Împărțirea numerelor naturale la un număr format din o cifră I.Împărțirea cu rest Exemplu: Radu are 17 bomboane. El dă fetițelor din clasă câte 5 bomboane. Câte fetițe au primit bomboane ? Scrie rezolvarea aici:
Putem constata că s-au putut împărți câte 5 bomboane la 3 fetițe. Au rămas două bomboane, deci mai puțin decât am putea da unei alte fetițe. Putem scrie: 17 = numărul bomboanelor ce trebuie împărțite; 5X3= 15 numărul bomboanelor împărșite la fetițe: 2 = numărul bomboanelor rămase. Indicație: deoarece a mai rămas o bomboană nedistribuită vom scrie: 17: 5= 3 (rest 2) O astfel de împărțire o numim împărțire cu rest. Denumiri și notații: D Î C R DEÎMPĂRȚIT
17
ÎMPĂRȚITOR
:
5
CÂT
=
REST
3
2
Între deîmpărțit, împătțitor, cât și rest există o legătură și anume: 17: 5 = 3 (rest 2) 3 X 5 +2= 17 D : Î = C (rest R) CX Î +R= D Restul va fi întotdeauna mai mic ca împărțitorul. EXERSĂM! 1. Aflați câtul și restul următoarelor împărțiri: 7 : 3=………… ……….. 8 : 3 = ………….. 14: 3=………………….. 20: 6= …………… 21: 9=………………….. 33: 8=……………. 38: 6=………………….. 36: 7=……………. 47: 5=………………….. 42: 8=……………. 38: 9=…………………. 43: 7=…………….
9 : 4=……………… 19: 5=……………… 24: 5=……………… 28: 9=……………… 55: 9=……………… 66: 7=………………
II.Împărțirea numerelor naturale formate numai din zeci a) Deîmpărțitul este format numai din zeci. 1. Calculați: 20 : 2=……. 80 : 4=…….. 60 : 3=…….. 90 : 3=………. 30 : 3=……. 60: 2=……... 80: 2=……… 40 : 1=………. 2. Aflați jumătatea numerelor: 80; 40; 20; 60. 3. Aflați sfertul numerelor: 40; 20; 80. 4. Maria vrea să citească o carte care are 80 de pagini. În prima zi citește un sfert din numărul paginilor, a doua zi citește jumătate din paginile rămase iar a treia zi restul, terminând cartea. Câte pagini a citit Maria în a treia zi? 5. Sebastian merge la cumpărături având suma de 40 de lei. Cu jumătate de sumă el cumpără un stilou, iar din restul banilor își cumpără caiete a 4 lei bucata. Câte caiete a cumpărat Sebastian? III. Deîmpărțitul este format din zeci și unități. a) Zecile și unitățile deîmpărțitului se împart exact la împărțitor 1. Efectuați următoarele împărțiri , apoi calculați proba prin operația inversă împărțirii (înmulțirea): a) 24 : 2= b) 36 : 2= c) 46 : 2 = d) 69 : 3= 84 : 4= 26: 2= 48 : 4 = 96 : 3= 2. Aflați: a) De câte ori este mai mic 5 decât 55; b) Cu cât este mai mare 78 decât 9; c) De câte ori este mai mic 3 decât 69; d) Jumătate din suma numerelor 48 și 40; e) Sfertul diferenței numerelor 72 și 36; 3. Pentru confecționarea unei rochițe se folosesc 3 metri de mătase. Câe rochițe se pot confecționa din 93 de metri de mătase? Câți metri de mătase sunt necesari pentru a confecționa 4 rochițe? 4.Într-un bidon sunt 36 litri petrol, iar în altul de 3 ori mai puțini litri decât în primul. Câți litri de petrol se află în cele două bidoane? 6. La un concurs de gimnastică participă 84 de persoane. Dintre acestea, jumătate sunt fete, un sfert sunt băieți, 5 sunt arbitri iar restul sunt în juriu. Câte persoane sunt în juriu? 7. Aflați valoarea numărului necunoscut: a X 5 = 55 4 X b = 84
93 : c = 3
d X 2 =62
8.Într-un coș se află 96 ouă. O treime din ele sunt folosite la cozonaci, jumătate din rest sunt folosite la prepararea unor tarte cu fructe iar din ouăle rămase sunt preparate 4 torturi. Știind că, pentru prepararea torturilor, ouăle au fost împărțite în mod egal, aflați câte torturi s-au preparat.
b)Zecile deîmpărțitului nu se împart exact la împărțitor: 1. Efectuați următoarele împărțiri: a) 36 : 2= b) 72 : 3= c) 78 : 2 + 54 : 3= d)96 : 8 – 38 : 2= 72 : 4= 96 : 4= 34 : 2 + 52 : 4= 78 : 2 - 45: 5= 76 : 2= 58 : 2= 92 : 4 X 3 – 15= 76 : 4 + 33X2= 2. Aflați câtul următoarelor împărțiri, apoi verificați rezultatele efectuând proba prin operația de înmulțire: 54: 2= 70: 2= 84: 4= 65: 5= 85 : 5= 3. Aflați numerele necunoscute: 4 X a= 68 b X 6= 78 4. 5. 6. 7.
3 X c= 57
d X 3= 84
Aflați sfertul, apoi jumătatea numerelor: 48; 24; 92; 36; 52. Aflați sfertul numerelor: 96; 76; 60; 84; 68; 52; 88; 72; 64. Aflați o treime din: 81; 72; 42; 96; 87; 57; 81; 90. Aflați jumătatea numerelor: 56; 72; 90; 26; 98; 46; 64.
8. Trei cărți de povești costă împreună 81 lei. Câți lei vor costa 5 cărți de povești? 9. Patru stilouri costă împreună 96 lei. Iulian are suma de 50 de lei și vrea să cumpere 2 stilouri. Îi ajung banii? Ce rest primește? 10.Bunicul are în livadă 87 de pomi fructiferi, meri și peri. Știind că numărul merilor este cu 13 mai mare decât numărul perilor, să se afle câți meri și câți peri are bunicul în livada sa. 11.Suma a două numere consecutive pare este 54. Aflați cele două numere. 12.Suma a două numere consecutive impare este 36. Care sunt cele două numere? 13. În trei cutii sunt 36 de bomboane. Câte bomboane sunt în 5 cutii? 14.Află suma a trei numere știind că: primul număr este 72, al doilea este de 4 ori mai mic, iar al treilea este de trei ori mai mic decât al doilea. 15.Suma a trei numere este 113. Suma primelor două este 56, iar al treilea număr este de 3 ori mai mic decât al treilea. Aflați cele trei numere. 16. Simona și Teodora au colecționat împreună 76 vederi. Teodora a colecționat de două ori mai multe decât Simona. Câte vederi au colecționat fiecare? 17. Lucian le explică prietenilor săi: „ Suma vârstelor părinților mei este egală cu 71, iar mama este cu un an mai tânără decât tatăl meu. Vârsta mea este un sfert din vârsta tatălui meu. Câți ani avem fiecare?”
Împărțirea numerelor naturale scrise cu trei cifre I. Numărul sutelor, zecilor și al unităților se împart exact la împărțitor a)Deîmpărțitul este format numai din sute. Procedeu de calcul: Câtul se obține împărțind sutele deîmpărțitului la împărțitor. Exemplu: 800 : 2 = 8 sute : 2 = 4 sute = 400 1. Efectuați: a) 400 : 2 =………….. b) 600 : 3 =……………. c) 800 : 4=…………. 500 : 5 =………….. 800 : 2 =……………. 600 : 2 =…………. 400 : 4 =………….. 900 : 3 =……………. 900 : 9 =…………. 2. Aflați numărul necunoscut: 600 : 3 + a = 380 800 : 2 – b = 120 c – ( 900 : 3) = 420 3. Calculați, respectând ordinea operațiilor: a)500 : 5 + 120 – 600: 6 + 360 = 800 : 4 – 80 + 400 : 2 – 63 : 3= ( 900 : 3 + 156) – 500 : 5 + ( 600 : 3 + 2)=
b) 300 : 3 + 400 : 2 – 86: 2= (420 X 2 + 2) – 96: 3 + 800: 2= 36 X 12 – (500: 5 + 5) + 600: 2=
b) Deîmpărțitul nu este format numai din sute . Procedeu de calcul: Câtul se obține împărțind pe rând, sutele, zecile și unitățile deîmpărțitului la împărțitor. Exemplu: 480 : 2 = ( 400 + 80 + 0) : 2 = ( 400 : 2 ) + ( 80 : 2) + ( 0 : 2) DECI 480 : 2= 240 = 200 + 40 + 0 = 240 Exemplu: 248 : 2 = ( 200 + 40 + 8) : 2 = (200 : 2) + ( 40 : 2) + ( 8 : 2) DECI 248 : 2= 124 = 100 + 20 + 4 =124 1. Calculați următoarele împărțiri: a) 930 : 3 =……….. b) 428 : 2 = ………. 880 : 2 =……….. 366 : 3 = ………. 550 : 5 = ………. 488 : 4 =………..
c) 696 : 3=………… 402 : 2=………… 996: 3=…………
2. Aflați jumătatea, apoi sfertul numerelor: 408; 884; 444; 488. 3. Efectuați: a) 824 : 2 – 278 = b) 707 : 7 – 89= c) 966 : 3 + 298= d) 76 + 306 : 3= 904 – 636 : 3= 493 + 824 : 2= 620 : 2 – 54 = 857 – 505 : 5= 4. Într-o tabără la mare au sosit 369 copii. Ei au fost repartizați câte 3 în cameră. Câte camere au fost ocupate? 5. La diferența numerelor 218 și 56 adăugați jumătatea numărului 802. 6. Pentru confecționarea unei uniforme școlare se folosesc 3 m de stofă. Câte uniforme școlare se pot confecționa din 933 m de stofă?
7. Se dau numerele: 603; 966; 396. Aflați numerele: a) de 3 ori mai mici decât numerele date b)cu 3 mai mici decât numerele date 8. Într-un depozit sunt 844 pachete de orez. Un sfert din acestea se trimit spre vânzare la un supermarket, o treime din pachetele rămase sunt donate la un cămin de bătrâni iar restul pachetelor se distribuie, în mod egal, la două creșe pentru copii. Câte pachete primește fiecare creșă de copii? 9. La o fabrică de jucării s-au realizat 500 de păpuși și 630 ursuleți. Știind că păpușile au fost ambalate câte 5 într-o cutie, iar ursuleții câte 3 într-o cutie, aflați: a) numărul cutiilor în care au fost ambalate păpușile; b)numărul cutiilor în care au fost ambalați ursuleții; c) care cutii sunt mai multe și cu cât; d) numărul total de cutii în care au fost ambalate jucăriile. 10.La o seră s-au plantat 800 de flori. Dintre acestea, jumătate sunt garoafe, jumătate din restul florilor sunt trandafiri, o doime din rest din rest sunt narcise iar restul sunt crini. Câte flori, din fiecare fel, sunt la seră? Observați cu atenție tabelul de mai jos, apoi completați ajutându-vă de rezultatele obținute în urma rezolvării problemei: Denumire floare Preț unitar (bucată) Nr. flori plantate Preț flori plantate GAROAFĂ 4 lei TRANDAFIR 6 lei NARCISĂ 2 lei CRIN 8 lei TOTAL COST 11.Pentru 4 scaune, mama a plătit 848 lei. Ce sumă va plăti pentru a achizișiona 6 scaune? Dar 10 scaune? 12.Trei dicționare de același fel costă, împreună, 396 lei iar 5 cărți de povești costă, împreună, 85 lei. Ionuț cumpără un dicționar și două cărți cu povești și oferă la casă 200 de lei. Ce rest va primi Ionuț? 13.Două mese costă 424 lei, iar 3 scaune costă 603 lei. Pentru a mobila livingul,familia Melissei dorește să cumpere o masă și 6 scaune. Ce sumă trebuie achitată? 14.Andreea a cumpărat un palton și o pereche de cizme, plătind pentru acestea suma de 628 lei. Cât a costat fiecare, dacă cizmele au fost cu 4 lei mai scumpe decât paltonul? 15.O bancă școlară și un scaun costă împreună 842 lei. Știind că scaunul este cu 42 lei mai ieftin decât costul băncii, aflați prețul fiecărui obiect.
II.
Zecile deîmpărțitului nu se împart exact la împărțitor. Zecile deîmpărțitului sunt mai mari decât împărțitorul
Exemplu :
687 3 6 229 =8 DECI 687: 3= 229 6 27 27 == 1. Calculați în scris următoarele împărțiri: a) 681: 3 = b) 872 : 2 = c) 942 : 3= 972: 3 = 496 : 4 = 580 : 5 = 892 : 4= 694 : 2 = 872 : 4 = 654 : 2= 476 : 2 = 975 : 3 =
d) 864 : 4= 565 : 5= 985 : 5= 852 : 4=
2. Efectuați următoarele exerciții, acordând atenție ordinii efectuării operațiilor: a) (320 + 156) : 2 + 550 : 5 = d) 330 : 10 X3 – ( 124 + 336) : 2= b) 972 : 3 + 585:5 – 636 : 3= e) 575: 5 + ( 848 – 504): 2= c) 342 : 3 – 45X2 + 874 : 2= f) 450 : 2 + 336 : 3 + 884 : 2= 3. Măriți cu 12 câtul numerelor 657 și 3. 4. Aflați jumătatea sumei numerelor 176 și 484. 5. Aflați: a) de câte ori este mai mare 565 decât 5; b) câtul numerelor 656 și 4; c) jumătatea numărului 454; d) sfertul numărului 440; Zecile deîmpărțitului sunt mai mici decât împărțitorul Exemplu : : 836 4 8 209 =3 DECI 836 : 4= 209 0 36 36 == 1. Efectuați: 216 : 2 = 540 : 5= 428 : 4= 864 : 8= 927: 9= 321 : 3 = 618 : 3= 836 : 4= 954 : 9= 872 : 8= 432 : 4 = 824: 4 = 721 : 7= 312 : 3= 945 : 9= 2. Aflați sfertul numerelor, apoi jumătatea numerelor: 416; 828; 412; 832. 3. Într-o bibliotecă sunt 612 cărți cu povești și de 3 ori mai puține cărți cu poezii. Câte cărți sunt în total în bibliotecă? 5. Teodora are în colecția sa 245 ilustrații din străinătate și 391 ilustrații de la noi din țară. Ea le așază în album, câte 6 pe pagină. Câte pagini va umple Teodora? Știind că albumul Teodorei are 150 de pagini, aflați câte pagini rămân necompletate.
Exerciții și probleme recapitulative* 1. Se dau numerele: 400; 820; 634; 212. Pentru fiecare din ele aflați: a) numerele de 2 ori mai mici b)numerele cu 2 mai mici 2. Efectuați: a) 600: 6= b) 220 : 2= c) 540 : 5= d) 735 : 7= 930 : 3= 462 : 2= 416 : 4= 880 : 8= 824 : 4= 808: 4= 510 : 5= 918 : 9= 612 : 2= 363 : 3= 408 : 4= 927 : 3= 3. Un termen al unei adunări este 618, iar celălalt este de 3 ori mai mic. Care este suma celor două numere? 3.La o împărțire câtul este 3 și deîmpărțitul 324. Aflați împărțitorul. 4. Calculați câtul numerelor: a) 268 și 2 b) 585 și 5 c)972 și 9 6. Calculați și completați: 436
:4
X3
- 246
7. Completează tabelul cu numere potrivite: a 600 634 428 b 400 124 244 a+b a:2+b a+b:2 (a + b) : 2
:9
X5
362 502
- 45
444 222
356 184
8. Pentru premierea celor trei câștigători ai unui concurs de șah s-au cumpărat câte 3 cărți și un stilou pentru fiecare. Pentru cărți s-au plătit 954 lei, iar pentru stilouri 324 lei. Ce sumă valorează premiul primit de fiecare câștigător? 9. La o cofetărie s-au pregătit 356 eclere. S-au trimis 18 cutii cu câte 6 eclere la cantina unei grădinițe cu program prelungit, iar restul au fost așezate câte 8 eclere pe un platou. Câte platouri au fost folosite? 10.Calculați: 234 + 468 : 2 X 3= 892: 4 + 156= 815 – 244:2:2= 11.La un chioșc au fost aduse, într-o zi, 812 ziare. Dimineața s-a vândut un sfert din numărul ziarelor aduse, iar după-amiaza s-au vândut de 2 ori mai multe decât dimineața. Restul ziarelor au fost returnate distribuitorului. Câte ziare au fost returnate? Știind că prețul unui ziar este 2 lei, aflați: a)ce sumă a fost încasată pentru ziarele vândute; b)ce sumă s-a pierdut pentru ziarele returnate.
III. Sutele deîmpărțitului nu se împart exact la împărțitor Cifra sutelor este mai mare ca împărțitorul Exemplu: 524 : 2 = (500 + 20 + 4) : 2 = (400 + 100 + 20 + 4) : 2 = 400: 2 + 100 : 2 + 20 : 2 + 4: 2 = 200 + 50 + 10 + 2 = 262
Calcul în scris: 524 2 2 262 12 12 = =4 4 =
1. Efectuați în scris următoarele împărțiri: a) 625 : 5 = b) 816 : 3 = c) 905 : 5 = 847 : 7 = 726 : 6 = 968 : 8 = 364 : 2 = 456 : 3 = 819 : 3 =
d) 346 : 2 = 528 : 4 = 846 : 6 =
2. Aflați câtul numerelor: a) 455 și 5 b) 326 și 2
d) 314 și 2
c) 576 și 3
e) 964 : 2= 605 : 5= 917 : 7= e) 915 și 5
3. Să se afle factorul necunoscut: a X 3 = 444 5 X b = 635 c X 7 = 287 2 X d = 734 e X 6 = 852 4. La o fermă de păsări sunt 423 rațe, curci de 3 ori mai puține și găini cât rațe și curci la un loc. Câte păsări sunt, în total, la fermă? 4. Aflați sfertul sumei numerelor 356 și 392. 5. Aflați jumătatea sumei numerelor 356 și 392. Cifra sutelor este mai mică decât împărțitorul 1. Efectuați, în scris, următoarele împărțiri: a) 375 : 5 = b) 216 : 4 = c) 320 : 5 = 252 : 6 = 336 : 8 = 729 : 9 = 136 : 2 = 234 : 3 = 435 : 5 =
d) 486 : 9 = 455 : 7 = 178 : 2 =
e) 154 : 2 = 496 : 8 = 546 : 6 =
2. La câtul numerelor 728 și 8 adăugați sfertul numărului 344. 3. Dublați câtul numerelor 819 și 9. 4. Într-o pădure cresc 368 arbori. Dintre aceștia, un sfert sunt brazi, jumătate din rest sunt fagi iar restul sunt stejari. Câți stejari cresc în pădure? 5. Completați traseul de mai jos: :5
435
X6
:3
:2
X5
Exerciții și probleme * 1. Efectuați: a) 60 : 3= 80 : 4= 40 : 2= 99 : 9=
b) 24 : 2= 88 : 4= 36 : 3= 62 : 2=
c) 396 : 3= 960 : 3= 480 : 4 = 640 : 2 =
d) 54 : 2 = 75 : 3= 36 : 2= 92 : 4=
e) 452 : 2= 312 : 4= 516 : 6= 344 : 8=
2.La produsul numerelor 234 și 2 adaugă câtul numerelor 927 și 3. 3. Găsește numărul de 3 ori mai mic decât diferența numerelor 837 și 546. 4. Calculați: 460 X 2 : 5= 963 : 3 X 2 = 30 X 2 : 5 X 6= 35 X 2 : 5 +7= 105 : 3 X 2 – 13= 34 X 10 : 2= 842 : 2 – 234= 40 X 2 : 4 X 6 = 123 X 4 – 98 + 3= 24 X 6 : 2 X 100= 5. Aflați factorii necunoscuți: 3 X a= 792 b X 4 = 984
c X 5 = 715
6 X d = 834
4 X e = 860
6.La faza națională a olimpiadei de matematică s-au calificat 430 de elevi. Dintre aceștia, 7 elevi au lipsit, o treime din cei prezenți au obținut note peste 8, iar restul note sub 8. Câți elevi au obținut note sub 8? 7.Produsul a două numere este 936. Unul din factori este 9. Aflați celălalt factor. 8. Școala Generală Livezeni a achiziționat 5 aparate de fotografiat, plătind pentru acestea suma de 165 lei. Liceul Tehnologic „I.C.Petrescu” vrea să achiziționaze 8 aparate de fotografiat de același fel. Ce sumă va plăti Liceul Tehnologic „I.C.Petrescu” pentru aparatele de fotografiat? 9. Calculează numerele de 6 ori mai mici decât: 618; 126; 366; 186. 10. Verificați următoarele egalități: 375 X 2+ 175 = 936 : 4 +641 970 – 784 : 4 = 144 + 2 X 315 423 X 2 – 589 = 327 + 642 : 6
825 : 3 + 275 = 824 – 134 X 6 297 – 3X94+ 36 : 4 = 434 + 895 : 5 – 589 351 : 3 X 2 – 132 + 208 = 128 + 896 : 7
11.Găsiți toate numerele naturale care înmulțite cu unul din numerele 2; 3; 4; ; 6; dau produsul 204. 12. Iulian vrea să meargă într-o tabără care costă 840 lei. Jumătate din sumă o primește de la părinții săi, un sfert îi dăruiește bunica sa, iar restul banilor îi sunt oferiți de mătușa lui. Ce sumă a primit Iulian de la mătușa lui? 13.Calculați un număr care să fie față de 105: a) de 7 ori mai mare c) de 7 ori mai mic b) cu 7 mai mare d) cu 7 mai mic
14. Trei surori, Maria, Narcisa și Mihaela, au primit de la tatăl lor suma de 852 lei pe care au împărțit-o în mod egal. Maria a cheltuit jumătate din banii primiți, Narcisa un sfert din ei iar Mihaela cât surorile sale la un loc. Câți lei mai au, împreună, cele trei surori? 15.Se dau numerele: 544 și 368. Aflați: a) numărul de 4 ori mai mare decât diferența lor; b) numărul cu 4 mai mare decât suma lor; c)numărul de 8 ori mai mic decât suma lor; d) dublul diferenței celor două numere. 16.Părinții lui Silviu au plătit 245 lei în avans pentru un televizor. Restul banilor, până la 917 lei, îi vor achita în 6 rate lunare. Ce valoare are rata lunară achitată de părinții lui Silviu? 17.Calculați: 81 + 120 : 3= 859 – 42 X 6=
157 – 21 X 6= 324 : 9 – 19 =
81 X 4 – 3 X 24= 16 X 17 + 18 X 19=
450 : 5 + 273 : 3= 936 : 3 – 625 : 5 =
18.Efectuați următoarele operații matematice: a) 81 – 75= b) 68 + 29 = c) 245 – 136 = 46 + 78= 156 – 48= 67 + 38 = 73 – 18 = 300 – 17 = 167 +233= 95 + 34= 134 + 566= 600 – 134=
d) 2 546 + 3 565= 2 507 – 1 234 = 3 451 - 957 = 2345 + 1654 =
e) 45 X 10 = f) 510 : 10 = 56 X 100= 7 500: 100= 40 X 10 = 3 000: 100= 13 X 6 = 37 X 15 = 14 X 4 + 23= 38 X 2 + 23 X 32= 15 X 10 – 3X7= 48 X 12 – 24 X 15= 19. În livada unei ferme sunt 3 rânduri de caiși, 2 rânduri de peri și 4 rânduri de meri. Câți pomi fructiferi sunt în livadă, știind că fiecare rând are 97 de pomi? 20. Dublul unui număr este 534. Care este numărul? 21. Completați tabelul următor: a 178 b 62 a+b a-b (a + b) : 2 (a – b) X 2
636 242
455 205
438 124