Modulo de Ecuaciones Diferenciales 2008 Ultimo.30236 by fredis aguas

COMITÉ DIRECTIVO

Jaime Alberto Leal Afanador Rector

Gloria Herrera Vicerrectora Académica

Roberto Salazar Ramos Vicerrector De Medios y Mediaciones Pedagógicas

Maribel Córdoba Guerrero Secretar ia General

MÓDULO CURSO ECUACIONES DIFERENCIALES

PRIMERA EDICIÓN

Universidad Nacional Abierta y a Distancia

ISBN

2008 Bogotá. Colombia

PRESENTACIÓN

Estimada comunidad Unadista, la Unidad de Ciencias Básicas y el Autor del presenta Módulo les pone a su disposición el curso de Ecuaciones Diferenciales, el cual se concentra en las ecuaciones diferenciales ordinarias y principios de las Series, para los programas que la UNAD ofrece. Es

sabido

que

las

ecuaciones

diferenciales

son

una

herramienta

fundamental para el análisis de diversos fenómenos naturales y a través de éstas se pueden resolver problemas de las Ciencias, la Ingeniería y la Investigación.

Para el mejor desarrollo del curso, el estudiante debe tener buenas bases de cálculo diferencial y cálculo integral, ya que la resolución de una ecuación diferencial requiere desarrollar derivadas e integrales.

Bienvenidos a éste maravilloso mundo de las Matemáticas

El Autor

CONTENIDO

Página

INTRODUCCION

JUSTIFICACION

PRESENTACION

PROTOCOLO

LAS FRANJAS DE APRENDIZAJE

TABLAS DE INTEGRALES Y DERIVADAS

UNIDAD I.ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

1.1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

1.1.1. Conceptualización de una ecuación diferencial

1.1.2. Resolución de una ecuación diferencial

1.1.3. Clasificación de las ecuaciones diferenciales

1.1.4. Campos de aplicación de las ecuaciones diferenciales

1.1.5. Ejercicios Propuestos

1.2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

1.2.1. Ecuaciones con variables separables

1.2.2. Ecuaciones Homogéneas

1.2.3. Ecuaciones exactas

1.2.4. El factor integrante

1.3. CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN

1.3.1 Una aplicación a los campo de fuerza

1.3.2 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

1.3.3 Trayectorias Ortogonales.

1.3.4 Ejercicios Propuestos

Pagina

Unidad II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR

2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

2.1.1. Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer orden

2.1.2. Solución general de ecuaciones diferenciales de segundo orden

2.1.3 La Solución General Como Combinación Lineal De Soluciones Linealmente Independientes.

2.1.4. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes Constantes

2.1.5. Ecuaciones diferenciales lineales no - homogéneas con Coeficientes constantes 2.1.6. Operador para la solución de ecuaciones de segundo orden.

71 75

2.1.7. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden

2.1.8. Ejercicios Propuestos

2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

2.2.1. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n

2.2.2 ecuación diferencial lineal homogénea o incompleta

2.3. CAMPO DE APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPÈRIOR

2.3.1 Aplicaciones La Ecuaciones lineal De Orden N

2.3.2. Ejercicios Propuesto

Pagina

Unidad III. ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES

3.1. GENERALIDADES DEL ESTUDIO DE SERIES

3.1.1.

Estudio De Series De Potencias

3.1.2. 3.1.3.

Solución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias Ecuación de Bessel

91 95

3.1.4.

Funciones de Bessel ordinarias

3.2. FUNCIONES ESPECIALES Y SERIES MATEMATICAS

3.2.1

Series De Taylor

3.2.2.

Solución de ecuaciones diferenciales mediante Series de Taylor

3.2.3.

Funciones ortogonal

3.2.4.

Serie de Fourier

100

3.2.5.

Ejercicios Propuestos

102

Miscelánea De Ejercicios

104

Glosario

107

Bibliografía

113

INTRODUCCIÓN La educación a distancia ha sido tema de estudio de interés, debido, entre otros factores, al crecimiento demográfico y a los cambios acelerados en la tecnología y el nuevo entorno internacional. En ese lapso hemos pasado, en mayor o menor grado, de una educación tradicional, escolarizada, cerrada, de limitado acceso y por un período determinado, a una educación moderna, abierta, a distancia, sin restricciones de acceso, continua y para toda la vida.

Lo anterior implica nuevas formas de aprender, formas que implican importantes cambios tanto para los estudiantes como para los docentes y, aún más, para el propio sistema educativo.

El presente curso académico: Ecuaciones diferenciales se encuentran ubicado en el área Disciplinar donde Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen una función incógnita y alguna de sus derivadas. Si la función es de una variable la ecuación se llama ordinaria (EDO). Si es de varias variables, la ecuación es en derivadas parciales El curso académico tratara los siguientes aspectos de mucha importancia en la ingeniería y sus diferentes proyecciones a la solución de problemas así: Trata de los sistemas de n ecuaciones de primer orden y de las ecuaciones de orden n sobre los que más información se puede obtener y que más veces son resolubles: los lineales. Primero se generalizan las propiedades vistas de las ecuaciones de primer orden. Luego se tratan, para ir fijando ideas, los sistemas de 2 ecuaciones y las ecuaciones de orden 2 (siempre resolubles si los coeficientes son constantes). Se pasa después al orden n general (se podrán resolver ya menos veces), se estudia su estabilidad y se introduce la técnica de resolución mediante transformadas. Hay una breve sección sobre soluciones periódicas; describe cómo resolver las EDOS lineales de segundo orden con coeficientes variables mediante series de potencias (único método posible la mayoría de las veces), en torno a los llamados puntos regulares y a los singulares regulares. Además estudiaremos en este curso una unidad con respecto al manejo de series y la solución de ecuaciones diferenciales mediante series llevando el curso a sus diversas aplicaciones. El trabajo Académico consta de dos componentes:

Estudio independiente, que puede ser realizado en forma individual o en pequeños grupos colaborativos. Acompañamiento tutorial, donde este, se hace en grupo de curso, en pequeños grupos colaborativos o también en forma individual o personalizada cuando el estudiante lo necesite. Las fuentes documentales y bibliografía respectiva la encuentra en forma escrita (módulos, libros, revistas), en medio magnéticos, CDS y también en documentos Web utilizando la autopista de la información

El curso consta de tres (3) créditos académicos equivalentes a 144 horas de estudio, distribuidas de la siguiente manera: Estudio independiente: 106 horas Acompañamiento y seguimiento tutorial: 38 horas El curso está orientado a la autogestión estudiantil de los conocimientos teóricos para la comprensión de la estructura y funcionamiento de las ecuaciones diferenciales y series. La estrategia pedagógica del curso hará énfasis en el desarrollo de competencias básicas (prepositivas, argumentativas Interpretativa, latitudinales, comunicativas, socio-afectivas, disciplinares, cognitivas, metodológicas, complejas, y transversales a través del desarrollo de actividades situaciones y actuaciones de aprendizaje que involucran las fases de reconocimiento, profundización y transferencia, planificadas en la guía de actividades. El desarrollo de las actividades serán evaluadas en forma cualitativa (auto evaluación y coevaluación) y en forma cuantitativa (heteroevaluación sumativa).

JUSTIFICACION Las tendencias actuales en una enseñanza universitaria de calidad dan menos importancia que antes a la transmisión de unos contenidos, por lo demás en continuo cambio y revisión, y expresan, en cambio, mayor interés por la adquisición, por parte del Estudiante, de técnicas y hábitos de estudio, de capacidad de análisis crítico, de inventar y descubrir, etc. En suma, ponen el énfasis en que el estudiante aprenda a aprender, las ecuaciones diferenciales constituyen uno de los más poderosos instrumentos teóricos para la interpretación y modelación de fenómenos científicos y técnicos de la mayor variedad, a saber, aquellos que contienen dinámicas, que expresan evolución, transformación o cambio en términos de algún conjunto de parámetros. Son, por eso, de especial importancia práctica y teórica para los ingenieros de cualquier rama. La matemática, y en general el conocimiento básico, Permite el profundo conocimiento y comprensión de los procesos la innovación tecnológica, la adecuación y generación de tecnología, la optimización de recursos y mejoramiento de la producción, la generalización del conocimiento y las soluciones y mucho más La formación básica tecnológica es un complemento a la formación técnica, permitiendo no solo la importación de tecnología y soluciones, sino también su adecuación, mejoramiento e incluso optimización. Las Ecuaciones Diferenciales permiten el modelado matemático y análisis de una gran variedad de sistemas determinísticos, no deterministicos y estocásticos. El curso desarrolla las principales ideas de los sistemas lineales y no lineales desde un enfoque teórico. El área de los sistemas ha penetrado prácticamente en todas las áreas de la tecnología, ya que permite abordar y manejar sistemáticamente aspectos de optimización y logro de comportamientos deseados. El área de los sistemas es transversal y genérica. Transversal por aplicarse a varias áreas de conocimiento: sistemas mecánicos, eléctricos, de procesos, humanos, económicos, etc.; por eso se encuentra todo género de investigadores: ingenieros de todas las disciplinas, economistas, físicos, matemáticos, etc. Genérica en cuanto a que utiliza métodos, técnicas y tecnologías de varias áreas de conocimiento bajo un enfoque sistémico basado en el modelo matemático. Problemas cada vez más complejos requieren de métodos nuevos para el modelado, análisis y diseño de sistemas, por lo que profesionales con una buena formación matemática tienen un gran campo de acción y una estrecha relación con la Teoría General de Sistemas, Dinámica de Sistemas, Métodos Numéricos.

PRESENTACION Las ecuaciones que has encontrado hasta ahora responden en su mayor parte a la necesidad de obtener los valores numéricos de ciertas magnitudes. Cuando, por ejemplo, al buscar los máximos y los mínimos de funciones se resolvía una ecuación y se encontraban los puntos para los cuales se anulaba la velocidad de variación de una función, o cuando se considera el problema de hallar las raíces de un polinomio, se trata siempre de hallar números concretos. Pero en las aplicaciones de las matemáticas surgen a menudo problemas de una clase cualitativamente diferente: problemas en los que la incógnita es a su vez una función, es decir, una ley que expresa la dependencia de ciertas variables respecto de otras. Por ejemplo, al investigar el proceso de enfriamiento de un cuerpo hay que determinar cómo varía la temperatura en el transcurso del tiempo; para describir el movimiento de un planeta o de una estrella o de una partícula cualquiera debe determinarse la dependencia de sus coordenadas con respecto al tiempo, etc. Con frecuencia es posible plantear una ecuación que permite encontrar las funciones desconocidas pedidas, y estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones funcionales. Su naturaleza puede ser, en general, muy diversa; de hecho podemos decir que ya conocemos el ejemplo más sencillo y primitivo de una ecuación funcional: las funciones implícitas. La clase más importante de ecuaciones funcionales son las ecuaciones diferenciales; esto es, ecuaciones en las que además de la función desconocida aparecen también algunas de sus derivadas de diversos ordenes. La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales en las matemáticas, y especialmente en sus aplicaciones, se debe principalmente al hecho de que la investigación de muchos problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución de tales ecuaciones. Sucede con frecuencia que las leyes que gobiernan un fenómeno se escriben en forma de ecuaciones diferenciales, por lo que éstas, en sí, constituyen una expresión cuantitativa de dichas leyes: por ejemplo las leyes de conservación de la masa y de la energía térmica, las leyes de la mecánica, leyes que representan un problema económico y otros, se expresan en forma de ecuaciones diferenciales.

PR OLOGO En este material sobre Ecuaciones Diferenciales para los estudiantes de la facultad de ciencias básicas e ingeniería que he construido , a lo largo de estos últimos años, he observado que, además, resulta útil para otras carreras, visto que estos apuntes podían ser aprovechados por diversas personas con diferentes objetivos, y puesto que podían tener un público no demasiado restringido, me decidí a darle vida en forma de modulo. El modulo consta fundamentalmente de tres partes, de acuerdo a una primera clasificación general de las ecuaciones que se estudian: ecuaciones explícitas de primer orden, ecuaciones en las que la derivada aparece implícitamente, y ecuaciones en las que se puede reducir el orden. Cada una de estas partes abarca diversos tipos de ecuaciones, que aparecen en lo que hemos denominado “Apartados”, Por otra parte, todos los métodos de resolución se basan, en esencia, en aplicar transformaciones diversas hasta llegar a una ecuación de variables separadas, cuya resolución requiere solo calcular integrales. Varios de los tipos que se estudian se subdividen a su vez en subtipos. En todo caso, siempre se analizan los procesos que hay que seguir para llegar a la resolución, a veces por diferentes caminos hasta manejar las ecuaciones diferenciales mediante series matemáticas. Un resumen de los métodos que se emplean, para recordarlos de un vistazo, Estos esquemas permiten clasificar fácilmente las ecuaciones estudiadas y tener una rápida indicación de cómo abordar su resolución, así mismo, con cada tipo de ecuaciones se muestra un ejemplo típico completamente resuelto. En modulo aparece una pequeña bibliógrafa con libros exclusivamente en castellano. Al contrario que en muchos otros temas de matemáticas, existen, en nuestro idioma, bastantes textos dedicados a las ecuaciones diferenciales, así que solo he incluido unos pocos. Entre las obras citadas, no he considerado necesario indicar cuáles son teóricas y cuales se dedican fundamentalmente a la resolución de problemas, ya que me ha parecido que sus títulos son bastante descriptivos. Hay que tener presente que este es un modulo , dedicado a un tema bastante puntual, con un índice detallado, y cuyo propósito es permitir que, cuando nos encontramos ante una ecuación diferencial, podamos fácilmente distinguir su tipo para proceder a resolverla.

Tutoría en Grupo de Curso Este es el espacio donde los estudiantes, con la orientación del tutor, se abordan aquellos temas específicos que han presentado algún grado de dificultad en los momentos previos. En las tutorías, el docente debe asumir el rol de orientador y dinamizador del aprendizaje, esperando que el encuentro sea dinámico y participativo por parte de los estudiantes. NO se debe esperar que el tutor “DICTE UNA CLASE”, ya que el espacio es para tratar temáticas de manera más profunda, aclarar dudas que no se pudieron solucionar ni individual ni grupal mente. En el acompañamiento tutorial, se desarrolla la fase de Transferencia del Proceso de aprendizaje; ya que el estudiante con los conocimientos adquiridos, está en capacidad de resolver problemas en otras situaciones utilizando los mismos principios, teorías y definiciones. Pero además se fortalecen las fases de Reconocimiento y Profundización. La siguiente gráfica, permite comparar el modelo pedagógico tradicional, el cual NO se debe aplicar en nuestra institución y la propuesta de modelo que la UNAD quiere apropiar. MODELO PEDAGOGICO

Transmisión

Recepción

Conocimiento elaborado PROPUESTA

Las Franjas De Aprendizaje Continuación te hacemos una breve descripción de cada uno de estos elementos: En la Presentación se indica a grandes rasgos, en qué consiste el Sistema de Aprendizaje Auto gestionado Asistido. En el Programa de Estudios se especifica la estructura del contenido del modulo, los objetivos de aprendizaje, los contenidos de cada unidad, la estrategia de evaluación del rendimiento Académico, el material de lecturas seleccionado y la bibliografía de la asignatura. Las Recomendaciones Generales proporcionan una serie de sugerencias útiles para optimizar tu rendimiento académico. Por último, las Actividades de Aprendizaje contienen un conjunto de ejercicios, actividades y/o asignaciones estructuradas y organizadas en diez franjas o categorías, para facilitar tu proceso de aprendizaje. Ellas en sí mismas, representan un modelo de aprendizaje, del cual podrás apropiarte o enriquecerte, a medida que avances en el proceso de aprendizaje. Las franjas son las siguientes: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Conoce el Norte de tu Aprendizaje, Conoce el Camino a Seguir, Verifica tu Comprensión Lectora, Reflexiona, Construye tu Propio Conocimiento, Comparte y Aprende de otros

Para obtener una mejor comprensión y manejo de las franjas, a continuación te Presentamos el significado de cada una de ellas:

Incluye información referida al objetivo de aprendizaje (norte), beneficios, utilidad y aplicabilidad de los conocimientos que deberás adquirir a través del estudio de cada unidad

Son orientaciones didácticas particulares de cada unidad y asignatura que te permitirán conocer el ¿cómo?, ¿dónde? Y ¿cuándo? realizar una actividad conducente al logro del objetivo de aprendizaje planteado.

Son ejercicios, actividades y/o asignaciones que te facilitarán la validación del nivel o grado de comprensión del material de lectura estudiado. Son actividades, ejercicios y/o asignaciones presentadas con fines interpretativos, técnicos o emancipadores. Están orientadas a facilitarte, a partir de las lecturas realizadas; el auto-análisis, la extrapolación, la generación de nuevas ideas, cambios a nivel personal o profesional, nuevas perspectivas, paradigmas o posiciones ante planteamientos o ideas realizadas o expuestas por otras personas.

Son asignaciones, ejercicios y/o actividades orientadas a facilitarte la asociación de la nueva información Contenida en la Selección de Lecturas; con las que ya tenías para inducirte al replanteamiento, contraste o generación de nuevas ideas o conclusiones. Esta acción representa el proceso de construcción de tu nuevo aprendizaje.

Son ejercicios, actividades y/o asignaciones dirigidas a fomentar en ti el aprendizaje, el intercambio de ideas o experiencias; a través de otras personas (estudiantes, docentes/ tutores, padres, familiares, compañeros de trabajo, miembros de la comunidad, etc.). A esta actividad se le denomina aprendizaje colaborativo. Cuando la contribución está orientada hacia un propósito u objetivo común de un determinado grupo o equipo, se denomina aprendizaje cooperativo

Son actividades, ejercicios y/o asignaciones orientadas a estimular en ti el aprender haciendo; es decir, a construir, diseñar o concebir un producto propio, principalmente en función de los nuevos conocimientos adquiridos a través del material estudiado. Constituye una oportunidad para que puedas aportar un producto aprovechable para ti mismo y para otras personas.

Son ejercicios, actividades y/o asignaciones dirigidas a facilitarte la toma de conciencia; la generación e identificación de pensamientos, ideas, sentimientos y experiencias; derivadas de la nueva información, aprendizajes y experiencias adquiridas a través del material estudiado.

Son actividades, ejercicios y/o asignaciones dirigidas a proveerte de un mecanismo que te permita determinar el nivel de dominio adquirido con relación al tema estudiado.

Son artículos notables acerca de alguna Nota aclaratoria de la unidad para tenerla en cuenta en tus conocimientos que vas adquiriendo.

TABLAS DE DERIVADAS E INTEGRALES

CONSIDERACIONES PREVIAS Definici贸n Formal de la Integral:

f(x) dx = lim

(d -> 0)

(k=1..n) f(X(k)) (x(k) - x(k-1)) cuando...

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b d = max (x1-x0, x2-x1, ... , xn - x(n-1)) k = 1, 2, ... , n x(k-1) <= X(k) <= x(k)

F '(x) dx = F(b) - F(a) (Teorema Fundamental para Integrales de Derivadas)

a f(x) dx = a f(x) dx (si a es una constante)

f(x) + g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx

f(x) dx = f(x) dx | (a b)

f(x) dx +

f(x) dx =

f(x) dx

f(u) du/dx dx = f(u) du (integraci贸n por substituci贸n)

UNIDAD UNO

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Significa saber con anticipación hacia dónde se dirige el aprendizaje para emprender el contenido de esta unidad, que contienen aspectos básicos teóricos y prácticos de las ecuaciones diferenciales de primer orden.

1.1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES La enseñanza de las ecuaciones diferenciales en los cursos tradicionales está dedicada a la resolución. Al dejar de lado la interpretación geométrica la conceptualización de las Ecuaciones Diferenciales es parcializada. Esto se observa en el hecho de que los estudiantes no pueden resolver problemas que involucren simultáneamente distintos registros de representación. Entre las actividades que pueden ser propuestas dentro de la enseñanza de las Ecuaciones Diferenciales deben ser destacadas las de visualización, ya que enfrentan al estudiante a dar consistencia a los resultados que obtenga. Ciertamente una alternativa didáctica muy extensa en este tema se encuentra en proporcionando un juego de marcos para solución a las ecuaciones diferenciales (numérico, gráfico y algebraico). Deseamos conocer con más detalle cuál es el efecto de las actividades Propuestas en la coordinación de los diferentes registros de representación al solucionar ecuaciones diferenciales de primer orden y orden superior. Muchas de las leyes de la naturaleza, encuentran su expresión más natural en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales. Son así mismo abundantes en la propia matemática, especialmente en la geometría. Es fácil comprender la razón que se oculta tras la amplia gama de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Recuerde que si

es una

función, su derivada se puede interpretar como la razón de cambio de con respecto a . En cualquier proceso natural, las variables involucradas y sus razones de cambio están relacionadas entre sí por medio de los principios

científicos básicos que gobiernan dicho proceso. Al expresar tal conexión en el lenguaje matemático, el resultado es con frecuencia una ecuación diferencial. La medición de razones y proporciones tiene gran aplicación en varias áreas de la ingeniería, es necesario saber tal magnitud para dar una aproximación a problemas de la vida real. Es posible realizar calcular diferencias para cualquier arreglo de datos. En probabilidad y estadística se obtiene razón de interés compuesto, en física el trabajo que se requiere en determinada condición de tiempo y espacio, crecimientos poblacionales, circuitos eléctricos, temperatura etc. Es prudente hacer la observación los eventos anteriores están en función del tiempo "t" Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinístico. Por lo tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por: 1. Existencia: ¿Existirá una solución al problema? 2. Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única? 3. Determinación: ¿En caso de que exista solución, determinamos?

como

Nos ocuparemos de los interrogantes.

Se indican las estrategias que debes seguir para el provecho de la unidad, las mismas están orientadas a explicar los aspectos relacionados con las ecuaciones diferenciales, su estructura y aspectos básicos

1.1.1 CONCEPTUALIZACIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Qué es una ecuación diferencial? Definición Ecuaciónón Diferencial Hemos identificado varias veces problemas y situaciones susceptibles de ser descritas por una ecuación diferencial. Así, vimos que problemas relativos a la desintegración radiactiva, al crecimiento de poblaciones, a reacciones químicas, a la ley de enfriamiento de Newton o a la fuerza gravitatoria, se pueden formular en términos de ecuaciones diferenciales. Una ecuación diferencial es una ecuación en la que interviene una función y una o varias de sus derivadas. Si la función tiene sólo una variable independiente, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Por ejemplo, d2y + 3 dy __ 2y = 0 dx2

En una ecuación diferencial ordinaria en la cual la variable dependiente y = f(x) es una función dos veces derivable de x. Una ecuación diferencial en la que interviene una función de varias variables independientes se dice que es una ecuación diferencial en derivadas parciales. En este capítulo restringimos nuestra atención a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Además del tipo (ordinaria o parcial), las ecuaciones diferenciales se clasifican según su orden. El orden de una ecuación diferencial viene determinado por la derivada de orden más alto que aparezca en ella.

A través de los ejercicios y actividades de esta franja, tendrás la oportunidad de verificar la comprensión del material la cual las ecuaciones deferenciales parciales son muy Importantes y útiles; sin embargo su manejo requiere del conocimiento profundo de las ecuaciones diferenciales

1.1.2. RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Una función y = f(x) se dice que es una solución de una ecuación diferencial si la ecuación se satisface al sustituir en ella y y sus derivadas por f(x) y sus derivadas respectivas. Por ejemplo, derivando y sustituyendo es fácil comprobar que y = e-2x es una solución de la ecuación diferencial y´ + 2y = 0 Se puede demostrar que toda solución de esta ecuación diferencial es de la forma y = Ce-2x, Donde C denota cualquier número real. Diremos que e-2x es la solución general de esa ecuación diferencial. (Algunas ecuaciones diferenciales tienen soluciones singulares que no se pueden escribir como casos particulares de la solución general). s(t) = - 16t2 + C1t + C2 Que contiene dos constantes arbitrarias. Puede demostrarse que la solución general de una ecuación diferencial de orden n contiene n constantes arbitrarias. Verificación de soluciones Averiguar si las funciones dadas son solución de la ecuación diferencial y´´ - y = 0. Probemos: a) Como y = sen x, y´= cos x e y´´ = - sen x, se sigue que y´´ - y = - sen x – sen x = - 2 sen x  0 Por tanto, y = sen x no es solución. b) Como y = e2x, y´= 2e2x , e y´´ = 4e2x, se sigue que

Por tanto, y = e

y´´ - y = 4e2x – e2x = 3e2x  0 no es solución.

c) Como y = 4e-x, y´= -4e-x , e y´´ = 4e-x, se sigue que y´´ - y = 4e-x – 4e-x = 0

Por tanto, y = 4e-x es solución.

d) Como y = Cex, y´= Cex , e y´´ = Cex, se sigue que y´´ - y = Cex – Cex = 0 Por tanto, y = Cex es solución para todo valor de C. más adelante veremos que la solución general de la ecuación diferencial del Ejemplo es y = C1ex + C2e-x. Una solución particular de una ecuación diferencial es cualquier solución que se obtenga dando valores específicos a las constantes arbitrarias de la solución general. Para la ecuación diferencial xy´- 3y = 0, verificar que y = Cx3 es solución y hallar la solución particular determinada por la condición inicial y = 2 cuando x = -3. Sabemos que y = Cx3 es una solución, ya que y´= 3Cx2, así que xy´- 3y = x(3 Cx2) – 3(Cx3) = 0 Además, la condición inicial y = 2 cuando x = - 3 implica que y = Cx3 2 = C(-3)3 C = -2/ 27 Luego concluimos que la solución particular es y = -2x3/27.

Para determinar una solución particular, el número de condiciones iníciales ha de coincidir con el de constantes arbitrarias en la solución general.

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL

Geométricamente, la solución general de una ecuación diferencial de primer orden representa una familia de curvas, conocidas como curvas solución, una para cada valor asignado a la constante arbitraria. Por ejemplo, es fácil comprobar que toda función de la forma y = C/x es solución de la ecuación diferencial xy´+ y = 0. La figura muestra varias curvas solución correspondientes a diversos valores de C. Las soluciones particulares de una ecuación diferencial se obtienen de las condiciones iniciales que dan el valor de la variable dependiente o de alguna de sus derivadas para un valor particular de la variable independiente. El término “condiciones iníciales” proviene de que, con frecuencia, en problemas donde interviene el tiempo, se conoce el valor de la variable dependiente o de alguna de sus derivadas en el instante inicial t = 0. Por ejemplo, la ecuación diferencial de segundo orden s´´(t) = -32, con solución general s(t) = - 16t2 + C1t + C2

podría tener las siguientes condiciones iníciales. s(0) = 80, s´(0) = 64 Condiciones iníciales En este caso, las condiciones iníciales dan como solución particular s(t) = - 16t2 + 64t + 80

Soluciones de una ecuación diferencial. Constantes de integración Una solución o integral de una ecuación diferencial es una relación entre las variables, que define a una de ellas como función de la otra, que satisface a la ecuación así.

Es una solución general de la ecuación diferencial

Ejemplo

Del problema anterior hallar cuando y=2 dy/dx=-1 x=0 La solución general de la función es cuando x=0 aplicando relación entre variables

una solución

para y=2 e dy/dx=-1

Sustituyendo los valores encontrados de c1 y c2 en la solución general encontramos nuestro resultado

Una ecuación diferencial se considera resuelta cuando se ha reducido a una expresión en términos de integrales, pueda o no efectuarse la integración.

Ejemplo La función

es solución de la ecuación diferencial .

Observe que para calcular cálculo1.2

debemos usar el teorema fundamental del

Sustituyendo

Si la solución de una ecuación diferencial de orden tiene constantes diferentes, diremos que dicha solución es la solución general de la ecuación diferencial. Si asignamos valores a algunas o todas esas constantes obtenemos lo que se conoce como una solución particular.

Ejemplo

es la solución general de la ecuación

La familia de parábolas diferencial

Derivando implícitamente

Sustituyendo

En la figura se muestran algunas curvas solución.

Ejemplo Encontrar una ecuación diferencial cuya solución general sea la familia de círculos con radio 1 y centro en

La ecuación de la familia de círculos con centro en

Derivando implícitamente respecto a

y radio 1 es

de la ecuación Despejando el término ecuación de la familia obtenemos

la cual no contiene a constante

y sustituyéndolo en la

. Para eliminar la constante

despejemos el término

De donde, derivando implícitamente y simplificando obtenemos la ecuación diferencial deseada

Observe que el lado derecho de la ecuación es la fórmula de curvatura y efectivamente la curvatura de los círculos es 1.

Sistema de Aprendizaje Auto gestionado Asistido sostienen, que el aprendizaje es para toda la vida y el proceso de aprender también debe llevarse a cabo durante todo el tiempo que vivamos, además que cada individuo elabora y construye su aprendizaje y los procesos para lograrlo, de forma singular y de acuerdo a sus vivencias.

1.1.3. Clasificación de las ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se clasifican en: Ordinarias: cuando la función desconocida o incógnita depende de una variable. Parciales: cuando la función desconocida o incógnita depende de mas de una variable.

Otra clasificación:

Por el orden: el orden de una ecuación diferencial, es el de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación. Por el grado: el grado de una ecuación diferencial es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.

Soluciones singulares Una solución de una ecuación diferencial se llama singular si no se puede obtener de la solución general al sustituir las constantes por valores, es decir, no es una solución particular.

Ejemplo La familia de rectas Diferencial

es la solución general de la ecuación La parábola

es una solución singular.

Clasificación de ecuaciones diferenciales ECUACIÓN

TIPO

ORDEN

a) y´´´ + 4y = 2

Ordinaria

b) d2s = - 32

Ordinaria

dt2 c) (y´)2 – 3y = ex d) 2u x2

+ 2 u + y2

= 0

Ordinaria

Parcial

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en varias categorías, como ya vimos, según su tipo en ordinarias y parciales, o según su linealidad u orden, como veremos. Por tanto, El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de más alto orden que aparece de manera no trivial en la ecuación. Una ecuación diferencial ordinaria de orden de la forma

para

Donde los coeficientes

es lineal si se puede escribir

son funciones reales, con

. Una ecuación diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es no lineal. Ejemplo La ecuación diferencial

es de primer orden, no lineal y no homogénea. Ejemplo La ecuación

es de segundo orden, lineal con coeficientes constantes y no homogénea. Esta ecuación diferencial surge en el estudio de circuitos eléctricos que consisten de un inductor , un resistor y un capacitor , al cual se aplica una fuerza electromotriz

Ejemplo La ecuación

es de orden 3, lineal con coeficientes constantes y homogénea. La ecuación

es de primer orden, no lineal y no homogénea. La ecuación

Es de segundo orden, lineal con coeficientes variables y no homogéneos, el concepto de orden también se extiende a las ecuaciones parciales como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo La ecuación

se conoce como la ecuación de calor y es de primer orden en y de segundo orden en . La ecuación

se conoce como la ecuación de Laplace y es de segundo orden en La ecuación

Se conoce como la ecuación de onda y segundo orden en

y .

Esta franja con el objetivo de invitarte a compartir e intercambiar lo prendido. VARIABLES SEPARADAS.

1.1.4. CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES La teoría de las ecuaciones diferenciales comenzó a desarrollarse a finales del siglo XVII, casi simultáneamente con la aparición del Cálculo diferencial e integral. En el momento actual, las ecuaciones diferenciales se han convertido en una herramienta poderosa para la investigación de los fenómenos naturales. En la Mecánica, la Astronomía, la Física y la Tecnología han sido causa de enorme progreso. Del estudio de las ecuaciones diferenciales del movimiento de los cuerpos celestes dedujo Newton las leyes del movimiento planetario descubiertas empíricamente por Kepler. En 1846 Le Verrier predijo la existencia del planeta Neptuno y determinó su posición en el cielo basándose en el análisis numérico de esas mismas ecuaciones. otros campos de aplicación en la solución de problemas de las ciencias naturales y sociales como lo es: la salud, la medicina, la contaduría, la administración, etc. las ciencias sociales como tal. Señor estudiante analice este aspecto para realizar su trabajo independiente en función a la aplicación en su medio.

Uno de los principios señalados por el Sistema de Aprendizaje Auto gestionado Asistido es el aprendizaje significativo, el cual establece entre otras características: aprender a aprender y aprender haciendo. Esto sin duda, es una de las metas más desafiantes para toda situación educativa, y te permitirá elaborar y expresar los conocimientos adquiridos en la unidad.

1.1.5 EJERCICIOS PROPUESTOS Clasificar las ecuaciones diferenciales de acuerdo con su tipo y orden. 1. dy + 3xy = x2 4x = et dx

2. y´´ + 2y´+ y = 1

4. d2u + du = sec t 3xy´= 0 dt dt2

5. y(4) + 3 (y´)2 – 4y =0

dt2

3. d2x + 2 dx dt 6.

x2y´´

7. (y´´)2 + 3y´- 4y = 0 Verificar que la función dada es solución de la ecuación diferencial. 8. y = C1cos x + C2 sen x, y´´ + y = 0 9. y = C1e-x cos x + C2e-x sen x, y´´ + 2y´+ 2y =0 10. u = e

–t

sen bx, b2 u = 2u t x2

Hallar la solución particular que pasa por el punto indicado en la grafica.

11 .

y2 = Cx3, 2xy´- 3y =0

1.2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Una ecuación de primer orden puede reducirse a la forma

Siendo M y N funciones de X e Y

Las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden dividirse en 4 grupos 1.2.1. Ecuaciones con variables separables. En esta sección comenzamos estudiando técnicas para resolver familias específicas de ecuaciones diferenciales ordinarias. En primer lugar vamos a presentar un procedimiento que permite resolver una ecuación diferencial de primer orden que se puede escribir en la forma: M(x) + N(-y) dy = 0 dx donde M es una función continua de x solamente, y N una función continua de y solamente. Para este tipo de ecuaciones, todos los términos en x se pueden unir con dx y todos los términos en y con dy, y se obtiene una solución por integración. Tales ecuaciones se llaman separables y el procedimiento de resolución se denomina separación de variables. Los pasos necesarios son los siguientes.

SEPARACIÓN DE VARIABLES 1. Expresar la ecuación en forma diferencial M(x)dx + N(y) dy = 0, es decir M(x)dx = -N (y)dy 1. Expresar la ecuación en forma diferencial M(x)dx + N(y) dy = 0, es decir M(x)dx = -N (y)dy 2. Integrar para obtener la solución genera M(x)dx + N(y) dy = C O sea M(x) dx = - N(y) + C EJEMPLO Hallar la solución general de: (x2 + 4) dy = xy dx Solución: Para empezar, observamos que y = 0 es una solución. Con el fin de hallar otras soluciones, supongamos y  0 y separamos las variables como sigue. (x2 + 4) dy = xy dx dy y

= ___x__ x2 + 4

Forma diferencial Separar variables

Integrando, obtenemos ahora

dy = __x__ dx Integrar 2 y x +4 ln y =_1/2 ln (x2 + 4) + C1 = ln x2 + 4 +c1 =

y =eC1 x2 + 4

y = + eC1

x2 + 4

Como y = 0 también es solución, podemos escribir la solución general como

Y=C

x2 + 4

Solución general

En el ejemplo puede verificar que y = x2 + 4 es solución, derivando y sustituyendo en la ecuación original. En ocasiones no es posible escribir la solución general en la forma explícita y = f(x). El próximo ejemplo es de esa clase. Se puede utilizar derivación implícita para verificar la solución. Cálculo de una solución particular por separación de variables. Dada la ecuación inicial y(0) = 1 hallar la solución particular de la ecuación diferencial xydx + e-x2(y2 – 1) dy = 0 Solución: Nótese que y = 0 es solución de la ecuación diferencial dada, pero esta solución no cumple la condición inicial impuesta. Por tanto supondremos y  0. Para separar variables hemos de liberar al primer término de y y al segundo de e-x2. Así pues, multiplicamos por ex2/y, con lo que obtenemos: (ex2) xy dx + (ex2) e-x2 (y2 – 1) dy = 0, y  0 y y xex2 dx + ( y – 1_) dy = 0 y  xex2 dx +  (y – 1_) dy = 0 y 1_ ex2 + y2 2

- ln y = C1 2

ex2 + y2 - ln y2 = 2C1 = C Exigimos que y = 1 para x = 0, lo cual lleva a 1 + 1 + 0 + 2 = C. En consecuencia, la solución particular tiene la forma implícita ex2 + y2 - ln y2 = 2

Hallando una curva solución particular

Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (1.3) y tiene pendiente y/x2 en cada uno de sus puntos (x,y).

Al ser la pendiente de la curva y/x2, tenemos dy = y dx x2 con la condición inicial y(1) = 3, separando variables e integrando, se llega a dy = __dx__ y  0 y x2 lny = - 1 + C1 x y = e-(1/x)+C1 = Ce –1/x Como y = 3 para x = 1, deducimos que 3 = Ce –1, o sea C = 3e. Por tanto, la ecuación de la curva pedida es y = (3e)e-1/x = 3e (x-1)/x, x>0

1.2.2

ECUACIONES HOMOGÉNEAS

Algunas ecuaciones diferenciales que no son separables en x e y, se convierten en separables tras un cambio de variables. Este es el caso para las ecuaciones diferenciales de la forma y´= f(x,y), siempre que f sea una función homogénea. Definiciones De Funciones Homogéneas La función dada por z = f(x,y) es homogénea de grado n si f(x,y) = tn(x,y), donde n es un número real.

Verificando el carácter homogéneo en funciones a) f(x,y) = x2y - 4 x3 + 3xy2 es una función homogénea de grado 3 porque f(tx,ty) = (tx)2(ty)2 - 4 (tx)3 + 3(tx)(ty)2 = t3 (x2y)- t3 (4x3 )+ t3(3xy2) = t3 (x2y - 4x3 + 3xy2) = t3 f(x,y) b) f(x,y) = xex/y + y sen (y/x) es una función homogénea de grado 1 porque f(tx,ty) = txetx/ty + ty sen ty = t(xex/y + y sen y/x) = tf (x,y) tx c) f(x,y) = x + y2 no es homogenea porque

f(tx,ty) = tx +t2y2 = t(x+ty2)  tn(x+y2) d) f(x,y) = x/y es homogénea de grado cero porque f(tx,ty) tx t0 x_ ty y DEFINICION DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS Una ecuación diferencial homogénea es cualquier ecuación de la forma M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 Una ecuación diferencial homogénea es cualquier ecuación de la forma Donde M y N son funciones homogéneas del mismo grado. Para resolver una ecuación diferencial homogénea por separación de variables, usaremos el siguiente cambio previo de variables. CAMBIO DE VARIABLES PARA ECUACIONES HOMOGÉNEAS Si M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es homogénea, se puede transformar en una ecuación diferencial separable por medio de la sustitución y = vx donde v es una función derivable de x

Hallar la solución general de la ecuación diferencial homogénea (x2 – y2) dx + 3 xydy = 0 Como (x2 – y2) y 3 xy son ambas homogéneas de grado 2, hacemos y = vx, lo que implica dy = x dv + v dx. Entonces por sustitución llegamos a dy (x2 – v2y2) x + 3x(vx)(x dv + v dx) = 0 (x2 + 2v2x2) dx + 3 x3v dv =0 x2 (1 + 2v2) dx + x2(3vx)dv = 0 Dividiendo por x2 y separando variables se obtiene (1+2 v2) dx = -3vx dv dx = __-3v___ dv x 1+ 2v2

ln x = - 3_ ln (1+ 2v2) + C1

4 4 ln x = -3 ln (1+ 2v2) + ln C ln x4 = ln C(1+2v2)-3 x4 = C (1+2v2)-3 Sustituyendo v, vemos que la solución general es (1 + 2 y2)3 x4 = C x2 (x2+ 2y2 ) = C x2

El aprendizaje significativo permite al estudiante, tener mayor conciencia sobre lo que se aprende y de los procesos que utiliza para su consolidación, así como darse cuenta del arsenal de herramientas disponibles para abordar los retos. Ecuaciones Homogéneas.

Mas sobre Ecuaciones diferenciales homogéneas con otro cambio de variable. Y = uz

Una ecuación lineal homogénea tiene la forma son funciones De "X" La solución de estas ecuaciones se obtiene haciendo

donde "P" y "Q"

Z y U son funciones de x que deben determinarse por lo tanto

Determinamos "u" integrando la ecuación

Resolviendo la ecuación anterior obtenemos que

Integrando y sustituyendo en los valores anteriores obtenemos

1.2.3. ECUACIONES EXACTAS En esta sección introducimos un método de resolución de la ecuación diferencial de primer orden M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 En el caso especial en que dicha ecuación representa la diferencial exacta de una función z = f(x,y). Definición de ecuación diferencial exacta La ecuación M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

Es una ecuación diferencial exacta si existe una función f de dos variables x e y, una ecuación diferencial exacta si existe una función f de dos variables x e y, con derivadas parciales continuas, tal que fx(x,y) = M(x,y)

fy(x,y) = N (x,y)

La solución general de la ecuación es f(x,y) = Por la sección 15.3 sabemos que si f tiene continuas, entonces M = 2f = 2f = y yx xy Esto sugiere el criterio de exactitud siguiente

C derivadas parciales segundas N x

Ecuaciones exactas: Son las de la forma

Criterio de exactitud Si M y N tienen derivas parciales continuas en un disco abierto R, entonces la ecuación diferencial M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es exacta si

y solamente si M = N y x La exactitud es una condición frágil en el sentido de que alteraciones aparentemente sin importancia en una ecuación exacta pueden destruir su exactitud. Veamos esto en el ejemplo siguiente. COMPROBANDO LA EXACTITUD a) La ecuación diferencial

(xy2 + x) dx + yx2 dy = 0 es exacta porque M y

N x

__ xy2 + x = 2xy = __ yx2 y x Pero la ecuación (y2 + 1)dx + xy dy = 0 no es exacta, a pesar de que se obtiene dividiendo por x ambos lados de la primera ecuación. b) La ecuación diferencial cos y dx + (y2 – x sen y) dy = 0 es exacta porque M y

N x

__ cos y  = - sen y = __ y2 – x sen y y x Pero la ecuación cos y dx + (y2 + x sen y ) dy = 0 no es exacta, a pesar de que difiere de la primera ecuación solamente en un signo.

Toda ecuación diferencial de la forma M(x) dx + N(y) dy = 0 es exacta. En otras palabras, una ecuación de variables separadas es de hecho un tipo especial de ecuación exacta.

Esto significa que puede obtenerse una solución general f(x,y) = C de una ecuación diferencial exacta por el método usado para hallar una función potencial para un campo vectorial conservatorio. Insistimos en este procedimiento en los dos ejemplo siguientes. Resolviendo una ecuación diferencial exacta Probar que la ecuación diferencial (2xy – 3x2) dx + (x2 – 2y) dy = 0

es exacta, y hallar su solución general. Solución: La ecuación diferencial dada es exacta, ya que M y

N x

__ 2xy - 3x2  = 2x = __ x2 – 2y y x Podemos obtener la solución general f(x,y) = C como sigue: F(x,y) = M (x,y) dx =  (2 xy – 3x2) dx = x2y – x3 + g(y) determinamos g(y) integrando N(x,y) con respecto a y e igualando las dos expresiones de f(x,y). Si Derivamos parcialmente esta versión de f(x,y) con respecto a y y comparar el resultado con N (x,y). En otras palabras, N(x,y) fy(x,y) =   x2y – x3 + g(y) = x2 + g´(y) = x2- 2y y g´ (y) = -2y Luego, g´(y) = -2y y se sigue que g(y) = - y2 + C1. Por tanto, F(x,y) = x2y – x3 – y2 + C1 y la solución general es x2y – x3 – y2 = C Resolviendo una ecuación diferencial exacta Hallar la solución particular de (cos x – x sen x + y2) dx + 2xy dy = 0 que satisface la condición de contorno y = 1 cuando x =  Solución: La ecuación dada es exacta, ya que

M y

N x

__ cos x – x sen x + y2  = 2x = __  2xy y x En este caso N(x,y) es más simple que M(x,y), y procedemos como sigue: f(x,y) = N (x,y) dy =  2 xy dy = xy2 + g(x) M(x,y) fx(x,y) =   xy + g(x) = y + g´(x) = cos x – x sen x + y2 y 2

g´ (x) = cos x – x sen x Así pues, g´(x) = cos x – x sen x y g(x) = (cos x – x sen x) dx = x cos x + C1 lo cual implica que f(x,y) = xy2 + x cos x + C1 y la solución general es xy2 + x cos x = C Aplicando la condición de contorno dada, tenemos (t)2 +  cos  = C, que nos lleva a que C = 0. Luego la solución particular es xy2 + x cos x = 0

1.2.4. EL FACTOR INTEGRANTE En otras palabras, llamamos a M dx + N dy = 0 no es exacta, puede que se transforme en exacta multiplicando por un factor apropiado u(x,y), llamado factor integrante de la ecuación diferencial. Por ejemplo, si la ecuación diferencial 2y dx + x dy = 0 Ecuación no exacta se multiplica por el factor integrante u(x,y) = x, la ecuación resultante 2xy dx +x2 dy = 0 Ecuación exacta es exacta, siendo el lado de la izquierda la diferencial total de x2 y. De forma similar, si la ecuación y dx – x dy = 0 Ecuación no exacta se multiplica por el factor integrante u(x,y) = 1/y2, la ecuación resultante 1 dx - x dy = 0 Ecuación exacta

Hallar los factores integrantes puede ser un problema difícil. Sin embargo, hay dos clases de ecuaciones diferenciales cuyos factores integrantes pueden hallarse de forma rutinaria – a saber, aquellas que poseen factores integrantes que son función, bien de x solamente, bien de y solamente. Factores integrantes Para la ecuación diferencial M(x,y) dx + N(,y) dy =0: 1 __  My(x,y) - Nx(x,y) = h(x) N(x,y) Es una función de x solamente, entonces ek(x)dx es un factor integrante 1. Si 1 __  Nx(x,y) - My(x,y) = k(y) M(x,y) Es una función de y solamente, entonces ek(y)dy es un factor integrante. Hallando un factor integrante Hallar la solución general de la ecuación diferencial (y2 – x) dx + 2y dy = 0 Solución: La ecuación no es exacta, ya que Mx(x,y) = 2y y Nx(x,y) = 0 Sin embargo como My(x,y) - Nx(x,y) = 2y – 0 = 1 = h(x) N(x,y) 2y Se sigue que ek(y)dy = ex es un factor integrante. Multiplicando la ecuación diferencial dada por ex, obtenemos la ecuación exacta (y2 ex – x ex) dx + 2y ex dy = 0 cuya solución se obtiene como sigue: f(x,y) =  N(x,y) dy  2yex dy = y2ex + g(x) M(x,y) fx(x,y) = y2ex + g´(x) = y2 ex – x ex

g´ (x) = - x ex

Por tanto, g´(x) = - x ex + ex +C1 , lo cual implica que f(x,y) = y2ex - xex + ex +C1 y la solución general es y2ex - xex + ex =

y2 - x + 1 = Ce-x

Reducibles a exactas: Factores integrantes Si P(x; y) dx + Q(x; y) dy = 0 no es exacta, podemos intentar Encontrar (x; y) tal que Sea exacta. (x). Ocurre

1. Existencia de factor integrante de la forma

2. Existencia de factor integrante de la forma 3 Otras expresiones restrictivas para

(y). Ocurre

(x; y).k

1.3. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. 1.3.1 Una aplicación a los campo de fuerza Dibujar el campo de fuerzas dado por F(x,y) =

2y___ i - __ y2 - x j x2 + y2 x2 + y2

hallando y dibujando la familia de curvas tangentes a F. Solución: En el punto (x,y) del plano, el vector F(x,y) tiene pendiente dy = - (y2- x) / x2 + y2 = - (y2- x) dx 2y / x2 + y2 2y que en forma diferencial es 2y dy = -(y2 – x)dx (y2 – x)dx + 2y dy = 0

Por el Ejemplo 4, sabemos que la solución general de esta ecuación diferencia es y2 - ex +1 = Ce-x o sea y2 = x – 1 + Ce-x Esta función nos muestra varias curvas representativas de esta familia. Nótese que el vector fuerza en (x,y) es tangente a la curva que pasa por (x,y). 1.3.2 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales 1. Un cuarto tiene 60 m3 de aire, originalmente libres de monóxido de carbono. Se prende un cigarrillo y el humo, con un contenido de 4.5% de monóxido de carbono, se introduce con una rapidez de 0.002 m3/min y se deja salir la mezcla con la misma rapidez. Encontrar: 2. Una expresión para la concentración de monóxido de carbono en el cuarto cualquier instante.

y la ecuación es

, es decir, ec. Lineal no homogénea.

con solución general

para t=0, c=0 entonces , con solución particular.

3. La concentración de monóxido de carbono a bajos niveles, por ejemplo 0.00012 puede ser perjudicial para los seres humanos. Encontrar el tiempo en el cual se alcanza esta concentración. Para c=0.00012 tenemos De donde t=81.11 min. t=1 hr 21 min. 4. Una masa de 98 kg de peso se cuelga de un resorte con lo que éste interrumpe su estado de reposo. Sabiendo que k=4.9 kg/m, hallar el movimiento de la masa si al soporte del resorte se le imprime una fuerza metros. Se toma el origen del sistema en el centro de gravedad de la masa cuando está en reposo y sea x el desplazamiento de la masa en un tiempo t. El alargamiento del resorte es (x-y) entonces.

por lo tanto de donde la solución de la E homogénea es

calculando,

xp por el met. de coeficientes indeterminados Tenemos:

y como x=xnxp la solución general es:

Derivando:

cuando

Son dos movimientos arm贸nicos con amplitudes diferentes. Un hombre y su barca pesan 98 N. La fuerza ejercida en la direcci贸n del movimiento es 4.9 kg y la resistencia al movimiento es igual al doble de la velocidad, determinar: la velocidad 20 seg despu茅s de que la barca haya empezado a moverse

Ecuaciones lineal no homog茅nea

integrando para

entonces para

la distancia recorrida al cabo de los 20 seg.

Integrando Para t=0, x=0

entonces es la soluci贸n particular para t=20, x=36.79 metros. 5. Un circuito consta de una inductancia de 0.5H, una resistencia de 20!, un condensador cuya capacidad es de 2.5mF y una FEM de 100V. Hallar la carga y la corriente sabiendo que Q(t)=0 para I(t)=0

Entonces de donde con soluci贸n general:

y entonces

con las condiciones dadas tenemos por lo tanto

6. En la conservación de alimentos, el azúcar sufre un proceso de inversión y se transforma en glucosa y fructuosa. En las soluciones diluidas, el ritmo de inversión es proporcional a la concentración y(t) del azúcar inalterada. Sí la concentración es de 1/50 cuando t = 0 y 1/20 tras 3 horas, hallar la concentración del azúcar inalterada después de 6 y 12 horas. Por ser el ritmo de inversión proporcional a y(t), se ha de cumplir la ecuación diferencial dy = ky dx Separando variables e integrando vemos que: 1 dy =  k dt y ln y = kt + C1 y = Cekt De las condiciones dadas se desprende que C = 1_ 50 1__ = _ 1_ 200 50

y(0) = 1_ 50 y(3) = 1_ 200

e3k

k = - ln 4 3

Por tanto, la concentración del azúcar inalterada viene dada por y(t)= _ 1_ e-(ln4)t/3 50 = _ 1_ 50

(4-t/3 )

Cuando t = 6 y t = 12, resultan unas concentraciones y(6) = 1_ (4-2 ) = 1__ Tras 6 horas 50 800

y(12) = 1_ 50

(4-4 )

= _ 1__ 12800

Tras 12 horas

7. Un problema común en electrostática, termodinámica e hidrodinámica requiere saber hallar una familia de curvas, ortogonal. Ejemplo una familia de círculos (x2+ 2y2 ) = C Familia de círculos cada uno de los cuales corta a las rectas de la familia y = Kx Familia de rectas en ángulo recto. Dos familias de curvas de ese tipo se dice que son mutuamente ortogonales, y cada curva de una de las familias se llama una trayectoria ortogonal a la otra familia. En electrostática, las líneas de fuerza son ortogonales a las curvas equipotenciales. En termodinámica, el flujo del calor a través de una superficie plana es ortogonal a las curvas isotermas. En hidrodinámica, las líneas de flujo (o de corriente) son trayectorias ortogonales a las curvas potenciales de velocidades.

1.3.3 Trayectorias Ortogonales. Describir las trayectorias ortogonales a la familia de curvas dada por y = C/x para C  0. Dibujar varias curvas de ambas familias. Solución: En primer lugar, despejamos C en la ecuación dada y escribimos xy = C. Derivando ahora implícitamente respecto de x se obtiene la ecuación diferencial = y_ Pendiente de la familia dada xy´ + y = 0 dy dx x Como y´ representa la pendiente de la familia dada de curvas en (x,y), se deduce que la familia ortogonal ha de tener pendiente recíproca negativa de esa, es decir, x/y, por lo que Pendiente de la familia ortogonal dy = x dx y Ahora podemos hallar la familia ortogonal por separación de variables e integración. y dy =  x dx y 2 = x 2 + C1 2 2 Por tanto, cada trayectoria ortogonal es una hipérbola de ecuación.

y2 k

x2 = 1 k

2C1 = k  0 Tienen sus centros en el origen y ejes transversales verticales para K>0 y horizontales para K< 0.

Las actividades que se te presentan en esta franja te permitirán valorar tu conocimiento sobre los temas aprendidos, a nivel personal y profesional, durante el desarrollo de toda la unidad Nº 1 de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

1.3.4 EJERCICIOS PROPUESTOS

Hallar la solución general de la ecuación diferencial dada. 1. dy = x dx y 3. (2+ x)y´= 3y

2. dy = x2 + 2 dx 3y2 4. xy´= y

Hallar la solución particular de la ecuación diferencial que satisface la condición inicial dada. Ecuación diferencial 5. yy´ - ex = 0 6. x + yy´ = 0 7. y(x+1) + y´= 0 8 xyy´- ln x = 0

Condición inicial y(0) = 4 y(1) = 4 y(-2) = 1 y(1) = 0

Averiguar si la función es homogénea, y si es así, hallar el grado. 9. f(x,y) = x3 – 4xy2 + y3 10. f(x,y) = 2 ln xy

11. f(x,y) = tg (x+y) 12. f(x,y) = 2 ln _x_ Y Resuélvase la ecuación diferencial homogénea 13. y´= x + y 14. y´= 2x + y 2x y Hallar las trayectorias ortogonales a la familia dada y dibújense varios miembros de cada familia. 15. x2 + y2 = 0

17. 2x2 - y2 = C

16. x2 = Cy

18. y2 = 2Cx

19. La cuantía A de una inversión P se incrementa a un ritmo proporcional al valor de A en el instante t. a) Obtener la ecuación de A como función de t. b) Si la inversión inicial es de 1000,00$ y el interés del 11 por 100, calcular el capital al cabo de 10 años.

c) Si el interés es del 11 por 100, calcular el tiempo necesario para doblar la inversión. 20. La tasa de crecimiento de una población de moscas de la fruta en un instante dado es proporcional al tamaño de la población en dicho momento. Si hay 180 moscas después del segundo día del experimento y 300 moscas después del cuarto día. ¿Cuántas moscas había originalmente?

UNIDAD DOS

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y ORDEN SUPERIOR

Contenido de esta unidad, son todas las ecuaciones de segundo orden y de orden superior llevando las estrategias que debes seguir para el logro el objetivo de la unidad

2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

Recordemos: Se llama ecuación diferencial lineal de primer orden a toda ecuación de la forma dy + P(x) y = Q(x) dx Se llama ecuación diferencial lineal de primer orden a toda ecuación de la forma dy + P(x) y = Q(x) dx Donde P y Q son funciones continuas de x. Las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, se dice que están en forma canónica. Para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden usaremos una factor integrante u(x) que convertirá el lado izquierdo en la derivada del producto u(x)y. Es decir, necesitamos un factor u(x) SOLUCION DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN Un factor integrante para las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y´+ P(x) = Q(x) es u(x) = eP(x)dx. La solución de la ecuación diferencial es

y´eP(x)dx Q (x) eP(x)dxdx + C EJEMPLO Resolviendo una ecuación diferencial lineal de primer orden Hallar la solución general de xy´- 2y = x2 Solución: la forma canónica de la ecuación dada es y´ - _ 2_ y = x x Por tanto, P(x) = - 2/x, y resulta  P(x) dx = - 2 dx = - ln x2 x eP(x)dx = e-ln x2 = 1_ x2 EJEMPLO Hallar la ecuación general de y´ - y tg t = 1 Solución: Como P(t) = -tg t, tenemos P(t) dt = - tg t dt = ln cos t eP(t)dt = eln cos t = cos t Una rápida comprobación nos muestra que cos t también, es un factor integrante. Luego, multiplicando y ´- y tg t = 1 por cos t, obtenemos d y cos t = cos t dt y cos t =  cos t dt = sen t + C y = tg t + C sec Hasta aquí hemos estudiado varios tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden. De éstas, el caso de variables separables generalmente es el más sencillo, y la solución mediante un factor integrante siempre está a mano como último resorte. En el resumen siguiente aparecen los diferentes tipos de ecuaciones que hemos estudiado.

RESUMEN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Método

Forma de la ecuación

1. Variables separadas 2. Homogéneas y N son 3. Exactas

M(x)dx + N(y)dy =0 M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 donde M M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 donde M/y = N/x

4. Factor integrante u(x,y)N(x,y)dy = 0

u(x,y)M(x,y)dx + es exacta

5. Lineales

y´+ P(x)y = Q(x)

Esta franja te permitirá conocer las ecuaciones diferenciales de segundo orden y reducibles a primer orden atreves de la ecuación de Bernoulli

2.1.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN REDUCIBLES A PRIMER ORDEN.

Ecuaciones de Bernoulli Una ecuación no lineal muy conocida, que se reduce a una lineal con una sustitución apropiada, es la ecuación de Bernoulli, que recibe su nombre en honor de James Bernoulli. ¡ BUSCA SU BIOGRAFIA. ¡ y ´ + P(x)y = Q(x) yn

Ecuación de Bernoulli

Esta ecuación es lineal si n = 0, y de variables separables si n = 1. Por tanto, en el desarrollo que sigue, suponemos que n  1. Comenzamos multiplicando por y-n y(1-n) para obtener y-n y´ + P(x) y1-n = Q(x) (1 – n)y-n y´ + (1 – n)P(x) y1-n = (1 – n)Q(x) d _ y1-n  + (1 – n)P(x)y1-n = (1 – n)Q(x) dx Que es una ecuación lineal en la variable y1-n. Luego, si hacemos z = y1-n , obtenemos la ecuación lineal dz + (1 – n)P(x)z = (1-n)Q(x) dx Finalmente con lo conocido anteriormente, la solución general de la ecuación de Bernoulli es y1-n e(1-n)P(x)dx =  (1 – n)Q(x)e(1-n)P(x)dx dx + C EJEMPLO Hallar la solución general de y´+ xy = xe-x2 y-3. Para esta ecuación de Bernoulli, n = -3, y usamos la sustitución Z = y1-n = y4 z´= 4y3y´ Multiplicando la ecuación original por 4y3, tenemos 4y3y´ + 4xy4 = 4xe-x2 z´ + 4xz = 4xe-x2 Ecuación lineal: z´+ P(x)z = Q(x) Puesto que esta ecuación es linean en z, tenemos P(x) = 4x y  P(x)dx =  4x dx = 2x2 lo cual implica que e-x2 es una factor integrante. factor, obtenemos d ze2x2  = 4xex2 dx ze2x2 ==  4xex2 dx = 2ex2 + C z = 2e-x2 + Ce-2x2 Luego sustituyendo z = y4, la solución general es y4 = 2e-x2 + Ce-2x2

Multiplicando por este

Ecuación de Bernoulli. Es de la forma

2.1.2.

SOLUCIÓN GENERAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

DEFINICION DE ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE ORDEN Sean g1, g2….,gn y f funciones de x con un dominio común. Una ecuación de la forma Y(n) + g 1(x) y

(n-1)

+ g2(x) y

(n-2)

…+ gn – 1(x)y´ + gn (x)y = f(x)

Se llama una ecuación diferencial lineal de orden n. si f(x) = 0, se dice que la ecuación es homogénea en caso contrario, se llama inhomogénea. Empezaremos definiendo la noción de independencia lineal. Decimos que las funciones y1, y2,….,yn son linealmente independientes si la única solución de la ecuación. C1Y1+ C2 y2+… + Cnyn= 0 es la trivial, a saber C1 = C2 = … = Cn = 0. En caso contrario, las funciones se dice que son linealmente dependientes. Por ejemplo, las funciones y1(x)= sen x ey2 = x, son linealmente independientes, porque los únicos valores de C1 y C2 para los cuales. C1 senx + C2x = 0

para todo x

son C1 = O Y C2 = O. Se puede demostrar que dos funciones son linealmente dependientes si y sólo si una de ellas es múltiplo constante de la otra. Así y1(x) = ey2(x) = 3x son linealmente dependientes, porque C1(x) + C2 (3x) = 0 admite la solución no nula C1 = -3, C2 = 1. El teorema siguiente señala la importancia de la independencia lineal al construir la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes.

2.1.3 LA SOLUCION GENERAL COMO COMBINACION LINEAL DE SOLUCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES. y1 e y2 son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial y´´ + ay´+ by = 0, entonces la solución general es y = C1y1 + C2y2

siendo C1 y C2 constantes.

Para hallar dos soluciones linealmente independientes, observamos que la naturaleza de la ecuación y" + ay' + by =0 sugiere que debe tener soluciones de la forma y = emx. Si así es, entonces y' = memx e y" = m2emx. Luego, por sustitución, y = emx es una solución si y solamente si y" + ay' + by = 0 m2emx +amemx + be mx = 0 emx (m2 + am + b) = 0 Como emx .nunca se anula, y = emx es una solución si y solamente si m2 + am + b = 0

Ecuación característica.

Esta ecuación se conoce ecuación característica de la ecuación diferencial y" + ay' + by = 0. Nótese que la ecuación característica puede determinarse a partir de su ecuación diferencial simplemente sustituye y" por m2, y' por m e y por 1.

2.1.4. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES Ahora analicemos la ecuación característica en términos de ecuaciones homogéneas de acuerdo a la solución del discriminante. ECUACIONES CARACTERISTICA CON RAICES REALES DISTINTAS. Resolver la ecuación diferencial y´´ - 4y = 0 Solución: En este caso la ecuación característica es m2 - 4 = 0 Ecuación característica así que m2 = 4 o sea m = -+ 2 luego y1 = em1x = e2x ey2 = em2x = e -2x son soluciones particulares de la ecuación diferencial dada. Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes, podemos aplicar el teorema 18.5 para concluir que la solución general es. Y = C1 e2x + C2e-2x

solución general

La ecuación característica del ejemplo 1 tiene dos raíces diferentes. Por el álgebra sabemos que estas es una de las tres posibilidades de las ecuaciones cuadráticas. En general, la ecuación cuadrática. m2 +am + b = 0 tiene raises. M1 = -a + a2 – 4b y 2

m2= -a - a2 – 4b 2

Que pertenece a uno de los tres casos: 1. dos raíces reales diferenciales, m1  m2 2. dos raíces reales iguales, m1 = m2 3. dos raíces complejas conjugadas m1 =  + i y m2 = x – i En términos de la ecuación diferencial y" + ay' + by = 0.estos tres casos corresponde a tres tipos diferente de solución general. SOLUCION DE y" + ay' + by = 0 Raíces reales diferentes: si m1 m2 son raíces reales diferentes de la ecuación característica, entones la solución general.

y = C1 em1 x + C2em2x Raíces reales iguales: si m1 = m2 son raíces iguales de la ecuación característica, entones la solución general. y = C1 em1x + C2xem1x = (C1 + C2x) em1x Raíces complejas: Si m1 = x + i m2 = x – i son raíces complejas de la ecuación característica, entones la solución general. y = C1 exx cos x + C2 exx sen x ECUACION CARACTERISTICA CON RAICES COMPLEJAS Hallarlas la solución general de la ecuación diferencial y" + 6 y" + 12 y = 0 Solución: la ecuación característica m2 + 6m + 12 = 0 tiene dos raíces complejas. m=-6

= -6

+- 36 - 48 2 +-

= -3 + Así pues, x = -3 y 

-12 2 -3

= -3 +

= 3, y la solución general es.

y = C1e-3x cos 3x + c2e-3x sen

la ecuación característica tiene dos raíces complejas, la solución de la ecuación diferencial es real. ECUACION CARACTERÍSTICA CON RAICES REPETIDAS Resolver la ecuación diferencial y" + 4y'+ 4y = 0 sujeta a la condiciones iníciales y (0) n= 2 e y'(0) = 1 Solución: la ecuación característica m2 + 4m + 4 = 0 (m + 2)2 = 0

tiene dos raíces reales m = -2 repetidas luego la solución general es y = C1 e-2 x + C2xe-2x solución general Ahora bien como y = 2 cuando x = 0, tenemos 2 = C1 (1) + C2(0) (1) = C1 Además, como y' = 1 cuando x =0 tenemos y' = -2 C1 e-2 x + C2( -2xe-2 x+ e-2 x) 1 = -2(2)(1) + C2  -2(0)(1) + 1 5= C2 Por tanto la solución es y = 2e-2 x +5xe-2 x solución particular

Te invitamos a construir tu propio conocimiento, deseamos que esta experiencia sea tan significativa, que te resulte una actividad útil para aprender de las ecuaciones diferenciales con sus coeficientes y métodos

2.1.5. Ecuaciones diferenciales lineales no - homogéneas con coeficientes constantes Veamos un ejemplo fisico: Las oscilaciones de un muelle por las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden homogéneo movimiento libre d2y + p (dy) + k y = 0 2 dt m (dt) m A las oscilaciones de este tipo les llamamos libres porque vienen determinadas solamente por el muelle y por la gravedad, pero están libres de otras fuerzas externas. Si este sistema está sujeto a la acción de una fuerza periódica externa tal como asen bt, causada por vibraciones en el otro extremo del muelle, el movimiento se llama forzado y queda caracterizado por la ecuación in homogénea: d2y + p (dy) + k y = a sen bt movimiento forzado dt2 m (dt) m

Ejemplo que nos deja continuar con el tema y describir dos métodos para hallar la solución general de una ecuación diferencial lineal in homogénea. En ambos método el primer paso consiste en hallar la solución general, denotada por yh de la correspondiente ecuación homogénea. Una vez hecho eso, intentamos hallar una solución particular Yp de la in homogénea. Combinando esos dos resultados parciales obtenemos que la solución general de la ecuación in homogénea es y = yh + Yp por tanto: SOLUCION GENERAL DE UNA ECUACION LINEAL NO HOMOGENIA Sea y" + ay' + by = F(x) una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden. Si yp es una solución particular de esta ecuación e yh es la solución general de la ecuación correspondiente, entonces y = y h + Yp es la solución general de la ecuación no homogénea.

METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS Puesto que ya tenemos las herramientas para hallar yh, enfocamos nuestro estudio a la forma de hallar la solución particular yp' Si F(x) en y" + ay' + by = F(x) Entonces podemos hallar una solución particular yp por él, método de los coeficientes indeterminados. La clave del método estriba en conjeturar que la solución yp es una forma generalizada de F(x). Por ejemplo: 1. Si F(x) = 3x2, escogemos yp = A x2+ Bx + C. 2- Si F(x) = 4xex, escogemos yp = A xex + Bex. 3- Si F(x) = x + sen 2x, escogemos yp = (Ax+ B) + C sen 2x + D cos 2x Entonces, por sustitución, determinamos los coeficientes de esta solución generalizada. Ejemplo: Método de los coeficiente indeterminados Hallar la solución general de la ecuación y" - 2y' - 3y = 2 sen x. Solución: Para hallar yh, resolvemos la ecuación característica

m = -1 y m = 3 m2 – 2m – 3 = (m+1)(m-3) = 0 -x 3x Así pues, yh = C1e + C2e - A continuación, hacemos que yp sea una forma generalizada de 2 sen x. Esto es, hacemos. yp = A cosx + B senx y´´

= -A senx + B cosx

y"p = -A cosx - B senx Sustituyendo en la ecuación dada obtenemos -A cos x - B sen x + 2A sen x - 2B cos x - 3Acos x - 3B sen x = 2 sen x (-4A - 2B) cos x + (2A - 4B) sen x = 2 sen x En consecuencia, yp es una solución, una vez igualados los coeficientes de cos x y de sen x, que dan lugar al sistema. -4A - 2B = 0

2A - 4B = 2

con soluciones A = 1 y B = -2 Luego la solución general es 5 5 -x 3x y = yh + yp= C1e + C2e +1cos x -2sen x 5 5 Ejemplo . Método de los coeficientes indeterminados Hallar la solución general de y" - 2y' = x + 2ex Solución: La ecuación característica m2- 2m = 0 tiene por soluciones a m= 0 y m = 2. yh = C1 + C2e2x

Luego

Puesto que F(x) = x + 2e x nuestra primera elección de yp seria (A+Bx) + Cex. sin embargo, como yh ya contienen un término constante C1 multiplicando la parte polinómica por x y usamos. yp = Ax + Bbx2 + Cex y'

= A +2Bx + Cex

y"p = 2B + Cex Situación en la ecuación diferencial, resulta (2B+ Cex) – 2(A+2Bx + Cex) = x + 2ex (2B- 2A) – 4Bx - Cex = x + 2ex Igualando los coeficientes de términos análogos, obtenemos el sistema 2B – 2A = 0

-4B = 1, -C = 2

Con solución A = B = - ¼ y C = -2. En consecuencia. yp = - 1 x – 1_ x2 – 2ex 4 4 Siendo la solución general. y= C1 + C2e2x – 1 x – 1 x2 - 2ex 4 4 LA FORMA DE LA SOLUCION PARTICULAR Determine una formula apropiada de Yp para la siguiente situación y"

+ ay' + by = F(x)

C1 + C2x

a. y" = x2 b. y" + 2 y' + 10y = 4 sen 3x

C1e-x cos 3x + C2e-x sen 3x

c. y" - 4 y' + 4 = e2x

C1e2x + C2e2x

solución a)como F(x) = x2 la eyección normal de yp seria A + Bx + C x2

Sin embargo como Yh = C1 + C2x ya contiene un termino lineal multiplicamos por x2 para obtener yp = Ax2 +BX3 +Cx4 b) como F(x) = 4 sen 3x y puesto que cada termino en yh contiene un factor de e-x , hacemos simplemente.

yp = A cos 3x + B sen 3x c) como F(x) = e2x la elección normal de yp seria de Ae2x pero como. yh = C1e2x + C2xe2x ya contienen un término xe2x, multiplicamos por x2 para concluir que yp = Ax2 e2x También podemos usar el método de los coeficientes indeterminados para ecuaciones no homogéneas de orden superior. 2.1.6. OPERADOR PARA LA SOLUCION DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN

Aunque es inmediato el reconocimiento de la dependencia o independencia lineal de dos soluciones de una ecuación lineal de 2º orden, se van a introducir unos criterios de independencia basados en el wronskiano , pensando en su generalización al caso de n soluciones de las ecuaciones lineales de orden n. Definición: Dadas n funciones f1(x), ..., fn(x)  Cn(I), se llama wronskiano ( o determinante de Wronski) de las mismas, y se designa por Wf1, ... ,fn a: ••• f1 f2 fn W  f 1 , ..., f n  

f 1'

f 2'

•••

f n'

•••

n 1 ) f2

•••

n 1 ) f1

n1 )

Es también una función real: W(x); xI

Condición necesaria y suficiente para que 2 soluciones particulares y1(x), y2(x) de la ecuación homogénea 6 Ly = 0 (donde p(x), q(x)  C(I) ), sean linealmente dependientes en I, es que exista algún xo  I tal que W y1(xo), y2(xo) = 0. Entonces Wy1(x), y2(x)  0 en I

Condición necesaria y suficiente para que 2 soluciones particulares y1(x), y2(x) de la ecuación homogénea Ly = 0, sean linealmente independientes en I, es que: W y1(x), y2(x)  0  xI. Si y1(x) e y2(x) son soluciones de y   p( x ) y   q( x ) y  0 en (a,b) y xo(a,b), entonces: x



W  y 1 ( x ), y 2 ( x )  W( x o ) e

 p( t ) dt xo

EJEMPLO ¿Puede ser W(x) = 3(x-1)2 el wronskiano en (0,2) de dos soluciones de alguna ecuación de 2º orden lineal homogénea: y   p( x ) y   q( x ) y  0 con p(x), q(x) continuas en (0,2)?. W(x) sólo se anula para x = 1 en el intervalo (0,2) y debería anularse en todos o ningún punto del intervalo. Luego W(x) no puede ser tal wronskiano en ningún intervalo abierto que contenga a x = 1

La elaboración de un producto propio, implica la construcción de una herramienta que pueda ser utilizada por ti y por otros de alas ecuaciones diferenciales de segundo orden.

2.1.7. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN APLICACIÓN

1. Un depósito contiene 50 litros de una solución compuesta por 90 por 100 de agua y 10 por 100 de alcohol. Al mismo tiempo, se vacía en el depósito a razón de 5 litros/min, suponiendo que la solución del depósito se agita constantemente, ¿cuánto alcohol queda en el depósito después de 10 minutos? Solución: Se ay el número de litros de alcohol en el depósito en un instante arbitrario t. Sabemos que y = 5 cuanto t = 0. puesto que el número de litros de solución en el depósito en un instante dado t es 50 – t y puesto que el depósito pierde 5 litros de solución por minuto, perderá (___5_ ) y 50 – t litros de alcohol por minuto. Por otro lado, como en el depósito entran 2 litro de alcohol por minuto, la razón de cambio de alcohol en el depósito viene dada por __dy__ = 2 – ( dt

5 ) y _ 50 – t

dy + ( 5 ) y = 2 dt 50 - t

Para resolver esta ecuación lineal, hacemos P(t) = 5/(50 - t) Y obtenemos  p(t) dt =  5_ dt = -5 ln l50- t| 50 - t Al ser t < 50, podemos omitir el signo de valor absoluto, concluyendo que eP(t)dt = e-5ln(50-t)= ____1____ (50 – t)5 Por tanto, la solución general es _ y___ (50 - t)5

2___ dt (50 - t)5

y = 50 - t 2

+ C(50 - t)5

1___ + C 2(50 - t)4

Como y = 5 cuando t = O. tenemos

5 = 50 2

+ C(50)2

_ _20_ 505

lo cual significa que la solución particular es

y = 50 – t 2

- 20 50-t 50

Finalmente, cuando t = 10, la cantidad de alcohol en el depósito es . Y = 50 – 10 - 20 (50- 10)5 = 13,45 litros 2 50 lo cual representa una solución conteniendo 33,6 por 100 de alcohol.

Problemas de valor inicial y de frontera En la mayoría de las aplicaciones estamos interesados no en la solución general de una ecuación diferencial, sino en una solución particular que satisfaga ciertas condiciones dadas. Esto da origen a los problemas de valor inicial o de frontera. Ejemplo Una partícula

se mueve a lo largo del eje

aceleración en cualquier

tiempo

está

de manera tal que su

dada

por

Encuentre la posición de la partícula en cualquier tiempo , suponiendo que inicialmente la partícula está localizada en y está viajando a una velocidad de

Recuerde que la primera derivada de la posición nos da la velocidad y la segunda derivada la aceleración. De donde el problema de valor inicial sería

Integrando con respecto a

obtenemos

y usando la condición podemos hallar que cualquier tiempo sería

, con lo cual la velocidad en

Integrando de nuevo

y usando la condición podemos determinar que de la partícula en cualquier tiempo

y obtener la posición

Esta franja te permite realizar actividades y/o asignaciones dirigidas a facilitarte la toma de conciencia, la generación de pensamientos, ideas, sentimientos y experiencias; derivadas de la nueva información y aprendizajes adquiridos a través del material estudiado.

2.1.8 EJERCICIOS PROPUESTOS Resolver la ecuación de Bernoulli. 1. y´ + 3x2y = x2y3 2. y´ + 2xy = xy2 3. y´ + (1) y = xy2 x ´ 4. yy - 2y2 = ex Hallar la solución general de la ecuación diferencial lineal.

y" + 2y' = 0

2, y" + 6y' + 5y = 0 3 y" + 6y' + 9y = 0 4. 9y" - 12y'+ 4y = 0 Hallar la solución particular de la ecuación diferencial lineal. 1. y" - y' - 30y = 0 y(0) = 1, y'(0)= -4 2. y" +2y'+3y=0 y(0) = 2, y'(0) = 1 Usar el wronskiano y verificar la independencia lineal de las dos funciones. 1. y1 = eax sen bx, y = eax cos bx, b  0 2.. y1 = x, y2 = x2 Resolver por el método de los coeficientes indeterminados. 1. y" + 9y = sen3x 2. y" + 4y' + 5y = sen x + cos x 3. y'" - 3y' + 2y = 2e-2x

2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Dos tipos especiales de ecuaciones diferenciales de orden superior Este tipo de ecuaciones diferenciales tiene la forma

En donde "X" es una función de "x" únicamente, o una constante para integrar

El proceso anterior se repite (n-1) veces, de esta manera se obtendrá la solución general, que contendrá "n" constantes arbitrarias Ejemplo.

Las siguientes ecuaciones tiene la forma

Donde "Y" es una función de "y" únicamente

Lo anterior es valido por

El segundo miembro es una función de y. Extrayendo la raíz cuadrada, las variables "x" e "y" quedan separadas. Y podemos integrar otra vez

Ecuaciones Lineales De Orden Superior Son de la forma

2.2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN N

Una ecuación diferencial lineal de orden n , es una ecuación de la forma: a 0 ( x) y ( n )  a 1 ( x) y ( n 1)  ......... a n1 ( x) y   a n ( x) y  g( x) o en forma canónica: .

y (n )  p 1 ( x )y (n  1)  .....  p n  1 ( x)y  p n ( x )y  h( x )

que en forma simbólica se escribirá:

Ly   h( x)

dn d n 1 d  p n ( x) siendo L el operador lineal: L  n  p 1 ( x) n1  ......... p n 1 ( x) dx dx dx 2.2.2 ecuación diferencial lineal homogénea o incompleta Ly  0

La teoría asociada a estas ecuaciones es análoga al caso en que n=2.

Se supondrá en lo sucesivo que las ecuaciones lineales utilizadas cumplen las condiciones del teorema de existencia y unicidad en un intervalo I= (a,b). Se verifica: El operador L es una aplicación lineal del espacio vectorial Cn (I) en el espacio vectorial C(I). Para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden superior, hallamos la solución general de forma similar a como la hemos hecho para la ecuación de segundo orden. Esto es, comenzamos hallando las n raíces de la ecuación característica y, a continuación, basados en estas n raíces, formamos un conjunto linealmente independiente de las n soluciones. La mayor diferencia consiste en que con ecuaciones de tercer orden o mayor, la raíces de la ecuación característica puede repartirse más de dos veces. Cuando sucede esto, las soluciones linealmente independientes se forman multiplicando por potencias crecientes de x. EJEMPLO

Resolviendo una ecuación de tercer orden

Hallar la solución general de y'" + 3y"+ 3y' + y = 0 Solución: La ecuación característica es m3+ 3m2+ 3m+ 1 = (m + 1)3 = 0 Puesto que la raíz m = -1 es triple, la solución general es y = C1e-x + C2x e-x + C3x2e-x

Solución general

EJEMPLO Removiendo una ecuación de cuarto orden Hallar la solución general de . y(4) + 2y" + y = 0. Solución: La ecuación característica es m4+ 2m2+ 1 = (m2+ 1) 2= 0 m=+i Puesto que las raíces m1 =  +i = o + iy m2 =  –i = 0 – i son dobles, la solución general es y = C1 cosx + C2 senx + C3 x cosx + C4x senx

Solución general

2.3. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR De acuerdo con la ley de Hooke, un muelle que se extiende (o se comprime) y unidades de su longitud natural 1 tiende a volver por sí mismo a su longitud natural, mediante una fuerza F que es proporcional a y. Esto es, F(y) = -ky, donde k es la constante del muelle que indica la rigidez de un muelle dado. Supóngase que se ata al extremo de un muelle un objeto rígido de masa m y que causa un desplazamiento. Se considera que la masa del muelle es despreciable frente a m. Ahora tiramos del objeto hacia abajo, soltándolo a continuación. Las oscilaciones resultantes son consecuencia de dos fuerzas opuestas –la fuerza del muelle F(y) = -ky y el peso MG del objeto-. Bajo tales condiciones, podemos usar una ecuación diferencial para hallar la posición y del objeto como función del tiempo t. De acuerdo con la segunda ley del movimiento de Newton, la fuerza que actúa sobre el peso es F = ma, donde a = d2 y/dt2 es la aceleración. Suponiendo que el movimiento no es amortiguado --esto es, no hay otras fuerzas externas que actúen sobre el objeto- se sigue que m(d2 y/dt2) = -ky, y tenemos. d2y + (k) y = 0 Movimiento no amortiguado de un muelle dt2 (m) MOVIMIENTO NO AMORTIGUADO DE UN MUELLE Supóngase que un peso de 4 libras estira un muelle, desde su posición natural, en 8 pulgadas. Si se estira el muelle hacia abajo otras 6 pulgadas y se suelta con una velocidad inicial hacia arriba de 8 pies por segundo, hallar la fórmula para la posición del peso en función del tiempo t. Solución: Por la ley de Hooke, 4 = k(2/3), luego k = 6. Además, como el peso w viene dado por MG, se sigue que M = w/g = 4/32 = 1/8. Por tanto, la ecuación diferencial resultante para el movimiento no amortiguado es d2y + 48y = 0 dt2 Puesto que la ecuación característica m2 + 48 = 0 tiene raíces complejas m = 0 + 4 3i, la solución general es y = C1eocos4 3t + C2eosen 4 3t = C1cos4 3t + C2sen 4 3t

Usando las condiciones iníciales se tiene: 1 = C1 (1) + C2 (0) 2

= C1

1 2

y'(t) = - 4 3 C1 sen4 3t + 4 8 = -4

y(0) = 1 2 3 C2 cos4

3 (1) (0) + 4 3 C2 (1) => C2 = 2 3 (2) 3

y´(0) = 8

En consecuencia, la posición en un tiempo t viene dada por y= 1 cos 4 3t + 2 3 2

2.3.1

3 sen4 3t

Aplicaciones La Ecuaciones lineal De Orden N

Como primer ejemplo consideraremos un carro de masa m que se mueve bajo la acción de una fuerza F y que esta sujetado a la pared mediante un resorte de constante elástica k (ver la figura). Si suponemos además que la fuerza de rozamiento es proporcional a su velocidad entonces la segunda ley de Newton nos conduce a la EDO mx00+ax0 +kx = F(x), o equivalentemente,

Con las condiciones iníciales para t = 0 de la posición x(0) = x0 y la velocidad x´(0) = v0. Vamos a estudiar los distintos casos 1. El primer caso corresponde cando o tenemos fuerza externa ni rozamiento, Es decir, f = 0 y´ = 0 entonces

y por tanto la solución general es

Que al usar las condiciones iníciales se transforma en

Esta franja incluye ejercicios propuestos, dirigidas a proveerte de un mecanismo que te permita determinar el nivel de dominio adquirido con relación a la unidad Nº dos. 2.3.2 EJERCICIOS PROPUESTOS Describa el movimiento de un peso de 32 libras suspendido de un muelle. Supóngase que el peso estira el muelle 1de pie de su posición natural. 1. Se tira del peso ½ pie por debajo de la posición de equilibrio y se suelta. 2. Se eleva el peso2/3 de pie por encima de la posición de equilibrio y se suelta. Hallar la solución general de y'" + 3 y"+ 3 y'+ y = x Sugerencia: sabemos que la solución homogénea es yh = C1e-x + C2xe-x + C3x2e-x Por coeficientes indeterminados. Resolver

UNIDAD TRES

ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES 86

¡Bienvenido a tus actividades de aprendizaje de esta unidad! Para culminar con la Unidad tres de la asignatura, deberás manejar conceptos ya mencionados, en esta unidad aplicaremos el estudio de series y funciones especiales en las ecuaciones diferenciales.

3.1. GENERALIDADES DEL ESTUDIO DE SERIES

3.1.1. ESTUDIO DE SERIES DE POTENCIAS Conceptualización En este tema se trata únicamente de efectuar un breve repaso de las series de potencias. Se expondrán los conceptos y propiedades, sin realizar las demostraciones. Se suponen conocidas las series numéricas y también los conceptos fundamentales relativos a las series de potencias.

Definiciones: Una serie de potencias en torno al punto xo es una expresión de la forma: 

 a n  x  x 0 n  a 0  a 1 ( x  x 0 )  ... a n ( x  x 0 )n  ... n 0

donde los an son constantes.

- La serie converge en el punto x = a , si converge la serie numérica : 

 an  a  x0 

lim

n 0

, es decir, si existe y es finito el límite : designa suma de la serie en x = a.

 a n  a  x0  N  n0

, que se

- En otro caso se dice que la serie diverge en x = a. - La serie [1] puede converger para algunos valores de x y no para otros. Siempre converge para x = xo, siendo ao su suma en dicho punto. ¿Dónde converge la serie? A esta pregunta responde el teorema de Abel, que se enuncia sin demostrarlo. ´ Teorema de Abel 

 a n  x  x0 n converge siempre para todo valor Una serie de potencias n  0 de x de un cierto intervalo abierto I=(x0-R, x0+R) y diverge si x  x0  R . En los extremos del intervalo puede converger o no. Además en I la convergencia es absoluta, es decir, que converge en I la 

 a n  x  x0 n serie n  0 I = (x0-R , x0+R) recibe el nombre de intervalo de convergencia ¿Cómo obtener el radio de convergencia R? Criterio: lim n a n  

Si existe n  

1 , entonces R = 

an 1 1  lim n a n   a Si existe n   n , entonces n   y R=  ( Se entiende que si  = 0 es R =  y si  =  , es R = 0 ) lim

Ejemplo 1: 



 2 n  x  3n

n1 ¿ Dónde converge la serie n 0

n 2   

an1 2(n  1)  lim 2 n ( n  2) an

lim

n  1 . Luego n 1 Luego R = 2 y por tanto la serie converge y además absolutamente en 1 1   5 7 3  , 3    ,    2 2 , es decir I =  2 2  Es

5 En x = 2 , la serie es  1 n   7  n 1 En x = 2 , es n0



 n 1

n0

que diverge por ser la armónica.

que converge (armónica alternada)

Como la serie [1] converge para los puntos x  I , su suma al variar x en I , será una función S(x) que se llama suma de la serie en I.

Ahora resolvamos ecuaciones diferenciales por medio de series.

Todas las funciones se pueden expresar como series de potencias, aquellas funciones que si se Pueden se llaman analíticas.

3.1.2.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS

Mostrando cómo pueden usarse las series de potencias para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales. Por brevedad, limitaremos nuestro estudio al enunciado y manejo del método, omitiendo el desarrollo teórico. Comenzamos con el método general de solución por series de potencias. Recuérdese del Capítulo 10 que una serie de potencias representa a una función f en un intervalo de convergencia, y que podemos derivar la serie de potencias sucesivamente, para obtener series para f, f", etc. Por ejemplo,



f(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x3 + ... =

 anxn

n=0  2

f´(x) = a1+2 a2x + a3x + + 4ª4x3 + ... =  nanxn-1 n=0  2

f"(x) = 2 a2 + 6a3x + 12a4x + 20a5x3 + ... =  n(n -1 ) an x

n-2

n=0

Solución en serie de potencias Usar una serie de potencias para hallar la solución general de la ecuación diferencial y' – 2y =0. Solución: Supongamos que 

y=

an x

n=0

es una solución. Entonces 

y=

nan x

n-1

n=1

sustituyendo en ´y –2y, obtenemos la forma de serie siguiente para la ecuación diferencial dada 



y´- 2 = 

nan x

n-1

n=1

an x

n=1





an x

–2 

nan x

n=0

n-1

=2

n=0

A continuación ajustamos los índices de la suma de forma que aparezca x en cada serie. En este caso basta sustituir n por n + 1 en la serie de la izquierda para obtener 





(n + 1)an + 1x

n=-1

=2

an x

n=0

Igualando los coeficientes de términos correspondientes, obtenemos la fórmula de recurrencia (n + 1) an+1 = 2an´ de donde an+1 = 2 an , n  0

n+1

Está formula genera los resultados siguientes en términos de a0 a1 = 2 a0 a2 = 2a1 = 22a0 2 2 a3 = 2a2 = 23a0 = 23a0 2 2.3 3! a4 = 2ª3 = ___24a0 = 24a0 2 2.3.4 4! . . . an = 2na0 n! Usando estos valores como coeficientes de la serie solución, tenemos





n=-0



2na0 x n!

= a0

2n x n!



= a0e2x

n=0

Usar una serie de potencias para resolver la ecuación diferencial y´´ + xy´+ y =0 Solución: Suponemos que 

anxn es solución. Entonces

 n=0 

y´=  nanxn-1



xy´=  nanxn

n=0

y´´=  n (n-1)anxn-2

n=0

Sustituyendo y´´, xy´e y en la ecuación diferencial dada, obtenemos las series siguientes: 



y´=  n(n-1)anxn-2 +  nanxn n=0

n=0



+  anxn = 0 n=0



 n(n-1)anxn-2 = -  (n+1)anxn n=0

n=0

Para igualar las potencias de x, ajustamos los índices de la suma sustituyendo n por n+2 en la suma de la izquierda, obteniendo 



 (n+2)(n+1)an+2xn = -  (n+1)anxn n=-2

n=0

Igualando coeficientes, resulta que (n+2)(n+1)an+2 = -(n+1)an, de donde se obtiene la formula de recurrencia an+2 = - __(n+1) an = - an_ n 0 (n+2)(n+1) n +2 y los coeficientes de la serie solución son a2 = - a 0 2

a3 = - a1 3

a4 = - a 2 4

= a0 2.4

a6 = - a 4 6

= a0____ 2.4.6

a2k = (-1)ka0 = 2.4.6 ... (2k)

a3 = - a1 = a1 5 3.5 a7 = - a5 = a1___ 7 3.5.7 = (-1)ka0_ 2k(k!)

a2k+1 = - ____(-1)ka1 ___ 3.5.7… (2k +1)

Luego, podemos representar la solución general como suma de dos series, una para las potencias para con coeficientes en términos de a0, y otra para las potencias impares con coeficientes en términos de a1. y = a0( 1-x2 + x4 - ...) + a1 (x – x3 + _x5_ -...) 2 2.4 3 3.5 



= a0  (-1)kx2k + a1  k=0

___(-1)kx2k+1 3.5.7…(2k+1)

k=0

Obsérvese que la solución tiene dos constantes arbitrarias, ao y a1 tal como esperaríamos en la solución general de una ecuación diferencial de segundo orden.

El camino a seguir es con actividad conducente al logro del objetivo de aprendizaje planteado en cada unidad del conocimiento profundo de las ecuaciones diferenciales a partir del el estudio de series y funciones

3.1.3 Ecuación de Bessel.

(1)

Donde á es un número real o complejo. El caso más común es cuando á es un entero n, aunque la solución para á no enteros es similar. El número á se denomina orden de las funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación. La Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación de Laplace o a la ecuación de Helmholtz por el método de separación de variables en coordenadas cilíndricas o esféricas. Por ello, las funciones de Bessel son especialmente importantes en muchos problemas de propagación de ondas, potenciales estáticos y cualquier otro problema descrito por las ecuaciones de Helmoltz o Laplace en simetrías cilíndricas o esféricas. Cuando se resuelven sistemas en coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero (á = n) y en problemas resueltos en coordenadas esféricas, se obtienen funciones de Bessel de orden semientero (á = n + 1 / 2), por ejemplo: Ondas electromagnéticas en guías de onda cilíndricas Conducción del calor en objetos cilíndricos. Modos de vibración de una membrana delgada circular (o con

forma de anillo).

Difusión en una red.

También se usan funciones de Bessel en otro tipo de problemas, como en procesado de señales. 3.1.4 Funciones de Bessel ordinarias Las funciones de Bessel ordinarias de orden á, llamadas simplemente funciones de Bessel de orden á son soluciones de la ecuación de Bessel (1). Existen dos formas simples de expresar la solución general de la ecuación diferencial de Bessel con parámetro á, que están asociadas a las funciones de Bessel ordinarias de primera y de segunda especie. Funciones de Bessel de primera especie: Já Las funciones de Bessel de primera especie y orden á son las soluciones de la ecuación diferencial de Bessel que son finitas en el origen (x = 0) para enteros no negativos á y divergen en el límite para á negativo no entero. El tipo de solución y la normalización de Já(x) están definidos por sus propiedades abajo indicadas. Para las soluciones de orden entero es posible definir la función Já(x) por su expansión en serie de Taylor en torno a x = 0:

(z) es la función Gamma de Euler, una generalización del factorial para números complejos. Para á no enteros, se necesitan expansiones en series de potencias más generales. Estas funciones cumplen que: Si

, entonces Já(x) y J

− á(x)

son linealmente independientes, y por

tanto dan una solución general de la ecuación de Bessel. Si J

− á(x)

no está definida en x = 0.

, entonces

, entonces se cumple:

, por lo que las dos soluciones dejan de ser linealmente independientes. En este caso, la segunda solución linealmente independiente será una función de Bessel de segunda especie.

construir tu propio conocimiento, deseamos que esta Al experiencia sea tan significativa, que te resulte una actividad útil para aprender estudio de series y funciones especiales.

3.2

FUNCIONES ESPECIALES Y SERIES MATEMATICAS

3.2.1 SERIES DE TAYLOR

Es una función f(x) infinitamente derivable real o compleja definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma:

Aquí, n! es el factorial n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a. Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

La elaboración de un producto propio, que pueda ser utilizada por ti y por otros. En tal sentido, deseamos estimularte para que construyas referente a las soluciones mediante series de Taylor

3.2.2 Solución de ecuaciones diferenciales mediante Series de Taylor Un segundo tipo de método de resolución por series de potencias se refiere a una ecuación diferencial con condiciones iniciales, y hace uso de las series de Taylor. EJEMPLO Aproximación por el teorema de Taylor Usar el teorema de Taylor para hallar la solución en serie de y'=y2-x con la condición inicial y = 1 en x = 0. A continuación, usar los primeros seis términos de esta solución en serie para aproximar los valores de y en 0 x  1 Solución: Recuérdese de la Sección 10.10 que, para C = 0 y = y(0) + y' (0)x + y´´ ( 0) + y"' (0) x3 +… 2! 3! Como y(0) = 1 e y' = y2 - x, se sigue que y(0) = 1 y´(0) =1

y' = y2 –x y" = 2y y' – 1

y´´(0) =2-1=1

y"' = 2 y y"

+ 2 (y)2

y´´´ (0) = 2+2=4

y(4)= 2 y y"'

+6 y' y"

y(4)(0) = 8+6=14

y(5) =2yy(4) + 8 y' y"' + 6 (y')2

y(5)(0= 28+32+6=66)

y(0) = 1 Por tanto, podemos aproximar los valores de la solución mediante la serie y= y(0) + y´(0)x +y´´(0)x2 + y´´´ (0) x3 + y(4)(0) x4 + y(5) (0) x5 + ... 2! 3! 4! 5! 2 3 4 5 = 1 + x + 1 x + 4 x + 14 x 66 x + ... 2 3! 5! Usando los seis primeros términos de esta serie, calculamos varios valores de y en el intervalo 0  x  , como muestra la Tabla. 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 x 0.0 y 1.00000 1.1057 1.2264 1.3691 1.5432 1.7620 2.0424 2.4062 2.8805 3.4985 4.3000

Como podrás notar a través de las actividades propuestas en las franjas anteriores, has aprendido mucho a identificar las diferentes ecuaciones diferenciales y a practicarlas en series y funciones especiales.

3.2.3 Funciones ortogonal En análisis funcional, se dice que dos funciones f y g de un cierto espacio son ortogonales si su producto scalar

es nulo.

Que dos funciones particulares sean ortogonales depende de cómo se haya definido su producto escalar, es decir, de que el conjunto de funciones haya sido dotado de estructura de espacio prehilbertiano. Una definición muy común de producto escalar entre funciones es:

(1)

con límites de integración apropiados y donde * denota complejo conjugado y w(x) es una función peso (en muchas aplicaciones se toma w(x) = 1). Véase también espacio de Hilbert para más detalles. Las soluciones de un problema de Sturm-Liouville, es decir, las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones de borde adecuadas pueden escribirse como una suma ponderada de funciones ortogonales (conocidas también como funciones propias). Así las soluciones del problema:

(2)

3.2.4 Serie de Fourier Es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica.

Si es una función o señal periódica y su período es 2T, la serie de Fourier asociada a es:

Donde

son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:

Los coeficientes ahora serían:

Aplicaciones Realmente el desarrollo de Fourier se hace para funciones de cuadrado integrable, es decir, para funciones que cumplan que:

El conjunto de todas las funciones integrables definidas en el intervalo se denota con L2([ − ð,ð]). Este conjunto, tiene definido un producto interno dado por:

Que lo dota de estructura de espacio de Hilbert. De este modo, que todas las funciones de L2([ − ð,ð]) puedan desarrollarse en series de Fourier. Así, el conjunto de funciones exponenciales normal del espacio L2([ − ð,pi]. El desarrollo de Fourier se puede expresar como:

es una base orto

Donde

son los coeficientes del desarrollo de Fourier.

Por último, la igualdad de Parseval dice que dada una función f de cuadrado integrable y los coeficientes de Fourier cn, se verifica que:

Esta franja incluye ejercicios propuestos, dirigidas a proveerte de un mecanismo que te permita determinar el nivel de dominio adquirido con relación a la unidad Nº tres.

3.2.5 EJERCICIOS PROPUESTOS

Usar series de potencias para resolver la ecuación diferencial. 1. y'-y= 0 3. y" - 9y = 0

2, y' - ky = 0 4. y" – k2y = 0

Usar el teorema de Taylor para hallar la serie solución de la ecuación diferencial con las condiciones iníciales especificas. Usar n términos de la serie con el fin de aproximar y para el valor de x dado. 5. y' + (2x - 1) y= 0, y(0) = 2, n = 5, x = 1 2

100

6. y' - 2xy = 0,y(0)= 1, n = 4, x = 1

Verificar que la serie converge a la función dada sobre el intervalo que se indica. 

1. =  xn = ex, ( , ) n=0 n! Ecuación diferencial: y' - y = 0 

2.  _____(2n)! x2n+1 = arcsen x, (-1 ,1) n=0 (2nn!)2(2n + 1)

Ecuación diferencial: (1 – x2)y" - xy' = 0

Miscelánea De Ejercicios Unidad uno. Hallar la solución general de la ecuación diferencial de primer orden.

1. dy + xy = 2y dx 2. y´- 2y = y´ x x 3. xy dx + (1+x2)dy = 0 4. xy dy = (y + 1) (1-x) dx 5. x2 y' = 1 - x2 + y2 - x2 y2 6. x2 tg y dx - sec x dy = 0 7. (y exy + 2xy) dx + (x exy + x2) dy = 0

101

8. (3y + ex) dx + (3x + cos y) dy = 0 9. cos y dx -(x sen y - y2) dy = 0 10. (y + x3 + xy2)dx - xdy = 0 11. yexydx + xexydy = 0 12. y' = x2y2 - 9x2 13.

14.

15.

UNIDAD DOS. Hallar la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden: 1. y´´ + y = 2 cos x 2. y´´ - 2y´+ y = 2xex 3. y´´ + 2y´+ y =

1__ x2ex

4. 5.

5x(x - 1) - 2(2x2 - 7x) = - 8

(x + 2)2 = 1 - x(x + 3)

(2x - 5)(2x + 5) - 119 = 0

(x + 11)(x - 11) = 23

(x + 6)(x - 6) = 13

102

10. 21x2 + 100 = - 5 11. x2 + 12x + 35 = 0 12. (4x - 1)(2x + 3) = (x + 3)(x - 1) 13. 14.

15.

Hallar la familia de trayectorias ortogonales a la familia dada y dibujar varias curvas de ambas familias.

a. (x – C)2 + y2 = C2 b. y – 2x = C

UNIDAD TRES. Hallar la solución en forma de serie de la ecuación diferencial. 1. y´´ + 3xy´- 3y = 0 2. xy´- y = x3 y4 3. xy´+ y = -xy2 4. y´+ 3xy = xy2 5. y´= y2 + 6x y + 9x2 6. y´ = y2 - 5xy + 5 7. y´= y2 + 4y - 5

S(x) = - 5

8. y´= y2 + 8xy + 16x2 - 4

S(x) = -4x

9. 10.

103

11.

12.

13. 14. Encontrar los cinco primeros t茅rminos de la soluci贸n general de la ecuaci贸n

Centre la serie en el punto

104

GLOSARIO Condiciones Iníciales A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones prescritas, que son las condiciones que se imponen a y(x) o a sus derivadas. Los valores dados de la función desconocida, y(x), y de sus primeras n1 derivadas en un solo punto x0: y(x0) = y0, y'(x0) = y1,...,y(n1) (x0) = y(n1) se llaman condiciones iníciales. Condiciones De Linealidad Se dice que una ecuación diferencial de la forma y(n) = f(x, y, y',..., y(n1)) es lineal cuando f es una función lineal de y, y',..., y(n1) Las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales: i) La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de todo término donde aparece y es 1. ii) Cada coeficiente solo depende de x, que es la variable independiente. Conjunto Fundamental De Soluciones Todo conjunto y1, y2,..., yn de n soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n, en un intervalo I, se llama conjunto fundamental de soluciones en el intervalo. Dependencia O Independencia Lineal Se dice que un conjunto de funciones, f1(x), f2(x), ... , fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo Iv si existen constantes, C1, C2, ... , Cn no todas cero, tales que C1f1(x) + C2F2(x) + ... + CnFn(x) = 0 Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente. Ecuación Auxiliar Comenzaremos con el caso especial de la ecuación de segundo orden ay + by + cy = 0 (2) Si probamos con una solución de la forma y = emx, entonces y = memx y = m2emx, de modo que la ecuación (2) se transforma en am2emx + bmemx + cemx = 0 o sea emx (am2 + bm + c) = 0

105

Como emx nunca es cero cuando x tiene valor real, la única forma en que la función exponencial satisface la ecuación diferencial es eligiendo una m tal que sea una raíz de la ecuación cuadrática am2 + bm + c = 0 Esta ecuación se llama ecuación auxiliar o ecuación característica. Función Complementaria La combinación lineal yc(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + ... + Cn yn(x), que es la solución general de (6), se llama función complementaria para la ecuación (7). En otras palabras, para resolver una ecuación diferencial no homogénea primero se resuelve la ecuación homogénea asociada y luego se determina cualquier solución particular de la ecuación no homogénea. La solución general de la ecuación no homogénea es, entonces, Y = función complementaria + cualquier solución particular Diferencial Exacta Una ecuación diferencial M(x,y) + N(x,y) es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencia de alguna función F(x,y). Una ecuación diferencial de primer orden de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 Es una ecuación diferencial exacta o ecuación exacta), si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta. Dependencia O Independencia Lineal Se dice que un conjunto de funciones, f1(x), f2(x), ... , fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes, C1, C2, ... , Cn no todas cero, tales que C1f1(x) + C2f2(x) + ... + Cnfn(x) = 0 Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente. Derivadas Totales. En algunos casos x, y no son variables independientes en la función Q=f(x,y) ya que tanto x como y pueden estar en función de una tercera variable t es decir, X =f (x), y = f(t) valores que se sustituyen

106

en la función Q, esta se convierte en una función de una sola variable “t” y su derivada puede encontrarse de manera ordinaria o mediante la expresión. De la misma forma se obtiene para una función de un número cualquiera de variables, esto es: Ecuaciones Exactas. La igualdad M (x,y) dx + N(x,y)dy = 0 es una ecuación diferencial exacta el primer miembro es una diferencial total. Es decir: Si df = fxdx + fydy por lo tanto fxdx + fydy = 0 es una ecuación diferencial exacta y fx = M(x,y), y fy = N(x,y). Encontrar la solución de una ecuación diferencial exacta es hallar una función f(x,y) tal que su diferencial total sea exactamente la ecuación diferencial dada. Ecuación Integral Con Factor Integrante. Si existe una función F(x,y) tal que f(x,y)M(dx) + f(x,y)N(dy) = 0 es exacta entonces f(x,y) se llama factor de integración de la ecuación diferencial Mdx + DNI = 0 Conviene notar que una ecuación diferencial no exacta puede tener varios factores de integrantes es decir, puede convertirse en exacta Ecuación de Bernoulli La ecuación diferencial Y’ + P(x)y = f(x)yn n es cualquier número real, es la ecuación de Bernoulli. La sustitución u = y 1-n reduce cualquier ecuación de la forma anterior a una ecuación lineal. Ecuaciones Lineales No homogéneas Toda función yp libre de parámetros arbitrarios que satisface la ecuación (7) se llama solución particular o integral particular de la ecuación; por ejemplo, se puede demostrar directamente que la función constante yp = 3 es una solución particular de la ecuación no homogénea y + 9y = 27.

107

Ecuación Diferencial Es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes es una ecuación diferencial. Factor Integrante El factor integrante e " P(x)dx se utiliza en las ecuaciones lineales y en las ecuaciones tipo Bernoulli para poder obtener su solución. Familia De Curvas Una ecuación F(x) + c, donde c es una constante arbitraria que determina el desplazamiento vertical u horizontal de la grafica de la función, genera una familia de curvas. Función Seccionalmente Continua Una función es continua por tramos en [ 0, ") si, en cualquier intervalo 0 " a " t " b hay, cuando mucho, una cantidad finita de puntos tk , k = 1, 2, .... , n (t k-1 < t k ) en los cuales f tiene discontinuidades finitas y es continua en todo intervalo abierto t k-1 < t < t k. Fracciones Parciales Usted ya sabe cómo combinar dos o más expresiones racionales a fin de obtener una expresión racional mediante adición o sustracción. En ocasiones es necesario invertir el proceso, es decir, representar una expresión racional simple como una suma de dos o más cocientes simples, denominado fracciones racionales. En cálculo se necesita hacer esto a fin de efectuar la operación de integración de algunas funciones racionales. Con frecuencia se emplean sistemas de ecuaciones para descomponer una expresión racional en fracciones parciales. H(x) = P(x) Donde P(x) y Q(x) son polinomios. Se asumirá que se tiene una fracción propia, esto es, una fracción por la cual el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x). Si se tiene una función racional para la cual el grado del numerador no es menor que el grado del denominador entonces se tiene una fracción impropia, y en este caso se divide el numerador entre el

108

denominador entonces se tiene una fracción impropia, y en este caso se divide el numerador entre el denominador hasta que se obtenga una fracción propia. Función Homogénea Cuando una función f tiene la propiedad F(tx,ty) = ta f(x,y) Para un numero real a, se dice que es una función homogénea de grado a M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 Es homogénea si los coeficientes M y n, a la vez, son funciones homogéneas del mismo grado. Intervalo De Convergencia: Toda serie de potencias tiene un intervalo de convergencia, que es el conjunto de los números para los cuales converge la serie. Operador Diferencial En calculo, la diferenciación suele indicarse con la D mayúscula; esto es dy/Dx = Dy. El símbolo D se llama operador diferencial porque transforma una función diferenciable en otra función Punto Ordinario Se dice que un punto xo es punto ordinario de la ecuación diferencial si P(x) y Q(x) son analíticas en xo. Punto Singular Se dice que un punto que no es ordinario es un punto singular de la ecuación. Es singular real si tanto (x -xo)P(x) como (x - xo)Q(x) son analíticas en xo. Se dice que es un punto singular que no es regular es un punto singular irregular de la ecuación. Soluciones Explicitas e Implícitas Una solución en el que las variables dependientes se expresan tan solo en términos de la variable independiente y constantes, se llama solución explicita. Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una ecuación

109

diferencial ordinaria, como la ecuación satisfaga la relación, y la ecuación diferencial, en I. En otras palabras, G(x,y) = 0 define implícitamente a al función . Solución General Si toda solución de una ecuación de orden n, F(x, y, ya,..., y(n) ) = 0, en un intervalo I, se puede obtener de una familia n-paramétrica G(x, y, c1, c2,..., cn) = 0 con valores adecuados de los parámetros c1(i = 1, 2, ..., n), se dice que la familia es la solución general de la ecuación diferencial. Solución Particular Una solución de una ecuación diferencial que no tiene parámetros arbitrarios se llama solución particular; por ejemplo, podemos demostrar que, por sustitución directa, toda función de la familia monoparametrica y = cex también satisface la ecuación. Solución Singular: En algunos casos, una ecuación diferencial tiene una solución que no se puede obtener particularizando alguno de los parámetros en una familia de soluciones. Esa solución se llama solución singular. Teorema De Existencia Y Unicidad Sea R una región rectangular del plano xy, definida por a " x " b, c " y " d, que contiene al punto (x0,y0). Si f(x,y) y "f/"y son continuas en F, entonces existe un intervalo I, Series De Potencias Una serie de potencias en x - a es una serie infinita de la forma no cn(x a)n. También, se dice que esa serie es una serie de potencias centradas en a.

110

BIBLIOGRAFÍA

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