantes.

G: Las llegadas o el tiempo de servicio tienen una distribución de probabilidad general con una media y varianza conocida.

Ek: Distribución Erlang con parámetro de forma= k.

En algunos casos, la notación Kendall se extiende a cinco símbolos: El cuarto símbolo indica la cantidad de unidades más grande que puede estar en el sistema (M). Se usa en situaciones donde la línea de espera puede contener una cantidad finita o máxima de unidades.

El quinto símbolo designa el tamaño de la población; éste es necesario cuando la población de unidades que llegan o clientes es finita.

ANÁLISIS ECONÓMICO DE LAS LÍNEAS DE ESPERA. Para elaborar un modelo de costo total para una línea de espera, es necesario comenzar por definir la notación que se va a usar: Cs= Costo de servicio por periodo para cada servidor S= Cantidad de servidores CD= Costo de esperar por periodo para cada unidad L ó Lq= Cantidad promedio de clientes o unidades en el sistema o en la cola.

CT= Costo total por periodo.

El costo total es la suma del costo de esperar y el costo del servicio, es decir:

CT  CS * S  CD * L

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A continuación se muestra la forma general de las curvas de costo en el análisis económico de la línea de espera

Costos

Costo total

Costo de servicio

Costo de esperar Cantidad de servidor

Figura n° 5 Costos de los sistemas de colas.

PARÁMETROS DE LLEGADAS Y DE SERVICIO:

Llegadas: el parámetro  representa la tasa media de llegadas, es decir, cuantas llegadas se presentan en promedio durante un período dado (número de unidades que llegan por unidad de tiempo).

Los tiempos que transcurren entre dos llegadas consecutivas a un sistema de colas se llaman tiempo entre llegadas.



cliente y el tiempo medio entre llegadas se define como 1  tiempo

Servicio: El parámetro  representa la tasa promedio de servicio, es decir, el número de unidades que serán servidas durante un período de tiempo.



Cliente y el tiempo medio de servicio es igual a 1  tiempo

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