Cálculo Proposicional El Vocabulario Funciones Negación Conjunción Disyunción Implicación Equivalencia
Principia Math ~ ∙ V ↄ ≡
Reglas de Formación
Todo signo propio es una FBF, es decir que: p, q, r son FBF
Si A es una FBF, entonces ~(A) es una FBF
Por lo tanto ~(p) ~(q) ~® son FBF
Si A y B son, ambas FBF, entonces: A≡ B, AↄB ,AVB, A∙B sonFBF Yↄ p, p~q, p~ↄ q, p~, Vq, p∙V qno son FBF Éstas son todas las reglas de formación
Se lee No Y O Si … entonces Si y solo si
Complemento de las Reglas de Formación Alcance y uso de los paréntesis Poder de Unión + ~ ∙ V ↄ ≡ + Alcance Considérese el esquema de los signos de operación del cuadro, la negación no es conectivo; por ello no tiene poder de unión, no une nada; aunque si tiene alcance; en matemática se puede decir que el signo “-“, en la fórmula: 3 x – 4 alcanza hasta el 4; pero no une al 4 con el resto de la formula. El alcance va de menos a más, desde ~ hasta ≡: mientras que el poder de unión, a la inversa, va desde ≡hasta ∙, ya que ~ no tiene poder alguno de unión. Las dos propiedades de los signos de operación, son inversos: a mayor poder de unión, menor alcance, y viceversa.Si se utiliza una cuerda de cinco metros para amarrar a tres personas, alcanza a mas que si se usa para amarrar a una sola; pero su poder de unión será menor cuando amarra a tres que a una. En la fórmula: pVq∙rↄ~q El signo de mayor alcance es ↄ, el de más poder de unión es ∙ y el de menor alcance es ~. De forma similar sucede en matemática, en la fórmula: 4+3=7, el signo de mayor alcance es el “=” pues alcanza hasta el final de la formula en ambas direcciones. El signo de mayor alcance: ↄ divide a la formula en dos subfórmulas, es además el signo principal de la fórmula lo cual permite nombrar a la formula por ese signo. El paréntesis disminuye el alcance de los signos de operación que están dentro de ella, con respecto a los signos que están fuera; teniendo siempre en cuenta que, entre los signos de operación que están dentro del paréntesis, siguen rigiendo las reglas generales de su alcance; así como también entre los signos de operación que están fuera del paréntesis. Por ejemplo: (p ↄ q V r) ↄ p ∙ q≡ r 4 5 2 31 Es equivalente a la fórmula: ,*p ↄ (q V r) + ↄ (p ∙ q) - ≡ r 4 5 2 3 1 Los números indican el alcance de los signos de operación.Pero se utilizaran los paréntesis solamente cuando sea necesario, ya que el alcance de los signos es el mismo en ambas fórmulas y resulta mucho más clara la lectura de la primera; se adopta como convención escribir el segundo paréntesis como corchete “[ ]” y el tercero como llave “{ }”.
Una excepción lo constituye la repetición de la implicación, pues el antecedente representa una condición necesaria del antecedente, por lo que si se asume como principal otra equivalencia se estaría ante otra fórmula distinta. Por ejemplo: pↄqↄr Seria cuando menos ambigua, ya que no se sabe cuál es el antecedente o condición suficiente; en tal caso se debe incluir paréntesis que indiquen con exactitud la estructura de la formula. Tablas de la Verdad Es un procedimiento mecánico para obtener los valores de verdad de las formulas moleculares. Cuando se usa “~” todas las “V” pasan a “F” y viceversa. Conjunción (∙)
Implicación (ↄ)
Disyunción (V)
Equivalencia (≡)
p
q
p∙q
p
q
pↄq
p
q
pVq
p
q
p≡q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
V
Para evitar complicaciones y errores se pueden obtener todas las posibles combinaciones mediante la fórmula: C = 2n Donde “C” es el número total de combinaciones, “2” es el número de valores (verdadero o falso, es una constante y no se cambia, es decir, siempre será “2”) y “n” es el número de fórmulas atómicas distintas que haya en la formula molecular en cuestión. Ejemplo: p
q
r
p∙ q V r
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
F
V
V
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
En este ejemplo el signo de mayor alcance es la disyunción, luego primero ha de resolverse la subfórmulas izquierda que es una conjunción entre p y q, y el resultado de la conjunción se analiza con la disyunción con r.
Clases de Fórmula •
Tautología: tipo de formula en la que, sean cuales sean los valores de verdad de sus fórmulas atómicas, ella es siempre verdadera. Es decir, es verdadera en toda su interpretación, su tabla de verdad da siempre verdadera. La tautología se indica anteponiendo el signo: ⱶllamado signo de aserción, o signo de frege. Al realizar la tabla de la verdad, se clasifica como una tautologíacuando la última columna en resolverse (o la numerada como “1”) es totalmente verdadera.
•
Contradicciones: tipo de formula en la que, sean cuales sean los valores de verdad de sus fórmulas atómicas, ella es siempre falsa. Es decir, es falsa en toda su interpretación, su tabla de verdad da siempre falsa. La negación de una tautología da como resultado una contradicción y viceversa. Al realizar la tabla de la verdad, se clasifica como una contradicción cuando la última columna en resolverse (o la numerada como “1”) es totalmente falsa.
•
Formulas empíricas o contingencias: son las fórmulas que no son tautologías o contradicciones. Al realizar la tabla de la verdad, se le clasifica como una fórmula empírica o contingencia cuando la última columna en resolverse (o la numerada como “1”) hay presencia de verdaderos y falsos.