r.c.i.géométrie
Mille façons de dire les choses et choisir la plus appropriée pour mieux se faire comprendre
Construction de perpendiculaires
Z
Des points A & B comme centres, tracer deux arcs de cercle de rayon R. On obtient C & D. La droite (C,D) est la perpendiculaire au milieu de (A,B). (C,D) est la médiatrice de (A,B).
M
A
Médiatrice d'un segment de droite.
C
R
R B
C
D
Perpendiculaire en un point M d'une droite Z. Du point M, tracer sur Z à l'aide du compas A & B tels que : (M,A)=(M,B)=R1. Construire ensuite la médiatrice (M,C) du segment de droite (A,B).
B R1
M
C
Z A Abaisser à partir d'un point C la perpendiculaire sur une droite Z.
R1
Z M
A
B
De C comme centre, tracer un arc de cercle de Rayon R1 qui coupe Z en deux points A & B. Tracer ensuite la médiatrice (C,D) de (A,B).
D
B Perpendiculaire d'une droite Z.
A
l'extrémité
E
D'un point O quelconque extérieur à Z, tracer une circonférence de rayon (O,E). Tracer le diamètre (A,O,B).
O
Z
à
E
La droite (B,E) est la perpendiculaire en E à la droite Z car l'angle (A,E,B) est inscrit dans une demi-circonférence. C'est donc un angle droit. rci_geometrie_0906.id ©xavier+menault.2006
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Mille façons de dire les choses et choisir la plus appropriée pour mieux se faire comprendre
Construction de parallèles
Tracer une parallèle Y à une distance h d'une droite Z. Choisir sur Z deux points A & B aussi éloigné que possible. Tracer des perpendiculaires en A & B. Porter sur celles-ci la distance h donnée. On obtient C & D. La droite Y est déterminée en joignant C & D.
Y C
R=h
D
Z
R=h
A
B
N
R1
Y
Tracer d'un point M la parallèle Y à une droite Z.
R B
M
De M comme centre tracer un arc de cercle de rayon R aussi grand que possible et coupant Z en B. De B comme centre tracer un arc de rayon R coupant Z en A. De B comme centre tracer un arc de cercle de rayon R1=(M,A). Cet arc coupe l'arc de rayon R en N. La droite (M,N) est la parallèle Y de la droite Z.
R
R1 Z
A rci_geometrie_0906.id ©xavier+menault.2006
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Mille façons de dire les choses et choisir la plus appropriée pour mieux se faire comprendre
Construction d'angles 1
C
R1
angle à reporter
De A & D comme centres, tracer deux arcs de cercle de rayon R. De E comme centre tracer avec un rayon R1 = (B,C) un arc de cercle coupant l'arc de rayon R en F. Tracer (D,F).
R
R1
B
R
A
Reporter un angle alpha donné en un point d'une droite Z choisie comme premier coté.
F
D
Z E
C
R
Tracer la bissectrice d'un angle donné ABC.
D
R
De B comme centre tracer un arc de cercle de rayon R. On obtient C & A. De A & C comme centres, tracer deux arcs de cercles de rayon R1 > à 1/2 AC qui se coupent en D. Tracer (B,D) bissectrice de l'angle ABC.
A
B R
S
D 45°
Construction bles.
d'angles
remarqua-
En dessin technique les angles remarquables sont des multiples de 15°.
45° 45° T
-Angle à 45°: En construisant la bissectrice d'un angle droit (90°). -En construisant un triangle isocèle droit.
45° R rci_geometrie_0906.id ©xavier+menault.2006
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Mille façons de dire les choses et choisir la plus appropriée pour mieux se faire comprendre
Construction d'angles 2
Y
-Angle de 60°: De O comme centre tracer un arc de cercle de rayon R coupant (O,X) en A. Puis de A comme centre, tracer un second arc de rayon R. B est l'intersection des deux arcs. (B,O,A) est un angle de 60°. -Angle de 30°: Tracer la bissectrice d'un angle de 60°. -Angle de 15°: Tracer la bissectrice d'un angle de 30°. -Angle de 75°: On peut l'obtenir par addition d'un angle de 60° et d'un angle de 15°.
D B
E F
R
G
75°
60° 45°
30°
15° A
O
X
Y A 45° 30°
15°
Tracé d'une équerre d'onglet.
45° E
O
X 135°
B
D
90°
60°
Tracer (O,X) perpendiculaire à (Y,Z). Tracer une demi-circonférence de rayon (O,B). De B avec le même rayon tracer l'arc (O,C) qui coupe la demi-circonférence en D. De E porter (E,C)=(O,B). Joindre (A,E);(A,D);(B,D);(B,C);(E,C).
90° 30°
Z
C
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Mille façons de dire les choses et choisir la plus appropriée pour mieux se faire comprendre
Construction de tangentes B C T
Définition : Une droite est tangente en T à une circonférence C si elle est perpendiculaire au rayon OT et à une distance du centre égale au rayon
R O A
Tangente à une circonférence passant par A extérieure à la circonférence.
T1 R
A
B O
-Joindre (O,A). -Déterminer le milieu B de (O,A) (tracer sa médiatrice). -Tracer la circonférence de rayon (B,O) coupant la circonférence de rayon R en T1 et T2. (Règle du triangle gris inscrit…) -Joindre (A,T1) et (A,T2).
T2 T1 Tangente commune extérieure à deux circonférences.
R 1 -R 2
A
O1
R1
-Tracer les deux cercles de rayons R1 et R2 à la distance voulue. -Tracer le cercle de rayon R1-R2 et de centre O1. -Tracer à cette circonférence les tangentes (O2,A ) et (O2,A') (voir problème précédent). -Prolonger (O1,A) et (O1,A') qui coupent le cercle de rayon R1 en T1 et T1'. -De T1 et T1' déterminer T2 et T2' sur le cercle de rayon R2 de telle sorte que (T1,T2)=(T1','T2')=(O2,A).
T2
R2
A'
O2
T1'
T2'
A T1
R1
T2
R2
Tangente commune intérieures à deux circonférences.
O1 R1+R 2
O2 T2' T1'
La construction est identique à la précédente sauf que l'on trace à partir du centre O1 une circonférence de rayon R1+R2.
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Mille façons de dire les choses et choisir la plus appropriée pour mieux se faire comprendre
Construction de raccordements 1 tangente commune T
Définition : Deux lignes se raccordent si elles admettent à leur point de jonction la même tangente.
Z O
R
O2
Exemple n°1 : Pour raccorder une droite Z à un arc de cercle de centre O et de rayon R en un point T du cercle, il suffit que Z soit perpendiculaire à (O,T) en T.
R2
T
R1
Exemple n°2 : Deux cercles sont raccordés si la distance (O1,O2) est égale à R1+R2.
O1
R1+R
2
T1
O
Z
Le centre O est le point de concours des droites G1 et G2 parallèles à Z et Y à une distance R de celles-ci. Les droites G1 et G2 sont les lieux géométriques du centre O.
G1
R
G2
T2
Y
Raccordement d'une circonférence O1R1 et d'une droite Z par une circonférence de rayon R donnée.
R1
R+R
1
A. Les cercles se raccordent extérieurement. -Le centre O de la circonférence (OR) est au point de concours de : -la parallèle à Z à une distance R, -la circonférence (O1,R+R1). Cette construction présente deux solutions possibles O & O'.
O1
R
O'
O
Raccordement de deux droites Z et Y par une circonférence de rayon R donnée.
R
Z T
T' rci_geometrie_0906.id ©xavier+menault.2006
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Mille façons de dire les choses et choisir la plus appropriée pour mieux se faire comprendre
Construction de raccordements 2
R1-R R1
O1
O'
R
O
Raccordement d'une circonférence O1R1 et d'une droite Z par une circonférence de rayon R donnée.
R
R
B. Les cercles se raccordent intérieurement. Le centre O de la circonférence (O,R) est au point de concours de : -la parallèle à Z à une distance R de celle-ci. -la circonférence (O1,R-R1). Cette construction présente deux solutions.
Z T
T' O
R Raccordement de deux circonférences par une troisième.
R+R
2
O1
R2 O2
R1
R+R
A. Raccordements extérieurs. Le centre O de la circonférence (O,R) est au point de concours des circonférences (O1,R+R1) et (O2,R+R2). Cette construction présente deux solutions.
1
O' O
O1
1
R2
R1
R -R
R-R2
B. Raccordements intérieurs. Le centre O de la circonférence (O,R) est au point de concours des circonférences (O1,R-R1) et (O2,R-R2).
O2
R
O' O' 1
R+R
R1
R-R2
R2
O2
O1
C. Raccordements intérieur & extérieur. Le centre O de la circonférence (O,R) est au point de concours des circonférences (O1,R+R1) et (O2,R-R2).
R O rci_geometrie_0906.id ©xavier+menault.2006
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Mille façons de dire les choses et choisir la plus appropriée pour mieux se faire comprendre
Construction de polygones 1 B
A
E'
C E
F
A' B'
G
D
C'
D'
-(A,B,C,D,E) est un polygone irrégulier convexe. -(A',B',C',D',E') est polygone irrégulier concave. -(F,G,H) est un polygone régulier, un triangle équilatéral (trois cotés et trois angles égaux). triangle : 3 cotés quadrilatère : 4 cotés pentagone : 5 cotés hexagone : 6 cotés heptagone : 7 cotés octogone : 8 cotés ennéagone : 9 cotés décagone : 10 cotés hendécagone : 11 cotés dodécagone : 12 cotés
H A
R2
R3
B
A
R1
B
C
C
B
R
C
R
A R
A
R
B
B
Construction de triangles et de quadrilatères. -A partir de rayons (R, R1, R2, R3) dont la dimension correspond à la taille des cotés.
D
A
Définition : Un polygone est une ligne brisée fermée qui s'inscrit dans un même plan.
-Triangle équilatéral inscrits dans un cercle. Reporter le rayon R du cercle sur sa circonférence.
O C C
D
Construction de pentagone inscrit dans un cercle.
R2
E
R1 O
Z F
A
B
A partir de A milieu de (O,B) porter F sur Z tel que (A,F)=R1=(A,C). Sur le cercle porter E tel que (C,E)=R2=(C,F). Reporter (C,F) sur le cercle, (C,F) est un coté du pentagone.
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Mille façons de dire les choses et choisir la plus appropriée pour mieux se faire comprendre
Construction de polygones 2
F
A
B
Construction d'un Construction d'un hexagone. heptagone.
R
H O
E
A
C D
Reporter le rayon R sur la circonférence du cercle à partir d'un point quelconque A.
G
Z C D
A
R
Construction d'un Construction d'un octogone inscrit octogone circonsdans un cercle. crit à un cercle.
B
O
Tracer la bissectrice (O,D) de l'angle (C,O,B). (O,C) étant la médiatrice d'un diamètre (A,B) du cercle.
C
R A
Construction d'un Construction d'un ennéagone. décagone.
B B
A l'aide des arcs de centre B & A et de rayon R & R1 on détermine (D,E)=(A,C).
O
R
Tracer les arcs de rayon R à partir des angles du carré circonscrit au cercle.
A
D E
A partir de A milieu de (O,E) porter C tel que (A,C)=(A,F). A partir de B intersection de la médiatrice avec le cercle porter G tel que (B,G)=(B,C). L'arc coupe Z en D. Porter (D,G) sur la circonférence. (D,G) est égal au coté de l'heptagone.
C
Tracer un pentagone. Tracer C intersection du cercle et de la bissectrice de (A,O,B).
C
B
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A
Construction d'un hendécagone (ou plus). Le segment (A,C) est re-divisé selon le nombre de parties égales désirées. B & D sont déterminés à l'aide des cercles ayant A & C pour centre et (A,C) pour rayon. On obtient les sommets du polygone en prolongeant les droites reliant B & D à un point sur deux de la division.
D
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r.c.i.géométrie
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Mille façons de dire les choses et choisir la plus appropriée pour mieux se faire comprendre
Construction de courbes usuelles 1 O
E
F
A
Tracé d'un cercle à partir de 3 points quelconques. Construire les médiatrices des segments (A,B) et (B,C). Leur intersection forme O, centre du cercle passant par A, B et C.
C B
C A
O
B Tracé d'une ove. Soit un cercle quelconque, de centre O et deux diamètres perpendiculaires (A,B) et (C,D). Joindre et prolonger (A,C) et (B,C). Tracer les arcs de cercle : (B,E) de centre A et de rayon (A,B), (A,F) de centre B et de rayon (B,A), (E,F) de centre C et de rayon (C,E).
D
Tracé d'ovales. Les dessins explicites.
sembles
suffisamment
Tracé de spirales. Des rayons s'ajoutent en se raccordant. A. spirale à rayon constant à 2 centres. B. spirale à rayon progressif à plusieurs centres. C. spirale à rayon constant à 4 centres.
O O1
A
O3 O1 O2 O4 B
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Mille façons de dire les choses et choisir la plus appropriée pour mieux se faire comprendre
Construction de courbes usuelles 2 x
tang
n
e
"Courbe plane fermée dont chaque point est tel que la somme de ses distances à deux points fixes (foyers) est constante". In Petit Robert. Une ellipse est aussi un cercle vu en perspective ou la surface résultant d'une coupe oblique d'un cylindre ou d'un cône.
D
Propriétés :
M
1 2
4
3
y C
t
F
al norm
L'ellipse.
ente
A
L'ellipse a pour équations : c =a -b -Le grand axe est (AB) = 2a. -Le petit axe est (CD) = 2b. -F et F' sont les foyers de la courbe (CF) = (CF') = (OA).
a
c
O
F' B
Q
E
b
-(FF') est la distance focale 2c. -O est le centre de l'ellipse. -(MF) + (MF') = 2a. -L'angle M1 = M2, Mn est la normale. -L'angle M3 = M4, Mt est la tangente à la courbe au point M. -(MN) est perpendiculaire à (Mt).
M Tracé théorique par points.
B
F
A
Soit un point A quelconque, pris sur le grand axe entre les foyers. -Tracer de F et F' comme centres des arcs ayant pour rayons (BA) et (AC). Les points M, N, P, Q sont des point de l'ellipse. (MF) + (MF') = (BC), grand axe.
C F'
P D
N
C Tracé par cercles concentriques.
A
B
O
E G D
F
De O tracer 2 cercles concentriques de diamètres grand axe et petit axe. -Tracer un rayon commun quelconque coupant les cercles E et F. -De E, mener une parallèle à (CD) et de F un parallèle à (AB). G, point d'intersection, est un point de l'ellipse. -Recommencer la construction avec autant de rayon nécessaires à la construction précise de la courbe.
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Mille façons de dire les choses et choisir la plus appropriée pour mieux se faire comprendre
Construction de courbes usuelles 3 S
J
T
K Méthode des huit points.
L
E
U N
A
O
F
Q
C
B R
P
H
G
D O S
J
T
H
K
E
N
P
M
L
A
D
U
R E
U N
A
F
C
2
Q
B B G
D
T
Q
R
P
S
C
G
O
H
J L
Ellipse inscrite dans un rectangle. -Tracer deux rectangles égaux et adjacents (E,F,K,J) et (E,F,G,H). -Tracer le demi-cercle de diamètre (E,F) dans le premier rectangle. -Tracer les axes (A,B) et (C,D) du second. Les points A, B,C,D sont quatre points de l'ellipse (extrémités des axes). -Joindre (C,J) et (C,K) pour déterminer les points L et M. Les points correspondants des diagonales (E,G) et (F,H) du second rectangle sont quatre autres points de l'ellipse. La construction est identique pour une ellipse inscrite dans un parallélogramme ou dans un trapèze.
F
K
0 2
1
1 Méthode des diamètres conjugués.
C
0
2 A
1 1
2 1
O 2
1 0
B
1
2
Ellipse inscrite dans un rectangle. -Construire un rectangle et ses deux axes (A,B) et (C,D). -Tracer les deux demi-cercles ayant pour diamètres les côtés consécutifs du rectangle et les diviser chacun en six parties égales (ou plus). -Numéroter comme sur la figure. Les intersections des lignes de même numéro sont les point de l'ellipse. La construction est identique pour une ellipse inscrite dans un parallélogramme. L'augmentation des points construits améliore la précision du tracé.
2
1 2
D 0
2
2
1
1 C
1
A 1
0
2
2
1
O 2
2 D
1
2 B
1 0
2
1 rci_geometrie_0906.id ©xavier+menault.2006