Les Ondes en physique de pythagore à nos jours de georges Mourier e book 180p -- CLAN9 livre electr

INTRODUCTION Les ondes et les vibrations ont de nos jours envahi tout l’espace dans lequel nous vivons, et il ne s’agit pas seulement de celles qui transportent les programmes de radio, de télévision, les messages de nos téléphones portables ; il s’agit aussi des ondes de diverses natures qui servent aujourd’hui à expliquer le comportement de la matière. Celle-ci, jusqu’ici symbole de la solidité et de la permanence, supposée présente même lorsque nous ne la regardons pas ou ne la sentons pas, se révèle tout autre aux moyens d’investigation puissants dont nous disposons : elle manifeste des propriétés fugaces, difficilement tangibles, dont certaines sont décrites par des ondes.

Or, l’histoire de la physique nous enseigne que les débuts de cette science peuvent être situés il y a environ 2500 ans, avec les premières observations quantitatives sur les oscillations des cordes de la lyre. L’envahissement de notre espace par les ondes ne s’est donc pas produit soudain, mais au cours d’un long travail théorique et expérimental, parfois ponctué de crises.

Intéressé dès mon enfance par les phénomènes élémentaires que je pouvais observer, sensible aux beautés des mathématiques, de la musique, j’ai voulu plus tard me consacrer à des recherches appliquées sur les ondes électromagnétiques, tout en développant mes connaissances en physique fondamentale. C’est ce qui m’a permis d’entrevoir la continuité du développement qui, initié par Pythagore, a tant contribué à la physique et aux techniques modernes, et m’a donné le désir d’écrire les pages qui suivent.

** Suivant la tradition, Pythagore (env. 570-480 av. J.-C.) découvrit que les longueurs de cordes identiques qui émettent des sons consonants sont dans des rapports simples, par exemple de trois à deux pour l’intervalle que nous appelons une quinte. Cette découverte concernait des phénomènes chargés de beaucoup d’émotion. Sans doute a-t-on reconnu là un phénomène de résonance : les émotions musicales sont en effet ressenties comme une sorte de résonance de l’auditeur avec l’instrument ou avec celui qui en joue. Les nombres ne sont pas non plus affectivement neutres ; ils ont toujours semblé chargés de propriétés extraordinaires, voire magiques. Or, Pythagore découvrait par ses observations leur rôle direct dans un phénomène éminemment sensible.

Ces rapports numériques constituent une propriété « moderne » par son caractère général et quantitatif. De ce point de vue, rien de comparable ne devait apparaître avant longtemps dans l’histoire des sciences. On ne trouve rien de pareil chez Aristote. Certes, Archimède (287-212 av. J.-C.) conçut aussi des lois quantitatives : l’égalité de son propre poids et de celui du volume d’eau qu’il déplaçait, les propriétés des leviers. Mais ce furent surtout Galilée

(1564-1642) et Kepler (1571-1630) qui, avec leurs lois sur le mouvement des corps, inaugurèrent l’âge scientifique moderne. À cette époque, l’acoustique connut également un renouveau spectaculaire. Toutefois, les propriétés des oscillations sonores et des ondes qui les transmettent dans l’espace ne constitueraient qu’un chapitre intéressant mais limité de la physique si l’analyse mathématique n’avait révélé au XVIIe siècle leur parenté avec l’hydrodynamique et les déformations des solides. Il se constituera sur cette base une physique théorique qui permit de traiter de nombreux phénomènes peu à peu découverts, en particulier électriques et magnétiques. Elle allait même, après 1860, prédire l’existence des ondes électromagnétiques, et montrer que la lumière est de même nature.

L’optique et l’électromagnétisme réunis constituaient désormais l’un des deux versants de la physique fondamentale, l’autre groupant la mécanique et l’étude des propriétés de la matière. La physique au sens large avait été jusque-là dominée par les propriétés et les mouvements des corps, et en particulier des astres, celle des ondes couvrait dès 1900 un vaste territoire. Mais les efforts pour réunir ces deux versants étaient restés vains.

En outre, alors que les mouvements des corps sont immédiatement perceptibles, et que la nature des ondes sonores fut comprise de bonne heure comme un mouvement de vibration de la matière, la nature des ondes électromagnétiques restait mystérieuse. En particulier, on appelait éther le milieu dans quel elle se propage, mais on n’avait attribué aucune propriété précise à ce milieu.

Au début du XXe siècle, les propriétés de la lumière furent avec la radioactivité l’objet essentiel de la physique fondamentale pendant plusieurs décades. Cette dernière connut plusieurs crises graves, puis de grandes unifications conceptuelles, pour aboutir aux extraordinaires développements théoriques dont chacun entend parler, et aux innovations techniques qui modifièrent peu à peu notre existence.

On sait généralement que la première crise fut résolue par la théorie de la relativité entre 1905 et 1920. Des physiciens cherchaient à déterminer les propriétés de l’éther. Einstein raisonnait différemment et cherchait à se représenter ce qu’il observerait s’il pouvait voyager assis sur un rayon de lumière. Les premiers firent des expériences probantes qu’ils ne pouvaient expliquer. Einstein aboutit, comme chacun sait, à une nouvelle conception de l’espace et du temps. L’électromagnétisme et la physique de la lumière restèrent inchangés, mais la mécanique fut profondément modifiée, quoique d’une manière qui n’apparaît qu’aux très grandes vitesses.

La seconde crise survint à propos des propriétés optiques des atomes et molécules.

Les gaz chauds rayonnent ou absorbent de la lumière de certaines longueurs d’onde caractéristiques des atomes qu’ils contiennent. Loin d’expliquer cette propriété, l’électromagnétisme fournissait des prédictions absurdes. C’est en considérant ces atomes comme les supports d’ondes d’un type inconnu, et de ce fait comparables aux cordes des instruments de musique, que l’on parvint à fournir une explication. Mais il fallut abandonner

un principe qui avait régné sur la physique depuis Galilée : celui de la continuité dans le temps et l’espace. Natura non facit saltus, a dit Leibniz. Ce principe dit que ce qui se présentera à un instant ne peut différer beaucoup de ce qui s’est passé immédiatement auparavant, que ce qui se passe ici ne peut être très différent de ce qui se présente dans le voisinage immédiat. Néanmoins, depuis un demisiècle déjà, les gaz, les fluides et les solides n’étaient plus considérés comme des milieux continus ni uniformes, mais comme des ensembles de petits blocs de plusieurs sortes, tous identiques pour chaque sorte : les atomes et molécules des différentes espèces chimiques. Plus récemment, la lumière également était apparue comme corpusculaire. Mais les mouvements de toutes ces particules étaient toujours considérés comme continus.

L’émission ou l’absorption de lumière fut attribuée à des changements internes soudains et imprévisibles des atomes qui, autrement, restent dans un état de mouvement immuable. Dans la nouvelle physique, l’instant de tels changements ne peut être prévu que statistiquement, et le processus même du changement ne peut être observé pendant qu’il se produit.

Le mouvement des particules, comme les résonances internes des atomes, fut compris comme conditionné par la propagation de certaines ondes d’un type nouveau. Une nouvelle et étrange mécanique fut développée. Elle renonça à une véritable description du monde physique et se limita à prédire des probabilités, mais elle sortit de la crise avec un pouvoir d’explication et de prédiction considérablement accru : elle fut à l’origine de toute l’électronique moderne.

Les notions d’ondes d’oscillation ont joué un rôle fondamental dans cette évolution.

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C’est de cette belle histoire que j’ai voulu tracer les différentes étapes sous plusieurs aspects. Malheureusement, elle échappe généralement au public, parce que le comportement des ondes est beaucoup moins intuitif que celui des objets ou même des substances chimiques, parce que le fonctionnement des appareils électroniques est aussi étrange que leur efficacité est évidente. Dans cet ouvrage, j’ai cherché à présenter les faits de la physique comme un chercheur peut les percevoir. Un traité, une étude historique ou les biographies des plus grands physiciens prennent des volumes. J’ai préféré rassembler, dans la perspective composite qui m’est propre, des développements historiques, biographiques, théoriques, parfois expérimentaux ou techniques qui m’ont paru marquants.

J’ai souvent favorisé un fait ou une personnalité peu connue. plutôt que de m’étendre sur les plus célèbres. C’est pourquoi j’ai réservé une place particulière à Pythagore, qui a joué un si grand rôle dans la civilisation occidentale, et qui est si peu connu malgré le grand nombre de témoignages indirects qui sont parvenus sur lui ainsi que sur ses innombrables disciples.

TABLE DES MATIÈRES

Cette histoire se veut en même temps une introduction à la physique quantique, souvent réputée incompréhensible, mais omniprésente dans les techniques modernes. Beaucoup d’aspects de cette physique si fertile restent obscurs, mais l’étude des ondes est une bonne préparation à son étude.

Je m’adresse à des lecteurs de profils assez différents, plus ou moins versés dans la physique ou les mathématiques. Mon expérience m’ayant montré que l’on est souvent contraint d’écouter ou d’observer sans tout comprendre, j’ai supposé que le lecteur peut accepter éventuellement de faire de même. Nous ne comprenons pas tous les personnages lorsque nous lisons un roman. Le praticien utilise des traités qu’il ne comprend généralement pas entièrement. Le lecteur acceptera peut-être de ne pas savoir utiliser, ni même comprendre chaque formule mathématique présentée ici.

Les passages théoriques sont les plus difficilement accessibles, semblables à des pics ou des cavernes plutôt qu’à des collines ou des replis de terrain. Mais je sais que d’assez nombreux lecteurs seraient frustrés si on ne leur présentait pas au moins la forme que prennent les lois, les théories, ce qui leur permet souvent de trouver une réponse aux questions qu’ils se posent. J’ai cherché à ce que le texte garde un sens si l’on passe les développements mathématiques, de façon que des lecteurs sans formation mathématique puissent y trouver leur intérêt. C’est pourquoi on trouvera des passages, très élémentaires à côté d’autres inaccessibles à d’assez nombreux lecteurs. L’index situé à la fin du livre doit aider le lecteur à comprendre les concepts qui ne lui sont pas familiers J’espère surtout avoir mis en évidence le sentiment sous-jacent et permanent au cours des siècles d’un certain ordre de la nature, et de notre rapport avec elle.

J’espère aussi que le lecteur aura à la fin de cet ouvrage acquis une idée plus proche et moins désincarnée de la science physique, dont les lois sont en constante évolution comme nous-mêmes ; qu’il éprouvera un plus grand sentiment de familiarité avec le monde scientifique et technique ; enfin, que ces pages lui donneront envie d’en savoir plus.

Première Partie.

Chapitre 1.

Chapitre 2.

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Des Grecs au Siècle des Lumières De Pythagore à Newton Les origines Qui-était Pythagore ?

Pythagore et les cordes vibrantes La résonance Naissance de la science moderne L’acoustique La lumière La réfraction de la lumière Le premier « principe de minimum » de la physique La vitesse de la lumière La première conception ondulatoire de la lumière Les débuts de la mécanique Les oscillations, mesure précise du temps

6 6 6 6 9 9 10 10 12 12 12 13 14 15 16

La science newtonienne Newton et la mécanique Remarques sur les mathématiques Le calcul différentiel et intégral Technique de la dérivation L’intégration Généralisations Les ondes et le calcul différentiel Jean Le Rond d’Alembert Regard sur la science après Newton L’équation de d’Alembert Vitesse de propagation des ondes Les opérateurs

16 16 17 17 19 20 20 21 21 21 22 23 23

Chapitre 3.

Opérateurs linéaires, fonctions propres et valeurs propres Une solution de l’équation de d’Alembert par les opérateurs linéaires

23 24

Oscillations et ondes Multiples solutions de l’équation de d’Alembert La propagation Les ondes stationnaires ou oscillations La phase Qu’est-ce qu’une onde simple ?

Extensions de la théorie des cordes vibrantes Les trois dimensions et les symétries Le rayonnement La phase et la distance

25 25 25 26 28 28 29 30 31 31

Chapitre 6.

Deuxième Partie.

Chapitre 4.

Chapitre 5.

La maîtrise de la lumière et de l’électricité Fourier et les phénomènes périodiques Jean-Baptiste Fourier Différents espaces Séries de Fourier dans un espace borné entre 0 et 1 Généralisation aux fonctions périodiques Nouvelle généralisation : intégrales de Fourier L’espace et le temps revus par Fourier Restrictions à la validité de l’analyse de Fourier Importance de l’analyse de Fourier

32 32 32 34 34 34 36 36 37 37

De Thomas Young à Max Planck Lumière, électromagnétisme et physique des ondes Les « interférences » ; l’expérience d’Young Diffraction des pinceaux ou faisceaux lumineux Le son, la lumière et les spectres de fréquences Le spectre du « corps noir » Lumière et Électromagnétisme

38 38 38 41 42 42 43

Électricité, magnétisme, ondes électromagnétiques Prélude à la « théorie de tout » Nouveaux effets électrodynamiques La théorie électromagnétique Une physique complète ?

43 44 44 46 46

Les oscillations et les ondes dans la physique et la technique Généralités La domestication des ondes électromagnétiques Les résonances dans la technique Le bruit Diverses techniques de radioélectricité Modulation et démodulation

47 47 48 49 50 51 51

De diverses ondes Ondes élastiques dans les solides Ondes de surface ; vitesse de phase et vitesse de groupe Non-linéarités dans les ondes Effets de lentille, ondes sismiques Lentilles gravitationnelles Ondes dans les plasmas Les ondes lumineuses La lumière à l’ère quantique : masers et lasers Les hologrammes

52 52 52 53 53 54 54 54 55 55

Troisième Partie.

Chapitre 7.

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L’âge quantique ou le monde décrit par des ondes

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Retour aux particules et au discontinu Propriétés étranges de la lumière des atomes Planck introduit les quanta La mécanique statistique Einstein bombarde la matière avec des quanta de lumière Retour à Pythagore

58 58 58 59 59 60

Chapitre 8.

Chapitre 9.

Les atomes, la quantification et les ondes Niels Bohr quantifie les mouvements des particules La mécanique quantique et la mécanique classique L’École de Copenhague Intervention de Louis de Broglie Les ondes de de Broglie Les ondes de de Broglie existent !

Comment être simultanément onde et particule

61 61 62 64 64 65 65 66

La mécanique quantique Erwin Schrödinger et la mécanique quantique L’équation de Schrödinger Les nombres complexes Séries de Fourier complexes Intégrales de Fourier complexes Les nombres complexes et les oscillations Les nombres complexes et les ondes La mécanique de Werner Heisenberg Le « principe d’incertitude » de Heisenberg Quelques chiffres Dirac et Pauli Particules et antiparticules en cosmologie

66 66 66 67 68 68 69 69 70 70 70 71 72

Chapitre 10. L’état quantique Interprétation de la fonction d’onde Ψ Un problème simple : l’électron réfléchi entre deux parois parallèles Le principe de superposition et la mesure Qu’est-ce que l’état d’un système quantique ?

Les transitions ; le temps quantique Mort naturelle sans vieillissement Incertitude sur la constitution d’un système Le paradoxe du chat de Schrödinger Le paradoxe « EPR » (1935) Le théorème de Bell. L’expérience d’Aspect et la non-localité

73 73 74 75 75 76 77 78 78 79 80

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Chapitre 11. Le monde quantique La réduction de la fonction d’onde La mesure suivant Bohr et la conscience Au-delà du système de mesure Statistiques, hasard, probabilités Épilogue Appendices

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APPENDICE I. APPENDICE II. APPENDICE III. APPENDICE IV.

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Les grands noms de la physique des ondes Sur le calcul différentiel Les gammes et le chant des oiseaux Transitions quantiques

CHAPITRE 1

DE PYTHAGORE À NEWTON LES ORIGINES Qui était Pythagore ?

Pythagore naquit vers 580 av. J.-C. à Samos, au large de l’actuelle Turquie, en Ionie, pépinière de philosophes et penseurs. On a pu dire qu’il fut le fondateur de la philosophie, des mathématiques et de la physique1. Il fonda une école, presque une religion, qui eut de nombreux adeptes pendant des siècles, peut-être jusqu’à notre époque. Platon emprunta beaucoup à cette école. Il est exact que la personne de Pythagore est partiellement légendaire, mais sûr qu’elle est historique.

Pythagore fut, en tant que mathématicien occidental, précédé par Thalès de Milet (env. 635-548 av. J.-C.), également célèbre dans nos écoles pour un théorème géométrique. Partiellement ou totalement phénicien de naissance, Thalès voyagea en Égypte et à Babylone. Il était connu pour ses explications des éclipses et des équinoxes.

Les mathématiques babyloniennes étaient très développées2. Elles comprenaient la résolution des équations du second degré, mais l’art de la démonstration leur était à peu près inconnu. À l’inverse de Pythagore, Thalès était de tendance rationaliste, peut-être athée comme son contemporain Hippon et, dit-on, démocrate. Il fut compté comme le premier des « sept sages ». L’art de la démonstration semble avoir été inconnu à Thalès.

On n’a sur Pythagore que des renseignements indirects, mais leur nombre considérable témoigne de l’immense influence que lui-même et ses disciples exercèrent3.

Ces renseignements sont tardifs et souvent épars, mais nous savons qu’il a existé des témoignages détaillés, dont l’un aujourd’hui disparu, dû à Aristote (384-322 av. J.-C.). Il se peut que les deux premiers livres des Éléments d’Euclide (450-380 av. J.-C.) viennent directement des pythagoriciens. Comme cet ouvrage reste la base de l’enseignement de la géométrie, on aurait encore là à notre époque un contact presque direct avec Pythagore.

PREMIÈRE PARTIE

DES GRECS AU SIÈCLE DES LUMIÈRES

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1. Nous utilisons ici largement une courte mais intéressante étude sur Pythagore dans l’ouvrage de Singh, qui s’est lui-même basé sur Leslie Ralph : Pythagoras, a short account of his life and philosophy, Krikos 1961.

2. Noreddine Mohammed, Histoire des équations algébriques, Diderot multimedia, 1998.

3. Voir Les présocratiques, édition établie par Jean-Paul Dumont, Bibliothèque de la Pléïade, Gallimard, 1988.

Il est sûr que Pythagore étudia les sciences des Égyptiens et des Babyloniens, que les Grecs tenaient en haute estime. Il est à peu près sûr qu’il a visité l’Égypte, probablement Babylone et même l’Inde.

Grands marins, les Grecs vivaient au contact de peuples très divers. Leur écriture est d’origine sémitique ; ils furent soumis à de très fortes influences asiatiques, dont certaines sont pour nous de nature « mystique », alors qu’ils sont pour nous les pères de la rationalité.

Le mythe d’Orphée, qui charmait les animaux et même les puissances infernales par sa lyre, est un exemple de la sensibilité grecque d’alors : le charme agissait parce que la musique a un pouvoir universel.

Après ses longs voyages, Pythagore revint à Samos, tombée entre temps sous la coupe du tyran Polycrate, qui chercha à s’attacher le savant philosophe. Son dessein était probablement de le neutraliser, car il avait des idées définies sur le gouvernement de la cité. Pythagore se réfugia dans une caverne de l’île, et eut d’abord un seul disciple, apparemment nommé aussi Pythagore, et que, initialement il payait lui même. Le disciple devint fort brillant et, lorsque le maître jugea l’instruction terminée, le disciple demanda à ce qu’elle soit prolongée à ses frais. Le maître voulut former une école, mais ses vues sur l’organisation de la société le firent chasser.

Il se fixa à Crotone dans le sud de l’Italie, alors colonie grecque fertile en blé et également féconde en penseurs. Il y trouva la protection du richissime athlète Milon. La réputation de Pythagore dans le monde grec était déjà grande, mais celle de Milon la dépassait encore : il avait été douze fois champion des jeux olympiques et pythiques ; de plus, il s’adonnait à la philosophie et aux mathématiques.

Pythagore put alors établir une école, sorte de fraternité pythagoricienne, qui compta, si l’on peut croire les chiffres, jusqu’à six cents membres adonnés à la réflexion et aux mathématiques. Non contente de trouver des procédés de calcul, la nouvelle école établissait des démonstrations, nouveauté qui deviendra l’une des caractéristiques de notre civilisation. La découverte était que, ayant posé au préalable quelques définitions, postulats ou axiomes, on peut en déduire de façon rigoureuse un grand nombre de vérités ou théorèmes. C’est en ce sens que Pythagore peut être considéré comme le fondateur des mathématiques.

Les membres de la communauté devaient lui faire don de toutes leurs possessions, comme dans beaucoup de sectes, mais, s’ils la quittaient, on leur rendait le double de leurs dons. La vie était austère, l’habillement devait être simple. Il y avait un certain nombre d’interdits. La fraternité comportait quelques sueurs, dont la belle Theano, fille de Milon, que Pythagore épousa. On pratiquait intensément la musique, en particulier la flûte.

La communauté était végétarienne. Certaines de ses prescriptions ont semblé étranges, comme celle de ne pas manger de fèves, parce qu’elles ressemblent à des testicules. Cela illustre la difficulté que nous avons à nous représenter l’esprit de cette époque.

L’éternité de l’âme et la métempsychose étaient parmi les fondements de la doctrine.

La métempsychose était cyclique. La notion de l’âme était sans doute très différente de la nôtre. Elle était considérée comme une harmonie des êtres.

Les pythagoriciens avaient une vénération particulière pour Héraklès, intercesseur auprès d’Apollon, dieu solaire, politique car bienfaiteur de l’humanité (Pythagore veut aider les hommes), astronomique (les douze travaux d’Hercule renvoient aux signes du zodiaque) et musical (Héraklès est le chef des Muses).

Les découvertes de la fraternité devaient, par serment, rester secrètes. Peu après la mort de Pythagore, l’un des membres fut noyé pour avoir révélé à l’extérieur l’existence de l’un des polyèdres réguliers, le dodécaèdre régulier, formé de douze faces pentagonales régulières. En effet, les Pythagoriciens s’intéressèrent beaucoup aux cinq polyèdres réguliers : le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre. Ils furent suivis en cela par Platon.

Ces découvertes restaient en outre anonymes dans la communauté.

La règle du secret et l’anonymat expliquent que nous sachions si peu de chose directement sur Pythagore et son école. Selon une tradition, Pythagore lui-même aurait noyé un disciple qui avait révélé à l’extérieur l’existence des nombres irrationnels.

On croyait à cette époque à une différenciation des fonctions dans la société. Les Pythagoriciens pensaient que les hommes supérieurs se consacraient à l’étude de la vérité. C’est chez eux que naquit le terme « philosophie », amour de la sagesse. Ils se démarquaient aussi bien des politiques que des prêtres, et c’est bien ainsi que Pythagore est le fondateur de la philosophie. Cela ne signifie pas que la communauté était refermée sur elle-même : elle voulait agir sur la cité, ce qui provoqua de violents conflits à Samos, puis à Crotone.

Les découvertes mathématiques furent considérables. Elles concernaient notamment l’arithmétique, et notamment certaines propriétés des nombres auxquelles on attachait volontiers une signification universelle, on dirait volontiers mystique, si le sens de ce mot était bien défini. On s’intéressait par exemple aux diviseurs des nombres, sujet resté actuel, mais les pythagoriciens cultivaient particulièrement les « nombres parfaits », c’est-à-dire ceux qui sont égaux à la somme de leurs diviseurs. Le premier est 6 = 1 + 2 + 3, le second est 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Viennent ensuite 496, puis 8 128, et une suite apparemment infinie.

Les pythagoriciens avaient aussi une sorte de vénération pour le nombre 10 = 1 + 2 + 3 + 4, forme considérée comme créatrice.

Ils firent une découverte majeure pour notre époque, et qui fut très difficilement admise: il existe des nombres qui ne peuvent être représentés par un rapport de deux entiers. Ils comportent donc un nombre infini de décimales. On les appelle irrationnels. Il est facile de démontrer que la racine carrée de 2 (1,41421356237...) est irrationnelle. Une définition rigoureuse de ces nombres n’en fut donnée qu’au IXe siècle. Encore cela ne satisfait-il pas tous les mathématiciens. Il est en pratique impossible d’exécuter des calculs

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comportant un nombre infini d’opérations avec la précision parfaite à laquelle prétendent les mathématiques. On sait depuis le XIXe siècle qu’il y a infiniment plus de nombres irrationnels que de rationnels.

De nos jours, Pythagore est surtout connu pour le très important théorème sur les côtés des triangles rectangles. Si c est la longueur de l’hypoténuse, a et b celles des autres côtés, on a : c2 = a2 + b2. Ce théorème possède des généralisations très puissantes, bases de la théorie des mesures dans l’espace. Cette relation peut aussi être remplie par des nombres entiers, par exemple 3, 4, 5. Il existe une infinité de groupes de trois entiers de ce type.

Ces éléments furent certainement rapportés par Pythagore de ses voyages, mais il leur apporta un perfectionnement considérable : la démonstration, qui est pour nous l’essentiel des mathématiques, par opposition aux techniques de calcul qui peuvent être purement empiriques.

Si a et b sont égaux à 1, c est égal à la racine carrée de 2. Voilà donc une propriété géométrique élémentaire qui introduit un nombre irrationnel, alors que les pythagoriciens croyaient le monde régi par les entiers. Nous verrons qu’ils trouvaient au contraire dans l’acoustique confirmation que la nature est régie par les nombres entiers.

C’est dans ce domaine que Pythagore fut le premier physicien « scientifique », expérimental et quantitatif.

Il fut également astronome. On dit qu’il maintenait que la terre est ronde et tourne autour du soleil, deux mille ans avant Copernic. Sur le deuxième point, l’héliocentrisme, on verra que sa conception était sensiblement différente de celle de Copernic.

Les notions de cette époque étaient encore empreintes de chamanisme, une vue très globale ou « holiste » du monde, et Pythagore apparaît comme un chaînon entre ces notions et la science démonstrative.

Il fut aussi un moraliste. On l’a décrit1 comme un philosophe essentiellement religieux, à tendance mystique, mais aussi comme avant tout politique. Les moralistes et les saints ont souvent des difficultés avec leurs contemporains, et Pythagore en connut à plusieurs reprises. Il n’aimait ni les tyrans ni les démocraties.

Sa vie se termina, d’après certains, dans le trouble et la violence. Le tyran de la ville proche de Sybaris, Telys, attaqua Crotone avec 300 000 hommes pour poursuivre des réfugiés politiques2. Milon défendit Crotone avec 100 000 hommes, fut victorieux (510 av. J.-C.) et détruisit Sybaris. Il l’aurait inondée en détournant le fleuve Crathis. Sur ce, les Crotoniens se disputèrent le butin. Le peuple craignait que les Frères se taillent la part du lion, et peut-être leur maître ou certains adeptes firent-ils des efforts dans ce sens. Cela n’était pas conforme à leur doctrine, qui était de ne pas se mettre du côté des dominants

ni du cöté des dominés, mais d’observer et de comprendre. Peut-être cherchèrent-ils néanmoins à étendre leur influence à la faveur des troubles.

Un certain Cylon, qui autrefois n’avait pas été admis dans la fraternité pour manque de moyens intellectuels, prit la tête d’un soulèvement qui assiégea la maison de Milon et l’école attenante. Il y mit le feu. Milon put s’enfuir, mais Pythagore périt dans l’incendie. Selon une autre version1, Pythagore et ses disciples furent chassés de Crotone par les démocrates en 510 à cause de leurs tendances élitistes. Pythagore se réfugia à Métaponte, dans te golfe de Tarente.

Philolaos de Crotone, pythagoricien qui naquit très probablement après la mort de Pythagore, fut combattu par ses condisciples. On dit aussi que lui et un certain Hipparque furent les seuls qui survécurent à un incendie allumé par Cylon à Métaponte2. Il se réfugia en Lucanie, puis en Grèce à Thèbes, où il fonda une communauté qui n’était pas soumise au secret. Il laissa des écrits signés qui sont en majeure partie perdus mais qui ont dû se répandre assez largement : De la Nature et Les Bacchantes, sorte de cosmographie.

Philolaos fut probablement la principale source de nos connaissances sur le Pythagorisme.

Il eut une grande influence sur Platon et, avec plus de réserves, sur Aristote. Il fut peut-être l’auteur du système pyrocentrique.

Dans sa physique, les quatre éléments étaient associés à quatre des cinq polyèdres réguliers : le cube a produit la terre ; la pyramide, le feu ; l’octaèdre, l’air ; l’icosaèdre, l’eau.

Le dodécaèdre correspondait à la sphère de l’univers.

Voici une des versions de la cosmologie de Philolaos : c’est le feu qui occupe le centre de l’univers. Autour du feu central tournent dix corps divins le ciel et, après lui, la sphère des fixes ; les cinq planètes et le soleil, sous le soleil la lune, sous la lune la terre, et sous la terre l’anti-terre, nécessaire pour qu’il y ait dix corps. Voilà comment on inventa déjà une (grosse) particule par nécessité théorique au VIe siècle av. J.-C. D’après Diogène Laërce, Philolaos périt assassiné car on croyait qu’il aspirait à la tyrannie.

Même si une partie des doctrines pythagoriciennes est le fait de ses disciples, Pythagore fut l’un des plus grands penseurs de l’occident, sinon le plus grand. Le présent ouvrage est en un sens consacré aux prolongements de la pensée pythagoricienne. Celle-ci est plutôt un mode de pensée universel, qu’il a exprimé avec une vigueur particulière, qu’une doctrine personnelle.

En ce qui concerne la physique, les nombres ont été remplacés dans la science moderne par des structures mathématiques plus évoluées, voire par des symétries qui ne sont pas sans rappeler les polyèdres réguliers.

1. Voir Encyclopaedia Universalis.

2. Ces chiffres considérables font douter de l’exactitude du récit de Singh. Il est basé en partie sur Diodore de Sicile, historien du premier siècle av. J.-C.

1. Je ne puis ici non plus me fier entièrement à la version assez détaillée de Singh ou de Leslie Ralph.

J’emprunte au chapitre de Bertrand Russell consacré à Pythagore dans History of the Western Philosophy, 1946. Nombreuses rééditions et traductions.

2. Voir Les Présocratiques, Gallimard.

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Pythagore et les cordes vibrantes Nous en venons maintenant à la physique.

Les Grecs avaient identifié la consonance des intervalles musicaux que nous nommons octave et quinte, ainsi que celle de leurs combinaisons la douzième, la quinzième. Il est certain qu’ils avaient reconnu un phénomène de résonance aussi bien entre les cordes des instruments de musique, qu’entre divers phénomènes naturels et les émotions des hommes. Orphée avait le pouvoir d’agir par sa lyre sur les hommes, les animaux et même sur les puissances de l’Enfer. Les Grecs avaient la notion forte d’un certain ordre dans l’univers, et utilisaient à ce sujet le terme d’« harmonie ». Le terme signifiait primitivement « jointure, assemblage », puis « accord, convention », enfin « juste proportion », conduisant à tous les sens que nous lui donnons aujourd’hui.

Par exemple, si l’on accorde deux cordes à l’unisson, et que l’on veut obtenir sur la seconde un son qui sonne bien avec le premier, il faut modifier sa longueur dans un rapport simple. Si l’on veut obtenir une quinte, il faut réduire la seconde corde de 1/3. Pour un intervalle de quarte, de ut au fa supérieur, ou de sol à ut, il faut que les longueurs soient dans le rapport 4/3. La corde la plus longue donne le son le plus bas.

Les instruments modernes permettent de modifier aisément la longueur active de la corde sans modifier sa tension : les violons, la guitare permettent d’obtenir toutes les notes au-dessus de celle qu’elles donnent à vide, en limitant la longueur utile entre un doigt et le chevalet, la partie située entre le doigt et la cheville n’étant pas excitée. Les rapports ci-dessus permettent de déterminer la place des doigts, que l’instrumentiste sait trouver d’instinct ou à l’aide des sillets sur la guitare.

Les intervalles caractérisés par des rapports inférieurs à 6/5 ne sont pas reconnus comme consonants à notre époque, quoiqu’ils soient très fréquemment utilisés. Nous nous délectons de la tierce, qui fut encore considérée comme dissonante au moyen âge, alors que l’on avait préféré jusque-là l’octave et la quinte, qui nous donnent une impression de vide. Quoi qu’il en soit, les pythagoriciens définirent les gammes musicales par des rapports mathématiques.

En effet, allant plus loin, on définit de nouveaux intervalles par des combinaisons d’intervalles établis. Ainsi, l’intervalle de tierce mineure, qui est de 6/5 suivant les données ci-dessus, est obtenu en retirant une tierce majeure d’une quinte. La loi est qu’il faut traduire les intervalles par des rapports et non pas des différences: (3/2) / (5/4) = 12/ 10 = 6/5 De la même manière, on obtient un ton en soustrayant une quarte d’une quinte, ce qui s’écrit, toujours en rapports: (3/2) / (4/3) = 9/8 Cette magie des nombres et de leur correspondance avec un art aussi puissant émotionnellement que la musique fit une impression d’autant plus profonde qu’elle fut nourrie par le développement prodigieux des mathématiques, des sciences exactes et de leurs applications techniques.

Il faut apprécier la signification des lois pythagoriciennes. On peut se demander si elles concernent de façon fondamentale la structure de l’univers, car les instruments de musique ne se trouvent pas dans la nature. Ils sont fabriqués par l’homme, avec des cordes aussi homogènes que possible. C’est donc notre propre création que nous étudions là, et où

Les philosophes antiques firent partie du monde chrétien jusqu’à la fin du XIIle siècle. En 1277, les évêques de Paris et de Canterbury condamnèrent 216 propositions d’inspiration averroïste ou aristotélicienne défendues par l’Université.

La résonance Dans le sens général, le phénomène de résonance est la réaction particulièrement forte d’un être ou d’un objet à certaines manifestations d’un autre être ou objet. Il a probablement évoqué pour les Grecs les émotions diverses que suscitent certaines musiques ou même certaines combinaisons élémentaires de sons. Il prend un sens très précis pour les phénomènes vibratoires : la vibration d’une corde met en vibration des cordes du voisinage accordées sur certaines notes, de même que la balançoire prend une amplitude très forte si l’on la pousse « en cadence ».

On attribue à Pythagore la découverte que la « juste proportion » est, dans le cas des instruments de musique à cordes, effectivement une proportion numérique simple. La correspondance entre les nombres et les phénomènes naturels était depuis longtemps établie par l’astronomie, mais les nombres impliqués dans cette science ne sont pas simples. Les propriétés des cordes introduisent des entiers simples et suggèrent que l’univers est conforme à une raison mathématique dont l’harmonie musicale est l’expression la plus évidente. C’est ce que, suivant Molière, Monsieur Jourdain apprit de son maître de musique, et c’est la conception platonicienne des êtres géométriques comme « idées », qui est encore fort répandue, notamment chez ceux qui cherchent une expression mathématique unique de toutes les forces de l’univers.

Voyons donc plus en détail quelles sont les observations qui ont servi d’amorce à un courant de pensée si puissant.

Si l’on cherche à obtenir une série de sons consonants avec deux cordes de même nature et de même tension, on trouve qu’il faut leur donner des longueurs dans des rapports simples, par exemple

de 1 à 2 pour l’octave de 2 à 3 pour la quinte de 3 à 4 pour la quarte de 4 à 5 pour la tierce majeure de 5 à 6 pour la tierce mineure.

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nous trouvons des proportions en nombres simples. Nulle part dans la nature, on n’a trouvé de cordes vibrantes, ni d’ailleurs de nombres simples, sans l’intervention de l’homme.

Quinze cailloux trouvés sur la plage ne sont pas le nombre quinze. Les oiseaux, qui sont d’excellents musiciens, n’ont pas découvert par eux mêmes ces intervalles magiques d’octave, quinte, tiercé ; certains lés ont appris dé nous ; la plupart lés ignorent.

Alors que nous croyons déchiffrer l’univers, c’est nous-mêmes que nous regardons dans un miroir.

Mais il né faut pas pousser la modestie trop loin : toute cette démarché est créatrice.

C’est bien là une caractéristique essentielle dé l’homme. Et, après tout, l’homme est créateur parce qu’il est une partie dé la nature, qui est créatrice.

Galilée (1564-1642) fit beaucoup d’observations fondamentales, relatées et discutées dans ses « Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti alla meccanica e i movimenti locali », publiés à Leyde en 1638. Il perçut le son produit par les cordes comme une oscillation comparable à celle du pendule et il introduisit la notion de fréquence : si les sons sont plus ou moins aigus, c’est qu’ils correspondent à des oscillations régulières à différentes fréquences. La fréquence est le nombre d’allers et retours par seconde, par exemple 440 pour le « la » de notre diapason officiel. Elle se compte en « Hertz » ou oscillations par seconde. La fréquence est l’inverse de la période T, durée d’un aller et retour (T = 1/f).

Galilée observa que la fréquence d’un système oscillant ne dépend pas de l’ampleur ou plutôt amplitude de son mouvement. Il est exact qu’elle dépend très peu de l’amplitude tant que celle-ci est petite. Il conclut qu’elle n’en dépend pas du tout, « même pour les grandes amplitudes ». Nous attribuons à tort à Galilée la découverte de l’isochronisme des petites oscillations. Ses mesures de temps étaient très imprécises, et il avait une tendance à la généralisation, ce qui est un des principes de la science : si l’on ne généralisait pas, on ne pourrait jamais rien prévoir.

L’étude des petits mouvements ou perturbations est devenue une des approches principales de la physique théorique, l’approche linéaire. Mais Galilée n’était pas parvenu au point où l’importance de cette démarche pouvait se révéler.

On pourra vérifier les éléments numériques que nous avons donnés sur une guitare ou un violon. Sur une corde de sol, par exemple, on obtiendra la série de notes suivante en faisant résonner successivement la corde, sa moitié, son tiers, etc. : sol sol ré sol si ré L L/2 L/3 L/4 L/5 L/6 On peut aussi bien mesurer la longueur de la corde pour chacune de ces notes, c’est-àdire la distance du doigt ou du sillet au chevalet.

Une expérience équivalente consiste à mesurer la longueur des tuyaux des instruments à vent. Elle ne peut être faite sur une flûte, car il existe un effet de trou qui fausse les longueurs, mais sur les tuyaux d’un orgue, ou sur la note grave de diverses flûtes.

Robert Fludd (1574-1637), alchimiste anglais, entretint une controverse avec Johannes Kepler (1571-1630) au sujet du « monocorde cosmique ». Sur une gravure du temps, l’unique corde de l’instrument, accordée par la main de Dieu, est divisée conformément aux notes de deux octaves. Les intervalles inférieurs correspondent aux quatre éléments traditionnels : terre, eau, air, feu. Puis viennent la Lune, Mercure, Vénus, le Soleil, Mars, Jupiter, Saturne, la voûte des étoiles, et des espaces supérieurs. Les rapports simples des intervalles musicaux sont ceux reconnus par Pythagore, mais la comparaison avec les rapports des orbites des planètes, nécessaire pour obtenir une vue globale de l’Univers, est lointaine. Dans la mesure où les alchimistes cherchent une analogie entre des phénomènes différents grâce à des rapports mathématiques, leur démarche est déjà celle de la science classique.

NAISSANCE DE LA SCIENCE MODERNE L’acoustique L’importance considérable donnée par lés Grecs à la musique fut conservée dans la philosophie et lés religions au moins jusqu’à la Renaissance. On a donc beaucoup dé traités sur la musique. Diverses gammes légèrement différentes furent proposées et utilisées, souvent avec l’idée dé trouver la seule bonne, et par là dé trouver une clé dé la compréhension dé l’univers et dé la placé que l’homme y occupé. En même temps, on cherchait des rapports numériques dans d’autres phénomènes naturels, et lés périodes ou lés orbites dés planètes étaient un champ dé recherches activés. Kepler (1571-1630) tira dés observations astronomiques dé Tycho Brahé (1546-1601) lés trois lois qui portent son nom. Elles sont lés basés sur lesquelles Newton devait établir la loi dé la gravitation et confirmer celle dé la dynamique1. Mais, dans ses ouvragés dé 1609 et 1619, l’importance est donnée aux rapports entré lés orbites qu’il crut avoir trouvés après beaucoup d’efforts et qu’il interpréta comme l’harmonie céleste, la clé dé l’univers.

1. Voir en particulier Jean-Marie Vigoureux, Les pommes de Newton, Diderot Multimedia,1997.

Dans l’ouvrage cité, Galilée décrit de façon correcte comment la fréquence f dépend des caractéristiques de la corde : elle est inversement proportionnelle à sa longueur L et à la racine carrée de sa masse linéique ρ (tant de kilogrammes par mètre de corde, dans nos unités internationales actuelles), et proportionnelle à la racine de sa tension F, qui est une force, exprimée maintenant en Newtons ; cette unité vaut environ (le poids à la surface de la terre d’une masse de) 102 grammes.

Ces règles s’expriment par la formule suivante, à condition d’introduire un coefficient, supposé ici universel, que nous désignerons par a :

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Il utilisa systématiquement la notion de fréquence pour l’analyse de la musique, ce que nous pouvons préciser en reprenant le tableau des longueurs des cordes consonantes déjà donné à propos de Pythagore, en ajoutant cette fois les fréquences: sol sol ré sol si ré L L/2 L/3 L/4 L/5 L/6 f 2f 3f 4f 5f 6f La grandeur f varie selon la corde, conformément à la formule donnée cidessus. La propriété importante est que non seulement ces rapports simples donnent des intervalles consonants, mais aussi que cette série de sons peut être obtenue avec une seule corde : ce sont les sons harmoniques.

Les intervalles successifs sont : octave, quinte, quarte, tierce majeure, tierce mineure.

On passe à l’octave supérieure ou inférieure1 en divisant ou en multipliant la longueur de la corde par 2. L’intervalle d’octave entre deux notes est considéré comme tellement consonant que l’on donne le même nom aux deux notes en question.

Si la note grave ou son fondamental est le sol grave du violon, f vaut 440/(9/8), soit environ 391 par seconde, on dit 391 s-1 ou 391 Hertz. La fréquence est donc caractéristique de la note, dont le nom est indépendant des autres caractéristiques de l’instrument telles que dimension, timbre ou sonorité.

Galilée, bon musicien, considère les intervalles musicaux d’octave et de quinte exclusivement, conformément à la stricte tradition pythagoricienne, alors que la gamme de Zarlino et même la gamme tempérée étaient déjà proposées de son temps.

L’abbé Marin Mersenne (1588-1648), de l’ordre des minimes, était le condisciple et l’ami fidèle, parfois encombrant, de Descartes. Théologien, philosophe, mathématicien, physicien, il était partisan du travail scientifique collectif. Il fut le correspondant scientifique de nombreux savants, dont Hobbes, Gassendi, Fermat, Galilée, Torricelli, Beeckmann. Il fonda l’Academia Parisiensis (1635), moule de la future Académie royale des sciences.

En tant que mathématicien, il attira l’attention sur la courbe dite cycloïde, la célèbre roulette à propos de laquelle Pascal s’illustra. Bon expérimentateur, il étudia la résistance des solides, l’écoulement des fluides, les instruments de musique et effectua en 1636 la première mesure de la vitesse du son grâce à l’effet d’écho.

Le père Marin Mersenne (1588-1648) contribua considérablement à la création de l’acoustique scientifique moderne. Aîné et ami de Descartes (15961650), théologien, mathématicien, il était pratiquement le correspondant du monde scientifique européen, à l’époque où il n’existait guère d’autres publications qu’orales ou épistolaires, et peu de traités. Il accomplit un travail considérable sur les instruments de musique, en particulier l’orgue, leurs principes, leur facture. Il semble qu’il connaissait les lois de la fréquence des cordes avant la publication de Galilée. Il publia en 1636 un important traité Harmonie Universelle. On voit sur le frontispice Orphée et sa lyre écoutée par divers animaux et il est clair que Mersenne se situe partiellement mais consciemment dans la tradition grecque, rattachée à l’orphisme et au pythagorisme. Il est évident qu’il désirait en même temps perfectionner un instrument de glorification de son Dieu.

Calculer les fréquences des uts à partir de la fréquence du la et de l’intervalle de tierce mineure.

Galilée et Mersenne n’avaient pas les moyens théoriques de déterminer le coefficient « a » par le calcul, mais les mesures auraient montré que, exprimé dans notre système d’unités ou dans tout autre système « cohérent », il vaut 1/2. Comme on utilisait des pouces ou des pieds, des livres, bref un système qui n’est pas « cohérent », on ne pouvait pas obtenir une telle valeur simple, indice de quelque processus simple, comme on le verra plus loin.

Avec les tuyaux d’orgue, la relation est plus simple parce qu’ils sont tous remplis du même air, indépendamment de leur diamètre ou même, à peu de choses près, de la position géographique de l’instrument : f vaut environ 170/L pour les « jeux de fond », qui sont de simples flûtes, et 85/L pour les « bourdons », dont une extrémité est fermée. L’ut 1 de 66 Hertz demande un tuyau d’environ 2,55 m. Il est nommé un tuyau de 8 pieds (8’).

Un thème d’inspiration orphique se retrouve jusque dans le frontispice de l’Harmonie universelle (voir illustration de couverture) de Marin Mersenne (1588-1648), l’un des plus remarquables acousticiens de tous les temps. Cet auteur, moine de l’Ordre des Minimes, a cité sous la gravure un extrait du Psaume 70 : « pour te célébrer, mon Dieu, et ta fidélité, sur la cithare, je jouerai pour toi, Saint d’Israël. » (traduction TOB). Le Père Mersenne, condisciple et ami fidèle de Descartes, fut le correspondant scientifique de toute l’Europe avant les fondations de la Royal Society en 1660 et de l’Académie Royale des Sciences en 1666.

Mersenne était un bon expérimentateur. Il fut le premier à déterminer la vitesse du son, ainsi que les fréquences sonores.

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1. Voir l’appendice III

La réfraction de la lumière

Sur un piano, on repérera les touches de la série de notes ci-dessus. On enfoncera doucement celle de la note la plus basse, la fondamentale, de manière à soulever l’étouffoir sans activer le marteau. On attaquera alors successivement les notes supérieures de façon brève. À chaque fois, on entendra le son de la note frappée prolongé par la corde grave : celle-ci est entrée en résonance. On vérifiera que toute autre note frappée n’excite pas de résonance. On pourra aussi constater que, réciproquement, les notes supérieures indiquées sont excitées lorsque l’on attaque la plus grave.

Sur une guitare, il sera facile d’observer à l’oeil les oscillations d’une corde grave lorsque l’on attaque de la même façon l’un de ses harmoniques sur une autre corde.

On voit facilement que la lumière se déplace en ligne droite, avec réfraction sur les surfaces limitant des milieux différents. Un bâton oblique immergé partiellement dans l’eau semble brisé. C’est ce phénomène que traita Descartes (1596-1650) dans sa « Dioptrique » (1637), où l’on trouve la fameuse loi de la réfraction (découverte auparavant par le Hollandais Willebrod Snell (15911626) dès 1621 mais non publiée) : un rayon lumineux change de direction en passant d’un milieu transparent dans un autre, par exemple en pénétrant dans l’eau ou dans le verre, et de même en sortant. Le changement de direction s’effectue suivant une caractéristique de chaque milieu appelée l’indice de réfraction, généralement désigné par n.

Peu de temps auparavant, les instruments d’optique étaient apparus : Hans Lippershey (1570-1619) présenta en 1608 une lunette au parlement de Hollande. Le principe, qui résulte de la combinaison de deux lentilles montées aux extrémités d’un tube, se répandit.

En 1609, Lippershey construisit le premier microscope par une autre combinaison de deux lentilles. La lunette atteignit Venise en 1610 et Galilée en construisit immédiatement une que, le premier, il utilisa pour l’observation astronomique. En quelques heures, il fit quelques découvertes fondamentales : les montagnes sur la lune, deux satellites de Jupiter, les phases de Vénus, la nature de la voie lactée. Il fallait que Galilée soit un expérimentateur et observateur tout à fait exceptionnel. En effet, si ses lunettes atteignaient un grossissement de 30, elles étaient très peu lumineuses, très sensibles aux vibrations, entachées de déformations et d’aberrations chromatiques (irisation au bord des objets) et donnaient des images secondaires par réflexion : une vitre laisse passer la lumière, mais présente aussi un effet de miroir. Ces images secondaires sont faibles, mais elles faisaient dire que les images étaient fabriquées par la lunette. Cette lunette avait comme oculaire une lentille divergente, comme nos jumelles, et n’inversait pas l’image.

Galilée utilisait les lentilles de façon purement empirique, alors que l’astronome et mathématicien allemand Johannes Kepler (1571-1630) décrivit en 1611 le télescope à réfraction, formé de deux lentilles convergentes et donna une théorie de son fonctionnement.

Ces télescopes inversent l’image. C’est grâce à la courbure des surfaces vitreuses que la réfraction peut faire converger différents rayons en un seul point et former une image.

Vers 1650, l’optique appliquée était bien développée et multipliait nos possibilités d’observation, bien que la nature de la lumière elle-même fût ignorée.

Les violonistes utilisent ces propriétés pour obtenir les sons harmoniques, qui appartiennent à la série ci-dessus. Sur chaque harmonique, la corde vibre sur plusieurs fuseaux séparés par des points immobiles ou noeuds. Le nombre de fuseaux est donné par l’ordre : 2 pour 2f, 3 pour 3f, etc. On illustrera plus loin ces divers « modes » d’oscillation (fig. 2a). Elle peut vibrer sur toutes ces résonances à la fois et donner toutes les notes, et c’est ce qui donne le « timbre ». Les très bons musiciens, et les accordeurs, peuvent reconnaître les différents sons « élémentaires » émis par une corde. Ce mode d’oscillation simultanée sur plusieurs notes sera appelé plus tard « superposition linéaire », et ce sera une des clés de la théorie quantique, qui étudie les atomes, les molécules et autres particules.

Une corde de piano qui donne le lai (442 Hertz) a une longueur de 30 cm et un diamètre de 1 min. La densité de l’acier est dans le Système International de 7 700, soit 7 700 kg par m3. Calculer la tension de la corde avec le coefficient a = 1/2. On obtiendra la valeur en newtons.

La lumière La lumière fut de tout temps un objet de fascination. Selon la Bible, ce fut la première création d’Élohim. Euclide traita de l’optique (llle siècle av. J.-C.). Vers l’an 1000, Ibn Al-Haytham (Alhazen) publia un traité de « dioptrique » qui traitait de la réfraction, des propriétés des miroirs, bref de la marche des rayons (optique géométrique), mais les conséquences pratiques, s’il y en eut, ne sont pas connues. En occident, la dioptrique fut reprise principalement par Kepler, Snell, Descartes. L’idée que la lumière est vibratoire apparut bientôt. Quoiqu’opposé à cette idée, Newton observât la dispersion de la lumière par le prisme, qui fait sortir de la lumière blanche un morceau d’arc-en-ciel, y distingua sept couleurs et les compara aux sept notes de la gamme. La dioptrique permit de construire de nombreux instruments de plus en plus perfectionnés. La nature ondulatoire de la lumière ne fut confirmée que vers 1800.

L’optique occupe une large place dans l’histoire des vibrations et des ondes.

Le premier « principe de minimum » de la physique

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Sur le plan théorique, Fermat (1701-1765), auteur d’un fameux théorème qui ne put être démontré que récemment’ apporta une remarquable contribution à l’optique. Pour déterminer les trajets des rayons lumineux, il ne se contente pas de les suivre pas à pas comme Kepler ou Descartes ; il considère une quantité qui caractérise tout le parcours d’un rayon de lumière depuis son point de création M à celui d’observation N. Il pose en principe

que, parmi tous les parcours que l’on peut envisager, celui que suit le rayon lumineux rend cette quantité minimale ou, dans certains cas, maximale. Cette quantité est maintenant exprimée par l’intégrale :

un temps de révolution d’environ 42,5 heures. Les heures d’occultation sont parfaitement connues à Greenwich ou à Paris. À Calcutta ou à Cuba, on peut savoir l’heure de Greenwich en observant une occultation, ce qui permet de déterminer la longitude locale et de dresser des cartes. C’est pourquoi les astronomes Cassini, Picard et Römer1 observèrent les mouvements de Io avec précision. Ils détectèrent des irrégularités de quelques minutes, que Römer attribua au temps de propagation de la lumière. La distance de la Terre à Jupiter pendant une opposition (positions T1 et J1 de la Terre et de Jupiter), est plus courte que lors d’une opposition (positions T2 J2, 200 jours plus tard).

La différence est égale au diamètre de l’orbite terrestre.

où ds est un élément infinitésimal de longueur du trajet, et n l’indice de réfraction locale, qui dans le cas le plus général varie suivant chaque point de l’espace. Fermat ne connaissait pas le calcul véritablement infinitésimal de Newton et Leibniz. Il considérait une suite de milieux d’indices ni, le rayon lumineux ayant dans chacun d’eux, entre les surfaces réfractrices, une longueur si. La somme

La vitesse de la lumière fut déterminée pour la première fois en 1676 par l’astronome danois Olaus Römer (1644-1710). C’était un événement très important, car on pensait généralement que la propagation est instantanée. Louis XIV et Colbert avaient depuis peu fondé l’Académie des Sciences et l’Observatoire de Paris. Ils attiraient les savants étrangers, dont Jean Dominique Cassini (1625-1712), qui organisa l’Observatoire à partir de 1671. On observa soigneusement les satellites de Jupiter, qui sont des horloges naturelles visibles partout de la terre par beau temps et à certaines heures, et dont les occultations derrière Jupiter se produisent à des instants assez précis. Cela fournit aux marins, en l’absence d’horloges précises, un moyen de déterminer la longitude à laquelle ils se trouvent. Olaus Römer, assistant de Cassini, trouva des irrégularités dans les mesures et les interpréta de la manière suivante : la terre et Jupiter tournent autour du soleil à des vitesses fort différentes et leur distance varie constamment. Elle est minimale lorsque les deux planètes sont en conjonction, maximale lorsqu’elles sont en opposition, et un tracé élémentaire montre que la différence est égale au diamètre de l’orbite terrestre. En divisant cette distance par le décalage en temps, on obtient la vitesse de la lumière. Römer2 estima le décalage à environ 11 minutes et en déduisit la vitesse d’environ 210 000 km.s-1. Les valeurs sont plus proches de 16’40» et 300 000 km.s-1. Römer avait donc obtenu l’« ordre de grandeur » et il avait établi un phénomène physique de première importance.

n1s1 + n1s1 + n1s1

est, suivant le principe, minimale pour le parcours effectif du rayon. Ce principe a pour conséquence la loi de Descartes. Il jouera ultérieurement un grand rôle dans le développement de la physique théorique. Il a souvent été compris comme un principe d’économie de la nature, voire comme l’expression d’un certain finalisme. Il est lié au fait que les lois de la dynamique n’ont pas de direction préférentielle pour le temps : en chaque point, le rayon se comporte d’après ce qui va se passer jusqu’au point N (futur) aussi bien que d’après ce qui s’est passé depuis le point M (passé).

La vitesse de la lumière Venons-en à la propagation. Il a été jusqu’ici question surtout d’oscillations, vibrations, résonances. Les échos, le tonnerre montrent que le son ne se propage pas immédiatement.

Galilée tenta de mesurer la vitesse de la lumière en masquant des lanternes et conclut que, si elle n’est pas instantanée, elle doit être très grande.

Le Danois Olaus Römer (1644-1710), élève de Erasmus Bartolin, fut distingué par l’abbé Jean Picard (1669-1670), qui avait mesuré un arc de méridien entre Abbeville et Paris en 1971, et qui se rendit au Danemark pour reconnaître les restes de Uranieborg, l’observatoire de Tycho Brahé. Attiré à Paris, Römer donna la première détermination de la vitesse de la lumière. Il retourna à Copenhague en tant que préfet de police, chargé notamment de surveiller la prostitution et la mendicité. Cela ne l’empêcha pas de construire vers 1702 le premier thermomètre à points fixes (congélation et ébullition de l’eau), dont Fahrenheit eut connaissance, ainsi qu’une lunette méridienne pour établir l’heure avec précision, et enfin un observatoire privé.

Figure 1. Mesure de la vitesse de la lumière La mesure du temps devint fiable au XVIIe siècle, grâce aux horloges à balancier de Huygens. D’autre part, les satellites de Jupiter sont d’excellentes horloges naturelles car leurs occultations derrière cette planète sont parfaitement régulières. Le plus proche, Io, a

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Remy Lestienne, Les fils du temps, causalité, entropie, devenir, Presses du CNRS, 1990.

Voir Astronomie, sous la direction de Philippe de la Cotardière, Larousse, 1994.

Le Hollandais calviniste Christiaan Huygens, personnalité ouverte et attachante, fut un des fondateurs de la mécanique théorique et sut l’appliquer au perfectionnement des horloges et des chronomètres. Grâce à une lunette perfectionnée, il observa la véritable forme des anneaux de Saturne, son satellite Titan (1656), et la surface de Mars. Il formula, inspiré par la mesure de la vitesse de la lumière par Römer, une théorie de la propagation des ondes qui se retrouve jusque dans l’électrodynamique quantique. Il était l’un des dixneuf membres fondateurs de l’Académie Royale des Sciences fondée en 1666, qu’il quitta à la promulgation de l’Édit de Nantes.

La première conception ondulatoire de la lumière Francisco Maria Grimaldi (1618-1663), mathématicien, philosophe et astronome jésuite de Bologne écrivit vers 1650 ce qui fut peut-être le premier traité d’optique physique, publié en 1665 sous le titre Physicomathesis de lumine, coloribus et iride aliisque adnexis libri II1.

Dans ce traité, il défend une théorie ondulatoire de la lumière, déclare que la lumière ne va pas toujours en ligne droite et décrit des expériences de « diffraction » sur une tige et sur un instrument bien connu des opticiens et des spectroscopistes, le réseau. Le grand chimiste et physicien anglais Boyle (1627-1691), précurseur de Lavoisier et premier découvreur de la « loi de Mariotte », défendit l’hypothèse ondulatoire après avoir observé les irisations des lames minces d’huile que l’on peut voir sur un sol mouillé. Celles-ci forment parfois des anneaux concentriques colorés qui ressemblent aux « ronds dans l’eau », à part le fait qu’ils sont immobiles.

Puis eut lieu la mesure de la vitesse de la lumière par Olaus Römer.

Entre temps, Newton fit de nombreuses expériences sur la lumière. Il répéta les expériences de Grimaldi, mais n’en fut pas pour autant gagné à la cause ondulatoire. Sa découverte de la décomposition de la lumière blanche par le prisme provoqua de grandes discussions à la Royal Society, en particulier avec Robert Hooke (1635-1703). Newton en garda une profonde amertume qui empêcha ou retarda toutes ses publications. Le traité Opticks n’apparut qu’avec vingt ou trente ans de retard, en 1704.

Certaines des observations de Newton sont pour nous des preuves de la nature ondulatoire de la lumière, en particulier les « anneaux de Newton », familiers à tous ceux qui ont placé un négatif photographique au contact d’une plaque de verre. Newton préférait une théorie de « l’émanation corpusculaire de la lumière ». Il y a là un a priori philosophique2. Il se fondait aussi sur le simple que la propagation de la lumière est rectiligne alors que le son, qui était reconnu comme une onde, contourne les obstacles. Les expériences sont souvent difficiles à interpréter.

Cette position d’un homme si éminent freina l’étude physique de la lumière pendant plus d’un siècle.

La mesure de Römer inspira à Christiaan Huygens (1629-1695) une théorie de la propagation incomplète, qui devait néanmoins inspirer beaucoup de physiciens jusqu’à nos jours. Pour lui, chaque point qui reçoit un signal d’une source lumineuse se comporte luimême comme une source pour ceux qui en sont plus éloignés. Lors de la propagation, il y a donc une infinité d’ondes minuscules engendrées par tous les points de l’espace atteints par l’onde. Par analogie avec le son, Huygens percevait clairement la lumière comme une vibration, de nature inconnue bien sûr, correspondant à quelque mouvement des corps. Par un argument géométrique, il produisit une construction géométrique pour expliquer que les ondes élémentaires s’ajoutent exactement le long d’une propagation rectiligne en milieu homogène, ce qui n’est pas le cas dans les directions latérales. Cette théorie lui permit d’étudier la propagation dans des milieux très divers et non uniformes, et d’expliquer les propriétés optiques étranges des cristaux.

Les ondes sont décrites comme des émanations de particules. Nous en retenons que les points BbbhbG de l’onde sphérique émise en A émettent à leur tour des ondes sphériques qui se composent pour former une nouvelle onde sphérique DCEF. On peut expliquer la réfraction par une surface qui sépare deux milieux où la vitesse de propagation est différente, et ainsi toute l’optique géométrique

La construction d’Huygens 1. Francisco Maria Grimaldi, Traité de la lumière, des couleurs et de l’arc-en-ciel et d’autres questions connexes, en deux livres.

2. Émanation, du latin manare, s’écouler. Le dictionnaire nous apprend que l’émanatisme est une doctrine indienne de l’émanation des principes des êtres à partir du principe divin, les principes émanés étant inférieurs, et sources d’autres émanations. Cette doctrine fut reprise par la cabale, par Plotin, et condamnée par le christianisme comme contraire au créationnisme.

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Huygens eut d’autres pressentiments géniaux : il attribua les propriétés des cristaux à une anisotropie due à leur structure atomique régulière. Son traité contient des diagrammes qui sont probablement les premières représentations graphiques d’atomes, et en tire des conséquences correctes.

où les propriétés sont différentes en chaque point, et où néanmoins celles des points voisins sont liées mais différentes. Les techniques mathématiques qui l’ont permis sont connues sous le nom de calcul différentiel et intégral. Comme elles furent inventées pour résoudre des problèmes de mécanique, il nous faut faire une brève incursion dans le domaine de cette science.

La « double réfraction » découverte en 1669 par le Danois Erasmus Bartolin dans le spath d’Islande était pour Huygens la preuve de la structure anisotropique des cristaux, qu’il expliqua par une structure ordonnée des atomes. Ce schéma, publié en 1690, fut présenté à Paris dès 1678. C’est probablement la première représentation d’un arrangement atomique qui garde toute sa valeur aujourd’hui. L’hypothèse atomique ne fut pleinement admise qu’au début du XXe siècle.

Les débuts de la mécanique Sur le plan expérimental, le renouveau de la mécanique s’appuie sur les travaux de deux expérimentateurs géniaux.

Le Danois Tycho Brahé (1546-1601) fit, avec des instruments de principe élémentaire, des observations sur les mouvements des planètes suffisamment précises pour mettre en défaut la théorie de Ptolémée (Ile siècle ap. J.-C.). Cette théorie était utilisée depuis des siècles pour les prédictions astronomiques.

Galilée (1564-1642) étudia, de façon quantitative, la chute des corps. On lui conteste le titre de fondateur de la méthode expérimentale, mais il est sûr qu’il en fut un pionnier, qu’il y excella et qu’il sut allier ses résultats de mesure à ses mathématiques assez rudimentaires.

Ses observations astronomiques apportèrent peu sur le plan quantitatif. D’ailleurs, il ne reconnut pas la valeur de celles de Tycho Brahé. Sa mécanique est donc principalement terrestre.

Le point important pour nous ici est que Galilée sut rendre compte d’un mouvement à vitesse variable : Il découvrit que la vitesse d’un corps en chute libre est proportionnelle au temps écoulé. On appelle accélération la variation de vitesse par unité de temps. Dans la chute libre, résistance de l’air mise à part, l’accélération est constante. Comment peut-on alors calculer exactement de quelle manière varie l’espace parcouru en fonction du temps?

Galilée résolut ce problème par un procédé graphique. Si le temps est compté depuis le départ au repos, l’espace parcouru est proportionnel au carré du temps. Ces travaux furent publiés de 1602 à 1609, juste avant l’apparition de la lunette astronomique.

Sur le plan théorique, ce fut Johannes Kepler (1571-1630), mathématicien, astrologue et astronome, philosophe et physicien, qui au prix d’un travail de calcul inhumain, tira des mesures de Tycho les trois lois fondamentales qui portent son nom :

Structure d’un cristal, d’après Huygens Il attribua également l’émission de la lumière à des mouvements désordonnés des particules dans les corps chauds.

On peut comprendre d’après cette figure comment les rayonnements des points d’une bougie se superposent pour former un « front d’onde ».

Rayonnement lumineux d’une flamme, d’après Huygens Mais il semble que personne ne s’avisa alors qu’une onde peut se représenter mathématiquement comme une alternance de quantités positives et négatives, comme peuvent le suggérer les crêtes et les creux des vagues. Il peut y avoir dans certaines directions une addition de toutes les ondes partielles des deux signes, et dans d’autres une annulation : cela explique la « diffraction » observée par Grimaldi. On aurait pu ainsi anticiper de plus d’un siècle la démonstration de Thomas Young (1802).

Complétée par cette notion mathématique, la conception de Huygens est devenue l’une des plus importantes de la physique. Elle est restée jusqu’à nos jours un mode de pensée, base de beaucoup de raisonnements en physique des particules.

Pour analyser la propagation avec efficacité, il fallait pouvoir traiter des milieux continus,

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– les planètes décrivent des ellipses dont le soleil est un foyer (1609) ; – les rayons qui les relient au soleil balaient des aires égales en des temps égaux (1609); – les cubes des grands axes des ellipses parcourues par les planètes sont proportionnels aux carrés des temps de révolution (1619).

La première loi était aussi révolutionnaire que la théorie de Copernic car elle éliminait les combinaisons de cercles complexes avec lesquelles Ptolémée décrivait les mouvements des planètes. Or, les cercles étaient depuis les Grecs symboles de perfection et ce qui était céleste ne pouvait être que parfait. Il a été pour Kepler très difficile, tant sur le plan du calcul que sur le plan spirituel, de se résoudre à admettre une courbe aussi impure que l’ellipse.

La loi de la chute des corps aussi bien que les lois de Kepler introduisent des mouvements relativement complexes. Les mathématiques de Kepler et Galilée étaient insuffisantes.

Newton, s’appuyant sur ces travaux de mécanique ainsi que sur les outils mathématiques développés par Descartes, accomplit le pas de géant dont les conséquences transformèrent la science occidentale.

CHAPITRE 2

LA SCIENCE NEWTONIENNE

Les oscillations, mesure précise du temps

NEWTON ET LA MÉCANIQUE

Descartes (1596-1650), Huygens (1629-1695), Leibniz (1646-1716) firent aussi d’importantes contributions à la mécanique. En particulier, Huygens fournit l’expression de la force centrifuge, corrigea l’énoncé de Galilée sur les oscillations en le limitant aux petites oscillations. Il construisit des horloges d’une précision considérablement améliorée, synchronisées sur un balancier, puis sur un oscillateur à ressort spiral. Ce principe, qui fut utilisé dans nos montres jusqu’à l’invention du transistor, amena un progrès considérable dans la mesure du temps. Les conséquences pour la navigation furent importantes. Huygens fit aussi quelques observations astronomiques ; il découvrit la structure en anneaux de ce que Galilée avait décrit comme des « anses » de Saturne.

Huygens était assez différent des autres savants. Comme Descartes et Leibniz, il voyagea et séjourna à l’étranger, rencontra beaucoup de savants. Mais il n’avait pas comme la plupart d’entre eux un caractère difficile. Galilée aimait la polémique et se plaisait à ridiculiser ses adversaires, trait qui ne contribua pas dans une petite mesure à ses célèbres malheurs, ajouté à la haine et la mauvaise foi de certains de ses adversaires, aux circonstances politiques, enfin à la nouveauté du mode de pensée qu’il proposait.

Descartes était généralement fort civil, mais ne croyait qu’en lui-même1. Tous les témoignages représentent Newton comme extrêmement ombrageux et méfiant. Huygens savait au contraire reconnaître les mérites des autres, même s’il était en complet désaccord avec eux sur certains points essentiels. Il rejetait la théorie corpusculaire de la lumière à laquelle Newton était si attaché, mais il reconnaissait publiquement la valeur de ses travaux sur la composition de la lumière. Il donnait de la loi de la réfraction une explication différente de celle de Descartes, mais correcte, et reconnaissait la valeur des contributions du philosophe français en physique, sensiblement plus modestes que les siennes.

Huygens (1629-1695) fut le plus grand physicien du siècle après Newton. Il fut un des premiers membres de l’Académie des Sciences française. Protestant, bien qu’invité à rester, il partit lors de la révocation de l’Édit de Nantes.

1. Geneviève Rodis-Lewis, Descartes, Calmann-Levy, 1995.

Newton fit la jonction entre le ciel et la terre, entre la mécanique céleste de BrahéKepler et la mécanique terrestre de Galilée, comme l’illustre l’épisode de la « pomme de Newton ». C’est l’« attraction universelle » qui permit cette jonction. Cet épisode est peutêtre légendaire, bien que confirmé par la nièce de Newton, Catherine Barton, mais il résume bien l’acte inventif qui permit cette jonction.

Sur le plan mathématique, un problème considérable se posait. On était amené à considérer des forces de comportement assez variables : l’attraction terrestre uniforme convenait pour la physique de Galilée, mais comment traiter les effets des forces de gravitation qui changent partout de direction autour des planètes ?

Une certaine aide était fournie par la Géométrie de Descartes (1596-1650), parue la même année que le Discours de la méthode, en 1637, quelques mois après Le Cid de Corneille (1606-1684). Cet ouvrage étendit considérablement un certain domaine des mathématiques : en représentant les courbes du plan par des équations algébriques, on n’était plus limité par la droite, le cercle, les coniques. Cet outil était indispensable pour décrire des phénomènes d’apparences très diverses. Descartes l’utilisa pour décrire entièrement des figures géométriques par des équations. Newton l’utilisa pour décrire entièrement une situation physique par des équations. Il établit les lois du mouvement des corps, c’est-à-dire la mécanique, et les appliqua principalement à l’astronomie, plus spécialement au système solaire, dans son ouvrage historique, Principes mathématiques de la philosophie naturelles1. L’auteur étant dégoûté de publier à cause de critiques qui lui avaient été adressées lors de ses exposés sur la lumière et sa décomposition par les prismes, cet ouvrage ne fut publié qu’en 1687 par les soins diligents et désintéressés de Halley, celui qui par ailleurs donna son nom à une comète dont il prédit assez exactement le retour. Halley obtint sans peine l’« imprimatur » du président de la « Royal Society », Samuel Pepys, connu pour ses mémoires personnels très détaillés. Les « Principes mathématiques » sont peut-être la plus grande création de l’esprit humain dans le domaine scientifique.

Newton lui-même, professeur de mathématiques à Cambridge, était un personnage très difficile, de l’aveu même de ses amis. Loin de se limiter aux sciences exactes, il était

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1. Isaac Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica, 1687.

intensément intéressé par l’astrologie, l’alchimie et la théologie. Dans cette matière, il était unitarien1, et dut le cacher pendant toute sa vie.

Il était non seulement un mathématicien et un théoricien (ce qui est très différent) exceptionnel, mais aussi un des grands expérimentateurs et constructeurs d’instruments de l’histoire des sciences, notamment en optique. Il était avant tout physicien et ne vit guère dans les mathématiques autre chose qu’un outil pour la physique.

On a toujours su qu’il se livrait des activités que nous qualifions d’extrascientifiques, mais on a refusé de les connaître réellement, jusqu’à ce que le grand économiste J. M. Keynes (1883-1946) publie une première étude sur ce sujet. On en a maintenant consacré de nombreuses, et on a souvent adopté le point de vue que ces activités ont en fait été un moteur pour sa contribution immense à la science moderne.

Les Principes sont à peu près totalement débarrassés de toute réflexion de tendance mystique. Ils sont au contraire un modèle de la pensée des temps modernes. Ils sont basés sur le calcul différentiel, mais la présentation est géométrique2 et de ce fait généralement difficile à suivre pour un lecteur du vingtième siècle. Elle a naturellement été depuis remplacée par la forme analytique : celle des équations. À peu près en même temps que Newton, et indépendamment, le mathématicien, philosophe métaphysicien et diplomate allemand Leibniz (1646-1716) inventait le calcul différentiel et intégral sous une forme différente, équivalente, mais plus explicite et plus souple. Les entourages intervenant, il en résulta une triste et violente querelle, des accusations de plagiat qui n’étaient nullement fondées. On utilise maintenant essentiellement le langage de Leibniz pour présenter le calcul différentiel et la dynamique Newtonienne.

Newton commença par donner des définitions aussi claires que possible de la vitesse, la masse, la « quantité de mouvements », qui est leur produit, la force d’inertie, la force appliquée, la force centrifuge, le temps et l’espace absolus. Il énonça alors trois lois ou principes du mouvement Tout corps reste dans son état de repos, ou en mouvement uniforme en droite ligne, à moins qu’il ne soit contraint à changer cet état par des forces qui lui sont appliquées.

C’est ce que l’on appelle le principe d’inertie, déjà énoncé par Giordano Bruno (15481600) et d’autres, puis par Galilée, sous une forme incorrecte, corrigée par Descartes3.

1. Newton rejetait le dogme de la Trinité, ce qui était particulièrement insupportable de la part d’un professeur d’université. Il était probablement le seul professeur laïque à Cambridge.

2. Le lauréat Nobel Richard Feynman, David L. et Judith R. Goodstein ont présenté le raisonnement de Newton dans The Motion of Planets around the Sun, W.W. Norton & Cy 1996, traduit par Marie Agnès Treyer, Le mouvement des planètes autour du soleil, Diderot Multimédia, 1997.

3. Jusqu’à Descartes, on considérait le mouvement circulaire comme inertiel, c’est-à-dire libre ou naturel, car les planètes se déplacent (à peu près) en orbites circulaires. Galilée ne croyait pas à l’attraction gravitationnelle, déjà envisagée.

Tout changement de mouvement est proportionnel à la force motrice appliquée ; et il s’effectue dans la direction de la droite suivant laquelle cette force est appliquée.

C’est la fameuse loi de l’accélération, f = mγ ou f = ma, suivant la notation préférée. À chaque action est toujours opposée une égale réaction ; et les actions mutuelles de deux corps l’un sur l’autre sont toujours égales, et dirigées en sens inverse.

C’est la loi dite de l’action et de la réaction.

Pour mettre en oeuvre des principes aussi généraux, ne spécifiant a priori aucune disposition particulière dans l’espace, il fallut à Newton inventer cette technique nouvelle de calcul qui allait devenir pour plusieurs siècles non seulement le langage préféré de la physique théorique mais aussi l’un des principaux outils des mathématiques : le calcul différentiel et intégral.

La physique des ondes est entièrement tributaire de cette méthode de calcul, qu’il s’agit des ondes sonores, des vagues de la mer, des ondes de radio, de radar, de télévision, ou de celles de la mécanique quantique.

C’est pourquoi nous invitons le lecteur à rafraîchir ses notions sur ce sujet s’il est besoin, ou de faire un effort pour au moins en comprendre la nature, sinon pour le maîtriser.

Remarques sur les mathématiques Une mathématique exacte pour décrire approximativement des phénomènes physiques: c’est, direz-vous, ce que font constamment les mathématiques alors que l’on ne peut additionner que des grandeurs semblables, on compte des carottes qui ne sont pas toutes identiques, on mesure la surface d’un champ qui n’est pas plan, on parle d’un cylindre de métal qui porte la trace de l’outil qui l’a façonné. Les êtres mathématiques ne décrivent jamais exactement les situations auxquelles on les applique.

Une mathématique exacte prophétique? Pythagore avait-il vu juste? L’étude, si superficielle soit-elle, de ces mathématiques exactes ne serait d’aucun intérêt pour le lecteur de ces pages si elles ne décrivaient une réalité dont on découvrira plus tard des exemples, dans les phénomènes électromagnétiques d’abord, puis dans la physique quantique ensuite.

Lorsque nous en arriverons là, nous pourrons nous demander s’il n’existe pas vraiment un monde idéal à la Platon et des correspondances pythagoriciennes mystérieuses entre les nombres et la réalité. Ces questions restent jusqu’à nos jours d’autant plus troublantes que ces mathématiques idéales, loin d’être un simple jeu de l’esprit, sont la clé de la plupart des techniques qui sont en train de changer la face du monde.

Le calcul différentiel et intégral C’est pour lui permettre d’apercevoir les aspects mathématiques de la physique que nous proposons au lecteur les pages suivantes sur le calcul différentiel et intégral, que vous pourrez ignorer, ou bien parcourir, ou bien étudier d’une façon presque scolaire.

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Les lois de Newton ne parlent que du changement de mouvement. Étant donné un certain état, elles prédisent l’état qui suivra immédiatement.

Que veut dire « le mouvement qui suivra immédiatement » ? Comment définiton l’instant qui suit immédiatement le présent? Cette notion dérangea beaucoup de mathématiciens et de philosophes dès le départ. On admettra facilement qu’une voiture en pleine accélération, se déplaçant à un instant donné de 30 mètres en une seconde, n’accomplira pas exactement un déplacement de 30 millimètres en 30 millisecondes, parce que sa vitesse varie en général pendant la seconde considérée. On veut donc faire des estimations dans les temps les plus courts possible, des cent millionièmes de secondes par exemple. Pendant des temps aussi courts, on peut simplement faire des « règles de trois » pour trouver les variations.

Le calcul différentiel et intégral définit comment effectuer ces règles de trois (technique des dérivées) et comment on peut faire la somme des infiniment petits (techniques d’intégration).

Le terme « infiniment » est d’ailleurs impropre, on devrait dire : aussi petits que vous le demanderez, mais en fait toujours finis, c’est-à-dire, précisément, pas infiniment petits.

Venons-en au formalisme. On considère des positions et des vitesses à des temps très voisins, et qui ont donc des valeurs très voisines, ne diffèrent que par de petites différences, que l’on nomme « différentielles ». On les caractérise en plaçant la lettre d devant le symbole de la grandeur en question, par exemple dt pour une très petite variation de temps, dv pour une variation de vitesse, dx pour une variation de position. Il ne s’agit évidemment pas d’une multiplication par d.

Galilée avait compris une chose qui n’était certainement pas évidente à la plupart de ses collègues : la vitesse d’un corps en chute libre varie constamment et elle s’obtient à chaque instant en divisant un très petit espace parcouru par le temps correspondant. Comme la vitesse varie pendant ce temps, l’opération n’est pas facile. Avec les conventions du calcul différentiel, on peut écrire cette opération :

expliquées dans l’appendice II. Ainsi s’explicite la définition de la force donnée par Newton : il considéra qu’elle est proportionnelle à l’accélération qu’elle produit et à la quantité de matière accélérée, plus précisément à une caractéristique de cette quantité, la masse, définie comme le produit de la densité par le volume1 :

f=m×a

Comme le mouvement n’est pas en général rectiligne, il faut écrire une équation semblable dans chacune des trois dimensions, avec trois composantes de déplacement, trois de vitesse, trois d’accélération et de force, ce que résu- mera plus tard la notation vectorielle, indiquée en plaçant des flèches horizontales au dessus de ds, déplacement le long de la trajectoire, de composantes dx, dy, dz, ainsi qu’au dessus de v, a et f. La masse reste un « scalaire » (nombre ordinaire) : elle n’a pas de direction ; celle-ci est contenue dans la définition vectorielle des grandeurs :

L’introduction de ces notions galiléennes et newtoniennes représente des pas de géants. Galilée rompait avec une culture en s’affranchissant des notions d’Aristote officiellement admises, en l’espèce, de celle qu’une force accompagne nécessairement et constamment tout mouvement. Newton donnait un sens précis à la force au moyen d’une égalité, génératrice d’un procédé de calcul et d’une méthode de mesure2. Ce sera le modèle de toute description de nouveaux phénomènes.

Par exemple, si l’on considère une route de montagne, on pourra appeler h l’altitude, s la distance comptée le long de la route, en épousant ses sinuosités et on écrira :

dh = p × ds ; p =

v = dx/dt

ce qui définit la pente p dans des unités appropriées. Si p = 0,015 cela veut dire que la route monte de 1,5 mètre sur 100 mètres. Mais si la pente augmente vite, comme au début d’une côte, il vaudra mieux dire 1,5 centimètre pour 1 mètre et, si l’on est très pointilleux, 1,5 millimètre pour 10 centimètres. On voit pourquoi il faut en toute rigueur passer à la limite:

On appelle accélérations les variations de vitesse, et l’on définit la grandeur « accélération », notée a ou γ, comme la variation de vitesse divisée par le temps correspondant. Rien de plus facile avec la notation différentielle, quelle que soit cette variation sur un temps prolongé. Ce que l’on écrit s’applique à un instant déterminé :

a = dv/dt Pour combiner les deux opérations, il faut écrire :

a = d(dx/dt)/dt

Par convention, on note cette double opération :

a = d2x/dt2

d2x n’est pas un carré ; c’est une variation de variation de longueur. Au contraire, dt2 est un carré car on a divisé deux fois par un intervalle de temps. Ces distinctions sont

dh ds

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1. Je suis ici la formulation des collèges. Les énoncés de Newton, donnés plus haut dans notre traduction, définissent la quantité de mouvement p = mv et expriment sa loi sous la forme f = dp/dt. Cette forme est équivalente si la masse est constante, mais plus générale : elle s’applique aux fusées, qui éjectent de la matière, et elle est correcte en théorie de la relativité. Il semble y avoir là une intuition géniale de Newton. En tout cas, il préféra utiliser une variable dynamique, p, plutôt que a qui est une variable cinématique.

2. Voir Cosmopolitiques /1, L’invention de la mécanique, I. Stengers, La découverte, les empêcheurs de penser en rond, 1997.

à 20 mètres de distance, la pente peut être de 0,017. C’est ce passage à la limite que l’on exprime en plaçant des d devant les symboles des grandeurs variables. En général, on donne les pentes en pour cent ; dans l’exemple ci-dessus, on doit alors écrire p = 15 (%) et, en général : dh = 0,01 pds On dit souvent que la dérivée est une pente, ce que l’on voit sur un graphique. Au sommet d’une montagne douce ou à un col, l’altitude est maximale, la pente nulle. Au sommet même d’un pic, la pente n’est pas définie, même si elle l’est sur les flancs immédiats.

Il faut maintenant savoir comment manier ces différentielles et ces dérivées. Elles prennent leur sens grâce à la notion de fonction : les fonctions sont toutes les expressions algébriques que Descartes a introduites dans sa Géométrie, et bien d’autres encore. La variable peut être une coordonnée x, ou toute grandeur autre. On considère que le temps t, disons la variable t peut prendre toutes les valeurs numériques, avec autant de décimales qu’il faut, et qu’à chaque valeur correspondent des valeurs de x, y, z, et des composantes correspondantes de v et a. On peut tracer des courbes de ces grandeurs en fonction de a.

On a vu que Galilée a trouvé que la hauteur de chute z d’un corps est proportionnelle au carré du temps de chute, et sa vitesse proportionnelle au temps. On écrira :

z = c t2

– Lorsque l’on multiplie une fonction par une constante, sa dérivée est multipliée par la même constante. On vient de voir un exemple de ce théorème.

– On montrera sans peine que la dérivée d’une somme de fonctions est la somme des dérivées de ces fonctions.

– La dérivée d’une constante est évidemment nulle.

Pour donner une idée de la diversité des situations, le cas de la masse pendue au ressort pourra être traité par les familiers de la trigonométrie élémentaire, ou à l’aide du tableau ci-dessus des fonctions et dérivées. Partant de : ils trouveront :

a = -(2πn)2 h cos 2π nt 2c = g

Suivant la dynamique Newtonienne, tous les corps sont soumis dans leur chute à une force verticale f = ma = mg, qui est due à l’attraction gravitationnelle terrestre. Galilée n’avait pu voir cet aspect de force. Il pensait que c’était une propriété intrinsèque des corps.

Dans le cas de l’oscillation, on trouve que l’accélération varie dans le temps comme la position, mais avec le signe contraire et une proportionnalité au carré de la fréquence n.

L’accélération étant égale à la force divisée par la masse ; on trouve une caractéristique des mouvements oscillatoires : ils sont dus à une force proportionnelle et de signe inverse au déplacement.

Ces exemples montrent que le calcul différentiel peut fournir rapidement, sans calcul numérique, des résultats importants dans une étude physique.

Voici quelques résultats de dérivation importants :

v=gt

z = h cos 2π nt

où n est la fréquence d’oscillation : le nombre d’allers et retours par seconde.

Technique de la dérivation Si z est une fonction de t, il en est de même de dz/dt, que l’on appelle la dérivée de z par rapport à t. Une autre fonction est d2z/dt2, dérivée seconde de z par rapport à t. Prenons le cas de la chute libre de Galilée. On écrira, d’après les définitions des différentielles : Un peu d’algèbre :

v = -2π nh sin 2π nt

Dans le cas de la chute, on trouve une relation entre les constantes:

où c et g sont des constantes. Pour un corps qui oscille, pendu au bout d’un ressort, on aura :

z = c t2,

x = h cos 2π nt

z + dz = c (t + dt)2

dz = c (t + dt)2 - c t2 = c (2 t dt + dt2) dz/dt=c(2t +dt)

Ici s’explicite le passage à la limite, qui est la variation infinitésimale comme les différentielles doivent être prises aussi petites que l’on veut, on est en droit d’écrire :

dz / dt = 2 c t On remarquera que la constante c est restée sans changement à son poste, continuant à multiplier les grandeurs du monôme où elle se trouve.

Voilà la technique de dérivation. On en déduit trois théorèmes importants :

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Suivant un des théorèmes énoncés plus haut, on peut ajouter à toutes les fonctions une constante sans que les dérivées soient changées

points pourvus de masse. On développa ensuite aussi bien ces méthodes de calcul que leur application à d’autres corps tels que les fluides et les fils. Ce fut l’ouvre de Leonhardt Euler (1707-1783), des Bernoulli, tous suisses, et du Français d’Alembert (1717-1783).

Ces physiciens mathématiciens s’occupèrent notamment de la dynamique des fluides.

On considère les coordonnées X, Y, Z, de chaque élément, disons de chaque molécule de fluide en fonction du temps, les composantes des vitesses u, v, w, en chaque point en fonction du temps. Ainsi u, v, w, sont des fonctions de ces variables, que l’on ne suppose pas nécessairement connues « a priori » et que l’on explicite seulement en écrivant :

L’intégration Il n’est pas suffisant de trouver, comme nous l’avons fait, des propriétés générales des lois, si intéressantes soient-elles. Les lois de Newton ont la simplicité, la généralité, la beauté de la géométrie grecque, mais elles ne contiennent que les dérivées ou les dérivées secondes des grandeurs qui nous intéressent : vitesses et positions. Il faut trouver les fonctions dont elles donnent les dérivées.

Si une fonction quelconque de x, que l’on notera F(x), a pour dérivée f(x), on dit que F(x) est une primitive de f(x). Si l’on ajoute une constante à F(x) on obtient une autre primitive de x, car la dérivée d’une constante et nulle. L’examen de la situation physique permet souvent de déterminer la constante ce sera par exemple la hauteur de laquelle on a laissé tomber un corps. Lorsque la constante est fixée, la primitive devient une « intégrale ».

Le calcul intégral a la réputation d’être difficile. Il est possible, sur ordinateur, si l’on ne cherche pas d’expression littérale de l’intégrale. Autrement, il est en général impossible: il n’existe pas de technique permettant de trouver directement l’expression littérale de la primitive d’une fonction. On prend donc un chemin détourné : on prend une table de dérivées de fonctions connues, et l’on y cherche la dérivée à intégrer. En somme, on lit le tableau cidessus à l’envers :

primitive

dX/dt = u = u (x, y, z, t) dY/dt = v = v (x, y, z, t) dZ/dt = w = w (x, y, z, t) X, Y, Z sont les coordonnées d’un élément matériel, mais x, y, z sont des repères géométriques qui ne sont attachées à aucun élément physique.

Par exemple, on étudie le courant d’une rivière. Le liquide a en chaque point une vitesse, qui dépend de la position du point et éventuellement du temps. Les trois composantes de la vitesse sont donc des fonctions de x, y, z, t, conformément aux trois équations ci-dessus.

On voudra trouver ou décrire comment varient ces composantes dans la section de la rivière, perpendiculaire à x, axe principal d’écoulement. Pour cela, on calculera la dérivée par rapport à y (ou x) en maintenant x (ou y) et z constants. Par convention, pour spécifier qu’une seule variable varie, on écrit la dérivée avec des « dés ronds » :

fonction de x

Cela consiste donc à « inverser le problème », méthode souvent féconde en mathématiques.

∂u ∂x

GÉNÉRALISATIONS

On développa ainsi le calcul par les « équations aux dérivées partees ». Par exemple, on montre qu’un fluide incompressible, tel que l’eau, obéit à l’équation :

Ces méthodes possèdent une versatilité sans aucun rapport avec celle des formules algébriques. C’est pourquoi elle permit à Newton aussi bien l’étude de la chute des corps sur terre que celle des mouvements des planètes. L’explication des trajectoires elliptiques des planètes introduites par Kepler restait un grand mystère. Newton la fournit : c’était la force d’attraction universelle et sa variation inversement proportionnelle au carré de la distance Il put de même prédire l’aplatissement de la terre aux pôles, expliquer les marées.

Toutefois, l’interaction de plusieurs planètes, qui obéit naturellement aux mêmes équations, demanda et demande encore des perfectionnements considérables des méthodes mathématiques. Les lois sont simples. Leur mise en oeuvre mathématique présente des difficultés insoupçonnées.

Ces résultats ne cessèrent de provoquer l’enthousiasme et la foi dans la science, la croyance dans le déterminisme, exaltée lorsque, en 1846, l’astronome Galle (1812-1910) trouva la planète Neptune annoncée, sur la base de calculs, par Le Verrier (1811-1877).

On traita d’abord le mouvement de corps bien localisés que l’on peut assimiler à des

∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z Sous forme condensée, cette éuation s’écrit encore, par convention :

→ div V = 0

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On lit : la divergence du vecteur V est nulle. En effet, on a vu que la vitesse peut être représentée par une flèche, que l’on appelle alors un vecteur. La divergence d’un vecteur est une propriété locale, c’est-à-dire valable au voisinage immédiat d’un point. C’est une sorte de dérivée dans l’espace à trois dimensions (les grandeurs vectorielles ont plusieurs sortes de dérivées). Elle désigne le flux qui sort d’un volume infinitésimal. On peut l’intégrer et on obtient une propriété valable dans un volume. L’équation ci-dessus signifie qu’il entre dans un volume autant de fluide qu’il en sort : la quantité de fluide contenue dans ce volume ne varie pas ; cela traduit le fait qu’il est incompressible.

Pour un fluide compressible, un gaz, la densité ρ est aussi une fonction des quatre coordonnées de temps et d’espace. Il faut alors utiliser l’équation :

manière, il parvint à étudier le droit, la médecine et les mathématiques, où il excella. Il assimila rapidement les nouvelles méthodes de Newton et Leibniz. Il fut admis en 1741 à l’Académie des Sciences. En 1743, il publia un traité sur la dynamique, branche principale de la mécanique, puis un ouvrage d’astronomie.

→ ∂ρ div ρV = – ∂t

qui donne la variation de densité dans un volume lorsqu’il s’en échappe plus de fluide qu’il n’en rentre, ou l’inverse : si la divergence est positive, du fluide s’échappe du volume, la densité doit décroître et, en effet, on a alors :

Jean Lerond d’Alembert (1717-1783) fut l’une des grands esprits du XVIIIe siècle, auteur du Discours préliminaire de la Grande Encyclopédie, véritable manifeste de l’esprit des Lumières. Il fut aussi un grand mathématicien, il introduisit en mécanique un principe fondamental, s’occupa de la mécanique des fluides et de la propagation du son, expliqua les changements d’orientation de l’axe de la Terre. Il est considéré comme un des pères de la physique mathématique. Cette gravure le montre sous un jour plus austère que le célèbre pastel de Latour. Il était peu enclin aux disputes qui ne cessaient d’animer la vie intellectuelle, en particulier en France, mais néanmoins ferme dans ses points de vue.

∂ρ <0 ∂t La quantité de fluide est de nouveau conservée.

Cette équation est indispensable pour décrire la propagation du son dans l’air, puisque la vibration s’accompagne de compressions et de décompressions locales.

Nous aurons à considérer les variations dans l’espace de la pression p. Ce n’est pas un vecteur comme le déplacement et la vitesse, mais un scalaire, c’est-à-dire un nombre ordinaire. Un scalaire possède trois dérivées spatiales, par exemple :

∂ρ ∂x

∂ρ ∂y

Dans ces ouvrages, il établit des théorèmes fondamentaux sur la conservation de la « quantité de mouvements », les rotations et le « principe des travaux virtuels ». Il n’était pas de la race des expérimentateurs et semble avoir eu peu de rapports avec ceux-ci, sauf avec les astronomes. Il fut avec Denis Diderot (1713-1784) cofondateur de l’Encyclopédie, dont il rédigea la préface et maints articles. Divers écrits traitent de philosophie, avec une position sceptique, sans apport essentiel. Il était compétent en musique. Il refusa les invitations de Frédéric de Prusse et de Catherine de Russie. Il fut admis en 1754 à l’Académie Française.

Il avait un caractère ouvert et amène, dans un monde où l’on s’entre-déchirait facilement.

∂ρ ∂z

Ce sont les trois composantes d’un vecteur appelé gradient que l’on note: grad ρ ou encore : ∇ρ Les ondes et le calcul différentiel C’est d’Alembert qui le premier utilisa systématiquement les équations aux dérivées partielles dans sa « Théorie générale des vents » (1745). Certains considèrent que c’est là que naquit la physique mathématique.

De même qu’elle avait métamorphosé l’astronomie, la possibilité d’analyser en détail les mouvements des moindres parcelles de matière donna à l’étude des fluides et à celles des oscillations et de la propagation des ondes des moyens centuplés.

D’Alembert donna la première équation d’ondes, événement mémorable dans la perspective de ce livre. Sa vie mérite qu’on lui consacre quelques lignes.

Regard sur la science après Newton L’évolution de la science entre Newton et ses successeurs est tout autre qu’une simple extension ou prolongement. Elle illustre le passage du XVIIe siècle au XVIIIe. On part d’une conception encore globale et fortement pythagoricienne, voire orphique de l’univers, et on aboutit pratiquement à l’optique déterministe qui prévalut pendant tout le XIXe siècle et qui reste fortement enracinée au XXe. On a vu comment Newton put écrire ses ouvrages physicomathématiques dans un style essentiellement moderne, alors que ses intérêts pour l’alchimie, la généalogie, la théologie, impliquent qu’il concevait ses travaux comme une explication d’une parcelle de la création, ce qu’il a clairement exprimé :

Jean Le Rond d’Alembert Ce mathématicien et physicien fut l’un des principaux penseurs français du XVIIIe siècle. Il eut une grande influence dans le monde des « philosophes ». Il naquit à Paris en 1717, fils naturel de la Marquise de Tencin et d’un certain Destouches, et fut abandonné sur les marches de l’église Saint-Jean-le-Rond près de Notre-Dame de Paris. Il fut recueilli et confié à l’épouse d’un vitrier. D’Alembert considéra toujours cette femme comme sa mère et, bien qu’il eût des revenus modestes, il lui servit une rente jusqu’à sa mort. De quelque

Je ne sais comment je puis paraître au monde ; mais en ce qui me concerne, il me semble avoir été comme un enfant qui joue sur la plage, me divertissant à trouver de temps en temps un galet plus poli ou un coquillage plus joli que les autres, tandis que le grand océan de la vérité s’étendait, inexploré, devant moi.

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Fermement convaincu de correspondances du genre pythagoricien ou alchimique, il a pensé qu’il y a nécessairement sept couleurs dans l’arc-en-ciel parce que sept est un

nombre clé de l’univers, et en tout cas par analogie avec les sept notes de la gamme.

Moins de cent ans après Newton, on considérait la nouvelle science comme la base de l’explication de l’univers entier, et le nombre sept ne jouait plus de rôle dans cette explication.

Elle subsiste toujours dans les croyances de beaucoup de gens, certains savants compris.

La science de l’acoustique n’était désormais plus liée aussi étroitement à des considérations esthétiques ou métaphysiques. Néanmoins, Rameau (1683-1764) conçut une théorie de l’harmonie, c’est-à-dire de l’étude d’accords de trois, quatre, cinq sons ou plus et de leur enchaînement. Il était un grand maître dans cet art. Il se fonda comme Pythagore, Mersenne, Newton sur la série des harmoniques. Sa gamme est celle de Zarlino1, débarrassée de tout élément mystique. D’Alembert publia en 1779 les Éléments de musique suivant les principes de Monsieur Rameau, principes qu’il n’acceptait pas entièrement. Cet ouvrage est un véritable traité d’harmonie suivi d’éléments de composition. Il est plus clair que l’exposé de Rameau lui-même. Celui-ci rejeta certains articles de l’Encyclopédie sur la musique, et il en résulta une controverse amère. Sa théorie, que J.S. Bach n’a dit-on pas acceptée, pénétra néanmoins en Allemagne par l’intermédiaire de Friedrich Wilhelm Marpurg (1718-1795), célèbre théoricien allemand de la musique qui séjourna en France.

La théorie de Rameau, tentative pour fonder l’harmonie sur des « principes naturels », simplifia considérablement l’étude de cette discipline, qui était auparavant une collection de recettes et d’interdictions sans explication. Elle entra dans l’enseignement que reçurent notamment Beethoven et Schubert.

considérable de phénomènes concrets. Certains théoriciens perçoivent le « sens physique » d’une telle équation, d’autres restent dans l’abstraction. On verra dans les pages suivantes combien elle fut féconde. Elle s’obtient en considérant un élément infinitésimal d’une corde tendue, et elle traduit l’équilibre des tensions, des forces qui s’appliquent cet élément suivant la mécaniue de Newton. Elle s’écrit :

F

Vous vous trouvez soudain en présence d’une équation que l’on vous dit s’appliquer à un phénomène qui vous intéresse, et que néanmoins vous ne comprenez pas. J’ai choisi cette présentation parce que c’est ce qui arrive souvent dans la pratique : le physicien ou l’ingénieur trouve dans un traité une équation qui semble en rapport avec son problème, mais il ne la comprend pas. Il faut d’abord parvenir à la lire.

La corde est caractérisée par une masse par unité de longueur ρ et sa tension F ; U désigne la déflexion d’un point d’une corde, c’est-à-dire la distance dont il s’écarte de sa position de repos pendant la vibration, t le temps et x la distance le long de la corde. U est une fonction de x et de t, dont on considère ici les deux dérivées partielles du second ordre par rapport à x et à t. Ces éléments définissent le système.

Le mouvement des éléments de la corde est perpendiculaire à celle-ci, et la mécanique newtonienne considère son accélération. Comme ρ est la densité linéique (masse par unité de longueur), la force d’accélération sur un point de la corde est :

L’équation de d’Alembert Le nom de d’Alembert est universellement attaché à l’« équation des cordes vibrantes » et à une équation plus générale qui décrit beaucoup de phénomènes d’ondes et de propagation. Ce sont des équations différentielles aux dérivées partielles. On introduira plus loin un certain « opérateur » mathématique appelé universellement « d’Alembertien » qui intervient dans tout phénomène de propagation d’ondes.

Revenons à l’équation de la fréquence des cordes vibrantes obtenue par Mersenne. Elle est assez simple. Une équation résume toujours une méthode de calcul ; celle-ci permet de calculer directement le résultat suivant une recette qu’un marchand pourrait utiliser, n’était la présence d’une racine carrée. L’équation des cordes vibrantes va beaucoup plus loin. Elle ne permet de calculer directement aucun résultat, mais d’obtenir, par des transformations, tous les résultats observables sur des cordes vibrantes, et non pas uniquement les fréquences.

L’équation de d’Alembert marque l’avènement de la physique théorique, un langage nouveau qui n’a pas de sens pour la plupart des praticiens. Néanmoins, elle va permettre de définir clairement une onde, et contient en puissance la description d’une variété 1. Voir l’appendice III.

∂2U ∂2U = ρ ∂x2 ∂t2

ρ

∂2U ∂t2

Cette expression n’est autre qu’une réécriture du terme « ma » dans l’équation de Newton, « f = ma ». Il faut maintenant exprimer f.

L’origine de cette force est la tension F. La corde, étant fixée aux deux extrémités, ne peut se déplacer sans prendre de courbure. Cette courbure sur une corde de tension F doit donc produire une force perpendiculaire à la corde elle-même. En effet, une corde soumise à une tension exerce une force dans sa propre direction seulement. La courbure, en changeant cette direction d’un point à l’autre, permet l’apparition d’une force perpendiculaire. La direction de la corde est donnée par la dérivée, soit :

∂U ∂x La courbure est la variation de cette dérivée, soit la dérivée seconde :

∂2U ∂x2

22

La force cherchée est donc,

F

dans les formules. Soulignons que la notion d’opérateur n’est devenue explicite qu’au vingtième siècle, mais qu’elle était en fait maniée couramment auparavant.

Voici des exemples élémentaires d’opérateurs. Ce sont de nombres suivis d’un signe d’opération :

∂U ∂x2 2

3+, 4−, 7×

On a ainsi obtenu l’équation de d’Alembert, en même temps que l’on a expliqué correctement le mécanisme de l’oscillation, sans toutefois résoudre l’équation différentielle.

Ce raisonnement néglige un certain nombre d’effets, notamment la rigidité de la corde, et aussi le fait que la force, perpendiculaire à la corde, n’est pas exactement dirigée dans la direction du déplacement U. L’équation, dans sa perfection, ne représente qu’approximativement la complexité des phénomènes. Une analyse plus fine montre que ces approximations sont parfaitement justifiées dans certaines limites, qu’elle précise. Telle qu’elle est, l’équation explique beaucoup de choses. Peut-être n’apporte-t-elle pas beaucoup à l’art des luthiers dans l’immédiat, mais on verra qu’elle est appelée à un grand avenir par ses généralisations et les développements considérables auxquels elle donne lieu.

Ce sont justement les simplifications faites pour établir cette formule, quitte à violer la nature, qui lui confèrent une grande généralité, et lui donnent même le pouvoir de prévoir des phénomènes d’une nature physique alors inconnue, comme on le verra plus tard.

Appliqués au nombre 2, ces opérateurs donnent respectivement les résultats :

5, 2, 14

Un autre opérateur est d /dt . Appliqué à l’expression gt2/2 qui décrit la chute des corps, il fournit simplement : g.

2

Opérateurs linéaires, fonctions propres et valeurs propres En général, il n’est pas vrai que, lorsque l’intensité d’une cause double, il en est de même des effets. Ce sont seulement de petites variations des effets et des causes qui peuvent être supposées proportionnelles pour une intensité donnée, et c’est la base du calcul différentiel : dC étant une petite variation de la cause C, dE de l’effet E, on pourra supposer la proportionnalité

dE = k dC

avec k constant tant que les différentielles sont petites. Mais k dépend en général de la valeur de C autour de laquelle s’effectue la variation : dE/dC est en général une fonction de C. Les « opérateurs linéaires » ont une grande importance en physique. Considérons une opération « L » que l’on effectue sur un nombre x, ou plus généralement sur une fonction F(x). On symbolise l’opération par la notation LF(x). On dit que l’opérateur est linéaire si, quel que soit le nombre m,

Vitesse de propagation des ondes On ne peut évidemment pas diviser simplement les deux membres d’une équation par les « d » droits ou ronds des dérivations, puisque ce ne sont pas des nombres. On ne peut diviser que par un nombre. Mais tout est bon pour trouver des suggestions. De l’équation des cordes vibrantes, on obtient alors :

L(mF(x)) = mL(F(x))

1 ρ 1 = × x2 F t2

Ainsi, l’opérateur 3. est linéaire parce que 3.mF(x) = m3.F(x) quels que soient m et x. L’opérateur cosinus n’est pas linéaire parce que cos (mx) n’est pas égal à m.cos x. Les opérateurs de dérivation sont linéaires parce que, comme on l’a vu plus haut :

Comme x/t est une vitesse on définira une quantité v telle que :

x =v= t

√

2

d(mF(t))/dt = m d(F(t))/dt

F ρ

Cet énoncé abstrait a un sens très simple. Considérez que F désigne un espace parcouru par votre voiture, et t le temps. L’équation ci-dessus exprime simplement dans ce cas que votre vitesse est proportionnelle à l’espace que vous parcourez dans un temps donné.

La solution de beaucoup de problèmes se simplifie si l’on résout l’« équation aux valeurs propres » de l’opérateur L. Cette équation s’écrit :

Serait-ce la vitesse du son ? Cela correspond assez bien aux expressions trouvées par Galilée et Mersenne.

LES OPÉRATEURS

L F(x) = n F(x)

L’équation de d’Alembert comprend des symboles qui représentent des nombres, tels T, y, p, et des signes de dérivation qui symbolisent des recettes de transformations à effectuer sur ce qui est immédiatement à leur droite. On dit que ces signes désignent des opérateurs.

Ce ne sont pas en général des nombres ; il ne faut donc pas les déplacer sans précautions

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Il s’agit de déterminer la fonction F(x) et le nombre n, qui seront appelés « fonction propre » et « nombre propre » ou « valeur propre » de l’opérateur L. Si l’on a résolu ce problème, on peut alors remplacer l’opérateur par une simple multiplication.

Le problème peut avoir plusieurs solutions. Le nombre propre peut être réel ou

complexe. Par exemple, l’opérateur de dérivation d/dx a pour fonctions propres les exponentielles exp(mx) car

d’où

d (exp mx)/dx = m exp mx

Pourquoi a est-il appelé valeur propre ? Parce que ces valeurs sont propres à la configuration géométrique particulière, décrite par l.

Comme a est un nombre négatif, T est nécessairement une fonction circulaire du temps, de la forme

que m soit réel ou complexe.

L’opérateur d2/dt2 a pour fonctions propres les fonctions sinusoïdales. En consultant le tableau sommaire de dérivées du chapitre 2, on pourra montrer que:

d2 cos(mt) /dt2 = -m2 cos(mt)

T(t) = C’ sin( ωt + φ )

cos(mt) est donc une fonction propre de l’opérateur d2/dt2, et (-m2) est le nombre propre correspondant. sin (mt) est également une fonction propre du ême opérateur, avec les mêmes valeurs propres.

Le fait de pouvoir remplacer les opérateurs par de simples multiplications ermet des simplifications considérables. Cette technique de calcul abstraite au premier abord simplifie tellement les problèmes que l’on a parfois l‘impression d’une supercherie.

avec

d2X/dx2 = - ω2 ρ(x) X(x)/F

Ses solutions ne seront plus sinusoïdales. Leur nature dépend de la fonction ρ(x). Elles devront toujours s’annuler en x = 0 et x = 1. C’est ce qui déterminera la fréquence.

La solution se simplifie considérablement si l’on suppose que la fonction inconnue est un produit de fonctions dont chacune contient une seule variable, ce qui s’écrit :

U(x,t) = X(x) T(t)

En effet, on a alors, puisque T n’est pas fonction de x :

∂2U ∂2X = T(t)· 2 2 ∂x ∂x ∂2U ∂2T = X(x)· ∂t2 ∂t2 L’équation de d’Alembert conduit à

(d2X/dx2)/ X(x) = (ρ/F) (d2T/dt2)/T(t) Le premier membre n’est fonction que de x, le second que de t. Comme ils sont égaux, ils ne sont fonction ni de x ni de t. Ils sont égaux à une constante, soit a :

d2T/dt2 = a (ρ/F) T

On a là les deux équations aux valeurs propres des deux opérateurs différentiels de l’équation aux dérivées partielles. Leurs solutions sont des sommes d’exponentielles ou de fonctions circulaires ou hyperboliques. Mais X(x) doit s’annuler aux deux extrémités de la corde, x = 0 et x = 1. On trouvera que les seules fonctions qui remplissent ces conditions sont, pour C quelconque et n entier quelconque,

X(x) = C sin (nπx/l)

ω2= (nπ/l)2 (ρ/F)

L’équation de d’Alembert conduit à toutes les propriétés connues des cordes vibrantes : fréquences d’oscillation multiples, dépendance de la densité et de la tension. Elle détermine le coefficient numérique laissé indéterminé par Mersenne. De plus, elle se laisse généraliser à des cas plus complexes, tels que celui d’une densité non uniforme. Dans ce cas, l’équation aux valeurs propres de T sera inchangée, celle de X sera :

Une solution de l’équation de d’Alembert par les opérateurs linéaires

(d2X/dx2) = a X(x)

a = -(nπ/l)2

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le sens de projection de manière à remonter le temps. C’est que l’équation de la dynamique a déjà cette propriété.

CHAPITRE 3

OSCILLATIONS ET ONDES

La propagation D’Alembert trouva que son équation permettait à chaque instant n’importe quelle dépendance U(x,t) ou aspect de la déformation d’une corde illimitée, pourvu qu’elle se déplace sans déformation le long de la corde avec la vitesse v ci-dessus. En voici des exemples parmi des infinités

MULTIPLES SOLUTIONS DE L’ÉQUATION DE D’ALEMBERT Nous sommes maintenant en possession des outils qui vont permettre l’analyse fine des propriétés des ondes. Pour cela, il faut étudier quelques solutions simples de l’équation de d’Alembert.

Les physiciens ou mathématiciens qui rencontrent cette équation ne la voient pas nécessairement comme un moyen d’obtenir des valeurs numériques. Nous allons l’aborder, non pas comme on le fait d’ordinaire dans les traités, mais comme un physicien déjà expérimenté qui l’aurait rencontrée sans préparation au cours de son travail.

La première propriété de cette équation est la linéarité : si on multiplie l’expression d’une solution U par un nombre constant, on obtient une nouvelle solution ; une somme de deux solutions U et V est également une solution.

On parle donc de linéarité lorsque les effets sont proportionnels, comme est par exemple le prix d’une marchandise suivant la quantité. Les tarifs dégressifs sont dans ce jargon non-linéaires.

La linéarité de notre équation correspond au fait expérimental qu’une bonne oreille peut reconnaître les notes composantes (ou harmoniques) d’un son musical, et ou que les ondes produites à la surface d’un étang peuvent se croiser sans se détruire : les composants ne se mélangent pas complètement et ils peuvent être reconnus au milieu de l’ensemble. Il arrive que le fonctionnement des amplificateurs soit non-linéaire ; le son devient désagréable : il y a distortion.

Après avoir séparé toutes les couleurs de l’arc-en-ciel par le prisme, Newton pouvait les remélanger avec un autre prisme et retrouver de la lumière blanche, montrant ainsi qu’il n’avait rien détérioré : la propagation de la lumière remplit la condition de linéarité.

C’est comme s’il avait séparé les moutons des chèvres, pour remélanger ensuite les deux troupeaux : il avait séparé des éléments qui différent par une propriété inaltérée, a coueur. ecillustre le fait que la linéarité évite la fusion des composants.

Autre aspect important de l’équation : la symétrie en x et -x, qui vient de ce qu’il n’y a que des termes carrés en x, donc indépendants du signe de x. Elle reflète le fait que la corde et ses deux extrémités sont symétriques, et que la physique n’a pas de préférence pour la droite ou la gauche : l’espace lui-même est symétrique. Il y a de même symétrie dans le temps. En effet, l’équation néglige les forces d’interaction avec l’air et les frottements internes de la corde, qui finissent par amortir l’oscillation. À cela près, si l’on peut filmer assez rapidement la corde pour voir les oscillations il est impossible de voir si l’on inverse

Figure 2a. Onde sinusoïdale Cette onde s’étend à l’infini dans les deux directions.

Figure 2b. Onde impulsion ou vague unique

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L’abscisse est la distance le long de la corde.

On montrera au chapitre IX qu’une onde non sinusoïdale peut être considérée comme une somme d’ondes sinusoïdales de longueurs d’onde différentes. Dans le cas présent, toutes ont un maximum à la crête du paquet et se détrui- sent ailleurs par interférence.

Les ordonnées verticales sont les déflexions, élongations ou amplitudes du déplacement le long de la corde et ont été très augmentées pour faciliter la visualisation, car la déflexion des cordes est généralement à peine visible. On doit se représenter ces courbes comme se

déplaçant en glissant sans déformation vers la droite ou la gauche à la vitesse v qui n’est pas ici la vitesse du son dans l’air, mais le long d’une corde tendue.

Onde se propageant vers -x :

U1=G(t + x/v)

G est une fonction quelconque, par exemple l’une de celles qui sont représentées ci-dessus ; un accident d’une courbe, tel qu’un maximum, est déterminé par une valeur de t + x/v. Pour suivre cet accident, il faut maintenir cette quantité constante, soit c. On doit alors se déplacer en x de façon à remplir :

x = cv - vt

c’est-à-dire à la vitesse v vers les -x.

Onde se propageant vers +x :

U2 = H(t - x/v)

Si on considère toutes les fonctions G et H possibles, et même certaines qui ont des discontinuités, la solution la plus générale s’écrit :

U3 = G(t + x/v) + H(t - x/v)

Les ondes stationnaires ou oscillations

Conclusion importante L’équation de d’Alembert contient le phénomène de propagation.

Pour résoudre ce problème, l’équation différentielle est insuffisante car elle ne contient pas la longueur de la corde. Dans le cas d’un instrument de musique, le déplacement U reste nul à tout instant aux extrémités x = 0 et x = 1. L’expérience montre qu’il existe beaucoup de solutions suivant la manière dont la corde est attaquée, par exemple avec un marteau ou avec un plectre. Mais il existe des solutions types simples.

Comme nous savons que les cordes sont le siège d’oscillations périodiques à des fréquences différentes, essayons une solution U(x,t) de la forme :

Bien entendu, à tout moment, il est possible d’obtenir des valeurs numériques de U si l’on a bien spécifié les conditions de l’expérience : comment a- t-on excité la corde ?

On se procurera une cordelette d’une dizaine de mètres de longueur. Une drisse ou une écoute de foc peut faire l’affaire, mais un prolongateur électrique est encore meilleur.

On la fixera à un mur, une branche d’arbre ou une poignée de porte, et on la tendra horizontalement de la main gauche. On peut agiter la cordelette de la main droite plus ou moins rapidement et on verra différentes formes d’ondes suivant la tension et la vitesse d’agitation. Dans une deuxième expérience, de la main droite, on frappera la corde avec la main ou avec un objet dur, un bâton par exemple. On observera que l’impulsion communiquée court sous forme d’une courte ondulation vers le mur, puis revient en sens inverse avec la même vitesse. On pourra peut-être remarquer que la déformation s’inverse en se réfléchissant sur le mur. Surtout, on sentira dans la main gauche une secousse lorsque l’impulsion rencontre la main.

U(x,t) = u(x) cos ωt

Cette fonction reprend la même valeur chaque fois que ωt varie de 2�, soit 360°, c’est-à-dire chaque fois que le temps s’écoule d’une période T = 2�/ω, c’est-à-dire avec une fréquence f = 1/T, comme il a été défini plus haut. En reportant cette fonction dans l’équation de d’Alembert, nous obtenons :

d2u/dx2 cos ωt = -(ω2/v2) u cos ωt

conformément à notre tableau de dérivées.

Il est vraiment commode de pouvoir remplacer des dérivations par des multiplications.

Cela apparaît notamment lorsque l’on manie les fonctions sinusoïdales. comme on va le voir de suite. La nouvelle forme de l’équation de d’Alembert s’écrit en effet :

Nous avons là, nous démontrent les mathématiciens, les solutions les plus générales de l’équation de d’Alembert. Mais comment se fait-il qu’elles ne ressemblent guère à l’oscillation sur place des cordes vibrantes ? Elles ressemblent plutôt en fait, à la progression d’une particule localisée dans l’espace, surtout celle de la figure 2b.

La solution la plus générale est la somme d’une onde qui se propage vers la droite et d’une qui se propage vers la gauche. On pourra vérifier que toute fonction de t + x/v est solution de cette équation, ainsi que toute solution de t - x/v. Voici donc trois solutions :

d2u/dx2 = - (ω2/v2) u

La remarque précédente montre que

u = cos (ω/v) x

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et u = sin (ω/v) x sont deux solutions possibles. Comme la corde est immobile à ses deux extrémités, x = 0 et x = 1, U doit être nul à chaque instant en ces points, et nous préférons la solution en

sinus qui est nulle pour x = 0. Pour x = 1, il faut imposer :

Vérifier que ces résultats coïncident avec la formule empirique de Mersenne si a vaut exactement 0,5.

sin (ω/v) l = 0

Cette relation entraîne, n étant un nombre entier quelconque :

(ω/v)1 = n�

ω = n�v / l

f = n v / 2l

C’est un événement de l’histoire de la physique et des mathématiques! L’équation de d’Alembert, parmi une foule de solutions évoquées plus haut, retrouve la série des harmoniques des cordes connues depuis Pythagore, ses relations avec la longueur de la corde, mais aussi avec sa tension et sa densité, trouvées empiriquement par Mersenne.

On dispose donc d’un outil d’investigation très puissant dont on ne tardera pas à trouver maintes applications. On montrera sans peine que l’on peut généraliser la solution trouvée sous la forme:

Un = Cn sin (�nx/l) cos(�nvt/l - φn)

L’équation est remplie quelles que soient les « amplitudes » Cn, qui déterminent l’intensité du son : que l’on attaque une corde de guitare fort ou doucement, on obtient à très peu près la même fréquence, la même note. C’est la propriété de linéarité.

Chaque valeur du nombre n donne une solution différente, ou « mode » d’oscillation, dite d’ordre n. Le fait que l’on ne trouve de solutions que pour des fréquences discrètes, c’est-à-dire bien définies et bien séparées, correspond au phénomène de la résonance.

Il est lié aux positions des fixations aux extrémités de la corde : on trouvera toujours des résonances dans les espaces confinés. Dans les pièces d’habitation qui sont dépourvues de tentures, on observe des résonances parfois gênantes.

Le fait que nos solutions comportent comme fréquences des multiples entiers d’une fréquence fondamentale est lié à l’homogénéité de la corde. Les harmoniques d’une corde inhomogène sont décalées et sonnent un peu faux. Les bonnes cordes doivent être homogènes.

Résumons : dans l’équation en Un, le premier terme, en sinus, décrit une déformation type de la corde. Il faut calculer la parenthèse en radians, ou en degrés en remplaçant � par 180. Les fonctions Un, pour n = 1, 2, 3, 5 correspondent à la série de notes que nous avons utilisée plus haut pour illustrer les travaux de Mersenne et voici leurs fonctions en sinus, pour l = 5. Les solutions n’ont de sens que dans l’intervalle de x = 0 à x = 1, puisque la corde est limitée à cet intervalle.

Figure 3. Diverses oscillations sinusoïdales, différant par leur longueur d’onde, et leur fréquence

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Voila donc beaucoup de solutions – Toute déformation suivant x est solution pourvu qu’elle se propage sans déformation dans un sens ou dans l’autre à la vitesse v. La somme d’une déformation quelconque se déplaçant à la vitesse v et d’une autre également quelconque se déplaçant en sens inverse est donc une solution plus générale, à cause de la linéarité qui permet la superposition simple.

– Toutes les solutions Un, et par suite toute somme de ces fonctions affectées de coefficients quelconques Cn :

La phase et la fréquence La phase est en général la quantité dont on prend le sinus ou le cosinus, qu’on appelle encore l’argument des fonctions de ce type. Elle est de première importance puisqu’elle détermine le signe de la quantité considérée et qu’elle change en général rapidement dans le temps et l’espace : sinon, on ne peut véritablement pas parler d’oscillations ou d’ondes.

On comprend beaucoup mieux un phénomène lorsqu’on étudie comment varie sa phase, et c’est ce qu’a fait Huygens sans très bien le savoir. La fréquence indique comment elle varie dans le temps.

Il a fallu introduire une quantité φn appelée phase à l’origine, car une oscillation peut démarrer dans n’importe quelle phase : amplitude nulle, maximale etc. Le mot vient évidemment des phases de la lune, qui sont périodiquement positives (blanches) ou nulles (noires).

U = C1U1 + C2U2+ C3U3+ C4U4 + ...

que l’on pourra écrire en explicitant :

U = ∑ Cn sin (�nx/1) cos (�nvt/l - φn)

Une telle expression, somme de sinusoïdes dont les arguments sont, à la phase près, les multiples successifs d’une même variable affectés de coefficients arbitraires, est une série de Fourier. Nous en verrons de plus générales.

Ceux qui savent manier les fonctions sinusoïdales pourront mettre cette expression sous la forme d’une somme en G et H :

Ceux qui connaissent la relation entre les fonctions sinusoïdales et les exponentielles pourront établir facilement les équivalences entre les différentes expressions générales de U, s’ils ne sont pas étourdis par le nombre de ternies. On pourra appeler a la somme de tous les termes précédés de + et b celle de tous les termes précédés de -.

U = 1⁄2∑Cn sin(�nx/L + �nvt/L - φn) + 1⁄2∑Cn sin(�nx/L - �nvt/L + φn) ou encore :

U = 1⁄2 ∑nCn sin(�n(x + vt)/L - φn) + 1⁄2 ∑nCn sin(�n(x - vt)/L + φn)

Qu’est-ce qu’une onde simple ?

Il existe pour le sens commun beaucoup de sortes d’ondes : entre l’onde pure dans le courant de laquelle l’agneau de La Fontaine se désaltérait, les fureurs de l’océan et les ondes sonores émises par le violon de Yehudi Menuhin, il y a des points communs que, avec des définitions convenables, nous allons dégager et étudier. Ces définitions sont indispensables aux scientifiques, même si, par un choix abusif des mots, elles ne sont pas toujours conformes au bon sens.

On parle aussi d’autres ondes, telles celles de la radiesthésie, que les physiciens n’ont pu mettre en évidence et dont ils doutent car elles semblent violer certains principes bien établis de la physique.

Parmi les solutions plus ou moins complexes que nous avons considérées, et qui s’appliquent à beaucoup de phénomènes physiques, concentrons-nous sur la solution type :

Cette expression est en effet de la forme générale que nous avons introduite plus haut:

U = G (t + x/v) + H (t - x/v)

Et pourtant, ces expressions n’ont apparemment qu’un point commun celui de ne contenir les variables x et t que dans les termes t + x/v et t - x/v. Voilà une chose bien remarquable.

Comme G et H sont des fonctions quelconques, cela suggère que d’innombrables fonctions mathématiques peuvent s’exprimer comme des sommes de sinusoïdes, quelle que soit leur signification physique : ce sera l’objet de l’analyse de Fourier.

Nous avons là des expressions assez complexes qui peuvent décourager beaucoup de lecteurs. Mais elles comprennent toutes les possibilités des cordes vibrantes. Il existe des infinités de manières de faire vibrer une corde de violon, et cela permet toute la richesse de l’exécution musicale. Admirons plutôt que la mathématique parvienne au moins partiellement à en rendre compte. Cela ne sert pas beaucoup les musiciens, direz-vous.

Certains luthiers et organiers savent en tirer parti. En outre, cela va ouvrir d’autres horizons aux physiciens et ingénieurs.

L’identité des deux dernières expressions de U a une importance qui déborde largement le problème des cordes vibrantes : c’est une propriété mathématique générale, applicable à de nombreux phénomènes physiques linéaires. Lorsque vous aurez lu les chapitres sur la physique quantique, vous comprendrez que cette propriété mathématique préfigure la dualité onde-particule.

U = C sin (ω(t - x/v) + φ)

On l’écrit encore :

U = C sin (ωt - kx + φ)

où k = ω/v = 2�/λ, est une fréquence spatiale, puisqu’il traduit la variation de la phase dans l’espace. On nomme k la constante de propagation. U, étant fonction de t - x/v, elle décrit, comme on l’a vu une onde se propageant dans la direction +x et non pas l’oscillation d’une corde limitée en x = 0 et x = 1.

28

On a voulu que l’amplitude puisse être choisie par la quantité C et que la phase garde une dépendance simple (linéaire) de x - vt. La quantité φ est comme précédemment la phase à l’origine du temps et de l’espace. Pour illustrer la propagation, considérons à titre d’exemple l’onde suivante :

caractéristique la plus sensible des sons, avec leur intensité et leur durée : elle correspond à la hauteur. La nature de cette correspondance est physico-physiologico-psychologique, si j’ose dire. Résumons quelques faits saillants : Grâce au calcul différentiel, il est possible de décrire les phénomènes proprement physiques de façon complète, en omettant toutefois des éléments considérés comme négligeables. La mécanique montre comment cette méthode peut être appliquée aux mouvements de corps isolés qui subissent des forces, tels que planètes, projectiles. Ici, on a pu traiter le cas d’un milieu étendu et continu très simple, il est vrai : la corde. Dans tous les cas, la solution mathématique prévoit les positions et les vitesses de la moindre particule ou élément du système étudié à chaque instant. C’est une possibilité qui n’avait pas été clairement envisagée avant le XVIle siècle. Elle donnera lieu à la philosophie déterministe.

La continuité du temps et de l’espace est une hypothèse fondamentale de la nouvelle physique. Celle-ci balaye donc les objections des pythagoriciens et d’autres mathématiciens à l’usage des nombres irrationnels. La continuité ne sera remise en cause, par étapes, qu’avec la découverte de la structure atomique de la matière.

On ne saurait trop insister sur les conséquences de la linéarité, en particulier la possibilité de superposer des ondes sans les détruire, et de les séparer ensuite, comme le fait une oreille exercée.

U = 1,2 sin (2� (t - x/5) + 1)

Pour t = 0, l’allure est la suivante :

Pour t = 0,25 :

Figure 4a

Du bord d’un étang calme, « faire des ronds dans l’eau » : jeter une pierre à quelque distance et observer l’apparition d’ondes en anneaux concentriques qui s’étendent.

Jeter ensuite simultanément deux pierres à des distances assez éloignées, et observer comment les anneaux s’interpénètrent et se croisent sans se détruire.

Au contraire, des ondes de grande amplitude déferlent sur le rivage. Elles se détruisent si elles se rencontrent. Dans ce cas, il est inutile de jeter une pierre pour observer les ronds dans l’eau : on est dans un régime fortement non-linéaire.

Figure 4b Pour t = 0,5 :

La linéarité est donc un fait d’expérience journalière, mais qui disparaît aux fortes amplitudes en acoustique, alors qu’il reste vrai pour les ondes optiques, électromagnétiques, atomiques de grande intensité. Les vagues se croisent sans se détruire si elles ne sont pas trop fortes. Des faisceaux de lumière très intenses se croisent sans se perturber.

EXTENSIONS DE LA THÉORIE DES CORDES VIBRANTES

Figure 4c Figure 4. Propagation d’une onde sinusoïdale dans le temps On voit la sinusoïde se déplacer vers la droite, comme une onde sur l’eau. La longueur d’onde λ, est la distance entre deux crêtes consécutives ; elle ne varie pas.

Le concept de fréquence joue un rôle fondamental dans l’analyse mathématique de beaucoup de phénomènes acousto-mécaniques, optiques, atomiques. C’est d’ailleurs la

29

On a dit plus haut que l’étude des ondes donne la clé de toute une partie de la physique.

Il faut donc la poursuivre, ce que nous ferons de deux manières. D’une part, nous étudierons la propagation de phénomènes divers dans trois directions, c’est-à-dire dans l’espace et non pas le long d’une corde ; d’autre part, nous approfondirons la représentation des fonctions mathématiques quelconques en sinusoïdes, c’est-à-dire en modes des cordes vibrantes : c’est l’analyse de Fourier.

Considérons donc des ondes à deux et trois dimensions. Les dernières sont difficiles à représenter.

La figure suivante montre une région d’une onde 2d (à deux dimensions), à la surface de l’eau par exemple :

apparaît parce que l’air chauffe au cours des rapides contractions et refroidit au cours des dilatations qui constituent les vibrations de l’air. La notion de vitesse de phase v subsiste.

C’est alors la vitesse du son dans l’air, environ 330 mètres/seconde à 20° centigrades.

En outre, il faut une expression symétrique dans les trois directions x, y, z, comme l’espace lui-même. Le symbole U(x, y, z, t) désignera tout phénomène vibratoire : déplacement ou vitesse suivant une direction, pression ou densité de l’air, suivant le choix.

Cette expression doit rester du second ordre (deux dérivations) en x et t, sans quoi elle ne pourrait se réduire à l’équation unidimensionnelle déjà connue. Il est indispensable d’avoir recours aux « dérivées partielles » introduites par Euler, distinguées des dérivées ordinaires par l’écriture avec des « d ronds » qui, rappelons-le, indiquent que la dérivée considérée est calculée en faisant varier une seule des variables. On montre qu’une seule forme est possible : ∂∂ ∂∂ ∂∂ 1 ∂∂

∂x∂x

U+

∂y∂y

U+

∂z∂z

U–

v2 ∂t∂t

U=0

C’est l’équation générale de la propagation à trois dimensions. Cette forme est tellement fréquente en physique que l’on utilise des notations condensées :

Figure 5a

∆U – 12 ∂∂ U = 0 v ∂t∂t

Le quadrillage ne correspond à aucun phénomène, il aide simplement à visualiser les déformations. L’onde se comporte, dans une direction, comme sur une corde, mais elle s’étend, uniforme, dans la direction perpendiculaire. Il faut aussi pouvoir la regarder dans une direction oblique, car les ondes peuvent être excitées dans toutes les directions.

Voici un morceau d’espace où deux ondes se croisent, situation peu appréciée à bord des voiliers :

où ∆ est défini comme l’opérateur spatial en x, y, z, appelé le « laplacien ». L’opérateur à quatre dimensions : ∂∂ ∂∂ ∂∂ 1 ∂∂

∂x∂x

+

∂y∂y

+

∂z∂z

–

v2 ∂t∂t

est appelé « d’Alembertien ». Il se note aussi bien :

∂2 + ∂2 + ∂2 – 1 ∂2 ∂x2 ∂y2 ∂z2 v2 ∂t2

Figure 5b Les trois dimensions et les symétries La formulation de l’équation d’ondes à trois dimensions est très importante. Elle s’applique d’abord à la propagation des sons dans l’air. La tension F est remplacée par la pression, la densité linéique par la densité volumique de l’air. Un facteur supplémentaire

30

Soulignons de nouveau que, comme tout opérateur, il n’a de sens numérique que lorsqu’il est appliqué à une fonction du temps et de l’espace placée à sa droite. La valeur de la constante v dépend du phénomène considéré, puisque c’est la vitesse de propagation : environ 330 m/sec pour le son, exactement 299 792 458 m/s dans le vide pour la lumière.

Sans savoir les résoudre, certaines personnes sont sensibles à l’aspect esthétique de ces équations. Comme l’ordre des termes d’une addition peut être modifié à volonté, on peut lire dans ces expressions la symétrie complète entre les trois dimensions d’espace. Le temps figure dans un terme semblable, mais négatif. On a déjà souligné le fait que x, y, z, apparaissent deux fois, au carré, ce qui indique la symétrie du sens dans l’espace et que, ce qui est plus surprenant, la même symétrie existe dans le temps.

Sans savoir les résoudre, certains apprécient l’aspect esthétique des équations. Nous aurons l’occasion d’en apprécier l’universalité. On se trouve en fait dans l’antichambre de la théorie de la Relativité, car celle-ci découle des propriétés de symétrie de l’opérateur d’Alembertien appliqué à la lumière.

Nous allons maintenant abandonner l’acoustique pour suivre les progrès de la théorie de la lumière.

Nous quittons aussi le XVIIIe siècle, avec une remarque sur d’Alembert en tant que philosophe, mathématicien, théoricien du mouvement, de l’astronomie et de la musique, et bien que spirituellement sceptique, il peut encore être considéré comme un penseur de style pythagoricien : loin de considérer les mathématiques comme un outil plus ou moins utile pour les praticiens, il est un des très nombreux physiciens qui croient à une correspondance profonde entre la physique et les mathématiques.

Nous proposons en Appendice des réflexions sur le chant des oiseaux qui illustrent le rapport entre l’univers et notre monde technique et rationnel.

Le rayonnement L’une des solutions les plus intéressantes du d’Alembertien prédit le rayonnement : des ondes sphériques émises par un point source, qui s’étendent radialement dans toutes les directions avec la vitesse v, tout en perdant de l’amplitude avec la distance r. Il faut exprimer r en fonction de x, y, z ; le théorème de Pythagore entraîne que r2 = x2 + y2 + z2.

La solution s’écrit:

U = (C/r) sin (ω(t - r/v) + φ0)

Elle précise l’intuition géniale de Huygens à propos de la propagation. Elle ne suppose pas de valeur particulière de la fréquence, contrairement aux solutions des cordes vibrantes (ou des tuyaux sonores) : l’espace n’est pas confiné, il n’y a pas de résonance. On peut visualiser la solution dans une représentation à deux dimensions seulement :

Figure 5c. Onde circulaire bidimensionnelle On la comparera qualitativement à la surface d’un étang où l’on viendrait de jeter une pierre.

La phase et la distance Comme on le voit ci-dessus, la phase φ varie le long des rayons qui partent d’une source suivant les expressions équivalentes :

φ = ω(t - r/v) + φ0 φ = ωt - kr + φ0 φ = ωt - 2�r/λ + φ0 À un temps donné, elle diminue donc de 2� chaque fois que le point considéré s’éloigne d’une longueur d’onde. Voilà une règle élémentaire qui est commode pour analyser les situations expérimentales. Tout change quand le rayonnement est dévié ou modifié par un obstacle, mais nous ne considérerons pas ces cas.

31

CHAPITRE 4

FOURIER ET LES PHÉNOMÈNES PÉRIODIQUES JEAN-BAPTISTE FOURIER C’est Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) qui découvrit les grandes possibilités offertes par les fonctions sinusoïdales que nous avons utilisées plus haut. Il les exposa en 1822 dans un traité sur la propagation de la chaleur1. On se demande combien de temps il aurait fallu aux mathématiciens pour l’inventer si Fourier ne l’avait fait, car elle ne se situe pas dans la ligne des travaux d’alors et, bien qu’elle fournisse de nombreux résultats du plus grand intérêt, elle ne reçut sa pleine et rigoureuse justification mathématique qu’au bout d’un siècle environ.

L’analyse de Fourier est une nouvelle manière de traiter une classe de fonctions parmi les plus importantes de la physique mathématique et de la technique, avant tout applicable aux phénomènes linéaires.

Revenons aux deux solutions de l’équation de d’Alembert citées plus haut :

DEUXIÈME PARTIE

LA MAÎTRISE DE LA LUMIÈRE ET DE L’ÉLECTRICITÉ

U = ∑ Cn sin (�nx/l) cos (�nvt/l - φn) U = G (t + x/v) + H (t - x/v)

qui peuvent représenter la même fonction. C’est de la première que Fourier fit une étude extensive.

La vie de Fourier fut une véritable épopée de l’époque napoléonienne que E. T. Bell a résumée2 avec plus de détails que l’on n’en trouvera ici. Fils d’un tailleur d’Auxerre et orphelin à huit ans, son goût de l’étude fut signalé à l’évêque qui le plaça dans une école militaire tenue par des Bénédictins. Il se signala par un talent extraordinaire, notamment pour écrire, dès l’âge de douze ans, des sermons dont certains furent prononcés à Paris par d’importants prélats. En même temps, il montrait un caractère de plus en plus difficile qui s’adoucit lorsqu’il aborda les mathématiques. Les Bénédictins voulaient le faire entrer dans les ordres, mais l’explosion de la Révolution - il avait alors vingt et un ans - lui permit non pas de réaliser son rêve de devenir officier, mais de devenir professeur de mathématiques.

Il se rendit alors à Paris pour présenter des travaux originaux sur la résolution des équations numériques. Rentré à Auxerre, il prit le parti de la révolution.

Son éloquence aurait pu lui coûter la vie lors de la terreur : presque toute prise de position était alors dangereuse. Lorsque l’École Normale fut fondée à Paris en 1794, ses

32

1. Jean Baptiste Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur, 1822.

2. Eric Temple Bell, Men of Mathematics, 1937 ; Pelican books, 1953, La vie des grands mathématiciens, traduction française de Ami Gandillon, Payot, 1961.

talents et son attitude politique firent qu’on lui proposa la chaire de mathématiques.

et proportionnellement au « gradient » de la température combien, par exemple, de degrés par centimètre. Elle s’écrit, en écriture vectorielle :

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) fut un administrateur d’une grande valeur, qui fut appréciée aussi bien lors de sa participation à l’expédition de Bonaparte en Égypte que pendant son préfectorat en Isère. Malgré cette activité, il parvint à faire aboutir ses efforts à une théorie mathématique très puissante, dont la nécessité n’apparaissait nullement a priori. Cette théorie est l’un des outils principaux de la physique mathématique, et notamment de la théorie des ondes de toute nature.

Bientôt (1798), voici Fourier embarqué avec Bonaparte, en compagnie du mathématicien Monge (1746-1818) et du chimiste Berthollet (1748-1822) vers l’Égypte pour y greffer la culture occidentale. Les affaires tournant mal de plusieurs côtés, Bonaparte retourna en France avec Monge et Berthollet, laissant à Fourier la charge ingrate du nouvel Institut d’Égypte au milieu d’une population hostile. Il parvint à s’enfuir après Trafalgar, en 1801, et fut nommé préfet de l’Isère, où son action se révéla très favorable tant sur l’effervescence des esprits que sur l’assèchement des marais. C’est là qu’il rédigea en 1807 un mémoire à l’Académie sur la conduction de la chaleur, puis la considérable « Théorie analytique de la chaleur », publiée en 1822, qualifiée plus tard par Kelvin de « grand poème mathématique ».

Entre temps, il se produisit beaucoup d’événements très importants : la retraite de Russie, la relégation de Napoléon à Elbe en 1814, le retour de la monarchie des Bourbon avec Louis XVIII, l’évasion de Napoléon et son débarquement sur le continent le premier mars 1815.

Bien qu’officier de l’Empire et peu favorable aux Bourbon, Fourier prît position contre Napoléon à son retour. Plus même, il organisa la résistance contre lui, ce qui fut l’occasion d’au moins une rencontre orageuse. Il ne fut pas mieux traité par Louis XVIII. Il versait lentement dans la misère, lorsque ses amis parvinrent à le faire nommer « directeur de la statistique ». Le roi s’opposa à son entrée à l’Académie en 1816, mais il en devint néanmoins le secrétaire perpétuel en 1817, ce qui lui donna l’occasion de prononcer maint discours pompeux : il était rompu à ce style avant même son adolescence.

Soit à la suite de son séjour en Égypte, soit parce qu’il voulait épargner toute perte de chaleur de son corps, il vivait emmitouflé dans des pièces surchauffées et mourut, en 1830, d’un accident circulatoire.

La Théorie analytique de la chaleur traite d’une seule question : comment la chaleur se propage-t-elle dans et entre les corps ? Elle donne des méthodes générales et radicalement nouvelles et fécondes pour résoudre les équations aux dérivées partielles, dont nous avons donné quelques exemples à propos de l’acoustique. Ces méthodes ne s’appliquent qu’aux équations linéaires, c’est-àdire à beaucoup de celles qui se présentent en physique, et évidemment en physique des ondes de toute nature, notamment en physique quantique.

Fourier part de deux équations simultanées : – La première dit que la chaleur se propage dans la direction où la température diminue

Γ = -k × gradT

En hiver, vous chauffez votre maison. La chaleur traverse les murs et réchauffe l’air extérieur. La perte de chaleur est proportionnelle au coefficient k, qui dépend de la nature du mur. Γ représente la densité de flux de chaleur : il s’écoule tant de calories par seconde et par mètre carré ou, suivant les unités, de Watts par mètre carré. Dans une structure plus compliquée qu’un mur, f peut avoir toute direction et doit être représenté par un vecteur.

– La seconde équation dit que, si du flux de chaleur sort d’un volume, la température s’y abaisse. Elle s’écrit

divΓ = -C ∂T ∂t

L’opérateur divergence a été présenté plus haut. C est la capacité calorifique du milieu.

L’équation signifie : combien de calories faut-il pour élever un centimètre cube d’un degré (t est le temps) ? D’où viennent ces calories ?

Lorsque vous arrivez en hiver dans votre maison de campagne, vous chauffez d’abord non seulement l’air, mais les murs. Leur température s’élève c’est le membre de droite de l’équation. Un flux de chaleur pénètre dans le mur, mais il n’en sort pas encore vers l’extérieur parce que le mur est encore trop froid. La divergence n’est pas nulle, c’est le membre de gauche. Au bout de quelques heures, un régime constant est atteint, la température ne varie plus, la divergence est nulle, Γ est constant à l’intérieur du mur. La première équation est alors facile à résoudre par une simple règle de trois :

Γ = -k (Text - Tint) / d

d est l’épaisseur du mur.

En combinant les deux équations générales, on obtient :

∆T = - C ∂T k ∂t

33

On a supposé k et C indépendants de la température, ce qui est loin d’être toujours justifié, mais est nécessaire pour développer les méthodes de Fourier. L’opérateur ∆, appelé laplacien, a été défini plus haut. En effet, la divergence d’un gradient est un Laplacien, comme le montrent les diverses expressions du d’Alembertien données plus haut.

La nouvelle équation est donc voisine de celle de d’Alembert, mais avec une différence majeure : le temps figure par une dérivée du premier ordre et non du second. Le sens du temps est inclus, les processus sont irréversibles ; un corps froid ne peut se refroidir en en échauffant un plus chaud. L’expression doit être soulignée, et opposée au caractère réversible des équations de la dynamique newtonienne, déjà signalé à propos des oscillations.

Fourier constata que les mathématiques utilisées pour la théorie des cordes vibrantes peuvent aussi s’appliquer au cas de la propagation de la chaleur et il développa une méthode d’analyse valable pour de très nombreux problèmes physiques.

Ces courbes représentent la forme de la corde à un instant donné. Elles se déforment pendant l’oscillation, mais retrouvent la même forme au bout d’une période du fondamental.

Il est probable que Fourier fit de nombreux calculs numériques, fut frappé de la variété des formes qu’il pouvait décrire et conclut qu’il pouvait les décrire toutes, ou tout au moins certaines classes de fonctions. Il appliqua alors cette méthode à la propagation de la chaleur, qui n’est pas périodique dans le temps, ni dans l’espace. Mais cette non-périodicité dans l’espace ne joue pas de rôle pour une corde qui a une longueur finie ou une paroi qui a une épaisseur finie, puisque l’on ne s’intéresse pas aux valeurs extérieures à cette longueur ou à cette épaisseur.

DIFFÉRENTS ESPACES Séries de Fourier dans un espace borné entre 0 et 1 La possibilité des cordes de vibrer sur plusieurs harmoniques est illustrée par les figures 2a, 2b, 2c, 2d. Nous allons maintenant exploiter la possibilité de vibrer à la fois sur plusieurs harmoniques, par simple addition de leurs amplitudes ou superposition.

Superposition deviendra un mot clé en physique quantique. Nous allons montrer sur des exemples quelques principes de la méthode, que nous résumerons ensuite de façon plus systématique.

Voici deux exemples de profils de cordes, très amplifiés, correspondant à des superpositions d’harmoniques

Généralisation aux fonctions périodiques Nous avons considéré des fonctions sinusoïdales seulement dans l’intervalle de 0 à l.

En fait, elles sont définies pour toute valeur de x, et périodiques. Fourier admit sans véritable démonstration que « toute » fonction périodique peut être représentée par les fonctions sinusoïdales - sinus et cosinus - affectées de coefficients convenables. Une fois cette propriété admise, il est facile de déterminer les coefficients qui figurent dans la fonction, bien qu’il puisse y avoir un nombre infini de termes ou harmoniques.

En effet, les fonctions sinusoïdales ont une propriété remarquable qui permet pour ainsi dire de séparer, on peut même dire de filtrer les harmoniques d’une série. Considérons la fonction suivante :

U(x) = 0,4 (cos x + 0,8 sin 3x + 0,6 cos 5x + 0,4 cos 7x + 0,2 sin 9x)

ainsi que l’intégrale :

L’amplitude est fortement amplifiée au-delà de ce que l’on peut obtenir sur un instrument de musique. On a pris ici l = 2� : la corde est fixée aux points 0 et 6,28.

U(x) = sin �x/l + (sin 2�x/l)/2 + (sin3�x/l)/3 - (sin 4�x/l)/4 + (sin 7�x/l)/5

T

∫ U(x)cos(5x) · dx 0

Vérifier que l’expression de U ci-dessus reste valable si l’on remplace x par x + 2�. Cette fonction est donc périodique et de période T = 2�.

Autre exemple :

O

Comme U(x) est une somme, l’intégrale qui la contient est une somme d’intégrales correspondant aux différents termes de U(x). Or, toutes sont nulles sauf celle correspondant au terme en cos 5x, si l’on observe correctement les limites de l’intégrale, déterminées par la période. Cette intégration consiste, en somme, c’est le cas de le dire puisqu’il s’agit d’une intégrale, à faire entrer en résonance la fonction U avec la fonction cos 5x, et à observer l’amplitude résultante. L’intégrale suivante, valable pour tout n entier, peut être démontrée ou calculée sur certaines calculettes de poche :

l

∫

U(x) = 0,3 sin �x/l + (sin 2�x/l)/2 - (sin3�x/l)/3 - (sin 4�x/I)/4 + sin (7�x/I)

Figure 6. Ondes composites sur une corde (superposition)

0

34

2

(cos nx)2 · dx = �

On pourra aussi voir que la valeur moyenne de (cos nx)2 sur une période exacte est 1⁄2 en traçant le graphique de cette fonction. Un tracé approximatif à la main peut suffire.

Quand aux autres termes de l’intégrale en U(x), ils sont simplement nuls. En effet, et voilà une grande simplification, l’un des piliers de la représentation de Fourier : les intégrales suivantes

∫

0

2

cos px cos qx · dx = �

∫

0

Les fonctions les plus simples qui possèdent cette périodicité sont :

cos (2�nx/L) sin(2�nx/L)

Comme cos(px) = cos(-px) quel que soit p, cette fonction est dite paire. Au contraire, la fonction sin(px) = -sin(-px) est dite impaire. La série suivante est donc une fonction paire: ∞

P(x) = ∑an cos 2n�x / L

2

sin px sin qx · dx = �

n=0

sont toutes nulles si p est différent de q. On dit que cos px et cos qx sont orthogonaux si p et q sont différents, car ces intégrales sont des sortes de projections d’une fonction sur l’autre. De même 2

∫

est nul quels que soient p et q.

0

tandis que

n=0

sin px cos qx · dx = �

est impaire. Or, toute fonction U(x) peut être représentée comme la somme d’une fonction paire : U(x) + U(-x)

P(x) =

Établir ces relations en utilisant les identités suivantes cos(p - q)x + cos(p + q)x cos px cos qx = 2 sin px sin qx = sin px cos qx =

∞

Q(x) = ∑bn sin 2n�x / L

et d’une fonction impaire

cos(p - q)x - cos(p + q)x

Q(x) =

0

sin(p - q)x - sin(p + q)x 2

a0 =

T

U(x) cos 5x · dx = 0,4 · 0,6 · �

car 0,4, 0,6 est le coefficient de cos 5x dans la fonction U considérée.

Cette méthode s’étend, mutatis mutandis, aux cas où la fonction comprend des termes en sinus. L’important est la possibilité de déterminer, et d’une manière unique, les coefficients de Fourier d’une fonction périodique quelconque.

Des sommes de sinusoïdes comme celles que nous venons de voir permettent de représenter la plupart des fonctions périodiques de la physique. Les sommes, où le nombre n peut prendre toutes les valeurs entières, doivent être étendues jusqu’à l’infini. La fonction à représenter doit avoir une seule valeur pour chaque point : c’est bien le cas pour une corde, car un point de la corde ne peut pas se trouver à deux distances différentes de sa position d’équilibre. La température, la pression ne peuvent pas non plus avoir deux valeurs différentes en un point.

Reprenons la question de manière systématique.

Soit x la variable et soit L la longueur de la période.

U(x) - U(-x) 2

Suivant une méthode déjà utilisée plus haut, on obtiendra les coefficients en multipliant U(x) par les différents cos et sin, et en intégrant de 0 à L. Comme l’intégrale sur l’intervalle de 0 à L de (cos 2n�x / L)2 et de (sin 2n�x /L)2 est simplement L/2, on trouvera :

2

Compte tenu de ces relations l’intégrale en U se réduit à un terme :

∫

2

an =

2 L

bn =

2 L

∫

L/2

∫

L/2

-L/2

-L/2

1 L

∫

L/2

-L/2

U(x)·dx

U(x) cos(2n�x / L)·dx U(x) sin(2n�x / L)·dx

On couvre ainsi une classe importante de fonctions. Les fonctions à plusieurs valeurs sont toutefois exclues.

Les mêmes formules sont valables pour des fonctions du temps en remplaçant x par t, L par T qui est la période, k par ω = 2�/T. Voici les coefficients pour le cas des impulsions carrées : Ce sont des signaux qui sont nuls pendant toute la période T, sauf pendant un intervalle τ où ils sont égaux à 1.

35

1 a0 = T an = 2 T

Ces formes font apparaître une symétrie entre l’espace des x et l’espace abstrait où k est la variable.

τ

τ/2

∫ τ dt = T - /2

τ/2

∫τ

cos(2n�t / T) = 2

- /2

L’ESPACE ET LE TEMPS REVUS PAR FOURIER

τ sin(2n�τ / T)

T

n�τ / T

On peut lire de deux manières la solution générale de l’équation des cordes vibrantes, écrite sous la forme : ∞

On remarquera que, la valeur absolue du sinus restant inférieure à 1, celle des coefficients diminue au moins comme 1/n.

Une application très intéressante concerne les phénomènes qui s’étendent dans le temps ou dans l’espace de moins l’infini à plus l’infini. Un phénomène qui ne s’étend pas sur un domaine ou une durée infinie mais suffisamment grande pourra néanmoins être représenté approximativement de la même façon : par exemple, une note de musique tenue pendant un très grand nombre d’oscillations, ou un phénomène physique dans un cristal qui s’étend sur un grand nombre d’atomes ou molécules. On sait en effet qu’un cristal est composé de structures atomiques alignées avec une très grande régularité. Du point de vue mathématique le problème est le même dans le temps et dans l’espace, à ceci près que l’on utilise généralement la variable x pour l’espace et la variable t pour le temps.

U(x,t) = ∑Cn sin(n�x / L) cos(n�vt / L - φn) n=0

Elle peut être considérée à un moment donné t1 comme une fonction de x, de la forme : ∞

U(x,t1) = ∑Cn bn(t1) sin(n�x / L) n=0

C’est une fonction périodique de x de période 2 L. Elle n’a pas de sens physique en dehors de la corde, pour x < 0 et x > L. Elle peut servir à décrire toute fonction dans un intervalle de x limité, celui de la corde.

On peut aussi considérer que les sin (n�x / L) sont connus d’avance et ne contiennent pas d’information particulière sur la forme de la corde, puisqu’ils figurent dans toute expression de cette forme ; l’information est contenue dans les bn. Or, on peut considérer chaque hn comme une coordonnée dans une direction fictive n, de même qu’une composante de vitesse vx est une coordonnée dans la direction x. Les directions fictives n étant en nombre infini, on doit les situer dans un espace à un nombre infini de dimensions.

Cet espace est fictif assurément, mais il possède certaines propriétés de l’espace ordinaire.

En particulier, on peut leur assigner un coefficient tel que les longueurs soient les mêmes dans les deux espaces. Si on considère maintenant la fonction U(x,t) pour une valeur donnée de x, c’est-à-dire si nous observons les mouvements d’un point particulier x1, nous pouvons l’écrire : ∞

Nouvelle généralisation : intégrales de Fourier On peut traiter des fonctions qui ne sont pas périodiques et s’étendent sur toutes les valeurs de la variable x. Il faut prendre un intervalle L centré sur 0 et le faire tendre vers l’infini. Dans ces conditions, 2n�/L prend des valeurs quasi-continues lorsque n varie parce que L est très grand et k = 2�/L très petit. Sans fournir une véritable démonstration, ceci explique la méthode : on remplace k par une variable continue et les sommes par des intégrales : +∞

P(x) =

∫ a(k) cos kx · dk

Q(x) =

0

U(x1,t) = ∑En cos(n�vt / L - φn)

+∞

∫ b(k) sin kx · dk

n=0

0

C’est une fonction périodique du temps, de période T = 2L/v, valable en principe pour tout temps passé ou futur, car nous ne savons pas quand la corde a été ébranlée ni comment elle sera interrompue (l’amortissement inévitable n’a pas été pris en considération). Chaque terme a sa fréquence propre �nv/L. De nouveau, nous pouvons considérer le mouvement de deux manières : 1º) en fonction du temps en donnant la fonction U(x1,t) ; 2º) en fonction de n en donnant les En. On remarquera que �nv/L est égal à la fréquence.

Ainsi, pour une corde donnée, on donne alors les En en fonction de la fréquence.

C’est, à nouveau, comme si Fourier avait inventé un espace à un nombre infini de dimensions équivalent au temps. On retrouve la même propriété dans la symétrie a - k des

Les fonctions a(k) et b(k) sont données par les intégrales suivantes :

a(k) = 1 2� b(k) = 1 2�

∫

+∞

∫

+∞

-∞

-∞

P(x) cos kx · dk Q(x) sin kx · dk

Ces expressions sont appelées « intégrales de Fourier ».

On notera une certaine réciprocité entre P(x) et a(k), Q(x) et b(k) d’une part, ainsi qu’entre x et k.

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intégrales de Fourier.

Ces considérations abstraites se sont montrées éminemment pratiques, et sont même passées dans le langage commun : on dit qu’un haut-parleur ne passe pas les basses fréquences, plutôt que de dire qu’il ne répond pas aux excitations très lentes. Les techniques des communications utilisent autant la notion de fréquence que celle de temps.

L’aspect spatial n’a pas autant pénétré le langage, mais il est sous-entendu derrière la notion de définition des images, et systématiquement utilisé dans plusieurs techniques comme l’holographie.

Fourier nous a pourvus de notions complémentaires à celles d’espace et de temps qui sont souvent, dans la technique moderne, plus pratiques que ces notions si courantes elles-mêmes.

On verra plus loin que cette dualité a pris en physique quantique une très grande importance. On a vu que l’analyse de Fourier explique comment la même équation peut représenter la propagation de phénomènes assez localisés évoquant des particules, et celle d’ondes étendues, ainsi que des oscillations localisées comme celle des cordes ou d’un fluide dans un récipient.

La parution de la Théorie analytique de la chaleur fut certainement un moment essentiel de l’histoire de la physique et des mathématiques appliquées.

En outre, l’espace est vide autour des atomes ou molécules dont l’agitation produit la température ou la pression. On ne peut parler que de valeurs moyennes sur des volumes comprenant un nombre suffisant de molécules. Dans un millimètre cube, il y en a environ 27 millions de milliards dans les conditions normales de température et de pression et les conditions de validité sont extrêmement bien remplies. À l’échelle atomique, les séries de Fourier peuvent perdre toute signification, suivant les grandeurs auxquelles on les applique.

Ainsi, les conditions physiques ne présentent généralement pas les bizarreries que les mathématiciens considèrent : ce sont des fonctions « raisonnables ».

Voilà pourquoi l’on peut en pratique représenter une fonction continue par une, suitdiscrète de coefficients.

Importance de l’analyse de Fourier Lorsque nous avons discuté les solutions de l’équation de propagation du son, nous avons remarqué que l’usage de cosinus et de sinus permet souvent de remplacer les dérivées par de simples multiplications. Nous avons aussi montré que des fonctions très générales comme les-fonctions quelconques G et H peuvent être exprimées par des sommes de fonctions sinusoïdales. Ces propriétés illustrent lé simplicité et la généralité de l’analyse de Fourier. Elles se manifestent lors de l’étude de très nombreux phénomènes physiques, du moment qu’ils sont Iinéaires1.

Les différents termes des séries de Fourier, qui se distinguent par leur nature, cosinus ou sinus, ainsi que par leur fréquence (ou par une grandeur analogue dans l’espace telle que n�/l) peuvent être séparés ou isolés par des appareils de mesure dont le principe est parfois très simple. Il est généralement basé, comme nous le verrons plus loin, sur la propriété de « résonance ». C’est ce qui justifie le concept de « composantes » caractérisées par leur fréquence, concept qui permet de donner un sens précis, par exemple, à l’affirmation que tel amplificateur rend mieux les basses que tel autre. Les praticiens sans grandes connaissances théoriques peuvent manier ce concept avec aisance, tout en ignorant la théorie qui le leur permet. Cela s’applique surtout aux domaines des oscillations et des ondes de toute nature.

Sur le plan théorique, les propriétés des dérivations mentionnées ci-dessus ont pour résultat que les équations différentielles ou intégrales et leurs combinaisons se traduisent pour chaque fréquence par des équations algébriques qui sont beaucoup plus simples. On en verra des illustrations au chapitre 6 à propos des techniques de radioélectricité. C’est la base du concept d’impédance, qui remplace celui de résistance électrique pour les courants alternatifs.

Restrictions à la validité de l’analyse de Fourier Un point paradoxal des séries de Fourier est de décrire une courbe qui a une infinité non dénombrable de points par une infinité dénombrable de coefficients : on ne peut pas dénombrer les points sur un arc de courbe avec les nombres entiers, ni avec les fractions entières. Les pythagoriciens découvrirent que certains points d’une droite ne correspondent pas à des fractions entières. Les points d’un arc de courbe sont en nombre infini, la suite des nombres entiers et infinie. Il y a infiniment plus de points sur un arc de courbe que de nombres entiers1.

Il ne s’agit pas d’une vaine subtilité. Le paradoxe s’explique parce qu’il n’est pas vrai que « toutes » les fonctions périodiques peuvent être représentées par des séries de Fourier. Mais la plupart de celles que considèrent les physiciens le peuvent, car on ne mesure en général que des moyennes, ce qui élimine la plupart des fonctions « étranges ».

La température ou la pression d’un gaz en un point sont des notions qui n’ont en toute rigueur pas de sens parce les grandeurs physiques sont par principe mesurables et que tout instrument de mesure a des dimensions finies, que toute mesure prend un temps fini : il n’y a pas de mesures ponctuelles, ni instantanées, mais seulement des mesures de moyennes dans un espace plus ou moins grand pendant un temps plus ou moins long.

1. Eliane Cousquer, La fabuleuse histoire des nombres, Diderot multimédia, 1998.

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1. Rappelons que la linéarité est la propriété de simple proportionnalité entre les variables physiques locales - pression et densité d’un gaz, par exemple - indépendamment de l’amplitude. Elle entraîne la possibilité de superposition.

Par rapport aux séries de Fourier, les intégrales et transformées élargissent encore le champ d’applications, car elles ne sont pas limitées aux phénomènes périodiques.

Elles sont d’une aide puissante pour les techniques de traitement de tous les signaux, en particulier des signaux optiques.

Par exemple, l’image photographique d’un point peut être regardée comme une fonction de x et y dans le plan de la pellicule. La qualité de l’image se juge par la transformée de Fourier de cette fonction, de même que la qualité d’un haut-parleur se juge par la manière dont il rend les différentes fréquences.

Autre exemple : la technique des hologrammes, également présentée au chapitre 6, est basée sur l’analyse de Fourier.

Le maniement des intégrales et transformées de Fourier sera simplifié et rendu plus puissant encore lorsque nous introduirons les nombres dits « complexes » inévitables en mécanique quantique.

La stature de Fourier se dresse derrière toutes techniques modernes de communications, de traitement de l’information, ainsi que derrière la physique fondamentale.

CHAPITRE 5

DE THOMAS YOUNG À MAX PLANCK LUMIÈRE, ÉLECTROMAGNÉTISME ET PHYSIQUE DES ONDES Comme on l’a vu, la superposition d’ondes donne lieu à des phénomènes caractéristiques qui n’ont pas d’équivalent dans la physique des corps solides. Deux ondes peuvent se croiser, puis continuer leur cours comme si rien ne s’était passé. Comme une onde a des phases positives et des phases négatives, deux ondes peuvent s’annuler localement. La rencontre entre deux corps est toute différente. On ne peut « annuler un obus » en lui faisant rencontrer un « obus négatif ». Ce sont de telles propriétés qui permettent de caractériser expérimentalement la nature ondulatoire d’un phénomène.

Quittons le domaine de l’acoustique et revenons à celui de l’optique physique, en sommeil depuis Newton. Le médecin anglais Thomas Young (1773-1829) rendit compte en 1802 d’une expérience cruciale, l’une des plus importantes de l’histoire de la physique.

En effet, il établit la nature ondulatoire de la lumière. On a vu que ce point fondamental était l’objet de discussions depuis le début du XVlle siècle au moins.

Le médecin Thomas Young (1773-1829), polyglotte remarquable, traduisit quelques éléments de la « pierre de Rosette » avant que Champollion (1790-1832) n’en donne une traduction et n’établisse une grammaire de l’ancien égyptien. À côté de son expérience fondamentale sur les interférences lumineuses, Young découvrit la cause de l’astigmatisme de l’aeil, introduisit en physique le concept et le mot d’énergie. Il est l’auteur d’ouvrages fondamentaux sur la nature de la lumière, des couleurs, et sur la théorie trichrome de la vision.

Les « interférences » ; l’expérience d’Young En entreprenant son expérience historique, Young se posait certainement des questions sur la nature de la lumière, probablement inspirées par la controverse qui durait depuis Grimaldi, Huygens, Newton.

L’expérience s’effectue sur des faisceaux ou pinceaux de lumière, en fait des rayons de lumière isolés. Pour les produire, il faut partir d’une source « ponctuelle », ou au moins de petite dimension, et éclairer un trou ou une fente pratiquée dans un écran. Pour observer le faisceau qui émerge du trou, on place un deuxième écran derrière le premier : on obtient une tache lumineuse qui est pour ainsi dire l’image du trou. Plus le trou est grand, plus la tache est grande.

Figure 7a. Rayonnement lumineux d’une source ponctuelle à travers des trous, suivant l’optique géométrique

Mais si l’on utilise des trous de plus en plus fins, on constate que la tache, après avoir décru, devient de plus en plus grande et, naturellement, de moins en moins lumineuse.

Cette sorte d’éclatement, de divergence de la lumière est appelée « diffraction ».

Franges d’interférence Cette image photographique un peu irrégulière a été obtenue par l’auteur dans son grenier avec un matériel d’amateur, comprenant un petit laser du commerce (λ = 670 nm) et deux trous d’aiguille (∅ = 0,05 mm) distants de 0,45 mm dans une feuille de capsule d’étain. Le diamètre de la tache correspond à l’étalement par diffraction selon la figure 6b. Les taches des deux trous sont superposées, ce qui provoque l’apparition des franges de la photographie. L’expérimentateur peut apprécier quelle ingéniosité et, probablement, quelle persévérance Thomas Young a dû déployer, avec des sources de lumière rudimentaires, pour réaliser son expérience et pour convaincre la communauté scientifique.

Pour comprendre ces résultats paradoxaux, la notion clé est celle de phase, que nous avons introduite à propos de l’acoustique : une onde possède, suivant sa phase, des régions d’amplitude négative et d’autres d’amplitude positive. C’est pourquoi deux ondes superposées peuvent s’ajouter ou s’annuler constamment en certains points si elles ont la même fréquence. Sur les raies brillantes, elles s’ajoutent ; sur les raies sombres, elles s’annulent.

Or, suivant la conception d’Huygens, complétée par une théorie ondulatoire explicite, la phase varie, le long d’un rayon, de 360° ou 2� radians pour chaque longueur d’onde parcourue : la phase varie proportionnellement à la distance parcourue.

Figure 7b. Rayonnement lumineux d’une source ponctuelle à travers des trous de petit diamètre suivant l’optique physique (réelle), montrant l’étalement et en grisé le recouvrement des pinceaux

Le principe de l’expérience d’Young consiste à diviser un faisceau lumineux en deux, et à recombiner ceux-ci sur un écran après des parcours légèrement différents. Pour ce, on éclaire deux trous ou deux fentes pratiqués dans un écran opaque. Les deux faisceaux émergent des deux trous et s’étalent par diffraction, se superposant partiellement ; on observe leur projection sur un écran blanc. Surprise, la tache éclairée présente une alternance de raies ou franges brillantes et de raies sombres perpendiculaires à la direction des deux trous. Plus les trous sont proches, plus les raies sont écartées.

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Ainsi, l’expérience d’Young ne démontre pas seulement que la lumière se propage sous forme d’ondes, elle permet aussi de connaître la longueur d’onde. On trouve que celle-ci est grossièrement d’un demi-micron (un micron est un millionième de mètre, ou un millième de millimètre). La vitesse de la lumière étant connue, on a l’ordre de grandeur de la fréquence des ondes par une formule déjà utilisée pour les ondes sonores :

f=v/λ

où v est la vitesse de phase, ici égale à c, vitesse de la lumière. On a vu que celle-ci était connue depuis 1676 grâce aux travaux du Danois Römer à l’Observatoire de Paris, et fut précisée ultérieurement : 299 792 km/sec. On trouve ainsi pour f une valeur de l’ordre de : 6.1014 = 600 000 000 000 000 Hertz ou oscillations par seconde La détermination de la vitesse de la lumière par Römer fut le premier fait expérimental qui nous transportait à une échelle beaucoup plus grande que la nôtre. Celle de Young nous introduit dans un univers de très petites dimensions.

Figure 8. Composition de deux rayons lumineux produisant les interférences de Young

Si l’on bouche l’un des trous, on observe l’étalement de l’autre faisceau.

L’observation intéressante et paradoxale est que si les deux trous sont ouverts, on observe une succession de raies lumineuses équidistantes perpendiculaires au plan de la figure, séparées par des raies sombres : de la lumière plus de la lumière peut donner aussi bien de l’obscurité que de la lumière plus forte, suivant les endroits.

Un point quelconque M de cet écran reçoit de la lumière de B et de C, mais les longueurs des rayons diffèrent de BN. Si BN est un nombre entier de longueurs d’onde, les deux faisceaux sont de même signe en M et se renforcent. Si BN est un nombre entier plus une demie longueur d’onde, les amplitudes des deux faisceaux sont de signe opposé, il n’y a pas de lumière au point M.

On sait maintenant qu’un trou d’un dixième de millimètre de diamètre est encore quelque deux cents fois plus grand que la longueur d’onde. Faire une construction géométrique analogue à celle de la figure 8. Considérer un point de l’écran décentré par rapport à l’axe du faisceau, et deux rayons qui l’atteignent, le premier issu de la moitié droite, l’autre de la moitié gauche du trou. Pour une certaine valeur de la longueur d’onde, la différence de longueur des deux rayons est de λ/2 : ces deux rayons s’annuleront, le point considéré sera dans une zone sombre. Un peu plus loin, on aura une zone lumineuse, et ainsi de suite avec une intensité décroissante. On explique ainsi les anneaux de la photographie suivante.

On peut trouver la position des raies par le raisonnement géométrique suivant, qui est approximatif mais suffisant : le triangle BNC est très sensiblement semblable au triangle HMO. On en déduit : HM/HO = BN / NC En fait, la distance HO entre les deux écrans est grande, si bien que l’angle des rayons avec OH est petit et que NC est très voisin de BC, que nous appellerons d. On appellera de même D la distance OH et x La distance HM. On obtient alors : x = (D/d) BN Si l’on suppose que AB et AC sont égaux, les points B et C sont éclairés en phase et la différence de phase en M provient du segment BN. Si BN est un nombre entier n de longueurs d’onde 2, les deux rayons sont en phase et x est le milieu d’une raie lumineuse : celles ci sont donc repérées par les valeurs : x = nλD/d Si au contraire n est un entier plus 1/2, les deux rayons sont en opposition de phase en M, qui se trouve au milieu d’une frange obscure.

La distance entre les raies lumineuses, séparées par des raies sombres est donc 2λD/d.

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Notez bien que ces découvertes fondamentales ont été faites sans que l’on ne connût rien sur la nature de ces ondes. On supposait qu’elle était due aux vibrations de quelque substance mystérieuse appelée l’éther, sans rapport avec la substance chimique de même nom, sinon celui d’être extrêmement volatile.

L’expérience d’Young fut répétée maintes fois suivant des variantes de plus en plus perfectionnées, donnant lieu à une véritable science, l’interférométrie, aux nombreuses applications pratiques.

La théorie ondulatoire progressa considérablement, notamment en France grâce notamment à Fresnel (1788-1827) et à Foucault (1819-1868). Elle permit d’améliorer les instruments d’optique, en fait de leur permettre d’atteindre les limites qu’elle-même leur imposait. Nous allons en voir un aspect.

Soulignons d’abord que l’expérience originelle, sur laquelle on trouve peu de détails dans les traités de style universitaire, dut rencontrer non seulement le problème déjà signalé de l’intensité, mais le fait que la lumière est composée de toutes les longueurs d’onde de son spectre, ce qui produit des distances différentes entre raies lumineuses. Le

résultat est que l’on ne peut observer que quelques raies centrales. Tout changera, plus tard, avec les sources monochromatiques, notamment avec les lasers et l’expérience en sera d’autant plus démonstrative.

Si la conception d’Huygens de la propagation de la lumière est une des clés de la physique, Young a en même temps fourni un test universel pour démontrer la nature ondulatoire d’un phénomène. Cent vingt-cinq ans plus tard, une expérience semblable faite avec un jet d’électrons au lieu d’un faisceau lumineux permit de démontrer (Davisson et Germer, 1927) l’existence des ondes associées à la matière prévues par de Broglie (1924).

Très récemment (1997), on a pu mettre en évidence les interférences présentes dans des jets d’atomes.

routes et des ponts en province. Ses travaux sur la diffraction surpassèrent de beaucoup ceux de Young en variété et en précision. Le diagramme de Fresnel, aide considérable à la compréhension des oscillations, est un guide précieux pour étudier leur composition, en particulier si on le combine avec le principe de Huygens. À la fin de sa vie, Fresnel était chargé des phares et leur apporta une amélioration considérable. Les « lentilles de Fresnel » sont utilisées dans beaucoup d’applications, notamment sous forme de films de plastique, jusque dans certains jouets.

On a vu que plus on cherche à réduire la section d’un rayon lumineux fin, plus il s’étale.

Le rayon ou pinceau lumineux de l’optique géométrique est une approximation qui n’est valable que pour des faisceaux pas trop fins. Si les faisceaux ont au contraire une extension latérale suffisante, les bords restent, au moins sur une certaine longueur, bien définis. Une conséquence est que l’image donnée par un instrument d’optique d’un point ne peut jamais être un point, mais une tache, puisqu’un point est infiniment mince. On appelle ouverture la section du faisceau à l’endroit où il pénètre dans l’instrument. Paradoxalement, si l’on veut des images précises, il faut des ouvertures de grand diamètre et une lentille de bonne qualité qui concentre le faisceau. Cela va contre la règle de l’optique géométrique suivant laquelle il faut de petits diaphragmes pour obtenir une image nette. Cette règle est établie en raison des déformations ou aberrations qu’apportent les lentilles, mais les défauts de l’optique géométrique peuvent être corrigés grâce à des combinaisons judicieuses de lentilles, alors que rien ne permet de supprimer la diffraction.

Tous les instruments d’optique voient leurs performances limitées par ce phénomène.

L’on perd de la netteté en diaphragmant un appareil photographique 24 x 36 au-delà de f : 11. Les appareils de plus grand format restent nécessaires pour obtenir de très bonnes images. Les microscopes optiques sont limités par la diffraction à des grossissements de quelques milliers. Les télescopes les plus puissants ne peuvent distinguer aucun détail des étoiles, sauf à effectuer des combinaisons ingénieuses de plusieurs télescopes telles que celles qui sont mises en service actuellement au Chili : on peut alors mettre en évidence de petits déplacements de certaines étoiles dûs à l’attraction des planètes qui tournent autour d’elles.

Ce paradoxe des propagations d’onde, que plus un trou est fin, plus la tache lumineuse qu’il projette déborde la projection géométrique est grande se retrouvera avec le principe d’Heisenberg. Il entraînera la conséquence très coûteuse qu’un accélérateur de particules est d’autant plus grand qu’il permet d’observer à une échelle plus petite.

On peut observer un phénomène d’interférences lumineuses sans aucun matériel spécial.

Il suffit d’observer, la nuit tombée, des luminaires distants de quelques dizaines de mètres à travers un rideau de tulle. On constatera que chacun donne lieu à un groupe de neuf taches lumineuses disposées au centre, au milieu des côtés, et aux sommets d’un carré.

Les luminaires distants constituent des sources ponctuelles et chaque maille du tulle se comporte comme une source lumineuse. Notre œil reçoit les rayons provenant de ces sources, déphasés suivant leur distance à notre œil. La disposition est inversée par rapport à celle de Young : au lieu de regarder en quels points les amplitudes de deux ondes issues de deux sources s’ajoutent, on voit de quelles paires de mailles proviennent des ondes qui s’ajoutent. Les distances entre sources brillantes se calculent comme les distances entre raies brillantes. Pourquoi seulement neuf points lumineux ? Parce que la lumière contient une variété de longueurs d’ondes qui se compensent à des distances différentes du centre.

Pourquoi une disposition en carré ? Parce que les mailles du tulle se répartissent dans deux directions, tandis que les deux trous de Young définissent une direction.

Diffraction des pinceaux ou faisceaux lumineux La théorie des lentilles et autres instruments d’optique développée depuis Kepler était basée sur la conception de rayons lumineux rectilignes et éventuellement infiniment minces. Ce fut un succès immense dû notamment à Fraunhofer (1787-1826) et Fresnel (1788-1827) que de retrouver l’optique géométrique comme approximation de phénomènes de propagation d’ondes, grâce à une théorie qui explique également les interférences de Young.

Augustin Fresnel (1788-1827) fut, selon Emilio Segré, le plus grand opticien du dixneuvième siècles1. Fils d’un architecte, de santé précaire, d’une habileté exceptionnelle, il fut formé à l’École Polytechnique et passa la majeure partie de son temps à construire des

1. Emilio Segré, Les physiciens classiques et leurs découvertes, Fayard, Le temps des sciences, 1987.

On peut observer les vagues excitées par une vanne qui déverse un fort débit d’eau dans un étang : elles s’étendent dans toutes les directions, et pas seulement dans la direction de l’écoulement au niveau de la vanne, car les ondes ne peuvent se restreindre à la largeur de la vanne.

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C’est une sorte d’étalon naturel. Cette propriété va jouer un rôle considérable dans les développements ultérieurs.

Le son, la lumière et les spectres de fréquences Depuis que Galilée, suivi par Mersenne et d’autres, a attribué une fréquence aux « sons élémentaires », on analyse les sons et les bruits par l’intensité des fréquences qu’ils contiennent. Il en est de même pour la lumière. Le premier spectre lumineux observé a été celui de l’arc-en-ciel. Newton a su le produire en laboratoire par l’expérience du prisme qui envoie chaque couleur dans une direction différente, grâce à une propriété du verre : l’indice de réfraction dépend de la longueur d’onde. Il a ainsi obtenu le spectre de la lumière blanche puisque, depuis Young, on sait associer à chaque couleur une longueur d’onde et une fréquence. Le spectre de la lumière renvoyée par une surface verte ou rouge est évidemment différent.

Von Fraunhofer inventa en 1815 le spectrographe : à l’aide d’un instrument d’optique, on peut concentrer la lumière provenant d’un objet sur un prisme et étudier sa composition.

Il plaça un prisme derrière un télescope braqué sur le soleil et découvrit que certaines couleurs de l’arc-en-ciel manquent. Comme Newton, il s’attendait à observer derrière le prisme la projection sur un écran une tache dont la couleur varie, suivant une direction perpendiculaire à l’arête du prisme, du rouge au violet en passant par l’orangé, le jaune, etc. Mais, l’observation plus précise de Fraunhofer montrait que de fines raies sombres apparaissent à la place de certaines couleurs. Ce phénomène ne fut compris que bien plus tard : il démontrait la présence dans le soleil d’un gaz alors inconnu sur terre, l’Hélium (du grec Hélios, soleil). C’était une « première » dans l’histoire de la spectrographie et de l’astrophysique.

Montrer que, si la loi de Kirchhoff n’était pas remplie, on pourrait chauffer un corps avec un corps plus froid.

Les conditions requises pour un corps noir sont bien vérifiées dans un four complètement fermé et en état d’équilibre thermique, même si ses parois réfléchissent certaines longueurs d’onde. Cela tient à l’isolement de cet espace et au temps de mise en équilibre thermique.

Il faut quand même permettre de pratiquer un petit trou pour braquer un spectrographe, et on observe le spectre du rayonnement qui remplit le four. Il a l’aspect suivant : c’est le « spectre idéal du corps noir ».

Diagramme universel du spectre de rayonnement du « corps noir », donnant l’intensité lumineuse en fonction de la fréquence rayonnée, en « unités réduites » définies dans le texte.

Le spectre du « corps noir »

Figure 9

La chaleur se présente sous plusieurs formes : si nous nous brûlons au contact d’un solide ou d’un liquide chaud, si nous utilisons un sèche-cheveux, c’est l’agitation des molécules qui nous réchauffe. Mais devant un radiateur électrique ou mieux, chauffés par le soleil, nous recevons un rayonnement qui traverse le vide. Le rayonnement thermique est de même nature que la lumière. Comme on avait compris le phénomène de l’agitation thermique des molécules des gaz grâce aux travaux de Maxwell et Boltzmann, on voulut expliquer le rayonnement thermique par une sorte d’agitation thermique de la lumière.

Encore une histoire d’ondes !

Les expérimentateurs découvrirent que les spectres de tous les corps denses chauffés, blocs solides, gaz denses, se rapprochent d’une forme idéale, qui dépend uniquement de leur température. On put attribuer les différences au fait que certains corps réfléchissent ou n’absorbent pas certaines fréquences. « Le corps noir » fut défini comme un corps idéal ne réfléchissant aucune lumière incidente. Il peut être très lumineux s’il est chaud. Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) montra qu’aucun corps ne peut rayonner plus que le corps noir à une température donnée. On trouva des corps qui s’approchent beaucoup de cet idéal. On peut alors dire que le spectre du corps noir ne dépend que de sa température.

L’abscisse x est la quantité 4,8.10-11 υ/T : elle dépend de la fréquence υ du rayonnement considéré et de la température « absolue » ou température « Kelvin » du corps rayonnant, égale à la température centigrade augmentée de 273,16. En effet, la température ne peut descendre en dessous d’une certaine valeur : moins 273,16° centigrade à laquelle toute agitation thermique cesse d’après la physique classique. Cette température de -273,16°C a donc une signification plus « essentielle » que le zéro Celsius, température de fusion d’un corps particulier, la glace. C’est le « zéro absolu ». Si la température Celsius reste plus commode pour la vie ordinaire, la physique fondamentale préfère généralement utiliser la température absolue ou température « Kelvin dont le zéro est moins 273,16° centigrade.

L’ordonnée de la courbe ci-dessus est proportionnelle à la densité d’énergie du rayonnement thermique, à la fréquence correspondant à l’abscisse, la température étant donnée. Dans la mesure où l’on peut effectuer les mesures, on trouvera que la densité ellemême, en Joule/m3, est égale à l’ordonnée multipliée par 0,01780 et par « dυ », l’intervalle de fréquence dans lequel on détermine la densité. Grâce à ce choix des ordonnées et abscisses, on obtient une courbe valable pour toutes les températures. Toutes ces

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précisions peuvent être déterminées expérimentalement. Elles sont données ici telles que la théorie nous les a finalement fournies.

Il y a beaucoup à dire sur cette formule de la « densité spectrale et volumique de l’énergie du rayonnement du corps noir », mais il nous suffira de quelques remarques pour obtenir des résultats de première importance.

– La courbe présente un maximum, égal à 4,465, pour x = 2,82. Dans les conditions du maximum, on a donc :

LUMIÈRE ET ÉLECTROMAGNÉTISME Électricité, magnétisme, ondes électromagnétiques À la base de cette science se trouvent des travaux expérimentaux dans trois domaines différents : – le magnétisme de certains corps et de la terre, dès 1600 objet d’une étude scientifique, le De Magnete1, par William Gilbert (1540-1603), médecin de la reine Elisabeth ; – l’électricité statique des corps frottés, déjà étudiée dans le même traité, où le mot électricité est pour la première fois utilisé ; cette électricité fut produite vers 1660 par la machine de Otto von Guericke (1602-1686), que Francis Hausbecke perfectionna vers 1705.

Cette électricité fut stockée dès 1746 dans les « bouteilles de Leyde » inventées par Pieter van Musschenbroek (1692-1761) et Ewald Georg von Kleist (?-1748). La bouteille était le premier condensateur, organe universellement répandu dans les appareils électroniques.

Les condensateurs sont formés de deux surfaces métalliques étendues et séparées par un mince espace généralement occupé par un isolant. Les deux corps métalliques sont reliés à des conducteurs électriques ; – les piles électriques inventées en 1800 par Alessandro Volta (1740-1827) qui débitent un courant dans les conducteurs. Ce courant est en relation évidente avec un phénomène chimique dans la pile.

4,8.10-11 υ/T = 2,82

Cela signifie que, pour toute température d’un corps (noir), la densité de rayonnement par unité de fréquence est maximum à une certaine fréquence. On préfère souvent parler de longueurs d’onde X plutôt que de fréquences, parce que ce furent longtemps les seules données expérimentales directes. Comme λ est égal à la vitesse de la lumière divisée par la fréquence, λ = c/υ, on obtient pour la longueur d’onde correspondante à une température donnée

λ = 0,0051 /T

Ainsi, un filament de lampe chauffé à 1 500 °K émet principalement à 0,0000034 mètre, c’est-à-dire 3,4 microns. La surface du soleil est à environ 6 000 °K et rayonne surtout à 0,85 micron. Si l’œil était sensible à la densité d’énergie par intervalle de fréquence, il verrait le soleil infrarouge ! Mais tel n’est pas le cas. L’oeil est sensible à la lumière entre 0,45 (violet) et 0,70 (rouge sombre) microns, avec un maximum vers 0,55 (vert). Dans les deux exemples précités, nous voyons donc mal la partie la plus intense. Ceci est surtout vrai dans le cas de la lampe à incandescence, qui a donc un mauvais rendement lumineux et dissipe la plupart de sa puissance en chaleur.

– L’intensité s’effondre aussi bien à droite qu’à gauche du maximum. Ce phénomène est resté pendant quelques décades inexpliqué, malgré les découvertes qui vont être résumées dans le paragraphe suivant.

La théorie des ondes électromagnétiques établie par Maxwell vers 1860, révéla que la lumière est un phénomène électromagnétique. L’étude du rayonnement thermique doit donc être faite à l’aide de la théorie de Maxwell : c’est elle qui pourra décrire les phénomènes électromagnétiques qui, dans le rayonnement thermique, jouent le même rôle que l’agitation thermique des molécules des gaz.

Alessandro Comte Volta (1745-1827), né à Côme dans une famille prospère, étudia surtout le latin, les langues et la littérature. Il fut attiré vers les sciences, entreprit de bonne heure des expériences d’électricité et commença à correspondre avec le monde scientifique dès l’âge de seize ans. Après des travaux de valeur sur l’électrostatique et des controverses sur la nature de l’électricité avec Luigi Galvani (1737-1798), il inventa la « pile électrique ». Ainsi, à côté des phénomènes fugitifs et capricieux des étincelles et de la foudre, il fournit des sources de courant électrique permanent et ouvrit la voie aux expériences d’électromagnétisme et d’électrochimie d’Œrsted et d’Ampère. Volta montra sa pile à Paris en 1901, et reçut de Bonaparte une médaille spéciale et une rente, ainsi que le titre de comte et une protection durable. Son invention fut acclamée dans de nombreux pays.

Il y eut beaucoup d’expériences plus ou moins significatives au cours des dix-septième et dix-huitième siècles. Citons Stephen Gray (1670-1736), Jean Nollet (1700-1770), Benjamin Franklin (1706-1790), dont les expériences et les réflexions permirent de

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1. Littéralement : « G. Guillielmi Gilberti Colcestrensis, medici Londinensis, de magnete, magnetisque corporibus, et de magno magnetc tellure physiologia nova ». Physiologie nouvelle de l’aimant, des corps magnétiques et du grand aimant de la terre, par William Gilbert de Colchester, médecin à Londres, 1600.

distinguer conducteurs et isolants, électricité positive et négative, ainsi que Luigi Galvani (1737-1798), qui fut le précurseur de Volta.

Le champ magnétique des aimants, la charge des condensateurs, le courant des piles ont une permanence qui facilite considérablement l’expérimentation.

C’est l’ingénieur Charles Coulomb (1736-1806) qui fit entrer l’électricité statique et le magnétisme dans la phase quantitative, grâce à une dextérité et à une opiniâtreté expérimentales exceptionnelles. Il établit entre 1785 et 1788 la loi des forces entre les charges électriques, identique dans sa forme à la loi de gravitation de Newton, mais différente suivant les signes des charges ; il établit de même la loi des forces entre les pôles des aimants, de même forme. Néanmoins, ces deux forces sont de natures différentes ; par exemple, un aimant n’exerce aucune force sur une charge électrique.

entre des fils conducteurs parcourus par des courants, et les expressions mathématiques convenables furent trouvées dès 1820. C’est cette force entre courants qui fut utilisée plus tard pour construire des moteurs électriques.

André-Marie Ampère (1775-1836) était professeur d’analyse mathématique à l’École Polytechnique.Sur la base de la découverte d’Œrsted, il effectua la même année quatre expériences fondamentales sur les forces entre les conducteurs électriques. Il attribua avec clairvoyance le ferromagnétisme à des courants macroscopiques. Maxwell l’appela le « Newton de l’électricité », titre qu’il méritait aussi lui-même.

On connaissait désormais quatre forces considérées comme distinctes : • l’attraction universelle de Newton • la force électrique de Coulomb • la force magnétique de Coulomb • la force entre courants électriques.

Charles Auguste Coulomb (1736-1806), grand ingénieur militaire, fut formé à la remarquable École du Génie de Mézières. Après avoir fortifié la Martinique, il revint en fort mauvaise santé. Pour étudier les variations de champ magnétique du champ terrestre, il inventa la « balance de torsion », instrument très délicat d’une sensibilité incomparable qui lui permit d’établir les premières lois quantitatives de l’électricité : celles de l’électrostatique et de la magnétostatique.

On avait pour ces forces des expressions mathématiques également parfaites, calquées sur celle de Newton. La dernière, toutefois était un peu différente parce que certaines forces entre deux corps sont perpendiculaires à la ligne qui les joint.

Des théoriciens français, allemands, anglais apportèrent d’importantes contributions : Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Siméon Denis Poisson (1781-1840), George Green (1793-1841), George Gabriel Stokes (1819-1903).

Le Danois Hans Christian Œrsted (1777-1851) découvrit en 1820 qu’un aimant placé au voisinage d’un fil conducteur s’oriente perpendiculairement à ce fil si celui-ci est parcouru par un courant électrique.

Prélude à la « théorie de tout »

Le Danois Hans Christian Œrsted (1777-1851) étudia la médecine, la physique et l’astronomie et débuta comme apothicaire avant d’entreprendre un voyage en Europe au cours duquel il rencontra plusieurs philosophes et savants célèbres. Il avait des idées de nature philosophique en faveur de l’unité de la nature, influencées par Goethe et Schelling. Professeur de physique à l’université de Copenhague, il découvrit en 1820 qu’un courant électrique fait dévier une boussole, phénomène qu’il avait anticipé, persuadé de « l’identité des forces électriques et magnétiques » (Segré). Il étudia la compressibilité des liquides et découvrit en 1824 un nouvel élément, l’aluminium. Il exposa ses conceptions philosophiques dans « L’Esprit de la Nature » (1850). Il joua un rôle très actif dans l’enseignement et dans la vie scientifique au Danemark.

Les mathématiciens et expérimentateurs français André Marie Ampère (1775-1836), Jean-Baptiste Biot (1774-1862), Dominique François Arago (1786-1853), Félix Savart (17911861), et leur aîné Pierre Simon de Laplace (1749-1827), traduisirent ces phénomènes dans des équations élégantes valables pour toutes formes possibles de fils. Plus même, ils prédirent que si un fil parcouru par un courant électrique dévie un aimant, celui-ci doit exercer à son tour une force sur un fil parcouru par un courant, conformément à la troisième loi de Newton, dite de l’action et de la réaction. De même, des forces doivent s’exercer

L’expérience d’Œrsted établissait une parenté entre un aimant et un fil parcouru par un courant. Plus même, on constata que l’expérience d’Œrsted peut être faite aussi bien en déchargeant un condensateur par le fil qu’en y faisant passer un courant grâce à une pile de Volta. Ainsi apparut une parenté étroite, et pas seulement de forme, entre les trois dernières forces, qui toutefois restaient entièrement étrangères physiquement à la gravité. On se trouvait dans un domaine unique, celui de l’électromagnétisme ou électrodynamique.

NOUVEAUX EFFETS ÉLECTRODYNAMIQUES

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L’électromagnétisme progressa sur au moins quatre plans grâce à un jeune apprenti relieur, Michael Faraday (1791-1867) ; il lisait les livres qu’il reliait, parlait probablement à leurs auteurs, et c’est ainsi qu’il devint l’assistant du chimiste et électrochimiste Humphrey Davy (1778-1829). Davy avait construit une pile électrique impressionnante, batterie de 400 éléments pour obtenir de grands courants qui produisent d’effets chimiques importants par électrolyse. En 1808, il reçut pour ces travaux une médaille d’or des mains de Napoléon, passionné d’électricité. Davy, étant devenu aveugle, avait besoin d’aide ; il réussit à faire

entrer Faraday comme garçon de laboratoire à la « Royal Institution » en 1813. Il l’emmena alors comme secrétaire, valet de chambre et assistant dans un grand voyage sur le continent. Ils visitèrent Paris, où ils firent avec Ampère des travaux sur l’iode, Florence, où ils virent les lunettes historiques de Galilée. Grâce à une puissante lentille, Davy put démontrer que le diamant est du carbone pur. Faraday apprit le français et l’italien et resta toujours en contact avec les chercheurs du continent1.

C’est la force exercée par une charge q1 sur une charge q2 placée à la distance rl ,2 entre ces deux charges. On considérait qu’il s’agit d’une action à distance, de même que la force de gravitation. Mais les physiciens n’ont jamais aimé les actions à distance. Descartes inventa ses tourbillons pour les éviter. On reprocha à Newton de faire intervenir des forces sans les expliquer. D’après Faraday, la charge q1 modifie l’espace même si l’on n’y place pas de charge. Elle y fait régner à toute distance r1,2 de la charge 1 un champ électrique E1,2 :

E1,2 = q1 / r2

Le destin d’un jeune relieur, Michael Faraday (1791-1867), l’amena à fréquenter de grands savants, puis à découvrir expérimentalement l’induction électrique, phénomène sur lequel repose le fonctionnement de nos génératrices électriques. Il devint malgré son inculture mathématique l’un des plus grands théoriciens de l’électromagnétisme, notamment en introduisant les « champs électriques et magnétiques ». La notion de champ a été étendue depuis à toutes les formes de forces ou interactions. Faraday fut un expérimentateur exceptionnel. Il fut aussi un grand chimiste et l’un des pères de l’électrochimie.

Si maintenant on introduit la charge q2, elle sera soumise à la force

f1,2 = E1,2q2

exactement suivant la loi de Coulomb.

Le même argument est développé avec les effets magnétiques.

Faraday a donc introduit le champ électrique et le champ magnétique, tous deux champs de vecteurs puisque les forces ont une direction. Cette notion devait se révéler extrêmement féconde ; elle est toujours utilisée dans les théories récentes des interactions nucléaires ; naturellement, les champs sont d’une nature différente pour chaque type d’interaction.

Le champ semble jusque-là assez fantomatique, puisqu’il ne correspond pas à une expérience directe, qui demande une seconde charge pour mesurer la force. On verra bientôt qu’il contient néanmoins de l’énergie.

Voici maintenant comment un simple problème d’unités électriques fit apparaître pour la première fois la vitesse de la lumière en électromagnétisme. On peut faire beaucoup d’expériences sans définir d’unités : une mesure montre que tel effet double ou quadruple lorsque telle cause double ; une série de telles mesures permet de trouver une loi quantitative comme celle de Coulomb, à un facteur multiplicatif près. Lorsque l’on veut communiquer des résultats à des laboratoires lointains, ce facteur doit être spécifié : la définition d’unités est indispensable. On définit donc l’unité de charge comme celle qui, placée à l’unité de distance (centimètre) d’une charge égale, lui applique une force unité (dyne). Avec cette définition, le facteur multiplicatif est exactement un. De même on définit ainsi l’unité de courant : deux fils parallèles de longueur unité parcourus par ce courant et distants de la longueur unité exercent entre eux le double (c’est plus commode) de la force unité. Jusque-là, les effets électriques et magnétiques étaient considérés séparément. Il était néanmoins clair que le courant est dû à la circulation de charge électrique. Pour la simplicité des calculs, il serait souhaitable que l’unité de courant corresponde à l’écoulement d’une unité de charge pendant une unité de temps. Cela assurerait la conservation de la quantité d’électricité observée dans les expériences. L’unité de courant étant déjà définie, cela impose l’introduction d’une seconde unité de charge électrique. Est-elle identique à la première, qui a été définie par les forces électriques ? L’expérience du laboratoire montrait que la charge définie par le courant et beaucoup plus grande que la charge électrostatique.

En dehors de ses travaux de chimie pure, Faraday apporta des contributions essentielles dans les domaines suivants – l’électrolyse ; il énonça en 1834 une loi d’équivalence entre la quantité d’électricité et la masse séparée ou le volume de gaz libéré par électrolyse. Cette loi fournit un moyen précis de mesure des courants ou des charges électriques ; – l’électromagnétisme ; il découvrit le phénomène de l’induction magnétique (1831) : si l’on fait varier un champ magnétique dans un circuit électrique fermé qui ne comporte aucune pile, des courants électriques y circulent. On y a fait naître une force électromotrice un peu analogue à celle d’une pile, mais qui ne dure que tant que le champ magnétique varie. On peut obtenir l’effet en faisant varier le courant électrique dans une autre boucle voisine, aussi bien qu’en déplaçant un aimant ou cette seconde boucle. C’est sur cette base que l’on construira des génératrices électriques capables de supplanter les piles ; – l’optique : Faraday montra que la lumière se propage de manière différente dans certains verres lorsque l’on y excite un champ magnétique (« effet Faraday », 1845). Il démontra ainsi que, comme il l’avait pressenti, la lumière est apparentée à l’électromagnétisme ; – de nouveau l’électromagnétisme ; Bien que totalement dénué de capacités mathématiques, Faraday inventa l’un des concepts les plus importants de la physique théorique : celui de « champ » (1848).

Depuis Coulomb, on calculait les forces qui s’exercent entre deux charges électriques par la formule suivante : qq

f1,2 =

1 2

r21,2

1. Jean-Pierre Maury, Petite histoire de la physique, Larousse, 1992.

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peut se manifester que pour des variations suffisamment rapides, ce qui explique qu’il ne se soit manifesté jusqu’alors dans aucune expérience.

On est alors vers 1865, et c’est un moment critique de toute l’histoire de la physique : l’ensemble des équations de Maxwell avec le nouveau terme prédit que les champs peuvent se propager à la vitesse de la lumière. L’unité de tous les phénomènes électriques, magnétiques, lumineux est faite. On dispose alors d’une théorie un peu plus complexe que celle de Newton, mais également précise et harmonieuse : la théorie électromagnétique.

Lorsque la lumière se propage, il n’y a dans l’espace libre aucun mouvement de charges, seulement des champs électriques et magnétiques qui oscillent et se propagent. Ce sont eux qui transportent l’énergie électromagnétique en général, et l’énergie lumineuse lumineuse en particulier.

Les expérimentateurs en tireront beaucoup de conséquences. Sur les conseils du grand Hermann von Helmholtz (1821-1894), le jeune Heinrich Hertz (1857-1894) va entreprendre des études expérimentales qui mettront en évidence les ondes électromagnétiques (1886).

Plusieurs les mettront en pratique, mais c’est l’Italien Guglielmo Marconi (1874-1937), soutenu par l’administration anglaise, qui manifesta le plus grand génie pratique et industriel.

En 1901, on put communiquer en moins d’une seconde par-dessus l’océan atlantique.

La théorie électromagnétique Wilhelm Weber (1804-1891) entreprit en 1852 la détermination expérimentale précise de ces deux unités. Il trouva que leur rapport est égal à la vitesse de la lumière ! Rômer avait déterminé cette vitesse près de deux siècles auparavant en observant les satellites de Jupiter pendant des mois, Armand Fizeau (1819-1896) et Léon Foucault (1819-1868) venaient de la mesurer en laboratoire (1849/50), et voilà qu’une assez simple expérience d’électricité permettait également de le faire, pour des raisons alors mystérieuses. Il est vrai que, sept ans auparavant, Faraday avait déjà une indication de la parenté entre la lumière et l’électromagnétisme.

Voilà donc les physiciens en possession de deux champs, électrique et magnétique, responsables d’une force électrique, d’une force magnétique et d’un phénomène d’induction magnétique, des charges et des courants électriques soumis à la conservation de la quantité d’électricité. Tout cela exprimé dans des équations parfaitement précises. Ampère avait identifié les charges magnétiques à des petites boucles de courant électrique. James Clerk Maxwell (1831-1879) se mit en devoir d’étudier la cohérence de ces lois et d’en donner les expressions les plus simples possible. On peut imaginer, ou plutôt on ne peut pas imaginer combien de versions il en circulait, et dans combien de systèmes d’unités !

Heinrich Hertz (1857-1894), né dans une famille influente de la haute bourgeoisie de Hambourg1 était aussi doué manuellement qu’intellectuellement. Il connaissait plusieurs langues, dont le grec et l’arabe. À l’Université de Berlin, le grand Hermann von Helmholtz (1821-1894) lui proposa un sujet de thèse expérimentale qui aboutit en 1886 à la mise en évidence des ondes électromagnétiques prévues par Maxwell, et que Guglielmo Marconi (1874-1937) sut exploiter avec génie dès 1896. Hertz avait un talent extraordinaire pour concevoir les expériences et exploiter théoriquement leurs résultats. Il souffrit dès 1892 d’une tumeur crânienne osseuse qui le martyrisa jusqu’à sa mort. Ni Maxwell ni Hertz n’assistèrent à la naissance de « la radio ».

James Clerk Maxwell (1831-1879) est une des figures majeures de la physique. Il découvrit que les lois de l’électromagnétisme étaient incomplètes. Il ajouta une nouvelle loi, un terme qui conduit à prédire les ondes hertziennes et leur vitesse égale à celle de la lumière, dont la nature électromagnétique est ainsi établie. Sa théorie électromagnétique est aussi parfaite et complète que la mécanique de Newton, dont elle ébranla les fondements. C’est ce qui conduisit Einstein à la théorie de la relativité. Maxwell donna également une description statistique des mouvements de molécules dans les gaz, dont l’existence n’était reconnue que d’une minorité. Il fonda ainsi, en même temps que Ludwig Boltzmann, la « mécanique statistique ». Il découvrit la nature des anneaux de Saturne et produisit la première photographie en couleurs (1861). Maxwell semble ne s’être jamais trompé. Il était d’un caractère assez enjoué, assez caustique, et s’adonnait volontiers à la versification. On dit parfois qu’il inaugura l’ère de la physique moderne.

Ainsi commença le déploiement fabuleux et bien connu du public des ondes dans les sociétés humaines.

Une physique complète ?

Maxwell découvrit que les lois connues étaient incohérentes si l’on étudie des phénomènes variables dans le temps. Les forces électriques, les forces entre les courants continus ne posaient pas de problèmes, l’induction de Faraday non plus, bien qu’elle suppose une variation du champ magnétique dans le temps. Mais l’équation qui donne le champ magnétique de fils parcourus par des courants n’était compatible avec la conservation de l’électricité que si les courants étaient continus. Maxwell résolut le problème en ajoutant un terme dans l’équation du champ magnétique. Ce terme contient la variation dans le temps du champ électrique. Il introduit un phénomène alors inconnu, symétrique de l’induction de Faraday, champs électrique et magnétique intervertis (1861-1873). L’effet ne

Il semblait à la fin du XIXe siècle que toute la physique connue pouvait être expliquée par deux grandes théories : la mécanique de Newton, avec les forces d’inertie et les forces gravitationnelles d’une part ; la théorie électromagnétique d’autre part, avec les champs et les forces électriques et magnétiques. On avait rendu compte de la plupart des phénomènes optiques et thermiques.

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1 Emilio Segré, Les physiciens classiques et leurs découvertes, Fayard, Le temps des sciences, 1987.

L’espoir de réunir les deux grandes théories en une seule est resté vain pendant plus d’un siècle et le reste de nos jours.

Certains phénomènes bien étudiés restaient inexpliqués, notamment : – la cohésion des solides ; la nature des forces de contact, celles que nous exerçons à chaque instant avec nos mains sur les objets – les spectres lumineux – le mécanisme de la propagation de la lumière – les valeurs de la plupart des constantes thermiques des solides.

CHAPITRE 6

LES OSCILLATIONS ET LES ONDES DANS LA PHYSIQUE ET LA TECHNIQUE GÉNÉRALITÉS

On espérait expliquer le spectre de rayonnement du corps noir en combinant cette théorie aux propriétés générales de l’énergie thermique. Il n’en fut rien. Le résultat du calcul ne prévoyait aucune diminution de l’énergie rayonnante thermique aux fréquences élevées.

D’après la théorie, la densité d’énergie devrait s’étendre jusqu’aux fréquences infinies, non seulement dans l’ultraviolet, mais bien au-delà, et la puissance rayonnée totale devrait être infinie. Tout corps chaud rayonnerait une puissance infinie et refroidirait instantanément.

Voilà qui est absolument contraire à notre expérience quotidienne. Ce phénomène imaginaire, mais conforme à la théorie d’alors, fut appelé la « catastrophe ultraviolette ». Or, la théorie électromagnétique n’était nulle part mise en défaut et les propriétés thermiques générales non plus. Il faudra attendre quelques années pour qu’une explication partielle soit donnée par Max Planck, quelques décades pour qu’une théorie de l’émission et de l’absorption du rayonnement soit établie.

Ce sera la naissance de la physique moderne : d’abord l’introduction des quanta de lumière, qui sera le prélude à la physique quantique, bientôt suivi, sur une voie indépendante, par la théorie de la relativité.

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On a vu comment, partis de notions encore très incomplètes sur les ondes à la surface de l’eau et la propagation du son, les physiciens parvinrent à une équation différentielle qui précise le comportement des fluctuations de la pression de l’air qui accompagnent les ondes sonores. Cela parut peut-être d’importance assez modeste, jusqu’à ce que Young démontre que la lumière se propage en ondes, puis qu’on démontre qu’il en est de même pour les phénomènes électromagnétiques, et même que la lumière en est un cas particulier. En un peu plus d’un siècle après d’Alembert, les ondes ont envahi la moitié de la physique.

Cela crée des difficultés conceptuelles, et aussi pratiques pour les expérimentateurs, car de tous ces phénomènes on ne voit rien, directement avec ses yeux, s’entend, sauf les ondes de surface de l’eau. On voit bien la lumière, mais pas sous forme d’ondes, sauf dans des expériences très délicates dérivées de celles de Young.

Par contraste, la science des mouvements des corps, la mécanique, décrit les mouvements des corps que nous voyons chaque jour, depuis les trajectoires des billes de nos enfants ou des balles et ballons jusqu’à celles des planètes, sans parler des voitures, avions, fusées, satellites.

C’est justement ce côté mystérieux et abstrait des ondes qui nous a incité à décrire ce développement, de Pythagore à nos jours.

Au XIXe siècle, les applications des sciences devinrent nombreuses et connurent d’importants prolongements industriels. À côté de la découverte ou de l’invention de lois fondamentales, les sciences se développent dans deux dimensions nouvelles : d’une part, on crée des conditions expérimentales nouvelles ; d’autre part, on ouvre des possibilités technologiques. Les deux aspects sont évidemment étroitement liés.

Les piles de Volta fournissaient un courant électrique continu que l’on n’avait jamais observé dans la nature. Le seul exemple, fort spectaculaire, de courants électriques naturels est celui de la foudre. Comme nous le savons aujourd’hui, elle peut transporter des dizaines de milliers d’ampères pendant une milliseconde environ. Les piles ne fournissent qu’une fraction d’ampère mais, en les connectant en nombre en parallèle et en série, Davy put démarrer l’électrochimie et montrer la possibilité de l’éclairage électrique. Œrsted, Ampère, Biot, Savart étudièrent l’action sur les charges magnétiques des fils métalliques parcourus par des courants électriques, celle de ces fils sur d’autres fils, actions qui ne s’observent pas non plus dans la nature ; ces phénomènes contiennent

en puissance la technique des moteurs électriques. De la même manière, le phénomène d’induction magnétique découvert par Faraday ne s’observe qu’en laboratoire ; il conduit aux génératrices électriques, qui fournissent des courants électriques bien plus grands que ceux des piles, et également à des tensions électriques (communément appelées voltages) bien plus élevées. C’est le germe de l’électrotechnique industrielle. Maxwell inventa, sans aucun support expérimental direct, une nouvelle loi pour corriger une incohérence des équations de l’électromagnétisme : cela conduisit non seulement à une théorie de la lumière, mais aux ondes hertziennes dont les applications n’ont cessé de s’étendre pendant un siècle et demi.

Les théories ondulatoires de la lumière rénovèrent l’optique instrumentale, permirent la photographie de haute qualité, la microscopie, la construction de télescopes de plus en plus grands.

On ne saurait exagérer l’importance de ce triple aspect du développement scientifique, qui n’a cessé de s’affirmer depuis le début du XIXe siècle ; découverte de lois nouvelles, création de conditions expérimentales nouvelles, applications pratiques nouvelles.

On illustrera dans ce chapitre la grande variété des phénomènes physiques mettant en jeu les ondes, sans référence systématique au développement historique. Un aspect très intéressant est que la théorie mathématique est d’une grande perfection, en fin de compte d’une grande simplicité ou pureté, qu’elle est vérifiée par l’expérience avec une grande précision, alors qu’elle a été construite sur une base mathématique établie pour rendre compte de phénomènes beaucoup moins purs : les oscillations sur les cordes et dans les tuyaux, qui mettent enjeu bien des phénomènes que la théorie néglige.

Néanmoins, les réalisations pratiques de l’électromagnétisme furent lentes à suivre les travaux théoriques et leurs promesses. Il fallait une technologie, des moyens de mesures, sans compter les aspects sociaux : désir de réalisation, mobilisation des moyens. Il fallait croire aux applications promises. C’est bien après le développement de la théorie, née des travaux d’Euler, de d’Alembert et d’autres, que l’on put vérifier que les phénomènes électromagnétiques se comportent exactement suivant ces produits de l’imagination.

En effet, l’arsenal mathématique du XVIIIe siècle permettait en principe d’étudier les oscillations de tout système et la propagation dans tout milieu. La loi de la dynamique est universelle, le calcul des forces est plus difficile. En principe, car les équations aux dérivées partielles le permettent, mais seulement à condition de connaître les lois suivant lesquelles les efforts naissent au sein des corps lorsqu’ils sont déformés. Les lois des gaz sont assez simples. Au contraire, on ne disposa pas avant le XXe siècle d’une théorie de la structure des solides permettant au moins de comprendre d’où provient l’élasticité d’un métal. La calculer véritablement est plus difficile. Elle est due à des forces électriques à l’échelle atomique, régies par la mécanique quantique. Il restera nécessaire de la déterminer par des mesures.

Les domaines concernés sont innombrables : théorie des instruments de musique variés, des cloches, vibrations de toutes structures, suspension et stabilité des véhicules,

vagues à la surface des liquides, résonances dans les solides, ondes sismiques dans la terre et les astres.

C’est indiscutablement la mise en oeuvre des ondes électromagnétiques pour les transmissions qui amorça ce que l’on peut appeler la technologie des ondes, qui devait conduire à l’électronique. C’est en 1896 que le jeune Guglielmo Marconi (18741937) et, indépendamment, Alexandre Popov (1859-1906), réussirent les premières transmissions radioéléctriques, auxquelles le premier put et sut donner rapidement un grand développement pratique.

La domestication des ondes électromagnétiques Un des grands moments du progrès technique fut la pose en 1858 d’un câble télégraphique transatlantique sous la direction scientifique et technique de William Thomson (1824-1927), à qui cela valut de devenir Lord Kelvin of Largs.

William Thomson (1824-1917), ami de Maxwell, grand physicien mathématicien, fut un des fondateurs de la thermodynamique. Il s’illustra également en électomagnétisme. Il dirigea la pose du premier câble transatlantique, ce qui lui valut d’être anobli en 1866 sous le nom de Lord Kelvin of Largs. Il resta longtemps un personnage central du monde de la physique et de la technique.

La découverte des ondes électromagnétiques a été suivie rapidement de développements techniques considérables, réalisant des rêves millénaires tels que celui de la communication à distance.

Les applications furent essentiellement limitées au télégraphe jusqu’à 1907, date de l’invention des lampes de radio ou tubes à vide par l’Américain Lee de Forest (1873-1961).

Il devint alors possible d’engendrer des oscillations de fréquences très variables, jusqu’à des valeurs très élevées, 1 MHz par exemple1, avec des puissances très élevées si nécessaire, et d’amplifier tout signal électrique à volonté. Ces possibilités résultent de la maîtrise des mouvements des électrons dans les tubes à vide.

Les électrons, dont la découverte est due principalement aux travaux de l’Anglais Joseph John Thomson (1856-1940) en 1897 ont une charge électrique relativement très élevée pour une masse relativement très petite ; on peut donc, par des potentiels électriques, leur communiquer des vitesses considérables sur des distances très courtes, à condition de leur éviter, grâce au vide, les collisions avec les molécules des gaz. En effet le rapport e/m de la charge à la masse de l’électron, mesuré par J.J. Thomson est de 1,76.1011 Coulombs par kilogramme. Placée dans un champ électrique de 1000 Volts par centimètre, soit 100 000 Volts par mètre cette particule est donc soumise à une force

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1. Le MHz ou mégahertz désigne un million de Hertz, nombre d’oscillations par seconde.

électrique de 1,76.1016 Newton par kilogramme, alors que la force de son poids n’est que de 9,8 Newton par kilogramme (de masse)1, soit justement ce que nous appelons un poids d’un kilogramme. Autrement dit, les effets électriques sur les électrons sont dans des conditions techniques courantes des millions de milliards de fois plus grands que les effets des forces de gravitation auxquelles nous sommes soumis. Heureusement, on ne peut pas mettre en jeu des kilogrammes d’électrons parce qu’ils se repoussent violemment du fait de leur forte charge électrique.

La vitesse d’un électron accéléré par un potentiel électrique V obéit à la conservation de l’énergie: 1⁄2 mv2 = eV, soit v = (2eV/m)1/2 = 0,593.106.V1/2 S.I.

la fréquence de 1 MHz est acceptable pour une installation au sol (émetteur radio), les installations mobiles demandent des dimensions petites, donc des fréquences de 100 MHz. Les radars aéroportés et les satellites fonctionneront vers 10 000 MHz, c’est-à-dire à 3 cm de longueur d’onde, comme les paraboles de nos récepteurs pour satellites artificiels.

La solution des problèmes pratiques de la radioélectricité a pris une importance telle dans ce que l’on appelle maintenant le traitement de l’information que nous consacrerons un paragraphe à certains d’entre eux.

On entrevoit, par les chiffres ci-dessus, comment ont pu se développer des applications aussi variées que notre radio, les radars, les télécommunications par radio, la télévision, les satellites, qui transmettent des messages subtils, d’autre part de simples sources d’énergie pour chauffer nos aliments dans les fours micro ondes ou pour accélérer des particules plus ou moins étranges dans des installations de plusieurs kilomètres de diamètre comme le LEP du CERN à Genève. Nous avons donc rempli l’espace, jusqu’à la planète Mars et au delà, d’une multitude d’ondes électromagnétiques de toute sorte que, heureusement, nos récepteurs peuvent séparer.

Bien entendu, ces développements supposent une très grande maîtrise des phénomènes électriques du point de vue scientifique, ainsi que des techniques et une organisation économique considérable. Ils ont engendré d’autres techniques qui ne sont pas nécessairement liées à la propagation des ondes et aux télécommunications : le traitement des signaux pour une transmission efficace de l’information, le calcul numérique rapide. La machine ENIAC fut construite par John Presper Eckert (1919-) et John William Mauchly (19071980) avec des tubes électroniques en 1945-46. Elle pesait plusieurs tonnes et est dépassée par nos calculatrices de poche. Tout changea en 1947 avec l’invention des semiconducteurs et du transistor par William Bradford Shockley (1910-), John Bardeen (1910-) et Walter Houser Brattain (1910-). En effet, le transistor est considérablement plus petit et plus facile à utiliser que le tube électronique. Sauf si l’on a besoin d’une puissance très élevée, on peut résoudre le problème de la rapidité des événements électriques en déplaçant les électrons sur de très petites distances dans des solides. Les problèmes du vide sont supprimés, les tensions électriques sont considérablement abaissées des piles suffisent à alimenter les appareils pendant des mois s’ils ne contiennent pas d’organes mécaniques tels que des haut-parleurs. Par la maîtrise des propriétés des solides (mécanique quantique) et des dépôts en couches minces de structures très complexes, on a pu construire les innombrables appareils qui changent notre vie et celle du monde entier.

Ainsi, avec une tension de 100 Volts, une vitesse de 6 000 km/s est aisément atteinte sur moins d’un centimètre de longueur, en quelques milliardièmes de seconde.

Les déplacements des électrons dans les tubes à vide paraissaient instantanés jusqu’à ce que l’on s’intéresse aux variations très rapides des ondes très courtes et de très haute fréquence des radars.

Dans les lampes de radio, appelées tubes électroniques par les spécialistes, on fait circuler des flux de ces électrons très rapides. Ces flux ont deux propriétés très intéressantes : ils transportent de l’énergie, depuis quelques microwatts jusqu’à des centaines de kilowatts suivant leur taille ; l’intensité de ces courants peut être contrôlée par des tensions électriques sans dépense d’énergie. C’est cette dernière propriété qui permet d’amplifier des signaux dans des proportions considérables. Ce contrôle est analogue à celui d’un robinet bien graissé sur une conduite d’eau qui peut fournir un jet puissant.

On obtient facilement des oscillations électriques de haute énergie utilisables directement pour des tâches grossières telles que le traitement thermique des matériaux.

Pour des tâches plus nobles telles que la transmission d’informations, il faut la convertir: il faut modifier ces oscillations pour y inscrire les signaux, puis les mettre sous forme utilisable. C’est le rôle des antennes, qui rayonnent des ondes électromagnétiques dans l’espace.

On rencontre ici le problème de la longueur d’onde. Pour une longueur d’onde λ, la fréquence est c/λ, c étant la vitesse de la lumière, 299 792 km/s. À une fréquence de 1 000 000 Hertz (1 MHz) correspond donc une longueur d’onde d’environ 300 mètres.

Or, une antenne n’est efficace que si sa longueur dépasse un quart de la longueur d’onde qu’elle émet. Elle n’est directive que si ses dimensions sont de nombreuses longueurs d’onde perpendiculairement au faisceau rayonné : nous avons déjà rencontré le même problème à propos des rayons optiques trop fins. Si une antenne capable d’émettre à 1. On raisonne ici en unités du Système International (voir Le Petit Larousse Illustré), qui ne reconnaît pas le kilogramme comme unité de poids.

Les résonances dans la technique On a vu au chapitre 4 combien les oscillations offrent de possibilités dans la description mathématique de nombreux phénomènes. On va voir comment des organes électriques permettent de mettre à profit ces possibilités. De même que Fourier utilisa la sinusoïde comme élément de base, les électriciens découvrirent cent ans plus tard les possibilités

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infinies du « circuit oscillant » un assemblage de conducteurs électriques et de pièces métalliques dans lequel les courants et les tensions électriques oscillent. Des équivalents mécaniques sont le pendule, ou encore une masse qui pend au bout d’un ressort, ou une corde vibrante. Dans tous les cas, on a un corps doué d’inertie du fait de sa masse, et un corps qui peut exercer une force à peu près proportionnelle à son déplacement. La combinaison d’une force d’inertie et d’une force de rappel, c’est-à-dire de signe opposé au déplacement aboutit à une oscillation. Si la force est exactement proportionnelle au déplacement, la fréquence de l’oscillation est indépendante de son amplitude. Le courant dans un fil produit un champ magnétique dont l’effet est semblable à l’inertie d’une masse.

Le même courant électrique accumule dans deux lames métalliques parallèles des charges électriques de signe opposé qui tendent à refluer par les fils. Le premier effet se traduit par la self-inductance ou par abréviation self du circuit, notée généralement L, le second par sa capacité C. Le circuit résonne à une fréquence f dénotée ainsi :

Le bruit

f = ω / 2�

avec

ω = 1 / √LC

La self est, au plus simple, un fil enroulé ; la capacité, deux plaques métalliques parallèles séparées par un isolant mince.

Le phénomène de résonance le plus simple est que, si l’on applique au circuit une impulsion électrique brève, des courants de fréquence f sont mis en branle dans le circuit, de même qu’une balançoire qui a reçu une impulsion. Si l’on applique des excitations répétées à cette fréquence f, dite fréquence propre ou fréquence de résonance du circuit, ces courants oscillants vont croître dans le temps sans limite autre que la destruction d’un élément par fusion ou étincelle (claquage). C’est la résonance.

Le cas le plus intéressant est celui où le circuit est excité à une fréquence différente de sa fréquence propre, ce qui est en fait toujours plus ou moins le cas. Les oscillations restent alors d’amplitude d’autant plus limitée que la fréquence d’excitation est plus éloignée de la fréquence propre. Plus éloignée de combien ? Cela dépend des pertes d’énergie du circuit oscillant, soit du fait de sa structure (résistance des fils), soit du fait de circuits auxquels il est relié. La bande de fréquences dans laquelle on estime efficace l’excitation de la résonance est appelée bande (sous-entendu de fréquences) passante.

Un circuit oscillant est donc un « filtre de fréquences » : il ne répondra qu’aux excitations comprises dans cette bande de fréquences. Par exemple, il pourra séparer les composantes de Fourier d’une note de musique, si l’on utilise un microphone. Dans l’antenne de votre transistor, les signaux de tous les émetteurs sont excités. Des combinaisons de circuits oscillants, modi lorsque vous tournez les boutons ou pressez le bon bouton, vont permettre de garder seulement le bon signal. Des amplificateurs feront le reste.

Tous les problèmes de la transmission semblent donc résolus, car on peut sélectionner le signal voulu et l’amplifier à volonté. Mais il existe un diable qui brouille tout : le bruit.

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Le bruit, c’est d’abord tous les parasites : les ondes émises par les commutateurs électriques, les moteurs, les bougies des véhicules, les orages. Mais, si l’on parvient à éviter tous ces parasites, il reste le « bruit de fond », phénomène absolument universel qui affecte non seulement les signaux électromagnétiques, mais tous les phénomènes physiques. C’est, par exemple, le souffle que vous entendez si votre transistor est réglé entre deux postes, ou même derrière le signal si la réception est mauvaise ; c’est le bruit d’aiguille des anciens disques ; c’est le bruit du vent ou de la mer ; c’est le grain de la photographie ou du papier sur lequel vous écrivez. Ce sont des signaux continus sans fréquence reconnaissable. Les flots de la mer en donnent une image visuelle, mais cette image est imparfaite car on distingue souvent des vagues ou une houle plus ou moins répétitive. Le bruit est constamment changeant et ne se répète jamais exactement, mais il a des propriétés moyennes, dites statistiques, qui sont invariables dans le temps. Il ne contient aucun signal intelligible, aucune information autre que son intensité et sa nature qui peut être électrique, mécanique ou autre.

Le bruit de fond a deux origines. D’une part, la structure de la matière l’image d’une photographie est inscrite sous la forme d’une multitude de grains colorés ; un courant électrique résulte du passage d’électrons individuels ; améliorerait-t-on les techniques que la structure atomique se révélerait toujours. D’autre part, la température agite chaque particule d’une énergie mécanique de l’ordre de kT, et tout corps chaud rayonne de l’énergie lumineuse donc électromagnétique. k est la constante de Boltzmann, T la température absolue (T = température centigrade + 273,16).

La constante de Boltzmann est égale à 1,380.10-23 Joule/degré. Ainsi, à la température ordinaire, chaque particule (rigide), quelle que soit sa nature, est agitée et animée à la température ordinaire, environ 300°C, d’une énergie de l’ordre de 4,14.10-21 Joule. Une molécule gramme d’oxygène a une masse de 32 grammes, comporte 6,022.1023 particules ou molécules physiques. Elle a donc une énergie interne de l’ordre de 2 500 Joules, soit environ 600 calories. Les chiffres pour l’air sont très voisins. Ils sont donnés en ordre de grandeur et doivent être multipliés par un facteur voisin de 5/2 pour l’air. Toute cette énergie est sous forme de bruit. Ainsi, le bruit est un phénomène important et universel.

Les composantes thermiques du bruit peuvent être réduites en abaissant la température du système de transmission. Mais si celui-ci est à la température ordinaire, disons 290° absolus, et que l’on veut le réduire de moitié seulement, il faut que ce système soit porté à 150° absolus, soit moins 123°C. Des circuits radioélectriques peuvent supporter cette température. Il suffit généralement d’immerger les parties sensibles du récepteur dans de l’air ou de l’azote liquide, à moins 196°C, ou même de l’hélium liquide à 4°K, soit -269°C. L’énergie du bruit est étalée sur toutes les fréquences. Les récepteurs n’en reçoivent donc qu’une partie.

Un circuit oscillant de bande passante ∆f fournit aux circuits qui lui sont reliés une

Les signaux audibles varient au maximum de 10 Hertz à 20 000 Hertz (ou oscillations par seconde) et demandent une bande de fréquence un peu plus large. Or, on a vu qu’une antenne n’est guère efficace en dessous d’une fréquence de 100 000 Hertz car elle serait beaucoup trop grande. De plus il faut que les différents émetteurs soient à des fréquences différentes pour que l’on ne reçoive pas un mélange méconnaissable de toutes les émissions. Pour que tout le monde ait de la place, on monte, en FM, au-dessus de 100 MHz (100 000 000 Hertz).

Les images sont transformées grâce à l’effet photoélectrique en signaux électriques qui s’étendent des fréquences acoustiques jusqu’à plusieurs MHz. Or, on ne sait pas construire ni un émetteur, ni un récepteur, qui fonctionne entre deux fréquences présentant un rapport aussi élevé : quelques dizaines de milliers en audio, près d’un million en vidéo.

La différence des fréquences, appelée bande passante, peut être grande, pourvu que la fréquence centrale soit assez élevée : un signal vidéo de bande passante 5 MHz ne peut être transmis directement, mais on peut transmettre un signal occupant la bande de même largeur comprise entre 500 MHz et 505 MHz. Or, il est possible de réaliser cette transposition de fréquence, indispensable aussi bien pour les amplificateurs que pour les antennes.

Un signal complexe, provenant par exemple de l’enregistrement d’une symphonie, d’une vue des Alpes ou d’un match de football, peut toujours, d’après les théorèmes de Jean-Baptiste Fourier que nous avons cités, être traité comme une somme ou superposition de signaux sinusoïdaux de fréquences d’amplitude et de phase données. Chacun de ces signaux peut être traité séparément par des circuits électriques appropriés aussi bien que par le calcul. C’est ce qui va être montré dans les paragraphes qui suivent.

puissance kT∆F. Pour recevoir un programme de télévision, il faut à peu près une bande passante de 5 MHz et l’antenne de réception est au moins à 290°K (17°C), en fait à beaucoup plus à cause des transistors ou tubes. Une valeur de 1 000 °K est encore modeste. La puissance de bruit est alors 1,380.10-23.1000.5 000 000 c’est-à-dire à peu près 7.10-14 Watt. La puissance d’un émetteur de 1 Watt placé à 1 000 km est distribuée sur une surface d’environ 2� 1 012 m2 ; sa densité de surface est alors 1,6.10-13 Watt/m2. Pour surpasser le bruit d’un facteur 10, il faudrait une antenne de surface équivalente 7.10-13 / 1,6.l0-13, soit environ 4 m2. Les conditions ne sont jamais aussi favorables. Des émetteurs d’une portée de 100 km demandent des puissances de dizaines de kW. Néanmoins, des amateurs peuvent exceptionnellement assurer des liaisons transcontinentales avec quelques dizaines de Watts, grâce à des réflexions sur la haute atmosphère.

Il est donc normalement indispensable, lors de la transmission de signaux, de maintenir le niveau du signal constamment au-dessus de celui du bruit. Bien que l’on sache en principe amplifier à volonté tout signal électrique, on ne peut rien faire si celui-ci est perdu dans le bruit, tel une aiguille dans une meule de foin ; on peut certes la trouver parce que l’on connaît a priori sa forme, mais il faut beaucoup de temps. Or, le temps est un facteur de première importance en matière de transmissions. De plus, on ne connaît en principe pas la forme d’un signal ; sinon, il ne contiendrait pas d’information nouvelle. On ne peut le récupérer dans le bruit que dans la mesure où l’on possède certains renseignements sur sa forme, ou sur le moment où il est émis s’il est bref.

Diverses techniques de radioélectricité Les principes élémentaires de ces techniques sont détaillés ici à cause de l’importance considérable qu’ils ont en électronique : radio, télévision, satellites, informatique, mesures, holographie. Les calculs sont à la portée des lycéens, mais certains lecteurs qui ne les suivront pas pourront retenir l’essentiel : des moyens assez variés permettent d’inscrire les signaux ou informations sur des supports variés, que l’on pourra ensuite lire par des moyens complémentaires. On connaît l’importance de ces techniques dans notre vie.

Pour transmettre une information par ondes électromagnétiques, il faut d’abord la mettre sous forme d’un signal électrique.

Pour un signal sonore, on utilise un microphone : une membrane légère et souple portant un fil électrique fin vibre dans l’air sous l’effet du signal sonore. Le fil est situé dans le champ magnétique d’un aimant et il apparaît, par induction (loi de Faraday), une force électromotrice E qui est l’image des vibrations sonores.

Le microphone est caractérisé par une constante m qui relie E à la vitesse v des vibrations de l’air au voisinage de la membrane :

Modulation et démodulation On cherche à fabriquer des appareils, dits linéaires qui conservent cette superposition sans introduire de distorsion. Pour comprendre leur fonctionnement, il suffira de considérer une oscillation pure de courant électrique prise dans le signal, soit

a cos ωt

On possède, en outre, un oscillateur qui produit un courant électrique de fréquence plus élevée que nous noterons :

A cos Ωt

Or, il existe des organes, tubes électroniques ou transistors, qui produisent une tension électrique proportionnelle au carré du courant qui les parcourt. Ils ne sont donc pas linéaires.

Si on fait parcourir l’un d’eux par la somme des deux courants considérés, on obtiendra une tension proportionnelle à

( A cos Ωt + a cos ωt )2

E=mv

On peut ensuite amplifier cet effet à volonté.

Le facteur de proportionnalité n’importe pas en principe, puisque l’on sait fabriquer

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des amplificateurs, non peut-être sans difficulté. C’est la modulation. Les théorèmes bien connus des lycéens montrent que cette expression peut se mettre sous forme d’une somme de sinusoïdes :

A2

A et B étant constants, le signal est, à un facteur près, égal au signal d’origine. On peut l’amplifier pour exciter un haut-parleur.

La transposition en fréquence permet donc de placer le signal dans une bande de fréquences propre à la transmission par ondes. Elle possède de nombreux autres avantages.

On peut, par exemple, transposer différentes conversations téléphoniques de fréquences assez différentes pour qu’elles ne se recouvrent pas, et les transmettre simultanément sur une seule onde. C’est ainsi qu’un satellite peut transmettre des milliers de conversations téléphoniques et des programmes de télévision. Les « filtres de fréquences » évoqués plus haut permettent de séparer les signaux à la réception.

1 + cos 2Ωt 1 + cos 2ωt + Aa[(cos(Ω + ω)t + cos(Ω - ω)t)] + a2 2 2

Cette tension est la somme de six composantes de fréquences différentes. Or, la propriété des circuits de ne pouvoir transmettre des bandes de fréquence arbitraires, appelée filtrage, nous permet de ne retenir que les deux composantes du centre qui ont la fréquence du signal transposée par celle de l’oscillateur. Le premier et le cinquième terme, continus, ne seront pas transmis. Supposons que Ω corresponde à 1 MHz (Ω = 2� MHz), ω à 20 kHz. On saura régler les circuits pour qu’ils transmettent par exemple de 970 à 1 030 kHz, ce qui éliminera tous les termes sauf les deux du centre, et on accordera les antennes, à la réception comme à l’émission, sur 1 MHz. Mieux même, en réglant finement les paramètres, on ne gardera que le terme :

DE DIVERSES ONDES Ondes élastiques dans les solides Un solide peut être le siège de différents types d’efforts : compression-extension, cisaillement, flexion, torsion. À chacun correspond un type d’onde, avec une vitesse de propagation particulière. Dans les cristaux, les propriétés dépendent de la direction des efforts, car il existe des axes privilégiés. La propagation dépend de sa direction par rapport à ces axes.

Il n’en est pas de même dans les liquides et les gaz qui n’ont pas d’axes privilégiés. Les efforts de cisaillement sont dus aux forces de viscosité, qui apparaissent lorsque les filets voisins ont des vitesses différentes ; ces forces produisent un amortissement.

Aa cos(Ω + ω)t

L’onde de fréquence Ω est dite la porteuse. On dit qu’elle est modulée à la fréquence ω. A et Ω sont aussi constants que le papier sur lequel vous écrivez est uni. Le signal ci-

dessus est linéaire en a, c’est-à-dire simplement proportionnel au signal intéressant, qu’il peut donc reproduire fidèlement. Sa fréquence ω est augmentée de la constante Ω : on dit que le signal est transposé en fréquence.

Voilà donc ce signal envoyé à l’antenne et parti dans les airs, excitant les antennes des récepteurs à très faible niveau, car l’émetteur est loin. Mais les auditeurs, dont l’oreille n’entend pratiquement rien au-delà de 15 kHz, n’ont rien à faire d’une oscillation autour de 1 020 kHz. Qu’à cela ne tienne, on va de nouveau transposer en fréquence par la méthode du « mélange quadratique ». Les récepteurs ont un oscillateur local que l’on accorde sur 1 MHz et produisent un signal d’ailleurs très peu intense d’expression

Ondes de surface ; vitesse de phase et vitesse de groupe Les ondes peuvent se propager à la surface des liquides dans un champ de pesanteur, ou à celle des solides. Les premières nous sont particulièrement familières. Contrairement aux ondes acoustiques, leur vitesse de phase dépend fortement de leur fréquence ou de leur longueur d’onde. La relation de dispersion, qui exprime cette propriété, s’écrit :

ω2=kg

B cos Ωt

où ω = 2�f est la fréquence angulaire, f la fréquence, k = 2�/λ, λ étant la longueur d’onde, et g est l’accélération de la pesanteur (9,8 m/s2). Comme pour les ondes acoustiques, le terme en ω2 provient de l’accélération dans la force d’inertie (second degré par rapport au temps) ; le terme en k est une caractéristique des ondulations qui créent la force motrice. En effet, celle-ci provient des différences de déplacement vertical de régions voisines, donc d’une dérivée d’espace simple, et non double comme pour les cordes, où la force motrice est due à la courbure de la corde. On peut aussi bien écrire, pour la vitesse de phase, égale à fλ ou ω/k par définition :

Pour cela, il suffit de tourner le bouton où d’appuyer sur la touche d’une station préréglée.

Un circuit du récepteur appelé détecteur, simplement la galène des premiers amateurs, va fournir un signal proportionnel à

[Aa cos(Ω + ω)t + B cos Ωt]2

En développant de nouveau cette expression par les formules bien connues, on constatera que l’on peut obtenir, après filtrage une tension

ABa cos ωt 2

vФ= g/ω = 2�g/f = (gλ/2�)1/2

C’est la démodulation.

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Cette dépendance de la fréquence produit des effets importants, car il est impossible en

pratique de produire une onde d’une seule fréquence : une fréquence unique dure un temps infini. Les différentes composantes de fréquence ont des vitesses de phase différentes, si bien que l’onde se déforme en se propageant. En général, elle s’étale. Toutefois, pour un petit groupe de fréquences, les différentes fréquences forment une sorte de paquet car elles restent localement à peu près en phase en certains points. Quelle que soit la nature de l’onde, on exprime ce fait par l’équation :

fréquences qui disperserait ces ondes dans le régime linéaire. Dans le régime non-linéaire, éventuellement aidé par la dissipation d’énergie au sein de l’onde, cette onde unique est stable. On parle alors de solitons. Ce concept est utilisé en physique du solide et en physique des particules.

Effets de lentille, ondes sismiques On connaît les effets de déviation et de concentration d’une lentille sur un rayon lumineux. Or, on peut regarder une lentille comme une inhomogénéité de concentration de matière. Des effets de lentille se produisent donc fréquemment dans de telles inhomogénéités. Le plus souvent, les rayons sont légèrement déviés dans la direction de la plus grande densité ou de la plus grande épaisseur. Ainsi, un prisme dévie la lumière vers sa base. L’atmosphère, plus rare lorsque l’on s’élève, nous permet de voir le soleil un peu avant son lever et après son coucher « géométriques ».

Par temps chaud au contraire, la terre est souvent plus chaude que l’air qui est ainsi raréfié à son contact, d’où les effets de mirage ou simplement les reflets argentés sur les routes.

La terre, constituée d’un noyau et de plusieurs couches sphériques, produit de semblables effets de lentille sur les ondes sismiques dont les tremblements de terre sont les manifestations en surface. Leur étude nous renseigne sur la constitution interne de notre planète1.

Un premier groupe d’observations concerne des ondes assez localisées, sortes de rayons qui se propagent au sein de la terre, déviés par ses inhomogénéités, réfractés et partiellement réfléchis aux limites entre les différentes zones radiales que l’on décrira plus loin.

Un second groupe concerne des vibrations, souvent appelées libres, dans tout le volume ou dans une zone superficielle plus ou moins profonde ; dans le dernier cas, elles correspondent aux ondes de surface décrites plus haut. On comprendra ce genre de phénomène en partant des vibrations des cordes. Une corde vibrante est un milieu unidimensionnel qui peut résonner sur une suite d’harmoniques. Si la corde est homogène, leurs fréquences sont des multiples de la fréquence fondamentale ; sinon, elles sont décalées, ce qui nous renseigne sur les inhomogénéités de la corde. La terre, comme la plupart des astres, est un corps tridimensionnel fortement inhomogène radialement et à peu près homogène dans les directions angulaires. Ses oscillations ont, en général, une répartition angulaire régulière à la surface, un peu comme les quartiers d’une orange ou les sphérules d’une mûre. Des observations des mouvements sismiques, même légers, ainsi que du champ magnétique en plusieurs points de la surface fournissent, combinés avec d’autres informations, des données souvent très sûres quant à la répartition radiale de la composition de l’astre. Ces informations, essentiellement acquises en laboratoire, concernent d’une part les propriétés thermodynamiques et chimiques des matériaux à haute température et haute pression, et d’autre part des résultats de calculs sur ordinateur

dΦ/dω = d(ωt - kx)/dω = t - x dk/dω = 0 On voit que x/t = dω/dk est une vitesse constante : le paquet se déplace à une vitesse différente de celle des composantes. Elle est appelée vitesse de groupe, notée vg. Pour les ondes de surface des liquides, on trouve :

vg = vΦ /2

Ces vitesses sont inversement proportionnelles à la fréquence, et croissent avec la racine carrée de la longueur d’onde. Sur une plage, on observe en effet que les vagues courtes sont relativement calmes, tandis que les longues les dépassent en vitesse et viennent se briser sur le rivage.

Une vitesse critique d’un navire est proportionnelle à la racine carrée de sa longueur. Si on veut le faire aller plus vite, il faut une énorme dépense d’énergie pour faire sortir la coque de l’eau (déjauger) : c’est le cas du hors-bord. Cette dépendance de la vitesse limite vient d’un effet d’interférence entre l’onde de proue et de celle de poupe. La vitesse maximale résultante est, en noeuds, de quelques unités multipliées par la racine de la longueur en mètres.

Non-linéarités dans les ondes On a remarqué, plus haut, que les équations de propagation sont établies en simplifiant les équations de la dynamique, en se limitant aux termes linéaires, c’est-à-dire de simple proportionnalité, valides pour de petits déplacements. Pour de grands déplacements, le comportement est bien plus complexe.

Sur la plage, les ondes déferlent : c’est que l’eau devient de moins en moins profonde ; l’énergie contenue dans les vagues se concentre dans un volume d’eau de plus en plus petit, les déplacements et les vitesses augmentent, en particulier pour les grandes longueurs d’onde, et les ondes se brisent sur la plage. Les vagues ne sont pas réfléchies sur la plage comme le son sur un mur, ou comme elles le sont sur une paroi plane et verticale de jetée : aucune vague n’est jamais réfléchie de la plage vers le large. C’est dû à la pente douce du sol.

Un gentilhomme anglais observa au siècle dernier sur une rivière un phénomène analogue au « mascaret » : une ondulation unique, sorte de mur d’eau, qu’il put suivre à cheval sur une grande distance. Ce phénomène, dont l’explication théorique fut donnée bien plus tard par Korteweg et De Vries, est typiquement non linéaire. En effet, une ondulation unique, comme le montre l’analyse de Fourier, comporte tout un spectre de

2. Voir Astronomie, sous la direction de Philippe de la Cotardière, Larousse, 1994.

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décrivant des propagations et oscillations.

En ce qui concerne notre planète, les ondes sismiques d’une fréquence de 0,1 à 1 Hertz ont montré qu’elle comporte un noyau central constitué de fer presque pur de 1 215 km de rayon ; sa température est de 5 000°, et il est solide car la pression y est très élevée : 3,6 millions d’atmosphères au centre, 1,4 million à l’extérieur ; là commence une zone épaisse de 2 260 km constituée d’un alliage liquide de fer, entourée d’une couche d’oxydes épaisse de 2 890 km, puis de la croûte que nous explorons depuis la surface. Le noyau solide se révèle anisotrope, donc cristallin. La couche liquide d’alliages, conductrice, est le siège de courants électriques essentiellement responsables du champ magnétique terrestre ; les ondes dans cette région sont dues aux forces d’inertie, à celles de compression et à celles exercées sur les courants par les champs magnétiques. Voila un résumé de quelques hypothèses qui ont permis de retrouver par le calcul les fréquences des oscillations observées.

Les mesures sur le soleil sont évidemment très difficiles, mais on dispose depuis peu de détecteurs très sensibles : on observe ses modes d’oscillation et leurs fréquences, car le déplacement des couches visibles provoque par effet Doppler1 des glissements des fréquences lumineuses (sismologie solaire). On trouve deux sortes d’oscillations : les acoustiques, dues aux forces de pression, avec des périodes de quelques minutes et plus ; les gravitationnelles, dues aux attractions internes, dont les périodes peuvent atteindre quelques heures. Pour les expliquer, on tient compte en particulier des réactions nucléaires qui sont la source d’énergie. On peut ainsi étudier la conversion de l’hydrogène en hélium, la température, la pression en fonction du rayon.

La température du noyau central, d’où provient l’énergie, varie de 15 millions de degrés à 8 millions ; son rayon est le quart de celui du soleil, sa densité 158 fois celle de l’eau.

On trouve ensuite une zone intermédiaire, puis plusieurs couches assez complexes, et la surface proprement dite que nous voyons, d’un rayon de 696 000 km et portée à environ 6 000 degrés, puis la chromosphère, la couronne et des émanations (vent solaire) qui s’étendent au delà même des planètes.

On voit combien l’étude des ondes peut apporter de connaissances sur ce qui nous entoure.

1. Christian Doppler (1803-1853) observa que la hauteur des sons que nous percevons, c’està-dire leur fréquence, change lorsque leur source est en mouvement. Il en est de même lorsque c’est nous qui nous déplaçons. Ainsi, lorsque nous nageons, les vagues ont pour nous une fréquence différente suivant que nous nageons dans ou contre leur sens. Toutes les ondes sont soumises à cet effet.

Lentilles gravitationnelles La théorie de la relativité générale d’Albert Einstein (1915) prévoit que la lumière est déviée par le champ gravitationnel des concentrations de matière. On vérifia dès 1919 au cours d’une éclipse totale de soleil que les étoiles voisines du soleil, qui sont visibles pendant l’obscurité de l’éclipse, semblaient anormalement écartées du soleil : les rayons lumineux qui en proviennent avaient été légèrement courbés au voisinage de l’astre.

Récemment, on a observé des effets de lentille semblables dus à des galaxies géantes ou amas de galaxies et agissant sur la lumière de quasars lointains qui les traversent. Ces lentilles sont très imparfaites selon les règles de l’optique instrumentale, car elles donnent généralement plusieurs images du même astre. Les renseignements obtenus par ces observations sont néanmoins très précieux.

Ondes dans les plasmas Les plasmas sont des gaz ionisés, c’est-à-dire dans lesquels un nombre plus ou moins grand d’atomes ou molécules ont perdu un ou plusieurs électrons. On les trouve dans les tubes d’éclairage luminescents, les éclairs, les arcs électriques, les étoiles et surtout dans l’espace interstellaire, enfin dans les réacteurs thermonucléaires. Ils comprennent des particules neutres, des ions de différentes espèces, et des électrons libres qui sont particulièrement actifs. Ils sont sujets à tous les phénomènes acoustiques, compliqués par les forces électriques et, souvent par des forces dues à un champ magnétique extérieur et, dans les plasmas denses, à celui des courants électriques dans le plasma lui-même. Le champ magnétique rend le plasma anisotrope, et l’on y retrouve alors des propriétés des milieux cristallins. On trouve donc une multiplicité d’ondes exotiques. Beaucoup de cellesci sont instables et conduisent à des sortes d’explosions du plasma, au lieu d’oscillations sur place. Ces phénomènes sont la première cause de la difficulté technique de la fusion thermonucléaire contrôlée.

Les ondes lumineuses

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La lumière blanche fut décomposée par Newton en un fond continu de toutes les couleurs, soit de toutes les fréquences ou de toutes les longueurs d’onde. Ce mélange de fréquences est une caractéristique du bruit. On parle d’un bruit blanc lorsque toutes les fréquences sont également présentes. En outre, il est fondamental que ces fréquences ne sont pas synchronisées en phase. Disons que l’émission par chaque atome d’un signal lumineux dure un temps très court et que l’émission suivante ne sera pas en phase.

On a donc au total un désordre à peu près parfait : du bruit optique, composé d’ondes électromagnétiques.

Nous voilà revenus à un problème fondamental d’ondes.

Le spectre électromagnétique fut considéré pendant longtemps comme divisé en deux parties :

– aux plus basses fréquences, disons en dessous de 100 gigahertz (1011 Hz), des signaux très complexes et parfaitement organisés dépassant le niveau de bruit ; c’est le domaine de la technique industrielle et radioélectrique – au-dessus de 1013, les rayonnements infrarouges, puis lumineux, puis ultra-violet, et d’autres encore au-delà : en somme, du bruit électromagnétique, parfaitement désorganisé.

On se demandait s’il existait une propriété fondamentale qui faisait inévitablement dominer le bruit aux fréquences élevées. Si l’on utilise des tubes électroniques classiques, cette limite existe bel et bien.

La théorie électromagnétique n’impose pas de limites aux fréquences, ni inférieures, ni supérieures, les rayons ultraviolets étant suivis des rayons X, puis, dans le domaine des énergies nucléaires, des rayons gamma, sans limite de fréquence. Existe-t-il des rayonnements cohérents dans toute l’étendue du spectre ?

La réponse sera apportée à l’ère quantique de la physique, bien qu’elle ne soit pas nécessairement quantique. Anticipons.

correspond non pas à la transition quantique d’un électron, mais à deux états de la molécule correspondant, en termes classiques (inadéquats) à la vibration de l’atome d’azote par rapport aux trois atomes d’hydrogène.

Einstein avait prévu dès 1917, sur une base thermodynamique, l’émission stimulée mais il n’avait pas prévu la mise en phase des composantes du rayonnement stimulé. La mécanique quantique est nécessaire pour comprendre ce processus.

On réalisa ensuite des masers et lasers fonctionnant sur un grand nombre de transitions atomiques de différentes longueurs d’onde.

Les applications se firent d’abord dans le domaine de la métrologie : mesure très précise des longueurs d’onde, des fréquences, nouvelles bases de la mesure des longueurs et du temps. Les techniques étaient d’abord limitées au laboratoire. Les lasers ont considérablement augmenté la précision des mesures, au point de dépasser considérablement les précisions astronomiques et de limiter le mètre étalon du pavillon de Breteuil au rôle d’étalon secondaire.

Une révolution technologique eut lieu lorsque l’émission stimulée put être obtenue grâce à des transitions électroniques dans les semiconducteurs. Le principe se prêtait dès lors à la production de masse. Les lasers ont modifié la technique d’enregistrement, et envahi les caisses des supermarchés. Voici une liste de quelques applications des lasers :

La lumière à l’ère quantique : masers et lasers La réponse à cette question fut apportée par l’invention du laser1 (Townes et Shawlow, 1958, Basov et Prokhorov ; réalisation par Gould,1957, Maimann 1960).

Suivant l’expérience et la mécanique quantique, les atomes et molécules peuvent émettre ou absorber des photons de longueur d’onde bien déterminée en transitant entre deux états quantiques. On peut accumuler dans des enceintes appropriées les photons, c’est-à-dire les brèves émissions des atomes individuels, dans la région où ceux-ci se trouvent. Le moyen le plus simple est de disposer autour des atomes intéressés deux miroirs légèrement concaves qui se renvoient la lumière indéfiniment... ou presque. En effet, il faut laisser fuir du rayonnement pour l’utiliser, et d’autre part les miroirs absorbent de l’énergie. Les photons stimulent l’émission de photons semblables et synchronisés on obtient une belle émission continue, telle le la du hautbois dans la fosse de l’orchestre. Pour la première fois sans doute dans les laboratoires et peut-être dans la nature, Townes et Shawlow purent ainsi produire un rayonnement à une seule fréquence optique cohérente. À vrai dire, Townes avait auparavant inventé le principe du maser2 (1951), que Townes, Gordon et Zeiger réalisèrent en 1954. C’étaient alors des molécules d’ammoniac qui interagissaient avec leur propre rayonnement, accumulé dans un résonateur. Le principe est le même que celui du laser, mais la fréquence est beaucoup plus basse : elle 1. Light Amplification by Stinnulated Emission of Radiation, ou Amplification de la lumière par émission slimulée de rayonnement.

2. Microwavet Amplification by Stimulated Emission of Radiation, ou Amplification d’hyperfréquence par émission stimulée de rayonnement.

– Métrologie : mesure des distances (interférences), des vitesses (effet Doppler), des rotations (lasers en anneaux).

– Chimie et spectroscopie : étude des réactions ultrarapides, des milieux absorbants, des transitions, séparation isotopique.

– Médecine : microchirurgie.

– Propriétés directives : photographie lointaine, désignation d’objectifs et guidage (militaire), alignements et éclairage (civil).

– Applications énergétiques : soudure, usinage, fusion nucléaire, armes (1 J en 1 msec dans 0,01 mm2 = 12 MW cm2, beaucoup plus que l’intensité du soleil à sa surface).

Les hologrammes La technique des hologrammes permet de voir en relief un objet grâce à certains enregistrements photographiques sur support plan, donc seulement bidimensionnels.

On peut distinguer trois niveaux d’analyse des phénomènes optiques. Les deux premiers sont classiques, le troisième est quantique.

Le premier niveau est l’optique géométrique, qui explique la marche des rayons lumineux : réflexion sur les miroirs, réfraction aux surfaces des lentilles. Elle permet de comprendre le fonctionnement des loupes, verres correcteurs, microscopes, télescopes. D’après elle on ne peut recevoir aucune lumière de l’arrière d’un objet opaque.

Le second est l’optique ondulatoire. La lumière étant composée d’ondes et non de particules, ne se propage pas vraiment en ligne droite. Les ondes acoustiques contournent

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les obstacles et nous pouvons entendre nos enfants quand ils jouent dans la pièce voisine.

Cela tient à ce que, comme l’a compris Huygens, toute région excitée rayonne à son tour dans toutes les directions. Les interférences de Young en sont une application. Les effets sont complexes.

Lorsque nous regardons un objet, nous ne voyons pas sa partie postérieure, mais, en nous déplaçant un peu de droite ou de gauche, nous voyons une partie de ses côtés et, surtout, le fait que nos deux yeux soient écartés nous donne des éléments de relief.

Comment faire sentir le relief par une image plane ? On y parvient en donnant deux images prises de points voisins, comme le sont les deux yeux. Chaque œil voit ensuite l’image qui lui correspond. Il faut donc un procédé pour que chaque œil ne voie qu’une image. Ces procédés, tels les anaglyphes, demandent généralement des lunettes spéciales et sont toujours encombrants.

Les hologrammes donnent l’impression tridimensionnelle à l’oeil nu. Ils sont enregistrés sur film et sont peu encombrants au stockage. Ils doivent être visionnés à l’oeil nu, mais de préférence avec un appareil spécial.

La photographie n’enregistre qu’un des éléments de la lumière, son intensité, alors que la phase du phénomène lumineux contient une information essentielle : les oscillations aux différents points de l’espace ne passent pas par leur maximum au même instant, ni en chaque point d’une surface à un instant donné, et ce sont ces décalages que l’on exprime par la phase.

Or, un laser produit des oscillations presque parfaitement définies, alors que la lumière ordinaire est un mélange de toutes les fréquences et de toutes les phases ; ainsi, le laser permet de mettre en évidence les différences de phase à condition que plusieurs conditions soient remplies à l’enregistrement.

- À l’enregistrement : a) éclairer l’objet avec le faisceau d’un laser b) utiliser une partie du faisceau comme référence de phase c) enregistrer sur le support de l’image une superposition de cette partie et de la lumière diffusée par l’objet - celle que normalement reçoit notre œil - À la lecture : d) examiner l’enregistrement en l’éclairant avec un faisceau du même laser.

L’intensité de la somme du faisceau de référence et de la lumière diffractée contient alors la phase et la photographie ordinaire, par exemple permet d’enregistrer cette intensité-dépendant-de-la-phase.

Lorsque notre œil observe un objet O à la lumière L d’une source, soleil ou lampe, chaque point de la surface de l’objet réémet dans toutes les directions une lumière « diffusée » D, dont certains rayons entrent dans notre pupille. La théorie simple de Huygens, ou celle, plus complète, de l’électromagnétisme nous apprend que, si nous arrivons à reproduire sur une surface interposée entre l’objet et notre œil l’état vibratoire de la lumière

Figure 10a. Parcours des rayons lumineux lors de la vision d’un objet O éclairé par des rayons lumineux L dont cet état vibratoire a été obtenu.

La surface en question peut être un support plan S, comme sur la figure 9b.

On superpose sur S une partie M de la lumière L d’un laser avec la lumière D diffusée pa l’objet O.

Figure 10b. Enregistrement d’un hologramme

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Supposons que la lumière L est celle d’un laser, donc de fréquence et de direction bien définies, et que nous interposons sur son parcours un miroir semi-transparent M. Celui-ci laisse passer une partie de la lumière et renvoie sur la surface S un faisceau réfléchi R. La surface S est donc soumise à la lumière D diffusée par l’objet O, de structure complexe car elle contient l’information sur l’objet, et par le faisceau R de structure très simple. L’intensité et la phase de D varient donc sur la surface S d’une manière qui dépend de l’objet, mais tous les procédés d’enregistrement, photographique ou autre, ne sont sensibles qu’à l’intensité, et non pas à la phase. Par contre, la somme des signaux D + R est sensible à la différence de phase entre les deux composantes qui, notamment, peuvent s’additionner ou se retrancher suivant leur différence de phase comme dans une expérience d’interférence.

Ces processus sont très voisins de la modulation des signaux en radiotechnique, que nous avons détaillée plus haut.

L’enregistrement photographique de D + R contient toute l’information sur l’objet O. Cet enregistrement, dit « hologramme », ne ressemble pas du tout à l’objet, car aucune lentille n’est utilisée ; c’est une sorte de spectre qu’il faut décrypter. Le procédé est simple, car l’encryptage a été fait avec un signal extrêmement élémentaire, que l’on sait reproduire à volonté.

Voici comment on visionne un hologramme déposé sur S : on l’éclaire par une source laser L identique à celle qui a servi pour l’enregistrement (figure 10c).

Figure 1Oc. Examen d’un hologramme

Le processus est analogue à la démodulation des signaux sans une analyse détaillée, disons simplement que la lumière diffusée sera symboliquement (D + R) + L. Or, R et L sont identiques à une différence de phase près, la même sur toute la surface, et peuvent s’annuler. Chaque point P de l’hologramme rayonne vers l’aeil une lumière D identique à celle produite par l’objet lors de l’enregistrement : on a produit beaucoup plus q’une photographie, un « objet virtuel » OV. En fait, le développement des lasers et des hologrammes a eu recours à la physique quantique, qui permet d’obtenir des faisceaux lumineux plans et cohérents en phase. Il serait possible, bien qu’incommode, de réaliser des hologrammes sans lasers : rien n’est quantique dans l’explication qui a été donnée, mais il est difficile d’obtenir un faisceau plan bien défini avec une source incohérente.

Le mécanisme d’émission laser est quantique. Néanmoins, on peut le caractériser par un paramètre de couplage des ondes aux systèmes quantiques. Ce paramètre étant connu, le calcul de la plupart des caractéristiques de fonctionnement d’un laser peut se faire suivant la mécanique classique. Ce paramètre peut aussi être mesuré sans connaître la physique quantique.

Nous arrivons au troisième niveau d’analyse de la lumière, qui est quantique. Seule cette analyse permet de comprendre complètement l’émission et l’absorption de la lumière, de calculer le paramètre de couplage. Elle seule permet d’engendrer des faisceaux de lumière « purs », c’est-à-dire possédant une seule direction et une seule longueur d’onde.

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CHAPITRE 7

RETOUR AUX PARTICULES ET AU DISCONTINU Propriétés étranges de la lumière des atomes Les phénomènes calorifiques avaient vers 1900 reçu des explications très convaincantes grâce à la théorie atomique. Il était avéré que la chaleur n’est pas un fluide, mais résulte de mouvements d’agitation désordonnée de tous les atomes ou molécules des corps. On ne peut s’en tenir là pour de nombreuses raisons, dont la plus évidente est que nous sommes chauffés par le rayonnement du soleil, qui nous parvient à travers un espace à peu près totalement dépourvu de matière, même sous forme gazeuse. Il faut donc comprendre comment un rayon lumineux peut transporter de la chaleur, bref, étudier les propriétés thermiques de la lumière. Ce phénomène doit être décrit en termes électromagnétiques, puisque telle est la nature de la lumière. On sait depuis l’expérience du prisme de Newton que ce rayonnement contient toutes les couleurs de l’arc-en-ciel, qui sont véhiculés par des ondes de fréquences différentes. Il fallait préciser la nature de ce rayonnement, c’est-à-dire mesurer quantitativement le spectre et en rendre compte par l’électromagnétisme. John William Strutt, Lord Rayleigh (1842-1919) et James Hopwood Jeans (18771946) trouvèrent une description par oscillateurs des phénomènes électromagnétiques qui le permet (nous dirions aujourd’hui modes d’oscillation) : on considère l’espace comme un résonateur électromagnétique et on cherche toutes les résonances comme on cherche les modes d’oscillation ou harmoniques d’une corde de violon ; toutefois, le problème n’est pas à une, mais à trois dimensions. On peut appliquer à ces modes les méthodes statistiques qui ont si bien réussi pour expliquer les propriétés thermiques des gaz. Bien que cette approche fût la bonne, on trouvait comme on l’a dit plus haut, des réponses aberrantes : en particulier, la quantité de chaleur émise par un corps chaud, soleil, masse métallique chauffée au rouge et autres, serait infinie à cause d’une émission illimitée au-delà de l’ultraviolet.

TROISIÈME PARTIE

L’ÂGE QUANTIQUE OU LE MONDE DÉCRIT PAR DES ONDES

Planck introduit les quanta Max Planck (1858-1947) était probablement le plus éminent représentant de la brillante école thermodynamique austro-allemande. Il était particulièrement sensible à la nécessité de traiter le rayonnement thermique de façon thermodynamique, ainsi qu’au problème de l’émission à courte longueur d’onde, la catastrophe ultraviolette. Il s’aperçut en 1900, presque par hasard, que tout s’explique, et avec précision, si l’on admet que la lumière n’est pas émise comme un flux continu, mais sous forme de paquets d’énergie proportionnelle à

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la fréquence. C’est la fameuse formule :

de e-10 = 0,0000453. C’est pour cela que les quanta ultraviolets sont rares. Or, la théorie électromagnétique prévoit que s’il peut y avoir des états d’énergie hν dans le rayonnement, il peut aussi y en avoir d’énergie 2 hυ, 3 hυ, 4 hυ, etc. qui deviennent de plus en plus improbables. C’est à cause de la décroissance très rapide de la fonction exponentielle que le la courbe du rayonnement thermique (figure 8, chapitre 5) décroît très fortement à droite.

L’hypothèse de Planck permet ainsi, par le calcul, de retrouver la courbe cidessus et même de préciser le sens des constantes numériques :

E=hυ

L’énergie de chaque paquet est égale à une constante universelle h multipliée par la fréquence du rayonnement. Ces paquets furent appelés quanta, pluriel latin dont le singulier est quantum. Ce mot désigne simplement une certaine quantité.

Max Planck (1858-1947) descendait d’une famille de théologiens, de pasteurs et de juristes. Il est un des membres les plus remarquables de l’école allemande de thermodynamiciens. Formé au dix-neuvième siècle, il inaugura la physique quantique en 1900 lorsqu’il résolut un mystère du rayonnement thermique en lui donnant une structure discontinue, étendant pour ainsi dire la structure atomique de la matière au rayonnement.

Il eut beaucoup de mal à admettre cette conception, mais finit par se ranger à côté des rénovateurs, en particulier en soutenant Einstein dès le début, continuant à le défendre autant que faire se pouvait au temps des nazis. Son existence fut tragique, car il perdit sa femme en 1909, puis deux filles, mortes en couches, enfin son fils Erwin, exécuté peu avant car supposé lié au complot contre Hitler du 20 juillet 1944. Sa maison et sa bibliothèque furent détruites dans un bombardement. Quoiqu’assombri par tous ces événements, Planck ne cessa de travailler à maintenir une science allemande honnête et de haut niveau, et il fut le principal acteur de la réorganisation après la guerre.

4,80.10-11 = h/k

k étant connu ainsi que c, vitesse de la lumière, on trouve

h = 6,62. 10-34 Joule.seconde

C’est une valeur très petite à notre échelle mais non pas, de nouveau, à l’échelle atomique.

Anticipons : la formule du rayonnement du corps noir a reçu de nombreuses vérifications expérimentales, mais la plus précise est la mesure du spectre thermique du « rayonnement fossile » découvert par Penzias et Wilson en 1964, qui est considéré comme un reste du « big bang » : la courbe expérimentale, améliorée depuis 1964, est en si bon accord avec la théorie qu’elle permet de déterminer la température de 2,726°K à moins d’un millième de degré près1. Aucune mesure terrestre de température n’est aussi précise. Cet aspect du « big bang » bénéficie d’une vérification expérimentale exemplaire.

Les paquets introduits par Planck ont quelque ressemblance avec des particules. Or, Young, Fresnel et autres avaient établi la nature ondulatoire de la lumière, éliminant ainsi la théorie particulaire défendue notamment par Newton, et voici que celle-ci réapparaissait.

Planck lui-même eut peine à le croire et ne s’y résolut qu’au bout de quelques années.

La diminution de l’intensité dans l’ultraviolet vient alors simplement du fait que les paquets sont très gros dans cette région du spectre, et qu’il est très improbable qu’un corps porté à une certaine température émette de si gros paquets.

Si l’on double le prix des places d’une salle de cinéma, on aura moins de clients même si le film dure deux fois plus longtemps, et un prix dix fois plus élevé pour un film dix fois plus long découragera tous les spectateurs. Quelque chose d’analogue se produit dans la partie haute fréquence du spectre thermique.

Einstein bombarde la matière avec des quanta de lumière Hertz avait observé (1887-1955) que la lumière peut exciter un courant électrique : la lumière ultraviolette excitait une étincelle sur l’éclateur qu’il utilisait pour ses expériences sur les ondes électromagnétiques. Ce mécanisme est à l’eeuvre dans toutes les cellules photo-électriques. Chaque fois que vous prenez une photo avec sélection automatique du temps de pose, c’est grâce à ce mécanisme que l’appareil mesure l’intensité de la lumière qu’il reçoit. Philipp Lenard (1862-1947), comprit en 1899 que la lumière arrache des électrons aux solides et formula en 1902 deux lois à ce sujet : il existe une limite inférieure à la fréquence de la lumière en dessous de laquelle aucun électron n’est arraché ; l’intensité du rayonnement détermine

La mécanique statistique La mécanique statistique étudie les propriétés thermodynamiques observées à notre échelle par des calculs à l’échelle atomique. Inventée par Maxwell, elle fut approfondie par Ludwig Boltzmann (1844-1906). Suivant Boltzmann, la probabilité (qui n’est pas une certitude, on l’oublie souvent) qu’un système quelconque, au sein d’un milieu à l’équilibre à la température T, soit dans un état d’énergie E est proportionnelle au facteur

exp -(E/kT)

où k = 1,38.10 Joule/°K est la « constante de Stefan-Boltzmann ». Ainsi, à 300°K = (300-273,16)°C = 26°84 Celsius (ordinaire), kT vaut 4,41.10-21 Joule. Ce n’est pas négligeable à notre échelle car il y a 6,02.1023 atomes dans 2 grammes d’hydrogène.

Si l’énergie E d’une molécule a justement cette valeur de kT, sa probabilité relative est e-1 = 0,368. Mais si l’énergie est 10 fois plus grande, la probabilité relative n’est plus que -23

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1. Marc Lachièze-Rey et Edgard Gunzig, Le rayonnement cosmique, trace de l’univers primordial, Masson, 1995.

le nombre d’électrons arrachés, mais pas leur énergies1. Albert Einstein (1871-1955) expliqua le phénomène de la façon suivante : dans le solide, les électrons sont piégés par une barrière de potentiel électrique, le potentiel de sortie ou d’extraction, qui est due à l’attraction des noyaux positifs, et empêche les électrons de sortir. S’ils reçoivent un quantum d’énergie supérieure au potentiel de sortie, ils peuvent sortir, être recueillis par une électrode positive, ce qui donne lieu à un courant. Si l’énergie est inférieure, il ne se passe rien à la température ordinaire, quelle que soit l’intensité du rayonnement.

L’hypothèse d’Einstein confirmait l’existence des quanta de Planck, et elle était en bon accord avec la valeur de h et avec ce que l’on pouvait savoir du potentiel de sortie. Plus même, elle laissait supposer qu’un quantum peut donner directement son énergie à un électron suivant un mécanisme de collision entre deux particules, ce que des expériences de Compton (1892-1962) devaient confirmer en 1923.

Pour ces travaux essentiellement, Lenard reçut le prix Nobel en 1905, Planck en 1918, Einstein en 1921, Compton en 1927. On voit par ces dates qu’il fut assez difficile de s’assurer de la signification de ces travaux. Il y eut des discussions passionnées ou quelquefois désabusées (« où va-t-on ? », « les expériences de Young et Fresnel sont pourtant claires »), auxquels se mêlèrent des problèmes de relations personnelles, l’attitude antisémitique de Lenard vis-à-vis d’Einstein.

L’idée que les paquets de lumière peuvent être considérés comme des particules s’imposait peu à peu ; on les appela « photons ». En Grec, « phos », génitif « photos », signifie lumière. La terminaison en « on » s’établissait pour désigner un corps très petit, à l’échelle atomique. Le caractère ondulatoire de la lumière restait indiscutable.

Voici un étrange dualisme, plus courant dans les comportements humains qu’en physique. Telle la chauve-souris de La Fontaine : puis :

Von Guericke avait déjà observé vers 1672 qu’une décharge électrique dans un gaz raréfié provoque l’apparition d’une lumière. Expérimentant sur les gaz sous faible pression dans des tubes de verre, Geissler découvrit en 1855 qu’ils conduisent l’électricité en produisant de la lumière, tout comme nos tubes au néon. L’étude de ces « décharges dans les gaz » conduisit notamment à la découverte de la première des particules élémentaires, l’électron, grâce aux travaux de Joseph John Thomson (1856-1940) et de Jean Perrin (1870-1942).

Mais c’est l’étude du spectre de la lumière produite par ces décharges qui va d’abord retenir notre attention. Certaines sources contiennent des raies brillantes correspondant à une seule couleur : c’est le cas des lampes au sodium qui éclairent certaines routes, et des effluves jaunes qui apparaissent parfois lorsqu’un chaudron déborde sur le feu, qui sont dus au sodium du sel. Les spectres des flammes comportent généralement des parties continues constituant comme des lambeaux d’arc en ciel, parfois interrompus par des raies sombres. De tout ceci, il ressort que l’on trouve des raies lumineuses ou sombres correspondant à des longueurs d’ondes ou fréquences définies avec beaucoup de précision et dont la valeur est indépendante des conditions expérimentales. Celles-ci influent sur l’intensité, la présence ou l’absence des raies, éventuellement sur leur élargissement, mais pas sur leur longueur d’onde. Voilà donc des grandeurs bien déterminées qui paraissent universelles, ce qui laisse présager des phénomènes fondamentaux importants, et probablement quantiques, du fait de la discontinuité des longueurs d’ondes observées.

On comprenait que des séries de raies sont caractéristiques d’éléments chimiques : telle série disparaîtra si l’on élimine l’oxygène du tube à décharge. En particulier, on trouva une série de raies de l’hydrogène, comme on dira désormais. Le maître d’école bâlois Balmer (1825-1898), trouva en 1885 que les fréquences de ces raies particulières obéissent parfaitement à l’équation (relativement) simple :

Je suis oiseau : voyez mes ailes. Vive la gent qui fend les airs !

1/λn = R (1/4 - l/n2) ou encore νn = cR (1/4 - l/n2)

Je suis souris : vivent les rats ! Jupiter confonde les chats !

où λn et νn sont la longueur d’onde et la fréquence des raies, c est la vitesse de la lumière, n un nombre entier supérieur à 2, et R une constante qui permet de faire coïncider les valeurs numériques aux valeurs expérimentales. Elle reçut plus tard le nom de constante de Rydberg. Une détermination récentes1 donne R = 1,097373153.107 (mètre)-1.

Il s’agit d’un cas rare où un amateur a trouvé par un jeu sur des nombres simples, une formule fondamentale. On pense à la théorie des cordes de Pythagore, qui donne une série de notes formant des intervalles consonants pour des longueurs de corde telles que

Durant cette période bouillonnante, on ne comprenait à peu près rien de la structure des atomes, et on pouvait même se demander s’il y a un sens à parler de celle des photons.

Retour à Pythagore L’étude des spectres lumineux réserva beaucoup de surprises, et apporta finalement des enseignements très riches. Rappelons que, dès 1815, Fraunhofer, observant le rayonnement du soleil, assez voisin de celui du corps noir, y trouva des raies sombres : certains rayonnements manquaient.

1. Max Von Laue, Histoire de la Physique, Lamarre éditeur, Paris.

1n=11 / n

60

1. Cohen E.R. and Taylor B.N., The fondamental Physical Constants, Physics Today, August 1990. BG 9-13.

ce qui, on l’a su plus tard, équivaut à dire qu’une même corde peut osciller sur des fréquences :

f

2f

3f...

CHAPITRE 8

nf ...

LES ATOMES, LA QUANTIFICATION ET LES ONDES

Ce qui est important, bien que les lois en n soient différentes, c’est qu’il existe des formules qui donnent des valeurs précises calculables avec des nombres entiers.

Les atomes seraient-ils des résonateurs optiques ? Se trouverait-on devant une explication où tous les éléments chimiques seraient caractérisés par des rapports numériques suivant un schéma pythagoricien rappelant l’ « harmonie universelle » ? On a dû se poser ces questions dans les années suivantes, et répondre suivant ses préférences philosophiques. Quoi qu’il en soit, les séries de raies caractéristiques des éléments et la formule de Balmer étaient, comme on aime dire maintenant, incontournables.

Le spectre continu des corps denses ou étendus a conduit Planck à l’idée des quanta de lumière. Une nouvelle question sur la nature de la lumière est posée par le spectre des gaz : comment expliquer la série discontinue de Balmer, où n ne peut y prendre que des valeurs entières ?

Cette série d’ondes lumineuses va conduire maintenant à d’autres ondes fort étranges.

Niels Bohr quantifie les mouvements des particules En mai 1911, un grand Danois sportif de vingt-cinq ans, qui venait de soutenir une thèse sur les électrons dans les métaux1 à Copenhague et vint en Angleterre à Cambridge dans le laboratoire de J.J. Thomson (1856-1940). Celui-ci était déjà célèbre pour ses travaux sur l’électron, dont il avait démontré l’existence à la suite des travaux préliminaires de Jean Perrin (1897). Plus même, il en détermina la charge et la masse en 1899. Dès 1903, il fit l’hypothèse que l’atome est une boule d’électricité positive à l’intérieur de laquelle oscillent des électrons, modèle qui se prêtait à beaucoup d’études théoriques. Mais, en 1911, une expérience de Rutherford (1871-1937) montrait que les charges positives sont concentrées en noyaux identiques quasi ponctuels ; chacun correspond à un atome et Rutherford pensait que les électrons négatifs, attirés par ces noyaux, tourneraient autour d’eux, formant autant de systèmes planétaires.

Le Danois Niels Bohr (1885-1962), philosophe autant que physicien, fut le premier à donner une description quantitative de la structure des atomes, ce qui conduisit à une nouvelle science, la « mécanique quantique ». Celle-ci entre en contradiction avec la mécanique Newtonienne lorsqu’il s’agit de phénomènes à l’échelle atomique. Elle est toujours confirmée par l’expérience. La physique Newtonienne apparaît alors comme approximativement exacte. Bohr a manifesté un talent exceptionnel pour rassembler des chercheurs de toutes nations, et une constance admirable dans ses points de vue malgré leur aspect paradoxal et les objections qui n’ont cessé de leur être opposées par les plus grands physiciens. Il a en outre tenté d’appliquer des conceptions quantiques à la biologie et à la psychologie.

Or, il se trouva que Niels Bohr (1885-1962) critiqua certains calculs du grand J.J. Thomson, qui ne l’apprécia pas. Attiré par les idées de Rutherford, il quitta J.J. Thomson et se rendit à Manchester en mai 1912, sans regrets de part et d’autre. Il y resta jusqu’en juillet.

Comme il ne vivait pas que pour les électrons, il retourna alors se marier à Copenhague.

Le modèle planétaire de Rutherford se heurtait à une très forte objection on ne pouvait concevoir une force qui aurait permis aux électrons de rester immobiles. Ils doivent donc

61

1. François Lurçat, Niels Bolir, Critérion, Paris, 1960.

tourner ou osciller, et la théorie de Maxwell implique très formellement qu’ils doivent alors rayonner de l’énergie lumineuse aux fréquences de rotation ou d’oscillation et à leurs multiples. Tous les électrons de toute matière devraient perdre selon cette théorie de l’énergie en rayonnant et s’effondrer sur les noyaux au bout de quelques tours : l’univers que nous voyons et que nous touchons ne pourrait pas exister.

Il n’était pas choquant pour Bohr de penser que des systèmes qui se com- portent de façon aussi étrange que les atomes, rayonnant à des fréquences précises s’ils font partie d’un gaz chaud, mais également capables de comporter des électrons en mouvement sans rayonner, ne peuvent pas obéir aux lois de la physique classique. Il faudrait des lois radicalement différentes. De plus, Bohr était prêt à accepter provisoirement des contradictions dans sa propre théorie. Il ignora le mécanisme du rayonnement et, sur le conseil d’un ami, se concentra sur une formule due à Johann Jakob Balmer (1825-1898).

Ce modeste enseignant suisse avait trouvé pour les valeurs d’une série de longueurs d’onde lumineuses λ émises ou absorbées par l’hydrogène l’expression suivante :

(

Mais justement, il y avait d’après Bohr une grande différence entre les orbites des planètes et celles des électrons. En effet, la théorie du mouvement d’un corps autour d’un corps massif avec une attraction, gravitationnelle ou électrostatique, variant en 1/r2 est connue depuis Newton et elle permet toutes les valeurs possibles de l’énergie, alors que les électrons ne peuvent être que sur certaines orbites, correspondant à des valeurs d’énergie discrètes.

Il faut donc trouver une contrainte physique nouvelle qui ne permette que ces valeurs.

La mécanique quantique et la mécanique classique Bohr attaqua le problème des énergies discrètes de plusieurs manières1. Il semble que l’argument décisif pour lui fut le suivant Le problème d’un satellite tournant autour d’un corps massif dans un potentiel gravitationnel ou coulombien est classique. Sur le satellite, la force d’attraction équilibre la force centrifuge. L’énergie totale est négative puisque le satellite est prisonnier ; elle est égale à la somme de l’énergie cinétique, qui est toujours positive et de l’énergie potentielle, qui est donc négative. Pour un électron de charge électrique -e soumis à l’attraction d’un proton de charge e, la condition d’équilibre s’écrit, en fonction de la masse m et de la vitesse v de l’électron, du rayon a de l’orbite, et de la constante diélectrique :

)

1=R 1 – 1 λ 4 n2

dans laquelle R est une constante et n prend les valeurs entières supérieures à 2. Bohr considéra c/λ, qui est la fréquence υ, et hυ qui est une valeur d’énergie suivant la formule de Planck. La formule de Balmer indiquait pour lui que le rayonnement ou l’absorption se produit entre deux états énergétiques différents dont chacun correspond à un terme dans la parenthèse de Balmer. Ainsi, l’électron de l’atome d’hydrogène se trouverait « normalement » dans un état d’énergie parfaitement défini :

e2 mv2 = 4�ε0a2 a

on trouve que l’énergie totale est l’opposé de l’énergie cinétique :

E=-

En = hcR/n2

Il est commode d’introduire la rquence angulaire ω :

Il faudrait lui fournir cette énergie pour l’arracher à l’atome, c’est-à-dire ioniser celui-ci, processus analogue à l’émission photoélectrique des solides expliquée quelques années auparavant par Einstein. L’électron pourrait également transiter entre un état n et un état m en émettant ou en absorbant, suivant le signe, un photon de fréquence υ telle que :

v = ωa

Il est important d’avoir une expression théorique commode de l’énergie, puisque la formule de Balmer en donne des valeurs d’origine expérimentale. Cette expression classique est : mvωa

hυ = hcR/m2 - hcR/n2 Vue ainsi, la formule de Balmer exprime simplement la conservation de l’énergie.

Ces états d’énergie parfaitement définis sont appelés états propres.

Bohr ne proposa aucune théorie pour le mécanisme de l’émission ou absorption, ni sa durée, il se limita à cette formule qui correspond à la conservation l’énergie. La formule cidessus est une généralisation de la formule de Balmer, qui correspond au cas m = 2. On trouva en dehors du spectre optique visible des termes correspondant à m = 1, m = 3,4, etc., ce qui était déjà une remarquable confirmation du point de vue de Bohr. C’est comme s’il avait trouvé une formule qui prévoit correctement les orbites d’une dizaine de planètes encore inaperçues.

mv2 2

E=-

2

Compte tenu de la valeur de l’énergie proposée par Bohr sur la base de la formule de Balmer, on obtient une condition de quantification des grandeurs mécaniques, qui doivent alors être affectées de l’indice entier n :

mvnωnan hr =2 2

62

1. Niels Bohr, a Centenary Volume, édité par French A.P. et Kennedy P.J., Harvard University Press, 1985.

Avoir introduit dans la même formule un résultat spectroscopique et la mécanique de l’électron était très remarquable, mais il manquait une explication théorique de la valeur de la constante R. Bohr la trouva en formulant une exigence supplémentaire : une nouvelle mécanique quantique doit s’identifier à la mécanique classique pour les objets suffisamment grands. Les grandeurs atomiques sont quantifiées, mais elles doivent rendre compte des valeurs classiques continues.

Lorsque n est très grand, les niveaux d’énergie sont très rapprochés. Entre les niveaux n et n + 1, la fréquence rayonnée est :

(

On obtient aussi l’énergie d’ionisation de l’hydrogène, c’est-à-dire celle qui est nécessaire pour libérer l’électron :

Ei =

et la constante de Rydber :

R=

)

m2e4 = 1,097373.107 (mètre)-1 8h3ε02c

En 1913, les données expérimentales étaient moins précises. Bohr calcula, avec les valeurs données par J.J. Thomson pour e et m :

1 + 1 ≅ 2cR v = cR 12 – = cR 2n n (n+1)2 n2(n+1)2 n3

R =1,03.107 (mètre)-1

Bohr considère que le comportement classique apparaît justement lorsque les niveaux d’énergie possibles sont extrêmement rapprochés. On peut alors utiliser l’électromagnétisme classique, d’après lequel la fréquence rayonnée ν doit être égale à la fréquence de rotation ω/2�. Cela donne une condition de quantification que l’on peut écrire sous deux formes équivalentes également intéressante :

La valeur expérimentale acceptée alors était :

R = 1,097.107 (mètre)-1 Bohr effectua donc une synthèse remarquable de données spectroscopiques, mécaniques et électromagnétiques classiques avec la quantification due à Planck et la théorie d’Einstein sur l’arrachement des électrons à la matière ; il obtenait un faisceau impressionnant de résultats fondamentaux :

mva = n h 2�

et

e2 = 13.605700 électron Volt 8�ε0a0

2�mva = nh

- la première description des états d’un atome - une loi mécanique de quantification - une explication théorique des dimensions d’un atome, connus grâce aux rayons X - une correspondance entre le comportement quantique et le classique.

La première dit que le produit du rayon par la quantité de mouvement, c’est-à-dire le « moment cinétique » est égal à un multiple entier de h/2�.

Dans la seconde, le premier membre est l’« action », c’est-à-dire le produit de la quantité de mouvement mv par la longueur de l’orbite. L’équation suggère que, en mécanique quantique, l’action sur un parcours fermé doit être un multiple entier de la constante de Planck. C’est une généralisation qui se vérifiera.

C’est un résultat de toute première importance, comparable par exemple à la loi de Planck ou même à la loi f = ma de Newton. Bohr put en tirer immédiatement des conséquences tout aussi importantes.

La quantification de l’action et la condition d’équilibre, fournissent en effet les valeurs de v et a :

Ces résultats1 publiés comme des hypothèses en 1913 avec certains développements consécutifs, rencontrèrent naturellement des réactions variées parmi les autorités : scepticisme dominant ; renoncement à comprendre de la part de John William Strutt, Lord Rayleigh (1842-1919) ; enthousiasme de Peter Debye (1884-1966) et Arnold Sommerfeld (1868-1951). Bohr ne remplaçait pas le rayonnement continu prévu par l’électromagnétisme.

Einstein pensa immédiatement que les idées de Bohr devaient contenir quelque chose de solide : on ne retrouve pas une constante expérimentale comme celle de Rydberg par hasard. L’accord avec l’expérience était dès le début assez précis.

De toute façon, Bohr et ses partisans, notamment Sommerfeld et ses élèves, expliquaient avec exactitude un nombre croissant de caractéristiques spectrales.

V = e2 / 2nhε0 a = n2h2ε0 / �me2

Ainsi, Bohr sut calculer le rayon de l’atome d’hydrogène dans différents états quantiques.

Pour le niveau d’énergie le plus bas, appelé fondamental, n = 1, c’est le « rayon de Bohr »

a0 = h2ε0 / �me2 = 0,529177.10-10 mètre

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1. Emilio Segré, Les physiciens modernes et leurs découvertes, Le temps des sciences, Fayard, 1994.

L’École de Copenhague

Intervention de Louis de Broglie

La guerre éclata peu après. Bohr, sympathisant avec la cause des alliés, accepta en 1914 un poste à Manchester auprès de Rutherford, l’un des créateurs de la physique nucléaire, celle des désintégrations des noyaux atomiques et autres phénomènes de très haute énergie (plusieurs millions d’électronVolts ou eV). La structure de l’atome, objet des études de Bohr, ne met en jeu au contraire que des fractions d’électronvolts (ou eV) jusqu’à des dizaines de milliers pour les atomes lourds. En 1916, on lui offrit une chaire de physique théorique à Copenhague. En quelques années, il obtint également un laboratoire et fonda un institut qui devint dans son domaine l’un des plus importants d’Europe. Ce laboratoire fonctionna en relations étroites avec des physiciens confirmés comme Sommerfeld à Munich, Born à Gôttingen. Il reçut des visites prolongées de jeunes adeptes comme l’Allemand Heisenberg, des Hollandais, dont Ehrenfest, les Autrichiens Pauli et Schrödinger, l’Anglais Dirac, sans parler des Russes Landau et Gamow, d’Américains, de Japonais et de plusieurs Scandinaves. La théorie quantique progressa considérablement. Elle exigeait de nouvelles façons de penser et d’interpréter les résultats et modifiait même le sens de la réalité physique. Bohr était la personnalité idéale pour être le pivot d’un tel développement : doué d’une intuition profonde qui assurait une grande continuité dans sa pensée, courtois, tolérant et curieux de vues différentes, en outre disposant de moyens matériels et même d’une résidence qui facilitaient tous ces échanges.

Bohr obtint le prix Nobel en 1922.

Dans et autour de l’Institut for Teoretisk Fysik se forma une école de pensée, l’École de Copenhague et une conception de la physique quantique appelée l’Interprétation de Copenhague.

La condition de quantification, qui fournissait bien des résultats grâce aux travaux de Bohr et d’autres, notamment Sommerfeld et son école, resta mystérieuse pendant plusieurs années.

L’un des résultats les plus frappants fut que l’on entrevoyait la possibilité d’expliquer la structure des éléments chimiques et leurs propriétés ; les explications furent complétées par les contributions de Pauli, que nous verrons plus loin, et par la découverte du neutron par James Chadwick (1891-1974).

Einstein commenta : [...] que ces fondements contradictoires et peu sûrs aient suffi à un homme doué de l’instinct et de la perspicacité unique de Bohr pour découvrir la loi capitale des raies spectrales et des couches électroniques de l’atome en rnêrne temps que leur signification du point de vue chimique, m’apparut comme un miracle et apparaît encore comme tel aujourd’hui. C’est la forme la plus élevée de la musicalité dans la sphère de la pensée1.

1. Schilp, Albert Einstein Philosopher-Scientist, p. 46.

Louis de Broglie (1892-1887)1, descendait d’une très ancienne famille aristocratique, mais modérément conservatrice. Son frère aîné Maurice (1875-1960) s’était engagé dans la recherche physique avancée sur les électrons et les rayons X. Louis commença par étudier l’histoire du Moyen Âge, puis le droit, puis les langues. Fasciné par ce qu’il entendait sur la physique, il se mit à l’étudier, en autodidacte, mais de façon profonde. Il médita beaucoup sur les principes généraux que les praticiens n’utilisent pas, en particulier le principe de Fermat, en optique, et celui de Maupertuis, en mécanique ainsi que la mécanique analytique de Lagrange, Jacobi, Hamilton. Ces deux principes, assez semblables disent qu’une certaine intégrale est minimale le long d’un rayon lumineux, dans le principe de Fermat, et le long d’une trajectoire de particule, dans le cas de Maupertuis. L’intégrale de Maupertuis est l’action que Bohr a quantifiée dans les atomes. Ces deux intégrales très similaires contiennent une vitesse, mais la vitesse de la particule figure au numérateur chez Maupertuis :

∫ mv·ds

tandis que la vitesse u de la lumière dans un milieu d’indice n, air, verre, eau ou autre, figure au dénominateur chez Fermat :

c

∫ n·ds = ∫ u ds De Broglie conçut le projet ambitieux de réunir l’optique et la mécanique en une seule science.

Le baron belge Ernest Solvay (1836-1922), créateur d’une industrie de la soude qui porte son nom (en fait du carbonate de sodium, beaucoup plus facile à manier), organisa le premier « congrès Solvay » en 1911. Véritable mécène de la science avancée, il réunit une vingtaine des plus éminents physiciens européens. Paul Langevin (1872-1946) et Maurice de Broglie étaient chargés de rédiger les minutes, que Louis put connaître avant le public.

C’est ainsi qu’il se voua à l’étude de la nouvelle physique.

Pendant plus de dix années riches en réflexions, Louis de Broglie chercha à résoudre le mystère de la quantification des trajectoires électroniques. Il considéra que seuls les phénomènes vibratoires, comme ceux des cordes vibrantes, connus depuis Pythagore, comportent des états discrets (c’est-à-dire que l’on peut numéroter) : si on ne le sait pas par expérience, on a vu plus haut qu’une corde à vide ne peut vibrer que sur certaines notes.

Ainsi, de Broglie avait entrevu une possibilité de réunir l’optique, qui est ondulatoire, et la mécanique qui ne l’est pas.

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1. Georges Lochak, Louis de Broglie, coll. Champs, Flammarion, 1992.

à la vitesse v. On définit un facteur γ:

Louis de Broglie (1892-1987) faisait figure d’amateur lorsqu’il aborda la physique théorique, avec une profondeur qui lui fit percevoir les analogies et les différences entre l’optique et la mécanique. Il adjoignit à tout corps une onde qui le guide dans son mouvement, ce qui constitue une transformation complète du monde tel que nous le voyons. La propagation des ondes est en effet très différente du mouvement d’un projectile. De Broglie, comme Einstein et Schrödinger, s’opposa aux conceptions de Bohr et de ses disciples sur la « réalité ».

γ = 1 / (1 - v2/c2)1/2

Le résultat est que, pour l’observateur, l’onde aura la fréquence υ = γ υ0 ce qui conserve l’équation E = mc2 dans le système mobile. Le phénomène spécifiquement relativiste est qu’il apparaît aussi une longueur d’onde, donnée par :

1/λ = γυ0v / c2

Enfin, on venait de démontrer que les ondes lumineuses peuvent se comporter comme des flux de particules. Pourquoi les particules ne pourraientelles pas se propager comme des ondes ?

De Broglie décida donc d’associer des ondes aux électrons, et pourquoi pas à tout corps de l’univers, et il y parvint. Il donna les premiers éléments d’une théorie ondulatoire qui, entre les mains d’autres chercheurs devait finalement englober toute la physique, et même la théorie de la gravitation puisque l’on a observé récemment que des étoiles perdent de la masse par émission d’ondes gravitationnelles.

Des manipulations algébriques élémentaires sur ces formules permettent d’obtenir la valeur de la longueur d’onde

λ = h / mv

ou encore, p étant la quantité de mouvement :

λ=h/p

Cela explique-t-il la quantification des orbites de Bohr ? Oui, si l’on admet que la longueur de l’orbite d’un électron doit être égale à un nombre entier de longueurs d’onde.

On a alors :

Les ondes de de Broglie

2�a = nλ = nh / p

Alors que Bohr et ses collègues travaillaient dans le cadre non relativiste, de Broglie aborda le problème des ondes du point de vue relativiste. On considère des systèmes de coordonnées en mouvement relatif uniforme et on exige de pouvoir exprimer dans chacun de ces systèmes ce que l’on connaît dans un autre. Un premier système de coordonnées sera attaché à la particule, le second à un observateur qui la voit se déplacer à la vitesse v.

D’une part, la relativité attribue aux corps une énergie liée à leur masse, suivant la formule :

qui est identique à la condition de Bohr :

2�mva = nh

Or, cette hypothèse du nombre entier de longueurs d’onde est tout à fait raisonnable et même indispensable : on a vu que la longueur d’une corde vibrante est un nombre entier de demi-longueurs d’onde. Pour un aller et retour le long de la corde, il y a donc aussi un nombre entier de longueurs d’onde. C’est une condition indispensable pour que l’état vibratoire ou phase soit défini de manière unique : l’onde ne peut pas avoir plusieurs états vibratoires différents en un point.

Voilà pour l’idée de de Broglie un succès considérable, mais encore ponctuel : elle explique les états propres de Balmer et Bohr.

E = mc2

E aussi bien que m dépendent de la vitesse de la particule.

Il semble simple de se placer d’abord dans le système lié à la particule, où l’on a :

E0 = m0c2

m0 est la masse de la particule dans le sens usuel, et E0 s’en déduit.

D’autre part, rien de plus simple que d’associer une fréquence propre à chaque particule suivant la relation de Planck :

Les ondes de de Broglie existent !

v0=E0/h

De Broglie admit qu’il s’agit d’une vibration sur place, non rayonnante. Ce point n’est pas évident, car on suppose en même temps que la vibration s’étend dans tout l’espace.

Si la particule se déplace à la vitesse v par rapport à un observateur, la relativité enseigne que la fréquence sera modifiée : c’est ce que l’on a appelé la contraction du temps. Il faut appliquer la transformation de Lorentz pour passer d’un système de référence « immobile » (façon de parler, puisqu’il n’y a pas de référence absolue) à un autre en translation relative

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La simple formule de la longueur d’onde proposée en 1924 n’aurait pas suffi à justifier le prix Nobel que son auteur obtint en 1929, si Clinton Joseph Davisson (1881-1958) et Lester Halbert Germer (?) n’avaient observé en 1927, aux laboratoires Bell à New York, des phénomènes qui furent interprétés comme des interférences ondulatoires dans un flux d’électrons, tout à fait analogues à celles de la lumière dans l’expérience de Young.

Comme les gens les plus intelligents ne peuvent pas nécessairement comprendre instantanément les nouveautés, surtout si un de leurs pairs a mis des années à les élaborer, ces idées rencontrèrent beaucoup de scepticisme - sauf de la part d’Einstein - et même

peut-être l’hilarité, d’autant que Werner Heisenberg (1901-1976), un élève allemand de Sommerfeld conquis aux idées de Bohr, avait conçu une théorie complètement différente qui avait aussi des résultats positifs. Il faut bien dire aussi que les concepts n’étaient pas clairs et cohérents même chez de Broglie, qui hésitait à parler d’ondes, tout comme Planck avait accepté difficilement ses paquets d’ondes ou quanta, et qu’il subsistait de nombreuses questions à résoudre.

CHAPITRE 9

LA MÉCANIQUE QUANTIQUE ERWIN SCHRÖDINGER ET LA MÉCANIQUE QUANTIQUE L’équation de Schrödinger

Comment être simultanément onde et particule

Bohr, Heisenberg, Bonn et d’autres continuaient de faine progresser la théorie dans plusieurs directions, notamment grâce à l’étude critique du phénomène de la mesure et de ses limites, ce qui devait aboutir au fameux principe de Heisenberg. Cependant, un Viennois nommé Schrödinger reprenait à Zurich l’idée de de Broglie. On ne pouvait pas en rester là, avec seulement une formule pour la longueur d’onde. Il fallait une « équation d’onde » analogue à celle que d’Alembert avait trouvée pour l’acoustique, et qui s’était généralisée à l’électromagnétisme, donc à la propagation de lumière. Il fallait aussi comprendre quelle était la nature de l’onde de de Broglie.

Une onde de fréquence ν et de longueur d’onde λ se déplace à une vitesse u = λv dite vitesse de phase. Pour une onde de de Broglie, on a aussi :

E = hν = mc2 Il résulte :

u = hν/mv = c2/v

Plus la particule est rapide, plus l’onde est lente ! La vitesse v de la particule étant toujours inférieure à celle de la lumière, celle de l’onde est au contraire toujours plus grande.

Ceci montre que la particule n’est pas accompagnée par une onde pure, mais par un paquet d’onde semblable à celui des figures 2b et 2c (chapitre 3). u est la vitesse de phase, celle à laquelle les ondulations se propagent, v la vitesse de l’enveloppe, la vitesse de groupe considérée au chapitre 6.

Ces remarques de de Broglie sont d’une importance extrême et réalisent partiellement son rêve de réunir la mécanique et l’optique : elles expliquent la différence entre le principe de Fermat et le principe de Maupertuis. L’optique et la mécanique du point matériel deviennent très voisines. Néanmoins, les ondes lumineuses vont toujours à la même vitesse, ce qui n’est pas le cas pour celles de de Broglie, et il se révélera plus tard des différences irréductibles entre les photons et les particules matérielles (bosons et fermions).

L’Autrichien Erwin Schrödinger (1887-1961) étudia la physique et la philosophie. Il formula l’équation à laquelle obéissent les ondes de de Broglie. Cette équation supplanta en principe la dynamique de Newton, lorsque l’on eut appris à la manier et à interpréter les résultats, ce que firent Bohr et ses associés. Schrödinger n’accepta jamais leur point de vue et se consacra à des études philosophiques et biologiques.

Le physicien autrichien Erwin Schrödinger (1887-1961), alors à peu près inconnu, chercha un moyen de retrouver les niveaux d’énergie et les fréquences de l’atome d’hydrogène définis par la quantification de Bohr. Il utilisa une fonction d’onde Ψ, traitée mathématiquement comme la pression de l’air en acoustique, mais dont il ne précisa pas la nature. Il partit d’équations de mécanique analytique qui sont classiques. Nous ne pouvons suivre sa démanche dans cet exposé. Derrière ses développements, se trouve le principe de conversation de l’énergie. Du fait de sa vitesse v, un corps de masse m possède une énergie dite cinétique égale à mv2/2. C’est celle dont l’action intempestive détériore les voitures dans les collisions. En dynamique, on préfère considérer la quantité de mouvement p = mv plutôt que la vitesse, et on écrit alors l’énergie cinétique sous la forme numériquement égale p2/2m.

Si le corps est soumis à des forces, comme la pesanteur, il gagne de l’énergie lorsqu’il se déplace contre la force, c’est-à-dire, par exemple, s’il s’élève en effet, en redescendant, il peut gagner de la vitesse, donc de l’énergie. Un corps possède donc une forme d’énergie, dite potentielle, qui varie suivant sa position. On obtient la force en calculant la variation d’énergie potentielle suivant le déplacement. Le principe de conservation de l’énergie exige

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que la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle U soit une constante E que l’on appelle énergie totale, ce qui donne l’équation :

des nouvelles. C’est ce qui s’est produit en électromagnétisme pour les lois expérimentales de Coulomb, Ampère, Biot et Savart, Faraday, et les lois de l’optique, lorsque Maxwell formula ses lois en 1864.

p2/2m + U = E

Les nombres complexes

Le raisonnement de Schrödinger utilise avec adresse, mais de manière arbitraire l’arsenal de la physique mathématique et aboutit à l’équation :

1 2m

( ) ħ i

2

Les équations de la théorie quantique exigent l’usage des nombres imaginaires, sous peine de complications redoutables. On sait que le carré de tout nombre ordinaire (on dit réel) est positif. Des Italiens du seizième siècle trouvèrent commode pour résoudre les équations algébriques de faire appel à un nombre imaginaire dont le carré est -1, nombre que l’on dénote par le symbole i :

ΔΨ + UΨ = EΨ

Les termes en U et E de l’équation classique de l’énergie sont ici traités comme des opérateurs qui agissent sur la fonction Ψ Ces opérateurs particuliers sont de simples multiplicateurs. Mais à la place de l’énergie cinétique p2/2m se trouve un terme contenant l’opérateur laplacien déjà rencontré en acoustique, avec un multiplicateur contenant la constante de Planck, la masse de l’électron et le symbole i, qui appartient à l’algèbre des nombres imaginaires et complexes. La mécanique quantique utilise systématiquement cette algèbre. Nous en donnerons plus loin les éléments, et nous pourrons alors établir l’équation de Schrödinger d’une manière assez simple.

On peut remarquer que cette équation présente des traits caractéristiques aussi bien de la mécanique classique que de la théorie des ondes, ce qui traduit la dualité onde-particule introduite par de Broglie. Schrödinger la résolut par les méthodes utilisées couramment en acoustique et retrouva effectivement les valeurs discrètes de E valables pour l’atome d’hydrogène, de même que l’équation de d’Alembert permet de retrouver les fréquences propres des cordes et des tuyaux (voir chapitre 2).

C’était un succès remarquable, qu’Einstein et quelques autres surent appré- cier.

Néanmoins, la publication de Schrödinger était d’un caractère trop mathématique, trop particulier pour convaincre beaucoup de physiciens de l’existence des ondes de de Broglie.

Personne, probablement, et pas l’auteur lui-même ne comprit que cette équation allait supplanter la dynamique de Newton.

Depuis Galilée, on représentait les grandeurs physiques telles que l’énergie ou l’impulsion par des nombres correspondant à des résultats de mesures éventuelles. Dans l’équation de Schrödinger, elles sont représentées par des opérations, recettes d’opérations mathématiques caractéristiques de chaque grandeur, qu’il applique à la fonction d’onde. Il sera nécessaire de comprendre la relation entre ces opérateurs et des valeurs mesurées.

Il importe de souligner que l’équation de Schrödinger n’a nullement été démontrée mathématiquement, mais établie suivant une nouvelle logique. Il en est de même pour toutes les équations fondamentales, comme celles de Newton, celles de la relativité. À partir des lois fondamentales, on peut démontrer des équations très importantes comme celle de d’Alembert. On peut aussi trouver, démontrer en général, des lois fondamentales nouvelles plus générales que les premières, et déduire mathématiquement les premières

i2 = -1

Lorsque le résultat final contenait i, on le rejetait, mais il arrivait que i s’élimine à la fin et avait seulement servi à trouver le résultat. On pouvait vérifier a posteriori que les résultats trouvés par ce procédé très suspect vérifiaient toujours l’équation de départ.

Les inventeurs de cette technique de calcul furent Niccolo Tartaglia (1500-1557), Gerolamo Cardano (1501-1576). Il y eut d’âpres discussions de priorité, d’autant plus que la réputation des mathématiciens leur assurait à l’époque des revenus substantiels grâce aux services qu’ils rendaient aux marchands. Cardano reçut des confidences de Tartaglia et les publia malgré sa promesse, après y avoir apporté des perfectionnements.

Certains le considèrent comme un brigand ou un imposteur et lui refusent le droit de cité dans leurs ouvrages1. D’autres le présentent comme un grand génie précurseur2.

Il semble que Cardano ait découvert qu’un certain Scipione del Ferro (1456-1526) avait anticipé Tartaglia3. Raffaele Bombelli (1526-1572) écrivit le premier traité d’algèbre pure, qui fut célèbre et influença notamment Leibniz (1646-1716)4. Le nom de Cardano a été attaché aux joints cardan qui équipent nombre de nos voitures, ainsi qu’à la résolution des équations du troisième degrés5. Cardano publia aussi l’un des premiers traités sur les probabilités6, ce qui était fort utile car on jouait beaucoup et de très fortes sommes à cette époque. Il fut aussi un médecin de très grande renommée, et écrivit beaucoup à ce sujet. En 1552, il se rendit en Écosse pour soigner l’archevêque John Hamilton et le guérit d’un grave état asthmatique. Penrose pense qu’il fut le premier à distinguer la gonorrhée et la syphilis ; il proposa un traitement de la tuberculose qui préfigurait les sanatoriums préconisés vers 1830 par George Boddington.

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1. Histoire d’algorithmes, sous la direction de Jean-Luc Chabert, Belin, 1994 ; ouvrage très intéressant.

2. Roger Penrose, Shadows of the Mind, Oxford University Press, 1994.

3. Amir D. Aczel, L’énigme du théorème de Fermat, Desclée de Brouwer, 1998, traduit de Fermat’s last Enigma, four Walls Eight Windows, New York, 1996. 4 Rafacle Bombelli, Algebra, 1572.

5. Gerolamo Cardano, Ars magna, 1545.

6. Gerolamo Cardano, Liber de Ludo Aleae, 1524.

Tartaglia se vengea de son rival en le faisant emprisonner par l’Inquisition. Celui-ci fut libéré en 1571 grâce à l’intercession de John Hamilton.

La vie de famille de Gerolamo fut pour le moins agitée. Son fils Giovanni assassina son épouse avec l’aide de son frère Aldo. Celui-ci avait aussi aidé à l’emprisonnement de son père ! Gerolamo mourut de maladie en 1576.

Les époques troublées sont parfois fertiles.

Les préventions des mathématiciens contre les imaginaires devaient durer pendant des siècles. Dans la tradition pythagoricienne, on considérait les entiers naturels comme divins et l’on se demandait s’il était licite de considérer d’autres sortes de nombres. Les imaginaires n’étaient-ils pas diaboliques ? Certains considéraient que les mathématiques elles-mêmes l’étaient. Plus tard, on s’habitua à l’idée que toute invention mathématique est acceptable pourvu qu’elle soit définie et cohérente, même si elle semble n’avoir pas de signification. Ainsi, Leonhardt Euler (1707-1783) introduisit la fonction exp(ix). Plus tard encore, Augustin Cauchy (1789-1857) fit progresser considérablement la théorie des fonctions en étudiant les fonctions de variables complexes.

Les nombres complexes sont en fait l’association de deux nombres réels suivant certaines règles. Il est possible d’ignorer la notation i et l’expression imaginaire à condition d’utiliser ces associations particulières de deux nombres. C’est ce que font les ordinateurs.

La notation imaginaire simplifie considérablement les notations et le raisonnement.

Des dérivées remplacées par de simples multiplications, voilà qui permet beaucoup de simplifications et de possibilités qui seront largement exploitées. Néanmoins les nombres complexes et imaginaires ne permettent aucune opération impossible en nombres réels : ils simplifient l’écriture et le raisonnement. Les ordinateurs ne travaillent qu’en nombres réels.

Séries de Fourier complexes D’après les expressions de cos x et sin x trouvées ci-dessus en exercice, la série de Fourier ∞

U(x) = ∑ an cos(2n�x / L) + bn sin(2n�x / L) n=0

est une somme de fonctions einy affectées de coefficients constants où n prend toutes les valeurs de moins l’infini à plus l’infini et y = 2�x/L. La variable y augmente de 2� chaque fois que x augmente de L, période du phénomène décrit. On peut mettre la somme sous la forme plus concise : ∞

Le symbole i est à traiter comme toute quantité algébrique, avec les conventions suivantes : – le carré de i est -1 – le nombre « complexe » z = a + bi, où a et b sont des nombres réels, ne peut pas être réduit, ne peut pas être effectué comme une addition. Mais si par ailleurs z = c + di, et que c et d sont réels, il résulte que a = c, b = d. La partie réelle et la partie imaginaire peuvent donc toujours être séparées. Si donc a + bi = 0, a = 0, h = 0 – on appelle z* = a - hi le « complexe conjugué » de z = a + ib – on définit le carré du module de a + ib comme (a + ib)·(a + ib)*. On démontrera en appliquant les règles habituelles de l’algèbre que cette quantité est égale à a2 + b2.

U(x) = V(y) = ∑ cn exp(iny) n=-∞

On pourra montrer que dans ce cas, cn et c-n sont complexes conjugués ; cela tient à ce que la fonction U(x) est réelle. Si les cn sont indépendants et complexes, la série peut décrire toutes les fonctions périodiques complexes. On obtient les cn en multipliant les deux membres de l’équation ci-dessus par exp(-iny), notez bien le signe, et en intégrant sur une période quelconque, par exemple de -� à �. Un seul terme de la série intégrée n’est pas nul et l’on obtient : ∞

On considère des fonctions de variable complexe, qui sont en général elles-mêmes complexes. L’une des plus intéressantes est :

∫

cos x + i sin x Sa dérivée est :

-∞

Intégrales de Fourier complexes

i (cos x + i sin x)

On en déduit de ce qui précède le maniement des intégrales de Fourier complexes, valables même pour les fonctions non périodiques :

De même, celle de (cos kx + i sin kx) s’obtient en multipliant simplement cette. fonction par ik. Si dy/dx = iky, on peut en déduire d’une façon purement formelle :

f(y) =

y = C exp(ikx) = C eikx C étant une constante quelconque. Suivant Leonhardt Euler (1707-1783), on peut alors écrire sans ambiguïté ni contradiction :

cos kx + i sin kx = exp(ikx) = eikx

V(y) e-iny dy = 2�cn

∫

1 g(k) = 2�

68

∞

g(k) eiky dk -∞

∫

∞

f(y) e-iky dy

-∞

On peut évidemment utiliser toute autre notation au lieu de symboles y et k.

Les nombres complexes et les ondes Dans le cas d’une onde de de Broglie, de la forme, générale :

Une impulsion de longueur T dans le temps (t) peut être représentée par un signal égal à 1 pour -T/2 < t < T/2 et nul avant et après... Montrer que la transformée de Fourier est:

F = A e2�i(x/λ - vt) on peut remarquer que les dérivations se ramènent, grâce aux nombres complexes, à des multiplications :

∂F = iF2� / λ ∂x

Dans l’exercice ci-dessus, w représente une fréquence angulaire (2� fois une fréquence). L’impulsion, qui est nulle sauf pendant un temps T, est représentée par des fréquences de moins à plus l’infini : si votre hi fi doit restituer les coups de cymbales, il faut qu’elle « passe les fréquences élevées ».

C’est grâce aux intégrales de Fourier que l’on peut représenter les impulsions de la figure 2 comme des paquets d’ondes. Les solutions de l’équation de Schrödinger sont de cette nature dans le cas d’une particule en mouvement libre. Elles s’étendent sans limites, mais sont concentrées dans l’espace.

Pour une onde plane, on peut écrire, en tenant compte des définitions de υ et de λ qu’a données de Broglie :

∂ = (2�i / h)p ∂x

∂ = -(2�i / h)E ∂t

Appliquons cette correspondance au cas général, sans la limiter aux ondes planes :

px ↔ -iħ ∂ ∂x

Les nombres complexes et les oscillations

E ↔ iħ ∂ ∂t

h est la constante de Planck. Il est généralement plus commode d’utiliser le symbole suivant :

Tout nombre complexe a + ib peut être représenté comme le produit d’une fonction eix par un nombre réel positif r. L’équation

ħ = h/2� Reprenons l’expression du Hamiltonien, supposé égal à l’énergie :

a + ib = r eix

où a, b, sont réels détermine de façon unique a et b si r et x sont connus. On montrera, à titre d’exercice, que si x est réel, r est le module de a + ib défini plus haut, et que x est déterminé à 2n� près. Cette quantité est donc ce que nous avons défini comme la phase à propos de la propagation des ondes acoustiques.

Considérons un problème d’oscillation, et posons :

p2/2m + U = E Traduite en opérateurs, l’équation s’écrit :

( )

1 ħ ∂ 2m i ∂x

x = ωt

Si r est complexe, on peut poser :

∂F = -iF2�υ ∂t

2

( )

+U=– ħ ∂ i ∂t

Il faut en outre rendre compte de la symétrie des directions x y z, ce qui introduit le Laplacien ∆ et aboutit à l’équation de Schrödinger telle que nous l’avons donnée plus haut si E est une constante : 2

r = ρ eiφ

1 2m

ρ et φ étant réels. La partie réelle de r eix, qui n’est autre que a, prend alors l’expression : a = ρ cos (ωt + φ)

( ) ħ i

ΔΨ + UΨ = EΨ

On a là l’« équation aux valeurs propres » de l’opérateur hamiltonien. Pour la résoudre, il faut trouver à la fois E et la fonction Ψ. C’est ainsi que Schrödinger retrouva ainsi en 1926 la quantification de Bohr (1913) et de Broglie (1924) par sa théorie bien plus élaborée et bien plus générale.

Lorsque les atomes interagissent avec, par exemple, un rayonnement lumineux, leur énergie n’est pas constante, et il faut remplacer E dans le membre de droite par son opérateur :

C’est l’expression la plus générale d’une quantité oscillante.

On simplifie souvent les problèmes en utilisant comme ici des quantités complexes pour conserver seulement la partie réelle du résultat en fin de calcul. C’est comme si l’on se permettait de quitter la route principale et de faire des incursions alentour : on peut trouver ainsi des raccourcis ou éviter des obstacles si la route est mauvaise.

69

( ) ħ i

2

( )

δx δpx ≥ h/4�

∆Ψ + UΨ = – ħ ∂Ψ i ∂t

Ce principe rappelle le phénomène que nous avons signalé à propos des faisceaux lumineux ; plus on veut les rendre étroits, plus ils s’étalent. En fait, c’est le même principe, mais son interprétation est différente pour les photons et les électrons.

On remarquera que, pour l’état de plus basse énergie de l’atome d’hydrogène considéré plus haut, le rayon d’orbite et la quantité de mouvement supposés remplissent l’équation

C’est avec ces deux équations que l’on étudie les propriétés des solides, les puces qui peuplent tous les appareils électroniques, depuis nos montres jusqu’aux calculatrices géantes.

La mécanique de Werner Heisenberg

a p = h/2�

L’équation de Schrödinger ne fut initialement pas très bien accueillie dans le groupe de Bohr et de ses disciples. Bohr lui-même était toujours serein, ce qui lui a permis d’être pour ainsi dire le pivot de la physique quantique, mais Werner Heisenberg (1901-1976) était plus jeune et agressif. De plus, il était l’auteur d’une théorie rivale, qui calculait les résultats expérimentaux avec une algèbre appropriée, celle des matrices, sans considérer d’ondes.

Schrödinger montra rapidement que les deux théories sont en principe équivalentes.

La sienne est beaucoup plus commode pour calculer les situations en détail, celle de Heisenberg l’est souvent pour trouver des relations générales.

Une conséquence immédiate du principe de Heisenberg est qu’aucun corps ne peut être immobile. Voilà une affirmation que quelque Grec a certainement formulée il y a 2500 ans. D’après Heisenberg, si en effet la position est déterminée, sans incertitude, ce corps quittera immédiatement sa position.

Le principe se généralise à de nombreux couples de grandeurs, notamment au couple E, énergie mise en jeu dans un événement, et t, durée de cet événement :

δE δt > h/4�

Le « principe d’incertitude » de Heisenberg

On ne doit pas considérer le principe de Heisenberg comme exprimant seulement une incertitude liée aux mesures. Dans tout processus qui implique la définition de x à δx près, la définition de px à mieux que δpx près est impossible. La nature des particules est telle qu’elles ont une sorte de dimension (dans l’espace des phases) égale à δx δpx.

Ceci admis, il n’y a aucune incertitude, seulement une méprise sur la nature des choses.

Le principe de Heisenberg a aussi reçu les noms moins anthropomorphiques de principe d’indétermination et principe de flou (Unschürfeprinzip).

L’une des conséquences de ce principe est que la notion de trajectoire des particules en général, et dans les atomes en particulier, n’a pas de sens, puisqu’elle suppose la connaissance simultanée et exacte de la position et de la vitesse. Une autre est qu’il est impossible de préciser exactement l’instant t où un système subit un changement d’énergie δE ; la notion même de cet instant s’effondre. On en verra plus loin d’autres conséquences.

Il fallut beaucoup de courage et de clairvoyance à Heisenberg, Bohr et d’autres pour maintenir ces points de vue alors que les confirmations expérimentales brillantes n’étaient pas encore nombreuses. Il fallut des dizaines d’années avant qu’ils soient généralement acceptés dans l’enseignement.

La physique du XXe siècle s’attacha à un problème que, jusqu’alors, on n’avait traité que de façon accessoire : celui de la mesure. Dans ce sens, la relativité et la physique quantique sont plus concrètes, et non pas plus abstraites que les théories précédentes : elles n’admettent pas que l’on parle d’une grandeur supposée mesurable sans spécifier comment on la mesure. Heisenberg, Bohr et leurs collègues ou correspondants, en excellents physiciens qu’ils étaient s’attachèrent de bonne heure à ce problème.

L’Allemand Werner Heisenberg (1901-1976) énonça, en 1927, le « principe d’incertitude » qui secoua les bases de toute la physique, et provoqua une longue controverse entre Bohr et Einstein. Celui-ci ne fut jamais convaincu malgré toutes les preuves expérimentales.

Issu d’une famille modeste mais cultivée, Heisenberg était très sportif, bon pianiste, lisait Platon dans le texte et aimait philosopher.

Toute mesure demande que des particules, par exemple des photons, interagissent avec la ou les particule(s) objet(s) de la mesure. Celles-ci modifient la trajectoire supposée d’autant plus que l’on désire plus de précision. Heisenberg trouva qu’il existe une limite inférieure aux perturbations qui en résultent et énonça, en 1927, le fameux « principe d’incertitude » : on ne peut mesurer la position x et l’impulsion px, dans une direction donnée qu’avec des incertitudes δx et δpx, telles que leur produit soit supérieur à la constante de Planck h. Les trajectoires des particules n’existent donc pas, puisqu’elles demandent précisément les positions et les vitesses. L’équation de Schrödinger permet de retrouver ce résultat avec plus de précision :

Quelques chiffres

70

D’après les calculs de trajectoire dans l’état de plus basse énergie de l’atome, l’électron possède une énergie cinétique T de 13,6 électron-Volt, ce qui correspond à 2,18.10-18 Joule.

Calculer l’impulsion de l’électron, dont la masse est de 9,11.10-31 kg. En déduire l’incertitude sur la position et la comparer au rayon classique de l’orbite.

et ouvrit la voie à la physique des hautes énergies et de la structure des particules. En 1932, il accéda à la chaire de Newton à Cambridge.

Il s’agit là de se familiariser avec les ordres de grandeurs numériques, car l’incertitude sur p est plus petite que p lui-même et celle sur la position est donc probablement supérieure à h/4�p. Or, le rayon classique de l’orbite, quantifié par Bohr est h/2�p. L’incertitude sur la position est donc de l’ordre du rayon de l’orbite supposée, ce qui en effet laisse peu de valeur à la notion d’orbite. Cette notion a néanmoins servi à Bohr et de Broglie à trouver les premiers éléments de la quantification ; elle conserve une efficacité pour certains calculs approchés... et également pour fausser les idées sur la nature des phénomènes quantiques.

Dirac établit à propos de l’électron la première mécanique quantique relativiste en 1928, deux ans après celle de Schrödinger.

La mécanique quantique associe aux énergies des fréquences suivant l’équivalence E = hυ ou encore E = hω (ħ = h/2� n’est pas un vecteur). Comme elle fonctionne avec des quantités complexes, elle utilise la transformée de Fourier complexe et elle a besoin des valeurs positives et négatives de ω. Il lui faut donc considérer des valeurs négatives de E. Ce paradoxe n’était pas suffisant pour arrêter Dirac, d’autant plus que l’équation relativiste de E permet des valeurs négatives. En effet, elle ne donne que le carré de l’énergie d’une particule d’impulsion connue :

Dirac et Pauli

E2 = E02 + p2c2

Le génial Anglais Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984) énonça en 1928 une théorie plus générale que celle de Schrödinger, mais relativiste, qui allait prévoir la première antiparticule : le positon. Celui-ci fut observé par Carl David Anderson (1905-1991) en 1932 au « California Institute of Technology » lors d’études sur le rayonnement cosmique. C’était le début véritable de la théorie de la nature des particules élémentaires.

D’après Einstein et le fameux E = mc2, la masse d’une particule possède un équivalent énergétique. On ne peut étudier la nature des particules sans en tenir compte, ce qui oblige le physicien à se placer dans le cadre relativiste.

La personnalité de Dirac est, pour le moins que l’on puisse dire, extrêmement intéressante. Il naquit dans une famille très modeste d’origine suisse. Il était, en physique, plutôt conservateur mais, lorsque l’on veut conserver l’essentiel, il faut souvent sacrifier.

Contrairement à Bohr, Pauli, Heisenberg, il n’avait aucun goût pour la philosophie. Il était exceptionnellement sensible à la beauté formelle des équations, notamment à leurs propriétés de symétrie. Il pensait qu’une théorie harmonieuse est nécessairement juste et il alla jusqu’à dire que si une expérience contredit une belle théorie, c’est qu’elle est faussée ou mal interprétée. Ces opinions n’ont nullement diminué ses capacités, bien au contraire: elles lui ont donné une audace et une persévérance considérables. Ainsi, il n’hésita pas à envisager l’existence de particules libres d’énergie négative.

La mécanique relativiste n’avait jusqu’alors pas considéré les valeurs négatives, mais c’était un manque que la mécanique quantique venait combler.

C’est sur la base de cette équation que Dirac établit son équation d’onde, plutôt que sur l’expression non relativiste du Hamiltonien, qui était le point de départ de Schrödinger.

Mais son développement ne permit pas d’utiliser une fonction d’onde scalaire, et des considérations de symétrie l’obligèrent à ajouter des termes qui se révélèrent correspondre à une propriété des électrons déjà observée, le spin.

La mécanique quantique donne à l’énergie des particules des valeurs discrètes, tout au moins dans les systèmes confinés, et d’autant plus rapprochées que ces systèmes sont plus étendus. Traitant le monde comme un seul système quantique comportant un très grand nombre de particules, Dirac considéra (1929) que les niveaux d’énergie seraient très nombreux et très serrés. Ils pourraient aussi bien être négatifs que positifs. Pour les particules libres, les énergies des niveaux à considérer, numérotés par l’indice n, sont donc :

En = +√E0 + p2nc2 +

2

En = –√E0 + p2nc2 -

2

où pn prend bien entendu des valeurs positives et négatives puisque les particules peuvent, comme en mécanique newtonienne, se déplacer dans toutes les directions.

Pourquoi a-t-on pu jusqu’à Dirac établir la physique en ignorant les états d’énergie négatifs des particules libres ?

Ici intervient le principe d’exclusion de Pauli (1900-1958) : deux particules ne peuvent se trouver dans le même état quantique1. Suivant les principes thermodynamiques, les particules se rangent d’abord dans les niveaux inférieurs ; les niveaux négatifs sont tous occupés par un seul électron par état quantique possible, suivant le principe d’exclusion.

Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984) naquit à Bristol dans une famille modeste d’origine suisse. Il fit d’abord des études d’ingénieur, mais se tourna vers les mathématiques pures, puis vers la mécanique quantique en 1925. Cette mécanique restait alors non-relativiste, ce qui était en principe inadmissible. Dirac publia en 1928 une théorie d’une grande beauté et, apparemment, d’une grande abstraction, qui devait cependant se montrer la plus générale et la plus maniable, pour finalement s’imposer dans les traités modernes.

Avec une grande audace, et secondé par quelques autres physiciens, il introduisit des états d’énergie négative pour des particules libres, ce qui aboutit à la notion d’antiparticule

71

1. Par particules, il faut entendre ici les particules que l’on peut appeler matérielles, les fertnions, à l’exclusion des particules d’échange ou bosons, dont la plus familière est le photon.

Comme toutes les places sont prises, ces électrons ne peuvent pas bouger et sont généralement inobservables car, suivant la mécanique quantique, les particules ne se manifestent que lorsqu’elles changent d’état.

Voilà donc qui était rassurant, car on n’avait jamais observé de particules dans des états d’énergie négative.

D’autre part, tant que la particule existe, E ne peut prendre de valeurs entre - E0 et + E0.

Il existe donc une « bande interdite », intervalle sans niveaux permis qui couvre deux fois E0, soit 1,022 MeV. Nous ne voyons ordinairement que les particules dont les vitesses et les impulsions sont petites en termes de relativité. Leurs énergies ne sont que légèrement supérieures à E0. Pour amener dans ce domaine un électron d’énergie négative, il faudrait lui fournir au moins cette énergie de 2E0 par un moyen électromagnétique, par exemple grâce à un photon. Celui-ci se trouverait nécessairement dans le spectre γ.

En physique classique, ce saut en énergie est interdit par la condition de continuité du mouvement. En physique quantique, cette interdiction n’existe pas, à cause du principe de Heisenberg, qui permet même une violation de la conservation de l’énergie pendant des temps très courts.

Que pourrait-on observer si l’on irradiait des électrons avec des rayons gamma suffisamment énergiques ? On obtiendrait un électron d’énergie positive et l’absence d’un électron d’énergie négative. Cette absence, ce trou permet aux voisins négatifs de se déplacer. Après pas mal de supputations, au cours desquelles Oppenheimer (1904-1967), alors en visite à Copenhague, joua un rôle, on conclut que cette absence, ce « trou » se comporterait comme une particule de charge opposée à celle de l’électron, et de même masse. Ce pur produit d’une imagination débridée fut nommé positon, ou positron.

Le positon fut observé par Anderson en 1932 lors d’études sur le rayonnement cosmique.

On savait bien entendu que les électrons peuvent engendrer des photons c’est la base de l’électromagnétisme. On venait de prédire que des photons peuvent engendrer des électrons. Dans le premier cas, l’énergie des photons n’a pas de limite inférieure. Dans le second, non seulement il existe un seuil d’énergie pour le photon, mais on ne peut produire que des paires électronpositon, car la charge totale des particules produites doit être nulle comme celle du photon.

L’invention du positon par Dirac ouvrit une nouvelle ère en physique : on avait auparavant « inventé » de nombreux corps, en chimie classique ou nucléaire, par exemple le neutrino (1930), pour expliquer des réactions avant d’isoler ces éléments ou particules. Dans le cas présent, l’invention n’était basée sur aucune observation antérieure.

Plus tard, on continua à inventer et à observer de nombreuses particules, tels le mésotron, les mésons, et notamment l’antiproton (Segré-Chamberlain 1955) et toutes les antiparticules. Le positon fut la première antiparticule inventée avant d’être découverte.

Particules et antiparticules en cosmologie Les antiparticules furent dans le passé de l’expansion cosmique presque aussi nombreuses que les particules, donc prodigieusement nombreuses. Les plus lourdes s’annihilèrent mutuellement 1/100e de seconde après le big bang, produisant autant de photons à la température de 100 milliards de degrés et laissant l’infime surplus de particules qui constituent l’univers d’aujourd’hui, plus les positons et électrons qui sont moins massifs. Ceux-ci devaient s’annihiler au bout de 13 secondes, après refroidissement à 3 milliards de degrés, produisant de nouveaux photons et permettant aux éléments chimiques de se constituer, puis à la vie d’apparaître.

L’introduction du positon par Dirac eut donc de grandes répercussions sur notre compréhension de l’Univers.

72

En intégrant dP dans tout l’espace, on doit trouver l’unité, si l’on est sûr qu’il y a effectivement une particule objet de l’équation quelque part dans l’espace.

Cette interprétation entraîne loin. L’expérience montre que la présence d’une particule sera révélée par un point lumineux sur un écran ou un grain d’argent sur une pellicule photographique. Born nous dit que l’on ne peut prévoir où sera situé l’impact, mais il nous montre comment calculer la probabilité de le trouver en différents endroits.

C’était au moins cohérent avec le principe de Heisenberg, d’après lequel il y a toujours une indétermination sur la position d’un objet. Cette interprétation fit néanmoins, pour beaucoup, l’effet d’une bombe, ou d’une mauvaise plaisanterie : voilà que les physiciens quantiques renonçaient à prédire exactement les événements comme Newton, Maxwell et d’autres l’avaient toujours fait. Einstein était un des opposants les plus déterminés, et l’est resté jusqu’à sa mort : « Dieu ne joue pas aux dés », disait-il. De Broglie, Schrödinger luimême, ne l’acceptèrent pas non plus, et de nombreux physiciens de grande valeur ne l’acceptent toujours pas.

Non seulement Bohr et Heisenberg admirent-ils l’interprétation probabiliste, mais elle devint une pierre angulaire de leur physique et leur philosophie. Elle s’accorde parfaitement bien avec le principe d’incertitude. Elle permit d’établir comment on peut mesurer les quantités, de comprendre ce que l’on peut appeler l’état d’un système physique. Ce travail fut accompli autour de Bohr et aboutit à ce que l’on appelle l’Interprétation de Copenhague.

Bien que contestée, cette interprétation est utilisée dans tous les calculs pratiques qui ont permis de mener les expériences et de développer les techniques électroniques modernes. Elle reçoit ainsi chaque jour d’innombrables milliards de vérifications. Même ceux qui la jugent insatisfaisante la trouvent géniale en pratique.

CHAPITRE 10

L’ÉTAT QUANTIQUE Nous arrivons au dernier épisode de l’histoire que nous avons entrepris de raconter : celle de l’invasion progressive de la physique fondamentale par les ondes et les oscillations, depuis Pythagore jusqu’au XXe siècle. Nous avons vu comment la nécessité de trouver un cadre théorique à des phénomènes microscopiques à conduit à la mécanique quantique.

Venons-en maintenant aux aspects fondamentaux de cette théorie et à la façon dont ils s’appliquent.

Sur le plan théorique, des interprétations sont indispensables pour effectuer les calculs et les appliquer aux expériences. Il ne suffisait pas d’expliquer les spectres de rayonnement des atomes, comme le fit Bohr en 1913 pour l’hydrogène et comme la fonction d’onde « psi » de Schrödinger permit de le faire en principe pour tous les atomes et molécules dès 1926. Il fallait comprendre la nature de cette fonction d’onde. L’équation de Schrödinger, qui la régit, ne contient pas les grandeurs physiques elles-mêmes – vitesses, positions et autres -, mais des opérateurs qui leur sont attachés. Il fallut trouver comment cette fonction permet de déterminer ces grandeurs, autant que le principe de Heisenberg le permet.

Interprétation de la fonction d’onde Ψ Si l’équation d’onde avait déjà fourni tant de résultats, la nature de la fonction ellemême ne fut pas comprise pour autant. Aucune énergie n’était directement associée à cette fonction, ce qui ajoutait au mystère : l’équation d’ondes de l’acoustique s’applique aux variations de pression de l’air, celle de l’électromagnétisme aux composantes de champ, toutes grandeurs qui contiennent de l’énergie. Psi n’en contient pas ; sa réalité physique est d’une nature jusque-là inconnue. Une explication fut proposée assez vite. On avait attendu bien plus longtemps pour connaître la nature des ondes lumineuses depuis l’époque de Grimaldi, Huygens et Newton, jusqu’à Young (1802) et Maxwell (1864).

Max Born (1882-1970) proposa en 1926 l’idée suivante : cette fonction, qui est associée à une particule, est indispensable pour tout calcul, mais si on ne peut pas la mesurer, son carré a toutefois un sens expérimental : il est proportionnel à la probabilité de trouver chaque particule en un point donné à un instant donné. Plus précisément, la probabilité dP (infiniment petite) de trouver la particule dans un élément de volume dV (infiniment petit), est donnée par ΨΨ*, carré du module de Ψ :

Retournant au passage en italiques sur les nombres complexes, montrer que la phase de la fonction d’onde disparaît dans le calcul de la probabilité de présence. On croyait que la phase est une grandeur essentielle pour caractériser une onde. Voilà une étrange onde, dont la phase n’aurait pas d’importance ? En fait, tant que l’on reste au niveau de cette fonction, les différences de phase jouent. Mais il est facile de montrer que deux fonctions d’onde qui ne diffèrent que par une phase constante, c’est-à-dire un facteur multiplicateur exp(iφ), ne peuvent être distinguées expérimentalement.

En effet, exp(iφ) exp(-iφ) = exp(0) = 1, quel que soit φ.

L’interprétation de Copenhague comprend un certain nombre de nouveaux principes très précis. Dans certain bon traité introductif à la mécanique quantique1, on trouve une liste de sept postulats de cette science, sans compter huit nouvelles définitions. Leur étude n’entre pas dans le cadre de cet ouvrage. Nous allons néanmoins découvrir quelques principes de

dP = ΨΨ* dV Le carré du module a été défini au chapitre 9.

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1. R.H. Dicke and J.P. Wittke. Introduction to Quantum Mechanics, Addison-Wesley, 1963.

la physique quantique sur un exemple « simple », du moins en ce qui concerne les fonctions mathématiques qu’il introduit : ce sont les mêmes que pour les cordes vibrantes.

Nul doute que les pages qui suivent demandent une attention soutenue. Elles illustrent les différences entre des ondes acoustiques et des ondes quantiques qui sont formellement identiques. Il s’agit de mettre en évidence ce qu’est l’état d’un système en mécanique quantique.

C’est, formellement, exactement le problème des cordes vibrantes que nous avons rencontré au chapitre 3.

Les solutions élémentaires sont :

Ψ=C

On considère un électron placé entre deux plaques parallèles distantes de d qui ont la propriété de le réfléchir comme une balle de tennis sur un mur. Comme aucun corps ne peut être immobile d’après le principe d’Heisenberg, l’image classique serait que l’électron oscille entre les deux plaques.

∫

C’est ainsi que s’introduit la quantification. Elle est due au fait que l’électron est confiné entre les plaques. On a vu plus haut que chaque valeur de k implique une valeur de l’énergie, qui est ici :

En = (nh/2d)2/2m

En est une valeur propre de l’énergie correspondant à une fonction propre du problème. On constatera qu’elle est égale à la valeur calculée en exercice. La deuxième équation devient :

E Ψn = En Ψn d’où, après une simplification évidente,

(ih/2�) dC/dt = EnC Compte tenu des propriétés des exponentielles complexes, la solution est :

EΨ = EΨ

C = Cn e-i2�υnt

On doit se limiter aux solutions compatibles avec les conditions aux parois. E étant une constante, la première de ces deux équations s’écrit :

(

)

2

Cn est une constante réelle ou complexe.

υn = En/h = (nh/2d)2/2mh

Ψ = EΨ

Pour une corde vibrante de longueur égale à la distance entre les plaques, soit d, supposée vibrer à une fréquence f, on aurait dû poser :

Après une transformation simple,

k = 2�f/v

d2Ψ/dx2 + k2Ψ = 0 avec

k2 = 8�2mE/h2

ΨΨ* dx = CC* 0

kn = n�/d

Le « modèle » présenté ne saurait être réalisé que grossièrement, mais il ne contient pas d’hypothèse contraire aux lois fondamentales. De tels modèles sont très utiles pour expliquer les phénomènes physiques de la façon la plus simple possible. Une approche formelle rigoureuse est aussi simple, mais plus abstraite. Nous en donnons un exemple dans l’appendice 4.

La nature des parois sera exprimée mathématiquement en supposant que l’électron ne peut y pénétrer tant soit peu : sa probabilité de présence y est nulle et nous admettrons que, par continuité, la fonction d’onde est nulle à leur surface. Par ailleurs, on n’applique aucune force, aucun potentiel U et, comme le système est isolé, l’énergie est constante.

Ceci permet de diviser l’équation de Schrödinger en deux parties. Réservant les symboles ombrés pour les opérateurs, dont la définition a été donnée plus haut, on obtient en effet :

h ∂ 2i� ∂x

d

Si CC* = 1, on dit que les fonctions propres sont normalisées, ce qui facilitera le calcul des probabilités définies par Born.

Les seules valeurs possibles de k compatibles avec les conditions aux limites sont :

Calculer d’après la mécanique classique la vitesse de l’électron en fonction de son énergie cinétique E. Calculer l’action 2dmv, et la quantifier suivant la règle de Bohr. En déduire une expression des niveaux quantiques d’énergie.

1 2m

2 sin(n�x / d) d

La solution générale est une somme de ces fonctions élémentaires dites fonctions propres de l’opérateur différentiel.

Le facteur numérique a été introduit car il sera plus tard commode d’assurer :

Un problème simple : l’électron réfléchi entre deux parois parallèles

HΨ = EΨ

√

v étant la vitesse de phase le long de la corde.

74

Donc, pour l’électron confiné entre deux plaques comme pour l’atome d’hydrogène, ou tout autre système confiné, il existe un spectre discret d’énergies correspondant aux entiers n = 1, 2, 3,... Mais, pour la fréquence, la dépendance de n est différente. Différente aussi du cas des cordes vibrantes, bien que la variation en x soit la même.

(car la probabilité pour qu’une balle ait n’importe quelle énergie est 100 %).

La définition générale de ΨΨ* comme densité de probabilité amène eu égard à certaines considérations mathématiques et physiques, à proposer la valeur probable de l’énerie suivante :

<E>=

Le principe de superposition et la mesure La fonction d’onde la plus générale est une somme ou superposition des solutions cidessus de l’équation de Schrödinger (fonctions propres) : ∞

Ψ=

∑√2 C

n=1

d

n

L’intégrale de volume doit être étendue à tout l’espace où la particule peut se trouver.

Ici, nous sommes dans cas artificiel, un espace unidimensionnel, et l’intégrale est étendue de x = 0 à x = d. Le calcul de l’intégrale est assez simple ; il donne, en utilisant les relations d’orthogonalité propres aux séries de Fourier :

sin(n�x / d) e-i2�υnt

∞

U(x) = ∑ CnCn *En

Sous cette forme, elle est identique à celle des cordes vibrantes : une somme de toutes les ondes simples possibles affectée de coefficients. La dépendance spatiale de cellesci est la même que pour une corde, seule les fréquences sont différentes, et à chaque fréquence correspond une énergie de l’électron.

Pour déterminer les coefficients Cn, il faut spécifier la façon dont on a préparé le système, comme pour les cordes vibrantes. Les harmoniques ne sont pas les mêmes si l’on utilise un archet ou un plectre. L’électron peut provenir d’une source extérieure et avoir pénétré par un petit trou (détermination initiale de p), ou avoir été arraché à une molécule gazeuse entre les plaques (détermination initiale de x).

Si ce problème présente des ressemblances étroites avec celui des cordes vibrantes, d’autres différences que la valeur des fréquences subsistent, et ces différences sont très importantes.

En premier lieu, on peut photographier la corde à tout instant, la filmer, déterminer en temps d’horloge les temps auxquels la vitesse de tel point de la corde s’annule ; au contraire, on ne peut trouver une méthode de mesure directe de Ψ. C’est un des fondements de l’interprétation de Copenhague.

Suivant la physique classique, on peut mesurer la vitesse d’une balle de tennis optiquement. On peut montrer que la solution ci-dessus ne permet pas de déterminer exactement la vitesse et la position de l’électron et qu’elle est en cela conforme au principe d’Heisenberg. Ce principe est pour ainsi dire incorporé dans l’équation de Schrödinger. En fait, il tient à la nature ondulatoire des solutions. Aucun dispositif expérimental ne permet de mesurer ces deux quantités simultanément.

En physique classique, si l’on a un ensemble de dispositifs comportant des balles de tennis qui ont des énergies En avec des probabilités associées Pn, l’énergie moyenne ou l’énergie la plus probable est : en supposant:

n=1

Sous cette forme, c’est une moyenne classique des valeurs En, avec des valeurs particulières des Pn. Nous en venons à des principes fondamentaux de l’Interprétation de Copenhague. Étant donné que plusieurs valeurs de En figurent dans la fonction d’onde, quel résultat peut-on obtenir si l’on mesure l’énergie d’un seul électron dans une structure donnée ?

Principe : on ne peut obtenir qu’une des valeurs En si la mesure est précise. Si l’on recommence l’épreuve sur un autre système identique, on obtiendra chaque fois l’un de ces résultats avec une fréquence ou probabilité proportionnelle au CnCn* correspondant. Mais si l’on recommence l’épreuve sur le même système après avoir trouvé un En particulier, on trouvera toujours le même, car son CnCn* est devenu l’unité dans le processus de mesure.

La mesure a transformé la fonction d’onde de manière discontinue ; la mesure précise a supprimé la superposition.

Qu’est-ce que l’état d’un système quantique ?

< E > = ∑ PnEn ∑ Pn = 1

∫ Ψ* EΨdV = ∫ Ψ* ih ∂t∂ ΨdV

75

Ces règles strictes sont incompatibles avec la notion classique de l’état d’un système.

La superposition d’états pourrait laisser croire que la valeur mesurée était celle de l’électron avant la mesure, et que ces valeurs sont dès le départ les bonnes dans l’expérience, quoique réparties suivant une loi de probabilité. Un résultat de mesure renseigne-t-il sur l’état de l’électron avant la mesure ? Était-il alors dans l’état n, comme la mesure semble le démontrer ? Évidemment, répondait essentiellement Einstein ; si vous ne savez pas lequel, c’est que votre mécanique quantique est incomplète. Toute cette histoire de probabilités est inacceptable.

Un « écolier de Copenhague » répondrait : Il est impossible en général de répondre à cette question. Avant la mesure, vous

qui dépend de la position du soleil.

D’après l’interprétation de Copenhague la théorie quantique est complète, en tant que théorie physique, s’entend. Cependant, elle n’a pas accès à un quelconque monde réel indépendant de nos expériences. Beaucoup ont cherché à la rendre complète. On a supposé de bonne heure que les phénomènes aléatoires sont en réalité provoqués par des variables cachées, phénomènes à découvrir qui sauveraient le déterminisme. Ces théories n’ont eu que des succès limités, sans commune mesure avec ceux de l’interprétation probabiliste.

Comme on le verra plus loin, des expériences et des mesures physiques ont été conçues avec beaucoup de raffinements pour montrer que le système est, avant une mesure, dans un état déterminé et non pas dans l’étrange mélange ou composition d’états de la fonction d’onde : toutes ces expériences ont confirmé la conception du mélange étrange d’états.

C’est ainsi que Bernard d’Espagnat a été amené à publier un article sous le titre « Théorie quantique et réalité » suivi du commentaire : L’idée que le monde est constitué d’objets localisés dont l’existence ne dépend pas de la conscience humaine s’avère être incompatible avec certaines prédictions de la mécanique quantique et avec des faits aujourd’hui établis par l’expérience.1

ne pouvez connaître que la fonction d’onde. Or, la fonction d’onde n’est pas une description du système. Elle n’implique en général aucune valeur des grandeurs.

C’est seulement un outil dont nous disposons pour calculer des résultats possibles de mesure et leur probabilité. Sur l’état d’un système proprement dit, les seules données qui ont un sens sont les résultats de mesure.

– Allez-vous nie dire que l’on ne sait pas où est la lune quand on ne la regarde pas ?

– Regarder, c’est faire une expérience. Cela n’a aucun sens de parler du résultat d’une expérience que l’on ne fait pas.

Rassurez-vous : si l’on calcule la fonction d’onde de la lune suivant la mécanique quantique, on fera des prédictions avec des probabilités capables de satisfaire l’astronaute le plus exigeant. Il est vrai que ∆x·∆(mv) > h, mais si m tend vers l’infini, le produit ∆x·∆v tend vers zéro : il n’y a en pratique pas d’indétermination dans ce cas.

Il faut admirer une théorie qui refuse de dire des choses que l’on ne peut pas vérifier.

Revenons sur la nature probabiliste des prédictions quantiques. Nous reviendrons pour cela aux nombres complexes. Le carré d’un nombre contient moins d’information que ce nombre, puisqu’il ne donne pas le signe. L’indétermination est encore plus grande avec le produit complexe m2 = (a + ib)(a + ib)* = a2 + b2. Ce carré du module m contient moins d’information que a + ib, puisque c’est un seul nombre alors que a + ib en contient deux.

La forme ci-dessus de Ψ, qui contient les Cn, est donc plus riche en information que tous les CnCn*. Donc, cette forme de Ψ représente un « mélange étrange d’états » dont les coefficients ne peuvent être déterminés complètement.

Un des postulats de la mécanique quantique, que l’on a été amené à admettre parce que toute autre hypothèse aboutit à des incohérences dans la théorie et parce qu’il n’a pas été mis en défaut expérimentalement, est que nous ne pouvons connaître avant une mesure autre chose que la fonction d’onde.

Celle-ci évolue dans le temps suivant l’équation de Schrödinger, donc de façon parfaitement déterministe, exactement comme un phénomène électromagnétique macroscopique.

Une interprétation de ce paradoxe est la suivante ; faire une mesure, c’est chercher à déterminer quelque chose, acte purement humain ; c’est en un sens poser une question à la matière. Nous avons appris à formuler nos questions dans le monde macroscopique. Elles n’ont pas de sens, en général, dans le monde microscopique. Vous êtes parfois dans une situation apparentée en répondant aux questions d’un formulaire : êtes-vous ceci ou cela’?

Vous trouvez que vous ne rentrez pas dans les catégories proposées, ou, au contraire, que vous entrez dans deux catégories présentées comme incompatibles. À l’échelle atomique, la position et la vitesse ne sont pas deux grandeurs définies avant la mesure : ce sont des potentialités de celle-ci. C’est sur un grand nombre de particules qu’un effet de moyenne fait apparaître des positions et des vitesses mesurables de façon indépendante.

On dirait que l’opérateur associé à la grandeur physique se matérialise soudain du fait de la mesure. On dira plutôt qu’il se projette comme un objet sur son ombre, d’une manière

Nous reviendrons sur cette affirmation !

Les transitions ; le temps quantique Comment un atome, ou toute autre structure quantique, peut-il passer d’un état propre à un autre ? Les forces internes sont électriques ; ce sont donc des forces électromagnétiques qui peuvent agir sur lui. Les états propres correspondant à des énergies différentes, il faut un quantum qui apporte ou retire la différence. Ce quantum correspond à une fréquence.

Lorsqu’il s’agit d’atomes, celle-ci se trouve dans ou autour du domaine optique. À l’aide d’un prisme, on peut éclairer des atomes avec une longueur d’onde bien déterminée En général, il ne se passe rien d’important mais, si l’on tourne le prisme par rapport aux échantillons, la longueur d’onde d’excitation varie ; lorsqu’elle se trouve correspondre à une différence entre deux énergies propres, les transitions se produisent ; c’est un phénomène analogue à l’excitation d’une vibration par résonance. Quantitativement, la longueur d’onde étant comme toujours en optique égale à c/υ, on doit avoir :

hυ = Em - En

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Voila donc déterminé en principe le moyen d’obtenir et d’observer des transitions quantiques ; on voudrait savoir plus en détail comment elles se produisent. Suivant l’intuition classique, on s’attendrait à une évolution pendant un certain temps. Or, on n’a jamais pu analyser expérimentalement le détail de cette transition ; cela supposerait une violation des principes les plus élémentaires. Il faudrait par exemple que l’énergie passe progressivement du photon à l’électron, ce qui est contraire à la nature des photons, et violerait le principe de Heisenberg.

Voici comment la théorie rend compte de la transition quantique radiative. considérons de nouveau le modèle simple de l’électron prisonnier entre deux plaques, pour lequel nous connaissons les niveaux d’énergie et une expression de la fonction d’onde. Les propriétés des séries de Fourier, qui peuvent représenter toute fonction, nous permettent d’utiliser la même forme pour chaque valeur du temps, mais il nous faut considérer que les Cn sont des fonctions du temps à déterminer. L’énergie n’étant pas constante, l’équation de Schrödinger doit être prise avec le membre de droite fonction du temps. Il faut en outre introduire dans cette équation l’action extérieure avec la bonne fréquence, ce que l’on peut faire en introduisant un potentiel de la forme :

l’énergie ne pourrait donner que l’une des valeurs En et Ek. Il est donc impossible de dire à quel instant se produira la transition. L’instant exact est imprévisible, bien qu’il puisse être trouvé expérimentalement grâce à un détecteur rapide.

Après avoir traité le cas de transitions entre des états propres, prenons l’exemple simple où un faisceau de lumière est de nature à ioniser un atome, c’est-à-dire à lui arracher un électron. Il s’agirait par exemple d’un atome d’hydrogène éclairé en ultraviolet, car l’énergie des photons doit être supérieure à 13,6 eV. On recueille l’électron sur une électrode reliée à un circuit électrique qui indique la capture de l’électron. Dans ce cas, il n’y a pas oscillation entre deux niveaux d’énergie : l’électron d’ionisation est sorti du système quantique.

L’expérience demande des détecteurs très rapides. On trouve que l’émission se produit à des temps très variables, dont seule la distribution statistique, en particulier la moyenne, peut être déterminée. Il existe un temps moyen mais avant d’être ionisé, l’électron peut rester longtemps dans son état initial.

U = V(x) cos 2�υt Ce terme est censé représenter l’action d’un champ lumineux ou plus généralement électromagnétique sur l’électron. On obtient l’équation : 2 – ħ d Ψ2 + Ψ V(x) cos(2�υt) = – h ∂Ψ 2m dx 2i� ∂t

Mort naturelle sans vieillissement Un troisième exemple de transition est donné par la désintégration nucléaire. Le radium se désintègre suivant un processus assez complexe, mais qui a une propriété simple : si l’on stocke un gramme de radium, la moitié s’en sera désintégrée au bout de 1600 ans. On appelle cette durée la demi-vie ou la période, abusivement car la durée de vie de chaque atome n’est pas déterminée et le phénomène n’a rien de périodique. Si l’on part d’une masse mo, la masse non désintégrée au bout de N périodes de 1600 ans est donc :

Les Cn étant fonction du temps, la solution complète s’écrit : ∞

Ψ=

∑ √ 2d C (t) sin(n�x / d) e-i2�υ t

n=1

n

n

Les υn ont été donnés plus haut. Les inconnues sont les fonctions Cn(t).

Ces coefficients permettent, comme on l’a vu, de calculer les probabilités CnCn* pour qu’une mesure révèle que l’atome se trouve dans les différents états propres. Ils sont donnés en général par un système infini d’équations, mais on peut traiter des cas particuliers simples et significatifs.

On peut supposer par exemple que l’électron se trouve à l’instant 0 dans un état propre n, et que la fréquence υ est susceptible de le faire transiter vers l’état k. Le calcul est présenté en appendice sous une forme très générale, valable pour toutes sortes de structures.

m = m0 (1/2)N

Résoudre les deux équations ci-dessus en suivant la procédure donnée en appendice.

On pourra laisser V(x) indéterminé et utiliser les coefficients αnk. Pour aller plus loin, on calculera ces coefficients en supposant que l’électron est soumis à un champ électrique uniforme F et que le potentiel est V(x) = eFx ; e est la charge de l’électron. On obtiendra ainsi le temps de transition, soit �/2Ω.

On trouve que Cn et Ck varient sinusoïdalement à une fréquence relativement basse en pratique qui dépend de V(x). Lorsque CnCn* vaut 1, CkCk* est nul et réciproquement ; mais, à part ces instants privilégiés, la fonction d’onde représente le mélange quantique des deux états propres comme décrit plus haut. Et cependant, à tout instant une mesure de

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Cette loi implique que le nombre de désintégrations par unité de temps est proportionnel au nombre d’atomes présents. La probabilité de désintégration d’un atome dans l’heure qui suit reste alors la même tant qu’il n’est pas désintégré. C’est comme si, l’âge moyen d’une population étant de 70 ans, tout individu conserve une durée de vie probable de 70 ans même s’il a atteint 50 ou 100 ans. Notre mort a une cause : le vieillissement, un accident.

L’instant de la désintégration d’un atome est imprévisible comme celui de notre mort, mais la loi statistique de la durée est différente. Il est vrai que la désintégration permet de dater les objets très anciens, mais elle ne peut donner le temps que par une caractérisation statistique, qui peut néanmoins être très précise.

Bref, le temps continu et uniforme que nous connaissons figure bien en mécanique quantique dans les équations, mais il n’a pas de réalité expérimentale directe. C’est seulement lorsque nous travaillons avec des systèmes macroscopiques, comprenant un très grand nombre d’atomes, que les valeurs probables aboutissent à des certitudes de fait, et que l’on retrouve le temps classique. Mais tout événement macroscopique déclenché par un phénomène quantique unique échappe à notre notion du temps. C’est le cas de l’électron d’ionisation qui déclenche une avalanche d’électrons secondaires dans le circuit électrique mentionné plus haut.

nombreux phénomènes quantiques imprévisibles dans le temps, une désintégration nucléaire. Cette désintégration actionnerait un « compteur de Geiger », capable de détecter une seule particule, qui déclencherait un marteau de façon à briser une ampoule contenant du cyanure de potassium, ce qui tuerait le chat. Or, en physique quantique, seuls comptent les résultats d’expériences. Tant que l’on n’aurait pas ouvert la boîte pour ausculter le chat, celui-ci se trouverait donc dans l’état suivant :

Incertitude sur la constitution d’un système Nous apprenons à l’école à considérer d’abord de quels éléments est constitué un système, ensuite de quelle manière ceux-ci interagissent. Retournons au court paragraphe consacré à Dirac, et spécialement à la particule dont il a prédit l’existence : le positron ou électron positif. Un photon peut engendrer cette particule en même temps qu’un électron normal, c’est-àdire de charge électrique négative. Les deux particules ainsi formées peuvent se recombiner pour fournir un nouveau photon. Mais, entre temps, il peut leur être arrivé beaucoup d’avatars. L’un d’eux peut avoir engendré un photon qui lui-même etc. De toute façon, l’instant de ces transformations comporte une indétermination du fait du principe de Heisenberg sur l’énergie et le temps. Au cours d’une expérience, il peut arriver de nombreuses histoires de ce genre. C’est en considérant que la fonction d’onde représente une de ces superpositions étranges de toutes ces histoires possibles que l’on parvient aux précisions extraordinaires de l’électrodynamique quantique établie entre 1946 et 1949 par Sin-itiro Tomonaga (1906-1979), Julian Schwinger (1918-), Richard Feynman (1918-1988).

En physique des hautes énergies, ces phénomènes sont encore plus importants. La matière perd sa propriété principale, la permanence. Particule n’est plus qu’un mot qui ne couvre plus un objet dans le sens usuel, très loin de là.

C < vivant > + C2 < mort>

Suivant cette notation assez déroutante, la fonction d’onde du chat est une superposition de <vivant> et de <mort>. Ces deux parenthèses désignent les deux fonctions d’onde qui décrivent l’état de toutes les particules dont le chat est composé, suivant qu’il est vivant ou mort.

Le constat étant soit que le chat est vivant, soit qu’il est mort, montrer que l’on doit avoir : C1C1 * + C2C2* = 1.

On a proposé des réponses très diverses à ce paradoxe, ce qui le rend très intéressant.

Pour Bohr, la fonction d’onde du chat n’est pas une description du chat, à plus forte raison n’est-elle pas le chat lui-même. Il y a donc là déjà une confusion de la part d’Einstein et Schrödinger. De plus, on ne peut pas dire « le chat est dans tel état » avant d’avoir fait un test. Or, d’après l’interprétation de Copenhague, un test précis ne peut donner comme résultat que l’un et un seul des états propres du système. Le résultat de l’expérience sera donc soit que le chat est vivant, ce qui prouve qu’il n’y a pas eu de désintégration, soit qu’il est mort, et on saura alors qu’un atome voisin du compteur de Geiger s’est désintégré. On ne peut donc jamais se trouver dans la situation de dire que le chat est à la fois mort et vivant. Tout cela est conforme au bon sens et aux possibilités expérimentales. Cela illustre la cohérence de l’interprétation de Copenhague. On verra plus loin qu’un test n’est pas nécessairement précis.

Toutefois, beaucoup de physiciens ne se contentent pas de cette interprétation.

Passons le fait que le chat n’est pas un système isolé, même si on l’enferme dans une boîte, et qu’on ne peut définir ses supposés états propres. Passons aussi le fait que le corps du chat contient un nombre fabuleux de particules et que le volume de papier nécessaire pour écrire sa fonction d’onde défie toute estimation. Il reste que l’affirmation suivant laquelle une fonction d’onde n’est pas une description d’un système est difficilement admissible : ce n’est pas une description dans le sens classique, mais c’est évidemment une description partielle d’un système.

On trouvera une longue réflexion1 sur le sujet « faut-il prendre la fonction d’onde au

Le paradoxe du chat de Schrödinger Erwin Schrödinger et Albert Einstein ont voulu mettre en évidence ce qu’ils considéraient comme l’absurdité de la mécanique quantique, et notamment de l’interprétation probabiliste de l’onde. Ils ne pouvaient admettre une physique qui ne donne que des probabilités, et ils trouvaient particulièrement absurde cette superposition d’états propres affectés de coefficients qui ne sont pas même directement des probabilités.

Auteur d’une contribution essentielle à la mécanique quantique, Schrödinger n’a jamais accepté l’interprétation probabiliste de sa fonction d’onde. Il avait suscité dans le monde des physiciens l’espoir que cette fonction restaurerait la continuité et permettrait de comprendre le détail des transitions quantiques. Il pensa, en 1935, atteindre gravement l’interprétation probabiliste « de Copenhague » en l’appliquant à une transition particulièrement dramatique : la mort.

La mécanique quantique est en principe la théorie physique la plus complète que nous connaissons ; elle englobe la théorie classique et peut s’appliquer à tous les systèmes. Pourquoi donc pas aux êtres vivants ? Schrödinger crut comprendre que, suivant la physique de Bohr et de ses adeptes, un être vivant pourrait se trouver dans une superposition quantique de deux états, la vie et la mort. Il serait alors d’une certaine façon à la fois vivant et mort.

Dans l’expérience imaginée par Einstein et perfectionnée par Schrödinger, on enferme un chat dans une boîte dans des conditions telles que sa survie dépend de l’un de ces

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1. Roger Penrose, Les deux infinis et l’esprit humain, avec les contributions de Abner Shimony, Nancy Cartwright, Stephen Hawking, Roland Omnès, Nouvelle Bibliothèque Scientifique, Flammarion, 1999.

Voir aussi de John Gribbin, Le chat de Schrödinger, Champs, Flammarion, 1994.

sérieux ? » dans un ouvrage du mathématicien, cosmologiste et physicien Roger Penrose, avec de nombreux commentaires sur la fameuse expérience qui, bien entendu, n’a jamais été tentée. La communauté des chats n’a pas à se soucier.

Les questions soulevées sont actuellement en évolution grâce à des moyens expérimentaux raffinés qui permettent des observations sur un seul atome. On peut observer que la superposition quantique d’états disparaît en un temps extrêmement court lorsqu’un système isolé est mis en interaction avec un dispositif extérieur1.

mesures exactes ne peuvent révéler que des spins opposés). Les principes généraux de conservation et de symétrie impliquent que toute mesure sur une des deux particules sueurs donne un renseignement sur l’autre.

L’article EPR contient des développements logiques sur la réalité et ne peut être résumé ici que de façon très schématique. Utilisant cette corrélation entre les deux particules, les trois auteurs proposèrent une expérience qui, selon eux, permet de connaître exactement la position et la vitesse d’une particule. Les particules sueurs s’étant suffisamment éloignées pour que toute interaction soit négligeable, on mesure d’abord exactement l’impulsion de A, qui donne celle de B. Puis, on mesure la position de B. Le raisonnement était que, si A et B sont suffisamment éloignées, une mesure effectuée sur l’une ne pourrait être affectée par l’autre avant qu’un signal ne lui en parvienne avec la vitesse limitée de la lumière, quelle que soit la mécanique. Le dispositif permettrait donc de connaître exactement l’impulsion et la position de B, contrairement au principe de Heisenberg. Comme la mécanique quantique ne sait pas rendre compte de ce processus, les trois auteurs concluaient qu’elle est incomplète, car insuffisante pour prédire les résultats des expériences.

Bohr répondit par un article non moins philosophique et portant le même titre que celui des trois auteurs1. Il détailla les processus de mesure nécessaires pour effectuer l’expérience EPR. Le formalisme de la mécanique quantique entraîne que les deux particules, bien que n’interagissant plus, continuent à constituer un seul système. Mesurer la position de A modifie son impulsion de manière inconnue et, inévitablement, celle de B. On ne connaît plus exactement l’impulsion de B lorsque l’on a mesuré la position de A. Le principe de Heisenberg est respecté. Bohr montra que la mécanique quantique est cohérente et correspond exactement aux possibilités expérimentales.

Einstein et ses collègues appliquaient le principe de localité, suivant lequel, en particulier, un événement en un point ne peut avoir d’effet instantané en un autre point : une mesure sur A ne peut affecter B. La mécanique quantique rejette ce principe, en considérant au contraire les deux particules filles comme un seul système quantique, quelle que soit leur distance.

Si l’interprétation quantique de l’expérience semble comporter une action instantanée à distance, elle ne permet pas pour autant de transmettre un message défini d’avance plus vite que la vitesse de la lumière, car le résultat de la mesure sur A est aléatoire.

L’indétermination quantique n’apparaît pas seulement lors de la mesure sur un système parfaitement déterminé, comme certaines explications peuvent le faire croire. Le principe d’Heisenberg traduit une propriété permanente et essentielle des particules, valable en toutes circonstances. Par exemple, ce principe est nécessaire pour expliquer des propriétés macroscopiques telles que les chaleurs spécifiques des solides et bien d’autres propriétés

Le paradoxe « EPR » (1935) Dès les débuts de la mécanique quantique, Einstein ne put en admettre les étranges nouveautés. Au cours d’une conversation, il pressa le jeune Heisenberg d’abandonner ces chimères. Heisenberg chercha ensuite à préciser sa pensée ; il fut amené à renforcer sa position, et à formuler en 1927 le principe qui porte son nom, et qui est radicalement contraire aux principes d’Einstein. En effet, ce fameux physicien était attaché à la philosophie réaliste, suivant laquelle il existe une réalité bien définie indépendante de notre pensée. De plus, à chaque élément de cette réalité correspond une grandeur mesurable dont le symbole peut figurer dans des équations. Cette conception claire et parfaitement classique remonte à Galilée. Dans cette optique, l’interprétation probabiliste et le principe de Heisenberg sont inadmissibles.

Einstein chercha activement à imaginer une expérience qui permette de mesurer à la fois la position et la vitesse d’une particule. Il s’agit à nouveau d’une de ces Gedankenexperimente, ces expériences en pensée, parfois si convaincantes qu’il n’est pas nécessaire de les réaliser. En 1935, Albert Einstein, Boris Podolsky et Nathan Rosen (EPR) publièrent un article intitulé : La description de la réalité par la mécanique quantique peut-elle être considérée comme complète ?2 D’où l’expression : le paradoxe EPR. Cet article était basé sur un phénomène qui sera souvent invoqué dans les discussions sur les fondements de la mécanique quantique : dans certaines expériences, deux particules de même nature, photons ou atomes par exemple, sont engendrées à partir d’une seule ; les principes de conservation imposent alors des contraintes sur le comportement des deux particules filles A et B : si la particule mère était à peu près immobile, les deux filles doivent avoir des vitesses et des impulsions égales et opposées ; si la première n’avait pas de « spin », A et B doivent avoir des spins opposés (plus rigoureusement dit, des 1. Serge Haroche, Jean-Michel Raimond, Michel Brune, « Le chat de Schrödinger se prête à l’expérience », La Recherche 301, septembre 1997.

2. Albert Einstein, Boris Podolsky, Nathan Rosen, Institute for Advanced Study, Princeton, New Jersey, « Can Quantum-Mechanical Description of Reality be Considered Complete? », Physical Review, May 15, 1935, volume 47.

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1. Niels Bohr, Institute for Theoretical Physics, University, Copenhagen, « Can Quantum Mechanical Description of Reality be Considered Complete? », Phvsical Review, October 15, 1935, volume 48.

thermodynamiques, qui se manifestent sans qu’aucune mesure microscopique soit effectuée.

La position de Bohr sur ces questions n’a jamais varié d’un iota malgré les attaques souvent violentes venant de physiciens prestigieux, et en particulier de Einstein, le plus prestigieux d’entre eux. Ces controverses conduisirent à préciser et à consolider la théorie quantique, car les objections d’Einstein et de quelques autres touchaient les points essentiels. Les deux positions antagonistes étaient cohérentes, mais partaient de principes différents. Bohr et Einstein éprouvèrent toujours plus qu’une grande estime mutuelle.

Les arguments de Bohr à propos du paradoxe EPR ne convainquirent pas tous les physiciens, même parmi ses proches. On assistait à une sorte de querelle des anciens et des modernes dont le public commence à prendre conscience, et qui pourrait bien figurer comme un des événements du siècle. Il suffit pour s’en convaincre de songer à l’impact qu’eurent Copernic, Galilée, Newton sur la culture au sens large et la politique.

Les travaux de Bell et les expériences d’Aspect et de ses collaborateurs tranchèrent clairement en faveur de Bohr et de la théorie quantique, infirmant du même coup le principe de localité.

marchant sur la tête, car une loi oblige les deux frères à observer la symétrie en tout. Arrivé à destination, Henri reçoit un télégramme qui le somme de prendre une décision, et il opte pour Anne. Au même instant, sans qu’un message radio ou téléphonique ait pu lui parvenir, surgit à l’esprit de Hiren la décision d’épouser Lisette. Ils ont pris leurs décisions comme un seul homme, comme s’ils étaient régis par une fonction d’onde commune, bien qu’un seul d’entre eux ait été sollicité.

Beaucoup de physiciens pensaient que l’expérience allait porter un coup mortel à la mécanique quantique. Elle la confirma. Une seconde expérience, par Alain Aspect, Jean Dalibard et Gérard Grangier1 fut encore plus convaincante : la corrélation quantique subsiste même si l’on change la direction de l’un des polariseurs au hasard pendant le temps de vol des particules entre leur source et les polariseurs. Nul doute : la corrélation des spins est évidemment établie à l’émission, mais leur direction n’est pas déterminée avant les mesures.

Les valeurs des probabilités quantiques furent confirmées.

Cette expérience, qui fut confirmée par beaucoup d’autres, clôt le débat entre Einstein et Bohr à l’avantage du second : la physique ne peut donner une définition réaliste de l’état d’un système avant qu’une mesure ne soit faite. Seuls les résultats de mesure peuvent être considérés comme réels. Encore ne peuvent-ils pas être considérés comme complets du point de vue classique à cause du principe de Heisenberg, qui laisse toujours une place aux indéterminations.

Nul doute que le critère de réalité classique n’est pas valable. Ni Einstein ni Bohr n’ont vécu pour connaître ce résultat. Pour Bohr, ce résultat n’aurait pas été une surprise. À la fin de sa vie (1955), Einstein reconnaissait que la mécanique quantique est cohérente, confirmée par l’expérience, mais qu’il ne pouvait pas s’en accommoder.

Ces expériences portèrent un coup grave à un autre principe classique celui de la localité.

Ce principe refuse la possibilité d’action à distance ; on explique les interactions à distance par des particules telles que les photons ou les gravitons (des bosons) qui se propagent du lieu de la cause à celui de l’effet. Dans l’expérience d’Aspect, une mesure qui donne le spin de l’un des photons entraîne instantanément que l’autre photon a le spin opposé, sans aucun délai dû à la vitesse de propagation de quelque signal, qui serait nécessairement celle de la lumière. Du point de vue quantique, la paire de photons constitue un seul objet, dons la dimension augmente à la vitesse de la lumière. La relativité n’est pas violée, car ce phénomène ne peut être exploité pour communiquer de l’énergie ou de l’information plus vite que la lumière. Il permet d’établir des systèmes de communications très secrets.

L’expérience d’Aspect (1982) justifie pleinement la position de Bernard d’Espagnat (1980) citée plus haut.

Le théorème de Bell (1964). L’expérience d’Aspect (1982) et la nonlocalité Le mathématicien anglais J.S. Bell, du CERN à Genève, est l’auteur d’un théorème qui se rapporte à la question déjà posée - le résultat d’une mesure indique-t-il l’état du système avant la mesure ? -, à laquelle l’interprétation de Copenhague répond par la négative. D’après le théorème1 de Bell, la distribution statistique des résultats observés est différente suivant la réponse à ladite question ; une certaine quantité statistique évaluée à partir de résultats expérimentaux ne peut dépasser 2 si l’interprétation classique est juste.

Alain Aspect, Philippe Grangier et Gérard Roger effectuèrent en 1982 à l’Institut d’Optique d’Orsay une expérience décisive. Elle était basée sur la corrélation des spins de paires de photons émis simultanément par des atomes de calcium2. Cette corrélation est établie par des polariseurs, instruments qui déterminent la direction du spin.

Une image humaine aidera peut-être à comprendre l’expérience d’Aspect. Imaginons que Henri et Hiren, deux frères jumeaux, ont décidé d’épouser Anne et Lisette, mais qu’ils n’ont pas encore choisi qui épousera qui. Chacun éprouve un sentiment positif pour chacune des deux, qu’il est ainsi potentiellement susceptible d’épouser. Henri part pour affaires à Trondheim, ce qui contraint Hiren à se rendre dans la région de Fès en

1. J.S. Bell, On the Einstein Rosen Podolskv parados, 1964.

2. Alain Aspect. Philippe Grangier, Gérard Roger, Institut d’Optique Théorique et Appliquée, « Experimental Realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohrn Gedankenexperiment : A New Violation of Bell’s Inequalities ». Physical Review Letters, 12 July 1982, vol. 49, n° 2.

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1. Alain Aspect, Jean Dalihard, Gérard Roger, Institut d’Optique Théorique et Appliquée, Orsay, « Experirnental Test of Bell’s Inequalities Using Time-Varying Analyzers ». 1983.

CHAPITRE 11

La mesure suivant Bohr et la conscience Pour Bohr, l’appareil de mesure était nécessairement macroscopique, donc analysable par la physique classique. Il en est nécessairement ainsi parce que la science ne se conçoit pas sans communication verbale ou écrite ; or, nous ne comprenons que le langage de la physique classique. La réduction de la fonction d’onde correspond suivant Bohr au passage du monde quantique au monde classique, au niveau de l’appareil de mesure. Elle est irréversible : le grain d’argent ne peut disparaître en réémettant le photon qui l’a fait apparaître.

Cette conception, qui a amplement démontré son efficacité, est néanmoins insatisfaisante, car l’appareil de mesure fonctionne aussi suivant la mécanique quantique.

Nous le décrivons par la mécanique classique parce que c’est un système constitué d’innombrables particules, beaucoup trop complexe pour que nous puissions en analyser le détail. Entre le système quantique objet de l’opération d’une part et d’autre part la conscience de l’expérimentateur ou la communication langagière du résultat, où placera-ton la limite entre le quantique et le classique ? Cela dépend de la puissance de nos moyens d’analyse et non pas d’un fait physique objectif. Suivant J. von Neumann, on peut la placer où l’on veut entre le dispositif étudié et la prise de conscience, éventuellement dans le cerveau de l’expérimentateur4.

On n’évite pas facilement le problème de la conscience humaine, soit parce que c’est l’acte final de la mesure, soit parce que le choix de l’expérience et de la mesure finale sont humains.

La mécanique quantique ne décrit pas le monde physique, mais le passage entre deux états de conscience5. C’est l’antique problème du rapport entre l’esprit et la matière qui est posé.

S’il est vrai que la frontière entre le quantique et le classique ne pourrait se trouver dans le monde physique, entièrement soumis à la mécanique quantique, mais à la prise de conscience des expérimentateurs ou des observateurs, on aboutit à un autre paradoxe En effet, les enregistrements automatiques d’une expérience peuvent rester longtemps dans une imprimante avant d’être consultés. Dira-t-on que l’enregistrement est une superposition quantique d’états correspondant à celle du système objet de l’expérience, jusqu’à ce que l’on vienne le consulter et en prendre conscience ? On pense que l’enregistrement de l’imprimante avant la lecture est un phénomène irréversible : l’encre ne peut retourner dans la cartouche avant une impression définitive. Contre ce raisonnement simple et réaliste existe un argument de bon sens : il n’est pas légitime de dire que, avant toute lecture, il existait un enregistrement définitif, puisque c’est par hypothèse invérifiable : on ne peut acquérir de certitude sur ce dont on n’a pas même conscience.

LE MONDE QUANTIQUE La réduction de la fonction d’onde Selon l’équation d’onde, la fonction d’onde évolue de façon continue et déterministe.

Certains événements la font au contraire changer de façon discontinue.

Lorsqu’un photon pénètre dans votre appareil photographique, il se comporte comme une onde : sa trajectoire ne peut être définie avec précision à cause du principe de Heisenberg ; elle est pour ainsi dire diffuse sur une certaine région, l’ouverture du diaphragme. Sa localisation spatiale, donnée par la densité de probabilité ΨΨ*, est représentée par une intégrale de Fourier que l’on nomme un « paquet d’ondes » ; si au contraire le photon est absorbé par l’émulsion photosensible de la pellicule, un grain d’argent unique pourra apparaître au point d’impact lors du développement de l’émulsion. C’est comme si l’onde, auparavant répartie dans tout l’espace, s’était soudain concentrée en un seul point.

Voici un autre exemple de comportement discontinu de la fonction d’onde. L’état quantique d’un atome ou d’un photon provenant d’un gaz chaud est a priori une superposition d’états propres. Appliquons le principe : le résultat d’une mesure précise de l’énergie, du spin ou de toute autre grandeur ne peut être que l’une des valeurs propres correspondant à l’un de ces états propres. La fonction d’onde de la particule se réduit après la mesure à la fonction propre correspondante. Il se produit donc lors de la mesure une transformation discontinue : c’est la réduction de la fonction d’onde.

Ce processus est caractéristique de la physique quantique ; le détail de son déroulement ne peut être connu car il est perdu dans le flou du principe de Heisenberg1. On lui a donné divers noms : « réduction de la fonction d’onde », « réduction du paquet d’ondes », « actualisation de la potentialité »2, ou encore « effondrement de la fonction ondulatoire »3.

Parmi plusieurs possibilités offertes par la fonction d’onde et le dispositif de mesure, une seule se produit, ou s’actualise.

1. Heisenberg a nommé son principe Unschiirfeprinzip, c’est-à-dire à peu près principe de manque de netteté.

2. Abner Shimony, « Les fondements conceptuels de la physique quantique », in La Nouvelle Physique, sous la direction de Paul Davies, Sciences Flammarion, 1993.

3. John Gribbin, Le chat de Schrödinger, physique quantique et réalité, Le Rocher 1988, Flammarion 1994.

4. Henry Stapp, Mind, matter, and quantum mechanics, Springer, 1993. 3 Henry Stapp, ibid.

5. Henry Stapp, ibid.

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Au-delà du système de mesure

Statistiques, hasard, probabilités

En fait, l’objet et l’appareil de mesure ne sont pas deux systèmes dont on étudie tant bien que mal le couplage, suivant ses moyens de calcul, mais un seul système. Ce système n’est pas vraiment isolé : il ne peut exister qu’un seul système réellement fermé (du moins on peut le supposer), c’est l’univers entier. Hugh Everett, encouragé par son directeur de thèse J. A. Wheeler est l’auteur d’une théorie dite « des mondes multiples » (1957), que lui-même préférait appeler « théorie de la fonction d’onde universelle ». Suivant Everett, cette fonction d’onde universelle est une superposition de mondes ou « branches de l’univers » qui évoluent de façon parfaitement déterministe. Chacune est complète et comporte aussi bien un système particulier étudié que les appareils de mesure et même les expérimentateurs, et les événements sont différents dans chacune ; ainsi, le chat de Schrödinger est vivant dans certaines branches, et mort dans d’autres.

Cette théorie surprenante est en fait très solide. Elle supprime la réduction de la fonction d’onde, car il n’y a plus de distinction entre le monde microscopique et le monde macroscopique. Les calculs s’effectuent exactement suivant la physique de l’école de Copenhague et donnent les mêmes résultats mathématiques, mais sont interprétés différemment. Toutefois, on ne comprend pas pourquoi nous avons conscience de l’une seule des branches bien que nous soyons présents dans toutes. Selon Shimony, seule une psychophysique pourrait invalider la conception d’Everett. Le problème de l’esprit et de la matière est de nouveau posé.

Les conceptions sur l’effondrement de la fonction d’onde ont évolué depuis le temps de Bohr et von Neumann. Sur le plan expérimental, des progrès considérables ont été accomplis. On observait alors toujours une collection de particules, qu’elles interagissent entre elles ou pas, et le résultat était toujours statistique ; le comportement des systèmes individuels était inféré.

Même si l’appareil de mesure reste aujourd’hui macroscopique, on peut maintenant observer un très petit nombre d’atomes ou même un seul atome1. On a fait allusion cidessus aux travaux de Serge Haroche et ses collaborateurs qui, en observant quelques photons seulement, permettent d’analyser une variante de la réduction de la fonction d’onde appelée la décohérence. Cette expérience se déroule rigoureusement suivant l’interprétation de Copenhague, dont elle est une magnifique confirmation. Elle donne une nouvelle réponse au paradoxe du chat, car elle montre que le chat, n’étant pas vraiment un système isolé, se trouverait dans l’un des états classiques, mort ou vivant, en un temps incroyablement court.

On a vu combien l’interprétation statistique de la fonction d’onde fut pour beaucoup difficile à accepter. Pour d’autres, elle est satisfaisante car elle introduit un élément de liberté dans une physique strictement déterministe. Ce n’était pas l’avis d’Einstein, qui disait souvent : « Dieu ne joue pas aux dés ». Évidemment, cet aspect de la mécanique quantique ramène à une question philosophique millénaire : le problème de la liberté. La notion de hasard intervient là directement. Or, cette notion est fort confuse. Dans le langage populaire, elle est attachée à des événements dont on ne connaît pas les causes, qui peuvent être nombreuses et complexes, ou bien dans lesquels on ne reconnaît pas de régularité.

La statistique est une création des mathématiciens pour préciser cette notion de façon à traiter des situations qui dépendent d’un phénomène élémentaire aléatoire. Le tirage à pile ou face est l’exemple le plus simple d’un tel phénomène. Pour l’utiliser dans le calcul, il faut supposer que « pile » est tiré aussi souvent que « face » sur un grand nombre d’essais ; on fait ainsi des hypothèses sur la constitution de la pièce, sur la manière dont elle est lancée, sur la surface sur laquelle elle est lancée, éventuellement sur le vent. Une seconde hypothèse est que les probabilités sont indépendantes : le résultat d’un lancer est indépendant des lancers précédents. On raisonne de même avec le tirage d’une carte.

Si l’on accepte ces hypothèses, ce qui demande une décision humaine pour chaque situation, on peut calculer la probabilité de phénomènes plus ou moins complexes qui dépendent du tirage initial. C’est l’objet de la science statistique. Si je regarde mon jeu, je puis théoriquement, compte tenu de certains renseignements que mon propre jeu me donne sur celui des autres, calculer les probabilités de gain pour chaque carte que je peux jouer.

Lorsque l’on cherche les causes des phénomènes, on peut d’abord se demander s’ils sont dus au hasard. On voudra vérifier par exemple si des séries de tirages à pile ou face sont bien aléatoires conformément aux hypothèses mathématiques. La statistique établit des tests numériques pour juger si ces dernières sont remplies. Par exemple, sur 100 lancers, l’écart à la normale moyen est de 10 ; il est de 31,6 sur 1 000, de 1 000 sur 1 000 000. Il existe de nombreux tests plus subtils. Malgré cela, le résultat de ces tests ne donne jamais une certitude sur la nature aléatoire. On conclut par exemple : il y a une chance sur un million pour que telle suite d’événements ne soit pas due au hasard.

Dans chaque cas pratique, c’est une nouvelle décision que d’accepter ou non le caractère aléatoire du phénomène observé.

Les calculatrices de poche fournissent des séries de nombres qui remplissent plusieurs tests garantissant en principe leur caractère aléatoire. Or, chaque nombre de ces suites est en réalité strictement déterminé par le précédent ; le seul élément qui puisse être aléatoire est le premier nombre. Ainsi, une suite de résultats supposés aléatoires peut toujours se révéler plus ou moins strictement déterminée. Il n’existe en pratique pas de certitude sur le caractère aléatoire des phénomènes.

La science statistique, censée permettre d’échapper à la subjectivité, ne peut atteindre

1. Serge Haroche, Jean-Michel Raimond, Michel Brune, « Le chat de Schroedinger se prête à l’expérience », La Recherche 301, septembre 1997.

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ÉPILOGUE

pleinement cet objectif : elle a nécessairement recours à des hypothèses et à des jugements qui sont de véritables décisions prises parfois dans l’ignorance de faits déterminants.

Ces raisons font que l’on ne peut considérer l’interprétation probabiliste de la mécanique quantique comme satisfaisante, quels que soient ses succès conceptuels et techniques.

En outre, dans ce domaine, la statistique présente des aspects nouveaux.

Elle pouvait jusqu’alors être considérée comme un moyen - combien efficace dans certains domaines ! - de pallier notre connaissance insuffisante des situations complexes, en somme une technique de calcul, voire de comptabilité. En mécanique quantique, les probabilités sont inhérentes à la nature - du moins à ce que nous pouvons en connaître dans le cadre de cette science. Elles ne sont pas seulement une technique pour traiter des cas trop complexes pour une analyse complète, mais elles font partie intégrante de la physique fondamentale.

D’autre part, la statistique écarte systématiquement le phénomène humain alors que la mécanique quantique ne peut être interprétée ou utilisée sans le faire intervenir. La fonction d’onde ne contient aucune des valeurs des grandeurs que l’on peut mesurer. C’est le dispositif expérimental qui détermine l’une de ces grandeurs, à l’exclusion de certaines autres, ce qui demande un choix.

Il est donc naturel de considérer que des phénomènes de conscience pourraient se dissimuler sous l’aspect statistique. Si tel est le cas, notre esprit pourrait agir sur la matière aussi bien que les médicaments ou la matière de notre corps agissent sur notre esprit1.

C’est peut-être une faiblesse, de croire que tout phénomène peut être expliqué par une cause, une croyance destinée à nous rassurer. Mais c’est une faiblesse qui s’est montrée féconde, au moins en ce qui concerne les sciences. Le besoin de causalité est fort ancien, et il est plus fort que la croyance au déterminisme matérialiste.

Felix qui potuit rerum cognoscere causas2 Quidque oritur, qualecumque est, causam habeat a natura necesse est3 De nombreuses recherches ont été faites pour trouver un mécanisme ignoré qui serait décrit par des « variables cachées », afin d’éliminer le hasard quantique. On a montré qu’il n’y en a pas de simples. Ces variables seraient liées à l’extérieur du système considéré, voire à l’univers, ce qui ne simplifie pas le problème. Si l’on n’en trouve pas dans le cadre de pensée physico-mathématique traditionnel, il faut chercher des variables d’une autre nature, et d’abord de nature psychique.

Voilà sur quels rivages les ondes ont conduit les physiciens dont la sensibilité ne se satisfait pas seulement de succès techniques.

1. Olivier Olivier Costa de Beauregard, Le corps subtil du réel éclaté, Aubin éditeur, 1995 ; Le temps des physiciens, Aubin Éditeur, 1996.

2. Virgile, Géorgiques, il, 489, «Heureux celui qui a pu pénétrer les causes secrètes des choses», trad. Larousse.

3. Ciceron, De la divination, 2, 60, « Tout ce qui naît, quelque forme qu’il affecte, a nécessairement une cause naturelle », Trad. F. Gaff ot.

À la fin de son développement plus de deux fois millénaires, c’est toute la physique fondamentale qui est envahie par des ondes d’un genre nouveau, immatériel, outil de prédiction du possible. La physique ne prétend plus décrire le monde tel qu’il « est », car seuls certains événements sont considérés comme réels : ceux justement qui constituent l’expérience humaine. Des notions apparemment inébranlables ont perdu leur sens ou ont été profondément modifiées : le réel de tout le monde, le temps uniforme, la causalité et le déterminisme, la localité des effets, la matière elle-même. La physique quantique n’est plus l’étude d’un monde parfaitement défini, indépendamment de notre conscience, suivant la conception dite réaliste. Elle est la science du rapport de l’homme avec le monde inerte.

Objectivement, la mécanique quantique permet de relier deux états de conscience, la préparation d’une expérience ou d’une observation et la prise de conscience du résultat. Le passé n’apparaît pas comme entièrement acquis ; il comporte une réserve de possibilités dont certaines seulement se réaliseront, comme le veut le sens commun. En outre, on tend à considérer la science avant tout comme une activité humaine, et ce parfois dans une perspective évolutionniste, et non plus comme l’élucidation progressive de mystères éternels inscrits en quelque lieu.

Les applications de la nouvelle physique ont maintenant envahi la planète et l’espace (satellites artificiels), ornent nos poignets (montres à quartz) et remplissent nos poches (téléphones portables).

Son champ d’application est donc immense, mais on peut prévoir qu’il va encore s’étendre.

La structure des corps chimiques peut en principe être analysée exactement par la mécanique quantique. Les calculs sont très lourds, mais les ordinateurs sont de plus en plus puissants. Il est possible d’établir par le calcul la structure d’une molécule qui n’a jamais été observée. La théorie a permis de construire des moyens d’analyse ou de synthèse, le laser par exemple, qui deviennent sans cesse plus fins.

Dans la mesure où les êtres vivants ne sont pas entièrement déterminés, l’abandon du déterminisme strict de la physique classique offre un espoir d’expliquer des phénomènes biologiques, neurologiques ou même psychologiques. Un mécanisme spécifiquement quantique a été recherché par le neurologue John C. Eccles dans les synapses de cellules nerveuses1, et par le mathématicien, physicien et astronome Roger Penrose dans les microtubules des cils des paramécies2. Ces recherches n’ont jusqu’ici pas abouti, mais

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1. John C. Eccles, Comment la conscience contrôle le cerveau 1994, Fayard. 1997.

2. Roger Penrose, Les ombres de l’esprit, InterÉditions 1995 ; Les deux infinis et l’esprit humain, Flammarion, 1999.

n’oublions pas que les mécanismes de la chimie, qu’elle soit minérale, organique ou biologique, sont spécifiquement quantiques : si un support physique de la conscience est trouvé, il sera quantique.

Les pionniers que furent Niels Bohr et Wolfgang Pauli envisagèrent très tôt des applications à ces domaines. Au sujet de la psychologie, Bohr déclara1:

On peut penser comme Stappl que la physique quantique conduira à une réhabilitation de l’humanisme, et que cela deviendra dans l’avenir sa plus grande contribution à la civilisation.

La substitution de particules à la matière continue et localement homogène, puis d’ondes aux entités localisées et permanentes a certainement été à l’origine de cette évolution.

Certes, ni Planck, en 1900, ni Bohr, en 1913, n’entrevoyaient ces perspectives, mais leurs travaux et ceux de leurs successeurs nous ont ramenés à des conceptions sur l’unité du monde apparentées à celles de Kepler et même de Pythagore.

[...] Les analogies avec certains traits fondamentaux de la théorie quantique présentées par les lois de la psychologie peuvent non seulement nous aider à nous ajuster à la nouvelle situation en physique (provoquée par la physique quantique), mais il n’est peut-être pas trop ambitieux d’espérer que les leçons que nous avons apprises des problèmes beaucoup plus simples (de la physique) se révéleront également utiles dans nos efforts pour obtenir une vue plus large des questions plus subtiles de la psychologie [...] il est clair pour l’auteur (de ces lignes, c’està-dire Bohr) que nous devons pour l’instant nous contenter d’analogies plus ou moins appropriées. Néanmoins, il se peut fort bien que ces analogies recouvrent non seulement une parenté en ce qui concerne les aspects épistémologiques, mais qu’une relation plus profonde se cache derrière les problèmes biologiques fondamentaux qui sont connectés aux deux côtés.

Pauli s’intéressa plus particulièrement au rapport entre la matière et la conscience, rejoignant certaines préoccupations de Johannes Kepler2 et même des alchimistes : La physique et la psychologie reflètent pour l’homme moderne l’ancien contraste entre la quantitatif et le qualitatif... Pour nous... le seul point de vue acceptable semble être celui qui reconnaît les deux côtés de la réalité - le physique et le psychique - comme compatibles entre eux, et qui peut les embrasser simultanément [...] Le plus satisfaisant serait que la physique et la psyché puissent être vues comme des aspects complémentaires de la même réalité.3 Ces réflexions ont-elles eu des prolongements ? La correspondance entre la matière et l’esprit apparaît à certains de plus en plus étroite. Pour Henry P. Stapp, il n’y a pas de dualité esprit-matière dans ce sens qu’il n’y a pas deux domaines distincts, mais deux aspects indissociables des phénomènes. On a remarqué que la mécanique quantique est la première et la seule véritable théorie qui aborde l’interaction entre la matière et l’esprit.

Certes, elle n’explique pas la nature de cette interaction, ce qui n’est pas du ressort des sciences, mais elle précise certains aspects de son fonctionnement.

1. Niels Bohr, Atomic Theory and the Description of Nature, Camhridge University Press, 1961, p. 20-21.

Traduction et additions entre parenthèses par G. Mourier.

2. Wolfgang Pauli, Writings on Physics and Philosophe, Springer Verlag, 1994.

3. Wolfgang Pauli, Interpretation of Nature and the Psyche, C.G. Jung and W. Pauli, eds (Pantheon Books, Bollingen series LI, 1955), p. 207-210.

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APPENDICES

APPENDICE II.

SUR LE CALCUL DIFFÉRENTIEL

Considérons un axe Ox et deux positions sur cet axe d’un objet à deux instants différents. On désignera par x1 la position au temps t1, par x2 = xl + ∆x la position au temps t2 = tl + ∆t. On divise maintenant la différence des positions par la différence des temps, ce qui s’écrit : ∆x / ∆t

APPENDICE I. LES GRANDS NOMS DE LA PHYSIQUE DES ONDES

Mersenne (1588-1648)

Fourier (1768-1830)

Einstein (1871-1955)

Snell (1591-1626)

Young (1773-1829)

Bohr (1885-1962)

Descartes (1596-1650)

Malus (1775-1812)

Schrödinger (1887-1961)

Fermat (1601-1665)

Gauss (1777-1855)

de Broglie (1892-1987)

Grimaldi (1618-1663)

Fraunhofer (17 87-1826)

Pauli (1900-1958)

Huygens (1629-1695)

Fresnel (1788-1827)

Heisenberg (1901-1976)

Malebranche (1638

Foucault (1819-1868)

Dirac (1902-1984)

1715)

Fizeau (1819-1896)

Tomonaga (1906-1979)

Newton (1642-1727)

Helmholtz (1821-1894)

Townes (1906-)

Rdmer (1644-17 10)

Maxwell (1831-1879)

Schwinger (1918-)

Euler (1707-1783)

Roentgen (1845-1923)

Feynman (1918-1988).

d’Alembert (1717-1783)

Hertz (1857-1894)

Ce rapport dépend de l’intervalle de temps considéré, mais dans beaucoup de cas, il n’en dépend presque pas si l’intervalle de temps est assez petit : la vitesse de votre voiture n’est pas la même à une heure d’intervalle, mais elle est presque la même, calculée sur un centième ou un millième de seconde. On considère que la vitesse exacte au temps t1 est égale à la valeur que prend le rapport ∆x /∆t lorsque ∆t tend vers zéro. Les ∆ sont, par une convention de Leibniz, remplacés par des d lorsque les intervalles tendent vers zéro.

On écrit donc : v = dx / dt ou encore :

v = (d / dt) x

et on dit que v est la dérivée de x par rapport au temps.

85

La courbe représente la position x d’un mobile en fonction du temps. Les points M1 et M2 de la courbe correspondent à deux instants différents. Entre ces instants t1 et t2, la vitesse moyenne et x2 - x1 / t2 - t1, mais on voit que la vitesse réelle est constamment différente de cette valeur. Si l’on fait tendre sur la courbe le point M2 vers le point M1, la droite M1M2 tend vers la droite D, qui est la tangente à la courbe C en M1. Cette droite correspond à une propriété locale et instantanée et non plus à une propriété moyenne. Sur cette droite, x3- x1, varie proportionnellement à t3 - t1 quel que soit t3. Par définition, la pente de la droite est x3 x1 / t3 - t1. Physiquement, cette pente donne la vitesse instantanée en t, . Mathématiquement, c’est par définition : v = dx / dt, dérivée de x par rapport à t. C’est aussi la tangente de l’angle α.

Notez bien qu’elle est différente de :

Vitesse et dérivée

v2 = dx2 / dt2 En effet, d2x n’est pas un carré, car d n’est pas une quantité algébrique ; ce symbole indique une différentiation. Regardons cela de plus près, en considérant trois instants différents :

tl t2 = t1+ ∆t t3 = t2+ ∆t

ainsi que trois positions :

x1 x2= x1+ ∆x x3 = x2 + ∆x

et les deux vitesses approximatives que nous appellerons v1 et v2 :

v1 = (x2 - x1) / ∆t v2 = (x3 - x2) / ∆t

On peut utiliser la dérivée pour évaluer la position dans un futur proche si l’on connaît la position et la vitesse actuelle. À un instant t1 + ∆t, la position exacte sera x + v∆t plus une quantité ∆2x que l’on ne peut évaluer avec la dérivée. Plus ∆t est petit, plus ∆2x est petit et plus l’évaluation x + v∆t est exacte.

Une valeur approximative de l’accélération sera :

a = (v2 - v1) / ∆t Quelques calculs algébriques conduisent à l’expression :

Cette opération de passage à la limite pose des problèmes. Dans les cas simples, elle peut être faite numériquement mais seulement de façon approximative, car on n’atteint alors pas la limite. Elle est en pratique souvent possible de façon rigoureuse si l’on a une expression mathématique de la relation, c’est-à-dire sous forme d’une « fonction », par exemple :

a = (x3 - 2x2 + x1) / (∆t)2 Si ∆t devient très petit, on obtient la valeur exacte de l’accélération :

a = d2x / dt2

x = 5 + 30 t + 0,25 t2

On voit que dt2 est bien un carré, tandis que d2x mérite le nom de « différence seconde ». Elle s’exprime dans les mêmes unités que x, disons en mètres, et non pas en mètres carrés. Il peut être commode d’écrire :

Si le calcul est effectué à partir des valeurs numériques x2, x1, t2, t1, la valeur obtenue ne peut être qu’approximative. C’est toujours le cas si ces valeurs sont mesurées.

En général, v varie avec le temps. On peut considérer que v est une fonction du temps, connue ou inconnue, et on cherche alors sa dérivée par rapport au temps, que l’on appelle accélération, désignée par a. On écrira :

∆2x = (x3 - 2x2 + x1) Ces remarques sont très importantes pour le calcul numérique, qui se fait toujours avec des intervalles finis.

a = dv / dt = d(dx / dt)/dt ou encore :

a = (d/dt)2 x

Ces notations n’offrent pas d’ambiguïtés. En voici, pour l’accélération, une autre qui demande explication :

a = d2x/dt2

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APPENDICE III.

LES GAMMES ET LE CHANT DES OISEAUX

Ce sujet est l’occasion d’une réflexion sur la musique du monde vivant et celle des théoriciens, ou sur le nombre et la nature.

On se convaincra aisément que les intervalles du chant des oiseaux ne correspondent pas à ceux des gammes des physiciens. Les rares sons tenus ne peuvent généralement pas être reconnus comme des notes d’une gamme, auxquelles les physiciens associent des fréquences et des rapports de fréquences. Évidemment, de nombreux compositeurs se sont inspirés de ces admirables musiciens.

Citons quelques jalons.

Jannequin s’est plutôt attaqué au babillage de nombreux oiseaux. La déclamation de Monteverdi me paraît inspirée de leur chant. Cela devient très évident dans des compositions ultérieures telles que certaines eeuvres pour orgue du Portugais Correa de Arauxo. Couperin, comme plus tard Beethoven, a simulé les trilles du rossignol. Son Quatorzième Ordre des pièces pour clavecin n’en contient pas moins de quatre consacrées aux oiseaux. Rameau, s’est intéressé au côté rythmique, aussi bien dans Le rappel des oiseaux que dans La poule, qui illustre la puissance du chant assez simple de cet oiseau.

Berlioz donne des cris d’oiseaux sinistres dans la Course à l’abîme de la Damnation de Faust. Schumann et Wagner ont voulu exprimer la puissance prophétique d’un langage supposé naturel et universel, accessible aux initiés tels que Siegfried : on est alors dans la tradition orphique. Dans L’oiseau prophète, Schumann a utilisé des intervalles inusités qui s’expliquent par notre remarque liminaire. Chez Ravel, le chant est aussi rythmique, et utilise des notes du violon solo pas très bien définies dans Le petit Poucet de Ma mère l’Oye. Dans Oiseaux tristes il utilise certes les successions inhabituelles d’intervalles, mais aussi, déjà, des accords complexes et relativement massifs. Je dois enfin mentionner son admirable évocation des mystérieux oiseaux de nuit dans la scène nocturne du jardin dans l’Enfant et les sortilèges.

Après beaucoup d’omissions, par exemple celle de Vivaldi, Haydn, Rimsky Korsakov, Mahler, Stravinsky notamment, nous arrivons à Olivier Messiaen. Là, les moyens techniques, harmoniques notamment, sont extraordinairement raffinés et inattendus.

L’étude de la rythmique est sans précédent. Des sons aigus assez simples sont parfois rendus par des clusters répartis sur toute l’étendue du piano. Ces apparentes complications rythmiques et harmoniques s’expliquent, à nouveau, par notre remarque liminaire : les oiseaux ignorent notre solfège ; Messiaen l’utilise néanmoins pour imiter leur chant par une sorte de synthèse quelque peu magique.

Le style dodécaphonique, bien qu’éloigné du chant des oiseaux par ses contraintes, s’en rapproche néanmoins, ainsi que de la voix humaine parlée, grâce à la liberté du choix des intervalles : on est revenu, en principe à un style mélodique débarrassé des emprunts à la mécanique instrumentale si chère aux Italiens.

Quelles peuvent donc être les justifications du carcan que nous nous sommes imposé ?

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En résumé, les intervalles et les harmonies utilisés sont basés sur des rapports de fréquences simples.

Je vois trois raisons à ce choix.

La série « naturelle » des harmoniques, de fréquences multiples d’une fréquence « fondamentale », serait basée sur deux phénomènes physiques et un phénomène esthétique 1°) Idéalement, une corde ou un tuyau sonore peuvent émettre, et émettent généralement simultanément cette série de sons harmoniques. Par corde idéale, il faut entendre très faiblement amortie, sans raideur, parfaitement homogène dans sa longueur et fixée rigidement à ses extrémités ; ces conditions sont assez bien remplies dans les bons instruments, mal dans les instruments primitifs. Dans les tuyaux sonores, même excellents, l’amortissement est grand (seuls les sons entretenus sont utilisés), la colonne d’air n’a pas de propriété équivalente de la raideur. L’homogénéité peut être bonne (orgues), mais elle est perturbée par les trous des clés même fermées. La colonne d’air n’est ni parfaitement libre ni immobilisée à ses extrémités, conditions nécessaires pour obtenir la série dite « naturelle ».

2°) Quelle que soit la nature de l’instrument, un son tenu est nécessairement formé avec la série naturelle. Cela est révélé par la géniale analyse des fonctions périodiques due à Fourier (1822) : un son tenu se répète sans cesse, il est donc périodique et d’après Fourier, comporte un fondamental et ses harmoniques, de fréquences exactement multiples. En pratique, il n’en est pas exactement ainsi.

Certains sons dits tenus ne le sont pas parfaitement car on perçoit des variations du timbre dans le temps, éventuellement un vibrato volontaire. Ce phénomène est généralement sensible avec la flûte, car il est recherché. On l’entend dans le son décroissant du piano. Le son tenu suppose une homogénéité dans le temps qui provient de l’invariabilité de la structure de l’instrument dans le temps. En pratique, on cherche souvent à modifier cette invariabilité pour obtenir des sons plus complexes. Dans notre musique, on utilise les vibratos, les effets de lèvres. Les oiseaux sont dans ce domaine de grands artistes.

Malgré ces effets la nature périodique du son domine.

3°) Les intervalles consonants à l’oreille sont ceux dont les fréquences sont dans des rapports simples. C’est l’argument esthétique. Une altération du rapport est d’abord sensible, puis désagréable dès qu’elle atteint une certaine valeur. Ce fait n’intervient que pour les accords de notes tenues (piano, orgue, chant choral).

Il joue un grand rôle dans la musique polyphonique, mais pas dans les solos. Il est connu que les ensembles d’oiseaux ne produisent pas d’accords consonants selon les critères de l’harmonie. Toutefois, certains oiseaux peuvent apprendre de l’homme des chants comportant des intervalles justes suivant notre définition, et ils ne le feraient pas s’ils n’y prenaient pas plaisir.

La notion de suite naturelle demande à être précisée. Revenons sur les propriétés de la corde idéale. La corde de sol du violon peut émettre la série :

sol L f

sol L/2 2f

ré L/3 3f

sol L/4 4f

si L/5 5f

La définition pythagoricienne des intervalles, qui correspond à une vision de l’harmonie de l’univers, donna naissance à une théorie physico-mathématique qui se développa, indépendamment de cette vision, jusqu’à la mécanique quantique. On peut se demander sur quoi est basé en fin de compte un développement aussi prodigieux. Serait-ce sur un détail pratique : la réalisation technique de cordes et de tuyaux homogènes ? Il semble plutôt que c’est sur la reconnaissance des consonances, phénomène de nature esthétique, qui pourrait alors être physiologique, lié au fonctionnement de l’oreille humaine. Les oiseaux ne recherchent pas la consonance. La question de la réalisation technique des instruments est donc accessoire, car la musique complexe s’est initialement développée avec les voix seules. C’est donc bien la musique d’ensemble qui impose les intervalles simples. Les oiseaux préfèrent la liberté des intervalles. Bien sûr, ils communiquent, avec leur propre grammaire musicale, basée probablement sur des résonances physiologiques différentes. À notre époque, la musique s’éloigne de plus en plus de la nécessité de la consonance – les dissonances ont de tout temps été les épices de la musique – et de la succession d’intervalles appartenant à une série de notes apparentées. Il me semble qu’elle se rapproche souvent de la musique de la voix parlée et du chant des oiseaux.

ré L/6 6f

f étant voisin de 196 Hertz. Ce fait connu très est expliqué par la théorie mathématique très complète (1747) due à d’Alembert. Mais les cordes réelles sont inhomogène et oscillent donc sur des fréquences différentes. La même théorie permet d’analyser aussi ce phénomène. Ainsi, une corde dite de sol qui serait 1,2 fois plus mince sur 40 % de sa longueur à une extrémité oscillerait sur une note voisine du sol dièse. On peut l’accorder au sol en diminuant la tension de la corde. Mais on obtient alors la série :

f

2,074 f

3,064 f

4,076 f

2f

3f

4f

5,12 f

au lieu de :

f

5f

L’octave est augmentée d’un tiers de ton environ et devient discordante. Les autres intervalles sont faussés d’un quart de ton environ. Le son de la corde sera très désagréable.

D’autres formes conduisent à des séries différentes. Certains instruments cylindriques ou circulaires, par exemple, pourront, d’après la théorie, donner les séries :

f

2.095 f

3.598 f

4.903 f

6.209 f

1.831 f

2.655 f

3.477f

4.298 f

2f

3f

4f

5f

et aussi :

f au lieu de :

f

De telles séries, et bien d’autres encore, correspondent à des instruments à percussion.

La suite « naturelle » n’est naturelle que pour des instruments idéaux. On voit donc combien il est important d’avoir des cordes de bonne qualité. Les contemporains de Pythagore ne devaient en disposer que rarement, et aujourd’hui encore on continue à sélectionner les bonnes cordes.

Lorsque les instruments « bien construits » furent disponibles, il a pu se développer une musique très complexe... et très différente de celle des oiseaux : duos, trios, formations orchestrales et chorales de tout genre.

88

APPENDICE IV.

TRANSITIONS QUANTIQUES

avec :

αkn = Résumons d’abord la procédure suivie dans le corps du texte.

Dans un système quantique isolé, l’énergie est constante, et on peut appliquer l’équation

Cette quantité est réelle. De plus,

Cette équation ne contient pas le temps. Elle est satisfaite par les fonctions un(x) telles que : Hu = E u

∫

1 si m = n 0 si m ≠ n

}

αkn = αnk

dCk

dt

Un théorème de Sturm-Liouville montre que la nullité pour m différent de n est assurée pour toutes les formes plausibles de l’Hamiltonien H. C’est la propriété d’orthogonalité.

La solution générale s’écrit :

On aura aussi une variation de Cn :

dCn

dt

∞

Ψ = ∑ Cnun e-iωnt

De ces deux équations, on tire :

n=1

On soumet maintenant le système à un potentiel alternatif d’expression :

= –i Cnαkn / 2 = –i Ckαkn / 2

d2Cn

dt2

V(x) cosωt

=–

αnkαkn 4

Cn

La valeur initiale de Cn est nécessairement 1 (à la phase près, qui ne change rien à la physique) ; la solution est donc :

Ce potentiel décrira par exemple l’action à laquelle est soumis un atome par un faisceau de lumière monochromatique - d’une seule longueur d’onde, d’une seule fréquence. Le système n’est plus isolé ; son énergie n’est pas constante.

L’expression générale de Ψ pourra toujours être décomposée en fonctions un(x), mais les coefficients Cn devront être des fonctions du temps et l’équation de Schrödinger s’écrira :

avec :

(H + V(x) cos ωt) Ψ = iħ ∂Ψ ∂t En portant l’expression de Ψ ci-dessus dans cette équation, on obtient, grâce aux

propriétés d’orthogonalité :

n

C’est une condition de résonance. Dans la somme ci-dessus, tous les termes seront oscillants dans le temps sauf un qui sera constant. Il est facile de montrer que si l’on intègre sur un grand nombre de périodes (ce qui suppose V assez petit) seul le terme constant sera efficace, ce qui donne :

Les fonctions un(x) étant définies à un facteur près, on suppose que l’on a choisi ce facteur de manière à assurer la normalisation :

{

k

ω + ωk - ωn =0

n n

un * um dx =

∫ u Vu dx

On a en toute rigueur un système infini d’équations, mais on trouve assez facilement des solutions simples très significatives. Supposons que pour t = 0 seul un des coefficients ne soit pas nul, soit Cn et qu’en outre nous choisissions ω tel que

HΨ = EΨ n

1 ħ

Cn = cos Ωt Ω2 =

Ck = i sin Ωt

αknαnk 4

Les probabilités d’occupation des deux niveaux sont donc :

cos2 Ωt

∞

dCk = –i ∑ Cnαkn e-i(ωk - ωn)t dt n=1

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sin2 Ωt

Ces expressions ne décrivent pas une oscillation à l’intérieur de la structure irradiée, mais des probabilités pour qu’on la trouve dans chaque état si l’on fait une. À tout instant, la structure est dans une superposition quantique des deux états, mais une mesure donnera comme résultat l’un des deux. En fait, elle le mettra dans l’un des deux car on trouvera le même résultat si l’on recommence la mesure aussitôt après, avant que Wt ait sensiblement changé.

N’oublions pas que les niveaux d’énergie du système irradié correspondent aux fréquences ωk, ωn. Le faisceau de lumière peut aussi bien élever l’atome du niveau d’énergie inférieur au niveau supérieur que l’inverse. Einstein avait déjà prévu cet effet pour des raisons thermodynamiques.

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