7

Ю.І.

Г.М.

Г.М. Возняк

УДК 512(075.3)

М21

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ Міністерства освіти і науки України від 05.02.2024 ð. № 124)

Ïідру ÷ник створено за Модеëüноþ нав÷а ëüноþ ïроãрамоþ «А ëãебра. 7–9 к ëаси» д ëя зак ëа дів заãа ëüної середнüої освіти (автори Мерзëяк А. Г., Номіровсüкий Д. А., Ïихтар М. Ï., Рубëüов Б. В., Семенов В. В., Якір М. С.)

Мальований Ю.І. М21 Алгебра : підручник для 7 кл. підручник для 7 кл. закладів загальн. середн. освіти / Ю.І. Мальований, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк. Тернопіль : Навчальна книга – Богдан, 2023. 256 c..

Пропонований підручник відповідає модельній навчальнійї програмі «Алгебра. 7–9 класи» для закладів загальної середньої освіти (автори Мерзляк А. Г., Номіровський Д. А., Пихтар М. П., Рубльов Б. В., Семенов В. В., Якір М. С.), рекомендованій Міністерством освіти і науки України», й передбачає готовність учнів до широкого і свідомого застосування математики. Цю орієнтацію забезпечують зміст курсу, характер викладення навчального матеріалу, добір ілюстрацій і приклади застосувань, запитання для перевірки знань, задачі і вправи на повторення, а також письмові роботи, призначені для самоконтролю.

Для учнів і вчителів загальноосвітніх навчальних закладів.

2023

семикласники

навчальний предмет з курсу математики алгебру.

цього часу

мали справу в основному з обчисленнями, які виконували з конкретними числами. Ви ознайомилися з правилами і прийомами таких обчислень, навчилися виконувати чотири математичні дії (операції) з цілими і дробовими числами. Ці та інші відомості, що стосуються чисел, вивчає галузь математики, яка називається арифметикою. На відміну від арифметики, в алгебрі числа записують не лише за допомогою цифр, але в багатьох випадках позначають буквами. Алгебра вивчає правила перетворення виразів, складених із чисел, букв, знаків математичних дій. Вивчаючи алгебру, ви ознайомитеся з новими математичними операціями, а також поняттями, без яких не можна уявити не лише математики, але й більшості наук, навіть, здавалося б, далеких від неї. Протягом усієї історії становлення і розвитку алгебри як самостійної галузі математики важливим предметом її вивчення

ручника.

Щоб привернути вашу увагу до особливо важливих положень, їх виділено відмінним від звичайного шрифтом. Означення та властивості, які потрібно запам’ятати, виділено напівжирним шрифтом і позначено . Основні формули записано на кольоровому фоні. Послідовність виконання певних дій, перетворення виразів, розв’язування задач надруковано курсивом. Курсивом виділено й окремі терміни, які зустрічаються вперше. Для зручності вивчення навчальний матеріал підручника розподілено за трьома розділами. Вони містять параграфи, які розбито на пункти, а ті, у свою чергу, на підпункти. Кожна з цих складових частин має заголовок і

Зосередити увагу на найсуттєвішому вам допоможуть відповідні запитання та завдання для самоперевірки, подані в кінці кожного пункту, а також основні вимоги щодо засвоєння змісту кожного розділу, які його завершують.

У тексті наведено приклади розв’язування ряду вправ із детальними поясненнями і зразками відповідних записів. У рубриці «Увага!» ви знайдете застереження від можливих помилок, яких нерідко припускаються школярі.

У кінці кожного параграфа подані завдання для самостійної та

контрольної роботи. Учні, які ознайомляться з ними заздалегідь, будуть застраховані від неприємних «сюрпризів» на цих уроках. На рівень складності пропонованих задач і вправ указують умовні позначки: знак º біля номера завдання позначає вправи, що відповідають початковому і середньому рівням; знак * вправи високого рівня навчальних досягнень. Під номером без усіляких позначень умішено вправи, що відповідають достатньому рівню.

1.

разу?

4. До яких відомих вам формул входять букви?

2 · (3х + у), 21 3 b. Одне число, записане цифрами (6; 384; –3,12 тощо) також уважають числовим виразом, а число, позначене буквою (т, х, с тощо), буквеним виразом.

У буквеному виразі одна і та сама буква може позначати різні числа залежно від конкретних умов. Наприклад, у виразі 2(a + b), що є загальним записом правила обчислення периметра прямокутника зі сторонами а і b, букви а і b позначають будь-які додатні числа, якими можуть виражатися довжини відповідних сторін прямокутника. Тобто вони можуть змінювати свої значення. Тому їх називають змінними, а цей та інші буквені вирази виразами зі змінними (або зі змінною, якщо змінна одна).

Числові вирази і вирази зі змінними, які містять лише арифметичні дії, мають загальну назву раціональних алгебраїчних виразів. Саме їх ми і будемо вивчати.

Якщо у вираз a2 – 5а + 4 підставимо, наприклад, замість змінної а число 4 і виконаємо зазначені дії,

чення, або коротше, значення цього виразу. Тобто, якщо а = 4, то a2 – 5а + 4 = 42 – 5 ∙ 4 + 4 = 16 – 20 +

і т. д. 0, –2, 28 усе це значення

а.

значення а. Приклад 1. Розглянемо вираз (4х + 96) : 4

виявилися однаковими?

Для відповіді на це запитання спростимо даний вираз, скориставшись правилом ділення суми на число. Маємо: (4х + 96) : 4 – х = 4х : 4 + 96 : 4 – х = х + 24 – х = 24.

Тепер очевидно, що яким би не було значення х, значення виразу дорівнюватиме 24. Тому кажуть, що значення виразу (4х + 96) : 4 – х не залежить від значення х.

Приклад 2. Обчислюючи значення виразу 2 5 b b, коли b = 5, діста-

немо числовий вираз 25 55 , який не

2 5 b bне має смислу. Вираз 34 1 2 a a не має смислу,

Алгебраїчний вираз, який не містить ділення на змінну, називається цілим виразом. Далі ми розглядатимемо перетворення цілих виразів.

 Як назвати вираз. Обчислюючи значення виразу (а – 2)(а + 4), слід виконувати дії в такій послідовності:

1) віднімання в перших дужках;

2) додавання у других дужках;

3) множення першого результату на другий. Назву результату дії, яку в процесі знаходження значення виразу виконують останньою, поширюють на назву самого виразу. У даному випадку остання дія

скорочений запис слів. Основоположником застосування бук веної символіки в алгебрі вважають фран цузького математика Франсуа Вієта (1540–1603). Його буквена символіка відрізняється від сучасної. Проте її

використання дало змогу Вієту зробити важливі відкриття в математиці.

Спростив і узагальнив алгебраїчну символіку видатний французький учений Рене Декарт (1596–1650). Запровадженими ним позначеннями послуговуються і сучасні математики.

2.

якщо він є: а) числовим; б) виразом зі змінною?

3. Який алгебраїчний вираз називають цілим? Наведіть приклади.

4. Як утворити назву алгебраїчного виразу? Поясніть на прикладах.

Задачі та вправи

Знайдіть значення виразів (1–2):

1°. а) 92 ∙ 5; б) 103 ∙ 12; в) –98 ∙ 7; г) 27 7 8 8 ⋅ ; ґ) 34,3 : 7; д) 0,25 7.

2°. а) 15 2 3 1 5

3. Чи правильні рівності:

а) 4 2 3 1 4 1 7 9 4 9 5; б) 5 1 7 1 7 1 3 4 1 4 3; в) 90 93 03 1 3 5 6

4°. Значення якого з виразів дорівнює 4: а) 53 2 7 2 7 8 ; б) 12 1 2 1 2 2 ; в) 3 1 3 09 2 5 2 1 2 ,; г) 2 2 3 1 3 4 8 4 21 13 ?

5º. Знайдіть значення виразів: а) 2k, якщо k = 103; б) 2k + 1, якщо k = 103; в) 2k – 1, якщо k = 28; г) 3k + 1, якщо k = 25; ґ) 3k – 1, якщо k = 29; д) 5k + 1, якщо k = 35; е) vt, якщо v = 48,5, t = 2,6.

6. Складіть і запишіть числовий вираз, який не має смислу.

Знайдіть значення виразів (7–9):

7°. а) 3а + 7,4, якщо а = 12; б) 0,5х + 14, якщо х = –3; в) 24,5 – 4m, якщо m = 6; г) –k + 17, якщо k = –7.

8°. а) 14а + 15b, якщо а = 1,5 і b = 0,5; б) 15а – 14b, якщо а = 2,5 і b = 0,5; в) х(0,5а – 4), якщо а = 42 і х = 0,2; г) 84а + 12b, якщо а = 0,25 і b =3 4 .

9°. а) 2(а + b), якщо а = 6,4 см, b = 0,045 м; б) а + b + с, якщо а = 3,4 см, b = 0,4 дм, с = 0,05 м;

в) аh, якщо а = 0,028 км, h = 18,5 м;

г) 4(а + b + с), якщо а = 4,3 дм, b = 30 см, с = 0,27 м.

10*. Запишіть вирази для обчислення периметрів фігур, зображених на рисунку 1. Яка з фігур має найбільшу площу?

11º. Нафтопровід перекачує 7 тис. т нафти за годину. Скільки тонн нафти можна перекачати нафтопроводом за 3 год? За 2,5 год? За t год? За добу? За 2 доби? За k діб?

12º. Для яких значень змінної y не мають смислу вирази: а) 3 5 y; б) y y + 3 ; в) 7 1 2 y + ; г) 13 64 y y; ґ) y y + 5 2 ?

13. Знайдіть, якщо це можливо, пару

яких не мають смислу вирази: а) 17 ab; б) 5 ab + ; в) a ab 2 22 + ; г) ab ab + ++22 4 .

14. Чи може значення виразу –2х бути додатним числом? Якщо може, то наведіть приклади.

15. Чи може вираз 1 + a2 набувати від’ємних значень? Відповідь поясніть. Укажіть найменше значення цього виразу.

16*. Задумайте ціле число, помножте його на 3, від одержаного результату відніміть 27, різницю поділіть на 3 і від частки відніміть задумане число. Яке число ви дістали? Доведіть, що одержаний результат не залежить

18.

19. Зошит коштує а коп., ручка

дорожча. Скільки коштують п’ять зошитів і три ручки?

20. Учні посадили

t

цими населеними пунктами, якщо

пішохода 5 км/год, а швидкість велосипедиста 12 км/год. Знайдіть цю відстань, якщо: а) t = 2,5 год; б) t = 4 год.

24. Периметр прямокутника 48 дм, основа а дм. Складіть вираз для обчислення площі прямокутника. Знайдіть площу прямокутника, якщо: а) а = 7 дм; б) а = 11,5 дм; в) а = 14 дм.

25. Запишіть чотири натуральні числа, кратні числу 3. Подайте кожне з них у вигляді добутку числа 3 на відповідне натуральне число. Запишіть вираз зі змінною, який позначає натуральне число, що ділиться на 3

26*. Складіть за рисунком 2 вираз для обчислення

різка CD. Запишіть

(27–29): 27°. а) Суму чисел 27,29 і 72,71; б) різницю чисел 68,1 і –31,3; в) добуток чисел 1 3 8 і -1 3 5 ; г) частку чисел 0,01 і –0,002; ґ) подвоєну суму чисел 37,29 і 62,71; д) потроєну різницю чисел 68,1 і –41,9; е) подвоєний добуток чисел 7,5 і 0,4; є) третину суми чисел 5,8 і 3,5; ж) піврізницю чисел 9 і 15.

28°. а) Суму чисел m i n, якщо m = 4 1 4 , n = –5,3; б) різницю чисел m i n, якщо m = 0,6, n 2 2 5 , в) подвоєну суму чисел m i n, якщо m = 10,7, n = 5,3.

29*. а) Різницю частки чисел 11 15 і 3 2 3 та числа 0,5, зменшену на число, протилежне числу –0,3; б) суму добутку чисел 5 1 3 і 0,75 та числа 2,4, збільшену

31*. Від добутку чисел 3 1 2 і -5 3 4

32*. На скільки: а) різниця

33*.

+ 24)

= 80 ∙ 2 = 160. Правильною є також рівність 3 ∙ (15 – 9) = = (41 – 5) : 2, бо 3 ∙ (15 – 9) = 3 ∙ 6 = 18 і (41 – 5) : 2 = 36 : 2 = 18. Приклад 1. Розглянемо три вирази з однією і тією самою змінною: 2х + 2, 0,5 + 0,5х, 2(х + 3) – 4.

Знайдемо їхні значення, якщо х = 2. Маємо: 2х + 2 = 2 ∙ 2 + 2 = 6; 0,5 + 0,5х = 0,5 + 0,5 ∙ 2 = 1,5; 2(х + 3) – 4 = 2 ∙ (2 + 3) – 4 = 2 ∙ 5 – 4 = 6.

Числа 6; 1,5; 6 називають відповідними значеннями даних виразів.

Знайдемо відповідні значення даних

Отже, рівність 2(х + 3) – 4 = 2х + 2 правильна для будь-яких значень змінної х. Таким чином, відповідні значення цих виразів дорівнюють одне одному при всіх значеннях змінної х. Про такі вирази кажуть, що вони тотожно рівні, або тотожні.

Вирази називають тотожно рівними, якщо їх відповідні значення дорівнюють одне одному за будь-яких значень змінних.

Два тотожно рівні вирази, сполучені знаком рівності, називають тотожністю.

Наприклад, рівності 2(х + 3) – 4 = 2х + 2, а + b = b + а, аb = bа, (а + b) + с = а + (b + с) є тотожностями.

Очевидно, які б значення змінних не підставляти в тотожність, дістанемо правильну рівність.

Тотожність це рівність, правильна за всіх значень змінних, що входять до неї.

Заміну виразу тотожно рівним йому називають тотожним перетворенням виразу

Тотожні перетворення виразів виконують на основі законів і властивостей арифметичних дій, правил тощо. Так, заміну виразу k(а + b) на тотожно рівний йому вираз kа + kb зроблено з використанням розподільного закону множення відносно додавання. Тотожне перетворення виразу 3а – (а – 2b) можна виконати, послідовно застосувавши правила розкриття дужок і зведення подібних доданків. Маємо: 3а – (а – 2b) = 3а – а + 2b = 2а + 2b.  Як довести тотожність. Довести тотожність означає встановити шляхом логічних міркувань, що дані два вирази тотожно рівні. Для цього один із виразів або обидва тотожно перетворюють так, щоб звести їх до однакового вигляду.

Приклад 2. Встановити

на основі розподільного

Після цього тотожність виразів 3х + 6 і 1,5 ∙ (4 + 2х) не викликає сумніву.

Приклад 3. Встановити тотожність виразів (b + d)а + dс і (а + с)d + аb. Розв’язання. Зведемо обидва вирази до однакового вигляду:

1) (b + d)а + dс = ab + ad + dc; 2) (а + с)d + аb = ad + dc + ab = ab + ad + dc.

Отже, (b + d)а + dс = (а + с)d + аb. Таким чином, дані вирази теж тотожні.

Завдання встановити тотожну рівність двох виразів може бути сформульоване інакше: довести тотожність. У цьому випадку процес перетворень залишається тим самим.

Приклад 4. Довести тотожність 2а + 5(7 + а) – 40 = 7а – 5.

Доведення. 2а + 5(7 + а) – 40 = 2а + 35 + 5а – 40 = 7a – 5. Отже, 7а – 5 = 7а – 5. Тотожність доведено.

Для доведення тотожностей можна використати ще й такий спосіб: записують різницю лівої та

частин

рівності і одержаний вираз спрощують. Якщо

нуль, то тотожність уважають доведеною. Доведіть таким способом попередню тотожність. Тотожні перетворення виразів, тотожності та

зустрічатимуться у

розв’язування задач і вправ.

Запитання для самоперевірки

1. Які значення двох виразів називають відповідними?

2. Які вирази називають тотожно рівними (тотожними)?

3. Що таке тотожність? Наведіть приклади.

4. Що таке тотожне перетворення виразу?

5. Які способи доведення тотожності двох виразів ви знаєте?

Задачі та вправи

34°. Запишіть відомі вам тотожності, що виражають властивості арифметичних дій.

35°. Чому дані вирази тотожно рівні:

а) 3а + 2 і 2 + 3а; б) 3(х + 4) = 3х + 12; в) а(2b) = 2аb; г) 3 + (4 – 5х) = 7 – 5х?

36°. Які вирази тотожно рівні:

а) 3(х + у) і 3х + 3у; б) 5,7(х + у) і 5,7х + 5,7у; в) 4,8(а + b) і 4,8а + b; г) (а – b) ∙ 8 + а і 7а – 8b; ґ) 4(m – 3) i 4m – 3; д) 1 – a + b i 1 – (a – b)?

37. Доведіть тотожності:

а) –5(4 + а) + 28 = 8 – 5а; б) –0,8(–2 + 0,75а) = 1,6 – 0,6а; в) (х + 3,5) ∙ 4 – 3х = х + 14; г) 4,2(х – 5) – 3,2х = х – 21.

38. Заповніть таблицю:

х 0 1 –1 2 –2 2,5

3(2х – 1) + 4

6х + 1

Чи тотожні вирази 3(2х – 1) + 4 і 6х + 1? Відповідь обґрунтуйте.

39. Заповніть таблицю: х 0 1 2 3

x + 3

х + 3

Чи тотожні вирази x + 3 і х + 3? Обґрунтуйте відповідь.

40. Складіть вирази для обчислення площі фігури, зображеної на

рисунку 3, спочатку доповнивши фігуру до прямокутника, а потім розбивши її на два прямокутники. Доведіть тотожність утворених виразів.

41*. У тотожності 3х + 4х = 7х замініть змінну х виразом а – 6. Чи є тотожністю утворена рівність? Обґрунтуйте відповідь.

42*. У тотожності 2y + 8y = 10y замініть змінну y виразом а – b. Доведіть, що утворена рівність є тотожністю.

43. Доведіть, що значення виразів не залежить від а:

а) 6(3 – 2а) + 12а; б) –1,5(а – 8) + 3,5 3 7 a.

44*. Доведіть тотожність виразів:

а) 1 2 mn – 0,5kn i kn + 1 2 (m – k)n; б) y(x – m) + m(y – n) i xy – nm.

45*. Запишіть замість «*» такий вираз, щоб утворилася тотожність:

а) 4x(m + 0,5n) – 2xm = *(m – n); б) *(x – y) = 3kх – 3ky.

Пригадайте

1.

2.

3. Обчисліть: 52; 23; 0,52; 43

утворено добуток. Аналогічно вважають, що

так: b6 . Отже, b6 = b ∙ b ∙ b ∙ b ∙ b ∙ b.

виразі

ником степеня, а весь вираз а5 степенем. Читають вираз а5 так: а в

b6 шостий степінь числа b

,

b записують

Для правильного вживання терміна «степінь» не забувайте, що це іменник чоловічого роду.

Зазначимо, що основою степеня може бути

вираз.

Наприклад, (–7,3)3 = –7,3 ∙ (–7,3) ∙ (–7,3); 4 7 4

4

4 7 4 ; (6mn)2 = 6mn ∙ 6mn;

Зверніть увагу на відмінність між виразами (6mn)3 і 6mn3 . У першому виразі показник степеня стосується всього

стоїть у дужках, а в другому

множника n. Тобто (6mn)3 = = 6mn 6mn 6mn, а 6mn3 = 6m n n n.

Корисно знати, що: степінь додатного числа з будь-яким натуральним показником є число додатне; степінь від’ємного числа з

показником є додатним числом, а з непарним ― від’ємним; 0 у будь-якому степені з натуральним показником дорівнює 0; будь-який степінь 1 дорівнює 1

Спробуйте обґрунтувати ці твердження самостійно.

Варто пам’ятати і таке правило: щоб піднести до степеня дріб,

до степе-

ня належить до дій третього ступеня. Під час обчислень і пере-

творення виразів спочатку виконують (з урахуванням дужок) дії третього ступеня, потім другого і

тому порядку, як вони записані.

Наприклад, 3 ∙ (42 + 56) : 22 = 3 ∙ (16 + 56) : 4 = 3 ∙ 72 : 4 = 54. Піднесення числа до степеня за

калькулятора замінюють дією множення.

Наприклад, 4,23 можна обчислити за такою програмою: 4,2 × 4,2 × 4,2 = 74,088, або 4,2 ×= 74,088, тобто після набору 4,2 натиснути клавішу × ,

Запитання для самоперевірки

1. Як ви розумієте запис: bn, де n натуральне число,

+ 72)?

Задачі та вправи

Обчисліть значення виразів (46–47):

46°. а) 22, 42, 52, 0,12, 0,13, 1 2

; б) (–2)2, (–2)3, (–3)2, (–3)3, (–0,5)2, (–0,5)3, (–0,6)2.

47. а) 1,52, 2,52, 1 1 2 2 , 2 1 3 2 , 1 1 2 3 , 2 1 3 3 , 1 2 5 2 , 1 2 5 3 ; б) 82, (–8)2, 112, (–11)2, 1,22, (–1,2)2, 2,12, –32, –0,32.

48°. Обчисліть

49°. Обчисліть

50°. Запишіть

2

∙ 2

2а ∙ 2а; в) (x – y) ∙ (x – y) ∙ (x – y) ∙ (x – y) ∙ (x – y); г) 4m2n ∙ 4m2n.

51. Поясніть відмінність між виразами, записавши кожний із них у вигляді добутку без показника степеня: а) 2а4 і (2а)4; б) 3ху2 і (3ху)2; в) 5(m – n)3 і (5(m – n))3; г) 2c2d2 і (2cd)2.

52. Випишіть вирази, які слід піднести до відповідного степеня: а) 3b5; б) 5mn3; в) (2ху)4; г) (3b)5; ґ) 4х3у; д) 0,1ху2; е) (1,2х3у)2; є) (4х2)3.

53. Серед даних виразів знайдіть ті, що є степенями, або їх можна подати у вигляді степеня іншого виразу з показником, більшим від 1: а) 0,4а2; б) х9; в) 25у2; г) (–3х2у)4; ґ) 1 27 ; д) х2у2; е) (с – d)3; є) (–а)4.

54°. Які з виразів є тотожними: а) (–а)6 і –а6; б) (–а)3 і –а3; в) х – 2а і –2а + х; г) рр3 і р4?

55°. Серед даних виразів знайдіть тотожно рівні та запишіть їх: а) (–m)7; б) (–а)4; в) 2а2b2; г) –m7; ґ) m7; д) (2ab)2; е) а4; є) –а4; ж) 2аb2; з) 4a2b2 .

56°. Вкажіть порядок дій при обчисленні значень виразів: а) 2 ∙ 34; б) (2 ∙ 3)4; в) (10 – 2)2; г) 102 – 22; ґ) 7аb4; д) (7аb)4; е) 2 ∙ (3 – 4)2; є) (2 ∙ (3 – а))2.

57°. Обчисліть значення виразів:

а) 0,25 ∙ 22; б) (0,25 ∙ 2)2; в) (–5)2 ∙ (–2)2; г) –52 ∙ (–22).

58°. Спростіть вирази:

а) х ∙ х ∙ х + у ∙ у; б) а ∙ а – b ∙ b ∙ b; в) m ∙ m + n ∙ n; г) с с с – р р; ґ) r r + x x x; д) p p p + r r.

59°. Запишіть вирази: а) квадрат числа х; б) квадрат суми чисел x i у;

в) різниця квадратів чисел x і у; г) квадрат різниці чисел x і у; ґ) куб числа а; д) куб суми чисел а і b;

е) сума кубів чисел а і b; є) різниця кубів чисел а і b.

60. Обчисліть: а) суму квадратів чисел 3 і –2; б) квадрат різниці чисел 25 i 8; в) різницю куба числа –3 і квадрата числа 5; г) суму куба числа –2 і різниці

61. Значення якого з числових виразів дорівнює 5:

62. Обчисліть:

;

,; в) –(–5)3 ∙ 0,5 + 102; г) –5 ∙ (–2)3 + 2 3 6 ()2 .

63. Чи тотожні вирази: а) –х2 і (–х)2; б) –х3 і (–х)3; в) 3(–х)2 і 3(–х2); г) 4(–х)3 і 4х2(–х)?

64. Запишіть у вигляді степеня з основою 10 такі числа: 100; 1000; 100 000; 10 000 000.

65*. Куб, об’єм якого

66*.

67*.

68*.

1 млрд

Знайдемо добуток 128 ∙ 256 на калькуляторі або письмово. Дістанемо 32768. Як бачимо, це число теж стоїть у рядку степенів числа 2, і йому відповідає показник степеня 15, тобто 32 768 = 215. У свою чергу, 128 = 27, 256 = 28. Помічаємо, що 15 = 7 + 8. Отже, 27 28 = 27 + 8 = 215.

Щоб обчислити добуток 32 ∙ 64, знайдемо у верхньому рядку таблиці відповідні цим множникам показники степенів 5 і 6, додамо

їх і під сумою 11 прочитаємо результат 2048. Множення 32 на 64 звичайним способом показує, що результат дістали правильний.

Для обчислення частки 8192 : 512 знайдемо різницю відповідних показників степенів: 13 – 9 = 4. Під показником 4 шукаємо

потрібний результат 16. Перевірте правильність відповіді.

Обчисліть аналогічно: 8192 : 1024; 16 384 : 512.

Ці обчислення виявилися можливими на основі властивостей степеня з натуральним показником, з якими ви зараз ознайомитесь. Зауважимо, що далі поряд зі словосполученням «степінь з натуральним показником»

означатиме те саме поняття.

 Властивості степеня. Властивість 1. Добуток

Доведення. Скористаємось

27

результаті маємо дістати ділене. Скористаємось цим у

діленого

залишити ту саму. Властивість 3. Степінь добутку двох множників дорівнює добутку степенів цих самих множників: (ab)n = an ∙ bn . (3)

Наприклад: 1) (3 4)2 = 32 42; 2) (3ab)3 = 33 a3 b3 = 27a3b3 Властивість 4. Степінь степеня дорівнює степеню тієї самої основи, показник якого є добутком даних показників степенів: (am)n = amn . (4)

Доведення. За означенням степеня

маємо:

так: щоб піднести степінь до степеня,

перемножити.

Наприклад: 1) (23)2 = 23 2 = 26 = 64; 2) (b6)5 = b6· 5 = b30 .

Усі розглянуті властивості степеня обґрунтовано для натуральних показників, більших за 1. Якщо показник степеня дорівнює 1, то ці властивості очевидні. Переконайтеся у цьому самостійно.

 Спрощуємо обчислення. Кожну з розглянутих тотожностей можна використовувати, помінявши місцями

частини.

Наприклад, обчислення виразу 25 ∙ 55 можна суттєво спростити, скориставшись тотожністю (3): (а ∙ b)n = an ∙ bn, прочитаною справа наліво: an ∙ bn = (а ∙ b)n . Маємо: 25 ∙ 55 = (2 ∙ 5)5 = 105 = 100 000.

1.

∙

=

б) (7ab3)2 =

a2b6; в) 323 : 162 = (25)3 : (24)2 = 215 : 28 = 27?

2. Яка з рівностей правильна: а) 24 ∙ 34 = 68; б) 24 ∙ 34 = 616; в) 24 ∙ 34 = 64?

Задачі та вправи

71°. Виконайте множення:

а) х4 ∙ х6; б) а12 ∙ а7; в) y4 ∙ y6; г) m ∙ m2; ґ) b3 ∙ b2 ∙ b; д) c ∙ c; е) с3 ∙ с2 ∙ с; є) 2а2 ∙ а3; ж) 3b4 ∙ b5; з) 25 ∙ 22; и) 33 ∙ 33; і) 7,8 ∙ 7,82; ї) an ∙ a2; й) b3 ∙ bk; к) сm ∙ сn .

Піднесіть до степеня (72–73):

72°. а) (а2)3; б) (b4)2; в) (x8)3; г) (m3)3; ґ) (y10)10; д) (c7)4; е) (a5)5; є) (p8)8; ж) (xn)3; з) (m4)p

73°. а) (а2b2)2; б) (x3y3)3; в) (2m2n4)2; г) (3xy5)2; ґ) (0,1p3n)3; д) (аnx2)4; е) (а2xm)n; є) (bmcn)p .

Виконайте ділення (74–75):

74°. а) y8 : y4; б) а6 : а3; в) m12 : m4; г) c16 : c8; ґ) x24 : x12; д) b36 : b6; е) n18 : n3; є) p25 : p5; ж) x14 : x7; з) y30 : y15 .

75°. а) x16 : x8; б) x16 : x2; в) x16 : x10; г) a8 : a5; ґ) a18 : a2; д) a18 : a9; е) a18 : a12; є) b17 : b15; ж) 27 : 25; з) c4 : c3; и) 516 : 515; і) yn : y5; ї) x7 : xp; й) mn : mk.

76*. Спростіть вирази: а) mp – 2 ∙ m3 – p; б) a2k ∙ a1 – k; в) b3n ∙ bn; г) xn ∙ xn; ґ) y3p : y2p; д) yp + 1 : yp; е) сk + 3 : сk + 2; є) mk – 1 : mk – 3 .

77. Замість крапок запишіть відповідні множники, щоб утворилися тотожності:

а) х8 … = х16; б) m12 … = m24; в) … 26 = 212; г) … ∙ 33 = 36; ґ) … ∙ x5 = x5; д) a8 ∙ … = a10; е) b4 … b5 = b11; є) y y2 … = y6; ж) n … n3 = n5 .

Знайдіть і виправте допущені помилки (78–79):

78°. а) х3 х2 = x6; б) х5 х4 = x9; в) (y4)2 = y6;

г) (p3)4 = p12; ґ) (a2)2 = a4; д) c27 : c9 = c3;

е) a15 : a5 = a10; є) а3 ∙ b2 = ab5; ж) (ab2)3 = ab6; з) (ab2)3 = ab5; и) (ab2)4 = a4b6; і) (ab2)4 = a4b8 .

79. а) (4х3у4)2 = 8х6у8; б) (3х4y)2 = 9х8y2; в) (0,3х2у2)2 = 0,9х4у4; г) (2a3b4)4 = 16a12b16;

ґ) 5 ∙ 23 = (5 ∙ 2)3 = 103 = 1000; д) 75 15 5 2 2 = .

80°. Запишіть у вигляді степеня:

а) a2b2; б) х4y4; в) b6c6; г) 36m2n2; ґ) х6y2; д) 4m4n6; е) c12d9; є) 8x6; ж) –p3; з) –55.

Обчисліть (81–84):

81. а) 0,2510 ∙ 410; б) 1 8 16 4 4 ; в) 1 1 8 8 9 10 10 ;

г) 1 3 6 7 7 ; ґ) 1 2 4 5 5 ; д) 0 125 8 6 6 ,.

82. а) 1 2 2 5 7 ; б) 02 5 8 9 ,; в) 1258 4 6 ,; г) 05 4 9 8 ,.

83. а) 23 6 45 6 ⋅ ; б)

в)

84*. а) 45 225 23 5 ⋅ ; б) 249 78 6 2 52 ; в) 59 325 34 92 ⋅ ; г) 210 100 1000 32 2 .

85*. Порівняйте: а) 48 і 85; б) 97 і 274; в) 1020 і 2010; г) 65 і 310.

Розв’яжіть рівняння (86–88):

86. а) 42 ∙ х = 43, 24 ∙ х = 26, 32 ∙ х = 37, б) а : 23 = 22, 53 : х = 52, 36 : х = 92.

87. а) x 2 2 2 3 = ; б)

88*. а) (2х)3 = 26; б) (32)х = 36; в) (22)х = 28; г) х3 = 1; ґ) (х – 3)2 = 0; д) (х – 3)2 = 1.

89*. Заповніть порожні клітинки таблиць числами так, щоб добуток усіх чисел по кожній вертикалі, горизонталі та діагоналі дорівнював одному й тому самому числу.

Вирази, що містяться у правих частинах формул, є добутками чисел 4, 2, π, змінних a, r або їхніх степенів. Такі вирази називають одночленами.

Вираз, що є добутком чисел, змінних та їхніх степенів, називають одночленом.

Приклади одночленів: 2a2b, –3x3y4 , 4c8d2 ∙ 0,1m. Одночленами вважають також числа, змінні та їхні степені. Наприклад: 5, 22, а3 .

Вираз 5 2 24 mn за означенням не є одночленом (бо містить дію ділення на 2), але його можна записати у вигляді одночлена, виконавши нескладне перетворення: 5 2 24 mn = 5 2 24 mn , де 5 2 число.

Вирази 2(a + b), (x – y)2, 3ab – 4c3 не є одночленами, бо,

ження і піднесення до степеня,

додавання або віднімання.  Стандартний вигляд одночлена. Трапляється, що одночлен містить кілька числових множників або степенів однієї змінної. У такому разі їх, як правило, замінюють одним числовим множником і одним степенем відповідної змінної. Розглянемо для прикладу таку задачу. Задача 1. Знайдіть масу товару, що може вмістити рефрижератор (рис. 5), якщо маса 1 м3 товару дорівнює 0,12 т. Рис.5

Розв’язання. Оскільки рефрижератор має форму прямокутного паралелепіпеда, то його об’єм дорівнює: 3a ∙ 2a ∙ b (м3).

Отже, маса товару в рефрижераторі буде: 0,12 3a 2a b (т).

Одержаний вираз легко перетворити, скориставшись переставним і сполучним законами множення: 0,12 ∙ 3a ∙ 2ab = (0,12 ∙ 3 ∙ 2) ∙ (аа)b = 0,72а2b.

Аналогічно можна перетворити одночлени: а) –0,3x ∙ 5xy; б) 4a2b ∙ (–2,4a3b4).

Маємо: а) –0,3x ∙ 5xy = –0,3 ∙ 5xxy = –1,5x2y; б) 4a2b ∙ (–2,4a3b4) = 4 ∙ (–2,4)a2a3bb4 = –9,6a5b5 .

Зверніть увагу на те, що в кожному з одержаних одночленів числовий множник стоїть на першому

і

змінна входить до них тільки один раз.

Одночлен, який містить тільки один числовий множник, що стоїть на першому місці, і до якого кожна змінна в певному степені входить тільки один раз, називають одночленом стандартного вигляду

Перетворення, внаслідок якого з даних одночленів дістають одночлени стандартного вигляду, називають зведенням одночленів до стандартного вигляду.

Числовий множник одночлена стандартного вигляду називають коефіцієнтом.

Наприклад, коефіцієнти

шається тією самою.

Наприклад: а) виконайте множення

спростіть вираз 4x4 2x4y;

г) знайдіть добуток 4x4 ∙ 2x4y.

Усі ці формулювання, по суті, означають одне: потрібно звести одночлен 4x4 ∙ 2x4y до стандартного вигляду.

Для виконання цього завдання

одночлена, застосовують правило

нів. Інколи доводиться виконувати перетворення, обернене до попереднього, записувати одночлен стандартного вигляду як добуток двох одночленів.

одночлен

ку двох одночленів,

ників степенів цих змінних. Наприклад, вираз 4x3y2z є одночленом шостого степеня, бо сума показників степенів змінних, що входять до нього, дорівнює 3 + 2 + 1 = 6.

Запитання для самоперевірки

1. Який вираз називають одночленом? Наведіть приклади.

2. Які з одночленів є одночленами стандартного вигляду: a) 3a3ba; б) 4xy3; в) –4,5m4n ∙ 2; г) a2b7c4; ґ) 3ddd? Відповідь поясніть.

3. Яку неточність допущено

числовий множник, який стоїть в

92°. Які

а) 3с3d2; б) 5 8 4 x ; в) 3 4 3 mn ; г) a -13 , ; ґ)c 6 ; д) (х – 4)3; е) 1; є) (8а3)2?

Які з них можна

94°. Знайдіть добуток одночленів:

а) 17а2 і 5а; б) –6аb і 2а; в) –9аb і –8ab;

г) –0,5а2 і 9ab; ґ)4 7 2 ab і 5 9 a; д) –0,8а3b і 4 7 2ab ; е) –0,6а3 4 ab; є) 7 8 3 ab і –0,2аb; ж)4 9 ab і –18а3b

95°. Спростіть вирази:

а) (3ах)2; б) (2ах)3; в) (0,4аb)2; г) (–0,2ab)3; ґ) (–0,5ab)2; д) (–0,4a2b)3; е) (–0,6а3b)2; є) (–0,3а2b)3; ж) 3 4 23 2 ab

Піднесіть одночлени до степеня (96–97):

96°. а) (3ху)2, (4xy)3, (–4х2)2, (–7ху2)2, (2х2у)3; б) (0,1х)2, (0,1x)3, (0,4х3)2, (–0,4х2)2, (–0,6х2у)3.

97. а) 3 7 3 2 x ; б) 3 7 2 2 xy ; в) 7 9 2 2 xy ; г) 12 17 2 xy ; ґ) 15 17

Виконайте дії (98–99):

98°. а) 2х (3х)2; б) 0,8х (–4х)2; в) (–2х)3 (–0,8х); г) 4 3 21 ⋅ ,; x ґ) 4х2 ∙ (–4х)2; д) 7xy ∙ (–3x2)3.

99°. а)(–3x)2 ∙ (–2x)3; б)(–0,8x2)2 ∙ 1 2 7 xy; в) 1 3 4 3 7 2 3 xx y .

100. Перетворіть вирази в одночлени стандартного вигляду, а потім, якщо можливо, запишіть їх у вигляді степеня: а) 2а3b4 ∙ 8аb2; б) 0,7x3у ∙ 6ху2; в) 1 2 х2y ∙ 2х4y3; г) 8cd2 ∙ 2c3d2; ґ) (–3xy4) ∙ (–12ху2); д) 8m2n5 ∙ (–8mn).

яких правил призвело до них:

а) х х = 2х; б) 5 22 = 102; в) х3 х2 = х6; г) (х3)2 = х9; ґ)(х4)3 = х7; д) 42 ∙ 32 = 124; е) (–3х)4 = –12х4; є) а2b3 = (ab)5; ж) –а4 2а3 = 2а7 .

Заповніть пропущені місця відповідними множниками так, щоб утворилися тотожності (102–104):

102. а) 8х3 = 4х2 ∙ ... ; б) 25х2у = ... ∙ у; в)16х2у3 = 4х2у ∙ ... ; г) 9х3у2 =

103. а) 4m2n ∙ … = m5n3; б) … ∙ (–5х2у) = x4у; в) 5a2b4 ∙ … = –5a2b4; г*) 3a3b ∙

105. Вантажним автомобілем привезли 50 дощок завдовжки а м, завширшки b дм, завтовшки 0,2b дм кожна. Запишіть у вигляді одночлена стандартного вигляду вираз для обчислення маси всіх дощок, якщо 1 м3 деревини має масу 0,8 т.

Розставте в порожніх клітинках таблиць одночлени так, щоб їхній

xy 26 xy 42 xy 55 xy 68 ab35 a 2 b2 ab77

Розмістіть одночлени в

а) спадання степеня у; б) зростання степеня а.

1. Обчисліть:

а) (–3)2; б) (–6)3; в) 2 3 2 ; г) (5 – 3)3; ґ) 33 – 5; д) 1,52; е) –33; є) 3 3 3 2 .

2. Знайдіть значення виразу х2 – 3х + 7, якщо: а) х = –4; б) х = 2 3 ; в) х = 1,2; г) х = 0.

3. Виконайте дії: а) а4 : а3; б) х2 ∙ х ∙ х5; в) 3m8 : m4; г) у3 ∙ 2у ∙ у5 .

4. Розв’яжіть рівняння: а) 53 ∙ х = 56; б) х : 33 = 1 3 ; в) 55 : х = 52; г) 32 ∙ х = 27.

5. Для яких

а) 4 3 x; б) x x + 4 ; в) 2 4 2 x x; г) x x + 3 .

6.

Які з виразів тотожно рівні:

а) х5; б) (х3)2; в) х6; г) х2 ∙ х3?

7. Спростіть вирази: а) х3· х2; б) х6 : х2; в) (х3)2; г) х4 : х2?

8. Запишіть одночлени у стандартному вигляді і назвіть їхні коефіцієнти: а) 3х4 ∙ х; б) –2а3 ∙ 3а; в) –5а2х ∙ 0,1ах3; г) 0,25mn ∙ 4m2n.

9. Допишіть замість крапок такі множники, щоб утворилися тотожності:

а) a4b2 = a2b2 ... ; б) x5y6 = x3y2 ... ; в) 3m4n4 = 3mn3 ... ;

10. Запишіть вирази:

чверть

частка чисел с і d

12x3y5 = ... 2xy2 .

1. Обчисліть: а)

2.

Обчисліть: а) квадрат різниці чисел 8 і –3; б) різницю квадратів чисел 9 і –4.

3. Розв’яжіть рівняння: а) 93 : х = 272; б) х : 33 = 1 3 ; в) 85 ∙ х = 164; г) (–0,5)3 ∙ у = 0,25.

4.

Знайдіть помилки, якщо вони допущені, та виправте їх: а) а8 : а4 = а2; б) х3х2 = х5; в) b8c8 = bc8; г) b8c8 = (bc)16; ґ) (mр2)3 = m3p5; д) (m4n)4 = m16n4 .

5. Запишіть вирази у вигляді степеня: а) 32а3а5; б) a3b2 ab6; в) 2x2 24x3y5; г) c2d3 c2d5 .

6. Запишіть одночлени у стандартному вигляді:

а) –mn ∙ 0,5m2n4 ∙ 2m; б) 2с2 ∙ (–3с2d)3; в) (–8a2b3)3 2a2b3; г) –3ху3 (3х2у2)2.

7. Запишіть вирази, якщо це можливо, як одночлени стандартного вигляду:

а) xy 2 2 ; б) ab + 3 ; в) 2m + 5m; г) 3ab c .

8. Допишіть замість крапок одночлени так, щоб утворилися тотожності:

а) 12a4bc3 = 4abc ... ; б) 15m8n6р3 = ... ∙ 3m4n2р; в) 36x5y2 = ... (3xy)2; г) –18k3l4m5 = 6kl2m5 ... .

9. Запишіть вирази: а) половина добутку суми чисел х

різниці; б) квадрат третини добутку чисел а і b; в) різниця квадратів чисел m і n; г)

10. Спростіть вираз: а) 42п· 43п – 1· 45п + 1;

1. Запишіть вираз

2. Обчисліть:

3. Виконайте дії:

4.

27х2у3 ∙ х4;

12

5.

6.

24a2b3d7 = 2ab3 3d2 ... ; б) 100x7y4 = (...)2 ∙ 4x; в)24 49 m6n5p3 = 6mn2 ... 2 7 m2р; г) 32c5d4n6 = –4с2n3 ∙ 2 3 dn2 ∙

шого значення і якого: а) (4 – х)2 + 7;

7.

10 – (3 – х)2;

(2,5 – х)2 + 3 2 3 ; г) 3,6 – 2 3 4 2 x ?

Знайдіть число, 60 % якого:

а) більші за його третину на 24; б) менші від його третини на 24.

8. Запишіть вирази:

а) потроєний добуток квадрата суми чисел a i b та їх різниці; б) різниця куба суми виразів 3m і 2n та квадрата їх різниці.

9. Запишіть словами назви виразів: а) 2(a2 – b2) + (a – b)2; б) 3ху – (х3 + у3).

10. Розв’яжіть рівняння: а) (х – 7)2 = 0; б)(4 + х)2 = 0; в) (х – 4)2 = 1; г) |х|2 = 4.

1. Які доданки називають

2. Поясніть, як зводять подібні доданки, виконавши зведення їх у виразах: а) 4а + 3а + а; б) 7b – 3с + 4b – 2b.  Що таке многочлен. Розглянемо рисунок 6. Місткість рефрижератора

Рис.6

Многочлен, що складається з двох членів, називають двочленом, многочлен, що містить три члени, тричленом.  Подібні члени многочлена та їх зведення. Вирази 4а + + 3а + а і 7b – 3c + 4b – 2b є многочленами, тому подібні доданки, що входять до них, називають подібними членами цих многочленів.

Подібні члени у многочлені відшукати неважко: це такі одночлени стандартного вигляду, які відрізняються між собою лише коефіцієнтом або нічим не відрізняються.

Наприклад, у многочлені 4a2b – 3a2b + 5a2b + 4a2b всі члени подібні; у многочлені 3mn – 4y2 + 5mn + 1 + 3y2 подібними є перший і третій, а також другий і п’ятий члени.

Перша пара подібних членів підкреслена однією рискою, а друга двома рисками.

Подібні члени, як і подібні доданки, можна зводити. Таке зведення виконують на основі розподільного закону множення: a(b + c) = ab + ac. Якщо поміняти місцями ліву і праву частини цієї рівності, то дістанемо: ac + bc = a(b + c).

Скориставшись останньою тотожністю, вираз 5ay + 8ay можна перетворити так: 5ay + 8ay = ay(5 + 8) = 13ay.

Оскільки розподільний закон множення стосується будь-якої кількості доданків, то зводячи подібні члени многочлена 4a2b –– 3

+ 4) = 10a2b.

Поряд із поняттям одночлена стандартного вигляду існує по-

няття многочлена стандартного вигляду. Многочленом стандартного вигляду

многочлен, що містить лише одночлени стандартного вигляду, серед яких немає подібних. Наприклад, 5

вигляду.

є многочленами стандартного вигляду, оскільки у першому з них другий член не є одночленом стандартного вигляду, а в другому не зведено подібні члени 8х2 та х2 . Таким чином, щоб звести многочлен до стандартного вигляду, потрібно записати кожний член цього многочлена у стандартному вигляді і звести подібні члени.

Наприклад: 2а2а + 3xy – 5a3 = 2a3 + 3xy – 5a3 = –3a3 + 3xy.

Записувати члени у многочлені можна в різній послідовності. Інколи їх упорядковують за спадними степенями певної змінної, тобто розміщують члени з цією змінною у порядку поступового зменшення показника степеня даної змінної. Наприклад, многочлен 4ах + 2х3 – 3 + 5х2 , упорядкований за спадними степенями змінної

(1892 – 1942) одержав фундаментальні результати в галузі вищої алгебри. У світовій літературі їх називають многочленами Кравчука. Можна тепер процитувати більше сотні наукових праць за останні 80 років, в яких многочлени академіка Кравчука досліджувано, узагальнювано, вказано їх різноманітне застосування, починаючи з теоретичних питань математики, кінчаючи різними розділами фізики. М.П. Кравчук

допомогою своїх многочленів довів нові формули

математиці. Запитання для самоперевірки

1. Що таке многочлен?

2. Які члени многочлена називають подібними? Наведіть приклади.

3. Як звести подібні члени многочлена? Проілюструйте

ладом.

5. Які перетворення многочлена слід виконати,

6. Як визначити степінь

Зразок 4,8х2 –1 3 xy – 2х = 4,8х2 + 1 3 xy + (–2х).

110°. Запишіть суму одночленів:

а) 4а і 0,8b; б) –4а2 і 2b; в) 3,5а і 1 2 2 a ; г) 3 4 a і 1 2 b; ґ) –3,5а2 і 3а; д) 7,5а і 3 2 b; е) 5m2 , –6mn і –8; є) 2,1х3 , –7х2 , 0,9ху2 і –у.

111°. Утворіть многочлени з таких одночленів: а) а2 , –2аb, 3; б) 5х2 , 4х2у, –6х2 , –1; в) –0,2с, 9,2d2 , –5cd3 , 1; г) –2m, 4m3n, –3n2 , –8m2n4 .

112. Упорядкуйте два останні многочлени із вправи 111 спочатку за спадними, а потім за зростаючими степенями кожної змінної.

113. Які з виразів є многочленами: а) х + 3; б) m2 – 8m + n; в) а(а – 3); г) (4 – х)2; ґ) р3 – 3р + g + 1; д) b2 + 2(b – c); е) x 2 + у2 – 1; є) 3x2m – 2(1 – mx)?

114°. Зведіть подібні члени многочленів: а) 18а – 15а; –12а + 18а; 14а2 – 29а2; 8,9а3 – 1,9а3; б) 7,5а2 – 14а2; 4πr2 – 3πr2; 2πr + 8πr; πr2 + 2πr2; в) 7а3 – 2а3 – 1,5а3; 4,5ху – 2,6ху; 3ху – 5х – 1,8ху; г) 8,4а2h – 4,7а2h + а2h; 3πr2 – 1,5πr2; πr2h – 0,5πr2h

115. Знайдіть допущені помилки і виправте їх: а) х + х = x2; б) 3а + 7а = 10а; в) 7а – 3а = 4; г) 12х – х = 12; ґ) x5 – x2 = x3; д) 2а + 3b = 5ab; е) 2ab + 3ab = 5ab; є) 12х – х = 11х.

Зведіть подібні члени многочленів (116–117):

116°. а) 0,3с3 – 3с2 – 0,5с3 + с2; б) 4x2 – 7у2 – 6у2 + 3x2; в) 5ab + 4a2b2 + 8a2b2 – 3ab; г) 2у2 – 3у + 2у – у2 .

117. а) 11m2 + 4mn – m2 – 4mn; б) –с3 – d3 + 2с3 – d3; в) 2 5 ху – 0,2х2у + 5 6 ху + 4,5х2у; г) 6πr2h – 1,5πr2h + πrh.

118°.

сторін: P = AB + BC + AC.

Отже, щоб знайти суму многочленів, потрібно спочатку скласти

відповідний вираз, узявши многочлени-доданки в дужки і поста-

вивши між ними знак «+», а потім перетворити одержаний вираз, розкривши дужки і звівши подібні члени.

Приклад 1. Знайти суму многочленів c2 – 5cd + 1 i 8cd – 3.

Розв’язання. (c2 – 5cd + 1) + (8cd – 3) = c2 – 5cd + 1 + 8cd – 3 = = c2 + 3cd – 2.  Як знайти різницю многочленів. Різницю многочленів знаходять аналогічно. Наприклад, щоб від многочлена 3x2 + 10y відняти многочлен 7y – 2, спочатку складають відповідний вираз різницю цих многочленів, узявши їх у дужки і поставивши між ними знак «–»: (3x2 + 10y) – (7y – 2). Потім вираз перетворюють, розкриваючи дужки і зводячи подібні члени: (3x2 + 10y) – (7y – 2) = 3x2 + 10y – 7y + 2 = 3x2 + 3y + 2.

Надалі можна не брати в дужки перший многочлен, бо це не впливає на результат віднімання або додавання.

Завдання знаходження суми або різниці многочленів можна сформулювати по-різному:

а) додайте або відніміть многочлени; б) знайдіть суму або різницю виразів; в) знайдіть суму або різницю

m – 14n.  Як узяти многочлен у дужки. Ви вже знаєте, як

у многочлен. Часто доводиться виконувати обернене перетворення даний многочлен записувати у вигляді суми або різниці двох многочленів.

Наприклад, многочлен 3m + 2n + 4a – b можна подати у вигляді суми двох многочленів так: 3m + 2n + 4a – b = 3m + 2n + (4a – b),

а у вигляді різниці многочленів так: 3m + 2n + 4a – b = 3m + 2n – (–4a + b).

Розкривши дужки, легко встановити, що записи виконано правильно.

Головне у таких перетвореннях правильно записати многочлен, який має бути в дужках. Для цього слід користуватися таким правилом:

знаки членів многочлена, взятого в дужки, не змінюють, якщо перед дужками ставлять знак «плюс», і змінюють на протилежні, якщо перед дужками ставлять знак «мінус».

Запишемо, користуючись цим правилом, многочлен 7a4 – 3b –– 10b2 + 6d3 – c4 у вигляді суми двочлена і тричлена, утворених відповідно з двох перших і трьох останніх членів даного многочлена. Оскільки для утворення такої суми перед узятим у дужки тричленом слід поставити знак «плюс», то знаки його членів залишаються такими самими, які вони були у многочлені. Маємо: 7a4 – 3b – 10b2 + 6d3 – c4 = 7a4 – 3b + (–10b2 + 6d3 – c4). Записуючи даний многочлен у вигляді різниці тих самих двочлена і тричлена, знаки взятих у

трьох останніх членів даного многочлена слід змінити на протилежні, бо для утворення різниці перед дужками потрібно поставити знак «мінус». Отже, 7a4 – 3b – 10b2 + 6d3 – c4 = 7a4 – 3b – (10b2 – 6d3 + c4).

пам’ятати і ще одне правило:

стоїть перед дужками.

Наприклад:

1) a + (6b – c) = a – (c – 6b);

2) m – (3x – 5y) = m + (5y – 3x);

3) c – n(–2a + b – 2d) = c + n(2a – b + 2d).

Запитання для самоперевірки

1. Запишіть два многочлени. Знайдіть їхню суму, а потім їхню різницю. Які тотожні перетворення вам довелося виконати при цьому?

2. Що слід зробити зі знаками

3. Що слід зробити зі

«-» перед ними, щоб дістати вираз, тотожний даному многочлену?

Задачі та вправи

123°. Розкрийте дужки:

а) (4m – 3n); б) 1 + (2x + 5y);

в) (7a – 3) + (4b – 8c); г) –(9xy + 2); ґ) –(13c – d2); д) 20 – (x2 –xy + y2); е) (a – b) + (c – d) – (x + y); є) x + (3a – 1) – (m – 2n –5).

124°. Знайдіть і виправте помилки в рівностях:

а) x + (2y – 3z) = x + 2y – 3z; б) –(x + y) + 5 = –x + y + 5; в) 8 + (a + 3b) = 8a + 3b; г) –(x + y) + 5 = –x – y – 5; ґ) 3m – (c + 5d) = 3m – c + 5d; д) –(x + y) + 5 = –x – y + 5; е) (a – b) – (c – d) = a – b – c + d; є) m – (2n + 1) = m – 2n – 1.

125°. Спростіть вирази:

а) 11a2 + 7a + (9a2 – 5a); б) 5b + (3b – 2c) + (b – 2c);

в) 3x2 – 5y + (2x2 – 3y) + (6x2 + 4y); г) m2 – 2n – (5m2 + 4n);

ґ) 4x2y + 8xy – (3x2y – 5xy2) + (2x2y + x2y);

д) m – (3m – 4) – (m + n);

е) 4 + (x2 – 3x + 2) – (2x2 + 4x – 1);

є) a + 3 – (a + 2) – (a2 – 4a – 4).

Знайдіть суму і різницю многочленів (126–128):

126°. а) 3x + 28y + 16z i 12x + 7z + 6y;

б) 3a + 42b + 4c i 11a + 12b; в) 3,7xy + 8x2 –2 3 y i 12x2 – 1 1 3 y + 4,5; г) 3 4 x + 1,4y – 3xy i 1,6y + 1,25x.

127°. а) 4x + 12y + 4,5 і 2x + 7y + 3,5;

б) 14x2 + 14x – 3,5 і 9x2 – 2,5x + 8;

в) 4,5xу – 3,2x + 1,2 і 4,7ху – 4х + 0,8; г) 2 3 5 xy + 3,5x – 8 і 4,2xy + 4,6x – 4,7.

128. а) 6,5х2 – 7хy + 4х і 8,3ху + 2,5х2 – 3,2х; б) 7 8 x – 1,8ху і –1,2ху –1 8 x ; в) – 8,5х + 3,8y – 0,8 і –6,7х + 6,9у.

129*. Дано три многочлени: A = a2 – b2 + ab, B = 2a2 + 3ab – 5b2 і C = –4a2 + 2ab – 3b2 . Знайдіть: а) A + B – C; б) A – B + C; в) A – B – C; г) А + В + C.

130*. Знайдіть многочлен М, якщо: а) 3x2 – xy – 3 + M = 5x2 – xy + 1; б) M – (a2 – 3a + 5) = 6a + 1.

131. Користуючись схемою, зображеною на рисунку 12, з’ясуйте, які операції і з якими многочленами виконує машина. Знайдіть остаточний результат.

Обчисліть значення виразів, попередньо

(132–133):

132°. а) (а2 + 4b – ab) + (–4b + а2 + ab), якщо а = 0,4; б) (а2 + 9b – 6а) – (а2 – 4b + 2,5b), якщо а = 0,5, b = 2; в) (4а – 8b + c) – (a – 8b + c), якщо а = 4,25; г) а2 – 2аb – (3а2 – аb + а) + (2а2 + 3ab – b), якщо а = 2,2, b = –1,8.

133*. a) (5x2 – 7xy) + (7y2 – 5xy), якщо x = 4, y = –3; б) 4 5 04 17 3 4 ab ab ,, , якщо а = 5, b = 4.

Розв’яжіть рівняння (134–135):

134°. а) (17 – 5x) – (3x – 11) = 4; б) (43 – 12x) – (33 – 7x) = 4; в) (12,8 – 0,7x) – (15,8 – 0,5x) = l; г) (23,7 – 0,6x) – (12,2 – 0,8x) = 2,1.

135. а) (4x2 + 12x + 9) – (7x + 4x2 + 1) = 4; б) (10x3 – 7x2 – 9x + 13) + (1 – 10x3 + 7х2) = 5; в) (5 – 8x3 + 7x2 – 6x) + (8x3 – 7x2 – x) = –9; г) х – (5х + 1) = 4х + 1 + (2х – 3).

136*. Доведіть, що за будь-яких значень а вирази набувають лише додатних значень:

а) 5а2 – 4а – (3а2 – 4а – 2); б) 3а4 + 2а + (2а2 – 6а – 7) – (а2 – 4а – 10); в) а2 – 4а – (6а2 – 7а + 5) – (3а – 5а2 – 6); г) а2 + 2 – (4а – а2 – 12) + (4а + 5).

137*. Запишіть многочлен a4 – 2b3 – 4a2 + 5a – 3 у вигляді: а) суми двочлена a4 – 2b3 і тричлена; б) різниці двочлена a4 – 2b3 і тричлена.

138*. Який двочлен потрібно додати до многочлена х2 + 2у2 – 3ху + 1, щоб дістати многочлен, що не містить: а) змінної х; б) змінної у?

139. Запишіть вирази у вигляді многочленів і спростіть їх: а) abc + cba; б) abc – ba; в) abc + bc; г) abc – ac. Примітка Запис abc позначає натуральне число, яке має с одиниць, b десятків і а сотень. Тобто abc = 100а + 10b + с.

140*. Доведіть, що: а) сума трьох

ця різниця на 3?

142*. Доведіть, що: а) різниця трицифрового

143*. Доведіть, що:

повідного члена даного многочлена b + c + d. Отже, добуток одночлена і многочлена дорівнює сумі добутків цього одночлена і кожного члена многочлена.

Оскільки добуток результат множення, а сума результат додавання, то це твердження

Скористаємось цим

+

+ ad, маємо: ab + ac + ad = а(b + c + d). Бачимо, що многочлен ab + ac + ad записано у вигляді добутку множника a, що є спільним для всіх членів многочлена, та іншого многочлена b + c + d. Таке перетворення називають розкладанням

множники не викликає труднощів. Наприклад: 1) а2 ∙ 2b – а2 ∙ 3cd = а2(2b – 3cd);

2) 3х ∙ 5у2 + 3х ∙ 2 = 3х(5у2 + 2); 3) 3х ∙ 5у2 – 3х ∙ 4у + 3х = 3х(5у2 – 4у + 1).

УВАГА! Часто у випадках, подібних до останнього, припускаються помилки, записуючи: 3х 5у2 – 3х 4у + 3х = 3х(5у2 – 4у). У неправильності одержаної відповіді легко переконатися, перетворивши добуток 3х(5у2 – 4у) у многочлен. Суть помилки полягає в тому, що «загубився» третій член многочлена. Щоб цього уникнути, на перших порах варто використовувати підкреслений проміжний запис: 3х 5у2 – 3х 4у + 3х = 3х 5у2 – 3х 4у + 3х 1 = 3х(5у2 – 4у + 1).

Для самоконтролю варто пам’ятати, що кількості членів даного многочлена і многочлена в дужках мають бути однакові.

У більшості випадків спільний для всіх

Для цього достатньо: знайти найбільший спільний

членів многочлена, взятий зі знаком

знаком «–», і дописати до нього як множники змінні, що одночасно входять до

Приклад. Знайти спільний множник для членів многочлена

12a3b3 – 8a2b5c. Розв’язання. Найбільший спільний дільник 12 і 8 дорівнює 4. До обох членів многочлена входять лише дві змінні a і b Наймен-

ший показник степеня змінної a у многочлені дорівнює 2, змінної b дорівнює 3. Отже, спільним

многочлен, що залишається.

Згодом підкреслений проміжний

можна пропустити.

За дужки можна винести спільний множник, який є не одночле-

ном, а, наприклад, двочленом або будь-яким іншим многочленом. Наприклад, у виразі с2(2m + n) – 3d(2m + n) спільним множни-

ком є двочлен 2m + n, а у виразі 2x(3a – b + 4) + 5y(3a – b + 4) три-

член 3a – b + 4. Перетворивши ці вирази, маємо: с2(2m + n) – 3d(2m + n) = (2m + n)(с2 – 3d); 2x(3a – b + 4) + 5y(3a – b + 4) = (3a – b + 4)(2x + 5y).

УВАГА! Перетворюючи вирази, не забувайте брати в дужки многочлен, який винесено за дужки. Уникайте помилок на зразок: с2(2m + n) – 3d(2m + n) = 2m + n ∙ (с2 – 3d).

Отже, на основі розподільного закону множення стосовно додавання можна виконати два тотожні перетворення: перетворити добуток одночлена і многочлена у многочлен, і навпаки розкласти многочлен на множники способом винесення спільного множника за дужки. Перетворення добутку одночлена і многочлена у многочлен а(b + c + d) = ab + ac + ad Розкладання многочлена на множники способом винесення спільного множника за дужки

1.

дільного закону множення?

2. Як перетворити добуток одночлена і многочлена у многочлен?

3. Як виконати розкладання многочлена на множники способом винесення спільного множника

прикладі.

Задачі та вправи

145°. Виконайте множення: а) 12(а + 4); б) 3(х – 7); в) 6(х + 2у);

г) 9(а – 4b); ґ) (х2 – 8х) ∙ 5; д) (3а + 4b) ∙ 9;

е) 7(а – b + с); є) (2а – 4b + 5с) ∙ 12; ж) 8(3а2 – 4b – 6).

Запишіть вирази у вигляді многочленів (146–148):

146°. а) (20,5х + 8,2у) ∙ 4; б) а(3х – 4у – 12z);

в) –8х(11 – 12х); г) –5а(12а – 14b + 15c);

ґ) –3х2(–х3 + х – 7); д) (х2у – ху2 – ху) ∙ 3ху2 .

147°. а) –4,5х(2х – 3); б) 2 3 a (3a – 6b + 15c);

в) –2,5а(а – b); г) 0,5x(x2 – 6x + 10).

148*. а) (6а2 – 7аb)(–а);

в) 1,3а(а2 – 3а);

б) (5k2 – 3k + 1,2)(–0,4k);

г) (1 – 0,4а + 0,6аb)(–0,7а);

ґ) 12а(6а – 7b); д) (4а2 – 3а – 1) 7 8 a .

149. Бічна сторона прямокутника дорівнює a м, основа на 4 м довша. Визначте

знайдіть двома способами. Доведіть, що вирази тотожні. 150.

151.

двома способами. Доведіть, що одержані вирази тотожні.

152°. Спростіть вирази:

а) (a + b) + b(a – b); б) 2а2 – a(2a – 5b); в) 3(x + y) – 5(x – y); г) –2(a – 3b) + a(2 – b); ґ) m(m + n) – 3(m2 + mn); д) 0,5x(2x – 4y) – 2y(3y – x).

153. Виправте допущені помилки і запишіть правильно:

а) a – 3(a2 + b) = a – 3a2 +3b; б) –х2 + х(у – 2) = х2 + ху – 2х; в) m – n(–m – 5) = m + mn – 5n; г) 3х ∙ 2(х + у) = 6х(3х2 + 3ху).

Спростіть вирази (154–156):

154°. a) 15(2а – 3b) – 12(3a – 2b); б) 17a(a – b) – 18b(2a – 5b); в) 12,5(6a – 4b) – 3(8a – b); г) 19a(a – b) – 21b(2a – 3b).

155. а) (а2 – 1) ∙ 0,4x – 5x(2 – х2); б) –0,8a(7a – 1) – 0,9a(4a – 1); в) 4а(x – 8) – 18x(3а – 1).

156*. а) 4 1 3 2 a – 0,4(2,5a2 + a – 1); б) 4,5a2 – 3,8a – 0,5a(6a – 7); в) 3,2a(a2 – a + 1) + (–3,2a3 + 3,2a2).

157°. Перетворіть вирази у многочлени стандартного вигляду: а) 2m2 – m(2m – 5n) – n(2m – n); б) 6x2 – 5x(–x + 2y) + 4x(2,5y – 3x); в) 10a(5a2 +2b) – 6a(3b +7a2) – 3ab; г) 4c(5d – 2c) – (3c – 2d) ∙ 2c.

158*. Доведіть, що при будь-якому натуральному n значення виразу: а) 5(2n – 1) – (n – 14) ділиться на 9; б) 7(3n – 1) – (n + 3) ділиться на 10; в) 5(2n – 1) – 2(4n – 2,5) є парним числом.

159*. Значення якого з виразів при будь-якому цілому значенні n ділиться на 3: а) 5n(n + 2) – 2(n2 – 5) – 7n + 6; б) 3n(n – 2) + 6(n + 1); в) n(3n – 1) + 4(n + 1); г) 7n(n – 3) – 2(2n – 1)?

160. Доведіть тотожності:

а) a(a + b) – b(a – b) = a2 + b2; б) b(a + b) – b(a – b) = 2b2; в) n(n + l) – n(n – l) = 2n; г) 3(a2 – ab) – a(2a – 3b) = a2 .

161. Розв’яжіть рівняння:

а) 3(x – 5) + 18 = 48; б) 5x – 4(x – 3) = 10; в) 6(х – 3) + 2(x + 2) = 10; г) 5(y – 1) – 3(y – 3) = 0; ґ) 2x – 3(x + 4) = 4(x + 2); д) x(x – 2) + 3 = x(x – 5).

162°. Знайдіть спільні множники для одночленів:

а) 3х2 і 6х3; б) 6а2х і 12ах2; в) 9а2 і –6а2b; г) 4х3у3 і 8х2у2; ґ) 6а3; 3аb; 9ab2; д) –40m4n2; 25m3n3; 20m2n4 .

163°. Винесіть спільний множник за дужки: а) 3m ∙ 4n + 3m ∙ p; б) 5x ∙ 4y2 + 5x ∙ 2y + 5x ∙ 3; в) 2x2 ∙ y2 – 2x2 ∙ z + 2x2 ∙ 4; г) ab ∙ 7x + ab ∙ 6y + ab.

164°. Запишіть відповідні одночлени з попередньої вправи у

із яких

спільний множник.

165. Заповніть пропуски так, щоб утворилися тотожності: а) 4а2 (... – ...) = 20а5 – 4а2; б) (2х2 – ...) 3х3 = ... – 15х4; в) (4а2 – 3b2) ∙ ... = –8a2b –... ; г) (11а2 – ...) ∙ ... = 1,1а3 – 0,3а; ґ) ... ∙ (3х4 – ...) = 3,6х6 – 4,8ах2; д) –3х2 ∙ (... – 0,4х) = 3х3 –... .

166. Розкладіть вирази на множники: а) 14ху – 21у; б) 6ab – 3bc; в) –15ах – 20ау; г) mn – n2; ґ) у3 + у4; д) х2у + ху2; е) a3b2 – a2b3; є) 3а2х + 6ах2; ж) 9а4 – 12a3b; з) 5ху2 – 10х3у4; и) 3х3у3 + 15х2у2; і) 9m4 – 6m3 .

167. Не обчислюючи значення виразу, доведіть, що: а) 732 – 73 17 ділиться на 8; б) 97 24 + 972 ділиться на 11; в) 123 + 122 ділиться на 13; г) 494 – 493 ділиться на 24.

168. Доведіть, що: а) 56 – 55 + 54 ділиться на 7; б) 273 – 37 ділиться на 8; в*) 104 + 53 ділиться на 9; г*) 213 – 143 – 73 ділиться на 5.

169°. Знайдіть значення виразів, попередньо

множники:

а) 5ab + a2 , якщо а = 1,15, b = 0,17;

б) 4m2 – mn, якщо m = 1,47, n = 5,88;

в) a2y – a3 , якщо а = –3,5, y = 6,5;

г) 3,27b + b2 , якщо b = –2,27; ґ) –x2 – xy, якщо x = 0,3, y = 9,7;

д) 4p2x + 4px2 , якщо p = 1 4 , x = 2 3 4 .

170°. Подайте у вигляді добутку:

а) 30a – 75b + 15; б) 17a – 17b – 34; в) 5х2 – 10ху + 5у2; г) а3 – 2а2 – а; ґ) m4 + 3m3 – m2; д) 5х + 15ху + 10ах; е) 3ab – 9ac – 12ad; є) 12ах3 – 8ах2 + 4ах; ж) 3a2b3 + 6a2b2 – 18a4b4; з) 16а4 – 8а3 – 4а2 .

171. Обчисліть зручним способом:

а) 5,83 ∙ 19 + 5,83 ∙ 54 + 5,83 ∙ 27; б) 16,22 + 14,8 ∙ 16,2 – 16,2.

172. Знайдіть допущені помилки і виправте їх: а) 2х2у – 6х3у3 + 4ху = 2х(ху – 3х2у3 + 2у); б) х8 – х6 + х2 = х2(х4 – х3); в) а9 + 6а6 – а3 = а3(а6 + 6а3 – 1); г) b2x3 + cx2 + x = x(b2x2 + cx).

173*. Відомо, що а + b = 15, а х + у = m. Знайдіть: а) 3а + 3b; б) 1 2 ab ; в) 0,8а + 4 5 b; г) 7,5х + 7 1 2 y; ґ) 0,25х + 1 4 y; д) 12х + 8 ∙ 1,5у.

174*. Відомо, що a + 5b ділиться на 9. Чи ділиться: а) 7а + 35b на 9; б) 15а + 75b на 3; в) 2а + 10b на 6; г) 4а + 20b на 18?

175. Розв’яжіть рівняння, розклавши ліву частину на множники: а) 2х2 – 3х = 0; б) 4х2 + 10х = 0; в) х2 – 4,2x = 0; г) 5х3 – 7,5х2 = 0; ґ) х4 – 4х2 = 0; д) –х2 + х = 0.

Розв’язання. а) х(2х – 3) = 0.

Добуток двох множників х і 2х – 3 дорівнює 0 лише тоді, коли один із них або обидва дорівнюють 0. Маємо: х = 0; 2х – 3 = 0; х = 3 : 2; х = 1,5.

Відповідь. х = 0; х = 1,5.

176°. Винесіть за дужки спільний множник: а) 2а(а – b) + (a – b); б) x(m + n) – y(m + n); в) m(а + 4) – n(a + 4); г) x(y – 1) – y(y – 1); ґ) а(7 – b) + (7 – b); д) (b + 5) – a(b + 5); е) 6а(с – d) – 5b(c – d); є) (m + n) + b3(m + n).

177. Знайдіть значення виразу, спочатку розклавши його на множники:

а) х(а + 3) – у(а + 3), якщо а = 4, х = 3 4 ; у = 1 2 ; б) m(n – 5) – n(n – 5), якщо m = 6,8, n = –3,2.

178*. Складіть двома способами вирази для обчислення площ зафарбованих фігур (рис. 13). Доведіть, що обидва вирази, одержані для кожної фігури, тотожні.

179*. Для обчислень за допомогою калькулятора використовують тотожності: ах2 + bx + с = (ах + b)x + с та ах3 + bх2 + сх + d = ((ах + b)х + с)х + d (Перевірте їх.) Користуючись калькулятором, обчисліть значення виразів: а) 7,9х2 + 28х – 29,5, якщо х = 8,26;

б) –12,75х2 – 8,5х + 48,3, якщо х = 0,7;

в) 7,8х3 – 83,4х2 + 7х + 28, якщо х = 14,5;

г) 42,5х3 + 0,28х2 – 8,75х – 28,4, якщо х = 4,35.

Розв’язання. а) 7,9х2 + 28х – 29,5 = (7,9х + 28)х – 29,5.

Якщо х = 8,26, то (7,9 8,26 + 28) 8,26 29,5.

Обчислення на калькуляторі виконуємо в такій послідовності: ( 7.9 × 8.26 + 28 ) × 8.26 – 29.5 = 740.7704.

Результат округлюємо до десятих: ≈ 740,8.

добутку

х

2.4. Добуток многочленів. Розкладання многочлена

відомим уже правилом

Тоді (a + b)(c + d) = (a + b)x.

Останній вираз перетворимо як

многочлена і одночлена. Маємо: (a + b)x = ax + bx. Підставимо у вираз, що дістали, замість х позначений ним двочлен c + d і ще раз застосуємо правило перетворення добутку одночлена і многочлена у многочлен: ax + bx = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd.

Остаточно маємо:

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Помічаємо, що

добуток двох многочленів дорівнює сумі

добутків кожного члена першого многочлена і кожного члена другого.

Оскільки добуток це результат множення, а сума додавання, то це твердження можна сформулювати й інакше:

щоб помножити многочлен на многочлен, потрібно кожний член першого многочлена помножити на кожний член другого

і додати знайдені добутки.

Приклад 1. Перетворити у многочлен добуток (4a – 3b)(c + 5).

Розв’язання. (4a – 3b)(c + 5) = 4a ∙ c + 4a ∙ 5 + (–3b) ∙ c + (–3b) ∙ 5 = = 4ac + 20a – 3bc – 15b.

Як правило, у таких перетвореннях відразу записують остаточний результат, не забуваючи враховувати знаки відповідних членів обох многочленів.

 Спосіб групування. У згорнутому вигляді послідовність розглянутого на початку пункту перетворення добутку двох двочленів у многочлен можна записати так:

(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd.

Відтворимо його у зворотному порядку, прочитавши справа наліво. Маємо: ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b(c + d) = (a + b)(c + d).

У результаті многочлен ac + ad + bc + bd розклали на множни-

ки (a + b) і (c + d).

Розглянемо спосіб, яким це було зроблено. Помічаємо, що відомий спосіб винесення спільного множника

за дужки не можна безпосередньо застосувати до даного многочлена, бо немає такого множника, який був

його членів. Натомість є пари (групи)

a(c + d) + b(c + d) = (c + d)(a + b).

Такий спосіб розкладання многочлена на множники називають способом групування.

Розкладаючи розглянутий многочлен на множники цим способом, його члени можна було згрупувати й інакше: перший з третім, другий з четвертим: ac + ad + bc + bd = (ac + bc) + (ad + bd) = = c(a + b) + d(a + b) = (a + b)(c + d).

Дістали той самий результат.

Приклад 2. Розкласти на множники многочлен ax + by – bx – ay. Розв’язання. Згрупуємо члени многочлена за ознакою наявності спільного множника у членів однієї групи. Це

бути групи, утворені першим і четвертим членами (спільний множник а) та другим і третім членами (спільний множник b). Можливий і інший варіант групування: перший і третій члени (спільний множник х) та другий і четвертий члени (спільний множник y). Розглянемо кожний з варіантів окремо.

Варіант 1 ax + by – bx – ay = (ах – ay) + (by – bx) = а(х – у) + b(у – х). Бачимо, що вирази в дужках відрізняються лише знаками.

Щоб їх зробити однаковими, слід змінити знаки членів одного з цих виразів (наприклад, у

цього, як відомо, достатньо змінити

Отже, щоб розкласти многочлен

пування, потрібно:

1) знайти і об’єднати в групи (згрупувати) члени многочлена, що мають спільний множник;

2) у кожній групі винести за дужки спільний множник;

3) якщо вираз у всіх дужках виявиться однаковим, винести його за дужки; якщо ні — спробувати тотожно перетворити його або згрупувати члени многочлена інакше.

Запитання для самоперевірки

1. Як перетворити у многочлен добуток двох многочленів?

Проілюструйте прикладом.

2. Поясніть суть перетворення, яке називається розкладанням многочлена на множники способом групування.

Задачі та вправи

Запишіть у вигляді многочленів вирази (180–183):

180°. а) (a – b)(m – n); б) (2 – а)(3 – b); в) (х + у)(a + b); г) (х – у)(a – b); ґ) (a – b)(4 – х); д) (a – b)(5 – х).

181°. а) (a2 + b)(c2 + d);

в) (2х + у)(х + 3у);

б) (a2 – b2)(–c2 + d);

г) (0,5a – b2)(a – b3);

ґ) (3ab – 4,5b2)(5a2b + 2ab); д) (m2 – 4n3)(m4 + 5n2).

182°. а) (2a – b)(3a + 4b);

б) (2x – 1)(x – 2);

в) (5m – 4n)(3m + n); г) (4ab – a)(b – 1);

ґ) (5x + 2x2)(x2 – 3x);

183°. а) (a + b)(a + b);

в) (a – b)(a – b);

д) (n2 + n)(n3 – n2).

б) (a – b)(a + b);

г) (a – b)(a2 + ab + b2);

ґ) (a + b)(a2 – ab + b2); д) (a + b)(a2 + 2ab + b2).

Чи тотожні вирази (184–185):

184°. а) (a + b)(a + b) і a2 + 2ab + b2;

б) (a – b)(a – b) і a2 – 2ab + b2;

в) (a + b)(a – b) і a2 – b2;

г) (a + b)(a + b) і a2 + b2?

185. а) (a + b)(a2 – ab + b2) і a3 + b3;

б) (a – b)(a2 + ab + b2) і a3 – b3; в) (a + b)(a2 + 2ab + b2) і a3 + b3?

186. Розгляньте площу S

, зображених на рисунку 14, а і б, та

що:

а) (a + b)(c + d + p) = ac + ad + ap + bc + bd + bp; б) (a + b + c)(d + e + p) = (ad + ae + ap) + (bd + be + bp) + + (cd + ce + cp).

Перетворіть у многочлени (187–189):

187°. а) (x – 2)(x + 4) + x(x + 5);

б) (3a – 1)(a – 2) + 2a(a – 3);

в) (3m – n)(2m + 4n) + 5m(m + 3n);

г) (c + d)(d – c) + 3c(c – 2d).

188°. а) 6a + (a – 6)(a + 2);

б) 2p(m – p) + (2m + 1)(p – 2);

в) (x + 2)(x + 3) + (4 – x)(x – 1);

г) (2a – b)(b – 3a) + (a – b)(a + 3b).

189. а) (x – 3y)(x + 5) – 2x(x + y);

б) (5a – 2)(1 – 3a) – a(4a + 2);

в) (6c – 8)(5 – 2c) – 3c(c – 1);

г) (n + 3m)(3m – n) – 2n(n – m);

ґ) (b + 2a)(4a – 3b) – 2a(5a – b);

д) (2x + 5y)(y + 3x) – 2x(3x + 8y).

190.

Щоб знайти площу S прямокут -

ника ABCD (рис. 15), семиклас -

ники розв’язали задачу трьома

способами:

1) S = (a – c)(b – d);

2) S = ab – ad – (b – d)c;

3) S = ab – bc – (a – c)d.

Поясніть, як вони міркували. Доведіть, що одержані вирази

тотожні.

Спростіть вирази (191–192):

191. а) 3а2 – (2а – 1)(а + 4).

УВАГА! Для уникнення помилок зі знаками, що можуть трапитися при спрощенні подібних виразів, перетворення доцільно виконувати у такій послідовності: 3а2 – (2а – 1)(а + 4) = 3а2 – (2а2 + 8а – а – 4) = = 3а2 – 2а2 – 8а + а + 4 = а2 – 7а + 4.

б) 4b2 – (a – 2b)(a + 2b);

в) 2mn – (m – n)(2m + n);

г) 4x(x + y) – (x – y)(2x – 3y);

ґ) c(c – 5d) – (c – 3d)(2d – 4c);

д) (c – d)(c + d) – (c – d)(c – d).

192. а) 6х2 – (3х + 2)(2х – 3);

б) 5а(2х – а) – (3а – х)(2х – а);

в) (m + 4)(m – 2) + (2 – 3m)(m + 1);

г) (с – 2)(3с + 1) – (3 – с)(с + 5).

Обчисліть значення виразів (193–194):

193. а°) (х – у)(х + у) + у2 , якщо х = 0,9; б°) (х – у)(х – у) – (х2 + у2), якщо х = 0,8 і у = 1,2; в°) 4ab(4a2 – b) – 3ab(4a2 – b), якщо а = –1 і b = 0,2; г) (а – 4)(а – 2) – (а – 1)(а – 3), якщо а = 1 3 4 ;

194. а) (а – 4)(а – 2) – (а – 2)(а – 3), якщо а = 0,8; б) (а – 5)(а – 1) – (а + 2)(а – 3), якщо а = –2,6; в) b4 – (b2 – 2)(2 + b2), якщо b = –0,368.

195*. Доведіть, що значення виразів при

сталими числами:

а) (4 – х)(4 + х) + х2; б) (х – 5)(х + 6) – х(х + 1);

в) (х – 4)(х2 + 4х + 16) – х3; г) (5 + х)(25 – 5х + х2) – х3 .

196. Обчисліть зручним способом:

а) 2,7 ∙ 6,2 – 9,3 ∙ 1,2 + 6,2 ∙ 9,3 – 1,2 ∙ 2,7; б) 1,25 ∙ 14,9 + 0,75 ∙ 1,1 + 14,9 ∙ 0,75 + 1,1 ∙ 1,25.

197. Розв’яжіть рівняння:

а°) (х – 1)(х – 3) – х2 = 0;

б) (х – 0,8)(х – 1,2) – х2 = –0,4;

в*) 6х2 – (2х – 3)(3х + 2) = 2;

г*) (10х + 9)х – (5х – 1)(2х + 3) = 8;

ґ*) (3x – 2)(х + 4) – (3х + 9)(x – 1) = 0;

д*) 12 – y(y – 3) – (6 – y)(y + 2) = 0.

Запишіть вирази у вигляді добутку (198–200):

198. а) 3a(a – b) + 2b(a – b); б) 5(m – 2) – m(m – 2);

в) 6m(p – 3) + 5n(p – 3); г) 7q(p – q) – 2(p – q);

ґ) 2с(х + у) + (х + у); д) d(a + b) – (a + b).

Вказівка. Для попередження можливих помилок розв’язання подібних вправ доцільно, принаймні на перших порах, здійснювати у такій послідовності:

ґ) 2с(х + у) + (х + у) = 2с(х + у) + 1 ∙ (х + у) = (х + у)(2с + 1).

199. а) 3m + n – x(3m + n); б) (a – b) – 2c(a – b); в) a(b – 5) + 2(5 – b); г) 2y(5 – a) + 5 – a; ґ) 6(х – 3) – х(3 – х); д) 3a(1 – a) – 4(a – 1).

Вказівка. в) a(b – 5) + 2(5 – b) = a(b – 5) – 2(b – 5) = (b – 5)(a – 2).

200. а) 5(c + d) + b(–c – d); б) 2х(3 + у) – у(у + 3); в) 2c(c – 4) – 4 + с; г) 3(а – b) + (а – b)2; ґ) m(n – 3) – n + 3; д) 2 – а – 5(а – 2); е) (х – 3)2 – 2(х – 3); є) (а – 4)2 + 4 – а.

Розкладіть вирази на множники (201–203):

201°. a) ab + ad + c(b + d); б) m(x – y) + nx – ny; в) ab – bc – d(a – c); г) ax + bx + ay + by; ґ) ab – ad + bc – dc; д) am + bm – ak – bk.

202. a) ac – bc – ad + bd; б) a2c2 + a2d2 +bc2 + bd2; в) 3х – ху + 3у – у2; г) 2m2 + n + m + 2mn; ґ) 2m2 – 2mn – m + n; д) 3ax – 2a2 – 2a + 3.

203. a) a5 – a3 – a2 + 1; б) x4 – x + 3x3 – 3; в) a6 – 3a4 – 2a2 + 6; г) y3 + 1 + y2 + y; ґ) y2 + 7x – xy – 7y; д) x6 + 6 – 3x4 –2x2 .

204. Доведіть тотожності:

а) х2 – ху + 2х – 2у = (х – у)(х + 2);

б) а2 – ab – 3a + 3b = (a – 3)(a – b);

в) а2 + ab – 3a + 3b = (a – 3)(a + b);

г) х2 + 3х – 10 = (х + 5)(х – 2).

205*. Обчисліть значення виразів, спочатку розклавши їх на множ-

ники:

а) 131 · 25 + 17 ∙ 131 + 19 ∙ 69 + 69 ∙ 23;

б) 4а3 – 12а2 – а + 3, якщо а = 0,5;

в) у2 + 3ху – 6х – 2у, якщо х = 0,15, у = 0,55;

г) 5mn – n2 – n + 5m, якщо m = 1,2, n = 6;

ґ) a2 + 4a3 + 4a + 1, якщо а = 0,5;

д) ab2 – 4b – a2b + 4a, якщо а = 1,5, b = 2,5.

206*. Розкладіть на множники:

а) (ab)n(bc)k – (ab)3(bc)2, де n і k натуральні числа;

б) а3nb2n + а2nb3n , де n натуральне число.

207. Розв’яжіть рівняння:

а) х(х – 3) + (х – 3) = 0; б) х(х – 3) + 4х – 12 = 0;

в) х2 – 4х + х – 4 = 0; г) х2 + 4х + х + 4 = 4; ґ) х3 – 1 + х – x2 = 0; д) 3y3 + 2 + 2y2 + 3y = 0.

208*. Із прямокутного листа жерсті

зі сторонами a дм і b дм виріза-

ли по кутах однакові квадрати

зі стороною h дм. З фігури, що утворилася, виготовили ящик. Запишіть вираз для обчислення площі поверхні та об’єму ящика (рис. 16). Рис. 16

209. Якщо одну сторону квадрата збільшити на 8 м, а другу зменшити на 5 м, то площа одержаного прямокутника буде на 4 м2 меншою від площі квадрата. Обчисліть площу квадрата.

210. Якщо одну сторону квадрата зменшити на 22 м, а другу збільшити на 68 м, то площа одержаного прямокутника стане меншою від площі квадрата на 24 м2. Обчисліть площу квадрата.

211. Якщо одну сторону прямокутника збільшити на 2 дм, а іншу зменшити на 0,5 м, то дістанемо квадрат, площа якого на 50 дм2 менша від площі прямокутника. Обчисліть площу квадрата.

212. Якщо основу прямокутника зменшити на 4 см, а бічну сторону збільшити на 0,5 дм, до дістанемо квадрат, площа якого на 40 см2 більша за площу прямокутника. Обчисліть площу прямокутника.

213. Периметр прямокутника дорівнює 36 м. Якщо одну його сторону збільшити на 1 м, а іншу на 2 м, то площа фігури збільшиться на 30 м2. Обчисліть площу даного прямокутника.

214*. Маємо чотири послідовні цілі числа. Доведіть, що добуток середніх чисел більший за добуток крайніх на 2.

215*. Маємо чотири послідовні парні числа. Доведіть, що добуток середніх чисел більший за добуток крайніх на 8.

216*. Маємо чотири послідовні непарні числа. Доведіть, що добуток середніх чисел більший за добуток крайніх на 8.

217*. Запишіть вирази у вигляді

218*. Розкладіть на множники: a) 2а2 – 10ас + 3аb – 15bc + а – 5c; б) 16xy2 – 10z3 + 32xz2 – 5y2z;

На основі цієї тотожності значно спрощуються перетворення аналогічних добутків. Наприклад:

1) (х + 4)(х – 4) = х2 – 42 = х2 – 16; 2) (2a – b)(2а + b) = (2а)2 – b2 = 4а2 – b2; 3) (3m + 2n)(2n – 3m).

У цьому випадку для застосування встановленої тотожності достатньо переставити доданки у перших дужках: (3m + 2n)(2n – 3m) = (2n + 3m)(2n – 3m) = = (2n)2 – (3m)2 = 4n2 – 9m2

Встановлену тотожність можна використати також для спрощення обчислень. Наприклад: 102 ∙ 98 = (100 + 2)(100 – 2) = 1002 – 22 = 10 000 – 4 = 9996.

1) m2 – (2n)2

3) x4 – 36.

різниці квадратів, то

вираз спочатку потрібно

до такого вигляду. Оскільки х4 = (х2)2 і 36 = 62, то x4 – 36 = (x2)2 – 62 = = (x2 – 6)(x2 + 6).

4) 9m2 – 25n2 =(3m)2 – (5n)2 = (3m – 5n)(3m + 5n).

Запитання для самоперевірки

1. Які з рівностей правильні: а) (a - 2)(a + 2) = a2 - 4; б) (3 + b)(b - 3) = 9 - b2; в) (m - n)(-m - n) = n2 - m2; г) (-x - y)(y - x) = x2 - y2?

2. Наведіть приклади виразів, які: а) є різницею квадратів двох виразів; б) можна подати у вигляді різниці квадратів двох виразів.

219°. Запишіть вирази у

вигляді многочленів: а) (а – х)(а + х); б) (m + х)(m – х); в) (2 – х)(2 + х); г) (х + 4)(х – 4); ґ) (p – k)(p + k); д) (6 + b)( 6 – b); е) (c – d)(d + с); є) (p + b)(b – р); ж) (х – 4)(х + 4); з) (х + 5)(х – 5).

220°. Запишіть двочлени у вигляді

а) а2 – х2; б) m2 – n2; в) 9 – х2; г) а2 – 16; ґ) p2 – m2; д) c2 – k2; е) (2x)2 – b2; є) 9x2 – b2; ж) 4x2 – 9y2; з) 36а2 – y2; и) 25a2 – 16b2; i) 81x2 – 64y2 .

Обчисліть (221–222):

221°. а) 852 – 152; б) 892 – 112; в) 752 – 252; г) 782 – 122; ґ) 99,12 – 0,92; д) 272 – 132.

222. a) 8 4 5 1 1 5 22 ; б) 9 2 3 1 3 22 ; в) 0251 3 4 2 2 ,; г) 2 1 5 02 2 2 ,.

223°. Спростіть:

а) (m + n)(m – n); б) (a + 2)(a – 2); в) (x – 5y)(x + 5y); г) (4b – 3)(4b + 3); ґ) (2x – 3y)(2x + 3y); д) (3y2 + a)(3y2 – a).

224*. Доведіть, що значення виразу (y + 3)(y – 3) + 10 додатне за будь-яких значень y. Знайдіть найменше значення, якого може набувати цей вираз.

225. Перетворіть у многочлени вирази: а) (а – b)(b + a); б) (2c + d)(d – 2c); в) (а – 3)(3 + a); г) (4x + 7y)(7y – 4х); ґ) (m2 – n)(n + m2); д) (p – s)(–p – s); е) (5m – n)(n + 5m); є) (a3 + b2)(b2 – a3); ж) (3x2 + y3)(y3 – 3x2).

Розкладіть вирази на множники (226–227):

226°. а) p2 – k2; б) 49 – b2; в) 36а2 – у2; г) 25а2 – 16b2; ґ) 81х2 – 64у2; д) 0,64а2 – 0,49b2 .

227. а) 1,44а2 – 2 1 4 2b ; б) 1 11 25 1 7 9 42 xy - ; в) 1,69х2 – 2,25у2; г) aa 2 3 4 2 2 ; ґ) 2 2 2 2 x y x y ; д) (x – 0,5)2 – 0,25.

Обчисліть (228–229):

228°. а) 98 ∙ 102; б) 97 ∙ 103; в) 998 ∙ 1002; г) 57 ∙ 63; ґ) 73 ∙ 87; д) 997 ∙ 1003. 229. а) 99,7 ∙ 100,3; б) 98,8 ∙ 101,2; в) 97,4 ∙ 106,6; г) 45 1 5 14 8 ⋅ ,; ґ) 39 2 3 40 1 3 ⋅ ; д) 27,6 ∙ 72 3 5 .

230*. Доведіть, що: а) 1562 – 1442 ділиться на 300; б) 7362 – 2642 ділиться на 8000.

Спростіть вирази (231–232):

231. а) (2х – у2)(2х + у2) – у4; б) (8ху – 9у)(8ху + 9у) + 81у2; в) (12х – у3)(12х + у3) – 144х2; г) (0,6х2 – у)(0,6х2 + у) + у2 .

232. а) (1,3х2 – у)(1,3х2 + у) – 1,69х4; б) 4 9 2 3 2 3 22 2 ba ba b ;

в) (х – 4)(х + 4)(х2 + 16); г) (25х2 + 9)(5х – 3)(5х + 3); ґ) (0,25х2 + 0,16)(0,5х – 0,4)(0,4 + 0,5х).

233. Доведіть, що значення виразів не залежать

змінної х:

а°) (7 – х)(7 + х) + х2; б) 0,7 + х2 – (х + 0,5)(х – 0,5); в) (х + 3)(х – 3) – х(х – 3) – 3х;

г) –х(х + 64) + 64х + (8 + х)(х – 8).

234*. Якщо кожну з двох протилежних сторін квадрата збільшити на 3 см, а кожну з двох інших зменшити на 3 см, то дістанемо прямокутник. Площа якої фігури більша? На скільки?

235*. Як зміниться площа квадрата, якщо одну його сторону збільшити на 4 см, а другу, суміжну з нею, зменшити на стільки ж?

236. Знайдіть помилки, виправте їх і поясніть, чому так трапилося:

а) х2 – 64 = (х – 8)(х + 8);

б) 2х2 – 9 = (2х – 3)(2х + 3);

в) х2 – 0,25 = (х – 0,5)(х + 0,5);

г) х2 + 49 = (х + 7)(х – 7);

ґ) х2 – 0,64 = (х – 0,8)(х – 0,8); д) (ху2 – 4х)(ху2 + 4х) = х2у4 – 4х2 .

237. Розв’яжіть рівняння: а) (х – 4)(х + 4) = 0; б) х2 – 25 = 0; в) 36 – х2 = 0; г) 1,44 – х2 = 0; ґ) 4 9 0 2 x ; д) 25 36 0 2 x .

238*. Заповніть пропущені місця відповідними одночленами так, щоб утворилися тотожності:

а) (4а + ...)(… – 7b) = 16a2 – 49b2; б) (… + 5b)(… – 5b) = 49x2 – …; в) (2х – …)(… + …) = 4х2 – 0,64у2;

г) (0,4х – ...)(0,4х + ...) = … –4 9 2 y ; ґ) ... ... . 1 2 1 4 22 yx xy

239*. Розв’яжіть рівняння:

а) (х – 7)(х + 7) = х2 + 2х; б) 2у – у2 = (3 – у)(3 + у); в) (12 – х)(12 + х) = 4х – х2; г) (14 + х)(14 – х) = 7х – х2 .

маємо:

іншого

Отже,

Квадрат двочлена дорівнює сумі трьох

виразів: квадрата першого члена, подвоєного добутку першого і другого членів та квадрата

другого члена.

Формулу (3) можна проілюструвати, розглянувши площу квадрата, зображе-

ного на рисунку 17.

Розглянемо, якого вигляду набуває формула (3), якщо перед одним із членів

двочлена поставити знак «–»:

1) (а – b)2 = (а + (–b))2 = а2 + 2а(–b) + + (–b)2 = а2 – 2аb + b2;

2) (–а + b)2 = (–а)2 + 2(–a)b + b2 = = а2 – 2аb + b2 .

Оскільки –а + b = b – а, то

Цю формулу читають так:

другого виразу. УВАГА! Застосовуючи розглянуті тотожності, не забувайте, що під

потрібно обчислити 1012. Запишемо число 101 як (100 + 1). Тоді маємо: 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 2 ∙ 100 ∙ 1 + 12 = 10 000 + 200 + 1 = 10 201. Аналогічно: 992 = (100 – 1)2 = 1002 – 2 ∙ 100 ∙ 1 + 12 = 10 000 – 200 + 1 = 9801.

Якщо потрібно записати, наприклад, вираз (2х + 3)2 у вигляді

многочлена, то за формулою (3) маємо:

(2х + 3)2 = (2х)2 + 2 ∙ 2х ∙ 3 + 32 = 4х2 + 12х + 9.

Перетворюючи вираз (4а – 5b)2, зручніше відразу скористатися

формулою (3′):

(4а – 5b)2 = (4а)2 – 2 4а 5b + (5b)2 = 16а2 – 40аb + 25b2 .

Вираз (4а – 5b)2 можна перетворити і за формулою (3), врахову-

ючи, що членами даного двочлена є вирази 4а і –5b.

 Запис тричлена у вигляді квадрата двочлена. Часто доводиться виконувати обернене перетворення, записуючи даний тричлен у вигляді квадрата двочлена. Це перетворення ґрунтується на тотожностях, які можна дістати з формул (3) і (3′), помінявши місцями їхні ліві і праві частини. Маємо: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2; a2 – 2ab + b2 = (a – b)2, або a2 – 2ab + b2 = (b – а)2.

Приклад. Записати вираз а2 – 6а + 9 у вигляді квадрата двочлена. Розв’язання. Спочатку спробуємо знайти члени тричлена, які можуть бути записані у вигляді квадратів відповідних одночленів. Очевидно, це а2 і 9. Вони є квадратами одночленів а і 3. А тепер з’ясуємо, з якими знаками слід узяти ці одночлени. Для цього дивимося на знак подвоєного добутку у даному тричлені: –6а. Бачимо, що подвоєний добуток має знак «–». Це означає, що члени одночлена мають різні знаки.

Отже,

а2 – 6а + 9 = (а – 3)2 , або а2 – 6а + 9 = (3 – а)2. Оскільки (а – 3)2 = (3 – а)2, то обмежуються, як правило, першим

записом.

Запитання для самоперевірки

1. Які з рівностей є тотожностями: а) (m + n)2 = (n + m)2; б) (a - b)2 = (b - a)2; в) (b - a)2 =-(a - b)2; г) (-a - b)2 =-(a + b)2; ґ) (-a - b)2 = (a + b)2; д) (x + y)2 = x2 + y2?

2. Чи може квадрат суми двох виразів дорівнювати квадрату їх різниці? Відповідь поясніть.

Задачі та вправи

240°. Запишіть вирази у вигляді многочленів:

а) (m + x)2, (x + d)2, (c – y)2; б) (n – y)2, (2 – y)2, (x – 5)2;

в) (0,5 – х)2, (х – 0,4)2, 3 4 2 x ;

г) (0,1 – х)2, (–х + 0,1)2, (–х – 0,1)2; ґ) (х2 + х)2, (х2 – х)2, (–х2 – х)2; д) (х3 + 1)2, (–х2 + 1)2, (–х3 – 1)2;

е) (х2 + х3)2, (х3 – х2)2, (–х3 – х2)2; є) (4х + 3х2)2, (3х2 – 4х)2, (–3х – 4х2)2;

ж) 1 2 3 7 2 x , (25 – х)2, (40 – 25х)2.

241°. Обчисліть, скориставшись формулою квадрата двочлена: а) 1022; б) 1032; в) 972; г) 10022; ґ) 9982; д) 99,62; е) 1000,42; є) 999,72.

Запишіть вирази у вигляді квадрата двочлена (242–243):

242°. а) х2 + 2ху + у2 , х2 – 2ху + у2; б) m2 – 2хm + х2, m2 + 2mх + х2; в) 4 – 4у + у2 , у2 + 4у + 4; г) 0,16 + 0,8х + х2 , х2 – 0,8х + 0,16.

243. а) х6 + 2х3 + 1, х6 – 2х3 + 1; б) х4 + 2х5 + х6 , х4 – 2х2 + 1; в) х2 + 16х + 64, х2 – 20х + 100; г) 144 + 24х + х2 , 121 – 22х + х2; ґ) 625 + 50х2 + х4 , 1600 + 2000х + 625х2 .

244. Обчисліть:

а°) 372 + 2 ∙ 3 ∙ 37 + 32; б°) 38,32 – 2 ∙ 38,3 ∙ 8,3 + 8,32; в) 82,72 + 12,72 – 2 ∙ 82,7 ∙ 12,7; г) 712 + 292 + 71 ∙ 58; ґ) 1982 + 22 + 4 198; д) 4582 + 582 – 116 458.

245*. Знайдіть помилки і виправте їх:

а) (an + 1)2 = a2n + 2an + 1;

б) (х + у)2 = х2 + у2;

в) (2n + 3n)2 = 4n + 6n + 9n;

г) (4 + х)(3 – 3х) = 12 – 9х – 3х2; ґ) (х – у)2 = х2 – у2; д) (2a + 3b)(4x + 4y) = 8ax + 12by.

246*. Замініть зірочки одночленами, щоб утворилися тотожності:

а) (* + у)2 = * + 2ау + у2; б) (4х – *)2 = * –* + у2; в) (х – *)2 = * – 6х + *; г) * + 24а + * = (4а + *)2; ґ) (2х3 + *)2 = * + 20х3у4 + *.

247*. Заповніть пропущені місця відповідними одночленами так, щоб утворилися тотожності: а) 3x2 + 2х + 1 3 = 1 3 2 (... ...) ; + б) (2а + ...)2 = ... + ... + 9b2; в) 2(... + ...)2 = 2у2 + 2у + 0,5; г) 2(... – 3b)2 = 2а2 –... + ... .

248.

Доведіть тотожності:

а°) (m – n)2 = (n – m)2;

б°) (a + b)2 – 2ab = a2 + b2;

в) (–a – b)2 = (a + b)2;

г) (c – d)2 = (c + d)2 – 4cd;

ґ) (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab;

д) (a – b)2 + 2ab = a2 + b2;

е) (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2).

Спростіть вирази (249–250):

249°. а) (х – у)2 + (х + у)2;

б) (х + у)2 – (х – у)2;

в) (а – b)2 – (а + b)(а – b);

г) (2а – 3b)2 – (2а + 3b)2.

250. а) 24а2 – (7а – 2)2 + (5а – 3)(5а + 3);

б) 5(3а – 2)2 – 5(3а – 4)(3а + 4).

251*. Різниця квадратів двох послідовних цілих додатних чисел дорівнює 11. Знайдіть ці числа.

252*. Різниця квадратів двох послідовних парних додатних чисел дорівнює 28. Знайдіть ці числа.

253*. Різниця квадратів двох послідовних непарних додатних чисел дорівнює 32. Знайдіть ці числа.

254. Знайдіть числові значення виразів: а) (х – 0,4)2 – х(х + 1,8), якщо х = 0,4; б) (х – 1,2)2 – у(у + 2х) + (у + х)2, якщо х = 3,2; в) (х + у)2 + (х – у)(х + у) + (х – у)2, якщо х = 3, у = 2;

г) (3х – 5)2 – (3х + 5)(3х – 5), якщо х = 0,1.

255. Доведіть, що значення виразів не залежать від значення змінної х:

а) (5 + х)2 + (5 – х)2 – 2х2;

б) (6 + х)2 + (6 – х)(6 + х) – 12х;

в) х2 – 6х – (3 – х)2;

г) (х – у)2 – (х + у)2 + 4ху;

ґ) (х + 1)2 + 3(х – 1)2 – 4х(х – 1);

д) 0,8ах – (0,4а + х)2 – (0,2а – х)(0,2а + х).

256*. Доведіть, що за довільного цілого

разу (6х + 5)2 – (4х + 5)2 ділиться на 40.

Розв’яжіть рівняння (257–258):

257. а) (х – 7)2 = х2; б) (х + 4)2 = (х – 5)2; в) (х – 8)2 = х2 – 8; г) (х – 9)2 = х2 + 81; ґ) (х – 12)2 – х(х – 11) = 1; д) х2 – 8х + 16 = 0.

258. а) х2 – 10х + 25 = 0; б) х2 + 49 = 14x; в) (6х – 1)2 – 4(3х + 2)(3х – 2) = –7.

Доведіть, що за будь-яких значень х дані вирази набувають тільки додатних значень (259–260):

259. а) x2 + 5; б) (х + 3)2 + 1; в) (х – 7)2 + 2; г) 4 + (х – 4)2.

260*. а) х2 + 6х + 10; б) х2 – 10х + 30.

261. Розкладіть на множники:

а) (х2 – 4ху + 4у2) – 4; б) (а2 – 6а + 9) – b2; в) 4m2 – 4mn + n2 – 1; г) b2 + 10b + 25 – 4c2; ґ) 1 – b2 + 4ab – 4a2; д) 9х2 – у2 + 10у – 25.

262*. Доведіть, що (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.

263*. Розкрийте дужки:

а) (у + х + с)2; б) (х + у – с)2; в) (х – у – 1)2; г) (х – у – с)2; ґ) (х – 2 – у)2; д) (2х + у + 3с)2.

2.7.

так званим повним квадратом різниці виразів a і

бутком ab. Аналогічно тричлен a2 + ab + b2 називають неповним квадратом суми виразів а і b. Праворуч у формулі (4) маємо суму кубів виразів a і b. Тому цю формулу читають так:

добуток суми двох виразів і неповного

квадрата їх різниці дорівнює сумі кубів цих виразів.

Застосуємо цю формулу для перетворення виразів:

1) (m + n)(m2 – mn + n2) = m3 + n3; 2) (b + 2)(b2 – 2b + 4) = b3 + 23 = b3 + 8.

Помінявши місцями

немо:

Ця формула читається так:

формули (4), діста-

суми цих виразів і неповного квадрата їх різниці.

Цю формулу

1)

1) m3 – 53 = (m – 5)(m2 + 5m + 25); 2) 64a3 – y3 = (4a)3 – y3 = (4a – y)(16a2 + 4ay + y2).

немо тотожність, яку

Наприклад: 1) (x – 5)(x2 + 5x + 25) = x3 – 53 = x3 – 125; 2) (3m – 2)(9m2 + 6m + 4) = (3m)3

двох виразів:

а) а3 + 8; б) m3 - 27; в) х3 + 9; г) m6 + n3; ґ) х9 - у9; д) с8 + d8?

Відповідь поясніть.

Задачі та вправи

Запишіть добутки у вигляді двочленів (264–265):

264°. а) (х – у)(х2 + ху + у2); б) (х + у)(х2 – ху + у2); в) (х – 2)(х2 + 2х + 4); г) (х – 3)(х2 + 3х + 9); ґ) (х + 2)(х2 – 2х + 4); д) (3 + х)(9 – 3х + х2).

265. а) (1 – х + х2)(1 + х); б) (4х2 + 6х + 9)(2х – 3);

в) (4х – 3)(16х2 + 12х + 9); г) (2х4 + b)(4x8 – 2bx4 + b2);

ґ) (5х + 4)(25х2 – 20х + 16); д) (х2 + у2)(х4 – 2х2у2 + у4).

Спростіть вирази (266–267):

266°. а) (a – 3)(a2 + 3a + 9) – a3 + 3;

б) (х + 1)(х2 – х + 1) + x3 + 1;

в) (2m – 1)(4m2 + 2m + 1) + 4 – 8m3; г) a3 – 2b3 + (2a + b)(4a2 – 2ab + b2).

267*. а) m2(m + 1) + (m – 2)(m2 + 2m +4);

б) 8x3 + 13 – (2х + 2)(4х2 – 4х + 4);

в) (a – 3)(a2 + 3a + 9) – a(a – 5)(a + 5); г) b(b – 1)(b + 1) – (b – 2)(b2 + 2b + 4).

Розкладіть на множники двочлени (268–269):

268°. а) х3 + у3; б) х3 – у3; в) m3 – n3; г) х3 – 8; ґ) 27 + у3; д) 8х3 – 27у3; е) а3 + 1; є) 125 – m3 .

269. а) 0,001 – р3; б) р3 + 0,008; в) 0,001у3 – х3; г) 0,125х3 – 0,064; ґ) 1 8 x3 + 27 64 ; д) 27 64 6 x + 8 125 6 y ;

е) 64х3 + 125у3; є) y2 – y6;

ж) a9 + b3 .

Заповніть пропущені місця

лися тотожності (270–271):

270. а) (p – k)(... + ... + ...) = p3 – k3;

б) (m + n)(... –... + ...) = m3 + n3;

в) (… – …)(… + ... + …) = х3 – у3;

г*) (х – ...)(... + ... + у2) = ... – у3 .

271. а) с3 – р3 = (... – ...)(с2 + ... + ...);

б*) (х – ...)(... + ху + ...) = ... – у3;

в) (х + 2)(х2 – 2х + ...) = ... + 8;

г*) 8m3 + ... = (... + ...)(... –... + n2).

так, щоб утвори-

272*. Розкладіть на множники двочлен а6 – 1: а) як різницю квадратів; б) як різницю кубів. Розв’яжіть рівняння (273–274):

273°. а) (х – 1)(х2 + х + 1) = 2х + х3; б) (х + 4)(х2 – 4х + 16) = 4х + х3; в) (х – 0,1)(х2 + 0,1х + 0,01) = х3 – 0,1х.

274. а) (4 – х)(16 + 4х + х2) – 16х = –х3; б) (х + 5)(25 – 5х + х2) – 25х = х3; в) (16 – 4х + х2)(4 + х) = х3 + 4х.

275. Доведіть, що: а) 4313 + 1343 ділиться на 565; б) 216 + 193 ділиться на 460; в) 216 – 193 ділиться на 422; г) 446 + 86 ділиться на 2000.

276. Доведіть, що три останні цифри числа 49873 + 133 нулі.

277*. Доведіть, що коли різниця двох натуральних чисел ділиться на яке-небудь число, то й різниця їх кубів ділиться на те саме число.

278*. Розкладіть на множники вирази: а) (р – 3)3 – 27; б) 8 + (х + 2)3; в) (а + 4)3 + 1; г) 64 – (5 – b)3; ґ) (6 – b)3 – 1; д) (m + 7)3 – 125.

Перетворення добутку одночлена і многочлена у многочлен (І)

a(b + c) = ab + ac.

Розкладання многочлена на множники способом винесення спільного множника за дужки (І′)

Перетворення добутку

двох многочленів у многочлен (ІІ)

(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd. Розкладання

(ІІІ) (a – b)(a + b) = a2 – b2 .

(a + b)(a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .

(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 . Розкладання на

(V)

Перетворення добутку різниці двох виразів і неповного

(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 . Розкладання на

різниці

(V′)

двох виразів (VI′) Ці перетворення використовувалися для спрощення виразів, обчислення їхніх значень, доведення тотожностей, розв’язування рівнянь тощо. Зазвичай треба було застосувати якесь одне перетворення. Але часто доводиться вдаватися відразу

Якщо такий виявиться, то його можна винести за дужки. У даному випадку таким множником є 2х: 2х5 – 2х = 2х(х4 – 1).

Далі з’ясовуємо, чи не можна утворений у дужках многочлен розкласти на множники, користуючись однією з наведених вище тотожностей.

Вираз (х4 – 1) є двочленом, який можна записати як різницю квадратів двох виразів: х2 і 1, і подальші його перетворення здійснювати, користуючись тотожністю (ІІІ′).

Отже, 2х5 – 2х = 2х

х2 + 1).

Приклад 2. Розкласти на множники вираз х2 – 2ху + у2 – 4. Розв’язання. Аналізуючи даний

помічаємо, що перший

його тричлен можна записати у вигляді квадрата двочлена: х2 –– 2ху + у2 = (х – у)2. Одержаний вираз (х – у)2 – 4 можна перетворити в добуток як

різницю квадратів виразів х – у і 2.

Маємо: х2 – 2ху + у2 – 4 = (х – у)2 – 22 = (х – у – 2)(х – у + 2).

Приклад 3. Довести, що різниця між кубом будь-якого цілого чис-

ла і цим числом ділиться на 6.

Розв’язання. Позначимо дане число, наприклад, буквою n і за-

пишемо відповідну різницю: n3 – n. Перетворимо її: n3 – n = n(n2 – 1) = n(n – 1)(n + 1). Бачимо, що добуток складається з трьох послідовних цілих чисел (у порядку зростання): n – 1,

Приклад 4. Спростити вираз (а – 1)(а + 1)(а2 + 1)(а4 + 1).

Розв’язання. Добуток перших двох множників на основі тотожності (ІІІ) дорівнює:

(а – 1)(а + 1) = а2 – 1.

Далі скористаємося тотожністю (ІІІ) ще раз для перетворення

добутку одержаного виразу і (а2 + 1):

(а2 – 1)(а2 + 1) = (а2)2 – 1 = а4 – 1. І, нарешті, на основі тієї самої тотожності отримуємо остаточний результат:

Розкладанням многочленів на множники захоплювався в шкільні роки видатний український математик Георгій Вороний (1868–1908). Пізніше юнак вирішив випробувати свої сили у розв’язуванні складніших завдань, одним із яких було знаходження цілих додатних розв’язків рівняння x2 + у2 + z2 + 2 = mxy, де m ціле число.

Народився Г. Вороний у с. Журавка (нині Чернігівської області). Садиба його батьків збереглася до наших днів і знаходиться

г) m2x – n2x; ґ) a3 – a; д) b5 – b3; е) 18x3 – 2x; є) 18c2d – 8d; ж) 0,5a2 – 4,5; з) 0,25x2 – 2,25; и) 27c2 – 48; і) 2d4 – 16d; ї) x4 + x; й) a5 – a2; к) 2b3+ 16.

280°. Розв’яжіть рівняння: а) x3 – 9x = 0; б) 25y – у3 = 0; в) x3 – 16x = 0; г) 2x3 – 18x = 0.

281*. Доведіть, що значення виразу 3а3 – 3а за будь-якого натурального а ділиться на 9.

282°. Запишіть у вигляді добутку двох множників: а) a2 + 2ab + b2; б) x2 – 4x + 4; в) 4m2 + 4mn + 1; г) 9c2 + 12cd + 4d2 .

Запишіть у вигляді добутку

(283–284): 283. а) 2a2 + 4ab + 2b2; б) 3x2 – 12x + 12; в) bx2 + 2bxy + by2; г) 3b2 – 6b + 3.

284. а) 1 2 1 2 22 mmnn ++ ; б) 1 2 1 2 1 2 22 bbcc ++ ; в) 2a3 – 0,5a; г) 3x2 –1 3 .

285. Знайдіть значення виразів раціональним способом:

а) x3 – 2x2y + xy2 , якщо x = 2,4, y = –7,6; б) (x2 + 1)2 – (x – 1)(x + 1)(x2 + 1), якщо x = 1 4 ; в) 1 2 1 2 22 aabb ++ , якщо a = 6,4, b = 3,6; г) ax2 + 2axy + ay2 , якщо a = 0,4, x = 7,1, y = 2,9.

286. Розкладіть на множники:

а) (x + 3)2 – 4x2; б) 3(x + 3)2; в) 4 – (p – 2)2; г) 20 – 5(p – 2)2; ґ) a2 + 2ab + b2 – 4; д) m2 + 14m + 49 – b2 .

287. Запишіть у вигляді добутку трьох множників: а) a3 + a2 – ab2 – b2; б) 9b + a3 – a2b – 9a; в) x3 + 3x2 – 4x – 12; г) ab2 – a – b3 – b; ґ) x3 – 4y + x2y – 4x; д) x3 – 3y2 + 3x2 – xy2 .

288*.

Розкладіть на множники:

а) a4 + a3 + a + 1; б) m5 – m3 + m2 – 1; в) 3d4 + 3d3 – 3d – 3; г) m3 – 8 + 6m2 – 12m.

289*. Розв’яжіть рівняння:

а) x3 – 2x2 – x + 2 = 0; б) y3 – y2 – 16y + 16 = 0; в) 2x3 + 16 – x2 – 32x = 0; г) 2x3 + 3x2 – 2x – 3 = 0.

290*.

Розкладіть тричлени на множники:

а) x2 + 8x + 15; б) x2 + 10x + 24; в) x2 – 6x + 5; г) x2 – 8x + 12.

Зразок. x2 + 8x + 15 = (x2 + 8x + 16) – 1 = (x + 4)2 – 1 = = (x + 4 + 1)(x + 4 – 1) = (x + 5)(x + 3).

291*. Розкладіть многочлени на множники заміною середнього його члена сумою двох одночленів: а) x2 – 5x + 6; б) x2 + 6x + 8; в) x2 – 7xy + 12y2; г) x2 – 7xy + 10y2; ґ) x2 – x – 12; д) x2 – 3xy – 10y2

Зразок. x2 – 5x + 6 = x2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = = (x – 3)(x – 2).

292. Спростіть вирази і знайдіть їхні числові значення:

а) (6x – 1)(6x + 1) – (12x – 5)(3x + 1), якщо x = 0,2; б) (5 + 2x)2 – (5 + 3x)(5 – 3x), якщо x = –3; в) (4 – 0,5x)2 – (5 + 0,5x)(6 + 0,5x), якщо x = –2; г) (2x + 3)(2x – 3) – (2x + 1)2, якщо x = –2,5.

1. Зведіть подібні члени многочленів: а) 17х + 4х – 23х – 7х; б) 8а – 3 + 4а – 20; в) 4m + 2n – 5m – n; г) 9х3 – 4х2 + 6х2 – 16х3 .

2. Розкрийте дужки і спростіть: а) (2а – 3d) + (4а + 7d); б) 4х – 3у + 2 + (5у – 3х); в) 4m + 5n – (m + 3n); г) m2 – 5n2 – (8m2 – 5n2 + 3).

3.

Знайдіть суму і різницю многочленів:

а) 6а2 – 3b2 i 18а2 – 4b2; б) 12х – 4ху – 1 i 9х – 2ху + 3; в) 2,5х2 + 3,2у4 і 4,3х2 – 0,3у4; г) 5,4с2 + d2 + 5,7 і 4,4с2 – d2 – 5,7.

4.

Обчисліть значення виразів, спочатку їх спростивши:

а) 3а2 – 2b – (4b + 3а2), якщо b = 1 6 ;

б) 8m + 1 – (3 – 2m), якщо m = 0,5; в) –5(а – 2) + 3(а +1), якщо а = 2 3 4 ;

г) 3х – 5,8 – (2,2х – 4,2), якщо х = 4,5.

5.

Перетворіть вирази у многочлени стандартного вигляду:

а) 3(а + b + c); б) 7(а + b) + (а – b) ∙ 7; в) а(2а2 – а) – 3(а – 5); г) m(2m – 3n) + 2n(m – 4n).

6. Розкладіть многочлени на множники, винісши за дужки спільний множник:

а) 4а2b – 6а2; б) 2c3 + 16cd; в) 3mn2 + 9m3n – 12mn; г) 5х2у – 10х2у2 + 15х3у3 .

7. Знайдіть числове значення виразів, спочатку розклавши їх

на множники:

а) а2 – аb, якщо а = 7,6; b = 2,6; б) 3,66 ∙ 0,12 + 6,34 ∙ 0,12; в) 2х2у + 4ху2 , якщо х = 2; у = –0,5; г) 464 ∙ 12,8 – 264 ∙ 12,8.

8. Розв’яжіть рівняння:

а) 7(12x + x) + 4 = 6(x – 3); б) 5(4 – 8,2x) – 2(6,5x + 6) = 16; в) 2(3x – 1) – 4(x + 2) = 8; г) 4(2,4у + 3) – 6 = 2(1,8у + 1,5).

9.

Перетворіть вирази у многочлени стандартного вигляду:

а) (2m + 1)(4m – 3); б) (x – 3у)(x + 3у); в) 5а2 + (а – 1)(2а + 3); г) 6с – (с – 4)(с + 1).

10. Розкладіть на множники:

а) px + py + kx + ky; б) 2a2 + 2a + 3ab + 3b; в) ax – ay – bx + by; г) 8a + 8b – ax – bx.

11. Обчисліть значення виразів, спочатку розклавши

множники:

а) 2xy – 30x – 7y + 105, якщо x = 8,5, y = 19; б) а2b + 3аb – 2а – 6, якщо а = 2, b = 5.

12. Запишіть вирази у вигляді добутків: а) m2 – n2; б) c2 – 4; в) 4c2 – 1; г) 16а2 – 25b2; ґ) 0,36 – b2; д) 64х2 – 36у2; е) 0,49 – у4; є) 0,81m2 – 0,01n2 .

13. Розв’яжіть рівняння, розклавши ліву частину на множники: а) x2 – 3x = 0; б) x2 – 16 = 0; в) 0,16 – y2 = 0; г) 2,25 – p2 = 0.

14. Обчисліть значення виразів, спочатку спростивши їх:

а) (3х + 2)(3х – 2) – 9х2 + 2х, якщо х = 0,5; б) m2 + (5 – m)(5 + m), якщо m = 8,15.

15. Запишіть вирази у вигляді многочленів:

а) (2х + 1)2; б) (х – 34)2; в) (4m + 5n)2; г) (4 – 2d)2.

16. Обчисліть зручним способом:

а) 4a2 – 4a + 1, якщо a = 0,275; б) 9b2 + 6b +1, якщо b = 2,6; в) m2 + 2mn + n2 , якщо m = 2,13, n = 7,87; г) 4х2 – 4ху + у2 , якщо х = 0,75, у = 0,5.

рівень

1. Спростіть вирази: а) 7x – 3,5у – (2,5у + 6,2х); б) 3a + 4,3b + (5,7a – 6,7b); в) 0,5m3 – 4 + (7m – 0,5m3 – 7); г) 2,5а2 + 4а – (2а – 3,5а2 – 6).

2. Перетворіть вирази у многочлени стандартного вигляду:

а) a(3b + а) + b(4а – b); б) 4ху(х – 2у) – 3х(ху + 5у2); в) 2m(3m2 + 1) – 3n(m + n); г) 2у(ху2 – 4) – 3(у + х).

3. Розв’яжіть рівняння:

а) 6(0,8х + 4) + 3(0,4х – 8) = 3;

б) 4(1,2 – 5х) – 0,6(8 – 8х) = 15,2;

в) 4(0,4у + 2) + 2(0,2у – 4) = 2;

г) 6(0,6у – 2,5) – 9(4 – 4у) = 29,2.

4.

Доведіть тотожності:

а) 5а2 – 3(а + 1)(а – 1) = 2а2 + 3;

б) 7(n2 – 2) – 4(n + 3)(n – 3) = 3n2 + 22;

в) х – 2у(х + 2у) + 4у2 = х(1 – 2у); г) b2 + 2а – b(2а + b) = 2а(1 – b).

5.

Доведіть, що значення виразів не залежить від с:

а) 5c(4,8c2 – 6c) – 8(3c3 – 3,75c2 + 2); б) 3(5,2c2 – 1,3c + 4) – 2,6c(6c – 1,5).

6. Доведіть, що:

а) сума трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 3; б) сума натурального числа і його квадрата є парним числом.

7. Розв’яжіть рівняння:

а) 3х2 – 4х = 0;

б) 2у3 + у2 = 0; в) (х – 3)(х – 5) – х2 = –1;

г) (4х – 3)(х + 1) – (2х – 1)(2 + 2х) = 0.

8. Обчисліть значення виразів:

а) (3m – 2n)(4m + n) – (2m + n)(6m – 2n), якщо m =4 7 , n = 0,25;

б) а(а + b)2 – b(а – b)2 + 2b(а2 + b2), якщо а = 2,5, b = 0,5; в) 2х2 ∙ 7ху2 – 4х2у(–ху) – 3х ∙ 5х2у2 , якщо х = 3, у = 5; г) 5х3(–3у2) – 2х2у2

8х + 6ху

3х2 , якщо х = –2, у = 4.

9. Якщо одну сторону квадрата збільшити на 3 см, а другу зменшити на 2 см, то дістанемо прямокутник, площа якого на 4 см2 більша за площу квадрата. Обчисліть довжину сторони квадрата.

10. Запишіть вирази у вигляді добутків: а) a3 – 4a2 – 25a + 100; б) 2y – 26y2 – 13y + 1; в) а2с2 + а2d2 – bc2 – bd2; г) 2mk2 + n2k2 – 2mp – n2p.

11. Обчисліть зручним способом: а) 43 ∙ 29 + 27 ∙ 11 + 43 ∙ 11 + 27 ∙ 29; б) 93 ∙ 52 – 38 ∙ 43 ∙ 43 ∙ 52 + 93 ∙ 38; в) 109 ∙ 9,17 – 6,37 ∙ 72 ∙ 9 ∙ 9,17 ∙ 3,63 ∙ 72; г) 123 ∙ 1,32 – 28 ∙ 0,148 ∙ 123 ∙ 0,468 + 151 ∙ 0,148.

12. Доведіть, що значення виразів

змінної:

а) (x – 10)(x + 10) – (x + 15)(x – 15);

б) (4y – x)(x + 4y) + (2x – 4y)(2x + 4y) – 3x2;

в) (a – 9)2 + (8 – a)(a + 6) + 16a;

г) (x – 7)2 + 2(x – 7)(1 – x) + (1 – x)2.

13. Розв’яжіть рівняння:

а) (x + 7)2 + 3 = (x – 2)(x + 2); б) 9x2 – (3x – 5)2 = 20; в) (x + 6)2 – (x – 5)(x + 5) = 79; г) (x – 7)2 – 8x(x – 7) = 0.

14. Обчисліть значення виразів:

а) (x2 + 0,2x + 0,04)(x – 0,2) – x3 , якщо x = 3 71 ;

б) 0,01a3 – (0,1а + 2)(0,01а2 – 0,2а + 4), якщо а = 10.

15. Розкладіть вирази на множники:

а) 2 + x2(x – 2) – x; б) x + x3(x – 2) – 2; в) 2x3 – 8x – 12 + 3x2; г) x4 – 2x + x3 – 2.

IV рівень

1. Дано многочлен x4 – 2x3 + 8x – 4. Який многочлен потрібно: а) додати до нього, щоб дістати многочлен 1 + 4x4 – 2x2 – 3,5x3; б) відняти від нього, щоб дістати многочлен 9x + 3 + 2x4?

2. Доведіть, що: а) різниця двоцифрового числа і числа, записаного тими самими цифрами, але у зворотному порядку, ділиться на 9; б) сума двоцифрового числа і числа, записаного тими самими цифрами, але у зворотному порядку, ділиться на 11.

3. Обчисліть зручним способом: а) 6,9 ∙ 75 + 37,5 ∙ 21,4 + 37,5 ∙ 4,8; б) 12,62 + 12,6 17,2 – 6,3 140,4.

4. Кількість десятків двоцифрового числа вдвічі більша за кількість його одиниць. Якщо від цього числа відняти суму його цифр, то дістанемо 54. Знайдіть це число.

5. Розв’яжіть рівняння: а) (2x – 3)(3х – 1) – (6x + 2)(х – 5) = 25; б) x(4x + 11) – 7(x2 – 5x) = 57x;

в) 2(3x – 1)(2х + 5) – 6(2x – 1)(х + 2) = 46; г) x(2x + 3) – 5(x2 – 3x) = 3x(7 – x).

6. Обчисліть значення виразів: а) 30ах + 45bx – 45by – 30аy, якщо 2а + 3b = 7,5 і x – y = 4; б) 2аx – by – bx + 2аy, якщо 2а – b = 3 і х + у = 5.

7. За якого значення а значення виразу а2 + 7а втричі більше за значення виразу 7 + а?

8. Розкладіть на множники:

а) x3 + 7x2 – х – 7; б) (4 – x2)2 – 9x4 .

9. Доведіть, що значення двочлена x3 – х

х кратне 6.

10. Доведіть, що значення виразів

цілих

від значення змінної: а) (х – 7)2 + 2(8х – х2 – 7) + (1 – х)2; б) (2х + 7)2 – 2(4х2 + 8х – 21) + (2х – 3)2.

11. Доведіть, що різниця

двох послідовних парних натуральних чисел дорівнює подвоєній сумі цих чисел.

12. Якого найменшого значення набуває кожний

значень х:

а) (х – 3)2 + 5; б) (х + 2)2 – 3; в) x2 – 10x + 26; г) x2 + 6x + 7?

13. Виправте помилки, якщо вони допущені:

а) (3а + 4)(9а2 – 12а + 16) = 27а3 + 64; б) 0,08 – 27х3 = (0,2 – 3х)(0,04 + 1,2х + 9х2).

14. Розв’яжіть рівняння:

а) х3 – 10х2 + 25х = 0; б) х8 – 1 = 0; в) х3 + 10х2 + 25х = 0; г) х8 + 1 = 0.

У результаті засвоєння матеріалу цього

знати:

що таке числове значення алгебраїчного

знайти;

які вирази називають тотожно рівними;

способи доведення тотожностей;

властивості степеня з натуральним показником;

що таке одночлен (многочлен);

як звести одночлен до стандартного вигляду;

як знайти суму, різницю многочленів;

як знайти добуток: одночлена і многочлена; двох многочленів;

формули скороченого множення;

способи розкладання многочленів на множники; розуміти і вміти пояснити:

чим відрізняється одночлен (многочлен) стандартного вигляду від одночлена (многочлена), не зведеного до стандартного вигляду;

на основі яких математичних законів: а) зводять подібні члени многочлена; б) знаходять добуток одночлена і многочлена; який взаємозв’язок існує між: а) множенням многочлена на одночлен і розкладанням многочлена на множники способом винесення спільного множника за дужки; б) множенням многочлена на многочлен і розкладанням многочлена на

способом групування; вміти обґрунтувати: властивості степеня з натуральним показником; формули скороченого множення; успішно розв’язувати задачі і вправи, подібні до

цьому розділі.

Розділ

 Що таке функція. Аналізуючи різні процеси, явища, можна помітити, що у багатьох випадках

зують, перебувають у певній

на значень однієї величини спричиняє зміну значень іншої.

Наприклад, зміна швидкості v автомобіля спричиняє зміну часу t, необхідного для подолання відстані, скажімо, 300 км, між двома населеними пунктами (зі збільшенням швидкості такий час зменшується і навпаки). Тому його (час) називають

t = 300 60 = 5 (год); якщо v = 75 км/год, то t = 300 75 = 4 (год) і т.д. Звер-

ніть увагу, що кожного разу певному значенню швидкості відповідає лише одне значення часу.

Приклад 1. Площа S квадрата залежить від довжини його сторони а: збільшення (зменшення) довжини сторони квадрата зумовлює збільшення (зменшення) його площі. У даному випадку

незалежною змінною є довжина сторони а квадрата, а залежною його площа S. Формула, яка описує цю залежність, як відомо, має вигляд: S = a2 . Підставляючи в неї замість а довільні значення довжин сторони квадрата, кожного разу діставатимемо по одному відповідному

Приклад 2. Значення

декілька десятків місць у різних рядах глядачевої зали. З розглянутих прикладів видно, що у функціональних залежностях змінні величини можуть позначатися різними буквами латинського алфавіту, що зумовлено їхнім змістом. У першому випадку v незалежна змінна, t залежна змінна, у другому відповідно а і S, у третьому h і р. Коли йдеться про функціональну залежність у загальному вигляді, то незалежну змінну зазвичай позначають буквою х, залежну буквою у, а саме правило (функцію), за яким за даним значенням х знаходять відповідне значення у буквою f.

факт функціональної залежності у від х записують так: у = f(х) (читають: «ігрек дорівнює еф від ікс»).

Незалежну змінну у функціональній залежності ще називають аргументом.

 Область визначення функції. Незалежна змінна у кожній функціональній залежності може набувати певних значень, які визначаються змістом цієї залежності, сутністю тих процесів або

явищ, яких вона стосується, тощо. Так, довжина сторони квадрата у формулі S = a2 може виражатися будь-яким додатним числом. А ось, якщо розглядати функцію, яка задає залежність вартості

т куплених зошитів ціною 3 грн за зошит від їх кількості п, що виражається формулою т = 3п, то тут незалежна змінна п може набувати лише натуральних значень.

Сукупність усіх значень (або інакше, множину значень), яких набуває незалежна змінна (аргумент), називають областю визначення функції. Кожному значенню

На ньому умовно зображено дві множини: Х область

визначення функції та Y область значень функції, де кожна точка множини Х зображує

певне значення аргументу х, а кожна точка множини Y певне значення функції. Лінії зі стрілками задають правило f, яке для кожного значення аргументу з області визначення функції вказує відповідне значення функції. Розглянемо ще дві залежності, зображені

це, скористаємось означенням функціональної залежності, а саме

Розділ

1.

2.

3. Як називають правило, за яким для кожного значення незалежної

змінної?

4. Як у загальному вигляді позначають функціональну

5. Що називають областю визначення функції?

6. Що таке область значень функції?

293°. Поясніть, чому залежність периметра

ни а його сторони є функціональною.

а) Назвіть аргумент і залежну змінну у цій залежності; б) запишіть формулу, що виражає відповідну функцію; в) знайдіть значення функції для таких значень аргументу: 3; 4,5; 5,75; 7,25.

294°. Запишіть за допомогою формули залежність об’єму V куба

від довжини а його ребра.

а) Поясніть, чому ця залежність є функціональною; б) назвіть аргумент і залежну змінну відповідної функції; в) обчисліть значення функції для таких значень аргументу: 2; 5; 4,1; 12.

295°. Запишіть формулу для обчислення площі круга. Залежність між якими

296.

значень b: 2,5; 4; 6; 3.

знаходять градусну

кута, є функцією. Знайдіть область значень цієї функції, якщо область її визначення утворюють такі градусні міри: а) 16°; б) 40°; в) 90°; г) 110°; ґ) 150°.

298. На рисунках 21–26 схематично зображено шість залежностей між змінними х і у.

числа,

299. 1) Кожному з чисел 1; 4; 25; 49; 100 поставлено у відповідність числа, квадрати яких дорівнюють даним числам. Чи є таке правило функцією?

2) Кожному з невід’ємних чисел відповідають числа, модулі яких дорівнюють даним числам. Чи є правило, яке встановлює таку відповідність, функцією?

300*. Знайдіть неточності у твердженнях і поясніть їхню сутність. Залежність між змінними x i y є функцією, якщо:

а) кожному значенню змінної x відповідає значення змінної y;

б) одному значенню змінної x відповідає одне значення змінної y.

Проілюструйте за допомогою схематичних зображень хибність наведених тверджень.

 Що означає «задати функцію». Задати функцію означає вказати область її визначення, тобто множину значень, яких набуває аргумент, і правило, за яким для кожного з цих значень знаходять відповідне значення функції.

Є кілька способів задання функції, які відрізняються один від одного передусім характером правила, що встановлює відповідність між значеннями аргументу і функції.

формули. Розглянемо приклади. Приклад

якщо х = –3, то y = 2 ∙ (–3)2 = 2 ∙ 9 = 18; якщо х = –2, то y = 2 (–2)2 = 2 4 = 8; якщо х = –1, то y = 2 ∙ (–1)2 = 2 ∙ 1 = 2 і т. д. Можливий і такий запис виконання цього завдання. Позначимо дану фнкцію буквою f. Тоді f(x) = 2x2 . f(–3) = 2 ∙ (–3)2 = = 2 ∙ 9 = 18; f(–2) = 2 ∙ (–2)2 = 2 ∙ 4 = 8 і т.д.

Приклад 2. Область визначення функції множина парних чисел першого десятка. Правило обчислення значення функції за даним значенням аргументу виражає формула y = x + 2. Маючи ці дані, можна, як і в попередньому випадку, для кожного значення аргументу x з області визначення функції (а це числа 2, 4, 6, 8, 10) знайти відповідне значення функції y, послідовно

підставляючи значення x у дану формулу:

х = 2, y = 2 + 2 = 4;

х = 4, y = 4 + 2 = 6;

х = 6, y = 6 + 2 = 8 і т.д.

Або інша форма запису:

f(х) = x + 2;

f(2) = 2 + 2 = 4;

f(4) = 4 + 2 = 6 і т.д.

У багатьох випадках, задаючи функцію аналітично, вказують лише формулу і нічого не кажуть про область її визначення. У такому разі областю визначення функції вважають множину значень змінної, для яких вираз, що стоїть у правій частині формули, має смисл.

Приклад 3. Функцію задано формулою y = 3x + 2. Областю її визначення є множина всіх раціональних чисел, бо вираз 3x + 2 має смисл для будь-якого значення х.

Приклад 4. Для функції у = 3 4 x xобластю визначення є

всіх раціональних чисел, крім х = 4, бо, якщо х = 4, вираз 3 4 x xне

має смислу (знаменник дробу дорівнює 0).

Приклад 5. Областю визначення функції у = x xx 3 1 є множина

всіх чисел, крім х = 0 та х = 1. Поясніть, чому.

Зрозуміло, що в прикладах 3–5 й аналогічних випадках область визначення функції складається з безлічі чисел, на відміну від наведених у прикладах 1 і 2 функцій, де області визначення містять скінченний набір значень аргументу.  Табличний спосіб. Це найпростіший спосіб задання функції. Суть його в тому, що в одному рядку таблиці записують усі значення аргументу (тобто зазначають область визначення функції), а під ними відповідні значення функції. Наприклад, до таблиці занесли результати вимірювань атмосферного тиску (у мм ртутного стовпчика), що здійснювалися через кожні 2 год з 6 до 18 год одного дня.

Ця таблиця задає функцію, область визначення якої множи-

парних чисел від 6 до 18 включно, що

значенням часу, кожному з яких відповідає одне значення атмосферного тиску. У даному випадку область значень функції множина натуральних чисел від 748 до 751. Прикладами

всіх чисел. Правило знаходження відповідних значень функції таке: кожному з чисел області визначення ставиться у відповідність найбільше ціле число, яке не перевищує даного. Наприклад, для 3,5 відповідним числом (значенням функції) є 3, для 5,9 число 5, для 4 число 4, для –6,8 число –7, для –0,3 число –1 і т.д. Запитання для самоперевірки

1. Що означає поняття «задати функцію»?

2.

3. Як знайти область визначення

4. Школа має 2000 грн, які

S = 2000 - 20n. Чи є ця залежність функціональною? Задачі та вправи

301°. Функцію f задано формулою f(x) = 2х

303. Знайдіть значення кожної із функцій, указаних у попередньому завданні, для таких значень аргументу: а) 3; б) –3; в) 5; г) 1.

304°. Функцію задано формулою у = 42 5 x, де х набуває цілих значень від –1 до 5. Запишіть числа, що утворюють область визначення цієї функції. Знайдіть числа, що утворюють область її значень.

305. 1) Функцію, областю визначення якої є всі непарні числа першого десятка, задано формулою у = х2 + 3. Знайдіть область значень цієї функції. Задайте цю функцію таблицею. 2) Областю визначення функції f є множина натуральних чисел першого десятка. Для знаходження відповідного значення функції від потроєного числа з області визначення віднімають 12. Задайте цю

307°. Залежність між змінними х і у задано

Пригадайте

1. Що вам відомо про координатну площину, зокрема: а) як називаються координатні осі; б) скільки координат визначає положення точки на координатній площині і як вони називаються; в) що означає запис А(-3; 2)?

2. Зобразіть

y. Побудуємо на координатній площині точки, координатами яких є відповідні значення х і y із таблиці: (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16), (5; 25). Одержали п’ять точок, множину яких називають

графіком даної функції (рис. 27). Отже, графік функції це множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, що утворюють область визначення функції, а ординати відповід-

несемо до таблиці.

щині точки з координатами (–3; 7), (–2; 2), (–1; –1), (0; –2), (1; –1), (2; 2), (3; 7) (рис. 28). Множина цих семи точок і є

чок, то тут таких точок буде безліч. Усі їх, звичайно, побудувати неможливо. У таких випадках обмежуються побудовою кількох точок графіка, через які потім проводять відповідну лінію. Оскільки х будь-яке число, то можна довільно обирати його

значення і знаходити відповідне значення y. Наприклад, якщо х = 0, то y = х2 – 2 = –2. Щоб не виконувати зайвих обчислень, скористаємося точками, побудованими під час розгляду попереднього прикладу.

графіку функції, чи ні.

З’ясуємо, наприклад, чи належить побудованому

функції у = х2 – 2 точка А(3; 5).

У даному випадку х = 3, у = 5. Підставивши ці значення у формулу у = х2 – 2, маємо: 5 = 32 – 2; 5 = 9 – 2; 5 = 7. Остання рівність неправильна, отже, точка А графіку даної функції не належить.

А ось точка В(–2; 2) належить цьому графіку, бо у = х2 – 2 = = (–2)2 – 2 = 2, що відповідає умові (ордината даної точки за умовою теж дорівнює 2).

 Графічний спосіб задання функції. На рисунку 30 зображено частину стрічки термографа (приладу для безперервного автоматичного запису температури) з графіком зміни температури повітря в певній місцевості протягом доби. По горизонтальній осі (осі абсцис) тут відкладено значення часу вимірювання, а

тикальній осі (осі ординат) значення температури повітря. За цим графіком досить

час доби. Щоб це зробити, наприклад, для 8 год ранку, достатньо знайти на

графіка визначити її ординату. Таким чином, о 8 год ранку температура повітря становила наближено –2,7

Залежність між температурою повітря і часом її вимірювання, яку задає накреслений самописцем термографа графік, є функціональною, бо кожному значенню часу від 0 до 24 год відповідає лише одне значення температури. Отже, зображений на рисунку 30 графік задає певну функцію, оскільки він указує на область

називається графічним способом. Графік функції може багато «розповісти» про неї. Так, за даним графіком можна знайти час, коли температура повітря протягом доби опускалася нижче від нуля, була вищою за нуль, дорівнювала нулю, коли вона підвищувалася, знижувалася тощо.

Оскільки значення температури дорівнює ординаті (у) відповідної точки графіка, то, щоб визначити, коли температура була нульовою, потрібно на графіку знайти точки, ординати яких дорівнюють нулю. Як відомо, усі такі точки лежать на осі абсцис (Ох), тому шуканими є точки перетину графіка з

абсцис. У даному випадку їх дві: А і В;

часу 11 год, друга 21 год. Отже, нульова температура фіксувалася двічі об 11 год і о 21 год. Щоб визначити

температура

була вищою від нуля (додатною), слід знайти точки графіка з додатними ординатами, тобто ті, що розміщені над віссю абсцис. Із рисунка бачимо, що частина графіка, яка лежить

ходиться у проміжку між 11 і 21 годинами, не включаючи цих крайніх значень (тоді температура дорівнювала нулю). Відповідно нижчою від нуля (від’ємною) температура повітря була від по-

чатку доби до 11 год та між 21 і 24 годинами.

Найнижча температура, зафіксована термометром протягом доби, становила наближено –3,8 °С (ордината найнижчої точки С графіка), а найвища становила 4 °С тепла (ордината найвищої точки D графіка).

Підвищенню (зростанню) температури відповідає та частина графіка, яка піднімається

стану

функція. Тобто реальний природний

характеризували на основі його математичної моделі, якою є дана функція. Подібним чином вивчають багато інших процесів, явищ за допомогою математики. Спочатку утворюють математичну модель об’єкта вивчення (відповідну функцію, хоча такою моделлю може бути не лише функція), а потім специфічними математичними методами досліджують цю функцію, співвідносячи здобуті результати з об’єктом вивчення. З окремими методами дослідження функцій ви познайомитеся у процесі подальшого вивчення математики. Цікаво знати

Прилади-самописці, що фіксують значення певних величин і автоматично креслять графіки залежностей між ними, широко використовуються в різних

людської діяльності, зокрема в геології, медицині тощо. Так, спеціальні прилади сейсмографи автоматично записують у вигляді ліній (сейсмограм) коливання земної кори. Сейсмограми дають можливість визначати, коли і де був землетрус, яка була його сила. Електрокардіограми, які фіксують роботу серця і дають змогу судити про порушення в його роботі, теж можна вважати своєрідними графіками. Наприклад, на рисунку 31 зображено

кардіограму серця здорової людини. На ньому коротка «хвиля» (1) характеризує скорочення передсердь, пік (2) свідчить про скорочення шлуночка, «хвиля» (3) показує, наскільки добре серце наповнене кров’ю. На рисунку 32 кардіограма людини, яка перенесла серцевий напад. Аналізуючи зміни, що відбули-

довідка

Першими координатами, які застосовувалися систематично, були географічні (широта і довгота), а також астрономічні координати. Ідеєю координат володіли давньогрецькі вчені Архімед і Аполлоній ще у III ст. до н. е. Французький математик Н. Орем (1323–1382) вперше застосовував координати на площині. Для побудови графіків він користувався термінами «довгота» і «широта», що відповідають сучасним поняттям абсциси й ординати. Метод координат майже одночасно розробили й застосували для дослідження ліній французькі вчені П. Ферма (1601–1665) і Р. Декарт (1596–1650).

Оскільки Р. Декарт першим опублікував опис цього методу (у книзі «Геометрія» в 1637 р.), то математики часто користуються термінами «декартові координати», «декартова система координат». Надзвичайно велику роль відіграло запровадження методу координат у геометрії, що дало можливість застосувати алгебраїчний апарат до дослідження геометричних образів. Цим займається спеціальна математична дисципліна аналітична геометрія. У наш час координати широко застосовуються не лише в математиці, а й у фізиці, астрономії тощо. Ідеєю координат користуються, записуючи розміщення фігур на шахівниці.

(1646–1716).

упорядкований

площині». Слово графік походить від грецького

1.

2.

3.

точки на

314°. Які з точок А(1; 2), B(3; –3), С(–1; 1), D(5; –4), Е(0; 1,5), F(6; –0,75) належать графіку функції y x 3 2 ?

315°. На рисунках 33, 34 зображено графіки деяких функцій. Користуючись ними, знайдіть: 1) значення y, якщо х дорівнює: а) –5; б) –3; в) 0; г) 2; ґ) 3; д) 6; 2) значення х, якщо y дорівнює: а) 1; б) –2.

316. Функції задано графічно (рис. 35, 36). Задайте їх за допомогою таблиць.

317. Які із зображень, поданих на рисунках 37–40, можуть бути графіками функцій?

318.

Рис. 41 Рис. 42

319. Не будуючи графіків функцій, знайдіть координати точок їх

перетину з віссю абсцис:

а) y = 2х – 4; б) y = 9 + 3х; в) y = х2 – 1.

320*. Свічка завдовжки 27 см за кожну хвилину горіння стає коротшою на 0,3 см.

в) Через скільки годин згорить свічка? Рис.37

а) Яку довжину матиме свічка через 10 хв; 30 хв; 40 хв; х хвилин?

б) Виразіть за допомогою формули залежність між довжиною (у) свічки й часом (х) її горіння.

1.

2. Залежність між шляхом s км, пройденим пішоходом, що рухається зі сталою швидкістю 5 км/год, і часом t

його руху виражається формулою s = 5t.

а) Чи є ця залежність функціональною? Поясніть, чому.

б) Яка змінна тут є незалежною (аргументом), а яка залежною?

в) Знайдіть шлях, пройдений пішоходом за 1 год, 2 год, 3 год, 4 год, 5 год, 6 год після початку руху.

г) Складіть таблицю відповідних значень змінних t і s

3. Функцію задано таблицею:

а) Скільки точок утворюють графік цієї функції?

б) Позначте ці точки буквами й запишіть їхні координати. в) Побудуйте графік цієї функції.

г) Вкажіть найбільше й найменше значення функції.

4. Функцію задано формулою у = –х + 2, де аргумент

5.

6.

і ординати його точок. б) Вкажіть область визначення

1. Яка із залежностей, заданих схематично на рисунках 45, 46, не є функціональною? Відповідь обґрунтуйте.

Рис.45

Рис.46 Рис.47 Рис.48

2. Задайте таблицею залежність між двома змінними, яка не є функціональною.

3. Яке з півкіл, зображених на рисунках 47, 48, може бути графіком функції, а яке ні? Відповідь поясніть.

4. Побудуйте графік функції у = х2 – 3х, областю визначення якої є множина цілих чисел від –2 до 5 включно.

5. Побудуйте графік функції у = 2 – х, визначивши координати шести його довільних точок.

6. Установіть, які з точок А(2; 7), В(1; 4), C(–2; 5), D(3; 11), E(0,5; 3,25), F(0; 3) належать графіку функції у = х2 + 3.

Рис.49

7.

0; –2; 1,5.

в) область визначення функції; г) область значень функції.

1. Функцію задано таблицею:

Задайте цю функцію аналітично.

2. Накресліть графік залежності між змінними х і у, яка не є функціональною. Поясніть рисунок.

3. Знайдіть області визначення функцій: а) у = 1 1 x; б) у = (х – 2)(х + 1); в) у = 7 3 xx; г) у = х(х + 1).

4. Установіть, які з точок А(0; 2), B(–1; 4), С(2; 4), D(–2; 20), E(–3; 10), F(3; 14) належать графіку функції у = 3х2 – 5х + 2.

5. Побудуйте вісім довільних точок графіка функції у = x , а потім і весь графік.

6. На рисунку 50 зображено графік деякої функції. Користуючись цим графіком, дайте відповіді на такі запитання: а) яка область визначення цієї функції; б) якого найбільшого значення набуває функція;

в) якого найменшого значення набуває функція; г) за яких значень аргументу функція досягає цих значень; ґ) за яких значень аргументу значення функції дорівнюють нулю.

7. Знайдіть область визначення і область значень функції: а) у = х2 + 4; б) у = 4 – х2; в) у = х2 – 4х + 4. Рис.50

 Що таке лінійна функція.

Функцію, яку можна задати формулою у = kx + b,

де k і b дані числа, а х незалежна змінна, називають лінійною функцією.

Наприклад: у = 2х – 3 (тут k = 2, b = –3); у = –х + 2 (k = –1, b = 2); у = –0,7х (k = –0,7, b = 0). Рівність y = 5 теж задає лінійну функцію, бо її можна записати у вигляді у = 0х + 5, що відповідає формулі у = kx + b. Тут k = 0, b = 5.

 Як побудувати

Побудуємо на координатній площині

точки з координатами (–2; –5), (–1; –3), (0; –1), (1; 1), (2; 3), (3; 5). Приклавши до

них лінійку, помічаємо, що вони лежать на одній прямій (рис. 51). Точок можна побудувати безліч, бо областю визначення функції у = 2х – 1 є множина всіх чисел. Усі такі точки

Приклад. Побудувати графік функції у = 3х – 6. Побудова. 1) Знайдемо координати точки перетину графіка функції з віссю Ох. Оскільки всі точки, які лежать на осі Ох, мають ординату, що дорівнює нулю, підставимо у

формулу значення y = 0 і знайдемо відповідне значення х. Маємо: 0 = 3х

Знайдемо тепер координати точки перетину графіка даної функції з віссю Oy. Абсциси (х) усіх точок, що лежать на осі Oy, дорівнюють нулю. Тому підставимо значення х = 0 у формулу у = 3х – 6 і знайдемо відповідне значення y. Маємо: y = 3 ∙ 0 – 6 = –6. Отже, координати другої точки графіка В(0; –6).

з довільною абсцисою, через яку проходить графік даної функції.

Запитання для самоперевірки

1. Яку функцію називають лінійною? Наведіть приклади.

2. Що є графіком лінійної функції?

3. Як побудувати графік лінійної функції?

Задачі та вправи

321°. Визначте k i b для даних лінійних функцій: а) у = 2х – 4; б) у = –0,5х + 2; в) у = х –1 2 ;

г) у = –х + 8; ґ) у = х; д) у = –0,7х – 7.

322. Доведіть, що дані функції є лінійними:

а) у = 2 – 3х; б) у = –4 – х; в) у = 25 4 x; г) у = 2; ґ) у = –х; д) у = 1 3 x

Вказівка. Запишіть формулу, що задає кожну функцію, у вигляді у = kx + b.

Побудуйте графіки функцій (323–325):

323°. а) у = 3х + 1; б) у = 2х – 2; в) у = 1 2 x + 2; г) у = 0,3х – 1.

324°. а) у = –х + 3; б) у = –0,5х – 1; в) у = –2х + 1; г) у =1 3 x + 1,5.

325. а) у = 2 – х; б) у = –х – 1; в) у = 1 –1 3 x ; г) у = x + 4 2 .

326.

327°.

у = х – 1 і у = –х – 1; б) у = 2 – х і у = 0,5х – 1; в) у = х + 3 і у = 2х + 2; г) у = 2х і у = –х – 3.

Oy графіків функцій: а) у = 4х + 5; б) у = 0,4х – 1,5; в) у = 7х – 1; г) у = 4 – х; ґ) у = –3х – 7; д) у = –3 – 6х.

328. Знайдіть абсциси точок перетину з віссю Ох графіків функцій: а) у = 2х – 6; б) у = 3х + 3; в) у = 4х – 2; г) у = 5х + 7.

329. Знайдіть значення b, якщо графік функції у = 4х + b проходить через точку: а) M(2; 1); б) N(0; 6); в) P(–2; 5); г) R(–3; –8).

330. Знайдіть значення k, якщо графік функції у = kх – 1 проходить через точку: а) A(1; 3); б) B(–2; 5); в) C(3; 0); г) D(5; 2).

331. Графік функції y = 2x + b перетинає вісь ординат у точці (0; 5). Знайдіть значення b.

332. Відомо, що коли х = 4, лінійна функція y = 3х + b набуває значення, що дорівнює 11. Знайдіть b.

333*. Задайте формулою лінійну функцію, графік

осі координат у точках: а) (0; 8) і (7; 0); б) (0; –6) і (5; 0); в) (0; 6) і 0 1 3 ;.

334*. Одна таксомоторна

функції,

відношення дорівнює одному й тому самому числу k: y x k =

Оскільки пряма пропорційність

функ

ції, то її графіком є пряма. Очевидно, що для будь-якого k, коли х = 0, значення y також дорівнює 0: y = k 0 = 0. Тобто, графік

проходить через точку О(0; 0)

для його побудови достатньо мати

координат точку. Її координати знаходять, надавши аргументу х довільного значення і обчисливши відповідне значення y.

Приклад. Побудувати графік функції

у = 3х.

Побудова. Одна точка, через яку проходить графік функції, початок координат. Побудуємо ще одну точку графіка.

Нехай х = 2, тоді y = 3 ∙ 2 = 6. Друга точка графіка має координати (2; 6). Через точ-

ки з координатами (0; 0) і (2; 6) проводи-

мо пряму, яка і є графіком даної функції (рис. 53).

З’ясуємо, як впливає значення

цієнта k на розміщення графіка

функцій yx = 1 4 , y = x та y = 3x (рис. 54).

Бачимо, що:

1) усі графіки розміщені у першій і третій координатних чвертях; 2) зі збільшенням коефіцієнта k збільшується кут між прямою графіка і віссю Ох (додатний напрям).

Зазначимо також, що пряма y = х є бісектрисою першого і третього координатних кутів (спробуйте довести це самостійно).

Розглянемо тепер випадок, коли коефіцієнт k від’ємний (k < 0).

На рисунку 55 зображено графіки функцій у =-

x , у =

х, у = –2х. Бачимо, що:

1) усі вони розміщені

2) зі збільшенням коефіцієнта k (наприклад,1 2 > –2) кут між прямою графіка і віссю Ох (додатний напрям) теж збільшується. Отже, градусна міра кута між графіком

ється додатним числом).

початкової точки О (рис. 56).

 Як впливає на розміщення графіка лінійної

коефіцієнт k. Побудуємо в одній

функцій у = 2х – 4, у = 2х, у = 2х + 3 (рис. 57).

Помічаємо, що всі графіки паралельні між собою. Це слід

передбачити. Адже у формулах, що задають ці функції, коефіцієнт k один і той самий і дорівнює 2. Вище було встановлено, що від кутового коефіцієнта k залежить кут між прямою y = kx і віссю абсцис. Ця залежність зберігається і для лінійної функції y = kx + b (приймемо це поки що без доведення). У даному випадку, коли кутові коефіцієнти рівні між собою, то рівними будуть і позначені

на рисунку кути. За відомою з курсу геометрії теоремою, доходимо висновку, що всі зображені прямі паралельні, оскільки відповідні кути рівні.

Отже, графіки лінійних функцій з одним і тим самим кутовим коефіцієнтом паралельні між собою

 Як впливає на розміщення графіка лінійної функції доданок b. Аналізуючи рисунок 57, помічаємо, що пряма y = 2x – 4 (b = –4) перетинає вісь Oy у точці з координатами (0; –4); пряма y = 2x (b = 0) у точці з координатами (0; 0); пряма y = 2x + 3 у точці з координатами (0; 3). Порівнюючи значення b у формулах,

натами (0; b).

неважко встановити.

абсциса будь-якої точки осі Oy дорівнює 0, то, щоб знайти ординату точки перетину графіка лінійної функції з цією віссю, потрібно у формулу, що задає функцію, замість х підставити 0 і

значення у. Маємо: y = k ∙ 0 + b; y = b.

Наприклад, графіки функцій y = 3x + 5, y = –x + 2, y = 0,3x – 1

перетинають вісь Oy відповідно в точках (0; 5), (0; 2), (0; –1).

Розглянуті властивості графіків лінійних функцій використовують для їхньої побудови.

Якщо, наприклад, маємо графік функції y = 3x – 2 і потрібно побудувати графік функції y = 3x + 5, то достатньо через точку (0; 5) провести пряму, паралельну прямій y = 3x – 2. Поясніть самостійно, які твердження тут використовуються.

Інші окремі випадки лінійної функції. За означенням лінійної функції у формулі y = kx + b, що її задає, k і b довільні числа, отже, вони можуть дорівнювати будь-якому числу, в тому числі й нулю.

З’ясуємо, якого вигляду набирає формула, що задає лінійну функцію, якщо k або b, або обидва

дорівнюють нулю, і яким буде відповідний графік функції.

1) b = 0, k ≠ 0. Формула y = kx. Це пряма пропорційність, графік якої розглянуто вище.

2) k = 0, b ≠ 0. Формула y = 0 ∙ x + b, тобто y = b. Це означає, що значення y не залежить від х і за будь-якого значення х дорівнює b. Як розміщена пряма, що

y = b через точку

координати (0; b), проводять пряму, паралельну осі Ох. На рисунку 59 зображено графік функції у = b, коли b від’ємне

число.

3) k = 0, b = 0. Формула, що задає функцію, має вигляд у = 0 ∙ x + + 0, тобто у = 0 за будь-якого х. Множина точок із координатами (х; 0), де х будь-яке число, утворює вісь Ох. Отже, графіком функції у цьому випадку є вісь Ох.

Запитання для самоперевірки

1. Яка функція називається лінійною?

2. У якому випадку лінійна функція називається

3.

4. Чому параметр k у формулах у = kx та у = kx + b називають кутовим коефіцієнтом?

5. Чим відрізняються формули, що задають лінійні функції, графіки яких паралельні прямі?

335°. Яке твердження правильне: а) будь-яка пряма пропорційність є лінійною функцією; б) будь-яка лінійна фунція є прямою пропорційністю?

Побудуйте графіки функцій (336–337):

336°. а) у = 4х; б) у = 3х; в) у = 1 3 x ; г) y = x 4 .

337°. а) у = –2х; б) у = –0,25х; в) у = 1 5 x ; г) у = x 2 .

338°. Не будуючи графіка функції у = –1,5х, визначте, чи нале-

жать цьому графіку точки: А(2; –3), B(0; –1,5), С(–1; 1,5), D(–1,5; 1), E(–10; 15), F(6; 9), K 2 3 1 ;.

339°. Графік прямої пропорційності y = kx проходить через точку А(2; 4). Знайдіть k.

340. Задайте формулою пряму пропорційність, графік якої про-

ходить через точку: а) А(2; 3); б) В(–1; 5); в) С(4; 4); г) D(–5; 10).

341. Побудуйте пряму, що проходить через початок координат і точку: а) М(1; 3); б) N(2; 5); в) Р(–1; –1); г) Q(–4; –3).

Задайте формулою функцію, графіком якої є ця пряма.

342*. Задайте аналітично функ ції, графіки яких зоб ражено на рисунку 60.

343. Побудуйте графік функції y = –1,5x – 3. Використовуючи побудовану пряму, побудуйте в цій самій системі координат графіки функцій y = –1,5x; y = –1,5x + 3; y = –1,5x – 1.

344. Знайдіть і запишіть формули, що задають функції, графіки яких паралельні: а) у = –х + 2; б) у = 1,5х + 4; в) у = 5х; г) у = –х – 4; ґ) у = 5 + 1,5х; д) у = 4 – 8,5х; е) у = 4х – 2; є) у = 5х – 6; ж) у = 1,5 + 4х; з) у = 1,5.

345. Задайте три лінійні функції, графіки яких паралельні графіку функції y = 1,6х – 1,5.

346*. Задайте формулами лінійні функції, графіки яких паралельні

графіку функції у = –2х і перетинають вісь ординат у точках: а) А(0; 3); б) В(0; –2); в) С(0; 6,5); г) D(0; –10).

347*. Задайте формулою лінійну функцію, графік якої перетинає осі координат у точках: а) М(0; 1,5) і N(–4; 0); б) Р(0; –8) і Q(5; 0); в) R 0 1 3 ; i S(2; 0); г) K(0; –4,5) i L(–3; 0).

348*. На рисунку 61 в одній системі координат побудовано графіки чотирьох лінійних функцій. Задайте кожну із цих функцій аналітично.

349*.

350.

числа, побудуйте графік функції у = x .

351. Побудуйте графіки функцій: а) у = 2 x ; б) у = –2 x ; в) у = x - 3; г) у

1. Запишіть формули, що задають лінійні функції,

у = kх + b і визначте у кожному випадку значення k і b: а) у = 5х – 4; б) у = 2 + 3х; в) у = –7 + 0,5х; г) у = 5 + х; ґ) у = 3х; д) у = х.

2. Від чого залежить кут нахилу прямої у = kх + b до осі Ох?

3. Знайдіть і запишіть формули, що задають функції, графіки яких паралельні: а) у = 2х – 3; б) у = 4 + 3х; в) у = 2х + 5; г) у = 0,5х; ґ) у = 3х – 2; д ) у = 1 + 0,5х; е) у = 3х – 1; є) у = 5х – 7.

4. Задайте формулою лінійну функцію, графік якої паралельний графіку функцій: а) у = 0,5х – 3; б) у = –2х + 4,5; в) у = –0,5х + 4; г) у = 2х – 4. Скільки таких функцій у кожному випадку можна задати?

5.

Побудуйте графіки функцій: а) у = 0,4х; б) у = –х; в) у = 2х – 4; г) у = –2х + 2.

6. Знайдіть координати точок перетину з осями координат графіків функцій, не будуючи цих графіків: а) у = х + 4; б) у = 3х + 12; в) у = –4х + 8; г) у = 5х.

1. Побудуйте графік функції у = 0,4х – 2. Задайте формулою пряму пропорційність, графік якої паралельний графіку даної функції.

2. Графік лінійної функції у = ах + 2 проходить через точку (–4; –1). Знайдіть а.

3. Побудуйте графік лінійної функції, що перетинає

у точці B(2; 0) і паралельний графіку функції у

те цю функцію формулою.

4. Задайте формулою лінійну функцію, графік

.

графіку функції у = –3х – 1.

5. Як розміщена відносно

6. Задайте аналітично лінійну функцію,

якої проходить через точку (2; 5) і паралельний осі Ох. IV рівень

1. Дано лінійну функцію у = kх + b. За яких k і b її графік:

а) проходить через початок координат; б) проходить через початок координат і точку М(–1; 3);

в) паралельний графіку функції у = 3х – 5 і проходить через точку А(2; 2); г) не проходить

3.

Побудуйте графіки функцій:

а) у = –4 x ;

у = 21 x + ; в) у = 31 x - ;

знати:

що таке функція;

що таке аргумент;

що таке область визначення і область значень функції;

що таке графік функції;

яку функцію називають лінійною, що є її графіком;

що таке пряма пропорційність; розуміти і вміти пояснити:

що означає «задати функцію» і якими способами це можна зробити;

як будують графік функції, заданої: а) аналітично; б) таблицею; як за графіком функції знайти значення однієї змінної за даним значенням іншої змінної;

як побудувати графік: а) лінійної функції; б) прямої пропорційності;

як впливає значення коефіцієнта k на розміщення графіка лінійної функції y = kx + b (прямої пропорційності y = kx);

у якому випадку графіки двох лінійних функцій є паралельними прямими;

як впливає на розміщення графіка лінійної функції значення доданка b; успішно розв’язувати задачі і вправи, подібні до вміщених у цьому розділі.

Пригадайте

1. Яка рівність називається рівнянням?

2. Що таке корінь (розв’язок) рівняння?

3. Як перевірити, чи є дане число коренем рівняння?

4. Якими властивостями рівнянь користуються, розв’язуючи їх?

Рівняння широко застосовуються при вивченні математики та інших наук. Певні відомості про рівняння

Розв’язуючи рівняння (1), ми послідовно замінювали його рівняннями (2), (3), (4), аж поки не дістали шукану відповідь (5). Така заміна здійснювалася на основі відомих правил тотожних

перетворень виразів та властивостей рівнянь. Так, рівняння (2) дістали з рівняння (1), записавши добуток 5(х – 4) у вигляді многочлена. Рівняння (3) дістали з рівняння (2), перенісши в останньому члени, що містять невідомі, з правої частини в ліву, а відомі з лівої у праву, змінивши при цьому знак кожного

члени, дістали рівняння

Бачимо, що рівняння розв’язку не має.

 Лінійне рівняння і рівняння першого степеня з однією

змінною: у чому відмінність між ними? Аналізуючи розглянуті приклади, бачимо, що в процесі розв’язування ми приходимо до рівняння виду ах = b, де а і b довільні числа, а x змінна. Такі рівняння називаються лінійними рівняннями з однією змінною.

Лінійним рівнянням із однією змінною називають рівняння виду ax = b, де a і b довільні числа, а х змінна.

У першому прикладі дістали лінійне рівняння 2x = 12 (тут а = 2, b = 12), у другому 0 ∙ x = –1 (а = 0, b = –1).

Ще кілька прикладів лінійних рівнянь з однією змінною:

5х = 3 (а = 5, b = 3);

–3х = 21 (а = –3, b = 21);

0 х = 8 (а = 0, b = 8);

0 ∙ х = 0 (а = b = 0).

Якщо в лінійному рівнянні ax = b, а ≠ 0, то таке рівняння називається рівнянням першого степеня з однією змінною.

Воно завжди має один розв’язок: х = b a .

З наведених чотирьох останніх прикладів лінійних рівнянь два перших рівняння першого степеня. Їхні розв’язки відповідно дорівнюють 3 5 і 21 3 7.

Якщо в лінійному рівнянні ax = b, а = 0, то можливі два випадки:

1) а = 0, b ≠ 0, наприклад, 0 ∙ x = 8.

Зрозуміло, що таке рівняння не має розв’язку, бо за будь-якого x у лівій частині дістанемо 0, тоді як права частина нулю не дорівнює.

2) а = 0, b = 0, тобто 0 ∙ x = 0.

Це рівняння задовольняє будь-яке значення x, оскільки добуток двох множників, один з яких дорівнює 0, незалежно від значення другого множника теж дорівнює 0. Тобто, це рівняння має безліч розв’язків.

з однією змінною;

б) має безліч розв’язків, якщо a = b = 0 (перетворюється у рівняння 0 ∙ x = 0);

в) не має розв’язків, якщо

(перетворюється у рівняння 0 ∙ x = b).

Запитання для самоперевірки

1. Які перетворення рівняння можна виконувати у

його розв’язування? Проілюструйте прикладами.

2. Яке рівняння називається лінійним рівнянням

змінною?

3. Яке рівняння називається рівнянням

з однією змінною?

4. Яке твердження правильне: а) будь­яке лінійне рівняння

змінною; б) будь­яке рівняння першого степеня з однією

5. Чи завжди рівняння першого степеня з однією змінною має один розв’язок?

6. Скільки розв’язків може мати лінійне рівняння з однією змінною? Наведіть приклади. Задачі та вправи 353°. Розв’яжіть рівняння: а) 5x + 3(3x + 7) = 35; б) 8x – (7x + 8) = 9; в) 2x – 3(2x – 4) = 20; г) (x – 3)2 – x2 = 6x – 9; ґ) 4 – (x – 2)(x + 2) = 4x – x2 + 6; д) 6 – (3 – x)2 = 3 – x2 . Поясніть, які перетворення рівнянь ви виконували у процесі розв’язування кожного з них.

354. За яких значень а значення виразу 1 2 + a дорівнює значенню

виразу 3а – 5?

355. Розв’яжіть рівняння:

а) xx 35 8; б) yy 34 14; в) 67 7 3 53 8 xx ; г) 8 6 54 3 6 2 yy y ; ґ) 43 2 52 3 34 3 xx x ; д) xx 4 5 9 24 9 .

356°. Дано рівняння:

а) 3,5x = –7; б) 0,3x = 0,3; в) 0 x = 7; г) 2,1x = 7 + 1,2x; ґ) 0 · x = 0; д) 2,1x + 7 = 2,1x + 7; е) 2,1x + 7 = 7; є) 2x = 0; ж) 5x + 2 = 2 + 5x.

Які з цих рівнянь:

1) мають один розв’язок; 2) не мають розв’язку; 3) мають безліч розв’язків; 4) мають нульовий розв’язок?

357. Знайдіть помилку в розв’язанні рівнянь, якої припустився один із учнів:

а) 0,71x + 1,98 = 0,37x – 1,76;

І учень

0,71x – 0,37x = –1,76 – 1,98, 0,34x = –3,74, x = –11.

б) 3(4x – 13) = 12x – 39;

І учень

12x – 39 = 12x – 39, 12x – 12x = 0, x ∙ 0 = 0.

ІІ учень

0,71x – 0,37x = 1,98 –1,76, 0,34x = 0,22, x = 22 34 11 17 =

ІІ учень

Рівняння має безліч коренів. 12x – 39 = 12x – 39, 12x – 12x = 39 – 39, 0 = 0.

Рівняння не має коренів.

в) 3(4x – 13) = 12x + 5; І учень ІІ учень

12x – 39 = 12x + 5,

12x – 12x = 39 + 5,

0 = 44.

Рівняння не має розв’язків.

12x – 39 = 12x + 5,

12x – 12x = 39 + 5,

0∙ х = 44, x = 0.

г) 3(4x – 13) = 10x – 39; І учень ІІ учень

12x – 39 = 10x – 39, 12x – 10x = 39 – 39, 2x = 0, x = 0.

12x – 39 = 10x – 39, 12x – 10x = 39 – 39, 2x = 0, x будь-яке число.

Розв’яжіть рівняння (358–359):

358. а) 8x – 3(5 – 7x) = 5x – 15; б) 7x – 2(3,5 + x) = 5x – 7; в) 17 + 3x = 18 + 4(x – 0,25); г) 0,3(1 – 4x) = (–x + 0,03) ∙ 1,2.

359°. а) x2 + 1 = x + 0,2х(4 + 5x); б) –72 + 12x2 = 12(0,5 – x)2; в) –10,04 – 4x2 = –4(x – 0,1)2; г) 8 + 4(x – 5)2 + x = –9 + 4x2

За даною умовою складіть і розв’яжіть рівняння (360–361):

360. а°) Яке число потрібно додати до 14,7, щоб одержати 20,17?

б°) Яке число слід відняти від 4,5, щоб одержати –2,7?

в) До якого числа потрібно додати 2,3, щоб сума дорівнювала 0,7?

г) Від якого числа слід відняти 5,7, щоб різниця дорівнювала1 2 ?

361. а°) Яке число потрібно помножити на 8, щоб одержати 10,8?

б°) На яке число потрібно помножити 1 4 5 , щоб одержати 120?

в) На яке число слід поділити 7, щоб частка дорівнювала 0,9?

г) На яке число треба поділити –24, щоб мати 4,8?

Загальне правило для розв’язування рівнянь першого степеня з одним невідомим сформулював у ІХ ст. узбецький математик Мухаммед бен-Муса аль-Хорезмі. У своєму творі «Кітаб аль-джебр аль-мукабала»

він дає два способи розв’язування

таких рівнянь. Появу цього визначного твору можна вважати початком виокремлення алгебри як самостійної галу-

1. Які ви знаєте способи розкладання

2. У якому випадку добуток

3. Чому дорівнює модуль: а) невід’ємного числа; б) від’ємного числа?

Приклад 1. Розв’язати рівняння (2х – 3)(х + 1)(0,5х + 7) = 0.

Розв’язання. Якщо добуток кількох множників дорівнює нулю, то хоча б один із них дорівнює нулю. Тобто 2х – 3 = 0 або х + 1 = 0, або 0,5х + 7 = 0.

Отже, розв’язування даного рівняння звелось до розв’язування трьох лінійних рівнянь: 2х = 3; х = –1; 0,5х = –7. Звідси х = 1,5; х = –1; х = –14.

Приклад 2. Розв’язати рівняння 4х3 – 9х = 0.

Розв’язання. Це рівняння можна звести до рівняння попере-

днього виду, розклавши його ліву частину на множники: 4х3 – 9х = х(4х2 – 9) = х(2х – 3)(2х + 3).

Отже, х(2х – 3)(2х + 3) = 0.

2х + 3 = 0. Звідси х = 0; х = 1,5; х = –1,5.

Приклад 3. Розв’язати рівняння 4х2 – 20х + 25 = 0.

Розв’язання. Перетворимо ліву частину рівняння за формулою квадрата двочлена. Маємо: (2х – 5)2 = 0, або (2х – 5)(2х – 5) = 0.

Звідси 2х – 5 = 0, х = 2,5.



Рівняння, що містять невідоме під знаком модуля.

Приклад 4. Розв’язати рівняння x = 2.

Розв’язання. Відомо, що один і той самий модуль мають протилежні числа. У даному випадку це числа 2 і –2.

Отже, х = 2; х = –2.

Приклад 5. Розв’язати рівняння x 49.

Розв’язання. 9 це значення модуля двох чисел: 9 і –9. Отже, х – 4 = 9 або х – 4 = –9.

Звідси х = 13 або х = –5.

Приклад 6. Розв’язати рівняння 24 57 21 x .

Розв’язання. 24 528 x , 45 14 x .

Отже, 4х + 5 = 14 або 4х + 5 = –14.

Розв’яжемо кожне з цих рівнянь.

4х = 9, х = 2,25; 4х = –19, х = –4,75.

Приклад 7. Розв’язати рівняння 33 16 7 x .

Розв’язання. 33 9 x , 33 x . Оскільки модуль будь-якого

числа від’ємним бути не може, дане рівняння розв’язків не має.

Запитання для самоперевірки

1. Як розв’язати рівняння, ліва частина якого є добутком кількох множників, що містять змінну, а права дорівнює 0?

2. Як розв’язати рівняння виду xa = , де а - додатне число?

3. Скільки розв’язків має рівняння виду xa = , де а - від’єм­

число?

Розв’яжіть рівняння (362–366):

362°. а) х2 – 3х = 0; б) 2у2 + 5у = 0; в) 2х2 – 0,4х = 0; г) у3 – 3у2 = 0; ґ) х2 – 25 = 0; д) 4y2 – 5y = 0.

363. а) х3 + 16х2 = 0; б) х3 – 36х = 0; в) х3 + х2 = х + 1; г) у3 + 9 = 9у + у2; ґ) 4х2 – х = 0; д) у3 + у = 0.

364*. а) 3х2 – х3 + 6 – 2х = 0; б) х3 – 2 – х + 2х2 = 0; в) 14х2 – 2х3 = х – 7; г) х6 + 3х2 + 2х4 + 6 = 0; ґ) х2 – 10х + 25 = 0; д) 9х2 + 16 = 24х.

365. а°) x = 4; б°) x 50; в°) 27 x = ; г°) 36 x ; ґ°) 50 x = ; д°) x 30; е) x 21; є) x 12; ж) 38 x ; з) 25 10 x ; и) 73 16 x ; і) 10 417 x .

366*. а) x 4143 15 ,; б) 14 34 15 ,; x в) 19 77 x ; г) 19 77 x ; ґ) 52 321 x ; д) 52 1158 x .

ми значеннями величин і записують його у вигляді рівняння. Розв’язуючи складене рівняння, дістають значення одного з невідомих, а потім, у разі потреби, користуючись установленими відношеннями, визначають інші невідомі величини. Щоб успішно користуватися методом рівнянь, потрібно володіти певними вміннями.

«менше» між двома числами.

могою рівності

твердженням:

так: щоб із

чисел

рівні між собою числа, можна менше число b збільшити на 6 або більше число а зменшити на 6. Маємо такі рівності:

1) а = b + 6; 2) b = а – 6.

Третій варіант запису може бути таким:

3) а – b = 6.

Такі самі рівності є записом відношення, що виражається твердженням: «число b менше від числа а на 6 одиниць». Аналогічно відношення «число а більше за число b у 3 рази»

1) а

числа.

Приклад 2. В одному ящику а кг яблук, а в другому на 4 кг більше. Яка маса яблук в обох ящиках?

За умовою задачі, у другому ящику (а + 4) кг яблук, а в обох ящиках (а + а + 4) = (2а + 4) кг. Приклад 3. Власна швидкість човна х км/год, швидкість течії ріки 3 км/год. З якою швидкістю човен рухається за течією і яку відстань він при цьому долає за 5 год?

Швидкість руху човна за течією складається із власної швидкості човна і швидкості течії, тобто становить (х + 3) км/год. Рухаючись з такою швидкістю протягом 5 год, човен подолає відстань (х + 3) 5 = 5(x + 3) (км).

 Як скласти рівняння за умовою задачі. Один із основних етапів розв’язування задач за допомогою рівнянь складання рівняння за умовою задачі, що, по суті, означає своєрідний переклад цієї умови на

лю даної задачі.

Складання рівняння передбачає:

1) вибір основного невідомого і позначення його буквою;

2) вираження за допомогою цієї букви і даних у задачі чисел інших невідомих, про які йдеться в задачі;

3) утворення або відшукання двох виразів, які відповідно до умови задачі перебувають у відношенні «більше», «менше» або «дорівнює»;

4) запис цього відношення за

Розв’язання.

1) Вибір і позначення основного невідомого.

За основне невідоме, як правило, приймають те, про що запитується в умові задачі (хоча бувають інші випадки, які розглянемо пізніше). У даному випадку в запитанні йдеться про два невідомих числа, що відповідають кількості книг на кожній полиці. Одне з

значення не має, проте якщо числа перебувають у кратному відношенні (у кілька разів більші чи менші одне від одного), то, щоб уникнути дробів, за основне невідоме

кість книг на нижній полиці.

2) Вираження інших невідомих чисел.

ніж на нижній, тому кількість книг на

3)

шенні. Такими є вирази, що позначають

книг на кожній полиці після їх перестановок.

Після того, як з верхньої полиці зняли 6 книг, на ній залишилося (2х – 6) книг. Коли ж на нижню полицю поставили 9 книг, то на ній стало (х + 9) книг.

4) Запис відношення між утвореними виразами за допомогою рівняння.

За умовою задачі, утворені вирази позначають однакову кількість книг. Це можна записати у вигляді рівняння: 2x – 6 = x + 9. Склавши рівняння, розв’язують його, тобто знаходять значення основного невідомого, а потім, у разі потреби, значення інших невідомих.

2x – 6 = x + 9, 2x – х = 6 + 9, х = 15.

2х = 2 ∙ 15 = 30.

Одержані числа (30 і 15) виражають кількість книг

на верхній і нижній полицях.

Корінь складеного рівняння слід співвіднести з умовою задачі. Залежно від того, що позначає невідоме, на його значення можуть накладатися певні обмеження. Так, кількість предметів не може

виражатися від’ємним або дробовим числом. Від’ємними не можуть бути також відстань, час тощо.

Коли б у нашому випадку корінь рівняння виявився дробовим числом, то висновок був би такий: за даної умови задача не має розв’язку.

Для зручності розв’язування задачі часто використовують табличні записи.

Задача 2. Швидкий поїзд, швидкість якого на 20 км/год більша за швидкість пасажирського, за 8 год проходить на 60 км більше, ніж пасажирський поїзд за 10 год. З якою швидкістю рухаються швидкий і пасажирський поїзди? Розв’язання. Таблиця,

може мати такий вигляд: Поїзди

Швидкий

20) З умови задачі випливає, що значення виразу 8х більше від

значення виразу 10(х – 20) на 60.

Складемо рівняння: 8х – 60 = 10(х – 20).

Розв’яжемо його: 8х – 60 = 10х – 200, 8х – 10х = 60 – 200, 2х = 140, х = 70, х – 20 = 70 – 20 = 50.

Відповідь. Швидкість пасажирського поїзда 50 км/год, а швидкого 70 км/год.

1.

2. Яке відношення між числами а і b виражає рівність: а) а - 3 = b; б) а + 5 = b?

3.

m

n

а) m - 10 = n; б) m + 10 = n; в) m + n = 10; г) m = n + 10; ґ) m - n = 10; д) n - 10 = m?

367°. Запишіть у вигляді трьох рівностей кожне з тверджень: а) число m

х

5; в) число а більше за число b у 2 рази; г) число а менше від числа b у 2 рази.

Запишіть вирази, складені за умовами задач (368–375):

368°. В одному кошику с яблук. У другому у 2 рази, а в третьому у 4 рази більше, ніж у першому. Скільки яблук у другому кошику; у третьому кошику; у трьох кошиках разом?

369°. У п’ятому класі х учнів, у шостому на 3 учні більше, ніж у п’ятому, а в сьомому на 2 учні менше, ніж у шостому. Скільки учнів у сьомому класі? Скільки учнів у трьох класах разом?

370°. На верхній полиці

373°.

проти течії.

374°. Відстань між двома містами 620 км. З одного міста в друге вирушає поїзд зі швидкістю х км/год. На якій відстані від кінцевого пункту перебуватиме поїзд через 6 год після початку руху?

375°. Два автомобілі одночасно починають рухатися назустріч один одному і зустрічаються через 3 год. Один рухається зі швидкістю а км/год, а другий на 10 км/год швидше. Виразіть шлях, пройдений першим автомобілем до зустрічі; швидкість другого автомобіля; шлях, пройдений ним до зустрічі; відстань між автомобілями перед початком руху. Розв’яжіть задачі (376–437): 376°. У двох автопарках 84 автобуси.

377°. Периметр прямокутника дорівнює 38 см. Знайдіть довжину його сторін, якщо одна з них на 3 см коротша від другої.

378°. Знайдіть розміри картини-велетня М.І. Івасюка «В’їзд Богдана Хмельницького до Києва», якщо ширина полотна менша на 178 см від довжини, а периметр картини становить 19,56 м.

379. Сторони прямокутника відносяться, як 2 : 3. Знайдіть довжини цих сторін, якщо одна з них на 3 м довша за другу.

380°. Сума двох чисел дорівнює 48. Одне з них у 3 рази більше за друге. Знайдіть ці числа.

381°. Периметр прямокутника дорівнює 64 см, а його сторони пропорційні числам 5 і 3. Знайдіть довжини сторін прямокутника.

382°. У шкільному саду 120 плодових дерев. Груш на 5 дерев більше, ніж слив, а яблунь у три рази більше, ніж груш. Скільки яблунь, груш і слив росте в саду?

383°. На трьох

5 книжок більше, ніж на

384. Периметр трикутника дорівнює 106 см. Одна його сторона на 6 см довша за другу, а третя удвічі довша за першу. Знайдіть довжини сторін трикутника.

385. На заводі у трьох цехах працює 1008 робітників. У першому цеху робітників утричі менше, ніж у другому, а в третьому стільки, скільки у перших двох разом. Скільки робітників працює в кожному цеху?

386°. Учень купив 3 ручки і 9 зошитів й заплатив за це 55

387.

388.

на 10 м менша, ніж висота символу Америки статуї

ди, і становить 0,5 висоти найвищої скульптури в Україні монумента Батьківщини матері. Яка висота кожної з цих скульптур, якщо висота статуї Свободи становить 9 14 висоти

монумента Батьківщини матері?

389°. У кошику вдвічі менше яблук, ніж у ящику. Якщо з ящика перекласти у кошик 10 яблук, то у

кошику і в ящику їх виявиться

порівну. Скільки яблук у кошику і в ящику окремо?

390°. В одному бідоні втричі більше

молока, ніж у другому. Якщо з

першого у другий бідон перелити 8 л молока, то в обох бідонах

його стане порівну. Скільки молока було в кожному бідоні?

391°. На одному складі 350 т зерна, а на другому 420 т. З

392. В одній цистерні 50 т бензину, а в

його стало вдвічі більше, ніж у другій?

393*. Відстань між двома пристанями катер, рухаючись за течією, проходить за 6 год, а повертається назад за 8 год. Яка власна швидкість катера, якщо швидкість течії 2,5 км/год?

394. У сьомих класах 103 учні. Їх потрібно розподілити

395.

396.

397.

398.

399°.

бутку додати 8,8 і одержану суму поділити

–10,8. Яке число задумав учень?

400. Зі сталевого дроту з діаметром 5 мм треба виготовити гвинтову циліндричну пружину висотою 122 мм. Визначте кількість витків такої пружини, якщо зазор між витками ненавантаженої пружини повинен становити 8 мм.

401. Брус завтовшки 23,6 см

2 см. Ширина розпилу 4 мм. Скільки дощок можна виготовити із цього бруса?

402*. Довжина обводу переднього колеса трактора 2 м, а заднього 3 м. На якій відстані переднє колесо зробить на 10 обертів більше, ніж заднє?

403*. Заднє колесо трактора зробило на 30 обертів менше, ніж переднє. Скільки обертів

405. На одному складі 365 т вугілля, а на другому 323 т. Перший відпускав щодня по 10 т, а другий по 8 т вугілля. Через скільки днів на складах вугілля стане порівну?

406. На одному елеваторі 1500 т зерна, а на другому 2800 т. З другого елеватора щодня відпускали по 50 т зерна, а в перший привозили по 80 т. Через скільки днів зерна на елеваторах стане порівну?

407. Якщо на кожну лавку спортзалу посадити по 5 учнів класу, то четверо залишаться без місця; якщо ж на кожну лавку сяде по 6 учнів, то на останній залишаться два вільних місця. Скільки учнів у класі і скільки лавок у спортзалі?

408. У кошику на 12 яблук менше, ніж у ящику. Якщо з кошика взяти 4 яблука, а в ящик покласти 5 яблук, то в ящику виявиться вдвічі більше яблук, ніж у кошику. Скільки яблук було у кошику і скільки в ящику спочатку?

409. Батькові 31 рік, а сину 4 роки. Через скільки років батько буде вчетверо старший за сина?

410. В одному сараї сіна у 2 рази більше, ніж у другому. Коли з першого взяли 12 т сіна, а в другий привезли 10 т, то в першому стало на 5 т сіна більше, ніж у другому. Скільки тонн сіна було в кожному сараї?

411. У кошику вдвічі менше яблук, ніж у ящику. Якщо з ящика перекласти в кошик 8 яблук, то у кошику стане в 1,5 разу менше яблук, ніж у ящику. Скільки яблук було в кошику і скільки в ящику спочатку?

412. В одній школі на 80 учнів більше, ніж у другій. Коли з другої школи перейшло до першої 10 учнів, то виявилося, що кількість учнів другої школи становить половину їхньої кількості у першій

413.

414. Весняна сівба мала тривати 15

Але фактично щодня засівали на 30 га більше, ніж передбачалося, тому сівбу завершили на 3 дні раніше. Яку площу мали засівати щодня і яка площа засіяного поля?

415. Весняна сівба мала закінчитися за 13 днів. Оскільки щодня засівали на 4 га більше, ніж передбачалося, то за 3 дні до наміченого терміну залишилися незасіяними всього 5 га. Скільки гектарів у день засівали фактично?

416. Теплохід пройшов відстань між містами за 3 год 36 хв, а в протилежному напрямі за 3 год. Знайдіть відстань між цими містами, якщо середня швидкість течії річки дорівнює 2,1 км/год.

417. Від станції до турбази туристи йшли зі швидкістю 4 км/год, а назад із швидкістю 5 км/год, тому на той самий шлях витратили на 1 год менше. Знайдіть відстань від станції до турбази.

418. Відстань між станціями Перемишль Львів (перша залізниця на Україні, збудована в 1861 р.) поїзд може пройти зі швидкістю 50 км/год на 24 хв швидше, ніж із швидкістю 42 км/год. Знайдіть цю відстань.

419. З пункту А до пункту В вирушив моторний човен зі швидкістю 20 км/год. Через 2 год слідом за ним із пункту А до пункту В відправився другий човен зі швидкістю 24 км/год. Обидва човни в пункт В прибули одночасно.

між пунктами. 420. Мотоциклістка виїхала з міста в село зі швидкістю 50 км/год. Через півгодини

422.

в кожний пакет насипати по 2 кг крупів, то для всіх крупів не вистачить 10 пакетів, а якщо в пакет насипати по

3 кг крупів, то залишиться 20 вільних пакетів. Знайдіть масу крупів і кількість пакетів.

424*. Останній кошовий отаман Запорізької Січі Петро Калнишевський був звільнений із Соловець-

кої тюрми на 110-му році життя.

Через два роки він помер і був похований під соборною стіною

Соловецького монастиря. Назвіть роки народження і смерті П. Калнишевського, якщо у XVII ст.

він прожив у 3 рази більше, ніж у XIX ст. Петро Калнишевський

425*.

426*. Задумане число помножили

15. Знайдену різницю поділили на 0,3 і до результату додали задумане число. Поясніть, чому в результаті завжди маємо –50.

427*. Якщо в кожний пакет насипати по 2 кг крупів, то для всіх крупів не вистачить 10

а якщо насипати по 3 кг, то залишиться 20 незаповнених пакетів. Скільки було кілогра-

428*.

429*. Автомобіль проїхав відстань

була середня швидкість його руху?

430*. Поїзд долає відстань між містами А і В за 12 год. Вирушивши з міста

змушений був збільшити швидкість на 12 км/год, щоб вчасно

за розкладом?

431*. Продуктивність праці на заводі підвищилася на

тому за 5 днів завод не тільки виконав шестиденне завдання, а й виготовив додатково 40 виробів. Скільки виробів

433*. Щоб дістатися до вокзалу, можна замовити таксі, яке доведеться чекати 24 хв, і їхати зі швидкістю 30 км/год. Можна йти пішки зі швидкістю 6 км/год. Як краще вчинити, якщо відстань від дому до вокзалу: а) 2 км; б) 3 км; в) 5 км?

434. Основа прямокутника вдвічі більша від його бічної сторони. Бічну сторону прямокутника збільшили на 3 м, тому площа його збільшилася на 24 м2. Знайдіть початкову довжину сторін прямокутника.

435*. У погоні за лисицею собака біжить зі швидкістю 8 м/с, а лисиця утікає зі швидкістю 6

Письмові пам’ятки свідчать, що задовго

лонянам, єгиптянам, індійцям та іншим стародавнім народам були відомі способи розв’язування рівнянь з однією змінною і задач за допомогою рівнянь.

Так, єгипетський папірус, який був написаний за 2000 років до нової ери, містить задачі на знаходження невідомого числа, яке називали «хау» (купа) і позначали спеціальним значком (ієрогліфом). Ось кілька прикладів задач із цього папірусу. Задача 1. Невідоме, його сьома, його ціле 16. Користуючись сучасною символікою,

третього, а всі разом пожертвували 132.

склавши рівняння x + 2x + 6x + 24x = 132, маємо, що х = 4. Індійці цю задачу розв’язували інакше, міркуючи так: «Якби перший дав 1, другий 2, третій 6, а четвертий 24, то всі разом вони дали б 33. Але всього було 132, що вчетверо більше. Тому і кожен пожертвував учетверо більше, тобто 4, 8, 24 і 96».

Пригадайте

1. Який

ною?

2. Що є розв’язком лінійного рівняння з однією змінною?

3. Як знайти розв’язок рівняння ax + b = 0, якщо а ≠ 0? Яку назву має таке рівняння?

4. Скільки розв’язків може

змінною? Наведіть приклади.  Скільки змінних може входити до рівняння. Крім однієї змінної, рівняння може містити дві,

безліч.

розв’язування рівняння х

у вигляді пари чисел, що стоять у дужках:

чення х, на другому у. Враховуючи

вище розв’язки нашої задачі, можна стверджувати, що розв’язками даного рівняння

є пари: (3; 4), (5; 2), (6,5; 0,5), (0; 7), (–2; 9), (1; 6), (7; 0).

Рівняння х + у = 7 належить до рівнянь, які мають назву лінійні рівняння з двома змінними

Лінійним рівнянням із двома змінними називають рівняння виду ax + by = c, де a, b, c дані числа, а х і y змінні.

Наприклад: 4х + 9у = –3 (тут a = 4, b = 9, c = –3); 3x – 5y = 1 (a = 3, b = –5, c = 1); x – 6y = 0 (a = 1, b = –6, c = 0); 0 ∙ x – 2,5y = 0 (a = 0, b = –2,5, c = 0).

Розв’язком такого рівняння, як уже зазначалося,

значення, наприклад, 7, х = 7.

х у

рівняння і знайдемо відповідне значення у. Маємо: 3 ∙ 7 – 5у = 1, 21 – 5у = 1, 5у = 20, у = 4.

Отже, розв’язком даного рівняння є пара чисел (7; 4). Аналогічно можна знайти інші розв’язки цього рівняння. Очевидно, що їх безліч.

Для розв’язування рівняння 3х – 5у = 1 можна було виразити з нього змінну y через змінну х: –5у = 1 – 3х, y x13 5 .

За цією формулою для довільного значення х завжди можна знайти відповідне значення y.

Наприклад, якщо

Маємо розв’язок (3; 1,6). Якщо х = –8, то у = 13 8 5 = 25 5= –5. Отже, (–8; –5) ще

один розв’язок даного рівняння.

Якщо в лінійному рівнянні ах + by = с а ≠ 0 і b ≠ 0, то таке рівняння називається рівнянням першого степеня з двома змінними.

Наприклад: 3х – 8у = 10; х + 7,5у = 0; 3 7 х – 12,8у = 0,4.

Усі такі рівняння мають безліч розв’язків, які знаходять розглянутим вище способом. А от лінійні рівняння 0 ∙ х – 2у = 6; 5х + 0 ∙ у = 10; 0 ∙ х + 0 ∙ у = 0; 0 ∙ х + 0 ∙ у = –3 не є рівняннями першого степеня з двома змінними, бо в першому з них а = 0, у другому b = 0, а в двох останніх а = = b = 0. Розглянемо особливості розв’язків

(m; –3), де m будь-яке число. Очевидно, що таких розв’язків без-

ліч, наприклад: (3; –3), 2 3 3 ;, (0; –3) і т. д.

Взагалі, якщо а = 0 і b ≠ 0, то рівняння ах + by = c (0 x + by = c)

має безліч розв’язків виду m c b ;, де т будь-яке число. 2) 5х + 0 ∙ у = 10 (а ≠ 0, b = 0). У даному випадку значення лівої частини рівняння не залежить від у, тому у може бути будь-яким числом. З рівняння випливає, що 5х = 10, тобто х = 2. Отже, розв’язок рівняння має вигляд (2; n), де n будь-яке число. Таких розв’язків безліч, їх дістають, надаючи n довільного значення.

Взагалі, якщо а ≠ 0 і b = 0, то рівняння ах + by = c (ax + 0 · y = c)

має безліч розв’язків виду c a n ;, де n будь-яке число.

3) 0 х + 0 у = 0 (а = b = c = 0).

Очевидно, що це рівняння задовольняє будь-яка пара значень х і у. Тому воно має безліч розв’язків, наприклад: (3; –1), (0,8; 4), (0; 17,5) і т. д.

Взагалі, якщо a = b = c = 0, то рівняння ах + by = c (0 · x + 0 · y = = 0) має безліч розв’язків виду (т; п), де т і п довільні числа. 4) 0 ∙ х + 0 ∙ у = –3 (а = b = 0, с ≠ 0).

Оскільки ліва частина рівняння за будь-яких значень x і у дорівнює нулю, а права відмінна від

то це рівняння розв’язків не має.

Взагалі, якщо a = b = 0, c ≠ 0, то рівняння ах + by = c (0 x + 0 y = = с) не має розв’язків.

До рівнянь, що мають вигляд розглянутих, може привести розв’язування рівнянь, які попервах не схожі на них. Для прикладу розв’яжемо рівняння 4х + 3у = 8 + 3(у – 2). Маємо:

4x + 3у = 8 + 3у – 6, 4x + 3у – 3у = 8 – 6, 4х + 0 ∙ у = 2, у довільне число, 4х = 2, х = 0,5.

Відповідь. (0,5; n), де n довільне число.

нянь з двома змінними у таблиці.

Рівняння Значення a, b, c Розв’язки

ax + by = c a ≠ 0, b ≠ 0

ax + by = c a = 0, b ≠ 0, c ≠ 0

0 x + by = c a = 0, b ≠ 0, c = 0

0 · x + by = 0 a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0

ax + 0 · y = c a ≠ 0, b = 0, c = 0

0 · x + 0 · y = c a = 0, b = 0, c ≠ 0

0 · x + 0 · y = 0 a = b = c = 0

Безліч пар чисел, які знаходяться так: х надають довільного значення і, підставивши його в рівняння замість х, знаходять відповідне значення у

Безліч пар чисел m c b ;, де т довільне число.

Безліч пар чисел (т; 0), де т довільне число.

Безліч пар чисел c a n ;, де п довільне число.

Безліч пар чисел (п; 0), де п довільне число.

Розв’язків немає.

Безліч пар чисел (т; п), де т і п довільні числа.

Запитання для самоперевірки

1. Який загальний вигляд має лінійне рівняння з двома змінними? Наведіть приклади.

2. Що є розв’язком лінійного рівняння з двома змінними?

3.

4.

5. Скільки розв’язків може мати рівняння першого степеня з двома змінними?

6. Яке з рівнянь із двома змінними — першого степеня чи лінійне — може не мати розв’язків? Наведіть приклади.

Задачі та вправи

438°. Запишіть рівняння у вигляді ax + by = c і вкажіть у кожному випадку значення a, b, c: а) 3x – 7y – 9 = 0; б) 4x + 2 = 0; в) 6x = –8y; г) 5 + x = 0; ґ) x = 0; д) y = 2.

439°. З даних рівнянь виберіть і запишіть лінійні рівняння з двома змінними або ті, які можна звести до них:

а) (x – y)(y + 2) = 4; б) 3x + 2 = 0; в) xy + 3 = 0; г) y = 5x – 10; ґ) x – 2y + 5 = 0; д) 4 – 2y = 5x.

440°. Серед пар чисел 01 1 3 ;, (–2; 1), (–10; –2), (–4; 0) знайдіть

розв’язки рівняння –x + 3y = 4.

441°. Які з пар чисел (3; 4), (0; 4), (0; 3), (2; 1), (1; 7), (–3; –4) є розв’язками рівнянь:

а) x + у = 5; б) 2x + у = 10; в) xy = 12; г) x + 2y = 6; ґ) x + y = 25; д) x + y = 31; е) x + 0 ∙ y = 0; є) x – y = 1; ж) 0 ∙ x + y = 1?

Які з цих рівнянь лінійні? Які першого степеня?

442. Заповніть пропуски так, щоб кожна з пар чисел була розв’язком рівняння 0,5x – 4y = 5: а) (0; ...); б) (2; ...); в) (... ; –1); г) (... ; 0,5).

443. Заповніть праву частину рівнянь так, щоб їх розв’язками були відповідні пари чисел: а) –2,5x + 6y = ... , (–4; 2); б) x – 3,2y = ... , (1; –5); в) 6х + у = … , 1 3 ;,35 ; г) 0 ∙ x – 4y = ... , (17; 2).

444. Складіть

чисел:

а) (2; 1); б) (–1; 3); в) (0; 5); г) 1 3 4 ;.

445. Знайдіть m, якщо (m; m) є розв’язком рівняння: а) 3x – 5y = 10; б) –x + 2y = 4; в) 5x + 3y = 12; г) x + y = 1.

446. Знайдіть розв’язок рівняння 10x – 7y = 4,5, якщо відомо, що

ним є пара однакових чисел.

447*. Заповніть у рівності 3х –... = 2 пропуск так, щоб утворилося лінійне рівняння з двома змінними, яке має розв’язок:

а) (–4; 7); б) (0; 2); в) (6; 4); г) 1 3 2 ;.

448*. Скільки розв’язків мають рівняння:

а) 2х – 3у = 6; б) 0 ∙ x + 4у = 8; в) 3х + 0 ∙ у = –6; г) 0 ∙ x + 0 ∙ у = –5; ґ) 0 ∙ x + 0 ∙ у = 0?

Запишіть по два розв’язки тих рівнянь, які їх мають.

449. Ви повинні заплатити за куплену в магазині книжку 31 грн. У вас одні лише п’ятірки, а у касира тільки двійки. Чи можете ви за наявності таких грошей розплатитися з касиром і як саме?

1) Складіть відповідне рівняння з двома змінними.

2) Назвіть три розв’язки задачі.

Пригадайте

1. Яка функція називається лінійною?

2. Що є графіком лінійної функції?

3. Як побудувати графік лінійної функції?  Що таке графік лінійного рівняння

до рівняння

х і у, що задовольняють рівняння. Занесемо знайдені розв’язки до таблиці:

Побудуємо на координатній площині точки, координатами яких є наведені в таблиці розв’язки даного рівняння: А(3; 4), B(5; 2), С(6,5; 0,5), D(0; 7), E(–2; 9), F(1; 6), G(7; 0) (рис. 62).

Приклавши до побудованих точок лінійку, бачимо, що всі вони лежать на одній прямій (рис. 63).

Маючи інші розв’язки цього рівняння, можна аналогічно побудувати відповідні точки координатної площини. Таких точок, як і розв’язків рівняння х + у = 7, безліч. Цікаво, що всі вони лежатимуть на тій самій прямій, яку називають графіком даного рівняння.

Графіком лінійного рівняння з двома змінними називається множина всіх точок координатної площини, координати яких є розв’язками даного рівняння.

Взагалі, графіком лінійного рівняння ах + by = c, крім випадку

a = b = 0, є пряма лінія. Для рівняння ах + by = c, де b ≠ 0, ми це

зараз обґрунтуємо для всіх інших випадків обмежимося ілюстрацією у підпункті 4.

Виразивши з рівняння ах + by = c змінну у через змінну х, матимемо: by = –ax + c; y = a b x c b (ділити на b можна, бо b ≠ 0).

Дістали не що інше, як лінійну функцію, графіком якої, як відомо, є пряма.

 Як побудувати графік лінійного рівняння з двома змінними. Оскільки графіком лінійного рівняння з двома змінними є пряма, то для його побудови достатньо на координатній площині побудувати дві точки, які йому належать, і провести через них пряму. Координати цих точок знаходять як розв’язки даного рівняння. При цьому для спрощення обчислень, як і у випадку лінійної функції, такими точками можна обирати точки перетину графіка з осями координат. Нагадаємо, що в будь-якої точки, яка лежить на осі Oy, абсциса х дорівнює 0, а у всіх точок, що лежать

Отже, координати точки А(0; –4).

Ордината точки В перетину графіка

y = 0. Щоб знайти абсцису точки В, у рівняння підставляємо це значення y і обчислюємо значення х: 4x – 5 0 = 20, 4x = 20, x = 5.

Отже, координати точки В(5; 0).

Будуємо на координатній площині точки А і

та проводимо через них пряму, яка і є графіком даного рівняння (рис. 64).

розв’язок. Щоб за графіком лінійного

його розв’язок, потрібно

точок D, E, F та виконайте перевірку).

Очевидно, що графічний спосіб розв’язування рівнянь не завжди дає точне значення розв’язку.

 Графіки окремих видів лінійних рівнянь із двома змінними.

У п. 5.4 йшлося про розв’язування лінійних рівнянь ах + by = c, у яких один із коефіцієнтів а або b чи обидва одночасно дорівнюють нулю.

З’ясуємо особливості графіків таких рівнянь.

1) а = 0, c ≠ 0.

Розглянемо конкретний приклад.

Побудуємо графік рівняння 0 · х – 2у = = 6. Воно має безліч розв’язків виду (т; –3), де т будь-яке число (див. с. 171). Запишемо кілька з них: (–1; –3), (0; –3), (1; –3), (2; –3), (3; –3). Побуду-

вавши за цими координатами точки на координатній площині і провівши через них лінію, одержимо графік даного рівняння, зображений на рисунку 65.

Помічаємо, що це пряма, паралельна осі Ох Це легко пояснити: адже ордината будь-якої її точки дорівнює –3. А отже, всі точки графіка однаково віддалені від осі Ох. Тому він паралельний цій осі. Таку властивість

2) а = 0, с = 0. У цьому

0 ∙ x + by = 0. Розв’язок цього рівняння

вигляд (n; 0), де n будь-яке число. Всі точки з такими координатами лежать на осі Ох. Отже, графік рівняння 0 ∙ x + by = 0 (або by = 0, у = 0) збігається з віссю абсцис. 3) b = 0, с ≠ 0. Приклад: рівняння 5x + 0 ∙ у = 10. Його розв’язок має вигляд (2; n), де n будь-яке число (с. 172). Запишіть кілька довільних розв’язків цього рівняння і побудуйте його графік. Якщо ви не помилились, то він має вигляд, як на рисунку 66. Зробіть самостійно висновок щодо розміщення його відносно осі Оy.

якого рівняння виду ax + 0 y = c (або, інакше, ах = с).

4) b = 0, c = 0. Рівняння набирає вигляду ах + 0 · у = 0 (інакше, ax = 0, або x = 0). Його графіком є пряма, що збігається з віссю Оу Обґрунтуйте це самостійно.

5) a = b = c = 0. Рівняння має вигляд 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0. Його задовольняє будь-яка пара чисел (x; y). Якщо побудувати відповідні точки на координатній площині, то вони «покриють» усю площину. Отже, графіком цього рівняння є сама координатна площина.

6) a = b = 0, с ≠ 0. Рівняння 0 · х + 0 · у = с розв’язків не має, тому його графік побудувати неможливо. Для зручності подамо розглянуті види графіків лінійних рівнянь з двома змінними у таблиці.

Рівняння

a, b, c Розв’язки

ax + by = c a ≠ 0, b ≠ 0, с будь-яке число

Пряма виду y a b x c b .

0 x + by = c a = 0, b ≠ 0, c ≠ 0

Пряма, паралельна осі абсцис, що перетинає вісь ординат у точці 0; c b .

0 · x + by = 0 a = 0, b ≠ 0, c = 0 Вісь абсцис.

аx + 0 · y = с a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0 Пряма, паралельна осі ординат, що перетинає вісь абсцис у точці c a ;0

ax + 0 · y = c a ≠ 0, b = 0, c = 0

Вісь ординат.

0 · x + 0 · y = c a = 0, b = 0, c ≠ 0 Графік побудувати неможливо.

0 · x + 0 · y = 0 a = b = c = 0

Координатна площина.

Запитання для самоперевірки

1. Що є графіком рівняння першого степеня з двома змінними?

2. Як побудувати графік рівняння першого степеня з двома змінними?

3. Як за графіком лінійного рівняння з двома змінними знайти його розв’язок?

4. Що є графіком рівняння: а) 0 - x + 3y = 9 (3y = 9); б) 5x + 0 - y = 10 (5x = 10)?

5. Графік якого лінійного рівняння збігається з віссю: а) абсцис; б) ординат?

450°. Які з точок належать графіку рівняння –2x – y = 6: а) A(–2; 5); б) B(4; –4); в) С(0; 6); г) D(–3; 0); ґ) E(–1,5; –3); д) F(1,5; –3); е) K(2; 2); є) M(–0,5; –5)?

451°. Знайдіть координати двох точок, що належать графіку рівняння:

а) 5x – 2y = 4; б) x + 3y = 6; в) x + y = 8; г) 4x = 5; ґ) –2y = 7; д) 3 – 2x = 4y; е) x – 6 = 3y; є) y – 5x = 0,5.

452°. Знайдіть координати точок перетину з осями координат графіків рівнянь, не будуючи їх:

а) x + y = 5; б) 2x + y = 2; в) 4x – 2y = 7; г) 5y = 8; ґ) –x – 3y = 6; д) 3x – 2y = 0; е) –x = y + 4; є) 7x = 21.

453°. Побудуйте графіки рівнянь: а) x – 3y = 6; б) 2y – 5x = 10; в) 0,5x + y = 0; г) 2x = 3; ґ) –5y – 15 = 0; д) 5y – 2x = 10.

454. Знайдіть значення а в рівнянні ax + 2y = 9, коли відомо, що пара чисел х = 1, y = 3 є розв’язком цього рівняння.

455. Знайдіть значення b у рівнянні 3х + by = 9, якщо графік цього рівняння проходить через точку А(2; 3).

456. Побудуйте графіки рівнянь і знайдіть координати точок їх перетину: а) x + y = 6 і x – y = 2; б) x – y = 3 і x + y = 7; в) x + 2y = 7 і x – 2y = –1; г) 2x + y = 13 і x – y = 2.

457. Знайдіть графічним способом спільні розв’язки рівнянь: а) x + 2y = 6 і –2x + y = –7; б) x – y = 0 і 2x + y = 6; в) 3x – 5y = 10 і x = 0; г) x + y = 7 і 2x – y = 5.

458*. За якого

460*. Із дроту завдовжки 4

потрібно виготовити рамку прямокутної форми. Які розміри може мати рамка?

1) Складіть відповідне рівняння з двома змінними, побудуйте його графік.

2) Позначте ту частину графіка, де знаходяться точки, координати яких є розв’язками задачі.

461*. Швидкість човна проти течії 6 км/год. Якою може бути власна швидкість човна і швидкість течії? Розв’яжіть задачу графічно, вказавши хоча б чотири розв’язки.

462*. Дерев’яні бруски завдовжки 1,9 м треба розпиляти на заготовки по 30 см і 40 см. Знайдіть усі можливі варіанти розпилювання брусків.

463*. Дерев’яні бруски завдовжки 2 м треба розпиляти на заготовки по 20

лінійне рівняння з

змінними. Чи можна розпиляти

розмірів?

1. Серед чисел 1, 6, 2, 4, 5 знайдіть розв’язки рівнянь:

а) 2(х + 5) – 7 = 3х – 2; б) 4 – 2х = 3(2х – 1) – 9; в) 12 + 3х – (х + 4) ∙ 5 = –7х; г) 2х – 5 = 3(х + 1) – 13.

2. Які з пар чисел (0; –25), (1; –1), (4; –0,5), (6; 0), (7; 1), (0; 0)

є розв’язками рівнянь:

а) х – 2у = 3; б) 3х – 17у = 18; в) 21х – 2у = 50; г) х – 2у = 5?

3. Розв’яжіть рівняння:

а) 3,5х + 1 = 0,5х – 2; б) 2х – 4(3х + 6) = 9; в) xx 25 6; г) х(х – 7,1) = 0.

4.

5.

Скільки розв’язків мають рівняння: а) 2х – у = 4; б) 3х – 2у = 18?

Знайдіть два з них.

Побудуйте графік рівняння –2х + у = 6. Знайдіть за графіком два його розв’язки.

Розв’яжіть задачі (6 – 9):

6. В одному бідоні втричі

у другий бідон 14 л молока, то в обох бідонах

молока стало порівну. Скільки

бідоні спочатку?

7. Основа рівнобедреного трикутника на 3 см

периметр дорівнює 27 см.

8. За 6 зошитів і 5

зошита на 20 коп.?

9. Один із суміжних

кутів.

1. Розв’яжіть рівняння: а) 2(3 – 5х) – 3(х – 5) = 5; б) 6х – 3(2x – 1) = 4; в) 54 2 5 4 1 xx ; г) 37 x .

2. Складіть лінійне рівняння з двома змінними, розв’язком якого є пара чисел (1; –2).

3. Графік рівняння ах + 5у = 6 проходить через точку М(–2; –4). Знайдіть значення а.

4. Знайдіть координати точок перетину графіка рівняння 0,5х – 3у = 3 з осями координат і побудуйте цей графік.

5. Серед розв’язків рівняння: а) 5х + 2у = 14; б) 2х + 3у = 40 знайдіть таку пару чисел, яка б складалася із двох однакових чисел.

6. О 12 год із селища вийшов турист, а через 4

із цього самого селища слідом за ним виїхала велосипедистка, яка наздогнала туриста о 18 год. Знайдіть швидкість руху туриста і велосипедистки, якщо швидкість туриста на 12 км/год менша від швидкості велосипедистки.

7. Бічна сторона прямокутника дорівнює 26 см. Якщо його основу зменшити на 10 см, а бічну сторону збільшити в 1,2 разу, то площа прямокутника зменшиться на 130 см2. Обчисліть периметр прямокутника.

8. Фірма за 15 днів мала реалізувати певну кількість комп’ютерів. Але вже за 2 дні до запланованого терміну вона не тільки впоралася із завданням, але й реалізувала на 6 комп’ютерів більше, бо щодня продавала на 2 комп’ютери більше, ніж передбачалося. Скільки комп’ютерів мала реалізувати фірма?

9. В одному мішку було 60 кг цукру, а в другому 80 кг. Коли з другого мішка взяли цукру втричі більше, ніж із першого, у першому мішку залишилося вдвічі більше цукру, ніж у другому. Скільки цукру взяли з кожного мішка?

IV рівень

1. Складіть лінійне рівняння з однією змінною, яке: а) має розв’язки; б) не має розв’язків.

2. Розв’яжіть рівняння: а) 4(х – 2)2 – 4(х2 – 2х + 1) = 0; б) 9 – 25 4 x .

3. Складіть лінійне рівняння з двома змінними, графік якого проходить через точку (2; 7) і паралельний: а) осі ординат; б) осі абсцис.

4. З’ясуйте графічно, скільки спільних розв’язків мають рівняння: а) у – 2х = 6 і –х + 0,5у = 3; б) x + y = 5 і 2x = 5 – 2y; в) x – y = 4 і 2x – 5 = 2y; г) 2y – 2x = 7 і x + y = 3.

5.

6. Відстань від табору до лісу туристи сподівалися пройти за 5 год, рухаючись зі сталою швидкістю. Однак через дві години від початку руху вони збільшили її

7. Поїзд проходить повз семафор за 6 с і за 27 с з тією самою швидкістю проїжджає повз ряд платформ завдовжки 378 м. Яка довжина поїзда?

8. 80% одного числа дорівнюють 60% іншого числа.

числа, якщо їхня різниця дорівнює 20.

9. Із труб завдовжки 6 м і 8 м потрібно прокласти трубопровід завдовжки 84 м. Скільки розв’язків може мати задача? Побудуйте графік складеного рівняння.

Пригадайте

1. Скільки

2.

3. Як можуть бути розміщені дві

носно одної?

знайти два числа, сума яких дорівнює 3, а різниця дорівнює 7. Складемо математичну модель цієї задачі, використавши рівняння. Для цього позначимо одне з чисел

xy 3 7 , .

Система рівнянь, як правило, передбачає знаходження спільного розв’язку всіх рівнянь, що її утворюють. Такий спільний розв’язок називають розв’язком системи. Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або показати, що їх немає. Неважко пересвідчитися, що розв’язком записаної вище системи є пара чисел (5; –2), яка задовольняє обидва рівняння системи. Чи має ця система інші розв’язки? Спробуємо відповісти

запитання.  Скільки розв’язків

що графіком

ах + by = с, крім випадку, коли а = b = 0, є пряма лінія, а його розв’язком координати будь-якої точки цієї прямої. Очевидно, спільні розв’язки двох лінійних рівнянь із двома змінними, тобто розв’язки системи, слід шукати як координати спільних точок двох прямих, що є графіками відповідних рівнянь системи, побудованими в одній координатній площині.

Отже, питання про кількість розв’язків системи двох лінійних рівнянь з двома змінними зводиться до питання

спільних точок, які можуть мати дві прямі, що

три випадки взаємного розміщення

щині:

1) прямі перетинаються (мають одну спільну точку);

2) прямі паралельні (не мають спільних точок);

3) прямі збігаються (мають безліч спільних точок).

Так само і графіки рівнянь системи можуть:

в) збігатися; тоді система має безліч розв’язків

Проілюструємо це на прикладах.

 Система має один розв’язок. Розв’яжемо графічно систему рівнянь: xy xy 3 7 , .

Знайдемо координати точок перетину графіків кожного рівняння з осями координат і побудуємо відповідні прямі (рис. 67).

x + y = 3: x = 0, y = 3, А(0; 3); y = 0, x = 3, В(3; 0).

x – y = 7: x = 0, y = –7, С(0; –7); y = 0, x = 7, D(7; 0).

Графіки рівнянь перетинаються мають одну спільну точку М(5; –2), а система один розв’язок: координати цієї точки (5; –2).

 Система не має розв’язків. Розв’яжемо графічно систему рівнянь:

22 63 12 xy xy , .

2x – y = 2: x = 0, y = –2, А(0; –2); y = 0, x = 1, В(1; 0).

–6x + 3y = 12: x = 0, y = 4, С(0; 4); y = 0, x = –2, D(–2; 0).

Бачимо, що графіки рівнянь паралельні прямі, отже, спільних точок не мають. Тому й система не має розв’язків (рис. 68).

рівнянь. Справді, неважно помітити, що

частину другого рівняння системи дістали множенням лівої частини першого рівняння на –3. Числа ж, що стоять у

перебувають у такому відношенні.

Винісши у лівій частині другого рівняння за дужки множник –3, дістанемо: 22 32 12 xy xy , () ; або 22 24 xy xy , . З останньої системи зрозуміло, що один і той самий вираз 2х – у не може одночасно набувати значень 2 і –4 ні при

Звідси неважко пояснити, як скласти систему двох лінійних рівнянь із двома змінними, яка не має розв’язку. Для цього утворюємо довільне рівняння, наприклад, 4х – 5у = 7. Щоб дістати друге рівняння потрібної системи, множимо ліву частину записаного рівняння на довільне число, наприклад, на 3, а праву на будьяке інше число, крім 3, наприклад, на 2. Одержали систему, яка

не має розв’язків: 45 7 12 15 14 xy xy , .

Подібних систем можна утворити безліч.

 Система має безліч розв’язків. Розв’яжемо графічно систему рівнянь: 23 6 46 12 xy xy , .

2х + 3у = 6: х = 0, у = 2, А(0; 2); у = 0, х = 3, В(3; 0).

4х + 6у = 12: х = 0, у = –2, С(0; 2); у = 0, х = 3, D(3; 0).

Графіки рівнянь системи прямі, що збігаються, отже, мають безліч спільних точок (рис. 69). Тому система має безліч розв’язків, які є координатами точок прямої АВ.

Тепер очевидно, що розв’язками системи є всі розв’язки рівняння 2х + 3у = 6.

Спробуйте встановити самостійно, як утворити систему двох лінійних рівнянь із двома змінними, яка має безліч розв’язків.

Цікаво знати

Розглянемо випадки, коли принаймні в одному з рівнянь системи (тобто в одному або в обох) а = 0 і b = 0.

Відомо, що рівняння ах + by = с, коли а = b = 0:

а) має безліч розв’язків, якщо с = 0 (тоді його графіком є координатна площина і координата будь-якої її точки є розв’язком рівняння);

б) не має розв’язку, якщо с ≠ 0 (графік рівняння не існує).

Розглянемо всі можливі випадки системи.

1. а = b = 0 лише в одному рівнянні системи.

а) а = b = 0, с = 0. Графіком цього рівняння є координатна площина, графіком другого пряма, що лежить у цій площині.

Спільні точки цих графіків усі точки прямої. Отже, система має безліч розв’язків, які є розв’язками другого рівняння.

б) а = b = 0, c ≠ 0. Це рівняння розв’язків не має, і система теж, бо розв’язки системи це спільні розв’язки її рівнянь.

2. а = b = 0 в обох рівняннях системи.

а) а = b = 0, с = 0. Графіком обох рівнянь є координатна площина, тому система має безліч розв’язків (будь-яка пара чисел).

б) а = b = 0, с ≠ 0. Рівняння розв’язків не мають, тому і система теж їх не має.

1.

2.

3. Що називають розв’язком системи рівнянь? Що є розв’язком системи двох лінійних рівнянь із двома змінними?

4. Як графічно розв’язати систему двох лінійних рівнянь із двома змінними?

5. Чи кожна система двох лінійних рівнянь із двома змінними має розв’язок? Наведіть приклад

6. Чи кожна система двох лінійних

Задачі та вправи

464°.

465°. Розв’язком системи рівнянь

32 xy a xy b , є пара чисел (3; –1). Знайдіть а і b.

466°. Сума двох чисел дорівнює 5, а їхня різниця дорівнює 1. Знайдіть ці числа. Запишіть математичну

задачі у вигляді системи рівнянь.

467°. Складіть систему рівнянь, що має розв’язок (1; 3). Скільки можна скласти систем рівнянь, розв’язком яких є пара чисел (1; 3)? Запишіть три системи рівнянь, розв’язком яких є пара чисел (1; 3).

468°.

469.

стосовно систем а) і в) графічно.

470. Поясніть, чому

xy xy 2 5 , ; б) xy xy 3 5 , ; в) xy xy 4 22 2 , ; г) 35 35 xy xy , ; ґ) 23 5 15 5 xy xy , ,; д) xy xy 23 24 6 , .

Проілюструйте висновок стосовно систем б) і в) графічно.

471. Скільки розв’язків мають системи рівнянь: а) 23 7 15 35 xy xy , ,, ; б) 25 12 25 6 xy xy , ,; в) xy xy 514 21028 , ?

Знайдіть будь-які три розв’язки.

472*. Маємо рівняння х + 2у = 3. Складіть нове рівняння так, щоб воно разом із даним утворило систему, яка: а) має безліч розв’язків; б) не має розв’язків.

473*. Складіть систему двох лінійних рівнянь із двома змінними, що:

а) має безліч розв’язків; б) не має розв’язків; в) має один розв’язок.

474*. Дано системи рівнянь:

а) xy kx yp 3 2 , ; б) xy xkyp 2 3 , .

6.2.

вжди зручно. Він громіздкий і часто дає наближені результати. Крім графічного, є й інші способи розв’язування систем двох лінійних рівнянь із двома змінними. Основна ідея, що лежить в їхній основі, полягає в тому, що систему

няння змінну х через y. Маємо: х = 2y – 3. Оскільки шукані значення х і y, що є розв’язками системи, мають

рівняння, можемо замість х у перше рівняння підставити вираз 2y – 3. Будемо мати: (2y – 3) + 4y = 5. Дістали рівняння з однією змінною y. Розв’яжемо його: 2y + 4y = 5 + 3, 6y = 8, y = 4 3 Значення х знаходимо з рівності х = 2y

Отже,

1) з одного рівняння

2) знайдений

3) розв’язати

4)

ням через знайдену змінну;

5) записати відповідь. Приклад 1. Розв’язати способом підстановки систему рівнянь

23 1 511 xy xy , .

Розв’язання. Тут, очевидно, зручно (коефіцієнт при змінній у дорівнює 1) з другого рівняння виразити змінну

вираз підставити в перше рівняння. Маємо: у = 11 – 5х; 2х – 3(11 – 5х) = 1, 2х – 33 + 15х = 1,

Відповідь. (2; 1).

Приклад 2. Розв’язати систему рівнянь 45 10 34 8 xy xy , .

Розв’язання. Для даної системи не має значення, з якого рівняння одну змінну виражати

Звільнимось

на 4. Маємо:

30 +15y + 16y = –32, 31y = –62, у = –2; x 10 52 4 0 ()

Відповідь. (0; –2).

Запитання для самоперевірки

1.

2.

475°. а) yx yx 2 23 , ; б) xy xy 35 1 , ; в) yx yx 32 510 , ; г) xy xy 2 28 , .

476°. а) xy xy 2 32 9 , ; б) xy xy 32 54 , ; в) yx xy 11 2 54 8 , ; г) yx xy 24 83 5 , .

477°. а) xy xy 312 23 90 , ; б) xy xy 57 32 4 , ; в) xy xy 211 53 3 , ; г) 35 52 23 xy xy , . 478. а) 35 25 43 3 xy x xy , ; б) 45 8 23 12 xy xy yx , ; в) 23 14 54 65 83 () , ; xy x xy x г) 32 48 56 5 () () , . xy xy xy y

рівняння, знайдемо значення у: х = 100; 7 ∙ 100 – 4y = 400, 700 – 4y = 400, 4y = 300, у = 75.

Відповідь. (100; 75).

Такий спосіб розв’язування системи двох рівнянь із двома змінними називають способом додавання.

Цей спосіб зручно використовувати, коли коефіцієнти при одній із змінних в обох рівняннях є протилежними числами. Оскільки сума протилежних чисел дорівнює нулю, то цим користуються, додаючи рівняння системи, в результаті чого дістають рівняння з однією змінною.

Якщо коефіцієнти при однойменних змінних не є протилежними числами, то дані рівняння перетворюють так, щоб досягти цього на основі відомої властивості рівнянь, яка дозволяє множити обидві його частини

рівняння на 2. Зробимо це, а потім розв’яжемо утворену систему відомим уже способом. Записують це так: 34 7 52 3 2 xy xy , ; 34 7 10 46 xy xy , ; 13x = 13; x = 1.

Підставивши знайдене значення х в одне з рівнянь системи, наприклад, у перше, знайдемо значення y. Маємо: 3 ∙ 1 – 4y = 7, 4y = –4, y = –1. Відповідь. (1; –1).

Приклад 2. Розв’язати систему рівнянь

65 21 43 5 xy xy ,

Розв’язання. 1-й спосіб. Перетворимо рівняння системи так, щоб, наприклад, коефіцієнти при змінній у в обох рівняннях стали протилежними числами. Для цього знайдемо найменше спільне кратне чисел 5 і 3 та помножимо обидві

Для знаходження значення у знайдене значення х підставляють, як правило, у найпростіше з рівнянь системи, тобто у рівняння з найменшими коефіцієнтами. У даному випадку таким рівнянням є друге рівняння даної системи. Маємо: 4 ∙ 1 – 3у = –5, 3у = 9, у = 3. Відповідь. (1; 3).

2-й

Підставивши

щоб

змінними способом додавання, потрібно:

1) з’ясувати, чи немає при одній із змінних в

протилежних коефіцієнтів; якщо є, то:

2) додати почленно рівнян-

ня системи;

3) розв’язати рівняння з од-

нією змінною, що утворилося;

4) знайдене значення цієї

змінної підставити в одне з рів-

нянь системи і знайти значен-

ня другої змінної, розв’язавши утворене рівняння;

5) записати відповідь.

якщо немає, то:

2) знайти найменше спільне кратне модулів коефіцієнтів при одній із змінних, визначити до кожного рівняння додатковий множник і помножити на нього члени відповідного рівняння; знаки додаткових множників дібрати так, щоб коефіцієнти при обраній змінній у новій системі стали

протилежними числами; 3) далі діяти відповідно до пп. 2)–5) лівої колонки.

486.

487. а)

489.

рівняння kх + ру = 4 проходить через точки (1; 2), (2; 1)? Запишіть це рівняння.

491*. Графік рівняння kх + ру = 4 проходить через точки (–1; 2) і (–2; 0). Знайдіть числові значення коефіцієнтів. Запишіть це рівняння.

492*. Чи існують такі значення змінних х і у, щоб сума виразів (х – 2)2 + у і –(х – 2)(2 + х) дорівнювала 10, а різниця виразів (х + 1)2 і х2 + у дорівнювала 3?

493. Чи існують такі

х2 – у і (5 – х)(5 + х) + х дорівнювала 5, а сума виразів (3 – у)(3 + у) і (у + 1)2 + х дорівнювала 8?

Розв’язування задач з використанням систем двох лінійних рівнянь із двома змінними полягає у складанні математичної моделі задачі у вигляді системи рівнянь, яку потім розв’язують і тлумачать одержані розв’язки.

Процес складання системи рівнянь передбачає етапи, аналогічні до тих, що мали місце під час розв’язування задач із застосуванням лінійних рівнянь з однією змінною.

Нагадаємо їх, розв’язавши таку старовинну задачу.

Задача 1. Кінь і мул ішли поруч з важкою поклажею на спинах. Кінь скаржився мулу на свій непомірний вантаж. «Даремно ти скаржишся, відповів йому мул. Адже якщо я візьму в тебе один мішок, то моя поклажа стане вдвічі важчою за твою,

якби ти

б однаковою з моєю». Скажіть же, мудрі математики, скільки мішків ніс кінь і скільки їх ніс мул? (Задача IV ст.)

Розв’язання. Спочатку оберемо і позначимо невідомі. У даному випадку це кількість мішків, які ніс кінь, х і кількість мішків, які ніс мул, у.

Далі утворимо вирази, які за умовою задачі знаходяться у певному відношенні.

Якщо мул візьме один мішок у коня, то в нього залишиться (х – 1) мішок, а у мула стане (у + 1) мішок. Якщо ж кінь візьме мішок у мула, то в нього стане (х + 1) мішок, а в мула залишиться (у – 1) мішок.

Запишемо тепер

що

Розв’язання.

За допомогою рівняння з однією змінною

х см довжина більшої сторо-

ни прямокутника; (х – 4) см довжина меншої

сторони;

40 : 2 = 20 (см) півпериметр прямокутника.

Рівняння:

х + х – 4 = 20,

2х – 4 = 20,

2х = 24,

х = 12; х – 4 = 12 – 4 = 8.

Відповідь. 12 см і 8 см.

х см довжина більшої сторони

прямокутника; у см довжина меншої сторони; 40 : 2 = 20 (см) півпериметр

прямокутника.

Система рівнянь: xy xy x 20 4 224 , ; , х = 12;

12 + у = 20, у = 8.

Відповідь. 12 см і 8 см.

У таких задачах вибір способу розв’язування справа уподобань кожного. Але є задачі, які за допомогою одного рівняння з однією змінною не можна розв’язати, тому в таких випадках без системи рівнянь не обійтися. Серед задач, які пропонуються вам розв’язати, переважну більшість становлять саме такі.

Задачі та вправи

494°. Сума двох чисел дорівнює 37, а їхня різниця дорівнює 7. Знайдіть ці числа.

495°. Швидкість моторного човна за течією річки 23 км/год, а проти течії 17 км/год. Знайдіть швидкість течії і власну швидкість човна.

496. На виготовлення 160 столових і 200 чайних ложок витратили 14 кг срібла. Яка маса однієї чайної ложки, якщо 3 столові ложки мають таку саму масу, як 5 чайних ложок?

497°. Відстань між двома пристанями дорівнює 90 км. Цю відстань за течією річки катер проходить за 3 год, а проти течії за 4,5 год. Знайдіть швидкості катера і течії річки.

498°. За 4 зошити і 2 ручки заплатили 36 грн. Стільки ж коштують 3 зошити і 4 ручки. Яка ціна одного зошита і однієї ручки?

499°. За 3 пари ковзанів і 4 пари лиж заплатили 480 грн. Скільки окремо коштує пара лиж і пара ковзанів, якщо 2 пари ковзанів дорожчі за одну пару лиж на 15 грн?

500°. 10 корів щодня з’їдають сіна на 6 кг більше, ніж 6 коней, а 3 коні з’їдають в день сіна на 3 кг більше, ніж 4 корови. Скільки сіна з’їдає корова і скільки кінь щодня?

501°. Київська телевежа на 165 м нижча від телевежі в Торонто (Канада). Знайдіть

502°.

503.

504.

зібрали разом 2514 ц жита. Перша бригада зібрала жито з 46 га, а друга з 35

Скільки центнерів жита зібрала в середньому кожна бригада з 1 га, якщо перша збирала з кожних 8 га

506. Два трактористи заборонували разом 339 га ріллі. Перший тракторист працював 8 днів, а другий 11 днів. Скільки гектарів боронував за день кожний тракторист, якщо

9 млн операцій типу А і 9 млн операцій типу В. Скільки операцій кожного типу виконує комп’ютер за 1 с?

510. Для ремонту будинку запросили кількох робітників. Якщо їх буде на 3 чоловіки менше, то термін виконання роботи збільшиться на 6 днів; якщо ж робітників буде на 2 чоловіки більше, то вони зможуть виконати роботу на 2 дні раніше терміну. Скільки

513. Периметр прямокутника на 40 см більший за одну з його сторін і на 50 см більший за другу сторону. Знайдіть сторони прямокутника.

514*. Бісектриса кута при основі рівнобедреного трикутника утворює з основою кут, що дорівнює куту між бічними сторонами. Знайдіть кути трикутника.

515*. Бісектриса кута при основі рівнобедреного трикутника утворює з бічною стороною кут, що дорівнює куту при вершині. Знайдіть кути трикутника. (Розгляньте можливі випадки.)

516. Різниця двох чисел дорівнює 6, а різниця їхніх квадратів дорівнює 132. Знайдіть ці числа.

517*. Сума кутів А і В трикутника АВС дорівнює 110°,

518*.

ських мозаїк?

519*. Найбільшу кількість псевдонімів серед українських письменників мали О.Маковей, І.Франко, О.Кониський. Маковей та Франко разом мали 155 псевдонімів, Франко та Кониський 240, а Маковей та Кониський 197. Скільки псевдонімів мав кожний з рекордсменів?

520*. На елеватор завезли 350 т пшениці двох сортів; перший сорт містить 2 % відходів, другий 3 %. Після очищення залишилася 341 т

1. Яка з пар чисел (6; 2), (3; –4), (5; 0), (0; –1,5) є розв’язком системи:

2. Розв’яжіть системи рівнянь:

xy yx 12 2 , ; б) xy

3.

Розв’яжіть графічно системи рівнянь:

а) xy xy 6 2 , ; б) xy xy 3 7 , .

Розв’яжіть задачі (4 – 7):

4. Столяру потрібно розрізати дерев’яний брусок завдовжки 16 дм на дві частини так, щоб одна з них

за другу. Знайдіть довжини цих частин.

5. За книжку і 2 зошити заплатили 7,6 грн,

2 книжки і 3 зошити 14,4 грн. Яка ціна книжки і зошита окремо?

6. Пароплав за 4 год пройшов за течією річки 100 км, а за 3 год проти течії 57 км. Яка власна швидкість

7. Сума чисел, одне з яких на

1.

2. Розв’яжіть системи рівнянь:

3. Складіть лінійне рівняння з двома змінними, що утворить з рівнянням 3х – 4у = 5 систему рівнянь, яка: а) не має розв’язків; б) має безліч розв’язків. Розв’яжіть задачі (4 – 7):

4. Господарство засіяло пшеницею і ячменем 1000 га землі. Скільки гектарів землі засіяно пшеницею і ячменем окремо, якщо 0,3 площі, засіяної пшеницею, на 80 га більше за 0,8 площі, засіяної ячменем?

5. Половина одного числа на 4 більша за третину другого,

першого числа. Знайдіть ці числа.

6. Батько старший за дочку на

2.

в) x y xy 1 2 5 32 54 34 5 , () () ; г) 23 32 1 25 23 21 x y xy yx x , () () .

Знайдіть значення p і k з рівняння px + ky = 6, якщо його

графік проходить через точки:

а) А(4; 1) і В(–4; 2); б) М(5,6; 3,4) і Т(2,8; 2,2).

3. Знайдіть таке числове значення а, щоб система рівнянь

72 11

422 xy ax y , :

а) мала тільки один розв’язок;

б) мала безліч розв’язків;

в) не мала розв’язків.

Розв’яжіть задачі (4 – 7):

4. Сума цифр двоцифрового числа дорівнює 15. Якщо це число

помножити на 7 і від добутку відняти двоцифрове число, записане тими самими цифрами, що й дане, але у зворотному порядку, то дістанемо 387. Знайдіть двоцифрове число.

5. В одній посудині 49 л води, а в другій 36 л. Якщо долити доверху першу посудину з другої, то друга посудина буде наповнена тільки наполовину; якщо ж долити другу посудину доверху з першої, то перша буде наповнена тільки на третину. Яка місткість кожної посудини?

6. Велосипедист і велосипедистка стартували одночасно і їдуть в одному напрямі по колу, що має довжину 900 м. Велосипедист, який їде швидше, наздоганяє велосипедистку через кожні 18 хв. Якщо ж вони стартуватимуть одночасно в протилежних напрямах, то зустрічатимуться через

змінною;

рівняння з двома змінними;

що таке розв’язок лінійного рівняння з двома змінними;

як шукають розв’язки лінійного рівняння з двома змінними; що є графіком рівняння ax + by = c у всіх випадках, крім a = b = с = 0;

що таке розв’язок системи двох лінійних рівнянь із двома змінними;

скільки розв’язків може мати система двох лінійних рівнянь із двома змінними; розуміти і вміти

чим відрізняється

рівняння з

скільки розв’язків

і

чого це залежить;

які властивості рівнянь використовують під час розв’язування лінійних рівнянь з однією змінною; чим відрізняється рівняння першого степеня з двома змінними від лінійного рівняння з двома змінними; як побудувати графік лінійного рівняння з двома змінними; у якому випадку два лінійних рівняння із двома змінними утворюють систему рівнянь; способи розв’язування системи двох лінійних рівнянь із двома змінними; як утворити систему

розв’язувати задачі

522. Спростіть вирази:

а) а(а + b) – b(а – b); б) а(а – b) + b(а – b);

в) а(а + b) – b(а + b); г) (а + b)(а – b) – а(а – b);

ґ) (а + b)2 – (а + b)(а – b).

523. Площі яких геометричних фігур, зображених на рисун-

ках 70–74, можна обчислити за формулами із вправи 522?

70 Рис. 71

Вправи 215

Виконайте дії (524–529):

524°. а) (р + k)(х + у);

б) (р – k)(х – у); в) (р + k)(х – у); г) (р – k)(x + у).

525. а) (а + 4b)2; б) (а – 3b)2; в) (а – 4b)(a + 4b); г) (а – 4b)(а – 5b).

526. а) (3р + 4,5b)(0,5k + 2у); б) (3р – 4,5k)(0,5с – 2d);

в) (3р – 4,5с)(0,5k + 2у); г) (3р + 4,5k)(0,5с – 2d).

527. а) (р – k)(p2 + рk + k2); б) (р + k)(р2 – рk + k2);

в) (х2 + 2хy + у2)(х – у); г) (х2 – xy + у2)(х + у).

528*. а) (4х – 0,5х2)(16х2 + 2х3 + 0,25х4); б) (2,5х2 + 4х)(6,25х2 – 10х3 + 64х4);

в) (7х – 0,3а)(49х2 + 4,2ах + 0,9а);

г) 81 4 27 36 45 6 2 xx x ,.

529*. а) (7х2у + 0,4ху)(8,4ху3 + 0,9х2у);

б) (0,8х2у – 0,5ху2)(4ху – 12,5хy2);

в) 8х(4 – 8хy)(4 + 7хy);

г) (3,5х – 4х2)(2ху – 4ху2).

Перетворіть у многочлен (530–532):

530°. а) (2а – 3b)2 – (3b + 2а)2; б) (2 – 4а)2 + (5 – 4а)(5 + 4а).

531. а) (а2 + 1)2 + (а – 1)(а2 + 1) – а2; б) 2(т – n)2 – (т + п)2 – 4(m + п)(т – п); в) (1 – а)(1 + а2) + (1 + а)(1 + а2) – 2(а + 1)(а – 1).

532*. а) (2а – 3b)2 – (3а – 2b)2; б) 5х(х – у) – 2(у – х)2; в) (х2 + 2)2 – (х – 2)(х + 2)(х2 + 4); г) (х + 2)2 – (х – 2)(х + 2) + (4 + х2).

Розкладіть на множники вирази (533–537):

533°. а) (р – k)2; б) р2 + 2рk + k2; в) р2 – 2рk + k2; г) р3 – k3; ґ) р3 + k3; д) (p + k)2

534°. а) k2 – 4р2; б) а2 – 6а + 9; в) 16 – 8р +р2; г) а2 + 6а + 9; ґ) 8 – k3; д) р3 + 8.

535*. а) (р + k)2 – (р – k)2; б) (а2 + 1)2 – 4а2; в) (х2 + 4у)2 – 16; г) 36а2 – (а2 + 9)2; ґ) а2 – 2аb + b2 – с2; д) т2 + 2тп + п2 – р2; е) а2 – (9а2 + 6а +1); є) 25х2 – (16х2 – 8х + 1).

536. а) 9(5k – 4р)2 – 64k2; б) 100х2 – 4(7х – 2y)2; в) 81а2 – 16(2а – 3b)2; г) (а + 3b)2 – 9(b – а)2.

537*. а) р3 – 3р2k + 3рk2 – k3; б) р3 + 3р2k + 3рk2 + k3; в) 8 – 12k + 6k2 – k3; г) k3 – 6k2 + 12k – 8.

538. Доведіть, що:

а) 165 + 215 ділиться на 33; б) 514 + 513 ділиться на 30; в) 715 – 497 ділиться на 42.

539. Доведіть, що:

а) 5433 – 3433 ділиться на 99;

б) 5433 + 3433 ділиться на 111.

Доведіть тотожності (540–541):

540. а) а(а + b)2 + b(а + b)2 = (а + b)3;

б) а(а + b)2 – b(а + b)2 = (а + b)2(а – b);

в) (а – b)(а2 – b2) = (а – b)2(а + b);

г) (а + b)(а2 – b2) = (а + b)2(а – b).

541*. а) а(а2 – 6а + 8) = а(а – 4)(а – 2);

б) а(а2 + 6а + 8) = а(а + 4)(а + 2);

в) (а + b)3 = а3 + 3а2b + 3аb2 + b3; г) (а – b)3 = а3 – 3а2b + 3аb2 – b3 .

542. Чи правильні рівності: а) (р + k)2 – (р – k)2 = 4рk; б) (р + k)(р – k)(р2 + k2) = р4 – k4?

543. Доведіть, що коли n ціле число, то n3 – n ділиться на 6.

544. Доведіть тотожність Лагранжа: (а2 + b2)(с2 + d2) – (ас + bd)2 = (ad – bc)2.

545. Перетворіть у многочлен: а) (х + у + а)(х + у – а); б) (х2 + а2 – ах)(х2 + а2 + ах);

в) (х – а)(х + а)(х2 + ах + а2)(х2 – ах + а2).

§7. Вправи 217

546*.

547*.

548*.

549*. Чи ділиться а2 – с2 + b(2а + b) на а + b + с?

550. Різниця квадрата непарного числа і одиниці ділиться на 8. Доведіть це.

551*. Якщо а + b + с = 0, то а3 + а2с – аbс + b2с + b3 = 0. Доведіть це.

Знайдіть значення виразів (552–553):

552. а) а3 + а2b – аb2 – b3 , якщо а = –2,5, b = 1 2 ; б) а3 – а2 + а – 1, якщо а = 11; в) 2х3 + х2у – 8ху2 – 4у3 , якщо х = 2,4, у = –1,2.

553*. а) (4р – 1)(р2 + р + 1) – р(2р – 3)2, якщо р =2 5 ; б) а(а + 2)(а – 2) – (а – 3)(а2 + 3а + 9), якщо а = 0,25; в) (m3 + n3)2 – (m2 + n2)(m4 – m2n2 + n4), якщо m =1 2 ; n = –2; г) (7х – 2)2 – (5х – 3)(5х + 1) – (х + 7)(3 – х), якщо х = 0,8.

554. Покажіть, що за будь-якого значення а сума добутків (2а – 3)(7 – а) і (2а – 9)(а – 4) дорівнює 15.

555. Покажіть, що за будь-якого значення х добуток (2х – 4)(х + 4) менший на 14 7 8 від добутку 05 1 1 8 , x (4х – 1).

556*. Доведіть, що коли до добутку двох послідовних натуральних чисел додати більше з них, то утвориться квадрат більшого числа.

557*. Доведіть, що різниця квадратів

558*.

рівняння 5(... + 3х)(х + 1) – 4(1 + 2х)2 = 80 відомо, що х = 2.

559*.

Розв’язуючи рівняння 3(2у + ...)(3у + 2) – 2(3у + 1) = 43, другий

доданок у перших дужках випадково пропустили. Знайдіть

цей доданок, якщо у = 1.

Розв’яжіть рівняння (560–564):

560°. а) х(х – 7,5) = 0; б) 14x2 – 21х = 0;

в) 26х – 39х2 = 0; г) (х – 3)(х + 4) = 0; ґ) х(х – 7) + 12(х – 7) = 0; д) х(х – 9) – 15(9 – х) = 0.

561. а) 8 – (х – 3)(х + 3) = 10 – (х – 1)2;

б) (2х + 1)2 – (2х – 3)2 = 4(7х – 5);

в) х(х – 6) + (x – 6) = 0;

г) х(х2 – 16) + 4(х + 4) = 0; ґ) х3 + 2х2 + 2х + 4 = 0; д) 2х3 + 7х2 + 6х + 21 = 0.

562. а) 5(х + 3)2 – 5(х – 4)(х + 8) = 3х;

б) ()() () . 26 3 2 31 xx xx

563*. а) (х – 3)(х2 + 3х + 9) – (3х – 17) = х3 – 12; б) 5х – (4 – 2х + х2)(х + 2) + х(х – 1)(х + 1) = 0.

564*. а) (х + 2)(х2 – 2х + 4) – х(х – 3)(х + 3) = 26; б) (2х – 1)(4х2 + 2х + 1) – 4х(2х2 – 3) = 23.

Розв’яжіть системи рівнянь (565–566):

565. а) 36 0 23 30 xy xy , ; б) 37 13 0 83 13 0 xy xy , ; в) xy y xy x 2 9 3 4 , ; г) xy xy 2 1 3 1 2 , .

566*. а) () () , () () ; xx y yy x 12 9 32 5 22 22 б) () () , () () ; 75 6 26 4 22 22 uu v vv u в) 11 1 4 11 3 4 xy xy , ; г) 32 1 5 22 4 5 xy xy , .

§7. Вправи 219

567° . Які з функцій є лінійними: а) у = x 2 ; б) у = 2 x ; в) у = 1 + 2 x ; г) у = 1 –2 x ; ґ) у = x - 4 2 ; д) у = 2 4 x?

568° . Запишіть координати точок перетину з осями координат графіків функції: а) у = х + 3; б) у = 3 – х; в) у = х – 3; г) у = 3х.

569°. Функцію задано формулою у = 3х + 4. Знайдіть: а) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює 1; б) значення аргументу, якщо значення функції дорівнює 19.

570. Знайдіть координати точки перетину графіків функцій: а) у = 2х – 3 та у = –2х + 1; б) у = 0,5х + 2 та у = –0,5х + 2.

571. Побудуйте графік функції у = 1 + x . Знайдіть область визначення і область значень функції.

572*. Запишіть формулу, що задає функцію, за допомогою якої знаходять площу фігури, зображеної

573*.

574*.

575°. Вертоліт мав здійснити переліт довжиною 450 км. Після

2 год польоту через хуртовину він змушений був зробити посадку, не долетівши 130 км до призначеного місця. З якою швидкістю летів вертоліт?

576°. Для виготовлення фарфору беруть 25 частин білої глини, 2 частини піску і одну частину гіпсу. Скільки кожного з цих матеріалів потрібно взяти для

2,8 ц суміші, з якої виготовляють фарфор?

577°. 400 т мінеральних добрив потрібно розподілити пропорційно між трьома господарствами, площі орної землі яких дорівнюють: 260 га, 320 га і 220 га. Скільки тонн мінеральних добрив має одержати кожне господарство?

578°. Довжини Дніпра, Південного Бугу і Псла відносяться, як 22 : 8 : 7. Дніпро довший від Псла на 1500 км. Знайдіть довжину кожної річки.

579. З міст А і B, відстань між якими 230 км, одночасно

581. Основа прямокутника втричі більша за

бічну сторону. Якщо бічну сторону прямокутника збільшити

2 см, то

ща його збільшиться на 126 см2. Знайдіть довжини основи і бічної сторони прямокутника.

582. До кінців важеля завдовжки 50 см прикладено сили відповідно 1 Н і 1,5 Н. Якими мають бути плечі сил, щоб важіль перебував у стані рівноваги? (Н ньютон одиниця сили.)

583. На одному елеваторі було зерна вдвічі більше,

750 т зерна, а в другий привезли 350 т, то на обох елеваторах

584.

585. Батько сказав синові: «10 років тому я був у 10 разів

старший

тебе». Скільки років батькові і скільки років синові тепер?

586. З одного гектара збирають по 30 т цукрових

тять 14 % цукру. Скільки гектарів землі потрібно засіяти цукровими буряками, щоб виробити 210 т цукру?

587. О 8 год ранку із села до міста вирушив велосипедист. Пробувши в місті 4,5 год, він поїхав назад і о 15 год того самого дня повернувся додому. Знайдіть середню швидкість велосипедиста, якщо відстань від села до

588.

590. Якщо основу прямокутника збільшити на 3 см, а бічну сторону зменшити на 1 см, то площа прямокутника не зміниться. Не зміниться площа прямокутника також і тоді, коли його основу зменшити на 2 см, а бічну сторону збільшити на 1 см. Знайдіть сторони прямокутника і його площу. Накресліть три прямокутники, які задовольняли б умову задачі. 591. Протягом робочого дня робітники мали виготовити певну кількість деталей. Однак на роботу з’явилося на 2 робітники менше, тому кожному з них довелося виготовляти на 8 деталей більше. Якби на роботу не з’явився один робітник, то кожному працюючому довелося б виготовляти на 3 деталі більше. Скільки деталей потрібно було виготовляти за зміну?

592*. Туристи сподівалися подолати певну відстань за 6 год. Протягом 2 год вони йшли з наміченою швидкістю, а потім зменшили її на 0,5 км/год, тому запізнилися на турбазу на 30 хв. З якою швидкістю йшли туристи спочатку?

593*. Якщо кожному учню дати по 4 зошити, то залишиться 12 зошитів, якщо ж давати по 5 зошитів, то не вистачить зошитів для 7 учнів. Скільки було зошитів і скільки учнів?

594*. Для розв’язування задачі про рух двох автомобілів склали таке рівняння: 5х = (х – 10) ∙ 6. Складіть задачу і розв’яжіть її.

595*. Складіть задачу про рух двох велосипедистів, яка б розв’язувалася за допомогою такого рівняння: xx 10 15 1.

596*. Як жердинами завдовжки 4 м і 3 м, не розрізаючи їх, обгородити прямокутну ділянку, периметр якої 140 м?

597*. У швейному цеху є 38 м тканини. На пошиття піжами потрібно 4 м тканини, а на пошиття халата 3 м. Скільки піжам і халатів можна пошити із цієї тканини?

598*.

мав проїхати велосипедист?

599*. Поживність 1 кг сіна 0,42, а силосу 0,20 кормових одиниць: сіно містить 85 %, а силос 27 % сухої речовини. Скільки слід давати корові кожного дня сіна і скільки силосу, якщо вона має одержувати 6 кормових одиниць і 9 кг сухої речовини? Українка

У 2022 р. українська математикиня Марина В’язовська (нар. 1984 р.) була нагороджена найвищою міжнародною

відкриття так

Філдсівською премією і медаллю. При цьому це був другий випадок в історії присудження цих премій з 1936 р., який відбувається раз на чотири роки, коли відзнаку присуджено жінці, а також і другий, коли нагороду отримав представник України (першим був Володимир Дрінфельд у 1990 р.). Основним досягненням Марини на час присудження їй премії було розв’язання проблеми пакування куль у 8-вимірному та 24-вимірному просторах, що дало важливі застосування в питаннях кодування інформації. Марина навчалася в Київському природничо-науковому ліцеї № 145, а потім на механіко-математичному факультеті Київського університету ім. Шевченка. З малих літ любила розв’язувати математичні задачі підвищеної складності, брала активну участь в учнівських, а потім і в студентських математичних олімпіадах. ...І великий успіх починається з малого!

600.

602. На скільки відсотків зміниться площа

якщо його:

одну сторону збільшити на 20 %, а суміжну на 10 %; б) одну сторону зменшити на 20 %, а суміжну на 10 %; в) одну сторону зменшити на 20 %, а суміжну збільшити на 10 %; г) одну сторону збільшити на 20 %, а суміжну зменшити на 10 %?

603. Хлопчик за весну схуд на 20 %, потім за літо поповнішав на 20 %, восени знову схуд на 20 %, а за зиму поповнішав на 10 %. Поповнішав чи схуд хлопчик за рік і на скільки відсотків?

604. Розв’яжіть рівняння: а) x 2 22; б) xx 22 8 ; в) xx x 22 ; г) 5622 xx x ; ґ) 20 2 xx ; д) xx 22 27 2 .

605.

606.

і яке ділиться на n.

607. Доведіть, що існує таке натуральне число, останні чотири цифри якого 2002 і яке ділиться на 2001.

608. Дев’ятеро учнів із чотирьох різних класів принесли в бібліотеку 15 книжок, причому учні одного класу принесли однакову кількість книжок, а учні різних класів різну

учнів

609.

30 рослин, причому учні одного класу

кількість рослин, а учні

613.

в 21 раз менше від нього. Яку цифру закреслили і в якому

615.

616.

617. До трицифрового числа зліва приписали цифру 8, до утвореного числа додали 619 і дістали число, яке в 40 раз більше за дане. Знайдіть це число.

618. Якою цифрою закінчується степінь: а) 22013; б) 32013; в) 42013; г) 52013; ґ) 62013; д) 72013; е) 82013; є) 92013?

619. Якою цифрою закінчується запис результату: а) 20012013 – 1; б) 20022014 – 5?

620. Доведіть, що значення виразу: а) 748 – 565 ділиться на 10; б) 9612 – 325 – 286 ділиться на 10; в) 333555 + 555333 ділиться на 37; г) 1111 + 1212 + 1313 ділиться на 10.

621. Що більше: а) 1020 чи 2910; б) 10020 чи 90010; в) 20112012 чи 20122011?

622. Розшифруйте записи: а) ІН = ДІЯ; б) ЯПО = НІЯ; в) АНГ = ОЛА; г) СЕН = ЕГАЛ; ґ) МЕКС = ИКА.

623. Виконайте множення: а) (–1,6аk – 2b4с8 – k)(–1,6аk – 1b6сk – 2)10а5 – 2kc4; б) (–5,6а5хn – 7у12 – n)(–1,25а4 – nхn + 2)(–2ах6).

624. Складіть многочлен шостого степеня зі змінною х, знаючи, що при будь-яких значеннях х його значення: а) додатне; б) від’ємне.

625. Скоротіть дроби: а) 131313 252525 ; б) 31313131 57575757 .

626. Відомо, що А

Обчисліть значення М = А – BC F , якщо х = 0,5.

627. Доведіть, що число: а) n4 + n2 + 1, де n натуральне число і не дорівнює 1, є складеним; б) n7 – n, де n натуральне число, ділиться на 42.

628. Запишіть многочлен у вигляді різниці тричлена і суми двочленів: а) 11а6 – 10а5 + 9а4 – 8а3 + 7а2 – 6а + 5; б) 3b6 + 4b5 – 5b4 + 6b3 – 7b2 + 8b – 9.

629. Запишіть тричлен у вигляді різниці двох двочленів: а) а2 – 5а + 7; б) 3у2 – у + 1; в) m2 + m – 5; г) 2с2 + с – 1.

630. Розкладіть на множники: m4 + 2002m2 + 2001m + 2002.

631. Обґрунтуйте правило множення двоцифрового числа на 11.

632. Доведіть, що:

а) значення виразу n3 + 3n2 + 5n + 3 ділиться на 3 при будьякому натуральному n; б) модуль різниці трицифрового числа і числа, записаного тими самими цифрами, але у зворотному порядку, ділиться на 9 і на 11; в) модуль різниці квадратів двох послідовних непарних натуральних чисел дорівнює подвоєній сумі цих чисел; г) сума п’яти послідовних натуральних чисел не

простим числом.

633. Між цифрами двоцифрового числа вписали те саме число. Утворене таким чином чотирицифрове число в 66 раз більше за початкове двоцифрове число. Знайдіть ці числа.

634. Доведіть, що при будь-якому натуральному n значення ви-

635.

636.

демо на множники, а в лівій винесемо спільний множник а за дужки. Дістанемо, що а(а – а) = (а – а)(а + а). Звідси а = а + а, або а = 2а. Отже, маємо, що будь-яке число вдвічі менше від самого себе. Чому так трапилося?

637. Доведіть, що: а) (n – 2)(n – 1)n(n + 1) + 1 = (n2 – n – 1)2; б) n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n2 – 3n – 1)2.

638. Доведіть, що вирази 2b5 + (а4 + а3b + а2b2 + аb3 +b4)(а – b) і (а4 – а3b + а2b2 – аb3 + b4)(а + b) тотожно рівні.

639. Розкладіть на множники: а) х2 – 2х – 3; б) а2 – 5а + 6; в) т2 – 7т + 12; г) n2 – 7п + 10; ґ) у2 + y – 12; д) с2 – с – 2.

640. Знайдіть усі натуральні розв’язки рівнянь: а) (а – 1)х = 18; б) (а – 2)х = 12.

641. Побудуйте графіки рівнянь: а) (х – 3)(y + 2) = 0; б) у2 + ху = 0; в) ху – у2 = 0; г) х2 – ху = 0; ґ) х2 + ху = 0; д) х2 – у2 = 0.

642. У дві посудини місткістю 144 л і 100 л налито

644. Для утримання

су сіна не вистачило б на 6 днів, як передбачалося. Скільки було

645. З пункту А в пункт В, відстань між якими 27 км, вийшов пішохід. Через 1 год 24 хв у

ла велосипедистка, і через деякий час вона була на відстані 1 км до пішохода, а ще через певний час їй залишалося проїхати до В удвічі меншу відстань, ніж пішоходу пройти. Знайдіть швидкості пішохода і велосипедистки.

646. З пункту А вийшов пішохід, а з пункту В одночасно з ним назустріч йому виїхав велосипедист. Після їхньої зустрічі пішохід продовжував іти у В, а велосипедист повернувся назад і теж поїхав у В. Відомо, що пішохід

ніше від велосипедиста, а швидкість

647. Велосипедист, рухаючись із певною швидкістю, вчасно прибув

на 3 км/год, то прибув би на

651. Перша

652. Електропоїзд

та його швидкість?

653. Сплав міді і цинку містить міді на 640 г

ніж цинку. Після того, як із сплаву виділили 6 7

цинку,

маса сплаву спочатку?

654. Із колби

бірці не підвищився вдвічі. Після цього випарений розчин вилили назад у колбу. В результаті вміст солі в колбі збільшився на 3 %. Обчисліть початковий відсотковий

656.

657. Знайдіть масу і пробу зливка срібла і міді, знаючи, що, сплавивши його з 3 кг чистого срібла, дістають зливок 900-ї проби, а сплавивши його з 2 кг зливка 900-ї проби, дістають зливок 840-ї проби. (Проба визначається числом

658. Задача

площі 3 1 3 га, 10 га і 24 га. Перша лука може

і швидкості росту,

9 тижнів, друга 21

знайдене спільне кратне на знаменник кожного дробу; помножити

Додавання і віднімання Додавання і віднімання

менниками виконують за правилом: a n b n ab n . Щоб додати або відняти звичайні

ками, треба звести їх до спільного знаменника і скористатися попереднім правилом.

Множення і ділення

правилами:

а) a b c d ac bd ; б) a b c d ad bc :.

Перетворення звичайного

чисельник поділити на знаменник.

Повторення

2. Раціональні числа

Раціональні числа це

Модуль числа Модулем невід’ємного числа є це саме число,

від’ємного число, протилежне йому: a aa aa = ≥ −<    , якщо, , якщо. 0 0

Приклади. а) 55 = ; б) 37,,37; в) 00 = . Отже, модуль будь-якого числа не може бути від’ємним числом.

Додавання

Щоб додати два числа з однаковими знаками, треба додати їхні модулі і до результату дописати їхній знак.

Приклади. а) +8 + (+7) = +15; б) –8 + (–7) = –15.

Щоб додати два числа з різними знаками, треба знайти їхні модулі, від більшого модуля відняти менший модуль і до результату

дописати знак числа з більшим модулем.

Приклади. а) +10 + (–6) = +4; б) –10 + (+6) = –4.

Віднімання

Щоб виконати віднімання двох раціональних чисел, треба до зменшуваного додати число, протилежне від’ємнику, і далі знаходити результат за правилом додавання раціональних чисел.

Приклади. а) 8 – (–7) = 8 + (+7) = 15; б) –8 – 7 = –8 + (–7) = –15.

Множення і ділення Щоб помножити або поділити два раціональні числа, треба помножити або поділити їхні модулі і результат записати зі знаком «+», якщо числа одного знака, і зі знаком «–», якщо вони мають різні знаки.

Ділити на 0 не можна.

Приклади. а) (–8) (–5) = 40; б) 8 ∙ (–5) = –40; в) 12 : (–4) = –3; г) (–12) : 4 = –3.

Вирази та їх значення

За допомогою чисел, знаків дій і дужок можна утворити

числові вирази.

Приклади. а) 3,5 – (8 ∙ 4 – 30); б) 16 35,,05 ; + в) 62 ∙ 7.

Виконавши зазначені дії, отримаємо число, яке називають зна-

ченням даного виразу. Зокрема, 3,5 – (8 ∙ 4 – 30) = 3,5 – (32 – 30) = = 3,5 – 2 = 1,5. Отже, 1,5 значення даного виразу.

Коли до виразу входять числа, позначені буквами, то знайти його значення можна, якщо є відомими числа, позначені буквами. Для цього дані числа підставляють

ють зазначені дії.

Приклад. Значення виразу 3а – 5b, якщо а = 4, b = 0,8,

Розкриття дужок

тити дужки і знак перед ними.

Приклади. а) а + (b – c) = а + b – c; б) 6 + (–5 + 12) = 6 – 5 + 12 = 13.

Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак «–», слід пропустити дужки і знак перед ними, а знаки всіх доданків, які були в дужках, змінити на протилежні.

Приклади. а) а – (b – c) = а – b + c; б) 3 – (5 – 4 + 8) = 3 – 5 + 4 – 8 = –6.

Зведення подібних доданків

Подібними називаються доданки, які відрізняються лише числовими множниками або нічим не відрізняються.

Приклади. а) 4а і 7а; б) –0,5m2 i 2m2; в) b і b. Щоб звести подібні доданки, потрібно додати їхні числові множники і отриманий результат помножити на спільний буквений множник.

Приклади. а) 4а + 7а = (4 + 7)а = 11а; б) –0,5m2 – 2m2 = (–0,5 – 2)m2 = –2,5m2 .

4. Рівняння

Рівняння і його розв’язок

Рівняння це рівність, яка

чисел, позначених буквами.

Приклади. а) 3х + 5 = 6; б) у – 4 = 7у + 3.

Корінь, або розв’язок, рівняння,

підставивши яке в рівняння і виконавши

правильну рівність.

Приклад. –3 корінь рівняння 6х + 5 = –13, бо 6 ∙ (–3) + 5 = = –18 + 5 = –13; –13 = –13 правильна рівність.

Розв’язати рівняння це означає знайти

корені або показати, що їх немає.

Властивості рівнянь

1. Будь-який член рівняння можна переносити з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.

Приклади. а) 2х – 3 = х, 2х – х = 3, х = 3; б) 4х + 7 = 3х – 2, 4х – 3х = = –7 – 2, х = –9.

2. Обидві частини рівняння

й те саме число, відмінне від нуля.

Приклади. а) 3х = 12. Поділимо обидві частини

на 3. Маємо: х = 4; б) 1 2 5 x . Помножимо

частини рівняння на –2. Маємо: 1 2 25 2 x () (), х = 10.

Координатна пряма це пряма, на якій позначено точку О початок відліку (початок координат), задано одиничний відрізок і додатний напрям відліку (рис. 76).

Число, яке відповідає даній

називають координатою

Приклади. Точка В має координату –3, записують це так: В(–3). Відповідно А(3), С(1,5), D(–1).

Взаємно перпендикулярні координатні прямі

спільним початком координат утворюють прямокутну систему координат. Горизонтальна координатна пряма

Щоб знайти ординату точки, треба через неї провести перпендикуляр до осі Оу і визначити координату утвореної точки перетину.

На рисунку 77 абсциса точки М дорівнює 2 (х = 2), а ордината дорівнює 3 (y = 3). Отже, точка М має координати 2 і 3. Записують це так: М(2; 3). Координати точки K: х = –5, y = –2, тобто K(–5; –2).

Ордината будь-якої точки, що лежить на осі Ох, дорівнює 0.

Абсциса будь-якої точки, що лежить на осі Oy, дорівнює 0. Щоб побудувати на координатній площині точку за її координатами, треба через точки на осях координат,

§1. 2. б) 5,8; в)1 70 ; г) 360. 9. в) 518 м2. 24. б) 143,75 дм2. 29. а) –0; б) 7. 30. –7,75. 31. –27,525. 32. а) 48,6; б) 41,09. 33. Другий

на 41 75 . 82. а) 4; б) 5; в) 640000; г) 128. 84. а) 2,5; б) 1 7 ; в) 1 15 ; г) 20. 91. д) 2 найбільше зна-

94. е) 0,45a2b; є) –0,175a4b2; ж) 8a4b2 . 97. г) 144 289 22 xy ; ґ) 225 289 42 xy . 99. а) –72х5; б) 144 175 x5y; в) -1 5 16 x5y. 105. 0,08ab2 т. §2. 127. г) –1,6ху – 1,1х –3,3. 128. б) 3 4 3 xxy.

7

– 3

2

+ 2ab; б) b2 – 5a2; в) 3а2 + 7b2 – 4ab. 130. а) 2x2 + 4; б) a2 + 3a + 6. 132. а) 0,32; б) 18; в) 12,75. 133. а) 287; б) 7,9. 154. а) –6a – 21b; б) 17a2 – 53ab+ 90b2 . 155. а) 0,4a2x + 5x2 – 10,4x; б) –9,2a2 + 1,7a; в) –50ax – 32a + 18x. 156. г) 3 1 3 a2 – 0,4a + 0,4; б) 1,5a2 – 0,3a.

173. в) 12; д) 12m. 175. а) 0; 1,5; г) 0; 1,5. 193. а) 0,81; б) –1,92. 194. а) 1,2. 195. а) 16; б) –30; в) –64; г) 125. 209. 144 м2. 210. 1024 м2. 211. 4 м2. 212. 360 см2. 213. 80 м2. 224. 1. 234. Площа квадрата на 9 см2 більша. 244. Вказівка. б) (38,3 –

– 8,3)2 251. 5 і 6. 252. 6 і 8. 253. 7 і 9. 254. а) –0,88; б) Вказівка. (x – 1,2)2 + x2 . 256. Вказівка. 20x(x + 1) ділиться на 40. 273. а) –0,5; в) 0,01. 274. б) 5. 279. д) b3(b – 1)(b + 1); ї) x(x + 1)(x2 – x + 1). 280. б) 0; 5; –5; в) 0; 4; –4. 283. б) 3(x – 2)2. 284. в) 0,5a(2a – 1)(2a + 1). 285. б) 2,125. 286. г) 5р(4 – р); д) (m + 7 – b)(m + 7 + b). 287. б) (b – a)(3 – a)(3 + a); ґ) (x – 2)(x + + 2)(x + y). 288. б) (m – 1)(m + 1)2(m2 – m+ 1); г) (m – 2)(m2 + 8m + + 4). 289. б) 1; 4; –4; г) 1; –1; –1,5. 291. в) (x – 3y)(x – 4y); д) (x – 5y)(x + 2y). 292. б) 57.

Розділ II

§3. 306. 3, якщо х = –2 і х = 3. 308. Залежність б) і в). 311. Від –1 до 11 включно. 314. Даному графіку належать точки В, С, Е і F. 317. Графіками функцій є графіки на малюнках 37 і 39. 319. а) (2; 0); б) (–3; 0); в) (1; 0), (–1; 0). 320. б) y = 27 – 0,3x.

§4. 321. а) 2 і –4; б) –0,5 і 2; в) 1 і1 2 ; г) –1 і 8; ґ ) 1 і 0; д) –0,7 і –7. 327. а) (0; 5); б) (0; –1,5); д) (0; –3). 328. а) (3; 0); б) (–1; 0); в) (0,5; 0). 331. b = 5. 333. а) yx 1 1 7 8. 334. а) f1(x) = 0,5х + + 2,5, f2(x) = 0,6х + 1,5; в) 10. 339. k = 2. 340. б) у = –5х. 342. (ІІІ) у = 0,5х. 344. Паралельні графіки: а) і г); б) і ґ); в) і є); е) і ж). 346. а) y = –2x + 3; в) y = –2x + 6,5. 348. 1) у = 4 3 х; 4) у = х + 4.

Розділ III

§5. 354. а) 2,2. 355. г) 5; д) –421. 359. б) 6,25; в) –12,5; г) 3. 363. в) 1; –1; г) 1; 3; –3. 364. а) 3; д) 1 1 3 . 365. в) 3,5; –3,5. 366. в) –5; 19. 377. 8 см, 11 см. 378. 4 м, 5,76 м. 379. 6 м, 9 м. 380. 12 і 36. 382. 25 груш, 75 яблунь, 20 слив. 383. 20, 25 і 50 книжок. 384. 25 см, 31 см, 50 см. 385. 126, 378 і 504 робітників. 386. 4 грн, 4,8 грн. 387. 100 кг. 388. 35 м, 45 м, 70 м. 390. 24 л, 8 л. 391. 70 т, 140 т. 392. 12 т. 393. 17,5 км/год. 394. 34 учні, 31 учень, 38 учнів. 395. 331, 333, 335. 396. 9 см, 3 см, 12 см. 397. 12 мішків, 18 мішків. 398. 6. 399. 7,6. 400. Вказівка. 5х + 8(х – 1) = 122, де х кількість витків пружини.

401. 10 дощок. 402. 60 м. 403. 90 об., 120 об. 404. 7 т. 405. 21 день. 406. 10 днів. 407. 34 учні, 6 лавок. 408. 25 і 37 яблук. 409. Через 5 років. 410. 54 т і 27 т. 411. 40 і 80 яблук. 412. 190 учнів, 110 учнів. 413. 60 км/год, 75 км/год. 414. 120 га, 1800 га. 415. 19 га. 416. 75,6 км/год. 417. 20 км. 418. 105 км. 419. 240 км. 420. 1 год 48 хв. 421. 240 км, 11 год. 423. 180 кг; 80 пакетів. 424. 1691–1803 рр. 425. 3,5 см, 7 см, 10,5 см, 269,5 см2. 427. 180 кг, 80 пакетів. 428. 320 м, 16 м/с. 429. 60 км/год. 430. 60 км/год. 431 40 виробів. 432. 160 км.

434. 8 м, 4 м. 436. 50 хв. 437. 6 см. 440. 01 1 3 ;; (–10; –2); (–4; 0). 445. в) т == 1,5. 446. 1,5. 458. а) c = –6. 462. Вказівка. Слід розглянути рівняння 30x + 40y = 190, де х і у натуральні числа.

§6. 475. а) (–1; 1); г) (4; 2). 476. б) (1; –1); г) (0,25; 1). 477. а) 34 7 1 3 ;; в) (3; 4). 478. а) (0; –1) ; г) (–2; –3). 479. а) 1 7 7 ;; г) (–1; 0).

480. б) (18,2; 4,6); г) (1; –1). 481. а) Немає розв’язку; б) має

безліч розв’язків. 482. (11; –1). 484. а) (4; 3); г) 1 2 1 1 6 ;.

485. а) (60; 30); г) (–0,25; 0); д) (0,2; 0). 486. а) (0,2; 0); б) немає

розв’язків; в) 75 2 3 ;; г) 43 1 3 ;. 487. а) (4; 2); г) 4 1 3 ;.

488. а) (–1,25; –15); г) 4 8 11 4 8 11 ;. 489. а) (8; 9); г) (5; 8).

490. k = 1 1 3 ; p = 1 1 3 . 491. k = –2; p = 1. 492. (–2; 6). 493. (–14; 6).

496. 50 г, 30 г. 497. 25 км/год, 5 км/год. 498. 7,2 грн, 3,6 грн. 499. 60 грн, 75 грн. 500. 6 кг, 9 кг. 501. 385 м, 500 м. 502. 1500 дверей, 4500 вікон. 503. 20 гусей, 30 кролів. 504. 32 учні, 21 парта. 505. 30 ц, 32,4 ц. 506. 19 га, 17 га. 507. 17 дм і 11 дм. 508. 40 км/год, 3 год. 509. 40 000 і 30 000 операцій. 510. 8 робітників, 10 днів. 511. 41° і 49°. 512. 56°, 56°, 68°. 513. 20 см, 10 см. 514. 36°, 72°, 72°. 515. 72°, 72°, 36°, або ∠А =∠С = 51 3 7 ,

∠В = 77 1 7 . 516. 14 і 8. 517. ∠А = 50°, ∠В = 60° , ∠С = 70°.

518. 34 зелених, 25 золотих, 23 жовтих. 519. 56

Маковей, 99 Франко, 144 Кониський. 520. 150 т, 200 т. 521. 1,2 кг, 0,8 кг.

Повторення

§7. 531. а) a4 + a3 + a; в) 4. 538. Вказівка. 165 = (24)5. 552. а) –12; б) 1220; в) 0. 558. 6. 559. 1,4. 561. а) 4; г) –4; 2. 563. а) 2 3 ; б) 2. 564. а) 2; б) 2. 566. а) (–5; 3) ; б) v = 4; u = 0. 573. k = 2,5. 574. k ≠ 2,5. §8. 577. 130 т, 160 т, 110 т. 579. 40 км/год, 30 км/год. 580. 150 км. 581. 21 см, 63 см. 582. 20 см, 30 см. 585. 14 і 50 років. 586. 50 га. 587. 12 км/год. 588. 10 см. 589. 2 кг. 590. 12 см, 5 см. 591. 60 деталей. 593. 200 зошитів, 47 учнів. 596. Вказівка. Слід розглянути рівняння 4x + + 3y = 140, де х і у натуральні числа. 598. 60 км. 599. ≈ 3,2 кг, ≈ 23,3 кг. §9. 600. 143 м, 130 м, 110 м. 604. а) –2; 0; 2; б) –2; 2; в) 0; 0,5; г) немає розв’язків; д) –3; 3. 605. Так. 608. 6 учнів. 610. 4п + 2, де п натуральне число. 612. 21, 42, 63, 84. 616. 22. 633.18. 642. 96 л, 60 л. 643. 63 л, 84 л. 644. 6 коней, 30 днів. 645. 5 км/год, 11 км/год. 646. 1 год. 650. О 10 год ранку. 651. 3 год і 9 год. 652. 75 м, 54 км/год. 653. 1 кг 40 г. 654. 27 %. 655. 69 дівчаток. 656. 6 корів. 658. 36 корів. 659. 21 год, 28 год.

Аналітичний

координатної площини, координати яких є його розв’язками.

Графік функції множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, що утворюють область визначення функції, а ординати відповідним значенням функції.

Графічний спосіб задання функції спосіб задання функції за допомогою її графіка.

Двочлен сума двох одночленів.

Зведення подібних членів могочлена заміна суми подібних

Лінійна функція функція, яку

у = kx + b, де k і b дані числа, а х незалежна змінна.

Лінійне рівняння з однією змінною рівняння виду ах = b, де а і b довільні числа, а х змінна.

Лінійне рівняння з двома змінними рівняння виду ах + + by = c, де a, b, c дані числа, а х і y змінні.

Многочлен сума кількох одночленів.

Область визначення функції множина всіх значень, яких набуває незалежна змінна.

Область значень функції множина всіх значень, яких набуває функція.

Одночлен вираз, що є добутком чисел, змінних та їхніх степенів.

Одночлен стандартного вигляду одночлен, який містить тільки один числовий множник, що стоїть на першому місці і до якого кожна змінна входить у відповідному степені тільки один раз.

Подібні члени многочлена одночлени, які відрізняються між собою лише коефіцієнтом або однакові.

Правильна числова рівність рівність, значення лівої і правої частин якої дорівнює одному й тому самому числу.

Пряма пропорційність функція, задана формулою y = kx, де k ≠ 0.

Раціональний алгебраїчний вираз числовий вираз або вираз зі змінною, який містить лише арифметичні дії над числами.

Рівняння першого степеня з двома змінними лінійне рівняння з двома змінними виду ах + by = с, де a ≠ 0 і b ≠ 0.

Рівняння першого степеня з однією змінною рівняння виду ax = b, де a ≠ 0.

Розв’язок рівняння першого степеня з однією змінною число, що задовольняє дане рівняння.

Розв’язок лінійного рівняння з двома змінними пара чисел, що задовольняють дане рівняння.

Розв’язування системи рівнянь знаходження всіх її розв’язків або доведення, що їх немає.

Розв’язок системи рівнянь спільний розв’язок усіх рів-

нянь, що утворюють систему.

Розкладання многочлена на множники запис многочлена у вигляді добутку кількох множників.

Система двох лінійних рівнянь із двома змінними сукупність двох лінійних рівнянь з одними і тими самими змінними, стосовно яких ставиться вимога знайти такі значення змінних, які одночасно задовольняють кожне рівняння.

Спосіб додавання спосіб розв’язування системи двох рівнянь із двома змінними, коли коефіцієнти

змінній в обох

Спосіб підстановки спосіб

виражають через

Степінь

буток

спосіб задання функції запис області визначення і області відповідних значень функції у вигляді таблиці. Тотожне перетворення виразу заміна виразу

Термінологічний словник

Функціональна

ми, коли кожному значенню

змінної відповідає тільки одне значення другої (залежної) змінної.

Функція правило, за допомогою якого для кожного значення незалежної змінної знаходять єдине відповідне значення залежної змінної.

Числова рівність два числові вирази, сполучені знаком рівності.

Члени многочлена одночлени, які утворюють многочлен.

А

ПРЕДМЕТНИЙ

Аргумент 105 Б

Буквений вираз 7

В

Винесення спільного множника

за дужки 58

Вираз зі змінною 8

Віднімання многочленів 52

Відповідні значення виразів 8

Властивості степеня з

натуральним показником 27

Г

Графік лінійного рівняння 177

– лінійної функції 129

– прямої пропорційності 133

– функції 114

Графічний спосіб розв’язування рівняння з двома змінними 188 Д

Двочлен 46

Ділення степенів 28

Добуток многочленів 67

– одночлена і многочлена 58

– степенів 27

Додавання многочленів 52

Задання функції аналітично 109

– – за допомогою таблиці 111

– – графічно 117

– – словесним описом 112

Зведення подібних членів 46

– многочлена до стандартного вигляду 47

– одночлена до стандартного вигляду 34

Залежна змінна 103

Змінна 8

Квадрат двочлена 79

– суми двох виразів 79

– різниці двох виразів 80

– числа 22

Предметний

Кількість змінних у рівнянні 170

– розв’язків лінійного

рівняння з двома змінними 169

– – – –

з однією змінною 149

– – рівняння першого степеня

з двома змінними 171

Коефіцієнт 35

Корінь рівняння 146

Координати 114, 120

Кутовий коефіцієнт прямої 134

Л

Лінійна функція 129

Лінійне рівняння з двома

змінними 170

– – з однією змінною 147

М

Математична модель 154, 203

Многочлен 45

Множення многочлена на

одночлен 58

– многочленів 66

– степенів 29

Н

Незалежна змінна 104

Неповний квадрат різниці 85

– – суми 85

О

Область визначення функції 105

– значень функції 105

Одночлен 34

– стандартного вигляду 35

Ордината 114, 120

Основа степеня 21

П

Піднесення до степеня 23

Подібні члени многочлена 46

Показник степеня 21

Правильна числова рівність 16

Пряма пропорційність 133

Р

Раціональний алгебраїчний

вираз 8

Рівняння 146

– з двома змінними 169

– з однією змінною 147

– з модулем 152

– лінійне 147

– першого степеня з двома

змінними 147

– – – з однією змінною 147

Різниця квадратів двох виразів 75

– кубів двох виразів 86

– многочленів 52

Розв’язок лінійного рівняння 147

– – – з двома змінними 170

– – – з однією змінною 147

– системи рівнянь 147

Розкладання многочлена на множники 59, 69

С

Система двох рівнянь з двома змінними 187

Спосіб групування 67

– додавання 198

– підстановки 194

Спосіб задання функції 109

Степінь числа з натуральним

показником 21

– добутку 28

– дробу 22

– многочлена 48

– одночлена 46

– степеня 29

Сума кубів двох виразів 85

– многочленів 52

Т

Тотожні вирази 17

– перетворення виразів 17

Тотожність 17

Тотожно рівні вирази 17

Тричлен 46

Ф

Функція 104

Функціональна залежність 104

Ч

Частка степенів 28

Числова рівність 16

Числове значення виразу 16

Числовий вираз 7

Член многочлена 45

Цілий вираз 9

2.4. Добуток

2.5. Різниця

2.7. Сума

2.8. Застосування

5.2. Рівняння, що зводяться

5.3. Застосування

5.4. Лінійне

5.5. Графік

6.1. Поняття

1. Звичайні

2. Раціональні

3. Вирази

4. Рівняння

5. Координатні

Навчальне видання

МАЛЬОВАНИЙ Ю рій Іванович ЛИТВИНЕНКО Г ригорій М иколайович

ВОЗНЯК

Головний редактор Богдан Будний Редактор Володимир Дячун

Художник обкладинки Володимир Басалига Дизайн та комп’ютерна верстка Андрія Кравчука

Підписано до друку ___________. Формат 60 ×90/16. Папір офсетний. Гарнітура Шкільна. Умовн. друк. арк. 16. Умовн. фарбо-відб. 64.

Видавництво «Навчальна книга – Богдан» Свідоцтво про внесення суб’єкта видавничої справи до Державного реєстру видавців, виготівників і розповсюджувачів видавничої продукції ДК № 4221 від 07.12.2011 р.

Навчальна книга – Богдан, просп. С. Бандери, 34а, м.