Algeb 11kl by Орко

GDZonline.net

GDZonline.net § 1. ф ун к ц ії та їх осн овн і властивості 10.

а)

f(x) = 2 х - 3

/(-3) = 2 ■(-3) - З = -9; Л -2 ) = 2 •(-2) - З = -7; /(-1) = 2.- (-1) - З = -5; « 0 ) = 2 О - З = -3; Д1) = 2 ■1 - З - -1; Я 2 ) = 2 ■2 - З = 1; Д З) = 2 •З - З - 3; g(x) = \2х - ЗІ ^ - 3 ) - |2 •(-3) - ЗІ = 9; ^ - 2 ) = |2 •(-2) - 3| = 7; g (- l) = |2 ■(-1) - 3| = 5;

g(0) = |2 •О - ЗІ = 3; ^(1) = |2 • 1 - ЗІ = 1; g(2) = |2 •2 - 3| = 1; ^ 3 ) = |2 •З - 3| = 3; б) fix ) = х^ + 2х + 1 = {х + 1)^ g(x) = -Jx^ +2x + l = 7(л: + 1)“ = U + ll

-3

-2

-1

f(x )

8 (х )

ГО m CQ 0) 1Л

11. B ( f ) = 8940 - 745t а) ф ункц ія лінійна; б) ß (5 ) = 8940 - 745 •5 = 5215 (грн) — вартість ксерокса через 5 років використання; в) B (t ) = 4470; 8940 - 745« = 4470; -745і = 4470 - 8940; -745f = -4470;

ro X

T >4 Q. g c

t = -4470 : (-745); t = 6. Через 6 років вартість ксерокса становитиме 4470 грн. г) В (0 ) = 8940 грн. 12. я = 4 а) 5(Д ), R S = рі, S =^ . . R S {R ) = — , графік — гіпербола; R б) S (0 = — , графік — пряма. R ,

13.

f(5 )- f(3 )- l

а) f(x ) = х ^ - 2 х + І Л 5 ) = 5« - 2 • 5 + 1 = 125 - 10 + 1 =116; /(3) = 3^ - 2 •З + 1 = 27 - 6 + 1 = 22; /(5) - Я З ) - 1 = 116 - 22 - 1 = 93; б) П х) = (д:^ - 2)(х + 5); /(5) = (5" - 2)(5 + 5) = 23 ■10 = 230; « 3 ) = (3^ - 2)(3 Д5) - A3) - 1 = 230 - 56 - 1 = 173.

14. у ” 2х^ - 1 а) 1/(2 ) = 2 • 2^ - 1 = 7; 1/(4) = 2 - 4 2 - 1 = 31; 1/(6)

у{8)

2 ■8^ - 1 = 127;

1/(10) = 2 ■10^ - 1 = 199; б) 2 x ^ - 1 ^ 1; 2х^ == 2;

ем ОЭ

д:2= 1;

д: = ±1;

д;2 = 2;

х = ±уІ2;

2х^ = 6;

= 3;

2х‘ = 8;

= 4;

х = ±уІЗ; X = ±2;

2^2

X = ±\ІЕ.

2 x ^ - 1 = 3;

= 4;

2 x ^ - 1 = 5; 2 x ^ - 1 = 7; 2x2 - 1 = 9;

10;

+ 5) = 7 ■8 = 56;

GDZonline.net ■15. a) у =

= [0; +°o);

у = X-^ = \ . D (y ) = (-CO; 0) w (0; +oo);

j,) y = ^ ,

D (y ) = Д;

H) у =

D {y ) = (0; +00);

e) у = 1 + ^ , i ) ( !/ ) = ( - » ; 0 ) u (0 ; + c o );

e) y =

= (“ ““ ї

16. a) !/ = ^/^. -0(1/) = [0; +°o): 6) у = д;‘" = ^ , ö(!/) = (-00; 0) u (0; +oo); t ) y = Z - x , D {y ) = Д; r) у = УІх^ + 1, 0(і/) = Я ; V 4. 4

ґ) У =

0 (і/ )

= ( - * : 2)

(2 ;+

oo );

д) У = ;^> -»(г/) = -R; е) U = д: +- , £)(и) = (- 00; 0)о (0; +оо); X

е) у =

D(i/) = (- 00; -2) W (-2; 2) W (2; +оо).

17. l)a )ß (i/ )= б) £ (.,) = [- 1 ; 2];

в) J/ = О, якщ о д: =■ 0;

я;

' ;г Г 2ж ^ ч Г) у > О, якщ о JC є --- ; 0 U f / Оіі:: ; у < Оу якщ о X є . 3 > 1 2) ґ) спадає; х є

2) а )0 (і/ ) =

5 £ І.; зростає: х е 0 : ^ . 4. .1* 4 J ’

- f-

ГЗл[ 4 ’

Л’ 5я’

б) £(■/) = [ - ! ; 1];

“ 0, якщ о X е г) !/ > О, якщ о X є

п^ п 7 ~2 ' ” 6. п

; І/ < о, якщ о X є £• 5 ^ ). .6 ’ 6 ) ’

0; -^ І") зростає: х є - — ; О ; спадає: х є Гл 3^ І 6

м 09

GDZonline.net 18. a) y = M - x , E (y ) = [0; +00); b ) y = x ^ - l , E (y ) = [-1; +00); b) 1/ = 3 - j:, E (y ) = R\ Г) j/ = 2 + V I , E (y ) = [2; +00).

19.

a )y =

+ i , E (y ) = [4; +00);

6) I/ = v m , E (y ) = [0; +00); B ) y = 3x, E (y ) = R\ Г) y = 9 - y f l , E (y ) = (-CO; 9]. 20. a) у = д:'’: ф ункц ія непарна

б) І/ = -д:^ ф ункц ія парна

У)

Р 03 гл CQ Ф LD

11 І

-2 { - - 1 2

(Z г

/-8-

т Ё: .5 с

в)

у = х-^= ф ;

г) у =

ф ункція парна

ні парна, ні непарна

ю ш п:; <

±1

±2

= Jx ;

1 +_ 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

непарна

ОЭ

GDZonline.net б )У

парна

у,

» -COS х;

1Зк / ~ v

1 1 -я

______ ______ V _____ _ К

° у

-1

непарна

g )y - te x ;

22.

б) I/ = 2х‘ ;

зростає X є [-л/і. 5; о ] w спадає х є (-«>; -

и [о ; V T s ] ,

23. a)

б)

спадає х є (-<»: 0) u (0; +оо);

GDZonline.net

І/ = --- 4. Гр аф ік І/ ----- 4 утвоX ^2 ^ рюється з графіка у = — паралельним перенесенням вздовж осі Оу на -4. спадає х є (-оо; 0) u (О; +оо)

12 X

утворю ється з графіка у = ---- 4. 12 ^ Ч асти н у графіка і/ = ----4 для д: > О X симетрично відображаємо відносно осі Оу. зростає X є (-С0; 0) спадає х є (0; +оо)

г) і/ = ^ - 4

. Граф ік у

12 ---- 4

12 утворюється з графіка u = ---- 4.

Частина графіка у > О залиш ається без змін, а замість частини у < О будується симетрична їй відносно осі Ох. зростає X є (-00; 0) и [3; +оо) спадає х е (0; 3]

-12

24.

-6

Т = 2я^|—. Т(,1) — степенева ф ункц ія (у = yfx). lg gT^ . l(T ) — квадратична ф ункція. 4/r^ g

-3 -1

12 34

12 *

GDZonline.net 25, ж,(О = 0,2<2 + 2<; в)

= 80-44

0 ,2 « ’' + 2 t = 8 0 - 4 « ; 0 ,2 (^ + 6 f - 8 0 = О | ; 0 ,2 ;

ft + 30< - 4 0 0 = 0 ;

f » - 4 0 (не задовольняє умові задачі), Мотоциклісти зустрілися через 10 хв. 0 ,2

• 10^ +

•1 0 =

= 40

(хв).

(км ).

y = f{x + \)

Графік J/ •= Ддс + 1) утворюється з графіка у = f(x ) паралельним перенесенням вздовж осі Ох на одиницю вліво. Графік у = f(x ) + 1 — паралельне перенесення графіка у = f(x ) вздовж осі Оу на одиницю вверх. Графік у = ДІЛІ) зображається з графіка у = f(x ): частина д: > О симетрично відо бражається відносно Оу. Графік у = |/(;с)| м алю ється з графіка у = f(x): частина ^ > О залиш ається без змін, а замість у < 0 будується симетрична їй відносно осі Ох.

У = 1(х+ 1): а) зростає х є [-4; -2] u [0; 2]; спадає х є [-2; 0]; б) у > О, як щ о д: є (1; 2): у < О, як щ о х е (-4; 1); ®) = 2, г) непарна

= -3;

У = /(ж) + 1: а) зростає д: є [-3; -1] u [1; 3]; спадає х є [-1; 1]; б) і/ > О, як щ о JC є (1,5; 3); у < О, якщ о де є (-3; -1) u (-1; 1,5); = З, і/ „., = -2; г) непарна

GDZonline.net

у = « W ): [0; 1]; а) зростає х є [-1; 0] u [1; 3]; спадає x є [-3; -1] б) j; > О, як щ о X є (-3; 2) u (2; 3); у < О , якщ о х е (-2; 2); в) </„«. = 2, = -2; г) парна У = ІЛ*)1: а) зростає х є [-1; 1] u [2; 3]; спадає х е [-3; -1] u [1; 2]; б) І/ > О, як щ о X е (-3; 2) u (2; 3); ■0; S) «'..«6. = З, г) непарна

б)

Уі

- У = / (І* І)

у = Н х + 1) \

л \ 1 1 у А 2 3 V

-2-

-3-

► *

1 1 / - 4 - 3 / -1 / і

' ? '

Vi у = « * ) +1

- 3 -

к \

-А

У = І/ (* )І

\ ^7 |\\ 1 1 -1 ' '\ і\ ' \ '1// л т1 1 - 4 - 3 -2 V - ? 1 2 у -2-

^ ж

■ ■Гі t1 Т ■ t -4-3-2-1

-3-

►

х:

_2-3-

у = f (x + 1): а) зростає х є (-2; 0]; спадає х є [-4; -2] u [0; 2]; б) у > О, як щ о д: є (-4; -3) u (-1; 1); j/ < О, якщ о х в) У..и. = 2, г) непарна.

■ ^’л і т “ 1 2

е (-3; -1) и (1; 2);

» -3;

у = f(x ) + 1: а) зростає х є [-1; 1]; спадає х є [-3; -1] u [1; 3]; б ) у > 0 , як щ о X е (-3; -2.5) w (-0,5; 2,5); у < 0 , якщ о д: є (-2,5; -0,5) и (2,5; 3); в) і/..«, “ З, г) непарна.

- -2;

У = /(1*1):

а) зростає х є [-3; -1] u [0; 1]; спадає х е [-1; 0] о [1; 3]; б ) у > О, як щ о X є (-2; 0) u (0; 2); < О , якщ о х є (-3; -2) u (2;3); в) ■= 2, - -3; г) парна У = ІЛ * )|:

а) зростає х є (-2; -1] u [0;1] u [2;3]; спадає х є [-3; -2] u [-1; 0] u [1; 2]; б) І/ > О, як щ о ж є (-3; -2) и (-2; О) u (2; 3); в) У..«, - 3. г) непарна

- 0;

GDZonline.net «7 у ^ + 2x, X є [0; + 0 0 ) ^ » 2; x^ = 4; ДГ, < 2 < 4; 2 e [0; +oo), 4 є [0; +co); * ‘ — - 8:* ^ 2 ( 4 ) = 2 4 y , ( 2 ) < y ^ i ) => I/ = x^ + 2 x ; зростає 28

a) X e (0; 3);

[0; +oo).

> 0; x(3 - д:) > 0;

1/ = (X - 3)^; (x - 3)^ > 0; X — будь-яке число, крім 3;

у = sin(x - 0,5ті); sin(x - 0,5я) > 0; - sin ^ - x ^ > 0 ; -cos x > 0; cos x < 0; X є

— + 2лк; — + 2лк , k e Z . U 2

2 9 . a ) / ( X ) = x< + 3 x ': Л - Л ) = {- ^ )^ + 3 (- x ) 2 = x ‘ + 3 x ^

/(-x) = /(Jc); ^(j/) = ^ симетрична відносно «О*, ф ункція парна; б) fix ) = 3x(x“ - 2х); D {y ) = R симетрична відносно «О»; Д-х) = 3(-х)((-х)® - 2(-х)) = -Зх(-х^ + 2х) = Зх(х^ - 2х); /(-х) = Кх)\ ф ун кц ія парна; 4 в) fix ) = — — 7 ; D {y ) = (- 00; -2) KJ (-2; 2) u (2; +00) симетрична відносно «О»; x" - 4 4 4 : f(-x ) = f(x ); ф ун кц ія парна; П -х) ■ (- x f - 4 x' - 4 г) f(x ) =

n-x) =

x' +1 2

Щ у) =

“ 1)

(~1; l )

( l ; +°®) симетрична відносно «О*;

(- X )' + 1

x" + 1. -; f(~ x) = /(x); ф ун кц ія парна.

(- Х )" - 1

x" - 1

30. а) у — x (l - x^), D (y ) = R симетрична відносно «О»; j/(-x) = - x (l - (-x)2) = - x (l - x^); y (- x ) = - j/(x); ф ункц ія непарна; б) j/ = 7x* + X, D(i/) = Л симетрична відносно «О*; y(-x) = 7(-x)^ + (-x) = -7x^ - X = - (7x’ + x); i/(-x) = - ^(x); ф ункц ія непарна; X* в) у = — — j-, D (y ) = (-00; -1) iu (-1; 1) 'u (1; +oo); симетрична відносно «О»;

У(-х) = г) ,

(-Х)’ ^-1

х^-1

; у[-х ) = у(х); ф ункція непарна;

у = — + — В ( у ) = (- 00; 0) U (0; +00); симетрична відносно «О*; X 3 , 3 (-Х) 3 X (г X ; у (- х ) = -у(х); ф ункц ія непарна.

2ла) I/ = 5 sin 0,5х; і/ = sin х має 7’ = 2л, то і/ = 5 sin 0,5х, Т; = = 4лі О Оу V б) I/ = cos(2x - 3); у = cos х; Г = 2л, то у = cos(2x - 3); 7] = — = л-,

31.

в) у = 3tg0,25x; 1/ = tgx; Т = п, то 7’, = —^ \)f

= 4л.

GDZonline.net 33. a) у = уІ2вїпх; 2 sin х > 0; sin x > 0; x e [2лл; я + 2яп], л є Z; б) j, = (x^ - 5)-” “ = (x^ - 5)'^ =

yjx - 5 x^ - 5 > 0; [ x - ■Jb){x + -Jb) > 0; 0(і/) = (-~:-> /5)^(ч/5; + оо);

-'Jb

в)

D (y )

I/ = ( л^+ s i n x ) “ = — ------ ^

- 1 < s i n j : < 1;

(Л’ + sin x f

34. a) u =

1x1 >3;

> 3;

< -3;

m 01 lO

= (-~;

Ы -2

Jc, = 4,

3 >/io

-3

±л/ЇО;

Vio) <j (->/10; - з] и [З; чЯо) kj (n/TÖ; +

%/Ї2 + X - Дґ'‘

б) у

■R.

-ч^

х ' - 10 ті 0

D (y )

VUI - 3

ІхІ - 3 ^ 0 ;

12 + дг-л:' >0;

ІдгІ - 2

Ul ^ 2;

- ж-12< 0; -3-2

= -3;

D (y ) = [-3; - 2 ) и (- 2 ; 2 ) w ( 2; 4]; ro

s I

>4 Q. 5 Ъ

в) у = ,

- 4л: + З > 0; д: = З, л: = 1; - 4х + З ’ " D (j,) = (-00; 1) w (3; +00).

35. а) I/ = Ix - 3| + |x - 4|; x - 3 = 0; = 3;

x - 4 = 0; = 4;

-X

1/ =

+3 -

-3-

+ 4, якщ о

< 3;

X - З + X - 4, якщ о X > 3;

-2х + 7, если <

+ 4, якщ о З < X < 4;

< 3;

1, если З < X < 4; 2х - 7, если X > 3;

б) у = |х^ - |х| - 2| Будуємо графік у = х‘ - х - 2, щоб з нього отримати графік у = х^ - \х\ - 2 = |хр- |х| - 2 треба частину х > О симетрично відобразити відносно Оу. Щ об з графіка у = |хр - |х| - 2 отримати графік і/ = |х^ - |х| - 2| треба частину у > 0 залиш ити без змін, а частину у < О симетрично відобразити відносно Ох.

УL

У У^ у =х*-х -2

У ‘ У = х^-\х\-2

-2 - І

1 1 1 1 1 f/ '1 -3 - ^ 1 ° . \ р 3

^ ^ X

у = \х‘ -\х\-2\

GDZonline.net

-з

-б г)

-1

;i 2 з

-5

-3-2-1J

- З-2-і; = \уІ\х\ + 4 - з|

у = -Jx + 4 - З ^

у = л / к Г Г Ї - З - ) у = IVIjcI + 4 - з|

У/і

Й Т Ї-

-5

зі

-1

36.

а) 1/ = з sin —. Період

= sin X дорівнює 2it, то період j/ = З sin

буде ^

= 4ж.

GDZonline.net

б) і/ = - з sin \2х\, Т = п

у = -З sin |2jc|

в) Ä/ =

Р го fO ю <u LQ

-4я

37. а) у = ГО

-Зтс

-2л cos2x, якщо X і п\

якщ о X < 0;

б) У = ]

З cos X - З, якщ о X >4;

1 - —, якщо х > п .

S I

5 С

о 3 ш |_ <

y. 1 1

\ ^ \ V

-7C

38.

1 / TC /

® -1-

\ S /

2Я

fix ) =

П х ) - /(3) ^ д:^-9 ^ ( X - 3)(д: + 3) ■= д: + 3; х-3 х-3 х-3 f(2 + h ) - /(2)

(2 + h f - 4

(2 + Л + 2)(2 + Л - 2)

(4 + Л)Л

/(1 + £) + т

- с) _ (1 + e f + (1 - e f 1+t^

1 + f* СЧІ еэ л

2 + 2f" 1+

2 {l + e^) 1+

= 2.

l + 2 f + c “ + l- 2 f + £ ^

l + e‘

= 4 + /i;

GDZonline.net Н х + г )- т )_ —

ї .

•, ( ї + 3)’ - 2 7

(д: + З - 3 )((* + 3)“ + 3(х + 3) + 9) і

£ (£ і ± 6 £ ± 5 ± 3 £ ± 9 ± ^ =

= ■

^ 9^ + 27;

6) л * ) = 1 1_ + 3)“ + 26

27 - (л: + 3)“

(З - (х + 3))(9 + 3(х + 3) + (л: + 3 )')

( 3 - х - З К 9 + 3х + 9 + х^ + 6х + 9) _ - х (х ‘ + 9д: + 27) _

. i.^x^ + 9х + 27) = -дг^ - 9 х - 27;

g ) f ( x ) - ( 2 x ^ - m + 2x^) Ш х + 3)» - 1)(2(х + 3)^ +1) -1 7 19

X (2(х + 3)=’ - 18)(2(дг + 3)^= + 18)

4{х + 3)^ - 1 - 323 ^ 4(х + 3)* - 324 _

4((х + 3)=' - 9)((х + 3 f + 9 ) _

4(х + 3 - 3)(х + З + ЗХх^ + бд: + 9 + 9) _ 4л:(зі: + 6 )(а:^ + 6 х + 1 8) _ =4(ж + 6)(л’ + 6д; + 18).

41. у= ‘ 2х^- \2х - 3. а) [-10; 0];

»»*. = - 3 ; 1- 10; 0 )

V.M = і/(-10) = 200 + 1 2 0 - з = 317; ( - 10; 0]

б ) [ - 5 ; 5 ];

У^ы = У(-5) = 50 + 60 - З = 107; 1-6;Ч' У ^ . = і/(3) = -21; W ; 51

В) [0; 10]; J'wh, = у(10) = 200 -120 - З = 77; 10; 10)

= У(3) =-21.

Ю; 10)

В ітки параболи спрямовані вгору (а > 0). Н ай менше значення параболи буде у вершині: - . = - - ^ = Н = 3; 2а 4 »(3 ) - 2 - 3 ^ - 1 2 - 3 - 3 = 1 8 - 3 6 - 3 = - 2 1 .

GDZonline.net § 2. Степені 3 дійсними показникам и

53. а) 8 = 2»;

в) >/2 = 2“ :

г) 0 ,2 5 = і = і = 2 - ;

ґ) 1024 = 2‘“ ;

е) ^

є) 0,0625 = i

= 2»;

54. а) 81 = З";

б) 27 = 3^

г) 81 ‘ = (3‘ Г ‘ = З

ґ) #

д) 0,5 = і = 2-'; =i

= 2в) 9'^ = (3^)-^ = 3=''^;

= 3’ ;

Д) 1 = 3“ ;

е) 729'’ “ =(3'’) ‘ =3^;

є) 27‘'= ( 3 ') '' = 3“''.

55. а) 32"" = (2*)“ '‘ = г “' = 4; б) 27® : 9‘ = (3^ f : (3“ )‘ = З* : З® = 3;

p го

го

ш 01 ю

в) iä / l6 - ^ = ^ - ^

= V ? = 4;

г) (81 - ')°“ = ((3 * Г ‘ )‘ =3 ’ =і ; ґ) (9-^)'^ = 9*''^’’ = 9“ = 81; д) 25' •5-‘" = 5^'' •5-^' = 5° =1;

го X

с о

е) 49“’“ ■n/7 = (7^)<’ “ ■7* = 7“ ‘ •7^ = 7; 1 є) 2" 0 .5 ' = 2 ' = 2 ' (2 ‘) ' = 2 ' 2-' = 2’’ =1. У 2) 2 I I 57. а) (-5)5 = ((-5)=')» = 25®, 25 > 0; б) 7 « , 7 > 0; * К в) О’ = 0. у > 0; г) (-1)", ні, -1 < 0;

е) 0"^ = О, так, >/з > 0;

с; <

58. а) ( а - х '’ ’^)(а + х ° ‘ ) = а‘ - (х '‘ ” Г = а ^ - х ; б) ( e ^ - p ^ ) ( c U p ^ ) = ( J )

мЛ І

в) (а - Ь ) :

є) it", так, п > 0.

- (р ї) = с - р ї;

( J - b ^ ) ( J + ft5)

: Ь^)= ------ ;--- j----- = а ‘ - Ь ‘ ; а* +&2

г) (д г-4 ):(д :“ ‘ + 2) =

(х"-^-2)(х’‘ ’’ + 2) х°-^ + 2

= дг“ ® - 2 .

59. а) ( x > - l) L = + x » + l ) = (x^) - l ® = x - l ; б)

(n5 + 2 ) ( J - 2 / i ^ + 4) = Ü )

+2® = л + 8;

. ) ( a - = ) : U - 2 ) . ! 2 i r i H 4 ± 2 2 i ± i > . . i + 2а» + 4; а» - 2

г) (1

1П

д) О ®, ні, - - < 0; З

\ + Х^ +Х^

GDZonline.net fiO a) у “ ^ ф ункція зростаю ча; '„ = x "^ , -^/з < 0, ф ун кц ія спадна; ' - З % ü = * ' , — > О, ф ун кц ія зростаюча; 9) У 7 . ^ X'®'®, -0,5 < О, ф ун кц ія спадна, п у л -у , D ( y ) - { 0 ; +СО).

у -+- І І 1 4

61. а)

8»’ < 9“ ^

1— +-

1 3

б) 7 ''* > 8 "^ ;

в) 8 '^ > 9

г) 0,5” > 0,4”.

•= х'^ =

62. у а )Л (4 ; 5);

б )Л (4 ; 0,5); 0,5 = ^ ,

“ і:

в)Л (4 ; ” 0,5); - 0 , 5 * - ^ , ні;

63. ä/=^-^

так;

1Ш '

а)М(1; 1): 1 = 1'^, так;

б) м У З і З ) ;

3 * {- Д ) \

в) М (3 ; S ) ;

г )М (0 ;0 ):

ні;

* 3'^, ні;

0 = 0 '^ ,

так.

64. У = К

1 \ 2“ = і => 2“ = 2-“ => а = -2; 4

М(25; 0,2);

25" = 0,2 => 5"“ = і => 5^“ = 5 ‘ => 2 а = -1 => а = -0,5.

65. у = х^

а) Р{2; 8); 2» = 8 => 2» = 2“ ^

б) Р(0,2; 5); 0 ,2" = 5 => в) Р(у/3; 8 і ) ;

66. а) 1, =

а = 3;

= 5 => 5 " = 5 => - а = 1 => а = -1;

Ш ) ° = 81 => 3^“ = 3‘ =>

= 4 => « = 8.

“

У,

1.5

2,5

3,5

4,5

г/

1,11

1,19

1,26

1,32

1,37

1,41

1,46

1,5

5,5

9,5

6,5

7,5

8,5

1,53 1,57 1,6 1,63 1,65 1,68 1,71 1,73 1,76 1,78

У=

х е [ і ; 10] ■

6 ------- 1--------1---- — 1— ---- h 4 3 1 2

Н---- —

1-- ----- \ 'ІГ

—1----

1 10

GDZonline.net б) у - лг"

1.5

2,5

0,9

0,84

0,8

6,5

І 4,5

3,5

5,5

0,76 0,73 0,71 |о,69 0,67 0,65 0,64 7

7,5

0,63 0,61

0,6

8,5

9,5

ю"

0,59 0,58 0,58 0,57 0,56

У = х-

68. Л (1 ; 1); у = д:“ ; 1 1 ” => 1 = 1 => Граф ік кож н ої степеневої ф ун кц ії проходить через то чку Л (1; 1).

69. „ i f

^ *;і і_3 2_9 _7 б) - Д = = ^ = 5’ 2 =5в в ^ 5 в. Ш 5І

•)|ЇГ -(Г ^

'> # != ( ІЙ ІГ = ( ІГ '= ( І)

зі

GDZonline.net 70. a) 343 » = (7 ^ Й = 7- = ^ : :

27’ Y 1 26V U26'

(3^)“

•243^

■3-' =

.(3 ‘ Г ' ‘ =■ (5‘“ )=

\ . 81»'“ = (2^’ )» : (3*)° '" = 2" : 3’ = —

P) s ' =

" 7 б 4 ‘ У '

((2 ‘ ) ^ r

=—

r )b r l к 3 /

(2^‘ r

l / 1 2 \

* 1 2

5‘

625’

= 4— ; 27

i- = i . 2" 8’

Z r =- T ^

jg S j S

() 8* : \8' •8>J

3" 3 -

1_5

ІЛ

= 8^ : 8‘ *^= 8* : 8»*« = 8^ : 8 ' = 8^ « = 8 ' » =

- i

,8 " ї = 8 » = ( 2 ’ ) “ =2-’ = І ;

_х

6 ^4

2s J

f iV

°U J

27J

I 25J

Ч 2

((!)■

CQ 01 Ю

f5 .y * = ® і = і

U J

6 5

2’

71. a) 8'^ 8 -^ = 8" = 1;

ГО

6) (0,5'^)'^ = 0,5-^ = 0 ,5‘ = 0,0625;

ІС S

B) (5‘* ^ Г '^ = 5 - = 5 - = і ;

г) З’ '® : 9^ = З^'^ : 3^^ = 1;

j,j 2*-*'^ . 8'^ = 2^"’'^ •2®'^ = 2^ = 4"

о! et

Д) .(5 - ^ Г '^ - (Т ^ Г = 5-- - 1 = 5- -1 = і - 1 = - 1 .

о 72. в)

а) (Тз)'^ = 2,1746; ;г''“ =12,9172;

б)

Ш ) “ =1,8226;

г) (2 + л-)’ » 170,775; ю

д) (Зл/2)' =93,4927.

ґ) ( V 2 - 1)' = 0,0628; 73.

а) (2'^-'+2'^*‘ ) : 2 - ^ = - ? ^ + ^ ^ = 2-‘ + 2 = і + 2= 2 І ; 2'" 2'" 2 2

б)^(3' + 3 '- » ) : 3 '= | 1 + . | ^ = 1 + 3-^=1 + 1 = і і

74. a )((V if Г = (,/5Г = 2; 8^ : 2’ ^ = 2“^ : 2»^ = 1; ( ( V i f ) '' - 8^ : 2“^ = 2 - 1 = 1; -Л-1

- 9’ : 9 '“‘ = 9'^ 9 ''“*' - 9 = 9 - 9 = 0.

’ =, ^; х + 5 * 0 = > х ^ -5; D = (-оо; -5) u (-5; +00); V(^ + 5)“ — 1 ®) (а - 3 ) < = : а - 3 > 0 = > а > 3 ; £ > = (3; +оо); V (a - 3 )" 75.

а) (л: + 5)

X *-2-, D = (- 00; -2) и (-2; + «);

в) и + 2|"^ = ІДГ + 2 Г

г) аї +^ =^ +^ ; £>=Д; І") (8 + д:)5 = ^ { 8 + x f ; D = R-, \n

Д) Ijc* - 4 ^ ; D = R .

GDZonline.net 76. a)

-= ^

(^ )

= a >=a^

= y" ■1/'“ =

= y^;

B) :c-2Л

77.

Л®

р- = ^

x ’’

= д:*;

X”

6) 4 ^ { y “ ) = y ’ у ''= у ''і а'

в)

CQ 01

78.

а)

(U ^r - ґ)и ^ + 1 + х^^^) ■ (х ^ Г - 1 »

- і ) ( х ^ +1 ^

s s

I T

іх-^ -

+ і)(д:'^ + 1 + х^''^)

= д:'^ +1;

(дг'^-і){д:='^ + д :^ + і)

(ж ' + у')^ - ( ( 4 ' x V " ) ) =х^’ + 2х” у " + у " ' - (ix^'y^’ t ^ =

б)

= х"“' + 2х’ у ' + J/*' - 2л:'і/’ = х “' + у®'; їй

c: <

0-1

г)

а^ + а*

(а ^ - і)(о ^ + і) а < ( а * + і)

a U l

a»-=(a'>-^‘ + l ) ( a U l )

Ü - l)a ^

(J- l).H = U - l)a - = a b a - ^ ; 1 1 г)

Ü + b ^ ) = a2&2

a V а+

{a^ + b^) = a V

а^+ ЬЧ

L і a‘ +b^-b‘ I і У

•( J + 62) =

I a^b

= а^Ь‘ -

І-]

і і

Л а ‘ + Ь Ч = а^Ь‘

1^ 1 { a ‘ +b^)-a^+b~4

= аЬК

а ‘ +Ь^

79.

С + УІС + 1

- І

JJb ^ L z ß s ± £ ± Ü ^ 2 c ^ 1ГЭ

С + УІС+1

с + у/с +1

Vc+1

= { Г с - і) \ 2 с К с - 2 Г с ^ І - 2 с ^ = с^1;

GDZonline.net

2 р - у ^ )

б) — г т

іг з

/ І у * - Х 'у ^

і /

- х - у = ~^

І 1

^_2ж*У'- х - у = -

i f

‘ + у‘ І ;

1 1

х* + у'

х-у в)~г Г

х-У 1( ' X* + у ' V

1> 1 1 1' ( 1 х г + у^ х^ + у^ у ' 1

1 X*

х^+у^ >

■У*

д:< -у^ х '*

1 1

у* = х*у* -х*у* ;

х^^+ у~ ‘

а’ - Ь ’

-Ь

\Л а^ + аЬ +Ь^ а-а^Ь^

*“ к Г а +а^Ь‘

(а - Ь){а‘ + аЬ + Ь^)

-Ь

а^ + аЬ + Ь^

'-і і 1] аП а^+ ЬЧ

/ 1 lU і і\ \а‘ - b 4 W + Ь Ч

Ч ‘

і/ і

а + 2а^Ь^

а^\а^ + Ь Ч

аЛ а^+ ЬЧ

-Ь

і/ і

М "

аЛ а^-ЬЧ

if і

і)

аЧа^+ ЬЧ

1 1 / 1 if а^+ Ь‘ -Ь + \а‘ + Ь Ч і " 1/1 і\ “ а* Іа^ +Ь^І

а П а ^ + b’ J 11

-b + a + 2a^b^+b

j{J- b ^ )

а-Ь

-Ь

аП а‘ -ЬЧ 11

а И ^ + б^)

і/ і 1\ аЛ а^+ 2ЬЧ

і і а^+2Ь^

аА а^+ ы ) і£

+ Ь‘

80.

,£ а) 2* ‘ 2'“ ‘ +\3 '/

і£ ‘ + 3 ' = 2 ' + 3 = 5;

б)

(4 '‘‘"^ Г "+ (о ,9 ^ "ї)'- “ ’ї =4-'"ї + 0.9‘“ 'г = 4 ^ 0 ,9 “ ^ =

=2 ’"

= >/4 + 0,9' =2 + 0,9 = 2,9.

81.

а) 25'“ ’» : 2 5'“ * « - 0 ,0 9 0,09'”"5' = 25“ '’' " ‘"’® - 0,09 •0,09'“ ^'''*^ =

= 25“ ’ > - 0 ,0 9

0 ,0 9

“ ■» = 2 5 2 _ о , 0 9

0 ,0 9 ^ = ^ / ^ -

0 ,0 9 V o, 09

= 5 - М £ . 5 _ М 0 ,3

б)

= 5 - 0 , 3 = 4 ,7 ;

64 : 6 4 '“ "'°’ - і з " ” ’ ^ •1 3 ""’ ^ = 6 4 : б 4 “ ' " “ ' “ ' ’ - і з “ ‘ 'її * " " ’ ї ї =

= 6 4 : б 4 “ " “ ’’ - 1 3 ' = 6 4 : 6 4 '^ _ і з =

-1 3

= 64

64* - 1 3

= 64

8 -1 3 = 499.

б4~2

82. у = д:'^: у(с) = т ;

=т

а) у(2с) = (2cf^ = 2-^ ■с-'* = 2 ''*т; б) У(с-^) = (с-^)^ =

= т-2 = Л гп

83. а) у = х^^

1 ,5

2 ,5

3 ,5

4 ,5

2 ,0 2

3 ,3 2

4 ,8 9

6 ,7

8 ,7 6

1 1 ,0 4

1 3 ,5 3

1 6 ,2 4

GDZonline.net Ъ) у =

1,5

2,5

3,5

4,5

0,5

0,3

0,2

0,15

0,11

0,09

0,07

0,06

-2Р ГО

го со ш

б) у = х-^‘ - 3 ;

в) у = 0 ,5 х “ *^

Уі к

го SC S

1 1

1 1 2

---------------------

1 I

W “ X

- 1 -

- 2 -

с о

-3 -

У= - Х

с<мЗ

в) І/ = :с -‘ ; ю

г)

д) у = х'-^ + 3.

GDZonline.net у =

і у = X ’ . Граф іки двох ф ункцій будуть симетричні відносно прямої

у » Х> якщ о абсциса першої ф ункції буде дорівнювати ординаті другої, а ординапершої дорівнюватиме абсцисі другої. З р івн ян н я у = х ’ знайдемо х: у ’ = х. 1

ордината першої ф ункц ії

= х^ дорівнює абсцисі другої х =

м = ж* і У = X " симетричні відносно осі

у =• X .

§ 3. П оказни кові ф ункції

96. S '’ 1.5' X

97. а) г/ =

-1

-2

-1

2,25 3,375

1,5

0 1

б) y = { S j

-2

-1

0,5

0,7

1,4

а) а: = -4, І/ = 0,2; л: “ -2, J/ = 0,4; * = О, і/ = 1: Х = 1 , у = 1,5;

X = 3, у X 3,5; X = 4, у X 5;

б) X

3,5, у » 0,2;

X = -1,5, у » 0,5; X = 0,5, у = 1,2; X

= 2,5, у » 2,8.

. Граф іки

GDZonline.net y =

99.

a) I = X = x = ДГ = X =

(!)■

-4, I/ s 5; -2, у ^ 2,3; 0 ,y = U 1, у = 0,7; 3, у ^ 0,3;

6) д; = -3,5, I/ » 4; д: = -1,5, у s 1,8; X = 0,5, 1/ = 0,8; X = 2,5, у » 0,4; jr = 4, j/ = 0,2.

0,25; x » -4; 0,5; jc = -1,5; 1,5; л: = 1; 3,5; X a 3.

6) у = 0,4; д: = -2; г) у = 1,2; ж = 0,5; д) {/ = 2,8; д: * 2,5;

10 0 . a) у b) у ґ )у e) ^

P to m CD

= = =

101. !/ = [ | T a ) if = b) у = ґ)у= e) І/ =

0,25; x x 4; 0,5; X = 1,5; 1,5; X = -1; 3,5; X = -3.

102 . a )

4) кожного свого значення набуває тіл ь к и один раз; 5) ні парна, ні непарна, ні періодична; 6) графік проходить через точку

А(0; 1).

Q. Ct

3) зростаюча, бо ^ > 1:

U2 LU

l_ c: <

и ; 1) D (y ) = Д; 2) £ (у ) = (0; +00); 2 3) спадна, бо — < 1; З 4) кожного свого значення набуває тіл ь ки один раз; 5) н і парна, ні непарна, ні періодична; 6) графік проходить через точку

1) D {y ) = Л; 2) £(j/) = (0; +00);

6) У =

12;

S I T

б ) у = 0,4; д: = 2,5; 1,2; X S -0,5; я ) у = 2,8; X » -2,5; г ) I/ =

1 0 3 . і / = 1 ,7 '

а) з; = 0,5, у = 1,3038;

6) х = 1,3, у = 1,9934;

в ) у = 2,507.

104.

-3,5

-2,5

-1,5

1,5

2,5

0,08839

0,17678

0,35355

2,82843

5,65685

0.5'

11,31371

5,65685

2,82843

0,35355

0,17678

0,125

1 0 5 . Зростаюча ф ун кц ія б, в, г, є. Спадна ф ункц ія а, ґ, д, е. 106. 3 )8

г) Ш

е) 107.

-^ < 1 ;

б ) 0 , 3 ‘= < 1 ;

ї > 1;

ґ) О

<1;

є)

а) 4-'^ < 4

г) 2''* > 2‘ ";

Й) ;г'

.2 .

> 1;

< 1;

д) 1,7’ > 1;

> 1. 1

« Ш

^2;

.5 J

^ .5 )

д) 5-*’" > 5-''*

GDZonline.net 108. і/ “ я)Д (4 : 16): 16 ^ 4*. ні; б) Л(4: 256); 256 = 4‘ , так; . д(-2; - 0,5); ні, бо ордината від’ємна; г)А (-2 : 0,0625); 0,0625 = 4 ‘; 0,0625 = — ; 16 0,0625 = 0,0625, так.

109. у = а)

, \/з=(7з)

Л Г ( і : ‘'/з);

в )М {2 ; 3); 3 = Ш

а) Р(2; 9),

б)

, так;

г)

З = З, так;

( s / ä f , ні;

М (0 ; 0); не показникова ф ункція, не проходить через початок координат.

= 9 => а = 3;

б) Р(0,5; 0,2), а»“ = 0,2 => а = 0,2^ = 0,04; в) Ж - 1 : 0,5); а ‘ = 0 ,5 => а = 0 ,5 ' =

111. а) і/ = З ', [-1; 4]. ф ун кц ія зростаюча,

ґ іУ '

=2.

^ = і/(-1) = 3 ‘ = - ; і/ „ „ = і/(4) = З* = 81.

= у(4) =

Ф у н к ц ія спадна,

= і/(-1) =

в) У ” 4 ', [—0,5; 3]. 1 1 Ф у н к ц ія зростаюча, і/„,. = і/(-0,5) = 4'®-* = — = ^ г) у - 0,25'; [-0.5; 3].

1 =- ;

= і/(3) = 0 ,25’ =

64’

= У(-0 . 5) = 0 ,25-“ “ =

-2

1/ = 3« -1

-2 - 1 о

' = 4^ = л/4 = 2. в) І/ = 3-' = f-T

б) 1/ = 0 ,5'

U J

-2

-1

0,5

1 2

>7 Усі ГДЗ, 1ІКЛ.КН.

= і/(3) = 4® = 64.

Ф у н к ц ія спадна,

112. а)

=3.

2 1 4

-2

-1

GDZonline.net ґ) у = 2^’ = 4 '

г) і/ = - 2 ' -3 -2 -1

1 8

1 -1 -2 -4 -8 2

-2 -1 1

д) І/ = ~2-‘^ = -

У, 1 11 11 ^ h 1 1 2 3 ^ - 2\ І

ä, = _2'

- 4-

Р я: ш ю ф їй

пз

- 8-

113. і/ = а ' 2;

а) А (5 ; 32), а* = 32 :

І т

б)

В (- 1 ; 2), а ' = 2 =» а = 2 ‘ =

а .5 с

в)

С(-2; 4), а-^ = 4 =» а = 4 2 = — = -т- = - . 42 2

о S ю ш 1_ с; <

-і

114. а) Л (1 ; 5), у = а‘ , а — 5, так; б) В (2 ; 1), = 1 =* а = 1, ні, у показникової ф ункц ії О < а < 1 або а > 1; в) 0(0; 0), ні, показникова ф ун кц ія не перетинається на початку координат; г) С(0; 7); ні, бо а" = 1 і не може а ° Ф 7. 115. У = 4 ■2 '“* ” 2* • 2 '“* = 2* — показникова ф ункц ія

X У

-3

-2

-1

УL

У = 4-2'

1) ß (y ) = й ; 2) £(j/) = (0; +о=): 3) зростаюча, 2 > 1; 4) кожного свого значення набуває тіл ьки один раз; 5) ні парна, ні непарна, ні періодична; 6) графік проходить через Л (0 ; 1).

-З -2 -1 116. д:

кП

і/ = 0 ,5 •2' = і •2 ' = 2 '‘ ■2 ' = 2‘ ‘ — показникова ф ункція -2

-1

GDZonline.net 1)

D (y) “

3) зростаюча, 2 > 1; 4) кожного свого значення набуває ^ ь к и один раз; 5) в і парна, ні непарна, ні періодична; 6) графік проходить через А

0; і

_І

117.

а) у = V — не показникова;

Р го m ш (U

УІ

У = 1' J/ = 0 '

118.У- а '. За означенням показникової ф ункції а > О, то а* > 0. Якщ о JC - О, то у = а“ = 1. О тже, графік показникової ф ункц ії перетинає вісь ординат в точці Л(0; 1). 119. а) і / = 2 ' - 3 . Графік = 2'' - З утворюється з графіка у — 2‘ паралельним перенесенням вздовж осі Оу на -3.

б) І/ = 2 + 2^ Граф ік і/ = 2 + 2' утворюється з графіка І/ = 2 ' паралельним перенесенням вздовж осі Оу на 2.

120. а) у = 3 ^ - 2 , D (y ) = (-2; +~); б) “ 0 ,5' + 1, D {y ) - (1; +~); 8) 1/ = 2» “', D (y ) = (0; +~). 17*

в ) і/ = 2‘ -\

Граф ік у = 2'-“ утворю ється з графіка у ~ 2‘ паралельним перенесенням вздовж осі Ох на 3.

зг Ё:

5 Ъ

о З LO

in in

GDZonline.net

1 2 1 . f(x ) = 25* зростаю ча a)

3 .3

з У«».. = У

’2' 2

'2 )

= 2 5 'ї = (5*)"^ = 5-* =

125’

З = 25= = (5*)2 = 5“ = 125; \2) J/„^. = J/(-l) = 25-‘ =-^ 25’ У„И. = У

б) [- 1 :0 ];

= ■/«)) = 25» = 1: в)

1 і"

(

0 = 25 » =(5*) 2 =5 * = і ; Э

У ^ . = і^(1) = 25' = 25; [- 7 = 2 .5

Р го РП ш 01 LQ

=у

і)

У..«, = У(2,5) = 25^‘ = ( 5 * Г = 5= = 3125.

Побудуємо графіки ф ункцій j/ = З* і j/ = 4 - jc. Т очка перетину буде розв’язком рівняння З ' =■4 - ;с.

5 с

у - і-

-2

-1

д: “ 1 — розв’язо к рівняння. Відповідь'. 1.

Ііі с: <

б) 4* + л: = 5; 4 ' - 5 - ж. Побудуємо графіки ф ункцій у — А ' і у = Ь - х . : 4« 5-х X

-2

-1

д: “ 1. Відповідь: 1.

122. а )3 * = 4 - д :.

у = 3*

S І т

= 2 5 І= (5 ^ ^ = 5 - І = ^ ;

в) 2-*^ ~ 3 х + 5. Побудуємо графіки ф ункцій у - 2'** і у = Зх + 5.

GDZonline.net у = Зх + Ь X у

—5 -4 -3 -2 -1 1 1 1 1 2 8 4 2

-2

-1

Відповідь: ±1.

г ) 0 ,5 ' = 4 х Т ь . П о б у д у є м о гр а ф ік и ф у н к ц ій

у = 0,5'

у - 0,5'

у = yJx + 5.

y =Q у

у = yjx + 5

і<* ;-3 -2 -1 і»

0 1

-5

Р Я

-1

ж - -1Відповідь: -1.

ю 01 ю

го S X т

д: ґ) е ' = у / т . Побудуємо графіки функцій у = е Ч у = - J l- x . -2

-1

0 ,1

0,4

2,7

7,3

. У

'с

З іа ш І— с; <

-3 -8 2

X - 0. Відповідь: 0. Д) п ' + х«'^ = 1, я ' = 1 - д:“-“. Побудуємо графіки ф ункцій у = л’ і І/ = 1 - n/ Ї. !/ “ л ' X

-2

-1

0,1

0,3

3,1

9,9

г/ = і- > /ї X

.У

-1 -2

* - о Відповідь: О.

L=5=flj.

GDZonline.net 123. a) 2* > 4. Побудуємо графіки

б) 0,5* > 8.

в)

Побудуємо графіки

Побудуємо графіки функцій

ф ункцій у — 2‘ і у = 4; х > 2. Відповідь: (2; +<*>).

ф ункцій у = 0,5* і і/ = 8; X < -3. Відповідь: -3].

Відповідь:

У.

' <0,5.

у = Ш)

= 2*

і у = 0,5; X <

-2 .

-2).

У)

. =8

У =ф у

го м m ш Lü

-4

-2

у = 0,5 1 1 Ъ 4 6 X

1 2

124. Граф іки у = 2’ і у = 2^~^ не м ож уть перетинатися, тому що у = 2'** утворю ється з у = 2^ паралельним перенесенням відносно осі Ох.

125. І/ = 2' — зростаюча а) 2 ' = 16 => 2* = 2* ==>X = 4; 2* > 16; 2* > 2< => х > 4; 2 ' < 16 => 2' < 2*' =» д: < 4;

б) 2* = 0,25

Q. .CE

'E о

2* = і =>2' = 2-2 =» X = -2; 2 ' > 0,25 => д: > -2; 2* < 0,25 => л: <-2; 4 5 е в) 2 ' = у /И =» 2* = 2^ =J. д: = І = 2,5; 2‘ > УІЬ2 => х > 2,Ь\ 2‘ < => л: < 2,5.

126. І/= 0,2* — спадна а) 0,2* = 0,04=> 0,2* = 0,2^*х = 2; 0,2* > 0,04 => 0,2* > 0,2* < 0,04 => 0,2* < 0,2^=> дг> 2; 1

^ > ° '^ ‘ = 625 =>д: > 4; 0,2‘ >

0 ,2

0,2^ => д: < 2;

0,2* = 0,2* =» д: = 4; 0,2* <

0,2* > 0,2< => д: < 4. 625 1 в) 0,2* = 25 => 0,2* = 5* =Ф 0 ,2* = ^ => 0,2* 5-^ 0,2* > 25 0,2* > 0,2 “ => д: < -2; 0,2* < 25 => 0,2* < 0,2-2 => X > -2.

0,2-

625

0,2* < 0,2‘

д: = -2;

127. а) З* = 81; З* = 3‘; X = 4;

б) 5*-2 = 625; 5**2 = 5<; д: + 2 = 4; 6* > 0 ; 2 1

X = 2;

128. б) в) г)

'2>

а) 2х

,3 J

(II 1І

1 .2 )

_ 9.

Ш '=

f2 f

4’ Із і

в) 6* = -2; розв’я з к ів немає; X = 0. 2;

ч2>

гзу. f 2 f ,2 ; ’ . з і

; розв ЯЗК1В немає; 'S'! 25’

х*3

—

>0;

' 5 '' .5 J ’

.4 ;

^♦8

/ V

г) 7-* = 1; 7-* = 7»; -X = 0;

г 129. а) З ' > 1,

= З ' — зростаюча; З* > 3“ , д: > 0; б) ^ У ^ ~ зростаюча; 5 ' ‘ < 5’ ; д: - 1 < 3; JC < 4; в) б* > "2 ; а; — будь-яке число, о скіл ьки 5 ' > 0; 7"» < 49; J/ = 7' — зростаюча: 7‘* < 7^; -д: < 2; х > -2. . 1 „ . г

'з'>

9 >1=

»(І)

^ = .2 ;

— зростаюча;

< -4; розв’я з к ів немає;

- Ш

' -

зростаюча;

Гз'

Г3> П2>

2 ; д; - 2 > 2; X > 4;

> 0;

* f3 S 2 ;3 c < - l.

ГО РО ш ш LQ

.131. S, = 1000 •2»2" 'В) S „ = 1000 ■2»-2 “ = 1000 (м*);

Д) S , - 1000

GDZonline.net

З“-“ ‘ = 1000

в) S ,„ - 1000 ■ 2»’2

2 = 2000 (м^);

= 1000 ■2^ = 4000 (м"). ГО

■ ‘і32. K«) = 24

•(0,25)'

а) /(0) = 24 0,25» = 24 (А ); б) Д 1) = 24

0,25 = 6 (А );

/(2) = 24 0,25' =24 | і = 11 = 1 = 1 = . , . , Л . \4/

Д3) = 24 0,25" = 24 /(4) = 24 0,25* =24

_3^

256

(А );

в) ДО = 24 ■(0,25)'.

т ш

L-

с; <

О < t < 1,1

133.

.5 1=

m (t) = 2e^

а) ЗО хв = 0,5 год,' т (0 ,5 ) = 2 е“’'* = 2,6 г; ^ год = год; от f -^] = 2е’ = 2,8 г; 60 З чЗу 1 в) 1 год; m (l) = 2e^ = 3 ,3 г; б) 40 хв

г) З год; m(3) = 2e* = 8,9 г; I") 4 год; от(4) = 2e^ = 14,6 г; Д) 6 год; m (6) = 2е* = 3 9 ,4 г.

GDZonline.net 134.

а) і / = І З '- і | .

Граф ік будується за таким ланцю жком: = З'

у = З* - 1

1/ = ІЗ' - 1|.

-2

-1

Будуємо графік за ланцю жком:

Уі 9- ; 8-

:]У = |з' 3- ' •/ 2_______ 1 . 1 1 / » tї ї 1 ' W ► - 2 - 1 0 ^ _ 1 _ 2 ___ж -1 І в)

г) г/ = 2^'" =

І/ = ЗІ'-Ч.

2*', д: > О

4‘ , д: > 0;

1. л: < О

1, X < 0.

І/ = 4'

Граф ік у = 3>' Ч зображується з графіка у = З ' ч а с т и н а х > 1 симетрично відображається відносно Оу.

0,5

135. а) і/ = |0,5» - 2|. Будуємо у = 0 ,5' у = 0,5' - 2 -» І/ = |0,5* - 2|. У = 0,5* X

-3

-2

-1

0,5

2 1_

3 1

GDZonline.net gj j, - 0,2^. Б удуєм о у = 0 ,2 ' -> у = 0,2W.

-1

0,2

0,04

0,008

/olr-llv-І _

в) у = (З

)

( 3 " ‘ Г ’, х - 1 > 0

З ' “ , д: > 1;

(3 * * 'Г ',д : + 1 < 0

3 " ‘, х < 1 ;

у) у - -2^. Будуємо j/ = 2 '-> j/ = 2W-^i/ = -2«.

-3 1

-2 1

-1 1

ГО гп 0Q Ш ID

ГО ІС S І

136. а) і/ = 0.5^-^^^-^

а .5

-2х, X < -2

-X + 2 - X - 2, X < -2.

U - 2 | + k + 2| = . - Х + 2 + Х + 2, - 2 < х < 2 = <4, - 2 < X < 2 Х - 2 + Х + 2, х > 2

> 2.

з 4^ д: < -2 1

= 0 ,5 \ - 2 < х < 2 =

0,5^‘ , х > 2

1 ^,2;

,х < - 2

( Г -

0 , 5 '', х < - 2

у = 0,

2х,

,х>2

у = ЗІ'-Ч^Ь^ЗІ

-2х -2 , х < -3;

-д: + 1 - д:-3, х < -3;

U - i | + k + 3| = -х + І + х + З, - 3 < я < 1 ; = 4, - З < X < 1;

У = 3'

< -3;

у = зІ*-№+Ч 729

3‘ ,- 3 < д :< 1 : = 81, - З < X < 1; З " " " , л: > 1;

2х + 2 ,х > 1 ;

X -1 + X + 3, X > 1;

З " " X

іа

,-2<х<2

9 9 '. дг>1;

81 — І— І— І— Н ; -4 - З -2 -1 ^

Н— (-

1 2

ем ш

GDZonline.net в)

J, = 2''-"^^*" -X

+2-

- 1,

Уі

-2x + l , x < -1;

< -1;

U -2 l + U + l| = -х + 2 + х + 1 , - 1 < х і 2 ; = 3, - 1 S x < 2; X - 2 + X + 1, x > 2 ;

2 x - l,x > 2 ;

(і)'

2“'**', X < -1;

32-

х<-1;

2 \ - 1 < х ^ 2 ; = 8 , - И х <2-, -2-1°

2^’ -', x > 2;

1 3 7 .а ). = | ; ^

В) J^ =

=Ы

1 2 3

д:

і.4*,х> 2.

4*"+2-4*

4‘ (4 '+ 2 )

4 '+ 2

= 2 '_ 3 ;

= 4'. J/ = 3 '+ l

§ 4. П оказни кові рівн ян н я та нерівності

146. а) 4*-» - 2 => (2‘у-^ = 2 => 2^~* = 2’ =» 2д: - 4 = 1=> 2л: = 5 => д: = 2,5. Відповідь: 2,5. ^ б) 9’ * = ч/з => (3^)"-' = 3» => 3®-^' = З“ * => 6 - 2х = 0,5 => -2х = -6 + 0,5 => -2х = = - 5 .5 => л: = 2,75. Відповідь: 2,75. в) 52'-' = 125 => 5^-‘ = 5» => 2х - 1 = 3 . 2х = 4 => JC = 2. Відповідь: 2.

147. а) 8“'-* = 2>/2 => (2®)''-' = 2 2 ' => 2«' » = 2' “ => 6ж - 3 - 1,5 => 6х = 4,5 => д: = ■=0,75. Відповідь: 0,75. б) 0 .4 ^ "‘ = 16 => 0,4*'*' = 0,16 => 0,4^-' - 0,4* = > 2 x + l- 2 = > 2 x = l= > x = 0,5. Відповідь: 0,5. в) (>/7)"‘ = 49 => 72' ' “ ’ = 7 * = > i{x + l ) = 2=> x + l = 4 = > i = 3.

Відповідь: 3.

GDZonline.net '3^

'8> '

148. a) ,2>

” 27’

V9 > 4'

,з і ’ 3'

U J ’

. 2

ІЗ ^

.з )

3jt

2187

27’

'3 ' '

2’'

,2>

3 “

'4 ' \ .3 ; ’

3*-2^' 2’ -3‘''

Із ,

'3 '

-; 128 ’ f'.2

,8 )

Г2^^ " _ 64.

Г4У

Si 6)

'3 '

3x = 7 ; . = - .

.2,

' _ 27 _ [" 9 ^'

27 . 1 .

'3^

” 2 5 0 ’ І2 5 ;

250 ■2 ’

.5 ;

'з'> " _ 27 .

_ 27 . 2 . “ 250 ■1 ’

.5 ;

125 ’

2д: = 3: I = 1,5. Відповідь: 1,5. \2x-3

(3-2)2.-3 ^ 35 «-!

149. a)

•- ix + 6 = 5x -1 =>

Відповідь: —. У ч х-4

= 2*

б)

, 2“ ** = 2 "'“‘ =>-д: + 4 = 4д:-1=>

(2-‘Г * =2"

=> - 5 * = - 5 =* X = 1.

Відповідь: 1.

(ІГ

1.5;

=^-1 + 2х = 2 - х Відповідь: 1.

а-2»

"(І

3д: = 3=>л: = 1.

/„^4*3»

3-2*

=»

(7^

U ;

((7^ —

-1 > 4*3х

lUy

Г7^

3-2г

І3>

=» З - 2д: = -4 - Зле: >х = -7. Відповідь: -7.

150. а) 2'*' = 16; 2 '"' = 2‘ ; х + 1 = 4; л: = 3; 2'*‘ ^ 16; 2'-' > 2‘ ; ж + 1 > 4; X > 3; л: є [3; +~); б) 3^-^ < 27; 3^-' < З*: 2 - X < 1; -X < 1; X > -1; X є (-1; +~); в) 4*-' = 32; 2«'-» = 2^ 2(х - 1) = 5; х - 1 = 2,5; х = 3,5; 4'-' < 32; 2^''-" < 2^ 2(х - 1) < 5; х - 1 < 2,5; х < 3,5; х є (- ~ ; 3,5]; г) 8'** = 128; 2«*"« = 2’; 3(х + 2) = 7; Зх + 6 = 7; Зх = 1; х = і ; О

8'"2 > 128; 2^*''*“'' > 2'; 3(х + 2) > 7; Зх + 6 > 7; Зх > 1; х > - ;

151. а)

х є

( І '" ) '

9 ' = 27; 9 ' = 3^ 3’^ = З®; -2х = 3; х = -1,5; 9 ' > 27; 3'^' > 3^; -2х > 3; х < -1,5; х є (- ~ ; -1,5); б) 8-' = 16; 2-»* = 2‘ ; - Зх = 4; х = 4 8 * < 16; 2'®' < 2^ - Зх < 4; х > х З в) 3«-2* = 3*-=' < 1; г) 4®*=^' = 4«*ііх > 1 ;

1; 3*-^' = 3“; 8 - 2х = 3®-^* < 3“; 8 - 2х < 0; 1; 4*-®* = 4"; 8 + 5х = 48»5х > 4°; 8 + 5х > 0;

Г 4 І З

+«

0; -2х = -8; х = 4; -2х < -8; х > 4; х є (4;+■><.); 0; 5х = -8; х = -1,6; 5х > - 8 ; х > -1,6; х є (-1,6; +~).

GDZonline.net 152. а)

+ З* = 108; Відповідь: 3. б) 2-’ * + 2 ' = 5; 2'(2^ + Відповідь: 0. в) 2^ - 2'-^ = 12; 2 ' \2^ Відповідь: 4 г) 3'-2 + 3'*‘ + З* = 39; Відповідь: 1.

3'(3 + 1) = 108; З ' •4 = 108; З" = 27; З ' = 3^; х = 3. 1) = 5; 2'' • 5 = 5; 2 ' = 1; 2 ' = 2“; х = 0. - 1) = 12; 2* ^ ■З = 12; 2 ' ^ = 4; 2*-* = 2^ х - 2 = 2; д: = 4. 3'(3^ + З + 1) = 39; З* • 13 = 39; З ' = 3; х = 1.

153. а) 2 •3^*' + З'"* = 33; 3**42 + З “') = 33; 3'*‘ ■11 = 33; З '*' = 3; х + 1 = 1; х = О; б) б " “' + 11 • 5* = 180; 545^ + 11) = 180; 5 ' • 36 = 180; 5' = 5; х = 1; в) 3'*‘ - 2 ■3'-^ = 75; 3'-^(3’ - 2) = 75; 3'-^ • 25 = 75; З'"^ = 3; х - 2 = 1; х = 3; г) 5 •0,5'-» + 0,5'-‘ = 162; 0,5*-®(5 + 0.5‘) = 162; 0,5'-» •5,0625 = 162; 0,5'-» = 32; f\ 2 - )T '

2*; 2-'"» = 2^; - X + З = 5; - X = 2; X = -2.

154. а) 6^ - 4 • 6 ' - 12 = 0. Зам іна 6 ' = і/ > 0. і/“ - 4і/- 12 = 0. З а теоремою В ієта і/| = 6, i/j = - 2 (сторонній, і/ > 0). 6 ' = 6; х = 1. Відповідь: 1. б) 64' - 8 ' - 56 = 0; 8^ - 8 ' - 56 = 0. Зам іна 8” = у > 0. - у - 56 = 0; = S, у 2 = -7 (сторонній); 8 ' = 8; х = 1. Відповідь: 1. в) 9' - 8 • З ' = 9; 3^ - 8 ■З ' - 9 = 0. Зам ін а З ' = у > 0. j/“ - 8у - 9 = 0; і/, = 9, у^ = -1 (сторонній). З ' = 9; З ' = 3^; х = 2. Відповідь: 2. г) 7^ + 7 = 8 • 7'; 7^' - 8 • 7 ' + 7 = 0. Зам іна 7 ' = у “' - 8і/ + 7 =0; і/, - 7. у^ = 1; 7' = 7, X = 1 або 7' = 1 , 7 '= 7», х = 0. Відповідь: 1; 0. 155. а) 2^ - З • 2' + 2 = 0. Зам ін а 2' = і/ > 0. - Зу + 2 = 0; = 1, = 2. 2 ' = 1; 2 ' = 2“ ; X = О або 2 ' = 2; х = 1. Відповідь: 0; 1. б) 3^' - 2 • З ' - З = 0. Зам ін а З ' = і/ > 0. і/^ - 2у - З = 0; i/j = З, і/^ = -1 < О (сто ронній). З ' = 3; X = 1. Відповідь: 1. в) 9' - 6 ■З ' - 27 = 0; 3^ - 6 • З ' - 27 = 0. Зам іна З ' = і/ > 0. і/* - 6і/ - 27 = 0; i/j = 9; 1/2 = -З < О (сторонній). З ' = 9; З ' = 3^ X = 2. Відповідь: 2. г) 4 ' - 14 •2 ' - 32 = 0; 2»' - 14 ■2' 32 =0.Зам іна 2‘ = y > Q . y ^ ~ Ы у - 32 = 0; i/j = 16; j/j = -2 < О (сторонній). 2 ' = 16; 2 ' = 2‘ ; X = 4. Відповідь: 4. 156. а) 100* - 11 • 10' + 10 = 0; 10^ - 11 • 10' + 10 = 0. Зам іна 10' = і/ > 0. у^ - 11у + 10 = 0; у, = 10; у , = 1. 10' - 10; X = 1 або 10' = 1; 10' - 10»; х = 0. Відповідь: 0; 1. б) 4 ' - 9 • 2 ' + 8 = 0; 2^' - 9 • 2' + 8 = 0. Зам іна 2' = у > 0. - 9і/ + 8 = 0; у, = 8; у , = 1. 2 ' = 8; 2 ' = 2»; X “ З або 2 ' = 1; 2 ' = 2»;х =0. Відповідь: 0; 3. в) 5*' - З •5' - 10.= 0. Зам іна 5 ' = j/ > 0. у’' - Зу - 10 = 0; у, = 5; - -2 (сторонній). 5 ' = 5; х = 1. Відповідь: 1.

GDZonline.net . 92» - 12 •З ' + 27 = 0. 9« - 12 • З* + 27 = 0; 3^* - 12 ■З ' + 27 = 0. Зам іна З* = у > 0.

- \2у + 27 = 0;

9; у, = 3. Уі З» « 9 ; З* = 3^; д: = 2 або З* = 3; JC = 1. Відповідь: 1; 2 .

157. ®) 2‘ < 32 => 2 ' < 2®: І/ = 2^ — зростаюча => х < 5 => зс є (-■»; 5); б) 0,2' > 0,008 => 0,2* > 0,2®; у = 0,2* — спадна => х < З => х е 3); g) 10' < 0,001 => 10' < 10'®; І/ = 10' — зростаюча => jc < - З => л: є (-оо; - 3 ). 158. а) 5^ < 25'*‘ => 5^' < у = 5 ' — зростаюча =» 2л < 2(л: + 1) => 2х < 2х + + 2 =>0 < 2 => X — будь-яке число; б) 0,1** < 0.1^'“’ => Зх > 2х - З тому що J/ = 0,1' — спадна; 0,1 < 1; х > -З, X є (-3; +“ ); в) я* < =» X < 2 + Зх; 1/ = л ' — зростаюча, я > 1; -2х < 2; х > 1; х є (1; + ~ ).

159. а) 3'*^ - З ' < 8 => 3'(3^ - 1 ) < 8 = > 3 '8 < 8 = > 3 '< 1 = > 3 '< 3 " = > х < 0 ; X є (- » ; 0); б) З*"* + 3'-‘ < 28 => З ' ЧЗ* + 1) < 28 => З'-" •28 < 28 => З ' * < 1 => 3'-‘ < 3“ => х - 1 < 0 = > х < 1 ; х є (- ~ ; 1 ).

160. а) 5 '*' + 5 ' > 150 => 5'(5 + 1) > 150 => 5 ' •6 > 150 => 5' > 25 => 5' > 5^; х > 2; X є (2; +~); 6) 2 ■3'*‘ - З ' < 15 => 3'(2 • 3 - 1 ) < 1 5 = > 3 '- 5 < 1 5 = > 3 '< 3 = » х < 1 ; х є

і) .

161. а) 1) 0 ,3 '’-' = 1; 0 ,3 '’-' = 0 ,3 °; х’* - х = 0; х(х - 1) - 0; х = О або х - 1 = 0; X ”=1. Відповідь: 0; 1. 2) 0 ,3 '’*' < 1; 0 ,3 ''- ' < 0,3“ ; у = 0 ,3' — спадна; X* - X г 0; х(х - 1) > 0; X є (- ~ ; 0] и [1; +“ ). б) 1) 7 '’-* = 1; 7 '’-* = 7 “ ; х^ - 4 = 0; = 4; х = ±2. Відповідь: ±2. 2) 7'’-* S 1; 7'’-' ^ 7 “ ; х^ - 4 < 0; (х - 2)(х + 2) < 0; X є [-2; 2]. в) 1) б'і'*®' = 1; S'*'**’ = 5»; х(х + 3) = 0; х = О або X + З = О, X = -3. Відповідь: 0; -3. 2) < 1 ; 5х(і*з) < 50.

+ 3) < 0; X є [-3; 0].

г) 1) 0 ,5 '’-’'* ' = 1; О, б '’-*'*" = 0,5“ ; х^ - Зх + 2 = 0; - 1 ;х , = 2. Відповідь: 1 ; 2 . 2) 0 ,5 '’-’'** < 1; 0,5''-“'* ' < 0,5“ ; х^ - Зх + 2 < 0; * є 1] U [2 ; +~). ^ ^ ^ J“) 1) 4''^-' = 1. X ä 0; 4-^-' = 4 “ ; > /ї-1 = 0; >/ї = 1; х = 1. Відповідь: 1 . 2) 4'^-’ < 1, X > 0 ; 4'''-' < 4 “ ; >/х - 1 < 0 ; >/х < 1; х < 1 .

Відповідь: О < х < 1 .

162. а) 1 ) 7ґ'-’ = 1; гґ'-" х^ - 9 = 0 ; х^ = 9; * = ±3. Відповідь: ±3. 2) S 1; ;г'’-“ ^ ;т“ ; я > 1 ; х^ - 9 > 0 ; (* - 3)(х + 3) S 0; X є

-3] U [3; +~).

±. -З

GDZonline.net б) 1) {JET

= 1; (ч/бГ " = Ш ) :

+ л: = 0; х(д: + 1) = 0: л: = о або л: + 1 = 0 .

X = -1 .

Відповідь: 0; -1.

p fö го ш ш LD

ГО ГС I

.5 с

3 т

|_ п; <

2 ) ( 7 5 Г ’" > 1 ; ^< 1-, + x>0-, х(х + 1) > 0; X є (-»о; -1 ] U [0; +~). в) 1) = 1; o,l*(«-ä) = 0,1“ ; х(х + 3) = 0; д: = О або л: + 3 = О, X = -3. Відповідь: 0; -3. 2) > 1; ОД'«'*’' > 0,1“ , 0,1 < 1; х(х + г ) < 0 - , х е [-3; 0]. г) 1) (л- - е)"^ =1, JC > 0; (я- - е)"^ = (л- - е )°; -Jx =0; дг = 0. Відповідь: 0. 2) (л^-е)'^ >1, X > 0; (л’ - е )'^ > (л - - е )°: п - е < 1 ; ^ < 0 = > х = 0. Відповідь: 0. 0 1 ) 3'^-' = 1, х > 0 ; 3 '''- " = 3 “ ; ^ - х = 0; 4 Z = х; х = х^-, х^ - х = 0-, х(х - I ) = ОJC = О або ж - 1 = О, д: = 1.

Відповідь: 0; 1. + х / ' - '\ У + 2) 3 '^ " >1, л: > 0; 3''* ' > 3“ ; -Jx - х > 0; ■Jx>x-, х>х^-,х‘ - х < 0 ; х { х - 1 ) < 0 ; х е [ 0 ; 1]. Х+1 8'*‘ , '8^ ('8'! 163. а) = 5 " ', 5'*‘ > 0; 5„1 1. ; х + 1 = 0; X = -1. -5; Відповідь: -1. б) 13'-» - 11’-' = О I ■ll'- ä ; 13'-» ■11'-» - 11»-' ■11'-» = 0; (13 • 11)' » - 1 = 0; (13 11)'-» = 1; (13 11)'-» = (13 ■11)“; х - 3 = 0; д: = 3. Відповідь: 3. в) 5' • 2^ = 400; 5 ' ■4 ' = 400; (5 •4 )' = 400; 20' = 20^; д: = 2. Відповідь: 2. г) 2 ' • 3^ = 324; 2' • 9 ' = 324; (2 •9 )' = 324; 18' = 18^; д: = 2. Відповідь: 2. -2 ,-2 . ,6 164. а) 0,5"‘ 2^'*' = - : 64

'I'l

fK 2T J

.2J

і І2>

.2J

; д:^ - 2х - 2 = 6;

V2>

X» - 2х - 8 = 0; X, = 4; д:^ = -2. Відповідь: 4; -2. б) г '’-“'* " “ = 1бТ2 х2 - 6х + 5 = 0; Відповідь: 1; 5. I

X, =

2 '’-®"°’* = — Ц - ; 2^ 2 І 1;

Xj =

;----------

в) 16^8'

2*’-®'*"" = 2-"^ х^ - 6х + 0,5 = -4,5;

5. »’ -З т -5

. . 3|«‘ - 3 » - 5 )

=2'';

о „

(-Ч

=2"; 4 + ^i^--------- = у 5; 5 20 + Зх^ - 9х - 15 - 35; Зх^ - 9х + 5 - 35 = 0; Зх^ - 9х - 30 = О | : 3; х^ - Зх - 10 = 0; X , = 5; х, = -2. Відповідь: -2; 5. 1 г З х -1 2 З х -1 З х -1 г) ^ v 9 » '- ‘ =27 »; 3 » (3") < = (3»)'»; 3 » -3 ‘ 3 * ^ = 3 -2. _ 3

. ^

= 128; 2" (2»)

= _2 2; -6 + Зх - 1 = -4; Зх = -4 + 6 + 1; Зх = 3; X

Відповідь: 1.

e>j in

165. а) 2 " ‘ + 3 ■2'-‘ - 5 ■2 ' + 6 = 0; 2'-‘(2» + 3 - 5 - 2 )+ 6 = 0; 2'-‘ ■(-3) + 6 = 0; -3 • 2'-‘ = -6; 2'-‘ = 2; X - 1 = 1; X = 2. Відповідь: 2.

GDZonline.net gx 3**1 - 2 ■3'-‘ - 4 • 3'-^ =17;3*'=(3^ 3»-2 -

- 2 ■ 3- 4) = 17;3*“^ •17 = 17; З'"^

= 1;

3 " ; л: - 2 = 0 ; X = 2 .

Відповідь: 2. g) + 73.-2 + 73,*1 ^ 5 7 ; 73.-1(72 -|- 7 + 1 ) = 5 7 ; 73«-і . 57 = 5 7 ; 73,-1 ^ 78х*1 = 7“; Зя: + 1 = 0; Зд: = -1; х = 1 Відповідь:

, 4*х-1 _ 44.-2 _ 2 . 4*'-* = 160; 4«-8(4^ - 4 - 2) = 160; 4*' ’ • 10=160;4«* » = 16;

4*'-® =4^; 4л - 3 = 2; 4х = 5;

д: = 0,8. Відповідь: 0,8^ 6 6 . а) 2®' - 6 ■2“' -I- 12 • 2 ' - 8 = 0. Зам ін а у = > 0. - 6у^ + 12і/ - 8 = 0; (V> - 8) - ібу^ - 12у) = 0; (і/ - 2)(і/^ -Н 2і/ -I- 4) - 6j/(i/ - 2) = 0; (1/ - 2)(у^ + 2і/ -І- 4 - 6v) = 0; (у - 2)(і/2 -,4г/ -Ь 4) = 0; (у - 2)(і/ - 2)^ = 0; (і/ - 2)^ = 0; у - 2 = 0; 1/ = 2; 2 ' = 2; д; = 1. Відповідь: 1. б) З’**' - 4 • 27'-' -1- 9‘ ‘ - 80 = 0; З®'*' - 4 ■З ’»'“» -І- З^»-^*-» - 80 = 0; 3^*'* _ 4 •З®'-® + 3^'-^ - 80 = 0; 3^'-*(3^ - 4 -І- 3) = 80; 3^'“^ •80 = 80; З^*'“ = 1; З»' ® = 3“ ; З х - З = 0; Зх = 3; д: = 1. Відповідь: 1. в) 2‘-‘ - 3« = З'-’ - 2"2; 2*-' + 2'*^ = 3*-‘ + З '; 2'-‘(1 + 2^) = 3* '(1 + 3); 2 ' ‘ • 9 >= - 3*-‘ • 4 І : (9 • 3'-‘):

Відповідь: 3. г)

9 ' Уз)

Уг)

; д: - 1 = 2; X = 3.

5 ** ‘ + 2^‘ - 5 ^ + 2 ^ * 2. ( 52.-1 _ 52 . ) + ( 22. + 22* * 2) = 0 ; 5 ^ '( 5 - ' - 1 ) + 2 ^ ( 1 -І- 2 ^ ) =

4 ' 2д: = 2 ; д: = 1.

Відповідь: 1.

167. а) 3®*"^ -

3^**==- З»'*' -І- З®' - 432 =0; 3'(3» - 3^ - З -І-1) - 432 =0; З ' 16 =432; З ' - 27; З ' = 3^; д: = 3. Відповідь: 3. б) 3**2 -І- З '*' 4- З ' = 4'*2 - 4»-і -ь 4»; 3.(32 ч- з -ь 1) = 4»(42 - 4 + 1); З ' • 13 = 4 ' • 13; 3 - 4 * , 4 * > 0 ; | ; = 1; ОіЛ .3- . 0. Л ^ Відповідь:

168. а) 4 - ^ +16 = 10 •2 - ^ , д :-2 > 0 = > д :> 2 ; 2 " '^ -1 0 ■2-Jx -2 + 16 = 0. Зам іна 2 - ^ = J, > 0. у ^ - ІОу + 16 = 0; І/, = 8; у^ = 2;

2 ' ^ = 8; 2 ^ ^ = 2^ s ix - 2 =3; д: - 2 = 3“ ; х = 11; або 2 - ^ = 2; V x - 2 = 1; * - 2 = 1^ д: = 3. В ідповідь: 3; 11. б) 8 + 2'*’'* =4-^, X > 0; 8 + 2 -2'^ = 2"'^ - 2 ■2'^ - 8 = 0. Зам іна 2"^ = і/ > 0. Р* - 2і/ - 8 = 0; І/, = 4; J/2 = -2 (сторонній). 2^ =4;

2'^ = 2 ^

> / ї = 2; X = 4 .

В ідповідь: 4. 1 в) + З = 10 •З “' ; 3-^-' + З - 10 ■З * = 0; З З"^' - 10 • З ' + З = 0. Заміна v3 ; 10 + 8 3-' = І/ > 0. Зі/2 - ІО 1/ Ч- З = 0; Ü = 10^ - 4 •З З = 100 - 36 = 64; у, = — ^ = 3;

GDZonline.net З ' = 3; -X = 1; д: = -1 або

= І5 ^ =| ;

З '" = | ; З ' = 3 ‘: -х = -1; д: = 1.

Відповідь: -1; 1. 1 6 + 5 6 ' = 6-^: 6-^ - 5 • 6 ' - 6 = 0. Зам іна 6 ' = і/ > 0. K36J - 5і/ - 6 = 0; J/; = 6; i/j = -1 (сторонній). 6'* = 6; -х = 1; де = -1. Відповідь: -1. г) 6 + 5 -6 ' =

169. а) 4''^' =0, ж + 1 > 0 ; 2 "''^ - 2 “ 2'^^ = О, х > -1 .Зам ін а 2 " ^ = у > 0. ~ 4у = 0; у {у - 4) = 0; І/ = О (сторонній, у > 0) або у - 4 = 0; у = 4. 2 ' ^ = 4; 2 - ^ = 2‘ ; Vx + l = 2; д: + 1 = 4; х = 3. Відповідь: 3. б) (2 ' + 10) • 2'-2 = 36; 2 ' ■2'-2 + 10 • 2'-^ - 36 = 0; 2^'-2 + 10 ■2' • 2~^ - 36 = 0; 2-2.2^'+ - 2 '- 3 6 = 0; і - 2 ''+ - - 2 ' -3 6 = 0 4; 2^ + 10 • 2' - 144 = 0. Заміна 2 4 2 2” = у > 0. у ‘ + Юі/ - 144 = 0; Ö = 100 - 4 • (-144) = 100 + 576 = 676 = 26^; — = -18 < О (сторонній). 2"^ = 8; 2^ = 2’ ; д; = 3.

Відповідь: 3. в) 9 '’- '- 36 •З*'-“ + З = 0;

3'*’-^ - 36 ■З*'-' З “* + З = 0;

З"'*’-*’ - 4 ■З*’ * + З = 0. З а

міна 3*'"‘ = у >0. і/^ - 4у + З = 0; j/j = 3; ^2 “ 13 '‘-‘ =3; X = ±1.

- 1 = 1;

= 2; х = ±^^2 або 3‘‘ ‘ = 1; З '’-' = 3 “ ; х^ - 1 = 0; х" = 1;

Відповідь: ±1; ±у[2. г) 2‘* - ^ - 5 •Ш ) ' ^ * + 3 = 0, х - 4 > 0 ;

2 -2'^^ - 5 •Ш ) ' ^ * +3 = 0, х S

= у > 0. 2j/^ - 5і/ + З = 0; D - 25 - 4 ■2 ■З = 1; у, =

4. Зам іна 5-1 , у. = — = 1:

= - = 1,5; ^

= 1,5; 2 ''^ = 2,25 Jog^ 2 ' ^ = log, 2,25; V x - 4 = log^ 2,25; x - 4 = log' 2,25; x = 4 + log^2,25;

й б о Ш ) ^ = 1;

=Ш

“ ; V x - 4 = 0; x - 4 = 0; x = 4.

Відповідь: 4; 4 + log* 2,25. 1 7 0 .a )

£ * (з - 2V2)‘ + (з + 2n/2 ) ‘ = 34; X

1 ^ 1 3 - 2 y f2 = --------------- ^ 3 + 2v2 v3 + 2v2y

2 (з - 2n/2)(3 + 2>/2) = 9 - (2 r^ ) = 9 - 4 ■2 = 1;

— + (з + 2>/2)' = 34;

— * (з + 2%/г) ‘ + (з + 2^/2F = 34. 3a-

м іна (з + 2 ^ У = у > 0. і/-‘ + І/ = 34 I • I/; 1 + у* - 34у = 0; і/^ - 34і/ + 1 = 0; D = 1 15 6-4 = 1152 = 36 16 2 = (6.472)* = (2 4 7 2 )';

(з + 2ч/2)‘ = 1 7 + 12>/2; (з + 2%/2р = (з + 2ч/2)';

= 1 7 tl2 > ^ ;

J/, =

- = 2; х = 8;

£ 2 (3 + 2V 2 )* = 17-12>/2; (з + 2>/г)* = (з - 2>/2) ; (з + 2>/2)‘ = ( з + 2 г ^ )‘ = ( з + 2 л ^ Г ;

Ві0/гові0ь: 8; -8.

- = -2; х = - 8 .

.3 + 2V2 ,

GDZonline.net Д ( ^ + %^ Г - ( ч / г / Ї Ї Ї - з Г = 6;__________ •yjyflö - З = V(n/iÖ + з)(л Я 0 - з ) = л/10 - 9 = 1; > / ^ - 3 =

^ •Уз+ Тіїї,

(^ Т - Л о ) -

1 - 6і/: І/^- 6і/ - 1 = 0; _ 6.- ^

= 6. Зам іна

(л/з + \/їо) = і/>0.

= 36 - 4 •(-1) = 40; у. =

j/ - i У

у м .і- -; V3 + V1Ö

= 6 + | ^ = З + лДО;

= З - лЯо < О (сторонній).

( Т ^ Г Л О Г = з + л/ЇО; (з + >/ЇЇЇЯ = 3 + л/ї0; | = 1 ; х = 2.

Відповідь: 2. = 4; Vz + '/s •>/2->^ = л/4-3 = 1 ;

171. а) (л/г+ч/зГ +

= 4. Зам іна (-^З + ч/з) = j( > 0. ; (^J2 + S Ї ■ ^2 + %/з j, + - = 4 І/; 1/2 + 1 = 4і/; 1/2- 4j/ + 1 = 0; Л = 16 - 4 ■ 1 = 12; У '4 + >ІЇ2 4 + 2v/3 /;т „ 4 - л Я 2 4-2Тз „ у. = — ^ ^ --- = 2 + V3; 1/,=---^--- ---- ---- - 2 - V 3 . =

( > / ? Г Ж Г = 2 + >/3: (2 + >/з)2 = 2 + >/3; | = 1;д: = 2 або (^2 + V s ) =2 --73; (^2 + 7 з ) = - --- (2

Відповідь: - 2; 2.^______ ^ 6) ( V i T W r + ( V i ^ r

+ г/зF = (2 + Т з )

; - = -1; * = -2.

^ = 2; (2 + >/з ) ( 2 - 7 з ) = 4 - 3 = 1: 2->/з = ^ ^ :

= 2; (2 + \/з)2 + ------- 7 = 2. Зам іна (2 + ч/з)^ = і/ > 0.

(2 + s y ..- = 2

j/; 1/2 + 1 = 2у; j/* - 2j/ + 1 = 0; (j/ - 1)2 = 0; 1/ - 1 = 0; 1/ = 1

(2 + л^)2 = 1; (2 + л/з)2 =(2 + >/з) ; | = 0; д: = 0. Відповідь: 0.

172.

а) з 16' + 2 81* = 5 36': З їх '4 ' + 2 = 0. Зам іна -5f-1 .9. U . 5+1 , 5-1 2

Уз)

42' - 5 ■36' + 2

92' = О І : 92*; 92' > 0;

= у > 0. Зі/2 - 5і/ + 2 ==0; Л = 25 - 4 ■З ■2 =

= —; 2jc = 1; X = 0,5. З

Відповідь: 0 ; 0,5. б) З»*’ * + 45 •6' - 9 •22'* 2; 32* ■З* + 45

6 ' - 9 ■22' •22 = 0; 81

32' + 45 •6 ' - 36 х

+ 4 5 | - | -3 6 = 0. Зам іна ( - ] = у > 0. 81у2 + \2J \2J -5 + 13 8 4. + 45j/ - 36 = 0 1: 9; 9і/2 + 5і/ - 4 = 0; ö = 25 - 4 ■9 •(-4) = 169; у, = 18 9 18 У, = = -1 < о (сторонній). 18 З

X 22* - О І : 22': 22* > 0; 8 1 | - | ' \2J

V 2; Відповідь: - 2 .

GDZonline.net 1 173. а) 18' - 8 6' - 9 ■2 ' = о I : 2«; 2' > 0; 9 ' - 8 Зам іна 3* = 1/ > 0. - 8і/ - 9 = 0; J/, = 9; j/j = З ' = 9; З ' - 3^ X - 2. Відповідь: 2.

3' - 9 = 0; 3^' - 8 •3 ' - 9 » о. -1< О (сторонній).

б) 12' - 6 '"‘ + 8 ■З ' - 0: 12» - 6 • 6* + 8 • З ' = 22» - 6 . 2 ' + 8 = 0. Зам іна; 2' = і/ > 0. j/* - 6j/ 2« - 4; 2 ' = 2^: л: = 2 або 2' - 2; д: = 1. Відповідь: 1; 2.

О 1: З ', З ' > 0; 4 ' - 6 ■ 2' +8=0; + 8 = 0; і/, = 4; “ 2.

174. а) З'-» “ 3'-^ > 3; 3=^-' * > 3; З > 1; 2л: - 1.5 ^ 1; 2л: > 2,5; х > 1,25. Відповідь: х є (1,25; +<*>). б) 0,5*-’ 0,5* ^*< 2; 0,5*-'< 2; ( і Відповідь: х є 9]. в)

p го го ш О) Ю

8' 4'

16’ Відповідь: х є (- ~ ; -6).

< 2~*;

<2; 2* » < 2, 2 > 1; д: - 8 < 1; л: < 9.

2 “' * «

2-‘ , 2

г) 2*-' •'** 4'*'> -^; 2'-2 • 2»*^ > 2->: 2“' > 2 2 8 Відповідь: х є (-1; +~)-

> 1:

5л:

< -4;

5л:

< -ЗО;

л-

< -6.

> 1; Зл: > -3; л: > -1.

175. а) 13^"' - 13* < 12; 13 13^ - 13* - 12 < 0. Зам іна 13* = і/ > 0. ІЗу^ - у - 12 < 0; ГО X

>ч о. 5

'с о

1 + 9*1 Ö = 1 - 4 13 ■(-12) = 625; у, = =1; 1-25 12 „ , U, = ---- = ----- < О (сторонній). * 26 13 ^ ' О 1 і/ О < 13* < 1; О < 13* < 13», 13 > 1; ж < 0. Відповідь: х < 0. б) 3»**‘ > 10 •З* - 3; З •3^ - 10•З* + З > 0. Зам ін а З* = і/ > 0. Зу^ - 10і/ + З > 0; і ) = 100 - 4 З

З = 64; у ,=

ю ш

З* < 3 ‘; З > 1; л: < -1. Відповідь: х < -1; л: > 1.

I—

с; <

= 3;

3 * > 3 ; х > 1 а б о З* < | ;

в) 9* + 3*^‘ > 108; З** + З • З* - 108 > 0. Зам ін а З* “ і/ > 0. + Зу - 108 > 0; —Я + 21 Д = 9 - 4 (-108) = 441; у, = =9\ ___ -3-21 у, = — ^— = - 1 2 < 0 (сторонній). --- г----------- ^---y > 9 = > 3 * > 9 = » 3 * > 3^=> л: > 2. Відповідь: х > 2. г) 4* + 2**' > 80; 2** + 2 •2* - 80 > 0. Зам ін а 2* = у > 0. у^ + 2у - 80 > 0; у, = -10 (сторонній, у > 0); у^ •= 8. y > 8 = > 2 * > 8 = > 2 '> 2 ^ 2 > l = > J : > 3 . Відповідь: jc > 3. О 8 У 2*» 176. а) 5* - 24 < ^ 5*; 5* > 0; 5^ - 24 ■5* < 25. Зам іна 5* = у > 0. у^ - 24у 5 - 25 ^ 0; у, ■=25; у^ = -1, у > о (сторонній). О < у S 25; О < 5* < 25, 5 > 1; 5* < 5^ л: < 2. Відповідь: х < 2.

б) 2 * + ^ < 1 6 ,5 •2*; 2* > 0; 2^ +8 S 16,5 • 2*; 2** - 16,5 • 2* + 8 < О. Зам іна 2* =

га

= у > 0. у* - 16,5у + 8 < 0; у, = 16; у^ — 0,5. 0,5 < у 5 16; 2 ' < 2* < 2 \ 2 > 1; -1 2 л: < 4. Відповідь: -1 < л < 4.

г _ 22 » > 15; 4 ■ 2' - 4 ■ 2 ' - 15 > Й н а 2 ' = I/ > 0. 4j/^ - 1 5 1 / - 4 > 0 ;

р „ 225 - 4 •4 (-4) = 289; у, = У _

о 1 • 2'; 2'

GDZonline.net

> 0; 4 • 2^' - 4 - 15 • 2' > 0.

- = 4;

= - І < О (сторонній).

24=»2'>4=>2'>2^=іх>2. Відповідь: X > 2. г) З ' + З '*' S 12 І •З ', З ' > 0; 32' + З* > 12 ■З '; З^» - 12 ■З ' + 27 > 0. Заміна і/ = З ' > 0. t _ 12г/ + 27 > 0; І/, = 9; і/, = 3. ^ ^ ^ + ^ 0 < у < 3 а б о і / > 9 ; 0 < 3 '< 3 ; 3 > 1 = > л < 1 ; 3 » 2 9 = > 3 '> 3 ^ ; 3 > l= > jc > 2 . О З 9 У Відповідь: х < І, х > 2.

177. а) (л/з + гТ б)* + { - ^ 5 - 2 ^ )' > 10; (5 + 2ч/б)(5 S ~ 2 - j6 =- —

І ^ ^ •J5 + 2S

( Vö + 2-Уб) +

2 ч/б)

= 2 5 - 4 - 6 = 1;

>10. Заміна (Vs + 2%/б) = у > 0.

у > - - г іо ■у, у > 0 - , у ^ - 1 0 у + 1 > 0 ; 0 = 1 0 0 - 4 = 96 = 16 6 = (4ч/б)'; У

5+2л/б 5 +2V 6

5 + 2S '

0 < у < --------- 0 < {yj5 + 2 S j < ----------(5 + 2 л /б )'< (5 + 2л/бГ‘ ; 5 + 2n/6>1; 5 + 2л/б 5 + 2V6 1 ^ - 1 ; д:< -2, або ^ > 5 + 2n/6; 5 + 2ч/б>1;

|-> 1; д:>2.

Відповідь: х є

б)

(Vs + 2>/бГ > 5 + 2Тб;(5 + 2ч/бР> 5 + 27б;

-2] u [2; +~).

(>/7 + 473)* + (7т-4>/зГ < 14; (7 + 4ч/з)(? - 4v/s) = 49 -16 ■З = 1;

7 - 4 л/3 = ---?- 7=; 7 + 4V3

(77 + 4х/з) + ( - i= L = = l

<14.Зам іна (y fT + Z Js )

=у>0.

- 14г/ + 1 < 0; £) = 1 9 6 -4 = 192 = 64 З = (8ч/з) ; у + і < 1 4 ■у, І/ > 0; У 14 + в 7 з , , /г

У, = --------- = 7 + 4V3;

14 - 8n/3

Уг =

_ і 7 +4ч/з

= 7 - 4 ч / з = --7 + 4n/3

■ ~ ^ < y < 7 +4 S ;

7 +4ч/3

<(>/7 + 4 7 3 ) <7 + 4ч/3;

(7 + 4>/зГ‘ < (7 + 4>/з)‘ ^ 7 + 4ч/з, 7 + 4>/з > 1; -1 < | < 1; -2 < j: < 2.

Відповідь: д: є [-2; 2]. 178, а) 4 ■4* - 6* < 18 - 9"; 4 • 2^" - 2' • 3^ - 18 ■ U ; U ; 1 + 17 9 у. = 8 “ = ї= 0 <у<^; 4

= у > 0. 4і/2-і/-18< 0;Л = 1 -4 -4 (-18) = 289:

-18 < 0. Заміна 1-17 =

('2 V 9 < -; Is J 4 [-2; +~).

< О | : 3"^", 3^^ > 0;

= -2 < О (сторонній).

'2 ' „ о< 3,

'2'» <

,3>

;

2 — <

, 1= * X

GDZonline.net б) 2**"‘ > 5 ■6» - 3=^': 2 •2^ - 5 2' •з* + з 3^ > о 1: 3^, 3^ > 0; 2 ''2 “

Зам іна

= у > о. 2у2 - 5j/ + З > 0; D = 25 - 4 U ; 5+1 З 5-1 , Уг= — =Г ' — = '• g о < у < 1 або У

^(1)

> |.

•'»(І]

< 'І

-<1;

х> 0

Уі

д: < -1.

Відповідь: jc є

179. а) 2 ' ^ У = 2'

X у

- і ) і_( (О; +оо). . Будуємо у = 2 4 у = — , х Ф 0.

-2 1.

-1 1

-4 1

У =Г

42-

+ 3 > о .'

-2

-1 1-0,5

-1

-2

-4

4 1

/ Л ' І ■^>-1 І — h-Н — ]— 1 — ► JC . 1 2 3 4

V2.

2 т-

X є (0; 1]. Відповідь: х є (0; 1].

У,

б) 0 , 5 ' г JC + 3. Будуємо у = 0 , 5 ' і і/ ■=д: + 3. \

У = 0 ,5 '

-3

-2

-1

1 1

2 1

®‘ у = х +3

\ \

J/ “ * + З -З

Xє

X (-«о ;

-1 ].

^ Л - 1

Відповідь: х є (-<»; -1]. в) З ' + ас> 4 => З ' > 4 - л:. Будуємо y ^ Z ' i y = i - x .

у-^-х

J/ = 3 '

д:

-2 1

-1 1

і/ “ 4 - д:

0 ас є (1; +~). Відповідь: д: є (1; +<»>).

-2-1

= 0 ,5 ' — 1— І — 1— 1 — ► ° 1 2 3 4 *

GDZonline.net r

у і ^ у = е^+1 8-

4 .8 0 . a ) є* + 1 > s in Jc. б у д у є м о у = <■' + 1 і у = s in X.

^ -2

-1

1,1

1,4

3,7

8,3

Л-^ ^ ^ будь-яке число. Відповідь: X є (- ~ ; + ~ ).

43-

б) З'-> < х~

З ^ < -, х *0 . X З Будуємо І/ = З ' і 1/ = - . У - З'

-2

-1

-2П-^ -Т^

, л УХ

0,5

1,5

0,5

У х е (0 :1 ). Відповідь: х є (0; 1).

в)

(X -

1)’=+ 2“ > 2 -,

2‘ > 2 - ( х - 1)^ Будуємо у = 2’ і у ^ 2 - ( X у - 2 ’X у

-3 1

-2 1

-1 1

1 )^

у-2 -(х -1Г *

у-зіпх

"■’’ і

і- 3 ' <— 3;

-2

-7

. У X є (-««>; 0) U (1; +оо). Відповідь: х є 0) \j (1; +<*>).

181. а) 0,04 < 0 ,2 '< 125;

25 V 5 , 5-» < 5 ' < 5^ 5 > 1; - 2 < - х < 3; 2 > І > -3. Виберемо цілі розв’язки: * - -2, -1. О, 1. Відповідь: -2, -1, О, 1. б) 0,1 < 2 "» < 10; ОД < 8 •2' < 10; •* = -6, -5, -4, -З, -2, -1, 0. Відповідь: -6. -5, -4, -З, -2, -1, 0.

182. а) 0,1 < л ' < 10; д: = -2, -1, О, 1, 2; б) 0.1 S е* < 10; д: = -2. -1, О, 1, 2.

\ 1

>1.

GDZonline.net 183. а) д:” ‘ = Підставимо ж = 1 у дане рівн ян н я: 1^ = 1° або 1 = 1. Отжі X = 1 — корінь даного рівняння. ;j Я к щ о л = О, то О' = 0 ‘ немає змісту. Отже, х = О — сторонній. Я кщ о X = -1, то (-1)° = (-1)“. Рівн ість правильна. Отже, ж = -1 — корінь рівняння. Р о зв’яж ем о X + 1 =• х^ - І . (х - l) ( x + 1) - (х + 1) = 0; (х + 1)(д: - 1 - 1) = oj X + 1 = О, X = -1 або X - 2 = О, X = 2. Відповідь: -1; 1; 2.

б) ( х - 1 ) ' = ( x - l) ä .

Я к щ о X = 1, то о’ = 0“ . О тже, X = 1 — корінь рівняння. Я к щ о X = 2, то 1^ = 1“ . О тже, X = 2 — корінь рівняння. 1 Я к щ о X = О, то (-1)° * (-1)“ . Отже, X = О — сторонній корінь.

p го m m 01 Ю

Я к щ о X = —, то з

2Уї

З/

„ 1 , . . Отже, х = — — корінь рівняння.

З/

Відповідь: 1; 2; —. З

З " ' =27;

184. а)

^ ^ + У = 3; ^

З " " = 3“ ;

х - у = -1

4'-» = 0 ,2 5 '

2х = 2;

х = 1;

X + І/ = З

У = 2.

Відповідь: (1; 2). го

'S. I т

б)

2х - у = 1;

У = 2 х-1 ;

і/ = 2 х -1 ;

2 ' + 2 ' = 12 '

2' + 2' = 12 ■

2‘ + 2^’ -' =12 І -2'

2 -2 '+ 2^' = 24.

Зам іна 2 ' = а > 0. Розв’яж ем о рівняння:

а .5

‘с

3 ^ '- ' = 3;

= 4

2^ :

= 2.

х = 2;

у = 2х-1

У = 3.

= 2;

В іі

2»-2х ^ ^ -

Відповідь

2»-2* ^ 2 2

185

|4 ' + 4' = 80

| . . = - г

х = 0;

3x-z/=i;

63*-» ^ 62;

б’ '- ' =

в) 1_

+ 2а - 24 = О => а, = -6 < О (сторонній);

у = 5-х;

4* + 4‘ * = 80 '

4 ' + 4».4-" = 8 0 |- 4 ', 4‘ >0;

у = 5 - х; 42- _ 8 0 . 4 '+ 1024 = 0. Зам іна 4* = а > 0. Ро зв’яж ем о рівняння: = 6400 - 4096 = 2304 = 48^;» 1 а, = 4» = 64; 4* = 4^ X = 3;

—3;

- 80а + 1024 = 0; D = 80^ - 4 •1024 ■ = 64;» 2

або 4 ' = 16; 4* = 4^; х = 2;

У = 2;

= 16;* х = 2;

у = г.

Відповідь: (3; 2); (2; 3). б)

РО

2'" + 2'■ І/= 10 + , => у ' + у 2 " =15

2^‘ + 2 ‘

у + у^ + у 2 ‘ = 25

(2 '+ </)''=25

2* + у = 5 або 2' + у = -5;

2^' + 2* ■J/ = 10 '

2’’" + 2'■ І/= 10.

Ро зв’яж ем о та к і дві системи:

2^’^ + 2 у Г + у ‘ = 2 5 2^' + 2' ■І/ = 10

І “ + 2 ' •1/ = 10

2* + І/ = 5

2' + І/ = -5;

2‘'* + 2 'y = 10

2“

+ 2 'у =

10 .

GDZonline.net 2“ + 2 Ч 5 - 2 ') = 10; 2*- + 2 '( - 2 '- 5 ) = 10; розв’яз к ів немае. ßidnoei^>>: (1; 3).

у = 5 - 2 ";

і/ = 5 - 2 ‘ ;

у =5-2'

2=* + 5 •2' - 2^' = 10;

5 2 '= 10;

2 ' = 2;

І/ = - 2 ' - 5;

У = -2’’ - 5;

у = ~2' - 5;

2^’ - 2'* - 5 2' = 10;

-5 2 ' = 10;

- 2 у 7‘ +у^ =16;

72* _ 7 ' •у = 28;

|7 *_У у =4 а або 7‘ - у = -4; 'І7 * '- 7 'г / = :28

(7 '- і/ )^ = 1 6 ;

7^' - 7 ’ у = 2 8 ^

7“'* - 7 ' •г/ = 28

/ - J , Г =-12

= -

І/ = 7 ' - 4 або І/ = 7' + 4;

І/= 7 '- 4 ;

7 ^ '- 7 'і/ = 28

7*' - 7 '(7 * - 4 ) = 28

у = Т'" + 4; або

7 !'_ 7 * (7 » + 4) = 28; = 1;

_ 4: 4 ; 72* 72х + . ?х = = zö; 28; 4 4 • 7* = 28; 7* == 7; д: = 1; < „ _і- 7« 7' г" - ї't- 4 4 • ^ [і/ = 3; у - 7' + 4; 7^ - 7** - 4 • 7 ' = 28; -4 ■7* = 28; 7“ - -7; немае розв’яз к ів . Відповідь: (1; 3).

186. D - Ьі"; Ь = 0,8; k = 0,1; = 120 - 20 = 100* Д - 100 ■0,8“ “ : Ö = 84' - 20" = 64‘ 100 ■0,8" “ = 64; 0,8" “ = 0,64; 0,8" “ = 0,8^ => 0 , lf = 2 =» t Відповідь-, через 20 хв.

Ш <и іп

т = 20 (хв).

187. С = С„е-“ ; Ä = 2; С = С„ е Початкова концентрація препарату С„ — 100 % . Знайдемо приблизний час, за який концентрація медичного препарату в організмі людини зменш иться на 20 % , тобто стане 80 % . О тже, С = 0,8С„. Маємо рівн ян н я; 0,8С„ = С„ є " І : С„; 0,8 = є “ ; 0,8е^> = 1; е^' = j-, 2f = 0,2231 » 6,7 хв. ^ Відповідь: через 6,7 хв.

=>t = 0,1116 (год) =

І т 5 с.

о S ю

ш с; <

§ 5. Логарифми та їх властивості

200. а) log, 16 = 4; 2^ = 16; б) logj 125 = 3; 5® = 125; в) log^ 81 = 8; log , 81 = 8; 2log, 81

= 8; log, 81" = 8; 3» = 81"; 9^ = 9‘ .

201. a) 5‘ = 625; log, 625 = 4; 8) 4 '’‘ = 8; log, 8 = 1,5; f) 10-» = 0,001; Ig 0,001 = -3;

б) 9"-^ = 3; log, З = 0,5; г) 6" = 1; logj 1 = 0; д) = с; log__ с = Зх.

202. a) log, 81 = 4; 81 = 3*;

б) logj 64 = 6; 64 = 2»;

» )lo g „ 2 = i ;

г) log, д: == 3; л: = 4", ж > 0;

2 = 64^;

д) log^ 49 = 2; 49 =

I") logj 2x = 2; 2x = 5^ л > 0;

203. a) log ^ 9 = 4; 9 = Ш ) ' ; б) log^ 4 = -2; (0 ,5 )'“ = 4; [ і \2J ®) log, >/з =0,25; •Фавильна.

г / з= 9 “ “ ;

д: > О, ж ^ 1.

9 = 9;рівність правильна; = 4; 2" = 4; 4 = 4; рівність правильна; 1 л/з = 9‘ ;

= І9 ^ Ї ;

л/з = З*;

,/з = л/З; рівність

с*з ИЭ

GDZonline.net 204. a) log, 64 = 3;

6) l o g , = 2 5 6 = l o g , 2* = 8 l o g , 2 -

logj 0,25 = logj 4 = logj 2"^ = -2; 4 Ґ) logj^ 100 ООО = 5;

Д) l o g ,„ 0 ,0 1 = l o g ,„ 1 0

e) log^Vs = i l o g 3 3 = i ;

e) lo g , 8 = 3.

205. a) log, 64 = 6;

6) lo g , 1 2 8 = 7;

B) log, 25 = 2; Ґ) log, 0,125 = log^ - = log, 2-' = -3;

Д) l o g , 3 = lo g ^ ,3 = - l o g , 3 = - ;

l o g ,, 5 = lo g ,, = 5 = i l o g , 5 = i ;

Г)

lo g , 1 25

8 if (■'

= -2 ;

e) log, 16 = 2;

Є)

206. a) Ig 10 ООО = 4;

6 ) Ig 0 ,0 0 1 = - 3 ;

lo g 3,6

= lo g ^ , 6

= | lo g , 6

в) lg 10 = 1;

r ) Ig 0 , 1 = - 1 ;

ґ) Igx/lÖ = lglO ^ = | ;

Д) l g

e) l g : ^ = lg lO - - - 2 ;

Є)

207. a) з"’"’ ’'“ = 25;

6 ) 7 '° ‘ ’ “ - ' = 0 , 3 ;

в) 3'°‘>‘ = 1; Ґ) 2"’‘'‘ ® = 6; e) 4‘°'-“ = 16;

Д ) 3 ' ° '« ' = 3 ;

fü

208. a) log^ 8 + log^ 2 = log^ 16;

6 ) lo g ^ 8

r ) lo g ^ 4

+ lo g ^ 5 = lo g ^ 2 0 ;

p m

<v in

T >4

Ig 100^

= lg l0 J = i ;

l g (1 0 2 ) 2

log^ 40 - log^ 5 = log_ 8; Ґ) log^ 5 + log__ 0,4 = log^ 2;

t=; <

Д ) lo g ^ 2

209. a) 1 + logj 3 = logj 5 + log, 3 “ ■ l o g ,

15;

log, 9 + log, 4 + log, 2 = log,(9 ■4 • 2) = log, 72;

Ґ) log, 40 - 2 = log, 40 - log, 5" = log, | | = log, | = log, 1,6; log, 6 - log, 2 - log, 3 = log, 3 - log, 3 = log, 1.

210. a) 5 Ig 2 + Ig 3 = Ig 2* + Ig 3 = Ig 32 + Ig 3 = Ig 96; 6) 2 Ig 3 + 3 Ig 2 = Ig 32 + lg2^ = Ig 9 + Ig 8 = Ig 72; b ) 3 Ig 4 - Ig 8 = Ig 4» - Ig 8 = Ig 64 - Ig 8 = Ig 8; Г)

2 Ig 5 - 3 Ig 2 = Ig 5"

Ig 2’

Ig 25

Ig 8

Ig ^

Ig 3.125;

Ґ) | l g 4 + lg3 = lg42 + lg 3 = Ig2 + lg 3 = lg6; Д)

| l g 8 - 2 1 g 2 = lg 8 j- lg 2 ^ = lg 2 - lg 4 = l g | = l g i = lg 0,5.

211. a) 5'°“ ''+ 1 = 4 + 1 = 5; 6) 1,2'°‘'' ‘' - 2 = 7 - 2 = 5; b ) 0 ,з'“' " “’“ + 3 = 0,3 + 3 = 3,3; г) logj, 3 + log,, 5 = log,, 15 = 1; Ґ) Ig 3 0 0 - lg 3 = l g ^ Д)

CQ m

= lg l0 0 = 2;

lg 5 0 - 2 1 g V 5 = lg 5 0 - lg (N / s f = lg 5 0 - lg 5 = Ig — = lg l0 = l .

212. a) Ig 23 = 1,3617; b)

+ lo g ^ 3 + lo g ^ 4 = lo g _ ,(2 log__ 2 4 .

6) log, 4 -1 = log, 4 - log, 5 = log,

Д)

lo g ^ 2 = lo g ^ 4 ;

r) 2 + log, 2 = log, 5^ + log, 2 = log, 25 + log, 2 = log, 50; Ю

I g 10^

0 , 5 ' ”' “ “ ' = 7 .

Г ) l , l ‘° " ’ ‘ “ = 1 0 ;

CL .5 с

=i .

Ig 0,378 = -0,4225;

6) In 48 = 3,8712; r) Ig 1,3 = 0,1139.

GDZonline.net д: = 3; л: = 2’ - 8:

218. aj

= ( 2 ' ) - ’' = 2* = 4; ж - -2; х = (0,5)-' = 6) Io8o.s - 3; л: = 10^ = 1000. » )lg * 214 а) lg л: = -2; = 10 " = 0,01; J l o g , 8 1 - 4 ; x ^ = 8 1 ;x = 3; g) log, 343 = -3; л:-» = 343; д:’ =

343’ ^

215. а) б) і

5; JC = log, 5; б' - 2: löge 6 ' = log, 2; д: = log, 2;

) 5''* “ 8; loffs 5' * “ '°S s 8; ж - 1 = log^ 8; д: = 1 + log^ 8. log, 729 = 6

л ' = 729 => ж = 3.

ж > 0, д; 5i 1

217. a) l o g 3 ^ = log3 3 “ = -3;

6) log, 729 = log, 3« = 6;

Г) l o g 3 ^ = log3 3 ^ = - i ;

lo g ,V 9

= lo g 3 > ^ = | ;

t)loe> S'^ = S .

218. a) -2 = log, 5-’' = log,

= log, 0.04; S = log, 5 -^ = log, 1 1 ° - l = log,5 ‘ = l o g , i = lo g ,0 ,2 ; -0,5 = log,5-^‘ = l o g , ^ : 0 = log, 5“ = log, 1; 0,5 = lo g ,5 ° “ = lo g, v/S; l = log,5;

v/3= log,5'^;

2 = log, 5" = log, 25;

-2 = lo g „, 0, r"' = log„,(10 ')-" = lo g „, 10^ = lo g „, 100;

= logo,. O,!--^ = log„,,(10 ‘ )-^ = log„., 10-^;

-1 = log„,, 0 ,1 ' = log„,,(10-‘ )-‘ = log„,, 10; 4 ),5 = lo g ,. O ,l^ ‘ = log„

= lo g o , 10^ = lo g » ,, \ / l0 ;

Kl O)

0,5 = lo g o ,.0 ,l‘’-* = l o g „ , . 1 0 ^ = l o g „ . , - 4 r :

■ Jio ’

l = logo., 0 , l ;

0 = l o g „ , 1;

4 / 3 = lo g „ 0 , l '^ ;

2 = 1оЄо.і O .l’“ = >ogo,i 0.01;

B)-2 = log.. 11-' = log,,

- S = log.. ІГ - ^ = b g „

-0,5 = l o g . . l l ^ ’‘ = l o g . . ^ ;

>/3 = lo g .,ll'^ ; Г)

-2

0,5 = log., l l " '" = log,, л/її;

2 = log,, 1 1 '= log,, 121;

log^,, 2, 5-*

lo g ,,

-Va = lo g ,, 2,5-''“ = log

-0.5 = lo g ,, 2

O = lo g ..l;

-1 = log.. U ' = log..

lo g ,,

0.5 = log,,2,5'>■*=log,,,^/^;

lo g ,, 0 , 16;

; -1 = lo g ,, 2,5-‘ = lo g ,, - = lo g ,, 0,4;

0 = log,., 1;

1 = log,., 2,5;

2 = log, , 2,5' = log,., 6,26;

= log ^ I = log ^ 0,2;

-V3 =log^ ( S ) " ^ ' = log^

, ‘ log,., (^1)' = log,.,

Г) -2 = log^ { S f

lo g „ ^

= log^ 52

>/з = log,., 2,5-^;

1 = log.. 11;

GDZonline.net - l = log^(> /5)’ = lo g ^ - ^ ;

„

-0,5 = lo g j5 (N /5 r‘ = Io g j5 ^ - ^ = lo g ^ - V :

Ш У I t\\

O = lo g jg l;

0,5 = lo g jj (V s )“ ' = log ^ {54

= log^ 5‘ ; 1 = logj^ Vö; 7 з = log^j (V s)'^ = \og^ S^'^.

2 = \ o g ^ i S ) - lo g ^ 5 .

219. a) log,

X = 5-. x = 5^ = 3125;

6) log, Л = -1; X = 5 ' = I = 0,2; b ) l o g j X •= 0; X = I ;

r) log, jc = 0,5; x = 5°® = -JE; Ґ ) log, X = ->/4;

I =5

’^* =

220. a) log. (log, 27) = log, 3 = - log, 3 = -1; P

ro m

’

6) log, log, і 125

/_ 3

= log, log,., = 5 * = log,

logs

CQ Ш U3

B) log,(3 log, 4)' - loge(3 •2)* = log, 6' = 5;

Д) lg(5 Ig 100)* = lg(5 2)* = Ig 10* = 8.

= log, 3 = 1;

Г) log, (log, V s ) = log, (log, 5 Ї ) = log, I = log, 2-> = -3:

Ґ) log, (log, M ) = log, (log, 9) = log, 2 = log,. 2 = і log, 2 = i ; S

221. a) 21og^ 25 + i l o g , 64 = 21og , 5* + ^ lo g , 2‘ = 2 • 2 ■2 log, 5 + 2 log, 2 = 8 +

Ё:

6) 4 1 o g ,21 6-2 1og „,(lo g,81 ) = 41og,6“ -2 1o g,4 = 4 - 3 + 2 log, 4 =12 + 4 = 16; 1 * B) 2 log, 4-+ 3 log, 27 = 21og,2 * -31og,27 = -4 - 9 = -13; 4 Ї Г) 5 log, 625 + 81og,(log„ 256) = - 5 log, 625 + 8 log, 2 = - 5 log, 5* + 81og,. 2 =

T d

о S

+ 2-10;

5І

Ю Ш I— c; <

=-20 + - =-20 + 4 = -16. 2 1 222. a) 27“‘”' ' ’' = 3-*‘°‘'" = 3'°‘-* = 2 ’ = і = 0,125;

і U J ^

“ « r . f i V = 3** = 27; УЗ)

'\lof510 =

5-310..10 ^

gio,.ii>-* _

10-3 ^ 0,001;

1.125 / r) = 2" -2'°'=‘ = 4 5 = 20; Ґ) з'*'»»-'" =3^. S'"*’ ' “ =9 10 = 90; Д) ^ g2 glo.,.0 = 25 ■10 = 250.

223. a) 25'-'^“ '* = 25'°*“ ” -“*“ “ = 25 '°*“ ^ = 25 '°*“ ^ = - = 1 - ; 6) 5 3'°“ "-’ =5 3"*>* 3 ’ =5 4 i = — = 6 - ; 3 3 3 B) 4 5'”“ '” -^' =4 •S'““ '» ■5-* = 4 ■10— = — = - = 1,6; 25 25 5 r ) 27‘° ' ‘ ' ‘ = Ґ) MCQ

Д)

_1_

Vioo>

. з-а = 6’ •Л- = f- 1

= 2" = 8;

= (2-=)'«-*“ = г-’ '“*-*-" = 2'”‘‘* V 2-" = 3 -’ •2 ’ = 6-* = Л = — : * 6’ 216 = (10 “)"*'* = lO '*“ '''** = 10*'*'** = 10'*’ ’ ** = 10“ * •10* = 4 10 ООО = 40 ООО.

GDZonline.net

224 . а) | ( l o g ,8 1 + 1 6 ' - n ' - ^ ‘

2,4 + 9)‘°‘ '*'‘ = - 1 3 ‘° ‘" " “ = --2 5 = 10; „,1.1о,.6 ^

2„.,.5 ^ д_2 д,„,.5 ^ 1 , 5 ^ 5

б) ^ 9 9 , 2 (lg l0 + 9‘° ‘'*)''’‘“ ^£ , ’ = £ (1 + + з2>ч.вуо,„з = - (ц + з1о..в<уо.„3 ^ Q 3

^ 3 .(1 + 64)‘”' “ * = I

6 5 ‘° '“ “ = 1 -3 = 2; 3 1 3 3 ^to,,2*tot.J5 _ g|„,,2 glCsS-’ = 2 9‘* = — .

225. а) log„ ft = 8; log„ ab = log„ a + log„ ft = 1 + 8 = 9; 6)

lo g . | = lo g , a - lo g „ 6 = l - 8 = -7;

log, ^ = log„ b - log„ a = 8 -1 = 7;

r) log,(“ *^) = *°Sa

+ log« * = 2'°6a “ + '°e . 6 = 2 + 8 = 10;

Ґ) log. -Job = i l o g „ ab = i l o g „ a + i l o g „ b = i + 4 = 4 | :

Д) log, (a*)* = I log. ab = I (log. о + log„ 6) = |(1 + 8) = | 9 = 6.

226. log» 2 = p;

log. 3 = 9: log. 5 = r

i),log» 60 = log ,(2* •3 •5) = 2 logj 2 + log. 3 + log. 5 = 2p + q + r; 6)'log. 108 = log.(3® ■2*) = 3 log. 3 + 21og. 2 =3g + 2p; •) log. 45 = log.(3‘' •5) = 2 log. 3 + log, 5= 2g + r; r) log,

= log. 5л/з - log. 2 = log. 5 + | l o g , 3 - log. 2= r + | g - p ;

I") log. I I = log. 5 - log. 32 = log. 5 - log. 2‘ = log. 5 - 5 log. 2 =r - 5p; V Oä / Д) log. (0,2) = log, - = log, 5-‘ = - log. 5 = -r.

227. a ) logj 27 + log, - = log, x; logj 9 = logj x; x = 9; 6)

logs ^ = logs 8 ^ - 2 log^ 5;

1 logs X = -log s 8 - 2 ;

log^ x = log^ 2 - log. 25;

. . A , B) logj 125 - logs logs(25>/5) = lo g s i:

= logs

>°gs

= >°«6

1°Є5 — g— = logs

x =2bS;

r) logjo 1 = 1 + logjo 10;

logjo X = log^o 20 + logj„ 10; logj„ x = logj„ 200;

x = 200.

228. a ) logj a: = 3 - logj 2 - 2 logj 5; log, x = log, 3“ - log, 2 - log, 5^ log, * = log, 27 - log, 2 - lo g , 25;

log, л: = log, 2 7 - lo g , 50; log, 3C = log, — ;

x - ? l~ 50’ log, jc = 1- 3 log, 2 + log, 20; log, x = log, 7 - log, 2* + log, 20;

log, л: = log, 140 - lo g , 8; log, зс = l o g , ; log, ;c = log, 17,5; 1 8 1 log, X = 2 - - log, 4 - log, 5; log, x = log, 3 ' - log, 4* - log, 5;

ї =17,5;

log, X = log, 9 - log, 2 - log, 5;log, * = log, 9 - log, 10; log, a: = log, 0.9; д: = 0,9; г)

logs JC = logs I

+ logs 3 + log, 8; logs

= logs

log, jc = log, — ;

3 ■s j ; logs a: = logs 32; = 32.

GDZonline.net 229. а) log,

х = г log, 2 + о, 5 log, 2 5 - 2 log, 2 ;

log, x = log,

8 + log, 5 - log, 4;

8' 5

log, JC = log, —— ; log, л: = log, 10; jr = 10; 6) In jr = 2 In 5 a + In 6 - 0 ,5 In с - In a “ ; In дг =In 25a^ + In fc - In ^Уc - I n a^; , o- 2^ . Г 2 , , 25a^6 , , 256 25ft In x = In2oa 6 - In vc a ; ln x = ln —t=-—: ln j: = ln — x = —f^ . •jca 'Jc -Jc 230. a) 2 " '= 6 ; logj 2 " ’ = logj 6; д: + 1 = log^ 6; x = log^ 6 - 1; x = log, 6 - log, 2; д: = log, 3. Відповідь: log, 3. 6 ) 8 '* ‘ = 3 ‘ : 8 8 '= 3 '| : 8 ', Відповідь: log„ 3,5 8 . b)

.ї

' ^ = 1 0 ';

^ = 1 0 ' j: 1 0 ' ,

8 10

= 5‘ ; 3 ' " ’ = 5 '| -3', 3 '> 0 ;

( 0 ,3 7 5 )'= 8; x = l o g „ „ , 8 .

= (l

' > 0;

Відповідь: log„ ^ 64.

го

hдз PO СП о» LD

8' > 0;

= 8 “; 0 ,8 '= 64; x = lo g „,6 4 .

10;

3 = 15';

д: = log,5 3.

Відповідь: log,, 3. Ґ) 12* ‘ = i j

; 12'"‘ =5 ' 1-5', 5 '> 0;

12' 5 ' 12 ' = 1;

6 0 '= 12; x = lo g ^ l2 .

Відповідь: logj„ 12. fO s

X T

>N Ql

3 3' ; 3' = - — .8 ; 8 8* x = log, 0,375. Відповідь: log, 0,375.

Д )3 ' =

231. a)

'3''

3 8 ', 8 ' >0; 8' 3 ' = - - 3 ' : 3 ', 3 ' >0; 8 ' = - ; i = lo g ,- ; 8 8 8 !

9 ' - 5 • 3' + 6 = 0; 3^ - 5 ■3' + 6 = 0. Зам іна 3* = і/ > 0. j/^ - 5і/+ 6 = 0;

1/, = 2; 1/, = 3; З ' = 2; д: == logj 2 або З ' = 3; д: = 1. Відповідь: log^ 2; 1.

б) 7^'*‘ - 6 • 4 9 ' = 5; 7 • 72' - 6 • 4 9 ' = 5; 7 ■4 9 ' - 6 • 4 9 ' = 5; 4 9 ' = 5; д: = log,,5;

с; <

1 x = - lo g ,5 . 1 Відповідь: —log, 5. дг = І0Є,, 5;

в) 2 ■4'-‘ + 10 = З 2'-’ ; 2 • 2^*^ + 10 = З •2 ' ■8; 8 • 2^' - 24 ■2 ' + 10 = О |: 2; 4 ■2^^ - 12 •2' + 5 “ 0. Зам іна 2' = у > 0. 4j/^ - 12j( + 5 = 0; ö = 144 - 4 •4 •5 = 64; 12 + 8 5 12-8 1 г/і = — 5— = 0 = 2.5; .V, = ■ 8 2’ 2' = 2,5; д: = log, 2,5 або 2 ' = - ; jc = -1.

Відповідь: log, 2,5; -1. 189 ■3*-2; 9 ' •9 + 6 = 189 З ' - ; 3^ ■9 - 21 ■З* + 6 = О і : 3; З г) 9'-> + 6

3^' -

- 7 ■З ' + 2 = 0. Зам іна З ' = і/ > О => Зу^ - 7і/ + 2 = 0; Ö = 49 - 4 ■З ■2 = 25; 7+5 „ 7-5 Уг = = 2; І/, = ^ З ' = 2; д: - logj 2 або

Відповідь: log, 2; -1.

З ' = —; дг =-1. ^

232. а) 9' - 6 •З ' + 5 = 0; 32' - 6 ■З ' +5 = 0.Зам іна З у, = 5; у, = 1. З* = 5;д: - log,

5 або З ' =1; х =

у > 0.

- 6у + 5 = 0-,

Відповідь: log, 5; 0. б) 2 •5^ - З ■5' + 1 = 0. Зам іна 5' = і/ > 0. 2і/2 - Зі/ + 1 = 0; D = 9 - 4

Уі = Ч" Ln

= 1; Уг=

Відповідь: 0; lo g , 0,5.

=| ;

5' = 1; X =

о або 5' = | : .»: = bg^ 0,5.

1 = 1;

GDZonline.net

- 1 5 ' = 2; 15

15^' - 1 5 ' - 2 - 0. Заміна 15

y > 0 .

1 5y^ - j/ - 2 = 0;

(сторонній). j 5» - 0,4; ж = log, 5 0,4.

gidnoeidb- log,j 0,4.

40 5 - 5 ' = 40; 5'(25 - 1) = 40; 5 ' = ^ = ^ ;

x = log,

"з

5 u ;

Р 0 повідь: logs 3 ■

233. a) log/3 - 5x); 3 - 5x > 0 => -5x > -3

x < 0,6.

доповідь: x є (- ~ ; 0,6). б) lг(^ ■

9 - j;2 > 0 => (3 - x)(3 + at) > 0;

* є (-3; 3). Відповідь: x є (-3; 3).

в) ln (*“ - 2хУ, x ^ - 2x > 0; x(x - 2) > 0; X є 0) и (2; +oo).

(O fO Ш 0) Ю

Відповідь: X є (- ~ ; 0) u (2; +~). 2л: + 5 2x + 5 > 0; jc є (-<»>; -2,5) 'u (1; +~). r) Ig x -1 x -1 Відповідь: X є (-о»; -2,5) u (1; +<><>).

-2.5 ПЗ

ґ) log, W: x ^ O .

Відповідь: x є

0) u (0; +~). д: > 0, д;

Д) log,(4 - x^)\

Jjc> 0, дг

4-л:='>0

|(2 - х )(2 + д:)>0;

.5 с

=» ж є (0; l ) u (1; 2).

Відповідь: x є (0; 1) u (1; 2).

234. a > 0, a 1; 6 > 0, 6 1 а)

log.6 -log^ a

= l;lo g ^ a'°‘'*

8) log . = ft" = log„ ft; log . ft" = “ log. a

n lo g . a

= log. ft; log. ft = log. ft;

B) o'“ = ft“ “ ; o‘*‘ = (lO '*“ )'“ = (10“ ” )“ “ = b'“ ; b'“ In a . Ig o _ In a Ig g _ ІД ІО _ In a In a _ In a Ig ft

In ft ’

Ig ft

In ft In lO

In ft ’ In ft

235. a) 3‘”'-' = 5‘“'-^ 3‘° ' ‘‘ = ( 2‘°‘= б) 7“°'*^ = 4‘°'>’ ;

= log, ft = 1;1 = 1;

c: <

= ft"*“ ;

In ft ' От же, 3'°“ ® = 5'"'-^ О тж е,

= 4'°‘‘ ^.

в) logj 7 + log, 3 > 2. Скористаємося нерівністю ft + о > 2-Jäb, де a, b > 0. log, 7 + log, 3 > 2^1og, 7 •log, 3(log, 7 ■log, 3 = 1). О тже, log, 7 + log, 3 > 2. i«t.6 Г) 7 ’ = 0,2;

:7io.,s-' ^5-1 = ± = 0,2. 5

236. a) якщ о log, 14 = a, to log,, 32 = log , = 2* = -^log, 2 = ^

2 2 logj 7 log, 14 = logj(7 •2) = logj 7 + log, 2 = log, 7 +1 => log, 7 = a -1; 5

2 lo g , 7 “ 2(a - 1 ) “ 2a - 2 ■

GDZonline.net

б) я к щ о lo g j 7 = а, то Іое

28 =

28 ^ log;(4 7) ^ log^ 4 + log; 7 ^ 2 +а ^ 2+а logj 98 logj(49 •2) logj 49 + log^ 2 2 log^ 7 + 1 2a + 1'

237. a) Я к щ о log, 9 = 0,

log,^ 49 =

f^ lo g ,(f

log, 45 - log, a '

log, 9 = log, 3^ = 2 log, 3 : •log, 3 = —. Отже, ------ ------2 log, 45 - log, 3 6) як щ о log; 5 = a, log

l0g;(5-2-3)

lo b l log; 5 log; 6 log; 7

ro iC

= lg5

5 :(logs 4 •logj 5

= lg 5 :

2b-a

^ log; 5 + log, 16 + log; 3 ^ a + 4 + b log; 5 + log^2 + log; 3 a + l +b'

238. a) log; 3 •logj 4 log, 5 ■logs 6 >°Єб 7 •log, 8 = log; 3 •

logj 3 = b, то

240 = log; 30

2 .

■log, 6 ■logj 7 ■log, 8 log,„ 9) =

logs 5 logs 6 logs 7 logs 8 logs 9 logs 4 ■ logs 6 lo g s? logs 8 logs 9 logs 10,

. ( logs 4 ~

logs 5

logs 10

Ч logs 10.

logs 10

logs 4

3a .5

‘c о

3 LO Ш L_

§ 6. Л огариф мічні ф ункції

249. Оберненою АО у = e у = logj X. Будуємо графік у = З '. Граф ік у = logj х отримаємо з графіка ф ункц ії і/ = З ' за допомогою симетрії відносно прямої у ■ У = 3X

< logjJ:

-2 1

-1 1

250. log, X У

0,25 2 3

0,5 1 3

1 0

2 1

4 2

8 1 і

2 5 l.l/ = l0g;sJC а) д: = 1, у = 0; д: = 2, І/ = 0,8, д: = З, у = 1,2, х = і , у ^ 1,5, х = 5 , у = 1,7, д: = 6, І/ = 2, X = 7, і/ = 2,1, д: = 8, І/ = 2,2; б) д; = 0,4, у ^ -1, X = 1,4, у = 0,5, і/ = 1, д: = 3,8, у = 1,5, X = 6,25, у

■її і ('!

х =2,5, =2.

252. у = log; S д; PSI

чл

а) у = -1, X = 0,4, у = -2, X = 0,2, у =-З, . І/ = 2, де = 6,3, у = З, X = 15,6; б) І/ = -0,5, X = 0,6, у = -2,2, д: = 0,2, у = 0,4, д: = 1,4, у = 1,4, х = 3,6, у = 2, X = 6,3, у = 2,5, X = 10.

GDZonline.net X 6) у - \gx

2 53 . a) V “

1 _4__ 16 -1

-2

в ) у = \пх

1 2

1 10 -1

1 0

0,3 0,5

У -1

0 0,7 1.1 1.4 1,6

254. а) у = ІОЄ2.5 ^ 1. D (y) = (0; +“ )• 2. Е(У ) = -К3. ф у н к ц ія зростає на всій області визначення. 4. Н і парна, ні непарна, ні періодична. 5. Графік ф ункц ії проходить через то чку Л(1; 0).

ПЗ

m CQ

б)У = log„,5 1. D (y) - (0; +~). 2. E(y) “ Д. 3. Ф у н к ц ія спадає на всій області визначення. 4. Н і парна, ні непарна, ні періодична. 6. Графік ф ункц ії проходить через то чку Л (1; 0).

I T a 5 Ъ

255. У = log ^ X а)Л (6; 27); log ^ 6 * 2 7 . Граф ік ф ун кц ії не проходить через то ч ку А . б) В(27; 6): lo g jj 27 = 6; log , З® = 6; 2 х З log, З = 6; 6 = 6. Граф ік ф ункції про ходить через то ч ку в . в) с(-УЗ; і ) ;

log ^ >/з = 1. Граф ік ф ун кц ії проходить через то ч ку С.

256. У = log, X

c: <

а) М (8 ; 3): log, 8 = 3; = 8; а = 2; . б) М (8 ; -3): log, 8 = -3; а » = 8; а = і ; в) М (121; 2); log, 121 = 2;

о S

= 121; а = 11, а > 0;

г) М (81; -4); log,а 81 = -4; а“ * = 81; а = і2.

257. а) lo g „, 5 < 0; 0,5 < 1; 5 > 1;

в)

logj 0,5 < 0; 2 > 1; 0,5 < 1;

б) l o g „ 0,1 > 0; 0,5 < 1; 0,1 < 1; г) lg 4 > 0; 10 > 1; 4 > 1.

-JE > 1; 50 > 1;

258. а) log,, 7 > 0; 25 > 1; 7 > 1;

б) log^ 50 > 0;

®) b g „5 ^/з < 0; 0,5 < 1; л/з > 1;

г) In 0,01 < 0; е > 1; 0,01 < 1.

259 . а) log, 0,4 < log, 0,6; 2 > 1; 0,4 < 0,6; б) log, з < log, я; 2 > 1; з < я; ») log„ , 1,4 > log„ , 4,1; 0,2 < 1; 1,4 < 4,1; *■) log^j е > log„5 я; 0,5 < 1; е < я.

260 . а) log, 0,4 < lo g „, 0,4; log, 0,4 < 0; lo g „, 0,4 > 0; 6) log, 3 > In 0,01; log, 3 > 0; In 0,01 < 0; ®) log^ , 4 < log, 1,6; log„ , 4 < 0; log, 1,6 > 0; b g ,j 0,7 < Ig 4; log,5 0,7 < 0; Ig 4 > 0.

e*3

Чvn

261. 6) b)

a) log, 2,7 > log, 2,5; 3

GDZonline.net 1

> 1; 2,7> 2,5;

lo g „, 4 > lo g „, 5; 0.5 < 1; 4 < 5; In 3 > Ig я; In 3 > 1; Ig я < 1;

г) log, 8 = lo g ,і ;

log,., 8 = log, і ; - lo g , 8 = - lo g , і ;

l o g , | = log, і . 8

262. a) у = logj 2x; 2 x > 0 = ^ x > 0 = ^ D {y ) = (0; +~); 6) у = 1п(л: - 3 ) ; A ; - 3 > 0 = > x > 3 = i D (y ) = (3; +<>o); b) у = lo g ,(i + 5);д: + 5 > 0 = > д ;> - 5 = > D {y ) = (-5; +~); r ) y = lg (l - д :) ;1 - х > 0 = > 1 > л := > D (y ) = (- ~ ; 1). 263. a) log. a > log fe= > a> ft, 5 > 1 ; b)

log a < log ft => a < 6, 3 > 1;

Ig a < Ig 6 => a < fc, 10 > 1;

r) log, a < log, b=^ a > b , ^ < 1; 7 t 5 д) Iog„^ a > log „, b a < b, 0,4 < 1.

Ґ) In a > In 6 => a > ft, e > 1;

P ro rn

264. a) logj 10 > logj 30; log^ 10 = log2(2 x 5) = log^ 2 + log^ 5 = 1 + log^ 5;

01 Ю

rn I T a .5 Ъ

logj 30 = logj(5 X 6) = logj 5 + logj 6 = 1 + logj 6. П орівняєм о logj 5 і logj 6. logj 4 = 2, j/ = log^ x зростаюча => logj 5 > 2 logj 6 > 1 О тж е, log^ 5 > logj 6 і logj 10 > logj 30. Відповідь: log^ 30. 6)

logo 2 •'/2 < logo , 0,3;

log„2 >/2 < 0, y j2 > l; logo,

> 0, 0,3 < 1.

Відповідь: log„j^y/2. b) logo, 2 < logs 3; log„ 32 < 0; 0,3 < 1; 2 > 1; log^ 3 > 0; 5 > 1, 3 > 1. Відповідь: log^, 2.

r) lo g „, 0,25 < logo5 0,3 logo , 0,25 = log„,,(6.1 X 2,5) = logo. 0.1 + 1°Єо,і 2,5 = 1 + log,., 2,5;

1°Єо,5 = logo.5(0>5 0-®) = *°Єо.5 0.5 + logo 5 0,6 = 1 + log„5 0,6. П орівняєм о logo 1 2>5 і logo s 0,6.

logo,2,5 < 0. 0,1 < 1; 2.5 > 1; logo^O.e > 0, 0,5 < 1; 0.6 < 1. О тж е, logo ä 0,6 > logo,, 2,5 і logo., 0.25 <logo,5 0,3.

c; <

Відповідь: lo g „, 0,25 .

265. a) log3 5 > lo g ,4 log, 5 = log.

= log, 3 + log, - = 1 + logj О

log, 4 = log, log.

‘I

7 - і = log, 7 + lo g , y = l + log, 7

'I. £

> 0 ; log, у < 0 .

О тж е, log, 5 > log, 4 . Відповідь: log, 4 ; 6)

log, 10 > logj 57

log, 10 = log, 3 . 1 °

10 = log, 3 + log, Y

log, 57 = logs

57 = log, 8 + logg -g- = 1 + logs

О тже, logj

■(’I)

> log,

Відповідь: lo g , 5 7 ;

: l ogs

H )

: l ogs

(’ і :

. Маємо: log, 10 > logg 57.

>1; < 1 .

) l o g , 1 5 < log, 20 , З > ßidnoeidb- l o g j i a . r ) lo g o ., 0 .5 ^

1, 15

GDZonline.net

< 20.

0 ,5 :

log„.,0-25>>°8o,*0.5: 0 2 < 1: 0-25 < 0,5. ganoeidb- log 0 .2 ^

•

6) 1/ = logo 5

266. a) j^ = lo g 2 ( ^ - l ) . ^ > 1.

- 1 , X > 0.

1.5

0,25

0,5

-1

-2

-3

-4

r ) I/ = 1 + log^ (jc - 1 ), j: > 1. X

1,5

] у = 1 + logj (jc - 1 )

*■) j/ = 1 + log<

Д) У = 1

X , X > 0.

0,25 2,5

+ 1 3 0,5

д: > 0.

1,5

GDZonline.net 2 6 7 . a) у = logg ( x - 2) , x > 2. 11

І/= logg (д :- 2)

Р Г5 ГГ) со ш ю

fO X

т ё

.5 с

LO с; <

268. а) 2 log2 д: = -2х + 3 , д; > 0. Побудуємо графіки ф ункцій у = 2 logj х і у = -2х + 3 , д: > О в одній системі координат. y = 2\og^x 1

X у

y = 2\og,x

2 -2

■4

у = -2х + 3

-1

-3

Граф іки ф ункцій І/ = 2 log^ х і у = -2х + З мають одну точку перетину. Отже, р івн ян н я має один розв’язок; б) 2 = log, JC => 2 = log^_, X => 2 = - lo g 2 J: => 2 = logj J: ' => 2 = log^ — => 2 1 2^ ^ 1 => 2 log2 2 = logj — => log^ 2^ = Iog2 — => 4 = — = X = — . 4 О тже, рівн ян н я має один розв’язок; чг

в) Ig x = уїх , X > 0. Побудуємо графіки ф ункцій у = \g х і у = у[х .

GDZonline.net lg * X

0,1

-1

3 21-

„ = > / ї

3 0 Графіки ф ункцій і/ = lg л: і у = 4х розв 'язків не має;

9 10 не мають точок перетину. О тже, рівняння

г) log2 * = s in x , j: > 0. Побудуємо графіки ф ункцій у = log^ х і і/ = sin х , де д: > 0.

Маємо одну то чку перетину. Отже, рівн ян н я має один розв’язок; ґ) log, х - 2 х - Ъ , х > а . Будуємо графіки ф ункцій у = log, х = -logs х і у = 2 х - Ь , це х > 0.

y = -\og^x 1 X

1 У = 2х - 5

•3

-1

-2

-1

-З

Графіки функцій у = log, х і у = 2х ~ 5 , де З

X > о мають одну то чку перетину, тому рівняння має один розв язок; Д) lg x = 2 ’ . Будуємо графіки ф ункцій у = lg х і і/ = 2'^ . Вони маю ть одну точку перетину. О тже, р івн ян н я має один

Уі \ и

= 2-'

розв’ язок. » = lg JC 0,1 -1

у =\ЪХ 1^

( = 2-* X

-3

-2

-1

0,5

0,25

18*

1 1 1л -3 -2 -1 А\

GDZonline.net 269. a) logj x = l - x . Побудуємо графіки ф ункцій у = logj х і і/ = 1 - x.

У=

ЬКз

-1 .... у .... у = 1- X

д;

Р о з в ’язок: jc = 1. Відповідь: 1. Z

ß ГО го OQ

6) д:-1 = ЗІ08,д: . Побудуємо графіки ф ункцій у = X - 1 і у = 3 log, X .

у =X- 1

-1

у = З log, X

s I T

-3

У 5

с о

Відповідь: 1; 4. в) logj X = УІ З- х . Побудуємо графіки ф ункцій у = logj х і у = у/З-х .

у = logj X LD Ш 1_ c: <

0,5

-1

у = V3-JC

-1

-6

Відповідь: 2. г)

log„5 * = - - ■

Побудуємо графіки ф ункцій 1 2 У = log„,5 д; 1 у = — . у = log„,5 л ^

0,5

-1

-2

^ = ~х

0,5

-4

-2

-1

-0,5

Відповідь'. 2.

GDZonline.net 270. a )

JC < 3 -

j:>

Добуду®“ ® графіки ф ункцій у = log^ х і у = З - х ■ -logj JC

1 0

0.5 -1

2 1

4 2

8 3

У=

3-х

, =

3 0

X є (0; 2). Відповідь-. (0; 2). б)

у = 3-х, х> О

InJC < Jc’ + 1 .

П о б у д у є м о г р а ф ік и ф у н к ц ій

у = \п х

1 J, = X® +1 , де д: > 0. ъ

0,4

-1

У 0 1

1 0

2,7

7,3

1 2

Нерівність виконується для всіх х із області визначення х є (0; +<«>). Відповідь: (0; +~).

X за .3 с

в )1 о е ,д :> | -| . Побудуємо графіки ф ункцій у - log^ х і у = ^ - - ^ , де х > 0 . З З

у = log, ж

1 4 -1

X .

У X

з "

т го ш ш ю

1 3

о З ш |_ с: <

* є (1; 4). Відповідь: (1; 4). r ):c < ll- lg a : => ] g x < 1 1 - х . Побудуємо графіки ф ункцій у = lg х

= 11 - X, X > 0. X

0,1

-1

11-х .

* є (0; 10). Відповідь: (0; 10).

GDZonline.net 2 7 1 . а) Z/= logg

- Зх - 4 ).

д:' - Зх - 4 > О X, = 4 , X , = - 1 .

-1

-5

X є (- ~ ; -1) и (4; +<>о). Відповідь: D (y) = -1) и (4; +«=). . , х-4

-3

X є (-5; -3) U (3; +~). Відповідь: Щ у ) = (-5; -3) и (3; +~).

х - 4 > 0 = ^ х > 4 = > х е (4; +«>). Відповідь: D(j/) = (4; +~).

272. а )

го го

у = lo g , ( 2' - 2) . 2 '- 2 > 0 => 2 '> 2 =i> х > \ =!> => X є (1; + °°). Відповідь: Щ у ) = (1; +~). х-1 х-1 в) у = log. >О 2 - х ' 2-х

го S

г) I/ = log, ( х - 0 , 5 ).

с о

- 0,5 > 0

X Ti

є (1; 2). Відповідь: 0(г/) = (1; 2).

X ё

б) y = l o g , { r - '- 9 ) . 3'-‘ - 9 > о' => 3 ' > 9 =i. 3*‘‘ > і = > х - 1 > 2 = > х > 3 = > х є (3 ; +~). Відповідь: Т>(у) = (3; +=°).

x > 0 ,5 => <X > 0

X*1

=i'

X > 0,5 X ^1

Відповідь: D {y) = (0,5; 1) u (1; +~).

273. а) logj X > logs З , 5 > 1, у = logs X зростаюча => х > 3. Відповідь: (3; +~). б) lg X < lg 4, 10 > 1, {/ = lg Відповідь: (0; 4).

X, X

> О зростаюча => О < х < 4.

в) log3 X < 2 => logj X < 2 logj З => log, X < log3 3^ => log, x < logj 9 , 3 > 1, i/ = log3 x, 0 зростаюча => 0 < x < 9. Відповідь: (0; 9).

X >

r ) log; X < logj — , — < 1, у = log, X , X > 0 спадна

x> 8 5 ^ 5° ® 5 Відповідь: [ — ; +<” ). 8 Ґ) In X > In 0,5, e > l , i / = ln x , x > 0 зр о стаю ча => x > 0,5. Відповідь: (0,5; +~). Д) log„ , X > 2 => logo j X >2 logo , 0.4 => log„ , x > log„ , 0,4^ = logo., x<logo,4 0,16, 0,4 < ! , } / = logo j X , X > 0 спадна => 0 < x < 0,16. Відповідь: (0; 0 ,І6 ).

274. a ) у --=|lnx

, X > 0.

б) у = |lgx | , х * 0 .

0,1

0,4

7,3

±0 , 1

±1

±10

-1

ä/ = |lnj

y = ig H 1-

іл

0 -1-

t 1 ^ 7 8 *

-1 0

GDZonline.net в) у

■logj |3 - ;

х V

X У .

-5

-1

2,5

3,5

-1

0,5

ro fO CD

<U LO

s S

275. а)

= log, 1 = 0 , х>0, х *0 . I/

б) г/ = log,, ж" = 1 , х * 0 , х*±1.

У = log, 1

в) 1/ = log, X = 1,

у = log , дг’’

х > О, Х Ф І .

5 с

У = log, X

s LO Ш I—

-1

c: <

276. log, П х ) = 3 + х log2/(-4) = 3 + (-4) = - l /(-4) = 2 - = |

277. а) f(x ) = logg X , I =

8 > 1, ф ун кц ія зростаюча.

f.^ . ( I ] = logs I = - 1 : и л Ф

logs 8 = 1 :

6) f(x ) = logj ( l + д:^), / = [-1; 2], 2 > 1, ф ункц ія зростаюча, 4 ^ . (-1) = log, (1 + 1) = log, 2 = 1 ; 4 „ , (2) = log, 5 ; в) fix ) = logo 5 X , I = i ; l , 0,5 < 1, ф ун кц ія спадна, 4 1 = Iog„., j = log^., 2-^ = 2 log, 2 = 2 ; ( l) = log„., 1 = 0 ; L u ; r) f(x ) = log,(x^ - 4 x ) , / = [1; 4], 2 > 1, ф ун кц ія зростаюча, * * -4д: > 0=> x ( x - 4 ) > О , є (- ~ ; 0) u (4; +oo).

------ ¥ --- ►

Ф у н к ц ія на п р о м іж ку [1; 4] не визначена, тому неможливо знайти найбільше і Найменше значення.

GDZonline.net

§ 7. Л огариф м ічні рівняння та нерівності

290. а) log, { х - і ) = 2 . X - І = 5^ . X = 2Є. Перевірка: log, 25 = 2 ; 2 = 2; Відповідь: 26; б) ІО02 (д:' + Зд:) = 2 .

х^ + Зх = 2^. х^ + Зх - 4 = О . JC, = -4 , х^ = 1 . Перевірка: log, 4 = 2 , 2 = 2. lo g ,(l + 3) = 2 , 2 = 2. Відповідь: -4; 1; в) ІО02 (jc^ - і) = З . х" - 1 = 2 \ х^ = 9. x^= 3 , Xj = -З . Перевірка: log, (З ' - і ) = З , З = 3. l o g , ( ( - 3 f - і ) = 3 , 3 = 3.

Відповідь: ±3; г) log_, (х* - Зх + б) = 2 . X* = - Зх + 6 . Зх = 6 .X = 2.Перевірка: log, (4 - 6 + б) = Відповідь: 2.

2 .log, 4 = 2 .

291. а) log, (х + 5) = 1 . 5 = 2. X = -3. Перевірка: log, 2 = 1 . Відповідь: -3;

X +

б) log, (х^ + х) = 1 . х^+ х = 2 . х^ + х - 2 = 0 . X j= - 2 , X , = 1 . Перевірка: log, ((-2)^ - 2j = 1, log, 2 = 1 ; log, ( і + 1) = 1 , log, 2 = 1.

Відповідь: -2; 1; в) log, (x^ + 2) = З . x ' + 2 = 3 ^ x^ = 2 7 - 2 . X* = 25 , X ■=± 5. Перевірка: logj ((±5)^ + 2j = 3 , logj 27 = 3 , 3 = 3. Відповідь: ±5; г) lo g ^ (l6 - x^) = 3 . X® = 16 - x \ 2x ' = 16 , x “ = 8 , X = 2 . Перевірка: log^ (16 - 8 ) = 3 , log, 8 = 3 , 3 = 3. Відповідь: 2; Ґ) l o g , ( l - 2x) = -2 . L -2x = m

, 1 - 2x = 3 ^ -2x = 9 - 1, -2x = 8, X = -4

Перевірка: logj ( l + 8 ) = -2 , logj 9 = -2 , -2 = -2.

Відповідь: -4; “

“

Д) log.Jx^' -3x) = i . x^' - 3x = 16*'\ x ' - 3x = 4 , x" - 3x - 4 = 0 , Xj = 4 , x, = -1 Перевірка: lo g ,,(l6 - 12) = | , log,,4 = | ,

lo g .,(l + 3) = i ,

log.,4 = i .

i =i

Відповідь: 4; -1.

292.

a) log,, (x - 3) + log,, (x - 2) = 1

lo g „ (x - 3 )(x - 2 ) = l (x - 3)(x - 2) = 12

[x > 3

| =| .

GDZonline.net - 2jc - Зл + 6 = 12 , - 5 x - 6 = О , X, = 6 , x^ = - I Перевірка: log,j З + log,^ 4 = 1, logi^ 12 = 1 , 1= 1.

не входить в ОДЗ.

ß 0 n o eid b : 6;

б) 1 + logj (2x -1 ) = logs (7л + 4) log, 5 + logs (2л: - 1) = logs (7д: + 4) , log^ (ö(2x - 1 )) = log^ (7x + 4 ), 10Л - 5 - 7x + 4, 3x = 9, jc = 3 Перевірка: 1 + log^ 5 = logj 2 5 , 2 = 2 Відповідь: 3;

в) lo g j* + !) = ! +log,(v^) ,

log, (* + ! ) = * °S 2 2 + logj (jc - 3 ), logj (jc +1) = logj 2(jc - 3 ), jc + 1 = 2x - 6, - -7, X = 7 Перевірка: log^ 8 = 1 + logj 4 , 3 = 3. Відповідь-. 7; г) 2 loga x = \ + log, {2 x - 3 ) , logj x^ = logj 3 + log, ( 2 x - 3 ) , log, x‘ = 6 x - 9 , X* - 6x + 9 = 0 , (л - 3 ) = 0 , X - 3 = 0, X = 3. Перевірка: 2 log, 3 = 1 + log, 3 , 2 = 2. Відповідь: 3.

293.

a) logj (x + 3) + logj (x + 2) = l

= log, 3 (2jc - 3 ),

|x + 3 > 0 ^ | x > - 3

logj(x + 3)(x + 2) = 1 (* + 3)(x + 2) = 2 Ж* + 3x + 2x + 6 - 2 = 0 X* + 5x + 4 = 0 *j = -1 , Xj = -4 не входить до ОДЗ.

|x + 2 > 0 ^ | x > - 2

=» X > -2

Відповідь: -1; б) l o g , (х + 1) - l o g , (х + 2) = 1 + l o g , 4 log,

= lo g , З + lo g , 4

fx + l > 0

х> -1

|x + 2 > О

x> -2

х + 1>0

х> -1

=> X > -1

> o . . f ^ = log3l2 ж+1 = 12 x +2 X + 1 = 12(x + 2) X + 1 = 12x + 24 l l x = -23 23 1 X= = ~2— не входить до ОДЗ.

Відповідь: розв’я з к ів немає; в)

lg (X + 1 ) - l g (X + 3) = l g З - l g (X - 1)

х + 3 > О => X > -З => X > 1 X +З = ^

■“ X -1 = > (Х +

х-1> 0

1)(х - 1)

3(х

х>1

х ' - 1 = Зх + 9 => х ‘'- 3 х - 1 0 = 0

=> Xj = 5 , ^2 = -2 не входить до ОДЗ.

Відповідь: 5; Г) log, (х + 3) - logj (х - 1) = 2 - log, (2х - 8)

b g , | ^ = 21og,2 -log,(2 x-8 )

X +З >О

х-1> 0 2х - 8 > О

log,-* + 3 = l o g , 4 - l o g , (2х - 8 ) х -1 х +3 log, = log. х -1 2 х -8

х> -3 ^

Х > 1

х>4

.X > 4

GDZonline.net x +3 x -l

x +3 2 (x - 4 )

x-1

x-4

(X + 3)(x - 4) = 2(x - 1) :

x^ - 3 x - 10 = 0 =>

=:> - 4x + 3jt - 12 = 2x - 2 => jc“ - д: - 12 ~ 2л: + 2 = 0 x^ = -2 не входить до ОДЗ. Відповідь: 5.

294. а) logl (j: - 1) - logj ( x - l ) - 6 = 0 ,

х-1> 0= > х> 1

Зам іна у = logj ( x - l ) - у -6 = 0 у, = 3 , у, = -2 logj (х - 1) = З або logj (х -1 ) = -2

X -1 = 2“

X -1 = 2^

х = 9

х = 1+ і

ro m m Ш

' =‘ 1 1 4^ Відповідь: 1— ;9 ; 4 б) l g 'x + 2 1 g x - 3 = 0 , X > О Зам іна \gx = у у^ + 2 у - 3 = 0

та

= -З . J/2 = 1 lg X = -З або lg X = 1 X = 10 “ X = 10 X = 0,001 Відповідь: 0,001; 10;

X T

Ё: .g;

с о

в) log^ (Зх - 1 ) - log ^ (3 х - і) + 1 = 0 , 3 х - 1 > 0 = >

х> і

logj (Зх - 1) - log ^ (Зх - і ) + 1 = О

logj (Зх - 1) - 2 10&2 (Зх - 1 ) + 1 = О . Зам іна log^ (Зх - 1 ) = і/

j/'-2j/ + l = 0 LO Ш

1_ <=: <

{y - if = o у - 1= 0 у = 1 => lo g j( З х - 1 )= 1 = > 3 х - 1 = 2=>3х = 3= > х = 1 Відповідь: 1; г) log* (х + 2) + log, (х + 2) - 2 = О , X + 2 >О =» X > -2 log, (х + 2) - logj ( І + 2) - 2 = О . Зам іна log, {х + 2) = у у^ - у - 2 = 0 . '/1 = 2 . 1/2 = -1 log, (х + 2) = 2 або logj (х + 2) = -1 X + 2 = З" X +2 = 3 ‘

х= --2

х=7

in tn

' -

' І

Відповідь: 7; -1— , 3 295. а) 2 1 o f|(x + 5)-31og, (х + 5) + 1 = 0 , х + 5 > 0 = > х > - 5 log, (х + 5) = І/ 2і/' - 3^ + 1 = О Д = 9 - 4 •2 • 1 = 1 3+1 , З>/,=— Г - = 1 . ! / . = -

GDZonline.net log, ( +

log» (^ + 5) = і

'7 5 ' = 9

:. + 5 = 9'/^

*»4 * Відповідь: 4; -2;

x= 3-5 x = ~2

б) іп*л:-21пх = 0, д; > О ln * ' і ' / - 2 ^

= 0

у(У - 2 ) “ О u » 0 a 6 o j > - 2

^ г/ = 2 In д: = о або In зс = 2 =1 ж = е' В ід п о в ід ь : 1; ; в) l o g j (j: + 2 ) -

lo g ^ (x + 2 ) - 8

= 0 , j :

2 > 0 = > j : > - 2

\ogl (л: + 2) - log , (л + 2) - 8 = 0

ГО

Ш <и LO

logj (jT + 2) - 2 log^ (x + 2) - 8 = 0 . Зам іна log^ {x + 2) = y j,» - 2 y - 8 = 0 j/i = 4 , 1/2 = -2 log,(jc + 2) = 4 або log^ ( j : + 2) =-2 * + 2 = 2"

x + 2 = 2-='

*= 16 -2

* = -2 + -

x - U

fO SC s I ■jr q

.5 с

Відповідь: 14; -1— ;

г)

logJ (д: + 1 ) + log ,5 (л: + і)- 0 ,5 = 0 ,д : + 1 > 0 = > д :> -1

gj (* + 1) + log^, ( * + 1) - 0 ,5 = О g| (* + l ) + -|log, ( j : + 1 )- 0 ,5 = 0|-2

ю ш 1_

2 log| (* + !) + log, (ж +1) -1 = 0 . Зам іна log, {x + \) = y 2 у Ч І/ -1 = О Д - 1 - 4 - 2 (- 1 )= 9 .. -1 + 3 1 -1-3

"'■ = - Г - = 2 b g , (* + 1) = і

або log, (д; + 1) = -1

ж + 1 = 4'^"

х + 1 = 4“'

*= 2 -1

*= --1 4

*-1

*= -3 4

Відповідь: 1; —

■96. а) logj (2х - 1) < З log, {2х - 1 ) < З 2 x - l> о b g ,(2 x - l)< 3 1 o g 3 8 * > 0 ,5

b g ,(2 x - l)< lo g 3 3* *>0,5

б ) log o ,2 ( * " - 4 * ) ä -1

-4 x> 0 lo g o .2 (* '- 4 * )^ - b g o ,2 0,2

* (* - 4 ) > о lo g „3 (* ^ - 4 * )> lo g „,0 ,2 - ’,

0,2 <1

in 1Л

GDZonline.net lo g 3 ( 2 jc - l) < lo g ,2 7 ,

3>1

л (л -4 )> О

x > 0 ,5 2 x - l < 27 д:>0,5 л ' - 4л - 5 5 о

2л: <28

x > 0 ,5 x<14 X

Л] = 5 , л^ = -1

>0,5

Відповідь: x є (0,5; 14).

-1 0 4 л є [-1; 0) U (4; 5]

Відповідь: х є [-1; 0) и (4; 5]. I

в) logj (3x - 8) > logj (2л: +1), 2 > 1

p fO m Ш Ш

8 3x - 8 > 0

* ^3

2jc +1 > 0

X >

Зле - 8 > 2л +1

S Ю c: <

[- 2 л > - 1

л +7> 0 2

=> x > 9

=> л > - 7

1 - 2л > л + 7

[-Зл > 6

л <0,5

л> 9

Відповідь: х є (9; +<»).

х> -7

"- 7

л < -2

л є (-7; -2]

-2

0,5

297. а) lo g j3 x + 4 )< 2

б)

logs (3^ + 4) < 2 logs 5

>ogo,5 (^* + 3x)<-21og„ s 0,5

logs (3^ + 4) < logs 25 , 5 > 1

1о&о.5(л:' + 3л)< logo s iЛ) л* + Зл > 4

3x + 4 < 25

logo s (л:’’ + Зл) <-2

0,5 < 1

' + Зл > О Зл < 21 x< 7 Зл + 4 > 0 4

Ч Зл - 4 > О

3 4

I X

X €

-3 О Х X є (- ~ ; -3) и (0; +~)

Відповідь: x є

Відповідь: -4 -3 л є (-■»; - 4 ] и [1 ; + ~ ) в) log, (5л -1 3 ) < log, (2л + 5 ), 7 > 1 5л-13> 0 2л + 5 > 0 5л -13 < 2 л + 5 іл

з:

Відповідь: х є (-7; -2].

с о

b g „ 3 (1 - 2л) < log„ 3 (л + 7 ), 0,3 < 1

1-2л> 0

T >4 Q. .5

г)

13 л >— 5 л >-2,5 =>

л >2,6

Зл> 18

л > 6

Відповідь: х є (6; + ~ ).

л > -2,5 => л > 6

GDZonline.net rt l o ß . ( l - 2 * ) 2 1 o g .(3 x - 2 ), - <1 ' 3 а1 х < 0 ,5 -2х > -1 1 - 2д: > 0 2 Зх > 2 => X > — З д г -2 > 0 => З -5х < -3 J _ 2ж ^ Зд: - 2 х > 0 ,6 ß 0 n o eid b -

298.

0,5 0,6 X є 0

розв’я з к ів немає.

а) logs х + log, 25 = 3 ,

Х > 0 ,х * 1 logs 25

б) lo g j2 * - 1 2 ) lo g ,2 = l 2х - 1 2 > X

2х > 1 2

=> <X > 0 Х Ф І

Х5І 1

2 log, * + ----- = з logs ^ Заміна logs х = у * 0 у+-

lo g ,(2 jc- 1 2 )

у ' + 2 = 3у j,»-3j/ + 2 = 0

logjA:

», = 1 . У2 = 2 log,Jc = l або logsJC = 2 *-5 х = 25 Відповідь: 5; 25.

logj (2 x - 1 2 ) = logjjc 2л: - 12 = д: д: = 12 Відповідь: 12.

299. а) 2 1 o g ,x - 3 1 o g ^ = l . * > О, ї 3« 1

б)

lo g , X

ї> 0

21og, д: - — 5— = 1

х *\

lo g ,* Заміна log, х = у ^ О

2 у+ -= 1 У 2 у '- 3 = у 2у‘ - у - 3 = 0 Д - 1 - 4 • 2 •(-3) = 25 , 1+5 З 1-5 = 2’ " -

—

logs (Здг-4)-

=-'

log, л: = ^ або log, х = - І J 2 х =і ‘ x =4 ‘ 1 * =,/ ? *-8 Відповідь: — ; 8.

4 Зд: - 4 > О

21о8 , д: - 3 ^ ^ ^ = 1

‘'■= —

logj (Зд: - 4) log, 9 = 2

logs (Зд: lo g s*

logs де

2|:2

log, (Зд: - 4) = log, X Зд: - 4 = ж 2д: = 4 д; = 2 Відповідь: 2.

300. а) 2 1 o g ^ a :- l)> 9 . ОДЗ: д :- 1 > 0 = > л :> 1 logj (д: - 1 ) - 9 г О

б) lg* д: - lg де < 2 , д: > О lg * j:- lg x - 2 < 0 Зам іна lg X = І/

(lo g ,(a :- l)- 3 )(lo g 3 ( х - і ) + 3 )> 0

у‘ - у - 2 < 0

Заміна log3 ( x - l ) = i /

J/i = 2 , !/2 = -1

=> •.X > 0 => x^t 1

GDZonline.net

( у - 3){y + 3) > О

J/ S - 3

- К

logj Гх < -3 або log3 (д; - ї ї > З log., (д: - 1) S logj 3“" logj (x - 1) > log, 27 3 > 1, у = logj X зростаюча 1 ■1 < ■ д: - 1 > 27 27 X < 1— x>28 27 1 Враховую чи ОДЗ, маємо л: є (1;1 — 1 Відповідь: х е {1 ;1 —

Р ГО м m (U ю

-1 -3

у <2

- K l g x <2 lg 0,1 < lg л: < lg 100, 10 > 1 0.1 < д: < 100 Відповідь: х е (0,1; 100).

u [2 8 ;+ ~ ).

w [2 8;+ ~ ).

301. а) log^ (д: - 2) < 1 . ОДЗ: х - 2 > 0 = > х > 2 . Зам іна у = log^ ( х - 2 ) . у^ - 1 < 0 . {у - 1){у + 1) < О => !/, = 1 , i/j = -1 .

-1

-1 < ^ < 1. ^

-1 < log2(A:-2) < 1. lo g j- < log2(* - 2 ) < logj 2 , 2 > 1. го ьс

- < л :- 2 < 2 = 2

Відповідь: х є 2 І ; 4

о! ч; Ъ

2 - < д :< 4 .

б) log, X - 5 logg х> 6 . ОДЗ: jr > О Зам іна у = logj х = 6 , 1/2 = -1 у^ - 5 у - 6 > О =>

ю ш I— <

У ^

-1

збо у > 6

logg д: < 1 або logj л: > 6 , З > 1 logj л < logj З logj де > logj З® д: < З д: > 729 Враховую чи ОДЗ, маємо х є (0; 3) и (729; +~). Відповідь: х є (0; 3) u (729; +~).

302. а) 3 - lo g 2 ( 4 - * ) > 0 . ОДЗ: 4 - х > О

х <4

- lo g j (4 - д:) > -З , log^ (4 - де) < З logj (4 - ж) < log^ 8 , 2 > 1 4-х< 8 - х<4 х > -4 Враховую чи ОДЗ, маємо х є [-4; 4]. Знайдемо сум у цілих розв’яз к ів : -4 + (-3) + (-2) + ...+ З = -4 + (-3 + 3) + (-2 + 2) + (-1 + 1) + О = -4. Відповідь: -4. б) logi З ОДЗ:

- бдс + 18) - 21ogj (4 - д:) < О з і^ - 6 д : + 1 8 > 0 ](д :- 3 ^ + 9 > 0 4 —л > 0

іп іп

X <■4

lo g , (д:' - бд; + 18) - lo g , (4 - д:)' < О

•д: < 4

GDZonline.net г

^ * - 6 x + 18 Inff. log, (і- х )" >

jc* -6 д : + 18

д;»-вд: + 18-(4-з:)

^ ‘=пад“ *‘ -бдг+ 1 8 -1 6 + 8

>О

(A - x f л : >0

л: 5=4

(4 - x f

> 1 => 2д: + 2 > О X 7І 4

fx > -1 _ |jt 4 Враховуючи О ДЗ, х є (-1; 4). Знайдемо сум у цілих розв’яз к ів : 0 + 1 + 2 + 3 = 6.

Рідпоеідь: 6.

303. а) 1 + log, (2 - х) > О . ОДЗ; 2 - х > 0 = > х < 2 lo g ,(2 - Jc )> - l

log! (2 - x) > log, з , - < 1, І/ = log, л: спадна = > 2 - д г < 3 = > - д :< 1 = > х > - 1 . і ї З 5 Враховуючи ОДЗ, х є (-1; 2). Сума цілих розв’язків : 0 + 1 = 1.

Відповідь: 1; б) log, (л" + Юд: + 24) - logj (бд: + 36) < О ОДЗ:

Хі

бд: + 36 > О

X > -6

*> -6 JC* + ІОх + 24

log,

бх + Зб

* ' + 10л: + 24 - бх - 36

х і2

го

JC є (-4; +~).

< logj 1 , З

бх + Зб

І/ = logj X

зростаюча

^ х‘ + 4 х - 12 < 0 =>-— , ' <О

б(л: + б)

+10д: + 24 6.Г + 36

(х + б )(х - 2) .AV ./ <0

б (х + б)

ж-2<0

і 5t -6

. Враховую чи ОДЗ, х є (-4; 2]. х*-6 Сума цілих розв’я з к ів : -З + (-2) + (-1) +...+ 2 = -З + (-2 + 2) + (-1 + 1) + О = -3. Відповідь: -3. 1 6 •= 1 304. а) 1 + lg г 5 + lg г =»

2> 0 ОДЗ:

го го m О) ю

б, X 2 — 4

ї * + 10л: + 2 4 > 0

X є (-“ ! -б) и (—4; +00

2>0

г£ S І т >ч Q. .5 с

z >0

l + lg2 ^ 0 => Igz ^ -1 => <z 5t 0,1 5 + Igz

Igz

5 + lg Z + б + 61g г - (1 + 11 + 71g г - 5 - lg г - 51g lg* г - lg г - 6 = О Заміна lg г = І/: і/^ - І/ - б •g г = З, Z = 10^ Z = 1000 Відповідь: 0,01; 1000; б) ^ Л е х lg (5 x - 4 )“

lg (5 x - 4 )?^ О

z?i 0,00001

lg 2)(5 + lg г) = О Z - Ig^ 2 = О = О => і/, = З, = -2. або lg г = -2, z = 10 ^ z

х>0

д:>0 ОДЗ: Ь х - 4 > 0

-5

.ї> 0 ,8

5 х-4 *1

0 , 01 .

х > 0 ,8

х > 0,8

5хрь5

ХР^І

т ІЛ

GDZonline.net 21g X = lg (5д: - 4) . lg л:'' = lg (5x - 4) => x ‘ = 5x - 4 => = 1 не входить до ОДЗ. Отже, X = 4 корінь рівняння. Відповідь: 4; 1 2 •= 1 в) logj X 1 + logj X х>0 ОДЗ:

1 + lo g j X

X >0

5 - logj X ^ 0 => •log ^ X 0

=> <X *2^

l o g j X ^ -1

- 5x + 4 = 0 => ^ 1 = 4 ,

д: > 0 =>

x^32 1

х * 2 ~^

2 l + log;A: + 2 (5 - lo g ; j: )- ( 5 - lo g ;A :) (l + log,,A:) І Р та м m ОІ 1І2

ГЗ І т а 5 с

LO Ш

І— с: <

(ö - lo g j x ) ( l + logj х) 1 + ІО02 X + 10 - 2 logj х - 5 - 5 log^ X + logj х + log^ j: = О log2 X - 51og2 * + 6 = 0 Зам іна у = log^ x , y ‘ - 5 y + 6 = 0 y, = 2 , y , = 3 => logj X = 2 або logj j: = 3 . X = 4 X = 8. Відповідь: 4; 8; x> 0 X >О |дг>0 г) Ig lO x — . ОДЗ: lg x - 1 \ g x - litO ^ lg j c ? t l 1x5^10 10 lg 10 + lg д:- ^ (1 + lg A^Klg X - l ) = З => lg ' X -1 = З => lg ' X = 4 Ig x - l => lg д: = 2 або lg дг = -2 д: = 100 X = 0,01. Відповідь: 100; 0,01.

305. а) log2(4' - 2 ) = X 2і«,(4--2) ^ 2» 4 ' - 2 = 2' 2'* - 2‘ - 2 = О Зам іна 2 ' = у >0 у ‘ - у - 2 = 0 , У і= 2 , 1/2 = -1 сторонній 2‘ =2 X = 1 Перевірка: log^ (4 - 2) = 1 , log^ 2 = 1 , 1 - 1 Отже, X = 1 корінь рівн ян н я. Відповідь: 1; б) x - l g ( 2 '+ x - 3 ) = x lg 5 . - lg ( 2 '+ X

- з) = x l g 5 - X => - l g ( 2 ' + X - З ) = x ( l g 5 - 1) => lg(2'^ + x - 3 ) =

= x (l- lg 5 )= > lg (2 * + x - з) = x l g — => lg (2 ' + x - 3 ) = lg 2 ‘ => 2 * + x - 3 = 2 ' = »x = 3 ^ Перевірка: 3 - lg (8 + 3 - З) = 31g5 3 - lg 8 = lg5^ lg 1000 - lg 8 = lg 125 lg 125 = lg 125. Отже, X = 3 корінь рівн ян н я. Відповідь: 3.

306. а) log, (х + 1) + logg (х +1)+ logg, (х +1) = 7 . ОДЗ: х logj (х + 1) + logj, (х + 1) + logj, (х + 1) = 7

ев in

logj (х + 1) + і logj (х + 1) + і log, (х + 1) = 7 І -4

> -1.

GDZonline.net 4 log, ( * +1) + 2 log, (x + l)+ logj (a: + 1) = 28 7 log, ( * + ! ) = 28 =» log,(ji: + l ) = 4 => ж + 1 = 3* => x = 80.

ß0noeidb-. 80; 6) lo g ,lo g j> o g i(j^ - l) = 0 log, lo g j (^ - 1) = loSa 1 => lo g j log^ (jc - 1) = 1 => lo g j log^ (jT - 1) = lo g j 2 S5»

- *= 4 -

Перевірка: log, log^ log^ - = 0 log ,lo g,2 = 0 5^ lo g ,l = 0 ^ 0 — 0. Отже, X = 1— корінь рівн ян н я. 1 ^ Відповідь: 1 - ; ^>0 в) log.21og2,2 = lo g „ ,2 . ОДЗ:

, '

log, 2

log; 2

Ш (U

log; 2

log; a: log2 2x

log^x log, 2л:

logjieA: >logj

4 + \og^x =» logj x - 4

1 1 2= 16

л: ( l

log; x ) = A + log; X

=> log; ї = 2 , JC =4 або log;

logjlGa:

log^ д:(і + logj, x)

=> logj x + logj x - i - log; x = 0 ^

x = -2 , x = - .

ГО

Відповідь: 4; -j :

Г) lo g ,( 2 '- 7 ) = 3 - *

|ч

= 2*-' => 2 '- 7 = 8-2-" 1-2' =>2 ^ '- 7 - 2 '- 8 = 0 Заміна 2’ = у > 0 , y ‘ - 7 y - S = 0 => y ^ = 8 , J/; = -1 сторонній (у > 0) 2* =8 => д: = З Перевірка: log; (8 - 7) = З - З 0 - 0 . О тже, х = З корінь рівн ян н я. Відповідь: 3.

.5 О

< оГ Ш

307. а ) log j ( х - 2 ) + log^ { х - 2 ) + lo g , (jc - 2) = 1 1 . О Д З: х > 2.

log, ( * - 2) + log^ { х - 2 ) ^ log^ (д: - 2) = 11

log; ( ж - 2 ) + 1 log; ( x - 2 ) + i l o g , ( х - 2 ) = 1 1 1-6 61og; (х - 2) + З log; (х - 2) + 2 logj { х - 2 ) = 66 I l l o g , (д:- 2 )= 66 => lo g , ( x - 2 ) = 6 =» х - 2 = 2‘ => зс = 2 + 64 = 66.

Відповідь: 66; б)

logj log, log, (x +1) = О г

^Og6iog,logj(x + l ) = log^l

=> log, (jc + l) = 3 => jc + l =

=> log, log, (jc + 1) = 1 => log, log, (jc + 1) = log, 3

V2. * 1 '■ Перевірка: logj log, log , — = 0 logj log, 3 = 0

Відповідь: —

^®

I0851 = 0 0 - 0 . О тж е, X = 7

'l , = .x = - - l

7 корінь рівн ян н я. ®

в)

21og, 3 + 21og3, З = log,, З . ОДЗ: X * 1;

21og3 3 ^ 21og3 3 logs ^

logj З *

log, З

log, 9х

2 log, X

GDZonline.net

> о

—;

—

9 1

1 + log, X

2 + log, х

г, . , 2 2 1 2 ( і + і/) + 1^ 1 2 + 2у + 2у 1 Заміна log, х = у , - + --- = ---- => -!■ — = =>----- ^ ^ У(^ + У) 2 + 1/ 1/(1 + !/) 2 +у 1 ^ => - ^ - Д г = ----- =>(2 + 4і/)(2 + J/) - у(1 + J/) =» 4 + 2у + 8у + 4у^ = у + у^ => 1/(1 + ^) 2 +у + q ^ З у ‘ + 9у + 4 = 0 = » D = 8 1 - 4 . 3 - 4 = 33=> j/, = ^ 6 6 -9 + ^ 3 => log, JC = -----x= 3

, -9 -Т зЗ або log, X = g-

-»♦■/із •

x= 3 -9-.ЙЗ -etjia Відповідь: 3 ® ; 3 ® ;

-t-j33 ‘

Г) lo g , ( 3 '- 8 ) = 2 - x

зЫ.(з--*1 ^ 32-, ^ 3‘' - 8 = 9 - 3 ' I 3 ' => 3 ^ " - 8 - 3 '- 9 = 0 => Зам іна 3 '= у > 0 => =» - 8 і/ - 9 = О => і/, = 9 , J/j = -1 сторонній (у > 0) З ' = 9 => X = 2 Перевірка: log, (9 - 8 ) = 2 - 2 =>0 = 0. Отже, х = 2 — корінь рівн ян н я. Відповідь: 2.

308. а) 21g;e* + lg (- j:) = 5 . О ДЗ: х < О 41g(-jc)+ lg(-a:) = 5 => 51g(-a:) = 5 => Ig (-Jc) = 1 = > -jc= 1 0= > x = -10. Відповідь: -10; б) o : - l g ( 2 '+ j : - 3 ) = x lg 5 - lg ( 2' + jc - З ) = J:lg 5 - л: =>lg(2' + j: - 3 ) = ж - x lg 5 =>lg(2' + X - 3) = л ( і - lg 5 ) => => lg (2 '+ ^ :- a ) = * ( l g l 0 - l g 5 ) => lg (2 ‘ + x - 3 ) = lg 2 ' =» 2 *+ л :- 3 = 2' => д: = 3 Перевірка: З - lg (8 + З - 3) = 31g 5 lg 1000 - lg 8 = lg 5’ lg 125 = lg 125. О тже, jc = 3 — корінь рівн ян н я. Відповідь: 3; в ) logj - 5 log, ї * = 10 . ОДЗ: д: > О (Slo g , х)* - 151ogj дг = 10 => 251ogJ X -151og, JC = 10 |: 5 =» 51ogJ х -31og, х = 2 . 3 +7 Зам іна log, x = j/ => 5 i/*-3 j/-2 = 0 =>Д = 9 - 4х5х(-2) = 49 => y^ = -----= 1 , 3 —7 2 2 Уг = ^ “ 5 ^ І = 1 , д: = 6 або log, J= = “ g . x = 6 ® = -

Відповідь: 6; г)

^ ^36 ’

logj 4д: - log* 2д: = log^ х + 5 . О ДЗ: д: > О

(log, 4 + logj x f - (log, 2 + log, x f = log, д: + 5 (2 + log, x f - ( 1 + log, x f = log, д: + 5 4 + 4 log, x + log^ X - 1 - 2 log, X - log^ X - log, x = 5 log, X = 2 4. Відповідь: 4. X =

GDZonline.net

309. а) 3 logj jc" + logj (-д:) = 5 . ОДЗ: jc < О 6 l o g , M + * °S ^ - ^ ) = 5

7Ю еЛ -^) = ^ Ю гЛ - *) = 7

-^ = 2’ => ^ = -V32

рідповідь: -^32. б) a:-lo g e(3 ' + x - 2 ) = A:loge2 - lo g e (3 '+ ^ - 2 ) = ^ lo g , 2 - jc => loge(3 ' + A;-2) = x - x lo g j 2 =>logj ( З ' + д: - 2) = = x (l- lo g 6 2) => lo g ,(3 * + ^ :- 2 ) = j:(lo g e 6 - lo g e 2 )

=>log^ (З* + jc - 2)= x lo g , 3 =>

=» loge ( з ' + X - 2) = logj 3* => 3* + д:-2 = 3 ' =>дг = 2 Перевірка: 2 - logj (9 + 2 - 2) = 21ogj 2 => 2 - log^ 9 = log^ 4 = log« 4 logj 4 = logj 4 => jc = 2 — корінь рівняння.

=>log^ 36 - logj 9 =

Відповідь: 2. в) logi х ‘ + log, х = 5 . ОДЗ; х > О 2 ® (21og3J;) + lcg3X = 5 => 41og'x + lo g 3 x - 5 = 0 Заміна logg х = у => 4 і/^ + у- 5 = 0 =>Д = 1 - 4- (-5) ■4 = 81=>

і/, = — ^— = 1,

-1-9 10 5 , , „ , , 5 о! 1 — = - g - = - I - * ° S 3 ^ = l ’ " = 3 a6 o lo g 3 X = - - . x = 3 ^ = ^

Відповідь: 3;

г) logJ 16х - log, 4х = logj JC + 8 . ОДЗ: х > О (log< 16 + log, x f - log, 4 - log, X - logJ X = 8 (2 + log, x )’' - 1 - log, X - log^ X = 8 4 + 4 log, X + log* X -1 - log, X - log, X = 8 Slog, X = 5 5 lo g .x = X = 4» = V F = ^4“ •4^ = 4 ^

Відповідь: 4 ^ .

310. a) x"'“ '*’' = 8 . lo g jx ‘° ' ’

= log^ 8 => (logj X + 2)logj X = 3 => logj x +21og2 X - 3 = 0 => Зам іна

logj x = у

+ 2 y - 3 = 0 =>

I/,

= -3,

!/2=1 => logj x = -3 , x = 2'* = ^

або

lo g jx = 1, X = 2. Перевірка:

“

= 8 , (8 ')'** ' = 8 , 8 = 8. 2‘”*’ '*‘' = 8 , 2' = 8 , 8 = 8.

Відповідь: — ; 2. 8 6) д:«»«.' = 9д:2 log, x ‘*‘°'* ' = logj (9x^) -2 log, X = 0 => log,

=> У, = 2 ,

=»

(1 + logj x ) log, X = 2 + log, x ‘ X - log, X - 2 = 0 => Зам іна

=> log, x + log, x - 2 log, x = у y ‘ - у - 2 = 0 =>

1/2 = -1 =»logs X = 2 , X = 9 або log, x = -1 , x = — . О

"4jnoewb: a; — . 3

*з

=9 і

= 1 , 1 = 1-

GDZonline.net в) = 0,01 . ОДЗ: х > Q, х * I Іе л :"’ " ' “ ' = lg 0 ,0 1 => (lg ‘ x - 3 1 g x )lg x = lg0,01 => lg-д: - 31g^ х + 2 = О Зам ін а lg^x = !/> 0 => j/^-3j( + 2 = 0 X = 10 або Ig x = -1 , X = 0,1. lg x = 4/2, x = 10'^ або \gx

lg 'x = 2 ,

Відповідь: 10; 0,1; 10'^ ; 10

1/2 = 2

=>lg^x = l : l g i = l_

=- j 2 , x = lO "^ .

r) 5 "* '' + x'°‘‘ ' = 10 . О ДЗ: X > 0, X # 1

(5 '°"')"**' + x‘°*>' =10

log. 5 => log? X = 1 => log. X 1 Відповідь: 5; — . 5 311. a) x ‘°'-“' = 9 . ОДЗ: x > 0 , x ^ 1 =>

log, X

=> x'°‘>' + x'°'»' =10

log, x ‘° ''* ' - 2=

log,

X =

= 1 , X = 5

=> (1 +

або log,

, X = —

v-bes^ _= 5 1 , x = — 5

або log. x

log, x )lo g , x

=> log, X + log, X - 2 = 0 => Зам іна log, x = у

log, X = -2 1 Відповідь: — ; 3 ; y.^ = I

log, (3x)log,

9 =>

=> 2x'°'“ = 10

= -1

log, x

=!.

- 2 = 0'

+ y - 2 = 0 => 1/1 = -2 ,

X = 1 , X = 3

б) = 4 x * . ОДЗ: log^x^*'“* " ' = lo g j(4x *) -3

log2 X = 0

> 0, X / 1 => (2 + logj x )lo g 2 X = 2 + 31og2X => 21og^ x + logj x - 2 -

=> log^ X - log^ X - 2 = 0

=> Зам ін а

logj x = у

=> y^ -

= 2 , У г= -1 => log, X = 2 , X = 4 або log^ x = - 1 , x = і 1 ^ Відповідь: 4; — ; 2 в) x “ ''- ‘" = 1 0 0 . ОДЗ: X > О, X ^ 1 Ig x “ '* “ ' = l g l 0 0 => ( l g 'x - l g x ) l g x = 2 => lg ‘ x - l g ' x - 2 = 0

- 2 = 0 =>

=> у ,

Ig* X = I/ > 0 => y ‘ - у - 2 = 0 => у, = 2 , у, = - 1

=> Заміна

сторонній у > О => lg^x = 2 =>

=» lg x = -yi або lg x = -V2 x = 10-^

x = 1 0 '^

Відповідь: 10"^ ; lO "^ ; r)

x'“' ’ '

= 14

(7'”' ’* )‘° ‘' % x " ’' ' '

. ОДЗ; x

=14

=» log, x'°’’ " = log, 7 => 1 Відповідь: 7; — .

> 0,

x"’‘'*

lo el X

x +

x"'‘’ '

= 14

= 1 => log,

=> , X

2x‘°''’ " = U

= 7 або log, x =

x ' ’“ ' “ = 7 -1 ,

x =^ '

312. a) l o g , ^ > l ‘7-х X -1

7-х

х є (і;7 )

x - l- 2 (7 - x )

log,

> log, 2

x-1 7-х

x e (l;7 ) Зх-15 7-х

х є (і;7 ) >0

7-х

L>0

д ;б (і:7 ) = > х є [5; 7).

3 (x - 5 )

—і

Сума цілих розв’яз к ів ; 5 + 6 = 11.

Відповідь: 11.

7-х

X х є [5 ;7 )

GDZonline.net б) ^ >

(о. 5; 8)

1<1 яг є ( 0 , 5 ; 8 )

> | 2 д ^ _ 1 - 3 (8 - л с )^ 0

д :є [5 ;8 )

=> л: є [5; 8).

Р га m ю 01

Сума цілих розв’я з к ів : 5 + 6 + 7 = 18. Відповідь: 18.

їй

313. а) log, (д: + 2) < log, (З - л)

ОДЗ:

х + 2> О

х>~2

г-х>о

х<3

х>0

Х * 1

Х ФІ

л: є (0; 1 ) и ( 1 ; 3).

х ^ (0; 1) х < 1 = ^ х + 2 > 3 — х ^ 2 х > 1 = > х > 0,5. Отже, X є [0,5; 1) розв’я з к и нерівності. 2) х е (1; 3) * > 1 ^ і + 2 < 3 — л = > 2 х < 1 => X < 0,5. Розв’я з к ів немає (д: є (1; 3)). Відповідь: х є [0,5; 1).

2д: - 7 > 0 JC - 2 > 0

сс 0 з

LQ Ш

І— с: <

х-2*\

х > 3 ,5

2х> 7 => -X >2

=> ■х > 2

X^3

хфЗ

SC S І т >ч CL

б) log. - Л 2 ^ - 7 )< 1 ОДЗ:

(О

•X є (3,5; +~).

JC - 2 > 1 => log,_2 {2х - 7) < log,_, {х - 2) 2х - 7 < х - 2 д: < 5. Враховуючи ОДЗ, х є (3,5; 5). Відповідь: х є (3,5; 5). ®) log,., {2х - 1 ) > log,_, {х + 6) 2ж-1> 0 ОДЗ:

ж+6>0

х-1>0

л:> 0,5

X > -6 => <

х>1

х>1 х^2

х-1*1 хф2 0 < х - 1 < 1 = ^ 1 < х < 2

2х - 1 < х + & = > х < 1 . 1 < х < 2 \ розв’язки X є (1; 2); 2 ) д :- 1 > 1 = » х > 2 = » 2 д :- 1 > д : + 6 д: > 7; розв’я з к и х є [7; +~). Відповідь: х є (1; 2) и [7; +~). 1)

кП

ео

ИЭ

1 GDZonline.net г) lo g ,., (4 - х ) > 1

4-х>0 ОДЗ;

\x< i

д: - 1 > О =>

д: > 1 => х є (1; 2) и (2; 4)

Х - ІФ І

х ф

х е ( \ - ,2 )

log^_, (4 - х) > log^_, (х - 1 ) = > 4 - х < х - 1 = > -2х < -5 => X > 2,5; розв’язків немає, X є (1; 2); 2 ) X є (2; 4) 4 - X > X - 1 => -2х > -5 =>, X < 2,5 => X є (2; 2,5). Відповідь: х є (2; 2,5). х-1 314. а) log. S log. ' х +2 х-1 >0 х +2 X < -2 та X > 1 ОДЗ: X + З > О

х +3 *1

X5t-2

^^^тШІІ7777777777777^^07*^ - 3 - 2 ї х X є (-3;-2) и (і;+ ~ )

є (-3; -2) X -1 - 2х - 4

Х+ 2

х +2

х+ 2 X

-х-5

>О

х +2

х +5

х +2

є (-5: -2).

Відібравш и розв’язки з інтервалу х є (-3; -2), маємо: х є (-3; -2); 2 ; X є (1; +~) X - 1 - 2х - 4 -х-5 <0 <О Х +2 х +2 х +2 х +2

х +5

х +2

X є (-<*>; -5] \j (-2; +~). Відібравш и розв’язки з інтервалу х є (1; +~), маємо: х є (1; +~). Відповідь: х є (-3; -2) u (1; +“ ). х-2 б) log ""х +З х-2 >0 х +3 X > 2 і X < -З -4-3 ОДЗ: х + 4 > О => x + 4 9 tl

1) х -2

х +3

х є ( - 4 ;- 3 )и (2 ;+ ~ )

х^-3

є (-4; -3) х - 2 - 2 ( х + 3)

>О

X є [-8 ; -3 ).

X - 2 - 2х - 6 х +3

-х- 8

х +3

>О

М аємо р озв’ язки х є ( - 4 ; - 3 ) ;

х +8 х +3

<О

GDZonline.net <0

х +З

* +3

_8 -3 * «дібравш и розв’я з к и з інтервалу х є (2; +»о), маємо: х є (2; +~). д 0 повідь: X є (-4; -3) \J (2; +~).

315. а)

( х ^ - х - 2 ) < log, . , (х + 6) х^-х-2> 0

л : є (^ :- 1 )и (2 ;- н » )

1 +6 >О ОДЗ:

4-х> 0 4 - Х Ф І

^ 1)

х<4 х *3

^ ^ т ш ^ ііт т т т т т ш ш ^ -6 -1 2 з 4 * д: є (-6; -1) и (2; 3) u (3; 4) 0 < 4 - д :< 1 = > - 4 < - і< - 3 = > 3 < х < 4 [д:, =4, ї , = - 2 =» розв я з к ів немає;

х ’-х-2і х + 6 => д:’'- 2 д :- 8 > 0 =>

-2

X є (-оо; -2] 1-І [4; +~) 2)

4 - д: > 1 => -дс> -З => JC < З, врахувавш и ОДЗ, маємо, що д: є (-6; -1) u (2; 3) [*. = 4,

= -2

. Виберемо розв’язки -2 4 Іх є [ - 2 ; 4 ] а Інтервалів х є (-6; -1) u (2; 3), маємо: х є [-2; -1) и (2; 3). Відповідь: X є (-6; -1) u (2; 3); * ’ - ї - 2 < д : + 6 => д :^ -2 д ;-8 < 0 =>

6) l o g , „ ( 5 - x ) > l ОДЗ:

5-х> 0

X <5

х + 1>0

х > - 1 =>

д: + 1 ^ 1

д :# 0

J-1 <ж <І

. д: є (-1; 0) U (0; 5)

0<х + 1 < 1 ^ -1 < х < 0 (5 - л ) > log,^, (з: + і ) = > 5 - х < х + 1=^ -2х < -4 => д; > 2 =»

х>2

-1< х< 0 =>розв’я з к ів немає; ж + 1 > 1 = > х > 0 . Врахувавш и О ДЗ, х є (0; 5) 5-д->д^ + 1 =» -2х > -4 =>, X < 2. Вибравш и розв’язки з інтервалу х є (0; 5), чаємо: д: є (О; 2). Відповідь: X є (0; 2). • о к ю - , ( х " + X - 2 ) < l o g , „ _ , ( 7 JC - 7 )

д: є (-~; -2) и (1; +«)

х‘ + х - 2 > О ОДЗ:

= > д :є (1 ; 1 0)

7х - 7 > О 1 0 - д :> 0

д :< 1 0

GDZonline.net

0 < 1 0 - ж < 1 = » -10 < -дг < -9 =» 9 < л: < 10

лс, = 1. X, = 5

х ^ + х - 2 > 7 х - 7 => jc* - 6 x + 5 > 0 => 5 X 1] U [5; -и»)

1 X є

Вибравш и розв’язки з інтервалу 9 < д: < 10, маємо х е (9; 10); 2J 10 - д: > 1 => -JC > -9 => X < 9. Врахувавш и ОДЗ, маємо: х є (1; 9) х^+ х-2< 7х-7

х^-6х +5 < 0

-► д: є [1; 5]. 1 5 ж Виберемо розв’яз к и з інтервалу х є (1; 9), маємо; х є (1; 5]. Відповідь: х е (1; 5] и (9; 10). г)

log^ (2x - 3) < 1

ОДЗ:

2x - З > О

х > 1 ,5

д:>0

х>0

х *1

=> X > 1,5

lo g , {2х - з) < lo g , X = > 2 x - S < x = > x < 3 .

В рах увавш и ОДЗ, маємо: х є (1,5; 3) Відповідь: х є (1,5; 3).

316. а)

lo g j X + lo g j у = 4

lo g ji - lo g ji / = 2

lo g j х у = 4

ОДЗ: х > О, у > 0.

ху = 2 ‘

ху = 16

х^ = 64

і= 4 У

lo g ,£ = 2

д: = 8 16 , j : > 0, у > 0 . 1/= - = 2

- 1® д:

Відповідь: (8; 2). б)

log„,2 JC + log„ 2

У = -2

х + у = Ь2

lo g „,2 х у = - 2

х + у = Ь2

ОДЗ; х , у > 0 .

х у = 0 , 2 ’' х + у = Ь2

ху =

1 15;

х + у = Ь2

х у = 25

(5 2 - у ) у = 25

х = 52-у

х = 52~у

D = 52‘ -4 -25 = 2704 - 1 0 0 = 2604 5 2 у - і,'- 2 5 = 0^

у^ - 52у + 25 = 0^

х = 52-у

52 + л/2604

Vi =■ х^=52-

^_^5 2 + v r a ^ 2

52 + V2604

5 2 ^ ^ ^ 2 6 + 7651 2

JC, = 52 - 26 - г/б5Ї = 26 - УІ65Ї 1/2 = 2 6 - > / б 5 Ї

X, = 52 - 26 + n/651 = 26 + у/б5Ї Відповідь: (26 - Т б 5 Ї; 26 + 7 б Й ) ; (26 + >/б5Ї; 26 - ч/ б 5 Ї). | l o g j J: - l o g ^ V = 0

х + у^- 8 = 0

ОДЗ: X, у > 0 .

52 - V2604

Уг=52 - V2604

GDZonline.net

г _ 8 = О

х +У

, + j,» - 8 = 0

logj х - 2 lo g j у = 0

log^ X - l o g j у ‘ = О

х + у^ - 8 = 0

д: + J/* - 8 = О

log, ^ = log, х-^у^ - 8 = 0

X =4

х = У‘

х=^у‘

y‘ + y^ = S

2у^ = 8

j, = 2

2/^=4

. х,у>0.

ßidnoeidb: (4; 2). Ї0 Є,У + ^0Є,х = 2

г)

ОДЗ:

> 0,

X, у

* 1,

log, I/ + -

log^ у + 1 - 2 log, у = Q

lo g ,y

х* + У = 42

x^ + y = 42

+ j, = 4 2

x^ + y = 42

(log, і/- i f = О

log, 1/ - 1 = 0

lo g .!/ = 1

x =y

x ^ + y = A2

x^ + y = A2

x‘ + x - 4 2 = 0

+ у = 42

JC.=6

со

= -7 сторонній, д; > 0.

ГО

V. = 6

s X

Відповідь: (6; 6).

log, jc - log, у = - 2

317. a)

log, jc + log, у = 4

ОДЗ: jc, у > 0.

loif, xy = 4

= З*

£ = 3у xy = 3‘

lo g ,J = -2

х =3

= 27

, X

> 0.

з ю

Відповідь: (3; 27); log, x - log, у = -5 6)

с;

ОДЗ: а:, у > 0.

x - 2 y = 60 -6

X _

lo g ,- = - 5 iä/

х - 2 у = 60

=> У ~ .2, ,х - 2 у =: 60

32у = 60 + 2у X

01 ID

= 32у

£ = 2“ У

=»

X = 60 + 2|/

ЗОу = 60

у = 2

х = 32у

л: = 64

- = 32 У => X = 6 0 + 2у

л: = 32у л: = 60 + 2у

Відповідь: (64; 2).

»)

logj X - logo J J'" = О

ОДЗ: л: > О, 415t 0.

2х + у* -12 = О l o g j ^ - l o g , у^ = о

2* + j,2 _1 2 = о => ж(12-2я:) = 1 У = 12-2 ж

logs ^ + logs у ‘ = 0 ^

flog, (л:і/") = О

2х + у * - 1 2 = 0

[2л: + у*-1 2 = 0

12д:-2лг'-1 = 0 У

= 12-2*

2л:’' -12х + 1 = 0 => • У = 1 2 -2л:

=12-2д:

1Л

GDZonline.net Д = 1 4 4 -4

2 = 136

л:, = З + VsTs 4

4 1/* = 1 2 - 2 { з + 4 ^ )

= з - VsTs

у^^12-2х Xj —З + ^8,5

X, =3 + 78Г5

j/' = 12 - 6 - 2,/8^ = 6 - 2^/вГ5

і/, = ±х/б-2Т8^

= З - v/eTs

.«2= 3 - ^/8Г5

У * = 1 2 - 2 ( з - 7 8 ;5 ) = 1 2 - 6 + 2,/8Г5=6 + 278Г5

3 + ^ /ä5;± 76-2^/8^); (з - Vs^S; + Т б Т ї Д Т

Відповідь:

г)

log, i/ + 21ogj,A: = 3 ху = S

ОДЗ: j :, ^ > О, д:

Io g ,,.2 iH i^ = 3

log, J/ + -

xy = &

асі/= 8

log. г/

1, І/ # 1.

log, у

log, I/ + 2-31og,,v = 0 xy = 8

Зам іна log,j/ = a log^i/-31og, i/ + 2 = 0

a ' - За + 2 = 0

log,i/ = 2 або log,i/ = 1

jci/ = 8

a, = 2

д:і/ = 8

a, = 1

xy = 8

XV = S =>

У = х‘

у =4

х‘ = 8

x =2

у =х

jl/ = \ху = 8

х^ = 8

У=Л

Відповідь: (2; 4); (л/в; -Tsj .

§ 9. Грани ц я послідовності. Основні теореми про границі послідовностей

355.

Ä -»

1000

А 1 2п ^ 1000

5000 < 2л : ■2500 < п 5

<£■=»— < г = > 5 < 2пе ■ 2п

2є'

356. lim jc, = 0,5 , limj/„ = 20 я-»~ а) lim2jc - lim и = 2 •0,5 + 20 = 21;

б) lim *„-31im i/„ = 0,5-3-20 = -59,5

в) lim 5д;„ ■lim і/, = 5 •0 ,5 ■20 = 50 ;

г ) ІІШ

Л-»««

Я-»«»

Я- »»

X : lim у я-»~

0,5 : 20 = 0 ,025 .

2 +-

357. а) Um з” ^ " . = lim■л - 4 л + 1

г = ! - ‘

1 - - F + -T л' л® , 1 1 1 1 Н----- г И т л’ + л ' - л + 1 п п п б) lim-^—;— :--- 7^ = Um к 4 17 5л® - 4 л + 1 7 п п

1. .

5 ’

, Зл‘ +1 в) U m —; 5-= 00 . л + 2л

GDZonline.net 2n^—Zn + l о «\ V п^ + п^ + Х V Зл^ +1 -КЇЙ а) Ь 2— * в) lim - ^ j— ЗЭО. д _ш ». д 2 _ :--- = 2» б) h m — ^ ^^ у = “ 4_j.—2д5— 2_ - = 3 . Зге-ге^'

s\ !■ 5 —Зл “ Л 1 \ 1^ л о ; б) h m — 5------- = - 1 ; в) h m —:;— г = О . — ге“ +8 л + ге + 1

359. а) і® і; г1+ т 1ї ге +1

360. li® ’ ге + з = 1 ге + 2

361.11^ „ ^ 1 363. У , = С ' П Є N І, _ с І < е = > Е > 0 => lim с = с . Г

Л-»*»

464 1іпіх„ = а . Доведемо, що lim cx д_»„ n-»** < є , cx„ - ca =

K - “l

3 6 5 . 1 i m ^ = 2 .5 ; 2re 5n-l 2re

- 2 ,5

= c lim j: = ca л-»~

- a\ <\ с \ є .

- a ) l= K 5re - 1

5 re - l- 2 ,5 - 2 re

2re

--2,5 =

100

J_ £=• 100

100

= — < є => 1 < 2геє => ге > — 2с 2л

= 50 => л > 50.

100

366. а) lim

ге

2 ге - 2 л - 1

2 ге + 1

2 (2 л + 1 )

2л + 1

2 ’

=» 1 < 4 л е + 2 е : ' 4 л е > 1 - 2е => л >

1-m -5 " - !- = 5 б) h •-*- 2л +1 2’ 4 п е > 7 - 2е

в) lim

л * -1

5ге-1

= 1;

< £ => 1 < ех 2 ( 2 л + 1 ) =

1-2с

4е Ю ге-2 -Ю ге-5

4ге + 2

4л + 2

2 2ге + 1 7-2є

^ 4є л' - 1

2 (2 л + і )

7 < 4 л е + 2е

'• -1

ге*-1 - г е * - л - 1

-ге- 2

л +2

л^ + ге +1

ге + л + 1

л^ + л + 1

л^ + л + 1 л +л +1 л + 2 < £л^ + Еге + Е => Еге^ +

Еге - ге> 2 - є => Еге“ + ге(Е - 1)> 2

- Е =>

=» Еге“ + ге(Е - 1) + Е - 2 > О, Д = (Е - 1)^- 4е(е - 2) = е“ - 2е + 1 - 4е“ + 8 е = - -З е “ + 6 е + 1, - З е “ + 6 е + 1 > о => Зе“ - 6 е- 1 < о , Д = 9 - (- 1 ) •З = 12,

^ ^ 3 +yß I

Z --J\2

3-л/Ї2

є,

3 + ч/Ї2

, Е > 0 => £■є (0;

г + -ІЇ2

l- e + V - 3 f * + 6 £-+l l - f - V - i / + 6f + l «1 = -------- г---------- , га, = ■ 2є

п & N , 3 n > л(е): л >

367. а )

lim

Зл —1

ге

Зл - Зл + 1

Зл-1

Зге-1

=» 1 < Зел - £ => Зел > 1 + £

б)

iim ^ ^ L ::l = i ;

=> 5 л е > 2 -

Зє ' 5л - 1 - 5 л - 1

Зге -

==> ге >

2 -е 5с

< £• => 2 < 5л+ 1

5л +1 е

;е .

3 + >Я2

1 > О

1+Є

5ге +1

5ге + 1

2 < 5л е +

5л - 1

, с є (0 ;

2є

е (5 л

1) =>

GDZonline.net в) ”-»-Л +Л +Ц1 = З ; --Zр . _ .^1 - 3 = + 4 < еп^ + ЕЛ + Е Д = (3 - е)2 - 4 е ( е -

4) =

6е

е^ - 4е^ +

^ = -^2 у -.' -_----. 1<є

_2 . _ . , -Зе^

16е =

Юе

Зп

9, Д ä О

-Зе2 + 10е + 9 > о => Зе’’ - 10е - 9 < о, ^ = 25 - 3 (-9) = 52 , е, = 5-V52 е, = ---

. „ не ПІДХОДИТЬ, Е > о f є ( 0;

5 + уІЬ2

5 + %/Й З - є + уІ-3(^ + 10е+ 9 З -є-У І-Зе^ + 10г+ 9 л, = ---------, л^= ---------- ---------3 - f + V - 3 f " + 1 0 f+ 9

п є N => п>

З (л* - l ) L л + л +1

31im

5 л -1

lim

Л-»** ,5 л + 1

369. a) lim

5 +Vm

= lim — h lim 5 = — + 5 = 5,5 ; 2л +1 »— 2

368. а) lim

б)

f є ( 0;

2 л + 1,

Л +Л +1

бл-1 = hm •5л +1

5 л -1 ,3 л -1

= 3;

= hm

2 л + 1,

hm л

Зл -1

2л +1 + hm

=1 - ІЛ . 2 2

5п-1

1 5 2 + 15 = —+ — = З 2 6

2л +1

5 6

5 л -1

1 5л-1 1 5 „ 5 „1 + — = h m ------+ hm — = —+0 = — = 2— ; 2л +1 л , »— 2л + 1 л 2 2 2

6) lim

в) lim

2 л + 1 Зл —1,

= lim•lim2л +1 Зл -1

370. а) lim

= lim V s lim ^

6) І і т ( ^ л )

= |lim V n j = 1* = 1 ;

n~*—

я-»с*

n— ♦«>

1 1 2 3

= lim 5" ■1 = 5° ■1 = 1; n-»M

b) 1іт(9<Ул + <і/9п] = 9 ІІШ ^ л + lim<l/9 lim ViT = 9 + lim 9 " ■1 = 9 + 9° ■1 = 10 . «-M» \

fl-»M

R—»«■

n-+<»

n~*^

Л +2 Ч ,• 2 л (і + л“ ) 2л + 2л“ 371. а) hm-j-!^---- ^ = h m - 5— ---- = hm — ^ n -4n + l Л - 4л + 1 «-»“ , 4 1 2 n

1 (n “ + n )(n + l ) 5л»-4л

.. =Ь

л^+л» + л* + п - 5л--4л

3 , Зл ^ І З л*+ 1 в) hm — ^ = hm —5— — г = hm ^ л * (і + 2л'') "^-л® + 2л‘

372. а) lim -^ —

З^л +2

Щ - =і

= Um 3+

;

ro =Ь

1 О „ =— = О . ^

=U ,

6’

GDZonline.net

г 2 ^ = І = 5;

б)

1+ 1

n - y fn + 2

7л

л/п

(Vn + 2 - V n /V )(V n T 2 + \/n), , . \ n +2- n , . 2 1------- 1)--173 а) Ііш-^------— ■ ■ ■ ■ ---7= — 7=------ -= = 1h m -7= = ---^ = hm , = =О. уІп •Jn + 2 + \1п yJn ' vn + 2 + Vn ""'“ v n + 2 + V n »' »->6) lim lVn* + 2 + n = limsln'^ + 2 + h m n = ~ + ~ = oo ; ----„ - Jn U n + 2 - -Jn^Un + 2 + ^fn\ sfn(n + 2 ~ n ) b) lim^/л(^/л + 2 - V n ) = h m ^----- /--- -------- — — - = h m — j J- = Vn + 2 + Vn Vn + 2 + Vn

2>/л

■= lim ^= ІІШ■Й ЇЇ Vn + 2 + v/n \/n + 2 ^

= 1. ^^ ^ Л

Vrä Зл + 1

3 7 4 - * )й ё ^ - » ^

2 л " -1

=»2ел^ - £ - З л - 1 > 0 = > 2ел^ - Зл D і О =s п, 1

8 е^

8е

Зл + 1

-О

2 п }- 1 - (е +

+ 9 > о, — = 16 4

1+ 1

< є => Зл + 1 < е(2л^ - 1),

о, Ö

8 е^

■9 < о => 8 е^ +

8ё

4 •2 е (е + 1) = 9 +

+ 9 > О при будь-якому

8 е, е.

3 + V8e' + 8 е + 9 3 - л/8е“' + 8е + 9 ------ ;;-------- , Лг = ------- -------- , л є JV /1о 4е 3 + V se* + 8 є +9 л,

« 1- 2" + 1 , б) h m —— — = 1: «-М. 2

4е

л |"+1 2"

2" + 1 - 2 "

в) Um *— 3>/п + 2 3 ’ З^ІЛ + 2

3\/л —3%/^-2

Зч/л+ 2

2 < Зел/л + 2 е => З е \/л > 2 - 2е => \/л >

^ Зе

375. а)

, е > О => л > ^

^ 9е "

і . 5 л ’ - 4 л + 17

-2

Л (3 л ' + і ) ( 3 л " - і )

‘ "• ‘г

9л‘ - 1

2„< -1 ----( 8 . - 1)(1 ^ 2 .-) _

3. -

л“ + 8 fi+ 2 + З

—D + = lim

=— fJ < Е => 2 < Ё (3\/л + 2) 3>/^ + 2 ' '

V —г -- gо п п.. = _ £ = _б.

1 + 4 л’

. 2.- ^ л* + 8

-6„- . 2,- . 8 . ^ л® + 8

, е > 0.

GDZonline.net 2n^ + Зл - 1

3 7 6 . a) lim

б ) lim

л^2л'

2 .І- Л п п

= lim

25 ’

і = - і • 8 2’

= lim з

l- S n “

±_ . .5

-8 5 _ J_

в ) lim

5 л -1 л + п + 1,

= lim

лі

1 . п1 . Л TV )

;---------

І2

377. а) lim^^ ^ — = l i m— '3

б ) 1ІШ

в)

Ґ Зл - 1 ^

= lim

U n ' + 2J

lim ^K

=О;

5 - ^ГҐЛ ,

'*'2" = lim 4 Й--

= 0;

-5,

= «/^ = О .

» - V 1 + л“

§ 10. Границ я і неперервність функцій

385.

Г {х)Л х^

/(5) = і- 5 '= 1 2 ,5 ;б ) f - і ] . і .

а)

386. f[x) = — + x,x = -2, X = -0,5; / (- 0 ,5 )= - - ^ - 0 , 5 = -2,5 => /(-2) = /(-0 ,5). -0 ,5

387. /(д:) =:с'-* +1, ?>(:е) =

х'* +1 л: + 1

-3

-2

-1

fix )

не визначена

ф(х)

3 8 8 . 1 іт / ( л ) = 1 , 1 іт ^ )( х )= 2 , 1 іт ? (д :) = 3

Г-»Хо

a) б)

Х-*Л^

Х-»Хв

' ^

lim (/ (д:) + <р[х)- g (j:)) = lim / (х) + lim <р[х) - lim ^ (x ) = l + 2 - 3 = 0 ; l i m (2/ ( x ) ~ ^ {x )

+ g (x ))

= 2 l i m / ( x ) - l i m <£i(x) + l i m ^ ( x ) = 2 - 2 + 3 = 3 ;

l i m ( / ( x ) -^(x) -g ( x ) ) = lim / ( x ) •li m (p[x) ■lim я ( x ) = 1 •2 •3 = 6 ;

lim ( f [ x ) tf/‘ (x) -g’(x)) = lim /(x)- lim (/f (x)- Um ^ (x ) = 1- 4 ■ 3 = 12 .

38 9 . a) lim (2 x -

5) = 2 - 5 =- 3 : 6) 1 і т ( 3 х ' - x + l ) = 3 - 1 + 1 = 3 ; в) lim — ^

39 0 . a ) lim (3x ®

- x ) =3 ■8 - 2 = 2 2 ; 6)l im ^^— -

X-*l '

x-*2 '

X-*l

X~*l X —S

= -2,5 .

=— = 0 ; в ) lim (x ^ - 7x + З ) = -7 .

x-*2 X + 2 4

•'“♦2 '

GDZonline.net 391. 391. а)

- 3) = 47 : ІПП (2*^ - З) = 197 ; lim (2д.^ - З) = 497 ;

б) lim (1 +

= 1.5^ = 2,25 ; lim (l + jc f = 4 ;

х-.0,б'

■>) ї й

1 ^ * + —5- = - 2 + - = - 1- ;

392. а) в)

lim

.-.-1

1 ^ = -1 + 1 = 0 ; lim Г X + —5х

- 30) = 120 - 30 = 90 ;

1. 5’

д) lim(2x + 5x') = 0 . б) lim (7 - З ї^ ) = 4 ;

5х ґ) h m - 2— - = »->1 X

-5

394. а) Дх = 5.5 - 5 = 0,5; в)

5 4

;

в) lim ж(д; + 5) = 24 ;

-2

д) lim — — = - = 1. » - . 3 7

б) Дл = 5,1 - 5 = 0,1;

г) Ах = 5,001 - 5 = 0,001.

Д^с — 5,05 5 ~ 0,05;

395. а)Дд: = 1 , 3 - 1 = 0 , 3 ;

- 5 -

г) lim {2х‘ - 5) = 50- 5 = 45;

,-) lim (l - З * “ ) = 1 - З = -2 ; х-»0 ' 2а: -1 _ г) lim »^0 х + 5

1 + —^

б) 1іт(8-3л:) =8-3 5 = -7; Х~*6

1іш(2д:-0,5) = 1 0 - 0 ,5 = 9 ,5 ;

393. а) lim (2 + * + x^) = 2 ;

Um ^(l + д:)* = 0,25 ;

б) Дл: = 3,5 - З = 0,5;

в) Дл: = 2,7 - 2,1 = 0,6.

3 9 6 . j / = 3jc + 1 а) Ді/ = ^ - і/ „ =Зж + 1 - (З ж „ + і ) = Зд:-Зд:о = 3 (ж - д :„) = 3 ( 2 ,3 - 2 ) = 3 0,3 = 0,9 ; б) Ау —З {^х —jCq) —З (5,5 —5) = 3 '0 , 5 = 1,5; в) Ду = 3(д:-л:„) = 3 (2 ,7 - 2 ,5 ) = 3 0,2 = 0,6 . 3 9 7 . у = о ,5х - з а) Дл: = JC - х„ => ж = д:„ + Дд: = 1 + 0 ,2 = 1,2 ; Ау = у - у„ = 0,5х - З - 0,5х„ + З = = 0,5л: - 0 , 5х„ = 0 ,5 (л: - ж„) = 0,5Дл: = 0 ,5 0 ,2 = 0 ,1 ; б) х = ^0 + Дл: = З + 0 ,4 = 3 ,4 ; Ді/ = 0 ,5 •Дд: = 0 ,5 ■0 ,4 = 0 ,2 ; в) ас = + Дх = 2,1 + 0 ,9 = З ; Ду = 0 ,5 •Дд: = 0 ,5 •0 ,9 = 0 ,45 .

398. у = 1 0 х - 1 а) Д і = л:-я:„ = 1 ,2 - 1 = 0 ,2 ; Ді/= j/=

100,2

= Ю х - 1 - ІОд:^ + 1 = 10(д: - д:„) = ЮДд: ^

;

б) Дл: = 3 ,1 - 3 = 0 ,1 ; Ду = 10• Дл: = 10 0 ,1 = 1 ; в) Дл: = 2 ,5 - 2 ,1 = 0 ,4 ; Ді/= 10 Дл; = 10 0,4 = 4 .

399. і/= Х + 1 зростаюча на всій області визначення.

400 , у = -х спадна на всій області визначення

GDZonline.net 4 0 1 . a)

402. lim /(jc) = - l , 1іт^(д;) = 5 , lim г (л:) = 2 а) lim в) lim

lim

а 4 ^ ~ - о ; б )

^ (x )- « j(x ) g{x)

2-5

1-Ь<р{х)

*->« g {x )- ^ (x )

l-51im?>(x)

2 1іт/(д;) .JLi?.. _________

2f{x)

x = -0 .2 ; Ііт г (д :)ііт ^ )(л :) = T10

g( x)i p( x)

1-5-5

-24

12’

lim ?(j:)lim f)(x )

2-5

403. P { x ) = a X + a , _ , x '- '+ . . . + a„ lim (a x" +

+... + a„) = lim a x " + lim а .x"~' +... + lim a„ = "

X-»Xo

" *

= a„ lim д:" + a„_, lim x"“‘ +... + a„ = a„ac" +

405. а) lim -- ^ = lim ^ — Щ х + ^) _ ‘

X + i*

._A

x^ Л. +Л A

х-»Го

+... + a„ = Р(ж „).

_ 4 ) = _g . '

4 t * -1 { 2 x - l ) { 2 x + i) 6) lim ~ — f = lim = lim (2д: +1) = 2 ; »‘"ö.s 2 x - l 2jc - 1

. ,. x ‘ - 2 x + l i->i x - l

b ) h m ----------------------- = h m

406. a)

( ^ - 1)

*->> ;c - 1

^ ---Ц-1 = 1 іт ' ^ 4 л: -1 x-1)

lim f-

1-х = lim »->1 ' ^ { x - l ) { x + l)

„

= h m (jc - 1 ) = 0 .

»-*1

x‘ - l

x + 1) x^-l)

2 -x-l l‘5 ? (x - l) ( a :- f l) ^

^ 1 ..

x + 1)

2’ I

GDZonline.net б) ! Й

х -3 + 6 х+З ■= lim = lim + 3 )( х - 3 ) «^-3 (jc + 3 ) ( x - 3 ) .^ - з х - г — -з(х з

'- 9 J

х +З

х' + 3х-10

( х - 2 ) х + 5)

х +5

іП 7 а) І1Ш — 5— ; --- г = Ь т — -у = lim --- - = — = 1 ; AvIх-.2 3х ^ - 5 х - 2 *-2 3д; + 1 7 d ^ x - 2 J^ x + - j

б) Ї“Й .“ 2 Х ^ - Х - 6

-2 (х - 3 )(х + 2)

= lim ■= lim *^-2 (х - 3 )(х + 2) ^-2 х - 3

'2 - И _ _ 2 ^

5’

х" + 4х' + 4х

І08. а) Um 7--- -Г-.

wo.

,. ,

8X--4X-

x “' + 5x - 6

х (х + 2)

= lim —^

х-3

= 0;

+ 7 ^ ) = “ % х^ + 4 - 7 •

2 (х - 2 ) = lim

x> -5x= '+ 2x + 2

б) lim

х (х + 2)

»-*-2(х + 2 )( х - 3 ) > "

(x - S ){x +S ) (;,2 ^

2х“' - 5х + 2 ^08-

'->-2 ( х + 2 )( х - 3 )

х "- 3 х ‘ + х^ - 1 2 =

б)

х ,х ' + 4 х + 4),

■==І1Ш -V lim- — -77-- = hm -.— ' v;

' х-,-2(* + 2 )( х - 3 )

= lim '-*>

4x"

4 4

д : '- 4 х - 2

; ^-T7--- — - = lim( x - l ) ( x + 6)

X + 6

410. j/ = 2 sin X cos X = sin 2x . -J2 . sf2 ; j/(0) = 0=> Ay = у - = — - 0 = — ;

. л: ^ jig j =sm - =—

6) у

= s in f = | :y (0 ) = 0

{1 2 )

= sin

B) J/

_ .

411. j/ = 0 ,5 (c o s 4 x + 1 ) _ я _ п => Ах = X ») *0 ‘ " 8 ’ А у= і/-і/о = 0 - 0 ,5 ==- 0 ,5 ; л б)

ж =

/ = 0,5

U2j

ті

COS

'' 12

] = 0 ,2 5 ; г/

; У

£'

= 0,5 ; у

,8,

Ї2 ~ 6

'б

'ж'*

2л' = 0,5 cos--- н 1 3 ;

Зж 4^” іл ^ Я- Л- Зл" Л” Дх = х - х „ = - - - = - - - = - - ; 24

Ді = 6 - 4 = 2 f

=i H

= .o

*9 Усі ГДЗ, 11 кл. кя. 2

24 '

Ау = У - У„ = 0 ,5 - 0 ,2 5 = 0,25 .

= 0 ,5

412. а) Дл = 250 - 150

= 0,5 І + 1І = 0,5 1,5 = 0,75 ; Ді/= !/-!/„ = 0 ,7 5 - 0 ,2 5 = 0,5 ;

^2 J ж Лв )х „= _ : х =- ^

+ 1 = 0,5

я-

к :

' " б

2 '

100;

б)

An = 200 - О = 200

Ді = 5 - О = 5 An 200 = ---- = 40 Vср. =

GDZonline.net 413. a) 1 < f < 4, At = 4 - 1 = 3;

б) 4 < t < 8, Ді = 4

As = 70 - 40 = 30 ад : 10 м/с Af 3

As = 80 - 70 = 10 As 10 = — = — = 2,5 м/с A< 4

414. Щ х ) = 0,002д:^ - 0,3л: Д (х) = 200д: - 0,05д;2 (грн)

20x + 100 (грн)

а) 3 20 до 100 Щ 20 ) = 0,002 • 20" - 0,3 20^ + 400 + 100 = 0,002 ■8000 - 0,3 400 + 500 = = 16 - 120 + 500 = 396 (грн) *■(100) “ 0,002 ■1 ООО ООО - 0,3 ■10 ООО + 2000 +100 =2000 - 3000 Ч 2100 = = 4100 - 3000 = 1100 (грн) А К = К(1 0 0 ) - К (2 0 ) = 1100 - 396 = 704 (грн) Д(20) = 4000 - 0,05 ■400 = 4000 - 20 = 3980 (грн) Д(100) = 200 100 - 0,05 ■100^ = 20 ООО - 500 = 19500(грн) АД = Л(100) - Л(20) = 19 500 - 3980 = 15 520 (грн) Відповідь: 704 грн, 15 520 грн б) 3 30 до 50 ä :(30) = 0,002 ■27 ООО - 0,3x900 + 20 • 30 + 100 = 54 - 270 + 600 + 100 = 754 - 270 = 484 (грн) К (5 0 ) = 0,002 125 ООО - 0,3 ■2500 + 1000 + 100 = 250 - 750 + 1100 = 1350 - 750 = = 600 (грн) А К = 600 - 484 = 116 (грн) Д(30) = 6000 - 0,05 900 = 6000 - 45 = 5955 (грн) Д(50) = 10 ООО - 0,05 • 2500 = 10 ООО - 125 = 9875 (грн) АД = Д(50) - Д(30) = 9875 - 5955 = 3920 (грн) Відповідь: 116 грн; 3920 грн

415. К (х ) = 150 + ЗОх (грн) Д(д;) = 90л - 0,00л;2 (грн) 3 300 до 320 ЩЗОО) = 150 + 9000 = 9150 (грн) i f (320) = 150 + 9600 = 9750 (грн) А К = К (3 2 0 ) - АГ(ЗОО) = 9750 - 9150 = 600 (грн) Д(ЗОО) = 90x300 - 0,02 ■90 ООО = 27 ООО - 1800 = 25 200 (грн) Д(320) = 90x320 - 0,02 102 400 = 28 800 - 2048 = 26 752 (грн) АД = Д(320) - Д(ЗОО) = 26 752 - 25 200 = 1552 (грн) АД - А К = 1552 - 600 =952 (грн) — прибуток. Відповідь: 600 грн; 1552 грн; 952 грн.

( 2 - х )( 2 + х) = 2 +х . 2-х 2-х х ф 2. D (y ) = (-«о; 2) u (2; +оо) У точці х^ = -1 ф ун кц ія неперервна, а в точці X = 2 має розрив.

416. f { x ) =

4 -х ^

х+ 3 х+3 У точці X = -З ф ункц ія не визначена lim-^ ^ - = ІІП1 (З - * ) = 6 . •3 х + 3

GDZonline.net i l 8 . Ф у н к ц ія не є неперервною у т о ч к а х : х = п, п е N . Н— h -3 -2 -1

Н— І— І— I1 2 3 4

п 419< Ф у н к ц ія не є неперервною у точках: х = — + я-л , л є Z. Уі

420. f ( x ) = 2x^-1

Р пз

\іта(2х‘ - 1) = 2х^„~ l = f { x „ ) .

421. а) <р(х) = 5х + 3б) р (х ) = х^+ х

в) (р{х) = + 2х-1 І і т ( ж + 2х - і ) = + 2л:„ - 1 , »-"і

lim (х^ + х ) = х і + х„ ;

-11ю(5л: + 3) = 5д:„ + 3 ;

Ж-»Х#

*-»*в

го CQ ш LO

422. у = і - ь х ‘ д„

Ах~

- 5 (х ‘ - дг„^)

-1 +

Ах

- 5 {х - х „){х + х„) ^

Ах

ЯЗ ї£

^^ У

о)

І т

= -5(^0 + Ах +х^) = -Ь-2х„ = -10ä„, Дх -» 0.

423. Дх-»0 Длс

5 с

Дг-»0 а) /(х) “ - X + З

ЁУ. = и „.

Д»-»0 Л г

Дх-»0

=І

Дд;

Д*-*0

Дд;

= І І Ш ^ = -1; Д*-»0 Д х

б) /(X) = Зх^ А*-»0 Д х

= НШ

Дх^О

Дх

= ІІШ

Дх-*0

Дх

= ІІШ

^ -* 0

Дх

= и „ , з (х . х„) = Дх-»0

■ '

т ш І— с; <

в) /(X) = X» + 1 to * » . Ах *^-»0

„ „ i i r ä . і і „ (— Ах

Ах

Um (х* + хх„ + х„') = ІІШ ((х„ + A x f + (х„ + Дх) х„ + x j )' = lim jx j + 2х„Дх + Дх^ + х^ + Дхх„ + х„^) = Иш Зх„^ = Зx^

424 -а)-/ = >/?.

^ _________

( 7 г т - 7 ї ] ( 7 ї т ^ +7 ї)

Ау = у {х + Ах) - у (х ) = six + Ах -УІХ =

X-*- А х - X

\Іх + Ах + \Іх

Ах

Vx + Дх + Vx х/хТдх + Vx Дх ^ 1 Hm -г— ----— -Vx + Дх + six (>/х + Дх + •Тх) Дх

И х '

425. а) Дх) = ах + Ь lim ^-»0 19*

ах + Ь - а х „ - Ь Дх

,. а ( х - х „ ) _ ^ -= lim • Лг-»0 Ах

GDZonline.net б) / ( х ) = Ях^ lim — ------------- = l

в ) f { x ) = x r'

= lim Я ( х + JCq) =

■^(*о +

+ J^o) = 2 Лх„ •

h m ----------- ^ = h m ---------- 2. = ііщ —^--------= Ц щ ------------- = h m Дд; ДДГ-.0 Дд: ДЛ-.0 Х Х „ А Х хх„Ах ■о

1 дг->0

■= lim - хх„

(х „+ А х )х „

^ _ J_

2 - s f^

{ 2 - ^ ) ( 2 +^

)

Ь т --------------= l i m —і------------- ІЛ-------------L, — її = lim ^ «“ V (д^ _ у)(д; + 7)^2 + V i - з )

2_49

426. a)Um ^

ГО м Ш Ш Ю

- і_ ^ _ J _ ,

___________1 ( х + 7 ){2 + 4 і ^ ) ~

™

б) h m

Т Г Г ІЇ- З

р=

14-4 "

( ч/ Г Т 2 Г - 3 ) ( 7 Г + 2 ) ( 7 Г Т ^ + з )

(2 х - 8 ) ( 7 Ї + 2)

2 (^ :- 4 )(v / r + 2)

>4 а 5

с о

= lim

2 (V ^ + 2)

( a : - 4 ) ( V l + 2a: + 3 )

2-4

— — = ---- = —;

V l + 2^ + 3

3 (і- д :)

„

-З

■= lim ( д : - 3 ) ( д : - і ) ( , / 5 - х + 72л: + 2 ) { х -3)[-Jb - х + ^ 2 х + 2)

г) hm

л:’' + л:- 1 2

------.

-З - 2 ( 2 + 2)

8’

(a: + 4 ) ( x - 3 ) ( V ^ + > / 4 ^ )

= h m -7- = = = ----- ,, . . \

'- М д : - 2 - V 4 - X

І—

(x - 4) ( V l + 2 ^ + 3)

, л / 5 ^ - ,/ 2 ЇТ 2 ( > / 5 ^ - л/2х + 2 ) [ - J b ^ + уІ2х + 2) в) h m 5----------------a --------------- L = limJC » 1 д:‘ л:'-4л: - 4 jc + 3 (х - 3 ) { х - l ) U 5 - x + уІ2х + 2] к _- х -_ 2о х - 2 5 3~3х = lim■= Iim{х - 3)(д: - 1)(>/5 - х + л/2і + 2) (х - 3 ) ( х - l)(V 5 - x + sl2x + 2')

( і + 2а: - 9 ) ( 7 Ї + 2)

— —r = hm -7

—Ц- = h m ------- ,

(д :-4)(> /і + 2х + 3 )

ІС S

/ V ■ ■ --- — = h m ------ , .. .Л, .--- f :

- 2 ) (V x + 2 ) ( V l + 2л: + 3 )

= h m ------ , , (О

56’

= lim - -,-^--- ..-./Л ,,,

V jc - 2 ,.

4-х +З ( х - 7 ){ х + і) { 2 +

■■ ; -

- V 4 -x )(> /x -2

+ V T ^ j

(j: + 4 ) ( х - 3)[\ і х - 2 + \ І 4 - х ) [х + 4 )(х - 3 ) ( ^ х - 2 + V4 - лг) = l i m -----------------------^-------------------------- = l i m ----------------------- ^-------------------------- =

*-*3

д: - 2 - 4 + л:

2х - 6

»->з

(х + 4 ) ( х - 3 ) ( ^ / х - 2 + л / 4 - х ) (х + 4 )(\ / х - 2 + y / 4 - x ) ^ ■2 = l i m -------------------- - 7 І— -т ------------------- = l i m ----------- і 1 ------------------- = --------- = 7. *-*3

2 (х - 3 )

427. а)

lim X-.0

. X X 2 s 1in sin " ^ ÄÖ I1 * — »111 S in — s in — 1 1 1 5------ = l i m ------- 5—^ = l i m —у —J = l i m ------ ^ - li m ------ =^ - = 1 1 - = - ; «->0 2 ^^0 X X 2 2 2

2 ,, l-COSJC — = lim 6) hm ^-------- = h m »-*<> j ; s i n x jcsin a: »->“

sin —

sin — — ■lim ■■- ^ ■lim x »-»o x »->0 s in x

2 ’

c o s x ( l - cos* ЛСІ

...

2 sin* ^

cos JC-cos X sin* д; s in x 1 ,. s in * 1 і_________ L = - lliv h m -----------^— ::-------= h m i m ------- — = h m ----- = — h m ------ = — . X sin 2д; 1-.0 X ■2 sin д; cos x »->“ 2x sin x *-*“ 2д: 2 »->« x 2

. -Jx + 2 --J2 (V x + 2 - >/2)(Vx + 2 + V 2 ) x +2-2 im ----------- = hm-i-------L = h m ------ ---- --r ) lim »-*« s in Зд: s in З д :(7 Ї + 2 + sf2) *-*" s in 3x Vx + 2 + 4/2 ) = lim — in

— lim

s in 3 x

* - ^ 3 ( V x + 2 + n /2 )

64/ 2

= О + 4 = 4 : б) lim

437. а) »)

GDZonline.net

§ 11. Границя ф ун кц ії на нескінченності

^ Л +- - 2

=0+0+9= 9;

= 0 + 0 - 2 = -2 ; г ) lim 4 - 7

= О - 7 = -7 .

438. а) l i m ^ l 2 - ^ j - ^ = 1 2 0 = 0 ; 6 ) l^im 7 + ^ j ^ - s j = 7 ■(-3) =-21 ; f 5

„'l

= l (-2) = -2 : г) l i m ^

») u «

=0 1 = 0 .

1-1 1 i ++ i1 v_4 x +1 4 3 9 . a) lim = f = = і- = _ 1^ ;, 6„^) lim ^^— ^ = l i m --= lim lim ------f-- = ' X— X - 2 , 2 1 »->- ac + 3 . 3 1-1+X д; 3 -1

Зж -4

7л:+ 9

-2л:-1

„ 4 1 о --- h —2

6 - і" « '

л:"

i m — 5----------------= h m — ^ б ) lim

3x* - 4x +1

!І І Л

■,

л: 2

1 ;

= — = 0 ;

X = —^ = 0n : \ 1* ® 1* b ) h m — ; ----------= h m - ä — .-^-2x^-9x X— 2 _ 9 2

X 4 , 1 - - 1 +7 x^Ї *-*“ 5_ 2

A J 4 \i- 4x —X* +1 1- х 441.a)hm—^— —-=lim-i 5x-2x

3-2

Ä\ 1* 3x —2jc* ' X ^ 6) hm--^—--= 1lim-*—r-=--r

^ 5

3x^ + 2x

3^^

X e) lim -^— *-~л:* + 18

ЛЛ1

1-Л lim ^ = 1; » - * - ,1 8

4x^+9

r) lim = lim . , 2 «— ac* + 2x +1

■*

2 '3 '

442. a) hm—= ----=hm--- ^ = t = 4; «->- x‘ + 2

5 Ш '+ 5 і + 2

3 x*-8 ,. 3x*-8 ,. 6) hm—;— — = lim «— X -1

«— . ^

= T = 0. 1 1

p v2

„

^ = 3; 1 „2

4 12

„

1 0 ж ‘' + 4лг

*) lim-— — --- - = lim ---f — f - = - r = 2; r) h m — — — = h m ---- о •-" бж* + 5 x - 1 fi ^ 5 1 6 »— 5jc* + 2 x . 2 6+ ^ x X

~T ^ 5

GDZonline.net , 1

443.

444.

-------

1 1 l

1/ 1/

AAC

p CQ Ф Ю

\ !•

= lim j c (x - 3 )(V x + 6 + з)

ДГ+6-9

lim

2 (л - і)’

2 (л “ - 3 п " + 3 л - і )

' _ — l i m — ^________________________L — = 1i lim-

Л® - 1

T a 5

= !- ■

1 = lim-= 0; x(-jx + 6 + з)

x {x - 3)^уІх + 6 + з ) ,

(>/л: + 6-3)(ч/л: + 6 + з)

Vj; + 6 —3 x^-Zx

445. a) Iim — 5-----= lim

Ш х + 3 - V2x - l ) U 2 x + 3 + V2;c - 7) .'.1,-., L. V2x + 3 + V2x - 7 10 lim —Г---------- = 0; V 2 i + 3 + ^J2x - 7 ,

446. a) U m (V 2 * + 3 - V2x - 7) = lim^---------

lim

2x + 3 - 2 j : + 7 ,

V2a: + 3 + \l2x - 7

с о

5 6)

l i m ---------------- = lim - ^ --------^

»-*- Л + 1

447. a) lim <

^^ і

_4 V2x + 5 - 3

= 1 .

" { х - 2 ){ х + 2)[уІ2х + 5 + з) ■= lim у 2 х + 5 - з )[ ^ 2 х + 5 + з )

(ж -2 )(д : + 2)(>/2д: + 5 + з] (д:-2)(д: + 2)(V2x + 5 + з) = lim ------------ і---------- = lim ------------ 5---------- ■ »-•2 2х + Ь - 9 *->2 2x-4

(x + 2 )U 2 x + 5 + з) 4. 5 U m -------- ; ------------ ^ . 1 2 ;

(д:-2)(д: + 2)(>/2х + 5 + з) = lim -------------x-*2

n-2

448. a) lim K/5 - 3 n = lim- ,

X_ £

,--- ,

" (n/5- З п - у І- З п ](у І5 - З п +sl-3n) = lim^-------- , , ----------- = V ö - 3 n + V-3n

5 —Зл + 3/1

; = Um . ? = = 0; 5 - 3 n + v-3n "-»*• V5 - 3rt + v-3n

6) CSt

ca ІЛ

+4л h m -7 - ■ ■ ■ ■= hm

i R

- 3n *

= 1.

GDZonline.net 4

АЛЧ а) У = -------

1-х

«Р»«'

X= 1 вертикальна асимптота, оскільки lim

.-.1 1 _ X

gj [^ = ------ — X = -4 вертикальна асимптота, оскільки l i m

= »o ;

j = оо ;

ц = --------- Оскільки l i m --------- = оо , то X = - З вертикальна асимптота; х +3 ' — зх + 3 І/ = — — х-1

Оскільки lim — — = ~ , то X = 7 вертикальна асимптота. »-7 X - 7

4 4 5 0 . в) у -

^ Вертикальні асимптоти х = 1 і х = - 1 ;

6} у = — — - Вертикальні асимптоти х = 2і х = -2; в) у = ^ ^ д Вертикальні асимптоти х = 2і х = - 2 ;

г) у = — ----- Вертикальні асимптоти х = З X

4 5 1 . а) у = ---------- , lim (х + 1) —

J- = 0 => !/ = О горизонтальна асимптота; (х + 1)

б) U =

і х =-3 .

—у

Г7 г . lim 7 г7 г = 0 => U = о горизонтальна асимптота; (х -2 )(х -і) — (х -2 )(х -і)

Зх + 5 Зх + 5 о о в) у = ------------, lim ------------= lim ------ ^ = 3 => і/ = З горизонтальна асимптота; х + 3 « -» -х + 3 *-*- J ^ І

---------------- т . lim т = 0 => 1 - 2х + х^ *->-1 - 2х + х ’'

г) у

у =

О горизонтальна асимптота.

4 5 2 . а) U = ----------, lim -------- = 0 => u = О горизонтальна асимптота; х + 3 »— х + 3

б) І/ = — г , lim —т-------- г = 0 => !/ = О горизонтальна асимптота; 5 (х + 2) 5 (х + 2) - - 2

9 —2х 9 —2л: в) Ü = ------ , lim ------ = lim -^— — = -2 => z/ = -2 горизонтальна асимптота;

X^S

X-»- де- з

2- — X

т) и = — :----- г ,

lim — ;---- г = 0

х (2 х + і )

І/ = О горизонтальна асимптота,

х ( 2 х + і)

4 5 3 . а ) у = х е” Вертикальних і горизонтальних асимптот немає; б) у = Зх _ £ 2 І £ X = 0 . Вертикальна асимптота, горизонтальних немає. X 4 5 4 . а) і/ = 1 + 2хе* . Вертикальних і горизонтальних асимптот немає.

4 5 5 ..,

х{уІ1 + х^ +УІ4 + Х‘ ]

,. 1+ х“ - 4 - х ^ З „ = lim— , — ---, ■ у = hm --- , , , ■-■—7 = 0; '■*~x(Vl + x “ + ^4 + x‘ j '■*" x | v l + x^+ V 4 + x*|

sll + Эх“' - УІх‘ - 1

|V l + 9x^ - \lx^ - 1

+ 9x^ + Vx* - I j

GDZonline.net

}

l + 9x^ + x ^ -1 + 2уі1 + 9х Ч х '‘ - 1 lOx^ + 2у11 + 9х Ч х ^ -1 = lim -------------- ;;--- =------------= hm — l + 9x‘ -x^ + 1 8x‘ + 2 16

= lim

= 2.

8 + 4-

456. a) lim5«'-2 =

= 5« = 5^ = ч/б ;

Qlim (3x - 2) [in (2д: - l ) - ln (2x + l ) ] = lim (3 jc - 2) ln

— j- = lim ln 1-2x + l )

(З д -2 )(-2 )

= lim ln

lim

(’ - i Ä T

-6 + = li m

i. iT x)

= lim In e

= lim

-6x + 4 2x + l

X = _ £ = _ 3. 2 +i X

JL± 457. a) lim 6 ''’*ä = б— '**» =6

« '■ = 6' = 6" = 1 ;

6) lim {2x + 3) [ln (x + 2 )~ ln x ] = lim (2x + 3) ln |2»*3)2 = lim ln у

^ = lim In e * x->-

= lim x->-

- = lim ln 1 . 2 Xj

4x + 6 = hm X «-*-

= 4.

§ 12. Власти вості функцій неперервних у точці і на п ром іж ку

Зх^ + л: + 5 , 2х'‘ + 6х + 4 * О , 2х‘ + 6л + 4 = 0 => л:*+Зд: + 2 = 0 => 2х^ + бд: + 4 -1 => a:j = 1 , х^ = -2 => ф ункція неперервна на інтервалах х є (-о»; -2) и (-2; -1) u (-1; +“ +~ ): u (-1: —16 б) f { x ) = --j— --- , х ‘ - 6 х + 8 ф о => Xi * 4 , х^ * 2 =» ф ункц ія неперервна на X “ бдг + о кож н ом у з інтервалів х є (- » ; 2) u (2; 4) u (4; +<>о).

466. а) f { x ) ■

467. а) f ( x ) = ^ x ‘ - 4 , л ' - 4 > 0 => ^

=> (* - 2 )(з с + 2 )> 0 =>д:є (- о = ;- 2 ]и [2 ;+ ~ ). Ф у н к ц ія неперервна в ко ж н ій точці області визначення х є б)

^ -2] и [2; +~);

f { x ) = \Іх‘ - 6 х + 9 , jc“' - 6х + 9 > О => (х - 3 f > О =» ф ункц ія неперервна на R.

468. f { x ) =

J . Дробово-раціональна ф ункц ія неперервна на всій області ви

значення. Щ у ) = R , отже, ф ункц ія неперервна на R.

469. г/ = - '

х-2

470. а) у =

4,(1) = </(-1) = 0. у{2) = і , °

Ф у н к ц ія у

X = 2 точка розриву другого роду lim

1/(0) = - і

=І = 2^ ----- неперервна в точках 1; 2; -1; 0; 9

= - і = і,(0)

GDZonline.net u=

ов і'

х +1

ДІЯ V = —

в)

Елементарна функція неперервна на області визначення. Отже, Функ

неперервна в точках 1; 2; 0; має розрив у точці х = -1;

У =' г

ф ункц ія у =

у = — Щу) =

0) и

(0 ; + “ ).

^ ^ неперервна в точках 1; 2; -1; 0;

2 О тже, ф ункц ія у - — неперервна в точках X

2; -1; має розрив у точці д: = 0.

471 , Залеж н ість V від t є функцією, t -= 327 точка розриву першого роду.

472. Ф у н к ц ії f ( x ) = — і g {x ) = f ( x ) + g (x ) = — +

розривні в точці л: = О

= О => f { x ) + g { x ) = 0 неперервна в точці X = 0.

473. / ( * ) = " Т розривна в точці х

= О, g (x ) = 6л неперервна на

R=> f (д:) + g (x ) = - ^ + 6 x розривна в точці х = 0. І

_±

474. Нехай f ( x ) = e‘ і g (x ) = е ' розривні в точці х = О => =» f ( x )g {x ) = е» є * = е° = 1 => f { x ) g ( x ) = 1 неперервна на R . І Нехай f ( x ) = є ” розривна в точці х = О, а g {x )= е“ неперервна на Д ==> І =* f { x ) g { x ) = е‘ ■е ' = => f ( x ) g ( x ) = е ' розривна в х = 0.

475. а) / ( х ) =

г х “' - 1 ,

< 1

х\х>0 б) f ( x ) =

— ,х< 0 2х

X - 4 ,х > 1 Функція має розрив у точці х = 1

lim х^ = О : lim — = -оо

першого роду. lim (х - 4) = -З ;

і-»-о 2х

х-»+о lim (2х* - 1) = 1

lim х^ / lim —

ІІШ f ( x ) Ф lim f { x ) ;

«-.1-ю ' '

л-,1-0 ^ '

Х-++0

у точці

Х-.-0 2х

=» f (x ) має розрив

= О другого роду.

GDZonline.net 1

, ,1 . 3 x^ -2x 3 x^ -2 x x (3 x ‘ - 2 ) 3 x^ -2 2 : h mЛ-------- =l i_m—Ї ^ = I i_m------= - -e 476 . a ) f ('x )' = -------C*. ..I .Л e * -» 5x 5дг 5x 3x^ - 2 x

,x * o

- - .. =0

tg3jc 4дг

,x ? ;0

! ■ '= » ^

* (V l + X + l)

lim - 7= = -------= lim ■ ,-------

’ -“ V l + j c - l

* (V l + AT+ l)

, , ---

г = lim — ^----------------- = l i m l V l + x + 1 ) = 2

(ч/і + дг - l ] ( V l + x + l )

1+Л -1

,x * 0 У ІЇ + X - 1

f{x )=

2 ,x = 0 Ч

l - c o s 2 i:

6) / W = — ^5---- : hm x-^O

l- c o s 2 x 1 - cos^ л: + sin^ д: 2sin^x ... s in x зіпд; _ 3----= lim -------- ;------- =h m ----r— = 2 h m ----------- = 2 X x - ,0 X д-,0 x ‘ 1 - cos 2x

f{- )=

,x^0

x‘ 2 ,x = 0

478. ДГ< - 3x - 1 = 0, [1; 2] fix ) - X* - Зд: - 1; /(1) = -3; « 2 ) = 16 - 6 - 1 = 9 => /(1) < 0, f{2 ) > 0, f(x ) — не перервна на пр о м іж ку [1; 2]. Згідно з теоремою Больцано-Коші, існує принаймні одна точка с, І < с < 2, f(c) = О => Число с є коренем даного рівн ян н я.

479.

+ 4х + з = о, [- 1 ; 0 ]

/(X ) = х^ f 4х + 3; /(-1) = -1 -4 + З = ■ -2; /(0) = З => /(-1) < О, « 0 ) > О, f(x ) —

неперервна на пр о м іж ку [-1; 0]. Згідно з теоремою Больцано-Коші, існує при наймні одна точка с, -1 < с < О, f(c) = О => с — корінь рівняння. fx * - l

480. а) f ( x ) = х - 1

,х * 1

: і і т / ( х ) = / ( і) . Ф у н к ц ія

f(x )

неперервна;

2, х = 1 б)

/ (х ) = е**^;

1іт^е**2 = -ьоо ;

= О . Ф у н к ц ія

f[x )

= е'*“ має розрив дру

гого роду в точці X = -2.

481. а) lim

дг-.4*о ( х

. X ^ ±4;

f{x ) =

х -4

f{x )

, . 1 1 , . -х-і-4 1 -= hm ---- = -- ; hm ■ ;--- — -----г = Im i - -

- 4 ) ( х -і-4)

Ф у н к ц ія

Ьт

'-»‘»о X-t-4

1.x “ 4І = ^

8 ’

в точці X ~

<->'‘' » ( х - 4 ) ( х + 4 )

»-»«-о х-н 4

має розрив другого роду, в точці л: = 4 —

розрив першого роду; 1 , X 55±3 б) / (х ) = х ' -9 lim ,^13

- = оо . У точках X = 3 і X = -3 ф ункц ія має розрив другого роду. -9

GDZonline.net 482

um 9 ^ =

+00

б)

. У точці X ~ 2 функція

-2

1,7

lim 4®“^ = +00 . У точці д: = З ф ункція

х-»3-0

має розрив другого роду.

іа є розрив другого роду.

, х ф Ъ

3 1 9

4 1 3

x + 4f X < -1,

Х-¥2,Х<, -1, 4 8 3 . а) f { x ) = Ж*+1, - 1 < JC S 1 ,

-х + 3 , х > 1 у точці д: =“ - 1 ф ункція має розрив першого роду (неусувний).

у точці X = о ф ункція має розрив другого роду.

б)

f{x)=

х‘ + 2 , - l S x < l , 2х,х^Х

У точці X = 1 функція має розрив першого роду (неусувний).

GDZonline.net б) f { x ) = Z*-' , X * і

-4

1,1

1,3

1.7

5 1 6

8 0.8

У точці лс “ 4 ф ун кц ія має розрив другого роду.

32 І І І І Н— І— I- 4 - 3 - 2 -1*1-. 1 2 3 4 5

-X, х < 0 ,

COS X , х < О,

485. а) f [ x ) = л ' +1, О < д: < 1,

б) / (х ) = - (х - i f , О < X < 2,

х ,х > \

х - 3 ,х > 2

У точці X = I ф ункц ія має розрив першого роду (неусувний).

У точці ж = О ф ун кц ія має розрив першого роду (неусувний).

б) /(д:) = 3 + 1 + 3‘-* lim

г-»г+о

5 .. -Т= -г; lim •1 о «--кф.л - і-

2 + 3*-'

2 ’ *“ 2-0

lim 3 + л-»1-0 1 + 3'

2 + 3*-'

У точці х^=‘ 2 ф ун кц ія має розрив;

= 3; lim 3 + JT-+1+0 1 + 3‘-

У точці х^= 1 ф ункція має розрив.

487. л‘ + ж - і = 0 , [0,5; 1] / ( . ) = .» + . - ! ;

/ ( І) 4 4 - 2

=І - 2

= - і Ц < 0 ; /(1) = 1 + 1 - 1 = 1 > 0 .

fix ) — неперервна на п р о м іж ку [0,5; 1]. За теоремою Больцано-Коші існує при наймні одна то чка е, 0,5 < с < 1, що /(е) = О => с — корінь рівн ян н я.

§ 13. Д отична до графіка ф ункц ії і похідна

498. а) д: = 1; X - 2;

б) jc = 4; д:= 6.

499. X - 3; д: = -3. 500. а) д: є (-3; 3); 501. *1 = tg60- = S ; 502. а) так;

б) д: є (- ~ ; -3) u (3; +~). *2 = tg45- = 1. б) так.

GDZonline.net «03. Рівн ян н я прямої у -

= k (x - х„) , _ 5 = 3(ж - 5) =» у = 5 + 3jc - 15 =» у

504.

Зх - 10.

k = 1; 6) X + 2у + З

О => 2у ” -д: - З => 3 1 . 3 -0,5; в) Зд: - 5і/ = 1 => 5j/ = Зх - 1 => у = —х => k = — ■

а ) у - л : + 5 = 0=>і/ = х - 5

-0,5х - 1,5 :

505.

А (-3 : 3) і В (2 ; 5) рівняння прямої у = kx + Ь. Ро зв’яж ем о систему лінійних рівнянь: . Л

:-3 k + b

2 = 5k

:2 k + b

6 = 5-2*

В ід п о в ід ь : k = - .

506. ®) 0(0; 0) і А (5 ; 3). П рям а, що проходить через 0(0; 0) має р івн ян н я у =■=kx =j3 = 5ft=> * = т о З 5 Відповідь: О

= kx + b. Маємо систему лінійних рівнянь: 5 = ^-

^ jb =5

f^ = ^ '

4* = З - 5

З = 4ft + 6

ft= - i

Відповідь:

21-

507. у =^ ; Т ( 2 : 2) X у

0,5

Ф тупий, tg

1 Т 1 1 1 2

^ ' п >. -2

< О, ft < О

508.У= Дх) (-3; 5)

= 2

до № 5 0 7

II,

Н є (-3; 2), ft > О => ф ункц ія зростає на інтервалі (-3; 2); Ä є (2; 5), ft < О => ф ун кц ія спадає на інтервалі (2; 5).

т . у = х^ , х

г> 1 8 *

-4 \

ф Лстр и й = > tg ф > 0 = > ft> 0 ;

(х^) = 2х , у ’ (д:) = 2х =>

1 1 1^ -3-2-1 ”

=> / ( 2 ) = 4 =» ft = 4.

2 3

Відповідь: 4.

^509

510. а) / (х ) = д:" => г ( х ) = 2х =» Г ( 2 ) = 4 ; кч W ч . , S О) П л )= Ьх^ => f ( х ) ' ^ ' =lim А*-»0

/'(-3) = -зо ;

.. Ді/ .. !/(^ + AJc)-!/(jc) hm — = h m —^ ^ Д Х-.0 Лг Л ді-*о Дд: Ддг-О Дуї 10д:Дх + 5Ддс^ Дх-»0

Ах

5 {x + A x f - 5 х ’‘ h m — ------------- Дх

а*-»о

= 1 іт (і0 д :-5 Д д :) = 10дс;

GDZonline.net в ) А х ) = - х = і f '[ x ) = lim '

= lim

Äjr-*0

Д *^0

/^x Ax

^ = Ц щ -^ = x '^»->0 \Ax

; ^ '( 4 ) = _ j.

Д*->0

♦

- x ‘ - Zx'^Ax - 3x (A x f - Ax^ + xX \ V ~ {x + A x ) +x^ f [x )= hm — ^----------= lim

Г) f{x ) = -д:“

Ддг-*0

Ax-*0

= lim - 3 ^ ^ A x - 3 . ( A . f - A . - ^ длг-»о

Дд:

^ ^ дх-»о'

^ '

511. (jc^) =2x , y = x ‘ => y '(x ) = 2x y'{- 2 ) = -4 ;

6) y'(3 ) = 6 ; г) г/'(-2,8) = -5 ,6 .

B ) г/'(0,7) = 1 ,4;

512. (x^)' = S x \ y = x^ ^ y '(x ) = Zx^ a ) i / '( l ) = 3 : b ) i/'(10) = 3 ■100 = 300 ;

6) j/'(5) = 3-25 = 75; r ) y '(- l, 5) = 3 2,25 = 6,75 .

513. y = x \ у =2x &) k = y'(2,b) = 5 ;

в) Ä = y ’( S ) = 2^b .

6) Ä = i/'(-2,5) = -5 ;

514. y = x \ y ' = 3x‘ Р ів н я н н я дотичної, що проходить через то ч ку (jc„, у „ ) : у - у ^ = у '(х ^ ){х - х „ ) . а) б) + в)

*0 = 1 > i/o = 1 > у ' (-*о) = З , У - І = 3(х - І ) => у 1 + гх - З => у = Зх - 2; *0 = -2 , і/о = -8 , у '(-2) = 12 => рівняння дотичної: у + 8 = 12(х + 2) => і/ = -8 + 12л: + 24 => І/ = 12х + 16; *0 = 0 , Уо= 0 , у'(О ) = О => рівн ян н я дотичної; у - 0.

515. у = х ‘ , k - G у ’ (х) = 2х => 2* ” 6 => ж =■ З, J/ = З* = 9 динати точки дотику дотичної до графіка ф ункції у = х^ .

(3; 9) — коор

516. у = 0.5х^ X

0,5

4,5

X, = о , х, = 1 , х, = 2 T,Tj : ft = - ^ = ‘ ' Ах 1-0

= 0,5

Т,Тз : Ä = - ^ = =1 ‘ " Ах 2-0 Т^Тз :А = ^ = 2 : : М ' ' Ах 2-1

= і ,5

517. у = — ■у ' - lim — = lim X

518. і/ = %/ї.

^-^0 А х

_______

і»-*»

— — = lim Ах ■^->1 ’

______

ЛДГ-.0

Ах

------ ?;— ^— (^х + А х )х

_____

Ау - / T T Ä ^ - y f^ ,, [^ x + A x - ^ x )[< lx + Ax + slx\ у = hm — = h m ------------------------ = hm , р=т--------- - = лх-^одд: л,^0 Дд; д.^0 A x [- Jx ^ A x + 4 i] ,

_ ..

х-¥ А х - X Ах (ч/х + Дд: + у[х^

1 ____________ 1

УІХ + А Х + >Jx

2^х '

519. а ' = о ; х' = 1; (ах + Ь) = а ; (д:^) = 2х ; (д:*) = Зх^ ;

GDZonline.net , 1 1• (х + Лх) + 2 (х + А х ) - 1 - х ‘ - 2 х + 1 и' = lim - ^ = lim ^ ------------------------------- =

„ , и = х^ + 2 х - 1 . 2

ОП

Э * "’ ^

Л«->0 Д;с

Лд:ч()

Дд;

х ‘ + 2хАх + Ах^ +2х + 2Ах - х^ - 2 х ,. 2хАх + Ах^ + 2Ах z; " ІІ 2 І--------------- к ; --------------- = Ь о = lim (2* + Дх + 2) = 2х + 2. у '(Ю ) = 2 ■10 + 2 = 22 " д*-»0

521. у ~

-^Ьх + с Ац а (х + A x f + Ь (х + А х) +с - ах ‘ - Ь х - с = lim ^ = lim і-^ ---------------- = » д«->о Ах Ад: ах^ + 2ахАх + аАх^ +Ьх + ЬАх + с - ах^ - Ь х - с

_ ц щ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ах

“ -.о

2ахАх + аАх^ + ЬАх

-------------------------------------- —

^-0

Дх

- lim (2ах + аАх + Ь) = 2ах + Ь. Дх-»0

522. у-=х^ + 5х + б у’ = 2х + 5 а) = -2 + 5 = 3 ;

б) у'(0 ) = 5 ;

523.а) 1/ = З х '+ ж - 7 у ' = 6х + 1

б ) у = -х‘ +5х в) у = 1 - 6 х - х ^ у ' = -2х + 5 у ' = - 6 - 2х

а (х + A x f + с - ах^ - с

Ди

и' = lim —

дх-»о Дд:

в) !/'(1) = 7 ;

дх-»о

Дд:

Зал^Дл: + Зл:{Дл:^

ах^ +Зах^Ах + 3 x ( A x f - ах^

= lim —^------------------------

ДХ-+0

„

г) г/'(1) = 7 .

„

= h m ---------------------^— Дд:

---------- =

= lim -------------------- — — = hm (Зад: + ЗхДдс) = Зад: . Д.-.0

Дд:

Аг->0'

525. j/ = o,ix^ + 5 J,' = 0 ,l- 3 x ' = О.Зх* а) = о ,3 ; б) г/'(-2) = 0,3-4 = 1 ,2 ;

в) i/'(l) = 0,3 ;

г) i/'(2) = 0,3 4 = 1,2 .

б) у = -х^ + 5 в) і/ = 1 - 6х" !/' = -Зх' 1/'= -6 -Зх='= -18х'

526. а) у = 5x“ - 7 у ' = 5 ■Зх‘ = 15х^ 527. а) I/ = Зх - 7

, 3 (х + Д х ) - 7 - З х + 7 Зх + З Д х - З х ЗДх ^ о п у' = lim —^----------------- = h m ------------- = h m ---- = 3 = > у = 3 > 0 , ix-,0

A jj

ДгчО

Дд:

І.-.0 Д х

* — будь-яке число; б) J/ = X® + 1 (х + A x f + 1 - Х * - 1 , х '+ Зх’'Дх + З х ( Д х ) '- х ' у' = lim -------------= l i m ----------- ; і— ----- = Дх^О

Дх

= lim

Д»-*0

Д1--+0

ДХ

(зх^ + зхдх) = Зх^ ^

Дд;

Д*-»0'

у '(х ) = Зх^ > О ,

* — будь-яке число; ®) 1/ = \/х У ~ lim

______

7 Г Т д І- > / ї

•п-г- - — lim

Дх _

х-нДх-х

. ,

''»-о =v =

Дх(л/х +Дх + V x )

ä/'(x) = —^

____ __

(Vx + A x - V T )(V x - h A x + V r ) I I '

г~\

—

Ax(vx-H Дх + V x ]

“ т>------, ,

Дх

f=r = hm

'^-"“ Axlvx-I-Ax + V x j

Vx + Дх + Vx

2Vx

— = ---------- = —7 =

> 0 , X — будь -яке число,

2 уГ х

528. а) у = (х + 2)(х - 2) = х^ - 4 у ' = 2х , у'{5 ) = 10 ;

б) і/ = (х - і)(х^ -н х + 1) = х“ -1 (/' = Зх" , у'(5) = З •5" = 75 ;

Г1

GDZonline.net в) y = V 7 7 2 7 7 T =

=хЧ і

у ' = 2х , у'(5 ) = 10 ;

529.

^*3

у ' = 1, і/'(5) = 1 .

у =- - , у =~X

а)

= -1 ,

= 6 ,

j^ '(-l) = - 6

Р ів н я н н я дотичної: у - 6 =-6(лг + 1)= > і/ =6 - 6 д :- 6 = > у = -6х; б) д :„= - 2 , і/ „= 3 , / ( - 2 ) = : ^ = -1,5 4 Р ів н я н н я дотичної: у - З = -1,5{х + 2) => у = З - 1,5х - З => і/ = -1,5л:; в) х „ = 3 , і/„ = - 2 , у '(3 ) = ^

=-^

Рівняння дотичної: у + 2 = —

(л ^ -3 ) ^

у =-2—

х + 2 =» у = — х ;

Р ів н я н н я дотичної: і/+ 1 = - —(лс - 6) => і/ = - 1 - —дг + 1 => у = - —х . 6

§ 14. Техніка диференціювання

539. а) у = х^

б) у = -лг’

у ' = 6х* ґ) у = Зд:“ у ' = &х

540. а) у = х^ + х^ у ' = 2х + Зх^

в) у = х '“ у ’ = Ю х*

г ) у = -х

у ' = -Зх^ Д) У = 2лс’ у ' = 14лс'

е) і/ = -7ж* у ' = -56x'

є) у = 0, їх

6) у = х^-х^ у ’ = 7х‘ -3х^

в) у = 4х‘ - 2 у ’ = 20х‘

г) у - -5х® + 4

541. а) у = З х ^ - 5 х + 7

б) 1/ = 2 - Зж у ’ = - 3 - 16х г) у = 5 - 2 х + 7х^ - З і ’ у ' = 4х^ + 9л:* - 5

І/' = бдс - 5 в) у = X* + Зх’ - 5лс + 4 у ' = -2 + 14л: - Эл:“'

542. а) у =

ху /х

у ’ - x'yfx + х ( ^ ^

=у/х + -^ l= = yjx +0,5у[х =1,5^/х ;

б) y = (5 + x^)^fx

„

/“

5 + ^^

4 хх + 5 + х'‘

5ж* + 5

------в ) І/ =

( і - ч / І) = л:‘ -

‘

у ' = 5х^ -5 ,5 л :“

543. а) у = —(2 i + 1) 1

,> 2

- 2 x - l + 2x

у = — j [ 2 x + l ) + - = ------ 5------ =— j і ' ' X х^ х^ б) г/ = і ( * ' - 5 ) = д:‘ - І : X

в ) і/ = (1 - л :“ ) і X

= X

у ' = 0,1

у ' = 5 х *+ -^ ; X

= - 1 - - 19;c^ х^

у ' = -15х'

GDZonline.net 2 544 .a) ■/ = - :

2 У =-3^:

х-З

x +l

x - (x - Z )

2х + 1 5^-®^

(5 x - 3 f

2 х (5 - х ) + х \ (^-гЛ^

Гх

(5 X - 3 Y

~ ~ ( 5 х - 3f

10л:-2ж“' + л:^ _ 1 0 л - д :\

(И - х \‘ ’ ^

546. Л * ) = * ' -

10x-6-10x-5

, і'

х-\

^ ~

х‘

2(5лг-3)-5(2ж + 1)

^~Ъх-3’

б) У- 5 - х '

^)у~

х - х +3

2 ^ fx (x ^ - 4 f f i x ) = 2x-5-,

__________________ -4-3;с^

2 s f x (x ^ - 4 f '

f'(l) = -3; П О ) = -5; Д - 2 ) = -9.

547. К х ) = З і* + 2 х - 10; f'(x ) = 12л=' + 2; f (- 2 ) = -96 + 2 = -94; f ( 0 ) = 2; /'(л/2) = 12 •2V 2 + 2 = 24n/2 + 2.

548. /(^) = -8^ + 3; Г ( х ) = -8; f\ - 2 ) = Г ( 0 ) = Ґ ( л ) = -8. 549 .а) у = а:^(*^-5); у = х^-5х^; у ' = 2д:(д:“ - 5) + З х ' = 2х* - Юд: + Зх* = 5х* - 10х; у ' = 5х' - 10х; б) у = х“(3х^-1); у = 3х^-х^; у' = 3х“ (3х“ -1 ) + 6х х“ = 9х‘ - Зж' + 6х" = 15х‘ - Зх ^ у ' = 15х^ - Зх^ в) J/ = (X - 2)(х + 3); I/ = х^ + Зх - 2х - 6 = х^ + X - 6; р' ■=X + 3 + X - 2 = 2х + 1; J/' = 2х + 1; г) у “ (х - ЗХх^ - 2х + 4): у = х^ - 2х^ + 4х - Зх^ + 6х - 12 = х* - 5х‘ + 10х - 12; у' -= - 2х + 4 + (2х - 2)(х - 3) = х^ - 2х + 4 + 2х=“ - 6х - 2х + 6 = Зх^ - 10х + 10; у' ■=Зх“ - 10х + 10.

550. а) у = 3x45 - х"); у = 15х^ - Зх^; у' “ 6х(5 - X») - Зх'“ Зх^ = ЗОх - 6х* - 9х* = ЗОх - 15х^; у' = ЗОх - 15х‘ ; б) у - -7х(х‘ - 4 ) ; у = -7х’ + 28х; у ’ - -7(х2 - 4) + 2х •(-7х) = -7x2 + 28 - 14х^ = -21х^ + 28; у ’ = -21x^ + 28; в) - 5(х + 3)2; у = 5(х2 + 6х + 9) = 5х^ + ЗОх + 45; у' = 5 • 2(х + 3) = 10х + 30; у ' = 10х + 30; т ) у = (2х - 7)2; у = 4x2 - 28х + 49; у' = 2(2х - 7) • 2 = 4(2х - 7) = 8х - 28; у' = 8х - 28.

551. у = х2 - 2х; у' = 2х - 2; у'(3 ) = 4; х„ = 3; i/„ = 9 - 6 = 3. Рівн ян н я дотичної !/ = I/o + - x j ; k = Г(х „); і/ = 3 + 4(x -3)= > i/= = 3 + 4 x - 12 => 1/ = 4x - 9; *0 = -2; i/„ = 4 + 4 = 8; y\- 2 ) = -4 - 2 = -6 => j/ = 8 - 6(x + 2)=> у = 8 - 6x - 12 =» =» J/ - -6x - 4. 552. у = x2 + 1; 1/' = 2x; x„ = 0; i/„ = 1; i/'(0) = 0 => р івн ян н я дотичної у = y„ + + Г(х „)(х - x„); j/ = 1 + 0(x - 0) =» у = 1; *0 ” ~4; i/j = 17; i/'(-4) = -8 => рівн ян н я дотичної і/ = 17 - 8(x + 4) => у - П - 8х - 32 => і/ = -8х - 15. 553 , у = 3х* + 2х; J/' = 12х’ + 2; *0 = -2; і/„ “ З • 16 - 4 = ^ 8 - 4 = 44; у '(-2 ) = 12 • (-8) + 2 = -96 + 2 = -94 => р івняння дотичної у = 44 - 94(х + 2) => у = 44 - 94х - 188 => у = -94х - 144; *0 = 0. !/„ = 0; і/'(0) = 2 => р івн ян н я дотичної і/ = О + 2(х - 0) => у = 2х.

GDZonline.net 554. a) І/= —+ Зд:; j/' = —4- + 3; b

)

= V

+ - ;

ССЕ

б)

[5 ГО m ш 01 ю

2д: - 1 0

+3д:’ +

2slx

^ . 2>/ї ’

4 -*> .2 - Іі ,

= - Ь 'Іх - ж + ХЬх^'Іх +

а) j, = f і - л ” ) ( і - 2>/Г) = і - ^ \х ) X X

у ’ = - \ + 2 - ^ - ^ ~ 20л:‘* + 4 Ід:'” 2V7

у ' = 5-6 , +

V I =і - А X УІХ

= — і- + д:^ V 7

=5^х‘ -^

б) 1/ = >/!■+ ;^](5д:‘ -

+ 5х“ - і

l l ^

2д: + 1

у>

’

= 5дг“’* - д:^’* + 5;t“ - х'^;

(2;c + l f

2д:’' + 2д: + 17

(2д: + і у

(2x + l f

5х* - 1

+ 41д:'*^

. (2^ .^ 3)(2 х ^ 1 ) - 2 ( д:-.-З д. - 7 ) ^

4д:“ +2д: + 6д: + 3-2д:‘'-6д: + 14 бЛ

20д:'*

+ 2х“ '*

0,5д;-‘ =+ 25д:" + 2д:-" = 32,5д;“ * + О, бд;-'-'' + 25д:‘ + 2д:Л

5 5 8 .a )j, = ^

20х^(х^ - X + 4) - (Зд:^ - 1)(5д:* -1 ) (х^ - х + i f

д:' - JC + 4 ’ ^

20д;' - 20д:’ + 80х® - 15х“ + Зд:“' + 5д:‘ -1

5х‘ -15х* + 80х’ + З л “ -1

(д:’ -д: + 4)*

(д:“ - д: + 4)'

5 - 0 , Ід:*“

^ - х ' О - х +5 ’

-д:*(д:‘“ -д: + 5 )- (1 0 д :“ - 1 ) ( 5 - 0 , U ' “ )

*' -

(;c‘“ - x + 5 f

-д:“ + д:'“ - 5х* - бОд:' + д:'* + 5 - О, Ід:'“

0,9д:'" - 59д:* + 5

(д:“ >-х + 5)^

(дг'“ -;г + 5)^

559. а) J/ =

, л

І/ = (б - 4х){х^ + ІУ Іх ) = Ьх^ + 20л/ї - x ‘ yfx - 4 i = 5л'' + 2о4х - х^'^ - 4х;

557.

с: <

+ l - x + x“ =4д:’ +17,5д:''" - 2 х - 1 , ъ 4 х + - ^ + V, 2-Jx

а ) у = (1 - л : + j:*)(5>/r + л ) :

j/' = 10x + ^ - 2 , 5 x ‘-'‘ - 4 . 'Jx

2 .- 1 ^ д:

го

а .5 с

Г-

у ’ = (-1 + З * ')(5 ч / Г + х ) + (1 - л: + д:“ )

б)

-Ll . х Ч * 2у[ х ~ З * “'

г/ =

556.

2л/л:

2( д: - 5 )

10 г/ = - у

= — 7 =

6)j/ = 5 --^ ;

у[х + 2х 1

^ ^ 2 \ - Г х ) Л Г х ^2х) ^ \2^х J _____________________ 2Ул ^ (l- ^ / г r

“

2у/х

2n/I

(i- v r r

, . Г о _ 1 + 5Vx + 2x

~ 2 Г х {і- Г х )"

GDZonline.net ■ ^ ( х ^ - х + 2 )- (Зд:^ - 1) ( ö V I - l) __________________________________ У = " { x^-x + 2 f

ь4х-\ б) У = х ^ - х + 2'

- x - ^ 2 ) - {Зх^ - l)(lQ jc - г у 'Г )

5х + 10 - ЗОд:^ + 6x‘ sf^ + lO x - 2 ^ _

2 ^ {х ^ - X + 2Y

2 ^ ix ^ - x + 2 f

-2Ьх^ + 6х^\1х + 5 х - 2 у[ х + 10

2^ { x ^ - x + 2 f ,

„

х^+ 3 х - 7 _ 2^^х^

;

/ 1

{ 7 х ^ + 3 ) [ 2 у! х + х П - { х ^ + З Х - 7 )

’

-^-Зх^

W £ _ _

(2 ^ ^ x ^ f

14л:* ‘ + 7л:’ + 6n/x + Зх^ - л “'“ - Зх^ - Зх°-^ - 9х^ + 7х^'^ + 21х^

( 2 ^ + х^ 13л:°'' + 4л:’ - бл:^ + 21х‘ + Зх°'^ + 7х-°'^

{2 ^ ^ x ^ f 5 6 0 ./ 'W = О а) f(x ) - X - 12х^; f ’(x) = 1 - 36х‘ ; 1 - Звх^ = 0; (1 - 6д:)(1 + бл) = 0; 1 - 6л: = О або 1 + 6ж = 0; х = ^ або х = --і. 6 6

Відповідь: ± —.

о б) f(.x) ~ х ‘ - 15х» + 4; П х ) - 5х* - 45л:»: 5х* - 45х‘ - О | : 5; л:‘ - Эл:» - 0; - 9.) - 0; х^(х - 3)(х + 3) - 0; л* - О, лс - О або j c - 3 - O , л - З або л: + 3 - О, *--3 . В0повідь: 0; ±3. в) fix ) = ~ ^ х ‘ + +12; Г ( х ) = - | -Зл:» + 2х = -2х‘ + 2х; -2х^ + 2д: = О | : 2; 3 3 -X» + ;с = 0; л:(х - 1) = 0; X = о або л: - 1 = о, л: = 1. Відповідь: 0; 1. г) Н х ) = і л : ‘ + 6х; f'(x ) = х‘ - 5х‘ + б; х* - 5х» + б = 0. Зам іна х» = j/ > 0. 5 3 - 5j/ + б = 0; у, = 3, i/j = 2; X» = 3, х = +7з або х» = 2, х = ±^2.

Відповідь: ± S ;

±л/2.

561. Г(х) < о а) /(X ) = 2х^ - Зх» - 1 2 ; Д х ) = 6х» - б х ; 6х» - бх < 0 ; х^ - X < 0 : х(х - 1) < 0 ;

б) /(х) = 12х - х^; /'(х) = 12 - Зх»; 12 - Зх» < О I : 3; 4 - X» < 0; (2 - х)(2 + х) < 0;

в)

«X ) =

г) fix ) =

5х-2

, с*-х» + 4 <0: (*'+4)=

; Пх) =-

X»

’

+ 4 - 2х •X

х є (О- 1)^ ’ ’’

Х Є (-со; - 2 )w (2 :+ ~ ); 2

20 (5 x - 2 f’

(5 х - 2 )

< 0; X — будь-яке число, крім х = 2,5;

-х‘ + 4

(х^ + 4)» іх^ + 4)^’ -X» + X < О => (2 - х)(2 + X ) < 0;

-2 2 X X є (- ~ : -2) W (2; +~).

562. f i x ) = 2х + 3 => fix ) = X» + Зх + С, С = const. Задача мае безліч розв’яз к ів . 5 6 3 .а)

« * ) = ^ +f .

n x ) = - 4 +l ; " m x' 4

^0 = 5, i/„ = 1 + 1 = 0,8 + 1,25 = 2,05; = - A , l =z l i l ^ 25 4 100

= - 9 _ = 0 ,0 9 . 100

GDZonline.net Р ів н я н н я дотичної: у = у„ + f'(x^)(x - х^); у = 2,05 + 0,09(л: - 5) + 0,09д: - 0,45 => і/ = 0,09л: + 1,6; б)

Ад:) = Л ( ^ ї - 5 ) , д: = 25, Уо =

2 ( ^ -1,5

0.1

0 ,1

5* 625 - 0,004.

564. а) П х) =

^ (5 - 5) = 0; 625 2 10 0,5 1,5

У = 2,05

1,5 , 10

1,5

-1,5

0.5

25“

■ 5^

5“

5=^

= 0,00016. Р ів н я н н я дотичної у = 0,00016(ar - 25) => і/ = 0,00016х -

f(x ) =

х‘ + 2

2х(3 + х ) - х ‘ - 2 (3 + x f 49 + 4 2 - 2

6х + 2х^ - х ^ - 2

х^ + 6х - 2

(3 + х)^

(3 + д:)'

= 0,89. Р ів н я н н я дотичної г/ = 5,1 + 0,89(д: - 7) => у 10' 100 = 5,1 + 0,89jc - 6,23 => у = 0,89л: - 1,13;

fV ) =

б) A .:) = | ( 0 , 5 x ^ - N / r f , х„ = 4, г / „= |(0 ,5 16-2)^ = 1 ( 8 - 2 ) '= ^

= 12;

П х ) = Ц о ,2 5 х ' -x^^fZ + x) = — x^ - к х ^ ^ + - х = — х ‘ -іх^-^ + - х ; з' ' 12 З З 12 З З П . ) = - І- . 4 . з _ І . 2 , 5 . - + І Л . з _ І , 5 ^ „ , 1 Л , . ’ - 5 ^ Д 12

3 3

3 2

3 3

1 5 _ 1 64 20 1 45 / (4 ) = —-64----8 + —= -------- + — = — = 15. З 6 3 3 6 3 3 Р ів н я н н я дотичної у = 12 + 15(x - 4) => і/ = 12 -t 5х ~ 60

у = 5х - 48.

565. а) П х) = Зх^ - 6*2 + 2; f'(x ) = 12х’ - 12:с; f'(x ) = О =Ф 12л’ - 12д: = О | : 12 => => jc> - X = О =» х{х^ - 1) = О => ж(д: - 1)(д: + 1 ) = 0 = > л = 0 а б о д : - 1 = 0, л: = 1 або ж + 1 = О, д: = -1. Відповідь: 0; ±1. б) fix ) =• - Зх +І ; f'(x ) = д :'= 1 => * =±1. Відповідь: ±1.

3*2 - 3; f\ x ) = 0 = > 3 * '- 3 = 0 | : 3 = > * 2 - l = 0=>

566. а) П х ) = хН2х - 9): Г (х ) = 2х(2д: - 9) + 2х^ = 4х^ - 18* + 2х^ = б * ' - 18*; /'(*) = О => 6*2 - 18* = 0 + | : 6 = > * 2 - 3 * = 0=» * ( * - 3 ) = 0 = > * = 0 або * - З = = 0. * = 3. Відповідь: 0; 3. б) /(*) = 2*(3 - 8*3); /'(*) = 2(3 - 8*3) - 2 4 *' х 2* = 6 - 16*з - 48*з = 6 - 64*»; з З З /'(*) = О => 6 - 64*3 = о І : 2 =>_3 - 32*3 = о => 32*’ ^ 3 = } * з = — => * = — 32 \32 І2 Відповідь: ? — .

\32 567. f(x ) = 0,25** + *3 + 1; /'(*) = *3 + 3*3;

у = 4х + 3=>/г = f'(x„) = 4 => *3 + 3*2 = 4 => *3 + 3*3 - 4 = О => *3 - *2 + 4*2 - 4 = О => *2(* - 1) + 4(*2 - 1) = О => *2(* - 1) + 4 (* - 1)(* + 1) = О => (* - 1) X X (*2 + 4 (* + 1)) = О =» ( * - 1)(*2 + 4 * + 4) = О => (* - 1)(* + 2)2 = О =» * - 1 = О, * = 1 або * + 2 = О, * = -2. Відповідь: 1; -2.

GDZonline.net ~х

б) /(* ) =

+0,5х‘ ;

2 - \ + х = - ^ - \ + х-.

f'(x ) =

. 4л: + з =» Л = r(J^i,) “ 4 =>

- 1 + д: = 4 =>

г“

+х - 5 = О

Заміна -Jx = у > 0.

2. + j ,* - 5 = 0=> i/ ® - 5 j/ + 2 = 0 ; ' - 4 у - у + 2 = 0=> y(j/2 - 4) _ (у _ 2) = О : У - 2Кі/ + 2) - (у - 2) - О => (у - 2)(і/(і/ + 2) - 1) = О => (J, - 2Ху‘ + 2у - 1) = „0 = » l/ - 2 = 0,j/ = 2a6oj/“ + 2 y - l = 0;r> = 4 + 4 = 8; У. = г“

=-1 + л/2; Ä

^ = - 1 - 7 2 < о — зайвий; = 2, X = 4 або

= -1 + л/2;

* = 1 - 2 ^ 2 + 2;

л: = З - 2v/2.

Відповідь: 4; З - 2>/2. +2

568..)

2 i(3 + де) - д:* - 2

** + 6х - 2 - X* - 6х - 9 (3 + х)* у — 1 ІХ + З =» ft J

бд: + 2х* - д:* - 2

(3 + х Г 11. Умова перпендикулярності двох прямих:

11’ ■ ' 11 або З + X “ - 1 1 , X - - 1 4 . Відповідь: 8 ; - 1 4 .

( S T r f ----- ' ----- І Ї Т І ? ----- '■

/ М - т Г 7 - '‘

(3 + x f

= -1. Отже,

(3 + х ) ^ = 1 1 » ^ 3 + х = 1 1 ,х = 8

б) /(х) = -^ - 2-Тх + 73;

/'(х ) = — 11 л/х у - 1 І Х + 3. Умова перпендикулярності двох прямих: ft,ft, = - 1 ; ft, = 11 => 1 1 1 1 =» r ( x „ ) = -:;V=*’ ^ - - Г = - Л = > - 4 г =-^= ^ 2>/ї = 11=і. п - 7 ї =- Г і^ - ж Vx = 5,5 =>х = 30,25. 11

Відповідь: 30,25.

569. у = (2х - 1)(4х^ - 4х + 1): у' - 2(4х* - 4х + 1) + (2х - 1)(8х - 4) = 8х* - 8х + 2 + 16х* - 8х - 8х + 4 = 24х*- 24х + 6; у'(1 ) = 24 - 24 + 6 = 6; X, - 1. у„ = (2 - 1)(4 - 4 + 1) = 1. Рівн ян н я дотичної: у = 1 + 6(х - 1 ) = > у = 6 х - 5 . Знайдемо то чку перетину з віссю Ох: 5 У “ 0 = > 6 х - 5 ’= 0 = » 6 х = 5=> х = — 6 точка перетину з віссю Ох.

( 1 ‘ ») -

Церетин з Оу X = 0: у(0 ) = -5 — (0; -5) — то чка перетину з Оу. 1 5 25 = - •О В ■ОЛ = — •— ■5 = — (кв. од.). 12 2 6 25 Відповідь: — кв. од.

570. у = х^ - |5х - 1| Гх‘'- 5 х + 1, 5 х - 1 > 0 ;

X* - 5х +1, X > 0 ,2;

[х^ - 5х +1, 5х - 1 < О

х* + 5 х - 1 , х < 0 , 2

J/'(l) = -3; X = 1 , у „

-3: у'(2 ) = -1; х„ = 2, у„ = -5.

2x-5,xS0,2;

У =

2х + 5, х < 0 ,2 ;

GDZonline.net Складемо рівняння дотичних і знайдемо точку їх перетину. І/= -З - 3(ж -1);

\у = -Зх;

= -З - Здг + 3;

у = -6 -( х -2)

у =-5- X +2

і-3х = -х -3 \

у = -X - З

j- 2 x =-3;

у - -Зх

у = -Зд:

ж = 1.5;

У = -4,5. Відповідь: (1,5; -4,5).

571. У = д:’ + ах^;

- - 1 , {/„ = -1 + а;

у ’ = Зх^ + 2ах; у'(~1) = З - 2а. Р ів н я н н я дотичної: і/ = -1 + а + (З - 2а)(х + 1) =>у = - 1 + а + Зх + З - 2ах - 2а => у = Зх - 2ах - а + 2. а) Л (0 ; 5). Знайдемо значення параметра а. Дотична до графіка + ах‘ у точці з абсцисою х^ = -1 проходить через точку Л(0; 5). х О - 2 а О - а + 2=>5 = -а + 2 =>а = -3. б) А (3 ; 4). Р ів н я н н я дотичної; у = Зх ~ 2адс - о т. А(3; 4). 4 = 9 - 6 а - а + 2 = > 7 а = 7 = » а = 1. Відповідь: а) -3; б) 1.

ф ункц ії і/=+ О тже, 5 = З х

+2. Дотична проходить

через

§ 15. Похідні тригонометричних функцій

579.

а) J/ “ 2 sin д: + 1; у' -■ 2 cos х;

б)

І/ - з COS д: + 2; J/' - -З s in х ;

B )y - 4 t g A :- 3 ; у' = - ^ - ,

г ) у - sin д: + 2 дс; у ' = c o s ж + 2 ;

ґ) у - -cos X + Зд:; у ’ - sin д: + 3;

K )y - tg x

580.

б) у -

в)

а) у

у '= — ^

c os х

х^ + cos X-, у' - 2х - sin х;

у “ 2х‘ + tg х; у ' = Юдс* + — cos‘ X

г ) у = УІХ + c t g X-, у ' =

І/ '=

2^х

в) у = 5 sin д: - ctg х; у ' = 5 cos х + ---;— ; sin X 2 г) І/ = 1Icos де - 2 tg д:; у = -11 sin д:---- :— .

li.

б) у = - t g x - - c o s x ;

,= - — 1 sin . д; + —c 1 o s де; 3

2 .

= - ----- j— + - s m * ; Jcos X о

в ) ї/ “ 0 ,5 c o s д: + t g x ; у ' = - 0 , 5 sin x-hcos X

г)

z/ “ - 4 s in X + c t g x ; y ' = - 4 c o s x — : sill Л 583. a) у = X sin x ; y ’ = sin X + д: c o s x ; 6 ) у = дг t g д:; j / ' = t g д: + в)

= У ІХ COS х;

< cosjc /- . у = — 7—- - У ІХ s m х. 2 уіх

584. а) у

= х^ sin X-, у ' - Зд:^ sin х + х^ c o s х\

b )y - = x ^ c ig x - ,

у ' = 2дс c t g

X -

х^

^ ;

в) у = х^ cos х; у' = 5дс‘ соз х - х^ sin х.

sin’' X

- sin X.

+ COS X-,у ' = -

б) у = 4 tg де - З cos х; у = ---;— + З sin х; cos X

cЭoо o2 . а). і/ = —c 1 o s i + —s 1 • in x ;

+ 4.

Здс* - sin X-, у ' •= 12д:* - c o s х\

- cos д:; д ) у = ->/х yjx 581. а) і/ = 2 sin д: + з cos дг; і/' = 2 cos д: - З sin х;

ґ) у = 2-Jx - sin х;

+ 4x;

585.

їх

*) у ~ cos X

2 sin л: - 2х cos х

2х сов JC + X* sin COS

' - 586. а) ä/ = T х ^^^ Ґ ^ ~ jc’ - l , 2x sin X

ь)у = —

GDZonline.net

- sin х(х - 5) - cos х

----------

- . у =

+ 1) - 2x cos X _ (ж ' + 1)* (x^ -1 ) CO S X

s in 'x

1 + sin x

COS

X •v/x

^ ( 1 + sin x) 2Vx

2x CO S X - 1 - sin X —

587. a ) y ^ ( l - X) sin x;

I/ = sin X - X sin x ;

j,' - -sin X + (1 - x ) COS x; g) - (X + 3) cos x; y' - cos X - (x + 3) sin x;

у = X co s X + 3 c o s x ;

1/ = 2 x + X c t g x ;

y' = c o s X - sin X - X c o s X =- s i n y ’ = cos X -

у - x(2 + ctg X ):

у = x^ COS X + COS x ;

у = y fx sin X - sin x ;

s in x у =— 2V x

+ (V x - l)c o s x; If = y/x (tg x - 3 ) ;

2-Jx

589.

I— s in x I I— \l x cos X - cos X = — ==-+ W x - I j c o s x ; 2 vx

y = y f x t g x - 3 'J x ;

, _ tg X ^

\/x

2-Ух ^

co s' X ’

a) j/ = 2 sin X - 13 cos x,

y fx

cos' X

_ tg x -3 ^

2>/x

2 y fx

1/ =

л:„ = - ;

7x cos' x ‘

y ' = 2 cos x + 13 sin x ;

Q y = 4 c o sx + x>^, x„ = —; y ' = - 4 s i n x + 72; y ' f ^ l = 4 \4У

590. a)

(x + 3 ) sin x ;

I/' = 2 x cos X - x^ sin X - sin X = 2 x cos X - ( x “' + 1) sin x ;

у = (V x - l)s in x ;

tg x - 3 ,

X + (1 - x ) c o s x ;

X s in X - 3 sin X = c o s X -

588. a) J/ = (д:® + 1 ) cos x; y' - 2x cos X - (x^ + 1) sin x;

■

J/' = 2 + c t g X - - 7- j — . sin X

fi' = 2 + c t g x - - 7 - j — ; » sin* X

= 0 +13 = 13;

У ^ + n/z = -2-j2+yß = -л/2. 2

X cos X - sin X

У =■

- X sin X - COS X

6) J/ =

591./(x ) = X COS X f(x )

= COS X - X sin x ;

592. a) j/ = 2 + sin

f '( Q )

= 1; / '(") = - 1 ; f ' [ ^ j =

A 3 ) = cos 3 - 3 sin 3.

y„ =2 + - ^ ; i/' = cos x ;

x „ = -j.

Р івн ян н я д о т и ч н о ї: у = y „ + у '( х ^ ) { х - x „);

' * у =^ ~ 2

і) '

72л--4 ^ 2 - 1 6 *

CO SX

“ sin x ’ ^

cos х

^ в н я н н я д о ти чн о ї: у = 4 + 8

= 4 + 8х - 2л-, І/ = 8х + 4 - 2л.

GDZonline.net 593.

a) і/ = sin X + cos X,

Р івняння дотичної: у = j/ “ - X + Л - 1 .

= л, i/„ = - 1 ; j/' = cos x - sin x ; y '{n ) = - 1 .

+ y'(x^)(x - д:„); у = -1 - (x - n) = - 1 - x + л; 1

6 ) y = tg X - COS д:, j:„ = Л, i/„ = 1; y ' = • - + sin x; y '(n ) = 1 . COS x

Рівняння дотичної: у = 1 + ( i - л); j/ = jc + 1 - jt. 594.

у = 2 sin X , y ' = 2 COS X

а) j/ = 2д: - 5; Л = 2 => 2 cos 3 c - 2 => cos jc = 1 => jc - 2лл, n є Z; y (2 n n ) = 0 => (2лл; 0 ), n є Z.

В ід п о від ь: (2n n ; 0 ), л є Z. б

) j / = x + 3 ;Ä = l = * 2 cos д: = 1

чз

cos ж— => д: = ± — + 2лл, л є Z;

л-л

=-2-^ =S -

-■^ + 2л-п; - >/з , л є Z. В ід п о від ь: ^■^ +

я7 г; >/з^;

- ^ + 2 л п ; -->/3 j , л є Z.

595. &) у = sin 2х cos ж - cos 2х sin х =■ sin де; у ' = cos х; б) у = sin^ X + cos* X = 1; у ' = 0; в)

у = cos Зх cos 2х + sin З х sin 2х = cos х ; у ' = - s in х;

г) у = cos* ^ - sin* ^ = cos х; у ' ■ - s in де.

596. а ) f (x ) = X* + д; + sin х; f ( x ) = б)

f (x ) =X +X*

597. а ) f (x ) = б)

2х

sin х ; f ( x ) = 1 + 2х sin

+ cos х; f'(0 ,5 n ) = я +

X +X* cos х ; Г (0 ,5 я ) = 1 + я.

1 + X + cos х ; f ( x ) = 1 - sin х ;

f ( n ) = 1;

f (x ) = x ( l + cos x ); Д х ) = 1 + cos X - X sin x; / '(я ) = 1 - 1

= 0.

598. a) / (x ) = X C O S X + — + — ; Я-

2x 2^ X / '(x ) = c o s x - x s i n x + — + — = c o s x - x s i n x + -- + — : я 4 /г 2 Г

.e J “ .. . / {* ) =

б ' 2 '^ я - ' б ' ^ 1

COS X :^

r w

“

1 2

‘^ з ' ^

1 2

“^ з '

^ cosx + x s in x 2х = ------- 5--------cos X з

= 2 ^ 6 2 _ ^ _ бУз+ Я- 4 _ £ _ бУз + ;г £ _ 6-Уз _ 2>/з Г .6 ; з 18 12 з 9 ~ 9 ~ 9~ 9 З ■ 599. а ) у = sin X cos х ; у ' - cos* х - sin* х = cos 2х; б)

І/ - sin 2х = 2 sin X cos х; j/' = 2 cos* х - 2 sin* х

600. в.) у ■= cos* X = cos X cos х ; у ' = - sin х cos х -

=2 cos 2х. cos X sin X = -2 sin x cos X ’

= - s in 2 x; 6)

j/ - cos 2 x - cos* X - sin* x; y ' = - 2 sin x cos x

= - 4 s in X cos X - -2 sin 2x.

601. a) у = 5 tg x (s in X + 2); , 5 (s in x + 2) 5 (s in x + 2) ^ . у = -і ;--- + 5 tg X COS X = --- 5--- + 5 sin x; cos X COS X

- cos x sin x - sin x cos x '

GDZonline.net

г I -

+ 5 — = 10

= 5 v/2 + 20 + 2 ,5ч/2 = 7 ,5л/2 + 20;

; (Злс + ч / ї)(с о з з с - 5 );

б) У

у '■ 3+

(cos j: - 5) - (Зд: + 'Jx )sin x - , ш

(f)-

3£

3 + -

2 J' 2

1 ^ )

3 \ /2

Зл•^/2 + 2 > / 2 я

12>/2ж - 120Уж + 4-72 - 40 - Zn-j27t - 2т[уІ2

,) y =^ a - c tg x );

<f)

j,' = ^ ( l - c t g ^ ) + ^

- л ,

(1 - І ) 2 -

- (cos X + 7) - sin x(4 - tg x );

г) у - (4 - tg д:)(соз X + 7): у ' = — Л

«■(f)J =

;

-T

fV 2

'І2 , , ,, (4 -1 ) =

.-^

fV 2

- 2

-^•3=

= -2,5>/2- 1 4 .

602. a) j/

” (5

cos д: ) ( 1 - tg л:); i/' = -

s in x (l-t g ^ )

^ C 08

5 + 2

= - 2 (5 + уі 2 ) = - 1 0 - 2 у/2;

6) у - (4ж - n )(c tg X + tg x ); y ' = 4 (ctg д: + t g д:) + (4jc - я ) y ' ( f ] = 4 (l + l ) + ( 4 . J - . ) ^

'■(!)=

/Г

- 4

+ 3

-2

4 + Зя-

1б(ч/2+2)

2ж^

(r^)

(72;т-4ж )(4 + Зж )- 1 б (л ^ + 2) _ 2 л*

, 4>/2я + З у/2д* -16/Г-12Ж* -16л/2-32. 2 яг*

*■) J/ = (tg JC - 2 sin

Vcos’’ X

cosx

cos'

y ' = | c o s x - ^ 7 ^ j | - ^ + 3 j - - ^ ( s i n i : + c tg x );

2J ■У 2

72 -

sin*

=8 :

2 B) У = (sinX + c t g i ) ^ + 3 ;

( 5 + 2 COS л ) ; X

+ cos де

— - cos X I + (tg jc -

sin x ) — 5- + sm X

>/2 + 2

GDZonline.net '4

'^ 1 .4 J "

- Ь

1 .2

.Л-

У2 ) ^ ~ ^ ^ і ( і

2 ;

В ){

16 ^ ч/2 )

2 J

2л, ( і - % / 2 ) ( - 3 2 + ч/2л^)

л" > 16

(2 ^ - n / 2 ;t)( 8 - V

2тс‘

^-) ^

16 л - - 2 л ^ ч/ 2 - 8 ч/2л -+ 2 я ^ - 3 2 + %/2л ^ - 3 2 7 2 - 2 л ^

2 я^

“

16л-- >/2/r^ - 8>/2л-- 32 + 32^/2 2 л^

603. а)

cos д: •2 tg д: - 2

1 + sin X

(/ =

2 tg x

-і

У =

’ ’

~ 2

6 ) I/ =

2 + 2 sin X

4 tg "x

2 sinxcos^ x -2 - 2 sin x 4 sin^ X

=. 2

л/2-4-2ч/2

Ч -5 sin x(5 + tg x) -

5 cos X -1

2 sin j:- 2 -

4 tg 'x

2 sin Xcos^ x - 2 - 2 sinx cos^ X •4 tg^ X ^

(1 + sin x )

-V2-4

5 cos X -1 cos^ X .

(5 + tg x f

-ь-Я

-(5 + D 1

(!)=■ .

-15л/2- 5 n/2 + 2 36

(5 + 1)'

2 x - tg x

b) I/ = ----- 2 — ;• yI /'' = Q.OSX 2

(2 V

cos x ) Л

-10n/2 + 1

V-] cos X + (2x - tg x) sin X

:ä

-20n/2 + 2 36

-Я

(f)=

■ ß .

604 a) у -

x + 2x sinx

’

, _ (- sin X + 2) sin X - (cos x + 2x) cos x _ s in 'x

~ sin^ X + 2 sin X - cos' X - 2x cos x 2 V2

2Л-Т2

/Г

Л- ^/2

2 sin x - 2x cos x -1 , = 2 >/2 - - | V 2 - 2 ;

6) у -

ctgx

;u '= — tg X + 2 cos X ’

— :Л — (tg X + 2 cos x) - ctg X I — ^---2 sin x _______________________ vcos X________ I , (tg X + 2 cos xY

- 2 (і + л/2)-(2-> ^)

-2-2%/2-2 + n/2

(1 + >/2Г

I + 2J 2 + 2

->/2-4 3 + 2>/2 ’

GDZonline.net Зх

у ~ 2 tg x + х ’ + л-

у =

15л-

3 -

3(2tgJC + o : ) - 3 a : [ - 4 - + l l VCOS X ). ( 2 tgA: + x)"

3 _

(-1)

24 + З л -- 15л ■

( 8 + ;г)"

Л . + л -f

4________

\- т

2 4 -1 2 л

_ 4(24 - 12л) _ 48(2 - л )

( 8 + л-)'’

( 8 + л )"

“

( 8 + л)"

605. А^) = е ' ( х ) а) Л *) “ ^ /'(л) = ^ ^ ^^ ■v =» = ±'S'+ 'г ^ Z . 6 ^ Відповідь: ± — + жп, л є Z .

= ± — + 2л-л, л є Z => ^

б) f(x ) = X COS х ; g (x ) = sin ж; f(:t) = cos jc - л: sin x; g '(x ) = cos x =» Ж= 0 або sin X = О => jc = ял, n є Відповідь: x = nn, га є Z.

=>cos jc - j:sin Z.

j: = cos

jc=> - j : sin л: =

606. A^) > ^'(^) a) /( * ) = X + sin x ; g (x ) = x - cos x\ f'(x ) = 1 + cos x; g \ x ) = 1 + sin X =>1 + cos л: >

+ sin jc => cos x > sin

У 1

у ------- г

X ■■■\ І -3 7 Г ч „ -7 ^ "2 —

-2 л +

'( -f

>4. ✓ \

✓

лп; — + 2 m 4

У = sin X ^ тщ *Ч Ч Tv ^

У = COS X X

* < - , 1 .-^

X 2

тс

, neZ;

) f ix ) = sin x cos X-, g {x ) = 1 - 0 ,5 * ; f'(x ) ■= cos^ X - sin^ X = cos 2x; 6

g'(x) = - 0 , 5 =>

cos 2 j:

2 ^T

> - i =>

2ж

= > --------- 1- 2лп < 2ж < — + 2лп, га є Z => З З л л„ — + л -л < д :< — + Л7 і, га є Z; З З

( 607. ЇЄ

—

Л-

„

+ лл; — + л r a , л є Z . З J

у'у

+ 1/^= 0

^^)y =• 2 sin х; у ' = 2 cos х => 2 cos х х 2 sin х + 4 sin^ ж = О => sin j::(cos х + sin х ) = ” О sin д: = О, л: = пп, га є Z або cos ж + sin х = О | : cos х , cos jc 5 ^ 0 ; tg ж+ 1= 0 ; x = - — + jm ', x = - — + j r k , k e Z . 4 4 Від повідь: x = лл, x = — - + л *, га, А є Z. 4 6 ) У “ З cos х ; у ' = - З sin х => -9 sin х cos х + 9 cos^ х = О => cos x(sin х - cos х ) = tgjc = - l ;

cos X = 0 ; X = -^ + Л'Л, га є Z або tg х = 1; х = - j + лА, ft є Z.

Від повідь: х = — + Л’Л, 2

х = — + л-ft, л, ft є Z. 4

GDZonline.net b)

4 tg x ;

l : i ^

y ' = -------

COS X

cos^ X

tg I = 0 , ДС“ n n, n є Z або

+ 1 6 tg ^ ;. = 0 =

tgÄ

- + tg x

VCOS X

) =o 1

- + tg л; = 0 ; 1 + tg “' д: + tg л: = 0 ; tg^ X + tg i

+ 1 ■“ 0 . Заміна: tg д;= у; у* + j/ + 1 = О, ІЗ = 1 - 4 = - З < 0 ; коренів не має. В ід п о від ь: пп, п є Z . 6 0 8 . ( у У + J/’ “ 1 а) J/ = 1 - sin х ; у ' - -с о а х => cos^ л: +

- sin д:)“ =

=> cos^ а: +

sin і +

+ sin* л: “ 1 =» - 2 sin JC = - 1 => sin jc = і => х = ( -1 ) " — + тсп, л є Z. ж 2 6 В ід п о від ь: х = ( -1 ) ” — + л-л, л є Z. 6

б) у “ 1 - cos X-, у ' = sin д: => sin* д: + (1 - cos х)* = 1 =» sin* д: + 1 - 2 cos д: + 1 К - 2 cos д: = - 1 => cos д^= — => дс = ± — + 2 т г , л є Z. 7t 2 3 В ід п о від ь: х = ± — + 2лті, л є Z. З в) J/ = sin д: + cos х ; у ' = cos де - sin х => (cos х - sin х)* + (sin х + cos і)* =

+ COS* ж “ 1

=> cos* де - 2 cos X sin X + sin* д: + sin* х + 2 sin х cos х + cos* х = 1 = ^ 2 * 1 = ^

=> коренів немає. В ід п о від ь: коренів немає.

609. У “

П х ), X є (0 ; я): а - 4 5 ‘

=>А =

tg 4 5 ‘ = і => f'(x „) - 1

а) f (x ) ” д: + 2 sin д:; f ’(x ) = 1 + 2 cos д: => 1 + 2 cos д: = 1 => 2 cos х = О => cos х =

X = — , X є (0 ; л).

= О =* дг = -^ + лл, л є Z =»

^ 0 = ^ ’ Уо = -| + 2 . Рівняння дотичної: у = у „ + у'(х^)(х - х „ ) ; і / =»у = X +

= -| + 2 + | ^ х --| =>

В ід п о від ь: у ~ х + 2. б) /( х ) =■ 2 х + sin X cos х ; /'( х ) = 2 + cos* х - sin* х = 2 + cos 2 х => 2 + cos 2х = - 1 => cos 2 х - - 1 =» 2х = я + 2ял , л є Z = > x = - j + /rn, n e Z = * ^

^ ^

х „ = — , і/„ — я. Рівняння дотичної: у = лч- х - — ] = х + — . 2 \ 2 / 2

В ід п о від ь: у = х + — . 6 1 0 . f ix ) -

sin X cos х ; ( а ; f (a )); g (x ) = 2 + sin x ; (a ; g (a ));

f ( x ) - cos* X - sin* x; g '(x ) = cos x ; /'( x ) = ? '( * ) => cos* X -

=> cos* X - cos X - 1 +

sin* X == cos X => cos* X -

COS*

j /e [ - l : l ] = > 2 j , * - y - 1 = 0 , 0 = 1 + 4 x 2 = 9 ^ => cos X -

cos X -

X “ 0 => 2 cos* x - c o s x - l

1 , X “ 2 ял , Л є Z або c o s x = - і ;

cos^ x ) = 0 =>

= 0 = > Заміна: cos x = y,

x = ± - ^ + 2лті, л є Z.

Нехай X , ■= О, /„ = О, f'(0 ) ■= 1, тоді рівняння дотичної до /( х ) має вигляд у = х. х„ “ О, gj — 2 , S^(0) = 1 => рівняння дотичної до g {x ): у = 2 + х. Пара паралельних дотичних у = х і у = 2

611. а)

+ х.

у ' - 2 х - sin х ; у - X* + cos х + С ; С = c o n s t;

X* б) у ' — X* + з cos х ; у = — + 3 sin х + С; С — const; З 1

в) у а — -г— ; X sin X

і/ = —

+ 2 ctg Х + С; С = const.

GDZonline.net б і з . а) ./-.» - 2 sin д: + 3; /(*) б) f W “ ®“ ' -^’

= 2

в)

5 s i n ' л:’

І пл: + С = > 2 з і п л + С = 3 = > С = 3;

j : + C = i l + C = 2 = i C = l = > f(x) = -cos ;с + 1:

^ .('л-'і

= 0 ,8 ;

U ,

/(jc) = - i c t g x + C = > 5

- i + C = 0,8: 5

С -

0,8 +

+ 0 ,2 = 1 => f U ) = - | c t g j r + l; г) f '( x ) = 4 - — ] г - : COS X

^ f { x ) = 4j: - tgjc і

f [^

= лг, f (x )

i x - tg X + С

n - I + С ^ ТІ =:^ С = \ =>

§ 16. Похідна складеної функції

623. ПеМ) а) / W = л:^ g (x ) = 2х + 7 = . Ш х ) ) = б) /(ж) = 2х + 7, g {x ) = =; . Л^(х)) =

(2х +

7 )2 ;

+ 7;

в) /(j;) = -Jx, g (x ) = З - 4х => /(^(д:)) = = З - 4>/Г. г) /( j:) = З - 4 л;, ^ ( j:) = л/х =і

624. fiSM) а) / W

gM =

= - .

б) « X ) =

+ З =» /( g (x )) =

+ з , g(jc) = І =І.

X +о

/(^ (х )) =

+3 = ^

+ 3;

в) f(.x) = sin X, g (x ) = 3jc + 4 => f (g (x )) = sin (3x + 4); r) f(x ) = 3x + 4, g (x ) = sin X => f(g (x )) = 3 sin X + 4.

625. У= f(g (x )) a) j/ = (3x + l O f 6 ) I/ - tx^ + 5x - i r b)

у = л/х’' - Зх =»

/( x ) = x \ g {x ) = 3 x + 10; => Я х ) = x ‘ , г (х ) = x^ + 5x - 1; /( x ) = V x , ?(x ) = x^ - 3x.

626. у =Л^(д:)) а) У = б) У =

^(х) = 5 - 2х;

/W = V5-2x

л/Г’

Я х) = - ,

2х + 4

в ) !/ =

g-(x)

/( х ) = ^ .

2х + 4; ^(х)

Зх - х ^

(Зх-хП^

627. а) у

= (X + 3)“ ; у ' - 2 0(х + 3 )‘»; ) J/ = (2 - х )’ ; у ' = - 7 ( 2 - x f ; в) I/ “ ( 1 - х^)^; у ’ = 5(1 - х У ■(-3 x 2 ) ^ - і б

д^гц _ ^ зу.

г) J/ = 5(1 - 2 х )': (/' ■= 7 ■ 5(1 - 2 х Г ( - 2 ) = - 7 0 ( 1 - 2х)»; *■) У = (3 + х^У; у ' = 9(3 + х^)“ 2х = 18х(3 + х^-, Д) J/ = (2х + I)''; у ' = 5 (2 х + 1)^ • 2 = 10(2 х ь 1Г-

628.

а) I/ = sin 4 х ; у ' = 4 cos 4 х ;

,B )!/*tg3 x;

О у.

3’

б) 1/ = ctg 2 х ; у ’ = -

у’ =

г) у = tg

, 1 X у =-co s-;

д)

2 х / = c o s -— ; О

sin '

Зх

х ’

3 У =

2 З х’ 4 cos —

у =

3®‘ " 3 ■

GDZonline.net 629. a) І/ = 2 + sin Зх; у ' = З cos Зх; б ) !/ = 1 + tg З х ; у ’ = ----- : cos^ Зх в) у = sin X + sin 2х; у' = cos х + 2 cos 2х;

г) у = cos X - cos 2х; у ' = -s in х + 2 sin 2х.

630.

а) i/ = sin

в ) у = sin

т і'

і / ' = cos jc +

б) у - cos

;

/ = 2 c o s (2 .- f

і / ' = si

r ) , = t g ( 3 . f 1);

Л’ Ü ' З

■1 )

631. а ) у = X sin 2х; у ' = sin 2х + 2х cos 2х; б) у = X cos Зж; І/' = cos З х - Зд: sin Зх ; в) y = x t g ^ ;

y' = t g j +

2cos^f г) y = x c t g ^ ;

y ' = c tg ^ ~

632. а) у = slx^ - 5 ;

3 s in ^ 3 2x

i/' =

2slx^ - 5 6)

+ 3 ” 'J S x ;

у —

y* =

V x“ - 5 ’

— 7----— --- i“

2-Jx + 3 b)

- 1)(j: + 2);

X+ 2+ X-1

2yj(x - \ )(x + г) і/ = Vx* - Ь х + 6;

2v ^

{/' = — .

2x + l 2

)

^(д: -

)(л: +

) ’

27д:' - 5л: + 6

633. а) І/ = sin

;

І/' =

cos

' Л- ^

'л = 2 c o s f - - - ^ = 2 cos У ,1 2 ; U 3; .6

б) у = cos в) І/ = ctg

f-l= г)

6 ;

У =■ s in ’

л ^

у’

fl l- 21j

. оЛ sin " 4

(3 x

- 4 У ; y ' = 3 ■7 ( 3 * - 4 f = 2 1 ( 3 д : -9 -9 у' =— </'(!) = 2 V 2 5 - 9x ‘ " 2 -4

- b x f;

г ) у - УІІХ + 1;

I/ ' =

у’ =

• 8 (4

- 5л:)’

- 4 0 (4

7 2уі7х +

= г/3;

= 4 sin £ - 4 . - 2 1 = 4 sin о = 0; 12) КЗ

cos

4 )» ;

= 3. 0

y '(2 ) =

•2 « -

■6 4 =

6) у = у І2 5 - 9 х ; b ) 1/ =

= -r = 2; 1 2

j/ = tg

634. a)

= 2cos- = 2 —

Гб,

І- * )'

. г 4 л ’- л ' sin-* ——— 12

12;

л'

= 2 cos

4х :

. s in ^ U

U 2j

(-1)^

2л''

’s ’

- 5л:)’ ;

i/ '( l) =

“ 40

■(- 1 ) =

40;

1344;

GDZonline.net

г 635. а)

^0 =

g :

J/o = s i n

r | ] = 2 c o s f | - | l = 2; U ./ U 3>/ рівняння дотичної у = y^ + y'(x^)(x - JC„): y = : 2 COS

0 /

■^o ■

, ^4 | ^ x --|J => j/ =

x -| ^ ;

»0

рівняння дотичної: j/ = 3 + i ( x - 3 ) =» i/ = 3 + i x - l = > j / = i j c + 2.

636. a) S' = cos у' = - 3 8 іп (з д :- ^ ) :

д:„

Л = c o s - = 0;

j , ' [ j ) = - 3 s i n | = -3. of д: - — => у = - З х + ^ : V 4/

Р івн я н н я д о т и ч н о ї:

б) у = V S jc - I ;

Л JCo = Т»

;

і/ = - З

= 2, і/„ = 3; і/' = о і/ = 3 + -5 х - -5 =

Рівняння дотичної: і/ = З + — ( ї - 2 ) :

,= |.+ 3 - lf=

5 637.

^ 3 , 2

а) у =

cos^ X -

,1 =

+ cos

j: -

2x\ у ' =

= cos

- 2

sin 2x\

• ^2 1 ■ 2о 1 1 - cos i x 6) у = 2 sin X ■cos x = — ■{2 sin x cos x ) - — sin 2x = -----------= 4d 2t ^ 1 - cos 4x 1 cos 4x , 4 sin 4x . , = ----------------= ------------------- : и = -------------- = s in 4 x : 4 4 4 " 4 0

- 2

у - 1 - 2 sin* 3x =

r) у = sin^ 8x -cos^ 8x 1 - cos 32x 8

638. 6

= 4

cos 32x

“ 8

- (1 - cos 6x ) = 1

— •(2 sin 8x cos 8x)* = 4 ^

^ s in * 16x 4 2

+ cos 6x = cos 6x; y ' = -

— cos32x _

, 3 2 s in 3 2 x , . „„ y' = r = 4 sin 32x. 8

a) j/ = sin

x cos 5x - cos

x sin 5 x = sin 3 x ; i/' = 3 cos 3 x ;

) j = cos 4 x cos

x + sin 4 x sin

x = c o s (-2 x ) = cos 2 x ; y ' =■ - 2 sin 2 x .

639 , a ) у = sin 2 x cos 3 x + cos 2x sin 3 x = sin 5 x ; y ' = 5 cos 5x; o)

X 5x . X . 5x (x Sxl i/ = cos — co s------ sin — s i n— = cos 3 6 3 6 >3 ^ 6

2x + 5x 7x c o s--------= cos — ; 6 6

y ' = —^ s in -^ x . 6 6

640. a) f(x ) = 3x^ б)

x +

; Д х) =

f (x ) = 2x^ - 3 x “ - X + 5 ; Д х ) =

x г6

x* -

; Г (х ) = 6

;

x - 1; f '(x ) = 1 2 x -

641. a) /(X ) = x> - 7x= + 5 x ; Д х ) = 5 x ‘ - 2 1 x " + 5; Д х ) = 20x=> - 4 2 x ; 6

)

/(x ) - 5 x ‘ - 4 x ’ + 3x^ - 2 ; Д х ) = 2 0 x “ - 12x» +

x ; f '(x ) = 60x^ - 2 4 x +

642. a) /( x ) = sin 5x + x^; Д х ) = 5 cos 5 x + 2 x ; Д х ) = - 2 5 sin 5 x + 2 ; 6

)

f(x ) = cos 2x + x ; f ( x ) = - 2 sin 2 x + 1; Д х ) = - 4 cos 2 x .

643. a) f(x ) = 1 - cos(2 - x ); Д х ) = -s in ( 2 - x ); Д х ) = cos(2 - x); 6

)

/(x ) - 0 .5 x - sin(5 + 3 x ); Д х ) - 0 ,5 - 3 cos(5 + 3 x ); Д х ) = 9 sin(5 + 3x).

644 . a) I/ = sin X cos 2 x ; y ' •= cos x cos 2 x - 2 sin x sin 2 x ; ®) </ “ cos X sin 3 x ; y ' = -s in x sin 3x + 3 cos x cos 3 x ;

GDZonline.net

г X 1 . . X г/ = cosxco s-T — s in x s in — ; ^ ^ ^ , . x 1 . X г/ = - s i n x c o s — - — c o s j:s in — .

V X в ) I/ = s in x c o s - - ; z X X r ) I/ = создгсоз — ;

6 4 5 . a) j/ =■ sin* x ; !/' = 4 sin* x cos x;

1 5 tg ‘' x

6) у = 5 tg® x ; I/' = 15 tg^ JC■ , cos x ; у - —і 2 y lsin x

b) y = y/sinx; г) у = y jtg x ;

у’ =

2 7 ^ jc cos^ j: fivic Ч 6 4 6 . a)

P ГО m m Ш LD

-2 s in 2 jc (x -l)-c o s 2 x

1 - s in x ’

(l- s in A c )''

6 4 7 . a) I/ = (x^ - Зл: + 1 )’ ; у ' = 7(лг^ - Zx + 1 )б(2х - 3 ) ; у Щ 6) y

2-2

-3 2уІ(х - 1){х - 4)

ro z

X+ 4-X-1 (х-і-4)‘

х +4

1 Іл: + 44 х+

~ 2 \ хх + і1 '

+ 4)' 4 )' (.X +

х +1

2уІіх - l ) ( x - 4)

2V(JC - l) ( x - 4 )

х + 4 -- (д: + 1) у' =■

S Ё:

= 7 х 1 х (-3 ) = -21;

= V (- l)(x - 4 );

У '( 0 ) = -

.g : с о

;

, _ - 2 sin 2 x (l - sin л:) + cos x cos 2x

cos2 x

cos 2л

_ 1 Іх + 4

_ З [х + 4

2 \ х + і ' ( х + 4)‘ г) у

2 \ д: + 1

(ж + 4) 2

х‘ + і'

V j J .'l

= ( x^+ 3j

.л:" + з і

■ f f f « '- —

2у(а:‘' + 3 ) - 2 л :( л :^ + 1)

(х* + 3)"

•—

6 4 8 . а ) у = (х + 2 sin х У ; у ' = 2 (j: + 2 sin д:)(1 + 2 cos х ); у '(п ) = 2 я (1 - 2)

/-.----------------

б) І / = V sin jc co sa c ;

cos* X - sin* X = — ......................... 2 V s in x c o s J c

cos 2л;

sia

д:

- sin д:

_ - c o s * j: + ( l - s i n j : ) s i n j : _ - cos* jc + s in д; - sin* д: « ix - s in x

- ,1 -S in x

2 І ---------------------- COS* JC Ф

Гсі

-1

ß ^

----------------------

COS X

V cosj

2 cos'‘ x П - s i n x

-1

(f)=l-% /2

'И Ї

________

^ S - 2

2 \/2

l-> /2

I л/2

^ l ->/2

\ 2 -> /2

>/2 - 1 >/2 ^ 4/ 2 - 1

>/2 І

2 -У І2

V>/2 - ]

V I- l

^- 2 л ;

GDZonline.net ' 1 + sin X '' . 1 - cosx;

()У

'•.

u' 1 / - “

^ c o s x ( l - c o s x ) - ( l + s i n x ) s in x

V I - cosx>

( 1 - cos x)*

COS X - COS^ X - sin X - sin X

1 + s in x '

(Г - COS X .

(1 - c o s x f

= 3

' 1 + sin j: V Л -С

0 8

cos л: - sin д: - 1 _

ЖУ

(l-cosx)^

(1 + sin л;)’’ (cos ж - sin ЛС- 1 ) ( 1 - с о з д :) ‘

3 {2 ^ ^ f

T - T - ^

- I 3

* ’

-2

( 2

24/2

6 4 9 .a ) y = t g

Г ~

П ^ - іГ

) _

б (з +

((72- i f f

-У

з Ш Г Ш ^ іГ

(2 -

^; y' = ^

2^/2

>/2 )

6 ( з + 2^^2) ^

+ lr

(3 -2 V ^ f

J /'( ^ ) =

рівняння дотичної: у = j/„ + fr + l - - :

1 2

“

6 {3 + 2 j 2 ) 9 -1 2 7 ^ +

б (з +

у/2 )

17-127^’

;

“ JCo):

у = l + 12x--= >

^4 /

= ,j , = m 6

) j / = Ctg* Ї - 1; y ' = 2 c t g j: ( — r ^ ) = — V sin X / sin X " ^ V

-A-, j:„ = — ;

650. a)

І/

= 0 . Рівняння дотичної; і/ = - 4

> І/ = -4дґ + Л".

''~ 4 j

=c t g - :

= л, Уо =

j/' !/ = -

Рівняння дотичної: у = - ^ - А { х - л ) ^

6 ) у ~ sin* х\ х ^ = ^ \ 4

^ : y ' W = — Ц - = -4. З 3 s in ^ f

у - - іх +

І/' = 2 sin X cos д; = sin 2х\ у ' ^ = V4 >

I/o = і ; 2

_ . . ї ж 1 л 2 -л га н я н н я дотичної: у = — + х - — => у = х + - - — => у = х + — -— . 2 4 2 4 4 A fj

• 9

651. V = cos» д е - З cos j: sin* а:; х „ = - ;

i/o =

З у/З 3>/3 = ---------

;

,2 V

у' - - З cos* JCsin д: + З sin“ д: - З cos д: • 2 sin jc cos д: = - З cos* дг sin д: + З sin* х “ 6 sin де cos* X = - 9 sin X cos* д; + З sin »x; / £ = _ 9 . і . і + З . І = - ^ + І = - ^ = -3 ; Іе; 2 4 8 8 8 8 Рівняння дотичної: у = - З х - ^ ] = > V 6у

у = -Зд; + ^ . 2

ввайдемо точки перетину з осями координат: * -0 .

у = - \ у = 0=> - З х + - = 0 = > 2

Л”

7Г

=» -Зд: = ------ => X = — ; 1 £ — вд*оа=-АО ОВ = ^ 4 4 = ^ 2 ' 2 ' 6 “ 24

відповід ь: — . 24 20 Усі гдз, 11 кл. кн. 2

с6 с5о 2 . , . 2оÄI -2 3 ?с,

2 •2х

GDZonline.net

2лс

= 3 , у„ = 4 , ^'(3) = 1 = 3;

рівняння дотичної: у = 4 + 3(д: - 3) =»

= ^ y ~ i + 3 x - 9 = > y = 3 x - 5. Т рикутник, утворений прямими

у —X, у =

у = Зх - 5.

-X ,

А А О В — прямокутний,

= і •А О ■O B .

Знайдемо координати точок А і В :

А:

В:

у = З х - 5;

У= х у = 3 х - 5; У^-х

=> Зд: - 5 ■= л; 2л: = 5; І = 2 ,5 ; і/ = 2 ,5 ; А (2 ,5 ; 2 ,5 );

=> Зл: - 5 = -л :; 4л: = 5 ; X = 1 ,2 5 ; у = - 1 , 2 5 ; В ( 1 ,2 5 ; - 1 ,2 5 ) .

Знайдемо довж ину відрізків О А і ОВ-.

О А = 7(д:л - x S + (!/^ -

O B = y j(X g - x „ f + (y g - y „)^ ;

О А = V ( 2 , 5 - 0 ) “ + ( 2 , 5 - 0 ) ’' = V 6 ,2 5 + 6 ,25 = ^/l2,5 = ^ 6 ,2 5 2 = 2,5>/2: O ß = V (l. 2 5 - 0 ) '+ ( - 1 , 2 5 - 0 ) “' = V l.2 5 ^ + 1,25^ = ^ 2 •1,25^ = 1,25^/2:

■Здлой = I

2 ,5ч/2 •1,25n/2

= 2.5 •1,25 = 3 , 125.

В ід п о від ь : 3 ,1 2 5 .

6 5 3. І/ = V 3x + 1 , у = yj5x - х‘ Знайдемо точки перетину вищезазначених функцій: Зі +

= 5і о

л:* -

л: + З

; (х З

1)2

4’ " => Графіки функцій

6х

y jl- 2 x

>/l-2 x +

і/ =

; з: - 1 = 5 -2*

; І =

; З

; г/'(і) =т => v '(i) = і/Чі) =

2ч/5х -

' ' ''

J/ = -JSx + 1 і у = л/блс - д:' у точці перетину (1 ; 2)

спільну дотичну. Їїрівняння І / =

654. у =

З + - ( д ; - 1 ) =>

—18 = - З , Уо = - 7^ : 1 Т '

3 у = 2 + —х

=» у =

мають

3 5 —х + —.

З х + Ьу = а

2 \1\-2х

(1 -

1 - 2х

x) +

( І - 2 л:)*

1 2

( 1 - 2 л:)'’

(1 - 2xY

^ 18 24 18 24 у '(- 3 ) = —— — = — . Рівняння дотичної; у = — ^ + - ;^ (* + 3) =» 1+ D 7 ^7 7 6

•7 => Ту = -1 8 ч /7 + 24л: + 72 => Т у - 2Ах = - І В - Л + 72

О тж е, в рівняння Зд: +

= а;

7 8

9 г“ а = — v 7 - 9. 4

(-8 ) =

, і5 .а ) У = 7 * 8

GDZonline.net

У =т

y«-= :i (- 2 )COS^ cos“ f 2 x + ^ l 4J

(х^ - 1 )^' - 2х 2 (х ‘ - 1 ) -2х

2х

У = -

) У ' х^-1

х ^ - 1 - 8х

т:

= -2 -

* - 2

У " = -2

-1 - 7 х ‘

(х ^ - іУ

2 + Ы х^

656. а) у = X sin х; у ' = sin х + х cos х ; у " = cos х + cos д: - д: sin * =

2 cos х -

- * sin х ; у " ' = - 2 sin л - sin де - х cos д: = - З sin д; - х cos х ; у " ' = - З cos х -

cos X + д: sin д; = - 4 cos х + х sin х;

g) у = X cos х ; j/‘ = cos X - X sin х ; у " = - s in х - sin х - х cos х = - 2 sin х - х cos х ; уШ- - 2 cos X - cos X + X sin X = - З cos X + X sin X ; І/“" = З sin X + sin X + X cos x =

4 sin X + X cos X.

657. a) у = sin x ; i/‘ = cos x ; i/“ = - s in x ; j/‘“ = -cos x ; j/'*' = sin x ; i/" = sin x + ^ V

^cos x; у

sin д:;

) у “ cos Jtr;

= cos

(

я-л'

Г"*"

2 >

§ 1 7. Похідні показникової і логариф мічної функцій 6 6 6 . а) у

- {7 е У = 7 'в"; у ' = 7 М п 7е* + 7* •е ' = (7е)* In 7 + {7 еУ ;

Ь ) у ~ З ';

ї/' = З " In 3;

в) f/ “ я*;

у ' = я* 1 п я.

667. а) 1/ = Ш У ; у ' = (у / 2 Ї In 7 2 = | (л / 2 Г In 2 ; б

)

•= 4* - х ;

= 4* ln 4 - 1;

в) у “ 0 ,5 ' + 0 ,5 ;

= 0 ,5 ' In 0 ,5 .

у' = ^ ;

668.

а) І/ = 8 ln х ;

669.

а) у = logj, х; у ' =

в) J/ - З - lg х ; J/' = -

670.

б ) у = - In х ; І/' =

х 1п 2

б ) у = lg(x + 3 ); у ' =

(х + 3 )1 п 1 0 ’

Х ІП ІО

а ) і/ = х* ‘ : у ' = 2 ,5 х ' “ ;

6) у - -X»*: у ' = -0,5х-»‘ :

в) J, = 2 х > у ' = 3,4х» ^

г ) І/ = - X ': у ' = -ех'-‘ .

671.

б) 1/^

а ) у = Х": у ’ = л х "“‘ ;

» )!/ = X '; у ’ = - e x '-’ :

672.

а )і/ = 3 ' - 2 1 п х ;

B )j,- lo g ,(4 x ):

*“) У = X In 5; у ' = In 5; 2 0

;

у ' = >ІЗ: ,Л-і.

г) у - х ^ ‘ ; у ' = {е + 1 )х '. і/' = 3 * 1 п 3 - - | : =

б )у - 1 п (7 х ): у ' = ^

=і ;

г) І/ = е 1п(х + 5 ): у ' = —

X +О

д) {/ =

' + In

; І/' =

' In

);

2 /

GDZonline.net ^ )у - е - ы х - ,

673.

у '=

б)|/ = 1 п ( 1 0 - 5 х ) ; j/' = — X

в)

у = 1 - З - I/' = - З '

г)і/ = 3-41п(1-д:); у ’ = z i _ H > 1 —JC

ln 3;

, „ i ;

Д )

674. a) у = e"' +

= -i _ ,

1 0 - 5 JC

X 0 S , ^ ;

y' = e* + ЄДҐ"*: y '(l) = e + e = 2e;

6) у = д;2 + ln j:; J,' = 2ДГ +

J/'(1) = 3;

675 . a) f(x ) - xe", f'(x ) = e’ + xe'\ f ( l ) = e + e = 2e; б)

X 2-'; f ( x ) = 2л ■2-' - л:» • 2-" ln 2; /'(1 ) = | - | і п 2 = 1 - l n >/2;

в ) К х ) = e» + ln x ; /'(a:) = e‘ +~-,

f’(l) = e +

676. a ) / ( x ) = д: ln л ; /'(л:) = ln x + — = ln л: + 1; Д 1 ) = 1; JC

6) Да:) = 2 ' + ln x; f'(x ) = 2 ' l n 2 + - ; f ( l ) = 2 ln 2 + 1; B ) f(x ) = л:-» + ln X-, f \ x ) = - x " + - ; X

677. a) f(x ) = 2',

/'(1 ) = -1 + 1 = 0.

= 1. y„ = 2 ;

/ '(x ) = 2 ' ln 2; /'(1) - 2 ln 2; р ів н я н н я д о ти чн о ї у = Уо + J/'(x„)(x - д:„); 1/

= 2 + 2 ln 2(л: - 1) =>

= 2 + 2х ln 2 - 2 ln 2 => у

=2jc ln 2 + 2 - ln 4;

= 1; П х ) = - Є - ; f ( 0 ) = -1;

6) /(X ) = e - , x „ = 0,

р ів н я н н я д о ти чн о ї: j/ = l - ( x - 0 ) = ^ i / = l - x .

678. а ) f(x ) = 2 ln X, x „ = e; y „ = 2; / '(x ) =

/ '(e ) = ^

р ів н я н н я д о ти чн о ї: і/ = 2 + -(д : - e) => и = 2 + - л : - 2 => у = - х ;

б ) « Х ) = ІОЯДХ - 1). х „ = 2. р ів н я н н я д о ти чн о ї: j/ =

= 0; / Ч Х ) =

c o s2х;

6 8 0 . a ) y = > /F:

хе;

+ е ' ■е"‘» ' • cos X =

б ) І/ = 1,5“ » '; у ' - 1,5“ » ' ■cos х; З' в ) у = --- ; " Іп З

68 1. а ) г/ =

З 'Іп З

„

у = ------- = 3 . "

Іп З

= (х”’‘ )ї = х « ‘ = х ї; 1

б) {/ = х ’ ’ •n/^ = х ‘-’ •X» = х ‘’’ *“ -‘ =х “ ;

ъ)

;

І/' = -— 2 £ іН £ _ sin 2х; 2V x

у' = Є ■

в) у = е' ■

Г (2 ) = ^

(х - 2).

679. а ) І/ = Є'* + х^е; у' = -Є "' + б) у =

у = х-^‘ ; у ' = ТЗх '^ -'.

у’ = і х '^ ; ^

у ’ =2 ,2 х ‘ *:

. cos х.

1 — ’

GDZonline.net а ) у = 3х^^;

у’ = 3 ^ х

^^у = х х ^ = х > ; а )У

= ^

6 ) у = - 2 х ‘ - у ' = - 2 - ^ х ‘ = -Зх'^;

у =-х

Г— g83.

'^ = 2х~‘ ;

= х*-,

Г-

у' = - х * ;

б ) у

= 2 х ‘ ;

у' = ~х^\

y = k l x + 2 = ( x + 2 Y ‘ -,

= 2 ^

у' = - ( х

+ 2 ) \

+' -/ 2)^)' / = 4(в* +■ “2/f ■е -»

584. ф. а) «/

«)

- е-’ Г ' У =

((1

- е - ) - “ •( - Є - * ) •( - 1 ) =

- ( 1

J_ el е '( е '^ :х

( ' - я

( e '- l ) ^

,■

+ 10

+10 '

685. а) ((1 _ 1 6

)

) -') ' = -2 (1 - є » ')-» . (-е ^*). З = _L - (1 - е ' )

VI - е"' ((1

- е

3 (1

~е

= -

1 ( 1

;

)

^ . ( - Є - ') ( - 1 ) = -

е-

у г : ^ +^

- е -)-| ;

( 1

^ 2

)-’ =

,) и т г г ^ Г

(1 -

V l - 2 e -'

V I-2е "

е -" + а:е-'

■ J l-2 e ’

еас

686. а) I /=

, , я> , /. ln (jc * ) +

( I n д :)* :

і/

За;*

= —^

21пл:

л:

+ ------------- = -

jc“ б ) у = (1 п (х ^ +

.4 ь )у

= Г хЫ 2 хУ ,

у' = j,

х ) ■ (4 i» +

\g2x -J x-2 = ^ + _ _

ш . й ) у = (1 п( 2 д: + 1п(4л:)

3 1п2(д:< +

1п(4д:)

’ ‘' ~ i x ‘

у' =

)—

3 (4 х^ + ’J x ^

^ =

х^ ’ 2

^ ^ -Л Х п х In ^ x ln X

^\-2\пх yjx ln® X 9

688. а) f(x ) =

RW/ Ч

ln (3 x -

4 ) ä =- 3 l n ( 3 x -

■■ЧЧ

Ж* +

+ 2x^

4 );

y ’ =

3x^ +

6 8 9 .., „ . , . , „ 4 ^ , - lQ x + 2 x - \ 0 - x ^ - 2 x (x^ + 2 x ) (i - 5)

л:*-1

лс-

1 0

(x^ + 2 x ){x - 5) ’

3 + 21пж

1 ) 1п2(а:< +

l- ln (4 x )

х‘

1п х _ 2 ^ в )» = ^ . 1пд:*

1) =

\g2x , = ^ + -

))®; i / ' = 31п^2л: +

21па:

+ ------------ = ---------------------- ;

);

х);

GDZonline.net 6) f ( x ) = In ■_ ■- - — 3- = In x " - ln(2 - Зд:)" = 3 In д: - ln(2 - Зд:)^ ( 2 -3 x )

2(2 - 3 x ) ( - 3 )

(2 - Зд:)"'

д:

690. a) f ( x ) = In x {x +

6 2 - Зд: £ ^ (£ ^ _

\Jx + 1 \ x (x + 2 ) ) ■

) - 2{x + l){2 x +

’

) _

2x (x + 2 ) U x + l f

V m

^ ( х

д:^(д: +

д: - (2 д: +

)

д:(д: + 2 )(x + 1 )

(д: + 1))3д:' -

д:(д: +

+ д:)

ж'’ + 2 * - ix ^ 2

)(д; +

a: - 4 _ 1

)

-3x‘ - 6 x - 4 2

д:(д: +

б) / W

)(л +

p (tJ го CQ О»

Г (х ) =

)’

(д: + 1 )(2 д : - 1 ) . = ln^ Зд:^ Зл:'

(х +

(2 д:

)(2 д: -

- 1

)( 2 д: -

)

(X + 1)(2х - Щ х ^ Ах‘ + х - 4х^ + 2x - 4д: + 2

д:(д: +

(4х + 1)х - (2х + 2)(2х - 1)

Зх (2 х - 1 + 2х + 2 ) х - 2(х + 1)(2д: - 1 )

9х*

)

х (х + 1){2х -

691.

2х, у ' = 2fi2» =» 2е^’ = 2 1/ =

I/ =

-х + 2 х {х + 1)(2х -

) Ä =

2. П х „ ) ^ 1 =>

)

2; = е° => 2х = О => X = 0.

Хд = 0; у^ = е° = 1. Рівняння дотичної до графіка функції у =

Q. .5 с

692. у = = 0 ; 1/„ = 1 ; у' = 0,5е»-*'; і/'( 0 ) = 0 ,5 . Рівняння дотичної: у = 0 ,5 х + 1. 693. у = ае*': у' = afte*'; у" = ак^е^“; у'” = 694. у ■ 695.

я к а паралельна

прямій у = 2х: у = 1 + 2(х - 0) ^ у = 2х + 1.

а)

ake^^-^•; у " =

a ft 2

у'" =

і / '" ’ =

Застосуємо формулу у ' = - V 1

(arccos х )' = -

ХЄ ( -1 ;

);

у — arccos X , X е ( - 1 ; 1); обернена до jc = cos у , у е (0; я); J

(arccos д:)' =

____^

(cos у ) '

б) (arctg х У = (a rc tg x )' = —

1+ х

sin у

j l -- cos^ s jl 0 0 8 ^у

(arccos ^■^Jl^ ccos^ o ?(a r c c o sx^)

•Jl - x^

', у — a tc tg X обернена до jc = tg і/, у e

1 1

tg‘ y + 1

x^+1’

cos^ у b)

(arcctgA:)' =

— j ; у = arcctg x обернена до д: = ctg у , у e ( 0 ; л);

(arcctg х )' = (ctg I / ) '

696.

L sin у

ctg" І/ +

x' +

a) g (x ) = arccos Зх + 3 arcsin x\ g ’(x ) = — , + - т-.-. гт -; З з ^1-9х^

г '( 0 ) = - у + 7 = 0:

GDZonline.net

g(x) = a rcsin 5 X - Q . 5 a rc tg x; g '(x ) =

j(0 ) = 5 - 0,5 = 4,5; “ arccos - a rc c tg 2x; g '(x ) =

/(O ) = 0 + 2 = 2 ; ""з T) g ix ) = 2 a rc ctg X - a r c t g d - x ); g '(x ) = ~ Y 7 ^ ^,(0 ) =

_ 2

+ i = _ l,5 .

697. a) f M = arccos 3x;

= —7

/ '= - 3 ^ - i j ( l - 9 x ') '2

г = —r

V l - 9x‘

4i -9x ^

= -3(1 - 9x*)

( -1 8 x ) = - 2 7 х ( 1 - 9 х ' Й ;

fix ) = 3 a rcsin x; f '( x ) = — 7=2 = = = 3(1 - x ^ ) ‘ \

Г (х ) = - - а - х ^ )^

(- 2 х ) = 3 х а - х ^ )

, ) « . ) = 0,5 a rc tg 5 . ; / ' ( . ) = 0.5 -

= -^ = = —

n x ) = - 2 . 5 ( l + 2 5 x ^ ) - .5 0 x = - ^ j i | ^ ; r) f ix ) = jc arccos jc; f i x ) = arccos лс - - y = ^ = ; 1

П * ) = - - 7 = i= T - - r “ _ -

(1 - ж ^ ) - х ^ _ V (l-x ^ )’

- ^ 2

x^-x* _

a rc c tg x

- 2

~ > Jii- x ^ r ’

Ґ) /(x ) = X* arctg x ; /'(л:) = /" ( x ) =

( l - x * ) * ( - 2 x) = -

arctg x

------? ^ - 5- + x * (l + x ’') “* - 2 x =

a rcctg x -

i+ x»^(i+ x^)^’

Д) f {x ) = arcsin* x; f ’(x ) = n x ) = : ^ - 2 a r c s in x .i( l'- ; ) - t . ( - 2 x ) = ^

. ^

“

§ 18. З а с т о с у в а н н я по х ід н о ї до д о с л ід ж е н н я ф у н к ц ій

706. а )

/(X ) = 2х^ - 12х + 5 ; Д х ) = 4х - 12 => 4х - 12 = О => 4х = 12 => х = З —

кр ити чна точка; б)

/ (х ) = i x “ - 4х; f ( x ) = х * - 4 = > х * - 4 = 0=>х* = 4 = > х = ±2 — к р и т и ч н і т о ч к и . З /(х ) “ X - 2 sin х; /’(х ) = 1 - 2 cos х => 1 - 2 cos х = О => cos х = — =>

707. а )

=» X = ± — + 2л-п, п є Z — к р и т и ч н і т о ч к и ; З б) /( х ) •= Зх® + 6 х ; /'(jc) - 1 5 х ‘ + 6 ; 1 5 х ‘ +

t О => нем ає к р и т и ч н и х то чо к .

708. а )

/(X) = 2х’ - Зх* + 7, Щ у ) = Я ; f i x ) = 6х^ - 6х; 6х* - 6х = 0; х ‘ - х » 0; х(х - 1) = 0; X = о або х - 1 = 0, х = 1. К р и т и ч н і т о ч к и х ■= О, х = 1.

6) /(з:) = JC - In X, Г»(у) = ( 0 ; + ~ ); f i x ) = l - — ; ти ч н а т о ч к а X = 1. X

1 -і= 0 ; X

- — = -1; х =■ 1. К р и X

GDZonline.net 709. a) f ( x ) =

+ 1, D { y ) = R- f ' ( x ) = 8х^ - 2 х ;

- 2 х = О =>

*з ^

- ж = 0 => хЦ х^ - 1) - О => x (2 x - 1){2х + 1) = О => X = О або 2 х - 1 = 0 ; х = і . 2 ' або 2х + I = 0; х = - і . 2

Критичні точки: ж = О, х = — , х = — . / 2 2 б) f ( x ) = ^Іх^ - X , ОДЗ: х ^ - х > 0 - , х {х - 1) > 0 ; рис. D ( y ) = (-оо; 0] u [1; + ~ ) ; 2 2

/'( .) = 4 ^ - ^ 2 s lx ^ - x '

- 1

2 4 х^

= X

х -

1 0

;

X = — — не входить в область

х *1

визначення, отж е, критичних точок немає.

710. а) f ix ) = Є'* + X, D ( y ) = R ; Г(х) = - є “' + 1;

+ 1 = 0 ; е '' = 1; є * = є”;

X =

О — критична точка;

т т CQ Ш

б) f (x ) = cos 2 х , D (y ) = ії; f '{x ) = - 2 sin 2 х ; - 2 sin 2х = О => sin 2x = О => 2 x = nn, r, Л71 _ Л6 Z =>X = — , Л € Z — критичні точки. 7 1 1 . а) /(х ) = X* + X, D (y ) = Д; Д х ) = Зх^“ > О ^

f (x ) зростає на всій області ви-

значення; ГО S І т а .ч ; Ъ

б) /(л:) = 4х - 1, D(i/) = Л; /'( х ) = 4 > О => /(х ) зростає на Д; в) = 5 + ln X, D ( y ) = (0 ; +»о); Г(л:) = — > О, х є (0; + ~ ) => /(х ) зростає на всій області визначення. ^ • 71 2. а) Я х) = 2х - З, Л(у) = Д; Д х ) = 2 > 0 ^ f ( x ) зростає на Д; б) f(x ) = X + 2 ,5 , D (y ) = Д; f \ x ) = 1 > О => f (x ) зростає на Д; в) f ( x ) = 5^/5, D ( y ) = [0 ; +о<>); f '( x ) = —^ значення. 2 vx

> О => /(х ) зростає на всій області

ви

7 1 3 . а) f (x ) = 1 - X®, D (y ) = Д; f ( x ) = -З х^ < О => /(х ) спадає на Д; іл ш

б) /(X ) = - 4 х + З, Х)(!/) = Д; Г(л:) = - 4 < О => /( х ) спадає на Д; в) /(л:) = -I n X, ß ( !/) = (0; +оо); f '( x ) = - - і - < О, області визначення. ^

х є (0; + = ) , => f (x ) спадає навсій

714. а) /( х ) = 0 ,5 ' + 7, D (y ) = Д ; f '(x ) - 0 ,5* ln 0 ,5 < 0; на всій області визначення /(х ) спадає; б) f (x ) = log„ J X, D ( y ) = (0 ; + ~ ) ; /'(л:) = всій області визначення;

< О, х є (0; + ~ ) ; f (x ) спадає на ’

в) f (x ) = Ъ - е ', D ( y ) =Д: /'( х ) = -е * < О=> /( х ) спадає на Д.

7 1 5.

у, Зростає: х є

- 1 ) u (3 ; + ~ ) ;

спадає х є ( - 1 ; 3); ух = - 1 , х = 3;

f '{x ) не існує.

716. а) « X ) = З - 2x2, f (x ) зростає, якщ о х є

^ д . д д .) ^ _ 4 ^ . - 4 х = О => X = О 0

]; /( х ) спадає, як щ о х є [ 0 ; + “ );

GDZonline.net

g, f(x ) = 3 x - д:^ D ( f ) = R ; f { x ) = 3 - 2 x ;

j - 2jc = 0 => х = 1,5 Дж) зростає, якщ о з; є

1,5]; спадає

— х є [1,5; +оо).

1,5

717. а) f (x ) = д:‘ - 2 х \ D ( f ) = Д; - 4х = О => х^ ^ Х

О,

f(x ) = - іх ; = О ^ х (х - 1)(х + 1) = О =>

-1

f(x) зростає, якщ о х є [-1; 0] u [1; +~); f (x )

- 1

спадає,

^ ш о X є (-~; -1] U [0; 1]; + 5), D ( f ) = Д; A j :) = 2 х (х + 5) +

в) /(ж) =

, 2х^ 8

10л:

х‘

Зх^

ІО х ;

10) = О => ж = О

** + IOjc = о => х (3 х +

/(*) зростає х є

718. а) f (x ) f { x ) “ Зд:^ -

^ ;- 3 -

U [ 0 ; + ~ ) ; і ( х ) спадає х є

= х^ - Зх^ - 9х -

1 , D ( f ) ■ Я; - бл - 9 = О =>

x = 9;

.=> ж“' - 2 х - З = О => X, = З,

f(x ) зростає на X є (-°= ; -

= -1 ; - 1

] u [3 ; + ~ ) :

/(* ) спадає на х є [ - 1 ; 3]. б) f (x ) = S - 6 x ^ ~ х \ D ( f ) = Я ; Г ( х ) = - \ 2 х - 4х^;

-12х - 4х^ - О => З х + х^ = 0=> х іЗ + х^) = О => X - О f(x ) зростає на х є

]; f (x ) спадає на х є [ 0 ; + ~ ) .

719. Рис.

76 а) а) П х ) > О, X є ( - 2 , 5 ; 1); в) П х ) > 0 , х є

б) П х ) < О, X є ( - 3 ; - 2 ,5 ) u (1; + ~ ) ; г) g '(x ) > 0 , х е ( - 2 ,5 ; - 1 ,5 ) u (0; 2);

( - 2 , 5 ; 1);

f ) g ( x ) < 0 , х е ( -1 ,5 ; 0) и (2; 2,5) u (2,5; 4,5);

д)

g'(x) < 0 , х є

(2 ; 2 ,5 ).

Рис. 76 б) а) П х ) > О, X є ( - 3 ; 2);

б) П х ) < 0 , х е ( - 4 ; - 3 ) и ( 2 ; + ~ ) ;

в) П х ) 5 О, X є [ - 3 ;

г)

ґ) g '(x ) ^ О . х е

2];

д)

(0 ,5 ; 2) u ( - 1 , 5 ; 0 ,5 );

gXx) > О, х е g'{x) < 0 , х е

( - 3 ; - 1 ,5 ) ; (0 ,5 ; 2).

720. у

=■ а ', у ' а ‘ Ы а , а > о, а Ф 1, D (y ) = R а) а > 1 , а ' In а > О => І/ = а " зростає на R ;

б) О < а -< 1, а ' In а < О => І/ = а ' спадає

721. г/ = а) а > 1,

log_. X, D {y ) = (0 ; + ~ ) , а > О, а 1

> О, X є (0 ; +оо) :

на R . 1, у ' =

хіпа

у = log_ X зростає на всій області визначення;

хіпа 1

б )0 < а <

< О, X є (0; + ~ ) : >у = log^ X спадає на всій області визначення , —^ хіпа

722. у = tg X,

»сій області визначення; У - ctg X, D (y ) - {х * пп, п є Z}, області визначення.

723. а)

ß ( l /) = | x ;t -^ + /r n , n e Z }

^(J/) =

/' = -

■>0 :

У = 1

s in * X

0) W (0 ; + ~ ) ;

f '( x ) = ^

у = tg X зростає на ctg X спадає на всій

> О => f (x )

вростає на D(y)-, б) /(X ) =

D(i/) = ( - ~ : 0 ) U (0 ; + ~ ) ; f ’{x ) =

Л*) зростає на X є ( - ~ ; 0); f ( x ) спадає на х є (0; + ~ ).

GDZonline.net . D(y) - (- 0 0 ; - 4 ) u (- 4 ; +00);

724. a ) f(x) =

x + 4 I0 x ( x + 4 ) - 5x^

= 0,

lOx^ + 40x - 5x‘ _ 5д:^ + 40x

5а:(д: +

(д: + 4)^

(;t + 4 f (x + 4)^ = - 8 — критичні точки.

(;c + 4 f

) ’

f(x ) зростає на jc є - 8 ] u [0 ; + ~ ) ; f ix ) спадає на x є [ - 8 ; - 4 ) и (- 4 ; О]. б) f ( x ) =

Г М

£)(J/) =

x‘ - l ’

2 x (x ‘ -

) - 2 x (x ‘ +

) u (-1 ;

) u ( 1 ; +=0 );

2x^ - 2 x - 2x^ - 2x

)

(x ‘ - i y

(x^ -

X = 0 — критична точка. f (x ) зростає на д: є (-<»>; - 1 ) u ( - 1 ; f (x ) спадає х є [ 0 ; 1 ) u ( 1 ; + ~ ) .

]; -

725. а) f (x ) = 5 + sin Зле, D ( ß = R ; f ( x ) = 3 cos Зд: => 3 cos З і = 0 => cos 3jc = 0 => x = — + — ,n e Z ;

= > 3 jc = - ^ + ; t o , n e Z = >

Зростає X є

спадає x є £ L6 6

3 ’

"з*.

Уі

,n eZ ;

£^L. £ £^L , П s Z ; 3 ’ 2 3

) / ( i ) = 7 - c o s ^ , D {y ) = R ;

/'W = isinf=^ => sin — = 0 =s

is in | =

=»

— = Л-Л, n є Z => jc = 2/ГЛ, л є Z.

72 6. а) I/ = 2л* + ln JC, D { y ) = (0 ; + ~ ) ; /'(at) = 4x + — = у зростає на всій області визначення; 6 )у ^ (х -

)Чд: +

)’ .

( 1/) ^ Щ у ' = 2 (х -

)(;с +

( ї + \ f ( 2 ( x + 1) + 3(ас - 1)) = (д: - 1)(д: + 1 )\ 2 х

(5 х - 1); {X - l)(jc + l f ( ß x - 1) = О =»

=>л: “

, д: = -

, д: =

> 0, x s (0 ; + ~ ) ;

* 1

)» + 3(х +

l)"(jc -

,2 ;

Ф ункція зростає х є ( - ~ ; 0 ,2 ] u [1 ; +»о); спадає х є [ 0 , 2 ;

~ 1

72 7. а) І/ = і е " + 1, D (y ) = Д; у ' = е* + jce*

= e*(l

0 . 2

+ д:);

e*(l + X) = О =» д: - - 1 . Ф ункція зростає х є [ - 1 ; + ~ ) ; спадає х є (-є»; -

б) у = ( х - 2 ) ^ Л П , Д і,) = [ 1 ;+ ~ ) ; у ' = 2уІх

=> Здс-4 = 0 = >

- 1

^ 2х-2 +х -2 2 у іх - 1

д: = - . З

Ф ункція спадає х є

зростає

72 8. а) f ix ) ^ х^ + 2х \ D i f ) = Л; f i x ) = Ьх* + бд:* > О => => зростає на всій області визначення; б) f ix ) =

)^ = (д:-

+ 2 +З х - 3) = (х - 1)(д:+ 1)*х

д: - д:* S О => л(1 - л) > О, D ( f ) = (0 ; 1];

)х

GDZonline.net

1-2х

1 - 2д: = 0=> л: = 0 ,5

Зростає X є [0; 0 ,5 ] ; спадає х є [ 0 ,5 ; 1]. *) Л * ) - -ї + sin ж, !»(/) = Д; / '(* ) = 1 + cos X > О => зростає на всій області визначення; г) /(■*) “ визначення. 729.

а)

= - 2 + sin д: < О => спадає на всій області

- 3*^ + 1 = О, [2 ; 3]

Л х ) ~х’ -З х ^+ 1; Я2) = 8 - 12 + 1 = - З < 0 ; ^ 3 ; > 27 - 27 +

------------- 1---------1

;

f (x ) “ З х ‘ - 6х; Зх^‘ - 6х = О => х^ - 2х = О => (х - 2)х = 0 = > х = 2, х = 0. На проміжку [2; 3] ф ункція зростає. На кінцях проміжку [2 ; 3] значення функції Ііають різні значення. Отже, рівняння на проміж ку має один корінь, б) * ‘ +

fix ) - *■* +

= 0 ; [2; 5 ]

j: -

; f ’(x ) = 4х^ +

; 4х^ +

= О =>

= » 2 ї ’ + З = О => X* = - 1 , 5 => х = - ^ Г 5 : /( 2 ) -

16 + 12 -

= 2 0 ; /( 5 ) = 6 25 + ЗО -

= 647.

На проміжку [2 ; 5] ф ункція зростає. На кінцях проміж ку значення функції додатні. О тж е, рівняння коренів не має.

730. 2х+

sin л: = а ; f (x ) = 2jc + sin д: - а , D ( f ) = R\ f '(x ) =

2+ cos x > 0;

Дж) зростає на R . Отже, Д х) перетинає вісь О х один раз. COS X - 4х = а ; g (x ) = cos х - 4х - а , D (g ) = ft; g '{x ) = -s in

x - 4 < 0;

g{x) спадає на Л => перетинає вісь O x один раз.

731. а)

І/ = X* + 2 а х + 1, D ( y ) = R-, у ' = Зх* + 2а > О, як щ о а > 0 . Ф ункція зростає

на Д, як щ о а > 0 . б) у “ ах - 2 cos на Д, як щ о а >

732. а) у

D ( y ) = Д; і/' = а + 2 sin х > О, як щ о а > 2 . Ф ункція зростає

= ах - х^ - х ’ , D ( y ) = Д: j/' = а - 2 х - Зх^

у'= а-зГх^+ —х1 = а -sf x + i ] +і=> -зГх + —1 <0, а + і < 0 : \

)

І.

з;

1.3^

б) у = а х - 2л/х + З, D ( y ) = [ - 3 ; + ~ ) ; у ’ = а -

•а <

УІХ + 3

При о < О ф ункція спадає на Д.

З’

■Jx + 3

§ 19. Екстремуми функції

744, а)

І/ = X + х^; І/' = 1 + 2х => 1 + 2х = о => X = - 0 , 5

б) і/ - х^ -

х = 3 ; І/' = 2х -

=> 2х -

= О => X = З

" 3; в) у - 5х^ - 4 х ; у ' = Ю х - 4 =» Ю х - 4 =■ О => X = 0 ,4 *«..-0,4.

745. а) у = 5 - х^; у ' - - 2 х => - 2 х = о =» X = о * ^ - 0: б) У - 1 - X - х'“; І/' = -1 - 2х => - 1 - 2х = 0 =» X - -0,5 “ -0.5;

- 0 ,5

GDZonline.net 0,2 5

в ) y = X ~ 2x‘ ; y ' ~ l - * x = = ^ i - i x - 0 = > x = 0 ,2 5

746. a) у - 2Ж» + 3x^ - 5 , D (y ) - R - y ' = бд;^ + бд:; бдг» +

x - О => j:(a: +

■*».» "

^min “

) =. о

-IC * 0 .

= -1 ;

б) У = 1 + 8д;2 - ;с‘ . О ІУ ) - Д: 1/' = Ібд: - 4дг»; Ібдс - 4л:3 = О => 4 л: - д;’ = О =» х(4 - д:“) = О => => х(2 - х )(2 + * ) = О =» л: = О, л: = 2 , д; = - 2 ; = -

, *„ 0 . -

в) І/ = -л » + 12х + 7 , D (y ) = Щ у ' - -Zx^ + 12;

-Зх^ + 1 2 - 0 = > д : ^ - 4 = 0 => д : ^ = 4 = > х = ±2 ; * т 1» ”

-^».х “

747. а) f(x ) = 7д:^ - 2ж + 4 , D ( y ) ^ R ; у ' = 14х - 2 ; 14д: - 2

= .. = - ; 1

гт * Утіа

^min

= 7 . ^ - 2 , 4 49 7

= - І + 4 = 3®; 7 7

б) Лл) = X* + X + 1, Z)(j/) = Д: у' = 2л: + 1; 2д: + 1 - = 0 = > л : = - 0 , 5 ; -0 .5

= - 0 - 5 : J /„i.(-0 ,5 ) = 0 ,2 5 - 0 ,5 + 1 - 0 ,7 5 .

74 8.

а) /( * ) ■= X» - Зх + 5 , D ( y ) = Л; f \ x ) = Зх" - 3; Зх^ - 3 = 0 = > х * - 1 = 0 = > х = ± 1 ; х ^ , = -1 ; =-1 + 4 + 5 = 8 ; = 1: б) f (x ) = 2х> +

= 1 - З + 5 = 3; Зх* + 1, D [ y ) = if: f ( x ) =

х^ +

х;

х^ + бх = О => х^ + X = О =» х(х + 1 ) = 0 = > х = 0 або X = - 1 ; 6

= -1 .

=-2

+ З + 1 = 2 ; х ^ „ = О, y„J O )

749. а) Л х) = 8 - 1 2х - х’ , D ( f ) = R; Д х ) = - 1 2 - Зх"; - 1 2 - Зх^ = О => 4 + х^ = О = => коренів немає => немає точок екстремуму. 750. Х„,„ = 1. Х^„ = 5 , У^„(1) = у ^ „(5): х = 1 , х = 3, х = 5 — точки екстремуму. Екстремальні значення: у(1) = у(5) = 2 ; у(3) = б.

751.

-ь - 1

а) f ix ) - х^ - 2х + 4 1. D (y ) = R . 2 . у (- х ) = ( -х И - 2 X ( - Х ) + 4 х^ + 2 х = 4 . Ні парна. ні непарна; неперіодична. 3 . Перетинається з О х, і/ = О, х* - 2 х + 4 = О => (х - 1)^ + X + 3 - 0 = > ( х - 1 ) ^ + 3 > 0 = > коренів немає => точок перетину з О х немає. Перетин з О у: х = О, j/(0) = 4.

GDZonline.net і

. /'W =

jc -

;

Ддадає JC є (-■»: 6

х -

4 +

; X -

; j: =

]: зростає х є [ 1 ; + ~ ) .

^'»1 » ”

g )/(jc ) =

” ^•

5дс -

jc*

2. У ( -* ) =* 4 + 5 • ( - х ) - (- х У - і - Ь х - х К щ парна, ні непарна; неперіодична. 3

. Перетин з О х : j/ = 0 ; 4 + 5jc - ж* = 0 ;

jfJ - 5 і - 4 = 0 ; X) -

25 -

4 ■(-4 ) =

5 + > /4 Ї

25 +

16 =

41;

■ 5 ,7 ;

5 -л /4 Ї

го гп

-0 ,7 ;

m О) Ю

(6,7; 0 ), ( - 0 , 7 ; 0). Перетин з Оу: 4

= 0 , у(0) = 4.

. f ( x ) = 5 - 2 х ; 5 - 2л: = 0 ; І = 2 ,5 .

Вростає ї є ( - ~ ; 2 ,5 ]; спадає х є [ 2 ,5 ; + ~ ) . 2 .5 б-

* . . . = 2 ,5 ; “ !/(2 ,5 ) = 4 + 5 • 2 ,5 - 2 ,5 “ = 4 + 1 2 ,5 - 6 ,2 5 = 1 0 ,2 5 .

>ч о. 5 Ъ

752. а) f(x) = x* + Zx + 2 1

. 2 )(Л = R .

2. у(-ж ) = -X » - Зх + 2. Ш парна, ні непарна; неперіодична.

3. Перетин з Оу\ X = О, /( 0 ) “ 2.

4. 6

/'(х ) = Зх^“ + З > О, зростає на

Немає точок екстремуму.

б) /(X ) = Зх - X» 1

. D (n = R .

2. У (- х ) = - З х + X»;

вепарна, неперіодична. Графік симетричний відносно Початку координат. 3. Перетин з О у . X = О, f(0) “ 0 ; перетин з О х: у = 0 ; Зх - х* ” 0; »(З - х ““) =

; X = О, X = ±>/з.

Г(х) - З - Зх“;

Зх*

0; 1 -

X* =

Спадає х є (-<><>; - 1] u [ 1; + ~ ) : зростає х є 5-

= -

»«,(-1) = -з +

- 1

1 = - 2. J/ _ ( 1) -=3-1

= 2.

GDZonline.net 7 5 3 . a) f { x ) = — + 8x + 5 1. D ( f ) = Д. 2 . y (- x ) = ^

- 8x + 5-,

Н І парна, н і непарна, неперіодична 3 . Перетин з О у: X = О, /( 0 ) = 5. 4. П х )

ж’ +

д:* + 8 = 0 ; = - 8 ; л: -= Спадає д: є (-со; -2 ];

зростає д: є [ - 2 ; +<»>)• 5-

~ 2

= -2 . У „,„(- 2 ) = 4 - 16 + 5 = -7. JC

б)/(х) = ^ + — +7 4 1 .D (f) = R .

4 16 4 ні парна, ні непарна, неперіодична. 3 . Перетин з О у : х = О, f ( 0 ) = - і .

.-0,4.

16’

X є (

; зростає х є

і'»..

754. а) f ix ) = 4** - л:‘ . 1 . - 0 (Л = Д. 2. Я -д :) = 4 X {-л:)2 - (-л:)< = 4х‘ - х*.

Ф ункція парна, неперіодична. Графік симетричний відносно О у. 3 . Перетин з О х : у= 0; 4х‘ - х* = О =>

=>х^{4 - дг») = О => дг‘‘(2 - л:К2 + л;) = О =» => д: = О, д: = 2 , д: = - 2 . Перетин з О у: д: “ О, ЯО) = 0 . 4. f ix ) =

д: - 4д:»;

х - 4д:» =

О=> 2д: -

=> д;(2 - д:^) = О => JC “ О, х = ±>/2. Зростає X є (-оо; - V2 ] U [О; V2 ] ; спадає х є [->/2 ; о ] kj [ 2 ; + ~ ). 5- а:„„ = - J 2 ,

х^^ « О, д:„„ = -J2.і/„ „ ( -> /г ) = у (>/2) = 4 ■2 - 4 = 4, у^ „(0) - 0.

б) /(ж) = 5х> - З*“ 1. D(.f) = Я. 2

. /(-л :) = -5х^ + З х \

Ф ункція непарна, неперіодична. Графік симетричний відносно початку коор динат.

GDZonline.net

g П ер ети н з О х : у = 0 ; 5х* - Зх^ = 0; ^ (5 - Зд:') = 0 ; д: = 0 ; 5 - 3^2 = О; ,

± Л

= ± і.з .

реретин з О у : X = 0 ; ДО) = 0 . 4

/'( * ) = - ж‘ = О;

- 15д:‘ ; - 1 5 х ‘ = 0; - х^) = 0;

, - 0 , JC = ± 1 . ^дастає X є [ - 1 ; 1]; едадає X є ( - « .; - 1 ] w (1 ; + ~ ) . б» ^mln

755. а) П х ) = * + ^ : =

= (-■»: =

* » - 8

= у (1 ) = 5 - 3

= 1, Ü

= 2.

) U (0 ; + ~ ) ;

: х =

;

г /„ ,.= !/( 2 ) = 2 + | = 3;

б) f (x ) = 1 + - : ^ X ''<*> = і

-ОСг/) =

О) u (О; + ~ ) ;

д : ^ - 4 = 0 ; х = ±2.

- -

. j/„,„ = у (2 )

D (y )

*^„-2,

-1

і/( -1 ) = - 5 + 3 = 2 ; X

^ * ^^тіп

. і/„ S'т е„ х = і /( -2 ) = =

- 1

= -

;

756. а) f (x ) = x - 2 cos jc; D {y ) = Д; /'( x ) = 1 + 2 sin x ; 1 + 2 sin д: = 0 : =» sin д: = —

=> д: 2

-571

-Я

* = ( - 1 )*“ - + ! r k , k e Z ;

+ In

= - f + *„. = ^ 6

ЯГ*. *

+ 2/rft. Л є Z ;

) /(Jc) = д: +

= i /^ -| + j ,„ „ = j

2я

cos x ;

;r * -> ^ , fte Z ;

+ 2;r* + 7 з , ft є Z; 1

cos x =

; c o sx = - i ;

4я

-Н 14я *

-4я - 2л

— -------^

+ 2^*] = - у

+ -b

-lO n - 8 я

х ^ = - — + 2 ж к ,к е г ;

2;rft, ft є Z ;

+ — — I--------1-

X = ± — + 2л-Л, ft є Z;

*„х = Y

+ 2;rft] = ^

sin x ; І)(Л = -R; f W

2л

= г/(-Y

^*j = - | +

ІОя ~з~

+ 2;rft - 7 3 . ft є Z;

у„„ =

+ 2^ft] = - у + 2;rft +

л/з. ft є

757. а) Д х) = cos^ X - sin* X, D ( f ) = Д; Л *) “ cos 2 х ; / ' ( х ) ----- 2 sin 2 х ; ~2 sin 2 х = О => sin 2 х = О => 2 х = пп, л є Z; _ ;гл _ x = — ,n e Z - , *m.. - ЯП. Л Є Z ; * « . = - + ял, n e Z ;

f(n n ) =

;

п = / — ■УКП \2

Зя 2

= - 1 . п є Z;

б) f ( x ) = 10 cos

GDZonline.net

- 5 x , D ( f ) = Д; f ' ( x) = - 1 0 sin ж - 5;

- 1 0 sin ДГ - 5 = 0 => 2 sin я: + 1 = 0 => s in j: = - і => д: = (-1)* —

-1 3 л

д:Ші„ і = - —g + 2 я7і ;

ASZ;

-5ті

-я

7л

11л

-Уз 25л, гг 25ля-л = - 1 0 ------ + ---------- ІОлті = -5 V 3 + -------- - ІОл-л, л є Z;

£ ^т.х = - - + 2лп, л Є Z; 6

- + 2Л-ЛІ = 10 •— І ___ ) _ 2

758. а) П х ) =^дге [ - ;

ч / (X) =

->с

. /_ (

х/4^; 4 -

>О

(2 - х )(2

+ д:) >О :

]; л-

2 ^ 4 - д:“' =

+ — - ІОл-л = s V s + — - Юл-л, л є Z.

V4 - д:'

) =

б) f i x ) = д: + J l - x ' ‘ ; 1 - х ^ > 0

D { f ) = [ - 1 : 1]: 2

r w

д:

= i -

f О

759. а) f ix ) = 2х + sin X , D i f ) = і ? ; f i x ) = 2 + cos х > О => f ix ) зростає на всій області визначення =» f ix ) не має екстремумів. б) f ix ) - -З д : - cos X , D i f ) = R ; f i x ) = - З + sin д: < О => f ix ) спадає на всій області визначення => не має екстремумів. 760. f ix )

= а х ‘ + Ьх^ + сх + d, D i f ) = Д; f i x ) = Зад:* + 2Ьд:

+ с =>З а х ‘ + 2Ьх

+ с = 0 = > — = Ь^ ~ Зас; при Ь'‘ < З а с — < О коренів немає. 4 4 Я кщ о а > О, то Зад;^ + 2Ьх + с > О => f ix ) зростає на всій області визначення : => f ix ) не має екстремумів.

761. а ) у

= \ х - 5|;

б)

у“

|2 jc - 3|;

GDZonline.net = j/(-2 ) = 1.

762. &)y = X -

ln (l

+ x); D(y) = (-1 ; +~);

6) у •= xe“ ; D { y ) = R ; у ' = e ‘ - xe~’ = e ''( l - x ) => => « - ' ( 1 - д : ) =

= > 1 -л: =

=>д; =

{ / „ . = j/ a ) = e ' = 7 : B) y = x - > ^ ; Щ у ) ^ Я ; у ^ X - l x >

3 V I - 2 = (); —

У <

x^O

27д: =

3 i/x = 2;

8 27

1п"д:

7 6 3 .a) J/ = —

If 8 Y VV2

;

_8_, —

' x jt O

x it O 8 ^

8-12

: i3(j/) = (0; + ~ ): у

27’ ^

2\nx

6 ) 1/ = ^

V ( y ) - ( 0 ; +00); y ' =

B) j/ =

_ n

27’ In'**

-------- ^

■2 - l n x = 0 = > ln x = 2 = > x = e‘ : = > ln x - 0 = > x = l/„i. “ J'(l) =

^ 2 1 п д :-1 п 'л :

, J/„„ = ! / ( « “') = ^ ; ^

; D ( y ) = ( - ~ ; - 1 ) 'U ( - 1 ; + ~ ) ; x + l

e ^ '\ x + l ) - e '

!!( £ ± І л Д = _ £ f! (x + l f ' (д: + 1 )^

J/(0 ) = e.

764. a) f ( x ) =

D ( y ) = ( - = ; - 1 ) u ( - 1 ; 1) u (1 ; + ~ ) ;

-2x у = - f (x ) — ф ункція непарна, неперіодична. f (- x ) ■ 1-х 2x 2x^0 :0: 0. Перетин 3 O x : у = 0; ^ Перетин з О у : X == О, j/(0) = 0 .

\ n x (2 - \ n x )

--------= ---------^5-------- :

2(\-x^)-2x(-2x)

у =■

GDZonline.net

2 - 2 х ^ + Ах^

(l- х У

2 + 2x^ ' :? т г > 0 : {\ - x ^ f f {x ) зростає на всій області визначення; X = ±1 — вертикальні асимптоти; 2х lim — , »-*■ 1 - х ^ у = О — горизонтальна асимптота; lim

2х 1-х‘

■0.

Зл:

б) П х ) =

1+ х‘

Зх

D {f) = R ; f(- x ) =

= - П х ).

Ф ункція непарна, неперіодична. Перетин з О х і О у: (0 ; 0). ,

3(1 + л :* )-3 л : 2JC (1

3 + 3 j ^ - 6 x ’'

+ д:“)'

З-Зх^

3(1 - д:)(1 + л:)

(І + л:“')*

х = 1, х-= - І . f (x ) спадає х є

] и [ 1 ; + ~ ) ; зростає х є [ - 1 ; 1

+ JC*

765. а) П х ) = 1 + і ; f(- x ) =

D (y ) =

0) и (0 ; + ~ ) ;

------ ; f ix ) ні парна, X

ні непарна, неперіодична. Перетину з О у немає. Перетин з О х : у = О, ^

=л О => JC “ “ 1,

+ 1

Г (х ) = ~ < 0 ; f (x ) спадає на всій області визначення. х = О — вертикальна асимптота; lim

fl 1

п н— = “ >; х)

у = \ — горизонтальна асимптота: lim х~*—

х)

= 1 .5 :

GDZonline.net б) /(*)= х - 1 “

1) U (1; + ~ ):

: D { f ) = (-

-х-1

х +1

ф ункція ні парна.

яі непарна, неперіодична. Перетин з О х і О у: (О; 0). Х - 1 - Х

f(x ) спадає на всій області визначення. х - 1 — вертикальна асимптота: lim —^ хчі х - 1

♦

у — 1 — горизонтальна асимптота: Um—^

= 1.

г -> -х -1

766. а) ■= t X i =

Пх)

=^ -5JC +

2 , х^ =

D (f) -

;

- 5ї

+ >О 6

2] U [3 ; + ~ ) :

і ( - х ) = ^х^ + Ьх +

ні парна,

ві непарна, неперіодична. Перетин з О х : у = О, х = 2, х - 3. Перетин з О у: х = О, j/ = -Уб = 2 ,4 .

2х - 5 /(*) = — 2-Jx‘ - 5 х + 6 Г (х ) - 0 = > 2 л : - 5 = 0 = > =» лс “ 2 ,5 — не входить в D (f). Спадає х є (-■><>; 2]; зростає х є [3 ; +■><•). б) f(x ) = у / 3 - 2 х - х ‘ ; З - 2 х - х ‘ ^ О => => х^ + 2 х - З < О => X,

- З , х^ -

- [-3 : -1 ].

f (- x ) = у! з + 2х -

^ ні парна, ні непарна,

неперіодична. Перетин з О х : ( - 3 ; 0 ) і (1 ; 0). Перетин з О у: (О; у [ з ) .

, *

-2-2ж 24 з - 2 х -

-1-х х

V3 + 2 д: - ж' ’

Г(л:) - О => JC = - 1 ; Зростає X є [ - 3 ; - 1 ] ; спадає х є [ - 1 ; 1]. * ... - -

767. а)

П х ) = х ^ Щ ^ - , З - X 2 О =» ж < 3 ; І)(Л ”

.х ( - 1 ) = V3 +

1(~ х) = - х 4 3 + X

ні парна, ні непарна,

веперіодична. Перетин з О х : (0 ; 0 ), (3 ; 0). Перетин з О у : (0 ; 0).

3].

GDZonline.net

2(3 - x ) - x f ( x ) = 0 => д: = зростає X є

6 -2 X -X

2 - JZ - x 2-JZ-x ; 2 ]; спадає x є [2 ; 3]. x^

б) f ( x ) = x 4 x + 2 -, D ( f ) - [ - 2 ; + ~ ) ;

f (- x ) = x ‘ -J-x + 2 ні парна, ні непарна, неперіодична. Перетин з О х : (0 ; 0 ), ( - 2 ; 0). Перетин з О у: (0 ; О).

f '{ x ) = 2х 4 х Т 2 + — І

4x (x + 2) + x^ _ 4 x ‘ + S x + x^

2 уіх + 2

5х^ + 8х

х (5 х + 8 ) .

2^х + 2

2-JX + 2 ’

2-Jx + 2

“

f '(x ) = 0 =>д: = 0 , = - 1 , 6 . рис. f (x ) зростає X є [ - 2 ; - 1 , 6 ] u [0; +«■); спадає х є [ - 1 , 6 ; 0 ]. *„. = -

. 6 ; j / „ „ = ( - l , 6 ) = 2 ,5 6 , / ö : 4 = i , 6 :

*-1» = 0:

= О-

1.6

768. а) f (x ) -=sin* X + sin X-, D ( f ) = R; f(- x ) = sin* jc - sin jc ні парна, ні непарна, неперіодична. Перетин з О х : у = Q, sin* і + sin д: = О => sin дг(зіп де + 1) - О => sin л = О, д: = ял; sin X + 1 - О, X = - ^ + 2юг, n e Z .

Перетин з О у: (0 ; 0).

/'(■*) = 2 sin X cos X + cos X = cos д:(2 sin jc + 1);

f '(x ) = 0 =» cos X = 0 ; або

sin X +

; s in x = - i ; 2

я є Z; x = ( - 1 )* V

+ Л-Л; 6

= ( -1 ) “ ' - + n k , k s Z - ,

Л =7Г + ^'*: = - - + 2/rft, * є Z;

Ьл ^ = - - g - + 2 ^n. Уш^^ = J / [ - | + (

5л

= Ч - т

+ 2лп

~ — + 2лп 6

4 ’

Ум 2

f ( ‘ ) = sin* X + sin X

- ¥

6 ) f lx ) = cos X - cos* X, D ( f ) ~ R . f (- x ) — cos X - COS* X парна, неперіодична. Перетин з O x: j/ = О, cos х - cos* x = О => cos x ( l - cos x) = 0 або cos X “ 1, X = 2nfc, * є Z. Перетин 3 O y : x = 0 , /( 0 ) = 0 .

cos x = 0 , x = — + жА ^

GDZonline.net fi.x ) = ~sin fix ) =

+ 2 cos

sin

= sin j c ( -l + 2 cos x)\

•*«1. “

= (л + 2n n ) = -2 , n e Z;

^тіп(2пл) = 0 , Л Є Z ;

*m.x = ± 3 + 2 ; г л , n e Z ,

i/„ X

Р ГО

ГО

ш оі LQ

ГО )£.

769. /(x ) — парна. Графік парної функції симетричний відносно О у. х^^ == 2 , /( * ) має інш і екстремуми у точках

= -2 ,

770. Ф(:г) — непарна;

= - 3 . д:„„ = -

= -5 .

І Т а .5 с

<р(*) має інш і екстремуми у точках х ^ = З,

= 2.

S 7 7 1 .j/ = f W а)

/( І ) =

/(-JC) = -

ж» - Зд:^ - 12х +

лг® - Зд:^ +

1 2

ж+

, Щ Г ) = Д;

ні парна,

ні непарна, неперіодична. < Перетин з О у. зс = О, 1(0) =

Г ( х ) = &х^ - бх - 1 2 ; /'(ж) = О => - д: - 2 = О =>

= 2 , JCj = - 1 ;

1(х) зростає X є ( - ~ ; - 1 ] и [2; +<>°); спадає х є [ - 1 ; = -

« « ., = J '(-l) = - 2 - З + 12 + =

= 13;

Уы . = і/(2) = 16 - 12 - 24 +

= -1 4 .

Розв’ яж емо рівняння f (x ) = а. Я кщ о а > 13 або а < - 1 4 , рівняння має один корінь. Я кщ о а = 13 або а - - 1 4 , рівняння має два корені. При - 1 4 < о < 13 рівняння має три корені.

evj

GDZonline.net б) К х ) = Зд:‘ +

- \2х^ + 1 2, D ( f ) = Д;

Л -д:) = Zx* - 4л:» - 12л:2 + 12 ні парна, ні непарна, неперіодична. Перетин з О у: jc = О, /( 0 ) = 12. /'( * ) = 12д:» + 12х^ - 24дг;

П х ) = О =» 12л:» + 12л:’' - 24л = О =» => х ‘ + х^ - 2х ~ О => х (х ‘ + д: - 2) = О =; => л: = О, д: = - 2 , X = 1.

-2

Спадає х є зростає «З РО 0Q Ш LÜ

- 2 ] u [0; 1];

є [ - 2 ; 0] u [1 ; + ~ ) .

Ушіп =

= 48 - 32 - 4 8 + 12 = - 2 0 ;

= J/(0 ) =

1 2

;

= 1 . Уші. “ J/(l) = 3 + 4 - 1 2 + 1 2 - 7 .

І т >ч

Р озв’ яж емо рівняння f {x ) = а .

5 с

- 2 0 < о < 7 та а > 1 2: два корені;

а = -

2 0

: один корінь;

а = 7 або а = 1 2 : три корені; 7 < а < 12: чотири корені; а < -

2 0

: коренів немає.

772. а) ж» - Зд:^ - 24д: + З = а ; т ш L_ с; <

П х ) = х ^ - 3 х ^ ~ 24х + 3 ; D ( f ) = R ; f {- x ) = -х^ - Зд:* + 24д: + З ні парна, ні непарна, неперіодична. Перетин з О у: х = О, f(0 ) = 3. f'(x ) = Зх^ -

х - 24;

f'(x ) = О =» Зд:^ - бд: - 2 4 = О => => л* - 2 х -

= О => X, = 4 , Xj = - 2 .

-2

Зростає д: єС-«»; - 2 ] u [4 ; + ~ ) ; спадає д: є [ - 2 ; 4]. X max “ -

I'm.. “ ä/(-2 ) =

- 8

- 12 + 4 8 + З = 3 1 ;

^mln “ Ути. " J/(4) - 64 - 4 8 - 9 6 + З - - 7 7 . Розв’яж ем о рівняння f(x ) =• а . При а < - 7 7 або а > 31 рівняння має

один корінь; а = - 7 7 і а •= 31 — два корені; - 7 7 < о < 31 — три корені.

GDZonline.net б)

+ 5 = а; f ( x ) = 2 х ‘ - х* + 5,

д _ ;,) = 2 х ^ - х ^ + 5 - т даряа, неперіодична. „вретин з О у : х = О, /( 0 ) = 5. f(x) =

4дг -

4 д :’ =

4 д :( 1 -

х^);

fix ) - О => X = О, X - ±1.

-1

Дх) зростає X є спадає X є [ - 1 ;

- 1 ] u [0; 1]; 0

_Х

] и [1 ; + ~ ).

“ У (-1 ) = 2 - 1 + 5 =

Р го го

- j/(l) :

= 0. Уи.. = І'(О) = 5-

ш LQ

Розв’яж ем о рівняння f (x ) = а. При а < 5 та а = 5

< а <

рівняння має два корені; при а = 5 — три корені;

— чотири корені; при а >

— коренів немає. ГО І З-

§ 20. Застосування другої похідної до дослідження функцій та побудови їх трафіків

а 5 Ъ

781, а)у = х ' - 1.5JC* + 1, D { y ) = R ; y ' ~ 4дс* - Зд:; /-1 2 x ^ -3 ;

у '- 0 = > 12х‘ - 3 - 0 = > 4 л : 2 - 1 = 0 = > Опукла л; є

2 2}

; увігнута х є

*- 4 -

точка перегину.

З SE ю

6 ) у = х ‘ - 5х“ - 15х‘ + ЗО, Щ у ) = R ; <

у' - 5х* - 15х^ - ЗОд:; у ' = 20л:» - ЗОї - ЗО; у' “ О => 2 х “ - Зл: - З = О => 2 x “ = Зас + 3. Розв’яж емо графічно, х^ ~ 1 ,5 ^------ 1— - — ► х‘ -1 ,5 * Опукла X є (-оо; і , ) ; увігнута X є (aTj; + ~ ) ; х^ — точка перегину.

783. а) j/ = jc + — ; ж - О — вертикальна асимптота; k = lim

= lim

ь - 1іт(/(ас) б) і/ =

д: + -

;

k x ) = lim jc + — - лгj = І і ^

” ®’ У

; X = 1 — вертикальна асимптота; х-1

lim— - — = 0; у = О — горизонтальна асимптота. *'*“ д: -

^ — похила асимптота.

еч

GDZonline.net 784. a) І/ = 4x^ + i ; j: = 0 — вертикальна асимптота; б)

/ =

; X = ±1 — вертикальні асимптоти;

x^-l X

lim «-*- л:“

= 0; у = О — горизонтальна асимптота.

- 1

785. а)

у = (* -

+ 3 )‘

1. £)(!/) = Л. 2. Н і парна, ні непарна,

неперіодична.

3. Перетин з O x : і/ - О, x ~ 1, x = - 3 . Перетин з Oy: x = О, і/ = 4.

- 1)Нх + 3 )‘ > 0.

5. у ' =

(х -

)(х + 3)2 +

2(х -

3) = 2(х -

)2 ( * +

) ( і + 3 )(х + З + х - 1) = 2 ( х -

- 1 ) ( х + 3 }(2 х + 2). 6

. у' = 0; X = 1, JC = - З , X = -1.

Спадає х є зростає

- 3 ] и [ - 1 ; 1];

[ - 3 ; - 1 ] и [1 ; + ~ ) .

= І '(-З ) = 16 • О = 0 ;

= і/( -1 ) = 4 • 4 = 1 6:

= 1/(1) = 0 .

7. у ' = 2(х + 3 )(2 х + 2) + 2 (х - 1)(2х + 2) + 2(х - ІЦ х + 3) •2 -

( 2 і + 6 )(2х + 2) +

+ (2 х - 2 )(2 х + 2) + (4 х - 4 )(х + 3) = 4х^ + 4х

+ 4х^ - 4

+ 12х + 12

+ 4х^ +

+ 12х - 4 х - 12 = 12х^ + 24л: - 4 = 4(3x^ + 6х - 1); - З + л/Ї2 - З - >/І2 * 1 = — ^— ; л: , =■

-3 -л /І 2

■1

Q. іП 11 І І_ 1—

- 3 + л/Ї2 *

/ .

O'Bll НуТа X с

опукла X є

—3 + V l 2

- 3 - у / Ї2

- 3 ± ^ /Ї 2 X = ------

б) І/ =

-з-х/їг'*

’

- 3 + ^/Г2 '

— точка перегину.

- 5х^ + 5 x ^

= Ä ; у {~ х ) = -х^ + Ьх^ + 6х^ ні парна, ні непарна,

неперіодична. Перетин з О у: х = О, у — 0.

у ' - (5х* - Ібї'* + Ю х - 5х(х» - Зх + 2) = = 5 х(х - 1)2(х + 2); І/' = О => X = О, X = 1, X “ - 2 . Зростає X є ( - ~ ; - 2 ] и [0; + ~ ) ; спадає х є [ - 2 ;

= у і- 2 ) = - 3 2 + 4 0 + 2 0 = 2 8 ; І/' = 20х» - ЗОх + 10 -

10(2х» - Зх + 1);

J/' - О => 2х» - Зх + 1 “ О =» = > (х - 1)(2х^ + 2 х - 1) - О =» X = 1;

GDZonline.net D ■2x^ + 2x - 1 ^ 0; — = 1 + 2 = 3;

-1 -лУз

-I +J 3

-1 - 7 з -l + y/з

Увігнута X є

-і-г/зі

опукла X є

-І±л/3

---

и (1 ; + о°);

Г-

+ >/з

, X = 1 — ТОЧКИ перегину.

4І

786. г^) у = х^+^; у(- х ) = х ^

=( -

D (y )

=; 0)

_І

U (0; +<»);

р го м CD (U Ю

ні парна, ні непарна, неперіодична.

х^ + 1 Перетин з О х : у = О, -----------= О => д: = - 1 ; 1 2 x^ - 1 , „ : 2 х - - у = ------ 5— ; у = 0 : х^

Спадає X є

- 1

; зростає х є

0) u

1 + ^8

„ „ 2 2 х" + 2 У = 2 + —г = ------ 5— ' л:“ лг’ Увігнута X є

га

; + оо

т >ч а 5 с

О => д: = - 1 ;

о З

- 1 ) u (0 ; + ~ ) ;

опукла X є ( - 1 ; 0). * “ - 1 — т о ч к а пер еги ну;

= 0;

X - О — в е р т и к а л ь н а аси м п то та.

X 1

’

Д і/) - R-, у (- х ) = -

х ^+ 1

= - у {х ) непар на, неперіодична.

Перетин з О х і О у: (0 ; 0).

У > О, як щ о X > 0; у < О, як щ о де < ї' =

х‘ + 1 -2 х‘ х‘ +1

1-х‘ ~ х ‘ +1

Спадає х є

; у ' == О ■

■± 1 .

] u [ 1 ; + “ ); зростає х є [ - 1 ;

>«. = г/(і) =| : „

д:(л:' +

Увігнута X є

- X*) ■2 л:

д:’ -

і -

д: + 2х‘

4х

); опукла х є ( 0 ; + “ ).

* “ О — точка перегину; WO) - 0.

ГО м

GDZonline.net lim = ■x‘ + l

у = 0 — горизонтальна асимптота; k = lim

= lim -

•= +1

Вертикальних і похилих асимптот немає. 1 Ш . а ) у = х^+^-, Л((/) = (-=о; /

1 ) U (0 : + ~ ) ; у ' = 2 х - - ^ - ,

2 у" = 2+

2:Г^ 4. 9

= О => І - - 1 ; 4^

У вігнута X є (-оо; - 1 ) О' (0 ; +«>); опукла х є ( - 1 ; 0).

X = -1 — точка перегину. 2х

б) у = ,

х^-1

; Щ у) =

) и ( - 1 ; D u ( l ; +=»);

2 (х ^ - 1 )- 2 х - 2 х

2х‘ - 2 - 4 х ‘

(х ‘ - 1 )‘

(х ‘ - і У

-2-2х‘ (х ‘ - 1 )‘ ’

„ ^ - 4 х (х ‘ -1 )^ - 2(х^ - 1 ) ■2х(-2 - 2х^) ^ -4л:(лг^ - 1) + 4х(2 + ~

(х ‘ -1)^

-4 д :’ + 4л: +

л+

4 л:’ + 1 2х

л:'

(x ‘ - l f

4х(х^ + 3)

(х^ - I f

(х ‘ -

)’

І/' = О => І = 0 ; У вігн ута X є ( - 1 ; 0) u (1 ; + “ ); опукла х є

- 1 ) u (0 ; 1).

X = О — точка перегину.

78 8. а) І/ = sin JC + cos X , D ( y ) = R-, у' == cos x - sin x ; y ' = -s in x - cos x , j^' = 0 = > s i n * + c o s * = 0 = > t g j : + l = У вігнута X є опукла X €

(-Т

+ 2 л т і;

+ im , л є Z;

0=>tgA: = - l = > j c = —

+ 2 л7і

( ГС „ Zk — + 2яп\ — + 2 т V 4 4

, л є

;

...

-5 я

-я

Зя

* ...

-------(■Л71, п Є Z — точка перегину. 4

б) у = X + cos X, D ( y ) = Д; у ' = 1 - sin х ; у ' = -c o s х ; у ' = О

cos X = о =»

=> д: = — + лтг; 2

Увігнута X е опукла JC є

—+ V2

- —+

Зл- + л-л;; —

оли 1 , л € Z ;

;

л-л; — +

л-л) , л .

-----h —Зя

-4-я

л: = — + т т , п є Z — точки перегину.

789. а)

у'= у =

—«О? —-

(З х '- 1 )

2 6л: (Зл:* -1)" -

12л: (Зл:* - 1 )' ’

-12{3х‘ -1 )’ + 12л: 3{3л:* -1)* 6л: (З х * -1 )‘

-36л:’' +12 +216л:“

180л:*+ 12

(Зл*-1)^

(Зл:*-1)‘

>0.

-12(3л:‘' -1 )’ + 216х* (Здс*-1)*

GDZonline.net ф ун кція увігнута на всій області визначення, точок перегину немає.

2 х (х ‘ + 1 ) - 2 х (х ‘ - 1) У "

(*^ + l f

2х^ + 2 х - 2х^ + 2х "

(^ ’>+

4х

)”

і(х ^ +1)^ - 4 х ■2(х^ + 1) ■2х _ і ( х ‘ + 1 )- 1 6 х ‘ ^ у "^ 4

(х^ + 1 2

(х'‘ +

+ 4 - 16х^ ^

{х^ +

)“

л:''

^ (x^ + V)^' j,' = 0 => 4 - I2x^ = 0 = > 1 - З л : 2 = 0 = > д : ” = | - = > х = ± - ^ \ _J_. J_

Увігнута X є

1 'і f l = и : + оо V 3J \-jz

-о о ;

о п укл а X є

х= ±

. 7 з ’ n/з ,

точки перегину.

790. а) 1/ = Hx)

k = lim

д:

3-х^

:=± S

— вертикальні асимптоти;

= lim = - 1; З - л= І1Ш

b = 1іт(Дд:) - k x ) = Um

л:’ +3д:-д:“

Зл:

------ =-------= І1Ш- ------ J- = 0; 3-х‘ «— З - х ‘

у = -X — похила асимптота;

6) у =

; X = О, X = 2 — вертикальні асимптоти;

х^ - 2 х 1

lim — 5---------= *-*- X - 2х

791.

; у = О — горизонтальна асимптота.

\2,х Х2х л) у = — — г ; Щ у ) = -R: J/(-Jc) = — і — - непар на, непер іо д и чна. X + У Дк + у

Перетин з О х і О у: (0 ; 0).

У > О, якщ о X > 0; у < О, як щ о де < 0 . ,

12(ж’' + 9 ) - 1 2 д : -2 х

1 2 (д :'+ 9 - 2а:‘') _ 12(9 - д:“' ) .

(х^ + 9 )'

(ж' + 9 )'

(д:' + 9 )' ’

у' = О => д: = ± 3 . Спадає х є = У (-3 ) = ^

У " = 12

- 3 ] u [3 ; + ~ ) ; зростає х є [ - 3 ; 3]. = - 2 : </„„ = і/(3) = 2.

-2д:(д:^ + 9 f - (9 - х^) ■2{х^ + 9) 2х

_ -2 4 д :( 2 7 - д :')

(х^ + 9)‘

-24х(х^ + 9 + 18 - 2х^) _ (х^ + 9)“

; у ' = О => X = О,

* = ± > / ^ = ±Зл/з = ±5 ,2;

—3-^3

Зч/З

GDZonline.net 12л:

Увігнута X є {-3\13; о) u {Зу/З; + <х>); опукла X є (-оо; - 3 \Із) u (О; 3\/3); л: = ±Зу/з,

X = О — точки перегину. V 1 2 а; lim -^ — - = х^ + д

„; 0

!/ = О — горизонтальна асимптота, б)

Щ у) = (-“ !

/ =

- х ^ +4 у { - х ) = --- 2—

) U (0 ; + ~ ) ;

парна, НІ непарна, неперіодична.

Перетин з О х : у = О, х^ + 4 = 0;

X =

^ -1,6.

у > О, я к щ о д;® + 4 > 0 = > , _3х^

х ‘ - 2х(х^ + 4)

х>

у < О, я к щ о х < - V I .

Зх‘ - 2 х “ - 8

“

х‘ -8 •"

у ' = О => JC = 2; Зростає X є

0) и [2 ; + °°); спадає х є (0; 2).

J/ „ü, =! / ( 2 ) = y „

Зле"

= 3:

- Зх ^ ( ж’ -

)

3(л:’ - л : “ + 8 )

Увігнута на всій області визначення. X = О — вертикальна асимптота. ft = l i m ^ = l i m ^ ^ = l; *-*- д: ж®

Ь = lijn (/(x ) - kx ) = lim

= hm

x^ + 4 - x ^

- -

-------- = lim —г- = *-»“ X

„ 0

;

у = X — похила асимптота.

792.

а) г/

у (- х ) =

= ^ {х ’‘ - 4 х + 4jc + 3 f

+ 3 )‘ ; D ( y )

= Д;

ні парна,

ні непарна, неперіодична. Перетин з О х : і/ = О, j:“' - 4 х + З = О ; Xj = З, х^ = 1.

у > 0 ;х єН ,

У =0

2х-4

З ^х ^ + 4 х + з '

; у ' = О => X

„

GDZonline.net

r ЙОІ.

§ 2 1 . Н айбільш і і найменш і значення функції

“

= 0 ; д: = о — критична точка. Знайдемо значення

функції при X = О, X = 2: у (0 ) = - 1 , у (2 ) = 7; з цих двох значень функції

gj у ' = 2х^-, у ' = 0 ; 2х^ = 0; л = О — критична точка. Знайдемо значення функції дри X = - 2 , О, 1; у ( - 1 ) = - 2 , j^(0) = - 1 , у(1) = 0 ; з цих трьох значень функції

g) у ' = 2а:^; у ' = О; 2х^ = 0 ; ж = О — критична точка. Знайдемо значення функції дри X =■ - 2 , X = 0: у (- 2 ) = - 9 , у(0) = - 1 ; з цих двох значень ф ункції min у = - 9 ;

гавху = - 1 ; 1-1:01

г) у ' = 2х^; у ' = 0 ; 2х^ = 0; х = О — критична точка. Знайдемо значення функції при X = - З , О, 3 : у (- 3 ) = - 2 8 , у (0 ) = - 1 , у (3 ) = 2 6 ; з цих трьох значень функції min у = -28; max у = 26. [ - 3 ;3 ]

Відповідь: а)

max у = 7 ;

min у = - 1 ;

б)

max у = 0;

min у = - 2 ;

в)

т д х у = -1 ;

max у = - 9 ; г) max у = 26-, min у = - 2 S. Г -Л О Г

[-3 ;3 ]= '

[ - 3 ; 3 ] ‘’

802. а) у ' = 2х - 2; у ' = 0; 2х - 2 = 0; X = 1 — критична точка, яка не входить до проміжку [ - 1 ; 0 ]; знайдемо значення ф ункції на к ін цях проміж ку: у ( - \ ) = - 1 + 2 = 3 ; 1/(0) = О, з цих двох значень — ~ б) у' = 2 ї - 2 ; у ’ = 0 ; 2дг - 2 = 0 ; ї = 1 — критична точка, знайдемо значення функції в точках х = - 1 , 1: у ( -1 ) = 3 ; у(1) = - 1 , з цих двох значень = “ 1: шах у = Z; 1-1; П

в) у ' = 2х - 2; у ' = 0; 2х - 2 = О; X = 1— критична точка, як а проміжку [ - 2 ; 0 ]; знайдемо значення функції в точках х = - 2 , 0 : у (- 2 ) = 8 ; у (0 ) “ О, з цих двох значень min у = 0; m ax і/ = 8; г) у ' == 2х - 2; у ' = 0; 2х - 2 = 0; X = І — критична точка, знайдемо значення ^ к ц і ї при д: = О, 1 , 3: у (0 ) = 0 ; у (1 ) = - 1 , у {3 ) = З, з цих трьох значень m i n u = - l ; m a x i/ = 3 . 10; з і "

10; З) '

Відповідь-, а ) m in i/ = 0; maxu = 8; г) mi n u = - l ; 1-2; 0 ] "

’

[0 ;3 l"

m a xi/ = 3; б)

m in i/ = - l ; т а х у =

3; в) m in i/ = 0;

m a xi/ = 3. [0; 3)

803. Г ( х ) = 2дг - 4; f ’{x ) = 0 ; 2 * - 4 = 0 ,2 x = 4, л:= 2— критична точка. Знайдемо значення ф ункції при jc = - 3 ; 2 ; 3 . /( - 3 ) = (-3)=' - 4 • ( - 3 ) = 9 + 12 = 2 1; « 2 ) = 22 - 4 ■ 2 = 4 - 8 = - 4 ; /(3) = 3 2 - 4 ■ З = 9 - 12 = - 3 . З цих трьох значень ф ункції найбільш им є — 2 1 , найменш им є - 4 . Відповідь: m in f ( x ) = - 4 ; max f ( x ) = 2 1 . [-3 ;3 1

1-3; 3]

804. Г ( х ) = 15х‘ - 15х*, Г ( х ) = о , 15х^ - 15х^ = О, 1 5 x 4 1 - х ‘ ) 1 — критичні точк и , як і входять до пром іж ку [ - 2 ; 2]: “ О, ^ J = +1

О, х = - 1 ; = О, ж = О або 1 - г* =

Знайдемо значення ф ункції при х = - 2 ; - 1 ; 0 ; 1; 2. f(~2) = 5 ■ ( - 2 ) ’ - З■ (-2 )= = 5 ■ ( - 8 ) - З • ( - 3 2 ) = - 4 0 + 9 6 = 5 6 ; f(~l) = 5 • (-1 )^ - З • ( - 1 ) “ = - 5 -Н З = - 2 ; « 0 ) = 5 • 0^ - З • О'^ = 0; Л і) = 5 • 1^ - З • 1= = 2; /(2) = 5 • 2^ - З • 2= = 5 •8 - З ■ 32 = 4 0 - 9 6 = -5 6 .

не входить до

GDZonline.net з цих п ’ яти значень ф ункції найбільшим є — 5 6 , найменшим є — ( -5 6 ) . В ід п о від ь: min f ( x ) = - 5 6 ; max f ( x ) = 56. [-2 ; г] (-2 ; 2 |

805. f '( x ) = - 16л:; f '( x ) = 0 ; 4x ‘ - 1 6x = 0 ; 4 x (x ‘ - 4) = 0 ; 4 x (x - 2 )(x + 2) = q, звідси X = 0, X = 2, X = -2 — критичні точк и , x = 2 — не належ ить проміжку [ - 3 ; 1]. Знайдемо значення функції при х = - З , х = О, х = - 2 , х = 1. Л -З ) = (-3 )* - 8 • (-3 )2 - З = 81 - 72 - З = 6 ; Я - 2 ) = (-2 )^ - 8 ■ (-2 )2 - 3 = 1 6 - 3 2 - 3 = -1 9 ; ДО) = 0< - 8 ■ О* - З = - 3 ; /( 1 ) = 1* - 8 • 1“ - З = 1 - 8 - З = - 1 0 . З цих чотирьох значень ф ункції найбільшим є — 6 , найменшим — ( - 1 9 ) . Відповідь-. m i n /( x ) = - 1 9 ; m a x/(jc) = 6 . І-Зі 11

(-3; и

806. f ' M = 1 -----: Г (4 ) =

;

------ = 0 ; д: = і _ критична точка.

Знайдемо значення функції при х = 1, х = е; f(l) ■ 1 - In 1 = 1; Де) = в - In е . = е - 1 . З цих двох значень функції найбільша є — (е - 1), найменше — 1. Від п о від ь: min у = І; max у = е - 1 . [ІІ *1 ^ (1 : ГІ / 4 *“ 4 807. Ґ (х ) = х ; f '( x ) = 0 ; --------- = 0 ; х = - 2 , д: = 2 — критичні точки, х = - 2 — не належ ить даному проміжку. Знайдемо значення ф ункції при х = 1, 2, е. /( 1 ) = 0 ,5 - 4 • О = 0 ,5 ; f(2 ) = 2 - 4 ln 2 ; f(e ) = O.Se^ - 4 . З цих трьох значень ф ункції найбільше є — 0 ,5 ; найменше — (0,56^ - 4). В ід п о від ь : min u = 0 ,5 е ” —4; max w = 0 ,5 . [1 ; »1 11 ; »1 _п 808. Г (^ ) = cos ж; cos ж = 0 ; х = — + кп, п є 2і критична точка, яка на 2 ~ леж ить проміж ку [0 ; я ]. Знайдемо значення ф ункції при х = 0; ^ ~ х =л. sin 0 = 0 ; sin-^ = 1; sin я = 0 . З цих трьох значень функції менше — 0 . В ід п о від ь: min f ( x ) = 0; tOi III

809. f ' M = 3x^ -

найбільше — 1, най-

max f { x ) = 1. [Oi «1

ж; f '( x ) = 0 ; Зл:^ - 6 jc = 0 ; 3x(,x - 2 ) = 0 ; .ic = 0 ; j: = 2 — кри тичні точки. Знайдемо знак похідної на кож ному пром іж ку, на я к і розбивають критичні точки область визначення ф ункції: л: = О — точка м аксимум у, х = 2 — точка мінімуму. « 0 ) = 0 ; /( 2 ) = - 4 . а) на пром іж ку ( - “ ; 1 ) — ф ункція має найбільше значення — 0 ; б) на пром іж ку (1 ; <») — ф ункція має найменше значення — ( - 4 ) ; в) на проміж ку (-« > ; 2 ) — ф ункція має найбільше значення — 0 ; г) на пром іж ку (0 ; » ) — ф ункц ія має найменше значення — ( - 4 ) . В ід п о від ь : а) max /(де) = 0; б ) min f i x ) = - 4 ; в) max f ( x ) = 0 ; г) min f ( x ) = - 4 . 6

810. Нехай один доданок дорівнює х, другий доданок дорівнює (10 - де).

Д о б уто к

цих доданків у = д: ( 1 0 - х ) — ф ункція від де. Дослідимо ф ункцію у = ї ( 1 0 - х ), знайдемо найбільше значення ф ункції. 1/' = 10 - 2х; у ' = 0; 10 - 2х = ■ 0; X = 5 - критична точка. Знайдемо знак похідної при X < 5, X > 5. При де < 5: f '{ x ) > 0 ; при де > 0: /'(де) < О, тобто х ~ 5 — точка м аксимума, отж е, max у (5 ) = 2 5 . В ід п о від ь: найбільший добуток буде, якщ о кож ний доданок дорівнює — 5.

811. Нехай додатне число дорівнює де, а до нього обернене дорівнює — . Сума 1

ц их чисел у = х + — — ф ункція від X.

GDZonline.net Дослідимо ф ункцію у = х + — . Область визначення функції є проміжок (0 ; <»).

у' “

и 'гІ-Л "! “ X

;

х = \,

— критичні точки, х =

- 1

— не

валежить області визначення. Знайдемо знак похідної на пром іж ках: 0 < jc < 1 , jc> 1 . ^ „ 1 — точка мінімуму. у( 1 ) = 2 — найменше значення ф ункції. Відповідь: дане додатне число — 1 . 812. Нехай невідоме число х , тоді його квадрат — х^, сума цих чисел у = х + + X* — функція від X. J — Дослідимо функцію у = X + х^, у ' = 1 + 2х, у ' = о, 1 + 2х = о, 2х = - 1 , х = —

критична точка. Знайдемо знак похідної при х

^ ;

х >-

— точка мінім ум у, отже дане число —

Відповідь:

813.

Нехай довжина огорожі — х м , ширина огорожі —

40000

40 0 00 -------------м, довж ина всієї огорожі — периметр прямо* 4 0 0 00 кутника у = 2х + 2 ---------------- — ф ункція від х. 4 0 ООО'і

Дослідимо ф ункцію у = 2

„

8 0 ООО

„

2х^ - 80 ООО

: у = 2 --- -5— : г/' =0 , ------

„ = о,

X “ 2 0 0 , X = - 2 0 0 — критичні точк и , х ~ - 2 0 0 — не задовольняє умові задачі, оскільки розміри огорожі — додатне число. Знайдемо знак похідної на проміжках О < х < 2 0 0 , х > 2 0 0 . X = 2 00 — точка мінім ум у, і/(200) — найменше значення, отж е, розміри огоро ж і: 2 0 0 м, 2 0 0 м. Відповідь: 2 0 0 м , 2 0 0 м. .

30 000

30000

30 0 0 0

6 га — 60 ООО м^. П лощ а кож ного прямокутника — З га. Нехай довж ина спільної сторони х м , тоді довжина ін-

Ш0 1

сторони

Р(х) =

—

30000 -----------м,

ЗО ООО

Зх + 4

периметр

30000

огорожі

м — ф ункція від X.

Дослідимо ф ункцію Р ( х ) = Зх + Дослід 3(x* - 4 0 ООО)

даної

= о, д: = 2 0 0 ,

Р\х) = з -

Р Х х ) = 0.

= - 2 0 0 — критичні точк и , х — 2 0 0 — не задоволь-

вве умові задачі, оскільки розміри огорожі додатне число. Знайдемо знак похідної при О < х < 2 0 0 , х > 2 0 0 . * “ 2 0 0 — точка м інім ум у, Д 2 0 0 ) — має найменше значення, отж е, розміри огорожі

2 0 0

^200) = з Від по від ь:

м,

ЗО ООО

200

= 1 5 0 (м).

2 0 0 + 4 ■ 1 50 = 6 0 0 + 6 0 0 = 1 2 0 0 (м). м.

1 2 0 0

GDZonline.net 8 1 5 . f '( x ) = 5x‘ - 3x^ + 1 , r ( x ) = 0 , 5x* + 1 = 0 , ß = 9 - 2 0 = - 1 1 < о, рівняння f '( x ) = О коренів немає, отже знайдемо / ( - 2 ) і /( 1 ) і виберемо найменше і найбільше значення. f (- 2 ) = ( - 2 ) “ - ( - 2 f + ( - 2 ) - 7 = - 3 2 + 8 - 2 - 7 = - 3 3 ; A l ) = 1» - 1^ + 1 - 7 = - 6 . а) Найбільш е значення ф ункції — ( - 6 ) , найменше — ( -3 3 ) . б) Л - 1 ) = ( - 1 ) ‘ - ( - 1 ) " + ( - 1 ) - 7 = - 1 + 1 - 1 - 7 = - 8 ; /( 2 ) = 2* - 2^ + 2 - 7 = 32 - 8 + 2 - 7 = 34 - 15 = 19. Найбільш е значення функції — 1 9, найменше — ( - 8 ) . б) Г ( х ) = 5х^ - 20х^ + 1 5 х \ Г ( х ) = О, 5 х‘ - 20х^ + 15х^ = О, 5х%х^ - 4д: + 3) = о, х = 0, х = 1 , х = 3 — критичні точки. а) [0 ; 2]: д: = З не належ ить даному проміж ку. Знайдемо значення функції при І = О, 1, 2 ; /( 0 ) = 0 ; /( 1 ) = 1* - 5 • 1< + 5 • 1® = 1 - 5 + 5 = 1; /( 2 ) = 2= - 5 • 2^ + + 5 ■ 2^ = 32 - 8 0 + 4 0 = - 8 . Найменше значення функції — ( - 8 ) , найбільше зна чення функції — 1. б) [ - 1 ; 5]. Знайдемо значення ф ункції при х = О, х = - 1 , х = З, х = 1, х = 5. АО) = 0 ; a d = 1; A 3) = 3= - 5 • 3^ + 5 • 3 3 = 3^ • ( 3 2 - 5 ■ З + 5) = 3^ • ( - 1 ) = = - 2 7 ; f(b) =■ - Ь ■ Ь* + Ь ■ = 6 2 5 ; А ~ 1 ) = - 1 - 5 - 5 = - 9 . Найменше зна чення ф ункції — ( - 2 7 ) , найбільше значення функції — 6 25 . В ід п о від ь: а) найменше — ( - 3 3 ) , найбільше — ( - 6 ) на пром іж ку [ - 2 ; 1]; наймен ше — ( - 8 ) , найбільше — 19 на проміж ку [ - 1 ; 2]; б) найменше — ( - 8 ) , найбіль ше — 1 на проміж ку [0 ; 2 ]; найменше — ( - 2 7 ) , найбільше — 6 2 5 на проміж ку [ - 1 ; 5], критичних точок немає.

Г { х ) > О для будь-якого X із області визначення, ф ункція f {x ) — зростаюча. Отже, Н - 2 ) = V -2 + 2 = О — найменше значення ф ункції; / ( 0 ) = V 2 ше значення на проміж ку [ - 2 ; б) / ( 0 ) = n/2

— найбіль

— найменше значення ф ункції;

А 2 ) = 2 — найбільше значення ф ункції на [0 ; 2]. Від п о від ь: а) на [- 2 ; 0 ]: найменше значення функції — 0 ; найбільше значення ф ункції — \/2 на [ 0 ; 2 ]; найменше значення ф ункції — -J2; найбільше значення ф ункції — б) fX x ) =

f '( x ) =

;

1 (х ^ + 4 )- х - 2 х (x ^ + 4 f - (х ^ - 4 ) (х ^ + 4 У

0',

х‘ + А - 2 х \ ~

(ж“ -н4)"

= -2 ,

-х‘ + 4

- (х ^ - 4 )_

(х ‘ + 4 )‘

(x ’‘ + 4 f '

= 2 — критичні точки, х =

проміж ку [ - 4 ; 0 ]. а) Знайдемо значення ф ункції при х = - 4 , - 2 , 0.

16-1-4 min f ( x ) = — ; б)

4-1-4

max f i x ) =

Знайдемо значення функції при х = - З , - 2 , 2 , 3.

/( -3 ) = ^ = - ^ ; 9-1-4 13 ш іп /(д :) = - —;

(-ЗІЗГ'

4’

A -2 ) = j - ^ = 4 +4

та х /(л ^ ) = — •

t-a;3)''

f{2 )= - = - ;

Я 3) = — ;

— не належить

GDZonline.net m i n /( x ) = - i ;

{■|7, ЙІ7. / ' W

“ c °® X + 2 COS X sin jc;

л'' /

= sin

”

;

-c o s

л'

) m i n / 'W = - i ;

m ^ /W = i .

cos j c ( l + 2 sin x ) = 0 ; x = ^ + nn, n e Z i

не належать проміж ку [ - я ; 0].

х —- л ; - — ;

Зяайдемо значення функції при .ульше значення ф ункції. д _я) - з іп (-л ) - соз*(-л) =

;

—

f '( x ) = 0 ;

x = - ^ ;X = - ^

(-1)’ * ' ^ + nn, n є 7a

m axA x) =

- —; О виберемо найменше і най-

------ 1 ;

=- 1 - О = - 1 ;

1 3 Jt’' я' 2 = sin - cos 'б ; 6 , 2 4 ,'6 > ДО)” sin О - cos^ О = О - 1 = - 1 . /

min f ( x ) =

max f ( x ) =

[-К 0]

в)

л і виберемо найменше і найбільше. 6

2 ^ ^ 3

= sin —

; f

COS —

- -

-----------

2“ 3

= —

. f

;

, 7t = s in

2 ^ < cos — = 1 ;

шіп f ( x ) = - 1 ;

max f ( x ) =

. t»! «І

на проміж ку [0 ; л].

[О; «І

■Відповідь: а) на пром іж ку [ - л ; (0 ; я ]: m in f ( x ) = - 1 ; 10:«)

в) П х )

— належать пром іж ку [ 0 ; тг].

Знайдемо значення функції при х = 0;

« 0) - -

х = ( -1 )"* ‘ ^ + ЯП, л є Z;

* = -^ + ЯП, Л Є Z;

* =^

на проміж ку [- л ;

- 1

1-” : "1

]: n n n /( x ) = - —;

m ^ /( x ) = - 1 ;

) на проміжку

m axf(x ) = l . 1 0 : «І

2х-5

: Г (х ) -

2х-5

;

2 ^ х ‘ - 5л:+

2у іх ^ - 5 х + 6

;

* “ 2 ,5 — критична точка не належить проміж ку [ - 2 ; 2]. Знайдемо значення ф ункції при д: = - 2 ; 2 . /( -2 ) = V (-2)* - 5 ( -2 ) +

Н2) = V4 1^55

- 1 0

Я *) =

;

= V4 + 1 0 +

Ö=

;

m ax f ( x ) =

>/ö.

= >/20 = 2>/5;

®) * “ 2 ,5 — критична точка належ ить пром іж ку [0; 3]. Знайдемо значення ф ункції при х •= 0; 2 ,5 ; 3 . ^ 0 ) = 7б;

/ ( 2 ,5 ) = ^ ^ - 5

Н і ) = > /9 -1 5 + 6 =>/0 = 0; Усі ГДЗ. 11 КЛ.КН.2

= ^ H Z ^ ± 2 4

існ ує;

GDZonline.net niin f { x ) =

;

max f { x ) = \/б.

Від п о від ь:

) a) min f { x ) = 0;

max f ( x ) = 2^/5:

[-2 :2 ]

8 1 8 . a)

) min f ( x ) = 0 ;

[ - 2 :2 1

f '( x ) = Q\

max f ( x ) = 7 б ,

| 0 ;3 )

—4 5— =

; д: = -

;

[ 0 ; 3]

- критичні точки;

X = -2 — не належить даному проміжку. Знайдемо значення ф ункції при х = 1; 2; 3. / ( 1 ) = 1 + 4 = 5 ; /( 2 ) = 2 + 1 = 4; m i n / W = 4;

Я 3) = 3 + | = 4 | ;

m a x « x ) = 5.

б) на [ - 4 ; 1]. X = -2 — критична точка, яка належить пром іж ку [ - 4 ; 1]. Знайдемо значення ф ункції при х = - 4 ; - 2 ; 1. го fO CQ О) LO

/ ( - 4 ) = 4 + 4 - = 4 - 1 = 3; а - 2 ) = - 2 - 2 = - 4 ; Д І) = 1 + 4 = 5; -4 ш іп /(д :) = - 4 ;

max Ял:) = 5.

Від п о від ь: а ) а ) т і п f ( x ) = 4; S

max f(jc) = 5; б) m in /(ж) = - 4 ;

I l; 3 ]

ГО

[1:3]

[“ ♦ :!]

m a x /( x ) = 5. [ -4 : 1 1

і'/ Ч n л: - Л 1 2 X - к б) / W = 2 c o s — . - = -c o s — ;

T >N

CL g; 'c

„ , , „ 2 х-к ^ х-к к _ f (х ) “ 0 ; — cos — ^— = О; — ^— = — + лл, n e Z ;

З л „ х - п = — + З к п , п є Z;

X = ^

+ л + Злл, л є Z;

X = — + Зпп, л є Z.

5л а: = — — не належить пром іж ку [0 ; 2л].

Знайдемо значення ф ункції при х = 0 ; 2л.

/( 0 ) =

sin

Від п о від ь:

"з 6

= -^/3; Дл) = 2 sin О = 0 ; min f ( x ) = -^ /3 ; [0 ; 2 j)

) min f ( x ) = - 7 3 ; ’ [0 ; 2 «|

max f ( x ) = 0. [0 ; 2 it]

max f { x ) = 0 . ; «!

10 2

819, a) Г (х ) = 3x^ = 5; f '( x ) = 0 ; 3x^ - 5 = 0 ; x = + w—- — критичні точки. Знайдемо знак похідної на кож ному з пром іж ків, на як і критичні точки розбивають область визначення ф ункції: — — точка максимуму; \3

точка мінімуму.

Найбільше значення ф ункція має при х = — — ; О

^ _

5ч/5

- b S - lb S іт з

CVJ

Н айменш е значення ф ункція має при х =

•

GDZonline.net

F/^/5

5>/5

bJ E -lsS

Н з

„

-5 л /5 -1 5 7 з

„

5 > /5 -1 5 ч /3

= Відповідь: а: min /(ж) = б) /'(Jt) =

;

■

max Дд:) =

f (х) = 0 ; - 4 х - Ьх* = 0; -х ( 4 + 5ж®) = О, звідси д: = О,

./4 X = - я — — критичні точки. Знайдемо знак похідної на кож ному пром іж ку, на які розбивають область визна чення функції критичні точки.

X = - у — — точка м інім ум у, ж = О — точка максимуму. Найменше значення ф ункція має в точці д: = О, ДО) = 3 .

ІЬ і[2 Ь + 2 ^

= 3 -2

15^25 + 4 ^

5^25

Я ^ б іл ь ш е значення ф ункція має в точці х =

1 5 ^ + 4 ^

5 ^ 15%/25 + 4^/3 Відповідь: б: max /( х ) = --------------;

820. а) у ' =

12х^: у'(0) = 0 ;

min /( х ) = 3 .

д;*(л:“ -

2) = 0 ; д: = О, д: = - У І 2 , х

— кри

= УІ2

тичні точки. Знайдемо знак похідної на кож ному з пром іж ків, на які критичні точки розби вають область визначення ф ункції. * = -> / 2 ,

д: =

>/2

- точки мінім ум у; де = О — точка максимуму.

Найбільше значення ф ункція має при д: = О j/(0) =

; найменше значення функ

ція має при x = ±-j2;

) -I-2 =

m axi/(x) =

;

j / ( —>/2 ) = {/(->/2 ) = (-72)

min і/(дс) = -

- 3

- 1 2 -н 2 = - 2 ;

; область значень функції — проміжок [ - 2 ;

6) у = 2 - х^ - X*, X Є R . у' - -2дс - 4х^; у '(0 ) = 0 ; -2 х ( 1 + 2д:*) = 0 ; де = О — критична точка. Знайдемо знак похідної при д: < О, д; > 0 . * “ О — точка максимуму. Найбільше значення ф ункція має при де < 0 . J/(0 ) = 2 ; область значень ф ункції проміжок (-< » ; 2 ].

~х‘ - X +

4 > 0;

-х‘ - X + і =

0; D

1 + 16 =

П ; X,

х, = ^ ~ - 2

— 1 2

—2х

= : у '(0 ) =

;

- 1

д: =

; х = - — — критична точка.

V4 - Х - : ;емо знак похідної при ^ ^ ~ 2 ’ — точка м аксимуму.

21*

^ ^~2‘

■ - 2

GDZonline.net Н айбільш е значення ф ункція має при * ~ '

' , - \

г 2

/16 + 2 - 1

ч/Гт

;

Область значень функції

критичні точки. Знайдемо знак похідної на кож ному з пром іж ків, на як і критичні точки розби вають область визначення ф ункції, л: = - 1 — точка м аксимуму, х = 1 — точка мінімуму. Найбільше значення ф ункція має при х = 1; у(1) = 1 + ^ = 2. Найменше значення ф ункція має при х = - 1 ; г/(-1 ) = - 2 . Область значень ф ункції проміжок [ - 2 ; 2].

В ід п о від ь: а) [ - 2 ; 2]; б) ( - » ; 2]; в)

% /Ї7‘

: г) [ - 2 ;

8 2 1 . Нехай довж ина відрізка Х А = х см, Х В = (6 - х ) см, Х М ~ З см. М В Добуток відрізків Х А ■Х В ■Х М = ( 6 - х) ■ З • х. Дослідимо функцію у = Зх ( 6 - х ); у ' = (1 8 х - Зх^)' = 18 - 6х; у ' = О; 18 - 6х = 0; X = З — критична точка. Знайдемо знак похідної при х < З , х > 3. X = З — точка максимуму, отж е, як щ о точка X — середина відрізка A B , то до буток Х А ■ Х В — найбільш ий. Відповідь-. X — середина відрізка. ____________ 8 2 2 . Нехай дано коло радіуса г, A B = х см, O N = -Ja O^ - O N ‘ (з A A O N — пря

м окутного); O N -

a d

a b

Дослідимо функцію S { x ) = X ■V4r^ - х ^;

4 r^ - x ^ ^ x ‘

S '( x ) =

- x‘ +

^ = 2 - Jir ‘ - x ^

4 r ‘ -2x^

S '( x ) = 0 ; 4r* - 2x‘ = 0; x = ±r^/2, оскільки x — довж ина сторони, то ж = -г\І2 — не задовольняє умові задачі. Знайдемо знак похідної на проміжках х X

= гуІ2

AB =rS ;

< -гуі2,

> ГУІ 2.

— точка м аксимуму, отж е, площ а прямокутника найбільша, якщо

A D = r~j2;

S = гч/2

гТ І = 2г^

Від п о від ь: S = 2г^.

82 3.

Нехай дане коло має радіус г, A B = х см , O N = J r ^ ~ "J" (з Л А О В );

Рдвсй = 2 А В + 2 A D = 2х + 2 > Д ? Т ? . Дослідимо функцію Р ( х ) = 2х + 2 ^ 4 г‘ - х ’‘ ;

2^4г‘ - х ‘

■J4r^-x^

уІ4г^ - :

GDZonline.net I

л: = ±г у і 2.

x = 0:

— не задовольняє умові задачі, дд .й я ймо знак похідної при X < - г у і 2,

ЛS r Jz

х>г72.

— точка максимуму.

p (rS ) =2

г у і2

+ 2л/4г' - 2г‘ = 2 r S + 2г>І2 = А г-Я .

^ п о в ід ь : 4г\І2.

824. Нехай через t годин відстань між велоси педистами буде найменш ою, тоді перший велосапедист проїхав 1 2 t км , а залишиться проїхати (60 ~ 12t) к м , другий велосипедист проїхав 15t км, в*алиш иться проїхати (60 - 15t) км . Відстань між велосипедистами Д В / = S (t) = (60 - 12t)^ + (60 - 15t)*' - 2(60 - 1

)

- 1 2 t ) ( 6 0 - 1 5 t ) c o s 6 0 ° — ф ункція від t. Дослідимо функцію S (t) = 3 6 0 0 - 1 62 0 t + 1 89 t^ S '(t) = - 1 6 2 0 + 3 7 8 t; S '(t) “ 0 ; 30 3 7 8 t - 1620 = 0; t = — . ^ . . 30 Знайдемо знак похідної на проміжках х < — , ,3 0 І =—

— точка мінімуму, отже. 1620

ЗО

189

= obü ü ------------------1- • 900(49 4 - 7 5 4 + 1 8 9 )

. „г

^ „

3600

49-1620

2 10 + 1 8 9 - 9 0 0

9 00 -7 = —— — ; 4У

Відповідь: через

900

49 . ТОДІ

30 х >— .

’

30ч/7 = — - — — найменша відстань.

ЗО — годин.

825.

Нехай A B = В С = C D = а, кут B A D дорівнює а , тоді A M = о cos а ; A D = а + + 2а cos а ; В М = а sin а , тоді площ а трапеції дорівнює S(x) = Д + Д + 2а cos а ^

^ _

Дослідимо функцію S ( x ) = S '(*) = о* cos а + а’’ cos 2 а =

^^ ^

а = а* sin а + -^ а* sin 2а.

sin ос + — а* sin 2 а;

а* cos ^

cos ^ ,

S'(jc) - 0 ; 2а* cos — c o s — = О, ' ■ 2 2 ®= ^ + о

,n eZ ;

а = я + 2 л п, п Є Z .

® “ л — не задовольняє умові задачі, “скільки О < а < 90".

GDZonline.net n л a = — — критична точка, ос = ~ — точка максимуму; о 3 З а -yja

Від п о від ь:

— найбільше значення площ і трапеції.

8 2 6 . Нехай сторона квадрата дорівнює л: м, тоді висота (глибина) басейну дорівнює

м. П лощ а, яку

потрібно облицювати плиткою , дорівнює _I

S (x ) = Х

^ + І -

32 128 — ■х = х ‘ + ——

_32 х^

— ф ункція БІД X .

128 ■ Дослідимо функцію S (j:) = х ^ +

ГО ffl CQ Ш

„ 128 х '-128 ^ „ 2 л '-128 „ . S ( x ) = 2 jc + - ^ = ----- ; 5'(д:) = 0 ; -----------------= 0 ;

х^ = 6 4 ; X = А — критична точка. Знайдемо знак похідної на проміжках х < 4, х > 4. X = 4 — точка мінімуму. S(-)c) = 16 +

128

= 16 + 3 2 = 4 8 — найменша площ а, яку потрібно облицювати.

T >4 Q. .5 с

Розміри басейну — 4 х 4 х 2 м. В ід п о від ь: 4 м, 4 м, 2 м. 8 2 7 . AB® = (х -

)’' +

А С ‘ = (X - x f +

36. «

- 0

LO Ш I—

c: <

A B = x; A C = ~ . X П лощ а прямокутника дорівнює S = A B ■A C ; S (x ) = x

- = 6. X

P { x ) = 2x + 2 - = 2x + — , X X

X2 , 12 2x^ —1 2 z— ; P '(x )- = 0 : Дослідимо ф ункцію Р ( х ) = 2х + — ; P \ x ) - 2 ------ r = X x ^ x ^ — 2x^ ^ 1 2 — - 5 ----- = 0 ; jc = ± V 6 . Знайдемо знак похідної на проміжках х > 7 б , х < %/б. X

= -JE — точка мінімуму, отж е, Р ( у І б ) = 2 ■-J& +

= 2>/б + 2>/б = 4ч/б,сторони

прямокутника рівні, звідси найменший периметр має квадрат і найбільшу площу-

В ід п о від ь: квадрат із стороною -Уб.

828. Нехай AD2 = {2 х )\ A D = 2х, C D ‘ = (4 - x ^ f, CD = 4 П лощ а прямокутника A D • C D . Дослідимо ф ункцію S (x ) = 2д: • (4 - х ‘ ). S (x ) = 2х ■ { 4 - х^У, S ( x ) = 8х - 4х^; S '{ x ) = 8 - бл:^ es CB

2(4 - Зх^) = О; х = ± - ^ .

GDZonline.net дддйдемо знак похідної на проміжках х < л/2 ,

>42.

=— f= — точка максимуму. " Т г

„2.

2 -2

2 .^

32^3

32^/3

Відповідь:

829. Нехай

A B " = ( ї - x f + (>/Г - o f = ( > /x f ,

A B = yfx;

ЛВ* = jc;

A D = 2T - X-,

•(27 - j:).

Дослідимо ф ункцію S ( x ) = 27yjx - x ^■ ,

* = 9 — критична точка. Знайдемо знак похідної на проміжках д: < 9 , д: > 9. * -» 9 — точка м аксимуму, отж е, A B = yj9 = 3, A D = 2 7 - З = 2 4.

Від повідь: 3 ; 2 4. 830. В (- 4 ; 0 ), С (5; 0 ), Р (0 ; 7), Л (0 ; В Р = ■у/ібТ І^;

С Р = V25 + j 7 : А Р = 8 - у .

В Р ‘ + СР" + А Р " — відстань найменш а, коли її квадрат найменший, отж е, f (x ) = 16 + і/" + 25 + і/ + ( 8 - і/)"; Лж) = Зу" - 16і/ + 105; у (х ) = 6у-16-, f '(x ) = 0 ; 6 і/ 16 = 0;

у= --, *^3

5мс

АР = 8 - 2 - = 5 І ; 3 3

ВР: ■9 + 64

СР--

З ’

1 4ч/ЇЗ ,2 Л + 5 - + 5 - = 11 + - у / ЇЗ . В Р + С Р + А Р = - у / ЇЗ + — + 5 - = З 3 3 3 3 З

Відповідь: ^^ ^ V l3 . 0 1 4

г,

00 1 , Дослідимо ПОПх)

. функцію Т{х)

1 1 0

х-ПО Ц пх-2)

„2

(1 п д г - 2 )

= --------------- ; ззо_гіоіпх. „ „2 ’ / (ж) =

; д: =

Знайдемо знак похідної на проміжках х < е^; х > е“. ^ 110 X = — точка максимуму, значення функції в цій точці найбільше, f{e ) =

Відповідь:

110 ЄМНІСТЬ —

GDZonline.net 8 3 2 . у = X - 2 cos X [- л ; ж] Дослідимо функцію Р { х ) = 2х + 2{х - 2 cos х ) = 4х - 4 cos X — периметр прямокутника. Р '( х ) = 4 + 4 sin х ; Р '( х ) = 0; 4 + 4 sin х = 0 ; х = —

„

+ K n ,n e Z ;

х =— ;

х = —.

Знайдемо знак похідної при - л < х < ^ ;

я^

X = — — точка мінімуму. Р

^ < x < 7t;

і:

л — найменше

,2 ; значення. Розміри прямокутника — : А

^ ^

В ід п о від ь: -г ;

(ТЗ m

со

-т*

—. ^

Я 2

8 3 3 . </ =

О»

= у = х^ + — ; 4х

Дослідимо функцію ,

„ = 0;

х*

. =

- 1

—

у '= 2 х

г; 4х^

1 0

;

— точка мінімуму.

2 f l .

T a 5 с

2 ^ 1

2’ 2 В ід п о від ь : А

.2 ’

8 3 4 . 1 л = 1 дм^ = 1 0 0 0 см». V = 2 n r ■ Н , г — радіус основи банки;

из

г1 = — — 2пг

с; <

„

1000

— висота банки.

1000

Дослідимо функцію P ( r ) = 4 к г + 2

1000

P { r ) = 4лг + ■

r = ±

P '( r ) = 4n +

5лЯо

5>Я 0

2кг

1000

— периметр листа жерсті — функція від г.

4nV-1000

: P '{ r ) = 0;

- 1000 -

— не задовольняє умові задачі.

Знайдемо знак похідної при г <

'■ =

2Пг

5чЯ 0

5 > /ї0

точка м інімумуа, тоді Я = 10^IЇÖ, тобто розміри листа жерсті най-

менш і при г _

Від п о від ь: г =

J—

н =

- IÖ.

1 0 7

Я = lo V IÖ .

835. а) /(X ) = X» - Зх|х - ЗІ, X Є [0 ; 4]; х - З = О, х = 3; 1) О < X < 3 ; А х ) = X® + Зх* - 9 х ; ЛС*) = Зх^ + 6 х - 9 ; Г (х ) = О; 3(х^ + 2 х - 3) - 0; X = - 3 ; х - = 1 ; х = - 3 — не належить проміж ку [0 ; 3).

GDZonline.net

г rtO) “ 0 : Л І ) = - 6 ; m in f ( x ) = - 6 ; m ax f ( x ) = 0 ; /' ' [o;ej (0;3i 2 )3 ^ x < :i\m -:^ -Z x ^ + 9 x -,f(x )= Z x ^ -& x = 9 -,f'(x )= 0 \Z x '‘ -6x + 9 = ^ 0 — ко р е н ів н ем ає; f ( Z ) = 27 - 27 + 27 -= 27; /(4) = 52.

ßidnoeidb: m in f { x ) = - 6 ;

m ax f ( x ) = 52.

g) f{x ) ~ 4 x ^ ~ 3x\x - 2\, X e [0; 3]; л - 2 = 0; ж = 2; 1 ) 0 ^ X < 2 ; f (x ) = 4x3 + 3 ^ 2 _ ел:; f '( x ) = 12x^ + 6 x - 6 - 0; ^ = І"! /

; / '(x ) = 0; 12x‘ + 6 x -

“ 1 ; JC = - 1 — не н а л еж и ть п р о м іж к у [ 0 ; 2 ]; ’ g _ 4 +6-2 4_ 7.

4^3

- ..........................x Q 3 4

4’

min/(Jc) = - - : (0: Л 4

т а х /( д :) = [0:21

;

2 ) 2 < л: £ 3 ; / W = - З і * + 6х; f '( x ) = 12^:^ + 6 — 0 — немає коренів. Л2) - 3 2 ; ЯЗ) = 9 7 . m in /( x ) = 32; m a x/(J:) = 9 7.

Відповідь-, r a in f ( x ) = - ^ \ 10; a) 4

836.

- x ^ + 2 ax -

л: +

; f '( x ) = 0; 12х;2 - бд: +

m a x /(jc) = 9 7 . [0: 3) 2a -

3, [0 ; 1];

max = - 2 .

Дослідимо ф ункцію у = -x^ + 2 ax + 2a - Z\ у ' = - 2 x + 2a; y ' = 0 ; -2x “ - 2 a ; x = a. Оскільки 0 < Л < 1, TO 0 < о < 1. Знайдемо знак похідної на проміжках х > а, X < а , для будь-якого а f '( a ) = 0 . Знайдемо значення ф ункції при х = а . і < у{а) - -а ^ + 2а* - а* + 2а - З = 2а - 3 ; 2а - З = - 2 ; 2а = 1; а = - ; х =-;

'V 2J

: _ І + 2 - І І - - + 1 - 3 = -2. 4 2 2 4

Від повід ь; “ ~

837.

•

а) /(л:) = 2 5 ' -

а • 5 ' + 1 7, [ 0 ;

]; т м Д х ) >

Дослідимо функцію f(x ) = 2 5 ' - 8 а ■ 5 ' + 1 7. Введемо заміну змінних 5* = і > 0. ЛО - 8 a t + 1 7 ; g '(t ) = 2t - S a ; f ( t ) = 0 ; 2t - 8 a = 0 ; 2t = S a ; t ^ 4a. 3a умовою завдання О < t < 1, оскільки 5* = t > О, О < f = 1, О < 4a < 1, 0 < 5 *S l,

< а $ і. 4

Знайдемо знак похідної на проміжках t > 4а, t < 4а. 5* - 4 а , X = logj 4а. t “ 4а — точка м інім ум у; х = logj 4а — точка мінімуму. W o g ,4 a ) = 25'°‘ ‘ '‘“ - 8 а ■5'°‘ ‘ *“ + 17 = 16а^ - 32а + 1 7

—

найменше значення на

»Ідрізку [0; 1]; 16а* - 8 2а + 17 > О при будь-яком у О < а < і . 4

від п о від ь: О < а ^ б)

f(x ) = - 9 ' -І- 4а • З ' - 7, [0; 2]; max «ас) < 0.

Дослідимо ф ункцію f (x ) = - 9 ' -І- 4а • З ' - 7. Введемо заміну змінних З ' = f > О. /(О -І- 4 a t - 7; /'( О = ~2 t + 4а; f '( t ) = 0 ; - 2 t + 4а ■= 0; - 2 t = - 4 а ; t = 2 а. Оскільки 0 < < = 2 , < “ 2 а — точка максимуму;

GDZonline.net о < 2 a < 2 , о < a < 1 ; З' = 2 a,

JC = logj

9 < a < 1, Яіояз 2a) = -9 '» '-''“ ^ 4a ■

a; - 7 = 4a' +

a - 7 < 0

для будь-яких a Є (0 ; 1]. Від п о від ь: О < a < 1.

§ 2 2 . П охідна як швидкість 8 4 4 . а) x (t ) = 10 cos я і ; x '( t ) ■= - 1 0 л sin л і ; б) x (t ) = 2 sin(jc - я ) ; x '( t ) = 2 соз(л - x ) = -2 cos ж; в) д:(<) = 0 ,1 cos ІОлі; д:'(<) = - л sin ІО л і. б) - 2 cos x-, в) - л sin ІОлі. Відповідь-, а) - 1 0 л sin 8 4 5 . A (t ) = 15t^ + 3 6 0 ; A '( t ) = ЗОі. В ід п о від ь: 30t. 8 4 6 . л:(0 = 100 + «2; а) t = 5 с; б) « = 23 с. а) x '( t ) = v (t) = 2t; и(5) = 10 м /с ; б) x '( t ) = ü(t) = 2t; ü(23) = 46 м /с . Від п о від ь: а) 10 м /с ; б) 46 м /с . 8 4 7 . s(<) = + 3t; a) s'(«) = u(f) = 8 f + 3; 6) y ’( 0 = a(f) = 8; b ) y(5) = 4 3 м /с ; a(5) = 8 m / c^. В ід п о від ь: а) 8t + 3 ; 6) 8 ; в) 43 м /с ; 8 м /с '. 8 4 8 . <p(t) = з г ' 2 а) ip'(.t) = tu(f) = 6< - 4; б) w (t ) = 2 0 м /с . В ід п о від ь: а) 6f - 4 ; б) 20 м /с . 8 4 9 . s ( 0 = 7t^ - 5« а) s'(«) = и (0 = 21(2 _ 5 = 6 5 „ /с ; б) i>(f) = 2 1 t ' - 5 ; v {2 ) = 21 • 4 - 5 = 79 м /с ; 21 • 9 - 5 = 184 м/ с. в) v (t) = 21t^ - 5; t>(3) = Від п о від ь: а) 16 м /с ; б) 79 м /с ; в) 184 м /с . 8 5 0 . S (t) =

г+

t' - | t ^ О

S ’(t) = v (t) =

f = 3 , t = - 1 — критичні точк и , t = - 1 t — час. Знайдемо знак похідної на проміжках t = З — точка максимуму. S ’(t) = у(3) В ід п о від ь: і = З с. 851. <p(t) = 4t - 0 ,3 t '; ip 'it) = ü){t) = 4

+ 4t - 2 t'; v (t) =

; -2 t'

4t +

= 0;

— не задовольняє умові задачі, оскільки t < З, t > 3. — найбільша ш видкість. -

, 6 t; <p'(t) =

; -0 ,6 t + 4 =

; -

,6 t = - 4 ;

; t = 4;

t= ■

В ід п о від ь: t = — c. О

852. 853.

T = 0,4t^; t = 5 C . 7” (t) = 0 ,8 t ; 7” (ö) “ 4. s(t) = 2 + 8 t + t '; s'(t) = y(t) = 8 - 2 t; s'(t) = v (t) = 0 ; 8 - 2 t = s(3) = 2 + 8 - 3 - 3 ' = 2 + 2 4 - 9 = 17 M. В ід п о від ь: 17 м. 854. s,(t) = fä + 3 t ' - 2 t + 2 ; s,(t) = t* + 2 t^ + 5t - 4. Знайдемо час, через який тіла пройдуть однакову відстань. s,(t) = s^(t). t* + 3 t ' - 2t + 2 = f’ + 2t2 + 5t - 4 ; t' - 7t + 6 = 0 ; t^ = 1; t^= 6 . < (t ) = 3 t ' +

t - 2;

< ( t ) = 3 t ' + 4t + 5; В ідповідь:

u;(t) = a ,(t) =

v ’, ( t ) =

= 12 м /с ';

; a^(l) = 12 м /с '; a ,( 6 ) = 42 м /с ';

t + 4; а^(1) = 10 м /с '; а ,( 6 ) = 4 0 м /с '.

= '42 м /с '; а^ = 10 м /с ';

= 40 м /с '.

GDZonline.net y(f) = #55. “ ) y (l) “ 4 м /с ; u(2 ) = 2: м /с ;

E = ^ 4 ^ = 16 (Д ж ); u(5) = - 4 м /с . ■ 2 Відповідь: a) 4 м /с ; 2 м /с ; 6 ) 16 Д ж .

6 ) * - ~

856. * ( 0 “ + 3t^ *) « '( 0 = = 3(2 + 6 t; 1)’( 0 = a ( 0 = l y f - т а ; a(3) = 6 • 3 + 6 = 24 м /с*; gldnoeidbi a) 36 м /с*; 6 ) 1 20 H .

857. i ( 0 = (^»

2 2

( + 6 ; a(5) = 6 •5 + f = 5 •24 = 120 (H).

+ 4t* - |t® ; s '(0 = v (t) = S t - 2t^; v ’(t ) =

= 36 m/c^;

- 4 f - v '( t ) = 0 ;

- 4« = 0;

. — точка максимуму. u(2 ) = 1 6 - 8 =

E =^ \

м /с — найбільша швидкість.

£ = ^ ^ ^ = 3 2 т (Д ж ).

Відповідь: 3 2 т Д ж . st^

8 58.

^0 м /с , ^ =

1 0

м /с ^

а) у (0 = h '{ t ) = u„ - ^ f; и(2) = 4 0 - 10 • 2 = 20 м /с ; б) v.- gt = 0 ; 4 0 - lO f = 0 ; t = 4 c; B)A'(t) - 0 ; 4 0 - lOf = 0 ; f = 4. < - 4 — точка максимуму. Ä(4) = 4 0

4 -

= 160 - 8 0 = 8 0 (м).

Відповідь: а) 20 м /с ; б) 4 с; в) 8 0 м.

859.

Л(0 = t'of -

«о = 4 0 м /с , g =

1 0

м /с*.

A'(t) = 1^0 Л '(0 = 4 0 - l Of; ( = 4 . t - 4 — точка максимуму. Л(4) = 1 60 - 8 0 = 8 0 м. Відповідь: 8 0 м. 8 6 0 . y(O = - i ' + 7 - f " + 5 0 t + 37,

іє[1;8];

П ( 0 = у '(4) =

+ 15( + 50;

П(1) = 2 ,5 + 15 + 50 = 6 7 ,5 ; П(2) = 10 + ЗО + 5 0 = 9 0 ; П(3) = | - 9 + 4 5 + 50 = 1 1 7 ,5 ; П(4) = 4 0 + 6 0 + 50 = 1 50 ; П(5) = і | ^ + 75 + 50 = 1 8 7 ,5 ; П(6 ) - 9 0 + 9 0 + 50 = 2 3 0 ; П(7) - 1 55 + 1 2 2 ,5 = 2 7 7 ,5 ; П(8 ) =• 1 60 + 1 2 0 + 5 0 “ 3 3 0 . Відповідь: 6 7 ,5 ; 9 0 ; 1 1 7 ,5 ; 1 5 0 ; 1 8 7 ,5 ; 2 3 0 ; 2 7 7 ,5 ; 3 3 0 .

861. g(t) = 5V2i + 5; ( Д5) =

1 0

5у/Ї5

5ч/І5

Т Ї5

Відповідь: —

А.

с;

(А ).

Ці) = єЬ) =

® ^

2V2t + 5

Т гГ Т б ’

GDZonline.net 862. gU) = ln(t + 1); I(t) = 0,1 A . m

Зн ай дем о«:

= ^ :

= g\t) =

7 T T - 1 ^ = °=

t +\

"Т 0 Ї 7 Т І Г =

“ ^■

Відповідь-. 9 с.

863.

= Vf* + 5t,

t = 4 год; m'(f) = u(i) = —? Ü L = ; 2-Jt^+ 5t

2 4 + 5

13 Від п о від ь: —

864. ^ ( 0 =

к м /го д .

sin 3 t; Jt' ( 0 = v (t) =

cos 3 f; v '(t ) = - 1 8 sin 3t;

p m m Ю <U ID

a (t ) > 0: - 1 8 sin 3t > 0 ; sin 3 f < 0 ; л < 3« < 2я;

a (t ) = - 1 8 sin 3t — пряма пропорційність; x x ( t ) : a (t ) = ЄНТ пропорційності

В ід п о від ь:

T .g

с о

2п З ’ З 2

скорення —

: a(t) >

: ( є

—l o sin 3t

Ї- — 3’ 3

. пропорційне прискорення координати х з коефіцієнтом при-

865. S [ t ) = ^ ;

S ' ( 0 = ü(t) = ^

v \ t) = a (t ) = ^

4 ^ ’

S in a <

= - ^ : коефіці9

a ( t ) : v \ t ) = --------------------------------------------= 4 ^ W 4 У І?

Коефіцієнт пропорційності дорівнює ( - 2 ) . Від п о від ь: прискорення пропорційне кубу ш видкості. 8 6 6 . Нехай закон руху колеса виражається формулою ip(t) = t^. ip '(t) = 2t; (p'(8) = ■= 16 о б /с ; ^>'(48) = 9 6 о б ./с ; 9 6 : 16 = 6 о б ./с . Від п о від ь: 6 о6./с. 867. Нехай t с — деякий час, v м /с — ш видкість, з якою опускався верхній кі нець драбини, за f с верхній кінець опуститься на vt м, а нижній кінець зміс титься на 2t м . За теоремою Піфагора з прямокутного трикутника маємо: (5 -

- v t f -І- 4f^ = 2 5 , звідси ( = к ож опускався зі ш видкістю Від п о від ь: 2 м /с .

lOu

5 -

v'‘ + 4 ’ 2

lOi;*

v‘ + 4

= О, V = 2 м /с . Верхній кінець та

м /с .

§ 2 3 . Застосування похідної для розв’язування рівнянь та доведення нерівностей

873. а) Дослідимо ф ункцію f (x ) OJ in

х* + х^ - 10. Область визначення: Д.

П х ) = 4х^ + Зх^; f '{ x ) = 0 ; х ^ 4 х + 3) = 0 ; д: = О, х = - ^ . 4

GDZonline.net

'В язяачи м о знак похідної на кож ному проміж ку, на як і розбивають область вид^ачення ф ункції критичні точки.

— точка мінімуму. V 4 З Йввайдемо значення ф ункції на проміжках х < - — ; х >

: /( 0 ) = -

1 0

; f(2 ) = 16 +

8 - 10 = 1 4. Це означає, що графік обов’ язково перетинає вісь О х. д _ 2 ) = 1 6 - 8 - 1 0 ------ 2; / ( - 3 ) = 81 - 27 - 10 = 4 4 . Це означає, що графік І ^ в ’ язково перетинає ще один раз вісь О х . Отже, рівняння має два корені. Ждповідь-. два кореня. б) Дослідимо ф ункцію f (x ) = ж® - Зх^ - 9х - 1. Область визначення: Л. f ( x ) = Зх^ - 6х - 9; f '( x ) = 0 ; Z(x^ - 2д: - 3) = 0 ; х = 3 ; д: = - 1 . Визначимо знак рохідиої на кож ному проміж ку, на як і розбивають область визначення критичні їрчки. J - - 1 — точка максимуму, л: = З — точка мінімуму. /( -1 ) = - 1 - З + 9 - 1 = 4 ; ЛЗ) = 27 - 27 - 2 7 - 1 = - 2 8 ; /( 0 ) = - 1 ; f(- 2 ) = - 3 ;

/( 6 ) > 0 . Це означає, щ о графік функції три рази перетинає вісь О х , отже рівняння має три корені. ^ 0 п о в ід ь : три корені. в) Дослідимо ф ункцію f ix ) = 12х* - 12х^ - Zx^ - 5. Область визначення є R . f { x ) = 4 8 x ’ - 36x^ - 6 х ; f ( x ) = 0 ; 48х^ - Збх^ - 6 х =■ 0 ; 6 х ( 8 х^ - 6 х - 1 ) = 0 ; З + лЯ? 3->/І7 г - О, х = --------------; х = --------------- . * ’ 8 8 ^ а й д е м о знак похідної на кож ному пром іж ку, на які розбивають область визна^ н н я функції критичні точки. 3->/rf . . 3 + ч/Ї7 * - О — точка м аксимуму; х = ----- ------- — точка мінімуму; х = ----ІЙІнімуму. ftO) = - 5 ; / ( 1 ) = 12 - 12 - З - 5 = -

; f 8

< -5; -5 ;

16-12 ■8-3 - 96 - 17 = 7 9; f

3-л/Ї7

' з + х / їу ' 1

— точка

< -5 ;

4 - 5 =

< 0 ; Д -1 ) > О, це означає, щ о графік функції пере-

тинає вісь О х в одній точці;

< О, f(2 ) > О, це означає, щ о графік

f 8

.’♦ункції перетинає ще раз вісь О х. Отже, графік ф ункції два рази перетинає вісь О х і рівняння має два корені. Відповідь: два корені. 874, а) (X - 4 )(х + 7) < 0 ; f (x ) = (г - 4)(х + 7); D ( f { x ) ) = R ; f (x ) = 0 ; (х - 4)(х + + 7) = 0 ; X = 4 ; X = - 7 . f(x ) < О, х Є ( - 7 ; 4). 'Відповідь: ( - 7 ; 4). б) (х + 5)(х - 0 ,5 ) > 0 ; Д х) = (х + 5)(х - 0 ,5 ) ; D (f (x )) = Д; f (x ) = 0 ; (х + 5)(х - 0 ,5 ) = 0 ; X = - 5 ; X = 0 ,5 . Д х) > О, х Є (-оо ; - 5 ) U ( 0 ,5 ; +«>). .■Відповідь: ( - « ; - 5 ) U ( 0 ,5 ; +«=). 875. а) (X - 2 )(х + 3 )(х + 8 ) < 0; Д х ) - (х - 2 )(х + 3 )(х + 8 ); D ( f ( x ) ) = Д ; f (x ) = 0; (* - 2 )(х + 3 )(х + 8 ) = 0; X = 2 , X = - З , X = - 8 , f(x ) < О, х Є (-«>; - 8 ) U ( - 3 ; 2). В ід повідь: (-оо; - 8 ) и ( - 3 ; 2 ). 6) (X - 4)(х - 5)(х - 6 ) > 0 ; f(x ) = (х - 4 )(х - 5)(х - 6 ); 2)(/(х)) = Д; f(.x) = 0 ; (х ' 4)(х - 5)(х - 6 ) = 0 ; X = 4 , X = 5 , X = 6 . П х ) > О, х Є [4 ; 5] U [ 6 ; +оо). В ід повідь: [4 ; 5] U [ 6 ; +<»).

GDZonline.net 8 7 6 . a) x (x - 3 )(x + 2У < 0; f (x ) = x (x - 3 )(x +

)’ ; D ( f ( x ) ) = Д ; f (x ) = 0 ; x(x . - 3)(x + 2)» = 0 ; л: - 0 , д: = 3 , X = - 2 . f (x ) < 0 , x & (-oo; - 2 ) U (0; 3). В ід п о від ь: (-oo; - 2 ) U (0 ; 3). 6 ) x (x + 4)(x^ + 2) < 0 ; П х ) = + 4)(*2 + 2); D(/(jc)) = Д; f {x ) = 0 ; д:(д: + 4)(*a + + 2) = 0 ; д; ■= 0 , a = - 4 . /( * ) < 0 , д: Є ( - 4 ; 0). В ід п о від ь: ( - 4 ; 0). 8 7 7 . a) /(д :) = (2jc - 3)(3д: - 5 )(x + 6 ) ; D ( f { x ) ) = R ; f (x ) = 0 ; (2 x - 3 ){3 x - 5)(дг + -1-

) =

;

В ід п о від ь: 6

p го го m ш LO

5 x = ~ ; д: = -

. f (x ) < 0, x € ( - o o ; - 6 ] w

3. 5 2^3

) f (x ) = (3 x - 4 )(2 x + 3)(д: - 7): D ( f M ) = Л ; f (x ) = 0 ; (3 x - 4 )(2 x + 3 )(x - 7) = O;

4 Jc = - ;

-3 х = — -, х = 1 . і ( х ) > 0 , х є 3 .4

В ід п о від ь:

3.4 ' 2 ’ 3.

<j [7; + oo).

[7; + oo).

’ 3

8 7 8 . a) Дослідимо ф ункцію у = x^ - 6x + 2, D(,y) - 6

R ; y ' = 3x^ -

X = -V 2 — точка м аксимуму, у (-■v/2) = -2 V 2 + бТ2 + 2 = 4-\/2 + 2;

X = УІ2 — точка мінімуму. y ( V 2 ) = 2\І2 - 6уі2 + 2 = —4-72 + 2;

a 5 Ъ

; i/' = 0 ; Зд:* -

розбивають область визначення функції критичні точки.

; х = -л / 2 ; х = УІ2. Знайдемо знак похідної на кож ному проміж ку, на які

у(0) = 2; у(1) = 1 -

+ 2 = -3 ;

у (- У І2 ) > О, у (1 ) < О — це означає, щ о графік

функції перетинає вісь О х в одній точці, причому О < дг < 1.

у(^)< 0 ,

у (3 ) > О — це означає, щ о графік функції перетинає вісь О х в другій

точці, причому ^ < х < 3 ,

у { - ^ ) > 0 , у ( - 3 ) < 0 — це означає, щ о графік функції перетинає вісь О х в тре тій точці, причому - З < д: < -V 2 . с: <

Маємо три корені рівняння, як і належать трьом різним проміжкам:

У І2 < х < 3 ;

0< ж < 1;

- 3 < x < y f2 ;

розглянемо проміжок О < д: < —; З

’ 7^ . 27

звідси у і- 2 ,6 ) = 0 ,0 2 ; х = - 2 , 6 ; S < x < 2 , 2 ;

Від п о від ь: б)

звідси X =

- З < X < 2 ,6 ;

у (2 ,2 ) = - 0 , 5 ; д: = 2 ,2 .

- 2 , 6 ; 2 ,2 .

Дослідимо ф ункцію у = X* ~ х - І ; Щ у ) = R ; у ' = 4д:^ - 1-, у ' = 0 ;

4д:= -

= ^ j.

Знайдемо знак похідної на кож ном у проміж ку, на які розбиває область визна чення функції критична точка. X =

еа

— точка м інім ум у.

f I

GDZonline.net „(0) - - 1 < 0^ y ( - l ) = 1 > 0 — це означає, що графік функції перетинає вісь О х ояяій t. о д ^ й точці ТОЧЦІ - 1 < д: < 0 . І/

^ ® — Ц® означає, щ о графік ф ункції перетинає вісь О х ще в

адяїй точці. ^ - < х < 2 . Зяайдемо точніш е значення кореня, для цього будемо звужувати лише межі проміжків. _ 1 < X < 0 ; - 1 < д: < 0 ,4 ; д: = - 0 , 4 ; у ( - 0 ,4 ) = - 0 ,5 7 4 4 ;

2 ) ^ <

<2;

^ <

< 1,3; у ( і , 3 ) = 0 ,5 6 ;

= 1 ,3 .

відповідь: - 0 , 4 ; 1 ,3 . 8 7 9 . а) Дослідимо ф ункцію f(x ) == х^ + х - 3; D ( f ( x ) ) = Л ; f '( x ) = 3 x ^ + 1 ; f '( x ) =

. 0 ; Зд:^ + 1 = 0 ; коренів немає. f { x ) = 0 . ф ункція зростаюча на всій області визначення. /(0) “ - З , /( 2 ) = 8 + 2 - 3 = 5. Це означає, що графік ф ункції перетинає вісь Ох тільки в одній точці. Рівняння має один корінь. Оскільки /( 0 ) = - 3 ; /( 2 ) = 5 , то корінь рівняння належить проміж ку [0; 2]. Щоб знайти точніш е значення кореня, будемо звужувати межі проміж ку. /( 1 ,3 ) = 0 ,4 ; /(1,4 ) = 1 , 1 , отж е, X = 1 ,3 . Відповідь: 1,3 6) Дослідимо ф ункцію f (x ) = д:'* - 2д: - 2 ; D ( f ( x ) ) = R ; f '( x ) = 4д:’ - 2 ; f'(,x) = 0;

4х > - 2 - 0 ;

=^ .

Знайдемо знак похідної на кож ному із проміж ків х < І

’

— точка мінімуму.

/( 0 ) = -

f t - l ) = 1 > О, це означає, що графік ф ункції перетинає вісь О х в одній точці на проміжку - 1 < д: < 0 .

<0,

/( 2 ) > О, це означає, щ о графік перетинає вісь О х на проміжку

j< x < 2. Знайдемо точніше значення кореня.

j<x<2;

/(1 .5) = ^ ;

відповід ь:

- 1

< х <

; f

= - — ■ x = -i 16 2

х = 1,5.

1,5.

880. а) дг* + бд: -

8 = 0. Дослідимо ф ункцію f(x ) = дг® + 6х - 8 . D ( f ( x ) ) = Я; ; Г ( х ) - 0 ; Зх^ + 6 = 0 . коренів немає, f (x ) — зростаюча на всій області визначення. /(0) - - 6 ; /( 2 ) = 8 + 12 - 8 = 12 > О, це означає, щ о графік функції перетинає вісь О х тільки в одній точц і, яка належ ить проміж ку [0; 2]. Знайдемо значення кореня, звуж ую чи проміжок О < х < 2; /(1 .2) = 0,9; f l l . l ) = - 0 ,0 7 ; X = 1,1. відп овід ь: 1 , 1 .

Г{х) = Зд:« +

GDZonline.net б) - 4jc + 1 = 0 . Дослідимо ф ункцію f (x ) ^ х* - i x + 1, D ( f ( x ) ) = Д; / 7 , , - 4 = 0 ; д: = 1. ' ' = 4х^ - 4; f '( x ) - 0 ; Знайдемо знак похідної на кож ному із проміж ків х > 1, х < 1. X = 1 — точка мінімуму. /( 1 ) = 1 - 4 + 1 = - 2 < 0 ; f(2 ) = 1 6 - 8 + означає, що графік перетинає вісь О х на проміжку 1< де < 2 . / ( - 1 ) = 1 + 4 = 6 > 0 ; /( 1 ) < О, це означає, щ о графік перетинає вісь О х на проміж ку - 1 < ^ Знайдемо точніш е значення коренів. 1 < д: < 2 ; /( 0 ,3 ) = - 1 , 3 4 ; /( 1 ,4 ) =■ -Q 7 «' X = 1 , 4 ; / ( 0 , 2 ) = 0 ,2 , лг = 0 ,2 . В ід п о від ь: 0 ,2 ; 1,4. 881. а) (1 - х^Кх +' 7 К х + 3) > 0 ; (х ’‘ - 1)(х + 7)(х + 3) < 0 ; f {x ) = (х^ - 1 )(і + + 7)(х + 3); D ( f ( x ) = Д ; f (x ) = 0 ; (х ‘ - 1)(х + 7Xjc + 3 ) = 0 ; д: = 1, д: = - і , ^ , = - 7 , * = - 3 . f (x ) < 0 , X В ( - 7 ; - 3 ) U ( - 1 ; 1). В ід п о від ь: ( - 7 ; - 3 ) U ( - 1 ; 1). б) (X + 3 ){х + 1)(х - 5)’ < 0 ; f ix ) = (д; + 3)(дс + 1)(д: - 5)^; D ( f ( x ) ) = Л; f (x ) = п{X + 3)(д: + 1)(д: - 5)^ = 0; д: = - З , д: = - 1 , д: = 5. П х ) < 0 , х Є ( - 0 0 ; - 3 ) и ( - 1 ; 5). В ід п о від ь: ( - » ; - 3 ) U ( - 1 ; 5). в) х (х - 4)(д: + 5)(х - 1) < 0 ; f (x ) = х (х - 4)(jc + 5 )(х - 1); D ( f ( x ) ) = R ; f {x ) = од:(д: - 4)(д: + 5)(дг - 1) = 0 ; д; = О, д; = 4 , д: = - 5 , д: = 1. f (x ) < О, д: Є [ - 5 ; 0] U [ 1 ; 4 1 ’ В ід п о від ь: [ - 5 ; 0] U [1 ; 4]. г) х Ч х + 3)(д: - 4)(д; - 6 ) > 0; f (x ) = х Ч х + 3)(х - 4)(д: - 6 ); С(/(д:)) = Д; f ix ) = О; х \ х + 3)(д: - 4)(д: - 6 ) = 0 ; д: = О, х = - 3 . д: = 4 , х - 6 . /(х ) > О, д: Є [ - 3 ; 0] U [0; 4] U [ 6 ; +<») або [ - 3 ; 4] U [ 6 ; + » ) . Від п о від ь: [ - 3 ; 4 ] U [ 6 ; +<»). 882. а) {X - 1 )(х^ - 2 х + 3) < 0 . f ix ) = (X - 1)(х* - 2х + 3 ); £»(/(х)) = Л; f ix ) = 0 ; іх - 1)іх^ - 2х + 3) = 0 ; X = 1 , х2 - 2х + З > 0; f ix ) < О, X Є (-оо ; - 1 ] . В ід п о від ь: (-оо; - 1 ]. б) (х^ - X - 1)(х - 1 ,5 ) < 0 . f ix ) = (х^ - X - 1)(х - 1 ,5 ); Г»(/(х)) = Д ; f ix ) = 0; i + Vs

(х^ - X - 1)(х - 1 ,5 ) = 0 ;

f ix ) < О, X є

В ід п о від ь:

’

1 ,5 .

і + 7^ 1,5;-

i-Vs'i l

І-л/5.

u 2

в) (X - 2)(х^ - X - 4)=> < 0 ; f ix ) ■ ix - 2)(х^ - X - 4)*; D if ix ) ) - 4) = 0 ; X = 2, х =

f ix ) <

, X є

Від п о від ь: г)

l + yß^

R ;ix -

)(x^

1 - У ІЇ7

і-л/Гт" и 2 .

=2.

1 - 7 1 7 1 ■1 2

J L

(5 x “ + 2x - 3 )(x + 6)2 > 0 ; f ix ) = (5x* + 2 x - 3 )(x +

(5x2 + 2 x - 3)(x + 6)2 = 0 ; x X = | ;

= -1 ;

= -

)^; D (/(x )) = Д;

;

f ix ) > 0 , X Є ( - 0 0 ; - 6 ] U [ - 6 ; 1]. В ід п о від ь : (-oo; - 6 ] и [ - 6 ; 1].

883. а) (5 - x)(x - 3)>(x + 1) > 0 ; (X - 5)(x - 3 )’ (x + 1) < 0 ; f ix ) = (x - 5)(x - 3)ä(x + 1); D i f ix ) ) = Д; f ix ) = 0 ; (x - 5)(x - 3)»(x + 1) = 0 ; x = 5; x - 3; x = " l f ix ) < 0 , X Є (-oo; - 1 ) и (3 ; 5). В ід п о від ь: (-oo; - 1 ) U (3 ; 5).

1 = 9>

GDZonline.net f

I) (З - х Г )(х + 1)(j: - 5) < 0; (X - 3)*(д: + 1)(д: - 5) > 0 ; f(x ) = (х - 3)^(д: + i n f i x ) ) =■ R ; f (x ) = 0 : ( * - 3)^(д: + 1 )(д: - 5) = 0 ; х = З, лс = - 1 , л: = 5. % ) > 0 , х Є ( - 1 ; 3) и (5; +=о). І шЯповідь-. ( - 1 ; 3) и (5; +<»). ^ ( х - х^)(х + 3)(д: - 1 ) < 0 ; х (х - 1 )(х + 3 )(х - 1 ) > 0 ; f(x ) = х (х - 1 )(д: + ;3)(я: - 1 ); і р и М ) = R ; f (x ) = 0 ; х {х - 1)(х + 3)(д: - 1) = 0 ; х = 0 . д: = 1, х = - 3 . 'д * ) г О, X Є (-=о; - 3 ] и [0; 1] и [1 ; + ~ ) . ^ п о в і д ь : ( - м ; - 3 ] U [О; 1] U [1; +■»). - 4)(х + 3 )(2х - 4) > 0 ; Дх) = (х - 2)(х + 2)(х + 3 )(2х - 4); D ( f ix )) = Д; f [x ) = 0; ( , - 2)(х + 2 )(х + 3 )(2х - 4) = 0 ; 2(х - 2)“(х + 2)(х + 3) = 0 ; х = 2 , х = - 2 , х - -з. дж) > О, X Є (-оо; - 3 ] и [ - 2 ; 2] и [2 ; + « ) . т ід п о в ід ь : ( - t » ; - 3 ] U [ - 2 ; 2] и [2 ; +а>). ІІ8 4 . а) х^ + Зх^ - 4 х - 1 = 0. Д ослідимо функцію f (x ) = х^ + Зх^ - 4 х - 1; D ( f ( x ) ) = Д; f '( x ) = Зх^ + 6 х - 4;

f ( x ) = 0 ; Зх^ +

-г + ^ х - 4 = 0 ; х = ------ ------- ;

-3 х = ------- ^

- 3 + >/21 -3 + X = --- ^---- — точка максимуму; х = --- ^--- — точка мінімуму.

“

LO /(0) = - 1 ; /( 1 ) = 1 + 3 - 4 - 1 = - 1 ; / ( - 1 ) = - 1 + 3 + 4 - 1 = 5, це означає, щ о -графік ф ункції перетинає вісь О х на проміжку ( - 1 ; 0). /( 2 ) = 8 + 1 2 - 8 - 1 = 1 1 ; / ( 1 ) = - 1 , це означає, щ о графік функції перетинає «ісь О х на пром іж ку (1 ; 2). 2 Знайдемо точніш е значення коренів. S - 1 < X < 0 ; Л - 0 ,3 1 ) = 0 ,4 3 ; Л - 0 ,2 5 ) = 0 ,1 6 ; х = - 0 , 2 5 ; ^ 1 < X < 2; /( 1 ,1 3 ) = - 0 , 2 5 ; Л 1 Д 5 ) = = 0 ,1 3 ; х = 1 ,1 5 . >ч тідповідь: 1 ,1 5 ; - 0 , 2 5 . ^ б) 2 х ’ + Зх» - 2 = 0 . Дослідимо ф ункцію f (x ) = 2 х ' + Зх® - 2 ; В (/(х )) = Д; f '( x ) = - 0; f '( x ) = 14х‘ + 9х^; 14х® + 9х^ = 0; коренів немає; f '( x ) > 0. _ ^Функція f (x ) зростаюча на області визначення. ст f{0 ) — -2; /(1) = 3 — це означає, щ о графік функції перетинає вісь О х тільки в одній точці на пром іж ку (0; 1). Знайдемо точніш е значення кореня. ^

«0,71) = -0,95; /(0,83) = 0,29; х = 0,83. Відповідь: 0,83. 885. а) 2х* + 2х - 1 = 0. Дослідимо ф ункцію /(х) = 2х® + 2х - 1; Щ Г (х )) = Д; Л (х) = 6х^ + 2; /'(х) = 0; 6х* + 2 = 0; коренів немає.

Ю t! ^ <

/'( х ) > О, ф ункція f{x ) зростаюча на всій області визначення. /(0 ) = - 1 , Ä 1 ) =*3 — це означає, щ о графік функції перетинає вісь О х на проміж ку ( 0 ; 1 ) тільки в одній точці. Знайдемо значення кореня. /( 0 ,2 8 ) = - 0 , 4 2 ; /( 0 ,4 5 ) = 0 , 0 1 ; х = 0 ,4 5 . Відповідь: 0 ,4 5 . б) 0,2х® - X* + 7х + 5 = 0 . Дослідимо ф ункцію /( х ) = 0 ,2х * - х® + 7х + 5; D (f(x )) = Д; /'( х ) = х< - Зх^ + 7 ; / ’(х) = 0 ; х ‘ - Зх^ + 7 = 0 ; коренів немає. /'(х) > О для всіх X із області визначення. /( 0 ) »= 5; / ( - 1 ) = - 1 , 2 — це означає, щ о графік ф ункції перетинає вісь О х тільки 8 одній точці на пром іж ку ( - 1 ; 0 ).

Знайдемо значення кореня. /( 0 ,7 1 ) - 0 ,3 8 ; /( 0 ,6 9 ) = 0 ,1 5 ; х = 0 ,6 9 .

Відповідь: 0 ,6 9 . 887

а) £ (£ л ІХ і± 2 ) > 0 ; £ (£ Л ІМ £ ± 2 ) < 0 ; /( ,:) = ^

(х + 3 ) ( х - 1 )

£»(/(х)) = Д, (х + 3 ) ( х - 1 )

крім X - - З , X = 1. f ix ) = 0 ; х (х - 1)(х + 2) = 0 ; х = О, х -

fix ) < О, X Є ( - » ; - 3 ) и ( - 2 ; 0). Відповідь: ( - 0 0 ; - 3 ) и ( - 2 ; 0 ).

1, х = - 2 . ”

GDZonline.net (X

Шх

^ [X

3) ^

х { х ^ + х + 1)

2)(х

х(х^ + х + 1)

^ . /W

(X - 2 )(х - 3) ^ 0-, X = 2. X = 3. П х ) > О, д: Є (0 ; 2) U (3 ; + » ) . Від п о від ь: (0; 2) U (3; + » ) .

888 -

% ^ 2 к ;Л ) ^

= 2.

д: = - 3 ; f {x ) = 0 ; л:“ - Зл: + 2 = О; jc = 1. л: = 2. /(д:) < О, д: Є (-« > : - 3 ) U (0 ; 1]. Від п о від ь: (-оо; - 3 ) и (0 ; 1]. (д:-2)(х-3)

(х-2)(д:-3)

(2 + j : - * ‘'KJt + 5)

’

(x-2)(x-3)

(2 + лс-д:^)(д: + 5)

’

(2 + д: - дг'Хл: + 5) ’

Д(/(д:)) = R , крім д: = - 5 , д: = 2 , д: = 1. К х ) < 0 , X е (-со ; - 5 ) и ( - 1 ; 2) U (2; 3]. Від п о від ь : (-оо; - 5 ) U ( - 1 ; 2) U (2 ; 3].

< 0; f M =

889. а)

^(Я ^)) = Я, крім х ^ 6; f ix ) = 0;

(д: - 3)(д + 2) = 0 ; д - 3 , л = - 2 . П х ) < 0 , х е ( - 0 0 ; - 2 ) и (3 ; 6 ). В ід п о від ь: (-оо; - 2 ) U (3 ; 6 ). (х - 2 )(д : + 7) ^ д +

(д :- 2 )(д + 7) _ ^ ^ ’

ж+

~ ^

д;^ + 7ж - 2д: - 1 4 - д - 8 ’

д: +

+ 8

х = -2- 7 ^ .

л* + 4 д - 22 = 0 ; д = - 2 +

Яд) > О, д ге (-8 ;-2 -> /м )и (-2 -> /М ; + ~). Від п о від ь: ( - 8 ; - 2 - 7 ^ ) и ( - 2 - л/26; + ~ ) .

- 5д + 6 = 0 ; дг = 2 , д: = 3. П х ) < О, д Є (2 ; 3). Від п о від ь: (2; 3 ^

- 4д + 4 ’ дг^ + бд: + 5 = 0 ; д = - 1 , д: = - 5 . f (x ) > О, д: Є (-оо; - 5 ] и [ - 1 ; 2) U (2 ; +оо). Від п о від ь: (-оо; - 5 ] U [ - 1 ; 2) U (2 ; +оо).

891. а)

д^ -

д :'-6д +

д +

> 8

- і <

д :'-6 д +

/( д ) = . д * -6 д +

’

D ( f { x ) ) = R , крім д - 2 , д ■= 4 ; f(x ) = О, д2 - 6 д = 0 ; д = О, д = 6 . f(x ) > О, д Є ( - 0 0 ; 0) и (2 ; 4) U ( 6 ; +оо). В ід п о від ь: (-оо; 0 ) U (2; 4) U ( 6 ; +оо).

;

д ’' -

д -

д +

;

-д^ + д* -

х +

< 0; 8

F *)

GDZonline.net x ‘ + 5x + 4

^1;

2x^ + 5 x

2 x ‘ + 5x

- 4 = 0-,

’ = 2.

^ Ід п о в ід ь

i-i [ - 2 ;

2 '

S 0;

-x ‘ +4 2x‘ + 5x

<0;

~2’

= -2. 5

f(x) Z O . X є

2x^ + 5 x

D ( f { x ) ) ■ R , крім л: = 0 , ^

2x^ + 5 x ’

x ^ + 5 x + 4 - 2 x ^ - 5x

-1<0;

x‘ - 4

gx^+ 5 x jc t

x^ + 5 x + 4

~OOj — — и [ - 2 ;

) и [2 ; + ~ ) .

) u [ 2 ; + =o).

8 9 2 . а ) 1 п 2 ;с + л: - 2 = 0 . Д ослідимо ф ункцію у = \ri^ X + X - 2-, , 2 ln jc , „ 2 ln д: , „ н' = ---------- + 1 ; І/ = 0 ; ---------- + 1 = 0 ;

“

-f

е ^ = х.

На проміжку О < X < 1 — є критична точка. Зна йдемо знак похідної дг < 1 , л: > 1 , похідна змінює знак з « - » на ♦ + * , це означає, щ о рівняння має ко рінь на проміжку X > І ; X ~ 1 ,6 1 ; /( 1 ,6 1 ) = - 0 ,1 4 . ф ід по від ь: х = 1 ,6 1 . 6 ) ж - 0 ,1 sin X = 2. Дослідимо ф ункцію у = х - 0,1 Л п X - 2; у ' = І - 0 ,1 cos х; у ' = 0 ; - 0 , 1 cos л: -І- 1 = 0 ; - 0 , 1 cos х = - 1 ; cos х = » 1 0 — коренів немає; у '(х ) > О, у {х ) — зростаюча. у (2 ) < 0; у(3) > О, корінь на лежить проміж ку 2 < X < 3 ; д: = 2 ,0 2 . ^ (Від п овід ь: х = 2 ,0 2 . '' 8 9 3 . а) = є* + 2; - е ' - 2 = 0 . Дослідимо функцію у = х^ - е" - 2 ; у' = 2 х - е*; у ' = 0 ; 2 х - е ' = 0 ; 2 х = є* — коренів немає. Для будь-якого X f '( x ) < О, f(x ) — спадна функція на всій області визначення. /(0 ) - 0 ; 1 - 2 = - 3 ; /( 1 ) = 1 - е - 2 = - 3 . 7 ; ^(_1) = 1 _ І _ 2 = - 1 - І = -1 ,5 ;

rt-2) = 4 - - ^ - 2 = 2 - i > 0 . gZ

Маємо / ( - І ) < О, / ( - 2 ) > О, це означає, що графік і,функції перетинає вісь О х в єдиній точці: - 2 < X < - І . Знайдемо це значення, х = - 1 , 5 4 ; j /( - l ,5 4 ) = 0 ,0 4 . В ід повідь: х = - 1 , 5 4 . б) х ‘ = sin X -І- е ' - 2; х^ - sin X - е* + 2 = 0. Д ослід им о ф у н к ц ію у = х^ - sin х - е* + + 2; у ' ^ 2х - cos х - е*; у ' = 0 ; 2 х - cos х - є* = 0 ; 2 х - е ' = cos х; 2 х - cos х = “ е*; е ' > О, то f '( x ) < О д л я всіх х. х = О, у ' = - 1 < 0 ; х = 1, у ' = 1 - cos 1 - е‘ < 0. Г ( х ) < О, А х ) — спадна. ^ »(0 )- О - 0 - 1 - Н 2 = 1 > 0 ;

/ ( 1 ) = 1 - s i n 1 - е + 2 > 0 ; і /( - 2 ) =

-і-s i n l - - + 2 > 0;

1/(2) - 4 - sin 2 -И 2 < 0 ; y {3 ) = 9 - sin З - е* + 2 < О, отж е, у (1 ) > О, у(2 ) < О на проміж ку 1 < X < 2 — рівняння має єдиний корінь. Знайдемо це значення. * = 1 ,4 2 ; г/(1,42) = - 0 ,0 9 . Від по від ь: х = 1 ,4 2 . 8 9 4 . а) X

х‘ ^

ґ{х) = 1- X -

х‘ < 1п(1 + х ). Дослідимо функцію f (x ) = х - — - 1п(1 -і- х); А 1

1-І-Х

- х'

-х '

- 1

1-І-Х

-І-Х

f i x ) = 0; -х^ = О, X = О — критична точ-

ка, знайдемо знак похідної на проміжках X = О — точка максимуму, то в цій точці т - 0; f _ m = = о, то т < , для X > о, то х^

GDZonline.net

> О, х < 0 . f ( x ) — найбільше значення. х

У 2 " - - . ^ = 2 с08 X

х^

JC - — - 1п (1 + л:) < о, Х - — < 1п(1 + х ) .

Відповідь:

< 1п(1 + х ) ,

х - —

б) д: - — < sin ж < ж, зіпд: -

f(x ) = X

f (x ) = l -

—

де > 0. Дослідимо ф ункцію

/ lX ' V / / ■ \ /

х;

~ co sx - l =

X — ^ -с о з л :;

f '(x ) = 0 ;

- c o s j : = 0;

= созд:;

-де“' = 2 cos x; коренів немає. f { x ) — екстремумів немає. Д ля будь-якого д: > О f ' ( x )

х^

X - —

о,

— спадна, отже,

f{x )

* - — - sin дг о

< О,

< s in x < X.

Відповідь:

< s in x < д:, х > 0.

в) д: > 1п(1 + д:). Дослідимо ф ункцію f\ x ) = 1 -

1+ х-І

1+х

1 + д:

f(x )

= д: - 1п(1 + х);

: f'(x ) = 0;

1 + д:

>0, д: = О — критична точка.

знайдемо знак похідної при дг > О, д: < О, маємо: = О — точка м ін ім ум у, єдина точка екстремуму, ДО) = О, / f(x ) > , д: - 1п (1 + X) > 0 ; X > 1п (1 + х). Відповідь: д: > 1п(1 + х). 895. у = \х-\\ + \х- ЗІ; D (y ) = R . - X + І - X + Z-, у = -2х + 4; 1) X < X-, у 2 ) l < x < 3 ; i / = x - l - x + 3;i/ = 2; 3 ) x > 3 ; i / = x - l + x - 3 ; i / = 2х- 4; а) |х - її + |х - ЗІ = 1.

= О, отже.

а) X < 1; -2х + 4 = 1; -2х = -3; ^ б )1 < х < 3 ;0 в)

х + 2 = 1 ;0

>3; 2х - 4 = 1; 2х =

коренів немає, не належить х < 1.

х = - 1 ; коренів немає;

5; ^ g ’ >^°Р^нів немає;

б) |х - 1| + |х - З] = 2; а) X <1; -2х + 4 = 2; -2х = -2; х = 1; коренів немає; б) Ох + 2 = 2; Ох = 0; 1 < X < 3; в) X > 3; 2х - 4 = 2; 2х = 6 ; X =З — корінь. Відповідь: [1; 3]. 896. а) |х - 1| + |х - ЗІ = 4; а) X < 1; -2х + 4 = 4; -2х = 0; х = О — корінь; б) Ох + 2 = 4; Ох = 2; коренів немає; 1 < х <3; в) X > 3; 2х - 4 = 4; 2х = 0; X = 0; коренів немає. Відповідь: 0.

GDZonline.net

1 6)\х-^\ + \х-г\ = 10; в) л < 1; ~2ж + 4 =- 10; -2х = 6 ; л =■-3 — корінь; (JJ Ох + 2 = 10; Ох = 8 ; коренів немає; f ) X ^ 3; 2х - 4 - 10; 2х = 14; х = 7 — корінь. Відповідь: х = -З, х = 7.

897. 4 - |jc - 1 |+ |jc - з| < 6 1) Л < 1; 4 < -2х + 4 < 6 ;

4 < О •л: + 2 < 6 ; б)

1 < л: < 3; 4 < 2jc - 4 ^ 6 ;

»)

л: S 3 ;

-2х + 4 > 4;

-2х > 0;

ж < 0;

-2л + 4 < 6 ;

-2 х й 2;

х ^ - 2 ; X Є (- 2 ; 0 ).

х < 1;

л; < 1;

дг<1;

О х + 2> 4;

О •л > 2;

0 х +2й6;

О •д: ^ 4;

1 < JC < 3;

1 S дг < 3;

розв’я з к ів немає;

х> 4;

2х < 10;

x ^ S ; х Є ( 4 ; 5].

х^З;

х 2 3;

'{5 го СП

2 х - 4 > 4;

2х > 8;

2л:- 4 < 6 ; » :ä 3 ;

со

<и

Відповідь: (-2; 0) U (4; 5].

§ 24. Первісна

907. Скористаємося таблицею первісних:

го S

a ) / W = Jc»; F ( x ) ^ ^ + C; б) f(x ) = 25; F (x ) = 2Ьх + С; 101

b )f(x )^ x^ ^ -, f w

=—

+ C;

Г) f(x ) = -3; F (x ) = -3x + C.

Відповідь: а) f (Jc) = — + C; 6 ) F (x ) = 25* + C; 4 101

B) f (д:) =

+ С; г) F (x ) = - 3 * + C.

I .5

’с о 3

ю ш I—

с : <

908. Скористаємося таблицею первісних; а ) / ( x ) = 5 ';

б ) / ( * ) = 10 ';

f W

= ^

+ C;

10*

B) f(x ) = X-'; F (x ) = ln л: + C; Г) fix ) = л; F (x ) ^ л х + C. 5* 10* Відповідь: а) -—- + С; б) -—— + С; в) ln jc + С; г) лх + С. 1п5 ІП ІО

909. Скористаємося таблицею первісних: а) 4/ = б) у =

COS д: 1

; F (x ) = t g x + C;

; F(x) = -c t g X + С;

ев

GDZonline.net в) 1/ = ^ = X

F {x ) = ^

+ С = - і + С;

Відповідь: a) F (x ) = tg д: + C; 6 ) F {x ) = -ctg x + C; B) F { x ) = - - + C; Г) F { x ) = - - ^ + C. X

\ )x

F {x ) = X*, f(x ) = 4x^. 3a означенням первісної маемо: F '(x ) = (x* - 5)' = 4x^\ F 'ix ) = fix ), отже, F {x ) = x* + 4 є первісною для ф ункції f(x ) = 4д:^ Відповідь: так. 911 . f(x ) = 4x®. З а основною властивістю первісних маємо: F (x ) = х* + С. Відповідь: F (x ) = х* + С. 912. F (x ) = 0,5л:* + х; f(x ) = д: + 1. За означенням первісної маємо F '(x ) = {0,5х^ + + хУ = х + 1 ^ f(x). Відповідь: F (x ) = f{x); F(,x) = 0,5х^ + х — первісна для f(x ) = л: + 1.

910.

913. f(.x) = д: + 1; F (x ) = — + х + С, за таблицею первісних. Відповідь: F (x ) = — + x + C.

914. F (x ) = cos X-, f(x ) = -sin x, за означенням первісної маємо; F '( x ) = -sin x\ F '(x ) = fix ), отже, F (x ) = cos x — первісна для f(x ) = -sin x. Відповідь: F (x ) = cos x — первісна для /(x) = -sin x. 915. F (x ) = 2 4 i, f(x ) = ^ , за означенням первісної маємо: уїх

1 - і

F (,x ) = 2 - x 2 = - = = f(x ), отже, F '( x ) = f(x). 2 Vx Відповідь: F (x ) = 2sfx — первісна для ф ункц ії f(x ) =

916. F (x ) = 1 + tg x; f(x ) =

cos

, за означенням первісної маємо: F '(x ) = cos

= f(x)y отже, на про м іж ку X

~2’ 2

F ' M = fix).

E- Відповідь: F {x ) = 1 + tg л: — первісна fix ) - — \ — на п ром іж ку cos X IV 2 ’ 2 j/

917 . F (x ) = ctg x; f(x ) =X S (лп; л + лп ), n Є Z ,a a означенням первісної F '(x ) = — — = f(x ), отже, F {x ) = ctg x — первісна для ф ункції sin Х

f(x ) = — 7—5— sin X

на п р о м іж ку (ял ; л + л п ), п S Z . ^ Відповідь: F (x ) - ctg х — первісна для ф ункц ії f(x ) = — — — на проміж ку (лп; л + л п ), п Є Z. * 918. !/ = 2х* + х; І/ = 8х^ +1, за означенням первісної маємо: j/' = ( 2 х ‘ + х)' = = 8х^ + 1 - 1 / , отже, у = 2х‘‘ + X — первісна для ф ункції і/ = 8х‘ + 1. 919. “ в* + ех; у = е’ + е, за означенням первісної маємо: у ' = (є* + ех)' = е' + + е = у, отже, ф ункц ія у = е* + ех — первісна для ф ункц ії у = е^ + е. Відповідь: ф ункц ія у = е“ + ех — первісна для ф ункц ії і/ = е' + е.

GDZonline.net 920а) (0; + * )ї g) / '( * ) =

“ X'

(“ ° ° ; 0);

’ b)

[-3; 3], за означенням первісної маємо:

'I =

•^’(^) “

— існує на п р ом іж ку ( - « j ; 0 );

б) /"(•*) “

в) F 'l^ ) ” ве існує. В ід п о в ід ь :

п р о м іж ку [-3; 0) і (0; 3], а на всьому пром іж ку а) так; б) так; в) ні.

921- ^ ~

існує на п р о м іж ку ( 0 ; +oo);

у =

за означенням первісної маємо;

= (о, 7 5 х ^ ) ' = (о, 7 5 ^ ) ' = (о, 75 ■

f 4

| О

= і/; отже, ф ункція

у = 0 ,1 5 х ^ — первісна для ф ункції у = V x. Відповідь: ф ун кц ія у = 0 , 7 5 х ^

— первісна для ф ункц ії у = Vx.

922.

у ■=1 - 2 cos х; у = 2 sin х, за означенням первісної маємо: у' = (1 - 2 cos х)' = - 2 sin X = І / , отже ф ункція І/ = 1 - 2 cos х — первісна для ф ункц ії у = 2 sin х. J, - - 2 cos х; І/ = - 2 cos X + 1 ; г/ = - 2 cos X - 1 .

f { x ) ^ \ x ‘ - \ - , х Є ( 0 ; + «).

923.а) f(x ) = ix ^ + 5 + i ; О

За означенням первісної маємо; F \ x ) = і ■Зх^ + 0 D

т ~

= f(x ).

F'(x ) — існує на п р о м іж ку х Є (0; +«>). Відповідь: f ( x ) = i x ® + 5 + — — первісна для ф ункції /(х) = і х ^ - ^ 6

на про-

м іж ку X Є (0; + 00). б) f ( x ) = 2 sin Зх; /(х) = 6 cos Зх, х Є Д, за означенням первісної маємо: ■^'(х) “ 6 cos Зх = /(х), х Є R , отже, Д х ) = 2 sin Зх — первісна для ф ункц ії /(х) = " 6 cos Зх, X Є Д. Відповідь: F (x ) = 2 sin Зх — первісна для ф ункц ії /(х) = 6 cos Зх, х Є Д. ■) F {x ) = 4 + tg Зх; /(х) =

cos^ Зх ’

X є

cos* Зх

, за означенням первісної маємо:

Г б ’ 9J

^*(*) = ---5— = /(х), F '(x ) — існує для cos ÖX

Сервісна для функції f i x ) =

— ■— , отже, F (x ) = 4 + tg Зх — ‘б ’ 6

’б’ 6

GDZonline.net Відповідь: F (x ) = 4 + tg Зл: — первісна для ф ункції fix ) = —

на промілсц^

у с.( _ _п • _п\ 6 ’ eJ

Ш . а ) П х ) = х^

/М =2

Є (0; +оо), за означенням первісної

= 2 х - - ^ * 2 х - - ^ + 2С; F '( x ) * f(x).

маємо: F (х) =

Відповідь: ні. б) F (x ) = З - X * ; f(x ) “ 3jc - 0,2х^ + С, jc Є Ä, за означенням первісної маємоF '( x ) = (З - х*У - -4х’>^ З х - 0,2х‘ + С; f ( x ) f(x). Відповідь: ні. І

в) F (x ) = i

+ 7;

* Є (- 00; 0 ), за означенням первісної маємо:

Р m

со

<V іП

Відповідь: ні. 925. у = -4х^', за означенням первісних маємо: 4 •X * а) F (x ) = --- — + С = - х * + С ;. А (1 ; 3), f ( l ) - -1 + С = З, звідси С = 4, отже,

I т

F\x) =

F (x ) = + С. Відповідь: F {x ) = -ас* + С. б) F (x ) - -д:‘ + С; В (- 5 ; 2), отже, F (- 5 ) = - (-5 )‘ + С - 2 ; С - 2 + 5‘ = 627, звідси

= - х * + 627.

F (ä )

Відповідь: F (x ) =■ -jc* + 627. в) F (x ) = -X* + С; Р (- 1 ; 3), звідси F ( l ) - -1 - 1* + С = 3; С = 4, отже, F (x ) = = -x ‘ + 4. Відповідь: F (x ) = -x* + 4.

926. У = 2y/x; F (x ) — ? F (x ) =

+C =^ 1 +1

Є [1; 5].

+ C = - y / ^ + C; 3

+ C; K( 4; 7);

F( x) = j x ^

f ( 4 ) = i . 4 V i + c = 7;

+ C = 7;

c .7 -1 0 | .-8 | ,

y = ^fx;

-з | . 3

ас

4 3

10|

з | =7 3

GDZonline.net

г #27.

‘ - kx + Ь, якщ о пряма проходить через точки О ^ то маємо: f ( 0 ) = Ä • О + & = 0 ; F ( l ) = fc • 1 + Ь = 2, звідси 6 = 0; Л - 2 отже •f;, - 2 * : f(x ) = '^ п овід ь: F ix ) = 2х; « х ) = д:2. з ^ = 0 ; д: = - 2 ; д: = 2 ; І/ = - 2 ; дг - 0 . Д і ) = д:* - 2 ; f(x ) = у ~ 2 д:. ßfgnoeidb: f(x ) = ^ - 2 x.

§ 25. Знаходження первісних

932. & )У = 2 sin х; F (x ) ~ -2 cos х; 0) у ~ sin Зх; за правилом f ( k x ): ^ F ( k x ) \

/"(Sjc) = - іс о зЗ зс ;

t ) y ~ cos 7х; за правилом: для f(kx): ^ F (k x );

г)

F (7 x ) = - ізіп Т д г;

У “ 5 + cos X-, F {x ) = 5x + sin x.

відповідь: а) F (x ) = -2 cos x; 6 ) f ( 3 x ) = - ^ c o s S x ; в) f ( 7 x ) = - ^ s in 7 x ; 3

r) F (x ) - 5x + sin X. J 933. a) у = O.e**; за правилом у - f{kx), то —F (k x ) — первісна

^ ^

21n0,5

2 ІП І 2

21 n 2 ’

«) І/ - e ': F (- x ) = - e " ; .,,.(3 .1 - .i.- ; r) у - 5 + x“‘; F (x ) - 5x + ln X.

Відповідь: а) -

0 5**

^ ; 6 ) F (- x ) “ -e~‘ ; в) F ( x ) =

r) F (x ) “ 5x + ln x.

934. ®) f M = 3 + x; скористаємося таблицею первісних i^{x) = Зх + ^ + С; б)

/(X) = х" + 2х; f (X) = ^

+ X* + С:

4 с у2

і) f(x) = Зх* + 5х; F (x ) = х* + —

г)

/(х) - 4х» - З '; F ( x ) = х" -

ln О

Відповідь: а) F ( x ) = Зх + у

») f ( x ) = x » + ^ + C:

+ С;

+ С.

+ С; б) f (х) = у

г)

+ х* + С;

S35. а) /(х) = -5х* + 5*; скористаємося таблицею первісних: F { x ) = -х‘ + ®) Л х ) - - 2 х + sin х; f ( x ) - -X* - cos X + С; ») /(X) = х^ + е': is-Cx) = ^ 4

+ е- + С;

+ С;

GDZonline.net г)

f{x ) =

- 2 cos x ;

F M

Відповідь: a) F (x ) = -x® +

in 5

- 2 s i n x + C.

+ C; 6 ) f ( x ) = -x^ - cos x + C;

X* X* b) F ( x ) = — + e‘ +C; r ) F {x ) =

2 s in x + C.

936. a)/(x ) = x’ + 2 x - 1, скористаємося таблицею первісних: F (x ) = — + б ) fix ) = x" - 4x + 3; F M

=у

- x + C;

- 2x‘‘ +3x + C;

fix ) = 2 + cos 3x; F (x ) = 2x + —sin 3x + C; скористаємося правилом знаходженО

Р ТО го

ня первісної від ф ункц ії у = f(kx),

F (k x ) + С;

01 Ю

г)

П х) = 3 - sin 5х; F { x ) = Зх + ^ co s S x + С. 5

х"^

го

Відповідь: а) F (x ) = -— + х ^ - х + С; б) F {x ) = — - 2х* + Зх + С;

в) /’(х) = 2х + і в і п З х + С; г) f ( x ) = Зх + ^ co s S x + С.

а 5 с

937. а) у =• З х ', за означенням первісної маємо у ' = (Зх^)' = 15х^, отже,

>ч

у = Зх® — первісна від ф ункц ії у = 15х^ Відповідь: у - 15х*. б) I/ = 2 cos X, за означенням первісної ф ункц ії маємо у ’= (2 cos х)' = -2 sin х, отже, у = 2 cos X — первісна від ф ункції у = -2 sin х. Відповідь: у =• -2 sin х. з „т 938. а) /(X) = 1 + х^ Р (- 3 ; 9). f (х) = х + — + С; F (-3) =-З + — + С = 9,звідси О З

С = 9 + З + 9; С = 21, отже, f ( x ) = x + ^ + 21. З

Відповідь: ? ’(х) = х + — + 21. З 1 х^ б) Д х ) = х + ---J-, Я О ; -3). f ( x ) = — + tg x + C; f ( 0 ) = О + О + С = -З, звідси cos Z

с = -З, отже, F (x ) = — + tg X - 3. x^ Відповідь: F (x ) = — + tg x - 3.

939. a) f(x ) = x^ f ( - l ) = 2; f ( x ) = ^ + C; f (-1) = і + С = 2. звідси С = 2 - 1 = I 7 : X* З о т ж е , jF( x ) = — + 1 - .

В ід п о в ід ь : f ( x ) = ^

+ l^ . 4

GDZonline.net =

i=’(2)=3; f(Jc) = ^

+ C = - i + C: f( 2 ) = - i + C = 3; С = з і2,, отже,

f . ,

№ ) =- - +3-.

відповідь: і^(дс) = - і + з і . 940. а) a(f) = 8 t, У„ = 120 м/с, f„ = 5 с; v(t) = ^

+С =

+ С; u(5) = 4 ■ 5^ + С =

» 120; 100 + С = 120; С = 20, отже, залеж ність ш видкості від часу — v(t) = - 4t* + 2 0 . ,ß 0 noeidb: u(t) = 4t‘ + 2 0 . 'б) a(t) = 8 , <„ = 3 с, = 3 м/с. ü(<) = 8 t + C; u(3) = 8 • 3 + С = 30; С = 30 - 24 = m 6, отже, v(t) = 8t + 6 — залеж ність ш видкості від часу. відповідь: v(t) = 8 « + 6 . 941. а) і’(<) = Зі*, = 2 с, S = 12 м; s(t) = + С; s(2) = 8 + С = 12; С = 4, отже, *(t) + 4 — залеж ність ш лях у, пройденого тілом, від часу. Відповідь: s{t) = (^ + 4. б) v{t) = 2 sin f, = л ; s^= 2 м; s(,t) = -2 cos t + C; 8 (я ) = -2 cos л + С = 2 + С = » 2; С = О, отже, s(t) = -2 cos t — залеж ність ш лях у, пройденого тілом, від часу. Відповідь: s(,t) = -2 cos t. г 942. а) f(.x) = 8 е' + х; скористаємося таблицею первісних: F (x ) = 8 е ' + — + С.

Відповідь: F (x ) = 8 е^ + ^

+ С.

6) Л * ) = е*“*' ~ Зле; скористаємося таблицею первісних та правилами знаходжен1

ИЯ первісних від суми ф ункцій, та ф ункц ії виду/(Лд: + 6 ). F (x ) = - —є*'“'

Відповідь: F (x ) = - i p '- “' - ^

Й в) /(X) = е*' - >/2Ї; F (x ) =

+ C.

+ С = іе * ' - ^ 2 ^ ^ + с. 2

2 1 2, 2^ ß x ^ Відповідь: F (x ) = ^e^^ - “ '" ‘У ' +С.

943.

а) f(x ) = З • 2' + 3; F (x ) =

+ Зд: + С.

З •2*

Відповідь: F (x ) = - — — + Зх + С. 1п 2 б)

fix ) = З-“' + V I ;

Відповідь: F ( x ) = -

+ С.

o ln d

8 ) /(д:) = е"' + Зх'-, F(.x) =

Відповідь: F ix ) = і є“' +

е +1

+ С.

е +1 + С.

+ С.

Зх^ S“ "''

GDZonline.net 944. a) F { x ) = --p - на (0; +oo). F ( x ) =

+С=

+ C; F (x ) — існує на (0; + » ).

Відповідь: F (x ) = — + C. X

б) f(x ) = ^

на ( - » ; 0): F ( x ) = 2 •

+ С = - ^ + С; F {x ) — існує на ( - » ; 0).

Відповідь: F (x ) = — + С. JC в) f(x ) =

Р га го m <и ІП

на (0; +оо); F {x ) = 4x + ^ + C-, F (x ) — існує на (0; +«>).

Відповідь: F (x ) = 4х + — + С. X

г) fix )

на (- 00; 0); F (x ) = “ ~ + "^ х + С; F (x ) — існує на ( - » ; 0).

Відповідь: F (x ) = - — + 4Ьх + С. X

2 S

о! .5

’с о

945. а) f(x ) = ^

на (0; +оо); F (x ) = 2 ■^

+ С = 4>/я + С; f ( i ) — існує на (0; +«>).

Відповідь: F (x ) = 4 V * + С. на (0 ;+ 00); f(x ) = - ^ = ; F ( i ) = -2-ТЗх + С; f'(jc) — існує на ( 0 ; +оо).

б)

Відповідь: F (x ) = -2-^3* + С. ю

в) П х ) =

2.7

л '2' 2

: /■(*) = 2,7 tg І + С; F (x ) — існує на

2’ 2

Відповідь: F (x ) = 2,7 tg і + С. г ) f(x ) = -

0,5 sin *x

на (0; л ); f (ж) = 0,5 ctg х + е; F (x ) — існує на (0; л).

Відповідь: F (x ) = 0,5 ctg jc + C. 946. a) f ix ) = sin X + — cos* X

на [- 1 ; 1 ];

F (x ) “ -cos л: + tg ж - C; F (x ) — існує на [-1; 1]. Відповідь: F (x ) = -cos д: + tg д: = C. 6 ) f(x ) = cos і — 7 ^ — на [0; 3]; f(o ;) = sin jc + ctg x + C; F (x ) — існує на [0; 3]. Sin X

Відповідь: F (x ) = sin x + ctg x + C.

947. a) І/ = 5 sin 7X cos 7* = ^ sin 2jt; (використаємо формулу sin 2a = 2 sin а cos a): F ( jc) = - - c o s 2 a: + C.

Відповідь: F(Jc) = - ^ c o s 2 x + C. 4

GDZonline.net 2 sin* jc - 3 = 2 - —

- 3 = 1 - cos 2j: - 3 = - cos 2 a: - 2;

. , 1 - cos 2 x використаємо формулу sin = --- ——

F (x ) =

отж е, у = -COS 2x - 2;

2x - 2 x + C.

Відповідь: F (x ) = - ^ s m 2 x - 2 x + C.

948>

У ~

IS x ; у = sin(2x - ІЗ л ) = -sin l l x ; 1

( (скористаємось формулою sin(a -/?) = s in a cos/J - cosa sin^S); F {x ) = — cos Ид: + С. 11

В ід п о в ід ь :

F ( x ) = ^ cos 1Ід: + С.

б ) y - x + tg ^ S x ;y = x ^ l ^ - ^ . 1

отже. у = х + 1 +

- ;

Лд:) = у

скористаємося формулою 1 + tg^ х = — 1

+ x + -tg3^: + C.

Відповідь: F (x ) = — + х + - t g 3 x + С. z о в) у

COS Зд: cos 7х + sin Зле sin х\ у = cos(3x - Ix ) = cos 4х (скористаємося фор

мулою cos(a - ß ) ^ cos а cos /З + sin а sin ß), отже, у = cos 4x; F {x ) = ^ s in 4x + C.

Відповідь: F (x ) = і sin 4x + C. 4 r) у = 2 - 2 sin* X = 2 cos^ j: = 1 + сод: 2д: (скористаємося формулою 1 - sin^ х => 2 1 + cos 2 д: „ , 1 - 0 ^ - co8* i; cos X = --)? F (x ) = x + - sin 2x + C. 2t z

Відповідь: F (x ) = x + ^ s in 2 x + C.

949.

j/ = (д: + 2)(3д: - 1); A (0; 4); у

3x^ + 6 x - 2; F (x ) = x^ + ^ x ‘ - 2x + C;

f(0 ) = 0 + - 0 - 2 0 + C = 4, С = 4, отже, f (x) = x ' + - д : '- 2д: + 4. 2 . 2

Відповідь: F {x ) = д:“ + ^д:* - 2 x + 4. б) V = (лг - 1)(д:* + х + 1), А (2 ; 7): у = х^ - V, F (x ) = ^

- х + С; F(2 ) = 4 - 2 + С =

■* 7; 2 + С = 7; С = 5, отже, F {x ) = --— х + 5. 4

відповідь: F{x)=^ — - x + 5. 4

950. а) у = х + З у[ х , Л(4; 0); і/ = х + З д:^

f (х) = у

^ 2

GDZonline.net F (A ) = 8 + 2 -4 л /4 + С = 0, C = -2 4 , отже, F ( x ) = у

Відповідь: F (x ) = у

+ 2 x 4 i - 24.

+ 2xsfx - 24.

б) !/ = ( і - 'і х ) ( іу ! х + і ) , А (7 ; 1); !/ = 1 + 4%/ї - А х - 4 х = 1 + З у! х - 4х,

F { x ) = x + 2xyfx -2х^ +С. Л 1 )= 1 + 2 - 2 + С = 1,С = 0.отж е, F (x ) = х + 2ху[х ~2х\ Відповідь: F (x ) = х + 2хч/ї - 2х\

951. а) г/ = ^ - т . Л(-3; 2). і/ = ^ JC + 4

^ ~ ^ = 1 - - — , F (x ) = X - 4 1п(д: + 4) + С;

д: + 4

* +

Л - 3 ) = -З - 4 In 1 + С = 2, С = 5; Длг) = д: - 4 1п(х + 4) + 5. Відповідь: F (x ) = х - 4 1п(д: + 4) + 5. б) і/ =

У=

4 1 - cos X 4

„'1

-:0 З

„ . „ . Скористаємося формулою 1 - cos х = 2 sin —, маємо:

F (x ) = 4 c t g ^ + C\

= - 4 c t g - + C = 0; 6

-4ч/з+С = 0,

С = 4\/3; отже, F (x ) = ~ 4 c t g ^ - \ - 4 - J z .

Відповідь: F (x ) = -4 ctg

+ 4>/з.

952. a) 1/ =

— “ =1+

: f ( j : ) = X + 2 ln(x - 1) + C;

F {2 ) = 2 + 2 1 n l + C = 5 ;C = 3, отже, f ( x ) = x + 2 ln(x - 1) + 3. Відповідь: F (x ) = x + 2 ln(x - 1) + 3. 6 ) !/ =

5 1 + cos 4x

,fя

„1

j'»

. ~ 2“ , скористаємося формулою 1 + cos a = 2 cos — , маємо:

- S .g f» c .o ,

5 -^/з+C = 0 ; C =

отже, F ( i ) =

Відповідь: F (x ) = ^ t g 2 x . 4 4

953. k = -x^; Л = tg a ; f ( x ) = - y + C; у -=y^ + y'(x )(x - x„);

отже,

Відповідь: F U ) = — - + C.

954.

= 1 + e^'; ( 0 ; 3); у = y„ + y'ix^){x - x„) — р івн ян н я дотичної до графіка

ш укан о ї ф ункції;

= 3; х„ = 0; у'(,х) = 1 +

отже, F (x ) - х + - е ‘' + С\

GDZonline.net ^■(0 ) —о + —

° + с = з,

—+ С = 3, С = 2 —, маємо ^(л:) = х-н

+ 2^.

^ п о в ід ь : F { x ) ^ x + ~e^^ + 2 - . + 2f - 1; („ = 0, х„ = 2; x {t) = — + Є - t + С, д:(0) = О + О + О + С = 2,

955.

#3 ^ » 2, о т ж е . X ( t ) = - + t ^ - t + 2; v '(t) = a (f) = 2f + 2; a(0) = 2 m/c^. f®

ß 0 n o e id b : x { t ) = -

956.

+ t ^ - t + 2; a ( t ) = 2 t + 2 ; a = 2 m /c^.

9 y (0 = ^. 8 t - 0,005fä ( м /с ) , t„ = 5 с ; S ( t ) =

0 005^^

+ С = 4 ,9 t' - 0 ,00125t*;

,( 5 ) - 4,9 • 25 - 0,00125 • 625 = 122,5 - 0,961125 = 121,53875 м; a(f) = u'(t) = « 9,8 - 0,015f*: „(5) = 9 , 8 - ^ . 2 5 = 9 . 8 - і ^ ^ = 9 , 8 - | = 9 М =9 ' ' 1000 1000 8 5 8

^ 40

=9 ^ м / с 40

0 - 9,425 m/c^ В ід п о в ід ь : a =

121,53875 m, a = 9,425 м/с*. 0^2

957. a) a {t) =6 t, = 0; jc„ = 3; u„ = 1; u(t) = — + C;u(0) =

0 + C = l , C = l , отже,

v(t) - 3t* + 1; s(t) = + t +C; s(0) = С = 3, отже, s(t) = + ( + 3. . Відповідь: s(t) = «* + t + 3; y(t) = 3(^ + 1. 6) a{t) = -2t, = 1, = 4, v„ = 2; u(t) = -t* + C; u (l) = -1 + С = 2, С = 3, отже, v(t) =

+ 3; s(t) = - ^ + 3t + C,

s (l) = - i + 3 + C = 4,

t’

С =4 - 2 | =і і ,

отже,

Відповідь: s(t) = - — + St +1 —; v(t) = -t^ + 3. b)

a(t) = cos f, = Л, = 1, y„ = 0; v (t) = -sin t + C; и(л) = -sin л + С = 0, С = 0; d(0 = -sin t; s(t) = -cos t + C; з ( л ) cos 7г + С = 1 , С = 0; s(t) = -cos f. ^'Відповідь: v{t) = -sin t; s(t) = -cos t. § 26. П ервісна і площа підграфіка

963.

а) [ 0 ; 4]. S =

= 6 (кв. од.).

дповідь: 6 кв. од. Е 6 )[2 ;4 ]. / М = - | д: + 3: S = F f4 ) - F (

F ( jt) = - | •у

+ З д:;

Л . 1 1 , 3 . 4 - U . i + 3.2^ = 6 + 1 2 - и + б 1 14 2 2 4 2

; if = 6 + 1 , 5 - 6 = 1 ,5 (к в . од .). Т Відповідь: 1 ,5 к в . о д .

8) [ 0 ; 2 ]. П х ) = - ^ х + 3; 4

'Z' S = F (2 ) - F (0 ) = - — (■ 8

F (x ) = - ^

+ 3x;

+ 3 2 - 1 - ^ + 3 . О = -1 ,5 + 6 = 4,5 (кв. од.).

GDZonline.net

В ід п о в ід ь : 4,5 кв. од.

лД^ л •4 [-2; 2]; S = 2 ; S = ^ - 2 л (кв. од.).

964. а) I/ = Відповідь: 2я кв. од. б) I/ =

; [0; 2]. S =

S =

= л (кв. од.).

Відповідь: л кв. од. 965. а) f(x ) “ д;^ на [1; 2]. /(лс) = — парабола, вершина в точці ( 0 ; 0 ), вітки параболи напрямлені вгору, парабола перетинає вісь Ох в точках (0; 0) і (-4; 0); F ix ) = — + 2х‘ ; 4

го гл 00

(U [П

S = F (3 ) - f ( 0 ) = — + 1 8 - 0 = 6 - +18 = 2 4 - (кв. од.). 4 4 4 3 Відповідь: 2 4 - к в . од. 4 б) fix ) = іх - 1 )^ на [- 2 ; 0 ]. fix ) = іх - 1 )^ — парабола, вершина я к о ї в точці ( 1 ; 0 ), вітк и напрямлені вгору. F { x ) =

Э>ч Q. .5 с

Відповідь: 8 — кв. од. „4

966. а) у = х^ на [ 0 ; 3]. F ix ) = — ; 4

q4 S = F (3 ) - F (0 ) =

Ш L_ с: <

Q1 І — = £ і = 2 0 І (кв. од.). 4 4 4

Відповідь: 20 - кв. од. 4 б) І/ =

+ 1 на [0; 1]. F ( x ) = — + x\ S = F H ) - F(0 ); 4

S = i + l - 0 = l i (кв. од.). 4 4

Відповідь: 1— кв. од.

967.

а) «д:) = + 3: [-1; 1]. F ix ) = — + Зх; О

S = F H ) - F i - 1 ) = і + 3^ + Г - І - З І 3 J U ;

-і'+з

Відповідь: 6 - кв. од. О б)/(д:) = 5 ечі

[-1; 2]. f ( x ) = 5 x - y ;

S = F i2 ) - F i - 1 ) ■ Г б . 2 - « ^ + 5 ( - 1 ) - 3;

;

= 1 0 - 2 - - -5 + і 3 . 3,

GDZonline.net

¥ e 7' + 4 | = 12 (кв. од.). у

у-О Лх^

ш0 повідь-. 12 кв. од. , а) f(x ) =- х(х + 4) на [0; 3]. і/ = + 4х — парабола, я к о ї напрямлені вгору, вершина в точці (-2; -4).

. . .0 2 3

t ) /(*) “ 0,2х^ на [0; 3]. f(x ) = 0,2jt* — кубічн а ф ункція. y*=ein JC

» ) Л * ) “ 8Іп л:, ж е

г)

к L2’ " j

y^’tgx

/( * ) - t g .г на

точці (0; 1),

ВІТКИ

параболи напрямлені вгору.

y-Vx д)

2 -

fix ) = -Jx\ х & [0; 5].

969. a ) f(x ) >= sin S

F (^ )

- - (- 1 - 1 ) -

Ш п овід ь: 2

F (0 )

на

[0; л ].

-(cos

F (x ) Л

2 K B . ОД. KB.

од.

®) f{x) - c o s х на Sap

. F (x ) “ sin

- F (0 ) = sin — - sin 0 = 1

( k b . 0 Д.).

S ^ o e id b : 1 K B . ОД. »>0. Підграфіки ф ункцій з № 965.

Уы ГДЗ. 11 кл. кн. 2

X- ,

= - cos x; cos

GDZonline.net

Скористаємося ескізами підграфіків ф ункцій з Л'г 965. а) « X ) = лгі'на [ 1 ; 2 ]. F (x ) = ^ ; Ö

S = F(2 ) - f (1) = | - 1 = | = О О О

Відповідь: 2 — кв. од. З

(кв. од.).

б) f(x ) = 0,2л:’ на [0; 3]. F (x ) =

= 0,05д:^

5= F (3 ) - f ( 0 ) = 0,05 • 81 =4,05 (кв. од.). Відповідь: 4,05 кв. од. в)/(з:) = sin д: на

л 12’ ^

. F (x ) = -cosx; S = F {n ) - F

cos п - cos — = 1 (кв. од.). 2

Відповідь: 1 кв. од.

S =F

'к ' Л.

= - In cos x;

. tg j: = £ HL£;

г) f(x ) = tg д: на

- F ( 0 ) = - In cos — - ln cos 0 4

f m : ^ - o l = - l n 2 “ •2 * = 2

= - l n 2 * = —l n 2 (kb. од.).

Відповідь: —1п2 кв. од. ґ) f(x ) =

+ 1 на [-1; 2]. F ( x ) = — + х; о

S = F(2 ) - F(- 1 ) = - + 2 З

= 4 | + і | = 6 (кв. од.).

4 -

Відповідь: 6 кв. од. д)

2 •Ь уіЬ

П х ) = >/ї на [0; 5]. F ( x ) = ^

; S = f (5) - F{Q ) =

о Відповідь: — г— кв. од.

971. К х ) = х^ + 3; а) на [ 0 ; 2 ]; б) на [- 2 ; 0 ]. f(x ) = х^ + З — парабола, координати вершини (0; 3), вітки напрямлені вгору. а)

F ( x ) = : ^ + 3x; О

S = і^(5) - F (0) =

- 0 = 8 - ( к в . од.).

Відповідь: 8 - к в . од. О

б) F ( x ) = ^ + 3x-, О S = F (0 ) - F (- 2 ) =

Відповідь: 8 - кв. од. О

= 8 - (кв. од.).

Ю ^ІЕ

(кв. од.).

GDZonline.net г

л _п Л ; б) на °= 2 j . 2 ’ 2.

972. Лл:) “

- F (0 ) = sin - - sin О = 1 (кв. од.).

= sin х; S = F

а) Л * )

Рідповідь: 1 кв. од. б) Л * ) = sin ж; S = F

f f - 1 - ^

—

7С^

. Я = S in — 2

7t' Sin

= 2 (кв. од.).

Відповідь: 2 кв. од. + 1 : а) на [ 0 ; 2 ]; б) на [- 1 ; 1 ].

973. Л *) =

a )/ W =y

+ ^: S = f ( 2 ) - F ( 0 ) =

В ід п о в ід ь : 6

кв. од.

б) 5 = Л 1) - ^ '( - 1) = В ід п о в ід ь :

974.

(- 1 )^

(Ї-)-

+ 2 - О = 6 (кв. од.).

1 3 + (- 1) = 1 - + - = 2 (кв. од.). 4 4

2 кв. од.

f M = 1 + 2 sin х; а) на [ 0 ; л ]; б) на

ТС. Jt

’б ’ 2

а) F (x ) = X - 2 cos ж; S “ F(jt) - F (0 ) = (л - 2 cos я ) - (О - 2 cos 0) - л = л + + 2 + 2 - л = 4 (кв. од.). Відповідь: 4 кв. од. б) F (x ) = JC - 2 cos jc; / \ Л ^---2оcos f" - 2оcos — "I -F S =F 6 fe j .2 2, U ; =£ + £ _ 7 з = ^ - > / з = ^ - > / з (к в .о д .). 2 6 6 З

Відповідь:

- ->/3j кв. од.

9 7 5 . f(x ) = (д: + 2 )^ а) на [- 2 ; 0 ]; б) на [- 1 ; 0 ].

а) S -=F (0 ) - f(- 2 ); F (x ) = ОС

U QO

S = f ( 0 ) - F (- 2 ) = ^ - 0 = ^ = 6 ,4 5 5

(K B .

0Д.).

Відповідь: 6,4 кв. од. б) S = Д О ) - F ( - l ) ; F (x ) = с

2’

1‘

. „ ,

Відповідь: 6 ,2 кв. од.

976. У = 3 + 1)

на [ 2 ; 6 ].

F (x ) = 3 i + |

= 3х + ^ ;

S = іі’(б) - F {2 ) = Г з . б З ' 4 ; 22 *

3-2 + -^ = 18 + 9 - 7 4;

-2-7 0

GDZonline.net а + Ь

Знайдемо площу трапеції за формулою: S =

h, я е а = 4 ; Ь = 6-, h

4 +6 S = ^ 4 = 20 (кв. од.).

Відповідь: 20 кв. од. 977. а) у = ~{х - 1)*, у = Q, X = 0. Побудуємо ескізи цих ліній і визначимо абсциси їхніх точок перетину.

S = F ( l ) - F (0 ) = -

( 1 - І) *

(- 1 )*

f o - i l = -1 /(кв. од.). 4j 4

Відповідь: — кв. од. 4 „ ї ї „ л б) і/ = 1 + -созд:, у = о, д: = - - ,

іг х =-.

Побудуємо ескізи цих л ін ій і визначимо абсциси їхніх точок перетину.

¥ (х ) = д: + із іп д :: S =F

'тс'

1 . к я'' = ( п —+ —sin — 2 2. 1 2J U

„(

--- 2

—

7Г

/ 1 . 1 —

-----+ - Sin [ 2 2 ^\ І

\ —

1 2; V

= - + — + — + - = ( я + 1) (кв. од.). 2 2 2 2

Відповідь: (я + 1) кв. од.

978.

а) у =

І/ = О, л: = -1, д: = -3.

Побудуємо ескізи цих ліній і визначимо їхн і абсциси.

F (x ) = -1

х’ J_

-1 +і

-1

= - (кв. од.), о

Відповідь: - кв. од. о Ь)

у =

у - О,

F (x ) = ^ ^

- 1,

= 4.

= A^-,

S = F (4 ) - F ( l ) = А-Д -4>/ї = 8 - 4 = 4 (кв. од.).

Відповідь: 4 кв. од. 979. а) 1/ = О, д: = О, д: = З, І/ = Побудуємо ескізи цих л ін ій і визначимо їх н і абсциси та абсциси точок перетину. F [x ) = є*; S = F (3 ) - Л О ) = є» - е“ = (е’ - 1) (кв. од.). Відповідь: (е® - 1) кв. од.

GDZonline.net

г б) у

і о, X = о, д: = 4, І/ = е ' “.

5 = Л 4 ) - / '(0 ) = -(е^ - е °) = - Л + 1 = 1 - -Т = - г) — J— кв. од. е )

ріВповідь: 980.

(«в-°Д-).

= 3 + 2jr -

4 X

1/ = 0.

Побудуємо графік ф ункц ії у = З + 2х - х ‘ , як и й є парабо лою, вітки я к о ї напрямлені вниз, вершина з координатами П- 3) і абсциси перетину параболи х = З, х = -1. 2

F(x ) = 3x + x - у ; 27'! S = F (3 ) - F ( - l ) = 9-H9- — 3 В ід п о в ід ь :

-3 -H1 и- - = 9 + і | = 1 о | (кв. од.). 3,

1 0 - к в . од. З

981. Побудуємо графік ф ункції у = З - 2х - х^, як и й є пара болою, вітки я к о ї напрямлені вниз, вершина з координатами (-1; 4) і абсциси перетину параболи д: = -З, х = -1. F^x) = 3 x - x ^ - ^ ; - (-9 - 9 -І-9) = 1 ^ + 9 = 10 ^ (кв. од.).

S =F (l)- f (- 3 ) =

Відповідь-. 1 0 - к в . од. О

982, а) у = х \ у = 10 - X , у = 0. Побудуємо графіки ф ункцій і знайдемо абсциси точок перетину графіків. у - ї ’ — кубічн а парабола; у = 10 - х — пряма. S - S^ + S j. Абсциса перетину граф іків х = 2. 5, = f , ( 2 ) - іі-ДО); S , = F , ( 1 0 ) - f , ( 2 );

^ =

f. = 10. . - ^ : S = s ,+ s ,=

д:‘

.4 . 0

f l6 x^ 10 = ----0 -1- lO x - — 2 u 2J

-I - (1 0 0 - 5 0 - (2 0 - 2 ))

= 4 -I-(50 - 1 8 ) = 36 ( k b ; од.).

Відповідь: 36 кв. од. У '^ 2', у = З - X , у = 0. X ^ 0. Побудуємо графіки ф ункцій у = 2 ',у = 3 - х і знайдемо *бсциси перетину графіків. V 2 ' — показникова ф ункція; у = З - х — пряма. * “ 1 — абсциса перетину графіків. S “ Sj S j — ш укан а площа, = 2 * In 2 ; =3х S , = f , ( l ) - f ,(0 ); S , = F ,(3 ) - F J i l ) ; 1

S = S, + Sj = f ,(l) - F,(0) +

(3) -

= (2' ln2)

1 2J

+ З ї- — 0

GDZonline.net = (2 1 n 2 - 2 “ ln 2) +

= 2 1 n 2 -ln 2 + ( 4 , 5 - 2 , 5) =

= 2 ln 2 - ln 2 + 2 = (2 + ln 2 ) (кв. од.)-

Відповідь: (2 + ln 2) кв. од.

983. а) І/ = у = 5 + 4х, у = 0 . Побудуємо графіки ф ункцій у = -х^, у = 5 + 4х. у = -х^ — кубічн а парабола: у = 5 + 4х — пряма. Знайдемо абсциси точок перетину графіків, д; = - 1 — абсциса перетину графіків. S = S , + S ,; S , = f . (0 ) -

F,(x ) = - ^ :

F^(x) ^ 5x + 2x^-, S = S, + S j =

fl o - -4 ; + 5 ■(-1) + 2 - 5

+ (5j: + 2x^)

’ 4

S, = / i( - l) - F

. ^ 1

_ 1 " 4

-3-

50'

4 "^16,

-3 + ^ - 5 °

Відповідь: — кв. од. О 6 ) у = yfx-,

І/ = — ;

= 4.

Побудуємо графіки даних ф ункцій і знайдемо абсциси їхн іх точок перетину, д; = 1 — абсциса перетину графіків функцій. S = S , - S ,; F,(X ) = - j — , S , - F ,(4 ) -

S = S, - S 3 = f.(4 ) - F .(l) - (f,(4 ) - F ,(D ) =

8n/4

F^(x) = ln ;c; S , = F ,(4 ) - F , ( l ) ; 2 Х-ІХ

- Inx

2v/ll

4 - - ІП 4 3

Відповідь:

(кв. од.). 4--1п4 З

кв. од.

984. а) у =

4 - х\ у X + 2. Побудуємо графіки даних ф ункцій, знайдемо абсциси перетину. X = =-2, ж = 1 — абсциси перетину графіків ф ункцій.

S = S .- S ,; f.= 4 x - ^ :

F , = ^ + 2x-, 1

S = S , - S , = F ,a ) - f ,( - 2 ) - F,(l) - F ,( - 2 ) = 4 x ---

-2

І2

y-xiS

GDZonline.net w

f4 - i3

:9 -

i + 2- fi- 4 ^ .2 ; .2

- +4

2 2 = 3^+ 8-2^3 3

2 І- 2 + 4 2

=4 - ( k b . ОД.).

В ід п о в ід ь - .

4 - KB. од.

2 л. П о б у д у є м о г р а ф ік и ф у н к ц ій , зн а й д е м о а б сц и си п ер ети н у . X = О, X = 2 — а б с ц и с и п е р е т и н у г р а ф ік ів .

S-= S.-S,; S. = F,{x)\l = x ‘ \ l : S , =

= 4 - | = 4 - 2 | = і | ( кв.

y-x'

о д .).

Відповідь: 1 - кв. од. О 985. а) = д:^ І/ = 6 - л, ^ = 0 . Побудуємо графіки ф ункцій у = х’‘ , у ^ 6 - х. Знайдемо абсциси перетину даних графіків. X * - 6 - X-, х^ + X - 6 = = 0; X = -З, X = 2. X “ -З, X = 2 — абсциси перетину графіків функцій. S - S . - S , ; S. = F . W | i : S ,= f,W lJ:

F,(x ) = 6 x - ^ ;

S =S , - S , = 6x - ^ Г

£3

12- 2

8 _2 2 7 '\ -

= 1 0 - (- 1 8 - 4 ,5 )-

9 2 - + 9 = 1 0 +22,5 - 11- = 2 2 ^ - 1 - = 3 2 3 3

=2і І ^

= 2 0 |(к в .о д .).

=20^

Відповідь: 2 0 — кв. од. 6

б) у = cos д:; У ~ ~ Побудуємо графіки ф ункцій і знайдемо аб сциси перетину.

, , , , / -ТГ я

созд: = і : = F^(x)

х = ± ^ ; S = S . - S ,; І ; F^{x) = sin л; Sj = F,(X)

, Л

7Г 2

■ ■ - ■г 71

GDZonline.net F^(x) = --x-,

S = sinx -i

Відповідь-.

n/3

-I

ч /з

(

ItV

(

6 ^

=f V 3 - ^ l I

(кв. од.).

3 j

кв. од.

S - l

§ 27. Інтеграли S

991. jf ( x ) d x = 5; jf { x ) d x = 8 О

I а) j Z f(x )d x = 3 | f(x )d x = 15; 1

р го го ш о»

б) J f(x )d x =\ f(x )d x + J f{x )d x = 13; 1

15; 6 ) 13; в) 6.5.

-1

1 1

992. ] f { x ) d x = a-, jg {x )d x = b

а .5

=6,5.

Відповідь: ГО

B) j0,5/(x)d^: = 0,5 j n x ) d x + jf ( x ) d x

^ 2 “ ’ j if (x ) +

g (x ))d x = a + b;

B) jb g (x )d x = 5b.

3 Відповідь-, a) —a; 6 ) a + 6 ; в) 5b. LÜ a) ]o ,5 x d x = \ - ^ = i > 0 ; a Ä J

993.

< f

6) ]x d x = ^

=0 - i =- i < 0; 2

I =0 -3

r) J sin xdx =- cosjcI =-(cos 0 - cos(-Tt)) =-(1 +1) =-2 <0. Відповідь:

994.

a) більше нуля; б) менше нуля; в) більше нуля; г) менше нуля.

а =І f(.x)dx; 6 =J f(x )d x ; с =J f{x )d x; О

Відповідь: a < b < с,

995. Aa:)dj:; 0

jp M d x =

^<f(x)dx-,

' f(x )d x =

= M f ) +fp w ,

a < b < с.

GDZonline.net ОСКІЛЬКИ

> о і

f(x )

<р{х) >

І f ( . x ) d x < J < f(x )d x .

о, то

з в j f ( x ) d x < j ((>{x)dx.

в і д п о в ід ь :

996. a) }іОд:сгд: = ^ °* 2

д:“

_ 8

-1

3 -1 “ 3

Зх*

Sx^dx = -

в)

а)

4Г 16

-Js

COS x d x = s in x J = sin — - sin 0 = — ; 3 2

6) Jsinx d x dx

1 81 0

a) 5; б) 3; в) 3 ^ . d4

В ід п о в ід ь :

997.

= 3;

.3 ,

= -

cosJcIJ =-(cos n - cos0) = 2;

= tg x

УІЗ Відповідь: a) — ; 6 ) 2; в) 1. 1Ё = 2 .

З’

1 б) j ( 4 - x ‘ )dx = (л4 х --3 -1

О в) I

_4_

_ 1'

-1

+ l)d x = (х^ + x)|_“ = О - ( - 8 - 2) = 10.

Відповідь: а)

б) 7 ^ ; в) 1 0 . 3

9 9 9 . а) \ e ’ d x = e ' \ \ = e - V ,

« И ' -їй в)

Jo ,5 'd ;c = ^ in -

1п 2

0,25 In -

В ід п о в ід ь : а) е - 1; б) —

1п 2 ’

0,75

1 1п 2

; в) —

■ щ ! “ 41п22

•

N = з 1 - f- 3 - l 3 3) - Л -

GDZonline.net 1000. a) j 2 x 'd x = 2 l n x \ \ = 2 - 0 = 2; 4 Jx '

=4 x ^

=4 8 1 3 - 4 1 6 - 2 =

= 4 (2 43 -32 ) = 4 211 = 844; i x + x ^ )d x

2 х у /х

8 +5 І

= Х З І- 1І =12^ 3 6 6

=12І . 6

X p fO m CQ

Відповідь: а) 2; б) 844; в) 1 2 - , 6

= ^ - | = 1 -5(кв.од.);

1 0 0 1 . а ) Л ^ ) = д :н а [ 1 ; 2 ]; ]x d x = ^

и б)

f(x )

= cos

fix )

: J

на

cos x d x = sin

° =0 + 1 = 1 (kb. 0Д.);

ro S I T >4 Q. 5 с

+ 1 на [-1; 1]; (х *

I (ж’ + l ) d x = ---- + X ^4 -1

г)

f(x )

= 2 sin Л на

fi+ il U

-1

тс ^ к .6 *

f i - i l = 1-7 + 7 = 2 (кв. од.); 4 4 u

2 s in x d x

-2

cos x

Відповідь: a) 1,5 кв. од.; б) 2 кв. од.; в) из

f(x )

= cos 2 д: на

» -Ї

1 s in 0 - sin 2\

в) П х ) - ■^j= н а [ 1 ;3 ];

= >/* |? = З - 1 = 2 (кв. од.); 2 -2

'■

— ■l n L4’ 4 J

г) П х ) -

счі

кв. од.

-- ;0

0 . 1 cos 2 xdj: = - s i n 2 jc

■ sin X

Л л' c o s ----- c o s — = 7 з ( к в . 2 6j

16 1 15 „ з , = - - - = — = 3 - (кв. од.); 4 4 4 4

1002. а) /(X) = д:» на [1; 2]; jx^ dx = ^ с: < б)

5 = -2

І* ^ Зтс ^ п = - ctg X 4 — _ c tg — - c t g 4 4

=-1(-1-1) =2(кв. од.).

З 1 Відповідь: а) З - кв. од.; б) - кв. од.; в) 2 кв. од.; г) 2 кв. од.

GDZonline.net I

<1003. a) у “

6) У

«а [0: 1]: J

= е ' lö = (е - 1) (кв. од.); 2'

2 'd x =

- 2 ' на [-1; 2]; А

1п2'‘‘

^ ( А

1п2

21п2

(кв. од.);

. j, = -i + 3 на [2; 6]; J - + 3 с(дг = ( 4 1 п д: + З ж )| * = X

)

= 41п 6 + 1 8 - ( 4 1

т) У =

В ід п о в ід ь :

}

2 + 6) = 41п 6 - 4 1

4 - і

на [-6; -3];

2 + 12 = (41п З + 12) (к

од

.);

d x = ( 4 л - In д;)|lj — не існує.

а) (е - 1) кв. од.; б)

21п2

КВ.

од.; в) (4 In 3 + 12) кв. од.; г) не існує.

р го m ю Ш Ю

б) ] ( l + ^ ) d x = х ^ ^ 4 4 3

-1 +

3^2'

( ^ ^ ■ 3 - х ^ ]

-1

>ч а

= 2;

Д.). (->/з - V * ) dx = ' { 3 - 2 S y f x + x ) d x =

в)

2 - j3 x y f I

1і

пз

•S с

x^]

2 4

r^ „

4>/3 4-2 1 16^ 3

2) 1

2 ;

с; <

„„ З2ч/3 „ 1 4ч/з 28>/з 99-56>/3 =20- — -3- +— =16-- — =— ^ .

Відповідь: а) ^1п7; б) 2 ; в) О

г» 2n .'1 л: Л = —3 c o s ------- COS 0 = -3 sin — djc = -3 cos — 3 3 3 0 I

б) J

(2 + x f d x =

;

= 4,5;

. 2,

(2 + а:)*

_ >Jx-¥3

1х+ 3~

= -3 2

= 2 у1х + 4

=2 (>/8 - v/2) = 4>/2 - 2>/2 = 2ч/2.

Відповідь: а) 4,5; б)

в) 2>/2.

СО

GDZonline.net = J X* + Зх + і

1006. a)

= - + 6 + ln 2 3

dx =

fx " —

1 3

Зх'

+ ---- + l n X

= 8 - + 1п 2 - 1- = 7 І - 5 + 1п 2 = 3 6 6

= 6 - + ln 2; 6

]5 l± ^ d x

6) 1

= ] ( x ^ 2 ) d .= ,

X + z

г2л: + 3 2x + l

2x + \ + 2

dx^

^ d x

2x + 1

(X + 2 )^

= ^ - ^ = 8; 2

= \ 1 +dx = д; + - 1п( 2 д: + 2 2x + \ І

P ro m m <U

= (x + ln(2x + 1)) 1^ = (1 + In 3) - (0 + In 1) = 1 + In 3.

Відповідь: a) 6 — + In 2; 6 ) 8 ; r) 1 + In 3. 6

1007. a) I (0

1 + COS^ X COS

я/

dx = \ ---5— + 1 dj: = (tg x + x )|; = (0 + 7t) - ( 0 + 0) = 7t;

s I

T >4 Q. 5 ‘c

І-со зд : .

f .,

2 sin^ —dx = 2 -------- dx = U l - cos д:)с(л: = 2 2 n

= (л - sin JC)|; = (71 - 0) - (0 - 0) = я; ^ f 1 - sin^ x , f . I, b) I 5 d x = \ d x = x\l =K. І c o s '* І

Відповідь: a) л ; б) л; в) л. Ю

I— c: <

1008. а) I cos xdx = j x^dx; О

Ä Гсозлсс(дг = sin x

=1 = ^

їз отже, 1 = 1 , тобто ^ COS xdx = І x^dx; о

\dx = cos xdx\

б) U

J sin xdx

= - cos x

cos xdx = s in x J = 1, отже, 1 = 1 , тобто

sin xdx = J cos xdx. 0

Відповідь: а) рівність вірна; б) рівність вірна.

1009. а) 1/= х Ч J/ = 2 х. Побудуємо графіки ф ункцій у = х^ і у =' 2х. Знайдемо абсциси їх перетину: у = х '; х ' = 2х; х^ - 2х = 0; х = О, х = 2 — абсциси перетину графіків.

GDZonline.net r

.- s .

- s .: S. =

S, =

=4 - | =4 - 2 | =іІ

W lS = —

(к в .о д .).

ß0noeidb: 1 - KB. 0Д.

6) y = x 4 y = 2 .

Добудуємо графіки ф ункцій у = їх перетину:

і у = 2. Знайдемо абсциси

* 2 ; X - -V 2 , X - УІ2 — абсциси перетину графіків. з V5 S - S . - S ,; S. = = 2x\_f^ ; S , = ^ --ß

S = 2x

= 2>/2 + 2 >/2 -

12>/2 - 4n/2

872

( 2 -J2

- 2 -Я'"

= 4yf2-

4 V2

( k B . О Д . ).

8^2

Відповідь: —— кв. од. У в ) у — 6 + д : - д г ^ і і / = 6 - 2л:.

Побудуємо графіки ф ункцій і знайдемо абсци си їх перетину: 6 + X = 6 - 2 ї; -х* + Зх = 0; ж*-3дг = 0 ; х = 0, х = 3 — абсциси перетину графіків. -*• + X + б = 0; х^ - X - 6 = 0; X = З, X = -2 — абсциси перетину параболи з віссю Ох.

і\ Д 1 \Л е м>1 1 д "t — к 1 |\\ ' . . 11 ‘\ \\ . . 1 / \з\

/ г

5 - S . - S ,; S. = F,(x)|? =

' 'ч

s .= - f;w p „ = ( 6 x - x ^ ) | ;; S =S ,- S ,=

6 x + — - — - б х + х’’

Зх‘

х°

’

27 _ 3

= 1 з і - 9 = 4 І ( к в . од.). А ^

Відповідь: 4 — кв. од. і; = 4х = х“ і 1/ = 4 + X. Побудуємо графіки ф ункцій, знайдемо абсциси їх перетину: 4х + х^ = 4 + х; ** + Зх - 4 = 0; X = -4, X = 1 — абсциси перетину графіків.

GDZonline.net 4x + x ‘ = 0; x(4 + x) = 0; S = S , - S ,: S. =

= -4 — абсциси перетину параболи з віссю Ох І \ ' л = 4д: + — 1 2 J -4 X

= 0,

S, = F M )l\ =

s =s,-s,=

4x + - - 2 x ‘ - — 2 3

-16-24-н — 3,

P ПЗ Г0 Ш Ш Ю

s I T

Відповідь: 2 0 - кв. од. о

1010. а) j/ = 4jt - дгЧ І/ = 4 - I . Побудуємо графіки ф ункцій, знайдемо абсциси їх перетину: 4х - х^ = 4 ~ х; -х^ + 5х - 4 = 0; jc^ - 5 ї + 4 = 0; д: = 1, д: = 4 — абсциси перетину граф іків. S = S , - S , ; S ,= F ,(x )\ * =

4 ,£ ._ £ і

g: 3 с

S ,= F ,( x )\ l =

s =s,-s,=

2 ї ' - — - 4д: + — З 2

LD 4 0 - — -16^ 3 ; <

у 5х‘

х‘

2 ~ З

2----4 [ 2 г ) = 4 0 - 2 іі- 1 6 - 2 І

+ | + 4 = 4 І( к в . о д . ) .

Відповідь: 4 - к в . од. 6 ) у = х^ і у ==X.

Побудуємо графіки ф ункцій і знайдемо абсциси їх перетину: х^ X-, х^ - X = 0; х(х^ - 1) = 0; лг = 0. X = -1, д: = -1 - аб сциси їх перетину. ' 1 S = S, + S j = 2S, = 2

4, / 0

= 1 - ІЛ (к в .о д .).

Відповідь: - кв. од. 8 в)

у = х ‘ , у = 8, X = І .

Побудуємо фігуру, обмежену даними л ін іям и , знайде мо абсциси їх перетину.

S = S. - S,; S. = F .W I' = 8лс|і: S, = F , ( x ) \ \ = ^

4 . .'

о Г У •і

GDZonline.net

г \ = 8 - 74 = 7 74 (к®-°Д )-

j , ^ y ~ 2 x - x 4 y = x‘ .

\ у-2х-

0 (^удуємо фігуру, обмежену даними л ін іям и , зна

йдемо абсциси їх перетину. ^ _ *2 = х^-, -2х^ + 2 x ^ 0 ; -2х(х - 1) = 0; х = О, ^ * 1 — абсциси перетину графіків. '; 1

S = Si - S j =

"^ 3

S, =

f 2

3 ,

, 2 1 . = 1 - - = -(к в .о д .).

— кв. о д .

В ід п о в ід ь :

1011.a)j/ = O,5*, 1/ = 1 ,;с = -2. П об у д у єм о ф іг у р у , о б м е ж е н у д а н и м и л ін ія м и , зн а й д е мо а б с ц и с и п е р е т и н у .

S - S .- S ,: ' 1' - 2 * ln 2

ln —

2 " ln 2

S ,= JiW U = x | .“ ; S =„

1п 2

^ -

- 2 = 7- ^ - 2

1п 2

3 - 2 ІП 2 ,

= — г—г— (к в . о д .). In 2

о 3 - 2 ІП 2 Відповідь: — г “ -— к в . од. In 2 6) » -

3 - ' , J/ = 3 , ж = 1.

Побудуємо фігуру, обмежену даними л ін іям и , знайде мо абсциси перетину.

З - З-*; -д: = 1; X = - 1 . 1

*"3 S = 3x +

=6 -b

3 ' ln 3

1-9

31n3 В ід п о в ід ь:

6 -

' J 3 [ 8

З Іп З 8

6 - -гг—г 31п3

+- i- l- f - 3 +- L l =3 +- i З Іп З І ln 3 j 31n3 (кв. од.).

кв. од.

\ , V

відповідь: 7 - кв. од.

S - S . - S ,; S. =

ln3

GDZonline.net

у = e^; у = e " ; x = e. Побудуємо фігуру, обмежену даними лін іям и , знайде мо абсциси їх перетину. s = s , - S , : S, = f , w | ; = e ' | ; :

s, =

-2

e“ + l

Відповідь:

-2

= - е - '|;:

S = (e ' + e '') | ; = e' + e ' - (1 + 1) = e' =f' +— - 2 = e'

y-<i>

'4 1

■1 0

і■

. 0 Д .).

KB. 0Д.

г) У = х''^. y = x - '.x = 0,5.

p 03 m

Побудуємо фігуру, обмежену даними л ін ія ми, знайдемо абсциси їх перетину. S = S , - S ,; S, = F,{x ) і = 1п л:

Ш in

„-Д.1 _£____

S , = f, (x )

\ J3 + 1

s s

S = ln JC

a .5 c

= (O h-In 2 )-

у 1п 2 -

л/З-Hl

1 -2

■J3 + 1

,-Va-i ( k B. 0Д .).

^/з-Hi

о Відповідь:

1п2-

1 -2

K B . ОД.

І 3 +1

1012.

t > 1 ; f i d j c = ln t; J r

t 4

S = J —da: = 1пл|| = l n f - l n l = ln t (кв. 1

Відповідь: так.

1013.

д: Є [а; Ь]; « х ) > ^д:); у = « л );

у = g(x); S = S , - S ,: S. = ?,(л:)|: = ]f(x)dx-, и Ь Sj =

=J а

тобто

S = j f(x )d x - j g(x)dx = I (/(JC) - g(x))dx.

Ь В ід п о в ід ь : S = j (f(,x ) - g ( x ) ) d x .

GDZonline.net

г О О О о 1014. а) I f(x )d x + J g(x)dx = f (f(x ) +g(x))dx; j f(x )d x = F (b ) - F (a ); a

\g(x)dx = G (b )-g (.a ), тоді j f{x )d x + j g{x)dx = F (b ) ~ F ( a ) + G(b) - G (a ) = І = (F(b ) + G ( 6 )) - ( F (a ) + g (a )) = J (/(л:) + g(x))dx. a 6)

) k f(x )d x = 4 /(A:)dx, ft > 0 ; ) k f(x )d x = (* F (;t))| : = ft(F(ft) - F (a )); в a

* ) f(x )d x =

= fe(f(b) - F (a )).

B) } f(x )d x + J m

= J /(jc)dx для a < с < ft;

= F (c ) - F(a)-,

'^f(x)dx = F (b )- F (c y , « I f(x )d ^ + 1 Ш €

= F (c ) - F ( a ) + F (b ) - F (c ) = f (ft) - F ( a ) = J f(x)d x. e 2Q

1015. s . = J —djc = 8In jcIf = 8In 2 ( k b . од.); S , = |-с(д; = 81пд:|; = 8 1 п 8 - 8 1 п 4 = 8 -31 п2 -8-2 1п 2 = = 24 ln 2 -1 6 ln 2 = 8 ln 2 (кв. од.); S , - S j, отже, фігури F , і F^ мають рівні площі.

Відповідь:

= 81п2 кв. од.

1016. о =

ft = j/(jc)d x ; -S

-1

c = j/ (j:)d j: 4

а) а < С < b; б) b < а < C. а, b, с — значення підінтегргільної ф ункц ії f(x ); а > О, с > О, ft < 0. Чи сла а, ft, с знаходяться у порядку зростання: Ь < с < а. О, ft >О,с<0; в) а < с < Ь. Я к щ о f(x ) зм інити на - f(x ), то а < б) ft < а < с. Я к щ о f(x ) змінити на f(x ) - З, то а < О,с < О,ft < О і |ft| > |а| > |с|, отже, Ь < а < с. у-х'+4х+з Відповідь: ft < с < а; а) -f(x)\ б) f(x ) - 3.

1017. &) у ==х^ + 4х; у = х^ + 4х + 3; X = -2; х = 0. Побудуємо фігуру, обмежену даними л ін іям и , знайдемо абсциси їх перетину: X* + 4х х^ + 4х + 3; О ■X =• -3; коренів немає. Трафіки ф ункцій не перетинаються. 'о

S = - \ (х ^ + 4 x )d x - \ ( х ^ +4x + 3)dx + j (х* + 4х + 3)dx = -! -1 -г О

= - J (х^ + 4 х - х ^ - 4 х - 3)dx + j ( x ‘ + 4x + 3)dx =

(-З)гіл: + j{x ^ + 4x + 3)dx =

GDZonline.net = 3х

= (О + 6) + 0- - - + 2 - 3

— + 2х‘ + 3 х

= 6 + і - 2 + 3 = 7 І( к в . о д . ) . 3 3

Відповідь: 7 — кв. од. 3 6)

у = - 4х; у = - 4х + 3; X = 0; X = 4. Побудуємо фігуру, обмежену даними лініями, знайдемо абсциси їх перетину. х^ - 4х =■х^ - 4х + 3-, О ■X = 3; коренів немає. Графіки функцій не перетинаються. '4

S = - j ( x ‘ - 4 x ) d x - j ( x ‘ - 4 x + 3)dx + j (х ‘ - 4х + 3)dx + j (х ’‘ - 4х + 3)dx; О о у ® ® 4

S = - J (х ‘ - 4 х - х ‘

4 х - 3)dx + (х^ - 4 х + 3)dx + J (х^ - 4х + 3)dx =

= 3 jd x -t-j (дг* - 4 х + 3)dx + j(x ^ - 4 х + 3)dx = Зл / „3

го

I 3-

Ё!!

5 Ъ

‘

— ~2х^+ Зх ^3

= 12 + і - 2 + 3 + - - 3 2 + 12 3 ІЗ

Ґ27 — -18 + 9 3

= 1 з і + З з і - 3 2 - 9 + 1 8 - 9 = 1 3 - + 1 = 1 4 - (кв. од.). 3 3 3 3

Відповідь: 14— кв. од. 3

из

§ 28. Застосування інтегралів

1021.

- 4х = 0; д: - 2 = 0: л: - 4 = 0; j/ = 0;

у^ = 4х;

== 2;

= 4; у = 0;

у = 2у[ х , JC = 2; д: = 4; у = 0; 4 Г = n j ( 2 >/^)'dx = 4 7 :^ y j = 2 TtJc" J =32 (куб. од.). Відповідь: 32 куб. од.

1022. у = -х ‘ + 2х; у = 0. 1

V = 2 л | {-х^ + 2 x fd x = 2tcJ(4д:* - 4х^ + x*)dx = 1 (4 х ’ , х‘ ] = 2л -------- X * + — = 2л f l - 1 + l l = 2п Г і і - 1 + і І 3 5, 13 5 j 0 ,3 5 = 2л ~ 15

Відповідь:

15 Іб і:

(куб. од.). куб. од.

+ Зх

GDZonline.net i023. J/ = 2jc + 1; X - 1; х = 4; І/ = 0. —Л чт ( 2 х + 1)’ —

У” ST Я } ( 2 л: + 1 )'гід:- j { 2 x + l f d x

{ 2 х + 1)“ 1 12

1 '

> S = ff

9^_0-

^ l- я ^ l2 1 ^ - 4 ІІ 2) 2 2)

— Ті

Відповідь: 117 куб. од.

1024. у = х^; X ^ и у = 0.

= - (куб. од.).

V = n\ x * d x = —

Відповідь: ^

1025.

°Д-

= 16: г/ = i ^ / Ї 6 ^

;

-УІ16-Х^^ dx = — Ібдг - ^ 1 16 U з ) 2^ п я SS -- 4 8 - 9 - ( і 6 - і | 39-15^ 3, 16 V з Л ~ 16

- JL °1 6

23 і з “ іб

з ”

(куб. од.).

Відповідь: ^ куб. од. 24 1026. v(t) = 3f + 2t‘ ; 6

S = J (3 t + 2t*)dt = 0

З і'

= 0; 2Є

2 * 3

= 6; =318 +

2 216

= 54 + 144 = 198 ( m ).

Відповідь: 198 м. 4

1027; V = lOt; <= 0, t = 4. S = JlO td f =

1 0 «'

= 5«' ;= 8 0 ( m ).

Відповідь: 80 м. 1028. о = 3f" - 2 t, « = О, ( = 2. S = j ( 3 f ' - 2t)dt = (t* - 1')|5 = 8 - 4 = 4 ( m ). 0

Відповідь: 4 м. 1029. Z ( f ) 0,00645«^ + 0,05« + 0,5 s

(грош. од./год.), О < t

< 8.

-0,00645t’ о, 05t' „ (- 0 ,0 0 6 4 5 t'+ 0 ,05f + о, 5)df = — -------- + —---- + 0 , 5t

00645 64 _8 ^ 0 .05_ 64 ^ ^ ^ _q q q j i s •512 + 0,0282 + 4 = 3,4274 (од.). 3 2

В ід п о в ід ь : 3,4274 (од.).

GDZonline.net 1030. у - x \ y = 'Ix-,

S =A

= 4-4

- x'‘ )d x = 4 t-і

2x 4 x

”

= 4 - 4 . І = 4 -

= 2 | (

к в

од

.).

Відповідь: 2 - кв. од.

1031. г = 5 см; f ■= 1 H . A = jk x d x ^ — I

Відповідь: А = 1 3 - Д ж .

«3

1032. f = 9,8 Н . А = |9,8хгід: = 9,8 —

m m <u lü

S I T а .5 с

= 1 3 І( Д Ж ) .

9,8 16

= 9,8-8 = 78,4 (Д ж ).

Відповідь: А = 78,4 Д ж .

1033. F = lo j9 ,S x d x = 98 — ro

Відповідь: 1764 Н . 1034. ху ^ 4; х - 2

= 49 36 = 1764 (Н ).

0; X = 1; у = 0; X = 4.

4 У = - :

2 ; X = 1; у = 0 ; у

F = itJ

-1

= 4.

АY

djc = 167tliijc|j = 1 6л (1 п4 -Іп 1) = 16л1п4 = 327:1п2(куб. од.).

Відповідь: (32л In 2) куб. од.

їй ш

1035. х^ + у^ = 1; j/^= 1,5х;

V =n

L-

dx + n {у іі - х ‘ ) dx =

dx + n ( l - x ^ ) d x = ^ . ^ 2

Зя 1 ; ----- + л 4 4 -5 -

і_ J l 2 24уІ

37t 16

y’ -t.S x

1 2

■I о

------

0 2

3 j

Зп

24^

Відповідь: —7^ КУ®* од48

1036. у = COS д:; у =-;гт* Абсциси перетину підінZ7C

^ я л тегральних функцій jc=*0, ^=— . ^=;гЗ 2

5it

19it ,

GDZonline.net ! j 8

d x + n\ с І2 л ";

81 = 20я‘

jt*

243

cos2 x d^ x

л л _ лУз _ л’’ 8

4я * - я 57 з

л^

лг/з _ ] f _ _ n-Js _ 4л^ - 5л\/з

" б 0 ’^ 1 2 ~

4я^ -л5>/з' 40

“ Ю

куб. од.

+ I/ = 18; 3^ = X*: JC = 0. у = y l i s - x ‘ ; У = ^ ’

У = л|(л/і 8 -д:^) d x - n j ^

IS x

Л £2

-f)

В ід п о в ід ь :

dx = n j(1 8 - x ‘ )d x - п

= л(54 - 9) - ”

'9 5

9 •О

^ = 45л -

= 39,6л (куб. од.).

39,6я куб. од.

1038. ü(0 = 2(f + 2)^: t = 7 c . S = j2 ( t + 2 y d t = 2 Ф

(куб. од.).

1037.

n ( 1 ^ +— * +-sm2x

л 1 . 2л я л 1 . + — — + —sin л - — + - sin — 2 3 2 3 2 2

]L + - “’ б бО 0 ^ 22 6

Відповідь-.

81 л ‘ 3 = Л-------;----4 •л ' •5 0

+ 2У

( І + 2У

:W s i.i_ 2 U .1 2 4 9 5 («). 7

Відповідь: 1 2 4 9 - м .

1039. y(t) = 18t - 6t^; v(t) = 0; 18t - 6 t=“ = 0; 6t(3 - t) = 0; t = 0, f = 3. « = |(1 8 t- 6 t* )d f =

ISt^'

6 t’ ]

= (9t" - 2t®)|; = 81 - 54 = 27 ( m ).

Відповідь: 27 м. 1040. и = 20 - 3t; t = О с, t = 4 C. (2 0 - 3 t)d t = 2 0 f - -

= 80 - 24 = 56 ( m ).

Відповідь: 56 м.

1041 . I ( t ) = 4 + 2t; t = 2 с, t = 6 C. Q(t) = J ( 4 + 2t)dt = (4t + 1")|‘ = (24 + 36) - (8 + 4) = 60 -12 = 48. 2

Відповідь: 48.

1042.

f = aj9 ,8 *d ^ : = 9,8a 0

В ід п о в ід ь : 4,9ab^ H.

9 ,8 a b ‘

= 4 ,9 a b ‘

(H ).

GDZonline.net 1043. F = 2 aj9 ,8 x d x =

2 a -9 ,8 x ‘

= 9 ,8a“ (Н).

Відповідь: 9,8а® Н . л

1044. р - 10® кг/м®; А = pnr^gj xdx; А = A = \ ( f n R ‘g —

= 500 -3,14 -

xdx]

-^ = 1570?/?* =14986Д* (Д ж ).

Відповідь: ~ 14 986Д^ Д ж . 1045. р = 1 0 ® кг/м®; З

>4.

А = pitr^gj xdx = 10® •3 ,14 1 •9, 8 ■^

=10® 3,14 4,9 9 = 0

= 138 474 (Д ж ).

Відповідь: 138 474 Д ж .

1046.

,. = а ■9, S j xdx = 4 .9а® (Н ). F

= mg = pVg;

V = a ^ p ^ 800 кг/м®; І^ „ = 8 0 0 . 9 . 8 . а 3 ; ^ = « ° ^ •F;.c. 4,9a“

= 1600.

Відповідь: 1600.

1047./,: г,: f = ^ A =\ .

r = [a;& ];

^ d r = ^b—k. Ф _ a). ab

Відповідь:

^ ( 6 - a ).

1048. А = mgh; А = mg\ hdh =

Відповідь: —

(Д ж ).

Дж-

§ 29. Про диференціальні рівн ян н я

1056. а) у ' = Зу; у = 4е®'; j/' = 4 ■З • е®' = Зу; б) у ’ = -2і/; у = 5 • Є“*': у' = Ь ■(-2) • е~^‘ --- 2у; в) J/' + 2і/ = 0; у = 0,5 ■е-2'; і/' = -2у; у ’ = 0,5 • (-2) • = _ 2 у. 1057. в.) у --- е^'; 1/' = 2у, у ' --- 2 е®': - 2 е^‘ = 2 ■(-е^') — так; б) у ' + І/ = 0 ; J/’ = - 2 е2<; - 2 є-2‘ = (-е 2.) ^ о — ні; в) 1/' = J/‘ ‘: І/’ = - 2 е^'; J/‘‘ = -Се*')"' =

— ні.

Відповідь: а) так; б) ні; в) ні. 1058. у - е^; у = е' + 2 ; у ~ є" + 2 х, у ’ - у + 2 = О 7 Підставимо даний розв’язок в диференціальне рівн ян н я:

3«

GDZonline.net ^ j/' = є*; e’ - с ' + 2 о — ні; У ^ g.'+ 2; 1/' = <■'; е' - (е' + 2) + 2 = 0; е' - 2 + 2= О — так; У , ^ + 2 х; у' = е ' + 2; е* + 2 - е' - 2х + 2 5« О — ні. е' + 2 . відповідь-, у

1059. у' “ У + 2: ^ ^

= 1;

ІпСі/, + 2) = д: + С :г / + 2 = Се-

J, - се* - 2 . відповідь: у = Се‘ - 2 .

1060. у '

у; ^ — у = 1;

= Jd x ; Ä-(0; 2). ln у = д: + С; і/

.у

Се': ж = 0; І/ = 2;

2 ~ С ; у ^ 2 е'. відповідь: у =■ 2 е*.

1061. у ' = 2;/; Р (0 ; 0.5). ^

2djr; ln у ^ 2х + С; у{0 ) = 0,5;

= 2; г/

У ^ С ■е^; 0,5 = С; у = 0,5е^'. Відповідь: у = 0,5е^*. 1062. у = sin t; у" + у = 0 -, у = cos t. t ) y “ sin t; у ' = cos і; у ’ = sin <; sin t + sin t ^ 0 — ні; 6) y = cos i; j/’ = -sin f; i/" ■= -cos t; -cos t + cos < = 0 — так. « Одповідь: j/ = sin ( — не розв’язок; у = cos t — розв’язок. 1063. у ■= з COS t ; у = -cos t ; у = 2 cos(t + 1 ); у" + у = 0 . Підставимо в диференціальне р івн ян н я ко ж н у з даних ф ункцій і перевіримо Ііравильність рівності: t ) y = З cos t; у ' = -З sin t; у" - -З cos t; -З cos і + З cos і = 0; = З cos t — розв’язок; б) J/ *= -cos t; у ' = sin t; у" = cos f; cos t + (-cos t) = 0 ; у =-cos t — розв’язок; ш)у •= 2 cos(t + 1 ); у ' = - 2 sin(( + 1 ); у" = - 2 cos {t + 1 ); ~ 2 cos(t + 1 ) + 2 cos(i + + 1 ) = 0 ; j/ = 2 cos(t + 1 ) — розв’язок. Відповідь: у = З cos t; у = -cos t; у = 2 cos(( + 1) — розв’язки рівнянь.

1064. у" = -у; у

= -1:

J y

= ~ jd x ; \п у =■-х + e-, у = Се ’ -,у, = є '; і/.

5е"-

Відповідь: Се '; е '; 5е"*. 1065. і/ = 2 cos З і + З sin З і; у" + 9у = 0; у ' = - 6 sin 3( + 9 cos З і; / - -18 cos 3t - 27 sin 3f. Маємо: -18 cos З і - 27 sin З і + 9(2 cos З і + З sin З і) = 0; -18 cos З і - 27 sin З і + 18 cos З і + 27 sin З і = 0. Відповідь: так; у = 2 cos З і + З sin З і — розв’язок.

1066.

У = у/х; у" + 2 (y‘f

-1 + 1

Іх 4 х ^

2^[х ,

Ах-іх

0-, У' = - ^ ’

S x jx

ІХ -ІХ ’

=0.

Іх 4 х

Відповідь: у ==yfx — розв’язок даного рівн ян н я.

1067.

/(2) = 1; f(x ) = jf \ x )d x = ^

а) Г ( ^ ) =

+ С; 1 = у

+ С; <^ = 2 | - 1 = і | :

Пх) = ^ + 1 ?.. З З Відповідь: ^

^ •

*) Г{л:) = sin л: і /(0) = 2; Л j:) = J sin хйдс = - cos д: + С; /(0 ) = 2 = -cos О + С ; -1 +

GDZonline.net + с = 2; с *= 3; f{x) = -cos д: + 3. Відповідь: f{x ) = -cos д: + 3.

1068.

a) у ’ = 3y; — = 3; J — = jSdx-, \n у = 3x + e; у = Ce*'.

Відповідь: Ce^‘ . b)

y' + у

0\ y ' = -y; ^

= -1;

= - jd x ; \n у = -x + C; у = Ce \

Відповідь: Ce~’ . B )2 y ' = 5y; y '= ^ y , Відповідь:

=| :

ln y = | x + C;

j/= C e » '.

y; у = sin д;; y » cos x; у = -sin jc; i/ = -cos x; y^' 1069. y ‘' sin jc = sin jc — так. Відповідь: у = sin x — розв’язок рівн ян н я. 1070. у = sin x; у" + у = 2 cos х; у ' = cos х; у" = -sin х; -sin X + sin jc = О — так. Відповідь: у = sin х — розв’язо к рівняння. 1071. а) j, = у ' = 2е^; у ' - 2у - 0 ; б) у = 2'; у ’ = 2‘ \п2\ у ’ - у \п 2 = 0;

sin х;

In - = -2 ’ ln 2; I/' + у ln 2 = 0.

в ) ! / = 0 ,5 ': У' =

Відповідь: а) у' - 2j/ = 0; б) j/' - j/ ln 2 = 0; в) у ' + у ln 2 = 0. 1072. а = 2 м/с^; f = О; у = 5 м/с; s = 50 Мі v(t) = |2 d t = 2t + С; v(0) = 2f + С = 5; С = 5; С 2 t^ отже, ü(f) = 2< + 5; S (t ) = J v(t)dt = — + 5« + C; S (0 ) = 0 + 0 + С - 50; С = 50, отже, закон руху точки виконується формулою s(t) = + 5< +50. Відповідь: s(t) = t’‘ + 5t + 50. 1073. = 40 м/с; і = З с, t = 4с, ( = 5 с, f = 8 C. 3

Л, = |4 0 d t = 4 0 i|j =120(m );

h^= j4 0 d t = ш

\і = 160 (m);

Лз = 140d< = 40f

= 200 ( m );

Л, = j 40dt = 40t|® = 320 ( m ).

Відповідь: 120 м; 160 м; 200 м; 320 м. 1074. Т = 164 доби. М аса зм енш иться в 10 разів. m (t) =

'о

Відповідь:

1075.

ln 2 k = fp ; е ”

1 6 2 ІП І0 ln 2

діб.

T = 138 діб. e " =

Відповідь: k ■

ln 2 138

ln 2 1 6 2 ІП І0 = 1 0 -’;- — t = - ln 1 0 ; t = 162 1п 2 ■

e *

ln 2 -Й . 138 = - ln 2; ft = 138

; m (t) = m.«-*'. ‘»2

1076.

m (t) = m / *'

— було; n^ — стало, e

>“ 2

•m = n; e

‘Г

^ 1 о ln 2^ . ^ 2 . Д ; -------= ln — ; T = ln m

GDZonline.net 1п2

заповідь:

Т - — 1П 2_ in m - \ n n '

іП П . 1 с іч н я 2 0 0 0 року — 1 0 0 млн осіб. 2 0 00 р ік — 5 % . 2020 рік. розглянемо арифметичну прогресію а, = 100 млн; d = 5 мли; п = 21. > 100 млн + 5 млн • 20 =200 млн. ВіВпоеідь: 2 0 0 млн. § ЗО. Ком бінаторика. П рави ла суми і добутку 1085. а) на 2 : { 0 ; 2 ; 4; 6 ; 8 }; 6)ва3;{0:3:6;9};

го

) на 5: {0; 5); г ) я а 1 1 : { 0 >. одповідь-, а) {0; 2; 4; 6 ; 8 ); б) {0; 3; 6 ;9}; в) {0; 5}; г) {0}. 1086. а) {*: □}: { .}; {□}; б) (*: А: # }: {*): {Д}: (# }: <*: Д): {*: # ): (А: #)• 1087. а) А - {2; 3; 7}, В = {5; 7; 3}; Л и В - {2; 3: 5; 7}; Л П В = {3; 7}; б ) Л - { 0 ; 1 ; 2 }. В = { 0 ; - 1 ; 2 ; 3 } ; А и В - { 0 ; - 1 : 1 ; 2 : 3 } : Л П В = {0 ;2 }. Відповідь: а) {2; 3; 5; 7}; {3; 7}; б) {0;-1; 1; 2; 3); {0; 2}. 1088. а) 10! - 10 • 9•8 • 7 ■ б ■ 5 • 4 • З •2 ■ 1 = З 628 800; б) 181 - 12 ■ 12 •11 •10! - 9 808 646 400; в) 16! - 16 • 15 • 14 •13! = 3360 ■13! г) 20! - 20 • 19 •18 • 17■ 16! = 116 280 ■ 16! Відповідь-, а) З 628 800; б) 9 808 646400; в) 3360 ■ 13! г) 116 280 - 16! 1089. а) л!(п + 1 ) = (л + 1 ) • п(п - 1)... = (п + 1 )! і

б)

п (п

1 )! =

п!

, (п + 1)! , . ЛІ , ,,, І) і — -і- = л + 1: г) — = ( Л - 1)! пі п

Відповідь: а) (л + 1 )! б) л! в) п + 1 ; г) (л - 1 )! 1090. Позначимо буквою А м нож ину печива, а буквою В — м нож ину цукерок, ■А- [ т ; л; k), В = {р; ft}. О скільки ці множини не мають спільних елементів, то Сергій має 3 + 2 = 5 можливостей куп ити або печиво, або цукерки. Відповідь: 5 можливостей. 1091. Позначимо буквою А — м нож ину на посаду л ікар я, В — множ ину на Посаду повара, С — м нож ину на посаду техніка. О скільки ці множини не ма■Wb спільних елементів: А = {а, Ь, с, d, т , п, к, I, р, х), В = {г, у, г, <р, f), С = "■{*. Vi а ), то 18 способами м ожна заповнити вільне місце. "jgnoeiöb: 18. |092. 4! “ 4 ■з • 2 = 24 — способами, fj^noeiöb: 24 способами. Н а верш ину турист може піднятися 4 способами, тобто підйом — 4 спососпуститися — 12 способами, всього 16 способів. Відповідь: 16 способами. 1094. г — {А, в , С,}; 2 — {М , К) Правилом добутку м ожна вибрати 6 різних виборів із страв. " ’П о від ь: 6 різних виборів.

g \П

^ SC | Т ^ ^

Ё О ^ ^ LÜ Ш ^

<Ґ

GDZonline.net 1095. 5 — осіб; б! = 5 • 4 • З ■ 2 “ 120 способами. 109 6.1 — «ми», «любимо*, «грати». З! — 6 — речень. 2 — «ми» «дуже» «любимо* «грати». 4! = 4 ■З • 2 = 25 — речень. Відповідь: 6 ; 24. 1097. 8 — намистинок; 8 ! = 8 7 • 6 • 5 • 4 • з • 2 = 56 • зо • 24 = 56 • 720 . = 40 320. Відповідь: 40 320 способів. 1098. 1. 2, З, 4, 5. 5 • 4 • З = 60 способів. Відповідь: 60. 1099. За правилом добутку маємо З 2 = 6 (виборів). Відповідь: 6 виборів. 1 1 0 0 . а) дві підмножини; б) чотири підмножини; в) вісім підмножин; г) 16 підмножин. Відповідь: а) 2; б) 4; в) 8 ; г) 16.

1101. п Є {0; 1; 2; 3; 4}; 2“ = 32; 1) {0}, {1}, {2}, {3}, {4}; 2) {0. 1}, {О, 2}, {О, 3}. {О, 4}, {1, 2},{1, 3}, {1,4}, {2. 3}, {2, 4}, {З, 4}; 3) {О, 1, 2}, {О, 1. 3}, {О, 1, 4}, (1, 2, 3}, {1,2, 4}, {1, З, 4}, {2, З, 4}, {О, З, 4}, {О, 2, 4}, {О, 2, 3); 4) {О, 1, 2, 3}, {О, 1, 2, 4), {1, 2, З, 4}, {О, 2, З, 4}, {О, 1, З, 4}; 5) 0 ; 6 ) {О, 1, 2, З, 4}.

1102. а) 10! : 5! = 10 • 9 ■8 • 7 ■6 = ЗО 240; 6) 13! : 10! = 13 • 12 • 11 = 1716; в)

2 0 !: 25! = 25 24 23-22-21

г)

100! : 97! = 100 • 99 • 98 = 970 200.

Відповідь: а) ЗО 240; б) 1716; в)

1103. а) л ! : (л - 1) =

6 435 600

; г) 970 200.

_ 2 )...і = л(п - 2 )!;

л —1

.(^ - 1 К "- 2 )(п - 3 )...1 ^ 1

’

в)

п (п - 1 )(л - 1 )...1

( „ + l ) ! : ( n - l ) ! = ( l L ± i ) ^ i ( ^ L : - ^ = „ ( „ + l).

(п - 1 )(л - 1 )...1

Відповідь: а) п (л - 2 ) !;

б)

—; в ) л(п + 1). п

1104. а) (2л)! : л!, п = 3; (2 • 3)! : З! - 6! : З! = 6 • 5 • 4 =

б) (2

• 4)! : 4! = 8! : 4! = 8 • 7 • 6 ■5 = 1680; в) (2 - 10)! : 10! = 20! : 10! - 20 • 19• 18 ■ 17 •16 15 •14 Відповідь: а) 120; б) 1680; в ) 20 ■ 19 • 18 ■ 17 •

1105. а) л! = (л - 1)! • 8;

= 8; п - 8;

120; 13 • 12 •11. 16•15 •

14•13

GDZonline.net J) (я + 2)1 = 132 ■ л!;

= 132;

(" +

' = igg.

„2 +

g„ +

132 = 0;

„a + 3n - 130 = 0; П = -13, n = 10. Рідповідь: a) n = 8 ; 6 ) Л = 1 0 . •jl06. Перш ий зіграв 7 партій, другий — 6 , третій — 5, четвертий — 4, ліетій — З, шостий — 2, сьомий — 1. третій і^-)-6 + 5 + 4 + 3 + 2 28 (партій).

1107. За правилом добутку маємо 3 - 3 = 9 виборів. Відповідь: 9 виборів. 1108. а) Однією дорогою 7 випадків. У с і ці маршру ти можна позначити за допомогою пар: ( 1 ; 1 ), ( 2 ; 2 ), (3: 3). (4; 4), (5; 5), ( 6 ; 6 ), (7; 7). б ) різними ш ляхам и: 21 випадок. У с і ці маршрути можна позначити за допомогою пар: (1; 2(, (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; в). (1; 7), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6 ), (2; 7), (3; 4), (3; 5), (3; в), (3; 7), (4; 5), (4: 6 ), (4; 7), (5; 6 ), (5; 7), 6 ; 7). в) одним із двох попередніх способів 7 + 21 = 28. ^ п о в ід ь : а) 7; б) 21; в) 28.

Р \

т го ш Ш LÜ

іи

1109. Н — автомобілі (білий, ж овтий, синій, червоний).

' ® X

Я І - 4 • З ■2 = 24 (кортеж і).

1110. 0 . 1 , 2 , 3. 4, 5. ^ = -^ = 360;

= 60; 360 - 60 = 300 способів, потім потрібно викинути ті

цифри, я к і за кін чую ться цифрами 2 і 4. епособів. Відповідь: 280.

= |-^ = - ^ ^ ‘ = 20. 300 - 20 = 280

>ч Q. .5 Ъ

о S U3

1111 . Із 4 кольорів м ожна скласти 4! — емблем, тобто 24 способами, а з трьох

фііур 24 ■З = 72 способами. Відповідь: 72 способами. fi t

1 1 1 2 . - ^ = 7 7 = 30 способів.

4! Відповідь: ЗО способів.

1114. а) {а, Ь, с, d}\ 24 способи {а, Ь, с}; {а, с, d}; {Ь, с , d}; {о; Ь, {с, b, a); {a, c, ft}; {d, a, c}; {c, d, {c. d, 6 }; {c, d, b); 6) {a, b, c, d, e}; {d, ft. c}; {a, d, ft}; {d, b, c}; {0 . ft, d); {a, ft, e}; {b, c, d); {ft, c, 10 • 6 = 60 способів. Відповідь: a) 14; б) 60.

d); a);

{Ь, с, а); {Ь, {c, 6 , d)\{b,

{d. a, b); {d. c, ft}; {d, ft, a); (а. ft, с); {а,d,с, d);c, e>;{ft,d,e}; e}; {c, d, e};{a, e};{a,

1115. 8 друзів м ожна розмістити за столом 8 ! = 40 320 способами. 2 *нсу немає. відповідь: ні.

1116.4 • З = 12 способів (за правилом добутку). 1117. 6 • 7 = 42 (способи). °І^Повідь: 42 способи.

{ft,а,а, d);а, d)\{Ь,d,с}; с};{с, {а,d,a}; d, {c, с);a, &};{d,c,a);

GDZonline.net § 31. Розміщення і перестановки 1123. -Aj = 4 ■з = 12 — способами.

Відповідь: 12. 1124. л,* = з •2 = 6 — способами. Відповідь: 6 . 1125. а) Л ' = З 2 = 6 ; б)

= I I = 20; в) Л ' = 5 •4 •З = 60.

Відповідь: а) 6 ; б) 20; в) 60. 1126. А , В , С: A B C , А С В , В С А , С А В , В А С , СВА-, Р , = 6 . Відповідь: 6 перестановок. 1127. Р 5 = 6 - 5 - 4 - 3 - 2 = 720; і>, = 7 6 ! = 5040; Р , = 8 • 7 ! = 40 320; Р , = 9 • 8 ! = 362 880. Відповідь: = 720, Р , = 5040, Р^ = 40 320, Р , = 362 880. 1128. Л ^ = 6

5 = ЗО способів; ЗО ; З = 10 способами.

Відповідь: 10 способів. 1129. А ' = 7 •6 ■5 •4 = 840 (способів). Відповідь: 840 способів. 1130. 6 , 7, 8 . Р , = З! = 6 (способів). 678, 687, 768, 786, 867, 876. Відповідь: 6 способів. 1 1 3 1 .0 ,1 ,2 , З . Р , = 4! = 4 ■З • 2 = 24 (способи). Першою цифрою не може стояти нуль, тому Р , = З! = З • 2 = 6 (чисел). 24 - 6 = 18 способів. Відповідь: 18 способів. 1132. А , В , С, D по 2: A f =4 -3 = 12;

A B , A C , A D , В С , B D , CD, D A , D B , DC, B A , CA, C B . Відповідь: 12 розміщень. 1133.

= 10 •9 ■8 •7 = 5940 (способів).

Відповідь: 5940 способів. 1134. а) в)

г)

= | у = 5-4-3 = 60; б)

= Ц = 6 5 •4 •З = 360;

А | = 9! = 9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 1 = 362 880;

А^

50!

=48!

= 50-49 = 2450.

Відповідь: а) 60; б) 360; в) 362 880; г) 2450.

1135.

1) А І = 20; ОДЗ: ;с> 2;

’ = 20;

X ^ 2; х(х - 1) 20; х^ - X - 20 = 0; х^ = 5; х^ умові задачі, х^ — ненатуральне число. Відповідь: {5}. 21 Л-., ■ 15Є, О Д З ,> . 1 > 2 . »

( ї - 1)

0; ( х - 2 ) * 0; х(х + 1) = 156;

-4; JCj = -4 — не задовольняє

■ 156;

- » 'і

+ д: - 156 = 0; д:, = ^ ^

х^ = 12; = -13. Відповідь: {12}.

1136.

11 класів, 11 вчителів. 11! — способів; 11! = 11 - 10 ■9 • 8 • 7 - 6 • 5 • 4 ■З • 2 • 1 = 362 880 - 110 = = 39 896 800 способів. Відповідь: 11! = 39 896 800.

GDZonline.net \\Ъ 1 . A l =

11 •10 = 1 1 0 (способів).

відповідь: 1 1 0 способів. 1138.

= 12 •11 ■10 •9 •8 •7 = 665 280 (способів).

р 0 повідь: 665 280 способів. 1139. Н а ко ж н ій з трьох позицій може стояти одна з цифр 1, З, 5, 7, 9, для к о ж ного м ісця п’ят ь можливостей, тобто всього чисел 5 ■5 ■ 5 = 125. Відповідь: 125. g, 1140. {1. 2, З, 5. 7. 11, 13}. Л = ^ = ЗО. Я0 повідь: ЗО. 1141. {1. 2, З, 5, 7, 11, 13, 17}. Л ' = 42. П олови на н е п р а в и л ьн а , т о б т о п р а в и л ь н и х д р о б ів 21.

Відповідь: 21. 1142. Н а ко ж н ій з трьох позицій числа може стояти одна із цифр 2, 4, 6 , 8 , а иа першій позиції не може стояти нуль, отже, для першого м ісця 4 можливос ті, другого і третього м ісця по 5 можливостей, всього 4 • 5 • 5 = 100. Відповідь: 100. 1143. о, 1, 2, з, 4, 5, 6 , 7, 8 , 9. = 720 - 72 = 648 ( — к іл ь к іс ть чисел, які починаються з нуля). Відповідь: 648. 1144. О, 1, 2, З, 4, 5, 6 , 7, 8 , 9. А ‘о ~ = 5040 - 504 = 4436. Відповідь: 4436. 1145. 5, 6 , 7, 8 , 9. Н а ко ж н ій з трьох позицій може стояти одна із цифр 5, 6 , 7, В, 9, тобто для кожного м ісця 5 можливостей, всього 5 • 5 • 5 = 125 м ож ли востей. Відповідь: 125.

1146. Л^= Іі !7 = 20. З!

Відповідь: 20.

1147. Л ' = Ц = 5-4.з = 60. Відповідь: 60. 1148. =п • л = 2, маємо Рз = 2 ■ ^3 “ З! ■=6 ; 2 ■P j = 2 • 2! = 4; 6 4. Відповідь: Р ^ ^ п ■Р . 1149. а) Р , = 42Р„_,; пі = 42(л - 2 )(л - 3)...1; п(п - 1 )(л - 2 )(п - 3)...1 = 42(л ~ 2)(л - 3)...1; л^ - л - 42 = 0; л = 7, л = - 6 — не задовольняє умові задачі. Відповідь: {7}. 6 ) Р - 720Р„ л(л - 1)(л - 2)(л - 3)...1 = 72(л - 3)(л - 4)...1; л(л - 1)(л - 2) - 720; л(л^ - З л + 2) - 720 = 0; л’ - Зл* -h 2л - 720 = 0; л = 10; (л - 10)(л^ + + 7л -І- 72) = 0; л* 4- 7л + 72 = 0; коренів немає. Відповідь: { 1 0 }.

1150. а) < р ,;

™ Pj :

ЗІ = 6 р а з ів .

Відповідь: у 6 р а з ів 6 ) А,' чи Р,; в ід п о в ід ь :

= 8 •7 ■6 5 •4; Р^ = 8 ! = 8 • 7 • 6 • 5 ■ 4 • З • 2;

< Pg.

Л * = 9! Р , = 9! = Р д-

= Рд.

GDZonline.net 1151.

a) -АГ ’ = P„- За означенням маємо: А ” ‘ ‘ = (от - m + 1 )!

= т\, отже, А Г * ~

За означенням маємо:

Відповідь: Л ” '* = Р„. б) А ^ = п -

А,‘ =

Лк-І

п!

(n - h )\

п (л-1 )1

Відповідь:

— за означенням;

пі

л ( л - 1 )І

= п ■А ‘^‘ . х>4;

1152.-а) A t = 5 6 A l; ОДЗ: х(х - 1)(д: - 2){х - 3)(j: - 4 )! (х - 4 )\

хі

х>2-,

A U

56х\

56х(х - 1)(д: - 2 ) ! . ~

(Х - 2 У .

х(х - 1)(д: - 2)(х - 3) = 56х(х - 1); X = -5 — не входить до ОДЗ. Відповідь: {10}. б) A l= 1 2

■ ( х - 4 )\ ~ ( х - 2 ) і ’

ОДЗ: X > 5.

’

- 5ж + 6 - 56 = 0;

- 5л: - 50 = 0; д: = 10;

- 2 > 3. X > 5;

х(х - 1)(л: - 2)(д: - 3){х - 4) = 72(,х - 2)(х - 3)(д: - 4); д:“ _ _ 7 2 = 0; jc = 9; X = - 8 — не входить до ОДЗ. Відповідь: {9}. д, 1153. {2, З, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19}. А^ = у у = 72; з них половина неправильні дроби, тобто правильних 36. Відповідь: 36.

1154. {2. З, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23. 29}. Af, = ^

= 11 ■ 10 = 110. З них поло

вина правильних дробів, 110 : 2 = 55 — неправильних, але є ще дроби, чисельник і знаменник рівні, їх 11, тобто всього неправильних дробів 55 + 11 = 66. Відповідь: 6 6 . § 32. К о м б ін а ц ії і біном Нью тона

1163. С,^о =

20!

20 •19 : — -— = 190 (способів).

1 8!2І

Відповідь: 190. 32!

1164.

32-31

= 30,2 !

= 16 -31 = 496 (способів).

Відповідь: 496.

1165.

•С,‘о •

1 0 !-1 0 ! 1 0 !

10-9-8 1 0 -9-8-7- 6 -1 0 - 9 -8

7 !-3 !5 !5 !7 !-3 !

3!-5!-3!

1 0 » . 9» . 8 ^ ■7 ■6

~ 3 - 2 - 3 2 - 5 4-3-2

= Ю ’' Э“' 8 ' = 100 81 64 = 518 400 (способів).

Відповідь: 518 400.

1166.

С» =

3 !3 !

В ід п о в ід ь : 20.

6-5 4

= 20 (способів).

у яких

г [

GDZonline.net 20!

20-191817

116 1167. ‘^ » - і б ! 4 !

—15 ■19 ■17 - 4845 (способів).

4-3-2

відповідь: оіЯі 4845.

1168. а) с ; = 10! в)

7 !3 !

9-8-7

6 !3 ! 3 2 10-9 8

= 12 ■7 = 84;

3-2

в)

■

r ) <

- C f o ~ - ^

101.2 З

2 - З -2 = 9 0 - 4 5 = 45.

Відповідь: а) 24; б) 120; в) 11; г) 45. 8!

1169. 2 , 4, 6 , 5, з, 7, 8 , 9. .^ = — = 8 ■7 = 56 — всього, з них половина непра вильних, тобто 56 : 2 = 28. Відповідь: 28.

1170. С І = Відповідь:

п!

п !(л - 1)(л - 2 ) !

2 ! ( п - 2 )!

п ( л - 1)

л(л - 1)

1171.

2!о!

= ^ = 45; але серед цих множин є 1 0 сторін опуклого 1 0 -кут2

ннка, отже, 45 - 10 “ 35 (діагоналей). Відповідь: 35.

1172. С І = 56. С‘ = Відповідь: 56;

1173. С і = ,

п{п - 1 )(л - 2 ) 6

п ( л - 1) ( л - 2 )

32! З , , ,

32 31-30-29-28! 28!4 З 2

= 31 •29 •40 = 48 360 (способів).

Відповідь: 483 360.

1174. СІ, =

25!

25-24-23

3 !2 2 !

= 2300 (способів).

В ідповідь: 2300 тр и кутн и ків. 1175. 12 • 11 • 1 0 “ 1320 (способів). В ідповідь: 1320 способів. 1176. а) ( х + с ) ‘ = X * + 4jc“c + 6 x V + 4 х с ’ + с*; б) (а + 1 )» = а “ + 5а‘ + 10а» + 10а" + 5а + 1; ») (2 + с)* = 32 + 80с + 80с* + 40с> + 10с‘ + с \ 1177. 1 1 1 0 — дільники ■Розкладемо число 1 1 1 0 на прості м нож н и ки : 1 1 1 0 = 111 • 2 ■ 5 = 37 • З ■ 2 ■ 5; дільниками числа 1110 є одне із чисел 37, З, 2, 5 або будь-який їх добуток, різних добутків може бути С’ ч- С* -ь С, = 6 -н 4 -н1 = 11, а так о ж дільником може бути одиниця і саме число, отже, всього д ільни ків може бути: 1 1 -1-4 + 2 = 17. ^ ідп овідь: 17 д ільни ків. 1178. Д обутків: 2, З, 5, 7, 11 кратних 10.

GDZonline.net ,1

Дане число є добутком 2 • 5 • З • 7 • 11, д ільни ків для даного числа існує 9 крат. них 10. Cj + С| = З + 1 = 4, дільники З, 7, 11, 1 і саме число. Відповідь: 9 дільників.

1179. 2730 = 2 • 5 • З

7 • 13;

=—

= 10,

Відповідь: 10 чисел.

1181.

= ЗО (три кутн и ків).

Відповідь: ЗО. 1182. л-кутних діагоналей. л (л - 1 )(л - 2 )! л (л - 1 ) п = --------------- п = --------- п = 2 !(п - 2 )!

с !-п =.

(л - 2 )!2 !

р го го m (U ю

л” - л - 2л

л(л - 3)

Відповідь:

1183.

— діагоналей.

л(л - 3) 2

с| =

10 ! - 8 !

10-9-8-7-6!

2! 8 ! - 2! - 6 !

4-6!

= 90 14 = 1260 (способів).

Відповідь: 1260 способів. 1184. С,' • І т

+ С,‘ •Cfj +

1185. С І = ^

с о

Відповідь: 105.

■СІ, = 1386 + 1540 + 420 = 3346.

Відповідь: 3346. = 15 •7 = 105 (способів).

1186. а) С І = 21; ОДЗ: х > 2;

" D = 42;

- 42 = 0;

JC = 7, X = - 6 — не входить до ОДЗ. Відповідь: {7}. б) С І = 20 + лс; О ДЗ: х > 2; х(х - 1) = 2(20 + х); х^ - х - 2х - 40 = 0; д:* - Зд: - 40 = 0; ж “ 8 , д: = - 6 — не входить до ОДЗ. Відповідь: { 8 }. в) С І + С І = 15(х - 1); ОДЗ: д: > 3; —

= ^5{х - 1);

= 15(д: - 1); х(х - 1)(д: + 1) = 90(д: - 1); (д: - 1)(д;2 + л: - 90) = 0;

д: = 1, д£ = 9, д: = -10 — не входить до ОДЗ. Відповідь: {9>.

1187. а) С ^ к С І- ,

20 !

20!

2!18 !

3 !17 !

20 19 20 19 18 — г— < ---——---; 190 < 190 2 3-2

Відповідь: С^ < С ’о. б) С^о ='

ЗО!

2 !2 8 !

В ід п о в ід ь : С І = С^.

GDZonline.net \ с = €"' "■ ^ 1 8 8 . a) „ n, •

_________ — _________ • ___________ ( m _ m + n ) ! ( m - n ) ! ’ nl(.m - n )\ ~ п Ц т - n ) l '

відп овідь: тотож ність вірна.

Ö)

r ” + C '-‘ = C " ” ”

•

I л!(т-л)!

(m - n + 1)!(л - 1 )!

(m + D ! (m + l - « ) ! n ! ’

(m + 1)!

(m + 1 - л ) ! n !

ffil

m +l

(^ l)T

( т + 1 - п )!л

(m + 1)!

(/л + 1 - п ) ! л ! ’

(m + l - n ) ! n !

(m + 1)! (m + l - r a ) ! n ! "

відповідь: тотож ність вірна. f|189. Cjg -4 = 27 •26 •23 22 •10 •4! = 364 320 -4!

/Відповідь: 364 320 • 4! 1190 119U. С ^'49 = g j 4 g,

6 5 4 -3

= 49 ■47 ■46 •44 = 4 671 272.

^Відповідь: 4 671 272. t1 9 1 .a )C j= C j;

■6)

, jo<

j. 40.

U =^

201

; 6

= 6;

40! 20-19-18 40-39 2 !3 8 !’ 3 -2 ^ 2 ■

Відповідь: a) Cj = C ,; 6 ) C^o 4400

. r ’ - - И 1 . _ 12-11 10-9! ^

1192. a) « /-г ^

g, g,

1 2 ! _ 1 2 -1 1 2 !1 0 !

3 2 9!

10! _

2 -1 0 !

Відповідь: a) 220; 6 ) 6 6 . '1193 C , V C ‘ = - ^ - — = 15-7 5 = 245. 11 ЭО. .6 „ 2!13 ! 1 ! 4 !

Ш п о в ід ь : 245. 1194. a) {X - c f = д:' + с у с + C |x V " + Ctx^c^ + C*x^c' + С*д:с= + c“ =

= x‘ + 6 x‘ c + 15x*c^ + 2 0 x^c‘‘ + 1 5 ä V + 6 xc‘ + c‘ ; 6) (1 - a )’ = 1 - 7a + 21 - 35a^ + 35a* - 21a‘ + 7a« - a^; B) (nx - 1 )“ = n‘x ‘ - 5n*x* + l O n V - 2 0 n V + 5nx - 1. Відповідь: a) x» + 6 x^c + 15x‘c^ + 2 0 x V + 1 5 x V + 6 o:c* + c'; 6 ) 1 -

7a +21 • - 35а* + 35a* - 21a‘ + 7a« - a’ ; в) л“х* - бл^д:* -f l O n V - І О л ^ + 5nx - 1.

1195. a) (x + 1 )‘ + (X - 1)‘ = x *+ c y

+c y

+ СІХ + 1 + Х* - C 'x ’ +

+ C ,V - C]x + l = 2x*+ I2x^ + 2.

Ш п о в ід ь : 2 x* + 1 2 x^ + 2 . 6 ) (m + л)« - (m - n f =

+ C lm 'n + С^т^п^ +

+n« - (m* - C'm^n + C ‘m^n‘ = 1 0 лі*л + 2 0 т*л® -f 2 л“ .

Відповідь: 1 0 m*n + 2 0 m^n^ + 2 л ‘ .

23 Усі гдз, 11 кл. КН.2

+ C*mn* -n ^) =

+ C^mn* +

GDZonline.net § 33. Відомості про статистику

1202. Варіаційний ряд; 63, 67, 69, 70, 72, 75, 76, 78, 80, 82, 84, 8 6 . Розмах даної вибірки: 8 6 - 63 == 23; мода вибірки: М о = 0; медіана вибірки:

Ме =

75 + 76

151

= 75,5.

Відповідь: розмах г — 23, М о = 0; M e = 75,5. 1203. 28, 29, 29, ЗО, 31, 32, 32, 32, 32, 33; М о

оі . оо

«з

=32;M e = — -— = -^ = 31-5.

Відповідь: М о = 32; M e - 31,5. 1204. 1, 1, 1, 1, 2, 2, З, З, З, 4, 4, — варіаційний ряд.Розмах вибірки: 4 - 1 = 3. М о = 1, M e = 2. Відповідь: розмах вибірки г = 3; М о = 1; M e = 2. 1205. а) Частота розміру 26 — З, відносна частота розміру 26 —

А = ^ = 0,05 = 5 % : 60 20

ГО

9 З б) відносна частота розміру 27,5 — т г = ~ = 0,15 = 15 % ; 60 20 розмір 26 у З рази необхідно виробляти менше, н іж розмір 27,5. Відповідь: а) 3; б) 5 % ; у З рази. 1206. д:, І 1, 2, З, 4, 5, 6 , 6 , 7, 8 , 8 , 8 , 9. 13. Розмах вибірки — 12; М о = 8 ; Me = 6. Відповідь: розмах г = 12, М о = 8 , M e = 6 .

S X т

1207.

сс

«ІЧ-.

1. 2, З, 4, 5 о ^ с о о Розмах вибірки: г = 4; М о = 3; M e = 3. /1, З, 4, 6, 2, З

Відповідь: розмах вибірки: г = 4, М о =З, M e = 3.

1208.

, 4, 5, 6 , 7, 8 , 9,10 ,1 1 ,1 2 2, 9, 8 ,10, 20,17, 4, 6 , 4

*4» бали становить 2,5 % ; «12» балів — 5 % ; « 8 » балів — 25 % ; ♦З» бали — 21 % . Відповідь: найрідше зустрічались — 4 бали, 12 балів, найчастіш е — 8 балів, 9 балів. , 1209. М о = 118, 120; M e = 120; Зхс = (5 116 + 112 + 20 • 114 + ЗО

200

+ 40 • 118 + 40 120 + ЗО 122 + 20 • 124 + 10 = 119,42. Відповідь: М о = 118, 120; M e = 120; х = 119,42.

126 + З • 128 + 2

130) =

1210. л:,

230

п,

231

232

1212. І - ЗО хв, I I

233 2

234 3

235 3

236

237

36 хв, I I I — 40 хв;

X =

238

ЗО + 36 + 40 ”

106 З

239

240

= 3 5 — хв. З

Відповідь: 3 5 ^ хв. З

1213. а)

«6

1 0 0 = 5050;

б) -1 0 < л: < 110; 5,20 =

3f = ^

100

= 50,5;

■120 = 6000; х =

= 50. 120

еа В ід п о в ід ь : а) 50,5; б) 50.

GDZonline.net

г «1214.

«і

ЗО

3-10 + 4 20 + 5-30 260 13 jc = --------;;;-------- = =— 60 60

,, ^ „ M o - 5; M e = 4,5.

ß 0 n o e id b : X = 4 — ; M o = 5; M e = 4,5.

1215. a, = 21, a , = 49, 49 = 21 + Л - 1; П = 29. 21, 22, ..., 49, 13, 31, 32. 13 , 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 20, 30, 31, 31,31, 32, 32, 33, 34...... 49.

X -33 = 31 -33; x = 3 1 .

Я о - 31, M e = 33. S 33 =

Р Відповідь: M o = 21, M e = 33, x = 31.

1216.

<и іП

2 ,0

2,4

2,5

2 ,6

2,7

2 ,8

2,9

3,0

"і

2 '

X т

Відповідь: x =2,64 кг.

Ё:

1217. Розглянемо вибірку з № 1216. 2 - 2,64 = -0,64; 2.4 - 2,64 = -0,24; 2.5 - 2,64 = -0,14; 2.6 - 2,64 - -0,04; 2.7 - 2,64 ■=0,06; 2.7 - 2,64 = 0,06; 2.8 - 0,64 = 0,16; г ,8 - 2,64 = 0,26; 8,0 - 2,64 - 0,36. Сума різниць м іж варіантами вибірки і середнім значенням дорівнює: (-0,64 т 0,24 - 0,14 - 0,04) + (0,12 + 0,32 + 0,26 + 0,36) = -1,06 + 1,06 = 0. Відповідь: 0 .

1218.

105 3828

-1 0 0 % « 2 , 7 % .

Відповідь: 2 ,7 % .

^ аі

^аі

1219. х = -і^— ; Ї = п

— ; 5=

" Z ТҐіаі

1220. І: 0 ,2 ; - 0 , 2 ; -0,5; 0,3; 0,4; П: 0,1; 0,5; -0,2; -0,4; 0,5; Ш : 0,5; -0,1; -0,4; 0,3; 0,4; ^ ^ ^ 0 ,0 4 + 0 ,04 + 0 ,25 + 0 ,09 + 0 J ^ \ ^ 23 »

^ ^ 3^.

.5 с

о з LO

GDZonline.net 01 + 0,25 + 0,04 + 0,16 + 0,25

25+ 0 , 0 1 + +0,16+ 0,09+ 0,16

= л/0,142 » 0,38;

= 7o, 134 =0,37.

Я к іс н іш е працював перший токар, ö , = 0,116; ü j = 0,142; D , = 0,134. Відповідь: 0,34; 0,38; 0,37; 0,116; 0,142; 0,134, перший. 1 2 2 1 . а) Знайти середній відсоток п ун ктів міського населення У кр аїн и міст — 460, сіл — 5098. Відсоток п ун ктів міського ти п у — 8 % , всього п ун ктів — 5558. б) Знайти середній відсоток сільського населення У країн и Відсоток п ун ктів сільського типу — 92 % . Відповідь: 8 % , 92 % .

P ПЗ rn Ш Ш Ю

fO ы: s I T >4 Q. ct

§ 34. Гр аф ічн і представлення інф ормації про вибірки

1228. Інтернет дані: 1995, 2 0 0 0 , 2005 рік. 1229. Р ік — підмет, місце — присудок. 1230. Підмет — країна, присудок — к іл ь к іс т ь балів, к іл ь к іс ть медалей, к іл ь кіст ь призових місць. У кр аїн а набрала 143 бали, 6 медалей, 8 місце серед 83 країн. 1231. У кр аїн а — 162 бали, 6 медалей, 14 місце. В порівнянні з 2001 роком У кр аїн а знизила рейтинг;К и тай , Р о с ія — залиш и лись на тому ж місці; Я п о н ія з 13 м ісця піднялась на 2місце; С Ш А знизила рейтинг до 6 м ісяц я з 2-3 місця.

1232. 1 озима пшениця — 25 % — 82,8 % ;

a ID Ш I— c: <

2 3 4 5

ін ш і зернові культури — 22 % — 79,2 % ; кормові культури — 37 % — 133,2 % ; тех н ічні культури — 12 % — 43,2 % ; картопля і овочі — 6 % — 21,6 % .

1233. Всього м еш канців міст У кр аїн и — 7 841 ООО осіб. К и їв — 34 % ; Одеса — 13 % ; Х а р к ів — 19 % ; З а п о р іж ж я — 11 % ; Дніпропетровськ — 14 % ; Л ь в ів — 10 % Донецьк — 13 % ; 1 см — 10 %

GDZonline.net

г *1234. 1 см — 100 см ІСК 1

100см

зріст у см

к ількість коней

1235. 1) Н айбільш е опадів у м. К и є в і припадає на червень і липень, у м. Я л т і на грудень і січень. Найменше опадів у м. К и є в і припадає на січень, лю тий, березень, жовтень, у м. Я л т і — на квітень, серпень, вересень. 2) Н айвищ а температура у м. К и є в і припадає на червень, серпень, найниж ча — січень м ісяц ь, у м. Я л т і найвищ а температура тако ж у червні, липні, серпні, найниж ча у лю тому м ісяц і. 1237. а) Н ай більш і імпортери для У кр аїн и — К и тай (47 % ) , Туреччина (9 % ) , {талія, Ро с ія (6 % ) . Н айбільш еекспортноїпродукціїУкраїна постачає Н ім еччи н і (40 % ) , Ф р ан ц ії (9 % ) , Польщ і, Іт а л ії (7 % ) . б) У кр аїн а є імпортером і експортером для Ф ран ц ії, Іт а л ії, Угорщ ини, Велико британії. 1238.

750

900

1000

1100

1200

1750

М о = 750, M e = 900, г = 1750 - 750 = 1000 грн. а) В Тернопільській області. Херсонській, Хм ельницької, Ч еркаській , Ч ер н і вецькій, Ч ер н ігівській , В ін н и ц ькій , В о лин ській , Ж и то м и р ськ ій , Закарпатській. б) 6 областей: Севастополь, А Р К р и м , Х ар ківська, Л уган ська, Одеська, М и ко лаївська.

1239. чоловіки 2 %

6 %

7 %

8 %

12 %

14 %

Мо = 8 % Me = 8 %

"і

г = 10 %

ж ін к и 4 %

5 %

6 %

9 %

10 %

15 %

Мо = 9 % Me = 7 % г = 15 %

- 4 % =11 %

а) Найм енш ий рівень безробіття у Ірландії. Н ай більш и й рівень безробіття серед ж ін о к і чоловіків у П ольщ і, Словаччині. б) У П о льщ і і Словаччині.

GDZonline.net 1240. 1 см — 100 б.

1241. 4,5 см — 10 0 % 4 см — 10 0 % К и тай — 225-221 — 100 % Ро сія — 196 — 87 % — 203 — 92 % С Ш А - 196 — 87 % - 182 - 82 % Південна Корея — 175 — 82 % — 188 — 85 % Укр аїн а — 143 — 64 % — 162 — 73 % Туреччина — 136 — 60 % — 177 — 80 % Білорусь — 135 — 60 % — 167 — 75 %

Китай

Росія

Півд. Корея

і п Угорщ .

ту реч .

Білорусія

країни

1242. 78,08 % — азот, 20,96 % — кисень, 0,94 % — інертні газі, 0,02 % — ін ш і гази. 360° — 100 % 1 % — 3,6° 78,08 % — 281° 0,94 % — 3° 20,96 % — 75 % 0,02 % — 0,9° секторна діаграма

1243. 360° — 100 % П івн ічн и й

Корова

В ів ц я

Коза

Кобила

86,5 — 315'

82,7 — 289"

86,6 — 312"

90,1 — 324’

66,9 — 240'

4,8 — 17'

6,3 — 23*

3,9 — 14’

5,9 — 21'

2 ,8 — 1 0 ‘

Ж ир

3,5 — 13-

5,3 — 19"

3,7 — 13‘

1,5 — 5*

14,5 — 52'

Біло к

3,5 — 13“

4,6 — 1 Г

4,6 — 17‘

2 ,1 — 8 "

14,5 — 52'

Мікроелементи

0,7 — 2'

1,1 — 3‘

1,2 — 4'

0,4 — 2"

1,3 — 6 '

Вода Вуглеводи

олень

GDZonline.net

1244. а) 3 1996 по 2 0 0 1 рік к іл ь к іс ть загальноосвітніх ш к іл 1 інтернатів зросла з 280 до 326 (на 36 од.). б) К іл ь к іс т ь у ч н ів з 80 тис. до 89 тис. так о ж зросла (9 тис.). Ш л ь к іс ть загальноосвітніх ш к іл зросла в 1 ,1 2 рази, к іл ь к іс ть учн ів в 1,1 разу. 1245. № 1 *1

"і г - 6; М о ' 42; M e =» 42 >6 2

", г - 9; M o = 42; M e - 42 № З 4

"і г-= 38: М о = 15; M e - 18 № 4 *1 «1

г - 15 М о = 33; M e " 35 №5 36

2 1 1 "і г = 1 1 ; М о = 42; M e - 41 № 6

"і

7 у 25%

г-= 19 ; М о - 0; М е - 3,5.

1246. 0,5 см — 1 % . в% 5%

»16

8*-аО

Іі-за

S6-40

« і-«

4ft-S0 урожимігт»

GDZonline.net § 35. Випадкові події та їх ймовірності 1258. .1 і .

« 2 ; 4; в; 1 - і ,

Відповідь: а) -7 : б) 6 2

„3 ,6 , | . 1 .

в) —. 3

1259. а) 2 очка. Підрахуємо, скільки існує кісточок доміно з двома очками; 1 . Ь у с ь о г .2,

б) 5 очок. Підрахуємо, скільки існує кісточок доміно з п’ятьма очками: —; і ; 2 3 - . їх усього 3. Р(В) = — . g

в) 12 очок. Підрахуємо, скільки існує кісточок доміно з дванадцятьма очками: —. 6

їх усього 1. Р(С) =

Відповідь-, а)

б)

в)

1260. Підрахуємо, скільки існує кісточок доміно з шістьма очками на одній частині: 0 . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 „ 6’ ¥’ ? ’ 6 ’ ї ’ і - І=^У'=ього7. Відповідь:

7 =

1261. а) 1, 2, З, 4, 5, 6, 7, 8 , 9; Р ( А ) = і ; б)

кратне 3; Р(В) = -^ = і . 9

Відповідь-, а) Р(Л) = і ; б) -j. 9

1262. а) У кожного кубика зафарбовано три грані, тому Р(А) = 0; б) Р{В) = 0; З ^ в) всього зафарбовано 24 грані, кубиків 8; Р(С) = — = —.

Відповідь: а) 0; б) 0; в) - . 8

1263. а)

о4

= — = —; А — к у б и к з о д н іє ю за ф а р б о в а н о ю гр а н н ю ;

б)

24 З Р ( В ) = — = — ; в — к у б и к з д в о м а за ф а р б о в а н и м и г р а н я м и ;

в)

Р (С ) ~ ^

04 8

“ g ’ ^ — куби к з трьома зафарбованими гранями.

Відповідь: ») | : 1264. Р (А ) =

б) | ;

в)

а) Всього ку б и ків 54

125

125, з однією зафарбованою гранню —

54, тому

г б)

GDZonline.net 36

Ш 54

Відповідь: а)

б) —

: в) —

1265. а) Буква А ; Р ( А ) = б)

буква М ;

=^ З

Відповідь: а)

= 1

б) g-

1 2 6 6 .Я (А ) = | | = ^ .

Відповідь: — .

1267

1 Л0 І .

ЗЦ 2!

3-2

= 35 13 = 455 (способів). Р ( А ) = . ' ' 455

в ід п о в ід ь :

—— .

455

1268. Cf. = ^

Відповідь:

= 143 2 = 286 (способів);

1269. 1. 2, 3. 31 = 6 способів. (1, 2. 3): (1, З, 2); (2, 1, 3); (2, З, 1); (З, 2, 1); (3, 1, 2);

Відповідь: - .

1270. С | = ^ = ^

1271.

= 12 7 = 84; Р , А ) - ± .

(способів); Р(А) = ^ .

Відповідь: 1

1272. 41 “ 4 • з • 2 = 24 способи; Р(.А ) = — . Відповідь:

1273.

7! — способів. Р ( А ) = — .

1 В ід п о в ід ь : — ■

GDZonline.net 1274. a) A , E , O, P , T . A ' = 11 = всього 60

= 60 (способів);

= |y = 12;

12 • 3 = 2160.

6 ) a ! =60;

P (B ) =-^.

Відповідь:

2160

60'

1275. 32; 4 картки. 32 ^

Ромб. _I

ГТЗ

fO CQ Ш LÜ

28!

= 32 •31 •30 •29;

P (A ) =

Відповідь: P ( A ) = Ю -9-8-7-6-5!

1276. c.^

5 !5 !

515-43-2

= 9-28 = 252.

С кіл ьки груп можна створити із 10 по 5 деталей З двох якісн и х деталей, вибирають одну = 2 (способи). З 5 деталей — одна високоякісна, 4 — звичайних.

ЛЗ

Ct = Z

8-7-6 -5-4 !

4 !4 !

4-3-2-4!

= 70;

Р (А ) = ^

252

= ^

= І .

Ё: .5 с

о S

Відповідь: —.

1277. С І = а)

24!

_ 24-23-22

З ! 21!

3-2

С,‘„ "10 СІ С ‘

10- 8 - 6

6-23-22

6 23-22

= 6-23-22 .

40 253’

ID Ш L_

c; <

б)

в)

10 ! Ь о ___ = 6-23-22 3!7!-6-23-22 8!

Ь ____ = 6 23 22

1278. cf„„ =

; б)

253

10 .

253’

8-7-6

3!5!-6-23-22

Відповідь: а)

10-9-8 6 6-23-22

6 -6•23 -22 “ 3-23 22

100 !

100-99 98-97-96 95 6-5-4-3-2

= 5 33-98-97-8 = 40-33-98-97.

З 2 бракованих вибирають 2 браковані С| = 1. З 6 деталей — 2 браковані, 4 небракові.

Р {А ) =

98-97-96-95 4-3-2

98 97 95-4 40 -33 98 -97

В ід п о в ід ь :

14 759

10 :: в) 1 1 . 253’ 759'

6 !9 4 !

98! С* = ■ 4 !9 4 !

14 33 23

-= 98-97-95-4.

19 66 ■

GDZonline.net 12 7 9 . ä) Я к щ о студент відповідає на два запитання, то: 45■44

З 44

33.

" 60 ■59

4 ■59

59 ’

б) ЯКЩО студент відповідає тільки на одне запитання. 45

З 118’ 33

В ід п о в ід ь : а )

з б)

—

1280. Р(Л^) = 0,85; нестанд. P{Ä^) = 0,15; РІА^) = 0,75; нестанд. ^ (^ 2) = 0,25; С — подія покупки станд. лампи. ЗО % — 0,3; 70 % — 0,7; Р (С ) = 0,3 •0,15 + 0,7 •0,25 = 0,22;

Р(С) = 1 - Р (С ) = 1 - о, 22 = о, 78.

го гп CQ <и

Відповідь: 0,78. 1281. о = Зл + 2; Oj = 5; = 8; = 11. а) п = 100; d = 3; а,„„ = 5 + З ■99 = 5 + 237 = 302. Через 5 номерів з ’явл я єть с я число кратне 5, таких чисел із 100 номерів 20.

ГО І

т .5

с о

Відповідь: а) —; б) —. 5

1282. С

20!

20 ■19 •18•17■16•15■14•13•12•11

10110!

Ю -9-8-7-6-5'4-3-2

1 0 !-1 0 !-1 0 ! 6 !-4!-2 0 !

630 19171311

=4 1 7 1 3 1 1 ;

1 0 - 9 8 - 7 - 6 1 0 9-8-7-6-5 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11

630 46189

щ і. щ і. 1 ПІ 45 Р (В ) = - it = , 184 756 С ‘^ 2 !-8 !-2 0 !

Відповідь: а) 1283. а) б)

45 630 ; 6) 184 756 46 189

т ( т -1) — дві кулі білі; (т + п ) ( т + л - 1) т ■п

( т + п ) ( т + л - 1)

В ід п о в ід ь : а)

— дві кулі різного кольору.

m(m - 1) :: б) { т + п ) { т + л - 1) ( т + п ) ( т + п - 1)

1284. Cf„ = 252; С' = 2; С* = 70; Р ( А ) =

2 70 252

GDZonline.net Л

5 9’

Відповідь: —.

1285. а) Р ( А ) = - ^ ; 6 )

в)

^49

1286. а)

б) ^ ^^49

г)

'-'49

'-'36

*^49

Чб

^^49

в) 45

Чб

*^15

Відповідь: а) 3 із 49 ймовірних; б) рівнозначно; в) 13 з 15 вгадати ймовірніше.

1287. п — карток; пі — перестановок. Р ( А ) = п(п - 1)

Відповідь:

1288. С! =

п !( п ! - 1)

2, з,

4, а, Ь, с, X, у,

Э-8-7

6 ! З!

3-2

Р {А ) =

п(п - 1) п !( п ! - 1) '

З •Сі

3 3

266*

=84 (можливостей).

84’

Відповідь: — . 84

1289. З від різків завдовжки 2, З, 7, 8 , 9 см можливо скласти т а к і трикутники (2, 7, 8 ); (З, 7, 8 ); (2, 8 , 9); (З, 7, 9); (7, 8 , 9). Всього можливостей з_ ‘

_ 5 - 4 .3 - 2 _

312!

3-2-2

’

2‘

Відповідь: - .

1290.

P^A) = ^^ = : ^ 2( п - 2) пі

1291.

'-'in Р (А ) = 10!

Відповідь:

720'

720

12Q4 С^Сз^ iz a j.a ) б)

3 !7 !

1292. Р ( А ) = Відповідь:

10!

3 !- 7 !1 0 !

4!-3!-4!-3! 2 !2 ! 2 !- 7 !

4 ■З 2 ■З ■2 4 ■З ■2 ■З ■2 2 •2 2 •7 •6 ■5 •4 З •2

18 . 35’

c;-cj+c'c‘ 17

В ід п о в ід ь :

GDZonline.net

1294. Всього кісто чо к доміно 28, беруть навмання пластинку доміно, після вибо ру першої залиш илось 27 можливостей, на вибраній пластинці е дві можливості того, щоб вибрана кісточка могла бути прикладена до першої.

^ . 6 + 6;Р(Л) =і| =1. Р 0 повідь:

§ 37. Рівн осильні перетворення рівн ян ь

1319.

б +З

- 5 *" + 1 = 0 ; JC* = f; 44" - 5 f + 1 = 0; ß = 25 - 16 = 9; t, =

а)

“ В 0 п о в ід ь : X = - 1 , X = 1,

б)

x = - ,

= 1;

'= 4 '

і-

х = г - .

6 ж‘ - І» - 15 = 0; = f; 6 t" - t - 15 - 0: D - 1 + 360 = 361; t, = [5

—; JC = VЗ

1 + iq

— коренів немає.

Відповідь

1320. а) 8 х‘ - Эх’ + 1 - 0 ;І» = <; 8 t" - 94 + 1 = 0 ; і? = 81- 32 4, - 1 ; з с * - 1 ;л: = 1 :

Оповідь-.

49; 4, =

9 +7 16 ’

"‘ ^ 2 '

= 1, •* = 2 ■ - 0; 4, = 32;х^ =

б) ж‘® - 31л:» - 32 = 0; ж*=4;4" - 314 - 32 * * - - 1 ;л: = - 1 . Відповідь: х = 2, х =■ -1.

32; д: = 2; 4, = -1;

1321. а) х + - = 3-, ОДЗ: Л, крім д: = 0; х + - - 3 = 0; £ - 1 ? ^ = 0; X

|ж* - Зж + 2 = 0; ^2 _ 3^ + 2 = 0; X, = 2; Xj = 1; І , = 2 є О ДЗ; - 1 Є ОДЗ. 1*5*0; Відповідь: { 2 ; 1 }. Зі 2 . , . 3a:(x + 1) + 2 (ж - 1) - 5(х* - 1) + г = 5; О ДЗ: R , крім ж = -1, х = 1. — ^ —Ч— 6) ( X - 1)(х + 1) х -1 ї +1

-2х‘ + 5 і + З = 0;

Зх‘ + 3х + 2 х ~ 2 - 5х‘ + 5 = 0 ; Z 2 f l± 5 £ ± 3 ^ (х - Ш х + І) { X - Ш х + 1) -2х*

+ 5 ї +

2x"

5х

- З “ 0;

ж, - 3; = -1; X, = З Є ОДЗ; Відповідь: {3}.

х-4 і +2

(x - l)(x + l ) ^ 0 ; 24

49;

д:.

- -1 ^ ОДЗ.

х - 2 ; О ДЗ: R , крім X = -2, X = -1. (JC ~ 4)(х + 1) (х 2)(х -і; 2) ^ х +1 (X + 2)(х + 1)

У - Зх - 4 - х" + 4 (X + 2 )(х + 1) Відповідь: { 0 }.

= 0;

-Зх

(X + 2 К х + 1 )

= 0;

-Зх = 0; (X + 2)(х + 1)

X- ОЙОДЗ. 0;

GDZonline.net г)

х + 1

х‘ -1

х + 1

д: + 1 - 3 ( x - 1 )

; ОДЗ: R , крім X = - 1 , д: = 1.

х ’‘ - 1

x + 1 -З х + З

= 0;

х^ - 1

-2х + 4 = 0; -2х + 4 = 0; -2х = - 4 ;х = 2 В ОДЗ. = 0; х‘ - 1 * 0: х‘ - 1 Відповідь: {2}. -2 а: + 4

у 1322. а) ^ + у -4 у +4

32 ; ОДЗ: Л, крім j/ = 4, у = -4; у -16

у ^ + 8 у + 16 + у ‘ - 4 у - 32

д.

(j/-4)(i/ + 4)

2 у "+ 4 у - 1 6

у^+ 2у-8

д.

’ (j/-4)(i/ + 4)

’

р.

(j/ - 4 )(y + 4)

’

+2у 8-0, + 2і/ - 8 = 0; I/ = -4; j/ = 2; і/ = -4 — не н алеж ить ОДЗ; (У - 4)(і/ + 4) 0; у = 2 — належ ить ОДЗ. Відповідь: {2}. у

2у -1

~ 1

4у

2і/ + 1

ОДЗ: « . к р і м і/ = і

(у +1)(2і/ +1) - (8у -1) - (у - 1)(2у -1) 2’

( 2 і/ - l) ( 2 j/ + 1 )

2 у* + у + 2 ;/ + 1 - 8 у + 1 - 21/’’ + І/ + 2 у - 1 _ (2 < /- 1 )( 2 у + 1)

-2у + 1 = 0 ; {2 у - 1)( 2 і/ + 1) ^ 0 ;

-2у + 1

(2 у - 1 )(2 у + 1)

У =\

- 2 у + 1 = 0; - 2 J/ - - 1 ; J/ = ^ :

_ ’

не належ ить ОДЗ.

Відповідь: 0 . в)

—^ у -6

у +6

у-Зо

ОДЗ: R , крім і/ = 6 , j/ = - 6 ;

У(і/ + 6 ) + (у - !)({/ - 6 ) - 3 ( 1/ + 18) _

у “' + 6 у + у* - 6 у - у + 6 - Зу - 54

!/^-36 2у^ - 4у - 48

у’ - 3 6

= 0;

’ 2у

4у 48 у^-36* 0;

J/2-36

О, ^ ^ g_ ^ ^

„

“

= 6 — не належ ить ОДЗ.

Відповідь: {-4}.

г)

2у - 2

3 +у у^+2 7 = -2----- : ОДЗ: у+іу^' +у

2 (у - 1)(у+ 1 )- (З + у )у - у^ - 2

У(!/ + 1) - З у - 4 = 0; - З у = 4; у =

Відповідь:

R, крім у= О, у = -1 ; я .» р.

2у^ - 2 - З у - у^- у^ - 2

!/(У + 1)

’ 4

д.

| - З у - 4 = 0;

’ [у(у + 1) ? ! 0;

— належ ить ОДЗ.

~^j-

1323. а) д:" + 2л:^ - X - 2 - 0; ОДЗ: Д; х Ц х + 2 ) - ( х + 2 ) = 0 ; ( х + 2)(х^ - 1) = 0; х + 2 = 0; {X

+ 2){х - 1)(х + 1) = 0;

Відповідь: {-1, 1; -2).

х = -2 ;

X - 1 = 0;

х = 1;

л: + 1 = 0 ;

х = -1 .

б) X* +

х(х +

^ = 0; ОДЗ; R ; х \ х + 1) + х { х + 1) = 0; (л: + - 1) = 0 ;

х = 0;

д: = 0;

( X +1)^ = 0;

X =

( J c - 1) = 0 ;

1 = 1.

1)(х® -

GDZonline.net х ) = 0;

-1;

^ п о в ід ь : {О, -1, 1}. Ш 4 . й ) х >- 2 х ^ + х - 2 = 0; ОДЗ: Д; х ^ х - 2) + (х - 2) = 0; (х - 2)(х^ + 1) = 0; ^ _ 2 “ О; д: = 2: ж““ + 1 5^ 0. ßtdnoeidb-. { 2 } .

g t x ’ + 2 х ‘ - 5ж - 6 = 0; ОДЗ: R; х ^ - 1 — к о р ін ь р ів н я н н я ; (Ж + I K x ^ + X - 6 ) = Q ; ( x + l ) ( x - 3 ) ( х + 2) = 0 ; * + 1 = 0;

X = -1 ;

, - 3 = 0;

* = 3;

* + 2 = 0;

х = -2 .

Відповідь: { - 2 , -1, 3}. 1 Й 5 . а) + 2 У - 5(х ‘ + 2) = 6; ОДЗ: Ä; + 2 = t, t > 0; - 5t - 6 = 0; t, - 6 ; t, = - 1 ; + 2 ■= 6 ; x‘ = 4 ; X = ±2; x“ + 2 = - 1 ; x^ = - 3 ; к о р е н ів н е м а є. Відповідь: {-2, 2). б) (л* + 3*)^ - 12(х‘ + Зх) + 20 = 0; ОДЗ: В ; х ‘ + Зх = t; - I2 t + 20 = 0; t, - 10; t , = 2 ; ^ + 3 x = 10; *=' + 3x - 10 = 0; x^ ■=-5; = 2; -3 + n/I7 -3-N^ Ж» + 3 * = 2;

Відповідь:

+ 3 * - 2 - 0;Г» = 9 + 8 - 17; л, =

-3 + л/Ї7 - 3 - . І Ї 7 -5; 2; ■

в) ( ї* + 5хУ - 2(х^ + 5х) = 24; ОДЗ: Ä ; х ’‘ + 5х = і; ** + 5 * = 6;

- 2t - 24 = 0; f, = 6 ; t^ = -4;

+ 5 * - 6 = 0; а: = - 6 ; jc = 1;

ж» + 5ж = -4; ж* + 5л + 4 = 0; Ї = -1; ж = -4.

Відповідь: {- 6 ; -4; -1; 1}. г) (ж* + ж + 1)* + 6 (х^ + ж - 1) - 55 = 0; ОДЗ: Д; ж^ + ж - 1 = f; t - - l l ; f - 5; ж* + ж - 1 = - 1 1 ; ж“ + ж + 10 = 0 ; к о р е н ів н е м а є; ж» + ж - 1 = 5; ж* + ж - 6 = 0; ж = -3; ж = 2.

+ 6 t - 55 = 0;

Відповідь: {-3; 2}.

1326. а) (ж* - 2ж)(ж^ - 2ж - 4) = -3; ОДЗ: R ; ж* - 2ж = f; f(f - 4) = -3; t » - 4 f + 3 = 0 ; t , = l ; t , = 3; 2 + 2^2 ж» - 2ж = 1; ж^ - 2ж - 1 = 0; D = 4 + 4 = 8 ; ж.,, = ■ ~ ■ ж» - 2ж = 3; ж=>- 2ж - з = 0; ж, = 3; ж^ = -1.

Відповідь: {- 1; 3; 1 -

1 +V i } .

б) (ж* + ж + 1)(ж^ + ж + 2) = 12; ОДЗ: Ä ; ж^ + ж + 1 = t; f(t + 1) = 12; t“ +t - 12 = 0; t = -4; t = 3; Ж* + ж + 1 = -4; ж* + ж + 5 = 0; коренів немає; ж* + ж + 1 = 3; ж* + ж - 2 = 0; ж = -2; ж = 1. Відповідь: { - 2; 1 }. в) (ж^ - 2ж - 5)(ж‘‘ - 2ж - 6) = 6; ОДЗ: Л; ж“ - 2ж - 5 = t; t(f - 1) = 6; t* - t - 6 -= 0; t, - 3; t, “ -2; r* - 2ж - 5 = 3; ж’* - 2ж - 8 = 0; ж = 4; ж =-2; - 2ж - 5 = -2; ж* - 2ж - З = 0; ж = 3; ж - -1. Відповідь: {-2 ; - 1 ; 3; 4}. г) (ж* + Зж + 1)(ж* + Зж + 2) = 6 (ж* + Зж); О ДЗ: Д; ж=^ + Зж - t; (t + D (« + 2) = 6 t; t’ + 3t + 2 - 6 t = 0; t^ - 3t + 2 = 0; t, = 1; = 2;

GDZonline.net + З х = 1;

+ З х - 1 = 0 ; £) = 9 + 4 = 1 3;

х, ^ =

д:^ + З х - 2 = 0 ; Ö = 9 + 8 = 17; Х3 , =

-з ± > Я з

•

1 3 2 7 . а) (X - 2У + 3 (х - 2У = 18; ОДЗ: Д; х - 2 = <; t* + 3«^ - 18 = 0; (2 = - 6 ;

= 3 ; < = ±n/3;

х - 2 = л/3;

= 2 + n/3;

- 2 = -> /3 ;

= 2 - >/з.

{2 - -УЗ; 2 + \ /з } . (3x2 + _ 9 ( 3^2 + ^)з = _ 8 ; О Д З: Д ; (3^:2 + х)^ = (;

В ідповідь:

б) го Iго го ш 01 ID

(Зх^ + x f =

т %

X т

CL 5 ъ

х, ^

- 1 -> /Ї З 6

, - 1 + гЯ з - ; - 1: 6

2 — 3,

1328. а) (х2 + 2 х )» + 4(х2 + 2 х ) ‘ = 5 ; О Д З : Я ; (х2 + 2х)^ = t , t > 0 ; + 4 t - 5 = = 0 ; ( = - 5 ; і = 1; (x= + 2 x ) ‘ = - 5 — к о р е н ів н е м а є; (x2 + 2x)^ = 1; x2 + 2 x = - 1 ; x 2 + 2x = 1 ; x2 + 2 x + 1 = 0 ; (X + 1)2 = 0 ; X = - 1 ; x , = - l - j 2.

x2 + 2 x - 1 = 0 ; D = 4 + 4 = 8 ; x . ^ = - 2 ± 2 s/2 ; { - 1 - ^/2; - 1 ; - 1 + >/2 } .

В ідп овідь:

(X + 1)0 - 2 (x + 1)^ = 4 8 ; ОД З: Л ; (x + 1)® = t; <2 - 2 t - 4 8 = 0 ; f = 8 ; = - 6 ;

(x + 1)® = 8 ; X + 1 = 2 ; X = 1; (x + 1)^ = - 6 ; x + 1 = - ^ 6 ;

f + - = 1;

2x + l 2x + l

2’

(2 - t + 1

<2 - t + 1 = 0; = 0;

і ;£ 0;

t t В ідп овідь: {0 }

6) ^

4j2 - 4 f + 1 t

2x X

- ^ -1

x = - l - ^ .

{- l-^ ;l}.

В ідп овідь:

1329. a)

J2 - t + 1

= 4; О Д З: R . к р ім x = 0 , x = 1;

0 ; к о р е н ів н е м а є.

= С ^

4<2 - 4 t + 1 = 0;

= 0;

, ^0;

+і - Ь о ; < 2

t —

4 f + і - 4 = 0;

= y: 1

( 2 i - l ) 2 = 0 ;2 i = l:

х = ± Д ^ \3

2x + l

x :

—

1 = 2 =

X + 1 = 0; X - 1 = 0;

X = -1 .

В ідп овідь: {-1 }.

2 3’

^ .----11 . ^

х , = - 1- -^5 ;

6) ю ш 1_ с; <

X =

(3x2 + х)^ = 8 ; 3x2 + X = 2 ; 3x2 + X - 2 = 0 ; D = 1 + 24 = 2 5 ; х , =

1 ; 3 x2 + X = 1; З х* + X - 1 = 0 ; £) = 1 + 1 2 = 1 3 ;

В ідповідь:

го

- 9 ( + 8 = 0 ; «, = 1 ;

1330. a)

x -2

x+3

X + 3

x -2

О Д З : R , к р ім X = 2 , X = - 3 ;

x + 3

= t;

X + 3

x - 2

GDZonline.net 2t^ - 5 ( + 2 = 0;

■

2 t Ф 0;

5+3

2t» - 5t + 2 - 0 ; D = 2 5 - 1 6 = 9 ; f, = — о . 5 -3 , 1 - 2 ; <2 ^ ■ ‘2 - 2 ' i z l = 2; * + 3

^ - ^ - ^ ^ - ^ = 0; JC+ 3

-л - 8 = 0;

Z £ ^ = 0; ЗС + З

х + 3*0\

- 8 = 0; -де = 8; X = - 8 Є ОДЗ; 2£ л ± і £ : і 1 = 0; 2 (1 + 3 )

• ü z l - h * + 3 2’

^ ^ = 0; 2 (x + 3)

X - 7 = 0; 2 (х + 3)

х -7

= 0 ;л := 7 Є

О Д З.

■ Відповідь-. { -8 , 7}. =

О Д З : Д , к р ім X = 1. X = - 1 ;

= С

2 t - i - l = 0;

2f* - t - 1

2t ' - t - 1 = 0;

= 0;

f 1 -3

1+ 3 2 t ' - f - 1 = 0 ; D = 1 + 8 = 9 ; t, = —

, 1 ‘. = - 2 -

Л* - 1 , — = 1; x‘ + l ‘

rü

-1 - 1 „ ---------r ~ : : -------- = л:* + 1

**_1 _

- « + 11 ж*

2 ( : е ' - 1 ) + л: ' + 1

-2 „ jc ^ T T ~

к о р е н ів н е м а є;

2 (x^ + 1" )

2’

s X T

g: с а

3 x ' - 1 = 0; = 0;

t, = 1;

P rt3 m Ш (U Ю

л ' + 1 js 0;

2(ж* + 1 )

LO !=: <

г л

J_. J_ ■В і д п о в і д ь :

f ^

' S

’ s

1 3 3 1 . a ) x ’ ^ 2 - x ; ОДЗ: Д;

+ д: - 2 = 0 ; x = 1;

ac* + д: - 2 x - 1 'x * - x '

+ X + 2

X* + X

2x - 2 2X - 2

(x - l ) ( x ' + X + 2 ) = 0 ;

X - 1 = 0; X* + X + 2 = 0 ;

* - 1 “ 0 ; X = 1 ; X* + 4 x + 2 = 0 ; к о р е н ів н е м а є. В і д п о в і д ь : { 1 }.

CsJ

б ) 2jc“ “ -д : - 3 ; 2 * " + д: + з - 0 ; X -

GDZonline.net

д: + 1

2 x ‘ + jc + 3

2х ‘ + 2х “

2 х * + 2 х ‘ + 2х* - 2 х + З

- 2х ‘ + X - 2х* - 2х* 2х* + х 2х ' + 2 х ‘ -2 х‘ + X

- 2 х ’ - 2х Зх + 3 Зх + 3

(X + 1 )(2 х ‘ - 2х> + 2х* - 2 х + 3 ) В ідповідь: {-1 }.

0 ; (X + 1)(х* - х> + х* - х + 1 ,5 ) -

1 3 3 2 . а ) X* + X» - 2 х » - З х - З - 0 ; О Д З : R ; ( х * - 2х* - 3 ) + (х* - З х ) - 0 ; (х* - ЗКх* + 1 ) + х (х * - 3 ) - 0 ; (X » - 3 )(х * + X + 1 ) -

X* - З = 0 ;

■= ± J 3 ;

X* + X + 1 = 0; В ідп овідь:

б)

X» -

{ - 7 3 ; л /з } .

5х* + 5 х - 1 - 0 ; X ” 1;

х '- 5 х * + 5 х - 1

* -1 х’ - 4х +1

-4 х * + 5х - 4 х ' + 4х х -1 х -1 О (X - 1)(х* - 4 х + 1 ) - 0 ; X - 1 ; х = 2 + >/3;

х = 2-У ІЗ .

В і д п о в і д ь : {2 - >/3; 1; 2 + ^/з}.

в ) х ‘ - 2 х ‘ - X» - 8х » + 1 6 х + 8 - 0 ; О Д З : Я ; х «(х » - 2 х - 1) - 8(х * - 2 х - 1) - 0 ; (X* - 2 х - 1 KJC* - 8 ) - 0 ; х ’ - 2х - 1 = 0; х ’ - 8 = 0; X = 1 + V 2 ; X = 1 - л/2; х = 2. В ідповідь:

{ і _ ^2; 2; 1 + л ^ ;}.

- 0 ; к о р е н ів н ем ає.

GDZonline.net 6~

+ 2x‘ - 5x -

0; О Д З : R ; x = 2;

x -2

X* + 2x ^ - 5jc - 6

x^ + 4 x + 3 4x ^ - 5 x

’ 4x^ - 8 x 3 x -6 'З х -6

(X - 2 ) ( x ‘ + 4 x + 3 ) = 0 ;

x - 2 = 0;

x = 2;

x ‘ + 4 x + 3 = 0;

X = -1, X = -3 .

В і д п о в і д ь : { - 3 , - 1 , 2 }. ^ X* + x^ -

l x '‘ -

X + Ъ = Q;

ОДЗ: Я ; x ^ ( x + l ) - 1 ( x - ¥ \ )

(X + 1)(д: -

l ) ( x ^ + jc - 6 ) = 0 ;

= 0; { x + l) ( x * - 7л: + 6 ) = 0 ;

л: + 1 = 0 ;

X = - 1;

X - 1 = 0;

x = l;

jc* + X - 6 = 0 ;

X = - 3 , X = 2.

В і д п о в і д ь : { - 3 , - 1 , 1, 2 }. 2x ^ - 9 x ‘ + 2 x + S = 0 ; О Д З : R ; ( x ‘ - 8 )(*^ - 1) - 2 x ( x ^ -

Д) Ж* -

(Ж* - l ) ( x 2 - 8 - 2 x ) - 0 ;

1) = 0 ;

■1 = 0, a: = 1 , д: = - 1 ;

x‘ -2x-8 = 0,x = 4,x = -2.

{-2, - 1 , 1, 4 }. 1333. a) (2x^ + xf =(X* - 4x^ + 4); ОДЗ: R; {x(2x + 1))^ = =(x^ - 2У; 4x* +4x^ + x‘ -x* + 4x^-4-0;3x* + 3x* + 5x‘ -4~ 0; Злг* +ax’*+ x‘ + x^ + 4x^ - 4 = 0; 3x\x + +1) +x^(x + 1) + 4(x* - 1) = 0; (x + l)(3i* + +4д: - 4) = 0;

В ідповідь:

(ж + 1) = 0;

3x‘ +x^ +4x-4 = 0;

- 1.

Відповідь: {-1}.

б) -

+ 8 = (2x‘ + 3)2 - 1; ОДЗ: R; x* - Gx‘ + 8 ^ 4x* + I2x^ + 9 - 1; x*x = 0;

+ 8 - 4x* - 1 2 x ‘ - 9

+ 1 = 0 ; - 3 x * - 18x* = 0 ; - З х Ц х ^ + 6 ) = 0 ;

x ^ + 6 = 0;

* - 0.

Відповідь: {0).

в)

+ Зх + 2У =

Юх + 25; ОДЗ: R;(х + 2)*(x + 1)* = (х - ЬУ;

(х + 2 )(х + 1 ) = (х - 5 ); X + 2 = 0 ; X = - 2 ; X + 1 = 0 ; X = - 1 ; X - 5 =

0 ; X = 5;

1) X < - 2 ; х^ + 4 х - З = 0 ; х ^ = - 2 + УІ7 — н е н а л е ж и ть О Д З ; х , = - 2 - ^ — к о р ін ь . 2) - 2 < X < - 1 ; х^ + 2 х + 7 = 0 ; Г> < 0 ; к о р е н ів н ем ає;

3) - 1 < X < 5 ;

+ 4 х - З = 0 ; Xj = - 2 + -У? — н а л е ж и т ь п р о м іж к у [ - 1 ; 5];

х, = - 2 - ^

— не н а л е ж и т ь п р о м іж к у [ - 1 ; 5]; 4) X > 5 ; х ““ + 2 х + 7 = 0 ; D < 0 ; к о р е н ів н е м а є.

Відповідь: {-2 - >/7; - 2 + V ? }. г) (х - 1)3 + (2 х + 3)» = 2 7 х ’ + 8 ; О Д З : Д ; (х - 1 + 2 х + 3 )((х - 1 ) ' - (х - 1 )(2 х + + 3 ) + (2 х + 3)=“) = (З х + 2)(9х^ - 6 х + 4 ); (З х + 2)(х^ - 2 х + 1 - 2х^ - З х + + 2 х + З + 4х* + 1 2 х + 9 ) = (З х + 2 )(9 х * - 6 х + 4 ); (З х + 2)(3х^ + 9 х + 1 3 ) = (З х +

GDZonline.net + 2)(9jc^ - 6 x + 4 ); (3 x + 2 )(-6 x ^ + 15л: + 9 ) = 0 ; (3 x + 2 ) (2 i* - 5 x - 3 ) = 0 ; л: = - Я. 1 3’ Д .-3 ; ^ = - 2 ;3

В ідп овідь:

2 л :+ 1

1 3 3 4 . a)

j: + 1

д:* + 2jc - 3

.о ^

2x + l

X + 1ix + 2 ) ( x - l )

+ д: - 1 = 0;

ПЗ

(X + 3)(л: + 2 ) ( x - 1 ) - l - S

В ідп овідь:

+ 6д: + 8

(x + 3 )(x + 2 ) ( x - l )

x‘ + x - l { x + 3 )(x + 2 )(x - 1 )

= 0;

- l + r/5

- i - S

- l + yfE

х^ + 6 х + 8 * 0 ;

Зл: + 9

2x + l

д :^ -а : - 6

л :* + а : - 1 2

5 -х

’

+ д: - 1 = 0 ; D = 1 + 4 = 5 ;

О Д З : R , к р ім X = - 3 ,

(2 д: + 1 )(х + 2 ) - ( д : + 1 Хлс + 3)

- Q.

= 0;

• { X + 3 )(л + 2 ) ( * - 1)

m CQ <u LQ

x ‘ + x - 2 * 0 -,

(x + 3 ) ( * - l )

2x‘ +4Х + Х + 2 - x ‘ - З х - х - 3

x‘ + 2 x-3 *Q ;

0Д З;

+ x -2

: ОД З:

х^ - X - 6 ф О ; х ‘ + х - 1 2 * 0;

I T

5 -х

Зх + 9

О Д З :Л ,к р ім . = - 2 . . = - 4 . . = 3; ( , , 2 ) ( . . 4 )

(..2 )(.-3 )

2х + 1

( . . 4 ) ( . - 3 ) = 0;

.S с

(5 - х ) ( х - 3 ) + (З х + 9 )(х -н 4 ) - ( 2 х + l ) ( x + 2)

( х + 2 Х х + 4 ) ( х - 3)

= 0;

5 х^ - 15 - х* - З х + Зл^ + 1 2 х + 9 х + 3 6 - 2 х ’’ - 5 х - 2 (X

+ 2 )(х + 4 )(х - 3)

= 0:

2 4 х + 19 = 0; (X

+ 2 )(х + 4 )(х - 3) * 0;

В ідповідь:

( і

2 х - 2

19; х -

= 0;

19 — .

. в)

24х + 19 (х + 2 )(х + 4 Н д :- 3 )

24І

З г + х -3

х +6

5 Х -1 2

х -1

; О Д З : R , к р ім х = 2 , х = З, х = - 6 , х = 1.

5 Х -1 2

(х -2 )(х -3 )

(5 х -1 2 )(1 0 х -1 2 )

(х + 6 ) ( х - 1 ) ’

(X -

2 )(х - 3 )(х + 6 )(х - 1)

( 5 х - 1 2 ) ( х ^ + 5 Х - 6 ) - (5 х - 1 2 ) (х ' - 5 х + 6 )

(X -

2 )(х - 3 )(х + 6 )(х - 1)

'5 х - 12 = 0; = 0;

10 х - 1 2 = 0; ( х - 2 ) ( х - 3 ) ( х + 6 ) ( х - 1 ) ; ‘ 0;

В ідп овідь:

6 , 12 5 ’ 5

ем

г)

З х -1

5х + 1

х “ - 2х^ - X + 2

х^ + Зх" - X - З

3(х^ - 1 ) ’

GDZonline.net 3 * 2 І _ + _ 5 £ ± 1 _ _ _ 3 1 _ = 0; Г 2К *“ - 1 ) + 3)(jc'' - 1 ) 3 (x‘ - 1) (* ОДЗ: Л . к р ім X = 2 , X = З , X = - 1 , X = 1. - 1)(х + 3) + ( 5 х + 1 ) ( х - 2) ■З - 3 2 (х - 2 )(х + 3)

д.

-------------------- 3(д: - 2 Х х + 3 )(х - 1)(дс + 1)

’

9Х:* + 2 4 ї - 9 + 1 5 х ^ - 2 7 i - 6 - 3 2 ї ' - 3 2 х + 192 = 0; 3 ( j: - 2 ) (

+ 3 )(x - 1 K

+ 1 )

- 8 х^ - 3 5 х + т

- 8х* - 3 5 л + 17 7

= 0;

= 0-,

3 ( 1 - 2) { х + 3 ) ( х - 1 ) ( ї + 1 )

- 8* ’ - 35Х + 1 7 7 = 0 ; п - 6 8 8 9 ; JCi =

35 + 83 Tr— : -1 6

,3 3 5 -8 3 *i = - 7 - — н а л е ж и т ь ОД З; х^ = ----8 -1 6

» З — н а л е ж и ть О Д З. В ідповідь:

1335. а) (х^ - 4хУ + 2[х - 2)2 = 0 ; ОД З: Я ; (х^ - A x f > 0; (х - 2 f ■ 2 > 0 ; (*• - і х У + 2 ( х - 2 f * 0 ; к о р е н ів н е м а є. В ідповідь: 0 . б) (*» + бд:)“ + 1 1 (х + 3)2 = - 5 7 ; О Д З : Я ; ( х ‘ + G x f > 0 ; 11(ж + 3)^ > 0 ; ( х ‘ + 6jc)2 + 1 1 ( х + 3)2 > 0 ; к о р е н ів н е м а є. В ідповідь: 0 . ■) ( х ^ - х - 1)2 - Зд:2 + Зл: - 1 = 0 ; (х2 - X - 1)2 3 (л:2 - л ) - 1 = 0 ; ОД З: R ; *» - JC - f; ( і - 1)2 - 3 t - 1 = 0 ; «2 - 2< + 1 - 3 f - 1 = 0 ; t* - 5 f = 0 ; t ( t - 5) = 0 ; t = 0; t - 5 = 0: *2 - a: = 0 ; x { x - 1 ) = 0 ; л: = 0 , x = 1 ; *2 - ж = 5 ; д:2 - X - 5 = 0 ; I> = 21; x =

В ідповідь:

г)

0; 1 ;

1-72Ї

1 + л/2Ї

1 -У ІП

l +V ^

( і 2 + Зд; + 2)2 - 4 ї 2 - I 2 x - 13 = 0 ; (x^ + 3 x + 2)2 - 4(^2 + 3 x ) - 13 = 0 ;

0ДЗ: R ; x^ + 3 x = t ; (t + 2)2 - 4t - 13 = 0; t* + 4t + 4 - 4« - 13 = 0; <2 - 9 = 0; t - 3 ; t = -3 ; -3 + y/ ^ ; ** + 3 x = 3 ; x2 + 3 x - 3 = 0 ; D = 9 + 12 = 2 1 ; x , = -----A

*2 + Зд: = - 3 ;

n,,

^Ш повіОьі

-3 - -Jn

x = --------

;

+ 3 x + 3 = 0 ; Ü = 9 - 12 < 0 ; к о р е н ів н ем а є.

J-3-7n

-3 t

+ Jn •

1336. a) (X + l ) ( x + 3 ) (x + 5 )(x + 7) - - 1 6 ; О Д З : Д ; ( x + l ) ( x + 7 )(x + 3 )(x + 5 ) = - - 1 6 ; (x2 + 8 x + 7)(x2 + 8x + 15 ) = - 1 6 ; x2 + 8 x + 7 = t; t ( t + 8 ) = - 1 6 ; (2 + 8 f + + 16 - 0 ; (f + 4)2 = 0 ; і = - 4 ; ** + 8x + 7 = - 4 ; x2 + 8x + 11 = 0; D = 64 - 44 = 20; Xi =

- 8 + 2S

- 8 - 2V5

GDZonline.net x, = -4 + -JE; д:, = -4 - ^IE. В ідп овідь:

{ - 4 - JE-, - 4 + -JE}.

( X + l ) ( , x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 6 ) = 1 3 ; О Д З: Д ; ( x + 1)(л: - 6 )(x - 2 ) ( x - 3 ) = 13; - 5 x - 6)(x2 - 5 x + 6 ) - 13 = 0 ; - 5д; = ( ; (( _ 6 )(f + 6 ) - 13 = 0 ;

- 36 - 13 = 0;

- 49 = 0; f - 7; і = - 7 ;

x ‘ - 5 x = 7-, x ‘ - 5 x - 7 = 0 ; D ^ 2 5 + 2 8 ^ 53; x, =

= S j-^ / Й ,

- 5л: = - 7 ; jc* - 5л + 7 = 0; D = 25 - 28 < 0; коренів немае. ,

В ідп овідь:

j5 -> /5 3

5 + ч/53

в) (j: - 3)(д: + 4 )(,х + 5 ) ( х - 2 ) = 1 8 ; ОД З: R ; ( х - 3 ) (х + 5 )(х + 4 ) (х - 2 ) = 18; (х^ + 2 х - 1 5 Х х ^ + 2 х - 8 ) = 1 8 ; + 2д: - 8 = і ; t ( t - 7) - 18 = 0 ; - 7< - 18 = 0; *1 “ <2 = “ 2 ; + 2л: - 8 = 9 ; д:^ + 2д: - 17 = 0 ; £> = 4 + 68 = 7 2 ;

_2 + 6 ^ 2

/д:, = - 1 + 3^/2;

+ 2* - 8 - -2 ; * “ + 2ж - 6 - 0; D = 4 + 24 = 28; *, = „

2 В ідп овідь:

г)

зг, = -1 + v/T;

._-_1 _ - А

І-

{ - 1 - л/7; - 1 - Зл/І; - 1 + ,/7 ; - 1 + З ч /г }.

- 2 ) ( х + 3)(а: - 4 ) { х - 9 ) = - 1 2 4 ; О Д З : R-, ( х - 2 ) ( х - 4 ) ( х + 3)(д: - 9 ) = - 1 2 4 ; (х^ - 6 х + 8 )(х* - 6 х - 2 7 ) = - 1 2 4 ; (х^ - 6 х + 8 )(д:‘' - 6х + 8 - 8 - 2 7 ) = - 1 2 4 ; (X

- бд: + 8

= f; f ( f - 3 5 ) = - 1 2 4 ; t ‘ - 3 5 t + 1 2 4 = 0 ; t, = 4 ;

д:=“ - бд: + 8 = 4 ; д:^ - бд: + 4 = 0 ; J3 -

х^ - б х + 8

1337.

; X, = 3 + 2 ^ /3 ;

, = 3 - 2

;

х, =

З+

n/S;

уі З .

{ з - 2^/3; З - >/5; З + ч/б; З - 2 , / з } .

а)

х^ Л х - З '

, „ , , 18 18 1 х^ + 2 х + 1 = і ; ----------------------f t+ 1 t-4 18 f(« + l )

16 = 2 0 ; X, = -

= 3 1 ; х^ - б х + 8 - 31 = 0 ; х^ - 6х - З = 0 ; К = 36 + 12 = 4 8 ;

X, = ^ В ідп овідь:

36 -

= 31;

1 , < -4 ’

18 t(t + l )

1 t -4

а: = - 1 . X = - з , X - 1.

18(t + l ) - 1 8 f 1 18і + 1 8 -1 8 < 1 • • + 1) t -4 + 1) і -4

=^0 ’

l ^ L l U z J — l l = Q. t(t + l ) ( t - 4 ) ’

-t‘ + n t -7 2 t(t + l ) ( t - 4 )

Д.

_(2 + i 7 ( - 7 2 = 0; + l )( t - 4 )

- t ^ + 17 t -

72 = 0 ;

- 17 « + 72 = 0 ; f , = 8 ; f , = 9; ‘ ^

x^ + 2x + 1 = 8; x" + 2x - 7 = 0; D = 4 + 28 == 32; X, ^ a - ~ 2 - 4 > /2 . ^ ^ = _ i _2V 2;

x, = -1 + 2^2;

GDZonline.net j + 2* + 1 “

+ 2д: - 8 - 0 ; a; = - 4 ; jc = 2.

ь; { - 1 - 2 л / 2 ; - 4 : - 1 + 2 л /2 ;2 } . 16 б)

= 1 ; x ^ - 6x ^

(x^ - 6 x + 5 )

T Z l x + 8)

= 1; О Д З : R , к р ім x = 1, x = 2 , x ’= 4 , x = 5.

( л с - 1 К д :- 5 )

^ ,c -2 )(x -4 )

ifit +80 + 7 f + 5 6 - < * - 1 3 t - 4 0

(f + 8Kt + 5)

’

+ 10 « + 96 - 0 ; - 16; fj -

t ; -r— ^ + T - T = 1 : <+8 t+ 5

-t * + 1 0 ( + 9 6

jj.

~ t ‘ + 1 0 t + 9 6 = 0;

(t + 5)(t + 5)

(t + 8 )(t + 5) 5b 0;

- l o t - 9 6 = 0 : D = 1 0 0 + 3 8 4 = 4 8 4 ; t, =

10 + 22

10 -2 2 2 ’ *2 “ ~ ’

- 6л ■= 1 6 ; Jc* - 6л: - 16 = 0 ; X = 8 ; X = - 2 ; - 6* “ - 6 ; - бд: + 6 = 0 ; Z) = 3 6 - 2 4 = 12; « . . 3 . Ä

, . . 3 - Ä

В і д п о в і д ь : { - 2 ; З - -УЗ; З + 7 3 ; 8} .

x ‘ + 2x = t ;

-5 t- 6

= 0;

t(f + 3 )

t-2

„

+ T— r = 2;

t+ 3

- 5 t - 6 = 0; t(t + 3 ) ?s 0;

** + 2x = - - ; 5

t ‘ + t - 6 -\-t^ - 2 t ‘ - 6 t

--------------... t(t + 3 )

= 0;

- 5 t - 6 = 0 ; - 5 t =• 6 ; t = - 1 . 2 ;

-5 * ^ - Ю л = 6 ; - 5 x ^ - Ю л - 6 = 0 ; 5x* + 1 0 + 6 = 0 ;

D - 1 0 0 - 1 2 0 = 0 ; к о р е в ів н ем ає. Відповідь: 0 .

, х * -л + 1

л’ - л + 2

'’^ * * - л + 2

л“ - л + 3

t* + 2 f - t " - 2 t - l

6 ’

(t + l ) ( t + 2 )

t+ 1

t+ 2

6’

-1

- 6 - 7(t* + 3t + 2)

(t + lK t + 2 )

6’

(t + l )( t + 2 )

(t + l )( t + 2 ) - 6 -7 t* - 2 1 t - 1 4

= 0;

- 7 t * - 21t - 2 0 = 0 ;

= 0;

(t + l ) ( t + 2 ) 54 0 ;

-7 t* - 2 1 t - 2 0 = 0 ; ß = 21* - 28 • 2 0 < 0 ; к о р е н ів н е м а є. В ідповідь: 0 .

1338. а) t + | _ 4 = 0; - 2л + 6 х

л* - 2 х + 6 І ! ^ ^ ’

= 0;

t* - 4 t + З = 0;

Л* - 6л + 6 = 0; л # 0;

----------------- = t;

t* - 4 t + З = 0 ; t, = 4 ; tj “ 1;

tit 0;

л* - 2 л + 6 - 4 л X

- 4 = 0 ; О Д З : R , к р ім л = 0 ;

GDZonline.net - 6л: + 6 = 0; X) = 36 - 24 = 12: *, = - 2х + 6 - х

д:^ - 2 х + 6 _ X

= 3 + >/3;

= 3 - >/3;

- З х + 6 = 0;

_ ^

X * 0;

- З х + 6 = 0 ; D = 9 - 2 4 < 0 ; к о р е н ів н е м а є. { з - -ТЗ; 3 + - J s } .

В ідп овідь:

2 t^ + 2 + 5 t ■ 2t

p го го m о» ю

к р ім , - 0 .

ОДЗ^ л 2 t ' + 5t + 2 = 0;

= 0;

2f2 + 5< + 2 = 0 ; D = 2 5 - 16 = 9 ; «, =

-5 + 3

t ^ 0;

‘ . = - 5 : ^. = 2 ; 2 ( j ’’ + l ) + ;c 2’

”

2x ‘ + x + 2 = 0 ;

Д.

x * 0 -, x ‘ - 2x + l = 0 ;

x^ + 1 X

X it 0 ;

2 x^ + X + 2 = 0 ; к о р е н ів н ем ає;

X = - 1.

В ідповідь: {-1 }.

Q. g; Ъ 0

LO Ш 1_ с; <

4 ; ^ ^

в) 4 +

» 4 + X + 4 х = - 5 ; О Д З : Я , к р ім , х = О, х = - 4 ; х^ + 4 х = і; у + t + 5 = 0;

+ 5(

+ 5t + 4 = 0;

= 0;

«2 + 5 f + 4 = 0 ; t, = - 1 ;

= -4 ;

t ^ 0;

x^ + 4 x = - 1 ; x^ + 4 x +

1= 0 ; D = 1 6 -

x^ + 4 x = - 4 ; x^ + 4 x +

В ідповідь:

= 0;

4 = 12; x, = _ i ± ^ ;

x , = - 2 + ^/3;

X = -2 .

{ - 2 - 7 3 ; - 2; - 2 + г / з } .

г ) О Д З : « к р 1„

. - 0і , . + . . - „ . - 5 . 2 . 0 , t

- О, f - Z . - S - O . t

t ^ v;

+ 2t - 8 = 0 ; = -4 ; = 2; x ‘ + x^ = - 4 ; X* + x^ + 4 = 0 ; к о р е н ів н е м а є; x^ + x^ = 2 ; x* + x^ - 2 = 0 ; x^ = - 2 ; к о р е н ів н е м а є; x^ = 1 ; x = ± 1 . В і д п о в і д ь : { - 1 ; 1}. / 2 ^ І"! 1339. а) X 4 ~ т + X + — = 4; ОД З: Д , к р ім х = 0 ; x + - = t; ^

X + —

-2 +

X +

—

CSJ

х^+Зх + 1 _ ------------------ = 0 ; X

х ’‘ + 3 х + 1 = 0; X

?t 0;

= 4; ft ^ - 2 + t - 4 = 0 ; t ^ + t - 6 = 0 ; t = - 3 ; t = 2;

ЛГу

„ = -3 ;

х)

—

„

= 2;

х ^ '- г х + І „ ------------------- = 0; X

-3 -у ІЕ

х^ + З х + 1 = 0 ; Z) = 9 - 4 = 5 ; Х; = -----

;

-3 + S

х^ = -------

;

GDZonline.net

' Г у

2ж + 1 0;

2а;

^2 _

1 = 0;

JC =

х*0;

- 3 - >/5 .

в і дп о в і дь - .

6 ) 2 I,

’

0 = 1; О Д З : Д , к р ім X = 0 . л: + — = t; + 9 f д; + — к xJ

2 1' ;c + — Л

- 3 + л/5

’

^ -2

+ 9 д: + — - 1 = 0; 2(t= - 2 ) + 9 f - 1 - 0 ; 2(2 - 4 + 9« - 1 = 0 ; ^ xJ

^ + 11 2 t « + 9 t - 5 = 0 : Z ) = 8 1 + 4 0 = 1 2 l ; «1 = — - — : 1

2 х^ - х + 2

2д:

-9 -1 1

t•2 , = — ^Г - ;

2 х ' - X + 2 = 0;

= 0;

2x‘ - x

2х * 0 ;

+ 2 = 0 ;D = l - 1 6 < 0 ;

коренів н е м а є; 1

х ^ + 5 х + 1 = 0;

х‘ +5х + 1

= —

+ 5 * + 1 = 0; Ö = 25 - 4 = 21;

-5 -

-Ь + у/ ^

*, = —

х * 0;

^2 =

Відповідь:

-7

в) 2

X -------

^ 1Y

(

-7

= -2 ;

О Д З : Д , к р ім д: = 0 ; x - — = t;

1 ж -----

= - 2 ; 2(4^ + 2 ) - 7« + 2 = 0 ; 2*2 + 4 - 7t + 2 = 0 ;

2f» - 7 f + 6 = 0 ; X) = 4 9 - 4 8 = 1; «і

7+1

= — — : t. = 2 ; 4 *

х^ - 2 х - I = 0 -, X

,_ 1 _ 3 . JC “ 2 ’

2x -

2 - 2л/2

, л г

х , = 1 + уІ2 ; х , = ------

2х‘ - З х - 2

д.

2х

;

1 = 0; D = 4 + 4 = 8;

, / r

х , = 1 - у І 2;

2 x* - З х - 2 = 0;

2x2 - З х - 2 = 0 ; D = 9 + 16 = 2 5 ;

х^О ;

,_ 3 + 5

„ 3 -5 х, = 2; х , = — ;

1 х ,= --.

відповідь:

1 - > / 2 ; - і ; 2 ; 1 + %/2

( I 'l ' ■ ЧX 2'; - 3 X ------ = 2; О Д З :і г ,к р і м х = 0 ; x - — = t; I xJ ‘‘ + 2 - 3 t - 2 = 0 ; (2 - 3 t = 0 ; f ( t - 3 ) = 0 ; ( = О, t = 3 ;

= -; 2

x * 0 -.

_ 2 + 2л/2 *1 = — ^------ ;

7 —1

= —— : 4

1 X ----xj

f 1 + 2 - 3 [ х - ^ ^ = 2;

GDZonline.net 1 „ x‘ - l „ л - - = 0; -----------= 0 ; X

[д:“ - 1 = 0; j

I л it 0;

1 = 0 ; X = 1; X = - и

л:* - Эх - 1 = 0; X

з + лЯ з .

*1 “

’

з -^ Я з

^2 -

„

/з-,/їз

Зл: -

1 = 0 ; X) = 9 + 4 = 1 ,

, , З+ ^ІЇЗ

В і д п о в і д ь ' . 1 ----- ::------ ; - 1; 1;

1340. а)

, л:» -

л it 0;

Ах

гх

Ах^ - 8 х + 7

4 х ‘ - Юл: + 7

= 1; О Д З : R ;

4л: - 8 + -

«а го ш о» ю

4 f - 4 0 + 3 ( - 2 4 - t ^ + 1 0 t+ 8 t - 8 0

f -8

t-1 0

(t-8 K t-1 0 )

4 x + — = t; X

+ 2 5 t-1 4 4 ( < - 8) ( f - 10 )

го

'с о

(, - 8K, - 1 0 ) - 0,

-<■ + 25 , - 144 - 0;

2 5 -7 - ^ : 2

«. =

4 * '-1 6 a :+ 7 „ ------------------------= 0 ;

A x + — = 16;

‘

- 2 5 . + 1 « . 0.

t, = 1 6 ; t , = 9 ;

4x^‘ - 16a: + 7 = 0;

4x ^ -

^ itO ;

16x + 7 = 0;

Z) = 2 5 6 - 16 ■ 7 = 16 ■ (1 6 - 7 ) = 1 6 • 9 ; X . =•

16 + 1 2

1 6 -1 2 ’

8 LQ

= 0;

OK . 7

т а д;

;

- t * + 2 5 t - 14 4 = 0;

D = 25^ - 4 • 1 4 4 = 4 9 ; t, =

4л: - 1 0 + -

. 7 „ 4 x + — = 9;

2 ’

4ж“ - 9 х + 7 . ----------------------= 0;

x * 0;

4 x ‘ - 9л: + 7 = 0 ; D = 81 -

)

x^ + x - 6

x ' + 3x - 6

о■

x + 1 - ^

16 • 7 < 0 ; к о р е н ів н ем а є.

= - 3 ; О Д З : R , к р ім x = - 3 , x = 2 . x =

г =-3:

x - - = t;

‘ +1

X + 3 -®

2 ( + 6 + 5t + 5 + 3«“ + 12t + 9 (t + IK t + 3)

’

І 5 - 16 + 216 -

= 0:

= -3 ;

3t* + 19« + 2 0 = 0;

3^ - 1 8 + 4x 3x X, -

- 1 9 + 11 ~V

t. = - ^ :

3 x it0 ;

- 4 + 2V 63.

» *1 -

- 4 + 6>/7. ^

3t* + 19 « + 2 0 = 0 ;

30 <2 = - ^ : 6

3 x ' + 4 x - 18 = 0;

’

- г ± - М

‘ +3

(t + IX « + 3 ) it 0 ;

23 = 3 6 1 - 2 4 0 = 1 2 1 ; t. =

x - - = - - ' ^ X 3

*2 = 0 : 2’

4 x * - 9jc + 7 = 0;

В ідп овідь:

■

= -5 ;

Sx^ + 4 x - 18 = 0 ;

-2 + 3V7 .

» ^2 -

-2 - 3 ^, -r

GDZonline.net +5x-

+ 5 x -6 = 0;

= 0;

д:^ + 5д: - 6 = 0; a: = -6; X = 1.

д: ^ 0;

g. - 2 - 3>/7 . - 2 + 3r/7 . ^

ГІ - i

7 “ “ 5----------- - = - - :

О Д З ; Д , к р ім j: =

4 i +l - j;

- X - 4

,_ 1- д:

x^ + X - 4

4 ’

’

(-1

1 ± г /Ї 7 .

- 1 ± n/T t .

t+ 1

4 ’

(( - l)(t + 4 )

4 ’

к о р е н ів н ем ає. ^ п ов ідь: 0 .

*1341. a)

З ■ 16'

• 8 1 ' = 5 • 3 6 ': З ■ 2 ‘ ' + 2 ■ З*' = 5 • 2 ^ • 3 ^ ;

„ '2^ 3

Г2У „ , 2 * '- 3 * ' + 2 = 5 ------- T ^ ; ,a ; 3" 8у* -

+2=5

+ 2 = 0 ; D = 2 5 - 2 4 = 1; f, = '2'

= 1; 2 x = 0 ; л = 0 ;

JS i d n oe i d b :

'2^

'2 ''

: 3

5 + 1

-5

'2^ .3 ;

+2 =

'2 ' 0 :

= t;

; t, = 1;

= | : 2ж = 1 ; . Л . 3 2

.3 .

»‘ і

sin^ X - 3 cos^ Ї - sin 2jc = 0 ; О Д З : R ; cos* лс

tg* X -

2 t g jc - 3

= 0;

t g д: = 3 ; t g д:

a r c tg 3 + кк ; —

‘В і д п о в і д ь :

+ кк

= -1 ;

д:

= a r c tg

0 ; tg* д: - 3 - 2 tg д: = 0 ; З

+ лк,

й Є Z; х =

—- + лй, * є 4

,keZ.

в)

10 sin* X + 5 sin X c o s X + cos* X = 0 ; О Д З : R ; 0 ; 10 tg* X + 5 t g X + 1 = 0 ; D = 25 - 4 0 < 0 : коренів немає. Відпо ві дь -. 0 .

cos* X

г)

V (x + 4)* + 4 ^ (х + 4)* = 5 ^ 1 6 - X * ; О Д З : Д ; ^ { x + 4 f ;

1 > 4 І / ^ = 5 І /( ^ Й ^ ; V (x + 4)* + 4)*

1 .4 г Е Ї Г = _ 5 ,І < Е Ї Е р ); V lx + 4 j V (* + 4 )'

1 + 4(* + 5t = 0 : 4t* + 5t + 1 - 0 ; Л = 2 5 - 1 6 = 9 ; f, = Jx - 4

x -4

Vx + 4 “

4’

x + 4~

1 .

64’

6 4 X -2 5 6 +

X+ 4

6 4 (x + 4) 252

65x - 2 5 2 ’

64(x + 4)

85x - 252 = 0; 6 5 x = 252; x = — ; x = 3 — ; 65 oo

V~ —

- = -1 : IX + 4

x-4

----------= - 1 :

x+4

X-4 + X + 4

:--------= 0 ;

x+4

x +—4

= 0; x < 0.

, I E I = t;

Vx + 4 fj = - 1 :

6 5 x - 2 5 2 = 0; X + 4 it 0:

GDZonline.net В ідповідь:

« S l-

1342.

a) 1 +2 |sin x\ = 2 c o s 2 x ; 1) s in л: > 0 ; 1 + 2 sin x = 2 c o s 2 x ; 1 + 2 sin x - 2 (cos^ x - sin^ x ) = 0 ; 1 + 2 s in jc - 2(1 - 2 sin^ л;) = 0 ; 1 + 2 sin X - 2 + 4 sin^ x = 0 ; 4 sin^ л: + 2 sin д: - 1 = 0; iJ = 4 + 16 = 2 0 ; s i n x , = - ^ \ ^ ' ^ -,s i n ; c , = : : i ^ : 8 4

-1 -У І Е

sin x^ = -----

;

x^ = ( - 1 )

x^ = '( - l ) " * ‘ a rcsin ^ ^ ^

s in x ,= ^ ^ ^ ; 8

- 1 + УІ5

a rcsin — ---------- + к п , n e Z;

Tcn, re є

p го PO

В і д п о в і д ь : i ( - 1 ) " a rcsin

- 1 + n/5

+ к п ; ( - 1 )"

a rcsin

I + -JE

+ Tznr, n e z .

m dj

LO 2 ) s in X < 0 ; 4 sin^ x - 2 s in ж -

0 ; Jc, = ( - 1 ) " a rcsin

l + slE

+ n n , ra є Z; Г .1

1 - Vs

jCj = ( - 1 ) " a r c s in ------------ h nn , n e Z.

^s.

X T

.5 с

о З

І (- 1 )" a rcsin

В ідповідь:

6) 'J x + n

^^ ^ 4

- 6 j x + 2 + >Jx + n

j: + 2 > 0 ; л > - 2 ; З - А

+ 2 = 0;

7; З -

Ш l_

В і д п о в і д ь : {7 } і { - 2 ; 7 ) .

в) 2 + l o g , X + З = |1 + logs 2 -

lo g j X

lo g , X =

1) ^

7 х

= 0; 0;

+ 2

ч/х + 2 = 6;

+ &ylx + 2 = 6 ;

-lo g , X

lo g , X

+ n n \, n є Z.

|з - V T + I I + |з + -Уж + 2 І = 6; х + 2 = 9 ; х = 7;

-Ух + 2 = 3 ;

- З + ^Jx + 2 + З + УІх + 2 = 6 ;

1 )х > 7 ; X <

+ n n ; ( - 1 ) " a r c s in

2 V x + 2 = 6; О • УІ х + 2

= 0 ;

V x + 2 = 3; х + 2 = 9; X = 7 ; " х

7; - 2

А ’ ОД З: X > 0 ; |2 - l o g , х| + З = |1 + log^ х|;

= -2 ;

= -1 ;

lo g ,

ас

х = 2; х = 2 5 ;

і ;

; 2 " logg X + з = - 1 - logg х\ “ logg X + logg ж = - 6 ; о • log^ х = - 6 ;

к о р е н ів н е м а є;

2) - <д: <25; 2 - log, л: +З = 1 + log, x; -2 log^ д: = - 4 ; log, x = 2; л: = 25; 25; 5 3 ) X > 25; -2 + log, x + З = 1 + log, x ; X> 25. В і д п о в і д ь : {[25; + » ] } . н е в х о д и т ь д о п р о м іж к у “ < X <

г) з'*"®' C4J

д|т+б| _ ди“ +4зг-12І.

■log, x = 0 ;

=In(tg225°); ОДЗ: Д; З'"®' -

б е з л іч к о р е н ів ;

log, x*0 :

=InCtgdSO” +45°));

GDZonline.net ^

X = - 6-,

4а: - 12 = 0; д: = 2; д: = -6; + 4х

^ < - 6 : 3 " * = 3 '’ *^'-’ ^ - X - 6 = х^ + 4 х - 12; х^ + 5х - 6 = 0; X == - 6 ; н е в х о д и т ь в п р о м іж о к (-« > : - 6 );

2) -6 £ * < 2; 3**“ =

х + 6 = - х ^ - 4 х + 1 2 ; х ^ + 5 х - 6 ^ 0 - , х = -6;

, » 1 ; в х о д я т ь д о [ - 6 ; 2 ); 3) * 2 2 ; 3**“ = _ _ 3 + - v /^ *1 2

ж+ 6 =

- 3 - М

^ = ------------

+ 4л: - 1 2 ;

+ Зд: - 6 = 0 ; В = 9 + 24 = 3 3 ;

в х о д и т ь д о [ - 6 ; + < »);

—

г а

в х о д и т ь д о [ - 6 ; + “ ).

— не

В і д п о в і д ь : { - 6 ; 1}.

1343. а) 3 - д:’ = 2дс; О Д З : R ; у = 3 - х^ — сп а д н а ф у н к ц ія ; у = 2 х — з р о с т а ю ч а ф ун кція; у - 3 - х ^ , у = = 2 х — м о н о т о н н і і н е п е р е р в н і, т о м у н а о б л а с т і в и зн а ч ен н я R р івн я н н я з - д:^ = 2 jc м а є єд и н и й к о р ін ь д: = 1 . В і д п о в і д ь : {1 }. §5 б) 2ж' = З - д:; О Д З : R ; у = 2 х ’’ — з р о с т а ю ч а ф у н к ц ія ; у = З - х — сп ад н а ф у н к дія; у = ^ х ’’ , у = З - X — м о н о т о н н і і н е п е р е р в н і н а о б л а с т і в и з н а ч е н н я , т о м у р ів няння 2 х ’’ = З - X м а є є д и н и й к о р ін ь д: = 1. В 0 п о в і д ь : {1 }. в) - б|л| + 8 = 0 ; О Д З : R ; у = х^ - 61х| + 8 — п а р н а ф у н к ц ія ; 1 ) * г 0; д;^ - бж + 8 = 0; д:= 2 , дг = 4 ; 2 ) х < 0 ; х = - 2 , д: = - 4 . В і д п о в і д ь : { - 4 , - 2 , 2 , 4>. ^ г) ж* + 2|д:| - 3 = 0 ; О Д З : R ; у == х^ + 2\х\ - З — ф у н к ц ія п ар н а ; 1 ) ж г 0 ; д:^ + 2д: - з = 0 ; д: = - з , д: = 1 — к о р ін ь ; д: = - 3 — н е в х о д и т ь д о п р о

м іж ку х > 0 ; О 2) х < 0 ;дг = - 1 . З В і д п о в і д ь : { - 1 . 1 }. ^ ґ ) 6' - з* = 2 7 ; О Д З : R ; 6 “ = 2 7 + З '; і/ = 6 ' — м о н о т о н н а , н еп ер ер в н а , з р о с т а ю чл; у — З ' + 2 7 — м о н о т о н н а , н е п е р е р в н а , з р о с т а ю ч а . Рівняння 6 * - З* = 2 7 м а є є д и н и й к о р ін ь д: = 2 . В і д п о в і д ь : { 2 }. ^ д) З* 4* = 5*; І/ = З* -І- 4 ' — м о н о т о н н а , н е п е р е р в н а , з р о с т а ю ч а ; і/ = 5* — м о н о тонна, н е п ер ер в н а , з р о с т а ю ч а . Р івняння З ' -І- 4 ' = 5^ м а є є д и н и й к о р ін ь д: = 2 . ■Відповідь: { 2 }. 1344. а) X* - 2х ^ -І- 2д:^ - 2д: -І- 1 = 0 ; О Д З : Д ; д: = 1 — к о р ін ь ;

m LQ

^ S j-

Q. 5 С

q_ Щ і_

** - 2 x ’ - ¥ 2 х^ - 2х + 1 х - 1 х ^ - х ‘ ч -х-1

' х*-х> - х ’ -^ 2 х ‘ ' - х ^ + д:^

_ -д :-н 1 -д :-н 1 Ö ( * - 1 )(д ^ з_ д ^2 + ^ - 1 ) = 0 ; ( д : - 1 ) ( х - 1 )(д:^ + 1 ) = 0 ;д : = 1 ,з с = 1 . в і д п о в і д ь : { 1 }.

„ е«Э

GDZonline.net ІОд:^ - 9 х + 9 = 0 ; О Д З: R ; 2 х Ц 2 х + 3 ) - 1 0 ( X — З І ( X + — 2J 1 5J

+ 6 х^ -

б)

2 х Ц 2 х + 3 ) - (,5х - 3 ) ( 2 х + 3 ) = 0 ; ( 2 х + 3 ) ( 2 х ‘ - 5л: + 3 ) = 0 ; ( 2 х + 3 )(x - 1 ) ( 2 х ^ + 2л: - 3 ) = 0 ; х = - ^ ;

1346, а )

— .

3 . , . - 1 + л/7

-1 -У І7 _

В ідп овідь:

х = V, х = —

’

2’

’

^ 8 ж + 4 - ^ 8 х - 4 = 2; О З Д : Д ;

^ 8 д: + 4 = а;

^ 8д: - 4 = 6; а - & = 2;

а - Ь = 2;

Вд: + - 4 - 8 ї + 4 =

- ft" = 8;

(а - 6)(а^ + ab +

а = 2 + 6; = 8;

а“ + а6 +

= 4;

(2 + 6)2 + (2 + Ь)6 + 62 = 4; 4 + 46 + г,2 + 26 + 62 + г,2 _ 4 = 0; 36^ + 66 = 0; 36(6 + 2) = 0; 6 = 0; 6 = - 2 ; а = 2; а = 0; а = 0; ^ І 8 з Г П = 0; Влг + 4 = 0; 8д: = -4 ; ж = - і ; а = 2; ^ 8 х + 4 = 2; 8ж + 4 = 8; 8х = - 4 ; д: = 6 = 0; ^ 8 х - 4 = 0; 8л; = 4; Jc = i ; А

6 = - 2 ; ^ 8 х - 4 = -2 ; 8д: - 4 = - 8 ; 8х = -4 ; дг = В ідповідь:

~ 2 ’ 2 '

б ) V x T s - </д: - 8 = 2; ОД З:

а - Ь = 2; i i J x + s t

д : > - 8; д: > 8;

О Д З: [8 ; + оо); ^ х + 8 = а > 0 ;

і / х - 8 = 6 > 0;

(< / д :-8 )‘ = б ‘ ;

а - 6 = 2;

f a - 6 = 2;

а ^ -6 * = 1 6 ;

1 (а 2 + б 2) ( а - 6)(а + 6) = 16;

д: + 8 - д: + 8 = а ‘ - 6^ а - Ь = 2;

а - Ь = 2;

(а^ + 62) . 2 (0 + 6) = 16;

(а^ + Ь‘ )(а + Ь) = 8;

а = 6 + 2; (6 + 2 + 6)((6 + 2 ) ‘ + 6^) = 8 ; (26 + 2)(62 + 46 + 4 + 6^) = 8 ; * 2(6 + 1X262 + 46 + 4) = 8 ; (6 + 1)(62 + 26 + 2) = 2; 6’ + 262+ 26 + 62 + 26 + 2- 2= 0; 6* + 3&2 + 46 = 0 ; 6(62 + 36 - 4 ) = 0 ; 6 = О, 6 = -4 , 6= 1,6= - 4 — не н ал еж и ть п р о м іж к у 6 > 0 ; а = 2, а = 3; і/х + 8 = 2 ; д: + 8 = 16; д: = 8; ^ х - 8 = 0; х = 8; </х + 8 = 3 ;

д: + 8 = 8 1 ; д: = 7 3 ; ^ х - 8 = 1 ; д: = 9 .

П е р е в ір к а : д: = 8 — к о р ін ь ,

- i/Ö = 2;

х = 9 — н е є к о р е н е м ; д: = 7 3 — не

є к о р е н е м ; і / в ї - ІІ73 - 8 ^ 2 . В і д п о в і д ь : {8 }.

1347. а) -Уд: -

уІ х - 1 + уІх + 3 + 2\ Іх ‘ + 2д: - З = 4 - 2х ;

+ V j: +

2-Jx^ + 2 х - З = (\/х - і )

(^ х + з) ;

GDZonline.net * г і:

х і:-3 ;

ддЗ;

1 < ж < 2 ; л г “ 1 — к о р ін ь р ів н я н н я .

ж 5 -3 ; х^ іі 4 - 2 х > 0;

g i d n o e i S b : { 1 }. б) 8ІП 2 х =■ sin а: + c o s я - 1 ; sin 2 х + 1 - sin л: + c o s х ; (s in х + c o s jc)* - (sin х + + c os л ) - 0 ; (s in X + c o s a:)(sin д: + c o s д: - 1 ) =“ 0 ;

gin JE + c o s a: - 0 ; я . Л gin —s in jc + c o s —c o s j : = 0;

cos

Ü -* Л

„

------------- n n , n e Z; 4 2

= 0 ; ------ * = — + n n , П є Z; 4 2 _

X = --------- jtrt, n e Z ;

або sin jc + c o s X - 1 = 0 ; V 2 і

s in X +

= 11 ;

cos X І 2

}

c o sf " u

ю (U

"1 2 ’

т ~ - x = ± — + 2 n m , m є Z;

x = — ± — - 2i tm , m є Z ;

x = - ~

2 n m , m є Z;

X = - 2 n m , m є Z.

В і д п о в і д ь : - - j - nn, n є Z ;

1348. a)

^ -2 n m , m e Z ;

S І З"

-2 n m , m є Z .

=log^9>/3-25‘^” ‘'; ОДЗ: Ä;

a s * « * ' = 2 - - 25^'°'“ ; (S'«*')* - 5 •5“**' + S'""“ - 5 = 0;

.S с

(S '***)*- 4 - 5 “* ' * - 5 = 0 ; 5 ’« * ' = t > 0 ;

о п р о м іж к у t > 0 ; 5*°*'' = 5; log^ л В ідповідь:

f» - 4 t - 5 = 0 ; t - 5 , t = - 1 — н е н а л еж а ть

1 ; зс = 4 .

{4}.

б)

2 (i6to„..i _

16'°“ '

log^ 5>/5 =

^ jgio,., _ L 1 = 0;

ОДЗ:

— (14 •4'”“ '

с: <

- 4"»-') + (4'«-')* - 3 = 0;

2 * 1 1 5

^ .1 3 - 4 ‘°‘*'+(4'“‘ ’ ‘ ) " - 3 15

= 0:

-•4'«’ '+(4'°‘ *‘ )* -3 5

= 0;

4'”“ '

= і; о

- t + 1* - з = 0 ; 5t^ + 2« - З - 0 ; Г> - 4 + 1 2 = 1 6 ; t = - 3 ; « - 1 ; t = - З — не в х о д и т ь ДО п р о м іж к у t > 0 . = 1 ; lo g , X “ 0 ; д: “ 1 . і Й Т а ) (X - 2)* - 6 (х* - 4 ) + Ь { х + 2 ) ^ - 0 ; О Д З : Л ; f ^

^ = 0;

= «: t“ - 6 t + 5 = 0 ; t = l ; ( - 5 :

*~2 — - = 1; *+2

X - 2 - X - 2

----------------------= 0 ; О • а: - 4 “ 0 ; Ож — 4 ; к о р е н ів н ем а є; х +2

in га

GDZonline.net х ~ г

л :-2 -5 л :-1 0 _ -------------= 0;

г = 5; JC + 2

f - 4 x - 1 2 = 0;

х + 2

[д: + 2 і і 0;

-4 л : = 1 2 ; X = - 3 .

В і д п о в і д ь : {-3 > .

f x + 2 '^

Ix + ij

( x - 2 ')

U -lJ

fx + 2

х - 2'

ІДГ + 1

X - I j

— 4 - ^ ^2 _ -у -

О Д З : Я , к р ім X = 1 , X = - 1 .

{X + 2 ) ( х - 1 ) - ( х -

2 ) ( х + 1)

( X + 1 )(х - 1 )

2 х ‘ + 2х ---------------------- = 0; ( X + 1 )(х - 1 )

[ 2х ( х + 1 ) = 0 ; S 1(л + 1)(л: - 1)

’{5 го m ш ш LO

+ х + 2

( х + 1 )(х - 1 )

х = 0; X = -1 ;

( х + 1 )(л - 1 )

_х

х ‘ + х - 2 - х ^

’

ж = - 1 — не н а л е ж и т ь О Д З ; х = О — к о р ін ь . 2x В і д п о в і д ь : {0 }. (3'' ГзУ + — г ) 9 ' + 6 ' ” 2^‘ • 2 ; О Д З: Д ; 3 ^ + 2 ' • 3" = 2 ^ ■ 2;

I2J

V2j

„ - ^3' -2 =0; <2y

t > 0 ; t* + f - 2 = 0 ; t = - 2 , « “ 1 ; t = - 2 — не в х о д и т ь д о п р о м іж к у t > 0 -,

= t,

= 1;

X = 0. го I т а .5

’с о

В і д п о в і д ь : {0 }.

1350.

4 л : " - 1 1 л + 6 ^ 0; (1 ) - l U + 6 l o g , „ „ (l3;c - 7І + l )

=0 ;

О Д З: c o s Tu: ji 1 ; (2 ) cos «

> 0 ; (3)

1) jc Є (-oo; 0,6] U [1 ,6 ; +00); 2 ) c o s Л Х * I ; Л Х ^ 2 л п , n Є Z ; x ^ 2 n , л Є Z;

« " ________________ 2

’' о

3 ) с о 8 л х > 0 ; - - + 2л < п л : < - + 2п;

1 2л 1 2л - - + — < д :< - + — ; 2

^ 4 х ‘ - И х + 6 l o g „ , „ (ІЗх - 7І + l) = 0; LO

>/4** - И х + 6 = 0; X, = 1,6 ; с: <

= 0,6;

а б о l o g ^ „ ( l 3 x - 7 | + l ) = 0; |3* - 7| + 1 = 1; \3x + 7| = 0; x = - \ \ 3 7 7 X= — н а л е ж и т ь п р о м іж к у (-oo; 0,6]; 2 л; О о

= 1,6 ; jc * 0,6 — н а л е ж а ть п р о м іж к а м (-oo; 0,6] U [1,6 ; +oo).

В ідповідь:

б)

0 , 6 ; 1, 6; - 3

( 4 x ‘ + x - 3 ) l o g . , „ „ Ш х - 1 + 1) = 0 ;

О Д З:

2 i - 1 > 0;

"4 =

s in KX ^ 1;

K x * — + 2 n n , Л e Z;

s in itx > 0; x > i; 2 д: ^ — + 2л , Л є Z ; 2 0 < x < i. 2

e*B

(4 x ‘ + x - 3 )lo g .,„ „ (уІ2х - 1 + l) = 0;

2 0 < яд; < - ; 2

GDZonline.net + д : - 3 = 0; * =

X = - 1 — не в х о д и т ь в ОД З;

або l o g .i „ „ Ш х - 1 + l ) = 0 ;

l o g ^ „ „ U 2x - 1 + l ) = l o g ^ „ „ 1 ;

1 = 0 : 2 л: - 1 = 0 ; 2 x = 1 ; x = -

^ 2x - l

+ 1 = 1;

НЄ в х о д и т ь в ОД З.

В ідп ов ідь:

1351. а) 1п(д: 1)

х ‘ ) = cos х ; О Д З : х -

ln(jc - х^) =■ c o s х ;

X Є

> 0 ; х ( 1 - х ) > 0; х Є (0 ; 1). = In е '“ ' ; х - х ‘ = е“ **:

(0 ; 1 ); c o s х < 1; 1п(д: - х^ )

-х^ + л с - е “ * ' = 0 ; д : ^ - д : + е“ ‘ ’' = 0 ; Г > = 1 - 4е“ ‘ * < 0; к о р е н ів н ем ає. , В і д п о в і д ь : к о р е н ів н е м а є, g) 2 ’ - ' + 2^-^ = Io g "(1 6 - х ‘ ); О Д З : 1) 1 6 > 0; + 16 > 0 ; - 16 < 0 ; , Є ( - 4 ; 4 ); 2 ) lo g j( 1 6 - х^) > 0 ; lo g j( 1 6 - х^ ) > log^ 1; 16 > 1; > -1 5 ; X» < - 1 5 ;

- 15 < 0 ; О Д З : д: є ( - 4 ; - > Я 5 ) u (>/15; 4 ) .

Р івн я н н я м ає о д и н р о з в ’ я з о к . В ід п о в ід ь : один р о зв ’я зок . 1352. а) соз(л (соз^ 2д; - 2 cos^ д: + 1)) = 1; л(соз^ 2д: - 2 соз^ х + 1) = 2 л п , л Є Z; . cos* 2ж - 2 cos* JC + 1 = 2 л , rt Є Z ; 2 cos* д: - 2 cos* л - 1 + 1 = 2 л , л Є Z ; О • cos* X = 2 п , п Є Z ; 1) л = 0 ; О ■ соз* д; = 0 ; д: Є Я ; 2) л ^ 0 ; О • cos* X = 2 п — к о р е н ів н е м а є. В і д п о в і д ь : п •= О, х В R-, п ^ О, к о р е н ів н е м а є. б ) t g ( g c o s * 2x

= t g (2 rtco3* x ) ;

sin — cos* 2д: - 2 Л соз* x 13

- t g ( 2 n c o s x) = 0;

— COS* 2jc - 2 Л c o s * X

•= 0;

= 0;

3n — c o s 2д: c o s (2 n c o s* x ) * 0 ; U3

c os — C03 2д: с о з (2 л со з * x)

. sin — cos* 2x - 2 n c o s* x 13

ЗтС 2n — COS* 2д;

Зл — cos* 2д: - 2it cos* x = ял, л є Z; 13

2 13 л + З cos д: = ---------- — — к о р е н ів н е м а є.

Відповідь: к о р е н ів н е м а є.

1353. а) 2'’ -‘ - ‘ = 1 + з іп * Н ;

l + s i n * ::^ = 2 : 4 2 ' ’ - ‘ **‘ = 2 ;

пх

sin — = 1 ; 4 . кх , sin — = - 1 ; 4 де* - 4 х + 5 = 1; д: = 2 + 8 л , л є Z ; х = - 2 + 8 л, п є Z - н е є к о р е н е м ; х = 2. Відповідь: {2).

б)

2х* + l o g ,(7 + 2 х - х ‘ ) - X* + 4 ; О Д З : 7 + 2 д: - х* . 0 ; і/ = - х * + 2ж + 7;

'* * + 2x + 7 = 0; 24

Усі ГДЗ. И ісл.кн. 2

= 4 + 28 = 32; х, =

-2

ж, = 1 - 2^/2: ^2 = 1 + 2^І2\

GDZonline.net О Д З : х е ( і - 2 > / 2 ; 1 + 2 > /2 ). 2x2 + io g ^(7 + 2 x - x^ ) =

+ 4 ; log^CT + 2 x - x^) = 4 -

1 + 2 x - x ^ = 2* ' ' ;

I/ = -x ^ + 2 x + 7 і I/ = 2* ^'; I/ = -x ^ + 2 x + 7 — п а р а б о л а , к о о р д и н а т и в е р ш и н и x = 1, і/ = 8 ; в іт к и н ап р я м л е

н і в н и з , а б сц и си п е р е т и н у п а р а б о л и з в іс с ю х : х = 1 - 2 -J2 , і / = 2 * -' = 1 6 -

х = 2 + V2 ;

— п о к а з н и к о в а ф у н к ц ія .

В і д п о в і д ь : {4 }.

1354. а) 12 sin X + 5 COS х = 2у^ - 4і/ + 1 5 ; 13

из

s in X +

COS X

= 2 j / ' - 4 i / + 15;

1 3 (c o s (a - х ) ) = 2у^ - 4 у + 1 5 ; 12 s in “ = r r :

5 cosa = — ;

^ 12 13 tg a = — —

|cos(a - x)| < 1; - 1 < a -

a rctg

13 *5

^ 12 ; t g a =— ;

£ 1; - a - 1 £

12 a = a r c tg — ;

< 1 - a; a - 1 <

- X

< 1 + a;

1 < X < 1 + a rctg — ; 5

2y^ - 4 y + 15

< 1;

2i/^ - 4 i / + 1 5 < 1 3 ;

_ l< V ^ iü ± 1 5 < l; 13

2 y ‘ - Ay + 15 > - 1 3 ;

y ^ - 2y + l < 0 ; ( 1 ) y ^ - 2 y + l 4 > 0; (2)

1 ) I/" - 2y + 1 < 0 ; g ( y ) = 1/2 - 2 i/ - 1 ; 1/2 - 2 i/ + 1 = 0 ; 1/, = 1 ; р о з в ’ я з к ів н ем а є; 2 ) у ^ - 2 у + Ы > 0 ; g i y ) = y^ - 2 y + 1 4 ; y^ - 2 y + Ы = 0 ; у Є R . В і д п о в і д ь : р о з в ’ я з к ів н е м а є. 0 < l ^ c o s 2x y ^ х^ б)

(З + sin* х у ) = 1 + 5 cos* х у ;

9 "^ х

О < cos* х у < 1;

О < sin* х у < 1;

о < 1 ^:Е2 і 2н < і ; 2

О < 1 + c o s 2 х у < 2;

- 1 < c o s 2х у < 1 ;

О < 1 - сов 2 х у < 2;

- 1 < - c o s 2x 1/ < 1 ;

- 1 < c o s 2 x 1/ < 1 ;

- я + 2 п п < 2 х у < 2 к п , п є Z; - ^ + п п < х у < п п , п е Z; Я

Я xä/ = - - : , , І Л ; t 4

1) 4 = 1;

^1 + А

= І.

i^l±±Ll =

І 9 4(* - t + 4 = 0;

t*0 : х у = я; 2)

4t* - і + 4 = 0 ; J9 = 1 - 64 < 0 ; к о р е н ів н ем ає;

f * - 2 f + l = 0;

X* — t ’f

Г + “

„ —

f* -2 ( + l “

„ — Uj

\t - 1 )* = 0 ; t * 0;

GDZonline.net

f « 1. З н а й д е м о x :

ß idnoeidb:

3; — ;

= 1: Jc = ± 3 ; x y = л ; у = ± ~ .

-3 ; - ■ 3j

“13 5 5 . p »

3 arctg^

X +

- 1 - 2 у/з

В ідповідь:

;

a: -

-2 + 4V 3.

. 12 + 36 = 4 8 : і .

e r ctg jc = ------

2-Уз a r c tg

0; a r c t g

t ; 3 t ‘ + 2уІЗі - 3 = 0;

, - 1 + 2 л /з . ‘. - — 5— .

ґ -1 -2 л /3 ^

j:, = t g

x , = tg

-2 -4 л /з .

^-1 + 2 у / з ) к

-1 -2 ^ 3 i — =

f - l + 2V 3l

4 a r c s in ‘ ж - 4 arcsin^ д: + 1 = 0 ; arcsin'* x = t ; At* - 4(^ + 1 = 0 ; (2t^ - l)^ = 0 ;

, 1 (* = - ; 2

. 1 a r c s in x = - ; 2

, t = ± —; 2

В ідповідь:

. 1 д: = sin - ; 2

1 arcsm x = — ; 2

. 1 . 1 sin — : - sin — 2 2,

^ ^ ^ ± І- ^ № T 1 Ї^

1 3 5 6 . а)

V x“ + 28'

'^Ix^ + 2 8 ‘

+ 1

-1

■ У Г Г Ї-

' (f - 1 ) = 3;

= 3; О Д З : ; . ^ 0 ;

= 3.

Л “ + 28'

В ведем о за м ін у з а м ін н и х :

. 1 * = -s in -. 2

л/д:' + 2 8 ' = (х ; «д: > 0 ; д;' =

- 3 = 0;

yftT l - - ß =

t '- l J

к + li - з Т т

28" t '- l '

- 2 8 = 0;

V f+ 1

= J/. у > 0 ; I/' - З1/ - 2 8 = 0 ; D = 9 + 1 1 2 = 1 2 1 ; y^ = 7; - - 4 — не є к о р е н е м ; V f + 1 = 7 ;

ї' = .

^.22 8 -2288 ■2 8 .

( 4 8 - 1)(48 + 1 ) ’ 4

^2^16.

t = 48.

2g2 + 2 8 ' = 48^д:^ д:'(1 - 48^) = - 2 8 '; ж' = ■ 48' -1

„ Л '+ 2 8 ' З н ай дем о д:: ---------------- = 4 8 ; .. „

х = +—

4 7 -4 9 ’ ^

47’

В ідповідь:

л/47 ’ - Д ї б)

-*■ + 6 6 '^ ■+ 1 - . X

+ 66' =

5; О Д З : д:

-у/д:' + 6 6 '

п ч/д:' + 6 6 ' , в в е д е м о за м ін у з м ін н и х : ------------------ = f: X

24*

О.

66' = - 5— г ! f

-1

66 /— г -Vf + 1 — 7= т

V f -*■ 1

_ ” ’

GDZonline.net =

1/. y > 0 ; y ‘ - 5 y - 6 6

0 ; D ^

289; у,

• Л П = 1 1 ; г + 1 = 1 2 1 ; t = 1 2 0 ; yjx^ + 6 6 ' = 1 2 0 л:;

11*

В ідп овідь:

= ± -І

119’ .

-6 —

не

Є коренем .

+ 66* = 120V ; х ‘ =

^ X

121 1 1 9

11;

лД 19 6

V l l 9 ’ >/119

§ 38. Рівносильні перетворення нерівностей

1367. а )

4л: - 4 < 7л: + 2 ; -З ж < 6; л: > - 2 ; л = 1. б ) 4лс - 9 > 3 (л - 2 ); 4 л - З > 9 - 6 ; л > 3 ; л = 3 . g в ) 2 (3 л - 5 ) а 5 (2 л - 3 ); 6 л - 1 0 л > 1 0 - 1 5 ; - 4 л > - 5 ; л S - ; л - 1. 4 г ) 5 (л - 2 ) + 2 > Зл; 5л - Зл > 1 0 - 2 ; 2 л > 8 ; л > 4 ; л = 5. 1368. а) 4 (л + 2 ) > 5 (л - 1 ); 4 л - 5 л > - 8 - 5 ; - х > - 1 3 ; л < 1 3 ; л - 12. 4 ( х - 1)

< 7л + 2 ;

б ) 3 (2 л - 4 ) ä 9 л - 1 7 ; 6 л - 9 л > 12 - 1 7 ; - З л а - 5 ; л < - ; З

л = 1.

в ) 7 (л - 1) S 1 7 + 5 л ; 7 л - 5 л < 7 + 17; 2л < 24; л < 1 2 ; л - 12 . г) 0 ,3 (л - 2 ) > 0 ,5 (л - 3 ) - 0 ,1 ; 0 ,3 л - 0 ,5 л > 0 ,6 - 1 ,5 - 0 ,1 ; - 0 . 2 л > - 1 ; л < 5; л = 4. 1369. а) л “ + 2 л > 0 ; л (л + 2 ) > 0 ; j/ = л (л + 2 ); л (л + 2 ) > 0 ; л = О, л = - 2 ; J/ > 0 ; л Є ( - » ; - 2 ) U ( 0 ; + » ) . б ) л* - л > 0 ; л (л - 1) > 0 ; І/ = л (л 1 ); л (л 1) = 0 ; л = О,л = 1; j/ а 0 ; л Є ( - « 0 ] и [1 ; + ов). , в ) 2л* + 5 л S 0 ; л (2 л + 5 ) S 0 ; j/ = л (2 л + 5 ); л (2 л + 5 ) = 0 ; л = О, * = у < 0; л є

- I - , г)

Зл=* - л < 0 ; л (3 л - 1) < 0 ; і/ = л (3 л - 1 ); л (3 л - 1 ) = 0 ; л = О, х = ~ ; ч з 1' у < 0; л є

1370. а) л* - Зл л^ - Зл + 2 - (л б ) л* + 5 л + 6 < л* + 5л + 6 = (л

+ 2 > 0 ; І/ = л:* - Зл + 2 ; л* - Зл - 2 )(л 1 ); і/ > 0 ; л Є ( - « ; 0 ) U 0 ; J/ = л* + 5 л + 6 ; л* + 5л + 6 = + 2 )(л + 3 ); і/ < 0 ; л Є ( - 3 ; - 2 ) .

+ 2 “ 0 ; л = 1, л = 2 ; (2 ; + » ) . 0 ; Л; = - 2 , л^ = - 3 ;

в) л* - л - 2 < 0; І/ = л* - л - 2; л* - л - 2 = 0; л, = 2, л^ = -1 ; л* - л - 2 = (л - 2)(л + 1); і/ < 0; л Є (-1 ; 2). г ) л* + 2л - 15 > 0 ; І/ = л* + 2 л - 1 5 ; л* + 2л - 1 5 = 0 ; л , = - 5 , л^ - 3 ; л* + 2 л - 15 = (л + 5 )(л - 3 ); у > 0 ; л Є ( - « ; - 5 ] U [3 ; + « ) . ґ ) л* - 4 л + 4 > 0 ; у = л* - 4 л + 4 ; л* - 4 л + 4 - 0 ; (л - 2)* = 0 ; л ■= 2 ; у

( - » ;

+ 0 0 ).

д ) л* + 1 0 л + 2 5 > 0 ; і/ = л* + 10 л + 2 5 ; л ' + 1 0 л + 2 5 = 0 ; (л + 5 )“^ = 0 ; л, = - ; у > 0 ; л Є (- о о ; +оо). 1371. а ) Зл* - л - 4 > 0; у = Зл* - л - 4 ; Зл* - л - 4 - 0; Z) 1+ 7 . 6

л ,= ^ - Д ;

л є (-со; - 1 ] U

4 —; +00 З

л ,= 1 ;

л ,- - 1 ;

3 л *- л - 4

= 3

л —

- 1 + 48 - 49;

з;

( л + 1 ); у а

GDZonline.net Ь х ‘ - 2 х ~ 3 ; 5 х ^ - 2 x - 3 = 0; D = 4 + 60 = 64; х , =

б) 5 x ‘ - 2 x - з > 0; у -

2+S. 10

Д Г .-1 ; ■ ' ’

З'ї х е

в)

W ( 1 ; + оо).

+ 5ж + 1 < 0; -5 + 1

JC; = *

5’

’

5 * * - 2 д : - 3 = 5 (л с -1 )

= 6л:* + 5 * + 1; бд:^ + 5 х + 1 - 0; /) = 25 - 24 = 1; :

JC, = - ^ : ' 3

*2 = “ ^ : 2

1 бх* + 5л: + 1 = б jf + —

I 'l

а;

1 у < 0 ;

х е

'3 J

г ) 10л^ - 9 i + 2 < 0 ; I/ = 10д:=“ - 9л: + 2 ; Ю л:* - 9л: + 2 = 0 ; Л = 8 1 - 8 0 = 1 ;

9 + 1. *1 = ^ :

* := | ;

’

** = ! :

- 9л: + 2 = 1 0

2 *

y S O ; x . [ - ; - .

Ґ) 9х* + 6 л + 1 < 0 ; J/ = 9х* + 6JC + 1 ; 9JC* + 6 л + 1 = 0 ; X» = 3 6 - 3 6 = 0 : 9лг* + 6 л: + 1 = (3JC + 1)* > 0 ; J/ S 0 ; * = - | д ) 4х* - 12 л + 9 < 0 ; J/ = 4л:* - 12ж + 9 ; 4л* - 1 2 л + 9 = (2 л

- 3)*;

л = — ; (2 л - 3)* > 0 ; J/ < 0 ; л Є 0 ; р о з в ’ я з к ів н е м а є. 1 3 7 2 . а) (л - 3 )(л + 5 ) > 0 ; I/ == (л - 3 )(л + 5 ); (л - 3 )(л + 5 ) = 0 ; л = 3 , л = - 5 ; у > 0 ; л Є ( - 00; - 5 ) U (3 ; + оо). б) (л + 2К л + 7 ) < 0 ; у = (л + 2 )(л + 7 ); (л + 2 )(л + 7 ) = 0 ; л =- - 2 , л = - 7 ; у < 0 ; х В ( - 7 ; 2 ). в) (л + 7 )(л - 1) г 0 ; у = (л + 7К л - 1 ); (л + 7)(л - 1) = 0 ; л = - 7 , л = 1; 1/ г 0 ; л Є ( - 00; - 7 ] и [1 ; + » ) . г) (л - 3 )(л - 5 ) S 0 ; J/ = (л - 3 )(л - 7 ); (л - ЗКл - 7) = 0 ; л = 3 , л -= 7; 1/ S 0 ; л Є [3 ; 7 ]. 1 1 3 7 3 . а ) ( 2л + 1 )(л + 1 ) > 0 ; у = ( 2 л + 1 Кл + 1 ); ( 2 л + 1 К л + 1 ) = 0 ; л = л - - 1 ; у > 0 ; л е ( - о ) ; - 1) и

1 - - ; + оо .

б) (З л

2 - 2 )(2 л + 3 ) > 0 ; J/ = (З л - 2 )(2 л + 3 ); (З л - 2К 2 л + 3 ) = 0 ; л = - .

J/ г 0 ; л є

з‘ —со:-2_

3 л = - - ; 2’

Г2 —; + со .3 )

в ) (л - 7 )(3 л + 1 ) < 0 ; J/ = (л - 7 )(3 л + 1 ); (л - 7 )(3 л + 1 ) = 0 ; л = 7, ^ = - д : у < 0; л є

-і; 7 .

5 г ) (2 л - 5К З л - 6 ) > 0 ; J =• (2 л - 5 )(3 л - 6 ); (2 л - 5К Зл - б ) = 0 ; л = - , у > 0 ; л є (-оо; - 2 ) е

л = 2;

1 3 7 4 . а ) (л - 1 ) (2 - л ) > 0 ; - ( л - 1 )(л - 2 ) > 0 ; (л - 1 )(л - 2 ) > 0 ; j/ = (л - 1 Кл - 2 ); ( х - 1 )(л - 2 ) - 0 ; л = 1 . л = 2 ; у < 0 ; л Є (1 ; 2 ).

б) (З + х ) [ х + 7) < 0; л: Є (-7; -3).

= (X +

3 )(х

+ 7);

GDZonline.net

+ 3)(х + 7) = 0; л: - -З, д: = -7; і/ < о-

{х

в) (З - х ) ( Ь + х ) < 0 ; - ( X - 3 )(х + 5) < 0 ; (х - 3 )(x + 5 ) > 0 ; у = ( х - 3 ) ( х + 5){X - 3 )(х + 5) = 0 ; д: = З, л: = - 5 ; І/ > 0 ; г Є - 5 ] U [3 ; + « ) . г ) (5 - х )(1 - л ) > 0 ; ~(,х - 5 )(1 - х ) >: 0 ; (.х - 5 ) ( х - 1) > 0 ; у = і х - 5 ) ( х - і ) : ( х - 5 ) ( х - 1 ) = 0 ; X = 5 , X = 1 ; у > 0 ; X Є (- « = ; 1] U [5 ; + м ). ( х + 3 ) ( х + 7) > 0;

1375. а) | ^ > 0;

х - 7

1/ = (ж + 3 )(х - 7); (X + 3 ) ( х - 7) = 0 ;

*0;

7 ) ; у > 0-, х S (- о о ; - 3 ) U (7 ; +оо).

X = - З , X = 7; у ^ ( х + 3 ) ( х -

б)

х + 2

х ( х + 2) > 0;

> 0;

у = х ( х + 2 ); х ( х + 2 ) = 0 ; X = О, X = - 2 ; і/ = (ж + 2)х-,

X + 2 * 0;

y > 0-,x S

(- о о ; - 2 ) и ( 0 ; + 00). \ х + 2 ) { х + 3) < 0;

ж+ З

х + 3

JC + З

у = (.х + 2 ) ( х + 3 ); { х + 2 ) { х + 3 ) = 0;

X ^ - 2 , X = - 3 ; у = ( х + 2 ) ( х + 3 ) ; у < 0-, х Є ( - 3 ; - 2 ) .

(З - х ) х < 0;

< 0;

г) —

X Є (- о о ; 0 ) U

1376. а) -- ->1: х - 7

X -

б)

х + 3

---------

х + 2

- 2х - і

> 2;

(3 ; + » ) .

х + 2

„

=--- >0; --- =->0:

х - 7

- х - і X + 2

х~ 7

> 0;

х - 7

X Є (7 ; + оо).

7)\ у >

„ > 0;

_ 0 j: + 10

х + З -х + 7

х - 7

7 > 0\ X > 7-, у = 1 0 (л -

О, X = 3;

х ( х - 3) = 0; X

О;

х ф

у = х ( х - ЗУ, у > 0 ;

x ( x - 3 ) > 0;

у = х { х - 3 );

л:

„ > 0; ’

х + і X + 2

( х + 4 ) ( х + 2 ) < 0;

„ < 0;

х + 2 фО-,

+ 4 ) ( х + 2 ); ( х + 4)(д: + 2 ) = 0 ; х = - 4 , х = ~ 2 ; у < 0 ; х Є ( - 4 ; - 2 ) .

у ^ (х

2 + д: „ в ) — — < 2;

2 + ж -2 д :-6 --------------< 0;

х + 3

. < 0;

-х ~ 4 X + З

х + 4

( х + 4)(д: + 3) > 0;

X + З

X+ З

. ^ > 0;

у ^ ( х + 4 )(х + 3 ); (х + 4 ) ( х + 3 ) = 0 ; х = - 4 , х = - 3 ; у > 0 ; х Є

3 -х

г ) --------- < 1 ;

3 - х - х

„

< 0;

-2 х + 3

< 0;

„

2х + 3

„

----------------- < 0 ;

2 х -3

0; (- о о ; - 4 ) U ( - 3 ; +оо).

„

> 0;

{ 2 х - 3 ) х > 0;

X *0-, у = х ( 2 х - 3 ); х ( 2 х - 3 ) = 0 ; х = О, ^ = g ’

1377. а)

7х

> 1;

2х + 5

У^ 0;

2х + 5

б) --<0; х + 5

. ^ х + 5 *0;

—о о :-----

и (1 ; + оо).

х < 5 .

, < 1;

^ ^

- 7 > 0;

х -7 * 0 -.

З х -4

2’

fx -5 < 0 ;

г)

( 5 х - 5 ) ( 2 х + 5) > 0;

2х + 5

у = ( 5 х - 5 )(2 х + 5); ( 5 х - 5 ) ( 2 х + 5) = 0 ; х = 1 , ^

^ ^^; + оо^

^ ®

З х -4 -x

> 7.

„ < 0;

2 х -4

„ < 0;

х (2 х - 4 ) < 0;

х * 0;

у = х ( 2 х - 4 ); х ( 2 х - 4 ) = 0 ; х = О, ж = 2 ; і/ > 0 ; х Є (- о о ; 0 ) U ( 2 ; +оо).

1378.

а) (5 + х )(х -

(х + 5 )(х -

7 ) ( х + 3 ) > 0 ; І/ = ( X + 5 ) ( х -

7 )(х + 3 ) = 0 ; X = - 5 , X =

7 )(х + 3 );

7 , X = - 3 ; І/ > 0 ; X Є ( - 5 ; - 3 ) U ( 7 ; +оо).

GDZonline.net б)

( X

2 )(JC

1 )(д : -

і/

(ж

2 )(x

1 )(х -

5);

+ в) (X (JC г) ( X

2)(д; + 1)(JC - 5 ) = 0 ; X == - 2 , X = - 1 , X = 5;у < 0; X Є - 7 ) ( х + 3)(д: 1) < 0 ; І/ = (л: - 7 ) ( х + 3)(лс- 1); Ш х + 3 )(л - 1) = 0 ; л: = 7, д: = - 3 . j; = 1; у < 0 ; л: Є (- о о ; - З ] и [1 ; 7]. + 3)(2д: - 4 ) ( х - 6 ) > 0 ; і/ = (л + 3 ) (2 х - 4 ) { х - 6 ); (X + З Х 2 х - 4)(JC - 6 ) = 0 ; д: = - З , X = 2, j; = 6 ; ^ > 0 ; ї Є [ - 3 ; 2] U [6 ; + » ) . 1379. а) (X + I K x - 2 ) ( х + 3 ) < 0 ; І/ = (зс + l ) ( x - 2 ) ( х + 3 ); ( X + 1 )(х - 2 ) ( х + 3 ) = 0 ; X ^ - 1 , X = 2 , X = - 3 ; !/ < 0 ; X Є [ - 3 ; - 1 ] U [2 ; +оо). б ) ( X - 2 )(х + 1 )(х - 1 1 ) < 0 ; ! / = ( х - 2 )(х + 1 )(* - 1 1 ); ( X - 2 ) ( х + 1 )(л : 1 1 ) = 0 ; X = 1 , д: = - 1 , л: = 1 1 ; у < 0 ; х Є (-= о ; - 1 ) U (2 ; 1 1 ) . ( X

в)

{X -

(X -

2)(3х +

г ) {X + l)(J t -

- 1) > 0; І/ = (X - 2)(3х + 3)(х - 1):

3)(х

2 ) ( 3 х + 3)(jc -

1 ) = 0 ; д: = 2 , л = - 1 , д: = 1 ; у >

3 )(;с . + 6 )

{X + 1 ) ( х - 3)(д: + 6 )

1380. а)

> 0; у

= ( х +

- 1 , д: = З, д: = - 6 ;1/

= 0 ; д: =

( д : - 1 )(х + 2 )

( X -

> 0;

д: + 3

Є [ - 1 ; 1 ] U [2 ;

0 ; JC

+ о о ).

3)(лс + 6 ) ;

1 )U -

> 0;

1)(;с + 2)(д: + 3 ) > 0;

1)(;с + 2 ) ( х + 3 );

( X

д: + З ^ 0; ( - 3 ; - 2 ) и (1 ; + » ) .

(* - 1)(д: + 2)(д: + 3 ) = 0 ; х = 1, д: = - 2 , д: = - 3 ; і/ > 0 ; д: В і д п о в і д ь : ( - 3 ; - 2 ) U (1 ; + м ) .

(д: - 2 )(д: - 3)(д: + 1 ) > 0; д: + 1 (X -

( * - 2 )(д: - 3 )(х + 1 ):

д: + 1 ^ 0 ;

2)(д: - 3)(д:

0 ; д:

2 , д:

З , д:

-1 ;

і/ >

0 ; д:

( - 1 ; 2 ) U (3 ; + оо).

В і д п о в і д ь : ( - 1 ; 2 ) U (3 ; +=о).

в)

(д: - 1 )(х + 2 ) (х - 2)(х + 3)

> 0;

( х - 1)(д: + 2)(д: - 2)(д: + 3) > 0;

у = ( х - 1)(д: + 2)(д: - 2)(д: + 3 );

[( х - 2 )(х + 3 ) 5S 0;

1 ) ( х + 2 ) ( х - 2 )(х + 3 ) = 0 ; X = 1 , X = - 2 , д: = 2 , Є ( - 00; - 3 ) и ( - 2 ; 1) и (2 ; +оо). В і д п о в і д ь : ( - ~ ; - 3 ) U ( - 2 ; 1) U (2 ; +оо). (х -

= -3\ у > 0;

- 2 К х - 3 )(х + 1 )(х + 5) > 0;

„

(х + 1)(х + 5) (X -

(х + 1 )(х. + 5 ) * 0 ;

2 )(х - 3 )(х + 1 )(х + 5) ■ 0 ;

= 2,

= З,

І / = (X - 2 )(х - 3 )(х + 1 )(х + 5 ) :

= -1 ,

= - 5 ; І/ > 0 ;

X Є (- о о ; - 5 ) и ( - 1 ; 2 ) и (3 ; + оо).

В і д п о в і д ь : ( - о о ; - 5 ) U ( - 1 ; 2 ) U (3 ; + оо). 1 3 8 1 . а ) (X -

у = (* у <

3)^= -

6( х

J/ = 0 ;

3) +

0 ; і/ = (X -

6«

= 0;

0 ; і Є [2 ; 4 ]; 2 < X -

3 < 4; 5 <

3 )^ -

X <

6( х

= 4 ; t ’* -

= 2;

3) +

6і

8; ( х 8=

((

3) =

і;

- 2)(t - 4 );

7 ; X Є [5 ; 7 ].

В ід п о в ід ь : [ 5 ; 7 ]. б ) ( х + 2)=“ -

(х + 2 ) -

= (х + 2 )“ -

(х + 2 ) -

X + 2 = t ; І/ = і"' -

!/ = 0 ; - t - 6 - 0; = 3; = - 2 ; і* - t - 6 = (t - 3 )(t + 2 ); !/ > 0 ; і < - 2 ; X + 2 < - 2 ; X < - 4 ; t > 3 ; X + 2 > 3 ; X > 1; у > 0 ; X Є (- о о ; - 4 ] и [1 ; + оо). В і д п о в і д ь : (- о о ; - 4 ] U [1 ; +=о). 3 )^ - (X + 3 ) - 2 < 0 ; 1/ = (х +

- 2 = 0; « , = 2; = - 1; 1 ; 2 ] ; - 1 < X + 3 < ;2; - 4 < X = 1 : - 1 ]. 1 0 (2х - 1) + 9 > 0; - 1 0 ( 2 х - 1) + 9 ; 2х - 1 = <; - 9 - , е - lO t + 9 = 0 ; t. = 9 ; t , == 1 ;

у > 0 -, t < V, у >0;

t > 9 ;

(- о

■

2 х - 1 < 1;

2х < 0;

X < 0;

2 х -1 > 9 ;

2х > 1 0 ;

X > 5;

В (-00; 0 ] и [5; +оо).

В і д п о в і д ь : (-о о ; 0 ] U [5; +оо).

t -

(-6

GDZonline.net 1383.

- і < 0; у =

a) x ‘ < і ;

- 4 — п ар аб ол а,

в іт к и я к о ї н а п р я м л е н і в г о р у , в е р ш и н а з н а х о д и т ь с я в т о ч ц і (0 ; 4). у < 0 -, x S ( - 2 ; 2 ). В і д п о в і д ь : ( - 2 ; 2).

х^ > і; х^ - 1 > 0 ; у = х^ - 1 — п ар а б о л а , в іт к и я к о ї н апрям лені вгор у , верш и н а зн а ход и ться в точ ц і ( 0 ; - 1 ). б)

у >

X Є

00; - 1 )

и ( 1 ; +оо).

В і д п о в і д ь : (-о о ; - 1 ) и (1 ; +оо).

в ) л:® > 8 ; д:’ - 8 > 0 ; = д:® - 8 — к у б іч н а п ар абол а; л:’ - 8 = 0 ; д: = 2 ;

у > 0 ; X В [2-, + ). В і д п о в і д ь : [2 ; +оо).

г)

дг® < 1 ; - 1 < 0 ; 1/ = - 1 = 0; X = 1 .

у < 0; X Є ( -

- 1 — к у б іч н а п ар а б ол а ;

00; 1 ].

В і д п о в і д ь : ( - ® ; 1].

1384. а)д:‘' < 2 + д : : д : ^ - 2 - д : < 0 ; і / - х 2 - л : - 2 — п а р а б о л а , в іт к и я к о ї н а п р я м л е н і в г о р у , в е р ш и н а знах оди ться в точц і

з а б с ц и с а м и jc = 2 , - 1 . у < 0 : х Є ( - 1 ; 2). В і д п о в і д ь : ( - 1 ; 2).

^ ®ісь

п е р е ти н а є в т о ч к а х

GDZonline.net б) л* > 4jc; - 4 x > 0; у = - 4 x — п ар абол а, 0ІТКИ я к о ї н а п р я м л е н і в го р у , в е р ш и н а з н а х о д и т ь с я в точці (2 ; - 4 ) , п е р е ти н а є в іс ь х в т о ч к а х з а б сц и са м и , » О, JC = 4.

у - х ‘ -4х

■J, > 0 ; д: Є (-с о ; 0) и (4; +«>). В і д п о в і д ь : (- = » ; 0) U (4; +оо).

в) ж» > 2 - д:; X* +X - 2 > 0; у- х^+х -2

J, = ї » + дг - 2 ; X« + д: - 2 = 0 ; д: = 1 ;

*» + 2д: - JC- 2 = 0; х(х‘ - 1) + 2(х - 1) = 0; ( X - Ш х ^ + д: + 2 ) = 0 ; д: = 1 .

у > 0 ; JC Є (1 ; + « і ) . В і д п о в і д ь : (1; +оо).

1385. а) 8 ' “ < 4; (2®)

2‘ ' < 2^

< 2^

у ■= 2* — з р о с т а ю ч а ф у н к ц ія , о т ж е , 6 - д : < 2 ; - д : < - 4 ; д : > 4 . В і д п о в і д ь : (4 ; + » ) .

б)

'2> .3;

'2'' .3;

" 27’

6jt+10-x* >

> '2> : .3;

'2 '

у = .3.

— сп а д н а ф у н к ц ія , о т ж е , бд: +

+ 10 < 3 ; -д :“ + б л + 7 < 0 ; і/ = + бд: + 7 ; -дг^ + бд: + 7 = 0 ; - 0 ; д: - 7 ; д: = - 1 ; < 0 ; л: Є ( - « ; - 1 ] U [7 ; + » ) . В і д п о в і д ь : (- о о ; - 1 ] U [7 ; + » ) .

г)

^-2 і у -1 3.

. > 9;

X* + 2 - 2 + 2 д:'

1 -х ^

З '" '

> 3 ^ ; і/ = З* — з р о с т а ю ч а ф у н к ц ія ;

> 0; '

Зх^

> 0;

1-х^

Зд:" х‘ -1

< 0;

Зх^

j/ = - j

х ^ -Ґ

- бд: - 7 =

х^ + 2

Зх^ = 0 ;

х = 0;

х ^ - 1 * 0;

х ‘ - 1 * 0;

! / < 0 ; X Є ( - 1 ; 0 ) U (0 ; 1). В і д п о в і д ь : ( - 1 ; 0 ) U (0 ; 1).

1386. а) log g (i^ - 4 х + 3 ) < 1; lo g j(x^ - 4д: + 3 ) < lo g , X* - 4х + 3 > 0;

х ’’ - 4х + 3 > 0 •1

х ' - 4х + 3 < 8 ;

х^ - 4 х - 5 < 0 •2

ф у н к ц ія , о т ж е .

1) - 4д: + З > 0; І/ у > 0; X Є (-о о ; 1) и В і д п о в і д ь : (- о о ; 1) U 2) X* - 4 х - 5 < 0; J/ !/ < 0; X Є ( - 1 ; 5).

4д: + 3; д:^ -

(3; +оо). (3; +<»). = - 4х - 5; х ““-

S; у = lo g , х — з р о с т а ю ч а

4д: + З = 0; д: = 1, X = 3;

4 х - 5= 0; X = 5, X = - 1 ;

Р о з в ’ я з к о м н е р ів н о с т і є п р о м іж о к (3 ; 5). В і д п о в і д ь : (3; 5).

б ) lo g І (З + б х - X*) > - 2 ;

lo g , (З + б х - х^) > lo g , її

функція, отже.

з + бх - х ' > о З + б х - X* ^ - 2

;

у = lo g 1 X Ті

— сп ад н а

1) з + 6x -

> 0; -x‘ + 6x

з > 0;

- 6x - з < 0; у =

- 6л: - 3 = 0; Ö = 36 + 12 = 4 8 ; Jc, =

GDZonline.net

- 6x - 3;

x, = 3 + 2^2;

л, = 3 - 2v/2;

у < 0 ; д :є ( з - 2 л /2 :3 + 2 7 2 ); 2 ) - x ‘ + 6 x + З + 2 < 0 ; - x ^ + 6 x + 5 < 0 ; x^ - 6 x -

- 6л: - 5 = 0; D = 36 + 20 = 56; л, = I/ > 0 ; X є ( -

00; З -

5 > 0 ; у = x^ - 6 x - 5 ;

x ^ = 3 + -JU ;

x^ = 3 - у/Ы;

л Я Ї ) u ( з + у / Ы ; + о о ).

Р о з в ’ я з к ів н е м а є. В і д п о в і д ь : р о з в ’ я з к ів н е м а є. в) Р ГО го CQ 0>

х + 1

л: + 1

х + 1 - 2х

> 2;

х + 1

S І т

1) у >

( х + 1 ) і > 0;

> 0;

у = х ( х + 1 ): дг(х + 1) = 0 ; X = О, х = - 1 ;

0 ; X Є ( - о о ; - 1 ) и (0 ; + о о ).

г. 2) ” ^ + 1 > 0 ;

< 0;

а .5

с о

і > log^ 2 -, у = lo g j X — з р о с т а ю ч а ф у н к ц ія , о т ж е .

lo g j

> 0; І І І > 0

ГО

> 1;

lo g j

х ( х - 1 ) < 0; х ф

О-,

у = х ( х - 1); х ( х - 1 ) = 0 ; X = О, X = 1; у < 0 ; X Є ( 0 ; 1). С п іл ьн и й р о з в ’ я з о к : (0 ; 1). В і д п о в і д ь : (0 ; 1).

+ 2

г) lg — — - > 0 ; lg З х-7

ю ш |_ с: <

х‘ + 2

ч* 2

— - > lg 1; y = l g x — з р о с т а ю ч а ф у н к ц ія , о т ж е . З х-7

х ^+2 З х-7

> 0;

х^+2

З х-7 x^ -^ 2 - З x - ^ ^

З х-7 х^ + 2 > 0;

( х ‘ - З х + 9 ) ( 3 х - 7) > 0 ;

З х -7 > 0 ,х > ~ ;

З х - 7 *0-,

З у = - ( х ^ - 3 х + 9 )(3 x - 7 ); ( х ‘ - З х + 9 )(3 х -

У >

7) = 0 ; х^ - З х - 9 = 0 ; х = - ;

. 9 * 36 - 45, 3 -З у/ Е _ 7

0; X є

З + Зл/5

’ 3>

З н а й д е м о сп іл ь н и й р о з в ’ я з о к : х є

В ідповідь:

(

+ З у/Е -; + 00

"з +

З у/Е

; + 00

З х-7

GDZonline.net Іх> -3 ;

х + 3 > 0;

1387. а) V x + 3 < 5 ;

1 .< 2 2 ;

х + 3 < 25;

* ^ [-3 = 2 2 ].

В і д п о в і д ь : {2 1 }.

б) у І 4 х + 4 > ^ 5 - х ;

4д;

+ х > 0;

5 -

д:

4д:

> 0;

X > - 1;

> -1 ;

х< 5:

< 5;

- ;5

X є

.О

5 х > 1;

> 5 - х;

д:

х> ^ -;

в і д п о в і д ь - . {5 }.

Г4>

2«

.3>

’ І27>

з-з і

.Зу

гх-з-гж '2^

з'

.3 ,

<2 ^ <

^ 3 ’

2 3:

У =

,3 .

спадна ф у н к ц ія , о т ж е , З - д: > 1; -л : > - 2 ; х < 2. В і д п о в і д ь : {1 }.

З®'“'"

г)

;

З * '“"'

> 3 “;

х ‘ - 8х ; х ( х - 8 ) В і д п о в і д ь : {7 }. у =

> 0;

х +І

- > 0; д: + 1

> 0;

з р о с т а ю ч а ф у н к ц ія ;

8х

х^

~ 8 х < 0;

> lg 1; і/ = lg jc — з р о с т а ю ч а ф у н к ц ія ;

■>1

х + Х

> О

ї > 0;

з»

О, X = 8 ; у < 0 ; (0 ; 8 ).

fx + l

1388. а) lg ^ ^ ^ > 0; lg х + 1 - X

0; X ^

> 0;

( х + l)jc > 0;

В і д п о в і д ь : {1 }.

'2> б)

2х

І3>

'9^

,8>

64’

.9 ’ 6 4 ;

X '9 ^

3’

^3^

Дбу

'3 ' .4 .

3 ;

у=

(3^

сп адн а ф у н к ц ія , о т ж е , 2 х > 3 ; ^ > g ' В ідповідь:

в)

11х - х ‘ > 0 ;

д:(1 1 - ж ) > 0

11х - х ^ > 28;

- д : ' + 1 1 л: - 2 8 > 0; 2

^ І П х - х ^ > 2 уі7 ;

1) * (1 1 - X ) > 0 ; !/ = д:(11 - X ) ; д:(11 - х ) = 0 ; х ^ О, х = П ; у > 0 ; х Є [ 0 ; 1 1 ]. 2) + П х - 2 8 > 0; - 1 1 л + 2 8 < 0 ; і/ = - 1 1 х + 28; - І ід : + 2 8 = 0 ; ж = 4 , X = 7; І/ < 0 ; X Є (4 ; 7). С п іл ьн и й р о з в ’ я з о к : (4 ; 7). В і д п о в і д ь : {5 }.

г) VT+TÖ < 2;

X + 1 0 > 0;

І > -1 0 ; д: Є [ - 1 0 ; 6 ).

д: + 1 0 < 16;

В і д п о в і д ь : { - 1 0 }.

х > 1; s in x > i;

В ідповідь:

^ + 2 ял <

71 _ 5я „ 1 —+ 2яп; 1- 2 п п , п є Z. 6

5т[ 6

GDZonline.net б ) з t g д: > ■>/3;

tg x > —

;

^ + лл < jc < — + лп, л е Z.

я — + п п ; — к 71Л , л є Z. 6 2 к

В ідп овідь:

в) 4 sin л c o s JC S -72;

s in tS — ; 2

f = —; 4

s in 2 j:< ^ ;

2д: = t;

- — + 2л л < t S — + 2пп, n є Z; 4 4

- — + 2 пп < 2 x і - + 2 n n , n e Z ; 4 4

+ Jtn < ДГ S — + ЯЛ, Л є Z.

В ідповідь:

(

+ пл; — + jtn 8

л єZ.

r ) cos* д: - sin* X > 0 ,5 ; c o s 2л: > - ;

2x = t ; c o s t > | ;

t =

+ 2 л л < t < — + 2 к п , Л є Z;

- -

- — + 2лл < 2jc < — + 2jtn, Л e Z ; 3 3 В ідповідь:

— 1 6

+ ял; — + ял 6

- — + ял < л: ^ — + лл, л є Z . 6 6

л єг.

1390. а) 2(х + 7 ) + 3(1 - 2 * ) > 1 ; 2 * + 14 + З - 6 л: > 1; - 4 х > - 1 6 ; х < 14. В і д п о в і д ь : {1 , 2 , З, 4 }.

б ) 3(3д: - 2 ) - 4 ( ї + 1 ) < 2ж; 9д: - 6 - 4 * - 4 < 2 х ; 5 х - 2 х < 1 0 ; Зл < 1 0 ; л: < — • З в ) 2 ( x + 1) > З - (1 - 2 л ); 2д: + 2 > З - 1 + 2 і ; 2л: - 2л: > - 2 + 2 ; О • л > 0 . В і д п о в і д ь : (1 ; + <»). г ) З х - 0 ,5 (1 - З л) < 2,5(л: - 3 ); З х - 0 ,5 + 1,5 ;с < 2,5зс - 7 ,5 ; 4 ,5 х - 2,5л: < 0 ,5 - 7 ,5 ; 2лг < - 7 ; л: < - 3 , 5 .

В і д п о в і д ь : {1 , 2 . 3 }.

В ідповідь: 0 .

1391. а ) ^

X є < О і (л: - 1)(2л: + 3 ) < 0 ; л:

В і д п о в і д ь : н і. 3 - х

б)

І З - X > X-, - 2 х г - 3 ;

В ідповідь: ні.

л: ^

х е

3 2

;

Г 3 Л " ö : і . 2 .

GDZonline.net

г - ) (* » - 4 К * + 3 ) > (зс - 2 ) ( х + 3 ) і ж + 2 > 1; Л + 2 К * - 2 ) ( х + 3 ) - (дс - 2 ) ( і + 3 ) > 0 ; X > - 1 ; (X - 2 )(х + 3 ) ( х + 2 - 1) > 0 ; (X - 2 Y . X + 3 )(х + 1) X Є ( - 3 : - 1 ) и (2 ; + 00); д: є ( - 1 ; +=о). п 0 п о в і д ь : н і. і 3 9 2 . а ) х ^ - 2 х - 4 > 0 ; у = х ^ - 2 х - 4 ] х'‘ - 2 х

g ^ = l + -JE; заповідь:

> 0 ; д: = 2 . л = - 3 , л:=

-1 ;

- 4 = 0; 0 = 4 + 16 = 20;

Хг = 1-у/Ь; у > 0; л: е (-оо; 1 - Тб) и (і + ^ ; + оо). ( - < » : l - V 5 ) u ( l + V 5 :+ a > ).

(S) * » - lO x + 3 5 < 0 ; І/ = = Юдг + 3 5 ; - 1 0 х + 35 = 0 ; Ö = 100 - 4 • 35 < 0 ; р озв’ я з к ів н е м а є. ß i d n o e i d b i р о з в ’ я з к ів н е м а є. в) 1 - 4 х - 5х* а 0 ; 5 х “ + 4 х - 1 < 0 ; у = 5л^ + 4 х - 1; + 4 х - 1 = 0; Р - 16 + 2 0 = 3 6 ; *1 =

0 ;

-4 + 6 . 10

’

-4 -6

" '■ “ 5 ’

го m

х е

-'■ ■ і Щ д п о в і д ь -.

г)

m О) Ю

:- 4

-З х * + 5 х + 2 < 0 ; у = -З х ^ + 5 х + 2 ; - З х ““ + 5 х + 2 = 0 ; Зх* - 5 х - 2 = 0 ;

5+7 і ) - 2 5 + 24 “ 4 9 ; х, = — — ;

х, = 2 ;

(TJ

5 —7 х , = —— ;

s X т

- З х ‘ + 5 х + 2 = - 3 ( х - 2)

у < 0; х е

В ідповідь:

1 -< ю ;-----

з;

1 —о о ;-----

а 5

с о

U (2; + оо).

з;

KJ (2; + оо).

из

ґ ) -X * + 4 х - 2 < 0 ; X* - 4 х + 2 S 0 ; і/ = X* - 4 х + 2 ; X* В _ 1 6 - 8 = 8 ; X, = ^ І/ а 0 ;

X є

(-оо; 2 - - ^ ) и (2

; х , = 2 + л/2 ; +

72;

- 4 х + 2 = 0;

х ^ = 2 - у І 2;

с; <

оо).

Відповідь: (-оо; 2 - л/2 ) u (2 + -J2 ; + « ) . Д) X - х^ - 12 > 0 ; X* - X + 12 < 0 ; і/ = X* - X + 1 2 ; X* X + 12 = 0 ; D < 0; р о з в ’ я з к ів н е м а є. Відповідь: р о з в ’ я з к ів н е м а є. 1 3 9 3 . а) Зх^ + З х + 5 > 0 ; І/ = Зх^ + З х + 5 ; Зх^ + З х + 5 = 0 ; ІЗ р озв ’ я з к ів б е з л іч ; х Є (- о о ; +<»). Відповідь: (- о о ; + оо). б) 2х* - 6 х + З < 0 ; у = 2х* - 6 х + 3 ; 2х^ - 6 х + З = 0 ; Г> = 3 6 - 2 4 = 12;

6 +2-73.

*1 ” '

у < 0;

4 х е

В ідповідь:

.. " '= ■

з + >/з. . 2

з-7 з з +S^ 2 fз -^ /з

2 г + -Д '

з-Т з.

= 9- 6 0 < 0 ;

GDZonline.net в )-х^ + 2x -

К О ;

- 2 x + 1 > 0; у ^

- 2x + и

- 2 x + 1 = 0 ; {X -

1)^ = O:

д: = 1 — к р а т, к о р ін ь ; у > 0 ; X Є ( - « : 1) и (1 ; + оо). В і д п о в і д ь : ( - с » ; 1 ) U (1 ; + » ) . г ) - х ‘ - 2 х - 5 > 0 ; х^ + 2 х + 5 < 0 ; у = х ‘ + 2 х

5 ; х^ + 2 х

+ 5 = 0-,

О = 4 - 2 0 < 0 ; р о з в ’ я з к ів н е м а є. В і д п о в і д ь : р о з в ’ я з к ів н е м а є. ґ ) 6 х - 9 - х^ > 0 ; х ‘ - 6 х + 9 > 0 ; у = х^ - 6 х + 9-, ( х - З У = 0 ; X =• З — к р а т . к о р ін ь ; у < 0\ х = 3 .

х ‘ - 6х +

9 = 0;

В і д п о в і д ь : {3 }. д ) З х - 7х^ - 5 < 0 ; 7х^ - З х + 5 > 0 ; у = 7х^ - З х + Ь\ 7х'^О = 9 - 1 4 0 < 0 ; І/ а 0 ; х Є (- « > ; +оо). В і д п о в і д ь : ( - “ ; + “ ). 1394. а) (X - 1)(2 - зс) > 0; (* - 1)(д: - 2) < 0 -, у = (х - 1)(х - 2); ( х - 1)(ж - 2 ) = 0 ; л: = 1, X = 2 ; у < 0 ; д: Є (1 ; 2 ). В і д п о в і д ь : (1 ; 2 ). б ) (З + х ) ( х + 7 ) < 0 ; { х + 3)(л: + 7) < 0 ; у = (л: + 3)(ж + 7 ); ( х + 3 ) ( х + 7) = 0; X = - З , X = - 7 ; у < 0-, X Є ( - 7 ; - 3 ) . В ідповідь: (-7 ; -3 ). в) (З - х )(5 + JC) < 0 ; ( х - 3 ) (х + 5 ) > 0 ; у = (ж- 3)(ж + 5 ); ( х X = З, X = - 5 ; у > 0; X Є ( - » ; - 5 ] U [3 ; + »). В і д п о в і д ь : (- « > ; - 5 ] U [3 ; + » ) . г) (5 - jc )(l - X) < 0 ; (д: - 5 ) { х - І ) < 0 ; у = ( х - 5 ) ( х - 1 ); (лг - 5 ) ( х - 1 ) = 0 ; X = 5 , X = 1; І/ < 0 ; д: Є [1 ; 5]. В і д п о в і д ь : [1 ; 5]. 1395. а) (д: + Щ А х + 5 ) > ( 2 х - 1)2(х: + 5 ); ( х + 1)^(4д: + 5 ) - { 2 х - l ) " ( x + 5 ) > 0; (jc^ + 2 х + l ) ( 4 x + 5 ) - ( 4 х ^ - 4д: + 1)(д: + 5 ) > 0 ; 4 х ‘ + + Sx^ + ІО х + 4д: + + 5 - 4х ^ - 2 0 х ^ + 4 і * + 2 0 x - д: - 5 > 0 ; - З х ‘ + З З х > 0 ; х^ - П х 5 0 ; х ( х - 1 1 ) < 0 ; у = х ( х - 1 1 ); х ( х - 1 1 ) = 0 ; д: = О, д: = 1 1 ; і/ < 0 ; д: Є [0 ; 1 1 ]. В і д п о в і д ь : [0 ; 11 ]. б ) х \ 8 х - 2 ) - { 2 х + 3 ) ( 2 х - 1 У < 1 ; 8 х^ - 2 х ^ - ( 2 х + 3 ) ( 4 х ‘ - 4 х + 1) - 1 s 0; 8 х^ - 2 х ^ - 8 х^ + 8x2 - 2 х - 1 2 х ‘ + 1 2 х - З - 1 < 0 ; - 6 х ‘ + Ю х - 4 < 0 ; Зх^ -

- 5 х + 2 > 0 ; у = Зх« - 5 с + 2 ; Зх^ - 5 х + 2 = х, = І;

х ,= ~ ;

В ідповідь:

у > 0; х є

-с о ;-

0 ; X) = 2 5

- 24 = 1 ; Хі

U [ 1 ; + оо).

1396. а) (X - 1)» - х ( х + 2)2 > - 7 ; х^ - З х (х - 1) - 1 - х(х^ + 4 х + 4 ) + 7 > 0; х^ - 3x2 + З х - 1 - х ’ - 4x2 - 4 х + 7 > q . - х + 6 > 0 ; 7х'‘ + х - 6 < 0; у =

у < 0; х е

169; Хі =

-1 + 1 3 . 14

-1 -1 3 .

’

= -1;

- І,

В ідповідь: -'■ ■ h б)

(X +

1 )2 (2 х +

< 2 x 2 + 2 ; (х 2 + 2 х +

2х^ + 5x2 + 4^2 + Ю х + 2 х + 5 < 2x2 + 1 3 9 7 .а )А ,2 .І ;

J ^ 2-I .O ;

1 )(2 х +

< 2x2 + g;

2 х ’ + 7х^ + 1 2 х + З < 0; . 0;

2x 2 _ т х + б

< 0;

2x2 - 7х + 6 < Q. х2 ^ 0 ;

2x2 - 7х + 6; 2x2 - 7х + 6 = 0; £) = 49 - 48 = 1; х, =

- 3)(х+

—аз; — U [ 1; + оо).

= 7x2 + X - 6; jD = 1 + 168

Зх +Ъ

7+1

GDZonline.net

7 -1 = - ;

y < 0 - ,

х е

^ ;2

Рідповідь:

х +З

Ж* - 4д: - 12

< 0; ”

х ( х + 3)

JC + 3

лс(х + 3)

(х ^ - 4 х - 1 2 ) х ( х + 3 ) < 0;

х ( х + 3)

у = {х ^ -4 х -

12)х(л: + 3 );

|jc(j: + 3) 5t 0;

- 4 х - 1 2 ) х ( х + 3 ) = 0 ; л: = 6 , ж = - 2 , л: = О, л: = - 3 ; J/ < 0 ; X Є ( - 3 ; - 2 ] U (0 ; 6 ]. В і д п о в і д ь : ( - 3 ; - 2 ] U (0 ; 6 ].

в)—

х + 3

-2<

5 , _ 2 _ _ ^ < 0;

х -1

5 х -5 -2 х ^ -іх + Ь -х ‘ -З х ^ ( х + З Х х - 1)

“

j(3x^ + 2 х - 1)(х + 3)(х - 1) < 0; |(л: + 3)(л: - 1 )

г)

-З х^ - 2 х + 1

’

(х + 3 ) ( л :- 1 )

у = ( З х ‘ + 2х -

З х^ + 2 х-1

’

(дг + З К д г -1 )

’

1 ) ( х + 3)(д: - 1 ): (Злг^ + 2д: - 1 ) = 0 ;

2зс + 2

4х + 5

х~ 5

х+ 2

> 0;

( х - 5 ) ( х + 2)

+ 2 ); ( 5 х ^ - 6 х -

= - 1 , X = - З , X = 1; у < 0 ; х е ( - 3 ; - 1 ] u

І;1 З

І ;1 З

(-3 ; - 1 ]

-б х -11

(X + 3 )(x - 1)

ж - - З , д: = 1, х = ~ ,

В ідповідь:

Ь х -Ь -2 (х^ + 2 х - 3 ) - х ‘ - г х

х -1

х+ 3

2 х^ + 4 х + 2 х + 4 + 4 х ^ - 2 0 х + 5 х - 2 5 (X

(5ж ' - 6 х - 11)(л: - 5)(д: + 2) > 0;

(X - 5 )(х

+ Зз: + 10 ^ д.

- 5 ) ( х + 2) у = (5 х* -

6 х - 1 1 )(х - 5 )(x +

2 ) ф 0;

13 1 1 )(х - 5 )(х + 2 ) = 0 ; х = — , х = - 1 , х = 5 , х = - 2 ; j/ > 0;

X е (-оо; - 2) U [ - 1 ; 5 ) u

fl3

В і д п о в і д ь : (-<»; - 2 ) u [ - 1 ; 5) и

Г із — ; + 00 5

1398. а) (5 + х ^ )(х - 7 )(х + 3 ) > 0 ; 1/ = (х^ + 5 )(х - 7 )(х + 3 ); ■ (х2 + 5 )(х - 7 )(х + 3 ) = 0 ; X = 7, X - - 3 ; І/ > 0 ; X Є (- о о ; - 3 ) U (7 ; +а=). Відповідь: (- о о ; - 3 ) U (7 ; +оо). б ) ( X + 2 )(х + 1 )(х - 5)ä < 0 ; у = ( X + 2 )(х + 1 )(х - 5)^; ( х + 2 )(х + 1 )(х - 5)* = 0 ; X “ - 2 , X = - 1 , X = 5 — к р о т . к о р ін ь ; у < 0 ; х Є (- о о ; - 2 ) U ( - 1 ; 5). Відповідь: (- « = ; - 2 ) U ( - 1 ; 5). в ) х ( х - 7 )(х + 3 )(х - 1) < 0; = х (х - 7 )(х + 3 )(х - 1 ); х ( х - 7 )(х + 3 ) (х - 1) = 0 ; х = О, х = 7, х = - З , х = 1; У SO-, х е [ - 3 ; 0 ] и [1 ; 7]. Відповідь: [ - 3 ; 0 ] U [1 ; 7]. г) х^(х + 3 )(2 х - 4 )(х - 6) > 0; І/ = х^(х + 3 )(2 х - 4 )(х - 6); х^(х + 3 )(2 х - 4 )(х - 6 ) = 0; X = О, X - - З , X = 2, X = 6 ; І/ > 0; X Є [ - 3 ; 0] U [О; 2] U [ 6 ; + оо); {0} U и [ - 3 ; 2] и [6; +«■). Відповідь: {0 } и [ - 3 ; 2 ] U [ 6 ; + оо).

GDZonline.net 1399. a) ( X + 1)(*2 - 2 x + 3 ) < 0 ; у >= ( x + 1)(л:2 - 2 x + 3 ); (д: + 1)(*^ - 2 x = 0; X = -1 ; у < 0; X Є -1 ]. В і д п о в і д ь : (- o o ; - 1 ]. б) ( x ‘ -

X - 2)(ж - 1 ,5 ) < 0 - , y = ( x ‘ - x - 2 ) ( x - 1 ,5 ); (л:^ = 2 , X = - I , X = 1 ,5 ; у < 0 ; X e ( - » ; - 1 ) и ( 1 ,5 ; 2 ).

В і д п о в і д ь : ( - » ; - 1 ) U (1 ,5 ; 2 ). в ) ( X - 2 )(3 x " + х - 2 Г > 0 ; у = ( х x = 2, x = ~ ,

2)(Zx^ +

X = ~ l ; у > 0 -, д: e [ 2; + oo) u

x -

2 f;

+ 3)

- д: - 2 ) ( x - 1 ,5 ) =

- 2 )(3 ^ ^ + д: - 2)^ = 0 ;

41-

В і д п о в і д ь : [2; + oo) и |-1; —

(5*2 -I- 2д: - 3 )(x + 6У > 0 ; y = (5 x ‘ + 2x - 3 )(x + 6 )‘ ; (5x^ +

г)

j: = - , 5

= - 1 , X = - 6 ; у > 0 ; x є (-со ; - 6 ] u [ - 6 ; - 1] u

В ідп овідь:

2 x - 3 )(x

+ 6)^ = 0;

3 -;.c o

(-«=: - 6 ] u [ - 6; - 1] u

1400. a) (5 - x ) ( x - l f ( x + 1 ) > 0 ; (3C - 5 )(x - 7 )’ (д: + 1 ) < 0 ; і/ - (д: - 5)(д: - 7 f ( x + + 1 ); (д: - Ь ) ( х - 1 ) \ х + 1) = 0 ; д: = 5 , д: = 7, д: = - 1 ; і/ < 0 ; д: Є ( - » ; - 1 ) U (5 ; 7). В і д п о в і д ь : (-< » ; - 1 ) U (5 ; 7). б ) (2 - х ) Ч х + 1)(д: - 5 ) < О; (д: - 2 У { х + 1)(д: - 5 ) > 0 ; у = ( х - 2 f ( x + 1)(д: - 5); (д: - 2)^(д: + 1)(д: - 5) = 0 ; д: = 2 , д: = - 1 , дг = 5 ; j/ > 0 ; д: Є ( - 1 ; 2 ) U (5 ; + оо). В і д п о в і д ь : ( - 1 ; 2 ) U (5 ; + » ) . в) (д: - х ^ ) ( х + 3 )(х - 1) < 0 ; х ( х - 1 )(х + 3 ) ( х - 1 ) > 0 ; д:(д: - 1)^(д: + 3 ) > 0; у = х ( х - 1)Ч х + 3 ); х ( х - 1)2(д: + 3 ) = 0 ; д: = О, д: = 1 . д: = - 3 ; і/ > 0 ; д: Є ( - = ; - 3 ] U и [ 0 ; 1 ] и [ 1 ; + 00). В і д п о в і д ь : (г о о ; - 3 ] U [0 ; 1] U [1 ; + оо). г ) (х^ - 4 ) ( х + 3 ) ( ,2 х - 4 ) > 0-, у = (х^ - 4 ) ( х + 3 ) ( 2 х - 4 ); (х ^ - 4 ) ( х + 3 ) { 2 х - 4 ) = - 0 ; д: = 2 , д: = - 2 , д: = - З , д: = 2 ; 1/ > 0 ; д: Є (- о о ; - 3 ] U [ - 2 ; 2 ] U [2 ; + оо). В і д п о в і д ь : (- о о ; - 3 ] и [ - 2 ; 2 ] U [2 ; + оо). •|40<| а) (д; + 3 ) ( 1 - д :)

> о’

£ ( £ z i ) ( £ ± 2 ) < о(д: + 3 ) ( д : - 1 ) ’

+ 3)(д: - 1) < 0; |(дг + 3)(д: - 1 ) ^ 0;

д:(д: - 1)='(д: + 2 )(д : + 3 ) < 0 ; (X

+ 3 )(д : - 1 )

у = х ( х - l f ( x + 2)(дг + 3 ); х { х -

1)^(д: + 2)(д: + 3 ) = 0;

де = О, де = 1 , д: = - 2 , д: = - 3 ; І/ < 0 ; X Є (- о о ; - 3 ) U ( - 2 ; 0 ). В і д п о в і д ь : (- о о ; - 3 ) и ( - 2 ; 0 ) . [ X - 2 )(д : - 3 )

х ( х ^ + д: + і )

| (х -2 )(д :-3 )

’

\ х(х^ + X + 1 )

х (х 2 + д : + 1 )> 0 ;

у = ( х - 2)(,х - 3)х(,х^ + X + 1 ); (д: - 2 ) ( х - З)д:(д:‘‘ + д: + 1) = 0 ; д: = 2 , д: = З, дг = 0;

І/ > 0 ; X Є (0 ; 2 ) и (3 ; + оо). В і д п о в і д ь : (0 ; 2 ) U (3 ; + оо).

в)

( х ‘ - Зд: + 2 ) х { х - 2 ) ( х + 3 ) < 0; х { х - 2 ) ( х + 3)

х ( х - 2 )(х + 3)

у ^ ( х ‘ - 3 х + 2 ) х ( . х - 2 )(х + 3 );

0; - З х + 2 = 0 ; X = О, X = 2 , X = - З , X = 1, X = 2;

і/ < 0 ; X Є ( - 00; - 3 ) и (0 ; 1). В і д п о в і д ь : (- о о ; - 3 ) U (0 ; 1).

(х -2 )(х -3 )

{2 + X - х ^ ) { х + 5 )

(X -

2 )(х - 3)(2 +

- х ') ( х + 5 ) > 0;

(2 + х - х ^ ) ( х + 5)?іО;

GDZonline.net :(X ’

2 )(x

3, X

В ід п о в ід ь :

2, X

3)(2

5 );

x^ )(x +

- I , X =■ - 5 ; у > 0-, X e

- 2 ) ( x - 3)(2 + л: - x ^ ) ( x + 5 ) = 0; x = 2, (-5; - 1 ) U (-1; 2) U (2; 3).

(-5; - 1 ) U ( -1 ; 2) U (2; 3).

1402. a) (л:' + 2л: + l ) ( x ‘ + 2ж + 4 ) > 1 0 ; і/ = (д:^ + 2л: + ІКл:“ +2 х ї ї + 2 х + 1 •= t ; t ( t + 3 ) > 10;

- -5 ; f, = 2; 0; t < ~5; t

и >

2 ; х ‘ + 2 х + 1 < -5 ; д:“ + 2л: +

,» + 2х + 1 > 2;

+ 2дг - 1 > 0; D = 4

= - 1 - V2 ; I/ > 0 ; JC є (-< »; - 1 - л/2 ) и ( - 1

Відповідь: б)

У'

4) - 10; + 3( - 10; f “ + 3« - 10 = 0;

+ З і - 10 > 0; у =

6 < 0; Z) < 0; розв’язків немає; г~ ;

= 8;

х,

=- 1 + >/2;

+ ч/2 ; + о )).

(-со; -1 - ->/2)и (-1 +■ У2; +ю).

( З х + 1)" < Зле + 1; ( З х + 1)2 - (Зд: + 1) < 0 ; I/

: f* - t;

= (Зле+ 1)^ - ( З х + 1); ( З х + 1) = f;

= 0 ; t(t - 1) = 0 ; ( = О, t = 1; у < 0 ; О < ( < 1;

хв 3

х < 0;

Зл: + 1 > 0;

З х > -1 ;

Зх + 1 < 1;

3х<0;

Відповідь:

в) (2х^ - 5 х - 4 ) (2 х ‘ - 5 х ) < 2 1 ; (2х^ - 5 х - 4)(2х== - 5 х ) - 21 < 0 ; у = (2х'^ - 5 х - 4)(2х^ - 5 х ); 2х^ - 5 х = t; г/ = (t - 4 )t; t(t - 4 ) = 0 ; t = О, t = 4 ; О < t < 4 ; 2 x ‘ - 5 x > 0 (1);

2x* - 5 x < 4 (2); 1 ) 2 x * - 5 x > 0 ; I /= 2 x * - 5 x ; г х '“ - 5 x = 0 ; x = 0 , * =

5 —; + 00 1.2

2x* - 5x - 4 < 0 ; I/ = 2x^ - 5x - 4 ; 2x* - 5x - 4 = 0 ; ö = 25 + 32 = 57; 5 + -J57

*. =

^ ^

'5 -У І5 7 5 - S l = ------ ^------ ; jf < 0 ; X e

З найдем о сп іл ь н и й р о з в ’ я з о к : x є

Відповідь:

5 + > /^ '

‘

's -y fE 7

f 5 . 5 + ^j5l ' 2 ’

Г 5 . Ь + у/Ь7^ '5 - л / б 7 ------------- ; 0 U І2 ’ 4 ) 4 ;

г) (З х + l y > ( 6 х + 2 ); (З х + 1)^ - 2 {3 х + 1) > 0; 1/ = (З х + 1)2 - 2 (3 х + 1); (З х + 1 ) = t ; y = е - 2 t ;

*(t - 2 ) = 0 ; f = О, f = 2 ; t < 0 ; t > 2 ;

- 2 f = 0;

3x + l < 0 , x < - - ; 3 3x + l > 2 , x > i ; 3

Відповідь:

-со;-1 з>

f —1 : + 001 ІЗ )

—oo;-S)

1403. a ) x ( x + l ) ( x + 2 )( x + 3 ) < 2 4 ; (x^ + 3 x + 2 )(x^ + 3 x ) - 24 < 0 ; i/ = ( x “ + + 3 x + 2)(x^ + 3 x ) - 2 4 ; x^ + 3 x = t ; у = ( t + 2 ) t - 2 4 ; ( t + 2 ) t - 24 = 0 ; + 2f f x ' + 3 x > - 6; (1) - 24 = 0 ; ( = - 6 , f = 4 ; - 6 < t < 4 ; jx * + 3 x < 4 ; (2) 1) X* + 3 x > - 6 ; x^ + 3 x + 6 > 0 ; I/ = x^ + 3 x + 6 ; x^ + 3 x + 6 = 0 ; X ) < 0 ; X Є Л; 2) X* + З х - 4 < 0 ; у - X* + Зх - 4 ; X* + З х - 4 ■= 0 ; X 4 , х = 1; х Є ( - 4 ; 1). Відповідь: ( - 4 ; 1 ).

GDZonline.net б)

{X - 2 )(х + 1)(д: + 2 ) { х + 5 ) + 20 > 0 ; ( х ‘ + З х + 2 ) { х ^ + Зл: - 1 0 ) + 2 0 > Оу - - ( х ^ + 3 х + 2 ) ( х ^ + З х - 10 ) + 2 0 ; х^ + З х ^ t ; у = ( t + 2 )(t - 1 0 ) + 2 0 ; (t + 2 )(t - 1 0 ) + 2 0 = 0 ; - 8f - 20+ 20 0; - 8 t = 0; t(t - 8) = 0; t = 0. t у > 0 ; t S ( - o o ; 0 ) U (8 ; + «> ); f < 0 ; < > 8; 1) + 3 x < 0 ; x { x + 3 ) < 0 ; у x ++ 3); 3 ); xx( (,xx ++ 3) == xx {(x 3) = 0 ; X = 0 , X = - 3 ; X Є ( - з - qi

2) + a * > 8;

+ 3 x - 8 > 0 ; у = x^ + 3x - 8 ; x^ + 3x - 8 = 0 ; Z) - 9 + 32 =’ 41 .

-3 + л /її 2 ’ *2

-3 -у [їі -З -л /її ^ -со;-----------2 ’ * ^1 2 ;

-3 + 4 Ї І ------------ : + 00 К 2 )

З н а й д е м о сп іл ь н и й р о з в ’ я з о к . X є

-3-7ЇГ' Г ” ’ ■2

■I

^-3-г/4Ї ^ ~2

1 1

' -3 +n/41^ -з +Т ІЇ ^’ 2 j 1 2 ’

• 1

1 j w

_ -3 + >/41^ f - 3 + r/41 0 ; ------------ u 1 2 J 2 ’

^ -3 -V 4 1 . 2

-oo:-----------2 у

В ідповідь:

1404. а) X* - 7х^ + 12 > 0 : ^ = X« - 7х^ + 1 2 ; х'* = f , - 7 t + 12 > 0; (/ “ f* - 7 ( + 12; - 7« + 12 = 0 ; « = 4 , ( = 3 ; і < 3 ; і > 4 ; х^ < 3 ; х^ > 4; ( х - > /з ) ( х + ч /з )< 0 ; (X

- 2 )(х + 2 ) > 0 ;

В ідповідь:

б)

‘

у = і х - у / з ) і х + ^Із);

х є [-ч /З ; л /з ];

= (х - 2 )(х + 2 ); х Є (- о о ; - 2 ] U [2 ; + «>).

(-<»; - 2] u [ - > /3 ; \/з] и [2; + те).

4х* - S x ’' + 1 < 0 ; 1/ = 4х< - 5х^ + І ; х ‘ = t ; у ^ , . = 2; ‘ ^

1) x '- i ^ O ;

8 (

l' - 00; —

t ,= i; i . e 4 4

X —

I 'l

X +

. 2;

I 'l — = 0; 2

- 5< + 1; 4t^ -

x ^ - 4 > 0; (1 )

x ‘ < 2;

X* - 2 < 0 ; (2 )

х Л

. = -1 ;

;

+ 1 = 0;

x-’ >

—; + 00 .2 j

2 ) X» - X < 0 ; 1/ = x^ - 2 ; ( x - л /г ) ( х + >/2 ) = 0;

x = >/2 ,

x = -r /2 ;

х є [ - > /2;г ^ ].

С п іл ь н и й р о з в ’ я з о к : x є

В ідп овідь:

в)

t, =

x ‘ + 5x^ - 3 6 < 0 ; j/ = x< + 5x* - 3 6 ; x^ ^ f , у =

; <1=4; t; =—— ‘

”

1) X* > - 9 ; X Є Д; 2 ) x^ - 4 < 0 ; jf = x^ -

bt -

36;

+ 5t - 36 = 0; X* > - 9 ; (1)

<2 = - 9 ; - 9 < ( < 4 ; - 9 < x^ < 4;

4 ; ^ = 0 ;X =

x*<4; 2 , X = - 2 . Xe

(2)

( - 2 ; 2 ).

В і д п о в і д ь : ( - 2 ; 2 ).

г)

16x^ - 15x^ - 1 > 0 ; I/ = 1 6 x * - 15x2 _ -y. ^2 ^ f . y ^ 16^2 _ 1 5 , _ i -

16<’‘ - 1 5 f - 1 = 0 ; D = 2 2 5 + 6 4 - 2 8 9 ; t, >1 1 2 1 t < - ~ l t > 1; X < - — j р о з в ’ я з к ів н е м а є; 16 16 x^ > 1; x^ - 1 > 0 ; 1/ = x^ - 1; X* В і д п о в і д ь : (- « > ; - 1 ) и ( i ; + 00).

1405. a) ( X + 3)<-

I/ = (2 - f - 2 ; 1/2 -

t _

1 = 0 ; X= - 1 ,

(,= 1 ; '

X = 1; X є

( - м ; - 1 ) U (1 ; + «)•

(x + 3)2 - 2 > 0; 1/ =(x + 3)* - (x +3)^- 2;(x+3)^= t;

0; ( = 2, < = -1 ; (

< - 1 ; < > 2;

GDZonline.net , , + 3 )* < - 1 ; р о з в ’ я з к ів н е м а є; |* + 3 )“ > 2 :( a : + 3 ) 2 - 2 > 0 : j / = U + 3 ) 2 - 2 : ( x + 3 ) ^ - 2 = 0 ; ( і + З - V 2 ) U + З + V 2 ) = 0; Х=‘

- 3 + n/2 ;

x = -3 -y j2 ;

£ (■ ^ » —З — ^ 2 )

{ —З + V 2; + с о ).

■ ^ п о в і д ь : ( - « ) ; - З - V2 )

( - 3 + ^І2; + о о ).

б) ( 2 х - 1)" - Ю ( 2 х - 1 У у т і* - lO t + 9; - 10<

+ 9 < 0 ; у = ( 2 х - 1 )‘ - 1 0 { 2 х - 1)^ + 9 ; ( 2 х + 9 - 0 ; (, = 9 ; t j = 1; 1 < t < 9

(2х - I f > 1 :

U 2 X - 1 -

{ 2 х - 1)" < 9;

\ ( 2 х - 1 - 3)(2лс - 1 + 3 ) < 0;

( 2 х - 2 )2jc > 0 ;

1 ) ( 2 х - 1 + 1) > 0:

1)* - t;

(1 )

( 2 х - 4 ) { 2 х + 2 ) < 0 ; (2 )

1) 2*(2jc - 2 ) > 0 ; у = 2 х ( 2 х - 2 ); 2д:(2д; - 2 ) = 0 ; jc = О, д: = 1; XЄ 0) и ( 1 ; + » ) ; 2) { 2 х - 4 ) ( 2 х + 2) < 0 ; І/ - (2ж - 4)(2л: + 2 ); ( 2 х - 4 ) ( 2 х + 2 ) = 0 ; а: = 2, де = - 1 ;

_Х

^ п о в і д ь : ( - 1 ; 0 ) U ( 1 ; 2 ).

+ 2 л + 2 ( і + 1) - 2 3 < 0 ; д:* + 2д: + 2;с + 2 - 2 3 < 0 ; х^ + 4 х - 2 1 S 0 ; Л - х ‘ + 4 х - 21-, х^ + 4 х - 2 1 = 0 ; X = - 7 , X = 3 ; у < 0 ; X Є [ - 7 ; 3 ]. М д п о в і д ь : [ - 7 ; 3 ]. ^ 4 х ‘ - 1 2 х + 2 ( 2 х - 3 ) - 6 > 0 ; 4лг^ - 12л: + 4зс - 6 - 6 > 0 ; 4х ^ ^ - 2 х - З > 0 ; у = х^ - 2 х - 3 ; х ‘ - 2 х - З = 0 ; X = З , X = - 1 , у Si 0 ;

12 >

х Є - 1 ] и [3 ; + 00). ■ ^ п о в і д ь : ( - 00; - 1 ] и [3 ; + оо).

14 06. а)

ГО

— п а р а б о л а , в іт к и н а п р я м -

X т

8 я*ві в г о р у , в е р ш и н а в т о ч ц і (0 ; 0 ); Уг ~ ~ ла, в іт к и в І і III ч в е р т і.

— г іп е р б о

: ( 0 ; 2 ).

в і д п о в і д ь : ( 0 ; 2 ).

2 б) — S JC - 1; 2 , - = ж - 1; *

«З го ш о» LO

2 1/, = — — г іп е р б о л а , в іт к и в І і III ч в е р т і; у^== х - 1 — п р я м а.

2- х ‘ +х . ----------------- = 0;

-х ^ + X + 2 = 0;

х‘ - х

- 2 ^ 0 ; х ’= 2 , х

LO Ш І— с: <

= - 1\

х^О ;

X Є (-00; - 1 ] и (0; 2]. В і д п о в і д ь : (-оо; - 1 ] и ( 0 ; 2 ].

^ 16 =—

І/, - X* — к у б іч н а п ар а б о л а ; — г іп е р б о л а .

Є [ -2 ; 0) U [2; +оо).

в і д п о в і д ь : [-2 ; 0) U [2; +оо).

г; — > ж;

У і-~

— г іп е р б о л а ; у^ =

—

ОРяма.

* Є ( - « , ; - 3 ) и ( 0 ; 3). В ідповідь: ( - 0 0; - 3 ) и (0; 3).

in LT9

GDZonline.net x^ - 3 x + 1 0 > 0 ; (1)

1407.

X - 2 > 0; (2 )

> x - 2;

— Зд: + 1 0

x^ - 3 x + 10 > (л: + 2 )^ (3 )

1) - 3 * + 1 0 > 0 ; (1 ) і/ = - З х + 1 0 ; x* - Зд; + 10 = 0 ; X> - 9 - 4 0 < 0 ; л: Є ДJC - 2 > 0 : ( 2 ) д: > 2 ; [ 2 ; + « .) ; д:* - 3;с + 1 0 > X» + 4л: + 4 (3 ); - 7 х > - 6 ; х < - і В і д п о в і д ь : р о з в ’ я з к ів н ем ае.

я '' - Зд: + 1 0 > 0; (1) 2)

- Зх + 1 0 > О ( 1 ); х Є Д ; х - 2 < 0 ( 2 ); х < 2 . С пільн ий

л - 2 < 0; (2)

р о з в ’ я з о к ( - » ; 2 ). В і д п о в і д ь : ( - « ; 2 ). х ’' - X - 12 > 0; (1)

б)

Vx' - X -12

X > 0; ( 2) х ' - X - 1 2 < х ^ (3 )

1) х^ - X - 12 > 0 ; і/ = х^ - X - 1 2 ; X* - X - 1 2 = 0 ; X = 4 , X =■ - 3 ; X Є ( - о о ; - 3 ] и [4 ; + 00); 2) X > 0 ; X Є (0 ; + оо); 3) - X - 12 - х^ < 0 ; - X - 12 < 0 ; X + 12 > 0 ; X > - 1 2 ; х Є ( - 1 2 ; + оо). В і д п о в і д ь : [4 ; + <»). в) V x * - 9 х + 2 0 > - 2 ; X ”

5 ; І/ >

х= -

9 х + 2 0 > 0 ; і/ = х * -

9х +

2 0 ; х*

9 х + 2 0 = 0; х = 4,

0 ; X Є (-= о ; 4 ] U [ 5 ; + о о ).

В і д п о в і д ь : ( -= о ; 4 ] U [ 5 ; + о о ). г ) ( X - 3 ) у І х ^ + 4 < х ’’ - 9 ; i/ = ( x - 3 ) ( V x ’' + 4 - ( x ®

В ідп овідь:

( х - 3 ) ч / ? Т 4 - (х * - 9 ) ^ 0 ;

+ 3 ));

( x - 3 ) { V x '+ 4 - ( x

(х - 3 )(V x * + 4 - (х + 3 )) <0;

+ 3 ))

= 0;

= З, х = - ^ - ,

и [ 3 ; + оо).

5 - о о ; ----6

W [3; + оо).

1408.

а) (Зх* - 4 х + 1)л/25х^ - 2 0 х + З < 0 ;

D (y) =

-оо; -

j/ = (З х ' - 4 х + 1)>/25х’' - 2 0 х + 3 ;

[3 —; + 001 ; 2 5 х ‘ - 2 0 х + з > 0 ; 2 5 х " - 2 0 х + З = 0 ; .5

2 0 + 10 З D = 400 - 300 = 1 0 0 ; x , = ^ ^ = - ;

2 0 -1 0

(Зх* - 4 х + l ) y j 2 5 x ‘ - 2 0 х + З = 0;

Зх^ - 4х + 1 = 0 ; £1 = 1 6 - 12 = 4; х, = а б о V 25x^ -- 2 0 х + 3 = 0 ;

у £ 0; X є

В ідп овідь:

_ ^. ” 5 ’

1 .3 3’ 5

&■:

І-

1 х ,= -;

х, = 1 ; Xj =

х, = і ; 3

у < 0;

GDZonline.net

6) f

2 + i> 4 - : ОДЗ: V*

•>0;

О Д З : X > 0.

ж ,

( 2 x + l)ac > 0;

jc> 0;

ж > 0;

х > 0; f2 x + 1

1 1 0

2ж + 1

9 + — ^ > ^ ПА и, X

^ 2л; + 1 = 1 ; 2 jc + 1 “ 1 ; 2зс “ 0 ; jc “ 0 ; р о з в ’ я з к у н ем а е.

4 х*0 ;

розв’язку немае.

відповідь:

2 х - 7

(1)

1 2 -х-х'іО ;

ОДЗ: 2 х - 7 * 0 і (2) * - 5 0; (3)

ж -5

ОДЗ: (-4; 3].

-ж* - X + 12 > 0 ; ж* + X - 12 S 0 ; І/ “ ж* + X - 1 2 ; ж* + д: - 12 = О; * = - 4 ;

ж - 3; у g 0 ; ж Є [ - 4 ; 3 ];

^12 - ж - ж* "

V l2 - ж - ж* ^

2ж - 7

. '

- 5

^ 2 - ж - ж*

> /і2 -ж -ж *

2 х -7

х -5

’

V l 2 - ж - ж*(ж - 5 - 2ж + 7 ) _ (2 Ж -7 К Ж -5 )

( 2 ж - 7 К ж - 5 ) , ‘ 0;

7 і 2 - ж - ж* = 0 ; ж = - 4 ; ж = З а б о 2 - ж » S 0 ; ж Є [2 ; 3 ]; 2 ) 2ж - 7

0; ж

- 0 ; ж - 2. 3 ) ж s« 5.

В і д п о в і д ь : [2 ; 3 ].

ж + в ä 0;

ж -5

{ ^ 1 2 - ж - ж * ( 2 - ж ) = 0: V12 - ж - ж* •(2 - ж) = 0;

(2 Ж -7 К Ж -5 )

г) -Jx + 6

V l2 - x - X* .

2 ж -7

’

^ 2 -ж - х »(-ж ^ 2 ),о .

V l2 - ж - X*

-У2ж - 5 > -Уж + 1;

ОДЗ:

жг -6;

2 ж -5 ^ 0 :

ж + 1 ^ 0;

ж> - 1; у = >/ж+ 6 - >/2ж- 5 - >/ж+ 1; 7ж + 6 - л/2ж-5 - >/ж+ 1 = О; V x + 6 - • j 2 x - 5 = V x + 1;

-2л/ж + 6 л /2 ж -5 = -2ж;

X +

6 - 2 V x + 6 V 2 x - 5 + 2ж - 5 = ж + 1 ;

^ж + 6V2x - 5 = ж;

2х* - бж + 12х - ЗО = X*; х* + 7х - ЗО =- 0 ; х , - - 1 0 ; х^ - 3 ; і/ > 0; х є

Відповідь:

1409.

:З

а) log, (X * -

6х

+18) - logjs ( X - 4)< 0; ОДЗ:

X* - 6 х + 1 8 > 0;

X є R;

х -4 > 0 ;

х>4;

* > 4 . 1ок,(х*-6 x + 18)<log^(x-4); log,(x* - 6х +18) < 21og,(x - 4); ї

log,(x' - 6х + 18) < log,(x - 4)*; у = log, х — спадна функція, отже, х* - 6ж + і і і + 18 > (х - 4)*; X» - 6ж + 18 - ж* + 8х - 16 > 0; 2х + 2 > 0; X > -1. Спільний розв’язок з урахуванням ОДЗ: х Є (4; +»). відповідь: (4; +<»).

GDZonline.net З х -1

>0;

ОДЗ:

х * 1;

х ,^ 1;

х * 1;

X > 0;

ОДЗ:

х^ + 1

З х - 1 > 0;

(1; + 00);

.х^ + 1 lo g ,

^ > log_, 1; Зд: - 1 , 3 x - 1 - i “' - 1 + 1 y = log^ P (x ) — сп а д н а , о т ж е , ^ ^ < 1; -------

0 < д: < 1; + 3 X -2 x‘ + l

< 0 ; - x ‘ + 3x - 2 < 0; !/ = - x ‘ + Зж - 2;

+ Зд; - 2 = 0;

(- « > ; 1) и (2 ; +оо).

х^ - З х + 2 = 0 ; х = 2 , X = и у < 0 ; х е

_I З н а й д е м о с п іл ь н и й р о з в ’ я з о к н а О Д З: і/ < 0 ; х е

P ГО PO

со

З х —1 ~ 2— Г > д: + 1

01 їй

h -

, „ , 3jc - 1 , I/ = log^ P ( x ) — з р о с т а ю ч а , ^

X > 1;

I/ = -д;2 + Зд: - 2 ; + Зд: - 2 = 0 ; д: = 2 , X = 1; I/ > 0 ; д: Є (1 ; 2). З н а й д е м о сп іл ь н и й р о з в ’ я з о к н а ОД З: х Є ( 1 ; 2 ) . го X т .ч : с

В і д п о в і д ь : І д ! ^ ' - ' ( 1 : 2 ).

в) lo g ;

х - 1^ 0.

л ’’ + 3 л - 1 б 'і ' і х -1

log,

х‘ + 3 х-1 б ' х -1

х ’ + З ї - 16 х -1

1 ); ( і * + Здг - 1 6 )(х - 1 ) - 0 ; д: = - 6 ; д; = 1 ; д: = Л

-з-л/тз

-З -ч /^ ^ х = -----: ОДЗ:

logi log^

{х^ + 3 х - 16)(д: - 1 ) > 0;

х ~1

(х^ + 3 х - 16)(д: -

У “

їй с: <

д:" + Зд: - 16

log,

> 4;

< lo g , 1;

- З + л/тЗ

f-з +ч/тз

J/ = l o g , ж

—

сп а д н а ,

отж е,

> 1;

д:' + Зд: - 16

lo g .

> l o g , 4 ; у = log^ X — з р о с т а ю ч а ;

д: - 1

4 х ^ + 1 2 * - 64 - 4д: + 4

( х - 1)

(4 х + 8 х - 6 0 )(х - 1) > 0 ; 4 (х - 1 ) 0;

j, = (д. _

> 0;

4х^ + 8х - 60 ( х - 1) _ 6 0 );

> 0;

(х - 1)(4х^ + 18х - 6 0 ) = 0;

(х - 1)(х" + 2 х - 1 5 ) = 0; X = 1; X = - 5 ; X = 3 ; у > 0 ; X Є ( - 5 ; 1) U (3 ; + «>). З н а й д е м о с п іл ь н и й р о з в ’ я з о к на О Д З: х є

В ідп овідь:

'-3 -У ІТ З

-:-5

г) l o g , . , ( x ' + x - 6 ) > 4 ;

маемо

(-з-^1тз

-:-5

KJ (3; + оо).

U (3; + 00).

О Д З:

X* + X - 6 > 0 ;

х^ + X - 6 > 0;

X + 1 i« 1;

X + 1 ?! 1;

X + 1 > 0;

х > -1.

О Д З : (2 ; + оо).

1) х^ + X - 6 > 0; I/ = х^ + X - 6; X* + X - 6 = 0; X = - 3 ; X = 2; I/ > 0;

GDZonline.net + д: - 6 ) > 4:

log,.,(JC* + д; - 6 ) > 4; 2)

І + 1 > 1;

О < Ж+ 1 < 1;

•og..,(Jc* + д: - 6) > lo g ,.,(j: + 1)‘ ;

_1 < дг + 1 < 0 ; І* * + ж - 6 м ; . + 1 ) ‘ : ^ ^ У 2)

+ лг - 6 > (ж + l ) ^

р о з в ’ я з к ів н е м а є.

х > 0;

д 0 п о в і д ь : р о з в ’ я з к ів н е м а є. 'уІЗ

2 —

^410 , а ) -Уз sin 2 jc + c o s 2 х < 1;

І 2

1 sin 2 х + - c o s 2 х

в і п і s i n 2jc + c o s —с о з 2д: < —; c o s

•“ з '

1 + 2ял < t < —

+ 2 к п , п е Z;

cos< < і ; 2

t = - .

-f 2 к п , п е Z;

- к п < х < - к п , п е Z.

2п

~ - 2 х = t;

—+ 2пп< — -2 х

2 т < - 2 х < — + 2 л п , л е Z;

Відповідь:

< -і; 2

< 1;

тсл; - п п

, neZ .

б) 8ІП 2 х > c o s 2 х ; s in 2 х - c o s 2 х > 0 ; COS 2jc ^ 0 ; t g 2 х - 1 > 0 ; t g 2д: > 1; 2х— J; t g і > 1 ; t g t = 1 ;

*= 7 : 4

„ Я ЯЛ я я л — + ял<2д:< — + ЯЛ, n e Z ; —+ — < jc< - + — ,

^ + л л < # < — + ЯЛ, n e Z ; 4

( п

пп

т і ’"

п € Z.

„

пп^

В і д п о в і д ь : [ g + Y ' 4 ■"

b)cos2 * cos 5jc< cos 3:c;

—(со з Т д: + созЗд:) - созЗд: < 0; ic o s 7 x + ісозЗл: - cos З * < 0; 2

JCOS 7д: - і c o s Зд: < 0 ; c o s 7 х - c o s Зле < 0 ; - 2 sin 5 х sin 2д: < 0 ; sin 5 х sin 2 х > 0 ; У “ sin 5 х sin 2 х ; sin 5 х s in 2 х = 0 ;

•ta 5д с,- 0 ; 5дг = л л , л Є Z ; х =

л є Z;

*во ein 2 х = 0 ; 2де = л л , л Є Z ; х = — , л є Z; 1) п - о , ; е = 0: л - і . _ Зп V^ Зя ^ = — : * “ л ;; лл = 3 з , Jf 5

х = Ь 5 Згс

» > 0; f l ^ . n e Z ; ^ ' , л е Z. \ 5 2 >

х = ^:

л = 2. ^ =

, 4п „ л = 4, ^ = — : X = 2л;

GDZonline.net г) з cos* д: sin j: - sin* ж < - 1 ; 3 cos* x sin jc - 1 + cos* x < - 1 ; 3 cos* JC sin JC + cos* ДС < 0 ; cos* jc(3 s in jc + 1 ) < 0 ; у = cos* jc(3 sin X + 1 ); cos* дс(3 sin де + 1) = 0 ; cos*

= 0:

= — + КП, n є Z; 2

а б о 3 sin j; + 1 = 0 ; 3 sin x = - 1 \ sin де = — ; З Зя'і U у < 0 ; X є п

x = (- 1 )" a rcsin — + к п , л є Z.

2 ,

В ідп овідь:

оп п ) І 2 лл; — + 2 2

л + 2 п п ; — + 2 пп 2

, л є Z.

1411. а) X* + Зх» - 2 х* - ( X* + .3 х » - 2 х* - 6 х + 4 = І х \ х + 2) + х Ч х - 1) - ХІ . Х + 2) - 4(JC - 1) = 0; (X + 2)(х» - х ) + ( х - 1)(х* - 4) = О; х { х + 2 )(jc - 1 )(х + 1 ) + ( х - 1 )(х - 2 )(х + 2 ) = 0 ; ( х + 2 )(х - 1 )(х* + 2 х - 2 ) = 0; X = -2 ;

X =

х =

х = - 1 + л/3;

х = ^ ^ -у ^ ;

х = -1 -^ ;

у < О;

x e ( ~ l - S ; - 2 ) < j ( - 1 + л/З: і ) . В і д п о в і д ь : ( - 1 - >/3; - 2 ) и ( - 1 + 7 3 ; і ) .

б)

х< - 4 х » - ІЗ х * + 2 8 х + 12 > 0 ; х< - 2 х “ - 2 х » - 14х* + 2 8 х + х* + 16 - 4 > 0;

х \ х - 2 ) - 1 4 х (х - 2 ) - 2 ( х ’ - 8 ) + (х* - 4 ) > 0 ; ( х - 2)(х* - 2х* - 1 7 х - 6 ) > 0; X = - З — к о р і н ь ; (х - 2 )(х + 3)(х* - 5 х - 2 ) > 0 ; у = ( х - 2 )(х + 3 )(х * - 5 х - 2); (X - 2 )(х + 3)(х* - 5 х - 2 ) = 0 ; X =- 1; X = - 3 ;

у > 0 ; X є ( - « : - 3) U

В ідповідь:

в)

ь + у/гз

5 -л /з з

f 5 + > /з З .

' 5 -у/зЗ

(-<»; - 3 ) u

х =

-;1

х ‘ + 2х» - 1ІХ * + 4 х + 4 < 0 ; х ” 1 — к о р ін ь ; ( х - 1 )(х » + Зх* - 8х - 4 ) < 0; 1 )(х - 2)(х* + 5 х + 2 ) < 0 ; і/ = ( х - 1 )(х - 2 )(х * + 5 х + 2);

X = 2 — к о р ін ь ; ( х (X -

1 )(х - 2)(х * + 5 х + 2 ) = 0 ; X = 1; X = 2 ; х =

У < 0; х е

В ідповідь:

г)

^ -5 -> /Ї З

-5 + л Я з'

f-5 -V l3

- 5 + ч /ЇЗ І

- 5 + >/ЇЗ

-5 -> /Ї З

■^(1 : 2 ).

^^(1 : 2 ).

2 х ‘ - 5х= - 5х* + 2 х < 0 ; 2 х ( х ’ + 1) - 5 х * (х + 1 ) > 0 ;

(X + 1 )(2 х (х * - X + 1) - 5х*) > 0 ; (X + 1 )(2 х » - 2х* + 2 х - 5х*) ä 0 ;

( х + 1 ) • х (2 х * -

7 х + 2 ) > 0 ; І/ - х ( х + 1)(2 х * - 7 х + 2 );

* - 7 х + 2) = 0і; X “ 0 ; X “

І/ > 0; X є

В ідповідь:

1 І '7

[о .7 -> /з з 1 L ’

'»у'

Г о .7 -ч /^ ' 4

+ > /3 3 . , ..1 4

'О

’ 7 + Т зЗ 4

’

7 - t.j3 3

7 -> /з З

GDZonline.net - д:“' + 4jc < 6 ;

- (х^ - 4 х ) - 6 < 0 ;

х ‘ - 4 х + 10

J T _ 4jc + 1 0

0; х Є R.

ті

- (jc* - 4 x + 6 ) < 0; x ‘ - 4 x + 6 = t;

(21 - - 4 t ) ( t + 4) < 0; ( + 4 it 0;

t + 4

<+ 4

- Ах + 10

О Д З:

y = (t + 4 ) ( - t ‘ - 4 t +

+ 4)(-t* - 4f + 21) = 0; t = -4; t = 3: t = -7; l x‘ - 4 x + 6 > - 7 ; л:* - 4x + 13 > 0; x ‘ - 4x + 2 < 0; j, < 0; -7 < t < 4; t > 3; x^ - 4 x + 6 <4; x ‘ - 4x + 6 > 3;

21):

Д;

x‘ -4 x + 3>0;

j,<0: * є(2 -> /2 ;і)и (3 ;2 -> /2 ).

( 2 - ^ ;і ) и ( 3 ;2 - л /2 ) . х(ж-1) . 2 9(х^-л:)-2(л:*-д. + 1)^ в )7 Г «-х Л 7 9(х^-;с + 1)

заповідь:

9(t + l)

9(7f - 2Kt + 1) < 0; 9(i + 1) 0;

9(t + 1)

9( 7« - 2 )( ( + 1 ) = 0 ; t = - :

t = - 1 ; j/ S 0 ; t e

9f-2(t + l)^ 9(і + 1)

ш ш ю

= 9(7t - 2)(( + 1): го І

-l:^ ^ 7

X* - ж + 1 > 0; ( 1 ) d

x ‘ - x - ^ ^ 0 . (2 )

1 ) Ж* - Л + 1 > 0 ; д: є Д;

2) 7х» - 7x - 2 S 0; у, = 7 x ‘ - 7л: - 2; 7д;2 - 7д: - 2 - 0 ; 13 = 49 + 56 = 105;

7 + ,Я05 . .. 14 “

В ідповідь:

»)

7->/Ї0Е

7 + уіЇ оЕ

** - Зж+ 2 ^ л* + Зл: + 2 ’ (* -

о т

гт

ОДЗ: R , крім X =

( * - 1 )(х + 1 ) ( д : - 2 )(д: + 2 )

-1 ) " (х + 1)(ж + 2) ’ + 2 ) - і(л : - 2 ) { х - 1 ) ^

,«

{ х - ІК л + 1 )(J: - 2 )(дс + 2 )

£(*^ + За: + 2 - х" + Зх - 2) ( * - 1 Н ї + 1 ) ( л : - 2 )(д: + 2 )

2 )(х

±2; — ;---- г;;---- ------- г;----- —— ^ 0:

±1, X

^ 0:

X ■6 х

( х - 1) ( х + 1) ( х - 2 К х + 2 )

< 0;

< 0:

(* - 1)(ї + 1)(ж + 2 Х х - 2 ) s O ; x G (-2: -1) U (1: 2). ?І®повідь: (-2; -1) U (1; 2). 1 1 4 1 3 . а) tg ї + З ctg ас - 4 > 0: ctgx = - — : t g х - t;

О Д З:

tg x

•ЯП, п

Ь ,Д - 4 > 0 ; t

( t ' - 4 t + 3 ) t > 0; t

t * 0.

зі — + n n , п e Z ;

GDZonline.net t = 1, і = 3;

- 4 t + 3 = 0;

y = ( t ^ - A t + 3)«; ( Є - i t + 3)f = 0;

t = 0;

y = ( t - 1 )(( - 3 )f;

0 < t < 1; і > 3 ; 0 < t g a: < 1; t g X > 3; a r c s in a < jc < — + лл, Л є Z; 4 я ял; — + ял 4

В ідп овідь:

тт < x < — + к п , n є Z.

4 a r c t g З + ял; — + ял , л є Z.

б) tgä л: + З > З tg л: + tg2 д:; tg^ X - tg2 д: - З tg л + З > 0; tg^ x(tg X - 1) - 3(tg X - 1) > 0 ; (tg X - l)(tg2 X - 3) > 0 ; ОДЗ:' X

I + ял, Л e Z;

у = (tg x -

IKtg^ x - 3 ); (tg x - IXtg^ x - 3 ) = 0;

X = — I- ЯЛ, Л є Z;

t g x - l = 0;

t g x = l;

tg^ X - 3 = 0;

tg^ X = 3;

4 X = ± — + ЯЛ, n e Z ;

3 я я — + ял < X < — + ял, 4 3 В ідп овідь:

„

л є

2я

X >— + ял, л є Z.

f n я ^ ^2n ^ — + кп: — h ял u ---- - h n n , л е Z. U 3 j ^ 3 )

в) 5 sin^ X - З sin X c o s х - 36 cos^ х > 0 ; cos^ х 0 ; 5 tg^ х - З t g х - 36 > 0; t g X = «: 5(2 - 3 f - 36 > 0 ; у = 5(2 - 3t - 36; 5(^ - 3< - 36 = 0 ; D = 9 + 7 2 0 = 729;

-2 ,4 ;

у > 0 ; t < - 2 , 4 ; t > 3 ; - ^ + я л < х < - a r c tg 2 ,4 + ял;

В ідповідь:

- — + ял; - a r c t g 2, 4 + ял

a r c tg З + ял < х < — + ял, п е Z.

a r c tg З + ял; — + ял , л є Z . 2 /

г) sin^ X - cos^ X - з sin X + 2 < 0 ; sin^ х - 1 + sln^ х - sin х + 2 < 0 ; 2 sin^ X - З sin X + 1 < 0 ; s in X = f; 2t^ - 3 t + 1 < 0 ; І/ = 2(2 - Зг + 1; 2t2 - 3 t + 1 = 0 ; ö = 9 - 8 = 1 ; t, = ^ - ^ ; А

t, = 1; «2 = ^ 4 ^ : ^

и < 0 ; - < t < 1 ; s i n x > —; s i n x < 1 ; — + 2 ял < x < — + 2 ял; — + 2 ял < x < — + 2 кп.

2 ’2

В ідп овідь:

1414. а)

я „ 5я „ - + 2 ял; — + 2 ял 6 6

І2

X > 0;

^ 4 ^ 4 ; 1 + lo g j X 2

L _ 2i Ü ! ^ _ l < 0 ; 1 + lo g 2 X 2

О Д З:

Зя — + 2 ял; — + 2 ял , п е Z. ^

1 + lo g j X

2 - l o g 2X - l - l o g 2X ^ p . 2(1 + l o g 2 x ) ’

, 1

ОД З:

1 —; + 00 У.2

z 2l£ I i£ ± l< o . 2(1 + l o g j x )

( - 2 1 o g 2 X + l ) - 2 ( l + l o g 2 x ) < 0;

2(1 + log2 X)

GDZonline.net

г J, » 2(1 - 2 log, х ){1 + log, X ); 2(1 - 2 log, x )(l + log, x) = 0;

1 - 2 log, a: = 0; 1 + log, X = 0;

: = V2 ;

- 2 io g 2 * = - i ;

lo g ,x = - ;

loga * = - 1 :

log, X = -1;

0; i

л/2 ; + ooj.

0; - u [>/2; + со). 2J

В ід п о в ід ь :

6) lo g , 2 • log,^ 2 • lo g , 4 x > 1; О Д З: x ^ 1 , д: > 0 ;

log; 4x

I0F 2* • *°S 2 2Jt

log,

- log, X ■ log,

4 x

log, 4 + log, X - log, x(log, 2 + log, X) , g. log, X • log, 2x

log, x

log, X)

(l +

^Д

log, X ■ log, 2 x

’

2 - log^ X

2 x

■l o g , 4 x > 1;

2 + log, x - log, x(l + log, x) . q, ’

log, x(l + log, x)

(2 - log^ x) log, x(l + log, x) > 0 ;

> 0;

log, x(l + log, x) ^ 0 ; 2 - log^ X = 0;

j/ = (2 - log^ X) log, x(l + log, X); (2 - log^ x) log, x(l + log, x) = 0;

log, X = 0 ;

1 + log, X = 0 ;

* = 2;

X = 1;

X e

1 * ” 2’ ' 2 -Л . 1 '

В ід п о в ід ь :

u ( '^ ; +

’ 2)

00) .

X + 1 > 0; X + 1 > 0;

x > l; X > - 1;

log,(x - 1) - log,(x + 1) + l o g ^ 2 > 0; ОДЗ: 7^

x -1 X + 1 > 0; X + 1 > 0;

jc -l Ж+ 1

x -1 x +1

log.

^ Д. ОДЗ: X > 1.

x > l;

-I

x +1

> 0;

X - IJ

^ ^ = 7 : lo g ,f + — ^ > 0 ; l o g , t - - ^ > 0 ; ^ °f' * ^ ^ log, і lo g ,t

= t;

(log,

0 ; log.

2 x -1

1) log, ( > 0 , ^ ^

logj t * 0 ;

log, t - 1 = 0 ; log,

0 < ^ < i ; ( l )

2’

I/ >

0; 0 < t < i ; 2

L‘ = l ;

l) 0 < ^ < i; x +1 2

2(x +1)

> 2;

x +1 x -1

x +1

> 2 . ( 2)

_ ^ < 0 : 2(x +1)

f(^ -3 ).2 (x + l)< 0 : 2(x + 1) 0;

t =

GDZonline.net y =

( x - 3 ) -

ЛГ-1

(X - I K * + 1 ) > 0 ;

> 0;

ar + l

2(JC + 1): (* - 3) • 2 (* + 1) =■ 0 ; Л = 3: Л = - 1 ; x + l * 0;

у < 0 ; X S ( - 1 ; 3 ). 3 у р а х у в а н н я м ОД З м а є м о : x

2) £ 4

x + 1

> 2;

^ > x + 1

^ < x + 1

(X: 3 ). (X

> O;

x + 1

+ 3)(ж + 1 ) < 0; У < 0 ;

X + 1 * 0;

X Є ( - 2 ; - 1 ) — не в х о д и т ь д о О Д З ; у ^ ( х + 3)(д: + 1 ); (д: + 3 ) ( х + 1 ) = 0 ; д: = - 3 . д: = - 1 ; (1 ; 3 ). В і д п о в і д ь : (1 ; 3 ). 3 ' - 1 > 0; 3 ' > 1; З ' >1; г ) l o g ,( 3 ‘ - l ) l o g . ( 3 ' * * - 9 ) < - 3 : О Д З: 3 '’ * - 9 > 0 ; 9 •3 ' > 9; З ' >1;

log ,(3 > t >

I K lo g , 9 ( 3 ' -

D) >

3 : l o g ,( 3 ' -

l)(lo g , 9

+lo g 3( 3 ' - 1))>

0 ; l o g , t(2 + lo g , t ) > 3 ; 2 1 o g , t + l o g j t - 3 > 0 ; lo g , t = a ;

у •=+ 2 a - 3 ; a ‘ + 2 a - 3 = 0 ; a ^ - 3 ; a = 1 ; a < - 3 ; о > 1 ; lo g , t < - 3 ; l o g , і > 1 ; у = l o g , t — з р о с т а ю ч а ,

t > 3; t <

3; 3 '

+2a -

1 = f. 3

> Q;

о т ж е , t < 3 '*;

1 27’

3 ' - 1 > 3 ; 3 ' > 4; * > lo g , 4; 3 у р а х у в а н н я м О Д З м а е м о р о з в ’ я з о к н е р ів н о с т і: х є KJ

В ідп овідь:

(l o g , 4 ; +

28^ 0 ; l o g , — І о (l o g , 4; +

00).

1415. а ) 2 " * + 6' - 2 ■ З**** > 0 ; 4 • 2* + 2* ■ З ' - 1 8 • З** > 0 ; 184 • 2' > 1 8 • З** -

• З'; 4 •2'

^2 ^

4 - ( 1 8 ) '> 1 8 - | |

4 ■ 2* + 6' - 3«'-‘>> 0; 4 • 2' + 6' •З* •(3'*>)* > 0; б ) > /9' - З'** > З* - 9; О Д З : 9 ' - З " * г 0 ; 9* > 3'^*; З*' г З'**; 2 х > х + 2 ; х > 2; 1 ) З ' - 9 < 0 ; 9 ' - 3'*^ > 0 ; я а 2 ; 2)

9 ' - З*’ * > (З ' - 9)*;

9 ' - З '"* > З * ' - 1 8 - З * + 8 1 ;

З'' - 9 > 0;

З ' S 9; х > 2'

3 * '- 9 - 3 " - 3 * '+ 1 8 - 3 ‘ - 8 1 > 0 ; X

{

х > ^ 2;

S 2;

В і д п о в і д ь : х > 2.

13' - 5 > в ) л /іЗ ' - 5 ^ ^ 2 (1 3 ' + 12 ) - - J l 3 ’ + 5 ; ОД З:

X > l o g ,, 5;

1 3 ' + 5 > 0;

* е R;

1 3 ' + 12 г 0;

е R.

1 3 " - 5 -= t, t > 0 ; 1 3 ' = t + 5 ; У = у ! І - уІ2(1 + П ) + V f + 1 0 ; -Ji - уІ2 ( і + П ) + ^Jt+ 10 = 0 ; J t + yft + T Ö = ^ 2 ( t + 17):

t + 2-JiJt + 1 0 + f + 1 0 = 2t + 3 4 ;

2-Jt^Jt + 1 0 = 2 4 ;

^ y / t + 1 0 = 12; t ( t + 1 0 ) = 144;

GDZonline.net + ю г - 144

- 0 ; £> = 1 0 0 + 4 ■ 1 4 4 = 4

•(2 5 + 1 4 4 ) = 4 •1 6 9 ;

-1 0 + 26 . , „_ _ -1 0 -2 6 _ ^ ‘ . = 8: ‘ 2 2------J

> 8: 1 3 ' - 5

> 8 ; 13* > 1 3 ; j/ =

13* —

з р о с т а ю ч а ,о т ж е ,

урахуванням

ііаем о д: > 1. в і д п о в і д ь : (1 ; + » ) .

г)

2 * '+ 8 - 3 - 2 * * ‘

З - 2дг - X*^

2 " '+ 8 - 6 - 2 *

Г(2“ - 6 •2 ' + 8Кл:" + 2 ї - 3 ) < 0; [х* + 2 х - З *

З - 2 ї - JC5 *-

’

^ О:

( 2 ^ + 8 - 6 ■2 *КЗ - 2 д: - л:’') > 0; 3 - 2 х - х ‘ ^ О;

у = (22* - 6 • 2* + 8)(л:2 + 2 х - 3 );

0; 2“* - 6 •2* + 8 = 0 ;

2* = 2, 2 ‘ = 4;

+ 2л; - З = 0;

X = - З , х = 1;

J, - ( 2 ** - 6 • 2* + 8 )(3 + 2 х + х ‘ ) = 0 ;

р *

у < 0 ; д; Є ( - 3 ; 1 ) и (1 ; 2 ].

х = - З , X = 1.

ш (U LO

В і д п о в і д ь : ( - 3 ; 1 ) U (1 ; 2 ].

1416. а)

- З ■2 ’ -''*

)^ 2 -X

> 0 ; О Д З:

X > 0;

2 - л: > 0;

х < 2 -.

(0 ; 2 ].

ГО у = (( 2 ’ -''^)* - З •2*-'^ + 2 ) - J 2 ~ x - ,

(21-Л )* - 3 , 2 >-'^ + 2 = 0 ; -j2 - *

> - ^ = 1; _д: = 2 ;

= 0;

ї£

( ( 2 *-''^ Ґ - З •2 ‘ -'^ + 2 ) л / 2 ^ = 0; 2 > - Л ^ 2;

S X

л = 1, ж = 0;

д: = 2.

Ё: 5

'Е

у > 0 ; ас Є (1 ; 2 ) з у р а х у в а н н я м О Д З. В і д п о в і д ь : (1 ; 2 ). 4 -7 -5 " ' 5***‘ - 1 2 - 5 * + 4

3 (4 - 7 ■5 * ) - 2(5 ■5^* - 1 2 ■5* + 4 ) ^

^2_

з ’

5 - 5 ’* * - 1 2 - 5 * + 4 ю

1 2 -2 1 - 1 0 - 5 ' ' + 2 4 - 5 " j ^ ^ < 0; —- 5 , ' ______________________ 5 -5 ® * -1 2 - 5 '+ 4 1 0 - 5 * '- З

5 * -4 6 - "Si 5 * '- 1 2 - 5 ' + 4 ^

-10 5 + 3 -5 -+ 4 ^ 5 -S'“* - 1 2 - 5 ' + 4

І— с: <

(1 0 - 5 * ' - З ■5 ' - 4 )(5 - 5^“' - 1 2 •5 ' + 4 ) > 0; 5 •5"* - 1 2 ■5 ' + 4 ^ 0;

У = (1 0 •5 " ' - З - 5 ' - 4 )(5 •5 “'

- 1 2 - 5 ' + 4 );

4 (1 0 - 5 ’ * - 3 - 5 * - 4 ) ( 5 - 5 ' ' - 1 2 - 5 * + 4 ) = 0 ; 5* = ( , t > 0 ; t = ~ ; 5

* < -1 ; 2

1 t = -; J

2 < = 2; « = - ; d

2 ^, ^4 5 5

У “ 5* — з ію с т а ю ч а , о т ж е , t > 2 . ® * < -і

— р о з в ’ я з к ів н ем а є;

5*>І; ® 5 .< | ,

в ідповідь:

з: > l o g s - ;

2 .

* < І 0Є5 Т :

5* > 2 ; л: > l o g , 2.

lo g ,-;lo g ,-

lo g ä T !

GDZonline.net 4 - 7 (3 ' - 2)

в)

2 _ 3 (4 - 7 ( 3 ' - 2 )) - (5(3* -

5 ( 3 '- 2 ) '- 1 2 ( 3 '- 2 ) + 4

5 ( 3 ' - 2 f - 1 2 (3 ' - 2) + 4

З’

- 1 2 (3 ' - 2 ) + 4 ) - 2

5 ( 3 ' - 2 f - 1 2 (3 ' - 2) + 4

•SO ;

( - 1 0 ( 3 ' - 2 f + 3 ( 3 ' - 2) + 4 )(5 (3 ' - 2 f

- 1 2 (3 ' - 2) +

4 ) < 0;

|3* - 2| — о ц ін и м о зн а ч е н н я З ' - 2 = 0 ; З ' == 2 ; л: = logg 2 > 0 ; 5 ( 3 ' - 2 f - 1 2 (3 ' - 2) + 4 5t 0; ( - 1 0 ( 3 ' - 2 f + 3 ( 3 ' - 2 ) + 4 ) (5 (3 ' - 2 f - 1 2 (3 ' - 2) + 4 ) < 0; (-lO t^ + Ы + i ) { b f - 12t + 4 ) < 0; 3 ' - 2 = <, t > 0 ; 5 f^ -1 2 f + 4 # 0 . у = (- 1 0 f 2 + 3 t + 4)(5t^ -

- . 4

1 2 t + 4 ); (-lO t ^ + 3 t + 4)(5f2 - 1 2 t + 4 ) = 0 ; t, = - i ;

, - . . . , 4

i/ = - 1 0

t . l

t - -

5 (t - 2)

: у < 0 -, t <

1 2

4 - < t < - ;

у = Z’‘ — зр оста

ю ч а ф у н к ц ія , t > 2 . 3 ' - 2 < - — — р о з в ’ я з к ів н е м а є; З ' - 2 > 2; З ' > 4; ; c > lo g , 4; ,> | ,

3 --2 > | ;

3 -> 2 | ;

.» o g .H ,

t< -; 5

3 '- 2 < - ; 5

3 '< 2 І ; 5

A :< l o g 3 — . "5

у < 0; х е

Ь&з Y

В ідп овідь:

12 , lo g s Y ’

•

г ) І3і*‘ “ 1 - 3 '- І “ ’“ 1|>2;

4; + 00).

у ]

14^ -g -J ^ (І0Єз 4; + «>)•

3 "‘ " 'l = t ;

t > 0;

> 2;

3' - 3'

3^' - 3

> 2;

3 ' > 0 ; 3^' - 3 = 0 ; 3^' = ? ; 2 t = 1 ; t = - ;

t .i ; J

I ? ;± 1 .2 ; o

- 3 - 2

■ 3* + 3 .

3^' + 2 • 3 ' - 3 < 0 ; 3 “ + 2 ■ 3 ' - 3 = 0 ; 3 ' = - 3 ; р о з в ’ я з к ів н е м а є; З' = 1; t = 0. 2)

<^ ^ ~ ^ > 0 ; 3^' - 2 • З’ - З > 0 ; 32' - 2 • З' - З = 0 ; З' = 3 ; t = 1: J О З' = - 1 — р о з в ’ я з к ів н е м а є; t Є [2 ; + 00); З '« '''! > 1; |tg лх\ > 0 ; „ я t g л:к > 0 ; п п < 1ZX < — + т ; „

t g л х < 0; - — + ж п< к х < пп;

п < х < - + п;

- — + п < х < п.

GDZonline.net ( л; — 1 hп^

3 + х-2 х^

відповідь:

—

, л є Z.

+ п- п

К 2 3 + х-2 х^

1417. а)

ОДЗ:

5 х ’‘ - х - 1

З (-2х^

+ л: + 3 ) ( 5 х ^ -

ОДЗ:

X -

і- 7 И '

;

_ 2ж^ + * + 3 ^ , _

I + n/п

[

"5? ^ ї - 1

1) =

1 -> /п

—

+ д: + 1 ,

-7 х ^ + 2 х + 4 ^ 5д:" - д: - 1

’

7 * ^ -2 ж -4 „, ’

5х^ - л: - 1

у = (7х^ - 2 х - 4)(5х2 - д: - 1);

;

л:? -

1 + V2 1 _ .; 10

2 + 2л/29

2 - 2у [ ^

1-л/29 V

' ,

1 -V ^ ^ 7

’ 2

З - д: > 0; * л. COS — > О; 2 cos — 2

д :< 3 ;

я „ л я . _ — + 2 к п < — < — + п п , п € Z; 2 2 2

l + y/^

^ 2 c o s - ; ОД З: - д: > sin — lo g cos- ^ 2 3; «S 3;

+ 00

3’

1 +

f l + r/29- ;

’

1 + л/п1

—oo; ■

Г ^ 1 -V 29]

1 + л/29

_ 1 -ч /^ .

З у р а х ув а н н я м ОДЗ м а є м о : х є

Відповідь:

“ 1: ^

5 д :" -д :-1

(7*2 - 2д: - 4)(5л:^ - д: - 1) = 0 ;

j/ > 0 ; X є

*2 “

- 2 ж - 4 )(5 д ;' - д: - 1) > 0 ;

*! -

2 ’

- д: - 1 ^ 0 . 1 + ^/n

’2

- 2 д:^ + JC + З ’

5д:* - л: - 1

^1 =

( ~ 2 х ^ + л: + 3 ) ( 5 х ‘ - X - 1) S 0;

> 0;

- я + 2я л < д: < я + 2ял, л е Z; д: 7^ 4я л , п є Z.

—* 2лл, л є Z; U + 2)V3 - д: > 0;

і/ = (д: + 2)ч/3 - д:;

д: + 2 = 0;

* = - 2;

у І З - х = 0;

д: = 3.

(д: + 2)ч/3 - д: = 0;

0 ; X S ( - 2 ; 3 ), з у р а х у в а н н я м О Д З р о з в ’ я з о к н е р ів н о с т і ( - 2 ; 3). В і д п о в і д ь : ( - 2 ; 3 ).

*) V ? - 8 д : + 15 + у І х‘ + 2 х - 1 5 > у І 4 х ‘

ОДЗ:

-1& Х

х ‘ - 8д: + 15 > 0;

(д: - 3)(д: - 5) > 0;

ж'' + 2д: - 1 5 > 0;

(д: - 3)(д: + 5) > 0;

4ж ' - 18д: + 1 8 > 0;

+ 18-,

2(д: - 3) Х - - І . О .

"■ ’

GDZonline.net О Д З : я: Є ( - о о ; - 5 ] U [5 ; +оо).^_____________

д:* - 8д: + 15 + дс* + 2д: - 15 + 2>1х^ >2 (X -

25 > (л - 3)^

3 ) у1 х ^ -

3 ){> Jx^- 2 5

- (лг - 3)) > 0 ;

(X -

3 ) Ы х ‘ - 2 5

- ( X -

(х

I/ > 0 ;

X е (-со;

В ідп овідь:

х ‘ -

+ 15-Jx^ + 2а: - 15 > 4 х ‘ - 18х + 18; 1 2 х +

3)-Jx^

2(л: -

3 )slx‘ -

25 >

2(х^ - 6 х

9);

- 25 - (д: - 3)' > 0;

у = (.х -

3 ) { у1 х ^ - 2 5

- { х -

3));

17 3 :. = - :

3)) = 0; (П

— ; + 00 I 3

- 5] и

17 — ; + 00 U

(-<»; - 5] w

’ у1х

18;

^ - 16 + U - Зі - 5 > 0 ;

x-3 > 0 -,

\x>3;

л :* -1 6 > 0 ;

|(jc - 4 )(j: + 4 ) > 0; * ^

| (> ^ iJ ^ ^ + U - 3 l - 5 ) V ^ > 0 ;

У ІХ -3

^ -

+ *)• 7 > 0.

■ J x - 3 * 0;

то маємо: ^ J x-3 *0 . i ' J x ‘ - 1 6 + a: - s ) V j c - 3 = 0 ; x = 5 ; x ~ 3 ; у > 0 , x S ( 5 ; + 00). В і д п о в і д ь : (5 ; +=o).

1 4 1 8 . a) l o g y { > j 9 - x ^ - x - l ) >

• j 9 - x ‘ - x - l > 0;

V 9 - x ‘ > 1 + 1;

Ui ^ 1 :

Ixl ^ 1 ;

0 < kl < 1;

0 < Ul < 1;

■j9-x'‘ - x - 1 <Ы:

7 э -

x‘

- 1 < 0;

^ 2д: + 1;

- 2 x^ - 2 д: + 1 > 0;

2д;*

д:>-1;

х > - 1;

x * l;

x ^ l;

0 < X <1;

0<х<1;

-5 x‘ -4 x + 8 < 0 ;

5 х ‘ + 4 х - 8 > 0;

2д:

9 - д:" > (д: + 1)^

9 - д:* > д:* + 2 х + 1;

д: + 1 > 0 ;

x * l;

х ^ 1;

О < x <1;

О < X <1;

9 - x ^ = ( 2 x + 1 )^

9 - х ‘ = 4 х ^ + 4 х + 1;

> -1 ;

2д: + 1 > 0; 9 - x ’' > 0; ( х - 3 ) ( х + 3 ) < 0;

д; > — ; 2

2’ ( x - 3 ) ( x + 3 ) S 0;

- 3 ) ( х + 3) ^ 0;

2дг* + 2 х - 8 < 0 ; у = 2i® + 2д: - 8 ; 2д:2 + 2д: - 8 = 0 ; д:^ + д: - 4 - 0 ; “ 1 + 1 6 = 1 7 ; д:, =

- 1 + y/vf

-1 -л /Ї 7

2 ’ 2 ’ 5х^ + 4д: - 8 > 0 ; І/ = 5 х ‘ + 4д: - 8 ; бд:“' + 4ж - 8 = 0 ; ß = 16 + 1 6 0 = 1 7 6 ;

- 2 + 2л /І Ї

- 4 + 4у/П "‘ = —

[5 —

- 2 - 2у / П Г —

г _ 3 )(х + 3) < 0; у = (X - 3 )(х + 3 ); (д: - 3)(д: + 3 ) = 0 ; л: = 3 ; л: = - 3 ;

‘

f-2t M

GDZonline.net

I .ll.

дге

V 9 - х ‘ - х - 1 > 0;

^ / 9 - x ‘ > х + 1;

1: •/э-лс* - х - 1 > \ х \ ;

1x1 >

>1;

• Jg - x ‘ > 2 х + 1;

9 - х ‘ > (х + 1)^';

-2 х ’ - 2 x + S > 0 ;

X + 1 > О;

х > - 1;

д: > 1

х>1

9 - х ‘ >(2х + I f ;

-5 х ‘ - 4 х + 8 > 0 ;

2х + 1> 0;

2ж* + 2 х - 8 < 0 ;

2’

* 2 - 1;

*>1 5х ‘ + 4д: - 8 < 0;

2*« + 2* -

8 < 0 ; I/ = 2 jc* + 2 jc -

8 < 0 ; 2 jc* + 2 х -

8 = 0;

Jc, =

-\ -уІГ 7

* «= ■ 6х ‘ + 4

- 8 £ 0 ; ! / ^ 5

^+ 4

- 8 ; 5

^ + 4

- 8 ^ 0 ;

^ =

;

д :,

р озв’ я з к ів н е м а є. В ідповідь:

f - 2 + 2> / n . Л — -------- , і

д: > 0 ; log* д: + l o g , X* - З ^ 0;

6) ^ о е І X + l o g , д:* - З > V 59 log<

7 5 9 l o g , — > 0; „2

l o g j д: + l o g , д:’’ - З > 5 9 1 o g , — ; * > 0;

X > 0;

log* X - l o g j X - 3 ^ 0 ;

l o g j ac - 2 l o g , д: - 3 > 0; lo g , 1 ^ 0 ;

l o g j д: - 1 > 0 ;

lo g J jc - 2 1 o g j* - 3 > 5 9 1 o g j^ ;

l o g j д: - 2 l o g j д: - 3 > 59 l o g j x - 59;

* > 0;

X > 0;

lo g ’ x - 2 1 o g , x - 3 > 0 ;

l o g j X - 2 l o g , Л - 3 ä 0; (1 )

lo g , X ^ 1 ;

lo g j ж > l o g , 2; (2 )

llog| 3t - e i l o g j jc + 5 6 > 0; 1)

l o g * * - 2 1 o g j X - 3 ä 0;

l o g * x - 6 1 1 o g j x + 5 6 > 0 . (3 )

у = l o g j X - 2 1 o g j X - 3;

b g * x - 2 1 o g j X - 3 = 0; lo g , X - 3 ; X = 8 ; l o g , д: = - 1 ;

У - (lo g , X - 3 )(lo g , X + 1): X є

Усі ГДЗ, 11

КЛ.КН.2

^ = 1

u [8; + oo).

- 1 + у/Ї7

2) lo g j

< log^ 2 ; I/ = lo g j X — з р о с т а ю ч а ф у н к ц ія , о т ж е , x > 2 .

3 ) lo g j X - e i l o g , I + 56 > 0;

61-V8497 * .

x =2

у - lo g j x - 61 1og , x + 56;

GDZonline.net

l o g , x - 6 1 1 o g j де + 5 6 = O;

(

ч .Л Ш

в)

;■ ж > 0:

log*ї > logj J i - f ;

. 1“ f lo g * i/x > l o g j

p j c > 0; m 01

4 - х

> 0;

l o g , л /І - l o g ,

I T

c; <

lo g , 4 x + lo g ,

2: 0;

> 0;

4 - х

•J4-X

lo g , 4 x - lo g , — ^ x > 0; x < 4-.

j j - 2— V

SO;

x > 0;

a .3 с S

b g , ^ /i' + l o g ,

l o g , -Jx - l o g , — ^ J

l o g , -Jx - l o g ,

l o g , >/л + l o g , Л

J73— ' l o g , > /I + l o g , — ^ ^ 0; Л у

lo g , 4 x - lo g ,

l o g , -Jx - l o g ,

lo g ,

lo g , 7 1 = lo g ,

> 0:

+ lo g , —

lo g , V I + lo g ,

l o g , 4 x - l o g , — --- ^ = 0 ;

= 0;

2-71 = V 4 - a:;

4д: = 4 - де; 5a: = 4; ^ = r : 5

= 0;

або lo g , V I + lo g ,

lo g , J x = - lo g ,

2 7 Ї=

2 УІ4- X

;

= УІА-Х

lo g , 4 x = l o g ,

УІА- X ^ 0 ;

, ^ ; V4 - jc

= 2;

GDZonline.net

г ,(4 - *) =

4д; -

- 4 = 0;

- 4л: + 4 = 0; {х - 2)^ = 0; х = 2;

J, 2 0 . 3 у р а х у в а н н я м ОД З м а є м о : х є відповідь:

5: 2 .

l o g 4(3 ' - l )

г)

l o g ^ ^ 7 ^ < | : і,_ 16 16 l o g , ( З ' - D -,l o g , 3' -1

З' > 1;

3 ' > 3“:

io g ,(3 ‘ - 1 ) •( l o g , 16 - i o g , ( 3 ' - 1 ) s

l o g , ( 3 '- l ) ( 2 - l o g , ( 3 ' - l ) ) < i ; 4

X > 0; у e 3* — з р о с т а ю ч а ф у н к ц ія ;

2 1 o g ,(3 ‘ - l ) - l o g ^ ( 3 ' - l ) - | < 0 ;

2 1 o g ,(3 ' - 1) - log J(3 * - 1) - ^ < 0 ;

- 4 1 o g = ( 3 ' - 1) + 8 1 o g , ( 3 ' - 1) - 3 < 0;

4 lo g J (3 ' - l ) - 8 1 o g , ( 3 ‘ - l ) + 3 > 0 ;

i / = 4 1 o g ^ (3 ' - 1) - 8 1 o g , ( 3 ' - 1 ) + 3;

4 1 o g l(3 ' - 1 ) - S l o g , ( 3 ' - 1) + 3 = 0:

у = 4 ( lo g ,( 3 '' - 1) - l ) ( l o g , ( 3 ' - 1 ) - 2);

D = 6 4 - 4 8 = 16. l o g ,( 3 ' - 1 ) =

3 ' - 1 = л /? ;

3 ' - 1 = 8;

lo g ,(3 * - 1 ) = - :

3 ' - l = 4^;

l o g , ( 3 ' - 1) =

3 ' - 1 = 42; 3* - 1 = 2 ; 3 ' = 3 ; i = 1.

3 ' = 9 ; л = 2; l o g ,(З" - 1) = 8

j/ г 0 ; Ї Є [0 ; 1] U [2 ; + « ) . В і д п о в і д ь : [0 ; 1] U [2 ; + oo).

ОДЗ;

1 4 1 9 .., log^

(\/4 jc

+ 5 + ll)

4д: + 5 > 0;

. . Л

у І 4 х + 5 - 1 > 0;

jc > - 1 ;

у І 4 х + 5 + 1 1 5t 1;

■ jix + Ь Ф - 10;

4 X > -1

2 1 og, ( r / i j c T s - 1) - l o g ; (V 4 x + 5 + l l ) ^ jj. 2 21ogj {-JAx + 5 - 1) - l o g j ( V 4 j : + 5 + l l ) > 0; lo g j( t - 1)2 - logget + 1 1 ) > 0 ;

- J i x + 5 = (;

l o g 2(< - i f > log^Ci + 1 1 );

= log^ t —

ф у н к ц ія , о т ж е , t - 12 > (t + 1 1 ); <2 - 2 ( + 1 - t - 1 1 > 0 ; <2

- 2( - 10 > 0;

j/ = (2 _ 2t - 10; (2 _ 2( - 10 = 0; ö = 4 + 40 = 44; t< -l-V u ;

V 45T5>1 + VU;

*є

25*

7 + 2л/ІЇ

-; + 00

= 1 + -УГЇ;

V 4 x + 5 < - 1 - V U ; р о з в ’ я з к ів н ем а є;

4x + 5 > l + 2 V n + ll;

7 + 2> / n

відп овідь:

t > l + JU]

зростаю ча

4 x > 7 + 2 > /U ;

д: > ’^ ~ * ' 2 > ^ .

GDZonline.net (З х ' - 1 6 x + 2 1 ) l o g „ 3( x “' + 4 ) < 0:

б) logo.8(^

log o,8(* " + 4 ) 5‘ 0;

+4)

у = { 3 x ^ - 1 6 x + 2 1 ) I o g „ 3(x* + 4 );

j/ = 3 ( x - 3)|^x - |

l o g „ 3( x ' + 4 );

(3 x " - 16л: + 2 1 )lo g „ 3( i :’' + 4 ) = 0; 3 x ‘ - 16jf + 21 = 0 ; i ) = 2 5 6 - 2 5 2 = 4 ; x , =

l o g „ 3(jc* + 4 ) = 0; д:2 + 4 = 1 ; < 0 ;

х е

(-Q o; - -Т з) и

-JS; —

V В ідповідь:

(-«>; - 7 з ) u

= 3 ; Jc = ±>/3; u (3; + оо).

>/3; — и (3; + » ) . \ Зу ч1о*,х*і-8

в)

У2 )

lo g 2(2 x ) lo g 2 -

у = log^ X — з р о с т а ю ч а ф у н к ц ія ;

;

^ І2.

27 J

< lo g J x " + 3;

( l o g j 2 + lo g J x ) ( l o g j 2 - lo g j л ) < 3 l o g , д: + 3;

(1 + l o g j x ) ( l - lo g j x ) < 3 ( lo g j X + 1); ( l o g j X + l ) ( l o g j X + 2) > 0 ; lo g , X + 1 = 0;

( l o g , x + IK Io g , x + 2 ) = 0;

x = і ;

l o g ,x = - 2;

x = -; 4

1 —: + 00 2

y > 0\ ХЄ

В ідп овідь:

( l o g j X + 1)(1 - l o g , x - 3) < 0;

у = ( l o g j x + l ) ( l o g j x + 2);

lo g , X = -1 ;

або lo g ,X + 2 = 0;

fo ;i^

г)

= 3 ; x^ =

f —: l + І

V4 - x * ( l o g 3(x^ + 2x + 1 ) - 1 ) ^ 0 ;

V 4 - x * ( l o g , ( x + 1 )^ - 1 ) ^ 0;

4 - X* > 0:

x “ - 4 < 0;

lo g ,(x + l ) * - 1 < 0;

lo g 3(x + D* < 1 :

l o g , ( x + l )" < l o g , 3;

(x + 1 ) ' > 0;

X > -1 ;

x > -l;

у = l o g j X — з р о с т а ю ч а ф у н к ц ія ;

( x - 2 )( x + 2 ) < 0;

(X -

(X - 2 X x + 2 ) < 0 ; (1)

(x + 1)* S 3;

x '' + 2 x - 2 і 0; ( 2 )

x > -l;

X > -1;

1) (X - 2 )(x + 2 ) < 0 ; у = (X - 2 )(x + 2 ); (x - 2 )(x + 2 ) -

0; x = 2; x = - 2 ; - 2 + 2n/3 2 ) x^ + 2 x - 2 < 0 ; І/ = x^ + 2 x - 2 ; x^ + 2 x - 2 - 0 ; Z) = 4 + 8 = 1 2 ; X, = ------ ------J/ < 0 ; X Є [ - 2 ; 2 ].

X. = - 1 + S ;

X , = - 1 - л/З;

у < 0 ; х е [ - 1 - \/3; - 1 + > / з ] .

GDZonline.net

г спільний р о з в ’ я з о к :

х є [ - 1; - 1 + л / з ] .

+ л/з].

відповідь-. [ - 1 : - 1

(^ 2 + c t g a : + V l - c t g j : ) ( * ^ - 7 i + 1 0 ) < 0;

V2 -i-ctgJC + ^ l - c t g x

1420. а)

< 0;

- 7 x + 1 0 ^ 0; sin

*0-,

у = ( ^ 2 + c t g X + ^ 1 - c t g x ) (х * - 7 * + 1 0 ): [ ф + c t g x + V l - c t g a : ) ( j r * - 7д: + 1 0 ) = 0 ; .

(/2 + c t g a: + ^1 - c t g jc = 0 ;

2 + c t g д: = - 1 + c t g л ; О • c t g x = - 3 ; к о р е н ів н ем а є;

або

- 7д: + 10 = 0 ; jc = 2 ; ;t = 5; у < 0 : ж Є (2 ; 5 ). В і д п о в і д ь : (2 ; 5 ). (ж - 1 )(5 ' - 2 5 ) ä 0; 5 ^ -2 5 ^ 0 .

ж е ( - « ; 1 ] и ( 2 ; + 0° ).

з - |ж|= 0 ; -|ж| = - 3 ; W = 3 ; ж = ± 3 ;

V г 0 ; ж Є [ - 3 ; - 1 ] U [1 ; 3 ]. З найдем о сп іл ь н и й р о з в ’ я з о к н а О Д З : ж Є [ - 3 ; 1] U [2 ; 3 ]. В і д п о в і д ь : [ - 3 ; 1] U [2 ; 3 ].

-1 < ж* - ж + —

1421 , а) 2 a rcsin

> —; a rcsin 2

ж -ж + —

ж‘ - ж + ^ > - 1 ; (1 ) It

ж‘ - ж + ^

< 1: (2)

ж* - ж > 0; (3 )

ж’ - ж + 1 + — > 0; (1) 2

ж^ - ж - 1 + — ^ 0; (2) 2

Ж(Ж-1) >0: (3) 1 ) ж’' - ж + 1 + ^

ß =l-4

і/ = ж " - ж + 1 + ^ :

ж "-ж + 1 + ^

Лі

= 0;

£,

Jö

1 +

= -З + —

2 ) ж* - д^ - 1 + : ! ^ < 0 :

і/

< 0 ; J/ > 0 ; ж Є Д ;

= ж" - ж - 1 + ^ :

ж'

- ж-1 + ^

= 0;

^ 1;

> —

D = l-4

X, " 3)

= 1 + 4 - 2>/2 = 5 - 2n/2 > 0; д:, =

l-y j5 -2 S

-------

; и < 0; X e . </ L

1 - V s - 2>/2

1 + V s - 2 n/2

л:(х - 1) > 0 ; і/ = л:(і : - 1); л:(х: - 1) = 0 ; х = 0 ; ;с = 1 ; і/ > 0 ; х Є ( - о с ; 0 ) U (1 ; + « ) .

і - % і 5 - 2 у/2 - с о ; ------ --------------

В ідп овідь:

1 + V s - 2 ч/2 ------ 1------------- ; + 00 2

б ) c t g (2 a r c co s jc) > 0 ;

О < 2 a r c co s X < л;

03 m

a r c co s X = — ; 4

0 < Д- < 1;

0 < JC < 1;

ПЗ

a r c co s д: > 0;

a r c c o s j: = —; 4

- 1 < л: < 1 ;

a rccosX < —; 2

О < a r c c o s JC < —; 2

2 a rcsin д: = — ; 2

„

s X T

Ё:

1 + Vs - 2>/2 2

l- - Js - 2 y f2

_оо;------------------2

З н а й д е м о с п іл ь н и й р о з в ’ я з о к ; Jc е

GDZonline.net

1 + ч/б - 2>/2

В і д п о в і д ь - . (0; 1) u

.5 с

о § 3 9 . С и с т е м и р ів н я н ь т а м е т о д и ї х р о з в ’ я з у в а н н я LD

1428. £

и - г / = 3;

х = у + 3;

'x = + j/" = 9:

х^+у^=9;

х = y + Z-,

д: = у + 3;

X = у + 3;

( у + 3 ) ' + І/' = 9;

2у^ + 6 у = 0 ;

2 у ( у + 3) = 0;

< д: = І/ + 3; Уі = 0;

отж е,

Д^. = 3;

х , = 0;

</. = 0;

Уг = - 3 .

У2 = - 3 :

а:

х - у

= 3;

б)

х у = 4;

1429. а)

(3 + у ) у = 4;

x V x i / = 2;

х ‘ + х у = 2 -, у = 7 + Зх;

І/ = 7 + Зх;

1 - .= ї = X, = - 2 ; у = 7 + З х;

ЧГ r>«

у ' + З у - 4 = 0;

у - 3 х = 7;

4х"' + 7 х - 2 = 0;

= 3 + 1 /;

X = 3 + І/:

= 3 + у;

!/і = - 4 ;

+ х (7 + Зж) = 2; J/ = 7 + З х ;

отж е, < ^2 = 1 \х^ +

+ Зх^ - 2 = 0;

= 7 + З х;

1 „3 1 /,= 7 -;

З х - у = 15;

у = 3 х - 15;

х ^ + у ‘ =25-.

X* + (З х - 15)" = 25;

х^ + 9 х " - 9 0 х + 2 2 5 - 2 5 = 0;

в)

GDZonline.net

г у = З х -1 5 \

y = 3 x -l5 ;

у = 3 х - 15;

10 х ‘ - ЭОд: + 200 = 0;

х ' - Э х + 20 = 0;

д: - 6 = 0 ;

ж, = 6:

36+

д: = 6 ;

ДС, = 4 :

jc, = 5;

І/, = - 3 ;

</, = 0 .

= 100;

д: = 6;

{ /' = 64;

У = ± 8;

д: = 6 ;

х = 6;

= 6: г/, = - 8 .

У: = 8 : б)

= 100;

х^ + у ^ = 1 0 0 ;

1430. а)

X, = 4;

х ‘ + у ^ = А;

д: + 1 = 0;

Ід: = - 1 ;

+ і/=' = 4;

д: = - 1 ;

X = 3 + у.

х - З

= 4;

!/“ = 3;

у = +УІЗ;

JC, = - 1 ;

х = - 1;

X = -1 ;

Уі = -»/З;

х , = -1 ; Уг =

в)

х - З

дс - І/ = 3: х у = - 2;

+ у,

+ у;

!/, = - 2 ;

у^ + З у + 2 = 0;

*2 - 2 ;

= 1:

. . = - 2; Уг = - 1: х = 5 -у ,

г)

х + у = 5;

х = Ь -у,

х = 5 - у;

1(5 - у ) у = 4;

1 -І/* + 5 і / - 4 = 0;

= 5 - у; Уі = 4 ;

у ^ - 5 у + 4 = 0;

■ /2 = 1 : { х , = 4;

І!/. = 1 -

1431. а)

З х + у = 7;

у = 7 -3 х;

х - 2 у ‘ = 2;

у = 7 -3 х;

д: - 98 + 84л: - 18*^ - 2 = 0;

- 2(7 - Зд:)" - 2 = 0;

І/ = 7 - Зд:; у = 7 -3 х-.

У = 7 - Зх;

- 1 8 д : '+ 85д; - 1 0 0 = 0;

18д:‘' - 85д: + 1 0 0 = 0;

* 1 = 2 ,5 ; 20 9 -

*2 -

б)

^^ = 3 -

2х - у = 8 ;

у = 2х - 8 ;

2 х ‘ - у ^ = 32;

2 х ‘ - ( 2 х - 8 У - 3 2 = 0;

2х ^ - 4 х ‘ + 3 2 х - 6 4 - 32 =

о = 2х - 8 ; \y = 2 x - S ;

- 2 х ^ + 3 2 х - 96 = 0;

[л* - 16л: + 48 = 0;

Г .. = 1 2 ; ‘ 4. .•*2 "*

К =

= '^'

= 0.

(д: - j/X a: ' ' - у'*) = 45;і; \ b ( x - y f = i b ;

| (x -j/)^ = 9 ;

fjc - і / = +3;

Ї + I/ = 5;

[д: = 5 - I/;

[д; = 5 - j/;

5 - у - у

= ±3;

х = 5 -у ;

г)

У, = - 0 , 5 ;

у = 2х - 8 ;

у = 2 х-8 ;

в)

20 д:. = 2 . 5 ;

x - y

\x = 5 - y ; - 2 у = ± 3 - 5; X

= l;

х ‘ - у ^ = 7;

= 5 - у;

- 2у = - 8 ;

- 2у = - 2 ;

і/, = 4 ;

Уі = 1 :

х = 5 -у ;

x - 5 - y .

X, = 1 ;

^2 = 4 .

| д : - і / = 1:

\ x - y = l-,

[(д: - 1/Xjc* + дгі/+ 1) = 7;

[(д: - у ) ( х ‘' + х ї/ + 1) - 7 = 0; X

х = у + 1;

х = у + 1; у ’ + 2у +

+ у^ + у ~ & =

= у + 1;

J/. =

2 у ‘ + Зі/ - 5 = 0; Уг-

З х . = 2;

5 2=

[■/. = ! :

-. = - 2 ;

5 ■ /.= -2 .

GDZonline.net 1432.

\ g x - \ g y = 2; a)

l g - = 2;

900 + 1 0 у -1 0 0 і/

= 100 ;

= 9 0 0 + lO y ;

9 0 0 + Ю і/

l g - = lg 1 0 0 ;

x - 10 y = 9 0 0 ; О Д З - . х > 0 . у > 0 ;

- 9 0 1/ + 9 0 0

X = 9 0 0 + lO j/:

- 9 0 і / + 9 0 0 = 0;

= 0;

У JC = 9 0 0 + 10 j/;

д: = 9 0 0 + 101/;

У = 10:

J/ = 1 0 ;

X = 9 0 0 + lO i/;

д: = 1 0 0 0 .

lg 6)

lg у = 7;

X = 9 0 0 + lO i/;

= 7 + l g I/ : , . ОДЗ: X > 0, j / > 0; 7 + lg I / + lg у = o;

lg X = 7 + lg Ї/;

lg *

l g j : + l g i / = 5:

Ig x = 7 + \gy,

X = 9 0 0 + lO i/;

lgA: = 7 + l g !/;

[lg i = 7 - l ;

I g i/ = - 1 ;

2 1 g j / = - 2;

Ig jc = 6 ;

д: = 1 0 ‘ ;

1 " = ї^ -

в)

x + y = 1;

О Д З : X > 0 , (/ > 0 ;

l g * + Ig y = 1;

x = 7 -y ,

x = 7 -у ;

lg ( 7 - i /) + lg y = 1;

l g ( 7 - y ) y = lg 1 0 ;

x = 7 -y ; x = 7 -y ;

\x = 7 - y ;

- y ^ + 7j/ - 1 0 = 0;

\y^ - 71/ + 10 = 0;

Уг = 2;

\x,I = 5;’

^ , = 2;

y , = 2;

г/2 = 5.

У2 = 5;

log ^ (u + y ) = 2 ;

\u + v =

1433. а)

u = 9;

v = 7;

u = 7.

x ‘ + y^ = 41;

x ‘ + y ‘ = 41;

x y = 20;

2 j: i/ = 40;

u v = 63;

(jc + y f = 81; [xi/ = 20;

( x -j/)^ - y f = l;

Гд: + г/ = ± 9 ;

x y = 20;

I * !/ = 20;

X + j/ = 9;

x , = 4;

\x, = 5;

x + y = -9 ;

X, = - 4 ;

Хз = - 5 ;

x y = 20;

■ /.= 5 ;

x y = 20;

J/. = - 5 ;

,Уг = - 4 -

= 4;

д:' + г" = 34;

д:' + г^ = 34;

( х + z f = 64;

x + z = ± 8;

д: + г = 8;

x + z = -l

x z = 15;

2жг = ЗО;

XZ = 1 5 ;

x z = 15;

X, = 3 ;

| x j= 5 ;

Д Г з= -3 ;

X, = - 5 ;

г, = 5 ;

1^3=3;

га = - 5 :

г, = - 3 .

x ‘ + y^ = 1 0 ;

в)

u + v = 16;

l o g , u v = l o g , 9 + l o g , 7;

l o g j и + l o g j ü = 2 + l o g j 7; ОДЗ: и > 0 , V > 0;

+ j/^ = 1 0 ;

( x - y ) ( x + !/) = 8;

x ^ - y ‘ = 8;

x ‘ + y ‘ = 10;

X* + !/’' = 1 0 ;

x^ + j/* = 1 0 ;

2 x ' = 18;

x ' = 9;

X = ±3;

9 + г/* = 10;

j j / ' = l;

|i/ = ± l ;

x ,= 3 ;

x = ±3;

lx = ±3;

b = ±3;

!/. = 1 :

= 3; г/2 = - 1 :

x ,= -3 ;

X, = - 3 ;

у , = 1:

У, = - 1 -

x ^ + y ^ = 2 b;

x^ + y^ = 25;

x ‘ + y ‘ = 25;

15 + j/" = 25;

y^ = 1 0 ;

x^ - y ‘ = 5;

2д:‘' = 3 0 ;

д:' = 15;

X = ± J lE ;

х = ±у/ЇЕ;

І/ = ±%ЯЇЇ;

X. = v^5;

X, = ч /Ї5 ;

Хз = - 7 і 5 ;

X, =

х = ± л /Ї5 ;

i/j = \/ї0;

j/j = -^ /ЇÖ ;

Уз =

У , = -У ІЇО .

GDZonline.net 1434. a)

X ■¥ у - x y = -2Z-,

|2(ж + j/) = 26;

д: + j^ = 13;

х + у = 13;

х + у л - х у = і9\

\ х - і - у - х у = -2 3 ;

х + у - х у = -23 ;

- х у = -2 3 - 1 3 ;

jc + j/ = 13;

- х у = 36;

[i/i = 9; |i/j = 4.

+ х у = б)

y ‘ + х у =

=4;

15; 1 0

= 25;

\x +

x + у

= ±5;

X = ±5 - y ;

у " + jcy = 1 0 ;

+ jcy = 1 0 ;

;

y^ + x y =

1 0

;

x =5-y;

x = - 5 - y ;

X = 5 -

(5 - у)* + (5 - J/)V = 15;

(-5 -

-5 y = -

1 0

ДС, = 3 ;

д:, = - 3 ;

y. = 2;

У, = - 2 .

logj

1435. a)

log^ у

X +

lo g j X -

2 * ' - З^' = 2;

lo g j

x = -5 -у , by = - 10;

;

2 l o g j x = 4;

lo g ,

l o g j д: - l o g j ^ = 1 ;

l o g , X - lo g j I/ = 1;

х J/

= 4;

-lo g ,

;

х = І/

2^‘ + З“ ' = ЗО;

2 2 ‘ “ = 32;

22х _ д2, ^ 2 ;

2^“ - З*" = 2 ;

x = 2;

\ о Є 2 У = 1;

;

ш ш ю

X = 4; 1/

2 x = 4;

|2" ' = 16; |22. _ д2і, ^

2 ^- - 3 ’*" = 2;

x = 2;

2 * - 3 '» = 2;

- 3 " ' = -1 4 ;

1436. a)

+ ( - 5 - y ) y = 15;

= 4;

2 -

= 3;

lo g j y = l;

4 - + 9 ' = ЗО;

y f

ОДЗ: jc > 0 , j/ > 0 ;

= 9;

= 2;

у = lo g s

x + у = 2;

у = - x + 2;

x ‘ + y^ = 4;

x‘ +y^^A.

го

>ч а 5

’с о

= - X + 2 — п рям а; x ^ + y^ = 4 — к ол о з ц ентром

в т о ч ц і (0; 0) і р а д іу с о м 2. Т о ч к и п е р е т и н у г р а ф ік ів (0 ; 2 ), (2 ; 0 ).

Ш і—

< ху = -

{де* + у

1 2

;

1 2

= 25.

= ---------- — X

г іп е р б о л а ;

д:^ +

u“ =

в т о ч ц і (0 ; 0 ) і р а д іу с о м 5. ( - 4 ; 3 ), ( - 3 ; 4 ), (4 ; - 3 ) , (3 ; - 4 ) — т о ч к и п е р е т и н у г р а ф ік ів . - х

1437. а)

+ у

= 2; у

ху =

— X

— пряма.

;

У = — — г іп е р б о л а .

Графіки перетинаються вточках (2; 4), (- 4 ; 2).

—

коло

центром

GDZonline.net 6) <

A + y = x^;

2x + у = - 1 ;

y = x ^ -4 ; і

[і/ = - 2 - 1 ;

Ü=

^ - 4 — п ар а б о л а ,

в ер ш и н а в т о ч ц і з к о о р д и н а т а м и (О; - 4 ) ; 1 — п р я м а. ( - 3 ; 5 ), (1 ; - 3 ) — т о ч к и п е р е т и н у г р а ф ік ів ф у н к ц ій .

у = - 2х -

у— 2х-1 х + у = 2;

1438.

У =

х + у = 2;

!/ = - І + 2 ;

У = Г -';

-X

- І -

2 — пряма;

і/ = — •2 '

— п оказн икова

ф у н к ц ія . Г р а ф ік и п е р е т и н а ю т ь с я в т о ч ц і (1 ; 1). \у = 2 1 o g 3(A: + 3 ); б)

і/

= 21о8

з(ж

+ 3)

—

л огари ф -

+ у^ =А-,

м іч н а ф у н к ц ія ; х ‘ + у ‘ = 4 — о к р у ж н іс т ь з ц е н т р о м в т о ч ц і (0 ; 0 ) р а д іу с а 2. Г р а ф ік и п е р е т и н а ю т ь с я в т о ч к а х ( - 2 ; 0 ), (0 ; 2 ). 1439. Н е х а й в и г р а ш п е р ш о г о у ч а с н и к а с т а н о в и т ь х о д ., д р у г о г о — у о д . , я к щ о

п е р ш и й у ч а с н и к п р о г р а є , т о він о т р и м а є - х

о д . в ід м о ж л и в о г о в и г р а ш у , я к щ о

3 д р у г и й у ч а с н и к п р о г р а є , т о в ін о т р и м а є — у 4

о д . м о ж л и в о г о в и г р а ш у , т о д і гля-

дач в обох вип адках буде м ати

О Д .,

що

за

ум овою

за

д а ч і с т а н о в и т ь п о 12 м о н е т . М а є м о с и с т е м у р ів н я н ь :

^ у + х = 12 ;

2 х + 3 у = 36;

X = 6;

4 х + 3 у = 48;

У = 8.

О тж е, виграш п ер ш ого 6 м он ет, д р у го го — 8 м он ет. 1440. Н е х а й л іс о в е я б л у к о к о ш т у є х гр и о д н е , м а н го — у грн о д н е , гр а н а т — г грн о д и н , т о д і за З ш т . за п л а т и л и л + [/ + г = 2 , з а 5 ш т . — х + З у + г = З, за 7 ш т . — 2 j: + 2і/ + Зг = 5. X + у + г = 2;

М а є м о с и с т е м у р ів н я н ь :

х + З у + г = 3;

z = 1 , х = у = 0 ,5 .

2 х + 2 у + З г = 5;

За у м о в о ю за д а ч і за п ш т у к л іс о в и х я б л у к , Зп м а н г о , 6 п г р а н а т — зап л ати л и 76 м о н е т, о т ж е , т ( 0 , 5 + З • 0 ,5 + 6 • 1) = 7 6 , л = 9 ,5 . Т о б т о л іс о в и х я б л у к к у п и л и 9 ш т у к , м а н го — 2 7 ш т у к , гр а н а т — 54 ш т у к и .

1441. а)

£+У у х

= М . 15 ’

х^ + у^ = 34;

х‘ + у ‘ ОДЗ: X ^ 0, у ^ 0;

ху

34 15 ’

х^ + у ‘ = 34;

М = Ü . ху 15 ’ + /

= 34;

GDZonline.net

г jtj/ = 15;

2 x 1/ = 30;

| (x + i / f = 64;

*‘ + /

х ' + і/' = 34;

|хі/ = 15;

х у = 15;

б)

= 34;

=3;

д :,= 5 ;

= -3 :

л, = -5 ;

=5;

У2 = 3;

Ь з = -5 ;

у. = -3 .

— + — — 5 ,2 ; у X

І/

= ±8;

1 /1 - =

5-^ 0 ; - = (,

О Д З : X ^ О,

X + і/ = 8 ;

X + у = -8;

х у = 15;

1 26 «+ - = — ;

5f" + 5 - 2 6 i

= 0;

bt'‘ - 26« + 5 = 0; b t * 0 -.

X = 5 j/;

X = 5 і/;

|х

х ‘ - у ‘ =24;

2 5 ^ - 1 / ^ = 24;

У = 1 ;

1 х = ±1;

х = -у ,

* = 5 '‘

- —

х = 5;

X = -5 ;

і/ =

г/ = - 1 ;

і;

= 2 4 ; у^ = - 2 5 — розв’язків немає.

Х ^ - Ч ^ = 24

В і д п о в і д ь : (5 ; 1 ), ( - 5

в)

=5 у ,

X = 5у; £ = 5;

- 1).

х ‘ у + ху^ = 6;

д:і/(х + J/) = 6;

х у = 3;

х у + х + у = 5;

х у + ( х + у ) = 5;

х + у = 2;

*. = 2:

Х, = 1:

,Уі = 1 ;

у, = 2.

розв

ї ! / = 2:

н ем а є;

ЯЗК1В

jc + j/ = 3;

В і д п о в і д ь - . (2 : 1), (1 ; 2 ). х + у = 8;

1442. а)

1 4 у ~

X *

О Д З: X * 0 , у ^ 0 ; 3 ’

X, = 4 + > /Ї0;

|х 2 = 4 - > / Ї 0 ;

1/, = 4 - ч/ЇО;

І 1/2 = 4 + V IÖ .

В і д п о в і д ь : (4 + v/lÖ ; 4 - > / Ї Ї Ї ) ,

2х - у = 0 ;

6) у

у = 2х ;

1 1

4 1

2х " 6 ’

.у

2х - X

ху

б ’

1 2 х ■X

= 2 х\

ху=

8 3 ^

JC + І/ = 8 ; ;

XI/ - 6 ;

у = 2х;

1 .

^ 2х = 6;

х + у = 8;

- L - 1 . ху з ’

(4 - ^/IÖ; 4 + >УЇЇЇ).

у - х

6 ’

х + у = В;

Ь = 2х ;

</ = 1 2 ;

| х = 3;

х = 6.

1 6 ’

О Д З : X 7!: 0 , у ^ 0 ;

[ 2х ‘ ~ 6 ’

В іа л ов іа ь ; ( 6 ; 1 2 ). в)

х - 2 </ = 0;

х = 2у ;

X = 2у ;

:t = 2 j^;

х = 4;

Ь х у + 1/^ = 44 ;

5 - 2 у у + у ^ = 44;

11у‘ = 44;

У = ±2 ;

J/ = 2;

X = -4 ;

і/ = -2 .

В ідповідь: (4; 2), (-4 ; -2 ).

=4;

GDZonline.net y = 4 x - 13;

4 л :- 1 / = 13;

|і/ = 4 д : - 1 3 ;

2 х ‘ - х у = 2 1;

І 2 д : '- ( 4 д : - 1 3 ) д : - 2 1 = 0:

г)

2x‘ - 4д:' + І З х - 2 1 = 0; у = 4 х-1 3 ;

у = 4 х-1 3 ;

+ І З х - 21 = 0;

і/ = 4 х - 1 3 ;

2 х ^ - І З х + 21 = 0;

І ’

= 3 ,5 ;

д:. = 3;

Уг = - 1 :

У2 = - 1 -

д: = 3; В і д п о в і д ь : (3 ,5 ; - 1 ) , (3 ; - 1 ) .

l o g i ( x + І/) = 2; І

1444. а)

іоЄз(^^ - S') = 2; 11 3 х> 0;

У<0;

X - j( = 25;

Y —

’

х - у

113 9

.= '1 3 - 2 5 ; 9

2х = 2 5 І ; 9 = 25;

113

18 ’

О Д З:

х + у > 0; х -у > 0 ;

X - І/ = 25; х = 12|;

’

У = 1 2 --2 5 ;

226. ^

І /= - 1 2 - ; 9

В ідп овідь:

log^ х у = 4;

l o g j X + l o g j !/ = 4; б)

О Д З : лс> О, І/ > 0 ; log ,(x + y) = - ;

g lo g ,(jc + j/) = - ;

х у = 16;

х у = 16; з

X+

х + у = 8;

= 4^;

х = 4; У = 4. В і д п о в і д ь : (4 ; 4 ). I g V

lgJc + 2 1 g j + 3 = 0;

= -3 ;

10-^

ху^ = 1 0 ’ ;

О Д З : X > О, у > 0]

\ gx^ -\ gy^ = 7 ;

= 10 ’ ;

10 lo -' і / =■

X* = 1 0 '

= 10;

X X

= +10;

= 1 0 -;

Гх = - 1 0 ; 1 * 1 0 “* р о з в ’ я з к ів

х = 10;

1 У= -

не в х о д и т ь д о О Д З.

100

В ідповідь:

10;

100 ;

в ) д р у г и й с п о с іб : l g x + 2 1 g i/ + 3 = 0; lg

lg 1 /^ = 7 ;

|lgA: + 2 1 g i/ = - 3 ; l 3 1 g x - 2 1 g i / = 7;

4 1 g jc = 4;

l g * = 1;

l g x + 2 1 g y = -3 ;

lg x + 2 1 gy = -3 ;

X = 10;

l + 2 1 g j/ = - 3 ;

21g І/ = - 4 ;

Від п о від ь:

10;

100

= 10;

lg І / = - 2 ;

л: = 10;

" lö ö ’

л: = 10; н ем ає;

1 У=

100’

GDZonline.net

г 10 ХУ = 10: г)

О Д З:

X > О, у > 0;

(lg * )(lg j/) = - 2 :

(lg 1 0 - lg I/) lg I/ = - 2 ;

ж=

^ 1 0 .

X =—

—

1(1 - lg

;

У Л-1 —• ----, ‘ 10

у'

’

М у - \ е ‘ у ^ 2 = 0;

V tf-lg y -2 =

у, =

I/ =

lg ^ = - 2 ;

100;

y , = 100;

.l g t = - l ; ж, = 10 0;

100 ;

В ідповідь:

1445.a)

IQ )

7 ? " + ^ + - J 2 x y = 2 уі2\

^ (x + y f - 2 x y

= У І 2 (2 -^ );

О Д З : X > 0 , 1/> 0 ;

J x + J y = 2;

x + y = 4 -2 ^ ^ ;

= >/2 ( 2 - - y /^ ) :

^(4 - 2 y j x y f - 2 x y = - j 2 ( 2 - Txtf);

y j l 6 - 16л /ху + 4x1/ -

V * + >/y = 2;

y f x + ^Jy = 2 ;

7 l6 - І б ^ їі/ + 2 x y ^ S { 2 -

y ] s - 8-у/їу + jci/ = 2 - -У їу ;

■Jx + yf y = 2- ,

у[ х

+ 4

= -4 ;

8 - B y ß y + x y = 4 - 4,Jxy + x y ;

■Jx + 4 y = 2;

•>/* + Т у = 2;

=2;

уІху= і; •Jx + -Jy = 2;

V T = 1;

x = V,

л/у = 1;

y = l.

В і д п о в і д ь : (1 ; 1).

x^ + y^ = x + y .

(x + y f - 2 x y = x + y.

x ‘ + y ‘ = x + y;

x* + y * = ^ ( x + y f ;

( x ‘ + y ’‘ f - 2 x ^ y ‘ = ^ ( x + y f ;

{ x + y f - 2 x ‘ y^ = ^ ( x + y f :

ж* + у* = JC+ v : | (д: + і/)^ = 2 ж У ;

ж"' +

= л: + I/;

(х+і/)^ = 4 х У ;

JE* + I /’* = зс + I/;

x^ + y ‘ = 2 x y ;

x + y = 2xy;

^ = У’

(x - y ) “* = 0;

x = y;

ж + j/ = 2 x y :

y + y = 2y‘ ;

2 j / ( l - j / ) = 0;

JC = 1;

1: : : 1- » ^

,J/ = 1■

В і д п о в і д ь : (0 ; 0 ) , (1 ; 1).

x* + y * = П ( х + у У ;

\x‘ + у У

x y = 2 (x + y);

x Y

\x^+

уУ

- 2 x Y

= 17(X + y f :

= 4 ( x + y) ^;

- 8 { x + y f = 1 7( .x + y f ;

{х ^ +

уУ

= 25 (x + y f

x y = 2(jc + y ) ;

x y = 2 ( x + y)-,

x ‘ + y^ = ± 5 ( x + y ) ; x y = 2 (x + y); x + y = 0\

x^ + y^ = 5 { x + y ) ;

+ y f = 9(jc + y ) ;

2 x y = 4(jc + y ) ;

x y = 2(ж + уУ,

+ i/)(* + I/ - 9 ) = 0;

x y = 2(jc + y ) ;

x + y -9-,

2 (x + y)-.

GDZonline.net л: = - у ,

X = -у;

\х = 0;

х = 9 -у ,

X = 9 - у ;

х у = 2(х + у);

(9 -

х = 9 -у ; х у = 2 (х + у ) ;

= 0;

у)у = 2 ( 9 - у

+ у);

х = 9 -у ; х = 9 -у .

х = 9 -у ;

- ! / ' + 9 і / - 18 = 0;

у ^ - 9 у + 1 8 = 0-,

х = 6;

х = 3;

У = 3;

У = 6.

У = 3-,

.1/ = 6;

В і д п о в і д ь : (6 ; 3 ), (3 ; 6 ), (0 ; 0 ).

r )-jV J ^

V j;

^ x y

V ?v + V V

0 д 3 : у ^ 0 , х ^ 0 , х > 0 , у > 0 ;

=10; 13

x + y ~ 4 ^

4 ^ 4xy

y f x y {y f x + y f y f = 10 0;

100-3 x y

= 0;

= 100;

{ 4 x + yfy)

4 ^

3 x y + І З ^ Ї у - 1 0 0 = 0; x y Ф 0;

4 ^ {4 x + 4 у ) = 100;

I— 25 y jx y = — — - не € р озв я зк ом ;

4 ^

4 ^ {4 x + 4 у ) = 1 0 0 ;

- 3 x y - ІЗ ^ Їу + 100

= 0;

4 ^ ^ { 4 x + 4 y f = 10 0;

= і\

4 ^

4 { 4 x + 4 y f = 10 0 ;

(4 х + 4

)

4 ^ ’

[4 х

= і; +

4 у ) = 25;

= 100;

^ /їy = 4 ;

V ? = l;

4х

4х + 4 у =

4у

4у =

= ‘^',

\х

= 1;

д: = 16;

= іб ;

■/ = 1-

= 4; и

В і д п о в і д ь : (1 ; 1 6 ), (1 6 ; 1).

З втд: + з т у = - ; 1 4 4 6 . б) созл: + c o s y =

4ё

= a r c tg 4 з + п п , п е Z ;

COS X + COS у =

41.

„ . х + у х + у З 2 s in cos — = —; 2 2 2 -

х + у

2я З

у + 2лп, /І є Z;

X =

З 4Ї

COS X + COS у = — ;

cos X + cos у -

S .

2 ’

2я ^ = у - і/;

(2к

X =

-Уз

2п X + у = — + 2 п п , л 6 Z;

2 ’

2я

X - у

2cos— -^cos——^ - — — ,• ic o s д: + c o s І / = — ;

]

4^ + cosy = — ;

cos

. 2л . >/з COS у + s i n — Sin у + COS у = — ; 3 2 2к

у;

- — COS у +

2 тс

. 4г Sin у + COS у = ;

2п

х =- - у ,

X ~

4з . 4з -c o s y + — sm y = — ;

c o s (| -.

и:

4з, 2 ’

GDZonline.net 2тг

271

2jc

2лл , л є Z;

— +

2л

6 ’

„ = і + 2 тст, m є Z ; 2

1447. a)

з '* ' 6 ’

л: = — + 2я л , п є Z;

у = -^ + 2 л т , т e Z .

* '= - 6 ^ ї ї =

5 + 2лл; ^ + 2л т j , m.

^ + 2л л ; + 2 я т j , m, л e Z ; U 2

Відповідь:

І/ = — ± — + 2rcm, m є Z; З 6

* _ І/ = ± — + 2 к т , m є Z ; З 6 Х

тс

З “ г'

' З

2 x ‘ - Ъ х у + 3 x - 2 y = 2;

1 0 д :-1 0 і/ = -2 0 ;

Ъху - 2 x ‘ + 7 x - 8 y = -2 2 ;

2x* - 5 x y + 3 x - 2 y = 2;

n eZ .

x - y = -2 ;

\x = y - 2 ;

x = y-2 -,

2 x* - 5 x y + 3 x - 2 y = 2;

l2 ( j/ - 2 f - 5 ( y - 2 ) y + 3 (j/ - 2 ) - 2 j/ = 2;

-3 y ^ + Z y = 0;

x = y -2 \ x = у -2 ;

JC = - 2 ;

jc = - l ;

y = 0;

y = l.

У = 0;

- 3 j / ( y - l ) = 0;

,.j/ = l; В і д п о в і д ь : ( - 2 ; 0 ) . ( - 1 ; 1).

2 x ‘ - 3 x y + 2y^ = 1 4 ;

Ї 2 х ‘ - 3 x y + 2 y ‘ = 14;

- Ъ х у + 4i/® = 4;

y ( 4 y - Ъх) = 4;

** + x y - y ^ = 5 ;

[2 x * + 2 x y - 2y^ = 10 ;

X + x y - y ‘ = 5;

x^ + x y - y ^

^ ЧУ-1).

4 (y ^ -l).

5i/ l l y * - 1 7 7 y ' + 1 6 = 0;

x‘ + x y - y ‘ =5;

2by^

_My‘ -D. У = 16;

x = 3;

x = -3 ;

У = 4;

У = -4 ;

В і д п о в і д ь : (3 ; 4 ), ( - 3 ; - 4 ) ,

9^x + y

Sx ^7 ^ x -y

1 'I

f_ 8 _ ._ J L 1 > /її’

v/Г Ї ,

~ 7 ’ _ 1 _

4j/

^x + у

1/ ^ ^ x - y

V K ’

ОДЗ: X ^ 0 , у * 0. .

J/ =

J l i ’ у/ її)’

a) 7 ^ x -y

> Я Ї’

9^x + у _ 8 .

1448.

8 .

at = -

_ 8.

фс + у

^^x + y

7 ’ _

“ 9 ’

^ x - у

^ x - y

63’

’

=5;

GDZonline.net 68 _

63'

x j

60.

63’

^x + y - ^ x - y

15 ’

х' +у* =2;

(х ^ +

х ’ + у ^ ^ 2;

(,х^ + у ^ ) ( х ' - х ^ у ‘ + у ' ) = 2;

уУ

- 2

| а * - 26 = 2;

26 = а ‘ - 2 ;

x V - = Ь;

| а ( 2 - 6 ) = 2;

0 ( 2 - 6 ) = 2;

6 =

а‘ - 2

Ь=

CQ O)

4 - а' + 2

а" - 2 2

о з

(х^ + y ^ ) ( 2 - x V ) = 2-,

1 а ( 2 - 6) = 2;

а ‘> - 2

Ь=

-а ^ + 6 а - 4 = 0;

= 2;

а ^ -2

а® - 6 а + 4 = 0;

а‘ - 2

& = 1;

а = 2-,

’

-2

2 -

а "-2

а = 2;

(а - 2)(а^ + 2а - 2) = 0;

T >4 Q. ч; 'с

’

а (6 - а^) = 4;

= 2;

Ь=

60 63’

а ^ -2 Ь= 2 '

х^ + у^ = а ;

(х^ +y^f - 2xW = 2 :

=^2;

h—

63’

- у _ 17 _

+ у +

+ -

a = -l + S ;

а = - 1 - -Тз - н е є р о з в 'я з к о м ; Ь = 1 - - \ / 3 - н е є р о з в 'я з к о м ;

а = 2;

j x ‘ +у^ = 2;

а = -1 + 73 ;

Ь = 1;

\ х У

д: = -1 ;

х = 1;

У = -1 ;

^ = -1 -

= 1;

х^ = 1;

л: = 1;

л: = -1 ;

у = 1;

,</ = 1;

= і:

В і д п о в і д ь : (1 ; 1 ), (1 ; - 1 ) , ( - 1 ; 1), ( - 1 ; - 1 ) .

< = 1= О Д З : ^ + і^ = 2 > 0 ;

в) k + J/| = 5; і . „

= 0;

^/t

2t - 5^/^ + 2 = 0;

x = ty;

x = 4y;

1 x = -j/;

І/ > 0;

У < 0 -,

X = 4;

</ = 1:

х = -1 ;

В ідповідь:

= -4 ;

ДГ = 4 y ;

VF = 2;

>/t = і ; 2

!/ > 0; 1

х = -у . *± У = 4;

t = 4;

У >0; x ^ - y ; X

к + v| = 5;

t+ 1

! q j . » ^/f 2

2V t - = t; У

> 0;

І Г І Т Л Л ; V < 2

> 0;

\x + J^l = 5; У < 0;

х = -у ; У = -4 ;

= 4y;

]4 j/ + j/| = 5;

j/> 0 ;

y< 0;

ас = 1;

x = -l;

х = 4\

У=

( 4 ; 1 ), ( - 4 ; - 1 ) , ( 1 ; 4 ) , ( - 1 ; - 4 ) .

-4.

л: > 0;

X < 0;

!/ > 0;

У < 0;

t+ 1

t = i; 4 y> 0;

у <0;

X = 4i/;

x = 4 j/;

y = i:

У = -1 :

5 _ .

GDZonline.net > 2; г)

\ x y - 2 \ = 6 - x ’‘ -,

х у - 2 = 0;

2 + Зу‘ = 2ху;

х у = 2;

х у < 2;

ху - 2 = 6 -х ^ ;

-ху + 2 = 6 - х‘;

2 + Зу* = 2 х у ;

2 + Зу^ = 2 х у ;

х у > 2;

1) ^ж:' + Ж 1 /-8 = 0:

. + , =

х ( х + I/) = 8; y ( 3 y - 2 х ) = -2 ;

Зу^ - 2 х у + 2 = 0;

у { З у - 2 х ) = -2;

х у S: 2;

х у - г .2 - ,

( 8 - ж ') ( 2 4 - З ж '- 2 ^ -2 х

\х

= -2 ;

\х

P х у > 2;

х у 2: 2;

xy>2;

у = - - х ; Ьх* - 6 2 х ‘ + 2 4

x j/ S 2;

XI/ > 2;

X = —\/б;

= -Уб;

8 = 0;

Г0 m <u lO

JC* * 0; X = ±УІ6;

< 2;

x y < 2;

л* - 4

- x y = 6 - x^ - 2;

-y =

2 + 3y* - 2 x y = 0;

2 + 3J/’' - 2лг{( = 0;

LD Ш L_

jcy < 2;

х^ -4

2+ 3

2 + 3y^ - 2 x y = 0;

жу < 2; У=

s X T >4 Q. g 'c

X = ±V ö;

У= —

2 х ( х ^ - 4)

Ґ ї '- 4 '1

= 0;

х у < 2;

x ^ -i

х’ -4 У = -----------:

3(*^ - 8ж^ + 16 ) - 2 х \ х ^ - 4)

x j/ < 2;

х у < 2;

X = 2S -,

= 0;

д: = Т б ; не є р о з в ’ я з к о м ;

у = ^2;

X* - Ы х ^ + 4 8

= 0:

= ±2>/2:

X = ±л/б;

дг = -2 л /2 ;

X = -7 б ;

у = -V 2 ; J' = - T

’

Be е р о з в ’ я з к о м .

-V 6 :-

В ідповідь:

1449.

j/* - |x y| + 2 = 0 ; 8 -

= (x +

2уУ ;

GDZonline.net x y > 0;

x y < 0;

- x y + 2 = 0;

8 - x ^ = (x + 2 y f ;

8 - x ‘ = (x + 2 y f ; x y > 0;

xy> 0;

y ‘ + x y + 2 = 0;

- x y = - 2 - y^-,

8 -

= (Л- + 2 y ) ‘ i

2 + y‘

8 -

2 + y‘

У x y S 0;

+ 2y

x y > 0;

2.+ y ‘ . У

8y^ - 4 - 4 y ‘ - y*

fO m m 01

ijV + 2 ^ y . У

xy> 0;

2 + y^ X = -----------:

. _ 2 + J /', та iC

1 0 y * - 8 y ^ - 8 _Q .

5y* + 4 y ^ + 4

р о з в ’ я з к ів н ем а є;

= 0;

y‘

X T a g с

x y > 0;

x y < 0;

y^ + x y + 2 = 0 ;

X =

-2 -y \

& -x ^ = (x + 2 yf;

- 2 - І * ''

8 -

-2 -У *

+ 2y

x y < 0; 2 +

с; <

x y < 0;

x y < 0; уГ

. = - ^

'■- A - A y ‘ - у *

у *-4y^+4

x = -^ -± ^ ; У

- 2 y * - 8y* - 8

■0;

у* + 4 y ^ + 4

x y < 0;

x = -2 ± ± l.

р о з в ’ я з к ів н е м а є.

ly* = - 2 : В і д п о в і д ь : р о з в ’ я з к ів н е м а є,

ж + у + г = 6; б)

х у г = 8; X + у + г = 6; О Д З: X ^

О, у * О, г ^ 0;

х + у + г = Ь;

уг + хг + ху _ хуг х у г = 8;

2 ’

у г + х г + х у = 12; х у г = 8;

= 0;

GDZonline.net г + І/ = 6 - х ;

x = 6 - ( y + г );

г + у = 6-х-,

х(6 -х) = 12-~ ;

x^z + y ) = ' ^ 2 - y z ;

8 .г = - ;

бд: - х ' - 12 + - = 0;

у г = --,

2 + J/ = 6 - х;

Z + I/ = 6 - х ;

г + ^ = 6 - х;

у г = --,

уг = --,

вх‘ - х ‘ - 1 2 х + 8

- х ’ + 6 х ' - 1 2 х + 8 = 0;

= 0;

х “ - 6 х ^ + 1 2 х - 8 = 0;

2 + J/ = 6 - х;

г + у = 6 - х;

Z+ у = 6 -х ;

8 У^ = - :

8 1/2 = - ; JC

уг = - ; X

(X - 2 )(х ‘' - 4 х + 4) = 0;

(д: - 2)’ = 0;

х = 2;

2 + 1/ = 4;

2 = 2;

J/2 = 4;

г / = 2;

х = 2;

х = 2.

В і д п о в і д ь : (2; 2; 2). s in X

sin X + c o s X < 2; sin X + COS X = 2 + sin J/ + c o s I/;

1452. в)

2 sin 2 x + s in 2 y = 1;

cos X

< 2;

c o s i/ ^ 0;

sin у + c o s у = 0; t g I/ + 1 = 0;

2 s i n 2 x + s in 2 i/ = 1;

2 sin 2 x + sin 2 y = 1; sin X + c o s X < 2;

co s 1/

cos у * O', у =

sin X + c o s X < 2;

s i n x + c o s x < 2;

h ПЛ, Л Є Z ;

c o s у ^ 0;

у = - ^ + КП, n є Z ;

h jcn, Л Є Z ;

2 sin 2 x = 2;

2 s i n 2 x - l = l;

2x = — + 2кт, m e Z ;

X = — + 2nm , m є Z ; 4 у =

h nn, n e Z . ik

В ідповідь:

—

—+ 2nm ; 4

-h n n

, m , Л є Z.

| tg J : = t g “ I/;

f t g x = t g ’ I/;

[s in X = c o s 2 y ;

[a rc s in s in x = a r c s in c o s y ;

t g x = tg" y; x = --2 y , 2 ^

2 t g ' y + Xg‘ y

2 tg y

1 - 1 - 2 .

t g [ | - 2 j ( j = t g ’ !/;

X = a rcsin c o s 2 y , з в ід си * = т ~ 2i/; 2

ctg 2 y = tg ’ y;

1 - t g ' І/

= tg^ y ;

2 tg i/

x = | -2 i/;

J: = - - 2 i/; ^ = j- 2 y ;

tgy = ± 2 ’

- ^ = 0-

1 t g "i/ = - ; tg “ у = -1;

2 t g y ,t O ;

x = 5 2

и ^ — + n n , Л є Z;

GDZonline.net у

= ± a rc tg — +

пп,

n є Z;

у = ^ + п п , n e Z;

п 1 = — + 2 a r c tg — + п т , т е Z .

■J + 2 a r c t g i

В ідповідь:

+ K m -, ±

^шіях+еол^ _ 2«

1453. а)

a r c t g i + jrn ] , 2 /

2»ІП*+СОву _ 2«

m e Z.

ЗІПХ + c o s y = 1;

^2(іііі*х-соаЧ) _

= 4;

2(sin^

- c o s ’’ у ) = 1;

s in X + c o s у = 1;

sin X + c o s I/ = 1;

sin X + c o s у = 1;

(s in

sin X - c o s J/ = ^ !

2 s in x = - : 2

+ c o s j/K sin X - c o s j/) = - ;

s in X + c o s j/ = 1;

3 sin X = — : 4

2cosy = і ;

X = ( - 1 ) ” a r c s in — + к п , n e Z ;

1 cos у = — ; 4

у = ± a r c c o s — + 2n m , m e Z. 4

3 1 a r c s in — + n n ; ± a r c co s — + 2 n m ) , n . m e Z . 4 4

В ідп овідь

x - y

(3 x + y ) ' - ' = 9; ОДЗ:

B) = 1 8 x '' + 1 2 x y + 21/*;

x > 2 + y;

>2;

3 x + I/ > 0; 3 x + y 4t 1;

1 X * ■

(3 x + у у - " = 9;

jlo g .O x +

'-< /3 2 4 = 2 (9 x * + 6 x y + I/"):

V . і / з г ї = 2 (3 x + I/)^

уУ

" = l o g , 9;

3 x + j/ = 3; x - y = 2; 2 ' - ' •((3 x + у У У " = 3 2 4 ; 3 x + j/ = 3;

x = у + 2;

x - y = 2;

3 (y + 2) + y = 3;

2‘

Д :-У = 2;

= 2";

В ід п о в ід ь :

1454.

^ 4

" = - ї ’ x = l i . 4

Н е х а й п ер ш и й в л а сн и к м а є х о д . г р о ш е й , д р у г и й — у о д . г р о ш е й ,

т р е т ій — t о д . г р о ш е й , т о д і к іл ь к іс т ь г р о ш е й п е р ш о г о д о р ів н ю є д р у г о г о — І/ =

і ( х

+ у +

Z ),

тр етього — 2 =

і ( х

+ у +

г ).

= — ( х + у + z),

Н а з б е р е ж е н н я в о н и віД-

к л а д а ю т ь в ід п о в ід н о : п е р ш и й — ^ х , д р у г и й — - j j / , т р е т ій — і z. М а є м о си с2 О О т е м у р ів н я н ь :

GDZonline.net

- - . - - г

= о зс - j/ - г = 0; 2 y - x - z = Q\

2 х - Зу =

2JC - 6 г = 0 ; л: = З г ;

52 - де - і/ = 0;

Ззс + 2і/ + г - 9л: = 0; 1

К 3u X

2^’

2 у + A z = 0-, у = 2 г . О т ж е , п е р ш и й в к л а д н и к м а в в 1 ,5 р а зу б іл ь ш е

і ^ ш е й , н іж д р у г и й , в з р а зи б іл ь ш е г р о ш е й , н іж т р е т ій , д р у г и й в 2 рази б іл ь ш е г р ош ей , н іж т р е т ій . 1455. Н е х а й д а н е ч и с л о х , т о д і й о г о к в а д р а т х^, з б іл ь ш и в ш и на 5 , б у д е ч и сл о *» + 5 = I/S з м е н ш и в ш и ц е ч и с л о на 5 , б у д е ч и с л о ж* - 5 = z*, о т ж е , м а є м о с и с тем у р ів н я н ь :

2 х ‘ = у^ + Z®; 1/^ - 2^ = 1 0 ; ( у - z ) ( y + г ) = 1 0 , м а є м о

^ ^ х^ + 5 = ґ ;

два в и п а д к и : [ и - г = 1; и . . ш

11 '- Т

IÖT

121

„

‘

81 - T

’

>/ї0ї

у - г = 2; 7 2 49 „ „ З 2 [ ^ 2 = 5 ; 2 " - ^ = * '= 2 = * ' = Т ' 2 2 = 3 ; 2 = - ; 2

5 = 1 2 І-5 = 7 І; 4 4

>/29 4

>/ї0ї В ідповідь:

>/29 2

§ 40 . З ада чі з п арам етрам и

1464.

а) (а - 1)д: = а* - 1;

1) а - 1 ?! 0 ; а 2 ) о ’- 1

1; і

= 0 ;а = 1 ;0

а -1

де= а + 1 , єд и н и й к о р ін ь ;

•д: = 0 , р ів н я н н я м а є б е з л іч к о р е н ів .

В і д п о в і д ь : я к щ о а Є (- « > ; 1 ) U ( І ! + “ )> х = а + 1; я к щ о а = 1 , т о к о р е н е м р ів н я н н я

е к о ж н е д ій сн е ч и с л о . 6) { а ‘ - 9 ) х = а ^ ~ а - 6 ; 1 )(а -3 )(а + 3 ) ^ 0 ;а = .3 ,а ^ - 3 ;

(а _ з ) ( „ + 2) . =

а + 2

2) (а - З )(а + З) = 0 ; О • д: = О, б е з л іч к о р е н ів , д: Є Д; 3 ) а = - 3 ; О • д: = - 6 • ( - 1 ) ; О • де = 6 , к о р е н ів н ем ає. • В і0 п о в і а ь :я к щ о а Є ( - о о ;- 3 ) и ( - 3 ;3 ) и ( 3 ;+ о о ) , х = ^ - ^ ; я к щ о а = ± 3 , коренем Ö+ О ® к о ж н е д ій сн е ч и с л о ; я к щ о а = - З , р ів н я н н я к о р е н ів н ем а є. 8) (о2 - За + 2 )л = 8 - 2 а - а ^ І) - За + 2 = 0 ; а = 1 , а = 2 ; - 2 а + 8 = 0 ; а* + 2 о - 8 = 0 ; а = - 4 , а = 2 ;

GDZonline.net 1 (a

l)(a

2)x =

-{a

(о + 4 )(g - 2 )

4 )(a

g + 4

2); a

2 , р ів н я н н я м ає єд и н и й корінь-

a + 4

* “ ~ (a - l ) ( a - 2 ) “ ~ a - l “

2) a = 3) a =

l - a ’

1; 0 ■jc 2 ; О ■jc

= - 5 ■ ( - 1 ) ; 0 ■ x = 5 , к о р е н ів н е м а є; = О, к о р е н е м є б у д ь -я к е д ій сн е ч и сл о . а + 4 а + 4 В і д п о в і д ь : я к щ о а * 1, а ^ 2 , х = ; я к щ о а = 1, к о р е н ів н е м а є; я к щ о 0 = 2 , к о р е н е м є к о ж н е д ій с н е ч и сл о . 1465. а) (а - 2 ) х < - 4 ; (а - 2 ) х < (а - 2 )(а + 2 ); 1 ) а - 2 = 0 ;а = 2 ;0 х < 0 — н еп р а в и л ьн а р ів н іс т ь ,

р о з в 'я з к ів н ем а є;

а > 2 , X < а + 2; а < 2, X > а + 2. В ідп ов ідь: якщ о а > 2, х < а + 2; якщ о а < 2, х > а + 2 ; а - 2 , р о з в ’ я з к ів нем ає, б) (а^ - 9 )х > а ‘ + 2 а - 3-, ( а - 3 )(а + 3 ) х > (а + 3 )(а 1); 1) (а •- 3 )(а + 3 ) = 0 ; а = - З , О і > О, п р а в и л ь н а при б у д ь -я к о м у ж; а = 3; 2) а = 3 ; О •І > 1 2 , р о з в ’ я з к ів н е м а є;

2) (а - 3 )(а + 3 ) > 0 ; а > З, а < - 3 ; х >

(а -І- 3 )(а - 1 ) . (а - 3 )(а -І- 3 ) ’

д: >

а -1 а -3 ’

а -1 < (а - 3 )(а -1-3) а + 3' В і д п о в і д ь : я к щ о а = - З , х Є R ; я к щ о а = З, р о з в ’ я з к ів н е м а є; 3 ) (а - 3 )(а -І- 3 ) < 0 ; а Є ( - 3 ; 3 ); ж <

а Є (- о о ; - 3 ) и (3 ; -І-оо), і

а Є ( - 3 ; 3 ), д: <

а -3

~ ^ а + 3

в) (а* - 2 а ) х < 8 - 2 а - а^; о (а - 2 ) х < - ( а + 4 ) ( а - 2 ); 1) а ( а - 2 ) = 0 ; а = 2 ; О • л < О, п р а в и л ь н а п р и зс Є Д ; а = О, О ■ д: < 8 , п р а в и л ь н а п р и лс Є Д; 2 )а (а -2 )> 0 ;а < 0 ;а > 2 ;;е < -і^ 1 І М а(а - 2 ) 3 ) а ( а - 2 ) < 0 ; а Є (0 ; 2 ); х >

;

, , а

а + 4

В і д п о в і д ь : я к щ о а = 2 , а = 2 , д: Є Д ; я к щ о о Є ( - » ; 0 ) U (2 ; -І-оо), д: < ------------; я к щ о а Є (0 ; 2 ), л > -

1466.

а)

1) а = О,

д:^ =

2) а

* О,

а -І- 4

х^- ах- 2а^ = 0 ; О,

д: =

- а х - 2 а ‘ = 0 ; £) =

о + За

-і- 8а^ = 90^ > О, а Є Д;

а - За = 2а;

В і д п о в і д ь : я к щ о а = О, jc = 0 ; я к щ о а ?= О, д:, = 2 а , х^ = - а .

б ) ад:^ - (а -І- 2)д: -І- 2 = 0 ; 1) а = 0 ; -2 д : -І- 2 = 0 ; д: = 1; 2 )а

^ 0 ; а х ‘ - (а + 2 ) х + 2

D >

0 ; (а -І-

(а + 2) -ь V a ' - 6а -н 4 2а Л = 0; а = з ± Т б; D < 0;

д: є

0 ; D = ( а + 2 f - З а;

2)^ - 8 а > 0 ; - 6 а

д, = д:^ =

-ь4 > 0 ; а є ( - ~ ; З- v s ) и

(а -і- 2) - Va^ - 6 а -і- 4 ^2 = 2а а -І- 2 2а

■

(з - Vö; 3 -н V ö ) ; к о р е н ів н е м а є.

(з -і- v 5 ; -і- “ );

GDZonline.net ßtdnoeidbi якщо а = О, д: = 1; якщо а є (-«о; З - л/б) и (з + VS; + оо), (а + 2) + Va* - 6 а + 4 (о + 2) - 6а + 4 о , /7 і -------------- г------------------- : -ї, = ------------------: a = 3±V 5; On 2 9/, *1 = ^ 2а ’ 2а ^щ о а є

j;, = д^, ' *

а + 2 --------- ; 2а

(з - л/б; З + л /б ), к о р е н ів н е м а є.

-W » - 2 а + - 1 = 0 ; д:* =■ 2а - а* + 1 ; „ „ 1 ) 2а - o ’“ + 1 ” 0 ; - а " + 2а + 1 = 0 ; а" - 2 а - 1 = 0 ; Д = 4 + 4 = 8 ; а, = - - ~ У ~ «1

1 + V 2;

а, =

а ,= \ -4 2 ;

2) -д * + 2 а + 1 > 0 ; а є ( і - л/2; 1 +

х^^О ,

х = + V -a * + 2а + 1;

3) -в * + 2 а + 1 < 0 ; а є ( ^ ; 1 - 7 5 ) u ( і + -J2; + ^ п о в і д ь : я к щ о а = 1 ± >/2, jc = 0 ; я к щ о а

jQCiqo а є (-оо; 1 - V 2 ) и ( і + >/2; + ~ ) ,

■0 ;

оо); к о р е н ів н ем а є.

є ( і - ^/2; 1 + л /г ), х = + V -a ^ + 2а + 1;

к о р е н ів н е м а є.

14 67. а) д:'“ - (2 а + 1)д: + а ’' + а > 0 . Х ое ф іц ієн т п р и х^ д о р ів н ю є 1, т о м у м н о ж и н а р о з в ’ я з к ів н е р ів н о с т і з а л е ж и т ь від ів&ка д и с к р и м ін а н т а . 2а + 1 + 2 В - (2 а + 1)* - 4(а^ + а ) ■= 4а* + 4 а + 4 - 4а^ - 4 а = 4 ; 23 > О, D = 4 ; JC,= ------; 2а + З *. = — :

Відповідь:

2а - 1 *2 =

2 2а-

6) ї » - (2 а - 2)д: + а* - 2 а < 0 . Перший к о е ф іц іє н т д о р ів н ю є 1 > о , з н а й д е м о зн а к д и с к р и м ін а н т а . 2а - 2 + 2 fl - (2 а - 2)2 - 4(а* - 2 а ) = 4а* - 8 а + 4 - 4а* + 8 а = 4 > 0 ; д:, = ------: 2а - 2 - 2 *, -= о ; х ^ = ------------

;X j “ а - 2 ; д; Є (а - 2 ; а ).

Відповідь: (а - 2; а).

1468. б)

х^ - 7 х + 1 0 > 0 ;

д;2 - 7 х + 1 0 > 0 ; у = х^ - 7 х + 1 0 ; х ^ - 7 х + 1 0 = 0 ; х ,

х> а ;

“ 2; 1 )а 2) 2 3 )а

jCj = 5 ; 1/ > 0 ; д:Є (-« > ; 2 ] U [5 ; + «>). S 2 ; д: Є (а ; 2 ] U [5 ; + оо); < а < 5 ; р о з в ’ я з к ів н е м а є; а 5 ; д: Є [5 ; + «>). О п о в і д ь : я к щ о а < 2, д: Є (а ; 2] U [5 ; + » ) ; я к щ о

Ї Д 5. X є [5; + = ) .

2 < а < 5 , р о з в ’ я з к ів н ем а є; я к щ о

•469. а ) (д: - 4)(д: - а ) < 0 ; у ^ ( х - 4 ) { х - а ) ; (х - 4 )(х - а ) = 0 ; Х; ■= 4 ; х^ = а ; J ) o < 4 ; X Є (а ; 4 ); 2) а > 4; X Є (4 ; а ). ' “ ідповідь: я кщ о а < 4 , х Є ( о ; 4 ); я к щ о а > 4 , х Є (4 ; а ). ®) (* - 1 )(х - а ) > 0 ; у = ( X - 1 )(х - а ); (х - 1 )(х - а ) = 0 ; х , = 1; х , = а ; ‘ ) а S 1 ; X Є ( - » ; а ] U [1 ; + » ) ; ‘ ) в > 1; X Є ( - о о ; 1 ] и [а ; + о о ) . ^ п о в і д ь : я к щ о а < 1 , х Є ( - “ ; а ] U [1 ; + “ >); я к щ о а > 1, х Є ( - о о ; 1] U [а ; +оо).

GDZonline.net в ) (х^ - 4 )(х - а ) < 0 ; J/ = (X - 2 ) ( х + 2 ) ( х - а ) ; ( х - 2 ) ( х + 2 ) ( х - а ) = 0 ; х X = -2 ; X а; 1 ) а < - 2 ; у < 0 ; X Є ( - » ; а ) U ( - 2 ; 2 ); 2 ) - 2 < а < 2 ; X е (- о о ; - 2 ) U (а ; 2); 3 ) а > 2 ; X Є (- о о ; - 2 ) U (2 ; а ). В і д п о в і д ь : я к щ о а < - 2 , х Є (- о о ; а ) U ( - 2 ; 2 ); я к щ о - 2 < а < 2 , X Є (- о о ; - 2 ) и (а ; 2 ); я к щ о а > 2 , х Є ( - о о ; - 2 ) U (2 ; а ) . г) ( х - 2)!і(х - а ) > 0 ; у = ( х 2 ) Ц х - а ); (л:- 2 ) Ц х - а ) = 0 ; л: = 2 ; х = а ; 1) а < 2 ; X Є [а ; 2 ] U [2 ; + оо); 2 ) а > 2 ; дс е (а ; + оо). В і д п о в і д ь : я к щ о а < 2 , х Є [а ; 2 ] U [2 ; + о о ); я к щ о а > 2 , х Є ( а ; + оо).

1470.

X - (с + 1)х + с X* - 4 х

= 0 ; О Д З : х^ - 4 х

0; х ^ 0; х

X* - (с + 1)х + с = 0; ■(с + 1 )х + с = 0.

Р ГО го m о ю

та

S I

т >ч о. 5 Ъ

х^ - 4 х

Я к щ о D = О, то к в а д р а т н е р ів н я н н я м а е о д и н к о р ін ь . D = (с + 1)2 - 4 с = 0 ; + 2 с + 1 - 4 с = 0 ; с ““ - 2 с + 1 « 0 ; (с - 1)2 = 0 ; с = 1. В і д п о в і д ь : с = 1. 1471. т ( 3 х - т ) = З х - 1; m • З х = Зх - 1; m • Зх - Зх = - 1; 3 x (m - 1) = - 1. 77Н- 1

Я кщ о т - 1 ^ 0; т ^ 1; х = -

3(771 - 1 ) ’

’

X > О, ттг + 1 > О, 771 > - 1 . В і д п о в і д ь : я к щ о 77i Є ( - 1 ; 1 ) U (1 ; + о о ), х =

77^ + 1

>0.

1472. х^ - (2ft - 1 )х + 62 - ft - 2 = 0 ; D > 0 ; Ö = (2ft - 1)2 - 4(ft2 - ft - 2 ) = 4ft2 - 4ft + 1 - 4ft2 + 4ft + 8 = 9 ;

2 6 -1 + 3 2

—

2 ft+ 2 _ »X , 2

ft + 1 > 0 ; ft > - 1 ;

LQ Ш 1_ с: <

2 ft- 4

2ft - 1 - 3

6 )D >

= ft -

2; X

X , = ft + 1 > 0;

X , = ft + 1 < 0;

x^ = ft - 2 < 0;

Xj = 6 - 2 > 0;

ft> -l;

ft< -l;

ft < 2 ;

ft > 2 ;

= ft -

2 — д о д а т н і.

р о за ЯЗК1В н е м а є .

В і д п о в і д ь : - 1 < ft < 2 ; Xj = ft + 1 > О, х^ = 6 -

2 < 0. - (З а + l ) x + 2 a (o + 1) - 0 ; [ - 1 ; 6 ]; D = (3 a + 1)2 - 4 • 2 a (a + 1 ) = 9a2 + 6 a + 1 - 8a2 - 8 a = o2 - 2 a + 1 - (a - 1)2 2 0; .

1473. x2

3 a + 1 + |o - l|

3 a + 1 - |o - 1|

1 ) D > 0 ; X, a = 1; 3a + 1 - a + 1 a) - 1 < a < 1; x , = ■

< 2; CM 6)

2a+ 2 = - у - :

Є [ -1 ; 6];

д:.

' a + 1;

_ 2a; л:, < 2; x , Є [-1 ; 6]:

За + 1 + a - l 1 < a < 6 ; Jc, = ------: X, = 2 a ;

GDZonline.net

За + 1 - a + l

2а+ 2 ’

= “ +

< 6 : 2 < л:, < 1 2 ; 1 < X , - 1 < 6 ; 2 < X , < 7. 2 JP; ;Г2 не н а л еж а ть п р о м іж к у [ - 1 ; 6 ]. я і д п ^ і д ь - 1 S а < 1 , jc, = а + 1 , = 2 а , х^, оскільки О < д:. < 2 ; - 1 < X , < 2. 14 75. а ) х^ - ( а - 2 ) х + 4 > 0 ; а - 2 = 0 ; а = 2 ; Я 0повідь: а -

— н а л е ж и т ь п р о м іж к у [ - 1 ; 6] + 4 > 0-, X е R .

2 , X Є Л.

л )х‘ - 2 а х +

„ < 3; а < - .

- 2а + 3 > 0; D < 0;

р - (2а)* - 4(а* - 2 а + 3 ) = 4 а ‘ - 4а* + 8 а - 12

< 0 ; 8 а - 12 < 0 ; 2 а

3 відповідь: “ < 2 ’ ^ ^

1476. у = „ > 0 ;D < Ь - 4(* 86» - 4ft -

л:* + 2(ft - 1 )х + 4 - Ö - ft*; 0; 1)* - 4 - (ft + 4 - ft*) = 4Ь* - 8fc + 4 12 < 0 ; 2ft* - ft - 3 < 0 ; 2ft* - ft - 3

+ 4ft - 16 + 4ft* = 8ft* - 4ft = 0;

< 0;

P<0: В і д п о в і д ь : я к щ о ft є

- I ;

TO у > 0 д л я X Є R .

1477. а )

к * - 2ж - ЗІ = а ; л* - 2д: - (3 + а ) = 0; ж* - 2л: - 3 = а ; зс* - 2а; - 3 - а = 0 ; X * - 2л: - 3 > 0;

*• - 2 х - 3 = 0 ; X = 3 , X = - 1 ; *» - 2 х - (3 + а ) = 0 ; ß = 4 + 4 (3 + а ) = 1 6 + 4 а ; 2 16 + 4 а = 0 ; а = - 4 ; х , = х^ = - = 1; н е в х о д и т ь д о п р о м іж к у х Є' (- о о ; - 1 ) U

а)

и (3; +00); б) 16 + 4 а > 0 ; а > - 1 4 ;

Х; =

2 + V ia + 4а

2 - V l6 + 4а ■*2 =

^ ' ^ Є

, ~1) и

и (3; + » ) ; о > 0; ») 16 + 4а < 0; а < -4 ; к о р е н ів н е м а є.

«V , fx*-2x-3<0; X Є ( - 1 ; 3 ); D =■ 4 + 4 (3 - а ) = 16 - 4 а ; 2)*>-2х-3--а; ■ X * - 2х - (З - а) = 0; ») 16 - 4 а = 0 ; а = 4 ; х , = х , = - = 1; х , , х , Є ( - 1 ; 3 ); D > 0 ; 16 - 4 а > 0 ; - 4 а > - 1 6 ; о < 4 ; х . =

2 + V 16 - 4 а

2 - V l 6 - 4а

2 + > /І б - 4 а ---------< о ;

V l6 - 4 а

а > 0; а > 0.

> -1 ;

о < 4 ; а = 4 ; Xj

2 + V l6 - 4а

& а„ 2 + V l6 + 4а ^ 'Ю в і д ь : я к щ о а > О, JCj = ---------;

2 - V l6 - 4а

2 - V l6 + 4а = ----------;

GDZonline.net 2 + -J 1 6 - 4a

Є ( - « > ; - 1 ) и (3 ; + t » ); я к щ о О < a < 4 , Jc, = ---------

;

2 - V l6 - 4 Ї = ----------- -- ---------- ;

x^, jfj Є ( - 1 ; 3 ); я к щ о a — 4 , x = I , x & ( - 1 ; 3). 6 ) |5 + 4 x - x^\ = a ; b + i x — x^ > O',

- x ^ + 4 x + 5 > 0 ; x^ - 4 x -

b < 0; x ‘ - 4 x - b = 0; a =

5 + 4 x-x^ =a;

x^ = - 1 ; X Є ( - 1 ; 5 ]; - x ^ + 4 x + b - a =• 0 ; x^ - 4 x - b + a = 0-,

D = 16 - 4 (a - 5 ) -

16 - 4 a + 2 0 = 3 6 - 4 a ;

D - 0 ; 3 6 - 4a = 0 ; a = 9 ; x , = ^ = 2; л , =

б)

4 + n/ 3 6 - 4 a J3 > 0 ; 3 6 - 4 a > 0 ; a < 9 ; д:, =

-2 <

4 + \/36 “ 4 a

<5:

-2 <

= 2;

= 2 Є [ - 2 ; 5 ]; 4 - V 36 - 4 a

4 — чУзб — 4a < 5 ; 0 < a < 9 ; д:., д:, Є [ - 2 ; 5 ];

в ) D < 0 , к о р е н ів н е м а є. 5 + 4д: 2)

<0;

+ 4 л: + 5 < 0 ;

- 4 x - 5 > 0 ; д; є ( - « ; - 2 ] U [5 ; +oo);

5 + 4 х - х ^ = -а ;

-X » + 4 х + 5 + а = 0; Г> = 16 + 4 (5 + а ) = а ) X) = 0 ; 3 6 + 4 а =

- 4 х - 5 - а = 0 ; X* - 4 х - (5 + а ) = 0 ; 36 + 4а; 0; а = - 9 ; х, = х^ = 2 Є (-< » ; - 2 ] ;

„ „ . „„ „ „ 4 + -УЗб + 4 а ^ ^ б ) і ) > 0 ; 4 а + 3 6 > 0 ; а > - 9 ; х , = ---------------------> 5 ; 4 + л/36 + 4 а > 10;

jV 3 6 + 4 a > 6;

а > 0;

4 - л/36 + 4 а < - 4 ;

| ^ 3 6 + 4 а > 8;

а >7;

4 - V36 + 4а х^ = ----------- ----------- < - 2 ;

X ,, X j Є ( - » ; - 2 ] и [5 ; +=о);

в) D < О, к о р е н ів н е м а є. 4 ^ ^ 3 g _ 4ц В і д п о в і д ь : я к щ о а = 9 , х^ = х^ = 2 Є [ - 2 ; 5 ]; я к щ о О < а < 9 , т о х , = ---------:

4 - V 36 - 4 а ^---------- : Д;,. Д^2 Є [ - 2 ; 5 ]; я к щ о а = --9, т о х , = х^ = 2 , х , , Xj, Є (-« > ; -2 ]; j я к щ о а > О, X, J =

1478. а)

4 ± V 36 - 4а

а х + 4і/ = 6 + а; 2х + (2 -1- а )!/ = 8 ;

м а є б е з л іч р о з в ’ я з к ів .

С и сте м а л ін ій н и х р ів н я н ь м а є б е з л іч р о з в ’ я з к ів , я к щ о п р я м і з б іг а ю т ь с я , тобто к о е ф іц іє н т и п р и X і в іл ь н і ч л е н и р ів н і, о т ж е , м а є м о : 1

6+ а т -=

2 8 г^ = - 7 — + ■ 2+ а 2 + а 1 Знайдем о а:

ВЭ

а = -4 ;

4“ “ 2 + а ’ 6 + а

2+а’

0 = 2;

а^ + 2 а - 8 = 0; а " + 2а - 2 0 = 0;

а = -1 0 ;

а = 2;

а ^ —2.

а *-2 ; а

-2;

GDZonline.net ЗкЩО а = 2 , с и с т е м а м а є б е з л іч р о з в ’ я з к ів . в і д п о в і д ь : я к щ о а = 2. \(а + 1)д: + 2і/ = а + 4;

£\

н ем ає р о з в я з к ів .

4 х + (а - 1 ) у = 7;

С истем а л ін ій н и х р ів н я н ь м ає б е з л іч р о з в ’ я з к ів , я к щ о п р я м і п ар ал ел ь н і, т о б т о к ое ф іц ієн ти п р и X і в іл ь н і ч л е н и п р о п о р ц ій н і, о т ж е , м а є м о : а + 1

У=

— —

а + 4

X + ■

2 7

У=

а -1

а - і'

0^1З найдем о к о е ф іц іє н т и п р о п о р ц ій н о с т і: а‘ - 1

; k = -

а +1 А= — 2 0 ^ -1

а -1

+ За - 4 а -1

+ За - 4 14

: а^ - 4 а + З = 0 ; а = 1; а = 3;

Я к щ о а = З, т о а = 1 не є р о з в ’ я з к о м . С и с т е м а н ем ає р о з в ’ я з к ів . В і д п о в і д ь : а = З, с и с т е м а н е м а є р о з в ’ я з к ів .

1479. а) ]

У = -6 .

+ (у - аУ = 9 —

к ол о з ц ентром в точ ц і з координа-

тами (0 ; а ), р а д іу с о м 3 . у = - 6 — п р я м а . С истема м а є є д и н и й р о з в ’ я з о к , я к щ о о к р у ж н іс т ь д о т и к а є т ь с я д о п р я м о ї п р и X ^ О, у = - 6 ; ( у - а У = 9 ; ( - 6 + а)^ = 9 ; - 6 - а = ± 3 ; - 6 - а = З і - 6 - а = - 3 ; о = -9 , а = -3 . Відповідь: я к щ о а = - 9 , а = - З , с и с т е м а м ає єд и н и й р о з в ’ я з о к .

у = х ‘ -¥а.

X* + J/2 = 4 _ к о л о з ц е н т р о м в т о ч ц і з к о о р д и н а т а м и (0 ; 0 ), р а д іу с о м 2; У“ + а — п а р а б о л а , в е р ш и н а в т о ч ц і з к о о р д и н а т а м и (0 ; а ), в іт к и н а п р я м л ен і вгору. Система м ає єд и н и й р о з в ’ я з о к , я к щ о о к р у ж н іс т ь і п ар абол а д о т и к а ю т ь с я , це М ожливо т іл ь к и , я к щ о а = 2 . Відповідь: я к щ о а = 2 , с и с т е м а м а є є д и н и й р о з в ’ я з о к .

в)

К ( x - 4 f + у ^ = 1.

** + = а^ — к о л о з ц е н т р о м в т о ч ц і (0 ; 0 ) і р а д іу с о м а ; (* - 4)2 + у 2 = 1 — к о л о з ц е н т р о м в т о ч ц і (4 ; 0 ) і р а д іу с о м 1. Система м а є єд и н и й р о з в ’ я з о к , я к щ о к о л а д о т и к а ю т ь с я , я к щ о к ол а м а ю ть •овніш ній д о т и к , т о а = 3 ; я к щ о в н у т р іш н ій д о т и к , т о а = 5. Відповідь: я к щ о а = З, т о к о л а д о т и к а ю т ь с я з о в н іш н ь о ; я к щ о а =■ 5 , т о кол а • М и к а ю ть ся в н у т р іш н ь о . а - х ^ > 0;

1480. 4 1 ^ = х + 1;

л: + 1 > 0;

а-

= {х + i f ;

{ y f ä - x ) ( y f ä + x ) > 0; х> -1 ; а - x^ = x^ + 2 x + l ;

GDZonline.net ( V ä - J c ) ( V ä + Дї) > 0 ; (1) X >

-1 ;

- 2 х^ - 2л: + а - 1 = 0 . (2 )

1) {-Ja - х){^/а + л) > 0; х = •Ja; х = —Ja-, а > 0; X є [-yfä; -Уа]; -Т а < л: < -Ja; О < а < 1. 2) - 2 х ^ - 2л + о - 1 = 0; а) Л = 0 ; 12 - 8 а = 0 ;

3 - 2 а = 0 ; о = |;

ГО

х, = х^ =

В ідповідь: якщ о а = -2 ,

б ) s in д: = 0 ,5 (а + 3 ); х =

Q. .5 с

х , = -----------

;

В ідп овідь: якщ о

s i n ^ = 0 ,5 (а + 3 ); 0 ,5 = 0 ,5 (а + 3 ); а == - 2 . О

х = —.

>ч

О< а < - ; 2

1 4 8 1 . а) sin X = 0 ,5 (а + 3 ); х =

ГО >£.

х, = х, = - ^ € [- yfä; ^fä];

б ) Z) > 0 ; 12 - 8 а > 0 ; - 8 а > - 1 2 ; а < - ; I-----------2 - 2 - V l2 - 8 а

ю а; LD

+ 2лг - а + 1 = 0 ; 2J = 4 + 8 (1 - а ) = 12 - 8 а ;

а = - 2 , д: =

s i n ^ = 0 ,5 ( а + 3 ); а + З = 1; а = - 2 .

5я

1 4 8 2 . 4 s in * J t-8 c o s “ ^ = 5 - З р ;

4 в іп ^ л :-8

1 + cos

= 5 -З р :

5 4■ U3

L_ с: <

_ 4 . (1 + c o s s :) = 5 - З р; 2 - 2 c o s 2 ї - 4 - 4 c o s х = 5 - Зр;

- 2 c o s 2jc - 4 c o s х - 2 - 5 + З р = 0 ; - 2 ( 2 cos^ д: - 1 ) - 4 c o s д: - 7 + Зр = 0 ; - 4 cos^ д: - 4 c o s де - (5 - Зр) = 0 ; c o s х = t ; - 4 t ^ - 4 t - (5 - Зр) = 0 ; D = 16 - 1 6 (5 - Зр) > 0 ; 1 - (5 - Зр) > 0 ; Зр > - 1 + 5 ; Зр > 4 ; р > | ; З 4 + 7 і6 (З р -4 )

= ---------------8

S I;

l + J S p -4

; cos де,= --------------

- 2 < - 1 - V 3 p - 4 < 2;

- 1 < - V 3 p - 4 < 3;

- 2 < - 1 + 7 3 р - 4 < 2;

- 1 < ^ З р - 4 < 3;

^ 4 = - З < 7 3 р - 4 S 1; - 1 < y j 3 p - 4 < 3;

^ -1 = со

1 - J 3 p -4

:; cosx. C0 S X 2= --------------

;

GDZonline.net І + УІЗр- 4

я - arcco s

It -

І - у І З р - 4 ]'

a rcco s

< 5«* - 5 ' - (а + а^) = 0 ; 5 ' g) І ) < 0 ; t“ - < - (а + а^) и > 0 ; t > 0 ; 5 ^ - 5 ' - (а б) D г 0 ; 1 + 4 (а + а^) >

2 1

2 а + 1 > 0;

2 а + 1 < 0;

ti = а + 1 ;

І. = - а ;

а > -1 ;

a > — ;

aeR ,

t, = - a ;

*1 > - 3 !

2o + l ä O ;

2 a + 1 < 0;

t, = - a ;

«2 = a + 1;

6‘ ä - i ;

+ 2 л л , л є Z;

0 ; 5 ^ - 5 ‘ - ( а + а ‘ ) < 0 ; у = 5 ^ - 5 - - ( а + а^); = t, t > 0 ; t - (а + а^) = 0 ; Г> = 1 + 4 (а + а “); = О — к о р е н ів н е м а є; + а^) < 0 ; р о з в ’ я з к ів ін е м а є; 0 ; 4а^ + 4 а + 1 > 0 ; (2 а + 1)^= > О, а Є Я ;

1 - І 20 + 1І

*1 = ------- 5

f, = a + 1 ;

1 + У З р -4

+ 2лл, л є Z.

1483. 2 5 ' - 5 - - а -

“ ^ -2

+ 2лл , л є Z .

л, = + л - a r c co s

< а < - ,

я - a r c co s

2тсл, rt є Z ;

gW noeidb: якщ о -

1 + |2а + 1|

a > -i;

• > -1 ,

2’ tj = a + 1;

t, = - a ;

jc є Л : 5 '

l‘- 4 ^

“ ^ " 2’ ^2

aeR .

^ ^ - l o g , 2;

* є ( - 00; - l o g j 2 ). В і д п о в і д ь : а Є Я , x Є ( - » ; - l o g , 2 ).

1 4 8 4 . Jc' - (2p - 1)ж^ + p ^ - p = 0 ; D > 0; 1)^ + 4(p^ - p ) = 4p^ - 4 p + I - 4p2 + 4p = 1;

О - (2p -

Ö > 0;

a:f = p ; p > 0 ; д: = + p ;

** ^ ~ V

= P - 1 : p - 1 < 0 ; p < 1.

В ідповідь: я к щ о 0 < р < 1 , т о д : = ± p .

1485. x*-4:c

x + a

U + al 2

+ 3 = 0;

+ a ^ 0; X ^ - a ;

16(3:^ + 2a:a + a^) - 1 2 (U + g|)' ^ U + a f ■4 ^ (U + al)*

4 U + al + 2

\x + a f

4 U + a| - 2

U + ai ,v l)* + a > 0 ;x > - a ; a^ + 4 a - 2 4+ a

=4+

2 x + a

, 2 = 4 - ——

x + a

a'' + 4 a + 2 . ; j c > - a ; a s ‘ - 4 ; л, > — 4+ a

GDZonline.net 2)

jc, = -4 - ■

jr, = - 4 +

X + a < Q\ X < ~a\

-i

X < - a ; a * -4 ;

X ■¥ a

a* - 4 o + 2

a ‘ - ‘i a - 2

4 -а

X, < -

a^ + 4 a + 2

В і д п о в і д ь - , я к щ о X > - a , a ^ - 4 , x > -------- — ----------; 4 + a

o^ + 4 a - 2

x > ---------

4 + a

; x < ~a.

- 4a + 2 a^ - 4 a - 2 x < ------------------- ; x < -------------------- .

4 -а 1486.

4 -а

!/ = -Jx^ - ( a + 3 ) x + 3 a ; x^ - ( a + 3 ) x + 3 a > 0 ; x^ - ( a + 3 ) x + 3 a = 0;

D = <a + 3)== - 12a = a^ + 6 a + 9 - 12 a = a^ - 6 a + 9 = (a - 3)^ > 0 . Я к щ о a = 3:

- (a + 3 ) x + 3 a > 0 ; x =

Я к щ о a ^ 3, D > 0; x, =

a + 3

a + 3 + la - ЗІ

д: = 3 ; X Є (- o o ; 3 ) U (3 ; +«=).

a + 3 —la — ЗІ

2 " 2 a > 3 , Atj = о , jc, > 3 ; X j = 3 — не в х о д и т ь д о п р о м іж к у а > 3 . х^ - ( а + 3 ) х + З а > 0 ; X Є ( а ; + » ) , а > 3; а < 3 ; / ) > 0 ; X, = З — не в х о д и т ь д о п р о м іж к у а > 3 ; х^ = а ; х^ < 3 . х ^ - ( а + 3 ) х + За > 0 ; л: Є ( - « ; о ) U (3 ; + «>). В і д п о в і д ь : D ( y ) = (- о о ; 3 ] и [З ; + о о ), а = З, а < З, а > 3. 1487. х “ + ( т - 2 )х - m + 1 = 0; D = (m - 2)2 - 4(1 - m ) = - 4m + 4 - 4 + 4 m = > 0; ß = 0 ; m = 0 ; л:, =

D > 0;

Xj = x , = 1;

- ( m - 2) + |m|

- ( m - 2) - Iml.

2/yj+ 2

m > 0 ; Xj = 1; Xj = ---

„ - ( m - 2) - m m < 0 ; X, = ------ ^---------- ;

; x^ = - m +

-2 m + 2 X, = ----------^-; x , = - m + 1;

-m + 2 + m = -------;

Я к щ о m & R , к р ім m # 0 , JCj = - m + 1 , x ^ = 1; а б о X, = 1, *2 = - m + 1, В ідп овідь:

= - m + 1,

TO Xj + x ‘ < 2, я к щ о m = 0 , x , = = 1 а б о x , = 1,

= - m + 1; m

= 1. 0, m = 0, x , =

1488. I/ = 2 a x ^ - (a^ + 7a - 4 )x + 5, x = 1; D ( y ) = R ; y ' = 4 a x - (a^ + 7 a - 4 ); y ' = 0 ; 4 a x - a^ - 7a + 4 = 0 ; 4 a x = a^ + 7a - 4; a ’’ + 7 o - 4 4a a

a “ + 7a - 4 4a

, = 1;

a‘ + 7 a - 4 - 4 a . ------------:--------------- = 0 ; 4o

a^ + 3 a - 4 _ :-----------= 0 ; a = - 4 ; a = l . 4a

Я к щ о a = - 4 , у = -8 x ^ + 1 6 x + 5 : y ’ - - 1 6 x + 16; y ' = 0 ; - 1 6 x = - 1 6 ; x = ± 1 : X - ± 1 — т о ч к а м а к с и м у м у ; a = - 4 з а д о в о л ь н я є у м о в і за д а ч і. Я к щ о а = 1, І/ = г х “' - 4 х + 5 ; у ' = 4 х - 4 ; І/' = 0 ; X = 1. X — 1 — т о ч к а м ін ім у м у . В ід п о в ід ь : я к щ о а = - 4 , х = 1 — точ к а м акси м ум у.

GDZonline.net

і Д89.

~ 2(a + 2)x +

“

+ 4a, 5 - a^; D (y ) = R ;

y ' ^ 2 x - 2 ( a + 2 ); j/' = 0 ; 2дг - 2 (a + 2 ) = 0 ; 2 x = 2 (a + 2 ); i = а + 2 — к р и т и ч н а і^ ч к а ; X = а + 2 — т о ч к а м ін ім у м у . и(а + 2 ) = ( а + 2 У - 2 ( а + 2 )(а + 2 ) + а" + 4 а = 5 -

1 (в + 2И + а* + 4 а - 5 + а* = 0 ; -а ^ - 4 а - 4 + д» - 9 = 0 ; а = 3 ; а = - 3 . Д к ш о а ™ 3 ; д: = 5; U » 25 - 2 (а + 2 ) • 5 + + 4а = 25 - 10а - 20 Я кщ о ® Jc = —1 ; і / = 1 + 2 а + 4 + а “ + 4 а В і д п о в і д ь : я к щ о а = З, а = - З , т о jc ■== 5 , д: = - 1

1490. - 7 < ^ І 4 ^ ± І ^ < 3 ; д:" - д: + 1

+ (р + 1)х - 5 Л ^-JC + l ** + ( р + 1 ) х - 5

а* + 4 а -

+ а^ + 4 а = 5 - 6 а + о* 54 5 - а ^ = а^ + 6 а + 5 = 5 — а ‘ ; ; = 5 - а^.

. е д .

> -7 ; <3;

х’ - х + 1

У + (р + 1 ) х - 5 + 7д:’’ - 7 ; е + 7 , р. і

" - д: + 1

х* + (р + 1 ) Д г - 5 - З д : ^ + З д : - 3

.д.

д: - д: + 1 8д:" + д:(р - 6 ) + 2 І Г Г т

+ л (р - 6 ) + 2 > 0:

-2д:^ + х ( р + 4 ) - 8 ^ д JC* -

[2д:* - х ( р + 4 ) + 8 > 0 .

д: + 1

+ д:(р - 6 ) + 2 > 0 ; 8д:* + д:(р - 6 ) + 2 =■ 0 ; 8 > 1; ß < 0 ; D = (р - 6)2 - 6 4 < 0; (р - 6 - 8 )(р - 6 + 8 ) = 0 ; р = 1 4 ; р = - 2 ; р Є ( - 2 ; 1 4 ); 2х* - jc(p + 4 ) + 8 > 0 ; 2 > 1; і? < 0 ; Л = (р + 4 )““ - 6 4 < 0 ; (р + 4 - 8 )(р + 4 + 8 ) = 0 ; р = 4 ; р = - 1 2 ; р Є ( - 1 2 ; 4 ). З найдем о сп іл ь н и й р о з в ’ я з о к : р Є ( - 2 ; 4 ). В і д п о в і д ь : я к щ о р Є ( - 2 ; 4 ), т о н е р ів н іс т ь в ір н а д л я х Є R .

1491. а)

(д: - 1)х* + (а - 2)д: + а + 1 < 0 ;

а - 1 < 0;

а < 1;

D < 0;

і) “ (а - 2)2 - 4(а^ - 1 ) = а* - 4 о + 4 Зв* + 4 а - 8 > 0 ; За* + 4 а - 8 = 0 ; ............................ - 4 + 2^28 ß - 1 6 + 9 6 = 1 1 2 ; а, = — 6

- 4 + 4^l^

“

В ідповідь: я к щ о а є

“

- 2 + 2>/7 '

~ -

- 2 - 2^7 .

- 2 - 2 n/7 '

6) (а + 1 )д:2 - 2 (а - 1 )х + 3 (а - 1) > 0 ;

о* +

■ -

- 2 - 2 л /7 '

а є

•D “

- 4а^ + 4 = -З а ^ - 4 а + 8 < 0 ;

4 (а а -

1)2 - 12(а* - 1 ) =

2>0;а2 + а - 2= 0;Х>-1

- 2 ; а Є (1 ; +а>). в і д п о в і д ь : я к щ о а Є (4 ; + < »).

а + 1 > 0;

а > -1;

Х»<0;

D<0;

4a* - 8а + 4 -

12а* + 12 = - 8 0 ^ - 8а + 16 < 0 ;

-1 + 3 + 8 = 9 ; а, = ^ ; а , == 1 ;

а^ =

-1 -3 ^ ;

GDZonline.net 1492. a ) y = \x ^ - 8 \ x \- 7 \iy = a; 1 )x > 0; y = \ x ^ - 8 x - 7|; 2 ) x < 0 ; y - ‘ \x^ + S x - 7); 1) a < 0 — р о з в ’ я з к ів н е м а є;

2) О < a < 7 — 5 р о з в ’ я з к ів ; 3) 7 < a < 23 — 4 р о зв ’я зк и ; 4 ) a > 23 — 2 р о з в ’ я з к и . В і д п о в і д ь : я к щ о О < а < 7 — 5 р о з в ’ я з к ів ; 7 < а < 23 — 4 р озв’язки; а > 2 3 — 2 р о з в ’ я з к и : а < О — р о з в ’ я з к ів н е м а є.

б) У = к + 1| + к - 4| і у = а ; д: + 1 = О, JC = - 1 ; де - 4 = О, JC = 4; 1) X < - 1 ; у =

1 - X + 4-, у = - 2 х + 3;

-X -

2 ) - 1 < X < 4 ; у = X + 1 - X + 4 ; у = 5; 3) X > 4; у = X + 1 + X - 4 ; у = 2 х - 3;

1) а < 5 — р о з в ’ я з к ів н е м а є; 2 ) а = 5 — в ід р із о к [ - 1 ; 4 ]; 3) а > 5 — два р озв’ язк и ; - 2 х + З = а; - 2 х = а - 3; х =

3 -а

3 -а 2 х - З = а ; 2 х = а + 3-, х -

Я к щ о а < 5 — к о р е н ів н е м а є; а = 5 , х Є [ - 1 ; 4 ]; а > 5 , х , = в) +

г/ 2

1) а <

З+ а

|jc + 2| - |х - ЗІ і у = а ; = О, X = - 2 ; д: - З = О, л: = 3;

1) X < - 2 ; у = - X - 2 + X - 3; у = - 5 ; 2) - 2 < X < 3; у = X + 2 + X - 3; у = 2 х 3 ) X > 3 ; у = X + 2 - X + 3 ; у = 5; 2) а

3 -а

- 5 , а > 5 — к о р е н ів н е м а є; Є (- о о ; - 2 ] ; а = 5 ; д:Є [3 ; + оо);

-5 ; X

а + 1 - 5 < а < 5 ; 2 х - 1 = а ; 2 х = а + 1; ї =

о д и н к о р ін ь . В і д п о в і д ь : я к щ о а < - 5 , а > 5 — к о р е н ів н е м а є; я к щ о а = - 5 , х Є (- < » : - 2 ] ;

а = 5 , д: Є [3 ; + «> ); я к щ о - 5 < а < 5 , д; = ° ^ ^ .

г)і/ = Щ

i j / = a ‘* - 4

1) а “ - 4 < 0 ; (а - 2 )(а + 2 ) < 0 ; а Є [ - 2 ; 2 ] — к о р е н ів н е м а є; 2 ) а ‘ - 4 > 0 ; а S (- « > ; - 2 ) U (2 ; + « ) ; 2 к о р е н і; 6

г-7 = а U

-4 ;

а - 4

І І

Ы = -5 — а

-4

6 ї . -----------------а‘ - 4

GDZonline.net [- 2 ; 2] — коренів немає;

ß ld n o e id b -. a Є

а Є (-оо;

-2 ) U (2; + « ) _

= -

а * -4 '

0^-4

- 2 х +т \D ( y ) =Д; і/' = 2д: - 2; у' =

1493. а)

0; 2 * - 2 = 0 ; ж = 1; 1 — т о ч к а м ін ім у м у : J /(l) = 1 - 2 + от = о т - 1 ; 6+nS у ш -\х\ + 2 - 2 т ; i > 0 ; j / = - j c + 2 - 2 m ; у ' = - 1 ; 4+m •Ч X ф у н к ц ія сп а д н а д л я д: > 0 ; 2+m . N ____ < f i 0 ; y = x + 2 - 2 m ; j / ’ = 1 — ф у н к ц ія з р о с т а ю ч а ; ................0 2 4 ^ ^ » О — н а й б іл ь ш е з н а ч е н н я ; j/(0 ) = 2 - 2 m ; д, - 1 = 2 - 2 m ; 3 m = 3 ; m = 1. в і д п о в і д ь : m = 1. •4+m • • 6) V“ - 2m + 1 ; £)(i/) = R ; y ' = - 2 x = 0 ; д; = 0 ; X - 0 — т о ч к а м а к с и м у м у ; y { 0 ) = - 2 m + 1; у - Ix - 2| + |a: - 4| + m ; 1) X < 2; у = - X + 2 - X + 4 + m ; у = - 2 x + 6 + m; = - 2 ; ф у н к ц ія сп ад н а; 2 ) 2 £ * < 4 ; { / = л : - 2 - д : + 4 + т ; у = 2 + т ; у ' = 0 ; н а й м е н ш е з н а ч ен н я ; 3 ) д : > 4 ; і / = д : - 2 + : ї - 4 + т ; і / = 2 т - 6 + т ; у ’ = 2 — ф у н к ц ія з р о с т а ю ч а . - 2 т + 1 = 2 + т ; - З т = 1; m = - і . О

Ш п оеідь:

т = -~ .

1494. кі + ІуІ = 2 |Ы + Ы = 2; М а є єд и н и й р о з в ’ я з о к . | ( я - а ) * + ^ ' = 16. {х - а У + “ 1 6 — к о л о з ц е н т р о м в т о ч ц і (а ; 0 ), р а д іу с о м 4. С истем а м а т и м е є д и н и й р озв’ язок, якщ о кол о доти к ається ( - 2 ; 0 ) і (2 ; 0 ), а ц е м о ж л и в о , я к щ о а = - 6 , о = 6 . В і д п о в і д ь : я к щ о а = - 6 а б о а = 6.

точках

Ы + Ы = 2; в)

** + ( у - а ) ’ = 9 .

* ’ + |і/ - ар = 9 — к о л о з ц е н т р о м в т о ч ц і (0 ; а ) і р а д іу с о м 3. С истем а б у д е м а ти є д и н и й р о з в ’ я з о к , я к щ о к о л о б у д е д о т и к а т и с я в т о ч ц і (0 ; 2 ) або (0 ; - 2 ) , а = - 5 , а = 5. В і д п о в і д ь : я к щ о а = - б , а = 5, с и с т е м а м а є є д и н и й р о з в ’ я з о к . Ы + Ы = 2: х^ + у ‘ = а ‘

х‘

— к о л о з ц е н т р о м в т о ч ц і (0 ; 0 ) і р а д іу с о м а . С истем а м ає ч о т и р и р о з в ’ я з к и , я к щ о к о л о д о т и к а є т ь с я в е р ш и н ч о т и р и к у т н и к а + у^ =

* т о ч к а х ( - 2 ; 0 ), (2 ; 0 ), (0 ; 2 ), (0 ; - 2 ) , п р и ц ь о м у а = 2 . А б о к о л о д о т и к а є т ь с я д о стор ін к в а д р а т а , п р и ц ь о м у В і д п о в і д ь : я к щ о а = 2 а б о а = \І2.

UI + |і/| = 2; М а є п ’ я т ь р о з в ’ я з к ів . у = х ‘ + а.

Я к щ о а = - 2 , с и с т е м а м а є п ’ я т ь р о з в ’ я з к ів . в і д п о в і д ь : а = - 2 , с и с т е м а м а є п ’ я т ь р о з в ’ я з к ів . 2 б Усі ГДЗ, И кл .

КН.2

GDZonline.net у = x + p-,

у - x = p;

1495.

x^ + y^ = 1.

+ y^ = 1 ;

у = X + p — п р я м а : x^ + y^ = 1 — к о л о з ц е н т р о м в т о ч ц і (0 ; 0 ), р а д іу с о м 1. 1) р = 1 а б о р = - 1 , с и с т е м а м а є два р о з в ’ я з к и ; 2 ) р — О, с и с т е м а м а є д в а р о з в ’ я з к и ;

3 ) р > 1 а б о р < - 1 , с и с т е м а р о з в ’ я з к ів н е м а є. В і д п о в і д ь : я к щ о р = 1. с и с т е м а м а є два р о з в ’ я з к и : ( - 1 ;

0 ) , ( 0 ; 1).

1496. - l o g , ( 2 х< 5; X - а

<0;

х - а >

-2 ;

- U - а|) = lo g „ ,(5 - хУ, О Д З:

5 - л: > 0;

х<Ь -,

2 - Ід: - оі > 0;

\х - о| < 2;

х< 5-.

х-а>0; х - а

X < 5;

х<Ь\

х> а ;

X <а;

X < а + 2\

х > а -2 ;

- l o g j ( 2 - \ х - а|) = - l o g j ( 5 - х ) ; 2 - \х - а\ = Ъ - а ; х -а > 0 ;

X - а <0;

2 - х + а = 5 -х ;

2 + х - а

3 + 0

X < а;

= 5 -х ;

3+ а

2 х = 3 + а;

< а , З + а - 2 а < 0 ; - а < - 3 ; а > 3;

| о •л: = 5 - 2 - а; х> а -.

х> а ;

X - о > 0; 0 •JC = 3 - о ;

0 = 0;

— к о р е н ів н е м а є;

0 д: = 3

0 = 0;

— б е з л іч к о р е н ів .

О ж= О

В і д п о в і д ь : З < х < 5 ; а = S, б е з л іч к о р е н ів ; З < а < 5, х =

1497.

(а - 1 ) log|(A: - 2 ) - 2 (а + 1) lo g , ( д : - 2 ) + а - 3 = 0;

ОДЗ: х - 2 > 1)

З+ а

0 , х > 2 ; lo g jt x - 2 ) = <; (а - 1)(2 - 2 (а + 1)4 + а - З = 0 ;

й - 1 = 0 ; а = 1; - 4 f + 1 - З = 0; - 4 ( = 2; t = - і ; А

lo g 3 (* -2 ) = - | ;

( ; с - 2 ) = 3 2;

х - 2

= ^ -.

2) а - 1 5« 0 ; (а - X)f^ - 2 (а + 1)< + а - З = 0 ; 0 = 4 (0 + 1)2 - 4 (0 - 1 )(о - 3 ) = 40^ + 8 о + 4 - 4а^ - 1 6 о - 12 = - 8 о - 8 ; а) Z) = 0 ; - 8 о - ' 8 = 0 ; - 8 о = 8 ; о = - 1 ; t =

2(0 + 1 )

2 (0 -1 )

; lo g з (д :- 2 ) =

0+1 ; л: = 3 “ -‘ + 2; 0 -1

<2;

GDZonline.net б)

D > 0; -8 а - 8 > 0; -8 а > -8 ; а < - 1 ;

« .=

(а + 1) + y / 2 s l - a - 1 ^ Т і =

*j = з

2 (д + 1) + 2V 2 V —o~—~Т = --------------^^ ■— — і ;

(о + 1) - V i V - a - 1 ^ГГЇ = ^>-3

+2;

+ 2;

„ ) Z) < 0 ; - 8 а - 8 < 0 ; - 8 а < 8 ; а > - 1 ; к о р е н ів н ем ає. 1 + 2 >/з ^1°*» В і д п о в і д ь : я к щ о а = 1, х = — щ — ; а ^ І , а = - 1 , а: = З “ '* + 2 ; а < - 1 ,

= З

*2 = З

;

; а > - 1 , к о р е н ів н ем ає.

1498.

+(5 -

2 а ) •42

+а +1 =0 ;

О Д З:

4‘ + (5 - 2 а ) •(2^)2 + а + 1 = 0 ; 2 ^ + (5 - 2 а ) І* + (5 - 2 a )t + а + 1 = 0 ; 1) 5 - 2 а = 0 ; 2 а = 5 ; а = 2 ,5 ; 2) 5 - 2 а О, а ?! 2 ,5 ; + (5 у + (5 - 2 a )t + а + 1.

+ 3 ,5

• 2* + а + 1 = 0 ; 2* = t, О

0 ; к о р е н ів н е м а є; 0;

2a)t + а + 1 -

(5 - 2 a f - 4 (а + 1) > 0;

г/(-і) > 0: Я кщ о

Є ( - 1 ; 2 ), т о в ір н а с и с т е м а н е р ів н о с т е й

у ( 2 ) > О;

<2; 4 а ' - 2 4 а + 21 > 0;

4 а ' - 2 4 а + 21 > 0;

1 - 5 + 2а + о + 1 > 0 ;

За - 3 > 0;

а > 1;

4 + 10 - 4 а + а + 1 > 0;

- З а + 15 > 0;

а < 5;

-5 + 2а^

2а > 3 ;

З а > —; 2

2а < 9;

а < 4 ,5 ;

-® + 2“ < 2 ; 2

6 + ч/Ї5 ^ 6 - n/ i 5 а > -------------- аб о а < --------------- ; 2 2 р о з в я з к ів н е м а є.

1 < а < 5; З 2<а<4,5;

В і д п о в і д ь : к о р е н і р ів н я н н я не н а л е ж а ть п р о м іж к у ( - 1 ; 2 ).

1500. cos' ^ - s in ' ^ ^

cos' ^

В емає; 26*

= 1;

-s in ' ^

—

cos а х )

4 . (.ц д

дд. =

2; cos а х

3 ; к о р е н ів

GDZonline.net 1

1 + c o s jc = 2; 2 ) cos*

= 1;

s in * —

co s д: = 1;

„ = ЛЛ, n є Z ;

—

= 2n m , m є Z; 2яп

JC = --- , Л є Z.

a x = 2 к п , П є Z;

1501. 3

= 0;

^ ;

cos* 4 x - (3 a + 2 ) c o s 4л: + 2a = 0 ;

c o s 4 x = f, - 1 < < < 1; у = 3t* - (3 a + 2)t + 2 a = 0 ; Зл За+ 2 — ^ 8 6

7л

( Зо + 2)* - 1 2 а > 0 ;

ГЗл^

r o Г0 CO

Г7л^

П їі;

9л-8

Зл

^ 8 ’

За+ 2

7л

7л-4

>0;

9л- 8

>0;

7n-4

■< a < — - — ; a

’

^12’

2а > 0;

9a* + 1 2 a + 4 - 1 2 a >

За + 2

a > 0;

За + 2

„ „ + 2а > 0;

a > —

;

0 ; 9a* + 4 > 0 , a Є Д; _ „

Є n ; сп іл ь н и й р о зв я з о к

9л-8 7л - 4 — гг:— < а < -

T a .5 'c

З а + 2 + ^Эа* + 4 3f* - (З а + 2 )( + 2 а = 0 ; Z) = 9а* + 4 ; t, = ------------:

За + 2 - ^Эа* + 4 = --------------;

- 6 < За + 2 + 7 э а * + 4 ^ 6; (1)

_ 1 < За + 2 - У эа* + 4 ^

- 6 5 За + 2 - >/9а* + 4 < 6; (2)

LQ 1)

2 + За + V9a* + 4 > - 6 ;

2 + За + л/Эа* + 4 < 6;

< 9л - 8 \/9а* + 4 S 4 + За; 9а* + 4 < 16 + 2 4 а + 9 а * ;- 2 4 а < 12 ;

7л - 4

< а < -----------;

а > -1 ; 9л- 8

7л-4

’

-\ /9 а * + 4 > - 6 - За - 2;

V 9a* + 4 ^ 8 - За; 8 - За > 0 ; - З а > - 8 ; а < - : 3

4 ^ 8 - < а < —; 3 3 - V 9 a * + 4 < 6 - З а - 2;

2 4 а > 12;

\/9 а* + 4 > З а - 4;

З а - 4 > 0; 9а* + 4 > 9 а* - 2 4 а + 16;

GDZonline.net т 9л- 8

7ж < а < — ;

12 О я -8 , 16. 'Т Г ' 12’

За + 2 + г /э о “ + 4 t, = ---------------; 6

. За + 2 + \Уэа^ + 4 c o s 4д: --------------------------------;

7а + 2 + УЭа^ + 4 6 За + 2 — >/9а^ + 4 cos 4 х = ---------------------6

■

За + 2 + >/Эа^ + 4 _ a r c c o s ------+ 2гея, п є Z; 6

;4 х = ±

,1 За + 2 + \/9а‘ + 4 icn _ г = ± — a r c c o s ------------------------------ + — , п є Z ; 4 6 2 1 За + 2 - л/Эа“' + 4 * = ± — a r c c o s --------------^

Я кщ о а -

_ , п є Z.

0 : З cos^ 4д: - 2 c o s 4 х = 0 ; c o s 4jc(3

cos

4д: - 2 ) = 0 ;

" r, я Ttre „ 4л: = 0 ; 4 j: = - + лл, л є Z ; д; = - + — , л є Z; z 8 4 „

cos

ял

або З c o s 4д: - 2 = 0 ; co s4 ^ : = ^ ; О

(З п

Зп

Зя

5я

л є Z;

12 . 7я

. 8 ’ 1 2 J’

_ ,

в і д п о в і д ь : я к щ о а = О, ^

За + 2 + \І9а^ + 4

X = ± — a r c c o s -------------

7п~ ’

('З я

. ' - 2 = " = І " 2 = У ^

7я'1

"-^ = " = 8 П =Т " л

x = ± ia r c c o s | +

лл

5л 7я -> — ; 8 12’

16я

7я 12’

.7л

9я - 8 п р и л = 1 , од и н к о р ін ь ; я к щ о — — —

6 '

ял _ + — , л є Z; 2

_ ,1 За + 2 - УІ9а^ + 4 , я л _ _ , ЖS ± — a r c c o s ------------------------------ + —- , л є Z . 4 6 2

1502. т * + 2 т - sin^ jc - 2m c o s д: = 2 ; + 2/л - 1+ cos* ж- 2m c o s д: - 2 = 0 ; cos* X - 2 m c o s x + (m * + 2 m - 3 ) = 0 ; 1) m = 0 , cos* д; - 3 — 0 ; cos* д: = 3 ; к о р е н ів н е м а є; 2 ) m ^ О, D < 0 ; D 4m * - 4(m * + 2m - 3 ) < 0 ; - 8 m + 12 < 0 ; - 8 m < - 1 2 ; m > 3 . В і д п о в і д ь : я к щ о m = О, m > З р ів н я н н я к о р е н ів н ем ає. 1503. 2*-* + 2 * >р ; і 2' +^ >р ; 2'= t, t >О; t

f l - 4pt

+ 4 > 0; у =

- 4pt + 4.

+у > р ; *^ 4 ^'"

GDZonline.net

П ри к о е ф іц іє н т 1 > о, т о б т о - Ap t + А > О, я к щ о D < 0 ; D = I 6 p ‘ - 16 <0; - 1 < 0 ; (p - l ) ( p + 1) < 0 : p Є ( - 1 ; 1). В і д п о в і д ь : я к щ о p = О. 1 5 0 4 . A cos^ д: - 4a sin X < 10 - a ; 4(1 - sin^ д:) - 4 a sin x - 1 0 + a < 0 ; - 4 sin^ д: - 4a sin jc - 6 + a < 0 ; 4 s in “ i + 4 a sin д: + 6 - a > 0 ; 1) a = 0 ; 4 s in “ x + 6 - 0 > 0 ; 4 s in “ jc + 6 > 0 ; д: Є Д; 2 ) a * 0 ; A s in “ jc + 4 a sin x + 6 - a > 0 ; y = A s in “ x + 4 a sin де + 6 - a ; s in x -1

< < < 1;

+ 2nn <

< — + 2 n n , n є Z;

I/ = 4 t “ + 4 a f + 6 - a : 1/ > 0 ; £ » < 0 ; D = 1 6 a “ 16a“ + 16a - 96 < 0; a “ + a - 6 < 0; a = - 3 ; В і д п о в і д ь : я к щ о a = 0.

1505.

l g (j/+ 4) = Ig x ; a - у = 0 , 5 ( x + a )“ ;

a - i / = -(j/ + 4 + a f;

- 1 6 (6 - a ) < 0 ; 1 6 a “ - 9 6 + 16a a - 2 ; a Є ( - 3 ; 2).

= у + A;

a - У = ^(.x + a f ;

у > -A',

ОДЗ.

x> 0;

2 a - 2i/ = y “ + 8i/ + 16 + 2 a y + 8 a + a “ ; j/“ + y { 8

+ 2a

+ (a “ + 8 a

+ 16 - 2 a ) = 0 ; i/“ + j^(10 + 2 a ) + (a “ + 6 a + 1 6 ) = 0 ; 1) 10 + 2 a = 0 ; a = - 5 ; y “ + 2 5 - 3 0 + 16 = 0 ; i/“ = - 1 1 ; к о р е н ів н ем а є; 2 ) a ^ - 5 ; i/“ + y ( 1 0 + 2 a ) + (a “ + 6 a + 1 6 ) = 0 ; D = (1 0 + 2 a )“ - 4 (a “ + 6 a + 1 6 ) > 0 ; Z) = 1 0 0 + 4 0 a + 4 a “ - 4 a “ - 2 4 a - 6 4 > 0 ; £> = 1 6 a + 3 6 > 0 ; 36 16o > -3 6 ; a ^ - — ; 16

9 a > - - ; 4

- ( 1 0 + 2 a ) + 2 V4Ö T 9

У і = -----------------

= - 1 + a + ->/4a + 9 ;

;

, n --------j/, = - ( 5 + a ) + V 4 a + 9 ;

^ i/j = - ( 5 + a ) - V 4 a + 9 ;

Xj = - 1 + a - - j A a + 9 ;

Xj = - 1 + a + уІ4а + 9;

Xj = - a - 1 - >/4a + 9 ;

I/, = - ( 5 + a ) + V 4 a + 9 ;

У2 = - ( 5 + a ) + уІ4а + 9 .

В р а х о в у ю ч и ОДЗ м а єм о :

- а - 1 + уІАа + 9 > 0;

- а - 1 - \ІАа + 9 > 0 ;

- 5 - а + уІАа + 9 > - 4 ;

- 5 - а - •jAa + 9 > - 4 ;

V 4 a + 9 > а + 1;

- у І А а + 9 > а + 1;

уІАа + 9 > 1 + а;

—j A a + 9 > 1 +

а;

V 4 a + 9 < - а - 1; ■jAa + 9 < - 1 -

а;

а .-і; 4 В ідповідь: я к щ о а > - — ,

{ - а - 1 + - j A a + 9 ; - (5 + а ) + - j A a + 9 );

( - а - 1 - - j A a + 9 ; - (5 + а ) - - j A a + 9 ). 1506.

- “ І + Ь + аІ = — агсзіп(д: + 1); Я

- 1 < д: + 1 < 1; Ід: - а і + Ід: + а і = — a r c s i n ( x + 1 );

2) +

т.

GDZonline.net

-2ix<

\ х - а \ + \х + а\ = — a r c s in (x + 1 );

1 ) JC = - 2 ; 1-2 - a| + 1 -2 + al = — a r c s i n ( - l ) ; |-2 - a| + |-2 + o| = - 2 ; р о зв ’ я зк ів немае; 2) * ■= 0 ; |-a| + |a| = 2 ; a > 0 ; a = 1 ; a = - 1 ; - a + a = 2 ; 0 ■ a = 2 ; р о з в ’ я з к у н ем а є; e < 0 ; a - a = 2 ; 0 • a = 2 ; р о з в ’ я з к у н ем ае; 3) a ■= 0 ; 2 Ы = — a r c s in (j: + 1); x > 0 ; р о з в ’ я з к у н е м а є; jc < 0 ; - 2 x = — a r c s in (x + 1);

arcsin(jc + 1) = —

2nx

arcsi n( j c + 1) =

, . П2 x + l = -s m — .

ЛХ

В і д п о в і д ь : я к щ о a = О, ж Є ( - 2 ; 0 ) є д и н и й р о з в ’ я з о к ; я к щ о а = 1, д: = О, а = - 1 , х ~ 0 .

1507. (а*

- 2 а )(а " - 7 а ) = ба^, а > 0 ;

7 а ■ а ' - 2 а ■ а ” + 14а^ - 6а^ = 0 ;

- а '( 7 а + 2 а ) + 8а^ = 0 ; а** - а ' ■ 9 а - 8а^ = 0 ; а ' -

і , t > 0 ; і* - 9 a t + 8а^ - 0 ;

X) > 0 ; В = 81 а* - 3 2 а ' = 4 9 а ^ 9а + 7а t, = ----- ^----- ; tj = 8 а ; X = log^ 8 а ; х = log^ 8 + 1; log_, 8 + 1< 0 ; lo g , 8 < - 1 ; а '" = 8 ; ^ = 8;

“ =

9а - 7а ° tj = — ^----- ; t^ = а-, а^ = а ;

X =

В ідповідь: якщ о О < а < і ,

х =

log^

а; х =1

lo g

8 + 1<

не з а д о в о л ь н я є у м о в і. 0.

1508. ОДЗ:

(X - 3 )(х + 1) + 3 (х -

х + 1 х -3

= (а - 1)(а + 2);

5 0 ; X Є ( - » ; - 1 ] и (3 ; + о о );

(X - 3 )(х + 1) + 3 ^ ( х - 3 )(х + 1 ) = (а - 1)(а + 2); - 3 )(х + 1 ) = (,

t > 0;

+ З / - (а* + а - 2 ) = 0 ;

0 = 9 + Ц а ‘ + а - 2 ) = 4о^ + 4 а + 1 > 0;

1 1 ) £) = 0 ; “ = " 2 ’

З ~ ~2 ’

—

з к о р е н ів н е м а є;

- З + І2а + її 2 ) D > 0; 4а^ + 4 а + 1 > 0; ( 2а + 1)" > О, а Є Д; f, = -------------2а + 1 2 0; ^ - З + 2а + 1 *. = :

2а-2 1' "

V (* - 3 )(х + 1) = а - 1 ; X) = 4 - 4 ( - з

U - 1 ; 2 2

“ " - 2 =

“ “

л =а-1;

а - 1 > 0;

2’

а > —

- З - І2а + її ;<2= --------т---------;

’

х=^ - 2 х - З - (а - 1)2 = 0 ;

- (а + 1)2) = 4 + 12 + 4а2 - 8 а + 4 = 4а2 - 8 а + 2 0 ;

а) 4а^ - 8а + 20 < 0;

к о р е н ів н е м а є ;

б ) 4 а “ - 8 а + 2 0 = 0 ; а* - 2 а + 5 = 0 ; а Є Я ; а Є (1 ; + » ) ;

х,

= - = 1; 2 +

в)

а*

а Є { І ; + 00);

а > 1;

2а

Я;

(1 ;

+ «= );

'J4a‘

- 8 а + 20

GDZonline.net 2 - V4a' - 8a + 20

: л:, = 1 + -s/a* - 2 a + 5;

В і д п о в і д ь : я к щ о х = 1, а Є (1 ; + » ) ;

= 1 - \la^ - 2a + 5.

х , = 1 + Va^ - 2а + 5 ;

1 5 0 9 . 1о8з(9' + 96’ ) = х ; О Д З : 9 ' + 9Ь» > 0 ; х Є R ; т З ' = 9* + 9fc^: + З ' - 9 6 ’ - 0 ; 3 ^ - З ' + 96’ = О; З ' = і, О

х , = 1 - -Ja^ - 2 а + 5.

> 0; Ь > 0;

- f + 9 6 ’ = 0 ; ß = 1 - 3 6 6 ’ > 0 ; 3 6 6 ’ < 1; 6’ < — ; 36

, 1 + Л І 1 - 366’ , 1 - л/і - 3 6 6 ’ «. = ----------- ^------------: « 2 = ------------ 2

1->Я ^^^366^

„

----------- > 0 ;

6 < #/— ; \36

г—

„

l-V l-3 6 6 ’ >0;

- V l - 366’ > -1 ; V l - 3 6 6 ’ < 1 ; -3 6 6 ’ < 0 ; 6 > 0 ; О < 6 <

; З'^ =

- 36^ ^ 2

V3 6 P ro ro CQ (U

= І0Єз

’

- 366’ ' „ 3

1 - V l - 366’ = ---------:

1-ч/і-366®'

X, = l o g .

ro s I T

Ё: .5 с

о з

В і ^ л о в 0 ь :я к щ о 0 < d < |/— , т о x . = lo g , V3 6

1510.

1 + V l - 366’ '

, Xj = lo g ,

- 366’

Ig^ cos д: + 21g cos д: - (a^ + а - 3)= 0; ОДЗ: cos д: > 0; - ^ < x <

lg cos д: = t;

+ 2t - {a^ + а - 3 ) = 0;

„ . . *

- 0

„ - 3

, « , . ^

.. = ^

t(t + 2) = 0; ( = 0; і = - 2 ; l g c o s jc = 0; c o s X = 1-, X = 0 ; lg cos X = - 2 ;

cosx = Y ^ ;

x = ± a r c c o s + 2лп , n є Z ;

2) a^ + а - 3 # 0 ; + 2 t - (a ““ + а - 3 ) = + 12 = -4 a ^ - 4 a + 1 6 ; - 4 a * - 4 a + 16 D = l1 + ]16 = 1 7 ; a, = a* + оo - 44 = 0 ; ; D -l-^ /^ 7

<1 = — ^

cosx = ^

і г

;

- 3 ) = 4 - 4a^ - 4 o + - 16 < 0 ; a* + а - 4 < 0;

a, =

-1 + J v r'

= -1 +

■I 0 y j - ( a ‘ + а - 4 ) > 1; к о р е н ів

= — — —

;

0 ; ß = 4 - 4(a^ + а > 0 ; 4a* + 4 a

10 10V-(a* + a - 4 )

(, = - 1 -

+ 0-4);

lg c o s X = - 1 +

+ а - 4 );

lg c o s X = - 1 -

+ а - 4 );

н е м а є;

+ 0 -4 );

; X = ± arccos 10* + yj-(a^ + а - 4)

GDZonline.net відповідь-, якщо а =

-і±>Яз

- 1 + л/Ї7

1511.

+ 2лл, n e Z ; якщо

х = ± a r c co s

1 0 ' + V - ( a ' + а - 4)

р sin^ ж + 2(р + 1) s in д: = 1

- 0 : 2 sin а: = 1; s in і = і ;

JC= ±arccos —

, х~0,

;

х = ^ є

В і д п о в і д ь : я к щ о р = О, х = — .

1512.

- sin X = a (s in X - 1); ■

X < ( - 1 ) " a rcsin

о* - sin X > 0;

s in x < а ;

a ( s i n x - 1) > 0;

sin X > 1;

+ к п , п е Z;

я *= 2 = Vo* - 1 = a 0 ;

V a'' - 1 = 0 ;

- 1 - 0;

= 1; a = ± 1 ;

1 ) 0 - = 1: x < ( - l ) " | + | / i , n e Z :

Л 0: x < - ;

. JC r e - 1: x < - ;

- 1 : X < (-1 )"** -^ + ЛП, n є Z; а) a — 1: V l - s i n x = s i n x - 1 ; sin x (s in

1 - s in x = sin^ x - 2

sin x + 1; sin^ x

- 1) = 0 ; sin x = 0 , x -= л л , n Є Z або sin x - l

= 0, ^ ~

- sin x = 0 ; 2nn,

n є Z;

б) о = - 1 : 1 - s in X = (1 - s in x f ; 1 - s in x = 1 - 2 sin x + sin* x ; sin^ x - sin x - 0 . В ідповідь: якщ о a = ± 1 , x = лп , n Є Z , ^

+ 2я л , л є Z.

1515. о* - 2 • 4 '"‘ - о • 2 '"‘ > 0; o^ - 8 • 4^ - 2a • 2' > 0; o* - 8 • 2^^ - 2a • 2* > 0; - 8 • 2*' - 2a • 2 ' + a* > 0; 2* - t; - 8 t ^ - 2 a t + a ‘ > 0 ; 8t^ + 2 a t - a* > 0 ; » - 8t* + 2 a t - a^; St^ + 2 a t = 0 ; D = 4o^ + 32o^ = 36a*; 1)

D = 0 ; 36a* = 0 ; a = 0 ; =

ß > 0 ; 36a* > 0 ; a Є R ;

о > 0: «. =

-8 a о < 0 : tj = 16

a > 0: t <

- 2 a + 6a

= ^2 = ” f : 8 ’

-8 a

‘* - 1 ?

16 t > 4

4’

a 2 ’

к о р е н ів н ем а є;

GDZonline.net б)

а < 0: t < - \ 4

а) 2 ' > ^ ; а > 0; х > log, о - log, 4; х > log^ а - 2;

б). 2 ' < ^ ; розв’язків немає. 4

Відповідь: якщо а > О, х > log^ а - 2; якщо а = О, коренів немає; якщо а < о,

коренів немає. 1516.

ІЗ' - 7'| + 12 ■ З' > 7'*’ - а ■ V-, — >

1) З ' - - 7 ' > 0 ; З ' - 7 ' + 12 ■ З* > 7 • 7 ' - а • 7 '; З '(1 + 1 2 ) > 7 '( 7 - а + 1);

p m Ш

З' > 8 - “

7 '”

’

а)

^ 8 - а > — ;

ä 0; 8 - а > 0; -а > - 8 ; а < 8;

.>log

8 -0

а ^ 8 ;

L£>

s s

8 -а

ІО

б)

в)

8 -а а = 0; х > log.

8 - а < 0; а > 8; л: є Д;

a 5 Ъ

Відповідь: якщо а < 8, х > log, —rr—; якщо a > S , х Є R; якщо а = О, х j

log,

^ .

^13

о З

ю с; <

1517.

I o g ^ J ; - 2 1 o g 2 J C - 3 < 0 : ОДЗ: д: > 0 ; J /= log^ де - 2 lo g j д: - 3; log^ jc = і;

І/ = - 2 t - 3; - 2t - З = 0 ; t, = З, - 2 < t < 3; l o g j x > - 2 ; l o g j д: > l o g j 2 '^ ^

= -2 ;

l o g j д: < 3 ; l o g j x < l o g j 2“ ; ж < 3; і < ДГ < 3; 4 log* X - (З р - 5 ) l o g j JC - (p + 2) < 0 ; О Д З ; x > 0-, y = lo g * д: - (3 p - 5 ) l o g j x - ( p + 2); lo g j Л = t; у = - (3 p - 5)f - (p + 2 ) < 0; - (3 p - 5)( - (p + 2 ) = 0 ; D = (3 p - 5)* - 4 (p + 2 ) - 9p2 - 30 p + 2 5 - 4p - 8 = 9p* - 3 4 p + 1 7 ; a) Z) = 0 ; 9p^ - 3 4 p + 1 7 = 0 ; X) = 34* - 4 • 17 • 9 = 3 4 • (3 4 - 1 8 ) = 3 4 ■ 1 6 ; I 7 + 2 V3 4

ZA + i S l

P.-

.P i-

. 3p-5 - ‘г о ’ l-^/34. О

17 + 2 ^ 3 4 3 о

, -

1 + л /3 4 . О

1 7 -2 ч /Й

.Pa-

^ “

17 + 2ч/34 - 1 5 2 + 2-Jzl ----------^ с

1 - v ^ 2

11>/34 ^ Ї

GDZonline.net 1-УІ34

log» * ^

; л :> 2 2 ; p =

17 + 2>/34 9

l + S i

i*Vä4 x < 2 2 ;

log, * < --- 2---

1 7 -2 > /3 4

6)X)>0; 17-2 V ^ s :

17 + 2ч/34 5 :

3p-5 + - 3 4 p

f. =-

+ 17

3 p - b - ^ j 9 p ^ - 3 4 p + 17

3 p - 5 - V 9 p ^ - 3 4 p + 17 О *

3 p - 5 + УЭр^ - 3 4 p + 17 О *

Зр-ъ*^Яр’ -Ир*П X > 2

j)/)<

X<2

;

0 ; 1/ < 0 ; t є Д ; д: > 0 . 17 і 2 ^ 3 4 p = ------,

В ідповідь: я к щ о

1 7 -2 > /3 4

1520.

i+Jsi

x > 2

Яр-Ь~уІ9р*~34р*П

П -2 у іЇІ

P >—

P€

17 + 2 > /П

^ ,

д; < 2

^ ; якщ о p <

1 7 -2 л /з 4

3p-5*y]9p*-S4p*n

якщ о

, j c > 0.

(а - 2) ■З ' + З ' = 6: 3 ' ' + а •З ' = а* + 9;

1) а - 2;

З' =6;

З • З* + 12 = 1 3 ; З

З ' = 1; З ' =

З •З" + 2 •З ' = 13; 1 О

* - - 1; 2

3 . = 1 3 ; 3<' = f

1 О

;

y = \ o g ,f;

(а^ - 2 а ) ■З ' + а •З ' = б о ;

2 ) 0 5« 2; _

_ + о ■З ' = а* + 9;

о^ - 6 а + 9 -о=' + 2 о + З ’

(о - 2 )(о - 3) ^

- ( 0 + 1)

„„ „ + 3 * = 6;

в і д п о в і д ь : я к щ о о = 2,

1521.

, 3'(о=“ - 2 а - 3 ) = 6 о - о 2 - 9 ;

(о - 3)^ —

- ( о - 3 )(о

„„ 1 1 а -а ‘ З ' = --------- — : 0 + 1 f

; - 1 < о < 3 ; д: = loga

- а ‘ + 6а - 9 а

-2 а - З

3 - а . о +1 ’

, 1 1 а -а ‘ !/ = l o g , —

0 + 1

. , ІЗ 'І -1 ;1 о Я з — J ; я к щ о о

- 1 < а ’' + о + 1 < 1;

sin(3C - 2 у ) = а ‘ - а + 1;

- 1 < о" - о + 1 < 1;

(2о">-4; •■2 S 2о^ + 2 < 2 ; - 4 < 2о^ < 0 ; < , [2 о “' < 0;

З -а

2 , | ^ l o g , l ogj

sin (jc + 2 у ) = а ‘ + а + 1;

S О — розв’ язків немає.

З '=

о^ > - 2 , а Є й ;

llo-o^

а +1

GDZonline.net 1) a = О;

s in (x + 2 у ) = 1; s i n ( i - 2 у ) - 1;

+ M n + m ), n, m e Z ;

В ідп ов ідь: a = 0,

P fO m Ш 01 LQ

i£

T >4 D. 5

с о З

ІП

L. с: <

см

х + 2 у = ^ + 2пп, п e Z ;

х - 2 у = ^ + 2пт , т e Z ;

4 y = 2 к {п - m ), n, m e Z;

+ л(п + m )

m є Z.

2 х = к + 2п(п + т у . X

- 2 у = ^ + 2кт\

у = ^ { n - m ), n, m e Z.