[Title will be auto-generated] by Bart Van Thillo

Line

Nederlandstalig handboek met online oefenmodule!

Een heldere introductie van deze begrippen en technieken is een noodzakelijke voorwaarde voor het oplossen van een probleemstelling. Het handboek Lineaire algebra biedt naast technische kennis ook een kwalitatief inzicht in de structuur of de aard van de oplossing. Juist dát helpt de student om een adequate aanpak te ontwikkelen voor analoge en nieuwe probleemstellingen. De auteurs gebruiken vele voorbeelden en besteden steeds een grote aandacht voor het aanleren van een zorgvuldige formulering van de argumentaties en een nauwkeurige opbouw van de berekening. Een selectie van thematische toepassingen, zoals Markov-processen, Leslie-matrices en Google’s PageRank™ komt aan bod.

Paul Igodt is professor aan de K.U.Leuven Kulak en leidt de Onderzoeksgroep Algebraïsche Topologie en Groepentheorie van het Departement Wiskunde. Hij is mede-initiatiefnemer en mede-coördinator van de Vlaamse Wiskunde Olympiade en nauw betrokken bij de ontwikkeling en aansturing van het USolv-IToefenplatform. Wim Veys is professor aan de K.U.Leuven en leidt de Onderzoeksgroep Algebraïsche Meetkunde en Getaltheorie van het Departement Wiskunde.

aire a • v+w

y w•

• λv

Paul Igodt & Wim Veys

Het handboek Lineaire algebra bevat tientallen oefeningen en wordt tevens ondersteund door een online oefenmodule (op basis van het USolv-IT platform) waar de student het geleerde in praktijk kan brengen. Via de website www.upl.be/ lineairealgebra kunnen uit een zeer ruim aanbod specifieke oefeningen worden geselecteerd om het boek als geheel, dan wel specifieke onderdelen uit de materie te oefenen. De student krijgt online een score en een toelichting bij de juiste antwoorden.

Lineaire algebra

In vrijwel alle toepassingsgebieden van wiskunde wordt lineaire algebra aangewend. Soms beperkt dat zich tot elementair matrixrekenen, maar in andere gevallen komen ook moeilijkere problemen aan bod. Met dit handboek kunnen studenten uit verschillende studierichtingen kennismaken met de basisbegrippen, basistechnieken en enkele voorname resultaten van de lineaire algebra.

auteursrechtelijk beschermd materiaal

lgebr

Paul Igodt & Wim Veys

auteursrechtelijk beschermd materiaal

Voorwoord

Met dit handboek kunnen studenten uit een diversiteit aan opleidingen kennismaken met de basisbegrippen, basistechnieken en enkele voorname resultaten van de lineaire algebra. In vrijwel alle toepassingsgebieden van wiskunde wordt lineaire algebra aangewend. Soms beperkt dat zich tot elementair matrixrekenen, maar vaak komen ook moeilijkere probleemstellingen aan bod. Deze problemen presenteren zich in een veelheid aan uitzichten en vormen, maar steevast vinden we er dezelfde begrippen in terug: vectoren, lineaire afhankelijkheid en onafhankelijkheid, voortbrengers, basis, vrijheidsgraden, lineaire combinaties, dimensie, spectraalstelling, diagonaliseren, singuliere waarden, . . . Niet altijd is het louter technisch oplossen van de probleemstelling het belangrijkst, maar veeleer het kwalitatief inzicht in de structuur of de aard van een oplossing; juist dát brengt typisch de echte voorspellende kracht voor analoge of nieuwe probleemstellingen met zich mee. Doorheen het hele boek hebben we oog voor het aanleren van nauwkeurigheid zowel in formulering als in berekening. De aanpak die we hanteren is hierdoor niet beperkt tot louter technische aspecten, maar brengt steevast ook zorgvuldige argumentaties. Deze ietwat steviger wiskundige onderbouw vraagt de student om volgehouden aandacht. Niettemin kunnen de sleutelresultaten in de opbouw van het geheel door de verzorgde lay-out als het ware afzonderlijk gelezen worden. We illustreren met vele voorbeelden en ook een selectie uit het vrijwel ongelimiteerd aanbod aan thematische toepassingen van de lineaire algebra komt aan bod. Het ruime aantal oefeningen biedt mogelijkheid om te diﬀerentiëren naar belangstelling, context, abstractie en diepgang. We engageren ons om dit ook in elektronische vorm als een extra ondersteuning bij het handboek aan de lezers aan te bieden. In een tijdperk van steeds krachtiger computeralgebra kunnen we de vraag stellen in welke mate dergelijke rekenkracht kan of moet aangewend worden. Ook wij zetten computeralgebra in voor snelle simulaties of voor uitgebreide analyses. Onze didactische ervaring brengt ons evenwel de overtuiging bij dat een degelijke handmatige beheersing en het hiermee samengaand groeiend inzicht best voorafgaan aan gevorderde computeralgebra. Net dat inzicht zorgt ervoor dat de gebruiker zich ondersteund weet bij het inzetten van software. Het biedt hem ook de mogelijkheid om gericht te exploreren. Hierbij de juiste vragen leren stellen én bovendien

auteursrechtelijk beschermd materiaal

VOORWOORD

betekenisvolle goede antwoorden vinden, vormen dan een dankbare beloning voor de gewonnen rekenkracht. Zo zal computeralgebra ﬁnaal echt ondersteunen, bevestigen of illustreren. Dit werk kwam tot stand in goede samenwerking met verschillende medewerkers, die verbeteringen in de tekst hebben gesuggereerd en het oefeningenaanbod hebben rijker gemaakt of uitgeprobeerd. We danken in het bijzonder Sandra Deschamps, Rein Duyck, Hendrik Hubrechts, Tristan Kuijpers, Dirk Segers, Karl Van Valckenborgh, Kelly Verheyen en Kaatje Zeeuwts voor hun onverdroten ijver en opbouwende kritische spirit. Paul Igodt Wim Veys juni 2011

auteursrechtelijk beschermd materiaal

Inhoudsopgave

Voorwoord

1 Eerstegraadsvergelijkingen en matrices 1.1 Context en matrixvorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Gauss-eliminatie, echelonvorm, rijgereduceerde vorm . . . . . . . . . . 1.2.1 Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Stelsels met parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Rekenen met matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Inverteerbaarheid van matrices en inverse matrices . . . . . . . . . . . 1.5 Elementaire rijoperaties en elementaire matrices . . . . . . . . . . . . 1.6 LU-decompositie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Nut van een LU-decompositie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 LU-decompositie van een inverteerbare matrix . . . . . . . . . 1.6.3 Voorbeeld van een LU-decompositie . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4 Praktische constructie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Eerstegraadsvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 15 23 25 27 34 36 40 41 42 43 45 46 46 50

2 Determinanten 2.1 Kennismaking in het geval van (2 × 2)-matrices . . . . . . . . . . . . . 2.2 Determinant: deﬁnitie, bestaan en eigenschappen . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Drie invloedrijke eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Over permutaties en hun teken . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Er is juist één determinantafbeelding (voor elke n 1) . . . . . 2.2.4 Ontwikkelen naar een rij of kolom . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 De toegevoegde matrix of adjunctmatrix . . . . . . . . . . . . . 2.2.6 De formule van Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Veelterminterpolatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Oppervlakte van een parallellogram . . . . . . . . . . . . . . .

55 55 56 56 60 63 67 71 73 74 74 75

auteursrechtelijk beschermd materiaal

INHOUDSOPGAVE

2.4

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Vectorruimten 3.1 Het begrip vectorruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Deelruimten en lineaire combinaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Som en directe som van deelruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Lineaire onafhankelijkheid, basis en dimensie . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Lineaire afhankelijkheid en onafhankelijkheid . . . . . . . . . . 3.4.2 Basis, dimensie en coördinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Nogmaals som en directe som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Vectorruimten geassocieerd aan een matrix . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Nulruimte, rijruimte en kolomruimte van een matrix . . . . . . 3.5.2 Basis van de nulruimte, de rijruimte en de kolomruimte . . . . 3.6 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 85 94 98 101 101 104 114 117 117 120 123

4 Lineaire afbeeldingen en lineaire transformaties 129 4.1 Deﬁnitie en voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.2 Lineaire afbeeldingen en matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.2.1 Matrixvoorstellingen van een lineaire afbeelding . . . . . . . . . 136 4.2.2 De vectorruimte van de lineaire afbeeldingen . . . . . . . . . . 140 4.2.3 Lineaire afbeeldingen samenstellen en het matrixproduct . . . . 142 4.3 Isomorﬁsmen van vectorruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.4 Invloed van het veranderen van basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.4.1 Invloed op de coördinaat van een vector . . . . . . . . . . . . . 147 4.4.2 Invloed op de matrix van een lineaire afbeelding . . . . . . . . 149 4.4.3 Invloed op de matrix van een lineaire transformatie . . . . . . . 150 4.5 De dimensiestelling voor lineaire afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . 154 4.6 Rang en eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 4.7 Algemene vorm en oplossing van een lineair probleem . . . . . . . . . 162 4.8 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5 Eigenwaarden, eigenvectoren en diagonaliseerbaarheid 173 5.1 Probleemstellingen: voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.2 Eigenwaarden en eigenvectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.3 Iedereen gebruikt het: Google’s PageRankTM . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.3.1 Een eenvoudig model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.3.2 Een tweede model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.3.3 De echte PageRank: een eigenvector! . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.4 Spectrum en eigenruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.5 Diagonaliseerbaarheid van een lineaire transformatie . . . . . . . . . . 190 8

auteursrechtelijk beschermd materiaal

INHOUDSOPGAVE

5.6 5.7

Transformaties van complexe vectorruimten . . . . . . . . . . . . . . . Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Discrete-tijd-evoluties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.2 Stochastische matrices en Markov-ketens . . . . . . . . . . . . . 5.7.3 Eigenwaarden van Leslie-matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . Toemaatje: over triangularisatie en Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

203 206 207 208 210 211 216

6 Inproductruimten en Euclidische ruimten 6.1 Inproducten en Hermitische producten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Euclidische meetkunde en Euclidische ruimte . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Orthonormale basis, orthogonaal complement . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Transformaties met een symmetrische matrix . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Orthogonale matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Orthogonale en symmetrische transformaties . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1 Extrema en teken van kwadratische vormen . . . . . . . . . . . 6.7.2 Singuliere-waardenontbinding van een matrix . . . . . . . . . . 6.7.3 Kleinste-kwadratenoplossing als AX = B niet oplosbaar is . . . 6.8 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

221 222 227 234 242 248 252 256 256 260 264 265

Bibliografie

269

Index

270

5.8 5.9

auteursrechtelijk beschermd materiaal

HOOFDSTUK 1

Eerstegraadsvergelijkingen en matrices

Bij een grote variatie aan problemen in allerlei wetenschapsgebieden moeten stelsels van eerstegraadsvergelijkingen opgelost worden. Als het maar een paar vergelijkingen in weinig onbekenden betreft kan men een oplossing vinden ‘met gezond verstand’. In veel praktijkgevallen moeten grote stelsels met tientallen, duizenden of nog meer vergelijkingen en onbekenden opgelost worden. Men kan stellen dat ‘de’ systematische methode in deze context Gauss-eliminatie is. Ze geeft enerzijds inzicht in de algemene structuur van de oplossingen van stelsels van eerstegraadsvergelijkingen en vormt anderzijds de kern van alle methoden om deze stelsels eﬀectief (en eﬃciënt) met behulp van computers op te lossen. Deze methode komt in de praktijk neer op het manipuleren van rijen van matrices. Een (wiskundige) matrix is een rechthoekig schema getallen. Ook matrices komen voor in zeer gevarieerde toepassingsgebieden van de wiskunde, bijvoorbeeld als transformatievoorschrift van bewegingen in het vlak of in de ruimte, of bij de beschrijving van populatie-evoluties in de biologie of van marktbewegingen in de economie. Essentieel hierbij is dat men ook bewerkingen kan uitvoeren op matrices, zoals optellen en vermenigvuldigen. In dit hoofdstuk behandelen we het oplossen van stelsels via Gauss-eliminatie en de essentie van het matrixrekenen. De ‘natuurlijke biotoop’ van matrices, namelijk lineaire afbeeldingen op vectorruimten, komt later aan bod in Hoofdstuk 4.

1.1 Context en matrixvorm We spreken van een eerstegraadsvergelijking in de variabelen (of onbekenden of veranderlijken) x1 , x2 , . . . , xn als we een vergelijking van het type a 1 x1 + a 2 x2 + · · · + a n xn = b hebben, waarin a1 , a2 , . . . , an , b gegeven getallen zijn. De ai noemen we de coëﬃciënten van de vergelijking; b wordt het rechterlid (of de constante term) genoemd. Vaak worden dergelijke vergelijkingen ook lineaire vergelijkingen genoemd.

auteursrechtelijk beschermd materiaal

H1 | EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN MATRICES

Eerstegraadsvergelijkingen behoren tot de ervaringswereld van de meeste leerlingen in het secundair onderwijs; zij ontspruiten uit een grote diversiteit aan probleemstellingen. Voorbeeld 1.1 1. Evenwicht bij chemische reacties. De reactie waarbij ammoniak en zuurstof combineren tot stikstofmonoxide en water(damp), wordt weergegeven als x1 N H3 + x2 O2 −→ x3 N O + x4 H2 O. Hierin moeten de coëﬃciënten xi gehele getallen zijn. Zij drukken uit dat aan weerskanten van de vergelijking evenveel atomen van elk type aanwezig zijn. Met andere woorden ⎧ (stikstof) ⎨ x 1 = x3 3x1 = 2x4 (waterstof) ⎩ 2x2 = x3 + x4 (zuurstof).

We hebben hier drie eerstegraadsvergelijkingen in vier variabelen; we spreken van een (3 bij 4)-stelsel eerstegraadsvergelijkingen. Het vergt niet zoveel moeite om hiervoor een oplossing (zelfs meerdere) te vinden. Zo voldoet bijvoorbeeld (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (4, 5, 4, 6).

2. Handel en economie. Om een veevoeder samen te stellen dat aan bepaalde voedingskwaliteiten voldoet, worden grondstoﬀen G1 , . . . , G5 gebruikt. De kenmerken van elk van de grondstoﬀen, met betrekking tot twee voedingseigenschappen A en B, worden gegeven in de onderstaande tabel. A B

G1 2 3

G2 3 4

G3 1 5

G4 4 3

G5 6 2

Als de producent een mengsel moet samenstellen dat 20 eenheden A en 30 eenheden B telt, dan leidt dat tot de voorwaarden � 2x1 + 3x2 + x3 + 4x4 + 6x5 = 20 (A) 3x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 + 2x5 = 30 (B), een (2 bij 5)-stelsel eerstegraadsvergelijkingen. 3. Stroom in netwerken. Of het nu bijvoorbeeld om elektrische stroom, informatiehoeveelheid, dan wel verkeersintensiteit gaat, netwerken gehoorzamen 12

auteursrechtelijk beschermd materiaal

CONTEXT EN MATRIXVORM

aan de wetten van Kirchoﬀ. Hieronder wordt bijvoorbeeld een gedeelte van een stadsverkeersnetwerk (met éénrichtingsverkeer) getoond, met kruispunten A, B, . . . , F , en opgave van verkeersintensiteiten uitgedrukt in ‘aantal voertuigen per uur’ (vpu). noord 400 vpu

700 vpu 300 vpu

F•

west x5

800 vpu

A•

100 vpu

E•

200 vpu x3

B• 500 vpu zuid

D•

300 vpu

oost

C•

300 vpu

400 vpu

Door op elk kruispunt het evenwicht uit te drukken tussen inkomende en uitgaande voertuigen, ontstaan er eerstegraadsvergelijkingen. Zo geldt voor kruispunt E dat x3 + 400 = x4 + x6 . Het gehele verkeersschema geeft aanleiding tot een (6 bij 7)-stelsel van eerstegraadsvergelijkingen. Schrijf dit stelsel op. 4. Vlakke meetkunde. In het vlak (geı̈dentiﬁceerd met R2 ) bepaalt een eerstegraadsvergelijking ax + by = c een rechte. Als b = 0 dan is deze rechte evenwijdig met de y-as; in het andere geval is het een rechte met richtingscoëﬃciënt − ab . Een (2 bij 2)-stelsel eerstegraadsvergelijkingen ax + by = r cx + dy = s

auteursrechtelijk beschermd materiaal

H1 | EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN MATRICES

kan dus opgevat worden als het opgeven van twee rechten in het vlak en het zoeken naar de punten die tegelijk op die beide rechten liggen. Elementaire kennis van de vlakke meetkunde geeft ons hier meteen het antwoord. Er zijn drie mogelijke situaties. • Ofwel zijn de rechten evenwijdig (en verschillend); dan hebben ze geen punten gemeenschappelijk, het stelsel heet ‘strijdig’ of ‘inconsistent’. Bijvoorbeeld � 3x + 2y = 5 6x + 4y = 7. • Ofwel zijn de rechten niet evenwijdig; dan snijden ze elkaar in juist één (snij)punt. Bijvoorbeeld � 3x + 2y = 5 6x + 3y = 7.

• Ofwel zijn de rechten samenvallend (met andere woorden dezelfde); in dat geval hebben ze al hun punten gemeenschappelijk. Bijvoorbeeld � 3x + 2y = 5 6x + 4y = 10.

5. Ruimtemeetkunde. In de ruimte (geı̈dentiﬁceerd met R3 ) bepalen eerstegraadsvergelijkingen zoals ax + by + cz = d niet een rechte, maar een vlak! Schrijf de vergelijkingen op van de vlakken die telkens twee coördinaatassen bevatten (bijvoorbeeld x- en y-as). Wat is de meetkundige vertaling van een stelsel eerstegraadsvergelijkingen? In dit hoofdstuk maken we kennis met het praktisch behandelen van stelsels eerstegraadsvergelijkingen. Is het stelsel oplosbaar? Is er juist één oplossing of zijn er meerdere? Hoe vinden we een oplossing? Hoe vinden we alle oplossingen? Laat ons x1 , x2 , . . . , xn noteren voor de n veranderlijken, en veronderstel dat we m eerstegraadsvergelijkingen hebben. Dan verkrijgen we, in het algemeen, een stelsel van de vorm ⎧ a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn = b1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a ⎪ ⎨ 21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + · · · + a3n xn = b3 ⎪ .. ⎪ ⎪ . ⎪ ⎪ ⎩ am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + · · · + amn xn = bm ,

auteursrechtelijk beschermd materiaal

GAUSS-ELIMINATIE, ECHELONVORM, RIJGEREDUCEERDE VORM

waarin we de getallen aij (1 i m, 1 j n) de coëfficiënten van het stelsel noemen. In feite is deze notatie niet bijzonder zuinig, vermits we in elke vergelijking alle variabelen opnieuw opschrijven. Een meer gebruikelijke notatie is die waarin we de coëfficiënten samenbrengen in een tabel, de matrix van de coëfficiënten, en de variabelen nog slechts één keer noteren. We verkrijgen dan ⎛

a11 ⎜ a21 ⎜ ⎜ a31 ⎜ ⎜ .. ⎝ . am1

a12 a22 a32 .. .

a13 a23 a33

··· ··· ···

am2

am3

···

kortweg ook

a1n a2n a3n .. .

⎞

⎛

x1 x2 x3 .. .

⎞

⎛

b1 b2 b3 .. .

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟, ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠⎜ ⎝ xn−1 ⎠ ⎝ bm−1 ⎠ amn xn bm AX = B

genoteerd. Hierin is A een matrix met m rijen en n kolommen, X een matrix met n rijen en één kolom en B een matrix met m rijen en één kolom. We spreken kortweg van de coëﬃciëntenmatrix A, de variabelen X en het rechterlid B. Als het rechterlid volledig uit nullen bestaat, spreken we van een homogeen stelsel.

1.2 Gauss-eliminatie, echelonvorm, rijgereduceerde vorm De voornaamste techniek om zo’n stelsel op een doeltreﬀende en praktische manier op te lossen bestaat er in het stelsel om te vormen tot een eenvoudiger type stelsel. Tijdens dit ‘omvormen’ mag noch de oplosbaarheid, noch de oplossingsverzameling wijzigen. We maken kennis met drie operaties die hierbij van doorslaggevend belang zijn: de elementaire rijoperaties (ERO). Om deze operaties kort te noteren, spreken we af om met Ri de i-de vergelijking in het stelsel voor te stellen, met andere woorden Ri :

ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + · · · + ain xn = bi .

I. Ri → λRi (λ �= 0). Wanneer we een eerstegraadsvergelijking uit het stelsel met een getal verschillend van nul vermenigvuldigen, dan heeft dit hoegenaamd geen invloed op de oplosbaarheid en/of de oplossingen ervan. We kunnen dit uiteraard doen met elke vergelijking in een gegeven stelsel. Doen we dit met de