Ba eni by Sourou Houndayi

MINISTERE DES ENSEIGNEMENTS SECONDAIRE SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

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REPUBLIQUE DU MALI ************ Un Peuple – Un But – Une Foi

DIRECTION NATIONALE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

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ECOLE NATIONALE D’INGENIEURS ABDERHAMANE BABA TOURE DE BAMAKO (ENI – ABT)

Département d’Enseignement et de Recherche DE GENIE CIVIL

Cours de Béton armé Harounada A. DICKO

Bamako, 2008

Table des matières

TABLE DES MATIERES Première partie:

Pages

TECHNOLOGIE ET PROPRIETES DU BETON ARME

chapitre 1 . NOTIONS GENERALES SUR LES PROPRIETES DES MATERIAUX

1. Propriétés physiques ........................................................................................................................ 1.1. Les paramètres déterminant l’état du matériau. .................................................................. 1.1.1. Densité …………………………………………………………………………………………………………………………………. 1.1.2. La masse volumique ……………………………………………………………………………………………………………. 1.1.3. Le poids spécifique ……………………………………………………………………………………………………………. 1.1.4. La porosité …………………………………………………………………………………………………………………………. 1.1.5. La compacité ………………………………………………………………………………………………………………………. 1.2. Propriétés hydrophysiques ......................................................................................................... 1.2.1. L’absorption d’eau ………………………………………………………………………………………………………………. 1.2.2. Le coefficient de ramollissement …………………………………………………………………………………… 1.2.3. La perméabilité ………………………………………………………………………………………………………………….. 1.2.4. Les déformations de volume ……………………………………………………………………………………………. 1.3. Propriétés thermo-physiques ..................................................................................................... 1.3.1. Conductivité thermique ……………………………………………………………………………………………………… 1.3.2. Dilatation …………………………………………………………………………………………………………………………….. 1.3.3. Résistance au feu ………………………………………………………………………………………………………………. 2. Propriétés mécaniques ..................................................................................................................... 2.1. Déformabilité ............................................................................................................................. 2.1.1. L’élasticité ………………………………………………………………………………………………………………………... 2.1.2. La plasticité ……………………………………………………………………………………………………………………... 2.1.3. La fragilité ………………………………………………………………………………………………………………….……. 2.1.4. Le module d’Young ……………………………………………………………………………………………………………. 2.1.5. Le coefficient de Poisson ……………………………………………………………………………………………….. 2.1.6. Le module de cisaillement ………………………………………………………………………………………………. 2.1.7. Le module volumique d’élasticité …………………………………………………………………………………… 2.1.8. Les déformations limites ………………………………………………………………………………………………. 2.1.9. Le fluage ……………………………………………………………………………………………………………………………. 2.2. Résistances .................................................................................................................................. 2.2.1. La résistance ……………………………………………………………………………………………………………………. 2.2.2. La légèreté ………………………………………………………………………………………………………………………. 2.3. La dureté et l’usure ................................................................................................................... 2.3.1. La dureté ………………………………………………………………………………………………………………………….. 2.3.2. L’usure ………………………………………………………………………………………………………………………………. 3. Durabilité et fiabilité ....................................................................................................................... 3.1. La durabilité ............................................................................................................................. 3.2. La fiabilité .................................................................................................................................

13 13 13 13 14 14 15 15 15 16 16 17 17 17 18 19 19 19 20 20 20 20 21 22 22 22 22 23 23 24 24 24 25 26 26 26

chapitre 2. LA TECHNOLOGIE DU BETON 1. Généralités .......................................................................................................................................... 1.1. Définition ...................................................................................................................................... 1.2. Classifications ............................................................................................................................. 1.3. Domaines d’utilisation ................................................................................................................

27 27 27 28

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Table des matières 2. Les composants du béton ................................................................................................................. 2.1. Le liant ........................................................................................................................................... 2.2. Les granulats ................................................................................................................................ 2.3. L’eau de gâchage .......................................................................................................................... 2.4. Les adjuvants ................................................................................................................................ 3. Qualités essentielles du béton ....................................................................................................... 3.1. L’ouvrabilité ................................................................................................................................. 3.2. La résistance ............................................................................................................................... 4. La composition du béton ................................................................................................................. 4.1. Considérations générales .......................................................................................................... 4.2. Données de base ........................................................................................................................ 4.3. Dosage en ciment ...................................................................................................................... 4.4. Dosage en eau ............................................................................................................................. 4.5. Dosage des granulats ................................................................................................................ 5. Fabrication et mise en oeuvre des bétons ................................................................................... 5.1. Stockage des matériaux ............................................................................................................ 5.1.1. Stockage des granulats ……………………………………………………………………………………………………. 5.1.2. Stockage du ciment …………………………………………………………………………………………………………. 5.1.3. Stockage de l’eau ……………………………………………………………………………………………………………… 5.2. Mélange et malaxage ................................................................................................................. 5.3. Transport du béton ................................................................................................................... 5.4. Vibration ...................................................................................................................................... 5.5. Joints de reprise ........................................................................................................................ 5.6. Bétonnage par temps chaud ..................................................................................................... 5.7. Bétonnage sous l’eau .................................................................................................................. 5.8. Bétonnage à la mer ..................................................................................................................... 5.9. Contrôle de qualité du béton .................................................................................................... 6. Bétons spéciaux ................................................................................................................................. 6.1. Le gros béton …………………………………………………………………………………………………………………………. 6.2. Le béton cyclopéen .................................................................................................................... 6.3. Le béton de latérite ……………………………………………………………………………………………………………… 6.4. Le béton pour ouvrages hydrotechniques ............................................................................ 6.5. Le béton routier ........................................................................................................................ 6.6. Les bétons légers ...................................................................................................................... 6.6.1. Le béton caverneux ……………………………………………………………………………………………………….. 6.6.2. Les bétons à granulats légers ……………………………………………………………………………………… 6.6.3. Le béton cellulaire …………………………………………………………………………………………………………. 6.7. Le béton réfractaire ................................................................................................................. 6.8. Les bétons très lourds ………………………………………………………………………………………………………….

Chapitre 3.

PROPRIETES PHYSIQUES ET MECANIQUES DU BETON 1. Propriétés physiques ....................................................................................................................... 1.1. Densité ........................................................................................................................................... 1.2. Propriétés hydrophysiques ...................................................................................................... 1.2.1. Imperméabilité …………………………………………………………………………………………………………………. 1.2.2. Le coefficient de ramollissement …………………………………………………………………………………. 1.3. Propriétés thermiques ............................................................................................................... 1.3.1. Conductivité thermique ……………………………………………………………………………………………………. 1.3.2. Le coefficient de dilatation thermique ………………………………………………………………………….

28 28 30 31 32 33 33 34 37 37 38 38 39 40 44 44 44 44 44 44 45 45 46 46 47 47 48 49 49 50 50 50 51 51 52 52 52 52 53 54 54 55 55 55 55 56 56 56

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Table des matières 1.3.3. Résistance à l’action des hautes températures ……………………………………………………………. 1.4. Résistance du béton à la radiation ............................................................................................. 2. Propriétés mécaniques ..................................................................................................................... 2.1. Résistance du béton ................................................................................................................... 2.2. Déformabilité du béton ............................................................................................................ 2.2.1. Caractéristiques de déformation du béton ................................................................... 2.2.2. Déformations limites du béton ........................................................................................ 2.2.3. Le fluage du béton .............................................................................................................. 2.2.4. Le retrait du béton ............................................................................................................. 2.2.5. Le gonflement du béton .....................................................................................................

56 57 57 57 68 68 72 73 74 76

Chapitre 4. L’ARMATURE

1. Types d’armatures ........................................................................................................................... 1.1. Notions générales ...................................................................................................................... 1.2. Aciers pour béton armé ........................................................................................................... 1.2.1. Définition ............................................................................................................................. 1.2.2. Types d’aciers utilisés ...................................................................................................... 1.2.3. Identification ..................................................................................................................... 1.3. Armatures spéciales ................................................................................................................. 2. Propriétés physiques et mécaniques de l’acier ........................................................................... 2.1. Généralités et propriétés physiques ...................................................................................... 2.2. Propriétés mécaniques ..............................................................................................................

77 77 77 77 77 81 81 82 82 83

Chapitre 5. LE BETON ARME

1. Généralités sur le béton armé ........................................................................................................ 1.1. Notions générales sur le béton armé ...................................................................................... 1.2. Avantages et défauts du béton armé ..................................................................................... 1.3. Domaines d’utilisation ................................................................................................................ 1.4. Historique .................................................................................................................................... 2. Association béton - acier ................................................................................................................ 3. Arrêts et jonctions des barres ..................................................................................................... 3.1. Arrêts des barres ..................................................................................................................... 3.2. Jonctions des barres ............................................................................................................... 4. Propriétés mécaniques du béton armé .......................................................................................... 4.1. Résistance et déformabilité du béton armé ......................................................................... 4.2. Influence du retrait du béton ................................................................................................. 4.3. Influence du fluage du béton .................................................................................................. 4.4. Action de la température ......................................................................................................... 4.5. Corrosion et couverture d’enrobage ...................................................................................... 5. Les éléments en béton et en béton armé ..................................................................................... 5.1. Eléments coulés en place ........................................................................................................... 5.1.1. Le coffrage ........................................................................................................................... 5.1.2. Le ferraillage ....................................................................................................................... 5.1.3. Le bétonnage ........................................................................................................................ 5.1.4. Le suivi .................................................................................................................................. 5.1.5. Le décoffrage ....................................................................................................................... 5.1.6. Domaines d’utilisation des éléments coulés en place ……………………………………………….. 5.1.7. Avantages et inconvénients des éléments coulés en place ……………………………………… 5.2. Eléments préfabriqués .............................................................................................................

86 86 88 88 89 89 92 92 96 98 98 100 102 105 105 106 106 106 107 107 107 107 108 108 108

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Table des matières 5.2.1. Eléments préfabriqués pour bâtiments civils .............................................................. 5.2.2. Eléments préfabriqués pour bâtiments industriels ................................................... 5.2.3. Eléments préfabriqués pour ouvrages techniques ..................................................... 5.2.4. Avantages et inconvénients des éléments préfabriqués ........................................... 5.2.5. Les techniques de préfabrication ..................................................................................

Chapitre 6. NOTIONS SOMMAIRES SUR LES DESSINS D’EXECUTION DE BETON

ARME 1. Dessins de coffrage ......................................................................................................................... 2. Dessins d’armatures ......................................................................................................................... 3. Spécification et quantification ......................................................................................................

109 109 109 110 110

113 113 116 119

Deuxième partie:

PRINCIPES DE CALCUL DU BETON ARME Chapitre 7. LES FONDEMENTS DE LA THEORIE

1. Le calcul du béton armé, une théorie fondée sur des bases expérimentales........................ 1.1. Rôle des essais.............................................................................................................................. 1.2. Etude expérimentale des éléments fléchis........................................................................... 1.3. Evolution de la théorie de calcul du béton armé.................................................................. 1.3.1. Le calcul aux contraintes admissibles.............................................................................. 1.3.2. Le calcul aux charges de rupture..................................................................................... 1.3.3. Le calcul aux états limites................................................................................................. 2. La méthode des états limites.......................................................................................................... 2.1. Définitions. Objet des justifications...................................................................................... 2.1.1. Définitions.............................................................................................................................. 2.1.2. Objet des justifications..................................................................................................... 2.2. Etude de la résistance d’un matériau..................................................................................... 2.3. Les actions................................................................................................................................... 2.3.1. Actions permanentes........................................................................................................... 2.3.2. Actions variables................................................................................................................. 2.3.3. Actions accidentelles......................................................................................................... 2.4. Les sollicitations de calcul......................................................................................................... 2.4.1. Combinaisons fondamentales.............................................................................................. 2.4.2. Combinaisons accidentelles................................................................................................ 2.4.3. Combinaisons rares.............................................................................................................. 2.5. Notations essentielles................................................................................................................ 2.6. L’état limite ultime de résistance (E.L.U.-R)......................................................................... 2.6.1. Résistance des éléments en béton armé.......................................................................... 2.6.2. Hypothèses de calcul........................................................................................................... 2.6.3. Diagrammes de déformation des matériaux................................................................... 2.6.4. Diagrammes des contraintes dans le béton.................................................................... 2.6.5. Règle des trois pivots.......................................................................................................... 2.6.6. Positions particulières de la section. Détermination des pivots................................. 2.7. Etat limite ultime de stabilité de forme (E.L.U.-S.F.)......................................................... 2.8. Etat limite ultime de stabilité de position E.L.U.-S.P. (Equilibre statique).................... 2.9. Etat limite de service vis à vis de la durabilité (Etat limite de fissuration)................. 2.9.1. Généralités............................................................................................................................

121 122 123 123 123 126 126 127 128 129 129 129 130 131 133 134 134 135 135 136 136 137 137 139 139 139 140 143 144 148 151 153 155 155

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Table des matières 2.9.2. Hypothèses........................................................................................................................... 2.9.3. Calculs de vérification........................................................................................................ 2.9.4. Etat limite de compression du béton............................................................................... 2.9.5. Etat limite d’ouverture des fissures................................................................................ 2.10. Etat limite de service vis à vis des déformations.............................................................. 2.11. La condition de non fragilité.................................................................................................... 2.11.1. Cas de la traction …………………………………………………………………………………………………………… 2.11.2. Cas de la flexion ……………………………………………………………………………………………………………..

Chapitre 8. JUSTIFICATION DES SECTIONS SOUMISES A DES

SOLLICITATIONS NORMALES 1. La flexion simple................................................................................................................................. 1.1. L’état limite ultime de résistance............................................................................................. 1.1.1. Généralités............................................................................................................................... 1.1.2. La section ne comporte que des aciers tendus................................................................ 1.1.3. La section comporte des aciers tendus et des aciers comprimés............................... 1.1.4. Algorithmes de calcul des éléments fléchis..................................................................... 1.1.5. Calcul de la résistance des éléments avec des armatures rigides.............................. 1.2. Les états limites de service...................................................................................................... 1.2.1. L’état limite de service vis à vis de la durabilité............................................................ 1.2.2. L’état limite de service vis à vis des déformations....................................................... 2. La traction simple............................................................................................................................... 2.1. Généralités.................................................................................................................................... 2.2. Calcul à l’état limite ultime de résistance.............................................................................. 2.3. Calcul à l’état limite de service vis à vis de la durabilité.................................................... 2.4. Calcul de vérification.................................................................................................................. 3. La compression simple....................................................................................................................... 3.1. Généralités................................................................................................................................... 3.2. Calcul des éléments comprimés............................................................................................... 3.3. Calcul des éléments comprimés avec armatures rigides.................................................... 3.3.1. Généralités............................................................................................................................ 3.3.2. Calcul...................................................................................................................................... 3.4. Vérification de la capacité portante des éléments comprimés......................................... 4. La flexion composée.......................................................................................................................... 4.1. Généralités.................................................................................................................................... 4.1.1. Définitions............................................................................................................................... 4.1.2. Sollicitations.......................................................................................................................... 4.2. Section entièrement tendue..................................................................................................... 4.2.1. Calcul à l’état limite ultime.................................................................................................. 4.2.2. Calcul à l’état limite de service.......................................................................................... 4.3. Section partiellement comprimée............................................................................................ 4.3.1. Calcul à l’état limite ultime.................................................................................................. 4.3.2. Calcul à l’état limite de service.......................................................................................... 4.4. Section entièrement comprimée.............................................................................................. 4.4.1. Calcul à l’état limite ultime................................................................................................. 4.4.2. Calcul à l’état limite de service.........................................................................................

Chapitre 9. JUSTIFICATION DES SECTIONS SOUMISES A DES SOLLICITATIONS TANGENTES

155 156 157 157 160 161 161 162

165 165 166 166 172 187 195 208 214 215 230 235 235 236 236 237 237 237 239 243 243 244 244 245 245 245 247 248 248 250 250 251 252 255 256 263

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Table des matières 1. Action de l’effort tranchant............................................................................................................ 1.1. Rupture des éléments fléchis sous l’action des sollicitations tangentes.......................... 1.2. Objectif des justifications........................................................................................................ 1.2.1. Généralités.............................................................................................................................. 1.2.2. Contraintes tangentes.......................................................................................................... 1.2.3. Contraintes tangentes limites............................................................................................ 1.3. Résistance des âmes................................................................................................................... 1.3.1. Généralités............................................................................................................................. 1.3.2. Théorie du treillis de Ritter - Mörsch............................................................................ 1.3.3. Justification des armatures d’âme................................................................................... 1.3.4. Arrêt des armatures longitudinales................................................................................. 1.3.5. Résistance des sections inclinées..................................................................................... 1.4. Conditions aux appuis.................................................................................................................. 1.4.1. Généralités............................................................................................................................. 1.4.2. Appuis simples d’about........................................................................................................ 1.4.3. Appuis intermédiaires......................................................................................................... 1.5. Coutures d’attaches................................................................................................................... 1.5.1. Règle des coutures............................................................................................................... 1.5.2. Liaison des membrures d’une poutre avec l’âme............................................................ 1.6. Cas des dalles.............................................................................................................................. 2. Adhérence........................................................................................................................................... 2.1. Généralités................................................................................................................................... 2.2. Contrainte d’adhérence............................................................................................................. 2.3. Contrainte d’entraînement........................................................................................................ 2.4. Ancrage......................................................................................................................................... 2.4.1. Longueur de scellement....................................................................................................... 2.4.2. Ancrage par courbure......................................................................................................... 2.4.3. Recouvrement....................................................................................................................... 2.4.4. Couture des ancrages......................................................................................................... 3. Action du moment de torsion........................................................................................................... 3.1. Généralités................................................................................................................................... 3.2. Evaluation des contraintes tangentes de torsion................................................................ 3.2.1. Section creuse..................................................................................................................... 3.2.2. Section pleine...................................................................................................................... 3.3. Justification................................................................................................................................ 3.3.1. Torsion pure......................................................................................................................... 3.3.2. Torsion avec flexion...........................................................................................................

Chapitre 1 0. ACTION DES CHARGES DYNAMIQUES ET DES HAUTES

TEMPERATURES 1. Action des charges dynamiques....................................................................................................... 1.1. Les charges dynamiques.............................................................................................................. 1.2. Oscillations des éléments en béton armé............................................................................... 1.2.1. Oscillations libres des éléments en béton armé............................................................. 1.2.2. Oscillations forcées des éléments en béton armé......................................................... 1.3. Caractéristiques dynamiques des éléments en béton armé................................................ 1.3.1. Rigidité dynamique................................................................................................................ 1.3.2. Absorption de l’énergie par frottement intérieur........................................................ 1.3.3. La tenue du béton armé......................................................................................................

264 264 265 265 266 268 269 269 270 271 275 277 279 279 279 280 281 281 282 283 284 284 284 285 287 287 287 288 289 289 289 290 290 291 291 291 292

293 293 293 294 294 295 296 297 297 298

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Table des matières 1.4. Justifications............................................................................................................................... 1.4.1. Calcul à l’état limite ultime................................................................................................. 1.4.2. Calcul à l’état limite de service......................................................................................... 1.5. Lutte contre les vibrations....................................................................................................... 2. Action des hautes températures....................................................................................................

299 299 300 300 301

Troisième partie:

CALCUL DES OUVRAGES SIMPLES EN BETON ARME Chapitre 1 1 . PRINCIPES DE CALCUL DES OUVRAGES

308 309

1. Introduction........................................................................................................................................ 2. Objectifs du calcul............................................................................................................................ 3. Les différentes étapes du calcul d’un ouvrage............................................................................ 3.1. L’élaboration des données.......................................................................................................... 3.1.1. Les données de base............................................................................................................. 3.1.2. Les données à déterminer.................................................................................................. 3.2. La détermination des caractéristiques de fiabilité de la structure................................ 3.2.1. La résistance......................................................................................................................... 3.2.2. La stabilité............................................................................................................................ 3.2.3. La rigidité............................................................................................................................. 3.2.4. La durabilité........................................................................................................................ 3.3. Définir les calculs à faire......................................................................................................... 3.3.1. Les calculs à l’état limite ultime....................................................................................... 3.3.2. Les calculs à l’état limite de service............................................................................... 3.4. La détermination des sollicitations......................................................................................... 3.5. Le dimensionnement des sections des éléments................................................................... 3.6. L’analyse de la fiabilité de la structure et de ses éléments..............................................

309 309 309 310 310 310 311 311 311 311 311 312 312 312 312 312 313

Chapitre 1 2. LES POUTRES ET LES DALLES

1. Les poutres.......................................................................................................................................... 1.1. Généralités.................................................................................................................................... 1.1.1. Définition................................................................................................................................ 1.1.2. Portée à prendre en compte............................................................................................... 1.1.3. Prédimensionnement de la section droite........................................................................ 1.2. Calcul des poutres...................................................................................................................... 1.2.1. Détermination des sollicitations....................................................................................... 1.2.2. Les méthodes élastiques.................................................................................................... 1.2.3. La méthode de Caquot........................................................................................................ 1.2.4. Les méthodes forfaitaires................................................................................................ 1.2.5. Courbes enveloppes des moments.................................................................................... 2. Les dalles............................................................................................................................................. 2.1. Généralités................................................................................................................................... 2.2. Calcul des dalles.......................................................................................................................... 2.2.1. Le calcul élastique............................................................................................................ 2.2.2. Méthode de l’équilibre limite........................................................................................

314 314 314 314 314 314 317 317 320 327 333 336 341 341 343 343 352

Chapitre 1 3. LES PLANCHERS 1. Généralités...........................................................................................................................................

356 356

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Table des matières 1.1. Définitions et fonctions.............................................................................................................. 1.2. Types de planchers...................................................................................................................... 1.3. Charges sur les planchers.......................................................................................................... 2. Structures et calculs des planchers............................................................................................. 2.1. Planchers à hourdis creux......................................................................................................... 2.1.1. Domaine d’utilisation et structure................................................................................... 2.1.2. Calcul des éléments constitutifs du plancher .............................................................. 2.2. Planchers avec dalle pleine et poutres................................................................................... 2.2.1. Domaine d’utilisation et structure................................................................................... 2.2.2. Calcul des éléments constitutifs du plancher ............................................................. 2.3. Planchers à poutrelles parallèles rapprochées..................................................................... 2.3.1. Domaine d’utilisation et structure................................................................................... 2.3.2. Calcul des éléments constitutifs du plancher .............................................................. 2.4. Planchers en caissons................................................................................................................ 2.4.1. Domaines d’utilisation et structure................................................................................. 2.4.2. Calcul des éléments constitutifs du plancher .............................................................. 2.5. Planchers - champignons et planchers - dalles..................................................................... 2.5.1. Domaine d’utilisation et structure................................................................................... 2.5.2. Calcul..................................................................................................................................... 2.6. Les planchers préfabriqués......................................................................................................

356 356 356 359 359 359 360 363 363 363 368 368 369 371 371 371 372 372 373 375

Chapitre 1 4. LES ESCALIERS

377 377 377 377 378 379 380 380 380 384 386 386 367 388

1. Généralités........................................................................................................................................... 1.1. Définition et fonction................................................................................................................. 1.2. Terminologie................................................................................................................................. 1.3. Types d’escaliers......................................................................................................................... 1.4. Dimensions.................................................................................................................................... 1.5. Charges sur les escaliers.......................................................................................................... 2. Calcul des escaliers........................................................................................................................... 2.1. Escaliers à paillasses droites.................................................................................................... 2.2. Escaliers à paillasses hélicoïdales............................................................................................ 2.3. Escaliers à limons........................................................................................................................ 2.3.1. Escaliers à un limon.............................................................................................................. 2.3.2. Escaliers à deux limons....................................................................................................... 2.4. Escalier tournant à noyau central...........................................................................................

Chapitre 1 5.

LES POTEAUX ET LES MURS

1. Les poteaux.......................................................................................................................................... 1.1. Généralités..................................................................................................................................... 1.2. Elancement. Longueur de flambement..................................................................................... 1.3. Evaluation des charges verticales sur les poteaux............................................................... 1.4. Calcul des poteaux....................................................................................................................... 1.5. Ferraillage des poteaux et dispositions constructives........................................................ 2. Les murs............................................................................................................................................... 2.1. Généralités..................................................................................................................................... 2.2. Principes de calcul........................................................................................................................

Chapitre 1 6.

LES FONDATIONS 1. Généralités...........................................................................................................................................

390 390 390 391 393 394 394 396 396 397 401 401

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Table des matières 1.1. Définition et fonctions.............................................................................................................. 1.2. Types de fondations.................................................................................................................. 1.3. Descente des charges et principes de calcul des fondations........................................... 2. Semelles isolées sous poteaux........................................................................................................ 2.1. Généralités sur les semelles isolées....................................................................................... 2.2. Les semelles rigides.................................................................................................................. 2.2.1. Semelles rigides rectangulaires...................................................................................... 2.2.2. Semelles rigides circulaires............................................................................................ 2.3. Les semelles flexibles.............................................................................................................. 3. Semelles filantes sous murs............................................................................................................ 3.1. Généralités................................................................................................................................... 3.2. Calcul............................................................................................................................................. 4. Semelles filantes sous un réseau de poteaux............................................................................... 4.1. Généralités.................................................................................................................................... 4.2. Calcul.............................................................................................................................................. 5. Longrines. Poutres de redressement. Chaînages bas.................................................................. 5.1. Les longrines................................................................................................................................. 5.2. Les poutres de redressement.................................................................................................. 5.3. Les chaînages bas........................................................................................................................ 6. Les radiers généraux......................................................................................................................... 6.1. Généralités................................................................................................................................... 6.2. Calcul............................................................................................................................................. 7. Les fondations par pieux.................................................................................................................. 7.1. Généralités................................................................................................................................... 7.2. Calcul............................................................................................................................................. 7.2.1. Calcul des pieux................................................................................................................... 7.2.2. Calcul des semelles.............................................................................................................

401 401 402 406 406 409 409 411 414 416 416 417 418 418 419 424 424 425 427 428 428 429 432 432 434 434 435

BIBLIOGRAPHIE................................................................................................................................

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Première partie

TECHNOLOGIE ET PROPRIETES DU BETON ARME

Chapitre 1. Notions générales sur les propriétés des matériaux

Chapitre 1

NOTIONS GENERALES SUR LES PROPRIETES DES MATERIAUX L’utilisation de tout matériau dans la construction d’un ouvrage suppose une connaissance de ses propriétés physiques et mécaniques, c’est-à-dire les paramètres déterminant l’état du matériau, son comportement vis à vis de l’eau, de la chaleur, du froid et sous l’action des effets et forces extérieurs.

1. PROPRIETES PHYSIQUES 1.1. Les paramètres déterminant l’état du matériau 1.1.1. La densité La densité ρ est la masse d’une unité de volume de la substance sans pores. Elle est égale au quotient de la masse m du matériau sec par le volume V occupé sans les pores:

ρ =

m V

(1.1)

ρ est en t/m3 ; kg/m3 ; g/cm3 ; etc...

1.1.2. La masse volumique La masse volumique M v est la masse d’une unité de volume du matériau à l’état naturel, c’est-à-dire avec les pores. Elle est égale au quotient de la masse m du matériau sec par le volume V 1 occupé avec les pores:

Mv =

m V1

(1.2)

La masse volumique M v a les mêmes dimensions que la densité ρ, c’est-à-dire en t/m3 ; kg/m3; g/cm3 ; etc... On peut remarquer que V 1 ≥V , donc M v ≤ ρ, c’est-à-dire que la masse volumique est toujours inférieure à la densité, sauf pour les matériaux très denses (comme par exemple le verre, l’acier, les matériaux liquides, etc...) pour lesquels la densité et la masse volumique se confondent. 13 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D - 2008-

Chapitre 1. Notions générales sur les propriétés des matériaux

Matériaux

Densité ρ, en t/m3

Masse volumique M v , en t/m3

Matériaux pierreux Matériaux ferreux Matériaux organiques (bois, bitumes, matières plastiques, etc...)

2,2 ... 3,3 7,25 ... 7,85 0,9 ... 1,6

0,5 ... 3,0 7,2 ... 7,85 0,2 ... 1,2

Tableau 1 . 1 . Densités et masses volumiques de certains matériaux

La masse volumique des matériaux augmente avec l’humidité. Elle joue un rôle très important dans le calcul des ouvrages (par exemple pour le transport, assurer la stabilité, etc...). Dans le tableau 1.1. sont données les limites dans lesquelles varient la densité et la masse volumique de certains matériaux de construction.

1.1.3. Le poids spécifique Le poids spécifique γ est le poids d’une unité de volume du matériau à l’état naturel. Il est égal au quotient du poids G du matériau sec par le volume V 1 occupé avec les pores: γ

G V1

(1.3)

γ est en kN/m3 ; daN/m3 ; N/cm3 ; etc... Le poids d’un matériau est obtenu en multipliant sa masse m par l’accélération de la pesanteur g: G = mg, avec g = 9,81 m/s2 en moyenne. Le poids spécifique γ et la densité ρ du matériau sont liés par la relation suivante: γ = ρg (1.4)

1.1.4. La porosité La porosité p est le degré de comblement du volume par les pores. Elle est égale au quotient du volume des vides V v par le volume total V 1 du matériau à l’état naturel : p =

Vv V1

(1.5)

Le volume des vides V v est égal à : Vv = V1 – V Donc,

p =

(1.6)

V1 − V Mv V V m = 1= 1= 1 ρ V1 m V1 V1 14

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Chapitre 1. Notions générales sur les propriétés des matériaux

ou encore

p = 1 -

(1.7)

Cette expression exprime la porosité en fractions d’unité ; en pourcentage, on obtient : p = (1 -

(1.8)

)100%

1.1.5. La compacité La compacité c caractérise le degré de serrage des grains du matériau ; c’est l’opposé de la porosité. On l’obtient en divisant le volume plein V par le volume total V 1 : c = ou encore c =

V V1

(1.9)

V1 − Vv V = 1- v V1 V1

Dans cette formule, la compacité pourcentage, on obtient :

=1-p

c est exprimée en fractions d’unité ; en

c = (

(1.11)

)100%

On a toujours : • En fractions d’unité : •

(1.10)

c+p =1

(1.12)

c + p = 100%

(1.13)

En pourcentage :

1.2. Les propriétés hydrophysiques 1.2.1. L’absorption d’eau L’absorption d’eau w est la capacité du matériau à absorber et garder l’eau. On la détermine en plongeant complètement le matériau dans l’eau jusqu’à saturation, puis on fait la différence entre les masses à l’état saturé m 2 et à l’état sec m 1 . Elle est exprimée en pourcentage du volume V 1 à l’état naturel ou de la masse m 1 à l’état sec et, est calculée par les expressions suivantes : wm =

m2 − m1 100% m1

(1.14)

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Chapitre 1. Notions générales sur les propriétés des matériaux

wv =

m2 − m1 100% V1

(1.15)

Le rapport de ces deux valeurs donne la masse volumique :

wm wv

m1 = Mv V1

(1.16)

L’absorption d’eau est due à la présence des pores dans les matériaux. En plongeant les matériaux dans l’eau, cette dernière pénètre et remplit tous les pores qui lui sont admissibles. Une partie des pores (pores fermés) est toujours inadmissible à la pénétration de l’eau, raison pour laquelle l’absorption d’eau est toujours inférieure à la porosité. Les matériaux capillaires sont capables d’absorber les vapeurs d’eau de l’air ; cette propriété est appelée l’hydroscopicité des matériaux.

1.2.2. Le coefficient de ramollissement Les propriétés mécaniques de certains matériaux changent quand ils sont saturés en eau. Le rapport de la résistance (limite de résistance à l’écrasement) d’un matériau à l’état saturé R sat par sa résistance à l’état sec R sec est appelé coefficient de ramollissement k ram : k ram =

Rsat Rsec

(1.17)

Le coefficient de ramollissement varie de zéro (pour l’argile par exemple) à l’unité (pour l’acier par exemple). Seuls les matériaux qui ont un coefficient de ramollissement k ram ≥ 0,8 peuvent être exploités dans l’eau ; ces matériaux sont résistants à l’eau. Certains bétons denses ont un coefficient de ramollissement supérieur à 0,8, donc peuvent être exploités dans l’eau. Par contre, d’autres bétons poreux, pour lesquels k ram < 0,8 et avec un liant non hydraulique, ne peuvent pas être exploités dans l’eau.

1.2.3. La perméabilité La perméabilité est la capacité du matériau de laisser passer l’eau sous pression. Elle est définie comme la quantité d’eau passée durant une heure de temps à travers un mètre carré de surface du matériau sous une pression d’un méga pascal (1 MPa). La perméabilité est, généralement caractérisée par le coefficient de filtration k f qui est défini comme la quantité d’eau, en mètre cube (m3) passée à travers une paroi d’un mètre (1 m) d’épaisseur et d’un mètre carré

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Chapitre 1. Notions générales sur les propriétés des matériaux

(1 m2) de surface pendant une durée d’une heure (1 h) de temps sous une différence de pression hydrostatique égale à un mètre de colonne d’eau : kf =

Ve .a S .∆P.t

(1.18)

avec, V e - quantité d’eau, en m3 ; a – épaisseur de la paroi, en m ; S – surface de la paroi, en m2 ; ∆P = P 1 – P 2 - différence entre les pressions aux deux côtés de la paroi, en MPa ; t – temps, en heures ; k f - coefficient de filtration, en m/h (on remarquera que le coefficient de filtration k f a les dimensions de vitesse : m/h ; m/jours ; cm/h ; cm/s ; etc…).

1.2.4. Les déformations de volume Les matériaux poreux (béton, bois, etc…) changent de volume avec le changement d’humidité. Selon le sens de la variation du volume, on distingue le retrait et le gonflement. Le retrait est la diminution du volume et des dimensions du matériau dans un milieu très sec (très faible humidité). Le gonflement est l’augmentation du volume et des dimensions du matériau dans un milieu très humide, lorsque le matériau est saturé en eau.

1.3. Les propriétés thermophysiques 1.3.1. Conductivité thermique La conductivité thermique (ou calorifique) λ est la propriété du matériau de conduire (transmettre) la chaleur, c’est-à-dire le flux thermique (de chaleur), à travers lui même, d’une face à l’autre. Ce déplacement de chaleur est dû à la différence de températures des deux faces opposées de la paroi. Le coefficient de conductivité thermique λ d’un matériau est donc la quantité de chaleur Q traversant une paroi d’épaisseur a égale à un mètre et de surface S égale à un mètre carré pendant un temps t égal à une heure et pour une différence de température égale à un degré Celsius : λ =

Q.a S .∆T .t

(1.19)

avec, λ en W/(m.°C) ; Q en joules.

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Chapitre 1. Notions générales sur les propriétés des matériaux

Ainsi, la quantité de chaleur Q traversant une paroi faite de d’un matériau dont on connaît la conductivité thermique λ est : Q =

S .∆T .t a

(1.20)

avec, S – la surface de la paroi en m2 ; ∆T – la différence de température des surfaces opposées, en °C ; t – le temps, en heures ; a – épaisseur de la paroi, en m. La conductivité thermique est importante, surtout pour l’isolation thermique du milieu extérieur (murs extérieurs, couverture de bâtiments). Elle dépend des facteurs suivants : • La nature du matériau et sa masse volumique ; • La porosité du matériau et du type de pores (pores fermés ou ouverts, se communiquant ou non) ; • L’humidité et la température. En général, plus le matériau est poreux, donc plus la masse volumique est faible, plus il conduit très mal, à travers lui, le flux de chaleur ; dans ce cas, le matériau est un bon isolant thermique. Dans le tableau 1.2 sont données les valeurs des coefficients de conductivité thermique de certains matériaux de construction. Matériaux Bois :

à travers les fibres le long des fibres

Acier Verre Plâtre Mortier de ciment

λ, en W/m.°C 0,14 … 0,18 0,29 … 0,35 58,35 0,76 0,35 0,76

Matériaux Béton : ordinaire caverneux cellulaire Mur en moellons : avec M v = 2,3 t/m3 avec M v = 1,2 t/m3 Murs en banco avec débris végétaux :

λ, en W/m.°C 1,22 … 1,50 0,64 … 0,94 0,12 … 0,35

Tableau 1 . 2. Coefficients de conductivité thermique λ de certains matériaux.

1,20 0,60 0,58

1.3.2. Dilatation Avec la variation de la température du milieu environnant, les matériaux changent leurs dimensions linéaires suivant la loi : ∆L = α t .∆T.L (1.21) avec, ∆L - la variation de la dimension linéaire L, en m ; ∆T – la variation de la température , en °C ; α t – le coefficient dépendant de la nature du matériau appelé coefficient de dilatation thermique linéaire du matériau , en °C-1

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Chapitre 1. Notions générales sur les propriétés des matériaux

Ce phénomène est appelé dilatation du matériau ; elle se caractérise par un allongement quand la température augmente (dilatation positive) et par un raccourcissement quand la température baisse (dilation négative). Les valeurs du coefficient de dilatation linéaire pour certains matériaux de construction sont données dans le tableau 1.3. Matériaux Bétons Aciers Bois -6 -6 -1 (7 … 15).10 12.10 20.10-6 α t , en °C Tableau 1 . 3. Coefficients de dilatation thermique pour certains matériaux.

1.3.3. Résistance au feu La résistance au feu est la capacité du matériau à résister à l’action du feu au cours d’un incendie pendant un temps déterminé. On distingue : • les matériaux non combustibles comme, par exemple, les bétons, les briques, l’acier, etc… ; • les matériaux difficilement combustibles (inflammables) comme, par exemple, le bois protégé ; • les matériaux combustibles comme, par exemple, le bois non protégé. La résistance pyroscopique est la capacité du matériau de tenir sans se déformer, ni se ramollir sous l’action continue, c’est-à-dire pendant une longue durée, de hautes températures (à partir de 1500°C et plus). Les matériaux ayant cette propriété sont appelés matériaux réfractaires ; ils sont utilisés pour le revêtement de l’intérieur des fours industriels.

2. PROPRIETES MECANIQUES 2.1. Déformabilité la déformabilité des matériaux est caractérisée par les facteurs suivants : l’élasticité ; la plasticité ; la fragilité ; le module de déformation du premier ordre (module d’Young) ; le coefficient de Poisson ; le module de cisaillement ; le module volumique de déformation ; les déformations limites (allongement, raccourcissement, cisaillement, etc…) ; le fluage, etc…

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Chapitre 1. Notions générales sur les propriétés des matériaux

2.1.1. L’élasticité L’élasticité est la propriété du matériau de se déformer sous l’action d’une charge et de reprendre spontanément sa forme et ses dimensions initiales dès la cessation de la charge. Les déformations élastiques disparaissent complètement après la cessation des charges extérieures ; c’est pourquoi on les appelle souvent déformations réversibles.

2.1.2. La plasticité La plasticité est la propriété du matériau de changer sa forme et ses dimensions sous l’action des forces extérieures avant sa ruine (rupture) et sans pour autant pouvoir les (forme et dimensions) reprendre spontanément après cessation de l’action des forces. Ainsi, même après la cessation des forces extérieures, les déformations plastiques ne disparaissent pas ; ces déformations restent dans le matériau et sont souvent appelées déformations résiduelles ou irréversibles.

2.1.3. La fragilité L’élasticité est la propriété des matériaux de se rompre sous l’action des charges mécaniques sans déformations plastiques considérables ; c’est la propriété contraire à la plasticité.

2.1.4. Le module d’Young Le module d’Young ou module d’élasticité E est le rapport de la contrainte axile σ par la déformation linéaire unitaire correspondante ε (loi de Hooke) : E =

σ ε

(1.22)

Le module E a les dimensions d’une contrainte (daN/m2 ; MPa, etc…) ; dans cette formule la contrainte σ et la déformation linéaire unitaire sont égales à : σ =

N A ε =

(1.23)

∆L L

(1.24)

où, A est l’aire de la section et N l’effort normal de traction ou de compression ; ∆L est la variation de la longueur de l’élément de longueur initiale L.

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Chapitre 1. Notions générales sur les propriétés des matériaux

Le module d’Young E est défini comme la tangente de l’angle d’inclinaison de la droite dérivée dσ/dε par rapport à l’axe des déformations. Il caractérise la résistance, c’est-à-dire l’opposition du matériau aux déformations longitudinales. Les valeurs du module d’Young pour certains matériaux sont données dans le tableau 1.4. Le module d’Young est une caractéristique mécanique importante du matériau. Les propriétés mécaniques des matériaux sont définies par le diagramme σ-ε appelé diagramme ou courbe de déformation du matériau (voir fig. 1.1). Matériaux

E, en MPa

Matériaux

Fer Acier Cuivre Aluminium

21,1 . 10 (20…21) . 104 11,2 . 104 7 . 104

Plomb Caoutchouc Bois Bétons

Tableau 1 . 4. Modules d’Young de certains matériaux.

E, en MPa

1,5 . 104 0,007 . 104 (1,4…2,4) . 104 (1…2) . 104

Fig. 1 . 1 . Diagrammes de déformations de certains matériaux : a) compression du béton ; b) traction de l’acier ; c) compression du verre ; d) traction du caoutchouc.

2.1.5. Le coefficient de Poisson Le coefficient de Poisson ν caractérise la déformation transversale du matériau ; il est défini comme le quotient de la déformation linéaire transversale ϕ par la déformation longitudinale ε (voir fig. 1.2) : ν = avec, ϕ = ∆b/b et ε = ∆L/L.

ϕ ε

(1.25)

Le coefficient de Poisson ν est sans dimensions. Pour le béton fissuré, on a : ν = 0 ; pour le béton non fissuré, on a : ν = 0,15…0,22 ; pour l’acier, on a : ν= 0,33.

Fig. 1 . 2.

21 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D - 2008-

Chapitre 1. Notions générales sur les propriétés des matériaux

2.1.6. Le module de cisaillement Le module de cisaillement G est défini par l’expression suivante : G =

E 2(1 + ν )

(1.26)

Le module G a les dimensions d’une contrainte (MPa, daN/cm2, etc…). En cisaillement pure, on a la relation suivante : G =

τ γ

(1.27)

avec, τ - la contrainte tangentielle ; γ - la déformation angulaire unitaire correspondante (cisaillement relatif ou unitaire) (voir fig. 1.3).

Fig. 1 . 3.

2.1.7. Le module volumique d’élasticité Le module volumique d’élasticité K ou module de compression (ou traction) triaxiale est défini par l’expression suivante : K =

E 2(1 − 2ν )

(1.28)

Le module K a les mêmes dimensions que le module E.

2.1.8. Les déformations limites Les déformations limites sont les déformations auxquelles le matériau se ruine (se rompe) par écrasement (raccourcissements limites) ou par étirement (allongements limites). Les matériaux ont des déformations limites différentes selon la nature des sollicitations ; par exemple, l’allongement limite du béton est de l’ordre de 15.10-5 (ou 0,015% ou encore 0,15), alors que son raccourcissement limite est de 250.10-5 (ou 0,25% ou encore 2,5). Les déformations (allongement et raccourcissement) unitaires limites des aciers varient de 2.10-2 (ou 2% ou encore 20), à 25.10-2 (ou 25% ou encore 250), selon la nature des aciers.

2.1.9. Le fluage Les déformations de beaucoup de matériaux soumis à des charges (contraintes) constantes varient avec le temps, et, plus précisément, augmentent de valeurs. 22 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D - 2008-

Chapitre 1. Notions générales sur les propriétés des matériaux

Ce phénomène de croissance des déformations avec le temps sous contraintes constantes est appelé fluage. Le phénomène de fluage peut être suivi de la rupture de l’élément (courbe 1 sur la fig. 1.4) ou bien, dans certains cas, les déformations tendent vers une valeur constante (courbe 2 de la fig. 1.4) ; ce dernier cas est le plus fréquent. De nos jours, il existe plusieurs modèles mathématiques pour décrire ce phénomène de fluage.

Fig. 1 . 4. Croissance des déformations linéaires ε avec le temps t ; ε o la déformation initiale (au moment tout juste après le chargement) ; ε lim la déformation limite suivie de la rupture.

2.2. Résistances 2.2.1. La résistance la résistance est la propriété (ou capacité) du matériau à résister à la rupture sous l’action des contraintes internes dues aux forces extérieures et à d’autres facteurs (températures, tassements différentiels, etc…). C’est donc la capacité du matériau à supporter des charges extérieures sans se rompre. La résistance d’un matériau à un type de sollicitation (traction, compression, cisaillement, flexion, torsion, etc…) est caractérisée par une limite de résistance R déterminée pour ce type de sollicitation. Pour les matériaux fragiles (bétons, maçonneries, etc…), la limite de résistance à la traction R t est très faible ; pour eux, la caractéristique principale de résistance est la limite de résistance à la compression R c qui est déterminée par la formule suivante : Rc =

Frup A

(1.29)

avec, F rup - la force de rupture (d’écrasement) ; A – l’aire de la section transversale de l’élément. Par contre, l’acier qui est un matériau plastique (ductile) résiste aussi bien à la traction qu’à la compression. Dans la pratique de la construction, l’acier est souvent (mais pas toujours) utilisé pour prendre des contraintes de traction. Les résistances des matériaux de construction aux autres types de sollicitation différentes de la traction et de la compression sont, en général, déterminées à 23 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D - 2008-

Chapitre 1. Notions générales sur les propriétés des matériaux

partir des valeurs de R c et R t . Dans le tableau 1.5. sont données les valeurs des résistances de quelques matériaux de construction. Matériaux

Bétons 2 … 100 0,4 … 20

Aciers 190 … 1650 190 … 1650

Bois 1 … 60 2 … 80

R c , en MPa R t , en MPa Tableau 1 . 5. Limites de résistance de certains matériaux de construction

2.2.2. La légèreté La légèreté c leg est une propriété mécanique des matériaux qui est définie comme le rapport de la densité du matériau ρ par sa résistance R :

c leg =

(1.30)

La légèreté c leg est exprimée en m-1, cm-1, etc… Plus la valeur de c leg est petite, plus le matériau est léger ; Parmi les matériaux de construction utilisés actuellement, l’acier est le plus léger. Dans le tableau 1.6 sont données les valeurs de la légèreté c leg de quelques matériaux de construction. Matériaux

Acier doux

Légèreté en m-1

3,7.10-4

Acier haute Bois résistance 1,7.10-4 5,4.10-4

Béton lourd avec f c28 = 30 MPa 18,5.10-4

Tableau 1 . 6. Valeur de la légèreté de quelques matériaux de construction.

2.3. La dureté et l’usure 2.3.1. La dureté La dureté est la propriété du matériau de pouvoir résister à la pénétration d’un autre matériau plus dur que lui ; c’est donc la propriété du matériau de ne pas se laisser percer par un autre matériau plus dur que lui. Il ne faut pas confondre dureté et résistance, car des matériaux ayant même résistance peuvent avoir des duretés différentes. La dureté des matériaux homogènes est déterminée à l’aide de l’échelle de dureté composée de dix (10) minéraux spécialement choisis et disposés de façon que chaque minéral qui suit peut percer tous les précédents. Cette échelle comprend ainsi les minéraux en ordre croissant de dureté de 1 à 10 (voir tableau 1.7). 24 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D - 2008-

Chapitre 1. Notions générales sur les propriétés des matériaux

La dureté des bétons, de l’acier, du bois et des autres matériaux de construction est déterminée à l’aide d’une bille en acier qu’on enfonce dans le matériau et on mesure la profondeur de l’enfoncement. Facteur de Minéraux dureté (dureté) 1 Talc

Minéral ayant la même dureté Craie

Formule chimique du minerai

Caractéristique de dureté

3MgO.4SiO 2 .H 2 O Est facilement égratigné

2 3

Gypse Calcite

Sel gemme Anhydrite

CaSO 4 .2H 2 O CaCO 3

Fluorine (Spath fluor)

CaF 2

Apatite

Ca 5 (PO 4 )F

Orthoclase (Orthose)

K 2 O.Al 2 O 3 .6SiO 2

(griffé) par l’ongle Est égratigné par l’ongle

Est facilement égratigné par un couteau en acier Est égratigné par un couteau en acier sans grande pression Est facilement égratigné par un couteau en acier sous forte pression Egratigne le verre facilement (un couteau en acier ne le griffe pas)

7 Quartz SiO 2 8 Topaze Al 2 (SiO 4 ).(FOH) 2 9 Coridon Al 2 O 3 10 Diamant C Tableau 1 . 7. Echelle de dureté des minerais

Egratigne facilement le verre. Ils sont utilisés comme matériaux abrasifs.

2.3.2. L’usure L’usure est la propriété du matériau de résister à l’action des frottements et des chocs. La tenue à l’usure d’un matériau est définit comme la perte de la masse initiale du matériau par unité de surface de frottements ; elle est déterminée par la formule suivante : T us =

m1 − m2 Af

(1.31)

avec, m 1 , m 2 – les masses du matériau avant et après l’usure ; A f – la surface de frottement. La tenue à l’usure T us est exprimée en kg/m2, g/m2, etc…

25 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D - 2008-

Chapitre 1. Notions générales sur les propriétés des matériaux

Plus la valeur de T us est faible, plus le matériau résiste bien à l’usure. Les matériaux ayant une bonne tenue à l’usure (granite, quartzite, dalles céramiques) sont utilisés dans les endroits où les frottements sont intenses, par exemple : les revêtements de sol, les marches d’escaliers, les circulations, etc… De la dureté dépend l’usure ; plus le matériau est dur, plus il résiste à l’usure, c’est-à-dire qu’il s’use moins.

3. DURABILITE ET FIABILITE 3.1. La durabilité La durabilité est la propriété d’un élément de conserver son aptitude à fonctionner (c’est-à-dire à être exploité, utilisé avec quelques réparations nécessaires) sans atteindre l’état limite à partir duquel l’élément ne peut plus remplir les fonctions pour lesquelles il a été conçu. La durabilité d’un élément est définie comme le délai de service de cet élément sans pertes de ses qualités d’exploitation dans des conditions climatiques et d’exploitation concrètes. Elle est déterminée comme l’ensemble des propriétés physiques, mécaniques et chimiques du matériau ; elle dépend des conditions concrètes d’exploitation. Les constructions en béton armé peuvent avoir une durabilité de plus de 100 ans si certaines conditions sont réunies.

3.2. La fiabilité La fiabilité d’un élément est la propriété (ou capacité) de cet élément de remplir des fonctions données durant la période d’exploitation. Elle comprend les notions (ou propriété) suivantes qui sont liées entre elles : • la durabilité de l’élément ; • la non défaillance de l’élément, c’est-à-dire la conservation de l’aptitude à fonctionner sans discontinuité dans les conditions d’exploitation ; • l’aptitude à la réparation, c’est-à-dire la possibilité de restauration et de conservation des qualités techniques données après réparation des parties défaillantes ; • le pouvoir de conservation, c’est-à-dire pouvoir conserver des qualités de service durant et après le délai de stockage et de transport.

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Chapitre 2. Technologie du béton

Chapitre 2.

TECHNOLOGIE DU BETON 1. GENERALITES 1.1. Définition Le béton est une pierre artificielle obtenue à partir d’un mélange correctement dosé (c’est-à-dire dans des proportions bien déterminées) de liant, d’eau, de granulats (gros et petits) et éventuellement d’adjuvants. Ce mélange, à l’état humide est appelé béton frais ; après hydratation, il durcit pour donner une pierre très résistante appelé béton. Dans un volume de béton, les différents composants sont en proportions différentes (voir tableau 2.1). Constituants

→

% en volume absolu % en poids

Liant

Eau

Granulats

Adjuvant

Air

6 ... 15 7 ... 15

18 ... 30 3 ... 12

60 ... 80 75 ... 85

0 ... 1 0 ... 1

1 ... 6 -

Tableau 2. 1 . Proportions des différents composants du béton

1.2. Classifications Il y a plusieurs critères de classification du béton, par exemple : - la densité (ou masse volumique) ; - la résistance (à la compression surtout) ; - la destination ; - le type de composants (liant, granulats) ; etc... Ainsi , selon le critère de densité, on peut distinguer : - les bétons très lourds (avec des granulats spéciaux très lourds) de masse volumique supérieure à 2,5 tonnes/m3 , destinés généralement à protéger contre les émissions radioactives; - les bétons lourds ordinaires de masse volumique comprise entre 1,8 et 2,5 tonnes/m3 , utilisés dans les ouvrages courants; - les bétons légers de masse volumique inférieure à 1,8 tonnes/m3.

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Chapitre 2. Technologie du béton

La résistance du béton à la compression, après 28 jours de durcissement dans les conditions normales de température et d’humidité, est une des qualités principales du béton. Selon la résistance, on distingue: - les bétons de classe inférieure ayant une résistance à la compression inférieure à 20 MPa; - les bétons de classe supérieure ayant une résistance à la compression allant de 20 à 60 MPa; - les bétons de très haute performance (ou de très haute résistante) ayant une résistance à la compression supérieure à 60 MPa (généralement de 60 à 150 MPa). Plusieurs liants sont utilisés pour obtenir du béton ; ce sont : les différents ciments ; la chaux ; le plâtre ; certains produits organiques ; etc... Aussi, plusieurs granulats sont utilisés pour obtenir du béton ; ils peuvent être pleins ou poreux, naturels ou artificiels et de granularité différente.

1.3. Domaines d’utilisation Le béton (surtout sous sa forme de béton armé) constitue aujourd’hui le principal matériau de construction. Il est utilisé dans tous les types de construction, principalement pour l’exécution des éléments porteurs : fondations; dalles ; poutres ; poteaux ; voiles ; membranes ; panneaux ; planchers ; etc... Les éléments en béton peuvent être coulés en place ou être préfabriqués.

2. Les composants du béton 2.1. Le liant Les différentes variétés de ciment sont les liants les plus utilisés pour le béton. Ces ciments sont différents aussi bien par leur composition chimique que par leur résistance mécanique à la compression (leur qualité principale). Aujourd’hui, on produit une gamme très vaste de ciments parmi lesquels on peut citer (voir tableau 2.2) : • les ciments portlands artificiels (CPA ou CEM I); • les ciments portlands ajustés ou composés ou encore avec ajouts (CPJ ou CEM II); • les ciments de haut fourneau (CHF); • les ciments de laitier au clinker (CLK); etc... Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 2. Technologie du béton

Clinker - 97% Fillers - 3% Clinker - 65%

Laitier, pouzzolane, Ciment CPJ fillers, cendres Portland (CEM volcaniques - 35% Composé II) Clinker - 25...40% Ciment de CHF Laitier - 60...75% Haut Fourneau

faible à moyenne

25%

normal

bonne

32%

faible

très bonne

34%

très faible

de la CLX

Ciment Pouzzolanique Ciment Alumineux Fondu

CSS

Laitier - 67% Chaux - 30% Fillers, cendres volcaniques -3% Clinker - 20% Laitier - 75% SO 3 -5%

faible à moyenne

38%

fort

bonne

30%

faible

Clinker - 60...70% Pouzzolane 30...40%

très bonne

26%

faible

Clinker - 10% Chaux - 60% Alumine – 30%

très bonne

45%

Très fort

Durcissement normal à rapide

Eléments porteurs armés

Contre indications

Dégagement de chaleur

Eau d’hydratation, en % en poids du ciment 25...30%

normal à assez fort

Clinker - 17...20%

de CLK Laitier - 80% Fillers, cendres au volcaniques ≤3%

Ciment sursulfaté

Ciment Laitier clinker Ciment Laitier à Chaux

très faible

Domaine d’utilisation

CPA (CEM I)

Propriétés particulières

Ciment Portland Artificiel

Composition (constituants en %)

Résistance aux eaux agressives

Symbole

Désignation des ciments

Quant aux classes de résistance des ciments (la classe de ciment est sa résistance à la compression à l’âge de 28 jours, en MPa), la gamme est très variée selon les pays producteurs. Ils ont, en général, une résistance minimale à la compression allant de 20 à 65 MPa. Dans le tableau 2.3 sont données les valeurs extrêmes des résistances à la compression pour différentes classes de ciments. Dans le tableau 2.4 sont donnés les domaines d’emplois des ciments CPA (CEM I) et CPJ (CEM II) qui sont couramment utilisés au Mali. Les autres types de liants sont très peu utilisés pour le béton.

Travaux en milieux agressifs; travaux souterrains Tous travaux Travaux en Durcisseme avec ou milieux nt normal sans agressifs; armatures travaux souterrains Ouvrages Eviter la massifs et dessiccation Durcisseme souterrains; et l’excès nt lent milieux d’eau de agressifs et gâchage humides Eviter la Durcisseme Milieux dessiccation nt lent agressifs; et l’excès réservoirs d’eau de gâchage Travaux hydrauliques et souterrains Milieux bonne agressifs; Milieux étanchéité travaux en particuliers grande agressifs masse

bonne Tous travaux craint la imperméabili dessiccation té Durcisseme nt très rapide (prise normale)

Tableau 2. 2. Composition et caractéristiques de certains ciments

Béton réfractaire; travaux en grande masse et urgents

craint la dessiccation et les climats chauds

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Classe de ciment (Résistance à la compression),

RESISTANCES

à 2 jours

à 7 jours

en MPa

Limite inférieure nominale

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

5,5 7,5 9,0 10,5 12 14 17 20 25 30

(7) (8) (10) (12) (15) (20) (25)

COMPRESSION,

12 15 18 21 (10) 24 (15) 28 (17,5) 34 40 48 56

Tableau 2. 3. Résistances des ciments à la compression

Emplois courants Enduits Joints de maçonnerie Béton courant non ou faiblement armé : fondations, dallages, remplissages Béton armé fortement sollicité: éléments porteurs Produits préfabriqués en béton non armé: agglomérés, hourdis, dallettes Eléments préfabriqués en béton armé Béton précontraint Stabilisation des sols Ouvrages massifs

MPa

à 28 jours Limite inférieure nominale

Limite supérieure nominale

15 20 22 25 30 35 40 45 50 55

25 32 38 45 50 55 60 65 70 75

CPA (CEM I) CPJ (CEM II) • • • • • • • • •

• • • • •

Tableau 2. 4. Emplois des ciments CPA (CEM I) et CPJ (CEM II).

2.2. Les granulats Les granulats sont des matériaux inertes, naturels ou artificiels qui rentrent dans la composition du béton. Il y a les gros granulats constitués par les graviers ou cailloux et les petits granulats constitués par les sables. Les granulats sont classés d’après leur grosseur suivant le tableau 2.5. Les sables ont, en moyenne, une masse volumique variant entre 1,4 t/m3 et 1,8 t/m3. Quant aux roches

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Chapitre 2. Technologie du béton

couramment utilisées pour gros granulats, leurs caractéristiques physiques et mécaniques dépendent surtout de leur nature et origine (voir fig. 2.1). Appellations

Epithètes

Ouverture des tamis (en mm)

Dimensions (diamètre d, en mm)

Fillers

fins fins moyens gros fins moyens gros petits moyens gros

< 0,08 0,08 0,31 1,25 5,0 8,0 12,5 20,0 31,5 50 à 80

d < 0,08 d ≤ 0,08 0,08 < d ≤ 0,31 0,31 < d ≤ 1,25 1,25 < d ≤ 5,0 5,0 < d ≤ 8,0 8,0 < d ≤ 12,5 12,5 < d ≤ 20 20 < d ≤ 31,5 31,5 < d ≤ 50 ou 80

Sables

Gravillons

Cailloux et pierres cassées

Tableau 2. 5. Classification des granulats suivant leur grosseur

Fig. 2. 1 . Résistance R de certaines roches en fonction de leur masse volumique M v

2.3. L’eau de gâchage L’eau utilisée pour le gâchage du béton doit être propre et ne doit pas contenir des matières en suspension (matières grasses) et des sels dissous. Toutefois, on peut admettre jusqu’à cinq grammes de matières grasses par litre d’eau (5 g/l) et trente grammes de sels dissous par litre d’eau (30 g/l) si leurs présences ne puissent nuire au béton. Généralement, on utilise l’eau de robinet (eau potable) pour la préparation du béton ; elle ne présente aucun danger pour le béton. L’utilisation de l’eau de mer pour le béton est interdite.

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2.4. Les adjuvants Un adjuvant est un produit (en poudre ou en liquide) qui, ajouté au béton en faible quantité, permet d’améliorer certaines propriétés ou qualités souhaitées soit au béton frais, soit au béton durci. Les adjuvants sont définis et classés selon leurs actions principales, c’est-à-dire les propriétés qu’ils confèrent au béton frais ou durci (voir tableau 2.6). Adjuvants

Exemples (obtention)

Bentonite; argile Plastifiants colloïdale; chaux grasse; fillers calcaires; pouzzolanes fines Accélérateurs de prise: carbonates et Accélérateurs sulfates de soude, de potasse. Accélérateurs de durcissement: chlorures et carbonates. sucres; gluconates; oxyde de zinc; Retardateurs phosphates alcalins; acides citriques

Fluidifiants (réducteurs d’eau) Entraîneurs d’air

Hydrofuges

Propriétés conférées

Utilisation

améliorent la plasticité (maniabilité) du béton frais sans inconvénients sur la résistance du béton

béton pompé; béton très ferraillé; injection; béton routier

accélèrent soit la prise (accélérateurs de prise), soit le durcissement (accélérateurs de durcissement) du béton

décoffrage rapide; scellement; travaux à la mer; réparation rapide; pistes; préfabrications

retardent le processus d(hydratation et le début de prise du ciment (faible résistance initiale, mais résistance finale élevée) produits à base de permettent une réduction lignosulfate de calcium d’eau de gâchage sans inconvénients sur la maniabilité du béton composés résineux ou améliorent la plasticité et à base d’huiles l’ouvrabilité du béton, de végétales ou minérales même que la résistance au gel du béton hydrofuges de masse améliorent l’étanchéité du (bouchent les pores): béton et protègent de kaolin; fillers; l’humidité en arrêtant bentonite. l’absorption capillaire hydrofuges de surface (traitement e surface): à base de silicates; silicones

injection à grande profondeur; transport sur longue distance; parois moulées dans le sol; temps chauds; voiles d’étanchéité béton à haute résistance; préfabrication; nécessité d’une bonne maniabilité routes; ponts; barrages; travaux maritimes; ouvrages exposés aux eaux agressives mortiers d’enduits étanches; citernes; réservoirs; piscines; tunnels; travaux souterrains et maritimes; mortiers de joints; terrasses

Tableau 2. 6. Tableau synoptique de certains adjuvants

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3. Qualités essentielles du béton Les deux qualités essentielles du béton sont : • l’ouvrabilité et, • la résistance.

3.1. L’ouvrabilité L’ouvrabilité (ou maniabilité) est la facilité offerte à la mise en œuvre du béton pour le remplissage parfait du coffrage et du ferraillage avec conservation de son homogénéité. De l’ouvrabilité du béton dépendent certaines qualités de l’ouvrage telles que: - la compacité et la résistance du béton; - l’enrobage et l’adhérence des armatures; - la cohésion du béton (pas de ségrégation); - des parements bruts acceptables; - l’étanchéité; etc... On apprécie, généralement, l’ouvrabilité par des mesures de plasticité (voir tableau 2.7), soit par des affaissements au cône d’Abrams (fig. 2.2), soit par étalement à la table de secousses (fig. 2.3). Il existe encore d’autres méthodes d’appréciation de la plasticité du béton. Pour donner une bonne plasticité au béton, on peut utiliser des plastifiants. Classe de consistance du béton Très ferme Ferme Plastique Très plastique (mou) très mou

Affaissement (du Rapport d’étalement à la cône d’Abrams) table à secousses (rapport d’augmentation du ∆h, en cm diamètre) 1+∆d/d o

Mise en oeuvre

0 ... 3 3 ... 6 6 ... 10 10 ... 15

1,1 ... 1,3 1,3 ... 1,5 1,5 ... 1,7 1,7 ... 2,0

Vibration puissante Bonne vibration Vibration courante Piquetage

> 15

> 2,0

Léger piquetage

Tableau 2. 7. Appréciation de la consistance du béton

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Fig. 2. 2. Mesure de la plasticité par affaissement au cône d’Abrams. Le remplissage du moule s’effectue en 4 couches piquées avec une barre en acier de diamètre 16 mm à raison de 25 coups par couche. a, b - positions du béton avant et après le démoulage; ∆h = h o - h 1 = affaissement du cône.

Fig. 2. 3. Mesure de la plasticité par étalement à la table à secousses. On soumet le béton démoulé à une série de 15 secousses verticales. a, b - positions du béton avant le démoulage et après les secousses; ∆d = d 1 - d 0 = étalement du béton.

3.2. La résistance La résistance du béton est sa capacité de s’opposer à la rupture sous l’action des contraintes internes provoquées par des actions extérieures. Elle constitue avec l’ouvrabilité les deux qualités essentielles du béton. La résistance et l’ouvrabilité doivent être étudiées de pair, car elles sont étroitement dépendantes l’une de l’autre et varient en sens inverse en fonction de certains facteurs de la composition du béton (voir tableau 2.8). Pour le béton, les résistances caractéristiques sont la résistance à la compression f c28 et la résistance à la traction f t28 à l’âge de 28 jours. La résistance du béton à la compression f c28 peut être calculée par la formule de Bolomey en fonction du rapport ciment/eau (C/E), de la classe du ciment (R c ) et de la qualité des granulats (coefficients granulaires A 1 et A 2 ): Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

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Facteurs Dosage en eau (E) Dosage en ciment (C) Rapport ciment/eau (C/E) Dimension maximale des granulats (c g ) Finesse du sable Rapport gravier/sable (G/S) Granularité

Pour une bonne ouvrabilité

Pour une bonne résistance

à augmenter à diminuer plutôt petite

à diminuer à augmenter à augmenter plutôt grande

plutôt fin à diminuer plutôt continue

plutôt à tendance grosse à augmenter discontinue préférable

Tableau 2. 8. Facteurs influant sur la résistance (et l’ouvrabilité) du béton..

C  − 0,5  E 

(2.1)

f c28 = A 1 R c 

Cette expression est valable pour les bétons plastiques pour lesquels le rapport ciment/eau C/E ≤ 2,5 (ce qui est le cas courant). Pour les bétons fermes pour lesquels le rapport C/E > 2,5, la formule prend la forme suivante: f c28

C  + 0,5   E

= A2 Rc 

(2.2)

Dans ces expressions: R c est la classe du ciment utilisé (sa résistance à la compression); C/E est le rapport ciment/eau; A 1 et A 2 sont les coefficients granulaires (ou coefficients de qualité des granulats) dont les valeurs sont données dans le tableau 2.9. Qualités des granulats Excellente Bonne (courante) Passable

Valeurs du coefficient A 1 pour une dimension maximale des granulats c g , en mm égale à c g ≤ 20 20 < c g ≤ 50 c g > 50 0,55 0,45

0,60 0,50

0,65 0,55

Valeurs du coefficient A 2 0,43 0,40

0,34

0,40 0,45 0,37 Tableau 2. 9. Valeurs des coefficients A 1 et A 2 pour les bétons lourds ordinaires.

Le rapport ciment/eau (C/E) est un facteur très important pour le béton, car il englobe deux grandeurs principales (le dosage en ciment C et le dosage en eau E) qui influent toutes deux (mais inversement) sur sa résistance. Il apparaît donc comme un facteur global intervenant dans la résistance du béton. Généralement, pour atteindre une résistance maximale du béton, il faut une valeur du rapport C/E = 5,0 ... 3,0, (c’est-à-dire la quantité d’eau nécessaire pour l’hydratation du ciment seulement); mais pour une bonne ouvrabilité, on est amené à augmenter la Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

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quantité d’eau jusqu’à obtenir une valeur du rapport C/E = 2,5 ... 1,5. Le rapport C/E peut être calculé à partir de la formule de Bolomey: - pour les bétons de consistance plastique: C/E = -

f c 28 + 0,5 ; A1 Rc

(2.3)

pour les bétons de consistance ferme: C/E =

f c 28 - 0,5. A2 Rc

(2.4)

où, f c28 - la résistance du béton qu’on désire obtenir; R c est la classe du ciment dont on dispose; A 1 et A 2 sont les caractéristiques de qualité des granulats dont on dispose. Une représentation graphique des expressions précédentes en fonction de C/E donne une courbe croissante (voir fig. 2.4). La résistance du béton dépend aussi du degré de compactage (coefficient de compacité), c’est-à-dire du degré de serrage des différents constituants (voir fig. 2.5). Le coefficient de compacité est le rapport des volumes absolus des

matières solides (graviers, sable, ciment) au volume total de béton frais en œuvre. Plus ce coefficient est élevé, plus le béton est compact (c’est-à-dire qu’il

contient moins de vides) et plus il est résistant.

Fig. 2. 4. Variation de la résistance f c28 en fonction du rapport C/E

Fig. 2. 5. Variation de la résistance f c28 en fonction du coefficient de compacité. 1 - serrage puissant et régulier; 2 serrage soigné; 3 - serrage moyen.

Aussi, la résistance du béton dépend de certains facteurs comme le rapport gravier/sable (G/S), les dimensions des granulats et la granularité (voir tableau 2.8). Le béton a une très faible résistance à la traction; cette résistance est environ 13 fois plus faible que celle à la compression, mais le rapport f c28 /f t28 croit avec Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 2. Technologie du béton

la qualité du béton, c’est-à-dire qu’une amélioration de la résistance à la compression des bétons ne s’accompagne pas d’une amélioration de même ampleur de celle à la traction. On a pour toutes les classes de béton: f c28 /f t28 = 5 ... 21. (2.5) La classe de qualité du ciment est choisie généralement en fonction de la résistance de béton désirée. Dans le tableau 2.10 sont données les classes de ciment recommandées pour obtenir des bétons de différentes résistances. Ce choix des classes de ciment est basé sur des calculs économiques pour des conditions habituelles ; toutefois, des conditions particulières peuvent conduire à un choix rationnel différent. Classe de résistance du béton qu’on désire obtenir (f c28 , en MPa) Classe de ciment qu’on recommande d’utiliser R c , en MPa

< 20

≤ 30

30 … 40

35 … 45 40 … 50

50 et plus

50 … 60

60 et plus

Tableau 2. 1 0. Choix de classe de ciment en fonction de la résistance désirée du béton.

4. La composition du béton 4.1. Considérations générales L’étude de la composition d’un béton consiste à définir le mélange optimal des différents composants, c’est-à-dire le rapport entre les granulats (graviers et sable), le liant et l’eau afin de réaliser un béton dont les qualités soient celles recherchées pour la construction de l’ouvrage ou de l’élément qu’on désire réaliser. Ces qualités sont, tout d’abord, l’ouvrabilité et la résistance qui sont les plus importantes; en plus de ces deux qualités essentielles, d’autres qualités spécifiques peuvent être exigées. Il existe plusieurs méthodes de détermination de la composition du béton qui aboutissent généralement à un dosage volumétrique. Pour le béton lourd ordinaire par exemple, il s’agit d’obtenir un mélange suffisamment dense où les cavités des gros granulats (cailloux, graviers) sont remplies par les petits granulats (sable) et celles des sables par la pâte de ciment (ciment + eau). Ainsi, le volume d’un tel béton est constitué des volumes absolus des matériaux constituants (eau, ciment, sable, graviers ou cailloux).

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Chapitre 2. Technologie du béton

4.2. Données de base Pour le calcul de la composition du béton, il faut les données suivantes: - la classe de béton en projet, c’est-à-dire sa résistance à la compression f c28 ; - la plasticité désirée (ouvrabilité); - le type de ciment et sa résistance à la compression (la classe de ciment Rc) ; - les masses volumiques et les densités des granulats (gravier et sable) ; - le module de finesse du sable ; - la plus grosse dimension des gros granulats c g ; - l’humidité des granulats (W s pour le sable et W g pour les graviers).

4.3. Dosage en ciment Le dosage en ciment C est déterminé à partir du rapport ciment/eau (C/E) qui est un facteur important déterminant les qualités du béton : C = (C/E) E (2.6) où E est le dosage en eau. La résistance du béton f c28 croît avec le dosage en ciment C et la classe du ciment R c , mais on est toujours limité par le coût trop élevé du ciment. Le ciment est, généralement, le plus cher parmi tous les composants du béton. Ces raisons font que son dosage (sa consommation) doit être réduit au minimum; toutefois, il faut un dosage suffisant en ciment pour atteindre une résistance nominale garantie et assurer certaines qualités (comme la protection des armatures, une ouvrabilité adéquate, etc...) du béton. Pour cela, un dosage minimal en ciment (en kg/m3, c’est-à-dire la quantité de kilogrammes de ciment par mètre cube de béton) est exigé et est donné par les expressions suivantes: - pour les ouvrages en milieux non agressifs: C min = Max 

250 + 10 f c 28 5

;

550 ; 5 c g

(2.7)

700 ; 5 c g

(2.8)

- pour les ouvrages en milieux agressifs: C min = Max 

250 + 10 f c 28 5

;

Dans ces expressions, les quantités f c28 et c g sont respectivement en MPa et en mm. Les valeurs de

c g pour certaines valeurs de c g sont données ci-après:

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Chapitre 2. Technologie du béton

→

Valeur de 5

cg →

1,38

1,59

1,73

1,82

1,90

1,98

2,09

2,19

2,40

Comme il a été déjà souligné, ce dosage minimal en ciment est nécessaire par exemple pour assurer la protection des armatures des éléments en béton armé. Pour les éléments en béton sans armatures, le dosage minimal en ciment est inférieur et est fixé, généralement, à partir de la cohésion nécessaire pour la pierre de béton (voir tableau 2.11). Dosage minimal en ciment C (en kg/m3) pour une dimension maximale des granulats c g , en mm 10 20 40 70

Classe de consistance du béton Très ferme Ferme Plastique Mou Très mou

160 180 200 220 250

150 160 180 200 220

140 150 160 180 200

130 140 150 160 180

Tableau 2. 1 1 . Dosage minimal en ciment C, en kilogrammes de ciment par mètre cube de béton (kg/m3)

4.4. Dosage en eau Le dosage en eau E, c’est-à-dire la quantité d’eau nécessaire pour le gâchage doit être précis en tenant compte de: - l’eau nécessaire pour l’hydratation du ciment; - l’eau apportée par les granulats (humidité du gravier et du sable); - l’eau perdue pendant la fabrication et la mise en oeuvre du béton (évaporation, absorption par le sol et par le coffrage, etc...). Classe de consistance du béton Très ferme Ferme Plastique Mou Très mou

Dosage en eau E, en litres par mètre cube de béton (l/m3) pour une grosseur maximale des granulats c g , en mm Graviers Pierres (concassées) 10 20 40 70 10 20 40 70 185

170

155

140

200

185

170

155

195

180

165

150

210

195

180

165

205

190

175

160

220

205

190

175

215

200

185

170

230

215

200

185

225

210

195

180

240

225

210

195

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Chapitre 2. Technologie du béton

Tableau 2. 1 2. Quantité d’eau E, en litres par mètre cube de béton pour un dosage en ciment ne dépassant pas 400 kg/m3 Le dosage en eau E est déterminé à partir du rapport ciment/eau (C/E): E = C/(C/E) (2.9) Le tableau 2.12 donne des valeurs approximatives moyennes de la quantité d’eau (en litres) pour un mètre cube (1 m3) de béton. Dans le tableau 2.13 sont indiqués les inconvénients d’un mauvais dosage en eau.

Qualités Ouvrabilité Résistance Autres propriétés

Insuffisance d’eau

Excès d’eau

Difficulté de mise en oeuvre Chute de la résistance par manque de compacité Enrobage défectueux des armatures; défauts de parements

Ségrégation à craindre Chute de la résistance Porosité et perméabilité accentuées; retrait accentué.

Tableau 2. 1 3. Inconvénients d’un mauvais dosage en eau

4.5. Dosage des granulats Il s’agit maintenant de déterminer les quantités de granulats (graviers et sable) nécessaires pour la préparation d’un mètre cube (1 m3) de béton. Nous vous proposons ici une des méthodes les plus simples pour déterminer les quantités de granulats; elle est dite méthode des volumes absolus. Cette méthode consiste à supposer qu’un mètre cube de volume de béton est la somme des volumes de graviers et des vides (lacunes) en tenant compte du coulissement des grains, c’est-à-dire le fait que les petits grains vont occuper les vides laissés entre les gros grains. Par cette méthode, les quantités de graviers G et de sable S en kilogrammes (kg) pour un mètre cube de béton (1 m3 = 1 000 litres) sont déterminées par les expressions suivantes: G =

1000 Vv , g α

ρg

1 + M v, g 

;

(2.10)

C G E  ρ . + + ρ  s ρ ρ c g w  

S = 1000 − 



(2.11)

Dans ces expressions: M v,g - la masse volumique des graviers en vrac, en kg/ dm3 (1 dm3 = 1 litre) ; ρ g , ρ c , ρ s et ρ w - les densités respectivement des graviers (densité des grains de graviers), du ciment (ρ c = 3,1 kg/dm3), des grains de sable et de l’eau (ρ w = 1 kg/dm3), toutes en kg/dm3 ; α - facteur de coulissement des grains, fonction de la Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

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consistance du béton et du dosage en ciment (α = 1.10 … 1.60) (voir fig. 2.6) ; V v,g - volume des vides entre les grains de graviers en fraction d’unité : V v,g = 1 -

M v, g

ρg

(2.12)

Comme il a été déjà souligné, il s’agit de choisir un mélange de graviers et de sables avec des grains de différentes grosseurs de façon à obtenir le minimum de vides entre eux à remplir par la pâte de ciment; ainsi, on aura moins de ciment pour réaliser la résistance souhaitée. Fig. 2. 6. Valeurs du facteur de coulissement α en fonction du dosage en ciment C et de la consistance du béton.

Sur les fig. 2.7 et 2.8 sont donnés les fuseaux pour la granularité des sables et des graviers (zones pointillée et hachurée). La composition granulaire du sable et du gravier doit être dans des limites de ces zones pour obtenir le minimum de vides entre les particules de granulats.

Fig. 2. 7. Graphique de la composition granulaire du sable. 1 – fuseau de référence pour la granularité des sables à béton.

Fig. 2. 8. Graphique de la composition granulaire du gravier. 2 – fuseau de référence pour la granularité des graviers à béton.

La dimension maximale des granulats c g dépend de la pièce à bétonner; généralement, elle ne doit pas dépasser le quart (1/4) de la plus petite dimension

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de la pièce, c’est-à-dire qu’on doit toujours avoir c g ≤ 0,25b, avec b - la plus petite dimension de la pièce à bétonner.

Exemple.

On désire avoir un béton de classe B20, c’est-à-dire un béton avec une résistance à la compression f c28 = 20 MPa. Les conditions technologiques de mise en œuvre exigent d’avoir un béton de consistance plastique. Le milieu est non agressif. Les autres données sont les suivantes : Ciment : CEM I avec R c = 35 MPa ; ρ c = 3,1 kg/dm3 ; Graviers: qualité courante ; c g = 20 mm ; ρ g = 2,5 kg/dm3 ; M v,g = 1,6 kg/dm3 ; Sable : qualité courante ; ρ s = 2,6 kg/dm3 ; M v,s = 1,5 kg/dm3 ; Eau : eau propre ; ρ w = 1,0 kg/dm3.

Solution :

A partir du tableau 1.2, on détermine l quantité d’eau E approximative ; on trouve : E = 185 litres = 185 dm3 pour 1 m3 = 1 000 lires (ou dm3) de béton. La valeur du coefficient de qualité des granulats A 1 = 0,45 (voir tableau 2.9). Déterminons le rapport ciment - eau (C/E) à partir de la formule (2.1) : C/E =f c28 /(A 1 .R c ) + 0,5 = 20/(0,45x35) + 0,5 = 1,77. Le dosage en ciment par la formule (2.6) sera : C = 1,77x185 = 328 kg. Comparons cette quantité (dosage) trouvée avec la valeur minimale donnée par la formule (2.7) : C min = max{(250 + 10x20)/ 5 20 ; 550/ 5 20 } = max{248 ; 302} = 302 kg. Ainsi, le dosage en ciment est supérieur à la limite inférieure. Pour ce dosage en ciment, la valeur du facteur de coulissement sera égale à α = 1,38 (fig. 2.6). Le volume des lacunes par la formule (2.12) dans le gravier est : V v,g = 1 – 1,6/2,5 = 0,36. La quantité de graviers : G=

1000 = 1 214 kg ((0,36.1,38) / 2,5) + 1 /(1,6)

La quantité de sable : S = [1000 – ((328/3,1) + 1214/2,5) + (185/1)]x2,6 = 582 kg On obtient ainsi les quantités suivantes pour les différents composants du béton : Ciment = 328 kg ; eau= 185 litres ; gravier = 1214 kg ; sable = 582 kg. Ce calcul nous donne : Un rapport gravier – sable (G/S) en poids égal à : G/S = 1214/582 = 2,086 ≅ 2 ; Un rapport ciment – eau (C/E) en poids (185 l = 185 kg) égal à : C/E = 328/185 = 1,77. Calculons maintenant les volumes de gravier et de sable : V g et V s . V g = G/M v,g = 1214/1,6 = 759 dm3 = 759 litres ; V s = S/M v,s = 582/1,5 = 388 dm3 = 388 litres ; soit un rapport gravier – sable en volume (V g /V s ) égal à : V g /V s = 759/388 = 1,96 ≅ 2. Au total, on obtient : V g + V s = 759 + 388 = 1147 litres. Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

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Le sac de ciment de 50 kg a une capacité de 40 litres, donc les 328 kg de ciment correspondent à (40x328)/50 = 262,4 litres ; soit un rapport ciment – eau (C/E) en volume égal à : C/E = 262,4/185 = 1,42. Ainsi, en volume, on obtient pour les composants : Ciment = 262,4 litres ; eau= 185 litres ; gravier = 759 litres ; sable = 388 litres. En pratique, pour obtenir un tel béton avec de telles qualités des composants, on prend les quantités suivantes pour les différents constituants : Ciment = 350 kg ; eau= 180 … 200 litres ; gravier = 800 litres ; sable = 400 litres. On remarquera que les différents rapports sont respectés : V g /V s = 800/400 = 2 ; C/E = 350/(18à … 200) = 1,89 …1,75. Voyons maintenant comment se fait le dosage du béton sur le chantier. Sur les chantiers, le dosage se fait à partir des outils de mesure comme la brouette, le sac de ciment, le seau d’eau ; ainsi on détermine pour chaque cas le nombre de brouettées de gravier et de sable, le nombre de sac de ciment et le nombre de seaux d’eau. La gâchée, par définition, est le mélange à faire, donc les quantités de gravier, de sable et d’eau à prendre pour un sac (50 kg) de ciment. Comme chaque sac de ciment contient 50 kg, donc pour avoir 350 kg de ciment, il faut 350/50 = 7 sacs de ciment. La capacité des brouettes varie de 50 à 60 litres ; couramment, on a des brouettes de capacité 60 litres sur les chantiers (N.B. Le chef de chantier doit impérativement connaître les capacités des brouettes qu’il utilise pour faire les mesures). Ainsi, pour avoir 800 litres de gravier et 400 litres de sable, il faut respectivement : 800/60 = 13,33 brouettées, couramment arrondi à 14 brouettées ; 400/60 = 6,67 brouettées, couramment arrondi à 7 brouettées. En conclusion, on retiendra que pour la fabrication d’un mètre cube (1 m3) de béton de classe B20 (avec f c28 = 20 MPa), il faut : Ciment avec R c = 35 MPa : 7 sacs ; eau= 180 … 200 litres ; gravier = 14 brouettées ; sable = 7 brouettées. Donc, pour un sac de ciment (gâchée), il faut : Ciment avec R c = 35 MPa : 1 sac ; eau= (180 … 200)/7 = 25… 29 litres ; gravier = 14/7 = 2 brouettées ; sable = 7/7 = 1 brouettée. Les résultats de ce calcul sont récapitulés dans le tableau 2.14.

Composants Ciment avec R c = 35 MPa Gravier Sable Eau

Dosage pour la fabrication de 1 m3 de béton de classe B20 Volume/Quantité Mesures 350 kg 7 sacs 800 litres 400 litres (180 … 200) litres

14 brouettées 7 brouettées (18 … 20) seaux de 10 litres

Dosage pour la gâchée (mélange pour 1 sac de ciment) Volume/Quantité Mesures 350 kg 7 sacs 800 litres 400 litres (180 … 200) litres

14 brouettées 7 brouettées (18 … 20) seaux de 10 litres

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Tableau 2. 1 4. Dosage des différents composants pour la fabrication d’un béton avec f c28 = 20 MPa.

5. Fabrication et mise en oeuvre des bétons 5.1. Stockage des matériaux 5.1.1. Stockage des granulats Les granulats (sable, graviers ou cailloux) sont généralement stockés à l’air libre sur un fond propre et solide (couche de béton de propreté). Il faut éviter toute souillure des granulats (poussières, argiles, débris végétaux, etc...). Les graviers et sables doivent être stockés séparément suivant les granulations ; autrement dit, il ne faut pas mélanger différents graviers ou différents sables. 5.1.2. Stockage du ciment Le ciment doit être stocké à l’abri de l’humidité et isolé du sol. Ainsi, les sacs de ciment doivent être stockés dans des hangars couverts, isolés du milieu extérieur et posés sur des planches en bois, elles-mêmes posées sur des briques ou pierres. Les conditions de stockage et l’organisation des entrées et sorties du ciment doivent exclure son vieillissement, c’est-à-dire la dégradation de la qualité du ciment. 5.1.3. L’eau Généralement, on prend l’eau directement du réseau de distribution extérieure. Par son manque, on peut stocker l’eau dans des citernes ou réservoirs. Elle doit être propre et être exempte d’impuretés.

5.2. Mélange et malaxage La fabrication du béton comprend les deux opérations suivantes: - le mélange des différents composants (granulats, ciments, eau, adjuvants); - le malaxage proprement dit pour obtenir un mélange homogène. Les différents composants du béton sont dosés d’abord, après mélangés. Les appareils et instruments de dosage dépendent de l’appareil de malaxage. Le Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

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mélange peut être manuel ou mécanique ; dans tous les cas, après le mélange, suit le malaxage qui continue jusqu’à obtenir un mélange homogène. Ce malaxage se fait à l’aide: - des bétonnières (axe vertical); - des malaxeurs (axe horizontal ou incliné); - d’outils simples (pelles). Les appareils mélangeurs (bétonnières et malaxeurs) permettent d’obtenir un béton très homogène. Les fiches techniques de ces appareils donnent les toutes les informations relatives aux techniques de mélange et à leur utilisation rationnelle. Avec des outils simples comme les pelles, on peut aussi obtenir un mélange homogène. Pour cela, il est recommandé de faire le mélange sur fond propre et dur et de mélanger d’abord les granulats, c’est-à-dire le gravier et le sable; après on y ajoute le ciment et on mélange; puis on y ajoute l’eau en dernière position. Chaque type d’adjuvant a un mode d’emploi spécial, mais généralement les adjuvants sont mélangés dans l’eau de gâchage.

5.3. Transport du béton Il s’agit du transport du béton frais du lieu de fabrication à la mise en oeuvre dans le coffrage. Pour cela, les matériels et les moyens de transport sont nombreux; ce sont: les jets de pelles; les brouettes; les wagonnets; les bennes; les pompes à béton; l’air comprimé; les tapis roulants; les camions en bennes rotatives; les réservoirs à béton pour le transport (levage) par grues; etc... Le problème fondamental qui se pose ici est la ségrégation du mélange de béton, c’est-à-dire la concentration des gros granulats lourds en bas sous l’action de leur propre poids; donc toutes les dispositions doivent être prises pour éviter cette ségrégation. Le risque de ségrégation est plus important pour les bétons de consistance plastique que pour les bétons fermes ; toutefois, pour des raisons technologiques de mise en oeuvre (matériels de transport, ouvrages à bétonner), on est parfois amené à fabriquer des bétons très plastiques. C’est le cas par exemple du transport par pompes à béton ou bien le bétonnage d’un ouvrage à ferraillage dense. Avec les brouettes, il est recommandé de transporter toujours des bétons fermes et ajouter le supplément d’eau, quand cela est nécessaire, au lieu de mise en œuvre.

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5.4. Vibration La vibration a pour but de donner au béton sa compacité maximale par élimination des vides d’air et le remplissage parfait du coffrage. Elle agit en diminuant les frottements internes des grains constituants et compacte la matière ainsi coulée. Plus le béton est compact, plus sa résistance sera élevée. Il faut faire très attention à la vibration, car son excès provoque la ségrégation du béton, ce qui est très néfaste. Il existe plusieurs types de vibrations: - la vibration superficielle à l’aide de taloches, de règles vibrantes et de surfaceuses (pour dalles, panneaux, etc...); - la vibration interne à l’aide de vibrateurs internes ou aiguilles vibrantes (pour poutres, éléments massifs, etc...); - la vibration de coffrages, quand les vibrateurs sont fixés au coffrage solide; - le piquage à l’aide de tiges pour les bétons mous et très mous; - le damage (pilonnage) à l’aide de dames (ou pilons); etc... On obtient la compacité maximale par simple piquage pour un béton très plastique, alors que pour un béton très ferme, il faut une puissante vibration (voir tableau 2.7).

5.5. Joints de reprise Lorsqu’une pièce ne peut être coulée en une seule fois, on prévoit des joints de reprise qui doivent être disposés dans les parties bien déterminées. Les joints de reprise doivent se présenter suivant des plans disposés perpendiculairement à la direction des contraintes; ils ne doivent pas être faits dans les endroits critiques (sections les plus sollicitées, zones de concentration de contraintes). La surface des plans de reprise doit être rugueuse; pour cela, il faut: - repiquer la surface plus ou moins durcie en y créant des petits alvéoles; - noyer à moitié un grillage dans la masse de béton; - que les plans de reprise soient rendus propres et mouillés avant le bétonnage. Il existe aussi des colles à béton qui assurent une bonne adhérence du béton frais au béton durci.

5.6. Bétonnage par temps chaud Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

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Le temps chaud et sec accélère la prise et le durcissement du béton et, en même temps, il a un effet très néfaste en favorisant l’évaporation de l’eau de gâchage qui devient désormais insuffisante pour l’hydratation du ciment. De plus, cette évaporation provoque un retrait important et accéléré du béton. Des précautions sont à prendre pour éviter l’évaporation rapide de l’eau et maintenir le béton à une température modérée ; pour cela, il faut : - un arrosage abondant (2 à 4 fois par jour) ; - la protection contre le vent sec et chaud et contre l’ensoleillement à l’aide de sacs, nattes ou paillasses mouillées régulièrement, ou par film protecteur, ou encore par du sable humide pour les surfaces horizontales ; - l’utilisation de matériaux stockés dans l’ombre ; - le choix d’un ciment à faible chaleur d’hydratation (CEM II ou CPJ est préférable au CEM I ou CPA). Ainsi, toutes les surfaces doivent être protégées de la dessiccation qui est souvent cause de fissuration.

5.7. Bétonnage sous l’eau Toutes les conditions de durcissement du béton étant réunies, le problème fondamental ici est la mise en oeuvre du béton en évitant son délavage. Pour cela, on fait conduire, par l’intermédiaire d’une goulotte imperméable, le béton dans le fond de la partie à bétonner délimitée par un coffrage dans l’eau. Le bulbe de béton grossit progressivement en remplissant l’espace à bétonner ; la goulotte est relevée progressivement au fur et à mesure que la masse de béton s’élève dans le coffrage ; ainsi, seule la partie supérieure se délave un peu et, généralement, on l’élimine après finition. Pendant toute l’opération, il faut contrôler la hauteur du béton dans le fond et dans la goulotte et surtout la position de cette dernière dans la masse de béton. Une autre méthode de bétonnage sous l’eau consiste à injecter le mortier sous pression par des tubes à partir du fond de la partie à bétonner où le gros granulat est déjà mis en place et régalé dans le coffrage. Les tubes sont progressivement relevées au fur et mesure que le mortier remplit les vides entre les gros granulats.

5.8. Bétonnage à la mer L’action de la mer sur le béton se présente en deux aspects: Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

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l’action dynamique des vagues; l’action corrosive de la salinité.

Pour remédier à ces actions, il faut: - que le béton soit d’une compacité exceptionnelle (composition granulaire bien choisie, granulats de bonnes qualités, dosage en ciment suffisant) ; - bien protéger les armatures par une couverture d’enrobage de béton d’épaisseur suffisante ; - construire toujours massifs et éviter les parois minces ; - éviter les arêtes vives ; tous les angles doivent être arrondis ; - éviter les joints de reprise ; si ces joints sont inévitables, il faut faire une rainure en creux sur le parement et colmater ensuite avec un mortier à base de résine époxy ou de thiokol.

5.9. Contrôle de qualité du béton Le rôle fondamental du contrôle est de suivre le béton dan son évolution et s’assurer qu’enfin on a un béton avec toutes les qualités demandées. Cela passe par : • un contrôle de qualité des composants ; • un dosage correct ; • une surveillance du malaxage, du transport et de la mise en œuvre ; • un contrôle de la plasticité ; • une vibration suffisante sans excès ; • la réalisation d’une cure efficace du béton. En effet, il est toujours nécessaire de contrôler la qualité du béton. Cela consiste à d’abord à contrôler la qualité des constituants, la composition et la fabrication du béton afin d’apprécier la qualité intrinsèque du mélange et, après vérifier que le béton durci a bien les qualités requises compte tenu des conditions de transport, de mise en œuvre, de vibration et de température au cours du durcissement. La qualité est contrôlée par des prélèvements d’échantillons de constituants ou pour confectionner des éprouvettes. Les essais pour contrôle de qualité du béton sont normalisés. On peut distinguer différentes catégories d’essais de béton : • les essais d’étude pour déterminer la composition du béton étudié compte tenu des caractéristiques exigées et des conditions de mise en œuvre ; ils sont réalisés avec les échantillons des composants utilisés sur le chantier ; Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

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les essais de convenance ont un double objectif : - pour vérifier qu’avec les moyens de chantier, on peut réaliser, avec un minimum d’aléas, le béton défini par l’essai d’étude ; - pour vérifier que les quantités de composants prévues par mètre cube de béton donnent bien un mètre cube (1 m3) de béton. • les essais de contrôle pour vérifier la régularité de la fabrication et de contrôler si les qualités prescrites sont bien atteintes ; • les essais de recherche pour étudier l’influence de certains paramètres sur les caractéristiques du béton ; • les essais d’information pour déterminer les résistances probables du béton dans le temps.

•

Chaque catégorie d’essais se fait dans des conditions bien définies.

6. Bétons spéciaux Les bétons spéciaux sont ceux qui diffèrent des bétons classiques qui ont été l’objet de l’étude précédente. La spécificité de ces bétons réside : • soit dans les caractéristiques des constituants (en particulier les gros granulats et les liants); • soit dans des produits ajoutés (adjuvants conférant au béton des propriétés particulières. Toutefois, une étude approfondie de ces bétons ne sera pas faite et on se limitera à donner seulement quelques notions générales portant sur leur spécificité. Parmi les bétons spéciaux les plus utilisés, on peut citer : le gros béton ; le béton cyclopéen ; le béton de latérite ; le béton pour ouvrages hydrotechniques ; le béton routier ; les bétons légers ; le béton réfractaire ; le béton à base de résine ; les bétons très lourds; etc... Au Mali, on utilise couramment le gros béton, le béton cyclopéen et le béton de latérite.

6.1. Le gros béton Le gros béton est un mélange de béton classique et de la caillasse, c’est-à-dire des cailloux de dimension 8 … 10 cm. Généralement, le volume de caillasse pour un mètre cube de béton (classique) dépasse rarement les 1 000 litres. Le mélange se fait sur une aire de gâchage et le bétonnage se fait comme pour les bétons Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

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classiques. Il est destiné pour des ouvrages massifs comme les puits, les massifs de fondations, digues et autres ouvrages similaires.

6.2. Le béton cyclopéen Le béton cyclopéen est un mélange de béton classique et de moellons. La grosseur des moellons dépend des dimensions de l’ouvrage à bétonner et de la densité de ferraillage. Leurs dimensions maximales peuvent atteindre 20 ... 30 cm et même plus. Pour la mise en oeuvre, on doit, au fur et à mesure qu’on bétonne l’ouvrage plonger les moellons dans le béton de façon à avoir une bonne répartition. Le bétonnage doit se faire par couche si la hauteur à bétonner est importante ; on évitera aussi les bétons trop plastiques dans lesquels les moellons peuvent « flotter ». Le béton cyclopéen est utilisé généralement pour les ouvrages massifs n’exigeant pas une composition spéciale du béton, surtout dans un but économique. Dans le bâtiment, il est utilisé pour les fondations (semelles isolées ou filantes, puits, radiers massifs).

6.3. Le béton de latérite Dans ces bétons, les gros granulats sont extraits de la latérite. La latérite est une roche sédimentaire formée par altération lente des basaltes, favorisée par la chaleur et l’humidité en climat tropical et équatorial. Elle est composée essentiellement d’alumine et d’oxyde de fer et se présente sous forme de terre rouge. Les granulats de latérite doivent être: - bien lavés pour être débarrassés de la terre rouge; - mouillés avant utilisation comme ils sont poreux; - dosés comme pour les granulats traditionnels. La rugosité de leurs surfaces augmente le dosage en ciment. La résistance des bétons de latérite sont plus faibles que pour les bétons ordinaires et ne dépassent pas 30 MPa à la compression.

6.4. Le béton pour ouvrages hydrotechniques Il s’agit des bétons utilisés pour la construction des barrages et autres ouvrages hydrotechniques. Ces bétons doivent: - pouvoir résister à l’action de l’eau et en milieu agressif ;

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être imperméable à l’eau (infiltration de l’eau, protection des armatures) ; dégager moins de chaleur au moment du durcissement (corps massifs).

Pour obtenir un tel béton, il faut: - utiliser des adjuvants conférant au béton une plasticité maximale ; - utiliser des liants (ciments) répondant aux qualités du béton recherché (variétés de ciments portland résistant en milieux agressifs) ; - avoir des granulats de qualité exceptionnelle (excellente) ne contenant pas d’argile, par exemple des graviers lourds de plus de 2,4 t/m3 de masse volumique et une composition granulaire permettant d’obtenir un mélange dense ; - une vibration suffisante, sans excès et un suivi minutieux.

6.5. Le béton routier Le béton routier est le béton utilisé pour la construction des routes et des pistes d’aéroports. Ces bétons sont exploités dans des conditions difficiles à cause: - du mouvement intense des voitures et des avions entraînant des contraintes importantes dans le béton ; - de l’action agressive du milieu ; - de la variation de la température et de l’humidité. Ces bétons doivent avoir les qualités suivantes: - une résistance importante à la compression et à la traction ; - une tenue importante à l’usure ; - une résistance suffisante aux intempéries atmosphériques et à l’action agressive du milieu. Pour obtenir ces qualités, il faut : - utiliser un ciment spécial fourni pour des travaux semblables (ciment portland pour routes) ; - ajouter des produits (adjuvants) tensioactifs ; - choisir des granulats (graviers surtout) de très haute résistance mécanique ; la résistance à la compression des cailloux ne doit pas être inférieure à 120 MPa.

6.6. Les bétons légers Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

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Dans ce groupe, font partie tous les bétons ayant une densité inférieure à 1,8 ... 2,0 t/m3. Ce sont : les bétons caverneux ; les bétons de granulats légers ; les bétons cellulaires ; etc... 6.6.1. Le béton caverneux Le béton caverneux est obtenu par mélange de gros granulats (avec c g ≤ 20 mm) avec une pâte de ciment sans ou avec peu de sable. La pâte de ciment enrobe les granulats et les soude en leurs points de contact. Le dosage en eau est limité, car son excès provoque un lavage des granulats. Le dosage en ciment est de 70 à 150 kg de ciment par mètre cube de béton. Le béton caverneux a une densité comprise entre 1,6 et 1,9 t/m3 selon les granulats. La résistance à la compression est faible; elle est de 1,5 à 7,5 MPa avec une résistance à la traction presque nulle. C’est un bon isolant thermique et s’oppose aux montées d’humidité par capillarité. On l’utilise pour murs ou comme béton de remplissage. 6.6.2. Les bétons de granulats légers Ils sont obtenus en utilisant des gros granulats poreux, donc très légers, de masse volumique ne dépassant pas, en général 1,0 t/m3. Ces bétons ont une masse volumique qui peut varier de 0,5 à 2,0 t/m3 avec une résistance à la compression relativement faible (2,0 ... 20,0 MPa); mais avec des granulats de très bonne qualité, on peut obtenir une résistance de 40 MPa. Les granulats poreux utilisés sont d’origine naturelle ou artificielle à partir des débris industriels. Ils sont, généralement mouillés avant utilisation. Le dosage en eau est très important; il dépend beaucoup de la composition granulaire et de la porosité (ouverte ou fermée) des gros granulats. Ces bétons sont utilisés pour le bétonnage de divers éléments comme les murs, les dalles, les poutres, etc... 6.6.3. Le béton cellulaire Le béton cellulaire est un mortier (ciment + sable + eau) auquel on additionne une matière génératrice de gaz ou de mousses. Ce gaz forme de petits pores de dimensions 0,5 ... 2,0 mm dans la masse de mortier ; après durcissement, on obtient un béton très poreux, donc très léger de masse volumique variant entre 0,4 et 1,2 t/m3. Il est utilisé, généralement, sous forme de produits préfabriqués. Il est un bon isolant thermique ; sa résistance à la compression peut atteindre 20 MPa.

6.7. Le béton réfractaire Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 2. Technologie du béton

Les bétons réfractaires sont ceux capables de supporter de hautes températures (≥ 1500°C) sans perdre leurs qualités physiques et mécaniques. Ils sont utilisés dans la construction industrielle (fours, etc...). Leur composition peut s’étudier suivant les méthodes classiques; le dosage en ciment est de 350 à 400 kg par mètre cube de béton; mais, il faut un ciment réfractaire, c’est-à-dire capable de résister à de très hautes températures. On doit éviter tout excès d’eau. Les granulats doivent être aussi réfractaires. En utilisant des granulats isolants thermiquement, on obtient un béton réfractaire isolant, utilisé pour l’isolation des hautes températures. Les qualités physiques et mécaniques des bétons réfractaires sont assez élevées : - leur masse volumique est de l’ordre de 1,7 ... 2,0 t/m3 ; - une porosité de 20 à 35 % ; - un coefficient de dilatation thermique égal à (6 ... 8).10-6 °C-1 ; - une résistance minimale à la compression supérieure à 10 MPa.

6.8. Les bétons très lourds Les bétons très lourds sont, généralement, utilisés dans la construction des centrales atomiques et sont destinés à jouer le rôle de protection biologique contre les radiations atomiques, neutrons et rayons gamma (γ) en particulier. Ainsi, pour réduire au minimum les épaisseurs nécessaires, on doit utiliser des matériaux très lourds. Ce problème a trouvé sa solution dans le choix des granulats spéciaux pour ces bétons (voir tableau 2.15). Granulats utilisés la barytine La magnétite Les déchets ferreux

Densité du granulat, en t/m3 4,5 4,0 à 5,0 7,4 à 7,7

Masse volumique du béton, en t/m3 2,8 à 4,0 3,3 à 3,6 3,7 à 5,0

Tableau 2. 1 5. Masses volumiques des bétons très lourds

Le dosage en ciment est de 300 à 350 kg/m3 de béton. Le dosage en eau doit être faible (2 < C/E < 3). Ce faible dosage en eau et la qualité des granulats font que les résistances mécaniques de ces bétons sont plus élevées que celles des bétons classiques avec le même dosage en ciment. Pour la mise en œuvre, la vibration doit être suffisante et limitée. Parfois, on peut faire recours à un bétonnage par injection, en injectant un mortier dense pour remplir les vides laissés entre les gros granulats. Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 3. Propriétés physiques et mécaniques du béton

Chapitre 3.

PROPRIETES PHYSIQUES ET MECANIQUES DU BETON Le béton comme matériau de construction doit avoir des propriétés physiques et mécaniques données, par exemple une densité suffisante, une résistance mécanique nécessaire, etc... Selon les conditions d’exploitation, le béton doit pouvoir résister à d’autres effets extérieurs (hautes températures, milieux agressifs, etc...).

1. Propriétés physiques 1.1. Densité La densité (confondue avec la masse volumique pour le béton) des différents bétons utilisés dans les constructions modernes varie de 0,4 à 5,0 t/m3. Selon leur densité, on distingue: - les bétons légers d’une densité inférieure à 2,0 (ou 1,8 selon certains auteurs) t/m3 ; - les bétons lourds ordinaires (classiques) d’une densité allant de 2,0 (ou 1,8) à 3,0 (ou 2,5) t/m3 ; - les bétons très lourds de densité supérieure à 3,0 (ou 2,5) t/m3. Le béton ordinaire utilisé dans la construction des bâtiments et des ouvrages courants a une densité variant entre 2,0 et 2,5 t/m3. La densité du béton dépend essentiellement de la nature des gros granulats et de l’existence des pores à l’intérieur de la masse de béton, c’est-à-dire du degré de compactage du béton. Les bétons très denses ont une compacité maximale, alors que Fig. 3. 1 . Répartition des bétons selon leur les bétons très légers ont une compacité c et leur porosité p. porosité maximale (voir fig. 3.1).

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Chapitre 3. Propriétés physiques et mécaniques du béton

1.2. Propriétés hydrophysiques 1.2.1. Imperméabilité Les bétons, sous forte pression laissent passer l’eau. Les bétons très denses sont pratiquement imperméables à l’eau et aux gaz. On peut améliorer l’imperméabilité du béton en y ajoutant des adjuvants hydrofuges. La classe en imperméabilité à l’eau W du béton est la pression (en daN/m2) à laquelle le béton (éprouvette cylindrique de hauteur 15 cm) ne laisse pas passer l’eau. On utilise les bétons de classe W2 à W12 pour les constructions exploitées sous pression des liquides ou de gaz. Plus le coefficient de filtration du béton est faible, plus la classe du béton à l’imperméabilité est élevée (voir les valeurs des coefficients de perméabilité des différents bétons dans le tableau 3.1). La diminution du volume des macropores capillaires augmente l’imperméabilité du béton à l’eau (utilisation d’adjuvants hydrofuges). Les produits à base de pétrole (essence, gas-oil, etc...) pénètrent (traversent) plus facilement le béton. Dans les bétons destinés à recevoir ces produits, on y ajoute des adjuvants spéciaux. La perméabilité du béton à l’eau et aux produits pétroliers peut être diminuée en utilisant à la place du ciment portland ordinaire un ciment expansif. Classe de béton en imperméabilité

Essai des éprouvettes en état D’humidité équilibrée de saturation en eau

W2 (70 … 200).10-10 (5 … 10). 10-10 W4 (20 … 70). 10-10 (1 … 5). 10-10 W6 (6 … 20). 10-10 (0,5 … 1). 10-10 W8 (1 … 6). 10-10 (0,1 … 0,5). 10-10 W10 (0,6 … 1). 10-10 (0,05 … 0,1). 10-10 W12 (0,6). 10-10 et moins (0,05). 10-10 et moins Tableau 3. 1 . Coefficient de filtration k f , en cm/s pour différentes classes de béton en imperméabilité.

1.2.2. Le coefficient de ramollissement. Les bétons à base de liants hydrauliques, par exemple les ciments portlands ont un coefficient de ramollissement k ram très élevé (k ram ≥ 0,8), ce qui permet d’utiliser ces bétons dans des lieux très humides et dans l’eau.

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Chapitre 3. Propriétés physiques et mécaniques du béton

1.3. Propriétés thermiques 1.3.1. Conductivité thermique Le béton conduit le flux de chaleur de la surface d’une paroi de température relativement haute à l’autre de température relativement basse. Plus le béton est poreux (surtout avec une porosité fermée), plus il conduit difficilement le flux de chaleur (coefficient de conductivité thermique faible) et plus ses qualités d’isolation thermique sont élevées ; raison pour laquelle les bétons poreux (légers) sont généralement utilisés comme isolants thermiques. Le coefficient de conductivité thermique des bétons varie de 0,1 à 2,0 W/(m°C). Le coefficient de conductivité thermique du béton lourd en milieu sec est de 2 à 4 fois plus grand que celui des bétons légers. Cette grande conductivité thermique du béton lourd, c’est-à-dire la mauvaise isolation par le béton des températures extérieures constitue un de ses défauts. 1.3.2. Le coefficient de dilatation thermique Le coefficient de dilatation thermique des bétons varie de 7.10-6 °C-1 à 15.10-6 °C-1, ce qui correspond à une dilatation linéaire de 0,21 mm/m à 0,45 mm/m pour une variation de température égale à 30°C (par exemple de 15°C à 45°C). Pour éviter la fissuration des ouvrages de grandes dimensions, ils sont coupés par des joints de dilatation. Les gros granulats et les mortiers de ciment ont des coefficients de dilatation thermique différents ; sous variation de températures, ces deux matériaux se déforment différemment, ce qui peut provoquer la fissuration du béton en cas de variations importantes de la température. 1.3.3. Résistance à l’action des hautes températures Le béton résiste mieux (par rapport aux autres matériaux de construction) à l’action des hautes températures pendant les incendies (1000 ... 1100°C). Les bétons réfractaires peuvent tenir longtemps sous une température de plus de 1500 °C (fours métallurgiques, revêtements des appareils thermiques travaillant sous une température de plus de 1000°C, etc...). La résistance du béton à l’action des hautes températures dépend du type de ciment et de la nature des granulats. Si les granulats utilisés contiennent du quartz cristallin, à la température de 600°C, il augmente de volume, entraînant ainsi la fissuration du béton. Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 3. Propriétés physiques et mécaniques du béton

La résistance mécanique du béton à base de ciment portland diminue de 25% sous une température de 200 … 250 °C. Après avoir été maintenu ce béton sous une température de 500°C et en le plaçant en milieu humide à température de chambre, il se détruit. Cela s’explique par le fait qu’à partir de 400°C, on observe la décomposition de l’hydrate de calcium Ca(OH) 2 et plus tard (à 600 … 650°C), on assiste à celle du carbonate de calcium CaCO 3 : Ca(OH) 2 → CaO + H 2 O ↑ CaCO 3 → CaO + CO 2 ↑ Pour les ouvrages exploités sous de très hautes températures, on utilise les bétons réfractaires.

1.4. Résistance du béton à la radiation La résistance à la radiation (ou radiorésistance) du béton est sa capacité de maintenir sa structure et ses propriétés sous l’action des charges radiatives (flux de neutrons et de γ quantum). L’exposition à la radiation influe sur la structure des granulats jusqu’à leur amorphisation totale. Ce phénomène de changement de structure est accompagné de déformation de volume, entraînant des contraintes internes et parfois, la fissuration du béton. Pour l’isolation radioactive, on utilise des bétons spéciaux très lourds.

2. Propriétés mécaniques 2.1. Résistance du béton Le durcissement du béton commence après la prise, généralement quelques heures seulement après sa fabrication et sa mise en oeuvre. Ce durcissement est le résultat des réactions chimiques entre l’eau et le ciment (hydratation du ciment), réactions qui se déroulent normalement à température positive (> 5°C) et en présence d’humidité. Au cours de ce durcissement, le béton prend, petit à petit, sa résistance et au 28ème jour, cette résistance atteint sa valeur caractéristique, désignant la classe de béton. Cette croissance de la résistance se fait intensivement pendant les sept (7) premiers jours et au 7ème jour la résistance atteint 60 à 80% de la valeur caractéristique (voir fig. 3.2). Après le 3ème jour, surtout à partir du 7ème jour, la résistance du béton croît selon une loi logarithmique : f cj =

log j f c28 ≅ 0,7f c28 logj log 7

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(3.1) 57

Chapitre 3. Propriétés physiques et mécaniques du béton

où, j est l’âge du béton, en jours (j ≤ 28 jours); f c28 est la résistance du béton à l’âge de 28 jours, exprimée en MPa. La résistance f c28 exprimée en MPa désigne la classe du béton ; par exemple, quand f c28 = 20 MPa, on a un béton de classe B20. Il existe plusieurs autres relations entre la résistance à l’âge j jours) f j et la résistance f c28 : f cj = 0,685f c28 log(j+1)

(pour j ≤ 28 (3.2)

Les normes Françaises (Règles BAEL –91, modifiées 99) donnent les expressions suivantes pour la résistance f cj à l’âge j (pour j ≤ 28 jours) :

Résistance caractéristique du béton f c28 15 20 25 30

j f c28 pour f c28 ≤ 40 MPa; 4,76 + 0,83 j j = f c28 pour f c28 > 40 MPa. 1,4 + 0,95 j

f cj =

(3.3)

f cj

(3.4)

Age du béton, en jours 3

6,21 8,28 10,34 12,41

9,93 13,25 16,56 19,87

11,49 15,31 19,14 22,97

12,82 17,09 21,37 25,64

13,30 17,74 22,17 26,61

13,71 18,27 22,84 27,41

14,20 18,93 23,66 28,39

14,70 19,60 24,50 29,40

15,00 20,00 25,00 30,00

Tableau 3. 2. Evolution des résistances du béton pendant les 28 premiers jours.

Fig. 3. 2. Croissance de la résistance f cj du béton

Fig. 3. 3. Courbe de croissance de la résistance f cj du béton en milieux humide et sec

Fig. 3. 4. Croissance de la résistance f cj du béton avec le temps dans un milieu favorable

Les résistances caractéristiques du béton sont: - la résistance à la compression f c28 (caractéristique principale); - la résistance à la traction f t28 ; - la résistance au cisaillement (glissement) τ bj . Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 3. Propriétés physiques et mécaniques du béton

La caractéristique principale du béton reste toujours sa résistance à la compression f c28 (sa classe de qualité ou encore résistance caractéristique spécifiée). La résistance mécanique du béton dépend : - des conditions de durcissement; - de l’âge du béton; - des conditions de mise en oeuvre; - du dosage en ciment, en eau et du rapport ciment/eau (C/E); - de la classe de résistance du ciment; - de la nature et de la qualité des granulats; - de la granularité et du rapport gravier/sable (G/S); - des adjuvants utilisés. La résistance du béton dépend des conditions de durcissement. Par exemple, en milieu naturel humide, la résistance du béton croît lentement et atteint sa valeur maximale ; par contre, en milieu sec, la résistance croît vite au début pour rester presque constante sans atteindre la valeur maximale (voir fig. 3.3). Dans des conditions favorables de température et d’humidité, la croissance de la résistance du béton se poursuit pendant plusieurs années (voir fig. 3.4). Les conditions de mise en oeuvre ont une influence remarquable sur la résistance du béton. Une vibration suffisante sans excès assure la compacité maximale du béton frais. Un tel béton, avec le minimum de pores réalise la résistance maximale (voir fig. 3.5).

Fig. 3. 5. Influence de la compacité c sur la résistance du béton f cj

Fig. 3. 6. Courbe de variation de la résistance f cj en fonction du dosage en eau E (en litres/m3) pour un même dosage en ciment et une même vibration ; A, B, C, D zones des bétons respectivement très fermes incompactables, de grande résistance et de densité, plastiques et très mous.

Fig. 3. 7. Variation de la résistance f cj en fonction du rapport ciment – eau C/E

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Chapitre 3. Propriétés physiques et mécaniques du béton

D’autres facteurs de mise en oeuvre tels que la ségrégation, la température au moment du bétonnage, les mauvaises exécutions des joints de reprise et les conditions de bétonnage peuvent avoir des conséquences très néfastes sur la résistance du béton. La résistance du béton dépend du dosage en ciment, en eau et du rapport ciment/eau -C/E (voir fig. 2.4). En principe, la résistance du béton est proportionnelle au dosage en ciment. Après la quantité d’eau nécessaire à l’hydratation du ciment, tout supplément d’eau joue négativement sur la résistance du béton (voir fig. 3.6). Le rapport C/E optimal pour une résistance maximale du béton est compris entre 2 et 3 (C/E = 2 ... 3) (voir fig. 3.7). De plus, la résistance du béton est proportionnelle à la classe de résistance du ciment R c (voir formule (2.2) de Bolomey). Plus le ciment est résistant (de classe supérieure), plus avec le même dosage on obtient un béton résistant (fig. 3.8). En utilisant des liants à durcissement rapide, en quelques jours seulement, on obtient une résistance suffisante du béton permettant, par exemple son décoffrage (voir fig. 3.9).

Fig. 3. 8. Variation de la résistance du béton f cj en fonction de la classe de ciment R c ; 1, 2, 3, 4 – courbes pour R c respectivement égale à 30, 35, 45 et 60 MPa.

Fig. 3. 9. Croissance de la résistance du béton f cj selon les liants . 1, 2, 3 – courbes respectivement pour liants à durcissement rapide, normal et lent

La résistance du béton dépend aussi de la nature et de la qualité des granulats. Ainsi, pour un même rapport C/E, les bétons avec les granulats roulés (graviers) ont une résistance de 10 à 20% inférieure à celle des bétons avec des gros granulats concassés (pierres cassées, cailloux) et cela à cause de la faible (relativement) adhérence du ciment avec les graviers. De plus, avec du sable Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 3. Propriétés physiques et mécaniques du béton

propre, résistant, de grosseur moyenne et grande, on obtient un béton plus résistant qu’avec du sable fin et de faible résistance. La résistance caractéristique du béton à la compression f c28 est fondée et contrôlée sur des éprouvettes. Ces éprouvettes ont des dimensions différentes selon les pays. Par exemple, au Mali, on utilise, généralement des éprouvettes cylindriques avec un diamètre de 16 cm et une hauteur de 32 cm (soit une section transversale de 200 cm2) et cela, conformément aux normes Françaises. Dans certains pays, on fait des éprouvettes cubiques d’arête 10 cm, 15 cm, 20 cm. Dans le tableau 3.3 sont données les dimensions de certains types d’éprouvettes pour essais aux différentes sollicitations. Ces éprouvettes, durcies dans des conditions normales de température et d’humidité sont écrasées en compression centrée à l’âge de 28 jours (en général), ou à d’autres âges. La résistance est déterminée comme le quotient de la force d’écrasement F rup par l’aire A e de la section de l’éprouvette : f c28 =

Frup Ae

(3.5)

La classe de résistance du béton est définie comme la résistance minimale garantie (au moins à 90%) des éprouvettes essayées à l’âge de 28 jours selon des instructions techniques ; donc, cette résistance minimale garantie est déterminée après une étude statistique de la résistance de plusieurs éprouvettes identiques. Il est à noter que la résistance obtenue après écrasement dépend : • des dimensions des éprouvettes, • des conditions de contact entre les surfaces de la presse et de l’éprouvette. Par exemple, en écrasant des éprouvettes sans graissage (lubrification) des surfaces de contact des plateaux de la presse et de l’éprouvette, les forces de frottement entre surfaces de contact entraînent la formation de cônes au moment de l’écrasement (voir fig. 3.10, a). Avec graissage des surfaces de contact, ces cônes ne se forment pas (fig. 3.10, b). L’influence des forces de frottement entre surfaces de contact fait qu’en écrasant des éprouvettes de hauteur relativement faible, on obtient une résistance plus élevée. Par exemple, la résistance des éprouvettes (issues du même béton) de 10 cm (20 cm) d’arête est de 5% supérieure (inférieure) à celle des éprouvettes de 15 cm d’arête. En utilisant des éprouvettes prismatiques ou cylindriques dont la hauteur est 3 … 4 fois supérieure à la dimension de base, la partie centrale de l’éprouvette sera libre de toute influence des forces de frottement, même sans graisse. La

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Chapitre 3. Propriétés physiques et mécaniques du béton

résistance ainsi obtenue est beaucoup plus stable et peut être utilisée pour caractériser la résistance du béton (voir fig. 3.11). Types d'essais

Formes des éprouvettes

Détermination de la résistance à la compression par écrasement à la compression centrée Détermination de la résistance à la traction par traction axiale

Détermination de la résistance à la traction par flexion

Détermination de la résistance à la traction par fendage

Dimensions géométriques de l'éprouvette, en cm a = 7; 10; 15; 20; 30

d = 7; 10; 15; 16; 20; 30 h = d ou h = 2d Dimensions de la section utile axa: 10x10; 15x15; 16x16; 20x20.

Dimensions: 10x10x40; 15x15x60; 20x20x80. Diamètre d = a: d = 7; 10; 15; 16; 20; 30. Hauteur : h = 2d ou h = d. Dimensions: 10x10x40; 15x15x60; 20x20x80. Diamètre d: d = 10; 15; 16; 20. Hauteur h: h = d ou h = 2d

Tableau 3. 3. Formes et dimensions des éprouvettes

Voyons maintenant comment se comporte l’éprouvette sous la charge de compression. En compression axiale dans un milieu continu, il n’y a pas de contraintes de traction ; mais le béton étant un matériau poreux, il se développe, sur des plans longitudinaux autour de ces pores (vides) des contraintes de traction équilibrées par les contraintes de compression (voir fig. 3.12). Comme les vides sont fréquents et sont dispersés chaotiquement, il se passe une superposition des contraintes de traction. Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 3. Propriétés physiques et mécaniques du béton

Fig. 3. 1 0. Ecrasement des éprouvettes en béton a, b – respectivement sans et avec graissage des surfaces de contact des plateaux de la presse et de l'éprouvette.

Fig. 3. 1 1 . Ecrasement des éprouvettes cylindriques ou prismatiques avec h/d = 3 ... 4.

Fig. 3. 1 2. Ecrasement des éprouvettes. a) Concentration des contraintes autour des pores ; b) Rupture de l'éprouvette en direction transversale. 1 – pores ; 2 - masse de béton ; 3 - contraintes de compression ; 4 - contraintes de traction développées autour des pores.

La concentration de ces contraintes locales de traction entraîne la formation et le développement des microfissures dans le béton et cela, longtemps avant sa rupture. Les microfissures apparaissent déjà quand la contrainte de compression σ bc = (0,2 ... 0,3)f c28 . Elles se développent intensivement quand σ bc = (0,5 ... 0,6)f c28 et cette contrainte est souvent appelée, par convention, la limite inférieure des microfissures. Quand σ bc = (0,8 ... 0,9)f c28 , le processus s'intensifie de plus et il se forme des fissures verticales (longitudinales). Cela entraîne la rupture de l'élément dans la direction transversale (voir fig. 3.12). Pour les constructions courantes (bâtiments à usage d'habitation, bâtiments publics, industriels, entrepôts, etc...), on utilise généralement les classes de béton allant de B10 à B40, c'est-à-dire des bétons ayant une résistance caractéristique f c28 = 10 ... 40 MPa; (la lettre B désigne béton et le nombre

devant la lettre B désigne la valeur de la résistance caractéristique f c28 en MPa), Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 3. Propriétés physiques et mécaniques du béton

Ces résistances sont obtenues avec des dosages en ciment variant de 200 à 500 3 kg/m de béton selon les classes de qualité du ciment (voir tableau 3.4). Pour certains ouvrages et constructions de moindre importance ou pour des éléments non porteurs (éléments de remplissage, par exemple), on peut utiliser des bétons de classe inférieure (f c28 ≤ 10 MPa). Pour les constructions

spéciales, on peut être amené à utiliser des bétons de très haute résistance, c'est-à-dire des bétons de classe supérieure (f c28 = 50 ... 60 MPa) et de classe exceptionnelle ou de haute performance (f c28 = 65 ... 100 MPa). Classe du ciment R c , en MPa 30 35 40 45 50 55 60

Résistances caractéristiques du béton à l'âge de 28 jours (fc28/ft28), en 150 4,8/0,94 5,6/0,98 6,2/1,02 7,1/1,06 7,8/1,12 8,6/1,17 9,5/1,20

MPa, en fonction du dosage en ciment, en kg/m3 200 250 300 350 400 450 7,0/1,04 8,0/1,09 9,0/1,15 10,0/1,21 11,0/1,27 12,5/1,35 13,5/1,41

10,0/1,21 12,0/1,32 13,5/1,41 15,0/1,50 17,0/1.62 18,5/2,71 20,0/1,80

13,5/1,41 16,0/1,56 18,0/1,68 20,0/1,80 22,5/1,95 25,0/2,10 27,0/2,22

17,0/1,62 20,0/1,80 22,5/1,95 25,0/2,10 28,0/2,28 31,0/2,46 34,0/2,64

20,0/1,80 24,0/2,04 27,0/2,22 30,0/2,40 34,0/2,64 37,0/2,81 40,5/3,01

24,0/2,04 28,0/2,28 31,5/2,49 35,5/2,72 39,5/2,95 43,5/3,15 47,0/3,33

500 27,0/2,22 32,0/2,52 36,0/2,75 40,5/3,02 45,0/3,20 49,5/3,48 54,0/3,68

Tableau 3. 4. Tableau synoptique des caractéristiques des bétons. N. B. : ♦ Aux numérateurs, sont données les valeurs des résistances à la compression et aux dénominateurs celles à la traction. ♦ Les valeurs des résistances sont données pour des granulats de bonne qualité avec c g = 20 mm et un dosage en eau d’environs 185 litres par

mètre cube de béton, ce qui correspond à un béton de consistance plastique.

La résistance caractéristique du béton à la compression à l'âge j, quand j est très grand, peut être déterminée par la formule suivante: f cj = 1,1f c28 (3.6) La résistance du béton à la traction f t28 est très faible par rapport à celle à la compression ; dans la plupart des cas, elle présente moins de 10% de sa résistance à la compression. La résistance du béton à la traction est caractérisée par une dispersion très importante: f t28 = (0,05 ... 0,10) f c28 . Elle est déterminée par les méthodes suivantes: - par flexion simple (fig. 3.13, a); - par traction axiale (fig. 3.13, b); - par fendage d'un cylindre ou essai Brésilien (fig. 3.13, c).

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Chapitre 3. Propriétés physiques et mécaniques du béton

Dans le premier cas, les éprouvettes sont en général de dimensions 7x7x28 cm ou 15x15x60 cm et la résistance à la traction est déterminée par la formule : f t28 = Mrup/(γplW) (3.7) où, M rup - moment fléchissant de rupture ; γ pl - coefficient tenant compte des

déformations plastiques du béton, γ pl = 1,7; W = module de résistance élastique 2

de la section transversale (W = (bh )/6 pour les sections rectangulaires).

Fig. 3. 1 3 Détermination de la résistance à la traction du béton par : a) flexion ; b) traction axiale ; c) fendage (méthode Brésilienne).

Dans le deuxième cas (traction axiale), on a: f t28 = F rup /A b

(3.8)

Dans le troisième cas (traction par fendage), on a: f t28 = Frup/(π d)

(3.9)

où, F rup est la force de rupture ; A b - l'aire de la section du béton.

Les Règles BAEL -91, modifiées 99 (normes Françaises : « Règles techniques de conception et de calcul des ouvrages et des constructions en béton armé suivant la méthode des états limites »), par exemple proposent la relation suivante entre les résistances caractéristiques du béton à la compression f cj et à la traction f tj à

l'âge j pour les classes inférieures à B40 : f tj = 0,6 + 0,06f cj

(3.10)

où, f cj , f tj sont exprimés en MPa.

Il existe d'autres relations empiriques entre ces deux résistances caractéristiques. Sur la fig. 3.14, on peut remarquer comment varie la résistance à la traction du béton en fonction de sa classe. La connaissance de la résistance à la traction du béton est surtout nécessaire quand le béton doit prendre lui-même les efforts de traction, en particulier pour les éléments où la Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 3. Propriétés physiques et mécaniques du béton

fissuration est inadmissible. Les valeurs de la résistance à la traction des bétons sont données dans le tableau 3.3. Une autre grandeur caractéristique du béton est sa résistance au cisaillement τ bj . Cette grandeur n'est généralement pas normalisée et est calculée en fonction de la classe du béton. Le cisaillement pur dans les ouvrages se rencontre très rarement; il est généralement suivi d'actions de sollicitations normales, raison pour laquelle la rupture par glissement se fait toujours suivant un plan incliné (voir fig. 3.15). La résistance au cisaillement du béton à l'âge j peut être évaluée approximativement par la formule empirique suivante: (3.11) τ bj = k c f tj où,

k c est un coefficient dépendant de la classe du béton, ses valeurs sont

données dans le tableau 3.5.

Fig. 3. 1 4. Variation de la limite de résistance à la traction f tj du béton en fonction de f cj : 1 - en traction axiale; 2 - en traction par flexion.

Fig. 3. 1 5. Rupture par glissement: a) cisaillement pur (τ b,p est la résistance caractéristique du béton au cisaillement pur;b) cisaillement composé (τ b est la résistance caractéristique du béton au cisaillement, τ b ≤ τ b,p

Classe de béton

Valeurs de k c

Béton de classe inférieure à B20 : ( f c28 < 20 MPa)

1,5 ... 1,7

Béton de classe entre B20 et B40 : (20 MPa ≤ f c28 ≤40 MPa)

1,7 ... 1,9

Béton de classe supérieure à B40 : (f c28 ≥ 40 MPa)

1,9 ... 2,0

Tableau 3. 5. Valeurs du coefficient k c

D'autres grandeurs de résistance mécanique du béton sont : - la résistance à la compression localisée, f c,loc ; -

la résistance de longue durée, f c,l ; la résistance dynamique, f c,d .

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Chapitre 3. Propriétés physiques et mécaniques du béton

A la compression localisée, le béton résiste plus grâce à l'effet enveloppe de renforcement (frette) du béton environnant non chargé. La valeur de la résistance du béton à la compression localisée f c,loc dépend du rapport de la

surface chargée par la surface totale et est déterminée par la formule suivante (voir fig. 3.16) : f c,loc = γ b,1 β b f c28 (3.12) où,

γ b,1 = 0,73 pour les bétons de classe inférieure à B25 (pour f c28 < 25 MPa); γ b,1 = 10 f t28 /f c28

pour les bétons de classe B25 et supérieure (f c28 ≥ 25

MPa);

βb =

A Aloc ≤ 1,5 - coefficient de pondération de la résistance du béton,

avec, A - l'aire totale de la section du béton et A loc - l'aire chargée de la section

du béton (aire de la zone chargée, voir fig. 3.16).

La résistance de longue durée du béton f c,l sous contraintes importantes est inférieure à la résistance caractéristique f c28 . Cette diminution de 10 à 20% de la résistance f c28

est due à l'influence des déformations plastiques, des

microfissures et de l'hétérogénéité de la structure interne du béton ; on a , en général : f c,l = (0,80 ... 0,9)f c28 .

Fig. 3. 1 6. Compression localisée

Fig. 3. 1 7. Déformation du béton. 1, 2 - courbes de chargement et de déchargement.

Sous l'action des charges répétées (vibrations), le béton peut se rompre par fatigue à la suite d'accumulation des déformations plastiques et de la formation des microfissures. La limite d'endurance f c,d , c'est-à-dire la résistance à la fatigue du béton est toujours inférieure à la résistance caractéristique à la compression. Elle dépend de l'asymétrie ρ du cycle ( ρ = σ min /σ max , où σ min et

σ max

sont respectivement les valeurs minimales et maximales des contraintes

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Chapitre 3. Propriétés physiques et mécaniques du béton

dans le béton) et varie, en général, entre 50 et 95% de la résistance caractéristique du béton à la compression : f c,d = (0,50 ... 0,95) f c28 .

2.2. Déformabilité du béton 2.2.1. Caractéristiques de déformation du béton Le béton est un matériau à la fois élastique et plastique. Les propriétés plastiques du béton apparaissent dès au début du chargement à un niveau bas des contraintes. La déformation totale du béton ε b comprend une composante élastique ε b,el et une composante plastique ε b,pl (voir fig. 3.17) :

(3.13)

ε b = ε b,el + ε b,pl

On distingue deux types de déformations du béton : - les déformations dues aux actions des forces extérieures sous forme de charges permanentes, variables et accidentelles; - les déformations (variations) de volume qui sont le retrait, le gonflement et la dilatation (allongement ou raccourcissement) ; elles sont dues aux variations de l'humidité, de la température de l'air environnant. Les déformations dues aux forces extérieures dépendent du caractère d'application de ces charges, notamment : - de la vitesse de chargement, c'est-à-dire la vitesse d'application de la charge (application statique ou dynamique de la charge); - de la durée d'application de la charge (charge de très courte durée d'application ou de longue durée entraînant le fluage du béton). Les propriétés élastiques du béton sont caractérisées par le module d'élasticité E b,o et le coefficient d'élasticité ωel définis comme suit:

ωel

(3.14)

E b,o = σ b /ε b,el

= ε b,el /ε b

(3.15)

= ε b,el /(ε b,el +ε b,pl )

Le module E b,o est appelé aussi module d'élasticité initial, car il est égal à la tangente de l'angle d'inclinaison de la droite tangente à la

courbe

σ b -ε b

(dérivée dσ b /dε b ) à l'origine du repère par rapport à l'axe des abscisses (voir fig.

3.18) :

E b,o = tanαo

(3.16)

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Chapitre 3. Propriétés physiques et mécaniques du béton

Le module d'élasticité E b,o

dépend de la classe et du type du béton et des

conditions de son durcissement. Le coefficient d'élasticité ωel du béton dépend du niveau des contraintes et du

temps de chargement ; il varie entre 0,1 et 0,9. Théoriquement, ωel = 0 pour les matériaux parfaitement plastiques et ωel = 1

pour les matériaux

parfaitement élastiques. Le coefficient d'élasticité ωel diminue avec le niveau

des contraintes et la durée de chargement. Pour les calculs pratiques, on peut prendre les valeurs suivantes: - pour les chargements de courte durée : ωel = 0,45 ... 0,50 ; (3.17a) -

pour les chargements de longue durée : ωel = 0,15 ... 0,20.

(3.17b)

Le module d'élasticité d'un béton avec des gros granulats de grandes dimensions est de 20% supérieur à celui d'un béton de même classe, mais avec des gros granulats de petites dimensions. Le module d'élasticité E b,o croît avec la classe

de résistance du béton. Il existe plusieurs formules empiriques exprimant cette dépendance.

Fig. 3. 1 8. Courbe σ b - ε b .

1, 2 - courbes de chargement et de déchargement; 3, 4 domaines des déformations élastiques et plastiques.

Fig. 3. 1 9. Modules de déformations du béton. s, t, to - sécante et tangentes au point considéré et à l'origine.

En plus du module d'élasticité E b,o , il y a le module de déformation (longitudinale)

tangentiel du béton E bt qui caractérise la déformabilité totale du béton, c'est-à-

dire la déformation élastique et plastique du béton. Ce module est, numériquement égal à la valeur de la tangente de l'angle α t (voir fig. 3.19) formé Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 3. Propriétés physiques et mécaniques du béton

par la droite tangente (dσ b /dε b ) à la courbe σ b -ε b au point de coordonnées (ε b , σ b

) avec l'axe des déformations ε b .

Comme on le remarque sur la fig. 3.19, l'angle α t est variable, donc tanα t est

aussi variable. Il dépend du niveau des contraintes, de la vitesse de chargement et d'autres facteurs. On a ainsi : E b,t = tanα t (3.18) ou encore

E b ,t =

σb 010

σb εb εb tan α s = ε b 010 + ε b 010 + ε b

(3.19)

Pour les calculs pratiques de béton et de béton armé, on se sert généralement d'une valeur moyenne du module de déformation E b , numériquement égale à la tangente de l'angle α s , c'est-à-dire l'angle que fait la droite sécante reliant l'origine O au point de coordonnées (ε b , σ b ) avec l'axe des déformations ε b . Ce

module est appelé aussi module élasto-plastique du béton ou module sécant; il est inférieur à E b,o et supérieur à E b,t :

Eb,s = tgα s = En posant :

σ b σ b ε b,el = = ω el Eb,o ε b ε b,el ε b ε pl /ε b

(3.21)

(3.22)

E b = (1 - ωpl )E b,o

(3.23)

ωpl

où, ωpl est le coefficient de plasticité du béton, on obtient: ωpl

donc,

(3.20)

+ ωel

Le module de déformation longitudinale des bétons ordinaires de classe B10 à B40 varie de 15 000 MPa à 40 000 MPa. Pour les calculs pratiques, les différentes normes et règles de calcul donnent toujours des expressions pour évaluer sa valeur compte tenu des particularités du béton et des conditions d’application des charges ; par exemple, les Règles BAEL – 91, modifiées 99 donnent les expressions suivantes : - sous les charges supposées instantanées, c'est-à-dire les charges pour lesquelles la durée d'application est inférieure à 24 heures (charges variables de courte durée d'application) : E b,ij = 11 000 -

f cj

(3.24)

sous les charges de très longue durée d'application, par exemple les charges permanentes, entraînant des déformations importantes dues au fluage :

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Chapitre 3. Propriétés physiques et mécaniques du béton

E b,νj =

1 E = 3700 3 b,ij

f cj

(3.25)

avec, E b,ij , E b,νj , f cj en MPa. Ainsi le module de déformation longitudinale du béton sous charge de longue durée est plus petit que celui sous charges instantanées ; cela s'explique par le fait que les déformations, et particulièrement le rapport des déformations élastiques et plastiques, dépendent beaucoup de la vitesse de chargement (voir fig. 3.20). Sous chargement instantané (quand ∆t = t 2 - t 1 ≈ 0, avec t 1 - le début du chargement et t 2 - la fin du chargement), seules les déformations élastiques

apparaissent. Plus la vitesse de chargement est petite, donc plus lentement on applique la charge, plus les déformations plastiques développées pendant ce temps sont importantes ; donc plus petite sera la valeur du module de déformation. Le développement des déformations plastiques peut être observé en appliquant graduellement la charge et en mesurant (fixant) les valeurs des déformations deux fois : au moment tout juste après l'application de la charge et après avoir maintenu le béton sous cette charge constante pendant un certain temps ∆t (voir fig. 3.21).

Fig. 3. 20. Courbe σ b -ε b en fonction de la vitesse de chargement. ∆t, ∆t', ∆t'' - durées des chargements (temps mis pour l'application de la totalité de la charge); 1, 2 - domaines des déformations élastiques et plastiques.

Fig. 3. 21. Déformations sous chargements graduels. ∆t 1 , ∆t 2 , ∆t 3 - durées de maintien sous charges constantes ; t ap - durée totale du chargement (durant laquelle on fait croître la charge jusqu'à sa valeur finale ; 1 - courbe obtenue en appliquant uniformément la totalité de la charge au temps t ap ; 2 - courbe sous application graduelle de la charge; 3 - courbe correspondant à une application uniforme de la totalité de la charge au temps t 3 ; 4 - déformations plastiques dues au fluage du béton développées pendant les temps de maintien (∆ti) sous charges constantes.

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Chapitre 3. Propriétés physiques et mécaniques du béton

Le coefficient de Poisson du béton ν b sans fissures est en moyenne égal à 0,12 ...

0,25. Après la formation des fissures, le coefficient de Poisson est pris égal à zéro (0). Pour les calculs pratiques on prend : - ν b = 0,2 pour le béton sans fissures ; -

ν b = 0 pour le béton avec fissures.

Pour ν b = 0,2, on obtient pour le module de cisaillement du béton (voir formule

(1.26)) l’expression suivante :

G b = 0,4E b,o

(3.26)

Sous charges répétées (vibrations) entraînant des contraintes σ 1 ne dépassant pas la limite de fatigue f c,d

(f c,d = 0,5f c28 ), les déformations plastiques se

réalisent petit à petit de manière décroissante. Après un certain nombre de cycles, quand toutes les déformations plastiques se sont déjà réalisées, le béton devient élastique (voir fig. 3.22, a). En augmentant le niveau des contraintes à σ 2 (σ 2 >σ 1 ), mais sans atteindre la limite de fatigue f c,d ,

la nature de la

déformation demeure identique (fig. 3.22,b). A un niveau supérieur des contraintes, quand σ 3 > f c,d , l'allure de la courbe de déformation σ b -ε b change

: la courbe tourne vers l'axe des contraintes σ b , c'est la fatigue du béton.

Cette fatigue est caractérisée par une augmentation de plus en plus grande des déformation élastiques à chaque cycle, donc une diminution de l'angle d'inclinaison de la courbe de déformation ; cela conduit à la rupture du béton (voir fig. 3.22, c).

fig. 3. 22. Courbe σ b -ε b sous charges répétées. 1 - courbe caractérisant la fatigue du béton

2.2.2. Déformations limites du béton Les déformations limites sont les déformations au-delà desquelles il y a rupture (écrasement ou déchirement) du béton. Ces déformations dépendent de Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 3. Propriétés physiques et mécaniques du béton

beaucoup de facteurs, en premier lieu du temps. Elles diminuent avec la classe du béton et augmentent avec la durée d'application de la charge. La connaissance des déformations limites est très nécessaire, car elles montrent jusqu'à quel niveau de déformation le béton et l'armature travaillent (se déforment) ensemble. Les allongements unitaires (relatifs) limites du béton ε bt,u du béton varient de

0,00010 à 0,00017 (fig. 3.23,a). Dans les calculs pratiques, on prend ε bt,u = 0,00015,

ce qui correspond à une contrainte d'environs 30 MPa dans l'armature d'une pièce en béton armé. Les raccourcissements unitaires (relatifs) limites du béton ε b,u sont

relativement plus grands ; ils varient de 0,0008 à 0,0030 en compression simple. Pour les calculs pratiques, on prend ε b,u = 0,0020 pour les charges de courte durée d'action (charges variables) et ε b,u = 0,0025 pour les charges de longue durée d'action (charges permanentes) (fig. 3.23,b).

En compression excentrée (flexion composée) et en flexion simple, les déformations limites (raccourcissements) des fibres extrêmes peuvent atteindre ε b,u = 0,0025 ... 0,0045 (fig. 3.23,c). Pour les calculs pratiques en flexion, on prend les valeurs suivantes : ε b,u = 0,0035

ε b,u = (0,0045 – 0,025 f cj )

pour f c28 ≤ 40 MPa ;

(3.27)

pour f c28 > 40 MPa.

(3.28)

Fig. 3. 23. Déformations limites du béton : a) en traction (allongements limites) ; b) en compression centrée (raccourcissements limites) ; c) en flexion (raccourcissements limites).

2.2.3. Le fluage du béton Le fluage est la propriété du béton de se déformer sous l'action des charges de longue durée, constantes dans le temps. Si l’on soumet une pièce de béton à l'action d'une charge de longue durée F t , au début, apparaissent d’abord les déformations élastiques ε el , puis avec le temps, se développent les déformations Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 3. Propriétés physiques et mécaniques du béton

de fluage (déformations plastiques) ε pl (voir fig. 3.24). Ces déformations sont

fonction du temps et dépendent du niveau des contraintes, de la température et de l'humidité de l'air. C'est pendant les premières périodes que les déformations de fluage se développent intensivement ; puis au fur et à mesure, cette croissance diminue. Les expériences ont montré que pendant les trois premières années se réalisent à peu près 85% des déformations totales de fluage. Si la charge appliquée F t ne dépasse pas la moitié de la charge de rupture (c’est-

à-dire si F t ≤ 0,5 F rup ), les déformations de fluage sont proportionnelles aux

contraintes ; dans ce cas, le fluage est dit linéaire. Si la charge F t est

supérieure à la moitié de la charge de rupture (c’est-à-dire si F t > 0,5 F rup ), les

déformations croissent plus vite que les contraintes à cause de l'influence des microfissures ; dans ce cas, le fluage est dit non linéaire (voir fig. 3.25). En climat chaud et sec, les déformations de fluage se développent plus vite et pendant un temps court et atteignent leurs valeurs maximales. En milieu humide, le temps de réalisation des déformations de fluage est beaucoup plus long avant d'atteindre leurs valeurs maximales (fig. 3.26).

Fig. 3. 24. Croissance des déformations du béton dans le temps sous l'influence du fluage.

Fig. 3. 25. Déformations de fluage en fonction du niveau des contraintes: 1 - Ft = 0,3 F rup ; 2 - Ft = 0,6 F rup ; 3 - Ft = 0,8 F rup ; A, B - domaines

Fig. 3. 26. Influence du milieu sur le fluage: 1 - en milieu très humide; 2 - en milieu normal; 3 en milieu chaud et sec.

de fluage linéaire et non linéaire.

Il existe plusieurs modèles mathématiques pour décrire l'évolution du fluage du béton dans le temps ; ces modèles aboutissent à des expressions mathématiques différentes, toutes tenant compte du facteur temps et du niveau des contraintes. Ces expressions permettent de déterminer les déformations totales du béton sous charge à l'âge j : ε b (j) = ε el + ε pl (σ o , j) (3.29) Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 3. Propriétés physiques et mécaniques du béton

où,

σ o est la contrainte au moment tout juste après le chargement.

2.2.4. Le retrait du béton En durcissant à l’air libre, le béton diminue de volume. Ce phénomène est appelé le retrait ; on l'appelle souvent retrait positif (voir fig. 3.27). Le retrait se manifeste pendant de longue durée indépendamment des contraintes développées dans le béton. Il dépend de la composition et de la structure (structure dense ou poreuse) du béton. Les déformations de retrait du béton ε b,ret varient en général de 0,0003 à 0,0005. Pour les calculs pratiques de béton, on prend ε b,ret

= 0,0002 ... 0,0003.

Les facteurs ayant une influence importante sur le retrait du béton sont : - le rapport ciment-eau (C/E); - les conditions climatiques de durcissement (température, humidité de l'air); - la durée de réalisation des déformations et autres.

Fig. 3. 27. Retrait du béton. a) Diminution du volume du béton avant et après le durcissement du béton. 1 - volume initial ; 2 - volume après retrait ; b) évolution des déformations de retrait dans le temps.

Fig. 3. 28. Contraintes dans le béton dues aux déformations de retrait. 1, 2 - zones tendues (extérieures) et comprimées (intérieures) de la pièce; 3 fissures dues au retrait.

Le retrait influe négativement sur la résistance du béton à la fissuration, sur la durabilité de la structure et sur l'état de contrainte et de déformation de la pièce. On peut lutter contre le retrait, par exemple : - en utilisant des liants (ciments) sans retrait et des ciments expansifs; - en augmentant la densité du béton; - en augmentant le rapport ciment-eau (C/E) par diminution de la quantité d'eau. Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de bamako. Cours de Béton Armé, par H.A. DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 3. Propriétés physiques et mécaniques du béton

Si les dimensions de la pièce ne sont pas grandes, le retrait se manifeste uniformément et librement sans provoquer de contraintes internes dans le béton. Par contre, si les dimensions sont très grandes (éléments massifs) les déformations de retrait se développent intensivement dans les zones superficielles entraînant parfois la fissuration de ces zones. Quant à la zone interne de l'élément, elle s'oppose au raccourcissement des couches extérieures, diminuant ainsi les déformations de retrait. Cette zone sera donc soumise à des contraintes de compression (voir fig. 3.28). 2.2.5. Le gonflement du béton En durcissant dans l'eau, le béton augmente de volume; c'est le gonflement du béton, appelé souvent retrait négatif. Les déformations de gonflement du béton ε b,gonf ne sont pas importantes et sont plus petites que celles dues au retrait (voir fig. 3.29) ; Dans les calculs pratiques, elles ne sont pas tenues en compte en général.

Fig. 3. 29. Courbe de retrait et de gonflement du béton

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Chapitre 4. L’armature

Chapitre 4.

L’ARMATURE 1. TYPES D'ARMATURES 1.1. Notions générales Les armatures sont des assemblages d'éléments noyés dans la masse de béton et ayant pour rôles essentiels: - de prendre les contraintes de traction qui ne peuvent être prises par le béton ; - de renforcer la capacité portante du béton comprimé ; - d'empêcher la formation et le développement des fissures dans le béton. Comme armatures, on peut utiliser des barres d'acier (fers à béton), des fils en acier, des profilés en acier, des fibres de verre, des matériaux synthétiques, des barreaux de bois, des troncs de bambou, etc... Les armatures en acier, c'est-à-dire les barres, les fils et les profilés en acier sont aujourd'hui les plus utilisées, raison pour laquelle notre étude sommaire des armatures qui suit se limitera seulement à ces types d'armatures.

1.2. Aciers pour béton armé 1.2.1. Définition L'acier est un alliage de fer (de 88 à 98%) et de carbone (jusqu'à 2,0%) contenant un pourcentage très faible d'impuretés (provenant de la mine ou formées au cours de la fabrication) de même que des adjuvants (jusqu'à 10% parfois) pour améliorer ses qualités. La métallurgie de l'acier comporte deux opérations essentielles qui sont: - la production de la fonte par réduction à chaud du minerai; - la transformation de la fonte en acier par décarbonisation.

1.2.2. Types d'aciers utilisés Parmi les aciers utilisés dans les ouvrages en béton armé on distingue (voir fig. 4.1): 77 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A. DICKO, Ph.D. -2008-

Chapitre 4. L’armature

les ronds lisses (sous forme de barres) qui ne présentent aucune aspérité sur la surface; ils sont obtenus par laminage à chaud d'un acier doux; les aciers à haute adhérence (sous forme de barres, fils et treillis) présentant des aspérités ou reliefs (verrous, créneaux, nervures, etc...) sur la surface afin d'améliorer l'adhérence acier-béton.

Les aciers à haute adhérence peuvent être classés en quatre (4) types : Types 1: Ce sont les aciers naturels en barres obtenues par laminage à chaud d'un acier naturellement dur. Les caractéristiques de ces aciers sont fonction de leur composition chimique. Dans ce type d'aciers on classe aussi ceux obtenus à partir d'un acier doux laminé à chaud, puis soumis à un traitement (par exemple une trempe) permettant d'améliorer ses caractéristiques mécaniques. Types 2: Ce sont les aciers écrouis par torsion en barres obtenues par laminage à chaud suivit d'un écrouissage par torsion ou par traction à froid sans réduction sensible de la section. Types 3: Ce sont les fils à haute adhérence. Ils sont des aciers doux écrouis, obtenus soit par laminage à chaud suivit d'un écrouissage par tréfilage, soit par laminage à froid entraînant une réduction sensible de la section. Types 4: Ce sont les treillis soudés (TS). Ils sont obtenus à partir d'aciers doux écrouis par tréfilage. Les fils ou barres sont soudés mécaniquement pour former des mailles carrées ou rectangulaires (de 50x50 mm jusqu'à 200x300 mm). Ils sont en rouleaux si les diamètres sont inférieurs à 5 mm et en panneaux si les diamètres sont supérieurs à 5 mm.

Fig. 4. 1 . Types d'aciers. a - ronds lisses ; b - barres à haute adhérence ; c - fils à haute adhérence; d - treillis soudés : 1 - fils porteurs ; 2 - fils de répartition.

78 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A. DICKO, Ph.D. -2008-

Chapitre 4. L’armature

Les aciers à béton présentent différentes nuances qui correspondent à leurs qualités de limite d’élasticité et de résistance. Ces qualités diffèrent selon les pays producteurs et, il n'y a pas une standardisation et une classification internationale définitives. Les limites d'élasticité des aciers varient en général de 200 MPa à 1400 MPa. Dans le tableau 4.1, sont données les caractéristiques mécaniques de certaines nuances d'aciers de production Française. f ru p, en ε rup , en

Aciers

Nuances

Ronds lisses (RL)

FeE220 FeE240

MPa 215 235

MPa 330...490 410...490

% 22 25

FeE400 FeE450 FeE500 FeE400 FeE500 FeTE400 FeTE500

400 441 500 400 500 400 500

480 550 480 550 -

14 12 14 12 -

TLE52 ∅≤6 mm TLE ∅>6 mm

520

500

Type 1

Aciers à haute adhérence (HA)

Type 2 Type 3 Type 4 (TS)

f e , en

Utilisations Cadres, étriers, anneaux de levage des pièces Tous travaux de béton armé Armatures préfabriquées Radiers, voiles, planchers, dallages

Tableau 4. 1 . Caractéristiques de quelques nuances d'aciers. f e - limite d'élasticité ; f rup - la contrainte de rupture ; ε rup - l'allongement de rupture.

Dans le tableau 4.2 sont donnés les diamètres nominaux des différents aciers à béton. Diamètres, en mm Ronds lisses et barres à H.A. Fils tréfilés H.A. Treillis soudés (TS)

3 3,5

4 4,5

5 5,5 • •

6 7 8 9 10 • • •

12 •

•

• •

• • • • •

•

14 •

16 •

20 •

25 •

32 •

Tableau 4. 2. Diamètres nominaux des aciers

Dans le tableau 4.3 sont données les sections (en cm2) des fers à béton sous forme de barres de différents diamètres. En dernière sont données les poids linéaires de ces barres, c’est-à-dire le poids d’un mètre linéaire. Pour les treillis soudés (TS), la section d'armatures est, généralement, déterminée pour un mètre de largeur de l'élément (dalles en général). Pour cela, il suffit de faire la somme des sections du nombre de barres dans un mètre de largeur. Dans le tableau 4.4 sont données les valeurs des sommes des sections des barres se trouvant dans un mètre de largeur de l'élément pour certaines 79 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A. DICKO, Ph.D. -2008-

40 •

Chapitre 4. L’armature

dimensions les plus courantes des mailles de treillis. Ces valeurs sont aussi valables pour les treillis ligaturés, généralement conçus sur les chantiers.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.20

0.28

0.50

0.79

1.13

1.54

2.01

3.14

4.91

8.04

12.57

0.39

0.57

1.01

1.57

2.26

3.08

4.02

6.28

9.82

16.08

25.13

0.59

0.85

1.51

2.36

3.39

4.62

6.03

9.42

14.73

24.13

37.70

0.79

1.13

2.01

3.14

4.52

6.16

8.04

12.57

19.64

32.17

50.27

0.98

1.41

2.51

3.93

5.65

7.70

10.05

15.71

24.54

40.21

62.83

1.18

1.70

3.02

4.71

6.79

9.24

12.06

18.85

29.45

48.25

75.40

1.37

1.98

3.52

5.50

7.92

10.78

14.07

21.99

34.36

56.30

87.96

1.57

2.26

4.02

6.28

9.05

12.32

16.08

25.13

39.27

64.34

100.53

1.77

2.54

4.52

7.07

10.18

13.85

18.10

28.27

44.18

72.38

113.10

1.96

2.83

5.03

7.85

11.31

15.39

20.11

31.42

49.09

80.42

125.66

2.16

3.11

5.53

8.64

12.44

16.93

22.12

34.56

54.00

88.47

138.23

2.36

3.39

6.03

9.42

13.57

18.47

24.13

37.70

58.91

96.51

150.80

2.55

3.68

6.53

10.21

14.70

20.01

26.14

40.84

63.81

104.55

163.36

2.75

3.96

7.04

11.00

15.83

21.55

28.15

43.98

68.72

112.59

175.93

2.95

4.24

7.54

11.78

16.96

23.09

30.16

47.12

73.63

120.64

188.50

3.14

4.52

8.04

12.57

18.10

24.63

32.17

50.27

78.54

128.68

201.06

3.34

4.81

8.55

13.35

19.23

26.17

34.18

53.41

83.45

136.72

213.63

3.53

5.09

9.05

14.14

20.36

27.71

36.19

56.55

88.36

144.76

226.20

3.73

5.37

9.55

14.92

21.49

29.25

38.20

59.69

93.27

152.81

238.76

3.93

5.65

10.05

15.71

22.62

30.79

40.21

62.83

98.17

160.85

251.33

p, en kg

0.139

0.222

0.395

0.617

0.888

1.208

1.578

2.466

3.853

6.313

9.870

Tableau 4. 3. Sections réelles, en cm de N armatures en barres de diamètre ∅, en mm; p – le poids d'un mètre linéaire, en kg.

Dimensions de la maille (espacement des barres), en mm 50 75 100 125 150 200 250 300

D i a m è t r e s 3 1.42 0.94 0.71 0.57 0.47 0.35 0.28 0.23

4 2.52 1.67 1.26 1.01 0.84 .63 .50 .42

5 3.92 2.62 1.96 1.57 1.31 .98 .79 .65

6 5.66 3.68 2.83 2.26 1.84 1.41 1.13 .94

d e s

b a r r e s, 14

e n

10.06 6.70 5.03 4.02 3.35 2.51 2.01 1.68

15.70 10.46 7.85 6.28 5.23 3.93 3.14 2.61

22.62 30.78 40.22 62.84 98.18 15.08 20.52 26.80 41.88 65.44 11.31 15.39 20.11 31.42 49.09 9.05 12.31 16.08 25.13 39.27 7.54 10.26 13.40 20.94 32.72 5.65 7.69 10.05 15.71 24.54 4.52 6.16 8.04 12.56 19.64 3.77 5.13 6.70 10.47 16.36

Tableau 4. 4. Sections des barres de treillis sur un mètre de largeur de l'élément, en cm

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Chapitre 4. L’armature

1.2.3. Identification Tout acier est livré avec des fiches d'identification comportant : - la dénomination du produit, sa description et son croquis, le nom et l'adresse du producteur ; - la nature et la classe de l'acier ; - les caractéristiques géométriques des sections ; - les caractéristiques d'adhérence ; - les caractéristiques mécaniques garanties (classe, type, limite d'élasticité, etc ...) ; - les recommandations d'emploi ; - les conditions de cintrage, de façonnage, l'aptitude au soudage. Pour les aciers, les diamètres sont toujours donnés en millimètres (mm). La désignation se fait par le symbole ∅; par exemple ∅12 veut dire: barre en acier de diamètre 12 mm. Cette désignation est, souvent propre pour les aciers ronds lisses; par exemple ∅10 veut souvent dire : barre en acier rond lisse de diamètre 10 mm. Pour les aciers à haute adhérence, la désignation est suivie en général des lettres HA (Haute Adhérence); par exemple 2∅12 HA veut dire : deux barres de diamètre 12 mm à haute adhérence. Cette désignation peut être aussi écrite sous la forme suivante : 2HA12 qui veut toujours dire deux barres à haute adhérence de diamètre 12 mm. Ils peuvent être aussi désignés par les symboles des fiches d'homologation; par exemple 8T10 veut dire: huit barres Tor de diamètre 10 mm. Les treillis soudés sont désignés par les lettres T.S. (Treillis Soudés) suivies généralement des diamètres des barres et des dimensions des mailles dans les deux directions en millimètres (mm); par exemple la désignation TS 100x200x6x5 veut dire : treillis soudé avec des barres porteuses espacées de 100 mm, de diamètre 6 mm et avec des barres de répartition espacées de 200 mm de diamètre 5 mm.

1.3. Armatures spéciales En plus des types d'armatures mentionnés ci-dessus, il existe d'autres, issus d'un traitement spécial et dont la nomenclature et les qualités sont différentes selon les pays producteurs ; pour toute information concernant leurs caractéristiques il faut se référer strictement aux fiches d'identification.

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Chapitre 4. L’armature

En plus des barres, fils, treillis soudés (sous formes ordinaires), l'armature en acier est utilisée sous forme de profilés en I, H, ⊥, L , T, O, �, ∆, etc... ou bien sous forme spirale (armatures en spirales). Comme il a été dit en haut, on utilise aussi des armatures en matériaux synthétiques, en fibres, en barreaux de bois ou troncs de bambou. Par exemple, avec des fibres de verres (diamètre 3 ... 20 micromètres) unies en tiges ou en bandes par une colle synthétique, on obtient une armature caractérisée par une bonne adhérence avec le béton, une résistance élevée (contrainte de rupture jusqu'à 1800 MPa), mais un module de déformation faible (45000 MPa). Le béton armé en fibres courtes (10 ... 30 mm de longueur) est appelé béton en fibres d'aciers; il présente les qualités suivantes : - une structure homogène ; - une résistance mécanique élevée ; - une bonne résistance à la fissuration.

2. PROPRIETES PHYSIQUES ET MECANIQUES DE L’ACIER 2.1. Généralités et propriétés physiques Comme il a été déjà mentionné, les aciers sont fournis aux entreprises de béton armé, sur chantiers ou sur le marché avec toutes leurs caractéristiques mécaniques sur fiches d'identification. La densité de l'acier est égale à sa masse volumique (matériau dense sans pores) 3 et équivaut à 7,85 t/m ; soit une densité de 2 à 16 fois plus grande que celles des différents bétons (ou 3 à 4 fois celle du béton lourd ordinaire). Néanmoins, grâce à sa grande résistance mécanique, il est le matériau de construction le -4 plus léger. Sa légèreté est de l'ordre de (1,5 ... 3,7).10 , soit en moyenne 2 fois plus léger que le bois et 10 fois plus léger que le béton ordinaire. Grâce à sa grande densité, l'acier est un bon conducteur de chaleur, donc un mauvais isolant thermique. Son coefficient de conductivité thermique est de 58,35 W/m.°C, soit plus de 40 fois celui du béton et plus de 70 fois celui d'un mur en banco (voir tableau 1.2). L'acier est imperméable à l'eau et au gaz. 82 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A. DICKO, Ph.D. -2008-

Chapitre 4. L’armature

L'acier possède une très faible résistance au feu ; à 200°C, son module d'élasticité diminue et à 600°C déjà, il passe à l'état plastique. Les aciers sont classés selon leur classe de résistance, leur composition chimique et leurs propriétés.

2.2. Propriétés mécaniques Les caractéristiques mécaniques principales de l'acier sont sa résistance mécanique et sa déformabilité qui dépendent de sa composition et de la technologie de sa fabrication. On distingue (voir fig. 4.2) : - les aciers doux avec un palier de ductilité; - les aciers durs sans palier de ductilité et se déformant jusqu'à la rupture sans déformations plastiques considérables.

Fig. 4. 2. Diagramme σ s - ε s de différents aciers : 1 - aciers doux; 2 - aciers durs.

Fig. 4. 3. Diagramme σ s - ε s d'un acier doux.

OA - domaine des déformations élastiques; AB – palier de ductilité; BC - domaine de raffermissement; CD domaine de striction; C - point de striction; ABCD -

domaine des déformations plastiques.

Sur le diagramme de déformation (de traction) d'un acier doux, on peut remarquer différents domaines de déformations (voir fig. 4.3). Dans le domaine des déformations élastiques (au début de la déformation) est applicable la loi de Hooke : "les déformations sont proportionnelles aux contraintes", et la courbe de déformation σ s = σ s (ε s ) est une droite oblique dont la tangente de l'angle d'inclinaison α est numériquement égale au module d'élasticité de l'acier : Es =

tanα =

f e /ε el ,

(4.1)

où, f e est la limite d'élasticité de l'acier et ε el est l'allongement unitaire (ou relatif)

de l'acier correspondant à la limite d'élasticité.

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Chapitre 4. L’armature 5

Le module d'élasticité des aciers utilisés comme armatures varie entre 1,7.10 5 5 5 MPa à 2,1.10 MPa. Pour l'acier doux, il est entre 2,0.10 et 2,1.10 MPa; pour les 5 calculs pratiques, on prend, en général : E s = 2.10 MPa.

Dès que les contraintes développées dans la section atteignent la limite d'élasticité f e , les déformations cessent d'être proportionnelles aux contraintes,

car toute augmentation, même insignifiante de la contrainte entraînera l'apparition des déformations plastiques. D'abord c'est le palier de ductilité (zone AB) qui est représenté par une ligne horizontale et où les déformations augmentent considérablement sans augmentation remarquable des contraintes Après une certaine valeur des déformations ε d , commence le raffermissement (durcissement) de l'acier (zone BC) jusqu'au point de rupture théorique (point C) à partir duquel on assiste à une chute des contraintes due à une réduction de la section d'abord (striction) - zone CD, puis à la rupture totale de l'élément au point D; le point C est appelé point de striction ou point de rupture théorique de l'acier. Le critère mécanique de base dans les calculs est la limite d'élasticité garantie f e . Pour les aciers durs n'ayant pas de palier de ductilité, la limite

d'élasticité f e est déterminée pour un allongement unitaire résiduel de 0,2% par

convention. Cette limite d'élasticité (désignée, généralement, par σ 0,2 ) est obtenue en traçant une parallèle à la tangente à l'origine (voir fig. 4.4); on l'appelle limite d'élasticité conventionnelle. En connaissant la limite d'élasticité de l'acier et son module d'élasticité, on peut calculer l'allongement unitaire ε el :

ε el

Fig. 4. 4. Diagramme σ s - ε s

d'un acier dur sans palier de ductilité

f e /E s

(4.2)

Fig. 4. 5. Diagramme σ s - ε s des aciers en traction et en compression : 1 - acier doux; 2 - acier dur.

84 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A. DICKO, Ph.D. -2008-

Chapitre 4. L’armature

Les diagrammes de déformation de l'acier en traction et en compression sont identiques; ils sont symétriques par rapport à l'origine O (voir fig. 4.5). Ces diagrammes permettent de déterminer les caractéristiques mécaniques des aciers, à savoir: - les contraintes caractéristiques (limites d'élasticité f e ou σ 0,2 , limite de résistance f R );

les déformations (allongements, raccourcissements) caractéristiques (d'élasticité ε el , de rupture ε r );

unitaires

le module d'élasticité de l'acier E s .

Sur les diagrammes de déformation des aciers (voir fig. 4.2), on peut constater une nette différence au niveau des résistances et des déformations caractéristiques selon leur nature ; par exemple, les aciers durs ont une très forte résistance et une faible déformation de rupture. Le contraire est constaté chez les aciers doux, c'est-à-dire que ces derniers ont une faible résistance (relativement) et une déformation de rupture considérable. Une des méthodes pour modifier les caractéristiques mécaniques d'un acier doux (sans modification de la composition chimique de l'acier) est l'écrouissage par torsion ou par traction (voir fig. 4.6) qui est une opération technologique. Après l'écrouissage, on peut constater: - la disparition du palier de ductilité ; - une augmentation de la limite d'élasticité ; - une diminution de la déformation de rupture (diminution des déformations plastiques).

Fig. 4. 6. Ecrouissage d'un acier doux. a,b - opérations technologiques de l'écrouissage qui consistent à faire un chargement jusqu'à σ 1 (σ 1 > f e ) suivi du déchargement; c - comparaison des deux diagrammes (avant et après écrouissage); 1, 2 - diagrammes de déformation avant (acier doux) et après (acier écroui) l'écrouissage.

85 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A. DICKO, Ph.D. -2008-

Chapitre 5. Le béton armé

Chapitre 5.

LE BETON ARME 1. GENERALITES SUR LE BETON ARME 1.1. Notions générales sur le béton armé Le béton armé (B.A.) est un matériau de construction artificiel. On l'obtient en plaçant (noyant) des barres d'aciers, appelées armatures dans du béton frais. Après durcissement du béton le matériau obtenu est appelé béton armé. Le béton, par sa composition est une pierre, donc il résiste bien aux efforts de compression, par contre, résiste très faiblement aux efforts de traction. L'armature est ainsi placée dans le béton, soit pour prendre les efforts de traction, soit pour renforcer le béton comprimé. Les barres d'aciers constituent ainsi des éléments de renforcement lui permettant de résister à différents efforts, d'où le nom de béton armé. Le béton armé est donc un matériau constitué de béton et d’armature (en acier). Ces deux composants (béton et acier) travaillent ensemble et se complètent. Ainsi le béton : - résiste bien aux efforts de compression; - protège l'armature contre la corrosion; - assure la rigidité de l'élément; - définit les caractéristiques (propriétés) physiques de l'ouvrage; - détermine en grande partie la durabilité et la fiabilité de l'ouvrage. Quant à l'armature, elle: - résiste très bien aux efforts de traction; - augmente la capacité portante du béton comprimé; - peut empêcher la formation des fissures ou limiter leur ouverture (si elle est placée pour cela); - détermine en partie la durabilité et la fiabilité de l'ouvrage. Selon le rôle des armatures, on distingue: - les armatures porteuses destinées à prendre des efforts; - les armatures de répartition, destinées à répartir les efforts entre les armatures porteuses ; - les armatures constructives placées pour des raisons technologiques (armatures technologiques) ou de montage (armatures de montage). 86 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 5. Le béton armé

Selon leur disposition dans la pièce, on distingue: - des armatures longitudinales parallèles à l'axe longitudinal de l'élément; - des armatures transversales placées perpendiculairement à l'axe longitudinal de l'élément (cadres, étriers, épingles, armatures de couture); - des armatures inclinées par rapport à l'axe longitudinal de l'élément servant d'armatures porteuses, de couture ou de montage. Les armatures sont façonnées aux droits des arrêts et de changement de direction. Le façonnage des armatures en cadres, étriers, coudes, etc... s'effectue à l'aide de cintrage (fig. 5.1). Le rayon de courbure à l'intérieur du crochet dépend du diamètre de la barre, de sa nature et du façonnage à exécuter.

Fig. 5. 1 . Façonnages des armatures. a) épingle; b) cadre; c) étriers d) crochets ; e) coude ; f) cavalier ; g) cerce.

Fig. 5. 2. Enrobages des armatures. 1 - paquets de barres ou barres isolées; 2 - béton

Les barres peuvent être enrobées, soit individuellement (barres isolées), soit en groupe (paquets de barres). Les paquets de plus de trois barres sont utilisés seulement quand ils ne sont pas soumis à une sollicitation d'entraînement. Les dispositions à prendre concernant l'enrobage pour un bon bétonnage sont les suivantes (voir fig. 5.2): c ≥ a ; e h ≥ { a ; 1,5 c g } ; e v ≥ {a ; c g } ;

cg a.b ; ≤ 2(a + b) k

c g ≤ 0,25B min

(5.1)

avec, k = 1,4 pour les gros granulats roulés (graviers de fleuve), k = 1,2 pour les granulats concassés (pierres concassées) ; B min - dimension minimale de la pièce à

bétonner ; a, b -

dimensions

paquet

d'armatures; c - couverture 87

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Chapitre 5. Le béton armé

d'enrobage, sa valeur est donnée dans le tableau 5.1; c g - dimension maximale (grosseur) des gros granulats; e h , e v - distances entre les paquets ou barres. M i l i e u x Milieux Milieux Milieux Milieux

très agressifs (industries chimiques, eau de mer, etc ...) agressifs (usines non chimiques, etc ...) exposés aux intempéries (bâtiments civils, etc ...) non exposés aux intempéries (endroits couverts et clos)

Tableau 5. 1 . Valeurs de la couverture d'enrobage c, en cm

c, en cm 4 3 2 1

1.2. Avantages et défauts du béton armé Comme tout matériau de construction, le béton armé possède des qualités (avantages) et des défauts (inconvénients). Comme qualités du béton armé, on peut citer : - une résistance élevée à la compression, résistance qui peut d'ailleurs augmenter avec le temps ; - une bonne résistance au feu et aux intempéries atmosphériques ; - la durabilité ; - l'hygiénité ; - des coûts exploitation très faibles ; - un coût relativement moins cher à cause de l'utilisation des matériaux locaux de construction qui sont le gravier, les cailloux, le sable et l'eau. Comme défauts du béton armé, on peut citer: - le poids important du matériau ; - des conductivités thermiques et phoniques élevées ; - la possibilité de formation des fissures avant même la charge, fissuration due au retrait, au fluage ou d'ordre technologique ; - une faible résistance à la traction entraînant la formation des fissures en zone tendue sous des charges relativement faibles (environ 10% de la charge de rupture).

1.3. Domaines d'utilisation Il est très difficile aujourd'hui de trouver un domaine de la construction où le béton armé n'est pas utilisé. Il constitue actuellement la base même de la construction moderne ; il est notamment utilisé dans les domaines suivants : - dans les bâtiments civils (publics et à usage d'habitation) ; - dans les bâtiments industriels et de production agro-pastorale ; 88 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 5. Le béton armé

dans les constructions de ponts, de routes, d'ouvrages hydrotechniques, de châteaux d'eau, de murs de soutènement, de piliers et de divers ouvrages techniques d'ingénieurs ; dans la construction des centrales atomiques ; etc ...

Le béton armé est utilisé soit sous forme d'éléments coulés en place (fabrication sur chantiers), soit comme éléments préfabriqués (fabrication dans les usines de préfabrication ou sur des aires spéciales aménagées sur chantier).

1.4. Historique Le béton armé est né en France au milieu du XIXe siècle et plus précisément en 1849. En cette année, un jardinier Français Lambeau fit construire un bac à fleur et pour cela, il a pris un grillage métallique qu'il a couvert de mortier de ciment. La première patente pour le béton armé a été reçue également en France en 1867 par Monier. A partir de cette date, autre la France, les constructions en béton armé ont vu le jour en Angleterre, en Allemagne, en Russie et aux Etats Unis d'Amérique. Dès la fin du XIXe siècle, des recherches importantes furent menées en faveur d'une conception rationnelle des constructions en béton armé. C'est surtout au XXe siècle que le béton armé a envahit les chantiers, et depuis lors, il est devenu le matériau de construction moderne principal dans le monde entier. Parallèlement et jusqu'à nos jours, les recherches n'ont cessé, même un instant, en faveur de l'élaboration d'une méthode de calcul des constructions en béton armé et de leur optimisation.

2. ASSOCIATION BETON-ACIER La possibilité de fonctionnement rationnel et d'existence durable de l'élément complexe béton-acier est due à : - l'adhérence mutuelle béton-acier permettant la transmission des efforts ; - l'analogie des coefficients de dilatation thermique très voisins : pour le -1

-1

béton, il est égal à (7 ... 15).10-6 °C ; pour l'acier, il est égal à 12.10-6 °C ; l'absence de réactions chimiques nuisibles entre le béton et l'acier.

L'adhérence béton-acier est due (voir fig. 5.3):

89 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 5. Le béton armé

aux forces tangentielles de frottement provoquées par les irrégularités de surface de l'armature et par les déformations de retrait du béton qui diminue de volume et serre plus la barre d'acier; à la formation à partir du ciment d'une substance collante sur la surface de l'armature.

Ainsi, une importance particulière revient à: - l'état des surfaces des aciers : les barres avec des surfaces rugueuses (aspérités, reliefs) sont caractérisées par une très haute adhérence (barres à Haute Adhérence), alors que l'adhérence des barres ronds lisses est relativement faible ; - la qualité du béton d'enrobage : la pâte de ciment doit pouvoir bien enrober la surface de l'armature ; - aux soins apportés à la mise en oeuvre : éviter l'effet de voûte des granulats et toute impureté et graisse sur la surface des barres, etc...

Fig. 5. 3. Adhérence béton - acier. a, b, c - adhérence due aux irrégularités des surfaces respectivement pour les barres à H.A., les ronds lisses et les treillis soudés ; d - adhérence due aux déformations de retrait ; e - adhérence due au collage ; 1 – béton ; 2 - barre d'acier.

La résistance d'adhérence dépend surtout des irrégularités de surface de la barre d'armature ; elles réalisent 70 à 75% de cette résistance. L'adhérence des aciers à H.A. est de 2 à 3 fois supérieure à celle des aciers ronds lisses. La résistance d'adhérence augmente avec : - la classe de béton; - l'augmentation du rapport ciment/eau (C/E); - l'âge du béton. Les essais ont montré que les contraintes d'adhérence se repartissent irrégulièrement le long de la longueur de scellement (voir fig. 5.4). En arrachant la barre du béton, les contraintes maximales τ s,u sont d'abord concentrées près 90 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 5. Le béton armé

de la face extérieure (position 1 sur la fig. 5.5). Avec l'augmentation de l'effort et la rupture de l'adhérence entre le béton et l'acier (dans la zone des contraintes maximales), l'épure des contraintes se déplace vers l'intérieur en prenant les positions 2, puis 3 (voir fig. 5.5), suivi de l'arrachement de la barre.

Fig. 5. 4. Contraintes d'adhérence dans la barre scellée. σ s - contraintes normales dans la barre scellée;

Fig. 5. 5. Arrachement de la barre du béton. 1, 2, 3 - positions successives de l'épure des contraintes.

τ s - contraintes tangentielles d'adhérence; l s - longueur de scellement.

Dans les calculs pratiques, on utilise la valeur moyenne de la contrainte tangentielle τ s (voir fig. 5.4). Cette valeur moyenne nécessaire pour le scellement de la barre est déterminée à partir de l'équation : fe As = τ s Ψτ ls u d'où,

τs

f e As ψ τ lsu

(5.2) (5.3)

avec,

Ψ τ - coefficient de remplissage du diagramme des contraintes tangentielles τ s ; u - périmètre de la barre (u = πd) ; f e - limite d'élasticité de l'acier ; A s - section de la barre.

La résistance d'adhérence d'une barre comprimée est supérieure à celle d'une barre tendue, cela grâce à l'augmentation du diamètre (donc du périmètre) de la barre comprimée (voir fig. 5.6) ; le béton s'oppose plus à l'extension (dilatation) transversale de la barre comprimée. Donc, avec les barres de grand diamètre et très sollicitées, la résistance d'adhérence augmente en compression et diminue en traction (voir fig. 5.7). Ainsi, pour une meilleure adhérence, les diamètres des barres tendues doivent être limités, autrement dit, on doit éviter les très grands diamètres pour les aciers tendus. La résistance d'adhérence due aux déformations de retrait présente en général 10 à 15% de la résistance totale d'adhérence. Quant à la résistance 91 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 5. Le béton armé

d'adhérence due au collage du ciment à l'acier, elle est de l'ordre de 0,2 ... 0,5 MPa.

Fig. 5. 6. Arrachement (a) et enfoncement (b) d'une barre dans le béton. d o - diamètre initial de la barre; d - diamètre de la barre après déformation.

Fig. 5. 7. Influence du diamètre et de la sollicitation sur la résistance d'adhérence. d 1 , d 2 - diamètres des barres

3. ARRETS ET JONCTIONS DES BARRES 3.1. Arrêts des barres Les barres sont arrêtées au niveau des extrémités des éléments et par défaut de longueur. L’arrêt d’une barre suppose son ancrage dans la masse de béton. L'ancrage des barres d'acier se fait à l'aide (voir fig. 5.8): - d'ancrage droit (fig. 5.8, a); - de crochet en équerre avec ligature reliant le retour à la masse du béton pour éviter une poussée au vide (fig. 5.8, b); - de crochet normal ou à 135° (fig. 5.8, c, d); - de crochet à double coudes (fig. 5.8, e); - de profilés soudés au bout de l'armature (fig. 5.8, f); - de têtes spéciales (fig. 5.8, g). L'ancrage des barres permet une transmission des efforts de l'armature au béton grâce à leur adhérence. Cette transmission se fait, soit tout le long de la longueur de scellement (longueur d’ancrage) de la barre, soit par des têtes spéciales. L'ancrage droit est permis seulement pour les barres à haute adhérence. L'ancrage des aciers ronds lisses se fait, soit par crochets, soit par des têtes spéciales. Il existe plusieurs méthodes de détermination des longueurs d'ancrages des barres. La longueur nécessaire pour l’ancrage une barre dépend, en général, de son diamètre et de la valeur de la contrainte qui va se développer dans ladite 92 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 5. Le béton armé

barre. Si par exemple, dans une section, la contrainte de traction dans la barre de diamètre d est σ s , la longueur minimale d'ancrage nécessaire l s comptée à partir de cette section a pour valeur:

ls = ( ω s

σs f cj

+ ∆ λ )d ≥ λ s d

(5.4)

où, les valeurs de ωs , ∆ λ et λ s sont données dans le tableau 5.2.

Fig. 5. 8. Ancrages des barres. 1- ligature; 2 - profilés; 3 - têtes spéciales. Barres à Haute Adhérence

Conditions d'exploitation de l'armature

ωs

Ancrage d'une barre tendue Ancrage d'une barre comprimée Jonction des barres par tendu recouvrement dans un béton comprimé

0,7 0,5 0,9 0,65

Tableau 5. 2.

∆λ 11 8 11 8

20 12 20 15

Barres rond-lisses

ωs

1,2 0,8 1,55 1,0

∆λ 11 8 11 8

20 15 20 15

Aussi, la longueur de scellement droit ou longueur d’ancrage droit, nécessaire pour qu'une barre rectiligne, de diamètre d, soumise à une contrainte égale à f e (limite d'élasticité garantie), ne soit pas arrachée (c'est-à-dire pour qu'elle soit convenablement ancrée), peut être déterminée par l'expression suivante (voir fig. 5.9) : ls

d fe 4 τ s ,l

(5.5) 93

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Chapitre 5. Le béton armé

τ s,l

avec, où,

= 0,6

ψ s2 f t , 28

(5.6)

ψ s - coefficient de scellement : ψ s = 1,0 pour les aciers ronds lisses ; ψ s

= 1,5 pour les aciers à H.A. ; dans tous les cas se référer à la valeur fixée par les fiches d'identification. Forfaitairement, on admet de d'adopter les valeurs suivantes : - ls = 50 d pour les ronds lisses; -

ls = 40 d pour les aciers à H.A.

L'ancrage de l'ensemble d'un paquet de barres est interdit. Une barre doit être toujours ancrée individuellement ; de plus, les longueurs d'ancrage des barres ne doivent pas se chevaucher (voir fig. 5.10).

Fig. 5. 9. Scellement droit.

Fig. 5. 1 0. Ancrage des paquets de barres.

Les crochets type retour d'équerre sont généralement déconseillés, toutefois dans leur exécution, pour éviter l'éclatement du béton, le retour doit être relié à la masse de béton par une ligature (voir fig. 5.8, b). Pour les poutres importantes, armées avec des barres de grands diamètres, il y a risque de fendage au voisinage de leurs arêtes inférieures au niveau des appuis. Pour remédier à cela, on prévoit des armatures supplémentaires destinées à lutter contre la fissuration (voir fig. 5.11). Aux droits des ancrages, des armatures transversales sont prévues pour équilibrer les réactions nées par la mise en jeu mécanique de l'ancrage. Ces armatures, de section totale ΣA t et de limite d'élasticité f e,t , doivent satisfaire la

condition suivante : avec,

ΣA t f e,t ≥ A s .f e

(5.7)

A s , f e -section et limite d'élasticité des armatures à ancrer.

94 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 5. Le béton armé

Fig. 5. 1 1 . Risque de fendage de l'arête inférieure de la poutre.

Noms

Fig. 5. 1 2. Ancrages des treillis soudés. a, b - ancrages des fils (barres) porteurs et de répartition

Schémas

Valeurs forfaitaires pour un ancrage convenable

Crochet normal

r = 3d (ronds lisses); r = 5d (aciers à H.A.); l3 = 2d; l2 = 5d; l1 = 0,6ls = 30d

Crochet à 45° (135°)

r = 3d (aciers ronds lisses); r = 5d (aciers à H.A.); l3 = 6d; l1 = 0,6ls

Ancrage à double coude

Retour d'équerre

r = 3d (aciers ronds lisses); r = 5d (aciers à H.A.) l3 = 2d; l1 = 0,6ls ; l2 = 8d r = 3d (aciers ronds lisses); r = 5d (aciers à H.A.); l3 = 10d; l1 = 0,6ls

Tableau 5. 3. Ancrages courbes

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Chapitre 5. Le béton armé

L'ancrage des treillis soudés se fait, en général, soit par crochets droits (ancrages droits), soit par crochets normaux (ou à 135°C) (voir fig. 5.12). L'ancrage total des fils (porteurs et de répartition) peut contenir une, deux ou trois soudures et parfois même sans soudures selon la longueur disponible pour l'ancrage et l'existence d'un crochet ou non : la longueur totale d'ancrage l s des

fils porteurs en ronds lisses étant toujours plus considérable que celle des fils à haute adhérence ou des fils de répartition. Dans le tableau 5.3, sont schématisés les principaux types d'ancrages courbes pour les barres avec les valeurs forfaitaires des caractéristiques géométriques pour assurer un ancrage convenable.

3.2. Jonction des barres La jonction des barres peut se réaliser, soit par recouvrement, soit par soudage si les aciers présentent certaines caractéristiques de soudabilité (voir fig. 5.13). Pour les treillis soudés, la jonction se fait, en général, par recouvrement. Le recouvrement sert à rétablir la continuité entre les armatures ; pour cela, les barres se recouvrent sur une longueur l r dite longueur de recouvrement. La longueur de recouvrement l r pour les barres tendues est égale à (voir fig. 5.14) : • l r = l s si la distance c entre axes des barres est inférieure à 5d (c ≤ 5d, où, •

d est le diamètre de la barre); l r = l s + c si c > 5d.

Lorsque les barres sont munies de crochets, cette longueur est réduite pour le premier cas à : • Pour le premier cas, c’est-à-dire quand c ≤ 5d : l r = 0,6 l s pour les aciers ronds lisses; l r = 0,4 l s

•

pour les aciers à haute adhérence ;

Pour le deuxième cas (quand c > 5d), on a : l r = 0,6 l s + c pour les aciers ronds lisses;

l r = 0,4 l s + c pour les aciers à haute adhérence.

Aux recouvrement des armatures tendues, on doit prévoir des armatures de couture de section totale ΣA t satisfaisant la condition (5.7) et disposées au 96 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 5. Le béton armé

moins en trois plans sur la longueur de recouvrement (deux plans aux extrémités et un plan au milieu).

Fig. 5. 1 3 Jonction des barres : a) par recouvrement ; b) par soudage ; c) jonction des TS

Fig. 5. 1 4. Recouvrement des barres tendues sans (a) et avec (b) crochets.

Pour les armatures comprimées, la longueur de recouvrement l r

est,

généralement, prise égale à 0,6l s . Si ces barres sont susceptibles d'être

tendues ou être soumises à des chocs, la longueur de recouvrement l r est prise

égale à celle des barres tendues non munies de crochets. Le recouvrement des barres comprimées se fait sans crochets qui risqueraient de faire éclater le béton qui les entoure. Aux recouvrements des armatures comprimées seront prévues des armatures de couture comme pour les armatures tendues.

Fig. 5. 1 5. Recouvrement des treillis soudés. a, b, c, d - jonction dans la direction des fils porteurs : a - fils lisses; b, c, d - fils à H.A.; e, f - jonction dans la direction des fils de répartition

Pour les treillis soudés constitués par des fils lisses, la jonction par recouvrement doit comporter trois (3) soudures pour les fils porteurs et deux (2) soudures pour les fils de répartition. Les soudures intéressées sur l'un et l'autre fil doivent être écartées d'au moins 4 cm (voir fig. 5.15). Pour les treillis soudés constitués par des fils à H.A., le recouvrement se fait comme pour les barres à H.A.

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Chapitre 5. Le béton armé

4. PROPRIETES MECANIQUES DU BETON ARME Le béton armé est l'union de deux matériaux qui, malgré leur adhérence mutuelle, ont des propriétés et des comportements différents. De plus, si l'on peut considérer l'acier comme un matériau "mort" (inerte) dont la formation chimique est déjà achevée, le béton est au contraire un matériau "vivant" en évolution dans le temps : les réactions chimiques s'y produisent pendant plusieurs années. Les propriétés physiques du béton armé sont, en général, déterminées par le béton. La densité moyenne du béton armé ordinaire (béton lourd avec une masse volumique 2,1 ... 2,3 t/m 3

et un ferraillage normal) est de 2,5 t/m avec vibration

et, 2,4 t/m sans vibration du béton. Pour les éléments surarmés, il convient de 3

faire la somme des masses de béton et de l'acier dans un mètre cube (1 m ) de volume de l'élément. Pour les autres bétons (très lourds et légers), la densité est aussi déterminée par la somme des masses de béton et d'aciers dans un mètre 3

cube (1 m ) de volume de l'ouvrage.

4.1. Résistance et déformabilité du béton armé Les propriétés mécaniques du béton armé ne dépendent pas seulement du béton et de l'acier, mais aussi de la quantité d'armatures, de la position de l'armature dans la structure, etc... En compression, l'acier et le béton travaillent généralement ensemble jusqu'à l'écrasement du béton quand le raccourcissement unitaire de ce dernier atteint sa valeur limite ε b,u (l'acier étant le plus souvent plus résistant que le béton même en compression). La contrainte dans l'armature sera égale à: σ s = ε b,u E s 3 5 = 2.10- .2.10 = 400 MPa. C'est pourquoi, il n'est pas économique d'utiliser des '

aciers comprimés ayant une limite d'élasticité supérieure à 400 MPa.

En traction, le béton et l'acier travaillent ensemble au début quant l'allongement unitaire du béton est inférieur à sa valeur limite ε bt,u . Quand l'allongement ait

atteint sa valeur limite, la contrainte dans les aciers aura pour valeur : σ s = 5 5 ε bt,u E s = 15.10- .2.10 = 30 MPa. Une fois que l'allongement dépasse la valeur

limite ε bt,u , il se forme des fissures dans le béton. Au niveau de ces fissures,

tout l'effort est repris par l'armature, alors qu'entre les fissures l'effort est reparti entre le béton et l'armature (voir fig. 5.16). Le caractère des fissures dépend du traitement de la surface de l'armature (voir fig. 5.17). 98 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 5. Le béton armé

Fig. 5. 1 6. Contraintes de traction dans le béton et l'armature. a - élément en béton armé avec fissures; b , c - Contraintes dans le béton σ b et dans l'acier σ s ; d - contrainte totale : σ = N/A s .

Fig. 5. 1 7. Fissuration du béton armé avec des barres : a - lisses (fissures larges et espacées); b - à haute adhérence (fissures fines et rapprochées)

Fig. 5. 1 8. Diagramme de déformation σ-ε des éléments en béton armé. a, b - diagrammes de compression avec acier doux et acier dur ; c - diagramme de traction; 1 - (phase 1) - le béton et l'acier travaillent ensemble ; 2 - (phase 2) - seul l'acier travaille (en régime élastique) ; 3 - (phase 3) - l'acier travaille en régime plastique ; 4, 5 - courbes en phase 3 de déformation, respectivement pour acier doux et acier dur.

Sur la fig. 5.18 sont représentés les différents diagrammes de déformation σ-ε d'un élément en béton armé. En compression (voir fig. 5.18, a, b), l'armature et le béton travaillent ensemble jusqu'à la rupture, c'est-à-dire quand les déformations unitaires atteignent le raccourcissement ultime du béton εb,u ;

dans ce cas, le diagramme de déformation σ-ε de l'élément suit celui de l'acier σ -ε s : s -

pour les aciers naturels doux avec palier de ductilité, cela trouve que la contrainte a atteint la limite d'élasticité garantie (voir fig. 5.18, a); pour les aciers écrouis durs très résistants, la contrainte reste inférieure à la limite d'élasticité conventionnelle σ 0,2 (voir fig. 5.18, b).

En traction, on peut constater les phases de déformation suivantes (voir fig. 5.18, c) : 99 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 5. Le béton armé

En première phase (phase 1), c'est-à-dire au tout début, le béton et l'acier travaillent ensemble ; ils s'aident mutuellement, puis après, le béton suit plastiquement l'armature jusqu'au moment où la déformation unitaire atteint l'allongement limite du béton ε bt,u ;

les fissures se forment dès l'instant où la déformation dépasse ε bt,u ; c'est la deuxième phase (phase 2) qui commence. En ce moment, le béton est exclu, c'est - à - dire qu'il ne participe plus à la prise des efforts de traction ; tout l'effort de traction est ainsi pris par l'armature et la déformation suit le diagramme de déformation σ s -ε s .

L'acier n'a pas encore atteint sa limite d'élasticité et se déforme comme un matériau élastique. En troisième phase (phase 3), quand les contraintes dans l'armature ont atteint la limite d'élasticité f e , l'acier entre en régime plastique de

déformation et le diagramme continue jusqu'à l'allongement ultime de l'acier utilisé ε s,u . Pour les aciers naturels doux avec palier de ductilité, le diagramme est représenté pour cette phase, conventionnellement par une ligne horizontale parallèle à l'axe des déformations. Pour les aciers écrouis durs, l'allure de la courbe ne change pas considérablement (courbe 5 sur la fig. 5.18, c).

4.2. Influence du retrait du béton

Fig. 5. 1 9. a - Evolution des déformations de retrait dans le temps ; 1 - déformation du béton; 2 - déformation du béton armé ; b - Influence de l'armature sur les déformations de retrait.

Les barres d'armature placées dans le béton constituent des liaisons internes s'opposant au développement libre des déformations de retrait; cela entraîne (voir fig. 5.19): - une diminution jusqu'à 1,5 ... 2,0 fois les déformations de retrait (diminution de la valeur ∆ ret à la valeur ∆ ret,a ); -

la compression de l'armature par un effort

σ sret . As ; le retrait

entraîne ainsi des contraintes secondaires de compression dans l'armature et des contraintes de traction dans le béton. 100 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 5. Le béton armé

Comme l'armature et le béton travaillent ensemble, il y égalité entre les déformations unitaires du béton et de l'armature: ε s = ε b = (∆ ret,a )/L (5.8) L'allongement unitaire du béton ε bt

est égal à la différence entre les

déformations du béton ε ret et du béton armé ε ret,a : ε bt = ε ret - ε ret,a

Les valeurs moyennes des contraintes de traction du béton

(5.9)

σ btret dues au retrait

ont pour valeurs :

σ btret

ε bt E bt

σ sret où,

(5.10)

ε bt ωbt E b

= ε ret,a E s

(5.11)

E bt - module de déformation du béton en traction; ωbt = ε el,t /ε b,t est le

coefficient d'élasticité du béton en traction (en effet, si alors, on a ωbt qui va tendre vers la valeur 0,5).

σ btret tend vers f bt ,

La condition d'équilibre se traduit par l'expression :

σ sret A s = σ btret B c

(5.12)

où, B c est l'aire de la partie comprimée de la section du béton. On peut ainsi écrire :

σ sret = σ bt (B c /A s ) = σ bt /ρ

(5.13)

où, ρ est le pourcentage d'armatures (coefficient de ferraillage). On remarque donc que les contraintes de compression dans l'armature

σ sret dues

au retrait du béton sont inversement proportionnelles au pourcentage d’armatures ρ. Pour un pourcentage d'armatures donné, les contraintes de traction dans le béton ont pour valeur : σ bt = où,

ρε ret E s (nρ / ω bt ) + 1

(5.14)

n = E s /E b - le rapport des modules d'élasticité de l'armature et du béton

appelé coefficient d'équivalence.

101 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 5. Le béton armé

De cette expression, on peut tirer la valeur du pourcentage d'armature ρ : ρ =

En remplaçant σ bt

σ bt ε ret E s − (nσ bt / ωbt )

(5.15)

par f bt dans cette expression, on trouve la valeur du

pourcentage d'armature à laquelle, pour une valeur donnée ε ret des déformations de retrait, apparaissent sur l'élément des fissures de retrait. Dans les calculs pratiques, on peut prendre ε ret = 0,3.10-3 et ωbt = 0,5.

Les contraintes de traction dans le béton dues au retrait favorisent la formation prématurée des fissures dans les zones tendues des éléments en béton armé ; mais, après la fissuration, l'influence du retrait diminue considérablement. Le retrait n'influe pas sur la capacité portante des éléments en béton armé des systèmes isostatiques. Dans les systèmes hyperstatiques, les liaisons surabondantes s'opposent au retrait, entraînant ainsi des contraintes internes supplémentaires dans les éléments. Les contraintes de retrait peuvent causer la fissuration des éléments en béton armé, raison pour laquelle dans les ouvrages de grandes dimensions, on envisage toujours des joints de retrait.

4.3. Influence du fluage du béton Comme pour le retrait, les barres d'armatures placées dans le béton constituent des liaisons internes qui s'opposent au développement libre des déformations de fluage. Dans ces conditions, il se passe une redistribution des contraintes entre le béton et l'armature. Ce processus de redistribution s'intensifie au début, pendant les premiers mois pour s'amortir au fur du temps. Si par exemple, on charge d'un poids F t un poteau symétriquement armé (voir

fig. 5.20), le raccourcissement instantané est ∆ el et les contraintes dans le béton et l'armature seront σ b et σ s . Après un certain temps t, le poteau se raccourcit d'une grandeur supplémentaire ∆ t

due au fluage du béton. Cela entraîne une

augmentation des contraintes de compression dans l'acier jusqu'à la valeur σ s,tf

(fig. 5.20, b). La charge F t étant constante et le système étant en équilibre, les

contraintes dans le béton doivent diminuer jusqu'à la valeur σ b,tf . Le béton et

l'acier travaillent ensemble, donc on a : avec,

ε b,tf

= ε s,tf

ε b,tf = σ b,tf /(ωb E b )

(5.16) (5.17) 102

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Chapitre 5. Le béton armé

Fig. 5. 20. Influence du fluage du béton sur une pièce comprimée en béton armé. a - raccourcissement de l'élément sous l'action du fluage; b - variation des contraintes dans le temps : 1 - dans l'acier; 2 - dans le béton.

ε s,tf

(5.18)

= σ s,tf /E s

Les contraintes de compression dans l'armature seront: σ s,tf = σ b,tf

Es n = σ b,tf ω b Eb ωb

où, ωb est le coefficient d'élasticité : ωb

ε el ε el + ε fl ,t

(5.19)

(5.20)

avec, ε fl,t - la déformation de fluage, qui est fonction du temps t et du niveau des contraintes σ.

L'équation d'équilibre des forces extérieures et intérieures dans le béton et l'armature s'écrit : F t = σ b,tf B c + σ s,tf As = σ b,tf B c (1 +

ρn ) ωb

(5.21)

La contrainte de compression dans le béton au temps t est égale à: σ b,tf =

ρn Bc (1 + ) ωb

(5.22)

Comme le coefficient ωb diminue avec le temps, alors la contrainte σ b,tf aussi va

diminuer avec le temps ; quant aux contraintes dans l'acier, elles vont, au contraire, augmenter. Pour les éléments courts comprimés, l'influence du fluage est positive, car il permet une bonne utilisation des résistances du béton et de l'acier. Pour les éléments comprimés élancés, le fluage entraîne une augmentation des excentricités initiales, diminuant ainsi leur capacité portante. 103 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 5. Le béton armé

Pour les éléments fléchis (voir fig. 5.21) dont la flèche instantanée est y el , le

phénomène de fluage agit comme suit : après un certain temps, sous l'effet du fluage, la zone comprimée se raccourcit de plus et la partie tendue s'étire d'avantage, entraînant ainsi une augmentation de la flèche jusqu'à la valeur y t pouvant dépasser y el deux à cinq fois (y t = (2 ... 5)y el .

Si un élément, après application de la charge, ne peut plus se déformer (c'est-àdire s'allonger ou se raccourcir) à cause des liaisons, par exemple comme indiqué sur la fig. 5.22, alors il se passe un phénomène appelé relaxation qui est la diminution des contraintes dans l'élément de longueur constante soumis à une charge permanente (constante). Cela s'explique comme suit : on a la force F t qui est constante, la contrainte développée dans le béton a pour valeur : σ b,t = ε b,tf ωb E b ;

(5.23)

mais, comme la déformation ε b,tf est constante selon les conditions d'exploitation

(la déformation étant gênée , donc ε b,tf = constante) et que ωb diminue avec le temps, donc la contrainte σ b,tf , selon l'expression (5.23), diminue.

Fig. 5. 21 . Influence du fluage du béton sur un élément fléchi.

Fig. 5. 22. Relaxation des contraintes dans l'acier (1) et dans le béton (2) pour un élément lié (non libre)

Le phénomène de relaxation des contraintes se passe aussi au niveau de l'armature grâce au développement des déformations plastiques. Le rapport σ b,tf /σ b est appelé coefficient d'amortissement des contraintes dans le béton ; il peut être exprimé sous forme exponentielle en fonction du temps t et d'un facteur caractérisant le fluage ϕ :

σ b,tf σb

-ϕt

(5.24)

où, t - le temps, en jours; ϕ - le facteur caractéristique du fluage.

104 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 5. Le béton armé

4.4. Action de la température La variation de la température provoque dans le béton armé des contraintes internes équilibrées, dues à la différence entre les coefficients de dilatation thermiques du ciment, des granulats et de l'acier. Jusqu'à une température de 50 ... 60°C, les contraintes internes ne sont pas importantes et n'entraînent pas une chute de la résistance du béton. Vers 200°C, la résistance du béton ordinaire (non réfractaire) peut chuter jusqu'à 30% , et il se détruit après un long séjour sous une température de 500...600°C. L'adhérence béton-acier diminue sous l'action des hautes températures. Pour les aciers à haute adhérence, elle diminue de 30% sous une température de 500°C et pour les aciers ronds lisses, cette diminution se produit déjà sous une température de 250°C. Dans les constructions hyperstatiques, la variation de température (variations journalière et saisonnière) provoque des efforts supplémentaires importants, surtout quand les dimensions de l'ouvrage sont considérables. Pour diminuer les efforts supplémentaires dus aux variations de température, on prévoit des joints de dilatation confondus le plus souvent avec les joints de retrait. La limite de résistance au feu d'un élément en béton armé est le temps (en heures) après lequel l'élément perd sa capacité portante, ou bien, il s'est formé des fissures importantes pouvant laisser passer le feu, ou bien encore, que la température de la face de l'élément opposée au feu s'est considérablement élevée (jusqu'à 150°C). La limite de résistance au feu d'un élément en béton armé dépend: - des dimensions de sa section droite; - de l'armature (type d'armature et de ferraillage); - de la couverture d'enrobage de l'armature. Le béton armé est un matériau qui résiste bien au feu. Le béton réfractaire est utilisé dans des endroits où les températures liées au processus technologique de la production sont très élevées (industries métallurgiques, divers fours, etc...).

4.5. Corrosion et couverture d'enrobage La corrosion du béton armé est déterminée par celle du béton et dans certaines conditions par celle de l'armature. Beaucoup de substances sont corrosives pour le béton, parmi elles, on peut citer : - les sels des acides, surtout de l'acide sulfurique; 105 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 5. Le béton armé

certains acides, par exemple l'acide d'azote, sulfurique, etc...; l'eau de mer; etc...

On protège le béton contre l'action néfaste des milieux agressifs en augmentant sa densité, ce qui veut dire une bonne composition granulaire, une augmentation du rapport ciment/eau (C/E) et une vibration suffisante. L'acier peut être corrodé sous l'action des substances agressives liquides et gazeuses, de même que par l'eau qui s'infiltre par les pores et les fissures du béton. L'acier corrodé augment de volume provoquant ainsi l'éclatement de la couverture d'enrobage. L'armature est protégée contre la corrosion par le béton de la couverture d'enrobage ; cette couverture doit être suffisante (voir tableau 5.1) en milieu agressif et humide.

5. LES ELEMENTS EN BETON ET EN BETON ARME Les éléments en béton et en béton armé dans les ouvrages sont obtenus : - soit en les coulant en place dans leur position d'exploitation (éléments coulés en place); - soit sous forme d'éléments déjà préfabriqués dans des usines spéciales (éléments préfabriqués).

5.1. Eléments coulés en place Ce sont les éléments qui sont exploités dans la même place où ils sont coulés. La technique de fabrication des éléments coulés en place (éléments monolithes) comprend les opérations suivantes : le coffrage; le ferraillage (pour les éléments en béton armé); le bétonnage; le suivi; le décoffrage.

5.1.1. Le coffrage Il s'agit par cette opération de limiter les dimensions du futur élément à obtenir par des planches en bois ou des tôles (plaques) métalliques ou en matières plastiques appelées coffrages. Ce coffrage doit être indéformable et pouvoir résister à toutes les charges (poids du béton et de l'armature, action des vibrations, poids des ouvriers et de l'équipement, etc..) qui lui sont appliquées avant le durcissement du béton.

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Chapitre 5. Le béton armé

5.1.2. Le ferraillage C'est l'opération de la mise en place de l'armature. Selon l'ouvrage ou sa partie, cette opération peut être facile ou complexe. Les armatures doivent être bien positionnées dans leurs places et sans subir de déplacements quelconques au moment du bétonnage.

5.1.3. Le bétonnage C'est l'opération de mise en oeuvre du béton. Il s'agit d'abord de couler le béton frais dans le coffrage déjà préparé avec l'armature placée à l'intérieur; après cela, on passe à la vibration du béton pour obtenir la compacité nécessaire afin d'avoir la densité et la résistance désirées.

5.1.4. Le suivi Après le bétonnage, c'est le suivi qui consiste à protéger le béton frais ainsi coulé contre certaines intempéries climatiques (températures extrêmes, rayons solaires) et à réunir les conditions nécessaires pour avoir un béton durci avec toutes les qualités nécessaires (bonne résistance, absence de fissures, etc...).

5.1.5. Le décoffrage Après que le béton ait atteint une certaine résistance, on passe au décoffrage qui est l'opération consistant à enlever le coffrage. Le temps mis entre le bétonnage et le décoffrage dépend de plusieurs facteurs qui sont: - la nature de l'ouvrage et celle de la sollicitation (portée, hauteur, massivité, etc...); - le milieu extérieur (air, eau, température, etc...); - la durée de prise du liant (liant à prise rapide, normale ou lente). Pour les éléments verticaux (surfaces verticales), par exemple les murs et les poteaux en béton de ciment portland (CPA, CPJ) à prise normale, cette durée est de 1 ... 4 jours dans les conditions normales d'humidité et de température. Cette durée augmente pour les ouvrages très hauts et avec des liants à durcissement lent. Pour les éléments horizontaux (surfaces horizontales), par exemple les planchers et les poutres en béton de ciment portland à durcissement normal, cette durée est de 15 ... 28 jours dans des conditions normales d'humidité et de température. Pour les petites portées (linteaux par exemple), la durée peut 107 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 5. Le béton armé

être ramenée à 7 … 15 jours. Avec les liants à durcissement rapide, cette durée peut être réduite à 7 ... 10 jours seulement. Avec certains liants à durcissement très lent, la durée peut considérablement augmenter et atteindre même trois mois (90 jours).

5.1.6. Domaine d’utilisation des éléments coulés en place Pour les éléments porteurs, et sauf prescriptions spéciales, le décoffrage est permis seulement quand la résistance acquise à ce jour j par le béton (f cj ) est au

moins égale à 70% de la résistance caractéristique à la compression f c28 et sous conditions que cet élément ne soit pas sollicité au maximum.

Le béton coulé en place est utilisé dans la réalisation de presque tous les types d'ouvrages modernes (bâtiments civils et industriels, ouvrages hydrauliques, ouvrages d'art, etc...) et leurs éléments constitutifs (fondations, dallages, murs, piliers, revêtements, couvertures, escaliers, etc…).

5.1.7. Avantages et inconvénients des éléments coulés en place Le béton coulé en place a des avantages et des défauts. Comme avantages du béton armé coulé en place (par rapport au béton armé préfabriqué), on peut citer : - une grande possibilité de donner aux éléments les formes et les dimensions désirées ; - une invariabilité (indéformabilité) géométrique considérable des ouvrages en béton coulé en place grâce aux noeuds de jonction très rigides. Comme défauts du béton armé coulé en place, on peut citer : - les difficultés d'exécution liées aux techniques et aux conditions climatiques ; - un coût souvent très élevé lié surtout aux travaux importants de coffrage ; - la lenteur dans l'exécution des travaux entraînant une longue durée de réalisation de la construction.

5.2. Eléments préfabriqués Ce sont les éléments qui sont fabriqués dans des usines spéciales appelées usines de préfabrication d'éléments en béton armé. Ces usines ont leurs propres 108 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 5. Le béton armé

ateliers de dosage, de fabrication de béton frais, de travaux de ferraillage et de coffrage et locaux de séchage. La nomenclature des éléments préfabriqués est très vaste. On y trouve des éléments pour les bâtiments civils, pour les bâtiments industriels et pour différents ouvrages techniques d’ingénieurs.

5.2.1. Eléments préfabriqués pour bâtiments civils Ce sont en général: - des éléments pour fondations (semelles, pieux, blocs pour soubassements, etc...); - des éléments pour murs (blocs, panneaux); - des éléments linéaires porteurs (poteaux à un ou plusieurs niveaux, poutres à une ou plusieurs travées); - des éléments de séparation horizontale (dalles de planchers et de couvertures); - des escaliers; - des éléments spéciaux comme par exemple des blocs pour la ventilation ou l'évacuation des contenus de poubelles, etc... - des éléments de décoration architecturale; - des éléments pour clôtures; - des éléments caissons présentant toute une chambre ou tout un appartement entier (chambres + cuisine + toilettes).

5.2.2. Eléments préfabriqués pour bâtiments industriels Ce sont en général: - des éléments pour fondations (semelles sous poteaux ou sous murs, pieux, longrines reliant les semelles isolées et supportant les murs ou panneaux de séparation, blocs, etc...); - des panneaux et blocs pour murs; - des poteaux pour bâtiments sans ou à plusieurs étages; - des poutres pour planchers et couvertures ou pour ponts roulants; - des dalles pour planchers et couvertures; - des fermes; etc...

5.2.3. Eléments préfabriqués pour ouvrages techniques Ce sont divers éléments en béton et en béton armé devant avoir certaines qualités répondant aux conditions d'exploitation; on peut citer par exemple: 109 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 5. Le béton armé

des éléments pour fondations d'ouvrages divers comme les ponts et autres; des supports et piliers (pour l'éclairage, la communication); des poutres pour ponts et autres ouvrages; des traverses pour voies de chemin de fer; des dalles pour revêtements des autoroutes et aérodromes (pavages); des arcs et éléments courbes pour la construction des tunnels; des réservoirs pour certains ouvrages techniques; des tuyaux pour prise d'eau et conduite d'eau; des éléments pour murs de soutènements, pour caniveaux, etc...

5.2.4. Avantages et inconvénients des éléments préfabriqués La préfabrication a des avantages qui sont: - une industrialisation de la construction; - un délai de construction relativement court; - une possibilité de montage quelque soit les conditions climatiques et sans coffrage; - une qualité du béton relativement meilleure. Les constructions en éléments préfabriqués ont quelques défauts qui sont: - une grande déformabilité (variabilité) de l'ouvrage due à la faible rigidité des noeuds de jonction des éléments préfabriqués; - une armature supplémentaire nécessaire pour le transport et le montage; - l'utilisation de matériels de chantiers (grues) parfois très chers pour le montage.

5.2.5. Les techniques de préfabrication Les techniques de la préfabrication comportent les opérations essentielles suivantes : - le dosage et l a préparation du mélange de béton ; - la préparation de l'armature; - le ferraillage de l'élément; - le moulage de l'élément comportant le bétonnage et le compactage (vibration) du béton mis en œuvre ; - le durcissement du béton.

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Chapitre 5. Le béton armé

Toutes ces opérations se font à l'intérieur de l'usine. En plus de ces opérations, les éléments préfabriqués en béton armé doivent être : - stockés : le stockage à l'usine et sur chantiers - transportés : le transport de l'usine au chantier; - mis en œuvre (montés) : le montage dans l'ouvrage. Une mauvaise exécution de ces trois dernières opérations peut avoir des conséquences très néfastes sur la qualité et la fiabilité de l'élément. Pour une meilleure exécution de toutes ces opérations, une bonne organisation intérieure et extérieure de l'usine est nécessaire. Il existe deux techniques principales de préfabrication des éléments en béton armé : - une première technique consiste à façonner dans des moules mobiles ; - une seconde technique, où les moules sont immobiles. Dans le premier cas des moules mobiles, toutes les opérations (nettoyage et graissage du coffrage, ferraillage, bétonnage (moulage), durcissement, décoffrage) se font dans des postes spécialisés avec tout l'équipement nécessaire ; l'élément avec le moule se déplace de poste en poste tout le long de la ligne technologique. Cette technique est utilisée pour la fabrication des éléments de petites à moyennes dimensions qui représente en général la grande majorité des préfabriqués. Dans le deuxième cas des moules immobiles, les éléments dans les moules restent sur place et les appareils (matériels et équipements nécessaires) pour exécuter les différentes opérations se déplacent de moule en moule. Cette technique est généralement utilisée pour la fabrication des éléments de très grandes dimensions (par exemple, les fermes en béton armé, les poutres de grandes longueurs). Pour réduire la durée de durcissement du béton (de 28 jours à 1... 2 jours ou à quelques heures seulement), on procède par étuvage qui consiste à introduire l'élément frais dans un autoclave où il est soumis à un traitement spécial de température et d'humidité. Le processus de durcissement du béton est ainsi accéléré grâce à ces deux facteurs essentiels qui sont une température élevée et un milieu très humide. Il existe plusieurs procédés pour créer un tel milieu (chaud et humide) : - un traitement à la vapeur chaude ; - le maintien de l'élément dans des réservoirs avec eau chaude ; 111 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 5. Le béton armé

le traitement à gaz chaud et humide sous haute pression ; l'introduction des éléments dans des héliocaméras (utilisation de l'énergie solaire).

La dernière méthode, qui consiste à utiliser l'énergie solaire dans la technologie de préfabrication du béton armé, mérite une attention particulière pour nos pays à climat chaud, où le soleil est présent presque toute l'année et pendant une grande période de la journée. En effet, les héliocaméras sont des chambres hermétiques, fermées en haut par des couvertures transparentes spéciales permettant d'utiliser l'énergie solaire pour créer un milieu favorable (chaud et humide) au durcissement rapide du béton armé.

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Chapitre 6. Notions sommaires sur les dessins d’exécution de béton armé

Chapitre 6

NOTIONS SOMMAIRES SUR LES DESSINS D'EXECUTION DE BETON ARME 1. DESSINS DE COFFRAGE Les dessins de coffrage sont l'ensemble des élévations, coupes et plans qui déterminent les formes extérieures brutes de coffrage (c'est-à-dire sans enduits et revêtements) des éléments constitutifs en béton armé. Ces dessins sont à établir en général chaque fois qu'il s'agit d'un ouvrage ou partie d'ouvrage en béton armé. L'établissement des dessins de coffrage se fait dans le respect des règles suivantes : - les échelles varient en général de 1/200 à 1/5 (couramment 1/100; 1/50 ; 1/25 ; 1/20 ; 1/10) ; - les coupes (horizontales et verticales) se font toujours en dehors des noeuds d'assemblage de façon à faire apparaître les sections courantes des éléments coupés ; - il est admis de pocher en noir les éléments verticaux (poteaux) quand ces derniers présentent une faible surface ; - les dessins doivent faire apparaître clairement les relations de liaison entre les différents éléments du système porteur ; - pour des raisons de lisibilité, on admet conventionnellement, que les dalles, leurs nervures et les poutres qui font corps avec elles ne sont pas coulées ; cela revient pour ces éléments une représentation en trait continu moyen des arêtes intérieures de leurs coffrages (arêtes intérieures vues); - pour les mêmes raisons de lisibilité, on admet que les éléments porteurs verticaux (poteaux, murs) sont coulés jusqu'au niveau inférieur des poutres faisant corps avec la dalle ; ce qui revient à admettre ces arêtes de béton ou de maçonnerie à des sections avec une représentation du contour en trait continu fort ; - les dessins doivent comporter toutes les cotes et repérages nécessaires à l'exécution de l'ouvrage ; - pour les poutres et les dalles, on cotera toujours les portées qui sont données par les distances de nu à nu brut des appuis en partie courante ; - l'équarrissage d'une poutre ou d'un poteau est indiqué sur les dessins sous la forme de deux nombres représentant les dimensions de la 113 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 6. Notions sommaires sur les dessins d’exécution de béton armé

section droite en centimètres (cm), séparés par le signe de la multiplication "x" : le premier nombre indique la petite dimension (largeur pour la poutre) et le second nombre indique la grande dimension (hauteur pour la poutre). Les équarrissages sont disposés près des indications de repérage des poutres ou poteaux, en général après ou en dessous (voir fig. 6.1 et 6.2) ; les épaisseurs des dalles pleines sont indiquées sur les plans par un nombre représentant l'épaisseur de la dalle en centimètres (cm), entouré de deux cercles ; pour les planchers à corps creux, l'indication de l'épaisseur se fait par deux nombres séparés par le signe de l'addition "+", entourés de deux cercles : le premier nombre représente l'épaisseur du corps creux, en centimètres, et le second nombre représente celle de la dalle en centimètres aussi (voir fig. 6.1.) ; sur les coupes, on indiquera les niveaux (arases inférieure et/ou supérieure) ; les éléments de l'ouvrage (poutres, poteaux, semelles, etc...), par catégories, doivent être repérés à l'aide des indications de repérage au choix du projeteur, par exemple (à titre indicatif), on peut désigner : + les poteaux par P (P1; P2; P3; etc...); + les poutres principales par PP (PP1; PP2; etc...); + les poutres secondaires par PS; les nervures par N; + les dalles par D; dalles pleines – DP ; dalles creuses DC ; + les chaînages horizontaux par CH ; chaînages verticaux par CV + les voiles par V; + les semelles isolées par S; les semelles filantes par SF; + les longrines par LG; + les linteaux par LT; + les radiers généraux par RG; + les poutres de redressement par PR; etc...; les dessins de coffrage doivent, en plus, donner des indications sur les ouvertures d'attente pour passage de canalisation, les surfaces de reprise et toutes autres informations nécessaires pour la bonne exécution de l'ouvrage.

Les dessins de coffrage peuvent être accompagnés de légendes explicatives des différents éléments et des tableaux donnant certaines caractéristiques de ces éléments (voir tableau 6.1 à titre indicatif).

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Chapitre 6. Notions sommaires sur les dessins d’exécution de béton armé

Fig. 6. 1 .

Fig. 6. 2. Coupes des différents éléments. a - poteaux ou poutres de section rectangulaire ; b - poutres de section en Te ; c - semelles isolées sous poteaux

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Chapitre 6. Notions sommaires sur les dessins d’exécution de béton armé

1 Semelles

Poteaux

Poutres

Dalles

Dimensions

en U

Positions

Arase Arase Autre Repérage inférieu supérieu dimensio par axes re re n

Quantité

Elément

Désign a

Observa-

tion

Section transversale

tions

S1 S2 S3 P1 P2 P3 PP1 PP2 PP3 1 2 a b

Faire l'esquisse Faire l'esquisse Faire l'esquisse Faire l'esquisse Faire l'esquisse Faire l'esquisse Faire l'esquisse Faire l'esquisse Faire l'esquisse Faire l'esquisse Faire l'esquisse Faire l'esquisse Faire l'esquisse

3.00 3.00 3.00 6.40 6.40 6.40 2.50 4.20 2.50x6.90 4.20x6.90

- 1.20 - 1.20 - 1.20 - 0.70 - 0.70 - 0.70 + 3.10 + 3.00 + 3.10 + 3.20 + 3.15 + 3.40 + 3.30

- 0.70 - 0.70 - 0.70 + 3.50 + 3.50 + 3.50 + 3.50 + 3.50 + 3.50 + 3.50 + 3.50 + 3.50 + 3.50

A1; B1 A2; B2 A3; B3 A1; B1 A2; B2 A3; B3 1 2 3 A; B A; B -

2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1

Tableau 6.1. Caractéristiques des éléments du plan de coffrage représenté sur la fig. 6.1.

2. DESSINS D'ARMATURES Il s'agit de la représentation des barres d'armatures en plan, profil et coupes. Ces dessins doivent donner tous les renseignements nécessaires à la bonne exécution de l'ouvrage, à savoir les formes (façonnages), les nombres, les diamètres, les longueurs et les positions des barres à l'intérieur des coffrages. Ainsi, les dessins d'armatures doivent être exécutés en respectant un certain nombre de règles: - les échelles usuelles de dessins d'armatures sont de 1/100 à 1/5 ; - le contour extérieur des éléments bruts est représenté en trait moyen; - toutes les barres d'armatures doivent être représentées dans leurs positions exactes avec toutes les cotes nécessaires à la définition des armatures et à leur mise en place, en particulier les diamètres, les nombres, les longueurs, les distances d'axe en axe des barres et d'axe des barres aux parements de l'élément; - en profils et en coupes, les barres seront représentées sensiblement à l'échelle.

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Chapitre 6. Notions sommaires sur les dessins d’exécution de béton armé

Aussi, les dessins d'armatures doivent également comporter certaines indications comme les nuances d'aciers des différentes barres, les références aux dessins de coffrage et toutes autres informations nécessaires à la bonne exécution de l'ouvrage. La notation 4∅12x6.40 signifie 4 barres de diamètres 12 mm et de longueur 6,40 m; de même, la notation 2HA20x8.20 signifie 2 barres à haute adhérence, de diamètre 20 mm et de longueur 8,20 m. Sur les fig. 6.3, 6.4 et 6.5 sont représentés quelques dessins d'armatures.

Fig. 6. 3. Schémas de ferraillage d'une poutre.

117 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 6. Notions sommaires sur les dessins d’exécution de béton armé

Fig. 6. 4. Ferraillage d'une dalle.

Fig. 6. 5. Ferraillage d'une semelle et d'un poteau.

Le tableau 6.3 permet de déterminer les quantités de matériaux (bétons et armatures) pour un élément constructif ou par élément constructif. Ce tableau permet de déterminer aussi le ratio Armature/Béton. Le tableau 6.4. peut être établit (en cas de nécessité) pour déterminer les quantités de matériaux par éléments et pour tout l'ouvrage. Elément

Position

Façonnage

∅ , en

Nuance

Longueur développée, en m

Quantité Longueur dans totale, en m l'élément, en U

PP1

Tableau 6. 2. Spécification des armatures pour un élément (ou par élément) constructif.

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Chapitre 6. Notions sommaires sur les dessins d’exécution de béton armé

Désignation

Elément

Béton f c28 , en Volume Nuance B, en m3 MPa

Armatures Diamètre

∅, en mm

Longueur , en m

Poids A, en kg

Ration : R =A/B, 3 kg/m

PP1

Tableau 6. 3. Quantité de matériaux pour un élément (ou par élément) constructif.

3. SPECIFICATION ET QUANTIFICATION

en kg

MPa

Nuance

en m

Quantité pour tout l'ouvrage Béton Armatures ∅, Long. Poids f c28 , Volume, en

MPa

Nuance

Eléments

Volume, en

Quantité pour un élément Béton Armatures Long. Poids ∅, f c28 ,

Nombre dans l'ouvrage

Les dessins d'exécution sont toujours accompagnés de tableau pour la spécification (nomenclature) des armatures et la détermination des quantités des armatures (poids) et du béton (volume). Le tableau 6.2 permet de faire la spécification des armatures pour un élément constructif (par exemple une poutre, une dalle, un poteau, une semelle). Ce tableau peut concerner une série d'éléments, dans ce cas, il donnera la spécification des armatures par élément.

en m

en kg

Dalles Poutres Poteaux Semelles TOTAL POUR TOUT L'OUVRAGE

Tableau. 6. 4. Quantité de matériaux par élément et pour tout l'ouvrage.

119 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 6. Notions sommaires sur les dessins d’exécution de béton armé

Les quantités d'armature par diamètre et par nuance et de béton pour tout l'ouvrage sont récapitulées dans un tableau final (tableau 6.5) et servira de document pour la commande de matériaux. Dans le cas où des profilés métalliques sont utilisés comme armatures (ou en cas de structure mixte), il est nécessaire de faire la spécification de ces profilés (voir tableau 6.6) pour un élément et pour tout l'ouvrage.

Bétons

Armatures

f c28 ,

Volume, 3 en m

Nuance

Diamètre, en mm

Longueur, en m

Nombre de barres de 12 m

Poids, en kg

en MPa

Pour un élément Longueur Poids, en kg , en m

Nombre dans l'ouvrage

Profilés N°

Nature (section)

Elément

Position

TOTAL Tableau 6. 5. Tableau récapitulatif des quantités de matériaux pour tout l'ouvrage.

Pour tout l'ouvrage Longueur, Poids, en kg en m

Tableau 6. 6. Spécification et quantité des profilés métalliques normalisés.

120 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

Deuxième partie

PRINCIPES DE CALCUL DU BETON ARME

121 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

Chapitre 7.

LES FONDEMENTS DE LA THEORIE Le béton armé (B.A.) est un matériau très complexe pouvant présenter des microfissures et des fissures même en l'absence de forces extérieures. Aussi, sous l'action des forces extérieures, il se déforme de façon non linéaire et non élastique et peut se fissurer. La présence de ces microfissures et fissures d'origines différentes entraîne une certaine redistribution des sollicitations dans les différentes sections de l'élément; de plus, le facteur temps influe considérablement sur le comportement du béton armé. Ces quelques considérations et d'autres encore, font que jusqu'à présent on n'est pas arrivé à trouver un modèle mathématique classique (dans le sens d'acceptable et simple) pour simuler le comportement réel du béton armé soumis à des actions extérieures. Les méthodes de la Résistance des Matériaux et de la théorie de l'élasticité classique ne permettent pas de déterminer l'état de contraintes et de déformations réel des éléments en B.A.; toutefois, pour déterminer les valeurs des sollicitations, on utilise lesdites méthodes. Cela permet une simplification du calcul et agit en général (mais pas toujours) dans le sens de la sécurité de l'ouvrage. Dans le calcul des éléments en B.A., on résout en général l'un des deux problèmes suivants: -

la détermination de la section de l'élément d'une capacité portante souhaitée, ce qui, en général, se ramène à la détermination des sections d'armatures, la section de béton et sa classe étant données ou pouvant être fixées ; la vérification de la capacité portance d'un élément ayant des caractéristiques géométriques (sections de béton et d'armatures) données.

Comme il a été déjà mentionné, le milieu extérieur et les conditions d'exploitation influent considérablement sur le comportement du B.A., en premier lieu sur ses propriétés mécaniques. Pour tenir compte de ces divers facteurs, on fait recours à une série de coefficients qui prennent des valeurs différentes pour chaque situation concrète. 122 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

LE CALCUL DU BETON ARME, UNE THEORIE FONDEE SUR DES BASES EXPERIMENTALES

1.1. Rôle des essais Le béton armé est un matériau composé de deux matériaux différents: - l'acier, qui est un matériau élastique auquel la loi de Hooke est applicable ; - et le béton, qui est un matériau viscoélastoplastique auquel la loi de Hooke n'est pas applicable. Les méthodes de la Résistance des Matériaux ne permettent pas de déterminer la capacité portance des éléments en B.A.; la pratique a montré qu'il n'y a pas de concordance entre les résultats issus des expériences et ceux obtenus par les formules de la Résistance des Matériaux. La fissuration des zones tendues complique d'avantage la situation. Toutes ces raisons font que l'élaboration d'une théorie de calcul du B.A. ne peut se fonder que sur les résultats issus des essais. Ainsi, la théorie de calcul du B.A. est fondée sur des bases expérimentales, autrement dit, ce sont les résultats des essais qui sont la base,

le point de départ pour la recherche d'un modèle mathématique de comportement du béton armé.

1.2. Etude expérimentale des éléments fléchis Une poutre en béton a une très faible capacité portante à cause de la faible résistance du béton à la traction. Elle va s'effondre sous l'action de son propre poids ou sous l'action d'une charge de très faible valeur (fig. 7.1, a). Pour augmenter sa capacité portante, on y noie des barres d’aciers appelées armatures qui ont une grande résistance à la traction (fig. 7.1, b); on obtient ainsi une poutre en béton armé.

Fig. 7. 1 .

123 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

Expérimentalement, il a été constaté que les éléments fléchis se rompent toujours au moment où la contrainte dans les aciers tendus a atteint la limite d'élasticité f e et la rupture a un caractère plastique. En augmentant la section

d'aciers dans la zone tendue, la rupture devient fragile avec écrasement du béton comprimé. En renforçant la zone comprimée avec des aciers, la rupture redevient plastique, mais à des charges plus élevées. Considérons une poutre de section rectangulaire (voir fig. 7.2, a) soumise à des charges verticales normales à son axe longitudinal. La charge est appliquée statiquement et de façon progressive. Dans la section s-s agit le moment maximal de valeur M. Durant le processus de chargement, du début du chargement jusqu'à la rupture de l'élément, on peut remarquer trois (3) phases distinctes de comportement de la section: PHASE I (fig. 7.2, b). Au début, le béton se déforme comme un corps élastique et l'armature travaille ensemble avec le béton ; mais de plus en plus, en zone tendue, le diagramme des contraintes se modifient : le diagramme triangulaire se transforme pour donner un diagramme de forme parabole-rectangle. Les contraintes dans le béton tendu atteignent ainsi leurs valeurs limites f tj , ce qui correspond à la fin de cette phase.

PHASE II (fig. 7.2, c). A cette phase, on assiste à la fissuration du béton tendu qui se trouve ainsi exclu du travail de prise des efforts. Tous les efforts de traction sont ainsi pris par l'acier et le béton tendu situé en haut de la fissure. Dans les zones entre fissures, les efforts sont pris par le béton et l'acier (voir fig. 7.3). Dès cette phase, des déformations plastiques remarquables apparaissent dans le béton comprimé. La fin de cette phase coïncide avec l'apparition des déformations plastiques dans l'acier tendu. PHASE III (voir fig. 7.2 d, e). Cette phase reflète le caractère de la rupture de la section. Le diagramme des contraintes dans le béton comprimé se transforme sous l'influence des déformations plastiques et se rapproche de la forme rectangulaire. Si la zone comprimée est armée, l'acier va travailler ensemble avec le béton et atteint un raccourcissement unitaire égal au raccourcissement unitaire du béton. Selon la quantité (section) d'aciers tendus, on distingue deux cas de rupture : er

• 1 cas. Dans les sections normalement armées (c'est-à-dire sans aciers surabondants), la rupture commence par l'armature tendue pour finir par l'écrasement du béton comprimé (fig. 7.2, d). Dans ce cas, la contrainte dans les aciers tendus va atteindre la limite d'élasticité f e , ce 124 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

Fig. 7. 2. Phases de déformation en flexion

Fig. 7. 3. Diagrammes des contraintes de traction dans les sections fissurées et entre fissures.

qui va provoquer une ouverture excessive des fissures et une réduction de la zone comprimée. La contrainte dans le béton comprimé atteint 125 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

rapidement la limite de rupture et le béton s'écrase. Une telle rupture a un caractère ductile (plastique). Ainsi, dans ce premier cas de rupture (voir fig. 7.4), les contraintes dans les deux matériaux constituants, c'est-à-dire le béton et l'acier, atteignent toutes deux leurs limites de résistance. ème

cas (voir fig. 7.2.e). Ce cas se passe dans les sections surarmées, •2 quand la contrainte de traction dans les aciers tendus, en raison de leur forte section, n'atteint pas la limite d'élasticité, alors que la contrainte dans le béton comprimé va atteindre la valeur limite f cj , ce qui va provoquer son écrasement. La rupture dans ce deuxième cas de rupture (voir fig. 7.4) a un caractère fragile ; elle se fait de façon soudaine. La résistance du béton comprimé dans ce cas peut être augmentée en plaçant des aciers comprimés.

Fig. 7. 4. Diagrammes des déformations et des contraintes dans les deux cas de rupture d'un élément fléchi. a) 1er cas : le point A est fixe ; b) 2e cas : le point B est fixe.

1.3. Evolution de la théorie de calcul du béton armé Le processus d'évolution et de modernisation de la théorie de calcul du béton armé a connu trois étapes principales: ère

étape: étape de calcul du béton armé aux contraintes admissibles ;

étape: étape de calcul du béton armé aux charges de rupture ;

étape: étape de calcul du béton armé aux états limites.

ème ème

1.3.1. Le calcul aux contraintes admissibles Cette méthode était utilisée avant les années 1940 et elle est fondée sur la théorie de l'élasticité linéaire. On suppose que l'état de contraintes et de déformations est en phase II (voir fig. 7.2, c). 126 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

Les hypothèses fondamentales sont les suivantes: - le béton tendu n'est pas pris en compte et toutes les contraintes de traction sont prises par l'armature ; - le diagramme des contraintes dans le béton comprimé est supposé triangulaire (voir fig. 7.5) ; - la conservation des sections planes ; - l'application de la loi de Hooke ; - le module d'élasticité est supposé constant ; - la section est homogénéisée à l'aide du coefficient d'équivalence n = E s /E b = 15 ; E s et E b - étant les modules d'élasticité de l'acier et du béton.

Le but du calcul est de ne pas admettre que les contraintes développées dans le béton et l'armature dépassent leurs valeurs admissibles déterminées à partir des charges dangereuses (de rupture). La sécurité de l'ouvrage est, dans ce cas, assurée à l'aide d'un seul coefficient de sécurité sur la résistance du matériau, ce qui présente l'inconvénient principal de cette méthode. De plus, supposer que le béton armé est élastique équivaut à surestimer les valeurs des contraintes dans les aciers tendus, ce qui a pour conséquence la surabondance des aciers calculés.

Fig. 7. 5. Calcul du béton armé aux contraintes admissibles. [M] - moment admissibles; [σ b ], [σ s ] contraintes admissibles dans le béton et l’acier

Fig. 7. 6. Calcul du béton armé aux charges de rupture. M rup - moment de rupture.

1.3.2. Le calcul aux charges de rupture Cette méthode a été élaborée au début du XXe siècle et fut adoptée en 1937 par le Brésil et en 1939 par l'URSS. Elle est fondée sur la théorie de la plasticité. Elle prend la phase III (voir fig. 7.2, d, e) comme base de calcul. Elle présente un net progrès par rapport à la méthode des contraintes admissibles, 127 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

car elle permet de mieux prendre en compte les propriétés réelles des matériaux. Les hypothèses fondamentales sont les suivantes: - le diagramme des contraintes dans le béton comprimé est supposé rectangulaire (voir fig. 7.6) ; - dans les formules de calcul, on introduit la limite d'élasticité de l'acier et la limite de résistance du béton à la compression ; - l'hypothèse des sections planes, la loi de Hooke et le coefficient d'équivalence n = E s /E b ne sont plus utilisés ; -

les sollicitations dans la section (moment M, effort normal N) ne doivent pas dépasser une certaine valeur limite définie à partir des charges de rupture (M rup , N rup ) divisées par un coefficient unique de

sécurité k : M ≤ Mrup/k ; N ≤ Nrup.

Le côté négatif de la méthode de calcul aux charges de rupture est le fait, qu'avec un seul coefficient de sécurité sur la résistance des matériaux, on ne peut pas assurer la sécurité globale de la construction.

1.3.3. Le calcul aux états limites La méthode de calcul aux états limites a été élaborée durant les années 19301950 et fut adoptée en URSS en 1955. Elle est fondée sur la théorie des probabilités. On définit un état limite comme étant un état particulier pour

lequel une condition requise d'une construction ou d'un de ses éléments est strictement satisfaite et cesserait de l'être en cas de chargement défavorable d'une action agissante. Cette notion d'état limite permet ainsi de prendre en

compte le comportement local ou d'ensemble d'une structure à tous les stades. De plus, cette méthode est théoriquement une méthode probabiliste dans laquelle les paramètres de base sont considérés comme aléatoires. Ainsi, les actions et les résistances des matériaux ont des valeurs caractéristiques définies par une probabilité, acceptée à priori, d'être obtenue à 95%. Les autres facteurs d'incertitude sont couverts par multiplication ou division par des coefficients de sécurité. C'est pourquoi la méthode des états limites est souvent désignée comme une méthode semi-probabiliste. Le but du calcul consiste ainsi à s'assurer qu'à tout moment, les valeurs maximales probables des sollicitations S max ne doivent pas dépasser celles que peut supporter la structure pour tous les états limites, c'est-à-dire les valeurs limites. Ces valeurs limites sont en fait les valeurs minimales probables des 128 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

sollicitations résistantes R min (capacité portante) pour un état limite donné : on

doit ainsi avoir à tout moment : S max ≤ R min .

Ainsi, avec la méthode des états limites, la notion de sécurité prend en compte plusieurs facteurs d'insécurité, à savoir: - la résistance intrinsèque des matériaux ; - la valeur la plus probable des charges permanentes ; - la valeur des actions variables appliquées avec une certaine probabilité de dépassement ; - l'action défavorable ou favorable de ces actions et charges ; - l'approximation du calcul des sollicitations ; - les défauts géométriques dans les dimensions de la structure ; - la fissuration plus ou moins défavorable ; - les conditions d'exploitation ; etc... On tient compte de tous ces facteurs d'insécurité en leur appliquant individuellement un coefficient de sécurité diviseur γ (γ > 1 ) qui est d'autant plus élevé que le facteur en question présente une moins bonne fiabilité.

2. LA METHODE DES ETATS LIMITES 2.1. Définitions. Objet des justifications 2.1.1. Définitions Un état limite est un état particulier au delà duquel une structure ou un de ses éléments ne répond plus aux fonctions pour lesquelles elle a été conçue. Donc, à l'état limite la condition requise est strictement satisfaite, mais au delà du seuil de l'état limite, en cas de modification dans le sens défavorable d'une des actions agissantes sur la structure, cette dernière cesse de remplir les fonctions pour lesquelles elle a été conçue. On distingue deux catégories d'états limites: - les états limites ultimes (E.LU.) ; - les états limites de service (E.L.S.). Les états limites ultimes (E.L.U.) sont les états dont le dépassement équivaut à la ruine de l'ouvrage. Ils comprennent : 129 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

les états limites ultimes de résistance - E.L.U.-R. - dont le dépassement conduisent à la perte de résistance (rupture, écrasement, glissement) ; les états limites ultimes de stabilité de forme - E.L.U.-S.F. - dont le dépassement conduisent à la perte de la stabilité de forme (flambement) ; les états limites ultimes de stabilité de position - E.L.U.-S.P. - dont le dépassement conduisent à la perte de l'équilibre statique ou perte de la stabilité de position (basculement, renversement).

Les états limites de service (E.L.S.) sont les états dont le non respect compromet la durabilité de l’ouvrage ou bien contrarie les conditions d’exploitation normale. Ils comprennent : -

les états limites de fissuration dont le non respect entraîne la formation ou l’ouverture excessive des fissures dans le béton ; les états limites de déformation dont le non respect entraîne des flèches et rotations importantes, des inclinaisons inadmissibles, des tassements importants, des amplitudes de vibration inconfortables des ouvrages ou de ses éléments.

2.1.2. Objet des justifications L’état limite le plus important est l’état limite ultime, car il définit l’existence

même de l’ouvrage. La justification à l’état limite ultime est obligatoire pour tous les ouvrages et à tous les stades (fabrication, montage, essais, exploitation). Quant aux états limites de service, ils peuvent être prédominants pour certains ouvrages particuliers. La justification aux états limites de service est à faire pour certaines catégories d’ouvrages seulement. La méthode de calcul aux états limites étant une méthode semi-probabiliste tenant compte de la variabilité aléatoire des propriétés mécaniques des matériaux et des actions, l’objet du calcul est donc de maintenir la probabilité de n’atteindre tel ou tel état limite qu’au-delà d’une valeur préétablie pour le type de structures. Le calcul permet ainsi de justifier, dans la mesure où il n’existe pas de faute de conception, qu’une sécurité appropriée est assurée: - vis à vis de la ruine de l’ouvrage et des ses éléments constitutifs (E.L.U.) ; - vis à vis d’un comportement non satisfaisant en service (E.L.S.).

130 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

2.2. Etude de la résistance d’un matériau Comme il a été souligné, dans la méthode des états limites, les propriétés mécaniques des matériaux sont considérées comme aléatoires. Dans ce cas, on est amené à introduire dans les calculs des valeurs plus petites que les valeurs réelles et à utiliser des méthodes de probabilité pour calculer certaines grandeurs. Ainsi, l’étude de la résistance d’un matériau se fait sur des éprouvettes avec des dimensions définies par les textes réglementaires. En désignant par n i le nombre d’éprouvettes ayant une résistance égale à f i et en traçant la courbe de distribution des résistances sur un repère n-f (n étant la fréquence des résistances f), cette courbe aura une allure assimilable à une courbe de distribution normale définie par la loi de Laplace - Gauss (voir fig. 7.7, a). Dans ce cas, les quantités suivantes auront pour expressions : - la valeur moyenne de la résistance ou l’espérance mathématique (voir fig. 7.7, b) :

D =

∑ ( f i − f m )ni ∑ ni − 1

la dispersion ou la variance :

l’écart type : S =

∑ f i ni ∑ ni

(7.1)

(7.2)

(7.3)

Fig. 7. 7. Courbe de distribution des résistances. 1 - courbe des essais; 2 - courbe théorique.

On remarquera que les courbes sont asymptotiques, c’est-à-dire ne coupent pas l’axe des abscisses f; car en principe, il n’y a pas une valeur minimale et une valeur maximale pour la résistance d’un matériau. De plus, la courbe est symétrique par 131 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

rapport à f m , car ce sont les mêmes facteurs qui sont à la base de la variation de la résistance. La distribution normale définie par la loi de Laplace - Gauss à laquelle on assimile la distribution des résistances des matériaux a pour expression, selon les notations précédentes: − 1 n = e S 2π

( f − f m )2

(7.4)

2S 2

Pour les matériaux caractérisés par une grande dispersion des propriétés (résistances), la courbe de distribution est plus plate que celle pour les matériaux ayant des propriétés beaucoup plus stables (voir fig. 7.8).

Fig. 7. 8. Courbes de distribution des résistances. a) du béton à la traction ; b) du béton à la compression ; c) de l’acier à la traction et à la compression.

On constate ainsi sur les courbes de distribution des résistances que la valeur moyenne de la résistance f m est acceptée avec un risque de trouver 50% des valeurs inférieures à la valeur f m . Les études probabilistes permettent de minorer ce risque en choisissant une valeur caractéristique (ou valeur nominale) minimale garantie, notée f min , inférieure à la valeur f m (voir fig. 7.7, b) telle que : f min = f m - kS (7.5) ou encore f min = f m (1 - kv) (7.6) avec, v =

S fm

(7.7)

ici: v - le coefficient de variation; k - le coefficient normatif qui dépend du risque r accepté (voir sa valeur dans le tableau 7.1). Risque r → Coefficient k →

0,1%

2,5%

10%

16%

20%

50%

3,09

2,33

1,96

1,64

1,28

1,00

0,80

0,00

Tableau 7. 1 . Valeurs du coefficient normatif k en fonction du risque r. N. B. le risque r est défini comme la quantité (1 – a) où, a est l’assurance (probabilité).

132 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

La valeur caractéristique de la résistance étant avec une assurance (probabilité) au moins égale à 0,95 (c’est-à-dire qu’au moins dans 95 cas sur 100, la résistance réelle du matériau sera supérieure à celle fixée par les normes), donc le coefficient normatif k est égale à 1,64 (voir tableau 7.1). Une telle fiabilité est très élevée et nous permet d’être assurés de la sécurité de la structure. Ainsi, la valeur caractéristique (ou nominale) de la résistance d’un matériau f n , fixée par la méthode des états limites, a pour expression: f n = f m ( 1 - kv ) (7.8) Les valeurs de calcul des résistances aux états limites ultimes seront

obtenues en divisant les valeurs caractéristiques par une série de coefficients dont les coefficients de sécurité sur la résistance et les coefficients tenant compte des conditions de travail et d’exploitation de l’ouvrage. Les valeurs des

coefficients de sécurité dépendent du degré de variation de la grandeur caractéristique (allure de la courbe de distribution) et du type de sollicitation. Par exemple, pour l’acier le coefficient de sécurité (généralement pris égal à 1,10 ... 1,20) est plus petit que pour le béton (généralement pris égal à 1,30 ... 1,60) ; aussi, même pour le béton, le coefficient de sécurité en compression (généralement pris égal à 1,30 ... 1,50) est plus petit qu’en traction (généralement pris égal à 1,50 ... 1,60). Les conditions d’exploitation de la structure sont prises en compte à l’aide d’une série de coefficients dont chacun tient compte d’une condition particulière indépendamment d’une autre. Parmi ces conditions on peut citer : - l’influence du temps ; - la simultanéité des actions ; - l’influence des charges cycliques (vibrations) ; - la radiation solaire ; - l’influence des petites dimensions et des joints pour le béton ; - l’influence des soudures pour l’acier; etc...

Aux états limites de service, les valeurs de calcul des résistances sont en général prises égales à leurs valeurs nominales.

2.3. Les actions Les actions sont l’ensemble des charges appliquées à la structure, ainsi que les conséquences des modifications statiques ou d’états qui entraînent des déformations de la structure. Elles sont classées en trois catégories en fonction 133 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

de leur sont : -

fréquence d’apparition et leurs valeurs ont un caractère nominal ; ce les actions permanentes; les actions variables; les actions accidentelles

2.3.1. Actions permanentes Les actions permanentes sont les charges qui sont appliquées avec la même intensité pendant toute la durée de vie de l’ouvrage ; ce sont : - le poids propre de la structure (pour le béton armé la masse volumique est prise égale à 2,5 tonnes/m3) ; - les charges des superstructures et des équipements fixes ; - les poussées des terres et des liquides dont les niveaux varient très peu ; - les déformations permanentes imposées à la construction. Les charges permanentes sont notées G ou g et sont affectées d’un coefficient de sécurité multiplicateur γ G > 1 quand elles sont défavorables et, γ G ≤ 1 quand elles sont favorables. Le B.A.E.L. – 91, révisé 99 (normes Françaises) admet de prendre γ G = 1,35 dans les cas courants des charges défavorables. Plus l’incertitude est grande sur la valeur nominale de la charge, plus le coefficient de sécurité γ G est élevé et inversement, plus on a une grande certitude sur la valeur d’une charge, plus on peut voir à la baisse la valeur du coefficient de sécurité sur la charge.

2.3.2. Actions variables Les actions variables sont les charges dont l’intensité varie dans le temps. Elles sont notées en général Q i ou q i (i = 1, 2, 3 ...) et leurs valeurs sont définies par les textes réglementaires et normatifs en vigueur. On distingue : - les charges d’exploitation ; - les charges climatiques ; - les actions dues à la température ; - les actions appliquées en cours d’exécution. Les charges d’exploitation sont celles appliquées à la structure pendant son exploitation. Il s’agit des surcharges sur les planchers des bâtiments (poids des personnes et des équipements), les charges sur les ponts (poids des véhicules), les pressions hydrostatiques (poids de l’eau dans les réservoirs), etc... 134 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

Les charges climatiques sont l’action du vent et de la neige. En régions tropicales, cela se réduit à la seule action du vent. Les actions dues à la température se manifestent avec les variations de température qui ont pour conséquences la dilatation et le raccourcissement des éléments de la structure. Il y a aussi les actions appliquées à la structure en cours d’exécution de l’ouvrage ou pendant des essais. En effet, pendant l’exécution d’un ouvrage, une structure peut être soumise à l’action des charges supplémentaires (poids des ouvriers, d’un équipement, etc...) ou bien peut changer de schémas de calcul lors du montage. Les actions variables sont affectées de coefficients de sécurité multiplicateurs γ Qi (avec i = 1, 2, 3, ... ) qui prennent les valeurs suivantes (Règles B.A.E.L. - 91) : - pour la première charge variable considérée appelée charge variable de base : γ Q1 = 1,5 pour les cas courants et γ Q1 = 1,35 pour le cas des bâtiments à faible occupation humaine, des charges variables strictement bornées et de l’action de la température ; - pour les autres charges variables appelées charges variables d’accompagnement: γ Qi =1,3 en général (i = 1, 2, 3, ...).

2.3.3. Actions accidentelles Les actions accidentelles sont les charges dues à des phénomènes très rares comme les séismes, les incendies, les explosions, les chocs sur les ouvrages, etc... Elles sont notées F A ou f A et ne sont à considérer que si les documents techniques le prévoient.

2.4. Les sollicitations de calcul Les sollicitations sont les efforts internes développés dans les sections de la structure provoquées par les actions qui s’exercent sur elle. Il s’agit des efforts

(normaux et transversaux) et des moments (moments de flexion et de torsion). Elles sont déterminées en général par les méthodes de la Résistance des Matériaux en supposant un modèle élastique linéaire du béton. Les valeurs des sollicitations à considérer résultent des combinaisons d’actions suivantes dont on retient les plus défavorables : 135 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

les combinaisons fondamentales ; les combinaisons accidentelles ; les combinaisons rares.

2.4.1. Combinaisons fondamentales La combinaison fondamentale est à considérer lors des situations durables (exploitation) ou transitoires (exécution, essais, etc...) et sert à déterminer les sollicitations de calcul vis à vis des états limites ultimes (E.L.U.). Elle se présente comme suit: A cf = γ G G max + G min + γ Qi1 Q 1 + ∑γ Qi ψ oi Q i ; i = 2, 3, ... (7.9) avec, γ G - coefficient de sécurité sur les charges permanentes défavorables ; γ G = 1,35 pour les cas courants; G max - ensemble des actions permanentes défavorables; G min - ensemble des actions permanentes favorables; il faut également noter que les charges G max et G min doivent être d’origine et de nature différentes ; Q 1 - action variable de base; γ Q1 - coefficient de sécurité sur Q 1 ; γ Q1 = 1,5 ou 1,35; Q i (i = 2, 3, ...) - actions variables d’accompagnement; γ Qi - coefficient de sécurité sur Q i ; γ Qi = 1,3 ; ψ oi Q i - la valeur de combinaison des charges Q i ; ψ oi = 0,77 pour les cas courants des charges d’exploitation, climatiques et d’essais ; ψ oi = 0,6 pour les variations de température ; ψ oi = 1,0 pour les cas spécifiques des charges quasi permanentes élevées (bâtiments de stockage, archives, salles de spectacles et certaines constructions industrielles). La sollicitation de calcul à l’E.L.U. est ainsi déterminée à partir (c’est-à-dire est fonction) de cette combinaison d’actions : S ELU = fonction(A cf ) (7.10)

2.4.2. Combinaisons accidentelles La combinaison accidentelle est définie par les textes spécifiques et sert à déterminer les sollicitations de calcul vis à vis des états limites ultimes (E.L.U.). La combinaison d’actions à considérer est la suivante : A ca = G max + G min + F A + ψ 1 1 Q 1 + ∑ψ 2i Q i ; i = 2, 3, ... (7.11) avec, F A - la valeur nominale de l’action accidentelle;

136 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

ψ 11 Q 1 - la valeur fréquente d’une action variable ( ψ 11 = 0,2 ... 0,8 selon la nature de l’action Q 1 ); ψ 2i Q i - les valeurs quasi permanentes des actions variables Q i (ψ 2i = 0,1 ... 0,6). La sollicitation de calcul à l’E.L.U. est ainsi déterminée à partir (c’est-à-dire est fonction) de cette combinaison d’actions : S ELU = fonction(A ca ) (7.12)

2.4.3. Combinaisons rares La combinaison rare est à considérer lors des situations durables (en général) et sert à déterminer les sollicitations de calcul vis à vis des états limites de service (E.L.S.). La combinaison à considérer est la suivante : A cr = G max + G min + Q 1 + ∑ψ oi Q i ; i = 2, 3, ... (7.13) La sollicitation de calcul à l’E.L.S. est ainsi déterminée à partir (c’est-à-dire est fonction) de cette combinaison d’actions : (7.14) S ELS = fonction(A cr )

2.5. Notations essentielles Nous exposons ici quelques notations essentielles qui seront fréquemment utilisées dans ce qui va suivre : A s - la section (aire) des aciers tendus (ou moins comprimés); A s ’ - la section (aire) des aciers comprimés (ou moins tendus); A t - section (aire) droite d’un cours d’armatures transversales; B - aire de la section de béton B c - aire de la partie comprimée de la section de béton; E b - module de déformation longitudinale du béton; E b,i - module de déformation sous charges instantanées; E b,λ - module de déformation sous charges différées; E s - module d’élasticité de l’acier; G - charges permanentes; I - moment d’inertie; M - moment de flexion; M u - moment de flexion dû aux charges ultimes (moment fléchissant ultime); M ser - moment de flexion dû aux charges de service (moment fléchissant de service); N - effort normal; 137 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

N u - effort normal ultime; N ser - effort normal de service; Q - charges variables; b - largeur de la section droite; b o - largeur de l’âme de la section en Te; d - hauteur utile (distance du centre de gravité des armatures tendues A s à la fibre la plus comprimée); d’ - distance du centre de gravité des armatures comprimées A s ’ à la fibre la plus comprimée; e - excentricité; f cj - résistance caractéristique du béton à l’âge j; f c28 - résistance caractéristique du béton à l’âge de 28 jours; f bc - résistance de calcul du béton; f e - limite d’élasticité garantie de l’acier; f s - résistance de calcul de l’acier; g - intensité des charges permanentes; h - hauteur totale de la section; l f - longueur de flambement; l s - longueur de scellement; n - coefficient d’équivalence acier/béton: n = E s /E b ; q - intensité des charges variables; s t - espacement des armatures transversales; y - profondeur de l’axe neutre (comptée à partir de la fibre la plus comprimée); y u - profondeur de l’axe neutre sous charges ultimes; y ser - profondeur de l’axe neutre sous charges de service; z - bras de levier (du moment résistant); α - profondeur relative de l’axe neutre: α = y/d ; γ b - coefficient de sécurité sur la résistance du béton; γ s - coefficient de sécurité sur la résistance de l’acier; ε bc - raccourcissement unitaire du béton comprimé; ε b,u - raccourcissement unitaire ultime du béton comprimé en flexion (ε b,u = ,0035); ε bc,u - raccourcissement unitaire ultime du béton comprimé en compression simple (ε bc,u = 0,002); ε b,t - allongement unitaire du béton tendu; ε bt,u - allongement unitaire ultime du béton; ε s - allongement unitaire des aciers tendus; ε s ’ - raccourcissement unitaire des aciers comprimés (ou allongement unitaire des aciers les moins tendus); η - coefficient de fissuration; ψ s - coefficient de scellement; 138 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

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λ - élancement; ρ - pourcentage d’armatures; σ bc - contrainte de compression dans le béton comprimé; σ s - contrainte de traction dans les aciers tendus; σ s ’ - contrainte de compression dans les aciers comprimés; τ s - contrainte d’adhérence; τ s,e - contrainte d’adhérence d’entraînement.

2.6. L’état limite ultime de résistance (E.L.U.- R) 2.6.1. Résistance des éléments en béton armé La résistance d’un élément en béton armé est assurée si la condition suivante est vérifiée: Fu ≤ FR (7.15) avec, F u - la sollicitation maximale ultime développée dans la section due aux charges extérieures ; F R - la sollicitation résistante de la section, c’est-à-dire la sollicitation maximale que peut prendre la section (sa capacité portante). Dans une section d’un élément en béton armé, les efforts sont pris par le béton et l’armature avant toute fissuration. Ainsi, dans les zones comprimées et dans les zones tendues non fissurées, les sollicitations sont prises par le béton et l’acier. Par contre, dans les zones tendues fissurées, les sollicitations sont prises par l’armature uniquement. Un élément soumis à des actions extérieures se déforme, l’augmentation des valeurs des actions extérieures entraîne une croissance des sollicitations, donc des contraintes dans le matériau. Dans leur déformation, chaque matériau (béton et acier) suit son diagramme de déformation. La rupture de l’élément intervient quand le diagramme de déformation d’un des matériaux arrive au point de rupture. Pour l’élément fléchi par exemple, la rupture se produit au moment où, soit le béton comprimé, soit l’acier tendu arrive le premier à son point de rupture. Avec des aciers ayant une grande réserve de déformation (par rapport au béton), cela va toujours conduire à une rupture par écrasement du béton comprimé. Dans ces conditions, les aciers tendus peuvent être, soit en régime élastique, soit en régime plastique de déformation; la contrainte dans les aciers comprimés sera déterminée par le raccourcissement du béton comprimé.

2.6.2. Hypothèses de calcul 139 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

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Les hypothèses fondamentales pour le calcul sont les suivantes: • H1. La conservation des sections planes: selon cette hypothèse, les diagrammes des déformations (allongement, raccourcissement) sont linéaires sur la hauteur de la section; donc, en chaque point k la déformation ε k est proportionnelle à la distance a k de ce point à l’axe neutre (voir fig. 7.9).

Fig. 7. 9. Conservation des sections planes. 1, 2 - positions de la section respectivement avant et après déformation.

• H2. La résistance du béton à la traction est négligée, autrement dit le béton tendu est complètement négligé dans la prise des efforts. • H3. Il n’y a pas de glissement relatif entre les armatures et le béton; cela veut dire que l’armature subit la même déformation linéaire (allongement ou raccourcissement) que la gaine de béton qui l’entoure (ε s = ε b ). • H4. La section totale d’un groupe de barres disposées en plusieurs lits peut être supposée concentrer au centre de gravité du groupe, à condition que l’erreur ainsi commise sur les déformations unitaires ne dépasse pas 15% pour les lits extrêmes. • H5. Les positions que peut prendre la droite représentant les diagrammes des déformations de la section doivent passer par au moins l’un des trois pivots (voir règle des trois pivots ci - après) qui sont tels que: - le raccourcissement unitaire ultime du béton est limité : + à ε bc,u = 0,002 pour la compression simple ; + à ε b,u (ε b,u = 0,0035 si f c28 ≤ 40 MPa) pour la flexion. - l’allongement unitaire ultime de l’acier est limité à ε s,u (ε s,u = 0,010). • H6. Les diagrammes de déformation « σ - ε » des matériaux (béton et acier) adoptés pour le calcul sont ceux définis ci - après.

2.6.3. Diagrammes de déformation des matériaux 140 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

a) Diagramme de déformation du béton Le diagramme de calcul « contrainte - déformation » « σ-ε » du béton est celui représenté sur la fig. 7.10. Ce diagramme comprend deux parties: une partie parabolique PP et une partie rectangulaire PR.

Fig. 7. 1 0. Diagramme de déformation du béton

Le diagramme de déformation est définit comme suit: - pour la partie parabolique, c’est-à-dire quand 0 ≤ ε bc ≤ 0,0035, on a: σ bc = 0,25 f bc 103 ε bc (4 - 103 ε bc ) ; (7.16) - pour la partie rectangulaire, c’est-à-dire quand 0,002 ≤ ε bc ≤ 0,0035, on a: σ bc = f bc (7.17) avec, f bc =

0,85 f cj

γ bθ

(7.18)

Dans ces expressions : ε bc - le raccourcissement du béton comprimé ; σ bc - la contrainte de compression dans le béton ; f bc - la résistance de calcul à la compression du béton ; f cj - la résistance caractéristique du béton à la compression à l’âge j ; γ b - le coefficient de sécurité sur la résistance du béton: γ b = 1,5 pour les cas courants, γ b = 1,15 pour les combinaisons accidentelles; pour des situations transitoires, dans la mesure où cela peut être justifié, on peut prendre une valeur intermédiaire entre 1,15 et 1,5 pour γ b ; θ - coefficient tenant compte de la durée de la combinaison d’actions considérée: θ = 1 si la durée probable d’application de la combinaison d’actions considérée est supérieure à 24 heures, θ = 0,9 si cette durée est comprise entre 1 heure et 24 heures et θ = 0,85 si cette durée est inférieure à 1 heure.

141 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

Le coefficient 0,85 tient compte de l’influence négative de la durée d’application des charges sur la résistance du béton (évolution des microfissures). Le coefficient 0,85 est remplacé par 0,80 dans le cas où la largeur de la zone comprimée du béton est décroissante vers les fibres les plus comprimées. On constate ainsi que les coefficients θ et 0, 85 tiennent compte

de l’influence négative de la durée d’application des charges sur la résistance du béton. En effet, la pratique a montré que la résistance du béton sous charges de longue durée est inférieure à celle sous charge de courte durée. Cela est dû aux microfissures qui apparaissent très tôt, longtemps avant la rupture du béton sous charge de courte durée et cela produit la rupture du béton à long terme. Le coefficient 0,85 a pour rôle de tenir compte de ce phénomène. Ce coefficient peut être revu à la hausse (0,85 ... 0,95) pour des situations transitoires de courte durée. Il peut être pris égal à 1 (l’unité) pour des cas exceptionnels (charges de très courte durée, humidité très élevée). b) Diagrammes de déformation des aciers

Fig. 7. 1 1 . Diagrammes de déformation des aciers. a - aciers naturels ou fortement écrouis (rond - lisses, barres à H.A. type 1, 3, 4); b - aciers écrouis (type 2). 1 - diagrammes réels; 2 - diagrammes adoptés pour le calcul.

Les diagrammes de calcul « contrainte - déformation » « σ s -ε s » sont ceux représentés sur la fig. 7.11. Ils comprennent deux parties définies comme suit: - si 0 ≤ ε s ≤ε s,e , on a : σs = εs Es (7.19) - si ε s,e ≤ ε s ≤ 0,010 , on a : + pour les aciers naturels ou fortement écrouis: σs = fs (7.20) + pour les aciers écrouis

142 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

σs avec,

f s (1 + 0,1

fs =

ε s − ε s ,e ) ε s ,u − ε s , e

(7.21) (7.22)

γs

et ε s,e

fe γ s Es

(7.23)

Dans ces expressions: ε s - déformation (allongement ou raccourcissement) unitaire des aciers ; ε s,e déformation unitaire correspondant à une contrainte égale à la limite d’élasticité garantie ; E s - module d’élasticité de l’acier (E s = 2.105 MPa) ; σ s - contrainte (de traction ou compression) dans les aciers ; f e - limite d’élasticité garantie des aciers ; γ s - coefficient de sécurité sur la résistance des aciers : γ s = 1,15 pour les cas courants et γ s = 1,00 pour les combinaisons accidentelles.

2.6.4. Diagrammes des contraintes dans le béton Pour le béton comprimé on admet, par convention, deux types de diagrammes des contraintes (voir fig. 7.12): - le diagramme parabole rectangle - PR (fig. 7.12, d); - le diagramme rectangle simplifié - RS (fig. 7.12, e).

Fig. 7. 1 2. Diagrammes des contraintes dans le béton. a - section sollicitée; b - diagramme des déformations; 1, 2 - positions de la section respectivement avant et après déformation; c - diagramme réel des contraintes; d diagramme parabole rectangle PR; e - diagramme rectangle simplifié RS.

Le diagramme parabole rectangle (diagramme PR) est utilisé en général quand la section est entièrement comprimée (compression centrée ou excentrée).

143 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

Le diagramme rectangle simplifié (diagramme RS) est utilisé quand la section n’est pas entièrement comprimée, c’est-à-dire partiellement comprimée (flexion simple ou composée). L’utilisation du diagramme RS simplifie le calcul et donne des résultats acceptables sans erreurs considérables pour des calculs pratiques. Son adoption équivaut à une certaine réduction de la hauteur de la zone comprimée, mais cette réduction n’est pas considérable et n’entraîne pas de variation du bras de levier z du moment résistant. La résultante des forces de compression dans le béton F b est: - pour le diagramme PR: F b = ψ y b σ bc ; (7.24) - pour le diagramme RS: F b = 0,8 y b σ bc , (7.25) avec, y - profondeur de l’axe neutre ; b - largeur de la section ; σ bc - contrainte de compression dans le béton ; ψ - coefficient de remplissage, égal au rapport de l’aire de la parabole rectangle et celle du rectangle circonscrit (voir fig. 7.13, a): ψ =

A2 A1

(7.26)

Dans les deux cas, le moment résistant ultime équivaut à: (7.27) M rup = F b z avec: - pour le cas du diagramme rectangulaire simplifié : z = d - 0,4 y ; (7.28) - pour le cas du diagramme parabole rectangle : z = d - δG y (7.29) δ G - étant le coefficient de position du centre de gravité du diagramme des contraintes (voir fig. 7.13, b). Dans le cas particulier, quand ε bc = 0,0035, on a σ bc = f bc , ψ = 0,81 et δ G =0,416.

144 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

Fig. 7. 1 3. Détermination des coefficients ψ et δ G en fonction de ε bc .

2.6.5. Règle des trois pivots La règle des trois pivots s’énonce comme suit: les diverses positions que peut prendre la droite représentant le diagramme des déformations linéaires de la section sollicitée à l’état limite ultime passent par au moins un des trois pivots (pivots A, B et C) qui définissent trois domaines (domaines 1, 2 et 3) (voir fig. 7.14). Ces trois pivots sont définis par des déformations linéaires

unitaires caractéristiques résistantes de la section.

permettant

déterminer

les

sollicitations

Fig. 7. 1 4. Règle des trois pivots. A, B, C - pivots; 1, 2, 3 - domaines.

a) Pivot A

Fig. 7. 1 5. Le pivot A. Domaines définis par le pivot A: AA 1 - traction simple; 1a, 1b - traction excentrée; 1c, 1d - flexion.

Le pivot A définit le domaine 1 (voir fig. 7.15) dans lequel l’acier tendu A s a atteint son allongement maximal ultime ε s,u = 0,010 ; cela conduit au premier cas de rupture des éléments fléchis. Dans ce domaine, le béton tendu en bas est fissuré; quant au béton d’en haut, il peut être comprimé ou tendu, fissuré ou non (voir tableau 7.2). 145 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

Le pivot A peut avoir lieu en traction centrée ou excentrée ou en flexion (simple ou composée). La droite AA 1 correspond à la traction simple. Si on donne

une excentricité à la force résultante de traction, la droite des déformations va pivoter autour du point A jusqu’à la position AO où les fibres les moins tendus vont commencer à être comprimées. La position limite de la droite des déformations est la droite AB qui correspond au raccourcissement ultime du béton comprimé ε b,u . b) Pivot B

Fig. 7. 1 6. Le pivot B. Domaines définis par le pivot B: 2a - flexion; 2b - flexion; 2c - flexion composée avec compression.

Le pivot B définit le domaine 2 (voir fig. 7.16) dans lequel le béton comprimé a atteint son raccourcissement maximal ultime ε b,u = 0,0035 ; cela conduit au deuxième cas de rupture des éléments fléchis. Les aciers tendus A s peuvent être en régime élastique (ε s < ε s,e dans les domaines 2b et 2c) ou plastique (ε s,e ≤ ε s ≤ ε s,u dans les domaines 2a) de déformation et le béton tendu est généralement fissuré (voir tableau 7.2). Le pivot B a lieu en flexion. Quand le béton comprimé atteint son

raccourcissement ultime ε b,u , une augmentation de la zone comprimée entraîne une diminution de la contrainte dans les aciers tendus (diminution de la déformation des aciers), dans ce cas la droite des déformations linéaires va pivoter autour du point B jusqu’à la position limite BO 1 où toute la section est comprimée. c) Pivot C Le pivot C définit le domaine 3 (voir fig. 7.17) où toute la section est comprimée; cela conduit à une rupture par écrasement du béton. C’est donc le cas de la compression centrée ou excentrée. En compression simple, le 146 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

raccourcissement ultime est de 0,002, cela est représenté par la droite C 1 C 2 . Cette dernière coupe la droite BO 1 (position limite du pivot B où toute la section est comprimée) en un point invariant C. De la position BO 1 à la position

C 1 C 2 , la droite des déformations va pivoter autour du point C avec une section entièrement comprimée (voir tableau 7.2).

Sous domaine

Domai ne

Pivot

Fig. 7. 1 7. Le pivot C. Domaines définis par le pivot C : C 1 C 2 - compression simple; 3 - compression excentrée.

AA 1

1c 1d

2a B

2b 2c C1C2

Sollicitation traction centrée traction excentrée

CONSTATATIONS Béton en zone Aciers en zone supérieure Inférieure supérieure inférieure BTF ε bt = ε s,u BTF 0 ≤ ε bt < ε s,u

BTF ε bt = ε s,u BTF ε bt = ε s,u

BTNF 0 ≤ ε bt ≤ ε bt,u BC Flexion 0 ≤ ε bt ≤ ε bc,u ; ε bc,u = 0,002 Flexion BC 0,002 ≤ ε bc ≤ε b,u ε b,u = 0,0035 Flexion BC ε bc = ε b,u Flexion BC ε bc = ε b,u compression BC excentrée ε bc = ε b,u compression BC

BTF ε bt = ε s,u BTF ε bt = ε s,u

traction excentrée

AT ε s = ε s,u AT ε bt,u ≤ ε s ≤ ε s,u AT

AT ε s = ε s,u AT ε s = ε s,u

AT ou AC

AT ε s = ε s,u AT ε s = ε s,u

BTF ε bt = ε s,u

AC ε s ’ = ε bc

AT ε s = ε s,u

BTF ε bt = ε s BTF ε bt = ε s BTF ou BTNF BC

AC ε s ’ = ε bc AC ε s ’ = ε bc AC ε s ’ = ε bc AC

AT ε s,e ≤ ε s ≤ ε s,u AT ε s < ε s,e AC ε s = ε bc AC

147 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

centrée compression excentrée

ε bc = 0,002 BC 0,002 ≤ ε bt ≤0,0035

ε bc = 0,002 BC 0 ≤ ε bc ≤ 0,002

ε s ’ = 0,002 AC 0,002 ≤ ε s ’ ≤ 0,0035

ε s ’ = 0,002 AC 0 < ε s ’ ≤ 0,002

Tableau 7. 2. Tableau récapitulatif de la règle des trois pivots. BTF - béton tendu fissuré; BTNF - béton tendu non fissuré; BC - béton comprimé; AT - acier tendu; AC acier comprimé.

d) Récapitulation Il y a donc trois pivots qui sont définis comme suit: - Pivot A : traction centrée ou excentrée avec E.L.U. atteint dans les aciers tendus ; rupture par écoulement des aciers tendus. - Pivot B : flexion simple ou composée avec E.L.U. atteint dans le béton comprimé ; rupture par écrasement du béton comprimé. - Pivot C : compression centrée ou excentrée avec E.L.U. atteint dans le béton comprimé ; rupture par écrasement du béton comprimé.

2.6.6. Positions particulières de la section. Détermination des pivots

Fig. 7. 1 8. Positions particulières de la section déformée.

Considérons les trois pivots et essayons de représenter les positions particulières de la section déformée (voir fig. 7.18). Dans ce qui suit, désignons par: y - la profondeur de l’axe neutre par rapport à la fibre la plus comprimée (ou la moins tendue); α = y/d - la profondeur relative de l’axe neutre par rapport à la fibre la plus comprimée; d - la hauteur utile de la section; h - la hauteur totale de la section. On retiendra ici quelques positions particulières de la section : 148 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

OO 1 - la position de la section avant déformation; AA 1 - la position de la section sollicitée à l’E.L.U. en traction simple; C 1 C 2 - la position de la section sollicitée à l’E.L.U. en compression simple; AB - la position de la section sollicitée à l’E.L.U. en flexion, position limite entre les pivots A et B; C 1 A - la position de la section sollicitée à l’E.L.U. en flexion, position correspondant à un raccourcissement du béton égal à 0,002 ( σ bc = f bc ) et un allongement des aciers égal à 0,010; BA 2 - la position de la section sollicitée à l’E.L.U. en flexion, position correspondant à un raccourcissement du béton égal à 0,0035 et une contrainte de traction dans les aciers égale à la résistance ultime f s,u = f e /γ s (ε s,e = f e / (γ s E s )); BO 1 - la position de la section sollicitée à l’E.L.U. en compression excentrée, position correspondant au raccourcissement ultime du béton (ε bc =0,0035) et une contrainte nulle à la fibre la plus tendue; la section est donc entièrement comprimée. Déterminons maintenant quelques grandeurs géométriques (déformations linéaires, profondeurs absolue et relative de l’axe neutre) pour chacune des positions particulières de la section • Pour la position AA 1 , on a : ε s = ε s,u = 0,010 ; ε bt = ε s,u = 0,010 ; y = - ∞ ; α = 0. • Pour la position AC 1 , on a : ε s = ε s,u = 0,010 ; ε bc = 0,002 ; y = y 1 ; α = α 1 = y 1 /d . De la règle des triangles semblables (diagramme des déformations linéaires), on obtient:

ε bc ,u donc Ainsi, on a : et

ε s ,u

ε bc ,u 0,002 d ⇒ y1 = d= d = 0,167 d + ε bc ,u 0,010 + 0,002 ε s ,u + ε bc ,u α 1 = y 1 /d = 0,167.

y 1 = 0,167 d α 1 = 0,167 • Pour la position AB, on a : ε s = ε s,u = 0,010 ; ε bc = ε b,u = 0,0035 ;

(7.30) (7.31) y = y AB ;

α = α AB = y AB /d

. De la règle des triangles semblables (diagramme des déformations linéaires), on obtient:

149 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

y AB

ε b ,u

ε s ,u

ε b ,u 0,0035 d ⇒ y AB = d= d = 0,259d + ε b ,u 0,010 + 0,0035 ε s ,u + ε b ,u

donc

α AB = y AB /d = 0,259.

Ainsi, on a:

(7.32) (7.33)

y AB = 0,259 d α AB = 0,259

En conclusion, on peut dire que pour le pivot A, la profondeur relative de l’axe neutre varie de 0 (pour la traction simple) à 0,259 (pour la flexion): α ≤ 0,259 •

Pour la position BA 2 , on a : ε s = ε s,e ; ε bc = ε b,u = 0,0035 ;

y = y lim ; α = α lim =

y lim /d. Du diagramme des déformations linéaires, on obtient:

y lim

ε b ,u

d − y lim

ε s ,e

⇒ y lim =

ε b ,u 0,0035 d= d ε s , e + ε b ,u ε s ,e + 0,0035

donc α lim = y lim /d =

0,0035 . 0,0035 + ε s,e

Ainsi, on a: y lim = et

0,0035 d 0,0035 + ε s , e

α AB =

(7.34)

0,0035 0,0035 + ε s,e

(7.35)

Pour la position BO 1 , on a : ε s ’ ≅ 0 (ε s ’< 0 - raccourcissement) ; ε bc = ε b,u = 0,0035 ; y = h = 1,1d ; α = y/d = 1,1d/d = 1,1. Ainsi, on a: y = 1,1d et α = 1,1. •

En conclusion, on peut dire que pour le pivot B, la profondeur relative de l’axe neutre varie de 0,259 (pour la flexion) à 1,1 (pour la compression excentrée avec une section entièrement comprimée): 0,259 ≤ α ≤ 1,1. Dans le cas particulier où α = α AB = 0,259 , on est simultanément en pivot A et en pivot B. Pour la position C 1 C 2 , on a : ε s ’ = ε bc,u = 0,002 ; ε bc = ε bc,u = 0,002 ; •

y = ∞ ;

α = ∞. 150

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Chapitre 7. Les fondements de la théorie

Ainsi, en pivot C, on a: α ≥ 1,1. Dans le cas particulier où α =1,1, on est simultanément en pivot B et en pivot C. Récapitulation: Les pivots peuvent être déterminés à partir de la profondeur relative de l’axe neutre α. Ainsi: - pour le pivot A, on a : α ≤ 0,259 (7.36) ou encore y ≤ 0,259d ; (7.37) - pour le pivot B, on a : 0,259 ≤ α ≤ 1, 1 (7.38) ou encore 0,259y ≤ y ≤ h (7.39) - pour le pivot C, on a : α ≥ 1,1 (7.40) (7.41) ou encore y≥h

2.7. Etat limite ultime de stabilité de forme (ELU- SF) Les pièces élancées soumises à des efforts normaux de compression subissent des déformations amplifiées dues à l’effort normal et deviennent ainsi instables transversalement (voir fig. 7.19). Ce phénomène porte le nom de flambement; il entraîne: - une majoration des contraintes (due à l’amplification des déformations) compromettant ainsi la résistance de la pièce ; - une instabilité de forme de la pièce sans qu’aucune de ses sections n’ait atteint l’état limite ultime de résistance (l’E.L.U. -R). Il s’agit donc de démontrer qu’il existe un état de contrainte, généralement éloigné de l’état limite ultime de résistance et pouvant équilibrer les sollicitations agissantes, y compris celles dues à la déformation de la structure. Pour que la stabilité de forme soit assurée, il faut que la condition suivante soit vérifiée: (7.42) N u ≤ N cr avec, N u - l’effort normal de compression sollicitant; N cr - la valeur critique de la sollicitation pour l’E.L.U.- S.F., elle dépend des caractéristiques géométriques de la section et de la déformabilité de l’élément.

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Chapitre 7. Les fondements de la théorie

La justification vis à vis de l’E.L.U.- S.F. des sections soumises à des efforts normaux de compression se fait en adoptant une excentricité totale de calcul égale à : e = e1 + ea + e2 (7.43) avec, e 1 - excentricité (dite du premier ordre) d’application des charges extérieures (excentricité théorique) :

Mu Nu

(7.44)

M u et N u - étant le moment et l’effort normal sollicitant ultimes dus aux forces extérieures ; e a - excentricité additionnelle, traduisant les imperfections géométriques initiales : - pour les éléments isolés: e a = Max. 2 cm; l/250 (7.45) l - longueur de la pièce; - pour les ossatures, on prend : • une inclinaison de 0,01 radian s’il s’agit d’un seul étage avec une majorité des charges appliquées au niveau inférieur, et • une inclinaison de 0,005 radian pour les autres ossatures ; N.B. Il est à noter que l’ingénieur doit porter une attention particulière à l’excentricité additionnelle qui tient compte des imperfections géométriques accusées pendant l’exécution de l’ouvrage. e 2 - l’excentricité due aux effets du second ordre, liés à la déformation de la structure.

Fig. 7. 1 9. Instabilité des barres comprimées.

Fig. 7. 20. Diagramme de déformation du béton comprimé à l’E.L.U.-S.F. pour évaluer les déformations. 1,2 - diagrammes de base et adopté: k = 1 + αϕ.

Ainsi, les sollicitations sont calculées à partir des combinaisons d’actions définies pour les E.L.U. et les E.L.S. , en tenant compte : 152 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

des imperfections géométriques initiales et éventuellement des défauts de section ou de lignes; des sollicitations du deuxième ordre liées à la déformation de la structure.

Les déformations de la structure sont évaluées à partir des hypothèses suivantes: - H1: la conservation des sections planes ; - H2: la résistance du béton à la traction est négligée ; - H3: les effets du retrait du béton sont négligés ; - H4: le diagramme de déformation σ - ε de l’acier est identique à celui pour l’E.L.U.-R. ; - H5: le diagramme de déformation σ - ε du béton comprimé est déduit de celui de base (diagramme parabole rectangle) par une affinité parallèle à l’axe des déformations et de rapport k ≤ 3 définit comme suit (voir fig. 7.20) : k = 1 + αϕ (7.46) avec,

α =

M1 M tot

(7.47)

ϕ - coefficient de fluage du béton (ϕ = 1,5 ... 2,5); dans les calculs pratiques, on prend ϕ = 2,0; ce coefficient tient ainsi compte du facteur temps dans l’amplification des déformations à l’E.L.U.-S.F. : ϕ

ε tot ε bi

(7.48)

avec, ε tot - déformation totale due au fluage; ε b,i - déformation instantanée sous la charge considérée ; M 1 - le moment dû aux charges de longue durée d’application (charges permanentes et quasi permanentes) ; M tot - le moment dû aux charges totales (charges permanentes et variables). Les moments M 1 et M tot sont déterminés compte tenu de l’excentricité additionnelle e a . On peut de façon forfaitaire tenir compte des effets du second ordre si la condition suivante est remplie :

lf h

< Max  15 ;

20e1  h

(7.49)

avec, l f - la longueur de flambement de l’élément; h - la hauteur de section de l’élément; e 1 - l’excentricité du premier ordre.

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Chapitre 7. Les fondements de la théorie

Dans ce cas, l’excentricité e 2 due aux effets du second ordre est égale à : e2 =

3l 2f 10 4

(2 + αϕ )

(7.50)

2.8. Etat limite ultime de stabilité de position - E.L.U.S.P. (Equilibre statique) En plus de la résistance et de la stabilité de forme, une structure ne doit pas perdre son équilibre statique (renversement, basculement) sous l’action des charges extérieures qui lui sont appliquées. En d’autres termes, les actions extérieures ne doivent pas nuire à la position stable de la construction. Cela concerne surtout les ouvrages soumis à des forces horizontales importantes; c’est le cas par exemple des murs de soutènement et des ouvrages tours (voir fig. 7.21).

Fig. 7. 21 . Equilibre statique des ouvrages.

L’équilibre statique de l’ouvrage est assurée si la condition suivante est satisfaite: M stab > M basc (7.51) avec, M stab - moment des forces stabilisatrices, c’est-à-dire des charges qui tendent à maintenir l’ouvrage dans sa position stable ; M basc - moment des forces basculantes, c’est-à-dire des charges qui tendent à basculer ou à renverser l’ouvrage; c’est le cas par exemple de l’action de la poussée des terres sur les murs de soutènement et l’action du vent sur les ouvrages tours (voir fig. 7.21). Les moments M stab et M basc l’ouvrage tend à pivoter: et

sont pris par rapport au point A autour duquel M basc = H z M stab = G a

(7.52) (7.53)

Dans les cas courants, la combinaison d’actions pour déterminer les sollicitations de calcul vis à vis de l’E.L.U.-S.P. est la combinaison fondamentale : 154 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

γ G G max + G min + γ Q1 Q 1 + ∑ 1,3 ψ oi Q i .

(7.54)

Dans cette combinaison: G min est l’ensemble des charges permanentes favorables (stabilisatrices) prises avec un coefficient de sécurité ≤ 1,0 ( de 0,7 à 1,0 ); Q 1 - est la charge variable la plus défavorable (basculante) prise avec un coefficient de sécurité maximal, au moins égal à 1,5 ( ≥ 1,5); Q i - les autres charges variables défavorables (basculantes).

Il faut bien noter qu’ici les charges variables favorables (stabilisatrices) ne sont pas prises en compte. La formule de calcul à l’état limite ultime de stabilité de position, traduisant l’équilibre statique de l’ouvrage, dans les cas courants se présentent comme suit : k =

M stab ≥ 1,50 M basc

(7.55)

k - étant le coefficient de stabilité ; M stab - moment dû aux actions stabilisatrices affectées d’un coefficient minorateur ; M basc - moment dû aux actions basculantes affectées d’un coefficient majorateur.

2.9. Etat limite de service vis à vis de la durabilité (Etat limite de fissuration) 2.9.1. Généralités La durabilité d’un ouvrage est déterminée en partie par le béton et en partie par les armatures. Pour cela, une part importante revient à la qualité du béton, à sa compacité, à l’enrobage des armatures, aux niveaux des contraintes dans le béton et dans les armatures. Le béton est un matériau qui peut être fissuré sous l’action des phénomènes comme le retrait, les variations de température, le fluage et sous l’action des contraintes de traction de faible niveau. Les fissures de largeur excessive peuvent compromettre l’aspect des parements, l’étanchéité des parois, la tenue des armatures vis à vis de la corrosion. On doit ainsi empêcher la formation de ces fissures qui peuvent être, soit nuisibles pour l’ouvrage (étanchéité, corrosion des armatures), soit très désagréables à l’œil.

2.9.2. Hypothèses

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Chapitre 7. Les fondements de la théorie

Les hypothèses fondamentales de calcul à l’état limite de fissuration sont les suivantes: • H1: la conservation des sections planes ; • H2: le béton tendu est négligé ; • H3: le béton et l’acier sont considérés comme des matériaux linéairement élastiques et il est fait abstraction du retrait et du fluage du béton ; • H4: il n’y a pas de glissement relatif entre les armatures et le béton ; • H5: par convention, on admet que le rapport des modules d’élasticité de l’acier E s et du béton E b est égal à n (n = E s /E b ), n est appelé coefficient d’équivalence ; • H6: la section totale d’un groupe de barres tendues ou comprimées et disposées en plusieurs lits est remplacée par la section équivalente d’une barre unique située au centre de gravité du groupe, à condition que l’erreur ainsi commise sur les déformations linéaires unitaires soit au plus égale à 15% pour les lits extrêmes ; • H7: la section du béton comprimé est déterminée sans déduction des sections des aciers comprimés. Selon ces hypothèses, la section du béton armé peut être homogénéisée en remplaçant une section d’aciers A s par une section de béton nA s (n étant le coefficient d’équivalence) ayant même centre de gravité que la section d’aciers; l’aire du béton comprimé conserve sa valeur géométrique. Ainsi, l’aire de la section homogénéisée B h est égale à: - pour le cas d’une section partiellement comprimée: B h = B c + n(A s ’ + A s ) (7.56) - pour le cas d’une section entièrement comprimée: (7.57) B h = B c + nA s ’ avec, A s - la section des aciers tendus ; A s ’ - la section des aciers comprimés ; B c - aire de la section du béton comprimé; n - coefficient d’équivalence. La loi de Hooke étant vérifiée selon les mêmes hypothèses, on peut appliquer à la section homogénéisée les formules classiques de la Résistance des Matériaux. A l’état limite de fissuration, les matériaux étant considérés élastiques (donc ils restent dans le domaine élastique), les diagrammes des déformations et des contraintes, pour le cas par exemple de la flexion, sont représentés sur la fig. 7.22.

156 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

Fig. 7. 22. Diagramme des déformations et des contraintes pour l’état limite de fissuration.

2.9.3. Calculs de vérification Les vérifications à l’état limite de fissuration supposent que les contraintes développées dans la section des matériaux ne dépassent pas leurs valeurs limites ultimes et que ces valeurs restent pratiquement dans le domaine élastique. Les vérifications à effectuer portent sur: - un état limite de compression du béton ; - un état limite d’ouverture des fissures du béton tendu.

2.9.4. Etat limite de compression du béton Quand le niveau des contraintes de compression dans le béton comprimé est très élevé, il peut se former des fissures parallèles à la direction des contraintes. Pour empêcher la formation de ces fissures, on est amené à limiter la contrainte de compression dans le béton à une valeur σ bc définie comme suit:

σ bc = 0,6 f c28

(7.58)

Cette vérification est à effectuer surtout pour des sections rectangulaires fléchies avec un pourcentage d’armatures élevé. Les normes Françaises admettent que pour les sections rectangulaires fléchies avec des aciers FeE400, on peut ne pas vérifier la compression du béton si l’on a : αu

yu d

≤

γ −1 2

+ 0,01 f cj

(7.59)

avec,

α u - profondeur relative de l’axe neutre sous les charges ultimes ; y u profondeur de l’axe neutre sous les charges ultimes ; d - hauteur utile de la section ; f cj - résistance caractéristique du béton à la compression, exprimée en MPa; γ

Mu M ser

(7.60) 157

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Chapitre 7. Les fondements de la théorie

M u - moment fléchissant ultime ; M ser - moment fléchissant de servis.

2.9.5. Etat limite d’ouverture des fissures a) Armatures de peau

Fig. 7. 23. Armatures de peau

Dans les parois et les âmes des poutres de grande hauteur, il peut se former des fissures dues à certains phénomènes comme le retrait, les variations de température, le fluage. Pour empêcher la formation de ces fissures, on place des armatures qu’on appelle armatures de peau. Ces armatures sont disposées parallèlement à la fibre moyenne de la poutre et leur section est mesurée par mètre de longueur de parement perpendiculairement à leur direction (voir fig. 7.23). Le diamètre ∅ de ces armatures de peau est tel que : ∅ ≤ Max

h b  ; 35 10

(7.61)

h, b - les dimensions de la section de la poutre. b) Catégories de fissuration Le béton, ayant une très faible résistance à la traction, se fissure très généralement en zone tendue. Les ouvertures des fissures dans le béton tendu sont limitées grâce à une limitation de la contrainte dans les aciers tendus. Selon qu’on veut exclure totalement ou admettre temporairement une certaine ouverture des fissures, on fixe des valeurs limites (k f σ s ) à la contrainte dans les aciers tendus. En effet, pour certains ouvrages (réservoirs par exemple), on doit exclure une quelconque ouverture des fissures sous l’action de la totalité des charges ; pour ces ouvrages là, la fissuration est très préjudiciable. Par contre, pour d’autres ouvrages, on peut admettre une certaine ouverture (ouverture très limitée) des fissures pendant une très courte durée sous l’action de la totalité des charges (charges de longue durée d’application et de courte durée d’application). Pour ces ouvrages, dès que disparaissent les charges dites de courte durée d’application, les fissures se referment; c’est le cas des ouvrages pour lesquels la fissuration est jugée préjudiciable, car une ouverture 158 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

prolongée des fissures serait très nuisible. Il existe aussi une catégorie d’ouvrages, en dehors de tout milieu agressif, pour lesquels l’ouverture prolongée des fissures (avec une ouverture limitée) est jugée peu nuisible. Ainsi, selon le degré de nocivité des ouvertures des fissures, on distingue trois cas: - le cas où la fissuration est peu préjudiciable; - le cas où la fissuration est considérée comme préjudiciable; - le cas où la fissuration est considérée comme très préjudiciable. c) Cas où la fissuration est peu préjudiciable La fissuration est considérée comme peu préjudiciable pour les ouvrages suivants: - les éléments dans les locaux couverts et clos ; - les éléments non soumis à des condensations ; - les parements invisibles et ne faisant pas l’objet de conditions spécifiques concernant l’ouverture des fissures.

Pour ces éléments, aucune vérification particulière n’est requise en dehors des prescriptions générales. d) Cas où la fissuration est considérée comme préjudiciable La fissuration est jugée préjudiciable pour les éléments suivants : - les éléments exposés aux intempéries; - les éléments soumis à des condensations; - les éléments exploités dans l’eau douce. Pour ces éléments, on doit respecter les règles suivantes : -

la contrainte dans les aciers tendus, en MPa, est limitée à :

σ s = Min 

2 f e ; Max (0,5f e ; 110 ηf tj ) 3

(7.62)

avec, f e - la limite d’élasticité garantie des aciers, en MPa ; f tj - la résistance caractéristique du béton à la traction, en MPa ; η coefficient de fissuration: η = 1 pour les barres rond-lisses et les treillis soudés formés de fils tréfilés lisses; η = 1,6 pour les barres à haute adhérence; η = 1,3 pour les armatures de diamètre < à 6 mm ; le diamètre des armatures les plus proches des parois est ≥ à 6 mm ; 159

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Chapitre 7. Les fondements de la théorie

dans les dalles et voiles d’épaisseur inférieure ou égale à 40 cm, l’écartement des armatures d’une même nappe s est tel que : s ≤ Min  25 cm; 2h  (7.63) avec h - épaisseur totale de l’élément.

e) Cas où la fissuration est considérée comme très préjudiciable La fissuration est jugée très préjudiciable pour les éléments suivants : - les éléments exposés en milieux agressifs ; - les éléments devant assurés une étanchéité. Pour ces éléments, on doit respecter les règles suivantes : - la contrainte dans les aciers tendus, en MPA, est limitée à 0,8 σ s où, -

σ s est déterminé par la formule (7.62)

le diamètre des armatures les plus proches des parois est au moins égal à 8 mm ; il faut disposer des armatures de peau, à raison de 5 cm2 par mètre de longueur de parement, mesurée perpendiculairement à leur direction ; si les armatures tendues ont un diamètre ∅ supérieur à 20 mm, la distance entre axes de deux barres consécutives a doit être inférieure ou égale à 3 fois le diamètre (a ≤ 3∅ ) ; dans les dalles et voiles d’épaisseur inférieure ou égale à 40 cm, l’écartement des armatures d’une même nappe s est tel que : s ≤ Min  15 cm; 1,5h  (7.64)

2.10. Etat limite de service vis à vis des déformations Les justifications relatives à l’état limite de déformation sont à présenter lorsque les déformations sont susceptibles : - de gêner l’utilisation de l’ouvrage (fonctionnement de l’équipement) ; - d’engendrer des désordres dans la construction ou dans les éléments qu’elle supporte ; - de provoquer des inquiétudes psychologiques chez les usagers. Le calcul des déformations globales (flèche, rotation, amplitude de vibration) doit tenir compte des phases successives de la construction et des sollicitations agissantes ; mais les déformations obtenues à des phases successives ne sont pas cumulables en raison de la fissuration. Le calcul des déformations se fait : - soit pour limiter les valeurs des déformations de l’ouvrage, 160 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

soit pour évaluer les contre flèches à donner lors de la construction de l’ouvrage.

Les valeurs limites admissibles des flèches pour quelques éléments porteurs courants sont données dans le tableau 7.3. Pour évaluer les déformations, deux cas distincts sont à considérer : - état non fissuré du béton; - état fissuré du béton. Dans le cas du béton non fissuré, on rend la section homogène en utilisant le coefficient d’équivalence n = E s /E b . Dans le cas du béton fissuré, on tient compte des fissures dans les zones tendues en introduisant dans les calculs un moment d’inertie fictif calculé à partir des formules empiriques. N° 1 2

3 4

Désignation Poutres sur deux appuis de portée l sous ponts roulants: - régime léger - régime intense Poutres, dalles de portée l : - pour planchers et couvertures sans cloisons et revêtements fragiles: l ≤ 3,0 m 3,0 < l ≤ 6,0 m 6,0 < l ≤ 10,0 m l > 10,0 m - pour planchers avec cloisons, plafonds ou revêtements fragiles: l ≤ 5,0 m l > 5,0 m Poutre, dalles de portée l, soumises à l’action de charges mobiles Pour les consoles de longueur c, on prendra l = 2c si c ≤ 2,0 m et l = 2,5c si 2,0 < c ≤ 3,0 m.

Flèche admissible l/500 l/600

l/150 l/200 l/300 l/400 l/500 0,5 cm + l/1000 l/500 -

Tableau 7. 3. Valeurs admissibles des flèches pour quelques éléments.

2.11. La condition de non fragilité Pour qu’une section tendue ou fléchie soit considérée comme « non fragile », il faut que la force de traction provoquant la fissuration du béton entraîne dans les aciers tendus de section A s une contrainte σ s au plus égale à leur limite d’élasticité garantie f e ( σ s ≤ f e ). Dans le cas contraire, où la contrainte σ s dépasserait la limite d’élasticité f e , les aciers ne seront plus en mesure de s’opposer à la rupture fragile de la pièce. De telles pièces sont fragiles, elles ne 161 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

sont pas considérées comme des éléments en béton armé et sont classées dans le groupe des constructions en béton. Ainsi, la condition de non fragilité impose une section minimale d’armatures dans les éléments fléchis et tendus. Pour déterminer ce pourcentage minimal d’armatures, les calculs sont conduits dans l’hypothèse d’un diagramme linéaire des contraintes sur toute la hauteur de la section supposée non armée et non fissurée et en prenant sur la fibre extrême tendue une contrainte du béton égale à f tj .

2.11.1. Cas de la traction Notations (voir fig. 7.24): B - section de béton ; A s - section des aciers ; N fis - effort normal de traction correspondant à la formation des fissures.

Fig. 7. 24. Cas de la traction

Fig. 7. 25. Cas de la flexion

On doit avoir: σs

N fis As

Bf tj

d’où ou encore

As ≥

ρ=

As B

≥

(7.65)

≤ fe

f tj fe

(7.66) (7.67)

ρ étant le pourcentage d’armatures dans la section. L’expression (7.66) (ou bien (7.67)) traduit la condition de non fragilité pour la traction ; elle doit être satisfaite dans tous les cas. Par exemple pour un béton courant avec f tj = 2 MPa avec des armatures FeE400 (f e = 400 MPa), on a : ρ ≥ f tj /f e = 2/400 = 0,5.10-2 = 0,5%.

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Chapitre 7. Les fondements de la théorie

Ainsi, pour une section tendue en béton armé, le pourcentage minimal d’armatures équivaut à :

f tj

ρ min

(7.68)

2.11.2. Cas de la flexion Notations (voir fig. 7.25): A s - section des aciers; W b - module de résistance de la section; h, b - hauteur totale et largeur de la section; d - hauteur utile de la section; M fis - moment fléchissant correspondant à la formation des fissures; z - le bras de levier du moment résistant. On doit avoir pour la fibre extrême tendue : σ t,max = f tj = d’où

M fis =

M fis Wb

6 M fis bh 2

bh 2 f tj 6

(7.69) (7.70)

D’autre part, on a: d’où

M fis = F s z = σ s A s z M fis σs = As z

(7.71) (7.72)

La contrainte σ s doit être telle que (condition de non fragilité) :

M fis

σs

As z

≤ fe

(7.73)

En remplaçant dans cette expression M fis par sa valeur de l’expression (7.70), on obtient :

ou encore

6 As z bh 2

bh 2 f tj ≤ fe 6 As z

σs

≥

f tj fe

(7.74) (7.75)

En général le bras de levier z ≈ 0,9d ≈ 0,9(0,9)h = 0,81h, dans ce cas l’expression (7.75) devient: 163 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 7. Les fondements de la théorie

ou encore

f tj 4,86 As ≥ bh fe f tj

As ≥ 0,206 bh fe

(7.76) (7.77)

Sachant que h ≈ 0,9d, on aura :

f tj As ≥ 0,23 bd fe

(7.78)

Le produit « bd » représente l’aire B de la section de béton (l’enrobage n’est pas tenu en compte) et le quotient A s /bd est en fait le pourcentage d’armatures dans la section, donc, on doit avoir:

ρ=

f tj As ≥ 0,23 bd fe

(7.79)

L’expression (7.79) traduit la condition de non fragilité pour la flexion ; elle doit être vérifiée pour tous les éléments fléchis. Pour un béton courant avec f tj = 2 MPa avec des armatures FeE400 (f e = 400 MPa), on obtient: ρ ≥ 0,23 (f tj /f e ) = 0,23 (2/400) = 0,115.10-2 = 0,115%. Ainsi, pour une section fléchie en béton armé, le pourcentage minimal d’armatures équivaut à : ρ min = 0,23

f tj fe

(7.80)

En général, les pourcentages d’armatures obtenus par le calcul sont supérieurs à ρ min ; toutefois, la condition de non fragilité doit être toujours vérifiée.

164 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Chapitre 8.

JUSTIFICATION DES SECTIONS SOUMISES A DES SOLLICITATIONS NORMALES Les sollicitations normales sont celles qui peuvent être équilibrées par des contraintes normales développées sur des sections droites des pièces. Les éléments de réduction de ces sollicitations sont en général le moment fléchissant M et l’effort normal N. Dans le calcul, les sections à prendre en compte sont les sections nettes obtenues après déduction de tous les vides, qu’ils soient réservés au bétonnage ou créés par refouillement, à condition que des précautions spéciales ne soient prises pour le rebouchage. En cas de variation de section, on prend les dimensions effectives sous réserve que la pente des parois sur l’abscisse soit au plus égale à 1/3 ; dans le cas contraire, on prend des sections fictives raccordées aux minimales par des parois de pente 1/3. En flexion, pour évaluer l’effort agissant sur une membrure tendue, on considère le moment fléchissant agissant à une distance 0,8h (h - hauteur totale de la section transversale) de la section considérée dans la direction où le moment augmente en valeur absolue. Cette disposition tient compte de l’action de l’effort tranchant. Dans le calcul, les armatures longitudinales comprimés ne sont prises en compte que lorsqu’elles sont entourées au maximum tous les 15 diamètres par des armatures transversales. Dans ce chapitre, on étudiera les pièces soumises à des sollicitations pouvant engendrer des contraintes normales sur leurs sections droites, à savoir: - la flexion simple; - la traction simple; - la compression simple; - la flexion composée.

1. LA FLEXION SIMPLE En flexion simple, le calcul aux sollicitations normales se réduit au calcul sous l’action du seul moment de flexion; l’action de l’effort tranchant sera étudiée dans le chapitre suivant. 165 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

En principe, les deux types de calcul sont à étudier, à savoir : - le calcul de dimensionnement d’une pièce fléchie; - le calcul de vérification du comportement d’une pièce fléchie avec des dimensions préalablement définies. Le dimensionnement des sections vis à vis du moment fléchissant M s’effectue en considérant d’abord (cas général) l’état limite ultime de résistance, puis il faut vérifier que le dimensionnement ainsi obtenu satisfait aux conditions : - d’état limite de service vis à vis de la durabilité (fissuration); - d’état limite de service vis à vis des déformations; - de non fragilité de l’élément en béton armé. La vérification du comportement d’une pièce avec un dimensionnement défini suppose, dans le cas général : - la vérification de sa résistance; - la vérification de l’ouverture des fissures; - la vérification de la rigidité de l’élément (déformation); - la vérification de la non fragilité de l’élément en béton armé. Les pièces fléchies sont les dalles, les poutres, les murs de soutènement et autres ouvrages souterrains. Elles sont généralement calculés soit comme des plaques, soit comme des poutres à travées indépendantes ou continues sur des appuis articulés ou encastrés. Elles sont armées, soit par des barres d’aciers isolées ou assemblées en ossatures de ferraillages (poutres), soit par des treillis soudés ou ligaturés (dalles, réservoirs, murs de soutènement, etc...).

1.1. L’état limite ultime de résistance 1.1.1. Généralités a) Rupture des éléments fléchis Les éléments fléchis sont généralement soumis à l’action du moment fléchissant M et de l’effort tranchant V. La rupture peut donc intervenir : - soit sous l’action du seul moment de flexion M (fig. 8.1, a); - soit sous l’action de l’effort tranchant V (fig. 8.1, b); - soit sous l’action simultanée du moment M et de l’effort tranchant V (fig. 8.1, c). 166 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Fig. 8. 1 . Rupture des éléments

Fig. 8. 2. Etat de contraintes et ferraillage d’une

fléchis sous l’action: a) du moment fléchissant M; b) de l’effort tranchant V; c) du moment M et de l’effort V.

poutre fléchie. 1 - fissures verticales dues au moment fléchissant M ; 2 fissures inclinées dues au moment fléchissant M et à l’effort tranchant V ; 3 - trajectoires des contraintes principales de traction; 4, 5, 6 - armatures longitudinales, transversales verticales et transversales inclinées.

Supposons une poutre sollicitée par deux forces ponctuelles de valeurs égales et équidistantes des appuis de droite et de gauche (fig. 8.2, a). Dans la zone de flexion pure, c’est-à-dire dans la zone CD (voir épures des sollicitations sur les fig. 8.2, b), il n’apparaît que des contraintes normales et les fissures sont verticales (voir fig. 8.2, c). Dans les zones entre les appuis et les forces, les sections sont soumises à l’action du moment M et de l’effort tranchant V, donc soumises à des contraintes normales σ et tangentielles τ. Ces deux catégories de contraintes forment des contraintes principales de traction σ 1 et de compression σ 3 parmi lesquelles les plus dangereuses sont les contraintes principales de traction σ 1 . Selon le rapport entre σ et τ, les contraintes σ 1 vont avoir une direction variable le long de la pièce (voir fig. 8.2, c). Là où la contrainte σ 1 dépasse f tj , il se forme des fissures normales à la direction de σ 1 , 167 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

donc inclinées. Pour prendre ces contraintes σ 1 , on place des barres d’armatures longitudinales et transversales (verticales ou inclinées, voir fig. 8.2, d). Ainsi, pour les pièces fléchies, deux calculs s’imposent: - un calcul aux sollicitations normales (moment M) qui consiste à assurer la résistance des sections sous l’action des contraintes normales; - un calcul aux sollicitations tangentes (effort tranchant V) qui consiste à assurer la résistance des sections sous l’action des contraintes tangentielles. Comme il a été déjà dit, dans ce chapitre, on se limitera au calcul sous l’action des sollicitations normales seulement. b) Positions particulières de l’axe neutre Pour les éléments fléchis, l’état limite ultime (E.L.U.) peut être atteint de deux façons : - par écoulement des armatures tendues (pivot A); - par écrasement du béton comprimé (pivot B). Pivot A: Cet état limite ultime est caractérisé par : ε s = ε s,u = 0,010 ; 0 < ε bc ≤ ε b,u = 0,0035 ; y = αd et 0 < α ≤ 0,259. Pivot B: Cet état limite ultime est caractérisé par : ε bc = ε b,u = 0,0035 ; 0 < ε s ≤ ε s,u = 0,010 ; y = αd et 0,259 ≤ α < 1,1. Pour déterminer le pivot, on compare la valeur de la profondeur relative de l’axe neutre α à la valeur 0,259. Dans le cas particulier où α = 0,259, l’état limite ultime est atteint simultanément dans les aciers tendus (pivot A) et dans le béton comprimé (pivot B). Analysons maintenant le comportement des aciers tendus et du béton comprimé quand la droite représentant les déformations de la section (autrement dit la profondeur y de l’axe neutre) prend certaines positions particulières (voir fig. 8.3). • Dans la position AB, on a : - pour les aciers tendus : ε s = ε s,u = 0,010, donc aciers bien utilisés, c’est-à-dire que toute la résistance de l’acier a été utilisée: σ s = f s ;

168 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

pour le béton comprimé : ε bc = ε b,u = 0,0035, donc béton bien utilisé, c’est-à-dire que toute la résistance du béton a été utilisée: σ bc = f bc .

Ainsi, dans la position AB, c’est-à-dire quand α = 0,259 (y = 0,259d), aussi bien les aciers que le béton comprimé sont bien utilisés (σ s = f s et σ bc = f bc ). • Dans la position AC 1 , on a: - pour les aciers tendus: ε s = ε s,u = 0,010, donc aciers bien utilisés (on a : σ s = f s ); - pour le béton comprimé: ε bc = ε bc,u = 0,002, donc béton bien utilisé (on a : σ bc = f bc ). Ainsi, dans la position AC 1 , c’est-à-dire quand α = 0,167 (y = 0,167d), aussi bien les aciers que le béton comprimé sont bien utilisés (σ s = f s et σ bc = f bc ). • Dans la position A 2 B 1 , on a: - pour les aciers tendus: ε s = ε s,e = 0,010, donc aciers bien utilisés (σ s = f s ); - pour le béton comprimé: ε bc = ε b,u = 0,0035, donc béton bien utilisé ( σ bc = f bc ). Ainsi, dans la position A 2 B 1 , c’est-à-dire quand α = α lim (y = α lim d), aussi bien les aciers que le béton comprimé sont bien utilisés (σ s = f s et σ bc = f bc ).

Fig. 8. 3. Domaine économique en flexion

• En pivot A, quand ε bc < ε bc,u = 0,002 (domaine défini par le triangle OAC 1 O) , on a : - pour les aciers tendus: ε s = ε s,u = 0,010, donc aciers bien utilisés (σ s = f s ); 169 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

pour le béton comprimé: ε bc < ε bc,u = 0,002, donc béton mal utilisé, c’est-à-dire que toute la résistance du béton n’a pas été utilisée (σ bc < f bc ); cela veut dire que la section de béton est grande (la section de béton est grande pour équilibrer l’effort agissant).

Ainsi, en pivot A, c’est-à-dire quand ε bc < 0,002, le béton est mal utilisé; c’est le cas où la profondeur relative de l’axe neutre α < 0,167 (y < 0,167d). • En pivot B, quand ε s < ε s,e =0,002 (domaine défini par le triangle BA 2 O 1 B), on a : - pour les aciers tendus: ε s < ε s,e , donc aciers mal utilisés , c’est-à-dire que toute la résistance des aciers n’a pas été utilisée (σ s < f s ) ; cela veut dire que la section des aciers est grande (il y a beaucoup d’aciers pour équilibrer l’effort agissant). - pour le béton comprimé : ε bc = ε b,u = 0,0035, donc béton bien utilisé (σ bc = f bc ). Ainsi, en pivot B, c’est-à-dire quand ε s < ε s,e , les aciers sont mal utilisés; c’est le cas où la profondeur relative de l’axe neutre α > α lim (y > α lim d). On remarque ainsi que le domaine où les aciers tendus et le béton comprimé sont bien utilisés est celui défini par la figure AC 1 BA 2 A : c’est le domaine économique (voir fig. 8.3.). Ce domaine est défini pour une valeur de la profondeur relative de l’axe neutre α variant de 0,167 à α lim : (8.1) 0,167 ≤ α ≤ α lim Pour des aciers de nuance FeE400 par exemple, on a : ε s,e = f e /(E s γ s ) = 400/(2.105.1,15) = 0,00174 et αlim = 0,0035/(0,0035 + ε s,e ) = 0,0035/(0,0035 + 0,00174) = 0,668; donc, on doit avoir pour ces aciers 0,167 ≤ α ≤ 0,668. Le calcul dans ces conditions est conduit de façon générale suivant l’organigramme représenté sur le schéma 8.1. c) Equations d’équilibre de la section Notations: (voir fig. 8.4). M u - moment sollicitant ultime; F b - effort de compression dans le béton; F s ’ - effort de compression dans les aciers A s ’ F s - effort de traction dans les aciers A s

170 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

On supposera que la section est au moins symétrique par rapport à l’axe vertical y et que les aciers sont placés symétriquement par rapport à cet axe. On a :

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Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

1Données: Sollicitations. Caractéristiques des matériaux béton et acier 2 oui

Les dimensions de l’élément sont-elles connues ?

non

3 Détermination de la profondeur relative de l’axe neutre α 5

α ≤ 0,259 ?

oui 6

Pivot A 8

α ≥ 0167 ?

non

9 oui

oui

Fixer α (α→ αlim )

non

Pivot B

α ≤ αlim ?

non Solution économique

Solution peu économique: section de béton surabondante. Redimensionner la section.

Solution non économique: section de béton insuffisante (σx < fe / γs ). Introduire des aciers comprimés ou redimensionner la section.

Schéma 8. 1 . Organigramme général pour le calcul à l’état limite ultime de résistance en flexion simple.

Fig. 8. 4. Diagramme des déformations et des contraintes.

Fb =

∫ σ bc ( y)b( y)dy

(8.2)

b - étant la largeur de la section ;

F s ’ = σ s ’A s ’ Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

(8.3) 172

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

F s = σ sA s

(8.4)

Les équations d’équilibre s’obtiennent en faisant la projection de toutes les forces sur l’axe horizontale x (∑X = 0) et en prenant la somme des moments de toutes les forces par rapport au centre de gravité des aciers tendus A s (∑M As = 0); on obtient donc : ∑X = 0 ⇔ -F b - F s ’ + F s = 0; ∑M As = 0 ⇔ M u - F b z - F s ’(d - d’ ) = 0 ou encore Fs = Fb + Fs’ (8.5) M u = F b z + F s ’ (d - d’ ) (8.6) On remarque que ces deux équations contiennent trois inconnues qui sont F s , F b et F s ’. En effet les sections d’aciers tendus A s et comprimés A s ’ et du béton (b et y) ne sont pas connues. Pour résoudre le problème, on va envisager deux cas de ferraillage : - la section ne comporte que des aciers tendus A s ; dans ce cas A s ’ = 0 et on obtient deux inconnues seulement: la section des aciers tendus et la section du béton à déterminer; - la section comporte des aciers tendus A s et des aciers comprimés A s ’; dans ce cas, on se fixe, soit la section des aciers comprimés A s ’, soit la section du béton en donnant une valeur concrète à α ; on se ramène ainsi à deux inconnues pour les deux cas.

1.1.2. La section ne comporte que des aciers tendus a) Etablissement des formules de calcul

Fig. 8. 5. Pièce fléchie ne comportant que des aciers tendus A s .

Soit une pièce fléchie ne comportant que des aciers tendus (voir fig. 8.5). Les résultantes des forces de compression dans le béton (F b ) et de traction dans les aciers (F s ) ont respectivement pour valeurs : F b = B c σ bc (8.7) Fs = As σs (8.8) 173 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

La résistance de la section soumise à l’action du moment sollicitant M sol sera assurée si et seulement si la condition suivante est vérifiée: M sol ≤ M u (8.9) avec, M u - le moment de flexion ultime dont la valeur est déterminée en supposant l’une des conditions suivantes (voir fig. 8.6) : - les contraintes de compression dans le béton ont atteint leurs valeurs à l’état limite ultime de résistance (σ bc = f bc ); - les contraintes de traction dans les aciers ont atteint leurs valeurs à l’état limite ultime de résistance (σ s = f s ). Cette valeur du moment ultime M u est déterminée en prenant le moment des forces par rapport à l’axe normal au plan d’action du moment fléchissant et passant par le centre de gravité des aciers tendus (fig. 8.6.): Mu = Fb z (8.10) En flexion simple (section partiellement comprimée), on adopte un diagramme rectangulaire simplifié pour les contraintes de compression du béton, d’où z = d - 0,4y (8.11)

Fig. 8. 6. Eléments fléchis avec aciers tendus seulement.

Le système étant en équilibre, donc la somme des projections de toutes les forces sur l’axe longitudinal de l’élément fléchi (axe horizontal) est égale à zéro (∑X = 0), ce qui nous permet d’obtenir l’équation des forces : Fb = Fs (8.12) ou encore B c f bc = A s f s (8.12a) En considérant les triangles semblables (voir diagramme des déformations linéaires sur la fig. 8.5), on obtient l’équation des déformations :

ε bc y

εs

d−y

(8.13) 174

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Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Ainsi, la résistance d’une section ne comportant que des aciers tendus sollicitée par un moment fléchissant M sol est assurée lorsque la condition suivante est remplie : (8.14) M sol ≤ M u = F b z = B c f bc (d - 0,4y) ou encore M sol ≤ M u = F s z = A s f s (d - 0,4y) (8.15) Pour déterminer les sections d’aciers nécessaires, on suppose que le moment de flexion sollicitant M sol a atteint la valeur ultime M u (condition d’utilisation économique des matériaux): (8.16) M sol = M u On détermine alors la section des aciers A s : - soit à partir de l’expression (8.12): As = -

Bc f bc fs

(8.17)

Mu fs z

(8.18)

soit à partir de l’expression (8.15): As =

b) Cas d’une section rectangulaire

Fig. 8. 7. Cas d’une section rectangulaire.

Pour une section rectangulaire (voir fig. 8.7), on a : B c = 0,8yb L’expression (8.14) devient donc : M u = 0,8ybf bc (d - 0,4y) En remplaçant y par sa valeur ( y = αd), on obtient: M u = 0,8αd 2 bf bc (1 - 0,4α) Mu ou encore = 0,8 α (1 - 0,4α) bd 2 f bc

(8.19) (8.20) (8.21) (8.22) 175

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Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

En posant µ =

bd 2 f bc

(8.23)

l’expression (8.22) devient: µ = 0,8 α (1 - 0,4α)

(8.24)

La racine positive de cette équation du second degré par rapport à α (α étant la seule inconnue du problème) a pour valeur : α

= 1,25 (1 -

1 − 2µ )

(8.25)

Le coefficient µ est appelé moment réduit; il est sans dimensions et caractérise la fraction du moment fléchissant équilibrée par le béton seul. Sa valeur est connue, car il dépend des seules données du problème (dimensions de la section de béton, résistance du béton à la compression). En connaissant µ, on peut calculer la valeur du coefficient α (profondeur relative de l’axe neutre) par la formule (8.25) et déterminer le pivot (pivot A ou pivot B). Si le coefficient α ≤ 0,259, on est en pivot A (domaine 1); si 0,259 ≤ α ≤ 1,0, on est en pivot B (domaine 2). Il peut arriver qu’on trouve α > 1,0, c’est-à-dire que toute la section est comprimée (y > d), dans ce cas, il convient d’augmenter les dimensions de la section du béton. Quelques valeurs particulières des coefficients α et µ sont données dans le tableau 8.1. Coefficient α

Coefficient µ

Pivot

Obtention de l’E.L.U.

Observations

0 < α < 0,167

0 < µ < 0,104

EAT

0,167

0,104

EAT

0,167 < α < 0,259

0,104 < µ < 0,186

EAT

0,259

0,186

A et B

EAT et EBC

0,259 < α < α lim

0,186 < µ < µ lim

EBC

α lim < α < 1,0

µ lim < µ < 0,480

EBC

1,0

0,480

EBC

α > 1,0

µ > 0,480

EBC

Diminuer la section de béton Section acceptable Section économique Section très économique Section économique Section de béton insuffisante Augmenter la section de béton Augmenter la section de béton

Tableau 8. 1 . Coefficients α et µ . EAT - écoulement des aciers tendus; EBC écrasement du béton comprimé.

176 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

N.B. Pour les aciers de nuance FeE400, on a: α lim = 0,668 et µ lim = 0,392. ∗ Calcul en pivot A (voir fig. 8.8.) En pivot A, l’E.L.U. est obtenu par écoulement plastique des aciers tendus; dans ce cas, on a : - pour les aciers tendus: ε s = ε s,u = 0,010 ; σ s = f s ; - pour le béton comprimé: ε bc = ε b,u = 0,0035 ; σ bc ≤ f bc .

De l’équation des déformations raccourcissement du béton : =

ε bc

(8.13),

ε s ,u

tire

valeur

exacte

y d−y

(8.26)

ou encore, en tenant compte que y = αd : ε bc

1−α

ε s,u

(8.27)

La valeur trouvée de ε bc permet d’apprécier l’utilisation du béton ; en effet, on doit toujours chercher à bien utiliser le béton : - Si ε bc < 0,002 , cela veut dire que σ bc < f bc et le béton est mal utilisé; la valeur de σ bc est déterminée sur le diagramme de déformation σ bc ε bc ; - Si 0,002 ≤ ε bc ≤ 0,0035, on a σ bc = f bc et le béton est bien utilisé. La section des aciers est déterminée : - soit à partir de l’équation des forces: As = -

0,8 ybσ bc fs

(8.28)

soit à partir de l’équation des moments: As =

avec

Fig. 8. 8. Calcul en pivot A

Mu zf s

(8.29) (8.30)

z = d - 0,4y

Fig. 8. 9. Calcul en pivot B

177 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

∗ Calcul en pivot B (voir fig. 8.9) En pivot B, l’E.L.U. est atteint par écrasement du béton comprimé; dans ce cas, on a : - pour le béton comprimé : ε bc = ε b,u = 0,0035 et σ bc = f bc . - pour les aciers tendus : ε s ≤ ε s,u = 0,010 et σ s ≤ f s ; De l’équation des déformations, on détermine la valeur exacte de l’allongement des aciers : εs

d−y ε b,u y

(8.31)

ou encore, en tenant compte que y = αd: εs =

1−α

ε b,u

(8.32)

La valeur trouvée de ε s permet d’apprécier l’utilisation des aciers ; en effet, on doit toujours chercher à bien utiliser les aciers : - Si ε s < ε s,e , cela veut dire que σ s < f s et les aciers sont mal utilisés; dans ce cas la valeur de σ s est déterminée sur le diagramme de déformation σ s - ε s de l’acier : σ s = ε s E s ; - Si ε s,e ≤ ε s ≤ ε s,u , on a : σ s = f s et les aciers sont bien utilisés. La section des aciers est déterminée: - soit à partir de l’équation des forces: As = -

0,8 ybf bc

σs

;

(8.33)

soit à partir de l’équation des moments: As =

zσs

(8.34)

z étant déterminé par la formule (8.30). Dans le cas où α = 0,259 (cela correspond à la droite AB), on peut faire le calcul, soit en pivot A, soit en pivot B. Les deux calculs conduisent au même résultat. C’est le cas optimal où les capacités portantes des deux matériaux (aciers tendus et béton comprimé) sont entièrement utilisées. L’organigramme de calcul pour déterminer les sections d’aciers, quand la section droite ne comporte que des armatures tendues est représenté sur le schéma 8.2. L’explication de cet organigramme est donnée dans le tableau 8.2. c) Cas d’une section en Te 178 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Les sections en Te sont très répandues dans les constructions et ouvrages. Elles se rencontrent aussi bien dans les constructions préfabriquées que dans les

179 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Données: Mu ; b; d; fcj ; ftj ; fe ; γs ; γb ; Es; θ.

1 fbc =

0,85 f cj

γ bθ

; ε s ,e =

µ=

γ s Es

; α lim =

ε b ,u ε b ,u + ε s,e

bd 2 f bc

α ≤ αlim ?

4’

non

Augmenter les dimensions de la section (b, d) de l’élément ou augmenter la classe de béton fcj Des aciers comprimés sont nécessaires (voir le cas avec des aciers comprimés)

α ≤ 0,259 ?

non 7’

oui

Pivot B: εbc = 0,0035 ; σbc = fbc ;

Pivot A: εs = 0,010 ; σs = fe/γs;

ε bc =

1−α

As1 =

εs =

ε s , u ; σbc = σbc (εbc)

non

6’

oui 6

µ < 0,480 ?

oui

α = 1,25 ( 1 - 1 − 2 µ )

f tj

; ρmin = 0,23

1−α

ε b ,u

; σs = σs (εs)

y = α d ; z = d - 0,4y

0,8 ybσbc

σs

zσs

ρ = As1 / (bd)

11 oui

12 As = As1

ρ ≥ ρmin ?

non 12’

As = ρminbd

13 Choix des armatures As

FIN

Schéma 8.2. Algorithme de calcul des aciers tendus pour une section rectangulaire sans armatures comprimées.

180 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

N° case

1 2 3 4 4’ 5 6 6’ 7 7’ 8 9 10 11 12 12’ 13 14

E X P L I C A T I O N S

Données: M u - moment de flexion sollicitant ultime ; b, d - largeur et hauteur utile de la section de l’élément; f cj - résistance caractéristique du béton à la compression à l’âge j; f tj - résistance caractéristique du béton à la traction à l’âge j; f e - limite d’élasticité garantie des armatures; γ s , γ b - coefficients de sécurité sur la résistance des aciers (γ s = 1,15) et sur la résistance à la compression du béton (γ b = 1,50); E s - module d’élasticité des aciers (E s = 2.105 MPa); θ - coefficient tenant compte de la durée de la combinaison d’actions à considérer. Calcul de la contrainte limite ultime du béton f bc ; de ε s,e ; de α lim et de ρ min . Calcul du moment réduit µ. Comparaison de la valeur de µ à 0,480 (la section est-elle comprimée sur toute sa hauteur utile?) Dans le cas où µ < 0,480 (c’est-à-dire que toute la section n’est pas comprimée), on calcule la profondeur relative de l’axe neutre α. Dans le cas où µ ≥ 0,480 (toute la section est comprimée), il faut augmenter les dimensions de la section, soit la hauteur (d) de préférence, soit la largeur b, ou bien prendre un béton de classe supérieure. Faire entrer les nouvelles données du calcul. Comparaison de α à la valeur α lim . Dans le cas où α ≤ α lim (la contrainte dans les aciers σ s est égale à f s = f e /γ s ), on compare la valeur de α à 0,259 pour déterminer le pivot. Dans le cas où α > α lim (la contrainte dans les aciers σ s < f s , il faut introduire des armatures comprimées pour aider le béton. Dans le cas où α ≤ 0,259, on est en pivot A, donc ε s = ε s,u et σ s = f s ; le raccourcissement du béton ε bc est calculé par la formule (8.27) et on détermine la contrainte dans le béton σ bc à partir du diagramme de déformation du béton en fonction de la valeur trouvée de ε bc . Dans le cas où α > 0,259, on est en pivot B, donc ε bc = ε b,u et σ bc = f bc ; l’allongement des aciers ε s est calculé par la formule (8.32) et on détermine la contrainte dans les aciers σ s à partir du diagramme de déformation des armatures en fonction de la valeur trouvée de ε s . On calcul la profondeur de l’axe neutre y et le bras de levier z du moment résistant On détermine la section d’aciers A s1 nécessaire. On calcule le pourcentage d’armatures ρ correspondant à la section d’aciers A s1 trouvée. Comparaison de ρ à ρ min (pourcentage minimal d’armature correspondant à la condition de non fragilité). Dans le cas où ρ ≥ ρ min , on conserve la section d’aciers A s1 calculée. Dans le cas où ρ < ρ min , on doit adopter un ferraillage minimal obtenu à partir de la condition de non fragilité. Adoption et choix définitif de la section d’armatures. Fin du calcul

Tableau 8. 2. Explication de l’organigramme représenté sur le schéma 8.2.

constructions monolithes coulées sur place. Ces sections sont obtenues en associant une dalle appelée table de compression à des nervures constituées par des poutrelles ou des poutres (voir fig. 8.10). 181 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Dans le cas des éléments coulés sur place, la largeur b 1 de la dalle à prendre en compte de chaque côté de la nervure de son parement (largeur du porte - à faux) est limitée aux valeurs suivantes (voit fig. 8.11): - en travée (zone centrale) : Fig. 8. 1 0. Section en T. • b 1 ≤ 0,5c (fig. 8.11, a); 1 aile ou table de compression; • b 1 ≤ 0,1l (fig. 8.11, b); 2 - nervure ou âme. - à proximité des appuis : • b 1 ≤ (l 1 + l 2 )/ 40 (fig. 8.11, c); • b 1 ≤ 2a/3 (fig. 8.11, d); • b 1 = a pour les dalles pleines prenant appuis sur les 4 côtés (fig. 8.11, e).

Fig. 8. 1 1 . Détermination de la largeur b 1 des ailes pour es sections en Te.

De plus, on ne doit pas attribuer la même zone de dalle à deux nervures différentes. Pour les grandes ailes, les parties en porte–à-faux les plus éloignées de la nervure sont moins sollicitées que celles à proximité, raison pour laquelle, on a intérêt à limiter la largeur des ailes de chaque côté de la nervure. Pour les poutres individuelles en Te (préfabriquées ou coulées sur place), les largeurs des porte-à-faux sont, généralement, ainsi limitées (voir fig. 8.12) : 182 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

• b 1 ≤ 6h o si h o > 0,1h ; • b 1 ≤ 3h o si 0,05 h ≤ h o ≤ 0,1h • b 1 = 0 si h o < 0,05h (le porte-à-faux n’est pas tenu en compte dans le calcul).

Fig. 8. 1 2. Poutre individuelle en Te

Fig. 8. 1 3. Section en T

Considérons maintenant une section en T comme représentée sur la fig. 8.13. Supposons que la compression n’intéresse que la table de compression (aile de hauteur h o ) et qu’elle est entièrement comprimée. En effet, nous allons considérer que les contraintes de compression sont constantes et égales à f bc sur toute sa hauteur h o (diagramme rectangle simplifié - RS), donc h o = 0,8 y, ce qui sous entend que l’axe neutre est en réalité légèrement plus bas, mais que nous allons faire travailler au maximum la table de compression; (N.B. : en prenant dans le calcul h o = y, on obtient pour le moment pris par la table de compression M bt une valeur inférieure, ce qui n’est pas économique). Dans ce cas, l’effort de compression pris par le béton F b a pour valeur: F b = f bc h o b (8.35) Le moment résistant correspondant sera égal à: M R = M bt = F b z = f bc h o b (d - 0,5h o )

(8.36)

Le moment M bt est le moment pris par la table de compression seulement. On peut distinguer deux cas selon le rapport entre le moment sollicitant ultime M u et le moment M bt : - 1er cas : M u ≤ M bt , dans ce cas l’axe neutre traverse la table de compression (fig. 8.14, a); - 2ème cas: M u > M bt , dans ce cas l’axe neutre traverse la nervure (fig. 8.14, b). ∗ Cas où M u ≤ M bt : Dans ce cas, seule une partie de la table est comprimée (fig. 8.14, a). Le calcul se fait comme une section rectangulaire de hauteur h et de largeur b égale à celle de la table. 183 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Fig. 8. 1 4. Deux cas de position de l’axe neutre pour les sections en T.

∗ Cas où M u > M bt : Dans ce cas, toute la table, de même qu’une partie de la nervure sont comprimées (fig. 8.14, b). Pour ce cas, le calcul se fait comme suit. Faisons d’abord les notations suivantes (voir fig. 8.15) : F b1 - la résultante des contraintes de compression dans les porte-à-faux (ailes en pointillés); F bn - la résultante des contraintes de compression dans la nervure (nervure hachurée); F s - la résultante des contraintes de traction dans les aciers A s . On obtient donc pour ces forces F b1 F bn Fs

les valeurs suivantes: = f bc (b - b o ) = f bc b(0,8y) = σs As

(8.37) (8.38) (8.39)

Fig. 8. 1 5. Calcul des sections en T quand l’axe neutre traverse la nervure.

Les équations d’équilibre donnent: ∑X = F s - F b1 - F bn = 0 (8.40) ∑M As = M u - F b1 (d - 0,5h o ) - F bn z = 0 (8.41) avec, z = d - 0,4y ou encore σ s A s = f bc h o (b - b o ) + 0,8ybf bc (8.42) M u = f bc h o (b - b o )(d - 0,5h o ) + 0,8ybf bc (d - 0,4y) (8.43) 184 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

185 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Données: Mu ; b; bo; d; ho ; fcj ; ftj ; fe ; γs ; γb ; Es; θ.

1 fbc =

0,85 f cj

γ bθ

; ε s ,e =

γ s Es

; α lim =

ε b ,u ε b ,u + ε s,e

; ρmin = 0,23

f tj fe

2 Mbt = bho fbc (d - 0,5ho)

3 4 oui

Fb1 = fbc (b - bo)ho ; Mn = Mu - Fb1 ((d - 0,5ho)

µ=

4’

Mbt ≤ Mu ?

non

Continuer le calcul comme une section rectangulaire de largeur b suivant l’organigramme du schéma 8.2.

Mu bd 2 f bc

7’

oui 6

µ < 0,480 ?

non

Augmenter la section de l’élément (d, b) ou la classe de béton ( fcj )

oui 7

α = 1,25 ( 1 - 1 − 2 µ )

Continuer le calcul suivant l’organigramme du schéma 8.2.

Schéma 8.3. Algorithme de calcul des aciers tendus pour une section en Te sans armatures comprimées.

Désignons par M n la différence entre le moment sollicitant ultime M u et le moment sollicitant les porte-à-faux F b1 : M n = M u - F b1 (d - 0,5h o ) (8.44) ou encore M n = M u - f bc h o (b - b o )(d - 0,5h o ) (8.45) M n - est le moment sollicitant la nervure qui est une section rectangulaire de hauteur h et de largeur b o . On déduit alors le moment réduit: 186 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

µ =

N° case

0 1 2 3 4 4’ 5 6 7 7’ 7’ 8

(8.46)

bo d 2 f bc

E X P L I C A T I O N S

Données: M u ; d; f cj ; f tj ; f e ; γ s , γ b ; E s ; θ - voir tableau 8.2. b - largeur de la table; b o - largeur de la nervure (âme); h o - hauteur totale de la table (aile). Calcul de la contrainte limite ultime du béton f bc ; de ε s,e ; de α lim et de ρ min . Calcul du moment pris par la table M bt . Comparaison de M bt à M u . Dans le cas où M bt ≤ M u (l’axe neutre traverse la nervure), on calcule : - la résultante des contraintes de compression dans les porte-à-faux (ailes) F b1 ; - le moment sollicitant la nervure M n . Dans le cas où M bt > M u , le calcul se fait comme pour une section rectangulaire de largeur b et de hauteur utile d suivant l’organigramme représenté sur le schéma 8.2 à partir de la case 2. Calcul du moment réduit µ à partir de M n (fraction de moment pris par le béton comprimé de la nervure seulement). Comparaison de µ à 0,480. Si µ < 0,480, on calcule la profondeur relative de l’axe neutre, c’est-à-dire le coefficient α Si µ ≥ 0,480, il faut augmenter, soit les dimensions de la section de l’élément, soit la classe de béton et reprendre le calcul avec les nouvelles données. Dans le cas où α > 0,259, on est en pivot B, donc ε bc = ε b,u et σ bc = f bc ; l’allongement des aciers ε s est calculé par la formule (8.32) et on détermine la contrainte dans les aciers σ s à partir du diagramme de déformation des armatures en fonction de la valeur trouvée de ε s . Continuer le calcul suivant l’organigramme du schéma 8.2 à partir de la case 5.

Tableau 8. 3. Explication de l’organigramme représenté sur le schéma 8.3.

et on calcule le coefficient α α =

1,25(1 -

1 − 2µ )

(8.47)

A partir de la valeur du coefficient α, on détermine le pivot (pivot A ou pivot B) et le calcul se poursuit comme précédemment pour les sections rectangulaires. L’organigramme de calcul pour déterminer les sections d’aciers tendus est représenté sur le schéma 8.3 et son explication est donnée dans le tableau 8.3. d) Autres formes de section Les sections en forme de caissons, en I ou H, trapézoïdales, triangulaires, etc... sont aussi utilisées comme éléments fléchis dans la pratique de la construction. Pour calculer de tels éléments, on utilise les formules générales des sections symétriques (par rapport à l’axe principal de la section droite). Quelque soit la forme de la section, les éléments sont calculés sans tenir compte du béton tendu.

187 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Les section en I ou H sont calculées comme des sections en T en négligeant le béton de la zone tendue, mais les armatures calculées doivent être reparties dans toute cette zone tendue (voir fig. 8.16, a). Les sections en caissons sont considérées comme des sections en I ou H dont la largeur de la nervure est égale à la somme des largeurs de toutes les nervures et la hauteur est égale à celle du caisson ; la section est ainsi réduite à une section en I ou H (voir fig 8.16, b). Cette règle est aussi valable pour les dalles nervurées (fig. 8.16, c). Les sections trapézoïdales ont une section de béton comprimé en forme de trapèze (voir fig. 8.16, d) et l’aire du béton comprimé B c doit être déterminée en conséquence.

188 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Fig. 8. 1 6. Calcul des sections de diverses formes.

1.1.3. La section comporte des aciers tendus et des aciers comprimés a) Etablissement des formules de calcul Il arrive qu’en plus des aciers tendus A s on place des aciers comprimés A s ’ (voir fig. 8.17); cela pour ces différentes raisons : - le béton seul ne peut équilibrer les contraintes de compression; - il est impossible pour différentes raisons d’augmenter la hauteur de l’élément fléchi; 189 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

il peut avoir dans la section des moments de signe contraire.

Les éléments fléchis avec des aciers tendus et comprimés ne sont généralement pas économiques. Les armatures dans les zones comprimées sont placées dans les limites de la déformabilité du béton en compression.

Fig. 8. 1 7. Pièce fléchie comportant des aciers tendus A s et comprimés A s ’.

Fig. 8. 1 8. Résistance des éléments fléchis avec des aciers tendus et comprimés.

Les formules de calcul sont obtenues en égalisant le moment sollicitant M u au moment résistant M R,u de la section (voir fig. 8.18). Le moment résistant M R,u est déterminé à partir des conditions d’équilibre de la section et en supposant un diagramme rectangulaire des contraintes de compression du béton. La projection des forces sur l’axe horizontal donne : Fs = Fb + Fs’ (8.48) ou encore A s σ s = B c σ bc + A s ’ σ s ’ (8.49) L’expression du moment résistant M R,u est obtenue en prenant la somme des moments de toutes les forces par rapport au centre de gravité des aciers tendus : M R,u = F s ’ (d - d’ ) + F b (d - 0,4y) (8.50)

190 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

ou encore avec,

M R,u

M A’

= M A’

+ Mb (8.51) = F s ’ (d - d’ ) = A s ’ σ s ’ (d - d’ ) (8.52) = F b (d - 0,4y) = B c σ bc (d - 0,4y) (8.53)

M A ’ est le moment pris par l’armature symétrique A s ’ et A s2 (avec A s2 = A s ’) sans tenir compte du béton ; M b est le moment pris par la section de béton armé avec les aciers tendus A s1 = A s - A s ’ . Ainsi, pour une section résistante, on doit avoir: M u ≤ M R,u = A s ’ σ s ’ (d - d’ ) + B c σ bc (d - 0,4y)

(8.54)

En analysant les expressions précédentes, on remarquera qu’on dispose de deux équations (équation des forces et celle des moments) et de trois inconnues qui sont : - la section de béton (exprimée à travers le paramètre y); - la section des aciers tendus A s ; - la section des aciers comprimés A s ’. Par conséquent, on peut avoir deux types de problème : - pour des dimensions connues de la section du béton, il faut déterminer les sections des aciers tendus A s et comprimés A s ’; - pour une section d’aciers comprimés A s ’ connue, il faut choisir la section de béton et déterminer la section des aciers tendus A s . Pour le premier cas, c’est-à-dire quand sont données les dimensions de la section de béton et qu’il faut déterminer les sections d’aciers tendus A s et comprimés A s ’, on doit partir des expressions (8.54) et (8.49) :

As’ = et

As =

M u − Bcσ bc (d − 0,4 y ) σ s ' (d − d ' ) σ bc σs' Bc As ' +

σs

(8.55) (8.56)

Les quantités y et B c dans ces expressions sont connues. Pour le deuxième cas, c’est-à-dire quand la section des aciers comprimés A s ’ est donnée et qu’il faut déterminer la section de béton et celle des aciers tendus A s , on doit d’abord déterminer la quantité B c à partir de la profondeur de l’axe 191 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

neutre y pour une section de béton choisie et après calculer la section des aciers tendus A s à partir de l’expression (8.49): As =

σ bc σs' Bc As ' + σs σs

(8.57)

Dans tous les cas, la part du moment de flexion équilibrée par les aciers comprimés As’ ne doit pas dépasser 40% (cela pour des raisons surtout économiques) du moment total, c’est-à-dire : M A’ = σ s ’ A s ’ (d - d’) ≤ 0,4M u (8.58) b) Cas d’une section rectangulaire

Fig. 8. 1 9. Section rectangulaire avec des aciers tendus A s et comprimés A s ’.

Dans le cas d’une section rectangulaire (voir fig. 8.49), on a: B c = 0,8yb z = d - 0,4y Ainsi, l’équation des forces devient : σ s A s = 0,8ybf bc + σ s ’ A s ’ et celle des moments donne : M u = σ s ’ A s ’ (d - d’ ) + 0,8ybf bc (d - 0,4y) ou encore, sachant que y = αd : M u = σ s ’ A s ’ (d - d’ ) + 0,8ybd 2 f bc (1 - 0,4α)

(8.59) (8.60) (8.61) (8.62)

(8.63)

On remarque bien qu’avec ces deux équations, on a trois inconnues qui sont A s , A s ’ et α. Deux cas sont ainsi possibles : - 1er ces: on fixe α et on calcule A s et A s ’ ; - 2ème cas: on fixe A s ’ et on calcule α et A s .

192 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Pour le premier cas, on prend α = α lim ou bien α = 0,69 (cette dernière valeur de α correspond à la plus petite valeur de la somme (A s +A s ’) et on calcule les sections d’aciers à partir des expressions (8.62) et (8.61): As’ =

M u − 0,8 ybf bc (d − 0,4 y ) f s ' (d − d ' )

As =

f s ' As '+0,8 ybf bc fs

(8.64)

(8.65)

avec,

y = αd ; f s ’ = f e ’/γ s ; f s = f e /γ s ; f e ’ et f e étant les limites d’élasticité garantie respectivement des aciers comprimés A s ’ et des aciers tendus A s .

Pour le deuxième cas, la section des aciers comprimés A s ’ est fixée au préalable (soit constructivement, soit forfaitairement à partir du degré de sollicitation de l’élément, soit encore à partir de la valeur du moment de signe contraire) et on calcule la section des sections tendus A s en tenant compte qu’une partie des efforts de compression est prise par les aciers comprimés A s ’. Les organigrammes de calcul pour déterminer les sections d’aciers, quand la section comporte des armatures tendus et comprimées sont représentés sur les schémas 8.4 et 8.5 ; les explications de ces organigrammes sont données respectivement dans les tableaux 8.4 et 8.5. c) Cas d’une section en T Pour les sections en T (fig. 8.20 et 8.21), on vérifie d’abord la position de l’axe neutre en calculant pour cela le moment M bt pris par la table de compression : M bt = f bc bh o (d - 0,5h o ) (8.66) On compare ensuite la valeur de M bt à celle du moment sollicitant ultime M u . Dans le cas où M bt ≥ M u , l’axe neutre traverse la table et le calcul se fait comme pour une section rectangulaire de largeur b (voir fig. 8.20). Dans le cas où M bt < M u , l’axe neutre traverse la nervure (voir fig. 8.21) et dans le calcul, il faut tenir

193 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Données: Mu ; b; d; d’ ; fcj ; ftj ; fe ; fe’; γs ; γb ; Es; θ.

1 fbc =

0,85 f cj

γ bθ

; ε s ,e =

γ s Es

; α lim =

µ=

ε b ,u ε b ,u + ε s,e

; ρmin = 0,23

; fs = fe /γs ; fs’ = fe’/γs

bd 2 f bc

µ < 0,480 ?

oui

α = 1,25 ( 1 - 1 − 2 µ )

α > αlim ?

f tj

4’

non

Augmenter les dimensions de la section (b, d) de l’élément ou augmenter la classe de béton fcj

7’ Les aciers comprimés As’ sont placés constructivement

oui 6 α = αlim ou α = 0,69 ; y = α d

8’ 7 As’ =

As1 =

M u − 0,8 ybf bc ( d − 0,4 y )

0,8αdbf bc fs

f s ' (d − d ' )

8 As1 =

As ' f s '+0,8 ybf bc

ρ = As1 / (bd)

fs 10 oui

ρ ≥ ρmin ?

As = As1

non 11’

As = ρminbd

12 Choix des armatures As’ et As

FIN

Schéma 8. 4. Algorithme de calcul des aciers tendus et comprimés pour une section rectangulaire (en fixant α).

194 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

N° case

1 2 3 4 4’ 5 6 7 7’ 8 8’ 9 10 11 11’ 12 13

E X P L I C A T I O N S

Données: M u - moment de flexion sollicitant ultime; b, d - largeur et hauteur utile de la section de l’élément; f cj - résistance caractéristique du béton à la compression à l’âge j; f tj - résistance caractéristique du béton à la traction à l’âge j; f e - limite d’élasticité garantie des armatures; γ s , γ b - coefficients de sécurité sur la résistance des aciers (γ s = 1,15) et sur la résistance à la compression du béton (γ b = 1,50); E s - module d’élasticité des aciers ( E s = 2.105 MPa); θ - coefficient tenant compte de la durée de la combinaison. Calcul de la contrainte limite ultime du béton f bc ; de ε s,e ; de α lim ; de ρ min ; de f s et de f s ’. Calcul du moment réduit µ. Comparaison de la valeur de µ à 0,480 (la section est-elle comprimée sur toute sa hauteur utile?) Dans le cas où µ < 0,480 (toute la section n’est pas comprimée), on calcule le coefficient α. Dans le cas où µ ≥ 0,480 (toute la section est comprimée), il faut augmenter les dimensions de la section, soit la hauteur (d) de préférence, soit la largeur b, ou bien prendre un béton de classe supérieure. Faire entrer les nouvelles données du calcul. Comparaison de α à la valeur α lim . Dans le cas où α > α lim , on prend α = α lim ou α =0,69. Avec cette valeur de α, on calcule y. On calcule alors la section des aciers comprimés correspondants par la formule (8.64). Dans le cas où α ≤ α lim , les aciers comprimés A s ’ sont placés constructivement. On détermine la section d’aciers A s1 par la formule (8.65). On détermine la section d’aciers A s1 par la formule (8.28) en prenant σ bc = f bc On calcule le pourcentage d’armatures ρ correspondant à la section d’aciers A s1 trouvée. Comparaison de ρ à ρ min (pourcentage minimal d’armature correspondant à la condition de non fragilité). Dans le cas où ρ ≥ ρ min , on conserve la section d’aciers A s1 calculée. Dans le cas où ρ < ρ min , on doit adopter un ferraillage minimal obtenu à partir de la condition de non fragilité. Adoption et choix définitif de la section d’armatures. Fin du calcul

Tableau 8. 4. Explication de l’organigramme représenté sur le schéma 8.4.

compte de la partie comprimée de l’âme. Dans ce cas, on obtient pour les équations de forces et de moments les expressions suivantes : F s = F s ’ + F bn + F ba (8.67) Mu = Mn + Ma + Ms’ (8.68) Fs = As fs (8.69) Fs’ = As’ fs’ (8.70) F bn = 0,8 y b o f bc (8.71) (8.72) F ba = f bc h o (b - b o ) M n = F bn (d - 0,4y) (8.73) M a = F ba (d - 0,5h o ) (8.74) M A ’ = F s ’ (d - d’) (8.75) Ici: 195 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Données: Mu ; b; d; d’ ; fcj ; ftj ; fe ; fe’; γs ; γb ; Es; θ; As’.

0,85 f cj

fbc =

γ bθ

; ε s ,e =

γ s Es

; α lim =

ε b ,u ε b ,u + ε s,e

; ρmin = 0,23

f tj fe

; fs = fe /γs ; fs’ = fe’/γs

2 MA’ = fs’ As’ (d - d’) ; Mb = Mu - MA’

µ=

Mu bd 2 f bc

µ < 0,480 ?

5 oui

α = 1,25 ( 1 - 1 − 2 µ )

α > αlim ?

5’

non

Augmenter les dimensions de la section (b, d) de l’élément ou augmenter la classe de béton fcj

7’

oui 7

non

Les aciers comprimés As’ sont constructifs

y=αd

non 8’

oui As1 =

As1 =

As ' f s '+0,8 ybf bc

0,8αdbf bc fs

ρ = As1 / (bd)

10 oui

ρ ≥ ρmin ?

As = As1

non 11’

As = ρminbd

12 Choix des armatures As’ et As

FIN

Schéma 8. 5. Algorithme de calcul pour déterminer les aciers tendus dans une section rectangulaire (en fixant la section des aciers comprimés A s ’).

196 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

N° case Données: 0 1 2 3 4 5 5’ 6 7 7’ 8 8’ 9 10 11 11’ 12 13

E X P L I C A T I O N S

M u ; b; d; f cj ; f tj ; f e ; f e ’ ; γ s ; γ b ; E s ; θ; voir tableau 8.4; A s ’ - section des aciers comprimés. Calcul de la contrainte limite ultime du béton f bc ; de ε s,e ; de α lim ; de ρ min ; de f s et de f s ’. Calcul des moments équilibrés par les aciers comprimés M A’ et par le béton M b . Calcul du moment réduit µ. Comparaison de la valeur de µ à 0,480 (la section est-elle comprimée sur toute sa hauteur utile?) Dans le cas où µ < 0,480 (toute la section n’est pas comprimée), on calcule le coefficient α. Dans le cas où µ ≥ 0,480 (toute la section est comprimée), il faut augmenter les dimensions de la section, soit la hauteur (d) de préférence, soit la largeur b, ou bien prendre un béton de classe supérieure. Faire entrer les nouvelles données du calcul. Comparaison de α à la valeur α lim . Dans le cas où α > α lim , on calcule y. Dans le cas où α ≤ α lim , les aciers comprimés A s ’ sont constructifs. On détermine la section d’aciers A s1 par la formule (8.65). On détermine la section d’aciers A s1 par la formule (8.28) en prenant σ bc = f bc On calcule le pourcentage d’armatures ρ correspondant à la section d’aciers A s1 trouvée. Comparaison de ρ à ρ min (pourcentage minimal d’armature correspondant à la condition de non fragilité). Dans le cas où ρ ≥ ρ min , on conserve la section d’aciers A s1 calculée. Dans le cas où ρ < ρ min , on doit adopter un ferraillage minimal obtenu à partir de la condition de non fragilité. Adoption et choix définitif de la section d’armatures. Fin du calcul

Tableau 8. 5. Explication de l’organigramme représenté sur le schéma 8.5.

Fig. 8. 20. Section en T quand l’axe neutre la table.

F s - la force de traction dans les aciers tendus A s ; F s ’ - la force de compression dans les aciers comprimés A s ’ ; F bn - la force de compression dans le béton de la nervure ; F ba - la force de compression dans le béton des ailes. On remarque ici aussi qu’on est en présence de trois inconnues (y, A s et A s ’) avec seulement deux équations. La procédure de résolution est identique à celle des 197 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

sections rectangulaires, c’est-à-dire, soit en fixant α, soit en fixant au préalable la section des aciers comprimés A s ’.

Fig. 8. 21 . Calcul des sections en T quand l’axe neutre traverse la nervure. A s = A sn + A sa + A sA ;

F s = F sn + F sa + F sA .

Les algorithmes de calcul sont représentés sur les schémas 8.6 et 8.7 et les explications sont données dans les tableaux 8.6 et 8.7. d) Autres formes de section Les autres formes de section (section en caisson, en I ou H) sont ramenées à des sections en T équivalentes.

1.1.4. Algorithmes de calcul des éléments fléchis Comme il a été déjà signalé, on peut avoir affaire à deux types de problèmes concernant les éléments en béton armé : - le problème de conception qui consiste à dimensionner la section (béton et aciers) de l’élément; - le problème de vérification de la résistance d’un élément fléchi qui consiste à déterminer la capacité portante de l’élément avec des caractéristiques géométriques et mécaniques définies et à comparer cette capacité aux efforts sollicitant. Pour le premier problème, les algorithmes de calcul en flexion simple à l’état limite ultime pour les sections rectangulaires et en Té sont représentés sur les schémas 8.8 et 8.9; les explications de ces algorithmes sont données dans les tableaux 8.8 et 8.9. Ces algorithmes sont en fait une synthèse des algorithmes précédents. 198 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Données: Mu ; b; d; ho ; bo ; fcj ; ftj ; fe ; fe’; γs ; γb ; Es; θ.

0,85 f cj

fbc =

γ bθ

; ε s ,e =

γ s Es

; α lim =

ε b ,u ε b ,u + ε s,e

; ρmin = 0,23

f tj fe

; fs = fe /γs ; fs’ = fe’/γs

2 Mbt = fbc hob (d - 0,5 ho)

3 oui

Mbt > Mu ?

non

Calcul d’une section rectangulaire de largeur b (voir cas d’une section rectangulaire)

4’ Ma = fbc ho (b - bo )(d - 0,5 ho) Asa =

µ=

Mu 6

α > αlim ?

µ < 0,480 ?

oui 7’

non

f s ( d − 0,5ho )

bd 2 f bc

7 α = 1,25 ( 1 - 1 − 2 µ )

non

Augmenter les dimensions de la section (b, d) de l’élément ou augmenter la classe de béton fcj

9’

oui

Les aciers comprimés As’ sont constructifs

9 α = αlim; y = α d As’ =

10’

Mu − M a − 0,8 ybo f bc ( d − 0,4 y )

As = Asa +

f s ' (d − d ' )

10 As = Asa +

0,8αdbf bc fs

As ' f s '+0,8 ybo f bc fs 11 Choix des armatures As’ et As

FIN

Schéma 8. 6. Algorithme de calcul pour déterminer les aciers tendus A s et comprimés A s ’ dans une section en T (en fixant α).

199 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

N° case 0 1 2 3 4 4’ 5 6 7 7’ 8 9 9’ 10 10’ 11 12

E X P L I C A T I O N S

Données: M u ; b; b o ; h o ; d; f cj ; f tj ; f e ; f e ’ ; γ s ; γ b ; E s ; θ; voir tableau 8.2 , 8.3 et 8.4. On calcule f bc ; ε s,e ; α lim ; ρ min ; f s et f s ’. On calcule la valeur du moment équilibrée par la table de compression M bt . On compare M bt à M u . Dans le cas où M bt ≤ M u , on calcule la part du moment équilibrée par les ailes (porte-à-faux) seulement M a et on détermine la section correspondante des aciers tendus A sa . Dans le cas où M bt > M u , le calcul se ramène à celui d’une section rectangulaire de largeur b. On calcule le moment réduit µ correspondant à la nervure. On compare le moment réduit calculé à 0,480. Dans le cas où µ ≤ 0,480, on calcule le coefficient α. Dans le cas où µ > 0,480, il faut augmenter les dimensions de la section droite de l’élément ou augmenter la classe de béton f cj et reprendre le calcul. On compare α à α lim . Dans le cas où α ≥ α lim , on prend α = α lim , puis on calcule y et la section des aciers comprimés A s ’ à partir de l’équation des moments. Dans le cas où α < α lim , il n’y a pas nécessité du point de vue résistance de placer des armatures comprimées; ces aciers seront placés constructivement. On calcule la section des aciers tendus A s à partir de l’équation des forces. On détermine la section des aciers tendus A s à partir de l’équation des forces. Adoption et choix définitif de la section des aciers: A s et A s ’. FIN DU CALCUL.

Tableau 8. 6. Explication de l’organigramme représenté sur le schéma 8.6. N° E X P L I C A T I O N S case Données: M u ; b; d; b o ; h o ; f cj ; f tj ; f e ; γ s ; γ b ; E s ; θ; A s ’ ; d’ voir tableaux 8.2, 8.3 , et 8.6 0 On calcule f bc ; ε s,e ; α lim ; ρ min ; f s et f s ’. 1 On calcule le moment M bt équilibré par la table de compression en tenant compte des armatures 2 3 4

4’ 5 6 7 7’ 8 9 10 11

comprimées (béton et aciers comprimés ensemble). On compare M bt à M u . Dans le cas où M bt ≤ M u , on calcule la part de moment équilibrée par les ailes M a , la section d’aciers tendus correspondant A sa , la part de moment équilibrée par les armatures comprimées M A ’ et la part de moment équilibrée par la nervure M n . Dans le cas où M bt >M u , le calcul se ramène à celui d’une section rectangulaire de largeur b. On calcule le moment réduit µn correspondant à M n . On compare µ n à 0,480. Dans le cas où µ n ≤ 0,480, on calcule les quantités α n et y n correspondantes. Dans le cas où µ > 0,480, il faut augmenter les dimensions de la section droite ou augmenter la classe des matériaux et reprendre le calcul. On calcule la section des aciers tendus A sn correspondants. On détermine la section totale des aciers tendus A s à partir de l’équation des forces. Adoption et choix définitif de la section d’armatures. FIN DU CALCUL.

Tableau 8. 7. Explication de l’organigramme représenté sur le schéma 8.7.

200 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Données: Mu; b; d; ho ; bo ; fcj ; ftj ; fe ; fe’; γs ; γb; Es; θ; d’; As’.

1 fbc =

0,85 f cj

; ε s ,e =

γ bθ

γ s Es

; α lim =

ε b ,u ε b ,u + ε s,e

; ρmin = 0,23

f tj fe

; fs = fe /γs ; fs’ = fe’/γs

2 Mbt = fbc hob (d - 0,5 ho ) +As’fs’ (d -d’)

3 non

Mbt ≤ Mu ?

Calcul d’une section rectangulaire de largeur b (voir cas d’une section rectangulaire)

4’

Ma = fbc ho (b - bo )(d - 0,5 ho) Asa =

oui

µn =

Ma f s ( d − 0,5ho )

MA’ = fs’As’ (d -d’) Mn = Mu -Ma - MA’

Mn bo d 2 f bc

µn < 0,480 ?

non 7

oui

7’

α = 1,25 ( 1 -

1 − 2µ n ) ;

Augmenter les dimensions de la section (b, d) de l’élément ou augmenter la classe de béton fcj

yn = αn d

8 Asn =

As = Asa + Asn + As’

f s ( d − 0,4 yn )

fs ' fs

10 Choix des armatures As

FIN

Schéma 8. 7. Algorithme de calcul pour déterminer les aciers tendus dans une section en T quand les aciers comprimés A s ’ sont donnés.

Quant au deuxième cas où les dimensions, de même que les caractéristiques des matériaux sont données (c’est-à-dire connues) et le problème consiste à déterminer le moment résistant ultime M R,u (ou capacité portante), c’est-à-dire la valeur maximale du moment fléchissant que peut prendre la section droite. En

201 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

comparant cette valeur M R,u à celle du moment sollicitant ultime peut

M u , on

202 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Données: Mu ; b; d; d’ ; fcj; ftj ; fe ; fe’; γs ; γb ; Es; θ.

1 0,85 f cj

fbc =

γ bθ

; ε s ,e =

γ s Es

ε b ,u

; α lim =

ε b ,u + ε s,e

µ=

; ρmin = 0,23

bd 2 f bc

; fs = fe /γs ; fs’ = fe’/γs

µ < 0,480 ?

oui

α = 1,25 ( 1 - 1 − 2 µ )

α ≤ 0,259 ?

f tj

non 4’

Introduire des aciers comprimés

non

11 α = αlim ou α = 0,69 ; y=αd; z = d - 0,4y

oui 6

6’ Pivot A : εs = 0,010 ; σs = fs;

ε bc = 10

1−α

Pivot B: εbc = 0,0035 ; σbc = fbc;

; σbc = σbc (εbc

. ε s = 35

)

7 oui

y = αd ; z = d - 0,4y

9 As1 =

zσs

0,8 ybσbc

σs

As’ =

1−α

; σs = σs (εs);

εs ≥ εs,e ?

non 12

Mb = 0,8 y b fbc z

M u − Mb

Mb ≥ 0,6 Mu ?

f s ' (d − d ' )

Oui

non 14’

Prendre As’ constructifs

As1 =

As ' f s '+0,8 ybf bc

ρ = As1 / (bd)

ρ ≥ ρmin ?

oui 18

As = As1

Augmenter la section de béton ou la classe fcj

17 non

18’ 19

Choix des armatures As’ et As

As = ρminbd

FIN

Schéma 8. 8. Algorithme de calcul pour déterminer les sections des aciers en flexion simple à l’état limite ultime pour les sections rectangulaires.

203 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

N° case 0

E X P L I C A T I O N S

Données: M u ; b ; d ; d’ ; f cj ; f tj ; f e ; f e ’ γ s , γ b ; E s ; θ - voir tableaux 8.2 et 8.6. 1 Calcul de la contrainte limite ultime du béton f bc ; de ε s,e ; de αlim et de ρ min . 2 Calcul du moment réduit µ 3 Comparaison de µ à 0,480. 4 Dans le cas où µ ≤ 0,480, on calcule le coefficient α. 4’ Dans le cas où µ > 0,480, il faut introduire des aciers comprimés A s ’ pour l’équilibre de la section. 5 Comparaison de α à 0,259. 6 Dans le cas où α ≤ 0,259, on est en pivot A, donc ε s = ε s,u = 0,010 et σ s = f s ; on calcule ε bc à partir de l’équation des déformations et on détermine la contrainte dans le béton σ bc en fonction de la valeur de la valeur de ε bc calculée (σ bc étant déterminé à partir du diagramme de déformation du béton). 6’ Dans le cas où α > 0,259, on est en pivot B, donc ε bc = ε b,u = 0,0035 et σ bc = f bc ; on calcule l’allongement des aciers ε s à partir de l’équation des déformations et on détermine la contrainte dans les aciers σ s à partir du diagramme de déformation des armatures en fonction de la valeur de ε s calculée (σ s étant fonction de ε s ). 7 Comparaison de la valeur de ε s calculée en case 6’ à la valeur ε s,e . 8 Si ε s > ε s,e , on calcule la profondeur de l’axe neutre y et le bras de levier z. Calcul de la section des aciers tendus A s1 à partir de l’équation des moments ou de celle des 9 forces. 10 Des aciers comprimés ne sont pas nécessaires selon le calcul ; ils doivent être choisis constructivement. 11 On pose α = α lim pour faire travailler mieux le béton ou α = 0,69. On calcule après y et z correspondants. 12 On calcule le moment M b équilibré par le béton comprimé . Comparaison de M b à 0,6M u . En effet, la part du moment équilibrée par les aciers comprimés 13 ne doit pas être supérieure à 40% du moment total M u , par conséquent le béton doit équilibré au moins 60% du moment total M u . 14 Dans le cas où M b ≥ 0,6M u , c’est-à-dire que le béton comprimé équilibre plus de 60% du moment total M u , on calcule la section des aciers comprimés A s ’ à partir de l’équation des moments. 14’ Dans le cas où M b < 0,6M u , c’est-à-dire que le béton comprimé équilibre moins de 60% du moment total M u , on doit augmenter la section de béton ou sa classe et reprendre le calcul. 15 On calcule la section des aciers tendus A s1 à partir de l’équation des forces. 16 Calcul du pourcentage d’armatures ρ. 17 Comparaison de ρ à ρ min . 18 Dans le cas où ρ ≥ ρ min , on adopte la section d’aciers calculée: A s = A s1 . 18’ Dans le cas où ρ< ρ min ,, on adopte le ferraillage minimal obtenu à partir de la condition de non fragilité. 19 Choix et adoption définitifs des sections d’aciers A s et A s ’. 20 FIN DU CALCUL Tableau 8. 8. Explication de l’organigramme représenté sur le schéma 8.8. 204 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Données: Mu; b; bo ; d; ho; d’ ; fcj; ftj ; fe ; fe’; γs ; γb ; Es ; θ.

1 fbc =

0,85 f cj

γ bθ

; ε s ,e =

γ s Es

; α lim =

ε b ,u ε b ,u + ε s,e

Ma = fbc ho (b - bo)(d - 0,5ho) Mn = Mu - Ma ; As,a =

6 oui

1 − 2µ n )

αn ; σbc = σbc (εbc) 1−αn

εs ≥ εs,e ?

Mb = 0,8 y b fbc z

M n 0,8 ybo + (b − bo )ho = σ bc zσ s σs

19 Prendre As’ constructifs

non M u − Mb

As’ =

18 As1 =

f s ' (d − d ' )

As = As1

oui

fs 20

+As,a

ρ ≥ ρmin ?

21’

Choix des armatures As’ et As

non 17’ Augmenter la section de béton ou la classe fcj

As ' f s '+0,8 ybf bc

ρ ≈ As1 / (bd)

oui

y = αd ; z = d - 0,4y

As1 =

non

Mb ≥ 0,6 Mu ?

α = αlim ou α = 0,69 ; y=αd; z = d - 0,4y

αn

Pivot A : εs = 0,010 ; σs = fs;

comprimés As’

bo d 2 f bc

µn < 0,480 ?

oui

ε bc = 10

7’ Introduire des aciers

9’ Pivot B: εbc = 0,0035; σbc = fbc; 1−αn ; σs = σs (εs); ε s = 3.5 non

αn ≤ 0,259 ?

µn =

f s ( d − 0,5ho )

αn = 1,25 ( 1 -

; fs = fe /γs ; fs’ = fe’/γs

Le calcul se ramène à celui d’une section rectangulaire de largeur b

non

oui 4

4’

Mbt ≤ Mu ?

Mbt = fbc ho b (d - 0,5ho)

f tj

; ρmin = 0,23

As = ρminbd

FIN

Schéma 8. 9. Algorithme de calcul pour déterminer les sections des aciers en flexion simple à l’état limite ultime pour les sections en T.

205 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

N° case 0 1 2 3 4

4’ 5 6 7 7’ 8 9

9’

10 11 12 13

14 15 16 17 17’ 18 19 20 21 21’ 22 23

E X P L I C A T I O N S Données: M u ; b ; b o ; h o ; d ; d’ ; f cj ; f tj ; f e ; f e ’ γ s , γ b ; E s ; θ - voir tableaux 8.2 , 8.3 et 8.6. Calcul de la contrainte limite ultime du béton f bc ; de ε s,e ; de α lim et de ρ min . Calcul du moment équilibré par le béton de la table de compression M bt . Comparaison de M bt à M u . Dans le cas où M bt ≤ M u , l’axe neutre traverse la nervure et l’on détermine le moment équilibré par les ailes M a avec les aciers tendus correspondants A s,a . On calcule après le moment M n équilibré par le béton de la nervure. Dans le cas où M bt > M u , l’axe neutre traverse la table ; le calcul se ramène à celui d’une section rectangulaire de largeur b (algorithme du schéma 8.8) Calcul du moment réduit µ n correspondant à M n . Comparaison de µ n à 0,480. Dans le cas où µ n ≤ 0,480, on calcule le coefficient α n . Dans le cas où µ n > 0,480, on doit introduire des aciers comprimés. Comparaison de α n à 0,259. Dans le cas où α n ≤ 0,259, on est en pivot A, donc ε s = ε s,u = 0,010 et σ s = f s ; on calcule ε bc à partir de l’équation des déformations et on détermine la contrainte dans le béton σ bc en fonction de la valeur de la valeur de ε bc calculée (σ bc étant déterminé à partir du diagramme de déformation du béton). Dans le cas où α n > 0,259, on est en pivot B, donc ε bc = ε b,u = 0,0035 et σ bc = f bc ; on calcule l’allongement des aciers ε s à partir de l’équation des déformations et on détermine la contrainte dans les aciers σ s à partir du diagramme de déformation des armatures en fonction de la valeur de ε s calculée (σ s étant fonction de ε s ). Comparaison de ε s à ε s,e . Si ε s > ε s,e , on calcule la profondeur de l’axe neutre y et le bras de levier z. Calcul de la section des aciers tendus A s1 à partir de l’équation des moments ou de celle des forces. Dans le cas où ε s ≥ ε s,e ( donc α < α lim ), le béton seul peut équilibré les efforts de compression et l’acier est bien utilisé. Dans ce cas, des aciers comprimés ne sont pas nécessaires selon le calcul ; ils doivent être choisis constructivement. Dans les cas où il faut introduire des aciers comprimés A s ’, on pose α = α lim pour faire travailler mieux le béton ou α = 0,69. On calcule après y et z correspondants. On calcule la part de moment M b équilibré par le béton comprimé . Comparaison de M b à 0,6M u , c’est-à-dire à 60% du moment total M u . En effet, les aciers comprimés doivent équilibrés au plus 40% du moment total M u , donc le béton doit équilibré au moins 60% du moment total M u . Dans le cas où M b ≥ 0,6M u , c’est-à-dire que le béton comprimé équilibre plus de 60% du moment total M u , on calcule la section des aciers comprimés A s ’ à partir de l’équation des moments. Dans le cas où M b < 0,6M u , c’est-à-dire que le béton comprimé équilibre moins de 60% du moment total M u , on doit augmenter la section de béton ou sa classe et reprendre le calcul. On calcule la section des aciers tendus A s1 à partir de l’équation des forces. Calcul du pourcentage d’armatures ρ (valeur approximative car la section est en T et non rectangulaire) Comparaison de ρ à ρ min . Dans le cas où ρ ≥ ρ min , on adopte la section d’aciers calculée: A s = A s1 . Dans le cas où ρ< ρ min ,, on adopte le ferraillage minimal obtenu à partir de la condition de non fragilité. Choix et adoption définitifs des sections d’aciers A s et A s ’. FIN DU CALCUL

Tableau 8. 9. Explication de l’organigramme représenté sur le schéma 8.9.

206 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Données: Mu ; b; d; fcj; fe ; γs ; γb ; Es; θ; As εb,u ; εs,u

1 σbc = fbc =

2 y =

0,85 f cj

γ bθ

σs As 0,8bσbc

; ε s ,e =

γ s Es

;

3 α = y/d

α lim =

ε b ,u ε b ,u + ε s,e

σs = fs = fe /γs

;

α ≤ αlim

non

oui

5’ α = αlim ; y = αd

5 MR,u = σs As (d - 0,4y)

MR,u = 0,8 ybσbc (d - 0,4y)

7 MR,u ≥ Mu

8 La résistance de la section est assurée

oui

non 8’

La résistance de la section n’est pas assurée : rupture

FIN

Schéma 8. 1 0. Algorithme de calcul pour la détermination et la vérification de la résistance des éléments fléchis de section rectangulaire avec aciers tendus seulement.

N° case 0 1 2 3 4 5 5’ 6 7 8 8’ 9

E X P L I C A T I O N S Données: M u ; b ; d ; f cj ; f e ; γ s , γ b ; E s ; θ - voir tableau 8.2 ; A s - section des aciers tendus. On pose σ bc = f bc ; σ s = f s ; on calcule ε s,e et α lim . On calcule la profondeur de l’axe neutre y. On calcule la profondeur relative de l’axe neutre α. On compare α à α lim . Dans le cas où α ≤ α lim , ,donc effectivement σ s = f s , on détermine la valeur du moment résistant M R,u . Dans le cas où α > α lim (section surarmée), on pose α = α lim et on détermine y. En effet, au moment de la rupture par écrasement du béton comprimé, la contrainte dans les aciers σ s va atteindre f s . On détermine la valeur du moment résistant M R,u à partir de la résistance du béton comprimé. On compare la valeur du moment résistant M R,u à celle du moment sollicitant M u . Dans le cas où M R,u ≥ M u , la résistance de la section est assurée. Dans le cas où M R,u < M u , la section ne peut résister aux sollicitations; il y a donc rupture. FIN DU CALCUL.

Tableau 8. 1 0. Explication de l’organigramme représenté sur le schéma 8.10.

207 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Données: Mu; b; bo ; d; ho ; fcj; fe ; γs ; γb ; Es; θ; As εb,u ; εs,u .

1 σbc = fbc =

0,85 f cj

γ bθ

; ε s ,e =

γ s Es

3’ non

σs As ≥ bhoσbc ?

;

α lim =

ε b ,u ε b ,u + ε s,e

σs = fs = fe /γs

;

Continuer le calcul comme pour une section rectangulaire de largeur b

oui

y =

σs As − (b − bo )hoσbc 0,8bσbc

α = y/d

6 7

6’ non

α ≤ αlim ?

α = αlim

oui µ = 0,8 α ( 1 - 0,4α)

MR,u = µ σbc bo d + σbc (b - bo) ho (d - 0,5ho) 2

MR,u ≥ Mu ?

oui 9

non 9’

La résistance de la section est assurée

La résistance de la section n’est pas assurée : rupture

10 FIN

Schéma 8. 1 1 . Algorithme de calcul pour la détermination et la vérification de la résistance des éléments fléchis de section en T avec des aciers tendus seulement. EXPLICATIONS N° case Données: M u ; b; b o ; d ; h o ; f cj ; f e ; γ s , γ b ; E s ; θ - voir tableau 8.3 ; A s - section des aciers 0 1 2 3 3’ 4 5 6 6’ 7 8 9 9’ 10

tendus. On pose σ bc = f bc ; σ s = f s ; On calcule ε s,e et α lim . On compare σ s A s (la force de traction dans les aciers) à bh o σ bc (la force de compression dans la table. Dans le cas où σ bc A s ≥ bh o σ bc , on calcule la profondeur de l’axe neutre y. Dans le cas où σ bc A s < bh o σ bc , la section est considérée comme rectangulaire de largeur b. On calcule la profondeur relative de l’axe neutre α. On compare α à α lim . Dans le cas où α ≤ α lim on détermine le moment réduit µ . Dans le cas où α > α lim , on prend α = α lim et on détermine le moment réduit correspondant. On détermine la valeur du moment résistant M R,u . On compare la valeur du moment résistant M R,u à celle du moment sollicitant M u . Dans le cas où M R,u ≥ M u , la section est résistante. Dans le cas où M R,u < M u , la section n’est pas résistante, il y a donc rupture. FIN DU CALCUL.

Tableau 8. 1 1 . Explication de l’organigramme représenté sur le schéma 8.11.

208 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Données: Mu ; b; d; d’; fcj; fe ; fe’; γs ; γb ; Es; θ; As ; As’ εb,u ; εs,u

1 σbc = fbc =

2 y =

0,85 f cj

γ bθ

; ε s ,e =

σs As − σs' As' 0,8bσbc

σs As − 0,5σs' As' y1 = 0,8bσbc

y1 ≤ d’ ?

10 non oui

10’ Poursuivre le calcul en supposant que As’ = 0

γ s Es

; α lim =

y≥0?

ε b ,u ε b ,u + ε s,e

Oui

; σs = fs = fe /γs ; σs’ = fs’ = fe’ /γs

α = y/d

4 5

non 7

α ≤ αlim ?

MR,u = σbc As’(d - d’) + 0,8 ybσbc (d - 0,4y)

12’ MR,u = σs As (d - d’)

non

oui

y = αlim d

La résistance de la section n’est pas assurée : rupture

MR,u ≥ Mu ?

13 La résistance de la section est assurée

FIN

Schéma 8. 1 2. Algorithme de calcul pour la détermination et la vérification de la résistance des éléments fléchis de section rectangulaire avec des aciers tendus et comprimés. N° E X P L I C A T I O N S case Données: M u ; b ; d ;d’; f cj ; f e ; f e ’ γ s , γ b ; E s ; θ - voir tableaux 8.2 et 8.6; A s , A s ’ - section des 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10’ 11 12 12’ 13

aciers tendus et comprimés. On pose σ bc = f bc ; σ s = f s ; On calcule ε s,e et α lim . On calcule la profondeur de l’axe neutre y à partir de l’équation des forces. On vérifie le signe de y. Dans le cas où y ≥ 0, on détermine la profondeur relative de l’axe neutre α. On compare α à α lim . Dans le cas où α > α lim , on prend α = α lim . Dans le cas où α ≤ α lim , on détermine le moment résistant M R,u à partir de l’équation des moments. Dans le cas où y < 0, on calcule la profondeur de l’axe neutre y 1 avec la moitié des aciers comprimés. On compare y 1 à d’. Si y 1 > d’ (avec y<0), la capacité portante est déterminée avec les aciers tendus seulement. Dans le cas où y 1 ≤ d’, on suppose qu’il n’y a pas d’aciers comprimés (A s ’ = 0) et la capacité portante de la section est déterminée comme une section ne comportant que des aciers tendus (z ≥ z s ). On compare la valeur du moment résistant M R,u à celle du moment sollicitant M u. Dans le cas où M R,u ≥ M u , la section est résistante. Dans le cas où M R,u < M u , la section n’est pas résistante, il y a donc rupture. FIN DU CALCUL.

Tableau 8. 1 2. Explication de l’organigramme représenté sur le schéma 8.12.

209 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Données: Mu; b; bo; d; ho ; fcj; fe ; fe’; γs; γb; Es; θ; As ; As’; εb,u ; εs,u .

1 σbc = fbc =

y =

0,85 f cj

γ bθ

; ε s ,e =

γ s Es

ε b ,u

; α lim =

σs As − σbc ho (b − bo ) − σ A 0,8boσbc ' s

' s

ε b ,u + ε s,e

; σs = fs = fe /γs ; σs’ = fs’ = fe’ /γs

3 0,8y ≥ ho ?

oui

Ma = σbc ho (b - bo)(d - 0,5ho) ;

As,a =

4’ non

Continuer le calcul comme pour une section rectangulaire de largeur b

σs' Ma ; MA’ = σs’ As’ (d - d’) ; As,A = As’ σs σs ( d − 0,5ho )

5 Asn = As - As,a - As,A

Asnσs ; αn = 0,8bo dσbc

6 αn ≤ αlim ?

non

oui 8

µn = 0,8 αn ( 1 - 0,4αn) ;

Mn = µn bod2σbc

αn = αlim

MR,u = Mn + Ma + MA’

10 oui 11

Mbt ≤ Mu ?

non

11’

La résistance de la section est assurée

La résistance de la section n’est pas assurée : rupture

FIN

Schéma 8. 1 3. Algorithme de calcul pour la détermination et la vérification de la résistance des éléments fléchis de section en T avec des armatures tendues et des armatures comprimées.

210 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

N° E X P L I C A T I O N S case Données: M u ; b ; b o ; d ; d’; h o ; f cj ; f e ; f e ’ γ s , γ b ; E s ; θ - voir tableaux 8.3, 8.6 ; A s , A s ’ 0 1 2 3 4

4’ 5 6 7 8 9 10 11 11’ 12

sections des aciers tendus et comprimés. On pose σ bc = f bc ; σ s = f s ; On calcule ε s,e et α lim . On calcule la profondeur de l’axe neutre y à partir de l’équation des forces en tenant compte des aciers comprimés, des ailes et de la nervure. On compare la quantité 0,8y à h o . Dans le cas où 0,8y ≥ h o , on détermine: la part de moment équilibrée par les ailes M a ; la section d’aciers tendus correspondante A s,a ; la part de moment équilibrée par les aciers comprimés M A ’ ; la section d’aciers tendus correspondante A s,A . Dans le cas où 0,8y < h o , l’axe neutre traverse la table et le calcul se ramène à celui d’une section rectangulaire de largeur b. On détermine la part d’aciers tendus A s,n qui doit être équilibrée par le béton comprimé de la nervure. On détermine ensuite la profondeur relative de l’axe neutre α n correspondante. On compare α n à α lim . Dans le cas où α n > α lim ,on prend α n = α lim . Dans tous les cas, on détermine le moment réduit µ n et le moment fléchissant M n correspondants à α n . On détermine la valeur totale du moment résistant M R,u par sommation des trois moments composants M n , M a et M A ’ . On compare la valeur du moment résistant M R,u à celle du moment sollicitant M u . Dans le cas où M R,u ≥ M u , la section est résistante. Dans le cas où M R,u < M u , la section n’est pas résistante, il y a donc rupture. FIN DU CALCUL.

Tableau 8. 1 3. Explication de l’organigramme représenté sur le schéma 8.13.

juger de la solidité de l’élément : si M R,u ≥ M u , alors la solidité de la section est garantie ; dans le cas où M R,u < M u , la section ne pouvant prendre le moment M u , il y aura donc rupture. Pour les éléments fléchis avec des armatures tendues seulement, les calculs de détermination et de vérification de leur résistance pour une section de béton donnée, un ferraillage donné et des caractéristiques mécaniques des matériaux données se font conformément aux algorithmes représentés sur le schéma 8.10 pour les sections rectangulaires et sur le schéma 8.11 pour les sections en Té. Les explications de ces algorithmes sont données respectivement dans les tableaux 8.10 et 8.11. Pour les éléments fléchis avec des armatures tendues et comprimées connues, les calculs de détermination et de vérification de la résistance (capacité portante) se font conformément aux algorithmes représentés sur les schémas 8.12 et 8.13 respectivement pour les sections rectangulaires et en T. Les explications de ces algorithmes sont données respectivement dans les tableaux 8.12 et 8.13. 211 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Il s’agit en premier lieu de déterminer la profondeur de l’axe neutre y à partir de l’équation des forces en tenant compte des aciers comprimés. Dans le cas où y ≤ 0, la capacité portante de la section doit être déterminée sans tenir compte des aciers comprimés. La valeur du moment résistant M R,u est déterminée à partir de l’équation des moments.

1.1.5. Calcul de la résistance des éléments avec des armatures rigides a) Généralités Il arrive parfois d’utiliser à la place des armatures flexibles (barres d’aciers de diamètre d ≤ 40 mm) des armatures rigides sous forme de profilés métalliques normalisés ou non (IPN, IPE, UPN,, etc...). L’utilisation de ce type d’armatures s’avère surtout rationnelle quand des problèmes d’étaiement se posent au moment de la mise en œuvre (grande hauteur, difficultés d’étayage) ; en effet, l’utilisation des profilés métalliques peuvent exclure celle des étais. Avant le durcissement du béton, les profilés métalliques travaillent comme une structure métallique et ils sont ainsi calculés sous l’action de son propre poids et des charges de montage constituées par le poids du béton frais, du coffrage, des ouvriers, du matériel de transport éventuel, des équipements, de la pression du vent, etc... Après le durcissement du béton, les profilés métalliques travaillent ensemble avec ce dernier et on obtient un élément complexe dont les deux composants (béton + profilé métallique) travaillent ensemble jusqu’à la rupture totale de l’élément complexe. Les essais et les observations ont permis de constater ce qui suit : - les résistances du béton et de l’armature rigide sont entièrement utilisées; - la capacité portante de l’élément complexe ne dépend pas des contraintes initiales dans l’armature rigide due aux charges de montage. Le choix de l’armature rigide est généralement fait à partir du calcul sous l’action des charges de montage. Dans le cas où la section du profilé choisi est insuffisante pour l’élément complexe sous l’action des charges d’exploitation, on y ajoute des armatures flexibles. 212 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

b) Calcul des sections rectangulaires La capacité portante des éléments avec des armatures rigides dépend de la position de l’axe neutre. Ainsi deux cas peuvent se présenter : - 1er cas: l’axe neutre ne traverse pas le profilé métallique ; - 2e cas: l’axe neutre traverse le profilé métallique. Dans le premier cas (fig. 8.22, a), l’équation des forces (∑X = 0) donnent :

où,

F s ’ + F b = F s,r + F s (8.76) ou encore σ s ’ A s ’ + 0,8ybf bc = σ s,r A s,r + σ s A s (8.77)

F s,r - la résultante des contraintes de traction σ s,r dans l’armature rigide de section A s,r ; F s - la résultante des contraintes de traction σ s dans l’armature flexible de section A s ; F s ’ - la résultante des contraintes de compression σ s ’ dans les aciers comprimés A s ’; F b - la résultante des contraintes de compression f bc dans le béton. De l’équation des forces, on obtient: y =

σ s ,r As ,r + σ s As − σ s' As' 0,8bf bc

(8.78)

On doit avoir y ≤ a o , où a o est la distance de la fibre la plus comprimée à la fibre supérieure du profilé métallique. Dans le cas où cette condition n’est pas vérifiée, cela signifie que l’axe neutre traverse le profilé métallique. La profondeur relative de l’axe neutre α = y/d , où d est la hauteur utile déterminée à partir du centre de gravité de l’ensemble des armatures tendues, c’est-à-dire des armatures rigides et flexibles. Dans le deuxième cas où l’axe neutre traverse le profilé métallique (fig. 8.22, b), cet axe peut couper, soit l’âme du profilé, soit l’aile. Dans le cas où l’axe neutre coupe l’âme du profilé, on a une partie du profilé (aile + une partie de l’âme) qui est comprimée. Dans ce cas, en établissant l’équation des forces, on remarquera que la résultante F s,r ’ des contraintes de compression de la partie comprimée du profilé sera équilibrée par la résultante F s,r ’’ des contraintes de traction dans la partie symétrique inférieure du profilé (F s,r ’ = F s,r ’’ ); donc l’équation des forces se présentera comme suit : F b + F s ’ = Fst, r + F s (8.79) 213 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

ou encore

0,8 y b f bc + σ s ’ A s ’ = δ a a t σ s,r + A s σ s (8.80) où, δ a - l’épaisseur de l’âme du profilé; a t est égal à : a t = 2 (r - y) (8.81) avec, r - distance de la fibre la plus comprimée au centre de gravité du profilé métallique. Dans ce cas, l’équation devient: 0,8 y b f bc + σ s ’ A s ’ = 2 δ a (r- y) σ s,r d’où y =

2δ a rσ s ,r + As σ s − σ s' As' 0,8bf bc + 2δ aσ s ,r

(8.82)

(8.83)

On doit bien sûr avoir y > a o . Dans le cas où on obtient y< a o , cela veut dire que l’axe neutre traverse l’aile supérieure du profilé. Dans ce cas, on suppose que cette aile ne participe pas à la prise des efforts et les équations d’équilibre sont établies pour y = a o . Le calcul de détermination de la capacité portante (résistance) des sections rectangulaires avec armatures rigides se fait conformément à l’algorithme du schéma 8.14 ; l’explication de cet algorithme est donnée dans le tableau 8.14.

Fig. 8. 22. Calcul avec des armatures rigides.

b) Calcul des sections en T

214 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Dans le cas où l’axe neutre traverse l’aile de la section (0,8y ≤ h o ), le calcul se fait comme pour une section rectangulaire de largeur b. 0 Données : b; d; As; As’; fe; σe; γs; fcj; Es; γb; θ; As,r; fe’; ao; δa; Wpl; ha; Aaile.

1 fbc =

0,85 f cj

θγ b

; σs = fe /γs ; σs,r = σe /γs ; εs,e =

εb ,u max( f e ,σe ) ; αlim = ; σs’ = fe’/γs γ s Es ε b ,u + ε s,e

y =

σs , r As , r + σs As − σs' As '

y ≤ ao ?

0,8bf bc

y > ao ?

4 oui α = y / d

non 5

2δ a rσs , r + σs As + σs' As' y = 0,8bf bc + 2δ aσs , r

oui 9

6’

non

y = αlim d

α ≤ αlim ?

oui

MR = 0,8 y b fbc (d - 0,4y) + σs’As’ (d - d’)

non 10

y = ao

MR = σs’As’ (y - d’) + σsAs (ds - y) +0,4bfbcy2 + σs,r As,r [ Wpl + (r - y)2 δa ]

MR = 0,5bao2fbc + σs’As’ (ao - d’) + σsAs (ds - ao) + σs,r (Aaile + 0,5δa ha )ha

FIN DU CALCUL DE DETERMINATION DU MOMENT RESISTANT MR

Schéma 8. 1 4. Algorithme de calcul pour déterminer la capacité portante M R des sections rectangulaires avec armatures rigides.

Dans le cas où l’axe neutre traverse la nervure de la section, deux cas possibles peuvent se présenter: - l’axe neutre ne traverse pas le profilé métallique; - l’axe neutre traverse le profilé métallique. Dans le cas où l’axe neutre ne traverse pas le profilé (fig. 8.23, a), l’équation des forces se présente comme suit: (8.84) F b1 + F s ’ + F bn = F s,r + F s ou encore h o (b -b o ) f bc + σ s ’A s ’ + 0,8 y b f bc = σ s,r A s,r + σ s A s (8.84b) 215 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

d’où y =

N° case 0

1 2 3 4 5 6 6’ 7 8 9 10 11

σ s ,r As ,r + σ s As − ho (b − bo ) f bc − σ s ' As ' 0,8bo f bc

≤ ao

(8.85)

E X P L I C A T I O N S Données: b ; d ;d’; f cj ; f e ; f e ’ γ s , γ b ; E s ; θ; A s ; A s ’ - voir tableaux 8.2 , 8.6 et 8.10 ; σ e ; A s,r ; W pl ; h a ; δ a ; A aile - respectivement limite d’élasticité, section, module de résistance plastique de la section droite, hauteur et épaisseur de l’âme et aire de l’aile du profilé métallique ; r; a o - distance de la fibre la plus comprimée, respectivement au centre de gravité et à la fibre supérieure du profilé métallique. Calcul de f bc , σ s , σ s ‘,σ s,r , ε s,e et α lim . A noter que ε s,e est déterminé à partir de la plus grande valeur entre f e et σ s . On calcule la profondeur de l’axe neutre y à partir de l’équation des forces. On compare y à a o . Dans le cas où y < a o , on calcule α à partir de la valeur trouvée de y. On compare α à α lim . Dans le cas où α > α lim ,on prend α = α lim . Dans le cas où α ≤ α lim ,,, on détermine le moment résistant M R à partir de l’équation des moments pris par rapport au centre de gravité de l’ensemble des armatures tendues. FIN DU CALCUL Dans le cas où y > a o , donc l’axe neutre traverse le profilé métallique, on détermine alors la profondeur de l’axe neutre y à partir de l’équation des forces en tenant compte de la partie comprimée du profilé. On compare la nouvelle valeur de y à a o . Dans le cas où y > a o , donc l’axe neutre traverse l’âme du profilé et on détermine le moment résistant M R à partir de l’équation des moments pris par rapport à la fibre inférieure de la zone comprimée. FIN DU CALCUL Dans le cas où la nouvelle valeur de y < a o , on prend y = a o , donc l’axe neutre passe par l’aile supérieure du profilé. Dans ce cas (y = a o ), on suppose que l’aile supérieure du profilé ne participe pas à la prise des efforts, donc n’intervient pas dans la capacité portante de la section. On détermine alors le moment résistant M R à partir de l’équation des moments pris par rapport à l’aile supérieure (axe neutre) du profilé. FIN DU CALCUL

Tableau 8. 1 4. Explication de l’organigramme représenté sur le schéma 8.14.

216 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Fig. 8. 23. Calcul des sections en T avec armatures rigides.

Données: b; bo; h; ho; d; As; As’; fe; σe; γs; fcj; Es; γb; θ; As,r; fe’; ao; δa; Wpl; r; ha; Aaile.

0,85 f cj

fbc =

θγ b

y =

; σs = fe /γs ; σs,r = σe /γs ; εs,e =

σs , r As , r + σs As − σs' As '−ho (b − bo ) f bc 0,8bf bc

7’

; α= y/d

y ≤ ao ?

3 oui

6 non αn ≤ αlim ?

y = αlim d

εb ,u max( f e ,σe ) ; αlim = ; σs’ = fe’/γs γ s Es ε b ,u + ε s,e

4 oui 0,8 y ≤ ho ?

7 MR = 0,8 y b fbc (d - 0,4y) + σs’As’ (d - d’) +fbc (b - bo) ho (d -0,5ho)

8 9 y > ao ?

non

Le calcul se ramène à celui d’une section rectangulaire de largeur b

2δ a rσs , r + σs As + σs' As' + ho (b − bo ) f bc y = 0,8bf bc + 2δ aσs , r

oui 10

non

MR = σs’As’ (y - d’) + σsAs (ds - y) + fbc [ 0,4by2 + (b - bo) ho (0,8y - 0,5ho)] + +σs,r As,r [ Wpl + (r - y)2 δa ]

MR = [ 0,5bao2 + (b - bo) ho (ao - 0,5ho) ] fbc+ σs’As’ (ao - d’) + σsAs (ds - ao) + + σs,r (Aaile + 0,5δa ha )ha

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217

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

FIN DU CALCUL DE DETERMINATION DU MOMENT RESISTANT MR

Schéma 8. 1 5. Algorithme de calcul pour déterminer la capacité portante M R des sections en Té avec armatures rigides.

Dans le cas où l’axe neutre traverse l’âme du profilé (fig. 8.23, b), l’équation des forces s’écrit: (8.86) F b1 + F s ’ + F bn + F s,r ’ = F s,r + F s ou encore h o (b -b o ) f bc + σ s ’A s ’ + 0,8 y b o f bc = 2σ s,r (r -y) δ a + σ s A s (8.86b) d’où y =

N° case 0 1 2 3 4 5 6 7 7’ 8 9 10 11

ho (b − bo ) f bc + σ s ' As '+2σ s ,r rδ a + σ s As 0,8bo f bc + 2σ s ,r δ a

> ao

(8.87)

E X P L I C A T I O N S Données: b; b o ; h; h o ; d; A s ; A s ’; f e ; σ e ; γ s ; f cj ; E s ; γ b ; θ; A s,r ; f e ’; a o ; δ a ; W pl ; r; h a ; A aile - voir tableaux 8.2, 8.3, 8.6, 8.10 et 8.14. Calcul de f bc , σ s , σ s ‘,σ s,r , ε s,e et α lim . A noter que ε s,e est déterminé à partir de la plus grande valeur entre f e et σ s . On calcule la profondeur de l’axe neutre y à partir de l’équation des forces. On calcule α. On compare y à a o . On compare 0,8y à h o . En effet, il est plus rationnel de comparer la valeur 0,8y à h o que de comparer y à h o , car dans ce premier cas on utilise entièrement toute la capacité portante de la table de compression. Dans le cas où 0,8y < h o , c’est-à-dire que seule la table est comprimée, le calcul se ramène à celui d’une section rectangulaire de largeur b. On compare α à α lim .. Dans le cas où α ≤ α lim ,,, on détermine le moment résistant M R à partir de l’équation des moments pris par rapport au centre de gravité de l’ensemble des armatures tendues. FIN DU CALCUL Dans le cas où α > α lim , , on prend α = α lim Dans le cas où y > a o , cela veut dire que l’axe neutre traverse le profilé métallique, on détermine alors la profondeur de l’axe neutre y à partir de l’équation des forces en tenant compte de la partie comprimée du profilé. On compare la nouvelle valeur de y à a o . Dans le cas où y > a o , donc l’axe neutre traverse l’âme du profilé et on détermine le moment résistant M R à partir de l’équation des moments pris par rapport à la fibre inférieure de la zone comprimée. FIN DU CALCUL Dans le cas où la nouvelle valeur de y < a o , , on prend y = a o , donc l’axe neutre passe par l’aile supérieure du profilé. On suppose que l’aile supérieure du profilé ne participe pas à la prise des efforts, donc n’intervient pas dans la capacité portante de la section. On détermine alors le moment résistant M R à partir de l’équation des moments pris par rapport à l’aile supérieure du profilé. FIN DU CALCUL

218 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Tableau 8. 1 5. Explication de l’organigramme représenté sur le schéma 8.15.

Si y < a o , cela signifie que l’axe neutre traverse l’aile du profilé; dans ce cas, on considère que l’aile du profilé ne participe pas à la prise des efforts et les équations d’équilibre sont établies pour une profondeur de l’axe neutre y = a o . Le calcul de détermination de la capacité portante (résistance) des sections en T avec des armatures rigides se fait conformément à l’algorithme du schéma 8.15; l’explication de cet algorithme est donnée dans le tableau 8.15.

1.2. Les états limites de service Ici, les justifications se rapportant aux états limites de service concernent: - l’ouverture des fissures dues aux sollicitations normales (dans ce chapitre); - les déformations, c’est-à-dire les déplacements (surtout les flèches) des éléments des ouvrages.

1.2.1. L’état limite de service vis à vis de la durabilité a) Généralités Nous avons déjà signalé que la fissuration, c’est-à-dire la formation des fissures sur les éléments en béton armé, a une conséquence néfaste sur la durée de vie des ouvrages pour lesquelles cette fissuration est jugée nuisible pour leur exploitation normale (corrosion des armatures, infiltration). Une fois que toutes les dispositions constructives sont respectées (enrobages, armatures de peau, suivi), on doit empêcher pour ces ouvrages la formation des fissures dues aux contraintes provoquées par les forces extérieures appliquées sur l’ouvrage en cours d’exploitation. Ce problème se résout de la manière suivante : - au niveau des zones comprimées, on doit limiter les contraintes de compression dans le béton pour empêcher la formation des fissures parallèles à la direction des contraintes normales de compression; - au niveau des zones tendues, il faut empêcher la formation des fissures normales à la direction des contraintes de traction ou limiter leur ouverture. En effet, dans le cas où la fissuration est jugée très préjudiciable, on doit exclure, à tout moment, toute formation de fissures et cela même dans les cas les plus défavorables possibles. Dans le cas où la fissuration est jugée 219 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

préjudiciable, on admet une ouverture, mais très limitée des fissures et cela pendant une très courte durée. A noter que même dans le cas où la fissuration est jugée peu préjudiciable, l’ouverture des fissures est qu’en même limitée. b) Ouverture des fissures Ici, nous parlerons essentiellement des fissures dans les zones tendues du béton dues aux contraintes de traction. Ces fissures se forment dès que la contrainte de traction dans le béton tendu dépasse la résistance du béton à la traction f tj . Il est donc possible d’évaluer, avec une certaine marge de certitude : - la valeur du moment sollicitant de formation des fissures M fis , c’est-àdire la valeur à partir de laquelle se forment les fissures dans le béton tendu; - la valeur des contraintes de traction dans les armatures se trouvant dans la zone tendue du béton au moment où se forment les fissures; - l’ouverture d’une fissure formée; - la valeur des contraintes de traction dans les armatures tendues dans une section fissurée pour une certaine ouverture des fissures. ∗ Moment de formation des fissures

Fig. 8. 24.

La valeur du moment de fissuration M fis est déterminée en supposant que la contrainte maximale dans le béton tendu est égale à la résistance du béton à la traction f tj (voir fig. 8.24). Le moment de fissuration M fis , dans l’hypothèse d’un diagramme linéaire triangulaire des contraintes de traction et de compression, sera égal à (fig. 8.24, c): 1 M fis = F bt z = ( h - y) f tj z (8.88) 2 où, y est la profondeur de l’axe neutre, déterminée en utilisant l’équation des forces (∑X = 0). 220 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Mais, comme le béton est un matériau viscoplastique pour lequel les déformations plastiques apparaissent dès le début de déformation, on ne peut négliger l’influence de ces dernières. Cela est tenu en compte en supposant un diagramme rectangulaire simplifié des contraintes de traction (fig. 8.24, d). Pour le béton comprimé, on peut dans une certaine mesure, négliger les déformations plastiques compte tenu du niveau des contraintes par rapport à la résistance à la compression f cj ; toutefois, on doit souligner que les formules de calcul, en tenant compte des déformations plastiques du béton comprimé, sont disponibles et sont assez souvent utilisées. Le moment de fissuration M fis est généralement déterminé en prenant la somme des moments des forces intérieures par rapport au point d’application des forces de compression dans le béton. Cela aboutit à l’expression suivante : M fis = f tj W pl (8.89) où, W pl est le module de résistance plastique de la section par rapport à la zone tendue, déterminé comme suit: W pl = γ pl W e (8.90) avec, W e - le module de résistance élastique de la section ; γ pl - le coefficient tenant compte des déformations plastiques du béton tendu et dépendant de la forme de la section (voir tableau 8.16).

Valeur du coefficient γ pl

Caractéris tiques de la section

Forme de la section

r≤2

1,75

2< r ≤ 6 6< r≤15

1,5

1,25

r > 15

1,10

1,25 ... 1,75

2,00

Tableau 8. 1 6. Valeur du coefficient γ el en fonction de la forme de la section droite. * - les petites valeurs sont prises pour les grands rapports b o ’/b et les petits rapports h o ’/h , les grandes valeurs sont prises pour les petits rapports b o ’/b et les petits rapports h o ’/h.

∗ Contraintes de traction dans les aciers au moment de la formation des fissures 221 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Avant l’apparition des fissures, le béton et l’armature travaille ensemble et avec une parfaite adhérence du béton à l’acier (pas de glissement relatif entre ces deux matériaux), donc les allongements unitaires ont la même valeur, c’est-à-dire que : σ s = ε s E s = ε bt,u E s (8.91) Pour les bétons courants, l’allongement unitaire ε bt,u varie de 0,00010 à 0,00017, donc la contrainte dans les aciers σ s = (0,00010 ... 0,00017).2.105 = 20 ... 35 MPa. ∗ Ouverture des fissures Les fissures se forment dans les zones tendues des éléments en béton armé à cause de la faible capacité du béton à s’étirer (allongement limite très faible). Le béton étant un matériau non homogène, les premières fissures se forment en premier lieu dans les zones faibles. La formation des fissures ne se passe pas tout d’un coup; au début, il se forme des microfissures qui s’agrandissent pour donner des fissures qui sont d’abord invisibles (de largeur inférieure à 0,005 mm), puis visibles avec une largeur supérieure à 0,005 mm. La largeur (ou ouverture) des fissures dépend de plusieurs facteurs, à savoir: - du pourcentage d’armatures : en général, plus le pourcentage est élevé, plus la largeur est faible, cela grâce à l’adhérence du béton aux armatures; - de la nature des armatures (armatures à haute adhérence ou rondlisses); - du diamètre des armatures : les gros diamètres donnent de fissures plus larges; - de la distance entre les fissures. La particularité du béton comme matériau fait que l’établissement des formules théoriques sur des hypothèses précises pose un certain nombre de problèmes. De nos jours, il existe plusieurs formules empiriques pour déterminer la largeur a fis des fissures, par exemple : a fis = 20 γ η où, γ

= 0,5 +

σs

(3,5 - 100ρ) 3 d

(8.92)

- coefficient tenant compte de la durée d’application de la M tot charge de calcul ; M tot - moment total dû à l’action des charges permanentes et variables ; M - valeur de calcul du moment ; η = 1,0 pour les armatures à haute adhérence et η = 1,3 pour les ronds-lisses ; d - diamètre des armatures; pour 222 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

des diamètres différents, on prend la valeur moyenne: d = ∑n i d i /∑n i ; ρ - le pourcentage de ferraillage: ρ = A s / (bd) ; E s - le module d’élasticité des aciers ; σ s - la contrainte dans les barres du lit inférieur des armatures tendues de section totale A s , déterminée comme suit: σs =

M As z1

(8.93)

où, z 1 - distance du centre de gravité des aciers tendus au point d’application de la résultante des forces de compression: z 1 = S red /B c,red , avec S red - le moment statique de la section de la zone comprimée par rapport à l’axe passant par le centre de gravité des armatures tendues; B c,red - l’aire de la section réduite homogénéisée. Pour les sections rectangulaires, en T, en I ou H, on a : B c,red = ( ϕ 1 + α) b d (8.94) et

ϕ1 =

avec,

(bo − b)ho +

As '

(8.95)

n = E s / E b = 15 - coefficient d’équivalence ; ω = ε b,c,e /ε b,c,tot coefficient tenant compte de la durée d’application de la charge de calcul où ε b,c,e - la déformation élastique du béton comprimé ε b,c,tot - la déformation totale du béton comprimée: ω ≤ 0,45 pour les charges de courte durée d’application; ω ≤ 0,15 pour les charges de longue durée d’application. Dans ce cas, on peut déterminer approximativement z 1 par l’expression suivante :

 ho 2 ϕ α + 1   = d 1 − d  2(ϕ1 + α )    

(8.96)

Dans les ouvrages pour lesquels la fissuration est préjudiciable, on admet une ouverture très limitée et pendant une courte durée. Les fissures s’ouvrent en cas d’application de la charge totale, c’est-à-dire les charges permanentes, les charges variables de longue durée d’application et les charges variables de courte durée d’application. Ces fissures se referment dès la disparition des charges de courte durée d’application. Pour cela, il faut bien sûr que les armatures travaillent en régime élastique de déformation et que le pourcentage de ferraillage ρ (ρ≥ 0,6%) est tel que les armatures soient capables de refermer les fissures. L’ouverture de ces fissures ne doit pas dépasser 0,10 mm sous l’action de la totalité des charges.

223 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Dans les ouvrages pour lesquels la fissuration est jugée peu préjudiciable, l’ouverture des fissures est généralement limitée à 0,40 mm. ∗ Contraintes dans les aciers tendus d’une section fissurée Dans une section fissurée, les efforts de traction sont presque entièrement repris par les armatures. La valeur de la contrainte dans les aciers tendus d’une section fissurée peut être déterminée par la formule (8.93). c) Principes de calcul des contraintes Il s’agit du calcul: - des contraintes de compression dans le béton; - des contraintes de traction dans les aciers. Ces contraintes sont calculées sur la base des hypothèses exposées dans le chapitre précédent. Donc, à la section homogénéisée comprenant la section du béton comprimé B c et les sections d’aciers comptés n fois (n = E s /E b coefficient d’équivalence), tout en gardant le même centre de gravité, on applique les formules de la Résistance des Matériaux. On obtient ainsi (voir fig. 8.25) : - pour la contrainte maximale dans le béton : σ bc -

M ser y I

(8.97)

pour la contrainte dans les aciers tendus: σs

= n

M ser (d - y) I

(8.98)

où, M ser - le moment fléchissant de service ; y - la profondeur de l’axe neutre sous les charges de service, le centre de gravité de la section homogène est donc le point G h par lequel passe l’axe neutre ; I - le moment d’inertie de la section homogène réduite : y

I =

∫ b( x)x

dx + nA s ’ (y - d’)2 + nA s (d - y)2

(8.99)

224 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Fig. 8. 25.

Ici, on néglige le moment d’inertie des armatures par rapport à leur propre axe. Pour calculer la profondeur de l’axe neutre y, il faut tout d’abord déterminer l’expression du moment statique de la section réduite homogénéisée en tenant compte du coefficient d’équivalence n à appliquer aux armatures (A s et A s ’ ) et de la fissuration (c’est-à-dire que le béton tendu est fissuré, donc inexistant) et annuler cette expression, car le moment statique d’une section par rapport à l’axe passant par son centre de gravité est égal à zéro. Le moment statique aura pour expression : y

S a.n . =

∫ b( x)x

dx + nA s ’ (y - d’) + nA s (d - y) = 0

(8.100)

A partir de l’équation (8.100), on détermine y et on place cette valeur dans la formule (8.99) pour déterminer le moment d’inertie I de la section réduite homogénéisée. Une fois ces valeurs connues, on calcule à partir des formules (8.97) et (8.98) les contraintes dans le béton comprimé et dans les aciers tendus respectivement. Ces valeurs des contraintes doivent être comparées aux valeurs limites σ bc et k f σ s définies précédemment. Ainsi, on doit avoir :

σ bc σs ≤ kf σ s

σ bc ≤ et

(8.101) (8.102)

où, k f = 1,0 quand la fissuration est jugée préjudiciable et k f = 0,8 en cas de fissuration très préjudiciable ; σ s est déterminé par la formule (7.62). Dans le cas où il y a eu un dépassement d’une contrainte quelconque, on doit redimensionner la section : soit augmenter la section de béton; soit augmenter les sections d’armatures. ∗ Cas d’une section rectangulaire Pour les sections rectangulaires (fig. 8.26, a), l’équation du moment statique et l’expression du moment d’inertie se présentent comme suit: by2 + 30 (A s +A s ’)y - 30 (A s d + A s ’ d’) = 0 (8.103) 225 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

et I =

1 3 by + 15 [A s (d - y)2 + A s ’ (y - d’)2 ] 3

(8.104)

Fig. 8. 26

∗ Cas d’une section en T Pour les sections en T, deux cas peuvent se présenter : - l’axe neutre traverse la table; - l’axe neutre traverse la nervure. L’axe neutre tombe dans la table si la condition suivante est vérifiée : bh o 2 + 30 A s ’ (h o - d’) - 30 A s (d - h o ) ≥ 0; (8.105) dans ce cas, le calcul se fait comme pour une section rectangulaire de largeur b. L’axe neutre traverse la nervure si : bh o 2 + 30 A s ’ (h o - d’) - 30 A s (d - h o ) < 0; (8.106) dans ce cas, l’équation du moment statique et l’expression du moment d’inertie se présentent comme suit (voir fig. 8.26, b): b o y2 + [ 2 (b -b o )h o + 30 (A s + A s ’ )] y - [ (b -b o )h o 2 + 30 (A s d + A s ’d’) ] = 0 (8.107) et 1 1 I = by3 - (b -b o )(y - h o )3 + 15 [A s (d - y)2 + A s ’ (y - d’)2 ] (8.108) 3 3 d) Calcul de dimensionnement Lorsque les conditions (8.101) et (8.102) ne sont pas vérifiées, cela veut dire que l’état limite de service est le plus défavorable ; dans ce cas, on doit redimensionner la section à l’état limite de service. Deux approches sont possibles : - soit redimensionner la section en égalisant une des contraintes développées dans la section, c’est-à-dire σ bc ou σ s (celle qui ne vérifie

226 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

pas la condition) à la contrainte limite ( σ bc et k f σ s ) et établir les -

équations d’équilibre; soit dimensionner les sections (sections d’armatures) à partir des charges de service et les comparer aux résultats du calcul à l’état limite ultime; on choisira la solution la plus défavorable.

∗ Cas des sections rectangulaires

Redimensionnement de la section: C’est la première approche. Le calcul à l’état limite ultime est fait, donc on a h, d, b, A s , et A s ’. Les vérifications à l’état limite de service donnent: • σ bc ≤ σ bc , mais σ s > k f σ s (rappelons que k f = 1 en cas de fissuration préjudiciable et k f = 0,8 en cas de fissuration très préjudiciable). Dans ce cas, on doit augmenter la section d’aciers tendus A s en supposant que σ s = k f σ s (voir fig. 8.27, a). L’équation des forces donne : 1 b y σ bc = (k f σ s ) A s 2 L’équation des moments donne: 1 b y σ bc (d - y/3) M ser = 2 Du diagramme des contraintes, on obtient: σ bc

(8.109) (8.110)

α kfσs 1−α n

(8.111)

Ces trois équations contiennent trois inconnues qui sont σ bc , y et A s . Leur combinaison nous donne une équation du troisième degré en α ( α = y/d):

(k f σ s )α3 - 3 (k f σ s ) α2 -

6nM ser bd 2

α+

6nM ser bd 2

= 0

(8.112)

La solution de cette équation qui nous intéresse doit être comprise entre 0 et 1 (0 ≤ α ≤ 1), elle est égale à :

α = 1 + 2 1 − u .cos(240° + ϕ/3)

(8.113)

avec, u = et

30 M ser bd 2 (k f σ s )

ϕ = arccos (1/ (1 + u ) 3 )

(8.114) (8.115)

En connaissant α, on détermine la section des aciers tendus nécessaires: 227 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

bdα 2 30(1 − α )

As =

(8.116)

On détermine la contrainte σ bc par la formule (8.111).

Fig. 8. 27.

• σ bc >

σ bc . Dans ce cas, on peut procéder de deux façons: -

soit on augmente la section de béton; soit on introduit des aciers comprimés.

Pour le redimensionnement de la section de béton, on pose que σ bc =

σ bc et σ s

σ s ) . Du diagramme des contraintes (voir fig. 8.27, b), on obtient: σ bc α = (8.117) ( k f σ s / n) 1 − α Sachant que σ bc = 0,6f cj et n = 15, on trouve pour α l’expression suivante:

= (k f

α =

9 f cj 9 f cj + (k f σ s )

L’équation d’équilibre des moments donne: 1 M ser = by σ bc (d - y/3) 2 ou encore M ser = 0,1 bd2 f cj α (3 - α) d’où

bd 2 =

10M ser α (3 − α ) f cj

(8.118)

(8.119) (8.120) (8.121)

A partir de cette expression, on fixe un des paramètres (b ou d, en général on fixe la largeur b) et on détermine l’autre. En fixant b, on obtient pour la hauteur utile d : 10 M ser d = (8.122) bα ( 3 − α ) f cj En fixant d, on obtient pour la largeur b: b =

10M ser

αd 2 (3 − α ) f cj

(8.123) 228

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Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

La section d’armatures nécessaire A s dans cacas vaut: As

0,3αbdf cj

(8.124)

(k f σ s )

Pour le cas où l’on a préféré l’introduction des armatures comprimés A s ’, il faut toujours dégager la part du moment repris par le béton comprimé seul avec une contrainte maximale égale à σ bc . Ce moment égal à : 1 M bc = by σ bc (d - y/3) (8.125) 2 ou encore M bc = 0,1f cj α (3 - α) bd 2 (8.126) où α est déterminé par la formule (8.113). La part de moment revenant aux armatures comprimées A s ’ sera : M s ’ = M ser - M bc

(8.127)

La section des armatures vaut dans ce cas :

Ms' σ s ' (d − d ' )

As’ =

ou encore

(8.128) A s’ =

M ser − M bc σ s ' (d − d ' )

(8.129) Dans cette expression, la valeur de la contrainte de compression σ s ’ est aisément déterminée à partir du diagramme des contraintes :

(σ s ' / n)

σ bc d’où

σ s’

y − d' y

= 9f cj (1 -

(8.131)

d' ) αd

( 8.131)

La section d’armatures tendues A s nécessaire vaut dans ce cas : As =

As 'σ s '+0,3αbdf cj (k f σ s )

(8.132)

Le calcul de redimensionnement des sections rectangulaires à l’état limite de service vis à vis de l’ouverture des fissures se fait suivant l’algorithme représenté sur le schéma 8.16; l’explication de l’organigramme est donnée dans le tableau 8.17.

Dimensionnement à l’état limite de service:

229 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

C’est la deuxième approche du problème. On fait un calcul de dimensionnement à l’état limite de service et on compare les résultats de ce calcul à ceux de l’état limite ultime; on choisira les résultats les plus défavorables. Le calcul se fait en posant σ bc = -

σ bc et σ s = k f σ s . Deux cas sont à distinguer:

section sans armatures comprimées; section avec armatures comprimées.

Pour qu’il n’y ait pas besoin d’armatures comprimées, il faut que σ bc ≤ σbc . Dans ce cas, les équations d’équilibre de la section se présentent comme suit (voir fig. 8.28, a): Fb = Fs (8.133) M ser = F b (d - y/3) (8.134) ou encore

1 byσ bc = k f σ s As 2

(8.135)

Fig. 8. 28.

230 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

0 Données: Mser; b; d; As; As’; d’; fcj;

σ bc ; k f σ s ∆ )/(2b);

q = 30(As + As’); r = 30(As d + As’d’); ∆ = q2 + 4br ; y = ( - q + I =

σbc =

M ser y; I

1 3 by + 15 [ As (d - y)2 + As’(y - d’)2] 3

σs = 15

M ser (d − y ) I

σbc ≤ σbc ?

oui 6

4 non

Redimensionner As u =

30 M ser bd 2σbc

(

ϕ = arccos 1 / (1 + u ) 3 α = 1 + 2 1 + u cos(240° +

bdα 30(1 − α )

)

ϕ 3

CHOIX A FAIRE 8’

Augmenter la section de béton

α =

Introduire des aciers comprimés As’

α =

9 f cj 9 f cj + k f σ s

Mbc = 0.1fcj α(3 - α)bd 2

σs’ = 9fcj [1 − d ' /(αd )]

M ser − M bc As’ = σs ' (d − d ' ) As =

oui

)

FIN

Toutes les conditions sont vérifiées FIN

As =

σs ≤ kfσs ?

non

σ s ' As '+0,3αbdf cj (k f σ s )

9 f cj 9 f cj + k f σ s

La section de béton est telle que : bd 2 =

10 M ser α ( 3 − α ) f cj

Fixer b et calculer d ou fixer d et calculer b

As =

0,3αbdf cj kfσs FIN

FIN

Schéma 8. 1 6. Algorithme de calcul pour le redimensionnement des sections rectangulaires à l’état limite de service vis à vis de l’ouverture des fissures.

231 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

N° de E x p l i c a t i o n s case Données: M ser - moment fléchissant dû aux charges de service; b, d, d’, A s , A s ’, f cj - voir tableaux 0

8.2, 8.6 et 8.10. Calcul de la profondeur de l’axe neutre y et du moment d’inertie I de la section homogénéisée Calcul des contraintes développées dans le béton comprimé σ bc et dans les aciers tendus σ s . Comparaison de σ bc à la valeur limite à l’état limite de service σbc . Dans le cas où σ bc ≤ σbc , donc il n’y a pas de fissures parallèles à la direction des contraintes, on compare les contraintes développées dans les aciers tendus σ s aux valeurs limites à l’état limite de service (k f σs ). Dans le cas où σ s ≤ (k f σs ) , toutes les vérifications de l’état limite de service sont assurées. FIN DU CALCUL Dans le cas où σ s >(k f σs ) , il faut donc redimensionner la section des armatures tendus A s en posant σ s = (k f σs ). Dans le cas où σ bc > σbc , on a le choix entre deux solutions: augmenter la section de béton ou introduire des aciers comprimés. Solution 1: L’introduction des aciers comprimés se fait en posant σ bc = σbc , et σ s = (k f σs ). On détermine alors la section des aciers comprimés et celle des aciers tendus nécessaires. FIN DU CALCUL. Solution 2: L’augmentation de la section de béton se fait aussi en posant σ bc = σbc , et σ s = (k f σs ). On détermine alors la valeur du produit bd 2 à partir duquel on fixe un paramètre et l’on détermine l’autre. On calcule ensuite la section des aciers tendus nécessaires. FIN DU CALCUL.

1 2 3 4 5 6 7 8

8’

Tableau 8. 1 7. Explication de l’algorithme représenté sur le schéma 8.16.

M ser =

1 byσ bc (d - y/3) 2

De ces expressions, on trouve:

(

y = 1,5 1 − 1 − 8µ / 3 avec, d’où avec,

µ=

M ser

)

(8.137) (8.138)

bd 2σ bc As =

(8.136)

M ser zk f σ s

(8.139) (8.140)

z = d - y/3

La contrainte dans le béton sera égale à : σb =

y kfσs 15(d − y )

(8.141)

Dans le cas où σ b > σbc , des armatures comprimées seront nécessaires. Dans ce cas (voir fig. 8.28, b), on a successivement: 232 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

pour la profondeur de l’axe neutre: y =

15σ bc d ; 15σ bc + k f σ s

(8.142)

- pour la force résultante dans le béton: Fb = -

(8.143)

pour la contrainte dans les aciers comprimés:

σ s '= -

1 σ bc y ; 2

15( y − d ' ) σ bc ; y

(8.144)

pour la section des armatures comprimées: As’ =

M ser − Fb (d − y / 3) ; σ s ' (d − d ' )

- pour la section des aciers tendus: As =

Fb + σ s ' As ' . kfσs

(8.145)

(8.146)

∗ Cas des sections en T

Redimensionnement de la section à l’ELS. On détermine d’abord la position de l’axe neutre à partir des expressions (8.105) et 8.106). Dans le cas où l’axe neutre tombe dans la table et que σ s > k f σs , le redimensionnement se fait comme pour une section rectangulaire de largeur b. Dans ce cas, on a toujours σ bc ≤ σbc . Dans le cas où l’axe neutre traverse la nervure et que σ bc >σbc , les solutions à adopter sont les mêmes que celles pour les sections rectangulaires, à savoir augmenter la section de béton ou introduire des armatures comprimées. Si les contraintes σ s >k f σs , on doit redimensionner la section d’armatures tendus A s . Cela peut être faite approximativement par l’expression suivante: As ≥

M ser k f σ s (d − 0,5ho )

(8.147)

Dimensionnement à l’ELS On calcule tout d’abord le moment M bt,ser équilibré par la table de compression (fig. 8.29) pour voir si l’axe neutre tombe dans la table ou non. On a : M bt,ser

k f σ s d − ho / 3 2 bho 30 d − ho

(8.148) 233

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Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Fig. 8. 29

Si le moment sollicitant M ser ≤ M bt,ser , alors l’axe neutre tombe dans la table et le calcul se fait comme pour une section rectangulaire de largeur b. Si M ser > M bt,ser , alors l’axe neutre traverse la nervure et deux cas peuvent se présenter: - section sans armatures comprimées; - sections avec armatures comprimées. On supposera d’abord qu’on n’a pas besoin d’armatures comprimées; dans ce cas, on obtient: As

M ser , zk f σ s

(8.149)

avec, z ≅ d - 0,5 h o . Une fois les aciers déterminés, on peut passer à la vérification de la contrainte dans le béton comprimé. Pour qu’il n’y ait pas besoin d’armatures comprimées, il faut que σ bc ≤ k f σbc , ce qui est le plus souvent le cas à cause de la table de compression. Dans ce cas, comme on ne connaît pas la position de l’axe neutre, on peut procéder d’une manière très simple en calculant σ bc par excès, c’est-à-dire en négligeant le béton comprimé situé entre l’axe neutre et la table de compression; on obtient ainsi : σ bc

k f σ s  2 As ho   +  2d − ho  bho 15 

(8.150)

Dans le cas où σ bc >σbc , on introduit des aciers comprimés; pour cela, on détermine successivement: - la profondeur de l’axe neutre: y = -

15σ bc d ; 15σ bc + k f σ s

(8.151)

la contrainte dans les aciers comprimés:

σ s '=

15( y − d ' ) σ bc ; y

(8.152) 234

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Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

l’effort de compression total dans le béton: Fb =

ho  1 b y b b )( 2 ) h ( + − − o o o  ; y 2  

le bras de levier:

z = d - 0,5h o + -

bho3 − bo ( y − ho ) 2 (2 y − ho )

;

(8.154)

M ser − Fb z ; (d − d ' )σ s '

(8.155)

Fb + σ s As ' ' . kfσs

(8.156)

6(by 2 − (b − bo )( y − ho ) 2

la section d’armatures comprimées: As’ =

(8.153)

la section des armatures tendues: As =

1.2.2. L’état limite de service vis à vis des déformations a) Généralités Pour les éléments fléchis, il est toujours important d’avoir une idée sur les valeurs des déformations, c’est-à-dire des flèches surtout. Ces déformations ne doivent pas être de grande valeur afin de ne pas provoquer : - des désordres dans les éléments supportés (cloisons, revêtements, etc...); - un effet psychologique d’insécurité pour les personnes (ne pas sentir la structure bouger sous les charges). Aussi, on doit connaître la valeur de ces déformations afin de donner des contreflèches nécessaires aux structures dès leur conception et mise en oeuvre. Les valeurs des déformations dépendent de plusieurs facteurs : - les dimensions de l’élément (en effet, on est amené à donner une limite inférieure à la hauteur de la section des éléments fléchis); - le niveau de fissuration de l’élément (les fissures diminuent considérablement la rigidité en flexion de l’élément); - l’historique des chargements de l’élément, c’est-à-dire l’influence des différentes phases successives de construction et des sollicitations exercées sur l’élément; - le caractère de déformation du béton (non linéarité de la déformation, fluage du béton). 235 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

b) Principes de calcul des flèches La flèche des éléments en béton armé est déterminée à partir des formules classiques de la Résistance des Matériaux: l

f =

∫ M x rtot

xdx

(8.157)

où

M x - le moment fléchissant dans la section x sous l’action de la force unitaire appliquée dans le sens du déplacement cherché ; 1/r tot - la courbure totale dans la section x. La courbure d’un élément fléchi en béton armé dépend de l’existence des fissures dans la zone tendue ou non. Ainsi, en absence de fissures dans la zone tendue, on a : - pour les charges instantanées (de courte durées d’application):

M ser ,i 1 ; ( x) = ri ϕ c1 Eb I red -

(8.158)

pour les charges de longue durée d’application:

M 1,l ϕ c 2 1 ( x) = rν ϕ c1 Eb I red

(8.159)

avec, M ser,i - moment fléchissant dû à l’action instantanée de la charge totale ; M 1,l - moment dû aux charges permanentes et quasi-permanentes ; ϕ c1 coefficient tenant compte de l’augmentation de la courbure due au fluage du béton (ϕ c1 = 0,7 ... 0,85) ; ϕ c2 - coefficient tenant compte de la diminution de la rigidité de l’élément due au fluage du béton sous l’action des charges de longue durée d’application (ϕ c2 = 1,0 ... 4,0) ; E b - module de déformation du béton ; I red - moment d’inertie de la section réduite homogénéisée. Pour les éléments fissurés en zone tendue, la courbure est définie par les valeurs moyennes des allongements des aciers tendus ε s et des raccourcissements du béton comprimé ε bc (voir fig. 8.30):

1 ε s − ε bc = r d

(8.160)

Les déformations ε s et ε bc sont déterminées comme suit:

236 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

εs = ε bc =

Ψs σ s Es

Ψbσ bc ω1 E b

(8.161) (8.162)

avec,

σs =

M ser zAs

(8.163)

σ bc =

M ser 0,8αdbz

(8.164)

où,

ω1 - coefficient tenant compte de l’évolution des déformations Fig. 8. 30. Courbure d’un élément fléchi Plastique du béton; pour les fissuré. charges instantanées ω1 = 0,45; pour les charges de longue durée d’application ω 1 = 0,15. Ces valeurs peuvent être revues à la baisse (jusqu’à 70%) en milieu sec (avec une humidité ≤ 40%); ψ s - coefficient tenant compte de l’influence du béton tendu entre fissures : - pour les charges instantanées: ψ s = 1 - 0,8 -

M fis M

;

(8.165)

pour les charges de longue durée d’application: ψ s = 1 - 0,4

M fis M

(8.166)

avec, M - moment fléchissant de calcul ; M fis - moment de fissuration: M fis = f tj W b,fis (8.167) où, W b,fis - module de résistance de la section fissurée. Les essais ont montré que le coefficient ψ s varie de 0,15 à 1,0 (0,15 ≤ ψ s ≤1,0). ψ b - coefficient tenant compte de l’influence de la répartition des contraintes dans les fibres extrêmes comprimées du béton entre fissures : en général ψ b = 0,70 ... 1,0; pour le béton ordinaire ψ b = 0,9. La courbure totale d’un élément fléchi avec fissures en zone tendue est déterminée en fonction de la durée d’application de la charge:

1 1 1 1 = − + rtot r1 r2 r3

(8.168) 237

Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

où, 1/r 1 - courbure due à l’action instantanée de la charge totale ; 1/r 2 courbure due à l’action instantanée des charges permanentes et quasipermanentes (charges de longue durée d’application) ; 1/r 3 - courbure due à l’action différée des charges de longue durée d’application. Ces courbures sont déterminées par la formule (8.160) avec 1/r 2 , 1/r 3 ≤ 0. La valeur de la flèche est déterminée par la formule (8.157). c) Evaluation forfaitaire des flèches Au lieu de calculer les flèches à partir des courbures, on admet d’évaluer les flèches à l’aide de formules classiques de la Résistance des Matériaux en utilisant pour cela: - une inertie fictive de la section droite pour tenir compte de la fissuration; - un module d’élasticité instantanée E b,i ou différé E b,ν selon les cas (charges instantanées ou de longue durée d’application) pour tenir compte du fluage du béton. Ainsi, on obtient: - pour un élément sur deux appuis (poutres, dalles calculées dans le sens de la petite portée), en milieu de travée : + la flèche due aux charges instantanées est:

M ser l 2 fi = ; 10 E b,i I fi

(8.169)

+ la flèche due aux charges de longue durée est: fν

M ser l 2 = ; 10 E b,ν I fν

(8.170)

pour les consoles, la flèche à l’extrémité libre est: + pour les charges instantanées:

M ser l 2 fi = ; 4 E b,i I fi

(8.171)

+ pour les charges de longue durée: fν

M ser l 2 = . 4 E b,ν I fν

(8.172)

N. B. Pour les consoles, dans le cas où il y a possibilité de rotation de la section d’encastrement, à ces valeurs, on doit ajouter celles résultant de cette rotation.

238 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Dans ces expressions: M ser - le moment fléchissant de service ; l - la portée de la travée ou la longueur de la console ; E bi - le module d’élasticité du béton sous charges instantanées (module instantanée): E bi = 11 000

(8.173)

f cj

I fi - le moment d’inertie fictif de la section droite sous charge instantanée: I fi = avec,

λi

µ = 1 - 1,75

Io 1 0,9 1 + λi µ 0,05 f tj =

3b   ρ 2 + o  b   f tj

4 ρσ s + f tj

≥ 0

(8.174) (8.175)

(8.176)

I o - moment d’inertie de la section totale rendue homogène avec n =E s /E b = 15 ; f tj - résistance caractéristique du béton à la traction ; σ s - contrainte de = A s /(bd) - pourcentage de traction dans les armatures tendues A s ; ρ ferraillage ; b - largeur de la table de compression de la section droite ; bolargeur de la nervure de la section droite ; E bν - module d’élasticité différé du béton sous charges de longue durée : 1 E bν = E bi (8.177) 3 I fν - moment d’inertie fictif de la section sous charges de longue durée: I fν =

Io 1 − µλν

(8.178)

avec, λ ν = 0,4 λ i (8.179) Il est aussi possible d’évaluer les courbures des éléments fléchis en utilisant les moments d’inertie fictifs (I fi et I fν ) et les modules d’élasticité concernés (E bi et E bν ) ; ainsi: - sous charges instantanées:

M ser 1 ; = ri Ebi I fi

(8.180)

M ser 1 . = rν E bν I f ν

(8.181)

sous charges de longue durée:

Comme il a été déjà souligné, il est difficile d’évaluer la grandeur exacte des flèches à cause de la particularité de déformation du béton armé. Ainsi, les 239 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

expressions ci-dessus nous permettent seulement d’évaluer forfaitairement la grandeur des flèches (grandeur généralement différente de la valeur constatée) pour qu’on s’assure que l’élément ainsi conçu présente une raideur acceptable eu égard aux fonctions qu’il doit remplir.

2. LA TRACTION SIMPLE 2.1. Généralités Il y a traction simple quand l’effort normal N agit le long de l’axe longitudinal de l’élément. Les éléments soumis à la traction sont les tirants des arcs, les membrures inférieures et certaines diagonales des fermes en béton armé, les parois des réservoirs circulaires dans le plan, soumis à la pression hydrostatique et certains éléments (constructifs) de différents ouvrages. Les éléments tendus peuvent avoir de sections transversales différentes : circulaire, carrée, rectangulaire. Pour augmenter la résistance des éléments tendus à la fissuration, ces éléments sont le plus souvent conçus en béton précontraint, mais ici, on se limitera aux éléments en béton armé ordinaire, c’est-à-dire avec du béton non précontraint. Le calcul des éléments tendus se ramène à : - un calcul à l’état limite ultime de résistance pour éviter la rupture de l’élément; - un calcul à l’état limite de service vis à vis de la durabilité en cas de fissuration préjudiciable ou très préjudiciable. Le béton étant entièrement tendu, il est négligé dans le calcul et tout l’effort de traction N est supposé pris par les armatures tendues. La section des armatures doit, dans tous les cas, satisfaire à la condition de non fragilité: As ≥

f tj fe

(8.182)

Quant au béton, il est supposé exclu du travail, mais dans tous les cas, il doit pouvoir satisfaire aux conditions suivantes: - assurer l’enrobage et permettre d’effectuer la jonction des armatures; f - satisfaire la condition de non fragilité (B ≤ A s e ). f ft

240 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

2.2. Calcul à l’état limite ultime de résistance

Fig. 8. 31 .

Soit N u l’effort normal ultime calculé à partir de la combinaison fondamentale (fig. 8.31), on doit avoir pour la section des armatures longitudinales: As =

Nu fs

(8.183)

avec, f s = f e /γ s , f e étant la limite d’élasticité garantie des aciers; coefficient de sécurité: γ s = 1,15.

γs

La section d’armatures ainsi trouvée doit être repartie symétriquement dans la section; en général cette répartition se fait uniformément suivant le pourtour de la section. Les armatures longitudinales sont réunies par des cadres en ∅6 espacés de 25 ... 50 cm.

2.3. Calcul à l’état limite de service vis à vis de la durabilité Ce calcul a lieu en cas de fissuration préjudiciable ou très préjudiciable. On doit avoir pour les armatures longitudinales: As =

N ser (k f σ s )

(8.184)

où,

N ser - l’effort normal de service calculé à partir de la combinaison rare ; σs - la contrainte limite dans les aciers tendus, déterminée par la formule (7.62) ; k f – coefficient fonction des cas de fissuration. Entre les deux valeurs de section calculées par les formules (8.183) et (8.184), on choisira la plus grande. Les diamètres et l’espacement des barres doivent respecter les exigences pour les différents cas de fissuration. Le calcul d’ouverture de fissures se fait comme en flexion. 241 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

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2.4. Calcul de vérification La capacité portante d’un élément tendu en béton armé est égale à : N R,u = f s A s La résistance est vérifiée si N R,u ≥ N u A l’état limite de service, on doit avoir:

(k f σs A s ) ≥ N ser .

(8.185) (8.186)

(8.187)

3. LA COMPRESSION SIMPLE 3.1. Généralités Les éléments soumis à la compression simple sont les poteaux, les membrures supérieures et certaines diagonales des fermes, les murs en béton armé et quelques éléments d’ouvrages. Ils ont une section transversale de formes carrées, circulaires, rectangulaires ou autres. Le béton résiste très bien à la compression, cependant, dans les éléments en béton armé, on est amené à introduire des armatures longitudinales pour les raisons suivantes: - renforcer le béton comprimé quand il ne peut, à lui seul, prendre tout l’effort de compression; - pour pouvoir résister aux éventuels moments créées par suite de l’excentrement de la force de compression, excentrement dû aux imperfections d’exécution, de la dissymétrie de chargement et de la solidarité des éléments comprimés (poteaux) avec les éléments fléchis (poutres). Ces barres d’armatures comprimées ont à elles seules une très faible résistance au flambement, d’où la nécessité de les relier par des armatures transversales constituées de cadres et d’épingles. Ces armatures transversales doivent former une ceinture qui doit empêcher tout mouvement des armatures longitudinales vers les parois. Les armatures longitudinales et transversales des éléments comprimés doivent respecter un certain nombre de dispositions constructives qui sont: 242 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

• D1: Il n’est pas rationnel d’utiliser des aciers comprimés avec une limite d’élasticité garantie f e > 400 MPa; en effet, le raccourcissement ultime du béton en compression est ε bc,u = 0,002; pour cette valeur de la déformation, la contrainte dans les aciers est σ s ’ = ε s ’ E s = ε bc,u E s = 0,002.2.105 MPa = 400 MPa; donc en utilisant des aciers avec f e > 400 MPa, toute leur résistance ne sera pas utilisée (à l’écrasement du béton la contrainte dans les aciers comprimés σ s ’ = 400 MPa sera inférieure à f e ); • D2: déterminée :

La section minimale d’armatures longitudinales, en cm2 est ainsi A’ s,min = Max  4 cm2/ml de parement; 0,002B A’ s,min = Max  0,04p ; 0,002B

(8.188) (8.189)

ou encore avec, B - section du béton en cm2; p - le périmètre, en cm du parement perpendiculairement aux armatures. Ainsi, on obtient une section minimale, en cm2, de valeur égale à : - pour une section rectangulaire bxh, : A’ s,min = Max  0,08 (b+h); 0,002bh avec, b et h en cm. - pour une section circulaire de rayon r : A’ s,min = Max  0,252r ; 0,0063r2 avec, r en cm.

(8.190)

(8.191)

• D3: Pour des raisons économiques, on limite la section des armatures longitudinales à 5 % de la section totale du béton : A s ’ ≤ 0,05 B (8.192) • D4: Les armatures longitudinales doivent être reparties le long des parois avec au moins une barre dans chaque angle en cas de section polygonale et 6 (six) barres en cas de section circulaire. • D5: La distance c entre deux barres voisines doit être telle que: c ≤ Min  a + 10 cm ; 40 cm (8.193) avec, a - la plus petite dimension de la section, en cm. • D6: Pour les éléments modérément sollicités, il est recommandé d’utiliser des barres de diamètre ∅ l ≥ 12 mm; pour les éléments fortement sollicités, il faut des barres de diamètre ∅ l ≥ 20 mm; les diamètres inférieurs à 12 mm ne sont pas conseillés. 243 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

• D7: Le diamètre ∅ t des armatures transversales doit être tel que: ∅ t ≥ ∅ l,max /3 (8.194) avec, ∅ l,max - le diamètre maximal des armatures longitudinales. • D8: L’espacement s t des armatures transversales est tel que: s t ≤ Min  15 ∅ l,min ; a + 10 cm ; 40 cm avec, ∅ l,min - le diamètre minimal des armatures longitudinales.

(8.195)

• D9: Dans le cas où la dimension de la section droite dépasse 40 cm, les barres longitudinales intermédiaires doivent être maintenues avec celles du côté opposé par des épingles ; l’espacement des épingles ne doit pas dépasser 40 cm. • D10: Dans les zones de recouvrement des armatures longitudinales, on doit prévoir au moins trois plans d’armatures transversales sur le long du recouvrement (un plan à chaque extrémité du recouvrement et un plan au milieu).

3.2. Calcul des éléments comprimés En compression simple, le diagramme des déformations passe par le pivot C, donc, on a : - pour le béton : ε bc = 0,002 ; σ bc = f bc ; - pour les armatures: ε s ’ = 0,002 ; σ s ’ = f s ’ (dans le cas général avec des armatures ayant f e ≤ 400 MPa). Pour les éléments comprimés, il y a presque toujours un risque de flambement, surtout pour les éléments avec un élancement maximal λ max supérieur à 35. Supposons un élément comprimé très rigide de section B (λ max < 35) dont on peut, dans une certaine mesure, négliger le phénomène de flambement et A s ’ la section d’armatures comprimées (fig. 8.32). L’effort normal résistant N R,u (capacité portante) est: N R,u = Bf bc + A s ’ f s ’ (8.196)

Fig. 8. 32.

244 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Il est évident qu’on devrait avoir: N u ≤ N R,u avec, N u - l’effort normal ultime sollicitant.

(8.197)

La section de béton B est généralement définie par un prédimensionnement fait à partir d’une valeur fixée de l’élancement maximal λ max . En effet, il est conseillé de ne pas dépasser les valeurs suivantes pour l’élancement maximal λ max des éléments comprimés : • 35 pour les éléments de très fortement à fortement sollicités; • 50 pour les éléments de fortement à modérément sollicités; • 70 pour les éléments de modérément à faiblement sollicités; • 100 pour les éléments de faiblement à très faiblement sollicités. Pour un élément sollicité par l’effort de compression N u , la section nécessaire d’armatures longitudinales sera égale à : As’

N u − Bf bc fs '

(8.198)

Si la section A s ’ calculée est négative (A s ’ < 0), cela veut dire que, théoriquement, le béton seul suffit pour prendre l’effort N u ; dans ce cas les armatures A s ’ seront placés constructivement. En pratique, à la formule théorique (8.196), on apporte certaines corrections pour tenir compte de certains phénomènes qui sont: - les défauts d’exécution (bétonnage); - l’évolution de la résistance du béton dans le temps dans le cas où les charges sont tardivement appliquées; - l’influence des effets du second ordre (flambement) et de l’excentricité additionnelle qu’il est nécessaire de prendre en compte. Ainsi, en plus des dispositions antérieures, il convient de respecter les règles suivantes: - à la place de la section de béton B, on introduit une section réduite B r , obtenue en déduisant des dimensions réelles 1 cm (un centimètre) sur toute la périphérie de la section de l’élément: + pour les sections rectangulaires bxh par exemple, on a : B r =(b - 2 cm)(h - 2 cm); + pour une section circulaire de rayon r, on a : B r = 3,14(r - 1)2 ; - dans le cas où la majorité des charges est appliquée après 90 jours, la résistance du béton est majorée et est prise égale à : 245 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

σ bc

(8.199)

θ1γ b

avec, θ 1 = 0,9; si les charges sont appliquées avant 90 jours, on prend θ 1 = 1,0 ; la valeur de l’effort normal résistant N R,u est minorée à l’aide d’un coefficient de réduction α pour tenir compte des effets du second ordre et des excentricités éventuelles ; le coefficient α est fonction de l’élancement maximal λ de l’élément: + pour λ ≤ 50 α +

0,85

(8.200)

( 35)

1 + 0,2 λ

pour 50 < λ ≤ 70 α

f c 28

( λ)

= 0,6 50

(8.201)

pour 70 < λ < 100, on peut toujours se servir de l’expression (8.201) pour déterminer le coefficient de réduction α ; cette valeur de l’élancement peut être envisagée seulement pour des éléments très faiblement sollicités. la valeur du coefficient α ainsi calculée est divisée par le coefficient θ 2 pour tenir compte de l’âge du béton au moment de l’application des charges; le coefficient θ 2 prend les valeurs suivantes : + θ 2 = 1,0 si plus de la moitié des charges est appliquée après 90 jours; + θ 2 = 1,1 si plus de la moitié des charges est appliquée entre 28 jours et 90 jours; + θ 2 = 1,2 si plus de la moitié des charges est appliquée avant 28 jours; dans ce cas, f c28 est remplacé par f cj .

Compte tenu de toutes ces corrections, l’effort normal résistant N R,u aura pour expression :

α  σ bc  + f s ' As '  ≥ N u  Br θ2  θ 

N R,u =

(8.202)

De l’expression (8.202), on détermine la section d’armatures comprimées A s ’ :

σ α Br bc θ2 θ α fs ' θ2

Nu − As’ =

(8.203)

246 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

ou encore

As’ =

avec,

N br =

N u − N br  αf s '   θ 2  

(8.204)

αBr f c 28 0,9θ 2θγ b

(8.205)

Le calcul des éléments comprimés se fait suivant l’algorithme représenté sur le schéma 8.17 et l’explication de cet organigramme est donnée dans le tableau 8.18.

Données: B ; fc28 ; θ ; θ1 ; θ2 ; γb ; fs ; Nu ; p.

Calcul de la section réduite Br et de l’élancement maximal λ

1 2

non 3’

λ ≤ 50 ?

oui

Elément très élancé, il faut diminuer l’élancement λ en augmentant la section de béton B.

oui

α =

non

λ ≤ 70 (100) ?

0,85

( )

1 + 0,2 λ 35

( )

α = 0,6 50 λ

N u − N br αBr f c 28 Nbr = ; As1’ = αf s '  θ1θ 2θγ b θ2  

As2’ = Max 0,04p x 1 cm ; 0,002 B

8 As’ = As2’

oui

As’

= As1’

8’ oui

9’ As1’ ≤ As2’ ?

Beaucoup d’aciers. Augmenter la section de béton B

non 9

4’

As1’ ≤ 0,05 B ?

non

10 Choix des armatures As’

FIN

Schéma 8. 1 7. Algorithme de calcul des éléments soumis à la compression centrée.

247 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

N° E x p l i c a t i o n s case Données: B - la section de béton; f c28 - résistance caractéristique du béton à 28 jours; f cj - résistance 0

1 2 3 3’ 4 4’ 5 6 7 8 8’ 9 9’ 10 11

du béton si les charges sont appliquées avant 28 jours; γ b - coefficient de sécurité sur la résistance du béton : γ b = 1,5 ; θ, θ 1 , θ 2 - ensemble de coefficients tenant compte de la durée de combinaison d’actions et de l’âge du béton au moment de l’application des charges; .f s ’ - la contrainte limite dans les aciers; N u - l’effort normal ultime ; p - le périmètre de la section droite, en cm. Calcul de la section réduite B r et de l’élancement maximal λ de l’élément. Comparaison de l’élancement λ à 50. Si λ ≤ 50, on calcule le coefficient α. Si λ > 50, on compare λ à 70 (ou à 100 selon les cas). Si λ ≤ 70 (ou 100), on calcule le coefficient α. Dans le cas où λ > 70 (ou 100), l ’élément est trop élancé, il faut diminuer l’élancement λ en augmentant les dimensions de la section transversale et on reprend le calcul. On calcule N br et on détermine la section des aciers comprimés A s1 ’. Calcul de la section minimale d’armatures A s2 ’ (dispositions constructives). Comparaison de A s1 ’ à A s2 ’. Si A s1 ’≤ A s2 ’, on adopte le ferraillage minimal issu des dispositions constructives. Si A s1 ’> A s2 ’, on compare A s1 ’ au pourcentage maximal admissible (0,05B). Si A s1 ’≤ 0,05B, on adopte la section d’aciers A s1 ’ calculée. Dans le cas où A s1 ’ > 0,05B, le pourcentage d’armatures est très élevé (non économique), il faut donc augmenter la section de béton B. On adopte A s ’ et on fait le choix des armatures. FIN DU CALCUL.

Tableau 8. 1 8. Explication de l’organigramme représenté sur le schéma 8.17.

3.3. Calcul des éléments comprimés avec armatures rigides 3.3.1. Généralités

Fig. 8. 33. Poteaux avec armatures rigides. 1 - profilés métalliques; 2 - armatures flexibles longitudinales; 3 - traverses de liaisons; 4 – cadres.

Dans certains éléments comprimés, on peut utiliser des armatures rigides sous forme de profilés métalliques normalisés ou reconstitués par soudure (IPN, IPE, UPN, cornières, etc ...) (voir fig. 8. 33). 248 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

L’utilisation des armatures rigides s’avère surtout nécessaire et rationnelle dans la construction des ouvrages tours et de grande hauteur pour lesquels on arrive, avec l’utilisation des armatures rigides, à résoudre les problèmes d’étaiement. L’armature rigide sert ainsi de structure porteuse pour prendre les charges dues au coffrage, au béton frais et aux équipements de montage. Après durcissement du béton, les efforts se repartissent entre le béton et l’armature. Dans tous les cas, on doit prévoir des armatures flexibles (barres de diamètre 12 à 40 mm) unies par des cadres en ∅8 au moins, espacés d’au plus 20 cm. L’enrobage des armatures rigides ne doit pas être inférieur à 5 cm.

3.3.2. Calcul Les éléments comprimés avec armatures rigides sont calculés en deux étapes : - au moment de la construction sous l’action des charges de montage; - au moment de l’exploitation sous l’action des charges totales (permanentes et variables). Le calcul au moment du montage sous l’action des charges de montage (poids du coffrage, du béton frais, des équipements, des ouvriers, etc ...) se fait conformément aux règles de calcul des constructions métalliques (calcul de résistance, de stabilité et de rigidité). Le calcul au moment de l’exploitation se fait comme pour un élément en béton armé; on ne tient pas compte de l’état de contrainte initial (sous l’action des charges de montage) de l’armature rigide. La capacité portante d’un élément comprimé avec armatures rigides est: BA

(8.206)

N R,u = N R ,u + N R ,u où,

N RBA,u - la capacité portante de l’élément de béton armé sans tenir compte de l’armature rigide, déterminée par l’expression (8.202) ; N R ,u

- la capacité

portante de la structure métallique (armature rigide) déterminée en tenant compte du flambement.

3.4. Vérification de la capacité portante des éléments comprimés Il y a deux vérifications à faire pour les éléments comprimés : 249 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

la vérification de la résistance; la vérification de la stabilité de forme.

Pour les éléments très rigides (λ<35) qui échappent au phénomène de flambement, seule la résistance est à vérifier. Ainsi, pour un élément comprimé très rigide de section de béton B et de section d’armatures A s ’, l’effort normal résistant est déterminé par la formule (8.196) et on doit vérifier la condition (8.197). Pour les éléments dont on ne peut pas négliger l’influence du flambement (λ≥ 35), en général, c’est l’état limite ultime de stabilité de forme qui est prépondérant. On est donc amené à déterminer la capacité portante de l’élément en tenant compte du flambement. Pour ces éléments, l’effort normal résistant est déterminé par la formule (8.202) avec vérification de la condition N R,u ≥ N u , où N u est l’effort normal ultime sollicitant.

4. LA FLEXION COMPOSEE 4.1. Généralités 4.1.1. Définitions Il y a flexion composée en cas d’action simultanée d’un effort normal N appliqué au centre de gravité G de la section et d’un moment de flexion M G par rapport au point G (voir fig. 8.34, a). L’action de ce système de forces (N et M G ) équivaut à celle d’une force normale N appliquée avec une excentricité e 1 par rapport au point G; le point d’application C de cette force est appelé centre de pression (fig. 8.34, b).

Fig. 8. 34.

250 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Pour simplifier le calcul, on effectue généralement la réduction des forces au centre de gravité des armatures tendues A s (voir fig. 8.34, c); les forces de réduction seront dans ce cas l’effort normal N et le moment M A tel que: M A = N (d - 0,5h + e 1 ) (8.207) Ainsi, en flexion composée, il faut tout d’abord: - préciser la nature de l’effort normal N (traction ou compression); - déterminer la position du centre de pression C (point d’application de N); - déterminer la position de l’axe neutre (axe où les contraintes normales sont nulles). En cas d’un effort normal de traction, le centre de pression C est du même côté que les armatures A s par rapport au point G. Couramment, la section est soit: - entièrement tendue (cas des petites excentricités); - partiellement tendue (cas des grandes excentricités). En cas d’un effort normal de compression, le centre de pression C est à l’opposé des armatures A s par rapport au point G. Deux cas sont couramment possibles: - la section est entièrement comprimée (cas des petites excentricités); - la section est partiellement comprimée (cas des grandes excentricités). En définitive, il y a trois cas possibles selon la position de l’axe neutre: - section entièrement tendue; - section partiellement comprimée; - section entièrement comprimée. La position de l’axe neutre, c’est-à-dire la valeur et le signe de la profondeur y de l’axe neutre, est déterminée sans tenir compte des armatures en traçant le diagramme des contraintes normales par application des formules de la Résistance des Matériaux: σ

N MG + yp B I

où, B est la section de béton; I l’ordonnée du point considéré.

(8.208)

- le moment d’inertie de la section; y p

Avec l’épure des contraintes normales, on déterminera le cas où l’on se trouve. En réalité, la position de l’axe neutre dépend des sections d’armatures (A s et A s ’), des hauteurs totale h et utile d et de l’excentricité e 1 = M/N ; mais, comme à priori, les armatures (A s et A s ’) sont inconnues et que dans tous les cas, un 251 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

pourcentage minimal est exigé, l’erreur commise en négligeant les armatures n’a que peu d’influence sur les résultats du calcul. Ainsi, les trois cas possibles en flexion composée sont (voir fig. 8.35) : - la section est entièrement tendue (fig. 8.35, a); dans ce cas, l’axe neutre est en dehors de la section (y ≤ 0); les armatures A s sont les plus tendues et les armatures A s ’ sont les moins tendues; - la section est partiellement comprimée (fig. 8.35, b, c, d)); dans ce cas, l’axe neutre traverse la section droite (0 <y < h, où h est la hauteur totale de la section) et il y a trois possibilités: + si 0 < y < d’ (fig. 8.35, b), seules les fibres supérieures du béton (enrobage) sont comprimées et les armatures A s et A s ’ sont toutes tendues : A s sont les plus tendues et A s ’ sont les moins tendues; + si d’ ≤ y ≤ d (fig. 8.35, c), une partie du béton et les armatures A s ’ sont comprimées comme en flexion simple et les armatures A s sont tendues; + si d < y < h (fig. 8.35, d), seule une toute petite partie des fibres inférieures (enrobage) est tendue; les armatures A s ’ et A s sont toutes comprimées: les armatures A s ’ sont les plus comprimées et les armatures A s sont les moins comprimées. - la section est entièrement comprimée (fig. 8.35, e); dans ce cas, l’axe neutre est en dehors de la section (y ≥ h); le béton, de même que les armatures A s et A s ’ sont comprimés : les armatures A s ’ sont les plus comprimées et les armatures A s sont les moins comprimées.

Fig. 8. 35. Les cas possibles en flexion composée. s.e.t. - section entièrement tendue; s.p.c. - section partiellement comprimée; s.e.c. - section entièrement comprimée.

4.1.2. Sollicitations a) Sollicitations à l’état limite ultime 252 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

∗ Cas de la flexion avec traction Dans ce cas, les valeurs de calcul des sollicitations (N u et M u ) sont celles obtenues à partir de la combinaison fondamentale relative au cas étudié. ∗ Cas de la flexion avec compression Dans ce cas, il y a un risque de flambement, ce qui ramène, par mesure de sécurité, à majorer la valeur de l’excentricité réelle e 1 à la valeur e tot , déterminée par la formule (7.37). L’excentricité du premier ordre e 1 est déterminée par rapport au centre de gravité G de la section (e 1 = M G,u /N u ) et les valeurs de calcul des sollicitations sont N u et M u,G tel que: M u,G = N u e tot (8.209) b) Sollicitations à l’état limite de service Dans les deux cas (flexion avec traction ou flexion avec compression), les valeurs de calcul des sollicitations sont celles obtenues à partir de la combinaison d’actions rare correspondant à l’état limite de service et relative au cas étudié.

4.2. Section entièrement tendue Ce cas a lieu en présence d’un effort normal de traction N u appliqué en général entre les deux nappes d’armatures A s et A s ’; l’excentricité e 1 = M G,u /N u n’est pas majorée.

4.2.1. Calcul à l’état limite ultime Le béton étant entièrement tendu, par conséquent: - le béton n’intervient pas dans la résistance de la section; - les équations d’équilibre de la section sont valables quelque soit la forme de la section droite; - on est dans le domaine 1 définit par le pivot A. Le calcul consiste à déterminer les sections d’armatures A s et A s ’. Ce dimensionnement est déterminant en cas de fissuration peu préjudiciable ou quelques rares fois, en cas de fissuration préjudiciable. Les équations d’équilibre se présentent comme suit (voir fig. 8.36): 253 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Nu = σs’ As’ + σs As

(8.210)

M A = σ s ’ A s ’ (d - d’)

(8.211)

On a deux équations avec deux inconnues A s et A s ’. Comme ces deux Fig. 8. 36. Section entièrement tendue. nappes d’armatures A s et A s ’ sont toutes tendues, la solution rationnelle serait de considérer que ces deux armatures ont atteint leur allongement ultime ε s = ε s ’ = 0,010, donc σ s = f s et σ s ’ = f s ’ . Dans ce cas, le centre de pression C coïncide avec le centre de gravité de l’ensemble des armatures A s et A s ’. Les sections d’armatures A s sont obtenues en prenant la somme des moments par rapport au centre de gravité de A s ’ et celle de A s ’ en prenant le moment par rapport à A s : ∑M A’ = σ s A s (d - d’ ) + N u e s ’ = 0 (8.212) ∑M A = σ s ’ A s ’ (d - d’ ) + N u e s = 0 (8.213) De ces expressions, on obtient: As =

N u es ' f s (d − d ' ) N u es As’ = f s ' (d − d ' )

(8.214) (8.215)

Ces sections d’armatures doivent satisfaire la condition de non fragilité, c’est-àdire dépasser A min égal à : A min =

f tj fe

(8.216)

où, B est la section de béton. En définitive, on doit avoir:



 N u es ' ; Amin    f s (d − d ' )

A s = Max 



 N u es ; Amin    f s ' (d − d ' )

A s ’ = Max 

(8.217) (8.218)

On peut aussi prévoir une section symétrique d’armatures, c’est-à-dire prendre A s = A s ’. Dans ce cas, si les contraintes dans les deux nappes ont atteint leur valeur ultime f s , le centre de pression va coïncider avec le centre de gravité de la 254 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

section et on est limité par l’allongement ultime dans les armatures les plus tendues (A s ). Pour chacune des nappes, on obtient :

 Nu

 ; Amin   2 f s

A s ’ = A s = Max 

(8.219)

4.2.2. Calcul à l’état limite de service Ce calcul a lieu en cas de fissuration préjudiciable ou très préjudiciable. Il s’agit de vérifier que les contraintes dans les aciers tendus (A s et A s ’) ne dépassent pas les valeurs (k f σs ) selon le cas. En désignant par N ser l’effort normal de service (l’effort à l’E.L.S.), on peut déterminer les valeurs des contraintes σ s et σ s ’ dans les armatures A s et A s ’ à partir des expressions (8.212) et (8.213) : σs = σ s’

N ser e s ' ≤ (k f σs ) (d − d ' ) As

N ser es ' ≤ (k f σ s ) (d − d ' ) As '

(8.220) (8.221)

Dans le cas où σ s > k f σs ou σ s ’ > k f σs , on doit redimensionner les sections d’armatures en prenant pour contrainte dans les aciers la valeur maximale (k f σs ). Dans ce cas, on trouve pour les deux nappes A s ’ et A s :

  N ser es ; Amin   (d − d ' )(k f σ s ) 

A s ’ = Max 

(8.222)

  N ser es ' ; Amin   (d − d ' )(k f σ s ) 

(8.223)

A s = Max 

Pour des armatures symétriques, on a :

 N ser  ; Amin   2(k f σ s ) 

A s = A s ’ = Max 

(8.224)

4.3. Section partiellement comprimée Ce cas arrive avec un effort normal de traction ou de compression appliqué avec une grande excentricité. On suppose qu’on dispose de deux nappes d’armatures et que la profondeur de l’axe neutre est telle que d’ ≤ y ≤ d.

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Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

4.3.1. Calcul à l’état limite ultime Les équations d’équilibre se présentent comme suit (voir fig. 8.37): - pour le cas de la flexion avec compression (fig. 8.37, a), on a: + Nu = Fb + Fs’ - Fs (8.225) MA = Nu eA = Fs’ zs + Fb zb (8.226) -

pour le cas de la flexion avec traction (fig. 8.37, b), on a: - Nu = + Fb + Fs’ - Fs MA = Nu eA = Fs’ zs + Fb zb avec, e A = d - 0,5 h + e 1

(8.227) (8.228) (8.229)

On remarque que les expressions (8.226) et (8.228) sont identiques et qu’entre les expressions (8.225) et (8.227) il n’y a que le signe devant N u qui les diffère. L’expression (8.225) peut être écrite sous la forme:



F b + σ s ’ A s ’ - σ s  As +



Nu   = 0 σ s 

ou encore avec, et

A f,s ’ = A s ’ A f,s = A s +

(8.230)

F b + σ s ’ A f,s ’ - σ s A f,s = 0 (8.231) (8.232)

σs

(8.233)

Fig. 8. 37. Section partiellement comprimée. a - flexion avec compression; b - flexion avec traction.

Pour l’expression (8.227) (cas de la traction), on obtient: A f,s = A s -

σs

En définitive, on obtient les expressions suivantes: F b + σ s ’ A s ’ - σ s A f,s = 0 MA = Nu eA = Fb zb + Fs’ zs

(8.234)

(8.235) (8.236) 256

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Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

En comparant les expressions (8.235) et (8.236) aux expressions (8.49) et (8.50), on voit qu’on peut ramener le problème de flexion composé à un problème de flexion simple avec un moment fictif M A tel que : M A = N u e A = M u,G + N u (d- 0,5 h) (8.237) où M u,G - le moment ultime par rapport au centre de gravité de la section. Le calcul avec le moment fictif M A se fait entièrement comment en flexion simple. Avec ce moment fictif, on aboutit à des sections fictives d’armatures tendues A f,s et comprimées A f,s ’. De ces sections fictives A f,s et A f,s ’ , on déduit les sections réelles d’armatures tendues A s et comprimées A s ’ à l’aide des expressions (8.232), (8.233) et (8.234). En définitive, on obtient pour les sections d’armatures A s ’ et A s les valeurs suivantes selon le cas : - Si N u est une force de compression (cas de la fig. 8.37,a): + pour les armatures comprimées A s ’: A s ’ = A f,s ’ (8.238) + pour les armatures tendues A s : A s = A f,s -

σs

Si N u est une force de traction (cas de la fig. 8.37, b): + pour les armatures comprimées A s ’: A s ’ = A f,s ’ + pour les armatures tendues A s : A s = A f,s +

σs

(8.239)

(8.240) (8.241)

Dans ces expressions, l’effort normal N u est pris en valeur absolue. Dans le cas où l’on obtient une grande section d’armatures comprimées A s ’ (A s ’ > A s ), il convient d’augmenter la section de béton. La section des armatures tendues A s doit vérifier la condition de non fragilité (A s > A min ) en flexion. Si l’on obtient A s < 0, cela veut dire que y > d et que les aciers A s sont comprimés, donc l’assimilation à la flexion simple n’est pas possible. Dans ce cas, la section doit être, soit entièrement comprimée, soit seules les fibres inférieures de l’enrobage sont tendues. Pour ce dernier cas, il suffit de prévoir une section minimale d’armatures A s = A min .

4.3.2. Calcul à l’état limite de service 257 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Les calculs à l’état limite de service consistent: - à vérifier la compression du béton; - à vérifier la traction des aciers (ouverture des fissures) Pour cela, on peut procéder de deux manières: - soit on passe directement à la vérification des contraintes avec les sections d’aciers et de béton obtenues à partir du calcul à l’état limite ultime; - soit on procède à un nouveau calcul de dimensionnement à l’état limite de service et on choisi les résultats les plus défavorables entre ceux du calcul de l’état limite ultime et de l’état limite de service. a) Vérification des contraintes On calcule les contraintes σ bc et σ s et on les compare aux valeurs limites et k f σ s avec (voir fig. 8.38):

σ bc = K y ser σ s = n K (d - y ser ) K = N ser y ser =

yc I

yc + d - eA

Fig. 8. 38

σ bc

(8.242) (8.243) (8.244) (8.245)

M ser + d - 0,5 h (8.246) N ser

où, n = E s /E b = 15 - coefficient d’équivalence; I - le moment d’inertie de la section homogène réduite, déterminé pour les sections rectangulaires et en T respectivement par les formules (8.104) et (8.108). La distance y c du centre de pression C à l’axe neutre est déterminée à partir des conditions d’équivalence des forces et des moments; elle est la solution d’une équation du troisième degré type y c 3 - py c + q = 0 obtenue à partir des équations d’équilibre de la statique ; on a : - pour les sections rectangulaires:

A As ' (a - d’) - 6n s (d - a) b b A A' q = - 2a3 - 6n s (a - d’)2 - 6n s (d - a)2 b b a = d - eA

p = 3a2 + 6n

avec,

(8.247) (8.248) (8.249) 258

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Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

et l’excentricité e A > 0 (positive) en compression et e A < 0 (négative) en traction; - pour les sections en T:

b  A A'  − 1 (a - h o )2 + 6n s (a - d’) - 6n s (d - a) bo bo  bo  b  A A' b 3 q = -2 a + 2  − 1 (a - h o )3 - 6n s (a - d’) - 6n s (d - a)2 bo bo bo  bo  p = 3

b 2 a -3 bo

(8.250) (8.251)

La solution y c de cette équation du troisième degré est obtenue comme suit. On calcule d’abord la quantité

4 p3 ∆ = q 27

(8.252)

∆ - q

(8.253)

Si ∆ > 0, on pose

u 1 = 0,5 et

yc =

u1 +

p 33 u1

(8.254)

- Si ∆ < 0, la solution est choisie parmi les trois solutions qui sont: y 1 = u 2 cos (ϕ /3) ; y 2 = u 2 cos (ϕ /3 + 120 °) ; y 3 = u 2 cos (ϕ /3 + 240°). (8.255) avec,

Dans le cas où

p 3

= 2

 3q  2p 

= arccos 

σ bc >

(8.256)

3  p 

(8.257)

σ bc , il convient de renforcer la section de béton

(augmenter la section ou la classe de béton) ou d’augmenter la section des aciers comprimés. Si σ s > k f σ s , on redimensionne la section des armatures tendues. b) Dimensionnement à l’état limite de service Comme à l’état limite ultime, ici aussi, on ramène le problème à un calcul en flexion simple avec un moment fictif. ∗ Cas d’une section rectangulaire On calcule les quantités suivantes: α

9 f cj 9 f cj + k f σ s

(8.258) 259

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Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

(8.259)

M As = M ser + N ser (d - 0,5h) puis, on détermine

(8.260)

M s ’ = M As - 0,1 b d 2 f cj α (3 - α)

Deux cas sont possibles selon le signe du moment M s ’ : • 1er cas: le moment M s ’ > 0 : Dans ce cas, deux solutions sont possibles : + Redimensionner la section de béton ou augmenter sa classe; + Introduire des aciers comprimés pour aider le béton comprimé. Le redimensionnement de la section de béton se fait sur la base de l’expression (8.121); la section fictive d’armatures A f,s est déterminée par la formule (8.124). De cette section, on en déduit la section réelle A s : N A s = A f,s - ser (8.261)

σs

Dans le cas où l’on désire introduire des armatures comprimées, la section de ces dernières est déterminée par les expressions (8.128) ou (8.129) en remplaçant M ser par M As et celle (section fictive) des aciers tendus est calculée par la formule (8.132); la section réelle est trouvée par l’expression (8.261). • 2ème cas: le moment M s ’ < 0 : Dans ce cas, il n’y a pas nécessité d’armatures comprimées; il s’agit seulement de déterminer la section fictive des aciers tendus A f,s par l’expression (8.139) en remplaçant M ser par M As et en déduire la section réelle A s . ∗ Cas d’une section en T On évalue d’abord le moment pris par la table de compression qui, à l’état limite de service, vaut: 1 M bt = bh o σbc (d - h o /3) (8.262) 2 ou encore M bt = 0,1bh o f cj (3d - h o ) (8.263) On détermine ensuite le moment M As et le problème se ramène à un calcul en flexion simple d’une section en T sous l’action d’un moment fictif M As .

4.4. Section entièrement comprimée

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Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Ce cas est possible en présence d’un effort de compression appliqué avec une petite excentricité (compression excentrée). Ici, on doit toujours revérifier si effectivement on est dans le cas d’une section entièrement comprimée.

4.4.1. Calcul à l’état limite ultime a) Section rectangulaire Considérons une section rectangulaire entièrement comprimée (voir fig. 8.39). Nous retenons les notations suivantes: F b1 et F b2 - les résultantes des forces de compression respectivement dans le béton des parties supérieure avec diagramme rectangulaire des contraintes et inférieure avec diagramme parabolique des contraintes; δ G - le coefficient du centre de gravité du diagramme des contraintes; y - la profondeur de l’axe neutre. Les équations d’équilibre de la statique se présentent comme suit: (8.264) Nu = Fb + σs’ As’ + σs As M A = M b + σ s ’ A s ’ (d - d’) (8.265) où, F b - la résultante des forces de compression dans le béton sur toute la hauteur h de la section ; M b - le moment résistant du béton par rapport aux armatures inférieures A s .

Fig. 8. 39. Calcul d’une section rectangulaire entièrement comprimée. 1 - section avant déformation; 2 - section après déformation.

La résultante des forces de compression dans le béton F b est: F b = F b1 + F b2 ou encore F b = Ψbhf bc avec, Ψ - coefficient de remplissage du diagramme des contraintes

(8.266) (8.267)

261 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

B B + B2 = 1 hf bc hf bc avec, B - aire de l’épure des contraintes de compression dans le béton.

Ψ =

Les aires B 1 et B 2 revenant aux forces F b1 et F b2 sont telles que : 3 B1 = hf bc 7

    4 3 , 05  = h f bc  − 2 7  7 y   − 3       h

donc et

(8.269)

(8.270)

(8.271) (8.272)

F b1 = B 1 b F b2 = B 2 b

Si y est la profondeur de l’axe neutre, on trouve que : 3,05 Ψ = 1 2  7y   − 3  h  ou encore Ψ = 1 - χ

χ =

avec,

(8.268)

3,05   7y − 3    h

(8.273) (8.274) (8.275)

quand y = h , alors χ = 0, 1 9 et Ψ = 0, 81 ; quand y = ∞ , alors χ = 0 et Ψ = 1 , 0, donc, on a : 0 ≤ χ ≤ 0,19 et 0,81 ≤ Ψ ≤ 1,0 ; ce sont les conditions nécessaires pour que la section soit entièrement comprimée. Remarque:

Le moment résistant du béton est: M b = F b (d - δ G h)

(8.276)

Pour déterminer le coefficient δ G , évaluons d’abord les distances d 1 et d 2 :

3 h 14 4h 2 f bc 3 = h− 7 49 B2

d1 = d2

(8.277) (8.278)

262 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

L’égalité (8.266) nous permet d’écrire: Fb δG h =

 

F b1 d 1 + F b2  d 2 +

3  h 7 

(8.279)

En remplaçant F b , F b1 , F b2 , d 1 et d 2 par leurs valeurs, on trouve:

δG =

6 35 0,357 − = 0,857 − 7 98ψ ψ

(8.280)

Le moment résistant sera alors égal à:



  d − 0,857 ψ bh 2 f bc   h

M b = 0,357 + 



(8.281)

Les équations d’équilibre (8.264) et (8.265) se présenteront donc comme suit: (8.282) N u = ψ bhf bc + σ s ’ A s ’ + σ s A s



d   − 0,857 ψ bh 2 f bc + σ s ’ A s ’ (d - d’) h  

M A = 0,357 + 



L’expression (8.282) peut être écrite sous la forme : N u - ψ bhf bc = σ s ’ A s ’ + σ s A s

(8.283)

(8.284)

Dans le cas où l’on a des aciers de type 1 (aciers avec palier de plasticité) et que l’on ait σ s = σ s ’ = f s , on peut écrire : N u - ψbhf bc = f s (A s + A s ’) (8.285) De cette expression, on remarque que pour avoir la valeur minimale de la quantité f s (A s + A s ’) (donc de (A s + A s ’)), il faut que le coefficient ψ soit maximale, c’està-dire que ψ = 1, ce qui donne y = ∞. Dans ce cas, toutes les fibres ont un même raccourcissement égal à 0,002; la contrainte dans les armatures sera égale à σ s,2 qui est celle correspondant à une déformation unitaire de 0,002 (voir fig. 8.40). Les équations d’équilibre s’écrieront dans ce cas: N u = bhf bc + σ s,2 (A s + A s ’ ) (8.286) M A = bhf bc (d - 0,5h) + σ s,2 As’ (8.287) De ces équations, on obtient:

263 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

As’ =

M A − bhf bc (d − 0,5h) σ s , 2 (d − d ' ) (8.288)

As =

donc

Fig. 8. 40. N u − bhf bc

σs ,2

N u − bhf bc

σ s,2

- As’

(8.289)

Comme A s ’ ≥ A s , on doit avoir A s ≥ 0, M A − bhf bc ( d − 0,5h ) ≥0 (8.290) σs ,2 ( d − d ' )

ou encore

N u (d - d’ ) - M u ≥ bhf bc (0,5h - d’ ) (8.291)

Dans le cas où la condition (8.291) n’est pas vérifiée, cela veut dire que A s < 0 , ce qui signifie qu’on peut prendre pour le calcul A s = 0 (des armatures de montage seront placées constructivement). Dans ces conditions, les équations d’équilibre deviennent: (8.292) N u = ψbhf bc + σ s ’A s ’



d   − 0,857 ψ  bh2f bc + σ s ’ A s ’(d - d’) h  

M A = 0,357 + 



De ces deux équations, on obtient :

0,357 + ψ =

(8.293)

N u (d − d ' ) − M u bh 2 f bc d' 0,857 − h

(8.294)

La condition 0,81 ≤ ψ ≤ 1,0 (condition pour que la section soit entièrement comprimée) peut être donc écrite sous la forme : (0,337h - 0,81d’)bhf bc ≤ N u (d - d’) - M u ≤ (0,5h - d’)bhf bc

(8.295)

ou encore (la 2ème condition étant remplie par hypothèse):

(0,337h - 0,81d’)bhfbc ≤ N u (d - d’) - M u

(8.296)

L’expression (8.296) exprime ainsi la condition nécessaire pour qu’une section rectangulaire soit entièrement comprimée, il faut toujours la vérifier avant d’entreprendre le calcul. De l’expression (8.273), on trouve: 264 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

y =

h  1,746 3 + 7  1 −ψ

   

(8.297)

En plaçant cette valeur de y dans l’équation des déformations (voir fig. 8.39), on obtient:

εs' y − d' = ε bc ,u y − 3 h

(8.298)

On trouve pour le raccourcissement unitaire des armatures supérieures :

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Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Données: b, h, d, d’, fcj, Nu, Mu, e, fe, fe’, γs, γb, θ

fs = fe /γs; fs’ = fe’ /γs; fbc =

0,85 f cj

θγ b

;

eA = d - 0,5h + e ; ψ1 =

Nu ; bhf bc

MA = Nu eA = Mu + Nu (d - 0,5h)

ψ1 ≤ 0,81 ?

non 3’ 0,357 +

oui Déterminer eNc

ψ =

(Voir tableau 8.20)

N u (d − d ' ) − M A bh 2 f bc d' 0,857 − h

4 e ≤ eNc ?

ψ ≤ 0,81 ?

non oui 6

6’

Section entièrement comprimée. E.L.U. non atteint. Armatures minimales.

oui

Section partiellement comprimée. E.L.U. peut être atteint ou non. Ramener le problème à un calcul de flexion simple avec un moment fictif MA à partir duquel on détermine des armatures fictives Af,s desquelles on déduit les armatures réelles

non 7

8 oui

Section entièrement comprimée. Pivot C

ψ < 1,0 ?

9 As = 0

non

11    d' εs’ = εbc,u 1 + 1,714 − 4 ,01  1 − ψ  ; σs’ = σs’(εs’) h   

12 As’ =

N u − ψbhf bc σs '

εs = εs’ = εbc,u= 0,002 σs = σs’ = σs,2 M A − bhf bc ( d − 0,5h ) As’ = σs ,2 ( d − d ' ) N u − bhf bc As = − As '

σs ,2

Choix des armatures As’ et As 14

FIN

Schéma 8. 1 8. Organigramme de calcul à l’état limite ultime des sections entièrement comprimées en flexion composée.

266 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

N° case 0

1 2 3 3’ 4 5 6 6’ 7 8 9 10 11

12 13 14

E x p l i c a t i o n s Données: b, h, d, d’, f cj , M u , f e , f e ’,γ s , γ b , θ- voir tabl. 8.2, 8.6; N u - effort normal de compression; e - excentricité d’application de N u par rapport au centre de gravité de la section de béton. Calcul de f s , f e ’, f bc ’ ,e A , M A et ψ 1 . Comparaison de ψ 1 à 0,81. Si ψ 1 ≤ 0,81, on détermine l’excentricité e Nc en fonction du coefficient ψ 1 (voir tableau 8.20). Si ψ 1 > 0,81, on calcule le coefficient de remplissage ψ. On compare ψ à 0,81 On compare l’excentricité e à e Nc . Si e ≤ e Nc , cela signifie que la section est entièrement comprimée, mais que l’état limite ultime n’est pas atteint. On adoptera la section minimale d’aciers comprimés. Si e > e Nc , la section est partiellement comprimée; l’état limite ultime peut être atteint ou non. Le problème est ramené à un calcul de flexion simple sous l’action d’un moment fictif M A . On déterminera les sections fictives A f,s et A f,s ’ des armatures et on en déduit les sections réelles A s et A s ’. si ψ > 0,81, la section est entièrement comprimée et on est en pivot C. On compare ψ à 1,0. Si ψ < 1,0, il n’y a pas nécessité d’armatures inférieures A s (A s = 0). Constructivement, on place des armatures de montage. On calcule le raccourcissement unitaire des armatures supérieures ε s ’ permettant de déterminer la valeur des contraintes σ s ’ dans les aciers selon le diagramme de déformation σ s - ε s des aciers utilisés. Si ψ ≥ 1,0 (donc ψ = 1,0), on suppose que ε s = ε s ’ = 0,002 et σ s = σ s ’ = σ 0,002 = σ s,2 . On calcule ainsi les sections d’armatures supérieures A s ’ et inférieures A s . On peut aussi augmenter la section de béton. On détermine la section des armatures supérieures A s ’. Choix définitif des armatures A s et A s ’. FIN DU CALCUL.

Tableau 8. 1 9. Explication de l’algorithme représenté sur le schéma 8.18.



d'  h    d' χ  1 +  3 − 7   1 , 75 h    



ε s ’ = ε bc,u 1 + 1,714 − 4,01  1 − ψ  

ou encore

ε s ’ = ε bc,u



(8.299) (8.300)

avec, ε bc,u = 0,002. En connaissant la valeur de ε s ’, on détermine la valeur de σ s ’ d’après le diagramme de déformation des aciers utilisés. On trouve donc pour la section des aciers supérieurs A s ’ : As’ =

N u − ψbhf bc σs'

(8.301)

267 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

L’organigramme de calcul des sections entièrement comprimées à l’état limite ultime de résistance est représenté sur le schéma 8.18 ; l’explication est donnée par le tableau 8.19. Les valeurs du coefficient de remplissage ψ 1 = N u /(bhf bc ) en fonction de la quantité (e Nc /h) sont données dans le tableau 8.20. Valeur de e Nc /h

Coefficient

ψ1

0,085 0,090 0,810

0,100

0,110

0,120

0,130

0,135

0,140

0,150

0,160

0,165

0,792 0,752 0,730

0,691

0,635 0,600 0,550

0,415

0,205 0,050

Tableau 8. 20. Valeurs du coefficient ψ 1 en fonction de e Nc /h.

b) Section en Té

Fig. 8. 41 . Calcul des sections en Té entièrement comprimée en flexion composée

3 h, donc les ailes sont 7 soumises à l’action d’une contrainte uniforme f bc . Dans ces conditions, la section en T peut être considérée comme la somme de deux sections qui sont représentées sur la fig. 8.41. La section représentée sur la fig. 8.41, b équilibre donc: - une partie de l’effort normal de valeur N b,a = (b - b o )h o f bc (8.302) - une partie du moment de valeur M b,a = f bc (b - b o )h o (d- 0,5h o ) (8.303) Pour les sections en T, on a presque toujours

ho <

La section représentée sur la fig. 8.41, c va équilibrer par conséquent: - un effort normal de valeur N r,n = N u - N b,a - un moment de flexion de valeur M r,n = M A - M b,a

(8.304) (8.305) 268

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Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

Le calcul de cette section rectangulaire (fig. 8.41, c), c’est-à-dire la détermination des sections d’armatures A s et A s ’ se fait comme précédemment sous l’action de l’effort normal N r,n et du moment fléchissant M r,n . Dans le cas où le problème se ramène à un calcul de flexion simple, le terme soustractif dans le calcul de la section réelle des armatures A s (à partir de la section fictive) est N r,n /σ s .

4.4.2. Calcul à l’état limite de service Il s’agit ici de vérifier que la contrainte dans le béton comprimé σ bc à l’état limite de service ne dépasse pas la valeur σ bc = 0,6f cj . La vérification des contraintes dans le béton s ’effectue comme suit: - on calcule l’aire réduite de la section (voir fig. 8.42, a, b): A r = B + n (A s + A s ’ ) (8.306) avec, B - la section de béton; - on détermine les valeurs maximale et minimale des contraintes dans le béton σ bc,max

σ bc,min

N ser M ser + vs Ar I N ser M ser − vi Ar I

(8.307) (8.308)

avec, I - moment d’inertie de la section totale homogène. On doit avoir:

σ bc,max ≤ σ bc = 0,6f cj et σ bc,min ≥ 0.

Fig. 8. 42.

On peut aussi chercher à dimensionner les sections d’armatures A s ’ et A s de façon que les contraintes ne dépassent pas σ bc . Dans ce cas, on fait travailler le 269 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 8. Justifications des sections soumises à des sollicitations normales

béton au maximum (voir fig. 8.42, c) et les équations d’équilibre deviennent pour une section rectangulaire: N ser = bh σ bc + n (A s + A s ’) σ bc (8.309) M ser + N ser (d - 0,5h) = bh σ bc (d - 0,5h) + n

σ bc A s ’ (d - d’)

(8.310)

De ces équations, on obtient pour les sections d’armatures:

As’ =

M ser + ( N ser − bhσ bc )(d − 0,5h) nσ bc (d − d ' )

(8.311)

N ser − bhσ bc − As ' nσ bc

(8.312)

As =

Pour une section en T, les sections d’armatures sont déterminées par les expressions suivantes :

As’ =

M As − Bσ bc z GA nσ bc (d − d ' )

(8.313)

As =

N ser − Bσ bc − As ' nσ bc

(8.314)

avec,

M As - le moment rapporté aux aciers inférieurs A s ; z GA - distance du centre de gravité des aciers inférieurs A s au centre de gravité G de la section de béton.

270 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

Chapitre 9.

JUSTIFICATION DES SECTIONS SOUMISES A DES SOLLICITATIONS TAGENTES Les sollicitations tangentes sont celles qui engendrent des contraintes tangentes à la section droite d’une pièce; elles sont ainsi équilibrées par des contraintes tangentielles. Les éléments de réduction de ces sollicitations sont: - l’effort tranchant; - le moment de torsion; - l’adhérence. Sous l’action des sollicitations tangentes, tous les calculs sont relatifs à l’état limite ultime; les vérifications à l’état limite de service se traduisent par des dispositions constructives.

1. ACTION DE L’EFFORT TRANCHANT 1.1. Rupture des éléments fléchis sous l’action des sollicitations tangentes Pour les éléments fléchis, les contraintes tangentes sont dues à l’action de l’effort tranchant V. Ces contraintes tangentielles, en action combinée avec les contraintes normales engendrées par le moment fléchissant, peuvent provoquer des fissures inclinées par rapport à l’axe longitudinal de la poutre et entraîner ainsi sa rupture (voir fig. 9.1.). L’endroit de formation des fissures inclinées, leur inclinaison, leurs ouvertures et profondeurs dépendent de plusieurs facteurs tels que la nature de la charge, le rapport moment fléchissant M et effort tranchant V, la forme de la section droite, le ferraillage, etc... Les fissures se forment quand les contraintes principales de traction ont atteint la résistance caractéristique du béton à la traction f tj . Les fissures divisent l’élément en deux parties unies, dans le cas général, par le béton comprimé au dessus de la fissure et les armatures transversales et longitudinales traversant la fissure. Une augmentation de la charge peut entraîner la rupture de l’élément par section inclinée. Cette rupture se passe suivant l’un des schémas suivants :

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Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

Fig. 9. 1 . Différents cas de rupture des éléments fléchis par sections inclinées. a - sous l’action du moment fléchissant; b - sous l’action de l’effort tranchant; c - par écrasement du béton comprimé de l’âme de la section. 1 - fissures inclinées; 2 - zone de rupture du béton par écrasement.

Schéma 1 (fig. 9.1, a): Rupture sous l’action du moment fléchissant M. Les deux parties de l’élément subissent une rotation par rapport au centre de gravité du béton comprimé situé au dessus de la fissure. La profondeur de la fissure augmente et celle de la zone comprimée diminue. La rupture de l’élément se fait par écrasement du béton comprimé après écoulement des aciers tendus traversant la fissure. Ce schéma de rupture est analogue à celui par section droite sous l’action du moment fléchissant. Schéma 2 (fig. 9.1, b): Rupture sous l’action de l’effort tranchant V Quand la section est suffisamment armée et que les aciers sont bien ancrés, la rupture se passe par cisaillement (glissement) du béton comprimé au dessus de la fissure entraînant ainsi l’écoulement des aciers transversaux; les deux parties de l’élément se déplacent ainsi l’une par rapport à l’autre. Ce schéma de rupture est dû en priorité à l’action de l’effort tranchant. Schéma 3 (fig. 9.1, c): Quand la largeur de l’âme de la section est très faible (section en T, en I, en H, en caissons), la rupture peut se passer par écrasement du béton entre les fissures inclinées sous l’action des contraintes principales de compression. Ainsi, en flexion simple, l’action de l’effort tranchant entraîne la rupture de l’élément par section inclinée.

1.2. Objectif des justifications 1.2.1. Généralités L’étude de l’effort tranchant permet: - de vérifier l’épaisseur de l’âme d’une poutre en béton (contrainte tangente du béton); 265 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

de déterminer les armatures transversales d’une poutre (armatures transversales d’âme); de déterminer l’épure d’arrêt des armatures longitudinales (arrêt d’une partie des armatures longitudinales en travée); de vérifier les zones d’appuis à la rupture (écrasement et glissement).

1.2.2. Contraintes tangentes La contrainte tangente qui s’exerce sur la face latérale d’aire B d’une fibre d’une section droite, dans l’hypothèse d’une répartition uniforme des contraintes, est : τ =

VS B I zu

(9.1)

où, V - l’effort tranchant agissant; S B - le moment statique de l’aire de la fibre par rapport à l’axe neutre de la section; I z - le moment d’inertie de la section droite par rapport à l’axe neutre; u - la longueur du contour de la fibre. De cette expression, on obtient: - pour la contrainte tangente à la périphérie d’un paquet de barres d’armatures longitudinales tendues de section A si (contrainte d’entraînement) (voir fig. 9.2): τ =

V 1 Asi z u i As

(9.2)

où,

z - le bras de levier du moment résistant; A s - section totale d’armatures tendues; u i - périmètre équivalent du paquet de barres (pour 1 barre: u i = π ∅ ; pour 2 barres: u i = ( π +2)∅; pour 3 barres: u i = ( π + 3)∅); -

pour la contrainte tangente sur une section verticale de l’aile d’une poutre en T (voir fig. 9.3): τ =

V b1 ho z b

pour une section rectangulaire et en T, la contrainte tangente se répartit comme l’indique la fig. 9.4 avec, τ max

(9.3)

V bo z

(9.4)

pour la contrainte tangente dans le plan vertical de jonction entre nervure et saillie de talon (voir fig. 9.5): 266

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Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

Fig. 9. 2.

Fig. 9. 3.

Fig. 9. 4.

Fig. 9. 5.

Fig. 9. 6.

τ =

V 1 As1 ht z As

(9.5)

Dans un but de simplification, on introduit dans les calculs, non pas la valeur réelle de la contrainte tangente, mais une valeur approchée dite contrainte tangente conventionnelle notée τ u et déterminée en remplaçant le bras de levier z par la hauteur utile d de la section (voir fig. 9.6): τu =

Vu bo d

(9.6) 267

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Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

où, V u - valeur ultime de l’effort tranchant; b o - largeur de la section au niveau des armatures tendues A s .

Cette contrainte tangente conventionnelle représente à peu près 80 à 90 % de la valeur réelle de la contrainte tangente.

1.2.3. Contraintes tangentes limites La contrainte tangente conventionnelle τ u ne doit pas, dans tous les cas, dépasser une certaine valeur limite (ou valeur ultime) τ u : τu ≤ La valeur de

τu

(9.7)

τ u est fixée en fonction de l’inclinaison des armatures transversales

(angle α) et du degré de nocivité de la fissuration : - pour des armatures transversales droites (α = 90° ; voir fig. 9.7): + en cas de fissuration peu préjudiciable:

τu =

γb

0,64 f cj2 / 3

(9.8)

avec, f cj - la résistance caractéristique du béton à la compression à l’âge j; γ b - le coefficient de sécurité sur la résistance du béton à la compression: γ b = 1,5. + en cas de fissuration préjudiciable ou très préjudiciable :

τu = -

(9.9)

pour des armatures transversales inclinées à 45° (α = 45°; voir fig. 9.8) :

τu = -

γb

0,51 f cj2 / 3

γb

(9.10)

0,90 f cj2 / 3

pour des armatures transversales inclinées d’un angle α compris entre 45° et 90° (c’est-à-dire 45 < α < 90° ; voir fig. 9.9), la valeur de τ u est déterminée par interpolation linéaire entre les valeurs pour α = 45° et α = 90°.

Fig. 9. 7.

Fig. 9. 8.

Fig. 9. 9

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Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

pour les pièces dont toutes les sections sont comprimées :

τu =

γb

0,19 f cj2 / 3

(9.11)

Le dimensionnement des armatures transversales de ces pièces relève des règles de construction des éléments soumis à la compression centrée (poteaux).

1.3. Résistance des âmes 1.3.1. Généralités Comme on l’a vu, les schémas de rupture des pièces par effort tranchant conduisent à trois états limites ultimes essentiels qui sont: - l’écoulement des armatures longitudinales tendues (rupture par effort tranchant - moment de flexion); - l’écrasement des bielles de béton comprimé situées entre fissures inclinées (rupture par effort tranchant - compression); - l’écoulement des armatures transversales (rupture par effort tranchant - traction). En plus de ces trois cas de rupture, il peut avoir aussi la ruine des organes de transmission des efforts au voisinage des zones d’application des forces (défaillance des assemblages). Sous l’action de l’effort tranchant, il se forme des fissures inclinées et il apparaît un risque pour la partie centrale de tomber (voir fig. 9. 10). Les armatures transversales sont ainsi placées pour que la partie centrale ne tombe pas. Les deux parties de la poutre sont ainsi cousues par ces armatures transversales (armatures de couture). Il est évident que la résistance de cette section inclinée (section fissurée) va dépendre de la section des armatures transversales et de leur nombre dans ladite section inclinée, donc de leur espacement.

Fig. 9. 1 0. a - armatures transversales droites ; b - armatures transversales inclinées. 1 - couture.

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Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

1.3.2. Théorie du treillis de Ritter - Mörsch Pour déterminer les efforts internes dans une poutre armée d’armatures longitudinales et transversales inclinées d’un angle α par rapport à l’axe longitudinal de la poutre, on peut utiliser l’analogie du treillis de Ritter - Mörsch qui consiste à assimiler la poutre ainsi ferraillée à un treillis composé comme suit (voir fig. 9. 11) : - une membrure tendue constituée par l’armature longitudinale tendue As ; - une membrure supérieure constituée parle béton comprimé et les armatures comprimées ; - des diagonales comprimées inclinées d’un angle de 45°, constituées par les bielles de béton; - des diagonales tendues constituées par les armatures transversales inclinées d’un angle α.

Fig. 9. 1 1 . 1 - membrure supérieure comprimée = béton + barres comprimées; 2 - membrure inférieure tendue = armatures longitudinales tendues; 3 - diagonales comprimées = bielles de béton comprimées; 4 - diagonales tendues = armatures d’âme tendues.

Notations : Désignons par: F c - la résultante des forces de compression dans la membrure supérieure; F s - la résultante des forces de traction dans la membrure inférieure; F st - la résultante des forces dans les diagonales tendues; M u - le moment fléchissant agissant; V u - l’effort tranchant agissant; s t - l’espacement des cours d’armatures transversales, mesuré suivant l’axe longitudinal de la poutre; A t - la section d’un cours d’armatures transversales; a = z (1 + cotg α) - la distance séparant deux bielles.

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Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

On obtient, en utilisant la méthode de Ritter applicable au treillis articulé, les expressions suivantes pour les différents efforts:

Mu z

Fa = Fc = F st =

Vu sin α

(9.12) (9.13)

Le nombre d’armatures transversales sur la longueur a sera (voir fig. 9. 12): na =

a z (1 + cot gα ) = st st

(9.14)

L’effort repris par chaque cours d’armatures F t sera dans ce cas: Ft =

Fst Vu s t = na z (sin α + cos α )

(9.15)

La contrainte de traction dans les armatures sera égale à: σt =

Fig. 9. 1 2.

Ft Vu st = At At z (sin α + cos α )

(9.16)

La contrainte de traction dans les armatures transversales est donc une fonction linéaire de l’effort tranchant agissant. En fait, la contrainte réelle dans les armatures transversales est toujours inférieure à la valeur déterminée par l’expression (9.16), car une partie non négligeable de l’effort tranchant V u est repris par le béton non fissuré.

1.3.3. Justification des armatures d’âme Il existe plusieurs approches pour la détermination des armatures transversales d’âme des poutres; toutefois, on se limitera ici à l’utilisation des résultats obtenus à partir du modèle du treillis de Ritter - Mörsch. En utilisant au maximum les armatures transversales, c’est-à-dire en prenant σ t = f s,t = f e,t /γ s (avec f e,t - la limite d’élasticité garantie des armatures transversales, γ s - le coefficient de sécurité), l’expression (9.16) devient : 271 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

f s,t =

V ust At z (sin α + cos α )

(9.17)

On dispose d’une équation avec deux inconnues qui sont s t et A t . En fixant au préalable la section d’un cours (nappe) d’armatures transversales A t (par exemple constructivement à partir des résultats du calcul des armatures longitudinales) et sachant que l’effort tranchant est la résultante des contraintes tangentes, c’est-à-dire que V u = τ b b o z (b o étant la largeur de la poutre), on obtient pour l’espacement des armatures transversales : st =

f s ,t At (sin α + cos α )

(9.18)

boτ b

La contrainte tangente conventionnelle τ u n’étant qu’une fraction de la contrainte tangente réelle τ b et en considérant τ u = 0,9τ b , l’expression (9.18) devient : st =

0,9 f s ,t At (sin α + cos α )

(9.19)

boτ b

Comme on l’avait souligné plus haut, le béton reprend une partie des contraintes tangentes qu’on notera τ o . Cette valeur est prise égale à :

τo = 0,14 k f cj1 2

(9.20)

avec, k - coefficient, fonction du type de sollicitation et des conditions de mise en oeuvre (reprise); on a : k = 1,0 en flexion simple ou dans le cas des reprises de bétonnage avec indentation d’au moins 5 mm de la surface de reprise; k = 0,0 en cas de reprise de bétonnage sans indentation de la surface de reprise ou quand la fissuration est jugée très préjudiciable; k = 1 + 3σ cm /f cj en flexion composée avec compression et k = 1 – 0,7σ tm /f tj en flexion composée avec traction avec, où, σ cm , σ tm - sont les contraintes moyennes de compression et de traction de la section totale de béton B sous l’effort normal de calcul N en supposant le béton non fissuré et non armé : σ cm = N c /B ; σ tm = N t /B. (9.21) Ainsi, pour les calculs, il faut donc utiliser la valeur (τ u -τ o ) au lieu de τ u . L’expression de l’espacement des armatures transversales sera : st =

0,9 f s ,t At (sin α + cos α ) bo (τ u − τ o )

(9.22)

ou encore 272 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

st =

0,9 f s ,t At (sin α + cos α )

(9.23)

bo (τ u − 0,14kf cj1 2 )

Le pourcentage d’armatures transversales peut être exprimé comme suit : ρt =

At bo st

(9.24)

L’espacement des cours successifs d’armatures transversales dépasser les valeurs suivantes : s t ≤ Min  0,9d ; 40 cm  où, d - la hauteur utile de la section.

ne doit pas (9.25)

Dans le cas où des armatures comprimées doivent être prises en compte, l’espacement s t , en plus ne doit pas dépasser les 15 diamètres de ces armatures : s t ≤ Min  0,9d ; 40 cm ; 15∅ l  où,

(9.25a)

∅ l - le diamètre (minimal) des armatures longitudinales.

De plus le diamètre des armatures transversales ∅ t doit vérifier les conditions suivantes : ∅ t ≥ ∅ l /3 (9.26) et ∅ t ≤ Min  h/35 ; b o /10 ; ∅ l  (9.27) où, h et b o - hauteur totale et largeur de la poutre. La condition de non fragilité à l’effort tranchant (section minimale d’armatures d’âme) se présente comme suit:

At f e,t bo st

≥ 0,13f tj

(9.28)

La répartition des armatures transversales se fait suivant la courbe enveloppe des efforts tranchants : l’effort tranchant étant, en général, variable d’une section à l’autre, les espacements des cadres doivent aussi varier le long de la poutre. Pour faciliter la tâche, on procède par plusieurs méthodes plus ou moins simplistes permettant de répartir les armatures transversales avec une certaine marge de sécurité. Par exemple, la méthode de répartition de Caquot concerne les poutres de hauteur constante, soumises à des charges uniformément réparties. Par cette méthode, on calcule d’abord l’espacement s t,a à l’appui avec 273 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

la valeur de l’effort tranchant V u,a dans cette section (c’est-à-dire au voisinage de

274 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

Données: bo ; d; ftj ; fcj ; fe,t ; Vu ; γs ; γb ; ∅l

Degré de nocivité de la fissuration. Inclinaison α des armatures transversales. Section At d’un cours d’armatures transversales. Détermination de τ u

τu =

non

4’

Augmenter la section de béton ou sa classe.

Détermination du coefficient k

st1

st2 7

τu ≤ τ u ?

oui

f e,t Vu ; f s,t = ; γs bo d

0,9 At f s ,t (sin α + cosα ) b(τ u − 0,14kf cj1 2 )

= min.  0,9d ; 40 cm; 15∅l 

st1 ≤ st2 ? oui

st = st1

ρt =

8’

non

st = st2

11’

Augmenter la section At du cours des armatures transversales ou bien diminuer leur espacement st

At bo st 10

ρt fe,t ≥ 0,13ftj ?

11 Répartition des armatures transversales

FIN

Schéma 9. 1 . Algorithme de calcul des âmes des poutres sous l’action de l’effort tranchant.

275 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

N° case 0

2 3 4 4’ 5 6 7 8 8’ 9 10 11 11’ 12

E x p l i c a t i o n s Données: b o - largeur de la poutre au niveau des armatures tendues; d - hauteur utile; f tj , f cj résistances du béton à la traction et à la compression; γ b , γ s - coefficients de sécurité sur les résistances du béton et des aciers; f e,t - limite d’élasticité garantie des armatures transversales; V u effort tranchant agissant ; ∅ l - diamètre (minimal) des armatures longitudinales comprimées. Détermination du degré de nocivité de la fissuration. Choix de l’angle d’inclinaison α des armatures transversales. Détermination de la section résistante d’un cours (nappe) d’armatures transversales A t . Détermination de τ u en fonction de l’angle α et du type de fissuration. Calcul de la contrainte tangente conventionnelle τ u et de f s,t Comparaison de τ u à τ u . Si τ u ≤ τ u , on détermine la valeur du coefficient k en fonction de la nature de la sollicitation et des conditions de mise en oeuvre. Si τ u > τ u , il faut augmenter la section de béton ou la classe de béton et reprendre le calcul. On calcule l’espacement s t1 nécessaire. On calcule l’espacement s t2 maximal. On compare s t1 à s t2 . Si s t1 ≤ s t2 , alors l’espacement s t est pris égal à s t1 (s t = s t1 ). Si s t1 > s t2 , alors l’espacement s t est pris égal à s t2 (s t = s t2 ). On calcule le pourcentage d’armatures transversales ρ t . On vérifie la condition de non fragilité. Si la condition de non fragilité est vérifiée, on passe à la répartition des armatures transversales. Si la condition de non fragilité n’est pas vérifiée, il faut, soit augmenter la section A t , soit diminuer l’espacement s t et reprendre le calcul. FIN DU CALCUL

Tableau 9. 1 . Explication de l’algorithme représenté sur le schéma 9.1.

l’appui). Le premier cours d’armatures transversales est placé à 0,5s t,a du nu de l’appui ; le deuxième cours est placé à s t,a du premier, et pour l’écartement des cadres suivants, on adopte, en centimètres, la suite des nombres 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 20, 25, 35; chaque espacement étant répété autant de fois qu’il y a de mètres dans la demi portée de la poutre (la demi portée est arrondie à l’entier immédiatement supérieur); le premier nombre à retenir correspond à l’écartement s t,a à l’appui. Le calcul des armatures transversales d’âme se fait suivant l’organigramme représenté sur le schéma 9.1 ; l’explication de l’algorithme est donnée dans le tableau 9.1.

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Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

1.3.4. Arrêt des armatures longitudinales La transmission de la force de compression de la membrure comprimée aux armatures tendues se fait, en principe, par bielles inclinées à 45°; cela conduit à considérer que l’évaluation de l’effort de traction dans les aciers tendues d’une section quelconque, doit prendre en compte le moment agissant à une certaine distance a 1 de la section considérée dans le sens où le moment fléchissant augmente en valeur absolue. En effet, l’effort F s dans les aciers devant équilibrer le moment M u à l’abscisse x sera appliqué à l’abscisse x - 0,5z (voir fig. 9.13). Il est ainsi admis de prendre cette longueur égale à 0,8h (a 1 = 0,8h), où h est la hauteur totale de la poutre (voir fig. 9.14). L’effort de traction dans les barres qui doivent être arrêtées va diminuer progressivement le long de la longueur d’ancrage l s pour s’annuler au point d’arrêt; ainsi, on tient compte de la résistance des barres partiellement ancrées.

Fig. 9. 1 3.

Fig. 9. 1 4. Arrêt des armatures longitudinales tendues. 1 - courbe théorique des moments fléchissant; 2 - courbe des moments décalées de a 1 = 0,8 h; 3 - courbe des moments résistants ; l s1 , l s2 - longueurs d’ancrage des premières et deuxièmes barres arrêtées.

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Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

1.3.5. Résistance des sections inclinées Nous avons vu les différents cas de schémas de rupture des éléments fléchis sous l’action de l’effort tranchant. Ces différents cas de rupture permettent d’étudier chaque cas séparément, même si ces fissures sont dues à l’action combinée de l’effort tranchant et du moment de flexion, à savoir: - l’étude sous l’action du moment fléchissant; - l’étude sous l’action des efforts de compression de l’âme entre fissures inclinées; - l’étude sous l’action de l’effort tranchant. a) Etude sous l’action du moment fléchissant La condition de résistance de la section inclinée s’écrit: M u ≤ M SA + M td + M ti (9.29) avec, M u - le moment fléchissant agissant dans la section par rapport à l’axe perpendiculaire au plan d’action du moment et passant par le centre de gravité du béton comprimé au dessus de la fissure inclinée ; M SA , M td , M ti - respectivement les moments des efforts dans les armatures longitudinales A s , dans les armatures transversales droites ( α = 90°) et dans les armatures transversales inclinées (α< 90°). Constructivement, cette résistance est assurée en prolongeant les armatures qui doivent être arrêtées d’une grandeur égale à : a = Max. 

Vu st + 5∅ ; 20∅; 0,8h 2 At f e,t

(9.30)

avec, ∅ - le diamètre des armatures longitudinales à arrêter; h - hauteur totale de la section droite ; V u - effort tranchant ; A t - section d’un cours (nappe) d’armatures transversales espacés de s t et de limite d’élasticité garantie f e,t . b) Etude de la résistance du béton situé entre fissures inclinées Expérimentalement il a été prouvé que la résistance du béton comprimé entre fissures inclinées est assurée si la condition suivante est vérifiée : (9.31) V u ≤ 0,3ϕ t ϕ b,1 f cj bd avec, ϕ t -coefficients tenant compte de l’influence des armatures transversales : ϕ t = 1+ nβ 1 ρ t (9.32) où, 278 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

n = E s /E b - coefficient d’équivalence ; β 1 = 5 pour des armatures transversales droites ( α = 90°) et β 1 = 10 pour des armatures transversales inclinées (pour α < 90°); ρ t = A t /(bs t ) - le pourcentage d’armatures transversales ; b - la largeur de la section au droit du centre de gravité du béton comprimé ; s t - espacement des armatures transversales ; ϕ b,1 - coefficient tenant compte de la capacité du béton à redistribuer les efforts: ϕ b,1 = 1 - β 2 f cj (9.33) où, f cj - résistance caractéristique du béton à la compression, en MPa; β 2 = 0,01 pour les bétons lourds, β 2 = 0,02 pour les bétons légers. c) Etude de la résistance sous l’action de l’effort tranchant La condition de résistance de la section inclinée à l’effort tranchant s’écrit : V u ≤ Vb + Vt (9.34) où, V u - effort tranchant de calcul; V b , V t - efforts tranchants repris respectivement par le béton comprimé de la section inclinée et par les armatures transversales : V t = ∑A t f e,t (9.35) et

Vb =

ϕ b, 2 (1 + ϕ a ) f tj bd 2 c

(9.36)

avec, ϕ b,2 - coefficient tenant compte du type de béton : ϕ b,2 = 2 pour les bétons lourds et ϕ b,2 = 1,5 ... 1,75 pour les bétons légers ; ϕ a - coefficient tenant compte de l’influence des ailes comprimées : ϕa

0,75(b − bo )ho ≤ 0,5 bo d

(9.37)

avec, b ≤ b o +3h o ; c - longueur de la projection de la section inclinée sur l’axe longitudinal de l’élément : c =

ϕ b, 2 (1 + ϕ a ) f tj bd 2  At f e,t   s t  

≤ 2d

(9.38)

Expérimentalement, il a été prouvé qu’il ne se forme pas de fissures inclinées dans le béton si la condition suivante est vérifiée : V u ≤ ϕ b,3 f tj bd (9.39) avec, ϕ b,3 - coefficient tenant compte du type de béton : ϕ b,3 = 0,6 pour les bétons lourds et ϕ b,3 = 0,4 pour les bétons légers. 279 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

Dans ce cas (c’est-à-dire quand la condition (9.39) est vérifiée), les armatures transversales sont placées constructivement.

1.4. Conditions aux appuis 1.4.1. Généralités Dans une poutre soumise à l’effort tranchant, on distingue (voir fig. 9.15): - les zones courantes (zones centrales) - ZC; - les appuis d’about - AA; - les appuis intermédiaires - AI.

Fig. 9. 1 5.

Fig. 9. 1 6. 1 – poutre ; 2 - appui.

Il s’agit ici de : - vérifier la compression du béton en zones d’appuis qui sont, en fait, des zones de transmission des efforts; - de prévoir une section minimale d’armatures mises en traction par les bielles de transmission des forces.

1.4.2. Appuis simples d’about La contrainte de traction dans la bielle inclinée à 45° est (voir fig. 9.16): σb = Fc / Sb où, S b - la section droite de la bielle : Sb = avec, a b - largeur de la poutre.

1 ab 2 2

= Min.  a’ ; 0,9d 

(9.40) (9.41) (9.42)

En remplaçant F c et S b par leurs valeurs, on obtient : 280 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

σb

V u - effort tranchant agissant.

2Vu ab

(9.43)

Cette contrainte σ b ne doit pas dépasser la valeur 0,8f cj /γ b :

2Vu 0,8 f cj ≤ γb ab

(9.44)

Le coefficient 0,8 tient compte du fait que l’inclinaison des bielles peut différer légèrement de 45°. Ainsi, pour la compression du béton, on doit avoir:

f cj Vu ≤ 0,4 ab γb

(9.45)

Même dans le cas où le moment en appui est nul, la présence de l’effort tranchant impose une section minimale d’armatures A s,a telle que : (9.46) A s,a f s ≥ V u ou encore

A s,a ≥

Vu fs

(9.47)

En cas de présence d’une force horizontale H transmise par l’appui (composante horizontale de la réaction, par exemple), on doit avoir : A s,a ≥

(Vu + H ) fs

(9.48)

Les règles de bonne construction exigent que ces armatures A s,a doivent être, dans tous les cas, ancrées avec la longueur de scellement nécessaire.

1.4.3. Appuis intermédiaires Sur un appui intermédiaire agit, en général, un moment fléchissant négatif de valeur M u (moment de continuité). L’équilibre des forces horizontales donne (fig. 9.17): Vu - Fc = 0 (9.49) où, V u - valeur absolue de l’effort tranchant; F c - la résultante des forces de compression. Sachant que F c = - M u /z , M u est avec son signe et que le bras de levier z ≅ 0,9d, on trouve : Vu +

Mu = 0 0,9d

(9.50)

281 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

Dans le cas où V u + M u /(0,9d) < 0, c’est-à-dire que M u > 0,9V u d, les armatures longitudinales inférieures ne sont pas soumises à une force de traction. Par contre, si V u + M u /(0,9d) >0, c’est-à-dire que M u < 0,9V u d , les armatures longitudinales seront soumises à un effort de traction de valeur F a = V u - F c telle que: Fig. 9. 1 7.

Fa =

Vu +

Mu 0,9d

(9.51)

Dans ce cas, la section des armatures A s doit être: As ≥

Fa = fs

Vu +

Mu 0,9d

(9.52)

Ces armatures doivent être ancrées au delà du nu de l’appui (coté travée) pour pouvoir équilibrer l’effort F a . Pour la contrainte de compression du béton, on fait la même vérification que pour un appui de rive, à savoir :

f cj Vu ≤ 0,4 ab γb

(9.53)

De plus, la contrainte moyenne de compression sur l’aire (S a = ab) de l’appui, calculée sous la réaction d’appui ultime R u doit vérifier la condition suivante :

σ b,a =

f cj Ru ≤ 1,3 ab γb

(9.54)

1.5. Coutures d’attaches 1.5.1. Règle des coutures Cette règle concerne certains plans intérieurs particuliers du béton (surfaces de reprise, plans d’attache de deux pièces) sur lesquels s’exercent des efforts tangents et pour lesquels il n’est pas prévu de justifications spécifiques. Pour cela, on place des armatures transversales appelées armatures de coutures ou armatures d’attache, qui doivent traverser les plans considérés et être ancrés dans les parties de béton dont la fissuration ne compromet pas l’efficacité de l’ancrage. Ces armatures d’attache font avec le plan sollicité un angle α = 45°... 60° (voir fig. 9.18). 282 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

La règle des coutures généralisée se présente comme suit:

At f s ,t bs t

(9.55)

(sinα + cosα) ≥ τ u - σ u

avec, A t - section d’un cours d’armatures de coutures (dans un même plan) ; b - largeur du béton prise en compte pour évaluer les contraintes s’exerçant sur le plan étudié ; τ u - contrainte de Fig. 9. 1 8. 1 - plan sollicité; 2 - fissures. cisaillement réelle (et non conventionnelle) ; σ u - contrainte normale éventuelle (σ u > 0 en compression et σ u < 0 en traction ; α - angle d’inclinaison des armatures transversales. Pour certaines surfaces de reprises des pièces peu sollicitées, il est admis de ne pas prévoir des armatures de couture si les conditions suivantes sont vérifiées: -

la contrainte tangente ultime est inférieure à 0,055 f cj (τ u < 0,055 f cj ) ;

la contrainte normale éventuelle est une compression ; les charges sont réparties et ne provoquent pas d’effet dynamique ; la surface de reprise est traitée pour lui donner une rugosité importante (une indentation de liaison ≥ 5 mm).

1.5.2. Liaison des membrures d’une poutre avec l’âme Dans le plan vertical de jonction entre la nervure et la table d’une poutre en T (fig. 9.19) agissent des contraintes devant équilibrer les efforts normaux et fléchissant, ce qui provoque l’apparition des contraintes tangentielles parallèlement et perpendiculairement aux faces verticales de l’âme. Ces contraintes ont pour valeur (voir formule (9.3)):

τu =

Vu b1 1 ≤τu 0,9d b ho

(9.56)

Dans le cas d’une poutre avec talon (voir fig. 9.20), la contrainte tangente ultime a pour valeur (voir formule (9.5)):

τu =

Vu As1 1 ≤τu 0,9d As ht

(9.57) 283

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Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

Fig. 9. 1 9.

Fig. 9. 20.

Les armatures d’attache (armatures droites) doivent vérifier la condition suivante:

At f s ,t ≥ τ u h1 st

(9.58)

avec, h 1 = h o pour le cas de la fig. 9.19 et h 1 = h t pour le cas de la fig. 9.20.

1.6. Cas des dalles Pour les dalles (dalles portant dans les deux sens ou dans un seul sens couramment appelées poutres-dalles), aucune armature d’effort tranchant n’est requise si les conditions suivantes sont remplies : - la dalle est bétonnée sans reprise sur toute son épaisseur h; -

la contrainte tangente τ u

ne dépasse pas

0,44 f cj /γ b (τ u 12

≤

0,44 f cj /γ b ); 12

la dalle est bétonnée avec reprise et les conditions de la nonapplication de la règle des coutures énoncées précédemment sont respectées.

Dans tous les autres cas, il convient de disposer des armatures d’effort tranchant calculées comme précédemment. Dans le cas où l’épaisseur h de la dalle est comprise entre 15 cm et 30 cm (0,15 m ≤ h ≤ 0,30 m), la valeur de la contrainte tangente limite τ u définie précédemment doit être multipliée par un coefficient minorateur k o tel que 0,5 ≤ k o = 10h/3 ≤ 1,0 , où h est l’épaisseur de la dalle, exprimée en mètres (m). Sous l’action d’une force localisée de valeur P u , il faut vérifier la résistance de la dalle au poinçonnement par effort tranchant. Pour cela, il faut que la condition suivante soit vérifiée (voir fig. 9.21) : 284 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

Pu ≤

γb

(9.59)

0,28u c h f cj

avec, P u - la charge ponctuelle à l’E.L.U. ; u c - le périmètre du contour au niveau du feuillet moyen ( voir fig. 9.21); h - l’épaisseur totale de la dalle.

Fig. 9. 21 . 1 - poteau; 2 - dalle; 3 - feuillet moyen

Si la condition (9.59) n’est pas satisfaite, on doit: - soit augmenter l’épaisseur h de la dalle ou la classe de béton; soit utiliser des armatures transversales dans un certain périmètre u à l’intérieur duquel la condition est respectée ; on obtient donc : u = uc avec,

τu

0,05 f cj

τu =

(9.60)

Pu 0,9hu c

(9.61)

2. ADHERENCE 2.1. Généralités L’adhérence assure la liaison béton - acier. Les justifications visent: - les extrémités des barres qui doivent être ancrées avec une certaine sécurité (ancrage); - les armatures en zone courante, soumises à des contraintes d’entraînement, qui doivent être limitées pour ne pas endommager le béton entourant les armatures. On supposera dans ce qui suit que toutes les dispositions constructives sont respectées.

2.2. Contrainte d’adhérence La contrainte d’adhérence est celle qui caractérise la liaison entre une armature et le béton. Elle est définie par l’expression suivante (voir fig. 9.22): 285 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

τs =

1 dF u dx

(9.62)

où, dF/dx est la variation par unité de longueur de l’effort axial exercé sur l’armature; u - le périmètre utile de l’armature ; pour les paquets de barres de même diamètre ∅ (voir fig. 9.23), on a : - pour une barre isolée: u = π∅; - pour un paquet de deux (2) barres: u = ( π + 2)∅ ; - pour un paquet de trois (3) barres: u = ( π + 3)∅ .

Fig. 9. 22.

Fig. 9. 23. a - barre isolée ; b, c - paquets de 2 et de 3 barres ; b, h - largeur et hauteur du paquet ; sb - sens de bétonnage; on doit avoir: h ≤ 2b.

Cette contrainte est évaluée et contrôlée : - pour les extrémités des barres, c’est-à-dire les ancrages destinées à transmettre au béton la totalité de l’effort axial exercé sur l’armature; - pour les armatures en zone courante, soumises à des efforts d’entraînement dus à la variation de l’effort axial appliqué. La contrainte d’adhérence limite ou contrainte d’adhérence ultime τ s,u est égale à: τ s,u = 0,6ψ s 2f tj (9.63) où, f tj est la résistance caractéristique du béton à la traction, en MPa; ψ s coefficient d’adhérence ou coefficient de scellement; ψ s = 1,0 pour les barres rond-lisses, ψ s = 1,5 pour les barres à haute adhérence.

2.3. Contrainte d’entraînement L’adhérence du béton à l’acier permet au béton d’entraîner les barres dans sa déformation : les contraintes d’adhérence du béton sur l’armature obligent la barre à prendre le même allongement que les fibres de béton qui l’entourent. C’est ainsi que s’effectue la transmission des efforts du béton à l’armature. 286 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

Selon le principe de l’action et de la réaction, les armatures exercent sur le béton des contraintes de cisaillement égales et opposées à celles qu’exerce le béton sur les armatures (en réalité, il y a un léger glissement entre le béton et l’armature qu’on néglige dans le calcul). Ainsi, dans une poutre fléchie de section constante, la contrainte d’adhérence d’entraînement τ s,e sur un paquet de barres de section A si et de périmètre utile u i est égale à : τ s,e

Vu Asi 1 0,9d As u i

(9.64)

où, V u - valeur de l’effort tranchant ultime ; d - hauteur utile de la section ; A s - section totale des aciers tendus. Si toutes les barres sont de même diamètre, on a: τ s,e où,

Vu 1 0,9d ∑ u

(9.65)

∑u - est la somme des périmètres utiles des barres ou paquets.

La valeur limite (ultime) de la contrainte d’entraînement τ s,e,u est définie par l ’expression suivante : τ s,e,u = ψ s f tj (9.66) où, f tj , ψ s sont les mêmes grandeurs que dans la formule (9.63). Donc, pour éviter le glissement des armatures par rapport au béton qui les entoure, il faut que la contrainte d’adhérence d’entraînement τ s,e qui résulte de cette tendance ne dépasse pas la valeur ultime τ s,e,u : τ s,e ≤ τ s,e,u (9.67) Pour les calculs pratiques, on admet de prendre forfaitairement les valeurs suivantes pour τ s,e,u : • τ s,e,u = 2 MPa pour les barres rond-lisses; • τ s,e,u = 3 MPa pour les barres à haute adhérence. La condition (9.67) est surtout à vérifier : - pour les barres en chapeau des poutres continues soumises à des forces très concentrées; - en cas d’utilisation des paquets de plus de deux (2) barres. Pour les armatures des dalles (quadrillages) séparées de la paroi la plus proche par une nappe d’armatures orthogonales, on prendra : 287 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

τ s,e,u =

(9.68)

2ψ s f tj

2.4. Ancrage 2.4.1. Longueur de scellement La longueur de scellement l s ou longueur d’ancrage est la longueur nécessaire pour équilibrer l’effort axial exercé sur l’armature (fig. 9.24). Pour calculer cette longueur, on suppose que la contrainte d’adhérence τ s est constante sur toute la longueur et égale à la valeur limite τ s,u (c’est-à-dire τ s = τ s,u ). Dans ce cas, si f e est la limite d’élasticité garantie de l’armature, on obtient pour la longueur de scellement (longueur de scellement droit) l s : ls =

∅f e 4τ s ,u

(9.69)

On admet de prendre forfaitairement pour une barre de diamètre ∅: • l s = 50 ∅ pour les barres rond-lisses; • l s = 40 ∅ pour les barres à haute adhérence.

Fig. 9. 24. Ancrage total.

Fig. 9. 25. Ancrages courbes.

2.4.2. Ancrage par courbure A côté des ancrages droits avec une longueur l s , il y a aussi les ancrages courbes comportant des retours rectilignes (voir fig. 9.25). La valeur minimale du rayon de courbure r est fixée, en général, à partir de la condition de non écrasement du béton à l’intérieur de la concavité de la partie courbe de la barre et de la nature des aciers. En général r = (3 ... 6)∅, où les petites valeurs sont prises

288 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

pour les barres rond-lisses et les grandes valeurs pour les barres à haute adhérence.

2.4.3. Recouvrement Le recouvrement sert à rétablir la continuité entre les armatures (voir fig. 9.26). Pour cela, les barres se recouvrent sur une longueur l r dite longueur de recouvrement. ∗ Pour les aciers tendues, on a : • l r = l s si c ≤ 5∅; • l r = l s + c si c > 5∅; où, ∅ - le diamètre des armatures; c - la distance entre axes des deux barres; soit, forfaitairement : - pour les barres rond-lisses : l r = 50 ∅ si c ≤ 5∅ et l r = 50 ∅ + c si c > 5∅; - pour les barres à haute adhérence : l r = 40 ∅ si c ≤ 5∅ et l r = 40 ∅ + c si c > 5∅. Lorsque les barres sont munies de crochets, cette longueur est réduite à : • l r = 0,6l s si c ≤ 5∅; • l r = 0,6l s + c si c > 5∅; soit, forfaitairement: - pour les barres rond-lisses : l r = 30 ∅ si c ≤ 5∅ et l r = 30 ∅ + c si c > 5∅; - pour les barres à haute adhérence : l r = 24 ∅ si c ≤ 5∅ et l r = 24 ∅ + c si c > 5∅. ∗ Pour les aciers comprimés, on a :

l r = 0,6l s .

Les crochets ne sont pas conseillés pour les barres comprimées, car ils risquent de faire éclater le béton qui les entoure.

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Fig. 9. 26. Recouvrement des armatures.

∗ Pour les treillis, les recouvrements doivent comporter : - trois (3) soudures (ou trois barres de direction orthogonales) s’il s’agit des fils porteurs; - deux (2) soudures (ou deux barres de direction orthogonale) s’il s’agit des fils de répartition. La distance minimale entre deux barres de même direction appartenant à des treillis différents ne doit pas être inférieure à 4 cm.

2.4.4. Couture des ancrages Pour équilibrer les efforts tendant à faire éclater le béton, la zone d’ancrage (recouvrement) des barres doit être armée transversalement par des aciers de couture. Ainsi, au recouvrement des armatures (tendues ou comprimées), on doit prévoir des armatures de couture de section totale ∑A t , disposées au moins sur trois plans (un plan à chaque extrémité et un plan au milieu) sur la longueur de recouvrement, telles que (voir fig. 9.27) : ∑A t ≥

Fig. 9. 27. Couture des recouvrements.

fe As f e ,t

(9.70)

avec, f e , f e,t - limites d’élasticité garantie respectivement des armatures longitudinales de section As et des armatures transversales de couture de section ∑A t .

3. ACTION DU MOMENT DE TORSION 290 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

3.1. Généralités Une poutre est soumise à un moment de torsion, noté T u (valeur à l’E.L.U.) lorsque les forces appliquées sont excentrées par rapport à son plan de symétrie longitudinal. Les essais effectués ont permis de constater ce qui suit: - les fissures apparaissent d’abord au milieu des faces de la poutre pour s’étendre ensuite vers les arêtes; - seule une couche de béton proche des faces extérieures et relativement peu épaisse contribue à la résistance à la torsion; - deux sections de même dimensions et de même ferraillage, l’une creuse et l’autre pleine, ont, à peu près, le même comportement après fissuration. Ce risque de fissuration des poutres et leur comportement sous l’action du moment de torsion nécessite ainsi la mise en place d’un réseau supplémentaire (en plus des armatures de flexion) d’armatures transversales sous forme de cadres et d’armatures longitudinales sous forme de barres droites, qui doivent être toutes disposées à la périphérie de la section, car en effet, c’est essentiellement cette zone périphérique qui est la plus sollicitée par les contraintes tangentes de torsion.

3.2. Evaluation des contraintes tangentes de torsion Pour évaluer les contraintes tangentes dues au moment de torsion T u , on est amené à distinguer deux types de sections : les sections creuses et les sections pleines.

3.2.1. Section creuse Pour les sections creuses, la contrainte tangente de torsion est déterminée par la formule suivante (voir fig. 9.28) : τu =

Tu 2Ωb

(9.71)

avec, T u - moment de torsion ultime; b o - épaisseur de la paroi; Ω - aire du contour tracé à mi-épaisseur des parois (aire hachurée). Si b o > b/6, alors on prend b o = b/6, avec b - la petite dimension de la section ou encore le diamètre du cercle inscrit dans le contour extérieur. 291 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

Fig. 9. 28.

Fig. 9. 29.

3.2.2. Section pleine Quant aux sections pleines, elles sont remplacées par des sections creuses équivalentes d’épaisseur fictive b t . La contrainte tangente de torsion est alors déterminée par l’expression suivante: τu =

Tu 2Ωbt

(9.72)

où, T u et Ω - ont même désignation que pour la formule (9.71) ; b t - épaisseur de paroi fictive de la section pleine, prise égale à 1/6 du diamètre du plus grand cercle qu’il est possible d’inscrire dans le contour extérieur de la section (voir fig. 9.29).

3.3. Justification 3.3.1. Torsion pure a) Justification du béton On doit avoir :

τu ≤ τ u

(9.73)

b) Justification des armatures On prévoit deux systèmes d’armatures: armatures longitudinales de section A lT et armatures transversales de section courante A tT (section d’un cours). Ces

armatures sont déterminées par la règle des coutures comme pour l’effort tranchant, ce qui conduit aux expressions suivantes: -

pour les armatures longitudinales :

292 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

AlT T fs = u u 2Ω ou encore

Tu u 2Ω f s

A lT =

(9.74) (9.75)

pour les armatures transversales :

AtT T f s ,t = u st 2Ω ou encore

A tT =

Tu s t 2Ω f s ,t

(9.76) (9.77)

En fixant A tT , on trouve pour l’espacement des cadres: st =

AtT f s ,t 2Ω Tu

(9.78)

Dans ces expressions: f s = f e /γ s ; f s,t = f e,t /γ s avec f e , f e,t - les limites d’élasticité garantie des armatures longitudinales et transversales; γ s - coefficient de sécurité ; A tT section d’un cours d’armatures transversales (cadres) disposées à l’intérieur de la paroi considérée (d’épaisseur b o ou b t ); A lT - section des armatures longitudinales réparties à la périphérie (à l’intérieur de b o ou b t ); u - périmètre du contour de l’aire Ω (fig. 9.28).

3.3.2. Torsion avec flexion En cas d’action simultanée de la torsion et de la flexion, les contraintes tangentes τ u,T dues au moment de torsion T u et les contraintes tangentes τ u,V dues à l’effort tranchant V u doivent être cumulées. La contrainte résultante ne doit pas dépasser la valeur maximale limite (valeur limite ultime τ u ) ; ainsi : -

pour les sections creuses, on doit avoir : τ u,T + τ u,V ≤ τ u

(9.79)

pour les sections pleines: τ u,T 2 + τ u,V 2 ≤

(9.80)

τu2

Les armatures longitudinales A lT et transversales A tT doivent s’ajouter respectivement aux armatures longitudinales de moment fléchissant (A s et A s ’) et aux armatures transversales d’effort tranchant (A t ). 293 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 9. Justifications des sections soumises à des sollicitations tangentes

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Chapitre 10. Actions des charges dynamiques et des hautes températures

Chapitre 10.

ACTION DES CHARGES DYNAMIQUES ET DES HAUTES TEMPERATURES 1. ACTION DES CHARGES DYNAMIQUES 1.1. Les charges dynamiques Plusieurs ouvrages en béton armé se trouvent soumis à l’action des charges dynamiques. Les charges dynamiques sont celles qui, en un intervalle de temps très court, changent de valeurs, de sens ou de positions. Ce sont en particulier les vibrations, les chocs, les impulsions et autres effets analogues. On peut les classer selon les critères suivants : - type de l’action : forces ou couples ; - loi de variation dans le temps : charges périodiques, impulsions, chocs; - direction de l’action : verticales, horizontales; - position de l’action : fixes, mobiles; - durée d’action : forces répétitives ou épisodiques. Ainsi, on peut distinguer: - les charges périodiques fixes dues aux différents moteurs, machines et équipements posés sur les différents éléments de structures, transmettant à ces derniers des vibrations et impulsions au moment de leur fonctionnement; - les chocs dus à la chute des éléments (corps) de certains équipements sur les structures ou les chocs des engins de transport sur les éléments de structures (chocs des bateaux par exemple sur les ouvrages portuaires); - les charges mobiles dues au mouvement des ponts roulants et des engins et véhicules de transport; - les charges impulsives dues à l’action du vent; - les charges de courte durée dues aux explosions, éboulement et effondrements de terres; - les charges sismiques dues aux tremblements de terre.

293 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 10. Actions des charges dynamiques et des hautes températures

1.2. Oscillations des éléments en béton armé 1.2.1. Oscillations libres des éléments en béton armé Le mouvement d’oscillation libre de la plupart des éléments de structure peut être décrit par une fonction sinusoïdale: y = Asin(ωt + ϕ o ) (10.1) où, A est l’amplitude d’oscillation ; t - le temps ; ϕ o - la phase initiale (déplacement initial au temps t = 0) ; ω - la pulsation (nombre d’oscillations en 2 π secondes): ω =

2π T

= 2π N

(10.2)

avec, T - la période, en secondes; N = 1/T - la fréquence (nombre d’oscillations par seconde). En réalité, les structures opposent une certaine résistance au mouvement d’oscillations libres, résistance due : - à la rigidité (fonctionnement) spatiale de la structure; - aux différents frottements aux droits des appuis; - aux déformations plastiques résiduelles du matériau, etc... Une partie de l’énergie du système est ainsi dépensée, de façon irréversible, pour vaincre ces résistances. Au résultat, l’amplitude d’oscillations va diminuer au fur et à mesure pour s’annuler à la fin. Les oscillations amorties sont décrites par l’expression suivante: y = Ae avec,

λ = ln

−

λt π

sin ( ωt + ϕ o )

Ai Ai +1

(10.3) (10.4)

A i et A i+1 sont les amplitudes des oscillations i et i+1 ; λ - le décrément logarithmique d’amortissement, il caractérise la rapidité d’amortissement des oscillations. La vitesse d’amortissement peut être aussi caractérisée par le coefficient d’absorption ψ de l’énergie par frottement pour un cycle d’oscillations, il représente le rapport de la perte d’énergie élastique pour un cycle par l’énergie élastique au début du cycle : 294 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 10. Actions des charges dynamiques et des hautes températures

Wi − Wi +1 Wi

(10.5)

Entre les coefficients λ et ψ, il existe la relation suivante: ψ = 2λ

(10.6)

Le coefficient de résistance non élastique du béton armé aux oscillations libres est ainsi défini : r = On a :

ψ λ = 2π π

(10.7)

0,05 ≤ r ≤ 1,0.

Les valeurs moyennes du coefficient d’absorption pour certains éléments sont données dans le tableau 10.1. Eléments de structures

Valeur du coefficient ψ 0,39 ... 0,78 0,20 ... 0,60 0,24 ... 0,56

Planchers nervurés coulés su place Planchers en grands panneaux préfabriqués Poutres de ponts roulants

Tableau 1 0. 1 . Valeurs du coefficient d’absorption pour certains éléments.

1.2.2. Oscillations forcées des éléments en béton armé Lorsque le système (la structure) sera soumis à l’action d’une charge dynamique P(t) qui va lui communiquer une énergie provoquant son mouvement, en ce moment, on assiste à un mouvement forcé du système. Dans le cas d’une force périodique : P(t) = P o sinθt (10.8) avec, θ - la pulsation de la force vibrante. L’amplitude des oscillations forcées sera: A =

(10.9)

m(ω 2 − θ 2 )

où, m est la masse vibrante. L’amplitude A peut être aussi exprimée comme suit: A = δ d y st où,

(10.10) 295

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Chapitre 10. Actions des charges dynamiques et des hautes températures

y st est le déplacement statique sous l’action de la force P o ; δ d - le coefficient d’amplification dynamique ou coefficient dynamique:

δd

(10.11)

θ2 1− 2 ω

En tenant compte de l’amortissement du mouvement dû aux résistances non élastiques du béton armé, le coefficient dynamique aura pour expression: δd

 θ  1 − 2  + r 2  ω    2

(10.12)

La phase initiale ϕ o est telle que : tanϕ o =

θ2 1− 2 ω

(10.13)

En connaissant la valeur du coefficient dynamique, le calcul dynamique peut se ramener à un calcul statique ; en ce moment, toutes les grandeurs S st sous l’action des charges statiques (efforts internes et déformations) sont alors multipliées par le coefficient dynamique : (10.14) S dyn = δ d S st Il y a résonance quand θ = ω, c’est-à-dire quand la pulsation θ de la force vibrante est égale à la pulsation propre du système ω. Dans ce cas, pour un système élastique idéal, le coefficient dynamique déterminé par l’expression (10.11) est infini (θ = ω ⇒ δ → ∞). Pour les structures en béton armé pour lesquelles les forces de résistance ne peuvent être négligées, on obtient pour le coefficient dynamique : δ

1 r

(10.15)

Sur la fig. 10.1 sont illustrées les courbes de variation du coefficient dynamique δ d en fonction du rapport θ/ω pour différentes valeurs du coefficient r.

1.3. Caractéristiques dynamiques des éléments en béton armé Sous l’action des charges dynamiques les caractéristiques de déformabilité et de résistance du béton armé changent. Ces caractéristiques sont: 296 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 10. Actions des charges dynamiques et des hautes températures

Fig. 1 0. 1 . Valeurs du coefficient δ en fonction de θ/ω pour différentes valeurs du coefficient r.

la rigidité dynamique; l’absorption de l’énergie par frottement intérieur; la tenue du matériau sous l’action des charges cycliques (oscillations).

1.3.1. Rigidité dynamique La rigidité dynamique d’une structure est la rigidité sous des charges dynamiques; elle est, en général, supérieure à la rigidité statique (sous charges statiques), car sous l’action des charges dynamiques, les déformations de fluage ne réussissent pas à se réaliser. Le module de déformation longitudinal E b sous charges dynamiques est pris égal, en général, au module d’élasticité initial (E b = E b,o ), c’est-à-dire la tangente de l’angle d’inclinaison de la droite tangente à l’origine de la courbe de déformation σ b -ε b par rapport à l’axe des déformations E b,o ≅ (1,20 ... 2,00) E b,i .

1.3.2. Absorption de l’énergie par frottement intérieur Le frottement intérieur est dû à la structure non homogène (hétérogène) du béton armé. Il joue un rôle très important car : - il entraîne l’amortissement rapide des oscillations libres; - il limite l’amplitude de résonance en cas de charges cycliques. Pendant les oscillations, une partie de l’énergie est absorbée et dissipée sous forme de chaleur dans le milieu extérieur à la suite : - du frottement intérieur dans le matériau; 297 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 10. Actions des charges dynamiques et des hautes températures

du frottement de glissement dans les joints; du frottement intérieur dans les assises (sols) déformables; des résistances extérieures (frottement extérieur, résistance aérodynamique).

Le coefficient d’absorption de l’énergie peut être aussi exprimé comme suit: ψ = 2π η (10.16) où, η est le coefficient de perte.

1.3.3. La tenue du béton armé La tenue du béton armé est sa capacité de supporter (d’endurer) sans ruine, un niveau déterminé de contraintes variables dans le temps pour un nombre donné de cycles de chargements. L’accumulation des endommagements conduisant à la ruine définitive de la structure sous l’action des charges cycliques est appelée fatigue du matériau.

La limite d’endurance σ end est la plus grande somme de la contrainte statique σ st et de l’amplitude de la contrainte dynamique σ o sous laquelle le matériau serait capable de supporter, sans rupture, un nombre infiniment grand de cycles de chargements (voir fig. 10.2): σ end = σ st + σ o (10.17)

Fig. 1 0. 2.

Les résistances de calcul du matériau sont déterminées, de façon générale, par l’expression suivante: f d = k d f st (10.18) où, f d - la résistance sous charges dynamiques ; f st - la résistance sous charges statiques ; k d - coefficient minorateur, fonction du rapport ρ d =σ min /σ max . Les facteurs influant sur la limite d’endurance sont: 298 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 10. Actions des charges dynamiques et des hautes températures

le niveau des contraintes statiques (plus σ st est élevé, plus la tenue est faible); l’état de contraintes (un état de contraintes défavorable diminue la tenue); les dimensions et la forme de l’élément (σ end diminue avec l’augmentation des dimensions de la section); la concentration des contraintes (facteur négatif sur la tenue).

1.4. Justifications Le problème du calcul dynamique des ouvrages en béton armé consiste : - à la vérification de la capacité portante (résistance, fatigue) de la structure et de ses éléments (calcul à l’état limite ultime); - à la vérification de l’admissibilité de l’action des vibrations sur les personnes, les processus technologiques et l’exploitation normale de l’ouvrage (calcul à l’état limite de service).

1.4.1. Calcul à l’état limite ultime Pour l’équilibre de la section, il faut que la somme des efforts dus aux actions statiques S st et dynamiques S d ne dépassent pas l’effort maximal ultime que peut prendre la section, c’est-à-dire l’effort résistant S R de la section : S st + S d ≤ S R (10.19) Le calcul des structures en béton armé à la fatigue consiste à vérifier: - la tenue du béton comprimé (la résistance du béton à la traction étant négligée); - la tenue des armatures tendues (les armatures comprimées ne sont pas à calculer à la fatigue). Ainsi, pour le béton comprimé, on doit avoir: σ bc,max ≤ k d,b f cj (10.20) avec, k d,b - coefficient, fonction de ρ d,b = σ b,min /σ b,max : k d,b = 0,45 ... 1,00; σ b,min , σ b,max sont les valeurs minimales et maximales des contraintes dans le béton comprimé dans un cycle de chargement. Pour les armatures tendues, on doit avoir: σ s,max ≤ k d,a f e

(10.21) 299

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Chapitre 10. Actions des charges dynamiques et des hautes températures

avec,

k d,a - coefficient, fonction de ρ d,a = σ s,min /σ s,max : k d,a = 0,40 ... 1,00; σ s,min , σ s,max - les contraintes minimales et maximales dans les armatures tendues dans un cycle de chargement.

Le calcul des contraintes dans le béton et dans les armatures se fait sur la base que ces matériaux sont élastiques et la section est homogénéisée. Les déformations plastiques dans le béton comprimé peuvent être tenues en compte en minorant le module de déformation longitudinal du béton.

Sous l’action des charges dynamiques, les armatures transversales doivent satisfaire la condition suivante:

At f e ,t ≥ σ t st b

(10.22)

où, σ t est la contrainte principale de traction due aux charges statiques et dynamiques au niveau du centre de gravité de la section réduite homogénéisée.

1.4.2. Calcul à l’état limite de service Dans le cas où la fissuration est jugée préjudiciable ou très préjudiciable, il faut que : σ s,max ≤ (k f σ s ) (10.23) avec, σ s,max - la contrainte maximale dans les armatures tendues due à l’action des charges statiques et dynamiques. La limitation des déformations de la structure sous l’action des charges dynamiques se fait à partir de la condition suivante: A ≤ [A] (10.24) où, A est l’amplitude des oscillations forcées, déterminée à partir du calcul dynamique; [A] - l’amplitude limite admissible (valeur admissible) pour l’exploitation normale de la structure, fixée en fonction de la destination de l’ouvrage (action sur les personnes et les équipements).

1.5. Lutte contre les vibrations On peut prendre un certain nombre de dispositions pour lutter contre la vibration des structures, qui consistent à faire : 300 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 10. Actions des charges dynamiques et des hautes températures

un choix rationnel du type et de l’emplacement des machines; un changement de la pulsation des oscillations propres de la structure par changement de rigidité, de schéma de calcul ou de portées; une isolation des sources de vibration et une utilisation des équipements et éléments spéciaux n’admettant pas de vibration ou diminuant l’intensité des vibrations; une augmentation ou une diminution du poids de la structure d’appuis.

2. ACTION DES HAUTES TEMPERATURES Dans l’industrie (industrie métallurgique, chimique, de production de verre, etc...), certains éléments en béton armé sont soumis à de hautes températures technologiques pouvant atteindre 1000°C. Le plus souvent, ces éléments exploités sous hautes températures sont moins durables que les structures exploitées à température normale de chambre. Jusqu’à 300°C, on peut utiliser un béton ordinaire avec du ciment Portland. A des températures technologiques supérieures à 300°C, il est nécessaire d’utiliser un béton réfractaire. L’échauffement du béton et de l’armature a pour conséquences essentielles: - une diminution des résistances caractéristiques du béton et de l’armature; - une diminution des modules de déformation du béton et de l’armature. Ainsi, pour le béton, on obtient: - pour la résistance à la compression: f cj T = γ bc,T f cj - pour la résistance à la traction: f tj T = γ bt,T f tj - pour le module de déformation: E b T = β bT E b

(10.25) (10.26) (10.27)

Les valeurs des coefficients γ bc,T , γ bt,T et β bT sont données dans les tableaux 10.2, 10.3 et 10.4. Pour l’acier, on obtient: - pour la limite d’élasticité garantie: f e T = γs T f e -

pour le module d’élasticité:

(10.28)

301 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 10. Actions des charges dynamiques et des hautes températures

(10.29)

E s T = β sT E s

Les coefficients γ sT et β sT dépendent du type d’acier; leurs valeurs moyennes sont données dans le tableau 10.5.

Coefficients

Action

γ bcT

AI AD AI AD AI AD AI AD

γ btT β bT ωT

Valeurs des coefficients γ bcT , γ btT , β bT et ω T pour une température, en °C, égale à 50 70 100 200 300 400 1,00 1,00

0,95 0,95

0,90 0,90

0,80 0,80

0,65 0,50

1,00 1,00

0,70 0,70

0,60 0,50

0,40 0,20

1,00 1,00

0,90 0,90

0,80 0,80

0,60 0,60

0,40 0,40

0,85 0,30

0,75 0,25

0,70 0,25

0,65 0,20

Coeffici ents

Tableau 1 0. 2. Valeurs des coefficients de diminution des caractéristiques mécaniques des bétons ordinaires à base de ciment Portland sous l’action des hautes températures. AI et AD - respectivement action instantanée et action durable des hautes températures.

γ bcT γ btT β bT ωT

Action AI AD AI AD AI AD AI AD

Valeurs des coefficients γ bcT , γ btT , β bT et ω T pour une température, en °C, égale à 70 100 200 300 500 700 900 1000 0,90 0,90

0,80 0,80

0,70 0,70

0,55 0,50

0,45 0,25

0,35 0,20

0,30 0,05

0,25 0,02

0,65 0,65

0,55 0,55

0,50 0,50

0,45 0,30

0,35 0,12

0,25 0,02

0,10 -

0,90 0,90

0,85 0,85

0,70 0,70

0,55 0,55

0,40 0,40

0,33 0,33

0,30 0,30

0,27 0,27

0,80 0,30

0,75 0,27

0,60 0,25

0,55 0,23

0,45 0,03

0,35 0,02

0,20 0,01

0,15 -

Tableau 1 0. 3. Valeurs des coefficients de diminution des caractéristiques mécaniques des bétons réfractaires à base de ciment alumineux sous l’action des hautes températures. AI et AD - respectivement action instantanée et action durable des hautes températures.

302 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 10. Actions des charges dynamiques et des hautes températures

Valeurs des coefficients γ bcT , γ btT , β bT et ω T pour une température, Coeffic Action e n °C, égale à ients 70 100 200 300 500 700 900 1000

Aciers

1,0 1,00... 1,10 0,90 ... 1,20 0,90 ... 1,20 0,90 ... 1,00 0,60 ... 0,90 0,30 ... 0,70 0,20 ... 0,50 AI 0,80 ... 1,00 0,80 ... 1,00 0,60 ... 1,00 0,40 ... 0,70 0,20 ... 0,40 0,05 ... 0,20 0,01 ... 0,06 ≤ 0,01 AD γ bcT 0,85 ... 1,00 0,80 ... 0,95 0,65 ... 0,80 0,60 ... 0,70 0,50 ... 0,55 0,40 ... 0,45 0,15 ... 0,35 AI 0,70 ... 0,95 0,70 ... 0,80 0,45 ... 0,70 0,25 ... 0,40 0,06 ... 0,20 ≤ 0,06 AD γ btT 1,00 ... 1,10 1,00 ... 1,10 1,00 ... 1,10 0,80 ... 1,00 0,60 ... 1,00 0,50 ... 0,70 0,20 ... 0,40 0,10 ... 0,30 AI 1,00 1,00 0,90 ... 1,00 0,80 ... 1,00 0,50 ... 0,80 0,30 ... 0,50 0,10 ... 0,30 ≤ 0,20 AD β bT 0,70 ... 0,80 0,70 ... 0,80 0,65 ... 0,75 0,50 ... 0,65 0,35 ... 0,53 0,30 ... 0,35 ≤ 0,20 ≤ 0,15 AI 0,20 ... 0,24 0,20 ... 0,24 0,20 ... 0,21 0,06 ... 0,20 0,02 ... 0,07 ≤ 0,025 ≤0,01 AD ωT Tableau 1 0. 4. Valeurs des coefficients de diminution des caractéristiques mécaniques des autres types de bétons réfractaires sous l’action des hautes températures. AI et AD - respectivement action instantanée et action durable des hautes températures.

Coefficie nts γ sT

β sT

HAO

ASR

γ sT β sT γ sT β sT

Action AI AD AI AD AI AD AI AD AI AD AI AD

Valeurs des coefficients γ sT et β sT pour une température, en °C, égale à ≤ 100 200 300 400 500 600 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

0,95 0,85 0,90 0,90 1,00 0,90 0,90 ... 0,95 0,90 ... 0,95 0,96 0,96 0,90 0,90

0,90 0,65 0,85 0,85 0,95 0,75 0,85 ... 0,90 0,85 ... 0,90 0,86 ... 0,95 0,83 ... 0,93 0,88 0,88

0,85 0,35 0,80 0,80 0,85 0,40 0,70 ... 0,80 0,70 ... 0,80 0,80 ... 0,92 0,70 ... 0,77 0,83 0,83

0,60 0,75 0,75 0,60 0,20 0,55 ... 0,75 0,55 ... 0,75 0,65 ... 0,85 0,15 ... 0,60 0,78 0,78

0,30 0,73 0,73 0,30 0,40 ... 0,75 0,40 ... 0,75 0,40 ... 0,75 ≤ 0,40 0,73 0,73

Tableau 1 0. 5. Valeurs moyennes des coefficients de diminution des caractéristiques mécaniques des différents types d’aciers sous l’action des hautes températures. RL - aciers rond-lisses; HAO - aciers à haute adhérence ordinaires; ASR - aciers spéciaux réfractaires. AI et AD - respectivement action instantanée et action durable des hautes températures.

Quand un élément est soumis à l’action de hautes températures sur une face, le flux thermique se déplace à l’intérieur de l’élément pour atteindre la face opposée. La répartition de la température dans la section non fissurée de l’élément (d’une face à l’autre) est déterminée à partir des calculs thermiques en 303 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 10. Actions des charges dynamiques et des hautes températures

supposant un régime stationnaire du flux thermique. La température de l’armature est prise égale à celle du béton l’entourant. Dans le cas où une face est échauffée à plus de 1000°C, il est admis de ne pas tenir compte des parties de béton ayant une température supérieure à 1000°C. Comme la température n’est pas constante sur toute la hauteur de la section, on est amené souvent à diviser la section en 2, 3 ou 4 parties et supposer qu’à l’intérieur de chaque partie, la température varie linéairement (voir fig. 10.3). Ainsi, pour un élément fait d’un même type de béton, quand la température de la face la plus échauffée ne dépasse pas 400°C, on admet de ne pas diviser la section; dans ce cas, le moment d’inertie réduit I red par rapport au centre de gravité de la section est égal à :

I red =

Iβ bT ωT

ϕ b1

(10.30)

avec,

I - le moment d’inertie de la section totale; β bT - coefficient tenant compte de la diminution du module de déformation du béton; ω T - coefficient d’élasticité ; les valeurs des coefficients β bT et ωT sont données dans les tableaux 10.2, 10.3 et 10.4 ; ϕ b1 - coefficient tenant compte du fluage instantané du béton: ϕ b1 = 0,70 ... 0,85 pour tous les types de bétons ordinaires et réfractaires. Dans le cas où la température de la face la plus échauffée dépasse 400°C, il convient de diviser la section en plusieurs parties (voir fig. 10.3); pour cela : - pour les sections rectangulaires, la ligne de séparation (division) est celle ayant la température 400°C; - pour les sections en T, la ligne de séparation est au niveau de la jonction de l’aile avec l’âme; - pour les sections faites de différents types de bétons, les lignes de séparation se situent au niveau des lignes des bétons. Dans tous les cas, l’armature est considérée comme une partie indépendante de la section. La section réduite A red,i de chaque partie i est égale à : A red,i =

Ai β bT ,i ωT ,i

ϕ b1

(10.31)

où, A i - section de la partie i ; les autres coefficients ont mêmes significations que dans la formule (10.30). 304 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 10. Actions des charges dynamiques et des hautes températures

Fig. 1 0. 3. Divisions des sections en plusieurs parties.

Les sections réduites A s,red et A s, ’ red des armatures tendues A s et comprimées A s ’ par rapport au béton le moins échauffé valent : A s,red A s, ’ red =

As E s β sT E b ϕ1

As ' E s β sT E b ϕ1

(10.32) (10.33)

où,

E s - le module d’élasticité des armatures ; β sT - coefficient tenant compte de la diminution du module d’élasticité sous l’action des hautes températures; sa valeur est donnée dans le tableau 10.5 Ainsi, l’aire de la section réduite de l’élément est : 305 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 10. Actions des charges dynamiques et des hautes températures

(10.34)

A red = ∑A red,i + A s,red + A s, ’ red

La distance y T du centre de gravité C de la section réduite aux fibres les moins échauffées est égale à : yT =

S red Ared

(10.35)

où,

S red est le moment statique de A red par rapport aux fibres tendues sous l’action de la charge et de la température : S red = ∑A red,i y i + A s,red (h - d) + A s, ’ red (h - d’) (10.36) avec, y i - la distance du centre de gravité de la partie i du béton jusqu’à la fibre la moins échauffée (voir fig. 10.3): y i = h - ∑h i + y yi (10.37) h i étant la hauteur de la partie i ; y yi

hi (2 β bT ,i + β bT ,i +1 )

(10.38)

3( β bT ,i + β bT ,i +1 )

Forfaitairement, on admet de prendre y yi

(10.39)

= 0,5h i

Le moment d’inertie de la section réduite I red gravité C est déterminé alors par l’expression :

par rapport à son centre de

I red = ∑I red,i + ∑A red,i y bi 2 + A s,red y s 2 + A s, ’ red y ' s

avec,

I red,i - moment d’inertie de la partie i de la section de béton: 1 I red,i = A red,i h i 2 12

(10.40)

(10.41)

y bi - distance du centre de gravité de la partie i du béton jusqu’au centre de gravité de la section réduite : y bi = yi - y T (10.42) y s = y T - (h - d) (10.43) y s ’ = h - y T - d’ (10.44) Les éléments en béton armé exploités sous hautes températures technologiques doivent être justifiés à l’état limite ultime et à l’état limite de service. Le calcul doit se faire en tenant compte: - du changement des propriétés mécaniques du béton et de l’armature sous l’action des hautes températures; 306 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 10. Actions des charges dynamiques et des hautes températures

des combinaisons d’actions les plus défavorables des charges appliquées et de l’action des hautes températures.

Pour les structures isostatiques, le calcul à l’état limite ultime et à l’état limite de service (calcul des déformations) se fait seulement sous l’action durable des hautes températures; toutefois, pour la fissuration, on peut envisager les actions durables et de courte durée (instantanées) des hautes températures, de même que la répartition non linéaire de la température dans la section. Pour les systèmes hyperstatiques, on doit considérer les actions durables et instantanées des hautes températures tout en tenant compte du changement des propriétés mécaniques du béton et des armatures.

307 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 11. Principes de calcul des ouvrages en béton armé

Troisième partie: CALCUL DES OUVRAGES SIMPLES EN BETON ARME

308 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 11. Principes de calcul des ouvrages en béton armé

Chapitre 11

PRINCIPES DE CALCUL DES OUVRAGES 1. INTRODUCTION Cette troisième partie du document est consacrée au calcul de quelques ouvrages simples en béton armé comme les poutres, les dalles, les planchers, les escaliers, les poteaux et les fondations. Les réservoirs, les soutènements, les ossatures de bâtiments, les ponts et les autres ouvrages complexes spéciaux ne sont pas étudiés dans ce document.

2. OBJECTIFS DU CALCUL Pour qu’un ouvrage simple ou complexe puisse résister longtemps aux actions agissantes et répondre à toutes les exigences requises durant son exploitation, il faut résoudre un certain nombre de problèmes, à savoir : • bien concevoir sa forme et choisir les matériaux les mieux adaptés du point de vue fonctionnel, économique et esthétique ; • déterminer les dimensions optimales requises pour assurer sa résistance, sa stabilité, sa rigidité et sa durabilité sous l’action des forces agissantes ; • assurer des liaisons fiables entre les différentes parties et différents éléments de l’ouvrage. L’objectif fixé sera donc de trouver des solutions optimales à tous ces problèmes. Il est évident que pour résoudre ces problèmes, l’ingénieur doit faire une approche systémique et très complexe du comportement de l’ouvrage sous l’action des forces agissantes. Il s’agit donc, par le calcul, de déterminer les dimensions optimales de chaque élément de l’ouvrage compte tenu de sa particularité fonctionnelle et des actions agissantes.

LES DIFFERENTES OUVRAGE

ETAPES

CALCUL

D’UN

Le calcul d’un ouvrage suppose, de façon sommaire, les opérations suivantes : - l’élaboration des données; - la détermination des caractéristiques de fiabilité de la structure; 309 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 11. Principes de calcul des ouvrages en béton armé

la définition des calculs à faire; la détermination des sollicitations; le dimensionnement des sections des différents éléments; l’analyse de la fiabilité de la structure et de ses éléments.

3.1. L’élaboration des données Il y a deux grandes catégories de données : - les données de base; - les données à déterminer.

3.1.1. Les données de base Les données de base comprennent: - les données architecturales ou de conception constituées par les dessins d’ensemble et de détails; - les données géologiques relatives au sol de fondation, au relief du site et de l’hydrogéologie du terrain; - les données climatiques relatives à la température, à la pluviométrie et au vent; - les données sur l’environnement relatives aux ouvrages environnants existants.

3.1.2. Les données à déterminer Les données à déterminer sont constituées par : - des données sur les matériaux, c’est-à-dire définir ou déterminer les caractéristiques physiques et mécaniques des matériaux à utiliser; - des données sur la structure porteuse, c’est-à-dire définir la nature des différents éléments porteurs assurant la résistance, la stabilité, la rigidité et la durabilité de la structure porteuse; - des données pour un prédimensionnement des différents éléments porteurs; - des données sur les actions, c’est-à-dire déterminer les valeurs des actions agissantes sur la structure porteuse.

310 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 11. Principes de calcul des ouvrages en béton armé

3.2. La détermination des caractéristiques de fiabilité de la structure Il s’agit de déterminer les grandeurs qui définissent: - la résistance de la structure; - la stabilité de la structure; - la rigidité de la structure; - la durabilité de la structure.

3.2.1. Caractéristiques de résistance Il s’agit de déterminer les caractéristiques de résistance des différents éléments porteurs avec les coefficients de sécurité correspondants. On doit donc définir les valeurs à la limite desquelles on évitera la ruine (rupture, écrasement, glissement, effondrement) de la structure.

3.2.2. Caractéristiques de stabilité Il s’agit de déterminer les caractéristiques assurant la stabilité de forme ou de position des différents éléments avec les coefficients de sécurité correspondants. On définira ainsi les valeurs à la limite desquelles on évitera la perte de stabilité de forme (flambement, gauchissement) et de position (basculement, renversement) des différents éléments de la structure.

3.2.3. Caractéristiques de rigidité On doit déterminer les caractéristiques de rigidité des différents éléments de la structure pour pouvoir éviter les déformations importantes pouvant compromettre l’exploitation normale de la structure.

3.2.4. La durabilité On doit également déterminer les caractéristiques de durabilité des différents éléments de la structure pour pouvoir éviter les fissures pouvant compromettre (c’est-à-dire réduire) la durabilité l’ouvrage et nuire à son exploitation normale.

311 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 11. Principes de calcul des ouvrages en béton armé

3.3. Définir les calculs à faire Les calculs sont, en général, relatifs aux deux états limites : - l’état limite ultime; - l’état limite de service.

3.3.1. Les calculs à l’état limite ultime Ils sont relatifs à : - l’état limite ultime de résistance (éviter la ruine); - l’état limite ultime de stabilité de forme (éviter la perte de stabilité de forme); - l’état limite ultime de stabilité de position (éviter la perte d’équilibre statique : renversement ou basculement à éviter).

3.3.2. Les calculs à l’état limite de service Ils sont relatifs à: - l’état limite de déformation: limitation des flèches, des rotations, des amplitudes de vibration, des inclinaisons et des tassements; - l’état limite d’ouverture des fissures : empêcher ou limiter l’ouverture des fissures.

3.4. La détermination des sollicitations La détermination des sollicitations comprend deux opérations essentielles : - définir les combinaisons d’actions à établir avec les coefficients de sécurité correspondants pour les différentes charges; - déterminer les valeurs extrémales des sollicitations pour les cas de chargements les plus défavorables.

3.5. Le dimensionnement des sections des éléments A partir des valeurs extrémales des sollicitations, on doit déterminer les dimensions définitives des sections des différents éléments de la structure. Cela suppose, entre autre, une confirmation du prédimensionnement, un redimensionnement, le dimensionnement et la détermination des sections d’armatures. 312 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 11. Principes de calcul des ouvrages en béton armé

3.6. L’analyse de la fiabilité de la structure et de ses éléments Il s’agit de vérifier que les dimensions ainsi déterminées pour les différents éléments donnent des caractéristiques dont les plus petites valeurs probables assurent la capacité portante (résistance, stabilité) et une exploitation normale (rigidité, durabilité) de l’ouvrage et de ses éléments soumis à des sollicitations extrémales probables.

313 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

Chapitre 12

LES POUTRES ET LES DALLES 1. LES POUTRES 1.1. Généralités 1.1.1. Définition Une poutre est une barre à ligne moyenne droite de section rectangulaire, en T, en I, H, etc ... (voir fig. 12. 1) travaillant en flexion.

Fig. 1 2. 1 . Différentes sections des poutres.

1.1.2. Portée à prendre en compte La portée L à prendre en compte est, généralement, mesurée entre nus des appuis (voir fig. 12. 2, a). Dans le cas où les poutres se reposent sur des massifs de maçonneries ou sont munies d’appareils d’appuis, la portée à prendre en compte est prise entre points d’application des résultantes des réactions d’appuis (voir fig. 12. 2, b, c). Pour les portiques, on fait intervenir la distance entre axes des appuis (fig. 12. 2, d).

1.1.3. Prédimensionnement de la section droite La hauteur de la section droite rectangulaire d’une poutre de portée L généralement prise égale à :

est

314 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

Fig. 1 2. 2. Portée à prendre en compte. 1 - poutre; 2 - poteau; 3 - massif de maçonnerie; 4 - appareil d’appui.

pour les poutres isostatiques : h =

 1 1   L ;  12 8 

(12.1)

le plus souvent, on préfère prendre

1 L 10

(12.2)

1  1  L  20 12 

(12.3)

1 1  L  16 12 

(12.4)

h ≥ -

pour les poutres hyperstatiques : h =  le plus souvent, on préfère prendre h = 

Les plus grandes valeurs de la hauteur h sont prises pour les poutres les plus sollicitées et de grandes portées. La largeur b de l’âme de la section droite est prise égale à : b = (0,25 ... 0,50) h

(12.5)

Pour les poutres solidaires d’une dalle, il convient, pour les largeurs b des tables de compression, de respecter les dispositions résumées sur la fig. 12.3.

315 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

Fig. 1 2. 3. Détermination de la largeur efficace de la table de compression.

Il est admis de ne pas procéder au calcul des déformations (flèches) si les conditions suivantes sont respectées: - pour les poutres isostatiques, on doit avoir :

h 1 ≥ L 10

(la condition (12.2)); pour les poutres hyperstatiques non associées à des dalles, on doit avoir:

Mt h ≥ L 10 M o

(12.6)

(12.7)

avec, M t - le moment en travée: M t = (0,70 ... 0,95)M o ; M o étant le moment de la travée indépendante. pour les poutres hyperstatiques associées à des dalles, on doit avoir:

Mt h ≥ L 15M o

(12.8)

Dans le tableau 12.1 sont données les dimensions recommandées de la section droite bxh des poutres hyperstatiques de section rectangulaire, en fonction de la portée L et de la charge totale p au mètre linéaire.

316 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

Charge, p en daN/m 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2400 2800 3200 3600 4000

Dimensions de la section droite bxh, en cm, pour une portée L, en m égale à 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 10x25

10x30

15x30

15x35

15x40

20x45

20x50

10x30

15x30

15x35

15x40

20x40

20x45

20x50

20x55

10x30

15x30

15x35

15x40

20x40

20x45

20x50

25x55

20x55

15x30

15x35

15x40

20x45

20x50

25x50

25x55

20x55

15x30

15x35

15x40

20x40

20x45

20x50

25x50

25x55

15x30

15x35

15x40

20x45

20x50

25x50

25x55

25x60

15x35

15x40

20x40

20x45

20x50

25x50

25x55

25x60

15x35

15x40

20x40

20x45

20x50

25x50

25x55

25x60

15x35

15x40

20x40

20x45

20x50

25x50

25x55

25x60

25x65

15x40

20x40

20x45

20x50

25x50

25x55

25x60

25x65

30x65

15x40

20x40

20x45

20x50

25x50

25x55

25x60

25x65

30x65

Tableau 1 2. 1 . Dimensions recommandées de la section droite des poutres.

1.2. Calcul des poutres 1.2.1. Déterminations des sollicitations a) Chargements défavorables des poutres Les poutres sont généralement conçues hyperstatiques, donc calculées comme des poutres continues. Les sollicitations de calcul (moments fléchissant M, efforts tranchants V) dans les différentes sections de la poutre sont déterminées à partir des cas de chargements probables les plus défavorables des charges permanentes et variables pour ces sections. Ces différents cas de chargements défavorables permettent d’obtenir le tracé des courbes enveloppes donnant les valeurs extrémales (maximales et minimales) des sollicitations dans chaque section de la poutre. Les schémas de chargements les plus défavorables des charges permanentes g et d’exploitation q sont donnés dans le tableau 12.2. Ces schémas de chargements permettent de déterminer : - les valeurs absolues maximales des moments fléchissant en travées M t,max et sur appuis M a,max ; - les valeurs minimales (négatives) des moments en travées M t,min ; - les valeurs absolues maximales des efforts tranchants aux voisinages des appuis V a,max ; - les valeurs maximales des réactions d’appui R a,max . 317 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

Nombre de travées et schémas de chargements

Sollicitations extrémales

Poutre à une travée

M 1,max ; V A,max ; V B,max ; R A,max ; R B,max

Poutre à deux travées

M 1,max ; M 2,min ; V A,max ; R A,max M 2,max ; M 1,min ; V C,max ; R C,max M B,max ; V B,max ; R B,max

Poutre à trois travées

M 1,max ; M 3,max ; M 2,min ; V A,max ; V D,max ; R A,max ; R D,max M 2,max ; M 1,min ; M 3,min M B,max ; V B,max ; R B,max M C,max ; V C,max ; R C,max

318 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

Poutre à quatre travées

M B,max ; V B,max ; R B,max M C,max ; V C,max ; R C,max M D,max ; V D,max ; R D,max M 1,max ; M 3,max ; M 2,min ; M 4,min ; V A,max ; R A,max M 1,min ; M 3,min ; M 2,max ; M 4,max ; V E,max ; R E,max Poutre à cinq travées

M 1,max ; M 3,max ; M 5,max ; M 2,min ; M 4,min ; V A,max ; T F,max ; R A,max ; R F,max M 2,max ; M 4,max ; M 1,min ; M 3,min ; M 5,min M B,max ; V B,max ; R B,max M C,max ; V C,max ; R C,max M D,max ; V D,max ; R D,max M E,max ; V E,max ; R E,max Tableau 1 2. 2. Schémas de chargements défavorables des charges permanentes et d’exploitation pour les poutres continues.

Dans le cas où la poutre a plus de cinq (5) travées, on l’assimile à une poutre à cinq travées; dans ce cas, les sollicitations dans toutes les autres travées intermédiaires non voisines des travées de rive auront mêmes valeurs que dans la travée centrale d’une poutre à cinq travées ; les sollicitations sur les appuis 319 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

intermédiaires de ces travées auront les mêmes valeurs que pour les appuis encadrant la travée centrale de la poutre à cinq travées. b) Méthodes de détermination des sollicitations dans les poutres Il existe plusieurs méthodes pour déterminer les valeurs des sollicitations développées dans les sections des poutres. Certaines de ces méthodes se fondent sur la théorie de l’élasticité linéaire (méthodes classiques de la Résistance des Matériaux) en supposant le béton armé comme un matériau élastique parfait. D’autres méthodes, par contre, tiennent compte, dans une certaine mesure, des déformations plastiques du béton armé et la redistribution des efforts en considérant l’analyse limite de la structure (méthodes de l’équilibre limite). Ainsi, parmi les principales méthodes utilisées, on peut citer: - les méthodes élastiques; - la méthode simplifiée de Caquot; - les méthodes forfaitaires. Chaque méthode présente quelques avantages et des inconvénients.

1.2.2. Les méthodes élastiques a) La méthode des trois moments Elle est fondée sur les hypothèses classiques de la Résistance des Matériaux. Par cette méthode, il s’agit de déterminer d’abord les moments sur appuis qui sont les inconnues hyperstatiques, en utilisant pour cela l’équation des trois moments pour chaque appui intermédiaire. Pour l’appui i, cette équation se présente comme suit (voir fig. 12.4) :

L L  6ω a 6ω b L Li M i −1 + 2 i + i +1  M i + i +1 M i +1 = − i i − i +1 i +1 Ii I i +1 I i Li I i +1 Li +1  I i I i +1 

(12.9)

320 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

Fig. 1 2. 4.

Soit M o (x) et V o (x) - respectivement, le moment fléchissant et l’effort tranchant dans la section d’abscisse x dans la travée isostatique (indépendante) équivalente de portée L i ; dans ce cas, le moment fléchissant M(x) et l’effort tranchant V(x) dans ladite section sont alors déterminés par les expressions suivantes :

M i −1 M ( Li − x) + i x Li Li M − M i −1 dM ( x) V(x) = = Vo ( x ) + i dx Li

M(x) = M o (x) +

(12.10) (12.11)

Le calcul se fait pour chaque cas de chargement quelque soit les rapports entre les portées des travées, entre les moments d’inertie d’une travée à l’autre et entre les charges permanentes et d’exploitation ; elle est donc universelle ; ce qui constitue son avantage. La méthode a les inconvénients suivants : - elle suppose que la section résistante est homogène, élastique, isotrope et constante ; ce qui n’est pas vrai pour le béton armé ; - elle donne (par conséquent) des valeurs trop élevées des moments sur appuis et des valeurs faibles pour les moments en travées ; ce qui est contraire à la réalité ; - elle est laborieuse, car on doit faire le calcul pour chaque cas de chargement défavorable pour une section. En cas d’utilisation de la méthode, il faut nécessairement majorer les valeurs des moments en travées (jusqu’à 30% et plus) et minorer en conséquence celles des moments sur appuis. b) Utilisation des formules de tableaux Il existe des tableaux déjà établis pour déterminer les valeurs maximales des moments fléchissant et des efforts tranchants dans les poutres, pour lesquelles : - les moments d’inertie des sections droites sont les mêmes dans les différentes travées; - les portées successives sont dans un rapport compris entre 0,80 et 1,25 (c’est-à-dire que 0,80 ≤ L i /L i+1 ≤ 1,25). 321 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

Cette méthode, comme celle des trois moments, donne des valeurs élevées des moments sur appuis et de faibles valeurs des moments positifs en travées. On peut ainsi utiliser les résultats de cette méthode en majorant (jusqu’à 30%) les valeurs des moments en travées et en minorant en conséquence celles des moments sur appuis. Par cette méthode, les valeurs maximales des moments fléchissant M max (en travées et sur appuis) et des efforts tranchants V a,max sur appuis sont déterminées par les expressions suivantes : - pour les charges réparties: M max = ( αg + β q )L2 (12.12) V a,max = (ag + bq ) L (12.13) -

pour les charges ponctuelles: M max = (αG + β Q )L V a,max = aG + bQ

avec,

(12.14) (12.15)

g, G - les charges permanents ; q, Q - les charges variables d’exploitation ; L - portée de la travée considérée ; α, a - coefficients tenant compte de l’influence des charges permanentes disposées dans toutes les travées ; β, b - coefficients tenant compte de l’influence des charges variables d’exploitation disposées dans différentes travées de façon défavorable. Les moments négatifs pouvant apparaître dans certaines travées par suite d’une disposition défavorable des charges variables d’exploitation sont calculés par les expressions suivantes : - pour les charges réparties : M t,min = (αg + γq)L2 (12.16) avec,

pour les charges ponctuelles : M t,min

= ( αG + γQ)L

(12.17)

γ - coefficient tenant compte de l’influence des charges variables d’exploitation disposées dans différentes travées de façon défavorable. Les valeurs des coefficients α, β , a, b, γ sont données dans le tableau 12.3 pour les schémas de charges représentés sur la fig. 12.5. Pour les poutres continues ayant plus de cinq (5) travées, le calcul se fait comme des poutres à 5 travées en prenant pour les moments en travées la valeur M 3 en 322 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

Fig. 1 2. 5. Différents schémas de chargements de la travée.

Efforts

Coefficients

Valeurs des coefficients pour les différents schémas de chargement de la travée 1 2 3a 3b 3c Poutres à deux travées

M1 MB VA VB

+ α + β - α - β +a +b -a -b

0,070 0,096

0,047 0,064

0,156 0,203

0,222 0,273

0,265 0,383

0,125 0,125

0,078 0,078

0,188 0,188

0,333 0,333

0,469 0,469

0,375 0,437 0,625 0,625

0,172 0,211 0,328 0,328

0,312 0,406 0,688 0,688

0,667 0,833 1,334 1,334

1,042 1,266 1,958 1,958

Poutres à trois travées

M1 MB

M2 VA V B,1 V B,2

+ α + β - α - β + α + β -γ +a +b -a -b +a +b

0,080 0,101

0,054 0,068

0,175 0,213

0,244 0,289

0,313 0,406

0,100 0,117

0,063 0,073

0,150 0,175

0,267 0,311

0,375 0,437

0,025 0,075 0,050

0,021 0,052 0,;031

0,067 0,0175 0,075

0,100 0,200 0,133

0,125 0,313 0,188

0,400 0,450 0,600 0,617 0,500 0,583

0,188 0,219 0,313 0,323 0,250 0,302

0,350 0,425 0,650 0,675 0,500 0,625

0,733 0,866 1,267 1,311 1,000 1,222

1,125 1,313 1,875 1,938 1,500 1,812

Poutres à quatre travées

323 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

M1 MB

M2 MC VA V B,1 V B,2 V C,2

+ α + β - α - β + α + β -γ - α - β +a +b -a -b +a +b -a -b

0,077 0,100

0,052 0,069

0,168 0,210

0,238 0,286

0,299 0,400

0,107 0,121

0,067 0,075

0,161 0,181

0,286 0,321

0,402 0,452

0,036 0,081 0,045

0,028 0,056 0,028

0,116 0,183 0,067

0,141 0,222 0,111

0,165 0,333 0,167

0,071 0,107

0,045 0,067

0,107 0,161

0,191 0,286

0,268 0,402

0,393 0,446 0,607 0,620 0,536 0,603 0,464 0,571

0,183 0,216 0,317 0,325 0,272 0,313 0,228 0,294

0,339 0,420 0,661 0,681 0,553 0,654 0,449 0,607

0,714 0,857 1,286 1,321 1,095 1,274 0,905 1,190

1,098 1,299 1,902 1,952 1,634 1,885 1,366 1,768

Poutres à cinq travées

M1 MB M2 MC M3 VA V B,1 V B,2 V C,2 V C,3

+ α + β - α - β + α + β - α - β + α + β +a +b -a -b +a +b -a -b +a

0,078 0,100

0,053 0,068

0,171 0,211

0,240 0,287

1,302 0,401

0,105 0,120

0,066 0,075

0,158 0,179

0,281 0,319

0,395 0,449

0,033 0,079

0,026 0,055

0,112 0,181

0,130 0,216

0,156 0,327

0,080 0,111

0,050 0,070

0,118 0,167

0;211 0,297

0,296 0,417

0,046 0,086

0,034 0,059

0,132 0,191

0,152 0,228

0,204 0,352

0,395 0,448 0,606 0,620 0,526 0,598 0,474 0,576 0,500

0,184 0,217 0,316 0,325 0,266 0,316 0,234 0,301 0,250

0,342 0,421 0,653 0,679 0,540 0,647 0,460 0,615 0,500

0,719 0,860 1,281 1,319 1,070 1,262 0,930 1,204 1,000

1,105 1,302 1,895 1,949 1,599 1,867 1,401 1,787 1,500

324 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

0,591

0,310

0,637

1,243

1,841

Tableau 1 2. 3. Valeurs des coefficients α, β, a, b, γ pour déterminer les sollicitations. troisième travée et pour les moments et les efforts tranchants sur appuis, on prend respectivement les valeurs M C et V C sur le troisième appui.

Pour les poutres dont les travées sont différentes de plus de 20%, mais ayant la même raideur dans les différentes travées (I i /L i = I i+1 /L i+1 ), les valeurs extrémales des moments peuvent être déterminées par les expressions du tableau 12.4 pour les schémas de charges représentés sur la fig. 12.6.

Schémas

Fig. 1 2. 6.

Nombre de travées et expressions pour les moments fléchissant

Poutre à deux travées:

M 1,max = 0,0938p 1 L 1 2 - 0,0313g 2 L 2 2 M B,max = - 0,0625p 1 L 1 2 - 0,0625p 2 L 2 2 M 2,max = - 0,0313g 1 L 1 2 - 0,0625p 2 L 2 2

M 1,max = 0,203P 1 L 1 - 0,0467G 2 L 2 M B,max = - 0,0938P 1 L 1 - 0,0938P 2 L 2 M 2,max = - 0,0467G 1 L 1 + 0,203P 2 L 2

M 1,max = 0,2778P 1 L 1 - 0,0556G 2 L 2 M B,max = - 0,1667P 1 L 1 -0,1667P 2 L 2 M 2,max = - 0,0556G 1 L 1 + 0,2778P 2 L 2 Poutre à trois travées :

M 1,max M B,max M 2,max M 2,min

= 0,092p 1 L 1 2 - 0,0250g 2 L 2 2 + 0,008p 3 L 3 2 = - 0,0670p 1 L 1 2 - 0,0500p 2 L 2 2 + 0,017g 3 L 3 2 = - 0,0250g 1 L 1 2 + 0,0750p 2 L 2 2 - 0,0250g 3 L 3 2 = - 0,0250p 1 L 1 2 + 0,0750g 2 L 2 2 - 0,0250p 3 L 3 2 325

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Chapitre 12. Les poutres et les dalles

M C,max = - 0,0170g 1 L 1 2 - 0,0500p 2 L 2 2 - 0,067g 3 L 3 2 M 3,max = 0,008p 1 L 1 2 - 0,0250g 2 L 2 2 + 0,092p 3 L 3 2

M 1,max M B,max M 2,max M 2,min M C,max M 3,max

= 0,200P 1 L 1 - 0,038G 2 L 2 + 0,013P 3 L 3 = - 0,100P 1 L 1 - 0,075P 2 L 2 + 0,025G 3 L 3 = - 0,038G 1 L 1 + 0,200P 2 L 2 - 0,038G 3 L 3 = - 0,038P 1 L 1 + 0,200G 2 L 2 - 0,038P 3 L 3 = + 0,025G 1 L 1 - 0,075P 2 L 2 - 0,100P 3 L 3 = +0,013P 1 L 1 - 0,038G 2 L 2 + 0,200P 3 L 3

M 1,max M B,max M 2,max M 2,min M C,max M 3,max

= 0,274P 1 L 1 - 0,044G 2 L 2 + 0,015P 3 L 3 =- - 0,178P 1 L 1 - 0,133P 2 L 2 + 0,044G 3 L 3 =- - 0,104G 1 L 1 + 0,200P 2 L 2 - 0,104G 3 L 3 =- - 0,104P 1 L 1 + 0,200G 2 L 2 - 0,104P 3 L 3 = + 0,044G 1 L 1 - 0,133P 2 L 2 - 0,178P 3 L 3 = +0,015P 1 L 1 - 0,044G 2 L 2 + 0,274P 3 L 3

Poutre à quatre travées:

M 1,max = 0,092p 1 L 1 2 - 0,025g 2 L 2 2 + 0,007p 3 L 3 2 - 0,002g 4 L 4 2 M B,max = - 0,067p 1 L 1 2 - 0,049p 2 L 2 2 + 0,013g 3 L 3 2 - 0,005p 4 L 4 2 M 2,max = - 0,025g 1 L 1 2 + 0,074p 2 L 2 2 - 0,020g 3 L 3 2 + 0,007p 4 L 4 2 M 2,min = - 0,025p 1 L 1 2 + 0,074g 2 L 2 2 - 0,020p 3 L 3 2 + 0,007g 4 L 4 2 M C,max = 0,018g 1 L 1 2 - 0,054p 2 L 2 2 - 0,054p 3 L 3 2 + 0,018g 4 L 4 2 M 3,max = 0,007p 1 L 1 2 - 0,020g 2 L 2 2 + 0,074p 3 L 3 2 - 0,025g 4 L 4 2 M 3,min = 0,007g 1 L 1 2 - 0,020p 2 L 2 2 + 0,074g 3 L 3 2 - 0,025p 4 L 4 2 M D,max = - 0,005p 1 L 1 2 + 0,013g 2 L 2 2 - 0,049p 3 L 3 2 - 0,067P 4 L 4 2 M 4,max = - 0,002g 1 L 1 2 + 0,007p 2 L 2 2 - 0,025g 3 L 3 2 + 0,092p 4 L 4 2

M 1,max = 0,200P 1 L 1 - 0,037G 2 L 2 + 0,010P 3 L 3 - 0,003G 4 L 4 M B,max = - 0,100P 1 L 1 - 0,074P 2 L 2 + 0,020G 3 L 3 - 0,007P 4 L 4 M 2,max = - 0,037G 1 L 1 - 0,173P 2 L 2 - 0,030G 3 L 3 + 0,010P 4 L 4 M 2,min = - 0,037P 1 L 1 - 0,173G 2 L 2 - 0,030P 3 L 3 + 0,010G 4 L 4 M C,max = 0,027G 1 L 1 - 0,080P 2 L 2 - 0,080P 3 L 3 + 0,026G 4 L 4 M 3,max = 0,010P 1 L 1 - 0,030G 2 L 2 + 0,173P 3 L 3 - 0,037G 4 L 4 M 3,min = 0,010G 1 L 1 - 0,030P 2 L 2 + 0,173G 3 L 3 - 0,037P 4 L 4 M D,max = - 0,007P 1 L 1 + 0,020G 2 L 2 - 0,074P 3 L 3 - 0,100P 4 L 4 M 4,max = - 0,003G 1 L 1 + 0,010P 2 L 2 - 0,037G 3 L 3 + 0,200P 4 L 4

M 1,max = 0,274P 1 L 1 - 0,044G 2 L 2 + 0,012P 3 L 3 - 0,004G 4 L 4 326 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

M B,max = - 0,179P 1 L 1 - 0,131P 2 L 2 + 0,036G 3 L 3 - 0,012G 4 L 4 M 2,max = - 0,028G 1 L 1 + 0,195P 2 L 2 - 0,084G 3 L 3 + 0,028P 4 L 4 M 2,min = - 0,028P 1 L 1 + 0,195G 2 L 2 - 0,084P 3 L 3 + 0,028G 4 L 4 M C,max = 0,048G 1 L 1 - 0,143P 2 L 2 - 0,143P 3 L 3 + 0,048G 4 L 4 M 3,max = 0,028P 1 L 1 - 0,084G 2 L 2 + 0,195P 3 L 3 - 0,028G 4 L 4 M 3,min = 0,028G 1 L 1 - 0,084P 2 L 2 + 0,195G 3 L 3 - 0,028P 4 L 4 M D,max = - 0,012P 1 L 1 + 0,036G 2 L 2 - 0,131P 3 L 3 - 0,179P 4 L 4 M 4,max = - 0,004P 1 L 1 + 0,012P 2 L 2 - 0,044G 3 L 3 + 0,274P 4 L 4

Tableau 1 2. 4. Expressions des valeurs extrémales des moments pour les poutres continues avec des portées différentes des travées. g, G - charges permanentes; p, P charges totales (p = g + q; P = G + Q où q, Q -sont les charges d’exploitation).

Les efforts tranchants sont déterminés par les méthodes générales applicables aux poutres continues.

1.2.3. La méthode de Caquot La méthode de Caquot découle de la méthode des trois moments qu’elle simplifie et corrige pour tenir compte: - de la variation du moment d’inertie efficace des sections transversales le long de la ligne moyenne ; cela a pour conséquence de réduire les valeurs des moments sur appuis et d’accroître celles des moments en travées ; - de l’amortissement des effets de chargement des travées successives qui est plus importante que celui prévu par la continuité théorique ; cela a pour conséquence de limiter le nombre de travées recevant les charges d’exploitation. La méthode de Caquot s’applique dans les cas suivants: - pour les constructions industrielles pour lesquelles les charges d’exploitation Q sont très élevées : Q >  2G ; 500 daN/m2  (12.18) 2 où, est la charge permanente au m ; - pour les poutres solidaires ou non des poteaux, de section constante ou variable d’une travée à l’autre et quelque soit le rapport entre les portées des différentes travées.

327 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

a) Cas des poutres à moments d’inertie égaux dans les différentes travées et non solidaires des poteaux Le moment fléchissant M i sur l’appui i est déterminé par les expressions suivantes : - pour les charges réparties p (voir fig. 12.7, a), on a: 3

p w L'w + p e L'e

Mi =

8,5( L'w + L'e )

(12.19)

pour les charges ponctuelles P (voir fig. 12.7, b), on a: M i (P e ) =

M i (P w ) =

kPe L'e

( L'w + L'e ) kPw L'w

(12.20)

( L'w + L'e )

(12.21)

avec,

L w , L e - longueurs des travées fictives : L’ = L pour une travée de rive et L’ = 0,8L pour une travée intermédiaire, L étant la portée de la travée libre ; k - coefficient, déterminé par la formule suivante: k =

x( x − 1)( x − 2) 2,125

(12.22)

avec, x = a/L

Fig. 1 2. 7.

Pour déterminer les valeurs des moments en travées, on procède comme suit (voir fig. 12.8) : - on trace les courbes des moments de la travée indépendante de longueur L sous l’effet des charges permanentes G (M G ) et de la totalité de la charge G + Q (M G+Q ) ; 328 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

on porte sur les appuis les moments d’appuis minimaux (M a,min ) et maximaux (M a,max ) en valeurs absolues, tout en supposant dans chaque cas que les charges d’exploitation peuvent ou non être appliquées dans les différentes travées ; pour déterminer les moments positifs en travées (M t,max > 0 ), on prend pour ligne de fermeture de la courbe M G+Q celle qui joint les moments minimaux en valeur absolue ; pour déterminer les moments négatifs en travées (M t,min < 0), on prend pour ligne de fermeture de la courbe M G celle qui joint les moments maximaux en valeur absolue.

Les efforts tranchants sont déterminés par la méthode générale applicable aux poutres continues.

Fig. 1 2. 8.

b) Cas des poutres à moments d’inertie variables d’une travée à l’autre non solidaires des poteaux Les moments sur l’appui i sont déterminés par les expressions suivantes: - pour le cas des charges réparties, on a : 2

Mi = avec, -

p w L'w + βp e L'e 8,5(1 + β )

L'e I w L'w I e

(12.23) (12.24)

pour le cas des charges ponctuelles, on a :

βkPe L'e M i (P e ) = (1 + β )

(12.25)

kPw L'w M i (P w ) = (1 + β )

(12.26)

329 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

I w et I e étant les moments d’inertie dans les travées de gauche et de droite. Les moments en travées sont déterminés par la même procédure que pour les poutres à moments d’inertie égaux. Les efforts tranchants sont déterminés par la méthode générale applicable aux poutres continues. c) Cas des poutres solidaires des poteaux qui les supportent Notations : Pour les notations, voir la figure 12.9 ; les indices w et e indiquent gauche (côté Ouest) et droite (côté Est) et les indices n et s indiquent supérieur (côté Nord) et inférieur (côté Sud) ; H’ - la hauteur fictive : H n ’ = 0,9 H n si le noeud considéré appartient à l’avant dernier plancher; H n ’ = 0,8H n dans les autres cas ; H s ’ = H s si les poteaux sont articulés sur fondations ; H s ’ = 0,8H s dans les autres cas ; L’ - portée fictive de la poutre (L’ = 0,8L, avec L - portée réelle) ; I - moments d’inertie des différents éléments.

Fig. 1 2. 9.

Travées intermédiaires Pour les travées intermédiaires, les valeurs absolues des moments dans les sections dangereuses (nus des appuis) sont déterminées par les expressions suivantes : - au nu de l’appui dans la travée gauche : Mw = Me’

Kw  K  + M w ' 1 − w  D D  

(12.27) 330

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Chapitre 12. Les poutres et les dalles

au nu de l’appui dans la travée droite : Me =

avec,



Ke  K  + Mw' e D  D

Ks ( M e '− M w ' ) D

au nu supérieur des poutres dans le poteau supérieur : K M n = n ( M e '− M w ' ) D Kw Ke Kn Ks + Ke

= Iw / Lw ’ = Ie / Le’ = In / Hn’ = Is / Hs’ + Kn + Ks

D = Kw 1 Mw’ = p w L’ w 2 + L w ’∑k w P w 8,5 1 Me’ = p e L’ e 2 + L e ’∑k e P e 8,5 k w(e) = avec,

(12.28)

au nu inférieur des poutres dans le poteau inférieur : Ms =



M e ’ 1 −

x( x − 1)( x − 2) 2,125

(12.29)

(12.30) (12.31) (12.32) (12.33) (12.34) (12.35) (12.36) (12.37) (12.38)

x = a / L’ w(e) .

Les moments M w et M e étant des moments au niveau des appuis de la poutre, donc ils sont négatifs. La face tendue du poteau supérieur se trouvera du côté correspondant à la plus grande des deux valeurs absolues M e ’ et M w ’. Pour le poteau inférieur, la face tendue se trouvera du côté opposé.

Travées de rive Pour les notations, voir la fig. 12.10.

Fig. 1 2. 1 0

331 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

Considérons d’abord une travée de rive avec une console (voir fig. 12.10). Noeud 1: Ce noeud est étudié comme précédemment en posant K w = 0 et en substituant M w1 à M w ’, où M w1 est le moment isostatique de la console au nu de l’appui 1 (M w1 < 0). On obtient donc :  K  K (12.39) M e1 = M e' 11 − e1  + e1 M w1 D1  D1  K M s1 = ( M e' 1 − M w1 ) s1 (12.40) D1 K M n1 = ( M e' 1 − M w1 ) n1 (12.41) D1 avec, 1 M’ e1 = p e L e ’2 + L e ’ ∑k e P e (12.42) 8,5 (12.43) K e1 = I e1 / L’ e1 K s1 = I s1 / H’ s1 (12.44) (12.45) K n1 = I s1 / H’ n1 D 1 = K e1 + K s1 + K n1 (12.46) Noeud 2: Pour ce noeud, il s’agit tout d’abord d’évaluer les longueurs des travées fictives. Ainsi, la longueur L’ w2 est prise égale à : L’ w2 = χ 1 L w2 (12.47) avec, χ 1 - coefficient prenant les valeurs suivantes : - pour (K s1 + K n1 ) ≥ 1,5K e1 : χ 1 = 0,8 (12.48) - pour (K s1 + K n1 ) < 1,5K e1 : χ1 = 1 -

K s1 + K n1 7,5 K e1

(12.49)

On a : 0,8 ≤ χ 1 ≤ 1,0. Quant à la longueur L’ e2 , elle est prise égale à 0,8L e2 (L’ e2 = 0,8L e2 ) si la travée n’est pas de rive, c’est-à-dire si le noeud 3 n’est pas un noeud de rive. Dans le cas où le noeud 3 est un noeud de rive, on prend : L’ e2 = χ 3 L e2 (12.50) avec, χ 3 - coefficient prenant les valeurs suivantes : - pour (K s3 + K n3 ) ≥ 1,5K w3 , on a : χ 3 = 0,8 (12.51) - pour (K s3 + K n3 ) < 1,5K w3 , on a :

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Chapitre 12. Les poutres et les dalles

χ3 = 1 -

K s 3 − K n3 7,5 K w3

(12.52)

Les moments sont ensuite déterminés par les expressions précédentes formulées pour la travée intermédiaire en remplaçant M w ’ par M w ’’ tel que : M w ’’ = M w2 ’ -

1 K e1 M w1 2,125 D1

avec,

M w2 ’ =

Dans le cas d’une travée de rive sans console, s’appliquent en faisant M w1 = 0.

(12.53) 1 p w L’ w2 2 + L’ w2 ∑k w P w 8,5 (12.54) les règles précédentes

Les efforts tranchants sont déterminés par la méthode générale applicable aux poutres continues. Par mesure de simplification, on néglige les efforts normaux développés dans les poutres.

1.2.4. Les méthodes forfaitaires Il existe plusieurs méthodes forfaitaires ; certaines d’entre elles tiennent compte de la redistribution des efforts, c’est-à-dire des propriétés plastiques du béton armé. Les méthodes forfaitaires consistent à évaluer les valeurs maximales des moments en travées M t (M t,max ) et sur appuis M a (M a,max ) à des fractions, fixées forfaitairement , de la valeur maximale du moment M o dans la travée de comparaison (travée indépendante équivalente). Ces méthodes s’appliquent, en général, à des poutres continues pour lesquelles les conditions suivantes sont remplies : - les moments d’inertie des sections droites sont les mêmes dans les différentes travées; - les portées successives sont dans un rapport compris entre 0,8 et 1,25 (0,8 ≤ L i / L i+1 ≤ 1,25). a) Méthode forfaitaire du BAEL 91 La méthode forfaitaire du B.A.E.L. (Normes Françaises) s’applique aux poutres pour lesquelles, en plus des conditions précédentes : 333 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

la fissuration ne compromet pas la tenue de la structure et de ses revêtements; la charge d’exploitation Q est dite modérée (constructions courantes), c’est-à-dire : Q ≤ Max  2G ; 500 daN/m2 (12.55) où, G est la charge permanente.

Ledit règlement précise que, si une des conditions précédentes n’est pas vérifiée, on peut appliquer la méthode de Caquot en majorant les moments en travées et atténuant les moments sur appuis d’un coefficient compris entre 1 et 2/3 . Par cette méthode, les valeurs absolues des moments en travées M t et sur appuis M w et M e (respectivement moments sur appui gauche et sur appui droit de la travée considérée) doivent vérifiées les conditions suivantes : • M t,r ≥ M’ 0,5(M w Me ) (12.56) avec, M’ = Max  1,05M o ; (1 + 0,3α)M o  (12.57) • M t,i ≥ 0,5(1 + 0,3α)M o (12.58) dans une travée intermédiaire; ≥ 0,5(1,2 + 0,3α)M o • M t,r (12.59) dans une travée de rive; • la valeur absolue M a de chaque moment sur appui intermédiaire doit être telle que (voir fig. 12.11) : ∗ M a ≥ 0,6 M o pour une poutre à deux travées; ∗ M a ≥ 0,5M o pour les appuis voisins des appuis de rive d’une poutre à plus de deux travées; ∗ M a ≥ 0,4M o pour les autres appuis intermédiaires d’une poutre à plus de trois travées. Dans ces expressions : M o - le moment maximal dans la travée de comparaison (pour une charge uniformément répartie p, on a M o = pL2/8) ; α - coefficient définit comme suit : α =

Q G+Q

(12.60)

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Chapitre 12. Les poutres et les dalles

Fig. 1 2. 1 1 .

Aux appuis de rive, pour les éléments coulés sur place, il convient dans tous les cas de prévoir un moment d’encastrement au moins égal à 0,2M o . A partir des valeurs maximales des moments en travées et sur appuis, on détermine les sections d’armatures longitudinales dans ces sections dangereuses. Les efforts tranchants sont déterminés par les méthodes générales appliquées aux poutres continues.

b) Deuxième méthode (méthode de ferraillage continu) Cette seconde méthode tient compte de la redistribution des efforts en supposant un ferraillage continu de la poutre et en considérant que la fissuration est jugée peu préjudiciable pour l’exploitation de la structure. Dans ce cas, on peut forfaitairement prendre les valeurs extrémales des moments en travées et sur appuis, égales à celles qui sont données dans le tableau 12.5. On remarquera que la valeur du moment en travée de rive est fonction du moment d’encastrement à l’appui de rive. En effet, la valeur du moment d’encastrement en appui de rive dépend du rapport des raideurs de la poutre et de l’appui. Les petites valeurs du moment d’encastrement sont prises quand la raideur de la poutre est plus grande que celle de l’appui ; les grandes valeurs sont prises pour le cas contraire, c’est-à-dire quand la raideur de la structure d’appui dans le plan de flexion de la poutre est plus grande que celle de cette dernière. Pour les efforts tranchants sur appuis, leurs valeurs sont données sur la fig. 12.12.

335 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

Fig. 1 2. 1 2. Valeurs des efforts tranchants. V o - la valeur de l’effort tranchant dans la poutre isostatique.

Efforts

Valeurs des moments pour un moment d’encastrement M A égal à 0,1M o 0,2M o 0,4M o 0,6M o

Une travée M1 Deux travées

0,95M o

0,90 M o

0,80 M o

0,65 M o

M1 MB Trois travées

0,93 M o 0,68 M o

0,85 M o 0,68 M o

0,75 M o 0,68 M o

0,65 M o 0,68 M o

M1 0,92 M o MB 0,65 M o M2 0,65 M o Quatre travées

0,85 M o 0,65 M o 0,65 M o

0,75 M o 0,65 M o 0,65 M o

0,65 M o 0,65 M o 0,65 M o

M1 MB M2 MC Cinq travées

0,91 M o 0,65 M o 0,65 M o 0,50 M o

0,85 M o 0,65 M o 0,65 M o 0,50 M o

0,75 M o 0,65 M o 0,65 M o 0,50 M o

0,65 M o 0,65 M o 0,65 M o 0,50 M o

0,90 M o 0,65 M o 0,65 M o 0,50 M o 0,50 M o

0,85 M o 0,65 M o 0,65 M o 0,50 M o 0,50 M o

0,75 M o 0,65 M o 0,65 M o 0,50 M o 0,50 M o

0,65 M o 0,65 M o 0,65 M o 0,50 M o 0,50 M o

M1 MB M2 MC M3

Tableau 1 2. 5. Valeurs des moments maximaux en travées et sur appuis. M o - moment dans la travée indépendante.

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Chapitre 12. Les poutres et les dalles

1.2.5.

Courbes enveloppes des moments et épures des moments résistants

Les courbes enveloppes des moments de flexion sont tracés pour pouvoir arrêter certaines armatures longitudinales là où elles ne sont plus nécessaires pour équilibrer les efforts internes. Pour les poutres en béton armé, soumises à des charges uniformément réparties, la courbe enveloppe des moments de flexion peut être construite en utilisant la formule suivante : M = 10-3βpL2 (12.61) où, p - la charge totale uniformément répartie: p = g + q, où g et q sont respectivement les charges permanentes et d’exploitation ; L - la portée de la travée considérée; β - coefficient, fonction du rapport q/g, dont les valeurs pour les différents points (voir fig. 12.13) sont données dans les tableaux 12.6 et 12.7.

Fig. 1 2. 1 3. Courbe enveloppe des moments de flexion dans une poutre continue. N. B. : • l’épure des moments dans la travée de rive est tracée pour un moment d’encastrement égal à 0,2M o ; • les valeurs du coefficient α sont données dans le tableau 12.8 en fonction du rapport q/g.

Points β

104

Tableau 1 2. 6 Valeurs du coefficient β pour déterminer les moments positifs en travées. N. B. : les valeurs de β pour les sections dangereuses où le moment est maximal sont données sur la fig. 12.13.

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Chapitre 12. Les poutres et les dalles

Une fois la courbe enveloppe tracée, on peut déterminer les aciers (sections d’armatures) nécessaires pour n’importe quelle section de la poutre ; toutefois, pour des raisons constructives et de mise en oeuvre, on se limite à quelques sections seulement, à commencer par la section dangereuse où le moment est maximal. Avec la diminution de la valeur du moment et selon la portée de la poutre, on peut arrêter une, deux, trois ou quatre fois les armatures qui ne sont plus nécessaires ; pour les petites et moyennes portées, on fera un à deux arrêts d’armatures longitudinales et pour les grandes portées, on peut augmenter le nombre d’arrêts jusqu’à trois ou quatre. Dans tous les cas, il faut respecter les règles d’arrêt des armatures longitudinales (chapitre 9). Aussi, en choisissant et en disposant les armatures principales (longitudinales), on doit chaque fois vérifier que la hauteur utile réelle d r correspondant au ferraillage réalisé ne soit pas inférieure à la hauteur utile théorique d prise dans le calcul ; autrement dit on doit toujours avoir d r ≥ d. N° points 0 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0,5

Valeurs du coefficient β pour un rapport q/g égal à 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

5,0

-25 - 81 -10 +22 +24 -4 - 63 -3 +28 +28 -3 - 63

-25 - 81 -20 +16 +9 -14 - 63 -13 +13 +13 -13 - 63

-25 - 81 - 40 -24 -21 -34 - 63 -33 -18 -18 -33 - 63

-25 - 81 -26 -3 0 -20 - 63 -19 -3 +4 -19 - 63

-25 - 81 -30 -9 -6 -24 - 63 -23 -4 -3 -23 - 63

-25 - 81 -33 -12 -9 -27 - 63 -25 -6 -6 -25 - 63

-25 - 81 -35 -16 -14 -29 - 63 -28 -10 -10 -28 - 63

-25 - 81 -37 -19 -17 -31 - 63 -29 -13 -13 -29 - 63

-25 - 81 -38 -21 -18 -32 - 63 -30 -15 -15 -30 - 63

-25 - 81 -39 -22 -20 -33 - 63 -32 -16 -16 -32 - 63

Tableau 1 2. 7. Valeurs du coefficient β pour déterminer les moments négatifs en travées et sur appuis. N. B. : les valeurs de β pour le point 0 correspond à un moment d’encastrement égal à 0,2M o .

q/g 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 0,167 0,200 0,228 0,250 0,270 0,285 0,304 0,320 0,330 α1 Tableau 1 2. 8. Valeurs du coefficient α 1 (voir fig. 12.13) en fonction de q/g.

5,0 0,339

Sur la fig. 12.16 par exemple, sont représentées la courbe enveloppe des moments de flexion (moments sollicitant) et l’épure des moments résistants 338 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

tracées après calcul des sections d’armatures pour une poutre continue à trois travées soumise à l’action de charges uniformément réparties. Dans le cas des charges d’exploitation réparties de faible valeur Q (Q ≤ G), on peut se dispenser du tracé des courbes enveloppes, c’est-à-dire qu’on peut ne pas considérer les différents cas de chargements défavorables ; dans ce cas, on applique en même temps la totalité de la charge dans toutes les travées et on détermine les valeurs maximales des sollicitations. Pour ce cas, on doit respecter les dispositions de la fig. 12.15.

Fig. 1 2. 1 4. Courbes enveloppes (1) et épures des moments résistants (2).

Fig. 1 2. 1 5.

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Chapitre 12. Les poutres et les dalles

Dans le cas, où une poutre à une travée est prolongée par un porte-à-faux, il faut tenir compte de l’effet de console qui consiste à considérer les différents cas de chargement représentés sur la fig. 12.16.

Détermination du moment minimal en travée Détermination du moment maximal en travée Détermination du moment maximal sur appui du porte-à-faux Détermination de la longueur des chapeaux du côté de la travée (équilibre statique) Vérification du moment positif en travée

Fig. 1 2. 1 6. Vérification de l’effet de la console.

Les armatures transversales sont déterminées à partir des valeurs des efforts tranchants. En qualité d’armatures transversales, on utilise des cadres, des étriers et des épingles. La répartition des armatures transversales se fait, dans tous les cas, suivant la courbe enveloppe des efforts tranchants. Dans le cas des charges uniformément réparties, on peut utiliser la répartition de Caquot ou d’autres types de répartition. Souvent, pour des poutres soumises à des charges uniformément réparties modérées, on peut utiliser deux espacements pour les armatures transversales (cadres), à savoir un premier espacement s t1 , pour les zones d’appui, déterminé à partir de la valeur de l’effort tranchant au niveau de l’appui et un deuxième espacement s t2 , pour la zone centrale, déterminé à partir de la valeur de l’effort tranchant à l’abscisse x c = 0,25L de l’appui où, L est la portée de la travée (voir fig. 12.17).

340 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

Fig. 1 2. 1 7.

Sur la fig. 12.18 sont montrés quelques cas de ferraillage des sections droites des poutres.

Fig. 1 2. 1 8. 1, 2 - armatures longitudinales inférieures et supérieures; 3 - cadres; 4 - épingle; 5 _ talon pour loger les armatures longitudinales inférieures; 6 - armatures du hourdis.

2. LES DALLES 2.1. Généralités Les dalles pleines en béton armé sont des pièces minces dont l’épaisseur h est largement inférieure à ses dimensions dans le plan. Elles sont de formes différentes dans le plan : carrée; rectangulaire, circulaire, trapézoïdale, 341 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

triangulaire, etc ... Elles reposent, en général, sur plus de deux appuis (2, 3, 4 ou plus) constitués par des poutres ou murs porteurs et travaillent en flexion dans un ou deux sens. La portée L à prendre en compte est prise, en général, entre nus des appuis ou entre points d’application des résultantes des réactions d’appuis dans le cas où elles reposent sur un massif de maçonnerie (voir fig. 12.19). La hauteur h de la dalle est prise égale à :

1   1  L  45 25 

h = 

(12.62)

Fig. 1 2. 1 9. Portée à prendre en compte. 1 - appui (poutre); 2 - dalle; 3 - massif de maçonnerie.

L’épaisseur minimale d’une dalle est de 5 cm dans tous les cas, sauf quand elle est associée à des entrevous résistants où l’on peut réduire la hauteur à 4 cm. Il est admis de ne pas procéder au calcul des déformations (flèches) si la hauteur h de la dalle vérifie la condition suivante : h≥

Mt L 20M o

(12.63)

où,

M t - le moment en travée dans le sens du plus petit côté (sens de la petite portée): en général M t = (0,75 ... 0,95)M o , M o étant le moment dans la travée indépendante (sens de la petite travée). Dans les formules (12.62) et (12.63), on doit prendre les petites valeurs de la hauteur h pour le cas des dalles de petites portées, les moins sollicitées et ayant des appuis continus le long du contour. On peut aussi se servir des données du tableau 12.9 pour les constructions courantes. Charge répartie, en daN/m2

1,6

Valeur de l’épaisseur h de la dalle pour une portée L égale à 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4

3,6

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Chapitre 12. Les poutres et les dalles

250 300 350 400 450 500 600 700 800 900 1000

6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7

6 6 6 7 7 7 8 8 8 8 8

7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8

7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9

8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 10

8 8 8 9 9 9 9 9 10 10 11

9 9 9 9 9 9 10 10 11 11 12

9 9 9 10 10 10 10 10 11 12 12

10 10 10 10 10 10 11 11 12 12 13

10 10 10 10 10 11 11 11 12 13 14

11 11 11 11 11 11 12 12 13 14 14

Tableau 1 2. 9. Epaisseurs des dalles en fonction de la portée et de la charge.

Dans ce qui va suivre, on se limitera au calcul des dalles ayant une épaisseur h constante et soumise à des charges normales au plan médian de la dalle.

2.2. Calcul des dalles Les dalles sont calculées comme des plaques. Dans le cas des plaques rectangulaires de côté L x et L y (L x < L y ), la pratique a montré que : • La dalle porte dans un seul sens (sens de la petite portée L x ) si : - le rapport L x /L y est inférieur à 0,4 (L x /L y < 0,4 ) ; - la charge est uniformément répartie. • La dalle porte dans les deux sens si : - les charges ne sont pas uniformément réparties ; - la dalle est rectangulaire et que 0,4 ≤ L x /L y ≤ 1,0, quelque soit la charge ; - la dalle a une autre forme (non rectangulaires) dans le plan, quelque soit la charge. Dans le cas où la dalle porte dans un seul sens, elle est calculée comme une poutre de portée L x avec une section rectangulaire de hauteur h et de largeur b = 1,00 m ; on l’appelle poutre- dalle en ce moment. Dans le cas où la dalle porte dans les deux sens, elle est calculée dans les deux sens comme une plaque de côtés L x et L y ; les sollicitations de calcul sont ramenées à l’unité de largeur de la plaque dans le sens considéré. 343 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

Le calcul des dalles consiste à déterminer les efforts internes développées dans leurs sections et de déterminer par la suite les sections d’armatures nécessaires pour équilibrer ces efforts internes. Il existe deux méthodes principales de calcul des dalles : - les méthodes élastiques ; - la méthode de l’équilibre limite.

2.2.1. Le calcul élastique Le calcul des dalles chargées transversalement est fondé sur la théorie technique de flexion des plaques minces qui conduit à la résolution de l’équation différentielle suivante : - pour les plaques rectangulaires:

∂ 4ω ∂ 4ω ∂ 4 ω q ( x, y ) +2 2 2 + 4 = D ∂x 4 ∂x ∂y ∂y -

(12.64)

pour les plaques circulaires:

∂2 1∂ 1 ∂ 2  ∂ 2ω 1 ∂ω 1 ∂ 2ω  q (r , θ ) =  2 +  2 + + 2 + 2 2  2  r r r r D ∂ ∂ r r r r ∂ ∂θ ∂ ∂θ   

(12.65)

où, x, y - sont les coordonnées cartésiennes ; r, θ - les coordonnées polaires ; q - la charge transversale ; ω - la fonction des déplacements décrivant la surface élastique de la dalle ; D - la rigidité cylindrique de la dalle :

Eh 3 D = 12(1 − ν 2 )

(12.66)

h - épaisseur de la dalle; ν - coefficient de Poisson du matériau de la dalle. Les sollicitations, constituées des moments de flexion M et de torsion T (efforts internes essentiels) et des efforts tranchants V, sont alors déterminées par les expressions suivantes : - pour les dalles rectangulaires:

 ∂ 2ω ∂ 2ω   Mx = - D   ∂x 2 + ν ∂y 2     ∂ 2ω ∂ 2ω   My = - D  + ν 2   ∂y 2 ∂ x  

(12.67) (12.68) 344

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Chapitre 12. Les poutres et les dalles

∂ 2ω T = - D (1 - ν) ∂x∂y

(12.69)

2 ∂ 2ω  ∂ ∂ ω   Vx = - D +ν 2  ∂x  ∂x 2 ∂y  

(12.70)

2 ∂ 2ω  ∂ ∂ ω   Vy = - D +ν 2  ∂y  ∂y 2 ∂ x  

(12.71)

pour les dalles circulaires:  ∂ 2ω  1 ∂ω 1 ∂ 2ω  Mr = - D  2 + ν +   r ∂r r 2 ∂θ 2   ∂r  1 ∂ω 1 ∂ 2ω ∂ 2ω  M θ = - D + +ν 2  ∂r   r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂  1 ∂ω   T = - D(1 - ν)  ∂r  r ∂θ   1 ∂ω 1 ∂ 2ω  ∂  ∂ 2ω Vr = - D  2 + ν  + 2 2  ∂r  ∂r  r ∂r r ∂θ  V θ = -D

1 ∂  1 ∂ω 1 ∂ 2ω ∂ 2ω  ν + 2 +   ∂r 2  r ∂θ  r ∂r r ∂θ 2

(12.72) (12.73) (12.74) (12.75) (12.76)

La résolution de ces équation différentielles (c’est-à-dire la détermination de la fonction ω) est généralement très laborieuse, sauf pour quelques cas très particuliers. Dans la pratique, on utilise les résultats fournis sous forme de tableaux ou d’abaques. Les données de ces tableaux et abaques peuvent, parfois, dans une certaine mesure, tenir compte des déformations plastiques du béton armé. Ainsi, pour les dalles rectangulaires soumises à des charges uniformément réparties p, la flèche ωi , les moments de flexion M xi et M yi dans les sections particulières i de la dalle peuvent être déterminés par les expressions suivantes (voir fig. 12.20):

ω =

10 −5 10 −5 α i pL x 4 = α i pL y 4 D D

M x = 10-4β i pL x = 10-4 β i pL y 2 M y = 10-4γ i pL x = 10-4 γ i pLy 2 2

(12.77) (12.78) (12.79)

où,

D est la rigidité cylindrique de la dalle; i est le numéro du point (voir fig. 12.20, a) ; α, β, γ, α , β , γ sont des coefficients dont les valeurs sont 345 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

données dans le tableau 12.10 pour les différents schémas de liaison de la dalle aux contours (voir fig. 12.20, b). Pour les dalles rectangulaires uniformément chargées et articulées aux quatre contours, on utilise le plus souvent les expressions suivantes pour déterminer les moments de flexion développés au centre: M x = µ x pL x 2 (12.80) My = µy Mx (12.81) où, µ x , µ x - coefficients dont les valeurs sont données dans le tableau 12.11 en fonction du rapport des côtés L x /L y et de la valeur du coefficient de Poisson ν.

Fig. 1 2. 20. Schémas des dalles. a - points particuliers de la dalle; b - différents schémas de liaisons de la dalle.

Coefficie Schémas nts 1

α5 β5 γ5 α5 β5 γ5 - β4 - γ3 α5 β5 γ5 - β4

Valeurs des coefficients pour un rapport L x /L y égal à 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

1013 1000 367 251 406 117 818 559

865 868 407 234 382 149 782 562

726 740 445 208 344 209 723 561

603 628 446 182 300 198 652 551

498 528 450 154 255 209 580 532

405 441 441 128 211 211 506 506

468 573 184 1184

418 521 226 1091

360 460 259 996

308 397 274 875

257 337 284 773

210 281 281 674 346

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Chapitre 12. Les poutres et les dalles

- γ3 α5 β5 γ5 - β4 - γ3 α5 β5 γ5 - β4 - γ3 α5 β5 γ5 - β4 α5 β5 γ5 - γ3

784 254 412 109 835 559

776 242 393 136 811 562

766 224 368 161 771 565

747 205 336 187 717 564

711 183 297 204 660 554

674 157 261 212 597 545

450 554 205 1126 780

384 482 243 1018 770

317 408 270 887 745

258 334 283 758 704

204 269 274 644 654

157 212 262 545 597

262 416 97 847

253 409 122 838

240 394 151 816

227 370 173 782

212 345 199 745

192 317 216 698

844 846 393 1213

644 661 412 1107

479 509 408 1018

355 380 382 902

261 285 350 799

192 216 317 698

86 183 39 121

114 219 78 178

138 248 103 220

158 263 123 252

176 271 139 274

193 276 139 292

2004 335 268 709

1476 416 333 798

1106 493 384 837

865 561 413 848

691 616 426 850

559 664 435 851

249 286 435 93

241 284 405 106

232 283 370 120

216 280 330 141

209 278 309 140

193 276 292 139

α4

139 830 450 845 1440 180 1400

186 808 449 845 1570 320 1450

238 786 447 846 1710 520 1510

380 730 443 847 1970 820 1590

472 696 438 849 2330 1220 1670

559 664 435 851 2820 1750 1750

β5 γ5 β1

396 1248 651

511 1260 806

658 1272 973

839 1282 1159

1044 1284 1366

1266 1266 1395 347

α5 α2

β5 γ5

- β4 - γ1 + γ2 - γ6 α5 α1 β5 γ5

- γ3 - β4 β1 - β6 α5 α1

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Chapitre 12. Les poutres et les dalles

γ4

1293 1337 1387 1451 1522 1595 Tableau 1 2. 1 0. Valeurs des coefficients pour déterminer les flèches et les moments de flexion dans les dalles rectangulaires soumises à des charges uniformément réparties. N. B. : Ces valeurs des coefficients sont données pour un coefficient de Poisson ν = 0,2.

A l’aide des formules (12.77), (12.78) et (12.79), on peut déterminer la flèche et les moments de flexion pour une dalle rectangulaire articulée aux contours et soumises à une force concentrée P appliquée au centre ; pour cela, il suffit de poser pL2 = P . Les forces concentrées réelles ne s’appliquent jamais à un point, mais si l’on assimile cette surface à un cercle de rayon r o , alors, on obtient :

L x /L y

Valeurs des coefficients µ x et µ y pour un coefficient de Poisson ν égal à

ν = 0, 2

(E. L. S. )

ν = 0

(E. L. U. )

µx

µy

µx

µy

0,40 0,45 0,50 0,55

0,1121 0,1063 0,1000 0,0936

0,2854 0,3234 0,3671 0,4150

0,1101 0,1036 0,0966 0,0894

0,2500 0,2500 0,2500 0,2500

0,60 0,65 0,70 0,75

0,0870 0,0805 0,0743 0,0684

0,4672 0,5235 0,5817 0,6447

0,0822 0,0751 0,0684 0,0621

0,2948 0,3613 0,4320 0,5105

0,80 0,85 0,90 0,95

0,0628 0,0576 0,0528 0,0483

0,7111 0,7794 0,8502 0,9236

0,0561 0,0506 0,0456 0,0410

0,5959 0,6864 0,7834 0,8875

1,00

0,0441

1,0000

0,0368

1,0000

Tableau 1 2. 1 1 . Valeurs des coefficients pour déterminer les moments de flexion dans les dalles rectangulaires uniformément chargées et articulées aux contours.

β5

γ5

  2 Lx +ν + δ1  (1 + ν ) ln πro    2Lx 1  ( 1 ν ) ln 1 δ + + − 2  4π  πro  1 4π

(12.82) (12.83)

où, 348 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

δ 1 et δ 2 - coefficients, fonctions du rapport des côtés, dont les valeurs, de même que celles du coefficient α dans la formule (12.77) sont données dans le tableau 12.12. Coefficients

Valeurs des coefficients pour un rapport L x /L y égal à < 0,5 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1690 1650 1560 1476 1340 1300 1260 0 0,023 0,058 0,089 0,120 0,128 0,135 0 0,042 0,128 0,215 0,360 0,464 0,565

α5 δ1 δ2 Tableau 1 2. 1 2. Valeurs des coefficients pour déterminer les moments de flexion dans les dalles rectangulaires soumises à une charge concentrée appliquée au centre. Pour les dalles circulaires uniformément chargées, la flèche ω et les moments de flexion radial M r et circonférentiel (tangentiel) M θ sont déterminés par les expressions suivantes : - dans le cas d’une articulation au contour :

ω = Mr Mθ où,

(

)

p  5 +ν 2  R2 − r 2  R − r2  64 D  1 +ν  1 = p (3 + ν )( R 2 − r 2 ) 16 1 = p (3 + ν ) R 2 − (1 + 3ν )r 2 16

[

(12.84) (12.85)

]

(12.86)

R - le rayon de la dalle; r - le rayon du point considéré (on a : r = 0 au centre de la dalle) ;

dans le cas d’un encastrement au contour :

ω = Mr Mθ

(

p R2 − r 2 64 D

[ [

)

(12.87)

]

1 p (1 + ν ) R 2 − (3 + ν )r 2 16 1 = p (1 + ν ) R 2 − (1 + 3ν )r 2 16 =

(12.88)

]

(12.89)

Quand la dalle circulaire est soumise à l’action d’une force concentrée P appliquée au centre, on obtient les expressions suivantes pour la flèche et les moments : - dans le cas d’un contour articulé : 349 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

  PR 2 r2  r2 r   ω = (3 + ν )1 − 2  + 2(1 + ν ) 2 ln  16πD(1 + ν )  R R  R  P r Mr = (1 + ν ) ln 4π R P  r ( 1 ) ln ν ν Mθ = − + 4π  R  -

(12.90) (12.91) (12.92

dans le cas d’un contour encastré :

PR 2  r2 r2 r   ω = 1 2 ln − + 2 16πD  R 2 R R  P  r Mr = 1 + (1 + ν ) ln   2π  R P  r Mθ = ( 1 ) ln ν ν + + 4π  R 

(12.93) (12.94) (12.95)

Cas des dalles rectangulaires continues Pour les dalles rectangulaires continues, les valeurs maximales des moments en travées M t et sur appuis M a doivent satisfaire les conditions suivantes : •

dans le sens de la petite portée L x : - dans les travées de rive : 0,85M o,x ≤ M t,x ≤ 0,95M o,x

(12.96)

dans les travées intermédiaires : 0,75Mo,x ≤ M t,x ≤ 0,85M o,x

(12.97)

sur les appuis de rive : 0,40M o,x ≤ M a ≤ 0,65M o,x

(12.98)

sur les appuis intermédiaires : 0,50M o,x ≤ M a ≤ 0,65M o,x

(12.99)

de plus, on doit avoir : M t,x +0,5 (M w,x + M e,x ) ≥ 1,25M o,x

(12.100)

350 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

•

dans le sens de la grande portée L y : - dans les travées de rive : 0,85M o,y ≤ M t,y ≤ 0,95M o,y

(12.101)

dans les travées intermédiaires : 0,75M o,y ≤ M t,y ≤ 0,85M o,y

(12.102)

sur les appuis de rive : 0,40M o,x ≤ M a ≤ 0,5M o,x

(12.103)

sur les appuis intermédiaires : 0,50M o,y ≤ M a ≤ 0,70M o,y M a ≥ 0,40M o,x

(12.104) (12.105

de plus, on doit avoir :

M t,y +0,5 (M w,y + M e,y ) ≥ 1,25M o,y

(12.106)

Dans ces expressions: M o,x , M o,y - les moments maximaux calculés avec l’hypothèse d’une articulation aux contours dans les sens de la petite portée et de la grande portée; M w , M e - sont les valeurs absolues des moments sur appuis de gauche et de droite. A partir des valeurs des moments, on détermine les sections d’armatures comme pour les éléments fléchis. La largeur étant de 1 m ( b = 1,00 m = 100 cm), on répartit uniformément les barres d’armatures sur cette largeur ; les armatures dans le sens de la petite portée sont toujours placées le plus proche de la paroi. Dans le choix et la répartition des armatures, il faut tenir compte que l’écartement des barres dans un sens ne doit pas, en aucun cas, dépasser les valeurs données dans le tableau 12.13.

Direction la petite portée (la plus sollicitée) la grande portée (la moins sollicitée)

Ecartement maximal des armatures d’une même nappe pour les cas de charges suivants: charges réparties charges concentrées Min  3h ; 33 cm

Min  2h ; 22 cm

Min  4h ; 45 cm

Min  3h ; 33 cm

351 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

Tableau 1 2. 1 3. Ecartement maximal des armatures d’une même nappe. h - épaisseur de la dalle.

La condition de non fragilité pour les dalles se présente comme suit : - dans le sens de la petite portée: ρ x ≥ 0,5ρ o (3 - L x /L y ) - dans le sens de la grande portée: ρy ≥ ρo

(12.107)

(12.108)

où, ρ x , ρ y sont les pourcentages (taux) d’armatures dans les sens x et y ; ρ o - le pourcentage de ferraillage rapporté à l’épaisseur de la dalle strictement requise par la justification à l’état limite ultime de résistance ; dans tous les cas, on doit avoir ρ o ≥ 1,2% pour les armatures rond-lisses et ρ o ≥ 0,8% pour les armatures à haute adhérence. Comme il a été déjà souligné, dans le cas des poutres - dalles (c’est-à-dire des dalles rectangulaires avec L x /L y < 0,40) ; elles sont calculées seulement dans le sens de la petite portée L x comme des poutres de largeur b = 1,00 m. A partir des moments, on détermine les sections d’armatures A s,x dans ce sens. Dans le sens de la grande portée (sens y), on dispose des armatures de répartition de section A s,y telles que : - pour le cas des charges réparties : A s,y = 0,25 A s,x (12.109) -

pour le cas des charges concentrées : A s,y = A s,x /3

(12.110)

2.2.2. Méthode de l’équilibre limite Par cette méthode, il s’agit d’évaluer la capacité portante de la dalle en tenant compte des déformations plastiques des matériaux. L’analyse limite de la dalle se fait par la méthode cinématique. Ainsi, on suppose qu’à l’état limite, dans les sections dangereuses de la dalle, se forment des séries de rotules linéaires appelées charnières plastiques ; ce sont ainsi les lignes de rupture de la dalle. Au niveau des appuis, les charnières plastiques se forment en haut (charnières négatives) le long des appuis, et en travées, elles se forment en bas (charnières 352 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

positives) suivant les bissectrices des angles et au milieu de la travée le long du grand côté (voir fig. 12.21). Le long de ces charnières, les moments ont atteint leurs valeurs limites respectives et la dalle se transforme en un mécanisme formé de disques rigides liés entre eux par les charnières plastiques suivant les lignes de rupture. Dans le cas général, on est en présence de six (6) moments : deux (2) moments positifs en travée M x et M y et quatre (4) moments négatifs sur appuis M n , M e , M s et M w .

Fig. 1 2. 21 . Analyse limite d’une dalle rectangulaire encastrée aux contours et soumise à une charge uniformément répartie. 1, 2 - charnières plastiques (lignes de rupture), respectivement sur appuis et en travées. 353 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

A l’état limite, la surface plane de la dalle se transforme en un corps de hauteur f, formé d’éléments triangulaires et trapézoïdaux liés par les charnières plastiques. L’angle de rotation ϕ est égal à: ϕ ≅ tanϕ =

f 2f = 0,5 L x L x

(12.111)

Le travail virtuel de la charge uniformément répartie p est égal à : Wp =

∫ ypdA

(12.112)

où, y est le déplacement ; V - le volume du corps obtenu à l’état limite ou encore le volume des déplacements : V =

[

1 fL x (3L y − L x ) 6

]

(12.113)

Le travail virtuel des moments de flexion dans les charnières plastiques, dans le cas d’un ferraillage uniforme de la dalle dans les deux sens, est égal à : W M = ∑Mϕ = M x 2ϕ + M n ϕ + M s ϕ + M y 2ϕ + M w ϕ + M s ϕ ou encore WM =

2f (2M x + 2M y + M n + M s + M w + M e ) Lx

(12.114) (12.115)

Le travail virtuel des forces extérieures W p étant égal à celui des efforts internes W M , on obtient :

pfL x 2f (2M x + 2M y + M n + M s + M w + M e ) (3L y − L x ) = 6 Lx

(12.116)

d’où 2

pL x (3L y − L x ) = 2M x + 2M y + M n + M s + M w + M e 6

(12.117)

L’expression (12.117) est l’équation d’équilibre de la dalle. Les moments limites M i (i = x, y, n, s, w, e) agissant dans les charnières plastiques sont déterminés par la formule : 354 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 12. Les poutres et les dalles

Mi avec,

= f s A s,i z i

(12.118)

f s = f e /γ s où f e est la limite d’élasticité garantie des armatures, γ s - le coefficient de sécurité ; z i - le bras de levier du couple intérieur pour la section correspondante : z i = (0,8 ... 0,9)h où, h est l’épaisseur de la dalle ; A s,i - sections d’armatures correspondantes, on a : A s,x - la section totale des armatures tendues coupant les lignes de rupture positives (sur la longueur de la charnière) et parallèle au petit côté (L x ) de la dalle ; A s,y - la même chose pour les armatures parallèles au grand côté (L y ) de la dalle; A s,w - la section totale des armatures tendues sur appuis sur toute la longueur de la travée dans la section I-I; A s,e - la même chose dans la section I’-I’; A s,s - la section totale des aciers tendus dans la section II-II; A s,w - la même chose dans la section II’-II’.

L’expression (12.117) est valable même si tous les côtés de la dalle ne sont pas encastrés. Dans le cas où un côté est sur appui articulé, on pose le moment sur l’appui correspondant (M w , M e , M s , M n ) égal à zéro. En se donnant des rapports entre les sections d’armatures A s,i dans les différentes sections de la dalle (dans les différentes directions en travées et sur appuis), on obtient différents rapports entre les moments limites (moments résistants) M i . Dans ces conditions, à la place de six (6) inconnues (M x , M y , M w , M e , M s , M n ), on trouve une (1) seule inconnue et on peut passer ainsi à la résolution du problème.

355 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 13. Les planchers

Chapitre 13

LES PLANCHERS 1. GENERALITES 1.1. Définitions et fonctions Les planchers sont des éléments plans horizontaux divisant horizontalement un bâtiment en différents niveaux appelés étages. Ils jouent ainsi le rôle : - de plate-forme porteuse pour l’étage considéré, donc ils doivent être résistants ; - de toit pour l’étage sous jacent, donc ils doivent être étanches ; - d’écran permettant le confort de l’habitat, donc ils doivent avoir une certaine isolation phonique et thermique ; - d’élément de stabilité sous l’action des charges horizontales comme diaphragmes horizontaux de l’ossature du bâtiment.

1.2. Types de planchers Les planchers en béton armé peuvent être coulés sur place, préfabriqués ou semi - préfabriqués. Les types les plus utilisés sont : - les planchers à « hourdis creux »; - les planchers avec dalles pleines et poutres; - les planchers à poutrelles parallèles rapprochées; - les planchers en caissons; - les planchers - champignons et planchers - dalles.

1.3. Charges sur les planchers Les charges sur les planchers comprennent les charges permanentes et les charges d’exploitation. Les charges permanentes sont constituées par le poids de la structure du plancher et de certains équipements fixes sur lui. La valeur de la charge d’exploitation sur un plancher dépend de la destination de cette dernière. Dans le tableau 13.1 sont données les valeurs de certaines charges permanentes et d’exploitations sur les planchers. 356 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 13. Les planchers

Désignations

Charges, en daN/m2

CHARGES PERMANENTES Béton, par mètre d’épaisseur Béton armé, par mètre d’épaisseur Acier, par mètre d’épaisseur Maçonnerie en moellons, par mètre d’épaisseur Maçonnerie en agglos creux de béton, par mètre d’épaisseur Maçonnerie en briques pleines de béton, par mètre d’épaisseur Mortier de ciment, par mètre d’épaisseur Sable, par mètre d’épaisseur Gravier, par mètre d’épaisseur Cailloux concassés, par mètre d’épaisseur Bois, par mètre d’épaisseur Plancher en dalle pleine de béton armé, par mètre d’épaisseur Plancher à corps creux de béton, type : 15+5 20+5 Revêtements en béton, par mètre d’épaisseur Chape en mortier de ciment, par mètre d’épaisseur Carrelage, par mètre d’épaisseur Dallage en pierres, par mètre d’épaisseur Enduit en plâtre, par mètre d’épaisseur Matériau isolant thermique, par mètre d’épaisseur Etanchéité, par mètre d’épaisseur

2300 2500 7850 2200 ... 2500 1400 ... 1600 2000 ... 2200 2200 1800 1900 1500 800 ... 1100 2500 325 375 2300 2200 2200 2500 ... 3000 1000 400 ... 1000 1000 ... 2800

CHARGES D’EXPLOITATION

Maisons d’habitations Logement, terrasses accessibles Balcons Halls, Greniers Terrasses non accessibles

150 350 250 100

Bâtiments scolaires et universitaires Classes, ateliers, laboratoires, sanitaires collectifs, dortoirs collectifs, petites salles à manger

350

357 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 13. Les planchers

Amphithéâtres, dépôts, lingeries, bibliothèques, salles polyvalentes Chambres individuelles Cuisines collectives Dépôts de cuisine

cantines,

circulations,

400 150 500 600

Bureaux Bureaux, circulations, halls de réception, salles à manger, salles d’ordinateurs et reprographie Cantines Bureaux paysages, zones de dépôts, salles de conférence et de projection avec une surface ≤ 50 m2 Halls, Guichets, salles de conférence avec une surface > 50 m2

250 250 ... 350 350 400

Bâtiments hospitaliers et dispensaires Chambres, sanitaires Salles de soins, circulations internes, salles de conférence avec surface ≤ 50 m2 Salles d’opérations, salles d’accouchements, salles de plâtre, salles de travail, buanderies Halls, circulations générales, salles de conférence avec une surface > 50 m2 Cuisines Réserves et dépôts

150 250 350 400 500 350 ... 600

Maisons de culture, parcs de stationnement et autres Salle de danse, salles de spectacles, terrasses accessibles au public, grands magasins (sous réserves de marchandises lourdes) Bibliothèques Archives Boutiques Riz en sac, par mètre de hauteur Blé en sac, par mètre de hauteur Farine en sac, par mètre de hauteur Betterave ou pomme de terre en vrac, par mètre de hauteur Bois en fagots, par mètre de hauteur Bois en brèches, par mètre de hauteur Ciment Portland, par mètre de hauteur Chaux hydraulique, par mètre de hauteur

500 600 600 ... 800 400 ... 500 950 650 450 600 150 350 ... 700 1650 750

358 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 13. Les planchers

Papiers, par mètre de hauteur Peaux et cuirs en balles comprimées, par mètre de hauteur Plâtre, par mètre de hauteur Quincaillerie

1000 400 1300 1000 ... 1600

Tableau 1 3. 1 . Valeurs des charges permanentes et d’exploitation sur les planchers

2. STRUCTURES ET CALCUL DES PLANCHERS 2.1. Planchers à hourdis creux 2.1.1. Domaine d’utilisation et structure Ce type de plancher est généralement utilisé dans les bâtiments à usage d’habitation et publics. Ils sont constitués de nervures en béton armé (préfabriquées ou coulées sur place) entre lesquelles on place des éléments de remplissage appelés entrevous, hourdis ou corps creux. Le tout (entrevous et nervures) est surmonté par une dalle en béton armé d’épaisseur 4 ... 10 cm (voir fig. 13.1). Les dimensions des corps creux sont variables suivant les pays, les portées à couvrir et l’usage du bâtiment. En général, pour les corps creux courants, on a : - la longueur L c = 20 ... 50 cm; - la largeur l c = 15 … 25 cm; - la hauteur h c = 10 … 30 cm.

Fig. 1 3. 1 . Plancher à corps creux. 1 - dalle de compression; 2 - nervure en béton armé; 3 - entrevous (corps creux).

Au Mali, on produit, en général, des entrevous de dimensions suivantes : L c = 50 cm ; l c = 20 cm ; h c = 15 cm et 20 cm. 359 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 13. Les planchers

Les entrevous sont exécutés en céramiques, en terre cuite, en béton. Ils doivent pouvoir résister aux charges de montage. L’entraxe b des nervures dépend de la longueur des entrevous et de la largeur de la nervure: b = L c + b ner (13.1) Si L c = 50 cm et b ner = 10 cm, on obtient b = 50 + 10 = 60 cm. Les nervures reposent soit sur des poutres qui prennent appuis sur des poteaux, soit sur un chaînage qui répartit la charge sur un mur porteur (voir fig. 13.2).

Fig. 1 3. 2. Plancher à « hourdis creux ». N - nervures; PP - poutres principales; CH - chaînages horizontaux.

2.1.2. Calcul des éléments constitutifs du plancher a) Dalle de compression La dalle de compression surmonte les entrevous et assemble les nervures permettant ainsi un fonctionnement d’ensemble de la structure. Elle est armée d’un quadrillage de barres, de diamètre 5, 6, 8 ou 10 cm, dont les dimensions des mailles ne doivent pas dépasser (voir fig. 13.3) : • 20 cm (5 p.m.) pour les armatures perpendiculaires aux nervures ; • 33 cm (3 p.m.) pour les armatures parallèles aux nervures. Les sections d’armatures, exprimées en cm2/ml (centimètre carré par mètre linéaire) doivent satisfaire les conditions suivantes : • pour les barres perpendiculaires aux nervures : - si l’entraxe des nervures b ≤ 50 cm : 360 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 13. Les planchers

A⊥ ≥

200 fe

si l’entraxe des nervures est tel que : 50 < b ≤ 80 cm : A⊥ ≥

Fig. 1 3. 3. Quadrillage d’armatures pour ferrailler la dalle de compression.

(13.2)

4b fe

(13.3)

avec, f e - la limite d’élasticité garantie des barres, en MPa et b l’entraxe exprimé en cm.

pour les barres parallèles aux nervures : A  = 0,5 A ⊥ (13.4) où, A ⊥ est la section choisie des armatures perpendiculaires aux nervures. •

La disposition des armatures sur les entrevous permet une bonne répartition des charges localisées et limite les risques de fissuration. b) Les nervures Les nervures sont calculées comme des poutres (continues ou non) prenant appui sur d’autres poutres ou sur des chaînages. En travée, elles sont calculées comme des sections en T (section transversale en T) et sur appui comme des sections rectangulaires (voir fig. 13.4). La portée L est comptée entre nus des appuis. La hauteur h doit être telle que : h ≥

Mt L 15M o

(13.5)

avec, M t = (0,67 ... 0,95)M o ou encore h ≥ Fig. 1 3. 4. Section droite de la nervure. b - entraxe des nervures; b o = b ner largeur de la nervure; h o - épaisseur de la dalle de compression ; h - hauteur totale de la nervure.

L 22,5

(13.6)

Si la hauteur h vérifie ces conditions, une justification de la rigidité (calcul de la flèche) n’est pas indispensable.

361 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 13. Les planchers

Le calcul consiste à déterminer les moments et les efforts tranchants à partir des charges agissantes. La charge linéaire totale sur la nervure est: p = po b (13.7) avec, p o est la charges totale au m2 : p o = g o + q o , où, g o et q o sont respectivement les charges permanentes et d’exploitation au m2 ; b est l’entraxe des nervures. On calcule ainsi les moments et les efforts tranchants. Dans le cas d’une nervure continue, on doit tenir compte des différents cas de chargement défavorables pour déterminer les sollicitations dans les différentes sections. A partir des sollicitations, on détermine les sections des armatures longitudinales et transversales. Les justifications sont, en général, relatives à l’état limite ultime seulement; mais dans le cas des nervures exposées aux intempéries, il faut faire une justification vis à vis de la durabilité.

c) Les poutres Elles reçoivent les charges des nervures et sont, en général, calculées comme des poutres continues de section droite rectangulaire. Un calcul plus précis et économique consiste à prendre une section transversale en T avec des ailes formées par la dalle de compression. On admet la transmission des charges des nervures sur les poutres sans tenir compte de la continuité de ces premières (nervures). La charge linéaire p sur la poutre sera : p = g p + (g o + q o )L n où,

(13.8)

g p est la charge linéaire due au poids propre de la poutre: g p = 2500*b*h avec b, h - les dimensions de la section droite de la poutre; g o , q o - les charges permanentes et d’exploitation au m2; L n - la largeur de la bande d’influence revenant à la poutre, comptée à mi-portée des nervures. On calcule les sollicitations (moments et efforts tranchants), puis on détermine les sections des armatures longitudinales et transversales. Les justifications sont en général relatives à l’état limite ultime et à l’état limite de service.

362 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 13. Les planchers

2.2. Planchers avec dalles pleine et poutres 2.2.1. Domaine d’utilisation et structure Ce type de plancher est utilisé, en général, pour les bâtiments industriels. Il est constitué d’une dalle pleine en béton armé d’épaisseur constante 6 ... 12 cm, parfois jusqu’à 15 cm ou 20 cm, reposant sur un réseau de poutres (poutres secondaires et poutres principales) (voir fig. 13.5). Les poutres principales reposent sur des poteaux ou sur des murs porteurs. L’espacement des poutres secondaires (petite portée L x de la dalle) varie, en général, de 1,5 à 3,0 m (rarement jusqu’à 3,5 m ou 4,0 m) et celui des poutres principales (portée des poutres secondaires ou grand côté L y des dalles) est, en général supérieur à 5,0 m. Donc, la petite portée de la dalle est telle que L x = 1,5 ... 3,0 m (4 m) et la portée L y des poutres secondaires est elle que L y ≥ 5,0 m.

Fig. 1 3. 5. Plancher avec dalle pleine et poutres.

2.2.2. Calcul des éléments constitutifs du plancher a) Dalle pleine La dalle pleine est calculée par les méthodes habituelles (voir chapitre précédent). La charge peut être répartie ou concentrée. La dalle peut porter 363 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 13. Les planchers

dans un seul sens (si L x /L y ≤ 0,4 ) ou dans les deux sens (si 0,4 < L x /L y ≤ 1,0). Les moments d’encastrement des dalles dans les poutres ne doivent pas être pris inférieurs à 40% du moment en travée. Les armatures dans les différentes sections et dans les différents sens sont déterminées à partir des valeurs des moments en travée M t,x et M t,y et sur appuis M a . Le premier lit est toujours constitué par les armatures dans le sens de la petite portée L x . b) Poutres Les poutres reçoivent les charges des dalles et sont calculées par les méthodes exposées précédemment (voir chapitre précédent). Deux cas sont à distinguer pour la transmission des charges des dalles aux poutres : - 1er cas : cas où L x /L y ≤ 0,4; - 2ème cas : cas où 0,4 < L x /L y ≤ 1,0.

1 er cas: L x /L y ≤ 0,40: Dans ce cas, on suppose que les dalles transmettent la totalité de la charge aux poutres secondaires PS, qui, à leur tour, transmettent la charge aux poutres principales PP (voir fig. 13.6). La largeur de la bande chargée B s revenant à la poutre secondaire PS est : B s = L x + b ps (13.9) où, b ps est la largeur de la poutre secondaire. La charge répartie au mètre linéaire sur la poutre secondaire PS est : p s = g ps + p o B s (13.10) où, g ps est la charge linéaire due au poids propre de la poutre secondaire; p o la charge répartie au m2 (pression sur la dalle). On détermine ainsi les sollicitations, puis les sections d’armatures. La poutre secondaire est, généralement calculée, en travées, comme une section en T, l’aile étant représentée par la dalle pleine. Sur appuis, la section est considérée rectangulaire. On recommande, en général, l’arrêt des barres longitudinales surabondantes une seule fois. Les poutres secondaires transmettent les charges aux poutres principales PP sous forme de forces concentrées de valeurs : 364 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 13. Les planchers

Fig. 1 3. 6. Transmission des charges.

Pc = ps B p = ps Ly

(13.11)

Cette transmission des charges doit tenir compte de la continuité des poutres secondaires (majoration des réactions aux appuis voisins des appuis de rive). Le poids propre de la poutre principale qui est uniformément répartie le long de la poutre peut être ramené sous forme de charges concentrées ajoutées aux valeurs de P c . La détermination des sollicitations se fait par les méthodes précédentes. A partir des sollicitations, on détermine les sections d’armatures longitudinales et transversales comme des éléments fléchis. En général, les poutres principales sont calculées comme des sections rectangulaires. Pour les poutres principales, il est recommandé, suivant les portées, de faire un, deux ou trois arrêts des barres longitudinales surabondantes.

2ème cas: 0,40 < L x /L y ≤ 1,0 : Dans ce cas, on suppose que la charge de la dalle est répartie entre les poutres secondaires PS et les poutres principales PP (voir fig. 13.7 et 13.8). Quand il y a 365 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 13. Les planchers

des poteaux à chaque croisement de poutres (fig. 13.7), on peut distinguer deux types de poutres : les poutres PP1 et les poutres PP2. •

Pour les poutres PP1, on a : - pour le moment maximal en travée : M max =

1 pa Lx2 12 avec,

(13.12) p a = 0,5p o L x (13.13)

p o étant la pression totale sur la dalle; -

pour les réactions aux appuis : V A = VB =

•

1 pa Lx 4

1 p o L x2 8

(13.14)

Pour les poutres PP2, on a : -

pour le moment maximal en travée : 1 p a (3L y 2 - 4a2) M max = 24 pour les réactions d’appuis : 1 V A = V B = p a (L y - a) 2 ou encore les expressions suivantes : 1 M max = p o L x (3L y 2 - L x ) 48 1 V A = V B = p o L x (2L y - L x ) 8

(13.15) (13.16) (13.17) (13.18)

Quand il n’y a pas de poteaux à tous les croisements de poutres, on est alors en présence de poutres secondaires PS et de poutres principales PP (voir fig. 13.8). Dans ce cas, les poutres secondaires sont calculées comme les poutres de type PP2 (formules (13.15) ... (13.18)) avec une section droite en T. Quant aux poutres principales PP, elles reçoivent les charges : - des poutres secondaires PS sous forme de forces concentrées P c (fig. 13.8, d); - de la dalle sous forme de charge répartie linéaire avec une intensité maximale p a ; - de son poids propre sous forme de charge répartie uniformément le long de sa longueur.

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Chapitre 13. Les planchers

Fig. 1 3. 7.

Fig. 1 3. 8.

On détermine alors les valeurs des sollicitations par application du principe de superposition, puis les sections des armatures longitudinales et transversales. Dans le cas, par exemple, où l’on a une seule force concentrée P c au milieu de la portée, on a : M max = V A = VB

1 Pc Lp 4 1 = Pc Lp 2

(13.19) (13.20)

Par simplification, on peut ramener les charges réparties linéaires en charges réparties uniformes p l (fig. 13.8, e), telle que p l = (2/3)p a . Dans le cas où il y a plus de trois forces concentrées, toutes les charges se ramènent à une charge uniformément répartie p e le long de la portée (voir fig. 13.8, f). Les poutres principales sont calculées comme des sections rectangulaires. Les justifications sont relatives à l’état limite ultime et à l’état limite de service. 367 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 13. Les planchers

2.3. Planchers à poutrelles parallèles rapprochées 2.3.1. Domaine d’utilisation et structure Ce type de plancher est utilisé surtout dans les bâtiments civils et parfois dans les bâtiments industriels. Il est constitué par une dalle d’épaisseur h o = 4 ... 20 cm et par des poutrelles rapprochées avec une distance c entre axes variant de 50 à 150 cm en général (voir tableau 13.2). On les appelle aussi planchers nervurés (fig. 13.9, a). Types de bâtiments

Epaisseur de la dalle, en

Bâtiments civils Bâtiments industriels

4 ... 10 8 ... 20

Tableau 1 3. 2.

Distance entre axes des poutrelles, en cm 50 ... 100 80 ... 150

Fig. 1 3. 9. Plancher à poutrelles parallèles rapprochées. a ) structure ; b) exécution ; 1 – dalle ; 2 – poutrelles ; 3 - coffrage (tôle) en U renversé ; 4 – lambourdes ; 5 - faux plafond.

Pour l’exécution d’un tel plancher, on utilise des coffrages en tôles métalliques, généralement, sous forme de U renversés qui servent à coffrer les joues des poutrelles et la face inférieure de la dalle (fig. 13.9, b). En fond de moules des poutrelles formées par les tôles, on dispose des lambourdes qui seront bien scellées dans le béton par des clous à grosse tête. La forme nervurée de la face inférieure du plancher est souvent cachée par un faux-plafond.

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Chapitre 13. Les planchers

2.3.2. Calcul des éléments constitutifs du plancher On admet un calcul séparé des différents éléments (dalle et poutrelles). Dans ce cas, la dalle est considérée comme un élément fléchi de portée L d = c - b p où, b p est la largeur de la poutrelle. La dalle transmet ainsi la charge aux poutrelles servant d’appuis (fig. 13.9, c). Ce calcul conduit, généralement, à des armatures de très faible section. Dans tous les cas, la dalle sera armée d’un quadrillage de mailles rectangulaires ou carrés en un seul lit pour les petites épaisseurs et en deux lits pour les grandes épaisseurs. Dans le choix des armatures, on doit tenir compte du rôle de répartition des charges localisées que doit jouer la dalle. Les poutrelles sont calculées comme des poutres (fig. 13.9, d) de section en T 1 1 avec une hauteur totale h =   Lp et reposant sur des poutres principales  10 18  ou sur des murs porteurs. Dans le cas où le plancher est conçu en dalle articulée aux contours et renforcée par des nervures très rapprochées parallèles au grand côté (voir fig. 13.10), on peut déterminer la flèche ω au centre de la dalle et les moments de flexion M par les expressions suivantes : - pour la flèche au centre, on a :

 k1 cb 4 c4   ω =  4 + 0,0284 3  p o EI Eh   10

(13.21)

pour les moments de flexion au centre entre les nervures :

 k2 2 c 2   4 b +  po  10 24    k3 2 c2   p o =  4 b − ν 24 10  

Mx =

(13.22)

(13.23)

pour les moments de flexion au centre dans les nervures :

 k2 2 c 2   p o M x =  4 b − 12 10    k3 2 c2   p o M y =  4 b + ν 12 10  

(13.24) (13.25)

pour le moment de flexion maximal dans la nervure : Mn =

k4 10

b 2 po

(13.26)

Dans ces expressions : 369 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 13. Les planchers

Fig. 1 3. 1 0.

Coefficient s

k4 Tableau 1 3. 3.

b/a

0 0,25 0,50 0,75 1,00 0 0,25 0,50 0,75 1,00 0 0,25 0,50 0,75 1,00 0 0,25 0,50 0,75 1,00

Valeurs des coefficients pour δ égale à 0

0,10

0,25

0,50

0,75

1,00

130 130 130 130 130 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 125 125 125 125 125

130 130 130 130 126 37 37 37 72 128 125 125 125 138 145 125 125 125 125 117

130 130 130 117 96 93 102 120 197 262 313 318 322 313 283 125 125 125 111 92

130 130 121 94 66 185 194 252 341 378 625 623 600 508 389 125 124 115 88 61

130 129 111 78 50 278 281 357 434 438 940 930 820 626 440 125 123 105 73 45

130 128 101 66 41 375 384 464 504 479 1250 1235 1017 713 479 -

370 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 13. Les planchers

p o est la pression sur la dalle ; c est la distance entre axes des nervures ; I - le moment d’inertie de la section de la nervure ; k i , i = 1, 2, 3, 4 - coefficients dont les valeurs sont données dans le tableau 13.3 et qui sont fonction du paramètre δ : δ = où, D est la rigidité cylindrique de la dalle.

cD I

(13.27)

2.4. Planchers en caissons 2.4.1. Domaines d’utilisation et structure Les planchers en caisson sont utilisés généralement dans les grandes salles des bâtiments civils (halls d’entrées, salles de spectacles, grandes salles commerciales, etc...). Ils peuvent être utilisés parfois dans les bâtiments industriels. Les planchers en caisson sont constitués d’une dalle pleine d’épaisseur 5 ... 10 cm avec des nervures dans les deux sens, distantes de 80 ... 200 cm , en général (voir fig. 13.11, a). Les nervures sont toujours perpendiculaires, mais peuvent être parallèles au côté ou formées un angle de 45° avec les côtés. Ce type de plancher peut être coulé sur place ou être préfabriqué.

2.4.2. Calcul des éléments constitutifs du plancher La dalle pleine est calculée comme une plaque prenant appui sur les nervures (donc s’appuyant sur les poutrelles sur les 4 contours). Elle est armée d’un quadrillage de maille carrée ou rectangulaire. Les nervures (ou poutrelles) ont la 1 1 même hauteur h dans les deux sens avec h =    L. Elles sont calculées  20 10  comme une section en T. En supposant que le plancher repose librement sur les 4 côtés, les moments de flexion dans les poutrelles disposées au milieu du plancher peuvent être déterminés par les expressions suivantes (voir fig. 13.11, b) : - pour les poutrelles dans le sens de L 1 : 4

1 L2 2 c p L = 4 4 1 o 1 8 L1 + L2

(13.28)

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Chapitre 13. Les planchers

Fig. 1 3. 1 1 .

pour les poutrelles dans le sens de L 2 : 4

L1 1 2 M2 = c p L 4 4 2 o 2 8 L1 + L2

(13.29)

Les poutrelles, proches des côtés, fléchissent moins et les moments de flexion sont plus faibles. Approximativement, le moment fléchissant dans une nervure située à une distance x du bord est déterminé comme suit : (13.30) M 1x = k 1 M 1 M 2x = k 2 M 2 (13.31) où,

3 4 xi xi  16  xi avec, i = 1, 2. ki = −2 3 + 4 5  Li Li Li 

(13.32)

2.5. Planchers - champignons et planchers - dalles 2.5.1. Domaine d’utilisation et structure Les planchers - champignons et planchers - dalles sont des planchers constitués de dalles continues, d’épaisseur constante, armées dans les deux sens, sans nervures et supportées par des poteaux formant dans le plan un réseau à mailles 372 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 13. Les planchers

carrées ou rectangulaires (voir fig. 13.12, a). Quand la tête des poteaux est élargie en forme de chapiteaux ou « champignons », on a un plancher champignon (fig. 13.12, b). Lorsque les chapiteaux n’existent pas, on a un plancher - dalle (fig. 13.12, c). Les chapiteaux ont pour but : - de réduire la portée de la dalle; - d’accroître la rigidité de la dalle; - d’éviter le poinçonnement de la dalle au droit des poteaux.

Fig. 1 3. 1 2. a - plan du plancher; b – plancher - champignon; c – plancher - dalle; 1 - poteaux; 2 - dalle pleine; 3 - chapiteaux (champignon).

Les planchers - champignons sont utilisés dans les bâtiments industriels à forte surcharge. Ils ont l’avantage d’un éclairage facile et de l’absence de coffrage de poutres avec retombées. Les planchers - dalles sont utilisés aussi bien dans les bâtiments industriels que civils. Ils ont l’avantage d’un éclairage facile, d’un toit plan et de la souplesse dans le cloisonnement.

2.5.2. Calcul Le calcul exact de ces types de planchers se fait, en général, par des méthodes numériques (méthodes des éléments finis, méthode des différences finies).On admet un calcul approché comme des portiques dans les sens de x et y. Ces portiques sont étudiés indépendamment l’un de l’autre en prenant chaque fois la totalité des charges permanentes et d’exploitation (voir fig. 13.13). On obtient ainsi une série de portiques (dans le cas général à plusieurs travées et à plusieurs niveaux) dont chacun est étudié comme un système à deux dimensions composé 373 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 13. Les planchers

de montants verticaux constitués par les poteaux et de traverses horizontales définies à partir des bandes de charges correspondantes. On aura des portiques intermédiaires et des portiques de rive dans les deux sens. Les sollicitations sont alors déterminées par les méthodes de la Résistance des Matériaux ; les déformations dues aux efforts tranchants et normaux sont négligées.

Fig. 1 3. 1 3. PF - porte à faux; PISX et PISY - portique intermédiaire respectivement dans les sens de x et y ; 1 - axe des panneaux.

Il existe aussi des méthodes très rapprochées fixant forfaitairement les valeurs des moments dans les différentes parties (sections) du plancher à des fractions de la valeur maximale du moment en travée. On peut aussi se servir des données du tableau 12.10 correspondant au schéma 10. A partir des valeurs des sollicitations, on détermine les sections d’armatures inférieures et supérieures dans les différentes directions. Les armatures sont toujours conçues sous forme de quadrillage (treillis soudés ou attachés) de mailles carrées ou rectangulaires avec des barres de même diamètre ou de diamètres différents dans les différentes directions. Le calcul des planchers - champignons et planchers - dalles par la méthode d’équilibre limite consiste à supposer que les lignes de rupture (charnières plastiques) sont disposées comme le montre la fig. 13.14. Les conditions d’équilibre des forces extérieures et des efforts internes (application du principe des déplacements virtuels) s’écrit : 374 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 13. Les planchers

pL x L y  L x + L y 4 c 3  f s  − 2c + ≤ Asx,sup + Asy,sup z s ,sup + Asx,inf + Asy,inf z s ,inf   8  2 3 Lx L y  2

[(

où,

(

)

]

(13.33) p est la pression sur la dalle ; Asx,sup , Asy,sup - les sections des armatures

supérieures sur les longueurs L x et L y ; Asx,inf , Asy,inf - les sections des armatures inférieures sur les longueurs L x et L y ; z s,sup , z s,inf armatures supérieures et inférieures.

Fig. 1 3. 1 4.

- les bras de levier des

1 - lignes de ruptures.

En connaissant le rapport L x /L y , on peut en déduire un rapport entre les sections des armatures dans les directions x et y et en fixant un rapport entre les sections d’armatures supérieures et inférieures, on obtient, en finalité, une seule inconnue dans l’expression (13.33) ; le problème peut être ainsi résolu.

2.6. Les planchers préfabriqués Les planchers préfabriqués sont très répandus ; ils sont utilisés aussi bien dans les bâtiments civils qu’industriels. Avec la préfabrication dans les usines et parfois sur des aires spécialement aménagées sur chantier, on arrive à industrialiser la construction et réduire considérablement les temps d’exécution des travaux. Les planchers préfabriqués se présentent comme une dalle rectangulaire (forme habituelle) sans ou avec des alvéoles longitudinales de forme circulaire, 375 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 13. Les planchers

elliptique, ovale ou rectangulaire (fig. 13.15). Les alvéoles ont pour rôle de diminuer le poids propre de la dalle.

Fig. 1 3. 1 5. Planchers préfabriqués. a - dalles de planchers; b - dalles de couvertures.

L’épaisseur h des dalles varie de 5 cm pour pré-dalles préfabriquées à 30 cm pour les dalles de couverture des usines. Les largeurs l ont, en général, des valeurs normalisées: 1,00 m; 1,50 m; 2,00 m; 3,00 m; 4,50 m; 6,00 m. La longueur L (portée) des planchers préfabriqués peut atteindre 12,00 m; les valeurs courantes sont : 1,50 m; 2,00 m; 3,00 m; 4,50 m; 6,00 m; 9,00 m; 12,00 m. Les planchers préfabriqués en béton armé sont calculés comme des poutres de section rectangulaire, en T ou I (H), reposant sur deux appuis simples. La bande chargée revenant à la poutre est égale à la largeur l de la dalle et les armatures calculées sont réparties sur cette largeur.

376 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 14. Les escaliers

Chapitre 14

LES ESCALIERS 1. GENERALITES 1.1. Définition et fonction Les escaliers sont des éléments conçus pour assurer la communication entre les différents niveaux d’un bâtiment. Ils peuvent être préfabriqués ou coulés sur place. Ils sont logés dans un espace appelé cage d’escalier qui souvent, avec l’escalier joue un rôle de structure de rigidification du bâtiment, surtout, sous l’action des forces horizontales.

1.2. Terminologie

Fig. 1 4. 1 . M – marche ; CM – contremarche ; P – paillasse ; E – emmarchement ; g – giron ; NM - nez de marche ; C – collet ; V – volée ; D – départ ; A – arrivée ; PR - palier de repos.

Un escalier est composé d’un certain nombre de marches (voir fig. 14.1). La marche M est la partie horizontale ; c’est là où l’on marche. La longueur des marches est appelée emmarchement E. La largeur d’une marche est notée g et est appelée giron. La contremarche CM est la partie verticale d’une marche; 377 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 14. Les escaliers

c’est la partie contre la marche; sa hauteur est notée h et est appelée hauteur de la contremarche ou encore hauteur de la marche. Le mur qui limite l’escalier est appelé mur d’échiffre ; il sert souvent d’appui pour la paillasse. La paillasse est le plafond qui monte sous les marches; elle supporte les marches et contremarches. La cage est le volume circonscrit à l’escalier. La projection horizontale d’un escalier laisse au milieu un espace appelé jour, qui peut être nul ou être assez grand pour loger un ascenseur. Le collet est le bord qui limite l’escalier du côté du jour. La ligne de foulée est la courbe décrite par une personne gravissant l’escalier; elle est tracée à 0,50 m en arrière du collet. Le limon est une poutre droite, courbe ou hélicoïdale sur laquelle prennent appuis les marches. L’échappée est la hauteur libre verticale au dessus de la marche; c’est donc la hauteur de passage d’un obstacle; elle doit être toujours supérieure ou égale à 2,0 m (≥ 2,0 m). Une volée est une suite interrompue de marches; elle peut être droite ou courbe et comporte au maximum vingt (20) marches. Le palier (palier de repos, palier de départ et palier d’arrivée) est la partie horizontale d’un escalier entre deux volées. Le palier de repos est situé entre deux étages (à mi-distance des étages supérieur et inférieur). A chaque étage, l’escalier aboutit à un palier d’arrivée qui est en même temps le palier de départ de l’étage supérieur. La longueur d’un palier est de trois (3) marches au moins. Du côté du vide, les volées et paliers sont munis d’un garde-corps ou rampe. Deux volées parallèles sont réunies par un (1) ou deux (2) paliers ou par un quartier tournant.

1.3. Types d’escaliers En principe, lorsque les dimensions le permettent, on peut adopter le tracé d’un escalier à n’importe quelle forme de cage. Ainsi, on peut distinguer les types d’escaliers suivants les plus courants (voir fig. 14.2.) : - escalier droit (à une ou deux volées); - escalier à volées parallèles (à volées simples ou doubles); - escaliers balancés; - escaliers tournants.

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Chapitre 14. Les escaliers

Fig. 1 4. 2. Différents types d’escaliers. PD - palier de départ; PA - palier d’arrivée; PR - palier de repos; V - volée; QT - quartier tournant.

Les escaliers extérieurs permettant l’accès aux immeubles sont appelés perrons; ils peuvent avoir de formes très variées (voir fig. 14.3.).

Fig. 1 4. 3. Différents types de perrons.

1.4. Dimensions Les dimensions des escaliers sont fonction de la destination du bâtiment. Pour déterminer les dimensions des marches (girons g et hauteur h), on utilise différentes formules empiriques telles que :

ou encore

2h + g = 59 ... 66 cm (en moyenne h + g = 62 cm) h + g = 43 ... 47 cm (en moyenne h + g = 45 cm).

En pratique, on prend : h = 14 ... 18 cm (en moyenne h = 15 ... 16 cm); g = 23 ... 33 cm (en moyenne g = 27 ... 30 cm). 379 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 14. Les escaliers

Un escalier avec g = 29 cm et h = 16 cm de même qu’avec g = 30 cm et h = 15 cm est très confortable. L’emmarchement E = 0,60 ... 3,0 m, en général. Pour les bâtiments d’habitation, il est conseillé d’avoir E ≥ 0,90 m. Le collet est pris, en général égal à 6 ... 15 cm. Dans tous les cas, l’échappée ne doit pas être inférieure à 2,0 m.

1.5. Charges sur les escaliers Sur les escaliers agissent les charges permanentes constituées par le poids propre de l’escalier (marches + paillasse ou limon) et les charges d’exploitation constituées par le poids des personnes. Les valeurs des charges d’exploitation sur les escaliers sont normalisées et sont fonction de la destination du bâtiment (voir tableau 14.1). Destination du bâtiment Bâtiments à usage d’habitation et d’hébergement Bâtiments scolaires et universitaires, hôpitaux, maisons de cultures, bureaux

Charge d’exploitation, en daN/m2 250

Tableau 1 4. 1 . Valeurs des charges d’exploitation sur les escaliers.

400

2. CALCUL DES ESCALIERS Le schéma de calcul d’un escalier dépend du type d’escalier, de sa conception et de la nature des liaisons aux appuis.

2.1. Escaliers à paillasses droites Les escaliers à paillasse sont généralement calculés comme des corps solides à ligne moyenne inclinée (voir fig. 14.4). La paillasse, qui est en fait une dalle inclinée appuyant sur deux contours, est donc assimilée à une poutre inclinée d’un angle α reposant sur deux appuis. On désigne par p la charge linéaire totale (charge permanente g due au poids propre de la paillasse et des marches + 380 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 14. Les escaliers

charge d’exploitation q) sur la poutre, c’est-à-dire la charge par unité de longueur en projection horizontale. Dans le cas où les appuis sont tels qu’on n’a que deux réactions verticales (fig. 14.4, a), les valeurs maximales des sollicitations ont pour expression : M max V max N max

L2 = p 8 L = p sin α 2 L = p cos α 2

(14.1) (14.2) (14.3)

Fig. 1 4. 4.

Dans le cas où l’on a des réactions horizontales et verticales (fig. 14.4, b), on obtient:

L2 8 L2 p 2 Lo

M max = p V max

N max = N min

pLH L3 p + 2 HL0 Lo p

L3 2 HLo

(14.4) (14.5) (14.6) (14.7) 381

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Chapitre 14. Les escaliers

En général, les efforts normaux de compression N ne sont pas pris en compte, ils sont repris par le béton de la paillasse. L’épaisseur de la paillasse varie, en général entre 6 et 15 cm. Les armatures sont constituées par un quadrillage avec des fils porteurs inclinés, parallèles à la surface médiane de la paillasse et des fils de répartition, perpendiculaires à ces premiers (voir fig. 14.5). La section des armatures porteuses est déterminée à partir des sollicitations (moments) et celle des fils de répartition est déterminée comme pour des dalles (A s,rep = 0,25A s,port ). Il est préférable que l’écartement des fils porteurs n’excède les 20 cm (en général, 10 ... 15 cm).

Fig. 1 4. 5. 1 - fils porteurs ; 2 - fils de répartition ; 3 - armatures constructives éventuelles.

Fig. 1 4. 6. Différents schémas de calcul des escaliers à paillasses droites.

Fig. 1 4. 7. Dispositions des armatures principales des paillasses.

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Chapitre 14. Les escaliers

Les schémas de calcul des escaliers à paillasse peuvent être aussi comme le montre la fig. 14.6. Dans ce cas, les charges réparties sur les parties inclinées (volées) et horizontales (paliers) peuvent être différentes. Dans tous les cas, les armatures principales doivent être disposées comme le montre la fig. 14.7. Pour les escaliers coulés sur place, il est prévu, en général un semi encastrement. On prendra alors les valeurs suivantes pour les moments : • en travées : M t = (0,60 ... 0,93)M o ; • sur appuis : M a = (0,20 ... 0,67)M o où, M o est le moment maximal dans la travée indépendante. Il sera prévu, dans ce cas des armatures en chapeaux pour reprendre les contraintes de traction (voir fig. 14.8.).

Fig. 1 4. 8.

Pour les escaliers à paillasses adjacentes (voir fig. 14.9) avec un palier intermédiaire, les systèmes constructifs peuvent être variés. Les appuis des paillasses peuvent être des appuis simples ou des encastrements (partiels) et sont, en général situés au niveau des planchers d’étages; ils sont constitués par des poutres, voiles ou murs. Il convient de prêter une attention particulière à la jonction paillasse - palier de repos. Au droit de cette jonction, on prévoit, en général, une poutre comme le montre la fig. 14.9, c. Un exemple de ferraillage des escaliers à paillasses adjacentes est donné sur la fig. 14.10.

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Chapitre 14. Les escaliers

Fig. 1 4. 9. a.e. - appui éventuel ; p.e. - poutre éventuelle; PD - palier de départ; PA - palier d’arrivée; PR - palier de repos; V - volée.

Fig. 1 4. 1 0.

2.2. Escaliers à paillasses hélicoïdales La paillasse hélicoïdale prend appui sur le contour circulaire constitué par un mur ou une poutraison (voir fig. 14.11, a). Pour le calcul, on peut procéder de deux manières. Couramment, on admet des paillasses croisées de portée L telles que (voir fig. 14.11, b) : L =

(a − b)(3a + b)

(14.8)

On calcule alors le moment maximal : 384 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 14. Les escaliers

M =

1 2 1 pL = p (a − b)(3a + b) 8 8

(14.9)

Les armatures principales sont déterminées et disposées comme le montre la fig. 14.11, c. Les armatures de répartition sont placées, soit perpendiculairement aux armatures principales, soit radialement.

Fig. 1 4. 1 1 .

1 - armatures principales ; 2 - armatures de répartition.

La seconde méthode consiste à calculer le moment tangentiel M t (moment de flexion principal) et le moment radial M r qui est très faible (voir fig. 14.12, a). On obtient ainsi : Mt = où

1 p (a − b)(a + 2b) 6

M r = 0,06 p a r

(14.10) (14.11)

r est le rayon du point considéré.

Fig. 1 4. 1 2. 1 - armatures principales circulaires; 2 - armatures radiales de répartition.

A partir du moment tangentiel Mt, on détermine les armatures principales circulaires ; le moment radial M r conduit à des armatures radiales très faibles, elles sont alors choisies constructivement et sont placées comme armatures de répartition perpendiculairement aux 385

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Chapitre 14. Les escaliers

aciers principaux (fig. 14.12, b).

2.3. Escaliers à limons Comme on l’a défini plus haut, le limon est une poutre inclinée, droite ou courbe, destinée à supporter les marches. On peut avoir: - des escaliers à un limon; - des escaliers à deux limons.

2.3.1. Escaliers à un limon Le limon peut être: - central: escalier à limon central; c’est le cas général; - de rive: escalier à limon unique de rive. Pour le cas de l’escalier à limon central (voir fig. 14.13, a), les marches sont calculées comme des consoles encastrées dans le limon (fig. 14.13, b).

Fig. 1 4. 1 3. a - schéma de ferraillage des escaliers à limon unique; b – schéma de calcul des marches; c - armatures des marches; d - schéma de calcul du limon. 1 - limon; 2 aciers des marches; 3 - marche; 4 - limon central servant d’appui aux marches; 5 armatures principales; 6 - armatures de répartition.

La charge sur la marche est constituée par le poids propre de la marche et la surcharge d’exploitation qu’on prendra par excès : 400 daN/m. Les armatures sont constituées d’aciers principaux (au moins deux barres) et d’aciers de répartition (fig. 14.13, c). Le limon central peut être droit ou courbe (limon hélicoïdal). Le limon droit est calculé comme une poutre inclinée sous l’action des charges permanentes et d’exploitation. Le calcul est ainsi identique à celui des paillasses droites. 386 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 14. Les escaliers

Le limon hélicoïdal est calcul comme une poutre hélicoïdale. Ce calcul est identique à celui de la paillasse hélicoïdale. On calcule alors le moment de flexion maximal par l’expression (14.9) et on en détermine les armatures. Dans le cas des limons uniques de rive, le calcul en flexion est identique (limon droit ou limon hélicoïdal) (voir fig. 14.14). A noter qu’ici, il y a lieu parfois, d’évaluer le moment de torsion et déterminer en conséquence les armatures de torsion. Quant aux marches, elles sont calculées comme consoles encastrées dans le limon sous l’action des charges permanentes et d’exploitation. Les armatures sont disposées comme l’indique la fig. 14.14, a.

Fig. 1 4. 1 4. a - ferraillage du limon et des marches; b - schéma de calcul des marches; 1 - limon; 2 - aciers principaux (≥ 2 barres) des marches; 3 - aciers de répartition des marches.

2.3.2. Escaliers à deux limons Les deux limons sont, en général disposés aux limites de l’emmarchement. Ils sont constitués par des poutres (cas général) ou par des murs ou voiles en béton armé. Les marches prennent alors appuis sur ces limons (fig. 14.15). On peut munir, constructivement, ces marches d’une paillasse mince d’épaisseur 5 cm et armée d’un léger quadrillage (fig. 14.15, c). Les marches sont calculées comme des poutres sur deux appuis simples (fig. 14.15, c). Dans le cas où les marches sont munies d’une paillasse, on peut se limiter à une barre par marche comme armatures principales (fig. 14.15, d). Dans le cas contraire, il faut au moins deux barres avec des armatures de répartition. Les limons sont calculés comme des poutres inclinées sous l’action des charges permanentes et d’exploitation.

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Chapitre 14. Les escaliers

Fig. 1 4. 1 5.

2.4. Escalier tournant à noyau central

Fig. 1 4. 1 6. a - plan de l »escalier ; b - marches préfabriquées ; c - marches coulées sur place ; d - schéma de calcul des marches ; e - armatures du noyau central ; M – marche ; pe - palier de l’étage ; NC - noyau central ; 1 - armatures supérieures en ∅8 ou ∅10 ; 2 - armature inférieures en ∅8 3 - cerces ; en ∅6 ; 4 - vide pour noyau central ; 5 – épingles ; 6 - armatures des marches ; 7 - barres verticales du noyau central.

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Chapitre 14. Les escaliers

Dans ce type d’escalier, les marches sont construites en porte - à - faux sur un noyau circulaire. Il faut, en général, 13 marches pour faire un tour complet et 16 marches pour arriver à l’étage supérieur (fig. 14.16, a). Les marches peuvent être préfabriquées (fig. 14.16, b) ou coulées sur place (fig. 14.16, c). Dans tous les cas, les marches sont calculées comme des consoles encastrées dans le noyau central (fig. 14.16, d). Le noyau central est un pilier travaillant en flexion composée. Le moment de flexion est sinusoïdal le long de la hauteur du noyau central avec une valeur maximale égale à : M max = où,

2 po d 3 3

(14.12)

p o est la charge totale (charge permanente et surcharge d’exploitation) par mètre carré (m2) de projection horizontale. Le noyau central est armé par au moins six (6) barres verticales unies par des cerces (fig. 14.16, e).

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Chapitre 15. Les poteaux et les murs

Chapitre 15

LES POTEAUX ET LES MURS 1. LES POTEAUX 1.1. Généralités Les poteaux sont des éléments porteurs verticaux qui reçoivent les charges des planchers pour les transmettre, généralement, aux fondations. Ils sont assimilés à des barres pour le calcul et travaillent en compression centrée ou excentrée. Leurs sections transversales peuvent avoir les formes les plus variées (voir fig. 15.1).

Fig. 1 5. 1 . Différentes formes de section droite des poteaux.

La forme carrée est très économique, car elle nécessite, à section transversale donnée, le moindre coffrage. Les formes rectangulaires, en T, en L et en + permettent d’adapter une section requise à un encombrement donné (possibilité de loger les poteaux dans les murs sans dépasser l’épaisseur des murs) et aussi d’augmenter l’inertie dans le sens voulu. Les formes circulaires et autres semblables (hexagonales, etc...) sont très coûteuses en coffrage. Les sections en I, H, T, L, + sont coûteuses en armatures transversales et en coffrage. Les poteaux peuvent être des produits de préfabrication ou être coulés sur place. En plus du rôle d’éléments porteurs, les poteaux servent de chaînages verticaux et participent à la stabilité transversale de l’ouvrage sous l’action des efforts horizontaux. 390 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 15. Les poteaux et les murs

Selon leurs positions dans un bâtiment, on distingue les poteaux intérieurs, les poteaux de rive et les poteaux d’angle.

1.2. Elancement. Longueur de flambement L’élancement λ d’une pièce comprimée est défini comme le rapport de la longueur de flambement L f par le rayon de giration i de la section transversale : λ

Le rayon de giration i est égal à : i = où,

Lf i

I B

(15.1)

(15.2)

I est le moment d’inertie de la section droite ; B - la section du poteau. N.B. Dans les calculs de stabilité, on prend toujours le moment d’inertie minimal I de la section droite. La longueur de flambement d’un poteau est la longueur du poteau supposé articulé aux deux extrémités, qui aurait même section et même charge critique d’Euler que le poteau considéré. La longueur de flambement L f est évaluée en fonction de la longueur libre L o du poteau et des liaisons effectives aux extrémités. Pour les bâtiments à plusieurs niveaux, la longueur libre L o est comptée entre surfaces de planchers (voir fig. 15.2.). Les valeurs des longueurs de flambement pour les poteaux isolés sont données sur la fig. 15.3.

Fig. 1 5. 2.

391 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 15. Les poteaux et les murs

Fig. 1 5. 3. Longueurs de flambement des poteaux isolés.

Il convient d’évaluer avec prudence les longueurs de flambement, surtout ne jamais les sous-évaluer compte tenu des graves dangers que peut entraîner cette sous-estimation. Pour les bâtiments à étages multiples, pour lesquels le contreventement est assuré par des pans verticaux (maçonneries, voiles), c’est-à-dire qu’il y a absence de déplacements horizontaux et lorsque la continuité des poteaux est assurée, on admet de prendre : - pour les poteaux encastrés dans un massif de fondation ou assemblés à des poutres de planchers ayant au moins la même raideur que lui et le traversant de part en part: L f = 0,7L o (15.3) -

pour tous les autres poteaux. Lf = Lo

(15.4)

Pour les bâtiments, l’élancement λ ne doit pas dépasser 70 (λ ≤ 70) ; ce dépassement peut être admis jusqu’à 100 (λ ≤ 100) seulement pour des cas exceptionnels de poteaux très faiblement sollicités. Pour les autres ouvrages, on 392 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 15. Les poteaux et les murs

admet de dépasser ces valeurs exceptionnellement. Il est conseillé de prendre, dans le cas des bâtiments, les valeurs suivantes pour l’élancement (fig. 15.4) : • λ ≤ 35 pour les poteaux très fortement sollicités; • 35 < λ ≤ 45 pour les poteaux de assez fortement à très fortement sollicités ; • 45 < λ ≤ 60 pour les poteaux de modérément à assez fortement sollicités ; • 60 < λ ≤70 pour les poteaux de faiblement à modérément sollicités; • 70 < λ ≤ 100 pour les poteaux très faiblement sollicités.

Fig. 1 5. 4.

1.3. Evaluation des charges verticales sur les poteaux Les charges verticales sur les poteaux sont déterminées en tenant compte de la continuité de la structure (poutres) prenant appui sur eux ; toutefois, on admet d’évaluer ces charges sans tenir compte de cette continuité, en majorant pour cela (voir fig. 15.5) : - de 15% pour les poteaux centraux dans le cas des ouvrages à deux travées; - de 10% pour les poteaux intermédiaires voisins des poteaux de rive dans le cas des ouvrages comportant au moins trois travées. Les charges sur les poteaux de rive sont évaluées dans l’hypothèse de la discontinuité de la structure. On majore ainsi la charge verticale pour tenir compte de l’influence du moment créé par la solidarité du poteau à la poutre qui n’est pas pris en compte.

Fig. 1 5. 5.

393 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 15. Les poteaux et les murs

1.4. Calcul des poteaux Les poteaux sont soumis, soit à une compression centrée, soit à une compression excentrée (flexion composée avec compression) (voir fig. 15.6). Les justifications sont donc relatives à l’état limite ultime de résistance (ELU-R) et à l’état limite ultime de stabilité de forme (ELU-SF). Il s’agit, par ces calculs, de déterminer les sections d’armatures, en totalité comprimées pour le cas de la compression simple et en totalité ou partiellement comprimées pour le cas de la compression excentrée. En général, les sections d’armatures sont déterminées par le calcul à l’état limite ultime de stabilité de forme (ELU-SF) dans les deux cas. Les calculs se font conformément aux algorithmes exposés dans le chapitre 8.

Fig. 1 5. 6.

1.5. Ferraillage des poteaux et dispositions constructives

Fig. 1 5. 7.

394 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 15. Les poteaux et les murs

Les poteaux sont armés de barres longitudinales (armatures principales) et d’armatures transversales constituées de cadres et d’épingles (voir fig. 15.7). Le choix, l’espacement et la disposition des cadres, épingles et étriers doivent satisfaire les dispositions constructives, concernant les éléments comprimés, énoncées dans le chapitre 8.

Fig. 1 5. 8.

Fig. 1 5. 7. p.v. - poussée au vide; 1 - armatures longitudinales courbées; 2 - armatures longitudinales droites; 3 - coude (le béton est chassé); l r - longueur de recouvrement.

395 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 15. Les poteaux et les murs

Le recouvrement des armatures transversales n’est jamais parallèles aux parois du poteau et doit être sans gondolements (voir fig. 15.8). De plus, il faut éviter certaines positions des armatures qui créent des poussées au vide (voir fig. 15.9).

2. LES MURS 2.1. Généralités Il s’agit des murs et parois en béton armé travaillant en compression centrée ou excentrée, généralement coulés sur place dans des coffrages métalliques ou en bois. On les désigne souvent sous le nom de murs en béton banché. Ils peuvent être aussi des produits de préfabrication sous forme de panneaux assemblés aux noeuds par soudure. L’épaisseur a des murs varie, en général de 10 cm pour les voiles simples faiblement chargés jusqu’à 150 cm pour les parois de très grande hauteur travaillant en compression excentrée. Les autres dimensions du mur sont telles que : - la longueur L est au moins égale à cinq (5) fois l’épaisseur du mur (L ≥ 5a); - la hauteur H du mur est telle que l’élancement mécanique λ ne doit pas dépasser 80 ( λ ≤ 80).

Le ferraillage des murs en béton armé comprend, en général (voir fig. 15.10): - deux quadrillages, constitués d’armatures verticales et horizontales, parallèles aux deux parois du mur; - des armatures transversales, perpendiculaires aux parois, reliant, en général les armatures verticales. Les murs peuvent être raidis ou non. Les raidisseurs peuvent être, soit des poteaux ou contreforts, soit des murs dans la direction perpendiculaire. Pour qu’un élément puisse être considéré comme raidisseur, il faut que sa dimension transversale b r suivant la direction perpendiculaire au mur soit au moins égale à trois (3) fois l’épaisseur a du mur (b r ≥ 3a) (voir fig. 15.11). Un mur peut être raidi en plusieurs endroits, avoir des extrémités libres ou raidies. 396 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 15. Les poteaux et les murs

Fig. 1 5. 1 0. 1 - quadrillages; 2 - armatures transversales.

Fig. 1 5. 1 1 .

1 - mur; 2 - raidisseurs

2.2. Principes de calcul On notera : a - l’épaisseur du mur; L - la longueur du mur; λ - l’élancement mécanique du mur;

e o - l’excentricité initiale; L f - la longueur de flambement du mur; H - la hauteur libre du mur.

L’élancement mécanique du mur est déterminé par l’expression :

λ=

2L f 3 a

L’excentricité initiale est égale à : e o = Max  2 cm; L f /300 

(15.5) (15.6)

La longueur de flambement d’un mur armé est déterminée comme suit: • Pour les murs non raidis : - dans le cas d’un mur encastré en tête et en pieds avec un plancher de part et d’autre : L f = 0,8H (15.7) -

dans le cas d’un mur d’un mur encastré en tête et en pied avec un plancher d’un seul côté : L f = 0,85H

dans le cas d’un mur articulé en tête et en pieds : Lf = H

(15.8)

(15.9) 397

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Chapitre 15. Les poteaux et les murs

• -

Pour les murs raidis :

dans le cas des murs non armés horizontalement :

Lf '

Lf =

 Lf '  1 + 0,5  b   2 Lf = b, 3

et -

si L f ’ ≤ b ;

si L f ’> b ;

(15.10)

(15.11)

dans le cas des murs armés horizontalement : Lf =

où,

Lf '  Lf '  1 +   b  

L f = 0,5b,

si L f ’≤ b

(15.12)

si L f ’> b

(15.13)

L f ’ est la valeur de la longueur de flambement obtenue par application des règles pour les murs non raidis ; H est la hauteur libre du mur (voir fig. 15.12, a); b est la longueur définie comme suit: - pour un mur raidi à ses deux extrémités (fig. 15.12, b) : b = L (15.14) L étant la distance entre nus intérieurs des raidisseurs; - pour un mur raidi à une seule extrémité (fig. 15.12, c) : b = 2L (15.15) L étant la distance entre nus intérieurs du raidisseur et le bout libre du mur.

Fig. 1 5. 1 2.

L’effort normal limite ultime sur le mur (effort normal résistant) est égal à :

B f



N R,u = α  r c 28 + f s ' As '   0,9θγ b 

(15.16)

398 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 15. Les poteaux et les murs

Dans cette expression : γ b - le coefficient de sécurité sur la résistance du béton (γ b = 1,5 dans les cas courants) ; θ - coefficient tenant compte de la durée de la combinaison d’actions considérée (θ = 1,0; 0,90; 0,85 si cette durée est respectivement supérieure à 24 heures, comprise entre 1 heure et 24 heures et inférieure à 1 heure) ; A s ’ la section des armatures comprimées verticales ; f s ’ = f e ’/γ s où fe’ est la limite d’élasticité garantie des armatures ; γ s - coefficient de sécurité sur la résistance des armatures, γ s = 1,15 ; B r est la section réduite du mur : B r = L (a - 2 cm) ; (15.17) α est un coefficient qui est fonction de l’élancement λ : - si λ ≤ 50, on a : α -

0,85

( 35)

1 + 0,2 λ

si λ > 50, on a :

( λ)

α = 0,6 50

(15.18)

(15.19)

Ces valeurs du coefficient α sont données dans le cas où plus de la moitié des charges est appliquée après 90 jours. Dans le cas où la majorité des charges est appliquée entre 28 jours et 90 jours, le coefficient α sera divisé par 1,1. Si la majorité des charges est appliquée avant 28 jours, la valeur de α sera divisée par 1,2 et dans la formule (15.16), il faut remplacer f c28 par f cj ; De l’expression (15.16), on peut déduire la section d’armatures verticales A s ’ sous l’action d’un effort normal ultime N u :

αBr f c 28 0,9θγ b αf s '

Nu − As’ =

(15.20)

où, N u est l’effort normal ultime sollicitant. Les armatures verticales sont disposées, en général, le plus proche des parois avec un espacement s v tel que : s v = Min  3a ; 33 cm  (15.21) Le pourcentage minimal ρ v des armatures verticales dans une bande verticale donnée (à noter que le pourcentage d’armatures verticales peut varier d’une bande à l’autre et que ρ v concerne les armatures des deux faces du mur) rapporté à la section horizontale de cette bande est donné par l’expression : 399 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 15. Les poteaux et les murs

 

ρ v = Max 0,0015 où,

 1  400  3σ u − 1; θ  f e  σ u ,lim  1000 

(15.22)

θ = 1,00 pour un mur intermédiaire et θ = 1,40 pour un mur de rive ;

σu - la contrainte ultime, déterminée à mi-hauteur, en supposant une distribution plane des contraintes normales ; σ u,lim - la contrainte ultime limite : σ u,lim =

N R,u aL

(15.23)

En cas de compression excentrée du mur, on dégage une bande verticale de largeur donnée (1,00 m par exemple), on calcule les sollicitations correspondantes et on détermine les sections des armatures verticales. Les armatures horizontales peuvent être constructives ou déterminées à partir des efforts de flexion agissant dans le plan horizontal. Dans ce dernier cas, les armatures horizontales sont déterminée à partir des sollicitations (moments de flexion) calculées, en général pour une bande horizontale de largeur déterminée (1,00 m par exemple). Dans tous les cas, l’espacement des armatures horizontales sur les deux faces, ne doit pas dépasser 33 cm ; elles sont distribuées de façon uniforme sur la longueur L du mur. Ces armatures doivent être retournées sur l’épaisseur du mur aux extrémités du mur et aux bords libres qui limitent les ouvertures. Le pourcentage minimal ρ h des armatures horizontales, rapporté au volume total du mur ou de l’élément considéré, est égal à: 2 ρ h = Max  ρ v ; 0,001 (15.24) 3 Les armatures transversales sont disposées pour maintenir les armatures verticales prises en compte dans le calcul. L’espacement de ces armatures transversales ne doit pas dépasser 15 fois le diamètre des armatures verticales. Dans le cas où il y a un effort tranchant agissant, la justification aux contraintes tangentes et le calcul des armatures transversales éventuelles sont obligatoires conformément aux règles énoncées dans le chapitre 9 et en respectant toutes les dispositions constructives. Dans le cas où la contrainte tangente τ u reste inférieure à 0,05f c28 /γ b et que l’effort normal est une compression, il est admis de ne pas procéder à une justification du mur sous sollicitations tangentes ultimes. 400 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

Chapitre 16

LES FONDATIONS 1. GENERALITES 1.1. Définition et fonctions La fondation est la partie de l’ouvrage qui est en contact avec le sol auquel elle transmet les charges de la superstructure. C’est donc un élément très important et très particulier de l’ouvrage. En effet, la fondation : - reçoit toutes les charges de la superstructure ; - doit pouvoir résister, être rigide (ne pas subir de déformations importantes) et stable sous l’action de ces charges ; - doit transmettre les charges de façon optimale au sol (c’est-à-dire de manière à ne pas causer des désordres et des déformations importantes et différentielles du sol ; - subit à son tour les déformations d’origines différentes du sol ; - doit pouvoir résister, être rigide et stable sous l’action de ces déformations du sol ; - doit, sous l’action de ces différentes actions (forces et déformations), se comporter de façon à ne pas causer de dégâts importants à la superstructure. Compte tenu de toutes ces fonctions et particularités, sa conception, son étude technique et sa réalisation nécessitent une attention particulière. Dans ce qui va suivre, on se limitera au seul calcul mécanique des fondations en béton armé. L’interaction sol - fondation, les déformations du sol et de l’ouvrage, la stabilité du système « sol - ouvrage », les causes des tassements différentiels, la pathologie des fondations et autres questions analogues, ne sont traités dans le présent document.

1.2. Types de fondations Les différents types de fondations en béton armé sont : - les semelles isolées sous poteaux; 401 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

les semelles continues (filantes) sous murs et sous un réseau de poteaux; les radiers généraux; les caissons et les voiles; les pieux.

Les fondations en béton armé peuvent être des produits de préfabrication ou coulées sur place. Comme éléments préfabriqués pour fondations, on peut citer les semelles isolées sous poteaux, des semelles sous murs, des pieux et des éléments en voiles, en panneaux ou en blocs montés sur place pour constituer un élément de fondation ou la fondation entière.

1.3. Descente des charges et principes de calcul des fondations Pour calculer une fondation, il faut, tout d’abord, connaître la valeur et la nature des forces qui agissent sur elle. Cela dépend, d’une part, de la superstructure et des charges qui agissent sur elle et d’autre part, de la nature du sol. Pour connaître les charges dues à la superstructure, il faut faire la descente des charges sur la fondation, c’est-à-dire : - déterminer comment les charges s’acheminent du plus haut niveau de l’ouvrage jusqu’à la fondation ; - déterminer les valeurs des charges transmises à tous les niveaux (charges permanents et variables) ; - faire la somme de toutes ces charges jusqu’au niveau de la fondation et trouver ainsi les valeurs des forces agissantes sur elle. Dans le tableau 16.1 est donné un exemple de descente des charges pour un bâtiment à dix (10) niveaux : R+9 (voir fig. 16.1, a). Pour les bâtiments d’habitation et d’hébergement de plus de cinq (5) niveaux, il est admis d’appliquer la loi de dégression des surcharges d’exploitation, qui consiste à réduire les surcharges à chaque étage de 10% par étage jusqu’à la moitié de la surcharge sauf pour le dernier et l’avant dernier niveau en partant du bas (voir tableau 16.2 et fig. 16.1, b). Cette réduction des surcharges peut être aussi effectuée par le coefficient ψ n déterminé par l’expression suivante : 402 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

charge d’exploit ation

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Charge permanen te

Niveau

Fig. 1 6. 1 .

G9 G8 G7 G6 G5 G4 G3 G2 G1 -

Q9 Q8 Q7 Q6 Q5 Q4 Q3 Q2 Q1 -

Poids propre de la structure porteuse g9 g8 g7 g6 g5 g4 g3 g2 g1 g0

Charge totale venant du niveau P9 = G9 + Q9 + g9 P8 = G8 + Q8 + g8 P7 = G7 + Q7 + g7 P6 = G6 + Q6 + g6 P5 = G5 + Q5 + g5 P4 = G4 + Q4 + g4 P3 = G3 + Q3 + g3 P2 = G2 + Q2 + g2 P1 = G1 + Q1 + g1 P0 = g0

Tableau 1 6. 1 . Descente des charges totales (voir fig. 16.1, a).

Charge totale cumulée (descente des charges) N9 = P9 N8 = P8 + N9 N7 = P7 + N8 N6 = P6 + N7 N5 = P5 + N6 N4 = P4 + N5 N3 = P3 + N4 N2 = P2 + N3 N1 = P1 + N2 N = P0 + N1

403 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

9 8 7 6

surcharge du niveau

Niveau

Chapitre 16. Les fondations

Q9 Q8 Q7 Q6

3 2 1

Q3 Q2 Q1

Descente des surcharges sans réduction Q9 Q9 + Q8

Descente des surcharges avec réduction

Observations

Q9 Q9 + Q8

∑ Qi

Q 9 + 0,95 ∑ Qi

0,95 = (1 + 0,90)/2

∑ Qi

Q 9 + 0,90 ∑ Qi

0,90 = (1 + 0,90 + 0,80)/3

∑ Qi

Q 9 + 0,85 ∑ Qi

0,85 = (1 + 0,90 + 0,80 + 0,70)/4

∑ Qi

Q 9 + 0,80 ∑ Qi

0,80 = (1 + 0,90 + 0,80 + 0,70 + 0,60)/5

∑ Qi

Q 9 + 0,75 ∑ Qi

∑ Qi

Q 9 + 0,7143 ∑ Qi

∑ Qi

Q 9 + 0,6875 ∑ Qi

0,75 = (1 + 0,90 + 0,80 + 0,70 + 0,60 + 0,50)/6 0,7143 = (1 + 0,90 + 0,80 + 0,70 + 0,60 + 0,50 + 0,50)/7 0,6875 = (1 + 0,90 + 0,80 + 0,70 + 0,60 + 0,50 + 0,50 + 0,50)/8

i=7 9

i=6 9

i =5 9 i=4 9 i=3 9

i=2 9 i =1

i=7 8

i=6 8

i =5 8

i=4 8

i=3 8

i=2 8 i =1

Tableau 1 6. 2. Descente des surcharges (voir fig. 16.1, b).

ψ n = 0,45 + où,

2,4 nS

(16.1)

n est le nombre d’étages ; S - la surface chargée du plancher, en m2.

La loi de dégression des surcharges n’est pas applicable simultanément avec la loi de réduction de surface. Cette dernière loi consiste à adopter un coefficient minorateur a s (a s < 1) pour les grandes surfaces (surfaces d’application des surcharges) et un coefficient Fig. 1 6. 2. Coefficient de majorateur a s (a s >1) pour les petites surfaces surface a s . S - surface, en m2. (voir fig. 16.2). Par cette loi, on se dit que les chances sont très faibles de voir une grande surface recevoir la totalité de la surcharge qui lui est appliquée et que pour les petites surfaces, les chances sont grandes de voir un dépassement de la surcharge. La loi ne s’applique pas aux planchers portant dans un seul sens (planchers avec des nervures, par exemple).

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Chapitre 16. Les fondations

Le dimensionnement des fondations, c’est-à-dire la détermination des dimensions des fondations dans le plan se fait à partir des résultats d’essai sur le sol fournit par un laboratoire. Il est à noter, qu’aujourd’hui, les laboratoires peuvent donner deux grandeurs différentes caractérisant la valeur maximale des pressions à faire subir au sol de fondation : - La contrainte admissible sur le sol, déterminée à partir des déformations admissibles du sol non compromettantes pour l’exploitation normale des ouvrages, évaluée en supposant une non plastification du sol ; - La contrainte de calcul du sol, déterminée à partir de la contrainte ultime qui suppose une plastification du sol de fondation. Notons que ces deux grandeurs sont, fondamentalement, différentes l’une de l’autre et qu’en principe, la contrainte de calcul est supérieure à celle de la contrainte admissible. Couramment, le dimensionnement des fondations se fait à l’état limite de service, donc avec considération des charges de service (combinaison rare des actions). Par contre, le calcul de résistance mécanique des fondations (section d’armatures, résistance du béton) se fait à l’état limite ultime, c’est-à-dire avec les charges ultimes (combinaisons fondamentales des actions). Cependant, pour les sols très faibles et très compressibles et les sols instables (talus, par exemple), le dimensionnement des fondations doit se faire à l’état limite ultime, c’est-à-dire avec les charges ultimes. Dans le cas, où l’on dispose de la valeur de la contrainte de calcul du sol, il convient, en ce moment, de dimensionner la fondation avec les charges ultimes tout en s’assurant que les déformations causées sont admissibles. Pour s’assurer de la sécurité de la fondation vis-à-vis des déformations et de la résistance du sol, il convient de faire les deux calculs, c’est-à-dire dimensionner la fondation à l’ELS et à l’ELU et considérer le cas le plus défavorable. Ainsi, si

σ sol

σu

sont respectivement les valeurs des contraintes

admissibles et de calcul du sol, et P ser et P u sont les valeurs des charges sur fondation à l’ELS et à l’ELU, alors on obtient pour la dimension S f de la fondation au sol : S f = Max S ser ; S u  (16.2)

405 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

avec, et

S ser =

Pser

(16.3)

σ sol Su =

σu

(16.4)

2. SEMELLES ISOLEES SOUS POTEAUX 2.1. Généralités sur les semelles isolées

Fig. 1 6. 3. Semelles isolées soue poteaux. a - différentes formes de semelles coulées sur place; b - semelles préfabriquées.

Les semelles isolées sont des fondations fonctionnelles conçues sous poteaux. Elles peuvent avoir une forme carrée, rectangulaire, circulaire, trapézoïdale ou autre figure dans le plan (fig. 16.3). Les semelles isolées sont exécutées sur une couche de propreté d’épaisseur 5 ... 10 cm (voir fig. 16.4). Dans le cas des semelles coulées sur place, la couche de propreté est exécutée sous forme de béton de propreté, dosé en ciment à 150 ... 200 kg/m3 coulé sur place. Pour les semelles préfabriquées (fig. 16.3, b), la couche de propreté est exécutée en graviers ou cailloux.

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Chapitre 16. Les fondations

La hauteur h de la semelle est déterminée de façon que le béton seul soit suffisant pour prendre les efforts tranchants dus à la réaction du sol; mais dans tous les cas, on doit avoir h ≥ 15 cm. Selon la valeur de h, on distingue : - les semelles rigides pour lesquelles h≥ -

les semelles flexibles pour lesquelles h<

B−b + 5 cm 4

(16.5)

(16.6)

L’épaisseur e, c’est-à-dire la hauteur de la semelle à son extrémité doit être telle que : e = Max 15 cm ; 6∅ + 6 cm ou 12∅ + 6 cm (16.7) où, la valeur 6∅ + 6 cm est prise quand les barres d’armatures de la semelle sont sans crochets et la valeur 12∅ + 6 cm est à prendre quand les barres sont munies de crochets.

Fig. 1 6. 4. Semelle isolée sous poteau 1 - semelle; 2 - poteau; 3 - couche de propreté.

Les réactions du sol sous la semelle se répartissent suivant des lois très complexes; mais, pour les calculs pratiques, on adopte des hypothèses très simplistes. Ainsi, dans le tableau 16.3 sont montrées les répartitions des contraintes sur le sol (réactions du sol) sous l’action d’une force centrée P en fonction du degré de rigidité de la semelle et de la nature du sol.

Dans le cas où la semelle est soumise à l’action d’un moment M, les épures des contraintes sur le sol vont avoir une forme trapézoïdale (voir fig. 16.5). Les valeurs maximale et minimale des contraintes sur le sol σ max et σ min sont déterminées par les formules habituelles de la Résistance des Matériaux : σ max, min

P M ± S f Wf

(16.8)

où, 407 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

Nature du sol

Nature des semelles semelles rigides

Semelles flexibles

Sol pulvérulent

Sol cohérent

Sol rocheux

Tableau 1 6. 3. Epures de la réaction du sol r. P - la force résultante; B - la largeur de la semelle.

Fig. 1 6. 5. Différentes formes de répartition des contraintes sur le sol sous l’action simultanée de P et M.

S f est la surface de la semelle sur le sol ; W f - le module de résistance de cette surface par rapport à son axe perpendiculaire au plan d’action du moment M. 408 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

Les premier et deuxième cas (fig. 16.5, a et b) sont admissibles à condition que σ max ≤ σ sol ( σ sol étant la contrainte admissible sur le sol). Le troisième cas (fig. 16.5, c) est couramment inadmissible (décollement de la fondation du sol) sauf dans quelques cas rares et cela à condition que : - la contrainte σ max ≤ 1,33 σ sol ; -

pour l’équilibre des efforts, on ne tiendra pas compte de la partie « traction » de l’épure des réactions du sol ; ce cas résulte d’une combinaison d’actions de très courte durée d’action, comme par exemple, celle incluant le vent extrême.

2.2. Les semelles rigides 2.2.1. Semelles rigides rectangulaires Les dimensions A et B (voir fig. 16.6) de la semelle sont déterminées par la formule suivante :

 Pser

S f = AxB = Max 

σ sol

;

Pu   σu 

(16.9)

avec,

S f - la surface de la semelle au sol; P ser P u - les charges totales de service et ultime sur la semelle ; σ sol , σ u - les valeurs de la contrainte admissible et de

calcul du sol. En général, quand le poteau est rectangulaire de dimensions transversales axb, on préfère que le poteau et la semelle aient des sections homothétiques, c’est-àdire que

a A (même rapport des dimensions des côtés) ; mais, cela n’est pas = b B

toujours obligatoire.

Si la semelle est soumise à un moment M, la surface déterminée par la formule (16.9) doit être majorée en fonction de l’influence du moment, puis, on fait la vérification des valeurs des contraintes extrêmes sur le sol. Pour le calcul de résistance mécanique de la semelle, on utilise, en général l’une des deux méthodes suivantes : - la méthode des bielles ; - la méthode des consoles. 409 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

Fig. 1 6. 6. Calcul et ferraillage des semelles.

Pour les semelles soumises à l’action d’une force centrée, la préférence est donnée à la méthode des bielles. Ainsi, par cette méthode, parallèlement aux côtés A et B, on obtient pour les sections d’armatures (voir fig. 16.6) les expressions suivantes : A s,A = A s,B

Pu ( A − a ) 8d A f s P ( B − b) = u 8d B f s

(16.10) (16.11)

avec,

P u - la charge totale ultime sur la semelle ; d A , d B - les hauteurs utiles de la semelle dans les différentes directions (parallèles aux côtés A et B); f s = f e /γ s . Quand la semelle est soumise à une force excentrée (force de compression P avec un moment M, voir fig. 16.7), on peut utiliser l’une des deux méthodes. Dans le cas où le moment M peut changer de sens, il est rationnel d’utiliser la méthode des bielles en prenant une contrainte réduite sur le sol (réaction du sol) σ r de valeur égale à (voir fig. 16.7, a) : 410 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

σr

3σ max + σ min 4

La charge réduite correspondante sera : P u,r = σ r S f = σ r A B

(16.12)

(16.13)

On remarquera que P u,r est supérieur à P u ; avec cette valeur de P u,r , on détermine les sections d’armatures conformément aux expressions (16.10) et (16.11).

Fig. 1 6. 7. Epures des contraintes sur le sol.

Dans le cas où le moment ne change pas de sens, il est plus pratique d’utiliser la méthode des consoles (voir fig. 16.7, b) qui consiste à déterminer les moments dans les différentes sections de la semelle sous l’action de la réaction du sol. Par exemple, on calcule les moments M 1 et M 2 dans les sections s 1 -s 1 et s 2 -s 2 où les moments sont maximaux et on détermine les sections d’armatures à partir des moments de flexion comme pour les pièces fléchies. Dans les sections proches des extrémités, les moments sont moindres et on peut diminuer les sections d’armatures.

2.2.2. Semelles rigides circulaires

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Chapitre 16. Les fondations

Les semelles circulaires sont, en général, conçues sous des poteaux circulaires (fig. 16.8). Le diamètre D de la semelle est déterminé à partir de la formule suivante : D = 2

Pser

πσ sol

(16.14)

La méthode de calcul est celle des bielles. Il y a deux possibilités de ferraillages des semelles circulaires : - armatures constituées par deux nappes de barres orthogonales ; - armatures constituées par des cerces.

Fig. 1 6. 8. Semelle circulaire.

a) Armatures constituées par des barres orthogonales : Dans ce cas, on a un quadrillage de barres orthogonales munies de crochets avec un lit inférieur de section A s,i et un lit supérieur de section A s,s (voir fig. 16.9). Ces sections d’armatures sont déterminées par les expressions suivantes : A s,i =

A s,s =

Pu ( D − D p ) 3πd i f s

Pu ( D − D p ) 3πd s f s

(16.15)

(16.16)

avec,

D p - le diamètre du poteau ; d i , d s - les hauteurs utiles.

Fig. 1 6. 9. Ferraillage par barres orthogonales.

Selon la valeur du diamètre D de la semelle, le quadrillage est constitué différemment ; ainsi : • Si D ≤ 1,00 m (diamètre D petit), on dispose uniformément les barres

412 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

avec un écartement constant dans chaque direction (voir fig. 16.10, a). Les deux barres d’extrémité de chaque direction ne sont pas tenues en compte dans le calcul pour leur longueur courte. • Si 1,00 < D ≤ 3,00 m (diamètre D moyen), on divise deux diamètres orthogonales en trois parties égales et on dispose (voir fig. 16.10, b) : - dans la partie centrale 50% de la section d’armatures calculée, soit 0,5A s,i et 0,5A s,s ; - dans chaque zone latérale 25% de la section d’armatures calculée, soit 0,25A s,i et 0,25A s,s . • Si D > 3,00 m (diamètre D grand), on divise deux diamètres orthogonales en cinq parties égales et on dispose (voir fig. 16.10, c) : - dans la partie centrale 30% de la section d’armatures calculée, soit 0,3A s,i et 0,3A s,s ; - dans chaque zone intermédiaire 25% de la section d’armatures calculée, soit 0,25A s,i et 0,25A s,s ; - dans chaque zone latérale 10% de la section d’armatures calculée, soit 0,10A s,i et 0,10A s,s .

Fig. 1 6. 1 0. Répartition des armatures dans la semelle. 1 - barres non tenues en compte dans le calcul ; 0,50, 0,30, 0,25, 0,10 - zones de répartition de 50% , 30% , 25% et 10% des armatures A s calculées.

b) Armatures constituées par des cerces: Les cerces sont des armatures circulaires retenues par des barres verticales, disposées en qualité d’armatures de montage (voir fig. 16.11). La section des cerces est ainsi déterminée : 413 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

A s,c = où,

Pu ( D − D p ) 6πdf s

(16.17)

D p le diamètre du poteau ; d – la hauteur utile (voir fig. 16.11). L’épaisseur e à l’extrémité de la semelle, en cm, doit satisfaire la condition suivante : e ≥ m ∅ + 3(m + 1) (16.18) où, m est le nombre de cerces; ∅ - le diamètre des cerces.

Fig. 1 6. 1 1 . Ferraillage des semelles circulaires par des cerces. 1 - cerces de section A s,c ; 2 - armatures de montage pour maintenir les cerces.

2.3. Les semelles flexibles Les semelles flexibles sont plus économiques sur les sols faibles. Le dimensionnement de la semelle se fait comme pour les semelles rigides. Le calcul de résistance mécanique s’effectue par la méthode des consoles comme pour un élément fléchi (fig. 16.12). Les valeurs maximales des sollicitations sont développées au point O pour les moments et au point C (C’) pour les efforts tranchants (fig. 16.13).

Fig. 1 6. 1 2. Calcul des semelles flexibles par la méthode des consoles. b, c - épures des réactions du sol.

Fig. 1 6. 1 3. Epures des sollicitations (moments M et efforts tranchants V) dans la semelle.

414 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

Dans le cas d’un diagramme rectangulaire de la réaction du sol (sol rocheux ou cohérent), les valeurs maximales des sollicitations sont déterminées par les expressions suivantes :

Pu ( B − b) 8 Pu  b = 1 −  2  B

M max =

(16.19)

V max

(16.20)

Pour le cas des épures triangulaires (sol pulvérulent), les valeurs maximales des sollicitations ont pour expressions : M max V max

Pu  3b  1 − B 12  2 B  Pu  b = 1 −  2  B

(16.21) (16.22)

A partir moments de flexion, on détermine les sections d’armatures longitudinales et à partir des efforts tranchants, on calcule les armatures transversales (voir fig. 16.14). Le béton peut, à lui seul, prendre l’effort tranchant V si et seulement si la hauteur utile d de la semelle vérifie la condition suivante : d ≥

B−b r (16.23 0,1 f cj

Fig. 1 6. 1 4. Ferraillage des semelles flexibles. 1 - armatures longitudinales; 2 - armatures de montage; 3 - armatures transversales.

où, r est la réaction du sol; B, b - les dimensions de la semelle et du poteau. Cette hauteur d doit également satisfaire à la condition de poinçonnement : d ≥

Pu γb 0,28u m f cj1 2

(16.24)

avec, 415 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

P u - la force de poinçonnement (force ultime); u m - valeur moyenne entre les périmètres des bases supérieure et inférieure de la pyramide formée par les bielles de compression. Dans les sections proches des extrémités, les sollicitations sont plus faibles, par conséquent les sections d’armatures diminuent. Pour les armatures transversales, on peut augmenter leur espacement et, pour les armatures longitudinales, on peut arrêter certaines barres. En pratique, on procède par l’une des dispositions représentées sur la fig. 16.15.

Fig. 1 6. 1 5. Différentes dispositions des armatures longitudinales.

En cas de moment de valeur M u = P u e, on obtient les expressions suivantes pour les sections d’armatures parallèles aux côtés A et B :

A s,A

A s,B

 3e  Pu 1 + ( A − a ) B  = 8d A f s  3e  Pu 1 + ( B − b) B  = 8d B f s

(16.25)

(16.26)

3. SEMELLES FILANTES SOUS MURS 3.1. Généralités 416 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

Les semelles filantes ou encore semelles continues sous murs sont conçues sous des murs porteurs et transmettant ainsi les charges au sol. Elles peuvent être des produits de préfabrication ou coulées sur place. Dans le premier cas, la semelle est constituée d’éléments préfabriqués de dimensions variant, en général, entre les limites suivantes : longueur L = 0,8 ... 2,5 m; hauteur (épaisseur) de rive e = 10 ... 25 cm; hauteur h = 30 ... 50 cm; largeur B ≤ 3,5 m. Ils sont posés les uns après les autres sur une couche de propreté (gravier, pierres concassées, gros sable) d’épaisseur 5 ... 10 cm et distants de 2 à 5 cm les uns des autres (voir fig. 16.16, a). Dans le deuxième cas, la semelle est coulée sur un béton de propreté avec un dosage en ciment variant de 150 à 200 kg/m3 et d’épaisseur 5 ... 10 cm. Elle est coulée sur toute la longueur du mur et ses dimensions transversales sont identiques à celles des éléments préfabriqués. Les semelles filantes peuvent être rigides ou flexibles, pleines ou évidées (voir fig. 16.16, b, c, d). La répartition des contraintes normales sous la semelle dépend de la rigidité de la semelle et de la nature du sol ; on adopte les mêmes épures des contraintes que pour les semelles isolées (voir tableau 16.3.).

Fig. 1 6. 1 6. Semelles filantes sous murs. a - élément préfabriqué pour semelle filante; b, c, d - semelles flexible, rigide et évidée.

3.2. Calcul 417 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

La descente des charges sur semelles continues sous murs se fait, en général, sur 1,00 m (un mètre) de longueur de mur porteur. Dans ces conditions, les calculs des semelles filantes sous murs se ramènent à ceux des semelles isolées avec le côté A connu et égal à 1,00 m (A = 1,00 m). Le calcul de dimensionnement de la fondation se réduit ainsi à la détermination de la seule largeur B de la semelle. On détermine, par la suite, la section des armatures A s,B parallèles à la largeur B pour un mètre (1,00 m) de longueur de la semelle filante. Les armatures perpendiculaires, c’est-à-dire les aciers parallèles à la ligne moyenne de la semelle continue, sont à définir comme des armatures de répartition (A s,A = 0,25A s,B ).

SEMELLES POTEAUX

FILANTES

SOUS

RESEAU

4.1. Généralités

Fig. 1 6. 1 7. Semelles filantes sous un réseau de poteaux. 1 - poteau; 2 - poutre sur semelle; 3 - semelle; 4 - gousset au droit des appuis; 5 - patin de la semelle ; 6 - glacis de la semelle.

Les semelles filantes sous poteaux sont utilisées quand les poteaux sont très proches les uns des autres. Ces semelles sont, en général, conçues dans les deux 418 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

directions perpendiculaires et se croisent au niveau des poteaux. On les appelle aussi des semelles croisées (voir fig. 16.17). Elles sont généralement surmontées par une poutre de rigidité qui répartit sur elles les efforts concentrés transmis par les poteaux. Les semelles continues permettent un travail d’ensemble des fondations, ce qui peut favoriser l’aplanissement des tassements différentiels des poteaux. Les charges sur les poteaux peuvent être identiques (de mêmes valeurs numériques) ou différentes ; la charge peut être centrée ou excentrée. L’espacement des poteaux dans les différentes directions peut être identique ou différent; parfois dans la même direction, cet écartement peut varier. Quant aux semelles, elles peuvent être rigides ou flexibles. Aux droits des poteaux, les sections des semelles et des poutres de rigidité peuvent être renforcées par des goussets.

4.2. Calcul Le calcul des semelles continues sous des réseaux de poteaux est plus complexe et comprend les étapes suivantes: - la détermination des pressions (lois de répartition des contraintes) sous la semelle continue longitudinalement et transversalement; - la détermination des sollicitations développées dans la semelle; - la détermination des sections d’armatures longitudinales et transversales. La détermination des pressions sous la semelle est très complexe et dépend de plusieurs facteurs : raideur de la semelle ; nature du sol ; nature des forces; etc... En considérant la semelle filante sur le sol comme une poutre sur assise élastique, on peut étudier deux cas séparément : - le cas des poutres longues; - le cas des poutres courtes. La poutre est considérée comme longue lorsque la condition suivante est vérifiée :

L ≥3 m

où,

L est la longueur de la semelle ; semelle, définie comme suit: m =

(16.27)

m - la caractéristique linéaire de la

4 Eb I b Bk

(16.28) 419

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Chapitre 16. Les fondations

avec,

E b - le module de déformation longitudinale du béton ; I b - le moment d’inertie de la section droite de la semelle ; B - la largeur de la semelle ; k coefficient de raideur du sol de fondation (module de fondation) dont la valeur réelle dépend des caractéristiques de déformation du sol et des dimensions de la semelle : k ≈

Es B 0,8(1 − ν s ) S f 2

(16.29)

où,

E s est le module de déformation du sol ; ν s - le coefficient de Poisson du sol ; B - la largeur de la semelle ; S f - l’aire de transmission de la pression sur le sol. Ainsi, pour une poutre longue soumise à l’action d’une seule force ponctuelle de valeur P (voir fig. 16.18), la résolution de l’équation différentielle de la ligne élastique permet de trouver les expressions suivantes pour les différentes grandeurs : • les tassements : - pour le schéma 1 :

1 m3 y(x) = Pη1 Eb I b 2 -

pour le schéma 2 : y(x) =

•

1 m3 Pη 3 Eb I b 4

les moments de flexion : - pour le schéma 1 : -

(16.31)

M(x) = - mPη 2

(16.32)

M(x) = 0,25 mPη 4

(16.33)

pour le schéma 2 :

les efforts tranchants : - pour le schéma 1 : -

(16.30)

V(x) = - Pη 4

(16.34)

V(x) = - 0,5Pη 1

(16.35)

pour le schéma 2 :

420 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

Fig. 1 6. 1 8. Différents schémas de chargement des poutres longues sur assise élastique.

avec,

η1 = e η2 = e

−

x m

cos

sin

x m

(16.36)

x m

(16.37) (16.38) (16.39)

η3 = η1 + η2 η4 = η1 - η2

Ces valeurs des différentes quantités correspondent à la seule force P. Sous l’action d’un système de forces (en particulier sous l’action de la charge du poteau suivant), on applique le principe de superposition des effets. Avec les valeurs des sollicitations ainsi calculées, on détermine les armatures dans le sens longitudinal (calcul longitudinal), c’est-à-dire les armatures supérieures et inférieures, parallèles à la ligne moyenne de la semelle et les armatures verticales transversales sous forme de cadres et étriers. Les poutres courtes satisfont à la condition suivante : 0,75 <

L ≤3 m

(16.40)

N.B. Si L/m ≤ 0,75, la poutre est très rigide et les déformations de flexion sont négligées ; on applique en ce moment la formule classique de la Résistance des Matériaux pour déterminer la pression sur le sol. Pour les poutres courtes (voir fig. 16.19), les déplacements verticaux (tassements) sont déterminés par l’expression suivante : y(x) = a 1 +a 2 (x4 -1,5L2x2) avec,

(16.41)

421 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

2P  9 A 4 L  1 + kL  80 C  2P A a2 = kL C

a1 =

A = α4 - 1,5α2 - 0,112 C = 4,8

Eb I b + 0,0091L4 kB

(16.42) (16.43) (16.44) (16.45)

Dans l’hypothèse d’un seul module de réaction du sol (modèle très simple du sol), la pression sur le sol est déterminée à partir de l’expression suivante : p(x) = Bky(x) (16.46) où, B est la largeur de la poutre (semelle). Une fois les pressions déterminées, on peut calculer les valeurs des sollicitations, c’est-à-dire des moments de flexion M(x) et des efforts tranchants V(x). A partir des valeurs de Fig. 1 6. 1 9.

armatures longitudinales et verticales transversales.

ces sollicitations, on détermine les sections des

Dans le cas où les caractéristiques de déformation du sol ne sont pas connues, on admet, dans la pratique, les schémas de répartition des pressions sur le sol qui suivent en fonction de la rigidité de la semelle et du rapport des charges transmises par les poteaux : a) Semelles rigides sous deux poteaux également chargés (voir fig. 16.20)

422 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

Fig. 1 6. 20.

Les sollicitations (moment de flexion M et effort tranchant V) maximales aux points O et O 1 ont pour valeurs : M o = - 0,5p u c2 (16.47) 2 2 M o1 = 0,5p u (0,25L - c ) (16.48) ext Vo = pu c (16.49) int = 0,5p u L (16.50) Vo avec,

2 Pu L + 2c

(16.51)

b) Semelles flexibles sous deux poteaux également chargés (voir fig. 16.21)

Fig. 1 6. 21 .

Les sollicitations (moment de flexion M et effort tranchant V) maximales aux points O et O 1 ont pour valeurs :

1 p u c2 6

(16.52)

1 p u (0,25L2 - c2 ) 6

(16.53)

Mo = M o1

V o ext = 0,5p u c V o int = 0,25p u L

(16.54) (16.55) 423

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Chapitre 16. Les fondations

avec,

4 Pu L + 2c

(16.56)

c) Semelles rigides sous deux poteaux inégalement chargés (voir fig. 16.22). Dans ce cas, il est plus rationnel de prévoir une semelle de largeur variable telle que la pression soit la même en tout point sous la semelle (pression uniforme sur le sol pour éviter les tassements différentiels importants). Pour cela, les largeurs B 1 et B 2 doivent être telles que:

( P1 + P2 )( L + 2c) + 3( P1 − P2 ) L p ( L + 2c) ( P + P2 )( L + 2c) − 3( P1 − P2 ) L = 1 p ( L + 2c )

B1 =

(16.57)

(16.58)

Fig. 1 6. 22.

avec,

p =

P1 + P2 L + 2c

(16.59)

Les sollicitations sont déterminées comme précédemment. Avec les valeurs des moments de flexion M et des efforts tranchants V, on détermine les sections des armatures longitudinales et verticales transversales.

424 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

Le calcul transversal des semelles est identique à celui des semelles filantes sous murs. Il faut seulement noter ici que l’effort vertical revenant à une tranche (de 1,00 m, par exemple) varie, en général, d’une tranche à l’autre.

5. LONGRINES - POUTRES DE REDRESSEMENT - CHAINAGES BAS

5.1. Les longrines Les longrines sont des poutres qui supportent des charges (généralement des murs) et les transmettent à des semelles (ou à des poteaux) (voir fig. 16.23). Elles sont, généralement, en contact avec le sol, par conséquent, lui transmettant une partie de la charge. La charge extérieure est ainsi en équilibre par les réactions du sol p s et des poteaux R p : qL = 2R p + p s L

(16.60)

Dans la pratique, on néglige le plus souvent la réaction du sol p s , ce qui est parfaitement admissible dans le cas des remblais et d’une couche compressible. Le calcul consiste à Fig. 1 6. 23. Longrines. déterminer les sollicitations 1 – longrine ; 2 - mur; 3 – poteau ; 4 - semelle. (moments de flexion et efforts tranchants), ce qui se fait comme pour les poutres. A partir des sollicitations, on détermine les sections des armatures longitudinales et transversales.

5.2. Les poutres de redressement Quand on ne peut pas exécuter une semelle centrée sous un poteau pour une raison quelconque (par exemple quand on construit au voisinage immédiat d’un bâtiment existant), on est amené à réaliser des semelles excentrées. Les poutres de redressement sont conçues pour redresser la semelle excentrée et 425 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

limiter les valeurs maximales des pressions p max sur le sol (voir fig. 16.24, a) en permettant une répartition uniforme des pressions sous ladite semelle. Ainsi, elles doivent assurer le redressement de la semelle excentrée et permettre une répartition uniforme des contraintes sous cette semelle. La poutre de redressement relie la semelle excentrée à la semelle centrée la plus proche. Elle permet de compenser le moment d’excentrement M 1 = P 1 e 1 (voir fig. 16.24, b). Le même effet est obtenu en reposant la poutre de redressement sur une semelle par l’intermédiaire d’une articulation centrée (fig. 16.24, c). Pour le calcul de résistance mécanique, on prend la somme des moments par rapport au point G 2 (fig. 16.25), ce qui permettra de déterminer la largeur B 1 . En effet, on a, en utilisant les équations d’équilibre (∑Y = 0 et ∑M G2 = 0): P1 + P2 = R1 + R2 (16.61) P 1 (L + e 1 ) = R 1 L (16.62) avec,

426 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

Fig. 1 6. 24. Les poutres de redressement PR - poutre de redressement; 1 - semelle excentrée; 2 - semelle centrée; 3 - fondation existante; 4 - articulation.

Fig. 1 6. 25. Calcul des poutres de redressement.

R 1 = B 1 Ap 1 ; R 2 = B 2 Ap 2 ; A - étant l’autre dimension (perpendiculaire) de la semelle. On trouve ainsi pour la semelle excentrée : AxB 1 = ou encore, si la dimension A est donnée : B1 =

P1 ( L + e1 ) p1 L

(16.63)

P1 ( L + e1 ) p1 AL

(16.64)

On prendra pour la pression p 1 la valeur de la contrainte maximale admissible sur le sol σ sol ou la contrainte de calcul σ u . On passe ainsi au calcul des sollicitations (moments de flexion et efforts tranchants) par la méthode habituelle des sections. A partir des valeurs des sollicitations, on détermine les sections des armatures longitudinales et transversales.

5.3. Les chaînages bas

427 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

Les chaînages bas sont des poutres reliant les poteaux ou les semelles sous poteaux. Ils ont pour but de réaliser un ensemble (système de structure) capable de mieux résister : - aux efforts horizontaux ; - aux tassements différentiels. Les chaînages bas s’opposent aux déplacements horizontaux provoqués par les efforts horizontaux. Ces efforts horizontaux sont dus aux charges verticales (charges permanentes et d’exploitation) et horizontales (poussées des terres, vent, etc ...) (voir fig. 16.26, a). Les chaînages bas permettent d’aplanir les tassements sous les fondations en faisant intervenir un ensemble de structures pour prendre les charges locales (voir fig. 16.26, b). Cela permet de diminuer les tassements maximaux et d’augmenter les tassements minimaux si les fondations n’étaient pas reliées par le chaînage (c’est-à-dire si elles étaient isolées).

Fig. 1 6. 26. Les chaînages bas (cb). a - reprise des efforts horizontaux par le chaînage bas ; b - grâce au chaînage bas, les tassements ∆ 1 et ∆ 2 des fondations s 1 et s 2 seront très voisins.

Pour le calcul exact des chaînages bas, il faut connaître les valeurs réelles des déplacements (déplacements horizontaux et verticaux), ce qui est le plus souvent très difficile à connaître. Il existe cependant quelques approches simplistes pour les calculs pratiques d’ingénieurs qui consistent : - soit à déterminer approximativement les déplacements pour en déduire l’effort correspondant, - soit à évaluer l’effort forfaitairement, - soit à limiter certains paramètres (grandeurs) pour se fixer certaines hypothèses de calcul. Le calcul consiste à évaluer les sollicitations (moments et efforts tranchants) pour après déterminer les sections des armatures longitudinales et transversales. Les chaînages bas peuvent être fléchis, tendus ou comprimés. 428 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

Les armatures, par conséquent, doivent être bien disposées et bien ancrées dans les poteaux.

6. LES RADIERS GENERAUX 6.1. Généralités Un radier général est une semelle (dalle) générale couvrant toute la surface au sol du bâtiment, parfois, débordant en console (voir fig. 16.27). Les radiers généraux sont utilisés pour plusieurs raisons : - le sol est de faible résistance; - les charges sont très élevées; - les poteaux transmettant les charges sont très rapprochés; - les charges sont excentrées en rive du bâtiment. Leurs utilisations supposent: - qu’il n’y a pas une grande dissymétrie des charges; - qu’il n’y a pas possibilité de tassements différentiels et une répartition uniforme des contraintes sur le sol est possible; Fig. 1 6. 27. Radiers généraux. a - radier - qu’en présence d’une sous couvrant l’emprise du bâtiment pression hydrostatique, la seulement; b - radier débordant en poussée d’Archimède qui en console. 1 - bâtiment; 2 - radier général. découle ne provoque pas le soulèvement (flottation) du bâtiment. Les radiers généraux se présentent sous diverses formes. Ainsi, on distingue (voir fig. 16.28) : - les radiers plans épais; - les radiers plans nervurés; - les radiers voûtés; - les radiers sous forme de planchers - champignons renversés; - les cuvelages étanches; - les caissons; - les voiles ou coques. 429 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

6.2. Calcul Les radiers généraux sont calculés comme des dalles reposant sur assise élastique et soumises un ensemble de charges transmises par les poteaux ou murs porteurs. Ce calcul doit tenir compte, d’un côté, des propriétés de redistribution et des particularités de déformation du sol et, d’autre côté, des particularités de déformation de la structure en béton armé, c’est-à-dire des propriétés de plastification et d’adaptation du béton armé. De nos jours, le calcul des radiers généraux se fait sur ordinateurs. Il existe déjà, sur le marché de calcul des structures, plusieurs logiciels de calcul des radiers généraux. Certains sont d’ailleurs très performant et permettent une optimisation de la structure en prenant, comme critère, le coût minimal de réalisation, c’est-à-dire en premier lieu un volume minimal de béton et des sections minimales d’armatures.

Fig. 1 6. 28. Différents types de radiers. a - radier plan épais; b - radier plan renversé; c - radier voûté; d - radier en plancher champignon renversé; e - cuvelage étanche; f - caisson; g - radier en coque pour ouvrage tour; nnp - niveau de la nappe phréatique; t.r. -terrain résistant; v - vide; 1 - cône d’ancrage; 2 - sous pression; 3 - plate-forme supérieure; 4 - radier; 5 - voile (coque); 6 tirant d’ancrage.

430 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

Pour le calcul, on utilise généralement les méthodes des éléments finis et des différences finies. On peut également utiliser un modèle discontinu sous forme de poutres croisées. On doit aussi préciser qu’il existe plusieurs tableaux et abaques spécialement élaborés pour le calcul des radiers sous certains cas de chargement. Ces tableaux donnent les valeurs des sollicitations, des réactions du sol et d’autres grandeurs (déformations) dans les différentes sections du radier en fonction du facteur de rigidité du radier et de la nature de la charge. Le facteur de rigidité du radier est défini, d’une part par les caractéristiques géométriques et mécaniques du radier et d’autre part par les caractéristiques mécaniques du sol. Pour un chargement complexe donné, on peut appliquer le principe de superposition des effets. Le calcul précis des radiers généraux dépasse ainsi largement le cadre de ce document. On se limitera seulement à donner quelques conseils pour des calculs d’ingénieurs très approximatifs, mais acceptables dans la pratique. Ainsi, un calcul très approximatif des radiers (plans) consiste à les considérer comme des planchers renversés, même si entre ces deux éléments (plancher et radier en fondation) il y a des différences fondamentales. A noter que ce calcul n’est pas économique et quelques rares fois, n’assure pas la résistance du radier en certaines sections. La première étape de ce calcul des radiers consiste à faire la descente des charges sur la fondation. La surface du radier est déterminée par la formule suivante :

 Ftot ,ser

S r = Max 

 σ sol

;

Ftot ,u   σ u 

(16.65)

où,

F tot,ser , F tot,u représente les totalités des charges permanentes et d’exploitation transmises au sol par l’intermédiaire du radier à l’ELS et à l’ELU ; σ sol , σ u - les contraintes admissible et de calcul du sol.

En général, le choix du radier est justifié si S r ≥ 0,70S b où, S b est la surface d’emprise du bâtiment. Si S r > S b , le radier va déborder en console (voir fig. 16.27, b). En présence d’une sous pression, la condition suivante doit être vérifiée pour éviter le soulèvement du bâtiment: γ Gmin ≥ k s S r p w (16.66) 431 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

où,

γ Gmin - le coefficient de minoration du poids propre théorique de l’ouvrage (γ Gmin = 0,8 ... 1,0) ; k s - le coefficient de sécurité vis à vis du risque de soulèvement du bâtiment ; p w - la pression hydrostatique sous le radier. Le calcul de résistance mécanique du radier se fait avec la pression ultime p u , déterminée après déduction des charges dites flottantes: pu =

Ftot ,u − G flot Sr

(16.67)

où;

F tot,u - la totalité de la charge transmise à l’état limite ultime; G flot - les charges dites flottantes constituées par le poids du radier et le remblais sur le radier ; en effet, le radier, par sa masse, s’oppose à la réaction du sol (pression de calcul), donc il (le radier) est porté gratuitement. On peut aussi déterminer la pression correspondant à chaque poteau selon la surface d’impact revenant à ce poteau et faire le calcul avec des pressions p u de valeurs différentes. Cette méthode est beaucoup plus laborieuse. Une fois la pression ultime de calcul p u déterminée, le calcul se fait comme pour les planchers. Dans le cas des radiers plans sans nervures, les schémas de calcul sont identiques à ceux des planchers - dalles. En cas de goussets au niveau des appuis des poteaux sur le radier, on rejoint le calcul des planchers - champignons. Pour le cas surtout des radiers plans sans nervures et sans goussets, il y a lieu de vérifier le poinçonnement du radier par les formules habituelles. Pour les radiers plans avec nervures, les principes de calcul sont les mêmes que pour les planchers en dalles pleines avec poutres secondaires et principales. La dalle peut se trouver, soit en partie inférieure (cas général et plus rationnel, car la dalle se trouve dans la zone comprimée de la structure), soit en partie supérieure. N.B.: Dans l’élaboration des dessins d’exécution, on ne doit pas oublier

que les schémas de ferraillage sont renversés, c’est-à-dire qu’en travée les armatures tendues sont en haut et sur appuis, elles sont en bas.

7. LES FONDATIONS PAR PIEUX 7.1. Généralités 432 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

Les pieux sont des piliers en béton armé, préfabriqués ou coulés sur place dans le sol, destinés à transmettre les charges à de grande profondeur (de 5 m à 40 m et même plus). Ils sont de section circulaire ou carrée et rarement rectangulaire. Les pieux peuvent être isolés, mais en général, ils sont regroupés par 2, 3, 4, 5 et même plus; leurs têtes sont reliées entre elles par une semelle épaisse qui répartit la charge sur chacun des pieux. Cette semelle est isolée sous poteaux et filante sous murs porteurs (voir fig. 16.29). Les pieux transmettent les charges : - soit par effet de pointe (fig. 16.30, a); - soit par frottement latéral (fig. 16.30, b); - soit par frottement latéral et effet de pointe (fig. 16.30, c).

Fig. 1 6. 29. Fondations par pieux. 1 - pieux; 2 - semelle isolée sous poteau reliant les têtes des pieux; 3 - poteaux; 4 semelle filante sous mur reliant les têtes des pieux; 5 - mur porteur.

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Chapitre 16. Les fondations

Les pieux transmettant les charges par effet de pointe sur une couche de sol très résistante sont appelés pieux colonnes (fig. 16.30, a).

Fig. 1 6. 30. Transmission des charges au sol. 1 - patte d’éléphant.

Les pieux transmettant les charges au sol entourant non très résistant par frottement latéral sont appelés pieux - flottants (fig. 16.30, b).

A l’effet de frottement latéral on peut ajouter un effet de pointe en réalisant des pattes d’éléphant par élargissement des dimensions transversales du pieu en pointe (fig. 16.30, c).

7.2. Calcul Le calcul concerne les deux éléments constructifs de la fondation qui sont les pieux et les semelles.

7.2.1. Calcul des pieux Nous ne rentrerons pas en détail dans le calcul, on se limitera à quelques formules très simples permettant d’avoir une idée simple et pratique de la chose. La longueur des pieux est déterminée en tenant compte des facteurs suivants : - la profondeur où se situe la couche résistante (pour les pieux colonnes) - la longueur nécessaire pour équilibrer les charges par frottement latéral (pour les pieux flottants). Les dimensions de la section du pieu sont déterminées pour que le matériau puisse résister aux actions qui lui sont appliquées. Pour les pieux flottants, il faut, en plus, que le frottement aux parois (périmètre des pieux) soit suffisant pour équilibrer les forces extérieures.

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Chapitre 16. Les fondations

Les pieux sont calculés comme des éléments comprimés ; leur flexion longitudinale (flambement) n’est tenue en compte qu’au niveau des couches de sol de très faible résistance. Ils sont armés d’aciers longitudinaux (armatures principales) et transversaux sous forme de cerces, de cadres et d’épingles. La capacité portante d’un pieu en béton armé est égale à : (16.68) N R,u = B c f bc + A s ’ + f s ’ A s ’ où, B c est l’aire de la section droite du pieu ; f bc - la contrainte de calcul du béton ; A s ’ - la section des armatures longitudinales ; f s ’ - la contrainte de calcul des armatures. Ainsi, sur chaque pieu, l’effort ultime N u transmis doit être tel que: N u ≤ N R,u

(16.69)

Pour les pieux - colonnes transmettant les charges par effet de pointe, la condition suivante doit être respectée au niveau de la pointe du pieu: (16.70) N u ≤ B c,p σ R,u où, B c,p est la section de la pointe du pieu ; σ R,u - la contrainte de calcul du sol sous la pointe, déterminée comme suit:  pour les pieux battus ancrés dans un sol rocheux ou cohérent très compact de consistance solide, on a, en général σ R,u = 15 ... 20 MPa;  pour les pieux coulés sur place, ancrés dans un sol rocheux à plus de 50 cm, on a : σ R,u

σ R ,c γ R ,c

 hp   + 1,5  d   p 

(16.71)

où,

σ R,c est la limite de résistance du sol rocheux ; γ R,c - le coefficient de sécurité sur σ R,c : γ R,c = 1,4 ... 1,5; h p , d p - respectivement profondeur de scellement (d’encastrement) et diamètre extérieur de la pointe du pieu, en mètre (m). Pour les pieux flottants transmettant les charges par frottement latéral et par effet de pointe, la condition suivante doit être respectée : n

N u ≤ γ k (σ R,u B c + u p ∑ f i hi ) où,

i =1

(16.72)

435 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

γ k est le coefficient tenant compte de l’homogénéité du sol et des conditions d’exploitation : γ k = 0,7 ... 1,0 ; σ R,u - la contrainte de calcul du sol sous l’extrémité inférieure du pieu ; B c - la section du pieu à l’extrémité inférieure (patte d’éléphant) ; u p - le périmètre extérieur de la section droite du pieu ; f i - la contrainte de calcul de la couche i du sol aux parois du pieu ( i = 1, 2, ... , n), sa valeur dépend de la nature et de l’état du sol ; h i - la hauteur (épaisseur) de la couche i. Les pieux battus doivent, en plus, résister à l’action des charges de montage.

7.2.2. Calcul des semelles Les semelles reliant les têtes des pieux sont, en général, calculés comme les semelles isolées sous poteaux. Néanmoins, on doit préciser qu’il existe plusieurs approches (hypothèses) et les formules obtenues pour évaluer la résistance de la semelle sont différentes selon les théories. Ici, on se limitera à fournir quelques formules pratiques pour déterminer les sections d’armatures selon le nombre de pieux regroupés et le type de ferraillage adopté. La hauteur h de la semelle est prise pour qu’elle soit assez rigide pour répartir également la charge sur les pieux ; elle est, en général, prise égale à : h = (0,5 ... 1,5)(L p - 0,5b) (16.73) où, L p est la distance entre axes des pieux ; b - la dimension du poteau dans le sens de L p .

a) Semelle sur deux pieux

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Chapitre 16. Les fondations

Il y a deux bielles de compression. En cas d’une force centrée P u (fig. 16.31), chaque pieu recevra une force de compression N u égale à : 1 (16.74) Nu = Pu 2 La hauteur h de la semelle est généralement prise égale à : h = (0,6 ... 0,7)(L p - 0,5b) (16.75)

Fig. 1 6. 31 . Semelle sur deux pieux. 1- armatures principales A s,i ; 2 - armatures de construction ; 3 - armatures transversales.

Pour une semelle sur deux appuis, la section des armatures inférieures A s,i est déterminée par la formule suivante : A s,i =

1,15 Pu L p  1 − b 4hf s  2 L p

   

(16.76)

Les armatures supérieures sont disposées est constructivement, leur section A s,s généralement prise égale à 15 … 25% de la section de A s,i (A s,s = (0,15 ...0,25)A s,i ).

Les armatures transversales sont constituées par des cadres et épingles, espacés de 8 ... 12 cm, en général. Ce système de ferraillage doit permettre à la semelle de pouvoir résister à d’éventuels efforts que peuvent provoquer des erreurs d’exécution (excentrement du poteau ou des pieux). En cas de moment extérieur M, il se passe une surcompression d’un pieu et une décompression de l’autre pieu. Les pieux recevront successivement une force de compression : N u,s =

Pu M + 2 Lp

(16.77)

N u,d =

Pu M − 2 Lp

(16.78)

Pour le calcul, on peut utiliser la méthode des bielles en prenant une force réduite P u,r égale à : P u,r = 2N u,s (16.79) 437 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

La section d’armatures équivaut, dans ce cas, à : As =

Pu ,r L p  1 − b 4hf s  2 L p

   

(16.80)

b) Semelle sur trois pieux

Fig. 1 6. 32. Semelle sur trois pieux. 1 - pieux; 2 - semelle; 3 - poteau.

Fig. 1 6. 33. Deux types de ferraillage de la semelle : a - ferraillage avec des cerces et des médianes ; b - ferraillage avec des cerces et un quadrillage

Il y a trois bielles de compression. En cas de force centrée P u (fig. 16.32), chaque pieu recevra une force de compression N u égale à : Nu =

Pu 3

La hauteur h de la semelle est, en général, prise égale à : h = (0,7 ... 0,9)(L p - 0,5b)

(16.81) (16.82)

Couramment, on utilise deux types de ferraillage (voir fig. 16.33): - ferraillage en cerces avec des armatures médianes (fig. 16.33, a); - ferraillage en cerces avec des armatures en quadrillage (fig. 16.33, b). 438 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-

Chapitre 16. Les fondations

Dans le premier cas de ferraillage, la section des cerces est déterminée par la formule suivante : A s,c

Pu L p  1 − b 12hf s  2 L p

   

(16.83)

et la section des armatures médianes est égale à : A s,m

Pu L p 3  1 − b 36hf s  2 L p

   

(16.84)

Dans le deuxième cas de ferraillage, la section des cerces est déterminée par la formule : A s,c

Pu L p  1 − b 9hf s  2 L p

   

(16.85)

et pour le quadrillage, la section totale des armatures dans chaque sens est prise égale à : (16.86) A s,q = (0,2 ... 0,3)A s,c

c) Semelle sur quatre pieux Il y a quatre bielles de transmission des charges. En cas de force centrée P u (fig. 16.34), chaque pieu recevra une force de compression N u égale à: Nu =

Pu 4

La hauteur h de la semelle est, en général prise égale à : h = (0,8 ... 1,0)(L p - 0,5b)

(16.87)

(16.88)

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Chapitre 16. Les fondations

Couramment, on utilise quatre (4) types de ferraillages (voir fig. 16.35): - ferraillage suivant les côtés et les diagonales (fig. 16.35, a); - ferraillage suivant les diagonales avec cerces (fig. 16.35, b); - ferraillage suivant les côtés avec quadrillage (fig. 16.35, c); - ferraillage en cerces avec quadrillage (fig. 16.35, d).

Fig. 1 6. 34. Semelle sur quatre pieux.

Dans le premier cas de ferraillage, la section des armatures suivant les côtés est déterminée par la formule suivante : A s,c =

Pu L p  1 − b 8hf s  2 L p

   

(16.89)

Fig. 1 6. 35. Différents types de ferraillage de la semelle. a - ferraillage suivant les côtés et les diagonales ; b - ferraillage suivant les diagonales avec cerces ; c - ferraillage suivant les côtés avec quadrillage ; d - ferraillage en cerces avec quadrillage ; 1 - armatures suivant les côtés ; 2 - armatures en diagonales ; 3 - armatures en cerces ; 4 - armatures en quadrillage.

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Chapitre 16. Les fondations

La section des armatures suivant les diagonales est déterminées par l’expression suivante : A s,d =

Pu L p 2  1 − b 8hf s  2 L p

   

(16.90)

Dans le deuxième cas de ferraillage, on obtient: - pour les armatures en diagonales : A s,d = -

Pu L p 2  1 − b 16hf s  2 L p

   

(16.91)

pour les armatures en cerces : =

A s,c

Pu L p  1 − b 12hf s  2 L p

   

(16.92)

   

(16.93)

Dans le troisième cas de ferraillage, on obtient: - pour les armatures suivant les côtés: A s,c = -

Pu L p  1 − b 10hf s  2 L p

pour les armatures en quadrillage (dans chaque sens): A s,q

3Pu L p  1 − b 40hf s  2 L p

   

(16.94)

Dans le quatrième cas de ferraillage, on obtient: - pour les armatures en cerces: A s,c -

Pu L p  1 − b 12hf s  2 L p

   

(16.95)

pour les armatures en quadrillage (dans chaque sens): A s,q =

3Pu L p  1 − b 40hf s  2 L p

   

(16.96)

Il est à noter que le ferraillage par cerces est toujours préférable aux armatures indépendantes suivant les côtés. On conçoit aussi des semelles qui regroupent 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12 pieux. Elles sont généralement armées avec des cerces et de quadrillages. 441 Ecole Nationale d’Ingénieurs A.B. TOURE de Bamako. Cours de Béton armé, par H.A.DICKO, Ph.D -2008-